Fungsi kontinu

Dalam matematika, fungsi kontinu dalam adalah jenis fungsi yang perubahan secara kontinu (sinambung, tanpa terpotong) pada variabel fungsi mengakibatkan perubahan kontinu pada nilai keluaran fungsi. Hal ini mengartikan nilai fungsi tidak pernah mengalami perubahan yang mendadak/tiba-tiba. Gagasan intuitif kekontinuan mengilustrasikan fungsi kontinu sebagai fungsi yang grafiknya dapat digambar tanpa mengangkat kapur dari papan tulis. Secara lebih teknis, fungsi dikatakan kontinu jika perubahan kecil pada nilai fungsi dapat dipastikan cukup dengan membuat perubahan kecil pada variabelnya. Fungsi yang tidak kontinu dikatakan fungsi takkontinu atau fungsi diskontinu. Sampai pada abad ke-19, matematikawan sangat mengandalkan konsep kekontinuan yang intuitif. Hal ini berubah sejak definisi epsilon-delta dari limit diperkenalkan untuk memformalkan definisi kekontinuan.

Kekontinuan adalah salah satu konsep inti dalam kalkulus dan analisis matematika, yang membahas fungsi dengan keluaran maupun variabelnya dapat berupa bilangan real atau kompleks. Konsep kekontinuan juga diperumum untuk fungsi antar ruang metrik dan antar ruang topologis. Fungsi jenis terakhir adalah fungsi kontinu yang paling umum, dan definisinya menjadi dasar ilmu topologi.

Sebagai contoh, fungsi h(t) yang memerikan tinggi bunga yang sedang tumbuh pada waktu t dapat dianggap fungsi kontinu. Sebaliknya, jika fungsi M(t) melambangkan jumlah uang di sebuah rekening bank pada waktu t, nilai fungsi ini akan "melompat" ketika uang disimpan atau ditarik. Hal ini menyebabkan M(t) adalah fungsi diskontinu.

Sejarah

Suatu bentuk definisi epsilon-delta untuk kekontinuan pertama kali diberikan oleh Bernard Bolzano pada tahun 1817. Augustin-Louis Cauchy mendefinisikan kekontinuan  sebagai berikut: perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai  dari variabel bebas , akan selalu menghasilkan perubahan yang tak hingga kecilnya pada nilai  dari variabel terikat  (lihat Cours d'Analyse, hal. 34). Cauchy mendefinisikan besaran yang sangat kecil dalam bentuk besaran variabel, dan definisinya tentang kontinuitas sangat mirip dengan definisi infinitesimal yang digunakan saat ini (lihat mikrokontinuitas).

Definisi formal dan perbedaan antara kekontinuan bagian-demi-bagian (pointwise) dengan kekontinuan seragam pertama kali dinyatakan oleh Bolzano pada tahun 1830-an, tetapi karya tersebut tidak dipublikasikan sampai tahun 1930-an. Sama seperti Bolzano, Karl Weierstrass menolak mengganggap fungsi bersifat kontinu di suatu titik  jika nilai fungsi tersebut tidak terdefinisi di  dan di kedua sisi titik itu. Tetapi Édouard Goursat memperbolehkan fungsi untuk hanya didefinisikan di  dan di salah satu sisinya. Sedangkan Camille Jordan bertindak jauh dengan mengijinkan fungsi bersifat kontinu bahkan jika fungsi hanya terdefinisi di titik . Ketiga definisi yang berbeda tentang kekontinuan bagian-demi-bagian itu masih digunakan saat ini. Terbitan oleh Eduard Heine pada tahun 1872 memberikan definisi pertama mengenai kekontinuan seragam, tetapi gagasan itu didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet pada tahun 1854.

