Teori bilangan

Teori bilangan (atau aritmetika tinggi dalam penggunaan yang lama) adalah cabang dari matematika murni yang ditujukan terutama untuk mempelajari bilangan bulat dan fungsi bernilai bilangan bulat. Matematikawan asal Jerman Carl Friedrich Gauss (1777–1855) berkata, "Matematika ialah ratu dari ilmu pengetahuan—dan teori bilangan ialah ratu dari matematika." Ahli teori bilangan mempelajari bilangan prima serta sifat-sifat suatu objek matematika yang terbuat dari bilangan bulat (misalnya, bilangan rasional) atau didefinisikan sebagai generalisasi bilangan bulat (misalnya, bilangan bulat aljabar).

Bilangan bulat dapat dianggap baik dalam dirinya atau sebagai solusi persamaan (geometri Diophantine). Pertanyaan dalam teori bilangan seringkali paling baik dipahami melalui studi objek analitik (misalnya, fungsi Riemann zeta) yang menyandikan sifat suatu bilangan bulat, bilangan prima, atau objek teori bilangan lainnya dengan cara tertentu (teori bilangan analitik). Beberapa juga bisa mempelajari bilangan real dalam kaitannya dengan bilangan rasional, misalnya seperti yang mendekati yang terakhir (hampiran Diophantine).

Sejarah

Asal usul

Aritmatika awal

Penemuan sejarah paling awal dari suatu sifat aritmatika adalah fragmen dari tabel: pecahan lempengan tanah liat Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, kira-kira tahun 1800 SM) berisi daftar "Pythagoras   such that . Judul di atas kolom pertama berbunyi: "The takiltum dari diagonal yang telah dikurangi lebar..." bahwa dari rumus yang dibangun melalui jumlah, dalam bahasa modern, identitas

yang tersirat dalam latihan Babilonia yang sangat rutin. Bagaimana metode lain bisa menggunakan dengan pertama kali dibuat dan kemudian disusun ulang oleh , mungkin untuk penggunaan aktual sebagai "tabel", contohnya, dengan tampilan ke aplikasi.

Tidak diketahui apa aplikasi ini, atau apakah mungkin ada; Astronomi Babilonia, contohnya, baru baru ini benar menjadi pemilik belakangan. Dengan perlu mengalihkan untuk menyarankan bahwa tabel adalah sumber contoh numerik untuk masalah sekolah.

Sementara teori bilangan Babilonia atau yang bertahan dari matematika Babilonia yang dapat disebut demikian yang terdiri dari fragmen tunggal yang mencolok ini, aljabar Babilonia (dalam pengertian sekolah menengah " berkembang dengan sangat baik. Sumber-sumber Neoplatonik Akhir nyatakan bahwa Pythagoras belajar matematika dari Babilonia. Sumber jauh lebih awal menyatakan bahwa Thales dan Pythagoras bepergian dan belajar di Mesir.

Euclid IX 21 34 sangat mungkin adalah Pythagoras; itu adalah bahan yang sangat sederhana ("waktu ganjil genap", "jika bilangan ganjil mengukur [= membagi] bilangan genap, maka ia juga mengukur [= membagi] setengahnya"), tetapi hanya itu yang diperlukan untuk membuktikan nilai 2|]]
adalah irasional.  Mistikus Pythagoras sangat mementingkan ganjil dan genap.
Penemuan tersebut bahwa  tidak rasional dikreditkan ke Pythagoras awal (pra Theodorus). Dengan mengungkapkan (dalam istilah modern) bahwa angka bisa jadi tidak rasional, penemuan ini tampaknya telah memicu krisis mendasar pertama dalam sejarah matematika; bukti atau penyebarluasannya kadang-kadang dikreditkan ke Hippasus, yang dipisahkan dari sekte Pythagoras. Hal ini dapat memaksa perbedaan antara bilangan (bilangan bulat dan rasional subjek aritmatika), di satu sisi, dan panjang dan proporsi (yang akan kami identifikasi dengan bilangan real, apakah rasional atau tidak), di sisi lain.

