Kaidah Cramer

Dalam aljabar linear, kaidah Cramer adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan banyak persamaan sama dengan banyak variabel, dan berlaku ketika sistem tersebut memiliki solusi yang tunggal. Rumus ini menyatakan solusi dengan menggunakan determinan matriks koefisien (dari sistem persamaan) dan determinan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom matriks koefisien dengan vektor yang berada sebelah kanan persamaan. Metode ini dinamai dari matematikawan Swiss Gabriel Cramer (1704–1752), yang pada tahun 1750 menerbitkan kaidah ini untuk sebarang banyaknya variabel, walau Colin Maclaurin juga menerbitkan kasus khusus dari kaidah ini pada tahun 1748 (dan mungkin ia sudah mengetahuinya sejak 1729).

Kaidah Cramer yang digunakan dengan naif (apa adanya) tidak efisien secara komputasi untuk sistem dengan lebih dari dua atau tiga persamaan. Untuk kasus dengan   persamaan dalam  variabel, rumus ini perlu menghitung  nilai determinan, sedangkan eliminasi Gauss menghasilkan solusi yang sama dengan kompleksitas komputasi yang setara dengan menghitung satu nilai determinan. Kaidah Cramer juga dapat tidak stabil secara numerik bahkan untuk sistem ukuran 2×2. Namun, belakangan ini berhasil dibuktikan bahwa kaidah Cramer dapat diterapkan dalam kompleksitas waktu O(n3). Hal ini membuatnya dapat disandingkan dengan metode-metode yang lebih umum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (seperti eliminasi Gauss), dan juga dapat disandingkan dalam hal kestabilan numerik pada kebanyakan kasus.

Kasus umum 
Pertimbangkan sistem  persamaan linear dengan  variabel, yang direpresentasikan dalam bentuk perkalian matriks sebagai:

dengan matriks  berukuran  memiliki determinan bukan nol, dan vektor  adalah vektor kolom dari variabel. Teorema menyatakan bahwa sistem memiliki solusi unik dalam keadaan ini, dengan nilai untuk setiap variabel diberikan oleh:

dimana  adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke- dari  dengan vektor kolom .

Versi yang lebih umum dari kaidah Cramer mempertimbangkan persamaan matriks

Dimana  adalah matriks  yang memiliki determinan bukan nol, sedangkan  dan  adalah matriks . Untuk sebuah barisan  dan , misalkan  sebagai submatriks ukuran  yang berisi baris  dan kolom  dari matriks  . Misalkan pula  sebagai matriks  yang dibentuk dengan mengganti kolom ke- matriks  dengan kolom ke- matriks , untuk semua . Kemudian

Dalam kasus , persamaan tersebut adalah kaidah Cramer yang normal.

Kaidah Cramer berlaku untuk sistem persamaan dengan koefisien dan variabel di sebarang lapangan, tidak hanya di bilangan real.

Contoh 
Berikut adalah sistem persamaan linear:

Matriks persamaan ini adalah:

Apabila  bukan nol, maka  dan  dapat dicari dengan menggunakan determinan matriks tersebut:

Untuk matriks , caranya sama:

Persamaan ini dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut:

Kemudian nilai  dan  dapat dicari dengan rumus berikut:

Bukti 
Bukti untuk kaidah Cramer didasarkan pada sifat dari determinan: linearitas terhadap setiap kolom, dan fakta bahwa determinan bernilai nol jika terdapat dua kolom yang sama (tersirat dari sifat tanda determinan yang berubah ketika terjadi penukaran dua kolom matriks).

Pilih sebarang kolom ke-j dari sebuah matriks. Linearitas mengartikan jika kita menganggap hanya kolom ke-j sebagai variabel, fungsi  yang dihasilkan (dengan asumsi elemen matriks adalah anggota ) dapat ditulis sebagai perkalian sebuah matriks, dengan satu baris dan n kolom, dengan kolom ke-j. Faktanya, ini yang dilakukan oleh ekspansi Laplace, yang menyatakan  dengan koefisien  bergantung pada kolom-kolom matriks  selain kolom ke-j. Nilai  juga dapat ditulis sebagai perkalian matriks satu-baris  dengan kolom ke-j dari . Jika  dikalikan dengan kolom lain dari , misal kolom ke-k, hal ini sama mengganti kolom ke-j dengan kolom ke-k. Pada kasus ini determinan akan bernilai 0 (sifat determinan jika terdapat dua kolom yang sama).

