Persamaan aljabar

Dalam matematika, Persamaan aljabar atau Persamaan polinomial adalah persamaan dari bentuk

di mana P adalah polinomial dengan koefisien di beberapa bidang, sering kali bidang bilangan rasional. Bagi kebanyakan penulis, persamaan aljabar adalah univariat, yang berarti hanya melibatkan satu variabel. Di sisi lain, persamaan polinomial dapat melibatkan beberapa variabel, dalam hal ini disebut multivariate dan istilah persamaan polinomial biasanya lebih disukai daripada persamaan aljabar.

Sebagai contoh:
 
adalah persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat dan

adalah persamaan polinomial multivariat di atas rasio.

Beberapa tetapi tidak semua persamaan polinomial dengan koefisien rasional memiliki solusi berupa ekspresi aljabar yang dapat ditemukan menggunakan sejumlah operasi yang terbatas, bisa diselesaikan secara aljabar). Ini dapat dilakukan untuk semua persamaan derajat satu, dua, tiga, atau empat; tapi untuk derajat lima atau lebih hanya bisa dilakukan untuk beberapa persamaan, tidak untuk semua. Sejumlah besar penelitian telah dikhususkan untuk menghitung perkiraan yang akurat secara efisien dari solusi bilangan riil atau bilangan kompleks dari persamaan aljabar univariat (lihat Algoritme pencarian akar) dan solusi umum dari beberapa persamaan polinomial multivariat (lihat Sistem persamaan polinomial).

Sejarah 

Studi tentang persamaan aljabar mungkin sudah setua matematika: matematikawan Babilonia, sedini 2000 SM dapat memecahkan beberapa jenis persamaan kuadrat (ditampilkan pada Babilonia Tua lauh tanah liat).

Persamaan aljabar univariat di atas rasio (yaitu, dengan koefisien rasional) memiliki sejarah yang sangat panjang. Ahli matematika kuno menginginkan solusi dalam bentuk ekspresi radikal , seperti  for the positive solution of . Orang Mesir kuno tahu bagaimana menyelesaikan persamaan derajat 2 dengan cara ini. Matematikawan India Brahmagupta (597–668 M) secara eksplisit mendeskripsikan rumus kuadrat dalam risalahnya Brāhmasphuṭas, tetapi ditulis dengan kata-kata, bukan simbol. Pada abad ke-9 Muhammad bin Musa al-Khwarizmi dan ahli matematika Islam lainnya menurunkan rumus kuadrat, solusi umum dari persamaan derajat 2, dan mengakui pentingnya diskriminan.  Selama Renaisans pada tahun 1545, Gerolamo Cardano menerbitkan solusi Scipione del Ferro dan Niccolò Fontana Tartaglia menjadi persamaan derajat 3 dan Lodovico Ferrari untuk persamaan derajat 4. Akhirnya Niels Henrik Abel membuktikan, pada tahun 1824, bahwa persamaan derajat 5 dan yang lebih tinggi. Teori Galois, dinamai berdasarkan Évariste Galois, menunjukkan bahwa beberapa persamaan dengan setidaknya derajat 5 bahkan tidak memiliki solusi idiosinkratik dalam radikal, dan memberikan kriteria untuk memutuskan apakah suatu persamaan ternyata dapat diselesaikan menggunakan akar.

Bidang studi 

Persamaan aljabar adalah dasar dari sejumlah bidang matematika modern: Teori bilangan aljabar adalah studi tentang persamaan aljabar (univariat) di atas rasio (yaitu, dengan koefisien rasional). Teori Galois diperkenalkan oleh Évariste Galois untuk menentukan kriteria untuk memutuskan apakah persamaan aljabar dapat diselesaikan dalam istilah akar. Dalam teori medan, ekstensi aljabar adalah perpanjangan sedemikian rupa sehingga setiap elemen adalah akar persamaan aljabar di atas bidang alas. Teori bilangan transendental adalah studi tentang bilangan real yang bukan merupakan solusi persamaan aljabar di atas rasio. Persamaan Diofantin adalah persamaan polinomial (biasanya multivariat) dengan koefisien integer yang mana salah satunya tertarik pada solusi bilangan bulat. Geometri aljabar adalah studi tentang solusi dalam bidang tertutup aljabar dari persamaan polinomial multivariat.

Dua persamaan dianggap ekivalen jika mereka memiliki himpunan solusi yang sama. Secara khusus persamaan  setara dengan . Oleh karena itu, studi tentang persamaan aljabar setara dengan studi tentang polinomial.

