Grup (matematika)

Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut aksioma grup. Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.

Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan riil, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.

Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkret, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk kuadrat.

Definisi dan ilustrasi

Contoh pertama: bilangan bulat 
Salah satu grup yang paling dikenal adalah himpunan bilangan bulat
dengan penambahan. Untuk dua bilangan bulat  dan , penambahan  menghasilkan bilangan bulat, dan  sifat ketertutupan mengatakan bahwa  adalah operasi biner . Sifat penjumlahan bilangan bulat berikut berfungsi sebagai model untuk aksioma grup dalam definisi di bawah ini.

 Untuk semua bilangan bulat ,  dan , . Ini dapat dijelaskan melalui kata-kata, yang berarti bahwa menambahkan  ke  terlebih dahulu, dan kemudian menambahkan hasil tersebut ke  akan memberikan hasil akhir yang sama seperti menambahkan  ke penjumlahan  dan . Sifat ini dikenal sebagai sifat asosiatif.
 Jika  adalah bilangan bulat, maka  dan . Nol disebut elemen identitas dari penambahan, sebab menambahkannya ke bilangan bulat akan tetap memberikan hasil bilangan bulat yang sama.
 Untuk setiap bilangan bulat , terdapat bilangan bulat  sehingga  dan . Bilangan bulat  disebut elemen invers dari bilangan bulat  dan dilambangkan dengan .

Bilangan bulat dengan operasi  membentuk objek matematika yang merupakan milik kelas yang luas yang membagi aspek struktural yang serupa. Untuk memahami dengan tepat struktur tersebut sebagai suatu kolektif, disajikanlah definisi di bawah berikut.

Definisi 

Grup adalah suatu himpunan  dengan operasi biner . Operasi biner tersebut dilambangkan sebagai , yang menggabungkan dua elemen  dan  untuk membentuk elemen dari , dan bentuk elemen tersebut dilambangkan . Akibatnya, suatu grup  memenuhi tiga syarat di bawah, yang dikenal sebagai aksioma grup (group axiom):

Asosiatif Untuk semua , , dan  dalam , maka .
Elemen identitas Terdapat elemen  dalam , sehingga untuk setiap  dalam , maka  dan . Elemen tersebut dikatakan tunggal (unique) (lihat di bawah), dan elemen itu disebut elemen identitas dari grup. 
Elemen invers Untuk setiap  dalam , terdapat elemen  dalam  sehingga  dan , dengan  adalah elemen identitas. Untuk setiap , elemen  adalah tunggal (lihat di bawah), dan elemen itu disebut sebagai invers dari  dan biasanya dilambangkan .

Notasi dan terminologi 
Secara formal, grup adalah pasangan terurut yang terdiri atas suatu himpunan dan operasi biner pada himpunan yang memenuhi aksioma grup. Himpunan itu disebut himpunan pendasar (underlying set) grup, dan operasi binernya disebut operasi grup atau hukum grup. Grup beserta himpunan pendasarnya merupakan dua objek matematika yang berbeda. Supaya menghindari notasi yang sulit dipahami, digunakanlah simbol yang sama untuk menyatakan kedua-duanya. Hal ini mencerminkan cara berpikir yang informal, bahwa grup sama saja dengan himpunan tetapi diperkaya oleh struktur tambahan yang disediakan oleh operasi. Sebagai contoh, misalkan terdapat himpunan bilangan real , yang memiliki operasi penjumlahan  dan perkalian .  Secara formal,  adalah suatu himpunan,  adalah suatu grup, dan  adalah suatu lapangan. Akan tetapi, biasanya ditulis sebagai  untuk menunjukkan salah satu dari tiga objek tersebut.

Grup aditif dari lapangan  adalah grup yang himpunan pendasarnya adalah , dan operasinya adalah penambahan. Sementara itu, grup perkalian dari lapangan  adalah grup  yang himpunan pendasarnya adalah himpunan bilangan real bukan nol  dan operasinya adalah perkalian.

Secara umum, kita berbicara tentang grup aditif setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai penjumlahan; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan , dan invers dari elemen  dilambangkan dengan . Demikian pula, kita berbicara tentang grup perkalian setiap kali operasi grup dinotasikan sebagai perkalian; dalam hal ini, identitas biasanya dilambangkan dengan , dan inversi elemen  dilambangkan dengan .  Dalam grup perkalian, simbol operasi biasanya dihilangkan seluruhnya, sehingga bahwa operasi dilambangkan dengan penjajaran, yakni  sebagai pengganti .

