Hasil bagi

Dalam aritmatika, sebuah hasil bagi (dari  "kali berapa ", diucapkan ) adalah besaran yang dihasilkan oleh pembagian dari dua bilangan.  Hasil bagi telah digunakan secara luas di seluruh matematika, dan biasanya disebut sebagai bagian bilangan bulat dari sebuah pembagian (dalam kasus pembagian Euklides), atau sebagai pecahan atau rasio (dalam kasus pembagian yang tepat). Misalnya, ketika membagi 20 ("dibagi") dengan 3 ("pembagi"), "hasil bagi" adalah 6 dalam pengertian pembagian Euklides, dan  dalam arti pembagian yang tepat. Dalam pengertian kedua, hasil bagi hanyalah rasio pembagian pada pembaginya.

Notasi

Hasil bagi paling sering ditemui sebagai dua bilangan, atau dua variabel, dibagi dengan garis horizontal. Kata "dibagi" dan "pembagi" mengacu pada masing-masing bagian, sedangkan kata "hasil bagi" mengacu pada keseluruhan.

Definisi bagian bilangan bulat
Hasil bagi juga kurang umum didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar dari kali pembagi dikurangkan dari dibagi—sebelum menjadikan sisa negatif. Misalnya, pembagi 3 dikurangi hingga 6 kali dari pembagian 20, sebelum sisanya menjadi negatif:
 20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≥ 0,
sedangkan
 20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0.
Dalam pengertian ini, hasil bagi adalah bagian bilangan bulat dari rasio dua bilangan.

Hasil bagi dua bilangan bulat

Sebuah bilangan rasional didefinisikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat (selama penyebutnya bukan nol).

Definisi yang lebih rinci adalah sebagai berikut:

 Sebuah bilangan real r adalah rasional, jika dan hanya jika dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dengan penyebut bukan nol. Bilangan real bukan rasional disebut juga sebagai irasional.

Atau lebih formal: 
 Diberikan bilangan real r, r adalah rasional jika dan hanya jika bilangan bulat a dan b sehingga  dan .

Keberadaan bilangan irasional—bilangan yang bukan hasil bagi dua bilangan bulat—pertama kali ditemukan dalam geometri, dalam hal-hal seperti rasio diagonal ke sisi dalam persegi.

Hasil bagi umum 
Di luar aritmetika, banyak cabang matematika telah meminjam kata "hasil bagi" untuk menggambarkan struktur yang dibangun dengan memecah struktur yang lebih besar menjadi beberapa bagian. Diberikan himpunan dengan relasi ekuivalen yang didefinisikan di atas, sebuah "himpunan hasil bagi" berisi kelas ekuivalen tersebut sebagai elemen. Grup hasil bagi dibentuk dalam pecahan grup menjadi sebagai hasil bagi kohimpunan yang serupa, sedangkan ruang hasil bagi dibentuk dalam proses serupa dalam pecahan ruang vektor menjadi beberapa subruang linear yang serupa.

Lihat pula
 Darab (matematika)
 Kategori hasil bagi
 Grafik hasil bagi
 Hasil bagi dalam pembagian bilangan bulat
 Modul hasil bagi
 Objek hasil bagi
 Hasil bagi bahasa formal, juga hasil bagi kiri dan kanan
 Gelanggang hasil bagi
 Himpunan hasil bagi
 Ruang hasil bagi (topologi)
 Jenis hasil bagi
 Kutipan dan partisi

Referensi

Bilangan real
Pembagian (matematika)