Kaidah rantai

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabel y bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

Aturan rantai dapat ditulis ulang dalam notasi Leibniz dengan cara berikut. Bila variabel  tergantung pada variabel , yang bergantung pada variabelnya  (yaitu  dan  adalah variabel dependen), lalu , melalui variabel perantara , tergantung pada  demikian juga. Dalam hal ini, aturan rantai menyatakan bahwa:

Lebih tepatnya, untuk menunjukkan titik setiap turunan evaluasi, .

Versi aturan rantai di Lagrange dan notasi Leibniz adalah setara, dalam arti bila  dan ,  seperti nilai , maka

dan

Secara intuitif, aturan rantai menyatakan bahwa mengetahui tingkat perubahan seketika z tergantung pada y dan dari y relative to x memungkinkan seseorang untuk menghitung tingkat perubahan seketika z tergantung pada x. Seperti yang dikemukakan oleh George F. Simmons: "Jika sebuah mobil melaju dua kali lebih cepat dari sepeda dan sepeda empat kali lebih cepat dari orang yang berjalan kaki, maka mobil tersebut berjalan 2 × 4 = 8 kali lebih cepat dari pria itu."

Dalam integrasi, pasangan dari aturan rantai adalah aturan substitusi.

Sejarah 

Aturan rantai tampaknya pertama kali digunakan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz. Dia menggunakannya untuk menghitung turunan dari  sebagai gabungan dari fungsi akar kuadrat dan fungsi . Dia pertama kali menyebutkannya dalam memoar 1676 (dengan kesalahan tanda dalam perhitungan). Notasi umum aturan rantai adalah karena Leibniz. Guillaume de l'Hôpital menggunakan aturan rantai secara implisit dalam miliknya Analyse des infiniment petits. Aturan rantai tidak muncul di buku analisis Leonhard Euler, meskipun mereka ditulis lebih dari seratus tahun setelah penemuan Leibniz.

Satu dimensi

Contoh pertama 
Contohnya seorang penerjun payung melompat dari pesawat terbang. Asumsikan bahwa  detik setelah lompatannya, ketinggiannya di atas permukaan laut dalam meter diberikan oleh . Satu model untuk tekanan atmosfer di ketinggian  is .  Kedua persamaan ini dapat dibedakan dan digabungkan dengan berbagai cara untuk menghasilkan data berikut:
  adalah kecepatan skydiver pada saat itu .
  adalah laju perubahan tekanan atmosfer sehubungan dengan ketinggian di ketinggian  dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di  meters above sea level. (Gaya apung sebenarnya tergantung pada volume skydiver tersebut.)
  adalah tekanan atmosfer yang dialami skydiver  detik setelah lompatannya.
  adalah laju perubahan tekanan atmosfer terhadap waktu di  detik setelah skydiver melompat, dan sebanding dengan gaya apung pada skydiver di  detik setelah lompatan.

Di sini, aturan rantai memberikan metode untuk menghitung  istilah dari  dan . Meskipun selalu mungkin untuk secara langsung menerapkan definisi turunan untuk menghitung turunan fungsi komposit, ini biasanya sangat sulit. Kegunaan kaidah rantai adalah mengubah turunan yang rumit menjadi beberapa turunan mudah.

Kaidah rantai menyatakan bahwa, dalam kondisi yang sesuai,

Dalam contoh ini sama dengan

Dalam pernyataan kaidah rantai,  dan  memainkan peran yang sedikit berbeda karena  adalah evaluasi pada , sedangkan  adalah evaluasi pada . Karena hal ini diperlukan agar unit bekerja dengan benar.

Contohnya, kita ingin menghitung laju perubahan tekanan atmosfer sepuluh detik setelah skydiver melompat. Karena,  dan memiliki satuan pascal per detik. Faktor  dalam kaidah rantai adalah kecepatan skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan dinyatakan dalam meter per detik.  adalah perubahan tekanan terhadap ketinggian di ketinggian  dan dinyatakan dalam pascal per meter. Produk dari  dan  oleh karena itu memiliki satuan pascal per detik yang benar.

Di sini, perhatikan bahwa evaluasi tidak dapat dilakukan  di tempat lain. Contohnya, 10 dalam soal mewakili sepuluh detik, sedangkan ekspresi  akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian sepuluh meter, yang tidak kami inginkan. Begitu pula saat  memiliki satuan meter per detik, ekspresi tersebut  akan mewakili perubahan tekanan pada ketinggian −98 meter, yang sekali lagi bukan yang kami inginkan. Namun,  adalah 3020 meter di atas permukaan laut, ketinggian skydiver sepuluh detik setelah lompatannya, dan ini memiliki satuan yang benar untuk masukan .

Pernyataan 

Bentuk paling sederhana dari kaidah rantai adalah untuk fungsi bernilai riil dari satu variabel nyata. Karena hal ini menyatakan bahwa jika  adalah fungsi yang dapat dibedakan pada suatu titik  (yaitu turunan  ada) dan  adalah fungsi yang dapat dibedakan pada , lalu fungsi komposit  dibedakan di , dan turunannya adalah

Kaidah tersebut terkadang disingkat

Bila  dan , maka bentuk singkatan ini ditulis dalam notasi Leibniz sebagai:

Poin-poin di mana turunan dari hasil evaluasi juga dapat dinyatakan secara eksplisit:

Membawa alasan yang sama lebih jauh, diberikan  fungsi  dengan fungsi komposit , bila masing-masing fungsi  dapat dibedakan pada masukan langsungnya, maka fungsi komposit juga dapat dibedakan dengan penerapan Aturan Rantai yang berulang, di mana turunannya adalah (dalam notasi Leibniz):

