Teorema Stewart

Dalam geometri, teorema Stewart menyatakan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dan panjang cevian segitiga. Nama teorema Stewart digunakan untuk menghormati matematikawan Skotlandia Matius Stewart yang mempublikasikan teorema ini pada tahun 1746.

Teorema 
Misalkan , , dan  panjang sisi-sisi segitiga. Misalkan  panjang cevian pada sisi dengan panjang . Jika cevian membagi  menjadi dua segmen dengan panjang  dan  dimana  berdekatan dengan  dan  berdekatan dengan , maka teorema Stewart menyatakan bahwa

 (persamaan ini juga dapat ditulis , dalam beberapa referensi bahasa inggris, bentuk ini digunakan agar mudah dihafal menjadi sebuah kalimat, misalnya "A man and his dad put a bomb in the sink.")
Teorema Apollonius adalah kasus khusus di mana  adalah garis berat.

Teorema ini juga dapat dinyatakan menggunakan panjang segmen bertanda, yaitu panjang AB bisa positif atau negatif bergantung pada posisi A di sebelah kiri atau di sebelah kanan B pada garis yang sudah di tetapkan. Dalam kasus ini, teorema Stewart menyatakan jika A, B, dan C adalah titik-titik yang berada dalam satu garis, dan P adalah sembarang titik, maka

Bukti 

Teorema Stewart dapat dibuktikan dengan aturan cosinus:

Misalkan θ sudut antara m dan d dan θ' sudut antara n dan d. θ' adalah suplemen dari θ sehingga cos θ' = −cos θ. dengan menggunakan atura cosinus untuk θ dan θ,

Kalikan persamaan pertama dengan n, persamaan kedua dengan m, dan jumlahkan keduanya untuk mengeliminasi cos θ, diperoleh

dan bukti selesai.

alternatif lain, teorema ini dapat dibuktikan dengan menggambar garis tegak lurus dari titik sudut segitiga ke sisi yang berhadapan dan menggunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang b, c, dan d.

 Catatan 

 Referensi 
 

 Bacaan lebih lanjut 
 I.S Amarasinghe, Solutions to the Problem 43.3: Stewart's Theorem (A New Proof for the Stewart's Theorem using Ptolemy's Theorem), Mathematical Spectrum, Vol 43(03)', pp. 138 – 139, 2011.

Pranala luar 
 
 
Konten pada artikel ini adalah terjemahan dari aritkel wikepedia bahasa inggris :en:Stewart's theorem dengan melakukan beberapa perubahan

Halaman dengan rujukan yang memiliki parameter duplikat