Persamaan roket Tsiolkovsky

Persamaan roket Tsiolkovsky, persamaan roket klasik, atau persamaan roket ideal adalah persamaan rumus matematis yang menggambarkan gerak kendaraan yang mengikuti prinsip dasar roket: sebuah alat yang dapat melakukan percepatan pada dirinya sendiri dengan menggunakan gaya dorong dengan cara mengeluarkan sebagian massanya dengan kecepatan tinggi. Kecepatan demikian dapat bergerak karena kekekalan momentum. Persamaan ini merupakan persamaan dasar astronotika  menghubungkan peningkatan kecepatan selama fase propulsi pesawat ruang angkasa yang dilengkapi dengan mesin roket dengan rasio massa awalnya dengan massa akhirnya.

Persamaan Tsiolkovsky ditulis:

di mana:
  adalah delta-v – perubahan velocity kecepatan maksimum kendaraan (tanpa gaya eksternal yang bekerja).
  adalah massa total awal, termasuk propelan, alias massa basah.
  adalah massa total akhir tanpa propelan, alias massa kering.
  adalah effective exhaust velocity kecepatan buang efektif, dimana:
 adalah impuls spesifik dalam dimensi waktu. 
 adalah gravitasi standar.
  adalah fungsi logaritma natural.

Mengingat kecepatan keluaran exhaust efektif  (ditentukan oleh desain motor roket), delta-v yang diinginkan (misalnya, kecepatan lepas), dan massa kering tertentu , persamaan tersebut dapat digunakan untuk mencari massa basah yang dibutuhkan :

Jadi massa basah yang diperlukan tumbuh secara eksponensial dengan delta-v yang diinginkan, seperti yang diilustrasikan pada grafik di atas.

Sejarah
Persamaan ini dinamai ilmuwan Rusia Konstantin Tsiolkovsky (Rusia:онстантин олковский) yang secara independen menurunkannya dan menerbitkannya dalam karyanya tahun 1903.

Persamaan telah diturunkan sebelumnya oleh matematikawan Inggris William Moore pada tahun 1810, dan kemudian diterbitkan dalam buku terpisah pada tahun 1813.

Robert Goddard di AS secara mandiri mengembangkan persamaan tersebut pada tahun 1912 ketika ia memulai penelitiannya untuk meningkatkan mesin roket untuk kemungkinan penerbangan luar angkasa. Robert Goddard menambahkan istilah untuk gravitasi dan drag gaya hambat dalam penerbangan vertikal. Hermann Oberth di Eropa secara independen menurunkan persamaan sekitar tahun 1920 saat ia mempelajari kelayakan perjalanan ruang angkasa.

Sementara derivasi turunan persamaan roket adalah latihan kalkulus langsung, Tsiolkovsky dihormati sebagai orang pertama yang menerapkannya pada pertanyaan apakah roket dapat mencapai kecepatan yang diperlukan untuk perjalanan ruang angkasa.

Eksperimen

Untuk memahami prinsip propulsi roket, Konstantin Tsiolkovsky mengusulkan eksperimen terkenal "perahu". Seseorang berada di perahu jauh dari pantai tanpa dayung. Dia ingin mencapai pantai ini. Dia memperhatikan bahwa perahu itu dimuati dengan sejumlah batu dan memiliki gagasan untuk melemparkan, satu per satu dan secepat mungkin, batu-batu ini ke arah yang berlawanan dengan tepian. Secara efektif, jumlah gerakan batu yang dilemparkan ke satu arah sesuai dengan jumlah gerakan yang sama untuk perahu ke arah lain.

Impuls spesifik
Impuls spesifik (biasanya disingkat Isp) adalah ukuran seberapa efektif sebuah mesin roket menggunakan propelan atau mesin jet menggunakan bahan bakarnya.

Contoh
Asumsikan kecepatan buang  dan  dari  (Bumi ke LEO, termasuk  untuk mengatasi gravitasi dan hambatan aerodinamis
 Roket satu tahap ke orbit : = 0.884, oleh karena itu 88,4% dari total massa awal harus menjadi propelan. Sisanya 11,6% untuk mesin, tangki, dan muatan.
 Dua-tahap-ke-orbit : anggaplah bahwa tahap pertama harus menyediakan  dari ;  = 0.671, oleh karena itu 67,1% dari total massa awal harus menjadi propelan ke tahap pertama. Massa yang tersisa adalah 32,9%. Setelah membuang tahap pertama, massa tetap sama dengan 32,9% ini, dikurangi massa tangki dan mesin tahap pertama. Asumsikan bahwa ini adalah 8% dari total massa awal, maka 24,9% tetap. Tahap kedua harus menyediakan
 dari ;  = 0.648, oleh karena itu 64,8% dari massa yang tersisa harus menjadi propelan, yaitu 16,2% dari total massa asli, dan 8,7% tetap untuk tangki dan mesin tahap kedua, muatan, dan dalam kasus pesawat ulang-alik , juga pengorbit. Jadi bersama-sama 16,7% dari massa peluncuran asli tersedia untuk semua mesin, tangki, dan muatan.

Contoh lain
Contoh berikut bertujuan untuk menunjukkan minat roket multi-tahap.
Pertimbangkan roket dua tahap dengan karakteristik sebagai berikut:
 massa propelan yang dibawa oleh setiap tahap (tahap pertama: 100 ton; tahap kedua: 20 ton) mewakili 10 kali massa kosongnya;
 kecepatan ejeksi gas adalah 4000 m/s ;
dan misalkan ia membawa muatan 2t. Mari kita rangkum data ini dalam sebuah tabel:

Kami kemudian dapat melakukan perhitungan kenaikan kecepatan, sebagai berikut, dengan menggunakan persamaan Tsiolkovsky dua kali, pada langkah 3 dan 6:

Sebagai perbandingan, sebuah roket yang terdiri dari satu tahap dengan jumlah total propelan yang sama (120 t) dan total massa kosong yang sama (12 t) akan memberikan muatan dengan massa yang sama (2 t) kecepatan sekitar 30% lebih rendah:

Lihat pula

 Propulsi wahana antariksa
 Mekanika orbital
 Konstantin Tsiolkovskii
 Robert H. Goddard
 Hermann Oberth
 Inklinasi
 Logaritma alami
 Impuls spesifik
 Bahan pendorong
 Momentum
 Kecepatan
 Gaya dorong
 Koefisien hambatan
 Gaya hambat
 Kelajuan terminal
 Gravitasi

Referensi 

Astrodinamika
Persamaan
Propulsi roket
Konstantin Tsiolkovsky