Konjugat kompleks

Dalam matematika, konjugat kompleks dari suatu bilangan kompleks adalah bilangan yang memiliki bagian real yang sama dan bagian imajiner yang sama namun berbeda tanda. Dengan kata lain, (jika  dan  bilangan real, maka) konjugat kompleks dari  adalah   Konjugat kompleks dari  umum dinyatakan sebagai  atau  Dalam bentuk polar, konjugat dari  adalah  Hal ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan rumus Euler.

Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan berupa bilangan real  (atau  dalam koordinat polar).

Jika suatu polinomial satu variabel memiliki akar berupa bilangan kompleks, maka konjugat kompleksnya juga merupakan akar polinomial tersebut.

Notasi 
Konjugat kompleks dari sebuah bilangan kompleks  ditulis sebagai  atau  Notasi yang pertama umum digunakan di matematika untuk menghindari kebingungan dengan notasi untuk transpos konjugat dari sebuah matriks, yang dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Notasi yang kedua umum ditemukan di fisika, sedangkan simbol dagger (†) digunakan untuk menyatakan transpos konjugat; juga di bidang teknik listrik dan teknik komputer, yang notasi bar dapat dibingungkan dengan dengan simbol aljabar Boolean untuk negasi ("NOT").

Sifat 
Sifat-sifat berikut berlaku untuk sembarang bilangan kompleks  dan  kecuali dinyatakan sebaliknya, dan dapat dibuktikan dengan menuliskan  dan  dalam bentuk 

 Untuk sembarang dua bilangan kompleks, konjugat bersifat distributif terhadap penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian:
 Bilangan kompleks akan bernilai sama dengan konjugat kompleksnya jika bagian imajinernya bernilai nol, atau dengan kata lain, ketika bilangan tersebut real. Hal ini mengartikan bilangan real adalah satu-satunya titik tetap konjugat.
 Konjugat tidak akan mengubah modulus dari bilangan kompleks: 
 Konjugat adalah suatu involusi, yakni, konjugat dari konjugat dari suatu bilangan kompleks  adalah   Dalam bentuk simbol, 
 Hasil perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya akan bernilai sama dengan kuadrat modulus bilangan tersebut. Hal ini memungkinkan perhitungan mudah untuk invers perkalian bilangan kompleks dalam koordinat kartesius:

 Konjugat bersifat komutatif ketika dikomposisikan dengan perpangkatan bilangan bulat, dengan fungsi eksponen, dan dengan fungsi logaritma alami (jika argumennya tidak bernilai nol): 

 Jika  adalah suatu polinomial dengan koefisien real dan  maka . Jadi, akar-akar kompleks dari polinomial real akan muncul dalam bentuk pasangan konjugat kompleks.

Penggunaan sebagai variabel 
Konjugat kompleks dapat digunakan untuk membangun representasi  atau  dari bilangan kompleks :

 Bagian real: 
 Bagian imajiner: 
 Modulus (atau nilai mutlak): 
 Argumen:  maka 

Lebih lanjut,  dapat digunakan untuk menyatakan garis pada bidang: himpunan  adalah garis yang melalui titik asal dan tegak lurus dengan  karena bagian real dari  bernilai nol hanya jika kosinus sudut antara  dan  bernilai nol. Serupa dengan itu, untuk satuan (unit) kompleks  yang ditetapkan, persamaanmerepresentasikan garis yang melalui , dan paralel dengan garis yang melalui 0 dan

Referensi

Daftar pustaka 

 Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Springer-Verlag, 1988. . (antilinear maps are discussed in section 3.3).

Bilangan kompleks