Էմմի Նյոթեր

Էմմի Նյոթեր (, լրիվ անունը՝ Ամելի Էմմի Նյոթեր, ), գերմանացի մաթեմատիկոս, հայտնի է աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։ Պավել Ալեքսանդրովը, Ալբերտ Այնշտայնը, Ժան Դյոդոնեն, Հերման Վեյլը և Նորբերտ Վիները նրան համարում են ամենակարևոր կինը մաթեմատիկայի պատմության մեջ։ Իր ժամանակի առաջատար մաթեմատիկոսներից մեկը լինելով՝ մշակել է օղակների, դաշտերի և դաշտի հանրահաշվի տեսությունները։ Նյոթերի թեորեմը ֆիզիկայում բացահայտում է սիմետրիայի և պահպանման օրենքների կապը։

Նյոթերը ծնվել է Բավարիայի Էռլանգեն քաղաքում, հրեական ընտանիքում։ Հայրը մաթեմատիկոս Մաքս Նյոթերն էր։ Էմմի Նյոթերն սկզբնապես մտադրվել է համապատասխան քննությունները հանձնելուց հետո ֆրանսերեն և անգլերեն դասավանդել, սակայն փոխարենը մաթեմատիկա է սովորում Էռլանգենի համալսարանում, որտեղ դասավանդում էր հայրը։ 1907 թվականին՝ Պաուլ Գորդանի ղեկավարությամբ դիսերտացիա պաշտպանելուց հետո յոթ տարի առանց վարձատրության աշխատում է Էռլանգենի Մաթեմատիկական ինստիտուտում (այդ ժամանակ հիմնականում բացառված էր կանանց ներկայությունը ակադեմիական հաստիքներում)։ 1915 թվականին Դեյվիդ Հիլբերտը և Ֆելիքս Կլայնը նրան հրավիրում են Գյոթինգենի համալսարանի մաթեմատիկական ֆակուլտետ, որը մաթեմատիկական հետազոտությունների հանրահայտ կենտրոն էր։ Սակայն փիլիսոփայության ֆակուլտետը ընդդիմանում է դրան, և Նյոթերը չորս տարի դասախոսում է Հիլբերտ անվան տակ։ Նրա հաբիլիտացիան հաստատվում է 1919 թվականին, ինչը Նյոթերին թույլ է տալիս պրիվատ-դոցենտի աստիճան ձեռք բերել։

Մինչև 1933 թվականը Նյոթերը Գյոթինգենի համալսարանի մաթեմատիկայի ֆակուլտետի առաջատար դեմքն էր. նրա ուսանողներին երբեմն անվանում էին «Նյոթերի տղաներ»։ 1924 թվականին հոլանդացի մաթեմատիկոս Բարտել Լեենդերտ վան դեր Վարդենը միանում է նրա խմբին և շուտով դառնում է Նյոթերի գաղափարների առաջատար ներկայացնողը. Վարդենի՝ 1931 թվականին լույս տեսած «Արդի հանրահաշիվ» հեղինակավոր դասագրքի երկրորդ հատորի հիմքում Նյոթերի աշխատանքն է։ Այդ ընթացքում, մինչ 1932 թվականին Ցյուրիխում կայացած Մաթեմատիկոսների միջազգային համաժողովում Նյոթերի հանրահաշվական նուրբ հոտառությունը ճանաչում գտավ ամբողջ աշխարհում։

Հաջորդ տարի Գերմանիայի նացիստական կառավարությունը հրեաներին ազատեց համալսարակական պաշտոններից, և Նյոթերը մեկնեց Միացյալ Նահանգներ՝ աշխատանքի ընդունվելով Փենսիլվանիայի Բրին-Մար քոլեջում։ 1935 թվականին Նյոթերը ենթարկվեց ձվարանի կիստայի վիրահատության, սակայն, չնայած ապաքինման նշաններին, մահացավ չորս օր անց՝ 53 տարեկանում։ 

Իր աշակերտ Էմիլ Արթինի հետ համատեղ 1932 թ նա ստացել է Աքերման-Թոյբների հիշատակի մրցանակ մաթեմատիկայում ձեռքբերումների համար։

Նյոթերի մաթեմատիկական աշխատանքը բաժանվում է երեք շրջանների (էպոխաների)։ Առաջինում (1908-1919) նա զարգացրել է ինվարիանտների տեսությունը և թվային դաշտերը։ Դիֆերենցիալ ինվարիանտների վերաբերյալ վարիացիոն հաշվի նրա աշխատանքը՝ Նյոթերի թեորեմը, կոչվել է «արդի ֆիզիկայի զարգացումն ուղղորդող, երբևէ ապացուցված ամենակարևոր մաթեմատիկական թեորեմներից մեկը»։ Երկրորդ շրջանում (1920-1926) Նյոթերը ձեռնամուխ է եղել մի աշխատանքի, որը «փոխել է [աբստրակտ] հանրահաշվի դեմքը»։

Իր Idealtheorie in Ringbereichen («ՕԻդեալների տեսությունը օղակներում», 1921 թվականին) դասական աշխատանքում Նյոթերը մշակել է կոմուտատիվ օղակների իդելների տեսությունը, որը լայն կիրառություն գտավ։ Նա աճող շղթաների ընդհատման պայմանների կիրառության հիանալի միջոց գտավ, և այդ պայմաններին բավարարող օբյեկտները ի պատիվ նրա կոչվում են Նյոթերյան։ Երրորդ շրջանում (1927-1935) հրապարակած հիմնական աշխատությունները ոչ կումուտատիվ հանրահաշվի և հիպերկոմպլեքս թվերի վերաբերյալ են։ Նյոթերը միավորել է խմբերի ներկայացուցչության տեսությունը () մոդուլների և իդեալների տեսությունների հետ։ Իր սեփական հրատարակություններից բացի, Նյոթերն իր գաղափարներով առատաձեռն կիսվել է այլ մաթեմատիկոսների հետ։ Այդ գաղափարների մի մասը հեռու էին Նյոթերի ուսումնասիրությունների հիմնական ուղղություններից, օրինակ՝ հանրահաշվական տոպոլոգիայի ոլորտը։

Կենսագրություն 

Էմմիի հայրը՝ Մաքս Նյոթերը, գերմանացի մեծածախ վաճառականներից էր սերում։ 14 տարեկանում նա հիվանդանում է պոլիոմիելիտով, շարժողական կարողություններն այնուհետև վերականգնվում են, սակայն մի ոտքը մնում է պարալիզված։ Մեծապես զբաղվելով ինքնակրթությամբ՝ նա 1868 թվականին դոկտորական աստիճան է ստանում Հայդելբերգի համալսարանում։ Յոթ տարի այնտեղ դասավանդելուց հետո աշխատանք է ստանում բավարական Էռլանգեն քաղաքում, որտեղ հանդիպում է Իդա Ամալիա Կաուֆմանին՝ հարուստ վաճառականի դստերը, և ամուսնանում նրա հետ: Մաքս Նյոթերի ներդրումները մաթեմատիկայում հիմնականում հանրահաշվական երկրաչափության դաշտում են՝ Ալֆրեդ Կլեբշի հետազոտությունների հետքերով։ Նրա ամենահայտնի աշխատանքը Բրիլ-Նյոթերի թեորեմն է և AF+BG թեորեմը։ Նյոթերի անվան հետ են կապվում նաև մի շարք այլ թեորեմներ։

Էմմի Նյոթերը ծնվել է 1882 թվականի մարտի 23-ին։ Ընտանիքում չորս երեխաներից ավագն է։ Նյոթերի առաջին անունը Ամելի է՝ մոր և հորական տատի անունով, սակայն երիտասարդ տարիքից նա սկսում է օգտագործել իր երկրորդ անունը։ Նյոթերը սիրված երեխա էր։ Ուսման մեջ նա աչքի չէր ընկնում, սակայն հայտնի էր խելացիությամբ և ընկերասիրությամբ։ Էմմին կարճատես էր և թեթևակի թոթովախոս (սիգմատիզմ) երեխա ժամանակ։ Տարիներ անց նրանց ընտանիքի բարեկամը պատմում է, որ երեխաների հավաքույթի ժամանակ Նյոթերը արագ լուծում էր գլուխկոտրուկները՝ տրամաբանական խորաթափանցություն ցուցաբերելով վաղ տարիքում: Ինչպես իր ժամանակի աղջիկների մեծ մասին, Նյոթերին սովորեցնում են եփութափ և տնարարություն, ինչպես նաև դաշնամուր նվագել։ Էմմին ոգևորված չէր այսպիսի գործունեությամբ, չնայած սիրում էր պարել:

Էմմին ուներ երեք եղբայր։ Ավագը՝ Ալֆրեդը, ծնվել է 1883 թվականին, 1909 թվականին Էռլանգենի համալսարանում դոկտորական աստիճան է ստացել քիմիայից, մահացել է դրանից ինը տարի անց։ Ֆրից Նյոթերը ծնվել է 1884 թվականին․ հայտնի է իր ակադեմիական հաջողություններով։ Մյունխենում սովորելուց հետո նա հաջողության է հասնում կիրառական մաթեմատիկայում։ Երեխաներից կրտսերը՝ Գուստավ Ռոբերտը, ծնվել է 1889 թվականին։ Նրա կյանքի մասին շատ քիչ բան է հայտնի. տառապել է քրոնիկական հիվանդությամբ, մահացել է 1928 թվականին:

Դասավանդում

Էռլանգենի համալսարան 

Նյոթերը վաղ տարիքում ընդունակություններ ցուցաբերեց անգլերենից և գերմաներենից։ 1900 թվականի գարնանը նա ուսուցիչների համար նախատեսված քննություն հանձնեց այս լեզուներից և ստացավ sehr gut (շատ լավ) գնահատական։ Նյոթերի որակավորումը նրան թույլ էր տալիս դասավանդել այս լեզուներն աղջիկների դպրոցում, բայց փոխարենը նա որոշեց շարունակել ուսումը Էռլանգենի համալսարանում, սակայն ընդունված չէր այդպես վարվել. երկու տարի առաջ համալսարանի Ակադեմիական սենատը հայտարարել էր, որ երկսեռ կրթություն թույլ տալը «կոչնչացնի մանկավարժական կարգը»: Համալսարանի 986 ուսանողներից երկուսն էին կին, որոնցից մեկին՝ Նյոթերին, թույլատրվեց լինել ազատ ունկնդիր, ինչի համար պահանջվում էր դասախոսների թույլտվությունը, որոնց դասախոսություններին նա ուզում էր հաճախել։ Չնայած այս խոչընդոտներին, նա 1903 թվականի հուլիսի 14-ին Նյուրնբերգում գիմնազիական քննություն հանձնեց:

1903–1904 թվականների ձմեռային կիսամյակի ընթացքում Նյոթերը սովորում է Գյոթինգենի համալսարանում՝ հաճախելով աստղագետ Կարլ Շվարցշիլդի և մաթեմատիկոսներ Հերման Մինկովսկու, Օտտո Բլումենթալի, Ֆելիքս Կլայնի և Դավիթ Հիլբերտի դասախոսություններին։ Դրանից քիչ անց համալսարաններում կանանց մասնակցության սահմանափակումները հանվեցին։

Նյոթերը վերադարձավ Էռլանգեն։ Պաշտոնապես համալսարան ընդունվեց 1904 թվականի հոկտեմբերի 24-ին՝ հայտարարելով մաթեմատիկայի վրա կենտրոնանալու իր մտադրության մասին։ Պաուլ Գորդանի ղեկավարությամբ գրում է Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Եռակի երկքառակուսային ձևերի ինվարիանտների լրիվ համակարգի մասին, 1907 թվականին) վերնագրով դիսերտացիա։ Չնայած այն լավ ընդունելության արժանացավ, Նյոթերն ավելի ուշ իր թեզը որակեց որպես «դատարկաբանություն»:

Հաջորդ յոթ տարիներին (1908–1915) Նյոթերն առանց վարձատրության դասավանդում է Էռլանգենի մաթեմատիկական ինստիտուտում՝ երբեմն փոխարինելով հորը, եթե նա վատառողջ էր լինում։ 1910 և 1911 թվականներին հրապարակում է իր թեզի ընդլայնված տարբերակը՝ երեք փոփոխականների փոխարեն n փոփոխականների դեպքի համար։

