ディリクレの関数

ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 ℝ 上で定義される次のような関数のことである。

 
ただし、ℚ は有理数全体の成す集合であり、ℝ ∖ ℚ は無理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。ディリクレの関数は数学者のペーター・グスタフ・ディリクレに因んで命名された。

積分可能性
 
 
が成り立つから、ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。一方、ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である ℚ はルベーグ測度に関して零集合であることによる。

周期性
この関数は、任意の有理数に対して  となる。これは有理数体 ℚ が加法について閉じていることによる。

また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。

連続関数の極限としての表示
ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、
 
と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である）。その方法は次による。

任意の有理数  を考える。!  は、十分大きな  に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数  は、いくら  を大きく取っても !  が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。
 
ただし、ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数
 
を表示できれば、() = lim[→∞] F(!) となって決着がつく。（ は単独で考えても興味深い関数である。）  は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos2(π) は、 が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、
 
が結論付けられる。従って、
 
となる訳である。

脚注

注釈

出典

関連項目 

カントール関数
高木関数
トマエ関数
ワイエルシュトラス関数

外部リンク 

解析学
数学に関する記事
特殊関数
数学のエポニム