Subgelanggang

Dalam matematika, subgelanggang dari  R  adalah himpunan bagian dari gelanggang yang merupakan cincin ketika operasi biner penjumlahan dan perkalian pada  R  dibatasi ke himpunan bagian, dan yang berbagi identitas perkalian yang sama dengan  R . Bagi mereka yang mendefinisikan gelanggang tanpa memerlukan keberadaan identitas perkalian, subgelanggang dari  R  hanyalah subset dari  R  yang merupakan gelanggang untuk pengoperasian  R  (bahwa ini menyiratkan itu berisi identitas aditif  R ). Yang terakhir memberikan kondisi yang sangat lemah, bahkan untuk gelanggang yang memiliki identitas multiplikatif, sehingga misalnya semua ideal menjadi subgelanggang (dan mereka mungkin memiliki identitas perkalian yang berbeda dari salah satu  R ). Dengan definisi yang membutuhkan identitas multiplikatif (yang digunakan dalam artikel ini), satu-satunya ideal dari  R  yang merupakan subgelanggang dari  R  adalah  R  itu sendiri.

Definisi 
Sebuah subgelanggang dari gelanggang  adalah himpunan bagian  S  dari  R  yang mempertahankan struktur gelanggang, yaitu cincin  dengan .  Secara ekuivalen, adalah subgrup dari  dan submonoid dari .

Contoh 
Gelanggang Z dan tanda pisahnya Z/nZ tidak memiliki subring (dengan identitas perkalian) selain gelanggang lengkap.

Setiap gelanggang memiliki subring terkecil yang unik, isomorfik untuk beberapa cincin Z/nZ dengan n bilangan bulat nonnegatif (lihat ciri). Bilangan bulat Z sesuai dengan  dalam pernyataan ini, karena Z isomorfik Z/0Z.

Uji subgelanggang 
uji subgelanggang adalah teorema yang menyatakan bahwa untuk setiap gelanggang  R , sebuah himpunan bagian  S  dari  R  adalah subring jika dan hanya jika ditutup di bawah perkalian dan pengurangan, dan berisi identitas perkalian  R .

Sebagai contoh, gelanggang  'Z'  dari bilangan bulat adalah subring dari bidang dari bilangan riil dan juga merupakan subring dari cincin dari polinomial Z[X].

Ekstensi gelanggang 

Jika  S  adalah subring dari cincin  R , maka secara ekuivalen  R  dikatakan sebagai ekstensi gelanggang dari  S , ditulis sebagai R/S dalam notasi yang mirip dengan ekstensi bidang.

Subgelanggang dihasilkan oleh satu Himpunan 

Biarkan  R  menjadi sebuah cincin. Setiap persimpangan subring dari  R  juga merupakan subgelanggang dari  R . Oleh karena itu, jika  X  adalah subset dari  R , perpotongan semua subgelanggang dari  R  yang berisi  X  adalah subring  S  dari  R . S adalah subring terkecil dari  R  yang mengandung  X . ("Terkecil" berarti bahwa jika  T  adalah subring lain dari  R  yang mengandung  X , maka  S  ada di dalam  T .) S dikatakan sebagai subring dari  R  dihasilkan oleh  X . Jika  S  =  R,  kita dapat mengatakan bahwa cincin  R  adalah  generated  oleh  X .

Lihat pula 
 Ekstensi integral
 Ekstensi grup
 Ekstensi aljabar
 Ekstensi bijih

Referensi 
 
 Page 84 of 
 

Teori gelanggang