Produk Tensor

Dalam matematika, produk tensor adalah  dari dua ruang vektor  dan  (di atas bidang yang sama) adalah ruang vektor, diberkahi dengan operasi komposisi bilinear, dilambangkan dengan , dari pasangan terurut di produk Kartesius  ke  dengan cara yang menggeneralisasi produk luar.

Pada dasarnya perbedaan antara hasil kali tensor dua vektor dan pasangan vektor terurut adalah bahwa jika satu vektor dikalikan dengan skalar bukan nol dan yang lainnya dikalikan dengan kebalikannya, hasilnya adalah pasangan vektor terurut yang berbeda, tetapi hasil kali tensor yang sama dari dua vektor, dan pasangan vektor ditambahkan satu koordinat pada satu waktu (dengan koordinat lain tetap sama) daripada kedua koordinat pada saat yang sama, semua seperti yang diharapkan jika vektor "dikalikan langsung" dalam arti tertentu, produk tensor membuat ide ini tepat.

Produk tensor dari  dan  adalah ruang vektor yang dihasilkan oleh simbol , dengan  dan , di mana hubungan bilinearitas diterapkan untuk operasi produk , dan tidak ada hubungan lain yang dianggap berlaku. Dengan demikian, ruang hasil kali tensor adalahpaling bebas" (atau paling umum) ruang vektor tersebut, dalam arti memiliki kendala paling sedikit.

Hasil kali tensor ruang vektor (berdimensi-hingga) memiliki dimensi yang sama dengan hasil kali dimensi kedua faktor:

Secara khusus, ini membedakan hasil kali tensor dari ruang vektor jumlah langsung, yang dimensinya adalah jumlah dari dimensi kedua penjumlahan.:

Lebih umum lagi, produk tensor dapat diperluas ke kategori objek matematika selain ruang vektor, seperti matriks, tensor, aljabar, spasi vektor topologi, dan modul. Dalam setiap kasus, produk tensor dicirikan oleh sifat universal yang serupa: it is the freest operasi bilinear. Konsep umum dari "produk tensor" ditangkap oleh kategori monoid; itu adalah, kelas segala sesuatu yang memiliki produk tensor adalah kategori monoid.

Motivasi intuitif dan hasil perkalian tensor beton 
Motivasi intuitif untuk produk tensor bergantung pada konsep tensor secara lebih umum. Secara khusus, tensor adalah objek yang dapat dianggap sebagai tipe khusus peta multilinear, yang mengambil sejumlah vektor ( urutannya ) dan mengeluarkan skalar. Objek seperti itu berguna di sejumlah area aplikasi, seperti geometri Riemannian, terkenal karena penggunaannya dalam teori relativitas umum teori relativitas umum fisika modern metrik tensor oleh Albert Einstein adalah konsep fundamental. Secara khusus, tensor metrik mengambil dua vektor, yang dipahami secara kasar sebagai panah kecil yang berasal dari titik tertentu dalam ruang melengkung, atau manifold, dan mengembalikan  lokal  produk titik dari mereka relatif terhadap titik tertentu — operasi yang menyandikan beberapa informasi tentang vektor' panjang serta sudut di antara keduanya. Karena produk titik adalah skalar, tensor metrik dianggap layak untuk namanya. Ada satu tensor metrik di setiap titik manifold, dan variasi dalam tensor metrik tersebut mengkodekan bagaimana konsep jarak dan sudut, sehingga hukum geometri analitik, bervariasi di seluruh manifold.

Kita dapat membayangkan perkalian tensor dari dua ruang vektor,  dan , mewakili himpunan semua tensor yang mengambil vektor dari  dan vektor dari  dan mengeluarkan skalar dalam bidang dasarnya yang sama (dan dengan demikian hanya dapat ditentukan jika mereka memiliki bidang dasar yang sama). Kedua ruang itu mungkin sama di atas, mereka adalah vektor di "ruang tangen" pada suatu titik: kira-kira ruang datar sepotong kecil manifold "terlihat seperti" di dekat titik tertentu, dan dengan demikian tensor metrik hidup dalam produk tensor ruang itu dengan sendirinya. Namun kedua ruang tersebut mungkin juga berbeda.

