Monomorfisme

Dalam konteks aljabar abstrak atau aljabar universal, monomorfisme adalah injeksi homomorfisme. Sebuah monomorfisme dari  dengan  sering dilambangkan dengan notasi  .

Dalam pengaturan yang lebih umum dari teori kategori, monomorfisme (juga disebut morfisme monik atau mono) adalah pembatal-kiri morphism. Artinya, anak panah  seperti itu untuk semua objek  dan semua morfisme ,
 

Monomorfisme adalah generalisasi kategorikal dari fungsi injeksi s (juga disebut "fungsi satu-ke-satu"); dalam beberapa kategori, pengertian tersebut bertepatan, tetapi monomorfisme lebih umum, seperti pada contoh di bawah.

Dual kategorikal dari monomorfisme adalah epimorfisme, yaitu, monomorfisme dalam kategori  C  adalah epimorfisme dalam kategori ganda Cop. Setiap bagian adalah monomorfisme, dan setiap retraksi adalah epimorfisme.

Kaitannya dengan kemampuan terbalik 
Morfisme pembalik kiri harus monik: jika  l  adalah kebalikan kiri untuk f (artinya  l  adalah morfisme dan ), maka  f  adalah monik, maka
 

Morfisme yang dapat dibalikkan kiri disebut  'split mono'  atau bagian. 

Namun, monomorfisme tidak perlu dibalik. Misalnya, dalam kategori Grup dari semua grup dan homomorfisme grup di antara mereka, jika  H  adalah subgrup dari  G  lalu penyertaan  selalu monomorfisme; tetapi  f  memiliki invers kiri dalam kategori jika dan hanya jika  H  memiliki komplemen normal di  G . 

Morfisme  monic jika dan hanya jika peta induksi , mendefinisikan oleh  untuk semua morfisme , adalah injeksi untuk semua objek  Z .

Contoh 
Setiap morfisme dalam kategori konkret yang fungsi yang mendasari adalah monomorfisme; dengan kata lain, jika morfisme benar-benar berfungsi di antara himpunan, maka morfisme apa pun yang merupakan fungsi satu-ke-satu akan menjadi monomorfisme dalam arti kategoris. Dalam kategori himpunan hal yang sebaliknya juga berlaku, jadi monomorfisme persisnya adalah morfisme injektif. Kebalikannya juga berlaku di sebagian besar kategori aljabar yang terjadi secara alami karena adanya objek bebas pada satu generator.

Secara umum tidak benar bahwa semua monomorfisme harus injektif dalam kategori lain; yaitu, ada pengaturan di mana morfisme adalah fungsi antar himpunan, tetapi seseorang dapat memiliki fungsi yang tidak bersifat injektif namun merupakan monomorfisme dalam arti kategori. Misalnya, dalam kategori  'Div'  habis grup (abelian) dan homomorfisme grup di antara mereka terdapat monomorfisme yang tidak suntik: consider, misalnya, peta hasil bagi , di mana Q adalah rasio di bawah tambahan, Z bilangan bulat (juga dianggap sebagai grup di bawah penambahan), dan Q/Z adalah sesuai grup hasil bagi.  Ini bukan peta suntik, karena misalnya setiap bilangan bulat dipetakan ke 0. Namun demikian, ini adalah monomorfisme dalam kategori ini. Ini mengikuti dari implikasinya , yang sekarang akan kami buktikan. Jika , where G adalah beberapa kelompok yang dapat dibagi, dan , setelah itu .  Sekarang perbaiki beberapa .  Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi demikian  (jika tidak, pilih -  x ). Lalu, biarkan , karena  G  adalah grup yang dapat dibagi, ada beberapa  seperti  maka akan menjadi .  Dari ini, dan , maka rumusnya adalah

Karena , Kita merumuskan , dan dengan cara .  Maka itu merumuskan , seperti yang diinginkan.

Konsep terkait 
Di antara konsep berguna lainnya adalah epimorfisme biasa, epimorfisme ekstrem, epimorfisme langsung, epimorfisme kuat, dan epimorfisme terbagi. 

 Sebuah epimorfisme dikatakan biasa jika merupakan penggabung dari beberapa pasangan morfisme paralel.
 Sebuah epimorfisme  dikatakan ekstrem jika di setiap representasi , dimana  adalah monomorfisme, morfisme  secara otomatis menjadi isomorfisme.
 Sebuah epimorfisme  dikatakan langsung jika dalam setiap representasi , dimana  adalah monomorfisme dan  adalah epimorfisme, morfisme  secara otomatis menjadi isomorfisme.
  Sebuah epimorfisme  dikatakan kuat jika ada monomorphism  dan morfisme apapun  dan  seperti yang , ada morfisme  seperti yang  dan .
 Sebuah epimorfisme  dikatakan terbelah jika ada morfisme  seperti yang  (dalam hal ini  disebut invers sisi kanan untuk ).

Ada juga gagasan ' epimorfisme homologis dalam teori cincin. Morfisme  f: A → B of cincin adalah epimorfisme homologis jika merupakan epimorfisme dan menginduksi fungsi penuh dan setia pada kategori turunan:
D(f) : D(B) → D(A).

Morfisme yang merupakan monomorfisme dan epimorfisme disebut bimorfisme. Setiap isomorfisme adalah bimorfisme tetapi kebalikannya tidak benar secara umum. Misalnya, peta dari interval setengah terbuka [0,1) ke lingkaran satuan S1. 

Epimorfisme digunakan untuk mendefinisikan objek hasil bagi abstrak dalam kategori umum: dua epimorfisme f1 : X → Y1 dan f2 : X → Y2 dikatakan  setara  jika terdapat isomorfisme  j : Y1 → Y2 with j f1 = f2. Ini adalah hubungan kesetaraan, dan kelas kesetaraan didefinisikan sebagai objek hasil bagi dari X''.

Lihat pula 
 Menyematkan (matematika)
 Dekomposisi nodal
 Subobjek

Catatan

Referensi

Pranala luar 

Morfisme