Grup Lie

Dalam matematika, grup Lie ( "Lee") adalah grup yang merupakan lipatan berjenis. Lipatan adalah ruang lokal ruang Euklides, sedangkan grup mendefinisikan abstrak, konsep umum perkalian dan pengambilan invers (pembagian). Menggabungkan dua ide ini, kita akan mendapatkan grup kontinu dimana poin dikalikan secara kebersamaan dan kebalikannya dapat diambil. Jika, sebagai penambahan, perkalian, dan pengambilan invers didefinisikan sebagai halus (terdiferensiasi), maka kita mendapatkan rumus grup Lie.

Grup Lie diberikan sebuah model alami untuk konsep simetri kontinu, contohnya adalah simetri rotasi dalam tiga dimensi (diberikan oleh grup ortogonal khusus ). Grup Lie sering digunakan di banyak bagian matematika dan fisika modern.

Grup Lie pertama kali ditemukan dengan mempelajari subgrup matriks  dalam  or , grup dari  matriks inver di atas  atau . Ini disebut sebagai grup klasik, karena konsepnya telah diperluas jauh melampaui asal-usulnya. Grup Lie dinamai menurut matematikawan asal Norwegia yaitu Sophus Lie (1842–1899) yang memberikan dasar teori grup transformasi kontinu. Motivasi asli Lie untuk memperkenalkan grup Lie adalah untuk model kesimetrian kontinu dengan persamaan diferensial yang sama bahwa grup hingga digunakan dalam teori Galois untuk model simetri diskrit persamaan aljabar.

Ikhtisar 

Grup Lie adalah lipatan berjenis halus dan dengan demikian dapat dipelajari menggunakan kalkulus diferensial berbeda dengan grup topologi umum. Salah satu ide kunci dalam teori grup Lie adalah mengganti objek global grup dengan versi lokal atau linierisasi. Grup Lie sendiri disebut sebagai "grup infinitesimal" dan dikenal sebagai aljabar Lie.

Grup Lie memainkan peran yang sangat besar dalam geometri modern unruk beberapa tingkatan yang berbeda. Felix Klein berpendapat dalam program Erlangen dapat mempertimbangkan berbagai "geometri "dengan menentukan grup transformasi yang sesuai yang menghilangkan sifat geometris invarian. Jadi geometri Euklides dengan pilihan grup E(3) dari transformasi jarak ruang Euklides R3 konformal geometri dengan memperbesar grup ke grup konformal, sedangkan dalam geometri proyektif tertarik pada sifat invarian di bawah grup proyektif. Ide ini kemudian mengarah pada gagasan tentang sebuah struktur-G, dimana G adalah grup Lie dari simetris "lokal" dari lipatan.

Grup Lie dan aljabar Lie memainkan peran utama dalam fisika modern, dengan grup Lie biasanya memainkan peran sebagai simetri sistem fisik. Di sini, wakilan dari grup Lie atau aljabar Lie sangat penting untuk penggunaannya. Teori representasi digunakan secara luas dalam fisika partikel. Grup wakilannya sangat penting untuk digunakan grup rotasi S(3) atau penutup ganda SU(2), grup satuan khusus SU(3) dan grup Poincaré.

Pada tingkat "global", setiap grup Lie aksi pada objek geometris, yaitu Riemannian atau lipatan simplektis, aksi ini memberikan ukuran dan menghasilkan struktur aljabar yang banyak. Adanya simetri kontinu yang diekspresikan melalui grup Lie aksi pada lipatan menempatkan batasan yang kuat pada geometrinya dan memfasilitasi analisis pada lipatan. Grup Lie aksi sangat penting dalam penggunaannya, dan dipelajari dalam teori wakilan.

Pada 1940-an-1950-an, Ellis Kolchin, Armand Borel, dan Claude Chevalley menyadari bahwa banyak hasil dasar mengenai grup Lie yang dikembangkan sepenuhnya secara aljabar sebagai teori grup aljabar yang ditentukan melalui sembarang medan. Wawasan ini membuka kemungkinan baru dalam aljabar murni, dengan memberikan konstruksi seragam untuk sebagian besar grup sederhana hingga serta dalam geometri aljabar. Teori bentuk automorfik, cabang penting dari teori bilangan modern, berurusan secara ekstensif dengan analogi grup Lie selama gelanggang Adele; bilangan p-adik grup Lie memainkan peran penting dengan melalui koneksi dengan representasi Galois dalam teori bilangan.

