Ketertutupan (matematika)

Dalam matematika, himpunan dikatakan tertutup pada suatu operasi adalah apabila operasi tersebut diberlakukan pada anggota himpunan tersebut hasilnya selalu merupakan anggota dari himpunan tersebut. Misalnya, bilangan bulat positif tertutup terhadap penambahan, tetapi tidak terhadap pengurangan:  bukan bilangan bulat positif meskipun  dan  adalah bilangan bulat positif. Contoh lain adalah himpunan yang hanya memuat bilangan nol, himpunan ini tertutup terhadap penambahan, pengurangan dan perkalian (karena , , dan ).

Demikian pula, suatu himpunan dikatakan tertutup terhadap kumpulan operasi apabila himpunan itu tertutup terhadap setiap masing-masing operasi.

Sifat dasar 
Satu himpunan yang tertutup pada suatu operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi sifat ketertutupan. Sifat ketertutupan diperkenalkan sebagai aksioma, yang kemudian biasanya disebut aksioma ketertutupan. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, menambahkan ketertutupan ke struktur sebagai aksioma sebenarnya berlebihan; namun dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superhimpunan dari himpunan tersebut dan bukti ketertutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada relasi dari himpunan tersebut hanya darab. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ketertutupan dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

Ketika sebuah himpunan  bukan termasuk ketertutupan pada beberapa operasi, biasanya dapat menemukan himpunan terkecil  yang merupakan ketertutupan. Himpunan ketertutupan terkecil ini disebut ketertutupan dari  (dengan operasi relasi).  Misalnya, ketertutupan terhadap pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan bilangan bulat.  Contoh penting adalah ketertutupan topologi. Gagasan tentang ketertutupan digeneralisasikan oleh koneksi Galois, dan selanjutnya oleh monad.

Himpunan S menjadi bagian dari himpunan ketertutupan agar operasi ketertutupan tersebut dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa riil ketertutupan terhadap pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.

Kedua penggunaan kata "ketertutupan" tidak perlu disamakan. Penggunaan sebelumnya mengacu pada sifat ketertutupan, dan yang terakhir mengacu pada himpunan ketertutupan terkecil salah satu yang mungkin bukan ketertutupan. Singkatnya, ketertutupan satu himpunan memenuhi sifat ketertutupan.

Himpunan tertutup
Himpunan ketertutupan terhadap operasi jika operasi anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota himpunan.  Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai aksioma ketertutupan. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan grup sebagai himpunan dengan operator darab biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa darab dari dua unsur grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah operasi ary- pada S hanyalah himpunan bagian dari .  Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. ketertutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti ketertutupan pada semua himpunan bagian. Jadi subgrup dari grup adalah himpunan bagian di mana darab biner dan operasi uner dari balikan memenuhi aksioma ketertutupan.

Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan titik batas dari himpunan bagian dari ruang topologis. Himpunan yang ditutup terhadap operasi ini biasanya disebut sebagai himpunan tertutup dalam konteks topologi. Tanpa kualifikasi lebih lanjut, frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini. selang tertutup seperti  ditutup dalam pengertian ini.

Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah himpunan tertutup ke bawah (disebut sebagai himpunan bawah) jika untuk setiap unsur dari himpunan tersebut, semua unsurnya juga di himpunan bagian. Ini berlaku misalnya untuk selang real  dan , dan untuk bilangan ordinal  diwakili sebagai selang . Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal. Himpunan tertutup ke atas (juga disebut himpunan atas) didefinisikan dengan cara yang sama.

Contoh 
 Dalam topologi dan cabang terkait, operasi yang relevan dengan batasan. ketertutupan topologi dari himpunan adalah operator ketertutupan yang sesuai.  Aksioma ketertutupan Kuratowski mencirikan operasi ini.
 Dalam aljabar linear, rentang linear dari himpunan  vektor adalah ketertutupan dari himpunan; bagian terkecil dari ruang vektor yang menyertakan  dan ketertutupan dengan operasi kombinasi linear. Bagian ini adalah subruang.
 Dalam teori matroid, ketertutupan  merupakan superhimpunan terbesar dari  yang memiliki rank sama dengan X.
 Dalam teori himpunan, ketertutupan transitif dari himpunan.
 Dalam teori himpunan, ketertutupan transitif dari relasi biner.
 Dalam aljabar, ketertutupan aljabar dari medan.
 Dalam aljabar komutatif, operasi ketertutupan untuk ideal, seperti ketertutupan integral dan ketertutupan ketat.
 Dalam geometri, selubung cembung dari himpunan titik  adalah himpunan cembung terkecil di mana  adalah himpunan bagian.
 Dalam bahasa formal, ketertutupan Kleene dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan untai yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol untai atau lebih dari bahasa tersebut.
 Dalam teori grup, ketertutupan sekawan atau ketertutupan normal dari himpunan unsur grup adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut.
 Dalam analisis matematika dan dalam teori probabilitas, ketertutupan kumpulan himpunan bagian  terhadap operasi himpunan banyak tercacahkan disebut aljabar sigma

Lihat pula 
 Himpunan terbuka
 Himpunan buka-tertutup

Referensi 

 

Operator penutupan
Aljabar abstrak