Մաթեմատիկան Հին Հունաստանում



Ներածություն 
Հին հռոմեական մաթեմատիկա հասկացությունը ընդգրկում է այն հունալեզու մաթեմատիկոսների նվաճումները, որոնք ապրել են Ք․ ա. VI դարից մինչև  V դար։

Մաթեմատիկան՝ որպես գիտություն, ծնվել է Հին Հունաստանում։ Էլլադայի ժամանակակից երկրներում մաթեմատիկան օգտագործվում էր և կենցաղում և մոգական ծիսակատարություններում, որոնց նպատակը աստվածների կամքը բացահայտելն էր (աստղագուշակություն կամ թվերով գուշակություն)։ Հույները այլ մոտեցում ցուցաբերեցին և առաջ քաշեցին «Թվերն են կառավարում աշխարհը» վարկածը, կամ ինչպես ձևակերպեց 2000 տարի հետո Գալիլեյը՝ «Մաթեմատիկայի լեզվով գրված բնության գիրք»։

Հույները ստուգեցին այդ վարկածի ճշմարտացիությունն այն ոլորտներում որտեղ կարողացան։ Սկզբում, աստղագիտությունում, օպտիկայում, երաժշտությունում, երկրաչափությունում, հետո նաև՝ մեխանիկայում։ Ամեն տեղ նկատվեցին տպավորիչ հաջողություններ։ Մաթեմատիկական մոդելը օժտված էր անհերքելի կանխագուշակող ուժով։ Միաժամանակ հույները ստեղծեցին մաթեմատիկայի մեթոդաբանությունը  և  մաթեմատիկան «կիսաէվրիդիկ ալգորիթմից» դարձրեցին գիտելիքների ամբողջական համակարգ։ Այդ համակարգի հիմք հանդիսացավ դեդուկտիվ մեթոդը, որը ցույց էր տալիս թե ինչպես արդեն հայտնի ճշմարտությունից դուրս բերել նորը, իսկ  դուրսբերման տրամաբանությանը ապահովում էր նոր արդյունքների ճշմարտացիությունը։ Դեդուկտիվ մեթոդը թույլ էր տալիս նաև բացահայտել ոչ ակնհայտ կապերը հասկացությունների, գիտական փաստերի և մաթեմատիկայի բաժինների միջև։

Սկզբնաղբյուր 
Մաթեմատիկայի անտիկ ստեղծագործություններից շատերը չեն հասել մինչ մեր օրեր և հայտնի են ավելի հին հեղինակների հիշատակումներից ու մեկնաբանություններից։ Առաջին հերթին Պապպա Ալեքսանդրիացին (III դար), Պրոկլան (V դար), Սիմպլիկիան (VI դար) և ուրիշներ։ Պահպանված աշխատություններից էվկլիդեսի «Հիմունքները» և Արիստոտելի, Արքիմեդի, Ապոլլոնիոսի ու Դիոֆանտոսի առանձին գրքերը։

Սկզբնական ժամանակաշրջան 
Մինչ Ք. ա․ VI դարը հունական մաթեմատիկան ոչնչով աչքի չէր ընկնում։ Յուրացվել էր միայն սովորական հաշվարկն ու չափումները։ Հունական թվագրությունը, ինչպես ավելի ուշ հռոմեականը, ադետիվ էր, այսինքն թվերը իրար գումարվում էին։ Նրա առաջին տարբերակը՝ ատտիկականը, պարունակում էր տառային նշանակումներ 1, 5, 10, 50, 100 և 1000 թվերի համար։ Համապատասխան ձևով էր սարքված էր  աբակը (մանր  քարերով հաշվարկային տախտակը)։ Կալկուլյացիա (հաշվարկ) բառը առաջ է եկել calculus (քարիկ) բառից։ Հատուկ փայտից «քարիկը» համապատասխանում էր զրոյին։

