Սկալյար արտադրյալ

Սկալյար արտադրյալ (երբեմն՝ ներքին արտադրյալ), գործողություն երկու վեկտորների միջև. արդյունքը թիվ է, (երբ դիտարկվում են վեկտորներ, թվերը հաճախ անվանվում են սկալյարներ) որը կախված չէ կոորդինատային համակարգից և բնութագրում է վեկտոր-արտադրիչների երկարություններն ու անկյունը դրանց միջև։ Տրված գործողությանը համապատասխանում է x վեկտորի երկարության բազմապատկումը x վեկտորի վրա y վեկտորի պրոյեկցիայով։ Այս գործողությունը սովորաբար դիտարկվում է որպես տեղափոխական և գծային ըստ յուրաքանչյուր արտադրիչի։
 
Սովորաբար օգտագործվում է հետևյալ նշանակումներից մեկը.

 , 
 , 
 ,

(կամ Դիրակի նշանակումը), որը հաճախ օգտագործվում է քվանտային մեխանիկայում

 .

Սովորաբար ենթադրվում է, որ սկալյար արտադրյալը որոշված է դրականորեն, այսինքն՝

  բոլոր a-երի համար ().

Հակառակ դեպքում արտադրյալը կոչվում է ինդեֆինիտ կամ անորոշ։

Սահմանում 
 վեկտորական տարածությունում կոմպլեքս թվերի  (կամ իրական թվերի ) դաշտի նկատմամբ սկալյար արտադրյալ կոչվում է  ֆունկցիան, որը որոշված է  ցանկացած տարրերի համար և ընդունում է արժեքներ  - ում (կամ -ում)։ Ֆունկցիան բավարարում է հետևյալ պայմաններին.
  տարածության ցանկացած երեք  և  տարրերի և -ի (կամ -ի) ցանկացած  թվերի համար ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. ;
 ցանկացած  և -ի համար ճիշտ է  հավասարությունը;
 ցանկացած -ի համար ունենք , ընդ որում
 միայն  դեպքում։

Հանրահաշվական սահմանում 

n-աչափ իրական տարածությունում  և  երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է ինչպես.
:

Օրինակ, եռաչափ տարածությունում  և  վեկտորների արտադրյալը կհաշվարկվի այսպես.

 և  կոմպլեքս վեկտորների համար սկալյար արտադրյալը կլինի.

:

Օրինակ,

Երկրաչափական սահմանում

Օրինակներ AB վեկտորի և BC վեկտորի սկալյար արտադրյալ

Հատկություններ 
 Կոսինուսների թեորեմը հեշտությամբ արտածվում է սկալյար արտադրյալի կիրառմամբ.

 
 Անկյունը վեկտորների միջև.
 
 Վեկտորների կազմած անկյան գնահատումը.
  բանաձևում նշանը որոշվում է միայն անկյան կոսինուսով (նորմաները միշտ դրական են)։ Այդ պատճառով սկալյար արտադրյալը > 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը սուր է, և < 0, եթե վեկտորների կազմած անկյունը բութ է։
  վեկտորի պրոյեկցիան  միավոր վեկտորով սահմանված ուղղության վրա.
 , քանի որ 
  և  վեկտորների օրթոգոնալության (ուղղահայացության) պայմանը.
 

  և  երկու վեկտորներով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է.

Կոշի - Բունյակովսկու անհավասարություն 
Գծային տարածության ցանկացած  և  էլեմենտների համար տեղի ունի հետևյալ անհավասարությունը  

:

Պատմություն 
Սկալյար արտադրյալը ներմուծվել է Ուիլյամ Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, վեկտորական արտադրյալի հետ միաժամանակ, կապված քվատերնիոնների հետ, համապատասխանաբար ինչպես երկու այնպիսի քվատերնիոնների արտադրյալի սկալյար և վեկտորական մասեր, որոնց սկալյար մասը հավասար է զրոյի։

Տես նաև 
 Խառն արտադրյալ
 Հիլբերտյան տարածություն
 Վեկտորական արտադրյալ

Ծանոթագրություններ 

Անալիտիկ երկրաչափություն
Գծային հանրահաշիվ
Ֆունկցիոնալ անալիզ
Վեկտորական անալիզ