Bentuk kuadrat biner

Dalam matematika, bentuk kuadrat biner adalah kuadrat polinomial homogen dalam dua variabel

 

di mana  a ,  b ,  c  adalah koefisien. Jika koefisien dapat berubah-ubah bilangan kompleks, sebagian besar hasil tidak spesifik untuk kasus dua variabel, jadi hasil tersebut dijelaskan dalam bentuk kuadrat. Bentuk kuadrat dengan koefisien bilangan bulat disebut bentuk kuadrat biner integral, sering disingkat menjadi  bentuk kuadrat biner .

Artikel ini sepenuhnya dikhususkan untuk bentuk kuadrat biner integral. Pilihan ini dilatarbelakangi oleh status mereka sebagai pendorong di balik perkembangan teori bilangan aljabar. Sejak akhir abad kesembilan belas, bentuk kuadrat biner dalam teori bilangan aljabar ke kuadrat dan bidang bilangan yang lebih umum, tetapi kemajuan khusus untuk bentuk kuadrat biner masih terjadi pada kesempatan tertentu.

Pierre Fermat menyatakan bahwa jika p adalah bilangan prima ganjil maka persamaannya  memiliki solusi iff , dan dia membuat pernyataan serupa tentang persamaan , ,  dan 
 dan seterusnya adalah bentuk kuadrat, dan teori bentuk kuadrat memberikan cara terpadu untuk melihat dan membuktikan teorema ini

Contoh lain dari bentuk kuadrat adalah Persamaan Pell 

Bentuk kuadrat biner sangat erat kaitan ideal di bidang kuadrat, ini memungkinkan bilangan kelas dari bidang kuadrat untuk dihitung dengan menghitung jumlah bentuk kuadrat biner tereduksi dari diskriminan yang diberikan

Fungsi theta klasik dari 2 variabel adalah , jika  adalah bentuk kuadrat pasti positif  adalah fungsi theta

Ekuivalen 
Dua bentuk  f  dan  g  disebut ekuivalen jika terdapat bilangan bulat  sehingga:

 

Misalnya, dengan  dan , , , dan , menemukan bahwa  f  adalah , yang disederhanakan menjadi .

Kondisi ekivalensi di atas mendefinisikan relasi ekuivalen pada himpunan bentuk kuadrat integral. Oleh karena itu, bentuk kuadrat partisi diubah menjadi kelas kesetaraan, yang disebut kelas dari bentuk kuadrat. Kelas invarian dapat berarti fungsi yang didefinisikan pada kelas ekuivalen bentuk atau properti yang dimiliki oleh semua bentuk dalam kelas yang sama.

Lagrange menggunakan pengertian yang berbeda tentang kesetaraan, di mana kondisi kedua diganti dengan .  Sejak Gauss telah diakui bahwa definisi ini lebih rendah dari yang diberikan di atas. Jika ada kebutuhan untuk membedakan, terkadang bentuk disebut ekuivalen riil menggunakan definisi di atas dan ekuivalen tidak semestinya jika setara dalam pengertian Lagrange.

Dalam terminologi matriks, yang kadang-kadang digunakan di bawah, maka

  

memiliki entri bilangan bulat dan determinan 1, peta  adalah (kanan) tindakan grup dari  pada himpunan bentuk kuadrat biner. Relasi ekuivalensi di atas kemudian muncul dari teori umum aksi grup.

Jika , kemudian invarian penting termasuk

 Diskriminan .
 Konten, sama dengan pembagi persekutuan terbesar dari  a ,  b , dan  c .

Terminologi telah muncul untuk mengklasifikasikan kelas dan bentuknya dalam istilah invariannya. Suatu bentuk diskriminan  adalah definisi jika , digenerasikan jika  adalah kuadrat sempurna, dan tak hingga sebaliknya. Suatu bentuk dikatakan primitif jika isinya adalah 1, yaitu, jika koefisiennya koprima. Jika diskriminan suatu bentuk adalah diskriminan fundamental, maka bentuk itu primitif. Discriminants satisfy

Automorfisme 
Jika  f  adalah bentuk kuadrat, berarti matriks

  

dalam  adalah automorfisme dari  f  jika . Misalnya matriks

 

adalah automorfisme bentuk .  Automorfisme bentuk membentuk subgrup dari .  Ketika  f  pasti, grupnya terbatas, dan ketika  f  tidak pasti, itu tak terbatas dan siklik.

