共形場理論

共形場理論（きょうけいばりろん、Conformal Field Theory, CFT）とは、共形変換に対して作用が不変な場の理論である。特に、1+1次元系では複素平面をはじめとするリーマン面上での理論として記述される。

共形変換に対する不変性はWard-Takahashi恒等式を要請し、これをもとにエネルギー-運動量テンソル（あるいはストレステンソル）に関する保存量が導出される。また1+1次元系においては、エネルギー-運動量テンソルを展開したものは、Virasoro代数と呼ばれる無限次元リー代数をなし、理論の中心的役割を果たす。

共形変換群は、時空間の対称性であるポアンカレ群の自然な拡張になっており、空間d-1次元＋時間1次元のd次元時空間ではリー群SO(d,2)で記述される。この変換群の生成子は(d+2)(d+1)/2個あり、その内訳は以下のとおり。

 d(d-1)/2:　空間 d-1 + 時間 1次元空間のローレンツ変換
 d: d次元空間の並進+時間推進
※以上が、部分群としてのポアンカレ群の生成子をなす。
スケール普遍性は定義より以下の変換(ディラテーション)を示唆する。
 1: スケール変換（計量の目盛りの変更）
さらに強く、共形不変性を要求すると
 d: d次元時空の特殊共形変換（反転×平行移動×反転）
が加わる。この代数SO(d,2)を共形代数(conformal algebra)と呼ぶ。

場の理論の基本的な可観測量である相関関数(場の演算子の積の真空期待値)は共形代数によって強い制限を受ける。特にユニタリな共形場の理論においては、例えばスカラー演算子の二点関数は

と定まってしまう。ここで、は演算子 のスケーリング次元と呼ばれる(理論依存の)パラメータである。

2次元共形場理論
2次元共形場理論は歴史的には1984年にBelavin、ポリャコフ、Zamolodchikov(BPZ)によって初めて定式化された。2次元共形場理論で言及するのは次のような場合である。

一般に(2+1次元以上の時空では)共形変換群は有限個の生成子からなる有限次元リー群である。しかし、空間1次元＋時間1次元(d=2)の2次元共形場理論場合に限り、共形変換群SO(2,2)は正則関数の等角写像の変換群（無限次元リー群）に拡張される。この場合共形変換群SO(2,2)は無限個の生成子からなる代数(Virasoro 代数)の部分代数となる。Virasoro代数から得られるヒルベルト空間に対する制限は強力であり、ミニマル模型と呼ばれる模型群に対しては、(これには臨界点上の2次元イジング模型も含まれる)全ての相関関数の振る舞いをVirasoro代数とWard-Takahasi恒等式から厳密に求めることができる（可解である）。可解である2次元共形場理論は、2次元統計系あるいは1+1次元量子系を理解する上で強力な武器となっている。

脚注

参考文献 
 
 Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. .
 川上則雄、梁成吉：「共形場理論と1次元量子系」、岩波書店、ISBN 4-00-007411-3（1997年11月25日）。
 山田 泰彦:「共形場理論入門」、培風館、ISBN 978-4563006617（2006/01）。
 伊藤克司: 臨時別冊・数理科学SGC-83「共形場理論」、サイエンス社（2011/06/25）。
 江口 徹, 菅原 祐二:「共形場理論」、岩波書店、ISBN 978-4000052498（2015/9/18）。

関連項目 
 超弦理論
 AdS/CFT対応

物理学
対称性
場の量子論

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