Ruang vektor

Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil, tetapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma. Contoh ruang vektor adalah vektor Euklides yang sering digunakan untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil adalah vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Ruang vektor merupakan subjek dari aljabar linear, dan dipahami dengan baik dari sudut pandang ini, karena ruang vektor dicirikan oleh dimensinya, yang menspesifikasikan banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga ditingkatkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti norma atau hasilkali dalam. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam analisis matematika, dalam bentuk ruang fungsi berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah fungsi.

Secara historis, gagasan awal yang berbuah pada konsep ruang vektor dapat dilacak dari geometri analitik abad ke-17, matriks, sistem persamaan linear, dan vektor Euklides. Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan oleh Giuseppe Peano pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripada ruang Euklides, namun kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagai perluasan gagasan geometri klasik seperti garis, bidang, dan analognya yang berdimensi lebih tinggi.

Saat ini, ruang vektor diterapkan di seluruh bidang matematika, sains dan rekayasa. Ruang vektor adalah konsep aljabar linear yang sesuai untuk menghadapi sistem persamaan linear, menawarkan kerangka kerja untuk deret Fourier (yang digunakan dalam pemampatan citra), atau menyediakan lingkungan yang dapat digunakan untuk teknik solusi persamaan diferensial parsial. Lebih jauh lagi, ruang vektor memberikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk berurusan dengan objek geometris dan fisis seperti tensor. Pada gilirannya ini memungkinkan pemeriksaan sifat lokal manifold menggunakan teknik pelinearan. Ruang vektor dapat dirampatkan ke beberapa arah, dan menghasilkan konsep lebih lanjut dalam geometri dan aljabar abstrak.

Pendahuluan dan definisi 
Konsep ruang vektor pertama-tama akan dijelaskan dengan menjelaskan dua contoh khusus:

Contoh pertama: panah suatu bidang 
Contoh pertama ruang vektor terdiri dari panah dalam bidang tetap, dimulai dari satu titik tetap. Ini digunakan dalam fisika untuk menjelaskan gaya s atau kecepatan. Diberikan dua panah seperti,  dan , jajaran genjang yang direntang oleh dua panah ini berisi satu panah diagonal yang juga dimulai dari titik awal. Panah baru ini disebut  jumlah  dari dua panah, dan dilambangkan . Dalam kasus khusus dari dua anak panah pada garis yang sama, jumlahnya adalah panah pada garis ini yang panjangnya adalah jumlah atau perbedaan panjangnya, tergantung pada apakah panah tersebut memiliki arah yang sama. Operasi lain yang dapat dilakukan dengan panah adalah penskalaan: diberikan bilangan riil  positif, panah yang searah dengan , tetapi dilatasi atau dikecilkan dengan mengalikan panjangnya dengan , disebut  perkalian  dari  dengan . Itu dilambangkan . Jika  negatif,  didefinisikan sebagai panah yang menunjuk ke arah yang berlawanan.

Berikut ini adalah beberapa contoh: jika , vektor yang dihasilkan  memiliki arah yang sama dengan , tetapi direntangkan menjadi dua kali lipat panjang  (gambar kanan bawah). Sama halnya,  adalah jumlah . Bahkan,  memiliki arah berlawanan dan panjang yang sama  (vektor biru menunjuk ke bawah pada gambar kanan).

Contoh kedua: pasangan angka yang diurutkan 
Contoh kunci kedua dari ruang vektor disediakan oleh pasangan bilangan riil  dan . (Urutan komponen  dan  signifikan, sehingga pasangan seperti itu juga disebut pasangan terurut.) Pasangan seperti itu ditulis sebagai . Penjumlahan dari dua pasangan tersebut dan perkalian pasangan dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut:

dan

 .

Contoh pertama di atas berkurang menjadi yang satu ini, jika panah diwakili oleh pasangan koordinat Kartesius dari titik ujungnya.

Definisi 
Dalam artikel ini, vektor direpresentasikan dengan huruf tebal untuk membedakannya dari skalar.

Sebuah ruang vektor di atas bidang  adalah himpunan  bersama dengan dua operasi yang memenuhi delapan aksioma tercantum di bawah ini. Berikut ini,  menunjukkan produk Cartesian dari  dengan dirinya sendiri, dan  menunjukkan pemetaan dari satu himpunan ke himpunan lainnya.

Elemen  biasanya disebut  vektor . Elemen  biasanya disebut  skalar . Simbol umum untuk menunjukkan ruang vektor termasuk ,  dan .

Dalam dua contoh di atas, bidang adalah bidang dari bilangan real, dan himpunan vektor terdiri dari panah planar dengan titik awal tetap dan pasangan bilangan real.

Untuk memenuhi syarat sebagai ruang vektor, himpunan  dan operasi penjumlahan dan perkalian harus mematuhi sejumlah persyaratan yang disebut aksioma. Ini tercantum dalam tabel di bawah ini, di mana ,  dan  menunjukkan vektor arbitrer di , dan  dan  menunjukkan skalar di .

