Subgrup karakteristik

Dalam matematika, khususnya di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori grup, subgrup karakteristik adalah subgrup yang dipetakan ke dirinya sendiri oleh setiap automorphism dari induk  grup. Karena setiap peta konjugasi adalah automorfisme dalam, setiap subgrup karakteristik adalah  normal; meskipun kebalikannya tidak dijamin. Contoh subgrup karakteristik termasuk subgrup komutator dan pusat grup.

Definisi 
Subgrup  dari grup  disebut subgrup karakteristik jika untuk setiap automorfisme  dari , menaruh rumus ; setelah itu rumusnya adalah .  

Itu sama saja dengan membutuhkan kondisi yang lebih kuat  =  untuk automorfisme  of , karena  menyiratkan inklusi terbalik .

Sifat dasar 

Jika , setiap automorfisme  menginduksi automorfisme grup hasil bagi , yang menghasilkan homomorfisme .

Jika  memiliki subgrup unik  dari indeks tertentu, maka  adalah karakteristik dalam .

Konsep terkait

Subgrup normal 

Sebuah subgrup dari  yang invarian di bawah semua automorphisms dalam disebut  normal; juga, subkelompok invarian.

Maka  dan subkelompok karakteristik tidak berubah di bawah semua automorfisme, setiap subkelompok karakteristik adalah normal. Namun, tidak setiap subkelompok normal memiliki karakteristik.  Berikut beberapa contohnya:
 Misalkan  menjadi grup nontrivial, dan biarkan  menjadi  produk langsung, .  Kemudian subgrup,  dan , keduanya normal, tetapi tidak ada karakteristiknya. Secara khusus, tak satu pun dari subgrup ini yang invarian di bawah automorfisme, , yang mengubah dua faktor.
 Untuk contoh konkretnya, misalkan  menjadi Klein empat grup (yaitu  isomorfis ke hasil kali langsung, ).  Karena grup ini adalah  abelian, setiap sub grup adalah normal; tapi setiap permutasi dari 3 elemen non-identitas merupakan automorfisme dari , jadi 3 subgrup dari orde 2 bukan karakteristik. Jadi . Consider  dan pertimbangkan automorfisme, ; maka  tidak terkandung dalam .
 Dalam grup hasil bagi dari orde 8, masing-masing subgrup siklik dari orde 4 adalah normal, tetapi tidak satupun dari ini adalah karakteristik.  Namun, subgrup, , merupakan karakteristik, karena merupakan satu-satunya subgrup dari orde 2.
 Jika  genap, grup dihedral berurutan  memiliki 3 subgrup  index 2, yang semuanya normal. Salah satunya adalah subkelompok siklik, yang merupakan karakteristik. Dua subkelompok lainnya adalah dihedral; ini diizinkan oleh  automorfisme luar dari grup induk, dan oleh karena itu bukan karakteristik.

Subgrup dengan karakteristik yang ketat  
, atau , yang invarian di bawah surjektif endomorfisme. Untuk grup hingga, dugaan endomorfisme menyiratkan injektifitas, jadi endomorfisme dugaan adalah automorfisme; sehingga menjadi  karakteristik ketat  setara dengan  karakteristik . Ini tidak berlaku lagi untuk grup yang tidak terbatas.

Subgrup dengan karakteristik penuh 
Untuk kendala yang lebih kuat, sebuah  subgrup karakteristik penuh  (juga,  subgrup invarian penuh ; cf. subkelompok invarian), , dari grup , adalah grup yang tersisa  invariant di bawah setiap endomorphism dari ; itu adalah,
.

Setiap kelompok memiliki dirinya sendiri (subkelompok yang tidak tepat) dan subkelompok sepele sebagai dua dari subgrup karakteristik penuh. Subgrup komutator dari sebuah grup selalu merupakan subgrup yang memiliki karakteristik penuh.

Setiap endomorfisme  menginduksi endomorfisme , yang menghasilkan peta .

Subkelompok verbal 
Kendala yang lebih kuat adalah subgrup verbal, yang merupakan citra subgrup invarian penuh dari grup bebas di bawah homomorfisme. Secara lebih umum, subgrup verbal apa pun selalu merupakan karakteristik penuh. Untuk setiap grup bebas yang dikurangi, dan, khususnya, untuk grup bebas mana pun, kebalikannya juga berlaku: setiap karakteristik.

Transitivitas 
Properti menjadi karakteristik atau karakteristik penuh adalah  transitif; jika  adalah subgrup berkarakteristik (lengkap) dari , dan  adalah karakteristik (lengkap) subgrup dari , maka  adalah subgrup berkarakteristik (lengkap) dari .
.

Selain itu, walaupun normalitas tidak transitif, memang benar bahwa setiap subkelompok karakteristik dari subgrup normal adalah normal.

Demikian pula, meskipun karakteristik ketat (dibedakan) tidak transitif, memang benar bahwa setiap subgrup yang memiliki karakteristik penuh dari subkelompok yang sangat berkarakteristik bersifat ketat.

Namun, berbeda dengan normalitas, jika  dan  adalah subgrup dari  memuat , lalu secara umum  belum tentu karakteristik dalam .

Containments 
Setiap subgrup yang sepenuhnya berkarakteristik pasti memiliki karakteristik dan karakteristik yang ketat; tetapi subkelompok yang berkarakteristik atau bahkan berkarakteristik ketat tidak perlu menjadi karakteristik yang sepenuhnya.

Pusat grup selalu merupakan subgrup yang sangat berkarakteristik, tetapi tidak selalu berkarakteristik penuh. Misalnya, grup order yang terbatas 12, , memiliki pengambilan homomorfisme  ke , yang mengambil pusat, , menjadi subgrup , yang memenuhi pusat hanya dalam identitas.

Hubungan di antara properti subgrup ini dapat dinyatakan sebagai:
Subgrup ⇐ Subgrup normal ⇐ Subgrup karakteristik ⇐ Subgrup dengan karakteristik yang ketat ⇐ Subgrup karakter ⇐ Subgrup verbal

Contoh

Contoh hingga 
Pertimbangkan grup  (grup orde 12 yang merupakan produk langsung dari grup simetris orde 6 dan grup siklik orde 2). Pusat dari  adalah faktor keduanya . Perhatikan bahwa faktor pertama, , berisi subkelompok isomorfik ke , contohnya ; misalkan  jadilah pemetaan morfisme  ke subkelompok yang ditunjukkan. Kemudian komposisi proyeksi  menjadi faktor keduanya , diikuti dengan , diikuti dengan penyertaan  ke dalam  sebagai faktor pertamanya, memberikan endomorfisme dari  di mana gambar pusat, , tidak terdapat di tengah, jadi di sini pusat bukanlah subkelompok yang sepenuhnya berkarakteristik dari .

Grup siklik 
Setiap subgrup dari grup siklik adalah karakteristik.

Functor subkelompok 
Subgrup turunan (atau subgrup komutator) dari suatu kelompok adalah subgrup verbal. Subgrup torsi dari grup abelian adalah subgrup yang sepenuhnya tidak berubah.

Grup topologi 
Komponen identitas dari grup topologi selalu merupakan subgrup karakteristik.

Lihat pula 
 Grup dengan karakteristik sederhana

Referensi 

Sifat subgrup