Darab (matematika)

Dalam matematika, darab adalah hasil dari perkalian, atau ekspresi yang mengidentifikasi faktor untuk dikalikan. Misalnya, 30 adalah produk dari 6 dan 5 (hasil perkalian), dan  adalah hasil kali  dan  (menunjukkan bahwa kedua faktor tersebut harus dikalikan bersama).

Dimana urutan real atau kompleks adalah perkalian tidak berpengaruh pada darab; ini dikenal sebagai hukum komutatif dari perkalian. Ketika matriks atau anggota dari berbagai aljabar asosiatif lainnya dikalikan, darab biasanya tergantung pada urutan faktor. Perkalian matriks, misalnya, bukan komutatif, demikian juga perkalian dalam aljabar lain secara umum.

Ada banyak jenis darab dalam matematika: selain dapat mengalikan bilangan saja, polinomial atau matriks, apabila mendefinisikan produk pada banyak struktur aljabar yang berbeda.

Darab dari dua bilangan

Darab dari dua bilangan asli

Menempatkan beberapa batu ke dalam pola persegi panjang dengan baris  dan kolom  memberikan

Darab dari dua bilangan bulat
Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. Darab ditentukan oleh darab dari jumlah positif mereka, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:

Kaidah ini merupakan konsekuensi yang diperlukan dari menuntut distributivitas perkalian terhadap penjumlahan, dan bukan merupakan kaidah tambahan.

Dengan kata-kata, kita memiliki:
 Minus kali Minus memberi Plus
 Minus kali Plus memberi Minus
 Plus kali Minus memberi Minus
 Plus kali Plus memberi Plus

Perkalian dua pecahan
Dua pecahan apabila dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya, adalah:

Darab dua bilangan real 

Untuk definisi yang tepat dari darab dua bilangan real, lihat Konstruksi bilangan real.

Rumus

Darab dari dua bilangan kompleks
Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa , sebagai berikut:

Makna geometris dari perkalian kompleks

Bilangan kompleks dapat ditulis dalam koordinat polar:

Selain itu,

apabila memperoleh

Arti geometris adalah bahwa besaran dikalikan dan argumen ditambahkan.

Darab dari dua kuaternion
Produk dari dua quaternions dapat ditemukan di artikel quaternions. Perhatikan, dalam hal ini, bahwa  dan  secara umum berbeda.

Darab barisan

Operator perkalian untuk darab barisan dilambangkan dengan huruf Yunani kapital pi ∏ (dalam analogi penggunaan huruf kapital Sigma ∑ sebagai simbol penjumlahan). Misalnya, ekspresi  adalah cara lain untuk menulis .

Darab dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan adalah bilangan-diri; darab dari tidak ada faktor sama sekali dikenal sebagai darab kosong, dan sama dengan 1.

Gelanggang komutatif 
Gelanggang komutatif memiliki operasi darab.

Kelas residu bilangan bulat

Kelas residu di gelanggang  dapat ditambahkan:

dan dikalikan:

Konvolusi

Dua fungsi dari real ke sendiri apabila dikalikan dengan cara lain, yang disebut konvolusi.

Jika

maka integralnya

didefinisikan dengan rapi dan disebut konvolusi.

Dibawah transformasi Fourier, konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-lawan.

Gelanggang polinomial

Darab dari dua polinomial diberikan oleh yang berikut:

dengan

Darab dalam aljabar linear
Ada banyak jenis produk dalam aljabar linear. Beberapa diantaranya memiliki nama yang mirip (darab luar (outer), darab luar (eksterior)) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (darab luar, darab tensor, darab Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. Penjelasan singkat tentang ini diberikan di bagian berikut:

Perkalian skalar

Dengan definisi ruang vektor, apabila produk skalar dengan vektor, diberikan peta .

Darab skalar

Darab skalar adalah peta bi-linear:

dengan ketentuan sebagai berikut, bahwa  untuk semua .

Dari produk skalar, apabila mendefinisikan norma dengan .

Darab skalar juga memungkinkan untuk menentukan sudut antara dua vektor:

Dalam ruang Euklidean dimensi-, darab skalar standar (disebut darab titik) diberikan oleh:

Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi

Perkalian silang dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus terhadap dua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajar genjang yang direntang oleh dua faktor.

Perkalian silang juga dinyatakan sebagai formal determinan:

Komposisi pemetaan linear

Pemetaan linear didefinisikan sebagai fungsi f antara dua ruang vektor V dan W dengan bidang dasar F, yang memenuhi

Jika hanya mempertimbangkan ruang vektor dimensi hingga, maka

dimana bV dan bW menunjukkan basis dari V dan W, dan vi menunjukkan komponen dari v pada bVi, dan konvensi penjumlahan Einstein diterapkan.

Sekarang kita mempertimbangkan komposisi dua pemetaan linear antara ruang vektor dimensi hingga. Biarkan pemetaan linier f memetakan V ke W, dan pemetaan linear g memetakan W ke U. Apabila jika bisa mendapatkan

Atau dalam bentuk matriks:

di mana elemen kolom i-baris, j-kolom F, dilambangkan dengan Fij, adalah fji, dan Gij=gji.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear diwakilan dengan cara yang sama oleh kaidah perkalian matriks.

