Կանոնավոր բազմանիստ

Կանոնավոր բազմանիստ կամ պլատոնական մարմին, ուռուցիկ բազմանիստ, որը բաղկացած է կոնգրուենտ (ձևով և  չափով միանման՝ համընկնելի) կանոնավոր բազմանկյուններից (բոլոր կողմերը և բոլոր անկյունները հավասար են), յուրաքանչյուր գագաթի հարում են հավասար թվով նիստեր և օժտված է տարածական համաչափությամբ

Կանոնավոր բազմանիստերի ցանկ 
Եռաչափ էվկլիդեսյան տարածությունում գոյություն ունեն ընդամենը հինգ կանոնավոր բազմանիստեր.

Յուրաքանչյուր բազմանիստի անուն առաջացել է հունարենից և բաղկացած է երկու մասից։ Առաջին մասը ցույց է տալիս նիստերի քանակը, իսկ երկրորդ մասը հունարեն նիստ՝ «εδρο» բառն է։

Պատմություն 

Կանոնավոր բազմանիստերը հայտնի են եղել դեռ հին ժամանակներից։ Նրանց զարդաքանդակային պատկերները կարելի է գտնել շոտլանդական ուշ նեոլիթյան ժամանակաշրջանի տարբեր քարե կառույցների վրա, Պլատոնից ամենաքիչը 1000 տարի առաջ։ Քաղաքակրթության զարգացման վաղ շրջանի խաղոսկրերի վրա արդեն նշմարվում էին կանոնավոր բազմանիստերի ուրվագծերը։

Կանոնավոր բազմանիստերը նշանակալի չափով ուսումնասիրվել են հին հույների կողմից։ Որոշ աղբյուրներ (օրինակ՝ Պրոկլ Դիադոխոսը) նրանց բացահայտման պատիվը վերագրում են Պյութագորասին։ Ուրիշ հեղինակներ պնդում են, որ Պյութագորասին  հայտնի են եղել միայն քառանիստը (տետրաեդր), խորանարդը (հեքսաեդր) և տասերկուանիստը (դոդեկաեդր), իսկ ութանիստի (օկտաեդր) և քսանանիստի (իկոսաեդր)  հայտնագործման պատիվը պատկանում է Թեաիթեթուս Աթենացուն, ով Պլատոնի ժամանակակիցն էր։ Այնուամենայնիվ,  Թեաիթեթուս Աթենացին տվել է բոլոր հինգ կանոնավոր բազմանիստերի մաթեմատիկական բնութագիրը և առաջին հայտնի ապացույցն այն բանի, որ նրանք ուղիղ հինգն են։

