Kurva bidang kubik

Dalam matematika, sebuah kubik bidang kurva merupakan sebuah kurva aljabar bidang  didefinisikan oleh sebuah persamaan kubik

berlaku untuk koordinat homogen  untuk bidang proyektif, atau versi inhomogen untuk ruang afin ditentukan dengan menetapkan  seperti di sebuah persamaan. Disini  merupakan kombinasi linear taknol dari monomial tiga derajat.

Ini ada sepuluh dalam bilangan; oleh karena itu kurva kubik membentuk sebuah ruang proyektif dimensi 9, pada setiap diberikan medan . Setiap titik  memaksa sebuah syarat linear tunggal pada , jika kita menanyakan bahwa  melalui . Oleh karena itu, kita dapat menemukan suatu kurav kubik memlalui setiap sembilan titik yang diberikan, yang dapat merosot, dan tidak dapat menjadi tunggal, tetapi akan menjadi tunggal dan takmerosot jika titiknya ada dalam posisi umum; bandingkan dua titik menentukan sebuah garis dan bagaimana lima titik menentukan sebuah runjung. Jika dua kubik melalui sebuah himpunan sembilan titik yang diberikan, maka faktanya sebuah pensil kubik tentu saja, dan titik-titiknya memenuhi sifat-sifat tambahan; lihat teorema Cayley–Bacharach.

Sebuah kurva kubik dapat memiliki sebuah titik singular, yang mana kasusnya memiliki sebuah parametrisasi dalam istilah garis proyektif. Jika tidak sebuah kurva kubik taksingular dikenal memiliki sembilan titik belok, pada sebuah medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks. Ini dapat ditunjukkan dengan mengambil versi homogen dari matriks Hesse, yang mendefinisikan sebuah kubik lagi, dan memotongnya dengan , perpotongannya kemudain dicacahkan oleh teorema Bézout. Namun, hanya tiga dari titik-titik ini dapat menjadi real, jadi abhwa yang lain tidak dapat dilihat dalam bidang proyektif real dengan menggambar kurva. Kesembilan titik belok dari sebuah kubik taksingular memilki sifat yang setiap garis lewat melalui dua dari mereka berisi tepatnya tiga titik belok.

Titik-titik real kurva kubik dipelajari oleh Isaac Newton. Titik-titik real sebuah kubik proyektif taksingular jatuh ke satu atau dua 'oval'. Salah satu dari oval-oval ini melintasi setiap garis proyektif real, dan dengan demikian tidak pernah dibatasi ketika kubik digambar dalam bidang Euklides; ini muncul sebagai satu atau tiga cabang-cabang yang takhingga, berisi tiga titik belok real. Oval lainnya, jik ada, tidak berisi setiap titik belok dan muncul juga sebagai sebuah oval atau sebagai dua cabang-cabang yang takhingga. Seperti untuk irisan kerucut. sebuah garis memotong oval ini, paling banyak, dua titik.

Sebuah kubik bidang taksingular mendefiniskan sebuah kurva eliptik, pada setiap medan  untuk yang memiliki sebuah titik yang didefinisikan. Kurva eliptik sekarang biasanay dipelajari dalam beberapa ragam fungsi eliptik Weierstrass, mendefinisikan sebuah ekstensi kuadratik dari medan fungsi rasional dibuat dengan mengekstrak akar kuadrat sebuah kubik. Ini dilakukan bergantung pada yang memiliki sebuah titik rasional , yang menyediakan sebagai titik di takhingga dalam bentuk Weierstrass. Terdapat banyak kurva kubik yang tidak memiliki titik tersebut, sebagai contoh ketika  merupakan medan bilangan rasional.

Titik-titik singular sebuah kurva kubik bidang takreduksi cukup terbatas: satu titik ganda, atau sebuah taring. Sebuah kurva kubik bidang reduksi merupakan baik sebuah kerucut dan sebuah garis atau tiga garis, dan oleh sebab itu memiliki dua titik ganda atau sebuah taknode (jika sebuah kerucut dan sebuah garis), atau samapi tiga titik ganda atau sebuah titik rangkap tiga tunggal (garis setumpu) jika tiga garis.

