Bilangan Smith

Sejumlah Smith adalah bilangan komposit yang, dalam basis tertentu (dalam basis 10 secara default), jumlah digit yang sama dengan jumlah dari digit dalam faktorisasi prima. Misalnya, 378 = 2 × 3 × 3 × 3 × 7 adalah angka Smith sejak 3 + 7 + 8 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7. Dalam definisi ini faktor diperlakukan sebagai angka: misalnya, 22 faktor 2 × 11 dan hasil tiga digit: 2, 1, 1. Oleh karena 22 adalah angka Smith karena 2 + 2 = 2 + 1 + 1.

Yang pertama adalah Smith nomor:
4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, ... (urutan A006753 di OEIS)

Nomor Smith diberi nama oleh Albert Wilansky dari Lehigh University. Dia melihat properti di nomor telepon (493-7775) dari kakak iparnya Harold Smith:
4937775 = 3 × 5 × 5 × 65.837, sedangkan 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

Sifat-sifat 
W.L. McDaniel pada tahun 1987 membuktikan bahwa ada tak terhingga banyaknya angka Smith. Jumlah angka Smith bawah 10N untuk n, = 1,2 ... adalah:
1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278.411, 2.632.758, 25.154.060, 241.882.509, ... (urutan A104170 di OEIS)
Dua berturut-turut Smith nomor (misalnya, 728 dan 729, atau 2.964 dan 2.965) disebut Smith bersaudara. Tidak diketahui berapa banyak Smith saudara ada. Unsur-unsur mulai dari tupel n-terkecil Smith untuk n, = 1,2 ... adalah:
4, 728, 73.615, 4.463.535, 15.966.114, 2050918644, 164.736.913.905, ... (urutan A059754 di OEIS)
Nomor Smith dapat dibangun dari repunits faktor. Jumlah terbesar yang diketahui Smith pada 2010 adalah:
9 × R1031 × (104.594 + 3 × 102.297 + 1) 1476 × 103.913.210
mana R1031 adalah repunit sama dengan (101.031-1) / 9.

Daftar Pustaka

Catatan lain 

Matematika