Epimorfisma

Dalam teori kategori, epimorfisma (juga disebut morfisme epik atau, bahasa sehari-hari, epi) adalah morfisma f:X→Y sehingga adalah pembatalan-kanan dalam arti bahwa, untuk semua objek  Z  dan semua morfisme ,
 

Epimorfisme adalah analog kategoris dari  ke atau fungsi dugaan s (dan dalam kategori himpunan konsepnya sesuai persis dengan fungsi konjektur), tetapi mungkin tidak persis sama di semua konteks; misalnya, penyertaan  adalah epimorfisme cincin.  dual dari suatu epimorfisme adalah monomorfisme (yaitu epimorfisme dalam  kategori  C  adalah monomorfisme dalam  kategori ganda Cop).

Banyak penulis di aljabar abstrak dan aljabar universal mendefinisikan  'epimorfisme'  hanya sebagai  ke  atau konjektur homomorfisme. Setiap epimorfisme dalam pengertian aljabar ini merupakan epimorfisme dalam pengertian teori kategori, tetapi kebalikannya tidak berlaku untuk semua kategori. Dalam artikel ini, istilah "epimorfisme" akan digunakan dalam pengertian teori kategori yang diberikan di atas. Untuk lebih lanjut tentang ini, lihat  di bawah.

Contoh 
Setiap morfisme dalam kategori konkret yang  fungsi yang mendasarinya adalah perkiraan adalah epimorfisme.  In banyak kategori konkret yang menarik, sebaliknya juga benar. Misalnya, dalam kategori berikut, epimorfisme persis dengan morfisme yang menduga pada himpunan yang mendasarinya:
Himpunan: himpunan dan fungsi. Untuk membuktikan itu setiap epimorfisme f: X → Y pada Himpunan bersifat dugaan, kami menyusunnya dengan  fungsi karakteristik g1: Y → {0,1} dari galeri f(X) dan peta g2: Y → {0,1} yaitu konstan 1.
 Rel: disetel dengan relasi biner dan fungsi pemelihara relasi. Di sini kita bisa menggunakan bukti yang sama seperti untuk Himpunan, melengkapi {0,1} dengan relasi penuh {0,1}×{0,1}.
Pos: himpunan terurut sebagian dan fungsi monoton. Jika f : (X, ≤) → (Y, ≤) tidak surjective, pilih y0 in Y \ f(X) dan maka g1 : Y → {0,1} menjadi fungsi karakteristik {y | y0 ≤ y} dan g2 : Y → {0,1} fungsi karakteristik {y | y0 < y}. Peta ini bersifat monoton jika {0,1} diberikan urutan standar 0 <1.
Grp:  grup dan homomorfisme kelompok. Hasil bahwa setiap epimorfisme dalam Grp bersifat dugaan adalah karena Otto Schreier (dia sebenarnya membuktikan lebih, menunjukkan bahwa setiap subgrup adalah  equalizer menggunakan produk bebas dengan satu subgrup gabungan); bukti dasar dapat ditemukan di (Linderholm 1970).
FinGrp: kelompok hingga dan homomorfisme grup. Juga karena Schreier; bukti yang diberikan dalam (Linderholm 1970) menegaskan kasus ini juga.
Ab: grup abelian dan homomorfisme grup.

Konsep terkait 
Di antara konsep berguna lainnya adalah epimorfisme biasa, epimorfisme ekstrem, epimorfisme langsung, epimorfisme kuat, dan epimorfisme terbagi. 

 Sebuah epimorfisme dikatakan biasa jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
 Sebuah epimorfisme  dikatakan ekstrem jika di setiap representasi , dimana  adalah monomorfisme, morfisme  secara otomatis menjadi isomorfisme.
 Sebuah epimorfisme  dikatakan langsung jika dalam setiap representasi , dimana  adalah monomorfisme dan  adalah epimorfisme, morfisme  secara otomatis menjadi isomorfisme.
  Sebuah epimorfisme  dikatakan kuat jika ada monomorphism  dan morfisme apapun  dan  seperti yang , ada morfisme  seperti yang  dan .
 Sebuah epimorfisme  dikatakan terbelah jika ada morfisme  seperti yang  (dalam hal ini  disebut invers sisi kanan untuk ).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis dalam teori cincin. Morfisme  f: A → B of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi fungsi penuh dan setia pada kategori turunan:
D(f) : D(B) → D(A).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut bimorfisme. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari interval setengah terbuka [0,1) ke lingkaran satuan S1. 

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan objek hasil bagi abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme f1 : X → Y1 dan f2 : X → Y2 dikatakan  setara  jika terdapat isomorfisme  j : Y1 → Y2 with j f1 = f2. Ini adalah hubungan kesetaraan, dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari X''.

Lihat pula 
 Daftar topik teori kategori
 Monomorfisme

Referensi

Daftar pustaka

Pranala luar

Morfisme