Ռիմանի ինտեգրալ

Ռիմանի  ինտեգրալ, մաթեմատիկական անալիզի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը։ Այն ներմուծվել է 1854 թվականին Բեռնարդ Ռիմանի կողմից և իրենից ներկայացնում է ինտեգրալի հասկացության սկզբնական ձևակերպումը։

Երկրաչափական ոչ ֆորմալ նկարագրություն 

Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը։ Ռիմանը ձևակերպեց ինտեգրալի հասկացությունը, որը մշակվել էր Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից՝ որպես ենթագրաֆիկի (պատկեր, որն ընկած է ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբցիսների առանցքի միջև) մակերես։

Ռիմանը ենթագրաֆիկը դիտարկել է որպես մի քանի ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած պատկեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ամբողջ ինտեգրվող միջակայքը և այն բաժանվում է համապատասխան քանակի փոքր հատվածների։

Տրված պատկերի S մակերեսը տրված  երկարությամբ հատվածների բաժանելիս հավասար կլինի հետևյալ ինտեգրալային գումարին.

Եթե գոյություն ունի սահման, որին ձգտում է S(ինտեգրալային գումար) մակերեսը յուրաքանչյուր բաժանման համար, որն իրականացվել է՝ մեծագույն  -ը ձգտեցնելով զրոյի, ապա այդ սահմանը կոչվում է Ռիմանի ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում։

Ինտեգրալային գումարի միջոցով 
Թող, որ   միջակայքում որոշված լինի իրական ֆունկցիան։

Դիտարկենք միջակայքի բաժանումը (մասնատում)՝ , որն իրենից ներկայացնում է միջակայքի բաժանված տարբեր հատվածների բազմությունը։

Այս մասնատումը  միջակայքը բաժանում է n հատ   միջակայքերի։ Ամենամեծ միջակայքի երկարությունը՝ -ը կոչվում է բաժանման քայլ, որտեղ -ը տարրական միջակայքի երկարությունն է։

Յուրաքանչյուր բաժանված միջակայքում նշենք մեկական կետ՝ : Ինտեգրալային գումար համարվում է հետևյալ արտահայտությունը  :

Եթե անկախ -ի ընտրությունից, երբ բաժանման քայլը ձգտում է զրոյի, ինտեգրալային գումարը ձգտում է միևնույն թվի, ապա այդ թիվը կոչվում է  ֆունկցիայի ինտեգրալ  միջակայքում, այսինքն՝ 
:

Այս դեպքում,  ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրվող (ըստ Ռիմանի)  միջակայքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ չինտեգրվող (ըստ Ռիմանի)  միջակայքում։

Հատկություններ 
 Ոչ այլասերված լինելը. :
 Դրական լինելը. եթե  ինտեգրալային ֆունկցիան ոչ բացասական է, ապա նրա ինտեգրալը  միջակայքում նույնպես ոչ բացասական է։
 Գծայնություն. եթե  և  ֆունկցիաներն ինտեգրելի են, և , ապա  ֆունկցիան նույնպես ինտեգրելի է և :
 Անընդհատություն. եթե  ինտեգրվող ֆունկցիան համաչափ համընկնում է   ֆունկցիայի հետ  միջակայքում, ապա  -ը ինտեգրվող է, և : (Վերջին բանաձևը կարելի է ստանալ 1-ից 3 հատկությունների և սահմանային ֆունկցիայի ինտեգրման կիրառման միջոցով:)
 Միջակայքերի բաժանման ադդետիվություն (Մասերի գումարը հավասար է ամբողջին:). ընդունենք որ :  ֆունկցիան ինտեգրվող է  միջակայքում միայն ու միայն այն դեպքում, երբ այն ինտեգրվող է  և  միջակայքերից յուրաքանչյուրում, և այդ դեպքում :
 Ըստ Ռիմանի՝ ինտեգրվող ֆունկցիայի անընդհատությունը միջակայքերում (1-5 հատկությունների հետևանքը)։ Խզվող ֆունկցիաները կարող են լինել կամ չլինել ինտեգրվող։ Ըստ Ռիմանի չինտեգրվող  ֆունկցիայի օրինակ է անընդհատ խզվող Դիրիխլեյի ֆունկցիան։  Ըստ Ռիմանի ինտեգրվող ֆունկցիաների Լեբեգի չափանիշները. ֆունկցիան ինտեգրվող է, ըստ Ռիմանի՝  միջակայքում միմիայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակ է տվյալ միջակայքում և խզման բազմաթիվ կետերում ունի զրոյական չափ (այսինքն՝ ծածկված լինեն անվերջ փոքր երկարությամբ հաշվելի ինտերվալներով)։
 Եթե  ֆունկցիան հանդիսանում է ֆունկցիայի նախնականը, ապա ֆունկցիայի ինտեգրալը միջակայքում կարելի է հաշվել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևով, և այն հավասար է : (Այն ոչ միայն ըստ Ռիմանի ինտեգրալի, այլ ցանկացած ինտեգրալի ընդհանուր հատկանիշն է, որը բավարարում է 1ի-ց 5 հատկություններին)։ Միջակայքում անընդհատ ֆունկցիան միշտ ունի նախնական, և յուրաքանչյուր նախնական ունի հետևյալ տեսքը՝ , որտեղ -ն ինտեգրման հաստատունն է։

Ռիմանի ինտեգրալի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը 
Որպեսզի  ֆունկցիան լինի ինտեգրվող միջակայքում, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի   գումարը ձգտի զրոյի բաժանման  երկարության հետ։ Այստեղ -ն  ֆունկցիայի տատանումն է  հատվածում,  ֆունկցիայի  տատանումը բազմության վրա հավասար է հետևյալ տարբերությանը՝ , բաժանման երկարությունը՝ :

Պատմություն 
Ինտեգրալի նման սահմանում տվել է Կոշը, բայց այն կիրառվում էր միայն անընդհատ ֆունկցիաների համար։

Ռիմանը 1854 թվականին (հրատարակվել է 1868 թվականին, իսկ ռուսերենով՝ առաջին անգամ  1914 թվականին) տվեց այդ սահմանումը առանց անընդհատության հաշվի առնելու։

Տես նաև 
 Ստիլտյեսի ինտեգրալ

Ծանոթագրություններ

Գրականություն

Արտաքին հղումներ 
 Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
 Строгое определение интеграла Римана.

Ինտեգրալներ