Produk (teori kategori)

Dalam teori kategori, produk dari dua (atau lebih) objek dalam kategori adalah gagasan yang dirancang untuk esensi di balik konstruksi di bidang matematika lain seperti produk himpunan Kartesius, produk langsung dari grup atau gelanggang, dan produk dari ruang topologi. Pada dasarnya, produk dari suatu keluarga objek adalah objek "paling umum" untuk morfisme untuk setiap objek yang diberikan.

Definisi

Produk dari dua objek 
Memperbaiki kategori . Misalkan  dan  menjadi objek . Hasil perkalian dari  dan  adalah objek , dilambangkan dengan , sepasang morfisme ,  menggunakan sifat universal berikut:

 Untuk setiap objek  dan setiap sepasang morphisms   terdapat unik morphism  sehingga diagram berikut komutatif:

Keberadaan produk tergantung pada  atau  dan  . Jika tidak ada, untuk isomorfisma kanonik, karena sifat universal, jadi satu adalah tentang produk.

Morfisme  dan  disebut proyeksi kanonik atau morfisme proyeksi. Dengan  dan   morfisme  disebut produk dari morfisme  dan  dilambangkan .

Produk dari keluarga arbitasi 
Dua objek, dengan kumpulan objek arbitasi yang diindeks oleh himpunan .

Dengan keluarga objek , produk dari keluarga merupakan objek  dengan morfisme  dengan sifat universal berikut:

 Untuk setiap objek  dan setiap keluarga morfisme indeks-  , terdapat morfisme unik  sehingga diagram berikut komutatif untuk semua  di :

Produk dilambangkan sebagai  . Jika  = {1, ...,  }, maka dilambangkan     dan produk dari morfisme dilambangkan .

Definisi persamaan 
Atau, produk didefinisikan melalui persamaan. Jadi, misalnya, untuk produk biner:

 Keberadaan  dijamin dengan adanya operasi  .
 Komutatifitas diagram di atas dijamin oleh persamaan  =  .
 Keunikan  dijamin oleh persamaan  =

Sebagai limit 
Produk adalah kasus khusus dengan limit. Dilihat dengan menggunakan kategori diskrit (keluarga objek tanpa morfisme, selain morfisme identitas) sebagai diagram diperlukan untuk definisi limit. Objek diskrit berfungsi sebagai indeks komponen dan proyeksi. Jika kita menganggap diagram ini sebagai funktor, funktor dari himpunan indeks  anggap sebagai kategori terpisah. Definisi produk kemudian bertepatan dengan definisi batas,  adalah kerucut dan proyeksi menjadi batas (kerucut limit).

Sifat universal 
Sebagaimana limit adalah kasus khusus dari konstruksi universal, begitu pula produknya. Dimulai dengan definisi yang diberikan untuk sifat universal dari limit, ambillah  sebagai kategori diskrit dengan dua objek, sehingga  adalah produk kategori  Fungsi diagonal  denganpasangan berurutan  ke setiap objek  dan morfisme  pasangan  . Produk  dalam  diberikan oleh morfisme universal dari functor  ke objek  dalam  Morfisme universal ini terdiri dari objek  dari  dan morfisme  yang berisi proyeksi.

Contoh 
Dalam kategori himpunan, produk (dalam pengertian teoretis kategori) adalah produk Kartesius. Diberikan keluarga himpunan  produk didefinisikan sebagai

  := {  |  }

dengan proyeksi kanonik

  := .

