Այնշտայնի դաշտի հավասարումներ

Այնշտայնի դաշտի հավասարումներ (նաև Այնշտայնի հավասարումներ), տասը հավասարումներից կազմված համակարգ Ալբերտ Այնշտայնի հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում, որը նկարագրում է գրավիտացիայի հիմնարար փոխազդեցությունը որպես էներգիայով և նյութով կորացած տարածաժամանակի արդյունք։ Առաջին անգամ հրապարակել է Այնշտայնը 1915 թվականին, որպես թենզորական հավասարում, լոկալ լոկալ էներգիայով և իմպուլսով տարածաժամանակի (արտահայտվում է էներգիայի-իմպուլսի թենզորով) կորության համար (արտահայտվում է Այնշտայնի թենզորով)։

Ինչպես էլեկտրամագնիսական դաշտերը սահմանվում են էլեկտրական լիցքը և հոսանքը Մաքսվելի հավասարումներում կիրառելով, Այնշտայնի դաշտի հավասարումները օգտագործվում են տարածաժամանակի երկրաչափությունը սահմանելու համար, որը զանգված-էներգիայի և գծային իմպուլսի առկայության արդյունք է, այսինքն՝ դրանք սահմանում են տարածաժամանակի մետրիկան տարածաժամանակում էներգիա-իմպուլսի տրված տեղաբաշխման համար։ Այս եղանակով մետրիկ թենզորի և Այնշտայնի թենզորի միջև կապը թույլ է տալիս Այնշտայնի դաշտի հավասարումները գրել որպես ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ։ Այնշտայնի դաշտի հավասարումների լուծումները մետրիկ թենզորի բաղադրիչներ են։ Մասնիկների և ճառագայթման իներցիալ հետագծերը (գեոդեզիկ գծերը) արդյունարար երկրաչափությունում այնուհետև հաշվարկվում են գեոդեզիկ հավասարումներն օգտագործելով։

Ենթարկվելով լոկալ էներգիա-իմպուլսի պահպանմանը՝ Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կրճատվում են՝ վերածվելով նյուտոնյան գրավիտացիային, որտեղ գրավիտացիոն դաշտի արագությունները շատ ավելիփոքր են լույսի արագությունից։

Այնշտայնի դաշտի հավասարումների ճշգրիտ լուծումները կարելի է գտնել միայն պարզեցնող ենթադրությունների դեպքում, ինչպես օրինակ տարածաժամանակի սիմետրիան է։ Ճշգրիտ լուծումների որոշ դասեր ավելի շատ են ուսումնասիրվում, քանի որ դրանք մոդելավորում են բազմաթիվ գրավիտացիոն երևույթներ, ինչպես պտտվող սև խոռոչներն են և ընդարձակվող տիեզերքը։ Հետագա պարզեցումները ստացվում են՝ իրական տարածաժամանակը մոտարկելով որպես փոքր շեղումներով հարթ տարածաժամանակ, ինչը հանգում է գծայնացված դաշտի հավասարումներին։ Այս հավասարումները հաճախ օգտագործվում են ուսումնասիրելու համար այնպիսի երևույթներ, ինչպիսին գրավիտացիոն ալիքներն են։

Մաթեմատիկական տեսքը 
Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

որտեղ -ը Ռիչիի կորության թենզորն է, -ն՝ մետրիկ թենզորը, -ն՝ կոսմոլոգիական հաստատունը, -ն՝ նյուտոնյան գրավիտացիոն հաստատունը, -ն՝ լույսի արագությունը վակուումում, -ը՝ սկալյար կորությունը, -ն՝ էներգիա-իմպուլսի թենզորը։

Այնշտայնի դաշտի հավասարումները թենզորական հավասարումներ են, որոնք առնչվում են սիմետրիկ 4×4 թենզորների համակարգին։ Յուրաքանչյուր թենզոր ունի 10 անկախ բաղադրիչ։ Բիանկիի նույնությունները անկախ հավասարումների թիվը կրճատում են՝ reduce the number 10-ից 6 դարձնելով, թողնելով չորս ազատության աստիճաններով տրամաչափավորված մետրիկան, ինչը համապատասխանում է կոորդինատական համակարգ ընտրելու ազատությանը։

Չնայած Այնշտայնի դաշտի հավասարումները սկզբնապես ձևակերպվել են քառաչափ տեսության շրջանակներում, որոշ տեսություններ դրանք ընդհանրացնում են n չափումների համար։ Հարաբերականության ընդհանուր տեսության շրջանակներից դուրս գտնվող հավասարումները ևս համարվում են Այնշտայնի դաշտի հավասարումներ։ Վակուումային դաշտի հավասարումները (ստացվում են, երբ T-ն նույնաբար զրո է) սահմանում են Այնշտայնի բազմաձևություններ։

