Barisan eksak

Barisan eksak adalah sebuah konsep dalam matematika, khususnya dalam teori grup, gelanggang dan modul teori, aljabar homologis, serta dalam geometri diferensial. Barisan eksak adalah barisan terbatas atau tak terbatas dari objek dan morfisme sedemikian sehingga peta dari satu morfisme sama dengan kernel yang berikutnya.

Definisi 
Dalam konteks teori grup, sebuah barisandari grup dan homomorfisme grup disebut eksak  jika peta dari setiap homomorfisme sama dengan kernel dari homomorfisme berikutnya:untuk setiap . Di sini, barisan grup beserta homomorfismenya dapat bersifat terbatas, maupun tidak terbatas.

Definisi serupa dapat dibuat untuk struktur aljabar lainnya. Misalnya barisan dari ruang vektor dan transformasi linear, atau dari modul dan homomorfisme modul. Secara umum, konsep barisan eksak dapat didefinisikan pada kategori yang memiliki kernel dan kokernel.

Kasus sederhana 
Untuk memahami pengertian dari barisan eksak, mari meninjau kasus-kasus sederhana dengan barisan bersifat terbatas yang dimulai atau diakhiri dengan grup trivial. Biasanya, grup trivial dengan elemen identitas tunggal, dilambangkan dengan 0 (notasi aditif, biasanya jika grupnya abelian), atau dilambangkan 1 (notasi perkalian).

 Tinjau barisan . Peta pemetaan paling kiri adalah . Oleh karena itu, barisan ini eksak jika dan hanya jika pemetaan paling kanan (dari  ke ) memiliki kernel ; yaitu jika dan hanya jika pemetaan paling kanan adalah monomorfisme (injektif, atau satu-ke-satu).
 Tinjau barisan . Kernel peta paling kanan adalah . Oleh karena itu, barisan ini eksak jika dan hanya jika peta pemetaan paling kiri (dari  ke )  adalah ;  yaitu jika dan hanya jika pemetaan paling kanan adalah epimorfisme (perkiraan, atau ke atas).
 Oleh karena itu, barisan  eksak jika dan hanya jika pemetaan dari  adalah monomorfisme dan epimorfisme (yaitu, bimorfisme), yang biasanya juga merupakan isomorfisme antara  dan  (hal ini berlaku pada kategori eksak seperti kategori himpunan).

Barisan eksak pendek 
Barisan eksak pendek merupakan barisan eksak berbentuk.

Dari pembahasan di atas, barisan di atas merupakan barisan eksak pendek jika dan hanya jika  adalah monomorfisme,   adalah epimorfisme, dan peta dari  sama dengan kernel . Untuk memudahkan, pandang  sebagai subobjek dari  dengan  pemetaan yang "memasukkan"  ke dalam , dan  sebagai objek faktor (atau hasil bagi)  melalui isomorfisme yang diinduksi oleh  berikut..

Barisan eksak pendekdisebut 'split jika terdapat homomorfisme  sedemikian sehingga , dengan  adalah pemetaan identitas pada Akibatnya, jika barisan ini merupakan barisan eksak dari grup abelian,  isomorfik terhadap jumlah langsung dari  dan :

 Barisan eksak panjang Barisan eksak panjang adalah barisan eksak yang terdiri dari lebih dari tiga suku bukan nol, sering kali merupakan barisan eksak tak terbatas.

Barisan eksak panjang ekuivalen dengan kumpulan barisan eksak pendek. Misalkan

adalah barisan eksak panjang dengan , maka barisan eksak ini dapat dipecah menjadi beberapa barisan eksak pendek

dimana  untuk .

