Integral Dirichlet

Dalam matematika, ada beberapa integral yang dikenal sebagai Integral Dirichlet, setelah ahli matematika Jerman Peter Gustav Lejeune Dirichlet, salah satunya adalah integral tak wajar dari fungsi sinc di atas garis nyata positif:

 

Integral ini bukanlah absolut konvergen, artinya  bukan Lebesgue-integrable, sehingga integral Dirichlet tidak terdefinisi dalam arti integral Lebesgue. Hal ini, bagaimanapun, didefinisikan dalam arti integral Riemann yang tidak tepat atau Riemann yang digeneralisasikan atau integral Henstock–Kurzweil.  Nilai integral (dalam pengertian Riemann atau Henstock) dapat diturunkan dengan berbagai cara, termasuk transformasi Laplace, integrasi ganda, membedakan di bawah tanda integral, integrasi kontur, dan kernel Dirichlet.

Evaluasi

Transformasi Laplace 
Maka  menjadi fungsi yang dapat didefinisikan . Maka Transformasi Laplace diberikan oleh

bila integral itu ada.

Properti dari Transformasi laplace berguna untuk mengevaluasi integral tak wajar adalah

asalkan .

Seseorang dapat menggunakan properti ini untuk mengevaluasi integral Dirichet sebagai berikut:

lantaran  adalah transformasi Laplace dari fungsi tersebut . (Lihat bagian 'Membedakan di bawah tanda integral' untuk penurunan.)

Integrasi ganda 

Mengevaluasi integral Dirichlet menggunakan transformasi Laplace setara dengan mencoba mengevaluasi integral pasti ganda yang sama dalam dua cara berbeda, dengan pembalikan urutan integral, yaitu:

Diferensiasi di bawah tanda integral (trik Feynman) 
Pertama, tulis ulang integral sebagai fungsi dari variabel tambahan . Maka

Untuk mengevaluasi integral Dirichlet, kita perlu menentukan.

Diferensialkan sehubungan dengan  dan terapkan hukum Leibniz untuk membedakan di bawah tanda integral untuk mendapatkan

Sekarang, gunakan rumus Euler  sinusoid dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial kompleks. Jadi kami punya

 

oleh karena itu,

Integrasi sehubungan dengan  memberikan

 

dimana  adalah konstanta integrasi yang akan ditentukan. Karena   menggunakan nilai pokok. Maka ini berarti

 

Akhirnya, untuk , kita punya , seperti sebelumnya.

Integrasi kompleks 
Hasil yang sama dapat diperoleh dengan integrasi kompleks. Mempertimbangkan

 

Sebagai fungsi dari variabel kompleks , ia memiliki kutub sederhana di asalnya, yang mencegah penerapan lemma Jordan, yang hipotesis lainnya terpenuhi.

Tentukan kemudian fungsi baru

 

Kutub telah dipindahkan dari sumbu sebenarnya, sehingga  dapat diintegrasikan sepanjang setengah lingkaran radius  yang berpusat di  dan ditutup pada sumbu nyata. Seseorang kemudian limitnya .

Integral kompleks adalah nol menurut teorema residu, karena tidak ada kutub di dalam jalur integrasi

 

Istilah kedua lenyap saat  pergi ke tak terhingga. Adapun integral pertama, seseorang dapat menggunakan satu versi teorema Sokhotski–Plemelj untuk integral di atas garis nyata: untuk fungsi bernilai kompleks  yang ditentukan dan dapat terus terdiferensiasi pada garis nyata dan konstanta nyata  dan  with  seseorang menemukan

 

dimana  menunjukkan nilai pokok Cauchy. Kembali ke kalkulasi awal di atas, seseorang dapat menulis

 

Dengan mengambil bagian imajiner di kedua sisi dan mencatat fungsinya  bahkan, kita dapatkan

Akhirnya,
 

Atau, pilih sebagai kontur integrasi untuk  gabungan jari-jari setengah lingkaran bidang atas  dan  bersama dengan dua segmen dari garis nyata yang menghubungkannya. Di satu sisi, integral kontur adalah nol, terlepas dari  dan ; di sisi lain, sebagai  dan  bagian imajiner integral menyatu  (maka  adalah cabang dari logaritma pada setengah bidang atas), yang mengarah ke .

Kernel Dirichlet 
Maka

menjadi kernel Dirichlet.

Segera setelah itu

menjelaskan

Jelasnya,  adalah kontinu jika , untuk melihat keberlanjutannya di 0 terapkan Aturan L'Hopital:

 

Karenanya,  memenuhi persyaratan Riemann-Lebesgue Lemma. Ini berarti

(Bentuk Lemma Riemann-Lebesgue yang digunakan di sini dibuktikan dalam artikel yang dikutip.)

Pilih batasan  and . Maka kami ingin mengatakan

In order to do so, however, we must justify switching the real limit in  to the integral limit in .  This is in fact justified if we can show the limit does exist, which we do now.

Using integration by parts, we have:

Now, as  and  the term on the left converges with no problem. See the list of limits of trigonometric functions.  We now show that  is absolutely integrable, which implies that the limit exists.

First, we seek to bound the integral near the origin. Using the Taylor-series expansion of the cosine about zero,

Therefore,

Splitting the integral into pieces, we have

for some constant .  This shows that the integral is absolutely integrable, which implies the original integral exists, and switching from  to  was in fact justified, and the proof is complete.

Lihat pula 

 Distribusi Dirichlet
 Prinsip Dirichlet
 Fungsi Sin
 Integral Fresnel

Catatan

Pranala luar 

 

Fungsi khusus
Kalkulus integral
Fisika matematika