Diferensial fungsi

Dalam kalkulus, diferensial mewakili bagian utama dari perubahan dalam sebuah fungsi  terhadap perubahan dalam variabel bebas. Diferensial  didefinisikan oleh

dimana  merupakan turunan  terhadap , dan  merupakan sebuah peubah real tambahan (sehingga  merupakan sebuah fungsi dari  dan ). Notasinya sehingga persamaan

berlaku, dimana turunan diwakili dalam notasi Leibniz , dan ini sesuai dengan mengenai turunan sebagai hasil bagi dari diferensial. Salah satunya juga menulis

Arti yang tepat dari variabel  dan  bergantung pada konteks dari penerapan dan aras yang dibutuhkan dari ketelitian matematis. Ranah dari variabel ini dapat diambil pada sebuah arti penting geometris khusus jiak diferensial dianggap sebagai sebuah bentuk diferensial khusus, atau arti penting analitis jika diferensial dianggap sebagai sebuah aproksimasi linear ke riapan fungsi. Secara tradisional, variabel   dan  dianggap menjadi lebih kecil (infinitesimal), dan interpretasi ini dibuat teliti dalam analisis takstandar.

Sejarah dan penggunaan 
Diferensial diperkenalkan pertama kali melalui sebuah intuitif atua definisi heuristik oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang berpikir mengenai diferensial  sebagai sebuah perubahan yang sangat kecil (atau infinitesimal) dalam nilai  dari fungsi, padanan ke sebuah perubahan yang sangat kecil  dalam argumen fungsi . Untuk alasan tersebut, laju seketika dari perubahan  terhadap , yang nilai dari turunan dari fungsi, dilambangkan oleh pecahan

dalam apa yang disebut notasi Leibniz untuk turunan. Hasil bagi  sangat tidak kecil, daripadanya merupakan sebuah bilangan real.

Penggunaan infintesimal dalam bentuk ini dikritik secara luas, sebagai contohnya oleh selebaran yang terkenal, The Analyst oleh Bishop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) mendefinisikan diferensial tanpa mengajukan banding dengan atomisme dari infinitesimal Leibniz. Malahan, Cauchy, mengikuti d'Alembert, membalikkan urutan logis Leibniz dan penerusnya, turunan itu sendiri menjadi objek fundamental, didefinisikan sebagai sebuah limit hasil bagi beda, dan diferensialnya kemudian didefiniskan dalam istilah darinya. Yakni, salah satunya bebas mendefinisikan diferensial  dengan sebuah ekspresi

di mana  dan  merupakan variabel baru sederhana yang mengambil nilai real terhingga, bukan infintesimal tetap seperti yang dilakukan oleh Leibniz.

Menurut , pendekatan Cauchy merupakan sebuah penyempurnaan logis yang penting pada pendekatan infinitesimal Leibniz karena, melainkan memohon gagasan metafisik mengenai infinitesimal, kuantitas  dan  sekarang dapat dimanipulasi dalam cara yang persis seketika suatu kuantitas real lainnya dalam sebuah cara yang bermakna. Pengertian keseluruhan Cauchy mendekati diferensial menetapkan yang standar dalam pelakuan analitik, meskipun arti kata pada ketelitian, sebuah gagasan modern sepenuhnya dari limit, pada akhirnya dikarenakan Karl Weierstrass.

Dalam perlakuan fisik, seperti penerapan tersebut ke teori termodinamika, tampilan infinitesimal masih berlaku.  mempertemukan penggunaan fisik diferensial infintesimal dengan ketidakmungkinan matematis dari mereka sebagai berikut. Diferensial mewakili nilai taknol terhingga yang lebih kecil daripada derajat ketepatan dibutuhkan untuk tujuan khusus yang mereka maksudkan. Demikian "infinitesimal fisik" tidak perlu mengajukan banding dengan sebuah padanan infinitesimal matematis dalam rangka untuk memiliki sebuah arti yang tepat.

Diikuti pengembangan abad keduapuluh dalam analisis matematis dan geometri diferensial, ini menjadi jelas bahwa gagasan dari diferensial fungsi dapat diperluasw dalam berbagai cara. Dalam analisis real, ini lebih diinginkan yang secara langsung berhubungan dengan diferensial sebagai bagian utama dari riapan fungsi. Ini menuju langsung ke gagasan bahwa diferensial fungsi pada sebuah titik merupakan fungsional linear dari sebuah riapan . Pendekatan ini memungkinkan diferensial (sebagai sebuah pemetaan linear) menjadi dikembangkan untuk beragam ruang-ruang canggih yang lebih banyak, pada akhirnya menimbulkan gagasan tersebut sebagai turunan Fréchet atau Gateaux. Demikian juga, dalam geometri diferensial, diferensial dungsi apda sebuah titik merupakan fungsi linear dari sebuah vektor singgung (sebuah perpindahan yang sangat kecil), yang dapat sendirinya ditaruh pada sebuah pijakan ketelitian (lihat diferensial (infinitesimal)).

