Grup siklik

Dalam teori grup, cabang dari aljabar abstrak, grup siklik atau grup monogen adalah  grup yaitu  dihasilkan oleh satu elemen. Artinya, ini adalah  himpunan dari  dapat dibalik elemen dengan satu asosiatif operasi biner, dan itu berisi elemen  g  sedemikian rupa sehingga setiap elemen grup dapat diperoleh dengan berulang kali menerapkan operasi grup ke  g  atau kebalikannya. Setiap elemen dapat ditulis sebagai pangkat  g  dalam notasi perkalian, atau sebagai kelipatan  g  dalam notasi aditif.  Elemen  g  ini disebut   generator  grup.

Setiap grup siklik tak terbatas adalah isomorfik pada grup aditif dari Z, bilangan bulat. Setiap grup siklik hingga  urutan  n  isomorfik ke grup aditif dari Z/nZ, bilangan bulat  modulo  n . Setiap grup siklik adalah grup abelian (artinya operasi grupnya adalah  komutatif), dan setiap grup abelian  dihasilkan secara terbatas adalah  produk langsung dari grup siklik.

Setiap kelompok siklik dari urutan  prime adalah kelompok sederhana yang tidak dapat dipecah menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil. Di klasifikasi grup sederhana hingga, salah satu dari tiga kelas tak hingga terdiri dari gugus siklik orde utama. Dengan demikian, grup siklik dari orde utama berada di antara blok-blok penyusun dari mana semua grup dapat dibangun.

Definisi dan notasi 

Untuk setiap elemen  g  dalam grup  G , seseorang dapat membentuk subgrup dari semua pangkat bilangan bulat ⟨g⟩ =  {gk  k ∈ Z}, disebut  'subgrup siklik'  dari  g .  urutan dari  g  adalah jumlah elemen dalam ⟨g⟩; yaitu, urutan elemen sama dengan urutan subgrup sikliknya.

 Grup siklik  adalah grup yang sama dengan salah satu subgrup sikliknya:  untuk beberapa elemen  g , disebut   generator .

Untuk grup siklik hingga  G  dengan urutan  n  kami memiliki  G  = {e, g, g2, ... , gn−1}, di mana  e  adalah elemen identitas dan gi = gj jika  i  ≡  j  ( mod  n ); khususnya gn = g0 = e, dan g−1 = gn−1. Grup abstrak yang ditentukan oleh perkalian ini sering dilambangkan dengan C  n ,  dan kami mengatakan bahwa  G  adalah  isomorfis ke grup siklik standar Cn. Grup seperti itu juga isomorfik Z/nZ, grup bilangan bulat modulo  n  dengan operasi penjumlahan, yang merupakan grup siklik standar dalam notasi aditif. Di bawah isomorfisme  χ  yang didefinisikan oleh χ(gi) = i elemen identitas  e  sesuai dengan 0, hasil kali sesuai dengan jumlah, dan pangkat sesuai dengan kelipatan.

Misalnya, himpunan kompleks ke-6  akar kesatuan    membentuk grup di bawah perkalian. Ini siklik, karena dihasilkan oleh akar primitif  itu adalah, G = ⟨z⟩ = { 1, z, z2, z3, z4, z5 } dengan z6 = 1. Di bawah perubahan huruf, ini isomorfik ke (secara struktural sama dengan) kelompok siklik standar orde 6, didefinisikan sebagai C6 = ⟨g⟩ = { e, g, g2, g3, g4, g5 } dengan perkalian gj · gk = gj+k (mod 6), seperti g6 = g0 = e.  Grup pada isomorfik Z/6Z = {0,1,2,3,4,5} dengan operasi penambahan  modulo 6, dengan zk dan gk sesuai dengan  k . Sebagai contoh,  sesuai dengan , dan  corresponds to , dan seterusnya. Setiap elemen menghasilkan subgrup sikliknya sendiri, seperti ⟨z2⟩ = { e, z2, z4 } dari urutan 3, isomorfik pada C3 dan Z/3Z; dan ⟨z5⟩ = { e, z5, z10 = z4, z15 = z3, z20 = z2, z25 = z } = G, sehingga  z  5  memiliki urutan 6 dan merupakan generator alternatif  G .

Alih-alih notasi  hasil bagi Z/nZ, Z/(n), atau Z/n, beberapa penulis menunjukkan grup siklik berhingga sebagai Zn, tetapi ini bertentangan dengan notasi teori bilangan, di mana Zp menunjukkan gelanggang bilangan  p -adic, atau  pelokalan pada prime ideal.

