Simetri ikosahedral

Sebuah ikosahedron reguler memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan urutan simetri sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah dodecahedron beraturan memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan ganda dari ikosahedron.

Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai grup Coxeter H3, dan diwakili oleh notasi Coxeter [5,3] dan diagram Coxeter .
Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A5 (grup selang-seling pada 5 huruf).

Sebagai titik grup 

Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, simetri ikosahedral rotasi atau simetri ikosahedral kiral dari objek kiral dan simetri ikosahedral penuh atau simetri ikosahedral akiral adalah simetri titik diskret (atau ekuivalen, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar.

Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan simetri translasi, jadi tidak ada grup titik kristalografi atau grup ruang terkait.

Presentasi yang sesuai dengan di atas adalah:

Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) grup segitiga.

Presentasi pertama diberikan oleh William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang kalkulus ikosian.

Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai grup selang-seling (untuk I).

Visualisasi

Struktur grup 

 I adalah urutan 60. Grup I adalah isomorfik hingga A5, grup selang-seling dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama majemuk lima kubus (yang tertulis di dodecahedron), gabungan lima oktahedra, atau salah satu dari dua senyawa lima tetrahedra (yaitu enantiomorf, dan tertulis di dodecahedron).

Grup berisi 5 versi Th dengan 20 versi D3 (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi D5.

 Ih memiliki urutan 120. Memiliki I sebagai subgrup normal dari indeks 2. Grup Ih isomorfik dengan I × Z2, atau A5 × Z2, dengan inversi di tengah sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana Z2 ditulis secara perkalian.

Ih pada gabungan lima kubus dan gabungan lima oktahedra, namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada gabungan sepuluh tetrahedra: I pada dua bagian kiral (gabungan dari lima tetrahedra), dan 1 menukar dua bagian.
Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S5, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.

Grup ini berisi 10 versi D3d dan 6 versi D5d (simetri seperti antiprisma).

I adalah isomorfik pada PSL2(5), namun Ih tidak isomorfik terhadap SL2(5).

Isomorfisme I dengan A5 
Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara I dan A5. Pada tabel berikut, permutasi Pi dan Qi masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi Mi adalah elemen dari I. Jika Pk adalah hasil kali dari permutasi Pi dan menerapkan Pj padanya, maka untuk nilai yang sama dari i, j dan k, juga benar bahwa Qk adalah hasil kali dari pengambilan Qi dan menerapkan Qj, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan Mk sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan Mi dan kemudian mengalikan hasilnya dengan Mj, yaitu Mk =  Mj × Mi. Karena permutasi Pi adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, korespondensi satu-ke-satu dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.

Grup biasa limbung 
Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:
 S5, grup simetris pada 5 elemen
 Ih, grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai H3)
 2I, grup ikosahedral biner
Ia sesuai dengan urutan tepat pendek berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk

In words,
  adalah subgrup normal dari 
  adalah faktor dari , yang merupakan produk langsung
  adalah grup hasil bagi dari 
Perhatikan bahwa  memiliki biasa 3 dimensi representasi yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun  tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.

Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas Medan hingga dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:
  Grup linear proyeksi khusus, lihat di sini untuk bukti;
  grup linear umum proyeksi;
  grup linear khusus.

Kelas konjugasi 
120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.

Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh 

Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.

Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".

Stabilisator titik 
Stabilisator dari pasangan simpul berlawanan diartikan sebagai stabilisator dari sumbu yang dihasilkan.
 stabilisator titik di I memberikan grup siklik C3
 stabilisator titik di Ih memberikan grup dihedral D3
 stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di I memberikan grup dihedral D3
 stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di Ih memberikan

Stabilisator tepi 
Stabilisator dari sepasang tepi berlawanan diartikan sebagai stabilisator persegi panjang yang dihasilkan.
 stabilisator tepi di I memberikan grup siklik Z2
 penstabil tepi di Ih memberikan Klein empat grup 
 stabilisator dari sepasang sisi dalam I memberikan Klein empat grup ; 5 diantaranya, diberikan oleh rotasi 180° dalam 3 sumbu tegak lurus.
 stabilisator dari sepasang sisi dalam Ih memberikan ; 5 diantaranya, yang diberikan oleh refleksi dalam 3 sumbu tegak lurus.

