Induksi-epsilon

Dalam matematika, induksi- (induksi-epsilon atau induksi-himpunan) merupakan sebuah ragam induksi transfinit.

Dianggap sebagai sebuah skema aksioma teori himpunan alternatif, ini disebut Aksioma (skema) induksi (himpunan)

Ini dapat digunakan dalam teori himpunan untuk membuktikan bahwa semua himpunan memenuhi sebuah sifat  yang diberikan. Ini merupakan sebuah kasus khusus mengenai induksi cukup beralasan.

Pernyataan 
Ini menyatakan, untuk suatu sifat , bahwa untuk setiap himpunan , kebenaran  mengikuti dari kebenaran  untuk semua unsur , maka sifat  ini berlaku untuk semua himpunan. Dalam simbol:

Perhatikan bahwa untuk "kasus bawah" dimana  melambangkan himpunan kosong, .  adalah kebenaran hampa.

Perbandingan dengan induksi bilangan asli 
Di atas dapat dibandingkan dengan induksi- atas bilangan asli  untuk sifat-sifat bilangan . Ini dapat diungkapkan sebagai

Memperkenalkan beberapa konvensi untuk karena pencerminan Induksi Himpunan, ini dapat diutlis sebagai

dimana untuk "kasus bawah"  kita ambil "" menjadi benar oleh definisi. Perhatikan bahwa induksi-himpunan dapat juga diperlakukan dalam sebuah cara yang memperlakukan kasus bawah dengan eksplisit.

Dengan tautologi klasik seperti , prinsip induksi- di atas dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut:

Ini mengungkapkan bahwa, untuk suatu sifat , baik terdapat suatu bilangan (pertama)  yang mana  tidak berlaku, meskipun  berlaku untuk kasus sebelumnya, atau - jika tidak ada seperti kasus palsu -  adalah benar untuk semua bilangan.

Demikian, dalam teori Zermelo–Fraenkel klasik, induksi-himpunan dapat diterjemahkan ke pernyataan berikut, menjelaskan bentuk apa mengenai contoh berlawanan mencegah sebuah sifat himpunan  berlaku untuk semua himpunan:

Ekspresi ini bahwa, untuk suatu sifat , baik ada sebuah himpunan  yang mana  tidak berlaku sementara  menjadi benar untuk semua unsur , atau  berlaku untuk semua himpunan.

Untuk suatu sifat, jika salah satu dapat membuktikan bahwa .  menyiratkan , maka kasus palsu dikesampingkan dan rumusnya menyatakan bahwa  terpisah harus berlaku.

Kebebasan 
Dalam konteks dari konstruksi Zermelo–Fraenkel teori himpunan konstruktif, mengutip Aksioma keteraturan akan menyiratkan kaidah menengah terkecuali dan juga induksi himpunan. Tapi kemudian hasil teorinya akan menjadi teori himpunan Zermelo–Fraenkel standar. Namun, sebaliknya, induksi himpunan menyiratkan baik bukan dari dua. Dengan kata lain, dengan sebuah kerangka logika konstruktif, induksi himpunan seperti yang dinyatakan di atas lebih lemah sempurna daripada keteraturan.

Lihat pula 

 Induksi matematis
 Induksi transfinit
 Induksi beralasan
 Teori himpunan konstruktif
 Teori himpunan takberalasan

Induksi matematis
Beralasan