Geometri aljabar

Geometri aljabar merupakan cabang matematika yang mempelajari akar dari suatu suku banyak. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari aljabar abstrak seperti aljabar komutatif dan teori kategori. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika (misalnya, skema dan sheaf) lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri.

Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti garis, parabola, elips, kurva eliptik dan lain-lain.

Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, topologi, teori bilangan, teori kategori, dan lain-lain.

Geometri aljabar menempati tempat sentral dalam matematika modern dan memiliki beberapa hubungan konseptual dengan berbagai bidang seperti analisis kompleks, topologi dan teori bilangan. Awalnya studi tentang sistem persamaan polinomial dalam beberapa variabel, subjek geometri aljabar dimulai di mana pemecahan persamaan berhenti, ini mengarah ke beberapa daerah terdalam dalam semua matematika, baik secara konseptual maupun dalam istilah teknik.

Pada abad ke-20, geometri aljabar terpecah menjadi beberapa subdaerah.
 Arus utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan lebih umum lagi pada titik-titik dengan koordinat dalam bidang tertutup aljabar.
 Geometri aljabar real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real dari suatu ragam aljabar.
 Geometri Diofantin dan, secara lebih umum, geometri aritmetika adalah studi tentang titik varietas aljabar dengan koordinat di bidang yang tidak tertutup secara aljabar dan terjadi di teori bilangan aljabar, seperti bidang bilangan rasional, bidang bilangan, bidang terbatas, bidang fungsi, dan bilangan p-adik.
 Sebagian besar teori singularitas dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
 Geometri aljabar komputasi adalah area yang muncul di persimpangan geometri aljabar dan aljabar komputer, dengan munculnya komputer. Ini terutama terdiri dari algoritme desain dan perangkat lunak pengembangan untuk mempelajari sifat dari varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit.

Banyak perkembangan arus utama geometri aljabar di abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan peningkatan penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien; ini paralel dengan perkembangan dalam topologi, diferensial dan geometri kompleks. Salah satu pencapaian utama geometri aljabar abstrak ini adalah Grothendieck pada teori skema yang memungkinkan salah satunya untuk menggunakan teori gemal untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi lipatan diferensial dan analitik. Ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari varietas afin dapat diidentifikasi, melalui Hilbert Nullstellensatz, dengan ideal maksimal dari gelanggang koordinat, sedangkan titik dari skema afin yang sesuai adalah semua ideal utama dari gelanggang ini. Ini berarti bahwa titik dari skema seperti itu dapat berupa titik biasa atau subvarietas. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama berkaitan dengan titik kompleks, dan teori bilangan aljabar. Bukti Wiles dari konjektur lema yang disebut Teorema terakhir Fermat adalah contoh kekuatan pendekatan ini.

Pengertian dasar

Angka nol dari polinomial simultan 

Dalam geometri aljabar klasik, objek utama yang menarik adalah kumpulan kumpulan polinomial yang hilang, artinya himpunan semua titik yang secara bersamaan memenuhi satu atau lebih persamaan polinomial. Misalnya, dua dimensi pada bola dengan jari-jari 1 dalam tiga dimensi dalam Ruang Euklides  dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik  dengan

Lingkaran "miring" pafd  dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik  yang memenuhi dua persamaan polinomial

Varietas afin 

Pertama kita mulai dengan bidang . Dalam geometri aljabar klasik, bidang ini selalu berupa bilangan kompleks , tetapi banyak dari hasil yang sama benar jika kita mengasumsikan bahwa  saja tertutup secara aljabar. Kita menganggap ruang afin dari dimensi  atas , dilambangkan  (atau lebih sederhananya , ketika  jelas dari konteksnya). Ketika salah satunya menetapkan sistem koordinat, salah satunya dapat mengidentifikasi  dengan . Tujuan tidak bekerja dengan  adalah untuk menekankan bahwa salah satunya "melakukan" sesuatu dengan struktur ruang vektor pada .

