Gabungan (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, gabungan () dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪. 

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

Gabungan dari dua himpunan 

Gabungan dari himpunan  dan  adalah himpunan anggota yang berada di , atau , atau bahkan kedua-duanya. Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan.Sebagai contoh, jika  dan , maka . Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima  dan juga himpunan dari bilangan genap , sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, karena itu gabungan dari  dan  adalah . Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

Sifat aljabar 
Gabungan biner adalah operasi asosiatif. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan , , dan , berlaku

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai . Gabungan merupakan operasi komutatif, sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa , untuk setiap himpunan . Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi.

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungandan gabungan distribusi atas irisanHimpunan kuasa dari himpunan , beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen, merupakan aljabar Boole. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta .

Gabungan terhingga 

Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan , , dan  mengandung semua anggota dari , semua anggota dari , dan semua anggota dari , dan tidak ada lagi. Dengan demikian,  adalah anggota dari  jika dan hanya jika  setidaknya ada di dalam salah satu himpunan , , dan .

Gabungan terhingga adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah himpunan terbatas.

Gabungan sebarang 
Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut gabungan tak terhingga. Jika  adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka  adalah gabungan dari  jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota  dari  sehingga  anggota dari . Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbolGagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh,  adalah gabungan dari koleksi . Juga, jika  adalah koleksi kosong, maka gabungan dari  adalah himpunan kosong

Notasi 
Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan , acapkali ditulis sebagai  atauTerdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti , , atau , yang mengacu pada gabungan dari koleksi , dengan  adalah himpunan indeks, dan  adalah himpunan untuk . Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks  yang merupakan himpunan bilangan asli, dapat menggunakan notasiyang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret.

Lihat pula 

 Aljabar dari himpunan
 Alternasi (teorema bahasa formal), gabungan dari himpunan dari benang.
 Aksioma dari gabungan
 Gabungan penguraian
 Irisan (teori himpunan)
 Operasi biner berulang
 Teori himpunan naif
 Beda setangkup

Catatan

Pranala luar 

 
 Infinite Union and Intersection at ProvenMath  De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.

Konsep dasar dalam teori himpunan
Operasi biner