Analisis kompleks

Dalam matematika, analisis kompleks (), merupakan cabang analisis matematis yang membahas fungsi dari bilangan kompleks (yakni mengkaji tidak hanya satu bilangan, melainkan dua bilangan, yakni bilangan riil dan bilangan imajiner).

Analisis kompleks biasanya dikenal sebagai teori fungsi variabel kompleks atau teori fungsi peubah kompleks.

Konsep analisis kompleks 
Konsep analisis kompleks ini hampir mirip dengan konsep analisis real. Berikut ini merupakan konsep-konsep analisis kompleks, diantaranya

Bilangan kompleks 

Dalam matematika, khususnya analisis kompleks, bilangan kompleks merupakan himpunan bilangan yang terdiri dua himpunan bilangan, yakni bilangan riil dan imajiner. Mengenai definisi bilangan kompleks, kita misalkan  adalah bilangan kompleks, sehingga dapat didefinisikan

serta himpunannya didefinisikan sebagai

,

dimana  adalah bagian riil, dinotasikan  dan  adalah bagian imajiner, dinotasikan , atau  dan .

Fungsi elementer 
Pada konsep ini akan diperkenalkan fungsi elementer, yakni fungsi suku banyak, fungsi rasional, fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, fungsi logaritma (beserta inversnya), dan fungsi aljabar dan transenden.

Fungsi suku banyak 
Dalam analisis kompleks, fungsi suku banyak didefinisikan sebagai

dimana ,  adalah konstanta kompleks dan  adalah bilangan bulat positif yang dinamakan derajat suku polinom . Mengingat kembali, fungsi rasional adalah fungsi yang mana setiap pembilang dan penyebutnya berupa fungsi polinomial. Misalkan  dan  adalah fungsi polinomial dengan variabel kompleks sehingga

adalah fungsi rasional bilangan kompleks, dengan kasus khusus diperoleh

adalah suatu transformasi linear atau dinamakan transformasi bilinear.

Fungsi eksponensial 
Dalam cabang ini, eksponensial dapat memperluas deret kuasa fungsi eksponensial dari bilangan riil ke bilangan kompleks. Untuk suatu bilangan riil ,

Karena  dan  (lihat disini mengenai hubungan fungsi trigonometri dengan deret), maka

Hubungan fungsi eksponensial dengan bilangan kompleks ini dapat kita sebut sebagai rumus Euler.

Fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik beserta inversnya 
Mengenai fungsi trigonometri cukup kita turunan rumus Euler, sehingga didapati

 dan 

Sifat-sifat mengenai fungsi trigonometri dalam bilangan riil berlaku juga dalam bilangan kompleks. Karena fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik (beserta inversnya) berhubungan, maka berlaku juga dalam bilangan kompleks.

Fungsi logaritma 

Dalam konsep ini, fungsi ini berupa generalisasi logaritma alami terhadap bilangan kompleks bukan nol. Misalkan , dimana  dan persamaan ini ekuivalen dengan

.

Dengan substitusi, maka diperoleh

dimana .

Limit dan kekontinuan 
Suatu fungsi  terdefinisi atau mempunyai limit  untuk  mendekati  dituliskan sebagai

.

Definisi limit dapat kita agak-agihkan lebih lanjut menggunakan definsi limit (ε,δ).

Turunan 
Turunan dalam analisis kompleks mirip dengan turunan dalam analisis riil. Namun, karena halaman ini membahas tentang analisis kompleks, kita akan menganggap  adalah bilangan kompleks. Menurut definisi, jika diturunkan di , maka turunan  dirumuskan

 atau .

Integral 
Dalam analisis kompleks, integral mirip dengan analisis riil (termasuk juga dengan kalkulus), yakni cabang dari analisis matematis yang menyelidiki fungsi dari bilangan kompleks. Dengan memisalkan  adalah fungsi kompleks dengan variabel riil  dimana  sehingga  dan  kontinu di interval . Kita dapat menuliskannya sebagai

.
Integral dalam cabang ini dibagi menjadi:

 Integral lintasan, yaitu suatu integral yang didefinisikan dalam bentuk  sepanjang lintasan  dari  hingga ke . Ini dapat ditulis sebagai

 atau .

