Aljabar elementer

Aljabar elementer adalah bentuk fundamental dan dasar dari aljabar, yang diajarkan kepada murid yang dianggap sedikit atau tidak memiliki pengetahuan tentang matematika yang lebih jauh daripada aritmetika (berhitung). Bila dalam aritmetika hanya bilangan dan operasi aritmetika (seperti +, -, ×, ÷) yang ditemukan, dalam aljabar kita juga menggunakan simbol (seperti x dan y, atau a dan b) untuk mewakili bilangan. Simbol seperti ini disebut sebagai variabel atau peubah. Penggunaan simbol seperti ini berguna karena:
 Memungkinkan perampatan (generalisasi) persamaan dan pertidaksamaan aritmetika untuk dinyatakan sebagai hukum (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan karena itu merupakan langkah pertama untuk studi sistematis terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
 Memungkinkan merujuk kepada bilangan yang tidak diketahui. Dalam konteks suatu masalah, variabel mungkin mewakili suatu nilai yang belum diketahui, tetapi dapat ditemukan lewat perumusan dan manipulasi persamaan matematika
 Memungkinkan penjelajahan hubungan matematika antara besaran-besaran (misalnya, "bila kamu menjual x karcis, keuntunganmu adalah 3x − 1000 rupiah").

Ketiganya adalah untaian utama dari aljabar elementer, yang mesti dibedakan dari aljabar abstrak, yang merupakan wilayah studi lebih lanjut.

Dalam aljabar elementer, sebuah "pernyataan matematika" boleh terdiri dari bilangan, variabel, dan operasi aritmetika. Ini biasanya ditulis dengan 'pangkat yang lebih tinggi' diletakkan di kiri; contohnya:

Dalam aljabar yang lebih lanjut, suatu pernyataan juga mungkin memiliki fungsi elementer.

Sebuah "persamaan" adalah klaim bahwa dua pernyataan adalah sama. Sebagian persamaan berlaku untuk semua nilai variabel (seperti a + b = b + a). Persamaan seperti ini dinamakan "identitas". Persamaan "bersyarat" berlaku hanya untuk sebagian nilai variabel yang mungkin: x2 − 1 = 4. Nilai-nilai variabel yang membuat persamaan tersebut berlaku disebut pemecahan atau "solusi" persamaan.

Notasi aljabar 

Notasi aljabar menjelaskan aturan dan ketentuan penulisan  ekspresi matematika, serta terminologi yang digunakan untuk membicarakan bagian-bagian ekspresi. Misalnya ekspresi  memiliki komponen berikut:

Koefisien adalah nilai numerik, atau huruf yang mewakili konstanta numerik, yang mengalikan variabel (operator dihilangkan). A  term  adalah adend atau penjumlahan, grup koefisien, variabel, konstanta, dan eksponen yang dapat dipisahkan dari suku lain dengan plus dan minus. Huruf mewakili variabel dan konstanta. Sesuai ketentuan, huruf di awal alfabet (yaitu ) biasanya digunakan untuk mewakili konstanta, dan yang mendekati akhir alfabet (misalnya  dan ) digunakan untuk mewakili variabel . Biasanya ditulis miring.

Operasi aljabar bekerja dengan cara yang sama seperti operasi aritmetika, seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensiasi. dan diterapkan pada variabel dan suku aljabar. Simbol perkalian biasanya dihilangkan, dan diterapkan ketika tidak ada ruang antara dua variabel atau suku, atau ketika koefisien digunakan. Misalnya,  ditulis sebagai , dan  ditulis .

Biasanya suku dengan pangkat tertinggi (eksponen), ditulis di sebelah kiri, misalnya,  ditulis di sebelah kiri . Ketika koefisien adalah satu, biasanya dihilangkan (misalnya  is written ). Begitu juga saat eksponen (pangkat) adalah satu, (misalnya  ditulis ). Jika eksponennya nol, hasilnya selalu 1 (misalnya  selalu ditulis ulang menjadi ). Namun , karena tidak terdefinisi, seharusnya tidak muncul dalam ekspresi, dan perhatian harus diberikan dalam menyederhanakan ekspresi di mana variabel mungkin muncul dalam eksponen.

Notasi alternatif 
Jenis notasi lain digunakan dalam ekspresi aljabar ketika pemformatan yang diperlukan tidak tersedia, atau tidak dapat tersirat, seperti di mana hanya huruf dan simbol variabel. Sebagai ilustrasi, eksponen biasanya diformat menggunakan superskrip, misalnya , dalam teks biasa, dan dalam bahasa markup TeX, simbol tanda sisipan "^" mewakili eksponensiasi, jadi  ditulis sebagai "x^2"., serta beberapa bahasa pemrograman seperti Lua. Dalam bahasa pemrograman seperti Ada, Fortran, Perl, Python  and Ruby, tanda bintang ganda digunakan, jadi  ditulis sebagai "x**2". Banyak bahasa pemrograman dan kalkulator menggunakan tanda bintang tunggal untuk mewakili simbol perkalian, dan itu harus digunakan secara eksplisit, misalnya,  ditulis "3*x".

Konsep

Variabel 

Aljabar elementer dalam aritmetika dengan memasukkan huruf yang disebut variabel untuk mewakili angka umum (tidak ditentukan). Ini berguna karena beberapa alasan.

