Fungsi indikator

Dalam matematika, sebuah fungsi indikator atau sebuah fungsi karakteristik adalah sebuah fungsi didefinisikan pada sebuah himpunan  yang mengindikasikan keanggotaan unsur dalam sebuah himpunan bagian  dari , memiliki nilai 1 untuk semua unsur  di  dan nilai 0 untuk semua unsur  bukan di . Ini biasanya dilambangkan oleh sebuah simbol 1 atau , terkadang dalam huruf tebal atau huruf tebal papan tulis, dengan sebuah subskrip menentukan himpunan bagian.

Dalam konteks lainnya, seperti ilmu komputer, ini akan lebih sering digambarkan sebagai fungsi predikat boole (untuk menguji inklusi himpunan).

Fungsi Dirichlet adalah sebuah contoh fungsi indikator dan merupakan indikator dari rasional.

Definisi 
Fungsi indikator himpunan bagian  dari sebuah himpunan  adalah sebuah fungsi

didefinisikan sebagai

Tanda kurung Iverson menyediakan notasi setara,  atau  untuk digunakan sebagai ganti dari .

Fungsi  terkadang dilambangkan , ,  atau bahkan hanya .

Notasi dan terminologi 
Notasi  juga digunakan untuk melambangkan fungsi karakteristik dalam analisis cembung, yang didefinisikan seakan-akan menggunakan timbal balik dari definisi standar dari fungsi indikator.

Sebuah konsep yang berkaitan dalam statistik adalah bahwa peubah rekaan. (Ini tidak boleh bingung dengan "peubah rekaan" karena istilah tersebut biasanya digunakan dalam matematika, disebut juga sebuah peubah batas.)

Istilah "fungsi karakteristik" memiliki sebuah arti yang tidak berkaitan dalam teori probabilitas klasik. Untuk alasan ini, probabilitas tradisional menggunakan istilah fungsi indikator untuk fungsi didefinisikan disini hampir secara eksklusif, sementara para matematikawan dalam bidang lainnya lebih suka menggunakan istilah fungsi karakteristik untuk menggambarkan fungsi yang mengindikasikan keanggotaan dalam sebuah himpunan.

Dalam logika kabur dan logika bernilai banyak modern, predikatnya adalah fungsi karakteristik sebaran probabilitas. Yaitu, penilaian benar/salah yang teliti dari predikat digantikan oleh sebuah kuantitas diinterpretasi sebagai derajat kebenaran.

Sifat-sifat dasar 
Fungsi indikator atau karakteristik dari sebuah himpunan bagian  dari beberapa himpunan  memetakan unsur  ke kisaran .

Pemetaan ini surjektif hanya ketika  adalah sebuah himpunan bagian wajar takkosong dari . Jika , maka . Dengan sebuah argumen yang serupa, jika  maka .

Dalam berikut ini, titik mewakili perkalian, , , dst. "" dan "" mewakili penambahan dan pengurangan. "" dan "" adalah irisan dan gabungan, masing-masing.

Jika  dan  adalah dua himpunan bagian , maka

,

,

dan fungsi indikator dari komplemen  yaitu  adalah:

.

Lebih umumnya, andaikan  adalah sebuah kumpulan himpunan bagian . Untuk suatu :

jelas sebuah darab 0 dan 1. Darab ini memiliki nilai 1 pada tepatnya  yang tidak menjadi miliki himpunan  dan adalah 0 jika tidak. Yaitu

.

Memperluas darab pada ruas sebelah kiri,

dimana  adalah kekardinalan . Ini adalah salah satu bentuk dari prunsip inklusi-eksklusi.

Seperti yang disarankan oleh contoh sebelumnya, fungsi indikator adalah sebuah alat notasional yang berguna dalam kombinatorika. Notasinya digunakan dalam tempat lainnya juga, misalnya dalam teori probabilitas. Jika  adalah ruang probabilitas dengan ukuran probabilitas  dan   adalah sebuah himpunan terukurkan, maka  menjadi sebuah peubah acak yang nilai harapannya sama dengan probabilitas dari :

Identitas ini digunakan dalam sebuah bukti sederhana pertidaksamaan Markov.

Dalam banyak kasus, seperti teori tatanan, invers dari fungsi indikator dapat didefinisikan. Ini biasanya disebut fungsi Möbius rampat, sebagai sebuah perampatan dari balikan fungsi indikator dalam teori bilangan elementer, fungsi Möbius. (Lihat paragraf di bawah mengenai penggunaan balikan dalam teori rekursi klasik.)

