Invers aditif

Invers aditif () dalam matematika adalah bilangan yang jika ditambahkan ke suatu variabel , menghasilkan bilangan nol. operasi ini juga dikenal sebagai "bilangan berlawanan" (opposite (number)), "perubahan tanda bilangan" (sign change), dan "negasi" (negation). Bagi suatu bilangan real, merupakan lawan tandanya: lawan dari suatu bilangan positif adalah bilangan negatif, dan lawan dari suatu bilangan negatif adalah bilangan positif. Bilangan nol adalah invers aditif bilangan itu sendiri.

Kebalikan aditif dari  dilambangkan dengan unary minus: − (lihat diskusi di bawah). Misalnya, penjumlahan penjumlahan dari 7 adalah −7, karena 7 + (−7) = 0, dan penjumlahan penjumlahan dari −0,3 adalah 0,3, karena −0,3 + 0,3 = 0.

Invers aditif didefinisikan sebagai elemen invers di bawah operasi biner penambahan (lihat diskusi di bawah), yang memungkinkan generalisasi yang luas untuk objek matematika selain angka. Adapun operasi kebalikannya, double invers aditif memiliki tidak berpengaruh: .

Contoh 
Untuk suatu bilangan, dan umumnya dalam setiap gelanggang, invers aditif dapat dihitung dengan mengalikannya dengan bilangan −1; jadi,  . Contoh-contoh gelanggang bilangan adalah bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks.

Hubungan dengan pengurangan 
Invers aditif berhubungan erat dengan pengurangan, yang dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan lawannya:
.
Sebaliknya, invers aditif dapat dipandang sebagai pengurangan dari nol:
.
Jadi, notasi tanda minus unary dapat dipandang sebagai singkatan untuk pengurangan dengan menghilangkan tanda "0", meskipun dalam tipografi yang benar seharusnya tidak ada spasi setelah uner "−".

Sifat lain 
Selain persamaan-persamaan di atas, negasi mempunyai sifat-sifat aljabar berikut:

 
 
 
 , catatan bahwa

Definisi formal 
Notasi + biasanya disediakan untuk operasi biner komutatif, yaitu sedemikian rupa sehingga , for all ,  . Jika operasi seperti itu menerima elemen identitas  (seperti  untuk semua ), maka elemen (  ). Untuk  tertentu, jika terdapat  seperti  , maka  disebut additif invers dari .

Jika + adalah  asosiatif ( untuk , , ), maka invers aditif adalah

Misalnya, karena penjumlahan bilangan riil bersifat asosiatif, setiap bilangan riil memiliki invers penjumlahan unik.

Contoh lainnya 
Semua contoh berikut ini sebenarnya grup abelian:

 bilangan kompleks: . Pada bidang kompleks, operasi ini memutar sebuah bilangan kompleks 180 derajat di sekitar asal (lihat tabel gambar above.
 penambahan fungsi bernilai real dan kompleks: di sini, kebalikan aditif dari suatu fungsi  adalah fungsi  yang didefinisikan oleh  , untuk semua , seperti .
 urutan, matriks dan jaring juga merupakan jenis fungsi khusus.
 Dalam ruang vektor aditif invers  sering disebut vektor kebalikan dari ; ia memiliki besaran yang sama dengan arah aslinya dan berlawanan. Pembalikan aditif sesuai dengan perkalian skalar dengan −1. Untuk ruang Euklides, adalah titik refleksi di titik asal. Vektor yang berada tepat di arah berlawanan (dikalikan dengan angka negatif) terkadang disebut sebagai antiparalel.
 ruang vektor
 Dalam aritmetika modular, invers aditif modular dari  juga ditentukan: itu adalah bilangan  sehingga .  Pembalikan aditif ini selalu ada. Sebagai contoh, inversi dari 3 modulo 11 adalah 8 karena merupakan solusi dari .

Bukan contoh 
Bilangan asli, bilangan pokok, dan bilangan ordinal, tidak memiliki invers penjumlahan dalam masing-masing himpunan. Jadi, misalnya, kita dapat mengatakan bahwa bilangan asli do memiliki invers aditif, tetapi karena invers aditif ini sendiri bukan bilangan asli, himpunan bilangan asli tidak tertutup di bawah mengambil invers aditif.

Lihat pula 
 Nilai mutlak (berkaitan melalui persamaan )
 Invers multiplikatif
 Identitas aditif
 Involusi (matematika)
 Simetri refleksi

Referensi

Pustaka 
 

Aljabar elementer
Aritmetika