Գորդանը համալսարանը թողեց 1910 թվականի գարնանը, սակայն շարունակեց երբեմն դասավանդել իր հաջորդի՝ Էրդհարդ Շմիդտի հետ, ով հետագայում աշխատանք ստացավ Վրոցլավում և հեռացավ Էռլանգենից։ 1911 թվականին, երբ ժամանեց Շմիդտին փոխարինող Էռնստ Ֆիշերը, Գորդանը դադարեցրեց ուսուցանելը, իսկ 1912 թվականի դեկտեմբերին մահացավ։

Ըստ Հերման Վեյլի՝ Ֆիշերը կարևոր ազդեցություն է ունեցել Նյոթերի վրա՝ մասնավորապես նրան ներկայացնելով Դավիթ Հիլբերտի աշխատանքները։ 1913-1916 թվականներին Նյոթերը մի քանի հոդվածներ հրապարակեց՝ ընդարձակելով և կիրառելով Հիլբերտի մեթոդներն այնպիսի մաթեմատիկական օբյեկտների նկատմամբ, ինչպիսիք են ռացիոնալ ֆունկցիաների դաշտերը և վերջավոր խմբերի ինվարիանտները։ Այս փուլը նշանավորվում է աբստրակտ հանրահաշվում նրա ներգրավվածությամբ՝ մաթեմատիկայի ոլորտ, որտեղ Նյոթերը հեղափոխական ներդրումներ ունեցավ։

Նյոթերը և Ֆիշերը կենսական բավականություն էին ստանում մաթեմատիկայից և հաճախ դասախոսություններն ավարտելուց երկար ժամանակ անց քննարկում էին դրանք։ Նյոթերը հայտնի է Ֆիշերին ուղարկած իր բացիկներով, որոնց միջոցով շարունակում էր իր մաթեմատիկական վարժանքները:

Գյոթինգենի համալսարան 
1915 թվականի գարնանը Դավիթ Հիլբերտը և Ֆելիքս Կլայնը Նյոթերին հրավիրեցին վերադառնալ Գյոթինգենի համալսարան։ Նրան աշխատանքի ընդունելու այս երկուսի ջանքերը, սակայն, իզուր անցան փիլիսոփայության ֆակուլտետի բանասերների և պատմաբանների պատճառով, որոնք պնդում էին, որ կանայք չպետք է պրիվատ-դոցենտ լինեն։ Ֆակուլտետի անդամներից մեկն առարկեց այսպես. «Ի՞նչ կմտածեն մեր զինվորները, երբ վերադառնան և իմանան, որ պետք է սովորեն կանանց ոտքերի մոտ»: Ի պատասխան Հիլբերտը զայրացած ասում է. «Չեմ կարծում, որ թեկնածուի սեռը փաստարկ է պրիվատ դոցենտ լինելու դեմ։ Վերջիվերջո, սա համալսարան է, ոչ թե հանդերձարան»:

Ապրիլի վերջին Նյոթերը հեռացավ Գյոթինգենից։ Երկու շաբաթ անց Էռլանգենում անսպասելիորեն մահացավ մայրը։ Նա բուժում էր ստանում աչքի համար, բայց հայտնի չէ՝ որքանով դա ազդեցություն կամ կապ ուներ մահվան հետ։ Գրեթե միևնույն ժամանակ Նյոթերի հայրը թոշակի անցավ, իսկ եղբայրը միացավ գերմանական բանակին՝ մասնակցելու Առաջին աշխարհամարտում։ Նյոթերը մի քանի շաբաթով վերադարձավ Էռլանգեն՝ հոգ տանելու ծերացած հորը:

Սակայն Գյոթինգեն ժամանելուց կարճ ժամանակ անց նա դրսևորեց իր ունակությունները՝ ապացուցելով մի թեորեմ, որն այժմ հայտնի է Նյոթերի թեորեմ անունով։ Այն ցույց է տալիս, որ որևէ պահպանման օրենքը զուգակցվում է ֆիզիկական համակարգի սիմետրիայի ածանցելիության հետ: Ամերիկացի ֆիզիկոսներ Լեոն Լեդերմանը և Քրիստափոր Հիլը իրենց «Սիմետրիան և գեղեցիկ տիեզերքը» () գրքում պնդում են, որ Նյոթերի թեորեմը «իսկապես ժամանակակից ֆիզիկայի զարգացումն առաջնորդող ամենակարևոր մաթեմատիկական թեորեմներից մեկն է, որ երբևէ ապացուցվել է, հավանաբար իր կարևորությամբ հավասար Պյութագորասի թեորեմին»:

Երբ առաջին աշխարհամարտն ավարտվեց, 1918-1919 թվականների գերմանական հեղափոխությունը (Նոյեմբերյան հեղափոխություն) էական փոփոխություններ բերեց սոցիալական ոլորտներում, այդ թվում ընդարձակեց կանանց իրավունքները։ 1919 թվականին Գյոթինգենի համալսարանը Նյոթերին թույլ տվեց հաստատել իր հաբիլիտացիան։ Բանավոր քննությունը նա հանձնեց մայիսի վերջին, իսկ հաբիլիտացիայի դասախոսությունը հաջողությամբ կարդաց հունիսին։

Երեք տարի անց Նյոթերը նամակ ստացավ Պրուսիայի Գիտության, արվեստի և հանրային կրթության նախարարից, որով նրան շնորհվում էր nicht beamteter ausserordentlicher Professor (սահմանափակ ներքին ադմինիստրատիվ իրավունքներով և գործառնություններով ժամանակավոր պրոֆեսոր) տիտղոսը: Սա չվարձատրվող «բացառիկ» պրոֆեսորական կոչում էր՝ ի տարբերություն ավելի բարձր «սովորական» պրոֆեսորական կոչման, որը քաղաքացիական ծառայողական պաշտոն էր։ Չնայած սրանով ճանաչվում էր նրա աշխատանքի կարևորությունը՝ Նյոթերը չէր վարձատրվում։ Նյոթերը աշխատավարձ չստացավ՝ մինչև մեկ տարի անց Lehrbeauftragte für Algebra հատուկ պաշտոնում նշանակվելը:

Աշխատանքներն աբստրակտ մաթեմատիկայում 
Չնայած Նյոթերի թեորեմը խոր ազդեցություն ունեցավ ֆիզիկայում՝ մաթեմատիկոսների շրջանում նա ամենաշատը հիշվում է աբստրակտ հանրահաշվում իր բեղմնավոր գործունեությամբ։ Նյոթերի «Հոդվածների ժողովածուի» իր առաջաբանում Նաթան Ջեյքոբսոնը ասում է.

Նյոթերի հեղափոխական աշխատանքը հանրահաշվում սկսվում է 1920 թվականին։ Վ. Շմայդլերի հետ համահեղինակությամբ նա հոդված է հրատարակում իդեալների տեսության մասին, որում նրանք սահմանում են աջ և ձախ իդեալները օղակներում։ Հաջորդ տարի նա հրատարակում է Idealtheorie in Ringbereichen շրջադարձային հոդվածը, որտեղ վերլուծում է աճող օղակների պայմանները մաթեմատիկական իդեալների նկատմամբ։ Հայտնի հանրահաշվագետ Իրվինգ Կապլանսկին այս աշխատանքն անվանում է «հեղափոխական»: Այս հրատարակության հետևանքով ստեղծվեց «Նյոթերյան օղակ» եզրույթը և մի շարք այլ մաթեմատիկական օբյեկտների անվանումներ, ինչպես օրինակ նյոթերյանները:

1942 թվականին հոլանդացի երիտասարդ մաթեմատիկոս Բարտել Լեենդերտ վան դեր Վարդենը ժամանում է Գյոթինգենի համալսարան։ Նա անմիջապես սկսում է աշխատել Նյոթերի հետ, ով աբստրակտ կոնցեպտուալացման անգնահատելի մեթոդներ էր տալիս։ Ավելի ուշ վան դեր Վարդենը ասում է, որ նրա օրիգինալությունը «բացարձակապես համեմատությունից անդին էր»: 1931 թվականին Վարդենը հրատարակում է այդ ոլորտում առանցքային աշխատանք՝ Moderne Algebra վերնագրով. դրա երկրորդ հատորը մեծ մասամբ փոխառված է Նյոթերի աշխատանքներից։ Չնայած Նյոթերը ճանաչում չէր փնտրում՝ Վարդենը յոթերորդ հրատարակության մեջ ներառում է «Մասամբ հիմնված է Է Արթինի և Է. Նյոթերի աշխատանքների վրա» նշումը: Նյոթերը երբեմն իր գործընկերներին և ուսանողներին թույլ էր տալիս օգտվել իր գաղափարներից՝ օգնելով նրանց իր հաշվին կարիերա անել:

Գյոթինգենը դարձել էր մաթեմատիկական և ֆիզիկական հետազոտությունների կարևոր օջախ։ Ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները ձգտում էին դեպի Գյոթինգեն, և Վան դեր Վարդենի այցը նույնպես պայմանավորված էր դրանով։

1926-1930 թվականներին ռուս տոպոլոգ Պավել Ալեքսանդրովը դասավանդում էր համալսարանում։ Նա և Նյոթերն արագ ընկերացան։ Ալեքսանդրովն սկսեց Նյոթերին դիմել der Noether՝ գերմաներենի արական հոդը կիրառելով որպես հարգանքի նշան։ Նյոթերը փորձեց Ալեքսանդրովի համար մշտական պրոֆեսորի հաստիք ստանալ, սակայն կարողացավ օգնել միայն Ռոկֆելլեր հիմնադրամի կրթաթոշակով: Նրանք կանոնավոր հանդիպում էին և քննարկում հանրահաշվի և տոպոլոգիայի փոխադարձ հետաքրքրությունները։ 1935 թվականին հիշատակի խոսքում Ալեքսանդրովը Նյոթերին անվանում է «բոլոր ժամանակների մեծագույն կին մաթեմատիկոս»:

Դասավանդումը և ուսանողները 
Գյոթինգենում Նյոթերը ղեկավարել է տասնյակից ավելի դոկտորանտների։ Նրանցից առաջինը Գրետա Հերմանն էր, որն իր դիսերտացիան պաշտպանեց 1925 թվականի փետրվարին։ Հերմանը հետագայում ակնածանքով էր խոսում իր «դիսերտացիայի մոր» մասին: Նյոթերը ղեկավարել է նաև Մաքս Դյուրինգին, ով առանձնանում էր որպես ուսանող և էական ներդրումներ է ունեցել թվաբանական երկրաչափության մեջ, Հանս Ֆիթինգին, ով հայտնի է Ֆիթինգի թեորեմով և Ֆիթինգի լեեմայով, Ծենգ Չիունգ-Չիին (ով ապացուցել է Ծենգի թեորեմը)։ Սերտորեն աշխատել է նաև Վոլֆգանգ Կրուլի հետ, ով մեծապես զարգացրել է կոմուտատիվ հանրահաշիվը Կրուլի իդեալների հիմնական թեորեմով և կոմուտատիվ օղակների համար Կրուլի չափայնությամբ:

Բացի մաթեմատիկական խորաթափանցությունից, Նյոթերը նաև հարգված էր մյուսների հանդեպ իր վերաբերմունքի շնորհիվ։ Չնայած նա երբեմն կոշտ էր լինում իր հետ չհամաձայնողների նկատմամբ, սակայն նոր ուսանողներին համբերատար աջակցելու և մշտապես օգտակար լինելու համբավ էր վայելում։ Մաթեմատիկական ճշգրտության հանդեպ նրա հավատարմության պատճառով գործընկերներից մեկը Նյոթերին անվանել է «դաժան քննադատ», սակայն Նյոթերի պահանջկոտությունը մանկավարժական նկատառումներով էր պայմանավորված: Գործընկերներից մեկը նրան այսպես է նկարագրում․ «Բացառապես անեսասեր էր և զերծ փառասիրությունից, երբեք որևէ բան չէր պահանջում իր համար, և նախ առաջ էր մղում իր ուսանողների աշխատանքները»:

