Identitas (matematika)

Dalam matematika, identitas adalah  persamaan yang menghubungkan satu ekspresi matematika  A  ke ekspresi matematika lainnya  B , sedemikian rupa sehingga  A  dan  B  (yang mungkin berisi beberapa  variabel) menghasilkan nilai yang sama untuk semua nilai variabel dalam rentang validitas tertentu. Dengan kata lain,  A  =  B  adalah identitas jika  A  dan  B  sama dengan  fungsi, dan identitas adalah persamaan antara fungsi yang didefinisikan secara berbeda. Misalnya,   dan  adalah identitas. Identitas terkadang ditunjukkan dengan simbol batang tiga  daripada , tanda sama dengan.

Identitas umum

Identitas aljabar 

Identitas tertentu, khususnya  dan , membentuk dasar aljabar, sedangkan identitas lainnya, misalnya  dan , dapat berguna dalam menyederhanakan ekspresi aljabar dan mengembangkannya.

Identitas trigonometri 

Secara geometris, identitas trigonometri adalah identitas yang melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih sudut. Identitas tersebut berbeda dari  identitas segitiga, yang merupakan identitas yang melibatkan sudut dan panjang sisi sebuah segitiga. Hanya yang pertama dibahas dalam artikel ini.

Identitas ini berguna setiap kali ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri perlu disederhanakan. Aplikasi penting lainnya adalah  integrasi dari fungsi non-trigonometri: teknik umum yang melibatkan penggunaan  aturan substitusi dengan fungsi trigonometri, dan kemudian menyederhanakan integral yang dihasilkan dengan identitas trigonometri.

Salah satu contoh paling menonjol dari identitas trigonometri melibatkan persamaan  yang benar untuk semua nilai  kompleks dari  (karena bilangan kompleks  membentuk domain sinus dan kosinus). Di sisi lain, persamaannya

hanya berlaku untuk nilai tertentu , tidak semua (atau untuk semua nilai dalam  lingkungan). Misalnya, persamaan ini benar jika  tapi salah saat .

Kelompok lain dari identitas trigonometri menyangkut apa yang disebut rumus penjumlahan/pengurangan (misalnya identitas sudut ganda , rumus penjumlahan untuk ), yang dapat digunakan untuk memecah ekspresi sudut yang lebih besar menjadi ekspresi dengan konstituen yang lebih kecil.

Identitas eksponensial 

Identitas berikut berlaku untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen tidak komutatif. Sebagai contoh,  dan , melainkan , sedangkan .

Dan tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen juga tidak asosiatif. Sebagai contoh,  dan , melainkan 23 ke 4 adalah 84 (atau 4.096), sedangkan 2 banding 34 adalah 281 (atau 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Tanpa tanda kurung untuk mengubah urutan kalkulasi, menurut konvensi urutannya top-down, bukan bottom-up:

Identitas logaritmik 

Beberapa rumus penting, terkadang disebut  identitas logaritmik  atau  hukum log , menghubungkan logaritma satu sama lain.

Produk, hasil bagi, deret dan akar 
Logaritma dari suatu perkalian adalah jumlah dari logaritma dari angka-angka yang dikalikan; logaritma rasio dua bilangan adalah selisih logaritma. Logaritma dari  kekuatan angka adalah  p  kali logaritma dari angka itu sendiri; logaritma dari a- root adalah logaritma bilangan dibagi dengan  p . Tabel berikut mencantumkan identitas ini dengan contoh. Setiap identitas dapat diturunkan setelah substitusi definisi logaritma x = blogb(x), and/or y = blogb(y), di sisi kiri.

Perubahan basis 
Logaritma logb(x) dapat dihitung dari logaritma  x  dan  b  sehubungan dengan basis sembarang  k  menggunakan rumus berikut:
 
Biasanya kalkulator ilmiah menghitung logaritma ke basis 10 dan   e . Logaritma yang terkait dengan basis  b  apa pun dapat ditentukan menggunakan salah satu dari dua logaritma ini dengan rumus sebelumnya:

Diberikan angka  x  dan logaritma logb(x) ke basis yang tidak diketahui  b , basis diberikan oleh:

Identitas fungsi hiperbolik 

Fungsi hiperbolik memenuhi banyak identitas, semuanya mirip bentuknya dengan identitas trigonometri. Faktanya, Kaidah Osborn menyatakan bahwa seseorang dapat mengubah identitas trigonometri apa pun menjadi identitas hiperbolik dengan mengembangkannya sepenuhnya dalam hal kekuatan integral sinus dan cosinus, mengubah sinus menjadi sinh dan cosinus menjadi cosh, dan mengganti tanda setiap suku yang berisi hasil kali 2, 6, 10, 14, ... sinh.

Fungsi Gudermannian memberikan hubungan langsung antara fungsi melingkar dan fungsi hiperbolik yang tidak melibatkan bilangan kompleks.

Logika dan aljabar universal 
Dalam logika matematika dan dalam aljabar universal, identitas didefinisikan sebagai  rumus dari bentuk "∀x1,...,xn. s = t", di mana  s  dan  t  adalah  istilah tanpa variabel bebas selain x1,...,xn.
The quantifier prefix ("∀x1,...,xn.") sering dibiarkan implisit, khususnya dalam aljabar universal.
Misalnya, aksioma dari monoid sering diberikan sebagai identitas  himpunan 
{      ,      ,      },
atau, dalam notasi singkatnya, sebagai  
{        ,        ,        }.
Beberapa penulis menggunakan nama "persamaan" daripada "identitas".

Lihat pula 
 Identitas akuntansi
 Daftar identitas matematika

Referensi

Pranala luar 

The Encyclopedia of Equation   Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
A Collection of Algebraic Identities 

Aljabar elementer
Identitas matematika
Ekuivalensi (matematika)