Kohimpunan

Dalam matematika, khususnya teori grup, subgrup  dari  grup  dapat digunakan untuk mendekomposisi himpunan yang mendasari  menjadi  disjoint sama- potongan ukuran yang disebut kohimpunan. Ada dua jenis koset: kohimpunan kiri  dan kohimpunan kanan. Kohimpunan (dari kedua jenis) memiliki jumlah elemen yang sama (kardinalitas) seperti halnya . Lebih lanjut,  itu sendiri adalah kohimpunan, yang merupakan koset kiri dan kohimpunan kanan. Jumlah koset kiri  di  sama dengan jumlah koset kanan dari  di . Nilai yang sama disebut  indeks dari  dalam bahasa  dan biasanya dilambangkan dengan .

Kohimpunan adalah alat dasar dalam mempelajari grup; misalnya, mereka memainkan peran sentral dalam  Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa untuk grup hingga , jumlah elemen dari setiap subgrup  dari  membagi jumlah elemen . Koset dari jenis subgrup tertentu (subgrup normal) dapat digunakan sebagai elemen dari grup lain yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor. Kohimpunan juga muncul di bidang matematika lain seperti ruang vektor dan kode koreksi kesalahan.

Definisi 
Misalkan  menjadi subgrup dari grup  yang operasinya ditulis secara multiplikatif (penjajaran berarti menerapkan operasi grup). Diberikan elemen  dari ,  'coset kiri'  dari  ke  adalah himpunan diperoleh dengan mengalikan setiap elemen  dengan elemen tetap  dari  (di mana  adalah faktor kiri). Dalam simbol ini adalah,  
} untuk setiap  di .
Kohimpunan kanan didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa elemen  sekarang merupakan faktor kanan, yaitu, 
} untuk  ke .

Karena  bervariasi di seluruh grup, akan tampak bahwa banyak koset (kanan atau kiri) akan dihasilkan. Ini benar, tetapi kosetnya tidak semuanya berbeda. Faktanya, jika dua kohimpunan dari jenis yang sama memiliki setidaknya satu elemen yang sama, maka keduanya identik sebagai himpunan.

Jika operasi grup ditulis secara tambahan, seperti yang sering terjadi ketika grup adalah  abelian, notasi yang digunakan berubah menjadi  atau .

Contoh pertama 
Misalkan  adalah  kelompok dihedral berorde enam. Elemen-elemennya dapat diwakili oleh }. Dalam grup ini  dan . Ini adalah informasi yang cukup untuk mengisi seluruh tabel perkalian:
{| class=wikitable
!*|| || || || || ||
|-
! 
|| || || || || ||
|-
! 
| || || || || ||
|-
!
| || || || || ||
|-
! 
| || || || || ||
|-
! 
| || || || || ||
|-
! 
| || || || || ||
|}

Misalkan  menjadi subgrup }. Kohimpunan kiri (berbeda) dari  adalah:
},
}, and
}.
Karena semua elemen  sekarang telah muncul di salah satu kohimpunan ini, menghasilkan Kohimpunan lagi tidak dapat menghasilkan kohimpunan baru, karena kohimpunan baru harus memiliki unsur yang sama dengan salah satunya dan karenanya identik dengan salah satu kohimpunan ini. Contohnya, .

Kohimpunan kanan dari  adalah:
},
} , dan
}.

Dalam contoh ini, kecuali untuk , tidak ada koset kiri yang juga merupakan kohimpunan kanan.

Misalkan  menjadi subgrup }. Kohimpunan kiri dari  adalah  dan }. Kohimpunan kanan dari  adalah  dan . Dalam hal ini, setiap kohimpunan kiri dari  juga merupakan kohimpunan kanan dari .

Properti 

Karena  adalah subgrup, ia berisi elemen identitas grup, dengan hasil bahwa elemen  milik kohimpunan . If  jadi milik  . Jadi, setiap elemen dari  tepat berada di satu koset kiri subgrup .

Identitas tersebut tepat berada di satu kohimpunan kiri atau kanan, yaitu . Jadi  adalah kohimpunan kiri dan kanan dari dirinya sendiri.

Elemen  dan  termasuk dalam koset kiri yang sama dari , yaitu,  jika dan hanya jika  belongs to . Lebih lanjut bisa dikatakan di sini. Definisikan dua elemen dari , katakanlah  dan , agar setara sehubungan dengan subgrup  jika  milik . Ini kemudian menjadi relasi ekivalen pada  dan kelas ekivalen dari relasi ini adalah koset kiri dari . Seperti halnya himpunan kelas ekivalen, mereka membentuk  partisi dari himpunan yang mendasarinya. Repsentasi kohimpunan adalah perwakilan dalam pengertian kelas kesetaraan. Satu set perwakilan dari semua koset disebut  transversal.  Ada jenis relasi ekivalen lain dalam sebuah grup, seperti konjugasi, yang membentuk kelas berbeda yang tidak memiliki properti yang dibahas di sini.

Pernyataan serupa berlaku untuk koset kanan.

Jika  adalah grup abelian, maka  untuk setiap subkelompok  dari  dan setiap elemen  dari . Untuk kelompok umum, diberi elemen  dan subgrup  dari grup , koset kanan dari  terkait dengan  juga merupakan koset kiri dari subgrup konjugasi  dengan , adalah, .

