Sinus dan kosinus

Dalam matematika, sinus dan kosinus adalah fungsi trigonometri untuk sudut. Sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip didefinisikan dalam konteks segitiga siku-siku: nilai sinus adalah rasio dari panjang sisi segitiga yang menghadap sudut tersebut (sisi tegak) terhadap panjang sisi terpanjang segitiga (hipotenusa), sedangkan nilai kosinus adalah rasio panjang sisi segitiga yang lain (sisi alas) terhadap hipotenusa. Untuk suatu sudut , fungsi sinus dan kosinus dituliskan sebagai  and .

Lebih umum lagi, definisi sinus dan kosinus dapat diperluas ke sembarang nilai real, dalam konteks panjang suatu segmen garis pada suatu lingkaran satuan. Definisi yang lebih modern menyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk deret tak hingga, atau solusi dari suatu persamaan diferensial, yang memungkinkan memperluasnya ke bilangan negatif dan bahkan ke bilangan kompleks.

Fungsi sinus dan kosinus umum digunakan untuk memodelkan fenomena periodik seperti bunyi dan gelombang suara, posisi dan kecepatan dari osilator harmonik, intensitas cahay matahari dan panjang hari, maupun variasi temperatur sepanjang tahun.

Fungsi sinus dan kosinus dapat dilacak kembali ke fungsi jyā dan koṭi-jyā yang digunakan pada astronomi India pada periode Gupta (Aryabhatiya, Surya Siddhanta), yang mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, kemudian dari bahasa Arab ke bahasa Latin. Kata "sinus" berasal dari penerjemahan bahasa Latin yang salah oleh Robert of Chester untuk kata Arab jiba, yang selanjutnya merupakan transliterasi dari kata Sanskerta untuk setengah busur, jya-ardha. Kata "cosinus" (Indonesia: "kosinus") berasal dari singkatan Latin "complementi sinus" pada abad pertengahan.

Definisi dengan segitiga siku-siku 

Untuk mendefinisikan sinus dan kosinus dari suatu sudut lancip α, mulai dengan membentuk segitiga siku-siku yang mengandung sudut α; pada gambar berikut, sudut α pada segitiga ABC adalah sudut yang ingin dihitung. Ketiga sisi pada segitiga diberi nama sebagai berikut:

 Sisi tegak atau sisi berlawanan adalah sisi yang menghadap sudut α; dalam kasus ini adalah sisi a.
 Hipotenusa adalah sisi yang menghadap sudut siku-siku, dalam kasus ini adalah sisi h. Hipotenusa selalu merupakan sisi terpanjang dari sembarang segitiga siku-siku.
 Sisi samping adalah sisi segitiga yang tersisa, dalam kasus ini adalah sisi b. Sisi ini diapit oleh sudut α dan sudut siku-siku.

Setelah segitiga tersebut dibentuk, sinus dari sudut adalah panjang dari sisi tegak dibagi dengan panjang hipotenusa:

 

Fungsi-fungsi trigometri yang lain dapat didefinisikan dengan cara yang mirip; sebagai contoh, tangen dari suatu sudut adalah rasio antara sisi tegak dengan sisi alas.

Dari definisi, nilai dari  dan  terlihat bergantung pada pemilihan segitiga siku-siku yang mengandung sudut α. Namun, hal ini tidak benar, karena semua segitiga siku-siku yang mengandung sudut α akan serupa, sehingga rasio yang didapatkan dari semua segitiga tersebut akan sama.

Definisi dengan lingkaran satuan 

Dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1 dan berpusat di titik asal (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius. Misalkan suatu segmen garis melalui titik asal, membentuk sudut

θ terhadap sisi positif dari sumbu-x, dan memotong lingkaran satuan pada suatu titik. Nilai koordinat-x dan -y dari titik tersebut sama dengan  dan , secara berurutan.

Definisi ini konsisten dengan definisi dengan menggunakan segitiga siku-siku ketika 0 < θ < π/2. Karena panjang hipotenusa segitiga siku-siku di lingkaran satuan selalu bernilai 1, . Lebih lanjut, panjang sisi tegak dari segitiga ini adalah koordinat-y dari titik. Argumen yang sama dapat dibuat untuk menunjukkan  ketika 0 < θ < π/2, bahkan ketika menggunakan definisi dengan lingkaran satuan. nilai tangen  didefinisikan sebagai , atau secara ekuivalen, sebagai kemiringan dari segmen garis.

