Rumus Cauchy–Binet

Dalam matematika, khususnya aljabar linear, rumus Cauchy–Binet adalah sebuah identitas determinan untuk hasil perkalian dua matriks yang dimensinya saling transpos (sehingga hasil kalinya terdefinisi dengan baik dan berupa matriks persegi). Rumus tersebut memperumum pernyataan bahwa determinan dari hasil perkalian matriks persegi, bernilai sama dengan hasil perkalian determinan-determinannya. Rumus ini berlaku untuk matriks yang setiap elemennya berasal sebarang gelanggang komutatif. Rumus ini dinamai dari Augustin-Louis Cauchy dan Jacques Philippe Marie Binet

Pernyataan 
Misalkan  adalah sebuah matriks  dan  adalah sebuah matriks . Misalkan pula  menyatakan himpunan , dan  menyatakan himpunan kombinasi- dari  (yaitu, himpunan bagian berukuran  dari ; yang banyaknya ada ). Untuk , tulis  sebagai matriks  yang kolomnya merupakan kolom matriks  pada indeks dari , dan  untuk matriks  yang barisnya merupakan baris matriks  pada indeks dari . Rumus Cauchy–Binet kemudian menyatakanSebagai contoh, anggap  dan , dan matriks  dan matriks . Ruas kanan dari rumus Cauchy–Binet memberikan determinan

Hasilnya sama dengan nilai determinan dari , yakni .

Kasus istimewa 
Jika , maka  adalah himpunan kosong, dan rumus tersebut mengatakan bahwa  (karena ruas kanannya adalah sebuah jumlah kosong). Hal tersebut benar, karena pada kasus ini, rank dari matriks  berukuran  maksimum bernilai , yang menyiratkan bahwa determinannya bernilai nol. Jika , yakni kasus ketika  dan  adalah matriks persegi, maka  (sebuah himpunan singleton). Jadi, penjumlahan di ruas kanan hanya melibatkan , sehingga rumusnya menyatakan bahwa .

Untuk kasus ,  dan  adalah matriks kosong (tetapi dengan bentuk yang berbeda jika ), begitu pula dengan hasil kalinya, . Dalam kasus ini, penjumlahan di ruas kanan hanya melibatkan sebuah suku . Rumus tersebut menyatakan , karena determinan dari matriks  adalah . Untuk ,   berisi  singleton yang berbeda dari , sehingga kedua ruas dari rumus tersebut memiliki bentuk ; yakni darab skalar dari pasangan vektor pada matriks. Nilai  terkecil sehingga rumus Cauchy–Binet menghasilkan sebuah persamaan yang tidak sederhana adalah ; hal ini dibahas dalam artikel pada identitas Binet–Cauchy.

Kasus  
Berikut adalah bentuk dari rumus Cauchy–Binet untuk . Misalkan  adalah vektor tiga dimensi,

Dalam kasus , ruas kanan selalu sama dengan 0.

Bukti sederhana 
Bukti sederhana berikut bergantung pada dua fakta yang dapat dibuktikan dalam cara-cara yang berbeda:

 Untuk setiap , koefisien dari  dalam polinomial  adalah jumlah dari minor utama berukuran  dari .
 Jika  dan  adalah sebuah matriks  dan  adalah sebuah matriks , maka 

Sekarang, dengan membandingkan koefisien  dalam persamaan , ruas kiri akan memberikan jumlah dari minor utama , sedangkan ruas kanan akan memberikan suku tetap dari . Suku tetap ini tidak lain adalah , yang rumus Cauchy–Binet nyatakan; dengan kata lain:

Bukti 
Terdapat beragam jenis bukti yang dapat diberikan untuk rumus Cauchy–Binet. Bukti berikut didasarkan hanya pada manipulasi formal, dan menghindari dengan menggunakan pandangan khusus dari determinan, selain yang didefinisikan oleh rumus Leibniz. Bukti ini hanya menggunakan sifat multilinearitas pada baris dan kolom, dan sifat alternating mereka (bernilai nol jika ada baris atau kolom yang sama). Sifat perkalian determinan untuk matriks persegi tidak digunakan, tetapi dianggap sudah dibuktikan (untuk kasus ). Bukti ini sah untuk sebarang gelanggang koefisien komutatif.

