Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին),  պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին, սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում։

Ձեւակերպումը 
Դիցուք,  - ը  զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

 եթե  վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա ;

 եթե , ապա ;

 եթե վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա :

Ապացույց 
 Դիցուք, .

Եթե  այնպիսի կետ է, որ , ապա   եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի  թիվ, որ գրեթե բոլոր -երի համար տեղի ունենա  անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ  երկրաչափական պրոգրեսիան  շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ :

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե  բավարարում է  պայմանին, ապա  եւ անվերջ թվով   համարների համար տեղի կունենա     անհավասարությունը։ Հետեւաբար,  շարքը   կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

 Դիցուք, : Այս դեպքում ցանկացած  -ի համար  հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։  Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք  թիվ, ապա գրեթե բոլոր  համարների համար տեղի կունենա  անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ  դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը  կետում։ Ֆորմալ՝ :

  վերին սահմանը  - ում գոյություն չունի (այսինքն,  ֆորմալ՝ ) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ  հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե , ապա անսահմանափակ է նաեւ հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝   շարքը  կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ  դեպքում  շարքը զուգամիտում է -ի։  Վերջնական՝  (այսինքն, ֆորմալ՝ , փաստացի՝ ):

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971

Կոմպլեքս անալիզ
Մաթեմատիկական անալիզի թեորեմներ
Շարքեր