Parabola

Dalam matematika, parabola adalah kurva bidang yang simetris cermin dan kira-kira berbentuk U. Ini cocok dengan beberapa deskripsi matematis lain yang berbeda, yang semuanya dapat dibuktikan untuk mendefinisikan kurva yang persis sama.

Satu deskripsi parabola melibatkan titik (fokus) dan garis (directrix). Fokusnya tidak terletak pada directrix. Parabola adalah tempat titik-titik di bidang itu yang berjarak sama jauh dari kedua directrix dan fokus. Deskripsi lain tentang parabola adalah sebagai bagian kerucut, dibuat dari persimpangan permukaan kerucut lingkaran kanan dan bidang yang sejajar dengan bidang lain yang bersinggungan dengan permukaan kerucut.

Garis tegak lurus terhadap directrix dan melewati fokus (yaitu, garis yang membagi parabola melalui tengah) disebut "sumbu simetri". Titik di mana parabola memotong sumbu simetri disebut "Vertex" dan merupakan titik di mana parabola melengkung paling tajam. Jarak antara titik dan fokus, diukur sepanjang sumbu simetri, adalah "panjang fokus". "Latus rectum" adalah chord parabola yang sejajar dengan directrix dan melewati fokus. Parabola dapat membuka ke atas, ke bawah, ke kiri, ke kanan, atau ke arah sewenang-wenang lainnya. Parabola apa pun dapat diposisikan ulang dan disusun kembali agar sesuai dengan parabola lainnya — yaitu, semua parabola memiliki kesamaan geometris.

Parabola memiliki sifat bahwa, jika terbuat dari bahan yang memantulkan cahaya, maka cahaya yang bergerak sejajar dengan sumbu simetri parabola dan menyerang sisi cekungnya dipantulkan ke fokusnya, terlepas dari di mana pada parabola pantulan itu terjadi. Sebaliknya, cahaya yang berasal dari sumber titik pada fokus dipantulkan menjadi sinar paralel ("berkolusi"), meninggalkan parabola sejajar dengan sumbu simetri. Efek yang sama terjadi dengan suara dan gelombang lainnya. Properti reflektif ini adalah dasar dari banyak penggunaan praktis parabola.

Sejarah 

Karya paling awal yang diketahui pada bagian kerucut oleh Menaechmus pada abad ke-4 SM. Dia menemukan cara untuk memecahkan masalah menggandakan kubus menggunakan parabola. (Namun, solusinya tidak memenuhi persyaratan konstruksi kompas-dan-sejajar.) Area yang dikelilingi oleh parabola dan segmen garis, yang disebut "segmen parabola", dihitung oleh Archimedes dengan metode penghabis di abad ke-3 SM, dalam bukunya The Quadrature of the Parabola. Nama "parabola" adalah karena Apollonius, yang menemukan banyak properti bagian kerucut. Ini berarti "aplikasi", merujuk pada konsep "aplikasi area", yang memiliki hubungan dengan kurva ini, seperti yang telah dibuktikan oleh Apollonius. Properti fokus-directrix parabola dan bagian kerucut lainnya adalah karena Pappus.

Galileo menunjukkan bahwa jalur proyektil mengikuti parabola, konsekuensi dari percepatan seragam karena gravitasi.

Gagasan bahwa reflektor parabola dapat menghasilkan gambar sudah terkenal sebelum penemuan teleskop pemantul. Desain diusulkan pada awal hingga pertengahan abad ke-17 oleh banyak ahli matematika, termasuk René Descartes, Marin Mersenne, dan James Gregory. Ketika Isaac Newton membangun teleskop pemantul pertama pada tahun 1668, ia melewatkan menggunakan cermin parabola karena kesulitan fabrikasi, memilih untuk cermin bulat. Cermin parabola digunakan di sebagian besar teleskop refleksi modern dan di piring satelit dan penerima radar.

Definisi sebagai lokus poin 
Parabola dapat didefinisikan secara geometris sebagai seperangkat titik (titik locus) dalam bidang Euclidean:
 Parabola adalah seperangkat poin, sehingga untuk setiap titik  dari pengaturan jarak  ke titik tetap ,  fokus , sama dengan jarak  ke saluran tetap , directrix :

Titik tengah  dari tegak lurus dari fokus  ke directrix  disebut  vertex (puncak) , dan garis  adalah  sumbu simetri  dari parabola.