Definisi dan contoh 
Grup Lie riil adalah grup merupakan berdimensi riil hingga lipatan halus, dimana operasi grup perkalian dan inversi adalah peta halus. Maka perkalian grup, adalah

jadi μ adalah pemetaan halus dari produk berjenis  sebagai G. Kedua persyaratan ini dapat digabungkan menjadi satu persyaratan yaitu pemetaan

sebagai pemetaan mulus dari produk berjenis yaitu G.

Grup Matriks Lie 

Maka  sebagai grup  matriks invers dengan entri dalam . Subgrup tertutup dari  adalah grup Lie yang disebut matriks grup Lie Karena sebagian besar contoh dari grup Lie direalisasikan sebagai matriks grup Lie, beberapa buku teks membatasi perhatian pada kelas ini, termasuk yang ada dalam Hall dan Rossmann. Membatasi sebuah matriks grup Lie dengan cara menyederhanakan definisi aljabar Lie dan peta eksponensial. Berikut ini adalah contoh standar grup matriks Lie.
Grup linear khusus di atas  dan  yaitu  dan  terdiri dari  matriks dengan determinan satu dan entri dalam  atau 
Grup unital dan grup uniter khusus yaitu  dan , terdiri dari  matriks kompleks  (dan  dalam kasus )
Grup ortogonal dan grup ortogonal khusus yaitu  dan , terdiri dari  matriks  (dan  dalam kasus )
Semua contoh sebelumnya termasuk dalam tajuk grup klasik.

Konsep terkait 
Grup Lie kompleks didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan lipatan kompleks yang sebenarnya (contoh: ), dan menggunakan alternatif pelengkap metrik dari , grup topologi dimana setiap titik memiliki lingkungan p-adik.

Masalah kelima Hilbert menanyakan apakah untuk mengganti lipatan yang dibedakan dengan topologi atau analitik dapat menghasilkan contoh baru. Jawaban atas pertanyaan ini ternyata negatif: pada tahun 1952 matematikawan Gleason, Montgomery dan Zippin menunjukkan bahwa jika G adalah lipatan topologi, maka tepat satu struktur analitik pada G yang mengubah menjadi grup Lie (lihat pula Konjektur Hilbert–Smith). Jika lipatan dasar yang berdimensi tak hingga (misalnya, lipatan Hilbert), maka sampai pada gagasan tentang grup Lie berdimensi tak hingga. Dimungkinkan untuk mendefinisikan analogi dari banyak grup Lie di atas bidang hingga, dan memberikan sebagian besar contoh grup sederhana hingga.

Definisi topologi 
Grup Lie dapat didefinisikan sebagai (Hausdorff) grup topologi dimana elemen tersebut adalah identitas, terlihat seperti grup transformasi, tanpa referensi ke lipatan yang dibedakan. Pertama, definisikan grup Lie linear jauh menjadi subgrup G dari grup linear umum  maka
 untuk beberapa lingkungan V dari elemen identitas e dalam G, topologi V adalah topologi subruang  dan V sebagai penutupan dalam .
 G memiliki hitung komponen yang terhubung.
Misalnya, subgrup tertutup dari ; yaitu, matriks grup Lie memenuhi kondisi di atas.

Maka grup Lie didefinisikan sebagai grup topologi (1) secara lokal isomorfik dekat identitas ke grup Lie linear dan (2) memiliki banyak komponen yang terhubung. Menunjukkan definisi topologi ekuivalen dengan yang biasa bersifat teknis (dan pembaca pemula harus melewatkan yang berikut) tetapi dilakukan sebagai berikut:
 Diberikan grup Lie  G  dalam arti berjenis biasa, korespondensi grup Lie–aljabar Lie (atau versi teorema ketiga Lie) membentuk subgrup Lie terbenam  maka  dibagikan aljabar Lie yang sama; dengan demikian, isomorfik secara lokal. Oleh karena itu, G memenuhi definisi topologi di atas.
 Maka G sebagai grup topologi yang merupakan grup Lie dalam pengertian topologis di atas dan grup Lie linear  lokal isomorfik ke G. Kemudian, dengan versi teorema subgrup tertutup,  adalah lipatan analitik-riil dan isomorfisme lokal, G memperoleh struktur lipatan ganda dekat elemen identitas. Maka ditunjukkan hukum grup G diberikan deret pangkat formal; jadi operasi grup adalah analitik-riil dan G adalah lipatan analitik-riil.

