メネラウスの定理

メネラウスの定理（めねらうすのていり、）とは、幾何学の定理の1つである。アレクサンドリアのメネラウスにちなんで名付けられた。

定理 

任意の直線lと三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

なお、直線lは、三角形と共有点を持っても持たなくても良い。AからBに行くときにFを通り、BからCに行くときにDを通り、CからAに行くときにEを通る。つまり、A、ABとlの交点、B、BCとlの交点、C、CAとlの交点という順番でたどり、通る辺を順番に分数にすればよい。

証明の方針 
証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。

証明1 
ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似から

が成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。

証明2 
ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。

証明3 
直線ADと直線BEの交点をGとすると

△AED≠0より

逆 
メネラウスの定理は逆も成り立つ。すなわち、任意の三角形ABCに対して、直線AB、BC、CA上に点F、D、Eをとり、D、E、Fのうち三角形ABCの辺上にある点が0個あるいは2個の時、

が成り立つならば、3点D、E、Fは、1直線上にある。

関連項目 
チェバの定理

外部リンク 

アフィン幾何学
三角形に関する定理
初等幾何学
初等数学
数学に関する記事
数学のエポニム
証明を含む記事