Tindakan grup (matematika)

Dalam matematika, tindakan grup padaruang adalah homomorfisme grup dari grup tertentu ke dalam grup transformasi ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada struktur matematika adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam grup automorfisme dari struktur. Dikatakan bahwa grup  bertindak  pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok Isometri Euklid bekerja pada Ruang Euklidean dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua segitiga. Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada simpul, tepi, dan wajah dari polyhedron.

Tindakan grup pada ruang vektor (berdimensi-hingga)] disebut wakilan dari grup. Ini memungkinkan salah satunya untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok , kelompok matriks yang dapat dibalik dengan dimensi atas bidang .

Grup simetris  bertindak pada setiap himpunan dengan elemen  dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua permutasi dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep tindakan kelompok memungkinkan salah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan kardinal yang sama.

Definisi

Tindakan grup kiri 
Jika adalah grup dengan elemen identitas , dan  adalah himpunan, maka ( kiri )  tindakan grup   dari  pada  adalah sebuah fungsi

(dengan  sering disingkat menjadi  atau  jika tindakan yang dipertimbangkan sudah jelas dari konteksnya)

yang memenuhi dua tindakanoma berikut:

{|
|Identitas:
|
|-
|Kesesuaian:
|
|}

untuk  dan  pada  dan  pada .

Grup  dikatakan bertindak atas  (dari kiri). Himpunan  bersama dengan tindakan disebut himpunan- (kiri).

Dari dua tindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk  tetap di , fungsi dari  ke yang memetakan  ke  adalah bijeksi, dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai . Oleh karena itu, salah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup  pada  sebagai homomorfisme grup dari  ke grup simetris  dari semua bias dari  ke dirinya sendiri.

Tindakan grup kanan 
Demikian juga,  tindakan kelompok kanan  dari  pada  adalah fungsi

(dengan  sering disingkat menjadi  atau  jika tindakan yang dipertimbangkan jelas dari konteksnya)

yang memenuhi tindakanoma analogi:

{|
|Identitas:
|
|-
|Kesesuaian:
|
|}

untuk  dan  pada  dan  pada .

Perbedaan antara tindakan kiri dan kanan terletak pada urutan perkalian  yang bekerja pada . Untuk tindakan kiri,  tindakan pertama, diikuti oleh  detik. Untuk tindakan yang benar,  tindakan pertama, diikuti oleh  detik. Karena rumusnya , tindakan kiri dapat dibangun dari tindakan kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup. Juga, tindakan kanan grup  pada  bisa dianggap sebagai tindakan kiri dari grup berlawanan  pada . Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan tindakan kiri tanpa kehilangan keumuman.

Tipe tindakan 

Tindakan G pada X disebut:
  jika X adalah himpunan kosong dan jika untuk setiap pasangan  x ,  y  pada  X  maka  g  pada  G  dirumuskan . Misalnya, tindakan grup simetris  X  bersifat transitif, tindakan grup linear umum atau grup linear khusus ruang vektor  V  pada  bersifat transitif, tetapi tindakan grup ortogonal dari ruang Euklides  E  tidak transitif pada  (ini transitif pada unit bola dari  E , meskipun).
  (atau ) jika untuk setiap dua  g  yang berbeda,  h  pada  G  dengan  x  pada  X  sehingga ; atau setara, jika untuk  pada  G  ada  x  di  X  seperti itu .  Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen  G  yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari  X . Dalam istilah aljabar, grup  G  bertindak tepat pada  X  jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, , memiliki trivial kernel. Jadi, untuk tindakan yang setia,  G  embed ke grup permutasi pafa  X ; khusus,  G  isomorfik untuk citra Sym(X). Jika G tidak bertindakan tepat pada  X , kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan , maka  N  adalah subgrup normal dari  G ; memang, itu adalah inti dari homomorfisme . Grup faktor G/N bertindakan tepat pada  X  dengan menetapkan . tindakan asli G pada X sesuai jika dan hanya jika . Kumpulan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:
 Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris S5, grup ikosahedral, dan grup siklik .himpunan terkecil di mana tindakan yang sesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.
 Grup abelian ukuran 2 n  menyertakan grup siklik  serta  (produk langsung dari  n  salinan ), tetapi yang terakhir bertindak dengan sesuai pada himpunan ukuran 2n , sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan sesuai pada himpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.
  (atau semiberaturan atau titik tetap bebas) jika, diberikan  g , h dengan G, adanya x di X  dengan  menyiratkan . Setara: jika  g  adalah elemen grup dan terdapat  x  di  X  dengan  (yaitu, jika  g  memiliki setidaknya satu titik tetap), maka  g  adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada himpunan yang tidak kosong adalah tepat.
  (atau  atau  transitif tajam ) jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua  x ,  y  dalam  X  tepat ada satu  g  dalam  G  sehingga .  Dalam hal ini,  X  disebut sebagai ruang homogen utama untuk G atau torsi G. tindakan grup G  pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian sesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym( G ). Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cayley.
  jika  X  memiliki setidaknya  n  elemen, dan untuk semua yang berbeda x1, ..., xn dan berbeda y1, ..., yn, jika  g  pada  G  dirumuskan  untuk .  tindakan 2-transitif juga disebut , tindakan 3-transitif disebut juga  transitif tiga kali, dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: Grup 2-transitif dan lebih umum perkalian grup transitif. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen n  selalu n -transitif; tindakan dari grup selang-seling adalah (n - 2)-transitif.
  jika memang ada satu seperti  g .
  jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari  X . Lihat grup permutasi primitif untuk detailnya.
 Bebas secara lokal  jika G adalah grup topologi, dan ada lingkungan U dari e dalam G sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi U bebas; yaitu jika   untuk beberapa  x  dan beberapa  g  di  U  lalu .

