Grup titik dalam tiga dimensi

Dalam geometri, sebuah grup titik dalam tiga dimensi adalah grup isometri dalam tiga dimensi yang meninggalkan asal tetap, atau dengan demikian, grup isometri dari bola. Ini adalah subgrup dari grup ortogonal O(3), grup dari semua isometri yang membiarkan asal tetap, atau dengan demikian, grup dari matriks ortogonal. O(3) sendiri adalah subgrup dari grup Euklides E(3) dari semua isometri.

Grup simetri objek adalah grup isometri. Oleh karena itu, analisis grup isometri adalah analisis kemungkinan simetri. Semua isometri dari objek 3D hingga memiliki satu atau lebih titik tetap yang sama. Apabila memilih asal sebagai salah satunya.

Grup simetri suatu objek terkadang juga disebut grup simetri penuh, sebagai lawan dari grup rotasi atau grup simetri baik, irisan grup simetri penuhnya dan grup rotasi SO(3) dari ruang 3D itu sendiri. Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek adalah kiral.

Grup titik dalam tiga dimensi banyak digunakan dalam kimia, terutama untuk menggambarkan simetri molekul dan orbital molekul yang membentuk ikatan kovalen, dan dalam konteks ini ini disebut juga sebagai gugus titik molekuler.

Grup Coxeter hingga adalah himpunan khusus grup titik yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pemantulan yang melewati titik yang sama. Grup Coxeter peringkat n memiliki cermin n dan diwakili oleh diagram Coxeter–Dynkin. Notasi Coxeter menawarkan notasi kurung ekuivalen dengan diagram Coxeter, simbol markup tersebut untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya.

Struktur grup 
SO(3) adalah subgrup dari E+(3), yang terdiri dari isometri langsung; yaitu, isometri kelestarian orientasi tersebut berisi beberapa yang meninggalkan asal tetap.

O(3) adalah produk langsung dari SO(3) dan grup yang dihasilkan oleh inversi (dilambangkan dengan matriks−I):
O(3) = SO(3) × { I , −I }

Jadi, korespondensi 1-ke-1 antara semua isometri langsung dan semua isometri tidak langsung, melalui inversi. Juga korespondensi 1-ke-1 antara semua grup isometri langsung H di O(3) dan semua grup K dari isometri di O(3) yang berisikan inversi:
K = H × { I , −I }
H = K ∩ SO(3)
Misalnya, jika H adalah C2, maka K adalah C2h, atau jika H  adalah C3, lalu K adalah S6 (lihat bagian bawah untuk definisi grup ini).

Jika grup isometri langsung H memiliki subgrup L dari indeks 2, maka, selain dari grup sesuai yang mengandung inversi, grup sesuai yang berisi isometri tidak langsung, namun tidak memiliki inversi:
M = L ∪ ( (H ∖ L) × { −I } )
dimana isometri ( A, I ) diidentifikasi dengan A. Contohnya adalah C4 untuk H dan S4 untuk M.

Jadi M diperoleh dari H dengan inversi isometri di . Grup M ini sebagai grup abstrak isomorfik dengan H. Sebaliknya, untuk semua grup isometri yang mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak memiliki inversi, apabila memperoleh grup rotasi dengan inversi isometri tidak langsung. Ini menjelaskan ketika mengkategorikan grup isometri, lihat di bawah.

Dalam 2D grup siklik dari lipatan-k rotasi Ck adalah untuk setiap bilangan bulat positif k subgrup normal dari O(2,R) dan SO(2,R). Dengan demikian, dalam 3D, untuk setiap sumbu, grup siklik dari rotasi lipatan-k pada sumbu tersebut adalah subgrup normal dari grup semua rotasi terhadap sumbu tersebut. Karena setiap subgrup indeks dua adalah normal, grup rotasi (Cn) adalah normal baik pada grup (Cnv) diperoleh dengan menjumlahkan (Cn) bidang pantul melalui sumbu dan dalam grup (Cnh) diperoleh dengan menjumlahkan (Cn) bidang pantul yang tegak lurus sumbunya.

