Kaidah darab

Dalam kalkulus, kaidah darab (), atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.

Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:

atau dalam notasi Leibniz:

Penemuan oleh Leibniz 
Kaidah ini ditemukan oleh Gottfried Leibniz yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan diferensial. Argumen Leibniz mengatakan: jika u(x) dan v(x) adalah dua fungsi x yang terdiferensialkan, maka diferensial dari uv adalah

 

Oleh karena (du)(dv) adalah "dapat diabaikan" (i.e. paling tidak kuadratis pada du dan dv), Leibniz berkesimpula bahwa

dan ini merupakan bentuk diferensial dari kaidah darab. Jika kita membaginya dengan dx, kita mendapatkan

yang dapat ditulis dengan "notasi prima" sebagai

Pembuktian kaidah darab 

Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat limit dan definisi turunan sebagai limit dari hasil bagi beda Newton.

Misalkan

dan f and g masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap x. Maka

Perbedaannya:

adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan

Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:

(Ilustrasi di atas tidak akan berlaku pada beberapa kasus khusus karena f(w) tidak seperlunya lebih besar dari f(x) dan g(w) tidak seperlunya lebih besar dari g(x). Walaupun begitu, persamaan (2) dan (3) dapat dievaluasi dengan mudah menggunakan aljabar.)

Oleh karena itu, persamaan (1) adalah sama dengan

Jika semua limit pada (5) ada, maka persamaan (4) sama dengan

Sekarang

karena f(x) tetaplah konstan ketika w → x;

karena g terdiferensialkan pada x;

karena f terdiferensialkan pada x;

karena g kontinu pada x (Teorema lainnya mengatakan fungsi yang terdiferensialkan haruslah kontinu)

Kita dapat berkesimpulan bahwa persamaan (5) sama dengan

Pembuktian alternatif: menggunakan logaritma 
Misalkan f = uv dan u dan v adalah positif. Maka

Diferensialkan dua sisi:

kalikan sisi kiri dengan f dan sisi kanan dengan uv,

Pembuktian ini dapat dilihat di  . Perlu diperhatikan bahwa karena u, v haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).

Pembuktian ini bergantung pada kaidah rantai dan sifat-sifat fungsi logaritma natural.

Pembuktian alternatif: menggunakan kaidah rantai 

Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.

Perumuman

Hasil kali dari lebih dari dua faktor 

Kaidah darab dapat diperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:

Untuk sekumpulan fungsi :

Turunan lebih tinggi 

Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi kaidah Leibniz untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika y = uv dan y(n) menandakan turunan ke-n dari y, maka

Lihat pula koefisien binomial dan teorema binomial yang mirip dengan perampatan ini.

Turunan parsial lebih tinggi 

Untuk turunan parsial lebih tinggi:

dengan indeks S adalah deret 2n dari subhimpunan dari {1, ..., n}. Misalkan n = 3:

Kaidah darab pada ruang Banach 

Jika X, Y, dan Z adalah ruang Banach (yang meliputi ruang Euclide) dan B: X × Y → Z adalah operator bilinear kontinu. Maka B terdiferensialkan dan turunannya pada titik (x,y) di X × Y adalah peta linear D(x,y)B: X × Y → Z

Turunan dalam aljabar abstrak 

Dalam aljabar abstrak, kaidah darab digunakan untuk mendefnisikan apa yang disebut sebagai turunan dan tidak sebaliknya.

Untuk fungsi vektor 

Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat antikomutatif pada hasil kali vektor. Sehingga:

dan bukannya
, walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.

Lihat pula 
 Kaidah hasil bagi
 Kaidah timbal balik
 Kaidah rantai
 Integrasi parsial
 Diferensial
 Turunan (aljabar abstrak)

Kalkulus
Matematika