Aljabar atas medan

Dalam matematika, aljabar atas medan (disebut juga aljabar) adalah ruang vektor kelengkapan dengan bilinear hasil kali. Jadi, aljabar adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi perkalian dan penjumlahan dan perkalian skalar oleh elemen medan dan memenuhi aksioma yang diimplikasikan oleh "ruang vektor" dan "bilinear".

Operasi perkalian dalam aljabar atau mungkin asosiatif, mengarah ke gagasan aljabar asosiatif dan aljabar takasosiatif. Diberikan sebuah bilangan bulat n, gelanggang dari matriks persegi rii tingkat n adalah contoh aljabar asosiatif pada medan bilangan riil bawah penambahan matriks dan perkalian matriks karena perkalian matriks bersifat asosiatif. Ruang Euklides tiga dimensi dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar takasosiatif pada medan bilangan riil karena perkalian vektor takasosiatif, memenuhi identitas Jacobi sebagai gantinya.

Sebuah aljabar dikatakan unital atau uniter jika memiliki elemen identitas sehubungan dengan perkalian. Gelanggang matriks kuadrat riil urutan n dalam bentuk aljabar unital karena matriks identitas tingkat n adalah elemen identitas yang berkaitan dengan perkalian matriks. Ini adalah contoh aljabar asosiatif unital, (gelanggang unital) yang juga merupakan ruang vektor.

Banyak penulis menggunakan istilah aljabar yang berarti aljabar asosiatif, atau aljabar asosiatif unital, atau dalam beberapa mata pelajaran seperti geometri aljabar, aljabar komutatif asosiatif unital.

Mengganti medan skalar dengan gelanggang komutatif mengarah ke gagasan yang lebih umum tentang aljabar atas gelanggang. Aljabar tidak disamakan dengan ruang vektor kelengkapan dengan bentuk bilinear, seperti darab dalam, karena, untuk ruang seperti itu, hasil darab bukan dalam ruang, melainkan di medan koefisien.

Definisi dan motivasi

Contoh motivasi

Definisi 
Misalkan  sebagai medan, dan misalkan  sebagai ruang vektor atas  dilengkapi dengan operasi biner tambahan dari  sebagai , yang dilambangkan dengan  (yaitu jika  dan  adalah dua elemen ,  adalah darab atau hasil kali dari  dan ). Maka  adalah aljabar atas  jika identitas berikut berlaku untuk semua elemen , dan semua elemen (disebut juga skalar)  dandari:
 Distributif kanan: 
 Distributif kiri: 
 Kompatibilitas dengan skalar: .

Ketiga aksioma ini adalah cara lain untuk operasi biner adalah bilinear. Aljabar atas  terkadang disebut juga aljabar-, dan  disebut medan elementer dari . Operasi biner disebut sebagai perkalian dalam . Konvensi adopsi dalam artikel ini adalah bahwa perkalian elemen aljabar belum tentu asosiatif, meskipun beberapa penulis menggunakan istilah aljabar untuk merujuk pada aljabar asosiatif.

Ketika operasi biner pada ruang vektor komutatif, distribusi kiri dan distribusi kanan setara, dan, dalam hal ini, hanya satu distribusi yang memerlukan bukti. Secara umum, untuk operasi takkomutatif, distribusi kiri dan distribusi kanan taksetara, dan memerlukan bukti terpisah.

Konsep dasar

Homomorfisme aljabar 

Diberikan aljabar- atas  dan , sebuah aljabar-K homomorfisme adalah peta linear- pada  sehingga  untuk semua  di . Ruang semua homomorfisme aljabar- diantara  dan  ditulis sebagai
.
Aljabar isomorfisme- adalah bijektif homomorfisme aljabar-. Untuk semua tujuan praktis, aljabar isomorfik hanya berbeda dalam notasi.

