Jarak Euklides

Dalam matematika, jarak Euklides atau metrik Euklides adalah jarak garis lurus "biasa" antara dua titik dalam ruang Euklides. Dengan jarak ini, ruang Euklides menjadi ruang metrik. Norma yang terkait disebut norma Euklides. Literatur lampau menyebutnya dengan metrik Pythagoras. Bentuk umum dari norma Euklides adalah norma L2 atau jarak L2.

Definisi 
Jarak Euklides antara titik p dan q adalah jarak ruas garis yang menghubungkan mereka (disimbolkan ).

Dalam koordinat Kartesius, jika p = (p1, p2,..., pn) dan q = (q1, q2,..., qn) adalah dua titik dalam ruang Euklides berdimensi n, jarak Euklides (d) dari p ke q (atau sebaliknya) dihitung dengan rumus Pythagoras seperti berikut.

Letak titik pada ruang Euklides berdimensi n adalah vektor Euklides, maka p dan q dapat digambarkan sebagai vektor Euklides yang berpangkal di titik acuan  dan berujung di letak mereka (p dan q). Norma Euklides (alias panjang Euklides) atau magnitudo suatu vektor adalah panjang vektor tersebut:

 

dengan  adalah operasi produk skalar antara p dan p.

Hubungan antara titik p dan q bisa juga memiliki arah (misalnya, dari p ke q). Hubungan tersebut dapat digambarkan sebagai vektor berikut.

 

Dalam ruang berdimensi dua atau tiga, hal tersebut biasa digambarkan dengan sebuah panah dari p ke q. Dalam ruang apa pun, ia dapat bermakna sebagai letak p terhadap q. Panah itu bisa disebut vektor perpindahan.

Jarak Euklides antara p dan q hanyalah panjang Euklides dari vektor perpindahannya:

yang ekuivalen dengan persamaan (1) dan persamaan berikut:

Satu dimensi 
Jarak antara dua titik pada garis bilangan adalah selisih dari koordinatnya. Misalkan p dan q adalah titik pada garis bilangan, maka jarak antara keduanya adalah

Dua dimensi 
Pada bidang Euklides, misalkan p = (p1, p2) dan q = (q1, q2), maka jarak antara keduanya adalah

 

Rumus tersebut ekuivalen dengan rumus Pythagoras.

Tiga dimensi 
Dalam ruang Euklides tiga dimensi, jarak keduanya adalah

n dimensi 
Secara umum, untuk ruang berdimensi n, jarak keduanya adalah

Kuadrat jarak Euklides 
Nilai kuadrat dari jarak Euklides juga menjadi perhatian. Berikut persamaannya:

 

Kuadrat jarak Euklides tidak termasuk metrik karena tidak memenuhi pertidaksamaan segitiga. Teorema Pythagoras lebih sederhana dalam bentuk kuadrat (karena tidak memerlukan tanda akar). Misalkan , maka

 

atau

Contoh penerapan 
Dalam ilmu komputer, terutama grafika komputer, simulasi, dan pengembangan permainan video, penggunaan jarak Euklides biasa dan fungsi norma (pada kasus tertentu) kadang-kadang dianggap kurang optimal karena membutuhkan operasi akar kuadrat. Algoritme yang menggunakan perbandingan jarak dapat menggunakan kuadrat jarak Euklides alih-alih jarak Euklides. Misalkan berlaku , maka  juga berlaku dan dapat dipakai.

Lihat pula 
 Jarak Chebyshev
 Jarak Mahalanobis
 Jarak Manhattan
 Jarak Minkowski

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
 
 

Geometri metrik
Panjang
Teorema Pythagoras
Euklides