Aturan pangkat

Dalam kalkulus, aturan pangkat digunakan untuk menurunkan fungsi , dengan  bilangan real. Karena diferensiasi adalah operasi linear pada ruang fungsi terdiferensiasi, polinomial juga dapat didiferensiasi menggunakan aturan ini. Aturan pangkat mendasari deret Taylor karena ia menghubungkan deret pangkat dengan deret fungsi.

Pernyataan
Misalkan  adalah sebuah fungsi yang memenuhi , untuk semua , dengan  adalah bilangan real. Maka,Aturan pangkat untuk integrasi menyatakanuntuk sebarang bilangan real , dan  adalah konstanta sebarang. Pernyataan aturan pangkat untuk integrasi di atas dapat diperoleh dengan membalikkan aturan pangkat untuk turunan.

Bukti eksponen nyata
Untuk memulai, kita harus memilih definisi kerja dari nilai , darimana  adalah bilangan real apa pun. Meskipun layak untuk mendefinisikan nilai sebagai batas urutan kekuatan rasional yang mendekati kekuatan irasional setiap kali kita menemukan kekuatan seperti itu, atau sebagai batas atas terkecil dari sekumpulan kekuatan rasional kurang dari kekuatan yang diberikan, jenis definisi ini tidak dapat menerima diferensiasi. Oleh karena itu lebih disukai untuk menggunakan definisi fungsional, yang biasanya dianggap sebagai  untuk semua nilai , dari mana  adalah fungsi eksponensial natural dan  adalah Nomor Euler. Pertama, kami dapat menunjukkan bahwa turunan dari  is .

Bila , maka , dari mana  adalah fungsi logaritma natural, fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial, seperti yang ditunjukkan oleh Euler. Karena dua fungsi terakhir sama untuk semua nilai , turunannya juga sama, setiap kali salah satu turunannya ada, jadi kita punya, menurut aturan rantai, 

atau , seperti yang diminta.
Oleh karena itu, terapkan aturan rantai ke nilai , kami melihat:

yang menyederhanakan ke .

Setelah , kami dapat menggunakan definisi yang sama dengan , dimana kita sekarang punya . Hal ini selalu mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan itu karena  tidak memiliki definisi konvensional kapan  bukan bilangan rasional, fungsi daya irasional tidak didefinisikan dengan baik untuk basis negatif. Selain itu, karena pangkat rasional -1 dengan penyebut genap (dalam suku terkecil) bukanlah bilangan real, ekspresi ini hanya dinilai nyata untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terkecil).

Terakhir, setiap kali fungsi dapat dibedakan di , batas yang menentukan untuk turunannya adalah:

yang menghasilkan 0 hanya jika  adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah) dan , and 1 when r = 1. Untuk semua nilai r lainnya, ekspresi  tidak didefinisikan dengan baik untuk , seperti yang dibahas di atas, atau bukan bilangan real, sehingga batas tidak ada sebagai turunan bernilai nyata. Untuk dua kasus yang benar-benar ada, nilainya sesuai dengan nilai aturan pangkat yang ada di nilai 0.

Bukti untuk eksponen integer bukan nol

Pembuktian dengan induksi (bilangan bulat positif)
Bila n menjadi bilangan bulat positif. Itu diperlukan untuk membuktikan itu 

Darimana , 
Oleh karena itu, kasus dasar berlaku.

Misalkan pernyataan tersebut berlaku untuk beberapa bilangan bulat positif k, yakni 

Darimana , 

Dengan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembuktian oleh teorema binomial (bilangan bulat positif)
Bila , darimana 

Setelah itu

Generalisasi eksponen bilangan bulat negatif
Untuk bilangan bulat negatif n, jika  sehingga m adalah bilangan bulat positif.
Menggunakan aturan timbal balik, 

Kesimpulannya, untuk bilangan bulat bukan nol ,

Generalisasi eksponen rasional
Setelah membuktikan bahwa aturan pangkat berlaku untuk eksponen integer, aturan tersebut dapat diperluas ke eksponen rasional.

Generalisasi kasus per kasus
. Bila , dari mana 

Setelah itu 

Dengan aturan rantai, kami mengerti 

Jadi, 

. Jika , where  , so that 

Oleh aturan rantai, 

. Bila , dimana  and 

Dengan menggunakan aturan rantai dan aturan timbal balik, kami mendapatkan 

Dari hasil di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai  adalah bilangan rasional,

Dibuktikan dengan diferensiasi implisit
Generalisasi yang lebih lugas dari aturan pangkat menjadi eksponen rasional menggunakan diferensiasi implisit.

Bila , darimana  yang seperti itu .

Maka,

Memecahakan nilai dari ,

setelah ,

Menerapkan hukum eksponen,

Referensi