Isometrik 3D terluar dari asal tetap 
Isometri dari R3 terluar asal tetap, dalam bentuk grup O(3,R), apabila dikategorikan sebagai berikut:
SO(3,R):
 identitas
 rotasi pada sumbu melalui titik asal dengan sudut yang tidak sama dengan 180°
 rotasi sekitar sumbu melalui titik asal dengan sudut 180 °;
 sama dengan inversi (x dipetakan ke x), yaitu masing-masing:
 inversi
 rotasi pada suatu sumbu dengan sudut yang tidak sama dengan 180°, digabungkan dengan pantulan pada bidang melalui titik asal tegak lurus pada sumbu
 refleksi dalam bidang melalui titik asal.

Bagian ke-4 dan ke-5 secara khusus, dan dalam arti yang lebih luas juga terdapat bagian ke-6, disebut rotasi tak wajar.

Lihat pula ikhtisar termasuk translasi.

Konjugasi 
Saat membandingkan tipe simetri dari dua objek, titik asal yang secara terpisah, yaitu tidak perlu memiliki pusat yang sama. Selain itu, dua objek bertipe simetri yang sama jika grup simetri adalah subgrup konjugat dari O(3) (dua subgrup H1, H2 dari grup G adalah konjugasi, apabila jika g ∈ G sedemikian rupa sehingga H1 = g−1H2g ).

Misalnya, dua objek 3D memiliki tipe simetri yang sama:
 jika keduanya memiliki simetri cermin, namun pada bidang cermin yang berbeda
 jika keduanya memiliki simetri putar 3 kali lipat, namun pada sumbu yang berbeda.
Dalam kasus beberapa bidang cermin dan/atau sumbu rotasi, dua grup simetri memiliki tipe simetri yang sama jika dan hanya jika rotasi memetakan seluruh struktur grup simetri pertama ke struktur kedua. Definisi konjugasi juga akan memungkinkan bayangan cermin dari struktur, tetapi ini tidak diperlukan, struktur itu sendiri adalah akiral. Misalnya, jika grup simetri berisi sumbu rotasi 3 kali lipat, hal tersebut apabila rotasi dalam dua arah yang berlawanan. (Struktur adalah kiral untuk 11 pasang ruang grup dengan sumbu sekrup.)

Grup isometri tak hingga 

Ada banyak grup isometri tak hingga; misalnya, "grup siklik" (artinya dihasilkan oleh satu elemen—jangan bingung dengan grup torsi) yang dihasilkan oleh rotasi oleh bilangan irasional putaran sebuah kapak. Apabila grup abelian non-siklus dengan menambahkan lebih banyak rotasi di sekitar sumbu yang sama. Ada juga grup non-abelian yang dihasilkan oleh rotasi di sekitar sumbu yang berbeda. Ini biasanya (umumnya) grup bebas. Apabila akan menjadi tak hingga kecuali rotasi dipilih secara khusus.

Semua grup tak hingga yang disebutkan sejauh ini tidak tertutup sebagai subgrup topologi dari O(3). Sekarang membahas subgrup tertutup topologi dari O(3).

Seluruh O(3) adalah grup simetri dari simetri bola; SO(3) adalah grup rotasi yang sesuai. Grup isometrik tak hingga lainnya terdiri dari semua rotasi tentang sumbu melalui titik asal, dan grup dengan refleksi tambahan pada bidang yang melalui sumbu, dan/atau pantulan pada bidang melalui titik asal, tegak lurus terhadap sumbu. Dengan refleksi bidang melalui sumbu, dengan atau tanpa refleksi bidang melalui titik asal tegak lurus pada sumbu, adalah grup simetri untuk dua jenis simetri tabung. Perhatikan bahwa setiap objek fisik yang memiliki simetri rotasi tak hingga juga akan memiliki simetri bidang cermin yang melalui sumbu.

Ada tujuh grup kontinu yang semuanya merupakan limit grup isometri hingga. Ini disebut grup titik pembatas atau grup pembatas Curie dinamai Pierre Curie yang merupakan orang pertama yang menyelidikinya. Tujuh barisan tak hingga dari grup aksial mengarah ke lima grup pembatas (dua di antaranya adalah duplikat), dan tujuh grup titik tersisa menghasilkan dua grup lebih kontinu. Dalam notasi internasional, daftarnya adalah ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞, dan ∞∞m.

