Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur") adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Helenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

Trigonometri mudah dikaitkan dalam bidang segitiga siku-siku (dengan hasil jumlah besar kedua sudut lancip sama dengan besar sudut siku-siku). Peranan untuk selain segitiga siku-siku juga ada. Sejak segitiga yang bukan siku-siku dapat dibagi menjadi dua segitiga siku-siku, banyak masalah yang dapat diatasi dengan penghitungan segitiga siku-siku. Karena itu, sebagian besar penggunaan trigonometri berhubungan dengan segitiga siku-siku. Satu pengecualian untuk spherical trigonometry, yakni pelajaran trigonometri dalam sphere atau permukaan dari curvature relatif positif dalam elips geometri (bagian yang berperan dalam menemukan astronomi dan navigasi). Trigonometri dalam curvature negatif merupakan bagian dari geometri hiperbola.

Sejarah awal 

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Prancis.

Konsep 
Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer.

Kegunaan 

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Pada abad ke-3 Masehi, astronom pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari segitiga siku-siku antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara algoritme. Penghitungan ini didefiniskan menjadi fungsi trigonometrik dan saat ini menjadi dalam bagian matematika murni dan terapan: contohnya untuk menganalisis metode dasar seperti transformasi fourier atau gelombang persamaan, menggunakan fungsi trigonometrik untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik mesin dan listrik, musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan surveying.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya .

Fungsi trigonometri

Definisi dasar 
Fungsi trigonometri dapat didefinisikan melalui segitiga siku-siku, dimana  adalah segitiga siku-siku,  dan  adalah sisi-sisi segitiga beserta  adalah hipotenusa atau sisi miring segitiga. Misalkan  adalah sudut yang diketahui.
 Fungsi sin didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan hipotenusa.
.
 Fungsi cos didefinisikan sebagai rasio sisi samping dengan hipotenusa.
.
 Fungsi tan didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan sisi samping.

Fungsi tan juga didefinisikan sebagai rasio fungsi sinus dengan kosinus
. 
Ketiga fungsi di atas merupakan salah satu fungsi trigonometri paling dasar. Kita dapat mencari suatu panjang maupun sudut segitiga sembarang dengan fungsi sinus dan kosinus melalui hukum sinus dan kosinus. Beberapa fungsi trigonometri lainnya, antara lain, kosekan (csc), sekan (sec), dan kotangen (cot).
.
.
.

Grafik fungsi trigonometri 
Berikut adalah grafik mengenai fungsi trigonometri.

Identitas trigonometri

Identitas Pythagoras 

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari identitas Pythagoras. Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep teorema Pythagoras melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras, antara lain:

Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka

Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras, . Jadi, 
. 

. 

.

Kesamaan nilai trigonometri

Rumus jumlah dan selisih sudut

Rumus perkalian trigonometri

Rumus jumlah dan selisih trigonometri

Rumus sudut rangkap dua

Rumus sudut rangkap tiga

Rumus setengah sudut

Persamaan trigonometri 
Jika , maka  serta 
Jika , maka  serta 
Jika , maka  serta 
Persamaan  dapat diubah menjadi , maka ,  serta

Lihat pula 

 Sinus
 Cosinus
 Tangen
 Secan
 Cosecan
 Cotangen
 Trigonometri umum
 Daftar topik segitiga
 Fungsi trigonometri
 Tabel sin Aryabhata
 Daftar identitas trigonometri
 Trigonometri rasional
 Trigonometri di bidang Galois
 Lingkaran satuan
 Pemanfaatan trigonometri
 Perkiraan sudut kecil
 Segitiga kurus
 Bola Lenart

Referensi

Pustaka 
 
 
 Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
 
 Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner.

Pranala luar 

 Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
 Trigonometric Delights , by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
 Trigonometry  by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
 Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle at
 Dave's Short Course in Trigonometry by David Joyce of Clark University
 Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License 
Detailed knowledge of Trigonometry formulas 

 
Persamaan trigonometri
Persamaan matematika
Persamaan
Penemuan bangsa Yunani