Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta adalah rumus antara koefisien pada polinomial bersama angka dan hasil nilai akarnya. Ditemukan oleh François Viète rumus tersebut digunakan secara khusus dalam aljabar.

François Viète mendefinisikan rumus tersebut untuk kasus menemukan akar positif. Di masa François Viète, diyakini bahwa hanya ada akar positif dalam persamaan. François Viète percaya bahwa tidak ada akar negatif dan hanya memahami sebagian hubungan antara akar persamaan dan koefisiennya. Pada 1629, matematikawan asal Prancis Albert Girard, menemukan Rumus Vieta bersifat umum, tidak terbatas pada akar nyata positif .

Ada juga spekulasi bahwa formula Viete sebenarnya ditemukan oleh Albert Girard sebelum François Viète. Misalnya, menurut matematikawan asal Inggris pada abad ke-18 Charles Hutton, Albert Girard menulis tentang keadaan umum rumus Vieta dalam karyanya sebelum François Viète.

Rumus Vieta dalam persamaan Kuadrat 

Rumus Vieta memberikan hubungan sederhana antara akar polinomial dan koefisiennya. Dalam kasus polinomial kuadrat, mereka mengambil bentuk berikut:

dan

Hasil ini langsung mengikuti dari relasi:

yang dapat dibandingkan istilah demi istilah dengan

Rumus pertama di atas menghasilkan ekspresi yang sesuai saat membuat grafik fungsi kuadrat. Karena grafiknya simetris terhadap garis vertikal melalui simpul, ketika ada dua akar nyata, koordinat  titik koordinat terletak di av. Jadi  koordinat dari simpul diberikan oleh ekspresi

 koordinat dapat diperoleh dengan mensubstitusi hasil di atas ke dalam persamaan kuadrat yang diberikan, memberikan

Sebagai masalah praktis, rumus Vieta menyediakan metode yang berguna untuk menemukan akar kuadrat dalam kasus di mana satu akar jauh lebih kecil dari yang lain. Bila , maka , dan kami memiliki perkiraan:

Rumus Vieta kedua kemudian memberikan:

Rumus-rumus ini jauh lebih mudah untuk dievaluasi daripada rumus kuadrat dengan syarat satu akar besar dan satu akar kecil, karena rumus kuadrat mengevaluasi akar kecil sebagai selisih ), yang menyebabkan kesalahan pembulatan dalam evaluasi numerik. Gambar 5 menunjukkan perbedaan antara (i) evaluasi langsung menggunakan rumus kuadrat (akurat ketika akar memiliki nilai yang berdekatan) dan (ii) evaluasi berdasarkan perkiraan rumus Vieta di atas (akurat ketika akar berjarak lebar). Sebagai koefisien linear  meningkat, awalnya rumus kuadrat akurat, dan rumus perkiraan meningkatkan keakuratannya, yang mengarah ke perbedaan yang lebih kecil antara metode sebagai  meningkat. Namun, pada titik tertentu rumus kuadrat mulai kehilangan akurasinya karena kesalahan pembulatan, sedangkan metode perkiraan terus ditingkatkan. Akibatnya, perbedaan antara metode-metode tersebut mulai meningkat karena rumus kuadrat menjadi semakin buruk.

Situasi ini umumnya muncul dalam desain amplifier, di mana akar yang terpisah jauh diinginkan untuk memastikan operasi yang stabil (lihat respons langkah).

Bukti dari pernyataan tersebut akan diberikan di akhir bagian.

Jika rumus persamaan kuadrat dirumuskan 

Diatas merupakan rumus persamaan kuadrat yang membuktikan rumus kuadrat.

Rumus utama 
Untuk nilai polinomial dengan hasil n

Rumus tersebut bersama teorema fundamental aljabar hanya memiliki nila  berbeda dengan akar kompleks  . Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah yang ditandatangani dari produk akar  sebagai berikut:

Rumus Vieta dapat dibuat secara ekuivalen sebagai

Generalisasi gelanggang 
Rumus Vieta sering digunakan hubungan dengan polinomial hasil koefisien dalam ranah integral . Maka, hasil bagi  memiliki gelanggang pecahan  dan akarnya  diambil dalam ekstensi tertutup aljabar. Biasanya,

Rumus  adalah gelanggang bilangan bulat, medan pecahan adalah medan bilangan rasional dan medan yang ditutup secara aljabar adalah bidang bilangan kompleks.

Contoh 
Rumus Vieta dapat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar kuadrat dari  dari polinomial kuadrat , yaitu

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari nilai ; lihat .

Akar kuadrat dari  dari polinomial kubik , yaitu

Pemecahan Masalah Rumus Vieta 

Menunjukkan bahwa

untuk bilangan bulat apa pun 

Dengan ini yang pertama dengan menggunakan teorema De-Moivre untuk bilangan bulat positif :

Saat dapat mengelompokkan RHS sebagai berikut sejak kami memilikinya :

Menyamakan bagian imajiner di kiri dan kanan, kita dapatkan

Membiarkan nilai  maka persamaannya dalam u dan jumlah akarnya diberikan oleh  seperti yang kita ketahui dari formula Vieta. Sejak nilai

Keterangan 
Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan memperluas persamaan:

 

(yang benar yaitu nilai  apakah semua akar dari polinomial ini), mengalikan faktor-faktor dari sisi kanan, dan mengidentifikasi koefisien dari masing-masing pangkat 

Secara formal, jika ada yang mengembang pada nilai  istilahnya adalah nilai  darimana nilai  adalah 0 atau 1, sesuai dengan apakah  termasuk dalam produk atau tidak, dan  k  adalah jumlah pada nilai  hal yang ini tidak seharusnya digunakan, jadi jumlah total faktor dalam produk adalah n (dengan perhitungan  dengan keserbaragaman k) sebagaimana adanya nilai n pilihan biner (yang termasuk perhitungan  atau x), dan  istilah tersebut dapat dicari dalam bentuk geometris, hal ini dapat memahami sebagai simpul dari kubusganda. Mengelompokkan persamaan tersebut berdasarkan derajat menghasilkan polinomial simetris dasar di   untuk nilai xk, mendapatkan semua produk lipat pada nilai k yang berbeda dari

Sejarah 
Seperti yang tercermin dalam namanya, rumus tersebut ditemukan oleh ahli matematika asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat ahli matematika asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar nyata positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard: 
...[Girard was] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien kekuatan dari jumlah akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk sum.

Lihat pula 
Lompat Akar Vieta
:Portal:Matematika/TopikMatematika

Referensi

Pranala luar