Matriks dasar

Dalam matematika, matriks dasar atau matriks elementer adalah matriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GLn(F) dengan F adalah lapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakili operasi baris dasar, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakili operasi kolom dasar.

Operasi baris elementer digunakan dalam eliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk eselon reduksi. Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Operasi baris elementer 

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, namun dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. Misalkan  menyatakan baris ke- dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

Pertukaran baris Suatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.
 

Perkalian baris Setiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagai penskalaan suatu baris.
 

Penambahan baris Suatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.

Matriks elementer 
Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—pada matriks identitas.  Jika  adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriks  akan menghasilkan yang sama dengan mengalikan dengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain, .

Transformasi pertukaran baris 

Jenis pertama operasi baris pada suatu matriks  adalah menukar baris ke- dengan baris ke-. Matriks elementer  yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke- dengan baris ke- matriks identitas:

 

Jadi, matriks  adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke- dengan baris ke-  matriks .

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama, invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain, . Karena determinan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwa . Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegi , berlaku hubungan

Transformasi perkalian baris 
Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke- matriks  dengan skalar  yang tidak bernilai nol (umumnya berupa bilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke--nya bernilai :

 

Jadi, matriks  adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke- matriks  dengan .

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakan matriks diagonal, dengan .  Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama dengan . Akibatnya, untuk sembarang matriks persegi  berlaku hubungan .

Transformasi penambahan baris 
Tipe terakhir operasi baris pada matriks  adalah menambahkan baris ke- yang dikalikan dengan suatu skalar  ke baris ke-. Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke- bernilai :

 

Jadi,  adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan  kali baris ke-  ke baris ke- matriks . Sedangkan  adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan   kali kolom ke- ke kolom ke- matriks .

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentuk matriks segitiga, dengan  . Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikan  untuk sembarang matriks persegi .

Referensi 
 
 
 

 
 
 
 

Matriks
Aljabar linear