Tradisi Pythagoras berbicara juga tentang apa yang disebut poligonal atau angka figur. Sementara bilangan kuadrat, bilangan kubik, dll., Sekarang dipandang lebih alami daripada bilangan segitiga, bilangan pentagonal, dll. Studi tentang jumlah
bilangan segitiga dan pentagonal terbukti bermanfaat pada awal periode modern (abad ke-17 hingga awal abad ke-19).

Kita tidak mengetahui materi aritmatika yang jelas dalam sumber Mesir kuno atau Weda, meskipun ada beberapa aljabar di keduanya. Teorema sisa Bahasa Hanzi muncul sebagai exe  di Sunzi Suanjing (abad ke 3, ke 4, atau ke 5 M) (Ada satu langkah penting yang ditutup-tutupi dalam solusi Sunzi: ini adalah masalah yang kemudian dipecahkan oleh Kuṭṭaka Āryabhaṭa lihat di bawah.)

Ada juga beberapa mistisisme numerik dalam matematika Tiongkok, tetapi, tidak seperti Pythagoras, tampaknya tidak mengarah ke mana pun. Seperti angka sempurna Pythagoras, persegi ajaib telah berubah dari takhayul menjadi rekreasi.

Yunani Klasik dan periode Helenistik awal

Selain dari beberapa fragmen, matematika Yunani Klasik diketahui oleh kita baik melalui laporan dari non-matematikawan kontemporer atau melalui karya matematika dari teori Helenistik awal. Dalam kasus teori bilangan, ini berarti, pada umumnya, Plato dan Euklides, masing-masing.

Sementara matematika Asia memengaruhi pembelajaran Yunani dan Helenistik, tampaknya matematika Yunani juga merupakan tradisi pribumi.

Eusebius, PE X, bab 4 menyebutkan Pythagoras:

"Faktanya, Pythagoras tersebut, sambil sibuk mempelajari kebijaksanaan setiap bangsa, mengunjungi Babilonia, dan Mesir, dan semua Persia, atas instruksi dari orang Majus dan para pendeta: dan selain itu dia terkait telah belajar di bawah bimbingan Brahmana (ini adalah filsuf India); dan dari beberapa dia mengumpulkan astrologi, dari geometri lain, dan aritmatika dan musik dari yang lain, dan hal-hal yang berbeda dari negara yang berbeda, dan hanya dari orang-orang bijak Yunani dia tidak mendapatkan apa-apa, menikah seperti mereka dalam kemiskinan dan kelangkaan kebijaksanaan: jadi sebaliknya dia sendiri menjadi penulis instruksi kepada orang-orang Yunani dalam pembelajaran yang dia peroleh dari luar negeri."

Aristoteles menyatakan bahwa filosofi Plato mengikuti ajaran Pythagoras, dan Cicero mengulangi klaim ini: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Mereka mengatakan Plato mempelajari semua hal Pythagoras").

Plato memiliki minat yang besar pada matematika, dan dengan jelas membedakan antara aritmatika dan perhitungan. (Dengan aritmatika yang dia maksud, sebagian, berteori tentang angka, daripada apa aritmatika.) Melalui salah satu dialog Plato — yaitu, Theaetetus kita tahu bahwa Theodorus telah membuktikan bahwa  tidak rasional. Theaetetus adalah, seperti Plato, murid Theodorus; dia bekerja pada membedakan berbagai jenis tidak dapat dibandingkan, dan dengan demikian bisa dibilang pelopor dalam studi sistem bilangan. (Buku X Elemen Euklides dijelaskan oleh Pappus sebagian besar didasarkan pada karya Theaetetus.)

