Gelanggang Borromean

Dalam matematika, gelanggang Borromean terdiri dari tiga lingkaran topologi yang terhubung dan membentuk tautan Brunnian (di mana apabila satu cincin keluar, maka akan menghasilkan dua cincin yang tidak terhubung). Dengan kata lain, tidak ada dua dari tiga cincin yang saling berkait satu sama lain sebagai jalinan Hopf, tetapi ketiga cincin tersebut tetap saja saling terkait.

Sifat matematika

Ketidakmungkinan cincin melingkar sempurna 
Meskipun gambar khas cincin-cincin Borromean (pada gambar sebelah kanan di atas) menyebabkan seseorang berpikir bahwa tautan tersebut dapat terbentuk dari cincin lingkaran geometris yang ideal, tetapi hal ini sebenenarnya merupakan suatu hal yang tidak mungkin tejadi. Freedman dan Skora (1987) membuktikan bahwa suatu kelas tautan tertentu, seperti pada tautan Borromean, persisnya tidak dapat saling melingkar. Sebagai alternatif, hal ini dapat dilihat dengan adanya asumsi diagram tautan: jika seseorang mengasumsikan bahwa lingkaran 1 dan 2 menyentuh kedua titik persimpangan masing-masing, maka keduanya akan membentang pada suatu bidang datar atau bola. Dalam kedua kasus tersebut, lingkaran ketiga harus melewati bidang datar atau bola selama empat kali, tanpa membentang ke dalamnya, di mana hal ini tidak memungkinkan, lihat .

Namun, bagaimanapun, hal ini dapat menjadi mungkin, apabila seseorang menggunakan elips (lihat gambar kanan). Hal ini dianggap sebagai eksentrisitas arbitrer kecil; tidak peduli seberapa presisi bentuk lingkarannya, selama tidak berbentuk lingkaran sempurna, maka lingkaran-lingkaran ini dapat membentuk tautan Borromean jika sesuai; contohnya, lingkaran tipis dari kawat elastis yang dapat ditekuk dapat digunakan sebagai cincin Borromean.

Hubungan dengan graf oktahedral 
Selain menunjukkan untai mana yang menyilang di atas satu sama lain, diagram tautan menggunakan notasi yang sama dalam menunjukkan dua alur persimpangan, seperti graf yang digunakan dalam menunjukkan empat sisi yang saling bertemu pada simpul biasa. Dengan demikian, graf oktahedron reguler dapat diubah menjadi diagram tautan yang dikonversi menjadi untaian yang mengikuti tepi berturutan, yang dengannya melewati simpul dan melewati bagian bawah berikutnya secara bergantian. Hasilnya terdiri dari tiga putaran (loop) terpisah, yang dihubungkan bersamaan menjadi cincin Borromean.

Pertautan 

Dalam teori simpul, cincin Borromean merupakan contoh sederhana dari tautan Brunnian, di mana masing-masing cincin tidak terhubung, serta tautan tersebut tidak dapat dilepaskan tautannya secara keseluruhan. Terdapat pula beberapa cara untuk melihat hal ini.

Tautan yang paling sederhana memiliki grup fundamental dari dua lingkaran komplementer, yang tak terkait, yang merupakan grup bebas yang dibangun dua unsur, a dan b, pada teorema Seifert-van Kampen, kemudian loop ketiga memiliki kelas komutator, [a, b] = aba−1b−1, seperti yang dapat dilihat pada diagram tautan: melampaui yang satu, melampaui yang berikutnya, kembali lagi ke bagian bawah yang pertama, lalu kembali lagi pada yang kedua. Didapat loop yang non-trivial dalam grup fundamentalnya sehingga cincin Borromean saling bertautan.

Cara lain adalah bahwa kohomologi dari komplementasi yang mendukung konsep Massey product yang non-trivia, yang bukan penyebab penghilangan tautan. Hal ini merupakan contoh sederhana dari konsep Massey product, di mana aljabar sesuai dengan geometri: Massey product 3-manifold merupakan hasil kali 3-manifold yang hanya ditentukan jika semua product 2-manifold tidak bertaut, di mana cincin Borromean yang dipasangkan secara berpasangan (hasil kali 2-manifold hilang), tetapi terkait secara keseluruhan (di mana hasil kali 3-manifold tidak hilang).

