背理法

背理法（はいりほう、 など、）とは、ある命題  を証明したいときに、 が偽であることを仮定して、そこから矛盾を導くことによって、 が偽であるという仮定が誤り、つまり  は真であると結論付けることである。帰謬法（きびゅうほう）とも言う。

 を仮定すると、矛盾  が導けることにより、 の否定  を結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。

これに対して  を仮定すると矛盾  が導けることにより  を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。

否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。
一般的に、背理法と言った場合は広義の背理法を指す。否定の導入により、 から矛盾が導けた場合、 を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局  が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、 から  を結論することは、認められる。

背理法を使って証明される有名な定理には、 が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理，ハイネ・カントールの定理などがある。

しかし例えば、 が無理数である（すなわち有理数でない）ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。

脚注

参考文献

関連項目 

直観主義
転換法
否定の導入
二重否定の除去
無矛盾律
排中律
無限降下法
対角線論法
帰謬法 (修辞学)

外部リンク 

命題論理の定理
数学的証明
証明法
数学に関する記事