Grupoid

Dalam matematika, terutama dalam teori kategori dan teori homotopi, grupoid (disebut juga grupoid Brandt atau grup virtual ) menggeneralisasi pengertian grup dalam beberapa cara yang setara. Grupoid dapat dilihat sebagai:

 Grup dengan fungsi parsial menggantikan operasi biner;
 Kategori dimana setiap morfisme invers. Kategori dilihat sebagai ditambah dengan operasi uner, yang disebut invers dengan analogi teori grup. Grupoid dimana terdapat satu objek adalah grup biasa.

Dengan pengetikan dependen, kategori secara umum dilihat sebagai jenis monoid, dan demikian pula, grupoid dilihat sebagai grup diketik. Morfisme satu dari satu objek ke objek lain, dan membentuk keluarga tipe dependen, sehingga morfisme dapat ditulis, . Komposisi kemudian menjadi fungsi total: , maka .

Kasus khusus meliputi:

 Setoid: himpunan dengan relasi ekivalensi,
 himpunan-G : himpunan dengan grup aksi .

Grupoid digunakan untuk bernalar tentang objek geometris dengan lipatan.    memperkenalkan grupoid secara implisit melalui semigrup Brandt.

Definisi

Aljabar 
Grupoid adalah satu himpunan  dengan operasi uner dan fungsi parsial  . * bukan operasi biner karena tidak harus ditentukan untuk semua pasangan elemen . Kondisi yang tepat di bawahnya  didefinisikan tidak diartikulasikan dan berbeda menurut situasi.

 dan −1 memiliki sifat aksiomatik berikut: Untuk semua , , dan  dalam ,

 Asosiatif: Jika  dan  didefinisikan, lalu  dan  didefinisikan ekuivalensi. Sebaliknya, jika  dan  didefinisikan, maka keduanya pula dan  sebaik  =  .
 Invers:  dan  harus ditentukan.
 Identitas: Jika  didefinisikan, lalu , dan . (Dua aksioma sebelumnya sudah menunjukkan bahwa ekspresi ini didefinisikan dan tidak ambigu.)

Dua sifat mudah dengan aksioma berikut:

  ,
 Jika  didefinisikan ke .

Kategori teoretis 
Grupoid adalah kategori kecil dimana morfisme adalah isomorfisme, yaitu invertibel. Lebih tepatnya, grupoid G adalah:

 Satu himpunan G 0 dari objek;
 Untuk setiap pasangan objek x dan y di G 0, terdapat himpunan G( x, y ) morfisme (atau panah) dari x ke y . Kami menulis f : x → y untuk menunjukkan bahwa f adalah elemen dari G ( x, y ).
 Untuk setiap objek x, elemen yang ditentukan  dari G ( x, x );
 Untuk setiap tiga objek x, y, dan z, fungsi  ;
 Untuk setiap pasangan objek x, y fungsi  ;

untuk setiap f : x → y, g : y → z, dan h : z → w :

  dan  ;
  ;
  dan  .

Jika f merupakan unsur dari G( x, y ) maka x disebut sumber f, ditulis s( f ), dan y disebut target f, ditulis t( f).

Secara lebih umum, seseorang dapat mempertimbangkan objek grupoid dalam kategori arbitrer yang menerima produk serat hingga.

Membandingkan definisi 
Definisi aljabar dan teori kategori adalah ekuivalen, sebagai contoh di atas tunjukkan. Diberikan grupoid dalam pengertian teori-kategori, misalkan G adalah satuan disjoin dari semua himpunan G( x, y ) (yaitu himpunan morfisme dari x ke y). Kemudian  dan  menjadi operasi parsial pada G, dan  sebenarnya akan ditentukan dimana. Mendefinisikan ∗ menjadi  dan −1 menjadi , memberikan grupoid dalam arti aljabar. Referensi eksplisit ke G 0 (dan karena ) bisa dijatuhkan.

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen  pada elemen  iff a ∗ a −1 = b ∗ b −1. Misalkan G 0 adalah himpunan kelas ekiuvalensi , yaitu  . Maka a ∗ a −1 dengan  jika  dengan .

