Լապլասի օպերատոր

Լապլասի օպերատոր (լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա։ Նշանակվում է տառով։

n-չափանի տարածությունում  ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
 : 
 Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ : 
 Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ : 
 Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է։

Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում 
 Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ  կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
 
 
 որտեղ -ն Լամեի գործակիցն է։

Գլանային կոորդինատներ 
 Գլանային կոորդինատներով`

Սֆերիկ կոորդինատներ 
 Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
  
 կամ
  
 Այն դեպքում, երբ n-չափանի տարածության մեջ է՝

Պարաբոլական կոորդինատներ 
 Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝

Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ 
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝

Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն 

 Դիցուք հարթ բազմաձև -ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և -ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է -ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
  .
-ով նշանակենք   մատրիցի էլեմենտները՝
 .

 տրված կոորդինատներով որոշվող  վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է  -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) X բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

 ,
 իսկ f  ֆունկցիայի գրադիենտի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
   
 Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը -ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
 
-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ։

Կիրառություն 
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է Լապլասի, Պուասոնի և ալիքային հավասարումները։

Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է էլեկտրադինամիկայում, քվանտային մեխանիկայում։

Վարիացիա և ընդհանրացում 
 Դալամբերի օպերատոր՝ հիպերբոլական հավասարումների համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ։
 Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝ վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում։

Տես նաև 

 Նաբլա օպերատոր
 Լապլասի հավասարում
 Հարմոնիկ ֆունկցիա
 Կիրխհոֆի մատրից

Արտաքին հղումներ 
 MathWorld description of Laplacian

Դիֆերենցիալ հաշիվ
Վեկտորական անալիզ