Persamaan Diophantus

Dalam matematika, persamaan Diophantus adalah persamaan polinomial, biasanya dalam dua atau lebih tidak diketahui, sedemikian rupa sehingga hanya bilangan bulat dari nol bilangan penyelesaian yang dapat dicari atau dipelajari (penyelesaian bilangan bulat sedemikian rupa sehingga semua yang tidak diketahui mengambil nilai bilangan bulat). Persamaan Diophantus linear menyamakan jumlah dari dua atau lebih monomial, masing-masing derajat 1 di salah satu variabel, dengan sebuah konstanta. Persamaan Diophantus eksponensial adalah persamaan yang eksponennya tidak diketahui.

Masalah Diophantus memiliki persamaan yang lebih sedikit daripada variabel yang tidak diketahui dan melibatkan pencarian bilangan bulat yang bekerja dengan benar untuk semua persamaan. Dalam bahasa yang lebih teknis, mereka mendefinisikan kurva aljabar, permukaan aljabar, atau objek yang lebih umum, dan menanyakan tentang titik kekisi di atasnya.

Kata Diophantus mengacu pada matematikawan Helenistik dari abad ke-3, Diophantus dari Alexandria, yang mempelajari persamaan tersebut dan merupakan salah satu ahli matematika pertama yang memperkenalkan simbolisme ke dalam aljabar. Studi matematika tentang masalah Diophantus yang dimulai Diophantus sekarang disebut analisis Diophantus.

Sementara persamaan individu menyajikan semacam teka-teki dan telah dipertimbangkan sepanjang sejarah, perumusan teori umum persamaan Diophantus (di luar teori bentuk kuadrat) adalah pencapaian abad kedua puluh.

Contoh 
Dalam Persamaan Diophantus berikut ini, , , , dan  adalah yang tidak diketahui dan huruf lainnya diberi konstanta:

Persamaan Diophantus linear

Satu persamaan 
Persamaan Diophantus linear paling sederhana mengambil bentuk , dimana ,  dan  adalah bilangan bulat yang diberikan. Penyelesaiannya dijelaskan oleh teorema berikut:
 Persamaan Diophantus memiliki penyelesaian (dimana  dan  adalah bilangan bulat) jika dan hanya jika  adalah kelipatan dari faktor persekutuan terbesar dari  dan . Selain itu, jika  adalah penyelesaiannya, maka penyelesaian lain memiliki bentuk , dimana  adalah bilangan bulat sembarang, dan  dan  adalah hasil dari  dan  (masing-masing) oleh pembagi persekutuan terbesar dari  dan .

Bukti: Jika  adalah pembagi persekutuan terbesar ini, identitas Bézout menegaskan keberadaan bilangan bulat  dan   termasuk bilangan bulat . Jika  adalah kelipatan dari , maka  adalah untuk beberapa penyelesaian bilangan bulat , dan . Di sisi lain, untuk setiap pasangan bilangan bulat  dan , faktor persekutuan terbesar  untuk  dan  dan memisahkan . Jadi, jika persamaan memiliki penyelesaian, maka  harus kelipatan . Jika  dan  adalah bilangan bulat yang sudah lama untuk setiap penyelesaian , kita memiliki
,
Bilangan tersebut menunjukkan  adalah bagian bilangan penyelesaian lain. Akhirnya diberikan dua penyelesaian sehingga , maka kita dapat menyimpulkan bilangan bulat . Karena  dan  adalah koprima, lema Euklides menunjukkan bahwa  membagi , dan demikian terdapat bilangan bulat  seperti bilangan  dan . Oleh karena itu,  dan  adalah bilangan yang melengkapi buktinya.

