Integral Fresnel

Integral Fresnel pada nilai S(x) dan C(x) adalah dua fungsi transendental yang ditemukan oleh Augustin-Jean Fresnel yang digunakan dalam optik dan terkait erat dengan fungsi kesalahan (erf). Ketika muncul dalam deskripsi fenomena difraksi Fresnel pada medan terdekat dan dapat didefinisikan melalui representasi integral, sebagai berikut:

 

Dari rumus di atas plot parametrik simulasi dari nilai S(x) dan nilai C(x) adalah hasil nilai spiral Euler atau juga dikenal sebagai spiral Cornu atau clothoid. Baru-baru ini, mereka telah digunakan dalam desain jalan raya dan proyek teknik lainnya.

Definisi 

Integral Fresnel menerima ekspansi deret pangkat berikut yang menyatu untuk semua yaitu nilai x:

Beberapa tabel yang banyak digunakan adalah nila  saat digantikan oleh nilai  untuk argumen integral yang merumuskan nilai S(x) dan C(x).  Hal tersebut dapat mengubah limit tak hingga dari nilai  untuk nilai  dan panjang busur yang digunakan untuk putaran spiral pertama  to 2 (at ). Fungsi alternatif saat ini biasanya dikenal sebagai Integral Fresnel yang Dinormalisasi.

Spiral Euler 

Spiral Euler, atau dikenal juga sebagai Cornu spiral atau clothoid, adalah kurva yang dihasilkan oleh plot parametrik dari  melawan . Spiral Cornu diciptakan oleh Marie Alfred Cornu sebagai nomogram untuk komputasi difraksi dalam sains dan teknik.

Dari definisi integral Fresnel, infinitesimal  dan  demikian:

Dengan demikian panjang spiral yang diukur dari asal dapat dinyatakan sebagai

 

Artinya, parameter  adalah panjang kurva yang diukur dari titik asal , dan spiral Euler memiliki panjang tak terbatas. The vector  juga mengekspresikan satuan vektor tangen di sepanjang spiral, memberi . Karena t adalah panjang kurva, maka kelengkungan tersebut  dapat dinyatakan sebagai
 

Dengan demikian laju perubahan kelengkungan terhadap panjang kurva adalah
 

Spiral Euler memiliki sifat bahwa kelengkungan pada titik mana pun sebanding dengan jarak sepanjang spiral, diukur dari titik awalnya.  Properti ini membuatnya berguna sebagai kurva transisi dalam teknik jalan raya dan perkeretaapian: Jika kendaraan mengikuti spiral dengan kecepatan satuan, parameter  di turunan di atas juga mewakili waktu. Akibatnya, kendaraan yang mengikuti spiral dengan kecepatan konstan akan memiliki laju konstan percepatan sudut.

Bagian dari spiral Euler biasanya digabungkan ke dalam bentuk loop roller coaster untuk membuat apa yang dikenal sebagai lingkaran clothoid.

Properti 
 C(x) dan  S(x) adalah fungsi ganjil dari x.
 Asimtot integral Fresnel sebagai  diberikan oleh rumus:

 

 Dengan menggunakan ekspansi deret pangkat di atas, integral Fresnel dapat diperpanjang ke domain bilangan kompleks s, di mana mereka menjadi fungsi analitik dari variabel kompleks.
 C(z) dan  S(z) adalah seluruh fungsi dari variabel kompleks z.
 Integral Fresnel dapat diekspresikan menggunakan fungsi kesalahan sebagai berikut:

 

atau

Generalisasi 
Integral
 

Integral adalah fungsi hipergeometrik konfluen dan juga fungsi gamma tidak lengkap.

 

Integral direduksi menjadi integral Fresnel jika bagian nyata atau imajiner diambil:

 .

Istilah utama dalam ekspansi asimtotik adalah:

 

Oleh karena itu, dapat diberikan kesimpulan bahwa:
 

Untuk m = 0, bagian imajiner dari persamaan ini secara khusus adalah:

 

Dengan sisi kiri menyatu untuk a> 1 dan sisi kanan menjadi ekstensi analitiknya ke seluruh bidang kurang di mana letak kutub .

Transformasi Kummer dari fungsi hipergeometrik konfluen adalah

 

Dengan

Penggunaan Integral Fresnel 

Penggunaan Integral Fresnel pada awalnya digunakan dalam perhitungan intensitas medan elektromagnetik di lingkungan di mana cahaya membelok di sekitar objek buram.

Baru-baru ini, mereka telah menggunakan perhitungan ini sebagai desain jalan raya dan rel kereta api, khususnya zona transisi kelengkungannya, lihat kurva transisi lintasan. developed a set of efficient approximations based on rational functions that give relative errors down to . atau menghitung transisi pada trek velodrome untuk memungkinkan masuknya cepat ke tikungan dan keluar secara bertahap. .

Lihat pula 
 Integral Böhmer
 Zona Fresnel
 Lacak kurva transisi
 Spiral euler
 Pelat zona
 Integral Dirichlet
 Fungsi Kerucut dan Parabola
 Fungsi Bessel
 Rumus Vieta

Referensi 

Integral