Aljabar universal

Aljabar universal (kadang disebut aljabar umum) adalah bidang matematika yang mempelajari struktur aljabar itu sendiri, bukan contoh ("model") dari struktur aljabar.
Misalnya, daripada mengambil grup tertentu sebagai objek studi, dalam aljabar universal seseorang mengambil kelas grup sebagai objek studi.

Ide dasar 
Dalam aljabar universal, sebuah aljabar (atau aljabar struktur) adalah himpunan A bersama dengan kumpulan operasi pada A.  n-ary operasi pada A adalah fungsi yang membutuhkan  n  elemen  A  dan mengembalikan satu elemen  A .  Jadi, operasi 0-ary (atau  operasi nullari ) dapat direpresentasikan secara sederhana sebagai elemen  A , atau  konstanta , sering dilambangkan dengan surat seperti  a .  Operasi 1-ari (atau  operasi uner ) hanyalah fungsi dari  A  hingga  A , sering dilambangkan dengan simbol yang ditempatkan di depan argumennya, seperti ~x.  Operasi 2-ary (atau  operasi biner ) sering dilambangkan dengan simbol yang ditempatkan di antara argumennya, seperti  x  ∗  y .  Operasi  ariti  yang lebih tinggi atau tidak ditentukan biasanya dilambangkan dengan simbol fungsi, dengan argumen ditempatkan dalam tanda kurung dan dipisahkan dengan koma, seperti f(x,y,z) atau f(x1,...,xn).  Beberapa peneliti mengizinkan operasi infiniter, seperti  di mana  J  adalah himpunan indeks tak terhingga, sehingga mengarah ke teori aljabar kisi kompleks.  Maka, salah satu cara untuk membicarakan aljabar adalah dengan menyebutnya sebagai Aljabar Jenis Tertentu , dimana  adalah urutan bilangan asli yang mewakili aritas operasi aljabar.

Persamaan 
Setelah operasi ditentukan, sifat aljabar selanjutnya ditentukan oleh aksioma, yang dalam aljabar universal sering mengambil bentuk identitas, atau hukum persamaan.  Contohnya adalah aksioma asosiatif untuk operasi biner, yang diberikan oleh persamaan  x  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  z .

Varietas 

Kumpulan struktur aljabar yang ditentukan oleh identitas disebut sebagai variasi atau kelas persamaan. Beberapa penulis menganggap varietas sebagai fokus utama aljabar universal.

Membatasi studi seseorang pada varietas mengesampingkan:

 Kuantifikasi, termasuk kuantifikasi universal () kecuali sebelum persamaan, dan kuantifikasi eksistensial (), serta logika predikat 
 hubungan selain persamaan, khususnya pertidaksamaan, keduanya  dan relasi order

Studi tentang kelas persamaan dapat dilihat sebagai cabang khusus dari teori model, biasanya berurusan dengan struktur yang hanya memiliki operasi (yaitu jenis dapat memiliki simbol untuk fungsi tetapi tidak untuk hubungan selain persamaan), dan di mana bahasa yang digunakan untuk berbicara tentang struktur ini menggunakan persamaan saja.

Tidak semua struktur aljabar dalam arti yang lebih luas termasuk dalam lingkup ini. Misalnya, grup terurut melibatkan relasi pengurutan, jadi tidak akan termasuk dalam cakupan ini.

Kelas dari bidang bukanlah kelas persamaan karena tidak ada tipe (atau "tanda tangan") di mana semua hukum bidang dapat dituliskan sebagai persamaan (inversi elemen didefinisikan untuk semua elemen  bukan nol  dalam bidang, jadi inversi tidak dapat ditambahkan ke jenis).

Satu keuntungan dari pembatasan ini adalah bahwa struktur yang dipelajari dalam aljabar universal dapat didefinisikan dalam kategori yang memiliki hingga produk. Misalnya, grup topologi hanyalah grup dalam kategori ruang topologi.

Contoh 
Sebagian besar sistem aljabar matematika biasa adalah contoh varietas, tetapi tidak selalu dengan cara yang jelas, karena definisi biasa sering kali melibatkan penghitungan atau ketidaksamaan.

