Ukuran (matematika)

Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral.

Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak  menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory and Alfred Haar. Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam . Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis.

Definisi 
Misalkan  adalah suatu ruang terukur, dengan  suatu himpunan dan  suatu aljabar σ pada .
Fungsi  disebut sebagai ukuran pada , jika memenuhi sifat-sifat:
 Non-negatif: tiada himpunan yang berukuran negatif:

 

untuk semua ;

 Himpunan kosong berukuran nol:

 

 Aditivitas terhitung atau aditivitas-σ: jika , ,  , ... adalah suatu barisan terhitung dari himpunan saling lepas pasang-demi-pasang yang termuat dalam , maka

Anggota dari  disebut himpunan terukur, dan  disebut ruang ukuran.

Contoh

Ukuran Lebesgue 
Ukuran Lebesgue di  suatu perumuman dari panjang.
Panjang interval  atau  didefinisikan .
Sekarang misalkan  suatu himpunan bagian.
Keluarga interval  dikatakan meliputi  apabila .
Ukuran luar  didefinisikan sebagai

Tepatnya,  yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian  dari  bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan  dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap  terdapat himpunan tertutup  dan himpunan terbuka  sedemikian sehingga .
Sekarang misalkan  adalah keluarga himpunan terukur.
Tepatnya,  aljabar sigma dan fungsi  yang dibatasi pada  ukuran.
Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di ) dan dilambangkan dengan .

Ukuran penghitungan 
Misalnya  suatu himpunan dan  himpunan kunasa, yakni  keluarga semua himpunan bagian dari .
Jelas,  aljabar sigma.
Untuk , nilai  definisikan sebagai jumlah unsur himpunan .
Fungsi itu  dikenal sebagai ukuran penghitungan di .

Fitur

Kaidah perhitungan 
Kaidah perhitungan dasar berikut untuk hasil langsung dari definisi :
 Aditif hingga: untuk himpunan pemutus dengan  gilt .
 Subtraktivitas: untuk  dengan  dan  dari .
 Monoton: untuk  dengan  dari .
 Untuk  dengan himpunan . Dengan prinsip penyertaan dan pengecualian rumus tersebut dapat digeneralisasikan dalam kasus ukuran hingga untuk penyatuan dan perpotongan dari banyak himpunan terbatas.
 σ-subadditivitas: Untuk sembarang urutan  dari himpunan  dengan .

Sifat kontinuitas 
Sifat kontinuitas berikut adalah fundamental untuk memperkirakan set terukur dengan σ-aditif.
 σ-kontinuitas bawah: adalah  urutan himpunan  dan , kemudian .
 σ-kontinuitas atas: Adalah  urutan himpunan  dengan  dan , kemudian .

Teorema keunikan 

Untuk dimensi  di ruang ukur  sebagai berikut:

Misalkan produsen  dari , hal itu berlaku  dan untuk  ist , dengan sifat berikut:
 Untuk  dengan , dengan , dan
 Urutan  dari himpunan  dengan  dan  für alle .
Kemudian .

Untuk dimensi dengan  kondisi 2 otomatis. Secara khusus, dua ukuran probabilitas adalah sama jika keduanya generator dari rata yang stabil dari aljabar.

Teorema keunikan memberikan, misalnya, keunikan kelanjutan dari ukuran ke ukuran dengan menggunakan ukuran luar dan teorema ekstensi ukuran oleh Carathéodory

Himpunan non-ukur 

Jika aksioma pilihan dibuktikan tidak semua himpunan bagian dari ruang Euklides adalah ukuran Lebesgue; contoh dari himpunan tersebut termasuk himpunan Vitali, dan himpunan yang tidak dapat diukur yang didalilkan oleh paradoks Hausdorff dan paradoks Banach-Tarski.

Generalisasi 
Untuk tujuan tertentu, "ukuran" yang nilainya tidak terbatas pada riil non-negatif atau tak terhingga. Misalnya, aditif terhitung fungsi set dengan nilai dalam bilangan real (bertanda) disebut ukuran tanda, sedangkan fungsi seperti itu dengan nilai-nilai dalam bilangan kompleks disebut ukuran kompleks. Pengukuran yang mengambil nilai dalam ruang Banach telah dipelajari secara ekstensif. Ukuran dari nilai dalam himpunan proyeksi self-adjoint pada ruang Hilbert disebut ukuran nilai proyeksi; digunakan dalam analisis fungsional untuk teorema spektral. Jika untuk membedakan ukuran biasa yang mengambil nilai non-negatif dari generalisasi, istilah digunakan ukuran positif. Pengukuran positif ditutup di bawah kombinasi kerucut tetapi tidak umum kombinasi linear, sedangkan pengukuran bertanda tangan adalah penutupan linier dari pengukuran positif.

Generalisasi lain adalah ukuran aditif hingga, juga dikenal sebagai isi. Ini sama dengan ukuran kecuali bahwa alih-alih membutuhkan aditifitas yang dapat dihitung, kita hanya memerlukan aditifitas yang terbatas. Secara historis, definisi ini digunakan pertama kali. Ternyata secara umum, ukuran aditif hingga terkait dengan pengertian seperti limit Banach, rangkap L∞ dan pemadatan Stone–Čech. Terkait dalam satu atau lain cara dengan aksioma pilihan. Masalah teknis tertentu di teori ukuran geometris; ini adalah teori ukuran Banach.

Muatan adalah generalisasi di kedua arah: adalah ukuran bertanda tangan aditif hingga.

Lihat pula 

 Aljabar Abelian von Neumann
 Hampir di mana-mana
 Teorema perluasan Carathéodory
 Isi (teori pengukuran)
 Teorema Fubini
 Lemma Fatou
 Teori pengukuran Fuzzy
 Teori ukuran geometris
 Ukuran Hausdorff
 Ukuran dalam
 Integrasi Lebesgue
 Pengukuran Lebesgue
 Ruang Lorentz
 Teori pengangkatan
 Kardinal terukur
 Fungsi terukur
 Konten Minkowski
 Ukuran luar
 Ukuran produk
 Ukuran Pushforward
 Ukuran reguler
 Ukuran vektor
 Penilaian (teori ukuran)
 Bentuk volume

Referensi

Bibliografi 

 Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure, Wiley Interscience.
 
 
 
  Chapter III.
 R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  Second edition.
 Federer, Herbert. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969 xiv+676 pp.
 D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
 
 R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428–32.
 M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
 
 Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. . Emphasizes the Daniell integral.

Pranala luar 

Tutorial: Measure Theory for Dummies