Ռիմանի զետա ֆունկցիա

Ռիմանի զետա ֆունկցիան կամ Էյլեր-Ռիմանի զետա ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա, սահմանված ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, որը հետևյալ Դիրիխլեի շարքի անալիտիկ շարունակությունն է.

 

Այս շարքը զուգամետ է  -ի միայն այն արժեքների համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.
-ի այլ  արժեքների համար Ֆունկցիայի  ավելի ընդհանուր ներկայացումները տրված են ստորև։ Զետա ֆունկցիան էական դեր է խաղում անալիտիկ թվերի տեսությունում և ունի բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում, հավանականությունների տեսությունում ինչպես նաև կիրառական ստատիստիկայում։

Որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիա այն առաջինը սահմանվել և ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Բեռնարդ Ռիմանի կողմից 1859 թվականին հրապարակվել է հայտնի Ռիմանի մենագրությունը՝ "Տրված թիվը չգերազանցող պարզ թվերի քանակի մասին" վերնագրով։ Այդ հոդվածում Էյլերի սահմանած ֆունկցիան ընդլայնվել է կոմպլեքս փոփոխականների համար, կառուցվել է դրա մերոմորֆ շարունակությունը ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, ապացուցվել է ֆունկցիոնալ հավասարումը ինչպես նաև ցույց է տրվել այդ ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների և պարզ թվերի բաշխման առնչությունը։

Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արժեքները դրական զույգ կետերում հաշվվել են դեռ Էյլերի կողմից։ Դրանցից առաջինը՝  -ը, այսպես կոչված, Բասելի խնդրի պատասխանն է։ Հետագայում՝ 1979 թվականին Ապերին ապացուցել է -ի իռացիոնալությունը։ Էյլերին հայտնի են եղել նաև զետա ֆունկցիայի արժեքները բացասական ամբողջ կետերում։ Դրանք ռացիոնալ թվեր են և էական դեր են խաղում մոդուլյար ձևերի տեսության մեջ։ Գոյություն ունեն Ռիմանի զետա ֆունկցիայի տարատեսակ ընդհանրացումներ. Դիրիխլեի շարքերը, Դիրիխլեի L-ֆունկցիաները ինչպես նաև մի շարք այլ L-ֆունկցիաներ։

Սահմանում 
Հակառակ այլ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների համար ընդունված նշանակմանը՝ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արգումենտը սովորաբար նշանակում են , որտեղ -ն և -ն -ի համապատասխանաբար իրական և կեղծ մասերն են։ 

Հետևյալ շարքը զուգամիտում է բոլոր s կոմպլեքս թվերի համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

 

Այդպիսի s-երի համար զետա ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է որպես շարքի գումարը։ Փոփոխականի նույն արժեքների համար զետա ֆունկցիայի համարժեք սահմանում կարելի է համարել հետևյալ ինտեգրալը.

 

որտեղ
 

հայտնի գամմա ֆունկցիան է։

Պարզվում է այս ֆունկցիան կարելի է մերոմորֆ կերպով շարունակել ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Երբ -ը մոտենում է 1 կետին, զետա ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է հարմոնիկ շարքի գումարին, այդպիսով՝  կետը հանդիսանում է այս ֆունկցիայի բևեռ։ Այն ֆունկցիայի միակ բևեռն է և այդ կետում 

 

Այսպիսով՝ զետա ֆունկցիան մերոմորֆ ֆունկցիա է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Այն ունի միակ պարզ բևեռ՝  և այդ կետում մնացքը հավասար է 1-ի։

Ծանոթագրություններ 

Թվերի անալիտիկ տեսություն