Fungsi Green

Dalam matematika, Fungsi Green adalah respons impuls dari  tidak homogen linier operator diferensial yang ditentukan pada domain.

Artinya jika  L  adalah operator diferensial linier, maka

 fungsi Green  G  adalah solusi dari persamaan  LG  =  δ , di mana  δ  adalah Fungsi delta Dirac;
 solusi dari masalah nilai awal  Ly  =  f  adalah konvolusi ( G  *  f ), di mana  G  adalah fungsi Green .

Melalui prinsip superposisi, diberi persamaan diferensial linear (ODE), L  (solusi) = sumber, yang pertama bisa diselesaikan , untuk setiap , dan menyadari bahwa, karena sumber adalah jumlah dari fungsi delta, solusinya adalah penjumlahan fungsi Green juga, dengan linearitas  .

Fungsi Green dinamai menurut ahli matematika Inggris  George Green, yang pertama kali mengembangkan konsep ini pada tahun 1830-an. Dalam studi modern tentang persamaan diferensial parsial linier, fungsi Green dipelajari sebagian besar dari sudut pandang solusi fundamental.

Di bawah  teori benda banyak, istilah ini juga digunakan dalam fisika, khususnya dalam teori medan kuantum, aerodinamika, aeroakustik, elektrodinamika, seismologi dan teori medan statistik, untuk merujuk pada berbagai jenis  fungsi korelasi, bahkan yang tidak sesuai. Dalam teori medan kuantum, fungsi Green berperan sebagai propagator.

Definisi dan kegunaan 
Fungsi A Green, , dari operator diferensial linear  bertindak pada  distribusi selama himpunan bagian dari ruang Euklides , pada satu titik , adalah solusi dari

dengan  adalah Fungsi delta Dirac. Properti dari fungsi Green ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk tersebut

Jika  kernel dari  adalah non-trivial, maka fungsi Green tidak unik. Namun, dalam praktiknya, beberapa kombinasi simetri, kondisi batas dan / atau kriteria yang ditentukan secara eksternal akan memberikan fungsi Green yang unik. Fungsi Green dapat dikategorikan, menurut jenis kondisi batas yang dipenuhi, dengan bilangan fungsi Green. Selain itu, fungsi Green secara umum adalah  distribusi, tidak harus  fungsi dari variabel nyata.

Fungsi Green juga merupakan alat yang berguna dalam menyelesaikan persamaan gelombang s dan persamaan difusi. Dalam mekanika kuantum, fungsi Green dari  Hamiltonian adalah konsep kunci dengan kaitan penting dengan konsep kepadatan keadaan.

Fungsi Green seperti yang digunakan dalam fisika biasanya didefinisikan dengan tanda yang berlawanan. Itu adalah,

Definisi ini tidak secara signifikan mengubah salah satu properti fungsi Green karena kemerataan fungsi delta Dirac.

Jika operatornya invariansi terjemahan, yaitu kapan  memiliki koefisien konstan sehubungan dengan , maka fungsi Green dapat dianggap sebagai kernel konvolusi, yaitu,

Dalam hal ini, fungsi Green sama dengan respons impuls teori sistem invarian waktu linear.

Motivasi 

Singkatnya, jika fungsi seperti itu  dapat ditemukan untuk operator , kemudian, jika kita mengalikan persamaan (1) untuk fungsi Green dengan , dan kemudian mengintegrasikannya dengan , kita mendapatkan ,

Karena operator  linear dan hanya bekerja pada variabel  (dan  tidak  pada variabel integrasi ), seseorang dapat mengambil operator  di luar integrasi, menghasilkan

Artinya

is a solution to the equation 

Dengan demikian, seseorang dapat memperoleh fungsi  melalui pengetahuan tentang fungsi Green dalam persamaan (1) dan suku sumber di sisi kanan dalam persamaan (2). Proses ini bergantung pada linieritas operator .

