Pertidaksamaan

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Notasi pertidaksamaan

Jenis-jenis pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear 
 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 

 

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
  (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

Pertidaksamaan Kuadrat 
 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

Pertidaksamaan Irasional 
Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
  atau 

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi  atau  serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 
 

 Irisan 1
 

dibuat harga nol
 
 
 

karena ada syarat akar maka:
 Irisan 2
 

dibuat harga nol
 
 
 

 Irisan 3
 
 

gabungkan umum dan syarat

 

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 
 

 Irisan 1
 

dibuat harga nol
 
 
 

karena ada syarat akar maka:
 Irisan 2
 

dibuat harga nol
 
 
 

 Irisan 3
 
 

gabungkan umum dan syarat

Pertidaksamaan Pecahan 
Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:
 
di mana  adalah fungsi aljabar dengan  dan  merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 
 
 
 
 

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1
 
 

 penyebut 2
 
 

dibuat irisan

 

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 
 
 
 

dibuat harga nol
 
 
  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1
 
 

 penyebut 2
 
 

dibuat irisan

Pertidaksamaan Mutlak 
Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:
 Model I
  atau 
haruslah mempunyai dua nilai yaitu

 

 Model II
Jika  atau  maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi  atau .

 Model III
Jika  maka menghasilkan  dan .

begitupula .

 Model IV
Jika  terkurung maka f(x) menghasilkan  serta -f(x) menghasilkan .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)
 

 untuk 
 
  definit +

 untuk 
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 

 Tentukan nilai x dari persamaan !
 terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

 untuk | x^2 - 4x - 12 |
 

 batasan f(x)
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 batasan -f(x)
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 untuk | 7 - 6x |
 

 batasan f(x)
 
 

 batasan -f(x)
 
 

keempat batas-batas akan dibuat irisan

 untuk x <= -2
 
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 untuk -2 < x <= 7/6
 
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 untuk 7/6 < x < 6
 
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

untuk x >= 6
 
 
  definit +

 

gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:
 

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 
 
 
 
 

 akar dari 
 
  definit +

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1
 
 

 penyebut 2
 
 

 akar dari 
 
 

dibuat harga nol
 
 
  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1
 
 

 penyebut 2
 
 

dibuat irisan

 nb: * = mempunyai 2 akar

 

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
 
 
 
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

karena ada syarat akar maka:
 akar 1
 

dibuat harga nol
 
 
 

dibuat irisan

 

 akar 2
 
 

gabungkan umum dan syarat

Pertidaksamaan aritmatika dan geometri 

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a1, a2, …, an kita punya  dimana

{| style="height:200px"
|-
| || (rata-rata harmonis),
|-
| || (rata-rata geometris),
|-
| || (rata-rata aritmatika),
|-
| || (rata-rata kuadrat).
|}

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz 

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor  u  dan  v  dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa
 
where  adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rn dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah

Pertidaksamaan pangkat 
Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ab, di mana  a  dan  b  adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

Contoh 

 Dari bilangan riil  x,
 
 Bila x > 0 dan p > 0, maka
 
 Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x). 
 Bila x > 0, maka
 
 Bila x > 0, maka
 
 Bila x, y, z > 0, maka
 
 Untuk bilangan riil  a  dan  b ,
 
 Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka
 
 Bila x, y, z > 0, maka
 
 Bila a, b > 0, maka
 
 Bila a, b > 0, maka
 
 Bila a, b, c > 0, maka
 
 Bila a, b > 0, maka

Pertidaksamaan yang terkenal 

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

 Pertidaksamaan Azuma
 Pertidaksamaan Bernoulli
 Pertidaksamaan Bell
 Pertidaksamaan Boole
 Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
 Pertidaksamaan Chebyshev
 Pertidaksamaan Chernoff
 Pertidaksamaan Cramér–Rao
 Pertidaksamaan Hoeffding
 Pertidaksamaan Hölder
 Pertidaksamaan rata-rata aritmatika dan geometri
 Pertidaksamaan Jensen
 Pertidaksamaan Kolmogorov
 Pertidaksamaan Markov
 Pertidaksamaan Minkowski
 Pertidaksamaan Nesbitt
 Pertidaksamaan Pedoe
 Pertidaksamaan Poincaré
 Pertidaksamaan Samuelson
 Pertidaksamaan segitiga

Lihat pula 
Hubungan biner
Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
Inklusi (teori himpunan)
Inequation
Interval (matematika)
Daftar pertidaksamaan
Daftar pertidaksamaan segitiga
Himpunan yang dipesan sebagian
Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan

Referensi

Sumber

Pranala luar 

 
 Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
 AoPS Wiki entry about Inequalities

 
Aljabar elementer
Istilah matematika