Ածանցման կանոններ

Այս հոդվածում ներկայացված է մաթեմատիկական անալիզում ֆունկցիայի ածանցման հիմնական կանոնները։

Ածանցման տարրական կանոններ 

Եթե հատուկ նշված չէ, ապա ցանկի ֆունկցիաները համարվում են իրական փոփոխականով և իրական արժեքով ֆունկցիաները, չնայած, ընդհանուր առամաբ այս բանաձևերը ճիշտ են, եթե այդ կետերում ֆունկցիաները լավ սահմանված են՝ ներառյալ կոմպլեքս թվերի դեպքում։

Ածանցումը գծային է

Կամայական  և  ֆունկցիաների և  և  իրական թվերի համար  ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ -ի հավասար է՝

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Մասնավոր դեպքեր․

 Հաստատում արտադրիչի կանոն՝

 Գումարման կանոն՝

 Հանման կանոն՝

Բազմապատկման կանոն

Կամայական f և g ֆունկցիաների համար h(x) = f(x) g(x) ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ x-ի հավասար է՝

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոն

 ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է՝

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

որը հաճախ կրճատ գրվում է որպես

Դիֆերենցումը որպես  արտապատկերում դիտարկելու դեպքում բանաձևը հնարավոր է ներկայացնել ավելի պարզ տեսքով՝

Հակադարձ ֆունկցիայի օրենք

Եթե  ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան -ն է, այսինքն՝  և  ապա

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Աստիճանի կանոններ, բազմանդամներ, քանորդներ և հակադարձի կանոն

Բազմանդամի ածանցիալ

Եթե, որտեղ  ապա 

Երբ  սա ապա  հետևաբար՝ ։

Այս, գումարման և հաստատունով բազմապատկման կանոնի միջոցով հնարավոր է հաշվել կամայական բազմանդամի ածանցիալ։

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոն
Կամայական չանհետացող  ֆունցիայի դեպքում  ֆունցկայի ածանցյալն է՝

 որտեղ -ը զրոյական չէ։

Լայբնիցի նշանակմամաբ այս բանաձը կստանա հետևյալ տեսքը՝

Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը կարելի է ստանալ կամ քանորդի կանոնից կամ աստիճանի կանոնի և բարդ ֆունկցիայի կանոնի համադրությամբ։

Քանորդների կանոն
Եթե  և  ֆունկցիաների համար
 որտեղ -ը զրոյական չէ։ 

Սա կարելի է ստանալ բազմապատկման և հակադարձ ֆունկցիաների կանոնից։

Ընդհանուր աստիճանային կանոն

Տարրական աստիճանային կանոնը կարող է ընդհանրացվել։ Ամենաընդհանուր աստիճանային կանոնը ֆունկցիոնալ աստիճանային կանոնն է․ կամայական  և  ֆունկցիաների համար՝

եթե երկու կողմն էլ լավ սահմանված են։

Հատուկ դեպքերից են՝
 եթե , ապա երբ -ն տարբեր է զրոյից իսկ -ը՝ դրական։
 Հակադարձ ֆունկցիայի կանոնը այս դեպքում կարելի է դիտարկել որպես սրա մասնավոր դեպք, երբ ։

Լոգարիթմական և ցուցչային ֆունկցիաների ածանցյալներ 

այս հավասարումը ճիշտ է կամայական -ի համար, բայց  դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

վերևում նշված հավասարումը ճիշտ է կամայական  թիվի համար, բայց   դեպքում ածանցյալը կոմպլեքս թիվ է։

Լոգարիթմական ածանցյալ

Լոգարիթմական ածանցյալը ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցման կանոնը այլ կերպ նշելու ձև է (բարդ ֆունկցյաի ածանցման կանոնով)․
 եթե -ը դրական է։

Լոգարիթմական ածանցյալի մեթոդի միջոցով հնարավոր է նախքան ածանցումը լոգարիթմի և դրա ածանցման կանոնների միջոցով պարզեցնել որոշակի արտահայտություններ։  Լոգարիթմների միջոցով հնարավոր է ազատվել ցուցիչներից, արտադրյալը վերածել գումարի, բաժանումը՝ հանման, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է պարզեցնել հետագա ածանցումը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ 

Ընդունված է սահմանել երկու արգումենտով արկտանգես ֆունկցիա՝ ։ Այս ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են  միջակայքում և արտահայտում է  կետի քառորդը։ Առաջին և չորրորդ քառորդների համար (այսինքն՝ ) ։ Այս ֆունկցայի մասնակի ածանցյալներն են՝

Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Հատուկ ֆունկցիաների ածանցյալներ

Տես նաև 

Վեկտորական անալիզի բանաձևեր
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա

Ծանոթագրություններ

Գրականություն
Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց
Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, .
The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, .
Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, 
NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, .

Դիֆերենցիալ հաշիվ
Ցանկեր:Մաթեմատիկա