Benda putar

Dalam matematika, teknik, dan manufaktur, sebuah benda putar adalah sebuah gambar benda diperoleh dengan memutar sebuah kurva bidang sepanjang garis lurus (sumbu edar) yang terletak pada bidang yang sama.

Mengasumsi bahwa kurvanya tidak melintasi sumbu tersebut, volume benda sama dengan panjang dari lingkaran digambarkan oleh sentroid gambar yang dikalikan oleh luas gambar (teorema sentroid kedua Pappus).

Sebuah cakram wakilan adalah sebuah unsur volume sebuah benda putar. Unsur tersebut diciptakan dengan memutar sebuah ruas garis (panjang ) di sekitar sumbu tertentu (terletak  satuan), jadi bahwa sebuah volume silindris  satuan adalah tertutup.

Mencari volume 
Dua metode utama untuk mencari volume benda putar adalah metode integrasi cakram dan metode integrasi kulit. Untuk menerapkan metode-metode ini, ini adalah yang paling mudah untuk menggambar grafik dalam pertanyaan, mengenali luas yang akan diputar mengenai sumbu putar, menentukan volume dari salah satu sebuah irisan berbentuk cakram benda, dengan ketebalan , atau sebuah kulit silindris dengan lebar , dan kemudian cari jumlah limit volume-volume ini saat  mendekati 0, sebuah nilai yang dapat ditemukan dengan mengevaluasi sebuah integral yang sesuai. Sebuah pembenaran yang lebih teliti dapat diberikan dengan mencoba untuk mengevaluasi sebuah integral rangkap-tiga dalam koordinat silindris dengan dua urutan integrasi yang berbeda.

Metode cakram 

Metode cakram digunakan ketika irisannya yang digambar tegak lurus dengan sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang sejajar dengan sumbu edar.

Volume dari benda dibentuk dengan memutar luasnya diantara kurva  dan  dan garisnya  dan  mengenai sumbu- diberikan dengan

Jika  (misalnya memutar sebuah luas diantara kurva dan sumbu-), ini dikurangi menjadi

Metode tersebut dapat divisualkan dengan menganggap sebuah persegi panjang horizontal tipis pada  diantara  di atas dan  di bawah, dan memutarnya mengenai sumbu-; ini membenetuk sebuah cincin (atau cakram dalam kasus bahwa , dengan jari-jari luar  dan jari-jari dalam . Luas sebuah cincin adalah , dimana  adalah jari-jari luar (pada kasus  ini), dan  adalah jari-jari dalam (pada kasus  ini). Karena itu volume setiap cakram infinitesimal adalah . Limit jumlah Riemann dari volume cakram diantara  dan  menjadi integral (1).

Mengasumsi penerapan teorema Fubini dan mulitpeubah mengubah rumus variabel, metode cakram dapat diturunkan dengan cara yang lugas dengan (melambangkan benda sebagai ).

Metode silinder 

Metode silinder digunakan ketika irisannya yang digambar sejajar dengan sumbu edar; yaitu ketika mengintegralkan yang tegak lurus dengan sumbu edar.

Volume dari benda dibentuk dengan memutar luasnya diantara kurva  dan  dan garisnya  dan  mengenai sumbu- diberikan dengan

Jika  (misalnya memutar sebuah luas diantara kurva dan sumbu-), ini dikurangi menjadi

Metode ini dapat divisualkan dengan menganggap sebuah persegi panjang vertikal yang tipis pada  dengan tinggi , dan memutarnya mengenai sumbu-; ini membentuk sebuah kulit silindris. Luas permukaan sisi silinder adalah , dimana  adalah jari-jari (pada kasus  ini), dan  adalah tinggi (pada kasus  ini). Menjumlahkan semua dari luas permukaan sepanjang interval memberikan jumlah keseluruhan volume..

Metode ini dapat diturunkan dengan integral rangkap-tiga yang sama, kali ini dengan sebuah urutan integrasi yang berbeda.

Bentuk parametrik 

Ketika sebuah kurva didefinisikan oleh bentuk parametriknya  dalam suatu interval , volume dari benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu- dan sumbu- diberikan dengan

Dalam keadaan yang sama, luas dari permukaan benda dihasilkan dengan memutar kurva di sekitar sumbu- dan sumbu- diberikan dengan

Lihat pula 
 Bola semu
 Integrasi cakram
 Integrasi kulit
 Permukaan putar
 Terompet Gabriel
 Teorema Guldinus
 Ungula

Catatan

Referensi 

 
  (
 

Kalkulus integral