Himpunan kuasa

Dalam matematika, himpunan kuasa () dari himpunan  adalah himpunan dari semua subhimpunan  yang memuat himpunan kosong dan  itu sendiri. Dalam teori himpunan aksiomatik (saat dikembangkan, sebagai contoh, dalam aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan didalilkan melalui aksioma himpunan kuasa. Notasi dari himpunan kuasa  dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: , , ,  atau . Notasi  mengartikan bahwa himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari  ke himpunan yang mempunyai dua anggota. Penggunaan notasi tersebut dipakai sebab himpunan kuasa dari  dapat diidentifikasi dengan, ekuivalen dengan, atau bijektif dengan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari  ke himpunan yang mempunyai dua himpunan anggota.

Sebarang subhimpunan dari  disebut sebagai keluarga himpunan atas .

Contoh 
Jika  adalah himpunan , maka subhimpunan dari  adalah

  (juga dilambangkan  atau , himpunan kosong atau himpunan nol)
 
 
 
 
 
 
 

Oleh karena itu, himpunan kuasa dari  adalah .

Sifat-sifat 
Jika  adalah sebuah himpunan terhingga dengan kardinalitas , maka jumlah subhimpunan dari  adalah . Fakta tadi menjelaskan alasan pemakaian notasi , dan ini dapat diperlihatkan di bawah berikut:

Argumen diagonal Cantor memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan (tak terhingga atau terhingga) selalu memiliki kardinalitas tertinggi sempurna daripada himpunan itu sendiri (atau secara informal, himpunan kuasa harus lebih besar daripada himpunan asli). Secara khusus, teorema Cantor memperlihatkan bahwa himpunan kuasa dari himpunan takhingga tercacahkan merupakan himpunan tak terhingga yang tak tercacahkan. Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan bilangan asli dapat korespondensi satu-ke-satu dengan himpunan bilangan real (lihat Kardinalitas dari kontinum).

Himpunan kuasa dari himpunan , bersama dengan operasi-operasinya seperti gabungan, irisan, dan komplemen, dapat diperlihatkan sebagai contoh dari aljabar Boole. Bahkan, seseorang dapat memperlihatkan bahwa sebarang aljabar Boole terhingga isomorfik dengan aljabar Boole himpunan kuasa dari himpunan terhingga. Hal tersebut tak berlaku benar untuk aljabar Boole tak terhingga, tetapi setiap aljabar Boole tak terhingga dapat dinyatakan sebagai subaljabar dari aljabar Boole himpunan kuasa (lihat teorema representasi Stone).

Himpunan kuasa dari  akan membentuk suatu grup Abel ketika dianggap mempunyai operasi beda simetrik (dengan himpunan kosong sebagai elemen identitas dan masing-masing himpunan adalah invers dari himpunan itu sendiri), dan himpunan kuasa dari  akan membentuk monoid komutatif ketika dianggap mempunyai operasi irisan. Ini disebabkan dengan membuktikan hukum distributif, bahwa himpunan kuasa yang dianggap mempunyai kedua operasi tersebut akan membentuk suatu gelanggang Boole.

Menyatakan subhimpunan sebagai fungsi 
Dalam teori himpunan, notasi  menyatakan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari  ke . Karena "2" dapat didefinisikan sebagai  (lihat, sebagai contoh, ordinal von Neumann),  (atau ) merupakan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari  ke . Seperti yang diperlihatkan sebelumnya,  dan himpunan kuasa dari , , dianggap sama.

Gagasan ini dapat berlaku untuk contoh sebelumnya, dengan  isomorfik dengan representasi bilangan biner dari  ke , dengan  adalah sebuah jumlah anggota dalam himpunan , yaitu , Himpunan terenumerasi  terdefinisi dengan jumlah pasangan terurut menyatakan posisi anggota berpasangan dari  dalam bentuk sebarang barisan biner. Sebagai contoh, , sebab  dari  terletak di bagian pertama dari kanan barisan dan sedangkan  terletak di bagian kedua dari kanan barisan. Digit 1 di barisan biner menyatakan bahwa anggota dari  yang korespondensi dengan posisi darinya di barisan ada di dalam subhimpunan dari , sedangkan 0 menyatakan sebaliknya.

Untuk semua anggota dari himpunan kuasa , didapati:

Fungsi bijektif yang dipetakan dari  ke bilangan bulat bersifat sebarang, sehingga representasi subhimpunan dari  tidak tunggal, tetapi urutan pemilahan dari himpunan terenumerasi tidak mengubah kardinalitasnya. Akan tetapi, representasi barisan biner terhingga hanya dapat terjadi jika  dapat dienumerasi. Enumerasi tersebut bahkan dapat dilakukan jika  mempunyai kardinalitas tak terhingga (dalam artian bahwa anggota di  mempunyai jumlah tak terhingga), seperti himpunan bilangan bulat atau himpunan bilangan rasional. Sebaliknya, enumerasi tak dapat dilakukan jika, sebagai contoh,  adalah himpunan bilangan real, sebab jumlah anggota bilangan irasional di  tak dapat dihitung.

Relasi dengan teorema binomial 
Himpunan kuasa berkaitan dengan teorema binomial. Jumlah subhimpunan dengan  anggota dalam himpunan kuasa dari himpunan dengan  anggota dinyatakan dengan jumlah kombinasi, , yang juga disebut koefisien binomial.

Sebagai contoh, himpunan kuasa dari himpunan yang mengandung tiga anggota, mempunyai:

  subhimpunan dengan 0 anggota (subhimpunan kosong),
  subhimpunan dengan 1 anggota (subhimpunan singleton),
  subhimpunan dengan 2 anggota (komplemen dari subhimpunan singleton),
  subhimpunan dengan 3 anggota (himpunan asal itu sendiri).

Dengan adanya kaitan tersebut, maka kardinalitas dari himpunan kuasa  dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Oleh karena itu, identitas berikut dapat disimpulkan dengan mengasumsi .

Definisi rekursif 
Jika  suatu himpunan hingga, maka definisi rekursif  dijelaskan sebagai berikut:

 Jika , maka .
 Jika tidak, misalkan  dan , maka 

Dengan kata lain:

 Himpunan pangkat dari himpunan kosong adalah singleton dengan anggotanya merupakan himpunan kosong.
 Untuk himpunan takkosong , misalkan  adalah sebarang anggota dari himpunan dan  adalah komplemen relatifnya, maka himpunan kuasa dari  adalah gabungan dari himpunan kuasa dari  dan himpunan kuasa dari  yang setiap anggota dapat diperluas dengan anggota .

Subhimpunan kardinalitas terbatas 
Himpunan dari subhimpunan dari  dengan kardinalitas yang lebih kecil atau sama dengan  terkadang dinyatakan dengan notasi  atau , sedangkan himpunan dari subhimpunan dengan kardinalitas yang tepat lebih kecil daripada  terkadang dinyatakan dengan notasi  atau . Dengan cara yang serupa, himpunan dari subhimpunan takkosong  dapat dinyatakan dengan notasi  atau .

Fungtor dan kuantor 
Dalam teori kategori dan teori topoi elementer,kuantor semesta dapat dipahami sebagai adjoin kanan fungtor di antara himpunan kuasa, fungtor citra invers dari fungsi di antara himpunan, sedangkan kuantifikasi eksistensial dapat dipahami sebagai adjoin kiri fungtor di antara himpunan kuasa.

Lihat pula 

 Teorema Cantor
 Keluarga himpunan
 Medan himpunan
 Kombinasi

Referensi

Daftar pustaka

Pranala luar 

 
 
 
 Power set Algorithm in C++

Operasi pada himpunan