Diferensial (matematika)

Dalam matematika, diferensial mengacu pada beberapa notasi/konsep yang saling berhubungan dan berasal dari awal perkembangan ilmu kalkulus. Secara lebih matematis, istilah ini mengacu pada perubahan/selisih yang infinitesimal dan turunan dari fungsi. Istilah ini dipakai dalam berbagai cabang matematika seperti kalkulus, geometri diferensial, geometri aljabar dan topologi aljabar.

Pendahuluan 
Istilah diferensial adalah terjemahan dari kata bahasa Inggris differential. Secara informal, kata differential digunakan dalam kalkulus untuk merujuk suatu perubahan yang infinitesimal ("infinitely small", sangat kecil) pada suatu variabel. Sebagai contoh, jika  adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai  sering dinyatakan dengan  (dibaca sebagai delta ). Diferensial  menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel . Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan turunan memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika  adalah fungsi terhadap , maka diferensial  dari variabel  terhubung dengan  lewat persamaandengan menyatakan turunan dari  terhadap . Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari  terhadap  adalah limit dari rasio  saat  menjadi infinitesimal. Terdapat beberapa pendekatan untuk mendefinisikan secara matematis konsep diferensial:

 Diferensial sebagai pemetaan linear. Cara ini mendasari definisi turunan total dan turunan eksterior dalam ilmu geometri diferensial.
 Diferensial sebagai kelas ekuivalensi germ dari fungsi-fungsi.
 Diferensial sebagai elemen nilpoten dari gelanggang komutatif. Pendekatan ini populer dalam geometri aljabar.
 Diferensial dalam smooth model pada teori himpunan.
 Diferensial sebagai infinitesimals dalam sistem bilangan hiper-real, yakni perluasan bilangan real yang mengandung infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang tak hingga besarnya. Cara ini adalah pendekatan analisis non-standar yang dikembangkan oleh Abraham Robinson.

Pendekatan-pendekatan tersebut sangat berbeda satu sama lainnya. Tetapi mereka semua memiliki ide bersifat kuantitatif, maksudnya tidak hanya berkata diferensial adalah sesuatu yang sangat kecil, tapi juga seberapa kecil dia.

Notasi dasar 
Karena kata diferensial berkembang dalam beberapa cabang kalkulus, diferensial dapat merujuk konsep "perubahan yang sangat kecil" yang berbeda. Dalam kalkulus, diferensial merujuk pada perubahan akibat mencari aproksimasi linear sebuah fungsi.  Konsep diferensial ini diperumum sebagai diferensial total pada fungsi multivariabel. Dalam pendekatan kalkulus yang tradisional, diferensial (contohnya , , ) dianggap sebagai perubahan yang sangat kecil (infinitesimal). Terdapat beberapa cara untuk mendefinisikan secara matematis konsep ini, namun juga cukup untuk mengganggap infinitesimal sebagai bilangan yang nilai mutlaknya lebih kecil dari sembarang bilangan real positif; sama seperti tak hingga sebagai bilangan yang lebih besar dari sembarang bilangan real.

Diferensial juga merupakan nama lain dari matriks Jacobi dari turunan parsial fungsi dari  ke  (khususnya ketika matriks ini dianggap sebagai peta linear). 
Kalkulus stokastik memberikan notasi diferensial stokastik dan kalkulus yang bersesuaian untuk proses stokastik.

Pada integral Riemann-Stieltjes, integrator dinyatakan sebagai diferensial dari suatu fungsi. Secara formal, diferensial yang muncul di dalam integral memiliki sifat yang tepat sama dengan diferensial. Hal ini mengartikan rumus integrasi dengan subtitusi dan integrasi secara parsial pada integral Stieltjes masing-masing berkorespodensi dengan aturan rantai dan aturan perkalian untuk diferensiasi.

Sejarah dan penggunaan 

Besaran infinitesimal ("yang sangat kecil") memainkan peranan penting dalam perkembangan kalkulus. Archimedes menggunakan konsep ini, walaupun ia tidak percaya argumentasi menggunakan infinitesimal bersifat tegas (rigor). Isaac Newton merujuk konsep ini sebagai fluxions. Tetapi, Gottfried Leibniz yang pertama mencetuskan istilah differential untuk besaran infinitesimal dan memperkenalkan notasi untuk mereka, yang masih digunakan saat ini.

