Lingkaran satuan

Dalam matematika, lingkaran satuan adalah sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar 1 satuan. Seringkali, terutama dalam trigonometri, lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat pada titik (0, 0) pada sistem koordinat Kartesius dalam 2 dimensi. Dalam topologi, lingkaran ini biasanya disimbolkan dengan .

Apabila  adalah suatu titik pada keliling lingkaran satuan, maka  dan  merupakan panjang kaki sebuah segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya sebesar 1. Maka dari itu, berdasarkan teorema Pythagoras,  dan  memenuhi persamaan:

Karena  untuk setiap , dan karena hasil pencerminan setiap titik pada lingkaran satuan terhadap sumbu- ataupun sumbu- juga terkandung dalam lingkaran satuan, persamaan di atas berlaku untuk semua titik  pada lingkaran satuan, tidak hanya yang kuadran pertama saja.

Pada bidang kompleks 
Lingkaran satuan dapat dipandang sebagai bilangan kompleks satuan, atau dengan kata lain, himpunan bilangan kompleks  dalam bentuk

untuk setiap  (lihat juga: cis). Relasi ini adalah Rumus Euler. Lingkaran ini juga bisa didefinisikan sebagai himpunan bilangan kompleks yang memenuhi

Fungsi trigonometri 
Fungsi kosinus dan sinus dengan sudut  dapat didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan sebagai berikut: jika  merupakan titik pada lingkaran satuan, dan jika sinar dari titik (0, 0) ke  membentuk sudut  dari sumbu- positif (putaran tersebut berlawanan arah jarum jam, yang berarti bernilai positif), maka  dan 

Persamaan  menghasilkan relasi:

yang biasa dikenal dengan identitas Phytagoras. Lingkaran satuan juga menunjukkan kalau sinus dan kosinus merupakan fungsi periodik dengan identitas

 dan 
untuk setiap bilangan bulat .

Segitiga yang dibentuk pada lingkaran satuan juga bisa digunakan untuk mengilustrasikan sifat periodik dari fungsi-fungsi trigonometri. Pertama, buatlah jari-jari  dari titik asal  menuju titik  pada lingkaran satuan, sedemikian sehingga sudut  (dengan ) terbentuk dengan sumbu- positif. Sekarang perhatikan titik  dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku  dengan . Karena panjang  adalah , panjang  adalah , dan  panjangnya 1 (karena merupakan jari-jari lingkaran satuan), maka  dan .

Setelah menyusun persamaan tersebut, buatlah jari-jari  dari titik asal ke titik  pada lingkaran, sedemikian sehingga sudut  tadi terbentuk dengan sumbu- negatif. Sekarang perhatikan titik  dan segmen garis . Hasil akhirnya adalah segitiga siku-siku  dengan . Dari sini bisa terlihat bahwa , sehingga koordinat  ialah  serupa seperti  yang berada pada titik .

Oleh karena  sama dengan  dan  sama dengan , maka dapat disimpulkan  dan . Dengan argumen serupa, dapat disimpulkan , lantaran  dan . Contoh sederhana pada relasi di atas dapat terlihat pada persamaan .

Saat berurusan dengan segitiga siku-siku, sinus, kosinus, dan fungsi trigonometri lainnya baru masuk akal apabila ukuran sudutnya lebih dari nol dan kurang dari . Namun, jika didefinisikan dengan lingkaran satuan, fungsi-fungsi tadi menghasilkan nilai yang bermakna untuk setiap sudut yang bernilai riil – termasuk sudut yang lebih dari 2. Malahan, semua enam fungsi standar trigonometri – sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, beserta fungsi-fungsi turunannya, seperti versin and exsec – dapat didefinisikan secara geometris dengan lingkaran satuan.

Dengan menggunakan lingkaran satuan, nilai fungsi trigonometri apapun dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus jumlah dan selisish sudut.

Grup lingkaran

Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai titik pada 2 dimensi. Lebih tepatnya, bilangan  dapat dipandang sebagai titik . Dengan cara pandang seperti ini, lingkaran satuan adalah grup terhadap perkalian, yang disebut grup lingkaran; biasanya disimbolkan dengan  Di bidang, perkalian oleh  menghasilkan rotasi yang berlawanan ara jarum jam sebesar . Grup ini mempunyai aplikasi penting dalam matematika dan sains.

Dinamika kompleks

Himpunan Julia dari sistem dinamis diskrit nonlinier dengan fungsi evolusi:merupakan lingkaran satuan. Ini adalah kasus paling sederhana sehingga banyak dipakai dalam mempelajari sistem dinamis.

Lihat pula 

 Bola satuan
 Cakram satuan
 Hiperbola satuan
 Identitas Pythagoras
 Lingkaran Riemann
 Persegi satuan
 Putaran (sudut)
 Sudut satuan
 Transformasi-z
 Ukuran sudut

Pranala luar 
 
Lingkaran
1 (angka)
Trigonometri
Analisis Fourier
Geometri analitik