Bukti bahwa e irasional

Bilangan e diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan siswa adik Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa e adalah bilangan irasional, atau dalam kata lain tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

Bukti Euler 
Euler menulis bukti pertama irasionalitas e pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung e sebagai pecahan berlanjut, yaitu:

Bukti Fourier 
Bukti yang paling dikenal adalah reductio ad absurdum Joseph Fourier, yang didasarkan pada pernyataan berikut:

 

Pada awalnya e diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk a⁄b. Perlu dicatat bahwa b tidak mungkin sama dengan satu karena e bukan bilangan bulat. Dari pernyataan di atas dapat ditunjukkan bahwa e hanya berada di antara 2 dan 3.

Bukti lain 
Bukti lain dapat diperoleh dengan mencatat bahwa

Pernyataan berikut juga dapat dijadikan sebagai bukti:

Lihat pula 
 Teorema Lindemann–Weierstrass

Catatan kaki 

Matematika