Fungsi phi Euler

Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler () adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat  yang prima nisbi dengan . Fungsi ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai  atau  menyatakan kardinal himpunan bilangan asli  dimana .

Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.

Fungsi ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia).

Identitas 
Terdapat beberapa identitas mengenai fungsi Euler phi, diantaranya:

 , 
 , untuk  adalah bilangan prima

  jika

Rumus lainnya 
Apabila rumus lain mengenai fungsi Euler phi, diantaranya
 
 , untuk setiap 
 
Perhatikan kasus khusus
 
 
   Bandingkan dengan rumus
 

(Lihat kelipatan persekutuan terkecil.)

  genap untuk . Selain itu, jika  memiliki  faktor prima ganjil yang berbeda, 
 Untuk  dan  sehingga  terdapat  sedemikian sehingga .
 
di mana  adalah radikal dari .
  
 , untuk 
  ( dikutip dalam)

  
  
  

(dengan  adalah konstanta Euler–Mascheroni).

 
dimana  adalah bilangan bulat positif dan  adalah jumlah faktor prima yang berbeda dari .

Beberapa bilangan 
100 nilai pertama  ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:

{| class="wikitable" style="text-align: right"
|+ untuk 
! +
! 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|- 
! 0 
| 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6 || 4 
|-
! 10
| 10 || 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18 || 8 
|- 
! 20
| 12 || 10 || 22 || 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 || 8 
|-
! 30
| 30 || 16 || 20 || 16 || 24 || 12 || 36 || 18 || 24 || 16 
|-
! 40
| 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46 || 16 || 42 || 20
|-
! 50
| 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58 || 16 
|-
! 60
| 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44 || 24 
|-
! 70
| 70 || 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78 || 32
|-
! 80
| 54 || 40 || 82 || 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88 || 24
|-
! 90
| 72 || 44 || 60 || 46 || 72 || 32 || 96 || 42 || 60 || 40 
|}

Dalam grafik di kanan atas baris  adalah batas atas valid untuk semua  selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika  adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah , yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan .

Fungsi pembangkit 

Deret Dirichlet untuk  dapat ditulis dalam istilah fungsi zeta Riemann sebagai:

Fungsi pembangkit deret Lambert adalah

konvergen untuk .

Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk .

Rasio bilangan berurutan 
Pada tahun 1950 Somayajulu membuktikan

 dan 

Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan bahwa himpunan

 

adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya bahwa himpunan

padat dalam interval .

Lihat pula 
 Fungsi Carmichael
 Konjektur Duffin–Schaeffer
Generalisasi teorema kecil Fermat
 Bilangan komposit tinggi
 Grup perkalian bilangan bulat modulo 
 Jumlah Ramanujan
 Fungsi penjumlahan total

Catatan

Referensi 

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalah Gauss tentang teori bilangan: semua bukti timbal balik kuadrat, penentuan tanda jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik biquadratic, dan catatan yang tidak diterbitkan.

Referensi ke Disquisitiones adalah dari bentuk Gauss, DA, art. nnn.

. See paragraph 24.3.2.

 Dickson, Leonard Eugene, "History Of The Theory Of Numbers", vol 1, chapter 5 "Euler's Function, Generalizations; Farey Series", Chelsea Publishing 1952
.

 

 
 

 
 
.

Pranala luar 
 
Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that  is multiplicative 
Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits 
Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions 
Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function 

Aritmetika modular
Fungsi perkalian
Artikel yang berisi bukti
Aljabar
Teori bilangan
Leonhard Euler