Grup titik

Dalam geometri, grup titik adalah grup geometris simetri (isometri) yang menjaga setidaknya satu titik tetap. Kelompok titik dapat ada dalam ruang Euklides dengan dimensi apa pun, dan setiap kelompok titik dalam dimensi  d  adalah subkelompok dari grup ortogonal O(d). Kelompok titik dapat direalisasikan sebagai himpunan matriks ortogonal  M  yang mengubah titik  x  menjadi titik  y :

 y = Mx

dimana asal adalah titik tetap. Elemen kelompok titik dapat berupa rotasi (determinan dari M = 1) atau yang lain refleksi, atau rotasi tidak tepat (determinan dari  M  = −1).

Kelompok titik diskrit di lebih dari satu dimensi datang dalam keluarga tak berhingga, tetapi dari teorema pembatasan kristalografi dan salah satu teorema Bieberbach. setiap jumlah dimensi hanya memiliki jumlah terbatas dari kelompok titik yang simetris di beberapa kisi atau kisi dengan nomor itu. Ini adalah grup titik kristalografi.

Grup titik kiral dan akiral, grup refleksi 
Kelompok titik dapat diklasifikasikan ke dalam kelompok  kiral  (atau rotasi murni) dan kelompok  akiral .
Gugus kiral adalah subgrup dari  grup ortogonal khusus SO( d ): grup ini hanya berisi transformasi ortogonal yang mempertahankan orientasi, yaitu, determinan +1. Gugus akiral juga mengandung transformasi determinan −1. Dalam gugus akiral, transformasi yang mempertahankan orientasi membentuk subgrup (kiral) dari indeks 2.

Grup Coxeter Hingga atau  kelompok refleksi  adalah kelompok titik yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pantul yang melewati titik yang sama. Grup peringkat  n  Coxeter memiliki mirror  n  dan diwakili oleh diagram Coxeter-Dynkin. Notasi Coxeter menawarkan notasi tanda kurung yang setara dengan diagram Coxeter, dengan simbol markup untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya. Kelompok refleksi harus akiral (kecuali untuk grup trivial yang hanya mengandung elemen identitas).

Daftar grup titik

Satu dimensi 
Hanya ada dua grup titik satu dimensi, yaitu grup identitas dan kelompok refleksi.

Dua dimensi 
Grup titik dalam dua dimensi, terkadang disebut grup roset.

Mereka datang dalam dua keluarga yang tidak terbatas:
 Grup siklik Cn of n  - grup rotasi lipat
 Grup dihedral Dn of n-kelompok rotasi dan refleksi lipat
Menerapkan teorema pembatasan kristalografi membatasi  n  ke nilai 1, 2, 3, 4, dan 6 untuk kedua famili, menghasilkan 10 kelompok.

Himpunan bagian dari grup titik pantulan murni, yang ditentukan oleh 1 atau 2 mirror, juga dapat diberikan oleh grup Coxeter dan poligon terkait. Ini termasuk 5 kelompok kristalografi. Simetri kelompok pantulan dapat digandakan dengan isomorphism, memetakan kedua cermin satu sama lain dengan cermin membagi dua, menggandakan simetri.

Tiga dimensi 

Grup titik dalam tiga dimensi, kadang disebut grup titik molekul setelah digunakan secara luas dalam mempelajari kesimetrian molekul kecil.

Mereka datang dalam 7 kelompok tak terbatas dari kelompok aksial atau prismatik, dan 7 kelompok polihedral atau Platonis tambahan. Dalam Notasi Schönflies, *
 Grup aksial: Cn,  S2n, Cnh,  Cnv, Dn, Dnd, Dnh
 Grup polihedral: T, Td, Th, O, Oh, I, Ih
Menerapkan teorema pembatasan kristalografi ke grup ini menghasilkan 32 grup titik kristalografi.

Grup refleksi 

Kelompok titik refleksi, ditentukan oleh 1 sampai 3 bidang cermin, juga dapat diberikan oleh grup Coxeter dan polihedra terkait. Grup [3,3] dapat digandakan, ditulis sebagai , memetakan cermin pertama dan terakhir satu sama lain, menggandakan simetri menjadi 48, dan isomorfik ke grup [4,3].

Four dimensions 

The  four-dimensional point groups (chiral as well as achiral) are listed in Conway and Smith, Section 4, Tables 4.1-4.3.

The following list gives the four-dimensional reflection groups (excluding those that leave a subspace fixed and that are therefore lower-dimensional reflection groups). Each group is specified as a Coxeter group, and like the polyhedral groups of 3D, it can be named by its related convex regular 4-polytope. Related pure rotational groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3]+ has three 3-fold gyration points and symmetry order 60. Front-back symmetric groups like [3,3,3] and [3,4,3] can be doubled, shown as double brackets in Coxeter's notation, for example  with its order doubled to 240.

Five dimensions 

The following table gives the five-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as Coxeter groups. Related chiral groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3,3]+ has four 3-fold gyration points and symmetry order 360.

Six dimensions 

The following table gives the six-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as Coxeter groups. Related pure rotational groups exist for each with half the order, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3]+ has five 3-fold gyration points and symmetry order 2520.

Seven dimensions 
The following table gives the seven-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as Coxeter groups. Related chiral groups exist for each with half the order, defined by an even number of reflections, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3,3]+ has six 3-fold gyration points and symmetry order 20160.

Eight dimensions 
The following table gives the eight-dimensional reflection groups (excluding those that are lower-dimensional reflection groups), by listing them as Coxeter groups. Related chiral groups exist for each with half the order, defined by an even number of reflections, and can be represented by the bracket Coxeter notation with a '+' exponent, for example [3,3,3,3,3,3,3]+ has seven 3-fold gyration points and symmetry order 181440.

Lihat pula 
 Grup titik dalam dua dimensi
 Grup titik dalam tiga dimensi
 Gruo titik dalam empat dimensi
 Kristalografi
 Grup titik kristalografi
 Simetri molekul
 Grup luar angkasa
 Difraksi sinar-X
 Kisi Bravais
 Spektroskopi inframerah dari logam karbonil

Referensi 

 H. S. M. Coxeter: Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,   
 (Paper 23) H. S. M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
 H. S. M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
 N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Chapter 11: Finite symmetry groups

Pranala luar 
Web-based point group tutorial  (needs Java and Flash)
Subgroup enumeration  (needs Java)
 The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions) 
 The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) 

Kristalografi
Kesimetrian Euklidean
Teori grup