Grup Galois

Dalam matematika, di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori Galois, Grup Galois dari jenis tertentu ekstensi bidang adalah grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan polinomial yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut teori Galois, dinamai demikian untuk menghormati Évariste Galois yang pertama kali dibahas.

Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah grup permutasi, lihat artikel di teori Galois.

Definisi 
Misalkan  adalah perpanjangan dari bidang  (ditulis sebagai  dan dibaca "E di atas F "). Automorfisme dari  didefinisikan sebagai automorfisme dari  dari  secara searah. Dengan kata lain, automorfisme  adalah isomorfisme  sehingga  untuk . Himpunan dari semua automorfisme  membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup ini terkadang dilambangkan dengan 

Jika  adalah ekstensi Galois, maka  disebut  'Galois group'  dari , dan biasanya dilambangkan dengan .

Jika  bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari  terkadang didefinisikan sebagai , di mana  adalah penutupan Galois dari .

Grup Galois dari suatu polinomial 
Definisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial . Jika ada bidang  sedemikian rupa sehingga  menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier

di atas bidang , maka grup Galois dari polinomial  didefinisikan sebagai grup Galois dari  di mana  minimal di antara semua bidang tersebut.

Struktur grup Galois

Teorema dasar teori Galois 
Salah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari teorema fundamental teori Galois. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas , ada bijection antara himpunan subbidang  dan subgrup  Kemudian,  diberikan oleh himpunan invarian dari  di bawah aksi , jadi

Selain itu, jika  adalah subgrup normal maka . Dan sebaliknya, jika  adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di  adalah grup normal.

Struktur kisi 
Misalkan  adalah ekstensi Galois dari  dengan grup Galois  Bidang  dengan grup Galois  memiliki injeksi  yang merupakan isomorfisme .

Indruksi 
Sebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois  where  maka isomorfisme dari grup Galois:

Contoh 
Dalam contoh berikut  adalah bidang, dan  adalah bidang bilangan kompleks, riil, dan rasional. Notasi  menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan adjunsi elemen  ke bidang .

Alat komputasi

Kardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidang 
Salah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois dari ekstensi medan hingga adalah sebagai berikut: Polinomial , maka  menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah,

Kriteria Eisenstein 
Alat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari kriteria Eisenstein. Jika polinomial  faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi  grup Galois dari  dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap  karena grup Galois dari  adalah grup Galois dari

Grup trivial 
 merupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas.

Contoh lain dari grup Galois trivial adalah  Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari  urutan dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas.

Pertimbangkan bidang  Grup  hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena  bukan ekstensi norma, karena dua akar pangkat tiga lainnya dari ,

 and 

hilang dari ekstensi, dengan kata lain  bukan bidang pemisah.

Properti 
Arti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi teorema dasar teori Galois: subgrup tertutup (sehubungan dengan topologi Krull) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang.

Jika  adalah ekstensi Galois, maka  dapat diberi topologi, yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi grup tak hingga.

Lihat pula 
 Teorema dasar teori Galois
 Grup Galois mutlak
 Representasi Galois
 Kelompok Dimushkin
 Grup solvabel

Catatan

Referensi

Pranala luar 

Galois group and the Quaternion group 

Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields 
Galois Representations  - Richard Taylor

Teori Galois