Substitusi tangen setengah sudut

Dalam integral kalculus, substitusi tangen setengah sudut adalah teknik pergantian variabel untuk menyelesaikan integral tak tentu, yang mengubah fungsi rasional dari fungsi trigonometri terhadap  menjadi fungsi rasional biasa terhadap  dengan menetapkan . Ini adalah proyeksi stereografik satu dimensi dari lingkaran satuan yang diparameterkan oleh ukuran sudut ke garis bilangan real. Rumus umum transformasinya ialah:

Tangen setengah sudut itu penting dalam trigonometri bola dan kadang dikenal pada abad ke-17 sebagai setengah tangen atau semi-tangen. Leonhard Euler menggunakan substitusi ini untuk menyelesaikan integral  dalam buku cetak integral kalkulus tahun 1768 miliknya, dan Adrien-Marie Legendre menjelaskan metodenya secara umum pada 1817.

Substitusi ini dijelaskan pada sebagian besar buku integral kalkulus sejak akhir abad ke-19, biasanya tanpa nama khusus. Substitusi ini dikenal dalam Rusia sebagai substitusi trigonometri universal (universal trigonometry substitution), dan dikenal juga variasi nama seperti substitusi setengah tangen atau substitusi sudut paruh. Substitusi ini terkadang salah dikaitkan sebagai substitusi Weierstrass.<ref>James Stewart menyinggung Karl Weierstrass saat membicarakan substitusi tersebut dalam buku cetak kalkulus populer miliknya, yang terbit pertama kali tahun 1987:</p>

Penulis setelahnya, menyitasi Stewart, terkadang merujuk ini sebagai Substitusi Weierstrass, misalnya:

Stewart tidak memberikan bukti for the attribution to Weierstrass. Substitusi yang mirip muncul dalam Weierstrass’s Mathematical Works, from an 1875 lecture dimana Weierstrass credits Carl Gauss (1818) dengan ide untuk menyelesaikan integral dalam bentuk  dengan substitusi 

</ref> Michael Spivak menyebutnya "substitusi terlicik sedunia".

Substitusi 
Dengan memperkenalkan variabel baru  fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai fungsi rasional terhadap  dan  dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian  dengan fungsi rasional terhadap  sebagai berikut:

Penurunan rumus 
Dengan menggunakan rumus sudut rangkap sebagai pembilang, dan penggunaan identitas Pythagoras sebagai penyebut, lalu membagi pembilang dan penyebutnya dengan  maka diperoleh

Dan terakhir, karena , kaidah pendiferensialan mengakibatkan

sehingga

Contoh

Integral dari kosekan 

Jawaban di atas bisa dikonfirmasi menggunakan metode standar dalam mencari integral kosekan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebutnya dengan  lalu melakukan substitusi  .

Kedua jawaban ini adalah sama, karena 

Integral fungsi sekan dapat dicari dengan cara yang serupa.

Integral tentu 

Pada baris pertama, kedua batas integralnya tidak bisa langsung diganti menjadi . Titik singularnya (pada kasus ini, asimtot vertikal) dengan  pada saat  harus diperhitungkan. Cara lainnya adalah selesaikan dulu integral tak tentunya, lalu terapkan batas integrasinya.

yang merupakan jawaban yang sama seperti cara sebelumnya.

Sinus dan kosinus bersamaan 

dengan asumsi nilai . Nilai  akan diasumsikan positif (sehingga substitusi yang relevan digunakan ialah substitusi trigonometri tangen. Jika , maka substitusi trigonometri yang dipilih ialah fungsi sekan). Misalkan , maka 

Oleh karena  dan , maka diperoleh :

Geometri 

Saat nilai x berganti, titik (cos x, sin x) berulang kali mengitari lingkaran satuan yang berpusat pada titik  (0, 0). Titik

hanya sekali mengitari lingkaran saat t berganti nilai dari −∞ menuju  +∞, dan tidak pernah menyentuh titik  (−1, 0), yaitu limit saat t mendekati  ±∞. Saat t berganti nilai dari −∞ ke −1, titik yang ditentukan oleh t melewati bagian lingkaran pada kuadran ketiga, dari (−1, 0) ke  (0, −1). Saat t berganti nilai dari −1 ke  0, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran keempat, dari (0, −1) ke  (1, 0). Saat t berganti nilai dari 0 ke 1, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran pertama, dari (1, 0) ke  (0, 1). Terakhir, saat t berganti nilai dari 1 ke  +∞, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran kedua, dari (0, 1) ke  (−1, 0).

Berikut adalah sudut pandang geometris yang lain. Buatlah lingkaran satuan, dan misalkan P adalah titik . Sebuah garis yang melewati P (kecuali garis vertikal) ditentukan oleh kemiringannya. Nah, setiap garis tersebut (kecuali garis vertikal) memotong lingkaran satuan pada tepat dua titik, yang salah satunya merupakan titik P.  Hal ini dapat dipandang sebagai sebuah fungsi yang memetakan titik pada lingkaran satuan ke kemiringan. Fungsi trigonometri sendiri adalah fungsi yang memetakan sudut ke titik pada lingkaran satuan, dan dengan menyatukan kedua fungsi ini, maka diperoleh sebuah fungsi yang memetakan sudut ke kemiringan.

Galeri

Fungsi hiperbolik

Sama seperti sifat lain yang dimiliki fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik, identitas hiperbolik dapat digunakan untuk mengonstruksikan substitusi yang serupa, :

Lihat juga
Proyeksi stereografik
Rumus tangen setengah sudut
Substitusi trigonometri
Substitusi Euler

Bacaan lebih lanjut 

 

 

  Second edition 1916, pp. 52–62

Catatan dan Referensi

Pranala luar 
 Weierstrass substitution formulas dari PlanetMath

Integral calculus