有理化

数学において、有理化（ゆうりか、）とは、根号を含む式（とくに平方根を含む分数式の分母または分子）から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。

概要 
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば

などがあげられる。

抽象代数学的にはこの例は、 を有理数体、 が有理数の平方ではないとしたとき

という  の二次拡大体を考えると、

が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは  の各元  に対し、その拡大  に関する共役元  を掛ければ

（この  は  の（拡大  に関する）ノルムと呼ばれる。）が  に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。

一般に、体 K の（有限次ガロア）拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

実数化
 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、 を実数体  にとりかえ、d = −1 としてみよう。

（ここで、 は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数） の  に関する共役元とは、共役複素数  のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると

は  に属する。したがってたとえば、

などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。

出典

参考文献

関連項目 

分数
初等数学
代数学
数学に関する記事