Teorema sisa Cina 

Teorema sisa Cina adalah hal yang menjelaskan kelas penting dari sistem persamaan Diophantus linear: misalkan  adalah bilangan bulat koprima sesepenggal  yang lebih besar dari satu,  adalah sistem bilangan bulat sembarang , dan  adalah hasilkali . Teorema sisa Cina menyatakan bahwa sistem Diophantus linear berikut memiliki tepat satu penyelesaian  sehingga bilangan bulatnya adalah , dan bahwa penyelesaiannya diperoleh dengan menambahkan ke  dengan kelipatan :

Sistem persamaan Diophantus linear 
Secara lebih umum, setiap sistem persamaan Diophantus linear dapat dipecahkan dengan menghitung bentuk normal Smith dari matriksnya, dengan cara yang serupa dengan penggunaan bentuk eselon baris tereduksi untuk memecahkan sistem persamaan linear di atas sebuah medan. Menggunakan notasi matriks setiap sistem persamaan Diophantus linear dapat ditulis
,
dimana  adalah matriks bilangan bulat , sedangkan  adalah matriks kolom  yang tidak diketahui dan  adalah matriks kolom bilangan bulat .

Perhitungan bentuk normal Smith dari  menyediakan dua matriks unimodular (yaitu matriks terbalikkan atas bilangan bulat dan memiliki  sebagai determinan)  dan  dari masing-masing dimensi  dan , sedemikian rupa sehingga matriks

sehingga  taknol untuk  tidak lebih besar dari suatu bilangan bulat , dan semua entri lainnya adalah nol. Sistem yang akan diselesaikan dengan demikian dapat ditulis ulang sebagai
. Pengalihan  dari entri  dan  dari , ini mengarah ke sistem
 untuk ,
 untuk .
Sistem ini setara dengan yang diberikan dalam pengertian berikut: Matriks kolom bilangan bulat  adalah penyelesaian dari sistem yang diberikan jika dan hanya jika  untuk beberapa matriks kolom bilangan bulat  sehingga .

Oleh karena itu, sistem memiliki penyelesaian jika dan hanya jika  membagi  untuk  dan  untuk . Jika syarat ini terpenuhi, penyelesaian dari sistem yang diberikan adalah

dimana  adalah bilangan bulat acak.

Bentuk normal Hermite dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan Diophantus linear. Namun, bentuk normal Hermite tidak langsung memberikan penyelesaian; untuk mendapatkan penyelesaian dari bentuk normal Hermite, salah satunya harus memecahkan beberapa persamaan linier secara berturut-turut. Namun demikian, Richard Zippel menulis bahwa bentuk normal Smith "itu agak lebih dari sebenarnya dibutuhkan untuk memecahkan persamaan Diophantus linear. Daripada mereduksi persamaan menjadi bentuk diagonal, kita hanya perlu membuatnya menjadi segitiga, yang disebut bentuk normal Hermite. Bentuk normal Hermite jauh lebih mudah dihitung daripada bentuk normal Smith."

Pemrograman linear pada bilangan bulat berarti menemukan beberapa penyelesaian bilangan bulat (optimal dalam beberapa hal) dari sistem linear yang juga mencakup pertidaksamaan. Jadi sistem persamaan Diophantus linier adalah dasar dalam konteks ini, dan buku teks tentang pemrograman bilangan bulat biasanya membahas sistem persamaan Diophantus linear.

Persamaan homogen 
Persamaan Diophantus homogen adalah persamaan Diophantus yang didefinisikan oleh sebuah polinomial homogen. Persamaan khas tersebut adalah persamaan dari Teorema terakhir Fermat
.

Sebagai polinomial homogen di  indeterminates mendefinisikan hiperpermukaan dalam ruang proyektif dimensi , memecahkan persamaan Diophantus homogen sama dengan mencari titik rasional dari hiperpermukaan proyektif.

Memecahkan persamaan Diophantus yang homogen umumnya merupakan masalah yang sangat sulit, bahkan dalam kasus taktrivial yang paling sederhana dari tiga faktor tak tentu (dalam kasus dua tak tentu, masalahnya setara dengan pengujian jika bilangan rasional adalah pangkat  dari bilangan rasional lain). Saksi dari kesulitan soal adalah Teorema Terakhir Fermat (untuk , tidak ada penyelesaian integer dari persamaan di atas), yang membutuhkan lebih dari tiga abad upaya matematikawan untuk memecahkannya.

