Determinan

Dalam bidang aljabar linear, determinan (, ) adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks  ditulis dengan tanda , , atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbetuk , rumus untuk mencari determinan adalah:

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah:

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks  adalah:

Metode eliminasi Gauss juga dapat dipakai. Sebagai contoh, determinan matriks berikut:

dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut:

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga . C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga . Sementara itu, D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga . Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamanya: . Maka dari itu, .

Arti geometris 
Jika  riil matriks A ditulis dalam bentuk vektor kolomnya , then

Ini berarti  memetakan unit n-kubus ke n-dimensi parallelotop yang ditentukan oleh vektor  the region 

Determinan memberikan volume dimensi bertanda  n  dari paralelotop ini,  dan karenanya menjelaskan secara lebih umum faktor skala volume dimensi 'n dari transformasi linear yang dihasilkan oleh A. (Tanda tersebut menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalikkan orientasi.) Secara khusus, jika determinannya nol, maka paralelotop ini memiliki volume nol dan tidak sepenuhnya berdimensi  n , yang menunjukkan bahwa dimensi bayangan  A  lebih kecil dari n. Ini berarti bahwa  A  menghasilkan transformasi linier yang bukan ke atau satu-ke-satu, dan begitu juga bukan bisa dibalik.

Definisi 
Ada berbagai cara yang setara untuk menentukan determinan dari matriks persegi  A , yaitu satu dengan jumlah baris dan kolom yang sama.  Mungkin cara termudah untuk menyatakan determinan adalah dengan mempertimbangkan elemen di baris atas dan masing-masing minor; mulai dari kiri, kalikan elemen dengan minor, lalu kurangi hasil kali elemen berikutnya dan minornya, dan secara bergantian menambah dan mengurangi produk tersebut sampai semua elemen di baris atas habis. Sebagai contoh, berikut adalah hasil untuk matriks 4 × 4:

Cara lain untuk menentukan determinan dinyatakan dalam kolom-kolom matriks. Jika kita menulis berkas  matriks  A  dalam hal vektor kolomnya
 

dimana  adalah vektor dengan ukuran  n , maka determinan dari  A  didefinisikan sehingga

di mana  b  dan  c  adalah skalar,  v  adalah sembarang vektor berukuran  n  dan  I  adalah matriks identitas berukuran  n . Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya.  Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, gelanggang komutatif), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik.

Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku  n  dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah ekspresi polinomial dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah  matriks memiliki n! istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus  matriks dan matriks , diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.

Asumsikan  A  adalah matriks persegi dengan baris  n  dan kolom  n , sehingga dapat ditulis sebagai

Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan karakteristik polinomial); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara komutatif.

Determinan dari  A  dilambangkan dengan det(A), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung:

Dalam maktris

Matriks 2x2 

Rumus Leibniz untuk determinan a  matriks adalah

Jika entri matriks adalah bilangan real, matriks  dapat digunakan untuk merepresentasikan dua peta linear: yang memetakan vektor standar dasar ke baris , dan yang memetakannya ke kolom .  Dalam kedua kasus tersebut, gambar vektor basis membentuk jajaran genjang yang mewakili gambar satuan persegi di bawah pemetaan. Jajar genjang yang ditentukan oleh baris dari matriks di atas adalah yang memiliki simpul di    dan  seperti yang ditunjukkan pada diagram terlampir.

Nilai absolut dari  adalah luas jajaran genjang, dan dengan demikian mewakili faktor skala yang luasnya diubah oleh . (Jajar genjang dibentuk kolom  pada jajaran genjang, tetapi karena determinan simetri dari baris dan kolom, luasnya tetap sama.)

