Aljabar non-asosiatif

Sebuah aljabar non-asosiatif (atau aljabar distributif) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai asosiatif. Artinya, struktur aljabar A adalah aljabar non-asosiatif atas medan K jika itu adalah ruang vektor atas K dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-K pada A × A → A yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, aljabar Jordan, oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi produk silang. Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (ab)(cd), (a(bc))d dan a(b(cd)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda.

Meskipun penggunaan "non-asosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "non-asosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk gelanggang nonkomutatif.

Aljabar adalah unital atau uniter jika memiliki elemen identitas e dengan ex = x = xe untuk semua x dalam aljabar. Misalnya, oktonion adalah unital, namun aljabar Lie bukan unital.

Struktur aljabar nonasosiatif dari A dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh endomorfisme-K pada A sebagai ruang vektor K.  Dua seperti itu adalah aljabar turunan dan (asosiatif) aljabar menyelubungi, yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil A".

Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar non-asosiatif atas gelanggang komutatif R: Sebuah modul-R kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-R. Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar R), maka secara alami adalah sebuah aljabar-, jadi beberapa penulis menyebut aljabar- non-asosiatif sebagai gelanggang non-asosiatif.

Aljabar dengan identitas 

Struktur seperti gelanggang dengan dua operasi biner dan tidak ada batasan lain adalah kelas yang luas, yang terlalu umum untuk dipelajari.
Untuk alasan ini, jenis aljabar non-asosiatif yang terkenal memenuhi identitas, atau sifat, yang menyederhanakan perkalian.
Ini termasuk yang berikut.

Sifat biasa 

Misalkan ,  dan  menyatakan elemen arbitrer aljabar  atas medan .
Misal pangkat ke bilangan bulat positif (bukan nol) didefinisikan secara rekursif oleh  dan lainnya  (pangkat kanan) atau  (pangkat kiri) tergantung pada penulis.

 Unital: apabila terdapat elemen  sehingga ; dalam hal ini kita dapat mendefinisikan .
 Asosiatif: .
 Komutatif: .
 Antikomutatif: .
 Identitas Jacobi:  atau  tergantung pada penulisannya.
 Identitas Jordan:  atau  tergantung pada penulisannya.
 Alternatif:  (alternatif kiri) dan  (alternatif kanan).
 Fleksibel: .
 Asosiasi pangkat ke- pada :  untuk semua bilangan bulat  sehingga .
 Asosiatif pangkat ketiga: .
 Asosiatif pangkat keempat:  (bandingkan dengan komutatif pangkat empat di bawah).
 Asosiatif pangkat: subaljabar yang dihasilkan oleh elemen adalah asosiatif, yaitu, asosiasi pangkat  untuk semua .
 Pangkat komutatif ke- pada :  untuk semua bilangan bulat  sehingga .
 Komutatif pangkat ketiga: .
 Komutatif pangkat keempat:  (bandingkan dengan asosiatif pangkat keempat atas).
 Komutatif pangkat: subaljabar yang dihasilkan oleh elemen apa pun adalah komutatif, yaitu, komutatif pangkat  untuk semua .
 Nilpoten dari indeks : produk dari elemen , dalam asosiasi, tidak untuk beberapa elemen :  dan terdapat elemen  sehingga  untuk asosiasi tertentu.
 Nol dari indeks : pangkat asosiatif dan  dan apabila elemen  sehingga .

Relasi diantara sifat 

Untuk  dari karakteristik:
 Asosiatif adalah alternatif.
 Setiap dua dari tiga sifat alternatif kiri, alternatif kanan, dan fleksibel, adalah yang ketiga.
 Jadi, alternatif adalah fleksibel.
 Alternatif adalah identitas Jordan.
 Komutatif adalah fleksibel.
 Antikomutatif adalah fleksibel.
 Alternatif adalah pangkat asosiatif.
 Fleksibel adalah pangkat asosiatif ketiga.
 Pangkat asosiatif kedua dan pangkat komutatif kedua adalah hakiki.
 Pangkat asosiatif ketiga dan pangkat komutatif ketiga adalah ekuivalen.
 Pangkat asosiasi ke- adalah pangkat komutatif ke- .
 Nok dari indeks 2 adalah antikomutatif.
 Nol dari indeks 2 adalah identitas Jordan.
 Nilpoten indeks 3 adalah identitas Jacobi.
 Nilpoten indeks  adalah nol indeks  dengan .
 Unital dan nol indeks  bukan kompatibel.

Jika  atau :
 Identitas Jordan dan komutatif adalah pangkat asosiatif.

