Ruang metrik lengkap

Dalam analisis matematika, sebuah ruang metrik  disebut lengkap (atau ruang Cauchy) jika setiap barisan Cauchy dari titik-titik di  memiliki limit yang juga ada di  atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada  dengan .

Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan bilangan rasional tidak lengkap, karena, sebagai contoh,  adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju  itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah). "Semua lubang" pada ruang tak lengkap itu akan selalu dapat diisi, yakni dengan membangun suatu "pelengkap" dari ruang tersebut, seperti yang dijelaskan di bawah ini.

Definisi 

Suatu barisan  dalam ruang metrik  disebut Cauchy apabila untuk setiap positif bilangan riil  ada bilangan bulat  positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif , 
.

Konstanta ekspansi dari suatu ruang metrik adalah batas bawah terbesar dari semua konstanta  sedemikian sehingga apabila keluarga saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan  tidak kosong.

Ruang metrik  dikatan lengkap apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:
Setiap barisan Cauchy dari titik-titik di memiliki limit yang juga ada di
Setiap barisan Cauchy di  konvergen menuju (yaitu, ke beberapa titik ).
Konstanta ekspansi  adalah ≤ 2.
Setiap barisan menurun dari himpunan bagian tertutup tak kosong ditutup dari , dengan diameter cenderung ke 0, memiliki irisan tak kosong: jika  tertutup dan tidak kosong,   untuk , dan , maka  umum untuk semua himpunan .

Contoh 
Ruang Q dari bilangan rasional dengan metrik standar yang diberikan oleh nilai mutlak dari selisih bukanlah ruang metrik lengkap. Sebagai contoh, perhatikan barisan dengan  dan  Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limit, maka dengan menyelesaikan , haruslah x2 = 2, namun tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun jika barisan tersebut dianggap sebagai barisan bilangan riil, maka barisan itu konvergen ke bilangan irasional .

Interval buka , pun dengan metrik nilai mutlak, juga bukan ruang metrik lengkap. Barisan dengan  =  adalah barisan Cauchy, tetapi tidak memiliki limit dalam ruang yang diberikan. Namun pada interval tertutup ; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.

Ruang R dari bilangan real dan spasi C dari bilangan kompleks (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula ruang Euklides Rn, dengan metrik jarak biasa.
Sebaliknya, ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah ruang Banach. Ruang C dari fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks.
Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C fungsi kontinu , karena mungkin berisi fungsi tak terbatas.
Sebaliknya, dengan topologi konvergensi komplek, C dapat diberikan struktur Ruang Fréchet: ruang vektor topologi cembung lokal yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang Qp of bilangan p-adic selesai untuk semua bilangan prima .
Ruang ini melengkapi Q dengan  p -metrik adic dengan cara yang sama seperti R melengkapi Q dengan metrik biasa.

Jika  adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut  dari semua barisan di  menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara barisan  dan  menjadi , dengan  adalah indeks terkecilnya  adalah berbeda dari , atau  jika tidak ada indeks seperti itu.
Spasi ini homeomorfik ke produk dari terhitung jumlah salinan ruang diskrit .

Manifold Riemannian kompleks disebut manifold geodesik; kelengkapan mengikuti dari teorema Hopf–Rinow.

Beberapa teorema 
Setiap ruang metrik kompak merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak jika dan hanya jika lengkap dan terbatas total. Ini adalah perumuman dari Teorema Heine–Borel, yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas  dari Rn kompleks dan karena itu lengkap.

Maka  menjadi ruang metrik lengkap.
Jika  adalah himpunan tertutup, maka . 
Maka  menjadi ruang metrik.
Jika  adalah subruang kompleks, maka  tertutup.

Jika  adalah himpunan dan  adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan  dari semua fungsi terbatas  f  dari  hingga  adalah ruang metrik lengkap. 
Di sini kami mendefinisikan jarak dalam  dalam hal jarak di  dengan norma supremum

Jika  adalah ruang topologi dan  adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan  terdiri dari semua kontinu fungsi yang dibatasi  dari  hingga  adalah subruang tertutup dari {{math|B(X, M).

Teorema kategori Baire mengatakan bahwa setiap ruang metrik lengkap adalah ruang Baire. 
Yaitu, gabungan dari terhitung banyak tempat padat himpunan bagian ruang memiliki interior kosong.

Teorema titik tetap Banach menyatakan bahwa pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap mengakui titik tetap. Teorema titik tetap sering digunakan untuk membuktikan teorema fungsi invers.

Pelengkap 
Untuk setiap ruang metrik  M , seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap  M ′ (yang juga dilambangkan sebagai ), yang berisi  M  sebagai subruang padat. Ini memiliki sifat universal berikut: jika  N  adalah spasi metrik lengkap dan  f  adalah fungsi kontinu seragam dari  M  hingga  N , maka ada tunggal fungsi kontinu seragam  f ''' dari  M ′ ke N. Ruang  M  'ditentukan hingga isometri oleh sifat ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung M), dan disebut pelengkap dari M.

Pelengkap  M  dapat dibangun sebagai satu set kelas ekivalen dari barisan Cauchy di  M . Untuk dua barisan Cauchy x = (xn) dan y = (yn) di  M , kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai
 

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya pseudometrik, belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah relasi ekuivalen pada himpunan semua barisan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, pelengkap dari  M .  Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen  x  dari  M ' dengan kelas ekivalen barisan dalam M yang menyatu dengan x (yaitu, kelas ekivalen yang berisi barisan dengan nilai konstan  x ). Ini mendefinisikan isometri ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi pelengkap bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.

 Lihat pula 
 Pelengkap (aljabar)
 
 
 Teorema Knaster–Tarski

 Catatan 

 Referensi 
 
 Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications'' (Wiley, New York, 1978). 
 Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" 
 

Geometri metrik