Rumus Cauchy–Binet dapat dibuktikan dalam dua langkah:

 Menggunakan fakta bahwa kedua ruas adalah multilinear (lebih tepatnya linear ) dalam baris  dan kolom , untuk mengurangi kasus tersebut bahwa setiap baris  dan setiap kolom  hanya memiliki satu entri tak nol, yaitu 1; dan
 Menangani kasus dengan menggunakan fungsi  dengan jumlah baris dari  dipetakan ke jumlah kolom dari entri yang tak nol, dan jumlah kolom dari  dipetakan ke jumlah baris dari entri yang tak nol.

Pada langkah pertama, amati bahwa untuk setiap baris  atau kolom , dan untuk setiap kombinasi- dari , nilai  dan  memang tergantung secara linear pada baris atau kolom. Akan tetapi, untuk langkah terakhir dihasilkan langsung dari sifat multinlinear dari determinan. Untuk langkah sebelumnya harus diperiksa, bahwa mengambil kombinasi linear untuk baris  atau kolom  tetapi meninggalkan sisa yang tidak berubah, hanya akan mempengaruhi baris dan kolom yang sesuai dari hasil kali , dan dengan kombinasi linear yang sama. Dengan demikian, seseorang dapat mengerjakan pada kedua ruas dari rumus Cauchy–Binet dengan linearitas untuk setiap baris  atau kolom , dan kemudian masing-masing baris dan kolom ditulis sebagai kombinasi linear vektor basis standar. Penjumlahan rangkap tersebut memberikan hasil yang amat besar, tetapi mereka memiliki bentuk yang sama untuk kedua ruas: bentuk korespondensi melibatkan faktor skalar yang sama (masing-masing merupakan hasil kali entri dari  dan ), dan bentuk-bentuk tersebut hanya dibedakan dengan melibatkan dua ekspresi lain dalam matriks konstan yang dijelaskan sebelumnya, dengan ekspresi tersebut harus sama menurut rumus Cauchy–Binet. Langkah ini memperoleh pengurangan langkah pertama

Secara konkret, banyak penjumlahan dapat dikelompokkan menjadi dua penjumlahan. Salah satu dari dua penjumlahan atas semua fungsi  dengan masing-masing indeks baris  memberikan indeks kolom yang sesuai, dan salah satunya lagi atas semua fungsi  dengan masing-masing indeks kolom  memberikan indeks baris yang sesuai. Matriks yang terkait dengan  dan  ditulis sebagaidengan "" menyatakan delta Kronecker. Bukti rumus Cauchy–Binet di atas telah ditulis ulang sebagaidengan  menyatakan faktor skalar . Akan tetapi, rumus Cauchy–Binet masih diperlukan bukti untuk  dan , untuk semua .

Pada langkah kedua, jika  gagal injektif, maka  dan  akan memiliki dua baris identik, dan jika  gagal injektif, maka  dan  akan memiliki dua kolom identik. Pada kasus tersebut, kedua ruas dari identitas akan bernilai nol. Sekarang, ketika memisalkan bahwa  dan  injekif yang memetakan , maka faktor  pada ruas kanan akan bernilai nol, kecuali , sedangkan faktor  akan bernilai nol, kecuali . Jika bayangan  dan  berbeda, maka ruas kanan hanya akan memiliki bentuk null, dan ruas kiri akan bernilai nol juga. Hal ini dikarenakan  memiliki baris null (untuk  dengan ). Dalam kasus untuk bayangan  dan  sama, katakan , harus dibuktikan bahwaMisalkan  menyatakan satu buah fungsi yang bijeksi menaik , dan misalkan pula  adalah permutasi  sehingga  dan . Maka  adalah matriks permutasi untuk ,  adalah matriks permutasi untuk , dan  adalah matriks permutasi untuk , dan karena determinan dari suatu matriks permutasi sama dengan signature dari permutasi, maka identitas tersebut dapat disimpulkan bahwa signature bersifat multiplikatif (perkalian).