Կանոնավոր բազմանիստերը խորությամբ ուսումնասիրել է հույն փիլիսոփա Պլատոնը և դրանց մասին գրել «Տիմեոս» աշխատությունում մ.թ.ա. 360 թվականին։ Այդ իսկ պատճառով էլ, ի պատիվ Պլատոնի,  կանոնավոր բազմանիստերը կոչվում են նաև պլատոնական մարմիններ։ «Տիմեոս» աշխատությունում բնության 4 տարերքները (հող, օդ, ջուր, կրակ) համապատասխանեցված են կոնկրետ կանոնավոր բազմանիստի՝ հողը  վեցանիստին (հեքսաեդր, խորանարդ), օդը ութանիստին (օկտաեդր), ջուրը քսանանիստին (իկոսաեդր) և կրակը քառանիստին (տետրաեդր)։ Այդպիսի համապատասխանությունը բացատրվում է նրանով, որ կրակի տաքությունը զգացվում է քառանիստի նման հստակ և սուր, օդը բաղկացած է փոքր, դժվարությամբ նշմարվող, ութանիստի նման հարթ մասնիկներից, ջուրը հոսում է փոքր գնդիկների նման, որոնց շատ համապատասխան է  քսանանիստը, իսկ հողը նման է ամուր վեցանիստի։ Բացի դրանից, ենթադրում են, որ  վեցանիստը միակ կանոնավոր բազմանիստն է, որի սալիկապատումը Էվկլիդեսյան հարթության վրա, համարժեք է Երկրի խտությանը։ Իսկ հինգերորդ էլեմենտի համար Պլատոնն անհասկանալիորեն նշել է.«... Աստված այն օգտագործեց ողջ  Տիեզերքում  համաստեղություններ տեղավորելու համար»։  Արիստոտելը, որպես հինգերորդ տարր, ավելացրեց եթերը, որից  կազմված էր երկինքը, թեպետ ամենևին հետաքրքրված չէր այն տասերկուանիստի հետ  համապատասխանեցնելում։ Էվկլիդեսն իր «Սկզբունքներ» -ի  13-րդ  մասում (գրքում) տվել է կանոնավոր բազմանիստների լիարժեք մաթեմատիկական նկարագրությունը։ Էվկլիդեսը նշել է  քառանիստի (տետրաեդր), ութանիստի (օկտաեդր), վեցանիստի (հեքսաեդր, խորանարդ), քսանանիստի (իկոսաեդր) և տասերկուանիստի (դոդեկաեդր) կառուցվածքը (ներկայացված է նշված հերթականությամբ), նրանցից յուրաքանչյուրին արտագծած գնդային մակերևույթի տրամագծի և բազմանիստի կողի հարաբերությունը։ Վերջում նշված է նաև, որ գոյություն չունեն այլ կանոնավոր բազմանիստեր։ Ըստ Անդրեաս Սպաիզերի, հինգ կանոնավոր բազմանիստերի կառուցումը հանդիսանում է դեդուկտիվ երկրաչափական համակարգի գլխավոր նպատակը, այն տեսքով,  ինչ տեսքով ստեղծվել է հույների կողմից և կանոնակարգվել  Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» -ում։ 16-րդ դարում գերմանացի աստղագետ Յոհան Կեպլերը փորձել է կապ ստեղծել կանոնավոր բազմանիստերի և այդ ժամանակ արդեն հայտնի Արեգակնային համակարգի հինգ մոլորակների միջև (բացառելով Երկիր մոլորակը)։ 1596 թվականին հրատարակված «Տիեզերքի առեղծվածը» (, ) գրքում Կեպլերը ներկայացրել է Արեգակնային համակարգի իր մոդելը։ Գրքում հինգ կանոնավոր բազմանկյունները տեղադրվում էին  իրար մեջ,  ներգծվում և արտագծվում գնդային մակերևույթին  և բաժանվում շարքի։ Վեց գնդային մակերևույթներից յուրաքանչյուրը համապատասխանում էր Մերկուրի (Փայլածու), Վեներա (Արյուսակ), Երկիր, Մարս (Հրատ), Յուպիտեր (Լուսնթագ), Սատուրն (Երևակ) մոլորակներից մեկին։ Կեպլերը ենթադրել է, որ այդ ժամանակ հայտնի վեց մոլորակների միջև եղած հեռավորությունների հարաբերությունը հնարավոր է բացատրել պլատոնական մարմինների դասավորվածությամբ։ Պլատոնական մարմինները դասավորված էին հետևյալ հերթականությամբ (ներսից դեպի դուրս)՝ ութանիստ, քսանանիստ, տասներկուանիստ, քառանիստ և վեցանիստ։ Ավելի ուշ, Կեպլերը հրաժարվեց իր նախնական գաղափարից, բայց նրա հետազոտությունները հիմք հանդիսացան  մոլորակների շարժման օրինաչափություննեը նկարագրող Կեպլերի երեք օրենքների ստեղծմանը, որոնք փոխեցին պատկերացումները ֆիզիկայի և աստղագիտության մասին, ինչպես նաև կանոնավոր աստղաձև բազմանիստերի՝ Կեպլեր-Պուասոնի մարմինների մասին։

