Kategori (matematika)

Dalam matematika, kategori (terkadang disebut kategori abstrak untuk membedakannya dari kategori konkret) adalah kumpulan "objek" yang dihubungkan oleh "panah". Kategori memiliki dua properti dasar: kemampuan untuk menyusun panah asosiatif dan keberadaan panah identitas untuk setiap objek. Contoh sederhananya adalah kategori himpunan, yang objek himpunan dan panahnya adalah fungsi.

Teori kategori adalah cabang matematika untuk menggeneralisasi semua matematika dalam istilah kategori, terlepas dari apa yang diwakili oleh objek dan panahnya. Hampir setiap cabang matematika modern dapat dijelaskan dalam istilah kategori, dan mengungkapkan wawasan yang mendalam dan persamaan antara bidang matematika yang tampaknya berbeda. Maka, teori kategori memberikan landasan alternatif untuk matematika teori himpunan dan dasar aksiomatik lain yang diusulkan. Secara umum, objek dan panah dapat berupa entitas abstrak dalam bentuk, dan pengertian kategori menyediakan cara fundamental dan abstrak untuk menggambarkan entitas matematika dan relasi.

Selain memformalkan matematika, teori kategori juga digunakan untuk memformalkan banyak sistem lain dalam ilmu komputer, seperti semantik bahasa pemrograman.

Dua kategori adalah sama jika mereka memiliki koleksi objek yang sama, kumpulan panah, dan metode asosiatif untuk menyusun relasi panah. Dua kategori  berbeda  juga dapat dianggap "ekuivalen" untuk tujuan teori kategori, bahkan jika keduanya tidak memiliki struktur yang persis sama.

Kategori yang terkenal dilambangkan dengan kata atau singkatan singkat yang dicetak tebal atau miring: contohnya termasuk Himpunan, kategori himpunan dan fungsi himpunan; Gelanggang, kategori gelanggang dan homomorfisme gelanggang; dan ruang, kategori ruang topologi dan peta kontinu. Semua kategori sebelumnya memiliki peta identitas sebagai panah identitas dan komposisi sebagai operasi asosiatif pada panah.

Teks klasik dan masih banyak digunakan pada teori kategori adalah  Kategori untuk Matematikawan  oleh Saunders Mac Lane. Referensi lain diberikan dalam referensi di bawah. Definisi dasar dalam artikel ini terdapat dalam beberapa bab pertama dari salah satu buku ini.

Monoid sebagai jenis kategori khusus (dengan satu objek morfisme diwakili oleh elemen monoid), dan begitu pula praorder.

Definisi 
Terdapat definisi untuk suatu kategori. Salah satu definisi yang umum digunakan adalah sebagai berikut. A kategori  C  terdiri dari
 kelas ob(C) dari objek,
 kelas hom(C) dari morfisme, atau tanda, atau peta di antara objek,
 domain, atau sumber objek fungsi kelas ,
 kodomain, atau fungsi kelas objek target ,
 untuk setiap tiga objek  a ,  b  dan  c , operasi biner hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) disebut  komposisi morfisme ; komposisi f : a → b dan g : b → c ditulis sebagai g ∘ f atau gf.  (Beberapa penulis menggunakan "urutan diagram", menulis f;g atau fg). 
Catatan: Maka hom(a, b) menunjukkan subkelas morfisme  f  pada hom(C) dirumuskan  dan . Morfisme sering ditulis sebagai f : a → b.

sehingga aksioma berikut:
 (asosiatif) jika f : a → b, g : b → c dan h : c → d kemudian h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, dan
 (identitas) untuk setiap objek  x , terdapat morfisme 1x : x → x (beberapa idx) disebut  morfisme identitas untuk x , sehingga setiap morfisme f : a → x merumuskan 1x ∘ f = f, dan setiap morfisme g : x → b merumuskan g ∘ 1x = g.

Kategori kecil dan besar 
Kategori  C  disebut kecil jika keduanya ob(C) dan hom(C) sebenarnya himpunan dan bukan kelas proper, dan besar sebaliknya. Kategori kecil secara lokal adalah kategori sehingga untuk semua objek  a  dan  b , kelas-hom(a, b) adalah satu himpunan, disebut homset. Banyak kategori penting dalam matematika (seperti kategori himpunan), meskipun tidak kecil, setidaknya secara lokal kecil. Karena, dalam kategori kecil, objek membentuk himpunan, kategori kecil dapat dilihat sebagai struktur aljabar mirip dengan monoid tetapi tanpa memerlukan penutupan sifat.  Kategori besar di sisi lain dapat digunakan untuk membuat "struktur" dari struktur aljabar.

Contoh 
kelas dari semua himpunan (sebagai objek) bersama dengan semua fungsi di antara mereka (sebagai morfisme), dimana komposisi morfisme adalah komposisi fungsi biasa, membentuk kategori besar, Himpunan. Kategori paling dasar dan paling umum digunakan dalam matematika. Kategori Rel terdiri dari semua himpunan (sebagai objek) dengan relasi biner di antara mereka (sebagai morfisme).  Mengabstraksi dari relasi alih fungsi menghasilkan alegori, kelas khusus kategori.