Definisi menggunakan lingkaran satuan memiliki keuntungan bahwa nilai sudut dapat diperluas menjadi sembarang bilangan real. Hal ini juga dapat dicapai dengan menggunakan beberapa simetri, dan mengganggap sinus (dan kosinus) sebagai fungsi periodik.

Identitas 

Fungsi sinus dan kosinus terhubung secara tepat (exact) oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang nilai  (dalam radian):

Lawan perkalian 
Invers perkalian dari sinus adalah kosekan, yang ditulis sebagai , atau . Kosekan memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi tegak. Serupa dengan itu, invers perkalian dari kosinus adalah sekan, yang memberikan rasio panjang hipotenusa terhadap panjang sisi samping.

Fungsi invers 

Fungsi invers dari sinus adalah arcsinus (ditulis sebagai arcsin atau asin), atau invers sinus ().  Fungsi invers dari kosinus adalah arccosinus, yang ditulis sebagai arccos, acos, atau . (simbol -1 pada bentuk  dan  melambangkan invers dari suatu fungsi, bukan perpangkatan.) Karena sinus dan kosinus bukan fungsi injektif, invers mereka hanya fungsi invers secara parsial. Sebagai contoh, , tapi begitu pula dengan ,  dst. Hal ini menyebabkan arcsinus bernilai banyak: , tapi juga , , dst. Ketika hanya satu nilai yang diperlukan, nilai fungsi dapat dibatasi hanya ke cabang utama-nya saja. Dengan pembatasan ini, untuk setiap nilai x di domain, ekspresi  akan menghasilkan satu nilai tunggal, yang disebut nilai utama. Selang nilai (standar) untuk nilai utama berkisar dari  sampai , dan selang nilai (standar) untuk arccos berkisar dari 0 sampai .

 

dengan (untuk suatu bilangan bulat k):

 

Berdasarkan definisi, arcsin dan arccos memenuhi persamaan-persamaan berikut:

 

dan

Kalkulus 

Turunan dari sinus dan kosinus adalah:

 

Sedangkan antiturunan mereka adalah:

 
 

dengan C menyatakan konstanta integrasi.

Sinus dan kosinus muncul sebagai solusi untuk persamaan diferensial 

Persamaan tersebut muncul pada banyak sistem fisik, seperti pada pendulum maupun pada beban yang terikat pada suatu pegas. Solusi persamaan ini adalah: 

Ketika k = 1, solusi unik dengan f(0) = 0 dan f'(0) = 1 adalah fungsi sinus, dan solusi unik dengan f(0) = 1 dan f'(0) = 0 adalah fungsi kosinus.

Identitas trigonometri Pythagoras 
Hubungan dasar antara fungsi sinus dan kosinus termuat dalam identitas trigonometri Pythagoras:

 

dengan sin2(x) menyatakan (sin(x))2.

Rumus sudut ganda 

Sinus dan kosinus memenuhi persamaan-persamaan sudut ganda berikut:

 
 

Rumus sudut ganda kosinus menyimpulkan bahwa fungsi sin2 dan cos2 adalah gelombang sinus yang mengalami penggeseran dan skalarisasi. Secara spesifik,

 

Gambar berikut menyajikan fungsi sinus dan fungsi kuadrat sinus, masing-masing diwarnai dengan warna biru dan warna merah. Kedua grafik fungsi memiliki bentuk yang sama, namun memiliki jangkauan fungsi dan periode yang berbeda. Fungsi kuadrat sinus bernilai non-negatif, namun memiliki periode dua kali lebih cepat.

Sifat yang berhubungan dengan kuadran 

Tabel berikut menyajikan banyak sifat penting dari fungsi sinus (tanda fungsi, kemonotonan, dan kecekungan), disusun berdasarkan kuadran dari nilai argumen (sudut).  Untuk argumen di luar tabel, informasi yang bersesuaian dapat diperoleh dengan menggunakan sifat periodik  dari fungsi sinus.

Tabel berikut menyajikan informasi dasar terkait nilai sinus dan kosinus pada batas selang kuadran.

