Grup dasar

Dalam bidang matematika dan topologi aljabar, grup dasar dari ruang topologi adalah grup kelas kesetaraan di bawah homotopi dengan gelung dalam ruang. Informasi tentang bentuk dasar, atau lubang, dari ruang topologi. Grup dasar adalah grup homotopi yang pertama dan yang sederhana. Grup dasar adalah homotopi invarian dari ruang topologi setara homotopi (atau dalam kasus dari homeomorfik) dengan isomorfik.

Intuisi 

Dimulai dari ruang (misalnya, permukaan), dan beberapa titik, dan semua gelung dan titik jalur ke titik awal. Dua gelung dapat digabungkan dengan: gelung pertama ke gelung kedua.
Dua gelung setara jika salah satu dapat dideformasi menjadi gelung lainnya tanpa putus. Himpunan gelung dengan metode penggabungan dan ekuivalen di antara grup dasar untuk ruang.

Sejarah 
Henri Poincaré mendefinisikan grup dasar pada tahun 1895 dalam makalah "Situs Analisis". Konsep tersebut muncul dalam teori permukaan Riemann, dalam karya Bernhard Riemann, Poincaré, dan Felix Klein. Sifat monodromi dari fungsi bernilai kompleks, serta klasifikasi permukaan tertutup topologi lengkap.

Definisi 

X adalah ruang topologi, contoh tipikal adalah permukaan digambarkan di sebelah kanan. Selain itu,  adalah titik di X yang disebut titik dasar. Gagasan dari definisi grup homotopi adalah untuk mengukur berapa kurva pada X yang dideformasi satu sama lain. Definisi tergantung pada pengertian homotopi gelung, yang akan dijelaskan terlebih dahulu.

Homotopi gelung 
Ruang topologi X dari gelung berbasis  didefinisikan sebagai fungsi kontinu (juga dikenal sebagai peta kontinu)

sehingga titik awal  dan titik akhir  adalah .

Homotopi adalah interpolasi kontinu antara dua gelung. Lebih tepatnya, homotopi antara dua gelung  (berbasis titik ) adalah peta kontinu

maka
  untuk  bagian titik awal homotopi adalah  untuk  (sebagai parameter waktu). 
  untuk  bagian titik akhir tetap  untuk .
  untuk .

Jika homotopi h dari  dan  adalah homotopik. Relasi " adalah homotopik " dengan hubungan setara pada himpunan kelas kesetaraan dengan:
.
Himpunan (dengan struktur grup yang dijelaskan di bawah) tersebut adalah grup dasar dari ruang topologi  pada titik dasar . Tujuan dari kelas kesetaraan dari gelung hingga homotopi, sebagai lawan dari himpunan gelung (yang disebut ruang gelung dari X) adalah titik akhir, meskipun berguna untuk berbagai tujuan dari objek yang besar dan berat.

Struktur grup 

Dengan definisi di atas,  adalah satu himpunan, grup (dan karena grup dasar) menggunakan rangkaian gelung. Lebih tepatnya, dua gelung , hasilkali didefinisikan sebagai gelung

Dengan demikian, gelung  pertama mengikuti gelung  dengan "dua kali kecepatan" dan kemudian mengikuti  dengan "dua kali kecepatan".

hasilkali dari dua kelas homotopi gelung  dan  kemudian didefinisikan sebagai . Dapat ditunjukkan, hasilkali tidak bergantung pada pilihan perwakilan dan oleh karena itu operasi yang terdefinisi dengan himpunan . Operasi  ke dalam grup elemen netral gelung konstan  untuk t. Invers dari gelung (kelas homotopi) adalah gelung yang sama, tetapi dilintasi dalam oposisi
.
Tiga gelung berbasis  hasilkali
 
adalah gabungan dari gelung  sehingga  dengan kecepatan kuadurupel, maka  dengan kecepatan ganda,
 
melintasi ke lintasan yang sama (dalam urutan yang sama), tetapi  dengan kecepatan ganda, dan  dengan kecepatan rangkap empat. Jadi, karena perbedaan kecepatan, kedua jalur tersebut tidak identik. Aksioma asosiatif

oleh karena itu sangat bergantung pada jalur homotopi. Kedua komposit di atas adalah homotopik, misalnya, pada gelung yang melintasi ketiga gelung  dengan kecepatan tripel. Himpunan gelung berbasis hingga homotopi, digunakan dengan operasi di atas karenanya  ke grup.