Definisi topologi sebagai dua grup Lie isomorfik sebagai grup topologi, maka isomorfik adalah grup Lie. Faktanya, prinsip umum bahwa untuk sebagian besar, topologi grup Lie dengan hukum grup menentukan geometri grup.

Contoh pertama 
 Matriks riil 2 × 2  sebuah grup dalam perkalian, dilambangkan dengan  atau dengan GL2(R):

 

 Ini disebut sebagai grup Lie riil empat dimensi non-kompak adalah himpunan bagian dari . Grup ini menghubungkan dua komponen diantara nilai positif dan negatif dari determinan.

 Matriks rotasi sebagai subgrup dari  yang dilambangkan dengan . Ini disebut sebagai grup Lie dalam sendiri: khususnya, grup Lie menghubungkan kompak satu dimensi difeomorfik ke lingkaran. Menggunakan sudut rotasi  sebagai parameter, grup ini dapat berupa parametrized sebagai berikut:
 

Penjumlahan sudut sesuai dengan perkalian elemen , dan mengambil sudut berlawanan sesuai dengan inversi. Jadi perkalian dan inversi adalah peta yang dapat dibedakan.

 Grup affin satu dimensi adalah grup Lie matriks dua dimensi yang terdiri dari  matriks segitiga atas dengan entri diagonal pertama positif dan entri diagonal kedua adalah 1. Jadi, grup tersebut terdiri dari matriks formulir

Bukan contoh 
Untuk contoh grup dengan elemen tak terhitung yang bukan grup Lie di bawah topologi tertentu. Grup diberikan oleh

dengan  sebuah bilangan irasional adalah subgrup dari torus  yang bukan grup Lie diberikan oleh topologi subruang. Jika mengambil lingkungan  dari sebuah titik  dengan : contoh, bagian dari  dalam  adalah terputus. Grup dengan rotasi  di sekitar torus tanpa mencapai titik spiral sebelumnya dan dengan demikian sebagai .

Grup  diberikan topologi yang berbeda, dimana jarak antara dua titik  didefinisikan sebagai panjang dari jalur terpendek dalam grup  sebagai gabungan  dengan . Dalam topologi ini,  diidentifikasi secara homeomorfis dengan garis riil untuk mengidentifikasi setiap elemen dengan bilangan  dalam definisi . Dengan topologi ini,  sebagai grup bilangan riil yang ditambahkan, oleh karena itu merupakan grup Lie.

Grup  adalah contoh gelanggang dari "subgrup Lie" dari grup Lie yang tidak tertutup. Lihat pembahasan subgrup Lie di bawah ini pada bagian tentang konsep dasar.

Lebih banyak contoh dari grup Lie 

Grup Lie terdapat di seluruh materi matematika dan fisika. Grup matriks atau grup aljabar adalah grup matriks, misalnya: ortogonal dan grup simplektis, dan ini memberikan sebagian besar yang umum contoh dari Lie.

Dimensi satu dan dua 
Salah satu grup Lie yang terhubung dengan dimensi satu adalah garis riil  dengan operasi grup menjadi penjumlahan dan grup lingkaran  bilangan kompleks dengan nilai absolut satu dengan operasi grup menjadi perkalian.  grup dilambangkan sebagai  sebagai grup matriks uniter .

Dalam dua dimensi, jika membatasi hanya pada grup yang terhubung, maka diklasifikasikan oleh aljabar Lie. Ada (hingga isomorfisme) hanya dua aljabar Lie berdimensi dua. Grup Lie yang terhubung secara sederhana adalah  dengan operasi grup sebagai penjumlahan vektor dan grup affin dalam dimensi satu, dijelaskan di sub-bagian sebelumnya di bawah "contoh pertama".

