Teorema Stokes rampat

Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan) adalah pernyataan tentang integrasi dari bentuk diferensial pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial  di atas batas dari beberapa berorientasi lipatan  sama dengan integral turunan luar  di seluruh , yaitu:

 

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945, mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, Édouard Goursat, dan Henri Poincaré.

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh Lord Kelvin dikomunikasikan kepada George Stokes dalam surat tertanggal 2 Juli 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name.  It was first published by Hermann Hankel in 1861. Kelvin–Stokes teorema klasik tersebut menghubungkan integral permukaan dari curl dari bidang vektor  di atas permukaan (yaitu, fluks dari ) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

Contoh analisis vektor klasik sederhana

Mari  menjadi sedikit demi sedikit mulus kurva bidang Jordan. Teorema kurva Yordania menyiratkan hal itu  membagi  menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan  menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh  dan misalkan  halus, dengan . Jika  adalah kurva spasi yang ditentukan oleh  dan  adalah bidang vektor mulus pada , kemudian:

 

Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

Pengantar 
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral dari suatu fungsi  selama interval  dapat dihitung dengan mencari antiturunan  of :

 

Teorema Stokes adalah rampatan yang luas dari teorema ini dalam pengertian. 
Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral () di atas manifold 1 dimensi () dengan mempertimbangkan anti turunan () di batas 0-dimensi (), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral () di atas -manifold dimensional () dengan mempertimbangkan antiturunan () pada -batas dimensi () dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

Formulasi untuk lipatan halus dengan batas 
Jadi  menjadi berorientasi lipatan halus dengan batas dimensi  dan biarkan  jadi polos -bentuk diferensial yaitu didukung secara kompak aktif . Pertama, anggap saja  didukung secara kompak dalam domain tunggal, berorientasi diagram koordinat . Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari  atas  sebagai

 

yaitu, melalui pullback dari  ke .

Secara umum, integral dari  di atas  didefinisikan sebagai berikut: biar  menjadi partisi kesatuan terkait dengan terbatas lokal sampul  dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

 

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke  seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

Secara konvensional,  disingkat sebagai , karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: .  Saat  adalah  turunan eksterior, yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai  untuk menekankan fakta bahwa -manifold  tidak memiliki batasan. (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu -berjenis dimensi , penerapan teorema dua kali memberi  untuk apapun -bentuk , yang menyiratkan itu .) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where  is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often , on which the form  is defined.

Pendahuluan topologi; integral melalui rantai 

Maka  menjadi lipatan halus.  Simpleks- dengan  didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada  ke . Grup  dari singular kaidah- pada  didefinisikan sebagai grup abelian bebas pada himpunan singular sederhana dalam . Grup ini, dengan peta batas, , mendefinisikan kompleks kaidah. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup homologi tunggal biasa  (resp. grup kohomologi tunggal ), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari .

Di sisi lain, bentuk diferensial, dengan turunan eksterior, , sebagai peta penghubung, membentuk kompleks cochain, yang mendefinisikan grup kohomologi de Rham .

Prinsip pendasar 

Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi . Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, sederhana), yang biasanya tidak sulit.

Rampat himpunan kasar 

Rumus di atas, di mana  adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat  dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa  bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku.  Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena  dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan mengukur nol).

Lihat pula 
Chandrasekhar–lemma Wentzel
:Portal:Matematika/Intro/Gambar
:Portal:Matematika/Templat halaman

Catatan kaki

Catatan penting

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar
 
 Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
 Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation

Topologi diferensial
Bentuk diferensial
Teori dualitas
Integral pada manifold
Teorema dalam kalkulus
Teorema dalam geometri diferensial