Aljabar abstrak

Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, gelanggang, medan, modul, ruang vektor, dan aljabar medan. Frasa aljabar abstrak diciptakan pada awal abad ke-20 untuk membedakannya dengan bidang yang biasa disebut sebagai aljabar, yaitu studi aturan manipulasi rumus dan ekspresi aljabar yang melibatkan variabel dan bilangan riil atau kompleks, yang saat ini lebih sering disebut sebagai aljabar elementer. Perbedaan ini jarang dikemukakan pada tulisan-tulisan matematika yang lebih mutakhir.

Matematika kontemporer dan fisika matematika menggunakan aljabar abstrak secara intensif. Sebagai contoh, fisika teoretis mengandalkan aljabar Lie. Bidang subjek seperti teori bilangan aljabar, topologi aljabar dan geometri aljabar menerapkan metode aljabar terhadap bidang matematika lain. Secara kasar, dapat disebutkan bahwa teori representasi mengeluarkan istilah 'abstrak' dari 'aljabar abstrak', dan mempelajari sisi konkret dari suatu struktur (lihat pula teori model).

Dua bidang subjek matematika yang mempelajari sifat-sifat struktur aljabar yang dipandang secara keseluruhan adalah aljabar universal dan teori kategori. Struktur aljabar, bersama-sama dengan homomorfisme yang berkaitan, membentuk kategori. Teori kategori adalah formalisme ampuh untuk mempelajari dan membandingkan berbagai struktur aljabar yang berbeda-beda.

Sejarah 
Seperti di bagian lain matematika, masalah dan contoh konkret telah memainkan peran penting dalam pengembangan aljabar abstrak. Hingga akhir abad kesembilan belas, banyak  mungkin sebagian besar  masalah ini dalam beberapa hal terkait dengan teori persamaan aljabar. Tema utama meliputi:
 Pemecahan sistem persamaan linear, yang menghasilkan aljabar linear
 Mencoba menemukan rumus untuk solusi persamaan polinomial umum dengan derajat lebih tinggi yang menghasilkan penemuan grup sebagai manifestasi abstrak dari simetri
 Penyelidikan aritmatika kuadrat dan bentuk derajat yang lebih tinggi dan persamaan diophantine, yang secara langsung menghasilkan gagasan tentang gelanggang dan ideal.

Banyak buku teks dalam aljabar abstrak dimulai dengan definisi aksiomatik dari berbagai struktur aljabar dan kemudian dilanjutkan untuk menetapkan propertinya. Hal ini menimbulkan kesan yang salah bahwa dalam aksioma aljabar telah didahulukan dan kemudian menjadi motivasi dan sebagai dasar studi lebih lanjut. Urutan perkembangan sejarah yang sebenarnya hampir persis sebaliknya. Contohnya, bilangan hiperkompleks dari abad kesembilan belas memiliki motivasi kinematik dan fisik akan tetapi menantang. Kebanyakan teori yang sekarang diakui sebagai bagian dari aljabar dimulai sebagai kumpulan fakta yang berbeda dari berbagai cabang matematika, memperoleh tema umum yang berfungsi sebagai inti di mana berbagai hasil dikelompokkan, dan akhirnya menjadi satu atas dasar seperangkat konsep yang sama. Contoh pola dasar sintesis progresif ini dapat dilihat di sejarah teori grup.

Teori kelompok awal 
Ada beberapa benang merah dalam perkembangan awal teori grup, dalam bahasa modern secara longgar berhubungan dengan teori bilangan, teori persamaan, dan geometri.

Leonhard Euler dianggap operasi aljabar pada bilangan modul sebuah bilangan aritmatika modular dalam generalisasinya dari teorema kecil Fermat. Investigasi ini diambil lebih jauh oleh Carl Friedrich Gauss, yang menganggap struktur kelompok perkalian dari residu mod n dan menetapkan banyak sifat dari siklik dan lebih umum abelian kelompok yang muncul dalam hal ini. Dalam penyelidikannya tentang komposisi bentuk kuadrat biner, Gauss secara eksplisit menyatakan hukum asosiatif untuk komposisi bentuk, tetapi seperti Euler sebelumnya, dia tampaknya lebih tertarik pada hasil konkret daripada teori umum. Pada tahun 1870, Leopold Kronecker memberikan definisi grup abelian dalam konteks grup kelas ideal dari bidang angka, menggeneralisasi pekerjaan Gauss; Namun tampaknya dia tidak mengaitkan definisinya dengan pekerjaan sebelumnya tentang kelompok, terutama kelompok permutasi. Pada tahun 1882, dengan mempertimbangkan pertanyaan yang sama, Heinrich M. Weber menyadari hubungan tersebut dan memberikan definisi serupa yang melibatkan properti pembatalan tetapi menghilangkan keberadaan pembalik. yang cukup dalam konteksnya (kelompok terbatas).

Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis Lagrange dalam makalahnya tahun 1770  Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Pemikiran tentang solusi aljabar persamaan) dikhususkan untuk solusi persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan resolusi Lagrange. Tujuan Lagrange adalah untuk memahami mengapa persamaan derajat ketiga dan keempat mengakui rumus untuk solusi, dan ia mengidentifikasi sebagai permutasi objek utama. Langkah penting baru yang diambil Lagrange dalam makalah ini adalah pandangan abstrak dari akar, yaitu sebagai simbol dan bukan sebagai angka. Namun, dia tidak mempertimbangkan komposisi permutasi. Kebetulan, edisi pertama Edward Waring Meditationes Algebraicae (Renungan tentang Aljabar) muncul pada tahun yang sama, dengan versi yang diperluas diterbitkan pada tahun 1782. Waring membuktikan teorema fundamental dari polinomial simetris, dan secara khusus mempertimbangkan hubungan antara akar dari sebuah kubik. Mémoire sur la résolution des équations (Memoire tentang Pemecahan Persamaan) dari Alexandre Vandermonde (1771) mengembangkan teori fungsi simetris dari sudut yang sedikit berbeda, tetapi seperti Lagrange, dengan tujuan untuk memahami solvabilitas persamaan aljabar.

Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori grup permutasi, dan seperti para pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar. Tujuannya adalah untuk menetapkan kemustahilan solusi aljabar ke persamaan aljabar umum derajat lebih besar dari empat. Rute MinumanEn untuk tujuan ini ia memperkenalkan pengertian urutan elemen grup, konjugasi, siklus dekomposisi elemen grup permutasi dan pengertian primitif dan impriatif

Konsep dasar 

Dengan mengabstraksi berbagai jumlah detail, matematikawan telah mendefinisikan berbagai struktur aljabar yang digunakan di banyak bidang matematika. Misalnya, hampir semua sistem yang dipelajari adalah himpunan, yang diterapkan teorema teori himpunan. Himpunan yang memiliki operasi biner tertentu yang ditentukan padanya membentuk magma, yang menerapkan konsep tentang magma, serta yang terkait dengan himpunan. Kita dapat menambahkan batasan tambahan pada struktur aljabar, seperti asosiativitas (untuk membentuk semigrup); identitas, dan invers (untuk membentuk grup); dan struktur lain yang lebih kompleks. Dengan struktur tambahan, lebih banyak teorema yang dapat dibuktikan, tetapi generalitasnya berkurang. "Hierarki" objek aljabar (dalam istilah umum) menciptakan hierarki dari teori yang sesuai: Misalnya, teorema teori kelompok dapat digunakan saat mempelajari  gelanggang (benda aljabar yang memiliki dua operasi biner dengan aksioma tertentu) karena gelanggang adalah kelompok operasi. Secara umum ada keseimbangan antara jumlah umum dan kekayaan teori: struktur yang lebih umum biasanya memiliki lebih sedikit nontrivial teorema dan lebih sedikit aplikasi.

Contoh struktur aljabar dengan satu operasi biner adalah:
 Magma
 Kuasigrup
 Monoid
 Semigrup
 Grup

Contoh yang melibatkan beberapa operasi termasuk:

 Gelanggang
 Bidang
 Modul
 Ruang vektor
 Aljabar atas medan
 Aljabar asosiatif
 Aljabar Lie
 Kisi
 Aljabar Boolean

Aplikasi 

Karena sifatnya yang umum, aljabar abstrak digunakan di banyak bidang matematika dan sains. Misalnya, topologi aljabar menggunakan objek aljabar untuk mempelajari topologi. Konjektur Poincaré, yang dibuktikan pada tahun 2003, menyatakan bahwa grup fundamental berlipat ganda, yang mengkodekan informasi tentang keterhubungan, dapat digunakan untuk menentukan apakah manifold berbentuk bola atau tidak. Teori bilangan aljabar mempelajari berbagai bilangan gelanggang yang menggeneralisasi himpunan bilangan bulat. Menggunakan alat teori bilangan aljabar, Andrew Wiles membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

Dalam fisika, grup digunakan untuk merepresentasikan operasi simetri, dan penggunaan teori grup dapat menyederhanakan persamaan diferensial. Dalam teori ukuran, persyaratan simetri lokal dapat digunakan untuk menyimpulkan persamaan yang menjelaskan suatu sistem. Grup yang mendeskripsikan kesimetrian tersebut adalah grup Lie, dan studi tentang grup Lie dan aljabar Lie mengungkapkan banyak hal tentang sistem fisik; misalnya, jumlah pembawa gaya dalam sebuah teori sama dengan dimensi aljabar Lie, dan boson ini berinteraksi dengan gaya yang dimediasi jika aljabar Lie nonabelian.

Lihat pula 

 Teori kode
 Teori grup
 Daftar publikasi dalam aljabar abstrak

Referensi

Sumber 
 
 
 
 
 
 
 
 W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons  .
 John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons

Aljabar