Contoh tambahan 
 Grup SU(2) adalah grup matriks uniter  dengan determinan . Secara topologis,  adalah bola- oleh ; sebagai grup diidentifikasikan dengan grup unit kuaternion.
 Grup Heisenberg adalah grup dimensi nilpoten menghubungkan  yang memainkan peran kunci dalam mekanika kuantum.
 Gru0 Lorentz adalah grup Lie 6 dimensi dari isometri dari ruang Minkowski.
 Grup Poincaré adalah grup Lie 10 dimensi dari isometri affin dari ruang Minkowski.
 Grup Lie eksepsional tipe G2, F4, E6, E7, E8 memiliki dimensi 14, 52, 78, 133, dan 248. Dengan deret A-B-C-D grup Lie sederhana, grup eksepsional melengkapi daftar grup Lie sederhana. 
 Grup simplektik  terdiri dari semua  matriks mempererat bentuk simplektis dalam . Ini disebut sebagai grup dimensi Lie yang menghubungkan .

Konstruksi 
Ada beberapa cara standar untuk membentuk grup Lie yang baru dari lama:
 Produk dari dua grup Lie adalah grup Lie.
 Setiap subgrup topologi tertutup dari grup Lie adalah grup Lie. Ini dikenal sebagai Teorema subgrup tertutup atau teorema Cartan.
 Hasil bagi dari grup Lie oleh subgrup normal tertutup adalah grup Lie.
 Sampul universal dari grup Lie yang terhubung adalah grup Lie. Misalnya, grup  adalah sampul universal grup lingkaran . Faktanya, setiap simpul dari lipatan yang dapat dibedakan juga merupakan lipatan yang dapat dibedakan, tetapi dengan menentukan sampul universal untuk struktur grup (kompatibel dengan struktur lainnya).

Pengertian terkait 
Beberapa contoh grup yang bukan grup Lie (kecuali dalam pengertian solvabel bahwa setiap grup banyak dapat dilihat sebagai grup Lie 0 dimensi, dengan topologi diskrit), adalah:

 Gugus berdimensi tak hingga merupakan grup aditif ruang vektor riil berdimensi tak hingga, atau ruang fungsi halus dari lipatan  ke grup Lie , . Ini bukan grup Lie karena bukan lipatan "berdimensi-hingga".
 Beberapa grup total putusan merupakan grup Galois dengan ekstensi tak hingga bidang, atau grup aditif dari bilangan p-adik. Ini bukan grup Lie karena ruang dasarnya bukan lipatan riil. Beberapa dari grup ini adalah "grup Lie p-adik". Secara umum, l grup topologi yang memiliki kesamaan sifat lokal Rn untuk beberapa bilangan bulat positif n dapat berupa grup Lie (tentu harus memiliki struktur yang dibedakan).

Konsep dasar

Peta eksponensial 

Peta eksponensial untuk aljabar Lie  dari grup linear umum  ke  ditentukan dengan matriks eksponensial yang diberikan oleh deret pangkat biasa untuk matriks :

Jika  adalah subgrup tertutup dari , maka peta eksponensial mengambil aljabar Lie dari  menjadi ; dengan demikian, memiliki peta eksponensial untuk semua grup matriks. Setiap elemen  yang hampir dekat dengan identitas adalah eksponensial matriks dalam aljabar Lie.

Definisi di atas mudah digunakan, tetapi tidak ditentukan untuk grup Lie yang bukan grup matriks, dan tidak jelas bahwa peta eksponensial grup Lie tidak bergantung pada wakilannya. Kita dapat menyelesaikan kedua masalah tersebut menggunakan definisi yang abstrak dari peta eksponensial yang berfungsi untuk semua grup Lie, sebagai berikut.

Untuk setiap vektor  dalam aljabar Lie  dari  yaitu ruang bersinggungan  pada identitas, yang membuktikan bahwa  subgrup satu parameter unik  dirumuskan . Bahwa  adalah subgrup satu parameter berarti   adalah peta mulus  dan untuk semua  dan :

Operasi di sisi kanan adalah perkalian grup dalam . Kesamaan formal rumus ini dengan yang valid untuk fungsi eksponensial membenarkan definisi tersebut

Ini disebut peta eksponensial, dan memetakan aljabar Lie  dalam grup Lie . Ini memberikan diffeomorfisme antara lingkungan dari 0  dan lingkungan  dalam . Peta eksponensial ini merupakan generalisasi dari fungsi eksponensial untuk bilangan riil, maka  adalah aljabar Lie dari kelompok Lie bilangan riil positif dengan perkalian, untuk bilangan kompleks, maka  adalah aljabar Lie dari grup Lie dari bilangan kompleks bukan nol dengan perkalian) dan untuk matriks (karena  dengan komutator biasa adalah aljabar Lie dari grup Lie  dari semua matriks invers).

