Medan terurut

Dalam matematika, medan terurut atau lapangan terurut adalah medan yang urutan total elemen-elemennya serasi dengan operasi pada medan tersebut. Contoh sederhana dari medan terurut adalah medan bilangan real, dan setiap medan terurut lengkap Dedekind bersifat isomorfik ke real.

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut dalam urutan yang diwariskan. Setiap medan terurut berisi submedan terurut yaitu isomorfik ke bilangan rasional. Kuadrat selalu bukan negatif dalam medan berurutan. Ini berarti bahwa bilangan kompleks tidak dapat diurut karena kuadrat dari unit imajiner i adalah . medan hingga tidak dapat diurutkan.

Secara historis, aksiomatisasi medan terurut disarikan secara bertahap dari bilangan real, oleh ahli matematika termasuk David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Hal ini akhirnya berkembang menjadi Teori Artin–Schreier medan terurut dan secara formal medan riil.

Contoh medan terurut 
Contoh medan terurut adalah:
 bilangan rasional
 bilangan real
 submedan apa pun dari medan terurut, seperti bilangan aljabar atau bilangan terhitungkan real
 medan fungsi rasional nyata , dimana  dan  adalah polinomial dengan koefisien nyata, , dapat dibuat menjadi sebuah field berurutan dimana polinomial  lebih besar dari polinomial tetapan, dengan mendefinisikan  maka , pada  dan . medan terurut ini bukan Archimedes.
 medan  dari deret Laurent formal dengan koefisien real, di mana x dianggap sangat kecil dan positif
 transderet
 medan tertutup riil
 bilangan superriil
 bilangan hiperiil

Bilangan surreal membentuk kelas yang tepat daripada himpunan, tetapi sebaliknya mematuhi aksioma dari medan terurut. Setiap medan yang diurut dapat disematkan ke dalam bilangan surreal.

Sifat medan terurut 

Untuk setiap di:
 Antara −a ≤ 0 ≤ a atau a ≤ 0 ≤ −a.
 Salah satu dapat "menambahkan pertidaksamaan": jika  dan , maka .
 Salah satu dapat "mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif": jika  dan , maka .
 Transitivitas dari pertidaksamaan: jika  dan , maka .
 Jika  dan , maka .
 Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena 1> 0, maka , dan , dll. Jika medan memiliki karakteristik  p > 0, maka −1 akan menjadi jumlah dari satuan, tetapi  tidak positif.)  Khususnya, medan hingga tidak dapat diurut.
 Bilangan kuadrat tidak negatif:  untuk semua  di .
 Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol. Setara: 

Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut (mewarisi pengurutan yang diinduksi). Submedan terkecil adalah isomorfik ke rasional (seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0), dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri. Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya, maka medan tersebut dikatakan sebagai Archimedes . Jika tidak, medan tersebut adalah medan terurut takArchimedes dan berisi Infinitesimal. Misalnya, bilangan real membentuk medan Archimedes, tetapi bilangan hiperreal membentuk medan takArchimedes, karena meluas bilangan riil dengan elemen lebih besar.

medan terurut  isomorfik dengan medan bilangan real  jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari  dengan batas atas di  memiliki batas atas terkecil di  .

Ruang vektor atas medan terurut 
Ruang vektor (khususnya, ruang-n) atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus, yaitu: orientasi, konveksitas, dan darab dalam tentu positif. Lihat Ruang koordinat riil#Sifat dan penggunaan geometris untuk diskusi tentang sifat tersebut Rn, yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya.

Medan mana yang bisa diurutkan? 
Setiap medan yang diurutkan adalah medan riil secara formal, yaitu, 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol.

Sebaliknya, setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi, yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur. (Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik). Buktinya menggunakan Lemma Zorn.

medan hingga dan yang lebih umum medan positif karakteristik tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena pada karakteristik p, elemen −1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari (p  - 1) menguadratkan 12. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena −1 adalah kuadrat (dari bilangan imajiner  i ) dan karenanya akan menjadi positif. Selain itu, nomor p-adic tidak dapat diurut, karena menurut Lemma Hensel Q2 mengandung akar kuadrat dari −7, jadi 12+12+12+22+()2=0, dan Qp (p > 2) mengandung akar kuadrat dari 1 -  p , jadi (p−1)⋅12+()2=0.

Topologi diinduksi oleh urutan 
Jika  dilengkapi dengan topologi tatanan yang muncul dari tatanan total ≤, maka aksioma menjamin bahwa operasi + dan × adalah kontinu, sehingga  adalah medan topologi.

Topologi Harrison 
Topologi Harrison adalah topologi pada himpunan urutan XF dari medan formal yang nyata  F . Setiap urutan dapat dianggap sebagai homomorfisme kelompok perkalian dari F∗ ke ± 1. Memberikan ± 1 topologi diskret dan ±1F topologi produk menginduksi topologi subruang XF. Himpunan Harrison  membentuk subbasis untuk topologi Harrison. Produknya adalah Ruang Boole (padat, Hausdorff dan terputus), dan XF adalah himpunan bagian tertutup Boolean.

Lihat pula 
 Gelanggang terurut
 Ruang vektor terurut
 Medan praurutan

Catatan

Referensi 
 
 
 

Struktur aljabar terurut
Grup order
Geometri aljabar riil