Rangkap tiga Pythagoras

Sebuah rangkap tiga Pythagoras (atau umumnya disebut tripel Pythagoras) terdiri dari tiga bilangan bulat positif , , dan , sehingga . Seperti sebuah rangkap tiga biasanya ditulis , dan sebuah contoh yang terkenal adalah . Jika  adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka begitu juga dengan  untuk suatu bilangan bulat positif . Sebuah rangkap Pythagoras primitif adalah salah satu di mana , , dan  adalah koprima (yaitu, mereka tidak mempunyai pembagi persekutuan lebih besar dari ). Sebuah segitiga yang sisinya membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras disebut segitiga Pythagoras, dan selalu sebuah segitiga siku-siku.

Namanya diturunkan dari teorema Pythagoras, menyatakan bahwa setiap segitiga siku-siku memiliki panjang sisi yang memenuhi rumus ; demikian, rangkap tiga Pythagoras menggambarkan tiga panjang sisi bilangan bulat dari sebuah segitiga siku-siku. Namun, segitiga siku-siku dengan sisi tak bilangan bulat tidak membentuk rangkap tiga Pythagoras. Misalnya, segitiga dengan sisi  dan  merupakan sebuah segitiga siku-siku, tetapi  bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras karena  bukanlah sebuah bilangan bulat. Selain itu,  dan  tidak memiliki sebuah kelipatan persekutuan bilangan bulat karena  adalah irasional.

Rangkap tiga Pythagoras telah dikenal sejak waktu kuno. Catatan terlama yang dikenal dari Plimpton 322, sebuah loh tanah liat Babylonian dari sekitar 1800 SM, ditulis dalam sebuah sistem bilangan seksagesimal. Ini ditemukan oleh Edgar James Banks sesaat setelah tahun 1900, dan dijual ke George Arthur Plimpton pada tahun 1922, untuk $10.

Ketika menelusuri untuk penyelesaian bilangan bulat, persamaan  merupakan sebuah persamaan Diophantus. Demikian rangkap tiga Pythagoras adalah penyelesaian terlama yang diketahui mengenai sebuah persamaan Diophantus taklinear

Contoh-contoh 

Terdapat 16 rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 100:

Setiap titik-titik ini membentuk sebuah garis pemancar dalam plot pancar. Rangkap tiga Pythagoras kecil lainnya seperti  tidak terdaftar karena mereka bukanlah primitf, misalnya  merupakan kelipatan dari .

Ini sebagai tambahannya merupakan sisa rangkap tiga Pythagoras primitif sampai dengan 300:

Menghasilkan sebuah rangkap tiga 

Rumus Euclid merupakan sebuah rumus dasar untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras yang diberikan sebuah pasangan sembarang bilangan bulat  dan  dengan . Rumusnya menyatakan bahwa bilangan bulat

membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras. Rangkapya dihasilkan oleh rumus Euclid adalah primitif jika dan hanya jika  dan  adalah koprima dan keduanya bukan bilangan ganjil. Ketika keduanya  dan  adalah ganjil, maka , , dan  akan menjad genap, dan rangkap tiganya tidak akan menjadi primitif, namun, membagi , , dan  oleh 2 akan menghasilkan sebuah rangkap tiga primitf ketika  dan  adalah koprima dan keduanya ganjil.

Setiap rangkap tiga primitif muncul (setelah pertukaran  dan , jika  adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal bilangan koprima , , salah satunya yang genap. Ini mengikuti bahwa terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif banyak. Hubungan ini mengenai , , dan  dengan  dan  dari rumus Euclid direferensikan sepanjang sisa halaman ini.

Meski menghasilkan semua rangkap tiga primitif, rumus Euclid tidak menghasilkan semua rangkap tiga—contohnya,  tidak dapat dihasilkan menggunakan bilangan bulat  dan . Ini dapat diperbaiki dengan memasukkan sebuah parameter tambahan  ke rumusnya. Berikut ini akan menghasilkan semua rangkap tiga Pythagoras dengan tunggal:

dimana , , dan  adalah bilangan bulat positif dengan , dan dengan  dan  adalah koprima dan keduanya bukanlah ganjil.

Bahwa rumus-rumus ini menghasilkan rangkap tiga Pythagoras dapat diverifikasikan dengan memperluas  menggunakan aljabar elementer dan memverifikasikan bahwa hasilnya sama dengan . Karena setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dibagi melalui oleh suatu bilangan bulat  untuk memperoleh sebuah rangkap tiga primitif, setiap rangkap tiga dapat secara tunggal dengan menggunakan rumus dengan  dan  untuk menghasilkan pasangan primitifnya dan kemudian mengalikan melalui oleh  seperti dalam persamaan terakhirnya.

Memilih  dan  dari barisan bilangan tertentu memberikan hasil yang menarik. Contohnya, jika  dan  adalah bilangan Pell berturut-turut,  dan  akan berbeda oleh 1.

Banyak rumus-rumsu untuk menghasilkan rangkap tiga dengan sifat-sifat khusus telah dikembangkan sejak zaman Euclid.

Bukti rumus Euclid 
Kepuasannya mengenai rumus Euclid oleh , , dan  adalah cukup untuk segitiga menjadi Pythagoras rupanya dari fakta bahwa untuk bilangan bulat positif  dan , , , , dan  diberikan oleh rumus adalah bilangan positif semua, dan dari fakta bahwa

.

Sebuah bukti keperluannya bahwa , , dan  diungkapkan oleh rumus Euclid untuk suatu rangkap tiga Pythagoras priitif adalah sebagai berikut. Semua seperti rangkap tiga dapat ditulis sebagai  dimana  dan , , serta  adalah koprima. Demikian juga, , , dan  adalah koprima sepasangan (jika sebuah bilangan prima dibagi dua dari mereka, ini juga akan mendorong untuk membagi yang ketiganya). Karena  dan  adalah koprima, setidaknya salah satu darinya adalah ganjil, jadi kita dapat menganggap bahwa  adalah ganjil, dengan menukarkan, jika diperlukan  dan . Ini menyiratkan bahwa  adalah genap dan  adalah ganjil (jika  adalah ganjil,  akan menjadi genap, dan  akan menjadi sebuah kelipatan dari 4, sementara  akan menjadi kongruen dengan 2 modulo 4, sebagai sebuah bilangan kuadrat ganjil adalah kongruen dengan 1 modulo 4).

