Teorema Wilson

Dalam teori bilangan, Teorema Wilson menyatakan bahwa bilangan bulat  n > 1 adalah bilangan prima jika dan hanya jika perkalian semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari n mempunyai selisih 1 dengan suatu kelipatan dari n. Dengan menggunakan faktorial  dan menggunakan notasi aritmetika modular, teorema ini dapat dituliskan sebagai

benar jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Dengan bahasa lain, n adalah bilangan prima jika dan hanya jika (n − 1)! + 1 habis dibagi oleh n.

Sejarah 
Teorema ini dinyatakan oleh Ibnu Haitham (sekitar 1000 M), dan pada abad ke-19 oleh John Wilson. Edward Waring mengumumkan teorema tersebut pada tahun 1770, walau dia maupun muridnya, Wilson, dapat membuktikannya. Langrage memberikan bukti pertama pada tahun 1771. Terdapat bukti bahwa Leibniz juga menyadari bukti teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah mempublikasikannya.

Contoh 
Untuk bilangan n dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan (n − 1)! dan sisa pembagiannya dengan n. Warna latar biru digunakan untuk n termasuk bilangan prima, dan emas untuk bilangan komposit.

Bukti 
Semua pembuktian berikut menggunakan fakta bahwa kelas residu modulo bilangan prima adalah suatu lapangan—lihat artikel lapangan prima untuk detailnya. Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa setiap lapangan polinomialberderajat n memiliki maksimal n akar, digunakan dalam semua pembuktian.

Modulus komposit 
Jika  adalah bilangan komposit, maka ia dapat dibagi dengan suatu bilangan prima  yang terletak diantara . Karena  membagi , misalkan  untuk suatu bilangan bulat . Dengan menggunakan kontradiksi, anggaplah  untuk  komposit. Karena  adalah faktor dari , maka berlaku . Namun  juga faktor dari , sehingga juga berlaku . Terjadi kontradiksi, dan dapat disimpulkan  hanya terjadi jika  bilangan prima.

Aplikasi

Uji keprimaan 
Walaupun dapat digunakan sebagai salah satu uji keprimaan, pada praktiknya teorema Wilson tidak pernah dipakai. Hal disebabkan karena menghitung nilai (n − 1)! modulo n untuk bilangan n yang besar secara komputasional berat, dan karena ada banyak uji keprimaan yang lebih cepat.

Residu kuadratik

Dengan menggunakan teorema Wilson, kita dapat mengubah ruas kiri setiap bilangan prima ganjil  di

 

untuk mendapatkan persamaanBentuk tersebut dapat dinyatakan sebagai

 

atau

 

Bentuk ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema terkenal: untuk setiap bilangan prima  yang memenuhi , bilangan  adalah residu kuadratik modulo . Untuk membuktikannya, anggap  untuk suatu nilai . Dengan mengambil  dan menggunakan bentuk diatas, kita dapatkan  kongruen dengan .

Persamaan untuk bilangan prima 
Teorema Wilson telah digunakan untuk mengonstruksi persamaan bilangan prima, namun metode tersebut terlalu lambat untuk kegunaan praktis.

Fungsi gamma p-adic 
Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi gamma p-adic.

Generalisasi Gauss 
Gauss membuktikan bahwa

 

dengan  menyatakan bilangan prima ganjil, dan  menyatakan bilangan bulat positif. Nilai  yang menyebabkan hasil perkalian  adalah bilangan yang memiliki akar primitif modulo m.

Hal ini memperumum faktr bahwa untuk setiap grup abelian finite, antara hasil perkalian semua elemennya adalah elemen identitas, atau terdapat tepat satu elemen  berorde dua (namun tidak keduanya). Pada kasus yang kedua, hasil perkalian semua elemen adalah elemen .

Referensi