Երկգծային ձև

Ենթադրենք -ը վեկտորական հարթություն է  հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են  և  հարթությունները)։

Երկգծային ձև կոչվում է  ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։
 ,
 ,
 ,
 ,
Այստեղ  և 

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։

Այլընտրանքային սահմանում 
Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ ) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք -ը  վեկտորների բազմություն է  տեսակի, որտեղ ։

Երկգծային ձևեր են կոչվում  ֆունկցիաները  տեսակի

որտեղ    իսկ  ՝  հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից  փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։

Կապակցված սահմանումներ 
  երկգծային ձևը կոչվում է  սիմետրիկ, եթե   ցանկացած վեկտորների համար։
  երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե   ցանկացած վեկտորների համար։
  վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ)  ենթահարթության մեջ -ի նկատմամբ, եթե  բոլոր  համար։  վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ  ենթահարթության մեջ տրված  երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում -ի նկատմամբ  ենթահարթության համար և նշանակվում է ։
  երկգծային ձևի արմատ կոչվում է -ի նկատմամբ    հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝  վեկտորների  ամբողջություն, որոնց համար  բոլոր  դեպքում։

Հատկություններ 
  երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
 Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
 Ընտրված  -ում բազիսում ցանկացած  երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով
 
այնպես, որ ցանկացած  և  վեկտորների համար
 
այսինքն՝
 
 Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
  հարթության չափականությունը ։
 Չնայած նրան, որ  երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է  երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է :
 Ցանկացած  ենթահարթության համար  օրթոգոնալ լրացումը համարվում է  ենթահարթություն։
 , որտեղ -ը  երկգծային ձևի ռանգ է։

Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակ
Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները։

Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները  հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր -ում   մատրիցի միջոցով
, կամ  մատրիցային արտահայտությամբ, ապա  երկգծային ձևը ցանկացած  և  վեկտորների վրա կգրվի, որպես
 ,
այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն
 ,
կամ մատրիցային ձևով՝
 ,
 , որտեղ ՝  կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է։

Տես նաև 
 Քառակուսային ձև
 Երկգծային օպերացիա
 Երկգծային փոխակերպում

Գրականություն 
 Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
 Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
 Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
 Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
 Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
 Гельфанд И. М., Линейная алгебра . Курс лекций.
 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Գծային հանրահաշիվ