Relasi ekuivalensi

Dalam matematika, relasi ekuivalensi adalah relasi biner yang bersifat reflektif, simetris dan transitif. Relasi "sama dengan" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek , , dan :
  (sifat reflektif),
 jika  maka  (sifat simetris), dan
 jika  dan  maka  (sifat transitif).

Sebagai akibat dari sifat reflektif, simetris, dan transitif, semua relasi ekuivalensi dapat menghasilkan partisi dari himpunan pendasar menjadi kelas-kelas ekuivalensi yang saling lepas. Dua anggota dari suatu himpunan disebut ekuivalen jika dan hanya jika mereka merupakan anggota kelas ekuivalensi yang sama.

Notasi 
Berbagai notasi digunakan untuk menunjukkan bahwa dua anggota himpunan  dan  bersifat ekuivalen terhadap relasi ekuivalen ; biasanya "" dan "", yang digunakan ketika  bersifat tersirat, dan variasi "", "", atau "" untuk menyebutkan  secara tersurat. Sifat tidak ekuivalen bisa ditulis "" atau "".

Definisi 
Suatu relasi biner ~ pada himpunan X disebut merupakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika bersifat reflektif, simetris dan transitif. Artinya, untuk semua a, b dan c dalam X:
a ~ a. (Reflektivitas)
a ~ b jika dan hanya jika b ~ a. (Simetri)
jika a ~ b dan b ~ c maka a ~ c. (Transitivitas)

X bersama dengan relasi ~ disebut sebuah setoid. Kelas ekuivalensi dari  di bawah ~, dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai .

Contoh

Contoh sederhana 
Anggap himpunan  memiliki relasi ekuivalensi . Himpunan  dan  adalah kelas ekuivalensi dari relasi ini.

Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah . Himpunan ini adalah partisi dari himpunan .

Relasi ekuivalensi 
Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:

 "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh,  sama dengan .
 "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
 "kongruen dengan" pada himpunan semua segitiga.
 "kongruen modulo n dengan" pada bilangan bulat. 
 "Memiliki nilai mutlak yang sama dengan" pada himpunan bilangan real.
 "Memiliki nilai kosinus yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.

Relasi yang bukan ekuivalensi 

 Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, namun tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
 Relasi "memiliki faktor pembagi bersama yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, namun tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.

Kelas ekuivalensi, himpunan hasil bagi, dan partisi 
Anggap . Ada beberapa definisi

Kelas ekuivalensi 

Sebuah subhimpunan  dari , dengan  tetap berlaku untuk semua  namun tidak pernah ketika , disebut sebagai sebuah kelas ekuivalensi  dari . Anggap  menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen . Semua elemen di  yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.

Himpunan hasil bagi 

Himpunan semua kelas ekuivalensi  dari , yang dinyatakan sebagai  , adalah himpunan hasil bagi  dari . Jika  adalah ruang topologis, ada cara mudah mengubah  menjadi ruang topologis. Lihat ruang hasil bagi untuk detailnya.

Teorema dasar relasi ekuivalensi 
Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:

 Relasi ekuivalensi  pada himpunan  mempartisi himpunan  tersebut.
 Kebalikannya, untuk setiap partisi himpunan , terdapat suatu relasi ekuivalensi  yang sesuai pada himpunan .

Anggap  sebagai partisi dari . Pada kedua kasus, sebuah himpunan di  adalah kelas ekuivalensi  dari . Karena setiap elemen di  terletak di tepat satu himpunan di , dan karena setiap himpunan di  identik ke kelas ekuivalensi  dari , maka setiap elemen di  terletak di tepat satu kelas ekuivalensi  dari . Dengan demikian, terdapat bijeksi antara himpunan semua relasi ekuivalensi di  dengan himpunan semua partisi dari .

Referensi

Pranala luar
 
 Equivalence relation di PlanetMath

Relasi biner
Ekuivalensi (matematika)