Produk setengah langsung

Dalam matematika, khususnya dalam teori grup, konsep produk setengah langsung adalah generalisasi dari  produk langsung. Ada dua konsep yang terkait erat dari produk setengah langsung: 
 produk setengah langsung  dalam  adalah cara tertentu di mana  grup dapat terdiri dari dua subgrup, salah satunya adalah subgrup normal.
 produk setengah langsung  luar  adalah cara untuk membangun grup baru dari dua grup tertentu dengan menggunakan produk Kartesius sebagai himpunan dan operasi perkalian tertentu.
Seperti halnya produk langsung, terdapat persamaan alami antara produk semidirect bagian dalam dan luar, dan keduanya biasa disebut hanya sebagai "produk setengah langsung".

Untuk grup hingga, teorema Schur-Zassenhaus memberikan kondisi yang cukup untuk keberadaan dekomposisi sebagai produk semidirect (juga dikenal sebagai membelah ekstensi).

Definisi produk setengah langsung bagian dalam 

Diberikan grup  dengan elemen identitas , sebuah subgrup  , dan subgrup normal , pernyataan berikut ini setara:
  adalah  produk dari subgrup, , dan subgrup ini memiliki persimpangan yang sepele: .
 Untuk , pada  dan  sebagai .
 Untuk , pada  dan  sebagai .
 Komposisi  dari embedding natural  dengan proyeksi alami  adalah  isomorfisme antara  dan grup hasil bagi .
 Terdapat  homomorfisme  itu adalah identitas pada  dan yang  kernel adalah . Dengan kata lain, ada urutan yang tepat terpisah
 

 grup (yang juga dikenal sebagai ekstensi grup dari  by ).
 
Jika salah satu dari pernyataan ini berlaku (dan karenanya semuanya berlaku, dengan kesetaraannya), kami mengatakan  adalah produk setengah langsung dari  dan , ditulis

 atau  

atau bahwa   split  over ; satu juga mengatakan bahwa  adalah setengah langsung dari  yang bekerja pada , atau bahkan produk setengah langsung dari  dan . Untuk menghindari ambiguitas, disarankan untuk menentukan subgrup yang normal.

Hasilkali setengah langsung dalam dan luar 

Pertama-tama mari kita pertimbangkan produk semidirect bagian dalam. Dalam kasus ini, untuk grup , pertimbangkan subgrup normalnya  dan subgrup  (belum tentu normal). Asumsikan bahwa
kondisi pada daftar di atas tahan. Karena  menunjukkan grup dari semua automorfisme dari , yang merupakan grup dalam komposisi. Bangun homomorfisme grup  didefinisikan dengan konjugasi  untuk semua  di  dan  pada . Ekspresi  sering ditulis sebagai  untuk singkatnya. Dengan cara ini kita dapat membuat grup  dengan operasi grup didefinisikan sebagai  dari  pada  dan  in . Subkelompok  dan  menentukan isomorfisme  hingga, seperti yang akan kita tunjukkan nanti. Dengan cara ini, kita bisa membuat grup  dari subgrupnya. Konstruksi semacam ini disebut produk setengah langsung bagian dalam.

Sekarang mari kita pertimbangkan hasil kali setengah langsung luar. Diberikan dua grup apa saja  dan  dan satu kelompok homomorfisme , kita bisa membuat grup , disebut produk setengah langsung luar''' dari  dan  sehubungan dengan , defined as follows:

Mendefinisikan grup di mana elemen identitasnya adalah  dan kebalikan dari elemen  adalah .  membentuk subkelompok normal isomorfik menjadi , sementara  membentuk subkelompok isomorfik ke . Grup lengkap adalah produk setengah-langsung dari dua subgrup tersebut dalam pengertian yang diberikan sebelumnya.

Sebaliknya, misalkan kita diberi grup  dengan subgrup normal  dan subgrup , sedemikian rupa sehingga setiap elemen  dari  dapat ditulis secara unik dalam bentuk  di mana  terletak di  dan  ada di . Maka  jadilah homomorfisme (tertulis ) given by

untuk .

Maka  isomorfik pangkat semidirect . Isomorfisme  didefinisikan dengan baik
oleh  karena keunikan dekomposisi .

