Barisan dan deret geometri

Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

, , , , 

dengan  adalah bilangan rasio pengali () dan  adalah faktor skala.

Suku barisan geometri 
Misal  adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai

Kita misalkan , dan . Kita teruskan untuk .

Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu
.

Lebih umumnya, diberikan  dan misal suku awal adalah . Dari hasil di atas, diperoleh

dan

.

Rasio 
Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

.

Suku tengah

Deret geometri 
Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

dengan  adalah deret geometri, dan  adalah suku pertama.

Kita mulai dari kasus di mana Dengan mengalikan kedua ruas dengan  memperoleh persamaan baru. Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan

Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan  membuktikan bahwa
.
Cara yang serupa untuk kasus . 

Jika , maka deret geometri didapati

.

Deret geometri takhingga 
Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan

untuk . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah  serta . Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

.

Karena , maka diperoleh

.

Ambil  pada kedua ruas, diperoleh

Karena diketahui , maka . Karena itu,

. 

Untuk kasus ,  tidak mempunyai hasil (karena bernilai ) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.

Barisan dan deret geometri bertingkat 

 Jika bertingkat 2: 
 Jika bertingkat 3: 
dst

Lihat pula 
 Barisan
 Deret (matematika)
 Barisan dan deret aritmetika
 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, salah satu bentuk deret

Referensi

Bacaan lebih lanjut 
  
  

Matematika
Geometri