Հազար դրամի առեղծված

Հազար դրամի առեղծված (, թարգմանաբար՝ Մեկ դոլարի առեղծված), հայտնի հանելուկ, որը ներառում է ոչ պաշտոնական մոլորություն։ Այն հասնում է մինչև 1930–ական թվականներ, սակայն նմանատիպ հանելուկները շատ ավելի հին են։

Չնայած ձևակերպումը և յուրահատկությունները կարող են փոփոխվել, սակայն հանելուկի իմաստը սա է․

Երեք հոգի  ճաշում են ռեստորանում։ Ճաշի ավարտին խնդրում են հաշիվը։ Այն կազմել էր 30․000 դրամ։ Յուրաքանչյուրը վճարում է 10․000–ական դրամ։ Մատուցողը գումարը տալիս է սպասավորին, սակայն վերջինս նկատում է, որ հաշիվը իրականում 25․000 դրամ է կազմում։ Մատուցողը 5000 դրամը վերադարձնում է սպասավորին, ով իր հերթին պետք է գումարը բաժանի երեք հավասար մասերի և վերադարձնի հաճախորդներին։ Ճանապարհին սպասավորը հասկանում է, որ չի կարող այն բաժանել երեք հավասար մասերի և ըստ այդմ որոշում է 1000–ական դրամ տալ յուրաքանչյուրին և 2000 դրամը պահել իրեն։ Հենց այստեղ էլ կայանում է առեղծվածը։ Արդյունքում յուրաքանչյուր անձ վճարում է 9000 դրամ, որին գումարելով սպասավորի մոտ մնացած 2000 դրամը՝ ստացվում է 9000*3=27.000+2000=29.000։ Ի՞նչ է պատահել վճարված 1000 դրամի հետ։

Լուծում 
Այս առեղծվածի մոլորությունը նկարագրության վերջում է, որտեղ մի խումբ իրար կապ չունեցող հաշիվներ հաջորդում են միմյանց, և լսողը կարծում է, որ այս թվերը պետք  է ավելացնեն 30–ին։ Իրականում կարիք անել այն։ Հանելուկի մեջ հաշվվող գումարը հետևյալն է՝

Գումար=  9․000 դրամ (մեկ հոգու վճար (1) +
                  9․000 դրամ (մեկ հոգու վճար (2) +
                  9․000 դրամ (մեկ հոգու վճար (3) +
                  2․000 դրամ (սպասավորի մոտ եղած գումարը)  

Այստեղ անհրաժեշտ է գիտակցել, որ սա այն գումարը չէ, ինչ երեք հոգին վճարել են։ Ընդհակառակը, սա այն գումարն է, որ մարդիկ կարող էին ամենաքիչը վճարել (9․000 դրամ * 3 հոգի = 27․000 դրամ) և դրան ավելացրած մոտ եղած ավելացված գումարը։ Այլ կերպ ասած՝ 27․000 դրամն արդեն ներառում է սպասավորի մոտ եղած գումարը։ Ավելացնելով ևս 2․000 դրամ, ստացվում է կրկնապատկել հաշիվը։ Այսինքն՝ երեք հոգու վճարած գումարը և սպասավորի մոտ եղած գումարը միասին արդեն իսկ կազմում է 27․000 դրամ։ Յուրաքանչյուրն ունի հետ վերադարձված 1000–ական դրամ և հետևաբար ընդհանուր՝ 3000 դրամ։ Այս 3000 դրամն ավելացնելով 27․000–ին կկազմի 30․000 դրամ։ Արդյունքում ստանում ենք հետևյալ պատկերը՝

30.000 դրամ = 1000 դրամ (մեկ հոգում վերադարձված գումարը) +
                      1000 դրամ (մեկ հոգում վերադարձված գումարը) +
                      1000 դրամ (մեկ հոգում վերադարձված գումարը) +
                      2000 դրամ (սպասավորի մոտ մնացած գումարը) +
                      25.000 դրամ (ճաշի համար վճարված գումարը) 
Ինչպես տեսնում ենք վերջնական գումարն իրոք կազմում է 30.000 դրամ։

