Grup berpenyelesaian

Dalam matematika, lebih khusus lagi di medan teori grup, grup berpenyelesaian () adalah grup yang dapat dibangun dari grup Abel menggunakan perluasan.  Dengan kata lain, grup berpenyelesaian adalah grup yang deret jabaran berakhir di subgrup trivial.

Motivasi 
Secara historis, kata "berpenyelesaian" muncul dari teori Galois dan  bukti dari ketidakmampuan umum persamaan kuintik. Secara spesifik, persamaan polinomial dapat diselesaikan dalam radikal jika dan hanya jika grup Galois yang sesuai berpenyelesaian (perhatikan teorema ini hanya berlaku dalam karakteristik 0). Ini berarti terkait dengan polinomial  jika menara perluasan lapangan sehingga
  dimana , jadi  adalah penyelesaian persamaan  dimana 
  berisi medan pemisahan untuk

Contoh 
Misalnya, perluasan medan Galois terkecil dari  mengandung elemenmemberikan grup berpenyelesaian. Ini memiliki perluasan medan terkaitmemberikan grup berpenyelesaian merumuskan  (bertindak pada ) dan  (bertindak pada ).

Definisi 
Grup  disebut berpenyelesaian jika memiliki deret subnormal yang grup faktor (grup hasil bagi) semuanya grup Abel, yaitu, jika ada subgrup , maka  adalah subgrup normal di , dan  adalah grup Abel, karena . 

Atau setara, jika deret jabaran, deret normal menurun
,
di mana setiap subgrup adalah subgrup komutator dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari . Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup  dan setiap subgrup normal  dari , hasil bagi  adalah grup Abel jika dan hanya jika  termasuk subgrup komutator dari . Nilai  terkecil sehingga  disebut panjang jabaran dari grup berpenyelesaian .

Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan deret komposisi yang semua faktornya adalah grup siklik dari urutan bilangan prima. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel sederhana adalah siklik orde utama. Teorema Jordan–Hölder menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk grup Galois dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar  (radikal) di beberapa  medan. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup  dari bilangan bulat di bawah penambahan adalah  isomorfis pada , tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal , dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga , membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.

Contoh

Grup Abel 
Contoh dasar grup berpenyelesaian adalah grup Abel. Mereka berpenyelesaian secara trivial karena rangkaian subnormal diberikan hanya oleh grup itu sendiri dan grup trivial. Tetapi grup takAbel mungkin atau mungkin tidak bisa dipecahkan.

Grup nilpoten 
Secara umum, semua grup nilpoten berpenyelesaian. Secara khusus, grup-p hingga berpenyelesaian, karena semua grup-p hingga adalah nilpoten.

Grup kuaternion 
Secara khusus, grup kuaternion adalah grup berpenyelesaian yang diberikan oleh perluasan grupdimana  adalah subgrup yang dihasilkan oleh .

Perluasan grup 
Perluasan grup merupakan contoh prototip dari grup berpenyelesaian. Artinya, jika  dan  adalah grup berpenyelesaian, maka suatu perluasanmendefinisikan grup berpenyelesaian . Faktanya, semua grup berpenyelesaian dapat dibentuk dari perluasan grup tersebut.

Grup takAbel yang taknilpoten 
Contoh kecil dari grup taknilpoten berpenyelesaian adalah grup simetrik . Faktanya, karena grup takAbel sederhana terkecil adalah , (grup selang-seling dengan derajat 5) mengikuti bahwa setiap grup dengan urutan lebih kecil dari 60 adalah berpenyelesaian.

Grup hingga dari urutan ganjil 
Teorema Feit–Thompson yang terkenal menyatakan bahwa setiap grup berhingga dari urutan ganjil adalah berpenyelesaian. Secara khusus ini menyiratkan bahwa jika grup hingga adalah grup sederhana, itu adalah grup siklik.

Bukan contoh 
Grup  takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi  (dan Teorema Jordan–Hölder menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada  dan ; dan  bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa  adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel  dari ,  tidak berpenyelesaian untuk . Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap  ada polinomial derajat  yang takberpenyelesaian oleh radikal (Teorema Abel–Ruffini). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian teorema Barrington.

