Masalah pembenaman Connes

Masalah pembenaman Connes adalah masalah besar dalam teori aljabar von Neumann. Masalah ini dirumuskan oleh Alain Connes pada tahun 1970-an. Pada saat itu, masalahnya dirumuskan dalam beberapa bidang matematika yang berbeda. Dan Vioculescu yang mengembangkan teori entropi bebas menemukan bahwa masalah pembenaman Connes berkaitan dengan keberadaan keadaan mikro. Beberapa hasil teori aljabar von Neumann dapat diperoleh dengan mengasumsi penyelesaian positif pada masalah tersebut. Masalah ini dihubungkan dengan beberapa pertanyaan dasar dalam teori kuantum, yang mengarah ke realisasi bahwa ia juga memiliki implikasi yang penting dalam ilmu komputer.

Masalah pembenaman Connes mengakui sejumlah perumusan setara. Masalah ini khususnya mirip dengan masalah yang sudah lama terjadi:

 Konjektur QWEP Kirchberg dalam teori aljabar-C*
 Masalah Tsirelson dalam teori informasi kuantum
 Pra-ganda suatu aljabar von Neumann (terpisahkan) jelas terwakilkan dalam kelas teras.

Pada Januari 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright, dan Yuen mengumumkan sebuah hasil dalam teori kekompleksan kuantum yang menyiratkan sebuah jawaban negatif untuk masalah pembenaman Connes.

Pernyataan 
Misalkan  adalah ultratapis bebas pada bilangan asli dan misalkan  adalah faktor tipe II1 hiperhingga dengan teras . Maka, ultrakuasa  ditulis sebagai berikut:

Masalah pembenaman Connes menanyakan apakah setiap faktor tipe II1 pada ruang Hilbert terpisahkan dapat dibenamkan menjadi setiap .

Penyelesaian positif untuk masalah ini akan menyiratkan adanya subruang invarian untuk kelas operator besar dalam faktor II-1 (Uffe Haagerup); semua grup diskret tercacahkan adalah hiperlinear. Penyelesaian positif untuk masalah ini juga akan menyiratkan melalui persamaan antara entropi bebas  dan entropi bebas yang didefinisikan dengan keadaan mikro (Dan Voiculescu). Pada bulan Januari 2020, ada sebuah grup penelitian yang dikatakan bahwa mereka telah menyelesaikan masalah dalam bentuk jawaban negatif: terdapat faktor von Neumann tipe II1 yang tidak dapat dibenamkan dalam ultrakuasa  dari faktor hiperhingga II1.

Kelas isomorfisme  adalah bebas dari ultratapis jika dan hanya jika hipotesis kontinum benar (Ge-Hadwin dan Farah-Hart-Sherman), namun sifat pembenaman tidak bergantung pada ultratapis karena aljabar von Neumann bertindak pada ruang Hilbert terpisahkan, dalam bahasa kasarnya, sangat kecil.

Masalah ini mengakui sejumlah perumusan setara.

Konferensi ditujukan ke masalah pembenaman Connes 

 Connes' embedding problem and quantum information theory workshop; Universitas Vanderbilt di Nashville Tennessee; 1–7 Mei, 2020 ((ditunda; Akan diumumkan)
 The many faceted Connes' Embedding Problem; BIRS, Kanada; 14–19 Juli, 2019
 Winter school: Connes' embedding problem and quantum information theory; 7–11 Januari, 2019
 Workshop on Sofic and Hyperlinear Groups and the Connes Embedding Conjecture; UFSC Florianopolis, Brazil; 10–21 Juni 2018
 Approximation Properties in Operator Algebras and Ergodic Theory; UCLA; 30 April–5 Mei, 2018
 Operator Algebras and Quantum Information Theory;  Institut Henri Poincare, Paris; Desember 2017
 Workshop on Operator Spaces, Harmonic Analysis and Quantum Probability; ICMAT, Madrid; 20 Mei–14 Juni, 2013
 Fields Workshop around Connes Embedding Problem – University of Ottawa, 16–18 Mei, 2008

Referensi

Bacaan lebih lanjut 

 
 
 
 
 
 
Masalah matematika yang belum terpecahkan
Aljabar von Neumann