Kuasigrup

Dalam matematika, terutama dalam aljabar abstrak, kuasigrup adalah struktur aljabar yang menggunakan grup dalam arti bahwa "pembagian" selalu memungkinkan. Kuasigrup berbeda dari grup terutama karena mereka tidak selalu asosiatif.

Kuasigrup dengan elemen identitas disebut gelung.

Definisi 
Terdapat dua definisi formal kuasigrup secara struktural. Mendefinisikan kuasigrup sebagai himpunan dengan satu operasi biner, dan yang lainnya, dari aljabar universal, mendefinisikan kuasigrup sebagai tiga operasi. Homomorfik galeri dari kuasigrup ditentukan dengan operasi biner tunggal.

Aljabar 
Kuasigrup  adalah himpunan Q dengan operasi biner ∗ (yaitu, magma) menggunakan sifat persegi Latin. Hal ini bahwa, untuk a dan b dalam Q, dengan elemen x dan y dengan Q sehingga
a ∗ x = b,
y ∗ a = b 
(Dengan elemen himpunan satu kali dengan baris dan kolom tabel perkalian kuasigrup, atau tabel Cayley. Sifat tabel Cayley dari kuasigrup hingga, dan grup hingga, adalah persegi latin.) Persyaratan dengan magma menjadi pembatalan.

Persamaan ditulis sebagai  dan . Operasi '\' dan '/' yaitu, kiri dan kanan divisi.

Himpunan kosong digunakan dengan operasi biner kosong dari definisi kuasigrup beberapa penulis, kuasigrup kosong yang digunakan secara eksplisit.

Aljabar universal 
Beberapa struktur aljabar, identitas adalah persamaan di mana variabel diukur secara universal, dan di mana operasi termasuk di antara operasi yang sesuai dengan struktur. Struktur aljabar dengan identitas disebut varietas. Hasil standar dalam aljabar universal hanya berlaku untuk varietas. Kuasigrup adalah varietas pembagian kiri dan kanan dianggap primitif.

Kuasigrup  adalah jenis (2,2,2) aljabar (yaitu, dilengkapi dengan tiga operasi biner) identitas:
y = x ∗ (x \ y),
y = x \ (x ∗ y),
y = (y / x) ∗ x,
y = (y ∗ x) / x.

Dengan perkalian dan pembagian dalam urutan, satu demi satu, pada sisi yang sama dengan elemen.

Karena, jika  adalah kuasigrup menurut definisi pertama, maka  adalah kuasigrup yang sama dalam arti aljabar universal. Dan sebaliknya: jika  adalah kuasigrup menurut pengertian aljabar universal, kemudian  adalah kuasigrup menurut definisi pertama.

Gelung 

Gelung adalah kuasigrup dengan elemen identitas;
x ∗ e = x dan e ∗ x = x untuk x pada Q.

Maka elemen identitas e, dan elemen Q memiliki invers kiri dan invers kanan (yang tidak harus sama).

Kuasigrup dengan elemen idempoten disebut kuasi grup idempoten titik; gagasan lemah dari gelung tetap umum misalnya, jika grup abelian  dari operasi pengurangan sebagai perkalian kuasigrup pikue  dengan identitas grup (nol) menjadi "idempoten tajam" (yaitu, isotop utama .)

gelung asosiatif adalah grup suatu isotop non-asosiatif, tetapi tidak memiliki isotop simpul non-asosiatif.

Terdapat sifat asosiatif lemah yang telah diberi nama khusus.

Misalnya, gelung Bol adalah gelung:
x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ z untuk  x ,  y  dan  z  dalam  Q  ( Bol kiri gelung ),
atau
((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x) untuk  x ,  y  dan  z  dalam  Q  ( Bol gelung kanan ).

gelung yang merupakan gelung Bol kiri dan kanan adalah gelung Moufang. Setara dengan salah satu dari identitas Moufang berikut yang dimiliki untuk x, y, z:
x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z,
z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x,
(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x), atau
(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.

