Diagram Hasse

Dalam teori order, diagram Hasse (; ) adalah sebuah tipe diagram matematika yang digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan terurut parsial berhingga, dalam bentuk gambar reduksi transitifnya. Lebih spesifik, untuk sebuah himpunan terurut parsial , setiap elemen dari  akan merepresentasikan sebuah simpul; dan segmen garis/kurva yang naik dari  dan  digambarkan ketika  dan  menutupi (covers)  (tidak ada  sehingga ). Kurva-kurva ini dapat saling bersilangan, namun tidak boleh menyentuh simpul-simpul apapun selain titik-titik ujungnya. Diagram yang dibuat dengan cara tersebut, dengan simpul-simpul berlabel, secara unik menentukan urutan parsial himpunan.

Diagram-diagram ini dinamai Helmut Hasse (1898-1979). Menurut , diagram-diagram ini dinamakan demikian karena Hasse menggunakannya dengan efektif. Walaupun demikian, Hasse bukanlah yang pertama menggunakan diagram ini. Salah satu contoh yang mendahului Hasse dapat ditemukan pada . Meskipun diagram Hasse pada awalnya dirancang sebagai teknik untuk membuat gambar himpunan terurut parsial dengan tangan, namun baru-baru ini dapat dibuat secara otomatis dengan menggunakan teknik penggambaran graf.

Istilah "diagram Hasse" juga dapat merujuk kepada reduksi transitif sebagai sebuah graf asiklik terarah yang abstrak, terlepas dari penggambaran apapun dari graf tersebut; penggunaan istilah tersebut dihindari di artikel ini.

Desain diagram 
Meskipun diagram Hasse adalah alat yang sederhana dan juga intuitif untuk berurusan dengan poset berhingga, secara implementasi agak sulit untuk dapat menggambar diagram Hasse yang "baik". Secara umum, hal ini akibatkan oleh banyaknya cara yang mungkin untuk menggambar diagram untuk poset yang diberikan. Teknik menggambar sederhana yang dimulai dari elemen-elemen minimal suatu urutan, dan kemudian menggambar elemen-elemen yang lebih besar secara bertahap, sering kali menghasilkan hasil yang sangat buruk: simetri dan struktur internal urutan mudah hilang.

Contoh berikut ini menunjukkan masalah tersebut. Pertimbangkan himpunan kuasa dari himpunan 4-elemen yang diurutkan berdasarkan inklusi . Di bawah ini adalah empat diagram Hasse yang berbeda untuk urutan parsial ini. Setiap himpunan bagian memiliki simpul yang diberi label dengan pengkodean biner yang menunjukkan apakah elemen tertentu ada di dalam subset (1) atau tidak (0):

Diagram pertama memperjelas bahwa himpunan kuasa adalah graded poset. Diagram kedua memiliki struktur graded yang sama, tetapi dengan membuat beberapa sisi lebih panjang dari yang lain, diagram ini menekankan bahwa kubus 4-dimensi adalah gabungan kombinatorial dari dua kubus 3-dimensi. Diagram ketiga menunjukkan beberapa simetri internal dari struktur. Pada diagram keempat, simpul-simpul disusun seperti elemen-elemen dari matriks 4×4.

Catatan kaki

Referensi 

 .
 .
 .
 .
 .
 . An extended preprint is available online: .
 .
 .
 .
 .

Pranala luar