Ուիլյամ Համիլտոն

Սըր Ուիլյամ Ռոուեն Համիլտոն (, ), իռլանդացի մաթեմատիկոս։

Իռլանդիայի թագավորական աստղաբան (1827-1865)։ Իռլանդական թագավորական ակադեմիայի անդամ (1837, 1837-1845 թվականներին՝ նրա նախագահ)։ Մի շարք գիտությունների ակադեմիաների (այդ թվում՝ Ռուսաստանի գիտությունների ակադեմիայի (1837)) և գիտական ընկերությունների թղթակից-անդամ, ԱՄՆ-ի գիտությունների ազգային ակադեմիայի առաջին արտասահմանյան անդամ (1864)։ Ակադեմիկ Ա. Ն. Կռիլովը գրել է. :

Կենսագրություն

Մանկություն և պատանեկություն 
Համիլտոնը ինը երեխաներից չորրորդն էր իռլանդուհի Սառա Հատտոնի (, 1780-1817) և կիսաիռլանդացի, կիսաշոտլանդացի Արչիբալդ Համիլտոնի (, 1778-1819) ընտանիքում։ Արչբալդը ծնունդով Դանբոյն քաղաքից էր, Դուբլինում աշխատում էր որպես իրավաբան։ Ֆինանասական դժվարությունների և ծնողների վատառողջ լինելու պատճառով որոշվեց միամյա տղային հանձնել հորեղբոր դաստիարակությանը։ Հորեղբայրը՝ Ջեյմս Համիլտոնը, կրթված անձնավորություն էր, աշխատում էր որպես փոխերեց և ուսուցիչ Տրիմ քաղաքում։ Նա համակրանքով էր վերաբերվում տղային և ամեն կերպ օգնում էր նրա զարգացմանը։ Շուտով Համիլտոնը մնաց առանց ծնողների. մայրը մահացավ, երբ տղան 12 տարեկան էր, հայրը դրանից հետո ապրեց 2 տարի։ Ավելի ուշ Համիլտոնն իր վրա վերցրեց որբացած երեք քույրերի հոգսը։

Արդեն մանուկ հասակում Ուիլյամը ցուցաբերում էր արտասովոր ընդունակություններ։ 3 տարեկանում նա ազատ կարդում էր և սկսեց յուրացնել թվաբանությունը։ 7 տարեկանում նա գիտեր լատիներեն, հունարեն և հինեվրոպական լեզուներ։ 12 տարեկանում հորեղբոր ղեկավարությամբ, արդեն գիտեր 12 լեզու, այդ թվում՝ պարսկերեն, արաբերեն, սանսկրիտերեն (հին հնդկերեն գրական լեզուն)։ 13 տարեկանում նա գրեց սիրիական քերականության ձեռնարկ։ Համիլտոնը ողջ կյանքի ընթացքում բարձր էր գնահատում գրականությունն ու պոեզիան և ժամանակ առ ժամանակ փորձում էր բանաստեղծություններ գրել։ Նրա գրական ծանոթների թվին էին պատկանում հայտնի պոետ Ուիլյամ Վորդսվորտը, նրանց ընկերությունը շարունակվեց մինչև Վորդսվորտի կյանքի վերջը, ինչպես նաև Սեմյուել Քոլրիջ Թեյլորը, որի հետ Համիլտոնը ակտիվ կապ հաստատեց։

