Grup dihedral

Dalam matematika, grup dihedral adalah grup dari simetri dari poligon beraturan, yang meliputi rotasi dan refleksi. Gugus dihedral adalah contoh paling sederhana dari gugus hingga, dan mereka memainkan peran penting dalam teori grup, geometri, dan kimia.

Notasi untuk grup dihedral berbeda dalam geometri dan aljabar abstrak. Dalam geometri,  atau  mengacu pada kesimetrian n-gon, segrup urutan . Dalam aljabar abstrak,  mengacu pada grup dihedral yang sama ini. Konvensi geometris digunakan dalam artikel ini.

Definisi

Elemen 

Poligon beraturan dengan  sisi memiliki  simetri yang berbeda:  simetri rotasi dan  simetri refleksi. Biasanya, kami mengambil  di sini. Rotasi s dan refleksi yang terkait membuat grup dihedral . Jika  ganjil, setiap sumbu simetri menghubungkan titik tengah dari satu sisi ke simpul yang berlawanan. Jika  genap, ada  sumbu simetri yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan dan  sumbu simetri yang menghubungkan simpul yang berlawanan. Dalam kedua kasus tersebut, ada  sumbu simetri dan elemen  dalam grup simetri. Refleksi dalam satu sumbu simetri diikuti dengan refleksi di sumbu simetri lain menghasilkan rotasi melalui dua kali sudut antar sumbu.

Gambar berikut menunjukkan efek dari enam belas elemen  pada tanda berhenti:

Baris pertama menunjukkan efek dari delapan rotasi, dan baris kedua menunjukkan efek dari delapan refleksi, dalam setiap kasus bekerja pada tanda berhenti dengan orientasi seperti yang ditunjukkan di kiri atas.

Struktur grup 
Seperti pada objek geometris lainnya, komposisi dari dua kesimetrian poligon beraturan juga merupakan simetri dari objek ini. Dengan komposisi kesimetrian untuk menghasilkan kesimetrian lain sebagai operasi biner, hal ini memberikan kesimetrian poligon struktur aljabar dari grup berhingga.

Tabel Cayley berikut ini menunjukkan efek komposisi dalam grup D3 (kesimetrian sebuah segitiga sama sisi). r 0  menunjukkan identitas; r1 dan r 2  menunjukkan rotasi berlawanan arah jarum jam masing-masing sebesar 120° dan 240°, dan s 0 , s 1  dan s<sub> 2 </ sub > menunjukkan pantulan melintasi tiga garis yang ditunjukkan pada pi yang berdekatan

Sebagai contoh, , karena refleksi s 1  diikuti oleh refleksi s 2  menghasilkan rotasi 120°. Urutan elemen yang menunjukkan komposisi adalah dari kanan ke kiri, yang mencerminkan konvensi bahwa elemen tersebut bekerja pada ekspresi di sebelah kanannya. Operasi komposisi bukanlah komutatif.

Secara umum, grup Dn memiliki elemen r 0 , ..., rn−1 dan s0, ..., sn−1, dengan komposisi yang diberikan oleh rumus berikut:

Dalam semua kasus, penambahan dan pengurangan subskrip harus dilakukan dengan menggunakan aritmetika modular dengan modulus  n .

Representasi matriks 

Jika kita memusatkan poligon beraturan di titik asal, maka elemen dari kelompok dihedral bertindak sebagai transformasi linear dari bidang. Ini memungkinkan kita merepresentasikan elemen D  n   sebagai matriks, dengan komposisi perkalian matriks.
Ini adalah contoh dari representasi grup (2 dimensi).

Misalnya, unsur-unsur dari kelompok D4 dapat diwakili oleh delapan matriks berikut:

Secara umum, matriks untuk elemen D  n   memiliki bentuk sebagai berikut:

rk adalah matriks rotasi, yang menyatakan rotasi berlawanan arah jarum jam melalui sudut . sk adalah refleksi melintasi garis yang membentuk sudut  dengan sumbu  x .