Sebaliknya, jika diberikan grupoid G dalam pengertian aljabar, definisikan relasi ekuivalen  pada elemen  iff a ∗ a −1 = b ∗ b −1. Misalkan G 0 adalah himpunan kelas ekiuvalensi , yaitu  . Maka a ∗ a −1 dengan  jika  dengan .

Sekarang jelaskan  sebagai himpunan dari semua elemen f sedemikian rupa . Diberikan  dan  komposit didefinisikan sebagai . Untuk melihat bahwa ini didefinisikan dengan baik, amati  dan , begitu pula  . Morfisme identitas pada x kemudian , dan kebalikan teori kategori dari f adalah f −1 .

Himpunan dalam definisi di atas dapat diganti dengan kelas, seperti yang umumnya terjadi dalam teori kategori.

Grup verteks 
Diberikan grupoid G, grup verteks atau grup isotropi      atau grupobjek di G adalah himpunan bagian dari bentuk G ( x, x ), dimana x adalah sembarang objek dari G. Dengan mudah dari aksioma di atas bahwa ini memang kelompok, karena setiap pasangan elemen dapat disusun dan invers berada dalam kelompok titik yang sama.

Kategori grupoids 
Sebuah subgrupoid adalah subkategori yang merupakan grupoid. Morfisme grupoid sebuah fungsi antara dua grupoid (teori-kategori). Kategori dimana objek grupoid dan morfismenya adalah morfisme groupoid disebut kategori grupoid, atau kategori grupoids, dilambangkan dengan Grpd.

Kategori dengan kategori kecil, penutupan Kartesius. Artinya, dengan grupoids  sebuah grupoid  dimana objeknya adalah morfisme  dan panahnya merupakan padanan alami dari morfisme. Maka, jika  adalah grup, panah tersebut adalah konjugasi morfisme. Hasil utamanya adalah untuk grupoids  bijeksi alami.

Hasil ini bahkan jika semua grupoids  adalah grup.

Fibrasi dan kovergelanggang 
Jenis morfisme tertentu dari grupoids adalah interist. Morfisme   grupoids disebut fibrasi jika untuk setiap objek  dari  dan setiap morfisme  dari  ke  adalah morfisme  dari  mulai dari  seperti yang  . Fibrasi disebut  kovergelanggang morfisme atau kovergelanggang grupoid jika  adalah unik. Kovergelanggang morfisme dari grupoids sangat berguna karena dapat digunakan untuk memodelkan peta.

Bahwa kategori morfisme kovergelanggang grupoid tertentu  adalah ekuivalen dengan kategori aksi grupoid tersebut  di antara himpunan.

Contoh

Topologi 
Diberikan ruang topologi , maka  adalah himpunan . Morfisme dari inti  ke titik  adalah kelas kesetaraan dari jalur kontinu dari  untuk , dengan dua jalur ekuivalen jika homotopi. Dua morfisme disusun dengan jalur pertama, maka kedua; ekuivalen homotopi bahwa komposisi bersifat asosiatif. Grupoid disebut grupoid fundamental dari , dilambangkan  (atau terkadang,  ). Grup fundamental biasa  kemudian grup puncak untuk titik tersebut . Untuk ruang yang terhubung dengan jalur, grupoid fundamental dan grup fundamental bertepatan, dan operasi komposisi ditentukan untuk semua pasangan kelas kesetaraan.

Perpanjangan penting dari gagasan ini adalah dengan mempertimbangkan grupoid fundamental  dimana  adalah himpunan "titik dasar" yang dipilih. Hanya mempertimbangkan jalur yang memiliki titik akhir  .  adalah sub-grupoid dari . Himpunan  dapat dipilih sesuai dengan geometri situasi yang dihadapi.

Relasi ekuivalen 
Jika  adalah himpunan dengan relasi ekuivalen dilambangkan dengan infiks , maka grupoid yang "mewakili" relasi ekuivalensi dibentuk sebagai berikut:

 Objek grupoid adalah elemen ;
 Untuk dua elemen apa pun  dan  di , ada satu morfisme dari  untuk  jika dan hanya jika  .

Tindakan grup 
Jika grup  di lokasi , maka kita dapat membentuk aksi grupoid (atau transformasi grupoid ) yang merepresentasikan tindakan grup ini sebagai berikut:

 Objek adalah elemen  ;
 Untuk dua elemen  dan  di , morfisme dari  untuk  sesuai dengan elemen  dari  dengan  ;
 Komposisi morfisme menafsirkan operasi biner  .