Լեզուներից հետո եկավ մաթեմատիկայով հետաքրքրվելու ժամանակը։ Տաս տարեկանում Համիլտոնի ձեռքն ընկավ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» գրքի լատիներեն թարգմանությունը, և նա մանրամասնորեն ուսումնասիրեց այդ աշխատությունը։ 13 տարեկանում կարդաց Իսահակ Նյուտոնի «Ունիվերսալ թվաբանությունը», իսկ 16 տարեկանում՝ Նյուտոնի «Բնության փիլիսոփայության մաթեմատիկական սկզբունքների» մեծ մասը (ընդ որում Համիլտոնը Կլերոյի և Լապլասի աշխատությունների հիման վրա ուսումնասիրում էր մայրցամաքային մաթեմատիկան, որը Մեծ Բրիտանիայում դեռևս նորություն էր։ 17 տարեկանում Ուիլյամը սկսեց Լապլասի «Երկրային մեխանիկայի» ուսումնասիրությունը։ Այդ աշխատությունում նա տրամաբանական սխալ հայտնաբերեց և այդ մասին տեղեկացրեց Իռլանդիայի թագավորական աստղագետ Ջոն Բրինկլիին։ Վերջինս, գնահատելով պատանու ընդունակությունները, սկսեց օգնել նրա գիտական զարգացմանը։ Իռլանդիայում խոշոր գիտնականները շատ քիչ էին, ուստի Համիլտոնը մաթեմատիկա և ֆիզիկա ինքնուրույն ուսումնասիրեց, դժվարություների դեպքում դիմելով Բրինկլիի օգնությանը։ Իռլանդացի գրող Մարիա Էջուորտը, որի ընտանիքի հետ Ուիլյամը բարեկամացել էր, նրան անվանում էր տաղանդավոր հրաշք, որի մասին պրոֆեսոր Բրինկլին ասում է, որ կարող է դառնալ երկրորդ Նյուտոնը։

1815-1823 թվականներին Ուիլյամը սովորում է դպրոցում, ապա 18-ամյա պատանին ընդունվում է Դուբլինի համալսարանի Տրինիտի քոլեջը։ Այնտեղ նա այնքան փայլուն ընդունակություններ է ցուցաբերում (առաջինը բոլոր առարկաներից), 1827 թվականին, դեռևս 22-ամյա ուսանող, թոշակի գնացող Բրինկլիի խորհրդով նշանակվում է նրա փոխարեն՝ Դուբլինի համալսարանի աստղագիտության պրոֆեսոր և Իռլանդիայի թագավորական աստղագետ։ Համալսարանում, նախկին ուսանող Համիլտոնը, այդպես էլ չպաշտպանելով դիսերտացիա, դասախոսում էր երկնային մեխանիկայի դասընթացը։

Թագավորական աստղագետ 
1827 թվականին Համիլտոնը զբաղեցնում է Իռլանդիայի թագավորական աստղագետի պաշտոնը (որը նշանակում էր համատեղ պաշտոն Դանսինկյան աստղադիտարանի տնօրենի պաշտոնի հետ) և պաշտոնավարում է 38 տարի՝ այդ պաշտոնում գտնվածների ամենաերկարակյացը։ Նա հրատարակեց մի շարք աշխատություններ երկրաչափական օպտիկայի վերաբերյալ, որոնք մեծ արժեք էին ներկայացնում օպտիկական սարքավորումների տեսության համար։ Սակայն քիչ էր զբաղվում լոկ աստղագիտական խնդիրներով, որի պատճառով լոնդոնյան հանձնաժողովների կողմից երկու անգամ քննադատվեց անբավարար ջերմեռանդության համար։

1833 թվականին Համիլտոնն ամուսնանում է Հելեն Բեյլիի (Helen Maria Bayley) հետ։ Նրանք ունեցան երկու տղա և աղջիկ։ Սակայն ամուսնությունը հաջողությամբ չպսակվեց և Համիլտոնը սկսեց չարաշահել ալկոհոլը։ 1834-1835 թվականներին հանդես եկան դասական աշխատանքներ «համիլտոնյան մեխանիկայի» վերաբերյալ։ Շոտլանդացի մաթեմատիկոս Պիտեր Տետը այդ աշխատություններն անվանեց «Նյուտոնի և Լագրանժի դարաշրջանի տեսական դինամիկայի խոշորագույն լրացումներ»։