Karena peta eksponensial bersifat konjektur di beberapa lingkungan  dari  adalah hal umum untuk elemen aljabar Lie infinitesimal generator dari grup . Subgrup  sebagai  adalah komponen identitas .

Peta eksponensial dan aljabar Lie menentukan struktur grup lokal dari setiap grup Lie yang terhubung, karena rumus Baker–Campbell–Hausdorff: lingkungan  dari elemen nol  yang dirumuskan , maka

dimana istilah yang dihilangkan diketahui dan melibatkan kurung Lie dari empat elemen atau lebih. Jika  dan  komutator, rumus tersebut direduksi menjadi hukum eksponensial yang dikenal sebagai 

Peta eksponensial menghubungkan homomorfisme grup Lie. Artinya, jika  adalah homomorfisme grup Lie dan  peta induksi aljabar Lie yang tepat, maka untuk semua  yaitu

Dengan kata lain, diagram berikut komutatif,

Singkatnya, exp adalah transformasi alami dari functor Lie ke identitas funktor pada kategori grup Lie.

Peta eksponensial dari aljabar Lie ke grup Lie tidak selalu ekspresif, bahkan jika grup tersebut terhubung yang memetakan ke grup Lie untuk grup terhubung yang kompak atau nilpoten.

Subgrup Lie 
Subgrup Lie  dari grup Lie  adalah grup Lie himpunan bagian dari  dan peta inklusi dari  ke  yang merupakan injektif pencelupan dan homomorfisme grup. Menurut teorema Cartan, subgrup tertutup dari  mengetahui struktur halus unik yang menjadikannya sebuah subgrup tancapan Lie dari , yaitu sebuah subgrup Lie sedemikian rupa sehingga peta inklusi adalah penyematan mulus.

Banyak contoh subgrup non-tertutup; misalnya mengambil  sebagai torus berdimensi 2 atau lebih besar, dan  sebagai subgrup satu parameter dari lerengan irasional, yaitu salah satu dalam G. Maka grup Lie homomorfisme  dengan . penutupan dari  sebagai sub-torus .

peta eksponensial menghasilkan korespondensi satu-ke-satu antara subgrup Lie  terhubung dari grup Lie yang terhubung  dan subaljabar dari aljabar Lie . Biasanya, subgrup yang sesuai dengan subaljabar bukanlah subgrup tertutup. Tidak ada kriteria yang didasarkan pada struktur  untuk menentukan subaljabar, dimana yang sesuai dengan subgrup tertutup.

Wakilan 

Salah satu aspek penting dari studi grup Lie adalah wakilan, yaitu cara bertindak (secara linear) pada ruang vektor. Dalam fisika, grup Lie sering kali menyandikan kesimetrian sistem fisik. Cara menggunakan simetri ini untuk membantu menganalisis sistem sering kali melalui teori wakilan. Pertimbangkan, misalnya, persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu dalam mekanika kuantum, . Asumsikan sistem yang dimaksud grup rotasi SO(3) sebagai simetri, artinya operasi Hamiltonian  komutatif dengan aksi SO(3) pada fungsi gelombang . Salah satu contoh penting dari sistem hal itu adalah atom hidrogen. Asumsi tersebut tidak berarti bahwa solusi  adalah fungsi invarian secara rotasi. Sebaliknya, hal itu berarti bahwa ruang dari solusi  adalah invarian dalam rotasi (untuk setiap nilai tetap ). Ruang ini, merupakan wakilan dari SO(3). Wakilan ini telah diklasifikasikan dan mengarah ke penyederhanaan penyederhanaan masalah, pada dasarnya mengubah persamaan diferensial parsial tiga dimensi menjadi persamaan diferensial biasa satu dimensi.

