Vektor koordinat

Dalam aljabar linear, sebuah vektor koordinat merupakan sebuah wakilan sebuah vektor sebagai sebuah daftar urutan bilangan yang menggambarkan vektor dalam istilah sebuah basis terurut khusus. Koordinat selalu ditentukan relatif terhadap sebuah basis terurut. Basis dan wakilan koordinat iringnya membiarkan satunya mewujudkan ruang vektor dan transformasi linear secara konkret sebagai vektor kolom, vektor baris, dan matriks; mereka berguna dalam perhitungan.

Gagasan mengenai sebuah vektor koordinat dapat juga digunakan untuk ruang vektor berdimensi takhingga, seperti yang ditujukan di bawah.

Definisi 
Misalkan  menjadi sebuah ruang vektor dimensi  atas sebuah medan  dan misalkan

menjadi sebuah basis terurut untuk . Maka untuk setiap  terdapat sebuah kombinasi linear tunggal dari vektor basis yang sama dengan :

Vektor koordinat  relatif terhadap  barisan koordinat.

Ini juga disebut wakilan  terhadap , atau  mewakili .  disebut koordinat . Urutan dari basis menjadi penting disini, karena ini menentukan urutan di mana koefisiennya didaftarkan dalam vektor koordinat.

Vektor koordinat mengenai ruang vektor berdimensi hingga dapat diwakili oleh matriks sebagai vektor kolom atau baris. Di notasi di atas, salah satunya dapat tulis

atau

Wakilan standar 
Kita sekarang memekanisi transformasi di atas dengan mendefinisikan sebuah fungsi , disebut wakilan standar  terhadap , yang mengambil setiap vektor ke wakilan koordinatnya: . Maka  merupakan sebuah transformasi linear dari  ke . Faktanya, ini merupakan sebuah isomorfisme, dan inversnya  adalah sederhana

Secara alternatif, kita dapat mendefinisikan  menjadi fungsi di atas daro fungsi awalnya, mewujudkan bahwa  merupakan sebuah isomorfisme, dan mendefinisikan  menjadi inversnya.

Contoh-contoh

Contoh 1 
Misalkan P3 menjadi ruang dari semua polinomial aljabar derajat setidaknya 3 (yaitu eksponen tertinggi  bisa jadi 3). Ruang ini merupakan linear dan rentang oleh polinomial-polinomial berikut:

memadankan

maka vektor koordinat berpadanan ke polinomial

adalah

Menurut wakilan tersebut, operator pendiferensialan  yang kita akan tandai  akan diwakili oleh matriks berikut:

Menggunakan metode tersebut mudah untuk meninjau sifat-sifat dari operator, seperti, keterbalikan, Hermite atau anti-Hermite atau tidak ada, dan banyak lagi.

Contoh 2 
Matriks Pauli, yang mewakili operatorn spin ketika mengubah eigenkeadaan spin menjadi koordinat vektor.

Matriks transformasi basis 
Misalkan  dan  menjadi dua basis yang berbeda mengenai sebuah ruang vektor , dan misalkan kita tandai dengan , matriks yang memiliki kolom terdiri dari wakilan  dari vektor basis .

Matriks ini dirujuk sebagai matriks transformasi basis dari  dan . Ini dapat dianggap sebagai sebuah keautomorfan atas . Setiap vektor  diwakili dalam  dapat berubah menjjadi sebuah wakilan dalam  sebagai berikut:

Jika  merupakan basis standar, notasinya dapat disederhanakan dengan menghilangkannya, denan transformasi dari  ke  mewakili

dimana

Di bawah transformasi basis, perhatikan bahwa superskripsi pada matriks transformasi, , dan subskrip pada vektor koordinat, , adalah sama, dan rupanya dibatalkan, meninggalkan subskrip yang tersisa. Meskipun ini disajikan sebagai sebuah bantuan ingatan, ini penting untuk memperhatikan bahwa tidak ada pembatalan, atau operasi matematis yang serupa, mengambil tempatnya.

Korolari 
Matriks  merupakan sebuah matriks terbalikkan dan  adalah matriks transformasi basis dari  ke . Dengan kata lain,

Ruang vektor dimensi takhingga 
Andaikan  adalah sebuah ruang vektor berdimensi takhingga atas sebuah medan . Jika dimensinya adalah , maka terdapat suatu basis unsur  untuk . Setelah sebuah urutan dipilih, basisnya dapat dianggap sebuah basis terurut. Unsur  adalah kombinasi linear hingga mengenai unsur dalam basis, yang memunculkan ke wakilan koordinat tunggal persis sebagai diutarakan sebelumnya. Yang hanya berubah adalah bahwa himpunan pengindkesan untuk korodinat bukanlah hingga. Karena sebuah vektor  yang diberikan merupakan sebuah kombinasi linear hingga mengenai unsur basis, hanya entri-entri taknol dari vektor koordinat  akan menjadi koefisien taknol dari kombinasi linear yang mewakili . Demikian vektor koordnat untuk  adalah nol kecuali dalam banyak entri.

Transformasi linear (mungkin) antara ruang vektor berdimensi takhingga dapat dimodelkan, secara analog ke kasus berdimensi hingga, dengan matriks takhingga. Kasus khusus dari transformasi  ke  digambarkan dalam artikel gelanggang linear penuh.

Lihat pula 

 Penukaran basis

Referensi 

Aljabar linear
Vektor (matematika dan fisika)