Kurva eliptik

Dalam matematika, kurva eliptik adalah kurva aljabar yang proyektif dan halus, bergenus satu, serta memiliki titik O tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah medan yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah kurva aljabar datar yang memenuhi persamaan

 

Kurva eliptik harus taksingular, yakni tidak memiliki taring atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan 

Kurva eliptik bukanlah elips: lihat integral eliptik untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptik kompleks adalah torus, sedangkan elips kompleks adalah bola.

Aturan grup 

Ketika bekerja dalam bidang proyektif, kita dapat mendefinisikan struktur grup pada kurva kubik halus apa pun. Dalam bentuk normal Weierstrass, kurva tersebut akan memiliki satu titik di takhingga, O, dalam koordinat homogen [0:1:0] yang berperan sebagai identitas grup.

Karena kurva ini simetris terhadap sumbu x, untuk sembarang titik P, kita definisikan -P sebagai lawannya. Kita anggap -O sama dengan O.

Jika titik P dan Q adalah dua titik pada kurva, kita dapat definisikan titik ketiga, , sebagai berikut. Pertama, kita buat garis yang memotong P dan Q. Lalu, garis tersebut akan memotong kurva pada titik lain yang kita sebut R. Kemudian, kita definisikan , yaitu lawan dari R.

Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan  sehingga O adalah identitas grup. Jika P dan Q saling berlawanan, kita definisikan . Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai garis singgung kurva eliptik pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila P berada pada titik belok, kita ambil R sebagai P sehingga  adalah lawan dirinya sendiri.

Kurva eliptik dalam bilangan riil 

Dalam konteks ini, kurva eliptik adalah lengkung bidang yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

 

dengan a dan b bilangan riil.

Definisi kurva eliptik juga mewajibkan kurva untuk nonsingular. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki taring, tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku jika dan hanya jika diskriminannya

 

tidak sama dengan nol.

Grafik (riil) suatu kurva yang nonsingular memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, diskriminan kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368.

Kurva eliptik dalam bilangan kompleks

Kurva eliptik dalam bilangan rasional

Kurva eliptik dalam medan umum 
Kurva eliptik dapat didefinisikan dalam medan K. Definisi matematis kurva eliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam K.

Jika karakteristik K bukan 2 dan 3, tiap kurva eliptik dapat ditulis dalam bentuk

 

dengan p dan q adalah anggota K yang menyebabkan ruas kanan tidak memiliki akar ganda. Jika karakteristiknya 2 atau 3, ada beberapa suku yang harus ditambah. Untuk karakteristik 3, bentuk paling umumnya adalah

 

dengan tetapan b2, b4, dan b6 yang menyebabkan ruas kanan memiliki akar berbeda (notasi dipilih karena alasan sejarah). Untuk karakteristik 2, bentuk paling umumnya adalah

dengan catatan bahwa ragam yang didefinisikan adalah nonsingular. Jika karakteristik bukan halangan, tiap persamaan dapat disederhanakan menjadi seperti sebelumnya dengan mengganti beberapa variabel.

Kurva eliptik dalam medan hingga

Kegunaan 
 Kriptografi kurva eliptik

Algoritme yang memakai kurva eliptik 
Kurva eliptik dalam medan berhingga dipakai dalam kriptografi dan juga faktorisasi prima. Biasanya, algoritme berikut adalah algoritme yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptik.
 Kriptografi kurva eliptik
 Diffie–Hellman kurva eliptik
 Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptik
 Faktorisasi kurva eliptik Lenstra

Lihat pula 
 Aljabar eliptik
 Perkalian titik kurva eliptik
 Permukaan eliptik
 Rumus Riemann–Hurwitz
 Teorema Nagell–Lutz

Daftar pustaka 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Teori bilangan analitis
Teori grup