Euklides mengabdikan bagian dari Elemen nya untuk bilangan prima dan dapat dibagi, topik yang jelas termasuk dalam teori bilangan dan merupakan dasar untuk itu (Buku VII sampai IX Elemen Euclid). Secara khusus, dia memberikan algoritma untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua angka (Algoritma Euklides; Elemen, Prop. VII.2) dan bukti pertama yang diketahui dari tak terhingga.

Diophantus

Sangat sedikit yang diketahui tentang Diophantus dari Alexandria; dia mungkin hidup pada abad ketiga M, yaitu sekitar lima ratus tahun setelah Euclid. Enam dari tiga belas buku Diophantus Aritmatika yunani; empat buku lagi bertahan dalam terjemahan bahasa Arab. The Arithmetica adalah kumpulan masalah yang diselesaikan di mana tugasnya selalu untuk menemukan solusi rasional untuk sistem persamaan polinomial dari  atau . Jadi, saat ini, kita berbicara tentang persamaan Diophantine ketika kita berbicara tentang persamaan polinomial di mana solusi rasional atau bilangan bulat harus ditemukan.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara
Sementara astronomi Yunani mungkin memengaruhi pembelajaran India, hingga memperkenalkan trigonometri, tampaknya matematika India merupakan tradisi pribumi; khususnya, tidak ada bukti bahwa Euclid's Elements mencapai India sebelum abad ke-18.

Āryabhaṭa (476–550 M) menunjukkan bahwa pasangan kongruensi simultan ,  bisa diselesaikan dengan metode yang dia panggil kuṭṭaka, atau pulveriser; ini adalah prosedur yang dekat dengan (generalisasi dari) Algoritma Euklides, yang mungkin ditemukan secara independen di India. Āryabhaṭa tampaknya ada dalam pikiran aplikasi untuk perhitungan astronomi.

Brahmagupta (628 M) memulai studi sistematis persamaan kuadrat tak tentu khususnya, Persamaan Pell, di mana Archimedes mungkin pertama kali tertarik, dan yang tidak mulai diselesaikan di Barat sampai masa Fermat dan Euler. Kemudian penulis Sansekerta akan mengikuti, menggunakan terminologi teknis Brahmagupta. Sebuah prosedur umum (chakravala, atau "metode siklik") untuk menyelesaikan persamaan Pell akhirnya ditemukan oleh Jayadeva (dikutip pada abad kesebelas; pekerjaannya akan hilang); eksposisi paling awal yang masih hidup muncul di Bīja-gaṇita (abad kedua belas) Bhāskara II.

Matematika India sebagian besar tetap tidak dikenal di Eropa sampai akhir abad kedelapan belas; Karya Brahmagupta dan Bhāskara diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada tahun 1817 oleh Henry Colebrooke.

Aritmatika di zaman keemasan Islam

Pada awal abad kesembilan, khalifah Al-Ma'mun memerintahkan terjemahan banyak karya matematika Yunani dan setidaknya satu karya Sansekerta (Sindhind,
yang mungkin  atau mungkin tidak jadilah Brahmagupta Brāhmasphuṭasiddhānta).
Karya utama Diophantus, Arithmetica, diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh Qusta ibn Luqa (820–912).
Bagian dari risalah  al-Fakhri  (oleh al-Karajī, 953 - ca. 1029) dibangun di atasnya sampai batas tertentu. Menurut Rashed Roshdi, Al-Karajī sezaman Ibn al-Haytham mengetahui apa yang kemudian akan disebut Teorema Wilson.

Eropa Barat pada Abad Pertengahan
Selain risalah tentang kotak dalam perkembangan aritmatika oleh Fibonacci - yang melakukan perjalanan dan belajar di Afrika utara dan Konstantinopel — tidak ada teori bilangan yang bisa dibicarakan dilakukan di Eropa barat. Hal-hal mulai berubah di Eropa pada akhir Renaisans, berkat studi baru tentang karya-karya kuno Yunani. Katalis adalah perbaikan tekstual dan terjemahan ke dalam bahasa Latin Diophantus' Arithmetica.

