Գալուայի խումբ

Գալուայի խումբ, խումբ, դաշտի ընդարձակման հետ զուգակցվող խումբ։ Կարևոր դեր է խաղում դաշտի ընդլայնման հետազոտման դեպքում, մասնավորապես՝ Գալուայի տեսության մեջ։ 1832 թվականին Էվարիստ Գալուան ներմուծեց մաթեմատիայում (խմբերի այդ հասկացության, բազմությունների) արմատների տեղափոխությունը։

Սահմանում 
Ենթադրենք K դաշտը հանդիսանում է P-ի Գալուայի ընդլայնված դաշտ։ K դաշտի փոխադարձաբար համարժեք պատկերումները՝ -ը, իր վրա անվանում են ավտոմորֆ, եթե նա գումարը վերածում է գումարի, արտադրյալը՝ արտադրյալի, այսինքն՝ եթե K դաշտի ցանկացած  տարրերի համար ճիշտ է հավասարությունը․
 .

Գալուայի խումբը տրված ընդլայնված դաշտի համար կոչվում է K դաշտի բոլոր ավտոմորֆիզմի համախումբ, պահպաննելով P դաշտի տարրեր։ .Սովորաբար նշանակում են G(K, P) կամ Gal(K, P).

Հատկություն 
 Գալուայի խմբի վերջավոր ընդլայնումը վերջավոր է։ Նրա հաջորդականությունը (տարրերի քանակը) հավասար է [K:P] ընդլայնման աստիճանին։

Օրինակներ 
 Եթե ընդլայնված դաշտը համընկնում է սկզբնականի հետ, ապա Գալուայի խումբը պարունակում է միայն մեկ տարր, միավոր՝ (նույնական автоморфизм).
 Բնական թվերի դաշտի ընդլայնումը մինչև բոլոր կոմպլեքս թվերի դաշտի, Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավորը և կոմպլեքս համալուծը։
  ընդլայնված դաշտը կազմված է  տեսքի թվերից, որտեղ a, b-ն ռացիոնալ են։ Այստեղ Գալուայի խումբը պարունակում է 2 տարր՝ միավոր և երկրորդ գումարելին փոքրացնող նշանի գործողություն։
 Ենթադրենք p-ն  պարզ թիվ է, դիտարկենք  и  վերջավոր դաշտերը, նրանցից առաջինը բնական կերպով ներդրված է երկրորդին։ Գալուայի խմբի տրված ընդլայնումը՝ ցիկլային է, այն ծնում է Ֆրոբենիուսի ավտոմորֆիզմը՝
.

 Հանրահաշվական հավասարման Գալույի խումբը։ Դիտարկենք չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում ։ Այն թույլ է տալիս հետևյալ ձևափոխումը x փոփոխականով։ .  -ի համար հետևում է , այսինքն՝ .։ Ուստի -ից հետևում է, որ ։ Դա ցույց է տալիս, որ  հավասարումը թույլ է տալիս  ձևափոխությունը։ -ի համար ստացվում է ։ Այդ հավասարման բաժանումը  սկզբնական հավասարման տալիս է ։ Այսպիսով  ձևափոխությունը նույնպես թույլատրում է հավասարմանը։ Նման ձևով  ձևափոխությունների համար կարելի է ստանալ ձևափոխության հետևյալ բանաձևը՝ ։ Օգտագործելով  տեղափոխությունը գտնում ենք, որ  և այլն։ Այժմ ապացուցենք, որ  հավասարումը թույլ է տալիս անվերջ ձևափոխությունների  խմբեր, որտեղ -ը ընդունում է բոլոր ամբողջ (դրական և բացասական) արժեքները, բազմապատիկ հինգի։ Դրա համար անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ թույլատրվում է  ձևափոխությունը։ Դրա համար ունենք  ձևափոխությունը։ -ի բացասական ամբողջ արժեքները ստացվում է  ձևափոխության օգտագործումից։ Դժվար չէ ապացուցել, որ ստացված ձևափոխությունները կազմում են խումբ։ Կազմած խմբի  փոխարկումը տեղափոխում է  հավասարման յուրաքանչյուր արմատ այդ նույն հավասարման արմատի։ Այժմ հետևենք ինչպես է  հավասարման յուրաքանչյուր արմատ ձևափոխվում այդ խմբի ձևափոխությունների ազդեցության տակ։ Հանրահաշվի կուրսից հայտնի է, որ -ն հավասարման արմատները հանդիսանում են թվեր՝ ։  ձևափոխությունը տեղափոխում է  արմատը -ում, արմատ  -ը՝ -ում, արմատ -ը՝ -ում, արմատ -ը -ում։ Ստացված տեղափոխությունները նշանակում են  ։ Նման ձևով կարելի է ցույց տալ, որ  ձևափոխությունները բերվում է  տեղափոխության։  ձևափոխությունը բերվում է  տեղափոխության։ Մնացած ձևափոխությունները չի տալիս նոր տեղափոխության։ Այսպիսով  հավասարման արմատների  ձևափոխությունների խումբը մակածում է չորս կարգավորված վերջավոր խմբերի, կազմված հետևալ տարերից է ։ Այդ վերջավոր խմբերին անվանում են  հավասարման Գալուայի խմբեր.

