Եռանկյան անհավասարություն

Եռանկյան անհավասարություն, երկրաչափության , ֆունկցիոնալ վերլուծության և դրանց առնչվող առարկաներում հեռավորության ինտուիտիվ հատկություններից մեկը։ Այն պնդում է, որ եռանկյան ցանկացած կողմի երկարությունը միշտ փոքր է, քան մյուս 2 կողմերի երկարությունների գումարը։ Եռանկյան անհավասարությունը  չափային տարածության, նորմայի և այլնի սահմանման մեջ, ներառված է որպես աքսիոմ։ Դա հաճախ նաև թեորեմ է հանդիսանում տարբեր տեսություններում։

Էվկլիդեսյան երկրաչափություն 

Դիցուք՝ տրված է   և  ընդորում   ստացվում է միայն այն դեպքում, երբ եռանկյան մեջ   գտնվում է   և  կետերի միջև, մի ուղղի վրա։

BD- ն՝ AB- ի շարունակությունն է (ըստ կառուցման):Ընդորում, β> α  և  AD> AC: Սակայն AD = AB + BD = AB + BC, այնպես, որ AB + BC> AC: Այս ապացույցը բերվում է Էվկլիդեսի տեսությունում( Գիրք 1)։

Ապացուցում է եռանկյան անհավասարությունը հետևյալ կերպ։ Նախ՝ ապացուցվում է թեորեմ այն մասին, որ եռանկյան արտաքին անկյունը մեծ է ներքին անկյունից, որը նրան կից չէ։ Դրանից բխում է թեորեմ,որ եռանկյունու մեծ կողմի հանդիպակած անկյունը մեծ է։ Հետագայում, օգտագործելով հակառակ եղանակը, մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ եռանկյան ավելի մեծ ներքին անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմը, և այս թեորեմից դուրս է բերում եռանկյան անհավասարությունը։

Նորմավորված տարածություն 
Դիցուք՝ ֊ն նորմավորված վեկտորական տարածությունն է, որտեղ  ֊ը կամայական բազմություն է իսկ  ֊ը ֊ի վրա որոշված նորմ։ Այդ դեպքում ըստ վերջինիս սահմանման ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը․

Մետրիկական տարածություն 

Դիցուք՝ ֊ն մետրիկական տարածություն է, որտեղ -ը կամայական բազմություն է, իսկ  -ն  -ի վրա որոշված մետրիկա։ Ըստ վերջինիս սահմանման

Տարբերակում և ընդհանրացում 
  Եռանկյան մեծ անհավասարություն

Եռանկյան հակառակ անհավասարություն 
Մետրական և նորմավորված տարածությունում եռանկյան անհավասարության հետևանքն է հանդիսանում հետևյալ անհավասարությունը․

Եռանկյան անհավասարությունը եռանիստ անկյան համար 
Ուռուցիկ եռանիստ անկյան յուրաքանչյուր հարթ անկյուն փոքր է մյուս երկու հարթ անկյունների գումարից։

Կետերի կամայական թիվ 
Նշանակենք ֊ով  և  կետերի հեռավորությունը։ Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը՝ ։ Անհավասարությունը ստացվում է երեք կետերի համար եռանկյան անհավասարությունը հաջորդաբար կիրառելով․

Ծանոթագրություններ 

Մետրիկական երկրաչափություն
Էվկլիդեսյան երկրաչափություն
Գծային հանրահաշվի թեորեմներ
Անհավասարություն (մաթեմատիկա)