Klasifikasi grup sederhana hingga

Dalam matematika, klasifikasi hingga grup sederhana adalah teorema yang menyatakan bahwa setiap grup sederhana hingga adalah siklik, atau bergantian, atau itu milik kelas luas tak terbatas yang disebut grup jenis Lie, atau yang lain itu adalah salah satu dari dua puluh enam atau dua puluh tujuh pengecualian, yang disebut sporadis. Teori grup adalah pusat dari banyak bidang matematika murni dan terapan dan teorema klasifikasi telah disebut sebagai salah satu pencapaian intelektual terbesar umat manusia. Buktinya terdiri dari puluhan ribu halaman dalam beberapa ratus artikel jurnal yang ditulis oleh sekitar 100 penulis, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan 2004.

Grup sederhana dapat dilihat sebagai blok bangunan dasar dari semua grup hingga, mengingatkan pada cara bilangan prima s adalah blok bangunan dasar dari bilangan asli. Teorema Jordan–Hölder adalah cara yang lebih tepat untuk menyatakan fakta tentang grup berhingga. Namun, perbedaan yang signifikan dari faktorisasi bilangan bulat adalah bahwa "blok penyusun" tersebut tidak selalu menentukan grup yang unik, karena mungkin ada banyak grup non  isomorfik dengan rangkaian komposisi yang sama atau, dengan kata lain, masalah ekstensi tidak memiliki solusi unik.

Gorenstein (d.1992), Lyons, dan Solomon secara bertahap menerbitkan versi bukti yang disederhanakan dan direvisi.

Pernyataan teorema klasifikasi 

Teorema klasifikasi memiliki aplikasi di banyak cabang matematika, sebagai pertanyaan tentang struktur grup hingga (dan tindakan mereka pada objek matematika lainnya) terkadang dapat direduksi menjadi pertanyaan tentang grup sederhana hingga. Berkat teorema klasifikasi, pertanyaan semacam itu terkadang dapat dijawab dengan memeriksa setiap keluarga dari kelompok sederhana dan setiap kelompok sporadis.

Daniel Gorenstein mengumumkan pada tahun 1983 bahwa semua grup finite simple telah diklasifikasikan, tetapi ini terlalu dini karena dia telah salah informasi tentang bukti klasifikasi grup kuasithin. Bukti lengkap klasifikasi diumumkan oleh  setelah Aschbacher dan Smith menerbitkan bukti 1221 halaman untuk kasus kuasithin yang hilang.

Sekilas tentang bukti teorema klasifikasi 
 menulis dua volume yang menguraikan bagian rendah dan karakteristik ganjil dari bukti, dan 
tulis volume ke-3 yang mencakup kasus karakteristik 2 yang tersisa. Buktinya dapat dipecah menjadi beberapa bagian besar sebagai berikut:

Grup kecil 2-rank 
Grup sederhana dari 2-peringkat sebagian besar adalah grup jenis Lie dengan peringkat kecil di atas bidang dengan karakteristik ganjil, bersama-sama dengan lima bergantian dan tujuh tipe 2 karakteristik dan sembilan kelompok sporadis.

Gruo sederhana peringkat 2 kecil meliputi:
Grup peringkat-2 0, dengan kata lain grup berurutan ganjil, yang semuanya dapat diselesaikan oleh Teorema Feit–Thompson.
Grup dengan peringkat 2 1. Subgrup Sylow 2 dapat berupa siklik, yang mudah ditangani menggunakan peta transfer, atau digeneralisasikan angka empat, yang ditangani dengan Teorema Brauer–Suzuki: khususnya tidak ada grup sederhana dari peringkat 2 1.
Grup 2-peringkat 2. Alperin menunjukkan bahwa subgrup Sylow harus dihedral, kuasidihedral, karangan bunga, atau subgrup Sylow 2 U3(4). Kasus pertama dilakukan oleh Teorema Gorenstein–Walter yang menunjukkan bahwa satu-satunya kelompok sederhana yang isomorfik L2(q) untuk  q  ganjil atau A7, kasus kedua dan ketiga dilakukan oleh Teorema Alperin–Brauer–Gorenstein yang menyiratkan bahwa satu-satunya grup sederhana yang isomorfik untuk L3(q) atau U3(q) untuk  q  ganjil atau M11, dan kasus terakhir dilakukan oleh Lyons yang menunjukkan itu U3(4) adalah satu-satunya kemungkinan sederhana.
Grup bagian peringkat 2 paling banyak 4, diklasifikasikan oleh Teorema Gorenstein–Harada.
Klasifikasi grup peringkat 2 kecil, terutama peringkat paling banyak 2, banyak menggunakan teori karakter biasa dan modular, yang hampir tidak pernah langsung digunakan di tempat lain dalam klasifikasi.

