Զրոյի զույգություն

Զրոն զույգ թիվ է։ Սա ապացուցելու ամենապարզ ձևն ստուգելն է, թե արդյո՞ք այն համապատասխանում է «զույգ» թվի սահմանմանը։ Զույգ է համարվում այն ամբողջ թիվը, որը երկուսի արտադրյալ է։ Այսպիսով, 0-ն կարելի է ներկայացնել  տեսքով։ Որպես արդյունք, զրոն ունի զույգ թվերի բոլոր հատկությունները. զրոն բաժանվում է երկուսի, երկու հարևաններն էլ կենտ թվեր են,  և զրո տարր ունեցող բազմությունը կարելի է բաժանել երկու հավասար ենթաբազմությունների։

Ըստ թվաբանության կանոնի՝  իսկ , այստեղից հետևում է, 0-ն զույգ թիվ է։ 0-ն ոչ միայն բաժանվում է 2-ի վրա, այլև 2-ի բոլոր աստիճանների, ինչը վերաբերում է համակարգիչներում օգտագործվող հաշվարկման երկուական համակարգի հետ։ Այս տեսանկյունից զրոն «ամենազույգ» թիվն է։

Լայն հանրության շրջանում զրոյի զույգությունը կարող է շփոթության առիթ դառնալ։ Արձագանքի ժամանակահատվածի վերաբերյալ փորձի ժամանակ մարդկանց մեծ մասը 0-ն ավելի ուշ է ճանաչել որպես զույգ թիվ, քան 2-ը, 4-ը, 6-ը կամ 8-ը։ Մաթեմատիկայի որոշ ուսանողներ, ինչպես նաև որոշ ուսուցիչներ, մտածում են, որ զրոն կենտ է, կամ և՛ կենտ է, և՛ զույգ, կամ ո՛չ կենտ է, ո՛չ զույգ։ Ըստ մաթեմատիկայի կրթության վերաբերյալ հետազոտությունների՝ այս սխալ ըմբռնումները կարող են դառնալ ուսուցման հնարավորություններ։  տեսքի հավասարումները կարող են ուսանողների մոտ կասկածի տեղիք տալ թե 0-ն թիվ է։ Քննարկումները կարող են դրդել ուսանողներին գնահատել մաթեմատիկական հիմնավորումների հիմնական սկզբունքները, ինչպես օրինակ՝ սահմանումների կարևորությունը։

Ինչու է զրոն զույգ 
Զույգ թվերի ստանդարտ սահմանումը կարող է օգատգործվել զրոյի զույգությունը անմիջապես ապացուցելու համար։ Թիվը կոչվում է զույգ, եթե այն 2-ի ամբողջ բազմապատիկ էր։ Օրինակ՝ 10-ը զույգ է, քանի որ այն հավասար է  հավասարմանը։ Նույն կերպ զրոն 2-ի ամբողջ բազմապատիկ է, այսինքն  այսպիսով՝ զրոն զույգ թիվ է։

Զրոյի զույգությունը նաև հնարավոր է ապացուցել առանց ֆորմալ սահմանումից օգտվելու։

Հիմնական բացատրություններ

Զրոն թիվ է, իսկ թվերը օգտագործվում են հաշվելու համար։ Տրված օբյեկտների բազմությունում թվերն օգտագործվում են բազմության մեջ գտնվող օբյեկտների քանակը նկարագրելու համար։ Զրոն ոչ մի հատ օբյեկտների քանակն է. ավելի ֆորմալ սահմանմամբ՝ այն դատարկ բազմության օբյեկտների քանակն է։ Զույգության հասկացությունը օգտագործվում է երկու օբյեկտները խմբավորելու համար։ Եթե բազմության օբյեկտները կարելի է խմբավորել երկու տարր ունեցող մասերի և ոչ մի տարր խմբում չի մնա, ուրեմն խմբում կան զույգ քանակով տարրեր։ Եթե խմբավորելուց հետո մեկ տարր մնա, ուրեմն խմբում կան կենտ քանակով տարրեր։ Դատարկ բազմության մեջ կա երկու տարր ունեցող 0 մաս, և ոչ մի օբյեկտ չի մնում խմբավորելուց հետո, այսինքն զրոն զույգ է։

