Հանում

Հանում (նվազեցում), երկու արգումենտների (նվազելի և հանելի) օժանդակ մաթեմատիկական բինար գործողություն (թվաբանական գործողություն), որի արդյունքն իրենից ներկայացնում է նոր թիվ (տարբերություն), որը ստացվում է առաջին արգումենտը երկրորդ արգումենտի չափով պակասացնելիս։ Գրելիս հիմնականում նշանակվում է «մինուս» նշանով՝ ։ Հանման գործողությունը գումարման գործողության հակառակն է։

Հանումը կարելի է գրելի հետևյալ՝  ընդհանուր տեսքով , որտեղ  և ։ Այսինքն տարրերի յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է բազմության  տարրը, որը կոչվում է   և   թերի տարբերություն։

Հանումը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ երկու արգումենտներն էլ պատկանում են միևնույն բազմությանը  (ունեն նույն տիպը)։Բացասակն թվերի առկայության դեպքում, տարբերությունը ավելի հարմար է դիտարկել  որպես գումարման տեսակ՝ գումարում բացասական թվերով։ Օրինակ՝ կարելի է դիտարկել որպես  գումարում։

Իրական թվերի բազմություն մեջ գումարման ֆունկցիայի որոշման տիրույթի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և առանցքների նկատմամբ ունի 45° թեքություն։

Հանումն ունի մի քանի կարևոր հատկություններ (օրինակ -ի համար)՝

Հակատեղափոխականութուն՝  
Ոչ զուգորդականություն՝ 
Բաշխականություն՝ 
Երբ թվից հանում ենք   արդյունքում ստանում ենք սկզբնական թիվը՝ ː

Որպես օրինակ դիտարկենք աջ կողմի նկարում պատկերված  գրությունը, նկարում հինգ խնձորից հանվում է երկու խնձոր, որի արդյունքում ստանում ենք երեք խնձոր։ Անհրաժեշտ է ուշադրություն դարձնել, որ հինգ խնձորից երկու տանձ հանել չի կարելի։ Բացի խնձորների հաշվարկից, հանումը կարող է ներկայացնել նաև այլ ֆիզիկական և աբստրակտ մեծությունների տարբերություն, ինչպիսիք են օրինակ՝ բացասական թվերը, կոտորակային թվերը, վեկտորները, ֆունկցիաները և այլն։

Գրելաձև և տերմինաբանություն 

Հանումը գրվում է արգումենտների միջև մինուս սիմվոլի «» կիրառմամբ, գրության այս ձևը կոչվում է ինֆիկսային նշանագրություն։ Տվյալ կոնտեկստում մինուս նշանը համարվում է բինար գործողություն։ Արդյունքը գրվում է հավասարման նշանի «» կիրառմամբ, օրինակ՝

 ,
 («վեց հանած երեք հավասար է երեք») ,
  («վաթսունչորս հանած երեսունհինգ հավասար է քասանինը») ։

Գրության մեջ օգտագործվող հանման նշանը շատ նման է այլ սիմվոլների, օրինակ՝ գծիկի, միացման գծիկի և այլն։ Սիմվոլի սխալ մեկնաբանությունից խուսափելու համար անհրաժեշտ է ուշադիր վերլուծել արտահայտությունը։

Հատկություններ 

Թվային  բազմություններում հանման գործողությունը ունի հետևյալ հիմնական հատությունները.

 Տարբերությունը տեղափոխական չէ, արգումենտների տեղերը փոխելիս տարբերությունը (հավասարությունը) փոխվում է

Հակատեղափոխականություն՝  

Տարբերությունը զուգորդական չէ՝ երեք և ավելի թվերի հաջորդական հանման ժամանակ գործողության կատրման հաջորդականությունը կարևոր է, սրանից կախված արդյունքը փոխվում է

Հակազուգորդականություն՝ 
                                                                                                                                                    
 Հանումը բաշխական է, սա երկու բինար գործողությունների համաձայնություն է, որոշված տվյալ բազմության մեջ, հայտնի է նաև, որպես բաշխական օրենք 
Բաշխականություն՝ 

բազմության մեջ գոյություն ունի միակ չեզոք տարր, երբ թվից հանում ենք զրո (չեզոք տարր) ստանում ենք սկզբնականին հավասար թիվ՝
Զրոյական տարր՝ 

 Զրո հանելու գործողությունը իդեմպոտենտ է, այսինքն գործողության կրկնակի կատարումը տալիս է միևնույն արդյունքը, ինչ որ ոչ կրկնակին
Իդեմպոտետություն՝ ,

 Հակադիր տարրի տարբերությունը թիվը կրկնապատկում է՝ ː

 բնական թվերի համար տարբերության արդյունքը միշտ չէ, որ որոշված է, որպեսիզի տարբերության արդյունքում ստանանք բնական թիվ նվազելին պետք է մեծ լինի հանելիիցː Բնական թվերի սահմանում անհնար է փոքր թվից հանել մեծըː

