Basis (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat".

Definisi formal 
Basis untuk ruang vektor  (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian  yang memenuhi:
 Setiap  dapat dituliskan sebagai  dengan .
 Jika  representasi lain, maka  dan ada suatu permutasi  yang  dan .

Contoh 

Himpunan  dari pasangan terurut dari bilangan riil adalah ruang vektor untuk penjumlahan berdasarkan komponen

dan perkalian skalar 

dimana  adalah bilangan real apa pun. Basis sederhana dari ruang vektor ini, disebut basis standar terdiri dari dua vektor  and , karena vektor apapun  dari  dapat ditulis secara unik sebagai

Pasangan vektor bebas linear lainnya , seperti  dan , bentuk menjadi dasar .
Lebih umum lagi, jika  adalah bidang, himpunan  dari -tupel dari elemen  adalah ruang vektor untuk penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan serupa. Karena

jadilah tupel  dengan semua komponen sama dengan 0, kecuali  yaitu 1. Kemudian  adalah basis dari  yang disebut  basis standar  dari 
Jika  adalah bidang gelanggang polinomial  dari polinomial dalam satu tak tentu memiliki basis , yang disebut basis monomial, yang terdiri dari semua monomial:

Kumpulan polinomial apa pun yang hanya ada satu polinomial pada setiap derajat juga merupakan basis. Kumpulan polinomial seperti itu disebut urutan polinomial. Contoh (di antara banyak) urutan polinomial tersebut adalah polinomial basis Bernstein, dan polinomial Chebyshev.

Koordinat  

Misalkan  menjadi ruang vektor berdimensi berhingga  di atas bidang , dan 

menjadi dasar dari . Menurut definisi basis, setiap  pada  dapat ditulis, dengan cara yang unik, seperti

dimana koefisiennya  adalah skalar (yaitu, elemen ), yang disebut  koordinat  dari  di atas . Namun, jika seseorang berbicara tentang  himpunan  koefisien, seseorang kehilangan korespondensi antara koefisien dan elemen basis, dan beberapa vektor mungkin memiliki  himpunan  koefisien yang sama. Sebagai contoh,  dan  memiliki koefisien yang sama , dan berbeda. Oleh karena itu, sering kali nyaman untuk bekerja dengan dasar yang teratur; ini biasanya dilakukan oleh pengindeksan elemen dasar oleh bilangan asli pertama. Kemudian, koordinat vektor membentuk urutan dengan indeks serupa, dan vektor sepenuhnya dicirikan oleh urutan koordinat. Basis terurut juga disebut frame, kata yang biasa digunakan, dalam berbagai konteks, untuk merujuk ke urutan data yang memungkinkan penentuan koordinat.

Misalkan, seperti biasa,  menjadi himpunan -tupel dari elemen . Himpunan ini adalah  ruang vektor, dengan penjumlahan dan perkalian skalar ditentukan berdasarkan komponen. Peta 

is a linear isomorphism from the vector space  onto . In other words,  is the coordinate space of , and the -tuple  is the coordinate vector of .

Gambar invers oleh  pada  adalah -tupel  semua yang komponennya 0, kecuali yang ke  yaitu 1.  membentuk dasar terurut dari  yang disebut standar dasar atau dasar kanonik. Dasar yang diurutkan  adalah gambar oleh  dari dasar kanonik .

Ini mengikuti dari apa yang mendahului setiap basis terurut adalah gambar dengan isomorfisme linier dari basis kanonik , dan bahwa setiap isomorfisme linier dari  ke  dapat didefinisikan sebagai isomorfisme yang memetakan dasar kanonik  ke urutan tertentu dasar dari . Dengan kata lain, ini setara dengan mendefinisikan basis terurut dari , atau isomorfisme linier dari  ke .

Perubahan basis 

Maka  jadilah ruang vektor berdimensi  di atas bidang . Diberikan dua pangkalan (order)  dan  dari , sering kali berguna untuk menyatakan koordinat vektor  sehubungan dengan  dalam hal koordinat sehubungan dengan  Ini dapat dilakukan dengan  rumus perubahan-basis , yang dijelaskan di bawah ini. Subskrip "lama" dan "baru" telah dipilih karena biasa digunakan untuk merujuk  dan  sebagai  dasar lama  dan  dasar baru . Ini berguna untuk menggambarkan koordinat lama dengan yang baru, karena, secara umum, seseorang memiliki  ekspresi yang melibatkan koordinat lama, dan jika seseorang ingin mendapatkan ekspresi yang setara dalam hal koordinat baru; ini diperoleh dengan mengganti koordinat lama dengan ekspresi mereka dalam bentuk koordinat baru.

Biasanya, vektor basis baru diberikan oleh koordinatnya di atas basis lama, yaitu

If  and  are the coordinates of a vector  over the old and the new basis respectively, the change-of-basis formula is 

for .

Rumus ini dapat ditulis secara ringkas dalam notasi  matriks. Misalkan  adalah matriks dari  dan
 dan 
jadilah vektor kolom dari koordinat  di basis lama dan basis baru, maka rumus untuk mengubah koordinat adalah

Rumusnya dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan dekomposisi vektor  pada dua basa: satu memiliki 

dan

Rumus perubahan basis kemudian dari keunikan dekomposisi vektor atas basis, di sini  adalah

untuk .

Lihat pula

Catatan

Referensi

Referensi umum

Referensi sejarah 
 
 
 
 
 
 , reprint: 
 
 
 
 

Aljabar linear