Grup 
Sebagai contoh, perhatikan definisi dari sebuah grup. Biasanya sebuah grup didefinisikan dalam operasi biner tunggal ∗, tunduk pada aksioma:

 Asosiatif (seperti pada bagian sebelumnya):  x ∗ (y ∗ z)  =  (x ∗ y) ∗ z;   secara resmi: ∀x,y,z. x∗(y∗z)=(x∗y)∗z.
 Elemen identitas: Terdapat elemen  e  sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen  x , satu memiliki e ∗ x  =  x  =  x ∗ e;   secara resmi: ∃e ∀x. e∗x=x=x∗e.
 Elemen invers: Elemen identitas mudah dilihat sebagai unik, dan biasanya dilambangkan dengan  e . Kemudian untuk setiap  x , terdapat elemen  i  sedemikian rupa x ∗ i  =  e  =  i ∗ x;   secara resmi: ∀x ∃i. x∗i=e=i∗x.

(Beberapa penulis juga menggunakan aksioma "penutupan" bahwa  x  ∗  y  milik  A  setiap kali  x  dan  y  lakukan, tapi di sini ini sudah tersirat dengan merumuskan biner ∗.

Definisi grup ini tidak langsung sesuai dengan sudut pandang aljabar universal, karena aksioma elemen identitas dan inversi tidak dinyatakan murni dalam istilah hukum persamaan yang memegang secara universal elemen "untuk semua ...", tetapi juga melibatkan bilangan eksistensial.  Aksioma grup dapat diutarakan sebagai persamaan yang dikuantifikasi secara universal dengan menentukan, selain operasi biner ∗, operasi nullary  e  dan operasi unary ~, dengan ~x biasanya ditulis sebagai x−1. Aksioma menjadi:

 Asosiatif:   .
 Elemen identitas:    ; secara resmi: ∀x. e∗x=x=x∗e.
 Elemen invers:       secara resmi: ∀x. x∗~x=e=~x∗x.

Untuk meringkas, definisi biasa memiliki:

 operasi biner tunggal (tanda tangan (2))
 1 hukum persamaan (asosiatif)
 2 hukum terukur (identitas dan invers)
sedangkan definisi aljabar universal memiliki:
 3 operasi: satu biner, satu unary, dan satu nullary (tanda tangan (2,1,0))
 3 hukum persamaan (asosiativitas, identitas, dan kebalikan)
 tidak ada hukum terukur (kecuali bilangan universal terluar, yang diperbolehkan dalam varietas)

Poin utamanya adalah bahwa operasi tambahan tidak menambahkan informasi, tetapi mengikuti secara unik dari definisi grup yang biasa. Meskipun definisi biasa tidak secara unik menentukan elemen identitas  e , latihan mudah menunjukkannya unik, seperti halnya masing-masing elemen invers.

Sudut pandang aljabar universal disesuaikan dengan baik dengan teori kategori. Misalnya, ketika mendefinisikan objek grup dalam teori kategori, di mana objek yang dimaksud mungkin bukan himpunan, seseorang harus menggunakan hukum persamaan (yang masuk akal dalam kategori umum), daripada hukum terkuantifikasi (yang mengacu pada elemen individu). Selanjutnya, kebalikan dan identitas ditentukan sebagai morfisme dalam kategori. Misalnya, dalam sebuah grup topologi, invers tidak hanya harus ada berdasarkan elemen, tetapi harus memberikan pemetaan berkelanjutan (morfisme). Beberapa penulis juga mensyaratkan peta identitas menjadi inklusi tertutup (kofibrasi).

Contoh lainnya 
Kebanyakan struktur aljabar adalah contoh aljabar universal.

 Gelanggang, semigrup, kuasigrup, grupoid, magma, loop, dan lain-lain.
 Ruang vektor di atas bidang tetap dan modul di atas gelanggang tetap adalah aljabar universal. Ini memiliki penjumlahan biner dan keluarga operator perkalian skalar unary, satu untuk setiap elemen bidang atau gelanggang.

Contoh aljabar relasional termasuk semikisi, kisi, dan Aljabar Boolean.

Konstruksi dasar 
Kami berasumsi bahwa tipe, , telah diperbaiki. Kemudian ada tiga konstruksi dasar dalam aljabar universal: citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali.

