Kategori gelanggang

Dalam matematika, kategori gelanggang, dilambangkan dengan Gelanggang, adalah  kategori yang objeknya adalah  gelanggang (dengan identitas) dan yang morfisme adalah homomorfisme gelanggang (yang melestarikan identitas). Seperti banyak kategori dalam matematika, kategori gelanggang adalah  besar, yang berarti bahwa  kelas dari semua cincin adalah  layak.

Sebagai kategori konkrit 

Kategori Gelanggang adalah kategori beton yang berarti bahwa objek tersebut  himpunan dengan struktur tambahan (penjumlahan dan perkalian) dan morfisme adalah  fungsi yang mempertahankan struktur ini. Ada fungsi pelupa alami
U : Gelanggang → Himpunan
untuk kategori gelanggang ke kategori himpunan yang mengirimkan setiap gelanggang ke set yang mendasarinya (sehingga "melupakan" operasi penjumlahan dan perkalian). Funktor ini memiliki penyambung kiri
F : Himpunan → Gelanggang
which assigns to each set X the free ring generated by X.

Seseorang juga dapat melihat kategori gelanggang sebagai kategori konkret di atas Ab (kategori grup abelian) atau di atas Mon (kategori monoid). Secara khusus, ada fungsi pelupa
A : Gelanggang → Ab
M : Gelanggamg → Mon
yang masing-masing "melupakan" perkalian dan penjumlahan. Kedua fungsi ini meninggalkan adjoint. Adjoint kiri  A  adalah functor yang menetapkan ke setiap grup abelian  X  (dianggap sebagai Z- modul ) gelanggang tensor  T ( X ). Adjoint kiri  M  adalah functor yang menetapkan ke setiap monoid  X  integral gelanggang monoid Z[X].

Limit dan kolimit 

Kategori Gelanggang keduanya  lengkap dan lengkap, yang berarti bahwa semua batas dan kolom kecil ada di Gelanggang. Seperti banyak kategori aljabar lainnya, functor pelupa  U : Gelanggang → Himpunan  membuat (dan mempertahankan) batas dan kolimit filter, tetapi tidak mempertahankan produk bersama atau penggabung. Fungsi pelupa untuk Ab dan Mon juga membuat dan mempertahankan batasan.

Morfisme 

Tidak seperti banyak kategori yang dipelajari dalam matematika, tidak selalu ada morfisme antara pasangan objek dalam Gelanggang. Ini adalah konsekuensi dari fakta bahwa homomorfisme cincin harus menjaga identitas. Misalnya, tidak ada morfisme dari gelanggang nol 0 ke gelanggang bukan nol. Suatu kondisi yang diperlukan untuk menjadi morfisme dari  R  ke  S  adalah bahwa  karakteristik dari  S  membagi bahwa dari  R .

Perhatikan bahwa meskipun beberapa hom-set kosong, kategori Gelanggan masih  terhubung karena memiliki objek awal.

Sifat lainnya 

Satu-satunya objek injeksi dalam Gelanggang hingga isomorfisme adalah gelanggang nol (yaitu objek terminal).
Jika tidak memiliki morfisme nol, kategori cincin tidak boleh menjadi kategori preadditif. (Namun, setiap gelanggang — dianggap sebagai kategori kecil dengan satu objek — adalah kategori pra-tambahan).
Kategori cincin adalah kategori monoidal simetris dengan hasil kali tensor gelanggang ⊗Z sebagai produk monoid dan Gelanggang bilangan bulat Z sebagai objek satuan. Ini mengikuti dari teorema Eckmann–Hilton, bahwa  monoid di Gelanggang hanyalah sebuah gelanggang komutatif.

Catatan

Referensi 

Rings
Ring theory