正弦定理

正弦定理（せいげんていり、英:law of sines）とは三角形の内角の正弦（サイン）とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

概要 
△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、

が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。

これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した
 あるいは 
を正弦定理であると表現することもできる。

証明 
以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180°である。
0 < ∠A <  のとき

直径 BD を取る。

円周角の定理より ∠A = ∠D である。

△BDC において、BD は直径だから、

である。よって、正弦の定義より、

である。ゆえに

変形すると

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
∠A =  のとき

BC = a = 2R であり、

であるから、

は成り立つ。

 < ∠A < π のとき

直径 BD を取る。

円に内接する四角形の性質から、

である。つまり、

となる。
BD は直径だから、

である。よって、正弦の定義より、

である。変形すると

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

以上より正弦定理が成り立つ。

また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」（円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理）を導くことができる。

球面三角法における正弦定理 
球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。

関連項目 

三角関数
余弦定理
正接定理
余接定理

外部リンク 

三角法
三角形に関する定理
数学に関する記事
証明を含む記事