Grup isometri hingga 
Simetri dalam 3D dikarenakan titik asal tetap sepenuhnya dicirikan oleh simetri pada bola yang berpusat di titik asal. Untuk grup titik 3D hingga, lihat pula grup simetri bola.

Hingga konjugasi, himpunan grup titik 3D hingga terdiri dari:
 7 deret tak hingga dengan banyak satu sumbu rotasi lebih dari 2 kali lipat; ia adalah grup simetri terbatas pada tabung tak hingga, atau ekuivalen, dan tabung hingga. Ia terkadang disebut grup titik aksial atau prismatik.
 7 grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih; ia juga dapat dicirikan sebagai grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat, karena semua 7 mencakup sumbu ini; berhubungan dengan sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih, kombinasi yang mungkin adalah:
 4 sumbu 3 kali lipat
 4 sumbu 3 kali lipat dan 3 sumbu 4 kali lipat
 10 sumbu 3 kali lipat dan 6 sumbu 5 kali lipat
Menurut teorema restriksi kristalografi, sejumlah grup titik hingga kompatibel dengan simetri translasi diskrit: 27 dari 7 deret tak hingga, dan 5 dari 7 lainnya. Bersama-sama, ini membentuk 32 apa yang disebut grup titik kristalografi.

Tujuh deret tak hingga dari grup aksial 

Deret tak hingga dari grup aksial atau prismatik memiliki indeks n, yang berupa bilangan bulat; setiap deret, grup simetri ke-n berisi lipatan-n simetri rotasi suatu sumbu, yaitu simetri terhadap rotasi dengan sudut 360°/n. n=1 mencakup kasus tidak ada simetri rotasi sama sekali. Ada empat deret tanpa sumbu simetri rotasi lainnya (lihat simetri siklik) dan tiga dengan sumbu tambahan simetri lipat 2 (lihat simetri dihedral). Apabila dipahami sebagai grup titik dalam dua dimensi diperpanjang dengan koordinat aksial dan refleksi di dalamnya. Terkait dengan grup dekorasi; yang ditafsirkan sebagai pola grup dekorasi yang berulang kali n di sekitar tabung.

Tabel berikut mencantumkan beberapa notasi untuk grup titik: notasi Hermann–Mauguin (digunakan dalam kristalografi), notasi Schönflies (digunakan untuk mendeskripsikan simetri molekuler), notasi orbifold, dan notasi Coxeter. Tiga yang terakhir tidak hanya terkait dengan sifatnya, tetapi juga dengan urutan grup. Notasi orbifold adalah notasi terpadu, juga berlaku untuk grup bingkai dan grup dekorasi. Grup kristalografi memiliki n hingga pada 1, 2, 3, 4, dan 6; menghapus pembatasan kristalografi memungkinkan setiap bilangan bulat positif.
Deret tersebut adalah:

Untuk ganjil n memiliki Z2n = Zn × Z2 dan Dih< sub>2n</sub> = Dihn × Z2.

Grup C (termasuk trivial C) dan D adalah kiral, yang lainnya kiral.

Istilah horizontal (h) dan vertikal (v), dan subskrip sesuai, mengacu pada bidang cermin tambahan, yang sejajar dengan sumbu rotasi (vertikal) atau tegak lurus terhadap sumbu rotasi (horizontal).

Grup aksial nontrivial paling sederhana setara dengan grup abstrak Z2:
 Ci (dengan ekuivalen S) – inversi simetri
 C2 – lipatan-2 simetri rotasi
 Cs (dengan ekuivalen C dan C) – simetri refleksi, atau disebut juga  simetri bilateral.

Yang kedua adalah pertama dari grup uniaksial (grup siklik) Cn urutan n (juga berlaku dalam 2D), yang dihasilkan oleh satu putaran sudut 360°/n. Selain itu, apabila menambahkan bidang cermin yang tegak lurus terhadap sumbu, memberikan grup Cnh orde 2n, atau satu himpunan bidang cermin n yang berisi sumbu, memberikan grup Cnv, juga dari urutan 2n. Yang terakhir adalah grup simetri untuk piramida bersisi n beraturan. Objek tipikal dengan grup simetri Cn atau Dn adalah kitiran.

