Gelanggang monoid

Dalam aljabar abstrak, gelanggang monoid adalah gelanggang yang dibangun dari sebuah gelanggang dan monoid, sama seperti grup gelanggang dibangun dari sebuah cincin dan grup.

Definisi 
Maka  R  menjadi cincin dan biarkan  G  menjadi monoid. Gelanggang monoid atau aljabar monoid dari  G  di atas  R , dilambangkan dengan  R [ G ] atau  RG  , adalah himpunan jumlah formal ,
dimana  untuk  dan rg = 0 untuk semua kecuali banyak  g , dilengkapi dengan penjumlahan berdasarkan koefisien, dan perkalian di mana elemen  R  berpindah dengan elemen  G .  Lebih formal,  R [ G ] adalah himpunan fungsi  pada } terbatas, dilengkapi dengan penambahan fungsi, dan dengan perkalian yang ditentukan oleh
.
Jika  G  adalah group, maka  R [ G ] juga disebut grup gelanggang dari  G  lebih dari R.

Sifat universal 
Diberikan  R  dan  G , ada gelanggang homomorfisme  mengirim setiap r ke r1 (di mana 1 adalah elemen identitas  G ),
dan homomorfisme monoid  (di mana yang terakhir dipandang sebagai monoid dalam perkalian) mengirim setiap  g  ke 1g  (di mana 1 adalah identitas perkalian R).
Kami memiliki α ( r ) bolak-balik dengan β( g ) untuk semua  r  di  R  dan  g  pada  G .

Sifat universal dari gelanggang monoid menyatakan bahwa gelanggang  S , dari sebuah gelanggang homomorfisme , dan homomorfisme monoid  ke monoid perkalian dari  S ,
sedemikian rupa sehingga α'(r) dengan β'( g ) untuk semua  r  di  R  dan  g  di  G , ada homomorfisme cincin yang unik  Sehingga penyusunan α dan β dengan γ menghasilkan α 'dan β'.

Augmentasi 

Augmentasi adalah homomorfisme gelanggang  pada definisikan oleh 
 

kernel dari  η  disebut augmentasi ideal.  Ini adalah bebas  R  modul dengan basis yang terdiri dari 1 -  g  untuk semua  g  pada  G  tidak sama dengan 1.

Contoh 

Diberikan cincin  R  dan monoid (aditif) dari bilangan asli s N (atau {xn} dilihat secara multiplikasi), kami mendapatkan gelanggang R[{xn}] =: R[x] dari polinomial di atas  R .
Monoid Nn (dengan tambahan) memberikan gelanggang polinomial dengan variabel  n : R[Nn] =: R[X1, ..., Xn].

Generalisasi 
Jika  G  adalah semigrup, konstruksi yang sama menghasilkan gelanggang semigroup R[G].

Lihat pula 
 Aljabar bebas
 Deret Puiseux

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
R.Gilmer. Commutative semigroup rings . University of Chicago Press, Chicago–London, 1984

Teori gelanggang