Teorema Gauss–Bonnet

Teorema Gauss–Bonnet atau formula Gauss–Bonnet dalam geometri diferensial adalah pernyataan penting tentang permukaan yang menghubungkan geometri mereka (dalam arti lengkungan) ke topologi mereka (dalam arti karakteristik Euler). Teorema ini dinamai sesuai dengan Carl Friedrich Gauss yang mengetahui versi teorema tersebut namun tidak pernah menerbitkannya, dan Pierre Ossian Bonnet yang menerbitkan sebuah argumen khusus pada tahun 1848.

Pernyataan 
Seharusnya nilai  adalah kekompakan antara dua dimensi berjenis Riemannian dengan batas  . Jika nilai  menjadi kelengkungan Gaussian pada nilai , dan membiarkan nilai  menjadi kelengkungan geodesik  . Setelah itu 

Darimana nilai dA adalah elemen luas pada permukaan dan nilai ds adalah elemen garis di sepanjang batas M. Nilai  adalah karakteristik Euler dari .

Jika batas pada nilai  adalah rumus sedikit halus, setelah itu kami akan menafsirkan nilai pada integral  sebagai jumlah dari integral terkait sepanjang bagian mulus dari batas, ditambah jumlah sudut dimana bagian halus berputar di sudut batas.

Interpretasi dan signifikansi 
Teorema tersebut diterapkan khususnya pada permukaan kompak tanpa batas, dalam hal ini:

dapat dihilangkan. Ini menyatakan bahwa kelengkungan Gaussian total dari permukaan tertutup tersebut sama dengan 2π kali karakteristik Euler dari permukaan tersebut. Perhatikan bahwa untuk permukaan kompak yang dapat diorientasikan tanpa batas, karakteristik Euler sama , dimana  adalah genus permukaan: Setiap permukaan padat yang dapat diorientasikan tanpa batas secara topologis setara dengan bola dengan beberapa pegangan terpasang, dan  menghitung jumlah pegangan.

Referensi

Sumber

Pranala luar 
 
 Gauss–Bonnet Theorem di Wolfram Mathworld

Teorema dalam geometri diferensial
Permukaan Riemann