Bilangan kuasa penuh

Bilangan kuasa penuh () adalah bilangan bulat positif  sehingga untuk setiap bilangan prima  yang membagi , maka  juga membagi . Bilangan kuasa penuh dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan kuadrat dan bilangan kubik, yakni ditulis sebagai ; disini,  dan  adalah bilangan bulat positif.

Berikut adalah daftar bilangan kuasa penuh dari 1 sampai 1000:
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... .

Sifat matematis 
Jumlah timbal balik dari bilangan kuasa penuh adalah konvergen. Nilai dari jumlah ini dapat ditulis dengan beberapa cara lain, di antaranya menggunakan darab tak terhingga

Sebagai keterangan,  menyatakan bilangan prima,  menyatakan fungsi zeta Riemann, dan  menatakan konstanta Apéry. 
Lebih umumnya lagi, jumlah timbal balik dari bilangan kuasa penuh pangkat  sama dengan

ketika menuju ke konvergen.

Misalkan  melambangkan jumlah dari bilangan kuasa penuh di selang , maka  sebanding dengan akar kuadrat dari . Lebih tepatnya,

Dua bilangan kuasa berturut yang terkecil adalah 8 dan 9. Karena persamaan Pell  memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian, maka terdapat tak berhingga banyaknya pasangan dari bilangan kuasa penuh yang berturutan; lebih umumnya, bilangan kuasa berturutan dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan Pell yang serupa, , untuk setiap bilangan kubik . Sayangnya, salah satu dari dua bilangan kuasa penuh yang berpasangan harus berupa bilangan kuadrat. Menurut Guy, Erdős menanyakan apakah terdapat tak berhingga banyaknya pasangan dari bilangan kuasa penuh berturutan seperti , dan di dalam pasangan bilangan tersebut tidak terdapat bilangan kuadrat. Walker memperlihatkan bahwa terdapat tak berhingga banyaknya pasangan tersebut dengan memperlihatkan bahwa  memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Penyelesaian miliknya untuk persamaan tersebut dihasilkan, untuk sebarang bilangan bulat ganjil , dengan memandang bilangan

untuk bilangan bulat  dapat dibagi oleh 7 dan  dapat dibagi oleh 3. Setelah itu, ia mengonstruksikan 
dari  dan  menjadi bilangan kuasa penuh berturut  dan  dengna . Ketika memilih , , dan , maka dihasilkan pasangan berturutan terkecil, yaitu

dan

Sebuah konjektur Erdős, Mollin, dan Walsh mengatakan bahwa tiada tiga bilangan kuasa penuh yang berturutan. Jika triplet dari bilangan kuasa penuh itu ada, maka suku terkecilnya pasti kongruen dengan 7, 27, atau 35 modulo 36.

Catatan

Referensi 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Barisan bilangan bulat