Lemma Euklidean

Dalam teori bilangan, Lemma Euklidean adalah lemma yang menangkap properti dasar bilangan prima, yaitu:  Misalnya, jika , , , then , dan karena ini habis dibagi 19, lemma menyiratkan bahwa satu atau keduanya dari 133 atau 143 pasti juga. Faktanya, .

Secara inheren, jika premis lemma tidak berlaku, yaitu,  adalah bilangan komposit, konsekuensinya bisa benar atau salah. Contohnya, dalam kasus , , , bilangan komposit 10 membagi , tapi 10 tidak membagi 4 atau 15.

Properti ini adalah kunci dalam pembuktian teorema fundamental aritmetika. Ini digunakan untuk mendefinisikan elemen utama s, generalisasi dari bilangan prima ke sembarang cincin komutatif. Lemma Euclid menunjukkan bahwa dalam bilangan bulat elemen tak tereduksi juga merupakan elemen prima. Pembuktiannya menggunakan induksi sehingga tidak berlaku untuk semua integral domain.

Formulasi 
Jika  menjadikan bilangan prima dan asumsi  jadi membagi hasil kali dua bilangan bulat  dan . (Dalam simbol ini tertulis . Negasinya,  tidak membagi  ditulis .) Kemudian  atau  (atau keduanya). Pernyataan Setara adalah:
 Bila  dan , kemudian .
 Bila  dan , kemudian .

Lemma Euklidean dapat digeneralisasikan dari bilangan prima ke bilangan bulat apa pun:

Ini adalah generalisasi karena jika  adalah bilangan prima
  atau
  relatif prima dari . 
Dalam kemungkinan kedua ini,  jadi .

Sejarah 
Lemma pertama kali muncul sebagai proposisi 30 dalam Buku VII dari Elemen Euklides. Ini termasuk dalam hampir setiap buku yang mencakup teori bilangan dasar.

Generalisasi lemma ke bilangan bulat muncul di buku teks Jean Prestet Nouveaux Elémens de Mathématiques pada tahun 1681.

Dalam risalah Carl Friedrich Gauss  Disquisitiones Arithmeticae , pernyataan lemma adalah Euclid's Proposition 14 (Bagian 2), yang ia gunakan untuk membuktikan keunikan dekompositio, mengakui keberadaannya sebagai "jelas." Dari keberadaan dan keunikan ini ia kemudian menyimpulkan generalisasi bilangan prima menjadi bilangan bulat. Untuk alasan ini, generalisasi lemma Euklid kadang-kadang disebut sebagai lemma Gauss, tetapi beberapa percaya penggunaan ini salah. karena kebingungan dengan Lemma Gauss pada residu kuadrat.

Bukti menggunakan Lemma Bézout 
Pembuktian biasanya melibatkan lemma lain yang disebut identitas Bézout. This states that if  dan  adalah bilangan bulat prima relatif (yaitu mereka tidak berbagi pembagi umum selain 1 dan -1) ada bilangan bulat  dan  seperti yang

Maka  dan  menjadi relatif prima, dan asumsikan bahwa . Dengan identitas Bézout, ada  dan  penyusunan

Kalikan kedua sisi dengan :

Suku pertama di kiri habis dibagi , dan suku kedua habis dibagi , yang dengan hipotesis habis dibagi . Oleh karena itu jumlah mereka, , juga habis dibagi . Ini adalah generalisasi dari lemma Euklid yang disebutkan di atas.

Lihat pula 

Identitas Bézout
 Algoritma Euklides
 Teorema dasar aritmetika
Elemen yang tidak dapat direduksi
 Elemen utama
Bilangan prima

Catatan Kaki

Catatan

Kutipan

Pranala luar 

Artikel yang berisi bukti
Lemma
Teorema tentang bilangan prima