慣性モーメント

慣性モーメント（かんせいモーメント、）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ  とは、物体の角運動量  と角速度  との間の関係を示す量である。

定義 
質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル  で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル  は次のように書ける。

ここで は  番目の質点の質量、 は回転軸上の原点との相対座標でありはその大きさである。この式からわかるように、 は  と向きは必ずしも一致しないが、 を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をとすると、

と表せる。この変換  は2階のテンソルであり、との各成分は

という形に表される。ここに  はクロネッカーのデルタ、 はベクトル  の  成分である。 を行列表示すると

となる。この定義から  は対称テンソルである。この2階のテンソル  を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 、、 を（それぞれ 、 、  軸に関する）慣性モーメント係数（）と呼び、
、、 は 慣性乗積（）と呼ぶ。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度  を用いて

となる。

ある軸まわりの慣性モーメント 
物体をある回転軸まわりに回転させたとき、と同じ向きをもつ単位ベクトルをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

ここで、は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量  をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。

慣性主軸と主慣性モーメント 
慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 を選ぶことで対角化（すなわち  と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量 
重さの無視できる長さ  の棒の両端に、質量  、 の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ 、 とする。このとき、中心に対する慣性モーメント  は、

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板 
半径  、全質量  の、一様な密度  をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは

となる。

これは中心から半径  、幅  のリングの質量  を考えると

より、このリングの慣性モーメント  が

だから

より求めることができる。

リング状円板 
円板外半径  、くり抜き内半径  、全質量  のリング状円板では、前出の  を用いて

となる。

性質 

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値  をとり、軸が重心から距離  だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント  は

となる。

慣性テンソル  の物体が角速度  で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー  は

と表示できる。

関連する物理量 
回転半径
 慣性モーメント  は物体の質量  に比例するから、

 と書くことができる。この  は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる。
はずみ車効果
 慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径  を用いて定義されるはずみ車効果  がある。
重力単位系では、剛体の重量 [kgf] と直径 [m] を用いた量  をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m2] である。慣性モーメント  とは次元が異なり、 で換算する（ は重力加速度）。
国際単位系では、剛体の質量 [kg]と直径 [m] を用いた量  をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m2] である。慣性モーメント  と、 で換算する。

応用 
工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

脚注

参考文献

関連項目 
 オイラーの運動方程式
 断面二次モーメント
 慣性計測装置
 慣性

回転
テンソル