Kombinasi

Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek. Perkataan kombinasi memiliki sebutan lainnya yaitu gabungan, padu-padan atau kepadupadanan

Definisi 
Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

 tidak ada buah apa pun
 satu buah:
 apel
 jeruk
 mangga
 pisang
 dua buah:
 apel, jeruk
 apel, mangga
 apel, pisang
 jeruk, mangga
 jeruk, pisang
 mangga, pisang
 tiga buah:
 apel, jeruk, mangga
 apel, jeruk, pisang
 apel, mangga, pisang
 jeruk, mangga, pisang
 empat buah:
 apel, jeruk, mangga, pisang

Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari S.

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

Fungsi  dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi .

Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

Sifat rekursif dari Kombinasi 
Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

Hubungan dengan Permutasi 
Dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:

Perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama. Karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil. Jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:
 apel, jeruk, mangga
 apel, jeruk, pisang
 apel, mangga, pisang
 jeruk, mangga, pisang
Penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan  atau 24 permutasi, dengan  kolom, karena untuk setiap baris terdapat  permutasi dari kolom pertama. Dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:

Aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:

Yang dapat dengan mudah dibuktikan:

Hubungan dengan Permutasi Berunsur Identik 
Kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik. Kombinasi dari sebuah himpunan S dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan S. Unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0. Dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:
{| class="wikitable"
|-
! Kombinasi
! apel
! jeruk
! mangga
! pisang
|-
| apel, jeruk, mangga
| 1
| 1
| 1
| 0
|-
| apel, jeruk, pisang
| 1
| 1
| 0
| 1
|-
| apel, mangga, pisang
| 1
| 0
| 1
| 1
|-
| jeruk, mangga, pisang
| 0
| 1
| 1
| 1
|}

Dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan S yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:

Karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1. Maka total permutasinya adalah 4! dibagi dengan 3!. Kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0. Maka permutasinya menjadi:

Yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung .

Koefisien Binomial 

Suatu binomial  yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.

Dengan penjabaran seperti di atas, maka banyaknya kombinasi r dari n unsur bisa didapat dari setiap suku:

Daftar berikut menunjukkan beberapa penjabaran binomial:

Segitiga Pascal 
Dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:
 
 
 
 
Jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai Segitiga Pascal.

          1
         1  1
        1  2  1
       1  3  3  1
      1  4  6  4  1
     1  5 10 10  5  1
    1  6 15 20 15  6  1
   1  7 21 35 35 21  7  1
  1  8 28 56 70 56 28  8  1

Contoh penggunaan kombinasi 
 Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola hitam. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak. Ada berapa carakah bola yang terambil:
 bebas
  cara
 sama
  cara
 berbeda
  cara
 dua diantaranya sama
  cara

Lihat pula 
 Faktorial
 Kombinasi dan permutasi
 Permutasi
 Kombinadik
 Membangkitkan Kombinasi

Bacaan lebih lanjut 
  
  

Kombinatorika