Definisi dengan deret 

Turunan secara terus-menerus dari fungsi sinus di 0 dapat digunakan untuk menentukan bentuk deret Taylor-nya. Dengan hanya menggunakan geometri dan sifat dari limit, dapat ditunjukkan bahwa turunan dari sinus adalah kosinus, dan turunan kosinus adalah negatif dari sinus. Hal ini mengartikan secara turunan dari sin(x) secara berurutan adalah cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), dan berulang lagi dari awal. Turunan ke-(4n+k), dievaluasi di titik 0 adalah:

 

Dengan simbol pada tika atas (superscript) menyatakan turunan secara berulang. Hal ini dapat digunakan untuk menghitung ekspansi deret Taylor di titik x = 0 (dalam radian):

 

Menghitung turunan untuk setiap suku menghasilkan deret Taylor untuk kosinus:

Bentuk pecahan berulang 
Fungsi sinus dan kosinus dapat direpresentasikan dalam bentuk pecahan berulang yang diperumum, yang dapat dihasilkan dengan menggunakan rumus pecahan berulang Euler:

Hukum sinus 

Hukum sinus menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c, dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah A, B, dan C, berlaku:Pernyataan di atas ekuivalen dengan persamaan berikut:

 

dengan R menyatakan radius dari lingkaran luar segitiga. Hal tersebut dapat ditunjukkan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi sinus.

Hukum sinus berguna untuk menghitung panjang sisi segitiga yang tidak diketahui, jika nilai dua sudut dan satu sisi diketahui. Hal ini umum terjadi ketika melakukan triangulasi, suatu teknik untuk menentukan panjang yang tidak diketahui dengan mengukur dua nilai sudut yang terpisah dalam jarak yang ditentukan sebelumnya.

Hukum kosinus 

Hukum kosinus menyatakan bahwa untuk sembarang segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c, dan sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut secara berurutan adalah A, B, dan C, berlaku:Untuk kasus dengan , nilai  dan hukum ini berubah menjadi teorema Pythagoras: Untuk segitiga siku-siku, berlaku hubungan  dengan c menyatakan panjang hipotenusa.

Nilai-nilai spesial 

Untuk beberapa sudut x dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sin(x) dan cos(x) dapat dinyatakan dengan sederhana. Berikut adalah tabel beberapa nilai sudut dan fungsi tersebut:

Titik tetap 

Nol adalah satu-satunya titik tetap real yang dimiliki fungsi sinus; dengan kata lain, perpotongan antara fungsi sinus dan fungsi identitas  hanya terjadi di titik . Satu-satunya titik tetap (real) dari fungsi kosinus adalah bilangan Dottie. Dengan kata lain, bilangan Dottie adalah akar real unik dari persamaan  Ekspansi desimal dari bilangan Dottie adalah .

Panjang busur 
Panjang busur dari kurva sinus diantara  dan  adalah , dengan   menyatakan integral eliptik tak lengkap jenis kedua (incomplete elliptic integral of the second kind) dengan modulus .

Panjang busur untuk satu periode penuh adalah  dengan  menyatakan fungsi gamma. Solusi persamaan ini dapat dihitung dengan cepat menggunakan rataan arimetik-geometrik: . Lebih lanjut,  sebenarnya adalah keliling dari elips dengan panjang sumbu semi-major sebesar  dan panjang sumbu semi-minor sebesar .

Panjang busur dari kurva sinus dari  sampai  adalah , ditambah suatu faktor koreksi yang bernilai periodik dalam  dan memiliki periode . Deret Fourier dari faktor koreksi ini dapat dituliskan dalam bentuk tertutup dengan menggunakan sutu fungsi spesial. Panjang busur kurva sinus dari  sampai  adalahdengan  menyatakan fungsi hipergeometrik. Suku-suku pada ekspresi di atas dapat diaproksimasi dengan

Hubungan dengan bilangan kompleks 

Sinus dan kosinus digunakan untuk menggabungkan bagian real dan bagian imajiner dari suatu bilangan kompleks dengan bentuk koordinat polar (r, φ):Bagian real dan bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut adalah:dengan r dan φ menyatakan magnitudo dan sudut dari bilangan kompleks z.

Untuk sembarang bilangan real θ, rumus Euler menyatakan bahwa:Dengan demikian, jika koordinat polar dari z adalah (r, φ), maka

Argumen kompleks 

Dengan menerapkan definisi deret dari fungsi sinus dan kosinus ke suatu argumen kompleks z, didapatkan hubungan:

 

dengan sinh dand cosh adalah sinus dan cosinus hiperbolik. Kedua fungsi ini merupakan fungsi entire.

