Eksponensiasi

Eksponensiasi adalah sebuah operasi matematika, ditulis sebagai , melibatkan dua bilangan, basis atau bilangan pokok  dan eksponen atau pangkat , diucapkan sebagai " pangkat ".. Ketika  adalah bilangan bulat positif, eksponensiasi adalah perkalian berulang dari basis: yaitu,  adalah darab dari mengalikan basis :

Satu memiliki , dan untuk nilai sembarang bilangan bulat positif  dan , apabila memiliki . Untuk memperluas sifat ini ke eksponen bilangan bulat non-positif,  didefinisikan sebagai , dan  (dengan  bilangan bulat positif dan  bukan nol) didefinisikan sebagai . Khususnya,  sama dengan , timbal balik dari .

Definisi eksponensial diperluas untuk memungkinkan eksponen real atau kompleks. Eksponen dengan eksponen bilangan bulat juga didefinisikan untuk berbagai macam struktur aljabar, termasuk matriks.

Eksponen digunakan secara luas di berbagai banyak bidang, yaitu ekonomi, biologi, kimia, fisika, dan ilmu komputer, dengan aplikasi seperti bunga majemuk, pertumbuhan populasi, kinetika reaksi kimia, perilaku gelombang, dan kriptografi kunci publik.

Terminologi
Ekspresi  disebut "persegi dari b" atau "kuadrat b", karena luas persegi dengan panjang sisi  adalah .

Demikian pula, ekspresi  disebut "kubus dari b" atau "b pangkat tiga", karena volume kubus dengan panjang rusuk  adalah .

Karena itu adalah bilangan bulat positif, eksponen menunjukkan berapa banyak salinan dari basis yang dikalikan bersama. Misalnya, . Basis  muncul  kali dalam perkalian, karena eksponennya adalah . Maka,  adalah pangkat ke-5 dari 3, atau 3 terpangkat ke-5.

Kata "pangkat" terkadang dihilangkan, jadi  dapat dibaca "3 ke 5". Oleh karena itu, eksponensiasi  dinyatakan sebagai "b untuk pangkat n", "b untuk pangkat ke-n", "b untuk ke-n", atau disingkat juga sebagai "b untuk n ".

Rumus dengan eksponensial bertingkat, seperti  (yang berarti  dan bukan ), disebut juga sebagai menara pangkat.

Eksponen bilangan bulat
Operasi eksponensial dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan langsung dari operasi aritmetika dasar.

Eksponen positif
Definisi eksponensial sebagai perkalian teriterasi dibuktikan secara formalisasi dengan menggunakan induksi, dan definisi ini digunakan segara untuk perkalian asosiasi:

Kasus dasarnya adalah 

dan pengulangan adalah

Asosiasi perkalian menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif  dan , adalah

dan

Eksponen nol 
Menurut definisi, setiap bilangan bukan nol terpangkat ke pangkat  adalah :

Definisi ini adalah satu-satunya memungkinkan perluasan rumus

ke nol eksponen. Ini digunakan pada setiap struktur aljabar dengan perkalian yang memiliki identitas.

Secara intuitif,  diartikan sebagai darab kosong dari salinan . Jadi, persamaan  adalah kasus khusus dari konvensi umum untuk darab kosong.

Kasus  adalah rumit. Dalam konteks dimana pangkat bilangan bulat yang dipertimbangkan, nilai  umumnya ditetapkan ke  namun, jika tidak, pilihannya adalah apakah akan menetapkan nilai, dan nilai apa yang akan ditetapkan mungkin bergantung pada konteks. Untuk detail selengkapnya, lihat Nol ke pangkat nol.

Eksponen negatif
Eksponen dengan eksponen negatif didefinisikan oleh identitas berikut, yang berlaku untuk sembarang bilangan bulat  dan bukan nol :

Menaikkan 0 ke eksponen negatif tidak ditentukan, tetapi dalam beberapa keadaan, maka ditafsirkan sebagai tak hingga ().

Definisi eksponen dengan eksponen negatif ini adalah satu-satunya yang memungkinkan perluasan identitas  ke eksponen negatif (pertimbangkan kasus ).

Definisi yang sama berlaku untuk elemen terbalikkan dalam monoid perkalian, yaitu, struktur aljabar dengan perkalian asosiatif dan identitas perkalian yang dilambangkan  (misalnya, matriks persegi dari dimensi tertentu). Secara khusus, dalam struktur ini, invers dari elemen terbalikkan  secara standar dilambangkan sebagai

Identitas dan sifat

Identitas berikut ini, sering disebut juga sebagai , untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah komutatif (misalnya, ), dan juga tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponensial bukanlah asosiatif (misalnya, , dimana ). Tanpa tanda kurung, urutan operasi konvensional untuk deret eksponensial dalam notasi superskrip adalah top-down (atau asosiatif-kanan), bukan bottom-up (atau asosiatif-kiri). Maka, 

yang secara umum berbeda dengan

Pangkat jumlah
pangkat jumlah biasanya dihitung dari pangkat penjumlahan dengan rumus binomial

Namun, rumus ini hanya berlaku jika jumlah komuter (yaitu ), yang menyatakan apabila ia termasuk dalam struktur yaitu komutatif. Jika tidak,  dan  adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama, rumus ini tidak digunakan. Oleh karena itu dalam aljabar komputer, banyak algoritma yang melibatkan eksponen bilangan bulat diubah ketika basis eksponensial tidak komuter. Beberapa tujuan umum sistem aljabar komputer menggunakan notasi yang berbeda (terkadang,  sebagai gantinya adalah ) untuk eksponensial dengan basis non-komuter, yang kemudian disebut eksponensial non-komutatif.

