Polinomial Hermite

Polinomial Hermite dalam matematika merupakan polinomial ortogonal klasik.

Polinomial Hermite muncul di:

 Pemrosesan sinyal sebagai wavelet Hermitian untuk analisis transformasi wavelet.
 Probabilitas, seperti deret Edgeworth, serta sehubungan dengan gerak Brown;
 Kombinatorik, sebagai contoh deret Appell, yang mematuhi kalkulus umbral;
 Analisis numerik sebagai kuadratur Gaussian;
 Fisika, di mana mereka memunculkan keadaan eigen dari osilator harmonik kuantum; dan mereka juga terjadi dalam beberapa kasus persamaan distribusi panas (heat equation)
 Teori sistem sehubungan dengan operasi nonlinier pada noise Gaussian.
 Teori matriks acak dalam ansambel Gaussian.

Biografi  

Charles Hermite (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.

Hermite telah banyak berjasa, terutama dalam fungsi Abelian. Tidak hanya itu, Hermite kerap membantu banyak matematikawan muda lainnya, seperti kontribusinya dalam menunjukkan mengenai bilangan transendental yang menjadi solusi persamaan polinomial terbatas. Dirinya sering dikenal sebagai tokoh utama dalam pengembangan teori bentuk aljabar, teori aritmatika bentuk kuadrat, dan bahkan hingga fungsi elips dan Abelian.

Pada tahun 1848, Hermite menyiapkan dirinya untuk gelar sarjana sains dan disaat yang bersamaan mengajar di Cole Polytechnique, Paris. Dan pada tahun 1869, Hermite diangkat sebagai Profesor di Cole Normale, Paris, serta diangkat dalam posisi yang lebih tinggi lagi di tahun 1870.

Definisi

Persamaan Diferensial 
Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial

Penyelesaiannya diberikan secara unik dalam bentuk polinomial Hermite dalam bentuk

dengan  menunjukkan suatu konstanta setelah menerapkan kondisi batas bahwa  harus dibatasi secara polinomial di tak hingga.

Persamaan diferensial lain yang solusinya dapat dituliskan dalam bentuk polinomial Hermite adalah :

Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah

Dalam beberapa sumber lain,  dituliskan dengan variabel , dan  dituliskan dengan . Baik  atau , keduanya sama-sama merupakan fungsi , dan  atau  merupakan bilangan cacah.

Persamaan Rodrigues 
Persamaan Rodrigues untuk Polinomial Hermite adalah :

Berikut beberapa Polinomial Hermite pertama :

Fungsi Pembangkit 
Fungsi pembangkit untuk Polinomial Hermite adalah :

Fungsi pembangkit tersebut dapat diuraikan menjadi

Ingat bahwa

Sehingga diperoleh

Sifat

Visualisasi 
Plot beberapa Polinomial Hermite pertama  :

Plot bagian riil dari :

Plot bagian imajiner dari :

Ortogonalitas 
Dalam matematika , ortogonalitas adalah generalisasi dari gagasan geometris tentang tegak lurus . Dengan ekstensi, ortogonalitas juga digunakan untuk merujuk pada pemisahan fitur khusus dari suatu sistem. Istilah ini juga memiliki arti khusus di bidang lain termasuk seni dan kimia.

 dan  adalah polinomial derajat ke-n untuk n = 0, 1, 2, 3,.... Polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot / pemberat

Secara umum, berlaku ortogonalitas

di mana  adalah delta Kronecker

Dengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar.

Sifat Rekursif 
Sifat rekursif dari Polinomial Hermite adalah

Persamaan ini didapat dapat diturunkan menggunakan fungsi pembangkit.

Fenomena Kuantum 
Operator Hamiltonian, operator mekanika kuantum umum untuk energi, mencakup operator energi kinetik, , dan operator energi potensial, 

Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik. Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut 

Untuk suatu osilator sederhana  diberikan oleh,

Sehingga persamaan Schrodinger menjadi

Misal suatu variable  yang didefinisikan sebagai berikut

Sekarang kita tahu bahwa  adalah fungsi  di mana  sendiri adalah fungsi 

Substitusi kedalam persamaan differensial sebelumnya

 dapat dinyatakan sebagai

Definisikan

Ketika  jauh lebih besar dari ,

Supaya bisa ternormalisasi maka dipastikan  supaya solusi  tidak terus bertambah besar secara eksponensial ketika  menuju tak hingga,

Tinjau suatu kasus di mana koefisien  bukanlah konstanta melainkan sebuah fungsi dependen ,

Substitusi kembali

Sehingga diperoleh

Persamaan differensial diatas tidak lain adalah bentuk lain persamaan differensial Hermite di mana solusinya adalah polinomial Hermite. Dengan membandingkan koefisien persamaan di atas dengan persamaan diferensial Hermite,

Persamaan di atas menunjukkan bahwa energi terkuantisasi atau hanya dapat memiliki nilai tertentu. Yang menarik adalah energy ground state yang tidak nol yang tidak intuitif jika dilihat dari perspektif fisika klasik.

Sedangkan solusi persamaan differensial diatas menjadi,

Dari ortogonalitas polinomial Hermite,

 sebagai fungsi ,

Referensi 

Mary L., Boas. (2006). Mathematical Methods in The Physical Sciences (Third Edition). United States: John Wiley & Sons, Inc.
Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics. Cambridge university press.
Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
Wolfram Research (1988), HermiteH, Wolfram Language function, https://reference.wolfram.com/language/ref/HermiteH.html (updated 2022) 
The Harmonic-Oscillator Wavefunctions involve Hermite Polynomials. (2020, March 19). https://chem.libretexts.org/@go/page/210817

Polinomial