Ruang vektor topologis

Dalam matematika, suatu ruang vektor topologis (juga disebut ruang topologis linear) adalah suatu ruang vektor yang mana suatu topologi yang serasi didefinisikan sebagai suatu tambahan pada struktur aljabarnya, sedemikian sehingga operasi pada ruang vektor menjadi fungsi kontinu. Lebih khusus lagi, ruang topologisnya memiliki struktur topologis seragam, memungkinkan gagasan tentang kekonvergenan seragam. Ruang vektor topologis adalah salah satu struktur dasar yang diteliti dalam analisis fungsional.

Elemen ruang vektor topologis biasanya fungsi atau operator linear yang bekerja pada ruang vektor topologis, dan topologi sering didefinisikan untuk menangkap gagasan tertentu dari konvergensi dari urutan fungsi.

Ruang Banach, Ruang Hilbert dan Ruang Sobolev adalah contoh yang terkenal.

Kecuali dinyatakan lain, lapangan yang mendasari ruang vektor topologis diasumsikan sebagai bilangan kompleks ℂ atau bilangan riil ℝ.

Motivasi 
Ruang normal

Setiap ruang vektor bernorma memiliki struktur topologis: norma menginduksi sebuah metrik dan metrik menginduksi sebuah topologi. Ini adalah ruang vektor topologis karena:
Penambahan vektor  secara bersama-sama berkelanjutan sehubungan dengan topologi ini. Ini mengikuti langsung dari pertidaksamaan segitiga yang dipatuhi oleh norma.
Perkalian skalar , dengan  adalah bidang skalar yang mendasari , kontinu bersama. Ini mengikuti dari segitiga ketidaksamaan dan homogenitas norma.

Jadi semua Ruang Banach dan Ruang Hilbert adalah contoh ruang vektor topologis.

Ruang tanpa norma

Ada ruang vektor topologis yang topologinya tidak diinduksi oleh suatu norma, tetapi masih menjadi minat dalam analisis. 
Contoh ruang seperti itu adalah ruang fungsi holomorfik pada domain terbuka, ruang fungsi terdiferensialkan takhingga, ruang Schwartz, dan spasi fungsi uji s dan spasi distribusi di atasnya. 
Ini semua adalah contoh dari Ruang Montel. Ruang Montel berdimensi takhingga tidak pernah bisa diatur. 
Keberadaan norma untuk ruang vektor topologis tertentu dicirikan oleh kriteria normabilitas Kolmogorov.

Bidang topologi adalah ruang vektor topologis di atas setiap subbidang.

Definisi 

Ruang vektor topologis   adalah ruang vektor di atas bidang topologi  (paling sering bilangan riil atau kompleks dengan topologi standarnya) yang diberkahi dengan topologi sehingga penambahan vektor  dan perkalian skalar  adalah fungsi berkelanjutan (di mana domain dari fungsi-fungsi ini diberkahi dengan topologi produk). Topologi seperti itu disebut topologi vektor  pada .

Setiap ruang vektor topologis juga merupakan komutatif grup topologi di bawah penambahan.

Asumsi Hausdorff

Beberapa penulis (misalnya, Walter Rudin) memerlukan topologi pada  menjadi T1; kemudian mengikuti bahwa ruang adalah Hausdorff, dan bahkan Tychonoff. 
Sebuah ruang vektor topologis dikatakan terpisah jika itu adalah Hausdorff; yang terpenting, "dipisahkan" tidak berarti dapat dipisahkan. 
Struktur aljabar topologi dan linier dapat diikat lebih dekat lagi dengan asumsi tambahan, yang paling umum tercantum di bawah.

Kategori dan morfisme

Kategori ruang vektor topologis di atas bidang topologi tertentu  biasanya dilambangkan RVT or TVekt. Objek adalah ruang vektor topologis di atas  dan morfisme adalah peta linear- kontinu dari satu objek.

