Uji turunan

Dalam kalkulus, uji turunan menggunakan turunan dari fungsi untuk menemukan titik-titik kritis fungsi dan menentukan apakah setiap titik tersebut adalah titik maksimum lokal,  titik minimum lokal, atau titik pelana. Uji turunan juga dapat memberikan informasi mengenai kecekungan fungsi.

Kegunaan turunan untuk menemukan titik-titik kritis dibuktikan secara matematis oleh teorema Fermat titik stasioner.

Uji turunan pertama 
Uji turunan pertama menguji sifat-sifat kemonotonan dari fungsi (apakah fungsi menaik atau menurun), dengan berfokus pada suatu titik tertentu dalam domain fungsi tersebut. Jika nilai fungsi "berganti" dari menaik menjadi menurun pada titik tertentu, maka fungsi mencapai suatu nilai tertinggi pada titik itu. Dengan cara yang serupa, jika nilai fungsi "berganti" dari menurun ke menaik pada titik tersebut, maka fungsi mencapai sebuah nilai terendah pada titik itu. Jika nilai fungsi tidak pernah "berganti", selalu menaik atau menurun, maka tidak ada nilai tertinggi atau terendah yang dicapai oleh fungsi.

Seseorang dapat menentukan kemonotonan sebuah fungsi tanpa menggunakan kalkulus. Namun, kalkulus biasanya berguna karena terdapat syarat cukup yang menjamin sifat-sifat kemonotonan di atas, dan syarat-syarat ini berlaku untuk sebagian besar fungsi yang umum ditemui.

Pernyataan yang formal tentang sifat-sifat kemonotonan 
Dinyatakan secara formal, misalkan  adalah fungsi kontinu bernilai real dari sebuah variabel real, dan terdefinisi pada beberapa selang terbuka yang mengandung titik .

 Jika terdapat sebuah bilangan positif  sehingga  menaik dengan lemah pada  dan menurun dengan lemah pada , maka  memiliki sebuah maksimum lokal di . Pernyataan ini juga bekerja sebaliknya: jika  adalah sebuah maksimum lokal, maka  menaik dengan lemah pada  dan menurun dengan lemah pada .
 Jika terdapat sebuah bilangan positif  sehingga  menaik dengan tegas pada  dan juga menaik dengan tegas pada , maka  menaik dengan tegas pada  dan tidak mempunyai sebuah maksimum atau minimum lokal di .

Pernyataan ini merupakan sebuah konsekuensi langsung dari cara ekstrem lokal didefinisikan. Yakni, jika  adalah sebuah titik maksimum lokal, maka terdapat  sehingga  untuk nilai  pada selang , yang mengartikan bahwa  harus menaik dari  ke  dan harus menurun dari  ke , karena  kontinu.

Perhatikan untuk dua kasus yang pertama,  tidak diperlukan menaik atau menurun dengan tegas di sekitar nilai , sedangkan untuk dua kasus terakhir,  diperlukan menaik atau menurun dengan tegas. Alasannya terletak pada definisi maksimum dan minimum lokal, yang tidak memerlukan pertidaksamaan yang tegas: misalnya setiap nilai pada fungsi konstanta dianggap sebuah maksimum lokal sekaligus minimum lokal.

Pernyataan yang formal untuk uji turunan pertama 
Uji turunan pertama bergantung pada "uji menaik–menurun", yang pada akhirnya merupakan sebuah konsekuensi dari teorema nilai purata. Ini adalah sebuah konsekuensi langsung dari cara turunan didefinisikan dan hubungannya untuk menurunkan dan menaikkan sebuah fungsi secara lokal, digabungkan dengan bagian sebelumnya.

Misalkan  adalah sebuah fungsi bernilai real dari sebuah variabel real dan didefinisikan pada beberapa interval yang berisi titik kritis . Selanjutnya misalkan  kontinu pada  dan dapat didiferensialkan pada beberapa selang terbuka yang berisi , kecuali mungkin pada titik  sendiri.

 Jika terdapat sebuah bilangan positif , sehingga untuk setiap  di  kita memiliki , dan untuk setiap  di  kita memiliki , maka  mempunyai sebuah maksimum lokal di .
 Jika terdapat sebuah bilangan positif , sehingga untuk setiap  di  kita memiliki , maka  menaik dengan tegas di  dan tidak mempunyai sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal di interval ini.
 Jika tidak ada syarat di atas yang dipenuhi, maka uji turunan pertama gagal (hal ini mungkin terjadi, karena terdapat fungsi yang tidak memenuhi dari tiga kondisi pertama, yaitu ).

Lagi, sesuai dengan ulasan di bagian sifat-sifat kemonotonan, perhatikan bahwa dua kasus pertama, pertidaksamaan tidak diperlukan tegas, sedangkan dalam dua kasus selanjutnya, pertidaksamaan yang tegas dibutuhkan.

Aplikasi 
Uji turunan pertama berguna dalam penyelesaian masalah optimisasi dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Disertai dengan penggunaan teorema nilai ekstrem, uji ini dapat digunakan untuk mencari maksimum atau minimum mutlak dari fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu interval yang terbuka dan terbatas. Terlebih lagi, dengan disertai informasi lainnya seperti kecekungan, titik belok, dan asimtotik, uji ini dapat digunakan untuk menggambar grafik dari fungsi.

