Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk
 
dimana kondisi awal  sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk  apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama
Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

 

Bila  dan kondisi awal  adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis  sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain  yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada .

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.

Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah , ketika  ditulis sebagai
 
dimana   dan  dan dimana .

Penulisan lebih lanjut  ditampilkan sebagai hasil

Pendekatan kedua 

Pendekatan ini  diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk  alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana  bukanlah negatif. Tulis sebagai  diimplikasikan , dimana  yang diberikan oleh  dan dimana . Maka dapat ditunjukkan bahwa  dievolusikan sebagai

Pendekatan ketiga
Persamaan
 
juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah

dimana

Aplikasi

Hal ini ditunjukkan bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

 

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Referensi

Bacaan lebih lanjut

 Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.

Aljabar
Hubungan perulangan
Sistem dinamik