Teori himpunan

Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk:
 Teori himpunan naif, dan
 Teori himpunan aksiomatik, yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan.

Studi modern tentang teori himpunan diprakarsai oleh Georg Cantor dan Richard Dedekind pada tahun 1870. Setelah penemuan paradoks di teori himpunan naif, seperti paradoks Russell, banyak sistem aksioma diusulkan pada awal abad ke-20, di mana aksioma Zermelo–Fraenkel, dengan atau tanpa aksioma pilihan, adalah yang paling terkenal.

Teori himpunan umumnya digunakan sebagai sistem dasar untuk matematika, khususnya dalam bentuk teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan. Di luar peran dasarnya, teori himpunan adalah cabang matematika dalam dirinya sendiri, dengan komunitas riset yang aktif. Penelitian kontemporer ke dalam teori himpunan mencakup beragam koleksi topik, mulai dari struktur garis bilangan real hingga studi tentang konsistensi kardinal besar.

Sejarah 

Topik matematika biasanya muncul dan berkembang melalui interaksi di antara banyak peneliti. Teori himpunan, bagaimanapun, didirikan oleh sebuah makalah pada tahun 1874 oleh Georg Cantor: "Pada Properti Koleksi Semua Bilangan Aljabar Nyata".

Sejak abad ke-5 SM, dimulai dengan Yunani ahli matematika Zeno dari Elea di Barat dan awal matematikawan India di Timur, matematikawan memiliki himpunan tak hingga. Yang paling menonjol adalah karya Bernard Bolzano di paruh pertama abad ke-19. Pemahaman modern tentang ketidakterbatasan dimulai pada tahun 1870–1874, dan dimotivasi oleh karya Cantor di analisis riil. Pertemuan tahun 1872 antara Cantor dan Richard Dedekind mempengaruhi pemikiran Cantor, dan berpuncak pada makalah Cantor tahun 1874.

Karya Cantor awalnya mempolarisasi ahli matematika pada masanya. Sementara Karl Weierstrass dan Dedekind mendukung Cantor, Leopold Kronecker, sekarang dipandang sebagai pendiri konstruktivisme matematika. Teori himpunan Cantorian akhirnya menyebar luas, karena kegunaan konsep Cantorian, seperti korespondensi satu-ke-satu di antara himpunan, buktinya bahwa ada lebih banyak bilangan riil daripada bilangan bulat, dan "infinity of infinities" ("Cantor's paradise") yang dihasilkan dari operasi set daya. Kegunaan teori himpunan ini mengarah ke artikel "Mengenlehre", disumbangkan pada tahun 1898 oleh Arthur Schoenflies ke ensiklopedia Klein.

Gelombang kegembiraan berikutnya dalam teori himpunan muncul sekitar tahun 1900, ketika ditemukan bahwa beberapa interpretasi teori himpunan Cantorian menimbulkan beberapa kontradiksi, disebut antinomi atau paradoks. Bertrand Russell dan Ernst Zermelo secara independen menemukan paradoks paling sederhana dan paling terkenal, yang sekarang disebut paradoks Russell: pertimbangkan "himpunan dari semua himpunan yang bukan anggota dirinya sendiri", yang mengarah pada kontradiksi karena harus menjadi anggota dari dirinya sendiri dan bukan anggota dari dirinya sendiri. Pada tahun 1899, Cantor sendiri mengajukan pertanyaan "Berapakah nomor kardinal dari himpunan semua himpunan?", Dan memperoleh paradoks terkait. Russell menggunakan paradoksnya sebagai tema dalam ulasan 1903 tentang matematika kontinental dalam bukunya The Principles of Mathematics.

Pada tahun 1906, pembaca bahasa Inggris memperoleh buku Theory of Sets of Points oleh suami dan istri William Henry Young dan Grace Chisholm Young, diterbitkan oleh Cambridge University Press.

Momentum teori himpunan sedemikian rupa sehingga debat tentang paradoks tidak mengarah pada pengabaiannya. Karya Zermelo pada tahun 1908 dan karya Abraham Fraenkel dan Thoralf Skolem pada tahun 1922 menghasilkan himpunan aksioma ZFC, yang menjadi himpunan aksioma yang paling umum digunakan untuk teori himpunan. Karya analis, seperti Henri Lebesgue, menunjukkan utilitas matematika yang hebat dari teori himpunan, yang sejak itu menjadi jalinan dalam jalinan matematika modern. Teori himpunan biasanya digunakan sebagai sistem dasar, meskipun di beberapa area — seperti geometri aljabar dan topologi aljabar, teori kategori dianggap sebagai fondasi yang disukai.

Himpunan 

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.

Menyatakan himpunan 
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan.

 Enumerasi
 Dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh:
 A = {a, i, u, e, o}
 Simbol baku
 Dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. 
Contoh:
 P adalah himpunan bilangan bulat positif
 Z adalah himpunan bilangan bulat
 R adalah himpunan bilangan riil </center>
 C adalah himpunan bilangan kompleks </center>
 Notasi pembentuk himpunan
 Dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota.
Contoh:
 A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat} </center>
 Diagram Venn
 Menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yang digambarkan dengan segi empat.

