Pemusat dan penormal

Dalam matematika, khususnya teori grup, pemusat (disebut juga komutan) dari subset  S  dari  grup  G  adalah himpunan elemen  G  yang komutatif dengan setiap elemen  S , dan penormal dari  S  adalah  himpunan elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari  S  adalah subgrup dari  G , dan dapat memberikan wawasan tentang struktur  G .

Definisi juga berlaku untuk monoid dan semigrup.

Dalam teori cincin, pemusat himpunan bagian dari  gelanggang didefinisikan sehubungan dengan operasi semigrup (perkalian) gelanggang. Pemusat dari bagian dari gelanggang  R  adalah subgelanggang dari  R . Artikel ini juga membahas pemusat dan penormal di Aljabar Lie.

Idealizer dalam semigrup atau gelanggang adalah konstruksi lain yang sejajar dengan pemusat dan penormal.

Definisi

Grup dan semigroup 
pemusat dari himpunan bagian  S  dari grup (atau semigroup)  G  didefinisikan sebagai

Jika tidak ada ambiguitas tentang grup tersebut,  G  dapat dihilangkan dari notasi. Jika S = {a} adalah himpunan  tunggal, dirumuskan denagn CG(a) bukannya CG({a}). Notasi lain yang kurang umum untuk pemusat adalah Z( a ), yang sejajar dengan notasi untuk  pusat.  Dengan notasi terakhir ini, seseorang harus berhati-hati untuk menghindari kebingungan antara pusat dari sebuah grup G, Z(G), dan  pemusat  dari  elemen  g in G, Z(g).

Penormal dari  S  dalam grup (atau semigrup)  G  didefinisikan sebagai

Definisi tersebut serupa tetapi tidak identik. Jika  g  di centralizer dari  S  dan  s  ada di  S , maka itu , tapi jika  g  ada di penormal, maka  untuk beberapa  t  pada  S , dengan  t  mungkin berbeda dari  s . Artinya, elemen sentralisator  S  dengan  S , tetapi elemen penormal  S  hanya perlu ngelaju dengan  S sebagai satu himpunan . Ketentuan notasi yang sama yang disebutkan di atas untuk pemusat juga berlaku untuk penormal. Penormal tidak boleh bingung dengan  penutupan normal.

Gelanggang, aljabar di atas bidang, gelanggang Lie, dan aljabar Lie 
Jika  R  adalah gelanggang atau aljabar di atas bidang, dan  S  adalah himpunan bagian dari  R , maka pemusat dari  S  persis seperti yang didefinisikan untuk grup, dengan  R  di tempat  G .

Jika  is a aljabar Lie (atau gelanggang Lie) dengan produk Lie [ x ,  y ], lalu pemusat dari himpunan bagian  S  dari  didefinisikan sebagai

Definisi pemusat untuk gelanggang Lie dikaitkan dengan definisi gelanggang dengan cara berikut. Jika  R  adalah cincin asosiatif, maka  R  dapat diberi  produk braket . Tentu  jika dan hanya jika . Jika kita menunjukkan himpunan  R  dengan produk braket sebagai L R , maka jelaskan  pemusat gelanggang  dari  S  pada  R  sama dengan  Pemusat gelanggang Lie  dari  S  pada LR.

Penormal dari subset  S  dari aljabar Lie (atau gelanggang Lie)  didefinisikan oleh

Meskipun ini adalah penggunaan standar dari istilah "penormal" dalam aljabar Lie, konstruksi ini sebenarnya adalah pengidealisasi dari himpunan  S  pada . Jika  S  adalah subgrup aditif dari , kemudian  adalah subgelanggang Lie terbesar (atau subaljabar Lie, tergantung kasusnya) di mana  S  adalah Lie  ideal.

Sifat

Semigrup 
Misalkan  menunjukkan pemusat dari  di semigroup , yaitu  Kemudian  membentuk subgrup dan , yaitu komutan adalah dengan bikomutan.

Grup 
Sumber:
 Pemusat dan penormal  S  keduanya merupakan subgrup dari  G .
 Jelas, CG(S) ⊆ NG(S). Faktanya, CG(S) merupakan subgrup normal dari NG(S).
 CG(CG(S)) berisi  S , tapi CG(S) tidak perlu mengandung  S . Penahanan terjadi tepat ketika  S  adalah abelian.
 Jika  H  adalah subgrup dari  G , maka NG(H) berisi  H .
 Jika  H  adalah subgrup dari  G , maka subgrup terbesar dari  G  di mana  H  normal adalah subgrup NG(H).
 Jika  S  adalah himpunan bagian dari  G  sehingga semua elemen  S  saling berpindah-pindah, maka subgrup terbesar dari  G  yang pusatnya berisi  S  adalah subgrup CG(S).
 Sebuah subgrup  H  dari sebuah grup G disebut  G if NG(H) = H.
 Tepat di tengah  G   CG(G) dan  G  adalah grup abelian jika dan hanya jika CG(G) = Z(G) = G.
 Untuk himpunan tunggal, CG(a) = NG(a).
 Secara simetri, jika  S  dan  T  adalah dua himpunan bagian dari  G , T ⊆ CG(S) jika dan hanya jika S ⊆ CG(T).
 Untuk subgrup  H  dari grup G, teorema N/C menyatakan bahwa grup faktor NG(H)/CG(H) adalah  isomorfik menjadi subgrup dari Aut(H).

Lihat pula 
 Komutator
 Teorema pemusat ganda
 Idealizer
 Pengganda dan pemusat (ruang Banach)
 Subgrup penstabil

Catatan

Referensi 

Aljabar abstrak
Teori grup
Teori gelanggang
Aljabar Lie