Oval Cartesius

Dalam geometri, oval Cartesius merupakan sebuah kurva bidang yang terdiri atas kumpulan titik yang memiliki kombinasi linear dengan jarak yang sama di antara dua titik tetap (fokus). Nama kurva ini diambil dari seorang matematikawan Prancis René Descartes, yang digunakan dalam bidang optik.

Definisi 
Misalkan  dan  merupakan titik tetap di bidang, dan misalkan  dan  melambangkan jarak Euklides dari titik-titik ini ke suatu titik variabel ketiga . Misalkan  dan  bilangan real sembarang. Maka oval Cartesius merupakan tempat kedudukan (lokus) dari titik  yang memenuhi . Kedua oval tersebut yang dibentuk oleh empat persamaan  dan  saling berkait erat. Adanya oval-oval tersebut membentuk sebuah kurva bidang kuartik yang dikenal dengan nama oval Descartes.

Kasus khusus 
Dalam persamaan , ketika  dan , hasil bentuknya merupakan sebuah elips. Dalam kasus batas dengan  dan  bertepatan, elipsnya membentuk sebuah lingkaran. Ketika , maka oval tersebut merupakan sebuah limaçon Pascal. Jika  dan , persamaannya memberikan sebuah cabang hiperbola, dan demikian bukan merupakan sebuah oval tertutup.

Persamaan polinomial 
Himpunan titik  memenuhi persamaan polinomial kuartik

dengan  menyatakan jarak  diantara dua fokus tetap  dan . Hal ini membentuk dua oval, dan himpunan titik-titiknya memenuhi dua dari empat persamaan.

yang memiliki penyelesaian real. Kedua oval tersebut saling lepas, kecuali dalam kasus bahwa  atau  yang merupakan miliknya. Setidaknya salah satu dari keduanya yang tegak lurus dengan  melalui titik  dan  memotong kurva kuartik ini dalam empat titik real; sehingga demikian bahwa mereka selalu bersarang, dengan setidaknya salah satu dari dua titik  dan  yang berisi di dalam dari keduanya. Untuk suatu parametrisasi yang berbeda dan yang menghasilkan kuartik, lihat Lawrence.

Penerapan dalam optik 
Ketika Descartes menemukan, oval Cartesius dapat diguankan dalam desain lensa. Dengan memilih rasio jarak dari  ke  untuk mencocokkan rasio sinus dalam hukum Snellius, dan menggunakan permukaan putar dari satu dari oval-oval ini, ini memungkinkan untuk mendesain apa yang disebut lensa aplanatik, bahwa tidak memiliki penyimpangan bola.

Sebagai tambahan, jika sebuah muka gelombang berbentuk bola membiaskan cahaya melalui sebuah lensa berbentuk bola, atau pemantulan dari sebuah permukaan bola cekung, muka gelombang yang dibiaskan atau dipantulkan mengambila pada bentuk sebuah oval Cartesius. Kaustiknya dibentuk oleh penyimpangan bola dalam kasus ini dapat sebab digambarkan sebagai evolut oval Cartesius.

Sejarah 
Oval Descartes pertama kali dipelajari oleh René Descartes pada tahun 1637, dalam hubungan dengan penerapan-penerapannya dalam optik.

Kurva-kurva ini juga dipelajari oleh Newton pada awalnya di tahun 1664. Satu metode gambaran oval Cartesius khusus tertentu, sudah digunakan oleh Descartes, sejalan dengan sebuah konstruksi standar elips dengan meregangkan benang. Jika satunya meregang sebuah benang dari sebuah peniti pada satu fokus membungkus di sekitar peniti pada sebuah fokus kedua, dan mengikat ujung bebasnya dari benang ke sebuah pena, jalannya diambil oleh pena, dimana benangnya diregang secara ketat, membentuk sebuah oval Cartesius dengan sebuah rasio 2:1 di antara jarak dari dua fokus. Namun, Newton menolak konstruksi-konstruksi tersebut karena tidak cukup teliti. Dia mendefinisikan oval sebagai penyelesaian untuk sebuah persamaan diferensial, dikonstruksi 

Matematiakwan Perancis Michel Chasles menemukan di abad ke-19 bahwa, jika sbeuah oval Cartesius didefinisikan oleh dua titik  dan , maka itu merupakan sebuah titik ketiga  secara umum pada garis yang sama sehingga oval yang sama juga didefinisikan oleh setiap pasangan ketiga titik ini.

James Clerk Maxwell menemukan kembali kurva-kurva ini, dirampatnya ke kurva yang didefinisikan dengan menetapkan konstanta jumlah berbobot berjarak dari tiga fokus atau lebih, dan menulis sebuah makalan berjudul Observations on Circumscribed Figures Having a Plurality of Foci, and Radii of Various Proportions. Sebuah akun hasinya, berjudul On the description of oval curves, and those having a plurality of foci, ditulis oleh J.D. Forbes dan dipresentasikan ke Royal Society dari Edinburgh pada tahun 1846, ketika Maxwell masih muda ketika umur 14 (hampir 15).

Lihat pula 

 Oval Cassini
 Dua koordinat bipolar pusat

Referensi

Pranala luar 

 
 Benjamin Williamson, An Elementary Treatise on the Differential Calculus, Containing the Theory of Plane Curves (1884)
Kurva aljabar