Setiap kelas dapat dilihat sebagai kategori yang morfisme satu-satunya adalah morfisme identitas. Kategori seperti itu disebut diskrit. Untuk setiap himpunan  I ,  kategori diskrit pada I  adalah kategori kecil yang memiliki elemen  I  sebagai objek dan hanya morfisme identitas sebagai morfisme. Kategori diskrit adalah jenis kategori yang paling sederhana.

Setiap himpunan preorder ( P , ≤) membentuk kategori kecil, di mana objeknya adalah anggota  P , morfismenya adalah panah yang menunjuk dari  x  ke  y  adalah x ≤ y. Lebih lanjut, jika  ≤  adalah antisimetrik, paling banyak terdapat satu morfisme antara dua objek. Keberadaan morfisme identitas dan komposabilitas morfisme dijamin oleh refleksivitas dan transitivitas dari preorder. Dengan argumen yang sama, setiap himpunan berurutan sebagian dan relasi ekuivalen dapat dilihat sebagai kategori kecil. Semua bilangan ordinal dapat dilihat sebagai kategori jika dilihat sebagai himpunan urutan.

Setiap monoid (struktur aljabar dengan satu asosiatif operasi biner dan elemen identitas) membentuk kategori kecil dengan satu objek  x  . ( x  adalah himpunan tetap.) Morfisme dari  x  hingga  x  tepatnya adalah elemen monoid, morfisme identitas  x  adalah identitas monoid, dan komposisi kategorikal morfisme diberikan oleh operasi monoid. Beberapa definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan untuk kategori.

Maka, grup dapat dilihat sebagai kategori dengan satu objek di mana setiap morfisme adalah  dapat dibalik , Artinya, untuk setiap morfisme  f  ada morfisme  g  yang keduanya terbalik kiri dan kanan hingga  f  di bawah komposisi. Morfisme yang bisa dibalik dalam pengertian ini disebut isomorfisme.

Grupoid adalah kategori di mana setiap morfisme adalah isomorfisme. Grupoid adalah generalisasi dari grup, tindakan grup dan relasi ekuivalen. Sebenarnya, dalam pandangan kategori, perbedaan antara groupoid dan group adalah bahwa groupoid dapat memiliki lebih dari satu objek tetapi grup tersebut harus memiliki hanya satu. Pertimbangkan ruang topologi  X  dan tetapkan titik dasarnya  dari  X , maka  adalah grup fundamental dari ruang topologi  X  dan titik dasar , dan sebagai himpunan memiliki struktur grup; jika titik dasar  di atas  titik  X , dan gabungan dari , maka himpunan yang kita dapatkan hanya memiliki struktur grupoid (yang disebut sebagai grupoid fundamental dari  X ): dua loop (di bawah relasi ekivalensi homotopi) mungkin tidak memiliki titik dasar yang sama sehingga tidak dapat menggandakan satu sama lain. Dalam kategori, ini berarti di sini dua morfisme mungkin tidak memiliki objek sumber yang sama (atau objek target, karena dalam morfisme objek sumber dan objek target adalah sama: titik dasar) sehingga tidak dapat saling menyusun.

Semua grafik arah menghasilkan kategori kecil: objeknya adalah simpul dari graf, dan morfisme adalah jalur dalam grafik (ditambah dengan loop sesuai kebutuhan) di mana komposisi morfisme merupakan rangkaian jalur. Kategori seperti itu disebut  kategori bebas  yang dihasilkan oleh grafik.

Kelas dari semua grup dengan homomorfisme grup sebagai morfisme dan komposisi fungsi sebagai operasi komposisi membentuk kategori besar. Contoh lain dari kategori konkret diberikan oleh tabel berikut.

Fiber bundel dengan bundel map di antaranya membentuk kategori beton.

Kategori Cat terdiri dari semua kategori kecil, dengan funktor di antaranya sebagai morfisme.

Konstruksi kategori baru

Kategori ganda 
Setiap kategori  C  sendiri dapat dianggap sebagai kategori baru dengan cara yang berbeda: objeknya sama dengan yang ada di kategori asli tetapi panahnya adalah milik kategori asli terbalik. Ini disebut  ganda  atau  kategori berlawanan  dan dilambangkan Cop.

Kategori produk 
Jika  C  dan  D  adalah kategori, seseorang dapat membentuk  kategori produk   C  ×  D : Objek adalah pasangan yang terdiri dari satu objek dari  C  dan satu dari  D , dan morfismenya juga berpasangan, terdiri dari satu morfisme dalam  C  dan  D . Grup disusun secara komponen.

Lihat pula 

 Kategori Enriched
 Teori kategori tinggi
 Kuantaloid
 Tabel simbol matematika

Catatan

Referensi 
  (now free on-line edition, GNU FDL).
 .
 .
. 
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 .