Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi  dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real  ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan . Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil.

Sebaliknya, suatu fungsi  dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real  ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan . Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (), di mana bilangan real yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan  atau terkadang dinotasikan sebagai  dan dirumuskan sebagai

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau  yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .

Sejarah

Sifat dan identitas 
Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

  untuk suatu  bilangan real.
  dan  jika dan hanya jika  adalah bilangan bulat.
  jika  adalah bilangan real dan  bila  bilangan bulat.
 Untuk suatu  bilangan bulat, .
Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

 

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:

  untuk  adalah bilangan bulat.

Kalkulus

Turunan 
Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila  adalah bilangan bulat. Bila  bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

Integral 
Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

 .

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

 .

Representasi deret 
Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

 Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
 asalkan  bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

 Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

 asalkan  bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Rujukan 

Fungsi khusus
Notasi matematika
Operasi uner