Subgrup normal

Dalam aljabar abstrak, subgrup normal (juga dikenal sebagai subgrup invarian atau subgrup konjugasi sendiri) adalah subgrup yang invarian di bawah  konjugasi oleh anggota  grup yang merupakan bagiannya. Dengan kata lain, subgrup  dari grup  adalah normal dalam  jika dan hanya jika   untuk  dan . Notasi umum untuk relasi ini adalah .

Subkelompok normal penting karena mereka (dan hanya mereka) dapat digunakan untuk membangun kelompok hasil bagi dari grup tertentu. Selanjutnya, subgrup normal dari  tepatnya adalah  kernel dari  homomorfisme grup dengan domain , yang berarti bahwa mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasikan homomorfisme tersebut secara internal.

Évariste Galois adalah orang pertama yang menyadari pentingnya keberadaan subgrup normal.

Definisi 
Subgrup  dari grup  disebut subgrup normal dari  jika itu invarian di bawah  konjugasi; yaitu, konjugasi elemen  dengan elemen  selalu dalam .  Notasi umum untuk relasi ini adalah .

Kondisi yang setara 
Untuk setiap subgrup  dari , kondisi berikut adalah  ekuivalen ke {{math |  N } } menjadi subgrup normal dari . Oleh karena itu, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai definisi:

 Gambar konjugasi  oleh salah satu elemen  adalah himpunan bagian dari .'
 Gambar konjugasi  oleh elemen apa pun dari  sama dengan .
 Untuk  di , koset kiri dan kanan  dan  adalah sama.
 Himpunan kohimpunan kiri dan kanan dari  di  bertepatan.
 Produk dari elemen koset kiri  sehubungan dengan  dan elemen kohimpunan kiri  sehubungan dengan  adalah elemen kohimpunan kiri dari  dengan : , jika  dan  maka .
  adalah  union dari kelas konjugasi dari .
  diawetkan oleh automorfisme batin dari .
 Ada beberapa homomorfisme grup  pada  kernel adalah .
 Untuk  dan , komutator  pada .
 Setiap dua elemen bolak-balik terkait hubungan keanggotaan subkelompok normal: .

Contoh 
 Subgrup sepele hanya terdiri dari elemen identitas  dan  itu sendiri selalu merupakan subgrup normal dari . Jika ini adalah satu-satunya subgrup normal, maka  dikatakan  sederhana.
Setiap subgrup  dari grup abelian  adalah normal, karena  A grup yang bukan abelian tetapi setiap subgrupnya normal disebut grup Hamilton.
  pusat grup adalah subkelompok normal.
 Secara lebih umum, setiap subgrup karakteristik adalah normal, karena konjugasi selalu merupakan automorfisme.
Subgrup komutator  adalah subgrup normal dari .
Grup terjemahan adalah subgrup normal dari grup Euclidean dalam dimensi apa pun. Artinya: menerapkan transformasi kaku, diikuti oleh terjemahan, dan kemudian transformasi kaku terbalik, memiliki efek yang sama sebagai terjemahan tunggal (meskipun biasanya terjemahan yang berbeda dari yang kita gunakan sebelumnya). Sebaliknya, subkelompok dari semua  rotasi tentang asal adalah  bukan  subkelompok normal dari grup Euclidean, selama dimensinya minimal 2: mula-mula menerjemahkan, lalu memutar tentang asal, lalu menerjemahkan kembali biasanya tidak akan menetapkan asal dan oleh karena itu tidak akan memiliki efek yang sama seperti rotasi tunggal tentang asal.
 Dalam Grup Kubus Rubik, subgrup yang terdiri dari operasi yang hanya mempengaruhi orientasi potongan sudut atau potongan tepi adalah normal.