Aksioma ini menggeneralisasi properti vektor yang diperkenalkan pada contoh di atas. Memang, hasil penjumlahan dua pasangan berurutan (seperti contoh kedua di atas) tidak bergantung pada urutan penjumlahan:
.

Demikian juga, dalam contoh geometris vektor sebagai panah,  karena jajar genjang yang menentukan jumlah vektor tidak bergantung pada urutan vektor. Semua aksioma lainnya dapat diverifikasi dengan cara yang sama pada kedua contoh. Jadi, dengan mengabaikan sifat konkret dari jenis vektor tertentu, definisi menggabungkan dua dan lebih banyak contoh dalam satu pengertian ruang vektor.

Pengurangan dua vektor dan pembagian dengan skalar (bukan nol) dapat didefinisikan sebagai
 .

Ketika bidang skalar  adalah bilangan real , ruang vektor disebut  ruang vektor nyata . Jika bidang skalar adalah bilangan kompleks , ruang vektor disebut  ruang vektor kompleks . Kedua kasus ini adalah yang paling sering digunakan dalam bidang teknik. Definisi umum ruang vektor memungkinkan skalar menjadi elemen dari setiap bidang  tetap. Gagasan tersebut kemudian dikenal sebagai - ruang vektor  atau  ruang vektor di atas  . Bidang pada dasarnya adalah sekumpulan angka yang memiliki operasi penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Misalnya, bilangan rasional membentuk suatu bidang.

Berbeda dengan intuisi yang berasal dari vektor pada bidang dan kasus berdimensi lebih tinggi, dalam ruang vektor umum, tidak ada gagasan tentang kedekatan, sudut atau jarak. Untuk menangani hal-hal tersebut, jenis ruang vektor tertentu diperkenalkan; lihat Ruang vektor dengan struktur tambahan di bawah untuk informasi selengkapnya.

Rumus alternatif dan konsekuensi dasar 
Penjumlahan vektor dan perkalian skalar adalah operasi, memenuhi sifat penutupan:  dan  berada di  untuk  pada , dan ,  ke . Beberapa sumber yang lebih tua menyebutkan sifat-sifat ini sebagai aksioma yang terpisah.

Dalam bahasa aljabar abstrak, empat aksioma pertama ekivalen dengan mensyaratkan himpunan vektor menjadi grup Abelian di bawah tambahan. Aksioma yang tersisa memberi grup ini struktur -modul. Dengan kata lain, ada ring homomorphism  dari bidang  ke dalam gelanggang endomorfisme dari grup vektor. Kemudian perkalian skalar  didefinisikan sebagai .

Sejarah 

Ruang vektor berasal dari geometri affine, melalui pengenalan koordinat pada bidang atau ruang tiga dimensi. Sekitar 1636, ahli matematika Prancis René Descartes dan Pierre de Fermat mendirikan geometri analitik dengan mengidentifikasi solusi persamaan dua variabel dengan titik-titik pada bidang kurva. Untuk mencapai solusi geometris tanpa menggunakan koordinat, Bolzano diperkenalkan, pada tahun 1804, operasi tertentu pada titik, garis dan bidang, yang merupakan pendahulu vektor. This work was made use of in the conception of barycentric coordinates by Möbius in 1827. Landasan dari definisi vektor adalah Bellavitis 'pengertian bipoint, segmen berorientasi salah satu ujungnya adalah asal dan yang lain target. Vektor dipertimbangkan kembali dengan penyajian bilangan kompleks oleh Argand dan Hamilton dan dimulainya Kuarternion oleh yang terakhir. Mereka adalah elemen dalam R2 dan R4; memperlakukan mereka menggunakan kombinasi linier s kembali ke Laguerre pada tahun 1867, yang juga mendefinisikan sistem persamaan linear.

Pada tahun 1857, Cayley memperkenalkan notasi matriks yang memungkinkan harmonisasi dan penyederhanaan peta linear. Sekitar waktu yang sama, Grassmann mempelajari kalkulus barycentric yang diprakarsai oleh Mbius. Dia membayangkan kumpulan objek abstrak yang diberkahi dengan operasi. Dalam karyanya, konsep kebebasan linear dan dimensi, serta produk skalar hadir. Sebenarnya karya Grassmann tahun 1844 melebihi kerangka vektor ruang, karena perkaliannya yang mempertimbangkan, juga, membawanya ke apa yang sekarang disebut aljabar. Matematikawan Italia Peano adalah orang pertama yang memberikan definisi modern ruang vektor dan peta linier pada tahun 1888.

Perkembangan penting dari ruang vektor adalah karena pembangunan ruang fungsi oleh Henri Lebesgue. Ini kemudian diresmikan oleh Banach dan Hilbert, sekitar 1920. Pada saat itu, aljabar dan bidang baru analisis fungsional mulai berinteraksi, terutama dengan konsep-konsep kunci seperti Ruang Lp dan ruang Hilbert. Juga pada saat ini, studi pertama tentang ruang vektor berdimensi tak hingga telah dilakukan.

