総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義 
結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a, a, …, a の総乗を

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (x) 」とすることができる。この列の総乗を

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1 を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1 であるとする。（空積も参照）

積が非結合的な場合 
積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a × a × … × a という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

このとき、 と書くことにすると、

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積 
総和と同様に、可算無限列  の総乗

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義 
実数や複素数からなる可算列  の無限乗積を定義する。無限乗積  が収束するとは2条件
 ある番号 m から先では常に x ≠ 0 (n > m)
 部分積 p := x … x (n > m) がゼロでない値 P に n → ∞ の極限で収束する
が成り立つことをいう。無限乗積  が収束するとき、その値を

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim x = 1 が成り立つ。

また数列  に対して無限乗積

が収束するとき、無限乗積  は絶対収束するという。無限乗積  が絶対収束するのは無限級数  が絶対収束するとき、かつそのときに限る。

例 
三角関数の無限乗積展開

ウォリス積

オイラー乗積

ガンマ関数

(はオイラーの定数である)。

qポッホハマー記号
。
 
qガンマ関数

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる。

注

参考文献

関連項目 
総和
因数定理
階乗
超階乗

数学の表記法
解析学
特殊関数
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