Norma (matematika)

Dalam matematika, norma adalah  fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari  asal;  peta dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari segitiga pertidaksamaan, dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, jarak Euclidean vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut norma Euclidean, atau 2-norma, yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor dengan dirinya sendiri.

Pseudonorma atau seminorma memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya. Ruang vektor dengan norma tertentu disebut ruang vektor bernorma. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut  ruang vektor seminorma .

Definisi 
Diberikan ruang vektor  di atas  bidang  dari bilangan real  atau bilangan kompleks , norma pada  V  adalah  fungsi bernilai nonnegatif  dengan sifat berikut:

Pada  dan ,
     (menjadi   subaditif  atau memenuhi  segitiga pertidaksamaan ).
     (menjadi   absolut homogen  atau  diskalakan ).
 Jika  kemudian  adalah vektor nol (menjadi  pasti positif  atau menjadi  pemisah titik ).

Seminorma dengan  V  adalah fungsi  dengan sifat 1 dan 2 di atas.

Norma ekuivalen 
Misalkan  dan  adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor . Kemudian  dan  disebut ekuivalen, jika terdapat dua konstanta nyata  dan  dengan  maka setiap vektor ,

. 

Norma  dan  setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di . Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.

Notasi 
Jika norma  diberikan pada ruang vektor , maka norma vektor  biasanya dilambangkan dengan melampirkannya dalam garis vertikal ganda:   Notasi seperti itu terkadang juga digunakan jika  hanya berupa seminorma. Untuk panjang sebuah vektor dalam ruang Euclidean (yang merupakan contoh dari sebuah norma, seperti  dijelaskan di bawah), notasi dengan garis vertikal tunggal juga tersebar luas.

Dalam LaTeX dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro \|, yang dirender sebagai  Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan  garis sejajar, operator paralel dan  penambahan paralel dimasukkan dengan \parallel dan dirender sebagai  Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai \| menunjukkan braket dan \parallel menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai | saat digunakan sebagai braket, dan sebagai \mid saat digunakan sebagai operator.

Di Unicode, titik kode dari "garis vertikal ganda" karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan  klik lateral dalam linguistik.  

Garis vertikal tunggal | disebut "garis vertikal", dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.

Sifat 
Untuk norma  p  pada ruang vektor  V , segitiga terbalik ketidaksamaan berlaku: untuk u dan ,
p(u ± v) ≥ |p(u) − p(v)|
Jika  adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma  dan norma transpos dari  adalah sama.

Untuk Lp norma, kami memiliki pertidaksamaan Hölder

Kasus khusus tentang ini adalah pertidaksamaan Cauchy–Schwarz:

Ekuivalen 
Konsep lingkaran satuan (himpunan semua vektor norma 1) berbeda dalam norma yang berbeda: untuk 1-norma, lingkaran satuan adalah  persegi, untuk 2-norma (norma Euklidean), itu adalah unit terkenal lingkaran, sedangkan untuk norma tak terhingga, itu adalah persegi yang berbeda. Untuk norma  p , itu adalah superellipse dengan sumbu kongruen (lihat ilustrasi yang menyertai). Karena definisi norma, lingkaran satuan harus  cembung dan simetris secara terpusat (oleh karena itu, misalnya, bola satuan mungkin persegi panjang tetapi tidak boleh segitiga, dan  untuk  p -norma).

Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan topologi pada ruang, dan ini adalah topologi  Hausdorff persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. Urutan vektor  dikatakan  konvergen secara normal ke , jika  sebagai . Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari  bola terbuka. Jika  adalah ruang bernorma maka  maka .

Dua norma ‖•‖α dan ‖•‖β pada ruang vektor  V  disebut ekuivalen jika mereka menginduksi topologi yang sama, yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif  C  dan  D  sehingga untuk semua  x  dalam  V 

Misalnya, jika p > r ≥ 1 pada , maka

Khususnya,

That is, 

Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.

Norma yang setara mendefinisikan pengertian yang sama tentang kontinuitas dan konvergensi dan untuk banyak tujuan tidak perlu dibedakan. Lebih tepatnya struktur seragam yang didefinisikan oleh norma ekivalen pada ruang vektor adalah isomorfik seragam.

Lihat pula 
 
 
 
 
 
 
 
 Norma operator

Referensi

Bibliografi 
  
   
  
   
   
 

 
Aljabar linear