算術幾何平均

数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。

定義 
 である複素数  について

と定めれば数列  と  は同じ値に収束する。その極限を  の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均  の根号の符号は算術平均  の側にあるものを選ぶものとする。

 の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。

 の場合は、次式になる。

概要 
 が正の実数である場合、

が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、

となることから

という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から

が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an},  {bn} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。

性質
正の定数  に対し

が成り立つ。

この数列の収束は

を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。

また次のことが知られている。

右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。

証明 
複素数  の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。

となるように  の根号の符号を決めると約束したので、

である。 を  の階差とすれば

である。したがって、級数  は絶対収束する。すなわち、数列  は収束し、数列  は  と同じ値に収束する。

算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、 は正の実数とする。

 と置換すると、

 と置換することによって、

となる。したがって、

 が複素数である場合は、積分路  と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。
,  とすれば、

これに  を代入すると

であり、 となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極  の間（原点に近いところ）を通る。また、,  とすると、

これに  を代入すれば

であるから、積分路は極  の間を通る。

算術調和平均 
 である複素数  について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列

である。つまり、算術調和平均は  の幾何平均に等しい。このことは

から明らかである。

調和幾何平均 
 である複素数  について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列

である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、 を逆数にして

から明らかである。

関連項目
平均

平均
解析学
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