Turunan

Dalam matematika, turunan atau derivatif dari sebuah fungsi adalah cara mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan pada nilai variabelnya. Sebagai contoh, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu mengukur kecepatan benda bergerak ketika waktu berjalan. Turunan adalah alat penting dalam kalkulus.

Turunan sebuah fungsi satu variabel di suatu titik, jika itu ada, adalah kemiringan dari garis singgung dari grafik fungsi di titik tersebut. Garis singgung adalah hampiran (aproksimasi) linear terbaik dari fungsi di sekitar titik tersebut. Konsep turunan dapat diperumum untuk fungsi multivariabel. Dalam perumuman ini, turunan dianggap sebagai transformasi linear, dengan translasi yang sesuai, menghasilkan hampiran linear dari grafik fungsi multivariabel tersebut. Matriks Jacobi adalah matriks yang merepresentasikan transformasi linear terhadap suatu basis yang ditentukan. Matriks ini dapat ditentukan dengan turunan parsial dari variabel-variabel independen. Pada fungsi multivariabel bernilai real, matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor gradien.

Proses menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan proses ini disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus menyatakan hubungan diferensiasi dengan integrasi. Turunan dan integral adalah dua operasi dasar dalam kalkulus satu-variabel.

Konsep turunan fungsi yang universal banyak digunakan dalam berbagai cabang matematika maupun bidang ilmu yang lain. Dalam bidang ekonomi, turunan digunakan untuk menghitung biaya marginal, total penerimaan, dan biaya produksi. Bidang biologi menggunakan turunan untuk menghitung laju pertumbuhan mikroorganisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia untuk menghitung laju pemisahan, dalam bidang geografi untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk, dan masih banyak lagi.

Pendahuluan 
Secara informal, turunan dari sebuah fungsi  dengan variabel  adalah ukuran dari rasio perubahan nilai  terhadap perubahan nilai variabel . Jika  dan  adalah bilangan real, dan jika grafik fungsi  diplot terhadap , besar turunan dari fungsi ini pada sembarang titik menandakan kemiringan dari grafik fungsi pada titik tersebut.Kasus sederhana dari fungsi  adalah fungsi linear yang memiliki persamaan , dengan bilangan real  dan . Kemiringan dari fungsi ini, , dinyatakan dengan

 

dengan simbol  (Delta) adalah singkatan untuk "perubahan nilai", dan simbol  dan  masing-masing menyatakan besar perubahan yang terjadi. Sebagai contoh,Persamaan di atas berlaku, karenadan menghasilkan persamaan  yang memberikan persamaan kemiringan dari suatu garis.

Jika fungsi  tidak linear (maksudnya grafik fungsi bukan berupa garis lurus), maka perubahan nilai  dibagi dengan perubahan nilai  dapat berubah-ubah tergantung nilai perubahan nilai  yang dipilih. Turunan adalah metode untuk menentukan nilai unik dari perbandingan perubahan nilai tersebut, yang tidak tergantung besar perubahan  melainkan titik  yang dipilih. Metode menentukan turunan dapat diilustrasikan lewat Gambar 1 sampai Gambar 3, yang menggambarkan nilai limit dari perbandingan  dengan besar  menuju 0.

Asal-usul definisi 

Salah satu cara umum untuk menyatakan cara diferensiasi yang intuitif ke dalam definisi yang matematis adalah dengan mendefinisikan turunan sebagai limit dari perbandingan dua bilangan real. Pendekatan ini dapat dijabarkan sebagai berikut.

Misalkan  adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada suatu lingkungan buka dari suatu bilangan real . Dalam geometri, garis singgung dari grafik fungsi  di  adalah suatu garis unik yang melalui titik  dan tidak memotong fungsi  di sekitar titik . Turunan dari  terhadap  di  secara geometris adalah besar kemiringan dari garis singgung grafik  di . Besar kemiringan garis singgung akan sangat mirip dengan besar kemiringan garis yang melalui titik  dan sebuah titik lain di grafik yang dekat dengannya, sebagai contoh . Garis yang didefinisikan ini disebut dengan garis sekan. Nilai  yang dekat dengan nol akan memberikan hampiran (dugaan, aproksimasi) yang baik mengenai besar kemiringan garis singgung; dan secara umum, nilai (mutlak)  yang semakin kecil akan memberikan hampiran yang lebih baik. Besar kemiringan  dari garis sekan adalah perbedaan nilai  antara dua titik tersebut, dibagi dengan perbedaan nilai  pada dua titik yang sama, dengan kata lainLimit digunakan untuk mengubah nilai hampiran ke nilai yang pasti (exact). Jika nilai dari limit ketika  menuju nol ada, maka nilai ini menyatakan besar kemiringan dari garis singgung fungsi di titik . Limit ini didefinisikan sebagai turunan dari fungsi  di :

Jika nilai limit ada,  dikatakan terdiferensialkan di . Notasi  adalah salah satu notasi umum untuk turunan. Definisi turunan ini mengandung hubungan yang intuitif bahwa suatu fungsi terdiferensialkan  bersifat menaik jika dan hanya jika turunannya bernilai positif, dan menurun jika dan hanya jika turunannya bernilai negatif. Fakta ini sering digunakan dalam analisis mengenai perilaku fungsi, contohnya dalam menentukan titik ekstrem fungsi.