Dalam topologi aritmatika, terdapat analogi antara simpul dan bilangan prima, yaitu adanya hubungan-hubungan antara bilangan prima. Tiga bilangan prima  dihubungkan modulo 2 (simbol Rédei adalah -1), tetapi dipasangkan dengan pasangan modulo 2 (simbol Legendre yang semuanya 1). Oleh karena itu, bilangan prima ini disebut "triple Borromean modulo 2" atau "bilangan prima mod 2 Borromean".

Geometri hiperbolik 
Cincin Borromean merupakan tautan hiperbolik: komplementasi cincin Borromean dalam bola-3 yang memuat metrik hiperbolik lengkap dengan volume terbatas. Dekomposisi polihedral kanonikal (Epstein-Penner) dari komplementasi yang terdiri dari dua oktahedra ideal biasa. Volumenya adalah 16Л (π / 4) = 7.32772 ... di mana Л adalah fungsi Lobachevsky.

Hubungan dengan kepang 

Jika seseorang memotong cincin Borromean, maka dapat diperoleh satu iterasi jalinan standar; sebaliknya, jika menghubungkan ujung-ujung (dari satu iterasi) kepang standar, maka dapat diperoleh cincin Borromean. Sama halnya seperti menghilangkan satu cincin Borromean yang dapat memutuskan dua untaian lainnya, dengan mengeluarkan satu untaian kepang standar yang tidak bertaut dengan dua kepang lainnya, di mana keduanya merupakan tautan Brunnian dasar dan kepang Brunnian.

Dalam diagram tautan standar, cincin Borromean disusun secara non-transit, dalam urutan siklis. Dengan menggunakan warna di atas, warna merah di atas biru muda, biru muda di atas biru, biru di atas merah; oleh karenanya setelah mengeluarkan satu cincin, maka dua cincin yang tersisa, di mana yang satu berada di atas yang lainnya, yang keduanya dapat dipisahkan. Demikian pula, dalam kepang standar, masing-masing untai berada di atas yang lainnya dan pada waktu yang sama berada di bawah yang lainnya.

Sejarah 

Nama "cincin Borromean" berasal dari penggunaannya sebagai lambang keluarga aristokrat Borromeo di Italia Utara. Tautan itu sendiri sudah jauh lebih tua dan telah muncul dalam bentuk valknut pada gambar batu Suku Norse di abad ke-7.
Cincin Borromean telah digunakan dalam konteks berbeda dalam menjelaskan kekuatan dalam kesatuan, misalnya, dalam agama atau seni. Secara khusus, beberapa diantaranya menggunakan desain ini untuk melambangkan Tritunggal. Psikoanalis terkenal, Jacques Lacan menemukan inspirasi dalam cincin Borromean sebagai model topologi subjektivitas manusia, di mana masing-masing cincin mewakili komponen realitas mendasar Lacanian (yaitu tatanan "riil", "imajiner", dan "simbolik").

Cincin ini juga digunakan sebagai logo bir Ballantine, dan masih digunakan sebagai merek bir Ballantine, yang kini didistribusikan oleh pemilik merek saat ini, yaitu Pabst Brewing Company.

Cincin Borromean, karena sifat matematisnya, ditampilkan oleh Martin Gardner pada kolom "Permainan Matematika" dalam Scientific American pada September 1961.

Pada tahun 2006, Serikat Matematika Internasional memutuskan pada Kongres Internasional Matematikawan ke-25 di Madrid, Spanyol supaya menggunakan logo baru yang berdasarkan cincin Borromean.

Sebuah pilar batu di Kuil Marundeeswarar di Thiruvanmiyur, Chennai, Tamil Nadu, India, memiliki sosok seperti ini sebelum abad ke-6.

Cincin parsial 
Di Eropa abad pertengahan dan renaisans, sejumlah tanda visual ditemukan yang terdiri dari tiga elemen yang saling terkait sedemikian rupa sehingga cincin Borromean ditunjukkan saling terkait (dalam penggambaran dua dimensi konvensional mereka), tetapi elemen-elemen individualnya tidak tertutup. Contoh simbol semacam itu adalah tanduk batu Snoldelev dan bulan sabit Diana dari Poitiers. Contoh tiga elemen berbeda misalnya logo Sport Club Internacional. Tanda visual yang kurang terkait mencakup diagram Gankyil dan Venn pada tiga pasangan.

