Aljabar Bose–Mesner

Dalam matematika, aljabar Bose–Mesner merupakan himpunan khusus matriks yang muncul dari struktur kombinatorial yang dikenal sebagai skema asosiasi, Kaidah-kaidahnya menggabungkan (lebih tepatnya, membentuk hasil kali atau darab dari) matriks tersebut, sehingga membentuk aljabar asosiatif atau lebih tepatnya, aljabar komutatif uniter. Kaidah tersebut berbunyi:
Hasil dari suatu darab juga merupakan himpunan matriks,
ada matriks identitas dalam himpunan, dan
darab matriksnya adalah komutatif.

Aljabar Bose–Mesner dapat diterapkan ke dalam cabang fisika hingga model spin. Selain itu, aljabar ini juga dapat diterapkan ke dalam cabang statistika hingga desain eksperimen. Aljabar ini dinamai dari dua orang matematikawan yang bernama R. C. Bose dan Dale Marsh Mesner.

Definisi
Misalkan X adalah himpunan elemen v dan misalkan partisi dari subhimpunan 2-anggota dari X adalah himpunan bagian takkosong n, R1, ..., Rn sehingga:
 diberikan , jumlah dari  sehingga  hanya bergantung pada i (dan bukan pada x). Bilangan ini akan dilambangkan dengan vi, dan
 diberikan  dengan , jumlah dari  sehingga  dan  hanya bergantung pada i, j dan k (dan bukan pada x dan y). Bilangan ini akan dilambangkan dengan .
Struktur pada definisi tersebut dapat diperkuat dengan menambahkan semua pasangan elemen berulang X dan mengumpulkannya dalam himpunan bagian R0. Hal ini memungkinkan parameter i, j, dan k mengambil nilai nol, dan memisalkan untuk setiap x,y atau z adalah sama.

Himpunan dengan partisi yang diperkuat tersebut biasanya disebut skema asosiasi. Seseorang dapat melihat skema asosiasi sebagai partisi dari tepi graf lengkap (dengan himpunan simpul X) ke dalam kelas-n yang biasanya dianggap sebagai kelas warna. Dalam representasi ini, terdapat gelung di setiap simpul dan semua gelung menerima warna ke-0 yang sama.

Skema asosiasi juga dapat direpresentasikan secara aljabar, dengan cara memisalkan Di adalah matriks yang didefinisikan sebagai:
 

Lalu, misalkan  adalah ruang vektor yang terdiri dari semua matriks  dengan kompleks . Maka, definisi dari skema asosiasi ekuivalen dengan pernyataan yang mengatakan bahwa  adalah v × v pada matriks-(0,1) yang memenuhi sifat berikut:

  adalah simetris,
  (semuanya adalah matriks satuan),
 
 

Entri ke-(x,y) dari ruas kiri 4 adalah jumlah dua jalur berwarna dengan panjang yang menghubungkan x dan y (menggunakan "warna" i dan j) dalam graf. Perhatikan bahwa baris dan kolom  mengandung 1 di :

 

Sifat yang ke-1 mengatakan bahwa matriksnya adalah simetris. Sifat yang ke-2 mengatakan bahwa.  adalah bebas linear, dan dimensi  adalah . Dan sifat yang keempat mengatakan bahwa  tertutup terhadap perkalian, dan perkaliannya selalu asosiatif. Aljabar komutatif  yang memiliki sifat asosiatif ini, disebut juga sebagai aljabar Bose–Mesner dari skema asosiasi. Karena matriks pada  adalah simetris dan bertukar satu sama lain, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Artinya, ada matriks  sehingga untuk setiap , terdapat matriks diagonal  dengan . Hal ini mengartkan bahwa  adalah semi-sederhana dan memiliki basis unik dari idempoten primitif . Matriks kompleks n × n ini memenuhi sifat-sifat berikut.

 

 

 

Aljabar Bose–Mesner memiliki dua basis yang berbeda. Yang kepertama, basisnya terdiri dari matriks idempoten , dan yang kedua, basisnya terdiri dari matriks idempoten taktereduksikan . Menurut definisi, ada bilangan kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga

 

dan

 

Bilangan-p  dan bilangan-q  memainkan peran penting dalam teori. Bilangan tersebut memenuhi kaitan ortogonalitas yang terdefinisi dengan baik. Bilangan-p adalah nilai eigen dari matriks kedampingan .

Teorema

Nilai eigen dari  dan , memenuhi syarat-syarat ortogonalitas. Syarat-syarat tersebut adalah

 

 

Dan juga,

 

Dalam notasi matriks,

 
dan
 

dengan  dan

Bukti teorema

Nilai eigen dari  adalah  dengan perkalian . Hal ini menyiratkan bahwa

 

yang membuktikan Persamaan  dan Persamaan ,

 

yang memberikan Persamaan ,  dan .

Ada analogi antara perluasan skema asosiasi dan perluasan dari Medan berhingga. Kasus yang paling menariknya adalah kasus dimana skema yang diperluas didefinisikan pada kuasa Kartesius ke-  dari satu himpunan  dimana skema asosiasi  dasar didefinisikan. skema asosiasi pertama yang didefinisikan pada  disebut kuasa Kronecker ke-  pada . Selanjutnya ekstensi didefinisikan pada himpunan yang sama  dengan mengumpulkan kelas . Kuasa Kronecker sesuai dengan gelanggang polinomial  yang pertama kali didefinisikan pada medan , sedangkan skema ekstensi sesuai dengan medan ekstensi yang diperoleh sebagai hasil bagi. Contoh skema yang diperluas adalah skema Hamming.

Skema asosiasi dapat digabungkan, tetapi menggabungkan mereka mengarah ke skema asosiasi non-simetris, sedangkan semua kode biasa adalah subgrup dalam simetris skema Abelian.

Lihat pula
 Skema asosiasi

Catatan

Referensi
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Kombinatorik aljabar
Desain eksperimen
Analisis varians
Teori representasi
Aljabar