On the other hand, in an infinite cyclic group G = ⟨g⟩, the powers gk give distinct elements for all integers k, so that G = { ... , g−2, g−1, e, g, g2, ... }, and G is isomorphic to the standard group C = C∞  and to Z, the additive group of the integers. An example is the first frieze group. Here there are no finite cycles, and the name "cyclic" may be misleading.

Untuk menghindari kebingungan ini,  Bourbaki memperkenalkan istilah grup monogen untuk grup dengan generator tunggal dan "grup siklik" yang dibatasi berarti grup monogen terbatas, menghindari istilah "grup siklik tak terbatas".

Contoh

Bilangan bulat dan penambahan modular 
Himpunan bilangan bulat Z, dengan operasi penjumlahan, membentuk grup. Ini adalah grup siklik tak terbatas, karena semua bilangan bulat dapat ditulis dengan menambahkan atau mengurangkan bilangan tunggal 1 berulang kali. Dalam grup ini, 1 dan −1 adalah satu-satunya generator. Setiap grup siklik tak terbatas isomorfik untuk Z.

Untuk setiap bilangan bulat positif  n , himpunan bilangan bulat  modulo  n , sekali lagi dengan operasi penjumlahan, membentuk grup siklik hingga, dilambangkan Z/nZ.
Bilangan bulat modular  i  adalah generator grup ini jika  i  relatif prima hingga  n , karena elemen ini dapat menghasilkan semua elemen lain dari grup melalui penambahan bilangan bulat.
(Jumlah generator tersebut adalah  φ ( n ), di mana  φ  adalah Fungsi total Euler.)
Setiap grup siklik hingga  G  isomorfik Z/nZ, where n = |G| adalah urutan grup.

Operasi penambahan pada integer dan integer modular, digunakan untuk mendefinisikan grup siklik, adalah operasi penambahan cincin komutatif, juga dilambangkan dengan Z dan Z/nZ atau Z/(n). Jika  p  adalah  prima, maka Z/pZ adalah bidang terbatas, dan biasanya dilambangkan dengan  'F'  p  atau GF( p ) untuk bidang Galois.

Perkalian modular 

Untuk setiap bilangan bulat positif  n , himpunan bilangan bulat modulo  n  yang relatif prima ke  n  ditulis sebagai (Z/nZ)×; itu  membentuk grup di bawah operasi perkalian. Grup ini tidak selalu siklik, tetapi menjadi begitu setiap kali  n  adalah 1, 2, 4, sebuah  pangkat dari bilangan prima ganjil, atau dua kali pangkat dari bilangan prima ganjil .
Ini adalah kelompok perkalian dari  satuan dari cincin Z/nZ; ada  φ ( n ) di antaranya, di mana lagi  φ  adalah fungsi total Euler. Sebagai contoh, (Z/6Z)× = {1,5}, dan karena 6 adalah dua kali bilangan prima ganjil, ini adalah grup siklik. Sebaliknya, (Z/8Z)× = {1,3,5,7} adalah  grup Klein 4 dan bukan siklik. Dimana (Z/nZ)× berbentuk siklik, generatornya disebut  akar primitif modulo  n .

Untuk bilangan prima  p , grup (Z/pZ)× selalu siklik, terdiri dari elemen bukan nol dari bidang terbatas dengan urutan  p . Lebih umum lagi, setiap subkelompok terbatas dari kelompok perkalian dari  bidang adalah siklik.

Rotasi simetri 

Himpunan simetri rotasi dari sebuah poligon membentuk grup siklik berhingga. Jika ada  n  cara berbeda untuk memindahkan poligon ke dirinya sendiri dengan rotasi (termasuk rotasi nol) maka grup simetri ini isomorfik ke Z/nZ. Dalam tiga dimensi atau lebih tinggi terdapat  grup simetri hingga siklik, tapi yang tidak semuanya rotasi di sekitar sumbu, melainkan rotoreflection.

Grup dari semua rotasi dari lingkaran S1 (grup lingkaran, juga dilambangkan dengan S1) adalah  bukan  siklik, karena tidak ada rotasi tunggal yang kekuatan integernya menghasilkan semua rotasi. Faktanya, grup siklik tak terbatas C∞ adalah dapat dihitung, sedangkan  S  1  tidak. Kelompok rotasi menurut sudut rasional  dapat  dihitung, tetapi tetap tidak siklik.