Jika kita memiliki basis untuk masing-masing ruang vektor, dan ruang vektor berdimensi-hingga, kita dapat merepresentasikan vektor dalam komponen di bawah vektor basis tersebut

di mana setiap vektor kolom mewakili komponen dalam basis tertentu, yaitu  (dan juga untuk ).

Tensor kemudian menjadi peta  yang berfungsi seperti di atas, mengembalikan skalar dan linier di kedua argumennya. Tensor seperti itu dapat direpresentasikan menggunakan perkalian matriks:

dimana superskripnya  menunjukkan transposisi matriks, yang mengirimkan vektor  ke vektor ganda.

Diberikan dua vektor, kita dapat membentuk tensornya sendiri dari mereka secara alami menggunakan produk luar, yang dilambangkan  dan sama . Tensor ini keluar sebagai matriks

dan matriks ini sesuai dengan tensor dengan konstruksi sebelumnya, yang mengingatkan bagaimana ia sesuai dengan peta linier (dengan mengalikan hanya pada satu sisi). Tensor ini sendiri menghasilkan ruang vektor dengan menambahkannya bersama-sama dan mengalikannya dengan skalar seperti yang biasa kita lakukan untuk matriks dan fungsi, dan kumpulan dari semua tensor yang terbentuk adalah  produk tensor   dari dua ruang vektor itu sendiri. Faktanya, ruang ini setara dengan ruang peta yang diwakili oleh setiap matriks yang mungkin dari ukuran di atas, seperti yang dapat dilihat dengan mencatat bahwa produk tensor sederhana  (dimana  adalah dasar dari ruang vektor lainnya, ) memiliki "1" di posisi ke- dan "0" di tempat lain, yang memungkinkan mereka untuk dikalikan dengan angka apa pun dan kemudian ditambahkan untuk mendapatkan matriks dengan entri arbitrer.

Tujuan dari bagian-bagian selanjutnya adalah untuk menemukan definisi yang setara dengan ini dimana dapat diterapkan tetapi tidak memerlukan pilihan basis tertentu dan itu juga dapat lebih mudah diterapkan ke berdimensi tak hingga pengaturan di mana konsep dasar yang biasa (Hamel basis) mungkin berperilaku buruk. Tidak memerlukan basis khusus berguna dari sudut pandang teoretis karena setiap ruang vektor memiliki basis, tidak semua basis dapat dibangun, dan terlebih lagi hasil itu sendiri tergantung pada penerimaan aksioma pilihan, yang mungkin ditolak dalam beberapa sistem matematika. Juga, berguna untuk menemukan konstruksi abstrak untuk analisis dari sudut pandang teori kategori, teori "gambaran besar matematika" yang sangat diperbesar dan bagaimana semua objek matematika berhubungan satu sama lain dalam pengertian yang sangat umum. Penggunaan kehidupan nyata yang sangat penting untuk memiliki definisi seperti itu dapat ditemukan di mekanika kuantum: hasil kali tensor dalam bentuk ini memungkinkan kita untuk membicarakan fungsi gelombang dari sistem dua partikel sebagai abstrak ruang Hilbert vektor tanpa harus menentukan dasar tertentu dari yang dapat diamati.

Langkah bayi menuju perkalian tensor abstrak: ruang vektor bebas 
Langkah pertama yang akan kita pertimbangkan melibatkan memperkenalkan sesuatu yang disebut "ruang vektor bebas" di atas himpunan tertentu. Dorongan di balik ide ini pada dasarnya terdiri dari apa yang kita katakan di poin terakhir: karena tensor  dapat ditulis dengan penjumlahan ganda

cara paling alami untuk mendekati masalah ini adalah dengan mencari tahu bagaimana kita bisa "melupakan" tentang pilihan basa tertentu  dan  yang digunakan di sini. Dalam matematika, cara kita "melupakan" tentang detail representasi dari sesuatu adalah untuk menetapkan suatu identifikasi yang memberitahu kita bahwa dua hal berbeda yang dianggap representasi dari hal yang sama pada kenyataannya adalah demikian, yaitu, jika mereka mengatakan "ya, mereka" atau "tidak, mereka tidak", dan kemudian "menyatukan" semua representasi sebagai penyusun "hal yang diwakili" tanpa mengacu pada siapa pun secara khusus dengan mengemas semuanya menjadi satu himpunan. Dalam istilah formal, pertama kita membangun relasi ekivalen, dan kemudian mengambil himpunan hasil bagi dengan relasi itu.

