Limit invers

Dalam matematika, limit invers (), atau disebut juga sebagai limit proyektif () adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam kategori, dan merupakan kasus khusus dari konsep  limit dalam teori kategori.

Objek aljabar 
Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi sistem invers (atau sistem proyektif) dari grup dan homomorfisme. Misalkan (, ≤) adalah poset terarah atau  (tidak semua penulis memerlukan  untuk diarahkan). Misalkan  adalah keluarga dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme  untuk semua  (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:
  adalah identitas pada ,
 untuk semua .

Maka pasangan  disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas , dan morfisme  disebut morfisme peralihan dari sistem. 

Limit invers dari sistem invers  didefinisikan sebagai subgrup tertentu dari darab langsung dari :

Limit invers  dilengkapi dengan proyeksi alami ()  yang memilih komponen dari darab langsung ke- untuk setiap  di .

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika  adalah himpunan, semigrup, ruang topologi,  gelanggang, modul (atas fixed ring),  aljabar (atas fixed ring), dsb,. dan homomorfisme adalah morfisme dalam kategori padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

Definisi umum 

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam kategori sebarang dengan menggunakan sifat universal. Misalkan  adalah sistem invers dari objek dan morfisme di kategori . Limit invers dari sistem invers merupakan objek  di  dan juga dengan morfisme  (yang disebut proyeksi) memenuhi sifat  untuk semua . Pasangan  harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain , maka ada morfisme unik  sehingga diagram berikut 

komutatif untuk setiap . Jadi, limit invers seringkali dinyatakan sebagai 

dengan sistem invers . 

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers dan  dari sistem invers, maka terdapat isomorfisme unik  yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

Fungtor yang diturunkan dari limit invers 

Untuk suatu kategori Abel , fungtor limit invers

eksak kiri. Jika  terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan terhitung, dan  adalah kategori  dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan  yang menjamin ketepatan . Secara khusus, Eilenberg mengonstruksi suatu fungsi

sehingga jika , , dan   adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan

adalah barisan eksak pendek dari sistem invers, maka

merupakan barisan eksak di .

Lihat pula 

 Limit langsung

Referensi

Bibliografi 
  
 
  
  
  
 
 
 
 
 
 Section 3.5 of 

Limit (teori kategori)
Aljabar abstrak