Integral Berezin

Dalam fisika matematis, Integral Berezin, dinamai dari Felix Berezin, (juga dikenal sebagai Integral Grassmann, dinamai dari Hermann Grassmann) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada variabel Grassmann (anggota dari aljabar eksterior). Itu bukan sebuah integral dalam maksud integral Lebesgue, kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat analogi dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang integral lintasan dalam fisika, yang dimana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada fermion.

Definisi 
Misalkan  adalah aljabar eksterior dari polinomial dalam anggota antikomutatif  dari bidang bilangan kompleks. (Urutan dari generator  tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)

Satu variabel 
Integral Berezin melebihi variabel tunggal Grassmann  didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

 

...dimana kita mendefinisikan...

 

sehinggaː

 

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

 

Perhatikan bahwa  merupakan fungsi yang paling umum dari  karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi  tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

Beberapa variabel 
Integral Berezin dari  didefinisikan sebagai fungsi linear unik  dengan sifat-sifat berikut.

 
 

untuk setiap , dimana  berarti turunan parsial kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya

 

Rumus

 

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial  diatur menjadi , dimana , integral dari  menghilang. Integral dengan terhadap  dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

Perubahan dari variael Grassmann 
Misalkan , adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris . Matriks Jacobian bisa ditulis

dimana  merujuk turunan sebelah kanan (). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil

Definisi 
Sekarang pertimbangkan aljabar  dari fungsi dari variabel komutatif real  dan variabel antikomutatif  (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi ). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi  adalah sebuah fungsi dari variabel  genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel  ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota  adalah sebuah fungsi dari argumen  yang bervariasi di himpunan terbuka  dengan nilai di aljabar . Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak . Integral Berezin adalah

Perubahan variabel genap dan ganjil 
Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh , dimana  genap dan  adalah polinomial ganjil dari  bergantung pada variabel genap . Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

 

dimana setiap turunan genap  komuter dengan semua anggota dari aljabar , turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal  dan  adalah genap dan entri dari blok off-diagonal , , dimana  lagi berarti turunan kanan.

Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks , yang dimana fungsi genap

 

mendefinisikan ketika fungsi  invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam . Andaikan bahwa fungsi real  mendefinisikan pemetaan invertible mulus  dari himpunan terbuka  dalam  dan bagian linear dari  invertible untuk setiap . Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

 

dimana  adalah tanda dari awalnya  pemetaan . Superposisi  mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi  tidak bergantung pada . Dalam kasus umum, kita tulis , dimana  adalah anggota nilpoten genap dari  dan himpunan

 ,

dimana deret Taylor terbatas.

Rumus yang berguna 
Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam rumus integral lintasan dari teori medan kuantumː

dengan  menjadi sebuah matriks  yang kompleks.

dengan  menjadi sebuah matriks miring simetris  yang kompleks, dan  menjadi Pfaffian dari , yang memenuhi .

Rumus di atas, notasi  digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː

dengan  menjadi sebuah matriks  invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari fungsi partisi.

Sejarah 
Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh Felix Berezin. Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh David John Candlin di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam, dan Martin.

Literatur 

 Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, 
 Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands,

Lihat Pula 

 Supermanifold
 Berezinian

Referensi 

Teori medan kuantum
Supersimetri
Elektrodinamika kuantum
Fisika matematis
Kalkulus integral
Bentuk diferensial
Aljabar multilinear