Kombinasi linear

Misalkan  adalah ruang vektor atas bidang  dan  adalah dua vektor dalam . Kombinasi linear dari  dan  adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut. Pada ruang vektor  berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor  dan  dapat dikalikan dengan skalar , sehingga terbentuk  dan . Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh . Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari  dan .

Definisi 
Misalkan  adalah bidang dan  adalah ruang vektor atas lapangan . Anggota-anggota  disebut vektor dan anggota-anggota  disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor  adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

untuk suatu skalar .

Contoh

Ruang Vektor Euclidean 

Himpunan  adalah ruang vektor atas lapangan . Vektor  merupakan kombinasi linear dari  dan , sebab terdapat skalar  sehingga

Lebih lanjut, setiap vektor dalam  dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari  dan . Ini terjadi karena sebarang vektor  dapat ditulis sebagai

Polinomial 

Himpunan  merupakan ruang vektor atas lapangan . Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari . Misalkan  dan . Apakah polinomial  merupakan kombinasi linear dari  dan ? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar  yang memenuhi persamaan

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat  pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar  yang memenuhi persamaan

Dengan demikian,  bukan kombinasi linear dari  dan .

Referensi

Pranala luar 
 Kombinasi Linear di MathWorld

Aljabar linear