Դաշտի քվանտային տեսություն

Դաշտի քվանտային տեսություն, ֆիզիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններ ունեցող քվանտային համակարգերի՝ քվանտային (կամ քվանտացված) դաշտերի վարքը։ Միկրոմասնիկների, նրանց փոխազդեցությունների և փոխարկումների նկարագրության տեսական հիմքը։ Դաշտի քվանտային տեսության վրա են հիմնվում բարձր էներգիաների ֆիզիկան, տարրական մասնիկների ֆիզիկան և կոնդենսացված վիճակի ֆիզիկան։ Դաշտի քվանտային տեսությունը ստանդարտ մոդելի տեսքով (ներառելով նեյտրինոյի զանգվածը) այժմ միակ փորձնականորեն հաստատված տեսությունն է, որն ի վիճակի է նկարագրել և կանխատեսել տարրական մասնիկների վարքը բարձր էներգիաների (այսինքն՝ հանգստի էներգիան էապես գերազանցող էներգիաների) դեպքում։

Դաշտի քվանտային տեսության մաթեմատիկական ապարատը քվանտային դաշտի վիճակների հիլբերտյան տարածությունն է (Ֆոկի տարածություն) և նրանում ազդող մաթեմատիկական օպերատորները։ Ի տարբերություն քվանտային մեխանիկայի, դաշտի քվանտային տեսությունում բացակայում են «մասնիկները» որպես անոչնչացնելի տարրական օբյեկտներ։ Դրա փոխարեն այստեղ հիմնական օբյեկտներ են Ֆոկի տարածության վեկտորները, որոնք նկարագրում են քվանտային դաշտի բոլոր հնարավոր գրգռումները։ Դաշտի քվանտային տեսությունում քվանտամեխանիկական ալիքային ֆունկցիայի նմանակը դաշտային օպերատորն է, որն ընդունակ է ազդելու Ֆոկի տարածության վակուումային վեկտորի վրա և ծնել քվանտային դաշտի միամասնիկային գրգռումներ։

Դաշտի քվանտային տեսության կառուցման համար կարևոր է եղել վերանորմավորման երևույթի էությունն ըմբռնելը։

Սկզբնավորման պատմություն 
Քվանտային մեխանիկայի հիմնական հավասարումը՝ Շրյոդինգերի հավասարումը ռելյատիվիստորեն ինվարիանտ չէ, ինչը երևում է հավասարման մեջ տարածական և ժամանակային կոորդինատների անսիմետրիկությունից։ Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը համապատասխանում է մասնիկի մէներգիայի և իմպուլսի դասական կապին՝ ։ Էներգիայի և իմպուլսի ռելյատիվիստական առնչությունը ունի  տեսքը։ Ենթադրելով, որ իմպուլսի օպերատորը ռելյատիվիստական դեպքում այնպիսին է, ինչպես ոչ ռելյատիվիստականում, և կիրառելով տրված բանաձևը ռելյատիվիստական համիլտոնյանի կառուցման համար, 1926 թվականին առաջարկվել է ռելյատիվիստական ինվարիանտ հավասարում ազատ (բիսպինոր համ զրոյական սպինով) մասնիկի համար (Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում)։ Սակայն այս հավասարման խնդիրն այն է, որ որ ալիքային ֆունկցիան այստեղ դժվար է մեկնաբանել որպես հավանականության ամպլիտուդ թեկուզ այն պատճառով, որ հավանականության խտությունը դրական սահմանված մեծություն չի լինի։