Fungsi real

Definisi 

Sebuah fungsi real, yakni fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, dapat dinyatakan oleh sebuah grafik di bidang Kartesius. Dinyatakan secara informal, fungsi tersebut kontinu jika grafik dari fungsi berupa satu kurva utuh dengan domainnya adalah seluruh garis bilangan. Definisi matematis yang lebih tegas (rigor) diberikan pada bagian artikel di bawah. Secara sederhana, kekontinuan fungsi real umumnya didefinisikan dalam bentuk limit. Sebuah fungsi  dengan variabel  dikatakan kontinu di bilangan real , jika limit dari  ketika  menuju , akan sama dengan 

Terdapat beberapa definisi berbeda mengenai kekontinuan (secara global) dari fungsi, yang bergantung dari bentuk domain fungsi tersebut. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang buka jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, dan jika fungsi kontinu di setiap titik di selang tersebut. Fungsi yang kontinu pada selang  (yakni seluruh garis bilangan) umumnya cukup disebut sebagai fungsi kontinu; sebagian menyebut fungsi tersebut kontinu dimanapun. Sebagai contoh, semua fungsi polinomial kontinu dimanapun. Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada selang semi-buka atau pada selang tutup, jika selang tersebut berada dalam domain fungsi, fungsi kontinu di setiap titik dalam (interior) di selang tersebut, dan nilai fungsi pada ujung selang sama dengan nilai limit fungsi ketika variabel fungsi tersebut mendekati ujung selang dari sisi dalam selang. Sebagai contoh, fungsi  kontinu pada selang tutup-buka ; karena selang tersebut berada dalam domain fungsi (lebih tepatnya, selang tersebut adalah domain dari fungsi), fungsi kontinu di setiap titik di , dan nilai  sama dengan nilai  ketika  dari arah kanan.

Sebuah fungsi dikatakan takkontinu pada suatu titik, jika titik tersebut berada di ketertutupan (closure) dari domainnya, dan jika titik tersebut bukan bagian domain fungsi atau fungsi tidak kontinu pada titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi  dan  takkontinu di , dan tetap takkontinu bahkan ketika nilai fungsi di titik tersebut didefinisikan. Titik dimana fungsi takkontinu disebut titik ketakkontinuan atau diskontinuitas.

Banyak fungsi yang ditemui umumnya memiliki domain berupa seluruh bilangan real, kecuali untuk beberapa titik pencil. Contoh fungsi jenis ini adalah fungsi  dan  Ketika dibahas dalam konteks domain mereka, fungsi jenis ini dapat dikatakan kontinu, walaupun tidak kontinu dimanapun. Dalam konteks lain, khususnya perilaku fungsi di sekitar titik-titik istimewa seperti  untuk , fungsi jenis ini termasuk fungsi takkontinu.

Menggunakan notasi matematika, ada beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi kontinu berdasarkan tiga sudut pandang yang disebutkan di atas. Untuk itu, misalkanadalah fungsi yang terdefinisi pada suatu subset  dari himpunan bilangan real . Subset  ini adalah domain dari . Ketiga sudut pandang kekontinuan ada pada bentuk domain:

 , yakni  adalah keseluruhan himpunan bilangan real; atau untuk suatu bilangan real  dan ,
 :  berupa selang tutup, atau
 :  berupa selang buka.

Pada kasus domain  didefinisikan sebagai suatu selang buka, titik  dan  tidak berada di , dan nilai dari  dan  tidak mempengaruhi kekontinuan fungsi pada .

Definisi menggunakan bentuk limit fungsi 
Fungsi  dikatakan kontinu di titik  di domainnya, jika limit dari  ketika  menuju  melalui domain , ada nilainya dan sama dengan  Dalam notasi matematika, hal ini ditulis sebagaiDefinisi ini berlaku bagi ketiga sudut pandang. Secara teknis, terdapat tiga hal yang perlu dipenuhi agar fungsi bersifat kontinu. Pertama,  perlu terdefinisi di  (sudah dijamin karena  berada di domain ). Kedua, nilai limit pada sisi kiri persamaan di atas harus ada. Ketiga, nilai dari limit ini harus sama dengan  Dalam definisi ini, diasumsikan bahwa domain dari  tidak memiliki titik-titik pencil.