Dalam notasi Leibniz, jika  adalah besaran yang dapat berubah (variabel), maka  menyatakan perubahan infinitesimal pada variabel . Sehingga, jika  adalah fungsi terhadap , maka turunan dari  terhadap  sering dinyatakan sebagai , yang dalam notasi Newton atau Lagrange sebagai  atau . Penggunaan diferensial dalam bentuk ini awalnya mengundang banyak kontroversi, sebagai contoh dalam pamflet terkenal The Analyst oleh uskup Berkeley. Walaupun demikian, notasi ini tetap populer karena menggambarkan ide turunan dari  pada suatu titik  sebagai laju sesaat (kemiringan dari garis singgung pada grafik fungsi), yang dapat dihitung dengan mengambil limit dari rasio perubahan nilai  terhadap perubahan nilai , yakni , ketika perubahan  dibuat sekecil mungkin. Analisis dimensi juga berlaku bagi diferensial, sehingga  memiliki dimensi yang sama dengan variabel .

Kalkulus berkembang menjadi cabang matematika tersendiri pada abad ke-17, walaupun beberapa bagian di dalamnya sudah ada sejak jaman kuno. Pendekatan yang digunakan [contohnya] oleh Newton dan Leibniz ditandai oleh definisi yang tak tegas (tidak matematis) pada istilah seperti diferensial dan "sekecil mungkin". Walaupun argumentasi uskup Berkeley dalam karya The Analyst tahun 1734 sebagian besar bersifat teologis, matematikawan modern menyadari validitas argumennya mengenai besaran infinitesimal. Pendekatan kalkulus yang modern tidak memiliki masalah teknis tersebut. Walaupun banyak hal yang tidak tegas, perkembangan kalkulus secara pesat terjadi pada abad ke-17 dan ke-18. Pada abad ke-19, Cauchy dan para matematikawan lain mulai mengembangkan pendekatan epsilon-delta untuk mendefinisikan kekontinuan, limit, dan turunan, memberikan fondasi matematis untuk kalkulus.

Pada abad ke-20, beberapa konsep baru dalam, sebagai contoh kalkulus multivariabel dan geometri diferensial, terasa memuat maksud dari definisi-definisi lawas, khususnya differential. Saat ini diferensial and infinitesimal menggunakan definisi baru yang lebih tegas dan matematis.

Diferensial juga digunakan dalam notasi integral karena suatu integral dapat dianggap sebagai penjumlahan tak hingga banyaknya besaran infinitesimal: Luas daerah di dalam grafik dihasilkan dengan membagi grafik menjadi tak hingga banyaknya persegi panjang yang sangat tipis, dan menjumlahkan semua luas persegi panjang tersebut. Pada ekspresi sepertiSimbol integral (yang merupakan huruf s yang dipanjangkan) menyatakan penjumlahan tak hingga,  menyatakan "tinggi" dari persegi panjang, sedangkan diferensial  menyatakan lebar persegi panjang yang kecilnya tak hingga.

Pendekatan

Pendekatan naif 

Beberapa buku teks siswa dan mahasiswa menggunakan pendekatan dan nomenklatur lawas yang naif ketimbang memberikan aksioma-aksioma yang tegas, definisi, dan akibat-akibat yang sederhana. Pendekatan dalam kalkulus ini menggunakan istilah diferensial untuk merujuk suatu perubahan yang infinitesimal ("infinitely small", sangat kecil) pada suatu variabel. Sebagai contoh, jika  adalah suatu variabel, maka besar perubahan/selisih dari nilai  sering dinyatakan dengan  (dibaca sebagai delta ). Diferensial  menyatakan perubahan nilai yang sangat kecil pada variabel . Konsep dari perubahan yang sangat kecil cukup intuitif dan memiliki peran yang sangat penting dalam matematika, kecuali ketika siswa menjadi bingung ketika menyadari ketidakkonsistenan. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan konsep ini secara matematis.

Penggunaan turunan memungkinkan perubahan infinitesimal suatu variabel dinyatakan sebagai perubahan-perubahan infinitesimal dari variabel-variabel lain. Jika  adalah fungsi terhadap , maka diferensial  dari variabel  terhubung dengan  lewat persamaandengan menyatakan turunan dari  terhadap . Rumus tersebut merangkum ide intuitif bahwa turunan dari  terhadap  adalah limit dari rasio  saat  menuju 0.

