Bola (geometri)

Bola adalah objek geometri dalam ruang tiga dimensi yang merupakan permukaan dari bola, analog dengan objek melingkar dalam dua dimensi, yaitu "lingkaran" adalah batas dari "cakram".

Seperti lingkaran dalam ruang dua dimensi, bola secara matematis didefinisikan sebagai himpunan titik yang berjarak sama  dari titik tertentu dalam ruang tiga dimensi. Jarak  adalah radius bola, yang terbentuk dari semua titik dengan jarak kurang dari atau, untuk bola tertutup, kurang dari atau sama dengan  dari titik tertentu, yang merupakan pusat matematika bola. Ini juga disebut sebagai jari-jari dan pusat bola. Ruas garis lurus terpanjang melalui bola, menghubungkan dua titik bola, melewati pusat dan panjangnya dengan demikian dua kali jari-jari; itu adalah diameter dari kedua bola dan bolanya.

Sementara di luar matematika istilah "bola" dan "bola" terkadang digunakan secara bergantian, dalam matematika perbedaan di atas dibuat dengan antara bola, yang merupakan permukaan tertutup dua dimensi pembenaman dalam ruang Euklides tiga dimensi, dan bola, yang merupakan bentuk tiga dimensi yang mencakup bola dan segala sesuatu di dalam bola (bola tertutup), atau, lebih sering, hanya titik di dalam, namun bukan di antara bola (bola terbuka). Ini sejalan dengan situasi dalam bidang, dimana istilah "lingkaran" dan "cakram" juga dapat dikacaukan.

Persamaan dalam tiga dimensi 

Dalam geometri analitik, bola dengan pusat  dan jari jari  adalah lokus titik  sedemikian rupa sehingga

biarkan  bilangan real dengan sebuah  dan put

Lalu persamaan

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika  dan disebut persamaan bola imajiner. Jika , satu-satunya solusi  adalah intinya  dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini ,  adalah persamaan bola yang pusatnya adalah  dan yang radiusnya adalah .

Jika  dalam persamaan di atas adalah nol maka  adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari  dan pusat  dapat diparameterisasi via

Keliling  dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling  dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, dan , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis elips khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.

Rumus bola

Luas permukaan 
Luas permukaan pada bola yaitu.

Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area. Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan  karena volume total di dalam bola jari-jari  dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari  hingga jari jari . Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shell yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari  hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari  dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu , volume tambahan  sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari  dan ketebalan cangkang :

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:

Dalam batas ketika  mendekati nol  persamaan ini menjadi:

Pengganti :

Membedakan kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan  menghasilkan  sebagai fungsi :

di mana r sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh . Dalam Kordinat Kartesius, elemen luas adalah
 

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu. Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut luas permukaan spesifik dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

Volume 
Volume pada bola yaitu:

Pada setiap  yang diberikan , volume tambahan  sama dengan produk dari luas penampang disk pada  dan ketebalannya :
 

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:
 

Dalam batas ketika  mendekati nol, persamaan ini menjadi:
 

Pada setiap x yang diberikan , segitiga siku-siku menghubungkan x , y dan r ke titik asal; karenanya, menerapkan Teorema Pythagoras menghasilkan:
 

Menggunakan substitusi ini memberi
 

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya
 

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume
 

begitu
 
Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena , di mana d adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan
 ≈ 0.5236. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1  m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m 3

Kurva pada bola

Lingkaran 

 Perpotongan bola dan bidang adalah lingkaran, titik atau kosong.
Dalam kasus lingkaran, lingkaran tersebut dapat dijelaskan dengan persamaan parametrik : lihat penampang bidang dari ellipsoid.

Namun permukaan yang lebih rumit juga dapat memotong sebuah bola dalam lingkaran:
 Perpotongan bola yang tidak kosong dengan permukaan revolusi, porosnya berisi pusat bola yaitu koaksial yang terdiri dari lingkaran dan/atau titik.

Diagram menunjukkan kasus, dimana perpotongan tabung dan bola terdiri dari dua lingkaran. Jika jari-jari tabung sama dengan jari-jari bola, perpotongannya menjadi satu lingkaran, dimana kedua permukaan bersinggungan.

Dalam kasus sferoid dengan pusat dan sumbu utama yang sama dengan bola, persimpangan akan terdiri dari dua titik (simpul), dimana permukaannya bersinggungan.

Kurva Clelia 

Jika bola dijelaskan dengan wakilan parametrik 

maka akan mendapat kurva Clelia, jika sudut-sudutnya dihubungkan dengan persamaan

Kasus khususnya adalah: kurva Viviani () dan spiral bola (), sebagai contohnya spiral Seiffert.

Loksodrom 

Dalam navigasi, loksodrom adalah busur yang melintasi semua meridian dari garis bujur pada sudut yang sama. Garis Rhumb bukanlah spiral bola. Tidak ada hubungan sederhana antara sudut  dan .

Persimpangan bola dengan permukaan yang umum 

Jika sebuah bola berpotongan dengan permukaan lain, mungkin ada kurva bola yang lebih rumit.

 Contoh bola-tabung

Perpotongan bola dengan persamaan  dan tabung dengan persamaan  bukan hanya satu atau dua lingkaran. Ini adalah solusi dari sistem persamaan non linear 

lihat kurva implisit dan diagram

Sifat geometris 
Bola secara unik ditentukan oleh empat titik yang bukan koplanar. Secara lebih umum, bola secara unik ditentukan oleh empat kondisi seperti melewati suatu titik, bersinggungan dengan bidang, dll. Sifat ini analog dengan properti bahwa tiga titik non-kollinear menentukan lingkaran unik dalam sebuah bidang.

