Paravektor

Nama paravektor digunakan untuk penjumlahan pada sebuah skalar dan sebuah vektor dalam setiap aljabar Clifford (aljabar Clifford dikenal sebagai aljabar geometris dalam komunitas fisika.)

Nama ini diberikan oleh J. G. Maks, disertasi Doktoral, Techinsche Universiteit Delft (Belanda), 1989.

Aljabar lengkap ini pada paravektor bersama dengan generalisasi kelas yang lebih tinggi yang sesuai, semua dalam konteks pada ruang Euklidean pada tiga dimensi, adalah sebuah alterntif mendekati ke aljabar ruang waktu (dalam bahasa Inggrisː spacetime algebra, disingkat STA) ysng diperkenalkan oleh David Hestenes. Aljabar alternatif ini disebut aljabar ruang fisika (dalam bahasa Inggrisː algebra of physical space, disingkat APS).

Aksioma Fundamental 
Untuk ruang Euklidean, aksioma fundamental menunjukkan bahwa produk pada sebuah vektor dengan diri sendiri adalah nilai skalar pada panjang kuadrat (positif)

 

Ditulis

 ,

dan memperkenalkan ini ke dalam ekspresi pada aksioma fundamental

 

kita mendapatkan ekpresi berikut setelah membandingkan dengan aksioma fundamental lagi

 

yang memungkinkan untuk menidentifikasikan produk skalar dengan dua vektor sebagai

 

Sebagai konsekuensi yang penting, kita adpat menyimpulkan bahwa dua vektor orthogoal (dengan nol produk skalar) antikomutatif

Ruang Euklidean Tiga Dimensi 
Daftar-daftar berikut mewaklili sebuah contoh pada sebuah basis yang sempurna pada ruang 

yang membentuk delapan runng dimensi, dimana inceks yang banyak menunjukkan produk pada vektor-vektor basis masing-masing, sebagai contoh

Nilai pada sebuah elemen basis didefinisikan dalam perubahan pada beragam vektor, seperti

Menurut aksioma fundamental, dua vektor basis berbeda bersifat antikomutatif,

 

atau dengan kata lain,

 

Ini berarti bahwa elemen volume  kuadrat adalah 

 

Bahkan, elemen volume  menggantikan dengan setiap elemen lainnya pada aljabar , jadi bisa diidentifikasikan dengan bilangan kompleks , kapanpun tidak ada bahayanya pada kebingungan. Faktanya, Elemen volume  sepanjang dengan skalar real membentuk sebuah aljabar isomorfik ke aljabar kompleks standar. Elemen volume bisa digunakan untuk menulis ulang sebuah perubahan ekuivalen ke basis sebagai

Paravektor 
Basis paravektor menyesuaikan bahwa kombinasi sebuah skalar real dan vektor adalah

 ,

dimana basis tersebut tersebut membentuk sebuah linear empat dimensi. Ruang tersebut dalam ruang Euklidean tiga dimensi  dapat digunakan untuk mewakili ruang-waktu pada relativitas khusus sebagai bentuk dalam aljabar ruang fisika.

Ini sangat mudah untuk menulis skalar unit sebagai , jadi bahwa basis yang lengkap bisa ditulis dalam sebuah perubahan padat sebagai

,

dimana huruf Yunani  menuju dari  hingga .

Antiautomorfisme

Konjugasi pembalikan 
Pembalikan anitautomorfisme dilambangkan . Aksi pada konjugasi ini adalah untuk membalikkan urutan pada produk geometri (produk antara bilangan Clifford secara umum).

 ,

dimana vektor dan bilangan skalar real invarian dalam konjugasi pembalikan dan dikatakan nyata, sebagai contohː

Di sisi lain, trivektor dan biveektor mengubah tanda dibawah konjugasi pembalikan dan dikatakan imajiner yang murni. Konjugasi pembalikan diterapkan pada setiap elemen basis diberikan di bawah

Konjugasi Clifford 
Konjugasi Clifford dilambangkan oleh sebuah palang diatas objek . Konjugasi ini disebut konjugasi palang.