Homomorfisme antara dua aljabar  A  dan  B  adalah fungsi  h : A → B dari himpunan A ke himpunan B sedemikian rupa, untuk setiap operasi fA dari A dan yang sesuai fB dari B (ariti, ditulis,  n ), h(fA(x1,...,xn)) = fB(h(x1),...,h(xn)).  (Kadang-kadang subskrip pada  f  dihapus ketika jelas dari konteks dari mana aljabar fungsi tersebut berasal.) Misalnya, jika  e  adalah konstanta (operasi nullary), maka h(eA) = eB.  If ~ adalah operasi unari, maka h(~x) = ~h(x).  Jika ∗ adalah operasi biner, maka h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y).  Dan seterusnya. Beberapa hal yang dapat dilakukan dengan homomorfisme, serta definisi jenis khusus homomorfisme tertentu, terdaftar di bawah entri Homomorfisme. Secara khusus, kita dapat mengambil citra homomorfik dari sebuah aljabar, h(A).

Subaljabar dari  A  adalah himpunan bagian dari  A  yang ditutup di bawah semua operasi  A .  Produk dari beberapa himpunan struktur aljabar adalah produk Kartesius dari himpunan dengan operasi yang ditentukan secara koordinat.

Beberapa teorema dasar 
 Teorema isomorfisme, yang mencakup teorema isomorfisme grup, gelanggang, modul, dll.
 Teorema HSP Birkhoff, yang menyatakan bahwa kelas aljabar adalah ragam jika dan hanya jika ditutup di bawah gambar homomorfik, subaljabar, dan produk langsung sembarang.

Motivasi dan Aplikasi 

Selain pendekatan pemersatu, aljabar universal juga memberikan teorema yang dalam serta contoh dan contoh tandingan yang penting. Ini memberikan kerangka kerja yang berguna bagi mereka yang berniat untuk memulai studi kelas baru aljabar.
Ini dapat memungkinkan penggunaan metode yang ditemukan untuk beberapa kelas aljabar tertentu ke kelas aljabar lain, dengan menyusun kembali metode dalam istilah aljabar universal (jika mungkin), dan kemudian menafsirkannya seperti yang diterapkan pada kelas lain. Ini juga memberikan klarifikasi konseptual; sebagai J.D.H. Smith mengatakannya,: 

Secara khusus, aljabar universal dapat diterapkan untuk mempelajari monoid, gelanggang, dan kisi.  Sebelum aljabar universal muncul, banyak teorema (terutama teorema isomorfisme) telah dibuktikan secara terpisah di semua kelas ini, tetapi dengan aljabar universal, mereka dapat dibuktikan sekali dan untuk selamanya untuk setiap jenis sistem aljabar.

Makalah 1956 oleh Higgins yang dirujuk di bawah ini telah ditindaklanjuti dengan baik untuk kerangka kerjanya untuk berbagai sistem aljabar tertentu, sementara makalahnya pada tahun 1963 terkenal karena pembahasannya tentang aljabar dengan operasi yang hanya didefinisikan sebagian, contoh khas untuk ini adalah kategori dan grupoid. Hal ini mengarah pada subjek aljabar berdimensi lebih tinggi yang dapat didefinisikan sebagai studi teori aljabar dengan operasi parsial yang domainnya ditentukan dalam kondisi geometris. Contoh penting dari ini adalah berbagai bentuk kategori dan groupoids berdimensi lebih tinggi.

Masalah kepuasan kendala 

Aljabar universal menyediakan bahasa alami untuk  masalah kepuasan kendala (CSP). CSP merujuk ke kelas penting dari masalah komputasi yang diberi aljabar relasional  dan eksistensial kalimat  di atas aljabar ini, pertanyaannya adalah mencari tahu apakah  bisa dipenuhi di . Aljabar  sering kali diperbaiki, sehingga  mengacu pada masalah yang instansinya hanya kalimat eksistensial .

Terbukti bahwa setiap masalah komputasi dapat dirumuskan sebagai  untuk beberapa aljabar .

Sebagai contoh, masalah  n -warna dapat dinyatakan sebagai CSP dari aljabar , i.e. sebuah aljabar dengan elemen  dan satu relasi, pertidaksamaan.

Dugaan dikotomi (dibuktikan pada April 2017) menyatakan bahwa jika  adalah aljabar berhingga, maka  bisa berupa P atau kompleks-NP.

Sejarah 
Dalam buku Alfred North Whitehead  A Treatise on Universal Algebra,  yang diterbitkan pada tahun 1898, istilah  aljabar universal  pada dasarnya memiliki arti yang sama dengan yang dimilikinya saat ini. Whitehead memuji William Rowan Hamilton dan Augustus De Morgan sebagai pencetus materi pelajaran, dan James Joseph Sylvester dengan menciptakan istilah itu sendiri.