Definisi lainnya 
Definisi ekuivalen lebih lanjut dari  adalah:

Grup dihedral kecil 

 adalah isomorfik menjadi , grup siklik dari order 2.

 adalah isomorfik menjadi , Klein empat grup.

 dan  karena:
  dan  adalah satu-satunya grup dihedral abelian. Jika tidak,  adalah non-abelian.
  adalah subgrup dari grup simetris  dari . Maka  dari  atau , untuk nilai-nilai ini,  terlalu besar untuk dijadikan subgrup.
 Grup automorfisme dalam dari  adalah trivial, sedangkan untuk nilai genap lainnya , maka .

grafik siklus dari grup dihedral terdiri dari siklus  n  elemen dan siklus 2 elemen  n . Titik gelap pada grafik siklus di bawah dari berbagai grup dihedral mewakili elemen identitas, dan simpul lainnya adalah elemen lain dari grup. Sebuah siklus terdiri dari kekuatan berturut-turut dari salah satu elemen yang terhubung ke elemen identitas.

Grup dihedral sebagai grup simetri dalam 2D dan grup rotasi dalam 3D 
Contoh grup abstrak , dan cara yang umum untuk memvisualisasikannya, adalah kelompok isometri bidang Euklidean yang menjaga asal tetap. Grup ini membentuk salah satu dari dua rangkaian diskrit grup titik dalam dua dimensi.  terdiri dari  rotasi dari kelipatan  tentang asal, dan refleksi melintasi garis  melalui titik asal, membuat sudut kelipatan  satu sama lain. Ini adalah kelompok simetri dari sebuah poligon beraturan dengan sisi  (untuk ; ini meluas ke kasus  dan  di mana kita memiliki bidang dengan masing-masing titik offset dari "pusat" dari "1-gon" dan "2-gon" atau ruas garis).

 adalah dihasilkan dengan rotasi  urutan  dan refleksi  dari urutan 2 sedemikian rupa

Dalam istilah geometris: di cermin, rotasi tampak seperti rotasi terbalik.

Dalam istilah bilangan kompleks: perkalian dengan  dan konjugasi kompleks.

Dalam bentuk matriks, dengan pengaturan

dan mendefinisikan  dan  dari  kita dapat menulis aturan produk untuk  Dn sebagai

(Bandingkan rotasi dan pantulan koordinat.)

Grup dihedral D 2  dihasilkan oleh rotasi r 180 derajat, dan pantulan melintasi sumbu  x . Elemen D 2  kemudian dapat direpresentasikan sebagai {e, r, s, rs}, di mana e adalah identitas atau transformasi nol dan rs adalah refleksi melintasi sumbu  y .

D2 adalah isomorfik ke grup empat Klein.

Untuk  n > 2, operasi rotasi dan refleksi secara umum tidak perjalanan dan D   n   bukan abelian; Misalnya, di D4, rotasi 90 derajat diikuti oleh refleksi menghasilkan hasil yang berbeda dari refleksi diikuti oleh rotasi 90 derajat.

Jadi, di luar aplikasi mereka yang jelas untuk masalah simetri di bidang, grup ini adalah salah satu contoh paling sederhana dari kelompok non-abelian, dan dengan demikian sering muncul contoh tandingan yang mudah untuk teorema yang dibatasi untuk grup abelian.

 elemen dari  dapat ditulis sebagai , , , ... , , , , , ... , . Pertama  elemen yang terdaftar adalah rotasi dan elemen  yang tersisa adalah refleksi-sumbu (semuanya memiliki urutan 2). Produk dari dua rotasi atau dua refleksi adalah rotasi; produk dari rotasi dan refleksi adalah refleksi.

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan  menjadi subkelompok dari , yaitu kelompok rotasi (tentang asal) dan refleksi (melintasi sumbu melalui asal) dari bidang. Namun, notasi  juga digunakan untuk subgrup SO(3) yang juga merupakan jenis kelompok abstrak : kelompok simetri yang tepat dari  poligon beraturan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi  (jika n ≥ 3). Sosok seperti itu dapat dianggap sebagai benda padat biasa yang merosot dengan jumlah muka yang dihitung dua kali. Oleh karena itu, ini juga disebut  dihedron  (Yunani: padat dengan dua sisi), yang menjelaskan nama  grup dihedral  (dalam analogi dengan  tetrahedral ,  oktahedral  dan  grup icosahedral , mengacu pada kelompok simetri yang tepat dari tetrahedron, oktahedron, dan ikosahedron reguler).

