Segitiga

Sebuah segitiga adalah poligon dengan tiga ujung dan tiga simpul. Ini adalah salah satu bentuk dasar dalam geometri. Segitiga dengan simpul A, B, dan C dilambangkan .

Dalam geometri Euclidean, setiap tiga titik, ketika non-collinear, menentukan segitiga unik dan sekaligus, sebuah bidang unik (yaitu ruang Euclidean dua dimensi). Dengan kata lain, hanya ada satu bidang yang mengandung segitiga itu, dan setiap segitiga terkandung dalam beberapa bidang. Jika seluruh geometri hanya bidang Euclidean, hanya ada satu bidang dan semua segitiga terkandung di dalamnya; namun, dalam ruang Euclidean berdimensi lebih tinggi, ini tidak lagi benar. Artikel ini adalah tentang segitiga dalam geometri Euclidean, dan khususnya, bidang Euclidean, kecuali jika disebutkan sebaliknya.

Jenis-jenis segitiga

Dengan panjang sisi 
Segitiga dapat diklasifikasikan menurut panjang sisinya:
 Segitiga sama sisi () adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60°.
 Segitiga sama kaki () memiliki dua sisi dengan panjang yang sama. Segitiga sama kaki juga memiliki dua sudut dengan ukuran yang sama, yaitu sudut yang berlawanan dengan dua sisi dengan panjang yang sama; fakta ini adalah isi dari teorema segitiga sama kaki, yang dikenal oleh Euclid. Beberapa ahli matematika mendefinisikan segitiga sama kaki untuk memiliki tepat dua sisi yang sama, sedangkan yang lain mendefinisikan segitiga sama kaki sebagai satu dengan setidaknya dua sisi yang sama. Definisi terakhir akan membuat semua segitiga sama sisi segitiga sama kaki. Segitiga kanan 45–45–90, yang muncul pada ubin persegi tetrakis, adalah sama kaki.
 Segitiga sembarang () adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya. Besar semua sudutnya juga berbeda.

Dari sudut internal 
Segitiga juga dapat diklasifikasikan menurut sudut internalnya, diukur dalam derajat.
 Segitiga siku-siku () memiliki salah satu sudut interiornya yang berukuran 90°(sudut kanan). Sisi yang berlawanan dengan sudut kanan adalah sisi miring, sisi terpanjang dari segitiga. Dua sisi lainnya disebut kaki atau catheti (tunggal: cathetus) dari segitiga. Segitiga kanan mematuhi teorema Pythagoras: jumlah kuadrat dari panjang kedua kaki sama dengan kuadrat dari panjang sisi miring : , di mana a dan b adalah panjang kaki dan c adalah panjang sisi miring. Segitiga siku-siku khusus adalah segitiga siku-siku dengan sifat tambahan yang membuat melibatkan perhitungan mereka lebih mudah. Salah satu dari dua yang paling terkenal adalah segitiga siku-siku 3–4–5, di mana . Dalam situasi ini, 3, 4, dan 5 adalah triple Pythagoras. Yang lainnya adalah segitiga sama kaki yang memiliki dua sudut yang masing-masing berukuran 45°.
 Segitiga yang tidak memiliki sudut berukuran 90° disebut segitiga miring.
 Segitiga dengan semua sudut interior berukuran kurang dari 90° adalah segitiga lancip atau segitiga siku lancip. Jika c adalah panjang sisi terpanjang, maka , dengan a dan b adalah panjang sisi lainnya.
 Segitiga dengan satu sudut dalam berukuran lebih dari 90° adalah segitiga tumpul atau segitiga sudut tumpul. Jika c adalah panjang sisi terpanjang, maka , dengan a dan b adalah panjang sisi lainnya.
 Segitiga dengan sudut bagian dalam 180° (dan simpul kollinear) mengalami degenerasi.
 Segitiga degenerasi kanan memiliki simpul-simpul kollinear, dua di antaranya bertepatan.

