Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Sebagai contoh, 21, 4, 0, -3, -67 dan -2048 merupakan bilangan bulat, sedangkan 9,75 ,  , dan  bukan.

Himpunan bilangan bulat terdiri dari angka 0, semua bilangan bulat positif  (juga disebut dengan bilangan asli),  dan invers aditif-nya, semua bilangan bulat negatif . Dalam matematika, himpunan ini sering dilambangkan dengan , atau huruf tebal (). Huruf kapital Z yang digunakan berasal dari kata Zahlen, yang berarti bilangan dalam bahasa Jerman.Subhimpunan  yang hanya terdiri dari angka 0 dan bilangan-bilangan bulat positif disebut dengan bilangan cacah. Himpunan  sendiri merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan rasional, karena nilainya dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut 1. Bilangan rasional selanjutnya merupakan subhimpunan dari himpunan bilangan real.

Notasi 

Simbol  sebagai himpunan bilangan bulat digunakan oleh banyak penulis untuk menyatakan beberapa jenis himpunan. Notasi ,  , atau , digunakan untuk melambangkan bilangan bulat positif. Notasi  melambangkan bilangan bulat negatif. Notasi bilangan bulat taknegatif dapat ditulis sebagai atau , sementara notasi bilangan bulat taknol ditulis  atau . Notasi lainnya, yaitu  melambangkan setengah bilangan bulat.

Notasi lain yang berkaitan dengan simbol himpunan bilangan bulat adalah , yang melambangkan himpunan bilangan bulat modulo-, yaitu himpunan semua kelas kekongruenan dari bilangan bulat modulo . Sedangkan notasi  melambangkan kekisi bilangan bulat.

Sifat-sifat aljabar 
Seperti himpunan bilangan asli,  tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Artinya, penjumlahan maupun perkalian dari dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat.  juga tertutup terhadap operasi pengurangan karena mengandung 0 dan bilangan-bilangan negatif, berbeda halnya dengan bilangan asli. Namun karena hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu berupa bilangan bulat pula (contohnya 1 ketika dibagi dengan 2),  tidak tertutup terhadap pembagian. Walaupun bilangan asli tertutup terhadap eksponensiasi, sifat ini tidak berlaku pada bilangan bulat, karena hasil eksponensiasi dapat berbentuk pecahan ketika eksponen bernilai negatif.

Tabel berikut berisi daftar beberapa sifat dasar operasi penambahan dan perkalian, untuk sembarang bilangan bulat , , dan :

Empat sifat pertama untuk perkalian yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa  dalam operasi perkalian merupakan suatu monoid komutatif. Namun, tidak semua bilangan bulat memiliki invers perkalian (contohnya angka 2), mengakibatkan  dalam perkalian bukan suatu grup. Tidak lengkapnya invers perkalian untuk setiap elemen setara dengan pernyataan  tidak tertutup dalam pembagian, mengartikan bahwa  bukan suatu lapangan. Lapangan terkecil yang mengandung bilangan bulat sebagai sublapangan adalah lapangan bilangan rasional. 

Lima sifat pertama untuk penjumlahan yang ditulis dalam tabel, menyatakan bahwa  dalam penjumlahan merupakan suatu grup Abelian. Himpunan  juga merupakan suatu grup siklik, karena semua bilangan bulat bukan 0 dapat ditulis sebagai penjumlahan terhingga  atau . Malahan,  dalam penjumlahan adalah satu-satunya grup siklik tak hingga — dalam artian semua grup siklik tak hingga bersifat isomorfik dengan .

Semua sifat pada tabel (kecuali baris terakhir), ketika digunakan bersama-sama, mengartikan bahwa  dengan penjumlahan dan perkalian membentuk suatu gelanggang komutatif dengan elemen identitas. Gelanggang ini adalah fondasi semua objek struktur aljabar.

