Aturan sinus

Untuk kegunaan lain, lihat Sinus (disambiguasi).

Dalam trigonometri, aturan sinus, rumus sinus, atau hukum sinus adalah sebuah persamaan yang memperbandingan panjang sisi-sisi segitiga terhadap sinus sudut-sudutnya. Aturan ini menyatakan bahwadengan , dan  menyatakan panjang-panjang sisi dari segitiga, dan , dan   adalah besar sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi tersebut (lihat gambar sebagai ilustrasi), sedangkan  adalah radius dari lingkaran luar segitiga. Jika radius lingkaran tidak digunakan, aturan sinus terkadang dinyatakan dalam bentukAturan sinus berguna untuk menghitung sisi yang belum diketahui dari suatu segitiga apabila besar dua sudut dan panjang satu sisinya diketahui. Ini adalah masalah yang umum terjadi ketika melakukan triangulasi. Rumus ini juga dapat digunakan bila diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang tak diapit kedua sisi tersebut. Dalam kasus ini, data mungkin tidak dapat menghasilkan segitiga yang unik, sehingga rumus dapat memberikan dua nilai yang mungkin untuk sudut yang diapit. Aturan sinus juga dapat dipakai untuk menghitung jari-jari lingkaran luar segitiga.

Aturan sinus adalah salah satu dari dua persamaan trigonometrik yang umum digunakan untuk menentukan besar panjang dan sudut pada segitiga, persamaan lain yang digunakan adalah aturan kosinus.

Aturan sinus dapat diperumum ke dimensi yang lebih tinggi, yakni pada permukaan dengan kurvatur yang bernilai konstan.

Sejarah 
Hukum sinus bagi segitiga yang terletak pada bola ditemukan pada abad ke-10. Penemuan ini banyak diatribusikan kepada Abu-Mahmud Khojandi, Abul Wafa Muhammad Al Buzjani, Nashiruddin ath-Thusi, dan Abu Nashr Mansur.

Pada abad ke-11, buku Ibn Muʿādh al-Jayyānī' mengandung hukum sinus secara umum. Hukum sinus pada bidang [datar] kemudian dinyatakan oleh  Nashiruddin ath-Thusi pada abad ke-13. Dalam karyanya Tentang Gambar Sektor, ia menuliskan hukum sinus untuk bidang datar dan untuk permukaan bola, dan memberikan rumus untuk kedua hukum ini.

Pada abad ke-15, matematikawan Jerman Regiomontanus menggunakan hukum sinus sebagai fondasi solusi tentang masalah yang berkaitan dengan segitiga siku-siku. Solusi yang tertulis pada Buku IV-nya pada gilirannya menjadi dasar solusi masalah yang berkaitan dengan segitiga secara umum.

Bukti 

Perhatikan segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berhadapan A, B, dan C. Tarik garis tinggi h dari sudut C ke sisi c sehingga segitiga ABC terbagi menjadi dua segitiga siku-siku.

Dapat diamati bahwa:
 dan

Dari persamaan tersebut, dapat diturunkan dua bentuk dari h

sehingga diperoleh

Memperlakukan garis tinggi dari sudut A dengan cara yang sama, kemudian akan diperoleh:

Kasus ambigu 
Ketika menggunakan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi suatu segitiga, kasus ambigu dapat terjadi ketika terdapat dua segitiga dapat dibuat dari informasi yang diketahui (dengan kata lain, akan menghasilkan dua solusi berbeda). Kasus ini mungkin saja terjadi karena ada dua nilai sudut yang benar antara 0° dan 180° yang memiliki nilai sinus yang sama.

 

Untuk sembarang segitiga, kasus ambigu terjadi apabila kondisi-kondisi berikut terpenuhi:

 Informasi yang tersedia tentang segitiga hanyalah sudut  dan panjang  dan .
 Sudut  lancip (yakni, besar sudut  < 90°).
 Sisi  lebih pendek daripada sisi  (yakni, besar ).
 Sisi  lebih panjang daripada ketinggian  ketika diukur dari titik  (artinya ), dengan nilai .

