Sejarah teori grup

Sejarah teori grup, sebuah domain matematika yang mempelajari grup dalam berbagai bentuknya, telah berevolusi dalam berbagai utas paralel. Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Joseph Louis Lagrange, Niels Henrik Abel dan Évariste Galois adalah peneliti awal di bidang teori grup.

Awal abad ke-19 
Studi paling awal tentang kelompok seperti itu mungkin kembali ke karya Lagrange pada akhir abad ke-18. Namun, pekerjaan ini agak terisolasi, dan 1846 publikasi Augustin Louis Cauchy dan Galois lebih sering disebut sebagai permulaan teori grup. Teori ini tidak berkembang dalam ruang hampa, sehingga tiga benang penting dalam pra-sejarahnya dikembangkan di sini.

Pengembangan grup permutasi 
Salah satu akar dasar teori grup adalah pencarian solusi persamaan polinomial dengan derajat lebih tinggi dari 4.

Sumber awal terjadi dalam masalah pembentukan persamaan derajat  m  yang berakar  m  dari akar persamaan derajat . Untuk kasus sederhana, masalahnya kembali ke Johann van Waveren Hudde (1659). Nicholas Saunderson (1740) mencatat bahwa penentuan faktor kuadrat dari ekspresi bikuadrat selalu mengarah pada persamaan sektik, dan Thomas Le Sueur (1703–1770) (1748) dan Edward Waring (1762 hingga 1782) lebih jauh menguraikan gagasan tersebut.

Landasan umum untuk teori persamaan berdasarkan kelompok permutasi ditemukan oleh Lagrange (1770, 1771), dan di atasnya dibangun teori substitusi. Dia menemukan bahwa akar dari semua resolven ( résolvantes, réduites ) yang dia periksa adalah fungsi rasional dari akar persamaan. Untuk mempelajari sifat dari fungsi ini, dia menemukan  Calcul des Combinaisons . Karya kontemporer Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) juga meramalkan teori yang akan datang.

Paolo Ruffini (1799) mencoba membuktikan ketidakmungkinan menyelesaikan kuintik dan persamaan yang lebih tinggi. Ruffini membedakan apa yang sekarang disebut kelompok intransitif dan transitif, dan grup imprimitif dan primitif, dan (1801) menggunakan kelompok persamaan dengan nama  l'assieme delle permutazioni . Ia juga menerbitkan surat dari Pietro Abbati untuk dirinya sendiri, di mana ide grup menonjol.

Galois menemukan bahwa jika  adalah akar  n  dari sebuah persamaan, segrup permutasi dari  r  itu sehingga 
setiap fungsi akar tidak berubah-ubah dengan substitusi grup diketahui secara rasional, dan
sebaliknya, setiap fungsi yang dapat ditentukan secara rasional dari akar adalah tidak berubah di bawah substitusi grup.
Dalam istilah modern, solvabel dari gugus Galois yang dilampirkan pada persamaan menentukan kelarutan persamaan dengan akar.

Galois adalah orang pertama yang menggunakan kata  grup  ( groupe  dalam bahasa Prancis) dan  primitif  dalam arti modernnya. Dia tidak menggunakan  grup primitif  tetapi menyebut  persamaan primitif  sebuah persamaan yang grup Galoisnya adalah primitif. Dia menemukan gagasan subkelompok normal dan menemukan bahwa kelompok primitif yang dapat dipecahkan dapat diidentifikasi ke subkelompok grup Affine dari ruang Affine di atas bidang hingga.

Galois juga berkontribusi pada teori persamaan modular dan fungsi eliptik. Publikasi pertamanya tentang teori grup dibuat pada usia delapan belas (1829), tetapi kontribusinya menarik sedikit perhatian sampai publikasi makalahnya yang terkumpul pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI). Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang menghubungkan teori grup dan teori medan, dengan teori yang sekarang disebut teori Galois.

Grup yang mirip dengan grup Galois (sekarang) disebut grup permutasi, sebuah konsep yang diselidiki secara khusus oleh Cauchy. Sejumlah teorema penting dalam teori grup awal disebabkan oleh Cauchy. Arthur Cayley pada teori grup, tergantung pada persamaan simbolik  (1854) memberikan definisi abstrak pertama dari grup hingga.

 Grup terkait dengan geometri 

Kedua, penggunaan sistematis kelompok dalam geometri, terutama dalam kedok grup simetri, dimulai oleh Felix Klein tahun 1872 program Erlangen. Studi tentang apa yang sekarang disebut grup Lie dimulai secara sistematis pada tahun 1884 dengan Sophus Lie, diikuti oleh karya Wilhelm Killing, Eduard Study, Issai Schur, Ludwig Maurer, dan Élie Cartan. Teori-putus (grup diskrit) ditemukan oleh Klein, Lie, Henri Poincaré, dan Charles Émile Picard, khususnya sehubungan dengan bentuk modular dan monodromi.

