Titik tetap (matematika)

Dalam matematika, titik tetap (juga dikenal sebagai titik invarian) adalah nilai yang tetap sama setelah suatu transformasi diperlakukan atas titik itu. Lebih tepatnya, titik tetap dari fungsi yang didefinisikan dari suatu himpunan ke dirinya sendiri adalah titik (anggota) pada himpunan tersebut yang dipetakan ke dirinya sendiri,.

Sebagai contoh, pada bidang, transformasi pencerminan memiliki titik tetap yaitu titik-titik sepanjang sumbu pencerminannya; perputaran memiliki titik tetap pada sumbu perputarannnya, pergeseran tidak memiliki titik tetap. Lagi, fungsi kebalikan  punya dua titik tetap, yakni  dan .

Titik tetap suatu fungsi 

Secara formal, misalkan  suatu fungsi yang daerah asalnya adalah suatu himpunan , atau himpunan bagian dari , dan daerah sekawannya adalah  juga. Titik tetap fungsi  adalah suatu titik (anggota) pada himpunan  yang dipetakan ke dirinya sendiri, yakni  sedemikian sehingga . 

Sebagai contoh, jika  terdefinisi pada bilangan riil dengan
maka 2 adalah titik tetap dari , karena .

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua fungsi punya titik tetap: misalnya, , tidak memiliki titik tetap, sebab  tidak akan pernah sama dengan  untuk setiap bilangan riil. 

Secara grafik, jika  suatu titik tetap fungsi  maka titik  berada pada garis , atau dengan kata lain, grafik fungsi  berpotongan dengan garis  di titik .

Iterasi titik tetap 

Iterasi (lelaran) titik tetap adalah salah satu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu fungsi, dengan jalan mencari titik tetap fungsi tersebut. Metode ini disandarkan pada prinsip pemetaan kontraksi. Gagasannya, diberikan suatu fungsi  dengan domain dan kodomain yang sama, beserta titik  pada domain , maka iterasi titik tetapnya ialah

yang menghasilkan barisan  dari penerapan fungsi teriterasi  yang diharapkan akan konvergen ke suatu titik . Apabila  kontinu, maka dapat dibuktikan kalau nilai  yang telah diperoleh adalah titik tetap dari .

Titik-titik yang kembali ke nilai yang sama setelah suatu iterasi berhingga dari suatu fungsi disebut titik periodik. Titik tetap adalah titik periodik dengan periode sama dengan satu.

Titik tetap dari suatu tindakan grup 

 diberikan grup G yang bertindak himpunan X dengan tindakan grup  dari kiri. Elemen x di X disebut sebagai titik tetap dari g jika .

 Misalkan f adalah suatu automorfisme dari grup G. Maka, himpunan  yang didefinisikan sebagai

 merupakan subgrup dari G, yang biasa dikenal sebagai Subgrup titik tetap

 Misalkan f adalah suatu automorfisme dari gelanggang R. Maka, himpunan  yang didefinisikan sebagai

 merupakan subgelanggang dari R, yang biasa dikenal sebagai Subgelanggang titik tetap

 Dalam teori Galois, himpunan titik-titik tetap dari himpunan automorfisme lapangan adalah lapangan yang disebut medan tetap dari himpunan automorfisme.

Teorema titik tetap 

Teorema titik tetap adalah hasil yang menyatakan bahwa setidaknya terdapat satu titik tetap, dalam suatu kondisi tertentu. Beberapa penulis mengklaim bahwa hasil semacam ini adalah salah satu yang secara umum paling berguna dalam matematika.

Penerapan 

Dalam banyak bidang, konsep Ekuilibrium atau stabilitas adalah konsep dasar yang bisa dijelaskan dengan konsep titik tetap. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut.

 dalam geometri proyektif, titik tetap suatu homografi disebut sebagai titik ganda ().
 Dalam ilmu ekonomi, kesetimbangan Nash dari teori permainan adalah titik tetap dari korespondensi tanggapan terbaik permainan tersebut. John Nash mengeksploitasi teorema titik tetap Kakutani dalam seminal paper miliknya, yang membuatnya memenangkan hadiah nobel di bidang ekonomi.
 Kompilator bahasa pemrograman menggunakan perhitungan titik tetap untuk analisis program, misalnya dalam analisis aliran data, yang terkadang diperlukan untuk optimalisasi kode. Titik tetap juga merupakan konsep inti yang digunakan oleh program umum dalam metode analisis penafsiran abstrak.
 Vektor dari nilai-nilai PageRank dari semua laman web adalah titik tetap dari transformasi linier yang diperoleh dari struktur pranala Waring Wera Wanua.
 Distribusi Stasioner suatu rantai Markov adalah titik tetap dari fungsi peluang transisi satu langkah.
 Logikawan Saul Kripke menggunakan titik tetap dalam teori tentang kebenaran miliknya. Dia menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuat predikat yang hanya benar sebagian (predikat yang tidak terdefinisi nilai kebenarannya, untuk tipe kalimat yang bermasalah, seperti "Kalimat ini tidaklah benar"), dengan mendefinisikan "kebenaran" secara rekursif, starting from the segment of a language that contains no occurrences of the word, and continuing until the process ceases to yield any newly well-defined sentences (proses ini memakan terhitung tak-berhingga langkah). That is, for a language B, misalkan B′ (dibaca "B-aksen") adalah language generated by adding to L, for each sentence S in B, the sentence "S is true." Titik tetap akan tercapai apabila B′ itu B; pada titik ini, kalimat seperti "Kalimat ini tidaklah benar" tetap tidak terdefinisi, sehingga, menurut Kripke, the theory is suitable for a natural language that contains its own truth predicate.

Lihat juga 

Siklus dan titik tetap suatu permutasi
Vektor eigen
Ekuilibrium
Titik tetap pada transformasi Möbius
Idempoten
komposisi tak hingga dari fungsi analitik
Invarian (matematika)

Catatan

Pranala luar 
 Solusi Elegan untuk Menggambar Titik Tetap (dalam bahasa inggris)

 
Game theory