Medan hingga

Dalam matematika, medan berhingga (disebut juga medan Galois dari matematikawan Evariste Galois) adalah medan yang berisi elemen berjumlah berhingga. Seperti medan lainnya, medan berhingga adalah himpunan yang memiliki operasi pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang didefinisikan dan memenuhi aturan tertentu. Contoh umum medan berhingga adalah bilangan bulat mod  dengan  adalah bilangan prima.

Medan berhingga adalah dasar dalam beberapa bidang matematika dan ilmu komputer, termasuk teori bilangan, geometri aljabar, teori Galois, geometri berhingga, kriptografi, dan teori kode.

Sifat-sifat 
Medan berhingga adalah himpunan berhingga yang termasuk medan, yakni bahwa pertambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian (kecuali pembagian dengan nol) terdefinisi dan memenuhi aturan tertentu yang dikenal sebagai aksioma medan.

Jumlah elemen dalam medan berhingga disebut derajat atau ukuran. Medan berhingga berderajat  ada jika dan hanya jika derajat  adalah perpangkatan prima  dengan  adalah bilangan prima dan  adalah bilangan bulat positif. Dalam bidang berderajat , penambahan elemen apa pun sebanyak  akan menghasilkan nol, yaitu karakteristik medan itu ialah .

Bila , semua medan berderajat  isomorfik. Terlebih lagi, suatu medan tidak dapat memiliki dua submedan berhingga dengan derajat yang sama. Semua medan dengan derajat yang sama dapat dituliskan sebagai , , atau  dengan GF singkatan dari Galois field (medan Galois).

Contoh medan berhingga paling sederhana adalah medan berderajat prima: untuk setiap bilangan prima , medan prima berderajat  yang disimbolkan dengan , , , atau  dapat disusun dari bilangan bulat modulus .

Referensi

Daftar pustaka