Demikian pula, simpul tinju monyet pada dasarnya adalah representasi cincin Borromean tiga dimensi, meskipun memiliki tiga lapisan, dalam banyak kasus.

Dengan menggunakan pola cincin Borromean yang tidak lengkap, seseorang dapat menyeimbangkan tiga pisau pada tiga penopang, seperti tiga botol atau gelas, yang dapat menopang pada bagian tengah pada botol atau gelas keempat.

Cincin dengan kelipatan 
Beberapa simpul-teoretis memiliki kelipatan konfigurasi pada cincin Borromean; di mana satu tautan memiliki lima lingkaran (loop) seperti simbol Diskordianisme, yang didasarkan pada sebuah penggambaran dalam Principia Discordia.

Realisasi 

Cincin Borromean Molekuler merupakan lingkaran molekul cincin Borromean, yang memiliki struktur molekul mekanis yang saling terkait. Pada tahun 1997, ahli biologi Chengde Mao dan rekan kerjanya dari Universitas New York berhasil membangun seperangkat cincin dari DNA. Pada tahun 2003, ahli kimia Fraser Stoddart dan rekan kerjanya di UCLA menggunakan koordinasi kimia dalam membangun satu set cincin dalam satu langkah dari 18 komponen. Sebuah perpustakaan jaringan Borromean telah disintesis dengan sengaja oleh Giuseppe Resnati dan rekan kerjanya melalui ikatan halogen mandiri.

Sebuah analog kuantum mekanis dari cincin Borromean disebut dengan keadaan halo atau keadaan Efimov (di mana keberadaan suatu keadaan seperti itu telah diprediksi oleh ahli fisika Vitaly Efimov, pada tahun 1970). Untuk pertama kalinya kelompok riset Rudolf Grimm dan Hanns-Christoph Nägerl dari Institut Fisika Eksperimental (Universitas Innsbruck, Austria) mengkonfirmasi melalui sebuah percobaan dengan keadaan semacam itu dalam gas ultracold dari atom sesium pada tahun 2006, serta menerbitkan temuan mereka dalam jurnal ilmiah Nature. Sebuah tim fisikawan yang dipimpin oleh Randall Hulet dari Universitas Rice di Houston, mencapai hal ini dengan satu set dari tiga atom litium terikat dan menerbitkan temuan mereka pada jurnal daring Science Express. Pada tahun 2010, sebuah tim yang dipimpin oleh K. Tanaka menciptakan sebuah keadaan Efimov di dalam sebuah sel inti.

Lihat pula 
 Kontur Pochhammer
 Perisai Tritunggal
 Triquetra

Catatan

Referensi

Bacaan lanjut 
 P. R. Cromwell, E. Beltrami and M. Rampichini, "The Borromean Rings", Mathematical Intelligencer Vol. 20 no. 1 (1998) 53–62.
 
 
 Brown, R. and Robinson, J., "Borromean circles", Letter, American Math. Monthly, April, (1992) 376–377. Artikel ini menunjukkan bagaimana persegi Borromean ada, dan telah berhasil dibuat oleh John Robinson (pematung), yang telah memberikan bentuk-bentuk lainnya  pada struktur ini.
 Chernoff, W. W., "Interwoven polygonal frames". (English summary) 15th British Combinatorial Conference (Stirling, 1995). Discrete Math. 167/168 (1997), 197–204. Artikel ini memberikan jalinan poligonal yang lebih umum.

Pranala luar 
 "Borromean Rings Homepage", laman web Dr Peter Cromwell's.
 Jablan, Slavik. "Are Borromean Links So Rare? ", Visual Mathematics.
 "Borromean Rings ", The Encyclopedia of Science.
 "Symbolic Sculpture and the Borromean Rings", Sculpture Maths.
 "African Borromean ring carving", Sculpture Maths.
 Borromean rings spinning as a group
 "The Borromean Rings: A new logo for the IMU " [w/video], International Mathematical Union
 

Topologi