Subgrup normal 
Subgrup  dari grup  adalah subgrup normal dari  jika dan hanya jika untuk semua elemen  dari  yang sesuai, adalah, . Ini adalah kasus untuk subgrup  pada contoh pertama di atas. Selanjutnya, kohimpunan dari  dalam  membentuk sebuah grup yang disebut  grup hasil bagi atau grup faktor

Jika  bukan  normal di , kohimpunan kirinya berbeda dengan Kohimpunan kanannya. Artinya, ada  di  sehingga tidak ada elemen  b  yang memenuhi . Ini berarti bahwa partisi  ke kohimpunan kiri  adalah partisi yang berbeda dengan partisi  ke dalam Kohimpunan kanan dari . Ini diilustrasikan oleh subgrup  pada contoh pertama di atas. ( Beberapa  kohimpunan bertepatan. Misalnya, jika  ada di  pusat dari , t.)

Sebaliknya, jika subgrup  N  normal, himpunan semua kohimpunan membentuk grup yang disebut grup hasil bagi  dengan operasi ∗ ditentukan oleh . Karena setiap kohimpunan kanan adalah kohimpunan kiri, maka tidak perlu membedakan "kohimpunan kiri" dari "kohimpunan kanan".

Indeks subgrup 

Setiap koset kiri atau kanan dari  memiliki jumlah elemen yang sama (atau kardinalitas dalam kasus  tak terbatas {{math |  H ' '}}) sebagai  itu sendiri. Selain itu, jumlah koset kiri sama dengan jumlah koset kanan dan dikenal sebagai  'indeks'  dari  dalam  G , ditulis .  Teorema Lagrange memungkinkan kita untuk menghitung indeks dalam kasus di mana  dan :
.
Persamaan ini juga berlaku dalam kasus di mana kelompok tidak terbatas, meskipun artinya mungkin kurang jelas.

 Contoh lainnya 

 Bilangan bulat 
Misalkan  menjadi grup aditif dari bilangan bulat,  dan  subgrup . Maka koset dari  dalam  adalah tiga himpunan , , dan , dimana }. Ketiga himpunan ini mempartisi himpunan  'ℤ' , jadi tidak ada koset kanan lain dari . Karena komutivitas penambahan  dan . Artinya, setiap koset kiri  juga merupakan koset kanan, jadi  adalah subgrup normal. (Argumen yang sama menunjukkan bahwa setiap subgrup Abelian adalah normal.)

Contoh ini dapat digeneralisasikan. Sekali lagi biarkan  menjadi grup aditif dari bilangan bulat, , dan sekarang biarkan  subgrup , dengan  adalah bilangan bulat positif. Maka koset dari  dalam  adalah himpunan  , , ..., , dimana }. Tidak lebih dari  Kohimpunan, karena . Kohimpunan  adalah  kelas kesesuaian dari  ke modulo . Subgrup  normal , dan dengan demikian, dapat digunakan untuk membentuk kelompok hasil bagi  kelompok  bilangan bulat mod m.

 Vektor 
Contoh lain dari  berasal dari teori ruang vektor. Unsur-unsur (vektor) ruang vektor membentuk gruo abelian di bawah penjumlahan vektor.  subruang dari ruang vektor adalah subgrup dari grup ini. Untuk ruang vektor , subruang , dan vektor tetap  pada , himpunan nya

disebut affine subspace s, dan merupakan coset (kiri dan kanan, karena grupnya abelian). Dalam hal vektor 3 dimensi  geometris, subruang affine ini adalah semua "garis" atau "bidang"  paralel ke subruang, yang merupakan garis atau bidang yang melewati titik asal. Misalnya, perhatikan  bidang ℝ2. Jika  adalah garis melalui asal , maka  adalah subgrup dari grup abelian ℝ2. Jika  masuk ℝ2, maka kohimpunan  adalah garis  sejajar dengan  dan melewati .

 Matriks 
Misalkan  adalah kelompok matriks perkalian,

dan subgrup  dari ,

Untuk elemen tetap dari  pertimbangkan kohimpunan kiri

Artinya, koset kiri terdiri dari semua matriks di  yang memiliki entri kiri atas yang sama. Subgrup ini  normal di , tetapi subgrup 

tidak normal pada .

 Sebagai orbit dari tindakan grup 

Subgrup  dari grup  bisa digunakan untuk mendefinisikan  aksi dari  pada  di dua cara alami. tindakan kanan,  diberikan oleh  atau tindakan kiri,  diberikan oleh .  orbit dari  di bawah aksi kanan adalah kohimpunan kiri , sedangkan orbit di bawah aksi kiri adalah kohimpunan kanan .

 Sejarah 
Konsep koset berasal dari karya Galois tahun 1830-31. Dia memperkenalkan notasi tetapi tidak memberikan nama untuk konsep tersebut. Istilah "co-set" muncul untuk pertama kalinya pada tahun 1910 dalam makalah oleh G. A. Miller di Quarterly Journal of Mathmatics (vol. 41, p. 382). Berbagai istilah lain telah digunakan termasuk jerman Nebengruppen (Weber) dan grup konjugasi'' (Burnside).

Galois prihatin dengan menentukan kapan persamaan polinomial tertentu dapat diselesaikan dari radikal. Sebuah alat yang dia kembangkan adalah dengan mencatat bahwa subkelompok  dari sekelompok permutasi  menginduksi dua dekomposisi  (apa yang kita sekarang kohimpunan kiri dan kanan). Jika dekomposisi ini bertepatan, yaitu jika koset kiri sama dengan kohimpunan kanan, lalu ada cara untuk mengurangi masalah menjadi salah satu dengan mengerjakan , bukan . Camille Jordan dalam komentarnya tentang karya Galois pada tahun 1865 dan 1869 menguraikan ide-ide ini dan mendefinisikan subkelompok normal seperti yang telah kita bahas di atas, meskipun dia tidak menggunakan istilah ini.

Lihat pula 
  Heap
 Pencacahan kohimpunan

Catatan

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 

Illustrated examples

Teori grup