Ruang vektor bernorma

Dalam matematika, ruang vektor bernorma atau ruang bernorma adalah ruang vektor di atas bilangan riil atau kompleks, di mana norma didefinisikan. Norma adalah formalisasi dan generalisasi ke ruang vektor riil dari pengertian intuitif "panjang". Norma adalah fungsi bernilai riil yang ditentukan pada ruang vektor yang biasanya dilambangkan dengan  dan memiliki sifat berikut:
Itu tidak negatif, yaitu untuk setiap vektor , satu memiliki 
Ini positif pada vektor bukan nol, yaitu, 

 Untuk setiap vektor , dan setiap skalar 
 
 Segitiga pertidaksamaan berlaku; yaitu, untuk setiap vektor  dan , satu memiliki
 

Sebuah norma menginduksi sebuah jarak dengan rumus

yang membuat ruang vektor bernorma menjadi ruang metrik dan ruang vektor topologis. Jika metrik ini  adalah lengkap maka ruang normed disebut  Ruang Banach . Setiap ruang vektor bernorma dapat "diperluas secara unik" ke ruang Banach, yang membuat ruang bernorma terkait erat dengan ruang Banach. Setiap ruang Banach adalah ruang bernorma tetapi sebaliknya tidak harus benar. Contoh: Satu himpunan urutan berbatas. Studi tentang ruang bernorma dan ruang Banach merupakan bagian fundamental dari analisis fungsional, yang merupakan subbidang utama matematika.

Sebuah ruang hasil kali dalam menjadi ruang bernorma jika norma sebuah vektor adalah akar kuadrat dari hasil kali dalam vektor itu sendiri. Jarak Euklides dalam ruang Euklides terkait dengan norma ruang vektor terkait (yang merupakan ruang hasil kali dalam) dengan rumus

Definisi 
Ruang vektor bernorma adalah pasangan  di mana  adalah ruang vektor dan  a norma di .

Ruang vektor seminorma adalah tupek  di mana  adalah ruang vektor dan  a seminorma di .

Jika  atau  dan cukup tulis  untuk spasi jika jelas dari konteksnya apa (semi) norma yang kita gunakan.

Dalam pengertian yang lebih umum, norma vektor dapat dianggap sebagai fungsi bernilai riil yang memenuhi ketiga sifat di atas.

Variasi pertidaksamaan segitiga adalah
 untuk setiap vektor x dan y.

Ini juga menunjukkan bahwa norma vektor adalah fungsi kontinu.

Perhatikan bahwa properti 2 bergantung pada pilihan norma  di bidang skalar. Ketika bidang skalar  (atau lebih umum merupakan himpunan bagian dari ), ini biasanya dianggap nilai absolut biasa, tetapi pilihan lain dimungkinkan. Misalnya, untuk vektor spasi di atas  satu bisa mengambil  menjadi norma p-adik, yang memunculkan kelas ruang vektor bernorma yang berbeda.

Struktur topologi 
Jika ( V , ‖·‖) adalah ruang vektor bernorma, norma ‖·‖ menginduksi a metrik (pengertian  jarak ) dan karena itu topologi pada  V . Metrik ini didefinisikan dengan cara alami: jarak antara dua vektor  'u'  dan  'v'  diberikan oleh ‖ 'u'  -  'v' ‖. Topologi ini justru merupakan topologi terlemah yang membuat ‖·‖ kontinu dan yang kompatibel dengan struktur linier  V  dalam pengertian berikut:

Penambahan vektor +:  V  ×  V  →  V  secara bersama-sama kontinu sehubungan dengan topologi ini. Ini mengikuti langsung dari pertidaksamaan segitiga.
Perkalian skalar ·: K × V → V, dimana K adalah bidang skalar yang mendasari  V , terus menerus bersama. Ini mengikuti dari segitiga ketidaksamaan dan homogenitas norma.

Demikian pula, untuk ruang vektor semi-normed, kita dapat mendefinisikan jarak antara dua vektor u dan v sebagai ‖u − v‖. Ini mengubah ruang seminormed menjadi ruang pseudometrik (perhatikan ini lebih lemah dari metrik) dan memungkinkan definisi pengertian seperti kontinuitas.
Untuk membuatnya lebih abstrak, setiap ruang vektor semi-norma adalah ruang vektor topologis dan dengan demikian membawa struktur topologi yang diinduksi oleh semi-norma.

Yang menarik adalah lengkap ruang bernorma yang disebut Ruang Banach. Setiap ruang vektor bernorma  V  berada sebagai subruang padat di dalam ruang Banach; Ruang Banach ini pada dasarnya didefinisikan secara unik oleh  V  dan disebut  penyelesaian  dari  V .

Dua norma pada ruang vektor yang sama disebut  ekivalen  jika keduanya mendefinisikan topologi yang sama. Pada ruang vektor berdimensi-hingga, semua norma adalah setara tetapi ini tidak berlaku untuk ruang vektor berdimensi tak hingga.

Semua norma pada ruang vektor berdimensi-hingga adalah setara dari sudut pandang topologi karena mereka menginduksi topologi yang sama (meskipun ruang metrik yang dihasilkan tidak harus sama). Dan karena setiap ruang Euklides lengkap, kita dapat menyimpulkan bahwa semua ruang vektor berdimensi hingga adalah ruang Banach. Ruang vektor bernorma  V  adalah kompak lokal jika dan hanya jika bola satuan B = {x : ‖x‖ ≤ 1} adalah kompak, yang terjadi jika dan hanya jika  V  berdimensi hingga; ini adalah konsekuensi dari lemma Riesz.  (Faktanya, hasil yang lebih umum adalah benar: ruang vektor topologis kompak secara lokal jika dan hanya jika berdimensi berhingga. Intinya di sini adalah kita tidak mengasumsikan topologi berasal dari suatu norma.)

Topologi ruang vektor seminormed memiliki banyak properti bagus. Diberikan sistem lingkungan  sekitar 0 kita dapat membangun semua sistem lingkungan lainnya sebagai

dengan
.

Selain itu, terdapat basis lingkungan untuk 0 yang terdiri dari penyerap dan himpunan konveks. Karena properti ini sangat berguna dalam analisis fungsional, generalisasi ruang vektor bernorma dengan properti ini dipelajari dengan nama ruang konveks lokal.

 Ruang normal 
Ruang vektor topologis  disebut normabel''' jika ada norma  pada  X  sedemikian rupa sehingga metrik kanonik  menginduksi topologi  pada  X .
Teorema berikut ini berasal dari Kolmagoroff:

Sebuah produk dari suatu keluarga ruang normabel dapat dinormalkan jika dan hanya jika terbatas banyak ruang yang non-sepele (yaitu ). Selanjutnya, hasil bagi dari ruang normabel  X  oleh subruang vektor tertutup  C  dapat dinormalkan dan jika topologi tambahan  X  dirumuskan norma  maka peta  dirumuskan  adalah norma yang didefinisikan dengan baik pada  X/C  yang menginduksi quotient topology pada X/C.

Jika  adalah ruang vektor topologis Hausdorff cembung lokal, maka yang berikut ini setara:

  adalah normabel.
  memiliki lingkungan berbatas di asalnya.
 ganda  dari  adalah normabel.
 ganda  dari  adalah dapat diukur.

Lebih lanjut,  adalah dimensi berhingga jika dan hanya jika  adalah normabel (dimana  menunjukkan  dinamakan dengan topologi *rendah).

 Ruanga norma sebagai ruang hasil bagi dari spasi seminormed 
Definisi dari banyak ruang bernorma (khususnya, Ruang Banach) melibatkan seminorm yang didefinisikan pada ruang vektor dan kemudian ruang bernorma didefinisikan sebagai ruang hasil bagi oleh subruang elemen seminorm nol.  Misalnya, dengan Lp spaces, fungsi yang ditentukan oleh

adalah seminorm pada ruang vektor dari semua fungsi di mana integral Lebesgue di sisi kanan didefinisikan dan terbatas.  Namun, seminorm sama dengan nol untuk fungsi apapun didukung pada satu set Ukuran Lebesgue nol.  Fungsi-fungsi ini membentuk subruang yang kita "bagi", membuatnya setara dengan fungsi nol.

 Ruang perkalian hingga 
Diberikan  n  ruang seminorma Xi dengan seminorma qi kita dapat mendefinisikan ruang produk sebagai

dengan penjumlahan vektor didefinisikan sebagai

dan perkalian skalar didefinisikan sebagai
.

Kami mendefinisikan fungsi baru  q for example as
.
yang merupakan seminorm pada  X . Fungsi  q  adalah norma jika dan hanya jika semua qi adalah norma.

Secara lebih umum, untuk setiap p''≥1 riil memiliki seminorma:

Untuk setiap p, ini mendefinisikan ruang topologi yang sama.

Argumen langsung yang melibatkan aljabar linier dasar menunjukkan bahwa satu-satunya ruang seminormed berdimensi-hingga adalah yang muncul sebagai ruang hasil kali dari ruang bernorma dan ruang dengan trivia.  Akibatnya, banyak contoh dan aplikasi yang lebih menarik dari ruang seminormed terjadi untuk ruang vektor berdimensi tak hingga.

Lihat pula 

 Ruang Banach, ruang vektor bernorma yang lengkap sehubungan dengan metrik yang diinduksi oleh norma
 Lipatan Finsler, di mana panjang setiap vektor tangen ditentukan oleh sebuah norma
 Ruang hasil kali dalam, ruang vektor bernorma di mana norma diberikan oleh hasil kali dalam
 Kriteria normabilitas Kolmogorov
 Ruang vektor topologis konveks lokal - ruang vektor dengan topologi yang ditentukan oleh set terbuka cembung
 Ruang (matematika) - himpunan matematika dengan beberapa struktur tambahan
 Ruang vektor topologis - ruang vektor dengan pengertian tentang kedekatan

Referensi

Bibliografi

Pranala luar