Subaljabar dan ideal 

Sebuah subaljabar dari sebuah aljabar atas medan K adalah subruang linear yang memiliki sifat bahwa produk dari dua elemen pada subruang. Dengan kata lain, subaljabar dari suatu aljabar adalah himpunan bagian tak kosong dari elemen yang tertutup dalam penjumlahan, perkalian, dan perkalian skalar. Dalam simbol, apabila himpunan bagian L dari aljabar-K pada A adalah subaljabar jika untuk setiap x, y di L dan c di K, maka memiliki x · y, x + y, dan cx semua di L.

Dalam contoh bilangan kompleks atas yang dilihat sebagai aljabar dua dimensi atas bilangan riil, garis riil satu dimensi adalah subaljabar.

Sebuah ideal kiri dari aljabar-K adalah subruang linear yang memiliki sifat bahwa setiap elemen dari subruang dikalikan sebelah kiri oleh setiap elemen aljabar menghasilkan elemen subruang. Dalam simbol, apabila himpunan bagian L dari aljabar K pada A adalah ideal kiri jika untuk setiap x dan y di L' ', z di A dan c di K, maka memiliki tiga pernyataan berikut.
 x + y di L (L penutupan bawah penambahan),
 cx di L (L penutupan bawah perkalian skalar),
 z · x di L (L penutupan bawah perkalian kiri dengan elemen arbitrer).

Jika (3) diganti dengan x · z di L, maka ini akan menentukan ideal kanan. Sebuah ideal dua sisi adalah himpunan bagian yang merupakan ideal kiri dan kanan. Istilah "ideal" itu sendiri biasanya diartikan sebagai ideal dua sisi. Tentu saja ketika aljabar komutatif, maka semua gagasan ideal ini adalah setara. Perhatikan bahwa kondisi (1) dan (2) bersama setara dengan L sebagai subruang linear dari A. Ini mengikuti dari kondisi (3) bahwa setiap ideal kiri atau kanan adalah subaljabar.

Penting untuk diperhatikan bahwa definisi ini berbeda dengan definisi ideal gelanggang, disini kita memerlukan kondisi (2). Tentu saja jika aljabar itu unital, maka kondisi (3) mengimplikasikan kondisi (2).

 Ekstensi skalar 

Apabila jika memiliki perluasan medan , yaitu medan besar  digunakan , maka apabila cara alami untuk aljabar atas  dari aljabar atas . Ini adalah konstruksi yang sama yang digunakan untuk membuat ruang vektor atas medan besar, yaitu hasil kali tensor . Apabila jika A adalah aljabar atas , maka  adalah aljabar atas .

 Jenis aljabar dan contohnya 

Aljabar atas medan datang dalam berbagai jenis. Tipe-tipe ini ditentukan dengan menekankan pada beberapa aksioma lebih lanjut, seperti komutatifitas atau asosiatif dari operasi perkalian, yang tidak diperlukan dalam definisi luas aljabar. Teori-teori yang sesuai dengan berbagai jenis aljabar sering kali sangat berbeda.

 Aljabar unital 

Suatu aljabar adalah satuan atau uniter jika memiliki satuan atau elemen identitas  dengan untuk semua  dalam aljabar. Aljabar nol 

Sebuah aljabar disebut juga sebagai aljabar nol jika  untuk semua  dalam aljabar, jangan bingung dengan aljabar dengan satu elemen. Ini secara inheren takunital (kecuali dalam kasus hanya satu elemen), asosiatif dan komutatif.

Apabila didefinisikan aljabar nol unital dengan mengambil jumlah modul langsung dari suatu medan (atau lebih umum gelanggang)  dan ruang vektor- (atau modul) , dan mendefinisikan produk dari setiap pasangan elemen  sebagai nol. Artinya, jika  dan , maka . Jika  adalah basis dari , aljabar nol unital adalah hasil bagi dari gelanggang polinomial  oleh ideal yang dihasilkan oleh  untuk setiap pasangan .

Contoh aljabar nol unital adalah aljabar bilangan ganda, aljabar nol unital- yang dibangun dari ruang vektor riil satu dimensi.

