Persamaan Böttcher

Persamaan Böttcher adalah persamaan fungsional 

dimana
  adalah fungsi analitik tertentu dengan superatraksi  titik tetap dengan orde  pada , (that is,  di  lingkungan dari ), dengan n ≥ 2 
  adalah fungsi yang dicari.
Logaritma dari persamaan fungsional ini berjumlah persamaan Schröder.

Nama 
Persamaan ini dinamai Lucjan Böttcher.

Solusi 
Solusi dari persamaan fungsional adalah  fungsi dalam  bentuk implisit. 

 Lucian Emil Böttcher membuat sketsa bukti pada tahun 1904 tentang keberadaan solusi: fungsi analitik  F  di lingkungan titik tetap  a , sedemikian rupa sehingga:  

Solusi ini terkadang disebut:
 koordinat Böttcher
 fungsi Böttcher
  peta Boettcher.
Bukti lengkapnya diterbitkan oleh Joseph Ritt pada tahun 1920, yang tidak mengetahui formulasi aslinya.

Koordinat Böttcher (logaritma dari  fungsi Schröder) konjugasi  di lingkungan titik tetap ke fungsi tersebut .  Kasus yang sangat penting adalah ketika  adalah polinomial derajat , dan  = ∞ .

Contoh 

Untuk fungsi h dan n = 2

fungsi Böttcher F adalah:

Aplikasi 
Persamaan Böttcher memainkan peran fundamental di bagian dinamika holomorfik yang mempelajari iterasi dari polinomial dari satu variabel kompleks. 
 
Properti global dari koordinat Böttcher dipelajari oleh  Fatou
 dan  Douady dan  Hubbard.

Lihat pula 
 Persamaan Schröder
 Sinar eksternal

Referensi 

Persamaan fungsional