Perpangkatan bilangan dua

Perpangkatan bilangan dua, (atau perpangkatan angka dua, perpangkatan nilai dua) adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan  adalah bilangan bulat.

Ketika  adalah bilangan bulat taknegatif ― dengan kata lain, bilangan cacah ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak  kali.

 .

Tabel nilai 
Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk  adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk  adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

Dalam aljabar

Segitiga Pascal 

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan segitiga Pascal. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah  yang sama saja dengan . Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah . Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk , yaitu:

 .

Dalam teori bilangan

Sistem bilangan biner 
Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam sistem bilangan biner, yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai . Contohnya,  dikonversikan menjadi  dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1.  dikonversikan menjadi , dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk  bilangan bulat taknegatif.

Bilangan Mersenne 

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk . Jika  (dimana  bilangan prima), maka bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yakni .

Bilangan prima terbesar yang diketahui 
Saat ini, bilangan prima terbesar yang diketahui ditemukan oleh Great Internet Mersenne Prime Search (atau diabreviasikan sebagai GIMPS) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit, yakni . Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

Dalam teori himpunan

Himpunan kuasa 
Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan himpunan kuasa  (dinotasikan ), yaitu himpunan yang anggotanya merupakan subhimpunan  dengan banyak anggota himpunan kuasa  sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota . Ini dituliskan secara matematis:

 .

Hipotesis kontinum 
Dalam teori himpunan, hipotesis kontinum merupakan hipotesis yang dinyatakan dalam sebuah persamaan bilangan alef.

 .

Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan

Barisan keirasionalan 
Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan membentuk barisan keirasionalan, lihat tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua. Maka, untuk setiap barisan bilangan bulat positif , deret

 

konvergen menuju bilangan irasional. Karena  merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.

Lihat pula 

 Perpangkatan bilangan 10
 Perpangkatan bilangan tiga

Catatan kaki dan rujukan

Catatan kaki

Rujukan

OEIS 

Aritmetika biner
Barisan bilangan bulat
Bilangan bulat