Variabel mungkin mewakili angka yang nilainya belum diketahui. Misalnya, jika suhu hari ini, 20 derajat lebih tinggi dari suhu hari sebelumnya, maka P dari soal tersebut dapat dijelaskan secara aljabar sebagai .
Variabel memungkinkan seseorang untuk menggambarkan masalah umum, tanpa menentukan nilai kuantitas yang terlibat. Misalnya, dapat dinyatakan secara spesifik bahwa 5 menit sama dengan  detik. Deskripsi yang lebih umum (aljabar) mungkin menyatakan bahwa jumlah detik, , dimana m adalah jumlah menit.
Variabel memungkinkan untuk mendeskripsikan hubungan matematis antara besaran yang mungkin berbeda. Misalnya, hubungan antara keliling, c, dan diameter, d, dari sebuah lingkaran dijelaskan oleh .
Variabel memungkinkan untuk mendeskripsikan beberapa properti matematika. Misalnya, sifat dasar penjumlahan adalah komutativitas yang menyatakan bahwa urutan bilangan yang dijumlahkan tidak menjadi masalah. Komutatifitas dinyatakan secara aljabar sebagai .

Menyederhanakan ekspresi 

Ekspresi aljabar dapat dievaluasi dan disederhanakan, berdasarkan sifat dasar operasi aritmetika (penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensiasi). Sebagai contoh,
 Suku ditambahkan dan disederhanakan menggunakan koefisien. Misalnya,  dapat disederhanakan menjadi  (dengan 3 adalah koefisien numerik).
 Suku yang dikalikan disederhanakan menggunakan eksponen. Sebagai contoh,  direpresentasikan sebagai 
 Seperti istilah ditambahkan, sebagai contoh,  ditulis sebagai , karena istilah yang mengandung , dan istilah yang mengandung .
 Tanda kurung dapat "dikalikan", menggunakan sifat distributif. Misalnya,  dapat ditulis sebagai  ditulis sebagai 
 Ekspresi dapat difaktorkan. Misalnya, , dengan membagi kedua suku dengan  dapat ditulis sebagai

Persamaan 

Sebuah persamaan menyatakan bahwa dua ekspresi sama dengan menggunakan simbol persamaan,  (tanda sama dengan). Salah satu persamaan paling terkenal menjelaskan hukum Pythagoras yang berkaitan dengan panjang sisi segitiga sudut siku-siku:

Persamaan ini digunakan bahwa , merepresentasikan kuadrat dari panjang sisi yang merupakan sisi miring, sisi yang berlawanan dengan sudut siku-siku, sama dengan jumlah (penambahan) kuadrat dari dua sisi lainnya yang panjangnya diwakili oleh  dan .

Persamaan adalah dua ekspresi memiliki nilai yang sama dan sama. Beberapa persamaan benar untuk semua nilai variabel yang terlibat (seperti ); persamaan disebut identitas. Persamaan kondisional benar hanya untuk beberapa nilai dari variabel yang terlibat, misalnya  hanya benar untuk  and . Nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar adalah solusi dari persamaan dan dapat ditemukan melalui pemecah persamaan.

Jenis persamaan lainnya adalah pertidaksamaan. Pertidaksamaan digunakan untuk menunjukkan bahwa satu sisi persamaan lebih besar, atau lebih kecil, dari sisi lainnya. Simbol yang digunakan untuk ini adalah:  di mana  mewakili 'lebih besar dari', dan  dimana  mewakili 'kurang dari'. Sama seperti persamaan persamaan standar, angka dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan atau dibagi. Satu-satunya pengecualian adalah saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, simbol pertidaksamaan harus dibalik.

Substitusi 

Substitusi menggantikan suku-suku dalam suatu ekspresi untuk membuat ekspresi baru. Mengganti 3 untuk  dalam ekspresi tersebut  membuat ekspresi baru  dengan arti . Mengganti istilah pernyataan membuat pernyataan baru. Jika pernyataan asli benar secara independen dari nilai istilah, pernyataan yang dibuat oleh substitusi juga benar. Oleh karena itu, definisi dapat dibuat dalam istilah simbolik dan ditafsirkan melalui substitusi: jika  dimaksudkan sebagai definisi dari  karena produk dari  dengan dirinya sendiri, menggantikan  untuk  menginformasikan kepada pembaca pernyataan ini bahwa  sebagai . Seringkali tidak diketahui apakah pernyataan itu benar terlepas dari nilai istilah. Dan, substitusi memungkinkan untuk mendapatkan batasan pada nilai yang mungkin, atau menunjukkan kondisi apa yang dipegang pernyataan itu. Misalnya, pernyataan , if  diganti dengan , ini menyiratkan , yang salah, yang menyiratkan bahwa jika  maka  tidak bisa menjadi .

Lihat pula 
 Sejarah aljabar elementer
 Operasi biner
 Eliminasi Gaussian
 Pendidikan matematika
 Bilangan garis
 Polinomial
 Membatalkan
 Soal aljabar sekolah tinggi Tarski

Referensi 
Leonhard Euler,   Elements of Algebra, 1770.  English translation Tarquin Press, 2007, , also online digitized editions 2006, 1822.
Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
Redden, John. Elementary Algebra . Flat World Knowledge, 2011

Pranala luar 

 
Aljabar