Teorema Lagrange

Dalam teori grup, teorema Lagrange mengatakan bahwa untuk suatu grup hingga  berorde , orde dari setiap subgrup  haruslah membagi . Teorema ini dinamai berdasarkan seorang matematikawan Prancis, Joseph-Louis de Lagrange.

Bukti 
Untuk membuktikan teorema Lagrange, dapat digunakan koset dari suatu subgrup. Akan ditunjukkan bahwa setiap koset suatu subgrup berukuran sama, sehingga haruslah setiap koset dari suatu subgrup  memiliki anggota sebanyak orde dari . Hal ini dapat dilakukan dengan membangun suatu bijeksi  untuk sebarang  dengan . Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan bijeksi dengan invers . Akibatnya, kita dapatkan setiap koset dari subgrup  berukuran sama. Berikutnya, karena koset-koset dari  mempartisi grup  atas akibat dari relasi ekuivalensi , kita dapatkan banyaknya anggota dari  sama dengan banyaknya koset dari  dikali banyaknya anggota dari  (karena semua koset berukuran sama). Akibatnya, kita dapatkan  sehingga orde tiap subgrup haruslah membagi orde grupnya. Dengan demikian kita selesai.

Konvers dari Teorema Lagrange 
Secara umum, konvers dari teorema Lagrange tidak berlaku. Yakni, jika  membagi orde dari , belum tentu terdapat suatu subgrup dari  yang berorde . Sebagai contoh, grup berayun (yakni grup dari permutasi  genap)  yang berorde 12 tidak memiliki subgrup berorde 6.

Matematika