Selain itu, turunan juga memenuhi sifat

yang menghasilkan interpretasi yang intuitif (lihat Gambar 1) bahwa garis singgung fungsi  di  memberikan hampiran linear terbaik

untuk nilai fungsi  di sekitar  (yakni, untuk nilai  yang kecil). Interpretasi ini adalah konsep termudah yang dapat diperumum ke kasus-kasus lainnya.

Metode subtitusi  dengan nol pada perbandingan beda tidak dapat dilakukan karena menghasilkan pembagian oleh nol. Hal ini menyebabkan besar kemiringan dari garis singgung tidak dapat ditemukan secara langsung lewat subtitusi. Besar kemiringan dapat ditentukan mendefinisikan  menjadi perbandingan (quotinent) beda sebagai fungsi dari :

 secara geometris menyatakan kemiringan dari garis sekan yang melalui  dan . Jika  adalah fungsi kontinu, secara informal mengartikan grafik fungsinya berupa kurva tak putus dan tidak mengandung celah, maka fungsi  kontinu selain di . Jika limit  ada, maka ada cara lain memilih nilai untuk  yang membuat  menjadi fungsi kontinu, membuat fungsi  terdiferensialkan di , dan besar turunannya di  sama dengan . Pada praktiknya, keberadaan  yang kontinu di  ditunjukkan dengan mengubah ekspresi pada pembilang agar dapat "mencoret" semua suku  pada penyebut. Manipulasi seperti itu memungkinkan nilai limit dari  untuk nilai  yang kecil terlihat jelas, walaupun  masih tidak terdefinisi di . Proses manipulasi ini dapat sangat panjang dan melelahkan untuk fungsi yang rumit, dan banyak jalan pintas digunakan untuk menyederhanakan proses.

Contoh perhitungan 

Fungsi kuadrat memiliki persamaan  dan diferensialkan di , dengan nilai turunan fungsi di titik tersebut adalah 6. Hasil ini didapatkan dari menghitung limit dengan  menuju nol, dari persamaan beda :

Ekspresi terakhir menunjukkan persamaan beda sama dengan ekspresi  saat  dan tidak terdefinisi saat , karena definisi dari persamaan beda. Tetapi, definisi dari limit menyatakan persamaan beda tidak harus terdefinisi saat . Nilai limit adalah hasil dari membuat variabel  menuju nol, mengartikan ekspresi  saat nilai  menuju sekecil mungkin akan menjadi:Mengartikan kemiringan dari grafik fungsi kuadrat di titik  adalah , dan turunannya di  adalah . Secara umum, perhitungan yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa turunan fungsi kuadrat di  adalah :

Sejarah 
Kalkulus, atau dikenal dalam sejarah lebih awalnya, kalkulus infinitesimal, merupakan cabang matematika yang berfokus pada konsep limit, fungsi, turunan, integral, dan deret takhingga. Isaac Newton dan Gottfried Leibniz menemukan kalkulus secara terpisah pada pertengahan abad ke-17. Namun dalam pertikaian yang pahit, Leibniz dituduh bahwa ia mencuri karya Newton dan sebaliknya. Pertikaian ini berlanjut hingga kematian mereka berdua.

Definisi 
Sebuah fungsi dengan variabel real, , dikatakan terdiferensialkan atau dapat diturunkan pada suatu titik  di domainnya, jika domain fungsi tersebut mengandung suatu interval buka  yang beranggotakan , dan nilai limit

ada. Hal ini mengartikan bahwa, untuk setiap bilangan real positif  (bahkan jika nilainya sangat kecil), akan ada suatu bilangan real positif  sedemikian sehingga, untuk semua  yang memenuhi  dan , menyebabkan nilai  terdefinisi dandengan bar vertikal menyatakan nilai mutlak (lihat definisi epsilon-delta dari limit).

Jika fungsi  terdiferensialkan di , dengan kata lain jika nilai limit  ada, maka nilai limit ini disebut turunan dari  di , dan dinyatakan dengan  atau  (dibaca "turunan dari  terhadap  di " atau " per  di ").

Kekontinuan dan keterdiferensialan 

Fungsi  yang terdiferensialkan di suatu titik , juga akan bersifat kontinu di titik tersebut. Sebagai contoh dari sifat ini, misalkan    adalah fungsi tangga yang menghasilkan nilai 1 untuk semua  kurang dari nilai , dan menghasilkan nilai yang berbeda, misalnya 10, untuk semua nilai  yang lebih besar atau sama dengan . Fungsi  tidak dapat memiliki turunan di titik . Untuk nilai  yang negatif, titik  akan terletak di sisi rendah dari fungsi tangga, menjadikan garis sekan dari  ke  akan sangat curam; dan semakin curam saat  menuju nol. Sedangkan nilai  yang positif, maka  terletak pada sisi tinggi dari fungsi tangga, sehingga garis sekan dari  ke  tidak memiliki kemiringan (datar). Alhasil garis-garis sekan tidak menuju besar kemiringan yang sama, mengakibatkan nilai limit dari persamaan beda tidak ada.

