Kategori grup abelian

Dalam matematika, kategori Ab memiliki grup abelian sebagai objek dan homomorfisme grup sebagai morfisme. Ini adalah prototipe dari kategori abelian: memang, setiap kecil pada kategori abelian dapat disematkan Ab.

Sifat 
Objek nol dari Ab adalah grup trivial {0} yang hanya terdiri dari elemen netral.

Monomorfisme pada Ab adalah homomorfisme grup injektif, epimorfisme adalah homomorfisme grup konjektur, dan isomorfisme adalah homomorfisme kelompok bijektif.

Ab adalah subkategori lengkap dari Grp, kategori  semua  grup. Perbedaan utama antara Ab dan Grp adalah bahwa jumlah dari dua homomorfisme f dan g antara grup abelian sekali lagi merupakan homomorfisme kelompok:

Persamaan ketiga mensyaratkan kelompok menjadi abelian. Penambahan morfisme ini mengubah Ab menjadi kategori preadditif, dan karena jumlah langsung dari banyak grup abelian tak terhingga menghasilkan produk ganda, kami memang memiliki kategori aditif.

Dalam Ab, pengertian kernel dalam pengertian teori kategori bertepatan dengan kernel dalam pengertian aljabar, yaitu kernel kategorikal dari morfisme  f :  A  →  B  adalah subgrup  K  dari  A  yang didefinisikan oleh K = {x ∈ A : f(x) = 0}, bersama dengan homomorfisme inklusi  i :  K  →  A . Hal yang sama juga berlaku untuk cokernel; cokernel dari  f  adalah grup hasil bagi C = B / f(A) bersama dengan proyeksi alam p : B → C. (Perhatikan perbedaan penting lainnya antara Ab dan Grp: pada Grp it dapat terjadi bahwa  f  ( A ) bukan subgrup normal dari  B , dan oleh karena itu grup hasil bagi B / f(A) tidak dapat dibentuk.) Dengan deskripsi konkret tentang kernel dan cokernels ini, cukup mudah untuk memeriksa bahwa Ab memang sebuah kategori abelian.

Lihat pula 
 Kategori modul
 Penggunaan Abelian - banyak fakta tentang kategori kelompok abelian terus dipegang untuk kategori berkas berkas grup abelian.

Referensi 

 
 

Abelian groups
Group theory