Bayangan (matematika)

Dalam matematika, bayangan () fungsi adalah himpunan dari semua nilai keluaran () yang dapat dihasilkan.

Lebih umumnya lagi, ketika mencari fungsi  yang diketahui di setiap anggota subhimpunan  dari domainnya akan menghasilkan sebuah himpunan, dan hal tersebut dikatakan sebagai "bayangan  di bawah fungsi." Mirip seperti sebelumnya, prabayangan () subhimpunan  dari kodomain  adalah himpunan semua anggota dari domain yang memetakan ke anggota 

Bayangan dan prabayangan tidak hanya dapat didefinisikan untuk fungsi, tetapi juga untuk relasi biner.

Definisi 
Kata "bayangan" digunakan dalam tiga cara. Dalam definisi ini,  menyatakan fungsi  yang memetakan dari himpunan  ke himpunan .

Bayangan anggota
 Jika  anggota dari , maka bayangan  di bawah , dinotasikan , adalah nilai keluaran  untuk argumen . 

Bayangan subhimpunan
 Misalkan  adalah fungsi. Bayangan di bawah  dari subhimpunan  adalah himpunan semua  untuk , diberi notasi . Definisi ini dapat ditulis menggunakan notasi ungkapan himpunan, yaitu:Dengan demikian, akan menyebabkan  dengan  menyatakan himpunan kuasa dari himpunan , himpunan yang mengandung semua subhimpunan . Lihat  di bawah.

Bayangan fungsi
 Bayangan fungsi adalah bayangan dari seluruh daerah asal fungsi, atau dikenal sebagai range fungsi. Akan tetapi, hindari penggunaan kata "range" sebab dapat diartikan sebagai kodomain .

Perumuman bayangan fungsi ke relasi biner
 Jika  menyatakan sebarang relasi biner di perkalian Cartesius  dan , dinotasikan , maka himpunan  disebut bayangan atau range . Himpunan  disebut daerah asal .

Prabayangan fungsi 
Misalkan  adalah fungsi yang dipetakan dari  ke  Prabayangan dari hmpunan  di bawah  diberi notasi  adalah subhimpunan  yang didefinisikan denganTerdapat notasi lain untuk prabayangan fungsi, seperti  dan  Prabayangan fungsi dari himpunan singleton, yang dilambangkan dengan  atau  juga disebut sebagai fiber, atau fiber atas , atau himpunan aras dari  Himpunan dari semua fiber atas anggota  merupakan keluarga himpunan dengan indeks

Notasi untuk bayangan dan prabayangan
Pemakaian notasi di bagian sebelumnya dapat membingungkan. Oleh karena itu, terdapat notasi alternatif yang memberikan nama eksplisit  untuk bayangan dan prabayangan sebagai fungsi di antara himpunan kuasa:
Notasi panah
  dengan 
  dengan 
Notasi bintang
  sebagai pengganti 
  sebagai pengganti 
Notasi lain
 Notasi lain untuk  yang digunakan dalam logika matematika dan teori himpunan adalah '.

Sifat-sifat

Sifat-sifat umum 

Untuk setiap fungsi  dan semua himpunan bagian  and , berlaku sifat-sifat berikut:

Juga:

  jika dan hanya jika

Fungsi banyak 

Untuk fungsi  dan  dengan subhimpunan  dan , berlaku sifat-sifat berikut:

Subhimpunan daeral asal atau kodomain banyak 

Untuk fungsi  dan subhimpunan  and , berlaku sifat-sifat berikut:

Hasil tersebut tidak hanya mengaitkan bayangan dan prabayangan dengan pasang subhimpunan, tetapi juga mengaitkannya dengan aljabar irisan dan gabungan (Boole) untuk setiap koleksi subhimpunan:

 
 
 
 
 dapat berupa himpunan tak terhingga, bahkan tak terhitung.)

Fungsi bayangan invers adalah homomorfisme kekisi terhadap aljabar himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya, sedangkan fungsi bayangan hanyalah homomorfisme semikekisi (dalam artian, tidak selalu mempertahankan irisan himpunan).

Lihat pula 
 Kernel fungsi
 Inversi himpunan

Catatan

Referensi 
 
 .
  
 

 
  
Konsep dasar dalam teori himpunan
Teorema isomorfisme