Himpunan lonjong

Dalam matematika, himpunan lonjong  (disebut pula himpunan basis atau himpunan berakar ) adalah pasangan terurut  dimana  adalah satu himpunan dan  adalah elemen dari  disebut titik dasar, dieja sebagai titikdasar.

Peta antara himpunan lonjong  dan  (disebut sebagai peta basis, peta lonjong, atau peta preserving titik) adalah fungsi dari  untuk  dengan memetakan satu titik dasar ke titik lainnya, yaitu peta  dengan . Dilambangkan dengan

  .

Himpunan lonjong adalah struktur aljabar sederhana. Dalam pengertian aljabar universal, himpunan lonjong adalah himpunan  dengan satu operasi nullari  memiliki titik dasar. Peta lonjong adalah homomorfisme dari struktur aljabar.

Kelas dari semua himpunan lonjong dengan kelas dari semua peta berbasis membentuk sebuah kategori. Dalam kategori ini hmpunan singleton lonjong  adalah objek awal dan objek terminal, yaitu objek nol. Terdapat funktor setia dari himpunan menunjuk ke himpunan biasa, tetapi tidak lengkap dan kategori ini tidak ekuivalen. Secara khusus, himpunan kosong bukanlah himpunan lonjong karena tidak memiliki elemen yang dapat dipilih sebagai titik dasar.

Kategori himpunan lonjong dan peta rbasis ekuivalen dengan kategori himpunan dan fungsi parsial. Satu buku teks mencatat bahwa "Penyelesaian formal himpunan dan peta parsial dengan menambahkan 'tidak tepat', elemen 'tak hingga' diciptakan kembali berkali-kali, khususnya, dalam topologi (kompalikasi satu titik) dan dalam ilmu komputer teoretis."

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong isomorfik dengan kategori coslice , dimana  adalah satu set tunggal. Bertepatan dengan karakterisasi aljabar, karena peta unik  memperluas segitiga komutatif  yang mendefinisikan panah dari kategori coslice untuk membentuk kotak komutatif  dengan mendefinisikan homomorfisme aljabar.

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong memiliki kedua produk dan koproduk, tapi itu bukan kategori distributif. Merupakan contoh kategori di mana  tidak isomorfik untuk .

Banyak struktur aljabar merupakan himpunan lonjong dengan cara trivial. Misalnya, grup adalah himpunan lonjong dengan elemen identitas sebagai titik dasar, sehingga grup homomorfisme merupakan peta yang mempertahankan titik. Pengamatan ini dapat dinyatakan kembali dalam istilah teoretis kategori sebagai keberadaan fungsi fogertful dari grup ke himpunan lonjong.

Himpunan lonjong dapat dilihat sebagai ruang lonjong bawah topologi diskrit atau sebagai ruang vektor atas bidang dengan satu elemen.

Sebagai "himpunan akar", gagasan tersebut secara alami muncul dalam studi antimatroid dan politopes transportasi.

Lihat pula

Referensi

Pranala luar 

 Kemunduran dalam Kategori Himpunan dan Fungsi Parsial
 
 Objek lonjong

Struktur aljabar
Teori kategori
Konsep dasar dalam teori himpunan