Կրկնակի ճոճանակներ

Կրկնակի ճոճանակ՝  ճոճանակ մեկ այլ ճոճանակին կպած,  ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի դինամիկական համակարգերի բնագավառում։  Կրկնակի  ճոճանակը հանդիսանում է պարզ ֆիզիկական համակարգ, որը ցուցաբերում է սկզբնական պայմաններից կախված, տարատեսակ դինամիկ վարք։ Ճոճանակի շարժումը ղեկավարվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներով։  Որոշ էներգիաների համար նրա շարժումը կարող ենք քաոսային համարել։

Վերլուծություն 
Կարելի է դիտարկել կրկնակի ճոճանակների մի քանի տարբերակներ՝ երկու օղակները կարող են լինել միատեսակ կամ ունենալ տարբեր զանգվածներ ու երկարություններ, նրանք կարող են լինել պարզ ճոճանակներ կամ ֆիզիկական ճոճանակներ,  շարժումը  կարող է տեղի ունենալ երեք չափումներով կամ սահմանափակված ուղղահայց հարթությամբ։ Հետագա վերլուծության ժամանակ օղակները ընտրված են այնպես, ինչպես  երկարությամբ և  զանգվածով միատեսակ ֆիզիկական ճոճանակներ, և նրանց շարժումը սահմանափակված է երկու չափումներով։ Ֆիզիկական ճոճանակի զանգվածը տեղաբաշխված է նրա ամբողջ երկարությամբ։ Եթե  զանգվածը բաշխված է հավասարաչափ, ապա յուրաքանչյուր օղակի զանգվածի կենտրոնը համընկնում է իր երկրաչափական կենտրոնի հետ և օղակը ունենում է այսպիսի իներցիայի մոմենտ ՝ այդ կետի համար։

Յուրաքանչյուր օղակի միջև եղած անկյունները կարելի է օգտագործել և ուղղահայց՝ որպես ընդհանրացված կոորդինատներ, որոշելով  համակարգի կոնֆիգուրացիայի տարածությունը։ Եթե դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետը դնենք առաջին ճոճանակի կախման կետում, ապա այդպիսի համակարգի զանգվածի կենտրոնը կգտնվի՝

իսկ մյուսինը՝

 

Այս ինֆորմացիան բավական է, որպեսզի գրառենք Լագրանժի հավասարումները։

Լագրանժյան 
Լագրանժյանը հանդիսանում է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերությունը՝
 
Առաջին գումարելին մարմնի զանգվածի կենտրոնի գծային կինետիկ էներգիան է, երկրորդ գումարելին յուրաքանչյուր առանցքի զանգվածի կենտրոնի պտտման կինետիկ էներգիան է։ Վերջին գումարելին մարմնի պոտենցիալ էներգիան համասեռ գրավիտացիոն դաշտում։ 
Համեմատելով կոորդինատներն ու խմբավորելով հավասարումները՝ կունենանք
 

Ամփոփված իմպուլները կարելի է այսպես գրել

 

Այս արտահայտությունները կարելի է ձևափոխել, որպեսզի ստացվի

 

Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներից ստացվող շարժման հավասարումները, կարելի է գրել որպես՝

 

Վերջին չորս հավասարումները հանդիսանում են տրվյալ ընթացիկ վիճակով ժամանակային համակարգի զարգացման բանաձևերն են։ Հնարավոր չէ առաջ անցնել և անալիտիկորեն ինտեգրել այդ հավասարումները, որպեսզի բանաձևեր ստանանք θ1 և θ2-ի համար, որպես ժամանակից ֆունկցիաներ։ Սակայն, հնարավոր է կատարել անդամային ինտեգրում, օգտագործելով Ռունգե-Կուտտեյի մեթոդը կամ համանման տեխնիկա։

Ծանոթագրություններ

Տես նաև 

 Double inverted pendulum
 Pendulum (mathematics)
 Mid-20th century physics textbooks use the term "double pendulum" to mean a single bob suspended from a string which is in turn suspended from a V-shaped string. This type of pendulum, which produces Lissajous curves, is now referred to as a Blackburn pendulum.

Գրականություն 

Animations and explanations of a double pendulum and a physical double pendulum (two square plates) by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
Interactive Open Source Physics JavaScript simulation with detailed equations double pendulum
Interactive Javascript simulation of a double pendulum
Double pendulum physics simulation from www.myphysicslab.com using open source JavaScript code
Simulation, equations and explanation of Rott's pendulum

 Double Pendulum Simulator - An open source simulator written in C++ using the Qt toolkit.
 Online Java simulator  of the Imaginary exhibition.

Ճոճանակներ
Քաոսի տեսություն