Պելի թիվ

Պելի թիվ, ամբողջ թիվ, երկուսից քառակուսի արմատին հավասար կոտորակների անվերջ շարքի մեջ մտնող, կոտորակների հայտարար։ Այդ շարքը սկսվում է հետևյալ կերպ  , այսինքն, Պելի առաջին թվերը ՝ 1, 2, 5, 12 և 29 են։ Այդ նույն շարքի համարիչ են համարվում Պելի թվերին համարժեք թվերի կեսը կամ Պել-Լյուկի թվերը՝ անվերջ շարք, որը սկսվում է 2, 6, 14, 34 և 82 -ով։

Պելի թվերը և Պել-Լյուկի թվերը կարող ենք հաշվել՝ ֆիբոնաչիի թվերի նման, ռեկուրենտ հարաբերակցությամբ, և երկու շարքն էլ աճում են էքսպոնենցիալ ձևով, արծաթե հատման աստիճանին համեմատական՝ ։

Բացի կոտորակային շղթայից, Պելի թվերը կարելի է օգտագործել նաև որոշ համակցված խնդիրների թվարկման համար։

Պելի թվերի շարքը հայտնի է հին ժամանականերից։ Ինչպես Պելի հավասարումը, այնպես էլ Պելի թվերը, Լենարդ Էյլերի կողմից, սխալմամբ են վերագրված Պելին։ Դրանք իրականում Լյուկի շարքերի հետևանքներն են հանդիսանում։

Պելի թվեր 
Պելի թվերը տրվում են ռեկուրենտ գծային հարաբերակցությամբ՝

 

և հանդիսանում են Լյուկի շարքի մասնավոր դեպք։

Պելի առաջին մի քանի թվերը
 , 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … ().

Պելի թվերը կարելի է արտահայտել հետևյալ բանաձևով՝
 

n-ի մեծ արժեքների դեպքում  տրված արտահայտության մեջ գլխավորում է, քանի որ, Պելի թվերը մոտավոր համեմատական են արծաթե հատման աստիճաններին, համանման ձևով՝ Ֆիբոնաչիի թվերը համեմատական են ոսկե հատմանը։

Հնարավոր է երրորդ սահմանումը, մատրիցայի ձևով

 

Շատ նույնություններ կարող են ապացուցվել այս սահմանումներով, օրինակ, Ֆիբոնաչիի թվերի համար Կասինի նույնությանը համանման նույնությունը, որպես մատրիցային ձևի հետևանք բանաձև։

Մոտարկում քառակուսի արմատ երկուսից 

Պելի թվերը պատմականորեն առաջացել են երկուսից քառակուսի արմատի մոտարկումից։ Եթե երկու x և y մեծ մբողջ թվերը տալիս են Պելի հավասարման լուծում,

 

ապա դրանց հարաբերությունը մոտրակումն է ։ Այդ տիպի մոտարկման շարքն է․
 

որտեղ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը Պելի թիվ է, իսկ համարիչը հավասար է Պելի թվի և իր նախորդի գումարին։ Այսպիսով, մոտարկումն ունի հետևյալ տեսքը .

  տեսքի մոտարկումները հայտնի էր Ք․ա երրորդ-չորրորդ դարերում Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներին։

Ք․ա. հինգերորդ դարի հունական մաթեմատիկոսները նույնպես գիտեին այդ մոտարկման մասին։ Պլատոնը(Plato) հղում է կատարում համարիչներին, որպես ռացիոնալ տրամագծեր։ Մեր թվարկության հինգերորդ դարում Թեոնոս Սմիրնացին օգտագործել է կողմ և տրամագիծ եզրերը, որպեսզի նկարագրի այդ շարքի հայտարարներն ու համարիչները։

Այդ մոտարկումները կարելի է ստանալ  շղթայական կոտորակից․

Պյութագորասի եռյակներ

a, b, c  կողմերով Պյութագորասի եռանկյան համար Մարտինեսը (Martin 1875) գրում է, որ Պելի թվերով կարելի է կառուցել պյութագորասյան եռյակ, որոնցում  a և b տարբերվում են մեկով։ Ապա կարելի է կառուցել համարյա հավասարասրուն եռանկյուն, որում եռյակն ունի հետևյալ տեսքը․
 

Պյութագորասի եռյակը ստացվում է հետևյալ կերպ․
 (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Հաշվարկներ և կապեր 
Այս աղյուսակը տալիս է մի քանի արծաթե հատումների առաջին աստիճանները  և դրա հետ կապված .

Գործակիցները իրենցից ներկայացնում են Պելի թվերի զուգորդող թվերը և հանդիսանում են հավասարման լուծումները։

Քառակուսի եռանկյուն թիվը՝ դա է, համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան թվերը հանդիսանում են ամբողջ լուծումներ,որտեղ ։

Այս աղյուսակը կենտ թվերի բաշխումը երկու համարյա հավասար մասերի։ Դրանք քառակուսի եռանկյուն թվեր են, եթե n զույգ է, և համարյա հավասարասրուն պյութագորասյան եռյակ, եթե n կենտ է։

Սահմանում
Պելի թվին կից թվերը և Պելի թվերին կից թվերը կարելի է ստանալ, մի քանի համարժեք ձևերով։

Աստիճան բարձրացնենք․

 

 

Որտեղից հետևում է․

 

և
 

զույգ ռեկուրենտ հարաբերություններ․

 
 

կամ մատրիցային ձևով․

 

Այսպիսով՝

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Թվերի տեսություն
Պարզ թվերի տեսություն
Ռեկուրսիա
Ամբողջ թվերի շարք
Շղթայական կոտորակներ