Infimum dan supremum

Dalam matematika, infimum himpunan bagian  dari himpunan terurut parsial  adalah anggota terbesar dalam , yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota , jika ada satu buah anggota. Berdasarkan pengertian tersebut, infimum disebut batas bawah terbesar (), dan istilah itu umum digunakan. Infimum disingkat sebagai "inf". Di sisi lain, supremum himpunan bagian dari himpunan terurut parsial  adalah anggota terkecil dalam  yang lebih kecil dari atau sama dengan tiap-tiap anggota , jika terdapat anggotanya. Berdasarkan pengertian lagi, supremum juga disebut sebagai batas atas terkecil (). Supremum disingkat sebagai "sup".

Infimum dan supremum dari bilangan real adalah kasus istimewa yang umum, yang penting dalam analisis matematika, khususnya dalam integrasi Lebesgue. Akan tetapi, definisi umum tetap valid dalam pengaturan teori order yang lebih abstrak

Komsep infimum dan supremum mirip seperti konsep minimum dan maksimum, tetapi konsep ini lebih berguna dalam analisis karena mereka memiliki himpunan-himpunan karakteristik spesial berbeda yang tidak memiliki minimum atau maksimum. Sebagai contoh, bilangan real positif , himpunan yang mengecualikan 0, tidak memiliki suatu minimum, karena dengan mudahnya setiap anggota yang diberikan dapat dibagi menjadi dua bagian dalam suatu bilangan lebih kecil yang masih terdapat di . Akan tetapi, terdapat satu buah infimum dari bilangan real positif: 0, bilangan yang lebih kecil daripada semua bilangan real positif, dan lebih besar daripada setiap bilangan real lainnya yang dapat digunakan sebagai batas bawah.

Definisi formal 

Batas bawah himpunan bagian  dari himpunan terurut parsial  merupakan suatu anggota  dari  sehingga  untuk semua  dalam . Batas bawah  dari  disebut infimum  jika untuk semua batas bawah  dari  di , maka , dalam artian bahwa  lebih besar dari atau sama dengan setiap batas bawah lainnya.

Dengan definisi yang serupa, batas atas himpunan bagian  dari himpunan terurut parsial  merupakan suatu anggota  dari  sehingga , untuk semua  dalam . Batas atas  dari  disebut supremum dari  jika untuk semua batas atas  pada  dalam , maka , dalam artian bahwa  lebih kecil daripada atau sama dengan setiap batas atas lainnya.

Keberadaan dan ketunggalan 
Infimum dan supremum tidak sepenuhnya harus ada. Keberadaan infimum dari himpunan terurut parsial  dari  dapat gagal jika  tidak memiliki batas bawah sama sekali, atau jika himpunan batas bawah tidak berisi suatu anggota terbesar. Namun, jika infimum atau supremum ada, maka batasnya dikatakan tunggal.

Keberadaan infimum dalam himpunan terurut parsial menjadi sangat menarik. Sebagai contoh, kekisi adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian tak kosong terhingga di dalamnya memiliki supremum dan infimum, serta kekisi sempurna adalah suatu himpunan terurut parsial dengan semua himpunan bagian di dalamnya memiliki supremum dan infimum.

Jika supremum himpunan bagian  ada, batasnya dikatakan tunggal, Jika  berisi suatu anggota terbesar, maka anggota itu supremum, dan jika tidak, maka supremum bukan milik  (alias tidak ada). Begitupula untuk infimum: Jika infimum ada, batasnya dikatakan tunggal. Jika  berisi suatu anggota terkecil, maka anggota itu adalah infimum, dan jika tidak, infimum bukan miliki  (alias tidak ada).

Kaitannya dengan anggota maksimum dan minimum 
Infimum himpunan bagian  dari himpunan terurut parsial , asumsi kalau ada, tidak perlu milik . Jika hal tersebut benar, maka dapat dikatakan mempunyai anggota terkecil . Demikian pula, jika supremum  milik , maka batasnya adalah anggota terbesar .

Sebagai contoh, misalkan ada himpunan bilangan real negatif (tak nol). Himpunan ini tidak memiliki anggota terbesar, karena untuk setiap anggota himpunan, masih ada anggota lain yang lebih besar. Katakanlah, untuk setiap bilangan real negatif , masih ada bilangan real negatif  yang lebih besar. Di samping itu, setiap bilangan real lebih besar atau sama dengan nol pasti merupakan suatu batas atas himpunan tersebut. Karenanya, 0 adalah batas atas terkecil dari bilangan real negatif, jadi supremumnya adalah 0. Himpunan ini memiliki suatu supremum tetapi bukan anggota terbesar.

