Komplemen (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, komplemen himpunan , sering kali dilambangkan oleh  (atau ), adalah unsur yang bukan di .

Ketika semua himpunan terhadap pertimbangan dianggap menjadi subhimpunan diberikan himpunan , komplemen mutlak  adalah himpunan unsur di , tapi bukan di .

Komplemen relatif  terhadap sebuah himpunan , juga disebut beda himpunan  dan , ditulis , adalah himpunan unsur-unsur di  tapi bukan di .

Komplemen mutlak

Definisi 
Jika  adalah sebuah himpunan, maka komplemen mutlak ) adalah himpunan unsur-unsur yang bukan di  (dalam sebuah himpunan lebih besar yang secara implisit didefinisikan). Dengan kata lain, misalkan  menjadi sebuah himpunan yang berisi semua unsur-unsur terhadap kajian, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan , baik karena ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka komplemen mutlak  adalah komplemen relatif  di :

Atau secara formal:

.

Komplemen mutlak  biasanya dilambangkan oleh . Notasi lainnya termasuk , , , dan .

Contoh-contoh 

 Asumsi bahwa semesta adalah himpunan bilangan bulat. Jika  adalah himpunan bilangan ganjil, maka komplemen  adalah himpunan bilangan genap. Jika  adlaah himpunan kelipatan 3, maka komplemen  adalah himpunan bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, dalam istilah yang lebih sederhana, bilangan bulatnya yang bukan merupakan kelipatan 3).
 Asumsi bahwa semesta adalah dek 52 kartu standar. Jika  adalah kartu sekop, maka komplemen  adalah gabungan dari kartu keriting, wajik, dan hati. Jika himpunan  adalah gabungan dari kartu keriting dan wajik, maka komplemen  adalah gabungan dari kartu hati dan sekop.

Sifat-sifat 
Misalkan  dan  menjadi dua himpunan dalam sebuah semesta . Identitas berikut menangkap sifat-sifat komplemen mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:

 .
 .
 .
 .
 .
 .
 Jika , maka .

(ini diikuti dari kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum komplemen involusi atau ganda:

 .

Hubungan antara komplemen mutlak dan relatif:

 .
 .

Hubungan dengan sebuah beda himpunan:

 .

Dua hukum komplemen pertama di atas menunjukkan bahwa jika  adalah sebuah himpunan takkosong, subhimpunan wajar , maka  adalah penyekatan .

Komplemen relatif

Definisi 
Jika  dan  adalah himpunan, maka komplemen relatif  dalam , juga disebut beda himpunan  dan , adalah himpunan unsur-unsur di  tapi bukan di .

Komplemen relatif  di  dilambangkan  menurut standar ISO 31-11. Ini terkadang ditulis , tapi notasi ini ambigu, karena dalam beberapa konteks, ini dapat diinterpretasikan sebagai himpunan semua unsur-unsur , dimana  diambil dari  dan  diambil dari .

Secara formal:

.

Contoh-contoh 

 .
 .
 Jika  adalah himpunan bilangan real dan  adalah himpunan bilangan rasional, maka  adalah himpunan bilangan irasional.

Sifat-sifat 
Misalkan , , dan  menjadi tiga himpunan. Identitas berikut menangkap sifat-sifat penting mengenai komplemen relatif:

 .
 .
 , dengan kasus khusus yang penting  menunjukkan bahwa irisan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi komplemen relatif.
 .
 .
 .
 .
 .
 .

Relasi komplementer 
Sebuah relasi biner  didefinisikan sebagai sebuah subhimpunan darab himpunan . Relasi komplementer  merupakan komplemen himpunan  di . Komplemen relasi  dapat ditulis

.

Disini,  sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logis dengan baris mewakili unsur-unsur , dan unsur-unsur kolom . Kebenaran mengenai  berpadanan dengan 1 dalam baris , kolom . Menghasilkan relasi komplementer ke , kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 untuk matriks logis dari komplemen.

Bersama dengan komplemen relasi dan relasi sebalik, relasi komplementer dan aljabar himpunan merupakan operasi-operasi elementer dari kalkulus relasi.

Notasi LaTeX 
Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah \setminus biasanya digunakan untuk mengucapkan sebuah simbol beda himpunan, yang serupa dengan sebuah simbol garis miring terbalik. Ketika diucapkan, perintah \setminus terlihat identis dengan \backslash, kecuali bahwa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang garis miring, sama dengan barisan LaTeX \mathbin{\backslash}. Sebuah varian \smallsetminus tersedia dalam pengepakan amssymb.

Dalam bahasa pemrograman 
Beberapa bahasa pemrograman memiliki himpunan-himpunan di sekitar di bangun dalam struktur data. Seperti sebuah struktur data berperilaku sebagai sebuah himpunan hingga, yaitu, ini terdiri dari sebuah bilangan terhingga mengenai data yang bukan terurut secara khusus, dan dapat dengan demikian dianggap sebagai unsur-unsur himpunan. Dalam beberapa kasus, unsur-unsurnya tidak perlu beda, dan kode struktur data multihimpunan ketimbang himpunan. Bahasa pemrograman memiliki operator atau fungsi untuk menghitung komplemen dan beda himpunan.

Operator-operator ini dapat secara umum juga berlaku untuk struktur data yang bukan himpunan matematis sesungguhnya, seperti daftar terurut atau larik. Ini mengikuti bahwa beberapa bahasa pemrograman dapat memiliki sebuah fungsi disebut set_difference ,bahkan jika ini tidak memiliki suatu struktur data untuk himpunan.

Lihat pula 

 Aljabar himpunan
 Irisan (teori himpunan)
 Daftar identitas himpunan dan relasi
 Teori himpunan naif
 Beda simetrik
 Gabungan (teori himpunan)

Catatan

Referensi

Pranala luar 

 
 

Operasi himpunan