Contoh lebih lanjut

Tidak adanya rumus 
Dimungkinkan untuk menerapkan kaidah rantai bahkan ketika tidak ada rumus untuk fungsi yang sedang dibedakan. Karena hal ini bisa terjadi jika turunannya diukur secara langsung. Contohnya sebuah mobil sedang mendaki gunung yang tinggi. Speedometer mobil mengukur kecepatannya secara langsung. Jika tingkat diketahui, laju pendakian dapat dihitung menggunakan trigonometri. Contohnya mobil sedang naik pada . Model standar untuk atmosfer bumi menyiratkan bahwa suhu turun sekitar  per kilometer naik (disebut tingkat selang waktu). Untuk mengetahui penurunan suhu per jam, kita dapat menerapkan aturan rantai. Biarkan fungsinya  menjadi ketinggian mobil pada saat itu , dan biarkan fungsinya  menjadi suhu  kilometer di atas permukaan laut.   dan  tidak diketahui secara pasti: Contohnya, ketinggian tempat mobil mulai tidak diketahui dan suhu di gunung tidak diketahui. Namun, turunannya diketahui:  adalah , dan  adalah . Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari fungsi komposit adalah hasil kali dari turunan  dan turunan dari . Karena ini adalah .

Salah satu alasan mengapa penghitungan ini dimungkinkan adalah karena  adalah fungsi konstan. Penjelasan yang lebih akurat tentang bagaimana suhu di dekat mobil bervariasi dari waktu ke waktu memerlukan model yang akurat tentang bagaimana suhu bervariasi pada ketinggian yang berbeda. Model ini mungkin tidak memiliki turunan konstan. Untuk menghitung perubahan suhu pada model seperti itu, perlu diketahui  dan bukan hanya , karena tanpa disadari  tidak mungkin mengetahui di mana harus mengevaluasi .

Komposit lebih dari dua fungsi 
Kaidah rantai dapat diterapkan pada komposit lebih dari dua fungsi. Untuk mengambil turunan dari gabungan lebih dari dua fungsi, perhatikan bahwa gabungan dari , , dan  (dalam urutan itu) adalah gabungan dari  maka . Kaidah rantai menyatakan bahwa untuk menghitung turunan dari , itu cukup untuk menghitung turunan dari  dan turunan dari .  Turunan dari  dapat dihitung secara langsung, dan turunan dari  dapat dihitung dengan menerapkan aturan rantai lagi.

Untuk konkretnya, pertimbangkan fungsinya

Ini dapat diuraikan sebagai gabungan dari tiga fungsi:

Turunannya adalah:

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan komposit mereka pada titik  adalah:

 

Dalam notasi Leibniz, adalah:

atau singkatnya,

Oleh karena itu, fungsi turunannya adalah:

Cara lain untuk menghitung turunan ini adalah dengan melihat fungsi komposit  sebagai gabungan dari  dan h.  Menerapkan aturan rantai dengan cara ini akan menghasilkan:

sama dengan yang dihitung di atas. hal ini harus diharapkan karena .

Terkadang, perlu untuk membedakan komposisi bentuk yang sangat panjang . Dalam kasus ini, definisikan

dimana  dan  ketika . Kemudian aturan rantai terbentuk

atau, dalam notasi Lagrange,

Kaidah hasil bagi 

Kaidah rantai dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa aturan diferensiasi yang terkenal. Contohnya, kaidah hasil bagi adalah konsekuensi dari aturan rantai dan aturan perkalian. Untuk melihat ini, tulis fungsinya  sebagai produk . Pertama, terapkan kaidah hasil kali:

Untuk menghitung turunan , perhatikan bahwa itu adalah gabungan dari  dengan fungsi timbal balik, yaitu fungsi yang mengirim  to . Turunan dari fungsi timbal balik adalah . Dengan menerapkan aturan rantai, ekspresi terakhir menjadi:

yang merupakan rumus umum untuk aturan hasil bagi.

Turunan dari fungsi invers

Turunan yang lebih tinggi 
Faà di Bruno's formula menggeneralisasi aturan rantai ke turunan yang lebih tinggi. Berasumsi bahwa  dan , maka beberapa turunan pertamanya adalah:

Bukti

Bukti pertama 
Salah satu bukti aturan rantai dimulai dengan definisi turunannya:

Asumsikan untuk saat itu  tidak sama  untuk apapun  dekat .  Maka persamaan sebelumnya sama dengan hasil kali dua faktor:

<!-+If  oscillates near , then it might happen that no matter how close one gets to , there is always an even closer  such that  equals . -->Contohnya, ini terjadi untuk  mendekati intinya . Kapanpun ini terjadi, ekspresi di atas tidak terdefinisi karena melibatkan pembagian dengan nol. Untuk menyiasatinya, perkenalkan sebuah fungsi  sebagai berikut:

Kami akan menunjukkan bahwa hasil bagi perbedaan  selalu sama dengan:

.

Bukti kedua

Bukti ketiga

Kasus multivariabel

Generalisasi lebih lanjut

Bukti 

Misalkan fungsi f dengan y = f(u) dan fungsi g dengan u = g(x) masing-masing terdiferensiasi di titik u = u0 dan x = x0. Maka y merupakan fungsi komposit dari x . Turunan y terhadap x di titik x0 dinyatakan sebagai

Misalkan , dan . Untuk  maka . Dengan mensubstitusi, kita dapat menuliskan

.

Referensi

Pranala luar 
 

Kalkulus
Persamaan diferensial
Persamaan matematika
Persamaan