Gelanggang bertingkat

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, gelanggang bertingkat adalah gelanggang sehingga grup aditif yang mendasarinya adalah jumlah langsung grup abelian  dari . Himpunan indeks biasanya himpunan bilangan bulat nonnegatif atau himpunan bilangan bulat, namun berupa monoid. Dekomposisi jumlah langsung biasanya disebut sebagai gradasi atau bertingkat.

Sebuah modul bertingkat didefinisikan sama (lihat di bawah untuk definisi yang tepat). Ini menggeneralisasi ruang vektor bertingkat. Modul bertingkat yang juga merupakan gelanggang bertingkat disebut aljabar bertingkat. Gelanggang bertingkat juga dapat dilihat sebagai aljabar- bertingkat.

Asosiatif tidak penting (bahkan tidak digunakan sama sekali) dalam definisi gelanggang bertingkat; karenanya, gagasan tersebut juga berlaku untuk aljabar non-asosiatif; misalnya, apabila mempertimbangkan aljabar Lie bertingkat.

Sifat pertama 
Umumnya, himpunan indeks dari gelanggang bertingkat seharusnya sebagai himpunan bilangan bulat non-negatif, kecuali ditentukan lain secara eksplisit. Ini adalah kasus dalam artikel ini.

Gelanggang bertingkat adalah gelanggang yang didekomposisi sebagai jumlah langsung
 
dari
grup aditif, sehingga 

untuk semua bilangan bulat non-negatif  dan .

Sebuah elemen bukan nol dari  dikatakan sebagai homogen dari derajat . Menurut definisi penjumlahan langsung, setiap elemen bukan nol  dari  apabila ditulis secara unik sebagai penjumlahan  dimana setiap  adalah 0 atau homogen dengan derajat .  bukan nol adalah komponen homogen dari .

Beberapa sifat dasar adalah:
 adalah subgelanggang dari ; khususnya, identitas perkalian  adalah elemen homogen dengan derajat nol.
Untuk sembarang ,  adalah modul-dua sisi, dan dekomposisi jumlah langsungnya adalah jumlah langsung modul-.
  adalah aljabar- asosiatif.

Sebuah ideal  adalah homogen, jika untuk setiap , komponen homogen  juga termasuk  (ekuivalen, jika itu adalah submodul bergradasi dari ; lihat ). Perpotongan antara ideal homogen  dengan  adalah submodul- dari  yang disebut bagian homogen derajat  dari . Suatu ideal homogen adalah jumlah langsung dari bagian-bagiannya yang homogen.

Jika  adalah ideal homogen dua sisi dalam , maka  juga merupakan gelanggang bertingkat, dekomposisi-nya sebagai
 
dimana  adalah bagian homogen dari derajat  dari .

Contoh dasar 
 Setiap gelanggang (bukan bertingkat) R diberikan oleh bertingkat dengan , dan  untuk i ≠ 0. Ini disebut trivial bertingkat pada R.
 Gelanggang polinomial  dinilai oleh derajat: itu adalah jumlah langsung dari  yang terdiri dari polinomial homogen derajat i.
 Misalkan S adalah himpunan semua elemen homogen bukan nol dalam ranah integral R bertingkat. Maka lokalisasi dari R pada S adalah gelanggang- bertingkat.
 Jika I ideal dalam gelanggang komutatif R, maka  adalah gelanggang bertingkat yang disebut gelanggang asosiatif bertingkat dari R sepanjang I; geometris tersebut adalah gelanggang koordinat dari kerucut normal sepanjang subvarietas didefinisikan oleh I.
 Misalkan X adalah ruang topologi, Hi(X; R) grup kohomologi i dengan koefisien dalam gelanggang-R. Maka H*(X; R), gelanggang kohomologi X dengan koefisien dalam R, adalah gelanggang bertingkat grup dasar  dengan struktur perkalian yang diberikan oleh produk cangkir.

Modul bertingkat 
Gagasan yang sesuai dalam teori modul adalah gagasan modul bertingkat, yaitu modul kiri atas gelanggang bertingkat R, sebagai

dan

Contoh: sebuah ruang vektor bertingkat adalah contoh modul bertingkat atas medan (dengan medan memiliki trivial bertingkat).

