Unit imajiner

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit () adalah solusi untuk persamaan kuadrat 2 . Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini,  dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah .

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil  ke sistem bilangan kompleks , dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial  yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu  dan , sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks  yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan , sebab  dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan  alih-alih , karena  biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.

Definisi 

Bilangan imajiner  didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah :

Oleh karena itu,  dan  sama-sama merupakan akar kuadrat dari .

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan  sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan  dengan −1). Perpangkatan dari  yang lebih tinggi dapat digantikan dengan , , , atau :

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol:

Sebagai bilangan kompleks,  dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai , yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar,  dapat dinyatakan sebagai  (atau cukup tulis ), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari  radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari ). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus,  adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik 

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol,  mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu 

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan:

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan

Tiga buah akar kubik dari  adalah:

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari  adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan

Rujukan 

Bilangan kompleks