1928 թվականին մի փոքր տարբեր մոտեցում իրականացրեց Պոլ Դիրակը։ Դիրակը փորձում էր ստանալ առաջին աստիճանի դիֆերենցիալ հավասարում, որտեղ ժամանակային և տարածական կոորդինատները իրավահավասար կլինեն։ Քանի որ իմպուլսի օպերատորը ուղիղ համեմատական է ըստ կոորդինատների առաջին ածանցմանը, ապա Դիրակի համիլտոնյանը կարող է գծային լինել իմպուլսի օպերատորով։ Հաշվի առնելով էներգիայի և իմպուլսի այդ նույն ռելյատիվիստական առնչությունը, օպերատորի քառակուսու վրա սահմանափակումներ են դրվում։ Համապատասխանաբար գծային գործակիցները նույնպես պետք է բավարարեն որոշակի սահմանափակումների՝ նրանց քառակուսիները պետք է հավասար լինեն միավորի, իսկ իրենք պետք է փոխադարձ հակակոմուտատիվ լինեն։ Այսպիսով, դրանք չեն կարող թվային գործակիցներ լինել։ Սակայն կարող են լինել մատրիցներ, ընդ որում չափականուոթյունը պակաս չլինի 4-ից, իսկ «ալիքային ֆունկցիան»՝ քառաբաղադրիչ օբյեկտ, որը ստացել է բիսպինոր անվանումը։ Արդյունքում ստացվեց Դիրակի հավասարումը, որում մասնակցում են այսպես կոչված Դիրակի 4-մատրիցները և քառաբաղադրիչ «ալիքային ֆունկցիա»։ Ֆորմալ տեսքով Դիրակի հավասարումը նույնն է, ինչ Դիրակի համիլտոնյանով Շրյոդինգերի հավասարւմը։ Սակայն այս հավասարումը, ինչպես և Կլայն-Գորդոնի հավասարումը բացասական էներգիաներով լուծումներ ունի։ Այս հանգամանքը պատճառ հանդիսացավ հակամասնիկների գոյությունը կանխատեսելու համար, և հետագայում հաստատվեց փորձնականորեն (պոզիտրոնի բացահայտումը)։ Հակամասնիկների գոյությունը էներգիայի և իմպուլսի ռելյատիվիստական առնչության հետևանք է։

Այսպիսով, ռելյատիվիստորեն ինվարիանտ հավասարումների անցումը հանգեցնում է ոչ ստանդարտ ալիքային ֆունկցիաների և բազմամասնիկային մեկնաբանության։ Միաժամանակ 20-ական թվականների վերջին մշակվեց բազմամասնիկային համակարգի քվանտային նկարագրության ֆորմալիզմը (այդ թվում փոփոխական թվով մասնիկների համակարգի համար), որը հիմնված է մասնիկների ծնման և ոչնչացման օպերատորների վրա։ Դաշտի քվանտային տեսությունը նույնպես հիմնված է այդ օպերատորների վրա (արտահայտվում է դրանցով)։

Կլայն-Գորդոնի և Դիրակի ռելյատիվիստական հավասարումները դաշտի քվանտային տեսությունում դիտարկվում են որպես հավասարումներ օպերատորային դաշտային ֆունկցիաների համար։ Համապատասխանորեն ներմուծվում է քվանտային դաշտերի համակարգերի վիճակների նոր հիլբերտյան տարածություն, որտեղ ազդում են նշված դաշտային օպերատորները։ Այդ պատճառով երբեմն դաշտերի քվանտացման գործընթացը կոչվում է «երկրորդային քվանտացում»։

Դաշտի տեսության դասական ֆորմալիզմ

Լագրանժյան ֆորմալիզմ 

Լագրանժյան մեխանիկայում  Լագրանժի ֆունկցիան համակարգի դինամիկ փոփոխականների և ժամանակի ֆունկցիա է և գրվում է ըստ համակարգի բոլոր նյութական կետերով գումարի տեսքով։ Անընդհատ համակարգի դեպքում, ինչպիսին է դաշտը, գումարը փոխարինվում է ըստ Լագրանժի ֆունկցիայի խտության տարածական ինտեգրալով՝  լագրանժյան խտությամբ․
 ,