Դեկարդյան կոորդինատներ
Ստորև ներկայացված են այն միավոր կանոնավոր բազմանիստերի գագաթների կոորդինատները, որոնց կենտրոնները գտնվում են դեկարդյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետում։ Աղյուսակում նշված  φ տառը ոսկե հատման հարաբերությունն է և հավասար է՝

  

Քառանիստի (տետրաեդր), տասերկուանիստի (դոդեկաեդր) և քսանանիստի (իկոսաեդր) կոորդինատները տրված են երկու տարածական դիրքով (կողմնորոշումով), որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում են նշանակման  կեսը և կոորդինատների տեղակայման տեղափոխությունը։ Այդ կոորդինատները ցույց են տալիս կանոնավոր բազմանիստերի միջև եղած որոշակի հարաբերություններ։

Համակցված (կոմբինատոր) հատկություններ 
Ուռուցիկ բազմանիստը կոչվում է կանոնավոր, եթե

 ուռուցիկ է,
 բոլոր նիստերն իրար հավասար կանոնավոր բազմանկյուններ են,
 յուրաքանչյուր գագաթից դուրս են  գալիս հավասար թվով կողեր։

Այդ իսկ պատճառով յուրաքանչյու կանոնավոր բազմանիստ կարելի է նշանակել  {p, q} պայմանանշանով, որտեղ р-ն յուրաքանչյուր նիստի կողմերի (նույն է, թե գագաթների) թիվն է, իսկ q-ն յուրաքանչյուր գագաթից դուրս եկող նիստերի (նույն է, թե կողերի) թիվն է։ {p, q} պայմանանշանը, որը կոչվում է Շլեֆլի սիմվոլ, տալիս է բազմանիստի համակցված նկարագրությունը։

Հինգ կանոնավոր բազմանիստերի Շլեֆլի սիմվոլը ներկայացված է ստորև բերված աղյուսակում։

Այս բազմանիստերի մասին եղած մնացած տեղեկությունները, ինչպիսիք բազմանիստերի գագաթների (V), կողերի (E) և նիստերիր (F) ընդհանուր քանակը, կարելի է որոշել  p և q թվերից։ Քանի որ յուրաքանչյուր կող միացնում է երկու գագաթ և կից նիստեր, ապա կստացվի հետևյալը.

Այս արժեքների միջեւ եղած մեկ այլ հարաբերություն ներկայացված է Էյլերի բնութագրով.

Այս կապերը կարելի է ներկայացնել շատ տարբեր ձևերով։ Միասին այս երեք հարաբերությունները միանշանակ որոշում են բազմանիստերի գագաթների (V), կողերի (E) և նիստերիր (F)  թիվը։

p-ի և q-ի արժեքների փոխանակումը փոխում է  բազմանիստերի գագաթների (V) և նիստերիր (F) արժեքների տեղերը, անփոփոխ թողնելով կողերի (E) թիվը։ Այս հատկության երկրաչափական մեկնաբանությունը կտրվի  ավելի հետո ներկայացվող Երկակի բազմանիստեր  բաժնում։

Կանոնավոր բազմանիստի մեկ նիստի կողերի թվի հարաբերությունը բազմանիստի գագաթների թվին հավասար է այդ բազմանիստի նիստերի թվի և մեկ գագաթից դուրս եկող կողերի թվի հարաբերությանը։ Քառանիստի (տետրաեդր) մոտ այդ հարաբերությունը կազմում է 4:3, վեցանիստի (հեքսաեդր, խորանարդ) և ութանիստի (օկտաեդր) մոտ՝ 2:1, տասերկուանիստի (դոդեկաեդր) և քսանանիստի (իկոսաեդր) մոտ՝ 4:1 :

