Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (շրջանային ֆունկցիաներ, արկֆունկցիաներ), մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք համարվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձը։ Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հիմնականում լինում են վեց տեսակի.
 արկսինուս (նշանակում — սա այն անկյունն է, որի սինուսը հավասար է )
 արկկոսինուս (նշանակում։  — սա այն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է  և այդպես շարունակ)
 արկտանգենս (նշանակում։ ; գրականության մեջ նաև՝ )
 արկկոտանգենս (նշանակում։ ; գրականության մեջ՝  կամ )
 արկսեկանս (նշանակում։ )
 արկկոսեկանս (նշանակում։ ; գրականության մեջ՝ )

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անունները ստեղծվել են համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին «արկ-» նախածանցը ավելացնելով ( — աղեղ)։ Դա կապված է նրա հետ, որ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների երկրաչափական արժեքները կապված են միավոր շրջանագծի վրա այդ աղեղի երկարությունից (կամ անկյունից)։ Սովորական սինուսը հնարավորություն է տալիս աղեղից գտնել նրան ձգող լարը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան որոշում է հակառակ խնդիրը։ Եռակնյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ եղանակի մասին հայտնել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (; 1716-1783), բայց դրա արմատները հիմնակում պատկանում էին Լագրանժին։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար առաջին հատուկ նշանը ստեղծել է Դանիել Բերնուլին՝ 1729 թվականին։ Անգլիական և գերմանական շատ դպրոցների մինչև 19-րդ դարի վերջը առաջարկում էին այլ նշանակումներ. , սակայն դրանք չընդունվեցին։ Միայն երբեմն այլ գրականության և գիտական/ինժեներական հաշվիչներում արկսինուսի, արկկոսինուսի և այլնի համար օգտագործվում էր sin, cos եղանակը, - դա ընդհանրապես ճիշտ չէր համարվում, քանի որ այդեղ կարող էր շփոթմունք լինել -1 աստիճանի դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձները երկիմաստ էին։ Այսինքն արկֆունկցիաների արժեքները իրենցից ներկայացնում էին բազմաթիվ անկյուններ (աղեղի), որի պատճառով համապատասխան ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար ճիշտ էր տվյալ արժեքը։ Օրինակ,  իրենից ներկայացնում է բազմաթիվ անկյուններ՝ , որի սինուսը հավասար է : Այս բազմաթիվ արժեքների արկֆունկցիային հատկացվում է իր հիմնական արժեքները, որոնք սովորաբար պետք է նկատի ունենալ երբ խոսվում է արկսինուս, արկկոսինուս և այլ ֆունկցիաների մասին։
Ընդհանուր առմամբ  պայմանի դեպքում  հավասարում կարող է ներկայանալ հետևյալ ձևով՝

Հիմնական նույնություններ

Հիմնական հատկություններ

Գլխավոր արժեքներ

Կապը եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև 
Եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները աղյուսակավորված են ներքևում.

Կապը հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև 

Լրացուցիչ անկյուններ.

Բացասական արգումենտներ.

Դրական արգումենտներ.

Արկտանգենսի գումարման բանաձև 

Ստացվածը տանգենսների գումարման բանաձևն է.

arcsin ֆունկցիան 

Արկսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար 

 ֆունկցիան անընդհատ է և սահմանափակ է իր թվային առանցքի վրա։  ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

 ,  միջակայքում, 
 ,  միջակայքում, 
  (որոշման տիրույթ), 
  (փոփոխման տիրույթ)։

arcsin ֆունկցիայի հատկություններ 
  (ֆունկցիան կենտ է).
 , .
 , 
 ,

arcsin ֆունկցիայի ստացում 
Տրված է  ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, բայց դրա հակադարձ  ֆունկցիան մոնոտոն չի համարվում։ Դրա համար մենք նշում ենք, որ ֆունկցիան կտրուկ աճող է իր փոփոխման տիրույթի վրա՝ :  ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք  միջակայքում հասնում է միակ արգումենտի արժեքին և այդ միջակայքում համարվում է  ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը համաչափ է  ուղղի նկատմամբ՝  միջակայքում։ (հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները համարվում են կոորդինատային  հարթության առաջին և երրորդ քառորդների կիսորդը)

arccos ֆունկցիան 

Արկոսինուս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար 

 ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։  ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

