Grup nilpoten

Dalam matematika, khususnya teori grup, grup nilpoten G adalah  grup yang memiliki deret tengah atas yang diakhiri dengan  G . Secara ekivalen, deret tengah nya memiliki panjang terbatas atau deret tengah bawah diakhiri dengan {1}.

Secara intuitif, grup nilpotent adalah grup yang "hampir  abelian". Ide ini dimotivasi oleh fakta bahwa grup nilpoten adalah  solvable, dan untuk grup nilpoten hingga, dua elemen yang memiliki relatif prima urutan harus bolak-balik. Juga benar bahwa grup nilpoten hingga adalah  bisa dipecahkan. Konsep ini dikreditkan untuk bekerja pada tahun 1930-an oleh ahli matematika Rusia Sergei Chernikov.

Grup nilpoten muncul dalam teori Galois, serta dalam klasifikasi grup. Mereka juga muncul secara mencolok dalam klasifikasi grup Lie.

Istilah analogi digunakan untuk aljabar Lie (menggunakan  Kurung kebohongan) termasuk  nilpoten, dan deret pusat bawah.

Definisi 
Definisi tersebut menggunakan gagasan tentang rangkaian pusat untuk sebuah grup.
Berikut ini adalah definisi yang setara untuk grup nilpotent :
  memiliki deret tengah dengan panjang terbatas. Artinya, serangkaian subkelompok normal

where , or equivalently .

  memiliki deret tengah bawah yang diakhiri dalam subgrup trivial setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subgrup normal 

where .

  memiliki deret tengah atas yang berakhir di seluruh grup setelah banyak langkah yang tak terhingga. Artinya, serangkaian subkelompok normal 

dimana  dan  adalah subkelompok seperti itu .

Untuk grup nilpoten,  terkecil sedemikian rupa sehingga  memiliki deretan pusat dengan panjang  disebut kelas nilpotensi dari  ; dan  dikatakan nilpoten kelas . (Menurut definisi, panjangnya adalah  jika ada  subgrup berbeda dalam rangkaian, termasuk subgrup trivial dan seluruh grup.)

Secara ekuivalen, kelas nilpotensi dari  sama dengan panjang deret tengah bawah atau deret tengah atas.
Jika sebuah grup memiliki paling banyak kelas nilpotensi , maka itu kadang-kadang disebut grup nil-.

Ini segera mengikuti dari salah satu bentuk di atas dari definisi nilpotensi, bahwa grup trivial adalah grup unik kelas nilpotensi , dan kelompok dari kelas nilpotensi  sama persis dengan grup abelian non-trivial.

Contoh 

 Seperti disebutkan di atas, setiap grup abelian adalah nilpoten.
 Untuk contoh non-abelian kecil, pertimbangkan grup quaternion group  Q  8 , yang merupakan grup non-abelian terkecil  p . Ia memiliki pusat {1, −1} dari urutan 2, dan deret pusat atasnya adalah {1}, {1, −1}, Q8; jadi nihil kelas 2.
 Produk langsung dari dua grup nilpoten adalah nilpoten.
 Semua grup-p hingga sebenarnya nilpoten ( bukti). Kelas maksimal dari segrup ordo pn adalah  n  (sebagai contoh, setiap grup berorde 2 nilpoten kelas 1). 2 grup kelas maksimal adalah grup hasil bagi umum, grup dihedral, dan grup semidihedral.
 Lebih lanjut, setiap grup nilpoten hingga adalah produk langsung dari grup  p .
 Gugus perkalian dari matriks atas  satuanriangular  n  x  n  pada bidang manapun  F  adalah  grup nilpoten dari nilpotensi  n - 1. Secara khusus, mengambil  n  = 3 menghasilkan grup Heisenberg  H , sebuah contoh dari non-abelian infinite nilpotent group. Ini memiliki kelas nilpotency 2 dengan deret pusat 1, Z(H), H.
 Kelompok perkalian dari matriks  segitiga atas yang dapat dibalik  n  x  n  matriks di atas bidang  F  tidak secara umum nilpoten, tetapi  dapat dipecahkan.
 Semua grup nonabelian  G  seperti itu G/Z(G) apakah abelian memiliki nilpontensi kelas 2, dengan deret pusat {1}, Z(G), G.

Penjelasan istilah 
Disebut grup nilpotent karena "aksi adjoint" dari setiap elemen adalah nilpoten, artinya untuk grup nilpotent  dari nilpotence degree  dan elemen , fungsi  didefinisikan oleh  (dimana  adalah komutator dari  dan ) adalah nilpoten dalam arti bahwa iterasi  ke fungsi ini sepele:  untuk  pada .

Ini bukanlah karakteristik yang menentukan dari grup nilpoten: grup yang untuknya  adalah nilpoten derajat  (dalam pengertian di atas) disebut grup Engel , dan tidak perlu menjadi nilpoten secara umum. Mereka terbukti nilpoten jika memiliki  urutan yang terbatas, dan diduga nilpoten selama mereka  dihasilkan secara terbatas.

Sebuah grup abelian adalah grup yang tindakan penyatuannya tidak hanya nilpoten tetapi juga trivial (grup 1-Engel).

Catatan

Referensi 
 
 
 
 
 
  review
 
 
 

Grup nilpoten
Sifat grup