Teorema Schinzel

Dalam geometri bilangan, teorema Schinzel berbunyi bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif yang diketahui , terdapat sebuah lingkaran di dalam ruang Euklides yang melalui tepatnya  titik bilangan bulat. Teorema ini dibuktikan oleh dan dinamai dari Andrzej Schinzel.

Pembuktian 

Schinzel membuktikan teorema ini melalui konstruksi berikut. Jika  adalah bilangan genap, dengan , maka lingkaran tersebut melalui  titik menurut persamaan berikut:

Lingkaran ini memiliki jari-jari , dan pusatnya terletak di titik . Sebagai contoh, pada ilustrasi gambar menunjukkan sebuah lingkaran dengan jari-jari  yang melalui empat titik bilangan bulat.

Mengalikan kedua ruas persamaan Schinzel oleh empat, menghasilkan persamaan yang ekuivalen dalam bentuk bilangan bulat,

Ini menuliskan  sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dengan bilangan yang pertama adalah ganjil dan bilangan kedua adalah genap. Tepatnya, ada  cara untuk menulis  sebagai penjumlahan dari dua bilangan kuadrat, dan sebagiannya ditulis sesuai urutan (ganjil, genap) berdasarkan simetri. Sebagai contoh, , sehingga didapatkan  atau , dan  atau , yang menghasilkan empat titik seperti pada ilustrasi gambar.

Di sisi lain, jika  adalah ganjil, dengan , maka lingkaran tersebut, menurut persamaan, melalui tepatnya  titik:

Lingkaran ini memiliki jari-jari , dan pusatnya terletak pada titik .

References

Geometri bilangan
Teorema tentang lingkaran