Simetri dihedral dalam tiga dimensi

Dalam geometri, simetri dihedral dalam tiga dimensi adalah salah satu dari tiga barisan tak hingga dari grup titik dalam tiga dimensi yang memiliki grup simetri sebagai grup abstrak adalah grup dihedral Dihn (untuk n ≥ 2).

Jenis/Tipe 
Ada 3 jenis simetri dihedral dalam tiga dimensi, masing-masing ditunjukkan di bawah ini dalam 3 notasi: notasi Schönflies, notasi Coxeter, dan notasi orbifold.

Kiral
Dn, [n,2]+, (22n) urutan 2n – simetri dihedral atau grup para-n-gonal (grup abstrak: Dihn).
Akiral
Dnh, [n,2], (*22n) urutan 4n – simetri prismatik atau grup orto-n-gonal penuh (grup abstrak: Dihn × Z2).
Dnd (atau Dnv), [2n,2+], (2*n) urutan 4n – simetri antiprismatik atau grup giro-n-gonal penuh (grup abstrak: Dih2n).

Untuk n yang diberikan, ketiganya memiliki lipatan-n simetri rotasi sekitar satu sumbu (rotasi dengan sudut 360°/n tidak mengubah objek), dan simetri rotasi lipatan-2 tentang sumbu tegak lurus, dari sekitar  n . Untuk n = ∞, sesuai dengan tiga grup dekorasi. Notasi Schönflies digunakan dengan notasi Coxeter dalam tanda kurung, dan notasi orbifold dalam tanda kurung. Istilah horizontal (h) digunakan dengan sumbu rotasi vertikal.

Dalam 2D, grup simetri Dn mencakup refleksi dalam garis. Ketika bidang 2D tertanam secara horizontal dalam ruang 3D, refleksi tersebut dapat dilihat sebagai pembatas pada bidang refleksi melalui bidang vertikal, atau sebagai pembatas pada bidang rotasi terhadap garis pantul, sebesar 180°. Dalam 3D, dua operasi dibedakan: grup Dn berisi rotasi, bukan refleksi. Grup lainnya adalah simetri piramida Cnv dengan urutan 2n.

Dengan simetri refleksi pada bidang tegak lurus terhadap sumbu rotasi lipatan-n, maka menghasilkan Dnh, [n], (*22n).

Dnd (atau Dnv), [2n,2+], (2*n) memiliki bidang cermin vertikal di antara sumbu rotasi horizontal, bukan melaluinya. Hasilnya, sumbu vertikal adalah sumbu lipatan-2n refleksi rotor.

Dnh adalah grup simetri untuk sisi-n beraturan prisma dan juga untuk sisi-n beraturan bipiramid. Dnd adalah grup simetri untuk sisi-n beraturan antiprisma, dan juga untuk sisi-n beraturan trapezohedron. Dn adalah grup simetri dari prisma rotasi sebagian.

n = 1 tidak disertakan karena ketiga simetri sama dengan yang lain:
D1 dan C2: grup urutan 2 dengan rotasi 180° tunggal.
D1h dan C2v: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° terhadap garis pada bidang tersebut.
D1d dan C2h: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° terhadap garis tegak lurus bidang tersebut.

Untuk n = 2 tidak ada satu sumbu utama dan dua sumbu tambahan, tetapi ada tiga sumbu yang setara.

D2, [2,2]+, (222) of order 4 is one of the three symmetry group types with the Klein four-group as abstract group. It has three perpendicular 2-fold rotation axes. It is the symmetry group of a cuboid with an S written on two opposite faces, in the same orientation.
D2h, [2,2], (*222) urutan 8 adalah grup simetri balok.
D2d, [4,2+], (2*2) urutan 8 adalah grup simetri dari mis .:
Sebuah kubus persegi dengan diagonal yang digambar pada satu sisi persegi, dan diagonal tegak lurus pada sisi lainnya.
Sebuah tetrahedron biasa diskalakan ke arah garis yang menghubungkan titik tengah dari dua tepi yang berlawanan (D2d adalah subgrup dari Td; dengan penskalaan, dengan mengurangi simetri).

Subgrup 

Untuk Dnh, [n,2], (*22n), urutan 4n
 Cnh, [n+,2], (n*), urutan 2n
 Cnv, [n,1], (*nn), urutan 2n
 Dn, [n,2]+, (22n), urutan 2n

Untuk Dnd, [2n,2+], (2*n), urutan 4n
 S2n, [2n+,2+], (n×), urutan 2n
 Cnv, [n+,2], (n*), urutan 2n
 Dn, [n,2]+, (22n), urutan 2n

Dnd is also subgroup of D2nh.

Contoh 

Dnh, [n], (*22n):

D5h, [5], (*225):

D4d, [8,2+], (2*4):

D5d, [10,2+], (2*5):

D17d, [34,2+],  (2*17):

Lihat pula
 Daftar grup simetri bola
 Grup titik dalam tiga dimensi
 Simetri siklik dalam tiga dimensi

Referensi 

 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018)  Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Pranala luar 
Gambaran grafis dari 32 grup titik kristalografi – dalam bentuk bagian pertama (selain melewatkan n=5) dari 7 deret tak hingga dan 5 dari 7 grup titik 3D terpisah

Simetri
Simetri Euklides
Teori grup