Kasus grup Lie kompak terhubung K (termasuk kasus SO(3) yang baru saja disebutkan) sangat mudah ditangani. Dalam hal ini, setiap wakilan berdimensi-hingga dari K terurai sebagai jumlah langsung dari wakilan yang tidak direduksi. Wakilan yang tidak direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan oleh Hermann Weyl. Klasifikasi adalah dalam istilah "bobot tertinggi" dari representasi. Klasifikasi ini terkait erat dengan klasifikasi wakilan dari aljabar Lie semisederhana.

Dengan mempelajari wakilan satuan (secara umum berdimensi-tak-hingga) dari suatu grup Lie yang berubah-ubah (tidak kompak). Misalnya, untuk memberikan deskripsi eksplisit yang relatif sederhana tentang wakilan dari grup SL(2,R) dan wakilan dari grup Poincaré.

Sejarah awal 
Menurut sumber paling otoritatif pada sejarah awal grup Lie (Hawkins, hal. 1), Sophus Lie menganggap musim dingin tahun 1873–1874 sebagai tanggal lahir teorinya tentang grup kontinu. Namun, Hawkins menyatakan bahwa "aktivitas penelitian Lie yang luar biasa selama periode empat tahun dari musim gugur 1869 hingga musim gugur 1873" yang mengarah pada penciptaan teori (ibid). Beberapa ide awal Lie dikembangkan dalam kolaborasi erat dengan Felix Klein. Lie bertemu dengan Klein setiap hari dari Oktober 1869 hingga 1872 di Berlin dari akhir Oktober 1869 hingga akhir Februari 1870, dan di Paris, Göttingen dan Erlangen dalam dua tahun berikutnya (ibid, hal. 2). Lie menyatakan bahwa semua hasil utama diperoleh pada tahun 1884. Tetapi selama tahun 1870-an semua makalahnya (kecuali catatan pertama) diterbitkan di jurnal Norwegia yang menghambat pengakuan atas karya tersebut di seluruh Eropa (ibid, hal 76). Pada tahun 1884, matematikawan muda asal Jerman, Friedrich Engel, datang untuk bekerja dengan Lie pada risalah sistematis untuk mengekspos teorinya tentang grup kontinu. Dari upaya ini dihasilkan tiga jilid Theorie der Transformationsgruppen, diterbitkan pada tahun 1888, 1890, dan 1893. Istilah groupes de Lie pertama kali muncul dalam bahasa Prancis pada tahun 1893 dalam tesis murid Lie, Arthur Tresse.

Ide Lie tidak terpisah dari matematika lainnya. Faktanya, ketertarikannya pada geometri persamaan diferensial pertama kali dimotivasi oleh karya Carl Gustav Jacobi, pada teori persamaan diferensial parsial orde pertama dan pada persamaan mekanika klasik. Banyak dari karya Jacobi diterbitkan secara anumerta pada tahun 1860-an, membangkitkan minat yang sangat besar di Prancis dan Jerman (Hawkins, hal.43). Idée fixe Lie adalah pengembangan teori kesimetrian persamaan diferensial yang diselesaikan oleh Évariste Galois untuk persamaan aljabar: yaitu, untuk mengklasifikasikannya dalam teori grup. Lie dan matematikawan lainnya menunjukkan persamaan yang paling penting untuk fungsi khusus dan polinomial ortogonal cenderung muncul dari kesimetrian teoretis grup. Dalam karya awal Lie, idenya adalah untuk membangun teori grup kontinu, untuk melengkapi teori kelompok diskrit yang telah dikembangkan dalam teori bentuk modular, di tangan Felix Klein dan Henri Poincaré. Aplikasi awal yang ada dalam pikiran Lie adalah teori persamaan diferensial. Pada model teori Galois dan persamaan polinomial, konsep penggeraknya adalah teori yang mampu menyatukan, dengan mempelajari simetri, seluruh luas persamaan diferensial biasa. Namun, harapan bahwa Teori Kebohongan akan menyatukan seluruh bidang persamaan diferensial biasa tidak terpenuhi. Metode simetri untuk ODE terus dipelajari, namun tidak mendominasi materi. Ada teori Galois diferensial, tetapi dikembangkan oleh orang lain, seperti Picard dan Vessiot, dan ini memberikan teori kuadratur, integral tak hingga.

