Ռիկատիի հավասարում

Ռիկատիի հավասարում, 1-ին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ունեն հետևյալ տեսքը՝
 
Ռիկատիի հավասարումներ է կոչվում նաև -ի բազմաչափ անալոգը, այսինքն  անկախ փոփոխականներով սովորական դիֆֆերենցիալ հավասարումների համակարգը։ Այս դեպքում հավասարման աջ մասը  գործակցից կախված  փոփոխականների երկրորդ կարգի բազմանդամ է։

Համասեռ, միաչափ Ռիկատիի հավասարումը կիրառում են մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում՝ գծային հանրահաշվի մեջ, համիլտոնյան համակարգերում, վարիացիոն հաշիվներում, կոնֆորմ արտապատկերումներում, դաշտի քվանտային տեսությունում։

Պատմություն 
Հավասարման մասնավոր դեպք է հանդիսանում հետևյալը՝
 
որտեղ -ն հաստատուններ են, որոնք հետազոտվել են իտալացի մաթեմատիկոս Յակոպո Ֆրանչեսկո Ռիկատիի և Բեռնուլի ընտանիքի (Դանիել, Յոհան, Նիկոլայ կրտսեր և Նիկոլայ ավագ) կողմից։

Նրանց կողմից է հայտնաբերվել նաև այն պայմանը, ըստ որի թույլատրվում է փոփոխականների անջատումը և, հետևաբար,  կամ քառակուսով ինտեգրումը թույլատրելի է։

Ընդհանուր լուծումը տրվում է գլանային կոորդինատներով։

 հավասարումը հաճախ անվանում են Ռիկատիի ընդհանուր հավասարում, իսկ -ն՝ Ռիկատիի հատուկ հավասարում։

Հատկություններ 
 Ռիկատիի հավասարումը  դեպքում գծային է և քառակուսով ինտեգրելի է։
 Ռիկատիի հավասարումը  դեպքում վերածվում է Բեռնուլիի հավասարման և քառակուսով ինտեգրելի է, եթե կատարվում է  փոխարինումը։
 Ռիկատիի հավասարման ընդհանուր լուծումը ինտեգրման հաստատունից կախված կոտորակագծային ֆունկցիա է։ Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ցանկացած առաջին կարգի դիֆֆենցիալ հավասարում, որը բավարարում է այս պայմանին, համարվում է Ռիկատիի հավասարում։
 Եթե -երը Ռիկատիի հավասրաման մասնակի լուծումներն են, որոնք համապատասխանում են  ինտեգրման հաստատուններին, ապա տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝
 
  հավասարության ձախ մասը մասնավոր լուծումների կրկնակի կապակցություն է։ Այն համարվում է Ռիկատիի հավասարման առաջին ինտեգրալը։ Այսպիսով, հավասրաման ընդհանուր լուծումը վերականգվում է  մասնակի լուծումների 3 անկախ մասերով։

Ընդհանրացում 
Ռիկատիի մատրիցային հավասարում է անվանվում հետևյալ դիֆֆերենցիալ հավասարումը՝
 
Այն կախված է -րդ կարգի -ից, որտեղ -ն -րդ կարգի տրված քառակուսային մատրիցներ են, որոնք կախված են փոփոխական  գործակիցներից։

Վարիացիոն հաշիվներում կարևոր դեր է կատարում Ռիկատիի մատրիցային հավասարման հետևյալ տեսքը՝
 ,  այն իրենից ներկայացնում է -րդ կարգի  քառակուսային մատրիցից կախվածություն, որտեղ -ն  փոփոխական գործակիցներից կախված -րդ կարգի քառակուսային մատրիցներ են։ Ընդ որում :  Այն կապված է Յակոբի հավասարման հետ, որը տրվում է հետևյալ ինտեգրալային ֆունկցիոնալի  հաստատուն կետում երկրորդ վարիացիայի համար՝:
 Այդ դեպքում մատրիցները ստացվում են հետևյալ կերպ՝

 :

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
 Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
 Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.

Արտաքին հղումներ 
 Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
 Eq. World: General Riccati equation

Մաթեմատիկական անալիզ
Դիֆերենցիալ հավասարումներ