Fungsi  dikatakan sebagai polinomial (atau regular) jika dapat ditulis dengan polinomial, yaitu jika pada polinomial  maka  merupakan  untuk titik  dengan koordinat  di . Sifat suatu fungsi menjadi polinomial (atau beraturan) tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat di .

Ketika sistem koordinat dipilih, fungsi beraturan pada  sebagai ruang afin dapat diidentifikasi dengan gelanggang fungsi polinomial dalam variabel  pada . Oleh karena itu, himpunan fungsi beraturan pada  adalah sebuah gelanggang yang dilambangkan .

Kita mengatakan bahwa polinomial lenyap pada suatu titik jika mengevaluasinya pada titik tersebut menghasilkan nol. Misalkan  adalah kumpulan polinomial masuk . Himpunan lenyap dari  atau himpunan nol adalah himpunan  dari semua titik di An di mana setiap polinomial pada . Secara simbolis,

Bagian dari  yang mana adalah , untuk suatu , disebut himpunan aljabar.  adalah singkatan dari varietas (jenis himpunan aljabar tertentu akan didefinisikan di bawah).

Jawaban untuk pertanyaan pertama disediakan dengan memperkenalkan topologi Zariski, sebuah topologi aktif  yang himpunan tertutupnya adalah himpunan aljabar, dan yang secara langsung mencerminkan struktur aljabar . Kemudian  adalah  bagian himpunan aljabar atau ekuivalen dengan himpunan tertutup Zariski. Jawaban untuk pertanyaan kedua diberikan oleh Hilbert's Nullstellensatz. Dalam salah satu bentuknya, dikatakan demikian  adalah radikal dari ideal yang dihasilkan oleh . Dalam bahasa yang lebih abstrak, ada koneksi Galois, yang memunculkan dua operator penutupan; mereka dapat diidentifikasi, dan secara alami memainkan peran dasar dalam teori; contoh diuraikan pada koneksi Galois.

Untuk berbagai alasan kita mungkin tidak selalu ingin bekerja dengan seluruh ideal yang sesuai dengan himpunan aljabar . Teorema dasar Hilbert menyiratkan bahwa ideal dalam  selalu terbangkit hingga.

Beberapa penulis tidak membuat perbedaan yang jelas antara himpunan aljabar dan varietas dan menggunakan varietas taktereduksi untuk membuat perbedaan bila diperlukan.

Fungsi beraturan 

Sama seperti fungsi kontinu adalah peta alami pada ruang topologi dan fungsi mulus adalah peta alami pada manifold diferensial, terdapat kelas fungsi alami pada himpunan aljabar, yang disebut fungsi beraturan atau fungsi polinomial . fungsi beraturan pada himpunan aljabar  yang terdapat di  adalah batasan untuk  dari fungsi beraturan di . Untuk himpunan aljabar yang ditentukan pada bidang bilangan kompleks, fungsi beraturannya adalah mulus dan genap analitik.

Mungkin tampak membatasi secara tidak wajar untuk mensyaratkan bahwa fungsi beraturan selalu diperluas ke ruang sekitar, tetapi sangat mirip dengan situasi pada normal ruang topologi, dimana Teorema keberadaan Tietze menjamin bahwa fungsi kontinu pada himpunan bagian tertutup selalu meluas ke ruang topologi sekitar.

Seperti halnya fungsi beraturan pada ruang afin, fungsi beraturan pada  membentuk sebuah gelanggang, yang kita nyatakan dengan . Gelanggang ini disebut koordinat gelanggang dari  .

Geometri aljabar real 

Geometri aljabar real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real  dari varietas aljabar.

Fakta bahwa bidang bilangan real adalah bidang terurut tidak dapat diabaikan dalam studi semacam itu. Misalnya, kurva persamaan  adalah lingkaran jika , tetapi tidak memiliki titik real jika . Oleh karena itu, geometri aljabar real tidak hanya mempelajari varietas aljabar real, tetapi telah digeneralisasikan untuk mempelajari himpunan semi-aljabar, yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan polinomial dan pertidaksamaan polinomial. Misalnya, cabang dari persamaan hiperbola  bukan ragam aljabar, tetapi himpunan semi-aljabar yang didefinisikan oleh  dan  atau oleh  dan .