Untuk derajat yang lebih tinggi dari tiga, hasil yang paling dikenal adalah teorema yang menyatakan bahwa tidak ada penyelesaian (misalnya Teorema terakhir Fermat) atau bahwa jumlah penyelesaiannya terbatas (misalnya Teorema Falting).

Untuk tingkat tiga, ada metode penyelesaian umum, yang bekerja pada hampir semua persamaan yang ditemui dalam praktik, tetapi tidak ada algoritme diketahui yang berfungsi untuk setiap persamaan kubik.

Derajat dua 
Persamaan Diophantus homogen dari derajat dua lebih mudah untuk dipecahkan. Metode penyelesaian standar diteruskan dalam dua langkah. Salah satunya pertama-tama mencari satu penyelesaian, atau membuktikan bahwa tidak ada penyelesaian. Ketika sebuah penyelesaian telah ditemukan, semua penyelesaian kemudian dideduksikan.

Untuk membuktikan bahwa tidak ada penyelesaiannya, salah satu dapat mereduksi persamaan modulo . Contohnya, persamaan Diophantus

 ,

tidak memiliki suatu penyelesaian lainnya daripada penyelesaian trivial . Faktanya, dengan membagi ,  dan  oleh faktor persekutuan terbesarnya, salah satunya dapat menganggap bahwa terdapat koprima. Modulo kuadrat 4 kongruen dengan 0 dan 1. Demikian ruas kiri dari persamaan kongruen dengan 0, 1, atau 2, dan ruas kanannya kognruen dengan 0 atau 3. Demikian persamaannya dapat diperoleh hanya jika ,  dan  adalah bilangan genap semua, dan demikian bukanlah koprima. Dengan demikian satu-satunya penyelesaiannya adalah penyelesaian trivial . Ini menunjukkan bahwa tidak ada titik rasional pada sebuah lingkaran dengan radius  terpusat di asalnya.

Lebih umumnya, prinsip Hasse memungkinkan penentuan apakah sebuah persamaan Diophantus homogen derajat dua memiliki sebuah penyelesaian bilangan bulat, dan menghitung sebuah penyelesaian jika ada.

Jika sebuah penyelesaian bilangan bulat taktrivial diketahui, salah satunya dapat menghasilkan semua penyelesaian lainnya dalam cara berikut ini.

Interpretasi geometrik 
Misalkan

 

menjadi sebuah persamaan Diophantus homogen, dimana  adalah sebuah bentuk kuadrat (yaitu, sebuah polinomial homogen derajat 2), dengan koefisien bilangan bulat. Penyelesaian trivial merupakan sebuah penyelesaiannya dimana semua  adalah nol. Jika  adalah sebuah penyelesaian bilangan bulat taktrivial mengenai persamaan ini, maka  adalah koordinat homogen titik rasional dari hiperpermukaan didefinisikan oleh . Sebaliknya, jika   adalah koordinat homogen titik rasional dari hiperpermukaan ini, dimana  adalah bilangan bulat, maka  adalah sebuah penyeleisaian bilangan bulat dari persamaan Diophantus. Selain itu, penyelesaian bilangan bulat yang menentukan sebuah titik rasional yang diberikan adalah semua barisan dari bentuk

 ,

dimana  adalah suatu bilangan bulat, dan  adalah faktor persekutuan terbesar dari .

Ini mengikuti bahwa menyelesaikan persamaan Diophantus  tereduksi sempurna untuk mencari titik rasional dari hiperpermukaan projektif berpadanan.

Parameterisasi 
Sekarang misalkan  menjadi penyelesaian bilangan bulat dari persamaan  Karena  adalah sebuah polinomial derajat dua, sebuah garis lewat melalui  menyilang hiperpermukaan di sebuah titik tunggal lainnya, yang mana merupakan rasional jika dan hanya jika garisnya rasional (yaitu, jika garisnya didefinisikan oleh parameter rasional). Ini memungkinkan memparameterisasikan hiperpermukaan oleh garis lewat melalui , dan titik rasional adalah itu yang diperoleh dari garis-garis rasional, yakni, itu yang berpadan dengan nilai-nilai rasional dari parameter.

Lebih tepatnya, salah satunya dapat dilanjutkan sebagai berikut.

