Kesetaraan Morita

Dalam aljabar abstrak, Kesetaraan Morita adalah hubungan yang didefinisikan antara gelanggang yang mempertahankan banyak sifat teori gelanggang. Nama rumus ini dinamai oleh matematikawan asal Jepang Kiiti Morita yang mendefinisikan kesetaraan dan gagasan serupa tentang dualitas pada tahun 1958.

Motivasi 
Gelanggang biasanya dipelajari dalam istilah modul, as modul dapat dilihat sebagai representasi gelanggang. Setiap gelanggang  R  memiliki  R  alami struktur modul pada dirinya sendiri di mana tindakan modul didefinisikan sebagai perkalian di dalam gelanggang, jadi pendekatan melalui modul lebih umum dan memberikan informasi yang berguna. Because of this, one often studies a ring by studying the category of modules over that ring. Kesetaraan Morita membawa sudut pandang ini ke kesimpulan alami dengan mendefinisikan cincin menjadi setara Morita jika kategori modul mereka adalah setara. Gagasan ini hanya menarik ketika berhadapan dengan gelanggang nonkomutatif, karena dapat ditunjukkan bahwa dua cincin komutatif adalah ekuivalen Morita jika dan hanya jika keduanya isomorfik.

Definisi 
Dua gelanggang  R  dan  S  (asosiatif, dengan 1) dikatakan (Morita) setara jika ada persamaan kategori (kiri) modul di atas  R ,  R-Mod , dan kategori modul (kiri) di atas  S ,  S-Mod . Dapat ditunjukkan bahwa kategori modul kiri  R-Mod  dan  S-Mod  adalah setara jika dan hanya jika kategori modul kanan  Mod-R  dan  Mod-S  adalah setara. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa setiap functor dari  R-Mod  hingga  S-Mod  yang menghasilkan kesetaraan secara otomatis additive.

Kriteria kesetaraan 
Persamaan dapat dikarakterisasi sebagai berikut: if F:R-Mod  S-Mod and G:S-Mod R-Mod adalah aditif (kovarian) functors, maka  F  dan  G  adalah padanan jika dan hanya jika ada keseimbangan (S,R)-bimodule P seperti SP  dan  PR  adalah dihasilkan secara terbatas proyektif generator dan ada isomorfisme alami dari fungtornya , dan dari para funktor  Generator proyektif yang dihasilkan secara tak terbatas juga kadang-kadang disebut progenerator untuk kategori modulnya.

Untuk setiap kanan-tepat functor  F  dari kategori kiri -  R  modul ke kategori kiri -  S  modul yang bolak-balik dengan jumlah langsung, Teorema aljabar homologis menunjukkan bahwa ada  (S, R)  - bimodule  E  sehingga funktor  secara alami isomorfik ke funktor . Karena kesetaraan dengan kebutuhan tepat dan bolak-balik dengan jumlah langsung, ini menyiratkan bahwa  R  dan  S  adalah Morita setara jika dan hanya jika ada bimodule RMS dan SNR sehingga  sebagai (R,R) bimodul dan  sebagai  (S, S)  bimodules. Selain itu,  N  dan  M  terkait melalui isomorfisma bimodule  (S, R) : .

Lebih konkret, dua cincin  R  dan  S  adalah Morita setara jika dan hanya jika  untuk modul progenerator PR,
 
(isomorfisma cincin) untuk beberapa bilangan bulat positif  n  dan idempotensi penuh  e  di cincin matriks Mn(R).

Diketahui bahwa jika  R  adalah Morita setara dengan  S , maka cincin C ( R ) isomorfik ke gelanggang C ( S ), R/J(R) adalah Morita setara dengan S/J(S), di mana  J  (-) menunjukkan radikal Jacobson.

Sementara cincin isomorfik setara Morita, cincin setara Morita bisa nonisomorfik. Contoh mudahnya adalah bahwa gelanggang pembagian  D  adalah Morita yang setara dengan semua gelanggang matriksnya Mn(D), tetapi tidak bisa menjadi isomorfik bila  n > 1. Dalam kasus khusus cincin komutatif, cincin ekivalen Morita sebenarnya isomorfik. Ini segera mengikuti dari komentar di atas, karena jika  R  adalah Morita setara dengan  S , .

Signifikansi dalam teori-K 
Jika dua Gelanggang setara dengan Morita, Ada persamaan induksi dari masing-masing kategori modul proyektif karena kesetaraan Morita akan mempertahankan urutan yang tepat (dan karenanya modul proyektif). Karena teori-K aljabar sebuah cincin ditentukan (dalam Pendekatan Quillen) dalam hal grup homotopi dari (kira-kira) ruang klasifikasi dari saraf dari kategori (kecil) modul proyektif yang dihasilkan secara halus di atas gelanggang, Cincin ekuivalen Morita harus memiliki gugus-K isomorfik.

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
 

 Modul
Teori gelanggang
Fungsi penyesuaian
Teori dualitas
Kesetaraan (matematika)