Teorema isomorfisme

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, isomorphism theorems (juga dikenal sebagai Teorema isomorfisme noether) adalah teorema yang menjelaskan hubungan antara hasil bagi, homomorfisme, dan subobjek. Versi teorema ada untuk grup, gelanggang, ruang vektor, modul, aljabar Lie, dan berbagai struktur aljabar lainnya. Dalam aljabar universal, teorema isomorfisme dapat digeneralisasikan untuk konteks aljabar dan kesesuaian.

Teori grup

Teorema isomorfisme pertama 

Misalkan  menjadi sebuah grup,  menjadi subgrup normal pada  dan  menjadi subgrup oleh . Kemudian produk kompleks  subgrup ,  adalah subgrup normal di  dan grup  adalah pembagi normal di . Hal berikut ini berlaku:
 
 menunjukkan isomorfisme grup.

Isomorfisme yang biasanya dimaksudkan disebut sebagai isomorfisme kanonik. Menurut Teorema Homomorfisme, ini diturunkan dari pemetaan dugaan
 
diinduksi, karena jelas berlaku
.

Dari teorema isomorfisme pertama, sebagai kasus khusus, seseorang menerima pernyataan yang jelas bahwa seseorang dapat "memperluas" dengan  jika dan hanya jika .

Teorema isomorfisme kedua 

Misalkan  menjadi sebuah grup,  menjadi subgrup normal di  dan  menjadi subgrup , yang merupakan pembagi normal dalam . Kemudian:
 

Dalam hal ini, isomorfisme kanonik dapat diberikan di kedua arah, diinduksi oleh di satu sisi
 
di sisi lain
 

Secara jelas, teorema isomorfisme kedua mengatakan bahwa  dapat "dipersingkat".

Gelanggang 

Teorema isomorfisme juga berlaku untuk gelanggang dalam bentuk yang disesuaikan:

Teorema isomorfisme pertama 

Biarkan  menjadi sebuah gelanggang,  ideal dari  dan  subgelanggang dari . Maka jumlahnya  cincin dengan  dan potongan  ideal dari . Hal berikut ini berlaku:
 
 menunjukkan isomorfisme gelanggang.

Teorema isomorfisme kedua 

Biarkan  menjadi sebuah gelanggang,  dua rumus dengan . Kemudian  rumusnya . Hal berikut ini berlaku:

Ruang vektor, grup Abelian, atau objek dari kategori Abelian apa pun 

Maka 
 ruang vektor di atas bidang
 atau Grup Abelian
 atau lebih umum modul di atas gelanggang
 maka umumnya objek dari Kategori Abelian.
Sepuh Lalu:
 
 
Di sini, juga, simbol  adalah singkatan dari isomorfisme dari struktur aljabar yang sesuai atau objek dalam kategori terkait.

Isomorfisme kanonik ditentukan dengan jelas oleh fakta bahwa mereka kompatibel dengan dua panah kanonik  dan .

Sebuah generalisasi luas dari teorema isomorfisme disediakan oleh Schlangenlemma.

Referensi 
 Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96  (1927) pp. 26–61
 Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
 
 Paul M. Cohn, Universal algebra, Chapter II.3 p. 57