Dalam sistem koordinat kartesius

Sumbu simetri sejajar dengan sumbu y 
Jika satu menghasilkan koordinat Cartesian, sedemikian rupa  dan directrix memiliki persamaan , satu memperoleh titik  dari  persamaan . Menyelesaikan hasil 

 
Parabola ini berbentuk U (bukaan ke atas).

Akor horisontal melalui fokus (lihat gambar di bagian pembukaan) disebut rektum latus; setengahnya adalah rektum semi-latus. Rektum latus sejajar dengan directrix. Rektum semi-latus ditunjuk oleh huruf  itu. Dari gambar yang didapat 
 

Rektum latus didefinisikan sama untuk dua kerucut lainnya - elips dan hiperbola. Latus rektum adalah garis yang ditarik melalui fokus bagian kerucut yang sejajar dengan directrix dan diakhiri dengan kurva. Bagaimanapun,  adalah jari-jari lingkaran osculating pada vertex. Untuk parabola, rektum semi-latus, ,adalah jarak fokus dari directrix. Menggunakan parameter , persamaan parabola dapat ditulis ulang sebagai

 

Lebih umum, jika verteksnya , Fokusnya , dan directrixnya , satu memperoleh persamaan

Catatan 
 Jika dalam kasus  parabola memiliki celah ke bawah.
 Anggapan bahwa poros itu sejajar dengan sumbu y memungkinkan seseorang untuk mempertimbangkan parabola sebagai grafik polinomial derajat 2, dan sebaliknya: grafik polinomial sembarang derajat 2 adalah parabola (lihat bagian berikutnya).
 Jika salah satu bertukar  dan , salah satunya memperoleh persamaan bentuk . Parabola ini terbuka ke kiri (jika ) atau ke kanan (jika ).

Kasus umum 
Jika fokusnya adalah , dan directrixnya , kemudian salah satunya memperoleh persamaan

 

(sisi kiri persamaan menggunakan garis bentuk normal Hesse untuk menghitung jarak ).

Untuk persamaan parametrik parabola pada posisi umum, lihat 

Persamaan implisit dari parabola didefinisikan oleh polinomial tak tereduksi derajat dua:

 

seperti yang   atau, ekuivalen, sedemikian rupa sehingga  adalah kuadrat dari polinomial linier.

Sebagai grafik dari suatu fungsi 

Bagian sebelumnya menunjukkan bahwa parabola dengan titik asal sebagai sumbu dan sumbu y sebagai sumbu simetri dapat dianggap sebagai grafik suatu fungsi

 

Untuk  parabola membuka ke atas, dan untuk  membuka ke bawah (lihat gambar). Dari bagian di atas diperoleh:

 Fokusnya adalah,
 Panjang fokusnya , dan rektum semi-latusnya ,
 Verteksnya adalah ,
 Directrix memiliki persamaan ,
 Singgung pada titik  memiliki persamaan  .

Untuk  parabola adalah unit parabola dengan persamaan  . Fokusnya adalah , rektum semi-latus , dan directrix memiliki persamaan .

Fungsi umum derajat 2 adalah:

.

Melengkapi hasil kuadrat

 

yang merupakan persamaan dari parabola dengan

 Sumbunya  (sejajar dengan sumbu y),
 panjang fokusnya , rektum semi-latus  ,
 verteksnya  ,
 Fokusnya ,
 Directrixnya ,
 Titik parabola memotong sumbu y memiliki koordinat ,
 Garis singgung pada titik pada sumbu y memiliki persamaan .

Kemiripan dengan unit parabola 

Dua objek dalam bidang Euclidean serupa jika satu dapat ditransformasikan ke yang lain dengan kesamaan, yaitu, komposisi sewenang-wenang dari gerakan kaku (terjemahan dan rotasi) dan skala seragam.

Sebuah parabola  dengan Vertex  dapat diubah dengan terjemahan  untuk satu dengan asal sebagai vertex. Rotasi yang sesuai di sekitar titik asal kemudian dapat mentransformasikan parabola menjadi yang memiliki sumbu y sebagai sumbu simetri. Karena itu parabola  dapat ditransformasikan oleh gerakan kaku menjadi parabola dengan persamaan . Parabola seperti itu kemudian dapat diubah oleh penskalaan seragam ke dalam unit parabola dengan persamaan . Dengan demikian, parabola apa pun dapat dipetakan ke unit parabola dengan kesamaan.