Definisi menggunakan lingkungan 
Sebuah lingkungan dari suatu titik  adalah himpunan yang berisi, setidaknya, semua titik yang jaraknya dengan  sama besar. Secara intuitif, sebuah fungsi bersifat kontinu di titik  jika semua lingkungan (yang merupakan subset dari citra ) dari  akan mengecil menjadi sebuah titik , ketika lebar lingkungan dari  mengecil ke nol. Menyatakan dengan lebih rinci, sebuah fungsi  kontinu di titik  di domainnya, jika untuk sembarang lingkungan  ada suatu lingkungan  di domain fungsi tersebut, sehingga  kapanpun 

Definisi ini hanya memerlukan domain dan kodomainnya merupakan ruang topologis, menjadikannya definisi yang paling umum. Dari definisi ini disimpulkan fungsi  secara otomatis bersifat kontinu di setiap titik pencil fungsi tersebut. Sebagai contoh spesifik, semua fungsi bernilai real dengan domain himpunan bilangan bulat adalah fungsi kontinu.

Definisi menggunakan limit barisan 

Fungsi kontinu juga dapat didefinisikan dengan mengharuskan semua barisan  dari titik-titik di domain fungsi, yang konvergen ke titik , akan menyebabkan barisan  konvergen ke  Dalam notasi matematika, definisi ini dapat dituliskan sebagai,

Definisi menggunakan epsilon-delta 

Dengan menyertakan secara eksplisit definisi limit fungsi ke dalam definisi kekontinuan, fungsi kontinu dapat dijelaskan tanpa perlu merujuk ke konsep limit. Dalam definisi ini, misalkan sebuah fungsi  yang didefinisikan pada bagian di atas, dan sebuah titik  di domain . Fungsi  dikatakan kontinu di titik  jika kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan  sekecil apapun itu, akan ada suatu bilangan  sehingga untuk semua  di  dengan  berlakuDefinisi tersebut dapat ditulis ulang: fungsi  kontinu di  mengartikan untuk setiap  ada sebuah  sehingga untuk semua :Secara intuitif, jika seseorang ingin membuat semua nilai  berada di dalam suatu lingkungan kecil di sekitar  ia cukup memilih sebuah lingkungan yang cukup kecil bagi nilai  di sekitar titik  Bila proses ini dapat dilakukan seberapapun kecilnya lingkungan untuk , maka  kontinu di 

Weierstrass mengharuskan selang  seluruhnya berada di dalam domain , namun Jordan menunjukkan syarat ini dapat dihilangkan.

Definisi menggunakan fungsi kontrol 
Dalam penulisan bukti dan analisis matematika, terkadang dibutuhkan pemahaman mengenai seberapa cepat limit suatu fungsi akan konvergen. Salah satu cara mengetahuinya adalah dengan mengontrol nilai selisih. Konsep ini dapat diformalkan menjadi sebuah definisi untuk kekontinuan. Sebuah fungsi  disebut sebagai fungsi kontrol, jika

  adalah fungsi tak-turun
 

Sebuah  dikatakan kontinu- di , jika untuk setiap  di  berlakuSebuah fungsi  dikatakan kontinu di  jika fungsi tersebut kontinu- untuk suatu fungsi kontrol . Pendekatan ini memungkinkan untuk memperlengkap konsep kekontinuan dengan menyertakan himpunan fungsi kontrol yang dipenuhi . Untuk sebuah himpunan fungsi kontrol , sebuah fungsi disebut kontinu- jika fungsi tersebut kontinu- untuk suatu . Sebagai contoh, fungsi Lipschitz dan fungsi kontinu Hölder dengan pangkat  dapat didefinisikan dengan menggunakan himpunan fungsi kontrolMirip dengan itu,

Membangun fungsi kontinu 

Proses mengecek kekontinuan suatu fungsi dapat disederhanakan dengan memeriksa syarat-syarat kekontinuan pada bagian-bagian fungsi. Dapat dibuktikan bahwa penjumlahan dua fungsi yang kontinu pada suatu domain, akan menghasilkan fungsi yang juga kontinu pada domain tersebut. Misalkan hasil penjumlahan fungsi-fungsi kontinuyang didefinisikan oleh  untuk setiap , adalah sebuah fungsi kontinu di  Sifat yang serupa juga berlaku untuk hasil perkalian fungsi-fungsi kontinu,yang didefinisikan oleh  untuk setiap , adalah sebuah fungsi kontinu di  Dengan mengombinasikan kedua sifat tersebut, dapat dibuktikan bahwa semua fungsi polinomial di  bersifat kontinu, sebagai contoh fungsi , dengan menggunakan fakta fungsi konstan dan fungsi identitas  bersifat kontinu di .

