立方根

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

定義 
積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを  と表す。

性質 
 正の数  に対して、

 の虚立方根の一つを  とすると、もう一つの虚立方根は  であり、,  はともに 1 の原始冪根である。また、 が成り立つ。

  が  でない複素数ならば、 の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点  を中心とする半径  の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数 
()
()
()
()
()
()

()

複素数 

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

極形式では

ここで rは非負の実数、の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。
,

 は （） が主要根となる（-2（）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

単位円での例
との主要根の関係を単位円上で示すと（、偏角  の例）

脚注

関連項目 

 立方数
 平方数
 冪根
 平方根
 代数的数
 定規とコンパスによる作図
 立方体倍積問題（三大作図問題）
 折紙の数学
 折り紙公理
 根号 U+221B ∛

外部リンク 

算術
初等数学
代数的数
数学に関する記事