Matriks Hesse

Dalam matematika, matriks Hesse adalah matriks persegi dari turunan parsial orde kedua dengan fungsi bernilai skalar, atau medan skalar. Matriks ini juga dikenal sebagai matriks Hessian, Hessian, atau Hesse. Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, Ludwig Otto Hesse, dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

Definisi dan sifat 
Misal  adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor  dan menghasilkan skalar . Jika semua turunan parsial kedua  ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse  dari  merupakan matriks persegi , biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks i dan j:

Determinan matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.

Matriks Hesse berkaitan dengan matriks Jacob lewat hubungan .

Matriks Hesse merupakan matriks simetris jika semua turunan parsial kedua   kontinu dalam lingkungan  dari titik  yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari Teorema Schwarz yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

Aplikasi

Uji turunan kedua 

Matriks Hesse dari suatu fungsi cembung bersifat semidefinit positif. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu titik kritis  merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Jika matriks Hesse definit positif di , maka  mencapai minimum lokal terpencil di . Sedangkan jika matriks Hesse definit negatif di , maka  mencapai maksimum lokal terpencil di . Jika matriks Hesse memiliki nilai eigen positif dan negatif, maka  adalah titik pelana untuk . Selain kasus-kasus tersebut, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang teori Morse.

Uji turunan kedua fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka  adalah minimum lokal, dan jika negatif maka  adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah determinan dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan minor (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

Titik kritis 
Jika gradien (vektor turunan parsial) dari fungsi  nol pada suatu titik , maka  memiliki titik kritis (atau titik stasioner) di . Determinan matriks Hesse di  kemudian disebut diskriminan. Jika determinan ini bernilai nol, maka  disebut titik kritis merosot , atau titik kritis non-Morse . Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut titik kritis Morse .

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam teori Morse dan teori katastrofe karena kernel dan nilai eigennya memberikan klasifikasi titik kritis.

Lihat pula 
 Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat Invarian bentuk biner
 Identitas polarisasi, berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
 Matriks Jacob
 Persamaan Hesse

Catatan

Bacaan lanjutan

Pranala luar 
 
 

Kalkulus multivariabel
Matriks
Operator diferensial
Teori Morse
Teori singularitas