Terkadang fungsi sinus dan kosinus kompleks lebih cocok dinyatakan dalam bentuk bagian real dan bagian imajiner. Pada kasus ini, persamaan-persamaan berikut dapat digunakan:

Grafik kompleks

Sejarah 

Walaupun ilmu trigonometri dapat dilacak jauh ke masa lalu, penggunaan fungsi trigonometri seperti yang digunakan saat ini dikembangkan pada zaman pertengahan. Fungsi busur ditemukan oleh Hipparchus dari Nicaea (180–125 SM) dan Ptolemy dari Mesir Romawi (90–165 M). Secara spesifik, lihat tabel busur Ptolemy.

Fungsi sinus dan versine (1 − kosinus) dapat dilacak ke fungsi jyā dan koṭi-jyā yang digunakan pada bidang astronomi India (Aryabhatiya, Surya Siddhanta) di masa kemaharajaan Gupta (320-550 M). Fungsi ini selanjutnya mengalami penerjemahan dari bahasa Sanskerta ke bahasa Arab, dilanjutkan dari bahasa Arab ke bahasa Latin.

Keenam fungsi trigonometrik yang digunakan saat ini sudah dikenal di masa matematika Islam pada abas ke-9, termasuk hukum sinus yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan segitiga. Dengan pengecualian sinus, kelima fungsi trigonometrik lain ditemukan oleh matematikawan Arab; yakni fungsi kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan. Al-Khwārizmī (sekitar 780–850) membentuk tabel nilai sinus, kosinus, dan tangen. Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) menemukan fungsi invers dari sekan dan kosekan, dan membentuk tabel kosekan pertama kalinya untuk setiap sudut dari 1° sampai 90°.

Publikasi pertama yang menggunakan singkatan 'sin', 'cos', dan 'tan' adalah oleh matematikawan Prancis Albert Girard; singkatan ini selanjutnya disebarluaskan oleh Euler (lihat bagian dibawah). Tulisan Opus palatinum de triangulis oleh Georg Joachim Rheticus, seorang siswa Copernicus, mungkin adalah yang pertama di Eropa, yang mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri langsung dari segitiga siku-siku ketimbang menggunakan lingkaran. Tulisan ini juga mengikutkan tabel nilai untuk keenam fungsi trigonometrik; tulisan ini diselesaikan oleh seorang siswanya, Valentin Otho, pada tahun 1596.

Dalam suatu makalah yang diterbitkan pada tahun 1682, Leibniz membuktikan bahwa sin x bukanlah suatu fungsi aljabar dari x. Roger Cotes menghitung turunan dari sinus dalam karyanya Harmonia Mensurarum (1722). Karya Introductio in analysin infinitorum (1748) oleh Leonhard Euler adalah yang paling signifikan di Eropa, dalam memberikan dasar analitik mengenai fungsi-fungsi trigonometrik. Dalam karya ini, fungsi-fungsi dinyatakan sebagai deret tak hingga, menyajikan "rumus Euler", dan penggunaan singkatan sin., cos., tang., cot., sec., dan cosec yang mirip dengan penggunaan saat ini.

Etimologi 
Secara etimologi, kata sinus berasal dari kata Sanskerta untuk busur, jiva* (jya adalah sinonim yang lebih populer). Kata ini mengalami transliterasi ke bahasa Arab sebagai jiba جيب, yang sebenarnya tidak memiliki arti dari bahasa Arab, dan disingkat sebagai jb جب . Karena bahasa Arab ditulis tanpa menggunakan vokal pendek, "jb" secara keliru diintepretasikan sebagai kata jaib جيب, yang berarti "dada". Ketika teks Arab diterjemahkan ke bahasa Latin oleh Gerard of Cremona pada abad ke-12, ia menggunakan kata yang setara untuk "dada", sinus (yang berarti "dada" atau "teluk" atau "lipatan"). Gerard mungkin bukan yang pertama kali menggunakan terjemahan ini; Robert dari Chester sepertinya terlebih dahulu melakukannya dan terdapat bukti penggunaan pada masa yang lebih lawas. Bentuk bahasa Inggris sine diperkenalkan pada tahun 1590-an. Kata "cosine" berasal dari singkatan bahasa Latin masa pertengahan untuk frasa "complementi sinus".

Implementasi perangkat lunak 
Tidak ada standardisasi algoritma untuk menghitung fungsi sinus dan kosinus. IEEE 754-2008, standar paling umum digunakan untuk komputasi titik-kambang (floating-point), tidak membahas cara menghitung fungsi trigonometri seperti sinus. Algoritma yang dikembangkan untuk menghitung sinus dapat disesuaikan dengan menimbang aspek kecepatan, akurasi, portabilitas, maupun jangkauan input yang dapat diproses. Hal ini menyebabkan munculnya banyak algoritma berbeda, khususnya untuk menyelesaikan kasus khusus seperti menghitung input yang sangat besar, seperti sin(10).