Di , kami punya

Jadi, untuk  dan  maka

yang membuktikan bahwa  adalah homomorfisme. Karena  jelas merupakan epimorfisme dan monomorfisme, maka itu memang merupakan isomorfisme. Ini juga menjelaskan definisi aturan perkalian di .

Produk langsung adalah kasus khusus dari produk semidirect. Untuk melihat ini, maka  menjadi homomorfisme yang sepele (yaitu, mengirim setiap elemen  ke automorfisme identitas ) lalu  adalah produk langsung .

Versi lemma pemisah untuk grup menyatakan bahwa grup  isomorfik untuk produk semidirect dari dua grup  dan  jika dan hanya jika terdapat  urutan tepat pendek

dan homomorfisme grup  seperti yang ,  peta identitas di . Pada kasus ini,  diberikan oleh , dimana

 Contoh 

 Grup dihedral 
Grup dihedral  dengan  elemen isomorfik ke produk semidirect dari grup siklik  dan . Di sini, elemen non-identitas  para  dengan elemen pembalik; ini adalah automorfisme karena  adalah  abelian.  presentasi untuk grup ini adalah:

 Grup siklik 
Secara lebih umum, produk semidirect dari dua grup siklik  dengan generator  dan  dengan generator  diberikan oleh satu relasi ekstra, , dengan  dan  coprime; yaitu presentasi:

Jika  dan  coprime,  adalah generator  dan , karenanya penyajiannya:

memberikan gruo isomorfik ke yang sebelumnya.

 Grup dasar dari lubang Klein 
Grup fundamental dari lubang Klein dapat disajikan dalam bentuk

dan oleh karena itu merupakan produk setengah langsung dari kelompok bilangan bulat, , dengan . Homomorfisme yang sesuai  diberikan oleh .

 Matriks segitiga atas 
Grup  dari atas matriks segitiga dengan bukan nol determinan, yaitu dengan entri bukan nol pada  diagonal, memiliki dekomposisi menjadi perkalian setengah langsung
 dimana
 adalah subkelompok matriks dengan hanya  pada diagonal, yang disebut kelompok  matriks satuan atas, dan  adalah subgrup dari matriks diagonal.
Grup aksi  pada  diinduksi oleh perkalian matriks. Jika kita mengatur

dan 

maka perkalian matriks adalah

Ini memberikan tindakan grup yang diinduksi 

Sebuah matriks dalam  dapat diwakili oleh matriks dalam  dan . Karenanya .

 Grup isometri pada bidang 
Grup Euklides dari semua gerakan kaku (isometri) dari pesawat (peta  sedemikian rupa sehingga jarak Euclidean antara  dan  sama dengan jarak antara  dan  untuk semua  dan  di ) isomorfik ke produk semidirect dari grup abelian  (yang menjelaskan terjemahan) dan grup  dari  ortogonal  matriks (yang mendeskripsikan rotasi dan refleksi yang menjaga asal tetap). Menerapkan terjemahan dan kemudian rotasi atau refleksi memiliki efek yang sama seperti menerapkan rotasi atau refleksi terlebih dahulu dan kemudian terjemahan oleh vektor terjemahan yang diputar atau dipantulkan (yaitu menerapkan  konjugasi dari terjemahan aslinya). Ini menunjukkan bahwa kelompok terjemahan adalah subkelompok normal dari grup Euklides, bahwa grup Euklides adalah produk setengah langsung dari kelompok terjemahan dan , dan bahwa homomorfisme yang sesuai  diberikan oleh perkalian matriks: .

 Grup ortogonal O(n) 
Grup ortogonal  dari semua ortogonal riil  matriks (secara intuitif himpunan dari semua rotasi dan refleksi dari  - ruang dimensi yang menjaga asal tetap) isomorfik ke produk semidirect grup  (terdiri dari semua matriks ortogonal dengan determinan , secara intuitif rotasi ruang dimensi ) dan . Jika kami mewakili  sebagai kelompok perkalian matriks , di mana  adalah refleksi dari  ruang dimensi yang menjaga asal tetap (yaitu, matriks ortogonal dengan determinan  mewakili  involusi), maka  diberikan oleh  untuk  H '' pafa  dan  in . Dalam kasus non-sepele ( bukanlah identitas) ini berarti bahwa  adalah operasi konjugasi oleh refleksi (dalam ruang 3 dimensi sumbu rotasi dan arah rotasi digantikan oleh "bayangan cermin" mereka).

