Simetri siklik dalam tiga dimensi

Dalam geometri tiga dimensi, empat deret tak hingga grup titik dalam tiga dimensi (n≥1) dengan lipatan-n simetri rotasi atau refleksi pada satu sumbu (dengan sudut 360°/n) yang tidak mengubah objek.

Ia adalah grup simetri hingga pada kerucut. Untuk n = ∞ sesuai dengan empat grup dekorasi. Schönflies digunakan. Istilah horizontal (h) dan vertikal (v) menyatakan keberadaan dan arah pemantulan terhadap sumbu simetri vertikal. Juga ditampilkan notasi Coxeter dalam tanda kurung, dan notasi orbifold dalam tanda kurung.

Jenis/Tipe 

Kiral
Cn, [n]+, (nn) of urutan n - lipatan-n simetri rotasi - grup akro-n-gonal (grup abstrak Zn); untuk n=1: bukan simetri (grup trivial)
AkiralCnh, [n+,2], (n*) urutan 2n - simetri prismatik atau grup orto-n-gonal (grup abstrak Zn × Dih1); untuk n=1 ini dilambangkan dengan Cs (1*) dan disebut juga sebagai simetri refleksi, dan simetri bilateral. Ia memiliki simetri refleksi berhubungan dengan bidang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi lipatan n.Cnv, [n], (*nn) urutan 2n - simetri piramida atau grup akro-n-gonal penuh (grup abstrak Dihn); dalam biologi C2v disebut juga sebagai  simetri biradial. Untuk n=1 memiliki Cs (1*). Ini memiliki bidang cermin vertikal. Ini adalah grup simetri untuk sisi-n piramida beraturan.S2n, [2+,2n+], (n×) urutan 2n - grup giro-n-gonal (jangan disamakan dengan grup simetris, yang notasinya sama digunakan; grup abstrak Z2n); Ini memiliki sumbu lipatan-2n rotorefleksi, juga disebut sumbu rotasi tak wajar lipatan-2n, yaitu grup simetri berisi kombinasi pantulan pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/n. Jadi, Dnd berisi sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.
 for n=1 memiliki S2 (1×), juga dilambangkan dengan Ci; ini adalah simetri inversi.

C2h, [2,2+] (2*) dan C2v, [2], (*22) urutan 4 adalah dua dari tiga jenis grup simetri 3D dengan Grup empat Klein sebagai grup abstrak. Berlaku untuk C2v, misalnya untuk ubin persegi panjang dengan sisi atas berbeda dari sisi bawahnya.

Grup dekorasi 
Dalam batasan keempat grup ini mewakili bidang Euclidean grup dekorasi sebagai C∞, C∞h, C∞v, dan S∞. Rotasi menjadi translasi dalam batas. Bagian dari bidang tak hingga juga dapat dipotong dan dihubungkan menjadi silinder tak hingga.

Contoh

{| class=wikitable width=400
!S2/Ci (1x):!colspan=2|C4v (*44):
!C5v (*55):|-
|Paralelipiped
|Piramida persegi
|Piramida persegi panjang
|Piramida segilima
|}

 Lihat pula 
 Simetri dihedral dalam tiga dimensi

 Referensi 

 On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith 
 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, 
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,  
 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018)  Chapter 11: Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

Simetri