Irisan (teori himpunan)

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan  dan  adalah himpunan yang memuat semua anggota dari  juga milik  (atau, semua anggota dari  yang juga milik ). Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:
 ,

Notasi dan istilah 
Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" di antara ekspresi berupa kumpulan anggota-anggota, dalam notasi infiks. Berikut adalah contoh-contohnya:

 
 
 
 
 

Ketika irisan terjadi lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum), notasinya mirip seperti notasi Sigma, yang ditulis sebagai

 .

Definisi 

Irisan dari dua himpunan  dan , dilambangkan dengan , merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan  dan . Secara matematis, ditulis

 
Hal ini mengartikan bahwa  adalah anggota dari irisan  jika dan hanya jika  adalah anggota dari  dan anggota dari . Sebagai contohː

 Irisan dari himpunan  dan  adalah .
 Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima  dan himpunan bilangan ganjil , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepas 
Himpunan  dikatakan beririsan dengan himpunan  jika terdapat  yang merupakan anggota dari himpunan  dan .

Himpunan  dan  dikatakan saling lepas jika  tidak beririsan dengan . Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan  dan  saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan .

Sebagai contoh, himpunan  dan  saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat aljabar 

 Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan  dan , berlaku:.
 Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan , , dan , berlaku:. Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai .
Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan  berlaku  
Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi
Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan  dan , berlaku:..
Dalam semesta , komplemen  dari himpunan  dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari  yang tidak termuat dalam . Selanjutnya, irisan dari  dan  dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum de Morganː

Irisan sebarang 
Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang kumpulan takkosong himpunan-himpunan. Jika  adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka  adalah anggota dari irisan dari  jika dan hanya jika untuk setiap anggota  dari ,  adalah sebuah anggota dari . Secara matematis ditulisː

 .

Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis , sementara yang lainnya menulis . Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi , yang mengacu pada irisan kumpulan . Dalam notasi terakhir itu,  adalah himpunan takkosong, dan  adalah sebuah himpunan dari setiap  dalam .

Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks  adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.

 .

Notasi tersebut juga dapat ditulis .

Irisan kosong 

Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk  adalah himpunan kosong (). Alasannya  adalah bahwa Irisan dari kumpulan  didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)

 

Jika  kosong, maka tidak ada himpunan  dalam . Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: " manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan . Ketika  kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) , namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.

Lihat pula 

 Aljabar himpunan
 Beda setangkup
 Gabungan
 Irisan graf
 Kardinalitas
 Komplemen
 Logika konjungsi
 MinHash
 Operasi biner teriterasi
 Teori himpunan naif

Referensi

Bacaan lanjutan

Pranala luar 

 Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.

Irisan
Konsep dasar dalam teori himpunan