Namun, definisi anggota maksimum dan minimum adalah definisi yang lebih umum. Secara khusus, suatu himpunan dapat memiliki banyak anggota maksimum dan miniuml, sedangkan infimum dan supremum adalah tunggal. Anggota maksimum dan minimum harus merupakan anggota dari himpunan bagian yang diketahui, sedangkan infimum dan supremum himpunan bagian tidak perlu anggota dari himpunan bagian itu sendiri.

Batas atas minimum 
Suatu himpunan terurut parsial dapat memiliki banyak batas atas minimum tanpa memiliki sebuah batas atas terkecil. Batas atas minimum adalah batas atas yang tidak ada anggota terkecil yang merupakan sebuah batas atas. Ini bukan berarti bahwa setiap batas atas minimum lebih kecil daripada semua batas atas lainnya, melainkan hanya tidak lebih besar. Perbedaan antara "minimal" dan "paling kecil" hanya mungkin ketika urutan yang diberikan bukanlah terurut total. Dalam himpunan terurut total, seperti bilangan real, konsepnya sama.

Sebagai contoh, misalkan  adalah himpunan dari semua himpunan bagian bilangan asli terhingga, dan misalkan himpunan terurut parsial diperoleh dengan mengambil semua himpunan-himpunan dari  bersama dengan himpunan bilangan bulat  dan himpunan bilangan real positif , yang diurutkan dari inklusi himpunan bagian seperti yang dijelaskan sebelumnya. Maka jelaslah  dan  lebih besar daripada semua himpunan bilangan asli terhingga. Akan tetapi, lebih kecil dari  maupun sebaliknya tidak berlaku benar, sebab kedua himpunan tersebut merupakan batas atas minimum, tetapi tak ada satupun di antaranya yang merupakan supremum.

Sifat batas atas terkecil 
Sifat batas atas terkecil adalah sebuah contoh sifat kelengkapan yang dijelaskan sebelumnya, yang khususnya untuk himpunan bilangan real. Sifat ini terkadang disebut kelengkapan Dedekind.

Jika suatu himpunan terurut  memiliki sifat bahwa setiap himpunan bagian tak kosong  memiliki suatu batas atas yang juga memiliki suatu batas atas terkecil, maka  dikatakan memiliki sifat batas atas terkecil. Seperti yang disebutkan di atas, himpunan  dari semua bilangan real memiliki sifat batas atas terkecil. Demikian pula, himpunan  dari bilangan bulat memiliki sifat batas atas terkecilil, jika  adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari  dan ada suatu bilangan  sehingga setiap anggota  dari  lebih kecil dari atau sama dengan , maka terdapat suatu batas atas terkecil  untuk , sebuah bilangan bulat yang merupakan batas atas untuk  dan yang lebih kecil dari atau sama dengan setiap batas atas lainnya untuk . Himpunan terurut rapi juga memiliki sifat batas atas terkecil, dan himpunan bagian tak kosong juga memiliki suatu batas atas terkecil, yaitu anggota terkecil dari seluruh himpunan.

Ada sebuah contoh untuk himpunan yang memiliki sedikit sifat batas atas terkecil, yaitu , himpunan bilangan rasional. Misalkan  adalah himpunan dari semua bilangan rasional , sehingga . Maka  memiliki sebuah batas atas (1000, sebagai contoh, atau 6) tetapi tidak ada batas atas di . Jika memisalkan  adalah batas atas terkecil, maka dapat disimpulkan adanya kontradiksi, karena antara setiap dua bilangan real  dan  (seperti  dan ), terdapat suatu bilangan rasional , yang sendirinya akan menjadi batas atas terkecil (jika ). Contoh lainnya adalah bilangan hiperreal sebab tidak punya batas atas terkecil dari himpunan infinitesimal positif.

Terdapat sebuah sifat batas bawah terbesar yang sama, suatu himpunan terurut memiliki sifat batas bawah terbesar jika dan hanya jila himpunan tersebut juga memiliki sifat batas atas terkecil; batas atas terkecil dari himpunan batas bawah dari himpunan adalah batas bawah terbesar, dan batas bawah terbesar dari himpunan batas atas dari sebuah himpunan adalah batas atas terkecil dari himpunan.