Grup kristalografi 
Dalam kristalografi, kelompok ruang dari kristal terpecah sebagai hasilkali setengah langsung dari kelompok titik dan kelompok terjemahan jika dan hanya jika kelompok ruangnya adalah simorfis. Kelompok ruang non-simorfik memiliki kelompok titik yang bahkan tidak terdapat sebagai bagian dari kelompok ruang, yang bertanggung jawab untuk banyak komplikasi dalam analisis mereka.

Bukan contoh 
Ada banyak grup yang tidak dapat diekspresikan sebagai produk semi langsung dari grup namun berisi subgrup normal non-trivial. Tentu saja, setiap grup sederhana tidak dapat dinyatakan sebagai produk semi-langsung, tetapi ada beberapa contoh balasan yang umum juga. Perhatikan bahwa meskipun tidak setiap grup  dapat diekspresikan sebagai ekstensi terpisah dari  oleh , ternyata kelompok seperti itu dapat disematkan ke dalam produk karangan bunga  oleh teorema embedding universal.

Z4 
Grup siklik  bukan grup sederhana karena memiliki subgrup orde 2, yaitu  adalah subkelompok dan hasil bagi mereka adalah , jadi ada ekstensiIf the extension was split, then the group  inwould be isomorphic to .

Q8 
Grup dari delapan  angka empat  where  and , adalah contoh lain dari grup yang memiliki subkelompok non-sepele namun masih belum terpecah. Misalnya, subgrup yang dibuat oleh  bersifat isomorfik  dan normal. Ini juga memiliki subkelompok pesanan  yang dihasilkan oleh . Ini berarti  harus menjadi ekstensi terpisah yang tidak bisa terjadi. Hal ini dapat ditunjukkan dengan menghitung kelompok kohomologi kelompok pertama  dengan koefisien dalam , begitu  dan mencatat dua kelompok dalam ekstensi ini  dan grup dihedral . Tapi, karena tidak satu pun dari grup ini isomorfik dengan , grup quaternion tidak dipisahkan. Tidak adanya isomorfisme ini dapat diperiksa dengan mencatat ekstensi trivial adalah abelian sedangkan  adalah non-abelian, dan mencatat satu-satunya subgrup normal adalah  dan , tetapi  memiliki tiga subgrup isomorfik .

Notasi 

Biasanya produk semidirect dari grup  yang bekerja pada grup  (dalam banyak kasus dengan konjugasi sebagai subgrup dari grup yang sama) dilambangkan dengan  atau . Namun, beberapa sumber boleh menggunakan simbol ini dengan arti yang berlawanan. Dalam kasus tindakan  harus dibuat eksplisit, salah satunya juga menulis . Salah satu cara berpikir tentang  simbol adalah kombinasi dari simbol untuk subkelompok normal () dan simbol untuk hasil kali (). Barry Simon, dalam bukunya tentang teori representasi kelompok, menggunakan notasi yang tidak biasa  untuk produk semidirect.

Unicode mencantumkan empat varian:

{| class="wikitable"
!   !! Nilai !! MathML !! Deskripsi Unicode
|-
| ⋉ || U+22C9 || ltimes || PRODUK KIRI SEMIDIRECT FAKTOR NORMAL
|-
| ⋊ || U+22CA || rtimes || PRODUK KANAN SEMIDIRECT FAKTOR NORMAL
|-
| ⋋ || U+22CB || lthree || SEMIDIREK PRODUK KIRI
|-
| ⋌ || U+22CC || rthree || PRODUK SEMIDIRECT KANAN
|}

Di sini deskripsi Unicode dari simbol waktu mengatakan "faktor normal benar", berbeda dengan arti biasanya dalam praktik matematika.

Dalam LaTeX, perintah \rtimes dan \ltimes menghasilkan karakter yang sesuai.

Lihat pula 
 Aljabar Affine Lie
 Konstruksi Grothendieck, konstruksi kategoris yang menggeneralisasi produk semidirect
 Holomorph
  Lie aljabar semidirect sum
 Produk setengah sub
 Produk karangan bunga
 Produk Zappa–Szép

Catatan

Referensi 

 R. Brown, Topology and groupoids, Booksurge 2006. 

Teori grup