Interpretasi kombinatorial

Untuk bilangan bulat tak-negatif  dan , nilai dari  adalah jumlah fungsi dari elemen himpunan  ke elemen himpunan  (lihat eksponensial kardinal). Fungsi tersebut diwakilankan sebagai rangkap- dari elemen himpunan- (atau sebagai kata huruf  dari alfabet huruf ). Beberapa contoh untuk nilai  dan  tertentu diberikan dalam tabel berikut:

{| class="wikitable"
!
! yang merupakan rangkap- dari elemen himpunan 
|-
|0 = 0
|
|-
|1 = 1
|(1, 1, 1, 1)
|-
|2 = 8
|(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
|-
|3 = 9
|(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
|-
|4 = 4
|(1), (2), (3), (4)
|-
|5 = 1
|()
|}

Basis khusus

Pangkat sepuluh

Dalam sistem bilangan basis sepuluh (desimal), pangkat bilangan bulat  ditulis sebagai digit  diikuti atau didahului oleh sejumlah nol yang ditentukan oleh tanda dan besaran eksponen. Misalnya,  dan .

Eksponen dengan basis  digunakan dalam notasi ilmiah untuk menyatakan bilangan besar atau kecil. Misalnya,  (kecepatan cahaya dalam ruang hampa), dalam meter per detik) dapat ditulis sebagai  dan kemudian perkiraan sebagai .

Awalan SI berdasarkan pangkat  yang juga digunakan untuk menggambarkan jumlah kecil atau besar. Misalnya, awalan kilo berarti , jadi satu kilometer adalah .

Pangkat dua 

pangkat negatif pertama  biasanya digunakan, dan memiliki nama khusus, misalnya: setengah dan kuarterner.

pangkat  muncul dalam teori himpunan, karena himpunan dengan anggota  memiliki himpunan pangkat, himpunan dari semua himpunan bagian-nya, yang memiliki anggota .

pangkat bilangan bulat  penting dalam ilmu komputer. Bilangan bulat positif pangkat  memberikan jumlah bilangan untuk bit  bilangan bulat bilangan biner; misalnya, bita mengambil nilai  yang berbeda. Sistem bilangan biner menyatakan bilangan sebagai jumlah dari pangkat , dan menyatakannya sebagai urutan  dan , dipisahkan oleh titik biner, dimana  menunjukkan pangkat  yang muncul dalam penjumlahan; eksponen ditentukan oleh tempat  ini: eksponen nonnegatif adalah pangkat  sebelah kiri titik (mulai dari ), dan eksponen negatif ditentukan oleh peringkat sebelah kanan titik.

Pangkat satu
pangkat satu adalah semua satu-satunya: .Ppangkat nol

Jika eksponen  positif (), pangkat ke- dari nol adalah nol: .

Jikalau eksponen  negatif (), pangkat ke- dari nol  tidak ditentukan, maka dari itu harus sama dengan  dengan , dan ini sebagai menjadi .

Ekspresi  didefinisikan sebagai 1, atau maka tidak terdefinisikan (lihat Nol pangkat nol).

[Pangkat negatif satu
Jika  adalah bilangan bulat genap, maka .

Jikalau  adalah bilangan bulat ganjil, maka nilainya adalah .

Oleh karena itu, pangkat  berguna untuk menyatakan sebagai urutan bergantian. Untuk diskusi serupa tentang pangkat bilangan kompleks , lihat .

Eksponen besar
Limit barisan pangkat dari bilangan besar dari satu divergen; dengan kata lain, barisan tersebut terikat tanpa batas:
 sebagai  jika 

Apabila dibaca sebagai "b pangkat n cenderung +∞ sebagai n cenderung tak hingga ketika b memiliki nilai besar daripada satu".

pangkat suatu bilangan dengan nilai absolut kurang dari satu cenderung nol:
 sebagai  jika 

Setiap pangkat satu tetap satu:
 untuk semua  jika 

pangkat  berganti antara  dan  sebagai  berganti antara genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan .

Jika , , berganti sebagai bilangan positif dan negatif besar dan  berganti sebagai genap dan ganjil, dan dengan demikian tidak cenderung ke limit apabila sebagai pertumbuhan .

Jika bilangan eksponen berubah cenderung ke  karena eksponen cenderung tak hingga, maka limitnya belum tentu salah satu atas. Kasus yang sangat penting adalah
 sebagai 

Lihat  dibawah ini.

Limit lain, khususnya ekspresi yang menggunakan bentuk antara, dijelaskan dalam  dibawah.

Fungsi pangkat

Fungsi real dari bentuk , dimana , terkadang disebut sebagai fungsi pangkat. Ketika  adalah bilangan bulat dan , maka terdapat dua keluarga keujudan, yaitu: untuk  genap, dan untuk  ganjil. Secara umum untuk , bila  genap  cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan penambahan , dan juga menuju tak hingga positif dengan turunan . Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat genap memiliki bentuk umum , yang merata ditengah sebagai tingkatan . Fungsi dengan simetri  seperti ini disebut fungsi genap.

Ketika  ganjil, perilaku asimptotik  berbalik dari  positif ke  negatif. Untuk ,  juga cenderung ke arah positif ketakterhinggaan dengan tingkatan , tetapi menuju ketakterhinggaan negatif dengan turunan . Semua grafik dari keluarga fungsi pangkat ganjil memiliki bentuk umum , merata ditengah ketika tingkatan  dan kehilangan semua kerataan di garis lurus untuk . Fungsi dengan simetri seperti ini  disebut fungsi ganjil.

Untuk , perilaku asimtotik berlawanan berlaku untuk setiap kasus.

Daftar pangkat bilangan bulat

Eksponen rasional 

Jika  adalah bilangan real nonnegatif, dan  adalah bilangan bulat positif,  atau  menunjukkan real positif unik akar ke- dari , yaitu, bilangan real positif unik  sehingga 

Jika  adalah bilangan real positif, dan  adalah bilangan rasional, dengan  dan  bilangan bulat, maka  didefinisikan sebagai

Persamaan sebelah kanan diturunkan dengan menetapkan  dan menulis 

Jika  adalah bilangan rasional positif,  menurut definisi.

Semua definisi ini diperlukan untuk memperluas identitas  ke eksponen rasional.

Di sisi lain, ada masalah dengan perluasan definisi ini ke basis yang bukan bilangan real positif. Misalnya, bilangan real negatif memiliki akar ke- real, yang negatif jika  adalah ganjil, dan tidak memiliki akar real jika  genap. Dalam kasus terakhir, kompleks mana pun akar ke- memilih satu untuk  identitas . Misalnya,  

Lihat  dan  untuk detail tentang cara menangani masalah ini.