Կիրառում

Դաշտի ընդլայնում 
Դիտարկենք դաշտի ընդլայման հաջորդկան օղակները՝  Կառուցենք դաշտի համար Գալուայի խմբերը եզրային օղակներում՝  Համաձայն Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմի՝ օղակում  դաշտի յուրաքանչյուր միջակայքի ընդլայնումը համապատասխանում է G խմբի  ենթախմբին, այսինքն ընդլայնված դաշտի օղակը կարելի է համադրել ենթախմբի ներդրված օղակին, որը նեղանում է G-ից մինչև տրիվիալ ենթախմբերի։ Եթե անմիջապես դիտենք միջակայքային դաշտը (այսինքն՝  տեսքի դաշտը), տրված համապատասխանությունը հանդիսանում է դաշտի միջակայքային բազմություններից բիեկցիա Գալուայի խմբերի ենթախմբերի բազմությունում։ Այդ ենթախմբերում, տվյալ համապատասխան նորմալ ընդլայնումը, հանդիսանում է G նորմալ ենթախումբ և ընհակառակը։

Խմբերի տեսության օգնությամբ այս համապատասխանությունը թույլ է տալիս հետազոտել դաշտեր ընդլայնումը։ Օրինակ․ նրանից անմիջապես հետևում է դաշտերի միջակայքային թիվը տրված նորմալ ընդլայնման համար միշտ վերջավոր է (ինչպես ենթախմբի թիվը վերջավոր խմբերում)։

Հանրահաշվական հավասարում 
Հանրահաշվական հավասարման հիմնական դաշտը կոչվում է թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ հավասարման գործակիցներից գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանմանգործողությունների օգնությամբ։ Դաշտերի վերլուծումը անվանում են թվերի համախումբ, որը կարելի է ստանալ այդ գործողություններով վերջավոր թվի օգնությամբ, ելնելեվ գործակիցներից և հավասարման արմատներից։ Ընդհանուր դեպքում դաշտը կազմված է միայն դաշտի վերլուծման ենթադաշտից։

Ընդունված է Գալուայի խումբը, դաշտի վերլուծման կազմված ավտոմորֆությունից, անվանել այդ հավասարման Գալուայի խումբ։ G(K, P)Գալուայի խմբից ցանկացած ավտոմորֆիզմ փոխադրում է ցանկացած բազմանդամի արմատ P դաշտի վրա, նորից այդ նույն բազմանդամի արմատ։ Այսպիսով, հանրահաշվական հավասարման Գալուայի խումբը չունենալով բազմապատիկ արմատ, կարելի է դիտել ինչպես խմբերի տեղափոխություն (հենց այդպես դիտարկեց նույն ինքը՝ Էվարիստ Գալուան)։

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Galois Representations
 Артин Э. Теория Галуа. М.: МЦНМО, 2008. ISBN 978-5-94057-062-2.

Խմբերի տեսություն
Գալուայի տեսություն