Jika semua kondisi tersebut terpenuhi, maka sudut  dan  menghasilkan dua segitiga yang valid tapi berbeda, mengartikan dua persamaan berikut benar:Dari persamaan di atas, dapat ditentukan besar sudut  dan panjang sisi , atau besar sudut  dan panjang sisi , jika diperlukan.

Contoh 

Diberikan informasi: panjang sisi , sisi , dan sudut , sedangkan nilai sudut  ingin dicari. Menggunakan aturan sinus, disimpulkan bahwa Sehingga dengan menggunakan invers dari fungsi sinus, arcsinus, didapatkan Solusi lain dari arcsin adalah nilai . Namun ini tidak digunakan karena akan menghasilkan solusi dengan total sudut segitiga .

Hubungan dengan lingkaran luar segitiga 
Pada identitasketiga pecahan tersebut memiliki nilai yang sama dengan panjang diameter dari lingkaran luar segitiga. Bukti mengenai hal ini dapat ditelusuri sampai ke Ptolemy.

Bukti 

Seperti terlihat pada gambar, misalkan ada sebuah lingkaran yang memuat segitiga , dan memuat segitiga lain  yang sisinya melewati pusat lingkaran O. Sudut  memiliki sudut pusat sebesar , sehingga sudut  . Karena merupakan segitiga siku-siku, pada segitiga  berlaku 

dengan  adalah jari-jari dari lingkaran yang memuat segitiga. Sudut  dan  memiliki sudut pusat yang sama, sehingga besar sudut mereka sama: . Maka disimpulkan,Dengan menyusun kembali suku-suku, dihasilkanProses di atas dapat diulangi dengan membentuk  yang berbeda, sehingga menghasilkan persamaan

Hubungan dengan luas segitiga 
Menggunakan notasi yang sama dengan bagian sebelumnya, luas dari segitiga  adalah , dengan  adalah sudut yang diapit oleh sisi  dan . Mensubtitusi aturan sinus pada persamaan luas segitiga menghasilkan Dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut mengimplikasikandengan  adalah panjang setengah keliling segitiga, yakni  Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi rumus Heron untuk menghitung luas segitiga.

Aturan sinus juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus berikut untuk menghitung luas lingkaran. Dengan menyatakan , dapat ditunjukkan

Kasus hiperbolik 

Dalam geometri hiperbolik dengan kurvatur bernilai −1, aturan sinus berubah menjadiPada kasus khusus dengan  berupa sudut siku-siku, dihasilkanyang mirip dengan rumus pada geometri Euklides, yang menyatakan sinus sebagai perbandingan panjang sisi berlawanan dengan sisi hipotenusa.

Pada permukaan bola 

Aturan sinus pada permukaan bola memberikan hubungan trigonometrik pada segitiga yang sisi-sisinya berupa lingkaran besar.

Misalkan radius dari bola adalah 1. Misalkan pula , , dan  adalah panjang dari segmen-segmen lingkaran besar yang menjadi sisi-sisi segitiga. Karena bola berupa bola satuan, panjang , , dan  sama dengan besar-besar sudut (dalam radian) dari pusat bola, yang membentuk segmen-segmen lingkaran besar. Misalkan juga , , dan  adalah sudut-sudut yang berhadapan dengan masing-masing sisi segitiga. Aturan sinus pada permukaan bola menyatakan bahwa

Pada permukaan dengan kurvatur konstan 
Pada permukaan secara umum, fungsi sinus dapat diperumum sebagai berikut:yang nilainya juga bergantung kurvatur  di posisi  berada. Aturan sinus pada permukaan kurvatur bernilai konstan  menyatakan bahwaMensubtitusi nilai , , dan , secara berurutan akan menghasilkan aturan sinus pada permukaan Euklides, bola, dan hiperbolik, yang dijelaskan pada bagian-bagian sebelumnya. Misalkan  menyatakan keliling lingkaran berdiameter  pada ruang dengan kurvatur konstan . Maka . Akibatnya, aturan sinus juga dapat ditulis ulang sebagai:Rumus ini ditemukan oleh János Bolyai.

Lihat pula 
 Triangulasi
 Aturan kosinus

Catatan

Rujukan 

Trigonometri
Segitiga
Sudut
Persamaan trigonometri
Persamaan matematika
Persamaan