Segitiga sama kaki

Dalam geometri, segitiga sama kaki () adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama panjangnya. Segitiga ini terkadang dinyatakan memiliki tepat dua sisi yang sama panjang. Segitiga ini juga terkadang dinyatakan setidaknya mempunyai dua sisi yang sama panjang, dan pernyataan ini meliputi segitiga sama sisi sebagai kasus istimewa. Contoh-contoh segitiga sama kaki di antaranya segitiga siku-siku sama kaki, segitiga emas, serta muka yang terdapat di bipiramida dan bangun ruang Catalan.

Kajian matematika tentang segitiga sama kaki berawal dari matematika Mesir kuno dan matematika Babilonia. Segitiga sama kaki bahkan dipakai sebagai hiasan pada masa sebelumnya. Segitiga ini sering ditemukan dalam arsitektur dan desain, seperti pedimen dan atap pelana bangunan.

Segitiga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang yang disebut kaki, sementara sisi ketiganya disebut alas segitiga. Dimensi segitiga lain seperti tinggi, luas, dan keliling, dapat dihitung dengan rumus sederhana menggunakan panjang kaki dan alas segitiga. Setiap segitiga sama kaki memiliki sumbu simetri di sepanjang garis bagi yang tegak lurus dari alasnya. Dua sudut yang berhadapan dengan kaki segitiga adalah sama dan selalu lancip, sehingga penggolongan segitiga berupa segitiga lancip, siku-siku, atau tumpul, hanya bergantung pada sudut yang diapit oleh dua kaki segitiga.

Penggolongan dan sudut segitiga
Euklides mendefinisikan segitiga sama kaki sebagai segitiga yang tepat memiliki dua sisi yang sama panjang, sedangkan penjelasan modern lebih mendefinisikan segitiga sama kaki sebagai segitiga yang setidaknya memiliki dua sisi yang sama panjang. Perbedaan dari kedua definisi tersebut adalah bahwa definisi dari versi modern meliputi segitiga sama sisi (dengan panjang dari ketiga sisinya sama) sebagai kasus istimewa dari segitiga sama kaki. Segitiga yang bukan sama kaki (dengan panjang dari ketiga sisinya tidak sama) disebut segitiga sembarang.

Dalam segitiga sama kaki yang memiliki tepat dua sisi yang sama, sisi yang sama disebut kaki dan sisi ketiga disebut alas. Sudut yang diapit oleh kedua sisi disebut sudut puncak (vertex angle), sedangkan sudut yang diapit oleh alas segitiga dan salah satu sisi lainnya disebut sudut alas (base angle). Titik yang berhadapan dengan alas segitiga disebut titik puncak segitiga. Dalam kasus segitiga sama sisi, karena semua sisi segitiga adalah sama, maka sebarang sisi dapat dikatakan sebagai alas.

Penggolongan segitiga sama kaki dapat menjadi lancip, siku-siku, ataupun tumpul hanya tergantung sudut puncaknya. Dalam geometri Euklides, sudut alas segitiga tidak tumpul (lebih besar dari 90°) atau siku-siku (sama dengan 90°) karena sudutnya sama dengan jumlah sudut dalam dari sebarang segitiga, yaitu 180°. Karena segitiga merupakan segitiga tumpul atau siku-siku jika dan hanya jika salah satu sudutnya tumpul atau siku-siku, maka segitiga sama kaki dapat berupa segitiga tumpul, siku-siku, atau lancip jika dan hanya jika sudut puncaknya adalah tumpul, siku-siku, atau lancip. Penggolongan segitiga sama kaki dan bangun datar umumnya dipakai Edwin Abbott dalam novel Flatland sebagai sindiran tentang hierarki sosial, contohnya segitiga sama kaki yang menyatakan kelas pekerja, dengan segitiga lancip sama kaki menyatakan tingkat yang lebih tinggi daripada segitiga sama kaki siku-siku ataupun tumpul.