որտեղ թավատառով առանձնացվածեն կոորդինատների 4-վեկտորի տարածական բաղադրիչները, իսկ զրոյական բաղադրիչը ժամանակն է։

Ըստ սահմանման  գործողությունը ըստ ժամանակի ինտեգրալ է լագրանժյանից․
 ,

այսինքն՝ գործողությունը դաշտի տեսությունում լագրանժյան խտության քառաչափ ինտեգրալն է ըստ քառաչափ տարածաժամանակի։ Այդ պատճառով դաշտի տեսությունում լագրանժյան սովորաբար անվանում են լագրանժյանի խտությունը։

Դաշտը նկարագրվում է  դաշտային ֆունկցիայով, որը կարող է լինել իրական կամ կոմպլեքս սկալյար (պսևդոսկալյար), վեկտորական, սպինորային կամ այլ ֆունկցիա։ Դաշտի տեսությունում ենթադրվում է, որ լագրանժյանը կախված է միայն դինամիկ փոփոխականներից՝ դաշտային ֆունկցիայից և նրա ածանցյալներից, այսինքն՝ բացակայում է ակնհայտ կախումը կոորդինատներից (ակնհայտ կախումը կոորդինատներից խախտում է ռելյատիվիստական ինվարիանտությունը)։ Տեսության լոկակալությունը պահանջում է, որ լագրանժյանը պարունակի վերջավոր քանակով ածանցյալներ և չպարունակի, օրինակ, ինտեգրալային կախվածություն։ Ավելին, երկրորդ կարգից ոչ բարձր դիֆերենցիալ հավասարում ստանալու համար (դասական մեխանիկային համապատասխանելու համար) ենթադրվում է, որ լագրանժյանը կախված է միայն դաշտային ֆունկցիայից և նրա առաջին ածանցյալներից․
 ։

Փոքրագույն գործողության սկզբունքը (Համիլտոնի սկզբունք) նշանակում է, որ համակարգի վիճակի փոփոխությունը տեղի է ունենում այնպես, որ գործողությունը ստացիոնար լինի (գործողության վարիացիան հավասար է զրոյի)։ Այս սկզբունքը թույլ է տալիս ստանալ շարժման դաշտային հավասարումներ՝ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներ
 ։

Քանի որ համակարգի ֆիզիկական հատկությունները որոշվում են այնպիսի գործողությամբ, որում լագրանժյանը ենթաինտեգրալային արտահայտություն է, ապա տվյալ լագրանժյանին համապատասխանում է միակ գործողությունը, բայց ոչ հակառակը։ Որևէ 4-վեկտորի լրիվ 4-դիվերգենցիայով իրարից տարբերվող  լագրանժյանները ֆիզիկորեն համարժեք են։

Դաշտերի համակարգի լագրանժյանը 

Չփոխազդող (ազատ) դաշտերի լագրանժյանը պարզապես առանձին դաշտերի լագրանժյանների գումարն է։ Շարժման հավասարումները ազատ դաշտերի համակարգի համար առանձին դաշտերի շարժման հավասարումների համախումբն է։

Դաշտերի փոխազդեցությունը լագրանժյանում հաշվի են առնում՝ ավելացնելով լրացուցիչ ոչ գծային գումարելիներ։ Այսպիսով, փոխազդող դաշտերի համակարգի լրիվ լագրանժյանը  ազատ լագրանժյանների և  փոխազդեցության լագրանժյանի գումար է․
 

Փոխազդեցության լագրանժյան ներմուծելը հանգեցնում է շարժման հավասարումների ոչ համասեռության և ոչ գծայնության։ Փոխազդեցության լագրանժյանները սովորաբար մասնակից դաշտերի բազմաստիճան ֆունկցիաներ են (երրորդ աստիճանից ոչ ցածր)՝ բազմապատկած որոշ թվային հաստատունով՝ այսպես կոչված կապի հաստատունով։ Փոխազդեցության լագրանյանը կարող է ուղիղ համեմատական լինել հենց դաշտային ֆունկցիայի երրորդ կամ չորրորդ աստիճանին, տարբեր դաշտային ֆունկցիաների արտադրյալին (արդյունարար աստիճանը չպետք է երեքից պակաս լինի)։