Subgrup  
Andaikan subgrup

 pada 

untuk suatu medan . Maka, hasil bagi grup  dapat ditemukan dengan mengambil sembarang elemen di , mengalikannya, dan mencari tahu struktur apa yang diberikannya. Jadi

Perhatikan syarat determinan pada  menyiratkan , karenanya  adalah subgrup (yang merupakan matriks di mana ). Untuk  yang ditetapkan, persamaan linear  menyiratkan , yang merupakan elemen sembarang pada  ketika . Karena kita dapat mengambil matriks pada  dan mengalikannya dengan matriks

dengan , kita bisa mendapatkan matriks diagonal pada . Ini menunjukkan grup hasil bagi .

Kata 
Perhatikan bahwa deskripsi ini memberikan penguraian  sebagai  dimana  bertindak pada  oleh . Ini menyiratkan . Juga, matriks dari bentuk

berpadanan dengan elemen  dalam grup.

Subgrup Borel 
Untuk grup aljabar linear  subgrup Borel didefinisikan sebagai subgrup yang tertutup, terhubung, dan berpenyelesaian di , dan ini adalah subgrup yang paling mungkin dengan sifat ini (perhatikan dua yang kedua adalah sifat topologi). Misalnya, dalam  dan , grup matriks segitiga atas, atau segitiga bawah adalah dua subgrup Borel. Contoh yang diberikan di atas, subgrup  di  adalah subgrup Borel.

Subgrup Borel pada  
Pada  terdapat subgrup

Perhatikan bahwa , maka grup Borel memiliki bentuk

Subgrup Borel hasil perkalian grup aljabar linear sederhana 
Dalam grup hasilkali  subgrup Borel dapat diwakili oleh matriks dalam bentuk

dimana  adalah matriks segitiga atas  dan  adalah matriks segitiga atas .

Grup-Z 
Setiap grup hingga yang subgrup Sylow-p merupakan sikliknya, adalah produk setengah langsung dari dua grup siklik, khususnya grup berpenyelesaian. Grup tersebut disebut grup-Z.

Nilai OEIS 
Jumlah grup berpenyelesaian dengan urutan  adalah (dimulai dengan )
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... 

Urutan grup takberpenyelesaian adalah
60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ...

Sifat 

Solvabilitas tertutup terhadap sejumlah operasi.

 Jika  berpenyelesaian, dan  adalah subgrup dari , maka  adalah berpenyelesaian.
 Jika  berpenyelesaian, dan terdapat homomorfisme dari  pada , maka  adalah berpenyelesaian; setara (dengan teorema isomorfisme pertama), jika  berpenyelesaian, dan  adalah subgrup normal dari , maka  berpenyelesaian.
 Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut:  dapat diselesaikan jika dan hanya jika  dan  keduanya berpenyelesaian.
 Secara khusus, jika  dan  berpenyelesaian, hasilkali langsung  berpenyelesaian.

Solvabilitas tertutup terhadap perluasan grup:
 Jika  dan  berpenyelesaian, maka begitu juga dengan ; secara khusus, jika  dan  berpenyelesaian, produk setengah langsung mereka juga berpenyelesaian.

Itu juga ditutup di bawah produk karangan bunga:
 Jika  dan  berpenyelesaian, dan  adalah himpunan , maka hasilkali karangan bunga dari  dan  terhadap  juga berpenyelesaian.

Untuk suatu bilangan bulat positif , grup berpenyelesaian dari panjang jabaran paling banyak  membentuk subvarietas dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali (langsung). Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.

Teorema Burnside 

Teorema Burnside menyatakan bahwa jika  adalah grup hingga dari urutan  di mana  dan  adalah bilangan prima, dan  dan  adalah bilangan bulat taknegatif, maka  adalah berpenyelesaian.

Lihat pula 
 Grup prosolvabel
 Subgrup parabola

Catatan

Referensi

Pranala luar 
 
Solvable groups as iterated extensions 

 
Sifat grup