Jika :
 Alternatif kanan adalah pangkat asosiatif.
 Demikian pula, alternatif kiri adalah kekuatan asosiatif.
 Unital  dan  identitas Jordan adalah fleksibel.
 Identitas Jordan dan fleksibel adalah pangkat asosiatif.
 Komutatif dan antikomutatif adalah nilpoten indeks 2.
 Antikomutatif adalah nol dari indeks 2.
 Unital dan antikomutatif bukan kompatibel.

Jika :
 Unital dan identitas Jacobi bukan kompatibel.

Jika }:
 Komutatif dan  (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan pangkat asosiatif keempat) adalah pangkat asosiatif.

Jika :
 Pangkat asosiatif ketiga dan  (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan pangkat asosiatif keempat) adalah pangkat asosiatif.

Jika :
 Komutatif dan antikomutatif adalah ekuivalen.

Asosiasi 

Asosiasi pada A adalah peta multilinear-K  diberikan oleh

 .

Ini mengukur tingkat nonasosiasi dari , dan apabila digunakan untuk mengekspresikan beberapa kemungkinan identitas yang dipenuhi oleh A.

Misalkan ,  dan  menyatakan elemen aljabar sebarang.
 Asosiatif: .
 Alternatif:  (alternatif kiri) dan  (alternatif kanan).
 Ini menyatakan bahwa mengubah dua suku maka hal itu mengubah tanda: ; konversinya hanya berlaku jika .
 Fleksibel: .
 Ini menyatakan bahwa mengubah istilah ekstrem mengubah tanda: ; konversinya hanya berlaku jika .
 Identitas Jordan:  atau  tergantung penulisannya.
 Pangkat asosiatif ketiga: .

Inti adalah himpunan elemen yang terkait dengan semua elemen lain: yaitu,  di A sebagai

 .

Inti adalah subgelanggang asosiatif dari A.

Pusat 

Pusat dari A adalah himpunan elemen komutatif dan terkait dengan suatu di A, yang merupakan perpotongan dari 

dengan inti. Ternyata untuk elemen C(A) cukup dua himpunan  adalah  untuk yang ketiga juga merupakan himpunan nol.

Contoh 

 Ruang Eullides R3 dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar yang antikomutatif dan bukan asosiatif. Produk silang juga memenuhi identitas Jacobi.
 Aljabar Lie adalah aljabar yang memenuhi antikomutatifitas dan identitas Jacobi.
 Aljabar medan vektor pada lipatan terdiferensiasi (jika K adalah R atau bilangan kompleks C) atau sebuah variasi aljabar (untuk umum K);
 Aljabar Jordan adalah aljabar yang memenuhi hukum komutatif dan identitas Jordan.
 Setiap aljabar asosiatif memunculkan aljabar Lie dengan menggunakan komutator sebagai tanda kurung Lie. Sebenarnya setiap aljabar Lie apabila dikonstruksi dengan cara ini, atau merupakan subaljabar dari aljabar Lie yang dibuat dengan cara ini.
 Setiap aljabar asosiatif pada medan karakteristik selain 2 memunculkan aljabar Jordan dengan mendefinisikan perkalian yang baru x*y = (xy+yx)/2. Berbeda dengan kasus aljabar Lie, tidak semua aljabar Jordan dapat dibuat dengan cara ini. Apabila yang bisa disebut khusus.
 Aljabar alternatif adalah aljabar yang memenuhi sifat alternatif. Contoh aljabar alternatif yang paling penting adalah oktonion (aljabar atas riil), dan generalisasi oktonion atas medan lain. Semua aljabar asosiatif adalah alternatif. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif riil dengan dimensi hingga, aljabar pembagian (lihat di bawah) adalah riil, kompleks, kuaternion dan oktonion.
 Pangkat aljabar asosiatif, adalah aljabar yang memenuhi pangkat identitas asosiatif. Contohnya mencakup semua aljabar asosiatif, semua aljabar alternatif, aljabar Jordan pada medan selain GF(2) (lihat bagian sebelumnya), dan sedenion.
 Aljabar kuaternion hiperbolik atas R, yang merupakan aljabar eksperimental sebelum adopsi ruang Minkowski untuk relativitas khusus.

