直交行列

直交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり × の行列  の転置行列を  と表すときに、  を満たすような  のこと。ただし、  は  次の単位行列であり、  自身も直交行列である。

有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間  において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換  のことである。すなわち、
 を  の任意のベクトルとするときに、
が成り立つ。ただし、 は内積を表す。

定義
 次正方行列  の 転置行列  が の逆行列になっているとき、すなわち  を満たすとき、 は直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間  の任意のベクトル  に対し、内積を  とする。 が行列  により  に変換されたとき、内積は
 
となるので、行列  が直交行列であるのは計量ベクトル空間  の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。 次直交行列全体の集合を  次直交群といい、() と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、() と書く。

例

回転行列
2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角  の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

置換行列
2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

反射行列
単位ベクトル  に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列） は、以下の式で与えられ、直交行列となる（ は単位行列）。

性質
 直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列  が直交行列なら行列式の性質から

となる。逆は必ずしも真ではない。
 ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
  次行列  を  個の列ベクトル（行ベクトル） を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 = は  が正規直交基底になる条件と同値である。
   次の直交行列  、 次の列ベクトル  が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖‖ = ‖‖ である。したがって  の対応する作用素ノルムは  である。

参考文献

関連項目

回転行列: 直交行列
カルタン・デュドネの定理: 直交変換は超平面による鏡映の合成である
置換行列: 直交行列
特異値分解: あらゆる行列を直交行列と特異値による対角行列へ分解 A = UΣV
ユニタリ行列: エルミート内積に関して上と類似の性質を持つ行列
QR分解: 正方行列から直交行列を作る手法

外部リンク

動画 

ちよつこうきようれつ
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