Transpos konjugat

Dalam matematika, transpos konjugat () atau transpose Hermite () dari suatu matriks  dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari  lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari  adalah , untuk sembarang bilangan real  dan ). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah konjugat Hermite, matriks adjoin, dan transjugat (transjugate). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai  atau .

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, .

Definisi 
Transpos konjugat dari suatu matriks  berukuran  secara formal didefinisikan sebagai

dengan indeks  menyatakan entri ke- dari matriks, untuk  dan , dan overbar menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai

dengan  menyatakan transpos, dan   menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks  dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

 , dan , yang umum digunakan dalam aljabar linear,
 , umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
 , walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks,  menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

Contoh 
Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks  berikut:

 

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

 

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

Motivasi 
Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks:Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks  di dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor real ) oleh matriks real berukuran 2×2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari  dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2×2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran  juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran . Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran .

Sifat-sifat 

  untuk sembarang matriks  dan  yang memiliki ukuran yang sama.
  untuk sembarang bilangan kompleks  dan sembarang matriks  berukuran .
  untuk sembarang matriks  berukuran  dan sembarang matriks  berukuran . Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.
  funtuk sembarang matriks  berukuran , dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
 Jika  adalah matriks persegi, maka  dengan  menyatakan determinan dari  .
 Jika  adalah matriks persegi, maka  dengan  menyatakan trace dari .
  terbalikkan jika dan hanya jika  juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut, .
 Nilai-nilai eigen dari  adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari .
  untuk sembarang matriks  berukuran , sembarang vektor , dan sembarang vektor . Dalam persamaan ini,  menyatakan hasil kali dalam kompleks pada , dan serupa untuk notasi .

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi  dengan entri-entri  disebut

 Hermite, jika ; yakni ketika .
 Skew Hermitian atau antihermitian jika ; yakni, .
 Normal jika .
 Uniter jika , atau secara ekuivalen , atau secara ekuilvalen .

Bahkan jika  bukan matriks persegi, kedua matriks  dan  merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

Referensi

Pranala luar