Daftar identitas logaritma

Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai 

 .

dimana  adalah adalah basis atau bilangan pokok dari logaritma, dengan syarat  atau ,  adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus, dan bilangan positif  adalah hasil dari logaritma yang disebut dengan antilogaritma. 

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan , kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

Sifat dasar

Sifat trivial 
Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah , karena . Terdapat sifat dasar lain, yaitu

 , karena .
 .

Sebagai pengecualian, logaritma dengan  tidak memiliki nilai. Hasil limit dari  ketika . Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Perkalian dan pembagian 

 

Misalkan  dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh  dan . Maka,

.

Ambil logaritma basis  pada kedua ruas sehingga

.
Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

 .

 

Misalkan  dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh  dan . Maka,

Ambil logaritma basis  pada kedua ruas sehingga

.

Penambahan dan pengurangan 

 
 

Lebih umumnya lagi,

 .

Perubahan basis 
Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

 

dengan syarat  dan  dan , dengan mengikuti definisi logaritma.Misal . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh . Maka, kita tuliskan sebagai

Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka

Substitusi kembali sehingga didapati
.

Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma

Pertukaran basis 
Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

 .

Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan  akan memperoleh
.

Logaritma dalam eksponen 

  atau 

Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh

.

Membatalkan eksponen 
Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

  karena ; dan
  karena .

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa .

Logaritma dengan basis lain

Logaritma natural

Logaritma dalam kalkulus

Limit 

 
 

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis  sembarang (untuk ). Sebagai catatan, untuk ,

 
 

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

 
 

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

  jika 
  jika

Turunan 
Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

 , dengan , , dan .

Perhatikan bahwa 
 jika dan hanya jika ,

maka kita memperoleh
.

Dengan substitusi kembali, diperoleh
.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan
 
Turunan dalam basis lain, antara lain

Integral 
Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

 

Integral dalam basis lain, antara lain

 

Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan . Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan , ,  dan , maka

. 

Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.

Deret

Pendekatan logaritma

Bentuk pecahan berlanjut

Logaritma alami

Lihat pula 

 Daftar identitas eksponensiasi

Rujukan 

Identitas matematika
Logaritma