Matriks terbalikkan

Dalam aljabar linear, sebuah matriks persegi  berukuran  terbalikkan (invertible) atau tidak singular, jika terdapat matriks persegi  dengan ukuran yang sama dengan , dan memenuhi hubungan:

dengan  melambangkan matriks identitas berukuran , dan perkalian yang dilakukan merupakan perkalian matriks yang umum. Jika hubungan tersebut berlaku, maka matriks  disebut sebagai balikan atau invers (multiplikatif) dari matriks , dan diberi lambang .

Matriks persegi tidak dapat dibalik disebut dengan matriks singular. Matriks persegi bersifat singular jika dan hanya jika nilai determinannya 0. Matriks yang bukan matriks persegi (berukuran  dan ) tidak memiliki invers. Namun dalam beberapa kasus, matriks tersebut mungkin memiliki invers kiri atau invers kanan. Jika matriks  berukuran  dengan rank  (nilai ), maka  memiliki invers kiri. Invers kiri ini adalah sebuah matriks  berukuran  yang memenuhi hubungan  Sedangkan jika rank matriks  adalah  (nilai ), maka  memiliki invers kanan; yakni sebuah matriks  berukuran  yang memenuhi hubungan

Sifat

Teorema matriks terbalikkan 
Sifat keterbalikkan sebuah matriks berhubungan erat dengan banyak sifat lain yang dimiliki matriks tersebut. Misalkan  adalah matriks persegi berukuran , dengan entri-entri adalah elemen dari suatu lapangan  (misalnya, lapangan bilangan real ). Semua pernyataan berikut ekuivalen, dalam artian antara matriks  memenuhi semua pernyataan, atau matriks  tidak memenuhi satupun pernyataan yang ada.

 Matriks  terbalikkan. Dengan kata lain, matriks  memiliki sebuah invers (atau tidak singular).
 Ada sebuah matriks  berukuran  yang memenuhi 
 Matriks  dapat diubah menjadi matriks identitas  lewat serangkaian operasi baris elementer, atau lewat serangkaian operasi kolom elementer.
 Matriks  dapat dinyatakan sebagai perkalian (dengan jumlah terhingga) matriks-matriks elementer
 Matriks  memiliki  posisi pivot. Posisi pivot adalah nilai 1 pertama sebuah baris pada matriks bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).
 Persamaan  hanya memiliki solusi trivial, yakni 
 Persamaan  tepat memiliki satu solusi, untuk semua 
 Transformasi linear  adalah sebuah bijeksi dari  ke 
 Kernel dari  trivial; dengan kata lain hanya mengandung vektor nol sebagai elemennya, sehingga 
 Determinan dari  sama dengan 0.
 Bilangan 0 bukan nilai eigen dari matriks 
 Rank  penuh; dengan kata lain,  
 Kolom-kolom dari  saling bebas linear. Ini mengartikan tidak mungkin menyatakan sebuah kolom matriks  sebagai kombinasi penjumlahan kolom-kolom yang lain.
 Span dari kolom-kolom matriks  adalah . Artinya, himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom  akan sama dengan 
 Ruang kolom dari matriks  adalah . Ruang kolom adalah ruang vektor yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks 
 Kolom-kolom matriks  membentuk sebuah basis bagi 
 Transpos dari , yakni matriks  juga terbalikkan. Hal ini mengartikan baris-baris dari matriks  juga memenuhi sifat-sifat yang sama dengan kolom-kolom matriks.
 Matriks  memiliki invers kiri (yakni matriks  sehingga ) dan invers kanan  (yakni matriks  sehingga ). Lebih lanjut, nilai kedua invers tersebut sama,

Hubungan dengan adjugat 
Adjugat dari suatu matriks  dapat digunakan untuk mencari invers dari , dengan menggunakan hubungan:

Jika  memiliki invers, maka

Sifat-sifat lain 
Selain sifat-sifat pada bagian-bagian sebelumnya, matriks  berukuran  yang terbalikkan juga memiliki beberapa sifat berikut:

 ;
  untuk sembarang skalar  yang tidak sama dengan 0;
 ;
 ;
 Untuk sembarang matriks  yang dapat dibalik dan yang berukuran sama dengan , akan berlaku . Hal ini dapat diperumum untuk kasus matriks-matriks  berukuran  dan dapat dibalik, yang akan memiliki hubungan 
 Jika  memiliki kolom-kolom yang saling ortonormal, maka ; dengan  menyatakan invers Moore–Penrose dan  adalah vektor;

Referensi

Pranala luar 
 
 Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas di Google books
 The Matrix Cookbook

Matriks