 , 
 , 
  (որոշման տիրույթ), 
  (փոփոխման տիրույթ)։

arccos ֆունկցիայի հատկություններ 
  (ֆունկցիան համաչափ է կոորդինատային հարթության  կետի նկատմամբ), համարվում է ո՛չ զույգ, ո՛չ կենտ ֆունկցիա։
 , 
 ,

arccos ֆունկցիայի ստացում 
Տրված է  ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտան, սակայն նրա հակադարձ  ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով մենք դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները՝ :  միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն նվազող է և իր բոլոր արժեքները ընդունում է միայն մեկ անգամ, իսկ  միջակայքում  ֆունկցիայի հակադարձն է, որի գրաֆիկը  ուղղի նկատմամբ համաչափ է  ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ՝  միջակայքում։

arctg ֆունկցիան 

Արկտանգենս m թվից կոչվում է այն  անկյունը՝ արտահայտված ռադիանով, որի համար 

 ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր որոշման տիրույթի վրա։  ֆունկցիան համարվում է խիստ աճող։

 , 
 ,

arctg ֆունկցիայի հատկություններ 
 
 
 , x > 0

arctg ֆունկցիայի ստացում 
Տրված է  ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ  ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝  Այդ միջակայքի վրա  ֆունկցիան խիստ մոնոտոն աճող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի  միջակայքի վրա այն համարվում է  ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը  ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ հակադարձ է  ուղղի նկատմամբ՝  հատվածում։

arcctg ֆունկցիան 

Արկկոտանգենս m թվից կոչվում է այն x անկյունը՝ արտահայտված ռադիաններով, որի համար 

 ֆունկցիան անընդհատ և սահմանափակ է իր ոչոշման տիրույթի վրա։  Ֆունկցիան համարվում է խիստ նվազող։

 , 
 ,

arcctg ֆունկցիայի հատկություններ 

  (ֆունկցիայի գրաֆիկը համաչափ է  կետի նկատմամբ)։
  ցանկացած -ի համար։

arcctg ֆունկցիայի ստացում 
Տրված է  ֆունկցիան։ Իր որոշման ողջ տիրույթի վրա այն համարվում է մոնոտոն, իսկ նրա հակադարձ  ֆունկցիան չի համարվում։ Այդ պատճառով դիտարկում ենք միջակայք, որի վրա այն խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ՝ : Այս միջակայքում  ֆունկցիան խիստ նվազող է և ընդունում է իր բոլոր արժեքները միայն մեկ անգամ, ուստի  միջակայքում համարվում է  ֆունկցիայի հակադարձը, որի գրաֆիկը  ուղղի նկատմամաբ համաչափ է  ֆունկցիայի գրաֆիկին՝  միջակայքում։

Արկկոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է արկտանգենս ֆունկցիայի միջոցով, վերջինս օրդինատների առանցքով արտապատկերելով (որը պետք է փոխարինել արգումենտի նշանով. ) և բարձրացնելով վերև  միավորով. դա կարող ենք տերկայացնել հետևյալ բանաձևով՝

arcsec ֆունկցիան

arccosec ֆունկցիան

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալ

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալ

Անորոշ ինտեգրալներ 
Իրական և կոմպլեքս x-երի համար.
 

Իրական թվերի համար՝ x ≥ 1:

Կիրառությունը երկրաչափության մեջ 

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգտագործում են եռանկյան անկյունները գտնելու համար, եթե հայտնի են նրա կողմները, օրինակ կոսինուսների թեորեմի միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ այդ ֆունկցիաները միանգամից տալիս են անկյունը.

 α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctg (a/b) = arccosec (c/a) = arcsec (c/b) = arcctg (b/a)

Կապը բնական լոգարիթմների հետ

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
 Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
 
 Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
 Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

Տես նաև 
 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
 Եռանկյունաչափության պատմություն

Եռանկյունաչափություն
Տարրական ֆունկցիաներ