Pendekatan sintetis, menggunakan segitiga serupa, juga dapat digunakan untuk menetapkan hasil ini.

Hasil umum adalah bahwa dua bagian kerucut (tentu dari jenis yang sama) adalah serupa jika dan hanya jika mereka memiliki eksentrisitas yang sama. Oleh karena itu, hanya lingkaran (semua memiliki keeksentrikan 0) berbagi properti ini dengan parabola (semua memiliki keeksentrikan 1), sedangkan elips umum dan hiperbola tidak.

Ada transformasi affine sederhana lain yang memetakan parabola  ke parabola unit, seperti . Tetapi pemetaan ini bukan kesamaan, dan hanya menunjukkan bahwa semua parabola setara setara (lihat ).

Sebagai bagian kerucut khusus 

Pensil bagian kerucut dengan sumbu x sebagai sumbu simetri, satu simpul pada titik asal (0, 0) dan rektum semi-latus yang sama  dapat dinyatakan persamaan:

 

dengan  keeksentrikan.

 Untuk  kerucut adalah lingkaran (lingkaran hitung pensil),
 Untuk  sebuah elips,
 Untuk  adalah parabola dengan persamaan 
 Untuk  sebuah hiperbola (lihat gambar).

Seperti gambar affine dari unit parabola 

Definisi lain dari parabola menggunakan transformasi affine:

 Parabola apa pun adalah citra afin dari unit parabola dengan persamaan .

 representasi parametrik

Transformasi affine dari bidang Euclidean memiliki bentuk , dimana  adalah matriks reguler (penentu bukan 0), dan  adalah vektor yang berubah-ubah. Jika  adalah vektor kolom dari matriks , unit parabola  dipetakan ke parabola

 

Yang dimana:

  adalah titik parabola,
  adalah vektor singgung pada titik ,
  sejajar dengan sumbu parabola (sumbu simetri melalui titik).

 Vertex

Secara umum, dua vektor  tidak tegak lurus, dan  bukan verteks, kecuali transformasi afin adalah kesamaan.

Vektor singgung pada titik   is . Pada vertex vektor tangen adalah ortogonal . Oleh karena itu parameternya  verteks adalah solusi dari persamaan

 

yang dimana:

 

dan Vertexnya adalah

 

 panjang fokus dan fokus

Panjang fokusnya dapat ditentukan oleh transformasi parameter yang sesuai (yang tidak mengubah bentuk geometris parabola). Panjang fokusnya adalah

 

Karenanya fokus parabola adalah

 

 representasi tersirat

Memecahkan representasi parametrik untuk oleh aturan Cramer dan menggunakan , salah satunta mendapatkan representasi implisit

 .

 parabola di luar angkasa

Definisi parabola di bagian ini memberikan representasi parametrik parabola yang sewenang-wenang, bahkan di ruang angkasa, jika ada yang memungkinkan.  menjadi vektor dalam ruang.

Bukti properti reflektif 

Properti reflektif menyatakan bahwa jika parabola dapat memantulkan cahaya, maka cahaya yang masuk paralel dengan sumbu simetri dipantulkan ke arah fokus. Ini berasal dari optik geometris, berdasarkan pada asumsi bahwa cahaya bergerak dalam sinar. Dalam bukti berikut, fakta bahwa setiap titik pada parabola sama jauhnya dari fokus dan dari directrix diambil sebagai aksiomatik.

Pertimbangkan parabolanya . Karena semua parabola serupa, kasing sederhana ini mewakili yang lain. Sisi kanan diagram menunjukkan bagian parabola ini.

Konstruksi dan definisi 
Titik E adalah titik arbitrer pada parabola, dengan koordinat . Fokusnya adalah F, simpulnya adalah A (asal), dan garis  (sumbu y) adalah sumbu simetri. Garis  sejajar dengan sumbu simetri dan memotong sumbu x pada D. Titik C terletak pada directrix (yang tidak ditampilkan, untuk meminimalkan kekacauan). Titik B adalah titik tengah segmen garis .

Deduksi 
Diukur sepanjang sumbu simetri, simpul A berjarak sama dari fokus F dan dari directrix. Menurut teorema intersep, karena C ada di directrix, Kordinat  F dan C sama dalam nilai absolut dan berlawanan dalam tanda. B adalah titik tengah dari , jadi begitu kordinat  adalah nol, karena itu terletak pada sumbu . Koordinat -nya adalah setengah dari E, D, dan C, yaitu, x / 2. Kemiringan garis BE adalah hasil bagi dari panjang ED dan BD, yaitu . Tapi  juga merupakan kemiringan (turunan pertama) parabola di E. Oleh karena itu, garis  adalah garis singgung parabola di E.

