曲率

曲率（きょくりつ、）とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。

例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。

曲線の曲率

定義 
ある任意の曲線において、線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P（位置ベクトル rP で表されるとする）までの距離を s とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）

このとき点 P の位置は、

のように、変数 s の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り rP = r とする。）

このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル（これを tP とする）は、

となる。（位置ベクトルの変位分 Δr が十分小さいとき、|Δr| = Δs であるから、これは単位ベクトルである。）

同様に、 と表される点 Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル tQ は、

であり、二つの単位接線ベクトル tP 、tQ のなす角度を Δθ とすると、

である。

Δθが十分小さい、すなわち Δs が十分小さいとき、

と見做せる。

従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。

一般に χ を曲率、χ の逆数 R を曲率半径と言う。

また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面と言う。

性質 
更に、t を s で微分すると、

が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、

となり、これを s について微分すると、

となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。

ベクトル t と n の外積、

で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。

出典

関連項目 
 ガウス・ボネの定理
 オイラーの定理 (微分幾何学)
 ムーニエの定理
 フレネ・セレの公式
 捩率
 物理学 - 力学
 主曲率 - ガウス曲率
 断面曲率
 リーマン曲率テンソル - リッチ曲率 - スカラー曲率
 曲率形式

参考文献 
 

幾何学

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