Tetapi, bahkan jika fungsi kontinu di suatu titik, fungsi tersebut mungkin tidak terdiferensialkan di sana. Sebagai contoh, fungsi nilai mutlak  bersifat kontinu di , namun tidak terdiferensialkan di titik itu. Jika  positif, maka kemiringan dari garis sekan dari 0 ke  bernilai 1, sedangkan jika  negatif, maka kemiringan garis sekan dari 0 ke  bernilai -1. Bahkan fungsi mulus tidak dapat diturunkan di titik yang garis singgungnya merupakan garis vertikal: Sebagai contoh, fungsi  tidak terdiferensialkan di .

Secara singkat, fungsi yang terdiferensialkan adalah fungsi yang kontinu, tetapi ada fungsi kontinu yang tidak dapat didiferensialkan.

Sebagian besar fungsi pada praktiknya memiliki turunan di semua titik atau hampir semua titik. Pada awal sejarah kalkulus, banyak matematikawan mengasumsikan fungsi kontinu dapat diturunkan di banyak titik. Pada kondisi yang standar, hal ini berlaku karena kebanyakan fungsi adalah fungsi monoton atau fungsi Lipschitz. Tetapi pada tahun 1872, Weierstrass menemukan contoh pertama dari fungsi yang kontinu dimanapun namun tidak terdiferensialkan dimanapun. Contoh tersebut sekarang dikenal sebagai fungsi Weierstrass.

Turunan sebagai sebuah fungsi 

Misalkan  adalah fungsi yang memiliki turunan di setiap titik di domainnya. Seseorang dapat mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan setiap titik  ke nilai dari turunan  di . Salah satu notasi untuk menulis fungsi ini adalah , dan disebut sebagai fungsi turunan atau turunan dari . Terkadang  memiliki turunan pada sebagian besar, tapi tidak semua, titik di domainnya. Fungsi yang nilainya di  sama dengan  kapanpun nilai  terdefinisi, dan tidak terdefinisi di nilai-nilai yang lainnya, juga disebut turunan dari . Fungsi ini memiliki domain yang lebih kecil daripada domain dari .

Menggunakan ide tersebut, turunan dapat dianggap sebagai fungsi dari fungsi: Turunan adalah sebuah operator dengan domainnya adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan di semua titik pada domain mereka, dan citra-nya (range) adalah himpunan berisi fungsi-fungsi. Jika operator ini dinyatakan dengan , maka  sama dengan fungsi . Selain itu, karena  adalah sebuah fungsi, nilainya dapat dihitung di titik . Dengan menggunakan definisi dari fungsi turunan, 

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi ;  adalah fungsi satu variabel yang bernilai real, mengartikan fungsi ini menerima sebuah angka lalu menghasilkan sebuah angka:

 

Operator  di sisi lain, tidak menerima maupun menghasilkan angka, melainkan fungsi:

 

Karena  menghasilkan sebuah fungsi, hasil dari  dapat dievaluasi di suatu titik. Sebagai contoh, ketika  diterapkan pada fungsi kuadrat ,  akan menghasilkan fungsi , yang dapat diberi nama . Fungsi hasil ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung , , dan seterusnya.

Notasi turunan 

Beberapa notasi untuk menyatakan turunan dikembangkan pada awal perkembangan kalkulus, dan beberapa notasi tersebut masih digunakan saat ini.

Notasi Leibniz 
Simbol , , dan  diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675. Notasi ini masih umum digunakan ketika persamaan  ingin dipandang sebagai hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas. Turunan pertama dengan notasi ini ditulis sebagaidan awalnya dianggap sebagai perbandingan dua besaran infinitesimal ("infinitely small", "yang tak hingga kecilnya"). Turunan tingkat tinggi, yakni turunan ke- dari , dituliskan sebagaiNotasi tersebut merupakan 'singkatan' dari penerapan operator turunan secara berulang. Sebagai contoh, notasi turunan kedua

 

Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan dari  di titik  dapat ditulis dalam dua cara berbeda:

 

Notasi Leibniz memungkinkan penulisan variabel diferensiasi (sebagai penyebut), yang berperan dalam turunan parsial. Notasi ini juga dapat digunakan untuk menulis aturan rantai sebagai{{#tag:ref|Dalam formulasi kalkulus menggunakan konsep limit, simbol du digunakan untuk menyatakan banyak hal oleh banyak penulis. Beberapa penulis tidak memandang du tidak memiliki makna tersendiri, dan hanya terdefinisi sebagai bagian dari simbol du/dx. Penulis yang lain mendefinisikan dx sebagai variabel bebas, dan du' sebagai .  Dalam analisis non-standar, du didefinisikan sebagai suatu infinitesimal, dan juga dapat dipandang sebagai turunan eksterior dari fungsi u. Lihat diferensial (matematika) untuk informasi lebih lanjut.|group=Note}}

 

Selain itu, notasi Leibniz memperlihatkan hubungan variabel yang sesuai dengan analisis dimensi. Sebagai contoh, turunan kedua  memiliki dimensi yang sama dengan .

