Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga

Dalam geometri, lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan garis singgung dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah pusat segitiga disebut pusat lingkaran dalam segitiga.

Sebuah pusat lingkaran singgung luar dari segitiga merupakan sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, singgung dengan satu sisinya singgung dengan perluasan dari dua lainnya. Setiap segitiga memiliki tiga pusat lingkaran singgung luar yang berbeda, setiap garis singgung dengan salah satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat dari lingkaran dalam, disebut pusat lingkaran dalam, dapat ditemukan sebagai perpotongan dari tiga garis bagi dalam. Pusat lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam dari satu sudut (di verteks , sebagai contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat dari lingkaran singgung luar ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks , atau pusat lingkaran singgung luar . Karena garis bagi dalam dari sebuah sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama-sama dengan tiga pusat lingkaran singgung luarnya membentuk sebuah sistem ortosentrik.

Semua poligon beraturan memiliki garis singgung lingkaran dalam untuk semua sisi, tetapi tidak semua poligon; yang ada poligon singgung.

Lihat pula: Garis singgung dengan lingkaran

Lingkaran dalam dan pusat lingkaran dalam 
Andaikan  memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari  dan pusat . Misalkan  menjadi panjangnya ,  adalah panjang , dan  panjangnya . Juga misalkan , , dan  menjadi titik singgung dimana lingkaran dalam menyinggung , , dan .

Pusat lingkaran dalam 

Pusat lingkaran dalam merupakan titik dimana garis bagi dalam  bertemu.

Jarak dari verteks  ke pusat lingkaran dalam  adalah

Koordinat trilinear 
Korodinat trilinear untuk sebuah titik dalam segitiga merupakan nisbah dari semua jarak ke sisi-sisi segitiga. Karena pusat lingkaran dalam adalah jarak yang sama dari semua sisi-sisi dari segitiga, koordinat trilinear untuk pusat lingkaran dalam adalah

Koordinat barisentrik 
Koordinat barisentrik untuk sebuah titik dalam sebuah segitiga memberikan bobot sehingga titiknya adalah rerata berbobot dari posisi verteks segitiga. Koordinat barisentrik untuk pusat lingkaran dalam diberikan oleh

dimana , , dan  adalah panjang sisi-sisi dari segitiga, atau dengan setara (menggunakan hukum sinus) oleh

dimana , , dan  adalah sudut-sudut pada tiga verteksnya.

Koordinat Cartesius 
Koordinat Cartesius dari pusat lingkaran dalam adalah sebuah rerata berbobot dari koordinat dari tiga verteks menggunakan panjang sisi dari segitiga relatif terhadap keliling (yaitu, menggunakan koordinat barisentrik yang diberikan di atas, ternormalkan untuk menjumlahkan kesatuannya) sebagai bobot. Bobotnya positif sehingga pusat lingkaran dalam terletak di dalam segitiga ketika dinyatakan di atas. Jika ketiga verteksnya terletak di , , dan , dan sisi-sisinya berlawanan dengan verteks-verteks ini memiliki padanan panjang , , dan , maka pusat lingkaran dalamnya di

Jari-jari 
Jari-jari lingkaran dalam  dalam sebuah segitiga dengan sisi-sisi panjang , ,  diberikan oleh

..., dimana Lihat rumus Heron

Jarak ke verteks 
Melambangkan pusat lingkaran dalam  sebagai , jarak dari pusat lingkaran dalam ke verteks digabungkan dengan panjang dari sisi-sisi segitiga mematuhi persamaannya

Sebagai tambahan,

dimana  dan  masing-masing adalah radius lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Sifat-sifat lainnya 
Kumpulan pusat-pusat segitiga dapat diberikan struktur grup di bawah perkalian secara koordinat mengenai koordinat trilinear, dalam grup ini, pusat lingkaran dalam membentuk elemen identitas.