Teori bilangan modern awal
Fermat

Pierre de Fermat (1607–1665) tidak pernah menerbitkan tulisannya; Secara khusus, karyanya tentang teori bilangan terkandung hampir seluruhnya dalam surat-surat untuk matematikawan dan catatan pinggir pribadi. Dalam catatan dan suratnya, dia jarang menulis bukti, bahwa dia tidak punya model di daerah itu.

Selama hidupnya, Fermat memberikan kontribusi berikut di lapangan:

 Salah satu minat pertama Fermat adalah bilangan sempurna (yang muncul di buku tulisan Euklides, Elements IX) dan nomor yang bersahabat; topik ini membawanya untuk bekerja pada integer pembagi s, yang dari awal di antara subyek korespondensi (1636 dan seterusnya) yang membuatnya berhubungan dengan komunitas matematika dari hari ke hari.
 Pada tahun 1638, Fermat mengklaim, tanpa bukti, bahwa semua bilangan bulat dapat diekspresikan sebagai jumlah dari empat persegi atau kurang.
 Teorema kecil Fermat (1640): if a is not divisible by a prime p, then 
 Bila a dan b adalah coprime, setelah itu  tidak habis dibagi oleh kongruen prima manapun dengan −1 modulo 4; dan setiap kongruen prima dengan 1 modulo 4 dapat ditulis dalam bentuk . Kedua pernyataan ini juga berasal dari tahun 1640; pada 1659, Fermat menyatakan kepada Huygens bahwa dia telah membuktikan pernyataan terakhir dengan metode keturunan tak terbatas.
 Pada 1657, Fermat mengajukan masalah pemecahannya  sebagai tantangan bagi matematikawan Inggris. Masalahnya diselesaikan dalam beberapa bulan oleh Wallis dan Brouncker. Fermat menganggap solusi mereka valid, tetapi menunjukkan bahwa mereka telah memberikan algoritme tanpa bukti (seperti yang dimiliki Jayadeva dan Bhaskara, meskipun Fermat tidak mengetahui hal ini). Dia menyatakan bahwa bukti dapat ditemukan dengan keturunan yang tak terbatas.
 Fermat dinyatakan dan dibuktikan (dengan keturunan tak terbatas) di lampiran Pengamatan Diophantus (Obs. XLV) that  tidak memiliki solusi non-sepele dalam bilangan bulat. Fermat juga mengatakan kepada korespondennya itu  tidak memiliki solusi non-sepele, dan ini juga dapat dibuktikan dengan penurunan tak terbatas. Bukti pertama yang diketahui adalah karena Euler (1753; memang dengan keturunan tak terbatas).
 Fermat menyatakan ("Teorema terakhir Fermat") telah menunjukkan bahwa tidak ada solusi untuk  for all ; klaim ini muncul dalam penjelasannya di pinggir salinan Diophantus miliknya.