Dorongan tambahan untuk mempertimbangkan kelompok berkelanjutan berasal dari gagasan Bernhard Riemann, pada dasar-dasar geometri, dan pengembangan lebih lanjut mereka di tangan Klein. Jadi tiga tema utama dalam matematika abad ke-19 digabungkan oleh Lie dalam menciptakan teori barunya: ide simetri, seperti yang dicontohkan oleh Galois melalui pengertian aljabar dari grup; teori geometri dan solusi eksplisit dari persamaan diferensial mekanika, dikerjakan oleh Poisson dan Jacobi; dan pemahaman baru tentang geometri yang muncul dalam karya Plücker, Möbius, Grassmann dan lainnya, dan berpuncak pada visi revolusioner Riemann tentang subjek tersebut.

Meskipun saat ini Sophus Lie diakui sebagai pencipta teori kelompok berkelanjutan, langkah besar dalam pengembangan teori struktur mereka, yang memiliki pengaruh besar pada perkembangan matematika selanjutnya, dibuat oleh Wilhelm Killing, yang pada tahun 1888 menerbitkan makalah pertama dalam seri berjudul Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (Komposisi grup transformasi hingga kontinu) (Hawkins, hlm. 100). Pekerjaan Pembunuhan, kemudian disempurnakan dan digeneralisasikan oleh Élie Cartan, mengarah ke klasifikasi aljabar Lie setengah sederhana, Teori Cartan tentang ruang simetris, dan deskripsi Hermann Weyl tentang representasi dari grup Lie yang kompak dan setengah sederhana.

Pada tahun 1900 David Hilbert menantang ahli teori Lie dengan Masalah Kelima yang dipresentasikan pada Kongres Internasional Ahli Matematika di Paris.

Weyl membawa periode awal perkembangan teori kelompok Lie membuahkan hasil, karena tidak hanya dia mengklasifikasikan representasi tak tersederhanakan dari kelompok Lie semisimple dan menghubungkan teori grup dengan mekanika kuantum, tetapi dia juga menempatkan teori Lie itu sendiri pada pijakan yang lebih kokoh dengan secara jelas menyatakan perbedaan antara  grup sangat kecil  Lie (yaitu, Lie algebras) dan grup Lie yang sesuai, dan mulai menyelidiki topologi grup Lie. Teori kelompok Lie secara sistematis dikerjakan ulang dalam bahasa matematika modern dalam sebuah monograf oleh Claude Chevalley.

Konsep grup Lie, dan kemungkinan klasifikasi 
Grup Lie dianggap sebagai grup kesimetrian yang bervariasi dengan polos. Contoh kesimetrian termasuk rotasi di sekitar sumbu. Yang harus dipahami adalah sifat transformasi 'kecil', misalnya, rotasi melalui sudut-sudut kecil, yang menghubungkan transformasi di dekatnya. Objek matematika yang menangkap struktur ini disebut aljabar Lie (Lie sendiri menyebutnya "grup infinitesimal"). Dapat didefinisikan karena grup Lie adalah lipatan polos, sehingga memiliki ruang tangen pada setiap titik.

Aljabar Lie dari setiap grup Lie kompak (kira-kira: salah satu yang kesimetriannya membentuk himpunan hingga) dapat didekomposisi sebagai jumlah langsung dari aljabar Lie Abelian dan sejumlah sederhana. Struktur aljabar Lie abelian secara matematis tidak menarik, karena tanda kurung Lie identik dengan nol, minatnya terdapat pada ringkasan sederhana. Karenanya muncul pertanyaan, sebagai berikut: Apa aljabar Lie sederhana dari grup kompak? Ternyata mereka kebanyakan ke dalam empat keluarga tak hingga, "aljabar Lie klasik" An, Bn, Cn dan Dn, yang dimiliki deskripsi sederhana dalam hal kesimetrian ruang Euklides. Tetapi hanya ada lima "aljabar Lie eksepsional" yang tidak termasuk dalam salah satu keluarga ini. E8 adalah yang terbesar.

Grup Lie diklasifikasikan menurut sifat aljabar, yaitu sederhana, semi-sederhana, berpenyelesaian, nilpoten, abelian, keterhubungan, yaitu terkoneksi atau terhubung sederhana, dan kekompakan.

Hasil utama pertama adalah dekomposisi Levi yang mengatakan bahwa setiap grup Lie yang terhubung sederhana adalah produk semilangsung dari subgrup normal yang dapat dipecahkan dan subgrup semisederhana.