Walaupun pembagian yang umum tidak terdefinisi di , operasi pembagian "dengan sisa" dapat didefinisikan. Pembagian ini disebut pembagian Euklides, dan memiliki sifat penting berikut: untuk sembarang dua bilangan bulat  dan  dengan , akan ada bilangan bulat unik  dan  yang memenuhi  dan , dengan notasi  berarti nilai mutlak dari . Bilangan  disebut hasil bagi dan  disebut sisa pembagian  oleh . Algoritme Euklides menggunakan serangkaian operasi pembagian Euklides untuk menghitung faktor persekutuan terbesar.

Sifat keterurutan 
Himpunan bilangan bulat dapat diurutkan, secara alami dari nilai terkecil hingga terbesar:  . Dua bilangan bulat dibandingkan dengan lambang-lambang yaitu lebih dari, kurang dari, lebih dari atau sama dengan, atau kurang dari atau sama dengan, masing-masing dilambangkan sebagai , , , dan . Bilangan bulat disebut bilangan positif jika nilainya  dan disebut bilangan negatif jika nilainya . Sedangkan penggunaan tanda  menyatakan bahwa bilangan tidak positif, dan penggunaan tanda  menyatakan bahwa bilangan tidak negatif.

Pengurutan bilangan bulat kompatibel dengan sifat-sifat aljabar, dalam artian:

 Jika  dan , maka 
 Jika  dan , maka 

Hal ini menyimpulkan  dan definisi keterurutan di atas akan membentuk suatu gelanggang terurut.

Konstruksi 

Dalam pengajaran di sekolah, bilangan bulat umumnya didefinisikan secara intuitif sebagai kumpulan bilangan asli, angka nol, dan negatif dari kumpulan bilangan asli (maksudnya ). Namun, definisi ini memerlukan banyak kasus (setiap operasi perlu didefinisikan untuk setiap kombinasi jenis bilangan) dan menyulitkan untuk membuktikan bahwa bilangan bulat memenuhi berbagai rumus aritmetika. Karena itu, matematika yang modern menggunakan definisi yang lebih lebih abstrak, yang memungkinkan operasi-operasi aritmetika didefinisikan tanpa perlu membaginya dalam kasus-kasus. Bilangan bulat selanjutnya dikonstruksi (didefinisikan) secara formal sebagai kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan terurut bilangan asli .

Pasangan  dapat dianggap sebagai hasil dari mengurangi  dari . Untuk memastikan bahwa  dan  menghasilkan bilangan yang sama, relasi ekuivalensi  didefinisikan pada pasangan-pasangan ini dengan aturan:

 

tepat ketika

 .

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat selanjutnya dapat didefinisikan dalam operasi ekuivalensi pada bilangan asli. Dengan menggunakan notasi  untuk menyatakan kelas ekuivalensi yang memiliki  sebagai anggota, dapat dituliskan:

 .
 .

Invers (lawan) penjumlahan dari suatu bilangan bulat dapat dihasilkan dengan menukar urutan dari pasangan:

 .

Sehingga operasi pengurangan dapat didefinisikan sebagai penjumlahan dari invers penjumlahan:

 .

Pengurutan yang standar pada bilangan-bilangan bulat dapat dituliskan sebagai:

  jika dan hanya jika .

Lebih lanjut, setiap kelas ekuivalen memiliki satu anggota unik yang berbentuk  atau  (atau keduanya secara bersamaan). Sehingga pada gilirannya, kelas  dapat diwakilkan oleh bilangan asli , sedangkan kelas  diwakilkan oleh bilangan  . Angka   mewakili kelas .  Secara umum, kelas  diwakili oleh bilangan bulat

 

Cara konstruksi bilangan bulat seperti di atas menghasilkan representasi bilangan bulat sebagai  yang familiar. Berikut beberapa contoh bilangan bulat dan kelas ekuivalen yang diwakilinya:

Kardinalitas 
Kardinalitas dari himpunan bilangan bulat sama dengan  (alef-nol). Pernyataan ini dapat ditunjukkan dengan membuat suatu fungsi bijeksi dari  ke himpunan bilangan cacah . Fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai

 

Fungsi ini akan menghasilkan grafik (himpunan dari pasangan  sebagai berikut:

 .

