Grup kuaternion

Dalam teori grup, grup angka empat Q8 (terkadang hanya dilambangkan dengan Q) adalah grup non-abelian dari  urutan delapan, isomorfik ke himpunan bagian delapan elemen
 dari angka empat di bawah perkalian. Ini diberikan oleh presentasi grup

di mana e adalah elemen identitas dan  komutatif dengan elemen lain dalam grup.

 Presentasi Q 8  lainnya adalah:

Dibandingkan dengan grup dihedral 

Grup quaternion Q 8  memiliki urutan yang sama dengan grup dihedral D4, tetapi strukturnya berbeda, seperti yang ditunjukkan oleh grafik Cayley dan siklusnya:

Dalam diagram untuk D 4 , elemen grup ditandai dengan aksinya pada huruf F dalam representasi yang menentukan R2. Hal yang sama tidak dapat dilakukan untuk Q 8 , karena tidak memiliki representasi yang tepat di R2 atau R3. D4 dapat direalisasikan sebagai bagian dari pemmbagi angka empat dengan cara yang sama seperti Q 8  dapat dilihat sebagai himpunan bagian dari angka empat.

Tabel Cayley 

Tabel Cayley (tabel perkalian) untuk Q 8  diberikan oleh:

Sifat 

Perhatikan bahwa  i ,  j , dan  k  semuanya memiliki  urutan empat di Q 8  dan dua di antaranya menghasilkan seluruh grup.  Presentasi lainnya dari Q8 berdasarkan hanya dua elemen untuk melewati redundansi ini adalah:

Seseorang mungkin mengambil, misalnya, , dan .

Grup quaternion memiliki properti yang tidak biasa sebagai  Hamiltonian: Q8 non-abelian, tetapi setiap subgrup adalah  normal. Every Hamiltonian group contains a copy of Q8.

Grup angka empat Q 8  dan grup dihedral D 4  adalah dua contoh terkecil dari grup non-abelian  nilpoten.

 Pusat dan subgrup komutator dari Q 8  adalah subgrup . Grup automorfisme dalam dari Q 8  diberikan oleh grup modulo pusatnya, yaitu grup faktor Q8/{e,}, untukmu isomorfik ke grup empat Klein V. Grup automorfisme dari Q 8  adalah isomorfik sampai S 4 , grup simetris pada empat huruf (lihat  Representasi matriks  di bawah), dan grup automorfisme luar dari Q 8  adalah S4/V, yang isomorfik ke S3.

Grup angka empat Q 8  memiliki lima kelas konjugasi, {e }, {  }, { i,  }, { j,  }, { k,  }, dan lima representasi tak tersederhanakan di atas bilangan kompleks, dengan dimensi 1,1,1,1,2:

Representasi trivial

Tanda tangani representasi dengan i, j, k-kernel: Q8 memiliki tiga subgrup normal maksimal: subgrup siklik yang dihasilkan oleh i, j, dan k. Untuk setiap subkelompok normal maksimal  N , kita mendapatkan representasi satu dimensi yang memfaktorkan melalui 2-elemen grup hasil bagi G/N. Representasi mengirimkan elemen  N  ke 1, dan elemen di luar  N  ke -1.

Representasi 2 dimensi: Dijelaskan di bawah dalam  Representasi matriks .

Tabel karakter dari Q 8  ternyata sama dengan D4: 

Karena karakter yang tidak dapat direduksi  pada baris di atas memiliki nilai riil, ini memberikan  dekomposisi dari  aljabar grup nyata dari  menjadi minimal dua sisi  ideal: , di mana  idempotensi  sesuai dengan irreducibles: , seperti.Masing-masing dari cita-cita tak tersederhanakan ini isomorfik ke aljabar sederhana pusat nyata, empat pertama ke bidang nyata . Ideal terakhir  isomorfik terhadap bidang miring dari angka empat  dengan korespondensi:Selanjutnya, proyeksi homomorfisme  diberikan oleh  memiliki ideal kernel yang dihasilkan oleh idempoten: sehingga angka empat juga bisa diperoleh sebagai gelanggang hasil bagi .

Aljabar grup kompleks dengan demikian , dimana  adalah aljabar dari bikuaternion.