Չնայած հավասարումների պարզ տեսքին, դրանք իրականում ահագին բարդ են։ Despite the simple appearance of the equations they are actually quite complicated. Էներգիա-իմպուլսի թենզորի տեսքով նյութի և էներգիայի տրված բաշխումով դաշտի հավասարումները ընկալվում են որպես հավասարումներ մետրիկ թենզորի համար, քանի որ և՛ Ռիչիի թենզորը, և՛ սկալյար կորությունը բարձ ոչ գծային կախվածությւոն ունեն մետրիկայից։ Լրիվ գրված տեսքով դաշտի հավասարումները 10 ոչ գծային կապված հիպերբոլական էլիպտիկ մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են։

Այնշտայնի դաշտի հավասարումները ավելի կոմպակտ կարող ենք գրել՝ սահմանելով Այնշտայնի թենզորը՝

որը համաչափ երկրորդ ռանգի թենզոր է և ֆունկցիա է չափականությունից։ Այդ դեպքում դաշտի հավասարումները կարելի է գրել որպես
։

Կիրառելով երկրաչափականացված միավորների համակարգ, որտեղ G = c = 1, սա կարող ենք գրել որպես
։

Ձախ մասի արտահայտությունը ներկայացնում է տարածաժամանակի կորությունը՝ ինչպես սահմանված է չափականությամբ, աջ մասի արտահայտությունը ներկայացնում է տարածաժամանակում պարունակված նյութը և էներգիան։ Այս դեպքում Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կարելի է ներկայացնել որպես հավասարումների համակարգ, որոնք թելադրում են, թե ինչպես են նյութը և էներգիան սահմանում ըարածաժամանակի կորությունը։
Այս հավասարումները գեոդեզիկ հավասարման հետ, որը որոշում է, թե ինչպես է ազատ ակնում կատարող նյութը արժվում տարածաժամանակում, տալիս են հարաբերականության ընդհանուր տեսության մաթեմատիկական ձևակերպումը։

Նշանների կանոնը 
Այնշտայնի հավասարման վերը բերված տեսքը սահմանվել են Մինսերը, Թորնը և Ուիլլերը։ Այս հեղինակները վերլուծում են նշանի վերաբերյալ առկա բոլոր պայմանավորվածությունները և դասակարգում են ըստ հետևյալ երեք նշանների (S1, S2, S3).

։

Երրորդ նշանը կապված է Ռիչիի թենզորի ընտրության պայմանավորվածության հետ.
։

Այս սահմանումներով Միսները, Թորնը և Ուիլլերը դրանք դասակարգում են որպես , մինչդեռ Վայնբերգը (1972) նշում է , Փիբլսը (1980) Էվստատիուն (1990)՝ , Մինչդեռ Փիքոքը, (1994), Ռինդլերը (1977), Աթվաթրը(1974)՝ ։

Ռիչիի թենզորի սահմանման համար հեղինակները, ներառյալ Այնշտայնը, տարբեր նշաններ են կիրառել, ինչի արդյունքում աջ մասի հաստատունը նշանը բացասական է.
։

Այս երկու տարբերակներում էլ կոսմոլոգիական անդամի նշանը կփոխվի, եթե +−−− մետրիկական նշանային պայմանավորվածությունը կիրառվի, ոչ թե MTW −+++ մետրիկական նշանային պայմանավորվածությունը, որն էլ օգտագործվել է վերևում։

Համարժեք ձևակերպումներ 
Այնշտայնի հավասարումների երկու մասերից չափականության նկատմամբ ձևափոխություն անելով կարելի է ստանալ

որտեղ -ն տարածաժամանակի չափականությունն է։ Այս արտահայտությունը կարելի է գրել որպես
։

Ավելացնելով  բազմապատիկչը, կստանանք՝
։

Օրինակ,  չափականությամբ այն կրճատվում է, դառնալով
։

Կոսմոլոգիական հաստատուն 
Այնշտայնը ձևափոխեց իր սկզբնական դաշտի հավասարումները՝ ներառելով  տիեզերական հաստատունը, որը ուղիղ համեմատական է մետրիկ ֆունկցիային՝

Քանի որ -ն հաստատուն է, էներգիայի պահպանման օրենքը մնում է անփոփոխ։

Այնշտայնը կոսմոլոգիական հաստատունի անդամն ավելացնում է՝ պահպանելու համար ստատիկ տիեզերքը։ Սակայն հաջողության չի հասնում, քանի որ.

