Produk karangan bunga

Dalam teori grup, hasilkali karangan bunga atau darab karangan bunga () adalah hasilkali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua grup  dan , terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: hasilkali karangan bunga takterbatas  (juga ditulis  dengan simbol LaTeX \wr) dan hasilkali karangan bunga terbatas . Diberikan himpunan Ω dengan tindakan-, terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan  atau .

Gagasan tersebut masuk dalam kelompok semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

Definisi 

Misalkan  dan  menjadi grup dan  satu himpunan dengan bertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan  menjadi hasilkali grup langsung

 

dari salinan  diindeks oleh himpunan . Elemen  dapat dilihat sebagai sembarang urutan  dari elemen  diindeks oleh  dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan  pada  meluas secara alami menjadi tindakan  pada grup  oleh

 .

Kemudian hasilkali karangan bunga takterbatas  dari  oleh  adalah hasilkali setengah langsung . Subgrup  dari  disebut basis dari hasilkali karangan bunga.

Hasilkali karangan bunga terbatas  dibuat dengan cara yang sama seperti hasil kali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung

 

sebagai dasar hasil kali karangan bunga. Dalam hal ini elemen  adalah urutan  elemen di diindeks oleh  yang semuanya kecuali banyak  adalah elemen identitas dari .

Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan , di mana  bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasil kali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan  dan . Ini disebut hasil kali karangan bunga beraturan.

Notasi dan konvensi 

Struktur hasil kali karangan bunga dari  oleh  bergantung pada himpunan  dari  dan jika  tak terbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasil kali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

 Dalam literatur,  dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga takterbatas  atau hasilkali karangan bunga terbatas .
 Demikian,  dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga beraturan takterbatas  atau hasilkali karangan bunga beraturan terbatas .
 Dalam literatur, himpunan-dari  dapat dihilangkan dari notasi meskipun .
 Dalam kasus khusus bahwa  adalah grup simetrik derajat  adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya  (dengan tindakan alami ) dan kemudian hilangkan  dari notasi. Yaitu,  biasanya menunjukkan  bukan hasilkali karangan bunga beraturan . Dalam kasus pertama, grup basisnya adalah hasilkali dari  salinan dari , dalam kasus terakhirnya adalah hasilkali dari  salinan dari  (dimana  melambangkan faktorial).

Sifat

Perjanjian hasil kali karangan bunga yang tidak terbatas dan terbatas pada terhingga  
Karena hasil kali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasi lkali karangan bunga tak terbatas  dan terbatas  setuju jika himpunan- dari  terbatas. Khususnya, ini benar ketika .

Sub grup 
selalu merupakan subgrup dari .

Kekardinalan 
Jika ,  dan  adalah terhingga, maka

.

Teorema pembenaman semesta 

Jika  adalah ekstensi dari  oleh , maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas  yang isomorfik dengan. Ini juga dikenal sebagai teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.

Tindakan kanonik hasilkali karangan bunga 

Jika grup  bertindak pada himpunan , maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari  dan  yang mana  (and therefore also A wrΩ H) can act.

 Tindakan hasilkali karangan bunga takprimitif pada Λ × Ω.

 Jika ((aω),h) ∈ A WrΩ H and (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, then

 

 Tindakan hasilkali karangan bunga primitif di ΛΩ.

 Elemen pada Λ Ω  adalah urutan (λω) diindeks dari himpunan  H  Ω. Diberikan sebuah elemen ((aω), h) ∈ A WrΩ H operasinya pada (λω) ∈ ΛΩ is given by

Referensi

Pranala luar 
 Wreath product in Encyclopedia of Mathematics. 
 Some Applications of the Wreath Product Construction. 

Teori grup
Grup permutasi
Operasi biner