Barisan dan deret aritmetika

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah bilangan tetap. Misalnya,
, , , , , , .

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
, , , , .

Suku barisan aritmetika 
Misal  adalah suku barisan ke-, maka
.

Kita mulai mengurutkannya dari suku . Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga .

Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh .

Lebih umumnya, suku barisan ke- dapat ditulis

di mana .

Beda 
Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal  adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis

.

Suku tengah 
Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil. Misal  dan  dengan  mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu,  maupun  adalah bilangan genap. Suku yang terletak antara  dan  adalah

dengan

.

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati

.

Deret aritmetika 
Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai

Misal  adalah barisan suku aritmetika ke-.

Dengan menggunakan sifat komutatif, akan memperoleh

Persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

 

Karena  sama banyaknya menjadi jumlah , maka

Demikian, kita membuktikannya.

Mirip dengan beda suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-. 
.

Kita cukup menjabarkan  dan , 

lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas.

.

Barisan aritmetika bertingkat 
Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama. Untuk tingkatan , diperoleh

,

di mana  adalah tingkat ke- pada barisan aritmetika,  adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.

 Jika berupa barisan linear (yakni ketika ), maka ;
 Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika ), maka ;

Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.

Bentuk rekursif 
Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan ,  adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan . Misalkan juga  adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku  dapat dirumuskan sebagai

.

Karena  adalah barisan tingkat kedua, maka . Oleh karena itu, kita memperolehKita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari  dengan ,  dengan , dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh
Pada persamaan  dengan , kita memperoleh

Hal yang serupa pada  dengan ,  dengan , dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh

Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa

. 

Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan , ,  adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan . Misalkan  adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku  dapat dirumuskan secara rekursif, yakni

 .

Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh

sehingga

dan didapati . Karena , maka didapati

 

Demikian, kita telah membuktikannya.

Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.

Lihat pula 
 Barisan
 Deret (matematika)
 Barisan dan deret geometri

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 
 
 
 

Matematika
Aritmetika