Որպես փոխդասավորություն(կոնֆիգուրացիա)
Բազմանիստի տարրերը կարող են արտահայտված լինել փոխդասավորության մատրիցում։ Տողերը և սյուները համապատասխանում են գագաթներին, կողերին և նիստերին։ Անկյունագծով ներկայացված թվերը ցույց են տալիս բազմանիստում հանդիպող յուրաքանչյուր տարրի թիվը։ Անկյունագծով չդասավորված թվերը ցույց են տալիս, թե սյան քանի տարր է գտնվում տողի տարրին մեջ կամ մոտ։ Բազմանիստերի երկակի զույգերը ունեն մատրիցային փոխդասավորություն, որոնք միմյանց նկատմամբ շրջված են 180 աստիճան։

Դասակարգում 
Ըստ դասական տեսության, արդյունքն այն է, որ գոյություն ունեն միայն հինգ ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստեր։ Ստորև ներկայացված երկու ընդհանուր փաստարկները ցույց են տալիս, որ գոյություն կարող են ունենալ միայն հինգ պլատոնական մարմիններ։

Երկրաչափական ապացույց 

Հետևյալ երկրաչափական փաստարկը շատ նման է Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» -ում տրված հիմնավորմանը։

 Բազմանիստի յուրաքանչյուր գագաթից դուրս պետք է գա առնվազն երեք նիստ։
 Բազմանիստի յուրաքանչյուր գագաթի կից նիստերին համապատասխանող կողմերի անկյունների ընդհանուր չափը պետք է փոքր լինի 360°-ից։ 360°-ից պակաս չափը կոչվում է անկյան շեղում (դեֆեկտ)։
 Պլատոնյան մարմինների բոլոր նիստերի բոլոր գագաթների անկյուններն միատեսակ են և յուրաքանչյուր նիստի յուրաքանչյուր գագաթ պետք է ընդգրկի ավելի քիչ քան    = 120° .
Վեց կամ ավել անկյուններով կանոնավոր բազմանկյունների անկյունները 120° և ավելի են, այդ իսկ պատճառով նիստ կարող է լինել կանոնավոր եռանկյունը, քառակուսին կամ կանոնավոր հնգանկյունը։ Նշված տարբեր նիստերի համար կատարվում է հետևյալը. 
 Եռանկյուն նիստի յուրաքանչյուր գագաթ ունի 60° անկյուն, այդ իսկ պատճառով բազմանիստը կարող է ունենալ մեկ գագաթից դուրս եկող 3, 4 կամ 5 նիստեր։ Դրանք համապատասխանաբար քառանիստը (տետրաեդր), ութանիստը (օկտաեդր)  և քսանանիստն (իկոսաեդր) են։
 Քառակուսի նիստի յուրաքանչյուր գագաթ ունի 90° անկյուն, այդ իսկ պատճառով բազմանիստը կարող է ունենալ մեկ գագաթից դուրս եկող միայն երեք նիստեր։ Դա վեցանիստն (հեքսաեդր, խորանարդ) է։
 Հնգանկյուն նիստի յուրաքանչյուր գագաթ ունի 108° անկյուն, այդ իսկ պատճառով, այստեղ նույնպես, բազմանիստը կարող է ունենալ մեկ գագաթից դուրս եկող միայն երեք նիստեր։ Դա տասերկուանիստն (դոդեկաեդր) է։

Այս ամենը հնարավորություն է տալիս գոյություն ունենալ միայն հինգ կանոնավոր բազմանկյունների։

Տոպոլոգիական ապացույց 

Հստակ տոպոլոգիական ապացույց հնարավոր է իրականացնել միայն բազմանիստերի մասին համընդհանուր տեղեկությունների կիրառմամբ։ Հիմքում ընկած է Էյլերի բնութագիրը՝  V − E + F = 2, և այն փաստը, որ  pF = 2E = qV, որտեղ р-ն յուրաքանչյուր նիստի կողմերի թիվն է, իսկ q-ն յուրաքանչյուր գագաթից դուրս եկող նիստերի  թիվն է։ Ընդհանրացնելով այս հավասարումները կստացվի.

Պարզ հանրահաշվական ձևափոխությունից հետո կստացվի.

Քանի որ E -ն դարական է, ապա կստացվի.