 Penampilan grup dalam teori bilangan 

Akar ketiga dari teori grup adalah teori bilangan. Beberapa struktur grup Abelian telah digunakan secara implisit dalam teori bilangan oleh Carl Friedrich Gauss, dan lebih eksplisit lagi oleh Leopold Kronecker. Early upaya untuk membuktikan teorema terakhir Fermat mengarah ke klimaks oleh Ernst Kummer dengan memperkenalkan grup mendeskripsikan faktorisasi ke dalam bilangan prima.

 Konvergensi 

Teori grup sebagai subjek yang semakin independen dipopulerkan oleh Serret, yang mengabdikan bagian IV dari aljabarnya pada teori; oleh Camille Jordan, yang Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) adalah klasik; dan kepada Eugen Netto (1882),  Theory of Substitutions and its Applications to Aljabar  diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Teori kelompok lain dari abad ke-19 adalah Joseph Louis François Bertrand, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Kronecker, dan Émile Mathieu; serta William Burnside, Leonard Eugene Dickson, Otto Hölder, E. H. Moore, Ludwig Sylow, dan Heinrich Martin Weber.

Konvergensi dari tiga sumber di atas menjadi teori seragam dimulai dengan  Traité  Jordan dan Walther von Dyck (1882) yang pertama kali mendefinisikan grup dalam pengertian modern penuh.  Buku teks Weber dan Burnside membantu menetapkan teori grup sebagai disiplin ilmu. Formulasi kelompok abstrak tidak berlaku untuk sebagian besar teori grup abad ke-19, dan formalisme alternatif diberikan dalam istilah aljabar Lie.

 Akhir abad ke-19 
Grup dalam periode 1870-1900 digambarkan sebagai grup Lie, grup-putus, grup substitusi berhingga dari akar (secara bertahap disebut permutasi), dan kelompok substitusi linear hingga (biasanya dari bidang berhingga). Selama periode 1880-1920, grup yang digambarkan oleh presentasi menjadi hidup mereka sendiri melalui karya Cayley, Walther von Dyck, Max Dehn, Jakob Nielsen, Otto Schreier, dan dilanjutkan pada periode 1920-1940 dengan karya H. S. M. Coxeter, Wilhelm Magnus, dan lainnya untuk membentuk bidang teori grup kombinatorial.

Grup hingga pada periode 1870-1900 melihat sorotan seperti Teorema Sylow, klasifikasi Hölder dari grup tatanan bebas persegi, dan awal mula teori karakter dari Frobenius. Sudah pada tahun 1860, grup automorfisme bidang proyektif hingga telah dipelajari (oleh Mathieu), dan pada tahun 1870-an, visi teori-grup Klein tentang geometri diwujudkan dalam program Erlangen. Kelompok automorfisme ruang proyektif dimensi yang lebih tinggi dipelajari oleh Jordan dalam  Traité  dan termasuk deret komposisi untuk sebagian besar yang disebut grup klasik, meskipun dia menghindari bidang non-prima dan menghilangkan grup satuan. Penelitian dilanjutkan oleh Moore dan Burnside, dan dibawa ke dalam bentuk buku teks yang komprehensif oleh Leonard Dickson pada tahun 1901. Peran grup sederhana ditekankan oleh Jordan, dan kriteria non-kesederhanaan dikembangkan oleh Hölder sampai ia mampu mengklasifikasikan grup sederhana dengan urutan kurang dari 200.  Studi dilanjutkan oleh Frank Nelson Cole (hingga 660) dan Burnside (hingga 1092), dan akhirnya dalam "proyek milenium" awal, hingga 2001 oleh Miller dan Ling pada tahun 1900.

Grup kontinu dalam periode 1870-1900 berkembang pesat. Makalah dasar Killing dan Lie diterbitkan, teorema Hilbert dalam teori invarian 1882, dll.  

 Awal abad ke-20 
Pada periode 1900–1940, grup "-putus" (sekarang disebut grup terpisah) tak terbatas memperoleh kehidupan mereka sendiri.  Masalah Burnside yang terkenal mengantar studi tentang subgrup arbitrari dari grup linear berdimensi hingga atas bidang abirtari, dan memang grup abirtari. Grup fundamental dan grup refleksi mendorong perkembangan J. A. Todd dan Coxeter, seperti Algoritma Todd–Coxeter dalam teori grup kombinatorial. Grup aljabar, yang didefinisikan sebagai solusi dari persamaan polinomial (daripada bertindak berdasarkan persamaan tersebut, seperti pada abad sebelumnya), sangat diuntungkan dari teori Lie kontinu. Bernard Neumann dan Hanna Neumann menghasilkan studi mereka tentang grup varietas, grup yang ditentukan oleh persamaan teoretis grup dari polinomial. 

Grup kontinu juga mengalami pertumbuhan eksplosif dalam periode 1900-1940. Grup topologi mulai dipelajari. Ada banyak prestasi hebat dalam grup kontinu: Klasifikasi Cartan atas aljabar Lie semisimple, teori Hermann Weyl tentang representasi grup kompak, karya Alfréd Haar dalam kasus kompak lokal.

