Metrik Schwarzschild

Berdasarkan teori relativitas umum dari Einstein, metrik Schwarzschild  adalah solusi persamaan medan gravitasi Einstein yang menggambarkan medan gravitasi di luar sebuah bola massa, dengan asumsi bahwa muatan listrik dari massa, momentum sudut dari massa, dan konstanta kosmologis universal adalah nol. Solusi yang ditawarkan adalah sebuah prakiraan untuk menggambarkan bagaimana benda-benda astronomi seperti bintang-bintang dan planet-planet, termasuk Bumi dan Matahari perlahan-lahan berputar. Nama solusi ini berasal dari ilmuwan Karl Schwarzschild, yang pertama kali menerbitkan penemuannya pada tahun 1916.

Berdasarkan teorema Birkhoff, metrik Schwarzschild adalah bentuk solusi vakum bulat simetris yang sangat umum dari persamaan medan gravitasi Einstein. Sebuah lubang hitam Schwarzschild atau lubang hitam statis yang tidak memiliki muatan listrik ataupun momentum sudut (angular momentum). Lubang hitam Schwarzschild ini dijabarkan dengan menggunakan metrik Schwarzschild, dan tidak dapat dibedakan dengan lubang hitam Schwarzschild lainnya kecuali berdasarkan massa.

Lubang hitam Schwarzschild dikarakterisasi dengan adanya batas lingkaran yang mengelilinginya yang biasa disebut dengan event horizon. Event horizon yang terletak di radius Schwarzschild ini sering disebut sebagai radius lubang hitam. Batas ini bukan berupa batas fisik berbentuk permukaan sehingga, jika seseorang jatuh ke event horizon (sebelum terkoyak oleh tidal force), mereka tidak akan melihat adanya permukaan fisik pada posisi tersebut. Lubang hitam Schwarzschild ini adalah perhitungan matematis permukaan yang signifikan untuk menentukan properti dari lubang hitam. Setiap massa yang tidak berotasi dan tidak memiliki muatan yang ukurannya lebih kecil dari nilai radius Schwarzchild-nya akan membentuk lubang hitam. Solusi dari persamaan medan gravitasi Einstein ini berlaku untuk setiap massa M, sehingga pada prinsipnya (menurut teori relativitas umum), sebuah lubang hitam Schwarzschild dapat muncul dari berbagai massa jika mendapatkan kondisi yang sesuai.

Metrik Schwarzschild 
Di dalam koordinat Schwarzschild, dengan notasi (1, −1, −1, −1), elemen garis dari metrik Schwarzschild dapat dinyatakan dalam bentuk:

 

di mana:

 jika dτ2 bernilai positif, τ adalah proper time (waktu yang diukur dari bergeraknya jam berdasarkan world line yang sama dengan partikel uji),
 c adalah kecepatan cahaya,
 t adalah koordinat waktu (diukur oleh jam stasioner yang terletak jauh tanpa bats dari sebuah badan masif),
 r adalah koordinat radial (diukur dari keliling lingkar yang dibagi dengan 2π, dari sebuah lingkaran yang berpusat di sekitar badan masif),
 θ adalah garis lintang komplementer (colatitude, sudut dari utara, dalam satuan radian),
 φ adalah garis bujur (juga dalam radian), dan
 rs adalah radius Schwarzschild dari badan masif, sebuah besaran faktor yang berhubungan dengan massa M dengan rs = , dimana G adalah gravitasi konstan.

Kesamaan solusi ini dengan teori gravitasi klasik Newton ada pada medan gravitasi di sekitar sebuah titik partikel.

Koordinat radial ternyata memiliki signifikansi fisik berupa "jarak yang tepat antara dua peristiwa yang terjadi secara bersamaan, relatif terhadap jam geodesik yang bergerak melingkar, kedua peristiwa berada di garis koordinat radial yang sama".

Dalam prakteknya, rasio rsr adalah hampir selalu sangat kecil. Misalnya, radius Schwarzschild rs dari bumi kira-kira adalah  mm, sementara Matahari, yang  kali lebih besar memiliki radius Schwarzschild sekitar 3.0 km.
Bahkan pada permukaan Bumi, koreksi untuk gravitasi Newton adalah hanya salah satu bagian dari satu miliar. Rasio menjadi besar hanya dalam jarak yang relatif dekat ke lubang hitam dan benda ultra padat lainnya seperti bintang neutron.

Metrik Schwarzschild adalah solusi dari persamaan medan gravitasi Einstein di dalam ruang kosong. Hal ini berarti bahwa solusi ini hanya berlaku di luar badan gravitasi. Artinya, hanya untuk tubuh bulat dengan radius R, solusi yang berlaku untuk r > R. Untuk menggambarkan medan gravitasi baik di dalam maupun di luar tubuh gravitasi, solusi Schwarzschild harus disesuaikan dengan beberapa solusi interior yang sesuai pada r = R, seperti interior metrik Schwarzschild.