Նյոթերի անշուք կենցաղը նախևառաջ պայմանավորված էր աշխատանքի համար չվարձատրվելու հանգամանքով, սակայն նույնիսկ երբ համալսարանը սկսեց 1923 թվականից աշխատավարձ վճարել, նա շարունակեց ապրել պարզ և համեստ կյանքով։ Ավելի ուշ նա ավելի բարձր էր վարձատրվում, սակայն աշխատավարձը տնտեսում էր՝ օգնելու համար Ֆրից Նյոթերի որդուն՝ Գոթֆրիդ Նյոթերին:

Ըստ կենսագիրների՝ Նյոթերը, առավելապես անտարբեր լինելով արտաքինի և վարվելաձևերի հանդեպ, կենտրոնացած էր իր ուսումնասիրությունների վրա։ Հայտնի հանրահաշվագետ Օլգա Տաուսկի-Տոդը նկարագրում է, որ մի անգամ նախաճաշի ընթացքում Նյոթերը, ամբողջովին կլանված մաթեմատիկական քննարկումով, «ակտիվ շարժում էր ձեռքերը» և ուտելու ընթացքում «թափում էր ուտելիքը և կեղտոտում հագուստը կատարելապես առանց մտահոգության»: Արտաքինի հանդեպ ուշադիր ուսանողներին նյարդայնացնում էին նրա անխնամ մազերը։ Կին ուսանողներից երկու հոգի մի անգամ դասամիջոցին մոտենում են Նյոթերին՝ իրենց կարծիքն արտահայտելու այդ մասին, սակայն չեն կարողանում նրան կտրել աշխույժ մաթեմատիկական քննարկումից, որ ծավալվել էր մյուս ուսանողների հետ:

Համաձայն Վան դեր Վարդենի մահախոսականի, Նյոթերը չէր հետևում դասախոսությունների համար նախատեսված ծրագրին, ինչից որոշ ուսանողներ դժգոհ էին մնում։ Փոխարենը Նյոթերը դասախոսություններն օգտագործում էր ուսանողների հետ հանպատրաստից քննարկման համար՝ կշռադատելով և հստակեցնելով մաթեմատիկայի կարևոր արդիական խնդիրները։ Նրա կարևոր արդյունքներից մի քանիսը մշակվել են այս դասախոսությունների ընթացքում, իսկ ուսանողների գրառած դասախոսությունները հիմք են դարձել մի քանի կարևոր դասագրքերի համար, ինչպես Վարդենինը և Դյուրինգինը։

Նյոթերի գործընկերներից մի քանիսը հաճախում էին նրա դասախոսություններին, և նա թույլ է տալիս իր գաղափարներից ոմանք, ինչպես հատվող արտադրյալը (անգլ. crossed product, գերմ. verschränktes Produkt) հրատարակեն ուրիշները։ Նյոթերը Գյոթինգենում մի կիսամյակ տևողությամբ առնվազն հինգ դասախոսություն է կարդացել։
 1924/25 ձմեռ՝ Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Խմբերի տեսություն և հիպերկոմպլեքս թվեր)
 1927/28 ձմեռ՝ Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Հիպերկոմպլեքս մեծություններ և պատկերացումների տեսություն)
 1928 գարուն՝ Nichtkommutative Algebra (Ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվ)
 1929 ամառ՝ Nichtkommutative Arithmetik (Ոչ կոմուտատիվ թվաբանություն)
 1929/30 ձմեռ՝ Algebra der hyperkomplexen Grössen (Հիպերկոմպլեքս մեծությունների հանրահաշիվ)

Դասընթացները հաճախ նախորդում էին այս ոլորտների կարևոր հրատարակություններին։

Շատերի վկայությամբ՝ Նյոթերը խոսում էր արագ, թռչելով մտքից միտք և մեծ կենտրոնացվածություն էր պահանջում իր ուսանողներից։ Նրա ոճը չհավանող ուսանողները հաճախ հակակրանքով էին լցվում նրա հանդեպ: Ուսանողներից ոմանք զգում էին, որ նա չափազանց շատ է հենվում հանպատրաստից քննարկումների վրա։ Սակայն նրան նվիրված ուսանողները բավականություն էին ստանում մաթեմատիկայի հանդեպ նրա էնտուզիազմից, հատկապես, երբ նա դասախոսությունները կառուցում էր միասին արված աշխատանքների վրա։

Նյոթերը համախոհ գործընկերների և ուսանողների հետ նեղ շրջան էր ձևավորել, որտեղ այլախոհները չէին ընդունվում։ «Կողմնակի անձինք», ովքեր հազվադեպ հաճախում էին Նյոթերի դասախոսություններին, սովորաբար այնտեղ 30 րոպեից ավել չէին մնում և հեռանում էին շփոթված կամ վրդովված։ Մշտական ուսանողը նման դեպքերում ասում էր. «Թշնամին պարտված է, նրա հաշիվը մաքրված է»:

Նյոթերի նվիրումը իր առարկային և ուսանողներին անցնում էր ակադեմիական օրվա սահմանները։ Մի անգամ, երբ շենքը փակ էր պետական տոնի պատճառով, նա հավաքում է դասարանը դրսում, առաջնորդում նրանց ծառերի միջև դեպի տեղի սրճարան և դասն անցկացնում այնտեղ: Ավելի ուշ, Երրորդ ռայխի կողմից ազատվելուց հետո նա ուսանողներին տուն էր հրավիրում՝ քննարկելու ապագայի նրանց ծրագրերը և մաթեմատիկական մտահղացումները:

Մոսկվա 

1928–1929 թվականների ձմռանը Նյոթերն ընդունում է Մոսկվայի պետական համալսարանի հրավերը։ Այնտեղ շարունակում է աշխատել Պավել Ալեքսանդրովի հետ։ Բացի իր հետազոտություններից, դասավանդում է աբստրակտ հանրահաշիվ և հանրահաշվական երկրաչափություն։ Աշխատում է տոպոլոգներ Լև Պոնտրյագինի և Նիկոլայ Չեբոտարյովի հետ, ով հետագայում դրվատում է նրա ներդրումները Գալուայի տեսության զարգացման մեջ:

Չնայած Նյոթերի կյանքում քաղաքականությունը առանցքային դեր չուներ՝ նա մեծ հետարքրքրությամբ էր հետևում քաղաքական անցուդարձին և, ըստ Ալեքսանդրովի, նկատելի աջակցություն է ցույց տվել 1917 թվականի ռուսական հեղափոխությանը։ Նա հատկապես երջանիկ էր՝ տեսնելով խորհրդային առաջընթացը գիտության և մաթեմատիկայի բնագավառներում, ինչը նրա կարծիքով բոլշևիկյան նախագծերով իրականացնելի դարձած հնարավորության շնորհիվ էր։ Այս տեսակետը նրա համար խնդրահարույց դարձավ Գերմանիայում՝ ընդհուպ մինչև դատարանի որոշումով վտարում պանսիոնատի շենքից այն բանից հետո, երբ ուսանողները բողոքեցին, որ ապրում են «մարքսիզմակողմնորոշված հրեուհու» հետ:

Նյոթերը ծրագրում էր վերադառնալ Մոսկվա. ջանքեր, որոնց աջակցում էր Ալեքսանդրովը։ 1933 թվականին Գերմանիայից հեռանալուց հետո նա փորձում է հաստիք ստանալ Մոսկվայի պետական համալսարանում խորհրդային լուսժողկոմատի միջոցով։ Չնայած այս ջանքերի ապարդյունությանը՝ նրանք շարունակում են թղթակցությունը 1930-ականների ընթացքում, իսկ 1935 թվականին նա ծրագրում է վերադառնալ Խորհրդային Միություն: Մինչ այդ Էմմիի եղբայրը՝ Ֆրիցը, որը Գերմանիայում զրկվել էր աշխատանքից, ընդունում է Տոմսկի Մաթեմատիկայի և մեխանիկայի հետազոտական ինստիտուտի հրավերը:

Ճանաչումը 
1932 թվականին Էմմի Նյոթերը և գերմանացի հայազգի մաթեմատիկոս Էմիլ Արթինը մաթեմատիկայում իրենց ներդրումների համար ստանում են Աքերման-Թոյբների հիշատակի մրցանակ։ Դրամական մրցանակը 500 ռայխսմարկ էր։ Դա ընկալվեց որպես այդ բնագավառում նրա պատկառելի աշխատանքների ճանաչում։ Չնայած դրան, Նյոթերի գործընկերները ցայրացած էին այն փաստից, որ նա չընտրվեց Գյոթինգենի գիտությունների ակադեմիա (Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften) և երբեք չհաստատվեց Ordentlicher Professor (իսկական պրոֆեսոր) հաստիքում:

Նյոթերի գործընկերները տոնում են նրա հիսունամյակը 1932 թվականին՝ տիպիկ մաթեմատիկական ոճով։ Հելմուտ Հասսեն նրան է նվիրում իր հոդվածը Mathematische Annalen (Մաթեմատիկական տարեգրություն) ամսագրում, որտեղ հաստատում է Նյոթերի այն ենթադրությունը, որ ոչ կոմուտատիվ հանրահաշվի որոշ բնագավառներ ավելի պարզ են, քան կոմուտատիվինը՝ ապացուցելով ոչ կոմուտատիվ փոխադարձության քառակուսային օրենքը: Սա անչափ դուր եկավ Նյոթերին։ Հասսեն նաև նրան ուղարկեց մաթեմատիկական գլուխկոտրուկ` «mμν-վանկային գլուխկոտրուկ», որը Նյոթերն անմիջապես լուծեց։ Գլուխկոտրուկը չի պահպանվել:

Միևնույն տարվա նոյեմբերին Նյոթերը պլենար զեկուցում (großer Vortrag) կարդաց Ցյուրիխի Մաթեմատիկոսների միջազգային կոնգրեսում «Հիպերկոմպլեքս համակարգերի առնչությունները կոմուտատիվ հանրահաշվին և թվերի տեսությանը» վերնագրով։ Կոնգրեսին մասնակցում էին 800 հոգի՝ ներառյալ Նյոթերի գործընկերներ Հերման Վեյլը, Էդմունդ Լանդաուն և Վոլֆգանգ Կրուլը։ Կային 420 պաշտոնական մասնակիցներ, ներկայացվեցին քսանմեկ պլենար զեկուցումներ։ Նյոթերի հանդես գալն ակնհայտորեն վկայում էր մաթեմատիկայում Նյոթերի աշխատանքների կարևորության ճանաչման մասին։ 1932 թվականի կոնգրեսը երբեմն նկարագրվում է որպես նրա կարիերայի բարձրակետը:

Վտարումը Գյոթինգենից 
1933 թվականի հունվարին, երբ Գերմանիայի ռայխսկանցլեր դարձավ Ադոլֆ Հիտլերը, երկրում դրամատիկորեն աճեց նացիստների ակտիվությունը։ Գյոթինգենի համալսարանում Գերմանիայի ուսանողների միությունը հարձակումներ էր գործում հրեաների «ոչ գերմանական ոգու» վրա՝ օժանդակություն ստանալով Վերներ Վեբեր անունով պրիվատ-դոցենտից, որը Նյոթերի նախկին ուսանողներից էր։ Հակասեմական տրամադրությունները անբարյացակամ մթնոլորտ էին ստեղծում հրեա պրոֆեսորների համար։ Երիտասարդ բողոքողներից մեկը պահանջում է. «Արիացի ուսանողներն ուզում են արիացի մաթեմատիկոսներ և ոչ թե հրեա։»։