Grup hingga pada tahun 1900-1940 berkembang pesat. Periode ini menyaksikan kelahiran teori karakter oleh Frobenius, Burnside, dan Schur yang membantu menjawab banyak pertanyaan abad ke-19 dalam grup permutasi, dan membuka jalan. Periode ini melihat karya Philip Hall: pada generalisasi teorema Sylow ke himpunan bilangan prima sembarang yang merevolusi studi tentang grup larut hingga, dan pada struktur power-commutator dari grup-P, termasuk ide dari grup-P reguler dan grup isoklinisme, yang merevolusi studi p-grup dan merupakan hasil besar pertama di bidang Sylow. Periode ini melihat Hans Zassenhaus terkenal Teorema Schur–Zassenhaus tentang adanya pelengkap generalisasi Hall dari subgrup Sylow, serta kemajuannya pada Grup Frobenius, dan klasifikasi dekat Grup Zassenhaus. 

 Pertengahan abad ke-20 

Kedalaman, keluasan dan juga dampak teori grup kemudian berkembang. Domain mulai bercabang menjadi beberapa area seperti grup aljabar, ekstensi grup, dan teori representasi. Mulai tahun 1950-an, dalam upaya kolaboratif yang besar, ahli teori grup berhasil mengklasifikasikan semua grup sederhana terbatas pada tahun 1982. Melengkapi dan menyederhanakan bukti klasifikasi adalah bidang penelitian aktif.

Anatoly Maltsev juga memberikan kontribusi penting untuk teori grup selama ini; pekerjaan awalnya adalah logika di tahun 1930-an, tetapi pada tahun 1940-an ia membuktikan sifat penyematan penting dari semigroup ke dalam grup, mempelajari masalah isomorfisme gelanggang grup, mendirikan korespondensi Malçev untuk grup polisiklik, dan pada tahun 1960 kembali ke logika yang membuktikan berbagai teori dalam studi grup tidak dapat diputuskan. Earlier, Alfred Tarski membuktikan teori kelompok dasar tidak dapat diputuskan.

Periode 1960-1980 merupakan salah satu kegembiraan di banyak bidang teori grup.

Dalam grup hingga, ada banyak pencapaian independen. Satu memiliki penemuan 22 grup sporadis baru, dan penyelesaian generasi pertama klasifikasi grup sederhana hingga. Salah satunya memiliki ide berpengaruh dari subgrup Carter, dan penciptaan selanjutnya dari teori formasi dan teori kelas grup. Salah satunya memiliki perluasan yang luar biasa dari teori Clifford oleh Green ke modul grup aljabar yang tidak dapat diuraikan. Selama era ini, bidang teori grup komputasi menjadi bidang studi yang diakui, sebagian karena keberhasilannya yang luar biasa selama klasifikasi generasi pertama.

Grup kontinu diperluas secara signifikan, dengan  p ''-analitik adik menjadi penting. Banyak dugaan dibuat selama ini, termasuk konjektur coclass.

Akhir abad ke-20 

Dua puluh tahun terakhir abad ke-20 menikmati keberhasilan lebih dari seratus tahun studi teori grup.

Dalam grup berhingga, hasil klasifikasi pos termasuk teorema O'Nan–Scott, klasifikasi Aschbacher, klasifikasi perkalian kelompok hingga transitif, penentuan subgrup maksimal dari grup sederhana dan klasifikasi yang sesuai dari grup primitif. Dalam geometri dan kombinatorika berhingga, banyak masalah yang sekarang dapat diselesaikan.  Teori representasi modular memasuki era baru karena teknik klasifikasi dilakukan aksioma, termasuk sistem fusi, teori pasangan Luis Puig dan blok nilpoten. Teori grup larut hingga juga diubah oleh buku berpengaruh Klaus Doerk dan Trevor Hawkes yang membawa teori proyektor dan injektor ke khalayak yang lebih luas.

Dalam grup terpisah, beberapa bidang geometri untuk menghasilkan bidang baru yang menarik. Bekerja pada teori simpul, orbifold, lipatan hiperbolik, dan grup pada pohon (teori Bass–Serre), lebih memeriahkan studi tentang grup hiperbolik, grup otomatis. Pertanyaan seperti konjektur geometriisasi tahun 1982 William Thurston, menginspirasi teknik yang sama sekali baru dalam teori grup geometris dan topologi dimensi rendah, dan terlibat dalam solusi salah satu Masalah Hadiah Milenium, konjektur Poincaré.

Grup kontinu melihat solusi dari masalah mendengar bentuk drum pada tahun 1992 menggunakan kelompok simetri operator laplacian. Teknik kontinu diterapkan pada banyak aspek teori grup menggunakan ruang fungsi dan grup kuantum. Banyak masalah abad ke-18 dan ke-19 sekarang ditinjau kembali dalam latar yang lebih umum ini, dan banyak pertanyaan dalam teori representasi grup memiliki jawaban.

Sekarang 

Teori grup terus menjadi materi yang dipelajari secara intensif. Pentingnya matematika kontemporer secara keseluruhan dapat dilihat dari 2008 Abel Prize, diberikan kepada John Griggs Thompson dan Jacques Tits atas kontribusi mereka pada teori grup.

Catatan

Referensi 
 Secara historis penting publikasi dalam teori grup.
 
 
 
 
 
 

Teori grup
 Teori grup