Օգտագործելով այն փաստը, որ  p -ն և q -ն ամենաքիչը պետք է լինեն 3, կարելի է հեշտությամբ տեսնել, որ {p, q} -ի համար հնարավոր են միայն հետևյալ հինգ դեպքերը.

 {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Երկրաչափական հատկություններ

Անկյուններ 

Յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանիստ կապված է համապատասխան անկյունների հետ, որոնք բնութագրում են նրան։ Կանոնավոր բազմանիստերի՝ {p, q}, կից նիստերի կազմած երկնիստ անկյունը որոշվում է հետևյալ բանաձևով.

Այն երբեմն հարմար է կիրառել տանգենսով.

որտեղ h -ը (կոչվում է նաև Քոքսեթերի թիվ) քառանիստի, վեցանիստի, ութանիստի, տասերկուանիստի և քսանանիստի համար համապատասխանաբար ընդունում է 4, 6, 6, 10 և 10 արժեք։

Բազմանիստի գագաթի անկյունային շեղումը, դա 2-ի և այդ գագաթի յուրաքանչյուր նիստի կողմերի կազմած անկյունների գումարի տարբերությունն է։ Կանոնավոր բազմանիստերի՝ {p, q}, յուրաքանչյուր գագաթի δ անկյունային շեղումը հավասար է.

Ըստ Դեկարտի թեորեմի, այն հավասար է 4-ին, որը բաժանված է գագաթների թվին (այսինքն գումարային անկյունային շեղումը հավասար է 4-ի)։

Հարթ անկյան եռաչափ նմանօրինակը հանդիսանում է մարմնային անկյունը։ Կանոնավոր բազմանիստի գագաթի մարմնային Ω անկյունը արտահայտվում է այդ բազմանկյան կից նիստերի կազմած երկնիստ անկյան միջոցով հետևյալ կերպ.

Վերջինս հետևում է գնդոլորտային բազմանկյունների բանաձևից և այն փաստից, որ բազմանկյան՝ {p,q}, գագաթային մարմինը  կանոնավոր q -անկյուն բազմանկյուն է։

Կանոնավոր բազմանիստի նիստով ձգվող մարմնայի անկյունը, որի գագաթը բազմանիստի կենտրոնն է, հավասար է լրիվ գնդոլորտի (4ստեռադիան)  մարմնային անկյան, բաժանված գագաթների թվին։ Ուշադրություն դարձրեք այն փաստին, որ այն հավասար է նրա երկակի բազմանիստի անկյունային շեղմանը։

Կանոնավոր բազմանիստի տարբեր անկյուններ բերված են ստորև ներկայացվող աղյուսակում։ Մարմնային անկյունների ովային արժեքները տրված են ստեռադիաններով, իսկ φ -ն ոսկե հատման հաստատունն է։

Շառավիղներ, մակերեսներ և ծավալներ  
Յուրաքանչյուր կանոնավոր բազմանիստի հետ կապված է երեք համակենտրոն գնդային մակերևույթներ.

Արտագծած գնդային մակերևույթ, որն անցնում է բազմանիստի բոլոր գագաթներով,
Միջնագծած գնդային մակերևույթ, որը շոշափում է բազմանիստի յուրաքանչյուր կող միջնակետում,
Ներգծած գնդային մակերևույթ, որը շոշափում է բազմանիստի յուրաքանչյուր նիստ կենտրոնում։

Արտագծած () և ներգծած () գնդային մակերևույթների շառավիղների բանաձևերն են.

 
 

որտեղ θ -ն բազմանիստի կից նիստերի կազմած երկնիստ անկյունն է։  Միջնագծված (ρ) գնդային մակերևույթի շառավիղի բանաձևն է.

 

որտեղ h -ը  քառանիստի, վեցանիստի, ութանիստի, տասերկուանիստի և քսանանիստի համար համապատասխանաբար ընդունում է 4, 6, 6, 10 և 10 արժեք։ Արտագծած և ներգծած գնդային մակերևույթների շառավիղների հարաբերությունը համաչափ է p -ին և q -ին։

Կանոնավոր բազմանիստերի՝ {p, q}, մակերևույթի S մակերեսը որոշվում է  p -անկյուն բազմանկյան մակերեսի և նիստերի F թվի արտադրյալով. 

