Garis bilangan real

Garis bilangan real ( atau real line) dalam matematika, adalah garis di mana setiap titiknya melambangan suatu bilangan real. Jadi, garis bilangan real adalah himpunan semua bilangan real , dipandang sebagai suatu ruang geometri, yaitu ruang Euklidean dalam satu dimensi.

Sebagai kontinum linear 
Garis bilangan real adalah suatu kontinum linear menurut tatanan  standar. Secara khusus, garis bilangan real adalah himpunan terurut linear menurut , dan urutan ini adalah rapat dan mempunyai sifat batasan-bawah-terkecil.

Sebagai ruang metrik 

Garis bilangan real membentuk suatu ruang metrik, dengan fungsi jarak yang dinyatakan oleh beda mutlak:

Sebagai ruang topologi 

Garis bilangan real memuat suatu topologi standar yang dapat diperkenalkan dalam dua jalan ekuivalen yang berbeda.
 Pertama, karena bilangan real adalah urutan total, bilangan-bilangan itu memuat topologi tatanan.
 Kedua, bilangan-bilangan real mewarisi suatu topologi metrik dari metrik sesuai definisi di atas. Topologi tatanan dan topologi metrik pada  adalah sama. Sebagai suatu ruang topologi, garis bilangan real bersifat homeomorfik pada interval terbuka .

Sebagai suatu ruang vektor 
Garis bilangan real adalah suatu ruang vektor atas medan  dari bilangan real (yaitu, atas dirinya sendiri) dari dimensi 1. Mempunyai suatu hasilkali dalam standar, membuatnya suatu ruang Euklides. Norma standar pada  adalah sekadar fungsi nilai absolut.

Sebagai suatu ruang pengukuran 
Garis bilangan real memuat suatu pengukuran kanonikal, yaitu "pengukuran Lebesque". Pengukuran ini dapat didefinisikan sebagai kelengkapan suatu pengukuran Borel yang didefinisikan pada , di mana pengukuran pada interval apapun merupakan panjang dari interval itu.

Pengukuran Lebesgue pada garis bilangan real adalah satu contoh paling sederhana dari suatu pengukuran Haar pada sebuah kelompok kompak lokal.

Dalam aljabar bilangan real 
Garis bilangan real merupakan subruang satu dimensi dari suatu aljabar bilangan real  di mana . Misalnya, dalam bidang kompleks , subruang  adalah suatu garis bilangan real. Mirip dengan itu, aljabar kuaternion

mempunyai suatu garis bilangan real dalam subruang .

Ketika aljabar bilangan real adalah suatu jumlah langsung  maka suatu konjugasi pada  dinyatakan dengan pemetaan  subruang . Secara demikian garis bilangan real terdiri dari titik-titik tetap pada konjugasi tersebut.

Lihat pula 
 Garis (geometri)
 Garis bilangan
 Bilangan real

Referensi 
 
 Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.

Bilangan
Matematika

es:Recta real
eu:Zuzen erreal