Kategori modul

Dalam aljabar, diberi gelanggang R, kategori modul kiri di atas  R  adalah kategori yang objek semuanya tersisa modul di atas  R . Misalnya, jika  R  adalah ring integer s  'Z' , itu sama dengan kategori grup abelian. Kategori modul yang tepat didefinisikan dengan cara yang serupa.

Catatan: Beberapa penulis menggunakan istilah kategori modul untuk kategori modul. Istilah ini bisa ambigu karena bisa juga merujuk ke kategori dengan tindakan kategori-monoid.

Sifat 
Kategori modul kiri dan kanan adalah kategori abelian. Kategori ini memiliki proyektif cukup dan injeksi cukup. Teorema embedding Mitchell menyatakan setiap kategori abelian muncul sebagai subkategori lengkap dari kategori modul.

Limit proyektif dan batas induktif ada dalam kategori modul kiri dan kanan.

Di atas gelanggang komutatif, bersama dengan hasil kali tensor modul ⊗, kategori modul adalah kategori monoidal simetris.

Kategori ruang vektor 
kategori K-Vekt (beberapa penulis menggunakan VektK) memiliki semua ruang vektor di atas bidang  K  sebagai objek, dan  K  - peta linier sebagai morfisme. Karena ruang vektor di atas  K  (sebagai bidang) sama dengan modul di atas gelanggang K, K-Vect adalah kasus khusus R-Mod, kategori kiri  R  - modul.

Banyak dari aljabar linier berkaitan dengan deskripsi K-Vekt. Misalnya, teorema dimensi untuk ruang vektor mengatakan bahwa kelas isomorfisme ada di K-Vect sesuai persis dengan bilangan kardinal, dan itu K-Vekt adalah ekuivalen dengan subkategori dari K-Vekt yang memiliki ruang vektor sebagai objeknya Kn, dengan  n  adalah bilangan kardinal.

Generalisasi 
Kategori berkas modul di atas ruang berdering juga memiliki cukup suntikan (meskipun tidak selalu cukup proyektif).

Lihat pula 
 Teori-K aljabar (invarian penting dari kategori modul.)
 Kategori gelanggang
 Kategori turunan
 Spektrum modul
 Kategori ruang vektor bertingkat
 Kategori grup abelian
 Kategori representasi

Catatan

Referensi 
Bourbaki, Algèbre; "Algèbre linéaire."
Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra.

Pranala luar 
http://ncatlab.org/nlab/show/Mod

Ruang vektor
Aljabar linear