Grup disiklik

Dalam teori grup, grup disiklik (notasi Dicn or Q4n, ⟨n,2,2⟩) adalah jenis tertentu dari grup non-abelian dari urutan 4n (n > 1). Ini adalah ekstensi dari grup siklik dari order 2 oleh grup siklik dari order 2n, memberikan nama  di-sklilik . Dalam notasi urutan tepat grup, ekstensi ini dapat dinyatakan sebagai:

Secara lebih umum, diberikan grup abelian hingga dengan elemen urutan-2, seseorang dapat mendefinisikan grup disiklik.

Definisi 
Untuk setiap bilangan bulat  n  > 1, grup siklik Dicn dapat didefinisikan sebagai subgrup dari unit kuaternion yang dihasilkan oleh

Secara lebih abstrak, seseorang dapat mendefinisikan grup siklik Dicn sebagai grup dengan presentasi berikut

Beberapa hal yang perlu diperhatikan yang mengikuti dari definisi ini:
 x4 = 1
 x2ak = ak+n = akx2
 if j = ±1, then xjak = a−kxj.
 akx−1 = ak−nanx−1 = ak−nx2x−1 = ak−nx.

Jadi, setiap elemen Dicn dapat ditulis secara unik sebagai akxj, dimana 0 ≤ k < 2n dan j = 0 atau 1. Aturan perkalian diberikan oleh
 
 
 
 
Ini mengikuti itu Dicn memiliki urutan 4n .

Ketika  n  = 2, grup disiklik adalah isomorfik ke grup kuaternion  Q . Lebih umum lagi, ketika  n  adalah pangkat 2, grup disiklik isomorfik ke grup kuaternion umum.

Sifat 

Untuk setiap  n > 1, grup siklik Dicn adalah grup non-abelian dengan urutan 4n . (Untuk kasus degenerasi  n  = 1, grup Dic1 adalah grup siklik C4, yang tidak dianggap siklik.)

Maka A =  menjadi subgrup Dicn dihasilkan oleh  a . Maka  A  adalah grup siklik berurutan 2n, jadi [Dicn:A] = 2. Sebagai subgrup dari indeks 2 secara otomatis menjadi subgrup normal. Grup hasil bagi Dicn/A adalah grup siklik berurutan 2.

Dicn adalah dapat diselesaikan; perhatikan bahwa  A  adalah normal, dan menjadi abelian, dengan sendirinya dapat dipecahkan.

Grup dihedral biner 

Grup disiklik adalah grup polihedral biner - ini adalah salah satu kelas subkelompok dari Grup pin Pin -(2), yang merupakan subgrup dari Spin group Spin (3), dan dalam konteks ini dikenal sebagai grup dihedral biner.

Koneksi dengan grup siklik biner C2n, grup siklik Cn, dan grup dihedral Dihn dengan urutan 2n diilustrasikan dalam diagram di sebelah kanan, dan paralel dengan diagram yang sesuai untuk grup Pin. Coxeter menulis  grup dihedral biner  sebagai ⟨2,2,n⟩ dan  grup siklik biner  dengan tanda kurung siku, ⟨n⟩.

Ada kemiripan yang dangkal antara gugus disiklik dan gugus dihedral; keduanya adalah semacam "pencerminan" dari grup siklik yang mendasarinya. Tetapi presentasi dari grup dihedral akan memiliki x2 = 1, instead of x2 = an; dan ini menghasilkan struktur yang berbeda. Secara khusus, Dicn bukan merupakan produk semidirect dari  A  dan , karena  A  ∩  tidak trivial.

Gugus siklik memiliki involusi yang unik (yaitu elemen orde 2), yaitu x2 = an. Perhatikan bahwa elemen ini terletak di pusat dari Dicn. Memang, pusat hanya terdiri dari elemen identitas dan x2. Jika kita menambahkan relasi x2 = 1 untuk presentasi Dicn one mendapatkan presentasi dari grup dihedral Dih2n, jadi kelompok hasil bagi Dicn/<x2> isomorfik untuk Dihn.

Ada 2-ke-1 homomorfisme alami dari kelompok satuan quaternions ke 3-dimensi grup rotasi dijelaskan di kuaternion dan rotasi spasial. Karena grup disiklik dapat disematkan di dalam satuan quaternions, seseorang dapat bertanya apa gambarnya di bawah homomorfisme ini. Jawabannya hanyalah kelompok simetri dihedral Dihn. Karena alasan ini, kelompok disiklik juga dikenal sebagai grup dihedral biner. Perhatikan bahwa grup disiklik tidak berisi subkelompok isomorfik apa pun Dihn.

Konstruksi pra-gambar analog, menggunakan Pin+(2) dari Pin−(2), menghasilkan gugus dihedral lain, Dih2n, bukan grup siklik.

Generalisasi 
Misalkan  A  menjadi grup abelian, memiliki elemen tertentu  y  di  A  dengan urutan 2. Grup  G  disebut grup disiklik umum, ditulis sebagai Dic(A, y), jika itu dihasilkan oleh  A  dan elemen tambahan  x , dan sebagai tambahan kami memilikinya [G:A] = 2, x2 = y, dan untuk a in A, x−1ax = a−1.

Karena untuk grup siklik berorde genap, selalu ada elemen unik dari orde 2, kita dapat melihat bahwa grup siklik hanyalah tipe spesifik dari grup disiklik umum.

Lihat pula 
 grup polihedral biner
 grup siklik biner, ⟨n⟩, urutan 2n
 grup tetrahedral biner, 2T=⟨2,3,3⟩, urutan 24
 grup oktahedral biner, 2O=⟨2,3,4⟩, urutan 48
 grup ikosahedral biner, 2I=⟨2,3,5⟩, urutan 120

Referensi 

 .

Pranala luar 
 Dicyclic groups on GroupNames 

Grup himpunan
Kuaternion