Definisi grup tidak mensyaratkan bahwa  untuk semua elemen  dan  dalam . Jika ketentuan tambahan berlaku, maka operasi tersebut dikatakan komutatif, dan grup tersebut disebut grup abelian. Sudah menjadi kesepakatan umum bahwa untuk grup abelian, notasi aditif atau perkalian dapat digunakan, tetapi untuk grup nonabelian hanya digunakan notasi perkalian.

Beberapa notasi lain biasanya digunakan untuk grup yang elemennya bukan bilangan. Untuk grup di mana elemennya fungsi, operasi sering kali digunakan dalam komposisi fungsi ; maka identitas tersebut dapat dilambangkan dengan . Dalam kasus yang lebih spesifik dari grup transformasi geometris, grup simetri, grup permutasi, dan grup automorfisme, simbol  dihilangkan, seperti grup perkalian. Banyak varian notasi lainnya yang ditemui.

Definisi alternatif 
Definisi ekuivalen dari grup terdiri dari penggantian bagian "ada" dari aksioma grup dengan operasi yang hasilnya adalah elemen yang harus ada. Jadi, grup adalah himpunan yang dilengkapi dengan tiga operasi, yaitu operasi biner yang merupakan operasi grup, operasi uner sebagai kebalikan dari operan tunggalnya, dan operasi nullari yang tidak memiliki operan dan menghasilkan elemen identitas. Jika tidak, aksioma grupnya persis sama.

Varian definisi ini menghindari kuantifer eksistensial. Biasanya lebih sering digunakan untuk komputasi dengan grup dan untuk bukti bantuan komputer. Rumus ini menunjukkan grup sebagai variasi aljabar universal. Ini pula digunakan untuk membicarakan sifat operasi invers, sebagaimana diperlukan untuk mendefinisikan grup topologi dan objek grup.

Contoh kedua: grup simetri 
Dua bangun pada bidang adalah kongruen jika bangun tersebut dapat diubah menjadi bangun yang lain menggunakan gabungan dari rotasi, refleksi, dan translasi. Setiap bangun kongruen dengan dirinya sendiri. Namun, beberapa bangun kongruen dengan sendiri dapat dilakukan dengan berbagai cara, dan kekongruenan tambahan tersebut dinamakan simetris. Persegi memiliki delapan simetri, yaitu:

 operasi identitas, yang berarti bangun tersebut tidak berubah, dan operasi ini dilambangkan dengan id;
 persegi di sekitar pusatnya diputar sebesar 90°, 180°, dan 270° searah jarum jam, yang dilambangkan dengan ,  dan ;
 refleksi (cermin) terhadap garis tengah horizontal dan vertikal ( dan , atau terhadap dua garis diagonal ( dan ).

Simetri diatas adalah fungsi. Masing-masing untuk satu titik dalam persegi ke titik yang sesuai di bawah simetri. Sebagai contoh,  untuk titik ke rotasi 90° searah jarum jam di sekitar pusat persegi, dan  untuk titik ke pantulan di garis tengah vertikal persegi. Komposisi dua kesimetrian menghasilkan kesimetrian yang lain. Kesimetrian ini menentukan sebuah grup yang disebut grup dihedral dengan derajat 4, dilambangkan . Himpunan yang didasari grup adalah himpunan simetri di atas, dan operasi grup adalah komposisi fungsi. Dua simetri digabungkan dengan menyusunnya sebagai fungsi, yaitu menerapkan yang pertama ke persegi, dan yang kedua ke hasil aplikasi pertama. Hasil dari pertama kali  dan kemudian  ditulis secara simbolis dari kanan ke kiri sebagai  ("terapkan simetri  setelah melakukan simetri "). Maka ini adalah notasi biasa untuk komposisi fungsi.

