Semigelanggang

Dalam aljabar abstrak, semigelanggang adalah struktur aljabar dengan gelanggang tanpa persyaratan setiap elemen menggunakan aditif invers.

Semigelanggang tropis adalah bidang penelitian aktif, yang menghubungkan varietas aljabar dengan struktur linear sesepenggal.

Definisi 
Semigelanggang adalah himpunan R dengan dua operasi biner + dan ⋅, disebut sebagai penjumlahan dan perkalian, maka:

 (R, +) adalah monoid komutatif dengan elemen identitas 0:
 (a + b) + c = a + (b + c)
 0 + a = a + 0 = a
 a + b = b + a
 (R, ⋅) adalah monoid dengan elemen identitas 1:
 (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)
 1⋅a = a⋅1 = a
 Perkalian kiri dan kanan mendistribusikan di atas penambahan:
 a⋅(b + c) = (a⋅b) + (a⋅c)
 (a + b)⋅c = (a⋅c) + (b⋅c)
 Perkalian dengan 0 menghilangkan R:
 0⋅a = a⋅0 = 0

Simbol ⋅ biasanya dihilangkan dari notasi; a⋅b ditulis ab. Demikian pula, urutan operasi yang diterapkan sebelum + adalah  yaitu 

Dibandingkan dengan gelanggang, semigelanggang menghilangkan persyaratan untuk invers di bawah penjumlahan; artinya, ini hanya membutuhkan monoid komutatif, bukan grup komutatif. Dalam sebuah gelanggang, syarat pembalikan aditif dengan keberadaan nol perkalian yang ditentukan secara eksplisit. Jika perkalian sebuah semigelanggang adalah komutatif, maka disebut semigelanggang komutatif.

Ada beberapa penulis yang lebih memilih untuk mengabaikan persyaratan bahwa semigelanggang memiliki 0 atau 1. Analogi antara gelanggang dan semigelanggang di satu sisi dan grup dan semigrup di sisi bekerja. Para penulis ini sering menggunakan rig untuk konsep definisi.

Teori 

Seseorang dapat menggeneralisasi teori (asosiatif) aljabar dari gelanggang komutatif langsung ke teori aljabar melalui semigelanggang komutatif.

Semigelanggang dimana setiap elemen adalah aditif idempotent (yaitu, a + a = a untuk semua elemen a) disebut . Semigelanggang idempoten khusus untuk teori semigelanggang karena setiap gelanggang dimana idempoten dalam penambahan adalah trivial. Mendefinisikan urutan parsial ≤ pada semigelanggang idempoten dengan  maka  (atau, dengan kata lain, jika x dengan ). Sangat mudah untuk melihat bahwa 0 adalah elemen terkecil sehubungan dengan urutan  untuk semua a. Penjumlahan dan perkalian menghormati urutan dalam arti bahwa  menyiratkan ,  dan .

Aplikasi 

 dan  semigelanggang tropikal pada riil, sering digunakan dalam evaluasi kinerja pada sistem kejadian diskrit. Bilangan sebenarnya adalah "biaya" atau "waktu kedatangan"; operasi "maks" berhubungan dengan harus menunggu semua prasyarat dari sementara operasi "min" dengan kemampuan untuk memilih yang sederhana; dan + sesuai dengan akumulasi di sepanjang jalur yang sama.

Dengan demikian, algoritma Floyd–Warshall untuk jalur terpendek dapat diformulasi ulang sebagai komputasi aljabar . Demikian pula, algoritma Viterbi untuk urutan keadaan yang paling mungkin sesuai dengan urutan pengamatan dalam Model Markov tersembunyi dirumuskan sebagai komputasi melalui  aljabar tentang probabilitas.  Algoritma pemrograman dinamis bergantung pada sifat distributif dari semigelanggang terkait untuk menghitung jumlah secara besar-besaran untuk  eksponensial.

Contoh 

Menurut definisi, gelanggang juga merupakan semigelanggang. Contoh motivasi dari semigelanggang adalah himpunan bilangan asli N (termasuk nol) di bawah penjumlahan dan perkalian biasa. Demikian pula, semigelanggang bentuk non-negatif bilangan rasional dan non-negatif bilangan real. Semua semigelanggang adalah sifat komutatif.

Secara umum 
 Himpunan untuk semua ideal dari gelanggang tertentu membentuk semigelanggang idempoten di bawah penjumlahan dan perkalian ideal.
 Setiap unital kuantel adalah semigelanggang idempoten dalam penggabungan dan perkalian.
 Kisi distributif adalah semigelanggang komutatif dan idempoten di bawah gabung dan temu.
 Secara khusus, aljabar Boolean adalah semigelanggang. Gelanggang Boolean merupakan semigelanggang, tetapi tidak idempoten di bawah penjumlahan. Semigelanggang Boolean adalah semigelanggang isomorfis ke subsemigelanggang dari aljabar Boolean.
 Kisi condong normal dalam gelanggang R adalah semigelanggang idempoten untuk operasi perkalian dan nabla, dimana operasi terakhir didefinisikan oleh .
 Semua c-semigelanggang merupakan semigelanggang dengan penambahan idempoten dan ditentukan melalui himpunan arbitrer.
 Kelas isomorfisme objek dalam operasi kategori distributif, di bawah operasi produk bersama dan produk, semigelanggang yang dikenal sebagai gelang Burnside. Gelang Burnside adalah gelanggang jika dan hanya jika kategorinya adalah trivial.