Lebih jelasnya, aksi grupoid adalah kategori kecil dengan  dan  dengan peta sumber target  dan  . Dilambangkan dengan  (atau  ). Perkalian (atau komposisi) di grupoid kemudian  ditentukan dengan  .

Untuk  di , grup puncak terdiri dari  dengan , merupakan subgrup isotropi di  untuk aksi diberikan grup simpul (juga disebut grup isotropi).

Cara lain untuk mendeskripsikan himpunan- adalah kategori funktor , dimana  adalah grupoid (kategori) dengan satu elemen dan isomorfik ke grup . Memang, setiap funktor  dari kategori mendefinisikan satu himpunan  dan untuk setiap  di  (yaitu untuk setiap morfisme dalam  ) dari bijeksi  :  . Struktur kategoris dari funktor  meyakinkan kami bahwa  mendefinisikan aksi- di lokasi syuting . Funktor (unik) diwakili  :  →  adalah representasi Cayley dari . Faktanya, fungsi isomorfik  dan  ke himpunan  menurut definisi "himpunan"  dan morfisme  dari  (yaitu elemen  dari ) ke permutasi  himpunan . Menyimpulkan dari embedding Yoneda grup  isomorfik ke grup , Subgrup dari grup permutasi .

Himpunan hingga 
Pertimbangkan himpunan hingga , membentuk aksi grup  aksi  dengan membuat setiap bilangan menjadi negatif, maka  dan . Grupoid hasil bagi  adalah himpunan kelas kesetaraan dari aksi grup , dan  aksi grup  di atasnya.

Variasi hasil bagi 
Dalam , grup hingga dimana  yang memetakan ke  diberikan aksi grup  (karena ini adalah grup automorfisme). Kemudian, grupoid hasil bagi dibentuk , yang memiliki satu titik dengan stabilizer . Contoh membentuk dasar teori orbifold. Keluarga orbifold lain yang umum dipelajari adalah ruang proyektif berbobot  dan subruangnya, dengan orbifold Calabi-Yau.

Produk fiber grupoids 
Diberikan diagram grupoid dengan morfisme grupoid

dimana  dan , membentuk grupoid  objeknya tiga kali lipat , dimana , , dan  di . Morfisme dapat diartikan sebagai sepasang morfisme  dimana  dan  untuk tiga kali lipat , diagram komutatif di  dari ,  dan .

Aljabar homologis 
Kompleks dua istilah

objek dalam kategori Abelian komkret digunakan untuk membentuk grupoid. Objek himpunan  dan panah  dimana morfisme sumber proyeksi di atas  sedangkan morfisme target adalah penambahan proyeksi ke atas  disusun dengan  dan proyeksi ke . Artinya, diberikan  dirumuskan

Tentu saja, jika kategori abelian adalah kategori berkas gandum yang koheren pada suatu skema, maka konstruksi ini dapat digunakan untuk membentuk lembaran awal groupoids.

Teka-teki 
Sementara teka-teki seperti Kubus Rubik dapat dimodelkan menggunakan teori grup (lihat grup Kubus Rubik ), teka-teki tertentu lebih dimodelkan sebagai grupoids.

Transformasi dari lima belas teka-teki membentuk groupoid (bukan grup, karena tidak semua gerakan dapat disusun). Grupoid bekerja dengan konfigurasi.

Grupoid Mathieu 
Grupoid Mathieu adalah grupoid diperkenalkan oleh John Horton Conway bekerja pada 13 titik sedemikian rupa sehingga unsur-unsur yang menetapkan titik membentuk salinan dari grup Mathieu M12.

Relasi dengan grup 

Jika sebuah grupoid memiliki satu objek, maka himpunan morfismenya membentuk sebuah grup. Menggunakan definisi aljabar, grupoid seperti itu secara harfiah hanyalah sebuah grup. Banyak konsep teori grup digeneralisasi menjadi grupoids, dengan gagasan dari functor menggantikan yang dari grup homomofisme.