Jika bidang refleksi horizontal dan vertikal ditambahkan, perpotongannya memberikan sumbu rotasi 'n' hingga 180°, sehingga grup bukan uniaksial. Grup baru dari urutan 4n ini disebut Dnh. Subgrup rotasinya adalah grup dihedral Dn urutan 2n, yang masih memiliki sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus terhadap sumbu rotasi primer, tetapi bukan dari bidang cermin.

Catatan: dalam 2D, Dn menyertakan refleksi, yang juga dilihat sebagai inversi benda datar tanpa membedakan bagian depan dan belakang; namun dalam 3D, operasi tersebut dibedakan: Dn adalah "inversi", bukan refleksi.

Ada satu grup lagi dalam keluarga ini, yang disebut Dnd (atau Dnv), yang memiliki bidang cermin vertikal sebagai sumbu rotasi utama, namun alih-alih memiliki bidang cermin horizontal, ia memiliki isometri yang menggabungkan refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/n. Dnh adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" prisma dan juga untuk "gonal-n "biasa" bipiramid. Dnd adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" antiprisma, dan juga untuk "gonal-n "biasa" trapezohedron. Dn adalah grup simetri dari prisma yang diputar sebagian ("memutar").

Grup D2 dan D2h diperhatikan karena tidak ada sumbu rotasi khusus. Sebaliknya, ada tiga sumbu tegak lurus lipatan-2. D2 adalah subgrup dari semua simetri polihedral (lihat di bawah), dan D2h adalah subgrup dari grup polihedral Th dan O h. D2 pada homotetramer seperti Concanavalin A, dalam senyawa koordinasi tetrahedral dengan empat ligan kiral identik, atau dalam molekul seperti tetrakis(klorofluorometil)metana jika semua gugus klorofluorometil memiliki kiralitas yang sama. Unsur D2 berada dalam korespondensi 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh satuan kuaternion Lipschitz.

Grup Sn dihasilkan oleh kombinasi refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 360°/n. Untuk n ganjil ini sama dengan grup yang dihasilkan oleh keduanya secara terpisah, Cnh urutan 2n, dan oleh karena itu notasi Sn tidak diperlukan; namun, untuk n berbeda dari ganjil, dan urutan n. Seperti Dnd adalah sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.

Semua grup simetri dalam 7 deret tak hingga berbeda, kecuali untuk empat pasang yang sama besar berikut:
 C1h dan C1v: grup urutan 2 dengan refleksi tunggal (Cs )
 D1 dan C2: grup urutan 2 dengan satu putaran 180°
 D1h dan C2v: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis pada bidang tersebut
 D1d dan C2h: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis yang tegak lurus bidang tersebut.

S2 adalah grup urutan 2 dengan satu inversi (Ci ).

"Sama dengan" dimaksudkan sebagai sama hingga konjugasi dalam ruang. Ini lebih kuat dari "isomorfisme aljabar hingga". Misalnya, tiga grup berbeda dari urutan dua dalam pengertian pertama, tetapi hanya ada satu dalam pengertian kedua. Demikian pula, misalnya S2n isomorfik secara aljabar dengan Z2n.

