Kuaternion

Dalam matematika, Kuaternion adalah perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion.

Segera setelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan kuaternion. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika.

Definisi 
Sebagai himpunan, kuaternion, berlambang H, sama dengan R4 yang merupakan ruang vektor bilangan riil empat dimensi. H memiliki tiga macam operasi: pertambahan, perkalian skalar dan perkalian kuaternion. Elemen-elemen kuaternion ditandakan sebagai 1, i, j dan k (i, j dan k adalah komponen imaginer), dan dapat ditulis sebagai kombinasi linear, a + bi + cj + dk (a, b, c, dan d adalah bilangan riil).

Kuaternion  bisa dituliskan sebagai  di mana  adalah vektor 3 bilangan imaginer, .

Perkalian elemen dasar 
Persamaan elemen kuaternion i, j, dan k adalah:

Karena

jika dua sisi dikalikan dengan k, maka

Persamaan-persamaan yang lainnya juga bisa didapatkan dengan tahap aljabar:

Persamaan-persamaan ini lalu bisa ditampilkan dengan tabel di bawah ini:

Pertambahan

Pengurangan

Perkalian 

Bila kuaternion dituliskan dengan bentuk , maka:

Pembagian 

di mana

Konjugat 
Suatu kuaternion p = a + bi + cj + dk memiliki konjugat p*, dan didapatkan dengan rumus berikut:

Persamaan-persamaan konjugasi kuaternion adalah:

Satuan 
Dengan fungsi Norma , bila , maka:

di mana

Bentuk matriks 
Kuaternion, seperti bilangan kompleks, bisa ditulis dalam bentuk matriks, yaitu matriks kompleks 2x2 atau matriks riil 4x4.

Bentuk matriks kompleks 2x2 untuk kuaternion a + bi + cj + dk adalah:

Bentuk matriks riil 4x4 untuk kuaternion a + bi + cj + dk adalah:

Selain itu juga terdapat bentuk matriks 3x3 yang digunakan dalam grafika komputer. Berikut adalah bentuk matriks kolom-utama (column-major) yang digunakan di OpenGL. (Matriks baris-utama (row-major) yang digunakan di DirectX sama dengan transposa matriks kolom-utama)

Fungsi

Norma 

Dan juga,

Kebalikan 

Dan juga,

Pemilihan riil 
Meskipun tertetap sangat sederhana, fungsi yang hasilnya adalah bagiannya bilangan riil kuaternion ini memiliki kegunaannya tersendiri.

Dan juga,

Skalar 
Dari kuaternion 

Maka:

Signum

Argumen

Pangkat dan Logaritma 
Fungsi ekponensial: 

Logaritma natural: 

Pangkat:

Trigonometri

Fungsi trigonometris

Fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Satuan 
Kuaternion satuan:

Pangkat

Logaritma

Kalkulus

Penerapan

Rotasi vektor grafika 3D 
Fungsi rotasi vektor dapat menggunakan operasi kuaternion daripada operasi matriks riil 4x4, dengan rumus:

di mana

dan A adalah posisi benda yang dirotasikan, v adalah vektor poros rotasi, dan α adalah sudut rotasi berlawanan arah jarum jam.

Referensi

Pranala luar 
 Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
 Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions". Royal Irish Academy.
 Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
 Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..
 Tait, Peter Guthrie (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.]: The University Press.
 Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
 Maxwell, James Clerk (1873), "A Treatise on Electricity and Magnetism". Clarendon Press, Oxford.
 Tait, Peter Guthrie (1886), "". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
 Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
 Macfarlane, Alexander (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
 1911 encyclopedia: "Quaternions".
 Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
 Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
 Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
 Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press ; New York: Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
 Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, Dec. 1989.
 Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York: Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
 Trifonov, Vladimir (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001
 Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
 Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
 Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester ; New York: Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
 Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
 Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 (review).
 Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
 Hanson, Andrew J. (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3
 Trifonov, Vladimir</ref> (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI: 10.1007/s10773-006-9234-9
 Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
 Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
 For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.

Matematika