Uji turunan kedua (variabel tunggal) 
Setelah menemukan titik-titik kritis dari fungsi, uji turunan kedua menggunakan nilai dari turunan kedua pada titik-titik itu untuk menentukan apakah titik tersebut adalah sebuah maksimum lokal atau sebuah minimum lokal. Jika fungsi  dapat diturunkan dua kali pada suatu titik kritis  (yaitu, sebuah titik dengan ), maka:

 Jika , maka  memiliki sebuah maksimum lokal pada .
 Jika , maka  mempunyai sebuah minimum lokal pada .
 Jika , maka hasil uji ini tidak meyakinkan.

Untuk kasus terakhir, teorema Taylor dapat digunakan untuk menentukan perilaku  di sekitar nilai  dengan menggunakan turunan tingkat tinggi.

Bukti dari uji turunan kedua 
Misalkan kita mempunyai  (bukti untuk  analog). Dengan asumsi, . Maka

Dengan demikian, untuk  yang cukup kecil kita mendapatkan

,

yang mengartikan  jika  (secara intuitif,  menurun karena mendekati  dari kiri), dan bahwa  jika  (secara intuitif,  menurun karena mendekati  dari kanan). Sekarang, dengan uji turunan pertama,  mempunyai sebuah maksimum lokal di .

Uji kecekungan 
Sebuah penggunaan turunan kedua yang terkait namun berbeda adalah untuk menentukan apakah fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah di sebuah titik. Namun uji ini tidak menyediakan informasi mengenai titik belok. Khususnya, sebuah fungsi  yang diturunkan dua kali cekung ke atas jika  dan cekung ke bawah jika . Perhatikan bahwa jika , maka  memiliki nol turunan kedua, namun bukan sebuah titik belok, jadi turunan kedua sendiri tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan apakah sebuah titik yang diberikan merupakan sebuah titik belok.

Uji turunan tingkat tinggi 
Uji turunan tingkat tinggi atau uji turunan umum dapat menentukan apakah sebuah titik kritis fungsi adalah maksimum, minimum, atau titik belok untuk variasi fungsi yang lebih banyak daripada uji turunan orde-kedua. Seperti yang ditunjukkan di bawah, uji turunan kedua secara matematis identik ke kasus khusus untuk  dalam uji turunan tingkat tinggi.

Misalkan  sebagai fungsi bernilai real, dan dapat diturunkan secukupnya pada suatu interval . Misalkan pula , dan  sebagai sebuah bilangan asli. Juga misalkan semua turunan (termasuk turunan ke-) dari  di  bernilai nol, sedangkan turunan ke-() bernilai tak nol.

 dan .

Terdapat empat kemungkinan, dua kasus pertama mengartikan  adalah sebuah titik ekstrem, sedangkan dua kasus selanjutnya mengartikn  adalah sebuah titik pelana (lokal):

 Jika  ganjil dan , maka  adalah sebuah maksimum lokal
 Jika  ganjil dan , maka  adalah sebuah minimum lokal
 Jika   genap dan , maka  adalah sebuah titik belok yang menurun sempurna.
 Jika  genap dan , maka  adalah sebuah titik belok yang menaik sempuna.

Karena  harus berupa ganjil atau genap, uji analitik ini akan mengelompokkan semua titik stasioner ; selama turunan pada akhirnya bernilai tidak sama dengan nol.

Contoh 
Katakan, kita akan mengerjakan uji turunan umum pada fungsi  pada titik . Untuk melakukan ini, kita menghitung turunan dari fungsi dan kemudian mengevaluasinya pada titik-titik yang diinginkan hingga memiliki nilai bukan nol.

Seperti yang ditunjukkan di atas, pada titik , fungsi  memiliki semua turunan di titik 0 bernilai sama dengan 0, kecuali untuk turunan ke-6, yang hasilnya positif. Dengan demikian, , dan oleh uji tersebut, fungsi  memiliki sebuah minimum lokal di 0.

Kasus multivariabel 
Untuk sebuah fungsi yang lebih dari satu variabel, uji turunan kedua diperumum menjadi sebuah uji berdasarkan nilai-nilai eigen dari matriks Hesse fungsi pada titik kritis. Khususnya, mengasumsikan bahwa semua turunan parsial orde-kedua  kontinu pada sebuah lingkungan titik kritis , dan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di  semuanya bernilai positif, maka  adalah sebuah minimum lokal. Sedangkan jika nilai-nilai eigen dari Hesse di  semuanya bernilai negatif, maka  adalah sebuah maksimum lokal. Namun jika beberapa nilai eigen bernilai positif dan beberapa bernilai negatif, maka titik tersebut adalah sebuah titik pelana. Pada kasus matriks Hesse merupakan matriks singular, maka uji turunan kedua tidak meyakinkan.

Lihat pula

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 
 "Tes Turunan Kedua" di Mathworld
 Konkavitas dan Tes Turunan Kedua
 Thomas Penggunaan Tes Turunan Kedua oleh Simpson untuk Menemukan Maxima dan Minima pada Konvergensi

Kalkulus diferensial