Bilangan hiperkompleks

Dalam matematika, bilangan hiperkompleks adalah istilah tradisional untuk elemen dari satuan aljabar di atas bidang.
Studi tentang bilangan hiperkompleks pada akhir abad ke-19 membentuk dasar teori representasi grup modern.

Sejarah 
Pada abad kesembilan belas sistem bilangan disebut kuaternion, tessarin, kokuaternion, bikuaternion, dan oktonion menjadi konsep dalam literatur matematika, ditambahkan ke riil dan bilangan kompleks. Konsep bilangan hiperkompleks mencakup semuanya, dan disiplin untuk menjelaskan dan mengklasifikasikannya.

Proyek pembuatan katalog dimulai pada tahun 1872 ketika Benjamin Peirce pertama kali menerbitkan  Aljabar asosiatif linear , dan dibawa oleh putranya Charles Sanders Peirce.  Mengidentifikasi nilpoten dan elemen idempoten sebagai bilangan hiperkompleks yang berguna untuk klasifikasi. Konstruksi Cayley–Dickson menggunakan involusi untuk menghasilkan bilangan kompleks, kuaternion, dan oktonion dari sistem bilangan riil. Hurwitz dan Frobenius membuktikan teorema yang membatasi hiperkompleksitas: Teorema Hurwitz menyatakan bahwa komposisi aljabar riil berdimensi-hingga adalah riil ℝ, kompleks ℂ, kuartenion ℍ, dan oktonion 𝕆, dan Teorema Frobenius menyatakan bahwa satu-satunya aljabar pembagian asosiatif adalah ℝ, ℂ, dan ℍ. Pada tahun 1958 J. Frank Adams menerbitkan generalisasi lebih lanjut dalam hal invarian Hopf pada ruang- H  yang masih membatasi dimensinya menjadi 1, 2, 4, atau 8.

Aljabar matriks yang memanfaatkan sistem hiperkompleks. Pertama, matriks memberikan kontribusi bilangan hiperkompleks baru seperti matriks real 2 × 2. Segera paradigma matriks mulai menjelaskan yang lain ketika mereka diwakili oleh matriks dan operasi mereka.  Pada tahun 1907 Joseph Wedderburn menunjukkan bahwa sistem hiperkompleks asosiatif dapat diwakili oleh matriks, atau jumlah langsung dari sistem matriks. Sejak tanggal itu istilah yang lebih disukai untuk sistem hiperkompleks menjadi aljabar asosiatif seperti yang terlihat pada judul tesis Wedderburn di Universitas Edinburgh. Namun perlu dicatat, bahwa sistem non-asosiatif seperti oktonion dan kuaternion hiperbolik mewakili jenis bilangan hiperkompleks lainnya.

Sebagai Hawkins menjelaskan, bilangan hypercomplex adalah batu loncatan untuk mempelajari teori grup Lie dan representasi grup. Misalnya, pada tahun 1929 Emmy Noether menulis tentang "kuantitas hiperkompleks dan teori representasi". Pada tahun 1973 Kantor dan Solodovnikov menerbitkan buku teks tentang bilangan hiperkompleks yang diterjemahkan pada tahun 1989.

Karen Parshall telah menulis penjelasan terperinci tentang masa kejayaan bilangan hiperkompleks, termasuk peran matematikawan termasuk Theodor Molien dan Eduard Study.<ref>{{citation |author-link=Eduard Study |first=Eduard |last=Study |year=1898 |chapter=Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen |title=[[Klein's encyclopedia|Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften]] |volume=I A |issue=4 |pages=147–183}}</ref> Untuk transisi ke aljabar modern, Bartel van der Waerden menyediakan tiga puluh halaman untuk bilangan hiperkompleks dalam  Sejarah Aljabar .

 Definisi 
Definisi dari bilangan hiperkompleks oleh  sebagai elemen aljabar berdimensi hingga atas bilangan sebenarnya adalah unital tetapi tidak harus asosiatif atau komutatif. Elemen dihasilkan dengan koefisien bilangan riil  untuk dasar . Jika memungkinkan, adalah konvensional untuk memilih basis tersebut . Pendekatan teknis untuk bilangan hypercomplex mengarahkan perhatian pertama ke dimensi dua.

 Aljabar riil dua dimensi 

Bukti: Karena aljabar adalah 2-dimensi, kita dapat memilih basis {1,  u }. Karena aljabar tertutup di bawah kuadrat, elemen basis non-riil  u  persegi menjadi kombinasi linear 1 dan  u :

untuk beberapa bilangan riil a0 dan a1.
Menggunakan metode umum kuadrat kompleks dengan mengurangi a1u dan menambahkan komplemen kuadrat a / 4 untuk kedua sisi hasil

Thus  dimana 
Ketiga kasus tersebut bergantung pada nilai riil:
 Bila , hasil rumus di atas . Oleh karena itu,  ũ  dapat langsung diidentifikasi dengan elemen nilpoten  dari dasar  dari dua angka.
 Bila , rumus di atas menghasilkan . Hal ini mengarah pada bilangan kompleks terbagi yang memiliki basis yang dinormalisasi  dengan . Untuk mendapatkan  j  dari  ũ , yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif  yang memiliki kotak yang sama dengan  ũ .
 Bila , rumus di atas menghasilkan . Bilangan kompleks yang memiliki basis yang dinormalisasi  with . Untuk menghasilkan  i  dari  ũ , yang terakhir harus dibagi dengan bilangan riil positif  yang kuadratkan ke negatif ũ2.

Bilangan kompleks adalah satu-satunya aljabar hiperkompleks 2 dimensi yang merupakan bidang.
Aljabar seperti bilangan kompleks terbagi yang menyertakan akar non-nyata dari 1 juga mengandung idempoten  dan pembagi nol , jadi aljabar seperti itu tidak bisa aljabar pembagian s. Namun, properti ini ternyata bisa menjadi sangat berarti, misalnya dalam mendeskripsikan transformasi Lorentz dari relativitas khusus.

Dalam edisi 2004 Majalah Matematika, aljabar nyata 2 dimensi telah diberi gaya "bilangan kompleks umum". The idea of cross-ratio of four complex numbers can be extended to the 2-dimensional real algebras.

 Lihat pula 
 Sedenions
 Thomas Kirkman
 Georg Scheffers
 Richard Brauer
 Analisis hiperkompleks

 Referensi 

 Bacaan lebih lanjut 

 
 
 
 . and Ouvres Completes'' T.2 pt. 1, pp 107–246.

Pranala luar 

 
 History of the Hypercomplexes on hyperjeff.com
 Hypercomplex.info
 
  (English translation)
  (English translation)

 
Sejarah matematika
Sejarah kuaternion