Sifat universal

Dalam teori kategori, cabang dari matematika, sifat universal adalah sifat penting yang dipenuhi oleh morfisme universal (lihat Definisi Formal). 
Morfisme universal juga dapat dianggap lebih abstrak sebagai objek awal atau terminal dari kategori koma (lihat Relasi dengan Kategori Koma). Properti universal terjadi hampir di semua tempat dalam matematika, dan karenanya konsep teoretis kategori yang tepat membantu menunjukkan persamaan antara berbagai cabang matematika.

Sifat universal dapat digunakan di bidang matematika lain secara implisit, tetapi definisi abstrak dan dipelajari dalam teori kategori.

Artikel ini memberikan perawatan umum tentang sifat universal. Untuk memahami konsepnya, ada baiknya mempelajari beberapa contoh terlebih dahulu, yang jumlahnya banyak: semua objek gratis, produk langsung dan jumlah langsung, grup bebas, kisi bebas, grup Grothendieck, komplesi Dedekind–MacNeille, topologi produk, komplikasi Stone–Čech, produk tensor, limit invers dan limit langsung, kernel dan kokernel, kembali, keluar dan ekualiser.

Motivasi 
Sebelum memberikan definisi formal tentang sifat universal, kami menawarkan beberapa motivasi untuk mempelajari konstruksi.

 Detail konkret dari suatu konstruksi, tetapi jika konstruksinya memenuhi sifat universal, detail tersebut: semua yang perlu diketahui tentang konstruksi sudah terkandung dalam sifat universal. Bukti sering kali menjadi singkat dan elegan jika menggunakan sifat universal daripada detail konkret. Misalnya, aljabar tensor dari sebuah ruang vektor agak sulit untuk dibuat, tetapi menggunakan sifat universal membuatnya lebih mudah untuk ditangani.
 Properti universal mendefinisikan objek secara hingga isomorfisme. Oleh karena itu, salah satu strategi untuk membuktikan bahwa dua objek isomorfik adalah dengan menunjukkan bahwa sifat universal yang sama.
 Konstruksi universal bersifat fungsional: jika seseorang dapat melaksanakan konstruksi untuk setiap objek dalam kategori  C  maka seseorang memperoleh funktor pada  C . Lebih lanjut, functor ini adalah adjoin kanan atau kiri ke functor  U  yang digunakan dalam definisi sifat universal.
 Sifat universal terjadi di mana-mana dalam matematika. Dengan memahami sifat abstraknya, seseorang memperoleh informasi tentang semua konstruksi ini dan dapat menghindari pengulangan analisis yang sama untuk setiap contoh individu.

Definisi formal 
Untuk memahami definisi konstruksi universal, penting untuk melihat contoh. Konstruksi universal tidak ditentukan begitu saja, tetapi ditentukan setelah matematikawan mulai memperhatikan pola dalam banyak konstruksi matematika (lihat Contoh di bawah). Oleh karena itu, definisi tersebut mungkin tidak masuk akal bagi seseorang pada awalnya, tetapi akan menjadi jelas ketika seseorang menggabungkannya dengan contoh konkret.

Maka  menjadi fungsi antara kategori  dan . Selanjutnya, misalkan  menjadi objek , sedangkan  dan  adalah objek .

Jadi, funktor  memetakan ,  dan  pada  ke ,  dan  dalam .

Morfisme universal dari  hingga  adalah  dengan  yang memiliki sifat berikut, biasanya disebut sebagai sifat universal. Untuk morfisme bentuk
 di , terdapat morfisme  sedemikian rupa sehingga diagram berikut perjalanan:

Kita bisa menggandakan konsep kategoris ini. Sebuah morfisme universal dari  hingga  adalah  yang memenuhi sifat universal berikut. Untuk morfisme bentuk  in , morfisme  sedemikian rupa sehingga diagram berikut ini berjalan:

Perhatikan bahwa di setiap definisi, panah dibalik. Kedua definisi tersebut diperlukan untuk menjelaskan konstruksi universal yang muncul dalam matematika; tetapi mereka juga muncul karena dualitas inheren yang ada dalam teori kategori.
Dalam kedua kasus, bahwa  di atas memenuhi sifat universal.

Sebagai catatan tambahan, beberapa penulis menyajikan diagram kedua sebagai berikut.

Tentu saja, diagramnya sama; memilih cara menulis adalah soal selera. Mereka hanya berbeda dengan rotasi 180°. Akan tetapi, diagram asli lebih disukai, karena menggambarkan dualitas antara dua definisi, karena jelas bahwa panah invers dalam setiap kasus.