Օպտիկայում արված հայտնագործությունների և գիտական ծառայությունների համար Իռլանդիայի փոխարքան Համիլտոնին շնորհեց ասպետի կոչում և նշանակեց ամենամյա նպաստ՝ 200 ֆունտ, իսկ Լոնդոնյան թագավորական ընկերությունը պարգևատրեց նրան (Ֆարադեյի հետ միասին) Թագավորական մեդալով։ Սակայն առջևում դեռ մեծ հայտնագործությունների ամբողջ տարի էր։ Նույն այդ 1835 թվականին Համիլտոնն ավարտեց դինամիկայի խնդիրների լուծման նոր, համընդհանուր մոտեցման մշակումը վարիացիոն սկզբունքով (Համիլտոնի սկզբունք)։ Գրեթե մեկ հարյուրամյակ անց հենց այդ մոտեցումը վճռական դարձավ քվանտային մեխանիկայի ստեղծման համար, իսկ Համիլտոնի հայտնաբերած վարիացիոն սկզբունքը հաջողությամբ օգտագործվեց հարաբերականության ընդհանուր տեսության դաշտի հավասարումների մշակման գործում։ 1837 թվականին Համիտոնն ընտրվեց Իռլանդիայի թագավորական ակադեմիայի նախագահ։ Այդ թվականին «Դինամիկայում ընդհանուր մեթոդի մասին» աշխատության համար, ակադեմիկոսներ Բունյակովսկու, Օստրոգրադսկու և Ֆուսսի ներկայացմամաբ նա ընտրվեց Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի թղթակից-անդամ։

1843 թվականը շրջադարձալի եղավ Համիլտոնի կյանքում։ Նա հայտնաբերեց քվատերնիոնների հանրահաշվական համակարգը՝ կոմպլեքս թվերի համակարգի ընդհանրացումը, և իր կյանքի մնացած երկու տասնամյակները նվիրեց դրանց հետազոտմանը։ Մեծ Բրիտանիայում քվատերնիոնների տեսությունն ընդունվեց արտասովոր խանդավառությամբ և «պատկառանքի հասնող խորը հարգանքով». իսկ Իռլանդիայում (ապա նաև Անգլիայում) այն դարձավ կրթության պարտադիր բաղկացուցիչ։

1846 թվականին տհաճ վիճաբանություն տեղի ունեցավ երկրաբանական ընկերության ճաշկերույթի ընթացքում, որտեղ Համիլտոնը ներկայացել էր արտակարգ հարբած վիճակում. արդյունքում նա թողեց Իռլանդական ակադեմիայի նախագահի պաշտոնը։ Մեկ տարի անց վախճանվեց Ջեյմսը, որը Ուիլյամին որդու պես էր վերաբերվում։ 1865 թվականի գարնանը Համիլտոնի առողջությունը սկսեց կտրուկ վատանալ։ Իր երկար տարիների աշխատանքը՝ «Քվատերնիոնների տարրեր», նա հասցրեց ավարտել մահվանից մի քանի օր առաջ։ Համիլտոնը մահացավ սեպտեմբերի 2-ին 60 տարեկան հասակում։ Թաղված է դուբլինյան Mount Jerome Cemetery and Crematorium գերեզմանատանը։

Գիտական ներդրում 
Իր բոլոր հիմնական աշխատություններում Համիլտոնը ձգտել է խնդիրը դնել և լուծել առավելագույն ընդհանուր, ունիվերսալ մեթոդով, խորությամբ ուսումնասիրել մեթոդները և պարզ ձևով ընդգծել նրանց կիրառության ոլորտները։

Մաթեմատիկա

Կոմպլեքս թվերի տեսություն 
1835 թվականին Համիլտոնը հրատարակեց «Հանրահաշվական զույգերի տեսություն» աշխատությունը (Theory of Algebraic Couples), որում տվեց կոմլեքս թվերի տեսության խիստ կառուցվածքը։ Եթե Էյլերը կոպլեքս թիվը դիտարկում էր որպես  գումար, իսկ Վեսսելն ու Գաուսը հանգեցին կոմպլեք թվերի երկրաչափական մեկնաբանությանը, դիտելով դրանք որպես կոորդինատային հարթության կետեր (ընդ որում վերջինս 1831 թվականին «Երկքառակուսային հաշվարկների տեսություն» աշխատության մեջ նույնպես առաջարկել է կոմպլեքս թվերի հանրահաշվի խիստ կառուցվածքը), ապա Համիլտոնը (հավանաբար, ծանոթ չլինելով Գաուսի աշխատանքին) կոմպլեքս թիվը դիտարկեց որպես  իրական թվերի զույգ։ Այժմ բոլոր երեք մոտեցումները հավասարապես տարածված են, ընդ որում Գաուսի և Համիլտոնի աշխատությունների հանդես գալով հանվեց կոմլեքս թվերի տեսության անհակասականության հարցը (ավելի ճիշտ, այն հանգեցվեց իրական թվերի տեսության անհակասականության հարցին։