Semua grup bukan dari peringkat 2 kecil dapat dibagi menjadi dua kelas utama: grup jenis komponen dan grup jrnis karakteristik 2. Ini karena jika sebuah grup memiliki bagian 2-peringkat setidaknya 5 maka MacWilliams menunjukkan bahwa 2-subgrup Sylow terhubung, dan teorema keseimbangan menyiratkan bahwa setiap grup sederhana dengan 2-subgrup Sylow yang terhubung adalah salah satu dari tipe komponen atau tipe karakteristik 2. (Untuk grup dengan peringkat 2 rendah, bukti ini rusak, karena teorema seperti teorema fungsi pemberi sinyal hanya bekerja untuk grup dengan subgrup abelian dasar dengan peringkat setidaknya 3.)

Grup jenis komponen 
Suatu kelompok dikatakan dari tipe komponen jika untuk beberapa pemusat  C  dari suatu involusi, C/O(C) memiliki komponen (di mana O(C) adalah inti dari  C , subkelompok normal maksimal dengan urutan ganjil).
Ini kurang lebih adalah grup jenis Lie dengan karakteristik ganjil dari pangkat besar, dan grup bergantian, bersama dengan beberapa grup sporadis.
Langkah utama dalam kasus ini adalah menghilangkan halangan pada inti suatu involusi. Ini dicapai dengan Teorema-B, yang menyatakan bahwa setiap komponen C/O(C) adalah gambar dari komponen  C .

Idenya adalah bahwa grup ini memiliki pemusat dari suatu involusi dengan komponen yang merupakan grup kuasi sederhana yang lebih kecil, yang dapat diasumsikan sudah diketahui dengan induksi. Jadi untuk mengklasifikasikan grup-grup ini, seseorang mengambil setiap perluasan pusat dari setiap grup sederhana hingga yang diketahui, dan temukan semua grup sederhana dengan pemusat involusi dengan ini sebagai komponen. Ini memberikan sejumlah besar kasus berbeda untuk diperiksa: Tidak hanya 26 gruo sporadis dan 16 keluarga grup jenis Lie dan grup bergantian, tetapi juga banyak dari grup peringkat kecil atau di atas bidang kecil berperilaku berbeda dari kasus umum dan harus diperlakukan secara terpisah, dan grup jenis Lie dengan karakteristik genap dan ganjil juga sangat berbeda.

Grup dengan tipe 2 karakteristik 

Sebuah grup memiliki karakteristik tipe 2 jika subgrup Fitting umum F*(Y) dari setiap 2 subgrup lokal  Y  adalah 2-grup.
Seperti namanya, ini secara kasar adalah grup jenis Lie di atas bidang karakteristik 2, ditambah beberapa lainnya yang berselang-seling atau sporadis atau karakteristik aneh. Klasifikasi mereka dibagi menjadi kasus peringkat kecil dan besar, di mana peringkat adalah peringkat terbesar dari subgrup abelian ganjil yang menormalkan 2-subgrup nontrivial, yang sering (tetapi tidak selalu) sama dengan pangkat subaljabar Cartan ketika grup tersebut adalah grup jenis Lie dalam karakteristik 2.

Grup peringkat 1 adalah grup tipis, diklasifikasikan oleh Aschbacher, dan grup peringkat 2 adalah grup kuasitin terkenal, diklasifikasikan oleh Aschbacher dan Smith. These correspond roughly to groups of Lie type of ranks 1 or 2 over fields of characteristic 2.

