Matriks simetrik

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks didefinisikan matriks simetrik jika . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal  menyatakan elemen matriks  pada baris ke- dan kolom ke-. Matriks  simetrik jika dan hanya jika untuk setiap  berlaku .

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh 
Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran  :

Sifat

Sifat dasar
 Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

 Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks  dan , matriks  bersifat simetrik jika dan hanya jika  dan  saling komutatif, yakni, jika .

 Untuk bilangan bulat ,  matriks simetrik jika  matriks simetrik.

 Jika  ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika  simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring
Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal  menyatakan ruang matriks ukuran . Jika   adalah ruang matriks simetrik ukuran  dan  adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran , maka  dan ; yakni,

dengan  adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal . Matriks  dapat dinyatakan sebagai
.

Perhatikan bahwa  dan . Hal ini benar untuk semua matriks persegi  dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh   skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari  skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik 
Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika  adalah matriks simetrik, begitu pula matriks  untuk sebarang matriks .

Daftar pustaka

Pranala luar 

 
 A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
 How to implement a Symmetric Matrix in C++

Matriks