 Notasi Lagrange 
Terkadang disebut dengan notasi petik/prima (prime notation), salah satu notasi turunan yang umum lainnya adalah notasi yang diperkenalkan Joseph-Louis Lagrange. Notasi ini menggunakan simbol prima, yang mirip dengan simbol petik. Turunan dari fungsi  dituliskan sebagai . Serupa dengan itu, turunan kedua dan ketiga dari fungsi ditulis sebagai

    dan   

Untuk menyatakan turunan tingkat tinggi, beberapa penulis menggunakan angka Romawi yang ditulis sebagai tika atas, sedangkan yang lain menuliskan angka dalam simbol kurung:

    atau   

Notasi yang kedua dapat diperumum untuk menghasilkan notasi  untuk turunan ke-n dari . Notasi ini ringkas dan paling berguna ketika turunan dianggap sebagai fungsi tersendiri, berbeda dengan notasi Leibniz yang mengganggap turunan sebagai hubungan antar variabel. Nilai fungsi turunan ke-n di  dituliskan sebagai .

 Notasi Newton 
Notasi Newton untuk turunan juga disebut sebagai notasi dot/titik. Notasi ini menggunakan titik yang diletakkan di atas nama fungsi, untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Jika , maka

    dan   

masing-masing menyatakan turunan pertama dan turunan kedua dari . Notasi Newton saat ini hanya digunakan untuk turunan terhadap waktu atau terhadap panjang busur, yang umum ditemukan dalam persamaan diferensial di fisika dan geometri diferensial. Notasi Newton, malangnya, sulit digunakan untuk turunan tingkat tinggi (turunan ke-4 atau lebih), dan tidak dapat digunakan untuk fungsi multivariabel.

 Notasi Euler 
Notasi yang diperkenalkan Leonhard Euler menggunakan operator diferensial , yang ketika diterapkan pada sebuah fungsi  akan menghasilkan turunan pertama . Turunan ke-n dengan notasi ini ditulis sebagai . Jika  adalah variabel terikat, maka tika bawah  umum dilekatkan ke  untuk memperjelas  adalah variabel bebas. Notasi Euler selanjutnya dapat ditulis sebagai

    atau  ,

walaupun tika bawah umumnya tidak digunakan jika konteks variabel  dapat dipahami, contohnya ketika  adalah satu-satunya variabel bebas dalam ekspresi. Notasi Euler berguna dalam menyatakan dan menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.

 Kaidah dalam menentukan turunan fungsi 
 
Definisi turunan dapat digunakan untuk menentukan turunan suatu fungsi, seperti  dan . Proses ini dilakukan membuat persamaan perbandingan beda, lalu menghitung limitnya. Tapi pada praktiknya proses ini seringkali melelahkan. Dalam pendidikan terkait kalkulus diferensial, proses ini hanya dilakukan pada awal pembelajaran. Selanjutnya, menentukan turunan fungsi dilakukan dengan merujuk pada tabel/daftar turunan fungsi yang umum maupun dengan menggunakan aturan-aturan turunan.

 Kaidah untuk fungsi-fungsi dasar 
Setiap aturan pada bagian ini dapat dihasilkan dengan membuat persamaan beda, lalu menghitung limit . Proses tersebut memerlukan strategi yang berbeda untuk mendapatkan hasil turunan, tergantung jenis fungsinya. Pada bagian ini,  berupa bilangan real.

 Turunan pangkat:
 
 
 Turunan implisit:
Contoh 1: mencari turunan dy/dx dari:dapat dilakukan dengan cara berikut:Contoh 2: mencari turunan dx/dy dari:dapat dilakukan dengan cara berikut:
 Fungsi eksponensial dan logaritma:
 
 
 
 
 Fungsi trigonometri:
 
 
 
 Fungsi invers trigonometri:
 
 
 

 Kaidah untuk fungsi komposit 
Beberapa aturan berikut dapat digunakan untuk menentukan turunan komposisi fungsi dengan membaginya menjadi masalah-masalah turunan yang lebih sederhana. Pada bagian ini, , , dan  adalah fungsi yang terdiferensialkan pada selang .

