Rak dan ganjalan

Dalam matematika, rak dan ganjalan adalah himpunan dengan aksioma pemuas operasi biner dimana analog dengan gerakan Reidemeister yang digunakan untuk memanipulasi diagram simpul.

Meskipun sebagian besar digunakan untuk mendapatkan invarian simpul, hal tersebut dipandang sebagai konstruksi aljabar dengan hak sendiri. Secara khusus, definisi dari sebuah ganjalan melakukan aksioma pada properti dari konjugasi dalam group.

Sejarah 
Pada tahun 1943, Mituhisa Takasaki (高崎光久) memperkenalkan struktur aljabar yang disebutnya Kei (圭), yang kemudian akan dikenal sebagai ganjalan involutif. Motivasinya adalah untuk menemukan struktur aljabar non-asosiatif untuk gagasan tentang refleksi dalam konteks geometri hingga. Ide tersebut ditemukan kembali dan digeneralisasikan pada tahun (tidak diterbitkan) 1959 korespondensi antara John Conway dan Gavin Wraith, pada saat itu adalah mahasiswa sarjana di Universitas Cambridge. Di sinilah definisi modern tentang ganjalan dan rak pertama kali muncul. Wraith menjadi tertarik pada struktur ini (yang awalnya dia sebut sekuensial) saat di sekolah. Conway menamainya kembali wrak sebagai pelesetan nama koleganya, dan sebagian karena mereka muncul sebagai sisa-sisa (atau 'rak dan rak') dari grup ketika seseorang membuang struktur perkalian dan hanya mempertimbangkan struktur konjugasi. Ejaan 'rak' sekarang menjadi lazim.

Konstruksi ini muncul kembali pada 1980-an: dalam makalah 1982 oleh David Joyce (dimana istilah ganjalan diciptakan), dalam sebuah makalah tahun 1982 oleh Sergei Matveev (dengan nama grupoid distributif) dan dalam makalah konferensi 1986 oleh Egbert Brieskorn (di mana mereka disebut himpunan automorfik). Tinjauan rinci tentang rak dan aplikasinya dalam teori simpul dapat ditemukan di makalah oleh Colin Rourke dan Roger Fenn.

Rak 
Rak dapat didefinisikan sebagai satu himpunan  dengan operasi biner  sedemikian rupa untuk setiap  sebagai hukum distribusi sendiri, yaitu:

dan untuk setiap  adalah  yaitu 

Definisi ini, meskipun singkat dan umum digunakan, adalah suboptimal untuk tujuan tertentu karena pembilang eksistensial yang sebenarnya tidak diperlukan. Untuk menghindari hal ini, kita dapat menulis  yaitu  sebagai   Kita memiliki

dan dengan demikian 

dan

Menggunakan ide ini, rak didefinisikan secara ekuivalen sebagai satu himpunan  dengan dua operasi biner  dan  sedemikian rupa maka untuk semua 
 (hukum distribusi sendiri kiri)
 (hukum distribusi sendiri kanan)

Mudah untuk mengatakan bahwa elemen  bertindak dari kiri dalam ekspresi  dan bertindak dari kanan dalam ekspresi  Aksioma rak ketiga dan keempat untuk tindakan kiri dan kanan ini adalah kebalikan dari satu sama lain. Dengan menggunakan ini, kita dapat menghilangkan salah satu tindakan dari definisi rak. Jika kita menghilangkan tindakan yang benar dan mempertahankan yang kiri, kita mendapatkan definisi singkat yang diberikan pada awalnya.

Banyak kebaktian berbeda digunakan dalam literatur tentang rak dan ganjalan. Misalnya, banyak penulis lebih suka bekerja hanya dengan tindakan benar. Selanjutnya penggunaan simbol  dan  sama sekali tidak universal: banyak penulis menggunakan notasi eksponensial

dan

sementara banyak yang lainnya menulis

Namun definisi lain yang setara dari rak adalah satu himpunan dimana setiap elemen bertindak di kiri dan kanan sebagai automorfisme rak, dengan tindakan kiri menjadi invers dari tindakan kanan. Dalam definisi ini, fakta bahwa setiap elemen bertindak sebagai automorfisme mengkodekan hukum distribusi sendiri kiri dan kanan, dan hukum berikut:

yang merupakan konsekuensi dari definisi yang diberikan sebelumnya.

Ganjalan 
Ganjalan adalah definisi rak  sedemikian rupa maka untuk semua 
 

atau ekuivalen

Contoh dan aplikasi 
Setiap grup memberikan ganjalan dimana operasi berasal dari konjugasi:
 

Faktanya, setiap hukum persamaan yang dipenuhi oleh konjugasi dalam sebuah kelompok mengikuti aksioma quandle. Jadi, seseorang dapat menganggap sebuah ganjalan sebagai apa yang tersisa dari sebuah grup ketika perkalian, identitas, dan invers, dan hanya mengingat operasi konjugasi.

Setiap simpul jinak di tiga dimensi ruang Euclidean memiliki 'ganjalan fundamental'. Untuk mendefinisikan, kita dapat mencatat bahwa grup fundamental dari komplemen simpul, atau grup simpul, memiliki presentasi (presentasi Wirtinger) dimana relasinya hanya melibatkan konjugasi. Jadi, presentasi ini bisa digunakan sebagai presentasi ganjalan. Ganjalan fundamental adalah simpul invarian yang sangat kuat. Secara khusus, jika dua simpul memiliki ganjalan fundamental isomorfik maka terdapat homeomorfisme ruang Euklidean tiga dimensi sebagai orientasi invers, mengambil satu simpul ke simpul lainnya.

Invarian simpul yang kurang kuat tetapi lebih mudah dihitung untuk diperoleh dengan menghitung homomorfisme dari simpul ganjalan ke ganjalan tetap   Karena presentasi Wirtinger memiliki satu generalisasi untuk setiap untai dalam diagram simpul, invarian ini dapat dihitung dengan menghitung cara pelabelan setiap untai dengan elemen . Invarian yang lebih canggih semacam ini dapat dibangun dengan bantuan quandle cohomology.

 termasuk hal yang penting, karena dapat digunakan untuk menghitung polinomial Alexander dari simpul. Maka  menjadi modul di atas gelanggang  dari polinomial Laurent dalam satu variabel. Maka ganjalan Alexander adalah  dibuat menjadi ganjalan dengan tindakan kiri yang diberikan oleh

Rak adalah generalisasi yang berguna dari ganjalan dalam topologi, karena ganjalan dapat merepresentasikan simpul pada objek linear bulat (seperti tali atau benang), rak bisa mewakili pita, yang bisa dipelintir atau diikat.

 sebuah ganjalan  sebagai tidak ganjalan jika untuk semua 
 

atau ekuivalen
 

Setiap ruang simetri menghasilkan ganjalan tak duga, dimana  adalah hasil dari 'refleksi  melalui '.

Lihat pula 
 Birak dan biganjalan
 Meja Laver

Referensi

Pranala luar 
  Knot Quandaries Quelled by Quandles - Pengantar sarjana untuk ganjalan dan invarian simpul lainnya
 A Survey of Quandle Ideas oleh Scott Carter
 Knot Invariants Derived from Quandles and Racks oleh Seiichi Kamada
 Shelves, Racks, Spindles and Quandles, p. 56 of Lie 2-Algebras oleh Alissa Crans
 https://ncatlab.org/nlab/show/quandle

Teori simpul
Struktur aljabar