Ketergantungan pada titik dasar 
Meskipun grup dasar pada umumnya bergantung pada pilihan titik dasar, ternyata hingga isomorfisme (sebenarnya, bahkan hingga isomorfisme dalam), pilihan tidak bedanya dengan ruang X adalah jalan koneksi. Untuk ruang terhubung dengan jalur, banyak penulis menggunakan  dari .

Contoh konkret 

Bagian ini mencantumkan beberapa contoh dasar dari kelompok dasar. Pertama, ruang Euklides () atau himpunan bagian cembung dari  kelas gelung homotopi dan karena grup dasar adalah grup trivial dengan satu elemen. Maka, domain bintang dan ruang kontras memiliki grup dasar trivial. Dengan demikian, grup dasar tidak membedakan antara ruang.

Bola-2 

Ruang koneksi dengan grup dasar trivial disebut koneksi sederhana. 
Misalnya, bola-2  digambarkan di sebelah kanan, dan juga bidang berdimensi tinggi koneksi dengan mudah. Gambar tersebut mengilustrasikan homotopi satu gelung tertentu ke gelung konstan. gelung  sehingga  yaitu  pada gambar  Namun, karena gelung  (dari kurva Peano, misalnya), bukti lengkap analisis cermat dengan alat dari topologi aljabar dengan Teorema Seifert–van Kampen atau Teorema pendekatan seluler.

Lingkaran 

Lingkaran (juga dikenal sebagai bola-1)

Sebaliknya, kelas homotopi dari gelung lingkaran (positif atau negatif, bergantung pada arah belitan). Hasil kali gelung sekitar m dan gelung sekitar n adalah gelung sekitar . Oleh karena itu, grup dasar dari lingkaran adalah isomorfik grup aditif dari bilangan bulat . Fakta ini dapat digunakan untuk memberikan pembuktian teorema titik tetap Brouwer dan teorema Borsuk–Ulam di dimensi 2.

Gambar delapan 

Grup dasar dari gambar delapan adalah grup bebas pada dua huruf. Gagasan untuk membuktikannya adalah sebagai berikut: memilih titik dasar untuk menjadi titik pertemuan kedua lingkaran (bertitik hitam pada gambar di sebelah kanan), buhul  diuraikan sebagai

dimana a dan b adalah dua gelung di sekitar setengah gambar seperti yang digambarkan, dan eksponen  adalah bilangan bulat. Maka  grup dasar dari gambar delapan adalah bukan abelian: dua cara a dan b tidak homotopik:
.

Secara lebih umum, grup dasar dari lingkaran buket dari lingkaran r adalah grup bebas pada huruf r.

Grup dasar dari jumlah baji dari dua ruang terhubung jalur X dan Y dihitung sebagai hasilkali bebas dari grup dasar:
.
Dirampat dengan pengamatan diatas karena gambar delapan adalah jumlah irisan dua lingkaran.

Grup dasar dari gambar bidang titik n merupakan grup bebas dengan pembangkit . pembangkit ke- adalah kelas gelung yang menuju di sekitar lubang ke- dengan tampa menuju ke lubang lainnya.

Grafik 
Grup dasar didefinisikan untuk struktur diskret. Secara khusus, pertimbangkan graf terhubung , dengan verteks  dengan . Gelung dalam  adalah siklus yang dimulai dan diakhiri . Misalkan  menjadi pohon rentangan dari . Gelung sederhana  tepat satu sisi ; gelung  adalah rangkaian gelung sederhana tersebut. Oleh karena itu, grup dasar dari grafik adalah grup bebas, dimana jumlah pembangkit persis dengan jumlah sisi  .Bilangan sama dengan .

