最小公倍数

最小公倍数（さいしょうこうばいすう、）とは、ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。

定義 
2つ以上の整数 の最小公倍数とは、の公倍数のうち最小の正整数である。

つまり、を、素数 ()  を用いて

と素因数分解したとき、の最小公倍数は

で与えられる。

例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。
 12 = 22×31
 16 = 24
 48 = 24×31

諸概念 
公倍数は最小公倍数の倍数である。

証明

 の最小公倍数を  とする．
 の一般の公倍数を  とし， と置く。
変形して  …①
①右辺は  は  の公倍数、 も同じく  の公倍数。
よって①の左辺  は  の公倍数になる。
しかし となり、最小公倍数  よりも一般公倍数  が小さく矛盾．
すなわち 。よって公倍数  であり最小公倍数の倍数となっている．(証明終）

正整数に対して、との最大公約数と最小公倍数との間には

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、とすると、であるが、である。

多項式の最小公倍数 
多項式のでない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、との最小公倍数はである。

多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。

参考文献

関連項目 

公約数
公倍数
最大公約数
多項式

数論
初等数学
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