Teorema apit

Teorema apit dalam bidang analisis matematika, yakni analisis real dan kalkulus, merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi yang diapit oleh dua fungsi sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan pada gambar di samping bahwa terdapat fungsi berwarna biru, yang diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Teorema apit dengan satu variabel ini, mengagak-agihkan sebagai berikut.Misal ,  dan  adalah fungsi-fungsi sehingga .untuk semua  di dalam selang terbuka yang memuat . Sebagai eksepsi mungkin di , jika , maka .

Bukti 
Untuk membuktikan teorema ini, kita dapat menggunakan definisi limit (ε, δ). Perhatikan bahwa misalkan  lebih besar dari nol, pilih , ,  yang juga lebih besar dari nol sehingga

 

Sekarang, pilih  sehingga

 

Arkian, kita konklusikan bahwa terbukti ..

Teorema apit untuk barisan 

Teorema apit untuk barisan, juga dijelaskan yakni sebagai berikut.Misalkan , , dan  adalah barisan sehingga  dan terdapat  bilangan bulat positif sehingga . Bila , maka .

Bukti dapat dikerjakan dengan serupa (seperti di atas). Misal , terdapat bilangan bulat positif  sehingga jika , maka . Hal yang serupa untuk  sehingga . Jadi, jika , maka kita memperoleh  sehingga dikonklusikan bahwa .

Rujukan 

Limit (matematika)
Teorema dalam analisis real
Teorema dalam kalkulus