Սա կարելի է ցույց տալ օբյեկտները զույգերով նկարելով։ Դժվար է պատկերել զրո օբյեկտ, բայց հնարավոր է պատկերել այլ խմբեր և համեմատել դրանք զրոյի հետ։ Օրինակ՝ հինգ օբյեկտ ունեցող բազմությունում կա երկու զույգ, բացի դա, բազմությունում մնում է ևս մեկ օբյեկտ, այսպիսով 5-ը կենտ թիվ է։ Չորս օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի օբյեկտ չի մնում խմբավորելուց հետո, այսպիսով 4-ը զույգ է։ Մեկ օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի զույգ չկա և մեկ մնացորդային օբյեկտ, այսինքն 1-ը կենտ է։ Զրո օբյեկտ ունեցող խմբում ոչ մի մնացորդ օբյեկտ չկա, ուրեմն 0-ն զույգ է։

Ըստ զույգության մեկ այլ սահմանման՝ եթե բազմության տարրերը կարելի է բաժանել երկու հավասար խմբերի, ուրեմն բազմություն կա զույգ քանակով տարր։ Այս սահմանումը համարժեք է անցած սահմանմանը։ Այս դեպքում նույնպես զրոն զույգ է, քանի որ դատարկ բազմությունը կարելի է բաժանել երկու հավասար մասի։

Սա նաև կարելի է ցույց տալ թվային առանցքի միջոցով։ Զույգ և կենտ թվերը հաջորդում են իրար։ Ցանկացած զույգ թվից հաշվելով, դեպի աջ կամ ձախ, յուրաքանչյուր երկրորդ թիվ զույգ է, իսկ զրոն շրջանցելու համար ոչ մի պատճառ չկա։

Բազմապատկումը սահմանելուց հետո կարելի է զույգությունը սահմանել թվաբանական արտահայությունների միջոցով։ Յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ կարելի է ներկայացնել  կամ  տեսքով. առաջին տեսքի թվերը զույգ են, երկրորդ տեսքի թվերը՝ կենտ։ Օրինակ՝ 1-ը կենտ է, քանի որ  0-ն զույգ է, քանի որ

Զույգ և կենտ թվերի սահմանում 

Մաթեմատիկական տերմինների ճշգրիտ սահմանումը, ինչպես օրինակ «զույգ է համարվում երկուսի բազմապատիկ ամբողջ թիվը», կոնվենցիա է։ Ի տարբերություն «զույգ»-ի, որոշ մաթեմատիկական միտումնավոր կառուցված են էափոխումից և տրիվյալությունից խուսափելու համար։ Պարզ թվերը հայտնի օրինակ են։ Մինչև 20-րդ դարը պարզության սահմանումը անկայուն էր, հայտնի մաթեմատիկոսներ, ինչպես օրինակ՝ Քրիստիան Գոլդբախը, Յոհան Հենրիխ Լամբերտը, Ադրիեն-Մարի Լեժանդրն, Արթուր Քելին և Լեոպոլդ Կրոնեկերը իրենց աշխատություններում 1-ը համարել են պարզ թիվ։ Ըստ ժամանակակից սահմանման՝ պարզ է համարվում այն դրական ամբողջ թիվը, որն ունի ճիշտ երկու բաժանարար, հետևաբար՝ 1-ը պարզ չէ։ Այս սահմանումը ավելի բնականորեն է համապատասխանում այն մաթեմատիկական թեորեմներին, որոնք կապված են պարզ թվերի հետ։ Օրինակ՝ թվաբանության հիմնական թեորեմը ավելի հեշտ է ձևակերպել, երբ 1-ը պարզ չէ։

Նույն կերպ կարել է զույգ թվերը սահմանել առանց զրոն ներառելու։ Սակայն, այս դեպքում սահմանումը ավելի դժվար կդարձնի զույգ թվերի հետ կապված թեորեմների ձևակերպումը։ Ազդեցությունը ակնառու է դառնում օրինակ զույգ և կենտ թվերի հանրահաշվական կանոնները մեջ.
 զույգ ± զույգ = զույգ
 կենտ ± կենտ = զույգ
 զույգ × ամբողջ թիվ = զույգ
Տեղադրելով համապատասխան արժեքները՝ ստանում ենք, որ 0-ն զույգ է՝
 2 − 2 = 0
 −3 + 3 = 0
 4 × 0 = 0
Վերոնշյալ կանոնները ճիշտ չէին լինի, եթե զրոն զույգ չհամարվեր։ Լավագույն դեպքում նրանք պետք է ձևափոխվեին։ Օրինակ՝ փորձնական ձեռնարկներից մեկը զույգ էր համարել երկուսին բազմապատիկ բոլոր ամբողջ թվերը, բայց զրոն համարվել է «ոչ կենտ է, ոչ զույգ»։ Հետևաբար, կենտ և զույգ թվերի կանոնները ձեռնարկում ունեին բացառություններ.
 զույգ ± զույգ = զույգ (կամ զրո)
 կենտ ± կենտ = զույգ (կամ զրո)
 զույգ × զրոյից բայց ամբողջ թիվ = զույգ
Զույգության սահմանման մեջ զրոյի բացառումը հանգեցնում է զույգ թվերի համար այլ կանոններում բացառությունների։ Մյուս կողմից, զրոյի զույգությունը անհրաժեշտ է, որպեսզի դրական զույգ թվերի կանոնները գործեն նաև բոլոր ամբողջ թվերի համար։