Diferensial sebagai peta linear 
Ada cara sederhana untuk mendefinisikan secara akurat makna diferensial, pertama menggunakan garis bilangan dengan mengganggapnya sebagai peta linear. Hal ini selanjutnya dapat diperumum ke , , ruang Hilbert, ruang Banach, atau secara umum, ruang vektor topologis. Kasus garis bilangan paling mudah untuk dijelaskan.

Diferensial sebagai peta linear pada R 
Misalkan  adalah fungsi bernilai real pada .  Variabel  dalam  dapat dianggap sebagai sebuah fungsi ketimbang sebuah bilangan, yakni sebagai fungsi identitas pada garis bilangan, yang memetakan sebuah bilangan real  ke dirinya sendiri: .  Hal ini mengartikan  adalah fungsi komposit  terhadap , dengan nilai di titik  adalah . Diferensial  (yang tentunya bergantung pada perubahan nilai ) selanjutnya adalah sebuah fungsi di titik  (umumnya dinyatakan sebagai ) yang memetakan  ke  secara linear. Selanjutnya pemetaan linear dari  ke  dinyatakan oleh matriks berukuran , yang sama saja dengan sebuah bilangan, namun perubahan perspektif memungkinkan untuk mengganggap  sebagai infinitesimal dan membandingkannya dengan infinitesimal standar , yang dalam kasus ini adalah fungsi identitas dari  ke  (matriks berukuran  dengan elemen bernilai ). Fungsi identitas memiliki sifat yakni jika  bernilai sangat kecil, maka  juga akan bernilai sangat kecil, memungkinkannya dianggap sebagai suatu infinitesimal. Diferensial  memiliki sifat yang sama, karena ia merupakan kelipatan dari , dan besar kelipatan ini, , adalah definisi dari turunan. Alhasil didapatkan  , dan akibatnya .

Pendekatan di atas pada akhirnya menggunakan ide bahwa  adalah perbandingan dari diferensial  terhadap diferensial . Pendekatan ini juga dapat diperumum karena berisi ide bahwa turunan dari  di titik  adalah aproksimasi linear terbaik dari fungsi  di titik .

Diferensial sebagai peta linear pada Rn 
Jika  adalah fungsi multivariabel dari  ke , maka  didefinisikan sebagai terdiferensialkan di titik  jika terdapat pemetaan linear   dari  ke  sedemikian sehingga untuk sembarang , ada suatu lingkungan  dari  sedemikian sehigga untuk sembarang ,Pendekatan yang sama dengan kasus satu dimensi dapat digunakan pada masalah ini, dengan menganggap ekspresi  sebagai fungsi komposit  dengan fungsi koordinat standar  on  (yakni  menyatakan komponen ke- dari titik ). Selanjutnya diferensial pada titik  membentuk sebuah basis untuk ruang vektor dari peta-peta linear  ke . Akibatnya, jika  terdiferensialkan pada titik , maka  dapat ditulis sebagai kombinasi linear elemen-elemen basis tersebut:Koefisien-koefisien  adalah (dari definisi) turunan parsial dari  di  terhadap . Dengan kata lain, jika  terdiferensialkan di keseluruhan , maka diferensial  dapat ditulis dengan lebih ringkas sebagai:Pada kasus satu dimensi persamaan di atas menjadisama seperti hasil pada kasus satu dimensi. Ide ini dapat diperumum untuk fungsi dari  ke . Lebih lanjut, definisi ini lebih menguntungkan ketimbang definisi-definisi turunan yang lain karena bersifat invarian terhadap perubahan koordinat. Hal ini mengartikan ide yang sama juga dapat digunakan untuk mendefinisikan diferensial dari pemetaan mulus dari lipatan mulus.

Walaupun demikian, perlu disadari bahwa keberadaan semua turunan parsial dari  di  adalah syarat perlu untuk keberadaan suatu diferensial di titik . Namun itu bukan syarat cukup, untuk contoh penangkal, lihat turunan Gateaux.

Referensi

Daftar pustaka 
 .
 .
 .
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .