Sifat pembatalan

Dalam matematika, pengertian dari pembatal adalah perampatan dari gagasan terbalikkan.

Sifat 
Sifat-sifat diantaranya adalah:

 Unsur  dalam magma  memiliki sifat pembatalan ruas kiri  jika untuk semua  dan  pada ,  selalu menyiratkan bahwa .
 Unsur  pada magma  memiliki sifat pembatalan ruas kanan jika untuk semua  dan  pada ,  selalu menyiratkan .
 Unsur  dalam magma  memiliki sifat pembatalan kedua ruas jika keduanya adalah pembatalan ruas kiri dan ruas kanan.
 Magma  memiliki sifat pembatalan kiri jika semua  di magma adalah sifat membatalkan ruas kiri, dan definisi serupa berlaku untuk sifat membatalkan ruas kanan atau sifat membatalkan kedua ruas.
 Unsur terbalikkan ruas kiri adalah pembatalan kiri, dan ini sejalan untuk ruas kanan dan kedua ruas.

Contoh mengenai sifat pembatalan, ialah: setiap kuasigrup, dan dengan demikian setiap grup, bersifat membatalkan.

Interpretasi 
Untuk mengatakan bahwa unsur  dalam magma  adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya  adalah injektif. Bahwa fungsi  adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk , di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah , hanya ada satu kemungkinan nilai  memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi , kebalikan dari , sehingga untuk semua ,  . Dengan kata lain, untuk semua  dan  pada , jika , maka .

Contoh monoid pembatalan dan semigrup 
Bilangan bulat positif (sama-sama taknegatif) membentuk sebuah pembatal semigrup terhadap penambahan. Bilangan bulat taknegatif membentuk pembatalan monoid di bawah penambahan.

Faktanya, semigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, suatu semigrup atau monoid yang membenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.

Dalam nada yang berbeda, (subgrup dari) semigrup perkalian unsur dari gelanggang yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua unsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalah ranah, seperti bilangan bulat) memiliki sifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.

Struktur aljabar takmembatalkan 
Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan real dan bilangan kompleks (dengan pengecualian tunggal perkalian dengan nol dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak sah.

Perkalian silang dari dua vektor  tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika , maka ini tidak mengikuti bahwa  bahkan jika .

Perkalian matriks juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika  dan , maka salah satunya harus menunjukkan bahwa matriks  terbalikkan (yaitu memiliki , dimana  berarti determinan) sebelum salah satunya dapat menyimpulkan . Jika , maka  mungkin tidak sama dengan , karena matriks persamaan  tidak akan memiliki penyelesaian tunggal untuk matriks  takterbalikkan.

Perhatikan juga bahwa jika  dan  dan matriks  adalah terbalikkan (yaitu memiliki ), itu belum tentu benar . Pembatalan hanya bekerja untuk persamaan  dan  (asalkan matriks itu  adalah terbalikkan) dan bukan untuk persamaan  dan .

Lihat pula 
 Grup Grothendieck
 Unsur terbalikkan
 Semigrup pembatalan
 Ranah integral

Referensi 

Aljabar takasosiatif
Sifat operasi biner
Sifat unsur aljabar

fr:Loi de composition interne#Réguliers et dérivés