Simetri 
Smith (2007) menyebutkan sifat dan subkelas berikut ini:

Semisimetri 
kuasigrup adalah semisimetris jika identitas setara sebagai berikut:
xy = y / x,
yx = x \ y,
x = (yx)y,
x = y(xy).

kuasigrup  Q  menginduksi kuasigrup semisimetri QΔ denagn kubus produk langsung Q3 melalui operasi berikut:

di mana "//" dan "\\" adalah operasi pembagian konjugasi  dan .

Trialiti

Total simetri 
Kelas merupakan kuasigrup simetris total (terkadang disingkat kuasigrup-TS) di mana semua konjugasi bertepatan sebagai satu operasi: . Untuk mendefinisikan (pengertian yang sama tentang) kuasigrup simetri total adalah sebagai kuasigrup semisimetri yang juga bersifat komutatif, yaitu .

kuasigrup simetri total idempoten (yaitu dalam bijeksi dengan) tripel Steiner, kuasigrup juga disebut kuasigrup Steiner, dan kadang-kadang yang terakhir bahkan disingkat sebagai squag; istilah sgelung didefinisikan untuk kuasigrup Steiner yang juga merupakan gelung. Tanpa idempotensi, grup simetri total dengan pengertian geometris ekstensi tripel Steiner, juga disebut Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC) dalam bahasa Indonesia yaitu Kurva Kubik Eliptik Umum.

Total antisimetri 
kuasigrup  disebut totali anti-simetri jika  dari kedua implikasi berikut:
 (c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x menyiratkan x = y
 x ∗ y = y ∗ x menyiratkan x = y.

Hal ini disebut anti-simetri lemah jika hanya implikasi pertama.

Sifat ini digunakan dalam Algoritma Damm.

Contoh 
 Setiap grup adalah satu lingkaran, maka  jika dan hanya jika , dan  jika dan hanya jika .
 Bilangan bulat Z dengan pengurangan (-) membentuk kuasigrup.
 Bilangan rasional Q× (atau bukan nol riil R×) dengan pembagian (÷) membentuk kuasigrup.
 Setiap ruang vektor di atas bidang dari karakteristik tidak membentuk dengan 2 idempoten, kuasigrup komutatif di bawah operasi .
 Setiap Sistem tripel Steiner mendefinisikan kuasigrup idempoten, komutatif:  adalah elemen ketiga dari triple yang mengandung a dan b. kuasigrup  untuk x dan y dengan kuasigrup yang dikenal sebagai  kuasigrup Steiner .
 The set  dimana  dan dengan semua produk lain seperti pada grup kuaternion membentuk gelung non-asosiatif dengan orde 8. Lihat kuartenion hiperbolik. (Kuartenion hiperbolik tidak membentuk lingkaran atau kuasigrup.)
 Oktonion bukan nol membentuk gelung non-asosiatif dalam perkalian. Oktonion adalah tipe gelung khusus yang dikenal sebagai gelung Moufang.
 Sebuah kuasigrup asosiatif kosong atau sebuah grup, karena jika ada setidaknya satu elemen, keberadaan invers dan asosiatif menyiratkan adanya identitas.
 Berikut ini karena Hans Zassenhaus, pada himpunan dasar dari ruang vektor empat dimensi F4 di atas 3 elemen bidang Galois  dengan
(x1, x2, x3, x4) ∗ (y1, y2, y3, y4) = (x1, x2, x3, x4) + (y1, y2, y3, y4) + (0, 0, 0, (x3 − y3)(x1y2 − x2y1)).
Maka,  adalah grup dari komutatif gelung Moufang.
 Himpunan elemen bukan nol dari aljabar pembagian membentuk kuasigrup.

Sifat 
Bagian artikel ini menunjukkan kuasigrup perkalian dengan penjajaran.

Kuasigrup sifat pembatalan: jika  dari  oleh pembagian kiri  ab  atau  ac  oleh  a . Jika  adalah .

Operator perkalian 
Definisi dari kuasigrup sebagai operator perkalian kiri dan kanan , didefinisikan dari 

Definisi tersebut kedua pemetaan adalah bijeksi dari Q. Magma Q adalah kuasigrup ketika operator, untuk  x  dalam  Q , bersifat bijektif. Peta invers adalah pembagian kiri dan kanan, yaitu 

Dalam notasi, identitas di antara operasi perkalian dan pembagian kuasigrup (dinyatakan pada bagian aljabar universal) adalah

dimana 1 adalah peta identitas pada  Q .

