Identitas Euler

Identitas Euler (), juga dikenal sebagai persamaan Euler (), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:

di mana  adalah bilangan Euler,  adalah unit imajiner dan  adalah pi (atau konstanta Archimedes).

Analisis 

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:

  adalah identitas penambahan,
  adalah identitas perkalian,
  adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati 2.71828182845905,
  adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah ), dan
  adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.
Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.

Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.

Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik  pada bidang kompleks sebesar 180° ( radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar  searah sumbu . Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal .

Bukti 
Identitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:

 

dengan mensubtitusikan  dengan  didapat:

 

sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:

 . Q.E.D.

Lihat pula 

 Bilangan kompleks

Catatan

Referensi 

Identitas matematika
Matematika
pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera