Grup permutasi

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi  adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan  dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym() (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai .

Notasi 
Untuk suatu himpunan , permutasi  atas  adalah suatu bijeksi . Sebagai contoh, untuk himpunan , salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi  yang memenuhi
 dan . Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris

atau secara umum, unsur dalam grup permutasi  dapat ditulis sebagai matriks
.

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran  dengan panjang  melambangkan pemetaan . Sebagai contoh, tinjau permutasi  pada grup permutasi  yang didefinisikan oleh
.

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi  yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi . Dua buah putaran  yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan  dengan  tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas , berlaku pula .

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
,

invers dari  yang dinotasikan sebagai dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

.

Dekomposisi putaran 
Setiap permutasi pada grup permutasi  dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas. Sebagai contoh, permutasi

dapat ditulis sebagai .

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan  terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang , orde dari  kemudian adalah kelipatan persekutuan terkecil dari .

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua. Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian grup berayun, yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.

Teorema Cayley 
Dalam teori grup, teorema Cayley mengatakan bahwa sebarang grup  isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym() untuk suatu . Untuk  yang memiliki orde berhingga, berlaku  isomorfis dengan grup permutasi .

Lihat pula 
 grup-2 transitif
 Grup permutasi pangkat 3
 Grup Mathieu

Referensi 

Matematika