Diberikan setiap himpunan Y dengan keluarga fungsi , panah universal  didefinisikan oleh  : = 

Contoh lain:

 Dalam kategori ruang topologi, hasil kali adalah ruang yang himpunan dasarnya adalah perkalian Kartesius dan yang mengusung topologi produk . Topologi produk adalah topologi korhimpunan dari semua proyeksi kontinu .
 Dalam kategori modul beberapa gelanggang R, produknya adalah hasil kali Kartesius dengan penambahan komponen yang ditentukan dan perkalian distributif yang ditentukan.
 Dalam kategori grup, produk adalah produk langsung dari grup diberikan oleh produk Kartesius dengan perkalian yang ditentukan berdasarkan komponen.
 Dalam kategori grafik, hasil kali adalah produk tensor grafik.
 Dalam kategori relasi, produk diberikan oleh satuan disjoin. (Kemungkinan sedikit mengejutkan karena kategori himpunan adalah subkategori dari kategori relasi.)
 Dalam kategori varietas aljabar, produk diberikan oleh embedding Segre.
 Dalam kategori monoid semi-abelian, produk diberikan oleh sejarah monoid.
 Himpunan berurutan sebagian dapat diperlakukan sebagai kategori, menggunakan relasi urutan sebagai morfisme. Dalam hal ini produk dan koproduk berhubungan dengan batas bawah terbesar (pertemuan) dan batas atas terkecil (gabungan).

Diskusi 
Contoh dimana produk tidak ada: Dalam kategori bidang, produk  ×  tidak ada, karena tidak ada bidang dengan homomorfisme untuk  dan .

Contoh lain: Produk kosong (misal  adalah himpunan kosong) sama dengan objek terminal, dan beberapa kategori, seperti kategori grup tak hingga, tidak memiliki objek terminal: mengingat grup  tak hingga ada banyak morfisme , jadi  tidak bisa menjadi terminal.

Jika  adalah himpunan sehingga semua produk untuk keluarga indeks dengan , maka dapat memperlakukan setiap produk sebagai funktor   Bagaimana fungsi ini memetakan objek sudah jelas. Pemetaan morfisme tidak kentara, karena produk morfisme yang didefinisikan di atas tidak sesuai. Pertama, pertimbangkan fungsi produk biner, yang merupakan bifunktor. Untuk  maka mencari morfisme  . Dengan memilih . Operasi morfisme ini disebut produk morfisme kartesian. Kedua, pertimbangkan fungsi produk umum. Untuk keluarga  kita harus menemukan morfisme  . Kami memilih produk dari morfisme  .

Kategori dimana setiap himpunan objek hingga memiliki produk kadang-kadang disebut kategori kartesian (meskipun beberapa penulis menggunakan frasa ini untuk berarti "kategori dengan semua batas terbatas").

Produk bersifat asosiatif. Misalkan  adalah kategori kartesian, fungsi produk telah dipilih seperti di atas, dan  menunjukkan objek terminal  Kami kemudian memiliki isomorfisme alami.

 
 
 

Sifat ini secara formal dengan sifat monoid komutatif; kategori kartesius dengan produk hingga adalah contoh kategori monoidal simetris.

Distributivitas 
Untuk setiap objek X, Y, dan Z dari kategori dengan produk hingga dan produk bersama, terdapat morfisme kanonik , dimana tanda tambah di sini menunjukkan koproduk. Untuk melihat ini, perhatikan bahwa sifat universal dari produk bersama  keberadaan panah diagram berikut (panah induksi):

Sifat universal dari produk  kemudian menjamin morfisme  disebabkan oleh panah pada diagram di atas. Kategori distributif adalah kategori di mana morfisme ini sebenarnya adalah isomorfisme. Jadi dalam kategori distributif isomorfisme kanonik

Lihat pula 

 Koproduk - dual produk
 Funktor diagonal - ujung kiri dari fungsi produk.
 Limit dan kolimit
 Equalizer
 Limit invers
 Kategori tertutup Kartesius
 Pengembalian kategori

Referensi 

 
  Chapter 5.
 
 Definition 2.1.1 in Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50–51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. p. 39. ISBN 0-521-44178-1.

Pranala luar 
Interactive Web page  yang menghasilkan contoh produk dalam kategori himpunan hingga. Ditulis oleh Jocelyn Paine.

Limit (teori kategori)