Bilangan segitiga

Bilangan segitiga menghitung benda yang diatur dalam segitiga sama sisi. Angka segitiga  adalah jumlah titik dalam pengaturan segitiga dengan titik  di satu sisi, dan sama dengan jumlah dari bilangan asli , yaitu dari  hingga . Urutan angka segitiga , mulai dari angka segitiga ke-0, adalah
 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 120, 136, 153, 171, 190, 190, 210, 231, 253, 276, 300 , 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666 ...

Wacław Sierpiński mengajukan pertanyaan tentang keberadaan empat bilangan segitiga yang berbeda dalam perkembangan geometris. Hal itu dikira tidak mungkin oleh ahli matematika Polandia Kazimierz Szymiczek dan kemudian dibuktikan oleh Fang dan Chen pada 2007.

Variasi dari bilangan ini disebut bilangan segitiga berkorelasi secara Smarandache, yaitu jika  dan  berkorelasi secara Smarandache, maka ,  dan  dengan  sebagai fungsi Smarandache.

Rumus 
Bilangan segitiga dinyatakan dengan rumus berikut: dengan  adalah koefisien binomial, yang menyatakan jumlah pasangan berbeda yang dapat dipilih dari  objek.

Bukti 
Rumus bilangan segitiga di atas dapat dibuktikan menggunakan pembuktian induksi. Dimulai dari  yang menghasilkan . Asumsi untuk suatu bilangan asli , maka Sekarang, dengan menambahkan , maka akan menghasilkan

Dengan demikian, rumus di atas juga benar untuk , jika rumus tersebut benar untuk . Selain itu, karena rumus tersebut selalu benar untuk , maka untuk , , dan seterusnya yang merupakan bilangan asli  juga benar melalui induksi.

Referensi

Pranala luar 

 
 Triangular numbers at cut-the-knot
 There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
 

Matematika