Հիտլերի կառավարության առաջին գործողություններից մեկը Քաղաքացիական ծառայության վերականգնման օրենքն էր, որը հարկադրում էր աշխատանքից հեռանալ հրեաներին և կառավարության համար քաղաքականապես կասկածելի անձանց (նաև համալսարանական դասախոսներին), եթե նրանք «չէին ցուցադրել իրենց հավատարմությունը Գերմանիային»՝ ծառայելով Առաջին համաշխարհային պատերազմում։ 1933 թվականի ապրիլին Նյոթերը Պրուսիայի գիտության, արվեստի և հանրային կրթության նախարարից գրություն է ստանում, որտեղ ասվում էր. «1933 թվականի ապրիլի 7-ի Քաղաքացիական ծառայության օրենքի երրորդ պարագրաֆի հիման վրա սույնով Ձեզ զրկում եմ Գյոթինգենի համալսարանում դասավանդելու իրավունքից»: Նյոթերի մի քանի գործընկերներ, այդ թվում Մաքս Բոռնը և Ռիխարդ Կուրանտը նույնպես ազատվում են աշխատանքից: Նյոթերը որոշումը հանդարտությամբ է ընդունում՝ սատարելով մյուսներին այդ դժվարին ժամանակներում։ Ավելի ուշ Հերման Վեյլը գրում է, որ «Մեզ շրջապատող այդ ամբողջ ատելության և սրիկայության, հուսահատության և վշտի մեջ Էմմի Նյոթերը՝ նրա արիությունը, ուղղամտությունը, անվրդովվությունն իր ճակատագրի հանդեպ, նրա խաղաղարար ոգին բարոյական սփոփանք էր մեզ համար»։ Նյոթերը, ինչպես հատուկ էր իրեն, մնում է կենտրոնացած մաթեմատիկայի վրա՝ ուսանողներին հավաքելով իր բնակարանում և քննարկելով դասերի դաշտի տեսությունը։ Երբ նրա ուսանողներից մեկը հայտնվում է նացիստական կառավարության գրոհայինների կազմակերպության (Sturmabteilung, SA), հանդերձանքով, Նյոթերը վրդովմունքի նշան ցույց չի տալիս և, ըստ վկայության, հետագայում նույնիսկ ծիծաղում է դրա վրա:

Բրին Մար 

Երբ անգործ մնացած տասնյակ պրոֆեսորներ սկսեցին աշխատանք փնտրել Գերմանիայից դուրս, ԱՄՆ-ի նրանց գործընկերները մտածեցին օգնության և աշխատանքի հնարավորություններ ստեղծելու մասին։ Ալբերտ Այնշտայնը և Հերման Վեյլը ընդունվեցին Փրինսթոնի Հեռանկարային հետազոտությունների ինստիտուտ, ուրիշները օրինական ներգաղթի համար անհրաժեշտ երաշխավոր էին փնտրում։ Նյոթերը կապվեց երկու կրթական հաստատությունների ներկայացուցիչների հետ. Բրին Մար քոլեջը Միացյալ Նահանգներում և Օքսֆորդի համալսարանը Անգլիայում։ Մի քանի մերժումներից հետո Ռոկֆելլեր հիմնադրամը Նյոթերին դրամաշնորհ հատկացրեց Բրին Մար քոլեջում, և նա 1933 թվականի վերջին տեղափոխվեց այնտեղ:

Բրին Մարում Նյոթերը հանդիպեց և ընկերացավ Աննա Վիլլերի հետ, ով սովորել էր Գյոթինգենում հենց Նյոթերի՝ այնտեղ ընդունվելուց առաջ։ Քոլեջում նրան օժանդակողներից էր նաև տնօրենը՝ Մարիոն Էդվարդս Փարքը, որը մաթեմատիկոսներին ոգեշնչված հրավիրում էր «տեսնելու Նյոթերին գործողության մեջ»: Նյոթերը և ուսանողների փոքրաթիվ թիմն արագ աշխատում են վան դեր Վարդենի 1930 թվականի «Ժամանակակից հանրահաշիվ I» (Moderne Algebra I) գրքի և Էրիխ Հեքեի «Հանրահաշվական թվերի տեսություն» (Theorie der algebraischen Zahlen, 1908) գրքի մի մասի վրա (Theory of algebraic numbers, 1908):

1934 թվականին Նյոթերը Աբրահամ Ֆլեքսների և Օսվալդ Վեբլենի հրավերով սկսում է դասավանդել Պրինստոնի Հեռանկարային հետազոտությունների ինստիտուտում։ Աշխատում է նաև Աբրահամ Ալբերտի և Հարի Վանդիվերի հետ՝ ղեկավարելով նրանց: Սակայն Փրինսթոնի համալսարանի մասին նա նշում է, որ բարյացակամ ընդունելություն չի գտել «տղամարդկանց համալսարանում, որտեղ կանացի ոչինչ չէր ընդունվում»:

Նյոթերը սիրված անուն էր Միացյալ Նահանգներում։ Ինչպես միշտ, նա շրջապատված էր իրեն սատարող գործընկերներով և կլանված էր իր սիրելի առարկաներով: 1934 թվականի ամռանը նա կարճ ժամանակով վերադառնում է Գերմանիա՝ տեսակցելու Էմիլ Արթինին և իր եղբայր Ֆրիցին, մինչ վերջինս կհեռանար Տոմսկ։ Չնայած նրա շատ գործընկերների դուրս էին մղել համալսարաններից՝ Նյոթերը կարողացավ օգտվել գրադարանից որպես «արտասահմանյան գիտնական»:

Մահ 

1935 թվականի ապրիլին բժիշկները Նյոթերի կոնքում մկանուռուցք (միոմա) հայտնաբերեցին։ Անհանգստանալով բարդ վիրահատության համար՝ նրանք նախևառաջ երկօրյա անկողնային հանգիստ նշանակեցին։ Վիրահատության ընթացքում պարզվեց, որ նա «մեծ կանտալուպի չափ» ձվարանի կիստա ունի: Արգանդի երկու ավելի փոքր ուռուցքները բարորակ էին և չհեռացվեցին վիրահատությունը չափազանց չերկարացնելու համար։ Հաջորդ երեք օրերին Նյոթերը ապաքինվում էր, չորրորդ օրն արդեն կարգավորվել էր անոթային անբավարարությունը։ Ապրիլի 14-ին նա կորցնում է գիտակցությունը, ջերմաստիճանը բարձրանում է մինչև 42,8 °C, և Նյոթերը մահանում է։ «Դժվար է ասել, թե ինչ պատահեց Նյոթերին,- գրում է բժիշկներից մեկը,- հնարավոր է, որ հազվադեպ և վտանգավոր վարակ էր ախտահարել ուղեղի հիմային հատվածները, որտեղ տեղակայված են ջերմակարգավորման կենտրոնները»:

Նյոթերի մահից մի քանի օր անց Բրին Մարի նրա ընկերները և գործընկերները հիշատակի փոքր արարողություն կազմակերպեցին քոլեջի Տնօրինության զբոսայգու տանը։ Հերման Վեյլը և Ռիչարդ Բարուերը եկան Պրինստոնից և Վիլլերի ու Տաուսկիի հետ մահախոսական կարդացին։ Հետագա ամիսներին իրենց հարգանքի տուրքը գրավոր արտահայտեցին գիտնականներ տարբեր երկրներից. խոսք ասացին Ալբերտ Այնշտայնը, վան դեր Վարդենը, Պավել Ալեքսանդրովը։ Նյոթերի մարմինը դիակիզեցին, իսկ աճյունը հողին հանձնեցին Բրին Մարի Մ. Քերի Թոմաս գրադարանի մենաստանին կից զբոսուղում:

Ներդրումները մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում 
Մաթեմատիկայում Նյոթերն առաջին հերթին հիշվում է հանրահաշվի և տոպոլոգիայի իր աշխատանքներով։ Ֆիզիկայում նրա կարևորագույն ներդրումը հայտնի թեորեմն է, քանի որ դրանից խոր հետևանքներ են բխում տեսական ֆիզիկայի և դինամիկ համակարգերի համար։ Նյոթերն աբստրակտ մտածողության ուժգին հակում ուներ, ինչը նրան թույլ էր տալիս մաթեմատիիկայի խնդիրների մոտենալ թարմ և ինքնօրինակ ճանապարհներով: Նրա բարեկամ և գործընկեր Հերման Վեյլը գիտական աշխատությունները երեք շրջանի է բաժանում.

Առաջին շրջանում (1907–1919) Նյոթերը հիմնականում գործ ուներ դիֆերենցիալ և հանրահաշվական ինվարիանտների հետ՝ դիսերտացիան սկսելով Պաուլ Գորդանի ղեկավարությամբ։ Գորդանի հաջորդի՝ Էռնստ Սիգիզմունդ Ֆիշերի միջոցով ծանոթանալով Դավիթ Հիլբերտի աշխատություններին՝ Նյոթերի մաթեմատիկական հորիզոններն ընդլայնվում են, և աշխատանքները դառնում են ավելի ընդհանուր և աբստրակտ։ 1915 թվականին Գյոթինգեն տեղափոխվելուց հետո Նյոթերը ստեղծում է ֆիզիկայում իր բեղմնավոր աշխատանքը՝ Նյոթերի երկու թեորեմները։

Երկրորդ շրջանում (1920–1926) Նյոթերը նվիրվում է մաթեմատիկական օղակների մշակմանը:

Երրորդ շրջանում (1927–1935) կենտրոնանում է ոչ կումուտատիվ հանրահաշվի, գծային ձևափոխությունների և կոմուտատիվ թվային դաշտերի վրա:

Պատմական կոնտեքստ 
1832-ից մինչև 1935 թվականը՝ Նյոթերի մահը, մաթեմատիկայի ոլորտում, հատկապես հանրահաշվում խորունկ հեղափոխություն եղավ, ինչի արձագանքները մինչ օրս զգացվում են։ Նախորդ դարերի մաթեմատիկոսները մշակում էին խորանարդ, երկքառակուսի և հնգաստիճան հատուկ տիպի հավասարումները լուծելու գործնական մեթոդներ, ինչպես նաև կանոնավոր բազմանկյուններ կառուցելու հարակից խնդիրներ՝ կիրառելով կարկին և քանոն։ Սկսած 1832 թվականի Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսի ապացույցից, ըստ որի՝ պարզ թիվը, ինչպես օրինակ հինգը, կարելի է ֆակտորացնել գաուսյան ամբողջ թվերի, խմբերի տեղափոխության Էվարիստ Գալուայի 1832 թվականի ներածությունից (որը սակայն, նրա մահվան պատճառով անհայտ մնաց, և աշխատանքերը հրատարակվեցին միայն 1846 թվականին), 1843 թվականին Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից քվատերնիոնների բացահայտումից և 1854 թվականին Արթուր Քեյլիի կողմից խմբերի արդիական սահմանումից, հետազոտությունները շրջվեցին է՛լ ավելի աբստրակտ համակարգերի հատկությունները որոշելու ուղղությամբ՝ սահմանելով է՛լ ավելի ընդհանրական կանոններ։ Նյոթերի ամենակարևոր ներդրումները մաթեմատիկայում այս նոր բնագավառի՝ աբստրակտ հանրահաշվի մշակումն էր։

Աբստրակտ հանրահաշիվ և կոնցեպտուալ մաթեմատիկա 
Աբստրակտ հանրահաշվի երկու հիմնական օբյեկտները խմբերը և օղակներն են։

Խումբը կազմված է տարրերի բազմությունից և միակ գործողությունից, որը միավորում է առաջին և երկրորդ տարրը և վերադարձնում է երրորդը։ Խումբ սահմանվելու համար գործողությունը պետք է բավարարի որոշակի սահմանափակող պայմանի. այն պետք է լինի փակ (եթե կիրառված է կապակցված բազմության ցանկացած զույգ տարրի հանդեպ, առաջացած տարրը նույնպես պետք է բազմության անդամ լինի), այն պետք է լինի զուգորդական, այն պետք է ունենա չեզոք տարր (տարր, որը գործողության միջոցով այլ տարրի հետ միավորելիս ստացվում է սկզբնական տարրը, ինչպես օրինակ, թվին զրո գումարելը կամ թիվը մեկով բազմապատկելը) և յուրաքանչյուր տարրի համար պետք է գոյություն ունենա հակադարձ տարր։

