Limit langsung

Dalam matematika, limit langsung adalah cara untuk membangun objek (biasanya besar) dari banyak objek (biasanya lebih kecil) yang disatukan dengan cara tertentu. Objek ini mungkin grup, gelanggang, ruang vektor atau dalam objek umum dari kategori. Cara mereka disatukan ditentukan oleh sistem homomorfisme (homomorfisme kelompok, homomorfisme gelanggang, atau secara umum morfisme dalam kategori) di antara objek-objek yang lebih kecil. Limit langsung benda , di mana  berkisar di beberapa himpunan terarah , dilambangkan dengan . (Ini adalah sedikit penyalahgunaan notasi karena menekan sistem homomorfisme yang penting untuk struktur batas.)

Batas langsung adalah kasus khusus dari konsep kolom di teori kategori. Limit langsung adalah ganda sampai limit invers yang juga merupakan kasus khusus limit dalam teori kategori.

Definisi formal 
Pertama kami akan memberikan definisi untuk struktur aljabar seperti grup dan modul, dan kemudian definisi umumnya, yang bisa digunakan dalam setiap kategori

Limit langsung objek aljabar 
Dalam bagian ini objek dipahami terdiri dari himpunan yang mendasari dengan struktur aljabar yang diberikan, sepertikelompok, gelanggang, modul (di atas gelanggang tetap), aljabar (di atas bidang tetap), dll. Dengan pemikiran ini,  homomorfisme  dipahami dalam pengaturan yang sesuai (grup homomorfisme, dll.) .

Karenanya  jadilah kumpulan diarahkan dipesan sebagian (perhatikan bahwa tidak semua pengarang memerlukan  untuk diarahkan). Maka  menjadi keluarga objek indeks oleh  dan   menjadi homomorfisme untuk semua  dengan properti berikut:
  adalah identitas  , dan
Kondisi kompatibilitas :  untuk ; maka adalah 

Setelah itu pasangan  disebut sistem langsung melalui . Peta  disebut ikatan, menghubungkan, transisi, atau menghubungkan peta/morfisme dari sistem. Jika peta ikatan dipahami atau jika tidak perlu memberikan simbol (misalnya seperti dalam pernyataan beberapa teorema) maka peta ikatan akan sering dihilangkan (yaitu tidak tertulis); untuk alasan ini adalah umum untuk melihat pernyataan seperti "maka  menjadi sistem langsung. "

Limit langsung dalam kategori sebarang 
Batas langsung dapat ditentukan dalam sembarang kategori  melalui sifat universal. Maka  menjadi sistem langsung dari objek dan morfisme  (seperti yang didefinisikan di atas). Sebuah target atau kocone adalah sepasang  dimana  adalah objek pada  dan  adalah morfisme untuk masing-masing  seperti yang  bilamana . limit dari sistem langsung  is a secara universal menolak target  dalam arti itu  adalah target dan untuk setiap target , ada morfisme yang unik  seperti yang  untuk setiap  i . Diagram berikut

kemudian akan perjalanan untuk semua i, j.

Limit langsung sering kali dilambangkan

dengan sistem langsung  dan morfisme kanonik  dipahami.

Tidak seperti objek aljabar, tidak setiap sistem langsung dalam kategori arbitrer memiliki batas langsung. Namun, jika ya, batas langsungnya unik dalam arti yang kuat: diberi batas langsung lain X′ ada unik isomorfisme X′ → X yang beralih dengan morfisme kanonik.

Sifat-sifat 
Batas langsung ditautkan ke limit invers melalui

Properti penting adalah bahwa mengambil batasan langsung dalam kategori modul adalah fungsi tepat. Ini berarti bahwa jika Anda mulai dengan sistem terarah dari urutan persis pendek  dan membentuk limit langsung, Anda mendapatkan urutan persis yang pendek .

Terminologi 
Dalam literatur ditemukan istilah "batas terarah", "batas induktif langsung", "colimit terarah", "garis batas langsung "dan" batas induktif "untuk konsep batas langsung yang didefinisikan di atas. Istilah" batas induktif "bersifat ambigu, karena beberapa penulis menggunakannya untuk konsep umum kolom.

Catatan

Referensi 

  
  
 
  
  
 

Limits (category theory)
Abstract algebra