Grup dari peringkat setidaknya 3 dibagi lagi menjadi 3 kelas oleh teorema trikotomi, dibuktikan oleh Aschbacher untuk peringkat 3 dan oleh Gorenstein dan Lyons untuk peringkat setidaknya 4.
Ketiga kelas tersebut adalah kelompok tipe GF (2) (diklasifikasikan terutama oleh Timmesfeld), kelompok "tipe standar" untuk beberapa bilangan prima ganjil (diklasifikasikan oleh teorema Gilman–Griess dan dikerjakan oleh beberapa lainnya), dan grup jenis keunikan, di mana hasil dari Aschbacher menyiratkan bahwa tidak ada grup sederhana.
Kasus umum peringkat yang lebih tinggi sebagian besar terdiri dari grup jenis Lie atas bidang karakteristik 2 dari peringkat setidaknya 3 atau 4.

Keberadaan dan keunikan grup sederhana 

Bagian utama dari klasifikasi menghasilkan karakterisasi dari setiap grup sederhana. Kemudian perlu untuk memeriksa bahwa terdapat grup sederhana untuk setiap karakterisasi dan itu unik. Ini memberikan sejumlah besar masalah terpisah; misalnya, bukti asli keberadaan dan keunikan grup monster berjumlah sekitar 200 halaman, dan identifikasi grup Ree oleh Thompson dan Bombieri adalah salah satu bagian tersulit dari klasifikasi. Banyak bukti keberadaan dan beberapa bukti keunikan untuk grup sporadis awalnya menggunakan perhitungan komputer, yang sebagian besar telah digantikan oleh bukti tangan yang lebih pendek.

Sejarah pembuktian

Program Gorenstein 
Pada tahun 1972  mengumumkan program untuk menyelesaikan klasifikasi kelompok sederhana hingga, yang terdiri dari 16 langkah berikut:
 Grup peringkat 2 rendah. Ini pada dasarnya dilakukan oleh Gorenstein dan Harada, yang mengklasifikasikan kelompok dengan peringkat 2 bagian paling banyak 4. Sebagian besar kasus peringkat 2 paling banyak 2 telah dilakukan pada saat Gorenstein mengumumkan programnya.
 Kesederhanaan 2-lapisan. Masalahnya adalah untuk membuktikan bahwa 2-lapis pemusat dari suatu involusi dalam sebuah grup sederhana adalah semi sederhana.
 Bentuk standar dengan ciri ganjil. Jika suatu kelompok memiliki involusi dengan 2 komponen itu merupakan grup tipe Lie dengan karakteristik ganjil, tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa ia memiliki pemusat dari involusi dalam "bentuk standar" yang berarti bahwa pemusat dari involusi memiliki komponen yang berjenis Lie dengan karakteristik ganjil dan juga memiliki pusat.
 Klasifikasi kelompok tipe ganjil. Masalahnya adalah untuk menunjukkan bahwa jika suatu kelompok memiliki pemusatan involusi dalam "bentuk standar" maka itu adalah grup jenis Lie dengan karakteristik ganjil. Ini dipecahkan oleh teorema involusi klasik Aschbacher.
 Bentuk kuasi-standar
 Revolusi pusat
 Klasifikasi grup bergantian.
 Beberapa grup sporadis
 Kelompok kurus. Kelompok terbatas tipis sederhana, mereka dengan 2-lokal  p  peringkat paling banyak 1 untuk bilangan prima ganjil  p , diklasifikasikan oleh Aschbacher pada tahun 1978
 Grup dengan subgrup yang tertanam kuat untuk  p  ganjil
 Metode fungsi pemberi sinyal untuk bilangan prima ganjil. Masalah utama adalah membuktikan teorema fungsi pemberi sinyal untuk fungsi pemberi sinyal yang tidak dapat diselesaikan. Ini diselesaikan oleh McBride pada tahun 1982.
 Kelompok tipe karakteristik  p . Ini adalah masalah grup dengan  p  yang kuat, subgrup 2-lokal tertanam dengan  p  ganjil, yang ditangani oleh Aschbacher.
 Grup kuasithin. A grup quasithin adalah salah satu yang 2-subgrup lokalnya memiliki  p  peringkat paling banyak 2 untuk semua bilangan prima ganjil  p , dan masalahnya adalah untuk mengklasifikasikan yang sederhana dari tipe karakteristik 2. Ini diselesaikan oleh Aschbacher dan Smith pada tahun 2004.
 Grup peringkat 3 rendah 2 lokal. Ini pada dasarnya dipecahkan oleh teorema trikotomi Aschbacher untuk kelompok dengan e(G)=3. Perubahan utama adalah bahwa peringkat-3 2-lokal diganti dengan peringkat 2-lokal  p  untuk bilangan prima ganjil.
 Pemusat dari 3 elemen dalam bentuk standar. Ini pada dasarnya dilakukan oleh Teorema trikotomi.
 Klasifikasi grup sederhana dengan karakteristik 2 tipe. Ini ditangani oleh Teorema Gilman – Griess, dengan 3-elemen diganti dengan  p  elemen untuk bilangan prima ganjil.

