Transformasi Fourier

Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusoidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan.
Lihat juga: Daftar transformasi yang berhubungan dengan Fourier.

Definisi 
Transformasi Fourier dari suatu fungsi  secara tradisional dilambangkan , dengan menambahkan sirkumfleks ke simbol fungsi. Ada beberapa konvensi umum untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi integrable . One of them is

untuk semua bilangan riil .

Alasan tanda negatif dalam eksponen adalah persamaan dalam teknik elektro menjadi , yaitu
by   sinyal dengan fase dan frekuensi awal nol   Konvensi tanda negatif menyebabkan produk  to be 1 (frekuensi nol) kapan  menyebabkan integral menyimpang. Hasilnya adalah Fungsi delta Dirac di , yang merupakan satu-satunya komponen frekuensi dari sinyal sinusoidal 

Ketika variabel independen  mewakili waktu, variabel transformasi  mewakili frekuensi (contohnya, jika waktu diukur dalam detik, maka frekuensi dalam hertz). Dalam kondisi yang sesuai,  ditentukan oleh  melalui transformasi terbalik:

untuk bilangan riil untuk fungsi .

Pernyataan dari mana  dapat menentukan  dikenal sebagai Teorema inversi Fourier, dan pertama kali diperkenalkan di Fourier Analytical Theory of Heat, meskipun apa yang akan dianggap sebagai bukti menurut standar modern tidak diberikan sampai lama kemudian. Fungsi  dan  sering disebut sebagai pasangan integral Fourier atau pasangan transformasi Fourier.

Untuk konvensi dan notasi umum lainnya, termasuk menggunakan frekuensi sudut  alih-alih frekuensi , lihat Konvensi lain dan Notasi lainnya di bawah. The Transformasi Fourier pada ruang Euklides diperlakukan secara terpisah, di mana variabel  sering mewakili posisi dan momentum . Konvensi yang dipilih dalam artikel ini adalah yang analisis harmonik, dan dicirikan sebagai konvensi unik sehingga transformasi Fourier keduanya pada  dan homomorfisme aljabar dari  untuk , tanpa menormalkan kembali ukuran Lebesgue.

Banyak karakterisasi lain dari transformasi Fourier ada. Misalnya, seseorang menggunakan Teorema Stone–von Neumann: Transformasi Fourier adalah kesatuan unik intertwiner untuk representasi simplektis dan Euklides Schrödinger dari kelompok Heisenberg.

Pengertian 
Ada beberapa pengertian mengenai definisi transformasi Fourier ƒ̂ dari sebuah fungsi integrasi . Secara umum, definisi transformasi Fourier adalah:

,   untuk setiap bilangan riil ξ.

Sejarah 

Pada tahun 1822, Joseph Fourier menunjukkan bahwa beberapa fungsi dapat ditulis sebagai jumlah harmonisa yang tak terbatas.

Catatan kaki

Referensi 
 Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (also available online: )
 A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4

Lihat pula 

 Transformasi Nomor Teoritik
 Transformasi Laplace
 Transformasi Laplace dua sisi
 Transformasi Mellin
 Fungsi Orthogonal
 Wavelet
 Chirplet
 Fungsi karakteristik (teori kemungkinan)
 Bispectrum
 Spektrofotometer Fourier Transform Infra Red

Pranala luar 
 Online Computation  of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
 Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Analisis Fourier
Konsep fisika dasar
Transformasi integral
Pengolahan sinyal digital
Analisis angka