Dengan mengubah urutan indeks, salah satunya dapat menganggap, tanpa mengurangi keumuman bahwa  Maka salah satunya dapat lewat ke kasus afin dengan menganggap hiperpermukaan afin didefinisikan oleh

 ,

yang mana memiliki titik rasional

 .

Jika titik rasional ini merupakan sebuah titik tunggal, yakni jika semua turunan parsial adalah nol di , semua garis lewat melalui  diisi di hipepermukaannya, dan salah satunya memiliki sebuah kerucut. Perubahan peubahnya

 

tidak mengubah titik rasionalnya, dan mengubah  menjadi sebuah polinomial homogen di  peubah. Dalam kasus ini, masalahnya dapat demikian dipecahkan dengan menerapkan metode untuk sebuah persamaan dengan beberapa peubah.

Jika polinomial  adalah sebuah hasilkali polinomial linear (mungkin dengan koefisien takrasional), maka ini menentukan dua hiperbidang. Perpotongan mengenai hiperbidang ini adalah sebuah datar rasional, dan berisi titik tunggal rasional. Kasus ini demikian sebuah contoh khusus dari kasus sebelumnya.

Dalam kasus umum, misalkan anggap persamaan parametrik mengenai sebuah garis lewat melalui :

 

Memasukkan ini di , salah satunya mendapatkan sebuah polinomial derajat dua di  yaitu nol untuk . Ini demikian terbagi oleh . Hasil baginya adalah linear di , dan dapat dipecahkan untuk mengungkapkan  sebagai sebuah hasil bagi dua polinomial dengan derajat setidaknya dua di , dengan koefisien bilangan bulat:

 .

Memasukkan ini dalam ungkapannya untuk , salah satunya mendapatkan, untuk ,

 ,

dimana  polinomial derajat setidaknya dua dengan koefisien bilangan bulat.

Kemudian, salah satunya dapat membalikkan ke kasus homogen. Misalkan, untuk ,

 ,

menjadi homogenisasi dari  Polinomial-polinomial kuadrat ini dengan koefisien bilangan bulat membentuk sebuah parameterisasi dari hiperpermukaan projektif didefinisikan oleh :

 

Sebuah titik dari hiperpermukaan projektif didefinisikan oleh  adalah rasional jika dan hanya jikai ini dapat diperoleh dari nilai-nilai rasional dari . Karena  adalah polinomial homogen, titiknya tidak berubah jika semua   dikalikan oleh bilangan rasional yang sama. Demikian, salah satunya dapat menganggap bahwa  adalah bilangan bulat koprima. Ini mengikuti bahwa penyelesaian bilangan bulat dari persamaan Diophantus persisnya barisan  dimana, untuk ,

 ,

dimana  adalah sebuah bilangan bulat,  adalah bilangan bulat koprima, dan  adalah faktor persekutuan terbesar dari  bilangan bulat .

Salah satunya daoat berharap bahwa koprimalitas dari  dapat menyiratkan bahwa . Sayangnya, ini bukanlah kasusnya, sepertin yang ditunjukkan dalam bagian selanjutnya.

Contoh rangkap tiga Pythagoras 
Persamaan

 

mungkin persamaan Diophantus homogen pertama derajat dua yang telah dipelajari. Penyelesaiannya adalah rangkap tiga Pythagoras. Ini juga merupakan persamaan homogen dari lingkaran satuan. Dalam bagian ini, kita menunjukkan bagaimana metode di atas memungkinkan memperoleh rumus Eukild untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras.

Untuk memperoleh persisnya rumus Euklid, kita mulai dari penyelesaian , berpadanan dengan titik  dari lingkaran satuan. Sebuah garis lewat melalui titik ini dapati diparameterisasikan oleh lerengnya:

 .

Menaruh ini di persamaan lingkaran

 ,

salah satunya mendapatkan

 .

Dibagi oleh , hasilnya dalam

 ,

yang mudah untuk dipecahkan dalam :

 .

Ini mengikuti

 .