Dengan kata lain, solusi persamaan (2), , dapat ditentukan dengan integrasi yang diberikan dalam persamaan (3). Meskipun  diketahui, integrasi ini tidak dapat dilakukan kecuali  juga dikenal. Masalahnya sekarang terletak pada mencari fungsi Green  yang memenuhi persamaan (1). Untuk alasan ini, fungsi Green terkadang juga disebut solusi fundamental yang terkait dengan operator .

Tidak semua operator  mengakui fungsi Green. Fungsi Green juga dapat dianggap sebagai  invers kanan dari . Selain kesulitan menemukan fungsi Green untuk operator tertentu, integral dalam persamaan (3) mungkin cukup sulit untuk dievaluasi. Namun metode memberikan exac secara teoritis.

Ini dapat dianggap sebagai perluasan dari  menurut basis Fungsi delta Dirac (memproyeksikan  ke atas ; dan superposisi solusi pada setiap  proyeksi. Persamaan integral semacam itu dikenal sebagai persamaan integral Fredholm, yang studinya merupakan teori Fredholhm

Fungsi Green untuk menyelesaikan masalah nilai batas yang tidak homogen 
Penggunaan utama fungsi Green dalam matematika adalah untuk menyelesaikan masalah nilai batas non-homogen. Dalam fisika teoretis modern, fungsi Green juga biasanya digunakan sebagai propagator dalam diagram Feynman;  istilah  Fungsi Hijau  sering digunakan lebih lanjut untuk  fungsi korelasi.

Kerangka 
Maka  menjadi operator  Sturm–Liouville, operator diferensial linear dari bentuk

dan maka  menjadi operator kondisi batas nilai vektor

Maka  menjadi fungsi berlanjut pada  Selanjutnya anggaplah masalahnya

adalah "biasa", yaitu satu-satunya solusi untuk  untuk semua  .

Teorema 
Hanya ada satu solusi  maka

and it is given by

dimana  adalah fungsi Green yang memenuhi kondisi berikut:
  kontinu dalam  dan .
 Untuk , .
 Untuk , .
 Turunan "lompat": .
 Simetri: .

Fungsi Green yang maju dan terbelakang 
Terkadang fungsi Green dapat dibagi menjadi dua fungsi. Satu dengan variabel positif (+) dan yang lainnya dengan variabel negatif (-). Ini adalah fungsi Green lanjutan dan terbelakang, dan ketika persamaan yang diteliti bergantung pada waktu, salah satu bagiannya adalah kausal dan yang lainnya anti-kausal. Dalam masalah ini biasanya bagian penyebab adalah yang terpenting. Ini sering kali merupakan solusi dari persamaan gelombang elektromagnetik tidak homogen.

Menemukan fungsi Green

Satuan 
Meskipun tidak secara unik memperbaiki bentuk fungsi Green, melakukan analisis dimensi untuk menemukan satuan yang harus dimiliki fungsi Green adalah pemeriksaan kewarasan yang penting pada fungsi Green yang ditemukan melalui cara lain. Pemeriksaan cepat dari persamaan yang menentukan,

menunjukkan bahwa satuan  tidak hanya bergantung pada satuan  tetapi juga pada bilangan dan satuan ruang di mana vektor posisi  dan  adalah elemen. Ini mengarah pada hubungan:

dimana  didefinisikan sebagai, "satuan fisik ", dan  adalah elemen volume dari ruang (atau ruangwaktu).

Misalnya, jika  dan waktu adalah satu-satunya variabel maka: 

Jika , Operator d'Alembert, dan ruang memiliki 3 dimensi maka:

Ekspansi Eigenvalue 
Jika operator diferensial  menerima satu set vektor eigen  (yaitu, satu set fungsi  dan skalar  such that    =  ) selesai, maka dimungkinkan untuk membangun fungsi Green dari vektor eigen dan nilai eigen ini.

"Lengkap "artinya kumpulan fungsi {  } memenuhi hubungan kelengkapan berikut,

Kemudian yang berikut berlaku,

dimana  mewakili konjugasi kompleks.

Menerapkan operator  ke setiap sisi persamaan ini menghasilkan relasi kelengkapan, yang telah diasumsikan.