Contoh: sebuah gelanggang bertingkat adalah modul bertingkat atas sendiri. Suatu ideal dalam gelanggang bertingkat adalah homogen jika dan hanya jika adalah submodul bertingkat. annihilator dari modul bertingkat adalah ideal homogen.

Contoh: Diberikan ideal I dalam gelanggang komutatif R dan modul- R dari M, jumlah langsung  adalah modul bertingkat atas gelanggang bertingkat terkait .

Morfisme  antara modul bertingkat, yang disebut morfisme bertingkat, adalah morfisme modul dasar; yaitu, . Submodul bertingkat adalah submodul yang merupakan modul bertingkat dalam sendiri dan sedemikian rupa sehingga inklusi teori himpunan adalah morfisme modul bertingkat. Secara eksplisit, modul bertingkat N adalah submodul bertingkat M jika dan hanya jika adalah submodul M dan memenuhi . Kernel dan citra morfisme modul bertingkat adalah submodul bertingkat.

Catatan: Untuk memberikan morfisme bergradasi dari gelanggang bertingkat ke gelanggang bertingkat lain dengan citra yang terletak di tengah sama dengan memberikan struktur aljabar bertingkat ke gelanggang terakhir.

Diberikan modul bertingkat , putaran- dari  adalah modul bertingkat yang ditentukan oleh . (lih. gemal putaran Serre dalam geometri aljabar.)

Maka M dan N sebagai modul bertingkat. Jika  adalah morfisme modul, maka f dikatakan memiliki derajat d dengan . Sebuah turunan eksterior bentuk diferensial dalam geometri diferensial adalah contoh dari morfisme yang memiliki derajat 1.

Invarian modul bertingkat 

Diberikan modul bertingkat M atas gelanggang bertingkat komutatif R, apabila mengasosiasikan deret pangkat formal :

(dengan asumsi  berhingga.) Ini disebut deret Hilbert–Poincaré dari M.

Modul bertingkat dikatakan kebangkitan hingga jika modul yang mendasarinya kebangkitan secara berhingga. Generator merupakan homogen dengan mengganti generator dengan bagian homogen.

Misalkan R adalah gelanggang polinomial , k sebuah medan, dan M sebuah modul bertingkat yang dihasilkan secara hingga atas. Maka fungsi  disebut juga sebagai fungsi Hilbert dari M. Fungsi ini bertepatan dengan polinomial bernilai bilangan bulat untuk n besar yang disebut polinomial Hilbert dari M.

Aljabar bertingkat 

Sebuah aljabar A atas gelanggang R adalah aljabar bertingkat jika dinilai sebagai gelanggang.

Dalam kasus biasa dimana gelanggang R tidak dinilai (khususnya jika R adalah medan), diberikan penilaian trivial (setiap elemen R adalah derajat 0). Jadi,  dan potongan bertingkat  adalah modul R.

Dalam kasus dimana gelanggang R juga merupakan gelanggang bertingkat, apabila memerlukan 

Dengan kata lain, kita membutuhkan A untuk menjadi modul kiri bertingkat atas R.

Contoh aljabar bertingkat yang umum dalam matematika:

 Gelanggang polinomial. Unsur homogen derajat n persis adalah polinomial homogen dari derajat n.
 Aljabar tensor  dari ruang vektor V. Elemen homogen dengan derajat n adalah tensor dari urutan n, .
 Aljabar eksterior  dan aljabar simetris  juga merupakan aljabar bertingkat.
 Gelanggang kohomologi  dalam teori kohomologi juga dinilai, menjadi jumlah langsung dari grup kohomologi .

Aljabar bertingkat banyak digunakan dalam aljabar komutatif dan geometri aljabar, aljabar homologis, dan topologi aljabar. Salah satu contohnya adalah hubungan erat antara polinomial homogen dan varietas proyeksi (lih. gelanggang koordinat homogen).

