Fungsi poligamma

Dalam matematika, fungsi poligamma urutan  adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks  didefinisikan sebagai turunan ke  pada logaritma dari fungsi gammaː

 ,

Dengan demikian

 

berlaku dimana  adalah fungsi digamma dan  adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada . Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan . Fungsi  terkadang disebut fungsi trigamma.

Representasi integral 
Ketika  dan , fungsi poligamma sama dengan

 

Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari . Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk  dan real  dan tak negatif,  adalah fungsi sepenuhnya monoton.

Pengaturan  pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus  di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan

Relasi pengulangan 
Itu memenuhi relasi perulangan

 

yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː

 

dan

 

untuk semua . Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain  (lihat bilangan asli) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan , kecuali dalam kasus  dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada  masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada  dimnita tambahannya. Kasus  harus diperlakukan berbeda karena  tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).

Relasi refleksi 

 

dimana  adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap  dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien . Mereka mematuhi persamaan rekursi

Teorema perkalian 
Teorema perkalian memberikan

 

dan

 

untuk fungsi digamma.

Representasi deret 
Fungsi poligamma memiliki representasi deret

 

yang berlaku untuk  dan setiap kompleks  tidak sama dengan bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam bentuk fungsi zeta Hurwitz sebagai

 .

Sebagai kemungkinan lain, fungsi zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.

Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch,

 .

Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass. Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː

.

Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː

 .

Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː

 

Dimana  adalah delta Kronecker.

Juga transenden Lerch

 

bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma

Deret Taylor 
Deret Taylor pada  adalah

 

dan

 

yang konvergen untuk . Disini,  adalah fungsi zeta Riemann. Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional.

Ekspansi asimtotik 
Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː

 

dan

 

dimana kita memilih , yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.

Pertidaksamaan 
Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan

 ,

dan ini menyiratkan bahwa fungsi

 

adalah tak negatif untuk semua  dan . Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa

 

benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas  menyiratkan bahwa

 

adalah tak negatif untuk semua  dan , sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas

 

yang lengkap.

Oleh karena itu, untuk semua , dan ,

 .

Lihat pula 

 Faktorial
 Fungsi digamma
 Fungsi gamma
 Fungsi poligamma umum
 Fungsi trigamma

Referensi 

 

Gamma dan fungsi yang berkaitan