Selanjutnya perhatikan sistem n persamaan linear dengan n variabel, dengan  sebagai matriks koefisien, dan  diasumsikan tidak bernilai nol:

 

Lalu bentuk persamaan "gabungan" dari menjumlahkan persamaan pertama dikali , dengan persamaan kedua dikali , dan seterusnya, sampai persamaan terakhir dikali . Koefisien untuk variabel  pada persamaan ini adalah

 

sedangkan koefisien untuk variabel lainnya akan bernilai 0; sehingga ekspresi di ruas kiri persamaan hanyalah . Sedangkan, ruas kanan memiliki bentuk , yang sama dengan mengalikan  dengan vektor kolom . Faktanya, proses yang kita lakukan sama dengan mengalikan persamaan  dengan  dari kiri. Membagi kedua ruas dengan  akan menghasilkan persamaan berikut:

 

Bentuk pembilang pada persamaan tersebut sama dengan nilai determinan dari matriks , dengan kolom ke-j yang diganti dengan vektor . Akhirnya, kita mendapatkan ekspresi kaidah Cramer yang juga merupakan syarat perlu untuk solusi. Proses yang sama dapat dilakukan untuk nilai-nilai j lain untuk mendapatkan nilai variabel  lainnya.

Hal terakhir yang perlu dibuktikan adalah, apakah (satu-satunya) nilai yang didapatkan dari cara ini memang merupakan solusi dari sistem persamaan. Ketika matriks  dapat diinvers dengan matriks invers , maka  adalah solusi dari sistem (dan menunjukkan eksistensinya). Untuk menunjukkan  dapat diinvers ketika  tidak bernilai nol, pertimbangkan matriks  ukuran  yang dibentuk dengan menumpuk matriks satu-baris  secara berurutan untuk  j = 1, ..., n (ini adalah matriks adjugat dari ). Dapat ditunjukkan bahwa , dengan  berada pada kolom ke-j; dari ini dapat simpulkan . Sehingga didapatkan,

 

yang melengkapi pembuktian.

Untuk bentuk-bentuk pembuktian yang lain, lihat dibawah.

Menemukan matriks invers 

Misalkan  adalah matriks  dengan entri-entrinya elemen suatu lapangan . Selanjutnya

dengan  menunjukkan matriks adjugat dari ,  adalah determinannya, dan  adalah matriks identitas.  Jika  tidak bernilai nol, maka matriks invers dari  adalah

Terlebih lagi, rumus ini berlaku ketika  merupakan gelanggang komutatif, asalkan  adalah satuan. Jika  bukan satuan, maka  tidak memiliki invers atas gelanggang tersebut.

Interpretasi geometris 

Kaidah Cramer memiliki interpretasi geometris yang juga dapat dianggap sebagai sebuah bukti atau setidaknya memberikan wawasan tentang sifat geometrisnya. Argumen geometris berikut disajikan untuk kasus dua persamaan dalam dua variabel, dan secara umum dapat diterapkan untuk kasus-kasus lain.

Misalkan kita memiliki sistem persamaan

sistem ini dapat dianggap sebagai persamaan antar vektor

Luas jajar genjang dibentuk oleh  dan  diberikan oleh determinan:

Secara umum, untuk kasus jumlah persamaan dan variabel yang lebih banyak, determinan dari vektor dengan panjang akan memberikan volume dari parallelepiped, yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut dalam dimensi ke- ruang Euklides.

Oleh karena itu, luas jajar genjang ditentukan oleh  dan  akan memiliki  kali luas dari jajar genjang asalnya, karena salah satu sisinya telah dikalikan dengan faktor ini. Sekarang, jajar genjang terakhir ini, dengan menggunakan prinsip Cavalieri, memiliki luas yang sama dengan jajar genjang yang dibentuk oleh  dan 

Menyamakan dua cara menghitung luas dari jajar genjang terakhir akan menghasilkan persamaan

yang tidak lain adalah bentuk dari kaidah Cramer.

Aplikasi

Geometri diferensial

Kalkulus Ricci 
Kaidah Cramer digunakan dalam kalkulus Ricci dalam berbagai perhitungan yang melibatkan simbol Christoffel jenis pertama dan kedua.

