Integral Lebesgue

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran 
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran .

Integral dari fungsi sederhana 
Fungsi karakteristik  untuk himpunan  adalah

Suatu fungsi  tersebut fungsi sederhana, jika

untuk ,  dan .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana  sebagai

Integral dari fungsi tak negatif 
Misalnya  suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana  aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

Perhatikan bahwa .

Integral dari fungsi terukur sembarang 
Misalnya  suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif  dan  adalah didefinisikan tik demi tik sebagai  dan .
Perhatikan bahwa  dan .

Jika  dan , maka  dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

Jelas,  terintegralkan jika dan hanya jika .

Sifat-sifat dasar 
 Integral itu linear, yaitu jika  dan  fungsi terintegralkan, maka  juga terintegralkan dengan

 Integral itu monoton, yaitu jika  fungsi terintegralkan dan , maka

Matematika