բազմություններում որոշված հանման գործողության արդյունքում ստանում ենք թիվ (տարբերություն) հենց այդ բազմությունից, հետևաբար հանման գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններին (փակ են այն գործողությունները որնց արդյունքները պատկանում են միևնույն բազմությանը), այսինքն թվերի  բազմությունները ձևավորում են օղակներ հանման գործողությանը համապատասխանː

Հանման գործողության կատարում 
Հանման գործողությունը կարելի է պատկերացնել որպես որևէ սև արկղ որի մուտքի մոտ նվազելին և հանելին են, իսկ ելքի մոտ տարբերությունըː

Երկու թվերի հանման գործողության գործնական կատարման ժամանակ անհրաժեշտ է այն բերել ավելի պարզ գործողությունների կատարման՝ պարզ հանում, փոխառություն, համեմատություն և այլնː Սրա համար մշակվել են հանման մի քանի տարբերակներ թվերի, վեկտորների, կոտորակների և այլ մեծությունների համարː Բնական թվերի բազմության մեջ այժմ օգտագործվում է հանման կարգային ալգորիթմըː Ընդ որում հանումը անհրաժեշտ է դիտարկել որպես ընթացակարգ (ի տարբերություն գործողության)ː
   Երկու թվերի կարգային հանման գործողության մոտավոր ալգորիթմ
  
 
Ինչպես տեսնում ենք գործեղությունը բավականին բարդ է, կազմված է որոշակի մեծ քանակի քայլերից և մեծ թվերի հանման ժամանակ կարող է զբաղեցնել տևական ժամանակː

Տվյալ կոնտեքստում պարզ հանումն իրենից ենթադրում է քսանից փոքր թվերի հանման գործողությունը, որը հերթությամբ կարող է բերվել դեկրիմենտացմանː Այն համարվում է դեկրիմենտացման հիպերօպերատոր՝

,

որտեղ՝  -ինկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, կատարվել է    անգամ, - դեկրիմենտացման գործողության հաջորդականությունն է, իրականացված  անգամː

Հանման գործողությունը ավելի արագ և պարզ դարձնելու համար օգտվում են պարզ հանման աղյուսակային մեթոդիցː Սրա համար նախապես կազմում են 18-ից 0 թվերի տարբերության բոլոր կոմբինացիաները և այն վերցնում են հետևյալ աղյուսակից.

  Տասնորդական հաշվարկման համակարգի հանման աղյուսակ
    

Այս գործընթացը կիրառելի է բնական և ամբողջ (նշանը հաշվի առնելով) թվերի բազմությունների համարː Այլ թվերի համար կիրառվում են ավելի բարդ ալգորիթմներː

Թվերի հանում

Բնական թվեր 

Օգտվենք  բնական թվերից որպես վերջավոր բազմությունների համարժեք դասː  վերջավոր բազմությունների համարժեքության դասերից բիեկցիայով առաջացած բազմությունները նշանակենք փակագծերի օգնությամբ՝ ː Այս դեպքում «հանման» թվաբանական գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կորպ.
,
որտեղ  — բազմությունների տարբերությունն էː Այս գործողությունը դասերի համար գրված է հակիրճ, այսինքն կախված չէ դասերի տարրերի ընտրությունից և համապատասխանում է ինդուկտիվ սահմանումներինː

վերջավոր բազմության փոխադարձ միանշանակ պատկերումը հատվածի վրա կարելի է հասկանալ որպես  բազմության տարրերի համարակալում՝ː Համարակալման այս պրոցեսը կոչվում է «հաշիվ»ː Այսպիսով հաշիվը դա փոխադարձ միանշանակ համապատասխանությունն է բազմության տարրերի և բնական թվերի շարքի հատվածի միջևː

Կարգային համակարգում բնական թվերի հանման համար կիրառվում է թվերի նշանակման կարգային ալգորիթմըː Եթե տրած են երկու, այնպիսի բնական  և   թվեր, որ 
որտեղ՝ ,   - թվի թվանշանների քանակն է ,  - կարգի հերթական համարն է (դիրքը), ,  - հաշվարկման հիմնական համակարգն է, -ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվային նշանների (թվերի) բազմությունն է, , , երբ

Հանելով ըստ կարգերի կստանանք՝

 
 
 

Այսպիսով հանման գործեղությունը բրվում է բնական թվերի պարզ հանման  գործողության հաջորդական կատարման, անհրաժեշտության դեպքում փոխառության կիրառմամբ, որը կատարվում է կամ աղյուսակային մեթոդով կամ դեկրիմենտացմամբ (հաշվով)ː