Tabel grup di sebelah kanan mencantumkan hasil dari semua komposisi yang memungkinkan. Misalnya, 270° searah jarum jam () dan kemudian merefleksikan secara horizontal () sama seperti melakukan refleksi di sepanjang diagonal (). Menggunakan simbol di atas, disorot dengan warna biru di tabel grup:

Mengingat himpunan kesimetrian ini dan operasi yang dijelaskan, aksioma grup dapat dipahami sebagai berikut.

Komposisi adalah operasi biner. Artinya,  adalah simetri untuk dua simetri  dan . Sebagai contoh,

yaitu, 270° searah jarum jam setelah memantulkan secara horizontal sama dengan pemantulan di sepanjang kontra-diagonal (). Memang setiap kombinasi lain dari dua simetri masih memberikan kesimetrian, seperti yang diperiksa dengan menggunakan tabel grup.

Aksioma asosiatif berkaitan dengan penyusunan lebih dari dua simetri: Dimulai dengan tiga elemen ,  dan  dari , Ada dua kemungkinan cara menggunakan ketiga kesimetrian ini dalam urutan ini untuk menentukan kesimetrian bujur sangkar. Salah satu cara ini adalah dengan menulis  dan  menjadi satu simetri, lalu untuk menyusun simetri tersebut dengan . Cara lainnya adalah dengan menulis  dan , kemudian untuk menyusun simetri yang dihasilkan dengan . Kedua cara ini harus selalu memberikan hasil yang sama, yaitu,

Sebagai contoh,  dapat diperiksa menggunakan tabel grup di sebelah kanan:

Elemen identitas adalah , karena tidak mengubah simetri  saat disusun dengan baik di kiri atau di kanan.

Semua simetri memiliki kebalikan: , pantulan , , ,  dan rotasi 180°  adalah invers, karena dua kali akan mengembalikan persegi ke orientasi aslinya. Rotasi  dan  adalah invers satu sama lain, karena 90° dan kemudian rotasi 270° (atau sebaliknya) menghasilkan rotasi lebih dari 360° yang membuat persegi tidak berubah. Ini dengan mudah diverifikasi di atas meja.

Berbeda dengan grup bilangan bulat di atas, di mana urutan operasinya tidak relevan, , misalnya  but  Dengan kata lain,  bukan abelian.

Sejarah 

Konsep grup abstrak yang modern dikembangkan dari beberapa cabang matematika. Asal-usul teori grup berawal dari ketika menyelesaikan persamaan polinomial dengan derajat yang lebih dari 4. Matematikawan berkebangsaan Pranci abad ke-19, Évariste Galois, memperluas karya Paolo Ruffini dan Joseph-Louis Lagrange dengan memberikan kriteria untuk solvabilitas dari suatu persamaan polinomial khusus dalam grup simetri dari (penyelesaian) akarnya. Elemen dari grup Galois tersebut bersesuaian dengan permutasi dari akar tertentu. Awalnya, gagasan milik Galois ditolak oleh beberapa matematikawan pada masa itu, dan gagasan miliknya kemudian diterbitkan setelah kematiannya. Grup permutasi yang lebih umum diteliti lebih lanjut oleh Augustin Louis Cauchy. Dalam makalahnya yang berjudul On the theory of groups, as depending on the symbolic equation  (1854), ia memberikan definisi abstrak pertama mengenai grup terhingga.

Geometri adalah cabang kedua yang menggunakan grup secara sistematik, terutama grup simetri yang merupakan bagian dari program Erlangen milik Felix Klein di tahun 1872. Setelah munculnya cabang-cabang geometri baru seperti geometri hiperbolik dan geometri proyektif, Klein menggunakan teori grup untuk menyusunnya supaya terlihat mudah dimengerti. Berlanjut saat memperluas gagasan tersebut, Sophus Lie menemukan kajian grup Lie di tahun 1884.

Cabang ketiga yang menyumbangkan teori grup adalah teori bilangan. Struktur-struktur grup abelian tertentu telah digunakan dalam karya Carl Friedrich Gauss yang berjudul Disquisitiones Arithmeticae (1798). Leopold Kronecker juga menggunakan struktur tersebut tetapi dijelaskan dengan lebih detail. Pada tahun 1847, Ernst Kummer mencoba membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan mengembangkan grup yang menjelaskan faktorisasi menjadi bilangan prima.

