対称差

数学において、2 つの集合  と  との対称差（たいしょうさ、）とは、“ に属し、 に属さないもの” と “ に属し、 に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である。一般に、集合  と  との対称差を、記号

などで表す。例えば、 と  との対称差は  に等しい： 。

任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差  を算法としてアーベル群となる。空集合  はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差  を加法とし共通部分  を乗法とするとき、ブール環となる。

性質 
対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる：

 を 1 つの集合とし、 を  の 2 つの部分集合とする。集合  における二項演算として排他的論理和  →  を定義すれば、 における指示関数に関して次が成り立つ：  の任意の元  に対して

アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：

対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる：

特に、 は  の部分集合である： 。また、 と  とが互いに素であるときかつそのときに限り  である。さらには、 と  とは互いに素であって、集合  は  の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式

によって和集合を定義することもできる。

代数学的な性質 
対称差について、次の 4 つが成り立つ：
     （結合法則）、
 、
 、
     （交換法則）。

 を 1 つの集合とし、 を  の冪集合とする。 の元  に  の元  を対応させれば、 における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して  はアーベル群となる。空集合  はその群の単位元である。 の任意の元  に対して  は  の逆元であるから、 はブール群でもある。 がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群  はクラインの四元群 と同型である。

共通部分は対称差に対して分配法則を満たす：

よって、 を 1 つの集合とするとき、 の元  に  の元  を対応させて得られる二項算法を加法とし、 の元  に  の元  を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、 は環となる。また、 はブール環でもある。

その他の性質 
  を 1 つの集合とし、 を  の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

  を 1 つの集合とし、 の各元  に対して 2 つの集合  が定められているとき、次が成り立つ：

  を集合  から集合  への 1 つの写像とし、 を  の 2 つの部分集合とするとき、次が成り立つ：

多項対称差 
対称差は結合法則と交換法則を満たすので、個の集合の対称差  (⋯(は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族　　に対し以下のように拡張できる。

上記のような集合族について  及び各  がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（和集合の場合にも同様の公式が成り立つ）。

測度空間上の対称差 
2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。
今  を集合  上の測度とし  を測度有限な可測集合全体とする。
このとき上の関数のを

と定めると、これは  上の擬距離になる。

この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が  に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。

 が  の元であるとき  が成立する。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 
 完全加法族
 差集合
 集合の代数学
 集合論
 対称性
 排他的論理和
 ファジィ集合
 ブール関数

外部リンク 
 
 
 
 
 

減法
集合の基本概念
初等数学
数学に関する記事