Matriks Jacobi

Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah , , , dan . Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur.

Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi  di setiap titik  terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik , matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar . Fungsi linear ini disebut sebagai turunan atau turunan total dari  di . Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari . Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat.

Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika  , matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris .  Vektor ini adalah transpos dari gradien , sehingga .  Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, , matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi .

Matriks Jacobi 
Matriks Jacobi dari fungsi multivariabel bernilai vektor memperumum konsep gradien fungsi multivariabel bernilai real; yang selanjutnya merupakan perumuman dari konsep turunan fungsi satu variabel bernilai real. Misalkan  adalah fungsi yang semua turunan parsial pertamanya terdefinisi di . Fungsi ini memetakan titik  di  dengan vektor  di . Matriks Jacobi  dari fungsi  didefinisikan sebagai matriks berukuran  adalah matriks yang elemen ke--nya adalah , atau secara eksplisit,

 

Simbol  menyatakan vektor baris hasil transpos dari gradien fungsi komponen ke-. Beberapa penulis mendefinisikan matriks Jacobi sebagai  transpos dari bentuk yang disajikan di atas. Jika fungsi terdiferensialkan di suatu titik, diferensialnya dapat digunakan untuk menyusun matriks Jacobi. Tetapi fungsi tidak perlu terdiferensialkan supaya matriks Jacobinya terdefinisi, karena hanya turunan-turunan parsial pertama dari fungsi yang perlu terdefinisi.

Untuk setiap titik  dimana fungsi  terdiferensialkan, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai ukuran perubahan yang dilakukan fungsi di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, jika  digunakan untuk mentransformasi sebuah gambar secara mulus, matriks Jacobi  menjelaskan bagaimana gambar di lingkungan titik  berubah bentuk. Transformasi linear yang direpresentasikan oleh  adalah hampiran linear terbaik dari nilai fungsi  di sekitar , dalam artian

 

dengan  adalah besaran yang menuju nol jauh lebih cepat daripada jarak antara  dan  ketika  bergerak menuju . Hampiran ini tereduksi menjadi polinomial Taylor untuk fungsi satu variabel bernilai real, yakni

 .

Akibatnya, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai "turunan pertama" dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Pada kasus fungsi multivariabel bernilai skalar, matriks Jacobi dari gradien fungsi tersebut dikenal sebagai matriks Hesse; matriks ini dapat dianggap sebagai "turunan kedua" dari fungsi, sedangkan gradien dianggap sebagai "turunan pertama".

Komposisi dua fungsi yang terdiferensialkan, misalnya  dan , memenuhi sifat aturan rantai. Dalam hal ini,  untuk titik  di .

Determinan Jacobi 
Fungsi  memiliki matriks Jacobi berupa matriks persegi, sehingga matriks tersebut juga memiliki determinan. Determinan ini disebut dengan determinan Jacobi, determinan Jacobian, atau Jacobian. Determinan Jacobi di suatu titik memberikan informasi penting mengenai perilaku fungsi  di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi terdiferensialkan secara mulus memiliki invers di sekitar titik , jika determinan Jacobi di  tidak bernilai 0. Contoh itu adalah teorema invers fungsi. Lebih lanjut, jika determinan Jacobi di  bernilai positif, maka fungsi  akan mempertahankan orientasi di sekitar . Sebaliknya jika determinan tersebut bernilai negatif, maka fungsi  membalikkan orientasi. Nilai mutlak dari determinan Jacobi di  memberikan besaran perubahan volume di sekitar  akibat pemetaan oleh ; ini adalah alasan determinan Jacobi muncul dalam rumus subtitusi integral.

Determinan Jacobi digunakan dalam membuat variabel subtitusi ketika menghitung integral lipat fungsi atas suatu daerah di domain fungsi tersebut. Dalam penerapan ini, determinan Jacobi digunakan sebagai faktor pengali pada integral, yang mengoreksi perubahan koordinat akibat subtitusi variabel. Determinan Jacobi juga digunakan untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial, dengan memberikan hampiran perilaku fungsi di sekitar titik kesetimbangan. Hal ini digunakan contohnya untuk menentukan kestabilan kesetimbangan tanpa-penyakit pada permodelan penyakit (disease modelling).

Contoh

Contoh 1 
Misalkan sebuah fungsi  yang memetakan  lewat persamaan

Fungsi-fungsi komponen dari  adalah  dan ,  sehingga matriks Jacobi dari  adalahdan determinan Jacobi dari fungsi adalah

Contoh 2 
Contoh ini menunjukkan bahwa matriks Jacobi tidak perlu berupa matriks persegi. Matriks Jacobi dari fungsi  dengan komponen-komponen

 

adalah

Contoh 3 
Berikut adalah penggunaan determinan Jacobi dalam perubahan koordinat polar-Kartesius pada integral lipat. Transformasi koordinat polar  ke koordinat Kartesius  dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi  dengan komponenMatriks Jacobi dari fungsi transformasi tersebut adalah

 

dan determinannya sama dengan . Determinan ini digunakan sebagai faktor koreksi ketika mengubah sistem koordinat yang digunakan integral:

Contoh 4 
Contoh ini meninjau efek perubahan orientasi fungsi dan hubungannya dengan determinan Jacobi. Determinan Jacobi dari fungsi  dengan komponen-komponen

 

adalah

 

Dari determinan ini terlihat bahwa  membalikkan orientasi pada titik-titik dengan tanda  dan  yang sama. Fungsi juga dapat diinvers secara lokal, kecuali pada titik-titik dengan  atau . Secara intuitif, jika  diterapkan pada suatu objek kecil berdimensi tiga di titik , orientasi objek tersebut akan terbalik, dan volume objek tersebut akan mengembang kurang lebih  kali volume semula.

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 

 Mathworld Penjelasan lebih teknis mengenai matriks dan determinan Jacobi