Eksponen real 
Untuk bilangan real positif, eksponensial untuk pangkat real dapat didefinisikan dalam dua cara yang setara, baik dengan memperluas pangkat rasional ke real dengan kontinuitas (, dibawah), atau dalam hal logaritma dari basis dan fungsi eksponensial (, dibawah). Hasilnya bilangan real positif, dan identitas dan sifat yang ditunjukkan atas untuk eksponen bilangan bulat tetap benar dengan definisi ini untuk eksponen real. Definisi kedua lebih umum digunakan, karena digeneralisasikan secara langsung ke kompleks eksponen.

Di sisi lain, eksponensial ke pangkat real dari bilangan real negatif jauh lebih sulit untuk didefinisikan secara konsisten, karena mungkin non-real dan memiliki beberapa nilai (lihat ). Apabila memilih salah satu dari nilai-nilai ini, yang disebut nilai utama, tetapi tidak ada pilihan nilai utama yang identitasnya

adalah benar; lihat . Oleh karena itu, eksponensial dengan basis yang bukan bilangan real positif umumnya dipandang sebagai fungsi multinilai.

Limit eksponen rasional

Karena bilangan irasional dapat dinyatakan sebagai limit barisan dari bilangan rasional, eksponen bilangan real positif  dengan eksponen real sembarang  didefinisikan oleh kontinuitas dengan kaidah

dimana limitnya diambil alih nilai rasional  saja. Limit ini ada untuk setiap  positif dan setiap  real. 

Misalnya, jika , diwakilankan desimal tanpa  dan monotonisitas dari pangkat rasional digunakan untuk mendapatkan interval dibatasi oleh pangkat rasional sekecil yang diinginkan, dan dilambangkan sebagai 

Jadi, batas atas dan batas bawah interval membentuk dua barisan yang memiliki limit yang sama, dilambangkan dengan sebagai 

Apabila mendefinisikan  untuk setiap  positif dan  positif sebagai fungsi kontinu dari  dan .

Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial didefinisikan sebagai  dimana  adalah bilangan Euler. Untuk menghindari penalaran lingkar, definisi ini tidak dapat digunakan di sini. Jadi, diberikan definisi fungsi eksponensial, dinotasikan  dan dari bilangan Euler bebas dari eksponensial. Kemudian sebuah bukti dibuat sketsa, bahwa apabila jika menggunakan definisi eksponensial yang diberikan pada bagian sebelumnya, maka memiliki: 

Terdapat banyak cara ekuivalen untuk mendefinisikan fungsi eksponensial, salah satunya adalah mendefinisikannya sebagai fungsi invers dari logaritma alami. Tepatnya, logaritma natural adalah antiturunan dari  yang mengambil nilai  untuk  :

Apabila mendefinisikan logaritma sebagai fungsi meningkat dari real positif ke bilangan real. Fungsi invers dan fungsi eksponensial dengan demikian merupakan fungsi naik dari bilangan real ke real positif, yang biasa dilambangkan . Satu satunya, memiliki

dan identitas eksponensial

untuk setiap  dan .

Bilangan Euler didefinisikan sebagai . Maka, ini mengikuti dari persamaan sebelumnya bahwa  dengan  adalah bilangan bulat (ini hasil dari definisi perkalian berulang dari eksponensial). Jika  adalah real,  dihasilkan dari definisi yang diberikan pada bagian sebelumnya, dengan menggunakan identitas eksponensial jika  adalah rasional, dan kontinuitas fungsi eksponensial sebaliknya.

Fungsi eksponensial memenuhi persamaan

Karena deret konvergen untuk setiap kompleks nilai  dengan persamaan yang memungkinkan pendefinisian fungsi eksponensial, dan demikian pula  untuk argumen kompleks . Fungsi eksponensial diperluas masih memenuhi identitas eksponensial, dan biasanya digunakan untuk mendefinisikan eksponensial untuk basis kompleks dan eksponen.

Pangkat melalui logaritma
Definisi  sebagai fungsi eksponensial didefinisikan  untuk setiap bilangan real positif , dalam hal fungsi eksponensial dan logaritmik. Secara khusus, bahwa logaritma natural  adalah invers dari fungsi eksponensial  maka ia memiliki
 
untuk setiap . Untuk mempertahankan identitas  maka ia memiliki

Jadi,  digunakan sebagai definisi alternatif dari  untuk setiap real positif . Ini sesuai dengan definisi yang diberikan di atas menggunakan eksponen rasional dan kontinuitas, dengan memperluas secara langsung ke eksponen kompleks mana pun.

Eksponen kompleks dengan basis real positif 
Jika  adalah bilangan real positif, eksponen dengan basis  dan kompleks eksponen didefinisikan melalui fungsi eksponensial dengan argumen kompleks (lihat dibagian akhir , diatas) sebagai

dimana  menunjukkan logaritma natural dari .

Maka, ini memenuhi identitas 

Secara umum,
 tidak didefinisikan, karena  bukan bilangan real. Jika suatu arti diberikan pada eksponen bilangan kompleks (lihat , dibawah), secara umum,

kecuali  adalah real atau  adalah bilangan bulat.

Rumus Euler  mengekspresikan bentuk polar dari  dalam hal bagian real dan imajiner dari , yaitu

dimana nilai absolut dari faktor trigonometri adalah satu. Maka, hasilnya adalah

Pangkat bilangan kompleks non-bilangan bulat

Pada bagian sebelumnya, eksponen dengan eksponen non-bilangan bulat telah didefinisikan hanya untuk basis real positif. Untuk basis lain, kesulitan muncul dengan kasus sederhana dari akar ke-, yaitu, dari eksponen  dimana  adalah bilangan bulat positif. Meskipun teori umum eksponensial dengan eksponen bukan bilangan bulat yang berlaku untuk akar ke-, kasus ini layak untuk dipertimbangkan terlebih dahulu, karena tidak perlu menggunakan logaritma kompleks, dan karena itu lebih mudah dipahami.

