Grup selang-seling

Dalam matematika, grup selang-seling () adalah grup dari permutasi genap dari himpunan hingga. Grup selang-seling pada himpunan elemen  disebut grup selang-seling derajat , atau grup selang-seling pada huruf  dan dilambangkan dengan  or .

Sifat dasar 
Untuk , grup  adalah subgrup komutator dari grup simetris  dengan indeks 2 dan karena itu memiliki  elemen (dimana  melambangkan faktorial). Ini adalah kernel dari tanda tangan kehomomorfan grup  dijelaskan di bawah grup simetrik.

Grup  adalah abelian jika dan hanya jika  dan sederhana jika dan hanya jika  atau .   adalah grup sederhana takAbel terkecil, memiliki urutan 60, dan grup takterpecahkan terkecil.

Grup  memiliki grup empat Klein  sebagai subgrup normal wajar, yaitu identitas dan transposisi ganda , itulah kernel dari surjeksi  ke . Kita memiliki urutan persis . Dalam Teori Galois, peta ini, atau lebih tepatnya peta berpadanan , berpadanan dengan mengasosiasikan Penyelesai Lagrange kubik ke kuartik, yang memungkinkan polinomial kuartik untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh Lodovico Ferrari.

Kelas konjugasi 
Seperti dalam grup simetris, dua elemen  yang sekawan oleh elemen  harus memiliki bentuk siklus yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, dimana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini .

Contoh:
 Kedua permutasi  dan  tidak sekawan dalam , meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu sekawan di  .
Permutasi (123) (45678) tidak sekawan dengan kebalikannya  pada , meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya sekawan dalam .

Hubungan dengan grup simetrik 
Lihat Grup simetris.

Pembangkit dan relasi 
 dihasilkan oleh siklus-3, karena siklus-3 dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. Himpunan pembangkit ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa  adalah sederhana untuk .

Grup automorfisme 

Untuk , kecuali untuk , grup automorfisme dari  adalah grup simetris , dengan grup automorfisme dalam  dan grup automorfisme luar ; automorfisme luar berasal dari konjugasi oleh permutasi ganjil.

Untuk  dan , grup automorfisme adalah trivial. Untuk  grup automorfisme adalah , dengan grup automorfisme dalam dan grup automorfisme luar trivial .

Grup automorfisme luar  adalah grup empat Klein , dan terkait dengan automorfisme luar . Automorfisme luar ekstra di  menukar siklus-3 (seperti ) dengan elemen bentuk  (seperti ).

Isomorfisme istimewa 
Terdapat beberapa isomorfisme istimewa antara beberapa grup kecil bergantian dan grup tipe Lie kecil, khususnya grup linear khusus proyektif. Ini adalah:
  isomorfik untuk  and grup simetrik
dari simetri tetrahedrai kiral
  isomorfik untuk , , dan kelompok simetri kiral simetri ikosahedral. (Lihat untuk isomorfisme taklangsung dari  menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan di sini untuk bukti langsung).
  isomorfik untuk  dan .
  isomorfik untuk .

Lebih jelasnya,  isomorfik bagi grup siklik , dan , , dan  isomorfik ke grup trivial (yang juga  untuk ).

Contoh  dan

Contoh  sebagai subgrup rotasi ruang-3 

 adalah grup isometri dodekahedron dalam 3 ruang, jadi ada wakilan 

Dalam gambar ini verteks polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap verteks mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke verteks tersebut, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. Verteks dalam polihedron yang sama berada dalam kelas sekawan yang sama. Karena persamaan kelas sekawan untuk  adalah , kita mendapatkan empat polihedra (taktrivial) berbeda.

Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektif dengan elemen kelas sekawannya, dengan pengecualian kelas sekawan siklus-, yang diwakili oleh sebuah ikosidodekahedron di permukaan luar, dengan verteks antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh  radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang  di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari siklus- mengandung 15 elemen, sedangkan ikosidodekahedron memiliki 30 verteks.

Dua kelas sekawan dari dua belas siklus-5 dalam  diwakili oleh dua ikosahedra, dari jari-jari berturut-turut,  dan . Automorfisme luar taktrivial pada  mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra berpadanan.

Catatan

Referensi

Pranala luar 
 
 

Grup hingga
Grup permutasi