Secara khusus, aturan Cramer dapat digunakan untuk membuktikan bahwa operator divergensi pada manifold Riemannian invarian (tidak bergantung) pada perubahan koordinat. Berikut disajikan bukti langsung pernyataan tersebut, sambil mengurangi pemakaian simbol Christoffel. Misal  adalah manifold Riemannian yang dilengkapi dengan koordinat lokal . Misalkan pula  sebagai bidang vektor. Bukti ini menggunakan konvensi penjumlahan Einstein.

Teorema.
Divergensi dari ,

bersifat invarian pada perubahan koordinat.

Misalkan  sebagai transformasi koordinat dengan  Jacobian  yang tidak singular. Dengan menggunakan  hukum transformasi, kita dapat menulis  dengan . Serupa dengan itu, jika , maka . Menuliskan hukum transformasi ini dalam bentuk matriks akan menghasilkan , yang mengakibatkan .

Di sisi lain, bentuk divergensi dari A dapat diubah,

Untuk menunjukkan bahwa bentuk ini sama dengan
,
kita perlu dan cukup untuk menunjukkan bahwa

setara dengan bentuk

Melakukan diferensiasi di sisi kiri persamaan terakhir, kita mendapatkan:

dimana  menandakan matriks yang diperoleh dari  dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-.
Tapi, kaidah Cramer mengatakan bahwa 

adalah entri ke  dari matriks .
Alhasil

menyelesaikan pembuktian kita.

Menghitung turunan secara implisit 
Pertimbangkan dua persamaan  dan .  Jika  dan  adalah variabel bebas pada sistem, kita dapat mendefinisikan  dan  Persamaan untuk  dapat ditemukan dengan menerapkan aturan Cramer.

Pertama, hitung turunan pertama dari , , , dan :

Mensubtitusi  dan  masing-masing ke  dan , kita mendapatkan:

Karena  dan  keduanya independen, koefisien untuk  dan untuk  harus bernilai nol. Jadi kita bisa menuliskan persamaan berikut yang perlu dipenuhi oleh koefisien:

Sekarang, berdasarkan kaidah Cramer, kita dapatkan:

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk  Jacobian sebagai:

Rumus serupa dapat diturunkan untuk

Pemrograman bilangan bulat 
Kaidah Cramer dapat digunakan untuk membuktikan bahwa masalah integer programming, yang matriks pembatasnya bersifat totally unimodular dan yang ruas kanannya berupa bilangan bulat, memiliki solusi bilangan bulat. Hal ini membuat integer program jauh lebih mudah untuk diselesaikan.

Persamaan diferensial biasa 
Kaidah Cramer digunakan untuk menurunkan solusi umum ke persamaan diferensial linear yang tidak homogen dengan metode variasi parameter.

Bukti lainnya

Bukti dengan aljabar linier abstrak 

Bukti kaidah Cramer dapat dinyataan dalam bahasa yang lebih abstrak.

Pertimbangkan peta  dengan  adalah matriks  yang kolom ke--nya diganti dengan vektor , seperti pada kaidah Cramer. Peta ini bersifat linear karena sifat linearitas determinan pada setiap kolom. Selain itu, karena determinan matriks dengan dua kolom yang sama akan bernilai 0, kolom ke- dari matriks  akan dipetakan basis vektor standar ke-  (dengan nilai 1 di tempat ke-). Jadi kita memiliki sebuah peta linier yang sama dengan invers dari  pada ruang kolom; karenanya peta ini sama dengan   pada span dari ruang kolom. Karena  dapat diinvers, span dari vektor-vektor kolom adalah , jadi peta kita benar-benar invers dari . Kaidah Cramer mengikuti.

Bukti singkat 
Sebuah bukti singkat kaidah Cramer dapat ditunjukkan dengan memperhatikan bahwa  adalah determinan dari matriks

Di sisi lain, dengan mengasumsikan matriks  dapat diinvers, matriks  ini memiliki kolom-kolom , dengan  adalah kolom ke-n matriks . Ingat pula bahwa matriks  memiliki kolom-kolom , sehingga kita memiliki hubungan . Selanjutnya, dengan menggunakan sifat determinan dari hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan setiap matriks, kita dapatkan

Bukti yang serupa juga dapat ditulis untuk nilai  lainnya.

Catatan kaki

Pranala luar 

 Proof of Cramer's Rule 
 WebApp descriptively solving systems of linear equations with Cramer's Rule 
 Online Calculator of System of linear equations

Aljabar linear