Dengan gabungan dua sudut 
Sudut berpenyiku (berkomplemen) adalah dua buah sudut yang membentuk sudut siku-siku jika sudutnya dinyatakan dengan sudut A dan B, maka sudut sudut A akan menjadi sudut penyiku bagi sudut B, sehingga sudut A dan B tersebut dinyatakan sudut yang saling berpenyiku. Besarnya sudut berpenyiku adalah 90°.
Sudut berpelurus (bersuplemen) adalah dua buah sudut yang saling membentuk sudut lurus jika sudut ini dinyatakan dengan sudut X dan Y, maka sudut X akan menjadi sudut pelurus bagi sudut Y, sehingga sudut X dan Y tersebut dinyatakan sebagai sudut yang berpelurus. Besarnya sudut berpelurus adalah 180°.
Sudut berefleksi adalah dua buah sudut yang membentuk lingkaran penuh jika sudutnya dinyatakan dengan sudut K dan L, maka sudut sudut K akan menjadi sudut berefleksi bagi sudut L, sehingga sudut K dan L tersebut dinyatakan sudut yang saling berefleksi. Besarnya sudut berefleksi adalah 360°.
 Sudut tolak belakang adalah dua buah sudut yang saling membelakangi dengan sudut yang sama besar.

Fakta dasar 

Segitiga diasumsikan sebagai figur bidang dua dimensi, kecuali jika konteksnya menentukan sebaliknya (lihat Segitiga non-planar, di bawah). Dalam teori yang ketat, segitiga karenanya disebut 2-simpleks (lihat juga Polytope). Fakta-fakta dasar tentang segitiga disajikan oleh Euclid dalam buku 1-4 dari buku Elements, sekitar 300 SM.

Jumlah ukuran sudut interior segitiga di ruang Euclidean selalu 180 derajat. Fakta ini setara dengan dalil paralel Euclid. Ini memungkinkan penentuan ukuran sudut ketiga dari segitiga mana pun yang diberi ukuran dua sudut. Sudut eksterior segitiga adalah sudut yang merupakan pasangan linier (dan karena supplemen) ke sudut interior. Ukuran sudut eksterior segitiga sama dengan jumlah ukuran dua sudut interior yang tidak berdekatan dengannya; ini adalah teorema sudut eksterior. Jumlah langkah-langkah dari tiga sudut eksterior (satu untuk setiap titik) dari setiap segitiga adalah 360 derajat.

Segitiga sama kaki 

Teorema sentral adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisi lainnya. Jika sisi miring mempunyai panjang c, dan kaki panjang a dan b, maka teorema menyatakan itu

 

Kebalikannya benar: jika panjang sisi-sisi segitiga memenuhi persamaan di atas, maka segitiga memiliki sudut kanan berlawanan sisi c.

Beberapa fakta lain tentang segitiga siku-siku:

 Sudut akut segitiga siku-siku adalah komplementer.

 

 Jika kaki-kaki dari segitiga siku-siku memiliki panjang yang sama, maka sudut-sudut yang berseberangan dengan kaki-kaki itu memiliki ukuran yang sama. Karena sudut-sudut ini saling melengkapi, maka masing-masing berukuran 45 derajat. Dengan teorema Pythagoras, panjang sisi miring adalah panjang kali kaki .
 Dalam segitiga siku-siku dengan sudut akut berukuran 30 dan 60 derajat, sisi miring adalah dua kali panjang sisi yang lebih pendek, dan sisi yang lebih panjang sama dengan panjang sisi kali yang lebih pendek :

 
 

Untuk semua segitiga, sudut dan sisi terkait oleh hukum cosinus dan hukum sinus (juga disebut aturan cosinus dan aturan sinus).

Wujud segitiga

Kondisi di sisi 
Ketidaksetaraan segitiga menyatakan bahwa jumlah panjang dari setiap dua sisi segitiga harus lebih besar dari atau sama dengan panjang sisi ketiga. Jumlah itu bisa sama dengan panjang sisi ketiga hanya dalam kasus segitiga degenerasi, satu dengan simpul collinear. Tidak mungkin jumlah itu kurang dari panjang sisi ketiga. Sebuah segitiga dengan tiga panjang sisi positif yang diberikan ada jika dan hanya jika panjang sisi tersebut memenuhi ketimpangan segitiga.

Kondisi di sudut 
Tiga sudut yang diberikan membentuk segitiga non-degenerasi (dan memang merupakan ketidakterbatasannya) jika dan hanya jika kedua kondisi ini berlaku: (a) masing-masing sudutnya positif, dan (b) sudut-sudutnya berjumlah 180°. Jika segitiga degenerasi diizinkan, sudut 0° diizinkan.

Kondisi trigonometri 
Tiga sudut positif α, β, dan γ, masing-masing kurang dari 180°, adalah sudut segitiga jika dan hanya jika salah satu dari kondisi berikut berlaku:

 

 

 

 

 

persamaan terakhir berlaku hanya jika tidak ada sudut adalah 90 ° (sehingga nilai fungsi tangen selalu terbatas).