Selain segitiga siku-siku sama kaki, ada beberapa bangun segitiga sama kaki spesifik lainnya juga dikaji. Segitiga tersebut di antaranya segitiga Calabi (segitiga yang memiliki tiga persegi dalam yang kongruen), segitiga emas dan gnomon emas (dua segitiga sama kaki yang perbandingan antara panjang sisi dengan alasnya bernilai rasio emas), segitiga dengan sudut 80-80-20 ditemukan dalam teka-teki Langley's Adventitious Angles, dan segitiga dengan sudut 30-30-120 ditemukan dalam pengubinan segitiga triakis. Masing-masing kelima bangun ruang Catalan, yaitu tetrahedron triakis, oktahedron triakis, heksahedron triakis, dodekahedron pentakis, dan ikosahedron triakis, mempunyai muka berbentuk segitiga sama kaki; sama halnya dengan tak berhingga banyaknya limas dan bipiramida.

Rumus

Garis tinggi segitiga sama kaki
Untuk sebarang segitiga sama kaki, keenam ruas garis berikut berimpitan dengan:
garis tinggi, ruas garis dari titik puncak segitiga yang tegak lurus ke alas segitiga;
garis bagi sudut, ruas garis dari puncak ke alas segitiga;
garis berat, ruas garis dari puncak ke titik tengah alas segitiga;
garis bagi dua tegak lurus dari alas dalam segitiga;
ruas garis dalam segitiga dari sumbu simetri segitiga; dan
ruas garis dalam segitiga dari garis Euler segitiga, kecuali ketika segitiga sama sisi.
Secara umum, panjang dari keenam ruas garis tersebut merupakan garis tinggi segitiga . Jika segitiga mempunyai panjang sisi  yang sama dan panjang alas , panjang dari ruas garis tersebut dapat dirumuskan menjadi

Rumus ini juga dapat diperoleh dari teorema Pythagoras, dengan menggambarkan garis tinggi segitiga yang membagi alas menjadi dua, serta membagi segitiga sama kaki menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen.

Garis Euler merupakan garis pada sebarang segitiga yang melalui titik tinggi segitiga (perpotongan dari tiga garis tinggi segitiga), sentroid segitiga (perpotongan dari ketiga garis berat segitiga), dan pusat lingkaran luar segitiga (perpotongan dari garis bagi tegak lurus dengan tiga sisi segitiga, yang juga merupakan pusat lingkaran luar yang melalui tiga buah titik puncak). Dalam segitiga sama kaki dengan tepat memiliki dua sisi yang sama, ketiga titik tersebut berbeda, dan (berdasarkan simetri) semua titik terletak pada simetri sumbu segitiga. Dengan demikian, garis Euler berimpitan dengan sumbu simetri. Pusat dalam segitiga juga terletak pada garis Euler, tetapi ini tidak berlaku benar untuk segitiga sama lainnya. Jika ada dua sudut pembagi sebarang, garis berat, atau garis tinggi berimpitan dengan segitiga tersebut, maka segitiga tersebut sama kaki.

Luas segitiga sama kaki
Luas segitiga sama kaki  dapat diperoleh dari rumus garis tingginya dan rumus luas segitiga yang umum, yaitu setengah dari hasil kali alas dan tinggi segitiga:

Rumus yang sama pula didapatkan dari rumus Heron, luas segitiga yang dihitung dengan menggunakan ketiga sisinya. Akan tetapi, menerapkan rumus Heron secara langsung dapat menyebabkan ketidakstabilan secara numerik untuk segitiga sama kaki dengan sudut yang sangat lancip, karena semiperimeter dan panjang sisi yang saling berdekatan dalam segitiga tersebut.

Jika sudut puncak  dan panjang kaki  dari segitiga sama kaki diketahui, maka luas segitiga sama denganRumus di atas merupakan kasus istimewa dari rumus umum luas segitiga, yaitu setengah dari hasil kali antara dua sisi dengan fungsi sinus dari sudut yang diapit.

