Monad (teori kategori)

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, monad (juga disebut tripel, triad, konstruksi standar dan konstruksi dasar) adalah endofunktor (funktor memetakan kategori), dengan dua transformasi alam yang dibutuhkan untuk memenuhi kondisi koherensi. Monad digunakan dalam teori funktor adjoin, dan mereka menggeneralisasi operator penutupan pada himpunan terurut parsial ke kategori arbitrer.

Pendahuluan dan definisi 
Monad adalah jenis endofunktor tertentu. Misalnya, jika  dan  adalah sepasang funktor adjoin, dengan  di sebelah kiri adjoint ke , maka komposisi  adalah monad. Jika  dan  adalah fungsi invers, monad terkait adalah identitas funktor. Secara umum, tambahan bukanlah kesetaraan, mereka menghubungkan kategori dengan sifat yang berbeda. Teori monad penting sebagai bagian dari upaya untuk 'mencari' tambahan. Separuh teori lainnya, dari dipelajari juga dari pertimbangan , dibahas di bawah teori ganda  komonad .

Definisi formal 
Sepanjang artikel ini  menunjukkan sebuah kategori. Sebuah  monad  di  terdiri dari endofunktor  bersama dengan dua transformasi alami:  (dimana  menunjukkan fungsi identitas pada ) dan  (dimana  adalah funktor  dari  ke ). Ini diperlukan untuk memenuhi ketentuan berikut (terkadang disebut kondisi koherensi):

  (sebagai transformasi ); 
  (sebagai transformasi ; maka  menunjukkan transformasi identitas dari  menjadi ).
 
Kita dapat menulis ulang kondisi ini menggunakan diagram komutatif berikut:

Lihat artikel tentang transformasi natural untuk penjelasan tentang notasi  dan , atau lihat di bawah diagram komutatif yang tidak menggunakan pengertian ini:

Aksioma pertama mirip dengan asosiativitas dalam monoid jika  sebagai operasi biner monoid, dan aksioma kedua mirip dengan keberadaan elemen identitas (diberikan ). Monad pada  dapat didefinisikan sebagai alternatif sebagai monoid dalam kategori  yang objeknya merupakan endofunktor dari  dan yang morfismenya merupakan transformasi, dengan struktur monoid yang disebabkan oleh komposisi endofungtor.

Himpunan daya monad 
 Himpunan daya monad  adalah monad  pada kategori : Untuk himpunan  biarkan  menjadi himpunan daya dari  dan untuk sebuah fungsi  biarkan  menjadi fungsi antara set daya yang diinduksi dengan galeri langsung di bawah .  Untuk setiap set , peta , pada  tunggal . The function

mengambil satu set himpunan ke satuan. Data ini menggambarkan sebuah monad.

Keterangan 
Aksioma sebuah monad secara formal mirip dengan aksioma monoid. Faktanya, monad adalah kasus khusus dari monoid, yaitu mereka merupakan monoid di antara endofunktor , yang dilengkapi dengan perkalian yang diberikan oleh komposisi endofungtor.

Komposisi monad secara umum bukan monad. Misalnya, monad himpunan daya ganda  tidak menerima struktur monad.

Sejarah terminologis 
Gagasan monad ditemukan oleh Roger Godement pada tahun 1958 dengan nama "konstruksi standar". Pada 1960-an dan 1970-an, banyak orang menggunakan nama "tiga kali lipat". Istilah standar sekarang "monad" adalah karena Saunders Mac Lane.

Contoh

Monad arising dari tambahan 

Semua adjunsi

menimbulkan monad pada  C . Konstruksi yang sangat luas ini bekerja sebagai berikut: ujung ujung adalah komposit

Fungsi akhir ini dengan cepat dianggap sebagai monad, di mana peta satuan berasal dari peta satuan  dari adjunsi, dan peta perkalian dibangun menggunakan peta mounit dari adjunsi:

Dualisasi ganda 
 Dualisasi monad , untuk bidang  k  tetap muncul dari adjunsi

di mana kedua fungsi diberikan dengan mengirimkan ruang vektor  V  ke ruang vektor ganda . Monad terkait mengirimkan ruang vektor  V  ke dual ganda . Monad ini dibahas secara umum oleh .

Operator penutupan himpunan urutan sebagian 
Untuk kategori yang timbul dari himpunan terurut parsial  (dengan morfisme tunggal dari  to  iff ), maka formalismenya menjadi lebih sederhana: bagian adjoin adalah koneksi Galois dan monad adalah operator penutupan.