Մաթեմատիկական կոնտեքստ 
Թվերի տեսության բազմաթիվ արդյուքներ կիրառում են թվաբանության հիմնական թեորեմը և զույգ թվերի հանրահաշվական հատկությունները, հետևաբար զրոյի զույգության հարցը ունի մեզ ազդեցություն։ Օրինակ՝ այն փաստը, որ կամայական դրական թիվ կարելի է ներկայացնել պարզ թվերի արտադրյալ տեսքով, ընդ որում այդ ներկայացումը միակն է, նշանակում է, որ հնարավոր է իմանալ այդ թիվը կենտ թե՞ զույգ թվով իրարից տարբեր պարզ արտադրիչներ ունի։ Քանի որ 1 թիվը պարզ չէ և չունի պարզ արտադրիչներ, այն համարվում է 0 հատ իրարից տարբեր պարզ թվերի արտադրյալ։ Հետևաբար 1 թիվը ունի զույգ քանակությամբ իրարից տարբեր պարզ արտադրիչներ, քանի որ 0-ն զույգ է։ Սրանից հետևում է, որ Մյոբիուսի ֆունկցիան ունի  արժեքը, ինչը անհրաժեշտ է, որպեսզի այն բազմապատկական ֆունկցիա լինի և որ Մյոբիուսի հակադարձ բանաձևը աշխատի։

Կենտ չէ
 թիվը կենտ է, եթե գոյություն ունի ամբողջ  թիվ, այնպես որ ։ Զրոյի կենտ չլինելը կարելի է ապացուցել հակասության միջոցով․ եթե , ապա , որը ամբոցջ թիվ չէ։ Քանի որ զրոն կենտ չէ, եթե ապացուցվում է, որ անհայտ թիվը կնետ է, ապա այդ թիվը չի կարող զրո լինել։ Այս պարզ դիտարկումը ցույց է տալիս, թե ինչու կենտ թիվը զրո չի կարող լինել։

Գրաֆների տեսության դասական արդյունքներից մեկի համաձայն՝ կենտ թվով գագաթ ունեցող կամայական գրաֆ ունի առնվազն մեկ զույգ աստիճան ունեցող գագաթ։ Այս պնդումը պահանջում է, որ զրոն զույգ լինի, քանի որ դատարկ գրաֆը ունի զույգ քանակությամբ գագաթներ, իսկ մեկուսացված գագաթը ունի զույգ աստիճան։ Այս պնդումը ապացուցելու փոխարեն ավելի հեշտ է ապացուցել ավելի խիստ պնդում՝ կենտ կարգ ունեցող կամայական գրաֆ ունի կենտ թվով զույգ աստիճան ունեցող գագաթներ։ Այս արդյունքը բացատրվում է շատ ավելի ընդհանուր արդյունքով, որը հայտնի է ձեռքսեղմման լեմա անվամբ, ըստ որի՝ կամայական գրաֆ ունի զույգ թվով կենտ աստիճան ունեցող գագաթներ։ Վերջապես, զույգ քանակությամբ կենտ գագաթները բացատրվում է աստիճանի գումարի բանաձևով։

Ըստ Շպերների լեմայի՝ սիմպլեքսի եռանկյունացման որոշ գունավորում ունի ենթասիմպլեքս, որը պարունակում է բոլոր գույները։ Այս ենթասիմպլեքսը կառուցելու փոխարեն ավելի հարմար է ինդուկցիայի միջոցով ապացուցել, որ գոյություն ունեն կենտ թվով այսպիսի ենթասիմպլեքսներ։ Լեմայի ավելի խիստ ձևակերպումը բացատրում է թե ինչու է այս թիվը կենտ․ սիմպլեքսի երկու հնարավոր կողմնորոշվածություններ դիտարկելիս այն բնականորեն ստանում է  տեսքը։

Ծանոթագրություններ

Նշումներ

Գրականություն

Արտաքին հղումներ 

 Is Zero Even? - Numberphile, video with Dr. James Grime, University of Nottingham

Տարրական մաթեմատիկա
Զրո