一次方程式

数学における一次方程式（いちじほうていしき、）は、一次多項式の根を求めるものである。

一変数の場合 
a, b は実数の定数とするとき、
  または 

なる形をとる。後者の形の場合は、a ≠ 0 ならば（a−1 = 1⁄a が存在するから）一意的に解けて x = −b⁄a がその解である。a = 0 のとき、b ≠ 0 ならば不能、b = 0 ならば不定である。

二変数の場合 

一般形は
 
で、これは {（x, y）| ax + by + c = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、
 

なる形で扱うことができる。これはふつう、x を自由変数とし y を x の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。

三変数および更に多変数の場合 

三変数の場合
 
はユークリッド空間 R3 における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x0 が与えられれば
 
なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、Rn 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち n-変数の一次方程式
 
は超平面の方程式である。一次形式
 
は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は
 
の形に書くこともできる。

更なる一般化 
一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 K であるような一次方程式が拡大体 L/K で解を持つならば、既に K において解を持ち、K における一般解がそのまま L における一般解になる。

A が行列、x がベクトル値の変数、b を定ベクトルとするとき、一次方程式
 
は A が正則ならば解くことができて x = A−1b となる。

より一般に、集合 X に作用素の集合 T が与えられているとき、X-値の変数 x に対して作用 τ ∈ T および定元 b ∈ X を与えれば、方程式
 
は意味を持ち、τ の逆作用素 τ−1が存在すれば x = τ−1b となる。特に T が群 G で X がG-加群 M のとき、
 
なども意味を持つ。

関連項目 
 線型性

外部リンク 
 

初等数学
解析幾何学
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