Bilangan segitiga kuadrat

Dalam teorema bilangan, jumlah  pangkat tiga pertama adalah kuadrat dari bilangan segitiga ke-. Jumlah tersebut dirumuskan sebagaiDengan menggunakan notasi Sigma, persamaan tersebut dapat ditulis 

Identitas tersebut terkadang disebut juga teorema Nicomachus, yang dinamai dari Nicomachus dari Geresa.

Sejarah 
Dalam bagian akhir Bab 20, di buku Introduction to Arithmetic, Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah , maka jumlah kedua berikutnya adalah , jumlah ketiga berikutnya adalah , dan begitupula seterusnya. Nichomacus tidak menjelaskannya lebih lanjut, tetapi pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa jumlah dari  pertama sama dengan jumlah dari bilangan ganjil  yang pertama, dalam artian bahwa bilangan ganjil yang berawal dari 1 sampai . Rata-rata dari bilangan tersebut adalah . dan terdapat  bilangan tersebut, sehingga jumlahnya adalah . 

Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus.  mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini".  menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya Nicomachus di Jordan pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya Aryabhata di India pada abad kelima, dan karya Al-Karaji sekitar 1000 di Persia.  menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh Al-Qabisi di Arab pada abad kesepuluh, Gersonides di Prancis sekitar tahun 1300, dan Nilakantha Somayaji di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.

Nilai numerik; pandangan geometris dan probabilistik 

Barisan bilangan segitiga kuadrat adalah: 

 0,1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... .

Bilangan segitiga kuadrat tersebut dapat dipandang sebagai bilangan figurasi, suatu perumuman hiperpiramidal empat dimensi dari bilangan segitiga dan bilangan piramidal persegi. 

 mengamati bahwa bilangan segitiga kuadrat juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah  kisi. Sebagai contoh, titik-titik dari  kisi (atau persegi yang terdiri dari tiga persegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. Dengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi persegi tersebut dihitung dengan bilangan piramidal kuadrat. 

Identitas tersebut juga mengatakan pandangan probabilistik sebagai berikut: Misalkan  menyatakan bilangan bulat yang dipilih secara independen dan seragam di sebarang bilangan di antara  dan . Maka, probabilitas mengatakan bahwa  adalah bilangan bulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas yang mengatakan  setidaknya sebesar , dan  setidaknya sebesar Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh .

Pembuktian 
 memberikan pembuktian yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap bilangan kubik dalam penjumlahan menjadi suatu himpunan dari bilangan ganjil yang berurutan. Wheatstone memulainya dengan memberikan identitasIdentitas tersebut berkaitan dengan bilangan segitiga  yang disederhankan sebagai:Dengan demikian, tinambah di atas akan membentuk  setelah semua bilangan segitiga membentuk nilai sebelumnya yang dimulai dari  sampai  . Dengan menerapkan sifat tersebut, bersama dengan identitas terkenal lainnya:maka akan menghasilkan bentuk berikut: 

 mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam suatu tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke- adalah  dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Cara lainnya adalah seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan gnomon bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku memberikan suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap gnomon adalah bilangan pangkat tiga, dan demikian bahwa jumlah seluruh tabel adalah jumlah bilangan pangkat tiga.

Dalam literatur matematika yang baru-baru ini,  memberikan bukti dari jumlah bilangan segitiga kuadrat dengan menggunakan penjumlahan bagian-demi-bagian.  menggunakan pandangan perhitungan persegi panjang dari bilangan-bilangan tersebut agar membentuk bukti geometris dari identitas (lihat pula  ); ia mengamati bahwa pandangan tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) memlalui induksi, dan menyatakan bahwa  memberikan "bukti Arab kuno yang menarik".  memberikan bukti visual murni,  memberikan dua bukti tambahan, dan  memberikan tujuh bukti geometris.

Perumuman 
Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua jumlah pangkat: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut polinomial Faulhaber, suatu polinomial dengan jumlah bilangan pangkat tiga yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain. 

 mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat.  dan  mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.

Referensi 
 
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Pranala luar 

 
 A visual proof of Nicomachus's theorem 
Artikel mengenai pembuktian
Identitas matematika
Urutan bilangan bulat
Teorema Bilangan
Matematika dasar