Minor (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, sebuah minor dari matriks  adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris dan kolom matriks . Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

Definisi dan ilustrasi

Minor pertama 
Jika  adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri dalam baris ke- dan kolom ke-  adalah determinan dari submatriks dibentuk dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-. Determinan ini juga disebut dengan minor , atau sebuah minor pertama. Bilangan ini seringkali dilambangkan . Kofaktor  diperoleh dengan mengalikan minor oleh .

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi ini, tinjau matriks 3 kali 3 berikut,

 

Untuk menghitung minor  dan kofaktor , kita perlu menemukan determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus.

 

Jadi kofaktor dari entri  adalah

Definisi umum 
Misalkan  adalah sebuah matriks berukuran  dan  adalah sebuah bilangan bulat dengan , dan . Sebuah minor  dari  adalah determinan dari sebuah matriks berukuran  yang diperoleh dengan menghapus  baris dan  kolom dari . Determinan ini juga disebut determinan minor dengan orde  dari , atau jika , disebut dengan determinan minor ke- dari  (kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde"). Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks  yang diperoleh dari  dengan cara di atas (yakni dengan menghapus  baris dan  kolom), tetapi matriks ini harus dirujuk ke determinan dari matriks ini.

Untuk matriks  di atas, terdapat  minor berukuran . Minor dengan orde nol sering didefinisikan bernilai . Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol hanyalah determinan dari matriks.

Misalkan  dan  adalah suatu barisan terurut dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai  dan . Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebut adalah ,  , , , atau  (dengan  melambangkan barisan indeks , dan seterusnya). Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks  dan , beberapa penulis bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di  dan kolom yang indeksnya ada di , sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke  dan  determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam  dan kolom dalam . Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris  dan kolom . Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke- dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif  standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.

Komplemen 
Komplemen, , dari sebuah minor , dari sebuah matriks persegi, , dibentuk oleh determinan dari matriks  dari mana semua baris  dan kolom  dikaitkan dengan  telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota  hanyalah anggota itu.

Penerapan minor dan kofaktor

Ekspansi kofaktor dari determinan 
Fitur kofaktor secara mencolok dalam rumus Laplace untuk ekspansi dari determinan-determinan, yang sebuah metode dari penghitungan determinan lebih besar dalam hal yang lebih kecil. Diberikan sebuah matriks  yaitu , determinan , dilambangkan , bisa ditulis sebagai penjumlahan dari kofaktor-kofaktor dari setiap baris dan kolom dari matriks dikalikan dengan entri-entri yang dihasilkan mereka. Dengan kata lain, mendefinisikan  maka ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- memberikanː

Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- memberikanː

Invers dari sebuah matriks 
Salah satunya bisa menuliskan invers dari matriks invertible dengan menghitung kofaktor-kofaktor dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Matriks dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi  disebut matriks kofaktor (juga disebut matriks dari kofaktor atau komatriks)ː

 

Maka invers dari  transpose dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan ː

 

Transpose dari matriks kofaktor disebut matriks adjugat (juga disebut adjoin klasik) dari .

Rumus di atas bisa dihaislkan sebagai berikut. Misalkan  dan menjadi  barisan urutan (dalam urutan alami) dari indeks (disini  adalah sebuat matriks ). Maka

 

di mana  dan  melambangkan barisan urutan dari indeks (indeks dalam urutan besar yang wajar, seperti di atas) melengkapi , , sehingga setiap indeks  muncul tepat sekali di salah satu  atau , tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk  dan ) dan  melambangkan determinan dari submatriks  dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks  dan kolom dari himpunan indeks . Juga . Sebuah bukti sederhana bisa diberikan menggunakan produk wedge. Tentunya,

 

di mana  adalah vektor basis. Tindakan oleh  ada kedua sisi, salah satunya mendapatkan

 

Tandanya bisa berhasil menjadi , jadi tandanya dideterminasikan oleh penjumlahan-penjumlahan pada anggota-anggota di  dan .

Penerapan lainnya 
Diberikan sebuah matriks  dengan entri-entri real (atau entri-entri dari setiap bidang lainnya) dan rank , maka terdapat setidaknya satu minor  tak nol, sementara semua minor-minor yang besar adalah nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Jika adalah sebuah matriks ,  adalah himpunan bagian dari  dengan anggota , dan  adalah himpunan bagian dari  dengan anggota , maka kita menulis  untuk minor  pada  yang sesuai dengan baris dengan indeks dalam  dan kolom dengan indeks dalam .

 Jika , maka  disebut minor utama.
 Jika matriks yang sesuai dengan minor utama adalah kuadrat bagian atas-kiri dari matriks yang besar (yaitu, itu terdiri dari anggota-anggota matriks dalam baris-baris dan kolom-kolom dari  hingga ), maka minor utama disebut sebuah minor utama terkemuka (dari urutan ) atau minor sudut (utama) (dari urutan ). Untuk sebuah matriks persegi , terdapat minor utama terkemuka .
 Sebuah minor dasar dari sebuah matriks adalah determinan dari sebuah submatriks persegi yang dari ukuran maksimal dengan determinan tidak nol.
 Untuk matriks Hermite, minor utama terkemuka bisa digunakan untuk menguji ketentuan positif dan minor utama bisa digunakan untuk menguji kesemitentuan positif. Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Kedua rumus untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari produk dua matriks adalah kasus spesial dari pernyataan umum berikut tentang minor-minor dari sebuah produk dua matriks. Andaikan  adalah sebuah matriks ,  adalah sebuah matriks ,  adalah himpunan bagian dari  dengan anggota  dan  adalah himpunan bagian dari  dengan anggota . Maka

 

di mana penjumlahan meluas ke semua himpunan bagian  dari  dengan anggota . Rumus ini merupakan sebuah ekstensi langsung dari rumus Cauchy–Binet.

Pendekatan aljabar multilinear 
Lebih sistematis, perlakuan aljabar dari minor-minor diberikan dalam aljabar multilinear, menggunakan produk wedge, minor- dari sebuah matriks adalah entri-entri dalam pemetaan pangkat eksterior ke-.

Jika kolom-kolom dari sebuah matriks terjepit bersama  pada satu waktu, minor  muncul sebagai komponen-komponen dari hasil vektor . Sebagai contoh, minor  dari matriks

 

adalah  (dari dua baris pertama),  (dari baris pertama dan terakhir), dan  (dari dua baris terakhir). Sekarang tinjau produk wedge

 

di mana kedua ekspresi sesuai dengan dua kolom dari matriks kita. Menggunakan sifat-sifat dari produk wedge, yaitu bilinear dan bergantian,

 

dan antisimteris

 

kita bisa menyederhanakan ekspresi ini menjadi

 

di mana koefisien sesuai dengan minor-minor yang ditung sebelumnya.

Sebuah komentar tentang notasi yang berbeda 
Dalam beberapa buku, daripada kofaktor , istilah adjunct digunakan. Bahkan, ini dilambangkan sebagai  dan didefiniskan dalam cara yang sama sebagai kofaktorː

 

Menggunaan notasi ini, invers matriks ditulis dengan cara ini.

 

Ingat bahwa adjunct bukanlah adjugat atau adjoin. Dalam termonologi modern, "adjoin" dari sebuah matriks paling sering mengacu pada yang sesuai, operator adjoin.

Lihat pula 

 Submatriks

Referensi

Pranala luar 

 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
 PlanetMath entry of Cofactors 
 Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

Teori matriks
Faktor penentu