Magma (aljabar)

Dalam aljabar abstrak, magma, biner atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Sejarah dan istilah 
Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937). Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah  groupoid  adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996): 
 Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.

Definisi 
Magma adalah himpunan  dengan operasi  dimana elemen  ke elemen . Simbol  adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi  menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai magma atau  aksioma ketertutupan):

 Untuk ,  dan , hasil operasi  adalah .

Dan dalam notasi matematika:
 .

Jika  operasi parsial, maka  disebut magma parsial atau disebut juga grupoid parsial.

Morfisme magma 
Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, , memetakan magma  ke magma , yang dimana operasi biner:

dimana  dan  menunjukkan operasi biner pada  dan .

Notasi dan kombinatorik 
Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi  dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:
 

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, . Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:
.
Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis . Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis , di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi  dari operator magma dari bilangan Catalan, .  Jadi, , yang mana hanya pernyataan  dan  adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: : , , , , dan .

Terdapat  magma dengan elemen  adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ...  dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ...  dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... .

Magma bebas 
Magma bebas, , himpunan  adalah magma yang digunakan untuk  (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada  dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:

 dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif  dengan tanda kurung dipertahankan.

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen . Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika  adalah fungsi dari  ke magma, , maka perluasan dari  ke morfisme magma, 
 .

Jenis magma 
Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:
Grup semu Magma di mana pembagian selalu mungkin
Gelung Kuasigrup dengan elemen identitas
Semigrup Magma yang dimana operasinya asosiatif
Semigrup balikan Semigrup dengan balikan.
Semikisi Semigrup operasinya komutatif dan idempoten
Monoid Semigrup dengan elemen identitas
Grup Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
Grup Abelian Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

Penggolongan berdasarkan sifat 

Magma , dengan , disebut

Medial Jika identitas, 
Semimedial kiri Jika identitas, 
Semimedial kanan Jika identitas, 
Semimedial Jika keduanya semimedial kiri dan kanan
Distributif kiri Jika memenuhi identitas, 
Distributif kanan Jika memenuhi identitas, 
Autodistributif Jika keduanya distributif kiri dan kanan
Komutatif Jika memenuhi identitas, 
Idempoten Jika identitas, 
Unipoten Jika identitas, 
Nolpoten Jika identitas, 
Alternatif Jika identitas  dan 
Daya-asosiatif Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
Fleksibel jika 
Semigrup, atau asosiatif Jika identitas, 
Uner kiri Jika identitas, 
Uner kanan Jika identitas, 
Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nol Jika identitas, 
Unital Jika memiliki elemen identitas

Kategori magma 
Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan funktor inklusi:  sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: .

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan  adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.

Perampatan 
Lihat grup n-er.

Lihat pula 
 Kategori magma
 Objek magma otomatis
 Aljabar universal
 Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
 Magma takasosiatif komutatif
 Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
 Aljabar grupoid
 Himpunan Hall

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
 

Aljabar takasosiatif
Operasi biner
Struktur aljabar