Persamaan integral

Dalam matematika, Persamaan integral adalah persamaan di mana fungsi yang tidak diketahui muncul di bawah tanda integral.

Ada hubungan erat antara diferensial dan persamaan integral, dan beberapa masalah dapat dirumuskan dengan cara apa pun. Lihat, misalnya, Fungsi Green, teori Fredholm, dan Persamaan Maxwell.

Ikhtisar 
Jenis paling dasar dari persamaan integral disebut  persamaan Fredholm dari jenis pertama ,

Notasinya mengikuti Arfken. Di sini  adalah fungsi yang tidak diketahui,  adalah fungsi yang diketahui,
dan  adalah fungsi lain yang diketahui dari dua variabel, sering disebut fungsi kernel. Perhatikan bahwa batas integrasi tidak berubah: inilah yang menjadi ciri persamaan Fredholm.

Jika fungsi yang tidak diketahui terjadi baik di dalam maupun di luar integral, persamaan tersebut dikenal sebagai  persamaan Fredholm jenis kedua ,

Parameter  adalah faktor yang tidak diketahui, yang memainkan peran yang sama dengan nilai eigen di aljabar linear.

Jika salah satu batas integrasi adalah sebuah variabel, persamaan tersebut disebut Persamaan Volterra. Berikut ini disebut  Persamaan Volterra jenis pertama dan kedua ,

Dalam semua hal di atas, jika diketahui fungsinya  identik dengan nol, persamaan tersebut disebut  persamaan integral homogen . Jika  bukan nol, ini disebut  persamaan integral tak homogen .

Solusi numerik 
Perlu dicatat bahwa persamaan integral sering kali tidak memiliki solusi analitik, dan harus diselesaikan secara numerik. Contohnya adalah mengevaluasi Persamaan Integral Medan Listrik (EFIE) atau Persamaan Integral Medan-Magnet (MFIE) pada objek berbentuk arbitrer dalam hamburan elektromagnetik

Salah satu metode untuk menyelesaikan secara numerik membutuhkan variabel diskritisasi dan mengganti integral dengan aturan kuadrat

Kemudian kita memiliki sistem dengan persamaan  dan variabel . Dengan menyelesaikannya kita mendapatkan nilai variabel

Klasifikasi 
Persamaan integral diklasifikasikan menurut tiga dikotomi berbeda, menghasilkan delapan jenis berbeda:

Batasan integrasi
 keduanya tetap: persamaan Fredholm
 satu variabel: Persamaan Volterra
 Penempatan fungsi yang tidak diketahui
 hanya di dalam integral: jenis pertama
baik di dalam maupun di luar integral: jenis kedua
 Sifat fungsi yang diketahui 
 identik dengan nol: homogen
 tidak identik nol: tidak homogen

Persamaan integral penting dalam banyak aplikasi. Masalah di mana persamaan integral ditemui termasuk transfer radiasi, dan osilasi dari string, membran, atau poros. Masalah osilasi juga dapat diselesaikan sebagai persamaan diferensial.

Baik persamaan Fredholm dan Volterra adalah persamaan integral linier, karena perilaku linier  di bawah integral. Persamaan integral Volterra nonlinier memiliki bentuk umum:

di mana  adalah fungsi yang diketahui.

Persamaan integral Wiener – Hopf 

Awalnya, persamaan tersebut dipelajari sehubungan dengan masalah dalam transfer radiasi, dan baru-baru ini, mereka telah dikaitkan dengan penyelesaian persamaan integral batas untuk masalah planar di mana batas tersebut hanya mulus sebagian.

Solusi deret pangkat untuk persamaan integral 
Dalam banyak kasus, jika Kernel dari persamaan integral berbentuk  dan transformasi Mellin dari , kita dapat menemukan solusi dari persamaan integral

dalam bentuk deret pangkat

where

adalah  - transformasi fungsinya , dan  adalah transformasi Mellin dari Kernel.

Aplikasi 

Ilmu aktuaria (teori kehancuran)
Elektromagnetik komputasi
 Metode elemen batas
 Masalah terbalik
 persamaan Marchenko (inverse scattering transform)
 Penetapan harga opsi di bawah jump-difusi 
Transfer radiasi
 Viskoelastisitas

Lihat pula 
 Persamaan diferensial
 Persamaan diferensial integro
 Teori kehancuran
 Persamaan integral Volterra

Referensi

Bacaan lebih lanjut 

  Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
  George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
 Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
  Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. .
 E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
  M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971

Pranala luar 
 Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 
Integral Equations (MIT OpenCourseWare)