Կանոնավոր բազմանիստեր V ծավալը  որոշվում է  նիստերի թվի և կանոնավոր բուրգի ծավալի արտադրյալով, որի հիմքը p -անկյուն բազմանկյունն է, իսկ բարձրությունը՝ ներգծած գնդային մակերևույթի r շառավիղը։

 

Ստորև ներկայացված աղյուսակում բերված են կանոնավոր բազմանիստերի տարբեր շառավիղները, ինչպես նաև նրանց մակերեսները և ծավալները։ Նշված արժեքները հաշվարկված են կողի երկարությունը՝ а-ն, ընդունելով հավասար 2-ի։ 

Հաստատուններ φ-ը և ξ -ն տրվում են հետևյալ բանաձևերով.

Կանոնավոր բազմանիստերից ամենաշատը տասերկուանիստի և քսանանիստի մակերևույթի մակերեսներն են ձգտում գնդային մակերևույթի մակերեսին։ Քսանանիստն ամենաշատ թվով նիստեր և երկնիստ անկյուններ ունեցող բազմանիստն է և որին ամենաշատն է ձգտում ներգծած շրջանագիծը։ Բազմանիստի և նույն չափի (նույն չափի նշանակում է մկերևույթի մակերեսով կամ ծավալով հավասար) գնդոլորտի մակերևույթի մակերեսի և ծավալի հարաբերություններն ամենամոտն են։ Մյուս կողմից քսանանիստն ամենաքիչ անկյունային շեղում, գագաթին հարող ամենաշատ մարմնային անկյուններ և ատագծած գնդային մակերևույթն ամենաշատը լցնող բազմանիստն է։

Համաչափություն

Երկակի բազմանիստեր 

Յուրաքանչյուր բազմանիստ ունի իրեն համապատասխան երկակի (կամ «բևեռային») բազմանիստը, տեղափոխված նիստերով և գագաթներով։ Կանոնավոր բազմանիստին համապատասխանող երկակի բազմանիստը նույնպես կանոնավոր բազմանիստ է, և կարելի է այդ հինգ բազմանիստը դասավորել ըստ զույգերի։

 Քառանիստն ինքաերկակի բազմանիստ է, այսինքն նրա երկակին նույնպես քառանիստ է։
 Վեցանիստը և ութանիսը կազմում են երկակի բազմանիստերի զույգ։
 Տասերկուանիստը և Քսանանիսը նույնպես կազմում են երկակի բազմանիստերի զույգ։

Եթե բազմանիստի Շլեֆլիի սիմվոլը {p, q} է, ապա նրա երկակիինը կլինի {q, p}: Իրոք, յուրաքանչյուր բազմանիստի համակցված (կոմբինատոր) հատկություն կարելի է ներկայացնել որպես երկակի բազմանիստի մեկ այլ համակցված (կոմբինատոր) հատկություն։

Երկակի բազմանիստը կարելի է կառուցել, որպես գագաթներ վերցնելով սկզբնական բազմանիստի նիստերի կենտրոնները։ Միացնելով սկզբնական բազմանիստի կից նիստերի կենտրոնները, կստացվի երկակի բազմանիստի կողերը, դրանով իսկ տեղափոխելով նիստերի և գագաթների քանակները, անփոփոծ թողնելով կողերի թիվը։

Ընդհանրապես կանոնավոր բազմանիստի եկակիացումը կարելի է իրականացնել նրան համակենտրոն գնդոլորտի d տրամագծով:Բազմանիստին արտագծած, միջնագծած և ներգծած գնդային մակերևույթների շառավիղները՝  (R, ρ, r) և նրա երկակի բազմանիստին արտագծած, միջնագծած և ներգծած գնդային մակերևույթների շառավիղները՝(R*, ρ*, r*), ունեն հետևյալ կապը.

