Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, atau dikenal juga sebagai pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan seringkali dipakai dalam matematika.
 
Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh  dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.

Pernyataan pertidaksamaan 
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor  dan  dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwadengan  adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor  dinyatakan dan didefinisikan dengan:sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa  dengan  selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika  dan  adalah vektor yang tergantung linear.

Kasus istimewa

Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif 
Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di  dengan memasukkan Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi- 
Dalam ruang Euklides  dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagaiPertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di  di bawah berikut adalah:Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk  sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,

Ruang kompleks bidang- 
Jika   dengan  dan , dan  dan ; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan  dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:atau dengan kata lain,

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

 

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

Lihat pula

Kutipan 

Analisis matematika
Aljabar linear
Augstin-Louis Cauchy
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan probabilistik
Teori operator

Referensi 

 
 
 
 

  
 .
 
 .