Nilai absolut dari determinan bersama dengan tanda menjadi luas berorientasi dari jajaran genjang. Luas orientasi sama dengan luas biasa, kecuali bilangan negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang menentukan jajar genjang berubah searah jarum jam (yang berlawanan dengan arah yang akan didapatkan untuk identitas matriks)

Untuk menunjukkan  adalah luas, matriks dari dua vektor  dan  dengan sisi jajaran genjang. Luas  untuk sudut θ antara vektor, merupakan tinggi kali alas, panjang satu vektor dikalikan komponen tegak lurus lainnya. Karena sinus dari luas, diekspresikan menggunakan kosinus dari sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya  so that  ditentukan dengan pola produk skalar 

 

Jadi determinan dari faktor skala dan orientasi yang diinduksi dengan pemetaan A. Jika determinannya sama dengan satu, pemetaan linear ditentukan dengan matriks adalah ekui-luas dan orientasi.

Maktris × 

Penentu matriks dengan ukuran sembarang dapat ditentukan dengan rumus Leibniz atau rumus Laplace.

Rumus Leibniz untuk determinan dari sebuah  matrix A is

Jumlah dihitung atas semua permutasi s  σ  dari himpunan  Permutasi adalah fungsi yang menyusun ulang kumpulan bilangan bulat ini. Nilai pada posisi  ith setelah penyusunan ulang  σ  dilambangkan dengan σi. Misalnya untuk , urutan asli 1, 2, 3 mungkin diurutkan ulang menjadi , dengan , , dan . Himpunan semua permutasi semacam itu (juga dikenal sebagai grup simetris pada elemen  n ) dilambangkan dengan Sn. Untuk setiap permutasi  σ , sgn( σ ) menunjukkan tanda tangan dari  σ , nilai yang +1 setiap kali pengubahan urutan yang diberikan oleh σ dapat dicapai dengan menukar dua entri secara berurutan beberapa kali, dan −1 kapan pun itu dapat dicapai dengan bilangan ganjil dari pertukaran tersebut.

Salah satu ringkasan , istilah

adalah notasi untuk produk entri pada posisi , di mana  i  berkisar dari 1 hingga n:

Misalnya, determinan a  matrix A () adalah

Aplikasi

Rumus Laplace 
Rumus Laplace untuk determinan a  matriks adalah

ini dapat diperluas untuk memberikan rumus Leibniz.

Rumus Leibniz 
Rumus Leibniz untuk determinan a  matriks:

Skema Sarrus 
Kaidah Sarrus adalah mnemonik untuk determinan matriks : jumlah dari hasil kali tiga garis diagonal barat laut ke tenggara dari elemen matriks, dikurangi jumlah hasil kali tiga garis diagonal barat daya hingga timur laut elemen, bila salinan dari dua kolom pertama dari matriks ditulis di sampingnya seperti pada ilustrasi: 

Skema untuk menghitung determinan matriks  ini tidak terbawa ke dimensi yang lebih tinggi.

Simbol Levi-Civita 
Terkadang berguna untuk memperluas rumus Leibniz ke penjumlahan yang tidak hanya permutasi, tetapi urutan indeks  n  dalam , memastikan bahwa kontribusi urutan akan menjadi nol kecuali jika menunjukkan permutasi. Jadi antisimetris simbol Levi-Civita  memperluas tanda tangan permutasi, dengan  untuk permutasi  σ  dari  n , dan  ketika permutasi  σ  seperti itu  for  (atau ekuivalen, beberapa pasangan indeks). Penentu untuk  matrix kemudian dapat diekspresikan menggunakan penjumlahan sebagai

atau menggunakan dua simbol epsilon sebagai

dimana ir dan jr dijumlahkan lebih dari .

Namun, melalui penggunaan notasi tensor dan penekanan simbol penjumlahan (konvensi penjumlahan Einstein) dari ekspresi determinan kompak  ukuran, ;

dimana  dan  'sistem elektronik' dari nilai 0, +1 dan −1 berdasarkan jumlah permutasi dari  dan . Lebih spesifik,  sama dengan 0 ketika indeks berulang ; +1 ketika sejumlah permutasi ; −1 ketika jumlah permutasi ganjil dari . Jumlah indeks dalam sistem elektronik sama dengan  dan karenanya dapat digeneralisasikan dengan cara ini.

Catatan

Referensi 
 
 .
 
 
 
 
 G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 
 
 
 

Matriks
Aljabar linear