Studi umum tentang fungsi Green yang ditulis dalam bentuk di atas, dan hubungannya dengan ruang fungsi yang dibentuk oleh vektor eigen, dikenal sebagai teori Fredholm.

Ada beberapa metode lain untuk menemukan fungsi Green, termasuk metode gambar, pemisahan variabel, dan Transformasi Laplace (Cole 2011).

Menggabungkan fungsi Green 
Dari operator diferensial  dapat difaktorkan sebagai  maka fungsi Green dari  bisa dibangun dari fungsi Green untuk  dan :

Identitas di atas segera mengikuti dari pengambilan  menjadi representasi dari operator kanan invers dari , analog dengan cara  operator linear invers , didefinisikan oleh , diwakili oleh elemen matriksnya .

Identitas selanjutnya untuk operator diferensial yang merupakan polinomial skalar dari turunannya, . Teorema fundamental aljabar, dikombinasikan dengan fakta bahwa   bepergian dengan sendirinya, menjamin bahwa polinomial dapat difaktorkan, dengan menempatkan  dalam bentuk:

dengan  adalah angka nol dari . Mengambil Transformasi Fourier dari  sehubungan dengan  dan  gives:

Pecahan kemudian dapat dibagi menjadi jumlah menggunakan Dekomposisi pecahan sebagian sebelum Fourier mengubah kembali ke spasi  dan . Proses ini menghasilkan identitas yang menghubungkan integral fungsi Green dan jumlah yang sama. Misalnya, jika  maka salah satu bentuk dari fungsi Green nya adalah:

Sementara contoh yang disajikan dapat ditelusuri secara analitis, ini mengilustrasikan proses yang bekerja ketika integralnya tidak sepele (misalnya, ketika  adalah operator dalam polinomial).

Tabel fungsi Green 
Tabel berikut memberikan gambaran umum tentang fungsi Green dari operator diferensial yang sering muncul, di mana , ,  adalah fungsi langkah Heaviside,  adalah fungsi Bessel,  adalah fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis pertama, dan  adalah  Fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis kedua. Di mana waktu () muncul di kolom pertama, fungsi Green lanjutan (kausal) terdaftar.

Contoh 
Contoh. Temukan fungsi Hijau untuk masalah berikut, dengan Nomor fungsi Green adalah X11:

Langkah pertama: Fungsi Green untuk operator linier yang ada didefinisikan sebagai solusi untuk

Jika , maka fungsi delta memberikan nol, dan solusi umumnya adalah

Untuk , kondisi batas di  menyiratkan

 jika  and .

Untuk , kondisi batas di  menyiratkan

Persamaan  dilewati karena alasan yang sama.

Untuk meringkas hasil sejauh ini:

Tahap kedua: Tugas selanjutnya adalah menentukan  dan .

Memastikan kontinuitas dalam fungsi Green di  menyiratkan

Seseorang dapat memastikan diskontinuitas yang tepat pada turunan pertama dengan mengintegrasikan persamaan diferensial dari  untuk  dan mengambil batas sebagai  pergi ke nol:

Dua persamaan kontinuitas (dis) dapat diselesaikan untuk  dan  to obtain

 

Jadi fungsi Green untuk masalah ini adalah:

Lihat pula 

 Potensi Bessel
  Fungsi Diskret Green - ditentukan pada grafik dan grid
 Respon impuls - analog dari fungsi Green dalam pemrosesan sinyal
 Fungsi transfer
 Solusi mendasar
  Fungsi hijau dalam teori benda banyak
  Fungsi korelasi
 Mualim
 Identitas Green
 Parametrix
 Persamaan integral Volterra
 Formalisme resolusi
 Formalisme Keldysh
 Teori spektral

Catatan Kaki

Referensi 

 
 Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.

Pranala luar 
 
 
 
 
 
 Introduction to the Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique  by A. P. Jauho
 Green's Function Library 
 Tutorial on Green's functions
 Boundary Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically) 
 At Citizendium 
 MIT video lecture on Green's function
 

Persamaan Diferensial
Fungsi umum
Konsep dalam fisika
Fisika matematika