Homomorfisme

Dalam aljabar abstrak, homomorfisme atau kehomomorfan () adalah struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari ranah homomorfisme ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

Definisi 
Homomorfisme adalah peta antara dua struktur aljabar dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan operasi dari struktur. Artinya adalah peta  antara dua himpunan ,  dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika  adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi operasi biner), setelah itu

untuk setiap pasangan ,  elemen . Sering dikatakan bahwa  mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

Secara formal, peta  mempertahankan operasi  dari ariti k, ditentukan pada  dan  jika 
 
untuk elemen  pada .

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputi Operasi 0-ari, yaitu konstanta. Secara khusus, ketika elemen identitas diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya, bilangan real membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian. Fungsi eksponensial

memadai

dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena fungsi invers, logaritma natural, memenuhi 

dan juga grup homomorfisme.

Contoh 

Bilangan real adalah gelanggang, yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 matriks juga merupakan cincin, terhadap penambahan matriks dan perkalian matriks. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:

di mana  adalah bilangan real, maka  adalah homomorfisme gelanggang, karena  mempertahankan kedua penjumlahan:

dan perkalian:

Untuk contoh lain, bukan-nol bilangan kompleks membentuk kelompok terhadap operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memiliki invers perkalian, yang diperlukan untuk elemen grup.)  Tentukan sebuah fungsi  dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan
.
Artinya,  adalah nilai mutlak (atau modulus) dari bilangan kompleks . Maka  adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:
.
Perhatikan bahwa  tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:
.

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme monoid  dari monoid  ke monoid . Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh  berjumlah  dan .

Sebuah komposisi aljabar  di atas bidang  memiliki bentuk kuadrat, yang disebut norma, , yang merupakan homomorfisme grup dari grup perkalian dari  ke grup perkalian dari .

Homomorfisme khusus 
Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untuk morfisme umum.

Isomorfisme 
Sebuah isomorfisme antara struktur aljabar dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme bijektif. 

Dalam konteks yang lebih umum dari teori kategori, isomorfisme didefinisikan sebagai morfisme, yang memiliki invers yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika 

adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme

such that
 dan .

Jika  dan  memiliki himpunan yang mendasari, dan  memiliki invers , maka  adalah bijektif. Faktanya,  adalah injeksi, seperti  menyiratkan , dan  adalah dugaan, karena, untuk  mana pun di , salah satunya memiliki , dan  adalah gambar dari elemen .

Sebaliknya jika  adalah homomorfisme bijektif antara struktur aljabar, misalkan  jadilah peta sedemikian rupa sehingga  adalah elemen unik  dari  sedemikian rupa sehingga . Salah satunya memiliki  dan , dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwa  adalah homomorfisme. Jika  adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasangan ,  elemen , salah satunya memiliki

dan  karenanya serasi dengan  Karena buktinya serupa untuk ariti mana pun, ini menunjukkan bahwa  adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur takaljabar. Misalnya, untuk ruang topologi, morfisme adalah peta kontinu, dan kebalikan dari peta kontinu bijektif tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebut homeomorphism atau peta bikontinu, dengan demikian merupakan peta kontinu bijektif, yang kebalikannya juga kontinu.

Keendomorfan 
Sebuah keendomorfan adalah homomorfisme yang ranah sama dengan kodomain, atau, lebih umum lagi, morfisme yang sumbernya sama dengan target.

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari kategori membentuk monoid terhadap komposisi.

Keendomorfan dari ruang vektor atau modul membentuk gelanggang. Dalam kasus ruang vektor atau modul gratis berhingga dimensi, pilihan basis menginduksi keisomorfan gelanggang antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang matriks persegi dengan dimensi yang sama.

Kernel 

Homomorfisme  mendefinisikan sebuah hubungan kesetaraan  pada  pada  jika dan hanya jika . Relasi  disebut kernel dari . Ini adalah hubungan kongruensi di . Himpunan hasil  kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti , secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh , untuk setiap operasi  dari . Dalam hal ini, gambar  di  terhadap homomorfisme  harus isomorfik menjadi ; fakta ini adalah salah satu teorema isomorfisme.

Ketika struktur aljabar adalah grup untuk beberapa operasi, hubungan kesetaraan  dari elemen identitas operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan dengan  (biasanya dibaca sebagai " mod "). Juga dalam kasus ini, ini adalah , bukan , yang disebut kernel dari . Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus grup abelian, ruang vektor dan modul, tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti subgrup normal untuk kernel homomorfisme grup dan ideal untuk kernel homomorfisme gelanggang (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalah ideal dua sisi).

Struktur relasional 

Dalam teori model, pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan  menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur ,  menjadi dua struktur-. Kemudian homomorfisme dari  ke  adalah pemetaan  dari ranah  ke ranah  sedemikian rupa sehingga
  untuk setiap simbol fungsi ary- dari  dalam ,
  menyiratkan  untuk setiap simbol relasi ary-dari dalam .
Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah homomorfisme graf. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.

Lihat pula 
 Fungsi kontinu
 Difeomorphism
 Enkripsi homomorfik
 Pembagian rahasia homomorfik - protokol pemungutan suara terdesentralisasi yang sederhana
 Morfisme

Catatan

Kutipan

Referensi 

Morphisms
Matematika