Keliling segitiga sama kaki
Keliilng segitiga sama kaki  dengan sisi  dan alas segitiga  dirumuskan denganLuas  dan keliling  pada sebarang segitiga berkaitan dengan pertidaksamaan isoperimetrik

Pertidaksamaan ini merupakan pertidaksamaan sempurna (strict inequality) untuk segitiga sama kaki dengan sisi yang tidak sama dengan alasnya, dan menjadi suatu persamaan untuk segitiga sama sisi. Luas, keliling, dan alasnya juga berkaitan satu sama lain melalui persamaan berikut.

Jika alas dan kelilingnya konstan, maka rumus ini menentukan luas dari segitiga sama kaki yang dihasilkan, yang merupakan nilai maksimum yang mungkin di antara semua segitiga dengan alas dan keliling yang sama. Di sisi lain, jika luas dan kelilingnya konstan, maka rumus ini dapat dipakai untuk memperoleh kembali panjang alas, tetapi tidak dilakukan secara khusus karena umumnya ada dua segitiga berbeda yang dinyatakan sebagai luas  dan keliling . Ketika pertidaksamaan isoperimetrik menjadi persamaan, maka hanya ada satu buah segitiga sama sisi.

Panjang garis bagi sudut
Jika dua sudut yang sama mempunyai panjang  dan sisi lainnya mempunyai panjang , maka garis bagi sudut dalam  dari salah satu dari dua titik puncak yang bersudutkan siku-siku memenuhi pertidaksamaandan juga memenuhi

Sebaliknya, jika syarat pertidaksamaan di atas berlaku, maka segitiga sama kaki yang terparameterisasi oleh  dan  ada.

Teorema Steiner–Lehmus mengatakan bahwa setiap segitiga dengan dua garis bagi sudut dengan panjang yang sama adalah sama kaki. Teorema ini dirumuskan oleh C. L. Lehmus pada tahun 1840. Jakob Steiner, nama lain dari teorema tersebut, adalah salah satu matematikawan yang pertama kali menyediakan solusi dari teorema tersebut. Walaupun pada awalnya dirumuskan hanya untuk garis bagi dalam, teorema tersebut bekerja untuk banyak (tapi tidak semua) kasus ketika dua garis bagi sudut luar adalah sama panjang. Segitiga sama kaki 30-30-120 membuat kasus batas untuk variasi teorema ini, karena segitiga tersebut mempunyai empat garis bagi sudut yang sama (dua garis bagi sudut dalam, dan dua garis bagi sudut luar).

Jari-jari

Rumus jari-jari dalam dan jari-jari luar untuk segitiga sama kaki dapat diperoleh dari rumus jari-jari dalam dan jari-jari luar untuk sebarang segitiga. Jari-jari lingkaran dalam dari segitiga sama kaki dengan panjang sisi , alas , dan tinggi  sama dengan

Pusat lingkaran terletak pada sumbu simetri segitiga. Segitiga sama kaki mempunyai lingkaran dalam terbesar di antara segitiga lainnya dengan alas dan sudut puncak yang sama. Segitiga sama kaki juga mempunyai luas dan keliling di antara kelas segitiga yang sama.

Jari-jari lingkaran luar sama dengan:

Persegi dalam
Untuk sebarang segitiga sama kaki, terdapat satu buah persegi dengan sisinya kolinear (segaris) dengan alas segitiga, dan dengan dua buah titik pojok persegi yang berhadapan dengan sisi segitiga. Segitiga Calabi merupakan segitiga sama kaki istimewa yang memiliki sifat bahwa dua buah persegi dalam lainnya, dengan sisinya kolinear dengan sisi segitiga, mempunyai ukuran yang sama dengan alas persegi. Hero dari Iskandariyah menyediakan teorema yang lebih lama. Teorema tersebut mengatakan bahwa untuk sebarang segitiga sama kaki dengan alas  dan tinggi , maka panjang sisi dari persegi dalam pada alas segitiga sama dengan