Tapi sebelum kita bisa melakukan itu, pertama-tama kita perlu mengembangkan apa yang akan kita ambil alih hubungan kesetaraan. Cara kami melakukannya adalah dengan melakukan pendekatan sebaliknya, dari "bottom up": karena kita tidak dijamin, setidaknya dapat dibangun, dasar saat memulai dari ruang vektor arbitrer, sebagai gantinya kita mungkin mencoba untuk memulai dengan menjamin bahwa kita memiliki satu — yaitu, kita akan mulai terlebih dahulu dengan mempertimbangkan "basis", dengan sendirinya, seperti yang diberikan, dan kemudian membangun ruang vektor di atas. Untuk itu, kita mencapai hal berikut: misalkan  adalah beberapa set, yang bisa kita sebut  himpunan dasar abstrak . Sekarang pertimbangkan semua ekspresi  formal  dari formulir

dari sembarang, tapi terbatas, panjang  dan  yang mana adalah skalar dan  adalah anggota . Secara intuitif, ini adalah kombinasi linier dari vektor basis dalam arti biasa untuk memperluas elemen ruang vektor. Kami menyebutnya "ekspresi formal" karena secara teknis memperbanyak adalah  karena tidak ada operasi perkalian yang ditentukan secara default pada kumpulan arbitrer dan bidang skalar arbitrer. Sebaliknya, kita akan "berpura-pura" (mirip dengan mendefinisikan bilangan imajiner bahwa ini merujuk pada sesuatu, dan kemudian akan memanipulasinya sesuai dengan aturan yang kita harapkan untuk ruang vektor, misalnya jumlah dari dua string menggunakan urutan yang sama dari anggota  adalah

di mana kita telah menggunakan hukum asosiatif, komutatif, dan distributif untuk mengatur ulang jumlah pertama menjadi yang kedua. Melanjutkan cara ini untuk kelipatan skalar dan semua kombinasi vektor dengan panjang yang berbeda memungkinkan kita untuk membuat penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada kumpulan ekspresi formal ini, dan kami menyebutnya  'ruang vektor gratis'  di atas , menulis . Perhatikan bahwa elemen , dianggap sebagai ekspresi formal panjang-satu dengan koefisien 1 di depan, membentuk basis Hamel untuk ruang ini.

Ekspresi hasil kali tensor kemudian diabstraksi dengan mempertimbangkan jika  dan  mewakili "vektor basis abstrak" dari dua himpunan  dan , yaitu "" dan "", kemudian pasangkan ini di produk Kartesius , yaitu  dianggap sebagai singkatan dari produk tensor . (Perhatikan bahwa produk tensor dalam pernyataan tersebut dalam beberapa hal adalah "atom", yaitu penambahan dan perkalian skalar tidak membaginya menjadi yang lain, jadi kita dapat menggantinya dengan sesuatu yang berbeda tanpa mengubah struktur matematisnya.) Dengan identifikasi seperti itu, kita dapat menentukan produk tensor dari dua ruang vektor bebas  dan  sebagai sesuatu (belum diputuskan) yang isomorfik .

Menggunakan ruang vektor gratis untuk "melupakan" tentang basis 
Definisi di atas akan bekerja untuk setiap ruang vektor di mana kita  dapat  menentukan dasarnya, karena kita bisa membangunnya kembali sebagai ruang vektor gratis atas dasar itu: konstruksi di atas persis mencerminkan bagaimana Anda merepresentasikan vektor melalui konstruksi dasar Hamel menurut desain. Akibatnya, kami belum mendapatkan apa-apa... sampai kami melakukan ini.

Sekarang, kita tidak mengasumsikan akses ke basis untuk ruang vektor  dan  yang ingin kita bentuk produk tensor . Sebagai gantinya, kita akan mengambil  semua  dari  dan  sebagai "dasar" untuk membangun tensor. Ini adalah hal terbaik berikutnya dan satu hal yang  dijamin  dapat kami lakukan, terlepas dari kekhawatiran apa pun dalam menemukan dasar tertentu; ini sesuai dengan menambahkan bersama-sama produk luar yang sewenang-wenang  vektor sewenang-wenang di bagian terakhir dari bagian "Motivasi intuitif". Satu-satunya perbedaan di sini adalah jika kita menggunakan konstruksi ruang vektor bebas dan membentuk yang sudah jelas , ia akan memiliki banyak versi redundan dari apa yang seharusnya merupakan tensor yang sama; kembali ke kasus dasar kita jika kita mempertimbangkan contoh di mana  dalam basis standar, kita dapat menganggap bahwa tensor yang dibentuk oleh vektor  and , yaitu

bisa  juga  diwakili oleh penjumlahan lain, seperti penjumlahan menggunakan tensor dasar individu , misalnya

