Akar satuan

Dalam matematika, akar satuan (), berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat . Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Definisi umum
Akar satuan ke-, dengan  adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan  yang memenuhi persamaan

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika  itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke- ialah

Sifat dasar
Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke- juga merupakan akar satuan ke-, sebab

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke- adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-:

Sifat pada grup

Grup semua akar satuan
Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika  dan , maka , dan , dengan  adalah kelipatan persekutuan terkecil dari  dan .

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar satuan ke-
Untuk bilangan bulat , hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke- juga merupakan akar satuan ke-. Oleh karena itu, akar satuan ke- membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil  dan bilangan bulat , adalah

Substitusi  menghasilkan akar satuan primitif ke- – yaitu

akan tetapi

untuk . Dengan kata lain, 

merupakan akar satuan primitif ke-.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke- berada pada sudut sebuah segi- beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar  dan  di kanan).

Rumus Euler

yang valid untuk setiap bilangan riil , bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke- dalam bentuk

Grup siklik
Akar satuan ke- membentuk grup siklik dengan orde  terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.

Catatan 

Bilangan aljabar
Polinomial
1 (angka)
Bilangan kompleks