Gelanggang hasil bagi

Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan kelompok hasil bagi dari teori kelompok dan ruang hasil bagi dari aljabar linear. Ini adalah contoh spesifik dari hasil bagi, dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin  R  dan ideal dua sisi  I  di  R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi , yang elemennya adalah kohimpunan dari  I  pada  R  yang tunduk pada operasi  +  dan  ⋅  khusus.

Gelanggang hasil bagi berbeda dari yang disebut 'bidang hasil bagi', atau bidang pecahan, dari domain integral serta dari 'gelanggang quotients' yang lebih umum diperoleh dengan lokalisasi.

Konstruksi cincin hasil bagi formal 
Diberikan sebuah cincin  dan ideal dua sisi  di , kita dapat mendefinisikan sebuah relasi ekivalen  di  sebagai berikut:
 jika dan hanya jika  ada di .
Menggunakan properti yang ideal, tidak sulit untuk memeriksanya  adalah hubungan kesesuaian.
Dalam hal , kami mengatakan bahwa  dan  adalah  kongruen modulo  .
Kelas ekivalen dari elemen  di  diberikan oleh

 .

Kelas kesetaraan ini terkadang juga ditulis sebagai  dan disebut "kelas residu dari  modulo ".

Himpunan dari semua kelas ekivalen dilambangkan dengan ; maka akan menjadi sebuah gelanggang, gelanggang faktor atau gelanggang hasil bagi dari  modulo , jika didefinisikan
 ;
 .
(Di sini kita harus memeriksa bahwa definisi ini adalah terdefinisi dengan baik. Bandingkan koset dan kelompok hasil bagi.) Elemen nol dari  adalah , dan identitas multiplikatifnya .

Peta  dari  ke  didefinisikan oleh  adalah surjektif gelanggang homomorfisme, kadang-kadang disebut peta kecerdasan alami atau homomorfisme kanonik.

Definisi 

Jika  sebuah gelanggang dan  a (dua sisi) ideal dari , kemudian membentuk himpunan  dari kelas ekivalen pada modulo  sebuah gelanggang dengan tautan berikut:

di mana  didefinisikan sebagai .

Cincin ini disebut ring faktor  modulo  atau ring kelas sisa atau ring hasil bagi. (Namun, ini tidak ada hubungannya dengan istilah bidang hasil bagi atau gelanggang hasil bagi; ini adalah pelokalan.)

Teori ideal 
Misalkan  menjadi cincin komutatif dengan satu elemen dan  sebuah cita-cita. Dari pada
 ideal cincin  persis seperti ideal  dari , yang berisi  (also  )
 bagian utama cincin  persis seperti cita-cita utama  yang berisi 
 ideal maksimal ring  persis dengan ideal maksimal dari  yang berisi

Lihat pula 
 Cincin bertingkat terkait
 Bidang residu
 Teorema Goldie
 Modul hasil bagi

Catatan

Referensi lebih lanjut 
 F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
 Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
 
 B.L. van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.

Pranala luar 
 
  Ideals and factor rings  from John Beachy's Abstract Algebra Online
 

 Gelanggang
Teori gelanggang