Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin

Definisi 
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

:

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan  dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Kesalahan perkiraan dan konvergensi

Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari  sekitar intinya . Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:

Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai . Secara khusus, untuk nilai , kesalahannya kurang dari 0.000003.

Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai  dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai . Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari ; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.

Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai  Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya . Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.

Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi  konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya . Misalnya Fungsi

Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel.  Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.

Generalisasi
Namun demikian, ada generalisasi dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai , menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja ,

Darimana nilai  adalah  Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah . Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya  bersifat analitik di , istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.

Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun , identitas deret pangkat berikut berlaku:

Jadi secara khusus,

Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.

Daftar seri Maclaurin dari beberapa fungsi umum

Beberapa ekspansi penting seri Maclaurin menyusul. Semua perluasan tersebut valid untuk argumen yang kompleks .

Fungsi eksponensial 

Fungsi eksponensial pada  (dengan basis ) memiliki deret Maclaurin
.
Hal tersebut menyatu untuk nilai .

Logaritma natural 
Logaritma natural (dengan basis ) memiliki deret Maclaurin

Deret geometris 

Deret geometris dan turunannya memiliki deret Maclaurin

Semuanya konvergen untuk .  Ini adalah kasus khusus dari of binomial series diberikan di bagian selanjutnya.

Deret Binomial 

Deret Binomial adalah deret pangkat

yang koefisiennya adalah koefisien binomial umum

 

(Jika , produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu  untuk bilangan real atau kompleks apa pun .

Darimana nilai , ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus  dan  berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:

Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.

Perkiraan dalam fungsi

Fungsi trigonometri 
Fungsi trigonometri biasa dan inversnya memiliki deret Maclaurin berikut:

Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka  muncul dalam perluasan  adalah angka Bernoulli. Hal itu  dalam perluasan  adalah nomor Euler.

Fungsi hiperbolik 
Fungsi hiperbolik memiliki deret Maclaurin yang terkait erat dengan deret untuk fungsi trigonometri yang sesuai:

Angka-angka  muncul di seri untuk  adalah angka Bernoulli.

Deret Taylor sebagai definisi

Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.

Deret Taylor dalam beberapa variabel

Deret Taylor juga dapat digeneralisasikan ke fungsi lebih dari satu variabel dengan

Dari contoh di atas, untuk suatu fungsi  yang bergantung pada dua variabel,  dan , seri Taylor ke urutan kedua tentang intinya  is

di mana subskrip menunjukkan masing-masing turunan parsial.

Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai

Darimana  adalah gradien dari nilai  dievaluasi pada  dan  adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi

yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.

Contoh 

Untuk menghitung ekspansi deret Taylor orde dua di sekitar titik  dari fungsi tersebut

yang pertama menghitung semua turunan parsial yang diperlukan:

Mengevaluasi turunan ini di asalnya akan menghasilkan koefisien Taylor

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus umum

menghasilkan

Setelah  bersifat analitik , kita punya

Contoh 
Deret Maclaurin untuk setiap polinomial adalah polinomial itu sendiri.

Deret Maclaurin untuk  merupakan deret geometri

maka deret Taylor untuk x−1 pada  adalah

Dengan melakukan integrasi deret Maclaurin di atas, dapat dihitung deret Maclaurin untuk , di mana log melambangkan logaritma natural:

dan deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada  adalah

dan lebih umum, deret Taylor yang bersangkutan untuk log(x) pada suatu a = x0 adalah:

 

Deret Taylor untuk fungsi eksponensial ex pada a = 0 adalah

Ekspansi di atas berlaku karena derivatif ex terhadap x juga adalah ex dan e0 sama dengan 1. Ini menyisakan elemen  pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.

Lihat pula 
 Teorema Taylor
 Deret pangkat
 Teorema nilai purata

Referensi

Pranala luar 
 
 Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
 "Discussion of the Parker-Sochacki Method "
 minea.org
 Another Taylor visualisation  - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
 Taylor series revisited for numerical methods pada Numerical Methods for the STEM Undergraduate

Kalkulus

pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora