Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

  (ռուսական գրականության մեջ),
  (անգլալեզու գրականության մեջ,առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
 որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ : Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ
 :

Մաթեմատիկական բացատրություն 
 վեկտորական դաշտի , որի պրոյեկցիա -ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։

L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝
 :

Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք -ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի  ուղղությամբ։  Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

  կամ

Այստեղ F-ը  դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ -ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։
Հարմարության համար կարելի է գրել՝
 :

Կապված բացատրություն 
Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։

Ընդհանրացում 
Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝
 
 
 
...

կամ
 
m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։

Վերջինը կարելի է գրել՝
 
 Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ թենզորային դաշտ է։

Հիմնական հատկություններ

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից 
 Գծայնություն՝
 
ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a  և b հաստատունների համար։
 Եթե -ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝
 
կամ
 :
 Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝
  կամ Ճիշտ է նաև հակառակը՝

:
 Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
 : Ճիշտ է նաև հակառակը՝

:
 Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝

Ստոքսի թեորեմ 
Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։
 : Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով

Ընդհանուր դեպք 
 և

 :

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը 
 
 
 
 
որտեղ Hi-ն Լամեի գործակիցն է։

Օրինակներ 
Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը՝
 : Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝  
 Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

 
Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝

Ընդհանուր օրինակներ 
Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝
 
Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝
 
որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին։  Այլ օրինակ՝

∇ × [ ∇ × F ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝
 
որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:

Տե՛ս նաև 
 Վեկտորական անալիզ
 Գրինի թեորեմ
 Վեկտորական անալիզի բանաձևեր

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 

 The idea of curl of a vector field
 Curl BetterExplained

Դիֆերենցիալ հաշիվ
Վեկտորական անալիզ