Persamaan fungsional Cauchy

Persamaan fungsional Cauchy adalah persamaan fungsional dari kebebasan linear:

Solusi untuk ini disebut fungsi aditif. Melalui bilangan rasional, dapat ditunjukkan menggunakan aljabar dasar bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu  untuk setiap konstanta rasional . Selama bilangan riil, , sekarang dengan  konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; namun ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif  linier jika:
  adalah kontinu (dibuktikan oleh Cauchy pada tahun 1821). Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh Darboux yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik.
  adalah monotonik pada interval apa pun.
  adalah dibatasi pada interval apa pun.
  adalah Lebesgue terukur.
Di sisi lain, jika tidak ada kondisi lebih lanjut yang diberlakukan , kemudian (dengan asumsi aksioma pilihan) ada banyak fungsi lain yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dibuktikan pada tahun 1905 oleh Georg Hamel menggunakan basis Hamel. Fungsi semacam itu terkadang disebut  Fungsi Hamel.

Masalah kelima pada Daftar Hilbert adalah generalisasi dari persamaan ini. Fungsi di mana terdapat bilangan riil  such that  dikenal sebagai fungsi Cauchy-Hamel dan digunakan dalam invarian Dehn-Hadwiger yang digunakan dalam perluasan masalah ketiga Hilbert dari 3-D ke dimensi yang lebih tinggi.

Solusi atas bilangan rasional 

Argumen sederhana, yang hanya melibatkan manipulasi aljabar dasar, menunjukkan bahwa himpunan peta aditif  identik dengan kumpulan peta linier.

Teorema: Karena  menjadi fungsi aditif. Kemudian  adalah linear.

Bukti: Kami ingin membuktikan solusi apa pun  untuk persamaan fungsional Cauchy, , mengambil bentuknya .  Akan lebih mudah untuk mempertimbangkan kasus-kasus tersebut .

Kasus I: ()

Menyetel , kami menyimpulkan itu

.

Kasus II: ()

Dengan penerapan berulang dari persamaan Cauchy ke , kami dapatkan

Substitusi dari  oleh  dalam (*), dan perkalian hasilnya dengan , dimana , yields

Penerapan (*) ke sisi kiri (**) lalu memungkinkan

,

dimana  adalah konstanta rasional yang sewenang-wenang.

Kasus III: ()

Menyetel  dalam persamaan fungsional dan mengingat bahwa , kita memperoleh
.

Menggabungkan ini dengan kesimpulan yang diambil untuk bilangan rasional positif (`` Kasus II '') memberikan

.

Dipertimbangkan bersama, ketiga kasus di atas memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa solusi lengkap persamaan fungsional Cauchy atas bilangan rasional diberikan oleh:

Properti solusi linier atas bilangan real 

Kami membuktikan di bawah bahwa solusi lain harus memiliki fungsi patologis yang tinggi. Khususnya,
kami menunjukkan bahwa solusi lain harus memiliki properti yang grafik  adalah
padat masuk , yaitu bahwa setiap disk pada bidang (namun
kecil) berisi titik dari grafik.  Dari sini mudah untuk membuktikan berbagai kondisi
diberikan di paragraf pengantar.

Misalkan tanpa kehilangan keumuman itu ,
dan  untuk beberapa .

Kemudian letakkan .

Kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan titik dalam lingkaran acak, pusat ,
radius  dimana .

Taruh  dan pilih bilangan rasional
 dekat dengan  dengan:

Kemudian pilih bilangan rasional  dekat dengan  dengan:

Sekarang taruh:

Kemudian menggunakan persamaan fungsional, kita dapatkan:

Karena pilihan kita di atas, titik  ada di dalam lingkaran.

Adanya solusi nonlinear atas bilangan riil

Referensi

Pranala luar 

 Solution to the Cauchy Equation Rutgers University
 The Hunt for Addi(c)tive Monster 

Persamaan fungsional