Teorema Sylow

Dalam matematika, khususnya di bidang teori grup hingga, Teorema Sylow adalah kumpulan teorema yang dinamai menurut matematikawan Norwegia  Peter Ludwig Sylow (1872) yang memberikan informasi rinci tentang jumlah subgrup dari  urutan yang berisi grup hingga tertentu. Teorema Sylow membentuk bagian fundamental dari teori grup hingga dan memiliki aplikasi yang sangat penting dalam klasifikasi grup sederhana hingga.

Untuk bilangan prima p, Sylow subgrup p (terkadang Sylow subgrup p dari grup  G  adalah maksimal subgrup  p   dari  G , yaitu, subgrup dari  G  yaitu grup p (sehingga  urutan dari setiap elemen grup adalah  kekuatan dari p) itu bukan subgrup yang tepat dari  p  lainnya, subgrup dari  G . Himpunan dari semua Sylow subgrup  p  untuk prima tertentu  p  terkadang ditulis Sylp(G).

Teorema Sylow menyatakan kebalikan parsial  Teorema Lagrange. Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk setiap grup hingga  G  urutan (jumlah elemen) dari setiap subgrup  G  membagi urutan  G .  Teorema Sylow menyatakan bahwa untuk setiap faktor prima  p  dari urutan grup hingga  G , terdapat Sylow subgrup  p  order  G  pn, pangkat tertinggi  p  yang membagi urutan  G . Selain itu, setiap subgrup order pn adalah Sylow subgrup  p   dari  G , dan Sylow  p  - subgrup dari grup (untuk prime  p  tertentu) adalah konjugasi satu sama lain. Selanjutnya, jumlah Sylow subgrup  p  dari grup untuk prima  p  yang diberikan kongruen dengan

Teorema 

Kumpulan subgrup yang masing-masing maksimal dalam satu hal atau lainnya adalah hal biasa dalam teori grup. Hasil yang mengejutkan di sini adalah dalam kasus Sylp(G), semua anggota sebenarnya  isomorphic satu sama lain dan memiliki urutan terbesar: jika |G| = pnm dengan n > 0 dimana  p  tidak membagi  m , maka setiap Sylow subgrup  p  , P  memiliki urutan |P| = pn. Artinya,  P  adalah grup  p  dan gcd(|G : P|, p) = 1. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menganalisis lebih lanjut struktur  G .

Teorema berikut pertama kali diajukan dan dibuktikan oleh Ludwig Sylow pada tahun 1872, dan diterbitkan pada Mathematische Annalen.

Teorema 1: Untuk setiap faktor prima  p  dengan  kelipatan  n  dari urutan grup hingga  G , terdapat Sylow subgrup  p  dan  G , berurutan pn.

Versi lemah teorema 1 berikut ini pertama kali dibuktikan oleh Augustin-Louis Cauchy, dan dikenal sebagai  Teorema Cauchy.

Korolari: Diberikan kelompok terbatas  G  dan bilangan prima  p  membagi urutan  G , maka terdapat elemen (dan karenanya subgrup) berorde  p  pada G.

Teorema 2: Diberikan grup terbatas  G  dan bilangan prima  p , pada Sylow subgrup  p  dari  G  adalah  konjugasi satu sama lain, yaitu jika  H  dan  K  adalah Sylow subgrup  p  dari  G , maka terdapat elemen  g  di  G  dengan g−1Hg = K.

Teorema 3: Misalkan  p  menjadi faktor prima dengan kelipatan  n  dari urutan grup hingga  G , sehingga urutan  G  dapat dituliskan sebagai , dimana  dan  p  tidak membagi  m . Maka np jadilah jumlah Sylow subgrup  p  dari  G . Kemudian penangguhan berikut:
 np membagi  m , yang merupakan  indeks dari Sylow subgrup  p  pada  G .
 np ≡ 1 (mod p).
 np = |G : NG(P)|, di mana  P  adalah sembarang Sylow subgrup  p  dari  G  dan NG menunjukkan penormal.

Konsekuensi 

Teorema Sylow menyiratkan bahwa untuk bilangan prima  p  setiap Sylow subgrup  p   memiliki urutan yang sama, pn. Sebaliknya, jika subgrup memiliki urutan pn, maka itu adalah Sylow subgrup  p , dan begitu juga isomorfik untuk setiap Sylow subgrup  p . Karena kondisi maksimalitas, jika  H  adalah salah satu  p  - subgrup dari  G , maka  H  adalah subgrup dari subgrup  p  dari urutan pn.