Jarak  dan  sama karena E ada di parabola, F adalah fokus dan C ada di directrix. Karena itu, karena B adalah titik tengah dari , segitiga △FEB dan △CEB adalah kongruen (tiga sisi), yang menyiratkan bahwa sudut ditandai  kongruen. (Sudut di atas E adalah sudut yang berlawanan secara vertikal ∠BEC.) Ini berarti bahwa sinar cahaya yang memasuki parabola dan tiba di E yang sejajar dengan sumbu simetri akan dipantulkan oleh garis  jadi itu bergerak sepanjang garis , seperti yang ditunjukkan dengan warna merah dalam diagram (dengan asumsi bahwa garis-garis entah bagaimana dapat memantulkan cahaya). Sejak  adalah bersinggungan dengan parabola di E, refleksi yang sama akan dilakukan oleh busur parabola yang sangat kecil di E. Oleh karena itu, cahaya yang memasuki parabola dan tiba di E yang berjalan paralel dengan sumbu simetri parabola tercermin oleh parabola menuju fokusnya.

Titik E tidak memiliki karakteristik khusus. Kesimpulan ini tentang cahaya yang dipantulkan berlaku untuk semua titik pada parabola, seperti yang ditunjukkan di sebelah kiri diagram. Ini adalah properti reflektif.

Konsekuensi lain 
Ada teorema lain yang dapat disimpulkan hanya dari argumen di atas.

Properti pembagian dua garis singgung 
Bukti di atas dan diagram yang menyertainya menunjukkan bahwa garis singgung  membagi dua sudut ∠FEC. Pada kata lain, garis singgung pada parabola pada suatu titik membagi dua sudut antara garis yang menghubungkan titik dengan fokus dan tegak lurus terhadap directrix.

Persimpangan singgungan dan tegak lurus dari fokus 

Karena segitiga △FBE dan △CBE adalah kongruen,  adalah tegak lurus terhadap garis singgung . Karena B ada pada sumbu , yang bersinggungan dengan parabola di verteksnya, maka titik persimpangan antara sembarang parabola dengan yang tegak lurus dari fokus ke tangen itu terletak pada garis yang bersinggungan dengan parabola pada verteksnya. Lihat diagram animasi dan kurva pedal.

Refleksi cahaya yang menyerang sisi cembung 
Jika cahaya bergerak sepanjang garis , bergerak sejajar dengan sumbu simetri dan menyerang sisi cembung parabola di E. Jelas dari diagram di atas bahwa cahaya ini akan dipantulkan langsung dari fokus, di sepanjang perpanjangan segmen .

Bukti alternatif 

Bukti di atas sifat bisection reflektif dan tangen menggunakan garis kalkulus. Di sini bukti geometris disajikan.

Dalam diagram ini, F adalah fokus parabola, dan T dan U terletak pada directrix-nya. P adalah titik arbitrer pada parabola.  adalah tegak lurus terhadap directrix, dan garis  membagi dua sudut ∠FPT. Q adalah titik lain di parabola, dengan  tegak lurus dengan directrix. Yang diketahui,  =  dan  = . Jelasnya,  > , jadi  > . Semua titik pada garis-bagi  sama dari F dan T, tetapi Q lebih dekat ke F daripada ke T. Ini berarti bahwa Q ada di sebelah kiri , yaitu, di sisi yang sama sebagai fokus. Hal yang sama akan benar jika Q terletak di tempat lain di parabola (kecuali pada titik P), sehingga seluruh parabola, kecuali titik P, berada di sisi fokus . Karena itu,  adalah bersinggungan dengan parabola di P. Karena membagi dua sudut ∠FPT, ini membuktikan sifat membagi dua garis singgung.

Logika paragraf terakhir dapat diterapkan untuk memodifikasi bukti properti reflektif di atas. Ini secara efektif membuktikan garis  menjadi bersinggungan dengan parabola di E jika sudut  adalah sama. Properti reflektif mengikuti seperti yang ditunjukkan sebelumnya.