Purata, ragam, dan peragam 
Diberikan sebuah ruang probabilitas  dengan , peubah acak indikator  didefinisikan oleh  jika , jika tidak .

Purata

Ragam

Peragam

Fungsi karakteristik dalam teori rekursi, fungsi wakilan Gödel's dan Kleene 
Kurt Gödel menjelaskan fungsi wakilan dalam makalahnya tahun 1934 berjudul "On undecidable propositions of formal mathematical systems":

"Mereka seharusnya berpadanan untuk setiap kelas atau relasi , sebuah fungsi wakilan  jika  dan  jika ." ("" mengindikasikan balikan logis, yaitu "BUKAN")

Kleene (1952) menawarkan definisi yang sama dalam konteks dari fungsi rekursif primitif sebagai sebuah fungsi  predikat  mengambil nilai 0 jika predikatnya benar dan 1 jika predikatnya palsu.

Contohnya, karena darab fungsi karakteristik  setiap kali salah satu dari fungsi sama dengan 0, ini memainkan peran logis OR: JIKA  MAKA darabnya adalah 0. Apa yang muncul ke pembaca modern mewakili fungsi balikan logis, yaitu, mewakili fungsi adalah 0 ketika fungsi  adalah "benar" atau terpenuhi", memainkan sebuah peran yang berguna dalam definisi Kleene dari fungsi logis operator mu , , dan  (hlm. 228),  -terbatas (hlm. 228) dan takterbatas (hlm. 279 ff) (Kleene (1952)) dan fungsi KASUS (hlm. 229).

Fungsi karakteristik dalam teori himpunan kabur 
Dalam matematika klasik, fungsi karakteristik mengenai himpunan hanya mengambil nilai 1 (anggota) atau 0 (bukan anggota). Dalam teori himpunan kabur, fungsi karakteristik rampat dengan mengambil nilai dalam selang satuan real , atau lebih umumnya, dalam beberapa aljabar atau struktur (biasanya dibutuhkan setidaknya sebuah himpunan terurut parsial atau kekisi). Seperti fungsi karakteristik rampat lebih biasanya disebut fungsi keanggotaan, dan "himpunan" padanan disebut himpunan kabur. Himpunan kabur memodelkan perubahan bertahap dalam derajat keanggotaan dilihat dalam banyak predikat dunia nyata seperti "tinggi", "hangat", dst.

Turunan dari fungsi indikator 
Sebuah fungsi indikator khusus adalah fungsi langkah Heaviside. Fungsi tangga Heaviside  adalah fungsi indikator dari garis setengah positif berdimensi satu, yaitu, ranah . Turunan sebaran dari fungsi tangga Heaviside adalah sama dengan fungsi delta Dirac, yaitu.

,

dengan sifat berikut:

.

Turunan dari fungsi tangga Heaviside dapat dilihat sebagai turunan normal ke dalam pada batas dari ranah diberikan oleh setengah garis positif. Dalam dimensi lebih tinggi, turunan secara alami merampat dengan turunan normal ke dalam, sementara fungsi tangga Heaviside secara alami merampat ke fungsi indikator mengenai suatu domain . Permukaan  akan dilambangkan oleh . Dengan melanjutkan, ini dapat diturunkan bahwa turunan normal ke dalam dari indikator memunculkan sebuah 'fungsi delta permukaan', yang dapat diindikasikan oleh :

dimana  adalah normal ke luar dari permukaan . 'Fungsi delta permukaan' ini memiliki sifat berikut:

.

Dengan menetapkan fungsi  sama dengan satu, ini mengikuti bahwa turunan normal ke dalam dari indikator mengintegralkan ke nilai numerik ke luas permukaan .

Lihat pula 

 Ukuran Dirac
 Laplace dari indikator
 Fungsi delta Dirac
 Perluasan (logika predikat)
 Peubah bebas dan peubah rekaan
 Fungsi tangga Heaviside
 Tanda kurung Iverson
 Delta Kronecker, sebuah fungsi yang dapat dipandang sebagai sebuah indikator untuk relasi identitas
 Tanda kurung Macaulay
 Multihimpunan
 Fungsi keanggotaan
 Fungsi sederhana
 Peubah rekaan (statistik)
 Klasifikasi statistika
 Fungsi kerugian nol-satu

Catatan

Referensi

Sumber 

 
 
 
 
 
 
 

Teori peluang
Logika matematika
Tipe fungsi
Konsep dasar dalam teori himpunan
Analisis real
Kalkulus integral
Teori ukuran