0,(9)

0,(9) կամ 0,999… () («զրո ամբողջ ինը պարբերական»), պարբերական տասնորդական կոտորակ, որն իրենից ներկայացնում է 1 թիվը։ Այլ բառերով՝ 
 
Այս հավասարությունն ունի մի քանի մաթեմատիկական ապացույցներ՝ հիմնված տեսական սահմանների վրա։

Ապացույցներ

Հանրահաշվական

Սյունակով բաժանում 
Հաճախ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել տասնորդական տեսքով միայն անվերջ պոչով։ Օգտագործելով սյունակով բաժանումը՝ երկու ամբողջական թվերի բաժանումը, օրինակ՝  բերում է անվերջ 0,333… տասնորդական գրառմամբ, որտեղ թվերը անվերջ կրկնվում են։ Այդկերպ հեշտ ապացուցվում է 0,999… = 1 հավասարությունը։ 3-ը 3-ի բազմապատկումը բերում է 9-ի յուրաքանչյուր շարքում, այդ իսկ պատճառով 3 × 0,333… համարժեք է 0,999…։ Եվ 3 ×  համարժեք է 1-ի, այդ իսկ պատճառով 0,999… = 1։

Թվերի տեղաշարժում 
Երբ տասնորդական գրառմամբ թիվը բազմապատկվում է 10-ի, թվերը չեն փոխվում, սակայն յուրաքանչյուր շարքը շարժվում է մեկ թվով ձախ։ Հետևաբար, 10 × 0,999… = 9,999…, ինչը 9 անգամ ավել է, քան հիմնական թիվը։ Տեսնելու համար 0,999… հանենք 9,999…-ից, յուրաքանչյուր թիվ ստորակետից հետո անհետանում է, քանի որ 9 — 9 = 0 յուրաքանչյուր շարքի համար։ Վերջին քայլն օգտագործում է հանրահաշվի կանոնները․

Տարբերության գտնելը 
Երկու թվերը հավասար են, եթե նրանց տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Այսպես, պետք է գտնել 1-0,(9 արտահայտության լուծումը։ Սկզբում դիտարկենք առավել հեշտ օրինակը։ Գտնենք 1 և 0,9 թվերի տարբերությունը (առաջին իտերացիա), ապա ավելացնենք շարքի վերջին թվին ևս մեկ 9 (ստացվում է 0,99), գտնենք 1 թվի և նոր հանելիի՝ 0,99-ի (երկրորդ իտերացիա) տարբերությունը։ Ինչից հետո նույն սխեմայով որոշում ենք 1 և 0,999 (երրորդ իտերացիա) թվերի տարբերությունը և այլն․ 
 
Այսպես, իտերացիայի համարի բարձրացման համար հանելին ձգտում է 0,(9)-ի, իսկ տարբերությունը՝ զրոյի։ Եվ ընդհանուր դեպքում այս իրադրությունը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․ 
 
որտեղ n՝ իտերացիայի համար (հանելիում ստորակետից հետո ինների քանակությունը),
m՝ զրոյի և տարբերության միավորի միջև զրոների քանակությունը։
1-0,(9) տարբերությունը գտնելու համար իտերացիայի համարը հավասարեցնենք անվերջության․ ։ Այդ դեպքում .
Այդկերպ, որոնելի տարբերությունը ձևականորեն ունի զրոների անվերջ քանակություն ստորակետից հետո, որոնցից հետո գալիս է միավորը
 ։
Իրականում, եթե ստորակետից հետո գտնվում են բազում թվեր (տվյալ դեպքում զրոները), ապա նրան հաջորդող շարքում անհնար է ավելացնել որևէ թիվ, քանի որ նման շարք գոյություն չունի։ Այս դեպքում որոնելի տարբերությունը ստորակետից հետո կլինի զրոների ամբողջություն, որը երբեք չի ավարտվի (զրոների անվերջություն), և հետևապես միավորները բոլոր զրոներից հետո չեն լինի։ Այսկերպ, տարբերությունը կներկայացվի մաքուր պարբերական կոտորակի տեսքով, որն ունի զրո ամբողջական մաս և պարբերություն՝ բաղկացած մեկ զրոյից․ 0,(0), ինչը 0 թվի ներկայացումն է պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով․
 
