Teori roda

Sebuah roda merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, dimana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.

Istilah roda terinspirasi oleh gambar topologis  dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan .

Definisi 
Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar , di mana

  merupakan sebuah himpunan,
  dan  merupakan elemen dari himpunan tersebut,
  dan  merupakan operator biner,
  merupakan sebuah operator uner,

dan memenuhi sebagai berikut:

 Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan  dan  sebagai masing-masing identitasnya.
  ( adalah involusi)
  ( adalah perkalian)

Aljabar roda 
Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen  mirip (tapi tak identis) dengan invers perkalian , sehingga  menjadi tulisan cepat untuk , tetapi bukan baik  maupun  umumnya, dan memodifikasi aturan aljabar sehingga

  dalam kasus umum
  dalam kasus umum
  dalam kasus umum, karena  tidak sama dengan invers perkalian dari .

Jika terdapat sebuah elemen  sehingga , maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan  dan .

Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah

 
 
 

Dan, untuk  dengan  dan  kita mendapatkan yang biasa

 

Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan  merupakan sebuah gelanggang komutatif, dan setiap gelanggang komutatif seperti sebuah subhimpunan dari sebuah roda. Jika  adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka . Dengan demikian, setiap kali  masuk akal, ini sama dengan , tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika .

Contoh

Roda pecahan 
Misalkan  menjadi sebuah gelanggang komutatif, dan misalkan  menjadi sebuah submonoid perkalian dari . Mendefinisikan relasi kekongruenan  pada  melalui

 berarti bahwa terdapat suatu  sehingga .

Mendefinisikan roda pecahan dari  yang terhadap  sebagai kuosien  (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi  sebagai  dengan operasi

 (identitas tambahan)

  (identitas perkalian)

 (operasi timbal-balik)

  (operasi penambahan)

 (operasi perkalian)

Garis proyektif dan bola Riemann 
Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen , dimana . Garis proyektif merupakan sendirinya sebagai ekstensi dari medan asli oleh sebuah unsur , dimana  untuk setiap elemen  dalam medan. Namun,  masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.

Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan  memberikan bentuk yang merupakan sumber dari istilah "roda". Atau dimulai dengan bilangan kompleks sebagai gantinya, "garis" proyektif padanan merupakan sebuah bola (bola Riemann), dan kemudian titik tambahan memberikan sebuah versi 3 dimensi dari sebuah roda.

Kutipan

Referensi 

  (a draft)
  (also available online here).
 
 

Medan aljabar abstrak