Teorema Lagrange (teori grup)

Teorema Lagrange, dalam teori grup, bagian dari matematika, menyatakan bahwa jika  adalah subgrup dari grup terbatas , maka urutan dari  membagi urutan  (urutan grup adalah jumlah elemen yang dimilikinya). Teorema ini dinamai Joseph-Louis Lagrange.  Varian berikut juga mengidentifikasi rasio , sebagai indeks , didefinisikan sebagai jumlah kohimpunan kiri dari  dalam .

Varian ini berlaku meskipun  tidak terbatas, asalkan , , dan  ditafsirkan sebagai bilangan kardinal.

Bukti 
Coset kiri dari  di  adalah kelas ekivalen dari hubungan ekivalen tertentu pada : khusus, panggil  dan  di  setara jika ada  di  sedemikian rupa sehingga . 
Oleh karena itu koset kiri membentuk partisi dari .
Setiap koset kiri  memiliki kardinalitas yang sama dengan  karena  mendefinisikan kebijaksanaan  (the inverse is ). Jumlah koset kiri adalah indeks .
Dengan tiga kalimat sebelumnya,

Ekstensi 
Teorema Lagrange dapat diperluas ke persamaan indeks antara tiga subgrup .

Jika kita ambil  ( adalah elemen identitas dari ), lalu  dan . Oleh karena itu kita dapat memulihkan persamaan aslinya .

Aplikasi 
Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa urutan elemen apa pun  dari grup berhingga (yaitu bilangan bulat positif terkecil  dengan , di mana  adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan  sama dengan urutan subgrup siklik dihasilkan dari . Jika grup memiliki elemen , maka grup akan mengikuti

Ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema kecil Fermat dan generalisasinya, Teorema Euler. Kasus-kasus khusus ini telah diketahui jauh sebelum teorema umum dibuktikan.

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan sederhana. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan teorema Wilson, bahwa jika  adalah bilangan prima maka  adalah faktor dari .

Teorema Lagrange juga dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga: jika ada bilangan prima terbesar , kemudian pembagi prima  dari bilangan Mersenne  akan menjadi sedemikian rupa sehingga urutan  dalam grup perkalian  (lihat aritmatika modular) membagi urutan , yaitu . Karenanya , bertentangan dengan asumsi bahwa  adalah bilangan prima terbesar.

Keberadaan subkelompok dengan urutan tertentu 
Teorema Lagrange memunculkan pertanyaan sebaliknya, apakah setiap pembagi urutan suatu kelompok adalah urutan dari suatu subgrup. Ini tidak berlaku secara umum: diberi grup terbatas  G  dan pembagi  d  dari |G|, belum tentu ada subgrup  G  dengan urutan  d . Contoh terkecil adalah A4 (grup bergantian dengan derajat 4), yang memiliki 12 elemen tetapi tidak ada subgrup berorde 6.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan.  Diketahui bahwa grup CLT harus solvable dan setiap grup selesaikan adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya,  A  4 ) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya,  S <sub> 4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, Teorema Cauchy menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. Teorema Sylow memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup.  Untuk grup yang dapat dipecahkan, Teorema Hall menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan pembagi kesatuan mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

Contoh kebalikan dari kebalikan dari teorema Lagrange 
Kebalikan dari teorema Lagrange menyatakan bahwa jika  adalah pembagi dari urutan grup , maka terdapat subgrup dimana .

Jika memeriksa grup bergantian , himpunan genap permutasi sebagai subgrup dari Grup simetris .

.

 jadi pembaginya adalah . Asumsikan sebaliknya bahwa terdapat subgrup  pada  dengan .

Misalkan  menjadi subgrup non-cyclic dari  yang disebut [[Klein empat grup] ].

.

Maka . Karena  dan  adalah subgrup dari ,  juga merupakan subgrup dari .

Dari teorema Lagrange, urutan  harus membagi  dan , urutan  dan {{mvar | V} } masing-masing. Dua bilangan bulat positif yang membagi  dan  adalah  dan . Begitu  atau .

Menganggap , menjadi . Jika  tidak berbagi elemen apa pun dengan , maka 5 elemen di  selain Elemen identitas  harus menjadi dari bentuk  dimana  adalah elemen berbeda di .

Karena setiap elemen bentuk  kuadrat adalah , dan , any element of  dalam bentuk  harus dipasangkan dengan kebalikannya. Secara khusus, 5 elemen yang tersisa dari  harus berasal dari pasangan elemen yang berbeda di  yang tidak ada di . Hal ini tidak mungkin karena pasangan elemen harus genap dan tidak dapat berjumlah hingga 5 elemen. Jadi, asumsi  salah, jadi .

Kemudian,  dimana ,  harus dalam bentuk  dimana  adalah elemen yang berbeda dari . Empat elemen lainnya dalam  adalah siklus dengan panjang 3.

Perhatikan bahwa coset dihasilkan oleh subgrup grup adalah partisi dari grup. Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau disjoint. Indeks subgrup dalam satu grup  adalah jumlah koset yang dihasilkan oleh subkelompok itu. Karena  and ,  akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan  dan yang lainnya, , yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di  tidak termasuk .

Karena hanya ada 2 koset berbeda yang dihasilkan oleh , maka  harus normal. Karena, . Secara khusus, ini benar untuk . Karena .

Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan . Kemudian . Bertransformasi kembali, kita dapatkan . Karena  berisi semua transposisi terputus-putus dalam , . Hence, .

Karena , kami telah menunjukkan bahwa ada elemen ketiga di . Tapi sebelumnya kami berasumsi seperti itu , jadi kami memiliki kontradiksi.

Oleh karena itu, asumsi awal kita bahwa ada subgrup berorde 6 tidak benar dan akibatnya tidak ada subgrup orde 6 pada  dan kebalikan dari teorema Lagrange belum tentu benar.
Q.E.D.

Sejarah 
Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentangRéflexions sur la résolution algébrique des équations, bahwa jika polinomial dalam variabel  variabelnya diubah dalam semua cara , jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari .  (Misalnya, jika variabel , , dan  diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial  maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: .  Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam grup simetris  dari subkelompok  dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya , subgrup  pada  berisi identitas dan transposisi .) So the size of  membagi . Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.

Dalam miliknya Disquisitiones Arithmeticae pada tahun 1801, Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus , kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol modulo , dengan  adalah bilangan prima.  In 1844, Augustin-Louis Cauchy proved Lagrange's theorem for the symmetric group .

Camille Jordan akhirnya membuktikan teorema Lagrange untuk kasus grup permutasi mana pun pada tahun 1861.

Catatan

Referensi

Pranala luar 
 

Teorema dalam teori grup
Grup terbatas
Artikel yang berisi bukti