Խմբեր

Դիցուք տրված է որևէ G բազմություն։ Ընդունված է ասել, որ այդ բազմության վրա սահմանված է գործողություն, եթե տրված է արտապատկերում GxG դեկարտյան արտադրյալից G բազմություն։ Այլ կերպ ասած G-ի տարրերի յուրաքանչյուր կարգավորված զույգին՝ (a,b) համապատասխանության մեջ է դրված միարժեքորեն որոշված G-ի որոշակի տարր։ (a,b)-ին համապատասխանող տարրը սովորաբար նշանակում են a×b-ով (կամ ուղղակի ab-ով, բաց թողնելով × նշանը) և ասում են, որ G բազմության վրա սահմանված է բազմապատկման գործողություն։

Սահմանում։ Դիցուք G բազմության վրա սահմանված է բազմապատկման գործողություն։ G բազմությունը  կոչվում է խումբ բազմապատկման գործողության նկատմամբ, եթե բավարարված են հետևյալ պայմանները․

 (ab)c = a(bc) - ասոցիատիվության պայման
 գոյություն ունի e տարր G-ից, այնպիսին որ ցանկացած a-ի համար G-ից ae = ea = a - միավոր տարրի գոյության պայման
 ցանկացած a G-ի համար, գոյություն ունի b տարր G-ից, այնպիսին որ ab = ba = e - հակադարձ տարրի գոյության պայման

Ասոցիատիվության պայմանից բխում է, որ եթե սկզբում հաշվենք ab-ն հետո արդյունքը բազմապատկենք c-ով կստանանք ճիշտ նույն բանն ինչ կստացվի, եթե սկզբում հաշվենք bc-ն և հետո արդյունքը ձախից բազմապատկենք a-ով։ Այսինքն կարելի է գրել ուղղակի abc առանց փակագծեր օգտագործելու, քանի որ արդյունքը կախված չէ հաշվման կարգից։

Երկրորդ պայմանն ասում է, որ գոյություն ունի մեկ հատուկ տարր, որը նշանակվում է e տառով և կոչվում է միավոր, որը բազմապատկելիս G բազմության որևէ տարրով արդյունքում տալիս է հենց այդ նույն տարրը (այսինքն միավորը խաղում է 1 թվի դերը)։ Միավոր տարրը միակն է։ Եթե ունենք 2 միավոր e1 և e2, ապա պարզ է, որ e1 = e1e2 = e2:

Երրորդ պայմանը հաստատում է, որ ամեն մի a տարրի համար G-ից, կգտնվի G-ի այնպիսի b տարր, որ ab = ba = e: Այդպիսի b-ն կոչվում է a-ի հակադարձ տարր և այն նշանակվում է a−1 նշանով (թեև ընդհանուր դեպքում որևէ կապ չունի թվի հակադարձի հետ)։ Պարզ է, որ a-ն էլ իր հերթին b-ի հակադարձն է։ Հակադարձը միակն է։ Եթե b1-ը և b2-ը a-ի հակադարձերն են, ապա b1 = b1(ab2) = (b1a)b2 = b2:

Եթե բացի (1)-(3) պայմաններից ճիշտ է նաև

4․ կամայական a, b տարրերի համար G-ից, ab = ba

պայմանը, ապա G խումբը կոչվում է տեղափոխելի կամ աբելյան։

Եթե ի սկզբանե ցանկանում են նշել, որ խումբը աբելյան է, բազմապատկման նշանի փոխարեն օգտագործում են գումարման + նշանը։ Այդ դեպքում միավոր տարրը նշանակվում է 0-ով, իսկ a-ի հակադարձը՝ -a-ով, և այն անվանվում է հակադիր։

G խմբի գործողությունը "բազմապատկում" անվանելը և ab-ով նշանակելն արդարացված է այն բանով, որ գործողության կանոնները շատ նման են թվերի բազմապատկման կանոններին (և թվերի բազմապատկումն իրոք խումբ է սահմանում ոչ զրոյական իրական թվերի բազմության վրա)։ Դա թույլ է տալիս գործել օգտվելով հարմար դարձած թվաբանության ավանդական բանաձևերից։ Օրինակ, եթե ընդունենք որ a0 = e և նշանակենք an-ով (բնական n թվի համար) n հատ a-երի արտադրյալը, իսկ a-n-ով n հատ a−1-երի արտադրյալը, ապա դյուրին է համոզվել, որ կամայական ամբողջ m և n  թվերի համար կիրառելի են հետևյալ ստանդարտ կանոննեևը․

anam = am+n

(am)n = amn