Adjunsi foget bebas 
Misalnya, karena  menjadi funktor fogetful dari kategori Grp dari grup ke kategori Himpunan, dan maka  menjadi fungsi grup bebas dari kategori himpunan ke kategori grup. Kemudian  adalah ujung kiri dari . Dalam hal ini, monad terkait  maka himpunan  dan himpunan yang mendasari dari grup bebas .
Peta satuan monad ini diberikan oleh peta

termasuk set apapun  ke dalam himpunan  dengan cara alami, sebagai pita panjang 1. Selanjutnya, perkalian dari monad ini adalah peta

terbuat dari rangkaian atau 'perataan' alami dari 'pita'. Maka berarti dua transformasi natural.
Contoh sebelumnya tentang grup bebas dapat digeneralisasikan ke semua jenis aljabar dalam arti Varietas aljabar dalam aljabar universal. Jadi, setiap jenis aljabar menimbulkan monad pada kategori himpunan. Yang penting, jenis aljabar dapat dipulihkan dari monad (sebagai kategori aljabar Eilenberg–Moore), jadi monad juga dapat dilihat sebagai varietas umum dari aljabar universal.

Monad lain yang muncul dari sebuah adjunsi adalah saat  adalah ujung fungsi pada kategori ruang vektor yang memetakan ruang vektor  ke aljabar tensor , dan yang memetakan peta linier ke produk tensornya. Kami kemudian memiliki transformasi alami yang sesuai dengan penyematan  ke dalam aljabar tensor, dan transformasi alami yang sesuai dengan peta dari  untuk  diperoleh hanya dengan memperluas semua produk tensor.

Monad kondensi 

Di bawah kondisi ringan, funktor yang tidak menggunakan adjoin kiri juga menghasilkan monad, yang disebut monad kondensi. Misalnya, inklusi

tidak menerima adjoint kiri. Codensity monadnya adalah monad pada set yang mengirimkan set  X  ke set ultrafilter pada  X . Maka, contoh serupa dibahas oleh .

Aljabar untuk monad 

Dirumuskan monad  pada kategori , wajar untuk mempertimbangkan  aljabar- , yaitu, objek  C  yang dilanjutkan dari  T  ke cara yang kompatibel dengan satuan dan perkalian monad. Lebih formal, aljabar- T  pada  adalah objek  dari  dengan panah  of  disebut  peta struktur  dari aljabar seperti diagram

Morfisme  dari aljabar- adalah panah  dari  dari diagram   T  membentuk kategori yang disebut  kategori Eilenberg–Moore  dan dilambangkan dengan . Misalnya, untuk grup bebas monad yang didiskusikan di atas, aljabar- T  adalah himpunan  X  bersama dengan peta dari grup bebas yang dihasilkan oleh  X  menuju  X  dengan subjek asosiatif dan satuan. Struktur seperti itu setara dengan mengatakan bahwa  X  adalah kelompok itu sendiri.

Contoh lain adalah  distribusi monad  pada kategori himpunan. Hal tersebut ditentukan dengan urutan satu himpunan  X  ke himpunan fungsi  dengan dukungan terbatas dan sehingga . Dengan memeriksa definisi, dapat ditunjukkan bahwa aljabar di atas monad distribusi setara dengan himpunan konveks, yaitu, himpunan dengan operasi  pada  tunduk pada aksioma yang menyerupai perilaku kombinasi linear cembung  dalam ruang Euklides.

Penggunaan 
Monad digunakan dalam pemrograman fungsional untuk mengekspresikan jenis komputasi sekuensial (terkadang dengan efek samping). Lihat monad dalam pemrograman fungsional, dan modul Wikibuku yang lebih berorientasi matematis Teori Haskell/Kategori.

Dalam logika kategoris, sebuah analogi telah ditarik antara teori monad-komonad, dan logika modal melalui operator penutupan, aljabar interior, dan hubungannya dengan model dari S4 dan logika intuisi.

Generalisasi 
Dimungkinkan untuk mendefinisikan monad dalam Kategori-2 . Monad yang dijelaskan di atas adalah monad untuk .

Lihat pula 
 Hukum distributif antara monad
 Teori Lawvere
 Monad (pemrograman fungsional)
 Poliad
 Monad kekuatan

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 
Monad, lima ceramah singkat (dengan satu lampiran).
John Baez's This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 89) mencakup monad dalam 2 kategori.

Fungsi adjoin
Teori kategori