Ք․ ա․ V դարից սկսված, ատտիկական թվագրության փոխարեն ընդունվեց այբբենականը։ Հունական այբուբենի առաջին 9 տառերը  համապատասխանում էին 1-ից 9 թվերին, հաջորդ 9 տառերը՝ տասնյակներին, մնացածները՝ հարուրյակներին։ Թվերն ու տառերը չշփոթելու համար թվերի գլխին գծիկ էին դնոում։ 1000-ից մեծ թվերի համար հատուկ (ձախից ներքևում) գծիկ էր դրվում, այդ հատուկ նշանները թույլ էին տալիս նաև պատկերել 10000 մեծ թվերը։

Ք․ ա․ VI դարում սկսվում է «հունական հրաշքը», ի հայտ են գալիս միանգամից երկու գիտական դպրոց՝ իոնեցիներ ( Թալես Միլեթացի, Անաքսիմենես, Անաքսիմանդրոս) և պյութագորեցիք։ Ավելի վաղ մաթեմատիկների գործերի մասին մենք գիտենք հիմնականում ավելի ուշ հեղինակների՝ Էվկլիդեսի, Պլատոնի և Արիստոտելի մեկնաբանություններից։

Թալեսը հարուստ առևտրական էր, լավ ուսումնասիրել էր բաբելոնյան մաթեմատիկան և աստղագիտությունը (հնարավոև է առևտրային ուղևորությունների ժամանակ)։Իոնեցիները՝ ըստ Եվդեմ Հռոդոսցու գրառումների, տվել են մի քանի պարզ թեորեմների առաջին ապացույցները, օրինակ այն մասին, որ ուղղահայաց անկյունները հավասար են։ Չնայած դրան,անտիկ մաթեմատիկայի ստեղծման մեջ կարևոր դերը պյութագորեցիներինն էր։

Պյութագորական դպրոց 
Դպրոցի հիմադիրը Պյութագորասն է, լեգենդար անհատ, որի մասին մեզ հասած տեղեկությունների ճշմարտացի լինելը  հնարավոր չէ ստուգել։ Թալեսի նման Պյութագորն էլ է շատ ճանապարհորդել, սովորել է եգիպտական և բաբելոնական իմաստունների մոտ։ Մ․թ.ա․ 530 թվականին, վերադառնալով Մեծ Հունաստան (Հարավային Իտալիա), Կրոտոնե քաղաքում հիմնեց գաղտնի հոգևոր միաբանություն։ Հենց նա առաջադրեց «Թվերն են կառավարում աշխարհը» թեզը և շատ ջանասիրաբար շարունակում էր հիմնավորել։ Մ․թ.ա․ V դարի սկզբում, անհաջող քաղաքական ելույթից հետո, պյութագորցիներին վռնդեցին Հարավային Իտալիայից, և միաբանությունը դադարեց գոյություն ունենալ, բայց դրանից հետո ավելի աճեց հետաքրքրությունը ուսմունքի նկատմամբ։

Պյութագորյան դպրոցներ ստեղծվեցին Աթենքում, կղզիներում և հունական գաղութներում, իսկ նրանց մաթեմատիկական գիտելիքները, որոնք մինչ այդ խիստ գաղտնի էին պահվում, դարձան համընդհանուր սեփականություն։ Պյութագորին վերագրվող շատ նվաճումներ իրականում պատկանում են նրա աշակերտներին։ Պյութագորականները զբաղվում էին աստղագիտությամբ, երկրաչափությամբ, թվաբանությամբ (թվերի տեսություն), ստեղծեցին երաժշտության տեսությունը։ Պյութագորը, եվրոպացիներից առաջինն էր, որ հասկացավ աքսիոմատիկ մեթոդի նշանակությունը։ Հստակ առանձնացրեց հիմնական վարկածները (աքսիոմաները, պոստուլատները) և նրանցից բխող թեորեմները։ Պյութագորականների երկրաչափությունը հիմնականում սահմանափակվում էր հարթաչափությունով, որը ավելի ուշ մեզ հասած աշխատանքներից դատելով, շարադրված էր լիարժեք։ Աշխատանքն ավարտվում էր «Պյութագորասի թեորեմով», չնայած ուսումնասիրվում էին նաև կանոնավոր բազմանիստեր։  
Կառուցվեց երաժշտության մաթեմատիկական տեսությույնը։ Երաժշտական ներդաշնակության կախվածությունը թվերի հարաբերությունից (լարերի երկարությունից), արժեքավոր փաստ էր պյութագորականների համար՝ ի օգուտ աշխարհի մաթեմատիկական ներդաշնակության։ 2000 տարի հետո Կեպլերն այն հովաբանեց։