Garis waktu pembuktian 

Banyak dari item dalam daftar di bawah ini diambil dari . Tanggal yang diberikan biasanya tanggal publikasi bukti lengkap hasil, yang terkadang beberapa tahun lebih lambat dari bukti atau pengumuman pertama hasilnya, jadi beberapa item muncul dalam urutan yang "salah".

Klasifikasi generasi kedua 
Bukti teorema, seperti yang berdiri sekitar tahun 1985 atau lebih, dapat disebut  generasi pertama . Karena bukti generasi pertama yang sangat panjang, banyak upaya telah dikhususkan untuk menemukan bukti yang lebih sederhana, disebut bukti klasifikasi generasi kedua. Upaya ini, yang disebut "revisionisme", awalnya dipimpin oleh Daniel Gorenstein.

, delapan jilid bukti generasi kedua telah diterbitkan (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b). Pada tahun 2012, Solomon memperkirakan bahwa proyek tersebut akan membutuhkan 5 jilid lagi, tetapi mengatakan bahwa kemajuannya lambat. Diperkirakan bahwa bukti baru pada akhirnya akan memenuhi sekitar 5.000 halaman. (Panjang ini sebagian berasal dari bukti generasi kedua yang ditulis dengan gaya yang lebih santai.) Aschbacher dan Smith menulis dua jilid mereka yang ditujukan untuk kasus quasithin sedemikian rupa sehingga jilid-jilid tersebut dapat menjadi bagian dari bukti generasi kedua.

Gorenstein dan kolaboratornya telah memberikan beberapa alasan mengapa bukti yang lebih sederhana dimungkinkan.
 Yang paling penting adalah pernyataan terakhir yang benar dari teorema tersebut sekarang diketahui. Teknik-teknik yang lebih sederhana dapat diterapkan yang diketahui memadai untuk jenis-jenis grup yang kita kenal sebagai sederhana hingga. Sebaliknya, mereka yang mengerjakan pembuktian generasi pertama tidak mengetahui berapa banyak grup sporadis yang ada, bahkan beberapa grup sporadis. (Janko group) ditemukan saat membuktikan kasus lain dari teorema klasifikasi. Akibatnya, banyak bagian dari teorema yang dibuktikan dengan teknik yang terlalu umum.
Karena kesimpulannya tidak diketahui, bukti generasi pertama terdiri dari banyak teorema yang berdiri sendiri, menangani kasus-kasus khusus yang penting. Banyak pekerjaan untuk membuktikan teorema-teorema ini dikhususkan untuk analisis banyak kasus khusus. Dengan adanya bukti yang lebih besar dan teratur, menangani banyak kasus khusus ini dapat ditunda hingga asumsi yang paling kuat dapat diterapkan. Harga yang harus dibayar di bawah strategi yang direvisi ini adalah bahwa teorema generasi pertama ini tidak lagi memiliki bukti yang relatif pendek, tetapi mengandalkan klasifikasi lengkap.
Banyak teorema generasi pertama tumpang tindih, dan membagi kemungkinan kasus dengan cara yang tidak efisien. Akibatnya, keluarga dan subfamili dari kelompok sederhana hingga teridentifikasi beberapa kali. Bukti yang direvisi menghilangkan redundansi ini dengan mengandalkan subdivisi kasus yang berbeda.
Ahli teori grup hingga memiliki lebih banyak pengalaman dalam jenis latihan ini, dan memiliki teknik baru yang dapat mereka gunakan.

