Aljabar komposisi

Dalam matematika, sebuah aljabar komposisi  atas medan  adalah non-asosiatif medan  bersama dengan non-terdegenerasi bentuk kuadratik  yang memenuhi

untuk semua  dan  di .

Sebuah aljabar komposisi mencakup involusi yang disebut konjugasi:  Bentuk kuadrat  disebut norma aljabar.

Sebuah aljabar komposisi (A, ∗, N) adalah aljabar pembagian atau aljabar terbagi, tergantung pada keberadaan bukan nol v di A sedemikian rupa sehingga N(v) = 0, disebut vektor nol. Ketika x adalah bukan vektor nol, perkalian invers dari x adalah  Ketika ada vektor nol bukan nol, N adalah bentuk kuadrat isotropik, dan "aljabar terbagi".

Teorema struktur 
Setiap unital aljabar komposisi atas medan  apabila diperoleh dengan penerapan berulang konstruksi Cayley–Dickson mulai dari  (jika karakteristik dari  berbeda dari ) atau subaljabar komposisi 2 dimensi (jika ).  Kemungkinan dimensi aljabar komposisi adalah , , , dan .

 Aljabar komposisi 1 dimensi hanya ada jika .
 Aljabar komposisi dimensi 1 dan 2 bersifat komutatif dan asosiatif.
 Aljabar komposisi dimensi 2 adalah perluasan medan kuadrat dari  atau isomorfik ke .
 Aljabar komposisi berdimensi 4 disebut aljabar kuaternion. Mereka asosiatif tetapi tidak komutatif.
 Aljabar komposisi berdimensi 8 disebut aljabar oktonion. Apabila hal tersebut bukan asosiatif atau komutatif.

Untuk terminologi yang konsisten, aljabar dimensi 1 disebut unarion, dan aljabar dimensi 2 biner.

Contoh dan penggunaan 
Ketika medan  adalah bilangan kompleks , dan bentuk kuadratnya adalah , diperoleh dengan mengalikan bilangan dengan konjugasinya. Metode penggandaan ini kemudian disebut konstruksi Cayley–Dickson.

Pada tahun 1923 kasus aljabar riil dengan bentuk pasti positif yang dibatasi oleh teorema Hurwitz.

Pada tahun 1931 Max Zorn memperkenalkan gamma (γ) dalam kaidah perkalian dalam konstruksi Dickson untuk menghasilkan oktonion-terpisah. Adrian Albert juga menggunakan gamma pada tahun 1942 ketika dia menunjukkan bahwa penggandaan Dickson apabila diterapkan pada medan dengan fungsi kuadrat untuk membangun aljabar biner, kuaternion, dan oktonion dengan bentuk kuadrat. Nathan Jacobson mendeskripsikan automorfisme dari komposisi aljabar pada tahun 1958.

Aljabar komposisi klasik atas  dan  adalah aljabar unital. Aljabar komposisi tanpa sebuah identitas perkalian ditemukan oleh H.P. Petersson (aljabar Petersson) dan Susumu Okubo (aljabar Okubo) dan lainnya.

Lihat pula 
 Persegi ajaib Freudenthal
 Bentuk Pfister
 Trialiti

Referensi

Bacaan lebih lanjut 

 

Aljabar komposisi
Bentuk kuadrat
Perlakuan historis kuartenion