Deret konvergen

Dalam matematika, deret takhingga () adalah hasil jumlah suku-suku dari suatu barisan takhingga bilangan. Lebih tepatnya, diberikan suatu barisan takhingga . Maka, dapat dikonstruksikan deret takhingga  sebagai berikut

Hasil penjumlahan parsial ke- (yang dinotasikan dengan ) adalah hasil jumlah  suku pertama barisan tersebut; yaitu,

Sebuah deret takhingga akan konvergen jika barisan  dari jumlahan parsialnya mendekati suatu limit; itu artinya, saat menambahkan suku  ke , maka hasil jumlahan parsial akan semakin dekat dengan limitnya. Lebih tepatnya, deret tersebut konvergen, jika terdapat suatu bilangan  sedemikian sehingga untuk setiap sembarang bilangan positif  yang kecil, terdapat bilangan bulat  (yang cukup besar) sedemikian sehingga untuk setiap , maka

Jika deretnya konvergen, bilangan  (yang bernilai tunggal) disebut sebagai hasil jumlah deretnya.

Setiap deret yang tidak konvergen disebut sebagai deret divergen.

Contoh dari deret konvergen dan divergen 

 Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif menghasilkan deret divergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik) :
 
 Barisan invers perkalian dari bilangan bulat positif yang berganti tanda (selang seling) menghasilkan deret konvergen (deret ini biasa dikenal dengan deret harmonik selang seling) :
 
 Barisan invers perkalian dari bilangan prima menghasilkan deret divergen (sehingga himpunan bilangan prima termasuk "besar"; lihat divergensi dari jumlah invers bilangan prima) :
 
 Barisan invers perkalian dari bilangan segitiga menghasilkan deret konvergen :
 
 Barisan invers perkalian dari bilangan faktorial menghasilkan deret konvergen (lihat e) :
 
 Barisan invers perkalian dari bilangan kuadrat sempurna menghasilkan deret konvergen (deret ini dikenal sebagai masalah Basel) :
 
 Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 menghasilkan deret konvergen (sehingga himpunan perpangkatan 2 bernilai "kecil") :
 
 Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan  menghasilkan deret konvergen :
 
 Barisan invers perkalian dari perpangkatan 2 yang berganti tanda juga menghasilkan deret konvergen :
 
 Barisan invers perkalian dari perpangkatan setiap bilangan  menghasilkan deret konvergen :
 
 Barisan invers perkalian dari bilangan Fibonacci menghasilkan deret konvergen (lihat konstanta ψ):

Uji kekonvergenan 

Terdapat beberapa metode untuk menentukan apakah suatu deret itu konvergen atau divergen.

Uji perbandingan. Suku-suku pada barisan  akan dibandingkan dengan barisan lain . Jika,  untuk setiap n, dan  konvergen, maka  juga demikian.

Akan tetapi, jika  untuk setiap n, dan  divergen, maka demikian juga 

Uji rasio. Diasumsikan untuk setiap n,  tidak sama dengan nol. Misalkan terdapat suatu nilai  sedemikian sehingga

 Jika r < 1, maka deretnya akan konvergen mutlak.
 Jika , maka deretnya divergen.
 Jika , uji rasionya gagal, dan deretnya bisa saja konvergen maupun divergen.

Uji akar atau uji akar ke-n. Misalkan suku-suku pada barisan yang akan diselidiki merupakan bilangan non-negatif. Didefinisikan r sebagai berikut :

dengan "lim sup" adalah limit superior (hasilnya mungkin saja )

 Jika r < 1, maka deretnya konvergen.
 Jika , maka deretnya divergen.
 Jika , uji akarnya gagal, dan deretnya bisa saja konvergen maupun divergen.

Uji rasio dan uji akar sama-sama menggunakan perbandingan dengan deret geometri, sehingga keduanya bekerja dalam situasi serupa. Malahan, jika uji rasio berhasil (dalam artian, hasil limitnya ada dan tidak sama dengan 1), maka uji akar juga demikian; akan tetapi, kebalikannya tidak demikian. Maka dari itu, uji akar secara umum lebih dapat diandalkan, walau dalam penerapannya, hasil limitnya seringkali sulit untuk dihitung.

Uji integral. Suatu deret dapat dibandingkan dengan integral untuk menunjukkan konvergensi atau tidak. Misalkan  adalah fungsi positif dan monoton turun. Jika

maka deretnya konvergen. Tetapi jika integralnya divergen, maka deretnya juga demikian.

Uji perbandingan limit. Jika , and nilai limit  ada dan bukan nol, maka  konvergen jika dan hanya jika  konvergen.

Uji deret selang-seling, dikenal juga dengan kriteria Leibniz. Suatu deret selang-seling dalam bentuk  akan konvergen, kika  merupakan fungsi monoton turun, dan 

Uji kondensasi Cauchy. Jika  merupakan barisan positif yang monoton turun, maka
 konvergen jika dan hanya jika  konvergen.

Uji Dirichlet

Uji Abel

Konvergensi bersyarat dan mutlak 

Untuk setiap barisan , nilai  untuk setiap n, sehingga

Ini mengartkan bahwa jika  konvergen, maka  juga konvergen (sayangnya, ini tidak berlaku untuk sebaliknya).

Jika deret  konvergen, maka deret  disebut konvergen mutlak. Sebagai contoh, Deret Maclaurin dari fungsi eksponensial termasuk konvergen mutlak, untuk setiap input variabel bilangan kompleks.

Jika deret  konvergen tetapi deret  divergen, maka deret  disebut konvergen bersyarat. Sebagai contoh, deret Maclaurin dari fungsi logaritma  termasuk konvergen bersyarat untuk nilai .

Teorema deret Riemann menyatakan bahwa jika suatu deret konvergen bersyarat, maka dimungkinkan untuk menyusun ulang suku-suku deretnya dengan cara tertentu sehingga deretnya konvergen ke nilai apapun, atau bahkan divergen.

Lihat juga 
 Daftar deret matematika

Pranala luar 
 
 Weisstein, Eric (2005). Teorema deret Riemann. Diakses tanggal 16 Mei 2005.

Mathematical series
Convergence (mathematics)