Ini, meskipun ekspresi yang sama dalam kasus konkret, akan sesuai dengan elemen berbeda dari ruang vektor bebas , namely

dalam kasus pertama dan

dalam kasus kedua. Jadi kita harus memadatkannya — di sinilah hubungan kesetaraan berperan. Trik untuk membangunnya adalah dengan memperhatikan vektor yang diberikan  dalam ruang vektor, itu selalu memungkinkan untuk merepresentasikannya sebagai jumlah dari dua vektor lainnya  dan  tidak sama dengan aslinya. Jika tidak ada yang lain, karena  menjadi vektor apapun dan kemudian mengambil  yang juga menunjukkan bahwa jika kita diberikan satu vektor dan kemudian vektor kedua, kita dapat menulis vektor pertama dalam suku yang kedua bersama dengan vektor ketiga yang sesuai (memang dalam banyak hal, anggap saja kelipatan skalar dari vektor kedua dalam pengurangan yang sama).

Ini berguna bagi kami karena hasil kali luar memenuhi properti linearitas berikut, yang dapat dibuktikan dengan aljabar sederhana pada ekspresi matriks terkait:

Jika kita ingin menghubungkan produk luarnya  untuk , kita bisa menggunakan relasi pertama di atas bersama dengan ekspresi yang sesuai  sebagai penjumlahan dari beberapa vektor dan beberapa kelipatan skalar .

Persamaan antara dua tensor beton kemudian diperoleh jika menggunakan aturan di atas akan memungkinkan kita untuk mengatur ulang satu penjumlahan dari hasil kali luar ke yang lain dengan menguraikan vektor yang sesuai — terlepas dari apakah kita memiliki himpunan vektor basis aktual. Menerapkannya pada contoh kita di atas, kita melihat bahwa tentu saja kita punya

untuk substitusi mana

memberi kami

dan penggunaan yang bijaksana dari properti distributivitas memungkinkan kami mengatur ulang ke bentuk yang diinginkan. Demikian juga, ada manipulasi "cermin" yang sesuai dalam kaitannya dengan elemen ruang vektor bebas  dan , , dll. Dan ini akhirnya membawa kita ke definisi formal dari produk tensor.

Definisi perkalian tensor abstrak 
Abstrak hasil kali tensor dari dua ruang vektor  dan  di atas bidang dasar yang sama  adalah vektor hasil bagi

dimana  adalah hubungan kesetaraan dari  persamaan formal  yang dihasilkan dengan mengasumsikan bahwa, untuk masing-masing  dan  diambil sebagai ekspresi formal dalam ruang vektor bebas , penangguhan berikut:

Identitas. 
Simetri.  berarti 
Transitivitas.  dan  berarti 
Distributivitas.  dan 
Kelipatan skalar  dan 

dan kemudian menguji kesetaraan ekspresi formal generik melalui manipulasi yang sesuai berdasarkan padanya. Aritmetika didefinisikan pada hasil kali tensor dengan memilih elemen perwakilan, menerapkan aturan aritmatika, dan akhirnya mengambil kelas ekivalen. Apalagi diberikan dua vektor  dan , kelas kesetaraan  dilambangkan .

Sifat

Notasi 
Elemen  sering disebut sebagai  tensor , meskipun istilah ini juga mengacu pada banyak konsep terkait lainnya. Jika  milik  dan  milik , maka kelas ekivalen dari  dilambangkan dengan , yang disebut hasil kali tensor dari  dengan . Dalam fisika dan teknik, ini menggunakan  merujuk secara khusus ke operasi hasil luar; hasil perkalian luar  adalah salah satu cara standar untuk merepresentasikan kelas ekivalensi . An elemen dari  yang bisa ditulis dalam bentuk  disebut murni atau tensor sederhana. Secara umum, elemen hasil kali tensor bukanlah tensor murni, melainkan kombinasi linier terbatas dari tensor murni. Misalnya, jika  dan  adalah independen linear, dan  dan  juga independen linear  tidak dapat ditulis sebagai tensor murni. Jumlah tensor sederhana yang diperlukan untuk mengekspresikan elemen produk tensor disebut peringkat tensor (jangan bingung dengan urutan tensor, yang merupakan jumlah spasi yang telah diambil hasil kali, dalam hal ini 2; dalam notasi, jumlah indeks), dan untuk operator linier atau matriks, dianggap sebagai tensor  (elemen ruang ), itu setuju dengan peringkat matriks.