Այսպիսով,
 
ինչը նշանակում է․

Վերլուծականներ 
Ընդհանուր տեսքով 0,999… թիվը կարելի է գրառել որպես

Անվերջ հաջորդականություններ 
Տասնորդական համակարգի որոշմանը համապատասխան հաշվարկեք շարքի գումարը․ 
 

0,999…-ի համար կիրառենք հատվող երկարաչափական պրոգրեսիայի գումարի մասին տեսությունը․
 Եթե  , ապա 

Զուգամիտության շառավիղ (պրոգրեսիայի հայտարար) , և այդկերպ․
 
Նման ապացույցը (10-ի և 9,999…-ի էկվիվալենտության մասին) հրապարակվել է 1770 թվականին Լեոնարդ Էյլերի կողմից «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում։

Համամիտվող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը հայտնի էր մինչ Էյլերը։ 1811 թվականին թողարկված An Introduction to Algebra դասագիրքը ևս կիրառում է երկարաչափական պրոգրեսիան 0,(9) թվի համար։ XIX դարում գումարման նման կանոնի արձագանքը դարձավ փաստ․ շարքի գումարը պետք է հաջորդականության մասնակի գումարների սահմանը։

Հաջորդականությունը (x0, x1, x2, …) ունի x սահման այն և միայն այն ժամանակ, երբ |x − xn| անվերջ փոքր է n աճով։ 0.999… = 1 հաստատումը կարող է փոփոխվել որպես սահման․
 
Վերջին  քայլն արվում է այն հիմքով, որ իրական թվերը բավարարում են Արքիմեդի աքսիոմը։

Կիրառություն 
Կան բազում կիրառություններ, օրինակ՝ թվերի տարրական տեսության մեջ։ 1802 թվականին H. Goodwin-ը հրապարակեց ուսումնասիրություն, որ նա հայտնաբերել էր պարզ թվերը բաժանելիս, օրինակ․ 
 1/7 = 0,142857142857… և 142 + 857 = 999.
 1/73 = 0,0136986301369863… և 0136 + 9863 = 9999.
1836 թվականին Միդին ընդհանրացրեց հետազոտության արդյունքները մինչ Միդիի թեորեմը։

Մշակույթում 
The Straight Dope նորությունների սյունակում ապացուցվում է 0,999… 1⁄3 և սահմանների օգնությամբ՝ խոսելով չհասկանալու մասին․ 
Ասվում է․ ,999~-ը իրականում ներկայացնում է ոչ թե թիվ, այլ գործողություն։ Թիվը գտնելու համար մենք պետք է կանգենցնենք այդ գործողությունը։ Եվ այդ պահին ,999~ = 1 հավասարությունը պարզապես քանդվում է։

Հիմարություն.

0,999…-ի մասին հարցը դարձել է այնքան տարածված թեմա, որ թողարկել է հետևյալը․
Մենք շատ ուրախ ենք փակել այս թեմայի մասին գիրքը հավերժ։ Մենք վկա ենք եղել տանջանքների և անհանգստության՝ կապված այն բանի հետ, թե 0,999~ հավասարվում է 1-ի կամ ոչ, և մենք հպարտությամբ ներկայացնում ենք հետևյալ ապացույցը, որը որոշում է մեր գնորդների համար այդ խնդիրը։
Ապա հաջորդում են ապացույցներ՝ հիմնված 10-ի վրա բազմապատկման և սահմանների մասին։

Ծանոթագրություններ 

Թվեր
Կոտորակներ