 այս տեսությամբ նկարագրվող տիեզերքը կայուն չէ,
 Էդվին Հաբլի դիտումները հաստատեցին, որ մեր տիեզերքը ընդարձակվում է։

Այսպիսով Այնշտայնը հրաժարվեց -ից՝ այն անվանելով «իր կյանքի ամենամեծ սխալը»։

Անկախ կոսմոլոգիական հաստատունը հավասարումներում ներառելու Այնշտայնի Einstein's մոտիվացիայից, ոչինչ չի խանգարում այն հավասարումներում ներառելուն։ Բազում տարիներ կոսմոլոգիական հաստատունը համարյա ամենուր էր համարվում։ universally considered to be 0.
Սակայն կատարելագործված վերջին աստղագիտական տեխնոլոգիաները ցույց տվեցին, որ -ն պետք է դրական արժեք ունենա՝ արագացող տիեզերքը բացատրելու համար։

Այնշտայնը կոսմոլոգիական հաստատունը մտածել էր որպես անկախ պարամետր, սակայն դաշտի հավասարումների այդ անդամը կարելի է հանրահաշվորեն տեղափոխել մյուս կողմ՝ գրելով որպես էներգիա-իմպուլսի թենզորի մաս.
։

Արդյունք հանդիսացող վակուումի էներգիան հաստատուն է և տրվում է

Առնչությամբ։
Հետևաբար կոսմոլոգիական հաստատունի առկայությունը համարժեք է ոչ զրոյական վակուումային էներգիայի գոյությանը։ Այսպիսով «կոսմոլոգիական հաստատուն» և «վակուումի էներգիա» տերմինները այժմ հարաբերականության ընդհանուր տեսության մեջ փոխարինում են միմյանց։

Հատկություններ

Էներգիայի և իմպուլսի պահպանում 
Հարաբերականության ընդհանուր տեսության համապատասխանությունը էներգիայի և իմպուլսի լոկալ պահպանմանն արտահայտվում է որպես

։

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Լոկալ էներգիա-իմպուլսի պահպանման արտածումը
|-
|
Համաձայն դիֆերենցիալ Բիանկիի նույնությանը,

ունենալով -ն և կիրառելով այն փաստը, որ մետրիկ թենզորը կովարիանտ հաստատուն է, այսինքն ,

Ռիմանի թենզորի հակասիմետրիան թույլ է տալիս վերևի արտահայտության երկրորդ անդամը գրել հետևյալ տեսքով՝

որը համարժեք է

որտեղ օգտագործեցինք Ռիչիի թենզորը։

Կրկին, համաձայն մետրիկ ֆունկցիայի՝

ստանում ենք

Ռիչիի կորության թենզորի և սկայլար կորության սահմանումները ցույց են տալիս, որ

ինչը կարելի է գրել որպես

Վերջապես ըստ -ի կունենանք

որը փակագծերիանդամի սիմետրիայից և Այնշտայնի թենզորի սահմանումից կտա

Կիրառելով ԱՅնշտայնի դաշտի հավասարումները, կունենանք

|}

ինչն արտահայտում է իմպոիլս-էներգիայի լոկալ պահպանումը։ Այս պահպանման օրենքը ֆիզիկական պահանջ է։ Իր դաշտի հավասարումներով Այնշտայնը ցույց տվեց, որ հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը համադրելի է էներգիայի պահպանման պայմանի հետ։

Ոչ գծայնություն 
Այնշտայնի դաշտի հավասարումների ոչ գծայնությունը հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը տարբերակում է շատ այլ հիմնարար ֆիզիկական տեսություններից։ Օրինակ, էլեկտրամագնիսականության Մաքսվելի հավասարումները գծային են (այսինքն՝ երկու լուծումների գումարը նույնպես լուծում է) էլեկտրական և մագնիսական դաշտերում և լիցքի ու հոսանքի բաշխման մեջ։ Մի այլ օրինակ է Շրյոդինգերի հավասարումը քվանտային մեխանիկայում, որը գծային է ալիքային ֆունկցիայում։

Համապատասխանության սկզբունք 
Դաշտի հավասարումները բերվում են նյուտոնյան գրավիտացիայի օրենքին թույլ դաշտերի և դանդաղ շարժումների մոտարկման դեպքում։ Փաստորեն դաշտի հավասարումներում ի հայտ եկած G-ն նախանշված է այս երկու մոտարկումները կատարելու համար։