Jika setiap himpunan bagian berbatas memiliki sebuah supremum di himpunan terurut parsial , maka ini juga berlaku bahwa untuk setiap himpunan , akan ada semua fungsi yang dipetakan dari  ke  dalam ruang fungsi, dengan  jika dan hanya jika  untuk semua  dalam . Sebagai contoh, pernyataan tersebut berlaku untuk fungsi real, bilangan real -tupel dan barisan bilangan real, sebab dapat dianggap kasus fungsi khusus.

Sifat batas atas terkecil adalah indikator dari supremum.

Infimum dan supremum bilangan real 
Dalam analisis matematika, infimum dan supremum himpunan bagian  dari bilangan real sangat penting. Sebagai contoh, bilangan real negatif tidak memiliki sebuah anggota terbesar, dan supremumnya adalah 0 (yang bukan bilangan real negatif). Kelengkapan bilangan real mengimplikasikan (dan ekuivalen dengan pernyataan) bahwa setiap himpunan bagian tak kosong berbatas  dari bilangan real memiliki satu buah infimum dan satu buah supremum. Jika  tidak berbatas bawah, maka umumnya ditulis secara formal, yaitu . Jika  kosong, maka ditulis .

Sifat-sifat 
Rumus berikut bergantung pada sebuah notasi bahwa dengan mudah menggeneralisasi operasi-operasi aritmetika di himpunan. Misalkan himpunan , dan misalkan skalar . Hal ini mendefinisikan

 , hasil kali skalar dari suatu himpunan hanyalah skalar dikalikan oleh setiap anggota di himpunan.
 , disebut sebagai penjumlahan Minkowski, penjumlahan aritmetika dua himpunan adalah jumlah dari semua kemungkinan pasangan bilangan, anggota dari setiap himpunan.
 , hasil kali artimetika dua himpunan adalah hasil kali semua pasangan anggota, anggota dari setiap himpunan.

Dalam kasus tersebut untuk himpunan  dan  mempunyai infimum dan supremum, berlaku identitas berikutː

  jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat  dengan , dan  untuk setiap .
  jika dan hanya jika setiap , terdapat  dengan  untuk setiap .
 Jika , maka  dan .

 Jika , maka  dan .
 Jika , maka  dan .
 , dan .
 Jika ,  himpunn tak kosong bilangan real positif maka , dan hal ini berlaku sama untuk supremum.

Dualitas 
Jika dualitas dilambangkan dengan , maka himpunan terurut parsial  dengan relasi urutan berlawanan, dalam artian:  di jika dan hanya jika  dalam , untuk semua  dan , maka infimum himpunan bagian  di  sama dengan , dan begitupula untuk sebaliknya.

Untuk himpunan bagian dari bilangan real, terdapat dualitas lain yang berlaku , dengan .

Contoh

Infimum 

 Infimum himpunan bilangan  adalah .  adalah batas bawah, tetapi bukan batas bawah terbesar, dan karena itu,  bukanlah infimum.
 Lebih umum, jika suatu himpunan memiliki anggota terkecil, maka anggota terkecil adalah infimum untuk himpunan. Dalam kasus ini, anggota terkecil itu juga disebut minimum dari himpunan.
 .
 , 
 .
 .
 Jika  adalah barisan menurun dengan limit , maka .

Supremum 

 Supremum himpunan bilangan  adalah .  adalah batas atas, tetapi bukan batas atas terkecil, dan karena itu,  bukanlah supremum.
 .
 .
 .
 .

Di contoh terakhir, supremum himpunan bilangan rasional adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa rasional tidak lengkap.

Salah satu sifat dasar dari supremum adalahuntuk setiap fungsional  dan .

Supremum himpunan bagian  dari , dengan  melambangkan notasi pembagi, adalah kelipatan persekutuan terkecil anggota .

Supremum himpunan  yang mengandung beberapa himpunan  merupakan gabungan subhimpunan dari himpunan terurut parsial , dengan  menyatakan pangkat kuasa dari , dan  menyatakan himpunan bagian.

Lihat pula 

 Anggota maksimal dan minimal
 Anggota terbesar dan terkecil
 Batas atas dan bawah
 Superior limit dan inferior limit (limit infimum)
 Supremum esensial dan infimum esensial

Referensi

Pranala luar 

 
 
Teori order