Arg max

Dalam matematika, argumen dari maksimum (arguments of the maxima, disingkat sebagai arg max atau argmax), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan maksimum global yang merujuk pada nilai keluaran terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai input (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.

Definisi 
Untuk sebarang himpunan , himpunan  dengan urutan total, dan sebuah fungsi , nilai  pada suatu subset  dari  didefinisikan sebagai 

Pada kasus  atau  jelas dari konteks pembicaraan, umumnya  tidak ditulis; sebagai contoh:Dalam kata lain,  merupakan himpunan titik  yang menyebabkan  menghasilkan nilai maksimum (jika nilainya ada).  dapat berupa himpunan kosong, singleton, atau himpunan berisi banyak elemen.

Pada bidang analisis konveks dan analisis variasi, definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika  adalah bilangan real yang diperluas (extended real numbers). Dalam kasus khusus ini, jika nilai  secara identik sama dengan  pada , maka  (dengan kata lain, ). Sedangkan pada kasus lainnya  didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai: Perlu ditekankan bahwa persamaan yang melibatkan  hanya berlaku ketika  tidak identik dengan  pada subset

Arg min 
Istilah  (atau ) yang merujuk pada argumen dari minimum, didefinisikan serupa seperti . Sebagai contoh,

 

adalah titik-(titik)  yang menyebabkan  menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari  Pada kasus khusus  merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai  identik dengan  pada  maka  (dengan kata lain, ). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai  tidak sama dengan ) ,  punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:

Contoh 
Sebagai contoh, jika  didefinisikan sebagai  maka  akan mencapai nilai maksimum  hanya pada titik  Dengan demikian,

 

Operator  berbeda dengan operator . Operator  ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan nilai maksimum dari fungsi tersebut, bukan himpunan titik yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,

  adalah elemen dari himpunan

Sifat 
Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:

 Jika  adalah sebuah konstanta, maka 
 Jika , maka 
 Jika , maka 
 Jika , maka 
 Jika fungsi  monotonik secara tegas, yakni  menyebabkan , terdapat hubungan 

Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan probabilitas. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan fungsi monotonik tegas . Dengan kata lain

Referensi

Pranala eksternal 

 

Matematika dasar