Euler

Ketertarikan Leonhard Euler (1707–1783) pada teori bilangan pertama kali didorong pada tahun 1729, ketika seorang temannya, seorang amatir Goldbach, mengarahkannya ke beberapa karya Fermat tentang masalah ini. Ini disebut "kelahiran kembali" dari teori bilangan modern, setelah Fermat relatif kurang sukses dalam menarik perhatian orang-orang sezamannya untuk subjek tersebut. Karya Euler tentang teori bilangan meliputi yang berikut ini:Bukti untuk pernyataan Fermat. Ini termasuk teorema kecil Fermat (digeneralisasikan oleh Euler ke modulus non-prima); fakta bahwa  jika dan hanya jika ; pekerjaan awal menuju bukti bahwa setiap bilangan bulat adalah jumlah dari empat kotak (bukti lengkap pertama adalah oleh Joseph-Louis Lagrange (1770), segera diperbaiki oleh Euler sendiri); kurangnya solusi integer bukan nol ke  (menyiratkan kasus n=4 dari teorema terakhir Fermat, kasus n=3 yang juga dibuktikan oleh Euler dengan metode terkait).Persamaan Pell, pertama kali salah diberi nama oleh Euler. Dia menulis tentang hubungan antara pecahan lanjutan dan persamaan Pell.Langkah pertama menuju teori bilangan analitik. Dalam karyanya tentang penjumlahan empat kotak, partisi, bilangan pentagonal, dan distribusi bilangan prima, Euler memelopori penggunaan apa yang dapat dilihat sebagai analisis (khususnya, deret tak hingga) dalam teori bilangan. Karena dia hidup sebelum pengembangan analisis kompleks, sebagian besar karyanya dibatasi pada manipulasi formal deret pangkat. Dia melakukannya, bagaimanapun, melakukan beberapa pekerjaan awal yang sangat penting (meskipun tidak sepenuhnya ketat) tentang apa yang kemudian akan disebut fungsi Riemann zeta.Bentuk kuadrat. Mengikuti arahan Fermat, Euler melakukan penelitian lebih lanjut tentang pertanyaan bilangan prima mana yang dapat diekspresikan dalam bentuk , beberapa di antaranya menggambarkan timbal balik kuadrat. Persamaan Diophantine. Euler mengerjakan beberapa persamaan Diophantine dari genus 0 dan 1. Secara khusus, dia mempelajari karya Diophantus; dia mencoba untuk mensistematisasikannya, tetapi waktunya belum tepat untuk usaha seperti geometri aljabar yang masih dalam tahap awal. Dia melihat ada hubungan antara masalah Diophantine dan integral elips, yang studinya telah dia mulai sendiri.

Lagrange, Legendre, dan Gauss

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) adalah orang pertama yang memberikan bukti penuh dari beberapa karya dan pengamatan Fermat dan Euler contohnya, teorema empat persegi dan teori dasar dari "persamaan Pell" yang salah nama (yang solusi algoritmiknya ditemukan oleh Fermat dan orang-orang sezamannya, dan juga oleh Jayadeva dan Bhaskara II sebelum mereka.) Dia juga mempelajari bentuk kuadrat secara umum penuh (sebagai lawan ) mendefinisikan relasi ekivalennya, menunjukkan bagaimana meletakkannya dalam bentuk tereduksi, dll.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) adalah orang pertama yang menyatakan hukum timbal balik kuadrat. Dia juga
menebak berapa jumlah teorema bilangan prima dan teorema Dirichlet tentang perkembangan aritmatika. Dia memberikan perlakuan penuh persamaan  dan mengerjakan bentuk-bentuk kuadrat di sepanjang garis yang kemudian dikembangkan sepenuhnya oleh Gauss. Di usia tuanya, dia adalah orang pertama yang membuktikan "teorema terakhir Fermat"  (menyelesaikan pekerjaan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet, dan memuji dia dan Sophie Germain).

Kedewasaan dan pembagian menjadi subbidang

Mulai awal abad kesembilan belas, perkembangan berikut secara bertahap terjadi:

 Kebangkitan kesadaran diri teori bilangan (atau  aritmatika yang lebih tinggi ) sebagai bidang studi.
 Perkembangan banyak matematika modern yang diperlukan untuk teori bilangan modern dasar: analisis kompleks, teori grup, teori Galois - disertai dengan ketelitian yang lebih besar dalam analisis dan aljaber abstrak.
 Pembagian kasar teori bilangan ke dalam subbidang modernnya — khususnya, analitik dan teori bilangan aljabar.

Teori bilangan aljabar dapat dikatakan dimulai dengan studi timbal balik dan siklotomi, tetapi benar-benar muncul dengan perkembangan aljabar abstrak dan cita-cita awal; Lihat di bawah. Titik awal konvensional untuk teori bilangan analitik adalah Teorema Dirichlet tentang progresi aritmatika (1837),  yang buktinya memperkenalkan L-functions dan melibatkan beberapa analisis asimtotik dan proses pembatas pada variabel nyata.