 

Ըստ միջնագծված գնդային մակերևույթի տրամագծի (d = ρ) երկակիացումն ավելի հարմար է, քանի որ այն երկակի բազմանիստերի համար անփոփոխ է։ Եթե վերցնել d 2 = Rr , ապա կստացվի նույն արտագծած և ներգծած շառավիղներով երկակի բազմանիստեր (R* = R  և r * = r):

Բազմաչափություն 

 Եռաչափից ավելի մեծ (n > 3) տարածություններում բազմանիստերը վեր են ածվում պոլիտոպների (էվկլիդեսյան հարթությունների բազմություն, որոնք  ներկայացված են  վերջավոր թվով միավորված սիմպլեքսների տեսքով), ընդ որում բազմաչափ տարածություններում ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերը համարժեք են պլատոնական մարմիններին։
19-րդ դարի կեսերին շվեցարացի մաթեմատիկոս Լյուդվիգ Շլեֆլին հայտնագործեց կանոնավոր բազմանիստերի քառաչափ համարժեքները, անվանելով ուռուցիկ քառաչափ կանոնավոր պոլիտոպներ։ 
Գոյություն ունեն ընդամենը վեց կանոնավոր քառաչափ բազմանիստեր։ Դրանցից  հինգը համարժեք են պլատոնական մարմիններին՝ հնգաբջիջը (պենտախոր) որպես {3,3,3}, տասվեցաբջիջը (հեքսադեկիախոր) որպես {3,3,4}, վեց հարյուրաբջիջը (հեքսակոսիխոր) որպես {3,3,5}, քառաչափ հիպերխորանարդը (տեսերակտ) որպես {4,3,3}, հարյուր քսանաբջիջը (հեկատոնիկոսախոր) որպես {5,3,3}, և վեցերորդը ինքնաերկակի քսանչորսաբջիջը (իկոսիտետրախորոս) որպես {3,4,3},

 Բոլոր n -չափանի տարածություններում՝ n > 4, գոյություն ունեն ընդամենը 3 տիպի կանոնավոր բազմանիստեր՝ n -չափանի սիմպլեքս (քառանիստ) որպես {3,3, ..., 3}, n -չափանի  վեցանիստ (հիպերխորանարդ)  որպես {4,3,...,3}  և  n -չափանի ութանիստ (հիպերօկտաեդր)  որպես {3,3,...,4}: Երեք տարածություններում նրանք համընկնում են  քառանիստի հետ որպես {3,3}, վեցանիստի հետ որպես {4,3} և ութանիստի հետ որպես {3,4}:

Տես նաև 
Կանոնավոր բազմանկյուն
Կիսականոնավոր բազմանիստ

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 

 
 Gardner, Martin(1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, University of Chicago Press, Chapter 1: The Five Platonic Solids
 Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature , Prestel USA. 

 Kepler. Johannes Strena seu de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake), 1611 paper by Kepler which discussed the reason for the six-angled shape of the snow crystals and the forms and symmetries in nature. Talks about platonic solids.
 

 
 
 Wildberg, Christian (1988). John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether.  Walter de Gruyter. pp. 11–12.

Արտաքին հղումներ 
Platonic solids at Encyclopaedia of Mathematics
Book XIII of Euclid's Elements.
Interactive 3D Polyhedra in Java
Solid Body Viewer  is an interactive 3D polyhedron viewer which allows you to save the model in svg, stl or obj format.
Interactive Folding/Unfolding Platonic Solids  in Java
Paper models of the Platonic solids created using nets generated by Stella software
Platonic Solids Free paper models(nets)
 
Teaching Math with Art student-created models
Teaching Math with Art teacher instructions for making models
Frames of Platonic Solids images of algebraic surfaces
Platonic Solids with some formula derivations
How to make four platonic solids from a cube

Երկրաչափություն
Կանոնավոր բազմանիստեր
Կոմբինատորային երկրաչափություն