Representasi matriks 

Kompleks tak tersederhanakan dua dimensi  representasi yang dijelaskan di atas memberikan grup kuatnion Q8 sebagai subgrup dari grup linier umum . Grup kuaternion adalah subgrup perkalian dari aljabar quaternion , yang memiliki representasi reguler  perkalian kiri dengan sendirinya dianggap sebagai ruang vektor kompleks dengan basis , sehingga  sesuai dengan C-pemetaan linier . Representasi yang dihasilkan  diberikan oleh:

Karena semua matriks di atas memiliki determinan unit, ini adalah representasi dari Q 8  dalam grup linear khusus SL2(C).

Varian memberikan representasi oleh matriks kesatuan (tabel di kanan). Maka  sesuai dengan pemetaan linier , sehingga  diberikan oleh:

Ada juga tindakan penting Q 8  pada ruang vektor 2 dimensi di atas bidang berhingga F3 = {0,1,−1}  (tabel di kanan).  Representasi modular  diberikan oleh

Representasi ini dapat diperoleh dari  bidang ekstensi F9 = F3[k] = F31 + F3k, dimana k2 = −1 dan grup perkalian (F9)× memiliki generator ±(k+1), ±(k-1) urutan 8. Dua dimensi F3-ruang vektor F9 mengakui pemetaan linier  untuk  z  pada F9, serta  Automorfisme Frobenius  satisfying  dan . Maka matriks representasi di atas adalah , , , dan .

Grup Galois 
Seperti yang ditunjukkan Richard Dean pada tahun 1981, grup kuaternion dapat ditampilkan sebagai grup Galois Gal(T/Q) dimana Q adalah bidang bilangan rasional dan T adalah bidang pemisah di atas Q dari polinomial
.
Pengembangan menggunakan teorema fundamental teori Galois dalam menentukan empat bidang perantara antara Q dan T dan grup Galois mereka, serta dua teorema tentang ekstensi siklik derajat empat di atas bidang.

Grup angka empat digeneralisasi 
Grup kuatnion umum Q4n urutan 4n  ditentukan oleh presentasi

untuk bilangan bulat , dengan kelompok angka empat yang biasa diberikan oleh n = 2.  Coxeter menggunakan Q4n grup siklik , kasus khusus dari grup polihedral biner  dan terkait dengan grup polihedral  dan grup dihedral . Grup quaternion umum dapat direalisasikan sebagai subgrup  dihasilkan oleh

dimana . Ini juga dapat direalisasikan sebagai subgrup unit quaternions yang dihasilkan oleh  dan .

Grup quaternion umum memiliki properti bahwa setiap subgrup  abelian bersiklus. Dapat diperlihatkan bahwa p-group dengan properti ini (setiap subgrup abelian adalah siklik) bisa berupa siklik atau grup quaternion umum seperti yang didefinisikan di atas. Karakterisasi lain adalah bahwa sebuah grup  p  terbatas yang di dalamnya terdapat subgrup unik dari ordo  p  adalah siklik atau 2-grup isomorfik ke grup quaternion umum. Secara khusus, untuk bidang hingga  F  dengan karakteristik ganjil, subgrup 2-Sylow dari SL2(F) non-abelian dan hanya memiliki satu subgrup orde 2, jadi subgrup 2-Sylow ini harus menjadi grup quaternion umum, .  Maka pr menjadi ukuran  F , di mana  p  adalah bilangan prima, ukuran subgrup 2-Sylow dari SL2(F) adalah 2n, dimana .

Teorema Brauer–Suzuki menunjukkan bahwa grup yang subgrup Sylow 2-nya digeneralisasikan quaternion tidak bisa sederhana.

Terminologi lain mencadangkan nama "grup kuatnion umum" untuk kelompok siklik urutan pangkat 2, yang mengakui presentasi

Lihat pula 
 sel-16
 Grup tetrahedral biner
 Aljabar Clifford
 Grup dikiklik
 Angka empat integral Hurwitz
 Daftar grup kecil

Catatan

Referensi 

 Dean, Richard A. (1981) "A rational polynomial whose group is the quaternions", American Mathematical Monthly 88:42–5.

 P.R. Girard (1984) "The quaternion group and modern physics", European Journal of Physics 5:25–32.

Pranala luar 
 
 Quaternion groups on GroupNames 
 Quaternion group on GroupProps 
 Conrad, Keith. "Generalized Quaternions" 

Teori grup
Grup hingga
Kuaternion