Menghomogenisasi seperti digambarkan di atas salah satunya mendapatkan semua penyelesaian sebagai

 

dimana  adalah suatu bilangan bulat,  dan  adalah bilangan bulat koprima, dan  adalah faktor persekutuan terbesar dari tiga pembilang. Faktanya,  jika  dan  adalah ganjil keduanya, dan  jika satunya adalah ganjil dan yang lainnya adalah genap.

Rangkap tiga primitif adalah penyelesaiannya dimana  dan .

Deskripsi ini dari penyelesaian sikit berbeda dari rumus Euklid karena rumus Euklid menganggap hanya penyelesaiannya sehingga ,  dan  adalah positif semua, dan tidak membedakan di antara dua rangkap tiga yang berbeda oleh pertukaran  dan ,

Analisis Diophantus

Pertanyaan khas 

Pertanyaan yang diajukan dalam analisis Diophantus meliputi:

Apakah ada penyelesaiannya?
Apakah ada penyelesaiannya selain beberapa yang mudah ditemukan dengan inspeksi?
Apakah penyelesaiannya terhingga atau takterhingga?
Dapatkah semua penyelesaiannya ditemukan dalam teori?
Dapatkah salah satunya dalam prakteknya menghitung daftar lengkap penyelesaian?

Masalah tradisional ini sering tidak terpecahkan selama berabad-abad, dan ahli matematika secara bertahap mulai memahami kedalamannya (dalam beberapa kasus), daripada memperlakukannya sebagai teka-teki.

Masalah khas 
Informasi yang diberikan adalah bahwa usia seorang ayah adalah 1 kurang dari dua kali lipat dari putranya, dan itu digit  yang membentuk usia ayah dibalik dalam usia putranya (misalkan ). Ini mengarah ke persamaan , jadi . Inspeksinya memberikan hasil , , dan dengan demikian  sama dengan 73 tahun dan  sama dengan 37 tahun. Salah satunya dapat dengan mudah menunjukkan bahwa tidak ada penyelesaian lain dengan  dan  bilangan bulat positif kurang dari 10.

Banyak teka-teki terkenal di bidang matematika rekreasional yang mengarah pada persamaan Diophantus. Contohnya termasuk Masalah Cannonball, Masalah ternak Archimedes dan Monyet dan kelapa.

Abad ke-17 dan ke-18 
Pada tahun 1637, Pierre de Fermat mencoret-coret pada margin mengenai salinannya dari Arithmetica: "Ini mustahil untuk memisahkan sebuah kubik menjadi dua kubik,atau pangkat empat menjadi dua pangkat empat , atau umumnya,suatu pangkat lebih tinggi daripada keduanya menjadi dua seperti pangkat." Dinyatakan dalam bahasa lebih modern, "Persamaan  tidak memiliki penyelesaian untuk suatu  lebih tinggi daripada 2." Mengikuti ini, dia menulis: "Aku telah menemukan sebuah bukti yang sangat menakjubkan mengenai proposisi ini, yang margin ini terlalu sempit untuk memuat." Seperti sebuah bukti dielakkan matematikawan berabad-abad, namun, dan dengan demikian pernyataannya menjadi terkenal sebagai Teorema Terakhir Fermat. Tidak sampai tahun 1995 bahwa ini dibuktikan oleh matematikawan Inggris bernama Andrew Wiles.

Pada tahun 1657, Fermat mencoba untuk memecahkan persamaan Diophantus  (dipecahkan oleh Brahmagupta lebih dari 1000 tahun sebelumnya). Persamaan pada akhirnya dipecahkan oleh Euler awal abad ke-18, yang juga dipecahkan sebagai bilangan mengenai persamaan Diophantine lainnya. Penyelesaian terkecil persamaan ini dalam bilangan bulat positif adalah ,  (lihat metode Chakravala).

Masalah Hilbert kesepuluh 
Pada tahun 1900, David Hilbert mengusulkan kemampuan semua persamaan Diophantus sebagai kesepuluh dari masalah dasarnya pada tahun 1970, Yuri Matiyasevich memecahkannya secara negatif, dengan membuktikan bahwa sebuah algoritme umum untuk memecahkan semua persamaan Diophantus tidak ada.