Konsekuensi yang sangat penting dari Teorema 2 adalah kondisi tersebut np = 1 setara dengan mengatakan bahwa Sylow subgrup  p ,  G  adalah subgrup normal
(ada grup yang memiliki subgrup normal tetapi tidak ada subgrup Sylow normal, seperti S4).

Teorema Sylow untuk grup tak hingga 

Ada analogi dari teorema Sylow untuk kelompok tak terbatas. Kami mendefinisikan Sylow subgrup  p  dalam grup tak terbatas menjadi subgrup  p  (yaitu, setiap elemen di dalamnya memiliki urutan daya  p ) yang maksimal untuk dimasukkan di antara semua subgrup  p  dalam grup. Subgrup semacam itu ada oleh lemma Zorn.

Teorema: Jika  K  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , dan np = |Cl(K)| terbatas, maka setiap Sylow subgrup  p  dikonjugasikan menjadi  K , dan np ≡ 1 (mod p), dimana Cl(K) menunjukkan kelas konjugasi  K .

Contoh 

Ilustrasi sederhana subgrup Sylow dan teorema Sylow adalah kelompok dihedral dari n-gon, D2n. Untuk n ganjil, 2 = 21 adalah pangkat tertinggi dari 2 yang membagi ordo, dan dengan demikian subgrup orde 2 adalah subgrup Sylow. Ini adalah grup yang dihasilkan oleh refleksi, yang mana terdapat  n , dan semuanya terkonjugasi di bawah rotasi; secara geometris sumbu-sumbu simetri melewati sebuah simpul dan sisi.

Sebaliknya, jika  n  genap, maka 4 membagi urutan grup, dan subgrup orde 2 bukan lagi subgrup Sylow, dan kenyataannya mereka terbagi dalam dua kelas konjugasi, secara geometris menurut apakah mereka melewati dua simpul atau dua sisi. Ini terkait dengan automorfisme luar, yang dapat diwakili oleh rotasi melalui π /  n , setengah dari rotasi minimal dalam kelompok dihedral.

Contoh lainnya adalah p-subgrup Sylow dari GL2(Fq), di mana  p  dan  q  adalah bilangan prima ≥ 3 dan p ≡ 1 (mod q) , yang semuanya  abelian. Urutan GL2(Fq) is (q2 − 1)(q2 − q) = (q)(q + 1)(q − 1)2. Maka q = pnm + 1, urutan GL2(Fq) = p2n m′. Jadi dengan Teorema 1, urutan dari Sylow  p  adalah p2n.

Salah satu subgrup  P , adalah himpunan matriks diagonal  , x adalah salah satu  akar primitif dari  Fq. Karena urutan Fq is q − 1, its primitive roots have order q − 1, which implies that x(q − 1)/pn or xm dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan  p . Jadi,  P  adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan p. Jika pn pilihan untuk  a  dan  b , membuat |P| = p2n. Ini berarti  P  adalah Sylow  p  - subkelompok, yang abelian, karena semua matriks diagonal bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup p  berkonjugasi satu sama lain GL2(Fq) pada grup abelian.

Contoh aplikasi 
Karena teorema Sylow memastikan keberadaan subgroup-p dari kelompok terbatas, ada baiknya mempelajari grup tatanan kekuatan utama lebih dekat. Sebagian besar contoh menggunakan teorema Sylow untuk membuktikan bahwa sekelompok urutan tertentu bukanlah  sederhana. Untuk kelompok orde kecil, kondisi kesesuaian teorema Sylow sering kali cukup untuk memaksa keberadaan subgrup normal. 
Contoh 1 Grup urutan  pq ,  p  dan  q  dengan bilangan prima p < q. 
Contoh-2 Urutan grup 30, urutan grup 20, urutan grup p2q, p dan bilangan prima berbeda  q  adalah beberapa aplikasi.
 Contoh-3 (Grup ordo 60): Jika order |G| = 60 and G has more than one Sylow 5-subgroup, then G is simple.

