Deret Fourier

Deret Fourier () merupakan bentuk penguraian fungsi periodik berupa penjumlahan nilai gelombang sin dan cos. Frekuensi dari setiap gelombang dalam operasi penjumlahan (atau yang dikenal sebagai harmonisa) merupakan kelipatan interger terhadap frekuensi fundamental dari fungsi periodik. Setiap fase harmonisa dapat ditentukan dengan analisis harmonisa. Deret Fourier memiliki kemungkinan untuk memuat harmonisa dengan jumlah tak terhingga. Hasil penjumlahan bagian harmonisa dari deretan tersebut tidak selalu menghasilkan nilai pendekatan terhadap fungsi tersebut. Sebagai contoh, menggunakan beberapa harmonisa awal dari deret Fourier terhadap gelombang persegi akan menghasilkan nilai pendekatan dari gelombang persegi.

Hampir semua fungsi periodik dapat diuraikan menjadi deret Fourier yang dapat berkonvergensi. Proses konvergensi deret Fourier berarti bahwa makin banyak harmonisa dari deret tersebut dijumlahkan, maka hasil dari operasi penjumlahan akan menghasilkan nilai pendekatan dari fungsi tersebut, dan akan memiliki nilai yang setara dengan fungsi tersebut ketika banyak dari harmonisanya tak terhingga. 

Deret Fourier hanya dapat menguraikan fungsi periodikal. Akan tetapi, fungsi non periodik dapat juga diuraikan menggunakan ekstensi dari deret Fourier yang dikenal sebagai transformasi Fourier, operasi tersebut akan menguraikan fungsi non-periodik dengan periode tak terhingga. Kemudian, transformasi tersebut akan menghasilkan uraian domain frekuensi dari fungsi non-periodik dan fungsi periodik, hal tersebut akan memungkinkan bentuk gelombang untuk dikonversi diantara representasi domain waktu dan representasi domain frekuensinya. 

Sejak zaman Fourier, banyak operasi nilai pendekatan berbeda untuk mendefinisikan dan memahami konsep deret Fourier telah ditemukan, semua dari operasi tersebut memiliki konsistensi terhadap operasi lainnua, tetapi masing-masing menekankan aspek topik yang berbeda. Beberapa pendekatan yang lebih kuat dan elegan didasarkan pada ide-ide dan alat-alat matematika yang tidak tersedia pada masa Fourier. Fourier pada awalnya mendefinisikan deret Fourier untuk fungsi bernilai rill dari argumen rill, dan menggunakan fungsi sinus dan kosinus sebagai sebuah kumpulan basis untuk operasi dekomposisi. Banyak metode transformasi Fourier telah didefinisikan, memperluas gagasan awal ke banyak pengaplikasian dan melahirkan sebuah cabang matematika baru yang dikenal sebagai analisis Fourier .

Definisi

Bagian pertama 
Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, , yang integrable dalam interval dengan panjang , yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:
 dan 
 dan 

Analisis proses menentukan bobot, diindeks dengan integer , yang merupakan jumlah siklus nilai  harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan , ialah . Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah .  harmonik nilai  dan , dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang :

Jika nilai  ialah nilai  dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
Nilai  dan  dapat direduksi menjadi nilai  dan .
Banyaknya teks memilih nilai  untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

Bagian kedua 
Proses sintesis (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

Secara umum, integer pada nilai  secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama  di semua nilai  (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

Menggunakan identitas trigonometri:

dan definisi nilai  dan ,
pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks  (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan rumus Euler untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks.  Di sini, konjugasi kompleks dilambangkan dengan tanda bintang:

Oleh karena itu, dengan definisi:

hasil akhirnya adalah:

Konvergensi

Dalam aplikasi rekayasa, deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika  kontinu dan turunan dari  (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier  menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai . Jika suatu fungsi adalah integral-persegi pada interval , kemudian deret Fourier menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu Kondisi dirichlet untuk deret Fourier. Lihat Konvergensi seri Fourier.  Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau konvergensi lemah biasanya berupa inte.

Animasi interaktif dapat dilihat lihat.

Contoh

Contoh 1: Deret Fourier sederhana 

Kami sekarang menggunakan rumus di atas untuk memberikan perluasan deret Fourier dari fungsi yang sangat sederhana. Pertimbangkan gelombang gigi gergaji

Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan oleh

Terbukti bahwa seri Fourier konvergen  di setiap titik  dari mana  dapat dibedakan, dan karenanya:

Kapan nilai , deret Fourier bertemu dengan 0, yang merupakan penjumlahan separuh dari batas kiri dan kanan s pada nilai .  Ini adalah contoh khusus dari Teorema Dirichlet untuk deret Fourier.

Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk Masalah Basel.

Contoh 2: Motivasi Fourier 
Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai , jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan persamaan panas. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran  meter, dengan koordinat . Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai , dipertahankan pada gradien suhu  derajat Celsius, untuk  pada nilai , maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh
 
Di sini,  adalah sebuah fungsi hiperbolik. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan   menurut nilai .

Konvergen

Teorema 
Misalkan  adalah fungsi yang periodik dengan periode , kontinu dan mulus bagian demi bagian.
Maka, deret Fourier dari  konvergen mutlak dan secara seragam pada .

Aplikasi lain 
Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan Masalah Basel dengan menggunakan Teorema Parseval. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung ζ(2n), untuk bilangan bulat positif apa pun nilai n.

Properti

Tabel properti dasar 
Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:
  adalah konjugasi kompleks dari fungsi .
  menunjuk  -fungsi periodik yang ditentukan dari fungsi .
  tentukan koefisien deret Fourier (bentuk eksponensial) dari fungsi  dan  seperti yang didefinisikan dalam persamaan .

Properti simetri 
Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi bagian genap dan ganjil, ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan subskrip RE, RO, IE, dan IO.  Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:

Lemma Riemann–Lebesgue 
Kalau  adalah integrable dari nilai ,  and   Hasil ini dikenal sebagai Riemann–Lebesgue lemma.

Properti turunan

Teorema Parseval 
Jika  Milik , setelah itu .

Teorema Plancherel 
Jika nilai  adalah koefisien dan  lalu ada fungsi unik  seperti yang  untuk setiap nilai .

Teorema konvolusi

Grup kompak

Fungsi bernilai kompleks
Jika nilai  adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata  kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:

     and     

Mendefinisikan nilai  menghasilkan:

Hal tersebut identik dengan  selain nilai  dan  bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai  juga tidak berubah:

Notasi umum lainnya 
Notasi pada nilai  tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda.  Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi (, dalam kasus ini), seperti  atau , dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi sisir Dirac:

dari mana  mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel  memiliki satuan detik,  memiliki satuan hertz. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu harmonik) dari nilai , yang disebut frekuensi dasar.    dapat dipulihkan dari representasi ini dengan transformasi Fourier terbalik:

Fungsi yang dibangun pada nilai  oleh karena itu biasanya disebut sebagai Transformasi Fourier, meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.

Referensi

Pranala luar 
 Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier 
 Phasor Phactory Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
 Java applet Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang
 Example problems  - Contoh perhitungan deret Fourier
 Fourier series explanation - pendekatan nonmatematis sederhana
 
 Modul deret Fourier oleh John H. Mathews
 Joseph Fourier  - Situs web tentang riwayat Fourier historical section of this article
 SFU.ca - 'Teorema Fourier'
 In the bottom of this interactive lecture , animasi Java yang menunjukkan bagaimana pengaruh terhadap deret Fourier bila suku orde ke-n+1 ditambahkan ke suku ke-n

Kalkulus