Konstruksi pin dan string 

Definisi parabola berdasarkan fokus dan directrix dapat digunakan untuk menggambarnya dengan bantuan pin dan string:

 Pilih fokusnya  dan directrixnya  dari parabola.
 Ambil segitiga dari satu set persegi dan siapkan string dengan panjang  (lihat diagram).
 Pin salah satu ujung tali pada titik  dari segitiga dan yang lainnya untuk fokus .
 Posisikan segitiga sedemikian rupa sehingga ujung kedua dari sudut kanan bebas untuk membuat garis di sepanjang directrix.
 Ambil pena dan pegang talinya erat-erat ke segitiga.
 Sementara menggerakkan segitiga di sepanjang directrix, pena menggambar busur parabola, karena (lihat definisi parabola).

Sifat singgung

Dua sifat singgung terkait dengan rektum latus 
Biarkan garis simetri memotong parabola di titik Q, dan tunjukkan fokus sebagai titik F dan jaraknya dari titik Q sebagai  . Biarkan garis tegak lurus ke garis simetri, melalui fokus, memotong parabola pada titik T. Kemudian (1) jarak dari F ke T adalah , dan (2) bersinggungan dengan parabola pada titik T memotong garis simetri pada a 45° derajat.

Properti ortoptic 
Jika dua garis singgung parabola saling tegak lurus, maka mereka bersinggungan dengan directrix. Sebaliknya, dua garis singgung yang bersinggungan pada directrix adalah tegak lurus.

Teorema Lambert 
Biarkan tiga garis singgung ke parabola membentuk segitiga. Kemudian Teorema Lambert menyatakan bahwa fokus parabola terletak pada lingkaran dari segitiga.

Pendapat Tsukerman dengan teorema Lambert menyatakan bahwa, diberi tiga garis yang mengikat segitiga, jika dua garis bersinggungan dengan parabola yang fokusnya terletak pada lingkaran segitiga, maka garis ketiga juga bersinggungan dengan parabola.

Sebagai kurva Bézier kuadratik 

Kurva Bézier kuadratik adalah kurva  didefinisikan oleh tiga poin ,  dan , disebut titik kontrol:

 

Kurva ini adalah busur parabola (Lihat ).

Integrasi numerik 

Dalam satu metode integrasi numerik salah satunya mengganti grafik fungsi dengan busur parabola dan mengintegrasikan busur parabola. Parabola ditentukan oleh tiga poin. Rumus untuk satu busur adalah.

 

Metode ini disebut aturan Simpson.

Panjang busur 
Jika suatu titik X terletak pada parabola dengan panjang fokus , dan jika  adalah jarak tegak lurus dari X ke sumbu simetri parabola, maka panjang busur parabola yang berakhir pada X dapat dihitung dari   dan  sebagai berikut, dengan asumsi mereka semua dinyatakan dalam unit yang sama.

Jumlah  ini adalah panjang busur antara X dan puncak parabola.

Panjang busur antara X dan titik berlawanan secara simetris di sisi lain parabola adalah .

Jarak tegak lurus  dapat diberi tanda positif atau negatif untuk menunjukkan pada sisi mana sumbu simetri X berada. Membalik tanda  membalikkan tanda-tanda  dan  tanpa mengubah nilai absolut mereka. Jika jumlah-jumlah ini ditetapkan, panjang busur antara dua titik pada parabola selalu ditunjukkan oleh perbedaan antara nilai mereka dari . Perhitungan dapat disederhanakan dengan menggunakan properti logaritma:

Ini dapat berguna, misalnya, dalam menghitung ukuran bahan yang dibutuhkan untuk membuat reflektor parabola atau palung parabola.

Perhitungan ini dapat digunakan untuk parabola dalam orientasi apa pun. Ini tidak terbatas pada situasi di mana sumbu simetri sejajar dengan sumbu y.

Sifat singgung

Dua sifat singgung terkait dengan rektum latus 
Biarkan garis simetri memotong parabola di titik Q, dan tunjukkan fokus sebagai titik F dan jaraknya dari titik Q sebagai . Biarkan garis tegak lurus ke garis simetri, melalui fokus, memotong parabola pada titik T. Kemudian (1) jarak dari F ke T adalah , dan (2) bersinggungan dengan parabola pada titik T memotong garis simetri pada sudut a 45° .

Sifat ortoptic 
Jika dua garis singgung pada sebuah parabola adalah saling tegak lurus, maka mereka bersinggungan dengan directrix. Sebaliknya, dua garis singgung yang bersinggungan pada directrix adalah tegak lurus.