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Նյուտոնյան գրավիտացիայի օրենքի արտածումը
|-
|
Նյուտոնյան գրավիտացիան կարելի է գրել որպես  (որը գրավիտացիոն պոտենցիալն է ջոուլ-կիլոգրամներով) սկալյար դաշտի տեսություն

որտեղ -ն զանգվածի խտությունն է։ Ազատ անկում կատարող մասնիկի հետագիծը բավարարում է

հավասարմանը։ Թենզորական տեսքով սա կգրվի որպես

։

Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում այս հավասարումները որոշ K հաստատունով և գեոդեզիկ հավասարումներով փոխարինվում են դաշտի հավասարումներով 
։

։

Տեսնելու համար, թե ինչպես է վերջինը վերածվում առաջինի, ենթադրում ենք, որ փորձնական մասնիկի արագությունը մոտավորապես զրո է

այսպիսով

և որ մետրիկը և նրա ածանցյալները մոտավորապես ստատիկ են Մինկովսկու մետրիկայից շեղման քառակուսիները աննշան էն։ Այս պարզ ենթադրությունները կիրառելով գեոդեզիկ հավասարման տարածական անդամների նկատմամբ, կունենանք

որտեղ -ի երկու գործակիցները կրճատվել են։ Դա կրճատվում է մինչև նյուտոնյան մասին, տալով

։

Մեր ենթադրությամբ α=i և ժամանակը (0) պետք է զրո լինի։ Ուստի սա պարզեցվում է՝ դառնալով

ինչը բավարարվում է, եթե
։

Դառնալով Այնշտայնի հավասարումներին, անհրաժեշտություն կա միայն, որ ժամանակ-ժամանակ բաղադրիչը

փոքր արագության և ստատիկ դաշտի ենթադրությունները նշանակում են, որ

Այսպիսով

և

Ռիչիի թենզորի սահմանումից

Պարզեցնող ենթադրությունների շնորհիվ Γ-ի քառակուսին վերանում է ժամանակի ածանցյալների հետ

Միավորելով վերևի հավասարումները՝ կունենանք

որը կրճատվում է նյուտոնյան դաշտի հավասարումների, եթե

որը տեղի կունենա, եթե

|}

Վակուումի դաշտի հավասարումներ 

Եթե քննարկվող տիրույթում  էներգիա-իմպուլսի թենզորը զրո է, ապա դաշտի հավասարումները ներկայացվում են որպես վակուումի դաշտի հավասարումներ։ տեղադրելով ՝ դրանք կարելի է գրել որպես

։

Ոչ զրոյական կոսմոլոգիական հաստատունի դեպքում այս հավասարումները դառնում են
։

Վակուումի դաշտի հավասարումների լուծումները կոչվում են նաև Այնշտայնի վակուում։ Հարթ Մինկովսկու տարածությունը վակուումային լուծման պարզագույն օրինակ է։ Ոչ տրիվիալ օրինակներ են Շվարցշիլդի լուծումը և Քերի լուծումը։

 վերացող Ռիչիի թենզորով բազմաձևությունները ներկայանում են որպես Ռիչիի հարթ բազմաձևություններ։ Դրանք Ռիչիի թենզորով բազմաձևություններ են, որոնք ուղիղ համեմատական են մետրիկային՝ ինչպես Այնշտայնի բազմաձևությունները։

Այնշտայն-Մաքսվելի հավասարումներ 

Եթե կիրառենք  էներգիա-իմպուլսի թենզորը վակուում էլեկտրամագնիսական դաշտում

ապա Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կոչվում են Այնշտայն-Մաքսվելի հավասարումներ (Λ կոսմոլոգիական հաստատունով, որն ըստ պայմանավորվածության ընտրվում է զրո).