Dari , kita memperoleh  dan karena itu . Maka . Karena  adalah rasional, kita meletakkannya sama dengan  dalam jangka terendah. Demikian , menjadi timbal balik dari . Lalu menyelesaikan

untuk  dan  memberikan

Karena  tereduksi dengan penuh,  dan  adalah koprima, dan mereka tidak dapat menjadi genap. Jika mereka keduanya ganjil, pembilang dari  akan menjadi sebuah kelipatan dari 4 (karena sebuah bilangan kuadrat ganjil kongruen dengan 1 modulo 4), dan penyebutnya  tidak akan menjadi sebuah kelipatan dari 4. Karena 4 akan menjadi faktor genap minimum mungkin dalam pembilang dan 2 akan menjadi faktor genap maksimum mungkin dalam penyebut, ini akan menyiratkan  menjadi genap meskipun menentukannya sebagai ganjil. Demikian salah satu dari  dan  adalah ganjil dan lainnya adalah genap, dan pembilangnya dari dua pecahan dengan penyebut  adalah ganjil. Demikian pecahan-pecahan ini adalah tereduksi dengan penuh (sebuah bilangan prima ganjil membagi penyebut ini dibagi salah satu dari  dan  tetapi bukan yang lainnya; demikian ini tidak membagi ). Salah satunya dapat demikian menyamakan penyebut, memberikan rumus Euclid.

 dengan  dan  adalah koprima dan paritas yang berlawanan.

Sebuah bukti yang lebih panjang tapi lebih umum diberikan di Maor (2007) dan Sierpiński (2003). Bukti lain diberikan dalam , sebagai sebuah contoh mengenai sebuah metode umum yang berlaku dengan setiap persamaan Diophantus homogen derajat dua.

Interpretasi mengenai parameter dalam rumus Euclid 
Andaikan sisi segitiga Pythagoras memiliki panjang , , , dan menganggap sudutnya antara kaki dengan panjang  dan hipotenusa dengan panjang  dilambangkan sebagai . Maka  dan nilai trigonometrik sudut penuhnya adalah , dan , dan .

Sebuah varian 
Varian berikut mengenai rumus Euclid terkadang lebih cocok, karena menjadi lebih simetrik dalam  dan  (syarat paritas yang sama pada  dan )

Jika  dan  adalah dua bilangan bulat ganjil sehingga , maka

adalah tiga bilangan bulat membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, yang adalah primitif jika dan hanya jika  dan  adalah koprima. Sebaliknya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif muncul (setelah pertukaran  dan , jika  adalah genap) dari sebuah pasangan tunggal  mengenai bilangan bulat ganjil.

Sifat-sifat elementer rangkap tiga Pythagoras primitif

Sifat-sifat umum 
Sifat-sifat rangkap tiga Pythagoras primitif  dengan  (tanpa menentukan yang mana  atau  adalah genap daan yang mana ganjil) mencakup:

  selalu sebuah bilangan kuadrat sempurna. Karena ini hanya sebuah syarat yang perlu tapi bukan yang cukup, ini dapat digunakan dalam pemeriksaan jika sebuah rangkap tiga bilangan yang diberikan bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras ketika mereka gagal melakukan uji. Contohnya,  lolos ujinya bahwa  adalah sebuah bilangan kuadrat sempurna, tapi bukanlah sebuah rangkap tiga Pythagoras.
 Ketika sebuah rangkap tiga bilangan , , dan  membentuk sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka ( dikurangi kaki genap) dan satu setengah dari ( dikurangi kaki ganjil) adalah keduanya bilangan kuadrat sempurna; namun ini bukanlah sebuah syarat yang cukup, karena bilangan  lolos uji bilangan kuadrat sempurna tapi bukanlah sebuah rangkap tiga ketika .
 Sebanyak salah satu dari , , dan  adalah sebuah bilangan kuadrat.
 Luas segitiga Pythagoras tidak dapat menjadi bilangan kuadrat atau dua kali kuadrat bilangan asli.
 Tepat salah satu dari ,  adalah ganjil;  adalah ganjil.
 Tepat salah satu dari ,  habis dibagi oleh 3.
 Tepat salah satu dari ,  habis dibagi oleh 4.
 Tepat salah satu dari , ,  habis dibagi oleh 5.
 Bilangan terbesar yang selalu membagi  adalah 60.
 Suatu bilangan gajil dari bentuk , dimana  adalah sebuah bilangan bulat dan , dapat menjadi kaki ganjil rangkap tiga Pythagoras primitif. Lihat rangkap tiga Pythagoras primitif hampir samakaki di bagian bawah. Namun, hanya bilangan genap habis dibagi oleh 4 dapat menjadi kaki genap dari sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif. Ini dikarenakan rumus Euclid untuk kaki genap yang diberikan di atas adalah  dan salah satu dari  dan  harus genap.
 Hipotenusa  adalah jumlah dari dua bilangan kuadrat. Ini memerlukan semua faktor prima menjadi prima dari bentuk . Oleh karena itu  dari bentuk . Sebuah barisan bilangan hipotenusa mungkin untuk rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditemukan di 
 Luasnya () adalah sebuah bilangan kongruen habis dibagi 6.
 Dalam setiap rangkap tiga Pythagoras, jari-jari dari lingkaran dalam jari-jari dari tiga lingkaran singgung luar adalah bilangan asli. Secara spesifik, untuk sebuah rangkap tiga primitif, jari-jari dari lingkaran dalam adalah , dan jari-jari dari lingkaran singgung luar berlawanan dengan sisi , , dan hipotenusa  masing-masing , , dan .
 Adapun suatu segitiga siku-siku, kebalikan teorema Thales mengatakan bahwa diameter dar lingkaran luar sama dengan hipotenusa; karena itu untuk rangkap tiga primitif, diameter lingkaran luarnya adalah , dan jari-jari lingkaran luar adalah setengahnya ini dan demkan merupakan bilangan rasonal tapi bukan bilangan bulat (karena  dan  memiliki paritas yang berlawanan).
 Ketika luas segitiga Pythagoras dikalikan oleh kelengkungan lingkaran dalamnya dan 3 lingkaran singgung luar, hasilnya empat bilangan bulat positif , masing-masing. Bilangan bulat  memenuhi Persamaan Lingkaran Descartes. Dengan setaranya, jari-jari dari lingkaran Soddy luar mengenai suatu segtga siku-siku sama dengan semiperimeternya. Pusat Soddy luarnya terletak di , dimana  adalah sebuah persegi panjang,  adalah segitiga siku-siku dan  adalah hipotenusanya.
 Hanya dua sisi rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dengan secara bersamaan menjadi prmia karena oleh rumus Euclid untuk menghasilkan sebuah rangkap tiga Pythagoras, salah satu dari kakinya harus komposit dan genap. Namun, hanya satu sisi dapat menjad sebuah bilangan bulat pangkat sempurna  karena dua sisinya adalah bilangan bulat pangkat sempurna dengan eksponen  yang sama akan menentang fakra bahwa tidak ada penyelesaian bilangan bulat untuk persamaan Diophantus , dengan , , dan  menjadi koprima sepasangan.
 Tidak ada segitiga Pythagoras di mama hipotenusa dan satu kaki adalah kaki segitiga Pythagoras lainnya: ini adalah salah satu dari bentuk setara teorema segitiga siku-siku Fermat.
 Setiap segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah rasio luas, , untuk menguadratkan semiperimeter, , yaitu tunggal dengan sendirinya dan diberikan oleh