Dimensi 
Pangkalan yang diberikan  dan  untuk  dan , tensor  membentuk dasar untuk . Oleh karena itu, jika  dan  adalah berdimensi berhingga, dimensi produk tensor adalah hasil kali dari dimensi ruang asli; contohnya  isomorfik untuk .

Produk sensor dari peta linier 
Produk tensor juga beroperasi pada peta linier antara ruang vektor. Secara khusus, diberikan dua peta linear  and  antara ruang vektor,  perkalian tensor dari dua peta linier   dan  adalah peta linier

didefinisikan oleh

Dengan cara ini, hasil kali tensor menjadi bifunctor dari kategori ruang vektor ke dirinya sendiri, kovarian di kedua argumen.

Jika  dan  keduanya injektif, dugaan atau (dalam hal , , , dan  adalah ruang vektor bernorma atau ruang vektor topologis s) kontinu, lalu  bersifat injektif, surjektiv atau kontinu.

Dengan memilih basis dari semua ruang vektor yang terlibat, peta linier  dan  dapat diwakili oleh matriks. Lalu, tergantung bagaimana tensor  adalah vektor, matriks yang menjelaskan hasil kali tensor  adalah hasil Kronecker dari dua matriks. Misalnya, jika , dan  di atas semuanya dua dimensi dan basis telah ditetapkan untuk semuanya, dan  dan  diberikan oleh matriks

masing-masing, maka produk tensor dari kedua matriks ini adalah

Peringkat yang dihasilkan paling banyak 4, dan dengan demikian dimensi yang dihasilkan adalah 4. Perhatikan bahwa  peringkat  di sini menunjukkan peringkat tensor yaitu jumlah indeks yang diperlukan (sedangkan peringkat matriks menghitung jumlah derajat kebebasan dalam larik yang dihasilkan). Catatan .

perkalian diadik adalah kasus khusus dari hasil kali tensor antara dua vektor dengan dimensi yang sama.

Sifat universal 

Dalam konteks ruang vektor, hasil kali tensor  dan peta bilinear terkait  dicirikan hingga isomorfisme oleh properti universal terkait peta bilinear. (Ingatlah bahwa peta bilinear adalah fungsi yang  terpisah  linier di setiap argumennya.) Secara informal,  adalah peta bilinear yang paling umum .

Karakterisasi ini dapat menyederhanakan pembuktian tentang produk tensor. Misalnya, hasil kali tensor simetris, artinya terdapat isomorfisma kanonik:

Untuk membuat, katakanlah, peta dari  ke , itu sudah cukup untuk memberikan peta bilinear  peta itu  ke . Kemudian properti universal  berarti faktor  ke dalam peta .
A map  dalam arah yang berlawanan didefinisikan dengan cara yang sama, dan seseorang memeriksa bahwa dua peta linier  dan  adalah invers satu sama lain dengan kembali menggunakan properti universal mereka.

Properti universal sangat berguna dalam menunjukkan bahwa peta ke produk tensor bersifat injektif. Misalnya, kita ingin menunjukkan  is isomorphic to . Karena semua tensor sederhana berbentuk , dan karenanya semua elemen produk tensor adalah bentuk  dengan aditifitas pada koordinat pertama, kita memiliki kandidat alami untuk isomorfisme  diberikan oleh pemetaan  ke , dan peta ini sangat meyakinkan.