Gelanggang bertingkat-G dan aljabar 
Definisi di atas telah digeneralisasikan ke gelanggang yang dinilai menggunakan monoid G sebagai himpunan indeks. Sebuah gelanggang bertingkat-G R adalah gelanggang dengan dekomposisi jumlah langsung

sebagai

Elemen R yang terletak dalam  untuk beberapa  dikatakan sebagai homogen dari bertingkat i.

Gagasan "gelanggang bertingkat" didefinisikan sebelumnya sekarang menjadi hal yang sama dengan gelanggang bertingkat , di mana  adalah monoid dari bilangan bulat non-negatif bawah penjumlahan. Definisi untuk modul dan aljabar bertingkat juga diperluas dengan mengganti himpunan indeks  dengan monoid G.

Catatan:
 Apabila tidak mengharuskan gelanggang memiliki elemen identitas, semigrup dapat menggantikan dengan monoid.

Contoh:
 Sebuah grup bertingkat alami menilai grup gelanggang; demikian pula, gelanggang monoid dinilai oleh monoid dengan sesuai.
 Superaljabar (asosiatif) adalah istilah lain untuk aljabar bertingkat . Contohnya termasuk aljabar Clifford. Di sini elemen homogen adalah salah satu dari derajat 0 (genap) atau 1 (ganjil).

Antikomutatif 
Beberapa gelanggang bertingkat (atau aljabar) memiliki struktur antikomutatif. Gagasan ini menggunakan homomorfisme dari monoid bertingkat sebagai monoid aditif , medan dengan dua elemen. Secara khusus, monoid bertanda terdiri dari pasangan  dimana  adalah monoid dan  adalah homomorfisme dari monoid aditif. Sebuah antikomutatif gelanggang bertingkat- adalah gelanggang A sebagai dinilai Γ sedemikian rupa sehingga:

untuk semua elemen homogen x dan y.

Contoh 
 Sebuah aljabar eksterior adalah contoh aljabar antikomutatif, dinilai sehubungan dengan struktur  dimana  adalah peta hasil bagi.
 Sebuah aljabar superkomutatif (terkadang disebut gelanggang asosiatif komutatif miring) adalah hal yang sama dengan antikomutatif aljabar bertingkat-, dimana  adalah identitas endomorfisme dari struktur aditif .

Monoid bertingkat 
Secara intuitif, sebuah monoid bertingkat adalah himpunan bagian dari gelanggang bertingkat, , yang dihasilkan oleh , tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah .

Secara formal, monoid bertingkat adalah monoid , dengan fungsi bertingkat  sehingga . Perhatikan bahwa bertingkat  harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa  ketika m bukanlah identitas.

Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat n digunakan  dimana g adalah kardinalitas dari himpunan pembangkit G dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi n atau kurang  (untuk ) atau . Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen n dari G, dan hanya  produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.

Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat 
 
Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan gelanggang deret pangkat. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai , indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat n hingga, untuk setiap bilangan bulat n.

Secara lebih formal, biarkan  menjadi semigelanggang arbitrer dan  sebuah monoid bertingkat. Kemudian  menunjukkan semigelanggang dari deret pangkat dengan koefisien dalam K indeks oleh R. Elemen-elemennya adalah fungsi dari R hingga K. Jumlah dua elemen  didefinisikan berdasarkan titik, itu adalah fungsi  ke . Dan hasil kali adalah fungsi  ke jumlah tak hingga . Jumlah ini didefinisikan dengan benar (yaitu, hingga) karena, untuk setiap m, hanya sejumlah pasangan hingga  sedemikian .

Contoh 
Dalam teori bahasa formal, diberikan alfabet A, monoid bebas kata atas A apabila sebagai monoid bertingkat, dimana bertingkat kata adalah panjangnya.

Lihat pula 
 Gelanggang bertingkat asosiatif
 Aljabar bertingkat diferensial
 Aljabar filter, sebuah generalisasi
 Bertingkat (matematika)
 Kategori bertingkat
 Ruang vektor bertingkat
 Aljabar tensor
 Modul bertingkat diferensial

Referensi 

 .
 
 

Aljabar
Teori gelanggang