Homomorfisme RVT atau homomorfisme topologi adalah bersambung peta linear  antara ruang vektor topologis (RVT) sehingga peta induksi  adalah pemetaan terbuka ketika , yang merupakan rentang atau gambar dari , diberi topologi subruang diinduksi oleh  Y .

RVT embedding atau topologi monomorfisme adalah homomorfisme topologi injektif. Dengan kata lain, RVT-embedding adalah peta linear yang juga merupakan topologi embedding.

RVT isomorfisme atau isomorfisme dalam kategori RVT adalah sebuah bijektiva linier homeomorfisme. Sama halnya, ini adalah dugaan RVT embedding

Banyak properti TVS yang dipelajari, seperti konveksitas lokal, Metrizability, kelengkapan, dan normabilitas, tidak berubah di bawah isomorfisme RVT.

Kondisi yang diperlukan untuk topologi vektor

Kumpulan  subset dari ruang vektor disebut aditif if for every , there exists some  such that .

Semua kondisi di atas secara konsekuen merupakan kebutuhan suatu topologi untuk membentuk suatu topologi vektor.

Mendefinisikan topologi menggunakan lingkungan asalnya 

Karena setiap topologi vektor adalah invarian terjemahan (yaitu untuk , peta  didefinisikan oleh  adalah homeomorfisme), untuk mendefinisikan topologi vektor, cukup mendefinisikan basis lingkungan (atau subbasis) untuk itu di asalnya.

Secara umum, himpunan semua himpunan bagian yang seimbang dan menyerap dari ruang vektor tidak memenuhi syarat dari dalil ini dan tidak membentuk basis ketetanggaan pada asal mula topologi vektor.

Mendefinisikan topologi menggunakan string 

Misalkan  menjadi ruang vektor dan misalkan  menjadi urutan himpunan bagian dari . Masing-masing set secara berurutan  disebut simpul dari  dan untuk setiap indeks ,  disebut - simpul of . Himpunan disebut awal dari .  
Urutan  adalah:

Sumatif jika  untuk setiap indeks .
Seimbang (resp. menyerap, penutupan, cembung, Buka, simetris, laras, himpunan cembung/disk, dll) jika ini benar untuk setiap .
Pita jika  sumatif, menyerap, dan seimbang.
Pita topologi atau pita lingkungan di RVT  if  adalah string dan lingkungan asalnya . 

Jika  adalah absorbing disk dalam ruang vektor  maka urutan yang ditentukan oleh  membentuk string yang dimulai dengan . Ini disebut pita natural dari  
Selain itu, jika ruang vektor  memiliki dimensi yang dapat dihitung, maka setiap string berisi string absolut cembung.

Urutan sumatif dari himpunan memiliki properti yang sangat bagus yang mereka definisikan sebagai fungsi subadditif nilai riil kontinu non-negatif. 
Fungsi ini kemudian dapat digunakan untuk membuktikan banyak sifat dasar ruang vektor topologis.

Asumsikan bahwa  selalu menunjukkan urutan terbatas dari bilangan bulat non-negatif dan menggunakan notasi:
 and .
Amati itu untuk bilangan bulat  dan , 
.
Dari sini dapat disimpulkan bahwa jika  terdiri dari bilangan bulat positif yang berbeda, maka .

Sekarang akan ditunjukkan oleh induksi pada  bahwa jika  terdiri dari bilangan bulat non-negatif sehingga  untuk beberapa bilangan bulat  kemudian . 
Ini jelas benar untuk  dan  jadi asumsikan bahwa , yang menyiratkan itu semua  positif.
Maka  berbeda maka kita selesai, jika tidak pilih indeks berbeda  dirumuskan  dan membangun  dari  dengan mengganti  dengan  dan menghapus  elemen   (semua elemen lainnya dari  ditransfer ke  tidak berubah). 
Perhatikan bahwa  dan  (karena ) jadi dengan mengajukan banding ke hipotesis induktif, maka . ∎

Jika  dan  adalah dua kumpulan himpunan bagian dari ruang vektor  dan jika  adalah skalar, maka menurut definisi:

 mengandung :  jika dan hanya jika  untuk indeks .
Himpunan simpul: .
Kernel: .
Skalar ganda: .
Jumlah: .
Interseksi: .