 Grup Lie kompak yang terhubung yang diketahui: pusat hasil bagi hingga dari produk salinan grup lingkaran S1 dan grup Lie kompak sederhana, yang sesuai dengan diagram Dynkin yang terhubung.
 Setiap gugus Lie berpenyelesaian secara sederhana adalah isomorfik ke subgrup tertutup dari grup matriks segitiga atas invers dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup seperti itu adalah 1-dimensi. Grup berpenyelesaian terlalu berantakan untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
 Setiap grup Lie nilpoten yang terhubung sederhana adalah isomorfik ke sungrup tertutup dari grup matriks segitiga atas yang dapat dibalik dengan 1 dalam diagonal dari beberapa peringkat, dan wakilan tak tersederhanakan berdimensi-hingga dari grup adalah 1-dimensi. Seperti grup berpenyelesaian, grup nilpoten untuk diklasifikasikan kecuali dalam beberapa dimensi kecil.
 Grup Lie sederhana terkadang didefinisikan sebagai grup yang sederhana sebagai grup abstrak, dan terkadang didefinisikan sebagai grup Lie yang terhubung dengan aljabar Lie sederhana. Misalnya, SL(2, R) sederhana menurut definisi kedua tetapi tidak menurut definisi pertama. Seluruhnya telah diklasifikasikan (untuk kedua definisi).
 Grup Lie Semisederhana adalah grup Lie yang aljabar Lie merupakan produk dari aljabar Lie sederhana. Seluruhnya adalah perluasan utama dari produk grup Lie sederhana.

Komponen identitas dari setiap grup Lie adalah subgrup normal terbuka, dan grup hasil bagi adalah grup diskrit. Sampul universal dari setiap grup Lie yang terhubung adalah grup Lie yang terhubung secara sederhana, dan sebaliknya setiap grup Lie yang terhubung adalah hasil bagi dari grup Lie yang terhubung secara sederhana oleh subgrup normal diskrit dari pusat. Setiap grup Lie G diuraikan menjadi grup diskrit sederhana, dan abelian dengan cara kanonik sebagai berikut. Ditulis sebagai:
Gcon untuk komponen identitas yang terhubung
Gsol untuk subgrup berpenyelesaian normal terbesar yang terhubung
Gnil untuk subgrup nilpoten normal terbesar yang terhubung
maka, memiliki urutan subgrup normal
1 ⊆ Gnil ⊆ Gsol ⊆ Gcon ⊆ G.
Kemudian
G/Gcon yang bersifat diskrit
Gcon/Gsol adalah ekstensi pusat dari produk grup Lie terhubung sederhana.
Gsol/Gnil yang bersifat abelian. Grup Lie Abelian yang terhubung bersifat isomorfik ke produk salinan R dan grup lingkaran S1.
Gnil/1 adalah nilpoten, dan oleh karena itu deret pusat menaiknya memiliki semua hasil bagi abelian.

Ini digunakan untuk mengurangi beberapa masalah tentang grup Lie (seperti menemukan wakilan uniter) untuk masalah yang sama untuk grup sederhana yang terhubung dan sungrup nilpoten dan dipecahkan dengan dimensi yang lebih kecil.

 Grup difeomorfisme dari grup Lie bertindak secara transitif pada grup Lie
 Setiap grup Lie adalah parallelizabel, dan karenanya lipatan berorientasi (terdapat isomorfisma berkas antara berkas tangen dan produk dengan ruang tangen pada identitasnya)

Lihat pula 

 Wakilan adjoin dari grup Lie
 Grup kompak
 Ukuran Haar
 Ruang homogen
 Aljabar Lie
 Daftar topik grup Lie
 Wakilan grup Lie
 Simetri dalam mekanika kuantum

Catatan

Catatan penjelasan

Kutipan

Referensi 
 .

 . Chapters 1–3 , Chapters 4–6 , Chapters 7–9 
 .
 P. M. Cohn (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
 J. L. Coolidge (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
 
 Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press  .
 .
 F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Academic Press, .
 Borel's review 

 .
 T. Kobayashi and T. Oshima, Lie groups and Lie algebras I, Iwanami, 1999 (in Japanese)
 
 . The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.

 .

 Heldermann Verlag Journal of Lie Theory 

 .
Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces  Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010

 
Lipatan
Simetri