Grup apabila dibangun sebagai berikut:
 Cn. Dihasilkan oleh elemen juga disebut Cn, sesuai dengan rotasi dengan sudut 2π/n di sekitar sumbu. Unsur-unsurnya adalah E (identitas), Cn, Cn2, ..., C nn−1, sesuai dengan sudut rotasi 0, 2π/n, 4π/n, ..., 2(n − 1)π/n.
 S2n. Dihasilkan oleh elemen C2nσh, dimana σh adalah refleksi dalam arah sumbu. Elemennya adalah elemen Cn dengan C2nσh, C2n3σh, ..., C2n2n−1σh.
 Cnh. Generated by element Cn and reflection σh. Its elements are the elements of group Cn, with elements σh, Cnσh, Cn2σh, ..., Cnn−1σh added.
 Cnv. Dihasilkan oleh elemen Cn dan refleksi v dalam arah pada bidang tegak lurus terhadap sumbu. Elemennya adalah elemen grup Cn, dengan elemen σv, Cnσv, Cn2σv, ..., Cnn−1σv.
 Dn. Dihasilkan oleh elemen Cn dan rotasi 180° U = σhσv di sekitar arah pada bidang tegak lurus sumbu. Elemennya adalah elemen grup Cn, dengan elemen U, CnU, Cn2U, ..., Cnn − 1U.
 Dnd. Dihasilkan oleh elemen C2nσh dan σv. Elemennya adalah elemen grup Cn dan elemen tambahan S2n dan Cnv , dengan elemen C2nσhσv, C2n3σhσv, ..., C2n2n − 1σhσv.
 Dnh. Dihasilkan oleh elemen Cn, σh, and σv. Elemennya adalah elemen grup Cn dan elemen tambahan dari C elementsnh, Cnv, dan Dn.

Mengambil n ke ∞ menghasilkan grup dengan rotasi aksial kontinu:

Tujuh grup titik yang tersisa 
Grup titik yang tersisa dikatakan sangat tinggi atau simetri polyhedral karena mereka memiliki lebih dari satu sumbu rotasi dengan orde lebih besar dari 2. Disini, Cn menunjukkan sumbu rotasi melalui 360°/n dan Sn menunjukkan sumbu rotasi takwajar melalui yang sama. Dalam tanda kurung adalah notasi orbifold, notasi Coxeter (diagram Coxeter), kelengkapan notasi Hermann–Mauguin, dan yang disingkat jika berbeda. Grup tersebut adalah:

Grup kontinu yang terkait dengan grup ini adalah:
 ∞∞, K, atau SO(3), semua kemungkinan rotasi.
 ∞∞m, Kh, atau O(3), semua kemungkinan rotasi dan refleksi.
Seperti disebutkan di atas untuk grup isometri tak hingga, setiap benda fisik yang memiliki simetri K juga akan memiliki simetri Kh.

Relasi antara notasi orbifold dan urutan 
Urutan setiap grup adalah 2 dibagi dengan orbifold karakteristik Euler; yang terakhir adalah 2 dikurangi jumlah nilai fitur, ditetapkan sebagai berikut:
 n tanpa atau sebelum * dihitung sebagai (n−1)/n
 n setelah * dihitung sebagai (n−1)/(2n)
 * dan × dihitung sebagai 1
Ini juga dapat diterapkan untuk grup bingkai dan grup dekorasi: bagi mereka, jumlah nilai fitur adalah 2, memberikan urutan tak hingga; lihat karakteristik Euler orbifold untuk grup bingkai

Grup Coxeter reflektif 

Grup titik reflektif dalam tiga dimensi juga disebut grup Coxeter dan diberikan oleh diagram Coxeter-Dynkin dan mewakili satu himpunan cermin potongan di satu titik pusat, dan mengikat domain segitiga bola pada permukaan bola. Grup Coxeter dengan kurang dari 3 generator memiliki domain segitiga bola yang merosot, seperti lune atau hemibola. Dalam notasi Coxeter kelompok-kelompok ini adalah simetri tetrahedral [3,3], simetri oktahedral [4,3], simetri ikosahedral [5,3], dan simetri dihedral [p,2]. Jumlah cermin untuk grup tak tereduksi adalah nh/2, dimana h adalah bilangan Coxeter grup Coxeter, n adalah dimensi (3).<ref>Coxeter, Politop beraturan', 12.6 Jumlah pantulan, persamaan 12.61</ref>

 Grup rotasi 
Grup rotasi, yaitu subgrup hingga SO(3), adalah: grup siklik Cn (grup rotasi dari piramida kanonik), grup dihedral Dn (grup rotasi seragam prisma, atau kanonik bipiramid), dan grup rotasi T, O dan I dari tetrahedron reguler, oktahedron/kubus dan icosahedron/dodecahedron.

Secara khusus, grup dihedral D3, D4 dll. adalah grup rotasi dari poligon beraturan bidang yang tertanam dalam ruang tiga dimensi, dan sosok seperti itu dapat dianggap sebagai prisma reguler yang merosot. Oleh karena itu, ia juga disebut dihedron (Yunani: padat dengan dua wajah), yang menjelaskan nama grup dihedral.