Menggunakan multi-linearitas terhadap baris  dan kolom  dalam sebuah bukti tidak diperlukan. Seseorang cukup dapat menggunakan salah satu langkah tadi, katakan langkah sebelumnya, dan menggunakan hasil kali matriks  yang terdiri dari sebuah permutasi dari baris  (jika  injektif), atau memiliki setidaknya dua baris yang sama.

Kaitannya dengan delta Kronecker yang diperumum 
Seperti yang dilihat sebelumnya, rumus Cauchy–Binet ekuivalen dengan rumus:dengan  dan . Ketika ditulis dalam bentuk delta Kronecker yang diperumum, rumus tersebut dapat diturunkan sehingga ekuivalen dengan rumus Cauchy–Binet:

Dalam pandangan geometrik 
Jika  adalah sebuah matriks  real, maka  sama dengan kuadrat dari volume dimensi- dari balok jajar genjang yang rentang di  oleh baris  dari . Rumus Binet menyatakan bahwa determinannya sama dengan jumlah kuadrat dari volume yang muncul jika balok jajar genjang yang diproyeksikan secara ortogonal ke bidang koordinat dimensi- (yang terdapat ).

Dalam kasus , paralelotop direduksi menjadi sebuah vektor tunggal, serta volumenya sama dengan panjangnya. Pernyataan sebelumnya mengatakan bahwa kuadrat dari panjang sebuah vektor adalah jumlah dari koordinatnya yang dikuadratkan. Pernyataan tersebut merupakan kasus berdasarkan definisi dari panjang tersebut, yang didasari pada teorema Pythagoras.

Perumuman 
Rumus Cauchy–Binet dapat diperluas dalam sebuah cara yang mudah ke sebuah rumus yang umum untuk minor dari hasil kali dua matriks. Konteks untuk rumus diberikan dalam artikel tentang minor, tetapi ada gagasan yang mengatakan bahwa kedua rumus tersebut untuk perkalian matriks biasa dan rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari hasil kali dua matriks merupakan kasus istimewa dari pernyataan umum berikut tentang minor dari sebuah hasi kali dua matriks. Dengan memisalkan  adalah sebuah matriks ,  adalah sebuah matriks ,  adalah himpunan bagian  dengan  anggota dan  adalah himpunan bagian  dengan  anggota. Maka

dengan jumlah tersebut memperluas semua himpunan bagian  dari  dengan

Versi kontinu 
Terdapat sebuah versi kontinu dari rumus Cauchy–Binet, atau dikenal sebagai identitas Andréief–Heine atau identitas Andréief. Secara umum, rumus versi kontinu ini ditemukan dalam teori matriks acak. Rumus ini mengatakan sebagai berikut: misal  dan  adalah dua barisan fungsi terintegralkan, yang terdukung di . Maka

Forrester menjelaskan cara mengembalikan ke rumus Cauchy–Binet biasa sebagai diskretisasi dari identitas di atas.

Referensi 

 Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp 208–14, Addison-Wesley .
 Jin Ho Kwak & Sungpyo Hong (2004) Linear Algebra 2nd edition, Example 2.15 Binet-Cauchy formula, pp 66,7, Birkhäuser .
 I. R. Shafarevich & A. O. Remizov (2012) Linear Algebra and Geometry, §2.9 (hal. 68) & §10.5 (hal. 377), Springer .
 M.L. Mehta (2004) Random matrices, 3erd ed., Elsevier

Pranala luar 

 Aaron Lauve (2004) A short combinatoric proof of Cauchy–Binet formula  from Université du Québec à Montréal.
 Peter J. Forrester (2018) Meet Andréief, Bordeaux 1886, and Andreev, Kharkov 1882–83

Determinan
Augustin-Louis Cauchy