Matriks uniter

Dalam aljabar linear, matriks persegi  dengan entri-entri berupa bilangan kompleks disebut uniter jika invers dirinya sama dengan transpos konjugatnya, . Secara formal, matriks uniter adalah matriks yang memenuhi dengan  adalah matriks identitas. Dalam bidang fisika, khususnya mekanika kuantum, transpos konjugat dikenal sebagai adjoin Hermite dari suatu matriks dan disimbolkan dengan dagger (†), jadi persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai  Versi analog dari matriks uniter pada lapangan bilangan real adalah matriks ortogonal. Matriks uniter memiliki peran penting dalam mekanika kuantum karena mereka tidak melestarikan (tidak mengubah) norma, dan akibatnya, juga melestarikan probability amplitudes.

Sifat 
Matriks uniter dapat didefinisikan lewat banyak cara. Jika  adalah matriks persegi dengan entri-entri berupa bilangan kompleks, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: 

  adalah matriks uniter.
  adalah matriks uniter.
  terbalikkan, dengan invers .
 Kolom-kolom dari  membentuk basis ortonormal dari  terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain,  .
 Kolom-kolom dari  membentuk basis ortonormal dari  terhadap operasi hasil kali dalam yang biasa. Dengan kata lain,  .
  adalah suatu isometri terhadap norma yang biasa. Dengan kata lain,  untuk sembarang , dengan .
  merupakan matriks normal (secara ekuivalen, ada suatu basis ortonormal yang dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari ) dengan nilai-nilai eigennya terletak pada lingkaran satuan.

Selain itu, sifat-sifat berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks uniter  berukuran hingga:

 Untuk sembarang vektor kompleks  dan , perkalian dengan  akan mempertahankan hasil kali dalam kedua vektor tersebut; dengan kata lain, .
  juga merupakan matriks normal, karena .
 Sebagai akibat dari teorema spektral,  dapat diagonalkan; dengan kata lain,  serupa secara uniter dengan suatu matriks diagonal.. Hal ini mengartikan  memiliki faktorisasi berbentuk  , dengan  berupa matriks uniter, dan  berupa matriks diagonal dan uniter.
 .
 Ruang eigen dari  bersifat ortogonal.
  dapat ditulis sebagai , dengan  menyatakan eksponensiasi matriks,  adalah unit imajiner, dan  berupa matriks Hermite.

Untuk sembarang bilangan bulat nonnegatif , himpunan semua matriks uniter berukuran  yang dilengkapi operasi perkalian matriks akan membentuk sebuah grup, yang dikenal sebagai grup uniter .

Konstruksi secara sederhana

Matriks uniter berukuran 2 × 2 
Ekspresi umum dari suatu matriks uniter berukuran  adalah

yang bergantung pada empat parameter real, yakni fasa dari , fasa dari , magnitudo relatif antara  dan , dan sudut and . Determinan dari matriks tersebut adalahGrup dari matriks uniter  dengan  dikenal dengan grup uniter spesial (special unitary group) .

Matriks  juga dapat dituliskan dalam bentuk alternatif berikut:

yang, dengan memperkenalkan variabel  dan , akan memiliki faktorisasi berbentuk:

Ekspresi tersebut memperjelas hubungan antara matriks uniter berukuran  dan matriks ortogonal dengan sudut . Bentuk faktorisasi lain adalah

Matriks uniter juga memiliki beberapa faktorisasi matriks-matriks dasar.

Referensi

Pranala luar 
 

 
 

Matriks
Operator uniter