Relasi dengan Kategori Koma 
Morfisme universal dapat dijelaskan lebih ringkas sebagai objek awal dan terminal dalam kategori koma.

Maka  menjadi funktor dan  sebuah objek dari . Kemudian bahwa kategori koma  adalah kategori dimana
 Objek adalah pasangan bentuk , di mana  adalah sebuah objek 
 Morfisme dari  ke  morfisme  dengan  sehingga diagram:

Sekarang objek  dengan  adalah inisial. Kemudian
untuk setiap objek , morfisme  sehingga diagram berikut ini. 

Perhatikan bahwa persamaan berarti diagramnya sama. Juga perhatikan bahwa diagram di sisi kanan persamaan adalah sama persis dengan yang ditawarkan dalam mendefinisikan morfisme universal dari  ke . Oleh karena itu, kita melihat bahwa morfisme universal dari  hingga  setara dengan objek awal dalam kategori koma .

Sebaliknya, bahwa kategori koma  adalah kategori dimana
 Objek adalah formulir  di mana  adalah sebuah objek 
 Morfisme dari  ke  morfisme  dalam  sedemikian rupa sehingga diagram bolak-balik:

 
Misalkan  adalah objek terminal . Kemudian untuk setiap objek , morfisme  sehingga diagram berikut. 

Diagram di sisi kanan persamaan adalah diagram yang sama yang digambarkan saat mendefinisikan morfisme universal dari  ke . Oleh karena itu, morfisme universal dari  hingga  sesuai dengan objek terminal dalam kategori koma 
.

Contoh 
Di bawah ini adalah beberapa contoh, untuk menyoroti gagasan umum. Pembaca dapat membuat banyak contoh lain dengan membaca artikel yang disebutkan dalam pendahuluan.

Tensor aljabar 

Misalkan  menjadi kategori ruang vektor -Vekt di atas bidang  dan biarkan  menjadi kategori aljabar -Alj di atas  (diasumsikan sebagai unital dan asosiatif). Maka
 : -Alj → -Vekt
menjadi funktor fogetful yang menetapkan ruang vektor yang mendasarinya ke setiap aljabar.

Diberikan ruang vektor  di atas  kita bisa membuat tensor algebra . Aljabar tensor dicirikan oleh fakta:

Pernyataan ini adalah properti awal aljabar tensor karena menyatakan fakta bahwa , dimana  adalah peta inklusi, adalah morfisme universal dari ruang vektor  ke funktor .

Karena konstruksi ini bekerja untuk setiap ruang vektor , kami menyimpulkan bahwa  adalah funktor dari -Vect ke -Alj.  Ini berarti  adalah  left adjoint  ke forgetful functor .

Sejarah 
Sifat universal dari berbagai konstruksi topologi disajikan oleh Pierre Samuel pada tahun 1948. Mereka kemudian digunakan secara ekstensif oleh Bourbaki. Konsep yang terkait erat dari fungsi adjoint diperkenalkan secara independen oleh Daniel Kan pada tahun 1958.

Lihat pula 

 Objek bebas
 Transformasi alami
 Funktor adjoin
 Monad (teori kategori)
 Varietas aljabar
 Kategori tertutup Kartesius

Catatan

Referensi 
 Paul Cohn, Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland. .
 
 Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra: vol 1 Basic category theory (1994) Cambridge University Press, (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) 
 N. Bourbaki, Livre II : Algèbre (1970), Hermann, .
 Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. 
 Jacobson. Basic Algebra II. Dover. 2009.

Pranala luar 
 nLab, sebuah proyek wiki tentang matematika, fisika dan filsafat dengan penekanan pada sudut pandang n-kategorikal
 André Joyal, CatLab, proyek wiki yang didedikasikan untuk eksposisi matematika kategorikal
  pengantar formal untuk teori kategori.
 J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Category Theory"—by Jean-Pierre Marquis. Extensive bibliography.
 List of academic conferences on category theory
 Baez, John, 1996,"The Tale of n-categories." Pengenalan informal untuk kategori tingkat tinggi.
 WildCats adalah paket teori kategori untuk Mathematica. Manipulasi dan visualisasi objek, morfisme, kategori, funktor, transformasi natural, sifat universal.
 The catsters, saluran YouTube tentang teori kategori.
 Video archive rekaman pembicaraan yang relevan dengan kategori, logika dan dasar-dasar fisika.
Interactive Web page yang menghasilkan contoh konstruksi kategoris dalam kategori himpunan hingga.

Teori kategori
 Sifat