Kategori konkret

Dalam matematika, kategori konkret adalah kategori yang dilengkapi dengan fungsi setia ke kategori himpunan (atau terkadang ke kategori lain, lihat Konkretitas relatif di bawah). Funktor ini memungkinkan untuk memikirkan objek dari kategori sebagai himpunan dengan tambahan struktur, dan morfisme sebagai fungsi pemelihara struktur. Banyak kategori penting memiliki interpretasi yang jelas sebagai kategori konkret, misalnya kategori ruang topologi dan kategori grup, dan juga kategori himpunan itu sendiri. Di sisi lain, kategori homotopi ruang topologi tidak dapat dikonkretkan, yaitu tidak menerima fungsi yang setia ke kategori himpunan.

Kategori konkret, ketika didefinisikan tanpa mengacu pada pengertian kategori, terdiri dari kelas dari  objek , masing-masing dilengkapi dengan  set yang mendasari ; dan untuk dua objek  A  dan  B  satu himpunan fungsi, yang disebut  morfisme , dari kumpulan  A  ke kumpulan  B  yang mendasari. Selanjutnya, untuk setiap objek  A , fungsi identitas pada himpunan yang mendasari  A  harus berupa morfisme dari  A  menjadi  A , dan komposisi morfisme dari  A  ke  B  diikuti morfisme dari  B  menjadi  C  harus berupa morfisme dari  A  ke  C .

Definisi 
Kategori konkret adalah (C,U) maka

C adalah kategori, dan 
U : C → Himpunan (kategori himpunan dan fungsi) adalah fungsi setia.

Functor  U  harus dianggap sebagai fungsi pelupa, yang menetapkan ke setiap objek  C  "himpunan dasar", dan ke setiap morfisme di  C  adalah "fungsi dasar".

Kategori  C  adalah dapat dikonkretkan jika kategori konkret (C,U);
yaitu, jika ada fungsi setia U : C → Himpunan.  Semua kategori kecil dapat dikonkretkan: definisikan  U  sehingga bagian objeknya memetakan objek  b  dari  C  ke himpunan semua morfisme  C  yang kodomain adalah  b  (yaitu semua morfisme bentuk f: a → b objek a  dari  C ), dan bagian morfismenya memetakan setiap morfisme g: b → c dari  C  ke fungsi U(g): U(b) → U(c) anggota f: a → b of U(b) untuk komposisi gf: a → c, anggota dari U(c).  (Item 6 di bawah contoh lebih lanjut mengungkapkan  U  yang sama dalam bahasa yang kurang dasar melalui pra-daun.)  Bagian contoh kontra menampilkan dua kategori besar yang tidak dapat dikonkretkan.

Keterangan 
Penting untuk dicatat bahwa, bertentangan dengan intuisi, konkret bukanlah sifat suatu kategori atau tidak, melainkan sebuah struktur di mana suatu kategori dapat dilengkapi atau tidak. Secara khusus, kategori  C  fungsi menjadi Himpunan.  Oleh karena itu, mungkin ada beberapa kategori konkret ( C ,  U ) yang semuanya sesuai dengan kategori  C .

Dalam praktek, pilihan dari fungsi dalam hal ini tentang "kategori konkret  C ".  Misalnya, "kategori konkret Himpunan" berarti (Himpunan, I) di mana  I  menunjukkan funktor identitas Himpunan → Himpunan.

Persyaratan bahwa  U  berarti memetakan morfisme yang berbeda antara objek yang sama ke fungsi yang berbeda. Namun,  U  dapat memetakan objek yang berbeda ke himpunan yang sama dan, jika ini terjadi, ini juga akan memetakan morfisme berbeda ke fungsi yang sama.

Misalnya, jika  S  dan  T  adalah dua topologi berbeda pada himpunan  X , maka 
(X, S) dan (X, T) adalah objek yang berbeda dalam kategori Top dari ruang topologi dan peta kontinu, tetapi dipetakan ke himpunan yang sama  X  oleh fungsi pelupa Top → Himpunan. Identitas morfisme (X, S) → (X, S) dan morfisme identitas (X, T) → (X, T) dianggap morfisme berbeda Top, tetapi memiliki fungsi dasar yang sama, yaitu fungsi identitas pada  X .

Himpunan dengan empat elemen dapat diberikan dua struktur grup non-isomorfik: satu isomorfik hingga , dan isomorfik .