Aljabar nol unital ini mungkin lebih berguna secara umum, karena memungkinkan untuk mentranslasikan sifat umum aljabar ke sifat ruang vektor atau modul. Sebagai contoh, teori basis Gröbner diperkenalkan oleh Bruno Buchberger untuk ideal dalam gelanggang polinomial  atas medan. Konstruksi aljabar nol satuan di atas modul  bebas memungkinkan perluasan teori ini sebagai teori dasar Gröbner untuk submodul modul bebas. Ekstensi ini memungkinkan, untuk menghitung basis Gröbner dari submodul, untuk menggunakan, tanpa ada modifikasi, algoritma, dan perangkat lunak untuk menghitung basis ideal Gröbner.

 Aljabar asosiatif 

Contoh aljabar asosiatif, sebagai berikut:
 aljabar semua -oleh- matriks atas medan (atau gelanggang komutatif) . Ini perkalian biasa yaitu perkalian matriks.
 aljabar grup, dimana grup sebagai basis dari ruang vektor dan perkalian aljabar untuk memperluas perkalian grup.
 aljabar komutatif  dari semua polinomial atas  (lihat gelanggang polinomial).
 aljabar fungsi, sebagai aljabar  dari semua fungsi kontinu nilai riil yang didefinisikan pada interval , atau aljabar-C dari semua fungsi holomorfik yang didefinisikan pada beberapa himpunan terbuka tetap dalam medan kompleks. Ini juga disebut komutatif.
 aljabar insiden dibangun atas himpunan terurut sebagian tertentu.
 aljabar operator linear, misalnya pada ruang Hilbert. Ini perkalian aljabar diberikan oleh komposisi dari operator. Aljabar ini juga memuat topologi; yang didefinisikan pada ruang Banach, dengan mengubahkannya sebagai Aljabar Banach. Involusi yang diberikan oleh aljabar-B* dan aljabar-C*. Ini dipelajari dalam analisis fungsional.

 Aljabar takasosiatif 

Sebuah aljabar takasosiatif (atau aljabar distributif) pada medan  adalah ruang vektor- dengan  dilengkapi dengan peta bilinear- oleh . Penggunaan "takasosiatif" ini dimaksudkan untuk menyampaikan bahwa asosiatif tidak diasumsikan, tetapi bukan berarti dilarang. Artinya, itu berarti "belum tentu asosiatif".

Contoh rinci dalam artikel utama, sebagai berikut:
 Ruang Eullides  dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor
 Oktonion
 Aljabar Lie
 Aljabar Jordan
 Aljabar alternatif
 Aljabar fleksibel
 Aljabar asosiatif pangkat

 Aljabar dan gelanggang 
Definisi asosiatif aljabar- dengan unital yang diberikan dengan cara alternatif. Dalam hal ini, aljabar atas medan  adalah gelanggang  bersama dengan homomorfisme gelanggang

dimana  adalah pusat dari . Karena  adalah homomorfisme gelanggang, apabila jika memiliki salah satu dari  adalah gelanggang nol, atau bahwa  adalah injektif. Definisi ini dengan setara definisi diatas, dengan perkalian skalar

diberikan oleh
.
Diberikan dua unital asosiatif seperti aljabar- pada  dan , sebuah homomorfisme aljabar- dari  adalah homomorfisme gelanggang dengan perkalian skalar yang didefinisikan oleh , apabila ditulis sebagai

untuk  dan . Dengan kata lain, diagram berikut ini adalah:

 Koefisien struktur 

Untuk aljabar atas medan, perkalian bilinear dari  ke  adalah apabila perkalian basis oleh elemen . Sebaliknya, setelah basis untuk  dipilih dari semua produk elemen basis dapat secara sembarang, dan kemudian diperluas dengan unik ke operator bilinear pada , yaitu, perkalian yang memenuhi hasil hukum aljabar.

Jadi, dalam medan , setiap aljabar dimensi-hingga apabila ditentukan hingga isomorfisme dengan memberikan dimensi (maka ), dan menentukan  koefisien struktur , yang merupakan skalar. Koefisien struktur ini menentukan perkalian dalam  melalui kaidah berikut:
 
dimana  sebagai bentuk dasar dari .

Namun perlu diperhatikan bahwa beberapa himpunan koefisien struktur berbeda yang ditimbulkan aljabar isomorfik.

