Fungsi linear (kalkulus)

Dalam matematika, istilah fungsi linear dapat mengacu kepada salah satu dari dua konsep berbeda namun berhubungan:
 Fungsi polinomial orde satu, satu variabel;
 Peta antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar

Geometri analitis 

Dalam geometri analitis, istilah fungsi linear kadang-kadang digunakan dengan maksud fungsi polinomial orde satu dari variabel tunggal. Fungsi ini disebut linear karena grafiknya pada bidang Cartesius adalah garis lurus.

Fungsi seperti itu dapat ditulis sebagai:

 
 
 

dengan  dan  adalah konstanta riil dan  adalah variabel riil. Konstana  disebut sebagai gradien atau kemiringan, sedangkan  memberikan titik perpotongan antara grafik fungsi tersebut dengan sumbu . Mengubah  membuat garis tersebut lebih curam atau landai, sementara mengubah  akan menggerakkan garis ke atas atau ke bawah.

Contoh fungsi yang grafiknya berupa garis lurus adalah:

 
 
 

Grafiknya ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.

Ruang vektor 

Dalam matematika lanjut, sebuah fungsi linear berarti fungsi yang merupakan pemetaan linear, yaitu pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar.

Contohnya, bila  dan  direpresentasikan sebagai vektor koordinat, maka fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai:

dengan M adalah matriks. Sebuah fungsi

adalah peta linear jika dan hanya jika  = 0. Untuk nilai lain dari , fungsi ini tergolong dalam kelas yang lebih umum, yaitu peta afin

Sifat 
Fungsi linear adalah fungsi polinomial di mana variabel  memiliki paling banyak satu derajat:
.
Fungsi seperti itu disebut  linear  karena grafik, himpunan semua titik  dalam bidang Kartesius, adalah garis. Koefisien  a  disebut  slope  dari fungsi dan garis (lihat di bawah).
 
Jika kemiringannya , ini adalah  fungsi konstan   mendefinisikan garis horizontal, yang dikecualikan beberapa penulis dari kelas fungsi linier. Dengan definisi ini, derajat polinomial linier adalah tepat satu, dan grafiknya adalah garis yang tidak vertikal maupun horizontal. Namun, di artikel ini,  diperlukan, sehingga fungsi konstan akan dianggap linear.

Jika  maka fungsi linier dikatakan  homogen . Fungsi tersebut mendefinisikan garis yang melewati asal sistem koordinat, yaitu titik . Dalam teks matematika tingkat lanjut, istilah  fungsi linier  sering menunjukkan fungsi linier homogen khusus, sedangkan istilah fungsi affine digunakan untuk kasus umum, yang mencakup .

 Domain alami dari fungsi linear , himpunan nilai masukan yang diperbolehkan untuk , adalah seluruh himpunan bilangan riil,  Anda juga dapat mempertimbangkan fungsi seperti itu dengan  dalam sembarang  medan, mengambil koefisien  in that field. 

Grafik  adalah garis non-vertikal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu , titik potongnya   Nilai intersep   juga disebut  nilai awal  dari  Jika  grafiknya adalah garis non-horizontal yang memiliki tepat satu persimpangan dengan sumbu , -titik potong  -nilai intersep  solusi dari persamaan  juga disebut akar atau  nol  dari

Titik potong-lereng, kemiringan titik, dan bentuk dua titik 
Fungsi linier tertentu  dapat ditulis dalam beberapa rumus standar yang menampilkan berbagai propertinya. Yang paling sederhana adalah  bentuk titik potong-kemiringan ''': 
, 
dari mana seseorang dapat langsung melihat kemiringan  a  dan nilai awal , yang merupakan  y  - perpotongan dari grafik . 

Diberikan kemiringan  a  dan satu nilai yang diketahui , kami menulis  bentuk kemiringan titik :
. 
Dalam istilah grafis, ini memberikan garis  dengan kemiringan  a  melewati titik tersebut .  Bentuk dua titik  dimulai dengan dua nilai yang diketahui  dan . Satu menghitung kemiringan  dan memasukkannya ke dalam bentuk kemiringan titik: 
.
Grafiknya  adalah garis unik yang melewati titik-titik . Persamaannya  dapat juga ditulis untuk menekankan kemiringan konstan:
.

 Hubungan dengan kelas fungsi lainnya 

Jika koefisien variabel tidak nol (), maka fungsi linier diwakili oleh a  derajat 1 polinomial (juga disebut  polinomial linear ), jika tidak, ini adalah fungsi konstan - juga fungsi polinomial, tetapi derajat nol.

Sebuah garis lurus, ketika digambar dalam jenis sistem koordinat yang berbeda dapat mewakili fungsi lain.

Misalnya, ini mungkin mewakili  fungsi eksponensial ketika  nilai diekspresikan dalam skala logaritmik. Artinya ketika  adalah fungsi linier dari , fungsi  adalah eksponensial. Dengan fungsi linier, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan jumlah yang tetap, yang merupakan kemiringan grafik fungsi. Dengan fungsi eksponensial, menambah input sebesar satu unit menyebabkan output meningkat dengan kelipatan tetap, yang dikenal sebagai basis dari fungsi eksponensial.

Jika  keduanya   argumen dan nilai suatu fungsi berada dalam skala logaritmik (yaitu, ketika  adalah fungsi linier dari ), maka garis lurus melambangkan hukum pangkat:

Di sisi lain, grafik dari fungsi linear dalam hal koordinat polar: 

adalah spiral Archimedean if  dan lingkaran sebaliknya.

 Lihat pula 
 Fungsi (matematika)
 Fungsi nonlinear
 Interpolasi linear

 Catatan 

 Referensi 
 James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals'', edition 7E, Brooks/Cole.

Pranala luar 
 Linear Functions on Id Mind 
 Interactive tool to explore linear functions 

Polinomial
Aljabar linear