 Aturan konstanta:
  untuk  berupa fungsi konstan.
 Kaidah jumlah:
  untuk semua fungsi  dan , dan untuk semua bilangan real  dan .
 Kaidah darab:
  untuk semua fungsi  dan . Aturan ini mencakup kasus yang istimewa, yakni fakta bahwa  dengan  berupa konstanta. Karena menurut aturan konstanta, .
 Kaidah hasil-bagi:
  untuk semua fungsi  dan , di semua titik  di  yang memenuhi . Pada kasus  berupa fungsi konstan bernilai , akan didapatkan hubungan 
 Aturan rantai untuk komposisi fungsi:
 Jika fungsi  terdiferensialkan pada selang , dan fungsi  terdiferensialkan pada selang  ( adalah citra dari  yang dihasilkan fungsi ), maka komposisi fungsi  terdiferensialkan di  dan
 
 Kaidah fungsi invers:
 Jika fungsi  bersifat bijektif, dan  adalah invers dari fungsi tersebut, maka
 
 Hubungan ini berlaku sembarang titik  yang memenuhi 

 Contoh perhitungan 
Turunan dari fungsi

 

dapat dilakukan dengan pertama kali menerapkan kaidah jumlah; turunan dari penjumlahan fungsi-fungsi sama dengan penjumlahan dari turunan fungsi-fungsi:

Tahap selanjutnya adalah menghitung turunan dari masing-masing fungsi. Kaidah rantai digunakan untuk menentukan turunan dari , sedangkan kaidah darab digunakan untuk menentukan turunan :

 

 Turunan tingkat tinggi 
Misalkan  adalah fungsi terdiferensialkan, dan  adalah fungsi turunannya. Turunan dari  (jika ada) ditulis sebagai  dan disebut turunan kedua dari . Serupa dengan itu, turunan dari turunan kedua, jika ada, ditulis sebagai  dan disebut turunan ketiga dari ; dan seterusnya. Turunan berulang ini disebut turunan tingkat tinggi. Turunan ke- juga dapat dituliskan sebagai . Jika  menyatakan posisi suatu objek pada waktu , maka turunan tingkat tinggi dari  memiliki interpretasi khusus dalam bidang fisika. Turunan pertama dari  menyatakan kecepatan objek, turunan kedua menyatakan besar akselerasinya, sedangkan turunan ketiga dari  menyatakan sentakan.

 Fungsi mulus 

Sebuah fungsi yang dapat diturunkan tak hingga kali disebut fungsi mulus. Tidak semua fungsi merupakan fungsi mulus; sebagai contoh, fungsi  yang tidak kontinu tidak dapat diturunkan. Serupa dengan itu, bahkan jika  memiliki turunan, fungsi turunan keduanya mungkin tidak ada. Sebagai contoh, misalkan fungsi

 

Perhitungan menunjukkan bahwa  adalah fungsi yang terdiferensialkan namun tidak memiliki turunan di nol. Jika suatu fungsi dapat diturunkan  kali berturut-turut dan turunan ke--nya bersifat kontinu, maka fungsi tersebut merupakan anggota kelas keterdiferensialan .

 Polinomial Taylor dengan sisa 

Pada garis bilangan real, setiap fungsi polinomial terdiferensialkan tak hingga kali. Dengan menggunakan kaidah turunan pangkat, sebuah polinomial berderajat  akan menjadi fungsi konstan jika diturunkan sebanyak  kali. Semua turunan fungsi tersebut selanjutnya sama dengan 0 (fungsi konstan). Hal ini mengartikan fungsi polinomial termasuk fungsi mulus.

Turunan tingkat tinggi dari sebuah fungsi  di suatu titik , akan memberikan hampiran polinomial terbaik untuk fungsi tersebut di sekitar titik . Sebagai contoh, jika  terdiferensialkan dua kali, maka

 

dalam artian bahwa

 

Jika  terdiferensialkan tak hingga kali, maka persamaan turunan kedua dapat diteruskan menjadi deret Taylor untuk fungsi  yang dievaluasi di  sekitar titik .

 Kaidah untuk turunan tingkat tinggi 

 Aturan Leibniz
 Jika  dan  dapat diturunkan sebanyak  kali, maka turunan ke- dari fungsi  adalah 
 
 Ekspresi  yang muncul pada persamaan tersebut menandakan koefisien binomial. Aturan ini adalah perumuman dari kaidah darab.

 Turunan pada sistem bilangan kompleks 
Definisi dan aturan-aturan terkait turunan dapat diperumum untuk fungsi dengan variabel kompleks dan nilai kompleks. Perumuman ini dapat dilakukan karena bilangan kompleks juga memiliki sifat penjumlahan, perkalian, dan pembagian; sama seperti bilangan real. Selain itu, konsep jarak (Euklides) antar bilangan pada bilangan kompleks dapat dijelaskan secara sederhana.

Jika  berupa himpunan buka, dan  adalah fungsi bernilai kompleks, maka  dikatakan terdiferensialkan di titik  bila nilai limit

 

ada. Turunan kompleks ini disimbolkan dengan  Definisi ini memungkinkan untuk menggunakan konsep kelinearan: turunan menyatakan besar "kemiringan" dari fungsi [kompleks] linear terbaik yang menghampiri fungsi  Tapi, perhatian lebih diperlukan karena nilai  pada limit berupa bilangan kompleks. Berbeda dengan limit pada bilangan real yang hanya memerlukan dua arah ("limit dari kanan" dan "limit dari kiri"), limit pada bilangan kompleks dapat "bergerak" dari takhingga banyaknya arah. Akibatnya, konsep turunan fungsi kompleks jauh lebih ketat ketimbang pada fungsi bernilai real. Sebagai contoh fungsi nilai mutlak kompleks tidak memiliki turunan dimanapun. Sebuah fungsi kompleks dapat diturunkan pada suatu titik, jika dan hanya jika fungsi tersebut memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik tersebut.

