Semigrup

Dalam matematika, semigrup adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan dengan asosiatif operasi biner.

Operasi biner semigroup paling sering dilambangkan perkalian: x·y, atau xy, menunjukkan hasil operasi semigrup ke pasangan terurut . Asosiatif secara formal diungkapkan  untuk semua x, y dan z diantara semigrup.

Semigrup sebagai kasus khusus magma, dimana operasi asosiatif, atau sebagai generalisasi grup, tanpa elemen identitas atau invers. Dalam kasus grup atau magma, operasi semigrup non-komutatif, jadi x·y tidak harus sama dengan y·x; contoh yang terkenal dari operasi asosiatif tetapi non-komutatif adalah perkalian matriks. Jika operasi semigrup bersifat komutatif, maka semigrup disebut semigrup komutatif atau (lebih jarang disebut kasus analogi grup) ini bisa disebut semigrup abelian.

Monoid adalah struktur aljabar antara grup dan semigrup, dan merupakan semigrup yang memiliki elemen identitas, dengan demikian mematuhi semua kecuali satu aksioma grup; keberadaan invers tidak diperlukan dari sebuah monoid. Contoh alami adalah tali dengan penggabungan sebagai operasi biner, dan string kosong sebagai elemen identitas. Membatasi ke tali tidak kosong memberikan contoh grup semigrup yang bukan monoid. Bilangan bulat positif dengan penjumlahan membentuk semigrup komutatif yang bukan monoid, sedangkan bilangan bulat non-negatif membentuk monoid. Semigrup tanpa elemen identitas dapat dengan diubah menjadi monoid dengan menambahkan elemen identitas. Maka, monoid dipelajari dalam teori semigrup dari teori grup. Semigrup tidak sama dengan grup semu, yang merupakan generalisasi grup ke arah yang berbeda; operasi dalam grup semu tidak menggunakan asosiatif tetapi grup semu dari grup gagasan pembagian. Pembagian dalam semigrup (atau dalam monoid) tidak dimungkinkan secara umum.

Studi formal semigrup dimulai pada awal abad ke-20. Hasil awal termasuk teorema Cayley untuk semigrup sebagai transformasi semigrup, dimana fungsi arbitrer menggantikan peran bias dari teori grup. Hasil yang dalam dalam klasifikasi semigrup hingga adalah teori Krohn–Rhodes, analog dengan dekomposisi Jordan–Hölder untuk grup hingga. Beberapa teknik lain untuk mempelajari semigrup, seperti Relasi Green, tidak menyerupai dalam teori grup.

Teori semigrup hingga menjadi sangat penting dalam ilmu komputer teoretis sejak tahun 1950-an karena relasi alami antara semigrup hingga dan automata hingga melalui monoid sintaktik. Dalam teori probabilitas, semigrup dikaitkan dengan proses Markov. Di bidang lain matematika terapan, semigrup adalah model fundamental untuk sistem invarian waktu linear. Dalam persamaan diferensial parsial, semigrup dikaitkan dengan setiap persamaan yang evolusi spasialnya tidak bergantung pada waktu.

Terdapat kelas khusus dari semigrup, semigrup dengan difat tambahan, yang muncul dalam aplikasi tertentu. Beberapa dari kelas ini bahkan lebih dekat ke grup dengan beberapa sifat tambahan tetapi tidak semua dari grup. Dari jumlah tersebut menyebutkan: semigrup biasa, semigrup ortodoks, semigrup dengan involusi, semigrup invers dan semigrup pembatal. Ada pula kelas dari semigrup yang tidak menggunakan grup kecuali grup trivial; contoh dari jenis yang terakhir adalah pita dan subkelas komutatifnya semikisi, lihat pula struktur aljabar terurut.

Definisi 
Semigrup adalah himpunan  dengan operasi biner "" (yaitu, fungsi ) yang menggunakan sifat asosiatif:

Untuk , persamaan .

Lebih singkatnya, semigrup adalah asosiatif magma.