Dengan menggunakan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa hasil kebalikan dari sebuah fungsi kontinuyang didefinisikan oleh  untuk setiap  yang memenuhi , adalah fungsi yang kontinu di  Hal ini mengakibatkan fungsi pecahan dari fungsi-fungsi kontinuyang didefinisikan oleh  untuk setiap  yang memenuhi , bersifat kontinu kecuali di akar-akar dari . Domain dari  adalah . Sebagai contoh, fungsi (lihat gambar)terdefinisi dan kontinu untuk semua bilangan real , menyebabkan fungsi tersebut kontinu. Diskusi mengenai kekontinuan fungsi di titik  tidak muncul, karena  bukan anggota domain dari  Tidak ada fungsi  yang kontinu dan nilainya sama dengan  untuk semua .

Contoh lain adalah fungsi  yang terdefinisi dan kontinu untuk bilangan real  Tetapi, berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi  dapat diperluas menjadi sebuah fungsi kontinu pada semua bilangan real. Hal ini dilakukan dengan mendefinisikan nilai  sebagai 1, yakni nilai limit dari  ketika  menuju 0. Dengan kata lain,Sehingga, dengan membuat

fungsi  bersifat kontinu pada semua bilangan real. Istilah ketakkontinuan terhapuskan digunakan untuk menyebut titik takkontinu yang dapat didefinisikan (ulang) agar fungsi bersifat kontinu di titik tersebut.

Konstruksi fungsi kontinu yang lebih rumit melibatkan komposisi fungsi. Misalkan dua fungsi kontinufungsi komposisi keduanya, yang dituliskan sebagai  dan didefinisikan oleh  adalah fungsi kontinu. Konstruksi ini dapat digunakan untuk membuktikan, sebagai contoh fungsi , bersifat kontinu untuk semua

Contoh fungsi takkontinu 

Sebuah contoh dari fungsi takkontinu adalah fungsi tangga Heaviside , yang didefinisikan sebagai

 

Untuk mengetahui penyebab ketakkontinuan dari fungsi, pilih, sebagai contoh, nilai . Tidak ada  sekitar , dalam kata lain tidak ada selang buka  dengan  yang membuat semua nilai  berada di dalam  sekitar , yaitu selang . Secara intuitif, titik ini adalah tipe ketakkontinuan berupa "loncatan" pada nilai fungsi.

Mirip dengan contoh sebelumnya, fungsi tanda atau fungsi signum,

 

takkontinu di  namun kontinu dimanapun selain titik itu. Contoh lain lagi adalah fungsi

 

yang juga kontinu dimanapun selain titik .

Selain sejumlah bentuk kekontinuan dan ketakkontinuan di atas, terdapat fungsi dengan perilaku yang "diluar nalar", sebagai contoh adalah fungsi Thomaebersifat kontinu di semua bilangan irasional namun takkontinu di semua bilangan rasional. Contoh lain adalah fungsi Dirichlet, yakni fungsi indikator untuk himpunan bilangan rasional,adalah fungsi takkontinu dimanapun.

