Identitas Brahmagupta–Fibonacci

Dalam aljabar, identitas Brahmagupta–Fibonacci mengatakan bahwa hasil kali dari dua jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dengan dua cara yang berbeda. Oleh karena itu, himpunan dari semua jumlah dari dua bilangan kuadrat adalah ketertutupan di bawah perkalian. Secara khusus, identitas ini mengatakan

Sebagai contoh,

Identitas ini dikenal juga sebagai identitas Diophantus, yang pertama kali dibuktikan oleh Diophantus dari Alexandria. Ini adalah kasus khusus dari identitas empat kuadrat Euler dan juga identitas Lagrange. 

Brahmagupta membuktikan dan menggunakan identitas yang lebih umum (identitas Brahmagupta), ekuivalen dengan

Ini menunjukkan bahwa untuk sebarang konstan , himpunan dari semua bilangan berbentuk  adalah ketertutupan di bawah perkalian.

Identitas ini berlaku untuk semua bilangan bulat, serta semua bilangan rasional; lebih umumnya, bilangan tersebut adalah benar dalam sebarang gelanggang komutatif. Keempat bentuk identitas tersebut dapat diverifikasikan dengan perluasan pada setiap sisi persamaan. Selain itu, persamaan (2) dapat diperoleh dari persamaan (1), atau persamaan (1) dari persamaan (2), dengan mengubah  menjadi , dan begitpula untuk persamaan (3) dan persamaan (4).

Sejarah
Identitas ini pertama kali ditemukan dalam buku karya Diophantus, Arithmetica (III, 19), yang ditulis pada abad ketiga M. Identitas ini ditemukan kembali oleh Brahmagupta, seorang matematikawan dan astronom berkebangsaan India, yang memperumumkannya ke identitas Brahmagupta, dan menggunakannya dalam studi yang dikenal saat ini, persamaan Pell. Karya miliknya, Brahmasphutasiddhanta, diterjemahkan dari bahasa Sansekerta ke bahasa Arab oleh Mohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan ke Latin pada tahun 1126. Identitas tersebut diperkenalkan di Eropa barat pada tahun 1225 oleh Fibonacci dalam bukunya yang berjudul The Book of Squares, dan oleh karena itu, identitas tersebut sering dikaitkan dengannya.

Identitas terkait

Identitas Brahmagupta–Fibonacci mirip dengan identitas empat kuadrat Euler yang terkait dengan kuaternion, dan identitas delapan kuadrat Degen yang diperoleh dari oktonion yang memiliki hubungan dengan periodisitas Bott. Adapula identitas enam belas kuadrat Pfister, meskipun bukan lagi merupakan identitas bilinear.

Identitas ini sangat terkait dengan klasifikasi Hurwitz dari aljabar komposisi.

Perkalian bilangan kompleks 

Jika , , , dan  adalah bilangan real, maka identitas Brahmagupta–Fibonacci ekuivalen dengan sifat perkalian untuk nilai mutlak dari bilangan kompleks:

Hal ini dapat diperlihatkan sebagai berikut: dengan memperluas sisi kanan dan mengkuadratkan kedua ruas persamaan, maka sifat perkalian ekuivalen dengan

Berdasarkan definisi nilai absolut, persamaan ini menjadi ekuivalen dengan

Jika variabel , , , dan  adalah bilangan rasional, maka perhitungan tersebut memperlihatkan identitas yang dapat dipandang sebagai pernyataan bahwa norma dalam lapangan  adalah multiplikatif: norma ini dinyatakan dengan 
 
dan perhitungan perkaliannya sama dengan perhitungan sebelumnya.

Aplikasi pada persamaan Pell 
Dalam konteks aslinya, Brahmagupta mengaplikasikan penemuan identitas ini pada solusi persamaan Pell . Ketika menggunakan identitas dalam bentuk yang lebih umum

Brahmagupta mampu "menyusun" rangkap tiga  dan  untuk solusi dari , sehingga menghasilkan rangkap tiga baru

Brahmagupta tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk  yang dimulai dengan satu solusi, tetapi juga menghasilkan solusi bilangan bulat atau "bilangan bulat dekat" yang seringkali dapat diperoleh dengan membagi komposisi tersebut dengan . Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh Bhaskara II pada 1150, yaitu metode chakravala (siklus) yang juga didasarkan pada identitas ini.

Menulis bilangan bulat sebagai jumlah dari dua kuadrat 
Ketika digunakan bersama dengan salah satu dari teorema Fermat, identitas Brahmagupta–Fibonacci membuktikan bahwa hasil kali dari bilangan kuadrat dan sebarang bilangan prima dalam bentuk  sama dengan jumlah dari dua bilangan kuadrat.

Lihat pula

 Matriks Brahmagupta
 Matematika India
 Daftar matematikawan India
 Jumlah teorema dua kuadrat

Catatan

Referensi

Pranala luar
Identitas Brahmagupta di PlanetMath
Identitas Brahmagupta di MathWorld
 Sebuah Kumpulan Identitas Aljabar

Aljabar
Brahmagupta
Aljabar dasar
Identitas matematika
Kuadrat dalam teori bilangan