Sebuah objek dengan grup simetri Cn, Cnh, Cnv atau S2n memiliki grup rotasi Cn.
Objek dengan grup simetri Dn, Dnh, atau Dnd memiliki grup rotasi Dn.
Sebuah objek dengan salah satu dari tujuh grup simetri lainnya memiliki grup rotasi yang sesuai tanpa subscript: T, O atau I.

Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek tersebut kiral. Dengan kata lain, objek kiral adalah objek dengan grup simetrinya dalam daftar grup rotasi.

Diberikan dalam notasi Schönflies, notasi Coxeter, (notasi orbifold), subgrup rotasi adalah:

 Korespondensi antara grup rotasi dan grup lain 
Grup berikut berisi inversi:Cnh dan Dnh untuk nilai genap nS2n dan Dnd untuk nilai ganjil n (S2 = Ci adalah grup yang dihasilkan oleh inversi; D1d = C2h)Th, Oh, dan IhSeperti dijelaskan di atas, ada korespondensi 1-ke-1 antara grup ini dan semua grup rotasi:Cnh untuk nilai genap n dan S2n untuk nilai ganjil n sesuai dengan CnDnh untuk nilai genap n dan Dnd untuk nilai ganjil n sesuai dengan DnTh, Oh, dan Ih sesuai dengan T, O, dan I.

Grup lain mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak inversi:CnvCnh dan Dnh untuk nilai ganjil nS2n dan Dnd untuk nilai genap nTdSesuai dengan grup rotasi H dan subgrup L dari indeks 2 dalam arti bahwa apabila diperoleh dari H dengan membalikkan isometri di H \ L, seperti yang dijelaskan di atas:Cn adalah subgrup dari Dn dari indeks 2, menghasilkan CnvCn adalah subgrup dari C2n dari indeks 2, memberikan Cnh untuk nilai ganjil n dan S2n untuk nilai genap nDn adalah subgrup dari D2n dari indeks 2, memberikan Dnh untuk nilai ganjil n dan Dnd untuk nilai genap nT adalah subgrup dari O dari indeks 2, memberikan Td Simetri maksimal 
Ada dua grup titik diskret dengan sifat yang tidak dimiliki grup titik diskret sebagai subgrup yang tepat: Oh dan Ih. Subgrup umum terbesar adalah Th. Kedua grup diperoleh dari mengubah simetri putar lipatan 2 menjadi lipatan 4, dan masing-masing menambahkan simetri lipatan 5.

Ada dua grup titik kristalografi dengan sifat yang tidak dimiliki kelompok titik kristalografi sebagai subgrup yang tepat: Oh dan D6h. Subgrup umum maksimal, bergantung pada orientasinya, adalah D3d dan D2h.

 Grup tersusun berdasarkan tipe grup abstrak 
Di bawah grup yang dijelaskan di atas disusun berdasarkan jenis grup abstrak.

Grup abstrak terkecil yang bukan merupakan grup simetri dalam 3D, adalah grup kuaternion (urutan 8), Z3 × Z3 (urutan 9), grup disiklik Dadu3 (urutan 12), dan 10 dari 14 grup urutan 16.

Kolom "# elemen urutan 2" pada tabel berikut menunjukkan jumlah total subgrup isometri tipe C2, Ci, Cs. Jumlah total ini adalah salah satu karakteristik yang membantu membedakan berbagai jenis grup abstrak, sedangkan tipe isometrinya membantu membedakan berbagai grup isometri dari grup abstrak yang sama.

Dalam kemungkinan grup isometri dalam 3D, ada banyak sekali tipe grup abstrak dengan elemen 0, 1 dan 3 urutan 2, ada dua dengan 2n + 1 elemen urutan 2, dan ada tiga dengan 2n + 3 elemen orde 2 (untuk masing-masing n ≥ 2 ). Tidak pernah ada bilangan genap positif dari elemen urutan 2.