Geometri Diophantus 
Geometri Diophantus, yang merupakan penerapan teknik untuk geometri aljabar dalam bidang ini, tumbuh terus sebagai sebuah hasil; karena memperilaku persamaan sembarang adalah buntu, perhatiannya berubah menjadi persamaan yang juga memiliki sebuah arti geometrik. Gagasan pusat mengenai geometri Diophantus adalah bahwa titik rasional, yaitu sebuah penyelesaian untuk sebuah persamaan polinomial atau sebuah sistem persamaan polinomial, yang merupakan sebuah vektor dalam sebuah medan ditentukan , ketika  bukanlah tertutup secara aljabar.

Penelitian modern 
Salah satu dari beberapa pendekatan umum melalui prinsip Hasse. Penurunan takhingga adalah metode tradisional, dam telah didorong jauh.

Kedalaman dari studi persamaan Diophantus umum ditunjukkan oleh pencirian himpunan Diophantus dengan setara digambarkan sebagai terbilang secara rekursif. Dengan kata lain, masalah umum mengenai analisis Diophantus diberkati atau dikutuki dengan keseluruhan, dan dalam suatu kasus bukanlah sesuatu yang akan dipecahkan kecuali dengan mengungkapkan ulang dalam istilah lain.

Bidang hampiran Diophantus berkenaan dengan kasus pertidaksamaan Diophantus. Disini peubahnya masih dianggap menjadi integral, tapi beberapa koefisien dapat menjadi bilangan irasional, dan tanda persamaannya digantikan oleh batas atas dan bawah.

Salah satu pertanyaan yang paling dirayakan dalam bidangnya, konjekturnya dikenal sebagai Teorema Terakhir Fermat, dipecahkan oleh Andrew Wiles, menggunakan alat dari geometri aljabar dikembangkan selama abad terakhir daripada dalam teori bilangan dimana konjekturnya dirumuskan mula-mulanya. Hasil utama lainnya, seperti teorema Falting, dibuang dari konjektur tua.

Persamaan Diophantus takhingga 
Sebuah contoh mengenai persamaan Diophantus takhingga adalah:

 ,

yang dapat diungkapkan sebagai "Berapa banyak cara sebuah bilangan bulat  yang diberikan dapat ditulis sebagai jumlah sebuah bilangan kuadrat ditambah dua kali sebuah bilangan kuadrat ditambah tiga kali sebuah bilangan kuadrat dan seterusnya?" Jumlah cara ini dapat diselesaikan untuk setiap membentuk sebuah barisan bilangan bulat. Persamaan Diophantus takhingga berkaitan dengan fungsi theta dan kekisi berdimensi takhingga. Persamaan ini selalu memiliki sebuah penyelesaian unuk suatu bilangan positif . Bandingkan ini dengan:

 ,

yang tidak selalu memiliki sebuah penyelesaian untuk bilangan positif .

Persamaan Diophantus eksponensial 
Jika persamaan Diophantus memiliki peubah tambahan atau peubah yang muncul sebagai eksponen, Hal tersebut merupakan persamaan Diophantus eksponensial. Contohnya termasuk persamaan Ramanujan–Nagell, , dan persamaan konjektur Fermat-Catalan dan konjektur Beal,  dengan perbatasan pertidaksamaan pada eksponen. Teori umum untuk persamaan semacam itu tidak tersedia; kasus-kasus tertentu seperti konjektur Catalan telah ditangani. Namun, mayoritas dipecahkan melalui metode ad hoc seperti Teorema Størmer atau bahkan percobaan dan kesalahan.

Lihat pula 
 Algoritme Kuṭṭaka, Aryabhata untuk menyelesaikan persamaan Diophantus linear dalam dua hal yang tidak diketahui

Catatan

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289–306
Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Izabella G. “Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré” Historia Mathematica 8 (1981), 393-416.
Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E.I. History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat. Moscow: Nauka 1984 [in Russian].
Bashmakova, Izabella G. “Diophantine Equations and the Evolution of Algebra,” American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, pp. 85–100. Translated by A. Shenitzer and H. Grant.
 
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.

Pranala luar 

Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.

Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009