.

 Tidak ada segitiga Pythagoras primitif memiliki sebuah ketinggian bilangan bulat dari hipotenusanya, yaitu, setiap segtiga Pythagoras primitif adalah takteruraikan.
 Himpunan semua rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk sebuah pohon terner berakar dalam cara yang alam; lihat Pohon rangkap tiga Pythagoras primitif.
 Baik bukan dari sudut lancip segitiga Pythagoras dapat menjadi sebuah bilangan rasional atau derajat. (Ini diikuti dari teorema Niven)

Kasus khusus 
Sebagai tambahan, rangkap tiga Pythagoras khusus dengan sifat-sifat tertentu dapat dijamin untuk ada:

 Setap bilangan bulat lebih besar dari 2 tidak kongruen dengan  (dengan kata lain, setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 yang bukan dari bentuk ) merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras. (Jika bilangna bulat memiliki bentuk , salah satunya dapat mengambil  dan  dalam rumus Euclid, jika blangan bulatnya adalah , salah satunya dapat ambil  dan .)
 Setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 merupakan bagian rangkap tiga Pythagoras primtif atau takprimitif. Contohnya, bilangan bulat 6, 10, 14, dan 18 bukan bagian rangkap tiga primitif, tetapi merupakan bagian dari rangkap tiga takprimitif ,  dan .
 Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat satu. Seperti rangkap tiga adalah primitif perlu dan memiliki bentuk . Hasil ini dari rumus Euclid dengan berkomentar bahwa syaratnya menyiratkan bahwa rangkap tiganya adalah primitif dan harus membenarkan . Ini menyiratkan , dan demikian . Bentuk di atas dari hasil rangkap tiga mengenai substitusi  untuk  dalam rumus Euclid. 
 Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki terpanjang berbeda dengan tepat dua. Mereka semua primitif, dan diperoleh dengan meletakkan  dalam rumus Euclid. Lebih umumnya, untuk setiap bilangan bulat , terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif yang takterhingga banyaknya di mana hipotenusa dan kaki ganjil berbeda dengan . Mereka diperoleh dengan menaruh  dalam rumus Euclid. 
 Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya di mana dua kaki berbeda dengan tepat satu. Contohnya, , ini dihasilkan oleh rumus Euclid ketika  adalah konvergen dengan . 
 Untuk setiap bilangan asli , terdapat rangkap tiga Pythagoras  dengan hipotenusa yang berbeda dan luas yang sama. 
 Untuk setiap bilangan asli , terdapat rangkap tiga Pythagoras primitif  yang berbeda dengan kaki  yang sama, dimana  adalah suatu bilangan asli (Panjang dari kaki genap adalah , dan cukup untuk memilih  dengan banyak faktorisasi, contohnya , dimana  adalah sebuah darab bilangan prima ganjil  yang berbeda; ini menghasilkan setidaknya  rangkap tiga primitif yang berbeda). 
 Untuk setiap bilangan asli , terdapat setidaknya rangkap tiga Pythagoras  yang berbeda dengan hipotenusa yang sama. 
 Terdapat rangkap tiga Pythagoras yang takterhingga banyaknya dengan bilangan kuadrat untuk keduanya hipotenusa  dan jumlah dari kaki . Menurut Fermat, yang paling terkecil seperti rangkap tiga memiliki sisi , , . Disini  dan . Ini dihasilkan oleh rumus Euclid dengan nilai parameter  dan . 
 Terdapat segitiga Pythagoras takprimitif dengan ketinggian bilangan bulat dari hipotenusa. Seperti segitiga Pythagoras dikenal sebagai teruraikan karena mereka dapat dipisahkan sepanjang ketinggian ini menjadi dua pemisah dan segitiga Pythagoras lebih kecil.

Geometri mengenai rumus Euclid

Titik rasional pada sebuah lingkaran satuan 

Rumus Euclid untuk sebuah rangkap tiga Pythagoras

dapat dipahami dalam istilah dari geometri titik rasional pada satuan lingkaran .

Faktanya, sebuah titik dalam bidang Cartesius dengan koordinat  menjadi miliki lingkaran satuan jika . Titiknya adalah rasional jika  dan  adalah bilangan rasional, yaitu, jika terdapat bilangan bulat koprima , ,  sehingga

.