 Grup simetri dalam 3D siklik sebagai grup abstrak 
simetri kelompok untuk lipatan-n rotasi simetri adalah Cn; tipe grup abstraknya adalah grup siklik Zn, yang juga dilambangkan dengan Cn. Namun, ada dua deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:
 Untuk urutan genap 2n ada grup S2n (notasi Schoenflies) yang dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 180°/n terhadap sumbu, digabungkan dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. Untuk S2 digunakan notasi Ci; itu dihasilkan oleh inversi.
 Untuk setiap urtan 2n dimana nilai gankil n, memiliki Cnh; ia memiliki sumbu rotasi lipatan n, dan bidang refleksi tegak lurus. Ini dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 360°/n tentang sumbu, dikombinasikan dengan refleksi. Untuk C1h digunakan notasi Cs; itu dihasilkan oleh refleksi dalam bidang.

Jadi, dengan huruf tebal dari 10 grup titik kristalografi siklik, dimana pembatas kristalografi berlaku:

dll.

 Grup simetri dalam 3D dihedral sebagai grup abstrak 
Dalam 2D grup dihedral Dn mencakup refleksi, yang juga dilihat sebagai benda datar inversi tanpa membedakan bagian depan dan belakang.

Namun, dalam 3D dua operasi dibedakan: grup simetri yang dilambangkan dengan Dn berisi n sumbu lipatan 2 tegak lurus dengan sumbu lipatan n, bukan pantulan. Dn adalah grup rotasi dari sisi n prisma dengan basis reguler, dan sisi n bipiramid dengan alas beraturan, dan juga sisi beraturan n antiprisma dan sisi beraturan n trapezohedron. Grup juga merupakan grup simetri penuh dari objek setelah membuat kiral dengan tanda kiral identik pada setiap wajah, atau beberapa modifikasi dalam bentuk.

Jenis grup abstrak adalah grup dihedral Dihn, yang juga dilambangkan dengan Dn. Namun, tiga deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

 Cnv urutan 2n, grup simetri dari sisi beraturan n piramida
 Dnd urutan 4n, grup simetri dari sisi n beraturan antiprismaDnh dari urutan 4n untuk ganjil n. Untuk n = 1 menghasilkan D2, menjadi n ≥ 3.

Perhatikan sifat berikut:
Dih4n+2  Dih2n+1 × Z2

Jadi, dengan huruf tebal dari 12 kelompok titik kristalografi, dan menulis D1d sebagai ekuivalen C2h:

dll.

 Lain C2n,h urutan 4n adalah tipe grup abstrak Z2n × Z2. Untuk n = 1 menghasilkan Dih2, menjadi n ≥ 2.

Jadi, dengan huruf tebal dari 2 kelompok titik kristalografi siklik:

dll.Dnh urutan 4n adalah tipe grup abstrak Dihn × Z2. Untuk ganjil n, jadi D2nh urutan 8n, yang merupakan grup abstrak Dih2n × Z2 (n≥1).

Jadi, dengan huruf tebal dari 3 kelompok titik kristalografi dihedral:

dll.

Tujuh sisanya adalah, dengan huruf tebal dari 5 grup titik kristalografi (lihat pula di atas):

 Domain fundamental 

Domain fundamental dari grup titik adalah padatan berbentuk kerucut. Sebuah objek dengan simetri tertentu dalam orientasi tertentu dicirikan oleh domain fundamental. Jika objeknya adalah permukaan, ia dicirikan oleh permukaan dalam domain fundamental yang berlanjut ke permukaan atau permukaan bordal radialnya. Jika salinan permukaan tidak cocok, permukaan atau permukaan radial dapat ditambahkan. Ia akan tetap cocok jika domain fundamental dibatasi oleh bidang refleksi.

Untuk polihedron, permukaan ini dalam domain dasar dapat menjadi bagian dari bidang sembarang. Misalnya, dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain dasar dari simetri ikosahedral. Menyesuaikan orientasi bidang memberikan berbagai kemungkinan untuk menggabungkan dua atau lebih wajah yang berdekatan menjadi satu, memberikan berbagai polihedra lain dengan simetri yang sama. Polihedron adalah cembung jika permukaannya sesuai dengan salinannya dan garis radial yang tegak lurus terhadap bidang berada dalam domain fundamental.

