Դիոֆանտյան հավասարում

Մաթեմատիկայում Դիֆանտյան հավասարում, այնպիսի հավասարում է, որը պարունակում է սովորաբար երկու կամ ավելի անհայտ։ Ի տարբերություն սովորական գծային հավասարումների Դիոֆանտյան հավասարումների պահանջն է գտնել հավասարման այնպիսի լուծումներ, որոնք կպատկանեն ամբողջ թվերի բազմությանը։ Գծային դիֆանտանտային հավասարումը հիմնականում կազմվում է կամ զրոյական, կամ առաջին աստիճանի որոշակի միանդամների գումարից։ Ցուցչային Դիոֆանտյան հավասարումը մի այնպիսի հավասարում է, որում անհայտ կարող են հանդիսանալ նաև հավասարման ցուցիչները։

Դիոֆանտյան խնդիրներում հիմնականում տրված է լինում ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտներն են և պահանջվում է գտնել այնպիսի լուծումներ, որոնք կբավարարեն բոլոր հավասարումների պահանջներին։

«Դիոֆանտյան» բառը կապված է 3-րդ դարի ​​մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսին, ով նմանատիպ հավասարումների ուսումնասիրություններ է կատարել և առաջին մաթեմատիկոսներից էր, ով սկսեց հանրահաշվում օգտագործել, որոշակի սիմվոլներ։ Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը ուսումնասիրում է դիոֆանտյան հավասարումները, կոչվում է Դիոֆանտյան անալիզ։

Օրինակներ 
Բերված Դիոֆանտյան հավասարումներում , , , և   տառերը տրված են, որպես անհայտներ, իսկ մնացած տառերը հաստատուն են։

Գծային Դիոֆանտյան հավասարումներ

Մեկ հավասարում 
Պարզագույն Դիոֆանտյան հավասարումէ հանդիսանում հետևյալը՝ , որտեղ ,  և   տրված ամբողջ թվեր են։ Լուծումները բնութագրվում են հետևյալ թեորեմով՝
 Այս Դիոֆանտյան հավասարումը ունի լուծում  (որտեղ  և   տրված ամբողջ թվեր են) եթե միայն  թիվը հանդիսանում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար  և   թվերի համար, ավելին եթե  թվազույգը կարող է հանդիսանալ հավասարման լուծում, ապա հավասարման մյուս լուծումը ունի հետևյալ կազմությունը՝ , որտեղ  թիվը կամայական թիվ է, իսկ  և  թվերը քանորդ են հանդիսանում  և  թվերի(համապատասխանաբար) համար։

Չինական մնացորդի թեորեմ 
Չինական մնացորդի թեորեմը ներկայացնում է  մի շատ կարևոր դաս, որը բնութագրում է Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգը։ Դիցուք՝   թվերը և   փոխադարձաբար պարզ են և մեծ են մեկից, իսկ   թվերը  քանորդ,   թիվը հանդիսանա արտադրյալ . թվերի համար, ապա ըստ թեորեմի հավասարման լուծումների միջակայքը կպատկանի , ընդ որում՝

Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր 
Դիոֆանտյան հավասարումների համակարգեր կարելի է լուծել օգտվելով մատրիքսներից։ Օգտագործելով մատրիքսի գրառման ձևը համակարգում գտնվող յուրաքանչյուր հավասարման համար, կստանանք հետևյալը՝
 ,
որտեղ  -ն   չափի մատրիքս է, իսկ -ը և -ն ունեն համապատասխանաբար հետևյալ չափերը՝  և :

Վերը նշված հավասարումից բացի հաճախ օգտագործվում է նաև այս հավասարումը՝
 
Որտեղ   հավասար չէ զրոյի, իսկ   թիվը մեծ չէ -ից։ Բանաձևի մնացած բոլոր անդամները կարող են լինել զրոներ։ Հավասարումը երբեմն ներկայացվում է նաև այսպես՝
 .
ընդ որում՝
  for ,
  for :
Գրվածը համարժեք է հետևյալին. Տրված սյունակային մատրիքսը լուծում ունի որոշ  դրական ամբողջ թվերի համար, եթե միայն  հավասարումը որոշված է այնպիսի -ի համար, որ :

Եթե բանաձևում տեղադրենք տրված փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են՝  և  for , ապա մատրիքսը կունեա հետևյալ տեսքը՝
 
որտեղ   կամայական ամբողջ թվեր են։

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
 Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
 Diophantine Equation . From PlanetMath.
 Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009

Հավասարումներ
Թվերի տեսություն