Kelas konjugasi

Dalam matematika, terutama teori grup, dua elemen  dan  dari sebuah  grup adalah konjugasi jika elemen  dalam grup dirumuskan . Ini adalah relasi kesetaraan yang kelas kesetaraan disebut kelas konjugasi.

Anggota kelas konjugasi yang sama tidak dapat dibedakan dengan hanya menggunakan struktur grup, dan karena itu berbagi banyak sifat. Studi tentang kelas konjugasi grup non-abelian sangat penting untuk mempelajari struktur mereka. Untuk grup abelian, setiap kelas konjugasi adalah  himpunan yang berisi satu elemen ( himpunan tunggal).

 Fungsi yang konstan untuk anggota kelas konjugasi yang sama disebut fungsi kelas.

Definisi

Maka  menjadi sebuah grup. Dua elemen  dan  dari  adalah mengkonjugasikan, jika ada elemen  di  sedemikian rupa sehingga . Seseorang juga mengatakan bahwa  adalah konjugasi dari  dan bahwa  adalah konjugasi dari .

Dalam kasus grup  dari matriks invers, hubungan konjugasi disebut kesamaan matriks.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa konjugasi adalah relasi ekivalen dan oleh karena itu memartisi  G  menjadi kelas ekivalen. (Ini berarti bahwa setiap elemen grup milik tepat satu kelas konjugasi, dan kelas Cl( a ) dan Cl( b ) sama jika dan hanya jika  a  dan  b  berkonjugasi, dan  memutuskan sebaliknya.) Kelas ekivalen yang mengandung elemen  a  dalam  G  adalah

dan disebut kelas konjugasi dari .  dari  adalah jumlah kelas konjugasi berbeda (tidak ada yang setara). Semua elemen yang termasuk dalam kelas konjugasi yang sama memiliki  urutan yang sama.

Kelas konjugasi dapat disebut dengan mendeskripsikannya, atau lebih singkat dengan singkatan seperti "6A", artinya "kelas konjugasi tertentu dari urutan 6 elemen", dan "6B" akan menjadi kelas konjugasi yang berbeda dari elemen urutan 6; kelas konjugasi 1A adalah kelas konjugasi identitas. Dalam beberapa kasus, kelas konjugasi dapat dijelaskan dengan cara yang seragam; misalnya, dalam grup simetris mereka dapat dijelaskan oleh struktur siklus.

Contoh 
Gugus simetris S3, terdiri dari 6 permutasi dari tiga elemen, memiliki tiga kelas konjugasi:
tidak ada perubahan (abc → abc)
transposisi dua (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
permutasi siklik dari ketiganya (abc → bca, abc → cab)

Ketiga kelas ini juga sesuai dengan klasifikasi  isometri dari segitiga sama sisi. 

Grup simetris S4, terdiri dari 24 permutasi dari empat elemen, memiliki lima kelas konjugasi, terdaftar dengan struktur dan urutan siklusnya:
(1)4    tidak ada perubahan (1 elemen: { (1, 2, 3, 4) }).  Baris tunggal yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan sebagai deretan lingkaran hitam di tabel yang berdekatan.
(2)      interchanging two (6 elements: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }).  6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna hijau di tabel yang berdekatan.
(3)      permutasi siklik dari tiga (8 elemen:  { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }).  8 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan cetakan normal (tanpa huruf tebal atau sorotan warna) pada tabel yang berdekatan.
(4)      permutasi siklik dari keempat (6 elemen: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }).  6 baris yang berisi kelas konjugasi ini disorot dengan warna oranye di tabel yang berdekatan.
(2)(2)  mempertukarkan dua, dan juga dua lainnya (3 elemen:  { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }).  3 baris yang berisi kelas konjugasi ini ditampilkan dengan entri huruf tebal di tabel yang berdekatan.

 rotasi kubus yang tepat, yang dapat dicirikan dengan permutasi diagonal tubuh, juga dijelaskan dengan konjugasi dalam S4 .

Secara umum, jumlah kelas konjugasi dalam grup simetris Sn sama dengan jumlah partisi bilangan bulat dari  n . Ini karena setiap kelas konjugasi sesuai dengan satu partisi dari {1, 2, ..., n} menjadi  siklus, hingga permutasi elemen {1, 2, ..., n}.

Secara umum, grup Euklides dapat dipelajari dengan konjugasi isometri dalam ruang Euklides.