Lebih banyak kelas aljabar:

 Aljabar bertingkat. Ini mencakup sebagian besar aljabar yang menarik bagi aljabar multilinear, seperti aljabar tensor, aljabar simetris, dan aljabar eksterior pada ruang vektor yang diberikan. Aljabar bertingkat dapat digeneralisasi ke aljabar filter.
 Aljabar pembagian, dimana terdapat invers perkalian. Aljabar pembagian alternatif dimensi hingga atas medan bilangan riil diklasifikasikan. Ini adalah bilangan riil (dimensi 1), bilangan kompleks (dimensi 2), kuaternion (dimensi 4), dan oktonion (dimensi 8). Kuaternion dan oktonion tidak komutatif. Dari aljabar ini, semuanya asosiatif kecuali oktonion.
 Aljabar kuadrat, yang mengartikan xx = re + sx, untuk beberapa elemen r dan s di medan dasar, dan e unital untuk aljabar. Contohnya mencakup semua aljabar alternatif dimensi hingga, dan aljabar matriks riil 2-kali-2. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif, aljabar riil kuadrat tanpa pembagi nol adalah riil, kompleks, kuaternion, dan oktonion.
 Aljabar Cayley–Dickson (dimana K adalah R), yang dimulai dengan:
 C (aljabar komutatif dan asosiatif);
 Kuaternion H (aljabar asosiatif);
 oktonion (sebuah aljabar alternatif);
 sedenion, dan barisan tak hingga dari aljabar Cayley-Dickson (pangkat aljabar asosiatif).
 Aljabar hiperkompleks adalah aljabar unital R dimensi-hingga, sehingga termasuk aljabar Cayley-Dickson dan lainnya.
 Aljabar Poisson dipertimbangkan dalam kuantisasi geometrik. Apabila membawa dua perkalian, mengubahnya menjadi aljabar komutatif dan aljabar Lie dengan cara yang berbeda.
 Aljabar genetik adalah aljabar non-asosiatif yang digunakan dalam genetika matematika.
Sistem rangkap tiga

Sifat 

Ada beberapa sifat yang mungkin familiar dari teori gelanggang, atau dari aljabar asosiatif, yang tidak selalu benar untuk aljabar non-asosiatif. Tidak seperti kasus asosiatif, elemen dengan invers perkalian (dua sisi) mungkin juga merupakan pembagi nol. Misalnya, semua elemen bukan-nol dari sedenion memiliki invers dua sisi, namun beberapa di antaranya juga merupakan pembagi nol.

Aljabar non-asosiatif bebas 
Aljabar non-asosiatif bebas pada himpunan X atas medan K didefinisikan sebagai aljabar dengan basis yang terdiri dari semua monomial non-asosiatif, produk formal hingga dari elemen kurung penahan X. Produk dari monomial u, v dengan (u)(v). Aljabar adalah unital apabila jika mengambil produk kosong sebagai monomial.

Kurosh membuktikan bahwa setiap subaljabar dari aljabar non-asosiatif bebas adalah bebas.

Aljabar terkait 
Sebuah aljabar A atas medan-K khususnya adalah ruang vektor-K dan dengan demikian apabila mempertimbangkan aljabar asosiatif EndK(A) dari endomorfisme ruang vektor linear-K dari A. Apabila mengasosiasikan struktur aljabar pada A dua subaljabar EndK(A), aljabar turunan dan (asosiatif) sampul aljabar.

Aljabar turunan 

Sebuah turunan pada A adalah peta-D dengan sifat

Turunan pada A sebagai bentuk subruang DerK(A) di EndK(A). Komutator dari dua turunan merupakan turunan terus, sehingga braket Lie diberikan oleh DerK(A) struktur aljabar Lie.

Sampul aljabar 
Ada peta linear L dan R yang melekat pada setiap elemen a dari aljabar A:

Sampul aljabar asosiatif atau aljabar perkalian dari A adalah aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh peta linear kiri dan kanan. pusat dari A adalah pemusat aljabar sampul dalam aljabar endomorfisme EndK(A). Sebuah aljabar adalah pusat jika pusat massanya terdiri dari kelipatan skalar K dari identitas.

Beberapa identitas yang mungkin dipenuhi oleh aljabar non-asosiatif dapat dengan mudah diekspresikan dalam bentuk peta linear:
 Komutatif: setiap L(a) sama dengan kesesuaian R(a);
 Asosiatif: setiap L komuter dengan R;
 Fleksibel: setiap L(a) komutatif dengan R(a);
 Jordan: setiap L(a) komutatif dengan R(a2);
 Alternatif: setiap L(a)2 = L(a2) dan juga untuk kanan.

Wakilan kuadrat Q didefinisikan oleh:

atau ekuivalen

Artikel tentang aljabar sampul universal menjelaskan konstruksi kanonik dari aljabar sampul, serta teorema tipe-PBW. Untuk aljabar Lie, aljabar bungkus tersebut memiliki sifat universal, yang tidak berlaku, secara umum, untuk aljabar non-asosiatif. Contoh yang terkenal adalah, aljabar Albert, aljabar Jordan tidak menyampul oleh konstruksi kanonik dari aljabar yang sampul untuk aljabar Jordan.

Lihat pula 
 Daftar aljabar
 Magma non-asosiatif komutatif, yang memunculkan aljabar non-asosiatif

Kutipan

Catatan

Referensi