Sifat 
Properti dari grup dihedral  dengan  bergantung pada apakah  genap atau ganjil. Misalnya, pusat dari  hanya terdiri dari identitas jika  n  ganjil, tetapi jika  n  genap pusat memiliki dua elemen, yaitu identitas dan elemen rn/2 (with Dn sebagai subgrup dari O(2), maka; karena perkalian skalar dengan −1, jelas bahwa ia berpindah-pindah dengan transformasi linier apa pun).

Dalam kasus isometri 2D, ini terkait dengan penambahan inversi, memberikan rotasi dan cermin di antara yang sudah ada.

Untuk  n  dua kali angka ganjil, kelompok abstrak  isomorfik dengan produk langsung dari  dan .
Umumnya, jika  m  membagi  n , maka  memiliki n/m subgrup jenis , dan satu subgrup ℤm. Oleh karena itu, jumlah total subgrup dari  (n ≥ 1), adalah sama dengan d(n) + σ(n), dimana d(n) adalah banyaknya pembagi positif dari  n  dan σ(n) adalah jumlah dari pembagi positif dari  n . Lihat daftar grup kecil untuk kasus  n  ≤ 8.

Gugus dihedral orde 8 (D 4 ) adalah contoh terkecil dari grup yang bukan T-grup. Salah satu dari dua subgrup Klein empat grup (yang normal di D 4 ) memiliki subgrup orde-2 subgrup normal yang dihasilkan oleh refleksi (flip) di D4, tetapi subgrup ini tidak normal di D4.

Kelas konjugasi refleksi 
Semua refleksi adalah konjugasi satu sama lain jika  n  ganjil, tetapi mereka jatuh ke dalam dua kelas konjugasi jika  n  genap. Jika kita memikirkan isometri dari  n  - gon biasa: untuk ganjil  n  ada rotasi dalam grup antara setiap pasangan cermin, sedangkan untuk genap  n  hanya setengah dari cermin dapat dicapai dari satu dengan rotasi ini. Secara geometris, dalam poligon ganjil setiap sumbu simetri melewati puncak dan sisi, sedangkan dalam poligon genap ada dua set sumbu, masing-masing sesuai dengan kelas konjugasi: yang melewati dua simpul dan yang melewati dua sisi.

Secara aljabar, ini adalah turunan dari konjugasi Teorema Sylow (untuk  n  ganjil): untuk  n  ganjil, setiap refleksi, bersama dengan identitas, membentuk subgrup orde 2, yang merupakan Sylow 2-subgrup ( is the maximum power of 2 dividing ), sedangkan untuk  n  genap, urutan 2 subgrup ini bukan subgrup Sylow karena 4 (pangkat lebih tinggi dari 2) membagi urutan grup.

Untuk  n  bahkan ada automorfisme luar yang menukar dua jenis pantulan (benar, kelas automorfisme luar, yang semuanya terkonjugasi oleh automorfisme dalam).

Generalisasi 
Ada beberapa generalisasi penting dari grup dihedral:
 Grup dihedral tak hingga adalah grup tak hingga dengan struktur aljabar mirip dengan grup dihedral hingga. Ini dapat dilihat sebagai grup simetri dari bilangan bulat.
 Grup ortogonal O(2), yaitu grup simetri dari lingkaran, juga memiliki sifat yang mirip dengan grup dihedral.
 Keluarga grup dihedral umum mencakup kedua contoh di atas, serta banyak kelompok lainnya.
 Grup kuasidihedral adalah famili grup berhingga dengan sifat yang mirip dengan grup dihedral.

Lihat pula 

 Rotasi koordinat dan refleksi
 Indeks siklus dari grup dihedral
 Grup disiklik
 Grup urutan dihedral 6
 Grup urutan dihedral 8
 Grup simetri dihedral dalam 3D
 Simetri dihedral dalam tiga dimensi

Referensi

Pranala luar 
 Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
 Dihedral group  at Groupprops
 
 
 
 
 
 Dihedral groups on GroupNames 

Simetri Euklides
Grup refleksi hingga
Sifat grup