։

Ազատ տարածությունում թույլ են տրվում նաև Մաքսվելի կովարիանտ հավասարումները՝

որտեղ կետ-ստորակետով նշանակված է կովարիանտ ածանցյալը, իսկ փակագծերով՝ հակասիմետրիկացումը։ Առաջին հավասարումը պնդում է, որ F 2-ձևի 4-դիվերգենցիան զրո է, իսկ երկրորդը՝ որ դիֆերենցիալ ձևը զրո է։ Վերջինից և Պուանկարեի լեմմայից հետևում է, որ կոորդինատների կորագիծ համակարգու Aα էլեկտրամագնիսական դաշտի պոտենցիալը հնարավոր է ներկայացնել որպես

որտեղ ստորակետով նշանակված է մասնակի ածանցյալը։ Սա հաճախ համարժեք է Մաքսվելի կովարիանտ հավասարմանը, որից այն արտածվել է However, there are global solutions of the equation which may lack a globally defined potential.։

Լուծումներ 
Այնշտայնի դաշտի հավասարումների լուծումները տարածաժամանակի մետրիկներ։ Այս մետրիկները նկարագրում են տարածաժամանակի կառուցվածքը՝ ներառյալ օբյեկտների իներցիալ շարժումը տարածաժամանակում։ Քանի որ դաշտի հավասարումները ոչ գծային են, դրանք միշտ չեն կարող ամբողջությամբ լուծվել (այսինքն՝ առանց մոտարկումներ անելու)։ Օրինակ, գոյություն չունի հայտնի լրիվ լուծում երկու զանգվածեղ մարմիններ պարունակող տարածաժամանակի համար (որը, օրինակ, կրկնակի աստղային համակարգի տեսական մոդելն է)։ Սակայն մոտարկումները հիմնականում արվում են այս դեպքերի համար։ Դրանք սովորաբար կոչվում են հետնյուտոնյան մոտարկումներ։ Սակայն կան նաև բազմաթիվ դեպքեր, երբ դաշտի հավասարումը լուծվում է ամբողջությամբ։ Դրանք կոչվում են ճշգրիտ լուծումներ։

Այնշտայնի դաշտի հավասարումների ճշգրիտ լուծման հետազոտությունը ֆիզիկական տիեզերագիտության հիմնական նպատակներից մեկն է։ Այն հանգում է սև խոռոչների կանխատեսմանը և տիեզերքի զարգացման տարբեր մոդելների։

Այնշտայնի դաշտի հավասարման նոր լուծումներ կարող ենք հայտնաբերել օրթոնորմավորված հենանիշների (orthonormal frame) մեթոդով, որն առաջին անգամ առաջարկել են Էլիսը և ՄաքՔալունը։ Այս մոտեցմամբ Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կրճատվում են կապված ոչ գծային սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի։ Ինչպես քննարկում են Հսուն և Ուենռայթը, դաշտի հավասարումների ինքնանման (self-similar) լուծումները արդյունարար դինամիկական համակարգերի ֆիքսված կետեր են։ Այս մեթոդների կիրառությամբ նոր լուծումներ է հայտնաբերել Լըբլանկը և Կոհլին ու Հասլամը։

Գծայնացված Այնշտայնի դաշտի հավասարումներ 
Դաշտի հավասարումների ոչ գծային լինելը դժվարացնում է դրանց ճշգրիտ լուծումը գտնելը։ Լուծելու ճանապարհ է որևէ մոտարկում անելը, այն է՝ գրավիտացնող նյութի աղբյուրներից հեռու գրավիտացիոն դաշտը շատ թույլ է և տարածաժամանակը մոտարկվում է Մինկովսկու տարածության։ Մետրիկան գրվում է որպես Մինկովսկու մետրիկայի և Մինկովսկու մետրիկայից իսկական մետրիկայի շեղումը ներկայացնող անդամի գումարի տեսքով։ Շեղման քառակուսային և ավելի բարձր աստիճաններով անդամներն անտեսվում են։ Այս գծայնացումը կարող է կիրառվել գրավիտացիոն ճառագայթման երևույթը հայտնաբերելու համար։

Պոլինոմիալ ձև 
Կարող ենք կարծել, որ դաշտի հավաասարումները ոչ պոլինոմիալ են, քանի որ պարունակում են մետրիկ թենզորի հակադարձը։ Մետրիկի դետերմինանտը 4 չափողականությամբ կարելի է գրել

օգտագործելով Լևի-Չիվիտի սիմվոլը՝ մետրիկայի հակադարձը 4 չափականությամբ կարելի է գրել որպես

Տեղադրենք մետրիկայի հակադարձի այս սահմանումը հավասարումներում, այնուհետև բազմապատկենք երկու կողմերը (g)-ով, մինչև մետրիկ թենզորի և նրա առաջին և երկրորդ ածանցյալների պոլինոմիալ հավասարումներում հայտարարը վերանա։ Դաշտի համապասատխան վերասահմանումների դեպքում կարելի է պոլինոմիալ տեսքով գրել նաև հավասարումների ածանցյալները։

Ծանոթագրություններ 

Հարաբերականության ընդհանուր տեսություն
Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