Topologi operator lemah

Dalam analisis fungsional, topologi operator lemah, sering disingkat TOL, adalah topologi lemah pada himpunan operator terbatas pada ruang Hilbert , maka fungsi operator  ke bilangan kompleks  adalah kontinu untuk vektor suatu  dan  di ruang Hilbert.

Secara eksplisit, untuk operator  ada basis lingkungan dari tipe berikut: jumlah hingga vektor , fungsional kontinu , dan tetapan riil positif  diindeks oleh himpunan hingga . Operator  terletak di lingkungan jika dan hanya jika  untuk .

Sama halnya, jaring  dari operator ke  pada TOL jika untuk  dan , jaring  menyatu dengan .

Relasi dengan topologi lain di B(H) 

TOL adalah di antara semua topologi pada , operator terikat pada ruang Hilbert .

Topologi operator kekuatan 

Topologi operator kekuatan, atau SOT, di  adalah topologi konvergensi pointwise. Karena produk dalam adalah fungsi kontinu, TOK lebih kuat dari TOL. Contoh berikut menunjukkan bahwa penyertaan ini ketat. Maka  dan pertimbangkan urutan . Penerapan Cauchy-Schwarz menunjukkan bahwa  dalam TOL. Tapi yang jelas  tidak menyatu dengan  dalam TOK.

Fungsional linier pada himpunan operator yang dibatasi pada ruang Hilbert yang kontinu dalam topologi operator yang kuat adalah kontinu TOK (sebenarnya, TOL adalah topologi operator lemah semua fungsi linear kontinu pada himpunan  dari operator yang dibatasi pada ruang Hilbert H). Karena fakta ini, penutupan sebuah himpunan konveks dari operator di TOK sama dengan penutupan himpunan tersebut di TOL.

dari identitas polarisasi maka  dengan  pada TOL jika dan hanya jika  dalam TOK.

Topologi bintang operator lemah 

Predual dari B(H) adalah kelas jejak operator C1(H), dan itu menghasilkan topologi-w* pada B(H), disebut topologi operator bintang lemah atau topologi σ. Topologi operator-lemah dan σ pada himpunan berbatas norma pada B(H).

Jaring {Tα} ⊂ B(H) konvergen ke  T  pada TOL jika dan hanya Tr(TαF) konvergen ke Tr(TF) untuk semua operator peringkat terbatas  F . Karena setiap operator peringkat-hingga adalah kelas-jejak. Untuk melihat mengapa klaim itu benar, ingatlah bahwa setiap operator peringkat terbatas  F  adalah jumlah hingga

Jadi {Tα} konvergen ke  T  dalam arti TOL

Memperluas, dapat dikatakan bahwa topologi operator-lemah dan σ pada himpunan hingga norma dalam  B ( H ): Setiap operator kelas jejak adalah dalam bentuk

dimana deret . Maka  dan  terdapat pada TOL. Untuk setiap kelas jejak  S ,

dengan menggunakan, misalnya, teorema konvergensi dominasi.

Maka, himpunan yang dibatasi norma menjadi kompak dalam TOL, dengan Teorema Banach–Alaoglu.

Sifat lainnya 

Operasi adjoin  T  →  T* , sebagai konsekuensi langsung dari definisinya, adalah kontinu dalam TOL.

Perkalian tidak kontinu dalam TOL: maka  menjadi pergeseran sepihak. Jika Cauchy-Schwarz, salah satunya memiliki keduanya Tn dan T*n konvergen ke 0 dalam TOL. Maka T*nTn adalah operator identitas untuk semua . (Karena WOT bertepatan dengan topologi σ-weak pada himpunan terbatas, perkalian tidak terus menerus secara bersama-sama dalam topologi-σ.)

Namun, klaim yang lebih lemah dapat dibuat: perkalian secara terpisah terus menerus dalam TOL. Jika jaring Ti → T pada TOL, maka STi → ST dan TiS → TS dalam TOL.

 TOK dan TOL pada B(X,Y) ketika  X  dan  Y  adalah ruang bernorma 

Kita dapat memperluas definisi TOK dan TOL ke pengaturan yang lebih umum di mana  X  dan  Y '' adalah ruang bernorma dan  adalah ruang operator linear berbatas dari formulir . Dalam hal ini, pada  and  mendefinisikan sebuah seminorma  on  via the rule . Grup seminorma yang dihasilkan menghasilkan topologi operator lemah pada .  Sama halnya, TOL pada  dibentuk dengan mengambil lingkungan terbuka dasar himpunan formulir tersebut

dimana  adalah himpunan hingga,  juga merupakan himpunan hingga, dan . Ruang  adalah ruang vektor topologi konveks lokal bila diberkahi dengan TOL.

Topologi operator kuat pada  dihasilkan oleh grup seminorma  via the rules . Jadi, basis topologi untuk TOK diberikan oleh lingkungan terbuka dari formulir

dimana sebelumnya  adalah himpunan hingga, dan

Lihat pula 

 Topologi lemah
 Topologi operator bintang lemah
 Topologi pada himpunan operator di ruang Hilbert

Topologi ruang fungsi