Dengan mengalikan kedua anggota , salah satunya dapat lihat bahwa titik rasional pada lingkaran adalah dalam berpadanan satu-ke-satu dengan rangkap tiga Pythagoras primitif.

Lingkaran satuan juga dapat didefinisikan oleh sebuah persamaan parametrik

.

Rumus Euclid untuk rangkap tiga Pythagoras berarti bahwa, kecuali untuk , sebuah titik pada lingkaran adalah rasional jika dan hanya jika nilainya berpadanan dari  adalah sebuah bilangan rasional.

Pendekatan stereografik 

Ini adalah sebuah padanan antara titik pada lingkaran satuan dengan koordinat rasional dan rangkap tiga Pythagoras primitif. Di poin ini, rumus Euclid dapat diturunkan baik oleh metode trigonometri maupun dengan setara menggunakan projeksi stereografik.

Untuk pendekatan stereografik, andaikan bahwa  adalah sebuah titik pada sumbu- dengan koordinat rasional

.

Maka, ini dapat ditunjukkan oleh aljabar dasar bahwa titik  memiliki koordinat

.

Ini menetapkan bahwa setiap titik rasional dari sumbu- berjalan lewat ke sebuah titik rasional dari lingkaran satuan. Sebaliknya, bahwa setiap titik rasional dari lingkaran satuan datang dari seperti sebuah titik dari sumbu-, mengikuti dengan menerapkan projeksi stereografik inversnya. Andaikan bahwa  merupakan sebuah titik dari lingkaran satuan dengan  dan  bilangan rasional. Mka titik  diperoleh dari projeksi stereografik pada sumbu- memiliki koordinat

yang merupakan rasional.

Dalam istilah geometri aljabar, varietas aljabar mengenai titik rasional pada lingkaran satuan adalah birasional ke garis afin atas bilangan rasional. Demikian lingkaran satuan disebut sebuah lengkung rasional, dan ini adalah fakta yang memungkinkan sebuah parameterisasi eksplisit dari titik (bilangan rasional) pada hal itu melalui fungsi rasional.

Segitiga Pythagoras dalam sebuah kekisi 2 dimensi 
Sebuah kekisi 2 dimensi merupakan sebuah larik beraturan mengenai titik terpencil dimana jika suatu satu titik dipilih sebagai titik asal Cartesius , maka semua titik lainnya ada di  dimana  dan  mengembara di semua bilangan bulat positif dan negatif. Suatu segitiga Pythagoras dengan rangkap tiga  dapat digambar dalam sebuah kekisi 2 dimensi dengan verteks di koordinat , , dan . Jumlah langkah titik kekisi terletak sempurna dalam batas dari segitiga diberikan oleh ; untuk rangkap tiga Pythagoras primitif, kekisi dalam ini adalah . Luasnya (oleh teorema Pick sama dengan satu lebih kecil dari jumlah langkah kekisi dalam ditambah setengah dari jumlah langkah kekisi batas) sama dengan .

Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythagoras primitif membagi luas yang sama terjadi dengan segitiga dengan sisi ,  dan luas umumnya adalah 210 . Kejadian pertama mengenai dua rangkap tiga Pythgoras primitif membagi jumlah langkah kekisi dalam yang sama terjadi dengan ,  dan jumlah kekisi dalam adalah 2287674594 . Tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi luas yang sama: , ,  dengan luas 13123110. Hingga kini, tidak ada himpunan tiga rangkap tiga Pythagoras primitif telah ditemukan membagi jumlah langkah kekisi dalam.

Enumerasi rangkap tiga Pythagoras primitif 
Oleh rumus Euclid, semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari bilangan bulat  dan  dengan ,  adalah ganjil dan . Karena itu terdapat sebuah 1 ke 1 pemetaan rasional (dalam suku terkecil) ke rangkap tiga Pythagoras primitid dimana  ada di dalam selang  dan  adalah ganjil.

Pemetaan terbalik dari sebuah rangkap tiga primitif  dimana  ke sebuah rasional  dicapai dengan mempelajari dua jumlah  dan . Salah satu dari jumlah ini akan menjadi sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan  dan lainnya akan menjadi dua kali sebuah bilangan kuadrat yang dapat disamakan dengan . Ini kemudian mungkin untuk menentukan rasional .

Dalam rangka untuk menghitung rangkap tiga Pythagoras primitif, rasionalnya dapat diungkapkan sebagai sebuah pasangan terurut  dan dipetakan ke sebuah bilangan bulat menggunakan sebuah fungsi pasangan Cantor. Sebuah contoh dapat dilihat pada . Ini dimulai

 dan memberikan rasional  ini, ternyata, menghasilkan rangkap tiga primitif

Spinor dan grup modular 
Rangkap tiga Pythagoras dapat juga disandikan menjadi sebuah matriks persegi dari bentuk

.

Sebuah matriks bentuk ini adalah simetrik. Lebih lanjut, determinan  adalah

yang adalah nol tepatnya ketika  adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. Jika  berpadanan dengan sebuah rangkap tiga Pythagoras, maka sebagai sebuah matriks harus memiliki peringkat 1.

Karena  adalah simetrik, ini mengikuti dari sebuah hasil dalam aljabar linear bahwa terdapat sebuah vektor kolom  sehingga darab luar

berlaku, dimana  melambangkan transpos matriks. Vektor  disebut sebuah spinor (untuk grup Lorentz ). Dalam istilah abstrak, rumus Euclidnya berarti bahwa setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat ditulis sebagai darab luar dengan sendirinya mengenai sebuah spinor dengan entri-entri bilangna bulat, seperti di ().

Grup modular  adalah himpunan matriks 2×2 dengan entri-entri bilangan bulat

dengan determinan sama dengan satu: . Himpunan ini membentuk sebuah grup, karena inversnya matriks dalam  adalah lagi di , karena merupakan darab dua matriks di . Grup modular bertindak pada kumpulan semua spinor bilangan bulat. Lebih lanjut, grupny transitif mengenai kumpulan spinor bilangan bulat dengan entri-entri relatif prima. Untuk jika  memiliki entri-entri relatif prima, maka

dimana  dan  dipilih (oleh algoritme Euclides) sehingga .

