Բեռնուլիի բազմանդամներ

Բեռնուլիի բազմանդամներ, մաթեմատիկական բազմանդամներ, որոնք անվանել են ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիի։ Դրանք առաջ են եկել հատուկ ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ, մասնավորապես Ռիմանի և Գուրվիցի ζ-ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ։ Նաև հանդիսանում է Ապելի շարքի մասնավոր դեպք։ Ի տարբերություն օրթոգոնալ բազմանդամների, Բեռնուլիի բազմանդամները յուրահատուկ են նրանով, որ արմատների քանակը  միջակայքում կախված չէ բազմանդամի աստիճանի աճից։ Աստիճանի անվերջ աճի դեպքում, Բեռնուլիի բազմանդամը մոտենում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների։

Արտահայտություն 
Բեռնուլիի բազմանդամները կարելի է որոշել տարբեր մեթոդներով։

Ակնհայտ տեսք 
 , որտեղ -ն բինոմային գործակիցն է, -ն՝ Բեռնուլիի թիվ,
Կամ

Ածանցյալ ֆունկցիա 
Բեռնուլիի ածանցյալ ֆունկցիան հետևյալն է՝

Ներկայացումը դիֆերենցիալ օպերատորներով 
 , որտեղ  -ն՝ ֆորմալ դիֆերենցիալ օպերատոր։

Ոչ բարձ աստիճանների համար ակնհայտ տեսք 
Բեռնուլիի բազմանդամի մի քանի հարտահայտություններ

Հատկություն

Սկզբնական տվյալներ 
Սկզբնական տվյալները Բեռնուլիի բազմանդամի համար համավսար են Բեռնուլիի համապատասխան թվերին։
 .

Դիֆերենցում և ինտեգրում 
Ածանցյալի որոշումը ածանցյալ ֆունկցիայից՝
 .
Ձախ մասը տարբերվում է միայն  բազմապատկիչով, այդպիսով՝
 .
Հավասարացնելով գործակիցները նույն աստիճանի դեպքում, ապա կստանանք՝
 ,որտեղից
 . (ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են նման հատկությանը, անվանում են Ապելի շարք)։
Վերջին հավասարումից հետևում է Բեռնուլիի շարքի ինտեգրման օրենքը։
 .
Նույնպես օգտակար հատկություն է հավասարակշռության հատկությունը։
  (երբ  )

Թեորեմ արգումենտի բազմապատկման մասին 
Եթե m-ը կամայական բնական թիվ է, ապա՝
 
Այստեղից բխում է արգումենտի բազմապատկման օրենքը՝
 .

Համաչափություն

Արտաքին հղումներ 
 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.

Թվերի տեսություն
Մաթեմատիկական անալիզ
Շարքեր
Բազմանդամներ