 Contoh 

 Bilangan bulat modulo dua 
Tinjau barisan eksak grup abelian berikut:

Homomorfisme pertama memetakan setiap  ke . Homomorfisme kedua memetakan setiap  ke . Di sini panah kait  menunjukkan bahwa pemetaan  dari  ke  adalah monomorfisme, dan panah berkepala dua  menunjukkan epimorfisme (pemetaan modulo 2). Ini adalah barisan eksak, karena peta dari monomorfisme  adalah kernel dari epimorfisme. Pada dasarnya, barisan yang "sama" juga dapat ditulis sebagai

Dalam hal ini, monomorfismenya adalah pemetaan inklusi , yang meskipun terlihat seperti fungsi identitas, bukanlah fungsi identitas (bukan epimorfisme), karena bilangan ganjil bukanlah elemen . ''Peta dari  melalui monomorfisme ini adalah subhimpunan dari  yang merupakan peta dari pemetaan  yang digunakan dalam barisan eksak sebelumnya. Secara konkret, barisan eksak ini berbeda dengan barisan eksak sebelumnya, mengingat objek pertama barisan eksak ini adalah  dan objek pertama pada barisan sebelumnya adalah , meskipun keduanya isomorfik sebagai grup.

Barisan eksak pada contoh pertama juga dapat ditulis tanpa menggunakan simbol khusus untuk monomorfisme dan epimorfisme:

Di sini  menunjukkan grup trivial, pemetaan dari  ke  adalah perkalian dengan , dan pemetaan dari  ke grup faktor  adalah pemetaan modulo . adalah barisan yang eksak, mengingat:

 peta pemetaan  adalah , dan kernel dari perkalian dengan  juga adalah , sehingga barisannya eksak di  pertama.
 peta perkalian dengan  adalah , dan kernel dari pemetaan modulo  juga adalah , sehingga barisannya eksak di  kedua.
 peta pemetaan modulo 2 adalah , dan kernel dari pemetaan nol juga adalah , sehingga barisannya eksak di .

Perhatikan kembali barisan eksak pertama dan ketiga. Pada kedua barisan tersebut, pemetaan inklusi dari  ke  merupakan endomorfisme dari  yang merupakan monomorfisme. Hal ini memungkinkan untuk , karena  adalah grup tak hingga. Tidak seperti , grup berhingga tidak mungkin dipetakan oleh pemetaan inklusi (oleh monomorfisme) sebagai subgrup sejati dari grup berhingga itu sendiri. Sebaliknya, secara umum, barisan eksak pendek grup berhingga, berdasarkan teorema isomorfisme pertama, dapat ditulis sebagai berikut

Berikut contoh yang lebih konkret dari barisan eksak grup berhingga:

dengan  adalah grup siklik dari order n dan  adalah grup dihedral dari order 2n, yang merupakan grup nonabelian.

 Irisan dan jumlah modul 
Misalkan  dan  adalah dua ideal dari sebuah gelanggang . Maka

adalah barisan yang eksak modul-, dengan homomorfisme modul  memetakan setiap elemen  ke elemen  pada jumlah langsung , dan homomorfisme  memetakan setiap elemen  dari  ke .

Homomorfisme-homomorfisme pada barisan eksak di atas dapat dilihat sebagai batasan dari homomorfisme-homomorfisme yang didefinisikan secara serupa pada barisan eksak pendek berikut

Dengan menggunakan modul hasil bagi, barisan eksak ini menghasilkan barisan eksak yang sama persis dengan barisan eksak di atas

 Sifat barisan eksak 
Lema split menyatakan barisan eksak pendekmerupakan barisan eksak yang 'split', i.e.  , jika dan hanya jika terdapat morfisme  sedemikian sehingga   atau terdapat morfisme  sedemikian sehingga .

Lema ular memperlihatkan bahwa diagram komutatif dengan dua baris eksak menginduksi barisan eksak panjang. Lema sembilan adalah contoh khusus dari aplikasi lema ular.

Lema lima memberikan kondisi untuk pemetaan di tengah pada diagram komutatif dengan dua baris eksak memiliki panjang 5 menjadi isomorfisme; lema pendek lima merupakan contoh khusus dari aplikasi lema lima pada barisan eksak pendek.