Lingkaran dalam dan sifat-sifat radiusnya

Jarak antara verteks dan titik singgung paling terdekat 
Jarak dari sebuah verteks ke dua titik singgung paling terdekat adalah sama; misalnya:

Sifat-sifat lainnya 
Andaikan titik-titik singgung dari lingkaran dalam membagi sisi-sisi menjadi panjang  dan ,  dan , serta  dan . Maka lingkaran dalam memiliki jari-jari

dan luas dari segitiganya adalah

Jika tingginya dari sisi-sisi panjang , , dan  adalah , , dan , maka jari-jari lingkaran dalam  adalah sepertiga dari purata harmonik tinggi ini; yaitu,

Darab dari jari-jari lingkaran dalam  dan jari-jari lingkaran luar  dari sebuah segitiga dengan sisi-sisi , , dan  adalah

Beberapa hubungan di sekitar sisi-sisi, jari-jari lingkaran dalam, dan jari-jari lingkaran luar adalah:

Setiap garis melalui sebuah segitiga yang kedua luas segitiga dan kelilingnya terbelah dua menuju ke pusat lingkaran segitiga (pusat lingkaran dalamnya). Terdapat baik satu, dua, atau tiga ini untuk suatu segitiga yang diberikan.

Melambangkan pusat dari lingkaran dalam  sebagai , kita mempunyai

dan

Jari-jari lingkaran dalam tidak lebih besar daripada sepersembilan jumlah dari tinggi.

Jarak kuadrat dari pusat  ke pusat lingkaran luar  diberikan oleh

dan jarak dari pusat lingkaran dalam dengan pusat  dari lingkaran sembilan adalah

Pusat lingkaran dalam terletak di segitiga tengah (yang verteks-verteksnya merupakan titik tengah dari sisinya).

Hubungan dengan luas dari segitiga 
Jari-jari dari lingkaran dalam berkaitan dengan luas dari segitiga. Nisbah dari luas lingkaran dalam dengan luas segitiga lebih kecil atau sama dengan , dengan persamaannya berlaku hanya untuk segitiga sama sisi.

Andaikan  memiliki sebuah lingkaran dalam dengan jari-jari  dan pusat . Misalkan  menjadi panjang ,  menjadi panjang , dan  menjadi panjang . Sekarang, lingkaran dalam singgung dengan  pada suatu titik , dan demikian  adalah siku-siku. Demikian,  memiliki alas dengan panjang  dan tinggi , dan jadi memiliki luas . Dengan cara yang serupa,  memiliki luas  dan  memiliki luas . Karena ketiga segitiga ini memisahkan , kita lihat bahwa luas  dari  adalah:

dan

dimana  adalah luas dari  dan  adalah semiperimeternya.

Untuk sebuah rumus yang alternatif, anggap . Ini adalah segitiga siku-siku dengan satu sisinya sama dengan  dan sisi lainnya sama dengan . Kesamaannya benar untuk . Segitiga yang besar dikomposisi enam segitiga dan luas totalnya adalah:

Segitiga dan titik Gergonne 

Segitiga Gergonne (dari ) didefinisikan oleh tiga titik singgung dari lingkaran dalam pada tiga sisi. Titik singgung berlawanan  dilambangkan , dll.

Segitiga Gergonne, , juga dikenal sebagai segitiga kontak atau segitiga singgung dalam dari . Luasnya adalah

dimana , , dan  adalah luasnya, jari-jari dari lingkaran dalam dari segitiga asalnya, dan , , serta  adalah panjang sisi dari segitiga asalnya. Ini adalah luas yang sama seperti yang dari segitiga singgung luar.

Tiga garis , , dan  memotong dalam sebuah titik tunggal disebut titik Gergonne, dilambangkan sebagai  (pusat segitiga ). Titik Gergonne terletak di cakram ortosentroidal terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.

Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah titik simedian dari segitiga Gergonne.

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh

Koordinat trilinear untuk titik Gergonne diberikan oleh

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus

Lingkaran singgung luar dan pusat lingkaran singgung luar 

Sebuah lingkaran singgung luar dari segitiga adalah sebuah lingkaran yang terletak di luar segitiga, bersinggung dengan satu sisinya dan singgung dengan perluasan dari keduanya. Setiap segitiga memiliki tiga lingkaran yang berbeda, setiap singgung ke satu dari sisi-sisi segitiga.