Sifat 
 Elemen identitas selalu merupakan satu-satunya elemen di kelasnya, yaitu 
 Jika  adalah  abelian, maka  untuk  dan  pada ; begitu  untuk  pada .
 Jika dua elemen  dan  dari  termasuk dalam kelas konjugasi yang sama (yaitu, jika keduanya konjugasi), maka mereka memiliki  urutan yang sama. Secara lebih umum, setiap pernyataan tentang  dapat diterjemahkan menjadi pernyataan tentang , karena peta  adalah  automorfisme dari . Lihat sifat berikutnya sebagai contoh.
 Jika  dan  terkonjugasi, begitu juga kekuatan  dan . (Proof: if , kemudian .) Jadi, mengambil kekuatan  memberikan peta pada kelas konjugasi, dan seseorang dapat mempertimbangkan kelas konjugasi mana yang ada di preimage nya. Misalnya, dalam grup simetris, kuadrat dari elemen tipe (3)(2) (3-siklus dan 2-siklus) adalah elemen tipe (3), oleh karena itu salah satu kelas power-up dari (3) adalah kelas (3)(2) (di mana  adalah kelas power-up dari ).
 Sebuah elemen  dari  terletak di  pusat  dari  jika dan hanya jika kelas konjugasinya hanya memiliki satu elemen,  itu sendiri. Secara lebih umum, jika  menunjukkan  centralizer  dari  pada , yaitu subgrup yang terdiri dari semua elemen  seperti itu , lalu  indeks  sama dengan jumlah elemen dalam kelas konjugasi  (menurut teorema penstabil orbit).
Take  and let  menjadi bilangan bulat berbeda yang muncul sebagai panjang siklus dalam jenis siklus  (including 1-cycles). Maka  menjadi jumlah siklus panjang  in  untuk  (seperti ). Kemudian jumlah konjugasi  adalah:

Konjugasi sebagai grup aksi 

Jika kita mendefinisikan

untuk dua elemen apa pun  dan  dalam , maka kita memiliki  aksi grup dari  pada .  orbit dari tindakan ini adalah kelas konjugasi, dan  penstabil dari elemen tertentu adalah pemusat elemen.

Demikian pula, kita bisa mendefinisikan aksi grup dari  pada himpunan semua himpunan bagian dari , dengan menulis
,
atau pada himpunan subgrup dari .

Konjugasi subgrup dan himpunan bagian umum 

Secara lebih umum, jika himpunan bagian  S  dari  G  ( S  belum tentu merupakan subgrup), kami mendefinisikan subset  T  dari  G  menjadi konjugasi menjadi  S  jika terdapat beberapa  g  dalam  G  sedemikian rupa T = gSg−1. Kami dapat mendefinisikan Cl(S) sebagai himpunan semua himpunan bagian  T  dari  G  sehingga  T  dikonjugasikan menjadi  S .

Teorema yang sering digunakan adalah bahwa, dengan subset  S  dari  G ,  indeks dari N( S ) (penormal dari  S ) di  G  sama dengan urutan Cl(S):

Ini mengikuti karena, jika  g  dan  h  ada di  G , maka gSg−1 = hSh−1 jika dan hanya jika g−1h ada di N (S), dengan kata lain, jika dan hanya jika  g  dan  h  berada dalam kohimpunan yang sama N(S).

Perhatikan bahwa rumus ini menggeneralisasi yang diberikan sebelumnya untuk jumlah elemen dalam kelas konjugasi (maka S = {a}).

Di atas sangat berguna ketika berbicara tentang subgrup  G . Dengan demikian, subgrup dapat dibagi menjadi kelas konjugasi, dengan dua subgrup yang termasuk dalam kelas yang sama jika dan hanya jika.
Subgrup konjugat adalah  isomorfis, tetapi subgrup isomorfik tidak perlu konjugasi. Misalnya, sebuah grup abelian mungkin memiliki dua subgrup berbeda yang isomorfik, tetapi mereka tidak pernah konjugasi.

Interpretasi geometris 

Kelas konjugasi dalam grup fundamental dari ruang topologi terhubung-jalan dapat dianggap sebagai kelas kesetaraan loop bebas di bawah homotopi bebas.

Kelas konjugasi dan representasi tak tersederhanakan dalam grup hingga 

Dalam grup terbatas, jumlah (non-isomorfik) representasi tak tereduksi berbeda sama dengan jumlah kelas konjugasi.

Lihat pula 
 Konjugasi topologis
 Grup-FC
 Subgrup tertutup konjugasi

Catatan

Referensi

Pranala luar 
 

Teori grup