Akar ke- pada bilangan kompleks 
Setiap bilangan kompleks bukan nol  dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai 

dimana  adalah nilai absolut dari , dan  adalah argumen. Argumen didefinisikan hingga bilangan bulat kelipatan ; ini berarti, jika  adalah argumen dari bilangan kompleks, maka  juga merupakan argumen dari bilangan kompleks yang sama.

Bentuk polar dari darab dua bilangan kompleks diperoleh dengan mengalikan nilai absolut dan menambahkan argumen. Oleh karena itu, bentuk kutub dari akar ke- dari bilangan kompleks diperoleh dengan mengambil akar ke- dari nilai absolut dan membagi argumennya dengan :

Jika  ditambahkan ke  maka bilangan kompleks tersebut tidak berubah, tetapi ini menambahkan  ke argumen akar ke-, dan diberikan akar ke- yang baru. Ini dilakukan kali , dan diberikan kepada akar ke-  dari bilangan kompleks.

Biasanya memilih salah satu dari akar ke-  sebagai akar utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke- sebagai  yaitu, akar ke- yang memiliki bagian real terbesar, dan jika keduanya adalah dua dari bagian imajiner positif tersebut. Ini membuat akar ke- utama sebuah fungsi kontinu dalam seluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai real negatif dari radikan. Fungsi ini sama dengan akar ke- biasa untuk radikan real positif. Untuk radikan real negatif, dan eksponen ganjil, akar ke- utama bukanlah real, meskipun akar ke- yang biasa adalah real. Kelanjutan analitik menunjukkan bahwa prinsip akar ke- utama adalah fungsi unik diferensial kompleks yang memperluas fungsi akar ke- medan kompleks tanpa bilangan real yang bukan positif.

Jika bilangan kompleks dipindahkan sekitar nol dengan meningkatkan argumennya, setelah kenaikan  bilangan kompleks kembali ke posisi awal, dan akar ke--nya adalah permutasi lingkar (yang dikalikan dengan ). Ini menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mendefinisikan fungsi akar ke- yang tidak kontinu pada seluruh medan kompleks.

Akar satuan

Bilangan kompleks w sedemikian rupa sehingga  untuk bilangan bulat positif n adalah akar satuan ke-n.  Secara geometris, akar satuan ke-n terletak pada lingkaran satuan dari medan kompleks pada simpul-simpul dari gon-n beraturan dengan satu simpul pada bilangan real 1.

Jika  akan tetapi  untuk semua bilangan asli k sehingga , maka w disebut akar satuan ke-n primitif. Satuan negatif −1 adalah satu-satunya akar kuadrat primitif dari satuan. satuan imajiner i adalah salah satu dari dua akar ke-4 primitif dari satuan; yang lainnya adalah −i.

Bilangan e adalah akar satuan n primitif dengan argumen positif terkecil. Hal ini terkadang disebut akar kesatuan ke-n utama, meskipun terminologi ini tidaklah universal dan tidak boleh disamakan dengan nilai utama dari , yaitu 1.)
Akar satuan ke-n yang lain dinyatakan sebagai bentuk akar ke-n utama, yaitu

untuk .

Eksponensial kompleks 

Mendefinisikan eksponensial dengan basis kompleks menyebabkan kesulitan serupa dengan yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, kecuali, bahwa, secara umum, ada banyak kemungkinan nilai untuk . Jadi, salah satu nilai utama didefinisikan yang bukan kontinu untuk nilai  real dan nonpositif, atau  didefinisikan sebagai fungsi multinilai.

Dalam semua kasus, logaritma kompleks digunakan untuk mendefinisikan eksponensial kompleks, sebagai

dimana  adalah varian dari logaritma kompleks yang digunakan, yaitu, fungsi atau fungsi multinilai sedemikian rupa sehingga 

untuk setiap  dalam ranah definisi.

Nilai utama
Nilai utama dari logaritma kompleks adalah fungsi unik, biasanya dilambangkan  sehingga, untuk setiap bilangan kompleks bukan nol , 

dan bagian imajiner dari  memenuhi

Nilai utama dari logaritma kompleks tidak didefinisikan untuk  hal itu disebut juga sebagai tidak kontinu pada nilai real negatif , dan holomorfik (yaitu, terdiferensial kompleks) pada bagian lain. Jika  adalah real dan positif, nilai utama dari logaritma kompleks adalah logaritma alami: 

Nilai utama  didefinisikan sebagai

dimana  adalah nilai utama dari logaritma.

Fungsi  adalah holomorfik kecuali diantara titik-titik dimana  adalah real dan non-positif.

Jika  adalah real dan positif, nilai utama  sama dengan nilai biasa yang didefinisikan di atas. Jika  dimana  adalah bilangan bulat, nilai utama ini sama dengan yang didefinisikan di atas.

Fungsi multinilai
Dalam beberapa konteks, terdapat masalah dengan diskontinuitas pada nilai-nilai utama  dan  pada nilai real negatif . Dalam hal ini, akan berguna untuk mempertimbangkan fungsi-fungsi ini sebagai fungsi multinilai.

Jika  menunjukkan salah satu nilai dari logaritma multinilai (biasanya nilai utamanya), nilai lainnya adalah  dimana  adalah bilangan bulat. Demikian pula, jika  adalah salah satu nilai eksponensial, maka nilai lainnya diberikan oleh

dimana  adalah bilangan bulat.

Nilai  berbeda memberikan nilai  yang berbeda kecuali  adalah bilangan rasional, yaitu, apabila bilangan bulat  sehingga  adalah bilangan bulat. Maka hasil dari periodisitas ini dari fungsi eksponensial, bahwa  jika dan hanya jika  adalah kelipatan bilangan bulat dari 

Jika  adalah bilangan rasional dengan  dan  bilangan bulat koprima dengan  maka  memiliki nilai persis . Dalam kasus  nilai-nilai ini sama dengan yang dijelaskan dalam §akar ke- bilangan kompleks. Jika  adalah bilangan bulat, maka hanya ada satu nilai yang sesuai dengan .

pangkat multinilai adalah holomorfik untuk  dalam arti bahwa grafik-nya terdiri dari beberapa lembar yang mendefinisikan setiap fungsi holomorfik pada sekitar setiap titik. Jika variasi  terus menerus sepanjang lingkaran pada sekitar , maka, setelah titik balik, nilai  berubah dari lapisan.