Համանման կերպով, օղակն ունի տարրերի բազմություն, սակայն երկու գործողություն։ Առաջին գործողությունը պետք է բազմությունը դարձնի խումբ, իսկ երկրորդը պետք է զուգորդական և բաշխական լինի առաջին գործողության նկատմամբ։ Այն կարող է լինել կամ չլինել կոմուտատիվ. սա նշանակում է, որ գործողությունը առաջին և երկրորդ տարրերի վրա կիրառելիս նույն արդյունքն է ստացվում, ինչ երկրորդ և առաջին տարրերի վրա կիրառելիս. տարրերի հերթականությունը նշանակություն չունի։ Եթե յուրաքանչյուր ոչ զրոյական տարր ունի հակադարձ թիվ ( տարրն այնպիսին է, որ ), օղակը կոչվում է բաժանումով օղակ։ Դաշտը սահմանվում է որպես կոմուտատիվ բաժանվող օղակ։

Խմբերը հաճախ ուսումնասիրվում են խմբի ներկայացումներով։ Դրանք ամենաընդհանուր ձևով բաղկացած են խմբի, բազմության և բազմության վրա խմբի գործողության ընտրությունից, այսինքն՝ գործողություն, որը վերցնում է խմբի տարր և բազմության տարր և վերադարձնում է բազմության տարր։ Ավելի հաճախ բազմությունը վեկտորական տարածություն է, իսկ խումբը ներկայացնում է վեկտորական տարածության սիմետրիաները։ Օրինակ, գոյություն ունի խումբ, որը ներկայացնում է տարածության կոշտ պտույտը։ Սա տարածության սիմետրիայի մի տեսակ է, քանի որ տարածությունն ինքնին չի փոխվում, երբ այն պտտվում է, նույնիսկ եթե փոխվում է նրանում գտնվող օբյեկտի դիրքը։ Նյոթերն իր ֆիզիկայի ինվարիանտների մասին աշխատանքում կիրառում է այս տիպի սիմետրիաները։

Օղակներն ուսումնասիրելու հզոր միջոցը նրանց մոդուլներն են։ Մոդուլը կազմված է օղակի ընտրանքից՝ մեկ այլ բազմություն, որը սովորաբար տարբերվում է օղակի հիմնական բազմությունից և կոչվում է մոդուլի հիմնական բազմություն, մոդուլի հիմնական բազմության երկու տարրերի վրա կիրառվող գործողությունից, և մեկ այլ գործողությունից, որը վերցնում է օղակի տարր և մոդուլի տարր և վերադարձնում է մոդուլի տարր։ Մոդուլի հիմնական բազմությունը և նրա գործողությունը պետք է խումբ ձևավորեն։ Մոդուլը խմբի ներկայացման տեսական օղակի տարբերակն է. երկրորդ օղակի գործողության և մոդուլի երկու տարրերի վրա գործողության անտեսումով սահմանվում է խմբի ներկայացումը։ Մոդուլների իրական օգուտն այն է, որ գոյություն ունեցող որոշ մոդուլներ և նրանց ներկայացումներ արտահայտում են օղակի կառուցվածքն այնպիսի միջոցներով, որ ինքնին օղակից ակնհայտ չեն։ Սրա կարևոր հատուկ դեպքը հանրահաշիվն է (հանրահաշիվ բառը նշանակում է ինչպես մաթեմատիկայի առարկա, այնպես էլ՝ հանրահաշիվ առարկայում ուսումնասիրվող օբյեկտ)։ Հանրահաշիվը կազմված է երկու օղակների ընտրանքից և գործողությունից, որը յուրաքանչյուր օղակից տարր է վերցնում և վերադարձնում է երկրորդ օղակի տարր։ Այս գործողությունը երկրորդ օղակը դարձնում է առաջին մոդուլ։ Հաճախ առաջին օղակը դաշտ է։

«Տարր» և «միավորող գործողություն» տիպի բառերը հաճախ շատ ընդհանուր են և կարող են կիրառվել բազմաթիվ իրական և աբստրակտ իրավիճակների դեպքում։ Իրերի ցանկացած բազմություն, որ ենթարկվում է մեկ (կամ երկու) գործողությունների բոլոր կանոններին, ըստ սահմանման խումբ է (կամ օղակ), և ենթարկվում է խմբերի (կամ օղակների) բոլոր թեորեմներին։ Մի օրինակ է ամբողջ թվերը և գումարման և բազմապատկման գործողությունները։ Օրինակ, տարրերը կարող են լինել մեքենայական բառեր, որտեղ առաջին միավորող գործողությունը բացառող կամն է, իսկ երկրորդը՝ տրամաբանական կոնյունկցիան։ Աբստրակտ հանրահաշվի թեորեմները հզոր են, քանի որ ընդհանրական են՝ բազմաթիվ համակարգեր են կառավարում։ Կարելի է մտածել, որ քիչ հատկություններով սահմանված օբյեկտների մասին քիչ եզրակացություններ է հնարավոր անել, սակայն Նյոթերի նվերը հենց դա է՝ բացահայտել առավելագույնը, որ հնարավոր է եզրակացնել տրված հատկությունների բազմությունից, կամ հակառակը՝ որոշարկել նվազագույն բազմությունը, որակի դիտարկման համար պատասխանատու հիմնական հատկությունները։ Ի տարբերություն շատ մաթեմատիկոսների, նա վերացարկումներ չէր անում՝ ընդհանրացնելով հայտնի օրինակներից, այլ հակառակը՝ աշխատում էր հենց վերացարկումներով։ Ինչպես վան դեր Վարդենն է նշում Նյոթերի մասին իր մահախոսականում

begriffliche Mathematik-ը մաքուր կենցեպտուալ մաթեմատիկան է՝ Նյոթերի բնութագիրը։ Մաթեմատիկայի այս ոճը հետագայում որդեգրեցին այլ մաթեմատիկոսներ, հատկապես աբստրակտ հանրահաշվի դաշտից։

Ամբողջ թվերը որպես օղակի օրինակ 
Ամբողջ թվերը կազմում են կոմուտատիվ օղակ, որի տարրերն ամբողջ թվերն են, իսկ համակցող գործողությունները՝ գումարումը և բազմապատկումը։ Ամբողջ թվերի ցանկացած զույգ կարելի է գումարել կամ բազմապատկել՝ արդյունքում ստանալով մեկ այլ ամբողջ թիվ, իսկ առաջին գործողությունը՝ գումարումը, կոմուտատիվ է, այսինքն՝ օղակի ցանկացած a և b տարրերի համար a + b = b + a: Երկրորդ գործողությունը՝ բազմապատկումը, նույնպես կոմուտատիվ է, սակայն պարտադիր չէ, որ դա ճիշտ լինի այլ օղակների համար այն իմաստով, որ a-ի և b-ի համակցումը կարող է տարբերվել b-ի և a-ի համակցումից։ Ոչ կոմուտատիվ օղակների օրինակ են մատրիցները և քվատերնիոնները։ Ամբողջ թվերը բաժանումով օղակ չեն ձևավորում, քանի որ երկրորդ գործողությունը միշտ չէ, որ կարող է հակադարձելի լինել. չկա ակնպիսի a ամբողջ թիվ, որ 3 × a = 1:

Ամբողջ թվերն ունեն նաև այլ հատկություններ, որոնք ընդհանրական չեն բոլոր կոմուտատիվ օղակների համար։ Կարևոր օրինակ է թվաբանության հիմնական թեորեմը, ըստ որի՝ յուրաքանչյուր դրական ամբողջ թիվ կարելի է միարժեքորեն վերլուծել պարզ թվերի։ Միարժեք վերլուծումները միշտ չէ, որ գոյություն ունեն մյուս օղակներում, սակայն Նյոթերը բազմաթիվ օղակների իդեալների համար գտավ միարժեք վերլուծումների թեորեմ, որն այժմ կոչվում է Լասկեր-Նյոթերի թեորեմ։ Նյոթերի աշխատանքի մեծ մասը սահմանումներ են, թե ինչ հատկություններ տեղի ունեն բոլոր օղակների համար։ Նա մշակել է ամբողջ թվերի հին թեորեմների նոր անալոգները և որոշարկել դրույթների նվազագույն համախումբը, որը պետք է օղակի որոշակի հատկություններն ստանալու համար։

Առաջին շրջան (1908–19)

Հանրահաշվական ինվարիանտների տեսություն 

Նյոթերի գործունեության առաջին շրջանում աշխատանքների մեծ մասը վերաբերում է ինվարիանտների տեսությանը, հիմնականում՝ հանրահաշվական ինվարիանտների տեսությանը։ Ինվարիանտների տեսությունը գործ ունի այնպիսի արտահայտությունների հետ, որոնք հաստատուն (ինվարիանտ) են մնում ձևափոխությունների խմբերի նկատմամբ։ Օրինակ՝ կոշտ քանոնը պտտելիս նրա ծայրակետերի կոորդինատները (x1, y1, z1) և(x2, y2, z2) փոխվում են, սակայն  բանաձևով տրվող L երկարությունը նույնն է մնում։ Ինվարիանտների տեսությունը տասնիններորդ դարավերջում հետազոտությունների ակտիվ ոլորտ էր, որոնց մի մասը իրականացրել է Ֆելիքս Կլայնը Էռլանգենյան ծրագրով, համաձայն որի՝ երկրաչափության տարբեր տիպերը պետք է բնութագրվեն ձևափոխությունների դեպքում իրենց ինվարիանտներով, այսինքն՝ պրոյեկտիվ երկրաչափության կրկնակի հարաբերությամբ։

Ինվարիանտի արքետիպային օրինակը Ax2 + Bxy + Cy2 երկքառակուսային ձևի B2 − 4AC դիսկրիմինանտն է։ Այն ինվարիանտ է կոչվում, քանի որ անփոփոխ է մնում x→ax + by, y→cx + dy գծային փոխարինման նկատմամբ, ad − bc = 1 դետերմինանտով։ Այս փոխարինումները ձևավորում են SL2 հատուկ գծային խումբ։ (Բոլոր դարձելի գծային ձևափոխությունների համար չկան լրիվ գծային խմբեր, քանի որ այդ ձևափոխությունները կարող են լինել գործակցով բազմապատկում։ Սա ուղղելու համար ինվարիանտների դասական տեսությունը թույլ է տալիս նաև հարաբերական ինվարիանտներ, որոնք մասշտաբային բազմապատկիչով ինվարիանտներ են ձևավորում։ A, B, Cբոլոր բազմանդամները, որոնք չեն փոխվում SL2 գործողությամբ, կոչվում են երկքառակուսային ձևերի ինվարիանտներ. դրանք դիսկրիմինանտի բազմանդամներն են։) Կարող ենք ասել, որ ավելի բարձր աստիճանի A0xry0 + ... + Arx0yr համասեռ բազմանդամի ինվարիանտները կլինեն A0, ..., Ar գործակիցներով որոշակի բազմանդամներ, և ավելի ընդհանուր կարող ենք ասել նույն հարցը երկուսից ավելի փոփոխականներով համասեռ բազմանդամների համար։

Ինվարիանտների տեսության հիմնական նպատակներից մեկը վերջավոր բազիսի խնդիրը լուծելն է։ Ցանկացած երկու ինվարիանտի գումարը կամ արտադրյալը ինվարիանտ է․ Վերջավոր բազիսի խնդիրը հարցադրում է անում՝ հնարավո՞ր է, ունենալով գեներատորներ կոչվող ինվարիանտների վերջավոր ցուցակը, ստանալ բոլոր ինվարիանտները՝ գեներատորները իրար գումարելու կամ բազմապատկելու միջոցով։ Օրինակ, դիսկրիմինանտը տալիս է երկքառակուսային ձևերի ինվարիանտների վերջավոր բազիսը (մեկ էլեմենտով)։ Նյոթերի խորհրդական Պաուլ Գորդանը հայտնի էր որպես «ինվարիանտների տեսության թագավոր», և նրա հիմնական ներդրումը մաթեմատիկայում երկու փոփոխականով համասեռ բազմանդամի ինվարիանտների վերջավոր բազիսի խնդրի լուծումն է 1870 թվականին: Գորդանը սա ապացուցում է՝ տալով բոլոր ինվարիանտները և նրանց գեներատորները գտնելու կառուցող մեթոդ, սակայն չի կարողանում այս մոտեցումը տարածել երեք կամ ավելի փոփոխականների դեպքի վրա։ 1890 թվականին Դավիթ Հիլբերտը համանման պնդում է ապացուցում ցանկացած թվով փոփոխականների համասեռ բազմանդամների ինվարիանտների համար: Ավելին, նրա մեթոդն աշխատեց ոչ միայն հատուկ գծային խմբի համար, այլև՝ նրա որոշ ենթախմբերի, ինչպես հատուկ օրթոգոնալ խմբերն են: Նրա առաջին ապացույցը որոշ վիճաբանություններ հարուցեց, քանի որ գեներատորների կառուցման մեթոդ չէր տալիս, բայց հետագայում Հիլբերտը այս մեթոդը դարձրեց կառուցող։ Իր թեզում Նյոթերն ընդարձակում է Գորդանի հաշվողական ապացույցը երեք փոփոխականներով համասեռ բազմանդամների համար։ Նյոթերի կառուցողական մոտեցումը հնարավոր դարձրեց ուսումնասիրել ինվարիանտների հարաբերությունները։ Ավելի ուշ, երբ նա դիմեց ավելի աբստրակտ մեթոդների, Նյոթերն իր թեզն անվանեց աղբ (գերմ. Mist) և «հավասարումների ջունգլի» (գերմ. Formelngestrüpp)։