Selanjutnya, jika G bekerja pada ruang topologi  X , maka tindakannya adalah:

Pengembaraan jika setiap titik x pada X memiliki lingkungan U  sehingga  is terhingga. Misalnya, tindakan  pada  oleh translasi mengembara. tindakan grup pengembaraan pada setengah bidang Poincaré juga mengembara.
Jika  X  adalah ruang kompak lokal dan untuk setiap himpunan bagian kompak K ⊂ X thehimpunan  terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan  pada  given by  wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.
 jika  G  adalah grup topologi dan peta dari  adalah layak. Jika  G  adalah diskrit maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan  G .
 Dikatakan memiliki  orbit diskrit  jika orbit setiap  x  dalam  X  di bawah tindakan  G  diskrit dalam  X .
 tindakan ruang  jika setiap titik  x  di  X  memiliki lingkungan  U  sedemikian rupa sehingga .

Jika X adalahbukan nol modul atas gelanggang R dan tindakan G adalahlinear-R maka dikatakan
 Taktereduksikan jika tidak ada submodul invarian wajar taknol.

Orbit dan penstabil 

Pertimbangkan grup  G  yang bertindak pada himpunan  X . Orbit dari suatu elemen x dalam X  adalah himpunan elemen dalam X di mana x  dapat dipindahkan oleh elemen G . Orbit x adalah dengan:

Sifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik  x )  X  di bawah tindakan  G  membentuk partisi dari X. Relasi setara terkait ditentukan dengan mengatakan  jika dan hanya jika terdapat  g  di  G  dengan . Orbitnya kemudian kelas setara es di bawah hubungan ini; dua elemen  x  dan  y  setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, .

Tindakan kelompok adalah transitif jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada  x  dalam  X  dengan . This is the case if and only if  untuk  semua   x  dalam  X  (mengingat bahwa  X  tidak kosong).

Himpunan semua orbit  X  di bawah tindakan  G  ditulis sebagai X/G (atau, lebih jarang: G\X), dan disebut  hasil bagi  dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut , sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang , dan ditulis  X G  , berbeda dengan invarian (titik tetap), dilambangkan XG: varian koin adalah  hasil bagi  sedangkan invariannya adalah  himpunan bagian.  Terminologi dan notasi koinvarian digunakan terutama dalam kelompok kohomologi dan grup homologi, yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.

Himpunan bagian varian 
Jika  Y  adalah himpunan bagian dari  X , salah satunya akan menulis  GY  untukhimpunan tersebut . Himpunan bagian  Y  dikatakan  invarian di bawah G  jika  (yang setara dengan ). Dalam hal ini,  G  juga beroperasi pada  Y  dengan membatasi tindakannya menjadi  Y . Himpunan bagian  Y  disebut  tetap di bawah G  jika  untuk  g  di  G  dan semua  y  di  Y . Setiap himpunan bagian yang ditetapkan di bawah  G  juga invarian di bawah  G , tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah himpunan bagian invarian dari  X  di mana G bertindak secara transitif. Sebaliknya, setiap himpunan bagian invarian dari  X  adalah gabungan orbit. Tindakan  G  pada  X  adalah  transitif  jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen  G-invarian  dari  X  adalah  dirumuskan  untuk . Himpunan dari semua  x  dilambangkan XG dan disebut  G-invarians  dari  X . Ketika  X  adalah Modul-G, XG adalah grup zeroth kohomologi dari  G  dengan koefisien dalam  X , dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah functor turunan dari functor dari  G -invarian.