Dengan bertindak pada spinor  di (), tindakan  berjalan ke sebuah tindakan pada rangkap tiga Pythagoras, disediakan salah satunya memungkinkan untuk  rangkap tiga dengan komponen negatif mungkin. Demikian jika  adalah sebuah matriks di , maka

memunculkan untuk sebuah tindakan pada matriks  di (). Ini tidak memberikan sebuah tindakan didefinisikan dengan baik pada rangkap tiga primitif, karena ini dapat mengambil sebuah rangkap tiga primitif ke yang takprimitif. Ini cocok pada poin ini (tiap ) untuk menyebut sebuah rangkap tiga  standar jika  dan baik  adalah relatif prima maupun  adalah relatif prima dengan  adalah ganjil. Jika spinornya  memiliki entri-entri relatif prima, maka rangkap tiga iring  ditentukan oleh () adalah sebuah rangkap tiga standar. Ini mengikuti bahwa tindakan dari grup modular adalah transitif mengenai himpunan rangkap tiga standar.

Secara bergantian, perhatian larangan untuk nilai-nilai tersebut dari  dan  yang mana  adalah ganjil dan  adalah genap. Misalkan subgrup  dari  menjadi kernel dari kehomomorfan grup

dimana  adalah grup linear khusus atas medan hingga  dari bilangan bulat modulo 2. Maka  adalah grup transformasi unimodular yang mempertahankan paritas setiap entri. Demikian jika entri pertama  adalah ganjil dan entri kedua adalah genap, maka yang sama adalah benar dari  untuk semua . Faktanya, terhadap tindakan (), grup  bertindak secara transitif pada kumpulan rangkap tiga Pythagoras primitif .

Grup  merupakan grup bebas yang pembangkitnya adalah matriks

, .

Akibatnya, setiap rangkap tiga Pythagoras primitif dapat diperoleh dalam sebuah cara yang unik sebagai sebuah darab salinan dari matriks  dan .

Hubungan induk/anak 
Melalui sebuah hasil dari , semua rangkap tiga Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari segitiga  dengan menggunakan tiga transformasi linear , ,  di bawah, dimana  adalah sisi rangkap tiga:

Dengan kata lain, setiap rangkap tiga primitif akan menjadi sebuah "induk" untuk tiga tambahan rangkap tiga primitif. Mulai dari simpul awal dengan , , , operasi  menghasilkan rangkap tiga baru

dan dengan cara yang serupa  dan  menghasilkan rangkap tiga  dan .

Transformasi linear , , dan  memiliki sebuah interpretasi geometrik dalam bahasa bentuk kuadrat. Mereka terhubung erat dengan (tapi tidak sama dengan) cerminan menghasilkan grup ortogonal  atas bilangan bulat.

Hubungan dengan bilangan bulat Gauss 
Secara bergantian, rumus Euclid dapat dianalisis dan dibuktikan menggunakan bilangan bulat Gauss. Bilangan bulat Gauss merupakan bilangan kompleks dari bentuk , dimana  dan  adalah bilangan bulat biasa dan  adalah akar kuadrat dari negatif satu. Satuan bilangan bulat Gauss adalah  dan . Bilangan bulat biasa disebut bilangan bulat rasional dan dilambangkan sebagai . Bilangan bulat Gauss dilambangkan sebagai . Ruas sebelah kanan dari teorema Pythagoras dapat difaktorkan dalam bilangan bulat Gauss:

.

Sebuah rangkap tiga Pythagoras primitif adalah salah satu di mana  dan  adalah koprima, yaitu, mereka tidak membagi faktor bilangan prima dalam bilangan bulat. Untuk seperti sebuah rangkap tiga, baik  maupun  adalah genap, dan lainnya ganjil; dari ini, mengikuti bahwa  juga ganjil.

Dua faktor  dan  rangkap tiga Pythagoras setiap sama dengan kuadrat bilangan Gauss. Ini dapat dibuktikan menggunakan sifat bahwa setiap bilangan bulat Gauss dapat difaktorkan dengan unik menjadi bilangan prima Gauss sampai dengan satuan. (Faktorisasi tunggal ini diikuti dari dari fakta bahwa, bahasa kasarnya, sebuah versi dari algoritme Euclides dapat didefinisikan padanya.) Buktinya telah memiliki tiga langkah, Pertama, jika  dan  tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat, maka mereka juga tidak membagikan faktor prima dalam Gauss. (Asumsi  dan  dengan bilangan bulat Gauss , , dan  dan  bukanlah sebuah satuan. Maka  dan  terletka pada garis yang sama melalui asalnya. Semua bilangan bulat Gauss pada seperti sebuah garis adalah kelipatan bilangan bulat mengenai suatu bilangan bulat Gauss . Tapi kemudian bilangan bulat  membagi keduanya  dan .) Kedua, ini mengikuti bahwa  dan  juga tidak membagikan faktor prima dalam bilangan bulat Gauss. Untuk jika melakukannya, maka pembagi persekutuan  juga akan membagi  dan . Karena  dan  adalah koprima, yang menyiratkan bahwa  membagi . Dari rumus , yang ternyata akan menyiratkan bahwa  adalah genap. Ketiga, karena  adalah sebuah bilangan kuadrat, setiap bilangan prima Gauss dalam faktorisasinya adalah berganda, yaitu, muncul sebuah genap perkalian. Karena  dan  tidak membagikan faktor prima, pengandaan ini juga benar untuknya. Karena itu,  dan  adalah bilangan kuadrat.

Demikian, faktor pertamanya dapat ditulis

, .

Bagian real dan imajiner persamaan ini memberikan dua rumus:

Untuk suatu rangkap tiga Pythagoras primitif, pasti ada bilangan bulat  dan  sehingga kedua persamaannya memenuhi. Karena itu, setiap rangkap tiga Pythagoras dapat dihasilkan untuk suatu pemilihan bilangan bulat ini.

