レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである。

10進法におけるn桁のレピュニットは の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...() のときに、Rn は素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質 
m が n を割り切るならば、Rm は Rn を割り切る。よって、n が合成数ならば、Rn は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

Rn は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。

 nの値と必ず含まれる約数
 偶数 - 11
 4の倍数 - 11 · 101
 6の倍数 - 3・7・11・13・37
 3の倍数 - 3 · 37
 5の倍数 - 41 · 271
 7の倍数 - 239 · 4649
 17の倍数 - 2071723 · 5363222357
 など

901型の例 
前述の通り、R2n は11つまりR2 で割り切れる。同様に、2×n桁のR2n は、n桁のRn で割り切れる。さらに、nが奇数の時、Rn は11で割り切れないから、R2 と　Rn　は互いに素となる。よって、R2nは、R2 × Rn で割り切れて、その商は、n桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 n-1 桁の数 9090…91 である。

これらの関係を表にまとめると以下のようになる。

{| class="wikitable sortable" style="line-height:1.4; text-align:right;"
|-
! n（奇数） !! 2 × n !!R2n!! R2nの値（2×n桁） !!!!R2 × Rn!! R2 × Rnの値（n+1桁）!! !!R2n ÷ R2 ÷ Rnの値（n-1桁） !!R2n ÷ R2 ÷ Rnの素因数分解
|-
|3 || 6 || R6 ||111111|| rowspan=5|＝ || R2 × R3 || 1221 || rowspan=5|× ||91 || 7 · 13
|-
|5||10|| R10 ||1111111111|| R2 × R5 || 122221 || 9091 || 素数
|-
|7|| 14|| R14 ||11111111111111|| R2 × R7 || 12222221 || 909091 || 素数
|-
|9||18|| R18 ||111111111111111111|| R2 × R9 || 1222222221 || 90909091 || 7 · 13 · 19 · 52579
|-
|11||22|| R22 ||1111111111111111111111|| R2 × R11 || 122222222221 || 9090909091 || 11 · 23 · 4093 · 8779

|}

nが偶数の時のR2n、その他 についての例は以下。

 R12 = 11222211 × 9901
 R20 = 1222210000122221 × 9091
 R24 = 112233332211 × 990000999901 = 1111222222221111 × 99990001
 R28 = 1222222100000012222221 × 909091
 R36 = 111111222222222222111111× 999999000001
 R39 = 123333333333321 × 900900900900990990990991
 など

 R6 = 11 × (9091 + 1010)
 R8 = 11 × (909091 + 101010)
 R10 = 11 × (90909091 + 10101010)

电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016

 1と0のみで表す例 

{| class="wikitable sortable" style="line-height:1.4;"
|-
! n !! !!
|-
| R4 || 11 × 101 ||
|-
| R8 || 101 × 110011 || 
|-
| R12 || 1001 × 111000111 || 1221001221 × 91
|-
| R16 || 10001 × 111100001111 || 
|-
| R20 || 100001 × 111110000011111 || 1222210000122221 × 9091
|-
| R24 || 1000001 × 111111000000111111 || 1221001221001221001221 × 91
|}

 累乗数 − 累乗数 

 レピュニット素数 
現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した。

2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した。

2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。

()

 レピュニットの素因数分解 
レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている。

基数 10 のレピュニットの R1 から R122 までの素因数分解の一覧を示す。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。※''' 素因数の数(含重複)

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

 一般化 
10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対してn桁のレピュニットは と定義される。

前述の通り、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは an − 1 の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R5(3) = 112, R4(7) = 202, R3(18) = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999b）。Fd(x) を d'' 次の円分多項式とすると、

と表すことができる。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目
一進法
回文数
メルセンヌ数
ゴールマハティヒ予想
レピュニット (小惑星) - 小惑星番号が11111であることから命名。
37 - 111を3で割った値。
259 - 111111を429で割った値。
12345679 - 111111111を9で割った値。

外部リンク 

11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit

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