Optimisasi pemrograman yang umum, digunakan khususnya dalam grafik 3D, adalah dengan menghitung tabel nilai sinus terlebih dahulu, misalnya satu nilai untuk setiap derajat, lalu melakukan interpolasi linear dengan menggunakan dua nilai derajat yang paling dekat dengan nilai input. Hal ini memungkinkan hasil ditentukan dari pencarian tabel ketimbang melakukan perhitungan secara real-time. Namun pada arsitektur CPU modern, metode ini mungkin tidak memberikan keuntungan yang berarti. Beberapa arsitektur CPU memiliki instruksi dasar untuk menghitung sinus, contohnya Intel x87 FPUs since the 80387.

Fungsi sinus dan kosinus, beserta fungsi-fungsi trigonometrik lainnya, umum tersedia pada berbagai bahasa pemrograman dan platform. Dalam komputasi, mereka umumnya dikenal sebagai sin dan cos. Pada bahasa pemrograman, sin dan cos umumnya merupakan fungsi dasar (built-in) atau dapat dijumpai di pustaka matematika standar. Sebagai contoh, pustaka standar C mendefinisikan fungsi sinus di dalam pustaka math.h sebagai sin(double), sinf(float), dan sinl(long double). Parameter untuk setiap fungsi ini adalah nilai titik-kambang, dalam satuan radian. Setiap fungsi akan menghasilkan tipe data yang sama dengan inputnya. Banyak fungsi trigonometrik lainnya juga didefinisikan di math.h, seperti kosinus, arcsinus, dan sinus hiperbolik (sinh). Mirip dengan itu, Python mendefinisikan math.sin(x) dan math.cos(x) yang termuat dalam modul math. Fungsi sinus dan kosinus kompleks tersedia dalam modul cmath, contohnya cmath.sin(z) .

Implementasi berdasarkan satuan putaran 
Beberapa pustaka perangkat lunak memiliki implementasi sinus dan kosinus menggunakan sudut yang dinyatakan dalam setengah-putaran; nilai dari setengah-putaran adalah sudut sebesar 180 derajat atau  radian. Menyatakan sudut dalam satuan putaran atau setengah-putaran memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi pada beberapa kasus. Pada MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA, dan ARM, fungsi-fungsi ini disebut dengan sinpi dan cospi. Sebagai contoh, sinpi(x) akan mengevaluasi nilai to  dengan x dinyatakan dalam satuan radian.

Keuntungan akurasi timbul dari kemampuan merepresentasikan sudut-sudut penting, seperti satu putaran penuh, setengah putaran, dan seperempat putaran, dengan sempurna (losslessly) dalam bentuk titik-kambang (floating-point) biner atau titik-tetap (fixed-point). Sebagai kontras, menyatakan , , dan  dalam bentuk titik-kambang biner akan selalu menyebabkan hilangnya akurasi akibat galat pemotongan. Satuan putaran juga memiliki keuntungan akurasi dan efisiensi ketika menghitung modulo satu periode. Komputasi modulo 1 putaran atau modulo 2 setengah-putaran dapat dinyatakan dengan sempurna dan dihitung dengan efisien, baik dalam bentuk titik-kambang maupun titik-tetap. Sebagai contoh, komputasi modulo 1 atau modulo 2 untuk nilai biner dalam bentuk titik-tetap hanya memerlukan operasi penggeseran bit (bit shift) dan operator bit-demi-bit (bitwise) AND.  Sebagai kontras, komputasi modulo  menghasilkan galat karena ketidakakuratan dalam merepresentasikan .

Untuk aplikasi yang melibatkan sensor sudut, sensor umumnya menyajikan hasil pengukuran yang kompatibel dengan satuan putaran atau setengah-putaran. Sebagai contoh, suatu sensor sudut mungkin memberikan nilai 0 sampai 4096 ketika melakukan satu putaran penuh. Jika setengah-putaran digunakan sebagai satuan pengukuran sudut, maka nilai yang diberikan sensor dapat dipetakan dengan sempurna (lossless) ke tipe data titik-tetap dengan 11 bit dibelakang koma. Sebagai kontras, jika radian yang digunakan untuk menghitung sudut, ketidakakuratan sebesar  terjadi ketika nilai dari sensor diubah menjadi satuan radian.

Bacaan lebih lanjut

Referensi 

Sudut
Fungsi trigonometri