Salah satu masalah yang menantang dari geometri aljabar real adalah masalah keenam belas Hilbert yang takterpecahkan: Tentukan posisi masing-masing yang mungkin untuk oval dari kurva bidang taksingular.

Geometri aljabar komputasi

Basis Gröbner

Kompleksitas asimtotik vs. efisiensi praktis 
Algoritme umum dasar dari geometri komputasi memiliki kasus terburuk eksponensial ganda kompleksitas. Lebih tepatnya, jika  adalah derajat maksimal dari polinomial masukan dan  jumlah variabel, kompleksitasnya paling banyak.  untuk beberapa konstanta , dan, untuk beberapa masukan, paling tidak kompleksitasnya  untuk konstanta  lainnya.

Selama 20 tahun terakhir abad ke-20, berbagai algoritme telah diperkenalkan untuk menyelesaikan sub-masalah tertentu dengan kompleksitas yang lebih baik. Sebagian besar algoritme ini memiliki kompleksitas .

Di antara algoritme ini yang memecahkan submasalah dari masalah yang dipecahkan oleh basis Gröbner, salah satunya dapat mengutip  pengujian jika varietas afin kosong  dan  menyelesaikan sistem polinomial takhomogen. Algoritme semacam itu jarang diterapkan karena, pada sebagian besar entri Algoritme F4 dan F5 Faugère memiliki efisiensi praktis yang lebih baik dan mungkin kompleksitas yang serupa atau lebih baik (mungkin karena evaluasi kompleksitas algoritma dasar Gröbner pada kelas entri tertentu adalah tugas yang sulit yang telah dilakukan hanya dalam beberapa kasus khusus).

Algoritme utama geometri aljabar real yang memecahkan masalah yang diselesaikan dengan CAD berhubungan dengan topologi himpunan semi-aljabar. Salah satunya mungkin mengutip menghitung jumlah komponen yang terhubung, menguji jika dua titik berada dalam komponen yang sama atau menghitung stratifikasi Whitney dari himpunan aljabar real . Mereka memiliki kompleksitas , tetapi konstanta yang terlibat oleh notasi  begitu tinggi sehingga menggunakannya untuk memecahkan masalah taktrivial yang secara efektif diselesaikan oleh CAD, tidak mungkin bahkan jika salah satunya dapat menggunakan semua daya komputasi yang ada. Oleh karena itu, algoritme ini belum pernah diimplementasikan dan ini merupakan area penelitian aktif untuk mencari algoritme yang memiliki kompleksitas asimtotik yang baik dan efisiensi praktis yang baik.

Lihat pula 

 Statistik aljabar
 Geometri diferensial
 Geometri kompleks
 Aljabar geometri
 Glosarium geometri aljabar klasik
 Teori irisan
 Terbitan penting dalam geometri aljabar
 Daftar permukaan aljabar
 Geometri aljabar takkomutatif
 Teori Diffieti
 Geometri aljabar diferensial
 Geometri aljabar real
 Aljabar taklinear

Catatan

Referensi

Daftar pustaka

Bacaan lebih lanjut 
Beberapa buku teks klasik yang mendahului skema
 
 
 
 

Modern textbooks that do not use the language of schemes
 
 
 
 
 
 

Textbooks in computational algebraic geometry
 
 
 
 
 
 
 

Textbooks and references for schemes

Pranala luar 

 Dasar-dasar Geometri Aljabar oleh Ravi Vakil, 808 pp. 
 Geometri aljabar di PlanetMath
 Terjemahan bahasa Inggris dari buku teks van der Waerden 
  
 The Stacks Project , sebuah buku teks open source dan referensi bekerja pada tumpukan aljabar dan geometri aljabar

 
Bidang matematika
Geometri