鶴亀算

鶴亀算（つるかめざん）は算数の文章題の典型問題または解き方の一種で、ツルとカメの頭数の合計と足の数の合計を示し、それを基にツルとカメそれぞれの頭数を求める問題である。

中学校の数学で履修する連立方程式を使って解くことが可能であるが、連立方程式を使わずに小学校の算数の解法で解くことも可能である。中学受験などでは連立方程式を使わずに解くことが求められる場合もあり、特に「鶴亀算」という場合、この連立方程式を使わない解法を指すことが多い。

歴史 
中国の数学書『孫子算経』にある「雉兎同籠」が始まりとされる。それが江戸時代におめでたい動物とされるツルとカメに置き換えられて、この名前になった。

例題 
ツルとカメが合わせて8匹、足の数が合わせて26本であるとき、ツルとカメは何匹（何羽）いるか。ただしツルの足は2本、カメの足は4本である。

一般的な解法
まず示された頭数すべてがツルであると仮定した場合の足の数を求め、そこから実際の足の数との差を計算し、その差をもとにカメの数を導き出す。この方法で例題を解くと、

8匹すべてがツルであるとすると、足の数は全部で2×8=16本となる。
これは実際の本数に比べて26-16=10本少ない。
この10本の差を、ツルとカメを交換する操作によって補う（つまり、ツルを一羽ずつ減らし、カメを一匹ずつ増やしていく）。この操作を行う度に、ツルとカメの足の本数の差つまり4-2=2本ずつ、足の数が増える操作をすればいい。
10本の差を埋めるには、10÷2=5回この操作をすればよい。
すると8匹のうち5匹がカメに置き換わり、ツルは8-5=3匹が残る。
したがって、ツルは3匹、カメは5匹となる。

面積図を用いた解法

この問題は「長方形の面積が、たてとよこの積である」ということを利用して、面積図を使っても解ける。

縦を1匹の足の数、横を頭数、面積を足の数とする。
2×8＝16本
26−16＝10本
4−2＝2本
10÷2＝5匹
8−5＝3匹
答えは、ツルが3匹、カメが5匹となる。

中学校の数学科における鶴亀算 
鶴亀算は、中学校の数学における連立方程式の初歩的な問題にあたる。一般的に、xをツルの数、yをカメの数、aをツルとカメの個体数の総和、bを足の本数の総和とおくと、
x+y=a
2x+4y=b
の2元1次連立方程式で表される。

脚注

関連項目 

 線形代数学
 行列
和算・算額

算数
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