Himpunan semigelanggang 

Semigelanggang (himpunan) adalah himpunan S tidak kosong dari himpunan yang sedemikian rupa
 
 Jika  dan  maka .
 Jika  dan  maka sejumlah batas himpunan disjoin  untuk  sehingga .

Semigelanggang digunakan dalam teori ukuran. Contoh semigelanggang dari himpunan adalah himpunan dari setengah terbuka, setengah tertutup riil interval .

Contoh spesifik

Variasi

Semigelanggang kompleks dan kontinu 
Semigelanggang kompleks adalah semigelanggang yang aditif monoidnya adalah monoid kompleks, artinya memiliki operasi jumlah infiniter ΣI untuk setiap himpunan indeks I dan hukum distributif (tak hingga) berikut:

 

Contoh semigelanggang kompleks adalah himpunan pangkat dari monoid di bawah gabungan dan semigelanggang matriks di atas semigelanggang kompleks.

Semigelanggang kontinu didefinisikan sebagai penambahan monoid adalah monoid kontinu. Yaitu, diurutkan sebagian dengan sifat batas atas terkecil, dan penjumlahan dan perkalian sebagai ketertiban dan suprema. Semigelanggang  dengan penjumlahan biasa, perkalian dan urutan diperpanjang adalah semigelanggang kontinu.

Semua semigelanggang berkelanjutan selesai: sebagai bagian dari definisi.

Semigelanggang bintang 

Semigelanggang bintang (terkadang dieja Semigelangbintang) adalah semigelanggang dengan operasi uner tambahan , maka

Aljabar Kleene merupakan bintang semigelanggang dengan penambahan idempoten untuk teori bahasa formal dan ekspresi reguler.

Semigelanggang bintang kompleks 

Dalam semigelanggang bintang kompleks, operasi bintang sebagai contoh bintang Kleene: untuk semigelanggang kompleks menggunakan operasi jumlah tak hingga untuk definisi bintang Kleene biasa:

dimana

Semigelanggang Conway 

Semigelanggang Conway adalah bintang semigelanggang yang menggunakan persamaan bintang-penjumlahan dan bintang-produk:
 

Setiap bintang semigelanggang kompleks sama dengan semigelanggang Conway, tapi kebalikannya tidak berlaku. Contoh semigelanggang Conway non-kompleks adalah himpunan bilangan rasional non-negatif  dengan penjumlahan dan perkalian biasa (ini adalah modifikasi dari contoh dengan riil non-negatif diberikan dalam bagian ini dengan menghilangkan bilangan irasional).

Semigelanggang iterasi adalah semigelanggang Conway menggunakan aksioma grup Conway,  diasosiasikan oleh John Conway ke grup dalam semigelanggang bintang.

Contoh 

Contoh semigelanggang bintang meliputi:
 (disebutkan di atas) semigelanggang relasi biner di atas beberapa himpunan dasar U dimana  untuk semua . Operasi bintang adalah refleksif dan penutupan transitif dari R (yaitu relasi biner refleksif dan transitif terkecil di atas U yang mengandung R).
 semigelanggang bahasa formal merupakan bintang semigelanggang kompleks, dengan operasi bintang dengan bintang Kleene (untuk himpunan/bahasa).
 Himpunan ekstensi riil non-negatif  dengan penjumlahan dan perkalian riil yang biasa adalah semigelanggang bintang kompleks dengan operasi bintang yang diberikan oleh  untuk  (yaitu deret geometri) dan  for .
 Semigelanggang Boolean dengan .
 Semigelanggang aktif  dengan penjumlahan dan perkalian ekstensi, dan ,  untuk .

Mogand 
Istilah mogand (untuk "monoid ganda") telah digunakan untuk berbagai jenis semigelanggang:
 Digunakan oleh Kuntzman pada tahun 1972 untuk menunjukkan apa yang sekarang disebut semigelanggang.
 Penggunaan yang berarti subgrup idempoten diperkenalkan oleh Baccelli et al. pada tahun 1992.
 Nama "mogand" kadang digunakan untuk menunjukkan semigelanggang tatanan alami.

Generalisasi 

Generalisasi semigelanggang tidak membutuhkan keberadaan identitas perkalian, sehingga perkalian adalah semigrup dari monoid. Struktur seperti itu disebut gelanggang hemi atau pra-semigelanggang. Generalisasi lebih lanjut adalah pra-semigelanggang-kiri, yang tidak menggunakan distribusi-kanan (atau pra-semigelanggang-kanan, yang tidak menggunakan distribusi-kiri).

Dalam teori kategori, gelang-2 adalah kategori dengan fungtor operasi ial analog dengan gelang. Bahwa bilangan kardinal membentuk gelang dapat dikategorikan untuk kategori himpunan (atau lebih umum, topos) adalah gelang-2.

Lihat pula 
 Himpunan gelanggang
 Aljabar penilaian

Catatan

Kutipan

Sumber 
 
 François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version) , Wiley, 1992, 
 Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp.

Bacaan lebih lanjut 
 
 
 
 
 
 Steven Dolan (2013) Fun with Semirings , 

Struktur aljabar
Teori gelanggang