Subgrup

Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke  adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan , dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G".

Coset dan teorema Lagrange 

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH  diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri  H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a1 ~ a2 jika dan hanya jika a1−1a2 ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H, 

dimana |G| dan  |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari  |G|.

Contoh: Subgrup Z8
Maka G jadikan grup siklik ke Z8 maka hasil elemen

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, dimana J juga merupakan subgrup dari H.  Tabel Cayley untuk  H  adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk  G . Grup  G  adalah siklik, dan juga subgrupnya.

Contoh: Subgrup S4 (grup simetris pada 4 elemen) 

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z2. These small subgroups are not counted in the following list.

12 elements

8 elements

6 elements

4 elements

3 elements

Lihat pula 
 Subgrup Cartan
 Subgrup pas
 Subgrup stabil
 Subgrup titik tetap
 Tes subgrup

Catatan

Referensi 
 .
 .
 .
 

Group theory
Subgroup properties