Dalam fisika matematika, koefisien struktur umumnya ditulis dengan indeks atas dan bawah, untuk membedakan sifat transformasi bawah transformasi koordinat. Secara khusus, indeks yang lebih rendah adalah indeks kovarian, dan diubah melalui menarik kembali, sedangkan indeks atas adalah kontravarian, yang berubah bawah dorong depan. Jadi, koefisien struktur ditulis juga sebagai , dan kaidah pendefinisiannya ditulis menggunakan notasi Einstein sebagai
 .
Jika Anda menerapkan ini pada vektor yang ditulis dalam notasi indeks, maka akan menjadi
 .

Jika K hanyalah gelanggang komutatif dan bukan medan, maka proses yang sama akan bekerja jika  adalah modul bebas atas . Jika bukan, maka perkalian masih sepenuhnya ditentukan oleh tindakan pada himpunan yang mencakup ; Namun, konstanta struktur tidak dapat ditentukan secara sembarang dalam kasus ini, dan hanya mengetahui konstanta struktur yang bukan menentukan aljabar hingga isomorfisme.

 Klasifikasi aljabar asosiatif unital berdimensi rendah atas bilangan kompleks 

Aljabar asosiatif unital dua dimensi, tiga dimensi dan empat dimensi atas medan bilangan kompleks sepenuhnya diklasifikasikan hingga isomorfisme oleh Eduard Study.

Ada dua aljabar dua dimensi. Setiap aljabar terdiri dari kombinasi linear (dengan koefisien kompleks) dari dua elemen basis, 1 (elemen identitas) dan . Menurut definisi elemen identitas,

Maka dari itu, tetap untuk menentukan
   untuk aljabar pertama,
   untuk aljabar kedua.

Ada lima aljabar tiga dimensi. Setiap aljabar terdiri dari kombinasi linear dari tiga elemen basis, 1 (elemen identitas),  dan . Dengan mempertimbangkan definisi elemen identitas, tentu itu sudah cukup untuk menentukan
   untuk aljabar pertama,
   untuk aljabar kedua,
   untuk aljabar ketiga,
   untuk aljabar keempat,
   untuk aljabar kelima.
Aljabar keempat adalah takkomutatif, dan yang lainnya adalah komutatif.

 Generalisasi 

Dalam beberapa bidang matematika, seperti aljabar komutatif, adalah umum untuk mempertimbangkan konsep yang lebih umum dari aljabar atas gelanggang, dimana gelanggang unital komutatif- menggantikan medan-. Satu-satunya bagian dari definisi yang berubah adalah bahwa A diasumsikan sebagai modul- (bukan ruang vektor atas ).

 Aljabar asosiatif di atas gelanggang 

Sebuah gelanggang A merupakan aljabar asosiatif atas pusat, dan atas bilangan bulat. Contoh klasik dari aljabar atas pusatn, adalah membagi-bikuaternion aljabar, yang isomorfik untuk , produk langsung dari dua aljabar kuaternion. Pusat gelanggang ini adalah , dan karena memiliki struktur aljabar atas pusat, yang bukan medan. Perhatikan bahwa aljabar biquaternion split juga secara alami merupakan aljabar-.

Dalam aljabar komutatif, jika A adalah gelanggang komutatif, maka setiap homomorfisme gelanggang unital  didefinisikan struktur modul  pada , dan inilah yang dikenal sebagai struktur aljabar . Jadi sebuah gelanggang dengan struktur modul  alami, karena homomorfisme tunggal . Di sisi lain, tidak semua gelanggang diberikan struktur aljabar atas medan (misalnya bilangan bulat). Lihat Medan dengan satu elemen'' untuk deskripsi upaya untuk memberikan setiap gelanggang struktur yang dijelaskan seperti aljabar atas medan.

Lihat pula 

 Aljabar atas operad
 Aljabar alternatif
 Aljabar Clifford
 Aljabar diferensial
 Aljabar bebas
 Aljabar geometris
 Aljabar maks-plus 
 Mutasi (aljabar)
 Aljabar operator
 Lemma Zariski

Catatan

Referensi