Teori Galois 
Sebuah  n akar persatuan adalah bilangan kompleks yang pangkat  n  nya adalah 1,  akar dari [[polynomial] ] xn − 1. Himpunan semua akar kesatuan  n membentuk kelompok urutan siklik  n  dalam perkalian. Misalnya, polinomial  factors as , dimana ; the set {1, ω, ω2} = {ω0, ω1, ω2} membentuk kelompok siklik dalam perkalian. Grup Galois dari ekstensi bidang dari bilangan rasional yang dihasilkan oleh akar kesatuan  n membentuk grup yang berbeda, isomorfik ke grup perkalian (Z/nZ)× urutan   φ ( n ), yang merupakan siklus untuk beberapa tetapi tidak semua  n  (lihat di atas).

Ekstensi bidang disebut ekstensi siklik jika grup Galoisnya adalah siklik. Untuk bidang  karakteristik nol, ekstensi tersebut adalah subjek teori Kummer, dan terkait erat dengan solvabilitas oleh radikal. Untuk perpanjangan bidang hingga karakteristik  p , grup Galoisnya selalu terbatas dan siklik, yang dihasilkan oleh kekuatan  Frobenius mapping. Sebaliknya, diberi bidang hingga  F  dan grup siklik hingga  G , ada ekstensi bidang hingga  F  yang grup Galoisnya adalah  G .

Subgrup 

Semua subgrup dan grup hasil bagi dari grup siklik adalah siklik. Secara khusus, semua subgrup Z berbentuk ⟨m⟩ = mZ, dengan  m  bilangan bulat positif. Semua subgrup ini berbeda satu sama lain, dan terpisah dari grup trivial {0} = 0Z, mereka semua isomorfik sampai Z. Kisi subgrup dari Z isomorfik dengan  ganda dari kisi bilangan asli yang diurutkan oleh terbagi. Jadi, karena bilangan prima  p  tidak memiliki pembagi nontrivial, pZ adalah subgrup yang tepat maksimal, dan grup hasil bagi Z/pZ adalah  sederhana; sebenarnya, sebuah gugus siklik adalah sederhana jika dan hanya jika urutannya adalah bilangan prima.

Semua grup hasil bagi Z/nZ terbatas, dengan pengecualian  Untuk setiap pembagi positif  d  dari  n , grup hasil bagi Z/nZ memiliki tepat satu subgrup orde  d , yang dihasilkan oleh  kelas residu dari  n / d . Tidak ada subgrup lain.

Properti tambahan 
Setiap grup siklik adalah  abelian. Artinya, operasi grupnya adalah  komutatif:  (untuk  g  dan  h  pada  G ). Ini jelas untuk grup penambahan integer dan modular karena , dan mengikuti untuk semua grup siklik karena semuanya isomorfik untuk grup standar ini.
Untuk grup urutan siklik terbatas  n , gn adalah elemen identitas untuk setiap elemen  g . Ini lagi mengikuti dengan menggunakan isomorfisma ke penambahan modular, karena  untuk setiap integer  k . (Ini juga berlaku untuk kelompok umum ordo  n , karena  Teorema Lagrange.)

Untuk kekuatan utama pk, grup Z/pkZ disebut grup siklik primer.  teorema fundamental dari grup abelian menyatakan bahwa setiap grup abelian yang dihasilkan tak hingga adalah produk langsung hingga dari grup siklik tak hingga dan utama.

Karena grup siklik adalah abelian, setiap kelas konjugasi nya terdiri dari satu elemen. Oleh karena itu, sekelompok siklik urutan  n  memiliki kelas konjugasi  n .

Jika  d  adalah pembagi dari  n , maka jumlah elemen dalam Z/nZ yang memiliki urutan  d  adalah  φ ( d ), dan jumlah elemen yang urutannya membagi  d  persis  d .
Jika  G  adalah grup terbatas di mana, untuk setiap , G berisi paling banyak  n  elemen urutan yang membagi  n , lalu  G  harus siklik.
Urutan elemen  m  pada Z/nZ adalah n/ gcd(n,m).

Jika  n  dan  m  adalah coprime, maka  produk langsung dari dua grup siklik Z/nZ dan Z/mZ isomorfik ke grup siklik Z/nmZ, dan kebalikannya juga berlaku: ini adalah salah satu bentuk Teorema sisa Tionghoa. Sebagai contoh, Z/12Z isomorfik terhadap produk langsung Z/3Z × Z/4Z di bawah isomorfisme ( k  mod 12) → (k mod 3, k mod 4); tetapi tidak isomorfik Z/6Z × Z/2Z, di mana setiap elemen memiliki keteraturan paling banyak 6.