Walaupun (atau tepatnya karena) konsep turunan yang jauh lebih ketat, aturan-aturan perhitungan turunan pada fungsi bilangan real dapat digunakan untuk fungsi bilangan kompleks. Hal ini mencakup aturan jumlah, darab, dan rantai, juga aturan fungsi invers. Banyak fungsi kompleks, seperti eksponensial dan logaritma, memiliki sifat turunan yang mirip dengan versi realnya.

Jika fungsi  terdiferensialkan di keseluruhan domain , maka fungsi  disebut fungsi holomorfik di . Fungsi kompleks yang terdiferensialkan di keseluruhan  disebut fungsi entire. Fungsi holomorfik memiliki beberapa sifat yang unik. Sebagai contoh, teorema Picard menyimpulkan bahwa citra (range) dari fungsi entire hanya dapat berupa:   atau  untuk suatu  Hasil ini dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa, jika fungsi kompleks  tidak pernah menghasilkan nilai  maupun nilai , maka  adalah fungsi konstan.

 Turunan untuk fungsi bernilai vektor 
Sebuah fungsi bernilai vektor  dengan variabel real, adalah fungsi yang memetakan bilangan real (ril) ke suatu vektor di suatu ruang vektor . Fungsi bernilai vektor dapat dibagi menjadi fungsi-fungsi koordinatnya, . Hal ini mengartikan fungsi  dapat ditulis sebagai . Contoh dari fungsi bernilai vektor adalah kurva parametrik di  atau . Fungsi-fungsi koordinat adalah fungsi bernilai real, mengakibatkan definisi turunan dapat diterapkan bagi mereka semua. Turunan dari fungsi  didefinisikan sebagai sebuah vektor, disebut vektor singgung, yang koordinatnya adalah nilai turunan dari semua fungsi koordinatnya. Dengan kata lain,Bentuk tersebut dapat dihasilkan dari menghitungdengan mengasumsikan limit dari fungsi tersebut ada. Sebagai contoh, bila  adalah vektor yang menandakan posisi suatu partikel pada waktu , turunan  dapat dipandang sebagai vektor kecepatan dari partikel pada waktu .

 Turunan untuk fungsi multivariabel 

Pembahasan pada bagian-bagian sebelumnya hanya memperhatikan fungsi dengan satu variabel. Fungsi yang memetakan vektor ke vektor maupun vektor ke bilangan juga dapat memiliki turunan. Tetapi, garis singgung pada grafik fungsi tersebut belum tentu unik, karena ada banyak arah yang mungkin untuk membuat garis tersebut. Oleh karena itu, perumuman turunan diperlukan untuk jenis fungsi ini.

 Keterdiferensialan dan matriks Jacobi 

 Turunan parsial 

Misalkan  adalah fungsi multivariabel, sebagai contoh  Fungsi  dapat dianggap sebagai keluarga fungsi satu variabel yang diindeks oleh variabel-variabel yang lain:

 

Dalam contoh ini, setiap nilai  akan menghasilkan sebuah fungsi  yang merupakan fungsi satu variabel. Hal ini dapat dinyatakan dengan pemetaan

 
 

Setelah suatu nilai  dipilih, misalnya , maka  selanjutnya menentukan sebuah fungsi  yang memetakan  ke , juga dapat ditulis sebagai . Dalam ekspresi tersebut  adalah sebuah konstanta dan bukan sebuah variabel, menjadikan  sebagai fungsi satu variabel. Alhasil, definisi turunan untuk fungsi satu variabel berlaku:

 

Prosedur ini dapat diterapkan untuk sembarang pemilihan nilai . Menggunakan notasi Leibniz, turunan ini menyampaikan perbandingan perubahan nilai fungsi  dalam arah :

 

dan disebut sebagai turunan berarah dari  terhadap . Dalam ekspresi tersebut, simbol ∂ adalah huruf d melengkung yang disebut sebagai simbol turunan parsial. Untuk membedakannya dengan huruf d yang digunakan dalam turunan satu variabel, ∂ terkadang dilafalkan sebagai "der", "del", atau "parsial", ketimbang "de".

Secara umum, turunan parsial sebuah fungsi  dalam arah  di titik  didefinisikan sebagai

 

Dalam perbandingan beda di atas, semua nilai variabel kecuali  dibuat konstan. Tindakan membuat konstan variabel-variabel ini akan menghasilkan fungsi satu variabel

 

dan dari definisi,

 

Ekspresi ini juga menunjukkan bahwa perhitungan turunan parsial dapat disederhanakan menjadi perhitungan turunan satu variabel.

Turunan parsial juga memainkan peran penting dalam pembahasan terkait fungsi bernilai vektor. Misalkan  sebagai fungsi bernilai vektor. Jika semua turunan parsial  terdefinisi di titik , turunan-turunan parsial ini mendefinisikan sebuah vektor

 

yang disebut sebagai gradien dari  di . Jika  terdiferensialkan di setiap titik di suatu domain, maka gradien adalah sebuah fungsi bernilai vektor  yang memetakan titik  ke vektor . Akibatnya, gradien menentukan suatu medan vektor.