Contoh semigrup 
 Semigrup kosong: himpunan kosong membentuk semigroup dengan fungsi kosong sebagai operasi biner.
 Semigrup dengan satu elemen: pada dasarnya hanya ada satu (khususnya, satu hingga isomorfisme), singleton { a } dengan operasi .
 Semigrup dengan dua elemen: lima yang pada dasarnya berbeda.
 Monoid "flip-flop": semigrup dengan tiga elemen mewakili tiga operasi pada sakelar setel, dan reset.
 Himpunan bilangan bulat positif dengan penjumlahan. (Dengan 0 disertakan, menjadi monoid.)
 Himpunan bilangan bulat dengan minimum atau maksimum. (Dengan infinity positif/negatif disertakan, ini menjadi monoid.)
 Persegi matriks non-negatif dengan ukuran tertentu dengan perkalian matriks.
 Semua ideal dari gelanggang dengan perkalian gelanggang.
 Himpunan hingga string di atas alfabet tetap Σ dengan rangkaian pita sebagai operasi semigrup, yang disebut "semigrup bebas lebih dari Σ". Dengan string kosong disertakan, semigrup ini menjadi monoid bebas di atas Σ.
 distribusi probabilitas F dengan semua pangkat konvolusi dari F, dengan operasi konvolusi. Disebut semigrup konvolusi.
 Transformasi semigrup dan monoid.
 Himpunan fungsi kontinu dari suatu ruang topologi ke komposisi fungsi membentuk sebuah monoid dengan fungsi identitas bertindak sebagai identitas. Lebih umum lagi, endomorfisme dari setiap objek dari kategori membentuk sebuah monoid dalam komposisi.

Konsep dasar

Identitas dan nol 
Identitas kiri dari semigroup  (atau lebih umum lagi, magma) adalah elemen  sedemikian rupa sehingga untuk semua  pada , . Demikian pula, identitas kanan adalah elemen  sedemikian rupa sehingga untuk semua  pada , . Identitas kiri dan kanan sama-sama disebut identitas sepihak. Semigrup memiliki satu atau lebih identitas kiri tetapi tidak memiliki identitas kanan, dan sebaliknya.

Identitas dua sisi (atau identitas) adalah elemen yang merupakan identitas kiri dan kanan. Semigrup dengan identitas dua sisi disebut monoid.  Semigrup memiliki lebih dari satu identitas dua sisi. Dari sebuah semigrup yang memiliki identitas dua sisi, maka identitas dua sisi merupakan satu-satunya identitas satu sisi pada semigrup tersebut.  Jika semigrup memiliki identitas kiri dan kanan, maka ia memiliki identitas dua sisi (yang karenanya merupakan identitas satu sisi).

Semigrup  tanpa identitas embedded dalam sebuah monoid yang dibentuk dengan menyatukan elemen  ke  dan mendefinisikan  untuk . Notasi  menunjukkan monoid yang digunakan dari  dengan menggabungkan identitas jika perlu (untuk monoid ).

Demikian pula, setiap magma memiliki paling banyak satu elemen penyerap, yang dalam teori semigrup disebut nol. Dengan konstruksi di atas, untuk setiap semigrup , kita dapat mendefinisikan , sebuah semigrup dengan 0 yang menyematkan .

Subsemigrup dan ideal 

Operasi semigrup menginduksi operasi pada himpunan bagian: diberikan himpunan bagian A dan B dari semigrup S, produk , ditulis secara umum sebagai AB, adalah himpunan  (Gagasan ini didefinisikan secara identik sebagai untuk grup) Dalam hal operasi ini, himpunan bagian A disebut
 subsemigrup jika AA adalah bagian dari A,
 ideal kanan jika AS adalah himpunan bagian dari A, dan
 ideal kiri jika SA adalah himpunan bagian dari A.

Jika A adalah ideal kiri dan ideal kanan maka itu disebut ideal (atau ideal dua sisi).

Jika S adalah setengah grup, maka perpotongan dari kumpulan sub-grup dari S merupakan sub-grup dari S.
Jadi sub-grup dari S membentuk kisi lengkap.

Contoh dari semigrup tanpa minimal ideal adalah himpunan bilangan bulat positif yang ditambahkan. Ideal minimal dari semigrup komutatif.

Relasi Green, himpunan lima relasi ekuivalen yang mencirikan elemen dalam istilah prinsip ideal yang mereka hasilkan, adalah alat penting untuk menganalisis ideal semigrup dan gagasan terkait tentang struktur.

Himpunan bagian dengan sifat elemen selang-seling dengan elemen lain dari semigrup disebut pusat dari semigrup. The center of a semigroup is actually a subsemigroup.

Homomorfisme dan kongruensi 

Semigrup homomorfisme adalah fungsi yang mempertahankan struktur semigrup. Sebuah fungsi  antara dua grup semigrup adalah homomorfisme jika persamaan
. Untuk semua elemen a, b dalam S, yaitu hasilnya sama saat melakukan operasi semigrup setelah atau sebelum menerapkan peta f.