Համիլտոնյան ֆորմալիզմ 

Լագրանժյան ֆորմալիզմից կարելի է անցնել համիլտոնյանին՝ լագրանժյան և համիլտոնյան մենխանիկաների համանմանությամբ։ Դաշտային ֆունկցիան այստեղ հանդես է գալիս որպես ընդհանրացված (կանոնիկ) կոորդինատներ։ Համապատասխանաբար անհրաժեշտ է սահմանել նաև ընդհանրացված (կանոնիկ) իմպուլս, որը այդ կոորդինատին համալուծ է ստանդարտ բանաձևին համապատասխան․
 ։

Այս դեպքում դաշտի համիլտոնյանը (համիլտոնյանի խտությունը) ըստ սահմանման հավասար է
 ։

Շարժման հավասարումները համիլտոնյան մոտեցումով՝
 ։

Ցանկացած  մեծությունների դինամիկան համիլտոնյան ֆորմալիզմի շրջանակներում ենթարկվում է հետևյալ հավասարմանը․
 ,

որտեղ ձևավոր փակագծերով նշանակված են Պուասոնի փակագծերը։ Ընդ որում  և  ֆունկցիաների համար տեղի ունի 
 ։

Պուասոնի փակագծերի մասնակցությամբ առնչությունը սովորաբար հիմք է դաշտերի քվանտացման համար, երբ դաշտային ֆունկցիաները փոխարինվում են համապատասխան օպերատորներով, իսկ Պուասոնի փակագծերը՝ օպերատորների կոմուտատորով։

Սիմետրիաները դաշտի քվանտային տեսությունում

Սիմետրիայի սահմանումը և տեսակները 
Դաշտի քվանտային տեսությունում սիմետրիաներ են կոչվում կոորդինատների և (կամ) դաշտային ֆունկցիաների այն ձևափոխությունները, որոնց նկատմամբ շարժման հավասարումները ինվարիանտ են, հետևաբար՝ գործողությունը ինվարիանտ է։ Ընդ որում ձևափոխությունները խմբեր են կազմում։ Սիմետրիան կոչվում է գլոբալ, եթե համապատասխան ձևափոխությունը կախված չէ 4-կոորդինատից։ Հակառակ դեպքում խոսում են լոկալ սիմետրիայի մասին։ Սիմետրիան կարող է լինել ընդհատ (դիսկրետ) և անընդհատ։ վերջին դեպքում ձևափոխությունների խումբն անընդհատ (տոպոլոգիական) է, այսինքն՝ խմբում տրված է տոպոլոգիա, որի նկատմամբ խմբային ձևափոխություններն անընդհատ են։ Դաշտի քվանտային տեսությունում սակայն սովորաբար կիրառվում է խմբերի ավելի նեղ դաս՝ Լիի խմբերը, որոնցում ոչ միայն տոպոլոգիա է ներմուծված, այլև՝ դիֆերենցելի բազմաձևության կառուցվածք։ Այսպիսի խմբերի տարրերը կարելի է ներկայացնել որպես վերջավոր թվով պարամետրերի դիֆերենցելի ֆունկցիաներ (հոլոմորֆ կամ անալիտիկ)։ Ձևափոխությունների խմբերը հաճախ դիտարկվում են որակի պատկերացումով՝ խմբերի տարրերին համապատասխանում են պարամետրերի օպերատորային (մատրիցային) ֆունկցիաներ։

