Բեսելի ֆունկցիաներ

Բեսելի ֆունկցիաները, ֆունկցիաների ընտանիք է, Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարման կանոնական լուծումներն են։

որտեղ −ն կամայական իրական թիվ է (ընդհանուր առմամբ−կոմպլեքս) և կոչվում է կարգ։ Առավել հաճախ օգտագործվող Բեսելի ֆունկցիաները −ամբողջական կարգով ֆունկցիաներ են։ Չնայած նրան, որ  և  առաջացնում է միևնույն հավասարումներ, սովորաբար համաձայնեցվում են, որ նրանց համապատասխանեն տարբեր ֆունկցիաներ (որը արվում է, օրինակ, որպեսզի Բեսելի ֆունկցիան լինի -ով հարթ։

Բեսելի ֆունկցիաներն առաջին անգամ որոշված են եղել շվեյցարացի մաթեմատիկոս Դանիել Բերնուլի կողմից, բայց անվանվել են Ֆրիդրիխ Բեսելի պատվին։

Կիրառությունը 
Բեսելի հավասարումն առաջանում է Լապլասի հավասարման և Հելմհոլցի հավասարման լուծումներ գտնելու ժամանակ գլանաձև և գնդաձև կոորդինատների մեջ։ Հետևաբար, Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում է ալիքի տարածման, ստատիկ պոտենցիալի, և նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրների լուծման ժամանակ, օրինակ`

 Էլեկտրամագնիսական ալիքները գլանաձև ալիքատարում
 Ջերմահաղորդականությունը գլանաձև օբյեկտներում
 Բարակ կլոր թաղանթի ձևերը
 Լույսի ինտենսիվության բաշխումը, կլոր անցքի վրա
 Հեղուկով լցված և իր առանցքի շուրջը պտտվող գլանում մասնիկների արագությունը
 Ալիքային ֆունկցիաները գնդաձև սիմետրիկ պոտենցիալային արկղում

Բեսելի ֆունկցիաները օգտագործվում են նաև այլ խնդիրների լուծման համար, օրինակ`ազդանշանների մշակման ժամանակ։

Սահմանումներ 
Քանի որ բերված հավասարումը համարվում է երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում, այն պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծումներ։ Սակայն կախված հանգամանքներից ընտրվում են այդ լուծումների տարբեր սահմանումներ։

Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաներ 
Առաջին կարգի Բեսելի ֆունկցիաները, նշանակված , դրանք հանդիսանում են լուծումներ,  կետում վերջնական ամբողջ կամ ոչ բացասական : Կոնկրետ ֆունկցիայի ընտրությունը և նրա նորմալացումը սահմանվում են (որոշվում են) նրա հատկություններով։ Կարելի է սահմանել այդ ֆունկցիաները օգտագործելով Թեյլորի շարքը զրոյի շուրջը (կամ ավելի ընդհանուր աստիճանային շարք ոչ ամբողջական -ների դեպքում)։

Այստեղ -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է, ֆակտորիալի ընդանրացումը ոչ ամբողջական արժեքների վրա։ Բեսելի ֆունկցիայի գրաֆիկը նման է սինուսոիդի, որի տատանումները մարում են համամասնորեն , չնայած իրականում զրո ֆունկցիաները տեղաբաշխված են ոչ պարբերական։

Բերված են  գրաֆիկները  արժեքների համար։

Եթե -ն թի հանդիսանում ամբողջ թիվ,  և  ֆունկցիաները գծայնորեն անկախ են, հետևաբար համարվում են հավասարման լուծումներ։ Բայց եթե

Այն նշանակում է, որ այս դեպքում ֆունկցիաները գծային կախված են։ Ապա հավասարման երկրորդ լուծումը կլինի երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիան։

Բեսելի ինտեգրալներ 
 ամբողջ արժեքների համար Բեսելի ֆունկցիային կարելի է տալ ուրիշ սահմանում, օգտագործելով ինտեգրալային պատկերումը։

Այս մոտեցումը օգտագործել է Բեսելը, որի օգնությամբ ուսումնասիրել է ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Հնարավոր է նաև այլ ինտեգրալային պատկերումը։

Հատկություններ

Օրթոգոնալ 
Ենթադրենք  Բեսելի  ֆունկցիայի զրոներն են։ Ապա

Ասիմպտոտիկա 
Առաջին և երկրորդ կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար հայտնի են ասիմպտոտիկ բանաձևեր։ Փոքր փաստարկների դեպքում  և ոչ բացասական -ի դեպքում նրանք հետևյալն են`

Որտեղ —Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է (0.5772...), իսկ -Էյլերի գամմա ֆունկցիան է։ Մեծ փաստարկների համար  բանաձևերը ունեն հետևյալ տեսքը`

Հիպերերկրաչափական շարք 
Բեսելի ֆունկցիաները կարող են արտահայտվել հիպերերկրաչափական ֆունկցիաների միջոցով։

Այսպիսով ամբողջ -ների դեպքում Բեսելի ֆունկցիան եզակի անալիտիկ է, իսկ ոչ ամբողջի դեպքում`բազմակի անալիտիկ:

Գեներացնող ֆունկցիա 
Առաջին կարգի և ամբողջական կարգի Բեսելի ֆունկցիաների համար գոյություն ունի պատկերացում որոշակի ձևի ֆունկցիայի Լորանի շարքի գործակիցների միջոցով`

Հարաբերակցություն

Գումարման թեորեմա 
Ցանկացած ամբողջ -ի և կոմպլեքս -ի համար կատարվում է`

Ինտեգրալային արտահայտություններ 
Ցանկացած  և  (այդ թվում կոմպլեքս) կատարվում է`

այս բանաձևի հատուկ դեպք է հանդիսանում ներքևի արտահայտությունը

Գրականություն 
 Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
 Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
 Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

Ֆունկցիա