Գալուայի տեսություն 
Գալուայի տեսությունը վերաբերում է թվային դաշտերին, որոնք տեղափոխում են հավասարման արմատները։ Ենթադրենք ունենք x փոփոխականի n աստիճանի բազմանդամային հավասարում, որի գործակիցները վերցրված են գլխավոր դաշտից, որը կարող է լինել, օրինակ, 7 մոդուլով համեմատությամբ իրական թվեր, ռացիոնալ թվեր կամ ամբողջ թվեր։ Դրանք կարող են լինել կամ չլինել x-ի ընտրանքներ, ինչը այս բազմանդամը զրո է դարձնում։ Այսպիսի ընտրանքները, եթե գոյություն ունեն, կոչվում են ֆունկցիայի զրոներ։ Եթե բազմանդամը x2 + 1 է և դաշտը իրական թվեր են, ուրեմն բազմանդամը զրոներ չունի, քանի որ x-ի ընտրանքը բազմանդամը մեծ կամ հավասար է դարձնում մեկից։ Սակայն եթե դաշտն ընդլայնված է, բազմանդամը կարող է զրոներ ձեռք բերել, և եթե այն բավականաչափ ընդլայնված է, միշտ ունի իր աստիճանին հավասար թվով զրոներ։ Շարունակելով նախորդ օրինակը, եթե դաշտն ընդլայնված է կոմպլեքս թվերով, ապա բազմանդամը ձեռք է բերում երկու զրո՝ i և −i, որտեղi-ն կեղծ միավորն է, այսինքն՝ : Ավելի ընդհանրացված՝ ընդլայնված դաշտը, որում բազմանդամը կարելի է վերլուծել իր զրոների, կոչվում է բազմանդամի վերլուծության դաշտ։

Բազմանդամի Գալուայի խումբը վերլուծության դաշտի բոլոր ձևափոխությունների համախումբն է՝ պահպանելով հիմնական դաշտը և բազմանդամի զրոները։ (Մաթեմատիկական ժարգոնով այս ձևափոխությունները կոչվում են ավտոմորֆիզմներ։) -ի Գալուայի խումբը բաղկացած է երկու տարրերից. նույնական ձևափոխությունից, որն ամեն կոմպլեքս թիվ ձևափոխում է իրեն, և կոմպլեքս թվից, որը i-ն դարձնում է −i: Քանի որ Գալուայի խումբը չի փոխում հիմնական դաշտը, անփոփոխ է թողնում բազմանդամի գործակիցները, այն պետք անփոփոխ թողնի բոլոր զրոները։ Սակայն ամեն զրո կարող է տեղափոխվել մյուս զրոյով, այնպես որ ձևափոխությունը սահմանում է n զրոների տեղափոխությունը իրարով։ Գալուայի խմբերի կարևորությունը գալիս է Գալուայի տեսության հիմնական թեորեմից, որն ապացուցում է, որ հիմնական դաշտի և ընդլանվող դաշտի միջև ընկած դաշտերը մեկ առ մեկ համապատասխանում են Գալուայի խմբի ենթախմբերին։

1918 թվականին Նյոթերը բեղմնավոր հոդված է հրապարակում Գալուայի հակադարձ խնդրի վերաբերյալ։ Ձևափոխությունների Գալուայի խումբը տրված դաշտով և նրա ընդլայնումով սահմանելու փոխարեն Նյոթերը հարց է դնում՝ արդյոք հնարավո՞ր է տրված դաշտի և խմբի դեպքում միշտ գտնել տրված խմբի դաշտի ընդլայնումը։ Սա հանգում է «Նյոթերի խնդրին», որը հարց է դնում՝ արդյոք հնարավոր է  դաշտի վրա կիրառված Sn տեղափոխական խմբի G ենթախմբի ֆիքսված դաշտը միշտ լինի k դաշտի տրանսցենդենտալ ընդլայնումը (Նյոթերն այս մասին առաջին անգամ նշում է 1913 թվականի հոդվածում, որտեղ նա խնդիրը հղում է իր գործընկեր Ֆիշերին:) Նա ցույց է տալիս, որ սա ճիշտ է , 3, կամ 4-ի համար։ 1969 թվականին Ռ. Գ. Սվանը գտնում է Նյոթերի խնդրի օրինակ  և G-ն 47 կարգի ցիկլիկ խմբով (չնայած այս խումբը կարելի է իրականացնել որպես Գալուայի խումբ ռացիոնալ թվերի վրա այլ եղանակներով)։ Գալուայի հակադարձ խնդիրն անլուծելի է մնում։

Ֆիզիկա

1915 թվականին Դեյվիդ Հիլբերտը և Ֆելիքս Կլայնը Նյոթերին կանչում են Գյոթինգեն։ Կլայնը Նյոթերի մասնագիտական փորձառության կարիքն ուներ ինվարիանտների տեսության մեջ։ Նրանք ուզում էին, որ Նյոթերն իրենց օգնի հասկանալ հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը՝ գրավիտացիայի երկրաչափական տեսությունը, որը հիմնականում մշակել էր Ալբերտ Այնշտայնը։ Հիլբերտը նկատել էր, որ էներգիայի պահպանման օրենքը կարծես թե հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում խախտվում է այն պատճառով, որ գրավիտացիոն էներգիան չի կարող ինքն իրեն գրավիտացիայի ենթարկել (ձգել)։ Նյոթերն ստացավ այս պարադոքսի լուծումը Նյոթերի առաջին թեորեմի միջոցով՝ հիմնարար գործիք արդի տեսական ֆիզիկայի համար, որն ապացուցեց 1915 թվականին, սակայն չհրատարակեց մինչև 1918-ը։ Նյոթերը ոչ միայն լուծեց հարաբերականության ընդհանուր տեսության խնդիրն, այլև սահմանեց պահպանվող մեծություններ ֆիզիկական օրենքների յուրաքանչյուր համակարգի համար, որն ունի որոշակի անընդհատ սիմետրիա։

Ստանալով նրա աշխատանքը՝ Այնշտայնը Հիլբերտին գրում է. «Երեկ միսս Նյոթերից շատ հետաքրքիր հոդված ստացա ինվարիանտների մասին։ Ես տպավորված եմ, որ այսպիսի բաները հնարավոր է ըմբռնել այսքան ընդհանուր ճանապարհով։ Գյոթինգենի հին գվարդիան պետք է դասեր վերցնի միսս Նյոթերից։ Նա կարծես գործից գլուխ է հանում»։

Օրինակ, եթե ֆիզիկական համակարգի վարքը կախված չէ տարածության մեջ նրա կողմնորոշումից, ուրեմն համակարգը կառավարող օրենքները պտտական սիմետրիա ունեն. այս սիմետրիայից Նյոթերի թեորեմով ցույց է տրվում, որ համակարգի անկյունային մոմենտը պիտի պահպանվի։ Ինքը՝ ֆիզիկական համակարգը, կարող է սիմետրիկ չլինել. տիեզերքում թափառող խորդուբորդ աստերոիդի անկյունային մոմենտը պահպանվում է՝ չնայած ասիմետրիային։ Ավելի շուտ կարելի է ասել, որ պահպանման օրենքի համար պատասխանատու է համակարգը կառավարող ֆիզիկական օրենքների սիմետրիան։ Մեկ այլ օրինակ. եթե ցանկացած ժամանակ ցանկացած վայրում ֆիզիկական փորձը միևնույն արդյունքն ունի, ուրեմն նրա օրենքները սիմետրիկ են տարածության և ժամանակի մեջ անընդհատ տեղափոխության նկատմամբ. ըստ Նյոթերի թեորեմի, այս սիմետրիաները համապատասխանաբար բացատրում են համակարգի իմպուլսի և էներգիայի պահպանման օրենքները։

Նյոթերի թեորեմը դարձավ արդի տեսական ֆիզիկայի հիմնարար գործիքը թե՛ պահպանման օրենքների ըմբռնողությունը տալու, թե՛ գործնական հաշվարկի գործիք լինելու շնորհիվ։ Նրա թեորեմը հետազոտողներին թույլ է տալիս սահմանել ֆիզիկական համակարգի նկատվող սիմետրիաներից բխող պահպանվող մեծությունները և հակառակը, այն թեթևացնում է հիպոթետիկ ֆիզիկական օրենքների դասի վրա հիմնված ֆիզիկական համակարգի նկարագրությունը։ Օրինակ, ենթադրենք նոր ֆիզիկական երևույթ է հայտնաբերվել։ Նյոթերի թեորեմը երևույթի տեսական մոդելի թեստ է ապահովում. եթե տեսությունն ունի անընդհատ սիմետրիա, ապա Նյոթերի թեորեմը երաշխավորում է, որ տեսությունն ունի նաև պահպանվող մեծություն, և եթե տեսությունը ճիշտ է, այդ պահպանումը պետք է փորձով դիտվի։

Երկրորդ շրջան (1920-1926)
Չնայած Նյոթերի գործունեության առաջին շրջանի արդյունքները տպավորիչ էին և օգտակար, մաթեմատիկոսի նրա հռչակը, ինչպես նշում են Հերման Վեյլն ու վան դեր Վաարդենը մահախոսականներում, հիմնվում է երկրորդ և երրորդ շրջաններում իր հեղափոխական աշխատանքների վրա։

Այս շրջաններում Նյոթերը ոչ միայն կիրառում է վաղ մաթեմատիկոսների գաղափարները և մեթոդները, այլ հակառակը՝ ստեղծում է մաթեմատիկական սահմանումների նոր համակարգեր, որոնք կարող են կիրառել ապագա մաթեմատիկոսները։ Մասնավորապես, Նյոթերը մշակում է օղակներում իդեալների ամբողջովին նոր տեսություն՝ ընդհանրացնելով Ռիչարդ Դեդեկինդի ավելի վաղ աշխատանքը։ Նյոթերը հայտնի է նաև աճող շղթաների պայմանները մշակելու համար. պարզ վերջավորության պայման, որը նրա ձեռքում հզոր արդյունքներ տվեց։ Այս պայմանները և իդեալների տեսությունը Նյոթերին ի վիճակի դարձրեցին ընդհանրացնել շատ հին արդյունքներ և հին խնդիրներին դիմել նոր տեսանկյունից, ինչպես բացառման տեսությունը և հանրահաշվական բազմաձևությունները, որոնք ուսումնասիրում էր Նյոթերի հայրը։

Աճող և նվազող շղթաների պայմաններ
Այս շրջանում Նյոթերը հայտնի դարձավ աճող (Teilerkettensatz) կամ նվազող (Vielfachenkettensatz) օղակների պայմանների իր ճարտար կիրառությամբ։ S բազմության A1, A2, A3 և այլն ոչ դատարկ ենթաբազմություները սովորաբար կոչվում են աճող, եթե նրանցից յուրաքանչյուրը հաջորդի ենթաբազմությունն է՝ 
:

Համապատասխանաբար տեղի ունի հակառակը՝ S-ի ենթաբազմությունների հաջորդականությունը կոչվում է նվազող, եթե յուրաքանչյուրը պարունակում է հաջորդ ենթաբազմությունը՝
:

