Մուավրի բանաձև

Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (, նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի)  և  n ամբողջ թվի համար

որտեղ i֊ն  կեղծ միավորն է  (i2 = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը։  արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (x)

Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ x֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(nx)֊ի և sin(nx)֊ի համար cos (x)֊ի և sin (x)֊ի տեսանկյունից։

Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ n ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել n֊րդ  միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, z կոմպլեքս թվերին այնպես, որ zn = 1։

Էյլերի բանաձևից ածանցում
Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։

Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

Ինդուկցիայով ապացույց (n ամբողջ թվի համար) 
Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ n ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(n):

n > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(k)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ kբնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

Հիմա համարելով S(k + 1):

Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։

Մենք եզրակացնում ենք, որ S(k) ենթադրում է S(k + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ  ։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք  −n էքսպոնենտը  n բնական թվի համար։

Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է

 համար։ Այդ պատճառով,  S(n)֊ը բավարարում է բոլոր n ամբողջ թվերին։

Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև 

Լինելով կոմպլեքս թվերի հավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե  x֊ը, հետևաբար նաև cos x֊ն ու sin x֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

։

Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում x կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ  x֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա n = 2 և n = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

cos(nx)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում TnՉեբիշեվի բազմանդամի Tn(cos x) արժեքն է cos x֊ով։

Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում
Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։  Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է n ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ n = , Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

for x = 0 բանաձևը տալիս է 1 = 1, և
for x = 2 բանաձևը տալիս է 1 = −1

Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 1 արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։

Մյուս կողմից,  1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե  z֊ը  և w֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

բազմարժեք է, մինչդեռ

ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

 
is one value of

Կոմպլեքս թվերի արմատներ
Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, րդ աստիճան) n֊րդ արմատները գտնելու համար։

Եթե z֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

 

ապա  n n֊րդ արմատները z֊ի տրվում են

 

որտեղ k֊ն ընկած է 0 ֊ից n − 1 ամբողջ թվերի մեջ։

Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։

Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում

Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն

Քանի որ , Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր n ∈ ℤ համար

Նաև, եթե n ∈ ℚ, ապա   մեկ արժեքը կարող է լինել :

Քվատերնիոններ
Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը

կարող է ներկայացվել

Այս տեսքում,

և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես 

Այս դեպքում այդ ,

այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

Օրինակ

խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել 

Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են

Ծանոթագրություններ 
.

Արտաքին հղումներ
 De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project

Կոմպլեքս անալիզ
Կոմպլեքս անալիզի թեորեմներ
Ապացույցներ կրող հոդավծներ