ブール代数

ブール代数（ブールだいすう、）またはブール束（ブールそく、）とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路（論理回路）はブール代数の式で表現できる。

定義 
ブール代数（ブール束）とは束論における可補分配束（complemented distributive lattice）のことである。

集合 L と L 上の二項演算 ∨（結び（join）と呼ぶ），∧（交わり（meet）と呼ぶ）の組 〈 L; ∨, ∧ 〉 が以下を満たすとき分配束（distributive lattice）と呼ぶ。

 交換則：x ∧ y = y ∧ x 、x ∨ y = y ∨ x 
 結合則：(x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z) 、(x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z) 
 吸収則：(x ∧ y)∨ x =x 、(x ∨ y)∧ x = x 
 分配則：(x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z) 、(x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z) 
さらに L の特別な元 0, 1 と単項演算 ¬ について、以下が成り立つとき組 〈 L; ∨, ∧, ¬, 0, 1 〉 を可補分配束（ブール束）と呼ぶ。
 補元則： x ∨ ¬x = 1， x ∧ ¬ x = 0。

典型的な例は、台集合として特別な２つの元 0, 1 のみの２点集合 {0, 1} からなるものであり、コンピュータの動作原理の理論としても知られている。
この代数の上では排他的論理和 (xor) や否定論理積(nand)など応用上重要な演算子が ∧、 ∨、 ¬ の組み合わせで記述される(∧ または ∨ も ¬ と残りの1つの組み合わせで記述される。)。

ブール環 
任意の元 x に対して 積の冪等則x2 = x を満たす単位的環 B をブール環（boolean ring）という。
このとき単位的環の公理から

さらに

が導かれ、それらと冪等則により

を得る。つまり(乗法が)冪等的かつ単位的な環は加法に関して全ての元の位数が高々2であるような可換環となる。したがって

とおけば B はブール代数となる。
また B がブール代数のとき

とおけば B はブール環となる。
この対応はブール代数とブール環の間の自然な一対一対応を定めるので、しばしばこの2つは同一視される。
。

脚注

注釈

出典

参考文献 
 
 
  - 1980年に槙書店から出版され、2015年に森北出版から復刊された。

関連項目 

集合の代数学
数理論理学
ストーンの表現定理
束論
環 (数学)
デジタル回路
ブール関数
ブール論理
ラダー・ロジック
論理回路

外部リンク 

数理論理学

ジョージ・ブール
数学のエポニム
数学に関する記事