 telah menyebut pekerjaan tentang masalah klasifikasi oleh Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, dan beberapa lainnya, sebagai program generasi ketiga. Salah satu tujuannya adalah untuk memperlakukan semua kelompok dalam karakteristik 2 secara seragam menggunakan metode amalgam.

Mengapa buktinya begitu lama? 

Gorenstein telah membahas beberapa alasan mengapa mungkin tidak ada bukti singkat dari klasifikasi yang mirip dengan klasifikasi grup Lie kompak.

Alasan paling jelas adalah daftar grup sederhana cukup rumit: dengan 26 grup sporadis, ada kemungkinan banyak kasus khusus yang harus dipertimbangkan dalam pembuktian apa pun. Sejauh ini belum ada yang menemukan deskripsi seragam yang bersih dari grup sederhana hingga mirip dengan parameterisasi grup Lie kompak oleh diagram Dynkin.
Atiyah dan yang lainnya telah mengemukakan bahwa klasifikasi harus disederhanakan dengan membangun beberapa objek geometris yang bekerja pada kelompok dan kemudian mengklasifikasikan struktur geometris ini. Masalahnya adalah tidak ada yang bisa menyarankan cara mudah untuk menemukan struktur geometris yang terkait dengan kelompok sederhana. Dalam beberapa hal, klasifikasi bekerja dengan mencari struktur geometris seperti Pasangan BN, tetapi ini hanya muncul pada akhir dari analisis yang sangat panjang dan sulit dari struktur sebuah kelompok sederhana yang berhingga.
 Saran lain untuk menyederhanakan pembuktian berarti lebih banyak menggunakan teori representasi. Masalahnya di sini adalah bahwa teori representasi tampaknya memerlukan kontrol yang sangat ketat atas subkelompok dari suatu kelompok agar dapat bekerja dengan baik. Untuk kelompok peringkat kecil, teori kontrol dan representasi bekerja dengan sangat baik, tetapi untuk grup dengan peringkat yang lebih besar tidak ada yang berhasil menggunakannya untuk menyederhanakan klasifikasi. Pada hari-hari awal klasifikasi ada banyak upaya yang dilakukan untuk menggunakan teori representasi, tetapi ini tidak pernah mencapai banyak keberhasilan dalam kasus peringkat yang lebih tinggi.

Konsekuensi klasifikasi 

Bagian ini mencantumkan beberapa hasil yang telah dibuktikan dengan menggunakan klasifikasi kelompok sederhana hingga.

konjektur Schreier
 Teorema functor pemberi sinyal
 konjekturB
 Teorema Schur–Zassenhaus untuk semua kelompok (meskipun ini hanya menggunakan Teorema Feit–Thompson).
 Grup permutasi transitif pada himpunan terbatas dengan lebih dari 1 elemen memiliki elemen orde pangkat utama tanpa titik tetap.
 Klasifikasi grup permutasi 2-transitif.
 Klasifikasi grup permutasi peringkat 3 s.
 konjektur Sims
konjektur Frobenius pada jumlah solusi .

Lihat pula 

 Teorema O'Nan–Scott

Catatan

Referensi 

 

 

 Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.

 Mark Ronan, Symmetry and the Monster, , Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008,  (another introduction for the lay reader)
 Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
  – article won Levi L. Conant prize for exposition

Pranala luar 
 ATLAS of Finite Group Representations. Searchable database of representations and other data for many finite simple groups.
 Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
 Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups.  Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 1010.
 In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?

Teori grup
 *
Grup hingga
Teorema dalam aljabar
2004 dalam sains
Sejarah matematika
Sistem klasifikasi matematika