Setiap grupoid koneksi yaitu, dimana dua objek terhubung oleh setidaknya satu morfisme, isomorfik ke aksi grupoid (seperti yang didefinisikan di atas) . Dengan keterhubungan, hanya akan ada satu orbit di bawah aksi. Jika grupoid tidak terhubung, maka isomorfik gabungan grupoids terputus dari tipe di atas (dengan grup yang berbeda.  dan himpunan  untuk setiap komponen yang terhubung).

Perhatikan bahwa isomorfisme yang dijelaskan di atas tidak unik, dan tidak ada pilihan alami. Memilih isomorfisme semacam itu untuk groupoid yang terhubung pada dasarnya sama dengan memilih satu objek , grup isomorfisme  dari  untuk , dan untuk . Selain , morfisme dalam  dari  untuk .

Dalam istilah teori-kategori, setiap komponen yang terhubung dari groupoid adalah ekuivalen (tetapi tidak isomorfik) dengan grupoid dengan satu objek, yaitu satu grup. Jadi grupoid dengan rkuivalen multi himpunan grup yang tidak terkait. Dengan kata lain, untuk ekuivalen dan bukan isomorfisme, menentukan himpunan , hanya grup  Sebagai contoh,

 Grupoid fundamental dari  dengan himpunan ekuivalen grup fundamental dari setiap komponen koneksi ke jalur , tetapi isomorfisme membutuhkan penetapan himpunan titik di setiap komponen;
 Himpunan  dengan relasi ekuivalen  (sebagai grupoid) dengan satu salinan dari grup trivial untuk setiap kelas kesetaraansi, tetapi isomorfisma membutuhkan penspesifikasian apa setiap kelas ekivalen:
 Himpunan  dengan aksi grup ekuivalen (sebagai grupoid) dengan satu salinan  untuk setiap orbit aksi, tetapi isomorfisme membutuhkan penentuan himpunan setiap orbit.

Grupoid menjadi himpunan grup saja kehilangan beberapa informasi, bahkan dari sudut pandang teori-kategori, karena itu tidak wajar. Jadi, ketika grupoid dari segi struktur lain, contoh di atas, akan membantu untuk mempertahankan grupoid penuh. Jika, dengan cara untuk melihat masing-masing  dalam hal satu grup, dan pilihan ini bisa berubah. Dalam contoh dari topologi, Anda harus membuat pilihan jalur yang koheren (atau kelas ekivalensi jalur) dari setiap titik  ke setiap poin  di komponen yang terhubung ke jalur yang sama.

Sebagai contoh yang lebih mencerahkan, klasifikasi grupoids dengan satu endomorfisme tidak direduksi menjadi pertimbangan teoritis grup murni. Hal ini dengan fakta bahwa klasifikasi ruang vektor dengan satu endomorfisme bersifat nontrivial.

Morfisme grupoids dalam jenis grup: misalnya, fibrasi, kovering morfisme, morfisme universal, dan morfisme hasil bagi . Jadi subgrup  dari sebuah grup  menghasilkan aksi  di kohimpunan dari  di  dan karenanya morfisme yang menutupi  dari,  untuk , dimana  adalah grupoid dengan grup verteks isomorfik . Dengan cara ini, presentasi grup  dapat "diangkat" ke presentasi grupoid , dan ini adalah cara yang berguna untuk memperoleh informasi tentang presentasi subgrup  . Untuk informasi lebih lanjut, lihat buku oleh Higgins dan oleh Brown dalam Referensi.

Sifat dari kategori Grpd 

 Grpd adalah sifat kompleks dan kompleks
 Grpd adalah kategori tertutup kartesius

Relasi dengan Kat 
Inklusi  memiliki adjoint kiri dan kanan:

Maka,  menunjukkan lokalisasi kategori yang membalikkan setiap morfisme, dan  menunjukkan subkategori semua isomorfisme.

Relasi dengan hHimpunan 
Fungsi saraf  embed Grpd sebagai subkategori kompleks dari kategori himpunan sederhana. Saraf grupoid selalu Kan kompleks.

Saraf memiliki adjoin kiri

Maka,  menunjukkan grupoid fundamental dari himpunan sederhana X.

