Matriks idempoten

Dalam aljabar linear, matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri. Dengan kata lain, matriks  dikatakan idempoten jika dan hanya jika . Agar hasil perkalian  terdefinisi,  harus berupa matriks persegi. Matriks idempoten dapat dipandang sebagai unsur idempoten pada sebuah gelanggang matriks.

Contoh 
Contoh dari matriks idempoten ukuran  adalah:

Contoh dari matriks idempoten ukuran  adalah:

Matriks riil ukuran 2 × 2 
Jika sebuah matriks riil idempoten , maka entri-entrinya memiliki hubungan berikut:

 
  mensyaratkan  sehingga  atau 
  mensyaratkan  sehingga  atau 
 

Dengan demikian, syarat perlu bagi matriks 2 × 2 dikatakan idempoten adalah berupa matriks diagonal atau terasnya bernilai 1. Untuk matriks diagonal idempoten, nilai  dan  harus bernilai 1 atau bernilai 0.

Jika , matriks  akan idempoten ketika  . Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

 atau ,

yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat θ, matriks

bersifat idempoten. Namun,  pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

 dengan  adalah matriks idempoten.

Sifat

Singularitas dan regularitas 
Satu-satunya matriks idempoten yang tidak singular adalah matriks identitas. Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan ; dengan mengasumsikan  memiliki peringkat penuh (tidak singular), dan mengalikan kedua ruas dengan , akan didapatkan bentuk  . Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas, memiliki jumlah baris (dan jumlah kolom) yang saling bebas linear lebih sedikit daripada total jumlah baris (dan kolom) pada matriks.

Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten, hasilnya juga berupa matriks idempoten, karena

Jika sebuah matriks  idempoten, maka untuk setiap bilangan bulat positif  akan berlaku . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika: Jelas hal ini berlaku untuk , karena . Anggap bahwa . Selanjutnya  dapat dituliskan sebagai , karena  idempoten. Berdasarkan prinsip induksi, pernyataan terbukti.

Nilai eigen 
Matriks idempoten selalu dapat didiagonalkan dan nilai eigennya selalu bernilai 0 atau 1.

Teras 
Nilai teras dari sebuah matriks idempoten — yakni jumlah semua elemen pada diagonal utamanya — sama dengan nilai peringkat dari matriks dan selalu berupa bilangan bulat. Hal ini memberikan cara mudah untuk menghitung nilai peringkat, atau sebagai cara alternatif menghitung teras dari matriks yang entri-entrinya tidak diketahui secara pasti. Dalam statistika, sebagai contoh, hal tersebut dipakai dalam menentukan derajat bias ketika menggunakan variansi sampel sebagai estimator variansi populasi.

Aplikasi 
Matriks idempoten sering muncul dalam analisis regresi dan ekonometrika. Sebagai contoh, dalam ordinary least squares, permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien  sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu  (prediksi yang salah). Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,

 Minimumkan 

dengan  adalah vektor dari variabel terikat hasil observasi, dan  adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah variabel-variabel bebas dalam observasi. Estimator untuk vektor  adalah

 

dengan simbol  menunjukkan operasi transpos; vektor residu dari observasi adalah

 

Dalam persamaan ini, baik matriks  dan  adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu:

 

Sifat idempoten dari  juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya, contohnya dalam menentukan variansi dari estimator .

Referensi 

Aljabar
Analisis regresi
Matriks