Matriks riil 2 × 2

Dalam matematika, aljabar asosiatif matriks riil 2 × 2 dilambangkan dengan . Dua matriks  dan  dalam  memiliki sebuah jumlah  diberikan oleh penjumlahan matriks. Hasil kali matriks  dibentuk dari produk dot dari baris dan kolom dari faktornya melalui perkalian matriks. Untuk

misalkan

Maka, , dimana  adalah matriks identitas 2 × 2. Bilangan real  disebut determinan . Ketika ,  adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, dan kemudian

.

Kumpulan dari semua seperti matriks yang dapat dibalik merupakan grup linear umum . Dalam istilah aljabar abstrak,  dengan terkait operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sebuah gelanggang, dan  adalah grup satuan tersebut.  juga sebuah ruang vektor empat-dimensi, jadi ini ditinjau sebagai aljabar asosiatif.

Matriks real 2 × 2 ada di korespondensi satu-satu dengan pemetaan linear dari sistem koordinat Kartesius dua dimensi menjadi dirinya sendiri oleh aturan

Bagian selanjutnya memperlihatkan  adalah sebuah gabungan tampang lintang planar yang termasuk sebuah garis riil.  adalah isomorfis gelanggang ke kuaternion terbagi, dimana ini adalah sebuah gabungan yang mirip namun dengan himpunan indeks yaitu hiperbolik.

Profil 
Dalam , perkalian dengan bilangan riil dari matriks identitas  dapat dianggap sebuah garis real. Garis real ini adalah tempat dimana semua subgelanggang komutatif datang bersama.

Misalkan  dimana . Maka  adalah sebuah subgelanggang komutatif dan  dimana gabungan pada semua  seperti .

Untuk mengidentifikasi , pertama kuadratkan matriks umum:

Ketika , kuadrat ini adalah sebuah matriks diagonal.

Jadi salah satunya mengasumsikan  ketika mencari untuk  untuk membentuk subgelanggang komutatif. Ketika , maka , sebuah persamaan menggambarkan sebuah paraboloid hiperbolik dalam ruang parameter . Seperti sebuah  berfungsi sebagai sebuah satuan khayal. Dalam kasus ini  isomorfik dengan medan bilangan kompleks (biasa).

Ketika ,  adalah sebuah matriks involutori. Maka , juga memberikan sebuah paraboloid hiperbolik. Jika sebuah matriks adalah sebuah matriks idempoten, ini pasti terletak pada  dan dalam kasus ini  isomorfik dengan gelanggang bilangan kompleks terbagi

Kasus dari sebuah matriks nilpoten, , muncul ketika hanya salah satu dari  dan  tak nol, dan subgelanggang komutatif  kemudian sebuah salinan dari bidang bilangan dual.

Ketika  dikonfigurasi ulang dengan sebuah penukaran basis, profil ini berubah menjadi profil kuaternion terbagi dimana himpunan akar kuadrat  dan  mengambil sebuah bentuk simetris sebagai hiperboloid.

Pemetaan ekui-areal 
Pertama, ubah satu vektor diferensial ke yang lainnya:

Luas-luas diukur dengan densitas , 2 bentuk diferensial yang melibatkan penggunaan aljabar eksterior. Densitas yang diubah tersebut adalah

Demikian pemetaan ekui-areal diidentifikasi dengan  (lihat SL2(R)), grup linear khusus. Diberikan profil di atas, setiap  terletak dalam sebuah subgelanggang komutatif  mewakili sebuah tipe bidang kompleks menurut kuadrat dari  Karena , salah satu dari tiga alternatif berikut terjadi:

  dan  ada pada sebuah lingkaran rotasi Eukildes; atau
  dan  ada pada sebuah hiperbola pemetaan apit, atau
  dan  ada pada sebuah garis pemetaan geser.

Menulis mengenai pemetaan afin planar, Rafael Artzy membuat sebuah trikotomi planar yang serupa, pemetaan linear dalam bukunya Linear Geometry (1965).

Fungsi matriks real 2 × 2 
Subgelanggang komutatif  menentukan teori fungsi; khususnya tiga tipe subbidang memiliki struktur aljabar kepunyaan mereka yang menetapkan nilai ekspresi aljabar. Pertimbangan fungsi akar kuadrat dan fungsi logaritma tersebut berfungsi untuk mengilustrasikan batasnya tersirat oleh sifat-sifat khusus setiap tipe subbidang  yang digambarkan di profil di atas. Konsep komponen identitas dari grup satuan  mengarah ke penguraian polar elemen dari grup satuan:

 Jika , maka .
 Jika , maka  atau .
 Jika , maka  atau  atau  atau .

Dalam kasus pertama . Dalam kasus bilangan dual . Terakhir, dalam kasus bilangan kompleks terbagi terdapat empat komponen dalam grup satuan. Komponen identitas berparameter oleh  dan .