Representasi 
Bentuk kuadrat biner  repsentasi bilangan bulat  jika dimungkinkan untuk bilangan bulat  dan  memiliki persamaan   Persamaan ini adalah representasi dari  n  oleh  f .

Contoh 
Diophantus mempertimbangkan apakah, untuk bilangan bulat ganjil , adalah mungkin untuk menemukan bilangan bulat  dan  yang . Saat , adalah
 

jadi relasi  yang berhasil. Kita mendapatkan lebih banyak pasangan yang bekerja dengan mengganti nilai  dan  atau dengan mengubah salah satu atau keduanya dari  dan . Secara keseluruhan, ada enam belas pasangan solusi yang berbeda. Sebaliknya, jika , persamaannya

 

tidak memiliki solusi bilangan bulat. Untuk mengetahui alasannya, kami mencatat bahwa  kecuali  atau . Jadi,  akan melebihi 3 kecuali  adalah salah satu dari sembilan pasangan dengan  dan  masing-masing sama dengan  atau 1. Kita dapat memeriksa sembilan relasi ini secara langsung untuk melihat yang tidak , jadi persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.

Argumen serupa menunjukkan bahwa untuk setiap , persamaan  hanya dapat memiliki sejumlah solusi terbatas maka  akan melebihi  kecuali nilai absolut  dan  keduanya kurang dari . Hanya ada sejumlah pasangan terbatas yang memenuhi batasan ini.

Masalah kuno lain yang melibatkan bentuk kuadrat meminta kita untuk menyelesaikannya Persamaan Pell. Misalnya, kita dapat mencari bilangan bulat  x  dan  y  sehingga .  Mengubah tanda  x  dan  y  dalam suatu solusi memberikan solusi lain, jadi cukup mencari solusi saja dalam bilangan bulat positif. Salah satu solusinya adalah , Artinya, persamaan . Jika  adalah solusi untuk , maka  adalah pasangan serupa lainnya. Misalnya, dari pasangan , adalah

 ,

dan  mengulangi proses ini, kami menemukan relasi selanjutnya  dengan :

  
Nilai ini akan terus bertambah ukurannya, jadi kami melihat ada banyak cara yang tak terbatas untuk merepresentasikan 1 dengan bentuk . Deskripsi rekursif ini telah dibahas dalam komentar Theon dari Smyrna tentang Elemen Eklides.

Masalah representasi 
Masalah tertua dalam teori bentuk kuadrat biner adalah masalah representasi: mendeskripsikan representasi dari bilangan tertentu  dengan bentuk kuadrat  f . "Mendeskripsikan" dapat berarti berbagai hal: memberikan algoritma untuk menghasilkan semua representasi, rumus tertutup untuk jumlah representasi, atau bahkan hanya menentukan apakah representasi ada.

Contoh di atas membahas masalah representasi untuk angka 3 dan 65 dengan bentuk  dan untuk angka 1 dengan bentuk . Bahwa 65 diwakili oleh  dalam enam belas cara berbeda, sedangkan 1 diwakili oleh  dalam banyak cara dan
3 tidak diwakili semua . Dalam kasus pertama, enam belas representasi dijelaskan secara eksplisit. Bahwa jumlah representasi dari suatu bilangan bulat oleh  adalah hingga. Jumlah fungsi kuadrat  memberikan jumlah representasi  n  oleh  sebagai fungsi dari  n . Rumus tertutup

 

dimana  adalah banyaknya pembagi dari  n  yang kongruen sampai 1 modulo 4 dan  adalah banyaknya pembagi dari  n  dari kongruen 3 dengan 4.

