Ruang kompak

Dalam matematika, khususnya topologi umum, kekompakan () adalah sifat yang memperumum gagasan subhimpunan tertutup dan subhimpunan terbatas dari ruang Euklides. Gagasan tersebut dapat menjadi presisi dengan mengatakan tak ada "bulatan kosong" atau "titik akhir yang hilang" di dalam suatu ruang, dalam artian bahwa harus ada nilai limit dari titik di ruang. Sebagai contoh, interval  bukan kompak sebab interval tersebut tidak punya nilai limit dari 0 dan 1, sedangkan  kompak sebab mempunyai nilai limit dari 0 dan 1. Dengan cara yang serupa, ruang bilangan rasional  bukan kompak sebab ada bulatan kosong yang tak berhingga banyaknya nilai-nilai limit dari bilangan irasional. Ruang bilangan real  bukan kompak sebab tidak mempunyai nilai limit dari  dan , tetapi garis bilangan real yang diperluas adalah kompak sebab mengandung nilai limit dari tak terhingga.

Definisi

Definisi sampul terbuka 
Secara formal, ruang topologi  disebut kompak jika masing-masing sampul terbuka memiliki sub-sampul terhingga. Ini mengartikan bahwa  kompak jika untuk setiap koleksi  dari subhimpunan dari  sehingga

,

akan ada subhimpunan terhingga  dari  sedemikian rupa sehingga

Kekompakan himpunan bagian 
Subhimpunan  dari ruang topologis  dikatakan kompak jika subhimpunan itu kompak sebagai subruang (dalam subruang topologi). Ini mengartikan bahwa  adalah kompak jika untuk setiap koleksi sebarang  dari subhimpunan terbuka dari  sehingga

,

akan ada subhimpunan terhingga dari sedemikian rupa sehingga

.

Kekompakan merupakan sifat "topologis". Ini mengaritkan bahwa jika , dengan subhimpunan  dilengkapi dengan topologi subruang, maka  kompak di  jika dan hanya jika  kompak di .

Referensi

Bibiliografi 
.
.
.
 (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation).

.

Topologi
Sifat ruang topologis
Topologi umum
Kekompakan