Էյլերի բնութագիր

Էյլերի բնութագիր կամ  Էյլեր-Պուանկարայի  բնութագիր, բնութագիր է տոպոլոգիական տարածության. Էյլերի տարածության բնութագիրը  
 սովորաբար նշանակում են  ։

Սահմանում 
 Վերջավոր  Կոմլեքս վանդակների համար (մասնավորապես վերջավոր симплициального комплекса) համար  Էյլերի բնութագիրը    կարող է սահմանվել ինչպես նշանափոփոխման գումար 
 
 որտեղ  ցույց է տալիս վանդակների թվի չափականությունը  .

 Ցանկացած տոպոլոգիական տարածության  Էյլերի բնութագիրը կարող է  լինել որոշված  Բետտի թվի  միջոցով   ինչպես նշանափոփոխման գումար։
 
 Այդ սահմանումը իմաստ ունի միայն, եթե Բետտի թիվը վերջավոր է և բավականին շատ թվացուցիչների համար զրոյանում են։ 
Վերջին սահմանումը ընդհանրացնում է նախորդը և ընդհանրացնում է ուրիշ ցանկացած գործակիցներով հոմոլոգիան

Հատկություն 
 Էյլերի բնութագիրը հանդիսանում է  հոմոտոպիկ ինվարիանտ՝այսինքն պահպանվում է հոմոտոպիկ համարժեքությունը տապալոգիական տարածությունում։
 Մասնավորապես, Էյլերի բնութագիրը տոպոլագիական ինվարիանտ է։

Բազմանիստերի էյլերյան բնութագիրը 
 Երկչափանի տոպոլոգիական բազմանիստի Էյլերյան բնութագիրը  կարող է հաշվել։  բանաձևով,որտեղ где Г, Р и В համապատասխանաբար նիստերի, կողերի և գագաթների թվն է։ մ ասնավորապես, միակցված բազմանիստի համար ճիշտ է Էյլերի բանաձևը։
 : 
Օրինակ, Էյլերի բնութագիրը խորանարդի համար  հավասար է 6 − 12 + 8 = 2, իսկ եռանկյուն բուրգի համար՝  4 − 6 + 4 = 2.

Գաուս-Բոննի թեորեմը 
Երկչափ կոմպակտ  կողմորոշված  ռիմանյան բազմակերպության (մակերևույթի)  համար առանց սահմանների գոյություն ունի 
Գաուս -Բոննի բանաձևը, կապում է էյլերյան բնութագիրը   գաուսյան թեքվածության  բազմակերպության հետ։ 
որտեղ — մակերևույթի մակերեսի տարր է .

 Գոյություն ունի Գաուս-Բոննի  ընդհանրացնող բանաձև երկչափ բազմակերպության եզրերի համար։
 Գոյություն ունի Գաուս -Բոննի ընդհանրացող բանաձև քառաչափ ռիմանյան բազմակերպության հայտնի բազմակերպությունը, ինչպես Գաուս-Բոննի-Չեռնի թեորեմ  կամ Գաուս-Բոննի ընդհանրացող բանաձև։
Գոյություն ունի նույնպես Գաուս-Բոննի թեորեմի դիսկրետ անալոգը,համաձայն,որի Էյլերի բնութագիրը  հավասար է  բազմանիստի դեֆեկտների дефектов полиэдра գումարին, բաժանած .
 Գոյություն ունի Գաուս-Բոնի բանաձևի կոմբինոտորական անալոգը։

Կողմնորոշիչ և ոչ կողմորոշիչ մակերևույթներ 
 Էյլերի բնութագիրը կողնորոշված գունդը ձեռքերով արտահայտում է բանաձևով , որտեղ g-ն ձեռքերի թիվն է, ոչ կողմնորոշված մակերևույթի համար բանաձևը երևում է, ինչպես  .

Էյլերի բնութագրի մեծությունը

Պատմություն
1752 թվականին Էյլերը հրապարակել է բանաձևը, կապելով միմյանց եռչափանի բազմանիստի նիստերը։ Բնագրի աշխատանքում բանաձևը ներկայացվում է   տեսքով,
որտեղ  S-ը գագաթների թիվն է, H-ը՝ նիստերի քանակը, A-ն՝ կողերի քանակը։

Ավելի վաղ այդ բանաձևը հանդիպում է Ռընե Դեկարտի ձեռագրերում, հրատարակված  XVIII դարում։

1899 թվականին Պուանկարեն  ընդհանրացրեց այդ բանաձևը  N-չափելի բազմանիստի դեպքում։

որտեղ  i-ն չափելի նիստերի,  N-ը չափելի բազմանիստի քանակն է։

Եթե ձևականորեն  համարենք բազմանիստը իր սեփական միակ նիստի չափականությունն է N,։ Բանաձևը կարելի է  գրառել ավելի պարզ տեսքի։

Ծանոթագրություններ

Գրականություն
 
 
 
 Ю. М. Бурман Эйлерова характеристика Летняя школа «Современная математика», 2012, г. Дубна

Տոպոլոգիական հանրահաշիվ
Տոպոլոգիական գրաֆների տեսություն
Բազմանիստերի կոմբինատորիկա
Լեոնարդ Էյլեր