Aljabar linear

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear sepertipemetaan linear sepertidan representasinya dalam ruang vektor maupun dengan matriks.

Aljabar linear berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linear menjadi dasar dalam menjelaskan geometri secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti garis, bidang, dan rotasi.  Analisis fungsional, salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linear dalam ruang fungsi.

Aljabar linear juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang teknik, karena kemampuannya memodelkan banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada sistem nonlinear, aljabar linear sering digunakan sebagai hampiran linear (linear approximation), didasarkan pada fakta turunan dari fungsi multivariabel di suatu titik adalah pemetaan linear yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi disekitar titik tersebut.

Sejarah 

Menyelesaikan beberapa persamaan linear secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linear. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai eliminasi Gauss, pertama kali muncul dalam Bab Delapan: Array Persegi Panjang di buku matematika Cina kuno Sembilan Bab dalam Seni Matematika. Buku ini mengilustrasikan delapan belas masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.

Sistem persamaan linear berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep koordinat dalam geometri, oleh René Descartes pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri ini yang sekarang dikenal sebagai geometri Kartesius, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh persamaan linear, dan mencari hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linear.

Pada perkembangan selanjutnya, determinan digunakan untuk menyelesaikan sistem [persamaan] linear secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh Leibniz pada tahun 1693. Pada tahun 1750, Gabriel Cramer menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linear secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan aturan Cramer. Gauss nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (advancement) dalam geodesi.

Pada tahun 1844, Hermann Grassmann mempublikasikan "Theory of Extension" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linear. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan istilah matrix. Aljabar linear tumbuh dengan konsep-konsep dari bidang kompleks. Sebagai contoh, dua bilangan kompleks  dan  memiliki selisih  dan segmen garis  dan  memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah vector diperkenalkan untuk mewakili suatu titik  dalam ruang.

Arthur Cayley memperkenalkan perkalian matriks dan invers matriks pada tahun 1856. Terlebih lagi, Cayley menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan.".

Publikasi A Treatise on Electricity and Magnetism pada tahun 1873 memulai ilmu teori medan tentang elektromagnetik, dan memerlukan geometri diferensial untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linear merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen manifold. Simetri elektromagnetik dari ruang waktu diekspresikan lewat transformasi Lorentz, dan banyak dari sejarah aljabar linear selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.

Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888. Teori tentang transformasi linear ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linear mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi aljabar abstrak. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam algoritme efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linear menjadi alat penting untuk permodelan dan simulasi.

Ruang vektor 

Sampai pada abad ke-19, aljabar linear diperkenalkan lewat sistem persamaan linear dan matriks. Dalam matematika modern, perkenalan lewat ruang vektor lebih disukai, karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.

Suatu ruang vektor atas medan  (umumnya berupa medan bilangan real) adalah suatu himpunan  yang dilengkapi oleh dua operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma pada daftar berikut. Elemen dari  disebut vektor, dan elemen dari  disebut skalar. Opersi yang pertama, penjumlahan vektor, menggunakan sembarang dua vektor  dan  dan menghasilkan vektor . Operasi yang kedua, perkalian skalar, menggunakan sembarang skalar  dan sembarang vektor  dan menghasilkan vektor . Dalam daftar berikut,  dan  adalah sembarang vektor di , dan  dan  adalah sembarang skalar di medan .

Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa  adalah suatu grup Abelian dalam penjumlahan.

Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa deret, fungsi, polinomial, atau matriks. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.

Peta linear 

peta linear adalah pemetaan antara dua ruang vektor yang mengawetkan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor  dan  atas medan , suatu pet linear adalah pemetaanyang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhiUntuk sembarang vektor  di  dan skalar  di . Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor  di  dan skalar  di , berlaku hubunganKetika , pemetaan linear  juga disebut sebagai operator linear di . Peta linear yang bijektif antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu isomorfisme. Karena isomorfisme mengawetkan struktur linear, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linear, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linear adalah menentukan apakah suatu peta linear bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan citra dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai kernel dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss, atau suatu variasinya.

Subruang, span, dan basis 

Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari subset dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subset ini disebut dengan subruang linear. Secara formal, suatu subruang linear dari ruang vektor  atas lapangan  adalah suatu subset  dari  yang memenuhi  dan  berada di dalam , untuk setiap ,  di , dan setiap  di . (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa  adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linear , citra  dari , dan invers dari citra  dari 0 (dikenal sebagai kernel atau ruang nol), masing-masing adalah subruang linear dari  dan .

Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan kombinasi linear vektor-vektor dari himpunan . Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk dengan  berada di , dan  berada di . Himpunan tersebut membentuk subruang linear yang disebut span dari . Span dari  juga merupakan irisan dari semua subruang linear yang mengandung . Dengan kata lain, span ini adalah subruang linear terkecil (pada relasi subset) yang mengandung .

