Gelanggang terurut

Dalam aljabar abstrak, gelanggang terurut adalah gelanggang R (biasanya komutatif) dengan urutan total ≤ sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b, dan c di R berlaku:

 jika a ≤ b maka a + c ≤ b + c.
 jika 0 ≤ a dan 0 ≤ b maka 0 ≤ ab.

Contoh 
Gelanggang terurut umum muncul di aritmatika. Beberapa contohnya termasuk bilangan bulat,rasional dan bilangan real. (Rasional dan real sebenarnya membangun sebuah lapangan terurut.) Sebaliknya, bilangan kompleks tidak membentuk gelanggang terurut maupun lapangan, karena tidak ada hubungan urutan yang jelas antara elemen 1 dan  i.

Elemen positif 
Dalam analogi yang mirip dengan bilangan real, sebuah elemen c dari gelanggang terurut R dikatakan positif jika 0 < c, sedangkan negatif jika c < 0. Elemen 0 dianggap tidak positif maupun negatif.

Himpunan elemen positif dari gelanggan terurut R sering dilambangkan dengan R+. Notasi alternatif, yang lebih disukai dalam beberapa disiplin ilmu, adalah menggunakan R+ untuk himpunan elemen non-negatif, dan R++ untuk himpunan elemen positif.

Nilai mutlak 

Jika  adalah elemen gelanggang terurut R, maka nilai mutlak dari , yang dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai:

dengan  adalah invers aditif dari  dan 0 adalah elemen identitas.

Gelanggang terurut diskrit 
Gelanggang terurut diskrit adalah gelanggang terurut yang tidak memiliki elemen diantara 0 dan 1. Bilangan bulat adalah contoh gelanggang terurutan diskrit, tetapi bilangan rasional bukan.

Lihat pula 
 Gelanggang terurutan sebagian

Catatan 
Daftar di bawah ini mencakup referensi ke teorema yang secara resmi diverifikasi oleh proyek IsarMathLib .

Grup urutan
Geometri aljabar real