Դիսկրետ սիմետրիաներ։ CPT-թեորեմ 

Ավելի կարևոր արժեք ունեն հետևյալ տիպի ձևափոխությունները․

 - Լիցքային համալուծություն՝ դաշտային ֆունկցիաների փոխարինում համալուծներով։

 - Զույգություն՝ տարածական բաղադրիչների նշանի փոփոխություն հակառակով։

 - Ժամանակի հակադարձում՝ ժամանակային բաղադրիչի նշանի փոփոխություն։

Ապացուցված է, որ լոկալ դաշտի քվանտային տեսությունում տեղի ունի -սիմետրիա, այսինքն՝ ինվարիանտություն այս երեք ձևափոխությունների միաժամանակյա կիրառման նկատմամբ։

Անընդհատ սիմետրիաներ։ Նյոթերի թեորեմը 

Ըստ Նյոթերի թեորեմի, գործողության ֆունկցիոնալի ինվարիանտությունը -պարամետրական ձևափոխությունների խմբի նկատմամբ հանգեցնում է դաշտի  դինամիկ ինվարիանտների, այսինքն՝ պահպանման օրենքների։ Ենթադրենք կոորդինատների ձևափոխությունը իրականացվում է  ֆունկցիայի օգնությամբ, իսկ դատային ֆունկցիայինը՝  ֆունկցիայի օգնությամբ, որտեղ ֊ն  պարամետրերի հավաքածուն է։ Պարամետրերի զրոյական արժեքի դեպքում  ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը ըստ -րդ պարամետրի նշանակենք , իսկ  ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը ըստ  պարամետրի՝  (պարամետրերի զրո արժեքի դեպքում)։ Նշված մեծություններն ըստ էության համապատասխան ձևափոխությունների խմբերի գեներատորներ են։

Այս դեպքում նյոթերյան հոսանքները, որոնք սահմանվում են որպես , օժտված են  հատկությամբ։ Ժամանակի մեջ պահպանվող մեծությունները («նյոթերյան լիցքեր») տարածական ինտեգրալներ են ըստ հոսանքների  զրոյական բաղադրիչների։

Բոլոր քվանտային֊դաշտային տեսություններին վերագրվող հիմնարար սիմետրիան այսպես կոչված ռելյատիվիստական ինվարիանտությունն է՝ ինվարիանտությունը Լորենցի անհամասեռ խմբի (Պուանկարեի խումբ) նկատմամբ, այսինքն՝ տարածա֊ժամանակային տեղափոխությունների և լորենցյան պտույտների նկատմամբ։ Կոմպլեքս դաշտերի համար մեկ այլ գլոբալ սիմետրիա է գլոբալ տրամաչափային սիմետրիան՝ սիմետրիան  միապարամետրական խմբի նկատմամբ։ Այն կապված է լագրանժյանի և դիտարկվող ֆիզիկական մեծությունների իրական լինելու պահանջի հետ, ինչը հանգեցնում է կոմպլեքս դաշտերից կախվածության միայն քառակուսային ձևերի միջոցով, որոնք իրենցից ներկայացնում են փոխադարձ կոմպլեքս համալուծ ֆունկցիաների և նրանց ածանցյալների արտադրյալ։ Այդ պատճառով բազմապատկումը ունիտար փուլային  բազմապատկիչով չի հանգեցնում որևէ փոփոխությունների։

Աղյուսակում բերված են նյոթերյան հոսանքների և լիցքերի ընդհանուր արժեքները հիմնական գլոբալ սիմետրիաների և համապատասխան պահպանման օրենքների համար։

Գրականություն 
 Quantum Field Theory - Stanford Encyclopedia of Philosophy
 
 Ֆրենկ Վիլչեկ, Դաշտի քվանտային տեսություն
 P. J. Mulders, Դաշտի քվանտային տեսություն
 Gerard ’t Hooft, The Conceptual Basis of Quantum Field Theory
 Warren Siegel, Fields
 The Mystery at the Heart of Physics That Only Math Can Solve
 
 

Դաշտի քվանտային տեսություն
Ֆիզիկայի հասկացություններ
Ֆիզիկա