Kofibrasi

Dalam matematika, khususnya teori homotopi, pemetaan kontinu

di mana  dan  adalah ruang topologi, kofibrasi adalah kelas homotopi peta  diperluas ke kelas peta homotopi  peta  diperluas ke peta  di mana , karena kelas homotopi yang terkait adalah .

Jenis struktur dikodekan dengan kondisi teknis yang memiliki sifat ekstensi homotopi dari ruang . Definisi ganda dengan fibrasi, yang diperlukan untuk mengunakan sifat pengangkatan homotopi dengan semua ruang. Dualitas ini secara informal disebut sebagai dualitas Eckmann-Hilton. Karena sifat umum dinyatakan, maka digunakan dalam kategori model.

Definisi

Teori homotopi 
Peta  ruang topologi disebut kofibrasihal 51 jika untuk peta  sedemikian rupa sehingga ekstensi ke , maka peta  adalah , dengan memperluas homotopi peta  ke homotopi peta , dimanaDengan mencari kondisi dalam diagram komutatif berikutdi mana  adalah ruang jalur .

Objek kofibrant 
Untuk kategori model , untuk ruang topologi runcing, sebuah objek  disebut cofibrant jika peta  adalah kofibrasi. Perhatikan bahwa dalam kategori ruang topologi runcing, pengertian kofibrasi bertepatan dengan definisi sebelumnya dengan asumsi peta adalah peta runcing dari ruang topologi.

Contoh

Dalam topologi 
Kofibrasi adalah kelas peta yang canggung dari perspektif komputasi karena lebih mudah dilihat sebagai alat teknis formal yang memungkinkan seseorang untuk "melakukan" konstruksi teori homotopi dengan ruang topologi. Maka

 

dari ruang topologi, kofibrasi terkait ruang  disebut peta tabung (di mana  adalah retraksi deformasi, maka homotopi setara dengannya) yang memiliki kofibrasi terinduksi yang disebut mengganti peta dengan kofibrasi

 

dan peta  dengan  faktor melalui, artinya diagram komutatif

di mana  adalah ekuivalen homotopi.

Selain kelas contoh, maka

 Fakta yang sering digunakan adalah bahwa inklusi seluler adalah kofibrasi (jadi, misalnya, jika  adalah kompleks CW  adalah kofibrasi). Fakta sebelumnya maka  adalah kofibrasi untuk setiap , dan pushout adalah peta perekatan ke .
 Kofibrasi dipertahankan di bawah tekanan dan komposisi, yang dinyatakan persis di bawah ini.

Dalam kompleks rantai 
Jika  menjadi kategori kompleks rantai yang  dalam derajat , kemudian ada struktur kategori model hal 1.2 di mana ekuivalen lemahnya adalah Isomorfisme semu, jadi peta kompleks rantai yang isomorfisme setelah mengambil kohomologi, fibrasi yaitu epimorfisme, dan kofibrasi diberikan oleh petabersifat injektif dan kompleks kokernel  adalah kompleks objek proyektif di  . Selain itu, objek kofibrant adalah kompleks objeknya adalah objek proyektif .

Himpunan semi-sederhana 
Untuk kategori  dari himpunan semi-sederhana hal 1.3 (tidak menggunakan peta degenerasi naik dalam derajat), terdapat struktur kategori model dengan fibrasi yang diberikan oleh fibrasi, peta injeksi kofibrasi, dan ekuivalen lemah diberikan realisasi geometris.

Sifat 

 Untuk ruang Hausdorff, setiap kofibrasi adalah inklusi tertutup (injektif dengan gambar tertutup); hasilnya juga menggeneralisasi ruang Hausdorff lemah.
 Pushout dari suatu kofibrasi adalah kofibrasi. Artinya, jika  adalah peta (kontinu) apa pun (antara ruang yang dibuat secara kompak), dan  adalah kofibrasi, lalu peta yang diinduksi  adalah kofibrasi.
 Peta tabung dapat dipahami sebagai dorongan dari  dan embedding (di salah satu ujung interval unit)  . Artinya, silinder pemetaan dapat didefinisikan sebagai . Dengan sifat universal pushout,  adalah kofibrasi tepat ketika peta pemetaan dapat dibangun untuk setiap ruang X.
 Setiap peta dapat diganti dengan kofibrasi melalui konstruksi peta tabung. Artinya, diberikan peta yang berubah-ubah (berkelanjutan)  (antara ruang yang dihasilkan secara kompak), seseorang mendefinisikan tabung pemetaan

  .
 Satu kemudian dikomposisi  dalam komposit kofibrasi dan ekuivalen homotopi.  ditulis sebagai peta
 
 dengan , kapan  adalah inklusi, dan  di  dan  di  .

 Kofibrasi (A, X), jika dan hanya jika retraksi dari  untuk , karena ini adalah pushout dan dengan demikian menginduksi peta ke setiap ruang yang masuk akal dalam diagram.
 Persamaan yang serupa dapat dinyatakan untuk pasangan deformasi-retraksi, dan untuk pasangan deformasi-retraksi lingkungan.

Konstruksi dengan kofibrasi

Pengganti Kofibrant 
Perhatikan bahwa dalam kategori model  jika  bukan kofibrasi, maka silinder pemetaan  membentuk pengganti kofibrant . Faktanya, jika kita bekerja hanya dalam kategori ruang topologi, penggantian kofibran untuk peta apa pun dari titik ke ruang membentuk pengganti kofibran.

Kofiber 
Untuk kofibrasi  mendefinisikan kofiber ruang hasil bagi diinduksi . Secara umum, untuk , cofiber hal 59 didefinisikan sebagai ruang hasil bagiyang merupakan kerucut pemetaan  . Secara homotopis, serat karbon bertindak sebagai coklat homotopi peta  . Faktanya, untuk ruang topologi runcing, kolom homotopi dariFaktanya, urutan peta  dilengkapi dengan urutan kofiber dengan segitiga distiguisi dalam kategori triangulasi.

Lihat pula 

 Fibrasi
 Homotopi kolimit
 Homotopi fiber

Referensi 

 Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology" : bab 6 mendefinisikan dan mendiskusikan kofibrasi, dan digunakan di seluruh
 Ronald Brown, "Topologi dan Groupoids" ; Bab 7 berjudul "Kofibrasi", dan memiliki banyak hasil yang tidak ditemukan di tempat lain.

Matematika