Pada saat struktur seperti Lie aljabar s dan quaternion hiperbolik s menarik perhatian pada kebutuhan untuk memperluas struktur aljabar di luar kelas perkalian asosiatif. Dalam sebuah ulasan Alexander Macfarlane menulis: "Ide utama dari karya ini bukanlah penyatuan beberapa metode, atau generalisasi aljabar biasa untuk memasukkannya, melainkan studi komparatif dari beberapa struktur mereka." Pada saat itu, aljabar logika George Boole membuat tandingan yang kuat dengan aljabar bilangan biasa, sehingga istilah "universal" berfungsi untuk menenangkan perasaan tegang.

Karya awal Whitehead berusaha untuk menyatukan kuaternion (karena Hamilton), Ausdehnungslehre, dan aljabar logika Boole. Whitehead menulis dalam bukunya:

Whitehead, bagaimanapun, tidak memiliki hasil yang bersifat umum. Pekerjaan pada subjek itu minimal sampai awal 1930-an, ketika Garrett Birkhoff dan Øystein Ore mulai menerbitkan aljabar universal.  Perkembangan dalam metamathematics dan teori kategori pada 1940-an dan 1950-an memajukan bidang tersebut, terutama karya Abraham Robinson, Alfred Tarski, Andrzej Mostowski, dan siswa lain.

Pada periode antara 1935 dan 1950, sebagian besar makalah ditulis sesuai dengan yang disarankan oleh makalah Birkhoff, berhubungan dengan aljabar bebas, kesesuaian dan kisi subaljabar, dan teorema homomorfisme. Meskipun perkembangan logika matematika telah memungkinkan penerapan aljabar, hal itu terjadi dengan lambat; hasil yang diterbitkan oleh Anatoly Maltsev pada tahun 1940-an tidak diketahui karena perang. Kuliah Tarski di tahun 1950 Kongres Internasional Matematikawan di Cambridge mengantarkan periode baru di mana aspek model-teori dikembangkan, terutama oleh Tarski sendiri, serta C.C. Chang, Leon Henkin, Bjarni Jónsson, Roger Lyndon, dan lainnya.

Pada akhir 1950-an, Edward Marczewski menekankan pentingnya aljabar bebas, yang mengarah ke publikasi lebih dari 50 makalah tentang teori aljabar aljabar bebas oleh Marczewski sendiri, bersama dengan Jan Mycielski, Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik, dan lainnya.

Dimulai dengan tesis William Lawvere pada tahun 1963, teknik dari teori kategori telah menjadi penting dalam aljabar universal.

Lihat pula 

 Aljabar grafik
 Aljabar istilah
 Klon
 Geometri aljabar universal

 Aljabar universal sederhana

Catatan kaki

Referensi 
 Bergman, George M., 1998. An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (pub. Henry Helson, 15 the Crescent, Berkeley CA, 94708) 398 pp. .
 Birkhoff, Garrett, 1946. Universal algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, University of Toronto Press, Toronto, pp. 310–326.
 Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra  Springer-Verlag.  Free online edition.
 Cohn, Paul Moritz, 1981. Universal Algebra. Dordrecht, Netherlands: D.Reidel Publishing.  (First published in 1965 by Harper & Row)
 Freese, Ralph, and Ralph McKenzie, 1987. Commutator Theory for Congruence Modular Varieties, 1st ed. London Mathematical Society Lecture Note Series, 125. Cambridge Univ. Press. . Free online second edition.
 Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
 Higgins, P. J. Groups with multiple operators . Proc. London Math. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
 Higgins, P.J.,  Algebras with a scheme of operators. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
 Hobby, David, and Ralph McKenzie, 1988. The Structure of Finite Algebras American Mathematical Society. . Free online edition.
 Jipsen, Peter, and Henry Rose, 1992. Varieties of Lattices, Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. . Free online edition.
 Pigozzi, Don. General Theory of Algebras.  Free online edition.
 Smith, J.D.H., 1976.  Mal'cev Varieties, Springer-Verlag.
 Whitehead, Alfred North, 1898.  A Treatise on Universal Algebra, Cambridge.  (Mainly of historical interest.)

Pranala luar 
 Algebra Universalis—jurnal yang didedikasikan untuk Aljabar Universal.