Contoh

Ruang koordinat 
Contoh paling sederhana dari ruang vektor di atas bidang  adalah bidang itu sendiri, dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian standarnya. Lebih umum lagi, semua -tupel (urutan panjang ) 

dari elemen  membentuk ruang vektor yang biasanya dilambangkan  dan disebut ruang koordinat. 
Kasus  adalah contoh paling sederhana yang disebutkan di atas, di mana bidang  juga dianggap sebagai ruang vektor di atasnya. Kasus  and  telah dibahas dalam pendahuluan di atas.

Bilangan kompleks dan ekstensi bidang lainnya 
Himpunan bilangan kompleks , Artinya, angka yang bisa dituliskan dalam bentuk  untuk bilangan real  dan  di mana  adalah satuan imajiner , bentuk ruang vektor di atas real dengan penjumlahan dan perkalian seperti biasa:  dan  untuk bilangan real , , ,  dan .  Berbagai aksioma ruang vektor mengikuti fakta bahwa aturan yang sama berlaku untuk aritmatika bilangan kompleks.

Faktanya, contoh bilangan kompleks pada dasarnya sama (yaitu  isomorfik ) dengan ruang vektor pasangan terurut bilangan real yang disebutkan di atas: jika kita memikirkan bilangan kompleks  sebagai mewakili urutan  di bidang kompleks kemudian kita melihat bahwa aturan penjumlahan dan perkalian skalar sama persis dengan yang ada di contoh sebelumnya.

Secara lebih umum, ekstensi bidang menyediakan kelas lain dari contoh ruang vektor, terutama dalam aljabar dan teori bilangan aljabar: bidang  berisi bidang lebih kecil  adalah ruang vektor-, dengan operasi perkalian dan penjumlahan yang diberikan . Misalnya, bilangan kompleks adalah ruang vektor , dan ekstensi bidang  adalah vektor ruang atas .

Ruang fungsi 

Fungsi dari himpunan tetap  ke bidang  juga membentuk ruang vektor, dengan melakukan penjumlahan dan perkalian skalar searah jarum jam. Artinya, jumlah dari dua fungsi  dan  adalah fungsi  diberikan oleh
,
dan juga untuk perkalian. Ruang fungsi seperti itu terjadi dalam banyak situasi geometris, ketika  adalah garis nyata atau interval, atau himpunan bagian lainnya dari . Banyak gagasan dalam topologi dan analisis, seperti kontinuitas, integrabilitas atau diferensiabilitas berperilaku baik sehubungan dengan linearitas: penjumlahan dan kelipatan skalar dari fungsi yang memiliki sifat seperti itu masih memiliki sifat itu.  Oleh karena itu, himpunan fungsi tersebut adalah ruang vektor. Mereka dipelajari secara lebih rinci menggunakan metode analisis fungsional, lihat di bawah. Batasan aljabar juga menghasilkan ruang vektor: ruang vektor  diberikan oleh fungsi polinomial:
, dimana koefisien  berada di .

Persamaan linear 

Sistem persamaan linear homogen s terkait erat dengan ruang vektor. For example, the solutions of 
{|
|-
| style="text-align:right;"|
|
|
|
| style="text-align:right;"|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|}
diberikan dengan tiga kali lipat dengan sembarang , , dan . Mereka membentuk ruang vektor: penjumlahan dan kelipatan skalar dari tiga kali lipat masih memenuhi rasio yang sama dari ketiga variabel; jadi mereka juga solusi. Matriks dapat digunakan untuk memadatkan beberapa persamaan linier seperti di atas menjadi satu persamaan vektor, yaitu
,
dimana   is matriks yang berisi koefisien dari persamaan yang diberikan,  adalah vektor ,  menunjukkan produk matriks, dan  adalah vektor nol. Dengan nada yang sama, solusi dari  persamaan diferensial linier  homogen membentuk ruang vektor. Sebagai contoh,

hasil , dimana  dan  adalah konstanta arbitrer, dan  adalah fungsi eksponensial alami.

Definisi formal 
Sebuah ruang vektor (atas medan F) adalah himpunan V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan memenuhi aksioma-aksioma berikut (untuk semua  dan ):

Dalam peta linear 

Kasus khusus yang penting adalah ketika , di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari . Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini. Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan  dan  yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real. Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analisis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimension yang lebih rendah); contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

Lihat pula 
Vektor (matematika dan fisika), untuk daftar berbagai macam vektor 

Sistem koordinat Kartesius
Ruang vektor bertingkat

Ruang metrik
Vektor-P
Teorema Riesz–Fischer

Ruang (matematika)
Ruang vektor urutan

Catatan

Kutipan

Referensi

Aljabar

Analisis

Referensi sejarah 
 
 
 
 
 
 , reprint: 
 
 
 
 
 Peano, G. (1901) Formulario mathematico: vct axioms via Internet Archive

Referensi lebih lanjut

Pranala luar 

 

Konsep dalam fisika
Teori grup
Struktur matematika
Vektor (matematika dan fisika)
Ruang vektor