Konjugasi Clifford merupakan aksi kombinasi pada tingkat kerumitan dan pembalikan.

Aksi konjugasi Clifford pada sebuah paravektor adalah membalikkan tanda pada vektor, mempertahankan tanda pada bilangan skalar real, sebagai contoh

Ini karena kedua skalar dan vektor invarian ke pembalikan (tidak mungkin untuk membalikkan untuk urutan pada satu atau tidak sama sekali) dan skalar adalah urutan nol dan begitu juga dari vektor nilai genap dan juga melalui sebuah tanda mengubah nilai kerumitan.

Sebagai anti-automorfisme, konjugasi Clifford didistribusikan sebagai

Konjugasi palang diterapkan setiap elemen basis diberikan dibawah ini

 Catatanː Elemen volume adalah konstanta di bawah konjugasi

Nilai automorfisme 
Nilai automorfisme pada  didiefinisikan sebagai aksi gabungan pada keduanya konjugasi reversi dan konjugasi Clifford dan memiliki efek untuk membalikan tanda pada multivektor nilai ganjil, sambil mempertahankan multivektor invarian nilai genap

Subruang Invarian menurut Konjugasi 
Keempat subruang spesial bisa didefinisikan dalam ruang berdasarkan simetrisnya dibawah reversi dan konjugasi Ckifford.

 Subruang Skalarː Invarian dibawah konjugasi Clifford.
 Subruang Vektorː Tanda kebalikan dibawah konjugasi Clifford.
 Subruang Realː Invarian dibawah kebalikan konjugasi.
 Subruang Imajinerː Membalikkan tanda dibawah kebalikan konjugasi.

Misalkan  sebagai sebuah bliangan Clifford umum, skalar yang saling melengkapi dan bagian vektor pada  diberikan oleh kombinasi simetris dan antisimetris dengan konjugasi Clifford.

 .

Dengan cara yang sama, bagian Real dan Imajiner yang saling melengkapi diberikan oleh kombinasi simetris dan atisimetris dengan konjugasi Reversi.

 .

Itumungkin untuk mendefinisikan keempat persimpangan, yang tercantum di bawah

 
 
 
 

Tabel dibawah ini meringkaskan nilai yang terhadap subruang, sebagai contoh, nilai 0 bisa dilihat sebagai persimpangan pada subruang Real dan Skalar

 Catatanː Istilah "Imajiner" digunakan dalam konteks pada aljabar  dan tidak menyiratkan perkenalan bilangan kompleks standar sebagian perubahan.

Subruang Tertutup terhadap Produk 
Terdapat dua subruang yang tertutup terhadap produk. Mereka adalah ruang skalar dan ruang genap yang dimana isomorfis dengan aljabar terkenal pada bilangan kompleks dan kuaternion.

 Ruang skalar dibuat dari nilai 0 dan 3 adalah isomorfis dengan aljabar standar pada bilangan kompleks dengan identifikasi pada

 

 Ruang genap, dibuat dari elemen pada nilai 0 dan 2, adalah isomorfis dengan aljabar pada kuaternion dengan identifikasi pada

Produk Skalar 
Diberikan dua paravektor  dan , secara umum produk skalar adalah

Besar kuadratnya pada sebuah paravektor  adalah

dimana ini bukan sebuah perubahan bilinear tentu sama dengan nol bahan paravektor

Itu menunjukkan bahwa ruang paravektor secara otomatis mematuhi metrik pada ruang Minkowski karena 

dan khususnya:

Biparavektor 
Diberkan dua paravektor u dan , biparavektor  didefinisikan sebagaiː

 .

Basis biparavektor bisa ditulis sebagaiː

dimana memiliki enam elemen independen, termasuk istilah real dan imajiner. Ketiga elemen real (vektor) sebagai

 

dan ketifa elemen imajiner (bivektor) sebagai

 

dimana  menuju dari 1 hingga 3.

Dalam aljabar ruang fisika, medan elektromagnetik diekspresikan sebagai sebuah biparavektor sebagai

 

dimana keduanya elektrik dan medan magnet adalah vektor real

 
 

dan  mewakili elemen volume pseudoskalar.

