Varietas (aljabar universal)

Dalam aljabar universal, varietas aljabar atau kelas persamaan adalah kelas dari semua struktur aljabar dari tanda tangan tertentu yang memenuhi himpunan identitas. Misalnya, grup membentuk berbagai aljabar, seperti halnya grup Abelian, gelanggang, monoid dll. Menurut Teorema Birkhoff, kelas struktur aljabar dengan tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan (produk langsung). Dalam konteks teori kategori, berbagai aljabar, dengan homomorfisme, membentuk kategori; maka biasanya disebut  kategori aljabar finiter .

 Kovarietas  adalah kelas dari semua struktur koaljabar dari suatu tanda tangan.

Istilah 
Varietas aljabar tidak sama dengan varietas aljabar, yang berarti sekumpulan solusi untuk sistem persamaan polinomial. Mereka secara formal sangat berbeda dan teori mereka memiliki sedikit kesamaan.

Istilah "varietas aljabar" mengacu pada aljabar dalam arti umum aljabar universal; ada juga pengertian aljabar yang lebih spesifik, yaitu sebagai aljabar di atas bidang, yaitu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian bilinear.

Definisi 
Sebuah  tanda tangan  (dalam konteks ini) adalah himpunan, yang elemennya disebut  operasi , yang masing-masing diberi bilangan asli (0, 1, 2, ...) yang disebut  ariti . Maka tanda tangan  and a set , yang elemennya disebut  variabel ,  kata  adalah berakar planar hingga pohon di mana setiap node diberi label oleh variabel atau operasi, node yang diberi label oleh variabel tidak memiliki cabang jauh dari akat dan setiap node yang diberi label oleh operasi  memiliki banyak cabang dari root seperti ariti dari .  Sebuah  hukum persamaan  adalah sepasang kata; aksioma yang terdiri dari kata-kata  dan  sebagai .

Sebuah  teori  adalah tanda tangan, satu set variabel dan satu set hukum persamaan. Setiap teori varietas aljabar sebagai berikut. Diberikan teori , sebuah  aljabar  dari  terdiri dari himpunan  bersama dengan, untuk operasi  dari  dengan ariti , sebuah fungsi  sedemikian rupa sehingga untuk setiap aksioma  dan setiap penempatan elemen  ke variabel dalam aksioma, pegangan persamaan yang diberikan dengan menerapkan operasi ke elemen  seperti yang ditunjukkan oleh pohon yang mendefinisikan  dan .  Kita menyebut kelas aljabar dari teori tertentu  sebagai  varietas aljabar .

Namun, pada akhirnya yang lebih penting daripada kelas aljabar ini adalah kategori aljabar dan homomorfisme di antara mereka.  Diberikan dua aljabar teori , katakanlah  dan , sebuah  homomorfisme  adalah sebuah fungsi  dirumuskan

 

untuk setiap operasi  arity . Setiap teori memberikan kategori di mana objeknya adalah aljabar dari teori tersebut dan morfismenya adalah homomorfisme.

Contoh 
Kelas dari semua semigrup membentuk berbagai aljabar tanda tangan (2), yang berarti bahwa satu kelompok semigroup mempunyai operasi biner tunggal. Persamaan yang cukup menentukan adalah hukum asosiatif:

Kelas grup membentuk berbagai aljabar tanda tangan (2,0,1), tiga operasi itu masing-masing adalah  perkalian  (biner),  identitas  (nullari, konstanta) dan  inversi  (unari). Aksioma asosiativitas, identitas, dan kebalikan yang sudah dikenal membentuk satu himpunan identitas yang sesuai:

Kelas gelanggang juga membentuk berbagai aljabar. Tanda tangan di sini adalah (2,2,0,0,1) (dua operasi biner, dua konstanta, dan satu operasi unari).

Jika kita memperbaiki gelanggang tertentu  R , kita dapat mempertimbangkan kelas modul kiri R . Untuk mengekspresikan perkalian skalar dengan elemen dari  R , kita membutuhkan satu operasi unari untuk setiap elemen  R.  Jika gelanggang tak hingga, maka kita akan memiliki banyak operasi tak terhingga, yang dibolehkan oleh definisi struktur aljabar dalam aljabar universal. Kemudian kita juga membutuhkan banyak identitas tak terhingga untuk mengekspresikan aksioma modul, yang diperbolehkan oleh definisi berbagai aljabar. Jadi kiri modul  R  memang membentuk berbagai aljabar.

bidang melakukan  tidak  membentuk berbagai aljabar; persyaratan bahwa semua elemen bukan nol dapat dibalik tidak dapat diekspresikan sebagai identitas yang dipenuhi secara universal.

Semigrup pembatalan juga tidak membentuk berbagai aljabar, karena properti pembatalan bukanlah persamaan, ini adalah implikasi yang tidak setara dengan grup persamaan. Namun, membentuk varietas semu karena implikasi yang mendefinisikan sifat pembatalan adalah contoh dari indentitas-semu.

Teorema Birkhoff 
Diberikan kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama, kita dapat mendefinisikan pengertian homomorfisme, subaljabar, dan produk.  Garrett Birkhoff membuktikan bahwa kelas struktur aljabar dari tanda tangan yang sama adalah suatu variasi jika dan hanya jika ditutup pada pengambilan gambar homomorfik, subaljabar dan produk arbitrari. Ini adalah hasil dari kepentingan fundamental aljabar universal dan dikenal sebagai  Teorema Birkhoff  atau sebagai  Teorema HSP .  H ,  S , dan  P , masing-masing, untuk operasi homomorfisme dan produk.

Kelas aljabar yang memenuhi beberapa grup identitas akan ditutup di bawah operasi HSP. Membuktikan konvers, kelas aljabar yang ditutup di bawah operasi HSP harus persamaan lebih sulit.

Dengan menggunakan teorema Birkhoff, kita dapat misalnya memverifikasi klaim yang dibuat di atas, bahwa aksioma medan tidak dapat diekspresikan oleh kumpulan identitas yang mungkin: produk dari bidang bukanlah bidang, jadi bidang tidak membentuk variasi.

Teori kategori 
Jika  adalah kategori aljabar finiter (yaitu kategori berbagai aljabar, dengan homomorfisme sebagai morfisme) maka funktor fogetful

memiliki adjoin kiri , yaitu funktor yang menetapkan untuk setiap himpunan aljabar bebas pada himpunan. Adjunction ini adalah  secara ketat monadik , di mana kategori  isomorfik ke kategori Eilenberg–Moore  untuk monad .

Monad  dengan memulihkan kategori aljabar finiter, yang memungkinkan generalisasi berikut. Kategori adalah  kategori aljabar  jika monadik di atas .  Ini adalah pengertian yang lebih umum daripada "kategori aljabar finiter" karena ia menerima kategori seperti  CABA  (aljabar atom Boolean lengkap) dan  CSLat  (semikisi lengkap).  Dalam dua kasus tersebut, tandatangannya besar, artinya ia membentuk bukan himpunan tetapi kelas yang tepat, karena operasinya tidak terbatas ariti.  Kategori aljabar sigma juga memiliki operasi tak terbatas, tetapi aritasnya dapat dihitung karena tanda tangannya kecil (membentuk himpunan).

Setiap kategori aljabar finiter adalah kategori persentabel lokal.

Lihat pula 
 Varietas semu

Catatan

Pranala luar 
Dua monograf tersedia online gratis:
 Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar (1981), A Course in Universal Algebra.  Springer-Verlag. . [Proof of Birkhoff's Theorem is in II§11.]
 Peter Jipsen and Henry Rose (1992), Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. .

Aljabar universal