Fungsi (matematika)

Fungsi dalam istilah matematika merupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain atau variabel bebas) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain atau variabel terikat) yang dapat dinyatakan dengan lambang , atau dapat menggunakan lambang , . Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contohnya adalah sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah , yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis .

Notasi 
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Fungsi sebagai relasi 
Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain, Kodomain, dan Range 

Misal diketahui fungsi f : A → B

Himpuan A disebut domain (daerah asal), himpunan B adalah kodomain (daerah kawan), dan anggota himpunan B yang memiliki pasangan di A disebut range (daerah hasil).

Sifat-sifat fungsi

Fungsi injektif 
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2  dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

Fungsi surjektif 
Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
F: A => B {(1,a), (2,a), (3,b)}

Fungsi bijektif 

Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Contoh:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c}
F: A => B {(1,a), (2,b), (3,c)}

Fungsi ganjil dan genap 
Rumus fungsi ganjil dan genap yaitu  untuk fungsi ganjil dan  untuk fungsi genap.

Fungsi eksplisit dan implisit 
 Fungsi eksplisit
Contoh: , , 

 Fungsi implisit
Ada dua jenis yaitu:
 implisit eksplisit
adalah fungsi yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh: , , 

 implisit noneksplisit
adalah fungsi yang dapat tidak diubah menjadi fungsi eksplisit.
Contoh:

Gambar fungsi pecahan 
Fungsi pecahan terdiri dari

  dengan p ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
 Titik sumbu x (y = 0)
 Titik sumbu y (x = 0)
 Asimtot datar 
 Asimtot tegak 
 Titik-titik lain

  dengan {p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
 Titik sumbu x (y = 0)
 Titik sumbu y (x = 0)
 Asimtot datar y = 0
 Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
 Harga Ekstrem/Titik balik
 diubah menjadi  lalu cari y dengan menggunakan diskriminan () lalu cari x dengan menggunakan ()
 Titik-titik lain

  dengan {a, p} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
 Titik sumbu x (y = 0)
 Titik sumbu y (x = 0)
 Asimtot tegak 
 Asimtot miring dimana pembilang dibagi penyebut yaitu  jadi ambil y = mx + n saja
 Harga Ekstrem/Titik balik
 diubah menjadi  lalu cari y dengan menggunakan diskriminan () lalu cari x dengan menggunakan ()
 Titik-titik lain

  dengan {a, p, q} ≠ 0.
Langkah untuk gambar:
 Titik sumbu x (y = 0)
 Titik sumbu y (x = 0)
 Asimtot datar 
 Asimtot tegak penyebut = 0 dengan cari x
 Harga Ekstrem/Titik balik
 diubah menjadi  lalu cari y dengan menggunakan diskriminan () lalu cari x dengan menggunakan ()
 Titik potong dengan asimtot datar untuk mencari x dimana y adalah asimtot datar
 Titik-titik lain

Komposisi fungsi

Contoh 
 Tentukan  dan  dari  dan !
 
 
 
 

 
 
 
 

 Tentukan  dari 
a !
b !

a
 
 
 
 
 

b
 
 
 
 

 Tentukan  dan  dari  dan !
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 Tentukan  dari 
a !
b !

a
 
 
 
 

b
 
 
 
 
 

 Tentukan  dari 
a !
b !

a
 
 
 
 
 

b

Referensi

Lihat pula 

 Fungsi invers
 Komposisi fungsi
 Himpunan
 Relasi biner

Fungsi matematika