Integral Gauss

Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, merupakan integral dari fungsi Gauss e−x2 di sepanjang garis real. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss, yang dirumuskan sebagai

Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan integral yang tepat pada tahun 1809. Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi dari distribusi normal. Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi galat dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal. Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika (khususnya mekanika kuantum).

Cara menghitung

Menggunakan koordinat polar 
Cara standar untuk menghitung integral Gauss adalah dengan menggunakan koordinat polar.

Tinjau fungsi  di bidang , dan kemudian hitung integral melalui dua cara berikut:
 Cara yang pertama adalah menggunakan integral lipat dalam sistem koordinat Kartesius, yakni integralnya dikuadratkan:
 
 Cara yang kedua adalah dengan menggunakan integral kulit tabung (kasus integrasi ganda dalam sistem koordinat polar), yang memberikan hasil integral sama dengan π.
Kedua perhitungan di atas memperoleh integral, walaupun perhitungan ini melibatkan integral takwajar:

 

dengan faktor  merupakan determinan Jacobi yang muncul karena transformasi ke koordinat polar, dan juga karena melibatkan pengambilan , sehingga . Dengan menggabungkannya, akan menghasilkan
 
Jadi ketika kedua ruas diakarkuadratkan akan menghasilkan

Kaitannya dengan fungsi gamma 
Integran ini merupakan fungsi genap

Jadi, setelah variabel  diubah menjadi , maka integral di atas berubah menjadi integral Euler

dengan   adalah fungsi gamma. Hal ini memperlihatkan mengapa faktorial dari setengah bilangan bulat adalah kelipatan rasional dari . Secara lebih umum,

yang dapat diperoleh dengan mengubah  di integan fungsi gamma agar memperoleh  .

Perumuman

Integral dari fungsi Gauss

Integral dari fungsi Gauss adalah

Integral di atas mempunyai bentuk alternatif, yaitu

Bentuk tersebut berguna untuk menghitung perkiraan dari setiap distribusi probabilitas kontinu yang terkait dengan distribusi normal. Contohnya seperti distribusi log-normal.

Perumuman fungsional dan dimensi-

Misalkan  adalah matriks presisi  definit positif simetri yang merupakan invers dari matriks peragam. Maka,

dengan integral dipahami di .  Rumus di atas berlaku dalam studi tentang distribusi normal multivariat. Selain itu, terdapat integral dengan bentuk

dengan  adalah permutasi dari  dan faktor tambahan di ruas kanan merupakan jumlah dari semua pasangan kombinatorial  untuk  salinan dari . Di sisi lain,

untuk setiap fungsi analitik , asalkan memenuhi beberapa batasan yang sesuai pada pertumbuhannya dan beberapa kriteria teknis lainnya. Ini bekerja untuk setiap fungsi dan gagal untuk fungsi yang lain. Polinomial juga bekerja untuk hal tersebut. Eksponensial atas operator diferensial dipahami sebagai deret pangkat.

Perumuman dimensi- dengan bentuk linear 
Jika A lagi-lagi merupakan matriks definit-positif simetri, maka (asumsi bahwa semuanya adalah vektor kolom)

Integral dengan bentuk yang serupa

dengan  adalah bilangan bulat positif dan  menyatakan faktorial ganda. Cara mudah untuk menurunkannya adalah dengan mendiferensialkannya terhadap simbol integral.

Cara lain untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan relasi pengulangan agar memperoleh solusinya.

Polinomial tingkat tinggi

Menerapkan perubahan basis linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada  variabel hanya dapat bergantung pada invarian-SL(n) dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan, akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.

Lihat pula 

 Daftar integral dari fungsi Gauss
 Integral yang umum dalam teori medan kuantum
 Distribusi normal
 Daftar integral dari fungsi eksponensial
 Fungsi galat
 Integral Berezin

Referensi

Daftar pustaka 
 
 
 

Integral
Fungsi Gauss