Batas (topologi)

Dalam topologi dan matematika, batas, perbatasan, atau sempadan () himpunan  dari ruang topologis  merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari  dan dari luar . Lebih tepatnya, batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan  bukan merupakan milik interior . Sebuah unsur dari batas  disebut titik batas , dan istilah operasi batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk batas himpunan  di antaranya , , dan .

Definisi umum 
Ada beberapa definisi yang ekuivalen mengenai batas himpunan bagian  dari ruang topologis  yang dapat dilambangkan sebagai   atau cukup ditulis :

 Batas himpunan merupakan ketertutupan  dikurangi interior : 
dengan  menyatakan ketertutupan  di , dan  menyatakan interior topologis  di .
 Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan  dengan ketertutupan komplemen:
 Batas himpunan merupakan himpunan titik  sehingga setiap lingkungan  memuat setidaknya satu titik  dan setidaknya satu titik yang bukan :

Contoh-contoh 

Tinjau garis real  dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan  merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di  kosong). Maka

 
 
 
 

Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk batas  dari subhimpunan , memuat subhimpunan terbuka takkosong dari . Dalam artian untuk interior  di  adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi, batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.

Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang ), batas dari  adalah kosong, dimana  bilangan irasional.

Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada , maka batas cakram tertutup  merupakan lingkaran sekeliling cakram: . Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu , maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri: . Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang ), maka batas cakramnya kosong.

Sifat-sifat 
Ketertutupan dari himpunan  sama dengan gabungan dari himpunan dengan batas himpunan :dengan  menyatakan ketertutupan  di . Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat batas himpunan , dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari batas himpunan . Batas himpunannya adalah tertutup, yang diikuti dari rumus . Notasi  merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup 

("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan  maka setiap titik , tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu  dan 

Ketiga himpunan (yaitu  dan ) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong, maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari 

Sebuah titik  merupakan titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga  memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan. Batas interior himpunan yang juga merupakan batas dari ketertutupan himpunan memuat di batas himpunan.

Batas dari sebuah batas 
Untuk suatu himpunan , , dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas  tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika  baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup,  untuk suatu himpunan . Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)

Lihat pula 

 Lihat diskusi batas di manifold topologis untuk lebih lanjut
 Batas manifold
 Titik pembatas – konsep matematis yang berkaitan dengan himpunan bagian ruang vektor
 Ketertutupan (topologi)
 Eksterior (topologi) – himpunan bagian buka terbesar yang dengan adanya "diluar" himpunan bagian
 Interior (topologi)
 Himpunan rapat tak di mana-mana
 Teorema kerapatan Lebesgue, untuk pencirian ukuran teoretik dan sifat-sifat batas.
 Permukaan (topologi) – manifold berdimensi dua

Catatan

Referensi

Bacaan lebih lanjut 

 
 
 

Topologi umum