Fungsi Lipschitz

Dalam analisis matematika, fungsi Lipschitz adalah fungsi yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz; sebuah bentuk tegas sifat kekontinuan seragam untuk fungsi. Fungsi dan sifat kekontinuan ini dinamai dengan nama matematikawan Jerman Rudolf Lipschitz. Secara intuitif, fungsi kontinu Lipschitz memiliki batasan seberapa cepat nilainya dapat berubah: ada sebuah bilangan real sehingga untuk setiap garis yang dibentuk dari sembarang dua titik di grafik fungsi, nilai mutlak dari besar kemiringan garis tersebut tidak akan melebihi bilangan real tersebut. Sebagai contoh, setiap fungsi yang turunan pertamanya terbatas termasuk fungsi kontinu Lipschitz. Bilangan real terkecil yang memenuhi sifat kekontinuan Lipschitz disebut dengan konstanta Lipschitz dari fungsi. 

Dalam teori persamaan diferensial, kekontinuan Lipschitz adalah kondisi penting pada teorema Picard–Lindelöf yang menyatakan keberadaan dan keunikan solusi masalah nilai awal. Bentuk khusus dari kekontinuan Lipschitz, yang disebut kontraksi, digunakan dalam teorema titik-tetap Banach.

Berikut adalah rantai subset untuk fungsi atas interval tertutup dan terbatas (dan tidak trivial) pada garis bilangan:

 Terdiferensialkan seragam ⊂ kontinu Lipschitz ⊂ kontinu Hölder-α

dengan 0 < α ≤ 1. Selain itu, juga terdapat hubungan

 Kontinu Lipschitz ⊂ kontinu absolut.

Definisi 
Untuk dua ruang metrik  dan , dengan  menyatakan metrik pada himpunan  dan  menyatakan metrik pada himpunan , sebuah fungsi  dikatakan kontinu Lipschitz jika ada konstanta real  sedemikian sehingga, untuk semua  dan  di  akan berlaku

 

Setiap  yang memenuhi pernyataan di atas disebut sebagai konstanta Lipschitz untuk fungsi , walau terkadang istilah ini merujuk pada nilai  yang terkecil. Fungsi  terkadang juga disebut fungsi Lipschitz-. Secara khusus, sebuah fungsi bernilai real  disebut kontinu Lipschitz jika ada bilangan real positif  sehingga untuk setiap real  dan , berlaku

 

Dalam kasus ini  adalah himpunan bilangan real  dengan metrik standar , dan  adalah subset dari .

Secara umum, pertidaksamaan (secara trivial) terpenuhi ketika . Selain kasus itu, fungsi kontinu Lipschitz dapat didefinisikan dengan keberadaan konstanta  sehingga untuk semua ,

 

Untuk fungsi multivariabel bernilai real, definisi terpenuhi jika dan hanya jika semua nilai mutlak kemiringan garis sekan pada fungsi terbatas oleh . Himpunan semua garis sekan pada fungsi dapat digunakan untuk membentuk kerucut ganda (lihat gambar), dan sebuah fungsi dikatakn Lipschitz jika dan hanya jika keseluruhan fungsi terletak di luar kerucut ganda ini.

Sebuah fungsi dikatakan kontinu Lipschitz [secara] lokal jika untuk setiap  ada sebuah lingkungan  dari  sehingga  kontinu Lipschitz di .

Secara lebih umum, sebuah fungsi  yang terdefinisi pada  dikatakan kontinu Hölder atau memenuhi kondisi Hölder pangkat (orde)  pada , jika ada sebuah konstanta  sedemikian sehingga

 

untuk semua  dan  di . Terkadang kondisi Hölder pangkat α juga disebut sebagai kondisi Lipschitz seragam pangkat .

Jika terdapat  dengan

 

maka  dikatakan bilipschitz atau bi-Lipschitz. Pemetaan bilipschitz bersifat injektif, dan faktanya sebuah homeomorfisme ke citranya. Sebuah fungsi bilipschitz sama dengan fungsi Lipschitz injektif yang fungsi inversnya juga merupakan fungsi Lipschitz.

Referensi 

Matematika