Ada beberapa invarian kelas yang relevan dengan masalah representasi:

 Himpunan bilangan bulat yang diwakili oleh kelas. Jika bilangan bulat  n  diwakili oleh formulir di kelas, maka itu diwakili oleh semua bentuk lain di kelas.
 Nilai absolut minimum yang diwakili oleh sebuah kelas. Ini adalah nilai nonnegatif terkecil dalam himpunan bilangan bulat yang diwakili oleh sebuah kelas.
 Kelas-kelas kesesuaian modulo diskriminan kelas yang diwakili oleh kelas.

Nilai absolut minimum yang diwakili oleh sebuah kelas adalah nol untuk kelas merosot dan positif untuk kelas-kelas tertentu dan tak-hingga. Semua angka diwakili oleh bentuk tertentu  memiliki tanda yang sama: positif if  dan negatif if . Untuk alasan ini, yang pertama disebut bentuk definisi positif dan yang terakhir disebut definisi negatif.

Jumlah representasi bilangan bulat  n  dengan bentuk  f  terbatas jika  f  pasti dan tak terbatas jika  f  tidak pasti. Kami melihat contohnya pada contoh di atas:   positif dan  tidak terbatas.

Representasi ekuivalen 
Pengertian ekuivalen bentuk dapat diperluas menjadi representasi ekuivalen.  Representasi  dan  akuivalen jika matriks

 

dengan entri integer dan determinan 1 sehingga  dan

 

Kondisi di atas memberikan aksi (kanan) grup  pada himpunan representasi bilangan bulat dengan bentuk kuadrat biner. Oleh karena itu, persamaan yang didefinisikan dengan cara ini adalah hubungan kesetaraan dan khususnya bentuk-bentuk dalam representasi yang setara adalah bentuk-bentuk yang setara.

Sebagai contoh, misalkan  dan pertimbangkan representasi . Representasi semacam itu adalah solusi persamaan Pell yang dijelaskan dalam contoh di atas. Matriks

 

memiliki determinan 1 dan merupakan automorfisme dari  f . Bertindak atas representasi  dengan matriks ini menghasilkan representasi yang setara . Langkah rekursi dalam proses yang dijelaskan di atas untuk menghasilkan banyak solusi tak terhingga untuk . Iterasi aksi matriks ini, kami menemukan bahwa himpunan representasi tak hingga dari 1 oleh  f  yang ditentukan di atas semuanya ekuivalen.

Secara umum ada banyak kelas ekivalen yang terbatas dari representasi integer  n  dengan bentuk diskriminan bukan nol yang diberikan . Seperangkat perwakilan lengkap untuk kelas-kelas ini dapat diberikan dalam istilah  bentuk tereduksi  yang ditentukan pada bagian di bawah ini. Saat , setiap representasi setara dengan representasi unik dengan bentuk yang direduksi, sehingga satu set lengkap perwakilan diberikan oleh banyak representasi  n  yang tereduksi oleh bentuk diskrim yang dikurangi diskriminan . Maka , Zagier membuktikan bahwa setiap representasi bilangan bulat positif  n  oleh bentuk diskriminan  adalah setara dengan representasi unik  di mana  f  dikurangi dalam pengertian Zagier dan , . Himpunan dari semua representasi tersebut merupakan himpunan lengkap perwakilan untuk kelas representasi kesetaraan.

Pengurangan dan bilangan kelas 

Lagrange membuktikan bahwa untuk setiap nilai  D , hanya ada banyak kelas bentuk kuadrat biner dengan diskriminan  D . Nomor mereka adalah  diskriminan  D . Dia menggambarkan sebuah algoritma, yang disebut reduksi, untuk membangun perwakilan kanonik di setiap kelas, bentuk tereduksi, yang koefisiennya paling kecil.

Gauss memberikan algoritme reduksi yang unggul dalam  Disquisitiones Arithmeticae , yang sejak saat itu menjadi algoritme reduksi yang paling umum diberikan di buku teks.  Pada tahun 1981, Zagier menerbitkan algoritma reduksi alternatif yang telah menemukan beberapa kegunaan sebagai alternatif dari Gauss.