Pembagian pisah sebarang bangun menjadi segitiga sama kaki

Untuk sebarang bilangan bulat , maka sebarang segitiga dapat dibagi menjadi  segitiga sama kaki. Dalam segitiga siku-siku, garis berat dari hipotenusa (yaitu, ruas garis dari titik tengah suatu hipotenusa ke titik sudut yang berupa siku-siku) membagi segitiga siku-siku menjadi dua segitiga sama kaki. Hal ini dikarenakan titik tengah suatu hipotenusa merupakan pusat lingkaran luar dari segitiga siku-siku, dan masing-masing dari dua segitiga yang dibuat melalui pembagian mempunyai dua jari-jari yang sama sebagai dua sisi segitiga. Mirip dengan cara sebelumnya, segitiga lancip dapat dibagi menjadi tiga segitiga sama kaki melalui ruas garis dari pusat lingkaran luarnya, tetapi metode ini tidak dapat dilakukan untuk segitiga tumpul, karena pusat lingkaran luarnya terletak di luar segitiga.

Dengan memperumum pembagian suatu segitiga lancip, sebarang poligon siklik yang mempunyai pusat lingkaran luar di dalamnya dapat dibagi menjadi segitiga sama kaki dengan jari-jari dari lingkaran tersebut melalui titik sudutnya. Lebih-lebih, semua jari-jari lingkaran yang mempunyai panjang yang sama menyiratkan bahwa semua segitiga di dalamnya adalah sama kaki. Pembagian bangun tersebut dapat dipakai untuk mendapatkan rumus luas poligon sebagai suatu fungsi dari panjang sisinya, bahkan dapat dipakai untuk poligon siklik yang tidak mempunyai pusat lingkaran luar di dalamnya. Rumus tersebut merupakan perumuman dari rumus Heron untuk segitiga dan rumus Brahmagupta untuk segi empat siklik.

Sisi diagonal belah ketupat membaginya menjadi dua segitiga sama kaki yang kongruen. Mirip dengan cara yang serupa, salah satu dari dua sisi diagonal layang-layang membaginya menjadi dua segitiga sama kaki, tetapi sayangnya tidak kongruen kecuali ketika bentuknya berupa belah ketupat.

Penerapan

Dalam arsitektur dan desain

Segitiga sama kaki sering ditemukan di dalam arsitektur seperti atap pelana dan pedimen. Segitiga tumpul sama kaki dipakai dalam arsitektur Yunani kuno beserta tiruan sebelumnya, tetapi diganti dengan segitiga lancip sama kaki dalam arsitektur Gotik.

Adapun bentuk segitiga sama kaki lainnya dalam arsitektur pada masa Abad Pertengahan, yaitu segitiga sama kaki Mesir. Segitiga tersebut memiliki sudut tumpul, tetapi menyerupai segitiga sama sisi, dan tingginya sebanding dengan 5/8 dari alasnya. Segitiga sama kaki Mesir telah dibawa kembali ke penggunaannya dalam arsitektur modern oleh Hendrik Petrus Berlage, seorang arsitek asal Belanda.

Struktur tiang penopang Warren biasanya disusun berupa segitiga sama kaki, walaupun terkadang terdapat tiang vertikal yang juga dipakai sebagai penopang struktur tersebut. Permukaan yang berpolakan segitiga sama kaki tumpul dapat dipakai untuk membentuk struktur deployable. Struktur tersebut mempunyai dua keadaan stabil: permukaan pada struktur dengan keadaan yang tidak dilipat diperpanjang menjadi tiang yang berbentuk tabung, dan struktur dengan keadaan lipat yang melipatnya menjadi bentuk prisma yang lebih kompak sehingga dapat diangkut dengan mudah. Pola pengubinan yang sama membentuk alas tekukan Yoshimura (Yoshimura buckling), suatu pola yang dibentuk ketika permukaan tabung ditekan secara aksial. Pola tersebut juga membentuk lentera Schwarz, suatu contoh yang dipakai dalam matematika untuk memperlihatkan bahwa luas dari permukaan mulus tidak selalu dapat diaproksimasi dengan akurat oleh polihedron yang konvergen menuju permukaannya.

