Kelas grup

Kelas grup adalah teoritis himpunan grup yang menggunakan sifat jika G dalam koleksi maka grup isomorfik ke G juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas).  Karena teori himpunan tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari kelas.

Definisi 
Kelas grup  adalah kumpulan grup sehingga jika  dan  maka . Grup di kelas  disebut sebagai grup-.

Untuk himpunan grup , dilambangkan dengan  kelas terkecil dari grup . Khususnya untuk grup ,  menunjukkan kelas isomorfismenya.

Contoh 
Contoh paling umum dari kelas grup adalah:
 : kelas grup kosong
 : kelas grup siklik.
 : kelas grup Abelian.
 : kelas terbatas grup solvabel
 : kelas dari grup nilpoten
 : kelas dari hingga grup divisibel
 : kelas terbatas grup sederhana
 : kelas grup hingga
 : kelas berkas dari grup

Produk kelas grup 
Dua kelas grup  dan  didefinisikan sebagai produk kelas

Konstruksi ini memungkinkan untuk secara rekursif mendefinisikan pangkat kelas dengan

 dan 

Harus dicatat bahwa operasi biner pada kelas kelas grup bukan asosiatif atau komutatif. Misalnya, pertimbangkan grup alternatif dari derajat 4 (dan urutan 12); grup ini milik kelas  karena memiliki sebagai subgrup  dengan  dan selanjutnya  adalah . Namun  tidak memiliki subgrup siklik normal non-trivial, jadi . Maka .

Namun dari definisi untuk tiga kelas grup , , dan ,

Peta kelas dan operasi penutupan 
Peta kelas c adalah peta kelas grup  ke kelas grup . Peta kelas dikatakan sebagai operasi penutupan jika sifat berikutnya:
 c adalah ekspansif: 
 c adalah idempoten: 
 c adalah monotonik: jika  maka 

Beberapa contoh operasi penutupan yang paling umum adalah:

Lihat pula 
 Pembentukan

Referensi 

Sifat grup
Teori grup
Struktur aljabar