Persamaan Abel

Persamaan Abel, dinamai Niels Henrik Abel, adalah sejenis persamaan fungsional yang dapat ditulis dalam bentuk

atau, setara, 

dan mengontrol iterasi .

Kesetaraan 
Persamaan ini ekuivalen. Dengan asumsi bahwa  adalah fungsi invers, persamaan kedua dapat ditulis sebagai

Pengambilan  , persamaan dapat ditulis sebagai

Untuk fungsi  diasumsikan diketahui, tugasnya adalah menyelesaikan persamaan fungsional untuk fungsi tersebut , possibly satisfying additional requirements, such as .

Perubahan variabel , untuk parameter nyata , membawa persamaan Abel ke dalam persamaan Schröder terkenal,  .

The further change   into Böttcher's equation,  .

Persamaan Abel adalah kasus khusus (dan mudah digeneralisasikan menjadi) persamaan translasi,

e.g., for , 
.        (Observe .)

Fungsi Abel  selanjutnya menyediakan koordinat kanonik untuk aliran advektif Lie (satu parameter grup Lie).

Sejarah 
Awalnya, persamaan dalam bentuk yang lebih umum

was reported.  Even in the case of a single variable, the equation is non-trivial, and admits special analysis.

 
Dalam kasus fungsi transfer linier, solusinya dapat diekspresikan dengan kompak.

Kasus khusus 

Persamaan tetrasi adalah kasus khusus dari persamaan Abel, dengan .

Dalam kasus argumen integer, persamaan mengkodekan prosedur berulang, misalnya,

dan seterusnya,

Solusi 
 solusi formal: unik (menjadi konstanta) (Not sure, because if  is solution, then , where , is also solution.)
 solusi analitik (koordinat Fatou) = perkiraan oleh ekspansi asimtotik dari fungsi yang ditentukan oleh deret pangkat di sektor sekitar parabola
 Keberadaan: Persamaan Abel memiliki setidaknya satu solusi di  jika dan hanya jika , dimana , n times.

Koordinat Fatou menggambarkan dinamika lokal dari sistem dinamik diskrit di dekat sebuah titik tetap parabola.

Lihat pula 
 Persamaan fungsional
 Persamaan Schröder
 Persamaan Böttcher
 Komposisi tak hingga dari fungsi analitik
Fungsi berulang
 Operator shift
 Superfungsi

Referensi 

Niels Henrik Abel
Persamaan fungsi