Suatu himpunan vektor dikatakan saling bebas linear jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor  saling bebas linear jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linear vektor-vektor di  adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien 

Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (span) suatu ruang vektor disebut himpunan span. Jika himpunan span  bergantung linear (yakni tidak bebas linear), maka ada vektor  di  yang berada di span vektor-vektor  yang lain, dan span dari  tidak akan berubah walau  dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen  bebas linear. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor  disebut sebagai suatu basis bagi . Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari  yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di . Secara lebih formal, jika  adalah himpunan yang bebas linear, dan  adalah himpunan span dengan  maka ada suatu basis  sedemikian sehingga 

Ruang vektor  dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari  memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari . Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan  yang sama saling isomorfik jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama. Jika salah satu basis bagi  (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga,  disebut ruang vektor dimensi hingga. Jika  adalah subruang dari , maka . Pada kasus ketika  berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika .

Jika U1 dan U2 adalah subruang dari V, maka

 

dengan  menyatakan span dari

Matriks 
Matriks memungkinkan manipulasi ruang vektor berdimensi hingga dan peta linear secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linear.

Misalkan  adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan , dan  menjadi basis bagi  (sehingga  adalah dimensi dari ). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan

adalah suatu bijeksi dari  yakni himpunan berisi barisan  elemen yang diambil dari , ke . Ini adalah suatu isomorfisme ruang vektor, jika  dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di  dengan menggunakan vektor koordinat  atau dengan vektorSelanjutnya, jika  adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis  suatu peta linear  dari  ke  terdefinisi pasti (well defined) lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni  Sehingga, jikauntuk , maka  dapat dinyatakan sebagai matriks dengan  baris dan  kolomPerkalian matriks didefinisikan sedemikian sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan komposisi peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.

Dua matriks yang mewakili pemetaan linear yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut matriks yang serupa. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan operasi-operasi matriks elementer. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linear dari  ke , operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di  sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di . Setiap matriks serupa dengan matriks identitas dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linear dari  ke , ada basis sehingga sebagian basis di  dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis , sedangkan sisa basis  yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. Eliminasi Gauss adalah algoritme dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.

Sistem linear 

Sebuah himpunan hingga berisi persamaan-persamaan linear, masing-masing dengan terhingga banyaknya variabel, contohnya  atau , disebut sebagai sistem persamaan linear atau sistem linear.

Sistem linear membentuk bagian penting dalam aljabar linear. Dari sisi sejarah, aljabar linear dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linear dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem linear. Sebagai contoh, misalkanadalah sistem linear yang menyatakan suatu masalah. Sistem linear tersebut dapat diasosiasikan dengan matriksyang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga  adalah transformasi linear yang berasosiasi dengan matriks . Sebuah solusi dari sistem () adalah vektor yang memenuhi

 

yakni sebuah elemen yang menjadi pracitra dari  oleh pemetaan .

Misalkan () adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan (), yakni sistem persamaan linear dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:Himpunan solusi dari () adalah elemen-elemen dari  kernel , atau secara ekuivalen, kernel dari .

Solusi dari sistem linear dapat ditemukan dengan melakukan proses eliminasi Gauss-Jordan pada matriks gabungan

Pross eliminasi ini adalah serangkaian operasi baris dasar yang mengubah matriks ke dalam bentuk eselon baris tereduksi. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah
 menunjukkan bahwa sistem () memiliki solusi unikInterpretasi matriks dari sistem linear juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan transformasi linear lainnya, seperti menghitung rank, kernel, dan invers matriks.

Endomorfisme dan matriks persegi 

Sebuah endomorfisme linear adalah peta linear yang memetakan suatu ruang vektor  ke dirinya sendiri. Jika  memiliki basis berisi  elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah matriks persegi berukuran . Berhubungan dengan pemetaan linear secara umum, endomorfisme linear dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linear.

Determinan 

Determinan dari suatu matriks persegi  didefinisikan sebagai

 

dengan  adalah grup dari semua permutasi  elemen,  adalah sebuah permutasi, dan  adalah paritas dari permutasi. Sebuah matriks disebut terbalikkan (invertible) jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.

Kaidah Cramer adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan  persamaan dan  variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, namun kecuali untuk  atau , kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari solusi adalah eliminasi Gauss.

Nilai eigen dan vektor eigen 

Jika  adalah endomorfisme linear dari suatu ruang vektor  atas suatu medan , vektor eigen dari  adalah vektor tak-nol  di  sedemikian sehingga  untuk suatu skalar  di . Skalar  ini disebut sebagai nilai eigen dari .

Jika dimensi dari  hingga, dan sebuah basis telah dipilih,  dan  dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi  dan sebuah matriks kolom ; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai

Menggunakan matriks identitas , matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai

Karena  bukan vektor nol, ekspresi  menyatakan suatu matriks singular yang nilai determinannya, , sama dengan nol.

Catatan

Referensi

Daftar pustaka 

 

 
 
 

 

 

 
Persamaan matriks
Persamaan matematika
Persamaan