Պատմություն 

Այս հանելուկի բազմաթիվ տարբերակներ կան։ Պրոֆեսոր Դեյվիդ Սինմասթերը իր "Հետաքրքրաշարժ մաթեմատիկայի ժամանակագրությունում" առաջարկում է նման ապակողմնորոշող մաթեմատիկական խնդիրներ, որոնք ծագել են 18–րդ դարում հայտնի մի խնդրից։ Այն հրատարակվել է 1751 թվականին և վերահրապարակվել՝ 1860 թվականին։ Այն ուներ հետևյալ տեսքը՝ Եթե 120–ից հանենք 48, կմնա 72 և  91–ից հանելով 72–ը, կմնա 19։ 19–ից հանելով 7, կստացվի 12։ Ո՞ր թիվն է, որից հանելով 48, 72, 19 և 7, կստացվի 12։ Սինգմաստերը ավելացնում է «թեև սա նման չէ հանման խնդիրներին, սակայն հանելին և մնացորդը դարձնում են դրա նման»։ 1880 թվականի խնդիրն ասում էր՝ «Բարտելը ոսկերչական խանութում տեսնում է երկու տուփ, որոնցից մեկը արժեր 100, մյուսը  200 դոլար։ նա գնում է էժանը և գնում տուն, որտեղ հասկանում է, որ իրականում նախընտրում է մյուսը։ Վերադառնալով ոսկերչի մոտ, նրան հետ է տալիս իր գնած տուփը և ասում, որ վաճառողն արդեն ունի 100 դոլար և դրան ավելացրած հետ վերադարձած տուփը ստացվում է 200 դոլար։ Ոսկերիչ վաճառողը համաձայնում է և բարտելին տալիս  200 դոլար արժողության տուփը։ Արդյո՞ք սա ճիշտ քայլ էր»։ Մեկ այլ տարբերակ առաջարկել է Սեսիլ Բ․-ն 1933 թվականին։ Մի մարդ բանկային իր հաշվում դնում է 50 դոլար։ Ավելի ուշ հանում է 20 դոլար և մնում է 30 դոլար։ Մի քանի օր հետո հանում է 15-ը, թողնելով բանկային հաշվում  15 դոլար։ Ապա հանում է ևս 9, ապա 6 դոլար և արդյունքում հաշիվը սպառվում է։ Սակայն 30+15+6=51: Որտեղի՞ց է այդ լրացուցիչ 1 դոլարն ավելանում։

1933 թվականին մեկ այլ տարբերակ է առաջարկել Ռ.Մ. Աբրահամը, ով ներկայացնում էր այլ մոտեցում։ «Ճանապարհորդը Նյու Յորք վերադառնալու ժամանակ, պարզում է, որ իր մոտ միայն 10 դոլարի փոստային պատվեր է մնացել և որ իր գնացքի տոմսի արժեքը 7 դոլար է։ Տոմսավաճառը մերժում է գումարը ստանալ։ Ճանապարհորդը որոշում է գնալ գրավատուն և վերցնել 7 դոլար։ Կայարան վերադառնալու ճանապարհին նա հանդիպում է իր ընկերոջն օգնելու համար (գումարը գրավատուն հետ վերադարձնելու խնդիրը լուծելու համար) գնում է տոմսը 7 դոլարով։ Արդյունքում ստացվում է, որ ճանապարհորդը գնել է տոմս և միառժամանակ պահպանել 7 դոլարը։ Ո՞վ է իրականում կորուստ ունեցել։

Նմանտիպ շատ այլ խնդիրներ կան, որոնք գրեթե նույնությամբ վերարդատրում են վերը նշված՝ ռեստորանի խնդիրը։

Տես նաև 
 Կորած քառակուսու հանելուկ

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
Snopes page: "Մեկ դոլարի առեղծավծ"
Հոգեբանությունն այսօր։ "Ուր է կորած մեկ դոլարը?"

Մաթեմատիկական պարադոքսներ
Տրամաբանական սխալներ
1930-ականների հիմնադրումներ