Jika  adalah sekumpulan rangkaian himpunan bagian dari , maka  dikatakan diarahkan (ke bawah) dalam penyertaan atau sederhananya diarahkan jika  tidak kosong dan untuk  ada beberapa  dirumuskan  dan  (dikatakan berbeda, jika dan hanya jika  adalah prefilter sehubungan dengan penahanan  yang ditentukan di atas).

Notasi: Maka  jadilah himpunan dari semua simpul dari semua string di .

Mendefinisikan topologi vektor menggunakan kumpulan string sangat berguna untuk menentukan kelas RVT yang tidak selalu konveks lokal.

Jika  adalah himpunan semua string topologi di RVT  kemudian .

Sebuah TVS Hausdorff adalah dapat diukur jika dan hanya jika topologinya dapat diinduksi oleh satu string topologi.

Contoh

Topologi vektor paling halus 

Misalkan  adalah ruang vektor nyata atau kompleks.

Topologi trivial

Topologi trivial atau topologi tidak terpisah  selalu merupakan topologi TVS pada ruang vektor mana pun  dan merupakan topologi RVT sekasar mungkin. Konsekuensi penting dari hal ini adalah perpotongan dari kumpulan topologi RVT di  selalu berisi topologi RVT. Setiap ruang vektor (termasuk yang berdimensi tak hingga) yang diberkahi dengan topologi trivial adalah sebuah kompak (dan karenanya kompak secara lokal) lengkap pseudometrizable seminormable cembung lokal topol. Ini adalah Hausdorff jika dan hanya jika .

Topologi vektor finest

Terdapat topologi TVS  pada  yang lebih halus daripada setiap topologi TVS lainnya di  (yaitu, semua topologi TVS di  tentu saja merupakan subset dari ).  Setiap peta linear dari  ke RVT lain harus terus menerus. Jika  memiliki basis Hamel tak terhitung, maka  adalah tidak konveks lokal dan tidak dapat diukur.

Ruang vektor produk 
Sebuah Produk Kartesius dari keluarga ruang vektor topologis, ketika diberkahi dengan produk topologi, adalah ruang vektor topologis. Pertimbangkan misalnya himpunan  dari semua fungsi  di mana  membawa topologi Euclidean yang biasa. Himpunan ini  adalah ruang vektor nyata (di mana penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan secara searah, seperti biasa) yang dapat diidentifikasikan dengan (dan memang, sering didefinisikan sebagai) Produk Kartesius , yang membawa produk topologi alami. Dengan topologi produk ini,  menjadi ruang vektor topologis yang topologinya disebut .  Alasan nama ini adalah sebagai berikut: jika  adalah urutan (atau lebih umum, jaring) elemen dalam  dan jika  kemudian  menyatu menjadi  di  jika dan hanya jika untuk setiap bilangan real ,  dengan  pada . RVT ini adalah lengkap, Hausdorff, dan konveks lokal tetapi tidak dapat diukur dan akibatnya tidak normabel; memang, setiap lingkungan asal dalam topologi produk berisi garis (yaitu subruang vektor 1 dimensi, yang merupakan himpunan bagian dari bentuk  with ).

Ruang berdimensi hingga 

Misalkan  menunjukkan  atau  dan menganugerahi  dengan normed Hausdorff topologi Euklides.  Misalkan  adalah ruang vektor di atas  berdimensi berhingga  sehingga  adalah ruang vektor isomorfik ke  (secara eksplisit, ini berarti bahwa terdapat isomorfisme linear antara ruang vektor  dan ).  Ruang vektor berdimensi-hingga ini  selalu memiliki  topologi vektor, yang menjadikannya RVT-isomorfik menjadi , dimana  diberkahi dengan topologi Euclidean biasa (yang sama dengan topologi produk). Topologi vektor Hausdorff ini juga merupakan topologi vektor (unik) terbaik pada .   memiliki topologi vektor yang unik jika dan hanya jika . Jika  kemudian meskipun  tidak memiliki topologi vektor yang unik, ia memiliki topologi vektor  yang unik.

