Matriks diagonal

Dalam aljabar linear, matriks diagonal adalah matriks dengan elemen-elemen yang bukan diagonal utama bernilai nol. Matriks ini umumnya merujuk pada matriks persegi. Contoh matriks diagonal berukuran 2 x 2 adalah , sedangkan contoh matriks diagonal berukuran 3 x 3 adalah . Matriks identitas berukuran berapapun, maupun kelipatannya (matriks skalar), juga termasuk matriks identitas.

Determinan dari matriks diagonal adalah hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

Definisi 
Matriks diagonal adalah matriks dengan semua elemen-elemen yang bukan diagonal utamanya bernilai 0. Dengan demikian, matriks  dengan  kolom dan  baris dikatakan diagonal jika
.

Namun, tidak ada batasan nilai untuk elemen-elemen pada diagonal utamanya.

Istilah matriks diagonal terkadang juga merujuk ke matriks persegi panjang diagonal, yakni matriks berukuran  dengan setiap elemen yang bukan pada posisi  bernilai 0. Sebagai contoh:

 atau 

Namun lebih sering, istilah matriks diagonal merujuk pada matriks persegi, yang juga disebut dengan matriks persegi diagonal. Matriks persegi diagonal adalah matriks simetrik, sehingga matriks ini juga dapat disebut sebagai matriks simetrik diagonal. Matriks berikut adalah contoh matriks simetrik diagonal: 

Jika elemen matriks adalah bilangan real atau bilangan kompleks, matriks tersebut juga merupakan matriks normal.

Pada pembahasan selanjutnya, artikel ini hanya membahas tentang matriks persegi diagonal, dan merujuknya dengan istilah "matriks diagonal". Notasi yang umum digunakan untuk mewakili matriks diagonal  berukuran , dengan elemen sepanjang diagonal utama secara berurutan , disimbolkan dengan .

Sifat 
 Determinan dari matriks diagonal  adalah hasil kali setiap elemen diagonal utamanya, yakni .
 Adjugat dari matriks diagonal juga berupa matriks diagonal.
 Matriks persegi adalah matriks diagonal jika dan hanya jika:
matriks tersebut segitiga dan normal.
matriks tersebut matriks segitiga atas sekaligus matriks segitiga bawah.
 Matriks diagonal termasuk matriks simetrik.
 Matriks identitas  dan matriks nol bersifat diagonal.
 Matriks berukuran  selalu diagonal.

Matriks skalar 
Matriks diagonal dengan semua elemen diagonalnya bernilai sama disebut dengan matriks skalar; yakni, matriks kelipatan skalar  dari matriks identitas . Berikut adalah contoh matriks skalar ukuran 3×3

 
Efek perkalian matriks ini dengan suatu vektor sama dengan perkalian skalar vektor tersebut dengan λ.

Operasi vektor 
Mengalikan vektor dengan matriks diagonal akan menghasilkan vektor baru dengan setiap elemen adalah hasil perkalian elemen vektor dengan elemen diagonal yang bersesuaian. Secara lebih formal, untuk matriks diagonal  dan sebuah vektor , hasil perkalian keduanya adalah:

 

Hal ini dapat dinyatakan dengan lebih sederhana dengan menyatakan matriks diagonal sebagai vektor, , dan mengambil hasil kali Hadamard dari kedua vektor (hasil kali elemen-demi-elemen) yang dinyatakan sebagai :

 

Walau secara matematika setara, notasi ini tidak perlu menyimpan semua elemen-elemen bernilai nol dalam bentuk matriks rongga. Hasil kali ini digunakan dalam machine learning, contohnya untuk menghitung hasil kali dari turunan dalam backpropagation, atau mengalikan berat IDF dalam algoritma TF-IDF.

Operasi matriks 
Operasi penjumlahan dan perkalian matriks tidak sulit untuk matriks diagonal. Dengan menyatakan matriks diagonal ukuran  sebagai , penjumlahan matriks diagonal  dan  dapat dinyatakan sebagai

Sedangkan untuk perkalian matriks,

.

Matriks diagonal  dapat dibalik jika dan hanya jika semua elemen  bernilai tidak nol. Dalam keadaan tersebut,

Secara khusus, matriks diagonal membentuk sebuah subgelanggang dari himpunan semua matriks berukuran .

Aplikasi 
Matriks diagonal banyak muncul dalam berbagai area aljabar linear. Karena sifat operasi matriks dan nilai/vektor eigen yang sederhana, umumnya sebuah matriks atau peta linear dinyatakan dalam bentuk matriks diagonal. Faktanya, sebuah matriks  serupa dengan suatu matriks diagonal jika dan hanya jika matriks tersebut memiliki n vektor eigen yang saling bebas linear. Matriks seperti itu dikatakan dapat didiagonalkan.

Referensi 

Matriks