Misalnya,  memiliki 16 verteks yang disusun dalam 4 baris terdiri dari 4 verteks, dengan sisi yang menghubungkan verteks berdekatan secara horizontal atau vertikal. Maka  memiliki 24 sisi secara keseluruhan, dan jumlah sisi pohon rentangan adalah , jadi grup dasar dari  adalah grup bebas dengan 9 pembangkit. Perhatikan bahwa  memiliki 9 "lubang", dengan buket dari 9 lingkaran, memiliki grup dasar yang sama.

Grup buhul 

Grup buhul adalah definisi grup dasar dari komplemen dari buhul  dengan  Misalnya, grup buhul dari buhul semanggi dikenal sebagai grup kepangan  contoh lain dari grup dasar takabelian. Presentasi Wirtinger secara eksplisit mendeskripsikan grup buhul dalam istilah pembangkit dan relasi berdasarkan diagram buhul. Oleh karena itu, grup buhul memiliki beberapa kegunaan dalam teori buhul untuk membedakan buhul: jika  bukan isomorfik untuk beberapa grup buhul  dari buhul lain , maka  tidak diubah menjadi  Jadi buhul semanggi tidak berubah menjadi lingkaran (juga dikenal sebagai buhul trivial), karena buhul terakhir memiliki grup buhul . Namun, buhul tidak dideformasi menjadi satu, tetapi memiliki grup buhul isomorfik.

Permukaan berorientasi 
Grup dasar dari permukaan orientasi genus n dapat dihitung dalam istilah pembangkit dan relasi sebagai
.

Torus menjadi genus 1 grup dasarnya adalah
.

Grup topologi 
Grup dasar dari grup topologi X (dengan titik dasar sebagai elemen netral) selalu komutatif. Secara khusus, kelompok dasar dari grup Lie adalah komutatif. Maka, struktur grup pada X ke  dengan struktur grup: dua gelung  dan  dengan , gelung  dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian grup dalam : 
.
Operasi biner  himpunan gelung adalah bebas priori dari yang dijelaskan di atas. Namun, argumen Eckmann–Hilton menunjukkan bahwa sebenarnya setuju dengan rangkaian gelung atas.

Pemeriksaan bukti menunjukkan  adalah abelian untuk setiap ruang-H dari , yaitu perkalian tidak menggunakan invers takasosiatif. Sebagai contoh, grup dasar dari sebuah ruang lingkaran dari ruang topologi Y,  adalah abelian. Ide terkait mengarah pada perhitungan Heinz Hopf dari kohomologi grup Lie.

Kefungtorialan 
Jika  adalah peta kontinu,  dan  dengan , maka gelung  dengan titik dasar  dengan  ke gelung  dengan titik dasar . Operasi serasi dengan hubungan kesetaraan homotopi dan dengan komposisi gelung. Homomorfisme kelompok yang dihasilkan, disebut homomorfisme terinduksi, sebagai  maka:

Pemetaan dari peta kontinu hingga homomorfisme grup serasi dengan komposisi peta dan morfisme identitas. Dalam kategori teori, pembentukan asosiasi ke ruang topologi grup dasar adalah funktor

dari kategori ruang topologi dengan titik dasar ke kategori grup. Funktor peta homotopik relatif terhadap titik dasar: jika  adalah peta kontinu dengan , serta  dan  adalah homotopik , maka . Sebagai akibatnya, dua ruang terhubung lintasan setara memiliki grup dasar isomorfik:

Misalnya, penyertaan lingkaran di bidang citra

adalah kesetaraan homotopi dan isomorfisme grup dasarnya.

Funktor grup dasar dari hasilkali ke produk dan koproduk ke kohasilkali. Artinya, jika  dan  adalah terhubung lintasan, maka

Lihat pula 
 Grup dasar Orbifold

Catatan

Referensi 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Peter Hilton and Shaun Wylie, Homology Theory, Cambridge University Press (1967) [warning: these authors use contrahomology for cohomology]
 
 
 
 
 
 Deane Montgomery and Leo Zippin, Topological Transformation Groups, Interscience Publishers (1955)

Pranala luar 

 Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem : A discussion of the dasar groupoid of a topological space and the dasar groupoid of a simplicial set
 Animations to introduce dasar group by Nicolas Delanoue
 Sets of base points and dasar groupoids: mathoverflow discussion 
 Groupoids in Mathematics 

Topologi aljabar
Teori homotopi