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական մեկնաբանությունը հնարավորություն ընձեռեց դրանք լայնորեն կիրառելու հարթաչափությունում և մաթեմատիկական ֆիզիկայի երկչափ խնդիրները լուծելիս։ Փորձելով տարածաչափության համար համանման արդյունքի հասնել, Համիլտոնը մի քանի տարիների ընթացքում աշխատեց կոմլեքս թվի հասկացության ընդհանրացման և իրական թվերի եռյակից բաղկացած թվերի լիարժեք համակարգի ստեղծման վրա։ Այն ավարտին չհասցնելով, Համիլտոնը սկսեց դիտարկել իրական թվերի քառյակները։ Մտքի փայլատակումն այցելեց նրան 1843 թվականի հոկտեմբերյան օրերից մեկում, դուբլինյան կամրջով զբոսանքի ժամանակ, այդպես ի հայտ եկան քվատերնիոնները։

Քվատերնիոնների տեսություն

Քվատերնիոնների տեսության ստեղծում 
Իր բացահայտած «քառանդամ թվերի» համար Համիլտոնը ներմուծեց քվատերնիոններ անվանումը՝ լատիներեն  չորսական բառից։ Քվատերնիոնները, կոմպլեքս թվերի անալոգիայով ներկայացնելով իրական թվերի քառյակներով, նա գրառում էր քվատերնիոնները նաև ձևական գումարի տեսքով.
 
որտեղ  - երեք քվատերնիոնյան միավորներ են (կեղծ միավորի անալոգները։ Ենթադրելով քվատերնիոնների բազմապատկման բաշխականությունը գումարման նկատմամբ, Համիլտոնը ներմուծեց քվատերնիոնների բազմապատկման սահմանումը  բազային միավորների համար, տալով հետևյալ տեսքի բազմապատկման աղյուսակ.

Աղյուսակից երևում է, որ քվատերնիոնների բազմապատկումն օժտված չէ տեղափոխական հատկությամբ (այդ պատճառով քվատերնիոնների հանրահաշվական համակարգը համարվում է մարմին, բայց ոչ դաշտ)։

Հաջորդ երկու տասնամյակները Համիլտոնը նվիրեց նոր թվերի մանրամասն ուսումնասիրությանն ու գործնական կիրառություններին, այդ թեմայով գրելով 109 հոդվածներ և երկու ծավալուն մենախոսություններ՝ «Դասախոսություններ քվատերնիոնների մասին» և «Քվատերնիոնների տարրեր»։  բանաձևի աջ մասը նա դիտարկում էր որպես երկու գումարելիների գումար. սկալյար մասի ( թիվը) և վեկտորական մասի (գումարի մնացած մասը)։ Իսկ ավելի ուշ, որոշ հեղինակներ օգտագործեցին համապատասխանաբար «իրական մաս» և «կեղծ մաս» արտահայտությունները։ Այդպես մաթեմատիկայում առաջին անգամ ներմուծվեցին վեկտոր (1847 թ., համապատասխանում էր զրոյական սկալյար մասով քվատերնիոնին) և սկալյար (1853 թ., համապատասխանում էր զրոյական վեկտորական մասով քվատերնիոնին) բառերը։ Որպես երկու վեկտորների քվատերնիոնյան արտադրյալի վեկտորական և սկալյար մասեր հանդես եկան համապատասխանաբար վեկտորական և սկալյար արտադրյալները։

