Medan bilangan aljabar

Dalam matematika, medan bilangan aljabar (atau lebih sederhana bilangan medan) F adalah  derajat (dan karenanya  aljabar) ekstensi medan dari medan dari bilangan rasional.  Jadi F adalah medan yang berisi  dan memiliki dimensi jika dianggap sebagai ruang vektor atas  ' .

Studi tentang medan bilangan aljabar, dan, secara lebih umum, perluasan aljabar medan bilangan rasional, adalah topik utama teori bilangan aljabar.

Definisi

Prasyarat 

Pengertian medan bilangan aljabar bergantung pada konsep sebuah medan. Medan terdiri dari himpunan elemen bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penambahan, dan perkalian, dan beberapa asumsi distributivitas. Contoh medan yang menonjol adalah medan bilangan rasional, biasanya dilambangkan , bersama dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya yang biasa.

Gagasan lain yang diperlukan untuk mendefinisikan medan bilangan aljabar adalah ruang vektor. Sejauh yang dibutuhkan di sini, ruang vektor dapat dianggap terdiri dari urutan (atau rbilanganp)

yang entri adalah elemen dari medan tetap, seperti medan . Dua urutan seperti itu dapat ditambahkan dengan menambahkan entri satu per satu. Selanjutnya, urutan apa pun dapat dikalikan dengan satu elemen  c  dari medan tetap. Kedua operasi ini dikenal sebagai penambahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sejumlah sifat yang berfungsi untuk mendefinisikan ruang vektor secara abstrak. Ruang vektor diperbolehkan untuk menjadi "berdimensi tak hingga", artinya deretan yang menyusun ruang vektor memiliki panjang tak hingga. Namun, jika ruang vektor terdiri dari urutan  hingga 
,
ruang vektor dikatakan berhingga  dimensi, n.

Definisi 

Medan bilangan aljabar (atau hanya medan bilangan) adalah terbatas dari derajat ekstensi medan dari medan bilangan rasional. Di sini derajat berarti dimensi medan sebagai ruang vektor atas .

Contoh 

 Medan bilangan terkecil dan paling dasar adalah medan  dari bilangan rasional. Banyak sifat medan bilangan umum dimodelkan himpunanelah sifat .
 Bilangan rasional Gauss, dilambbilangann  (dibaca sebagai " berdampingan "), membentuk contoh taktrivial pertama dari medan bilangan. Unsur-unsurnya adalah ekspresi bentuk

 di mana  dan  adalah bilangan rasional dan  adalah satuan imajiner. Ekspresi seperti itu dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikalikan sesuai dengan aturan aritmetika biasa dan kemudian disederhanakan

.

 Secara eksplisit,

 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
 (a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

 Bilangan rasional Gauss bukan nol adalah terbalikkan, yang dapat dilihat dari identitasnya

 Oleh karena itu, rasio Gauss membentuk medan bilangan yang berdimensi dua sebagai vektor ruang .

 Secara lebih umum, untuk bilangan bulat bebas kuadrat  d , medan kuadrat  adalah medan bilangan yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat  d  dengan medan bilangan rasional. Operasi aritmetika dalam medan ini didefinisikan dalam analogi dengan kasus bilangan rasional Gauss, d = − 1.

 medan siklotomik

 , dimana 

 adalah medan bilangan yang diperoleh dari  dengan menyatukan akar kesatuan primitif ke n ζn. medan ini berisi semua akar kesatuan yang kompleks dan dimensinya  adalah sama dengan φ(n), di mana  φ  adalah Fungsi phi Euler.

 Bilangan riil, , dan bilangan kompleks, , adalah medan yang memiliki dimensi tak hingga sebagai  pada ruang vektor, oleh karena itu, medan tersebut adalah medan bilangan  bukan . Ini mengikuti dari  terhitung dari  dan  sebagai himpunan, sedangkan setiap medan bilangan harus dihitung.
 Himpunan  dari pasangan terurut bilangan rasional, dengan penambahan dan perkalian entrywise adalah aljabar komutatif dua dimensi . Namun, ini bukan medan, karena memiliki pembagi nol:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Fungsi-, fungsi- dan rumus bilangan kelas 
Kegagalan faktorisasi unik diukur dengan bilangan kelas, biasanya dilambangkan dengan , kardinalitas dari apa yang disebut grup kelas ideal. Grup ini selalu terhingga. Gelanggang bilangan bulat  memiliki faktorisasi unik jika dan hanya jika itu adalah gelanggang utama atau, setara, jika  F  memiliki  bilangan kelas 1. Mengingat medan bilangan, nomor kelas sering kali sulit dihitung. Masalah bilangan kelas, kembali ke Gauss, berkaitan dengan keberadaan medan bilangan kuadrat imajiner (yaitu, ) dengan nomor kelas yang ditentukan. Rumus nomor kelas menghubungkan  h  dengan invarian dasar lainnya dari  F . Ini melibatkan Fungsi zeta Dedekind , berfungsi dalam variabel kompleks s, didefinisikan oleh
.
(Produk melampaui semua cita-cita utama OF,  menunjukkan norma ideal prima atau, setara, jumlah elemen (terbatas) dalam medan residu . Produk tak terbatas hanya menyatu untuk Re(s) > 1, secara umum kelanjutan analitik dan persamaan fungsional untuk fungsi zeta diperlukan untuk mendefinisikan fungsi untuk semua 's'). Fungsi Dedekind zeta menggeneralisasi fungsi zeta Riemann  .

Rumus nomor kelas menyatakan itu ζF(s) memiliki tiang sederhana pada  dan pada titik ini residu diberikan oleh
.

Lihat juga 
 Teorema satuan Dirichlet, Satuan-S
 Perluasan Kummer
 Teorema Minkowski, Bilangan geometri
 Teorema kepadatan Chebotarev
 Grup kelas Ray
 Grup penguraian
 Medan genus

Catatan

Referensi 
 
 Conrad, Keith http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
 
 Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
 Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
 Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
 Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
 
 

 André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

Teori bilangan aljabar
Medan (matematika)