Persamaan polinomial di atas rasio selalu dapat diubah menjadi persamaan yang koefisien adalah bilangan bulat. Misalnya, mengalikan dengan 42 = 2 · 3 · 7 dan mengelompokkan suku-suku di anggota pertama, persamaan polinomial yang disebutkan sebelumnya  menjadi

Karena sinus, eksponen, dan 1/ T  bukan fungsi polinomial,

adalah  bukan  persamaan polinomial dalam empat variabel  x ,  y ,  z , dan  T  di atas bilangan rasional. Namun, ini adalah persamaan polinomial dalam tiga variabel  x ,  y , dan  z  di atas bidang fungsi dasar dalam variabel T.

Teori

Polinomial 

Diberikan persamaan yang tidak diketahui 
,
dengan koefisien dalam sebuah bidang , dapat dikatakan bahwa solusi dari (E) dalam  adalah akar dalam  dari polinomial
.
Dapat ditunjukkan bahwa polinomial derajat  dalam suatu bidang memiliki paling banyak  akar. Oleh karena itu, persamaan (E) memiliki paling banyak solusi .

Jika  adalah ekstensi bidang dari , seseorang dapat menganggap (E) sebagai persamaan dengan koefisien dalam  dan solusi (E) dalam  juga solusi dalam  (kebalikannya tidak berlaku secara umum).  Itu selalu mungkin untuk menemukan ekstensi bidang dari  yang dikenal sebagai medan pecah dari polinomial , di mana (E) memiliki setidaknya satu solusi.

Adanya solusi untuk persamaan nyata dan kompleks 

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa bidang dari bilangan kompleks ditutup secara aljabar, artinya, semua persamaan polinomial dengan koefisien kompleks dan setidaknya satu derajat memiliki solusi.

Oleh karena itu, semua persamaan polinomial derajat 1 atau lebih dengan koefisien nyata memiliki solusi  kompleks . Di sisi lain, persamaan seperti  tidak memiliki solusi di  (solusinya adalah unit imajiner  dan ).

Sementara solusi nyata dari persamaan nyata bersifat intuitif (mereka adalah  - koordinat titik-titik di mana kurva  memotong sumbu ), keberadaan solusi kompleks untuk persamaan riil dapat mengejutkan dan kurang mudah untuk divisualisasikan.

Namun, polinomial monik derajat ganjil harus memiliki akar nyata. Fungsi polinomial terkait di  kontinu, dan itu mendekati  sebagai  dengan  dan  saat  mendekat .  Dengan teorema nilai tengah, ia harus mengasumsikan nilai nol pada beberapa  nyata, yang kemudian merupakan solusi dari persamaan polinomial.

Koneksi ke teori Galois 

Ada rumus yang memberikan solusi dari polinomial nyata atau kompleks dengan derajat kurang dari atau sama dengan empat sebagai fungsi dari koefisiennya.  Abel menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rumus seperti itu secara umum (hanya menggunakan empat operasi aritmatika dan mengambil akar) untuk persamaan derajat lima atau lebih tinggi. Teori Galois memberikan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk menentukan apakah solusi untuk persamaan polinomial tertentu dapat diekspresikan menggunakan akar.

Solusi eksplisit persamaan numerik

Pendekatan 

Solusi eksplisit dari persamaan derajat 1 nyata atau kompleks adalah sepele. Menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi  berkurang menjadi memfaktorkan polinomial terkait, yaitu
,
dimana solusinya maka .  Masalahnya adalah untuk mengekspresikan  dalam hal  .

Pendekatan ini berlaku lebih umum jika koefisien dan solusi termasuk dalam domain integral.

Lihat pula 

 Fungsi aljabar
 Bilangan aljabar
 Kesimpulan akar
 Persamaan linear (derajat = 1)
 Persamaan kuadrat (derajat = 2)
 Persamaan kubik (derajat = 3)
 Persamaan kuartik (derajat = 4)
 Persamaan kuintik (derajat = 5)
 Persamaan urutan (derajat = 6)
 Persamaan septik (derajat = 7)
 Sistem persamaan linear
 Sistem persamaan polinomial
 Persamaan Diofantin Linear
 Persamaan linear gelanggang
 Teorema Cramer (kurva aljabar), pada jumlah titik biasanya cukup untuk menentukan kurva derajat ke-bivariat  n

Referensi 
 
 

Polynomials
Equations