Komposisi 
Komposisi paling sering mengacu pada operasi biner pada kelas kesetaraan primitif dari bentuk diskriminan yang sama, salah satu penemuan Gauss terdalam, yang membuat himpunan ini menjadi grup abelian terbatas yang disebut bentuk grup kelas (atau hanya grup kelas) diskriminan . Grup kelas telah menjadi salah satu ide sentral dalam teori bilangan aljabar. Dari perspektif modern, golongan diskriminan fundamental  isomorfik ke gru0 kelas sempit dari bidang kuadrat  diskriminan . Untuk negatif , kelompok kelas sempit adalah sama dengan grup kelas ideal, tetapi untuk positif  mungkin dua kali lebih besar.

"Komposisi" terkadang juga mengacu pada, secara kasar, operasi biner pada bentuk kuadrat biner. Kata menunjukkan dua peringatan: hanya pasangan bentuk kuadrat biner tertentu yang dapat disusun, dan bentuk yang dihasilkan tidak terdefinisi dengan baik (meskipun kelas ekuivalennya adalah). Operasi komposisi pada kelas ekivalen ditentukan dengan terlebih dahulu mendefinisikan komposisi bentuk dan kemudian menunjukkan bahwa ini menginduksi operasi yang terdefinisi dengan baik pada kelas.

"Komposisi" juga dapat merujuk ke operasi biner pada representasi bilangan bulat menurut bentuk. Operasi ini jauh lebih rumit daripada komposisi bentuk, tetapi muncul pertama kali secara historis. Kami akan mempertimbangkan operasi pada bagian terpisah di bawah ini.

Komposisi berarti mengambil 2 bentuk kuadrat dari diskriminan yang sama dan menggabungkannya untuk membuat bentuk kuadrat dari diskriminan yang sama, itu adalah generalisasi dari identitas 2-persegi

Bentuk komposisi dan kelas 
Berbagai definisi komposisi bentuk telah diberikan, sering kali dalam upaya untuk menyederhanakan definisi Gauss yang sangat teknis dan umum. Kami menyajikan di sini metode Arndt, karena tetap agak umum sementara cukup sederhana untuk dapat menerima perhitungan dengan tangan. Definisi alternatif dijelaskan di kubus Bhargava.

Misalkan komposisi  dan , setiap primitif dan diskriminan yang sama . Kami melakukan langkah-langkah berikut:

 Menghitung  dan , dan 
 Pecahkan sistem kesesuaian Dapat ditunjukkan bahwa sistem ini solusi bilangan bulat modulo . Kami memilih solusi dan menyebutnya  B .
 Hitung  C  sedemikian rupa .  Dapat ditunjukkan bahwa  C  adalah bilangan bulat.

Genera bentuk kuadrat biner 
Gauss juga dianggap sebagai gagasan kesetaraan yang lebih kasar, dengan setiap kelas disebut genus bentuk. Setiap genus adalah gabungan dari sejumlah terbatas kelas kesetaraan dari diskriminan yang sama, dengan jumlah kelas yang hanya bergantung pada diskriminan. Dalam konteks bentuk kuadrat biner, genera dapat didefinisikan baik melalui kelas kesesuaian angka yang diwakili oleh bentuk atau oleh karakter genus yang ditentukan pada himpunan bentuk. Definisi ketiga adalah kasus khusus dari genus bentuk kuadrat dalam n variabel. Ini menyatakan bahwa bentuk berada dalam genus yang sama jika setara secara lokal di semua bilangan prima rasional (termasuk Kedudukan Archimedean).

Lihat pula 
 Kubus Bhargava
 Teorema Fermat tentang penjumlahan dua persegi
 Simbol Legendre

Catatan

Referensi 
 Johannes Buchmann, Ulrich Vollmer: Binary Quadratic Forms, Springer, Berlin 2007, 
 Duncan A. Buell: Binary Quadratic Forms, Springer, New York 1989
 David A Cox, Primes of the form , Fermat, class field theory, and complex multiplication

Pranala luar 
 Peter Luschny, Positive numbers represented by a binary quadratic form
 

Bentuk kuadrat