Polinomial Bernstein–Sato

Dalam matematika, polinomial Benstein–Sato adalah polinomial yang berkaitan dengan operator diferensial. Polinomial ini diperkenalkan oleh  dan , . Polinomial ini juga dikenal sebagai fungsi-b, polinomial-b dan polinomial Bernstein, walaupun tidak terkait dengan polinomial Bernstein yang digunakan dalam teorema aproksimasi. Polinomial ini dapat diterapkan pada teori singularitas, teori monodromi, dan teori medan kuantum.

Definisi dan sifat-sifatnya

Definisi 
Definisi dari polinomial Benstein–Sato mengatakan bahwa jika  adalah polinomial di setiap variabel, maka ada polinomial taknol  dan ada operator diferensial  dengan koefisien polinomial sehingga

Sifat-sifat 
Polinomial Bernstein-Sato adalah polinomial monik dengan derajat terkecil diantara setiap polinomial . Keberadaannya dapat diperlihatkan dengan menggunakan gagasan holonomik modul-D.

Penerapan 

 Jika  adalah polinomial bukan negatif maka , maka definisi pada awalnya untuk  dengan bagian bilangan real taknegatif, dapat dilanjutkan secara analitis menjadi fungsi nilai distribusi meromorfik dari  dengan menggunakan persamaan fungsional berkali-kali.

Fungsi ini dapat mempunyai kutub setiap kali  bernilai nol untuk  bilangan bulat taknegatif.
 Jika  adalah polinomial namun tidak identik bernilai nol, maka ia memiliki invers , yaitu distribusi; dengan kata lain, darab  merupakan distribusi. Jika  adalah taknegatif, maka inversnya dapat dibangun dengan menggunakan polinomial Benstein–Sato dengan mengambil bentuk nilai konstanta dari perluasan Laurent dari  di . Untuk sebarang , cukup ambil  yang dikalikan dengan invers dari .
 Teorema Malgrange–Ehrenpreis mengatakan bahwa setiap operator diferensial dengan koefisien konstanta mempunyai fungsi Green. Dengan menggunakan transformasi Fourier, maka dapat dikatakan bahwa setiap polinomial memiliki inverse distribusional.
 Polinomial ini dipakai oleh Pavel Etingof, yang ia perlihatkan untuk mendefinisikan regularisasi dimensi dengan cermat, dalam kasus mengenai dimensi Euklides yang besar.
 Persamaan fungsional Bernstein–Sato digunakan dalam perhitungan dari beberapa jenis yang lebih kompleks pada integral tunggal. Biasanya ini terjadi dalam teori medan kuantum. Perhitungan tersebut dibutuhkan untuk mengukur nilai-nilai yang teliti dalam partikel fisika dasar, seperti yang dipraktikkan pada, sebagai contoh, CERN (lihat kutipan pada makalah ). Namun, kasus yang paling menarik memerlukan perumuman yang sederhana pada persamaan fungsional Bernstein–Sato ke perkalian dari dua polinomial, , dengan  memiliki komponen skalar dari 2 hingga 6, dan pasangan dari polinomial memiliki urutan 2 dan 3. Sayangnya, penentuan Brute Force pada korespondensi operator diferensial  dan  untuk setiap kasus, terbukti sangat tidak praktis. Memikirkan cara untuk jalan pintas ledakan kombinatorial dari algoritma Brute Force akan sangat bernilai dalam penerapan tersebut,

Catatan

Referensi 

 
 

 
  (Princeton, NJ, 1996/1997)
 
 
 
 
 
 

Polinomial
Operator diferensial