Menunjukkan suntikan secara langsung akan melibatkan entah bagaimana menunjukkan bahwa tidak ada hubungan non-sepele di antara keduanya  dan  ke , yang tampaknya menakutkan. Namun, kita tahu bahwa ada peta bilinear  diberikan dengan mengalikan koordinat, dan properti universal produk tensor kemudian melengkapi peta ruang vektor  peta  ke , dan karenanya merupakan kebalikan dari homomorfisme yang dikonstruksi sebelumnya, segera menyiratkan hasil yang diinginkan. Perhatikan bahwa, apriori, bahkan tidak jelas bahwa peta terbalik ini terdefinisi dengan baik, tetapi properti universal dan peta bilinear yang terkait bersama-sama menyiratkan bahwa memang demikian.

Penalaran serupa dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa produk tensor bersifat asosiatif, yaitu terdapat isomorfisme alami

Oleh karena itu, biasanya tanda kurung dihilangkan dan ditulis .

Kategori ruang vektor dengan hasil kali tensor adalah contoh dari sebuah kategori monoidal simetris.

Definisi properti universal dari produk tensor valid di lebih banyak kategori daripada hanya kategori ruang vektor. Alih-alih menggunakan peta multilinear (bilinear), definisi produk tensor umum menggunakan multimorfisme.

Kekuatan sensor dan jalinan 
Misalkan  adalah bilangan bulat non-negatif.  ke tensor pangkat dari ruang vektor  adalah  - hasil kali tensor lipat dari  dengan dirinya sendiri. Itu adalah

Permutasi  dari himpunan } menentukan pemetaan dari  pangkat Kartesius dari  sebagai berikut:

Maka

jadilah multilinear alami yang menanamkan pangkat Kartesius dari  ke dalam pangkat tensor . Kemudian, berdasarkan sifat universal, ada isomorfisme yang unik

seperti

Isomorfisme  disebut mengepang peta yang terkait dengan permutasi .

Hasil kali tensor 

Untuk bilangan bulat non-negatif  dan  tipe  [ [tensor]] pada ruang vektor  adalah elemen dari

Maka  adalah ruang vektor ganda (yang terdiri dari semua peta linier  dari  ke bidang tanah ).

Ada peta produk, yang disebut  (tensor) produk tensor 

Ini ditentukan dengan mengelompokkan semua "faktor" yang muncul  bersama-sama: menulis  untuk elemen  dan  untuk elemen ruang ganda,

Memilih basis dari  dan basis ganda yang sesuai  secara alami menginduksi dasar untuk  (dasar ini dijelaskan di artikel tentang produk Kronecker). Dalam hal basis ini, komponen dari produk (tensor) dari dua (atau lebih) tensor dapat dihitung. Sebagai contoh, jika  dan  adalah dua kovarian tensor urutan {{math |  m } } dan  (yaitu , dan ), kemudian komponen produk tensor mereka diberikan oleh

Jadi, komponen hasil kali tensor dari dua buah tensor merupakan hasil kali biasa dari komponen setiap tensor. Contoh lain: misalkan  menjadi tensor bertipe  dengan kompenen , dan biarkan  menjadi tensor berjenis  dengan komponen . Then

dan

Tensor yang dilengkapi dengan operasi produknya membentuk sebuah aljabar, yang disebut aljabar tensor.

Peta evaluasi dan kontraksi tensor 
Untuk tensor tipe  ada kanonik peta evaluasi

ditentukan oleh aksinya pada tensor murni:

Secara lebih umum, untuk tensor jenis , dengan , terdapat peta, yang disebut kontraksi tensor,

(Salinan dari  dan  di mana peta ini akan diterapkan harus ditentukan.)

Di sisi lain, jika  adalah  finite-dimensional , ada peta kanonik di arah lain (disebut peta evaluasi)

dimana  adalah dasar apa pun dari , dan  adalah basis ganda. Peta ini tidak bergantung pada pilihan dasar.

Interaksi evaluasi dan koevaluasi dapat digunakan untuk mengkarakterisasi ruang vektor berdimensi-hingga tanpa mengacu pada basis.

Representasi adjoint 
Produk tensor  secara alami dapat dilihat sebagai modul untuk aljabar Lie  melalui aksi diagonal: untuk kesederhanaan mari kita asumsikan , then, for each ,

dimana  pada  adalah transpos dari , yaitu, dalam hal pasangan yang jelas pada ,

.

There is a canonical isomorphism  given by

Under this isomorphism, every  in  may be first viewed as an endomorphism of  and then viewed as an endomorphism of . In fact it is the adjoint representation  of .

Lihat pula

Catatan

Referensi 

Operasi biner
Operator Bilinear