Նաբլա օպերատոր

Նաբլա օպերատոր (Համիլտոնի օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, վեկտորական դիֆֆերենցիալ օպերատոր, որի բաղադրիչները, ըստ կոորդինատների, մասնակի ածանցյալներ են։ Նշանակվում է  (նաբլա) սիմվոլով։

Էվկլիդյան եռաչափ տարածության մեջ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատական համակարգում նաբլա օպերատորը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

որտեղ  -ն համապատասխանաբար   առանցքների միավոր վեկտորներն են։

Օգտագործվում է նաև հետևյալ գրառման ձևը՝
 
Նաբլա օպերատորի միջոցով բնական ճանապարհով ներկայացվում են վեկտորական անալիզի հիմնական հետևյալ գործողությունները՝ grad (գրադիենտ), div (դիվերգենցիա), rot (ռոտոր), ինչպես նաև Լապլասի օպերատորը։

Ներկայացված ձևով լայնորեն օգտագործվում է ֆիզիկայում և մաթեմատիկայում։

n-չափանի նաբլա օպերատոր հասկացության տակ հասկանում են n-չափանի տարածության մեջ գտնվող հետևյալ վեկտորը՝
 , որտեղ  վեկտորները համապատասխանաբար առանցքների միավոր վեկտորներն են։
Երբեմն նաբլա օպերատորի վերևում դրվում է սլաք՝ , օպերատորի վեկտորական բնույթն ընդգծելու համար։ Իմաստային առումով այն ոչնչով չի տարբերվում 
 Երբեմն (երբ խոսքը վերաբերում է սկալյար ֆունկցիաների հետ աշխատանքին), նաբլա օպերատորը անվանում են գրադիենտի օպերատոր:
 Դիտողություն՝ ֆիզիկայում մեր ժամանակներում Համիլտոնի օպերատոր անվանումը աշխատում են չօգտագործել, հատկապես քվանտային ֆիզիկայում, երբ հնարավոր է նաբլա օպերատորը շփոթել քվանտային համիլտոնյանի հետ, որը, ի տարբերություն դասական ֆիզիկայի, քվանտային ֆիզիկայում ունի օպերատորային բնույթ։

Նաբլա օպերատորի հատկությունները 
Այս օպերատորը իմաստ է ստանում, երբ գործածվում է սկալյար կամ վեկտորական ֆունկցիաների նկատմամբ։

Եթե սկալյարապես բազմապատկենք -ն և -ն, կստացվի հետևյալը՝

որը իրենից ներկայացնում է  ֆունկցիայի գրադիենտը։

Եթե -ն և  վեկտորը սկալյարապես բազմապատկենք, կստացվի հետևյալը՝

,

այսինքն  վեկտորի դիվերգենցիան։

Եթե -ն և  վեկտորը վեկտորապես բազմապատկենք, կստացվի  վեկտորի ռոտորը՝
 
 Դիտողություն՝ երբեմն  -ի փոխարեն գրում են , իսկ -ի փոխարեն՝ :

-ը սկալյար օպերատոր է, որն անվանում են Լապլասի օպերատոր։ Այն նշվում է նաև սիմվոլով։ Լապլասի օպերատորը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գրվում է հետևյալ կերպ՝

:

Քանի որ նաբլա օպերատորը դիֆֆերենցիալ գործողություն է, կիրառման ժամանակ անհրաժեշտ է պահպանել ոչ միայն վեկտորական հանրահաշվի, այլև դիֆֆերենցման օրենքները։

Օրինակ՝

:

Այսինքն՝ ածանցյալ արտահայտությունը, որը կախված է երկու դաշտերից արտահայտությունների գումար է, որոնցից յուրաքանչյուրում դիֆֆերնցման է ենթարկվում դաշտերից միայն մեկը։

Կապված այն բանի հետ, թե նաբլա օպերատորը դաշտերից որի վրա է ազդում, ընդունված է համարել, որ յուրաքանչյուր օպերատոր գործում է իրենից աջ գտնվող արտահայտության վրա և չի ազդում իրենից ձախ գտնվող որևէ արտահայտության վրա։

Եթե անհրաժեշտ է, որ օպերատորը գործի իրենից ձախ գտնվող դաշտի վրա, որևէ կերպ նշում են համապատասխան դաշտը, օրինակ ուղղահայաց սլաք են դնում՝
 
Գրառման նման ձևը հաճախ օգտագործվում է միջանկյալ ձևափոխությունների մեջ։ Անհարմարություններից խուսափելու համար վերջնական պատասխանում աշխատում են ազատվել ուղղահայաց սլաքից։

Երկրորդ կարգի օպերատորներ 
Քանի որ կան վեկտորապես և սկալյարապես բազմապատկման տարբեր ձևեր կան նաբլա օպերատորի միջոցով հնարավոր է լինում դիֆֆերենցման տարբեր ձևեր ստանալ։ Վեկտորական և սկալյարապես բազմապատկումների շնորհիվ ստացվել են 2 -րդ կարգի հետևյալ 7 արտահայտությունները՝
 
 
 
 
 
 
 
 Բավականաչափ հարթ դաշտերի համար (երկու անգամ անընդհատ դիֆֆերենցելի) այդ օպերատորները անկախ չեն։
 Նրանցից երկուսը միշտ հավասար են 0-ի`

Երկուսը միշտ համընկնում են՝

Մնացած երեքը կապված են հետևյալ արտահայտությամբ՝

Եվս մեկը կարելի է ներկայացնել թենզորական ձևափոխության միջոցով՝

Պատմություն 

1853 թվականին Վ. Ռ. Համիլտոնը մտցրեց այդ օպերատորը և որպես սիմվոլ մտածեց  նշանը, որը շուռ տված Δ (դելտա) տառն է։ Համիլտոնն այն անվանել էր «ատլեդ» (դելտա բառը տառերի հակառակ հերթականությամբ), սակայն ավելի ուշ անգլիացի գիտնականները, որոնց թվում նաև Պ. Գ Հեվիսայդը սկսեցին այդ սիմվոլը անվանել «նաբլա», քանի որ այն արտաքնապես նման էր հին սիրիական նաբլա կոչվող երաժշտական գործիքին։ Օպերատորն անվանվեց Համիլտոնի օպերատոր կամ նաբլա օպերատոր։

Կարծիք կա, որ -ն փյունիկերեն լեզվի տառ է, որի առաջացումը կապված է տավիղի նմանվող երաժշտական գործիքի հետ։ «ναβλα»-ն (նաբլա) հին հուներենում նշանակում է «տավիղ»։

Օրինակ

Տես նաև 
 Նաբլա օպերատորը տարբեր կոորդինատական համակարգերում

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկական անալիզ
Մաթեմատիկական նշաններ
Թենզորական հաշիվ