Komputasi
Bentuk kanonik  dari  dihitung dari bentuk kanonik  dan . Meskipun ini dapat dijelaskan dengan satu rumus, lebih jelas untuk membagi perhitungan dalam beberapa langkah.

Bentuk polar dari . Jika  adalah bentuk kanonik dari  ( dan  sebagai real), maka bentuk polar-nya adalah  dimana  dan  (lihat atan2 untuk definisi fungsi ini).
Logaritma dari . Nilai utama dari logaritma ini adalah  dimana  menunjukkan logaritma alami. Nilai logaritma lainnya diperoleh dengan menambahkan  untuk sembarang bilangan bulat .
Bentuk kanonik dari  Jika  dengan real  dan , nilai  adalah  nilai utama yang sesuai dengan 
Hasil akhir. Menggunakan identitas  dan  satu-satunya menggunakan  dengan  untuk nilai utama.

Contoh

  Bentuk polar  adalah  dan dengan demikian nilai  adalah  Oleh karena itu  Jadi, semua nilai real  utama adalah 

Demikian pula, bentuk polar dari  adalah  Jadi, metode yang dijelaskan di atas diberikan nilai Dalam hal ini, semua nilai memiliki argumen  yang sama dan nilai absolut yang berbeda.

Dalam kedua contoh, semua nilai  memiliki argumen yang sama. Secara umum, ini benar jika dan hanya jika bagian real dari  adalah bilangan bulat.

Kegagalan pangkat dan identitas logaritma
Beberapa identitas untuk pangkat dan logaritma untuk bilangan real positif akan gagal untuk bilangan kompleks, tidak peduli seberapa pangkat kompleks dan logaritma kompleks didefinisikan sebagai fungsi bernilai tunggal. Misalnya:

Eksponen irasional 

Jika b adalah real positif bilangan aljabar, dan x adalah bilangan rasional, telah ditunjukkan di atas bahwa bx adalah bilangan aljabar. Ini sisa hakiki bahkan apabila jika menerima bilangan aljabar untuk b, dengan satu-satunya perbedaan bahwa bx mengambil beberapa nilai (bilangan terbatas, lihat di bawah), yang merupakan aljabar. Teorema Gelfond–Schneider diberikan beberapa informasi tentang sifat bx ketika x adalah irasional (yaitu, bukan rasional). Maka, ini menyatakan:

Pangkat bilangan bulat dalam aljabar
Definisi eksponen dengan eksponen bilangan bulat positif sebagai perkalian berulang yang berlaku untuk operasi asosiatif apa pun yang dilambangkan sebagai perkalian. Definisi  memerlukan keberadaan identitas perkalian lebih lanjut.  

Sebuah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi asosiatif yang dilambangkan dengan perkalian, dan identitas perkalian yang dilambangkan dengan 1 adalah monoid. Dalam monoid, eksponensial elemen  didefinisikan secara induktif oleh
 
  untuk setiap bilangan bulat nonnegatif .

Jika  adalah bilangan bulat negatif,  didefinisikan hanya jika  memiliki invers perkalian. Dalam hal ini, invers dari  dinotasikan  dan  didefinisikan sebagai 

Eksponen dengan eksponen bilangan bulat mematuhi hukum berikut, untuk  dan  dalam struktur aljabar, dan  dan  bilangan bulat:

Definisi ini banyak digunakan di banyak bidang matematika, terutama untuk geup, gelanggang, medan, matriks persegi (yang membentuk gelanggang). Mereka berlaku juga untuk fungsi dari himpunan ke diri-sendiri, yang membentuk monoid bawah komposisi fungsi. Ini termasuk, sebagai contoh spesifik, transformasi geometris, dan endomorfisme dari struktur matematika.

Ketika ada beberapa operasi ulangan, adalah umum untuk menunjukkan operasi berulang/ulangan dengan menempatkan simbolnya di superskrip, sebelum eksponen. Misalnya, jika  adalah fungsi real yang nilainya dapat dikalikan,  menunjukkan eksponensial terhadap perkalian, dan  ditunjukkan eksponensial sehubungan dengan komposisi fungsi. Yaitu, 

dan

Biasanya,  dinotasikan  sedangkan  dilambangkan

Dalam sebuah grup

Sebuah grup perkalian adalah himpunan dengan operasi asosiatif dilambangkan sebagai perkalian, yang memiliki elemen identitas, dan setiap elemen memiliki invers.

Jadi, jika  adalah grup,  didefinisikan untuk setiap  dan setiap bilangan bulat .

Himpunan dari semua pangkat suatu elemen dari grup membentuk subgrup. Sebuah gruprup (atau subgrup) yang terdiri dari semua pangkat dari elemen tertentu  adalah grup siklik yang dihasilkan oleh . Jika semua pangkat  berbeda, grupnya adalah isomorfik pada grup aditif  dari bilangan bulat. Jika tidak, grup siklik adalah hingga (memiliki jumlah elemen hingga), dan jumlah elemennya adalah urutan dari . Jika urutan  adalah , maka  dan grup siklik yang dihasilkan oleh  terdiri dari  pangkat pertama  (mulai dengan acuh tak acuh dari eksponen  atau ).

Urutan elemen memainkan peran mendasar dalam teori grup. Misalnya, urutan suatu elemen dalam grup hingga selalu merupakan pembagi dari jumlah elemen grup tersebut ("urutan" grup). Kemungkinan urutan elemen grup penting dalam studi struktur grup (lihat teorema Sylow), dan dalam klasifikasi grup sederhana hingga.