 Integral kontur, metode menghitung integral tertentu di sepanjang lintasan dalam bidang kompleks.
 Teorema integral Cauchy atau dikenal teorema Cauchy–Goursat adalah pernyataan penting tentang integral garis terhadap fungsi holomorfik dalam bidang kompleks. Teorema ini berbunyi

Residu 

Residu dalam analisis kompleks ialah bilangan kompleks yang sebanding dengan integral kontur dari fungsi meromorfik di sepanjang lintasan yang melintasi salah satu singularitasnya. Biasanya dilambangkan sebagai  atau . Misal  adalah fungsi yang analitik di titik , yang dapat diekspansi ke dalam deret Laurent yang berbentuk

.

Pada koefisien , terdapat pada suku deret Laurent yang berbentuk  dinamakan residu  pada . Ini ditulis dengan

.

Teorema residu Cauchy 

Teorema residu (kadangkala disebut teorema residu Cauchy) merupakan teorema yang cukup penting untuk menghitung integral garis fungsi analitik terhadap kurva tertutup dan kerap kala dipakai untuk menghitung integral riil dan deret takhingga juga. Diberikan  adalah lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, dengan eksepsi pada berhingga banyaknya titik  yang masing-masing merupakan singularitas terasing . Maka,

atau kita tuliskan sebagai
.

Pemetaan konformal 

Pemetaan konformal (terkadang disebut juga sebagai transformasi konformal atau pemetaan bihomorfik) merupakan suatu pemetaan yang mempertahankan besar dan arah sudut. Pemetaan ini juga didefinisikan sebagai suatu teknik dalam matematika (terutama analisis kompleks) yang digunakan untuk mentransformasikan suatu permasalahan matematika beserta penyelesaiannya ke bentuk lain.

Dengan meninjau diberikan suatu pemetaan, , beserta sebarang dua kurva ,  pada bidang  berpotongan pada titik  dipetakan berturut-turut sebagai kurva  dan  pada bidang  yang berpotongan di  antara kurva  dan , maka pemetaan  konformal pada .

Dimensi fraktal dalam bilangan kompleks 

Dimensi fraktal merupakan dimensi dengan rasio yang memberikan kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Namun, halaman ini membahas dimensi fraktal dalam bilangan kompleks, salah satu himpunan yang terkenal adalah himpunan Julia dan himpunan Mandelbrot.

Himpunan Julia 

Himpunan Julia, himpunan yang pertama kali diselidiki matematikawan Prancis, Gaston Julia, merupakan salah satu contoh himpunan fraktal yang didefinisikan pada bilangan kompleks dan dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks. Salah satu fungsi yang sederhana yang membangun himpunan Julia adalah

 .

Dalam dinamika kompleks, himpunan Julia sangat terkait erat dengan himpunan Mandelbrot.

Himpunan Mandelbrot 

Himpunan Mandelbrot, dinamai dari Benoît Mandelbrot (matematikawan berkebangsaan Prancis dan Amerika Serikat) merupakan kumpulan titik-titik  pada bidang kompleks yang dibangun dengan mengiterasikan fungsi  dengan nilai awal  bernilai .

Hubungan analisis kompleks dengan cabang lainnya 
Analisis kompleks berguna terhadap cabang matematika lainnya, diantaranya: geometri aljabar, hubungan dimana metode transendental ke geometri aljabar, bersama dengan lebih banyak aspek geometri analisis kompleks, yaitu geometri kompleks; teori bilangan, salah satunya hipotesis Riemann, berasal dari Masalah Milenium. Masalah ini diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik.; dan kombinatorik analitik, dimana cabang ini dapat diterapkan pada ekspansi binomial pada bilangan kompleks, seperti deret Taylor, deret Laurent, dan teorema binomial.

Namun, hubungan analisis kompleks masih berkaitan dengan cabang fisika, di antaranya: hidrodinamika atau dinamika fluida, dimana bilangan kompleks dapat diterapkan ke dalam kasus penghitungan potensial untuk aliran inkompresibel dimensi 2.; termodinamika, dimana hipotesis Riemann berhubungan dengan mekanika statistik, lihat gas Riemann bebas (en); dan mekanika kuantum, bilangan kompleks dapat diterapkan pada dualitas gelombang partikel, kontroversi kucing Schrödinger, studi kasus spin dan dadu, percobaan celah ganda (berupa contoh pedagogik), dan lain sebagainya.

Lihat pula 

 Analisis real atau analisis riil, cabang yang membahas analisis mengenai bilangan riil.
 Daftar topik analisis kompleks, meliputi topik yang berkenaan dengan analisis kompleks.

Referensi 

Analisis kompleks