Sebagai bilangan bulat Gauss kuadrat sempurna 
Jika kita menganggap kuadratnya bilangan bulat Gauss, kita mendapatkan interpretasi langsung berikut mengenai rumus Euclid sebagai wakilan kuadrat sempurna bilangan Gauss.

.

Menggunakan fakta bahwa bilangan bulat Gauss adalah sebuah ranah Euclides dan bahwa untuk sebuah bilangan bulat Gauss ,  selalu sebuah bilangan kuadrat ini, ini mungkin untuk menunjukkan bahwa sebuah rangkap tiga Pythagoras berpadanan dengan kuadrat bilangan bulat Gauss prima jika hipotenusanya adalah prima.

Jika bilangan bulat Gausas bukanlah prima, maka darab dua bilangan bulat Gauss  dan  dengan bilangan bulat  dan . Karena besarannya dikalikan dalam bilangan bulat Gauss, darabnya harus , yang ketika dikuadratkan untuk mencari sebuah rangkap tiga Pythagoras harus komposit. Kontrapositifnya melengkapi pembuktiannya.

Relasi untuk elips dengan dimensi integral 

Dengan acuan ke gambar dan definisi dari fokus elips,  dan , untuk suatu titik  pada elips,  adalah tetapan.

Karena titik  dan  adalah keduanya elips, . Karena simetri, , dan . Karena itu, .

Demikian, jika  adalah sebuah segitiga sudut siku-siku dengan sisi integral, pemisahan dari fokus, eksentrisitas linear, sumbu pendek dan sumbu panjang juga bilangan bulat semua.

Sebaran rangkap tiga 

Terdapat sejumlah hasil mengenai sebaran rangkap tiga Pythagoras. Dalam plot pencar, sebuah bilangan mengenai pola yang jelas sudah nyata. Setiap kali  mengenai sebuah pola primitif muncul dalam plot, semua kelipatan bilangan bulat  juga muncul dalam plot, dan sifat ini menghasilkan penampakan garis yang memancar dari asalnya di diagram.

Dalam pencarnya, ada himpunan-himpunan pola parabolik dengan sebuah kerapatan tinggi titik-titik dan semua fokus pada asalnya, membuka dalam semua empat arah. Parabola yang berbeda memotong pada sumbu dan muncul untuk mencerminkan sumbu dengan sebuah sudut insidens 45 derajat, dengan sebuah parabola ketiga memasuki dalam sebuah mode tegak lurus. Dalam kuadran ini, setiap busur terpusat pada asalnya menunjukkan bahwa bagian dari parabola yang terletak di antara ujungnya dalam perpotongannya dengan rektum semi-latusnya.

Pola-pola ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika  adalah sebuah bilangan bulat, maka  adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras. (Faktanya setiap rangkap tiga Pythagoras  dapat ditulis dalam hal ini dengan bilangan bulat , kemungkinan setelah penukaran  dan  ditukar, dan kurva padanan dengan  dan . Jika  beragam untuk diberikan  (yaitu, pada sebuah parabola yang diberikan), nilai bilangan bulat  berlangsung relatif dengan sering jika  adalah sebuah bilangan kuadrat atau semua kelipatan kecil dari sebuah bilangan kuadrat. Jika beberapa di antara nilai-nilainya terjadi terletak berdekatan, parabola padanan hampir berimpit, dan kelompok rangkap tiganya dalam sebuah pita parabolik sempit. Contohnya , , ,  dan , pita parabolik padanan sekitar  jelas terlihat dalam plot pencar.

Sifat-sifat sudut digambarkan di atas mengikuti dengan seketika dari bentuk fungsional dari parabola. Parabolanya dicerminkan pada sumbu- pada , dan turunan  terhadap  pada titik ini adalah , karena itu sudut insidensnya adalah . Karena kelompok, seperti semua rangkap tiga, berulang pada kelipatan bilangan bulat, nilai  juga padanan dengan sebuah kelompok. Parabola padanan memotong sumbu- pada sudut siku-siku di , dan karena itu cerminannya setelah saling tukar mengenai  dan  memotong sumbu- pada sudut siku-siku pada , tepat ketika parabola untuk  dicerminkan pada sumbu-. (Yang sama tentu saja benar untuk  dan  saling tukar.)

Albert Fässler dan lainnya menyediakan wawasan ke dalam  arti penting mengenai parabola-parabola ini dalam konteks pemetaan konformal.

Kasus khusus dan persamaan yang berkaitan

Barisan Platonik 
Kasus  dari konstruksi rangkap tiga Pythagoras yang lebih umum untuk waktu yang lama. Proclus, dalam komentarnya untuk Proposisi ke-47 dari buku pertama Euclid's Elements, digambarkan sebagai berikut:Metode tertentu untuk penemuan segitiga mengenai jenis ini diturunlan, salah satunya yang mana mereka merujuk ke Plato, dan lainnya ke Pythagoras. (Yang terakhir) dimulai dari bilangan ganjil. Untuk membuatnya bilangan ganjil lebih kecil dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku, maka ini mengambil kuadratnya, mengurangi persatuan dan memuat setengah beda lebih besar dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; terakhir ini menambakan persatuan untuk ini dan demikian membentuk sisi-sisi yang tersisa.

...Untuk meotde Plato berdebat dari bilangan genap. Ini mengambil diberikan bilangan genap dan membuatnya salah satu dari sisi-sisi mengenai sudut siku-siku; maka, membagi dua bilangan ini dan menguadratkan bentuk hipotenusa, dan mengurangi persatuannya dari bilangna kuadat untuk membentuk sisi lainnya mengenai sudut siku-siku. ...Demikian ini membentuk segitiga yang sama yang diperoleh oleh metode lainnya.Dalam bentuk persamaan, ini menjadi:

 adalah ganjil (Pythagoras, sekitar 540 SM):

.

 adalah genap (Plato, sekitar 380 SM):

.