Jika  then  memiliki tepat satu topologi vektor: topologi trivial, yang dalam hal ini (dan  dalam kasus ini) adalah Hausdorff. Topologi trivial pada ruang vektor adalah Hausdorff jika dan hanya jika ruang vektor memiliki dimensi . 
Jika  maka  memiliki dua topologi vektor: topologi Euclidean biasa dan topologi trivial (non-Hausdorff).
 Karena bidang  itu sendiri adalah ruang vektor topologis 1 dimensi di atas  dan karena ini memainkan peran penting dalam definisi ruang vektor topologis, dikotomi ini memainkan peran penting dalam definisi himpunan penyerap dan memiliki konsekuensi yang bergema di seluruh analisis fungsional. 
 
Pembuktian dikotomi ini sangat mudah sehingga hanya garis besar dengan pengamatan penting yang diberikan. Seperti biasa,  diasumsikan memiliki topologi Euclidean (bernorma). Misalkan  adalah ruang vektor 1 dimensi di atas . Perhatikan bahwa jika  adalah bola yang berpusat pada 0 dan jika  adalah himpunan bagian yang berisi "urutan tak terbatas" kemudian , di mana "urutan tak terbatas" berarti urutan bentuk  dimana  dan  tidak dibatasi dalam ruang bernorma . Topologi vektor apa pun pada  akan menjadi invarian translasi dan invarian dalam perkalian skalar bukan nol, dan untuk , peta  dirumuskan  adalah kebijaksanaan linier berkelanjutan. Secara khusus, untuk  semacam itu,  jadi setiap himpunan bagian dari  bisa ditulis sebagai  untuk beberapa subset unik . Dan jika topologi vektor pada  ini memiliki lingkungan 0 yang benar-benar terkandung di , kemudian kelanjutan perkalian skalar  di asal memaksa keberadaan lingkungan terbuka asal di  yang  tidak  berisi "urutan tak terbatas". Dari sini, seseorang menyimpulkan bahwa jika  tidak membawa topologi trivial dan jika , lalu untuk bola apa pun  center di 0 dalam ,  berisi lingkungan terbuka asal di  sehingga  dengan demikian sebuah homeomorfisme linear. ∎
 
Jika  then  has  banyak tak terhingga  topologi vektor yang berbeda

Topologi non-vektor 
Topologi diskrit

Jika  adalah ruang vektor non-trivial (yaitu dimensi bukan nol) maka topologi diskrit pada  (yang selalu dapat diukur) adalah bukan menjadi topologi RVT karena meskipun melakukan penambahan dan negasi terus menerus (yang membuatnya menjadi grup topologi di bawah tambahan), gagal membuat perkalian skalar terus menerus. Topologi hingga pada  (di mana himpunan bagian terbuka jika dan hanya jika pelengkapnya terbatas) juga  bukan  topologi RVT di .

Peta linear 
Operator linear antara dua ruang vektor topologis yang kontinu pada satu titik kontinu di seluruh domain. 
Selain itu, operator linier  kontinu jika  dibatasi (seperti yang didefinisikan di bawah) untuk beberapa lingkungan  dari 0.

Sebuah bidang-hiper pada ruang vektor topologis  bisa padat atau tertutup. 
Sebuah fungsi linear  pada ruang vektor topologis  memiliki kernel padat atau tertutup. 
Maka,  kontinu jika dan hanya jika kernel adalah tertutup.

Lihat pula

Catatan

Kutipan

Referensi

Pranala luar 

 

 
Topologi ruang fungsi