Beberapa ontologi 

Himpunan adalah murni jika semua anggotanya adalah himpunan, semua anggotanya adalah himpunan, dan seterusnya. Contohnya, himpunan  hanya berisi himpunan kosong adalah himpunan murni tidak kosong. Dalam teori himpunan modern, adalah umum untuk membatasi perhatian pada von Neumann universe himpunan murni, dan banyak sistem teori himpunan aksiomatik dirancang untuk melakukan aksioma himpunan murni. Ada banyak keuntungan teknis dari pembatasan ini, dan sedikit umum yang hilang, karena pada dasarnya semua konsep matematika dapat dimodelkan dengan himpunan murni. Kumpulan di alam semesta von Neumann diatur ke dalam hierarki kumulatif, berdasarkan seberapa dalam anggotanya, anggota anggotanya, dll. Setiap set dalam hierarki ini ditetapkan (oleh transfinite recursion) sebuah bilangan ordinal , dikenal sebagai peringkat. Pangkat himpunan murni  didefinisikan sebagai batas atas terkecil dari semua penerus dari jajaran anggota . Misalnya, himpunan kosong diberi peringkat 0, sedangkan himpunan  hanya berisi himpunan kosong yang diberi peringkat 1. Untuk setiap ordinal , himpunan  didefinisikan terdiri dari semua set murni dengan peringkat kurang dari . Seluruh alam semesta von Neumann dilambangkan .

Teori himpunan aksiomatik 
Teori himpunan dasar dapat dipelajari secara informal dan intuitif, sehingga dapat diajarkan di sekolah dasar menggunakan diagram Venn. Pendekatan intuitif secara diam-diam mengasumsikan bahwa suatu himpunan dapat dibentuk dari kelas semua objek yang memenuhi kondisi tertentu tertentu. Asumsi ini menimbulkan paradoks, yang paling sederhana dan paling terkenal adalah paradoks Russell dan paradoks Burali-Forti. Teori himpunan aksiomatik pada awalnya dirancang untuk menyingkirkan teori himpunan dari paradoks tersebut.

Sistem teori himpunan aksiomatik yang paling banyak dipelajari menyiratkan bahwa semua himpunan membentuk hierarki kumulatif. Sistem seperti itu datang dalam dua bentuk, yang ontologi terdiri dari:
Himpunan sendiri. Ini termasuk teori himpunan aksiomatik yang paling umum, Zermelo–Fteori himpunan fraenkel dengan Aksioma Pilihan (ZFC). Fragmen dari ZFC termasuk:
 Teori himpunan Zermelo, yang menggantikan skema aksioma penggantian dengan pemisahan;
 Teori himpunan umum, sebuah fragmen kecil dari teori himpunan Zermelo cukup untuk aksioma Peano dan himpunan terbatas;
 Kripke–Platek set theory, which omits the axioms of infinity, powerset, and choice, and weakens the axiom schemata of separation and replacement.
Himpunan dan kelas yang sesuai. Ini termasuk teori himpunan Von Neumann – Bernays – Gödel, yang memiliki kekuatan yang sama dengan ZFC untuk teorema tentang himpunan saja, dan teori himpunan Morse – Kelley dan teori himpunan Tarski–Grothendieck, keduanya lebih kuat dari ZFC.
Sistem di atas dapat dimodifikasi untuk mengizinkan urelement, objek yang dapat menjadi anggota himpunan tetapi bukan himpunan itu sendiri dan tidak memiliki anggota.

Sistem Yayasan Baru dari NFU (mengizinkan urelement) dan NF (kekurangannya) tidak didasarkan pada hierarki kumulatif. NF dan NFU menyertakan "sekumpulan segalanya", yang relatif setiap set memiliki pelengkap. Dalam sistem ini urelemen penting, karena NF, tetapi bukan NFU, menghasilkan himpunan yang tidak dimiliki aksioma pilihan.

Sistem teori himpunan konstruktif, seperti CST, CZF, dan IZF, menyematkan aksioma himpunannya di intuitif daripada logika klasik. Namun sistem lain menerima logika klasik tetapi menampilkan hubungan keanggotaan yang tidak standar. Ini termasuk teori himpunan kasar dan teori himpunan fuzzy, di mana nilai rumus atom yang mewujudkan hubungan keanggotaan tidak sederhana Benar atau Salah. Model bernilai Boolean dari ZFC adalah subjek terkait.

Pengayaan ZFC yang disebut teori himpunan internal telah diusulkan oleh Edward Nelson pada tahun 1977.

Lihat pula 

 Glosarium teori himpunan
 Kelas (teori himpunan)
 Daftar topik teori himpunan
 Model relasional-meminjam dari teori himpunan

Catatan

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar 

 Daniel Cunningham, Set Theory article in the Ensiklopedia Filsafat Internet.
 Jose Ferreiros, The Early Development of Set Theory artikel di [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
 Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., 2010. Setiap bab mensurvei beberapa aspek penelitian kontemporer dalam teori himpunan. Tidak mencakup teori himpunan dasar yang mapan, di mana lihat Devlin (1993).
 
 
 Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre di ensiklopedia Klein.
 
 

 
 S
Metode formal
Georg Cantor