Akar kuadrat

Di dalam matematika, akar kuadrat atau akar persegi dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r2 = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x. Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai . Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan , karena  dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah , yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah , yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan . Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).

Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya,  tidak dapat dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa  adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras. (Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)

Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penyajian , ab + 2 adalah radikan.

Sifat 

Fungsi akar kuadrat utama  (biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R+ ∪ {0} kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional);  adalah rasional jika dan hanya jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.

 Untuk setiap bilangan real x
     (lihat nilai absolut)

 Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,

dan

 Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh

 Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif 
Bilangan positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif, dan satu negatif, yang berlawanan satu sama lain. Ketika berbicara tentang akar kuadrat dari bilangan bulat positif, biasanya yang dimaksud adalah akar kuadrat positif.

Akar kuadrat dari bilangan bulat adalah bilangan bulat aljabar, lebih spesifiknya bilangan bulat kuadrat.

Akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah hasil kali dari akar faktor prima, karena akar kuadrat dari suatu perkalian adalah hasil kali dari akar kuadrat faktor. Maka   hanya akar dari bilangan prima yang memiliki pangkat ganjil dalam faktorisasi yang diperlukan. Lebih tepatnya, akar kuadrat dari faktorisasi prima adalah

Sebagai ekspansi desimal 
Akar kuadrat dari kuadrat sempurna s (misalnya, 0, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan karenanya memiliki non-desimal berulang dalam representasi desimal. Perkiraan desimal dari akar kuadrat dari beberapa bilangan asli pertama diberikan dalam tabel berikut.

{|class="wikitable"
!  !!  dipotong menjadi 50 tempat desimal
|- 
|align="right" | 0 || 0
|- 
|align="right" | 1 || 1
|-
|align="right" | 2 || 
|-
|align="right" | 3 || 
|-
|align="right" | 4 || 2
|-
|align="right" | 5 || 
|-
|align="right" | 6 || 
|-
|align="right" | 7 || 
|-
|align="right" | 8 || 
|-
|align="right" | 9 || 3
|-
|align="right" | 10 || 
|-
|}

Sebagai perluasan dalam sistem angka lainnya 
Seperti sebelumnya, akar kuadrat dari kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16) adalah bilangan bulat. Dalam semua kasus lainnya, akar kuadrat dari bilangan bulat positif adalah bilangan irasional s, dan oleh karena itu memiliki digit yang tidak berulang dalam sistem notasi posisi standar.

Akar kuadrat dari bilangan bulat kecil digunakan di kedua desain fungsi hash SHA-1 dan SHA-2 untuk memberikan tidak ada bilangan lengan.

Sebagai pecahan lanjutan periodik 
Salah satu hasil paling menarik dari studi bilangan irasional s karena pecahan kontinu diperoleh dengan Joseph Louis Lagrange  1780. Lagrange menemukan bahwa representasi dari akar kuadrat dari bilangan bulat positif bukan kuadrat sebagai pecahan lanjutan adalah berkala. Artinya, pola penyebut parsial tertentu berulang tanpa batas waktu dalam pecahan lanjutan. Dalam arti tertentu, akar kuadrat ini adalah bilangan irasional yang paling sederhana, karena mereka dapat direpresentasikan dengan pola berulang sederhana dari bilangan bulat.

{|
|- 
|align="right"||| = [1; 2, 2, ...]
|-
|align="right"||| = [1; 1, 2, 1, 2, ...]
|-
|align="right"||| = [2]
|-
|align="right"||| = [2; 4, 4, ...]
|-
|align="right"||| = [2; 2, 4, 2, 4, ...]
|-
|align="right"||| = [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
|-
|align="right"|||= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
|-
|align="right"||| = [3]
|-
|align="right"||| = [3; 6, 6, ...]
|- 
|align="right"||| = [3; 3, 6, 3, 6, ...]
|-
|align="right"||| = [3; 2, 6, 2, 6, ...]
|-
|align="right"||| = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
|-
|align="right"||| = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
|-
|align="right"||| = [3; 1, 6, 1, 6, ...]
|-
|align="right"||| = [4]
|-
|align="right"||| = [4; 8, 8, ...]
|-
|align="right"||| = [4; 4, 8, 4, 8, ...]
|-
|align="right"||| = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
|-
|align="right"||| = [4; 2, 8, 2, 8, ...]
|}

Notasi kurung siku yang digunakan di atas adalah singkatan dari pecahan lanjutan. Ditulis dalam bentuk aljabar yang lebih sugestif, pecahan lanjutan sederhana untuk akar kuadrat dari 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], terlihat seperti ini:

di mana pola dua digit {3, 6} berulang lagi dan lagi pada penyebut parsial. Karena , di atas juga identik dengan pecahan lanjutan umum:

Akar kuadrat dari bilangan negatif dan kompleks 

Kuadrat dari bilangan positif atau negatif adalah positif, dan kuadrat 0 adalah 0. Oleh karena itu, tidak ada bilangan negatif yang dapat memiliki akar kuadrat nyata.  Namun, dimungkinkan untuk bekerja dengan himpunan bilangan yang lebih inklusif, yang disebut bilangan kompleks s, yang memang berisi solusi untuk akar kuadrat dari bilangan negatif.  Ini dilakukan dengan memasukkan angka baru, dilambangkan dengan  i  (terkadang  j , terutama dalam konteks listrik di mana " i " secara tradisional mewakili arus listrik) dan disebut unit imajiner, yang  didefinisikan  sedemikian rupa . Dengan menggunakan notasi ini, kita dapat menganggap  i  sebagai akar kuadrat dari −1, tetapi kita juga punya  dan jadi -  i  juga merupakan akar kuadrat dari −1. Berdasarkan konvensi, akar kuadrat utama dari −1 adalah  i , atau lebih umum lagi, jika  x  adalah bilangan nonnegatif apa pun, akar kuadrat utama dari   x  adalah

Ruas kanan (dan juga negatifnya) memang merupakan akar kuadrat dari  x , maka

Untuk setiap bilangan kompleks bukan nol  z  terdapat tepat dua bilangan  w  sedemikian rupa : akar kuadrat utama dari  z  (didefinisikan di bawah), dan negatifnya.