Definisi 

Diferensial didefinisikan dalam perlakuan modern kalkulus diferensial sebagai berikut. Diferensial fungsi  dari sebuah peubah real tunggal  merupakan fungsi  dari dua peubah real bebas  dan  diberikan oleh

Satu atau dua dari argumen dapat ditekan, yaitu, salah satunya dapat melihat  atau menyederhanakan . Jika , diferensial juga dapat ditulis sebagai . Karena , ini konvensional untuk menulis , jadi bahwa persamaan berikut berlaku:

Gagasan ini yang mengenai diferensial dapat diterapkan secara luas ketika sebuah aproksimasi linear untuk sebuah fungsi dicari, yang mana nilai dari riapan  cukup kecil. Lebih tepatnya, jika  merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan pada , maka bedanya dalam nilai-

memenuhi

dimana galat  dalam aproksimasi memenuhi  ketika . Dengan kata lain, salah satunya memiliki identitas aproksimasi

yang mana galatnya dapat dibuat sekecil yang diinginkan yang berkaitan dengan  dengan menghambat  menjadi cukup kecil, hal tersebut dikatakan,

ketika . Untuk alasan ini, diferensial fungsi dikenal sebagai bagian (linear) utama dalam riapan fungsi: diferensial merupakan sebuah fungsi linear dari riapan , dan meskipun galat  dapat menjadi taklinear, ini cenderung ke nol dengan cepat ketika  cenderung ke nol.

Diferensial dalam beberapa variabel 

Diikuti , untuk fungsi yang lebih dari satu variabel bebas,

diferensial parsial  terhadap salah satu dari variabel  adalah bagian utama dari perubahan dalam  dihasilkan dari sebuah perubahan  dalam satu variabel tersebut. Diferensial parsial adalah

melibatkan turunan parsial  terhadap . Jumlah dari diferensial parsial terhadap semua dari variabel beas merupakan diferensial total

di mana bagian utama dari perubahan  dihasilkan dari perubahan dalam variabel bebas .

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multipeubah, diikuti , jika  merupakan fungsi terdiferensialkan, maka oleh definisi dari keterdiferensialan, riapan

dimana istilah galat  cenderung ke nol sebagai riapan  bersama-sama cenderung ke nol. Diferensial total kemudian dengan teliti didefinisikan sebagai

Karena, dengan definisi ini,

salah satunya memiliki

Seperti dalam kasus satu variabel, identitas hampirannya berlaku

yang mana galat total dapat dibuat sekecil mungkin berkaitan dengan  dengan membatasi perhatian untuk riapan kecil yang cukup.

Penerapan dari diferensial total untuk pendugaan galat 
Dalam pengukuran, diferensial total digunakan dalam pendugaan galat  fungsi  berdasarkan galat  dari parameter . Asumsi bahwa selangnya cukup pendek untuk perubahan menjadi hampir linear 

dan bahwa semua peubah adalah bebas, maka untuk semua peubah,

Ini dikarenakan turunan  terhadap parameter khusus  memberikan kepekaan dari fungsi  untuk sebuah perubahan dalam , khususnya galat . Karena mereka diasumsikan menjadi bebas, analisisnya menjelaskan skenario terburuk. Nilai mutlak dari galat komponen digunakan, karena setelah penghitungan yang sederhana, turunan dapat memiliki sebuah tanda negatif. Dari prinsip ini, kaidah galat penjumlahan, perkalian, dst. diturunkan, yakni:

 Misalkan ;

 ; mengevaluasi turunan

 ; membagi dengan , yang mana 

 

Itu dikatakan, dalam perkalian, galat nisbi total merupakan jumlah dari galat nisbi dari parameter.

