Fungsi Weierstrass

Dalam matematika, fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi bernilai real yang kontinu dimanapun namun tidak terdiferensialkan dimanapun. Fungsi ini adalah contoh sebuah fungsi fraktal. Fungsi ini dinamakan dengan nama penemunya, Karl Weierstrass.

Fungsi Weierstrass muncul sebagai fungsi "diluar nalar", pertama kali diterbitkan (1872) sebagai sebuah contoh untuk menantang konsep bahwa semua fungsi kontinu akan terdiferensialkan kecuali pada himpunan titik pencil. Bukti Weierstrass bahwa kekontinuan tidak menyiratkan keterdiferensial hampir-dimanapun memutar-balikkan ilmu matematika, menggulingkan beberapa pembuktian yang berdasar pada intuisi geometris dan definisi kemulusan yang rancu. Jenis fungsi ini dikecam oleh beberapa matematikawan semasa itu: Henri Poincaré dikenal dengan mengutarakan fungsi tersebut sebagai "monster" dan menyebut karya Weierstrass' sebagai "sebuah kemarahan terhadap akal sehat", sedangkan Charles Hermite menulis bahwa fungsi itu "bencana yang menyedihkan". Fungsi Weierstrass tidak dapat divisualisasikan sampai kemunculan komputer di abad selanjutnya. Fungsi ini tidak diterima secara luas sampai saat diterapkan untuk model gerak Brown yang memerlukan fungsi yang bergerigi dengan jumlah tak hingga (saat ini dikenal sebagai fungsi fraktal).

Konstruksi 

Dalam makalah asli Weierstrass, fungsi ini didefinisikan sebagai sebuah deret pangkat:

 

dengan ,   adalah bilangan ganjil positif, dan

 

Nilai minimum  sehingga ada  yang memenuhi syarat tersebut adalah . Definisi ini, beserta bukti bahwa fungsi tidak terdiferensialkan pada sembarang selang, disampaikan oleh Weierstrass dalam sebuah makalah yang disajikan untuk Akademi Sains Prusia pada 18 Juli 1872.

Walaupun tidak terdiferensialkan, fungsi ini kontinu. Suku-suku yang mendefinisikan jumlah tak-hingga terbatas oleh , yang memiliki nilai yang hingga untuk  . Jenis konvergensi dari jumlah suku-suku ini adalah seragam lewat uji-M Weierstrass dengan . Karena setiap jumlah parsial bersifat kontinu, dengan teorema limit seragam dapat ditunjukkan  kontinu. Terlebih lagi, karena setiap jumlah parsial kontinu seragam, fungsi  juga kontinu seragam.

Dapat dibayangkan bahwa sebuah fungsi kontinu harus memiliki turunan, atau bahwa himpunan titik yang tak terdiferensialkan harus terhitung (baik hingga atau tak hingga). Berdasarkan Weierstrass di makalahnya, banyak matematikawan di masa lalu, termasuk Gauss, sering mengasumsikan intuisi tersebut benar. Hal tersebut mungkin diakibatkan karena sulitnya menggambar atau membayangkan sebuah fungsi kontinu yang himpunan titik tak terdiferensialkannya tak terhitung.

Kekontinuan Hölder 
Fungsi Weierstrass lebih nyaman untuk ditulis ulang sebagai

 

Untuk .  Fungsi  selanjutnya dapat ditunjukkan kontinu Hölder pangkat , yang mengartikan ada konstanta  sehingga

 

untuk setiap  dan . Lebih lanjut,  kontinu Hölder untuk semua pangkat  tapi tidak kontinu Lipschitz.

Referensi

Daftar pustaka 

 
 
 
 
 
 
 Versi bahasa Inggris: 

Analisis real
Jenis fungsi
Teori fungsi kontinu