Fakta bahwa setiap barisan eksak dapat dilihat sebagai hasil dari "menghubungkan" beberapa barisan eksak pendek yang tumpang tindih menunjukkan betapa pentingnya barisan eksak pendek. Sebagai contoh, tinjau barisan eksak berikutyang mengimplikasikan terdapat objek  pada kategori objek barisan tersebut sedemikian sehingga

Misalkan pula kokernel setiap morfisme pada barisan ada pada kategori objek barisan tersebut, dan isomorfis dengan peta morfisme setelahnya pada barisan eksak di atas:

(Ini benar untuk beberapa kategori, termasuk kategori abelian seperti kategori grup abelian, tetapi namun tidak benar untuk semua kategori yang mengenal konsep barisan eksak, dan khususnya tidak benar untuk kategori grup; spesifiknya  bukanlah , tetapi adalah grup hasil bagi  dengan tutupan normal dari , i.e. irisan semua subgrup normal dari  yang memuat .) Dengan demikian, kita mendapati diagram komutatif berikut yang setiap diagonalnya adalah barisan eksak pendek:

Bagian dari diagram ini yang bergantung pada eksistensi kokernel di kategori objek barisan adalah objek  dan pasangan morfisme terakhir . Hal ini dikarenakan adanya objek  dan morfisme  sedemikian sehingga  adalah barisan yang eksak juga membuat barisan   menjadi eksak. Dengan demikian, misalnya pada kategori grup,  adalah kernel dari suatu homomorfisme dengan domain  mengimplikasikan bahwa  adalah subgrup normal dari . Oleh karena itu,  isomorfik dengan hasil peta dari  oleh pemetaan berikutnya.

Sebaliknya, jika diberikan sembarang kumpulan barisan eksak pendek yang saling tumpah tindih, maka suku tengah barisan eksak membentuk suatu barisan eksak dengan cara yang serupa.

 Penerapan barisan eksak 
Dalam teori kategori abelian, barisan eksak pendek seringkali digunakan sebagai media untuk membicarakan subobjek dan objek faktor.

Masalah ekstensi pada dasarnya adalah pertanyaan "Misalkan  dan  adalah suku akhir tidak nol pada barisan eksak pendek, apa yang dapat dikatakan mengenai suku tengah  ?" Dalam kategori grup, ini ekuivalen dengan pertanyaan, "Grup  apakah yang memiliki  sebagai subgrup normalnya dengan  merupakan grup hasil baginya?" Masalah ini penting dalam klasifikasi grup. Lihat pula grup automorfisme luar.

Perhatikan bahwa komposisi  dalam barisan eksak merupakan pemetaan  dari  ke , sehingga setiap barisan eksak adalah rantai kompleks. Selanjutnya, hanya peta dari   yang dipetakan ke  oleh , sehingga homologi dari rantai kompleks (yaitu ) semuanya trivial (merupakan grup nol). Dalam bahasa rantai kompleks, barisan eksak disebut rantai asiklik. Dari pembahasan sebelumnya, hal ini ekuivalen dengan rantai kompleks yang memiliki homologi trivial

Pada sembarang rantai kompleks, homologi dapat dianggap sebagai alat yang mengukur kegagalan rantai kompleks menjadi barisan yang eksak.

Jika barisan eksak pendek dihubungkan sedemikian rupa menjadi sebuah rantai kompleks (yaitu, barisan eksak pendek yang sukunya berupa rantai kompleks, atau dari sudut pandang lain, rantai kompleks yang sukunya berupa barisan eksak pendek), maka barisan eksak panjang''' dari homologi (yaitu barisan eksak yang tidak terbatas) dapat dikonstruksi dengan menggunakan lema zig-zag. Hal ini muncul di topologi aljabar dalam studi tentang homologi relatif; barisan Mayer–Vietoris adalah contoh lain. Praktik mengkonstruksi barisan eksak panjang dari barisan eksak pendek seperti ini juga muncul pada pembahasan funktor turunan.

Funktor yang mengirimkan barisan eksak ke barisan eksak disebut funktor eksak.

Daftar pustaka 
 
 

 Kutipan

Pranala luar 

 

Konsep matematika