Contoh lain pada biparavektor adalah mewakili pada tingkat rotasi ruang waktu bisa diekspresikan sebagai

 

dengan tiga variabel rotasi sudur biasa, yaitu  dan tiga variabel kecepatan, yaitu

Triparavektor 
Diberikan tiga paravektor , , dan , triparavektor  didefinisikan sebagaiː

 .

Basisi triparavektor bisa ditulis sebagaiː

tetapi hanya terdapat empat triparavektor independen, jadi bisa diturunkan ke

 .

Pseudoskalar 
Basis pseudoskalar adalah ,

namun sebuah kalkulasi mengungkapkan bahwa itu memiliki hanya sebuah istilah tunggal. Isilah tersebut adalah elemen volume .

Keempat nilai tersebut, diambil dari kombinasi pada pasangan tertentu menghasilkan ruang paravektor, biparavektor, dan triparavektor seperti yang ditunjukkan pada tabel berikutnya, dimana sebagai contoh, kita lihat bahwa paravektor terbuat dari nilai 0 dan 1

Paragradien 
Operator paragradien adalah generalisasi pada operator gradien dalam ruang paravektor. Paragradien dalam basos paravektor standar adalah

 

yang ini dapat memungkinkan menulis operator d'Alembert sebagai

 

Operator gradien standar bisa didefinisikan secara alami sebagaiː

 

sehingga paragradien bisa ditulis sebagai

 

dimana  .

Penerapan pada operator paragradien harus diselesaikan dengan hati-hati, selalu berkenaan dengan non-komutatif. Sebagai contoh, sebuah turunan banyak digunakan seperti

 

dimana  adalah fungsi skalar pada koordinat.

Pararadien merupakan sebuah operator yang dimana selalu dimulai dari kiri jika fungsi adalah sebuah fungsi skalar. Namun, jika fungsi bukanlah skalar, paragradien bisa dimulai dari kanan sedemikian juga. Sebagai contoh, ekpersi berikut bisa diperpanjang sebagaiː

Paravektor Kosong sebagai Proyektor 
Paravektor kosong adalah elemen yang tidk perlu nol tetapi memiliki identik ukurannya ke nol. Untuk sebuah paravektor nihil , properti ini perlu mengimplikasikan identitas berikut

Dalam konteks pada relativits khusus, mereka juga disebut paravektor ringan

Proyektor adalah paravektor nihil pada bentukː

dimana  adalah vektor satuan.

Sebuah proyektor  bentuk ini memiliki proyektor pelengkap 

seperti yang

Sebagai proyektor, mereka idempoten

dan proyeksi dari satu dengan yang lain adalah nol karena mereka adalah proyektor kosong.

Vektor satuan berkaitan pada proyektor bisa diekstrasikan sebagai

Ini berarti bahwa  adalah sebuah operator dengan fungsi eigen  dan , dengan masing-masing nilai eigen  dan .

Dari hasil sebelumnya, identitas berikut adalah asumsi yang sah bahwa  analitik disekitar nol.

Ini memberikan asalnya ke properti pacwoman, sedemikian rupa sehingga identitas berikut terpenuhi

,

.

Basis Kosong pada Ruang Paravektor 
Sebuah basis pada elemen-elemen, setiap satu dari mereka kosong, bisa dikosntruksi pada ruang  yang sempurna. Basis yang penting adalah sebagai berikut.

sehingga sebuah paravektor sembarang

dapat ditulis sebagai

Pernyataan ini sangat berguna untuk beberapa sistem dimana secara alami diekspresikan dalam istilah pada variabel kerucut cahaya dimana koefisien pada  dan  masing-masing.