Persegi Latin 

Tabel perkalian kuasigrup berhingga adalah persegi Latin:  tabel dengan simbol  n  yang berbeda sehingga setiap simbol satu kali di baris dan satu kali di setiap kolom.

Sebaliknya, setiap persegi Latin sebagai tabel perkalian kuasigrup: baris perbatasan (berisi tajuk kolom) dan kolom (berisi tajuk baris) dapat berupa permutasi elemen. Lihat persegi Latin kecil dan kuasigrup.

Kuasigrup tak hingga 
Untuk kuasigrup takhingga tercacah  Q  adalah di mana baris dan kolom sesuai dengan beberapa elemen  q  dari  Q , dan dimana elemen a*b adalah baris yang sesuai dengan  a  dan kolom merespons  b . Dalam sifat persegi Latin baris dan kolom dari tak hingga dari titik yang mungkin satu kali.

Sifat invers 
Elemen gelung memiliki invers kiri dan kanan dirumuskan sebagai

gelung dikatakan memiliki ( dua sisi )  invers  jika  adalah  x . Dalam hal ini elemen invers biasanya dilambangkan dengan .

Ada beberapa pengertian invers yang lebih kuat dalam gelung yang sering berguna:
 Sebuah gelung memiliki  sifat inversi kiri  jika  untuk  dan . Setara,  or .
Sebuah gelung memiliki  sifat invers kanan  jika  for all  dan . Setara,  or .
Sebuah gelung memiliki  sifat kebalikan antiautomorphic  if  atau, setara, jika .
Sebuah gelung memiliki  sifat inversi lemah  ketika  jika dan hanya jika . Ini dapat dinyatakan dalam inversi melalui  atau setara .

Sebuah gelung memiliki  sifat invers  jika ia memiliki sifat invers kiri dan kanan. gelung sifat invers juga memiliki sifat invers antiautomorfik dan lemah. Pengulangan salah satu dari empat identitas di atas memiliki sifat inversi dan karena itu memenuhi keempatnya.

Perampatan

Kuasigrup poladik atau multier 

Sebuah kuasigrup-ari-n adalah himpunan dengan operasi ari-n,  dengan , sehingga persamaannya  memiliki solusi unik untuk satu variabel jika semua variabel  n  lainnya ditentukan. Poliadik atau multiari berarti ari-n untuk beberapa bilangan bulat nonnegatif  n .

Contoh dari beberapa kuasigrup adalah operasi grup berulang, ; tidak perlu menggunakan tanda kurung untuk menentukan urutan operasi karena grup bersifat asosiatif.  Seseorang juga dapat membentuk kuasigrup multi dengan melakukan urutan apapun dari operasi grup atau kuasigrup yang sama atau berbeda, jika urutan operasi ditentukan.

Ada banyak kuasigrup yang tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini. Sebuah semigrup ari-n adalah tidak bisa direduksi jika operasinya tidak dapat difaktorkan ke dalam komposisi dua operasi dengan cara berikut:

dimana  and . Irreduksi hingga kuasi grup ari-n untuk ; lihat Akivis dan Goldberg (2001) untuk detailnya.

Grup kanan dan kiri 

Kuasigrup kanan  adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas:
y = (y / x) ∗ x;
y = (y ∗ x) / x.

Demikian pula, kuasigrup kiri  adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas:
y = x ∗ (x \ y);
y = x \ (x ∗ y).

Jumlah kuasigrup dan gelung kecil 

Jumlah kelas isomorfisme dari kuasigrup kecil  dan gelung  diberikan:

Lihat pula 
 Gelanggang pembagian - gelanggang di mana setiap elemen bukan nol memiliki pembalikan perkalian
 Semigrup - struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi biner asosiatif
 Monoid - semigrup dengan elemen identitas
 Gelanggang terner Planar - memiliki struktur gelung aditif dan perkalian
 Masalah dalam teori lingkaran dan teori kuasigrup
 Matematika Sudoku

Catatan

Referensi

Pranala luar 
 quasigroups
 

Aljabar takasosiatif
Teori grup
Persegi latin