Teorema Apollonius

Dalam geometri, teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga , jika  merupakan sebuah garis berat, maka

Teorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart. Untuk segitiga sama kaki dengan , garis berat  akan tegak lurus dengan , sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga  (atau segitiga ). Dari fakta bahwa diagonal-diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang.

Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.

Bukti 

Teorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus.

Misalkan segitiga memiliki sisi , dengan sebuah garis berat  digambar ke sisi . Misalkan  menjadi panjang dari segmen  yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar  adalah setengah dari . Misalkan pula sudut dibentuk di antara  dan  adalah  dan , dengan  menghadap ke sisi  dan  menghadap ke sisi . Sudut  adalah sudut penggenap dari , (yakni, ) sehingga . Hukum kosinus untuk  dan  menyatakan bahwa

Menggabungkan persamaan yang ke pertama dan yang ketiga akan menghasilkan

yakni teorema Apollonius itu sendiri.

Referensi

Pranala luar 

 
 David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. hlm. 27

Artikel yang berisi bukti
Geometri Euklides
Teorema mengenai segitiga