Untuk mengilustrasikan bagaimana ini bergantung pada fungsi yang dianggap, anggap kasusnya dimana fungsinya adalah  sebagai gantinya. Maka, ini dapat dihitung bahwa penduga galatnya adalah

dengan sebuah faktor "" tambahan tidak ditemukan dalam kasus darab sederhana. Faktor tambahan ini cenderung membuat galat menjadi lebih kecil, karena  tidak sebesar

Diferensial tingkat tinggi 
Diferensial fungsi tingkat tinggi  dari sebuah peubah  dapat didefinisikan melalui:

dan, umumnya,

Secara informal, ini memotivasi notasi Leibniz untuk turunan tingkat tinggi

Ketika peubah bebas  itu sendiri boleh bergantung pada peubah lainnya, maka ekspresinya menjadi lebih rumit, karena ini juga harus termasuk diferensial tingkat tinggi di  itu sendiri. Demikian, sebagai contohnya,

dan seterusnya.

Anggapan yang serupa berlaku untuk mendefinisikan diferensial fungsi tingkat tinggi beberapa peubah. Contohnya, jika  merupakan sebuah fungsi dua variabel  dan , maka

dimana  merupakan sebuah koefisien binomial. Dalam variabel yang lebih banyak, sebuah ekspresi yang sepadan berlaku, tetapi dengan sebuah ekspansi multinomial daripada ekspansi binomial.

Diferensial tingkat tinggi dalam beberapa peubah juga menjadi lebih rumit ketika peubah bebasnya sendiri dimungkinkan untuk bergantung pada peubah lain. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi  dari  dan  yang dimungkinkan untuk bergantung pada peubah bantu, salah satunya memiliki

Karena ketidakpatutan notasional ini, penggunaan diferensial tingkat tinggi dikritisi terus terang oleh , yang menyimpulkan:

Yang artinya: Akhirnya, apakah yang dimaksudkan, atau diwakili, oleh persamaan [...]? Menurut pendapatku, tidak ada sama sekali. Meski ketidakpercayaan ini, diferensial tingkat tinggi muncul sebagai sebuah alat yang penting dalam analisis.

Dalam konteks-konteks ini, diferensial order ke- dari fungsi  berlaku dengan sebuah riapan  didefinisikan oleh

atau sebuah ekspresi yang setara, seperti

dimana  merupakan sebuah beda maju ke- dengan riapan .

Definisi ini masuk akal juga jika  merupakan sebuah fungsi dari beberapa peubah (untuk kesederhanaan diambil disini sebagai sebuah argumen vektor). Kemudian diferensial ke- didefinisikan dalam hal ini merupakan sebuah fungsi homogen derajat  dalam riapan vektor . Lebih lanjut, deret Taylor dari  pada titik  diberikan oleh

Turunan Gateaux tingkat tinggi merampat anggapan-anggapan ini untuk ruang dimensi takhingga.

Sifat-sifat 
Jumlah sifat-sifat dari diferensial berikut dalam sebuah cara yang mudah dari sifat-sifat yang berpadanan dari turunan, turunan parsial, dan turunan total. Ini termasuk:

 Kelinearan: Untuk tetapan  dan  dan fungsi terdiferensialkan  dan ,

 Kaidah darab: Untuk dua fungsi terdiferensialkan  dan ,

Sebuah operasi  dengan dua sifat-sifat ini dikenal dalam aljabar abstrak sebagai sebuah penurunan. Mereka menyiratkan kaidah pangkat

Sebagai tambahan, berbagai bentuk dari kaidah rantai berlaku, dalam meningkatkan aras keumuman.

 Jika  merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah  dan  merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah, maka

 Jika  dan semua dari peubah  bergantung pada peubah lain , maka oleh kaidah rantai untuk turunan parsial, salah satunya memiliki

Secara heuristik, kaidah rantai untuk beberapa peubah dapat diri sendiri menjadi dipahamai dengan membagi melalui kedua ruas mengenai persamaan ini oleh kuantitas sangat kecil .

 Lebih umum ekspresi sejalan berlaku; di mana peubah antara  bergantung pada lebih dari satu peubah.

Perumusan umum 
Sebuah gagasan konsisten mengenai diferensial dapat dikembangkan untuk sebuah fungsi  di antara dua ruang Euclides. Misalkan  menjadi sebuah pasangan vektor Euclides. Riapan dalam fungsi  adalah

Jika terdapat sebuah matriks  dengan ukuran  sehingga

di mana vektor  sebagai , maka  oleh definisi terdiferensialkan pada titik . Matriks  terkadang dikenal sebagia matriks Jacobi, dan transformasi linear yang mengaitkan ke riapan , vektor , dalam pengaturan umum, dikenal sebagai diferensial  dari  pada titik . Ini tepatnya turunan Fréchet, dan konstruksi yang sama dapat dibuat bekerja untuk sebuah fungsi di antara suatu ruang Banach.

