Persamaan parametrik

Dalam matematika, Persamaan Parametrik mendefinisikan sekelompok kuantitas sebagai fungsi dari satu atau lebih variabel independen yang disebut parameter. Persamaan Parametrik biasanya digunakan untuk menyatakan koordinat dari titik-titik yang membentuk objek geometris seperti kurva atau permukaan, dalam hal ini persamaan representasi parametrik atau parameterization (sebagai alternatif dieja sebagai parametrisation) of the object.

Contohnya persamaan

membentuk representasi parametrik dari lingkaran satuan, di mana t adalah parameternya: Sebuah titik (x, y) ada di lingkaran satuan, jika nilai t sehingga keduanya sama. Kadang-kadang persamaan parametrik untuk variabel keluaran individu skalar digabungkan menjadi satu persamaan parametrik di vektor:

Representasi parametrik umumnya tidak unik (lihat bagian "Contoh dalam dua dimensi" di bawah), jadi jumlah yang sama dapat diekspresikan dengan sejumlah parameterisasi yang berbeda.

Selain kurva dan permukaan, persamaan parametrik dapat menggambarkan manifold dan varisi aljabar yang lebih tinggi dimensi, dengan jumlah parameter yang sama dengan dimensi manifold atau variasi, dan jumlah persamaan yang sama dengan dimensi ruang di mana manifold atau variasi dipertimbangkan (untuk kurva dimensi adalah satu dan parameter satu digunakan, untuk parameter dimensi permukaan dua dan dua, dll.).

Persamaan parametrik umumnya digunakan dalam kinematika, di mana lintasan suatu benda diwakili oleh persamaan bergantung pada waktu sebagai parameternya. Karena aplikasi ini, parameter tunggal sering kali diberi label t; namun, parameter dapat mewakili besaran fisik lainnya (seperti variabel geometris) atau dapat dipilih secara sewenang-wenang demi kenyamanan. Parameterisasi tidak unik; lebih dari satu set persamaan parametrik dapat menentukan kurva yang sama.

Aplikasi

Kinematics 
Dalam kinematika, jalur objek melalui ruang biasanya digambarkan sebagai kurva parametrik, dengan setiap koordinat spasial bergantung secara eksplisit pada parameter independen (biasanya waktu). Digunakan dengan cara ini, himpunan persamaan parametrik untuk koordinat objek secara kolektif membentuk fungsi bernilai vektor untuk posisi. Kurva parametrik tersebut kemudian dapat menjadi terintegrasi dan terdiferensiasi termwise. Jadi, jika posisi partikel dijelaskan secara parametrik sebagai 

maka kecepatan dapat ditemukan sebagai 

dan percepatan sebagai
.

Desain dengan bantuan komputer 
Penggunaan penting lain dari persamaan parametrik adalah dalam bidang desain dengan bantuan komputer (CAD). Contohnya, pertimbangkan tiga representasi berikut, yang semuanya biasanya digunakan untuk mendeskripsikan kurva planar.

Setiap representasi memiliki kelebihan dan kekurangan untuk aplikasi CAD. Representasi eksplisit mungkin sangat rumit, atau bahkan mungkin tidak ada. Selain itu, ia tidak berperilaku baik di bawah transformasi geometris, dan khususnya di bawah rotasi. Di sisi lain, karena persamaan parametrik dan persamaan implisit dapat dengan mudah disimpulkan dari representasi eksplisit, ketika representasi eksplisit sederhana ada, itu memiliki keuntungan dari keduanya. Representasi implisit mungkin menyulitkan untuk menghasilkan titik kurva, dan bahkan untuk memutuskan apakah ada titik nyata. Di sisi lain, mereka sangat cocok untuk memutuskan apakah suatu titik tertentu berada pada kurva, atau apakah itu di dalam atau di luar kurva tertutup. Keputusan semacam itu mungkin sulit dengan representasi parametrik, tetapi representasi parametrik paling cocok untuk menghasilkan titik pada kurva, dan untuk memplotnya.

Geometri bilangan bulat 
Banyak masalah dalam geometri bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan parametrik. Solusi klasik seperti itu adalah parametrikisasi Euklides dari segitiga siku-siku sedemikian rupa sehingga panjang sisinya  dan sisi miringnya  adalah bilangan bulat coprime. Karena a dan b tidak genap (sebaliknya   dan  tidak akan menjadi coprime), seseorang dapat menukarnya dengan memiliki  bahkan, dan parameterisasi kemudian

dimana parameternya  dan  adalah bilangan bulat coprime positif yang tidak keduanya ganjil.

Dengan mengalikan   dan  dengan bilangan bulat positif yang berubah-ubah, seseorang mendapatkan parametrization dari semua segitiga siku-siku yang ketiga sisinya memiliki panjang bilangan bulat.

Implisitisasi

Contoh dalam dua dimensi

Contoh dalam tiga dimensi

Helix 

Persamaan parametrik cocok untuk menggambarkan kurva dalam ruang berdimensi lebih tinggi. Sebagai contoh:

mendeskripsikan kurva tiga dimensi, heliks, dengan jari-jari a dan naik 2πb unit per putaran. Persamaan di bidang identik dengan persamaan lingkaran.
Ekspresi seperti di atas biasanya ditulis sebagai

dimana r adalah vektor tiga dimensi.

Permukaan parametrik 

Sebuah torus dengan radius mayor R dan minor radius r dapat didefinisikan secara parametrik sebagai

dimana dua parameter t dan u keduanya bervariasi antara 0 dan 2π.

Karena u bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak mengelilingi lingkaran pendek melewati lubang di torus. Karena t bervariasi dari 0 hingga 2π, titik di permukaan bergerak membentuk lingkaran panjang mengelilingi lubang di torus.

Contoh dengan vektor 

Persamaan parametrik garis yang melewati titik  dan sejajar dengan vektor  is

Lihat pula 
Melengkung
 Estimasi parametrik
 Vektor posisi
 Fungsi bernilai vektor
 Parametriisasi menurut panjang busur
 Turunan parametrik

Catatan

Pranala luar 

Web application to draw parametric curves on the plane

Kalkulus multivariabel
Persamaan
Pemrosesan geometri