Kaidah pencacahan

Dalam matematika, khususnya di cabang matematika kombinatorik, kaidah pencacahan merupakan aturan untuk menghitung banyaknya susunan obyek-obyek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya. Kaidah pencacahan biasanya meliputi aturan dasar menghitung (seperti aturan penjumlahan dan aturan perkalian), prinsip inklusi-eksklusi, pembuktian bijektif, perhitungan ganda, prinsip rumah burung, fungsi pembangkit, dan relasi rekurensi.

Aturan dasar menghitung 
Aturan dasar menghitung meliputi kajian dasar dalam cabang matematika (yaitu kombinatorika), di antaranya aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

Aturan penjumlahan 
Aturan penjumlahan (atau aturan dasar menambah) adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada himpunan  dan  dengan anggota himpunan adalah  dan  dan bila kedua himpunan adalah saling lepas, maka banyaknya cara mengambil satu anggota tersebut adalah dengan cara menjumlahkan anggota pada kedua himpunan, yakni .

Lebih formalnya, bila  himpunan lepas berpasangan, maka aturan penjumlahan dapat dirumuskan sebagai

 

atau disingkat sebagai

 .

Untuk memahami lebih lanjut, perhatikan contoh berikut: diberikan kelima bangun datar yang berbeda, yakni persegi, lingkaran, segitiga, persegi panjang, dan trapesium. Maka, banyaknya cara mengambil salah satu dari kelima bangun datar tersebut adalah

 .

Aturan perkalian 
Aturan perkalian (atau aturan dasar mengalikan) adalah aturan yang menyatakan bahwa bila ada  cara untuk  dan  cara untuk , maka banyaknya cara untuk  dan  adalah . Sebagai permisalan, pada gambar di samping, diketahui  memiliki tiga elemen, yakni . Hal yang serupa untuk  yang memiliki tiga elemen, yakni . Maka, banyaknya cara untuk mengkombinasikan  dan  adalah  cara.

Aturan perkalian dalam teori himpunan dapat dianggap sebagai hasilkali Kartesius (dilambangkan ), yakni

 .

Prinsip inklusi-eksklusi 

Prinsip inklusi-eksklusi merupakan perluasan diagram Venn yang melibatkan himpunan-himpunan. Prinsip ini kemudian diaplikasi secara variatif. Untuk diberikan suatu himpunan  dan , prinsip inklusi-eksklusi dirumuskan sebagai

 .

Pembuktian bijektif 

Pembuktian bijektif ialah teorema yang mendefinisikan jika fungsi  yang memetakan himpunan  ke himpunan  adalah bijektif, maka diperoleh bahwa .

Perhitungan ganda 
Perhitungan ganda merupakan teknik pembuktian kombinatorial. Teknik pembuktian ini digunakan untuk membuktikan persamaan dua ekspresi dengan menunjukkan bahwa kedua ekspresi adalah dua cara menghitung kardinalitas sebuah himpunan yang sama.

Prinsip rumah burung 
Prinsip rumah burung atau prinsip sarang merpati atau prinsip sangkar merpati menyatakan bahwa untuk dua bilangan asli  dan , , jika  burung ditaruh di dalam  rumah atau kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi lebih dari satu burung.

Fungsi pembangkit 
Fungsi pembangkit merupakan suatu fungsi yang berbentuk deret kuasa. Dengan menjadikan suku-suku barisan menjadi koefisien dari variabel  di dalam bentuk formal deret kuasa, fungsi ini dapat merepresentasikan barisan secara efektif. Fungsi pembangkit pada barisan  dapat dirumuskan sebagai

 .

Relasi rekurensi 

Relasi rekurensi adalah suatu persamaan yang bergantung pada suku-suku sebelumnya. Lebih umumnya, relasi rekurensi pada suku  (dimana  bilangan bulat positif) bergantung pada suku-suku sebelumnya, yakni .

Rujukan

Catatan kaki

Referensi 

 

Kombinatorika