Sudut pandang bermanfaat lainnya adalah mendefinisikan diferensial secara langsung sebagai sebuah jenis mengenai turunan berarah:

yang mana pendekatannya sudah diambil untuk mendefinisikan diferensial tingkat tinggi (dan hampir semua definisi yang ditetapkan oleh Cauchy). Jika  mewakili waktu dan  posisi, maka  mewakili sebuah kecepatan sebagai ganti sebuah perpindahan seperti yang kita miliki sampai sekarang dianggapnya. Ini menghasilkan perbaikan lagi dari gagasan mengenai diferensial; yang seharusnya menjadi sebuah fungsi linear kecepatan kinematik. Himpunan semua kecepatan melalui sebuah titik ruang yang diberikan dikenal sebagai sebuah ruang garis singgung; dan juga  memberikan sebuah fungsi linear pada ruang garis singgung: sebuah bentuk diferensial. Dengan interpretasi ini, diferensial dari  dikenal sebagai turunan luar, dan memiliki penerapan yang luas dalam geometri diferensial karena gagasan mengenai kecepatan dan ruang garis singgung masuk akal pada suatu manifold terdiferensialkan. Jika, sebagai tambahan, nilai keluaran dari  harus sebuah kecepatan. Jika salah satunya memperlakukan diferensial dalam perilaku ini, maka ini dikenal sebagai pushforward (en) karena ini "mendorong" kecepatan dari sebuah ruang sumber menjadi kecepatan dalam sebuah ruang sasaran.

Penerapan lainnya 
Meskipun gagasannya memiliki sebuah riapan infinitesimal  tidak dirumuskan dengan baik dalam analisis matematis modern, sebuah beragam mengenai teknik-teknik ada untuk mendefinisikan diferensial infinitesimal sehingga diferensial fungsi dapat ditangani dalam cara yang tidak bertentangan dengan notasi Leibniz. Ini termasuk: 

 Mendefinisikan diferensial sebagai sebuah jenis bentuk diferensial, khususnya turunan luar fungsi. Riapan infinitesimal kemudian diidentifikasikan dengan vektor dalam ruang garis singgung pada sebuah titik. Pendekatan ini terkenal dalam geometri diferensial dan medan yang berkaitan, karena ini segera merampat untuk memetakan antara manifold terdiferensialkan.
 Diferensial sebagai unsur nilpoten mengenai gelanggang komutatif. Pendekatan ini terkenal dalam geometri aljabar.
 Diferensial dalam model yang mulus mengenai teori himpunan. Pendekatan ini dikenal sebagai geometri diferensial sintetik atau analisis infinitesimal mulus dan berkaitan erat dengan pendekatan geometrik aljabar, kecuali bahwa gagasan dari teori topos digunakan untuk menyembunyikan mekanisme dimana infintesimal nilpoten diperkenalkan.
 Diferensial sebagai infintesimal dalam sistem bilangan hiperreal, yang mana perluasan dari bilangan real yang berisi infinitesimal terbalikkan dan bilangan yang sangat besar. Ini merupakan pendekatan analisis takstandar dirintis oleh Abraham Robinson.

Contoh dan penerapannya 
Diferensial dapat menjadi secara efektif digunakan dalam analisis numerik untuk mempelajari perambatan mengenai galat percobaan dalam sebuah perhitungan, dan demikian kestabilan numeris secara keseluruhan dari sebuah masalah . Andaikan bahwa peubah  mewakili hasil percobaan dan  merupakan hasil komputasi numeris yang berlaku dengan . Pertanyaannya adalah dengan apakah galat luasnya dalam pengukuran  mempengaruhi nilai dari komputasi . Jika  dikenal oleh  dari nilai kebenarannya, maka teorema Taylor memberikan dugaan pada galat  dalam komputasi :

dimana  untuk suatu . Jika  kecil, maka suku orde kedua diabaikan, sehingga , untuk tujuan praktis, perkiraan oleh .

Diferensial sering kali berguna untuk menulis ulang sebuah persamaan diferensial.

dalam bentuk

..., khususnya ketika salah satunya untuk memisahkan peubah.

Catatan

Referensi

Pranala luar 

 Differential Of A Function di Wolfram Demonstrations Project

Kalkulus diferensial
Operator linear dalam kalkulus
Perampatan dari turunan