Relasi kekongruenan

Dalam aljabar abstrak, relasi kekongruenan (juga disebut dengan kekongruenan atau kongruen) adalah relasi ekuivalensi pada struktur aljabar (seperti grup, gelanggang, atau ruang vektor) yang sesuai dengan struktur yang bersangkutan; dalam artian hasil operasi aljabar dari elemen yang ekuivalen akan menghasilkan elemen yang ekuivalen. Setiap relasi kekongruenan memiliki kelas-kelas kesetaraan (atau kelas-kelas kekongruenan) yang bersesuaian untuk relasi tersebut.

Definisi 
Kekongruenan memiliki definisi yang bergantung pada tipe struktur aljabar yang sedang dibahas. Definisi kekongruenan yang spesifik dapat dibentuk untuk grup, gelanggang, semigrup, modul, dan lain-lainnya. Tema yang umum dari definisi kekongruenan adalah suatu relasi ekuivalensi pada objek aljabar yang tetap berlaku pada struktur aljabar yang bersangkutan; dalam artian operasi untuk anggota struktur tersebut terdefinisi dengan baik untuk kelas-kelas ekuivalennya. Sebagai contoh, sebuah grup adalah objek aljabar berisi himpunan yang dilengkapi oleh sebuah operasi biner, yang memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Untuk sebuah grup  dengan operasi , relasi kekongruenan pada  adalah relasi ekuivalensi  pada elemen-elemen  yang memenuhi

untuk setiap , , , . Untuk kekongruenan pada sebuah grup, kelas kesetaraan yang mengandung elemen identitas selalu merupakan subgrup normal, dan kelas-kelas ekuvalen lainnya adalah coset dari subgrup ini. Secara keseluruhan, kelas-kelas kesetaraan ini adalah elemen dari grup hasil bagi.

Jika struktur aljabar memiliki lebih dari satu operasi, relasi kekongruenan perlu berlaku untuk setiap operasi. Sebagai contoh, sebuah gelanggang memiliki operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga relasi kekongruenan perlu memenuhi

 

untuk setiap . Untuk kekongruenan pada sebuah gelanggang, kelas kesetaraan yang mengandung unsur 0 selalu merupakan ideal dua sisi; dan dua operasi pada himpunan kelas-kelas kesetaraan, dapat mendefinisikan gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Bentuk umum relasi kekongruenan dapat didefinisikan secara formal dalam konteks aljabar universal, sebuah bidang ilmu yang mempelajari sifat-sifat yang dimiliki semua struktur aljabar. Dalam bidang ini, relasi kekongruenan adalah relasi ekuivalensi  pada struktur aljabar yang memenuhi

 

untuk setiap operasi -ary , dan untuk semua elemen  dengan   untuk setiap

Contoh 
Contoh umum dari relasi kekongruenan adalah kekongruenan modulo  pada himpunan bilangan bulat. Untuk sebuah bilangan bulat positif , dua bilangan bulat  dan  dikatakan (saling) kongruen modulo , dan dituliskan sebagai

 

jika  habis dibagi oleh  (dalam kata lain, jika  dan  memiliki sisa pembagian yang sama ketika dibagi oleh ).

Sebagai contoh,  dan  saling kongruen modulo , dan dituliskan sebagai

 

karena  adalah kelipatan dari ; atau secara ekuivalen, karena  dan  memiliki sisa pembagian  ketika dibagi oleh .

sifat penjumlahan dan perkalian bilangan bulat masih berlaku dalam kekongruenan modulo  (untuk  yang tetap). Hal ini mengartikan jika

  dan 

maka

   and  

Penjumlahan dan perkalian untuk kelas-kelas kesetaraan ini dikenal sebagai aritmetika modular. Dari sudut pandang aljabar abstrak, kekongruenan modulo  adalah relasi kekongruenan pada gelanggang bilangan bulat, dan operasi modulo  terjadi pada gelanggang hasil bagi yang bersangkutan.

Hubungan dengan homomorfisma 
Jika  adalah homomorfisma antara dua struktur aljabar (seperti homomorfisma pada grup, atau sebuah pemetaan linear antar ruang vektor), maka relasi  yang didefinisikan sebagai

  jika dan hanya jika 

adalah relasi kekongruenan. Berdasarkan teorema isomorfisma yang pertama,    adalah substruktur dari  yang isomorfik kepada hasil bagi dari  oleh kekongruenan ini.

Kekongruenan grup, subgrup normal, dan ideal 
Dalam kasus khusus berupa grup, relasi kekongruenan dapat dideskripsikan dalam kondisi-kondisi sederhana berikut. Untuk grup  (dengan elemen identitas  dan operasi ), relasi biner  adalah kekongruenan jika dan hanya jika:

 Untuk setiap ,  (reflektif).
 Untuk setiap , jika  maka  (simetris).
 Untuk setiap , jika  dan , maka  (transitif).
 Untuk setiap , jika  dan , maka .
 Untuk setiap , jika  maka  (kondisi ini redundan karena dapat dibuktikan dari empat kondisi lainnya

Tiga kondisi pertama mengatakan bahwa  adalah sebuah relasi ekuivalensi. Kekongruenan  ditentukan seluruhnya dari himpunan  elemen  yang kongruen dengan elemen identitas, dan himpunan ini termasuk subgrup normal. Secara khusus,  jika dan hanya jika  . Hal ini menyebabkan kekongruenan lebih sering merujuk pada subgrup normal dari grup ketimbang pada grup; faktanya, setiap kekongruenan berkorespodensi dengan subgrup normal  yang unik.

Catatan

Referensi 

 Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. . (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)