Նրանք համոզված էին,որ «թվերի տարրերը դրանք բոլոր իրերի տարրերն են և  ամբողջ աշխարհը թիվ է և ներդաշնակություն»։ Պյութագորականները ենթադրում էին, որ բնության բոլոր օրենքների հիմքում ընկած է թվաբանությունը և նրա օգնությամբ կարելի է բացահայտել աշխարհի բոլոր գաղտնիքները։

Պյութագորասի մոդելի առաջին «ճաքը» հանդիսացավ, իրենց իսկ կողմից ապացուցված, իռացիանալությունը ։ Երկրաչափությունում ձևակերպված էր, որպես քառակուսու անկյունագծի և կողմի անհամեմատելիություն (մ․թ.ա․ v դար)։ Հատվածի երկարությունը թվով արտահայտելու անհնարինությունը կասկածի տակ էր դնում պյութագորականների հիմնական սկզբունքը։Նույնիսկ Արիստոտելը, որ չէր կիսում նրանց հայացքները, արտահայտեց իր զարմանքը՝ «կան բաներ, որ հնարավոր չէ չափել ամենափորքր չափով»։ Իրավիճակը փորձեց շտկել Թեյեթետոսը։ Նա առաջարկեց թվի նոր հասկացություն, որը ձևակերպվում էր երկրաչափորեն, և համեմատականության հետ այլևս խնդիրներ չեղան։

Արդյունքում, արդեն Նոր ժամանակներում, պարզվեց, որ պյութագորականների ռազմավարական սխալը՝ երկրաչափության հիման վրա թվաբանության կառուցումն էր։Ավելի ուշ Դեկարդը հակառակն արեց՝ կառուցեց երկրաչափությունը թվաբանության հիման վրա և հասավ հսկայական հաջողությունների։

Ք․ ա․ V դար — Զենոն, Դեմոկրիտ 
Ք․ ա․ V դարում առաջ եկավ պյութագորականների լավատեսությանը ուղղված նոր մարտահրավերներ։

Դրանցից առաջինը հնադարի երեք դասական խնդիրներն էին՝ խորանարդի կրկնապատկումը, անկյան եռաբաժանումը, շրջանի քառակուսացումը։ Հույները խստորեն հետևում էին այն պահանջին, որ բոլոր կառուցումները պիտի լինեն բացառապես քանոնով և կարկինով, այսինքն միայն իդեալական գծերի՝ ուղիղների և շրջանագծերի միջոցով։ Բայց երեք դասական խնդիրները այս ձևով լուծել հնարավոր չէր։ Թվաբանորեն դա նշանակում էր, որ ցանկացած թիվ կարելի է ստանալ 4 թվաբանական գործողությունների և քառակուսի արմատի միջոցով։ Երկրորդ հարվածը պյութագորիզմին հասցրեց Զենոն Էլեյացին, առաջարկելո ևս մի թեմա դարավոր մտորումների համար։ Նա թվարկեց 40-ից ավելի պարադոքսներ, որոնցից ավելի հայտնի են շարժման 3 հակասությունները։ Չնայած ժխտման ու ծաղրելու մեծաքանակ փորձերին, դրանք մինչ այժմ էլ  լուրջ  վերլուծության առարկա են հանդիսանում։ Նրանցում շոշափվում են մաթեմատիկական տեսության ամենանուրբ հարցերը՝ վերջավոր և անսահմանություն, անընդհատություն և ընդհատություն։ Մաթեմատիկան այդ ժամանակ համարվում էր իրականության ընկալման միջոց, և վիճաբանությունների  իմաստը կարելի էր արտահայտել ինչպես ահընդհատ, անվերջ բաժանելի, ընդհատ ֆիզիկական մատերիայի, մաթեմատիկական մոդելի ոչ ադեկվատություն։ 

