トレミーの定理

トレミーの定理（トレミーのていり、）とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式：

が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。

トレミーの定理を一般化したオイラーの定理（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式（）：

が成り立つという幾何学の定理のことである。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式：

が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する。

証明
計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、A = ∠A = ∠DAB, B = ∠B = ∠ABC, C = ∠C = ∠BCD, D = ∠D = ∠CDA のこととする。

余弦定理および内接四角形の性質より、
、

が成り立つ。ここから cos A を消去して、

を得る。また AC について同様にして

となるから、2 式を掛けて

を得る。これを整理すれば、

となる。すなわち、

が示された。

円に関する反転を用いた証明 

Dを中心とする適当な円  に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。
このとき

が成り立つ。
このとき、一般性を失わずに  の半径を1と置くことができる。 このとき はそれぞれ以下のように表される。 
 
この式の両辺に  をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。

一般化
一般化にケイシーの定理がある。

脚注

参考文献

関連項目 

ケイシーの定理
トレミーの不等式

外部リンク 

クラウディオス・プトレマイオス
四角形と円に関する定理
数学に関する記事
数学のエポニム
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