Ցանկացած հաշվարկման համակարգում հանման գործողությունը կատարվում է նույն կանոննորով, ինչ որ տասնորդական հաշվարկման համակարգում, քանի որ դրանք բոլորը կատարվում են բազմանդամների համապատասխան գործողությունների կատարման կանոններին համապատասխանː Ընդ որում անհրաժեշտ է օգտվել տվյալ հաշվարկման համակարգի հիմքին համապատասխան հանման աղյուսակիցː

Երկուական, տասնորդական և տասնվեցական համակարգերում հանման գործողության օրինակներ, հարմարավետության համար թվերը համապատասխան կարգերով գրված են իրար տակ, փոխառման նշանը գրվում է վերևից, բացակայող կարգերը ավելացվում են զրոներով՝

Ամբողջ թվեր 
Ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերի ընդլայնումն է, որն առաջանում է  տեսքի բացասական թվերի ավելացմաբː Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակում են -ովː Ամբողջ թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես բնական թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակությունː

Բացասական թվերի առկայությունը թույլ է տալիս հանումը դիտարկել (և սահմանել), որպես գումարման տարատեսակ՝ բացասական թվի գումարումː Ի տարբերություն բնական թվերի ամբողջ թվերը թվային առանցքի վրա ուղղված են հակառակ ուղղությամբ, սա որոշակիորեն փոխում է հանման գործողության ընթացքըː Անհրաժեշտ է հաշվի առնել թվերի փոխադարձ ուղվածությունները, այստեղ հնարավոր են մի քանի տարբերակներ.

 Եթե երկու արգումենտներն էլ դրական են, ապա՝ ,
Եթե բացասական է արգումենտներից միայն մեկը, ապա՝ կամ ,
 Եթե երկու արգումենտներն էլ բացասական են, ապա՝ ː

Այստեղ և հաջորդիվ ևս օգտագործվելու է կարգային հանման ալգորիթմըː Օրինակ դիտարկենք հետևյալ արտահայտությունը՝ , քանի որ և  թվերն ունեն տարբեր նշաններ, մինուսը դուրս բերենք փակագծերից , շարունակելով կատարել հանման գործողությունը կստանանք ː

Ռացիոնալ թվեր 
Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են ( «քանորդ») և կարող է գրվել հետևյալ կերպ՝   

Սովորական՝   տեսքի կոտորակային ռացիոնալ թվերի հանման համար, անհրաժեշտ է դրանք ընդհանուր հայտարարի բերելː

Եթե տրված են երկու այնպիսի   և  ռացիոնալ թվեր, որ  (կոտորակները չեն կրճատվում), ապա՝ , կամ անհրաժեշտ է գտնել հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըː Գործողությունների հաջորդականությունը հետևյալն է.

Գտնում ենք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ ː
Բազմապատկում ենք առաջին կոտորակի համարիչը և հայտարարը՝ ː
Բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի համարիչ և հայտարարը՝ ː

Այս գործողությունից հետո կոտորակների հայտարարները համընկնում են (հավասար են -ի)ː Մի շարք պարզ դեպքերում սա հերթացնում է հանման գործեղությունը, բայց մեծ թվերի դեպքում հաշվարկները զգալիորեն բարդանում ենː -ի փոխարեն կարելի է վերցնել ցանկացած այլ ընդհանուր բազմապատիկː

Հանման օրինակ՝

Եթե երկու կոտորակների հայտարարները համընկնում են ապա՝

Եթե հայտարարները բազմապատիկ են մեկ այլ թվի, ապա ձևավորում ենք միայն մի կոտորակ՝

Ռացիոնալ թվերի «հանման» թվաբանական գործողությունը վերաբերում է փակ գործողություններինː

Իրական թվեր 

Անվերջ տասնորդական կոտորակների տեսքով ներկայացված իրական թվերի հետ կատարվող հանրահաշվական գործողությունները սահմանվում են որպես ռացիոնալ թվերի համապատասխան գործողությունների անընդհատ շարունակություն ː

Եթե տրված են երկու անվերջ տանորդական կոտորակային թվեր՝ ,
 
սահմանված համապատասխան ռացիոնալ թվերի ֆունկցիոնալ հաջորդականություններով, նշանակված որպես՝  և , ապա նրանաց տարբերությունը կլինի , սահմանված  և   հաջորդականությունների տարբերությամբ՝
, իրական թիվը բավարարում է հետևյալ պայմանին՝
ː Այսպիսով երկու   և   իրական թվերի տարբերությունը այնպիսի   իրական թիվ է, որը մի կողմից պարունակվում է բոլոր , մյուս կողմից բոլոր  տարբերություններումː

