Պոյնտինգի թեորեմ

Պոյnնտինգի թեորեմ, էներգիայի պահպանման օրենքը էլեկտրադինամիկայում։

Ժամանակի մեջ էլեկտրական և մագնիսական փոխազդեցության հետ միասին փոխվում են նաև էլեկտրական էներգիայի և մագնիսական էներգիայի ծավալային խտությունները։ Բացահայտելու համար, թե ինչ է տեղի ունենում ամբողջ էներգիայի հետ, Մաքսվելի հավասարումներից գտնենք ածանցյալների արժեքները,

Առաջին հավասարումը սկալյար բազմապատկելով Ē-ով, իսկ երկրորդը H վեկտորով-ով ստանում ենք

Բայց,

Սակայն համաձայն նույնության

1 հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքեվ

կամ ինտեգրելով ըստ ծավալի և փոխելով նշանը կունենանք՝

Օգտվելով Օստոգրադսկիի թեորեմից, վերափոխենք հավասարման առաջին մասի առաջին ինտեգրալը S մակերեսով, որը սահմանափակում է դիտարկվող ծավալը

Այնուհետև նշանակելով

կստանանք

(2) հավասարումը իրենից ներկայացնում է էլեկտրամագնիսական դաշտում էներգիայի պահպանման օրենքը։

Հավասարման ձախ կողմը իրենից ներկայացնում է դիտարկվող ծավալում հակառակ նշանով էներգիայի ամբողջ պաշարի փոփոխության արագության ժամանակի մեջ։
Աջ հատվածի առաջին անդամը իրենից ներկայացնում է ծավալի հաջորդող մասերում հզորության կորուստը։
Առաջին հատվածի երկրորդ անդամը իրենից ներկայացնում է էներգիայի խտության վեկտորի հոսքը, որը միավոր ժամանակում անցնում է  S մակերեսով։
Այսպիսով՝

Համաձայն վեկտոր Π-ի սահմանման՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան յուրաքանչյուր կետում շարժվում է հարթությանն ուղղահայաց, որը ձևավորվել է Ē և H վեկտորների շնորհիվ, որը համընկնում է աջ ուղղությամբ շարժման հետ, որը նվազագույն անկյունով պտտվում է Ē վեկտորից H վեկտոր։
(3) հավասարումը հաստատում է, որ էլելտրամագնիսական դաշտի պաշարը կամայական ծավալի մեջ պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրա մի մասի վերածմանը ջերմության, և երկրորդ, տարածության մեջ մակերևույթով էներգիայի շարժմամբ, որը սահմանափակվում է ծավալով։

Դիտարկված հավասարումը կոչվում է Ումով-Պոյտինգի թեորեմ։ Այս անվանումը տրված է ի պատիվ հայտնի ռուս գիտնական Ումովի, ով առաջին անգամ դիտարկել և հետազոտել է տարբեր տեսակի էներգիաների հոսքը տարբեր միջավայրերում, և ի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Պոյնտինգի, ով հետազոտել է նմանատիպ հարցեր՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վերաբերյալ։

Էլեկտրադինամիկա