Notasi superskrip juga digunakan untuk konjugasi; yaitu, , dimana g dan h adalah elemen dari grup. Notasi ini tidak diubah dengan eksponensial, karena superskrip bukan bilangan bulat. Motivasi dari notasi ini adalah bahwa konjugasi memenuhi beberapa hukum eksponensial, yaitu  dan

Dalam sebuah gelanggang
Dalam sebuah gelanggang, bahwa beberapa elemen bukan nol memenuhi  untuk beberapa bilangan bulat . Unsur tersebut disebut juga nilpoten. Dalam gelanggang komutatif, unsur-unsur nilpoten membentuk ideal, disebut juga nilradikal dari gelanggang.

Jika nilradikal direduksi menjadi ideal nol (yaitu, jika  menyatakan  untuk setiap bilangan bulat positif ), ring komutatif dikatakan tereduksi. Gelanggang tereduksi penting dalam geometri aljabar, karena gelanggang koordinat dari himpunan aljabar Affin merupakan gelanggang tereduksi.

Lebih umum, diberikan ideal  dalam gelanggang komutatif , himpunan elemen  yang memiliki pangkat  adalah ideal, yang disebut radikal dari . Nilradikal adalah radikal dari zero ideal. Sebuah ideal radikal adalah ideal yang sama dengan radikal-diri. Dalam gelanggang polinomial  atas medan , sebuah ideal adalah radikal jika dan hanya jika itu adalah himpunan semua polinomial yang nol pada himpunan aljabar affin (ini adalah konsekuensi dari Hilbertscher Nullstellensatz).

Matriks dan operator linear
Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka hasil kali A dengan n itu sendiri disebut pangkat matriks. Juga  didefinisikan sebagai matriks identitas, dan jika A adalah invers, maka .

pangkat matriks sering muncul dalam konteks sistem dinamik diskret, dimana matriks A menyatakan transisi dari vektor keadaan x dari beberapa sistem ke keadaan berikutnya Ax dari sistem. Ini adalah interpretasi standar dari rantai Markov, misalnya, apabila  adalah status sistem setelah dua langkah waktu, dan seterusnya: maka,  adalah status sistem setelah langkah kali n.  Matriks pangkat  adalah matriks transisi antara keadaan sekarang dan keadaan pada langkah kali n ke depan. Jadi menghitung pangkat matriks setara dengan memecahkan evolusi sistem dinamis. Dalam banyak kasus, pangkat matriks dihitung dengan menggunakan nilai eigen dan vektor eigen.

Selain matriks, operator linear yang umum juga merupakan eksponen. Contohnya adalah turunan operator kalkulus,  salah satu operator linear yang melakukan fungsi  untuk menghasilkan fungsi baru, yaitu . pangkat ke-n dari operator diferensiasi adalah turunan ke-n:

Contoh-contoh ini adalah untuk eksponen diskret dari operator linear, tetapi dalam keadaan juga diinginkan untuk mendefinisikan pangkat dari operator tersebut dengan eksponen kontinu. Ini adalah titik awal dari teori matematika semigrup.  Sama seperti pangkat matriks komputasi dengan eksponen diskret memecahkan sistem dinamis diskret, begitu pula pangkat matriks komputasi dengan eksponen kontinu memecahkan sistem dengan dinamika kontinu. Contohnya termasuk pendekatan untuk menyelesaikan persamaan panas, persamaan Schrödinger, persamaan gelombang, dan persamaan diferensial parsial lainnya yang termasuk evolusi waktu. Kasus khusus eksponensial operator turunan ke pangkat non-bilangan bulat disebut turunan pecahan, yang bersama dengan integral pecahan, merupakan operasi dasar dari kalkulus pecahan.

Medan hingga

Sebuah medan adalah struktur aljabar dimana perkalian, penambahan, pengurangan, dan pembagian didefinisikan dan memenuhi sifat-sifatnya yang sudah dikenal; khususnya, perkaliannya adalah asosiatif, dan setiap elemen bukan nol memiliki perkalian invers. Ini menyatakan bahwa eksponen dengan eksponen bilangan bulat didefinisikan dengan baik, kecuali untuk pangkat nonpositif . Contoh umum adalah bilangan kompleks dan submedan, bilangan rasional dan bilangan real yang telah dibahas sebelumnya dalam artikel ini, dan semua tak hingga.

Sebuah medan hingga adalah medan dengan elemen bilangan hingga. Jumlah elemen ini adalah bilangan prima atau pangkat prima; yaitu, memiliki bentuk  dimana  adalah bilangan prima, dan  adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap  tersebut, ada medan dengan elemen . Medan dengan elemen  semuanya adalah isomorfik, yang memungkinkan, bekerja seolah-olah hanya ada satu medan dengan elemen , dilambangkan 

Satu-satunya adalah

untuk setiap  

Sebuah elemen primitif di  adalah elemen  seperti pada himpunan  pangkat pertama  (yaitu, ) sama dengan himpunan elemen bukan nol dari  Ada  elemen primitif dalam  dimana  adalah fungsi totient Euler.

Dalam  identitas impian Fresman 

adalah hakiki untuk eksponen . Seperti  di peta  maka

adalah linear atas  dan merupakan automorfisme medan, disebut automorfisme Frobenius. Jika  medan  memiliki  automorfisme, yang merupakan pangkat pertama  (antara komposisi) dari . Dengan kata lain, grup Galois dari  adalah siklik urutan , yang dihasilkan oleh automorfisme Frobenius.

Pertukaran kunci Diffie–Hellman adalah aplikasi eksponensial dalam Medan hingga yang banyak digunakan untuk komunikasi aman. Ini menggunakan fakta bahwa eksponensial secara komputasi tidak mahal, sedangkan operasi kebalikannya, logaritma diskret, secara komputasi mahal. Lebih tepatnya, jika  adalah elemen primitif dalam  maka  dihitung secara efisien dengan eksponensial dari kuadrat untuk , bahkan jika  besar, sementara tidak ada algoritma yang diketahui memungkinkan pengambilan  dari  jika nilai  adalah besar.

