Grup hasil bagi

Grup hasil bagi adalah  grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu  dengan bantuan sebagai pembagi normal  terbentuk. Maka dilambangkan dengan  dan merupakan himpunan dari  kelas minor.

Konstruksi 

Elemen-elemen dari  adalah  kelas minor sehubungan dengan , maka
.
Koneksi batin  didefinisikan sebagai:
.
Dengan bantuan properti pembagi normal  seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan  adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari  hingga . Elemen netral dari  adalah  dan elemen terbalik ke  diberikan . 

Produk  setuju dengan produk kompleks  pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup  dari sebuah grup  adalah pembagi normal, jika untuk semua  persamaan .

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

 urutan dari grup faktor  tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari . Angka ini disebut  Indeks oleh  pada  dan dengan  ditunjuk. Jika  adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange .

Bilangan bulat genap dan ganjil 
Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah  abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan  dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan  dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka  sisa dari  saat membagi dengan .
Kemudian  jika  adalah genap dan  when  adalah ganjil.
Menurut definisi ,  inti dari ,
ker() ,  adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka  ker().
Kemudian  adalah subgrup, karena identitasnya di , which is , dalam ,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika  dan  berada di ,  dalam  (penutupan)
dan jika  genap,  juga genap dan  berisi inversnya.
Menetapkan  sebagai  ke 
dan  adalah grup hasil bagi dari koset kiri;  .  
Dengan cara yang telah kami tentukan ,    adalah  jika  ganjil dan  jika  genap. 
Jadi,  adalah isomorfisme dari  ke .

Quotients dari grup Lie 
Jika  adalah grup lie dan  adalah subgrup Lie normal , hasil bagi  juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli    memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah  utama   -bundel), dengan ruang dasar  dan serat .

Untuk subgruo Lie non-normal , ruang  dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana    bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup    ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen  banding .

Sifat universal dari grup hasil bagi 

Jika  adalah pembagi normal dari , maka pemetaannya adalah  dengan  dengan kernel  a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup  mit  persis satu grup homomorfisme  mit  existiert. 

Contoh: jika  proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka  Homomorfisme grup.
Lalu grup lie  pada inti  dan  menghasilkan:

 

.

Lihat pula 
 Ekstensi grup
 Kategori hasil bagi
 Urutan persis pendek

Catatan

Referensi 
 
 

Teori grup
 Grup