Homomorfisme aljabar

Pada matematika, homomorfisme aljabar  adalah homomorfisme di antara dua aljabar asosiatif. Lebih tepatnya, jika  dan  adalah aljabar atas suatu lapangan (atau gelanggang komutatif) , fungsi merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap  anggota  dan  anggota ,

 
 
 

Dua kondisi pertama merupakan syarat agar  menjadi pemetaan linier-K (atau homomorfisme modul-K jika K adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi  menjadi homomorfisme gelanggang (nonunit).

Jika invers dari  merupakan homomorfisme atau dengan kata lain  bijektif, maka fungsi  merupakan isomorfisme antara   dan .

Homomorfisme aljabar unital 
Misalkan A dan B  adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar  disebut homomofisme unital jika  memetakan unsur satuan di  ke unsur satuan di . Homomorfisme aljabar seringkali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.

Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari homomorfisme gelanggang yang unital.

Contoh 

 Setiap gelanggang adalah aljabar-Z. Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik . Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-Z merupakan gelanggang. 
 Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan  menginduksi struktur aljabar-R komutatif pada S.  Sebaliknya, jika S merupakan aljabar-R komutatif, maka pemetaan    merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, overcategory gelanggang-R komutatif adalah kategori aljabar-R komutatif.
 Misalkan A adalah subaljabar dari B, maka untuk setiap unsur unit b, fungsi yang mengirim setiap elemen a di A ke b−1ab merupakan homomorfisme aljabar. (Jika , homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari B ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh b. Misalkan pula A adalah aljabar sederhana dan B merupakan central simple algebra, maka semua homomorfisme dari A ke B merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .

Lihat pula 

 Morfisme
 
 Spektrum gelanggang
 Augmentasi (aljabar)

Referensi 

Aljabar
Aljabar abstrak
Morfisme
Teori gelanggang