Ruang singgung Zariski

Pada geometri aljabar, ruang singgung Zariski () didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik P di suatu varietas aljabar V. Konstruksi geometris ini tidak menggunakan kalkulus ataupun derivatif, dan hanya didasarkan pada aljabar abstrak. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan sistem persamaan linear.

Motivasi 
Definisikan kurva C pada suatu bidang berdimensi dua melalui persamaan polinomial berikut,

 F(X,Y)=0

dan representasikan P sebagai titik asal (0, 0). Jika suku-suku dengan derajat total lebih daripada satu pada F(X, Y) dihilangkan, kita akan memeroleh "versi linear" dari F(X, Y). Misalkan

 L(X,Y)=0

adalah "versi linear" dari F(X, Y) yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, L bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus L bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva C di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika L merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva C adalah garis L itu sendiri, dengan menganggap L sebagai ruang afin. Jika P bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di C, lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik P adalah ruang afin dan P merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor. 

Pada lapangan real, ruang L dapat dicari dengan menggunakan turunan parsial pertama F. Jika turunan parsial pertama F terhadap X dan Y di titik P bernilai 0, maka P disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik P disebut titik singular kurva C  apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.

Definisi 
Ruang ko-singgung (cotangent space) dari gelanggang lokal , dengan ideal maksimal  didefinisikan sebagai

 

Modul ini dapat dipandang sebagai ruang vektor- dengan  adalah lapangan residu . Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-) disebut ruang tangen dari . 

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan  merupakan varietas aljabar afin dan  adalah titik di . Secara konkret, modulo  pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan  dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung   dan ruang ko-singgung  dari skema  di titik  adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal  . Karena fungtor  fungtorial, homomorfisme faktor alami  menginduksi homomorfisme  dengan  dan  adalah suatu titik di . Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen  ke dalam ruang tangen  .  Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh  merupakan suatu isomorfisme. Dengan demikian,  menginduksi morfisme- antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui
 
 
 
 

Karena pemetaan ini adalah surjektif, transpose  bersifat injektif.

(Seringkali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)

Fungsi analitik 
Misalkan  adalah subvarietas dari ruang vektor berdimensi  yang didefinisikan oleh ideal , sehingga , dengan  adalah gelanggang fungsi mulus/analitik/holomorfik pada ruang vektor tersebut. Ruang singgung Zariski di titik  adalah

,

dengan  adalah ideal maksimal yang berisi fungsi-fungsi di  yang lenyap di .

Sifat 
Jika  adalah gelanggang Noether lokal, dimensi dari ruang tangen bernilai lebih besar atau sama dengan dimensi Krull dari :

Gelanggang  adalah gelanggang regular jika kesamaan terjadi. Dalam geometri aljabar, jika  adalah gelanggang lokal pada varietas  di titik  dan  merupakan gelanggang regular, maka titik  disebut titik regular. Jika  bukan merupakan titik regular, maka titik  disebut titik singular.

Ruang tangen Zariski juga memiliki interpretasi melalui . Misalkan  adalah skema- dan  adalah titik rasional- di . Maka, morfisme- dari  ke skema  dengan imej  berkorespondensi satu-satu dengan elemen yang ada pada ruang tangen Zariski di titik .

Secara umum, dimensi ruang tangen Zariski dapatmenjadi sangat besar. Sebagai contoh, misalkan  adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di . Misalkan  adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di titik asal. Maka,  adalah gelanggang lokal dengan ideal maksimal  terdiri atas fungsi-fungsi di  yang bernilai nol di titik asal. Fungsi-fungsi berbentuk  dengan  membentuk himpunan bebas linear di ruang kotangen Zariski , sehingga dimensi dari  memiliki dimensi minimal , kardinalitas dari kontinuum. Maka, dimensi dari ruang tangen Zariski  bernilai minimal . Di sisi lain, gelanggang fungsi mulus di suatu titik pada manifold berdimensi  merupakan ruang kotangen Zariski berdimensi-.

Referensi 

Aljabar diferensial
Geometri aljabar