−1 (angka)

−1, terutama dalam matematika, merupakan  invers aditif dari bilangan 1, yaitu, suatu bilangan yang bila ditambahkan ke bilangan 1 menghasilkan hasil penjumlahan elemen identitas, atau bilangan 0 ("nol"). Merupakan suatu bilangan bulat negatif yang lebih besar daripada minus dua (−2) dan lebih kecil dari 0.

Bilangan minus satu mempunyai relasi terhadap identitas Euler karena 

Dalam sains komputer, −1 merupakan nilai awal umum untuk "integer" dan juga menunjukkan bahwa suatu variabel tidak memuat informasi yang berguna.

Negatif satu mempunyai sifat-sifat yang mirip tetapi agak berbeda dengan "positif satu".

Sifat aljabar 
Perkalian suatu bilangan dengan −1 ekuivalen dengan mengganti tanda bilangan itu. Ini dapat dibuktikan dengan hukum distribusi dan aksioma bahwa 1 merupakan identitas multiplikatif: untuk bilangan real x, didapatkan

di maan setiap bilangan real x dikalikan 0 sama dengan 0, menyiratkan pembatalan (cancellation) persamaan

Dengan kata lain,

sehingga (−1) · x merupakan invers aritmetika dari x, atau −x.

Kuadrat dari −1 
Kuadrat dari −1, yaitu −1 kali −1, sama dengan 1. Akibatnya, produk dua bilangan real negatif adalah bilangan positif.

Bukti aljabar dari hasil ini dapat diberikan pertama-tama dengan persamaan

Persamaan pertama mengikuti hasil di atas. Yang kedua mengikuti definisi −1 sebagai invers aditif dari 1: tepatnya bilangan yang jika ditambahkan ke 1 menghasilkan 0. Menggunakan hukum distributif didapatkan

Persamaan kedua mengikuti fakta bahwa 1 merupakan identitas multiplikatif. Penambahan 1 ke kedua sisi persamaan terakhir menyiratkan

Argument di atas berlaku pada semua cincin, suatu konsep aljabar abstrak yang mengeneralisasi bilangan bulat dan bilangan real.

Akar kuadrat dari −1 
Bilangan kompleks i memenuhi i2 = −1, dan sedemikian rupa dapat dianggap sebagai akar kuadrat dari −1. Bilangan kompleks x lain yang memenuhi persamaan x2 = −1 hanya −i. Dalam aljabar kuaternion, yang memuat bidang kompleks, persamaan x2 = −1 mempunyai pemecahan tak terhinggal.

Pemangkatan ke bilangan bulat negatif 
Pemangkatan ke bilangan real bukan nol dapat dikembangkan ke bilangan bulat negatif. Dibuat definisi bahwa x−1 = 1/x, artinya didefinisikan bahwa pemangkatan suatu bilangan dengan pangkat −1 mempunyai efek yang sama dengan menghitung resiprokal. Definisi ini yang kemudian dikembangkan ke bilangan-bilangan bulat negatif melestarikan hukum eksponensial xaxb = x(a + b) untuk bilangan-bilangan real a,b.

Referensi 

-1