Kompleks Amitsur

Dalam aljabar, kompleks Amitsur adalah kompleks alami yang terkait dengan homomorfisme gelanggang. Kompleks ini diperkenalkan oleh Shimshon Amitsur. Ketika homomorfisme dikatakan datar dan setia (), maka kompleks Amitsur adalah eksak (yang menentukan resolusi) dasar dari teori penurunan rata tepat.

Gagasan tersebut seharusnya dipandang sebagai mekanisme untuk melampaui konvensional lokalisasi gelanggang dan modul.

Definisi 
Misal  adalah homomorfisme dari gelanggang yang tidak memerlukan sifat komutatif. Untuk memulainya, yang harus dilakukan pertama adalah mendefinisikan himpunan kosimplisial  (dengan  merujuk pada , bukan ). Kemudian, definisikan wajah peta  dengan menyisipkan 1 pada titik ke-i :

Kemudian, definisikan degenerasi  dengan mengalikan ke-i dan titik-(i' ' + 1):

Definisi-definisi di atas memenuhi identitas sederhana "jelas", dan dengan demikian,  adalah himpunan kosimplisial. Hal tersebut menentukan kompleks dengan augumentasi  pada kompleks Amitsur:

dengan 

 Ketepatan kompleks Amitsur 

 Kasus faithfully flat 
Dalam notasi di atas, jika  adalah rata tepat kanan, maka teorema Alexander Grothendieck menyatakan bahwa kompleks (imbuhan)  adalah eksak dan karenanya adalah resolusi. Lebih umum, jika  adalah rata tepat kanan, maka M untuk setiap modul kiri-R,

adalah eksak.Bukti:

Langkah 1: Pernyataan benar jika  terbagi sebagai homomorfisme gelanggang.

Bahwa "terbagi " adalah menyatakan  untuk beberapa homomorfisme  ( merupakan retraksi dan terbagi ). Diberikan  sebagai

oleh

Perhitungan yang mudah menunjukkan identitas berikut: dengan ,
.
Hal ini untuk menyebutkan bahwa h adalah operator homotopi dan dengan demikian  sebagai menentukan nol peta pada kohomologi: yaitu, kompleksnya adalah eksak.

Langkah 2: Pernyataan tersebut benar secara umum.

Kami berkomentar bahwa  adalah bagian dari . Jadi, Langkah 1 yang diterapkan pada homomorfisme gelanggang terbagi  menyatakan:

dimana  adalah eksak. Karena , dsg., dengan "rata tepat" maka urutan aslinya adalah eksak. 

Kasus topologi busur
 tunjukkan bahwa kompleks Amitsur eksak jika R dan S'' adalah gelanggang sempurna (komutatif), dan peta harus menjadi peliputan pada topologi busur (yang merupakan kondisi yang lebih lemah daripada peliputan pada topologi datar).

Catatan

Referensi

Bibliografi

 
 

Aljabar