Darab dari dua matriks

Diberikan dua matriks

 dan 

darab diberikan oleh

Komposisi fungsi linear sebagai darab matriks
Ada hubungan antara komposisi fungsi linear dan darab dua matriks. Untuk melihat ini, misalkan r = redup(U), s = redup(V) dan t = redup(W) adalah dimensi (hingga) dari ruang vektor U, V dan W. Maka 
 menjadi basis dari U, 
 menjadi basis dari V dan
 menjadi basis dari W. Dalam hal dasar ini, mari

menjadi matriks yang mewakili f : U → V dan
 
menjadi matriks yang mewakili g : V → W. Maka

adalah matriks yang mewakili .

Dengan kata lain: darab matriks adalah deskripsi dalam koordinat komposisi fungsi linear.

Darab tensor dari ruang vektor

Diberikan dua ruang vektor berdimensi hingga V dan W, hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai tensor-(2,0) yang memenuhi:

dimana V* dan W* menunjukkan ruang ganda dari V dan W.

Untuk ruang vektor dimensi tak hingga, satu juga memiliki:
 Darab tensor ruang Hilbert
 Darab tensor topologi.

Darab tensor, darab luar dan darab Kronecker semuanya menyampaikan ide umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa darab Kronecker hanyalah darab tensor dari matriks, hubungan dengan basis yang ditetapkan sebelumnya, sedangkan darab tensor biasanya diberikan dalam definisi intrinsik. Darab luar hanyalah darab Kronecker, hingga pada vektor (bukan matriks).

Kelas semua objek dengan darab tensor
Secara umum, setiap memiliki dua objek matematis yang digabungkan sedemikian rupa sehingga perilaku seperti darab tensor aljabar linear, maka ini dipahami secara umum sebagai darab internal dari kategori monoid. Artinya, kategori monoidal menangkap secara tepat arti dari darab tensor; itu menangkap dengan tepat gagasan mengapa darab tensor perilaku. Lebih tepatnya, kategori monoid adalah kelas dari semua hal (dari tipe) yang memiliki darab tensor.

Darab lain dalam aljabar linear
Jenis darab lain dalam aljabar linear meliputi:

 Darab Hadamard
 Darab Kronecker
 Darab dari tensor:
 Darab baji atau darab eksterior
 Darab dalam
 Darab luar
 Darab tensor

Darab Kartesius
Dalam teori himpunan, darab Kartesius adalah operasi matematika yang mengembalikan himpunan (atau himpunan darab) dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan A dan B, darab Kartesius  adalah himpunan semua pasangan terurut —dimana  dan .

Kelas semua benda (dari jenis tertentu) yang memiliki darab Kartesius disebut kategori Kartesius. Banyak diantaranya adalah Kategori tertutup Kartesius. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

Darab kosong
Darab kosong pada bilangan dan sebagian besar struktur aljabar bernilai 1 (elemen identitas perkalian), sama seperti jumlah kosong memiliki nilai 0 (elemen identitas tambahan). Namun, konsep dara  kosong lebih umum, dan memerlukan perlakuan khusus dalam logika, teori himpunan, pemrograman komputer dan teori kategori.

Darab atas struktur aljabar lainnya
Darab atas jenis struktur aljabar lainnya meliputi:
 darab Cartesian dari himpunan
 darab langsung grup, dan juga darab setengah langsung, darab rajutan dan darab karangan bunga
 darab bebas dari grup
 darab gelanggang
 ranah darab
 darab ruang topologi
 darab sumbu dari variabel acak
 cap, cangkir, Massey dan darab miring dalam topologi aljabar
 darab hancur dan jumlah sisi (terkadang disebut wedge product) di homotopi

Beberapa darab atas adalah contoh gagasan umum tentang darab internal dalam kategori monoid; sisanya dapat dijelaskan dengan gagasan umum tentang darab dalam teori kategori.

Darab dalam teori kategori
Semua contoh sebelumnya adalah kasus khusus atau contoh pengertian umum dari suatu darab. Untuk perlakuan umum pada konsep darab, lihat darab (teori kategori), yang menjelaskan cara menggabungkan dua objek dari beberapa jenis untuk membuat objek, mungkin dari jenis yang berbeda. Namun juga, dalam teori kategori, apabila memiliki:
 darab serat atau halangan,
 kategori darab, kategori yang merupakan darab dari kategori.
 ultradarab, dalam teori model.
 darab dalam dari kategori monoid, yang menangkap esensi darab tensor.

Darab lainnya
 Sebuah darab integral yang sebagai fungsi ekuivalen kontinu dengan produk barisan atau sebagai versi perkalian dari integral normal/standar/aditif. Darab integral juga dikenal sebagai "darab kontinu" atau "kali".
 Perkalian kompleks, teori kurva eliptik.

Lihat pula 

 
 Darab tak tentu
 Produk tak terbatas

Catatan

Referensi

Bibliografi

Perkalian