Sejarah 
Nama Solusi Schwarzschild digunakan untuk menghormati Karl Schwarzschild, sebagai penemu solusi eksak pada tahun 1915. Penemuannya diterbitkan pada bulan januari 1916, satu bulan lebih sedikit setelah teori relativitas umum Einstein dipublikasikan.
Ini adalah solusi eksak yang pertama dari persamaan medan gravitasi Einstein di mana solusi lainnya menggunakan solusi medan datar (flat space solution). Schwarzschild meninggal akibat tak lama setelah karyanya dipublikasikan akibat terjangkit penyakit saat mengabdi untuk angkatan darat jerman selama Perang Dunia I.

Johannes Droste pada tahun 1916, secara independen, berhasil menghasilkan solusi yang sama seperti Schwarzschild, menggunakan turunan langsung yang lebih sederhana.

Pada tahun-tahun awal teori relativitas umum, ada banyak kebingungan terhadap sifat singularitas yang ditemukan di dalam solusi Schwarzschild dan solusi lainnya dari persamaan medan gravitasi Einstein. Di makalah asli dari Schwarzschild, ia menempatkan apa yang sekarang kita sebut sebagai event horizon sebagai asal dari sistem koordinat yang dia gagas. Dalam makalah ini juga ia memperkenalkan apa yang sekarang dikenal sebagai koordinat radial Schwarzschild (r dalam persamaan di atas), sebagai tambahan variabel. Dalam persamaan yang disusunnya, Schwarzschild menggunakan koordinat radial berbeda yang bernilai nol pada radius Schwarzschild.

Analisis lebih lengkap tentang singularitas struktur yang diberikan oleh David Hilbert pada tahun berikutnya, mengidentifikasi adanya singularitas pada r = 0 dan r = rs. Meskipun ada konsensus umum bahwa singularitas pada r = 0 adalah singularitas fisik asli (genuine physical singularity), sifat singularitas pada r = rs masih belum jelas.

Pada tahun 1921 Paul Painlevé dan pada tahun 1922 Allvar Gullstrand secara independen menghasilkan metrik bulat simetris untuk solusi persamaan Einstein, yang sekarang kita kenal sebagai transformasi koordinat dari metrik Schwarzschild, yaitu koordinat Gullstrand–Painlevé, di mana tidak ada singularitas pada r = rs. Mereka tidak menyadari bahwa solusi mereka hanya transformasi koordinat, dan faktanya menggunakan solusi mereka untuk membuktikan bahwa teori Einstein itu salah. Pada tahun 1924 Arthur Eddington menghasilkan transformasi koordinat pertama (koordinat Eddington–Finkelstein) yang menunjukkan bahwa singularitas pada r = rs adalah artefak koordinat (coordinate artifact), meskipun dia juga tampaknya tidak menyadari pentingnya penemuan ini. Kemudian, pada tahun 1932, Georges Lemaître memberikan koordinat transformasi berbeda dengan efek yang sama (koordinat Lemaître) dan menjadi yang pertama untuk mengakui bahwa ini menunjukkan bahwa singularitas pada r = rs adalah tidak bersifat fisik. Pada tahun 1939 , Howard Robertson menunjukkan bahwa seorang pengamat yang jatuh bebas menuruni metrik Schwarzschild akan menyeberangi singularitas r = rs dalam jumlah proper time terbatas walaupun hal ini akan membutuhkan jumlah waktu tak terbatas di dalam koordinat waktu t.

Pada tahun 1950, John Synge menghasilkan makalah yang menunjukkan analytic extension maksimal dari metrik Schwarzschild, sekali lagi menunjukkan bahwa singularitas pada r = rs adalah koordinat artefak yang direpresentasikan dalam dua horizon. Hasil yang serupa kemudian ditemukan kembali oleh George Szekeres, dan secara mandiri oleh Martin Kruskal. koordinat baru yang saat ini dikenal sebagai koordinat Kruskal-Szekeres yang jauh lebih sederhana dari Synge tetapi keduanya menyajikan satu set tunggal koordinat yang mencakup seluruh ruang dan waktu. Namun, mungkin karena ketidakjelasan dari jurnal di mana karya-karya dari Lemaître dan Synge diterbitkan, kesimpulan mereka diterbitkan tanpa diketahui khalayak umum, dengan banyak pemain utama di lapangan, termasuk Einstein percaya bahwa singularitas pada jari-jari Schwarzschild bersifat fisik.

Kemajuan nyata dibuat pada tahun 1960-an ketika metode geometri diferensial yang lebih presisi memasuki bidang teori relativitas umum, yang memungkinkan lebih banyak definisi yang lebih tepat tentang apa artinya Lorentzian manifold menjadi singular. Hal ini menjadikan identifikasi definitif dari singularitas r = rs dalam metrik Schwarzschild sebagai event horizon (hypersurface dalam ruang dan waktu yang dapat dilalui dalam hanya satu arah).

Catatan