Grup dengan operator

Dalam aljabar abstrak, cabang dari matematika, struktur aljabar grup dengan operator atau grup-Ω apabila dilihat sebagai grup dengan himpunan Ω yang beroperasi pada elemen grup dengan cara khusus.

Grup dengan operator dipelajari secara ekstensif oleh Emmy Noether dan awal sekolahnya pada tahun 1920-an. Ia menggunakan konsep dalam rumus aslinya dari tiga teorema isomorfisme Noether.

Definisi 

Sebuah grup dengan operator  apabila didefinisikan sebagai sebuah grup  bersama dengan himpunan tindakan  pada :

yaitu distributif relatif terhadap hukum grup:
.
Untuk setiap , aplikasi  maka merupakan endomorfisme dari G. Dari sini, hasil bahwa grup juga apabila dilihat sebagai grup G dengan keluarga indeks  dari endomorfisme pada G.

 disebut ranah operasi. Endomorfisme asosiasi disebut homotetis dari G.

Diberikan dua grup G, H dengan ranah operasi yang sama , sebuah homomorfisme grup dengan operator adalah homomorfisme grup  dirumuskan
 untuk semua  dan .

Subgrup S dari G disebut subgrup stabil,  atau subgrup invarian- jika didukung homotetis, yaitu
 untuk semua  dan .

Pernyataan teoretis kategori 
Dalam teori kategori, grup dengan operator dapat didefinisikan sebagai objek dari kategori fungtor  dimana  adalah monoid (yaitu kategori dengan satu objek) dan  menunjukkan kategori grup. Definisi ini setara dengan definisi sebelumnya, asalkan  adalah monoid (jika tidak, apabila dapat memperluas untuk memasukkan identitas dan semua komposisi).

Sebuah morfisme dalam kategori ini adalah transformasi alami antara dua fungtor (yaitu dua grup dengan operator pembagian ranah operasi yang sama M).  Sekali lagi apabila memulihkan definisi diatas tentang homomorfisme grup dengan operator (dengan dari komponen dari transformasi alami).

Grup dengan operator juga merupakan pemetaan
 

dimana  adalah himpunan endomorfisme grup G.

Contoh 
 Diberikan grup , adalah grup trivial dengan operasi
 Diberikan modul M atas gelanggang , tindakan  dengan perkalian skalar pada grup abelian yang mendasari , jadi  adalah grup dengan operator.
 Sebagai kasus khusus di atas, setiap ruang vektor atas medan  adalah grup dengan operator .

Aplikasi 

Teorema Jordan–Hölder juga berlaku dalam konteks grup operasi. Persyaratan bahwa grup memiliki rangkaian komposisi analog dengan kekompakan dalam topologi, dan terkadang bisa menjadi persyaratan yang terlalu kuat. Itu wajar untuk berbicara tentang "kekompakan relatif terhadap satu himpunan", yaitu berbicara tentang deret komposisi di mana setiap subgrup (normal) adalah subgrup operasi relatif pada himpunan operasi  dari grup yang bersangkutan.

Lihat pula 
Tindakan grup

Catatan

Referensi 

Tindakan grup (matematika)
Aljabar universal