Բաժանում զրոյի վրա

Զրոյի վրա բաժանումը մաթեմատիկայում տեղի է ունենում, երբ բաժանարարը (հայտարարը) զրո է։ Նման բաժանումը կարող է ունենալ  տեսքը, որտեղ -ն համարիչն է։ Տարրական թվաբանության մեջ այդ արտահայտությունը իմաստ չունի, քանի որ չկա մի թիվ, որը բազմապատկելով զրոյով, կստանանք  թիվը (ենթադրելով, որ )։ Եվ քանի որ ցանկացած թիվ զրոյի բազմապատկելիս ստացվում է զրո,  արտահայտությունը նույնպես չունի սահմանված արժեք։

Պատմականորեն, ամենավաղ արձանագրված տվյալներով  արտահայտությանը արժեքը նշանակելու անհնարության մասին կա Ջորջ Բերկլիի (1685 – 1753)՝ «criticism of infinitesimal calculus»-ում։

Ծրագրավորման մեջ զրոյի վրա բաժանելու դեպքում կարող է ծրագրի մեջ խնդիր առաջանալ։ Դա կախված է ծրագրավորման միջավայրից և այն թվի տեսակից, որի վրա կատարվում է բաժանումը։ Կարող է առաջացնել դրական կամ բացասական անվերջություն, բացառություն, սխալի ուղերձ, կարող է նաև ծրագիրը դադարի աշխատել կամ կարող է հանգեցնել հատուկ ոչ մի թիվ կոչված արժեքին (NaN)։

Տարրական թվաբանության մեջ 
Երբ բաժանումը բացատրվում է տարրական թվաբանական մակարդակով, այն հաճախ դիտվում է որպես մի շարք օբյեկտների միջև կիսում հավասար մասերի։ Որպես օրինակ, ենթադրենք ունենք տասը բլիթ, և այդ բլիթները պետք է հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած հինգ մարդկանց միջև։ Յուրաքանչյուր մարդ կստանա  բլիթ։ Նմանապես, եթե կա տասը բլիթ և մեկ մարդ, նա կստանա  բլիթ։

Բայց -ի վրա բաժանելու համար պետք է տանք հետևյալ հարցը՝ եթե բլիթները հավասարաչափ բաժանենք սեղանի շուրջ նստած  մարդկանցից միջև, քանի՞ բլիթ կհասնի յուրաքանչյուրին։  բլիթները  հավասար մասի բաժանելու հնարավոր ձև։ Մաթեմատիկական ժարգոնով կարելի է ասել, որ  առարկաներ չեն կարող բաժանվել  ենթաբազմությունների. այսինքն,  արտահայտությունը տարրական թվաբանության մեջ կա՛մ համարվում է անիմաստ, կա՛մ՝ դատարկ բազմություն։

Մեկ այլ եղանակ կա համոզվելու, որ թիվը չի կարող բաժանվել զրոյի։ Բաժանումը միշտ կարող ենք ստուգել բազմապատկման միջոցով։ Դիտարկելով վերը բերված -ի օրինակը՝ նշանակենք ։ Եթե -ը հավասար է տասը բաժանած զրոյի, ապա  անգամ զրո պետք է հավասար լինի տասի։ Բայց մենք գիտենք, որ չկա այնպիսի , որը զրոյով բազմապատկելիս ստացվի  (կամ զրոյիից բացի այլ թիվ)։ Իսկ եթե -ի փոխարեն գրենք , կստանանք ։ Այս դեպքում -ը կարող է լինել ցանկացած արժեք։

Հանրահաշվում

Բաժանումը՝ բազմապատկման հակառակ գործողություն 
Այս հասկացությամբ բաժանումը հանրահաշվում ներկայացվում է որպես բազմապատկման հակառակ գործողություն։ Օրինակ՝
,
ուրեմն 2-ը այն անհայտ մեծության արժեքն է, որի դեպքում ճիշտ է

արտահայտությունը։

Մինչդեռ

արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ լինի

հավասարումը։ Բայց ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Այսինքն՝ չկա այնպիսի թիվ, որը կբավարարի այդ հավասարմանը։

արտահայտությունը պահանջում է այնպիսի արժեք, որի դեպքում ճիշտ կլինի

հավասարումը։

Նորից, ցանկացած թիվ զրոյով բազմապատկելիս կստանանք զրո։ Հետևաբար, այս դեպքում ցանկացած թիվ բավարարում է ներքևի հավասարմանը, բայց չի կարող բավարարել վերևինին։

Այսպիսով,  տեսքի արտահայտությունը կոչվում է անորոշություն։

-ի վրա բաժանելիս առաջացող շփոթություններ 
Հնարավոր է ունենալ զրոյի վրա բաժանման այնպիսի հանրահաշվական արգումենտի դեպք, որը կհանգեցնի կեղծ ապացույցների, ինչպես օրինակ՝  և այլն։
Օրինակ՝ ընդունելով, որ

,

պետք է ճիշտ լինի

 
հավասարությունը։ Այս հավասարության երկու կողմերը բաժանելով զրոյի, կստանանք՝

։

Պարզեցնելով այդ արտահայտությունը՝ կստանանք, որ

Այստեղ տրամաբանական սխալը ոչ ակնհայտ ենթադրությունն էր, ըստ որի 0-ի վրա բաժանելը նույնպիսի հատկություններով թույլատրելի մաթեմատիկական գործողություն է, ինչպես ցանկացած թվի վրա բաժանելն է։

Պատմական դեպքեր 
1997 թվականի սեպտեմբերի 21-ին ամերիկյան «USS Yorktown (CG-48)»-ի հրթիռային հածանավի տվյալների հեռակա կառավարման համակարգում զրոյի վրա բաժանման հետևանքով շարքից դուրս եկան բոլոր ցանցային սարքերը, ինչի հետևանքով խափանվեց նավի շարժիչ համակարգը։

Ծանոթագրություններ 

Բաժանում
Մաթեմատիկական անալիզ
Կոտորակներ