Akar kuadrat utama dari sebuah bilangan kompleks 

Untuk menemukan definisi akar kuadrat yang memungkinkan kita memilih satu nilai secara konsisten, yang disebut nilai pokok, kita mulai dengan mengamati bahwa bilangan kompleks apa pun  x  +  iy  dapat dilihat sebagai titik di bidang, (x, y), diekspresikan menggunakan koordinat kartesius. Titik yang sama dapat diinterpretasikan ulang menggunakan koordinat polar sebagai pasangan ), di mana  r  ≥ 0 adalah jarak titik dari titik asal, dan   adalah sudut yang dibuat oleh garis dari titik asal ke titik dengan sumbu positif nyata ( x ). Dalam analisis kompleks, lokasi titik ini ditulis secara konvensional  Jika

kemudian kita tentukan akar kuadrat utama dari  z  sebagai berikut:

Fungsi akar kuadrat utama didefinisikan dengan menggunakan sumbu riil nonpositif sebagai potongan cabang. Fungsi akar kuadrat utama adalah holomorfik di mana-mana kecuali pada himpunan bilangan real non-positif (pada real negatif ketat itu bahkan kontinu). Deret Taylor di atas untuk  tetap berlaku untuk bilangan kompleks  x  dengan .

Di atas juga dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri:

Rumus aljabar 

Ketika bilangan tersebut diekspresikan menggunakan koordinat Kartesius, rumus berikut dapat digunakan untuk akar kuadrat utama:

di mana tanda dari bagian imajiner dari akar dianggap sama dengan tanda bagian imajiner dari bilangan asli, atau positif jika nol. Bagian riil dari nilai pokok selalu tidak negatif.

Misalnya, akar kuadrat utama dari  diberikan oleh:

Catatan 
Berikut ini, kompleks  z  dan  w  dapat diekspresikan sebagai:

 
 

di mana  dan .

Karena sifat terputus-putus dari fungsi akar kuadrat dalam bidang kompleks, hukum berikut ini adalah tidak benar secara umum.

   (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama:  dan  ) Kesetaraan ini hanya berlaku jika 
  (counterexample untuk akar kuadrat utama:  dan ) Persamaan ini hanya berlaku jika 
 (contoh berlawanan untuk akar kuadrat utama: ) Persamaan ini hanya valid jika 

Masalah serupa muncul dengan fungsi kompleks lainnya dengan pemotongan cabang, misalnya, logaritma kompleks dan relasi  or  yang tidak benar secara umum.

Salah mengasumsikan salah satu dari undang-undang ini mendasari beberapa "bukti" yang salah, misalnya yang berikut menunjukkan itu :

Persamaan ketiga tidak dapat dibenarkan (lihat bukti tidak sah). Ini dapat dibuat untuk menahan dengan mengubah arti dari √ sehingga ini tidak lagi mewakili akar kuadrat utama (lihat di atas) tetapi memilih cabang untuk akar kuadrat yang mengandung  Sisi kiri menjadi salah satunya

jika cabang menyertakan + i  atau

jika cabang termasuk - i , sedangkan sisi kanan menjadi

di mana persamaan terakhir,  adalah konsekuensi dari pemilihan cabang dalam definisi ulang √.

Akar ke-n dan akar polinomial 

Definisi akar kuadrat dari  sebagai angka  sedemikian rupa sehingga  telah digeneralisasikan dengan cara berikut.

Akar pangkat tiga dari  adalah angka  sedemikian rupa sehingga ; dilambangkan 

Jika  adalah bilangan bulat yang lebih besar dari dua,  akar ke dari  adalah angka  seperti ; dilambangkan 

Mengingat polinomial , sebuah akar dari  adalah bilangan  seperti yang . Misalnya, akar ke  dari  adalah akar dari polinomial (pada ) 

Teorema Abel–Ruffini menyatakan bahwa, secara umum, akar suatu polinomial berderajat lima atau lebih tinggi tidak dapat diekspresikan dalam istilah akar ke .

Komputasi 

Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol akar kuadrat. Lembar kerja komputer dan perangkat lunak lainnya juga sering kali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat dari x menggunakan identitas
 atau 
Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel logaritma atau slide rule.

Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan metode ini. Metode ini melibatkan algoritme sederhana, yang menghasilkan suatu bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan r, akar kuadrat dari bilangan real x:
 Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke akar kuadrat x, semakin baik).
 Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r, yaitu:  (Adalah cukup untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.)
 Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.

Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.

Catatan

Referensi

Pranala luar 

 Teknik soroban Jepang - Metode Profesor Fukutaro Kato
 Teknik soroban Jepang - Metode Takashi Kojima
 Algoritme, penerapan, dan lebih banyak lagi - Halaman web akar kuadrat milik Paul Hsieh
 Cara menentukan akar kuadrat secara manual 

Fungsi khusus dasar
Matematika dasar
Operasi unari
Matematika