Geometri birasional

Dalam matematika, geometri birasional adalah bidang geometri aljabar yang tujuannya adalah untuk menentukan ketika dua varietas aljabar isomorfik di luar himpunan bagian berdimensi lebih rendah. Ini berarti mempelajari pemetaan yang diberikan oleh fungsi rasional daripada polinomial; peta mungkin gagal untuk didefinisikan di mana fungsi rasional memiliki kutub.

Peta birasional

Peta rasional 
Peta rasional dari satu varietas (dipahami sebagai tak tersederhanakan)  ke variasi lain , ditulis sebagai panah putus-putus , didefinisikan sebagai morfisme dari subset terbuka tidak kosong  to . Menurut definisi topologi Zariski yang digunakan dalam geometri aljabar, subset terbuka tidak kosong  selalu padat dalam , sebenarnya merupakan pelengkap dari subset berdimensi lebih rendah. Secara konkrit, peta rasional dapat dituliskan dalam koordinat menggunakan fungsi rasional.

Peta birasional 
Peta birasional dari  X  ke  Y  adalah peta rasional f: X ⇢ Y sedemikian rupa sehingga ada peta rasional  Y  ⇢  X  terbalik dengan  f . Peta birasional menginduksi isomorfisme dari subset terbuka tidak kosong dari  X  ke subset terbuka tidak kosong dari Y.

Kasus khusus adalah morfisme birasional f: X → Y, berarti morfisme yang birasional. Artinya,  f  didefinisikan di mana-mana, tetapi kebalikannya mungkin tidak. Biasanya, ini terjadi karena morfisme birasional mengontrak beberapa subvarietas  X  untuk ditunjukkan Y.

Kesetaraan dan rasionalitas birasional 
Variasi X dikatakan rasional jika birasional untuk menyatakan ruang (atau ekuivalen, ke ruang proyektif) dari beberapa dimensi. Rasionalitas adalah sifat yang sangat alami: itu berarti bahwa  X  dikurangi beberapa subset dimensi lebih rendah dapat diidentifikasi dengan ruang affine dikurangi beberapa subset dimensi lebih rendah.

Kesetaraan birasional dari kerucut bidang 
Misalnya lingkaran  dengan persamaan  di bidang affine adalah kurva rasional, karena ada peta rasional f:  ⇢ X diberikan oleh

yang memiliki rasional invers g: X ⇢  maka oleh karena itu

Menerapkan peta  f  dengan  t  a bilangan rasional memberikan konstruksi sistematis Triple Pythagoras.

Peta rasional  tidak ditentukan pada lokus di mana . Jadi, pada garis affine yang kompleks ,  adalah morfisme pada subset terbuka , . Begitu pula dengan peta rasional g: X ⇢  tidak didefinisikan pada saat itu  in .

Kesetaraan birasional dari kuadrat halus dan Pn 
Secara umum, kuadris (derajat 2) permukaan hiper yang halus  X  dari setiap dimensi  n  adalah rasional, dengan proyeksi stereografik. (Untuk  X  sebuah kuadrik di atas bidang  k ,  X  harus diasumsikan memiliki k-titik rasional; ini otomatis jika  k  ditutup secara aljabar.) Untuk menentukan proyeksi stereografik, misalkan  p  menjadi titik di X. Kemudian peta birasional dari  X  ke ruang proyektif  garis melalui  p  diberikan dengan mengirimkan titik  q  dalam  X  ke garis melalui  p  dan  q . Ini adalah kesetaraan birasional tetapi bukan isomorfisme varietas, karena gagal didefinisikan di mana  q  =  p  (dan peta terbalik gagal didefinisikan pada garis-garis itu melalui  p  yang merupakan X).

Kesetaraan birasional permukaan kuadrat 
Segre embedding memberikan embedding  diberikan oleh

Gambar tersebut adalah permukaan kuadris  pada . Itu memberikan bukti lain bahwa permukaan kuadrat ini rasional  jelas rasional, memiliki subset terbuka isomorfik

Jumlah ⊗kΩ1 dan beberapa bilangan Hodge 
Secara lebih umum, untuk setiap rendaman alami

daya tensor  r -  bundel kotangen Ω1 dengan  r  ≥ 0, ruang vektor bagian global H0(X, E(Ω1)) adalah invarian birasional untuk varietas proyektif halus. Secara khusus, bilangan Hodge

adalah invarian birasional dari  X . (Kebanyakan nomor Hodge lainnya hp, q bukanlah invarian birasional.)

Lihat pula 
Konjektur kelimpahan
Lubang Klein
Perendaman (matematika)

Catatan

Referensi