複素共役

数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数  の共役複素数を記号で  で表す

複素数 （ は実数、 は虚数単位）の共役複素数  は

である。極形式表示した複素数 （,  は実数）の共役複素数  は、偏角を反数にした複素数である：

複素数の共役をとる複素関数  は環同型である。すなわち次が成り立つ。
 
 
複素共役は実数を変えない：
  が実数 ⇔ 
逆に、 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。

複素共役変換は、 の全ての点で複素微分不可能である。

複素共役変換を  上の線型変換と見ると、その表現行列は

代数方程式について、
「実係数多項式  が虚数根  をもつならば、 の共役複素数  も  の虚数根である」
すなわち
実係数多項式  について、
が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

定義と特徴づけ 
複素数 （ は実数、 は虚数単位）の複素共役とは、

を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。

複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換  に対して、次が成り立つ。
  は全単射
 
 
さらに、複素共役は実数を保つ：
  が実数 
逆に、 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。

（証明）
 は環準同型写像で、
実数  に対して 
を満たすとする。

ゆえに、複素数 （ は実数）に対して、

 のとき、 は恒等写像。
 のとき、 は複素共役変換である。（証明終）

性質

計算法則 
 を複素数とする。以下の性質が成り立つ。
  が実数 ⇔ 
  が純虚数 ⇔ 
 
 
 
 
 （ は整数）
上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。
 （対合）
 
 
 
 
 
 逆数は、絶対値と共役で表せる。

複素数の種々の値 
複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。

代数方程式 
実係数多項式  が虚数根  をもつならば、 の共役複素数  も  の根である。すなわち、実数係数多項式  について

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

複素解析 
複素共役変換  は、 の全ての点で複素微分不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において

（ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について）
が成り立つ。

複素数空間 
複素線形空間  の標準内積 
は次の式で定義される：
 に対して、

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 

 共役
 複素数
 複素平面
 虚数

外部リンク 
 
 
 
 

きようやく
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