Pusat sebuah lingkaran singgung luar merupakan perpotongan dari garis bagi dalam satu sudut (di verteks , contohnya) dan garis bagi luar dari dua lainnya. Pusat lingkaran singgung ini disebut pusat lingkaran singgung luar relatif terhadap verteks dari , atau pusat lingkaran singgung luar dari . Karena garis bagi dalam sudut tegak lurus dengan garis bagi luarnya, ini mengikuti bahwa pusat dari lingkaran dalam bersama dengan tiga pusat lingkaran singgung luar membentuk sebuah sistem ortosentrik.

Koordinat trilinear pusat lingkaran singgung luar 
Saat pusat lingkaran dalam  memiliki koordinat trilinear , pusat lingkaran singgung luar memiliki trilinear , , dan .

Jari-jari pusat lingkaran singgung luar 
Jari-jari dari lingkaran singgung luar disebut jari-jari lingkaran singgung luar.

Jari-jari lingkaran singgung luar dari lingkaran singgung luar berlawanan  (jadi menyentuh , berpusat di ) adalah

..., dimana .

Lihat rumus Heron

Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar 

Misalkan lingkaran singgung di sisi  bersinggung di sisi  diperpanjang di , dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi  dan pusatnya mnejadi . Maka  merupakan sebuah tinggi dari , jadi  memiliki luas . Dengan menggunakan argumen yang serupa,  memiliki luas  dan  memiliki luas . Demikian luasnya  dari  adalah

 .

Jadi, oleh simetri, melambangkan  sebagai jari-jari lingkaran dalam,

 .

Oleh Hukum Kosinus, kita memiliki

 

Menggabungkan ini dengan identitas , kita memiliki

 

Tetapi , dan demikian

yang merupakan rumus Heron.

Menggabungkan ini dengan , kita memiliki

Dengan cara yang serupa,  memberikan

dan

Sifat-sifat lainnya 
Dari rumus di atas salah satunya dapat melihat bahwa lingkaran singgun luar selalu lebih besar dari lingkaran dalam dan bahwa lingkaran singgung paling terbesar merupaakan salah satu bersinggung dengan sisi terpanjang serta lingkaran singgung luar bersinggung dengan sisi terpendek. Lebih lanjut, menggabungkan rumus-rumus ini menghasilkan:

Sifat-sifat lingkaran singgung luar lainnya 
Lambung lingkar dari lingkaran singgung luar secara internal menyinggung dengan setiap dari lingkaran singgung luar dan dengan demikian merupakan sebuah lingkaran Apollonius. Jari-jari lingkaran Apollonius ini adalah  dimana  adalah jari-jari lingkaran dalam dan  adalah semiperimeter dari segitiga.

Hubungan berikut berlaku di antara jari-jari lingkaran dalam , jari-jari lingkaran luar , semiperimeter , dan jari-jari lingkaran singgung luar , , :

Lingkaran melalui pusat-pusat dari tiga lingkaran singgung luar memiliki jari-jari .

Jika  adalah titik tinggi dari , maka

Segitiga Nagel dan titik Nagel 

Segitiga Nagel atau segitiga singgung luar  dilambangkan oleh verteks-verteks , , dan  yang terdapat tiga titik dimana lingakran singgung luar menyinggung rujukan  dan dimana  adalah lawannya dari , dst.  ini juga dikenal sebagai segitiga singgung luar . Lingkaran luar dari singgung luar  disebut lingkaran Mandart.

Tiga garis , , dan  disebut pembagi dari segitiga, mereka membagi garis setiap keliling dari segitiga,

Pembaginya memotong dalam sebuah titik tunggal, titik Nagel segitiga  (atau pusat segitiga ).

Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung luar diberikan oleh

Koordinat trilinear untuk titik Nagel diberikan oleh

atau, dengan setara, oleh Hukum Sinus,

Titik Nagel merupakan sekawan isotomik dari titik Gergonne.

