Akar fungsi

Dalam matematika, akar fungsi atau nilai-nilai nol fungsi adalah nilai x di dalam suatu fungsi yang menghasilkan angka nol (0). Dalam kata lain:

Akar dari sebuah polinomial adalah nol dari fungsi polinomial yang sesuai. Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap sukubanyak yang bukan nol memiliki paling akar riil paling banyak sama dengan derajat sukubanyak tersebut, dan akar kompleks sebanyak derajat sukubanyak tersebut. Contohnya polinomial f berderajat dua yang didefinisikan sebagai  memiliki dua akar, yaitu 2 dan 3, karena:

Untuk mencari akar suatu fungsi polinomial, diperlukan metode aproksimasi (seperti metode Newton). Namun, beberapa fungsi polinomial dengan derajat yang tidak lebih tinggi dari 4 dapat dicari akarnya dengan menggunakan aljabar. 

Jika fungsi memetakan bilangan real ke bilangan real, maka akarnya adalah nilai kordinat- titik perpotongan grafik dengan sumbu-x.

Solusi persamaan 
Setiap persamaan dalam tidak diketahui  dapat ditulis ulang sebagai

dengan mengelompokkan kembali semua suku di sisi kiri. Oleh karena itu, solusi dari persamaan tersebut adalah persis nol dari fungsi . Dengan kata lain, "nol fungsi" tepatnya adalah "solusi persamaan yang diperoleh dengan menyamakan fungsi dengan 0", dan studi tentang fungsi nol persis sama dengan studi solusi.

Akar polinomial 

Setiap polinom nyata ganjil derajat memiliki bilangan ganjil dari akar nyata (menghitung multiplisitas); demikian pula, polinomial nyata dengan derajat genap harus memiliki bilangan genap dari akar nyata. Akibatnya, polinomial ganjil nyata harus memiliki setidaknya satu akar nyata (karena bilangan bulat ganjil terkecil adalah 1), sedangkan polinomial genap mungkin tidak memiliki. Prinsip ini dapat dibuktikan dengan mengacu pada teorema nilai tengah: karena fungsi polinomial adalah kontinu, nilai fungsi harus melewati nol, dalam proses perubahan dari negatif ke positif atau sebaliknya (yang selalu terjadi untuk fungsi ganjil).

Teorema dasar aljabar 

Teorema dasar aljabar menyatakan bahwa setiap polinomial derajat  memiliki  akar kompleks, dihitung dengan kelipatannya. Akar non-nyata dari polinomial dengan koefisien nyata berasal dari pasangan konjugasi. Rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlah dan hasil kali akarnya.

Himpunan nol 

Dalam berbagai bidang matematika, himpunan nol dari sebuah fungsi adalah himpunan dari semua nolnya. Lebih tepatnya, jika  adalah fungsi bernilai nyata (atau, lebih umum, fungsi yang mengambil nilai di beberapa grup aditif), himpunan nolnya adalah , galeri invers dari  in .

Istilah  himpunan nol  umumnya digunakan ketika ada banyak angka nol yang tak terhingga, dan mereka memiliki beberapa sifat topologi yang tidak sepele. Misalnya, level set dari sebuah fungsi  adalah himpunan nol dari . Himpunan Cozero dari  adalah komplemen dari himpunan nol  (mis., bagian dari  di mana  bukan nol).

Aplikasi 
Dalam geometri aljabar, definisi pertama dari variasi aljabar adalah melalui himpunan nol. Secara khusus, sebuah set aljabar affine adalah intersection dari himpunan nol beberapa polinomial, dalam gelanggang polinomial  di atas bidang. Dalam konteks ini, himpunan nol terkadang disebut  lokus nol .

Dalam analisis dan geometri, setiap himpunan tertutup dari  adalah himpunan nol dari fungsi mulus yang ditentukan di semua . Ini meluas ke setiap lipatan halus sebagai akibat wajar dari parakompak. 

Dalam geometri diferensial, himpunan nol sering digunakan untuk menentukan berjenis. Kasus khusus yang penting adalah kasus di mana  adalah fungsi mulus dari  ke . Jika nol adalah nilai reguler dari , maka himpunan nol dari  adalah banyak dimensi  by the teorema nilai reguler.

Misalnya, unit  bola pada  adalah himpunan nol dari fungsi nilai riil .

Lihat pula 
 Teorema Marden
 Algoritme pencarian root
 Konjektur Sendov
 Lenyap tak terbatas
 Nol persilangan
 Nol dan kutub

Referensi

Bacaan lanjut 
 
 

Matematika dasar
Fungsi matematika
0 (angka)