Grup automorfisme

Dalam matematika, grup automorfisme dari sebuah objek  X  adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari  X . Misalnya, jika  X  adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari  X  adalah grup linier umum dari  X , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari  X  menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut grup transformasi (terutama dalam literatur lama).

Contoh 
 Grup automorfisme dari himpunan  X  adalah grup simetris dari  X .
 A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan  X  sama dengan aksi grup pada  X : memang, setiap kiri  G , trivial pada satu himpunan  X  menentukan , dan, sebaliknya, setiap homomorfisme  mendefinisikan aksi dengan .
Misalkan  menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan  himpunan dari semua bijeksi . Kemudian , yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak  dari kiri bebas dan secara transitif; artinya,  adalah torsor untuk  (lih. #Dalam kategori teori).
 Grup automorfisme  dari grup siklik dari urutan  n  adalah isomorfis ke  dengan isomorfisme yang diberikan oleh . Secara khusus,  adalah grup abelian.
 Diberikan ekstensi bidang , grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang  L  yang fix  K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari .
 Grup automorfisme dari proyektif  n  - spasi di atas bidang  k  adalah grup linear proyektif 
 Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga]  memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika  G  adalah grup Lie dengan aljabar Lie , maka grup automorfisme dari  G  memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari .
 Misalkan  P  menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang  R . Maka melekatkan , unique up to inner automorphisms.

Dalam teori kategori 
Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika  X  adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari  X  adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari  X  untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari  X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika  adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan  dari semua  adalah kiri -torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar  dibedakan secara jelas oleh elemen dari , atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika  dan  adalah objek dalam kategori  dan , dan jika  adalah functor memetakan  ke , kemudian  menginduksi homomorfisme grup , karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika  G  adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika  G  adalah groupoid, maka setiap functor , C kategori, disebut aksi atau representasi  G  pada objek , or the objects . Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek  (sebagaimana mereka ditindaklanjuti ); lih. -object. Jika  adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka  -objek juga disebut  -modul.

Funktor grup automorfisme 
Misalkan  menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang  k  yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu,  M  adalah aljabar berdimensi-hingga di atas  k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan  k  - peta linear  yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor  dari . Grup unit dari  adalah grup automorfisme . Ketika basis pada  M  dipilih,  adalah ruang dari matriks kuadrat dan  adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya,  adalah grup aljabar linear di atas  k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor: yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif  R  di atas  k , pertimbangkan  R -peta linear  melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan . Kemudian grup unit gelanggang matriks  lebih  R  adalah grup automorfisme  dan  adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas  k  ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan .

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula 
 Grup automorfisme luar
 Struktur level, trik untuk grup automorfisme
Grup Holonomi

Referensi

Pranala luar 
https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme 

Grup automorfisme