Objek bebas

Dalam matematika, gagasan tentang objek bebas adalah salah satu konsep dasar aljabar abstrak. Objek bebas bagian dari aljabar universal, dalam arti bahwa ia berkaitan dengan semua jenis struktur aljabar (dengan operasi finiter). Ini juga memiliki rumusan dalam istilah teori kategori, meskipun ini masih dalam istilah yang lebih abstrak. Contohnya termasuk grup bebas, aljabar tensor, atau kisi bebas. Secara informal, objek bebas di atas himpunan  A  dapat dianggap sebagai struktur aljabar "generik" di atas  A : salah satu persamaan yang terdapat antara elemen objek bebas adalah persamaan yang mengikuti aksioma penentu dalam struktur aljabar.

Definisi 
Objek bebas adalah generalisasi langsung kekategori dari gagasan basis dalam ruang vektor. Fungsi linear  antara ruang vektor sepenuhnya ditentukan dari nilai berdasarkan ruang vektor E1. Definisi berikut menerjemahkan ke kategori.

Sebuah kategori konkret adalah kategori yang dilengkapi dengan funktor setia hingga Himpunan, kategori himpunan. Misalkan  C  menjadi kategori konkret dengan fungsi setia . Misalkan  X  menjadi objek dalam Himpunan (yaitu,  X  adalah himpunan, di sini disebut  basis ), maka  A  menjadi objek di C, dan  menjadi peta injeksi antara himpunan  X  dan F(A) (disebut  penyisipan kanonik ). Kemudian  A  dikatakan sebagai objek bebas X (sehubungan dengan  i ) jika dan hanya jika memenuhi sifat universal berikut:
objek  B  antara C dan peta di antara himpunan , morfisme  dengan C sehingga . Yaitu, diagram berikut:

Dengan cara ini functor bebas yang membangun objek bebas  A  dari himpunan  X  menjadi adjoin kiri ke funktor fogetful.

Contoh 
Pembuatan objek bebas berlangsung dalam dua langkah. Untuk aljabar yang sesuai dengan hukum asosiatif, langkah pertama adalah mempertimbangkan kumpulan semua kemungkinan kata yang dibentuk dari alfabet. Kemudian seseorang membebankan satu himpunan relasi ekuivalensi pada kata, di mana relasinya adalah relasi yang menentukan dari objek aljabar. Objek bebas kemudian terdiri dari himpunan kelas kesetaraan.

Pertimbangkan, misalnya, pembangunan grup gratis dalam dua generator. Satu dimulai dengan alfabet yang terdiri dari lima huruf . Pada langkah pertama, belum ada arti yang ditetapkan untuk "huruf"  atau ; pada langkah kedua. Jadi, kita bisa memulai dengan alfabet dengan lima huruf yaitu . Dalam contoh ini, kumpulan semua kata atau string  akan menyertakan pita seperti  aebecede  dan  abdc , dan seterusnya, dengan panjang terbatas, dengan huruf yang disusun dalam setiap barisan yang memungkinkan.

Pada langkah berikutnya, seseorang memberlakukan satu set relasi ekuivalensi. Hubungan kesetaraan untuk grup adalah perkalian dengan identitas, , dan perkalian invers: . Menerapkan relasi ini ke pita di atas, maka

di mana  adalah pengganti untuk , dan  adalah pengganti untuk , sedangkan  adalah elemen identitas. Begitu pula yang dimiliki

Menunjukkan relasi ekuivalensi atau kekongruenan dengan , objek bebas kemudian adalah kumpulan kelas kesetaraan. Jadi, dalam contoh ini, grup gratis dalam dua generator adalah hasil bagi

Ini sering ditulis sebagai  dimana  adalah himpunan dari kata, dan  adalah kelas ekivalensi dari identitas, setelah relasi yang mendefinisikan kelompok diberlakukan.

Kasus umum 
Dalam kasus umum, hubungan aljabar tidak perlu asosiatif, dalam hal ini titik awalnya bukan himpunan semua kata, melainkan, string diselingi dengan tanda kurung, yang digunakan untuk menunjukkan pengelompokan huruf non-asosiatif. String seperti itu mungkin secara ekuivalen diwakili oleh pohon biner atau magma bebas; daun pohon adalah huruf-huruf dari alfabet.

Hubungan aljabar mungkin kemudian umum ariti atau relasi finiter pada daun pohon. Daripada memulai dengan kumpulan semua kemungkinan string dalam tanda kurung, akan lebih mudah untuk memulai dengan Herbrand semesta. Mendeskripsikan atau menghitung dengan benar konten objek bebas bisa jadi mudah atau sulit, bergantung pada objek aljabar tertentu yang dimaksud. Misalnya, grup gratis dalam dua generator dengan mudah dijelaskan. Sebaliknya, sedikit atau tidak ada yang diketahui tentang struktur aljabar Heyting bebas di lebih dari satu generator. Masalah untuk menentukan apakah dua string berbeda milik kelas ekivalen yang sama dikenal sebagai masalah kata.

Seperti yang disarankan dalam contoh, objek bebas terlihat seperti konstruksi dari sintaks; seseorang dapat membalikkannya sampai batas tertentu dengan mengatakan bahwa penggunaan utama sintaksis dapat dijelaskan dan dikarakterisasi sebagai objek bebas, dengan cara yang membuat 'tanda baca' yang tampak berat dapat dijelaskan (dan lebih mudah diingat).

Aljabar universal bebas 

Maka  menjadi sembarang, dan biarkan  menjadi struktur aljabar dengan tipe  dihasilkan oleh . Maka himpunan yang mendasari struktur aljabar , terkadang disebut semesta, jadilah , dan misalkan  menjadi sebuah fungsi. Jadi  (atau secara informal saja ) adalah  aljabar bebas  (bertipe ) pada himpunan  dari  generator gratis  jika, untuk setiap aljabar  dari tipe  dan fungsi , di mana  adalah semesta , homomorfisme  sehingga

Daftar objek bebas 

Jenis objek gratis tertentu meliputi:
aljabar bebas
 aljabar asosiatif bebas
 aljabar komutatif gratis
 kategori bebas
kategori monoidal bebas
 grup bebas
 grup abelian bebas
 grup komutatif sebagian bebas
Aljabar Kleene bebas
 kisi bebas
 aljabar Boolean bebas
kisi distributif bebas
 aljabar Heyting bebas
 kisi modular bebas
 aljabar Lie bebas
magma bebas
 modul bebas, dan khususnya, ruang vektor
 monoid bebas
 monoid komutatif bebas
monoid komutatif sebagian bebas
 gelanggang bebas
 semigrup bebas
 semigelanggang bebas
 semigelanggang komutatif bebas
teori bebas
 istilah aljabar
 ruang diskrit

Lihat pula 
 Himpunan generasi

Catatan 

Artikel matematika membutuhkan perhatian ahli
Aljabar abstrak
 
Kombinatorik pada kata
Funktor adjoin