Քվատերնիոնների կիրառություն 
Համիլտոնի աշխատանքների խոշորագույն շարունակողն ու քվատերնիոնների մասսայականացնողը եղավ նրա աշակերտը՝ շոտլանդացի մաթեմատիկոս Պիտեր Տետը, որը դրանց բազմաթիվ կիրառություններ առաջարկեց երկրաչափությունում, սֆերիկ եռանկյունաչափությունում և ֆիզիկայում։ Այդպիսի կիրառություններից մեկը եղավ տարածական ձևափոխությունների ուսումնասիրությունը։ Կոմպլեքս թվերը հաջողությամբ օգտագործվում են հարթության վրա կամայական շարժումների մոդելավորման համար. թվերի գումարմանը համապատասխանում է կոմպլեքս հարթության կետերի փոխանցումը, իսկ բազմապատկմանը՝ պտույտը (միաժամանակյա ձգմամբ, եթե արտադրյալի մոդուլը 1-ից տարբեր է)։

Քվատերնիոնները հարմար գործիք են էվկլիդյան եռաչափ տարածությունում շարժումների հետազոտության համար. նրանց այդպիսի օգտագործումը հիմնված է քվատերնիոնների երկրաչափա-թվային ինտերպրետացիայի վրա, որի դեպքում քվատերնիոն միավորներին համադրվում են որևէ աջակողմյան օրթոնորմավորված բազիսի վեկտորներ եռաչափ տարածությունում։ Այդ ժամանակ ստեղծվում է փոխադարձ համարժեք համապատասխանություն եռաչափ պտույտների և քվատերնիոնների մարմինների ներքին ավտոմորֆիզմների միջև; յուրաքանչյուր այդպիսի ավտոմորֆիզմը կարող է առաջանալ 1-ի հավասար մոդուլով քվատերնիոնից (քվատերնիոնի  մոդուլը սահմանվում է որպես նրա  բաղադրիչների քառակուսիների գումարից քառակուսի արմատ)): Ընդ որում երկու պտույտների հաջորդական իրականացմանը համապատասխանում է պտույտի համապատասխան քվատերնիոնների արտադրյալը։ Այս փաստը լուսաբանում է քվատերնիոնների բազմապատկման ոչ տեղափոխական լինելը, քանի որ երկու եռաչափ պտույտների իրականացման արդյունքը էականորեն կախված է դրանց իրականցման կարգից։

Քվատերնիոնների ուսումնասիրության ընթացքում Համիլտոնը ներմուծեց վեկտորական դաշտի հասկացությունը («դաշտ» եզրույթը նրա մոտ դեռևս բացակայում է, դրա փոխարեն օգտագործվել է կետի վեկտորական ֆունկցիայի հասկացությունը) և դրաց վեկտորական հաշվի հիմքերը։

Համիլտոնի աշխատանքների հիման վրա Ջոզայա Գիբսը և Օլիվեր Հեվիսայդն առանձնացրեցին ու զարգացրեցին վեկտորական հաշվի համակարգը, արդեն քվատերնիոնների տեսությունից անկախ, այն չափազանց օգտակար եղավ կիրառական մաթեմատիկայում և ներառվեց դասագրքերում։

Ջեյմս Մաքսվելը քվատերնիոնների հետ ծանոթացավ իր դպրոցական ընկեր Տետի շնորհիվ, և դրանք բարձր գնահատեց. «Քվատերնիոնների հաշվման հայտնագործությունը մի քայլ առաջ է տարածության հետ կապված մեծությունների ճանաչման մեջ, որն իր կարևորությամբ կարելի է համեմատել միայն Դեկարտի կողմից տարածական կոորդինատների հայտնաբերման հետ»։ Մաքսվելլի՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի տեսության մասին հոդվածներում քվատերնիոնյան սիմվոլիկան կիրառվում է դիֆերենցիալ օպերատորների ներկայացման համար, բայց և այնպես իր վերջին աշխատություններում Մաքսվելլը հրաժարվեց քվատերնիոնյան սիմվոլիկայից՝ հօգուտ Գիբսի ու Հեվիսայդի ավելի հարմար ու դիտողական վեկտորական հաշվի։

