Konjektur Mersenne

Dalam matematika, konjektur Mersenne adalah sebuah konjektur yang melibatkan karakterisasi dari jenis bilangan prima yang disebut bilangan prima Mersenne, bilangan prima yang ditulis dalam ekspresi perpangkatan dari dua dikurangi satu.

Konjektur asli 
Konjektur aslinya, yang disebut konjektur Mersenne, menyatakan bahwa bilangan  merupakan bilangan prima untuk  bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, serta merupakan bilangan komposit untuk semua bilangan bulat positif lain . Konjektur ini dinamai dari Marin Mersenne, dan terdapat di dalam Cogitata Physico-Mathematica. Bilangan-bilangan yang sangat banyak jumlahnya mengakibatkan Mersenne tidak dapat menguji semuanya di abad ke-17. Akan tetapi setelah tiga abad kemudian dan tersedianya pengujian yang baru, yaitu uji Lucas–Lehmer, konjektur Mersenne memiliki lima kesalahan. Letak kesalahan tersebut di antaranya adalah dua bilangan komposit () dan tiga bilangan prima () saat disubstitusi ke bilangan prima Mersenne. Bilangan yang benar adalah  bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 dan 127.

Konjektur baru 
Konjektur Mersenne baru atau konjektur Bateman–Selfridge–Wagstaff menyatakan bahwa untuk sebarang bilangan asli ganjil , jika dua dari syarat berikut berlaku, maka syara ketiga juga berlaku:
  atau  untuk suatu bilangan asli . ()
  adalah sebuah bilangan prima Mersenne. ()
  adalah sebuah bilangan prima Wagstaff. ()

Jika  adalah bilangan komposit ganjil, maka  dan  adalah komposit. Oleh karena itu, pengujian bilangan prima hanya diperlukan untuk membenarkan kebenaran dari konjektur tersebut.

Konjektur Lenstra–Pomerance–Wagstaff 
Lenstra, Pomerance, dan Wagstaff menduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne, dan lebih tepatnya bahwa jumlah bilangan prima Mersenne yang lebih kecil daripada  secara asimtotik kira-kira sama dengan 

dengan γ adalah konstanta Euler–Mascheroni.

Dengan kata lain, jumlah bilangan prima Mersenne dengan pangkat  yang lebih kecil daripada  secara asimtotik sama dengan

Lebih umumnya lagi, jumlah bilangan prima  sehingga  adalah bilangan prima (dengan  dan  adalah bilangan bulat koprima, , serta  dan  bukanlah bilangan sempurna pangkat  untuk sebarang bilangan asli , dan  bilangan sempurna pangkat empat) secara asimtotik sama dengan

dengan  adalah bilangan bulat tak negatif terbesar sehingga  dan  adalah bilangan sempurna pangkat . Kasus  merupakan kasus bilangan prima Mersenne.

Referensi 

Konjektur tentang bilangan prima