積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる。
 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。
 既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。
ただし  は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式：

第二種フレドホルム積分方程式：

第一種ヴォルテラ積分方程式：

第二種ヴォルテラ積分方程式：

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

固有値問題の一般化としての積分方程式 
ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 を行列、 を固有ベクトル、 を対応する固有値として、

と書くことができる。

添字 、 を連続変数 、 で置き換えて連続極限を取ると、 に関する総和は  に関する積分、行列  とベクトル  はそれぞれ積分核  と固有関数  に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

が得られる。

一般に、 は超関数であってもよい。超関数  が  でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

出典

参考文献

和書 

日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
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吉田耕作『積分方程式論』岩波全書、1950。ISBN 4000212834
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洋書 

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非線型積分方程式 
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 Precup, R. (2013). Methods in nonlinear integral equations. Springer Science & Business Media.

線型積分方程式 
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 Lovitt, W. V. Linear Integral Equations. New York: Dover, 1950.
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積分方程式に対する数値解析 

 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: :en:Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
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 Baker, C. T. H. The Numerical Treatment of Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1977.
 R.S. Anderssen, "The application and numerical solution of integral equations", Sijthoff & Noordhoff (1980)

関連項目 

ヒルベルト空間
フレドホルム積分方程式
ヴォルテラ積分方程式

外部リンク 

数学に関する記事