Teorema Lambert 
Biarkan tiga garis singgung ke parabola saling tegak lurus. Kemudian Teorema Lambert menyatakavn bahwa fokus parabola terletak pada circumcircle of the triangle.

Pendapat Tsukerman dengan teorema Lambert menyatakan bahwa, diberi tiga garis yang mengikat segitiga, jika dua garis bersinggungan dengan parabola yang fokusnya terletak pada lingkaran segitiga, maka garis ketiga juga bersinggungan dengan parabola.

Panjang fokus dan jari-jari kelengkungan pada Vertex 
Panjang fokus parabola adalah setengah dari jari-jari kelengkungan di puncaknya.

Bukti 
Pertimbangkan sebuah titik  pada lingkaran jari-jari  dan dengan pusat di titik . Lingkaran melewati titik asal. Jika titiknya dekat dengan asal, teorema Pythagoras menunjukkan itu:

 

Tapi jika  sangat dekat dengan titik asal, karena sumbu x adalah garis singgung ke lingkaran,  sangat kecil dibandingkan dengan , jadi  diabaikan dibandingkan dengan ketentuan lainnya. Karena itu, sangat dekat dengan asalnya

 (1)

Bandingkan ini dengan parabola

 (2)

yang memiliki simpul pada titik awalnya, terbuka ke atas, dan memiliki panjang fokus   (lihat bagian sebelumnya dari artikel ini).

Persamaan (1) dan (2) adalah setara jika . Oleh karena itu, ini adalah kondisi untuk lingkaran dan parabola bertepatan dan sangat dekat dengan asal. Jari-jari kelengkungan pada titik asal, yang merupakan puncak (Vertex) parabola, adalah dua kali panjang fokus.

Sebagai bagian bidang segi empat 
Kuadrik berikut berisi parabola sebagai bagian bidang:

 kerucut elips,
 silinder parabola,
 paraboloid elips,
 paraboloid hiperbolik,
 hiperboloid satu lembar,
 hiperboloid dua lembar.

Sebagai trisectrix 

Parabola dapat digunakan sebagai trisectrix, yang memungkinkan pemotongan tepat dari sudut arbitari dengan penggaris-sejajar dan kompas. Ini tidak bertentangan dengan ketidakmungkinan pemotongan sudut dengan konstruksi kompas dan garis lurus saja, karena penggunaan parabola tidak diperbolehkan dalam aturan klasik untuk konstruksi kompas dan garis lurus.

Untuk trisect , sebagai kakinya  pada sumbu x sedemikian rupa sehingga vertex  berasal dari sistem koordinat asal. Sistem koordinat juga mengandung parabola . Unit lingkaran dengan jari-jari 1 di sekitar titik asal memotong kaki sudut lainnya , dan dari titik persimpangan ini tarik garis tegak lurus ke sumbu y. Paralel dengan sumbu y melalui titik tengah tegak lurus dan garis singgung pada satuan lingkaran di  berpotongan di . Lingkaran di sekitar  dengan jari-jari  memotong parabola di . Yang tegak lurus dari  ke sumbu x memotong unit lingkaran di , dan  tepat sepertiga dari .

Ketepatan konstruksi ini dapat dilihat dengan menunjukkan bahwa koordinat x  adalah . Memecahkan sistem persamaan yang diberikan oleh lingkaran di sekitar  dan parabola mengarah ke persamaan kubik . Formula triple-sudut  kemudian menunjukkan bahwa  adalah memang solusi dari persamaan kubik itu.

Pembagian atas tiga bagian ini (trisection) kembali ke René Descartes, yang menggambarkannya dalam bukunya  (1637).

Keterangan

Pranala luar 

 Apollonius' Derivation of the Parabola di
 
 Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
 Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at cut-the-knot
 Two Tangents to Parabola at cut-the-knot
 Parabola As Envelope of Straight Lines at cut-the-knot
 Parabolic Mirror at cut-the-knot
 Three Parabola Tangents at cut-the-knot
 Module for the Tangent Parabola
 Focal Properties of Parabola di cut-the-knot
 Parabola As Envelope II di cut-the-knot
 The similarity of parabola  at Dynamic Geometry Sketches 
 a method of drawing a parabola with string and tacks

Referensi 

Geometri
Bentuk
Irisan kerucut