Ini dapat ditunjukkan bahwa semua rangkap tiga Pythagoras dapat diperoleh, dengan skala ulang yang sesuai, dari barisan Platonic dasar  dengan memungkinkan  untuk mengambil nilai rasional bukan bilangan bulat. Jika  digantikan dengan pecahan  dalam barisan, hasilnya sama dengan pembangkit rangkap tiga 'standar'  setelah skala ulang. Ini mengikuti bahwa setiap rangkap tiga memiliki sebuah rasional padanan nilai  yang dapat digunakan untuk menghasilkan sebuah segitiga sebangun (satu dengan tiga sudut yang sama dan dengan sisi-sisi dalam proposisi yang sama sebagai asalnya). Contohnya, setara Platonic  dihasilkan oleh  sebagai . Barisam Platonic sendiri dapat diturunkan dengan mengikuti langkah-langkah untuk "memisahkan kuadrat' digambarkan dalam Diophantus II. VIII.

Persamaan Jacobi–Madden 
Persamaan,

setara dengan rangkap tiga Pythagoras khusus

.

Ada sebuah jumlah penyelesaian yang takterhingga untuk persamaan ini karena meyelesaikan untuk peubahnya melibatkan sebuah kurva eliptik. Yang kecil adalah,

Jumlah sama dari dua jumlah bilangan kuadrat 
Salah satu untuk menghasilkan penyelesaian untuk  adalah untuk mengukur  dalam suku bilangan bulat  sebagai berikut:

Jumlah sama dari dua bilangan pangkat empat 
Diberikan dua himpunan rangkap tiga Pythagoras,

masalah mencari hasilkali yang sama mengenai sebuah sisi takhipotenusa dan hipotenusanya,

dengan mudah dilihat menjadi setara dengan persamaannya,

dan pertama kali dipecahkan oleh Euler sebagai . Karena beliau menunjukkan  ini adalah sebuah titik rasional dalam sebuah kurva eliptik, maka ada sebuah jumlah penyelesaian yang takhingga. Faktanya, dia juga menemukan sebuah parameterisasi polinomial derajat 7.

Teorema Lingkaran Descartes 
Untuk kasus teorema lingkaran Descartes dimana semua peubah adalah bilangan kuadrat,

Euler menunjukkan ini adalah setara dengan tiga rangkap tiga Pythagoras simultan,

Terdapat juga jumlah penyelesaian yang takterhingga, dan untuk kasus khusus dimana , maka persamaannya menyederhanakan ke,

dengan penyelesaian yang kecil sebagai  dan dapat dipecahkan sebagai bentuk kuadratik biner.

Rangkap tiga Pythagoras hampir sama kaki 
Tidak ada rangkap tiga Pythagoras adalah sama kaki, karena rasio dari hipotenusa untuk salah satu sisi lainnya adalah , tapi  tidak dapat diungkapkan sebagia rasio 2 bilangan bulat.

Itu adalah, nbnamun, segitiga bersudut siku-siku dengan sisi integral untuk yang panjangnya dari sisi takhipotenusa berbeda dengan satunya, seperti,

dan jumlah lainnya takterhingga. Mereka dapat diukur lengkap sebagai,

dimana  adalah penyelesaian untuk persamaan Pell 

Jika , ,  adalah sisi-sisi tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif, maka penyelesaian untuk persamaan Pell diberikan oleh rumus rekursif

 dengan  dan 

 dengan  dan 

 dengan  dan .

Barisan ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif membentuk batang pusat dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif.

Ketika ini sisi takhipotenusa yang panjang dan hipotenusa yang berbeda dengan satunya, seperti di

maka penyelesaian lengkap untuk rangkap tiga Pythagoras primitif , ,  adalah

, , 

dan

dimana bilangan bulat  adalah parameter pembangkit.

Ini menunjukkan bahwa semua bilangan ganjil (lebih dari 1) muncul dalam tipe ini mengenai rangkap tiga Pythagoras primitif hampir sama kaki. Barisan rangkap tiga Pythagoras ini membentuk batang luar sisi sebelah kanan dari pohon terner berakar mengenai rangkap tiga Pythgoras primitif.

Sifat tipe ini lainnya mengenai rangkap tiga Pythagoras primtiif hampir sama kaki adalah bahwa sisi-sisinya berkaitan sehingga

untuk suatu bilangan bulat . Atau dengan kata lain  habis dibagi oleh  seperti di

.

Bilangan Fibonacci dalam rangkap tiga Pythagoras 
Dimulai dengan 5, setiap bilangan Fibonacci adalah panjang dari hipotenus segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat, atau dengan kata lain, bilangan terbesar dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, diperoleh dari rumus

.

Barisan segitiga Pythagiras diperoleh dari rumus ini memiliki sisi panjang

Sisi tengah mengenai setiap segitiga ini adalah jumlah dari tiga sisi dari segitiga sebelumnya.

Perampatan 
Terdapat beberapa cara untuk merampat konsep rangkap tiga Pythagoras.

Rangkap-n Pythagoras 
Menggunakan identitas aljabar sederhana,

untuk sebarang , , ini mudah untuk membuktikan bahwa bilangan kuadrat dari jumlah kuadrat  adalah jumlah kuadrat   itu sendiri dengan memisalkan  dan kemudian mendistribusikan suku-suku. Salah satunya dapat lihat bagaimana rangkap tiga dan rangkap empat Pythagoras hanyalah kasus khusus  dan , masing-masing, dan seterusnya untuk  lain, dengan rangkap lima diberikan oleh

.

Karena jumlah  mengenai bilangan kuadrat berturutan  diawali dengan  diberikan oleh rumus,

salah satunya dapat mencari nilai  sehingga  adalah sebuah bilangan kuadrat, seperti saklah satunya oleh Hirschhorn dimana jumlah suku-suku adalah sebuah bilangan kuadrat itu sendiri,

, , 

dan  adalah suatu bilangan bulat tidak habs dibagi oleh 2 atau 3. Untuk kasus terkecil , karena , ini menghasilkan masalah pengepakan peluru meriam terkenal dari Lucas.

sebuah fakta yang terhubung dengan kekisi Leech.