Kurva kubik dalam bidang segitga 
Andaikan bahwa  adalah sebuah segitiga dengan panjang sisi , , . Berkaitan dengan , banyak nama kubik lewat melalui titik yang dikenal dengan baik. Contoh-contoh menunjukkan di bawah menggunakan dua jenis koordinat homogen: trilinear dan barisentrik.

Untuk mengubah dari trilinear ke barisentrik dalam sebuah persamaan kubik, masukkan sebagai berikut:

untuk mengubah dari barisentrik ke trilinear, gunakan

Banyaknya persamaan untuk kubik memiliki bentuk

Dalam contoh di bawah, persamaan-persamaan sedemikian ditulis lebih dengan ringkas dalam "notasi jumlah siklik", seperti ini:

Kubik yang didaftar di bawah dapat didefinisikan dalam perihal dari sekawan isogonal, dilambangkan dengan , sebuah titik  yang tidak pada sebuah panjang sisi . Sebuah konstruksi  berikut. Misalkan  menjadi refleksi garis  mengenai sudut bagi dua dalam dari sudut , dan mendefiniskan  dan  secara analog. Maka ketiga garis yang tercermin bertepatan di . Dalam koordinat trilinear, jika , maka .

Kubik Neuberg 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik Neuberg (dinamakan oleh Joseph Jean Baptiste Neuberg) merupakan lokus dari sebuah titik  sehingga  ada pada garis , dimana  merupakan titik takhingga Euler ( dalam Ensiklopedia Pusat Segitiga). Juga, kubik ini merupakan lokus dari  sehingga segitiga  perspektif dengan , dimana  merupakan refleksi  dalam garis , ,  masing-masing.

Kubik Neuberg melewati titik-titik berikut: pusat lingkaran dalam, pusat lingkaran luar, sentroid, kedua titik Fermat, kedua titik isodinamik, titik takhingga Euler, pusat-pusat segitiga lainnya, pusat lingkaran singgung luar, refleksi , ,  dalam panjang sisi , dan puncak-puncak dari enam segitiga sama sisi dibangun pada sisi .

Untuk sebuah wakilan grafis dan daftar sifat dari kubik Neuberg yang luas, lihat K001 pada Kubik Berhard Gilbert dalam Bidang Segitiga.

Kubik Thomson 

Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik Thomson merupakan lokus sebuah titik  sehingga  ada pada garis , dimana  merupakan titik berat.

Kubik Thomson lewat melalui titik-titik berikut: pusat lingkaran dalam, sentroid, pusat lingkaran luar, titik tinggi, titik simedian, pusat segitiga lainnya, puncak-puncak , , , pusat lingkaran singgung luar, titik tengah sisi , , , dan titik tengah dari tinggi . Untuk setiap titik  pada titik kubik tetapi bukan pada sebuah sisi lain dari kubik, sekawan isogonal dari  juga pada kubik.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifat, lihat K002 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Kubik Darboux 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik Darboux merupakan lokus dari sebuah titik  sehingga  ada pada garis , dimana  merupakan titik de Longchamps. Juga, kubik ini merupakan lokus dari  sehingga segitiga pedal  merupakan cevian suatu titik (yang terletak pada kubik Lucas). Juga, kubik ini merupakan lokus dari sebuah titik  sehingga segitiga pedal dari  dan segitiga anticevian dari  adalah perspektif, perspektornya terletak pada kubik Thomson.

Kubik Darboux lewat melalui pusat lingkaran dalam, pusat lingkaran luar, titik tinggi, titik de Longchamps, pusat-pusat segitiga lainnya, puncak-puncak  , ,  pada lingkaran luar. Untuk setiap titik  pada kubik tetapi bukan pada sebuah sisi lain dari kubik, sekawan konjugasi  juga pada kubik.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K004 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Kubik Napoleon–Feuerbach 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik Napoleon–Feuerbach merupakam lokus dari sebuah titik  ada pada garis , dimana  merupakan pusat lingkaran sembilan, ( di Ensiklopedia Pusat Segitiga).