Sifat-sifat

Sebuah lemma yang berguna 
Misalkan  adalah fungsi yang kontinu di suatu titik  dan  adalah nilai yang memenuhi  Maka akan berlaku  pada semua titik pada suatu lingkungan dari  Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari kekontinuan: dengan memilih  , akan ada  sehinggaAnggap ada sebuah titik di lingkungan  yang memenuhi  akan didapati sebuah kontradiksi, karena mengakibatkan

Teorema nilai antara 
Teorema nilai antara adalah sebuah teorema keberadaan, yang didasarkan pada sifat kelengkapan (completeness) dari bilangan real. Teorema ini menyatakan:Jika fungsi bernilai real  kontinu pada selang tutup  dan  adalah suatu bilangan di antara  dan  maka ada bilangan  yang memenuhi Sebagai ilustrasi teorema ini, misalkan seorang anak yang bertambah tinggi dari 1 m pada usia dua tahun menjadi 1,5 m pada usia enam tahun. Akan ada waktu di antara tahun kedua dan tahun keenam, ketika tinggi anak tersebut sama dengan 1,25 m.

Salah satu akibat teorema ini, jika  kontinu pada  dan  dan  berbeda tanda, maka ada titik  sehingga  bernilai nol. Dengan kata lain, fungsi  memiliki akar pada selang

Teorema nilai ekstrem 
Teorema nilai ekstrem menyatakan jika sebuah fungsi  terdefinisi pada suatu selang tutup  (atau sembarang himpunan tertutup dan terbatas) dan kontinu di domain itu, maka fungsi memilliki nilai maksimum. Dengan kata lain, ada nilai  dengan  untuk setiap  Teorema yang sama juga berlaku untuk nilai minimum dari  Teorema ini secara umum tidak berlaku untuk fungsi dengan domain  (atau sembarang himpunan yang tidak tertutup sekaligus terbatas). Sebagai contoh, fungsi kontinu  yang terdefinisi pada interval buka  tidak memiliki nilai maksimum, karena nilai fungsi tidak terbatas dari atas.

Hubungan dengan kediferensialan dan keterintegralan 

Dapat ditunjukkan bahwa semua fungsi terdiferensialkan  bersifat kontinu. Namun, kebalikannya tidak berlaku: sebagai contoh, fungsi nilai mutlakyang kontinu dimanapun. Fungsi ini tidak terdiferensialkan di  (namun terdiferensialkan di semua titik selain ini). Fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi yang kontinu dimanapun namun takkontinu dimanapun.

Turunan  dari fungsi  tidak harus bersifat kontinu. Jika  kontinu, fungsi  dikatakan terdiferensialkan [secara] kontinu. Himpunan dari fungsi-fungsi jenis ini dinyatakan dengan  Secara umum, himpunan fungsi  (dengan  berupa selang buka) yang dapat diturunkan sebanyak  kali dan turunan ke- dari  bersifat kontinu, dinotasikan dengan  Dalam bidang grafika komputer, sifat-sifat yang berkaitan (namun tidak sama) dengan  terkadang disebut  (kekontinuan posisi),  (kekontinuan garis singgung), dan  (kekontinuan kelengkungan/kurvatur).

Setiap fungsi kontinu  dapat diintegralkan, sebagai contoh dalam konteks integral Riemann. Kebalikannya tidak berlaku, seperti yang ditunjukkan oleh fungsi tanda; contoh fungsi terintegralkan namun takkontinu.

Fungsi kontinu antar ruang metrik
Konsep fungsi bernilai real kontinu dapat perumum untuk fungsi antar ruang metrik. Ruang metrik adalah sebuah himpunan  yang dilengkapi dengan sebuah fungsi  (disebut metrik); fungsi ini dapat dianggap sebagai ukuran jarak antara dua elemen di . Secara formal, metrik adalah fungsi

yang memenuhi sejumlah persyaratan, terutama pertidaksamaan segitiga. Untuk sembarang dua ruang metrik  dan , sebuah fungsi

dikatakan kontinu (terhadap metrik yang digunakan) di titik , jika untuk sembarang bilangan real positif  akan terdapat bilangan real positif , sehingga semua nilai  yang memenuhi  juga akan memenuhi . Seperti pada kasus fungsi real di bagian sebelumnya, definisi ini setara dengan syarat bahwa untuk setiap barisan  dengan nilai limit , haruslah . Syarat ini dapat diperlemah menjadi: fungsi  kontinu jika dan hanya jika untuk setiap barisan  yang konvergen ke  (dan  berada di domain), barisan  adalah barisan Cauchy.

