Teorema Bohr–Mollerup

Dalam analisis matematika, teorema Bohr–Mollerup adalah sebuah teorema yang dibuktikan oleh matematikawan Denmark Harald Bohr dan Johannes Mollerup. Teoremanya mencirikan fungsi gamma, didefinisikan untuk  oleh

sebagai fungsi hanya  pada interval  yang secara bersamaan memiliki tiga sifat

 , dan
  untuk  dan
  adalah cembung secara logaritmik.

Pembahasan teorema ini ada dalam buku Artin  The Gamma Function , yang telah dicetak ulang oleh AMS dalam koleksi tulisan Artin.

Teorema ini pertama kali diterbitkan dalam buku teks tentang analisis kompleks, seperti yang menurut Bohr dan Mollerup telah dibuktikan.

Pernyataan 
Teorema Bohr–Mollerup.      adalah satu-satunya fungsi yang memenuhi  dengan  cembung dan juga dengan .

Bukti 
Misalkan  adalah fungsi dengan sifat asumsi yang ditetapkan di atas:  dan  adalah cembung, dan . Dari , kita bisa membangun:

Tujuan dari ketentuan bahwa  memaksa sifat  untuk menduplikasi faktorial dari bilangan bulat sehingga kita bisa menyimpulkan sekarang bahwa  jika  dan jika  ada sama sekali. Karena hubungan kita untuk , jika kita bisa mengerti sepenuhnya  untuk , maka kita memahami  untuk semua nilai . Kemiringan dari sebuah garis menghubungkan dua titik  dan , sebut saja , meningkat secara monoton di setiap argumen dengan  karena kita memiliki  yang ditetapkan adalah cembung. Dengan demikian, kita tahu bahwaː

 

Setelah menyederhanakan menggunakan berbagai sifat-sifat logaritma, dan kemudian mengeksponesiasikan (yang mempertahankan pertidaksamaan karena fungsi eksponensial meningkat secara monotonik) kita memperoleh:

.

Dari kerja sebelumnya, ini berkembang menjadi:

,

dan juga:

.

Barisan terakhir adalah pernyataan yang kuat. Khususnya, itu benar untuk semua nilai . Artinya,   tidak lebih besar daripada sisi kanan untuk setiap pilihan  dan juga,  tidak kurang dari sisi kiri untuk setiap pilihan . Setiap pertidaksamaan tunggal berdiri sendiri dan dapat diartikan sebagai pernyataan independen. Karena fakta ini, kita akan bebas untuk memilih nilai-nilai  yang berbeda untuk sisi kanan dan sisi kiri. Khususnya, jika kita menetapkan  untuk sisi kanan dan memilih  untuk sisi kiri, kita mendapatkan:

 

Terbukti dari baris terakhir ini bahwa suatu fungsi diapit di antara dua ekspresi,suatu teknik analisis umum untuk membuktikan berbagai hal seperti adanya suatu limit, atau kekonvergenan. Misalkan :

jadi sisi kiri dari pertidaksamaan terakhir didorong untuk menyamakan sisi kanan dalam limit dan:

diapit di antaranya. Itu hanya bisa berarti bahwa:

.

Dalam konteks pada bukti ini, ini berarti bahwa:

memiliki tiga sifat-sifat tertentu milik . Juga, buktinay menyediakan sebuah ekspresi yang spesifik untuk . Dan bagian penting terakhir dari pembuktiannya adalah mengingat bahwa limit dari sebuah urutan tersebut tunggal. Ini berarti bahwa untuk setiap pilihan  hanya satu kemungkinan bilangan  bisa ada. Oleh karena itu, tidak ada fungsi lain dengan semua sifat-sifat yang ditetapkan . Ujung longgar yang tersisa adalah pertanyaan untuk membuktikan bahwa  masuk akal untuk semua  dimana:

 

ada.  Masalahnya adalah bahwa pertidaksamaan ganda pertama kita:

dibangun dengan batas . Jika, katakan,  maka faktanya bahwa  meningkat secara monotonik akan membuat , bertentangan dengan pertidaksamaan di mana seluruh bukti dibangun. Namun,

yang mendemonstrasikan bagaimana melakukan bootstrap  untuk semua nilai  dimana limit didefinisikan.

Lihat pula 
 Teorema Wielandt

Referensi 
 
 
 
 
 
 
  (Textbook in Complex Analysis)

Gamma dan fungsi terkait
Teorema dalam analisis kompleks