Teorema akar rasional

Teorema akar rasional atau uji akar rasional atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

 ,

dimana . Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

 ,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi  (adalah bilangan rasional) harus membagi habis  dan .

Misalnya, diberikan persamaan . Pada kasus ini,  memiliki faktor  dan  memiliki faktor . Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah . Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai  agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh .

Bukti 
Misal  adalah akar rasional pada persamaan polinomial . Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa  dan , dimana . Substitusi nilai  sehingga kita memperoleh

 .

Kita akan membuktikan bahwa  membagi habis . Mula-mula, kita pindah-ruaskan .

 .

Bagi kedua ruas dengan  dan faktor-keluarkan  untuk ruas kiri. Kita memperoleh

 .

Disini, kita memperoleh bahwa  membagi habis . Sekarang, kita membuktikan  membagi habis . Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan  dan kalikan kedua ruas dengan .

 .

Disini, kita memperoleh bahwa  membagi habis .

Rujukan 

Algoritma mencari akar
Teorema tentang polinomial