Jumlah taktentu

Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai  atau , adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) . Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

 .

Lebih eksplisit lagi, jika , kemudian

 

Jika  adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi , maka  untuk setiap fungsi periodik  dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif . Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit 
Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː

Definisi

Rumus Penjumlahan Laplace 

 

dimana  adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua.

Rumus Newton 

 

dimana  adalah faktorial menurun.

Rumus Faulhaber 

 

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

Rumus Mueller 
Jika  maka

Rumus Euler–Maclaurin

Pilihan dengan suku konstanta 
Seringkali, konstanta  pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

 

Maka, konstanta  diperbaiki dengan kondisi

 

atau

 

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

 

atau dengan 1

 .

Penjumlahan menurut bagian 
Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

 

 

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

Kaidah periode 
Jika  adalah periode fungsi , maka

 

Jika  adalah fungsi antiperiode , yaitu , maka

Penggunaan alternatif 
Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

 

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup  untuk penjumlahan adalah solusi untuk

 

disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur . Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

Daftar jumlah tak tentu 
Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

Antiselisih pada Fungsi rasional 

 

 

  
 dimana , yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.

  
 dimana  adalah fungsi poligamma .

  
 dimana  adalah fungsi digamma.

Antiselisih pada Fungsi eksponensial 

 

Terutama,

Antiselisih pada fungsi logaritma

Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik 

 

 

 

 dimana  adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi trigonometri 

 

 

 

 

 

 dimana  adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

Antiselisih pada fungsi khusus 

 

 

 dimana  adalah fungsi gamma tidak kompleks.

 

 dimana  adalah faktorial menurun .

  
 (lihat fungsi eksponensial super)

Lihat pula 

 Produk tak tentu 
 Kalkulus skala waktu 
 Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif

Referensi

Bacaan lebih lanjut 

 "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001,     
 Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa 
 Markus Mueller, Dierk Schleicher. Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler 
 SP Polyakov. Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas. Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2. 
 "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968

Analisis matematika
Kalkulus non-Newton
Operasi linear dalam kalkulus
Selisih tentu
Tabel matematika