Dalam desain grafis dan seni dekoratif, segitiga sama kaki seringkali dipakai dalam budaya di seluruh dunia. Pemakaian tersebut setidaknya berawal dari masa awal Neolitikum hingga ke zaman modern. Segitiga sama kaki biasanya menggambarkan elemen desain dalam bendera dan heraldik. Contohnya seperti bendera Guyana dengan alasnya yang vertikal, atau alasnya yang horizontal seperti bendera Saint Lucia, yang menggambarkan pulau gunung.

Segitiga sama kaki juga mempunyai kegunaan dalam agama ataupun hal-hal mistik, seperti meditasi Sri Yantra dalam agama Hindu.

Dalam cabang selain matematika
Jika persamaan kubik dengan koefisien real mempunyai tiga akar penyelesaian yang bukan bilangan real, maka ketiga akar-akar tersebut digambarkan dalam bidang kompleks sebagai diagram Argand, dan membentuk titik puncak segitiga sama kaki yang sumbu simetrinya berimpitan dengan sumbu (real) horizontal. Hal ini dikarenakan akar kompleks merupakan konjugat kompleks sehingga akar kompleks simetri terhadap sumbu real.

Di dalam mekanika benda langit, masalah tiga benda telah dikaji dalam kasus istimewa. Ketiga benda tersebut membentuk suatu segitiga sama kaki, karena dengan mengasumsi bahwa benda-benda disusun sedemikian rupa akan mengurangi jumlah derajat kebebasan dari sistem tanpa mereduksinya ke kasus titik Lagrangian terselesaikan ketika benda-benda tersebut membentuk segitiga sama sisi. Contoh pertama terkait masalah tiga benda yang diperlihatkan mempunyai alunan tak terbatas dapat ditemukan di dalam masalah tiga benda sama kaki.

Sejarah dan kekeliruan
Praktisi matematika asal Mesir kuno dan Babilonia sudah mengetahui bagaimana cara menghitung luas dari segitiga sama kaki, jauh sebelum matematikawan Yunani kuno mempelajari segitiga sama kaki. Masalah-masalah tentang jenis ini tercatat di dalam Papirus Matematika Moskow dan Papirus Matematika Rhind.

Teorema yang mengatakan bahwa sudut alas suatu segitiga sama kaki terdapat di Euclid, Proposisi I.5, dan hasil dari teorema itu disebut pons asinorum (berarti jembatan keledai) atau teorema segitiga sama kaki. Penjelasan yang mirip dengan namanya memuat sebuah teori, yang dikarenakan Euklides menggunakan diagram dalam hasil buktinya menyerupai sebuah jembatan, atau dikarenakan hasil pertama miliknya yang sangat sulit. Oleh sebab itu, hasil tersebut dipisahkan kepada orang yang memahami geometri Euklides dan kepada orang yang tidak memahaminya.

Ada sebuah bukti kekeliruan terkenal yang mengatakan bahwa semua segitiga adalah sama kaki. Robin Wilson mengaitkan argumen tersebut dengan Lewis Carroll, yang menerbitkannya pada tahun 1899, tetapi W. W. Rouse Ball menerbitkannya pada tahun 1892 dan kemudian menuliskan bahwa Carroll memperoleh argumen darinya. Kekeliruan tersebut terjadi ketika Eukildes gagal memahami konsep "keantaraan" (betweenness) sehingga mengakibatkan kedwiartian dari kata di dalam dan di luar bangun.

Catatan

Rujukan

. See in particular p. 111.

.

Pranala luar

Jenis segitiga