Fungsi invers

Fungsi Invers (atau fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi. Misalnya anggap saja  sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Bila dapat ditentukan sebuah fungsi  dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga  dan  untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka  disebut fungsi invers dari  dan bisa ditulis sebagai . Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Fungsi  akan memiliki invers dengan syarat  merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi  memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi  atau ditulis  memetakan himpunan B ke himpunan A. Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas. Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan. Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu. Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu .

Simetri 
Ada kesimetrian antara suatu fungsi dan kebalikannya. Secara khusus, jika  adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain  dan rentang , maka kebalikannya  memiliki domain  dan rentang , serta kebalikan dari  adalah fungsi asli . Dalam simbol, untuk fungsi   dan ,

 dan 

Pernyataan ini adalah konsekuensi dari implikasi bahwa agar  dapat dibalik, pernyataan itu harus bersifat bijektiv. Sifat involutori dari invers dapat diekspresikan secara ringkas 

Kebalikan dari komposisi fungsi diberikan oleh 

Perhatikan bahwa urutan  dan  telah dibalik; untuk mengurungkan  diikuti oleh , pertama-tama kita harus membatalkan , lalu mengurungkan .

Misalnya, maka  dan jika . Kemudian komposisinya  adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima,

 

Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga,

 

kemudian sisi kanan invers masing-masing yaitu  dan  maka  adalah

Fungsi invers dalam kalkulus 
Variabel tunggal kalkulus terutama berkaitan dengan fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real. Fungsi seperti itu sering kali didefinisikan melalui rumus, seperti:

Fungsi dugaan  dari bilangan real ke bilangan real memiliki invers, asalkan satu-ke-satu. Artinya, grafik  memiliki, untuk setiap kemungkinan nilai , hanya satu nilai  yang sesuai, dan dengan demikian lolos uji garis horizontal.

Tabel berikut menunjukkan beberapa fungsi standar dan invers:

{| class="wikitable" align="center"
|-
!align="center"| Fungsi 
!align="center"| Invers 
!align="center"| Catatan
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
|
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
|
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
| 
|-
|align="center"|  (yaitu )
|align="center"|  (yaitu )
| 
|-
|align="center"| 
|align="center"|  (yaitu )
| 
|-
|align="center"| 
|align="center"|  (yaitu )
| tidak ada batasan  dan 
|-
|align="center"| 
|align="center"|  (yaitu )
|  jika  genap; bilangan bulat 
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
| 
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
| 
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
| 
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
| 
|-
|align="center"| 
|align="center"| 
|  dan 
|-
|align="center"| Fungsi trigonometrik
|align="center"| Fungsi trigonometri invers 
| berbagai batasan (lihat tabel di bawah)
|-
|align="center"| Fungsi hiperbolik
|align="center"| Fungsi hiperbolik invers
| berbagai batasan
|}

Fungsi Invers (sel) 
Jika  adalah himpunan, maka fungsi identitas di  adalah kebalikannya:

 

Secara lebih umum, sebuah fungsi  sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi  adalah . Fungsi seperti itu disebut involusi.

Rumus utama untuk Fungsi invers 
Salah satu pendekatan untuk menemukan rumus , adalah untuk menyelesaikan persamaan  untuk .  Misalnya, jika  adalah fungsinya

 

maka kita harus menyelesaikan persamaan tersebut  dari :

 

Demikianlah fungsi invers  diberikan oleh rumus

 

Terkadang, kebalikan dari suatu fungsi tidak dapat diekspresikan dengan rumus dengan jumlah suku terbatas. Misalnya, jika  adalah fungsinya

 

maka  adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers . rumus untuk invers ini memiliki jumlah suku yang tak terhingga:

Grafik invers 

Jika  dapat dibalik, maka grafik fungsinya

 

sama dengan grafik persamaan

 

Ini identik dengan persamaan  yang mendefinisikan grafik , kecuali peran  dan  telah dibalik. Demikian grafik  dapat diperoleh dari grafik  dengan mengganti posisi sumbu  dan . Ini setara dengan mencerminkan grafik melintasi garis
.

Dalam fungsi trigonometri 

Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan injeksi, jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi invers. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri monotonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai fungsi multinilai. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian bijektiv dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan nilai pokok s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.

Fungsi invers dan turunan 
Sebuah fungsi kontinu  dapat dibalik pada rentangnya (gambar) jika dan hanya jika meningkat atau menurun (tanpa lokal maksimal dan minimum, contoh dari:

 

dapat dibalik, karena turunan
 selalu positif.

Jika fungsi  adalah dapat dibedakan pada interval  dan  untuk setiap , lalu kebalikannya  dapat dibedakan . Bila , turunan dari invers diberikan oleh teorema fungsi invers,

 

Menggunakan notasi Leibniz rumus di atas dapat ditulis sebagai

 

Hasil ini mengikuti aturan rantai (lihat artikel tentang Fungsi dan diferensiasi invers).

Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel. Secara khusus, fungsi multivariabel  dapat dibalik di lingkungan titik  selama matriks Jacobian dari  pada  adalah dapat dibalik. Dalam hal ini, Jacobian dari  pada  adalah invers matriks dari Jacobian dari  pada .

Contoh 
 Tentukan  dari !
 
 
 
 

 Tentukan  dari !
 
 

 Tentukan  dari !
 
 
 
 
 
 
 

 Tentukan  dari !
 
 
  (karena )
 

 Tentukan  dari !
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Tentukan  dari !

Lihat pula 
 Fungsi (matematika)
 Komposisi fungsi

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
  
  

Matematika