Sifat 

 Jika  adalah subgrup normal dari , dan  adalah subgrup dari  berisi , maka  adalah subgrup normal dari .
 Subgrup normal dari subkelompok normal dari suatu kelompok tidak harus normal dalam kelompok tersebut. Artinya, normalitas bukanlah hubungan transitif. Grup terkecil yang menunjukkan fenomena ini adalah grup dihedral berorde 8. Namun, subgrul karakteristik dari subkelompok normal adalah normal. Sebuah kelompok yang normalitasnya transitif disebut  T-grup.
 Dua grup  dan  adalah subgrup normal dari  produk langsung .
 Jika grup  adalah produk setengah langsung , maka  adalah normal dalam , meskipun  tidak perlu menjadi normal dalam .
 Normalitas dipertahankan di bawah homomorfisme dugaan, yaitu jika  adalah homomorfisme kelompok dugaan dan  adalah normal di , lalu gambar  normal dalam .
 Normalitas dipertahankan dengan mengambil  gambar terbalik, i.e. if  adalah homomorfisme grup dan  normal dalam , maka gambar terbalik  pada .
 Normalitas dipertahankan pada pengambilan  produk langsung, yaitu jika  dan , maka .
 Setiap subgrup  indeks 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, , dari indeks hingga, , pada  berisi subgrup, , normal di  dan pembagi indeks  disebut normal core. Khususnya, jika  adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan , maka setiap subgrup indeks {{math |  p } } normal.
 Fakta bahwa subgrup normal dari  adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada  G  menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah  sederhana jika dan hanya jika isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya, sebuah grup berhingga adalah  sempurna jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime  indeks, dan sebuah grup adalah  tidak sempurna jika dan hanya jika subgrup turunan tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.

Kisi subgrup normal 
Diberikan dua subgrup normal,  dan , dari , persimpangannya and their product  juga merupakan subgrup normal dari . 

Subgrup normal dari  membentuk  kisi di bawah subset inclusion dengan least element, , dan elemen terbesar, .  bertemu dari dua subgrup normal,  dan , dalam kisi ini adalah perpotongannya dan  join adalah hasil kali mereka.

Kisi tersebut adalah  lengkap dan  modular.

Subgrup normal, grup hasil bagi dan homomorfisme 

Jika  adalah subgrup normal, kita bisa mendefinisikan perkalian koset sebagai berikut:Relasi ini mendefinisikan pemetaan . Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik, perlu dibuktikan bahwa pemilihan elemen perwakilan  tidak mempengaruhi hasil. Untuk tujuan ini, pertimbangkan beberapa elemen perwakilan lainnya . Maka ada  mendefinisikan . Oleh karena itu di mana kami menggunakan  adalah subgrup  normal , dan oleh karena itu ada  karena . Ini membuktikan bahwa produk ini adalah pemetaan antar kohimpunan yang terdefinisi dengan baik.

Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut grup hasil bagi dan dilambangkan dengan . Ada  homomorfisme alami, , given by . Homomorfisme ini memetakan  ke dalam elemen identitas , yang merupakan kohimpunan , that is, .

Secara umum, homomorfisme grup,  mengirim subgrup dari  ke subgrup dari . Juga, preimage dari setiap subgrup dari  adalah subgrup dari . Kami menyebut preimage dari grup trivial  di   kernel dari homomorfisme dan dilambangkan dengan . Ternyata, kernel selalu normal dan citra , , selalu isomorfik menjadi  (the teorema isomorfisme pertama). Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari , , dan himpunan semua gambar homomorfik dari  (hingga isomorfisme). Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, , adalah  itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan  domain .

Lihat pula

Operasi membawa subkelompok ke subkelompok 
 Normalizer
 Penutupan konjugasi
 Inti normal

Properti subkelompok yang saling melengkapi (atau berlawanan) dengan normalitas 
 Subgrup tidak normal
 Subgrup kontranormal
 Subgrup abnormal
Subgrup yang menormalkan sendiri

Properti subkelompok lebih kuat dari normalitas 
 Subgrup karakteristik
 Subgrup dengan karakteristik penuh

Properti subkelompok lebih lemah dari normalitas 
 Subgrup subnormal
 Subgrup Ascendant
 Subgrup keturunan
 Subgrup Kuasinormal
 Subgrup seminormal
 Konjugasi subgrup yang dapat diubah
 Subgrup modular
 Subgrup pronormal
Subgrup paranormal
 Subgrup polinormal
 Subgrup C-normal

Gagasan terkait dalam aljabar 
 Ideal (teori gelanggang)

Catatan

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
 I. N. Herstein, Topics in algebra.  Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

Pranala luar 
 
 Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
 Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
 Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
 John Baez, What's a Normal Subgroup?

Sifat subgrup