Շղթան հաստատուն է դառնում վերջավոր թվով քայլերից հետո, եթե գոյություն ունի այնպիսի n, որ  բոլոր m ≥ n համար։ Տրված բազմության ենթաբազմությունների համախումբը բավարարում է աճող շղթաների պայմանին, եթե ցանկացած աճող հաջորդականություն հաստատուն է դառնում վերջավոր թվով քայլերից հետո։

Աճող և նվազող շթղաների պայմաններն ընդհանուր են, այն իմաստով, որ դրանք կարելի է կիրառել տարբեր տիպի մաթեմատիկական օբյեկտների նկատմամբ, և, առաջին հայացքից, կարող են շատ հզոր չթվալ։ Նյոթերը ցույց տվեց ինչպես կիրառել այդպիսի պայմաններն առավելագույն արդյունավետությամբ. օրինակ, ինչպես օգտագործել դրանք՝ ցույց տալու համար, որ ենթաօբյեկտների յուրաքանչյուր բազմություն ունի առավելագույն կամ նվազագույն տարրեր, կամ որ բաղադրյալ օբյեկտը կարող է գեներացվել ավելի քիչ թվով տարրերով։

Աբստրակտ հանրահաշվում տարբեր տիպի օբյեկտներ կարող են բավարարել շղթաների պայմանին, և սովորաբար եթե նրանք բավարարում են աճող շղթաների պայմանին, կոչվում են նյոթերյան։ Ըստ սահմանման, նյոթերյան օղակը բավարարում է աճող շղթաների պայմանին իր աջ և ձախ իդեալներում, այն դեպքում, երբ նյոթերյան խումբը սահմանվում է որպես մի խումբ, որում ենթախմբերի յուրաքանչյուր խստորեն աճող շղթա վերջավոր է։ նյոթերյան մոդուլը օղակի մոդուլ է, որում ենթամոդուլների յուրաքանչյուր խստորեն աճող շղթա հաստատուն է դառնում վերջավոր թվով քայլերից հետո։ նյոթերյան տարածությունը տոպոլոգիական տարածություն է, որում բաց ենթատարածությունների յուրաքանչյուր խստորեն աճող շղթա դառնում է հաստատուն վերջավոր թվով քայլերից հետո. այս սահմանումը նյոթերյան օղակի սպեկտրը դարձնում է նյոթերյան տոպոլոգիական տարածություն։

Ենթաօբյեկտները հաճախ «ժառանգում են» շղթաների պայմանը։ Օրինակ, նյոթերյան տարածության բոլոր ենթատարածությունները նյոթերյան են. նյոթերյան խմբի բոլոր ենթախմբերը և ֆակտոր-խմբերը նմանապես նյոթերյան են, նույնը տեղի ունի նյոթերյան մոդուլների ենթամոդուլների և ֆակտոր-մոդուլների համար։ նյոթերյան օղակի բոլոր հարաբերությունների օղակները (quotient rings) նյոթերյան են, սակայն դա անհրաժեշտաբար տեղի չունի նրա ենթաօղակների համար։ Շղթաների պայմանը կարող են ժառանգել նաև նյոթերյան օբյեկտի կոմբինացիաները կամ ընդլայնումները։ Օրինակ, նյոթերյան օղակի վերջավոր ուղղակի գումարները (direct sums) նյոթերյան են, ինչպես ֆորմալ աստիճանային շարքի օղակը նյոթերյան օղակի վրա։

Այսպիսի շղթաների պայմանների կիրառումներից մեկը նյոթերյան ինդուկցիան է, որը մաթեմատիկական ինդուկցիայի ընդանրացումն է։ Այն հաճախ օգտագործվում է կրճատելու համար օբյեկտների համախմբի վերաբերյալ ընդհանուր պնդումները մինչև հավաքածուի հատուկ օբյեկտների վերաբերյալ պնդումների։ Ենթադրենք, որ S-ը մասնակի կարգավորված բազմություն է։ S-ի օբյեկտների մասին պնդումը հաստատելու ճանապարհներից մեկը ընդունելն է հակադարձ պնդմանը բավարարող օրինակի գոյությունը և և արտածել հակասությունը՝ այդպիսով ապացուցելով սկզբնական պնդման հակադիրքը (contrapositive)։ Նյոթերյան ինդուկցիայի սկզբնական պայմանն այն է, որ S-ի ամեն ոչ դատակ ենթաբազմություն պարունակում է նվազագույն տարր, նվազագույն հակադարձ պնդման օրինակ։ Սկզբնական պնդումն ապացուցելու համար, այսպիսով, բավական է ապացուցել ավելի թույլ պնդում. ամեն հակադարձ պնդման օրինակի համար գոյություն ունի ավելի փոքր հակադարձ պնդման օրինակ։

Կոմուտատիվ օղակներ, իդեալներ, մոդուլներ
Նյոթերի Idealtheorie in Ringbereichen (Իդեալների տեսությունը օղակների տիրույթներում, 1921) աշխատությունը ընդհանուր կոմուտատիվ օղակների տեսության հիմքն է, և տալիս է կոմուտատիվ օղակների առաջին ընդհանուր սահմանումներից մեկը։ Մինչ այդ աշխատությունը կոմուտատիվ հանրահաշվի արդյունքների մեծ մասը սահմանափակվում էր կոմուտատիվ օղակների հատուկ օրինակներով՝ ինչպես դաշտերի բազմանդամային օղակները կամ հանրահաշվական ամբողջ թվերի օղակները։ Նյոթերը ցույց տվեց, որ իդեալների դեպքում աճող շղթայի պայմանին բավարարող օղակում ամեն իդեալի գեներացիան վերջավոր է։ 1943 թվականին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Կլոդ Շևալյեն այդ հատկությունը նկարագրելու համար հորինեց Նյոթերյան օղակ հասկացությունը։ Նյոթերի 1921 թվականի աշխատության կարևոր արդյունքը Լասկեր-Նյոթերի թեորեմն է, որն ընդլայնում է բազմանդամային օղակների իդեալների պրիմարային վերլուծության մասին Լասկերի թեորեմը բոլոր Նյոթերյանների համար։ Լասկեր-Նյոթերի թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես թվաբանության հիմնական թեորեմի ընդհանրացում, որը պնդում է, որ ցանկացած դրական ամբողջ թիվ կարելի է արտահայտել պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով, և որ այդ վերլուծությունը միակն է։

Նյոթերի Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (Իդեալների տեսության աբստրակտ կառուցվածքը հանրահաշվական թվերում և ֆունկցիոնալ դաշտերում, 1927) աշխատանքը բնութագրում է օղակներ, որոնցում իդեալները եզակիորեն վերլուծվում են պարզ իդեալների, ինչպես Դեդեկինդի օղակները։ Դրանք ինտեգրալ օղակներ են, որոնք Նյոթերյան են, 0 կամ 1 չափանի, և ամբողջ տարրերը փակվում են իրենց առնչությունների տարրերի վրա։ Այս աշխատանքը պարունակում է նաև իզոմորֆիզմի թեորեմները, որոնք նկարագրում են հիմնական բնական իզոմորֆիզմներ, և այլ արդյունքներ Նյոթերյանի և Արթինյան մոդուլների մասին։

Բացառման տեսություն
1923-1924 թվականներին Նյոթերն իր իդեալների տեսությունը կիրառեց բացառման տեսության վրա (ձևակերպումը նա վերագրում էր իր ուսանողին՝ Կուրտ Հենցելտին)` ցույց տալով, որ բազմանդամների վերլուծության մասին հիմնական թեորեմները կարելի է ուղղակիորեն տեղափոխել: Ավանդաբար բացառման տեսությունը բազմանդամների հավասարումների համակարգից բացառում է մեկ կամ մի քանի փոփոխականներ՝ սովորաբար ռեզուլտանտների (արտադրույթ) եղանակով։ Օրինակ, հավասարումների համակարգը հաճախ կարելի է գրել M մատրիցի (բաց թողնելով x փոփոխականը) և v վեկտորի (որն ունի միայն x-ի տարբեր աստիճաններ) զրոյի հավասար արտադրյալի տեսքով՝ : Այսպիսով, M մատրիցի դետերմինանտը պետք է զրո լինի՝ տալով մի նոր հավասարում, որում x փոփոխականը բացառվել է։

Վերջավոր խմբերի ինվարիանտության տեսություն
Վերջավոր բազիսով խնդրի այնպիսի տեխնիկաները, ինչպես Հիլբերտի օրիգինալ ոչ կառուցողական լուծումն է, չեն կարող օգտագործվել խմբի գործողությունների ինվարիանտների մասին քանակական տեղեկություն տալու համար, բացի այդ, նրանք չեն կարող կիրառվել ամբողջ խմբի գործողությունների համար։ 1915 թվականի իր հոդվածում Նյոթերը գտավ վերջավոր բազիսով խնդրի լուծումը G ձևափոխությունների վերջավոր խմբի համար, որն ազդում է վերջավոր չափայնությամբ վեկտորական տարածությունում բնութագրական զրոյով դաշտի վրա։ Նրա լուծումը ցույց տվեց, որ ինվարիանտների օղակը գեներացվում է հոմոգեն ինվարիանտներով, որոնց աստիճանը փոքր կամ հավասար է վերջավոր խմբի կարգավորվածությանը. այն կոչվում է Նյոթերի սահման։ Նյոթերի հոդվածում տրվում է Նյոթերի սահմանի երկու ապացույց, որոնցից յուրաքանչյուրը նաև աշխատում է, երբ դաշտի բնութագրականը փոխադարձ պարզ է G խմբի |G| կարգավորվածության ֆակտորիալի՝ |G|!-ի հանդեպ։ Գեներատորների թիվը պետք է բավարարի Նյոթերի սահմանին, երբ դաշտի բնութագրականը բաժանում է |G|-ն, սակայն Նյոթերն ի վիճակի չեղավ որոշելու՝ արդյոք այդ սահմանը ճիշտ է, երբ դաշտի բնութագրականը բաժանում է ոչ թե |G|-ն, այլ |G|! –ն։ Այս սահմանի սխալ կամ ճիշտ լինելը շատ տարիներ չլուծվող խնդիր էր, կոչվում էր «Նյոթերի բացակ» (Noether's gap)։ Այն վերջիվերջո միմյանցից անկախ լուծեցին Ֆլայշմանը (Fleischmann) 2000 թվականին և Ֆոգարին՝ 2001-ին։ Երկուսն էլ ցույց տվեցին, որ սահմանը ճիշտ է մնում:

Իր 1926 թվականի հոդվածում Նյոթերն ընդլայնում է Հիլբերտի թեորեմը որևէ դաշտի վրա վերջավոր խմբի ներկայացումների համար. նոր դեպքը, որը չէր բխում Հիլբերտի աշխատանքից, այն էր, որ դաշտի բնութագրականը բաժանում է խմբի կարգավորվածությունը։ Նյոթերի արդյունքը ավելի ուշ բոլոր ռեդուկտիվ խմբերի համար ընդլայնում է Ուիլյամ Հաբուշը (William Haboush) իր Հաբուշի թեորեմով: Այս հոդվածում Նյոթերը նաև ներկայացնում է Նյոթերի նորմավորման լեմման՝ ցույց տալով, որ A վերջավոր գեներացված տիրույթը k դաշտի վրա ունի հանրահաշվական անկախ տարրերի այնպիսի  բազմություն, որ A-ն ամբողջ տարր է -ի վրա։

Ներդրումները տոպոլոգիայում

Ինչպես մահախոսականներում նշում են Պավել Ալեքսանդրովը և Հերման Վեյլը, Նյոթերի ներդրումները տոպոլոգիայում ցույց են տալիս նրա գաղափարների առատությունը և թե ինչպես նրա կռահումները կարող են ձևափոխել մաթեմատիկայի ամբողջական ոլորտներ։ Տոպոլոգիայում մաթեմատիկոսներն ուսումնասիրում են օբյեկտների հատկություններ, որոնք ինվարիանտ են մնում դեֆորմացիաների դեպքում, ինչպես օրինակ օբյեկտների կապակցվածությունը։ Տարածված կատակ կա, որ տոպոլոգիստը չի կարողանում տարբերել օղաբլիթը սուրճի բաժակից, քանի որ նրանք անընդհատաբար մեկը մյուսի են վերածվում։

