Grup divisibel

Dalam matematika, terutama di bidang teori grup, grup divisibel atau disebut juga grup yang dapat dibagi adalah grup abelian di mana setiap elemen dapat, dalam arti tertentu, dibagi dengan bilangan bulat positif, atau lebih tepatnya, setiap elemen adalah kelipatan n untuk setiap bilangan bulat positif n.  Grup terpisahkan penting dalam memahami struktur grup abelian, terutama karena mereka adalah grup abelian  injektif.

Definisi 
Grup abelian  adalah divisibel jika, untuk setiap bilangan bulat positif  dan setiap , disana terdapat  adalah .  Kondisi yang setara adalah: untuk bilangan bulat positif , , karena keberadaan  untuk setiap  dan  menyiratkan bahwa , dan ke arah lain  benar untuk setiap kelompok. Kondisi ketiga yang setara adalah bahwa grup abelian  dapat dibagi jika dan hanya jika  adalah objek injeksi dalam kategori grup abelian]; untuk alasan ini, grup yang dapat dibagi kadang-kadang disebut grup injektif.

Grup abelian adalah -habis dibagi untuk bilangan prima  jika untuk , terdapat  sehingga .  Sama halnya, grup abelian adalah -habis dibagi jika dan hanya jika .

Contoh 
 Bilangan rasional  membentuk kelompok yang dapat dibagi di bawah penambahan.
 Lebih umum lagi, grup aditif yang mendasari dari setiap ruang vektor di atas habis dibagi .
 Setiap  hasil bagi dari grup yang dapat dibagi habis. Jadi, habis dibagi .
 Kompenen prima-p  pada , yang mana  isomorfik ke  p -grup kuasiklik habis dibagi .
 Grup perkalian dari bilangan kompleks  is divisible.
 Setiap grup abelian eksistensial tertutup (dalam pengertian teori model) dapat dibagi.

Sifat 
 Jika grup yang dapat dibagi adalah subkelompok dari grup abelian maka itu adalah penjumlahan langsung dari grup abelian itu.
 Setiap grup abelian dapat  disematkan dalam grup yang dapat dibagi.
 Grup yang dapat dibagi non-sepele bukan  dihasilkan secara terbatas.
 Selanjutnya, setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi sebagai subgrup penting dengan cara yang unik.
 Sebuah grup abelian habis dibagi jika dan hanya jika itu adalah habis dibagi- p  untuk setiap prima  p .
 Misalkan  menjadi  gelanggang. Jika  adalah grup yang dapat dibagi, maka  adalah injektif dalam  kategori dari  modul.

Teorema struktur grup habis 

Karena  G  menjadi grup yang dapat dibagi. Kemudian subgrup torsi Tor(G) dari  G  habis dibagi. Karena grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi.

Sebagai hasil bagi dari grup yang dapat dibagi, G/Tor(G) habis dibagi. Selain itu, ini  bebas torsi. Jadi, ini adalah ruang vektor di atas Q dan ada himpunan  I  sehingga

Struktur subgrup torsi lebih sulit ditentukan, tetapi dapat dilihat bahwa untuk semua bilangan prima  p  ada  sedemikian rupa sehingga

dimana  adalah komponen utama Tor(G).

Jadi, jika P adalah himpunan bilangan prima,

Kardinalitas dari himpunan  I  dan Ip untuk  p  ∈  'P'  secara unik ditentukan oleh grup  G .

Amplop injektif 

Seperti yang dinyatakan di atas, setiap grup abelian  A  dapat disematkan secara unik dalam grup yang dapat dibagi  D  sebagai subgrup penting.  Grup yang dapat dibagi  D  ini adalah amplop injektif dari  A , dan konsep ini adalah injeksi hull dalam kategori grup abelian.

Lihat pula 
 Objek injektif
 Modul injektif

Catatan

Referensi 
 With an appendix by David A. Buchsbaum; Reprint of the 1956 original 

 
   Chapter 13.3.
 
 

 

Teori grup Abelian
Sifat grup