 Turunan berarah 

Jika  adalah fungsi bernilai real di , maka turunan parsial  mengukur variasi turunan dalam arah sumbu koordinat. Sebagai contoh, jika  adalah fungsi dari  dan , maka turunan parsial  mengukur variasi di  dalam arah  dan . Tapi, turunan  tidak mengukur secara langsung variasi  pada setiap arah lainnya, contohnya di sepanjang garis diagonal . Ini diukur menggunakan turunan berarah. Misalkan vektor

 turunan berarah  dalam arah  di titik x didefinisikan melalui limit

 

Dalam beberapa kasus, menghitung atau menaksir turunan berarah akan lebih mudah setelah panjang vektor diubah. Proses ini seringkali dilakukan dengan mengubah suatu masalah menjadi perhitungan berupa turunan berarah dalam arah satuan vektor. Sebagai contoh, misalkan  dan  adalah satuan vektor pada arah . Mensubstitusi  ke perbandingan beda di ruas kanan persamaan, akan menghasilkan bentuk

 

Dengan mengambil limit  menuju nol dari persamaan di atas, didapatkan hubungan turunan berarah  dalam arah vektor  sama saja dengan  kali turunan berarah  dalam arah vektor satuan . Oleh karena itu, . Karena sifat penskalaan ini, turunan berarah seringkali digunakan hanya untuk vektor satuan.

Jika semua turunan parsial  ada dan kontinu di , maka semua turunan parsial menentukan turunan berarah  pada arah  melalui rumus berikut:

 

Rumus di atas merupakan akibat dari definisi turunan total. Rumus ini juga menunjukkan bahwa turunan berarah bersifat linear di , dalam artian .

Definisi yang sama juga berlaku ketika  berupa fungsi yang memiliki nilai di ; dengan menerapkan definisi pada setiap komponen vektor. Pada kasus ini, turunan berarah merupakan vektor di .

 Diferensial total dan matriks Jacobi 
Jika  merupakan sebuah fungsi dari himpunan terbuka dari  ke , maka turunan berarah  dalam arah yang dipilih merupakan hampiran linear terbaik ke  di titik dan arah tersebut. Tetapi jika , maka tidak ada turunan berarah tunggal yang dapat memberikan gambaran lengkap mengenai perilaku fungsi . Turunan total memberikan gambaran lengkap dengan meninjau semua arah sekaligus. Dalam artian, untuk suatu vektor  yang dimulai dari , terdapat rumus hampiran linear yang berlaku sebagai:

 

Sama seperti turunan satu variabel,  dipilih sehingga galat hampiran tersebut dapat dibuat sekecil mungkin.

Jika  dan  bernilai 1, maka turunan  merupakan sebuah nilai dan bentuk  merupakan hasil kali dari dua bilangan. Tetapi dalam dimensi yang lebih tinggi,  tidak dapat berupa sebuah bilangan. Jika  adalah sebuah bilangan, maka  akan berupa vektor di . Sedangkan bentuk-bentuk lainnya berupa vektor di  sehingga rumus hampiran linear menjadi tidak masuk akal. Agar rumus hampiran linear menjadi masuk akal,  harus sebuah fungsi yang memetakan vektor di  ke vektor di , dan  harus menyatakan fungsinya dapat dihitung di .

Untuk menentukan jenis fungsi apakah tersebut, perhatikan bahwa rumus hampiran linear dapat ditulis ulang sebagai

 

Perhatikan bahwa jika vektor lain dipilih, katakanlah , maka persamaan hampiran tersebut menentukan persamaan hampiran lain dengan memasukkan  ke . Ini menentukan persamaan aproksimasi ketiga dengan memasukan nilai  ke  dan  ke . Dengan mengurangi kedua persamaan tersebut akan mendapatkan persamaan berikut.

 

Jika diasumsikan bahwa  bernilai kecil dan bahwa perubahan turunan kontinu di , maka  kira-kira sama dengan . Karena itu, ruas kanan pada persamaan tersebut kira-kira sama dengan nol. Ruas kiri pada persamaan dapat ditulis ulang dalam cara yang berbeda dengan menggunakan rumus hampiran linear, dengan  dimasukkan . Rumus hampiran linear menyiratkan:

 

Rumus tersebut menyarankan bahwa  merupakan transformasi linear dari ruang vektor  ke ruang vektor . Bahkan rumus ini dapat membuat sebuah turunan yang tepat dengan mengukur galat pada hampirannya. Asumsi bahwa galat pada rumus hampiran linear dibatasi oleh hasil kali dari konstanta dengan , dengan konstantanya bebas dari  namun kontinu bergantung pada . Setelah menambahkan sebuah bentuk galat yang sesuai, maka semua persamaan hampiran di atas dapat ditulis ulang sebagai pertidaksamaan. Khususnya,  merupakan sebuah transformasi linear hingga bentuk galat kecil. Dalam limit, ketika  dan  menuju ke nol,  harus berupa transformasi linear. Karena turunan total didefinisikan dengan mengambil limit ketika  menuju ke nol,  harus berupa transformasi linear.