Նյոթերին են վերագրվում հիմնարար գաղափարներ, որոնք հանգեցրին հանրահաշվական տոպոլոգիայի մշակմանը ավելի վաղ ձևավորված կոմբինատորային տոպոլոգիայից, հատկապես հոմոլոգ խմբերի գաղափարը: Ըստ Ալեքսանդրովի դիտարկման, Նյոթերը 1926 և 1927 թվականների ամռանը հաճախել է Հայնց Հոպֆի դասախոսություններին, որտեղ հաճախ «խոր և նուրբ դիտարկումներ էր անում»: Ալեքսանդրովը շարունակում է, որ 

Տոպոլոգիան հանրահաշվորեն ուսումնասիրելու Նյոթերի առաջարկը անմիջապես ընդունեցին Հոպֆը, Ալեքսանդրովը և մյուսները: Այն դարձավ Գյոթինգենի մաթեմատիկոսների ամենահաճախ քննարկվող թեմաներից մեկը։ Նյոթերը նշում է, որ Բեթիի խմբի իր գաղափարը ավելի հեշտ է դարձնում հասկանալու Էյլեր-Պուանկարեի բանաձևը, իսկ այս թեմայով Հոպֆի աշխատությունը «կրում է Նյոթերի նշումների հետքը»: Նյոթերն իր տոպոլոգիայի վերաբերյալ մտքերը հիշատակում է միայն հարևանցիորեն՝ 1926 թվականի հրատարակության մեջ, որտեղ նա այն ներկայացնում է որպես խմբերի տեսության կիրառություն

Տոպոլոգիայի հանրահաշվական մոտեցումը Նյոթերից անկախ մշակվել է Ավստրիայում։ Վիեննայում 1926-1927 թվականներին դասախոսությունների ընթացքում Լեոպորդ Ֆիտորիսը սահմանում է հոմոլոգ խումբը, որը մշակել է Վալտեր Մայերը։

Երրորդ շրջան (1927–35)

Հիպերկոմպլեքս թվեր և ներկայացումների տեսություն
Հիպերկոմպլեքս թվերի և խմբերի ներկայացումների վերաբերյալ շատ աշխատանքներ արվել են տասնիներերդ դարում և քսաներորդ դարի սկզբին, սակայն մնացել են չմիավորված։ Նյոթերը համատեղել է այս արդյունքները և տվել խմբերի և հանրահաշիվների տեսության առաջին ընդհանուր պատկերացումը։ Նա դասակարգել է ասոցիատիվ հանրահաշիվների տեսության կառուցվածքը և խմբերի ներկայացուցչական տեսությունը աճող շղթայի պայմաններին բավարարող մոդուլների և իդեալների միասնական թվաբանական տեսության մեջ։ Նյոթերի այս աշխատանքը հիմնարար կարևորություն ունի ժամանակակից հանրահաշվի մշակման համար։

Ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվ
Հանրահաշվի ոլորտում Նյոթերը մի շարք այլ ներդրումներ էլ ունի։ Էմիլ Արթինի, Ռիչարդ Բրաուերի և Հելմուտ Հասսեի հետ նա հիմնադրել է կենտրոնական պարզ հանրահաշվի (անգլ․ Central simple algebra) տեսությունը:

Նյոթերի, Հասսեի և Ռիչարդ Բրաուերի բեղմնավոր հոդվածը վերաբերում է բաժանումով հանրահաշիվներին, որոնք այնպիսի հանրահաշվական համակարգեր են, որոնցում հնարավոր է բաժանման գործողությունը։ Նրանք երկու կարևոր թեորեմ ապացուցեցին. լոկալ-գլոբալ թեորեմը, որը պնդում է, որ եթե վերջավոր չափայնությամբ կենտրոնական բաժանումով հանրահաշիվը թվային դաշտում ամենուր լոկալ վերլուծվող է, ապա այն կարելի է վերլուծել գլոբալ, և դրանից արտածեցին իրենց Hauptsatz-ը («գլխավոր թեորեմը»). յուրաքանչյուր վերջավոր չափական կենտրոնական բաժանումով հանրահաշիվ հանրահաշվական թվային F դաշտում վերլուծելի է ցիկլիկ շրջանային ընդլայնման վրա։ Այս թեորեմները թույլ են տալիս դասակարգել բոլոր վերջավոր չափայնությամբ կենտրոնական բաժանումով հանրահաշիվները տրված թվային դաշտերում։ Նյոթերի հաջորդ հոդվածում որպես ավելի ընդհանուր թեորեմի հատուկ դեպք ցույց տրվեց, որ D բաժանումով հանրահաշվի բոլոր առավելագույն ենթադաշտերը վերլուծության դաշտեր են: Այս հոդվածում ընդգրկված է նաև Սկոլեմ-Նյոթերի թեորեմը, որ պնդում է, որ k դաշտի ընդլայնման ցանկացած երկու ներդրում k-ի վրա վերջավոր չափայնությամբ կենտրոնական պարզ հանրահաշվում համալուծ են։ Բրաուեր-Նյոթերի թեորեմը տալիս է կենտրոնական բաժանումով հանրահաշվի վերլուծվող դաշտերի բնութագիրը դաշտում։

Գնահատում և հիշատակ 

Նյոթերի աշխատանքները շարունակում են էական նշանակություն ունենալ տեսական ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի զարգացման համար, և նա մշտապես համարվում է քսաներորդ դարի մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը։ Գործընկեր, հանրահաշվագետ Բարտել Լեենդերտ վան դեր Վարդենը Նյոթերին նվիրված մահախոսականում ասում է, որ նրա մաթեմատիկական օրիգինալությունը «բացարձակապես դուրս է համեմատությունից», իսկ Հերման Վեյլը նշում է, որ Նյոթերը «իր աշխատանքներով փոխեց աբստրակտ հանրահաշվի դեմքը»։ Կենդանության օրոք և նույնիսկ մինչև հիմա Նյոթերը բնութագրվում է որպես մեծագույն կին մաթեմատիկոսը մաթեմատիկայի պատմության մեջ այնպիսի գիտնականների կողմից, ինչպիսիք են Պավել Ալեքսանդրովը, Հերման Վեյլը և Ժան Դյոդոնենը։

Նյու Յորք Թայմս-ին ուղղված նամակում Ալբերտ Այնշտայնը գրում է.

1935 թվականի հունվարի 2-ին, մահից մի քանի ամիս առաջ մաթեմատիկոս Նորբերտ Վիները գրում է, որ 

1964 թվականին արդի մաթեմատիկոսներին նվիրված Համաշխարհային ցուցահանդեսում Նյոթերը ժամանակակից աշխարհի մաթեմատիկոսների ցանկում ներկայացված միակ կինն էր։

Ի հիշատակ Նյոթերի տարբեր գործունեություններ են ձեռնարկվել. 
 Մաթեմատիկայում ընդգրկված կանանց միությունը () ամեն տարի Նյոթերյան դասախոսություն է կազմակերպում մաթեմատիկայում ընդգրկված կանանց պատվին։ 2005 թվականի գրքույկում միությունը Նյոթերին բնութագրում է որպես «իր ժամանակի ամենամեծ մաթեմատիկոսներից մեկը, ով աշխատում և պայքարում էր մի բանի համար, ինչը սիրում և ինչին հավատում էր։ Նրա կյանքն ու աշխատանքը մնում են որպես վիթխարի ներշնչանք»։
 Գնահատելով Նյոթերի նվիրումն իր ուսանողներին՝ Զիգենի համալսարանը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի ֆակուլտետի համար կառուցել է Էմմի Նյոթեր համալսարանական քաղաքը։
 Գերմանիայի հետազոտությունների հիմնադրամը ({{lang-de|Deutsche Forschungsgemeinschaft'}}') Էմմի Նյոթեր ծրագիր է գործարկում, որը կրթաթոշակով է ապահովում դոկտորական աստիճան ունեցող խոստումնալից երիտասարդ գիտնականներին՝ իրենց հետագա ուսումնասիրությունների և ուսուցողական գործունեության համար
 Ծննդավայրում՝ Էռլանգենում, Էմմի Նյոթերի և հոր՝ Մաքս Նյոթերի անունով փողոց է անվանակոչվել։
 Էռլանգենի միջին դպրոցը, ուր հաճախում էր Նյոթերը, կոչվում է Էմմի Նյոթերի դպրոց։
 2001 թվականից սկսած ամեն մայիսին Էռլանգենի համալսարանի կին մաթեմատիկոսները բարձր դպրոցական վորքշոփներ և մրցույթներ են կազմակերպում։
 Տեսական ֆիզիկայի Պերիմետր ինստիտուտը (Perimeter Institute for Theoretical Physics) հայտնի կին տեսաբան ֆիզիկոսներին ամեն տարի շնորհում է Էմմի Նյոթերի անվամբ կրթաթոշակ (Emmy Noether Visiting Fellowships): Պերիմետրի ինստիտուտը նաև Էմմի Նյոթերի Խորհրդի նստավայրն է։ Դա կամավորների միջազգային խումբ է, որը համագործակցում է բարեգործական կազմակերպությունների հետ՝ Պերիմետր ինստիտուտում մեծացնելու համար կանանց ներգրավվածությունը մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում։ 
 Իսրայելի Բար-Իլլանի անվան համալսարանը 1992 թվականին Գերմանիայի կառավարության և Միներվա հիմնադրամի (Minerva Foundation) հետ համատեղ հիմնադրել է համալսարանի Մաթեմատիկայի և համակարգչային գիտությունների ֆակուլտետի Հանրահաշվի, երկրաչափության և ֆունկցիաների տեսության Էմմի Նյոթերի անվան մաթեմատիկայի ինստիտուտը՝ թվարկված ոլորտներում հետազոտությունները խթանելու և Գերմանիայի հետ համագործակցությանը նպաստելու նպատակով։ Հիմնական ուղղվածություններն են՝ հանրահաշվական երկրաչափությունը, խմբերի տեսությունը, կոմպլեքս ֆունկցիաների տեսությունը։ Կազմակերպում են հետազոտական նախագծեր, կարճաժամկետ այցելություններ, հետդոկտորական կրթաթոշակներ և Էմմի Նյոթերի անվան դասախոսություններ։ Էմմի Նյոթերի ինստիտուտը Մաթեմատիկայի եվրոպական հետազոտությունների կենտրոնի (European Research Centers of Mathematics) անդամ է։
 Գեղարվեստական գրականության մեջ Ռանզոմ Սթիվենի «Աստված արտոնագիրը» (The God Patent'') վեպում ֆիզիկայի պրոֆեսորի նախատիպը Էմմի Նյոթերն է։
 Լուսնի հակառակ կողմում Նյոթերի անունով խառնարան է կոչվել։ 
 (7001) Նյոթեր աստերոիդը նույնպես Նյոթերի անունով է:
 Նյոթերի 133-րդ տարեդարձը նշելու համար Գուգլը 2015 թվականի մարտի 23-ին Գուգլ դուդլ տեղադրեց։

Դոկտորական ուսանողների ցանկ

Ծանոթագրություններ

Նշումներ

Աղբյուրներ 
 .
 .
 
 .
 . English translation by M. A. Tavel (1918), .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
.
 .
 .
 .
 .
 . Trans. H. I. Blocher.
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 
 
 .
 , reprinted as an appendix to .
 .

Արտաքին հղումներ 

Գերմանացի կին մաթեմատիկոսներ
Մաթեմատիկոսներ այբբենական կարգով
Գյոթինգենի համալսարան
Կին ֆիզիկոսներ
Կին մաթեմատիկոսներ
20-րդ դարի ֆիզիկոսներ
Կին գյուտարարներ
Քաղցկեղից մահացածներ
Գյոթինգենի համալսարանի շրջանավարտներ
Գերմանիայի հրեաներ
Հայդելբերգի համալսարանի շրջանավարտներ
Գերմանացի կին ֆիզիկոսներ