Persamaan Schröder

Persamaan Schröder, dinamai Ernst Schröder, adalah persamaan fungsional dengan satu variabel independen: diberi fungsi , temukan fungsinya {{math | Ψ} } seperti yang

Persamaan Schröder adalah persamaan nilai eigen untuk operator komposisi , yang mengirimkan fungsi  untuk .

Jika  adalah  titik pasti dari , artinya , maka  (or ) atau . Jadi, asalkan  is finite dan  tidak menghilang atau menyimpang, nilai eigen  diberikan oleh .

Signifikansi fungsional 
Untuk , if  bersifat analitik pada disk unit, perbaikan , dan , kemudian Gabriel Koenigs menunjukkan pada tahun 1884 bahwa ada  analitik (non-trivial) yang memenuhi persamaan Schröder. Ini adalah salah satu langkah pertama dalam garis panjang teorema yang bermanfaat untuk memahami operator komposisi pada ruang fungsi analitik, lih. Fungsi Koenigs.

Persamaan seperti Schröder cocok untuk pengkodean kemiripan diri, dan dengan demikian telah digunakan secara luas dalam studi dinamika nonlinier (sering disebut bahasa sehari-hari sebagai teori chaos). Ini juga digunakan dalam studi tentang turbulensi, serta grup renormalisasi.

Bentuk transpos ekuivalen dari persamaan Schröder untuk invers  fungsi konjugasi Schröder adalah . Perubahan variabel  (Fungsi Abel) selanjutnya mengubah persamaan Schröder menjadi persamaan Abel yang lebih lama, . Similarly, the change of variables  converts Schröder's equation to Böttcher's equation, .   

Apalagi untuk kecepatan, ,    Julia,     , menahan.  

Pangkat ke- solusi persamaan Schröder memberikan solusi persamaan Schröder dengan nilai eigen , instead. In the same vein, for an invertible solution  dari persamaan Schröder, fungsi (tidak dapat dibalik)  juga merupakan solusi, untuk fungsi periodik "apa saja"  dengan titik . Semua solusi persamaan Schröder terkait dengan cara ini.

Solusi 
Persamaan Schröder diselesaikan secara analitis jika  adalah suatu daya tarik (tetapi tidak superatraksi)
titik tetap, yaitu  oleh  Gabriel Koenigs (1884).

Dalam kasus titik tetap yang sangat menarik, , Persamaan Schröder berat, dan sebaiknya diubah menjadi Persamaan Böttcher.

Ada sejumlah solusi khusus yang berasal dari makalah asli Schröder tahun 1870.

Ekspansi seri di sekitar titik tetap dan sifat konvergensi yang relevan dari solusi untuk orbit yang dihasilkan dan sifat analititasnya secara meyakinkan diringkas oleh George Szekeres. Beberapa solusi diberikan dalam istilah deret asimtotik, lih. Matriks Carleman.

Aplikasi 

Ini digunakan untuk menganalisis sistem dinamika diskrit dengan mencari sistem koordinat baru di mana sistem (orbit) yang dibangkitkan oleh  h  ( x ) terlihat lebih sederhana, hanya dilatasi.

Lebih khusus lagi, sistem di mana jumlah langkah waktu satuan diskrit , dapat memiliki  orbit (atau  aliran) halusnya direkonstruksi dari solusi persamaan Schröder di atas,  konjugasi
 persamaan.

Itu adalah, .

Secara umum,  semua fungsionalitas iterasi  (iterasi beraturan  grup , lihat fungsi iterasi) disediakan oleh orbit

untuk  nyata - tidak harus positif atau bilangan bulat. (Jadi, grup berlanjut penuh.)
Sekumpulan dari , yaitu, dari semua iterasi bilangan bulat positif dari  (semigroup) disebut  sempalan  (atau urutan Picard) dari .

Namun,  semua iterasi '' (pecahan, sangat kecil, atau negatif) dari  juga ditentukan melalui transformasi koordinat  bertekad untuk menyelesaikan persamaan Schröder: interpolasi holografik kontinu dari rekursi diskrit awal  dibangun; pada dasarnya, seluruh  orbit.

Misalnya, akar kuadrat fungsional adalah , seperti , dan seterusnya.

Sebagai contoh, special cases of the logistic map such as the chaotic case  were already worked out by Schröder in his original article (p. 306),
 , , dan karenanya .

Faktanya, solusi ini terlihat sebagai gerakan yang ditentukan oleh urutan potensial switchback, , fitur generik dari pengulangan terus menerus yang dipengaruhi oleh persamaan Schröder.

Kasus nonkotik juga diilustrasikan dengan metodenya, , memberi  
 , dan karenanya .

Demikian pula, untuk model Beverton–Holt, , yang mudah ditemukan  , seperti

Lihat pula 

 Persamaan Böttcher

Referensi 

Persamaan fungsional
Fisika matematika