Kernel (aljabar linear)

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, kernel dari sebuah peta linear (linear map) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol. Artinya, bagi suatu peta linear  yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W, kernel dari L adalah himpunan semua elemen v dari V yang memenuhi persamaan , dengan 0 menandakan vektor nol dari W. Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

Kernel juga dikenal dengan istilah null space atau nullspace.

Sifat 

Kernel  adalah suatu subruang linear dari domain . Dalam peta linear , dua elemen di  akan memiliki citra yang sama di , jika dan hanya jika selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel ; atau secara matematis:
.

Hal ini mengakibatkan citra dari  isomorfik ke ruang hasil bagi  dengan kernel; atau secara matematis:
.
 Pada kasus   memiliki dimensi yang hingga, hubungan ini menyiratkan teorema rank-nullity:
.
Dalam hubungan ini, istilah rank merujuk pada besar dimensi citra dari , sedangkan nullity merujuk pada besar dimensi kernel dari .

Jika  adalah ruang hasil kali dalam, hasil bagi  dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam  dari . Ini adalah perumuman untuk operator linear dari ruang baris, atau kocitra dari sebuah matriks.

Representasi sebagai perkalian matriks 
Misalkan peta linear  diwakili oleh matriks  berukuran , dengan entri-entri berasal dari lapangan  (biasanya  atau ), dan beroperasi pada vektor kolom  dengan  komponen di atas lapangan . Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan , dengan  adalah vektor nol. Dimensi dari kernel  disebut nolitas dari . Dengan menggunakan notasi himpunan, kernel  dapat ditulis sebagaiLebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan sistem persamaan linear:

Dengan demikian, anggota dari kernel dari  adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

Sifat subruang 

Kernel dari matriks  (dengan ordo ) atas medan  adalah subruang linear dari . Artinya, kernel dari , himpunan , mengikuti tiga sifat berikut:
  selalu memiliki vektor nol, karena .
 Jika  dan , maka . Sifatnya mengikuti distributisi perkalian matriks terhadap penambahan.
 Jika  dan  adalah sebuah skalar , maka , karena .

Ruang baris matriks 

Hasil kali  ini dapat ditulis dalam bentuk darab bintik atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:
.

Dalam hal ini,  menunjukkan baris matriks . Ini mengikuti  adalah kernel dari  , jika dan hanya jika  adalah ortogonal (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari (karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari ).

Ruang baris, atau kocitra, dari matriks  adalah rentang dari baris vektor . Dengan alasan di atas, kernel dari  adalah komplemen ortogonal untuk ruang baris. Artinya, vektor   terletak pada kernel dari , jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris .

Dimensi ruang baris  disebut peringkat dari , dan dimensi dari kernel  disebut pembatalan . Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan teorema
.

Ruang null kiri 
Ruang null kiri, atau kokernel, matriks  terdiri dari semua kolom vektor  sehingga , di mana  menunjukkan transpose dari matriks.  Ruang null kiri  adalah sama dengan kernel . Ruang null kiri  adalah pelengkap ortogonal untuk ruang kolom dari , dan ganda ke kokernel dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri  adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks A.

Sistem non-homogen persamaan linear 
Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:
 atau 
Jika  dan  adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka

Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan  terletak di kernel .

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan  dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap  dan elemen sebarang dari kernel.  Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan  adalah
,
Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk  adalah terjemahan geometri dari kernel  oleh vektor .

Contoh 
 Jika , maka kernel dari  adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan linear.  Seperti yang diilustrasikan di atas, jika  adalah operator:

maka kernel  adalah serangkaian solusi untuk persamaan

 Misalkan  melambangkan ruang vektor semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval , dan mendefinisikan  berdasarkan kaidah
,
maka kernel  terdiri dari semua fungsi  untuk .
 Misalkan  menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan , dan misalkan  adalah operator diferensial:
,
maka kernel  terdiri dari semua fungsi dalam  yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua fungsi konstan.
 Misalkan  menjadi hasil kali langsung dari banyaknya salinan , dan misalkan  adalah operator diferensiasi.

maka kernel  adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor .
 Jika  adalah ruang hasil kali dalam dan  adalah subruang, maka kernel dari proyeksi (aljabar linear)   adalah komplemen ortogonal untuk  di .

Perhitungan oleh eliminasi Gauss 
Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh eliminasi Gauss.

Untuk tujuan ini, mengingat matriks ,  ordo , membangun baris pertama ditambah matriks , di mana  adalah matriks identitas .

Komputasi bentuk eselon kolom oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks . Basis dari kernel  terdiri dalam kolom taknol  sehingga kolom yang sesuai  adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah nol.

Sebagai contoh, misalkan:
, maka .
Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks

Tiga kolom terakhir B adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari C,

adalah basis dari kernel .

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa  dikurangi ke  berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan  sehingga  dengan  dalam bentuk eselon kolom. Jadi , , dan . Sebuah kolom vektor  termasuk dalam kernel  (yaitu ) jika dan hanya  di mana  Ketika  berada di bentuk eselon kolom, , jika dan hanya jika entri bukan nol dari  berpadanan dengan kolom nol dari  Mengalikan dengan , salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya  adalah kombinasi linear dari kolom yang sesuai dari

Komputasi titik mengambang
Untuk matriks yang entri-nya bilangan titik kambang, masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat bilangan titik kambang: karena kesalahan perbatasan, matriks titik kambang telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.

Lihat pula 

 Kernel (aljabar)
 Himpunan nol
 Sistem persamaan linear
 Ruang baris dan kolom
 Reduksi baris
 Empat subruang dasar
 Ruang vektor
 Subruang linear
 Operator linear
 Ruang fungsi
 Altrnatif Fredholm

Referensi

Bibliografi

Pranala luar 

 
 Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix

Aljabar
Aljabar linear
Matematika
Analisis
Matriks