Lingkaran singgung segitiga 
Perumusannya sebagai berikut:

Pembuktian untuk Ra sebagai berikut:

Dahulukan mencari nilai p:

lalu kesamaan luas ADOF sebagai berikut:

Lingkaran dalam dan luar segitiga 
Perumusan lingkaran dalam segitiga sebagai berikut:

Pembuktian sebagai berikut:

Perumusan lingkaran luar segitiga sebagai berikut:

Pembuktian sebagai berikut:
Cara I (kesebangunan)

Cara II (aturan sinus)

dimana

Menghitung sisi dan sudutnya (metode umum di Indonesia)

Luas

Keliling

Menghitung luas segitiga dengan berbagai metode 

Menghitung luas T dari segitiga adalah masalah elementer yang sering dijumpai dalam berbagai situasi. Formula paling dikenal dan paling sederhana adalah:

 

di mana b adalah panjang dasar segitiga, dan h adalah tinggi atau ketinggian segitiga. Istilah "alas" menunjukkan sisi mana pun, dan "tinggi" menunjukkan panjang tegak lurus dari puncak yang berlawanan dengan alas ke garis yang berisi alas. Pada 499 M Aryabhata, menggunakan metode ilustrasi ini dalam Aryabhatiya (bagian 2.6).

Meskipun sederhana, formula ini hanya berguna jika ketinggiannya dapat dengan mudah ditemukan, yang tidak selalu terjadi. Misalnya, surveyor bidang segitiga mungkin merasa relatif mudah untuk mengukur panjang masing-masing sisi, tetapi relatif sulit untuk membangun 'ketinggian'. Berbagai metode dapat digunakan dalam praktik, tergantung pada apa yang diketahui tentang segitiga. Berikut ini adalah pilihan rumus yang sering digunakan untuk luas segitiga.

Menggunakan trigonometri 

Ketinggian segitiga dapat ditemukan melalui aplikasi trigonometri.

Mengenal SAS: Menggunakan label pada gambar di sebelah kanan, ketinggiannya . Mengganti ini dalam formula   diturunkan di atas, luas segitiga dapat dinyatakan sebagai:

 

(di mana α adalah sudut interior di A, β adalah sudut interior di B,  adalah sudut interior di C dan c adalah garis AB).

Seterusnya, sejak sin α = sin (π − α) = sin (β + ), dan juga untuk dua sudut lainnya:

 

Mengetahui AAS:

 

dan secara analogis jika sisi yang diketahui adalah a atau c.

Mengetahui ASA:

 

dan secara analogis jika sisi yang diketahui adalah b atau c.

Menggunakan rumus Heron 

Bentuk segitiga ditentukan oleh panjang sisi. Oleh karena itu, area tersebut juga dapat diturunkan dari panjang sisi. Dengan rumus Heron:

yang dimana  adalah semiperimeter, atau setengah dari perimeter segitiga.

Tiga cara lain yang setara untuk menulis rumus Heron adalah

Menghitung sisi dan sudut dengan berbagai metode 
Ada berbagai metode standar untuk menghitung panjang sisi atau ukuran sudut. Metode tertentu cocok untuk menghitung nilai dalam segitiga siku-siku; metode yang lebih kompleks mungkin diperlukan dalam situasi lain.

Rasio trigonometri dalam segitiga siku-siku 

Dalam segitiga siku-siku, rasio trigonometri sinus, kosinus dan garis singgung dapat digunakan untuk menemukan sudut yang tidak diketahui dan panjang sisi yang tidak diketahui. Sisi-sisi segitiga dikenal sebagai berikut:

 Sisi miring adalah sisi yang berlawanan dengan sudut kanan, atau didefinisikan sebagai sisi terpanjang dari segitiga siku-siku, dalam hal ini h.
 Sisi yang berlawanan adalah sisi yang berlawanan dengan sudut yang kita minati, dalam hal ini a.
 Sisi adjacent adalah sisi yang bersentuhan dengan sudut yang kita minati dan sudut yang tepat, maka namanya. Dalam hal ini sisi adjacent adalah b.

Sinus, kosinus dan garis singgung 
Sudut sinus adalah perbandingan antara panjang sisi yang berlawanan dengan panjang sisi miring. Dalam kasus kami

 

Rasio ini tidak tergantung pada segitiga siku-siku tertentu yang dipilih, asalkan mengandung sudut A, karena semua segitiga itu sama.