Pesanan grup siklik 
Beberapa bilangan prima  n  sedemikian rupa sehingga setiap kelompok orde  n  berbentuk siklik. Dapat ditunjukkan bahwa  n  = 15 adalah bilangan seperti itu dengan menggunakan teorema Sylow:  Misalkan  G  adalah sekelompok berorde 15 = 3 · 5 dan n3 menjadi jumlah Sylow 3-subgrup. Kemudian n3  5 dan n3 ≡ 1 (mod 3). Satu-satunya nilai yang memenuhi batasan ini adalah 1; oleh karena itu, hanya ada satu subgrup berorde 3, dan itu harus  normal (karena tidak memiliki konjugasi berbeda). Demikian pula, n5 harus membagi 3, dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5); jadi ia juga harus memiliki satu subgrup normal berorde 5. Karena 3 dan 5 adalah coprime, perpotongan kedua subgrup ini adalah trivial, dan jadi  G  haruslah produk langsung internal dari grup orde 3 dan 5, yaitu grup siklik orde 15. Jadi, hanya ada satu grup orde 15 (hingga isomorfisme).

Grup kecil tidak sederhana 
Contoh yang lebih kompleks melibatkan urutan grup sederhana terkecil yang bukan  siklik. Teorema Burnside pa qb menyatakan bahwa jika orde suatu kelompok adalah hasil kali dari satu atau dua pangkat utama s, maka ia  dapat dipecahkan, sehingga kelompok tersebut tidak sederhana, atau merupakan orde utama dan berhubung dgn putaran. Ini mengesampingkan setiap grup hingga orde 30 .

Jika  G  sederhana, dan |G| = 30, kemudian n3 must divide 10 ( = 2 · 5), dan n3 harus sama dengan 1 (mod 3). Karena baik 4 maupun 7 tidak membagi 10, dan jika n3 = 1 kemudian, seperti di atas,  G  akan memiliki subgrup normal berorde 3, dan tidak bisa sederhana.  G  kemudian memiliki 10 subgrup siklik berbeda dari orde 3, yang masing-masing memiliki 2 elemen orde 3 (indentitas penambahan). Ini berarti  G  memiliki setidaknya 20 elemen berbeda dari orde 3.

Juga,  n  5  = 6, karena  n   5  harus membagi 6 (= 2 · 3), dan n5 harus sama dengan 1 (mod 5). Jadi  G  juga memiliki 24 elemen berbeda dari orde 5. Tapi orde  G  hanya 30, jadi grup sederhana berorde 30 tidak mungkin ada.

Selanjutnya, misalkan |G| = 42 = 2 · 3 · 7. Di sini  n  7  harus membagi 6 ( =  2 · 3) dan n7 harus sama dengan 1 (mod 7), jadi  n  7  = 1. Jadi, seperti sebelumnya,  G  tidak bisa sederhana.

Di sisi lain, untuk |G| = 60 = 22 · 3 · 5, maka  n  3  = 10 dan  n  5  = 6 sangat mungkin. Dan faktanya, grup non-siklik sederhana terkecil adalah A5, grup bergantian lebih dari 5 elemen. Ia memiliki urutan 60, dan memiliki 24 permutasi siklik dari urutan 5, dan 20 dari urutan 3.

Teorema Wilson 
Bagian dari Teorema Wilson menyatakan bahwa

untuk setiap prima  p . Seseorang dapat dengan mudah membuktikan teorema ini dengan teorema ketiga Sylow. Memang,
perhatikan bahwa bilangan np dari Sylow subgrup  p 
dalam grup simetris Sp is (p − 2)!. Maka, np ≡ 1 (mod p). Karenanya, (p − 2)! ≡ 1 (mod p). So, (p − 1)! ≡ −1 (mod p).

Hasil fusi 
Argumen Frattini menunjukkan bahwa subkelompok Sylow dari subkelompok normal menyediakan faktorisasi dari grup hingga.  Sebuah generalisasi kecil yang dikenal sebagai Teorema fusi Burnside menyatakan Bahwa jika  G  adalah grup berhingga dengan Sylow subgrup  p  dan dua himpunan bagian  A  dan  B  dinormalisasi oleh  P , lalu  A  dan  B  adalah konjugasi  G  jika dan hanya jika ada konjugasi NG(P).  Buktinya adalah aplikasi sederhana dari teorema Sylow: Jika B=Ag, maka penormal  B  tidak hanya berisi  P  tetapi juga Pg (karena Pg terkandung dalam penormal dari Ag).  Dengan teorema Sylow  P  dan Pg terkonjugasi tidak hanya dalam  G , tetapi dalam penormalisasi  B . Karenanya gh−1 menormalkan  P  untuk beberapa  h  yang menormalkan  B , lalu Agh−1 = Bh−1 = B, so that A dan  B  adalah konjugasi NG(P).  Teorema fusi Burnside dapat digunakan untuk memberikan faktorisasi yang lebih kuat yang disebut produk setengah langsung: jika  G  adalah grup terbatas yang Sylow  p  - subkelompok  P  terdapat di tengah penormalnya, lalu  G  memiliki subgrup normal  K  dengan urutan coprime ke  P , G = PK and P∩K = {1}, yaitu,  G  adalah   p  nilpotent.