Stabilisator wajah 
Stabilisator dari pasangan wajah berlawanan diartikan sebagai stabilisator anti-prisma yang dihasilkan.
 stabilisator wajah di I memberikan grup siklik C5
 stabilisator wajah di Ih memberikan grup dihedral D5
 stabilisator dari pasangan wajah berlawanan di I memberikan grup dihedral D5
 stabilisator dari pasangan wajah yang berlawanan di Ih memberikan

Stabilisator polihedron 
Untuk masing-masing, 5 salinan konjugasi, dan tindakan konjugasi memberikan peta, .
 stabilisator dari tetrahedra tertulis di I adalah salinan T
 stabilisator dari tetrahedra tertulis di Ih adalah salinan T
 stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di I adalah salinan T
 stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di Ih adalah salinan dari Th

Generator grup Coxeter
Grup simetri ikosahedral penuh [5,3] () urutan 120 memiliki generator diwakili oleh matriks refleksi R0, R1, R2, dengan relasi R02 = R12 = R22 = (R0×R1)5 = (R1×R2)3 = (R0×R2)2 = Identitas. Grup [5,3]+ () urutan 60 dihasilkan oleh dua rotasi S0,1, S1,2, S0,2. Sebuah refleksi rotor urutan 10 dihasilkan oleh V0,1,2, produk dari ketiga refleksi. Di sini  menunjukkan rasio emas.

Domain fundamental 
Domain fundamental untuk grup rotasi ikosahedral dan grup ikosahedral penuh diberikan oleh:

Dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap himpunan bagian menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

Polihedra dengan simetri ikosahedral

Kiral polihedra

Simetri ikosahedral penuh

Objek lain dengan simetri ikosahedral 

 Permukaan Barth
 Struktur virus, dan Kapsid
 Dalam kimia, ion dodecaborate ([B12H12]2−) dan molekul dodecahedrane (C20H20)

Kristal cair dengan simetri ikosahedral 

Untuk fase bahan antara yang disebut kristal cair keberadaan simetri ikosahedral diusulkan oleh H. Kleinert dan K. Maki 
dan strukturnya pertama kali dianalisis secara rinci dalam makalah itu. Lihat artikel ulasan disini.
Dalam aluminium, struktur ikosahedral ditemukan secara eksperimental tiga tahun setelah ini oleh Dan Shechtman, yang membuatnya mendapatkan Hadiah Nobel pada tahun 2011.

Geometri terkait 
Simetri ikosahedral setara dengan grup linear khusus proyeksi PSL(2,5), dan adalah grup simetri dari kurva modular X(5), dan lebih umum PSL(2,p) adalah grup simetri dari kurva modular X(p). Kurva modular X(5) secara geometris merupakan dodecahedron dengan titik puncak di tengah setiap wajah poligonal, yang menunjukkan grup simetri.

Geometri ini, dan grup simetri terkait, dipelajari oleh Felix Klein sebagai kelompok monodromi permukaan Belyi – permukaan Riemann dengan peta holomorfik ke bola Riemann, bercabang hanya 0, 1, dan tak hingga (sebuah fungsi Belyi) – puncaknya adalah titik-titik yang terletak atas tak hingga, sedangkan simpul dan pusat setiap tepi terletak di atas 0 dan 1; tingkat penutup (jumlah lembar) sama dengan 5.

Ini muncul dari usahanya untuk memberikan pengaturan geometris mengapa simetri ikosahedral muncul dalam solusi persamaan kuintik, dengan teori yang diberikan dalam  yang terkenal; eksposisi modern diberikan dalam .

Penyelidikan Klein dilanjutkan dengan penemuan simetri urutan 7 dan urutan 11 dalam  dan  (dan penutup terkait derajat 7 dan 11) dan dessins d'enfants, yang pertama menghasilkan kuintik Klein, geometri yang terkait memiliki ubin dengan 24 segi enam (dengan titik puncak di tengah).

Geometri serupa dengan PSL(2,n) dan grup yang umum untuk kurva modular lainnya.

Lebih eksotis lagi, relasi khusus antara grup PSL(2,5) (urutan 60), PSL(2,7) (urutan 168) dan PSL(2,11) (urutan 660), yang juga menerima interpretasi geometris – PSL(2,5) adalah simetri ikosahedron (genus 0), PSL(2,7) dari Klein quartic (genus 3), dan PSL(2,11) permukaan bukminsterfulerena (genus 70). Kelompok-kelompok ini membentuk "trinitas" dalam arti Vladimir Arnold, yang memberikan kerangka kerja untuk berbagai hubungan; lihat trinitas untuk detailnya.

Ada hubungan dekat dengan padatan Platonis lainnya.

Lihat pula 
Simetri tetrahedral
Simetri oktahedral
Grup ikosahedral biner
Kalkulus ikosian

Referensi 

  Translated in 
 
 
 
 Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 296
 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, 
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,  
 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018)  Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Pranala luar
 
 SUBGRUP W(H3)  (Subgrup dari grup Coxeter lainnya ) Gotz Pfeiffer

Grup hingga
Simetri rotasi