Ք. ա․ V դարի վերջում ապրում էր ևս մեկ ականավոր մտածող Դեմոկրիտը։ Նա հայտնի էր ոչ միայն ատոմի տեսության ստեղծմամբ։ Արքիմեդը գրում էր, որ Դեմոկրիտը գտել է բուրգի և կոնի ծավալը, բայց չի կարողացել հիմնավորել իր բանաձևերը։

Ք. ա․ IV դար — Պլատոն, Եվդոքս
Ք․ ա․ IV դարի սկզբին հունական մաթեմատիկան արդեն առաջ էր անցել իր ուսուցիչներից և նրա բուռն առաջընթացը շարունակվում էր։ Ք․ա․ 389 թվականին Պլատոնը Աթենքում հիմնեց դպրոց՝ հանրահայտ Ակադեմիան։ Ակադեմիային միացող մաթեմատիկներին կարելի էր բաժանել 2 խմբի՝ նրանք ովքեր սովորել են Ակադեմիայից դուրս և նրանք ովքեր Ակադեմիայի աշակերտներն էին։Առաջիններից էր Թեյեթետ Աթենացին էր,Արքիդ Թերենտացին, և ավելի ուշ Եվդոքսը։Երկրորդ խմբում էին Մենեհմ և Դինոստրատ եղբայրները։
Ինքը Պլատոնը կոնկրետ մաթեմատիկական հետազոտություններ չէր կատարում, բայց հրապարակել է խորը փիլիսոփայական մտորումներ և մաթեմատիկական մեթոդոլոգիաներ։

Պլատոնի աշակերտ Արիստոտելը թողել է մեզ համար անգնահատելի մաթեմատիկայի պատմության երկտողները։

Եվդոքս Քնիդացին առաջինն է ստեղծել լուսատուների երկրակենտրոն շարժման մոդելը, իրենց 27 ոլորտներով։ Ավելի ուշ այդ կառուցվածքը զարգացվեց Ապոլլոնիոսի, Հիպարքոսի և Պտղոմեոսի կողմից, որոնք ավելացրեցիր ոլորտների թիվը մինչև 34 և ներմուծեցին էպիցիկլերը։

Ք․ ա․ III դար — Էվկլիդես, Արքիմեդ, Ապոլլոնիոս 
Ալեքսանդր Մակեդոնացու գրավումներից հետո հին աշխարհի գիտական կենտրոն է դառնում Եգիպտական Ալեքսանդրիան։ Պտղոմեոս I հիմնադրեց այդտեղ Մուսեոնը (Մուսաների տուն) և հրավիրեց հայտնի գիտնականների։ Դա առաջին  պետական ակադեմիան էր հունալեզու աշխարհում, որ ուներ ամենահարուստ գրադարանը, որի հիմքը կազմում էր Արիստոտելի գրադարանը (70000 հատոր Ք․ ա․ I դար)։

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ հայտնի են հնադարի երեք մեծ երկրաչափները, և առաջին հերթին Էվկլիդեսը՝ իր «Հիմունքներով»։ Հիմունքների 30 գրքերը անտիկ մաթեմատիկայի հիմքն էին հանդիսանում։ 2000 տարիների ընթացքում այդ գրքերի ազդեցությունը և հեղինակությունը ահռելի էր։

Էվկլիդեսի աշխատությունները ընդլայնեց Արքիմեդը՝ մեկը այն քչերից, որոնք նույն հաջողությամբ զբաղվում էին և՛ տեսական, և՛ կիրառական գիտությամբ։ Նա կարողացավ հաշվել շատ մարմինների ու պատկերների ծավալներն ու մակերեսները, ինչը չէին կարողացել անել այլ մաթեմատիկոսներ։

Վերջինը մեծերի եռյակից Ապոլլոնիոս Պերգացին էր, կոնական հատույթների խորը ուսումնասիրությունների հեղինակը։

Գրականություն 
 
 Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959, 456 с.
 Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967.
 
 Депман И. Я. История арифметики.  Пособие для учителей. Изд.второе. М.: Просвещение, 1965.
 
 Клайн М. Математика. Утрата определённости. М., Мир, 1984.
 Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
 Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. (2004) 
 Рыбников К. А. История математики. М., 1994.
 Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1976.

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկայի պատմություն
Հին Հունաստանի գիրություն