Aplikasi yang kurang sepele dari teorema Sylow termasuk teorema subkelompok fokus, yang mempelajari kontrol Sylow  p  - subkelompok dari subgrup turunan memiliki struktur keseluruhan.  Kontrol ini dieksploitasi pada beberapa tahap klasifikasi grup sederhana hingga, dan misalnya mendefinisikan pembagian kasus yang digunakan dalam Teorema Alperin – Brauer – Gorenstein yang mengklasifikasikan hingga grup sederhana yang subgrup Sylow 2-nya adalah grup kuasi-dihedral.  Ini bergantung pada J. L. Alperin memperkuat bagian konjugasi dari teorema Sylow untuk mengontrol jenis elemen apa yang digunakan dalam konjugasi.

Bukti teorema Sylow 

Teorema Sylow telah dibuktikan dalam beberapa cara, dan sejarah pembuktian itu sendiri adalah subjek dari banyak makalah termasuk , , , , dan sampai batas tertentu .

Salah satu bukti teorema Sylow mengeksploitasi gagasan  tindakan grup dalam berbagai cara kreatif. Grup  G  bertindak pada dirinya sendiri atau pada himpunan  p -subgrupnya dengan berbagai cara, dan setiap tindakan tersebut dapat dimanfaatkan untuk membuktikan salah satu teorema Sylow.  Bukti berikut didasarkan pada argumen kombinatorial dari . Berikut ini, kami menggunakan  a   b sebagai notasi untuk "a divides b" dan  a    b  untuk meniadakan pernyataan ini.

 Teorema 1:  Grup terbatas  G  yang urutannya |G| dapat dibagi oleh kekuatan utama pk memiliki subgrup order pk.

Bukti: Karena |G| = pkm = pk+ru dirumuskan p  u, dan misalkan Ω menunjukkan himpunan himpunan bagian dari ukuran  G  yaitu pk. G  tindakan pada Ω dengan perkalian kiri: g⋅ω = { gx | x ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan Gω untuk  subgrup penstabil {g ∈ G | g⋅ω = ω } dan  Gω untuk  orbit {g⋅ω | g ∈ G} pada Ω.

Buktinya akan menunjukkan adanya beberapa ω ∈ Ω yang dirumuskan Gω memiliki pk elemen, menyediakan subkelompok yang diinginkan. Ini adalah ukuran maksimal dari subgrup penstabil Gω, karena untuk setiap elemen tetap α ∈ ω ⊆  G , gambar Gω di bawah peta bijektiva  G  →  G  perkalian kanan dengan α (g ↦ gα) terkandung dalam ω; karena itu, |Gω| ≤ |ω| = pk.

Dengan  teorema penstabil orbit yang kami miliki |Gω| |Gω| = |G| untuk setiap ω ∈ Ω, dan karenanya menggunakan penilaian aditif p-adik νp, yang menghitung jumlah faktor  p , yang dimiliki νp(|Gω|) + νp(|Gω|) = νp(|G|) = k + r. Ini berarti bagi mereka ω dengan |Gω| = pk, yang kita cari, satu sudah yaitu νp(|Gω|) = r, sedangkan untuk ω lainnya memiliki νp(|Gω|) > r (as 0 < |Gω| < pk berarti νp(|Gω|) < k). Karena | Ω | adalah jumlah dari |Gω| pada semua orbit berbeda Gω, seseorang dapat menunjukkan keberadaan ω dari tipe sebelumnya dengan menunjukkan itu νp(|Ω|) = r (jika tidak ada, penilaian itu akan melebihi  r ). Ini adalah turunan dari Teorema Kummer (karena dalam basis  p  notasi bilangan |G| diakhiri dengan tepat  k  +  r  digit nol, mengurangi  p k   darinya melibatkan carry di tempat  r ), dan juga dapat ditampilkan dengan perhitungan sederhana:

dan tidak ada kekuatan  p  yang tersisa di salah satu faktor di dalam produk di sebelah kanan. Karenanya νp(|Ω|) = νp(m) = r, melengkapi buktinya.