Fungsi invers dari bijeksi tersebut didefinisikan sebagai

 

yang menghasilkan grafik

 .

Dalam ilmu komputer 

Dalam ilmu komputer, integer (Bahasa Inggris untuk kata "bilangan bulat") umumnya merupakan suatu tipe data primitif di bahasa-bahasa pemrograman. Namun, tipe data integer hanya dapat merepresentasikan subset dari semua bilangan bulat, karena komputer memiliki kapasitas yang terbatas. Sebagai contoh, tipe data integer dalam bahasa pemrograman Pascal hanya mampu menyimpan bilangan bulat yang bernilai diantara  sampai . Pada representasi two's complement yang umum digunakan, tanda hanya didefinisikan untuk membedakan "bilangan negatif" dan "bilangan tak negatif", bukan "bilangan negatif, positif, dan 0" (walaupun, sebenarnya komputer juga dapat menentukan apakah suatu nilai integer benar-benar bernilai positif). Pada beberapa bahasa pemrograman, aproksimasi bilangan bulat dengan panjang [digit] konstan (fixed-length integer) umumnya diwakili oleh tipe data int atau Integer (seperti pada Algol68, C, Java, Delphi, dll.).

Representasi bilangan bulat dengan panjang digit fleksibel (), seperti tipe data bignums, dapat menyimpan sembarang bilangan bulat asalkan dapat disimpan di memori komputer. Implementasi lain dari tipe data integer menggunakan ukuran yang konstan/tetap, sehingga hanya dapat menyimpan nilai bilangan bulat dalam suatu selang tertentu. Ukuran yang dipakai umumnya merupakan banyaknya bits (4, 8, 16, dst.) atau panjang digit desimal yang mudah diingat (misalnya, 9 digit atau 10 digit).

Perumuman

Bilangan bulat Gauss 

Dalam teori bilangan, bilangan bulat Gauss adalah bilangan kompleks, dimana bagian riil dan bagian imajiner adalah bilangan bulat, dengan penambahan dan perkalian biasa terhadap bilangan kompleks akan membentuk ranah integral. Bilangan bulat Gauss dapat dilambangkan sebagai  dan dapat rumuskan ini sebagai

Rumus di atas memberikan keterangan, di mana  adalah bilangan khayal.

Bilangan bulat Eisenstein 

Bilangan bulat Eisenstein, dinamai dari Gotthold Eisenstein, atau dikenal juga sebagai bilangan bulat Eisenstein–Jacobi, adalah bilangan dengan bentuk . Bilangan bulat Eisenstein dapat dinyatakan sebagai

 

dimana .

Aplikasi bilangan bulat 

Salah satu penerapan yang paling umum dan yang paling sering ditemui mengenai bilangan bulat adalah pengukuran kuantitatif yang menyatakan panas dan dingin, disebut suhu. Suhu pada termometer dapat menyatakan skalanya bernilai positif maupun negatif. Misalnya, terdapat sebuah kota dengan suhu sekitar 23 derajat Celsius. Hal tersebut dapat dituliskan "". Contoh lainnya adalah sebuah pegunungan bersalju yang suhu terdinginnya mencapai titik ekstrem, yaitu sekitar .

Dalam bidang ekonomi, bilangan bulat diterapkan sebagai keuntungan dan kerugian pada suatu keuangan. Dalam oseanografi, bilangan bulat dipakai untuk para penyelam dan kapten kapal selam laut untuk mengetahui ketinggian dalam laut — dengan kata lain ketinggian negatif.

Lihat pula 

 Aritmetika modular
Bilangan asli
Bilangan bulat Eisenstein
Bilangan bulat Gauss
Bilangan bulat kekisi
 Bilangan cacah
 Bilangan rasional
Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil
Fungsi phi Euler
Kelipatan persekutuan terkecil
Keterbagian

Catatan kaki

Rujukan

Pranala luar 

 Brilliant Math and Science – Integers

 
Matematika dasar