Jika  p  adalah bilangan prima, maka setiap grup dengan elemen  p  adalah isomorfik ke grup sederhana Z/pZ.
Bilangan  n  disebut  bilangan siklik jika Z/nZ adalah satu-satunya kelompok urutan  n , yang benar kapan tepatnya . Bilangan siklik mencakup semua bilangan prima, tetapi ada juga yang  komposit seperti 15. Namun, semua bilangan siklik adalah ganjil kecuali 2. Bilangan siklik tersebut adalah:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... 

Definisi segera menyiratkan bahwa grup siklik memiliki presentasi grup  and  untuk hingga  n .

Objek terkait

Representasi 
 teori representasi dari kelompok siklik adalah kasus dasar penting untuk teori representasi dari grup hingga yang lebih umum.  Dalam  kasus kompleks, representasi grup siklik terurai menjadi jumlah langsung dari karakter linear, membuat hubungan antara teori karakter dan teori representasi menjadi transparan. Dalam  kasus karakteristik positif, representasi tak terurai dari kelompok siklik membentuk model dan dasar induktif untuk teori representasi kelompok dengan subgrup Sylow siklik dan lebih umum representasi.

Grafik Cyle 

Grafik Cyle mengilustrasikan berbagai siklus  grup dan sangat berguna dalam memvisualisasikan struktur grup hingga kecil. Grafik siklus untuk grup siklik hanyalah grafik melingkar, dengan urutan grup sama dengan jumlah node. Generator tunggal mendefinisikan grup sebagai jalur arah pada grafik, dan generator terbalik mendefinisikan jalur mundur. Jalur sepele (identitas) dapat digambar sebagai  loop tetapi biasanya disembunyikan. Z2 terkadang digambar dengan dua tepi melengkung sebagai multigraf.

Grup siklik Z  n  , orde  n , adalah satu siklus yang digambarkan secara sederhana sebagai poligon bersisi  n  dengan elemen pada simpulnya.

Grafik Cayley 

Grafik Cayley adalah grafik yang ditentukan dari pasangan ( G ,  S ) di mana  G  adalah grup dan  S  adalah kumpulan generator untuk grup; itu memiliki simpul untuk setiap elemen grup, dan tepi untuk setiap produk elemen dengan generator. Dalam kasus grup siklik hingga, dengan generator tunggalnya, grafik Cayley adalah grafik Cycle, dan untuk grup siklik tak hingga dengan generatornya, grafik Cayley adalah grafik jalur tak terhingga ganda. Namun, grafik Cayley juga dapat ditentukan dari kumpulan generator lain. Grafik Cayley dari grup siklik dengan genset sembarang disebut grafik sirkulant. Grafik ini dapat direpresentasikan secara geometris sebagai satu set titik yang berjarak sama pada lingkaran atau garis, dengan setiap titik terhubung ke tetangga dengan jarak yang sama satu sama lain. Mereka adalah persis grafik verteks-transitif yang  grup simetri termasuk grup siklik transitif.

Endomorfisme 
Gelanggang endomorfisme dari grup abelian Z/nZ adalah  isomorfis menjadi Z/nZ dirinya sebagai  gelanggang. Di bawah isomorfisme ini, angka  r  sesuai dengan endomorfisme Z/nZ yang memetakan setiap elemen ke jumlah salinan  r  darinya. Ini adalah bijeksi jika dan hanya jika  r  coprime dengan  n , jadi grup automorfisme dari Z/nZ isomorfik ke grup unit (Z/nZ)×.

Demikian pula, gelanggang endomorfisme dari grup aditif Z isomorfik ke gelanggang Z.  Kelompok automorfismenya adalah isomorfik terhadap kelompok satuan gelanggang Z, yaitu untuk .

Produk Tensor dan Hom dari grup siklik 
Produk tensor  dapat ditunjukkan menjadi isomorfik . Sehingga kita bisa membentuk kumpulan group  homomorfisme dari Z/mZ pada Z/nZ, dilambangkan , yang merupakan grup.

Untuk produk tensor, ini adalah konsekuensi dari fakta umum bahwa , di mana  R  adalah komutatif  gelanggang dengan satuan dan  I  dan  J  adalah  ideal dari gelanggang. Untuk kelompok Hom, ingatlah bahwa itu isomorfik ke subgrup  terdiri dari unsur-unsur urutan membagi  m . Subkelompok itu adalah siklus keteraturan , yang melengkapi buktinya.

Lihat pula 
 Grafik Cycle (grup)
 Modul siklik
 Pengayak siklik
 Grup Prüfer ( analog tak terhingga)
 Grup lingkaran ( tak terhitung tak terbatas analog)

Catatan Kaki

Catatan

Kutipan

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 
Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html 
 An introduction to cyclic groups 

 Cyclic groups of small order on GroupNames 

Teori grup Abelian
Sifat grup