Filtrasi (matematika)

Dalam matematika, filtrasi  adalah keluarga indeks  dari subobjek dari struktur aljabar  tertentu, dengan indeks  menjalankan beberapa himpunan indeks terurut total , persoalan ke syaratnya bahwa

jika  di , maka .

Jika indeks  adalah parameter waktu dari suatu proses stokastik, maka filtrasi dapat diartikan sebagai semua informasi historis tetapi bukan hasil yang tersedia tentang stokastik, dengan struktur aljabar  semakin kompleks seiring berjalannya waktu. Oleh karena itu, proses yang diadaptasi ke filtrasi , juga disebut non-antisipasi, yaitu yang tidak bisa melihat ke masa depan.

Kadang-kadang, seperti dalam aljabar filtrasi, ada persyaratan bahwa  menjadi subaljabar sehubungan dengan beberapa operasi, tetapi tidak untuk operasi lain (katakanlah, perkalian), jika , dimana himpunan indeks adalah bilangan asli; ini adalah analogi dengan aljabar bertingkat.

Terkadang, filtrasi diharapkan memenuhi persyaratan tambahan bahwa  union dari  menjadi keseluruhan , atau (dalam kasus yang lebih umum, ketika gagasan persatuan tidak masuk akal) bahwa homomorfisme kanonik dari limit langsung dari  pada  adalah sebuah isomorphism. Apakah persyaratan ini diasumsikan atau tidak, biasanya bergantung pada penulis teks dan sering kali dinyatakan secara eksplisit. Artikel ini  tidak  memaksakan persyaratan ini.

Ada juga gagasan tentang filtrasi menurun, yang diperlukan untuk memenuhi  sebagai pengganti  (dan, terkadang,  daripada ). Sekali lagi, ini tergantung pada konteks bagaimana tepatnya kata "filtrasi" harus dipahami. Filtrasi menurun tidak sama dengan kofiltrasi (yang terdiri dari objek hasil bagi bukan subobjek).

Gagasan ganda tentang filtrasi disebut  kofiltrasi .

Filtrasi banyak digunakan di aljabar abstrak, aljabar homologis (di mana mereka terkait secara penting pada urutan spektral), dan dalam teori pengukuran dan teori probabilitas untuk urutan bersarang  σ-aljabar. Dalam analisis fungsional dan analisis numerik, terminologi lain biasanya digunakan, seperti skala ruang atau spasi bersarang.

Definisi 

Jika  satu himpunan indeks dan  ein Wahrscheinlichkeitsraum.

Selanjutnya, jadikan untuk  maka sub-σ-aljabar  dari  diberikan.

Kemudian keluarga  σ-aljabar dirumuskan

filtrasi (dalam  atau pada ), jika disusun dalam urutan menanjak, yaitu:
Untuk semua  dengan  berlaku .

Adalah  filtrasi  juga disebut  ruang probabilitas filtrasi .

Demikian pula, pem-filter-an juga dapat ditentukan untuk set indeks semi-terurut .

Contoh 

Pertimbangkan ruang probabilitas sebagai contoh  dengan himpunan dasar yang dapat dihitung , yang secara default dilengkapi dengan daya yang ditetapkan sebagai σ-aljabar, pemfilteran yang mungkin adalah misalnya
.

Ini memodelkan informasi yang pada langkah ke-n kali satu telah pindah ke n langkah menjauh dari asalnya dan akan, misalnya, menjadi filter yang sesuai untuk yang simetris sederhana.

Lihat pula 
 Filtrasi alami
 Filtrasi (teori probabilitas)
 Filter (matematika)

Catatan

Referensi 
 

Aljabar
Teori ukuran
Proses stokastik