Bagian divisi utama
Teori bilangan dasar
Istilah elemen dasar biasanya menampakkan metode yang bukan menggunakan analisis kompleks. Misalnya, teorema bilangan prima pertama kali dibuktikan menggunakan analisis kompleks pada tahun 1896, tetapi bukti dasar baru ditemukan pada tahun 1949 oleh Erdős dan Selberg. Istilah ini sedikit ambigu: misal, bukti berdasarkan teorema Tauberian kompleks (misalnya, Wiener–Ikehara) merupakan pencerahan yang tidak cukup mendasar meskipun menggunakan analisis Fourier, dibandingkan analisis kompleks seperti itu. Ini seperti penempatan berbeda, bukti "dasar" mungkin lebih panjang dan lebih sulit bagi sebagian besar pembaca dibanding bukti non-dasar.

Teori bilangan memiliki reputasi sebagai bidang yang banyak hasilnya pula bisa dinyatakan kepada orang awam. Pada saat yang sama, bukti dari hasil ini tidak dapat diakses secara khusus, sebagian karena jangkauan alat yang mereka gunakan, jika ada maka sangat luas dalam matematika.

Teori bilangan analitikTeori bilangan analitik bisa didefinisikan:

 Dalam hal beberapa alatnya, sebagai studi tentang bilangan bulat melalui alat dari riil dan analisis kompleks;
 Dalam hal keprihatinannya, sebagai studi dalam teori bilangan perkiraan ukuran dan kepadatan, sebagai lawan dari identitas.

Beberapa subjek umumnya menganggap sebagai bagian dari teori bilangan analitik, misalnya, teori tapis, lebih baik dicakup oleh definisi kedua dibanding definisi pertama: beberapa teori tapis, misalnya, menggunakan sedikit analisis, namun itu dimiliki teori bilangan analitik.

Berikut ini adalah contoh soal dalam teori bilangan analitik: teorema bilangan prima, konjektur Goldbach (atau konjektur bilangan prima kembar, atau konjektur Hardy–Littlewood), masalah Waring dan hipotesis Riemann. Beberapa alat paling penting dari teori bilangan analitik adalah metode lingkaran, metode tapis dan fungsi-L (atau lebih tepatnya, mempelajari beberapa sifatnya). Teori bentuk modular (dan, secara umum, bentuk automorfik) juga menempati bagian yang semakin sentral dalam kotak peralatan teori bilangan analitik.

Beberapa dapat mengajukan pertanyaan analitik tentang bilangan aljabar, dan menggunakan sarana analitik untuk menjawab pertanyaan semacam itu; dengan demikian teori bilangan aljabar dan analitik irisan. Misalnya, seseorang bisa mendefinisikan ideal prima (generalisasi dari bilangan prima pada medan bilangan aljabar) dan menanyakan berapa banyak ideal prima yang ada hingga ukuran tertentu. Pertanyaan ini bisa dijawab melalui pemeriksaan fungsi zeta Dedekind, yang merupakan generalisasi dari fungsi Riemann zeta, objek analitik kunci pada akar subjek. Ini adalah contoh prosedur umum dalam teori bilangan analitik: mendapatkan informasi tentang distribusi urutan (ideal prima atau bilangan prima) dari perilaku analitik dari fungsi bernilai kompleks yang dibangun dengan tepat.

Lihat pula
 Bidang fungsi aljabar
 Bidang terbatas
 Bilangan p-adic

Catatan

Referensi

Sumber

 
 
  (Subscription needed)
 
  1968 edition at archive.org
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
  For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
  This Google books preview of Elements of algebra'' lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:

Pranala luar

 
 Number Theory entry in the Encyclopedia of Mathematics
 Number Theory Web