Konstruksi yang berkaitan

Lingkaran sembilan titik dan titik Feuerbach 

Dalam geometri, lingkaran sembilan titik merupakan sebuah lingkaran yang dapat dikonstruksikan untuk suatu segitiga yang diberikan. Ini dinamakan demikian  karena ini lewat melalui sembilan titik konsiklik bermakna didefinisikan dari segitiga. Sembilan titik ini adalah:

 Titik tengah setiap sisi dari segitiga
 Kaki dari setiap tinggi
 Titik tengah dari ruas garis dari setiap verteks-verteks segitiga ke titik tinggi (dimana tiga ketinggiannya bertemu; ruas garis ini terletak pada masing-masing ketinggiannya).

Pada tahun 1822, Karl Feuerbach menemukan bahwa setiap lingkaran sembilan titik segitiga secara eksternal bersinggungan dengan tiga lingkaran singgung luarnya dan secara internal bersinggung dengan lingkaran dalamnya; hasil ini diknel sebagia teorema Feuerbach. Dia membuktikan bahwa:

Pusat segitiga di mana singgung lingkaran dalam dan lingkaran sembilan disebut titik Feuerbach.

Segitiga pusat dalam dan pusat singgung luar 
Titik perpotongan dari garis bagi sudut dalam  dengan ruas , , dan  adalah verteks-verteks dari segitiga pusat dalam. Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga pusat dalam diberikan oleh 

Segitiga pusat singgung luar dari sebuah segitiga acuan memiliki verteks-verteks pada pusat dari lingkaran singgung luar segitiga acuan. Sisinya pada garis bagi sudut luar dari segitiga acuan (lihat gambar pada halaman di atas). Koordinat trilinear untuk verteks-verteks mengenai segitiga pusat singgung luar diberikan oleh

Persamaan untuk empat lingkaran 
Misalkan  menjadi sebuah titik peubah dalam koordinat trilinear, dan misalkan , , dan . Keempat lingkaran digambarkan di atas diberikan dengan setara oleh baik dari dua persamaan yang diberikan:

 Lingkaran dalam:

 Lingkaran singgung luar :

 Lingkaran singgung luar :

 Lingkaran singgung luar :

Teorema Euler 
Teorema Euler menyatakan bahwa dalam sebuah segitiga:

dimana  dan  adalah jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam masing-masing, dan  adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran dalam.

Untuk lingkaran singgung luar, persamaannya menyerupai:

dimana  merupakan jari-jari mengenai salah satu dari lingkaran singgung luar, dan  adalah jarak antara pusat lingkaran luar dan pusat lingkaran singgung luarnya.

Perampatan dengan poligon lainnya 
Beberapa (tapi tidak semua) segi empat memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut segi empat singgung. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut teorema Pitot.

Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah poligon singgung.

Lihat pula 

 
 – ;Lingkaran yang lewat melalui semua verteks-verteks poligon
 
  – Luas segitiga dari jarak sisi dan verteksnya untuk suatu garis singgung ke lingkaran dalamnya
  – Sebuah irisan runjunt yan lewat melalui verteks segiiga atau garis singgung ke sisinya
 
 
 
 
  – Sebuah pernyataan mengenai sifat-sifat lingkaran dalam dan lingkaran luar.

Catatan

Referensi

Pranala luar 

 Derivation of formula for radius of incircle of a triangle

Interaktif 

 Pusat lingkaran dalam segitiga   Lingkaran dalam segitiga  Lingkaran segi banyak beraturan   Dengan animasi interaktif
 Membangun sebuah pusat lingkaran dalam/lingkaran dalam segitiga dengan jangka dan sejajar
 Teorema Lingkaran Dalam Sama di Cut-the-Knot
 Lima Teorema Lingkaran Dalam di Cut-the-Knot
 Pasangan Lingkaran Dalam di sebuah Segi Empat di Cut-the-Knot
 An interactive Java applet for the incenter

Lingkaran terdefinisi untuk sebuah segitiga