Atas himpunan

Jika n adalah bilangan asli, dan A adalah himpunan sembarang, maka ekspresi An sering digunakan untuk menyatakan himpunan dari rangkap-n elemen A. Apabila ditulis An menyatakan himpunan fungsi dari himpunan  ke himpunan A; rangkap-n  mewakili fungsi i ke ai.

Untuk bilangan kardinal tak hingga dan himpunan A, notasi Aκ juga digunakan untuk menyatakan himpunan semua fungsi dari himpunan ukuran hingga A. Ini terkadang ditulis κA untuk membedakannya dari eksponensial utama, yang didefinisikan di bawah ini.

Eksponensial umum ini juga didefinisikan untuk operasi pada himpunan atau untuk himpunan dengan struktur tambahan. Misalnya, dalam aljabar linear, untuk indeks jumlah langsung dari ruang vektor melalui himpunan indeks sembarang. Artinya, apabila berbicara tentang
 
dimana setiap Vi adalah ruang vektor.

Kemudian jika Vi = V untuk setiap i, jumlah langsung yang dihasilkan ditulis dalam notasi eksponensial sebagai V⊕N, atau cukup VN dengan pengertian bahwa jumlah langsung adalah bawaan. Maka, ini bisa diganti kembali himpunan N dengan bilangan kardinal n untuk mendapatkan Vn, meskipun tanpa memilih himpunan standar tertentu dengan kardinalitas n, yang didefinisikan isomorfisme hingga saja. Diberikan V sebagai medan-R dari bilangan real (yang sebagai ruang vektor atas) dan n menjadi beberapa bilangan asli, maka, ini mendapatkan ruang vektor umum yang dipelajari dalam aljabar linear, dan ruang vektor real-Rn.

Jika basis operasi eksponensial adalah himpunan, operasi eksponensial adalah darab Kartesius kecuali dinyatakan yang lain. Karena beberapa darab Cartesian menghasilkan rangkap-n, yang diwakili oleh suatu fungsi pada himpunan kardinalitas yang sesuai, SN sebagai himpunan semua fungsi dari N hingga S dalam kasus ini:
 

Ini cocok dengan eksponen bilangan kardinal, dalam arti bahwa , dimana  adalah kardinalitas X. Ketika "2" didefinisikan sebagai }, maka memiliki , dimana 2X, biasanya dilambangkan dengan P(X), adalah himpunan pangkat dari X; masing-masing himpunan bagian Y dari X berkorespondensi secara unik dengan fungsi pada X yang mengambil nilai 1 untuk  dan 0 untuk .

Dalam teori kategori

Dalam kategori tertutup Kartesius, operasi eksponensial digunakan untuk kenaikkan objek sembarang ke pangkat objek lain. Ini menggeneralisasi darab Kartesius dalam kategori himpunan. Jika 0 adalah objek awal dalam kategori tertutup Kartesius, maka objek eksponensial 00 adalah isomorfik ke objek terminal 1.

Dari bilangan kardinal dan ordinal

Dalam teori himpunan, ada operasi eksponensial untuk kardinal dan bilangan ordinal.

Jika κ dan λ adalah bilangan kardinal, ekspresi κλ mewakili kardinalitas himpunan fungsi dari sembarang himpunan kardinalitas λ ke himpunan kardinalitas κ. Jika κ dan λ adalah hingga, maka ini sesuai dengan operasi eksponensial aritmetika biasa. Misalnya, himpunan rangkap-3 elemen dari himpunan elemen-2 memiliki kardinalitas . Dalam aritmetika kardinal, κ0 adalah 1 (bahkan jika κ adalah kardinal tak hingga atau nol).

Eksponen bilangan kardinal berbeda dari eksponensial bilangan kardinal, yang didefinisikan oleh proses batas yang melibatkan induksi transfinit.

Eksponensial berulang

Sama seperti eksponensial bilangan asli dimotivasi oleh perkalian berulang, adalah mendefinisikan operasi berdasarkan eksponensial berulang; operasi ini terkadang disebut hiper-4 atau tetrasi. Tetrasi-iterasi mengarah ke operasi lain, dan seterusnya, sebuah konsep bernama hiperoperasi. Urutan operasi ini dinyatakan oleh fungsi Ackermann dan notasi panah atas Knuth. Sama seperti eksponensial pertumbuhan cepat daripada perkalian, pertumbuhan cepat dari penambahan, tetrasi adalah pertumbuhan cepat dari eksponensial. Dinilai pada , fungsi penjumlahan, perkalian, eksponensial, dan tetrasi menghasilkan 6, 9, 27, dan  masing-masing pada ().

Limit pangkat
Nol pangkat nol memberikan sejumlah contoh limit yang berbentuk bentuk tak tentu 00. Limit dalam contoh ini ada, tetapi memiliki nilai yang berbeda, menunjukkan bahwa fungsi dua variabel  tidak memiliki limit pada titik . Apabila mempertimbangkan pada titik mana fungsi ini memiliki limit.

Lebih tepatnya, perhatikan fungsi  didefinisikan pada  Kemudian  dilihat sebagai himpunan bagian dari  (yaitu, himpunan semua pasangan  dengan ,  memiliki garis bilangan real diperluas , dengan darab topologi), yang berisi titik-titik dimana fungsi  memiliki limit.

Faktanya,  memiliki limit di semua titik akumulasi dari , kecuali , ,  dan . Dengan demikian, apabila ini untuk mendefinisikan pangkat  dengan kontinuitas , , kecuali untuk 00, (+∞)0, 1+∞ dan 1−∞, yang tetap bentuk tak tentu.

Dibawah definisi ini dengan kontinuitas, maka memperoleh:
  dan , bila .
  dan , bila .
  dan , bila .
  dan , bila .

pangkat ini diperoleh dengan mengambil limit  untuk nilai positif dari . Metode ini tidak mengizinkan definisi  ketika , karena pasangan  dengan  bukan merupakan titik akumulasi dari .

Disisi lain, ketika  adalah bilangan bulat, maka pangkat  bermakna untuk semua nilai , termasuk yang negatif. Maka, ini membuat definisi  yang diperoleh diatas untuk  negatif menjadi bermasalah ketika nilainya adalah , karena dalam kasus ini  karena  cenderung  melalui nilai positif, tetapi bukan nilai negatif.

