Ինը կետերի շրջանագիծ

Ինը կետերի շրջանագիծ, եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերով անցնող շրջանագիծ։ Այն կոչվում է նաև Էյլերի շրջանագիծ, Ֆոյերբախի շրջանագիծ, վեց կետերի շրջանագիծ, տասներկու կետերի ներառյալ Ֆոյերբախի կետերը, շրջանագիծ։
Ինը կետերի շրջանագիծն այդ անվանումը ստացել է հետևյալ թեորեմից.
Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը և նրա գագաթները օրթոկենտրոնին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա։
Այլ կերպ ասած, ինը կետերի շրջանագիծը հանդիսանում է արտագծյալ շրջանագիծ հետևյալ եռանկյունների համար.
օրթոեռանկյուն
լրացուցիչ եռանկյուն
Էյլերի եռանկյուն (կամ Ֆոյերբախի եռանկյուն, Էյլեր-ֆոյերբախի եռանկյուն)- եռանկյուն, որի գագաթները տրված եռանկյան գագաթներն օրթոկենտրոնին միացնող երեք հատվածների միջնակետերն են։

Հատկություններ 
Ինը կետերի շրջանագիծն օժտված է մի շարք հատկություններով.
Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է Էյլերի ուղղի վրա, օրթոկենտրոնը և արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնը միացնող հատվածի ճիշտ կենտրոնում։

Էյլերի շրջանագծի ինը կետերից երեքը համարվում են եռանկյան գագաթները օրթոկենտրոնին միացնող հատվածների միջնակետերը (Էյլեր-Ֆոյերբախի եռանկյան գագաթներ)։ Այդ երեք կետերը եռանկյան կողմերի միջնակետերի արտապատկերումն են ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնի նկատմամաբ։
Ինը կետերի շրջանագծի կենտրոնը այնպիսի կենտրոնական սիմետրիայի կենտրոն է, որը կենտրոնական եռանկյունն (կամ լրացուցիչ եռանկյուն՝ եռանկյուն, որի գագաթները տրված եռանկյան կողմերի միջնակետերն են) արտապատկերում է Էյլեր-Ֆոյերբախի եռանկյան վրա և հակառակը։
Ինը կետերի շրջանագծի շառավիղը հավասար է արտագծյալ շրջանագծի շառավղի կեսին։ 
 

Արտագծյալ շրջանագիծը ինը կետերի շրջանագծի կերպարն է օրթոկենտրոնը որպես կենտրոն ունեցող և 2 գործակցով հոմոտետիայի դեպքում։
Հոմոտետության (նմանության) այս հատկությունը նշանակում է, որ ինը կետերի շրջանագիծը կիսում է ցանկացած հատված, որը օրթոկենտրոնը միացնում է արտագծյալ շրջանագծի վրա գտնվող ցանկացած կետի։
Ֆոյերբախի թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան ինը կետերի շրջանագիծը շոշափում է այդ եռանկյան ներգծյալ և բոլոր երեք առգծած շրջանագծերը։
Մավլոյի թեորեմ։ Եռանկյունն իր արտագծյալ շրջանագծի վրա արտաքնապես հատում է երեք այնպիսի աղեղներ, որ նրանցից մեծագույնի երկարությունը հավասար է մյուս երկու աղեղների երկարությունների գումարին։ Օրինակ, վերևի նկարում ըստ Մավլոյի թեորեմի ստացվում է հավասարություն. աղեղ IF = աղեղ HE + աղեղ GD։

Պատմություն 
Լեոնարդ Էյլերը 1765 թվականին ապացուցել է, որ բարձրությունների հիմքերը և կողմերի միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (այստեղից՝ «վեց կետերի շրջանագիծ» անվանումը)։ Վերջնական արդյունքի առաջին ամբողջական ապացույցը հրապարակել է Կարլ Ֆոյերբախը 1822 թվականին իր անունը կրող թեորեմի հետ միասին, սակայն կան կարծիքներ, որ այն հայտնի է եղել ավելի վաղ։

Ինը կետերի շրջանագծի և արտագծյալ շրջանագծի փոխդասավորության մասնավոր դեպքեր 
Եռանկյան մեջ արտագծյալ շրջանագծի նկատմամաբ ինը կետերի շրջանագիծը (կամ Էյլերի շրջանագիծը) կարող է դասավորված լինել հետևյալ կերպ.
Այն շոշափում է արտագծյալ շրջանագիծը միայն այն դեպքում, երբ եռանկյունն ուղղանկյուն է։ Ընդ որում երկու շրջանագծերի շոշափման կետը ուղիղ անկյան գագաթն է։
Այն ամբողջությամբ ընկած է արտագծյալ շրջանագծի ներսում, եթե եռանկյունը սուրանկյուն է։
Այն հատում է արտագծյալ շրջանագիծը երկու տարբեր կետերում, եթե եռանկյունը բութանկյուն է։

Գրականություն 
 Дм. Ефремов (1902), Новая геометрия треугольника, 
 Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren 
 Мавло Д. П. Красивые свойства замечательных тел//Математика в школi. № 3, 2004. с. 265–269.

Ծանոթագրություններ 

Եռանկյան երկրաչափություն
Շրջանագծեր