Cosinus dari sudut adalah perbandingan panjang sisi samping dengan panjang sisi miring. Dalam kasus kami

Garis singgung dari sudut adalah perbandingan panjang sisi yang berlawanan dengan panjang sisi samping. Dalam kasus kami

Singkatan "SOH-CAH-TOA" adalah mnemonik yang berguna untuk rasio ini.

Fungsi invers 
Fungsi trigonometri terbalik dapat digunakan untuk menghitung sudut internal untuk segitiga siku kanan dengan panjang dua sisi.

Arcsin dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi yang berlawanan dan panjang sisi miring.

 

Arccos dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi samping dan panjang sisi miring.

Arctan dapat digunakan untuk menghitung sudut dari panjang sisi yang berlawanan dan panjang sisi samping.

Dalam kursus pengantar geometri dan trigonometri, notasi sin−1, cos−1, etc., sering digunakan sebagai pengganti arcsin, arccos, dll. Namun, notasi arcsin, arccos, dll., adalah standar dalam matematika yang lebih tinggi di mana fungsi trigonometrik umumnya dinaikkan menjadi kekuatan, karena ini menghindari kebingungan antara invers multiplikatif dan invers komposisi.

Aturan sinus, kosinus, dan garis singgung 

Hukum sinus, atau aturan sinus, menyatakan bahwa rasio panjang sisi ke sinus sudut berlawanan yang sesuai adalah konstan, yaitu

 

Rasio ini sama dengan diameter lingkaran yang dibatasi dari segitiga yang diberikan. Interpretasi lain dari teorema ini adalah bahwa setiap segitiga dengan sudut α, β dan γ mirip dengan segitiga dengan panjang sisi sama dengan sin α, sin β dan sin γ. Segitiga ini dapat dibangun dengan terlebih dahulu membangun lingkaran dengan diameter 1, dan menuliskan di dalamnya dua sudut segitiga. Panjang sisi-sisi segitiga itu adalah sin α, sin β dan sin γ. Sisi yang panjangnya adalah sin α berlawanan dengan sudut yang ukurannya adalah α, dll.

Hukum cosinus, atau aturan cosinus, menghubungkan panjang sisi segitiga yang tidak diketahui dengan panjang sisi lainnya dan sudut yang berlawanan dengan sisi yang tidak diketahui. Sesuai hukum:

Untuk segitiga dengan panjang sisi a, b, c dan sudut α, β, γ masing-masing, diberikan dua panjang segitiga a dan b yang diketahui, dan sudut antara kedua sisi yang diketahui γ (atau sudut yang berlawanan dengan yang tidak diketahui) sisi c), untuk menghitung sisi ketiga c, rumus berikut dapat digunakan:

 
 
 

Jika panjang dari ketiga sisi segitiga diketahui, tiga sudut dapat dihitung:

 
 
 

Hukum garis singgung, atau aturan garis singgung, dapat digunakan untuk menemukan sisi atau sudut ketika dua sisi dan sudut atau dua sudut dan sisi diketahui. Ini menyatakan bahwa:

Solusi segitiga 
Solusi segitiga adalah masalah trigonometri utama: untuk menemukan karakteristik segitiga yang hilang (tiga sudut, panjang tiga sisi, dll.) Ketika setidaknya tiga dari karakteristik ini diberikan. Segitiga dapat terletak di pesawat atau di bola. Masalah ini sering terjadi pada berbagai aplikasi trigonometri, seperti geodesi, astronomi, konstruksi, navigasi, dll.

Pengukuran sudut dan jarak

Sudut 
Pengukuran sudut terbagi menjadi tiga jenis yakni:
 garis dengan garis
 garis dengan bidang
 bidang dengan bidang

Jarak 
Pengukuran sudut terbagi menjadi enam jenis yakni:
 titik dengan titik
 titik dengan garis
 titik dengan bidang
 garis dengan garis
 garis dengan bidang
 bidang dengan bidang

Lihat pula 
Trigonometri
Hukum sinus
Hukum cosinus

Referensi

Catatan

Pranala luar 

 
 Clark Kimberling: Ensiklopedia pusat segitiga. Daftar sekitar 5200 poin menarik yang terkait dengan segitiga apa pun.

 
Poligon
Geometri
Geometri dasar