Contoh lain 
 Setiap grup  G  dapat dianggap sebagai kategori "abstrak" dengan satu objek arbitrer, , dan satu morfisme untuk setiap elemen grup. Konkret menurut pengertian intuitif yang dijelaskan di bagian atas artikel ini.  Tapi setiap setia himpunan-G (setara, setiap representasi  G  sebagai grup permutasi) menentukan fungsi G → Himpunan. Karena setiap grup aksi dengan setia pada dirinya sendiri,  G  dapat dibuat menjadi kategori konkret setidaknya dalam satu cara.
 Pohimpunan  P  dapat dianggap sebagai kategori abstrak dengan panah unik x → y adalah x ≤  y. Konkret dengan mendefinisikan sebuah fungsi D : P → Himpunan yang memetakan setiap objek  x  ke  dan setiap panah  x  →  y  ke peta inklusi .
 Kategori Rel yang objeknya himpunan dan yang morfismenya relasi dapat dibuat konkret dengan mengambil  U  untuk memetakan setiap himpunan  X  ke pangkat himpunan  dan setiap relasi  ke fungsi  defined by .  Memperhatikan bahwa himpunan daya sedang kisi kompleks sedang disertakan, fungsi-fungsi di antara mereka yang muncul dari beberapa relasi  R  dengan cara ini persis dengan peta kompleks supremum.  Karenanya Rel setara dengan subkategori kompleks kategori Sup dari kisi lengkap dan peta pelestariannya.  Sebaliknya, mulai dari persamaan ini kita dapat memulihkan  U  sebagai komposit Rel → Sup → Himpunan dari funktor pelupa untuk Sup dengan embedding dari Rel di Sup.
 Kategori Himpunanop ke Rel dengan merepresentasikan setiap set sebagai dirinya sendiri dan setiap fungsi f: X → Y sebagai relasi dari  Y  ke  X  dibentuk sebagai himpunan pasangan (f(x), x) untuk x ∈ X; hence Himpunanop dapat dikonkretkan. Functor pelupa yang muncul dengan cara ini adalah contravariant powerset functor Himpunanop → Himpunan.
 Dari contoh sebelumnya bahwa kebalikan dari kategori konkret  C  lagi dapat dikonkretkan, karena jika  U  adalah funktor setia C → Himpunan maka Cop mungkin dilengkapi dengan komposit Cop → Himpunanop → Himpunan.
 Jika  C  adalah kategori kecil apa pun, maka ada fungsi setia  P : HimpunanCop → Himpunan yang memetakan presheaf  X  ke koproduk .  Dengan membuat ini dengan Yoneda embedding Y:C → HimpunanCop fungsi C → Himpunan.
 Untuk alasan teknis, kategori Ban1 dari ruang Banach dan kontraksi linear sering kali tidak dilengkapi dengan fungsi pelupa yang "jelas" tetapi fungsi U1 : Ban1 → Himpunan yang memetakan ruang Banach ke bola unit (tertutup).
Kategori Cat' ' yang objeknya termasuk kategori kecil dan yang morfismenya berfungsi dapat dibuat konkret dengan mengirimkan setiap kategori C ke himpunan yang berisi objek dan morfisme.  Funktor secara sederhana dapat dilihat sebagai fungsi yang bekerja pada objek dan morfisme.

 Contoh-kontra 
Kategori hTop, di mana objeknya adalah ruang topologi dan morfismenya adalah kelas homotopi dari fungsi kontinu, adalah contoh kategori yang tidak dapat dikonkretkan. 
Sementara objek adalah himpunan (dengan struktur tambahan), morfisme bukanlah fungsi aktual di antara mereka, melainkan kelas fungsi. 
Fakta bahwa tidak ada funktor setia dari hTop sampai Set pertama kali dibuktikan oleh Peter Freyd.

 Struktur implisit kategori beton 
Diberikan kategori konkret (C, U) dan sebuah nomor kardinal  N , misalkan UN maka funktor C → Himpunan' ditetapkan oleh UN(c) = (U(c))N.
Kemudian subfunktor dari UN disebut  predikat N-ari  dan a
transformasi alami UN → U adalah Operasi N-ari.

Kelas dari semua predikat ari dan operasi ari dari kategori konkret (C,U), dengan  N  berkisar di kelas dari semua bilangan pokok, membentuk besar tanda tangan. Kategori model untuk tanda tangan ini kemudian berisi subkategori lengkap yaitu ekuivalen ke  C .

 Catatan 

 Referensi 
 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories  (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. . (now free on-line edition).
 Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete.  Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), with the permission of Springer-Verlag.
 Rosický, Jiří; (1981).  Concrete categories and infinitary languages''.  Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.

Teori kategori