Rumus Euler

Dalam matematika, rumus Euler dinamakan untuk Leonhard Euler, adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. Sebagai catatan, identitas Euler adalah kasus spesial dari rumus Euler. Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap bilangan real ,

 

di mana  adalah basis logaritma natural,  adalah unit imajiner atau satuan imajiner,  dan  adalah fungsi trigonometri. Richard Feynman menyebut rumus Euler sebagai "our jewel" dan "rumus terhebat dalam matematika."

Sejarah 
Rumus Euler dibuktikan (dalam bentuk yang tidak jelas) untuk pertama kalinya oleh Roger Cotes pada 1714, kemudian ditemukan kembali dan dipopulerkan oleh Euler pada 1748. Tidak satu pun dari orang orang melihat interpretasi geometri dari rumus: pandangan bilangan kompleks sebagai titik di bidang muncul hanya sekitar 50 tahun kemudian (lihat Caspar Wessel).

Aplikasi dalam teori bilangan kompleks 

Rumus ini dapat diartikan mengatakan bahwa fungsinya  menelusuri lingkaran satuan dalam bidang bilangan kompleks sebagai x berkisar melalui bilangan real. Di sini,  adalah sudut yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik asal dengan titik pada lingkaran satuan dengan sumbu nyata positif, diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian. Rumusnya hanya valid jika fungsi sinus dan kosinus menggunakan argumennya dalam radian, bukan dalam derajat.

Buktinya didasarkan pada deret Taylor perluasan dari fungsi eksponensial  (di mana  adalah bilangan kompleks) dan dari  dan  untuk bilangan real  (lihat di bawah). Faktanya, bukti yang sama menunjukkan bahwa rumus Euler berlaku untuk semua bilangan kompleks .

Rumus Euler dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks pada koordinat polar. Bilangan kompleks apa pun z=x+iy dapat ditulis sebagai

di mana , , , dan  adalah dari sudut- antara sumbu x dan vektor  dapat diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian yang ditentukan hingga penambahan 2π.

Menggunakan hukum eksponensial

 

berlaku untuk bilangan kompleks  dan  dan rumus Euler, dapat ditulis

untuk nilai , yang menyiratkan bahwa logaritma kompleks dari  
 

Jadi, logaritma bilangan kompleks adalah fungsi multi-nilai, karena faktanya  multi-nilai.

Rumus

 

yang dapat dilihat berlaku untuk semua bilangan bulat , bersama dengan rumus Euler, menyiratkan beberapa identitas trigonometri serta rumus de Moivre.

Hubungan dengan trigonometri 
Rumus Euler memberikan hubungan yang kuat antara analisis dan trigonometri, dan memberikan interpretasi dari fungsi sinus dan cosinus sebagai jumlah bobot dari fungsi eksponensial:

 
 

Kedua persamaan di atas dapat diturunkan dengan menambah atau mengurangi rumus Euler:
   
 
and solving for either cosine or sine.

Rumus ini bahkan dapat berfungsi sebagai definisi fungsi trigonometri untuk argumen kompleks x. Contohnya, membiarkan x = iy, kita punya:

Aplikasi lain 
Dalam persamaan diferensial, fungsinya eix sering digunakan untuk menyederhanakan derivasi, meskipun jawaban akhirnya adalah fungsi nyata yang melibatkan sinus dan kosinus. Identitas Euler adalah konsekuensi mudah dari rumus Euler.

Dalam teknik kelistrikan dan bidang lainnya, sinyal yang berubah secara berkala dari waktu ke waktu sering kali digambarkan sebagai kombinasi fungsi sinus dan kosinus (lihat analisis Fourier), dan ini lebih mudah diekspresikan sebagai bagian nyata dari fungsi eksponensial dengan eksponen imajiner, menggunakan rumus Euler.

Bukti 

Berbagai bukti dari rumus tersebut dimungkinkan.

Menggunakan deret Taylor 
Berikut adalah bukti rumus Euler menggunakan ekspansi deret Taylor
serta fakta dasar tentang kekuatan i:

 
 
 
 
 
 

dan seterusnya. Fungsinya ex, cos(x) dan sin(x) (dengan asumsi  x  adalah riil) dapat ditulis sebagai:

 

 

 

dan untuk kompleks z kita mendefinisikan masing-masing fungsi ini dengan rangkaian di atas, menggantikan x dengan iz. Kemungkinan karena radius konvergensi dari setiap deret tidak terbatas. Kami kemudian menemukan itu

 

 

 

 

Penataan kembali suku-suku dibenarkan karena setiap deret adalah konvergensi mutlak. Pengambilan z = x menjadi bilangan real memberikan identitas asli saat Euler menemukannya.

Q.E.D.

Menggunakan kalkulus 
Tentukan bilangan kompleks  seperti yang
 (mengabaikan istilah modulus, karena ini akan dibatalkan nanti)
Membedakan  sehubungan dengan :

Menggunakan fakta i2 = -1:

Memisahkan variabel dan mengintegrasikan kedua sisi:

dimana

 adalah konstanta integrasi.

Referensi 
 Feynman, Richard P., The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6, ISBN 02010211161

Pranala luar
Euler and his beautiful and extraordinary formula by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
Euler's Formula - Puzzle: 55 pieces in a six star style of piece by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
Detailed Proof of Euler's Relation  by Craig Lewis.
Proof of Euler's Formula  by Julius O. Smith III
Euler's Formula and Fermat's Last Theorem

Lihat pula 
 Leonhard Euler
 Identitas Euler
 Bilangan kompleks
 Fungsi eksponensial
 Trigonometri

Matematika