Titik tetap dan subgrup penstabil 
Diberikan  g  dalam  G  dan  x  dalam  X  dengan , dikatakan bahwa " x  adalah titik tetap dari  g " atau " g  memperbaiki  x ". Untuk setiap  x  dalam  X , subkelompok penstabil dari  G  sehubungan dengan  x  (juga disebut  grup isotropi  atau  kelompok kecil ) adalah himpunan semua elemen di  G  yang memperbaiki  x :

Ini adalah subgrup dari  G , meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan  G  pada  X  adalah bebas jika dan hanya jika semua penstabil trivial. Kernel  N  dari homomorfisme dengan grup simetris, , diberikan oleh persimpangan dari penstabil Gx untuk  x  dalam  X . Jika  N  sepele, tindakan tersebut dikatakan sesuai (atau efektif).

Misalkan  x  dan  y  menjadi dua elemen dalam  X , dan biarkan  g  menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga . Kemudian dua grup penstabil Gx dan Gy dihubungkan oleh . Bukti: menurut definisi,  jika dan hanya jika . Menerapkan  g  −1  ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan ; itu adalah, . Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil  dan seandainya .

Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah konjugasi satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan kelas konjugasi dari subkelompok  G  (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan  menunjukkan kelas konjugasi  H . Kemudian orbit  O  bertipe  jika penstabil  dari beberapa/sesuatu  x  pada  O  milik . Jenis orbit mtindakanmal sering disebut jenis orbit utama.

dan lema Burnside 
Orbit dan penstabil terkait erat. Untuk tetap  x  dalam  X , pertimbangkan peta f:G → X diberikan oleh g ↦ g·x. Menurut definisi gambar f(G) dari peta ini adalah orbit  G · x . Syarat dua elemen untuk memiliki citra yang sama adalah
.
Dengan kata lain,   jika dan hanya jika   dan  berada di tempat yang sama kohimpunan untuk subgrup penstabil . Jadi, serat  dari  f  di atas setiap  y  di  G  ·  x  terkandung dalam koset tersebut, dan setiap koset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu  f  mendefinisikan bijeksi antara himpunan  kohimpunan untuk subgrup penstabil dan orbit  G  ·  x , yang mengirimkan . Hasil ini dikenal sebagai  teorema penstabil orbit .

Jika  G  berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan Teorema Lagrange, memberikan

dengan kata lain panjang orbit  x  kali urutan penstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah pembagi dari ordo grup.

 Contoh: Misalkan  G  menjadi sekelompok orde utama  p  yang bekerja pada himpunan  X  dengan elemen  k . Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau  p , setidaknya ada  orbit dengan panjang 1 yang merupakan  G  elemen invarian.

Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana  X  juga terbatas).

 Contoh:  Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah graf. Pertimbangkan grafik kubik seperti yang digambarkan, dan biarkan  G  menunjukkan grup keautomorfan. Kemudian G bertindak pada himpunan verteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat kubus. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, . Menerapkan teorema sekarang ke penstabil  G  1 , kita bisa mendapatkan . Setiap elemen  G  yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh  yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, . Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan . Setiap elemen  G  yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi . Salah satunya juga melihat bahwa  hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari  G  yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan .

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah lema Burnside:

dimana Xg himpunan titik tetap oleh g . Hasil ini terutama digunakan ketika G dan X terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

Menetapkan grup G , himpunan perbedaan formal dari G hingga, himpunan membentuk gelanggang yang disebut gelanggang Burnside dari G , di mana penjumlahan sesuai dengan disjoint union, dan perkalian dengan produk Kartesius.

Tindakan grup dan grupoid 
Gagasan tindakan kelompok dapat diletakkan dalam konteks yang lebih luas dengan menggunakan  tindakan groupoid   terkait dengan tindakan kelompok, sehingga memungkinkan teknik dari teori grupoid seperti presentasi dan fibrasi. Selanjutnya, penstabil tindakan adalah kelompok puncak, dan orbit tindakan adalah komponen, dari tindakan grupoid. Untuk lebih jelasnya, lihat buku Topologi dan groupoids  yang direferensikan di bawah ini

tindakan groupoid ini hadir dengan morfisme  p :  G ′  →  G  yang merupakan morfisme yang menutupi grupoid. Hal ini memungkinkan adanya hubungan antara morfisme tersebut dan peta peliputan dalam topologi.

Galeri

Lihat pula 
 Tindakan grup terukurkan
 Graf gain
 Grup dengan operator
 Tindakan monoid

Referensi

Catatan

Kutipan

Lain 
 
 Brown, Ronald (2006). Topology and groupoids, Booksurge PLC, .
Categories and groupoids, P.J. Higgins , downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.

Pranala luar 
 
 

Teori grup
 
Teori representasi grup
Simetri