Sebagai tambahan, jka dalam sebuah rangkap- Pythagoras (), semua penambahan adalah berturutan kecuali satu, satunya dapat menggunakan persamaannya,

Karena pangkat dua  membatalkan, ini hanya linear dan dengan mudah dipecahkan sebab ketika  meskipun ,  seharusnya dipilih sehingga  adalah sebuah bilangan bulat, dengan sebuah contoh kecil menjadi ,  menghasilkan,

Demikian, salah satu cara untuk menghasilkan rangkap- Pythagoras adalah dengan menggunakan, untuk berbagai ,

,

dimana  dan dimana

.

Rangkap empat Pythgoras 
Sebuah himpunan empat bilangan bulat positif , , , dan  sehingga  disebut rangkap empat Pythagoras. Contoh paling sederhananya adalah , karena . Contoh (primitif) paling sederhana berikutnya adalah  karena .

Semua rangkap empat diberikan oleh rumus

.

Teorema Terakhir Fermat 
Sebuah perampatan dari konsep rangkap tiga Pythagoras adalah penelusuran untuk rangkap tiga bilangan bulat positif  , , dan  , sehingga , untuk suatu  sempurna lebih besar dari 2. Pierre de Fermat pada tahun 1637 mengklaim bahwa seperti rangkap tiga itu tidak ada, sebuah klaim yang datang diketahui sebagai Teorema Terakhir Fermat karena ini mengambil lebih lama dari suatu konjektur lainnya oleh Fermat untuk dibuktikan atau dibantah. Bukti pertama diberikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1994.

Menjumlahkan bilangan pangkat ke- atau  untuk sebuah bilangan pangkat  
Perampatan lainnya adalah penelusuran untuk barisan bilangan bulat positif  untuk yang bilangan pangkat ke- terakhirnya adalah jumlah pangkat ke-  dari suku sebelumnya. Barisan terkecil untuk nilai  yang dikenal adalah:

 
 
 
 
 

Untuk kasus , di mana , disebut kubik Fermat, sebuah rumus umum ada memberikan semua penyelesaian.

Sebuah sedikit perampatan yang berbeda memungkinkan jumlah pangkat ke- menyamakan jumlah pangkat ke-. Contohnya:

 , dibuat terkenal oleh ingatan Hardy mengenai sebuah percakapan dengan Ramanujan tentang bilangan 1729 menjadi bilangan terkecil yang dapat diungkapkan sebagai sebuah jumlah dua kubik dalam dua cara yang berbeda.

Ini juga ada bilangan bulat positif  yang jumlah pangkat ke- (meskipun, oleh teorema terakhir Fermat, bukan untuk ); ini adalah contoh berlawanan dengan jumlah Euler mengenai konjektur pangkat. Contoh berlawanan terkecil yang dikenal adalah

Rangkap tiga segitiga Heron 
Sebuah segitiga Heron biasanya didefinisikan sebagai salah satunya dengan sisi bilangan bulat yang luasnya juga sebuah bilangan bulat, dan kita harus menganggap segitiga Heron dengan sisi bilangan bulat yang berbeda. Panjang dari sisi seperti sebuah segitiga membentuk sebuah rangkap tiga Heron  disediakan . Setiap rangkap tiga Pythagoras adalah sebuah rangkap tiga Heron, karena setidaknya salah satu dari kaki ,  harus menjadi genap dalam sebuah rangkap tiga Pythagoras, jadi luasnya  adalah sebuah bilangan bulat. Tidak setiap rangkap tiga Heorn adalah sebuah rangkap tiga Pythagoras, namun, sebagai contoh  dengan luas 24 yang ditunjukkan.

Jika  adalah sebuah rangkap tiga Heron, begitu juga  dimana  adalah suatu bilangan bulat positif; luasnya akan menjadi bilangan bulat yaitu  dikali luas bilangan bulat dari segitiga . Rangkap tiga Heron  adalah primitif disediakan , ,  adalah koprima sehimpunan. (Dengan rangkap tiga Pythagoras primitif, pernyataan yang lebih kuat yang mereka adalah koprima sepasangan juga menerapkan, tapi dengan segitiga Heron primitif, pernyataan yang lebih kuat tidak selalu berlaku benar, seperti dengan .) Disini ada beberapa rangkap tiga Heron primitif paling sederhana yang bukan rangkap tiga Pythagoras:

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

 dengan luas 

Oleh rumus Heron, syarat tambahan untuk sebuah rangkap tiga bilangan bulat  dengan  menjadi Heron adalah

atau dengan setara

menjadi bilangan kuadrat sempurna taknol habis dibagi 16.

Penerapan untuk kriptografi 
Rangkap tiga Pythagoras primitif telah digunakan dalam kriptografi sebagai barisan acak dan untuk generasi kunci.

Lihat pula 

 Aritmetika modular
 Batu bata Euler
 Bilangan prima Pythagoras
 Bilangan takhipotenusa
 Diophantus II. VIII
 Identitas trigonometrik
 Kongruum
 Masalah rangkap tiga Pythagoras Boole
 Plimpton 322
 Rangkap tiga Eisenstein
 Rangkap empat Pythagoras
 Rumus setengah sudut tangen
 Segitiga bilangan bulat
 Segitiga Heron
 Teorema 90 Hilbert

Catatan

Referensi 

 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 T

Pranala luar 

 Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
 Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
 Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
 
 Interactive Calculator for Pythagorean Triples
 The negative Pell equation and Pythagorean triples
 Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
 
 Pythagorean Triples and the Unit Circle, bab 2–3, di "A Friendly Introduction to Number Theory" oleh Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 
 Pythagorean Triples di cut-the-knot Interactive Applet menunjukkan hubungan lingkaran satuan dengan Rangkap Tiga Pythagoras
 Pythagorean Triplets
 The Remarkable Incircle of a Triangle
 Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
 Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
 The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples di cut-the-knot
 

Kuadrat dalam teori bilangan
Teorema Pythagoras
Persamaan Diophantus
Masalah aritmetika mengenai geometri bidang