Subgrup Frattini

Dalam matematika, terutama dalam teori grup, Subgrup Frattini  dari grup  adalah persimpangan dari semua subgrup maksimal dari . Untuk kasus di mana  tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya grup sepele { e } atau grup Prüfer, ini ditentukan oleh . Ini analog dengan Jacobson radikal dalam teori gelanggang, dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai Giovanni Frattini, yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.

Beberapa fakta 
  sama dengan himpunan semua non-generator atau elemen non-penghasil dari . Elemen yang tidak menghasilkan  adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari Menghasilkan himpunan; yaitu, elemen  a  dari  sedemikian rupa sehingga setiap kali  adalah himpunan penghasil  yang berisi  a ,  juga merupakan himpunan pembangkit .
  selalu merupakan subgrup karakteristik dari ; khususnya, ini selalu merupakan subgrup normal dari .
 Jika  terbatas, maka  adalah nilpoten.
 Jika  adalah grup  p , maka . Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) subgrup normal  N  sehingga grup hasil bagi  adalah grup abelian dasar, yaitu isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik dari order  p . Apalagi jika grup kecerdasan  (juga disebut  hasil bagi Frattini  dari ) memiliki urutan , maka  k  adalah jumlah generator terkecil untuk  (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk ). Secara khusus, grup  p  yang terbatas adalah siklik jika dan hanya jika hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan  p ). Grup  p  yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah grup sepele, .
 Jika  dan  terbatas, maka .

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah grup siklik  order , di mana  p  adalah bilangan prima, dihasilkan oleh  a , maka; .

Lihat pula 
 Subgrup Fiting
 Argumen Frattini
 Sokel

Referensi 

   (See Chapter 10, especially Section 10.4.)

Teori grup
Subgrup fungsional