Պուասոնի ինտեգրալ

Պուասոնի ինտեգրալ, մաթեմատիկական  ինտեգրալ հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`

 :

Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։

Այն հավասար է :

Ապացույց 
                                              (1)

(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։

Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

                (2)

Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում։

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

                             (3)

Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի   արտահայտությունը բևեռային համակարգի -ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի  միավորը՝ բևեռային  -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։

Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

                             (4)

Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը   արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։

(4)-ը կգրվի որպես՝

Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

:

Ընդհանրացում և վարիացիա 
Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է։

Վարիացիաներ 
Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝
 ,
և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝
 ,
պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։

Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝
 , որտեղ x-ը վեկտոր է, իսկ M-ը՝ բացասական սեփական թվերով սիմետրիկ մատրից։
Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

Պատմություն 

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։

Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։

Գրականություն 
 Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։

Պոտենցիալի տեսություն
Մաթեմատիկական անալիզ