Identitas Bézout

Dalam teori bilangan elementer, identitas Bézout, atau disebut juga lema Bézout, menyatakan teorema berikut:

Bilangan bulat  dan  disebut koefisien Bézout untuk , dan bilangan-bilangan tersebut tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dihitung dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas (extended Euclidean algorithm). Jika  dan  tidak nol, algoritma Euklides diperluas menghasilkan salah satu dari dua pasangan sedemikian rupa sehingga  dan . Kesamaan tersebut dapat terjadi hanya jika salah satu dari  dan  adalah kelipatan dari bilangan lain.

Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar, seperti lema Euklides atau teorema sisa Tiongkok, dihasilkan dari identitas Bézout.

Struktur penyelesaian 

Jika  dan  adalah bukan bilangan tak nol, serta satu buah pasangan koefisien Bézout  telah dihitung (katakanlah dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas), maka semua pasangan dapat dinyatakan berikut:dengan  menyatakan sebarang bilangan bulat,  merupakan faktor persekutuan terbesar dari  dan . Pada bentuk tersebut, pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat. Sebaliknya, jika  dan  adalah bilangan tak nol, maka tepatnya akan ada dua dari pasangan tersebut memenuhi  dan , dan kesamaan tersebut hanya dapat terjadi jika salah satu dari  dan  membagi bilangan lain.

Solusi ini bergantung pada sifat pembagian Euklides, yang mengatakan sebagai berikut: diberikan dua bilangan bulat  dan . Jika  tidak membagi , maka terdapat satu buah pasangan  sehingga  dan , dan sehingga juga  dan .

Dua pasangan dari koefisien Bézout kecil diperoleh dari pasangan  dengan memilih salah satu dari dua bilangan bulat tersebut di dekat  untuk  di rumus sebelumnya.

Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal tersebut.

Contoh 

Misalkan  dan , sehingga . Identitas Bézout berikut, dengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya, ditulis sebagai berikut:

Jika  adalah pasangan asli dari koefisien Bézout , akan menghasilkan pasangan minimal berikut dengan memilih  dan , yaitu: , dan .

Bukti 
Diberikan bilangan bulat taknol  dan , dan misalkan  Himpunan  tidak kosong karena berisi  ataupun  (dengan  dan ). Karena  adalah himpunan bilangan bulat positif takkosong,  memiliki anggota minimum , berdasarkan well-ordering principle. Untuk membuktikan bahwa  adalah faktor persekutuan terbesar dari  dan , maka harus dibuktikan bahwa  adalah pembagi persekutuan dari  dan , dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya , maka .

Pembagian Euklides dari  oleh  dapat ditulis  dengan . Sisa pembagian  terdapat di , sebabDengan demikian,  adalah bilangan dari bentuk , dan karena itu . Akan tetapi,  dan  adalah bilangan bulat positif terkecil di , maka sisa pembagian  tidak terdapat di , sehingga mengakibatkan  menjadi 0. Maka dari itu, dapat disiratkan bahwa  pembagi . Dengan cara yang serupa,  juga pembagi , dan demikian  adalah pembagi persekutuan dari  dan .

Sekarang, misalkan  adalah sebarang pembagi persekutuan dari  dan , dalam artian bahwa akan ada  dan  sehingga  dan . Jadi,Maka dapat dikatakan bahwa  adalah pembagi , dan demikian bahwa .

Perumuman

Perumuman untuk tiga bilangan bulat atau lebih 
Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jikamaka akan terdapat bilangan bulat  sehingga  memiliki sifat berikut bahwa  adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan .

Perumuman untuk polinomial 

Tak selamanya bahwa identitas Bézout berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, ketika mengerjakan gelanggang polinomial bilangan bulat, faktor persekutuan terbesar dari  dan  adalah x, tetapi hasil pembagian persekutuan tersebut tidak mempunyai sebarang koefisien bilangan bulat  dan  yang memenuhi .

Sayangnya, identitas Bézout's bekerja untuk polinomial univariat atas lapangan, yang dilakukan dengan cara yang sama untuk bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dihitung menggunakan algoritma Euklides diperluas (extended Euclidean algorithm).

Karena akar dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan teorema dasar aljabar mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat  dan  dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial  dan  sehingga  jika dan hanya jika  dan  tidak memiliki akar di sebarang lapangan tertutup secara aljabar (biasanya di lapangan bilangan kompleks).

Perumuman untuk PID 
Identitas Bézout tidak hanya berlaku di gelanggang bilangan bulat, tetapi juga berlaku di PID yang lain. PID pada konteks ini berarti principle ideal domain. Jika  adalah PID,  dan  merupakan anggota , seta  merupakan faktor persekutuan terbesar dari  dan , maka akan ada anggota  dan  di  sehingga  Hal ini dikarenakan bahwa ideal  adalah principal dan sama dengan 

identitas Bézout yang berlaku dalam suatu domain integral disebut domain Bézout.

Sejarah 

Seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama Étienne Bézout membuktikan identitas Bezout untuk polinomial. Sayangnya, pernyataan untuk bilangan bulat ini sudah ditemukan dalam karya sebelumnya milik seorang matematikawan berkebangsaan Prancis lainnya yang bernama Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Lihat pula 
 Teorema AF+BG
 Teorema dasar aritmetika
 Lema Euklides

Catatan

Pranala luar 
 Online calculator for Bézout's identity.
 

Persamaan Diophantus
Lema
Artikel yang berisi bukti