Komputasi yang efisien dengan eksponen bilangan bulat
Komputasi bn menggunakan perkalian berulang membutuhkan  operasi perkalian, tetapi itu dapat dihitung lebih efisien dari itu, seperti yang diilustrasikan oleh contoh berikut. Untuk menghitung 2100, terapkan kaidah Horner ke eksponen 100 yang ditulis dalam biner: 
.  
Kemudian hitung suku-suku berikut secara berurutan, baca kaidah Horner dari kanan ke kiri.

Rangkaian langkah ini hanya membutuhkan 8 perkalian, bukan 99.

Secara umum, jumlah operasi perkalian yang diperlukan untuk menghitung  dikurangi menjadi  dengan menggunakan pangkat dengan kuadrat, dengan  menunjukkan jumlah  dalam wakilan biner dari . Untuk beberapa eksponen (100 tidak termasuk di antaranya), jumlah perkalian dikurangi lebih lanjut dengan menghitung dan menggunakan pangkat kaidah-tambahan minimal. Menemukan barisan perkalian minimal (kaidah penambahan panjang minimal untuk eksponen) untuk  adalah soal yang sulit, yang saat ini tidak ada algoritma efisien yang diketahui (lihat Masalah jumlah himpunan bagian), tetapi banyak algoritma heuristik yang cukup efisien tersedia. Namun, dalam perhitungan praktis, eksponensial dengan mengkuadratkan cukup efisien, dan jauh lebih mudah diimplementasikan.

Fungsi teriterasi
Komposisi fungsi adalah operasi biner yang didefinisikan pada fungsi sehingga kodomain dari fungsi yang ditulis sebelah kanan termasuk dalam domain dari fungsi yang ditulis sebelah kiri. Ini dilambangkan  dan didefinisikan sebagai

untuk setiap  dalam domain .

Jika domain suatu fungsi  sama dengan kodomainnya, maka ia menyusun fungsi dengan sendiri dalam jumlah waktu yang berubah-ubah, dan ini mendefinisikan pangkat ke- dari fungsi di bawah komposisi, biasanya disebut iterasi ke- dari fungsi tersebut. Jadi  secara umum menunjukkan iterasi ke- dari ; misalnya,  berarti  

Ketika perkalian didefinisikan pada kodomain fungsi, ini mendefinisikan perkalian pada fungsi, perkalian sesetitik, yang menginduksi eksponensial lain. Saat menggunakan notasi fungsional, dua jenis eksponensial umumnya dibedakan dengan menempatkan eksponen dari iterasi fungsional sebelum tanda kurung yang melampirkan argumen fungsi, dan menempatkan eksponen perkalian sesetitik setelah tanda kurung. Jadi  dan  Ketika notasi fungsional tidak digunakan, disambiguasi yang dilakukan dengan menempatkan simbol komposisi sebelum eksponen; misalnya  dan  Untuk alasan historis, eksponen dari perkalian berulang ditempatkan sebelum argumen untuk beberapa fungsi tertentu, biasanya fungsi trigonometri. Jadi,  dan  berarti keduanya  dan bukan  yang jarang dipertimbangkan. Secara historis, beberapa varian notasi ini digunakan oleh penulis yang berbeda.

Dalam konteks ini, eksponen  selalu menunjukkan fungsi invers, jika ada. Jadi  Untuk pecahan perkalian invers umumnya digunakan seperti pada

Dalam bahasa pemrograman
Bahasa pemrograman umumnya menyatakan eksponensial baik sebagai operator infiks atau sebagai fungsi (awalan), karena mereka adalah notasi linear yang tidak mendukung superskrip:
 x ↑ y: Algol, Komodor BASIC, TRS-80 Level II/III BASIC.
 x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (dan turunannya), TI-BASIC, bc (untuk eksponen bilangan bulat), Haskell (untuk eksponen bilangan bulat nonnegatif), Lua dan sebagian besar sistem aljabar komputer. Penggunaan simbol ^ yang bertentangan meliputi: XOR (dalam ekspansi aritmetika POSIX Shell, AWK, C, C++, C#, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby dan Tcl), Indirection (Pascal), dan rangkaian string (OCaml dan Standard ML).
 x ^^ y: Haskell (untuk basis pecahan, eksponen bilangan bulat), D.
 x ** y: Ada, Z shell, KornShell, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, Groovy, JavaScript, OCaml, F#, Perl, PHP, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury, Haskell (untuk eksponen floating-point), Turing, VHDL.
 pown x y: F# (for integer base, integer exponent).
 x⋆y: APL.

Many other programming languages lack syntactic support for exponentiation, but provide library functions:
 pow(x, y): C, C++.
 Math.Pow(x, y): C#.
 math:pow(X, Y): Erlang.
 Math.pow(x, y): Java.
 [Math]::Pow(x, y): PowerShell.
 (expt x y): Common Lisp.

Untuk eksponen tertentu ada cara khusus untuk menghitung xy jauh lebih cepat daripada melalui eksponen umum. Kasus ini mencakup bilangan bulat positif dan negatif kecil (memilih x · x daripada x2; memilih 1/x daripada x−1) dan root (memilih sqrt(x) daripada x0.5, memilih cbrt(x) daripada x<sup>1/3</ sup>).

Tidak semua bahasa pemrograman menggunakan konvensi asosiasi yang sama untuk eksponensial: sedangkan Wolfram Language, Google Penelusuran dan lainnya menggunakan pengaitan kanan (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai a^(b^c)), banyak program komputer seperti Microsoft Office Excel dan Matlab mengasosiasikan ke kiri (yaitu a^b^c dievaluasi sebagai (a^b)^c).

Lihat pula

 Fungsi eksponensial ganda
 Peluruhan eksponensial
 Medan eksponensial
 Pertumbuhan eksponensial
 Daftar topik eksponensial
 Eksponensial modular
 Notasi ilmiah
 Subskrip dan superskrip Unicode
 xy = yx
 Nol pangkat nol

Catatan

Referensi

Eksponensial
Operasi uner