Homomorfisme semigrup antara monoid identitas jika itu adalah homomorfisme monoid. Tetapi ada homomorfisme semigrup yang bukan homomorfisme monoid, misal penyematan kanonik dari semigrup  tanpa identitas ke dalam . Kondisi yang mencirikan homomorfisme monoid dibahas lebih lanjut. Misalkan  menjadi homomorfisme semigrup. Citra  merupakan semigrup. Jika  adalah monoid dengan elemen identitas , maka  adalah elemen identitas dalam gambar . Jika  juga merupakan monoid dengan elemen identitas  dan  dari citra , maka , yaitu  adalah homomorfisme monoid. Khususnya, jika  adalah sujektif, maka itu adalah homomorfisme monoid.

Dua semigrup S dan T dikatakan isomorfis jika bijeksi  dengan sifat tersebut, untuk setiap elemen a, b dalam S, . Semigrup isomorfik memiliki struktur yang sama.

Kesesuaian semigrup  adalah relasi ekuivalen yang kompatibel dengan operasi semigroup. Yaitu, bagian himpunan  adalah relasi ekuivalen dan  dan  menyiratkan  untuk setiap  dalam S. Seperti relasi ekuivalen, kongruensi semigrup  dari induksi kelas kongruensi

dan operasi semigrup dari induksi operasi biner  pada kelas kongruensi:

Struktur semigrup 
Untuk setiap himpunan bagian A dari S ada himpunan bagian terkecil T dari S yang digunakan A, dan A menghasilkan T. Sebuah elemen x dari S menghasilkan sub-grup { xn  n ∈ Z+ }. Maka x dikatakan dari urutan hingga atau urutan tak hingga.
Semigrup dikatakan periodik jika semua elemennya berurutan.
Semigrup yang dihasilkan oleh satu elemen disebut sebagai monogenik (atau siklik). Jika semigrup monogenik tak hingga maka isomorfik ke semigrup positif bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.
Jika hingga dan tidak kosong, maka  setidaknya satu idempoten.
Oleh karena itu, setiap semigrup periodik tidak kosong memiliki setidaknya satu idempoten.

Sebuah subgrup yang merupakan grup disebut subgrup. Ada relasi antara subgrup dari sebuah semigrup dan idempoten. Setiap subgrup tepat satu idempoten, yaitu elemen identitas subgrup. Untuk setiap idempoten e dari semigrup dengan subgrup maksimal unik yang berisi e. Setiap subgrup muncul dengan cara tersebut, jadi, jika terdapat korespondensi satu-ke-satu antara idempotensi dan subkelompok maksimal. Di sini istilah subgrup maksimal berbeda dari penggunaan standarnya dalam teori grup.

Lebih dikatakan ketika order hingga. Misalnya, setiap semigroup terbatas tidak kosong adalah periodik, dan memiliki minimal ideal dan setidaknya satu idempoten. Jumlah semigrup hingga ukuran tertentu (lebih dari 1) (jelas) lebih besar dari jumlah grup dengan ukuran yang sama. Misalnya, dari enam belas kemungkinan "tabel perkalian" untuk satu himpunan dua elemen  delapan bentuk semigrup sedangkan hanya empat di antaranya adalah monoid dan hanya dua grup bentuk. Untuk mengetahui lebih lanjut tentang struktur semigroup hingga, lihat pula Teori Krohn–Rhodes.

Metode semigrup dalam persamaan diferensial parsial 

Teori semigrup dapat digunakan untuk mempelajari beberapa masalah di bidang persamaan diferensial parsial. Secara khusus, pendekatan semigrup adalah menganggap persamaan diferensial parsial dependen-waktu sebagai persamaan diferensial biasa pada ruang fungsi  Misalnya, pertimbangkan masalah nilai awal / batas berikut untuk persamaan panas pada spasial interval  dan :

Maka  menjadi ruang-Lp dari fungsi bilangan riil diintegrasikan sebagai persegi dengan domain interval  dan misalkan A menjadi operator turunan kedua dengan domain

dengan H2 adalah ruang Sobolev. Maka masalah nilai awal / batas di atas dapat diartikan sebagai masalah nilai awal untuk persamaan diferensial biasa pada ruang X:

Pada tingkat heuristik, solusi untuk masalah ini "seharusnya" ada .  Namun, untuk perlakuan yang ketat, makna harus diberikan pada eksponensial dari tA. Sebagai fungsi dari t, exp(tA) adalah semigrup operator dari X ke dirinya sendiri, mengambil u0 pada menit  ke bagian  pada waktu t. Operator A dikatakan sebagai infinitesimal generator dari semigrup.