Maka, sebuah bola unik ditentukan oleh sebuah lingkaran dan sebuah titik yang tidak berada di bidang lingkaran itu.

Dengan memeriksa solusi umum dari persamaan dua bola, dapat dilihat bahwa dua bola berpotongan dalam satu lingkaran dan bidang yang mengandung lingkaran itu disebut bidang radikal dari bola berpotongan. Meskipun bidang radikal adalah bidang riil, lingkaran mungkin imajiner yaitu bola tidak memiliki titik yang sama atau terdiri dari satu titik sebagai bola bersinggungan pada titik itu.

Sudut antara dua bola pada titik perpotongan sebenarnya adalah sudut dihedral yang ditentukan oleh bidang bersinggungan dengan bola pada titik tersebut. Dua bola berpotongan pada sudut yang sama di semua titik perpotongan lingkaran. Potongan pada sudut siku-siku adalah ortogonal jika dan hanya jika kuadrat jarak antara pusatnya sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya.

Pensil bola 

Jika  dan  adalah persamaan dari dua bidang yang berbeda

juga persamaan bola untuk nilai arbitrer dari parameter  dan . Himpunan semua bola memenuhi persamaan ini disebut pensil bola yang ditentukan oleh dua bola asli. Dalam definisi ini bola dijadikan menjadi bidang (jari-jari tak hingga, berpusat pada tak hingga) dan jika kedua bola asli adalah bidang maka semua bidang pensil adalah bidang, jika tidak, hanya ada satu bidang (bidang akar) dalam pensil.

Generalisasi

Dimensi 
Bola dapat digeneralisasikan ke ruang dengan jumlah dimensi berapa pun. Untuk bilangan asli , sebuah "-bola," sering kali ditulis sebagai , adalah Titi himpunan dalam (dimensi-) Ruang Euklides yang berada pada jarak tetap  dari titik pusat ruang itu, dimana , seperti sebelumnya, adalah bilangan riil positif. Khususnya:

 : bola 0 adalah sepasang titik akhir dari sebuah interval  dari garis sebenarnya
 : 1 bola adalah lingkaran dengan jari-jari r
 : 2-bola adalah bola biasa
 : 3-bola adalah bola dalam ruang Euclidean 4-dimensi.

Bola untuk  terkadang disebut hiperbola.

-bola dengan radius unit yang berpusat di titik asal dilambangkan  dan sering disebut sebagai -bola. Perhatikan bahwa bola biasa adalah bola 2, karena permukaannya 2 dimensi yang tertanam dalam ruang 3 dimensi.

Luas permukaan unit ()-bola adalah

dimana  adalah fungsi gamma Euler.

Ekspresi lain untuk luas permukaan adalah

dan volume adalah kali luas permukaan  atau

Rumus rekursif umum juga ada untuk volume dari -bola.

Ruang metrik 
Secara lebih umum, dalam ruang metrik , bola pusat  dan jari-jari  adalah titik himpunan  sedemikian rupa maka .

Jika pusatnya adalah titik dibedakan yang dianggap sebagai asal dari , seperti dalam ruang norma, itu tidak disebutkan dalam definisi dan notasi. Hal yang sama berlaku untuk jari-jari jika dianggap sama dengan satu, seperti dalam kasus bola unit.

Tidak dengan bola, bahkan sebuah bola besar dapat berupa himpunan kosong. Misalnya, dalam  dengan metrik Eullides, radius radius  tidak kosong hanya jika  bisa ditulis sebagai jumlah dari  kuadrat dari bilangan bulat.

Geometri bola 

Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis . Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik , yang merupakan lingkaran besar ; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik , termasuk postulat paralel . Dalam trigonometri bola , sudut didefinisikan antara lingkaran besar. Trigonometri bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

Lokus jumlah konstan 

Lokus titik dalam ruang sedemikian rupa sehingga jumlah ke  pangkat jarak  ke simpul dari padatan Platonis  dengan sirkumradius  konstan adalah sebuah bola, jika

,

yang pusatnya berada di pusat .

Nilai dari  bergantung pada jumlah simpul  dari padatan Platonis dan sama:

•   = 1,2 - untuk tetrahedron reguler,

•  = 1,2,3 - untuk oktahedron dan kubus,

•  = 1,2,3,4,5 - untuk ikosahedron dan dodekahedron.

Gambar

Bagian 

 Tutup bola
 Poligon bola
 Sektor bola
 Segmen Bulat
 Baji bulat
 Zona bola

Lihat pula 

 Tribola
 Bola Affin
 Bola bertanduk Alexander
 Bola kelestial
 Kubus
 Lengkungan
 Statistik arah
 Lengkungan puncak (matematika)
 Bola Dyson
 Tangan dengan bola refleksi, M.C. Escher gambar potret diri yang menggambarkan refleksi dan sifat optik bola cermin
 Bola Hoberman
 Bola homologi
 Grup bola homotopi
 Hiperbola
 Bola Lenart
 Masalah cincin serbet
 Orb (optik)
 Pseudobola
 Bola Riemann
 Sudut padat
 Pengepakan bola
 Koordinat bola
 Bola bumi
 Heliks bola, indikator tangen dari kurva presesi konstan
 Kebulatan
 Teorema bola tenis
 Bola Zoll
 Frustum bola

Catatan dan referensi

Catatan 
Bagian ini kosong

Referensi

Bacaan lebih lanjut 

 .
 
 .
 .
 .

Pranala luar 

 Sphere (PlanetMath.org website)
 
 Mathematica/Uniform Spherical Distribution
  (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
 Program in C++ to draw a sphere using parametric equation
 Surface area of sphere proof.

Geometri
Bentuk