Juga permukaan dalam domain fundamental dapat terdiri dari beberapa wajah.

 Grup polihedral biner 
Peta Spin(3) → SO(3) adalah sampul ganda dari grup rotasi oleh grup putaran dalam 3 dimensi (ini adalah satu-satunya penutup SO(3) yang terhubung, karena Spin(3) terhubung secara sederhana).
Dengan teorema kekisi, apabila hubungan Galois antara subgrup Spin(3) dan subgrup SO(3) (grup titik rotasi): citra subgrup Spin(3) adalah grup titik rotasi, dan citra awal grup titik adalah subgrup Spin(3). Perhatikan bahwa Spin(3) memiliki deskripsi alternatif sebagai grup satuan khusus SU(2) dan sebagai grup dari unit kuaternion. Secara topologi, grup Kebohongan ini adalah bola 3-dimensi S3.

Pragambaran grup titik berhingga disebut grup polihedral biner, direpresentasikan sebagai ⟨l,n,m⟩, dan disebut dengan nama yang sama dengan grup titiknya, dengan awalan biner, dengan urutan dua lipatan dari grup polihedral yang terkait (l,m,n). Misalnya, citra awal grup ikosahedral (2,3,5) adalah grup ikosahedral biner, ⟨2,3,5⟩.

Grup polihedral biner adalah:
 : grup siklik biner dari gon-(n + 1), urutan 2n : grup dihedral biner dari gon-n, ⟨2,2,n⟩, urutan 4n : grup tetrahedral biner, ⟨2,3,3⟩, urutan 24
 : grup oktahedral biner, ⟨2,3,4⟩, urutan 481
 : grup ikosahedral biner, ⟨2,3,5⟩, urutan 120
Ini diklasifikasikan oleh klasifikasi ADE, dan hasil bagi dari C2 oleh aksi grup polihedral biner adalah singularitas Du Val.

Untuk grup titik yang orientasinya terbalik, situasinya lebih rumit, karena ada dua grup pin, jadi ada dua kemungkinan grup biner yang sesuai dengan grup titik yang diberikan.

Perhatikan bahwa ini adalah penutup dari grup, bukan penutup dari ruang–bola adalah hanya terhubung, dan dengan demikian tidak memiliki ruang peliput. Dengan demikian tidak ada gagasan tentang "polihedron biner" yang menutupi polihedron 3 dimensi. Grup polihedral biner adalah subgrup diskrit dari grup Spin, dan di bawah representasi grup spin bertindak pada ruang vektor, dan dapat menstabilkan polihedron dalam representasi ini – di bawah peta Spin(3) → SO(3) yang bertindak pada polihedron sama dengan grup mendasarinya (non-biner), sementara di bawah representasi spin atau representasi lain dapat menstabilkan polihedra lainnya.

Ini berbeda dengan projective polyhedra–bola menutupi ruang proyektif (dan juga ruang lensa), dan dengan demikian sebuah tessellasi ruang proyektif atau ruang lensa menghasilkan gagasan yang berbeda dari polihedron.

 Lihat pula 

 Daftar grup simetri bola
 Daftar tabel karakter untuk grip titik 3D secara kimiawi
 Grup titik dalam dua dimensi
 Grup titik dalam empat dimensi
 Simetri
 Isometri bidang Euklides
 Tindakan grup
 Grup titik
 Sistem kristal
 Grup ruang
 Daftar grup kecil
 Simetri molekul

Catatan kaki

Referensi

 .
 6.5 The binary polyhedral groups, p. 68

 Pranala luar 
Gambaran grafis dari 32 grup titik kristalografi – membentuk bagian pertama (selain melewatkan n''=5) dari 7 deret tak hingga dan 5 dari 7 grup titik 3D yang terpisah
Ikhtisar sifat grup titik 
Polihedra Kanonik Paling Sederhana dari Setiap Jenis Simetri (menggunakan Java)
Grup Titik dan Sistem Kristal, oleh Yi-Shu Wei, hlm. 4–6
 Pusat Geometri: 10.1 Rumus Simetri dalam Koordinat Kartesius (tiga dimensi) 

Simetri Euklides
Teori grup