ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり、; ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）ともいう）とは、複素数（特に実数） および整数  に対して

が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。

実数  と正の整数  に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の 倍角の公式を内在的に含んでいる。

オイラーの公式： より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ：

が成り立つことを意味している。

証明

数学的帰納法による証明

複素数の積の性質による証明

オイラーの公式による証明

指数が非整数の場合 
ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（多価関数）からである（冪乗#指数・対数法則の不成立参照）。 が整数でないとき、ド・モアブルの定理における  乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。

 を実数、 を複素数とすると
（ は整数）
である。したがって、 が整数であれば

という 1 つの値を取るが、 が整数でないときは  を含む複数の値を取ることになる。

 の値の取り方について、 が有理数であれば、 （,  は互いに素）と表すと、であるから、 で循環し、 個の値を取る。（無理数または虚数）ならば循環せず、可算無限個の値を取る。

適用例 
虚数単位の累乗
 を整数とすると、

 が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。

1の冪根
 を 2 以上の自然数とするとき、 を満たす  を求める。
 の極形式を （,  は実数）とする。

関連項目 
 複素数
 三角関数
 1の冪根
 オイラーの公式

脚注

注釈

参照

外部リンク 
 

複素数
初等数学
数学に関する記事
数学のエポニム
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