Sekarang  terlepas dari  subbidang , tetapi argumen dari fungsi harus diambil dari komponen identitas grup satuannya. Setengah bidang hilang dalam kasus dari struktur bilangan dual, tiga per empat dari bidang harus dikecualikan dalam kasus dari struktur bilangan kompleks terbagi.

Dengan cara yang sama, jika  adalah sebuah elemen dari komponen identitas dari grup satuan dari sebuah bidang yang terkait dengan matriks 2 × 2 dari , maka fungsi logaritma tersebut menghasilkan sebuah nilai . Domain dari fungsi logaritma tersebut mendapat batasan yang sama seperti halnya fungsi akar kuadrat yang digambarkan di atas, setengah atau tiga perempat  harus dikecualikan dalam kasus  atau .

Teori fungsi yang lebih lanjut dapat dilihat di artikel fungsi kompleks untuk struktur , atau di artikel variabel motor untuk struktur kompleks terbagi.

Matriks real 2 × 2 sebagai bilangan kompleks 
Setiap matriks real 2 × 2 dapat diartikan sebagai salah satu dari tiga bilangan kompleks (yang disamaratakan): bilangan kompleks standar, bilangan dual, dan bilangan kompleks terbagi. Di atas, aljabar matriks 2 × 2 diprofilkan sebagai sebuah gabungan bilangan kompleks, semua membagi sumbu real yang sama. Bidang-bidang ini diperkenalkan sebagai subgelanggang komutatif . Salah satunya dapat menentukan bliangan matriks yang mana sebuah matriks 2 × 2 yang diberikan milik sebagai berikut dan menggolongkan jenis bilangan kompleks yang bidang tersebut mewakili.

Anggap matriks 2 × 2

Bilangan kompleks  yang berisi  ditemukan sebagai berikut.

Seperti yang disebutkan di atas, kuadrat dari matriks  adalah diagonal ketika . Matriks  harus diekspresikan sebagai jumlah sebuah perkalian dari matriks identitas  dan sebuah matriks dalam hiperbidang . Memproyeksikan  secara alternatif ke subruang-subruang  ini menghasilkan

Selanjutnya,

dimana

Sekarang  merupakan salah satu dari tiga tipe bilangan kompleks:

 Jika , maka ini adalah sebuah bilangan kompleks biasa:

Misalkan . Maka .

 Jika , maka ini adlaah bilangan dual:

 Jika , maka  adalah sebuah bilangan kompleks terbagi:

Misalkan . Maka .

Dengan cara yang sama, sebuah matriks 2 × 2 dapat juga diekspresikan dalam koordinat polar dengan peringatan bahwa terdapat dua komponen terhubung dari grup satuan dalam bidang bilangan dual, dan empat komponen dalam bidang bilangan kompleks terbagi.

Grup proyektif 
Sebuah matriks real 2 × 2 yang diberikan dengan  bertindak pada koordinat projektif  dari garis projektif real  sebagai sebuah transformasi pecahan linear:

Ketika , titik gambar tersebut adalah titik di takhingga, sebaliknya

Daripada bertindak pada bidang tersebut sebagai dalam seperti di bagian atas, sebuah matriks bertindak pada garis projektif , dan semua matriks sebanding bertindak dengan cara yang sama.

Misalkan . Maka

Aksi dari matriks ini pada garis projektif real tersebut adlaah

 karena koordinat projektif, sehingga aksi tersebut adalah pemetaan identitas pada garis projektif real. Oleh karena itu  dan  bertindak sebagai invers perkalian.

Grup projektif tersebut dimulai dengan grup satuan  dari , dan kemudian menghubungkan dua elemen jika mereka sebanding, karena aksi sebanding pada  identik:

 (lihat PGL(2,R)) dimana  menghubungkan matriks sebanding. Setiap elemen dari grup linear projektif  adalah sebuah kelas kesetaraan dibawah  dari matriks real 2 × 2 sebanding.

Referensi 

 Rafael Artzy (1965) Linear Geometry, Chapter 2-6 Subgroups of the Plane Affine Group over the Real Field, hlm. 94, Addison-Wesley.
 Helmut Karzel & Gunter Kist (1985) "Kinematic Algebras and their Geometries", ditemukan di
 Rings and Geometry, R. Kaya, P. Plaumann, and K. Strambach editors, hlm. 437–509, termasuk 449,50, D. Reidel  .
 Svetlana Katok (1992) Fuchsian groups, hlm. 113ff, University of Chicago Press  .
 Garret Sobczyk (2012). "Chapter 2: Complex and Hyperbolic Numbers". New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number. Birkhäuser. .

Matriks
Luas
Aljabar linear
Fungsi matematika
Aljabar
Geometri afin