Setiap ekspresi dalam ruang paravektor bisa ditulis dalam istilah basis kosong. Sebuah paravektor  secara umum diparameter oleh dua skalar bilangna real  dan sebuah bilangan skalar umum  (termasuk skalar dan bilangan pseudoskalar)

paragradien dalam basis kosong adalah

Dimensi-Dimensi yang Lebih Tinggi 
Sebuah ruang Euklidean  dimensi memberikan adanya multivektor pada nilai  (vektor ke-). Dimensi pada ruang vektor ternyata sama dengan  dan analisis kombinatorial sederhana menunjukkan bahwa dimensi pada ruang bivektor adalah . Secara umum, dimensi pada ruang multivektor pada nilai  adalah  dan dimensi pada seluruh aljabar Clifford  adalah .

Diberikan multivektor dengan nilai homogen baik invarian atau mengubah tanda dibawah aksi pada konjugasi reversi . Elemen yang tetap invarian didefinisikan sebagai Hermitian dan yang mengubah tanda didefinisikan sebagai anti-Hermitian. Nilai-nilai bisa demikian juga diklasifikan sebagai berikutː

Representasi Matriks 
Aljabar pada ruang  isomorfik ke aljabar matriks Pauli seperti

dari basis kosong menjadiː

Sebuah bliangan Clifford secara umum dalam 3D bisa diulis sebagai

 

dimana koefisien  adalah elemen-elemen skalar (termasuk pseudoskalar). Indeksnya dipilih sehingga pernyataan pada bulangan Clifford dalam istilah pada matriks Pauli adalah

Konjugasi 
Konjugasi reversi diterjemahkan menjadi konjugasi Hermitian dan konjugasi palang diterjemahkan menjadi matriks berikut.

, sedemikian rupa sehingga bgian skalar diterjemahkan sebagai

 

Subruang sisanya diterjemakan sebagai

Dimensi yang Lebih Tinggi 
Perwakilan matriks pada sebuah ruang Euklidean dalam dimensi yang lebih tinggi bisa dikonstruksikan dalam istilah produk Kronecker pada matriks Pauli, menghasilkan dalam matriks kompleks pada dimensi 

Perwaklian 7D bisa

Aljabar Lie 
Aljabar Clifford bisa digunakan untuk mewakili setiap aljabar Lie klasik. Secara umum, itu mungkin untuk mengidentifikasikan aljabar Lie pada grup kompak dengan menggunakan elemen anti-Hermitian, dimana bisa meluas ke non-grup kompak dengan menambahkan elemen Hermitian.

Bivektor pada sebuah ruang Euklidean -dimensi merupakan elemen Herimtian dan bisa digunakan untuk mewakili aljabar Lie .

Bivektor pada ruang Euklidean tiga dimensi membentuk aljabar Lie , yang isomorfik ke aljabar Lie . Kebetulan isomorfik ini memungkinkan ke gambar sebuah penafsiran geometrik pada pernyataan pada ruang Hilbert dua dimensi dengan mengguakan bola Bloch. Salah satu dari sistem itu berputar ½ partikel.

Aljabar Lie  bisa diperpanjang dengan menambahkan tiga vektor kesatuan untuk membentuk sebuah aljabar Lie ke aljabar Lie , yang merupakan penutup ganda pada grup Lorentz . Isomorfis ini memungkinkan kemungkinan untuk berkembang sebuah formalism pada relativitas khusus berdasarkan , yang dilakukan dalam bentuk pada aljabar ruang fisika.

Hanya ada satu isomorfis kebetulan tambahan antara sebuah spin aljabar Lie dan sebuah aljabar Lie . Ini adalah isomorfis antara  dan .

Isomorfis menarik lainnya ada antara  dan . Jadi, aljabar Lie  bisa digunakan untuk menghasilkan grup . Meskipun bahwa grup ini lebih kecil daripada grup , itu terlihat cukup untuk menjangkau ruang Hilbert empat dimensi.

Lihat pula 

 Aljabar ruang fisika 
 Persamaan Dirac dalam aljabar ruang fisika

Referensi

Buku Teks 

 Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). Birkhäuser. 
 Baylis, William, Clifford (Geometric) Algebras With Applications in Physics, Mathematics, and Engineering, Birkhauser (1999)
 [H1999] David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)
 Chris Doran and Antony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge, 2003

Artikel 

 
 
 
 

Aljabar geometris
Aljabar Clifford
Aljabar Multilinear