Dapat dicatat bahwa sebaliknya setiap subgrup  H  berurutan pk menimbulkan himpunan ω ∈ Ω yaitu Gω = H, yaitu salah satu dari  m  kohimpunan berbeda  Hg .

 Lemma: Misalkan  G  menjadi grup  p  yang terbatas, misalkan Ω himpunan terbatas, misalkan Ω G  menjadi himpunan yang dihasilkan oleh aksi  G  pada semua elemen Ω, dan biarkan Ω 0  menunjukkan himpunan titik Ω G  yang ditetapkan di bawah aksi  G . Kemudian |ΩG| ≡ |Ω0| (mod p). 

Bukti: Tuliskan Ω G  sebagai jumlah orbit yang saling lepas di bawah  G .  Elemen x ∈ ΩG tidak ditetapkan oleh  G  akan terletak pada urutan orbit |G|/|Gx| (di mana  G  x   menunjukkan stabilisator), yang merupakan kelipatan dari  p  dengan asumsi. Hasilnya segera menyusul.

Teorema 2: Jika  H  adalah subgrup  p  dari  G  dan  P  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , maka ada elemen ' 'g' 'dalam' 'G' 'seperti itu g−1Hg ≤ P. Secara khusus, semua Sylow  p  - subgrup dari  G  adalah  konjugasi satu sama lain (dan karena itu  isomorfik), yaitu, jika  H  dan  K  adalah Sylow  p  - subgrup dari  G , maka terdapat elemen  g  dalam  G  dengan g−1Hg = K.

Bukti: Misalkan Ω adalah himpunan coset kiri dari  P  dalam  G  dan biarkan  H  bekerja pada Ω dengan perkalian kiri. Menerapkan Lemma ke  H  pada Ω, kita melihat |Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] (mod p).  Sekarang p  [G : P] menurut definisi jadi p  |Ω0|, karenanya secara khusus |Ω0| ≠ 0 begitu ada beberapa gP ∈ Ω0.  Oleh karena itu untuk beberapa  g  ∈  G  dan ∀  h  ∈  H  yang kami miliki hgP = gP so g−1HgP = P dan oleh karena itu g−1Hg ≤ P. Sekarang jika  H  adalah Sylow subgrup  p , |H| = |P| = |gPg−1| jadi H = gPg−1 untuk beberapa  g  ∈  G .

Teorema 3: Misalkan  q  menunjukkan urutan Sylow subgrup  p  dari grup  P  hingga  G . Misalkan  n p   menunjukkan jumlah Sylow subgrup  p  dari  G . Kemudian np = |G : NG(P)|, np  |G|/q dan np ≡ 1 (mod p), dimana NG(P) adalah penormal dari P

Algoritma 
Masalah menemukan subkelompok Sylow dari kelompok tertentu merupakan masalah penting dalam teori grup komputasi.

Salah satu bukti keberadaan Sylow  p  - subkelompok konstruktif: jika  H  adalah subgrup  p   G  dan indeks [G:H] habis dibagi  p , lalu normalizer N = NG(H) dari  H  dalam  G  juga sedemikian rupa sehingga [ N :  H ] habis dibagi  p . Dengan kata lain, sistem pembuatan polisiklik dari Sylow  p  - subkelompok dapat ditemukan dengan memulai dari subgrup- p  pada  H  (termasuk identitas) dan mengambil elemen  p  - urutan daya yang terkandung dalam normalizer  H  tetapi tidak dalam  H  itu sendiri.  Versi algoritmik ini (dan banyak peningkatan) dijelaskan dalam bentuk buku teks di , termasuk algoritme yang dijelaskan dalam .  Versi ini masih digunakan dalam sistem aljabar komputer GAP.

Dalam grup permutasi terbukti di (; ) bahwa Sylow  p  - subgrup dan normalnya dapat ditemukan di waktu polinomial dari input (derajat grup dikalikan jumlah generator).  Algoritme ini dijelaskan dalam bentuk buku teks di , dan sekarang menjadi praktis karena pengakuan konstruktif dari kelompok sederhana hingga menjadi kenyataan. Secara khusus, versi dari algoritma ini digunakan dalam Sistem aljabar komputer magma.

Lihat pula 

 Argumen Frattini
 Subgrup Hall
 Subgrup maksimal
 grup-p

Catatan

Referensi

Bukti

Algorithms

Pranala luar 
 
 
 
 

Grup hingga
Grup-P
Teorema dalam teori grup
Artikel yang berisi bukti