Kubik Napoleon–Feuerbach lewat melalui pusat lingkaran dalam, pusat lingkaran luar, titik tinggi, titik pertama dan kedua Napoleon, pusat segitiga lainnya, puncak-puncak , , , pusat lingkaran singgung luar, proyeksi dari titik berat pada tinggi, dan pust dari 6 segitiga sama sisi tegak pada sisi .

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K005 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Kubik Lucas 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik Lucas merupakan lokus dari sebuah titik  sehingga segitiga cevian  merupakan segitiga pedal dari suatu titik; titiknya terletak pada kubik Darboux.

Kubik Lucas lewat melalui sentroid, titik tinggi, titik Gergonne, titik Nagel, titik de Longchamps, pusat-pusat segitiga lainnya, puncak-puncak dari segitiga yang taksaling melengkapi, dan fokus dari elips luar Steiner.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K007 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Kubik Brocard pertama 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Misalkan  menjadi segitiga Brocard pertama. Untuk sembarang titik , misalkan , ,  menjadi perpotongan dari garis , ,  dengan panjang sisi masing-masing , , . Kubik Brocard pertama merupakan lokus dari  untuk yang titik , ,  adalah kolinear.

Kubik Brocard pertama lewat melalui titik berat, titik simedian, titik Steiner, pusat-pusat segitiga lainnya, dan puncak-puncak dari segitiga Brocard pertama dan ketiga.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K017 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Kubik Brocard kedua 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik Brocard kedua merupakan lokus dari sebuah titik  untuk yang kutub dari garis  dalam runjung luar melalui  dan  terletak pada garis dari pusat lingkaran luar dan titik simedian (yaitu, sumbu Brocard).

Kubik Brocard kedua lewat melalui sentroid, titik simedian, kedua titik Fermat, kedua titik isodinamik, titik Parry, pusat-pusat segitiga lainnya, dan puncak-puncak dari segitiga Brocard kedua dan keempat.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K018 pada Kubik dalam Bidang Segitiga..

Kubik luas yang sama pertama 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Kubik luas yang sama pertama merupakan lokus dari sebuah titik  sama dengan luas dari segitiga cevian dari . Juga, kubik ini merupakan lokus dari  untuk yang  pada garis , dimana  merupakan titik Steiner. ( di Ensiklopedia Pusat Segitiga).

Kubik luas yang sama pertama lewat melalui pusat lingkaran dalam, titik Steiner, pusat-pusat segitiga lainnya, titik Brocard pertama dan kedua, dan pusat lingkaran singgung luar.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K021 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Kubik luas sama kedua 
Persamaan trilinear:

Persamaan barisentrik:

Untuk setiap titik  (trilinear), misalkan  dan . Kubik luas sama kedua merupakan lokus dari  sehingga luas dari segitiga cevian dari  sama dengan luas dari segitiga cevian dari .

Kubik luas sama kedua lewat melalui pusat lingkaran dalam, sentroid, titik simedian, dan titik-titik dalam Ensiklopedia Pusat Segitiga diindeks sebagai , , , , , , , , , dan lain-lainnya.

Untuk grafik-grafik dan sifat-sifatnya, lihat K115 pada Kubik dalam Bidang Segitiga.

Lihat pula 

 Teorema Cayley–Bacharach, pada perpotongan dari dua bidang kurva kubik
 Kubik terpilin, sebuah kurva ruang kubik
 Kurva eliptik
 Kurva Agnesi

Referensi 

 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 . Lihat bab 8 untuk kubik.
 .
 .
 .

Pranala luar 

 A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
 Points on Cubics
 Cubics in the Triangle Plane
 Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert

Kurva aljabar