Sejarah 
Studi tentang semigroup mengikuti di belakang struktur aljabar lainnya dengan aksioma yang lebih kompleks seperti grup atau gelanggang. Sejumlah sumber atribut penggunaan pertama istilah (dalam bahasa Prancis) untuk J.-A. de Séguier dalam  (Elemen Teori Grup Abstrak) pada tahun 1904. Istilah ini digunakan dalam bahasa Inggris pada tahun 1908 dalam Theory of Groups of Finite Order karya Harold Hinton.

Anton Sushkevich memperoleh hasil non-sepele pertama tentang semigroup. Makalahnya tahun 1928 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("Pada grup berhingga tanpa aturan pembalikan unik") ditentukan struktur semigroup sederhana terbatas dan menunjukkan bahwa ideal minimal (atau Hubungan Green J-class) dari semigroup hingga sederhana. Sejak saat itu, dasar-dasar teori semigroup selanjutnya diletakkan oleh David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford dan Gordon Preston. Dua yang terakhir menerbitkan monograf dua jilid tentang teori semigroup masing-masing pada tahun 1961 dan 1967. Pada tahun 1970, terbitan berkala baru yang disebut  Semigroup Forum  (saat ini diedit oleh Springer Verlag) menjadi salah satu dari sedikit jurnal matematika yang sepenuhnya membahas teori semigroup.

Teori representasi dari semigroup dikembangkan pada tahun 1963 oleh Boris Schein menggunakan relasi biner pada himpunan  A  dan komposisi relasi untuk produk semigrup.  Pada konferensi aljabar pada tahun 1972 Schein mensurvei literatur tentang BA, semigroup relasi pada  A . Pada tahun 1997 Schein dan Ralph McKenzie membuktikan bahwa setiap semigroup isomorfik ke semigroup transitif dari hubungan biner.

Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti di lapangan telah menjadi lebih terspesialisasi dengan monograf khusus yang muncul di kelas penting semigrup, seperti inverse semigroup, serta monograf yang berfokus pada aplikasi di teori automata aljabar, khususnya untuk automata terbatas, dan juga dalam analisis fungsional.

Generalisasi 

Jika aksioma asosiatif dari semigroup dijatuhkan, hasilnya adalah magma, yang tidak lebih dari satu set  M  yang dilengkapi dengan operasi biner yang tertutup .

Menggeneralisasi ke arah yang berbeda, n-ari semigrup (juga n-semigrup, semigrup poliadic atau multiary semigroup) adalah generalisasi dari semigroup ke himpunan  G  dengan  n  - operasi ary daripada operasi biner. Hukum asosiatif digeneralisasikan sebagai berikut: asosiatif terner adalah , yaitu string  abcde  dengan tiga elemen yang berdekatan dalam tanda kurung.  N  - asosiatif ary adalah string panjang  dengan setiap elemen  n  yang berdekatan dalam tanda kurung. Sebuah semigroup 2-ary hanyalah sebuah semigroup. Aksioma selanjutnya mengarah ke  n  - grup ary.

Generalisasi ketiga adalah semigroupoid, di mana persyaratan bahwa relasi biner menjadi total diangkat. Karena kategori menggeneralisasi monoid dengan cara yang sama, semigroupoid berperilaku seperti kategori tetapi tidak memiliki identitas.

Generalisasi infiniter dari semigroup komutatif kadang-kadang telah dipertimbangkan oleh berbagai penulis.

Lihat pula 
 Elemen penyerap
 Himpunan Biordered
 Grup setengah kosong
 Pembalikan umum
 Elemen identitas
 Uji asosiatif Cahaya
 Semigroup dinamis kuantum
 Gelanggang semigrup
 Pembalikan lemah

Catatan

Kutipan

Referensi 

Referensi umum
.
 .
 .
 .
 .
 Hollings, Christopher (2009) "The early development of the algebraic theory of semigroups", Archive for History of Exact Sciences 63(5): 497–536.
 .
 .

Referensi khusus

 .
.
 .
 .
 
 
 

Teori semigrup
Struktur aljabar