 Kaidah untuk turunan fungsi multivariabel 

 Turunan implisit 

 Contoh penerapan 

 Turunan pada sistem bilangan hiperreal 
Dalam matematika, bilangan hiperreal adalah sebuah cara memaknai besaran tak hingga dan infinitesimal (tak hingga kecilnya tapi tidak nol). Hiperreal adalah perumuman dari himpunan bilangan real , dan mencakup bilangan-bilangan yang lebih besar daripada  (untuk sembarang terhingga banyaknya suku). Pada sistem bilangan ini, turunan fungsi real  di titik real  dapat didefinisikan sebagai bayangan perbandingan  untuk infinitesimal , dengan . Perluasan (perumuman, ekstensi) alami fungsi  untuk hiperreal masih dilambangkan sebagai , dan turunannya dikatakan ada jika besar bayangan tidak bergantung pada pemilihan infinitesimal.

 Perumuman 

Konsep turunan dapat diperluas menjadi perumuman lainnya. Kaitan yang paling umumnya adalah turunan fungsi di sebuah titik disajikan sebagai hampiran linear dari fungsi pada titik tersebut.

 Perumuman penting mengenai turunan melibatkan fungsi kompleks dari variabel kompleks, seperti fungsi (dengan domain) bilangan kompleks  ke . Gagasan turunan fungsi kompleks diperoleh dengan menggantikan variabel real dengan variabel kompleks melalui definisi berikut: Jika  diidentifikasi sebagai  dengan menulis bilangan kompleks  sebagai , maka sebuah fungsi terdiferensialkan dari  ke  pasti terdiferensialkan sebagai sebuah fungsi dari  ke  (dalam artian bahwa semua turunan parsial juga ada), tetapi kebalikannya tidak benar pada umumnya: turunan kompleks hanya ada jika turunan real merupakan linear kompleks dan turunan kompleks memaksakan kaitannya antara turunan parsial yang disebut sebagai persamaan Cauchy–Riemann – lihat fungsi holomorfik.
 Perumuman lainnya melibatkan fungsi antara manifold terdiferensialkan atau manifold mulus. Secara intuitif, manifold  dikatakan sebagai ruang yang dapat dihampiri mendekati setiap titik  melalui sebuah ruang vektor yang disebut sebagai ruang garis singgung: contoh prototipikalnya adalah permukaan mulus di . Turunan (atau diferensial) dari peta (terdiferensialkan)  di antara manifold, di sebuah titik  di , merupakan peta linear dari ruang singgung  di  ke ruang singgung  di , sehingga turunan fungsi menjadi sebuah peta antara berkas garis singgung '' dan . Definisi tersebut merupakan bentuk dasar dalam geometri diferensial, dan definisi tersebut mempunyai banyak kegunaan – lihat pushforward dan pullback.
 Diferensiasi juga dapat didefinisikan sebagai pemetaan antara ruang vektor dimensi takhingga, seperti ruang Banach dan ruang Fréchet. Perumuman dari turunan berarah disebut turunan Gateaux, dan perumuman dari diferensial disebut turunan Fréchet.
 Salah satu kekurangan turunan biasa adalah bahwa ada sangat banyak sekali fungsi yang tidak terdiferensialkan. Namun ada cara memperluas gagasan turunan sehingga semua fungsi kontinu dan fungsi lainnya dapat diturunkan melalui konsep yang dikenal sebagai turunan lemah. Tujuannya adalah agar memasukkan fungsi kontinu dalam sebuah ruang yang lebih besar yang disebut ruang distribusi, dan tujuan ini hanya mengharuskan bahwa fungsi "rata-rata" terdiferensialkan.
 Pengenalan dan studi mengenai banyak topik yang serupa dalam aljabar dan topologi diilhami melalui sifat-sifat turunan — sebagai contoh, lihat aljabar diferensial.
 Definisi turunan yang ekuivalen diskret adalah beda hingga. Dalam kalkulus skala waktu, studi mengenai kalkulus diferensial disatukan dengan kalkulus beda hingga.

Lihat pula 

 Analisis matematis
 Aturan pendiferensialan
 Diferintegral
 Generalisasi turunan
 Integral
 Infinitesimal
 Invers perkalian
 Kelajuan (mathematika)
 Kelas keterdiferensialan
 Linearisasi
 Pendiferensialan numerik
 Pendiferensialan otomatik
 Penerapan turunan
 Sejarah kalkulus
 Teorema Radon–Nikodym
 Turunan aritmetika
 Turunan fraktal
 Turunan Hasse
 Turunan Schwarz
 Turunan simetrik

Catatan kaki

Referensi

Daftar pustaka

Buku cetak

Buku daring

Pranala luar 

Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"

 Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.

Analisis matematika
Fungsi matematika
Kalkulus diferensial
Kelajuan
Operator linear dalam kalkulus
Perubahan