極座標系

極座標系（きょくざひょうけい、）とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ, …, θ からなる座標のことである。点 S(0, 0, x, …,x) を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

いろいろな極座標とその拡張

円座標 
2 次元ユークリッド空間 R における極座標は円座標（）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。

円座標  から直交直線座標  への変換は

で与えられる。角度座標の範囲を  とする場合の直交直線座標から円座標への変換は

で与えられる。ここで  は符号関数である。原点  において特異性があり、分母がゼロとなるため  が定まらない。

円筒座標 

円座標で (0, 0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円筒座標系（）と言う。円筒座標空間上（rθz 空間上ともいう）で、θ, z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。また、円筒座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。

円筒座標  から直交直線座標  への変換は

で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は

で与えられる。

球座標 

3 次元ユークリッド空間 R における極座標系。球面座標系（）とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる（図を参照）。球面座標系において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。

球座標から直交直線座標への変換は

で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は

で与えられる。-軸上  において特異性があり、分母がゼロとなるため  が定まらない。原点においては  も定まらない。

積分への応用 
極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標においては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r × θ = [0, ∞) × [0, 2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、

が導けるからである。この公式は、例えばガウス積分を求めるのに用いられる。

左辺の積分は、このままの状態で解くのは困難だが、右辺の形にすれば、

と解くことができる。

出典

関連項目 
直交座標系
斜交座標系
ベクトル解析の公式の一覧

きよくさひようけい
きよくさひようけい