Konvergensi dari berbagai sumber tersebut menjadi teori grup yang berseragam berawal dari karya milik Camille Jordan yang berjudul  (1870). Walther von Dyck (1882) memperkenalkan gagasan yang menjelaskan grup menggunakan pembangkit (generator) dan relasi. Karyanya juga merupakan karya yang pertama kali memberikan definisi aksiomatik dari "grup abstrak". Hingga pada abad ke-20, grup mendapatkan banyak perhatian dari karya perintis milik Ferdinand Georg Frobenius dan William Burnside yang membahas tentang teori representasi dari grup terhingga, karya Richard Brauer yang membahas tentang teori representasi modular dan karya milik Issai Schur. Teori grup Lie, dan lebih umumnya adalah grup kompak lokal (locally compact group) dikaji oleh Hermann Weyl, Élie Cartan dan banyak matematikawan lainnya. Pasangan teorinya, teori grup aljabar, dikembangkan oleh Claude Chevalley di akhir tahun 1930-an, dan kemudian dilanjutkan oleh Armand Borel dan Jacques Tits.

Konsekuensi elementer dari aksioma grup 
Fakta dasar tentang semua grup yang diperoleh langsung dari aksioma grup biasanya dimasukkan dalam teori grup elementer. Sebagai contoh, penerapan aksioma asosiatif yang berulang menunjukkan bahwa notasi yang rtidak ambigu darimemperumum lebih dari tiga faktor. Karena notasi tersebut menyiratkan bahwa tanda kurung dapat disisipkan di mana saja di suku-suku tersebut, tanda kurung biasanya dihilangkan.

Aksioma yang terpisah dapat dilemahkan untuk menegaskan hanya keberadaan identitas kiri dan invers kiri. Berdasarkan ''aksioma sepihak'' ini, dapat dibuktikan bahwa identitas kiri juga merupakan identitas kanan, dan begitupula untuk invers kiri yang juga merupakan invers kanan untuk elemen yang sama. Karena identitas beserta inversnya mendefinisikan struktur yang sama seperti grup, aksioma tersebut tidak menjadi lemah.

Ketunggalan dari elemen identitas 
Aksioma grup mengimplikasikan bahwa elemen identitas adalah tunggal: jika  dan adalah elemen identitas dari suatu grup, maka . Oleh karena itu, sangat lazim untuk membahas mengenai identitas.

Ketunggalan dari invers 
Aksioma grup mengimplikasikan bahwa invers (atau kebalikan) dari setiap elemen adalah tunggal: jika elemen grup  memiliki  dan  yang merupakan invers, maka

{|
| ||||||    ||karena  adalah elemen identitas
|-
| ||||||    ||karena  adalah invers dari , sehingga 
|-
| ||||||    ||berdasarkan sifat asosiatif, yang memungkinkan penyusunan ulang tanda kurung
|-
| ||||||    ||karena  adalah invers dari , sehingga 
|-
| ||||||    || karena  adalah elemen identitas.
|}

Oleh karena itu, sangat lzaim untuk membahas mengenai invers dari suatu elemen.

Pembagian 
Diberikan elemen  dan  dari grup , maka terdapat solusi tunggal  dalam  untuk persamaan , yaitu . (Biasanya notasi seperti  dihindari , kecuali jika  adalah abelian, karena notasi tersebut dapat berarti  atau .)  Oleh karena itu, untuk setiap  dalam , fungsi  yang memetakan  adalah bijektif; itu disebut perkalian kiri dengan  atau translasi kiri dengan . Dengan cara yang serupa, diberikan  dan , maka solusi tunggal untuk  adalah . Untuk setiap , fungsi elemen  dan  yang memetakan  adalah bijektif yang disebut perkalian kanan dengan  atau translasi kanan dengan .

Catatan

Kutipan

Referensi

Referensi umum 

 , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
 
 , an elementary introduction.
 .
 .
 
 .
 .
 .
 .

Referensi khusus 

 .
 .
 
 
 .
 .
 .
 .
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 
 .
 .
 
 .
 
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 
 
 .
 
 .
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 
 
 
 
 .
 .
 
 .
 .
 .

Referensi bersejarah

 
 .
 
 .
 .
  (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
 .
 .
 .
 
 .
 .
 .

Pranala luar 
 
 

Matematika
Struktur aljabar
Teori grup