Գործնականում որպեսիզի հանենք երկու   և  թվերը, անհրաժեշտ է դրանք փոխարինել պահանջվող ճշտությամբ մոտավոր ռացիոնալ  և  թվերեվː Որպես -ի մոտավոր տարբերություն վերցնում են  ռացիոնալ թվերի տարբերությունըː Ընդ որում կարևոր չէ, թե որ կողմից (պակասորդի թե ավելցուկի) են վերցված թվերը, դրանք մոտեցնում են  -ին և -ինː Գումարումը կատարվում է համաձայն կարգաին գումարման ալգորիթմիː

Մոտավոր թվերի հանման ժամանակ նրանց բացարձակ սխալանքները գումարվում են , որպես թվի բացարձակ սխալանք վերցվում է տվյալ թվի վերջին թվանշանի կեսըː Տարբերության հարաբերական սխալանքը հավասար է արգումենտների ամենամեծ և ամենափոքր հարաբերական սխալանքների տարբերությանը, գործնականում վերցվում է ամենամեծ սխալանքը ː Ստացված արդյունքը կլորացվում է մինչև թվի առաջին ճիշտ իրական արժեքը, մոտավոր թվի իրական արժեքը համարվում է ճիշտ, եթե թվի բացարձակ սխալանքը չի գերազանցում այդ թվին համապատասխանող կարգի միավորի կեսըː

Հանման օրինակ՝  , ստորակետից հետո մինչև 3 թվի ճշտությամբ՝

 Կլորացնում ենք տրված թիվը ստորակետից հետո մինչև 4-րդ թվանշանը (հանման ճշտության բարձրցման համար),
Կստանանք՝ ,
 Հանում ենք ըստ կարգերի՝ ,
 Կլորացնում ենք մինչև ստորակետից հետո 3-րդ թվանշանը՝ ː

Գրաֆիկ 
Իրական թվերի տարբերության ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հարթության տեսք, որն անցնում է կոորդինատային առանցքի սկզբնակետով և թեքվում է առանցքի հանդեպ 45° աստիճան անկյան տակː

Քանի որ , ապա այս բազմությունների համար ևս հանման ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կպատկանի այս հարթությանըː

Կոմպլեքս թվեր 

Կոմպլեքս թվերի բազմությունը թվաբանական գործողություների հետ միասին համարվում է դաշտ և սովորաբար նշանակվում է  սիմվոլովː

Կոմպլեքս թվերը մեկը մյուից հանվում են իրական և կեղծ մասերի իրարից հանելու ճանապարհովː Սա նշանակում է, որ՝

 

որտեղ՝  ,   — կեղծ միավորն էː Կոմպլեքս հարթության մեջ կոմպլեքս թվերը որպես վեկտորներ օգտագործելու ժամանակ կոմպլեքս թվերի հանմանը կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը՝  և  կոմպլեքս թվերի տարբերությունը, որոնք կոմպլեքս հարթության մեջ ներկայացված են վեկտորներ տեսքով, իրենից ներկայացնում է վեկտոր, որը միացնում է նավազելի և հանելի վեկտորների ծայրերը և ուղղված է հանելիից դեպի նվազելի, այն համարվում է վեկտորների տարբերություն և համապատասխանաբար կոմպլեքս թվերի տարերություն (նույն  արդյունքը կստանանք եթե նվազելի վեկտորին ավելացնենք հանելի վեկտորի հակադարձը)ː

Համանմանորեն n չափանի կոմպլեքս թվերի համար.

Էքսպոնենցիալ գրելաձև 

Էքսպոնենցիալ գրության ժամանակ թվերը գրվում են   տեսքով, որտեղ -ը մանտիսն է, -ը թվի բնութագիրն է,  -ն հաշվարկման համակարգի հիմքըː Էքսպոնենցիալ ձևով գրված երկու թվերի հանման համար անհրաժեշտ է որպեսիզի նրանց բնութագրերը լինեն նույնըː Համաձայն բաշխականության հատկության՝  ː

Օրինակ՝

Կամայական թվերի հանում 

Տարբեր բազմությունների պատկանող թվերի հանման ժամանակ անհրաժեշտ է ավելի թույլ հզորությամբ բազմության թվերը ընդլայնել ավելի հզոր թվերի կողմը, կամ հնարավորության դեպքում երկու թվերն էլ ընդլայնել դրանք հավասարեցնելովː Օրինակ եթե անհրաժեշտ է   ռացիոնալ թվից հանել բնական  թիվը, ապա օգտվելով այն բանից որ բնական թվերը համարվում են ռացիոնալ թվերի ենթախումբ   բնական թիվը ընդլայնոմ ենք մինչև   ռացիոնալ թիվ և իրարից հանում ենք երկու ռացիոնալ թվեր ː Համանմանորեն հաշվի առնելով, որ  կարելի է իրարից հանել նաև տարբեր բազմությունների թվերː

Տես նաև 
Գումար
Գումարում
Բազմապատկում

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Մաթեմատիկական նշաններ
Տարրական մաթեմատիկա
Թվաբանություն
Մաթեմատիկական գործողություններ