連続の方程式

連続の方程式（れんぞくのほうていしき、、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。

保存則と密接に関わっている。

狭義
狭義には、流体力学における質量保存則

あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した

を指す。

広義
広義には、スカラー物理量 q についての保存則

あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式（一般の保存則）

を指すこともある。

広義の連続の方程式の導出 

広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。

q についての連続の式は、
 領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量  と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量（流量） J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。

と表現できる。

ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、

と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。

これにより連続の式は

となる。

ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると

となるので、微分形

が得られる。

特に、湧き出しがないときの連続の式

を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。

流体における連続の式

質量保存則 
速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は

となる。

質量保存則から連続の式は

となる。

輸送定理による導出 
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。

ここで、 は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

が成立する。

この式は、実質微分の定義
 
と公式

を使って、

と等価であることがわかる。

非圧縮性流体についての連続の方程式 
連続の方程式

に対して、非圧縮性流体の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、 となるので、ρ≠ 0 であることから、

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。

電磁気学における連続の方程式

電荷保存則 
電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は

となる。

変位電流 
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式

に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式

において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、

となり、ガウスの式

を代入することで連続の式が得られる。

四元電流 
電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を

と表す。ここで c は光速である。微分演算子

を定義すると、連続の式は

と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。

量子力学 
量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。

Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を

と定義すると、シュレディンガー方程式

を用いて、確率に対する連続の式

が得られる。

連続の式の導出 
シュレディンガー方程式とその複素共役の式

それぞれに Ψ* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると

更に

となり、連続の式

ただし、

が得られる。

拡散方程式　
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則（フィックの第一法則）により流束は

と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元  をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式

が得られる。

脚注

出典 

流体力学の方程式
水理学
保存則