Himpunan titik dimana sebuah fungsi antar ruang metrik bersifat kontinu disebut dengan himpunan , yang berasal dari definisi kekontinuan menggunakan epsilon-delta.

Salah satu contoh penggunaan konsep kekontinuan ini ada di analisis fungsional. Sebuah definisi yang penting dalam cabang matematika ini menyatakan bahwa: sebuah operator linearantar ruang vektor bernorma  dan  (yakni ruang vektor yang dilengkapi suatu norma ) bersifat kontinu jika dan hanya jika operator tersebut terbatas, yakni terdapat konstanta  yang menyebabkanuntuk semua

Kekontinuan seragam, Hölder, dan Lipschitz 

Konsep kekontinuan fungsi antar ruang metrik pada bagian sebelumnya, dapat diperkuat dengan membatasi bagaimana nilai  terikat pada  dan titik ; yang dapat dilakukan dalam berbagai cara. Secara informal, fungsi  disebut kontinu seragam jika pemilihan nilai  tidak tergantung pada titik . Lebih tepatnya, fungsi kontinu seragam perlu memenuhi kondisi berikut: untuk setiap bilangan real  akan ada  sehingga untuk setiap  yang memenuhi , juga akan memenuhi . Jadi, setiap fungsi yang kontinu seragam adalah fungsi kontinu. Kebalikannya tidak berlaku secara umum, tetapi berlaku bila domain  berupa ruang kompak. Peta kontinu seragam dapat didefinisikan dalam situasi ruang seragam yang lebih umum.

Sebuah fungsi disebut kontinu Hölder pangkat  (berupa bilangan real) jika ada konstanta  sehingga untuk semua  akan berlaku pertidaksamaan

Semua fungsi kontinu Hölder bersifat kontinu seragam. Kasus khusus  disebut sebagai kekontinuan Lipschitz. Artinya, suatu fungsi kontinu Lipschitz jika ada konstanta  sedemikian rupa sehingga pertidaksamaan

berlaku untuk sembarang . Kondisi Lipschitz digunakan contohnya dalam teorema Picard – Lindelöf yang membahas tentang solusi persamaan diferensial biasa.

Konsep yang berkaitan
Jika fungsi  adalah suatu fungsi kontinu dari suatu subset  dari ruang topologis  maka perluasan kontinu dari  ke  adalah sembarang fungsi kontinu  dengan  untuk setiap  kondisi ini sering ditulis sebagai  Secara informal, itu adalah sembarang fungsi  yang membatasi  pada  Konsep ini digunakan, sebagai contoh, dalam teorema perluasan Tietze dan teorema Hahn–Banach. Jika  tidak kontinu maka tidak mungkin fungsi tersebut memiliki perluasan kontinu. Jika  adalah suatu ruang Hausdorff dan  adalah himpunan rapat dari  maka fungsi perluasan kontinu dari  ke  jika itu ada, bersifat unik.

Banyak cabang matematika lainnya menggunakan konsep kekontinuan dalam konteks berbeda, namun memiliki makna yang mirip. Sebagai contoh, dalam teori urutan, fungsi kekal-urutan(order-preserving function)  antar jenis himpunan terurut parsial tertentu  dan , dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan berarah  dari , berlaku hubungan  Notasi  tersebut masing-masing menyatakan supremum terhadap urutan dalam  dan . Konsep kekontinuan ini sama kekontinuan topologis ketika himpunan urutan parsial merupakan subset dari topologi Scott. 

Dalam teori kategori, sebuah fungtorantar dua kategori dikatakan kontinu, jika fungsi tersebut komutatif dengan limit yang kecil. Secara matematis,untuk sembarang diagram yang kecil (yaitu, yang diindeks dengan sebuah himpunan , bukan sebuah kelas) dari objek di .

Sebuah ruang kekontinuan adalah perumuman dari ruang metrik dan poset, dan dapat digunakan untuk menyatukan konsep dari ruang metrik dan domain.

Catatan

Referensi 
 

 
Kalkulus
Jenis fungsi