Grupoids di Grpd 
Terdapat struktur tambahan yang dapat diturunkan dari grupoid internal ke kategori grupoids, double-groupoids. Karena Grpd adalah kategori 2, objek membentuk kategori 2 daripada kategori 1 karena terdapat struktur tambahan. Pada dasarnya, ini adalah grupoids  dengan funktorsdan embedding yang diberikan oleh sebuah fungsi identitasSalah satu cara untuk memikirkan tentang 2-grupoids ini adalah objek, morfisme, dan persegi yang dapat disusun bersama secara vertikal dan horizontal. Misalnya, persegi yang diberikan dan dengan  morfisme yang sama, digabungkan secara vertikal memberikan diagramyang dapat diubah menjadi persegi lain dengan menyusun panah vertikal. Tedapat hukum komposisi serupa untuk lampiran persegi horizontal.

Grupoid Lie dan Aljabroid Lie 
Saat mempelajari objek geometris, grupoids dengan beberapa struktur diferentiabel, mengubah menjadi grupoid Lie. Dipelajari dalam istilah aljabroid Lie, dalam analogi relasi antara grup Lie dan aljabar Lie .

Lihat pula 

 Grupoid-∞
 Grup-2
 Teori tipe homotopi
 Kategori invers
 Aljabar grupoid (jangan disamakan dengan aljabarik grupoid )
 Aljabroid-R

Catatan

Referensi 

 
 Brown, Ronald, 1987, " Dari kelompok ke groupoids: survei singkat ," Bull. Matematika London. Soc. 19 : 113-34. Meninjau sejarah groupoids hingga tahun 1987, dimulai dengan karya Brandt pada bentuk kuadrat. Versi yang dapat diunduh memperbarui banyak referensi.
 —, 2006. Topologi dan groupoids. Bookurge. Edisi revisi dan diperpanjang dari buku yang sebelumnya diterbitkan pada tahun 1968 dan 1988. Groupoids diperkenalkan dalam konteks aplikasi topologi mereka.
 —, Teori kelompok berdimensi lebih tinggi Menjelaskan bagaimana konsep groupoid telah menyebabkan groupoid berdimensi lebih tinggi, memiliki aplikasi dalam teori homotopi dan dalam kohomologi kelompok. Banyak referensi.
 
 
 F. Borceux, G. Janelidze, 2001, teori Galois. Universitas Cambridge Tekan. Menunjukkan bagaimana generalisasi teori Galois mengarah pada groupoids Galois .
 Cannas da Silva, A., dan A. Weinstein, Model Geometris untuk Aljabar Nonkomutatif. Terutama Bagian VI.
 Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, " Dinamika jaringan nonlinier: formalisme groupoid ", Bull. Amer. Matematika. Soc. 43 : 305-64
 
 Higgins, PJ, "Groupoid fundamental dari grafik kelompok ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145—149.
 Higgins, PJ dan Taylor, J., "Groupoid fundamental dan kompleks persilangan homotopy dari ruang orbit ", dalam teori Kategori (Gummersbach, 1981), Catatan Kuliah dalam Matematika., Volume 962. Springer, Berlin (1982), 115—122.
 Higgins, PJ, 1971. Kategori dan groupoids. Catatan Van Nostrand dalam Matematika. Diterbitkan ulang dalam Cetak Ulang dalam Teori dan Aplikasi Kategori, No. 7 (2005) hal. 1–195; dapat diunduh secara bebas . Pengenalan substansial untuk teori kategori dengan penekanan khusus pada groupoids. Mempresentasikan aplikasi groupoid dalam teori grup, misalnya untuk generalisasi teorema Grushko, dan dalam topologi, misalnya groupoid fundamental .
 Mackenzie, KCH, 2005. Teori umum dari Lie groupoids dan Lie algebroids. Universitas Cambridge Tekan.
 Weinstein, Alan, " Groupoids: pemersatu simetri internal dan eksternal — Sebuah tur melalui beberapa contoh. " Juga tersedia dalam Postscript., Pemberitahuan AMS, Juli 1996, hal. 744–752.
 Weinstein, Alan, " The Geometry of Momentum " (2002)
 RT Zivaljevic. "Groupoids dalam kombinatorika — aplikasi teori kesimetrian lokal". Dalam kombinatorika Aljabar dan geometris, volume 423 dari Contemp. Matematika ., 305–324. Amer. Matematika. Soc., Providence, RI (2006)
 
 

Teori homotopi
Teori kategori
Struktur aljabar