フェルマーの原理

フェルマーの原理（フェルマーのげんり、）とは、幾何光学における基礎原理のひとつ。

光は光学的距離が最短になる経路、すなわち進むのにかかる時間の停留点になる経路を通る、という原理。この原理から、光の直進性、反射の法則、屈折のスネルの法則といった幾何光学の法則が導かれる。

1661年にフェルマーが発見したため、この名がある。反射の場合に限れば、古代のアレクサンドリアのヘロンが『反射光学』で平面鏡と凸球面鏡の場合に証明している。

変分原理のひとつ。

波動光学を用いて正当化することができる。すなわち、微小な変位で位相が急激に変化する経路は、他の経路と弱めあうため、あまり寄与しない。一方、停留点近傍の経路は互いに強めあう。

「最少時間の原理」とも言う。しかし、例えば平面鏡の反射に相当する経路は、極小であって最少ではない。凹面鏡の反射の場合は（経路を鏡面上の一点を経由する折れ線に限ると最大になるので）鞍点になる。いずれも、時間最小を達成する経路は、二点を結ぶ直線経路である。

現代バージョン 
x,y,zをデカルト座標とし、オーバードットがsに関する微分を表す場合、フェルマーの原理は次のように書ける。

等方性媒質の場合，を法線屈折率に置き換えることができる．は単にスカラー場である。次に''光学的ラグランジュを定義する:

そして、

脚注

関連項目
変分法
 アイコナール方程式

光学
幾何光学
変分法
ピエール・ド・フェルマー