巡回多元環

数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。

定義
可換体  上の多元環  が巡回多元環であるとは、それが  上 -次の正規単純環であって、かつ -次の巡回部分体を持つときに言う。

具体的に、体の  次巡回拡大  に対し、そのガロア群  の生成元を  とし、 をとる。,  の定める  上の巡回多元環  は、 個の文字  を基底に持つ  次元 -ベクトル空間  ( は直和) を台となる線型空間とし、 に乗法を一般の元 
 
に対して
 
と定めたものである。これは  に対する以下の二条件
 指数法則  を満たす。 
  に対し交換則  を満たす。
を線型に拡張したものとして与えられる。特に、 は  の乗法単位元（したがって、）。また、 は  の元を動かさない  の非自明な自己同型であるから、 の元は  と可換。これにより  が  上中心的であることが従う。

性質
  次巡回拡大  から定まる  次巡回多元環の  上の次数は  である。
 巡回多元環  は  上の中心的単純環で  で分解する。すなわち、次巡回多元環  と  との -多元環のテンソル積は  上  次の全行列環  に -多元環同型:  である。
  の標数が 2 でないものとすると、二次の巡回多元環  は -型四元数環である。ただし、 は  の平方元でなく、 は  を満たす -同型。

 巡回多元環  は適当な  に対して  となるとき行列環  に同型である。そうでないとき可除環であり巡回斜体 (cyclic division slgebra) と呼ばれる。
 二つの巡回多元環 ,  が同型となるための必要十分条件は、 の適当な元  が存在して  と書けることである。
 巡回多元環のテンソル積は適当な巡回多元環にブラウアー同値である。
 体の分離拡大に関するブラウアー群（あるいは拡大のガロワ群の）の元（ブラウアー同値類）の代表元として接合積（とくに巡回多元環）がとれる。(see also: :en:Brauer group#Cyclic algebras)

一般化
巡回多元環は、2-コサイクル（）に対する (crossed product algebra) と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である）。接合積は群環の一般化でもある。

注

注釈

出典

参考文献

関連文献 
 

局所類体論
多元環
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