Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Dalam aljabar abstrak, grup abelian  disebut dihasilkan hingga jika terdapat banyak elemen hingga x1, ..., xs para  G  sedemikian rupa sehingga setiap  x  dan  G  bisa ditulis dalam bentuk
x = n1x1 + n2x2 + ... + nsxs
dengan bilangan bulat
n1, ..., ns. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa himpunan  adalah  himpunan pembangkit  dari  G  atau itu x1, ..., xs menghasilkan G.

Setiap grup abelian hingga dihasilkan secara tak terbatas. Grup abelian yang dihasilkan secara terbatas dapat diklasifikasikan sepenuhnya.

Contoh 
 Bilangan bulat, , adalah grup abelian yang dihasilkan tanpa batas.
 Bilangan bulat modulo , , adalah gruo abelian yang terbatas (maka dihasilkan secara terbatas).
 Setiap jumlah langsung dari banyak grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi grup abelian yang dihasilkan tak terbatas.
 Setiap kisi membentuk grup abelian bebas yang dihasilkan tanpa batas.

Tidak ada contoh lain (hingga isomorfisme). Secara khusus, grup  dari bilangan rasional tidak dihasilkan secara terbatas: jika  adalah bilangan rasional, pilih bilangan asli  coprime untuk semua penyebut; maka  tidak dapat disebu . The group  bilangan rasional bukan nol juga tidak dihasilkan secara terbatas. Kelompok bilangan real di bawah penambahan  dan bilangan riil bukan nol dalam perkalian  juga tidak dihasilkan secara terbatas.

Klasifikasi 
Teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga dapat dinyatakan dengan dua cara, menggeneralisasi dua bentuk teorema fundamental grup abelian  hingga . Teorema, dalam kedua bentuk, pada gilirannya menggeneralisasi ke teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga melalui domain ideal utama, yang pada gilirannya mengakui generalisasi lebih lanjut.

Dekomposisi primer 
Formulasi dekomposisi primer menyatakan bahwa setiap grup abelian  G  yang dihasilkan tak terbatas isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik prima dan grup siklik tak terbatas. Grup siklik primer adalah grup yang urutan adalah pangkat dari prima. Artinya, setiap grup abelian yang dihasilkan tak terbatas bersifat isomorfik ke grup bentuk

di mana  n  ≥ 0 adalah  peringkat , dan angka q1, ..., qt adalah kekuatan dari bilangan prima (tidak harus berbeda). Secara khusus,  G  terbatas jika dan hanya jika  n  = 0. Nilai  n , q1, ..., qt adalah (hingga menyusun ulang indeks) secara unik ditentukan oleh  G , yaitu, hanya ada satu dan satu cara untuk merepresentasikan  G  sebagai dekomposisi semacam itu.

Dekomposisi faktor invarian 
Kita juga dapat menulis grup abelian  G  yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung dari formulir

di mana  k   1  membagi k2, yang membagi k3 dan seterusnya sampai ku.  Sekali lagi, peringkat  n  dan  faktor invarian  k1, ..., ku ditentukan secara unik oleh  G  (di sini dengan urutan unik). Pangkat dan urutan faktor invarian menentukan kelompok hingga isomorfisme.

Kesetaraan 
Pernyataan ini setara sebagai hasil dari Teorema sisa bahasa Cina, yang menyiratkan bahwa  if and only if j and k are coprime.

Sejarah 
Sejarah dan penghargaan untuk teorema fundamental diperumit oleh fakta bahwa itu terbukti ketika teori grup tidak mapan, dan dengan demikian bentuk awal, sementara pada dasarnya hasil dan bukti modern, sering dinyatakan untuk kasus tertentu. Singkatnya, bentuk awal dari kasus hingga terbukti di , kasus yang terbatas telah dibuktikan , dan dinyatakan dalam istilah teori-grup oleh . Kasus  disajikan  diselesaikan dengan bentuk normal Smith, dan karenanya sering dikreditkan ke , meskipun kasus  dihasilkan  yang tidak terbatas terkadang malah dikreditkan oleh ; detail ikuti.

Teori grup László Fuchs menyatakan:

Teorema fundamental untuk kelompok abelian  terbatas  dibuktikan oleh Leopold Kronecker oleh , menggunakan bukti teori-grup, though without stating it in group-theoretic terms; presentasi modern dari bukti Kronecker diberikan , 5.2.2 Teorema Kronecker, 176–177. Ini menggeneralisasikan hasil sebelumnya dari Carl Friedrich Gauss dari  Disquisitiones Arithmeticae  (1801), yang mengklasifikasikan bentuk kuadrat; Kronecker mengutip hasil dari Gauss. Teorema tersebut dinyatakan dan dibuktikan dalam bahasa kelompok oleh Ferdinand Georg Frobenius dan Ludwig Stickelberger pada tahun 1878. Formulasi teori-kelompok lain diberikan oleh murid Kronecker Eugen Netto pada tahun 1882.

Teorema fundamental untuk  disajikan secara terbatas  grup abelian dibuktikan oleh Henry John Stephen Smith oleh , sebagai matriks integer sesuai dengan presentasi terbatas dari kelompok abelian (ini menggeneralisasi untuk modul yang disajikan secara halus di atas domain ideal utama), dan Bentuk normal Smith sesuai dengan klasifikasi grup abelian yang disajikan secara terbatas.

Teorema fundamental untuk kelompok abelian  yang dihasilkan secara terbatas  dibuktikan oleh Henri Poincaré oleh , menggunakan bukti matriks (yang menggeneralisasi domain ideal utama). Ini dilakukan dalam konteks komputasi
homologi dari sebuah kompleks, khususnya Bilangan Betti dan koefisien torsi dari dimensi kompleks, di mana bilangan Betti sesuai dengan peringkat bagian bebas.

Bukti Kronecker digeneralisasikan menjadi grup abelian yang  dihasilkan secara halus  oleh Emmy Noether pada .

Korelasi 
Dinyatakan secara berbeda, teorema fundamental mengatakan bahwa grup abelian yang dihasilkan secara terbatas adalah jumlah langsung dari grup abelian gratis dari peringkat dan grup abelian hingga, masing-masing unik hingga isomorfisme. Grup abelian terbatas hanyalah subgrup torsi dari  G . Pangkat  G  didefinisikan sebagai pangkat bagian bebas torsi dari  G ; ini hanyalah angka  n  pada rumus di atas.

Sebuah korelasi pada teorema fundamental adalah bahwa setiap grup abelian bebas torsi adalah abelian bebas. Kondisi yang dihasilkan tak terbatas sangat penting di sini:  bebas torsi tetapi bukan abelian gratis.

Setiap subgrup dan grup faktor dari grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi dihasilkan abelian tak terhingga. Grup abelian yang dihasilkan tak terbatas, bersama dengan homomorfisme grup, membentuk kategori abelian yang merupakan Serre subkategori dari kategori grup abelian.

Grup abelian yang dibuat tidak terbatas 
Perhatikan bahwa tidak setiap grup abelian dengan peringkat terbatas dihasilkan secara terbatas; kelompok peringkat 1  adalah salah satu contoh berlawanan, dan grup peringkat-0 diberikan oleh jumlah langsung terhitung tak terhingga banyak salinan dari  adalah satu sama lain.

Lihat pula 
 Teorema Jordan–Hölder adalah generalisasi non-abelian

Catatan

Referensi 

  Reprinted (pp. 367–409) in The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Vol. I, edited by J. W. L. Glaisher. Oxford: Clarendon Press (1894), xcv+603 pp.
 
 

Teori grup Abelian
Struktur aljabar