Persegi Latin

Dalam kombinatorika dan rancangan percobaan, persegi Latin adalah persegi berukuran n × n yang berisi n simbol berbeda, masing-masing hanya muncul sekali pada setiap kolom dan pada setiap baris. Contoh dari persegi Latin 3×3 adalah

Istilah "persegi Latin" terinspirasi oleh makalah matematika oleh Leonhard Euler (1707–1783), yang menggunakan alfabet Latin sebagai simbol. Sembarang himpunan simbol dapat digunakan untuk membuat persegi ini: pada contoh di atas, alfabet A, B, C dapat diganti dengan barisan bilangan bulat 1, 2, 3.

Sejarah 
Matematikawan Korea Choi Seok-jeong pertama kali menerbitkan sebuah contoh persegi Latin berukuran 9×9, dalam upayanya membuat persegi ajaib pada tahun 1700; lebih awal 67 daripada Leonhard Euler.

Bentuk tereduksi 
Persegi Latin dikatakan tereduksi (juga ternormalkan atau dalam bentuk standar) jika urutan simbol pada baris pertama dan kolom pertama sama dengan urutan aslinya. Sebagai contoh, persegi Latin pada contoh di atas tidak tereduksi karena kolom pertamanya adalah A, C, B, bukan A, B, C.

Semua persegi Latin dapat direduksi dengan mempermutasi (yakni, menyusun ulang) urutan kolom dan baris. Pada persegi di atas, menukar baris kedua dengan baris ketiga akan menghasilkan persegi Latin:

Persegi Latin ini tereduksi; urutan simbol pada baris pertama dan kolom pertamanya sama dengan urutan alfabet A, B, C.

Sifat

Representasi larik ortogonal 
Persegi Latin dapat disajikan dalam bentuk himpunan, disebut dengan larik ortogonal, dengan membuat tripel  untuk setiap elemen di persegi Latin. Pada tripel ini,  menyatakan urutan baris,  menyatakan urutan kolom, dan  menyatakan simbol pada baris ke- dan kolom ke-. Sebagai contoh, representasi larik ortogonal dari persegi Latin

adalah {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) }. Larik ortogonal umumnya ditulis dalam bentuk tabel, dengan setiap baris berisi nilai-nilai tripel, sebagai contoh:

Persegi Latin dapat didefinisikan dengan menggunakan larik ortogonal:persegi Latin adalah himpunan dari  tripel , dengan , dan memenuhi: setiap pasangan berurut  bernilai unik, setiap pasangan  bernilai unik, dan setiap pasangan  bernilai unik.

Banyak persegi Latin 
Tidak ada rumus sederhana untuk menghitung nilai , yakni banyaknya persegi Latin berukuran  berisi simbol-simbol . Nilai batas atas dan batas bawah terbaik untuk  memiliki jarak yang besar. Salah satu hasil menyatakan bahwaSebuah rumus eksplisit dan sederhana untuk banyak persegi Latin diterbitkan pada tahun 1992, namun sulit untuk dihitung karena banyak suku yang bertambah secara eksponensial. Rumus ini menyatakan banyaknya persegi Latin berukuran  adalahdengan  menyatakan himpunan semua matriks binear berukuran ,  menyatakan banyak elemen nol di matriks , dan  adalah permanen dari matriks .

Catatan kaki

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 

 Latin Squares in the Encyclopaedia of Mathematics
 Latin Squares in the Online Encyclopedia of Integer Sequences