Քվատերնիոնների տեսության պատմական նշանակությունը 
XX դարում քվանտային մեխանիկայում քվատերնիոն մոդելները կիրառելու մի քանի փորձեր արվեցին և հարաբերականության տեսությունում։ Քվատերնիոնները ռեալ կիրառություն գտան ժամանակակից համակարգչային գրաֆիկայում և խաղերի ծարագրավորման մեջ, ինչպես նաև հաշվողական մեխանիկայում, իներցիալ նավագնացությունում և կառավարման տեսությունում. 2003 թվականից հրատարակվում է «Հիպերկոմպլեքսային թվերը երկրաչափությունում և ֆիզիկայում» ամսագիրը։ Ֆելիքս Կլայնը կարծիք է հայտնել, որ «քվատերնիոնները լավ են և կիրառելի են իրենց տեղում, բայց և այնպես դրանք չունեն այն նշանակությունը, ինչ սովորական կոմպլեքս թվերը»։

Կիրառության շատ բնագավառներում գտնվել են ավելի ընդհանուր և գործնական միջոցներ, քան քվատերնիոնները։ Օրինակ, մեր օրերում տարածության մեջ շարժումն ուսումնասիրելու համար ավելի հաճախ օգտագործվում է մատրիցային հաշվարկը։ բայց այնտեղ, որտեղ կարևոր է տալ եռաչափ պտույտ սկալյար պարամետրերի փոքրագույն քանակության օգնությամբ, Ռոդրիգի - Համիլտոնի պարամետրերի (այսինքն՝ պտույտի կվատերնիոնի չորս բաղադրիչների) կիրառումը շատ հաճախ գերադասելի է լինում։

Բոլոր դեպքերում, մաթեմատիկայի զարգացման գործում քվատերնիոնների ներդրումն անգնահատելի է։ Անրի Պուանկարեն գրել է. «Նրանց երևան գալը հզոր զարկ տվեց հանրահաշվի զարգացմանը, նրանցից ելնելով գիտությունն ընթացավ թվի հասկացության ընդհանրացման ճանապարհով, գալով մատրիցի և գծային օպերատորի կոնցեպցիաներին։ Դա եղավ հեղափոխություն թվաբանությունում, նման այն բանին, որ կատարեց Լոբաչևսկին երկրաչափությունում»։

Մաթեմատիկայի այլ բնագավառներ

Երկրաչափություն 
1861 թվականին Համիլտոնը հարթաչափությունում ապացուցեց իր անունը կրող թեորեմը. «Սուրանկյուն եռանկյան օրթոկենտրոնը նրա գագաթներին միացնող ուղիղների երեք հատվածները այն տրոհում են երեք Համիլտոնի եռանկյունների, որոնք ունեն Էյլերի նույն շրջանագիծը, ինչ որ տրված սուրանկյուն եռանկյունը»։

1856 թվականին Համիլտոնն ուսումնասիրեց քսանանիստի սիմետրիաների խումբը։ Մյուս բազմանիստի՝ տասներկուանիստի ուսումնասիրության հետևանքը եղավ գրաֆների տեսությունում օգտակար հասկացության՝ համիլտոնյան գրաֆի երևան գալուն; բացի այդ, Համիլտոնը հորինեց տասներկուանիստի կողերի շրջանցման հետ կապված հետաքրքրաշարժ գլուխկոտրուկ և այն վաճառքի թողարկեց 1859 թվականին։ Այդ խաղը, որը ձևակերպվել էր ինչպես «Ճանապարհորդություն երկրի շուրջը», երկար ժամանակ թողարկվում էր Եվրոպայի շատ երկրներում։

Քվատերնիոնների տեսության առաջ գալու պահից Համիլտոնը միշտ նկատի է ունեցել նրա շրջանակներում առաջացած վեկտորների ապարատը տարածական երկրաչափությունում։ Ընդ որում  կետում սկիզբ և  կետում վերջ ունեցող  ուղղորդված հատվածը Համիլտոնը մեկնաբանել է հենց ինչպես վեկտոր և, հետևելով Մյոբիուսին, գրառել է  տեսքով (այսինքն՝ ինչպես վերջնակետի ու սկզբնակետի տարբերություն)։ «Վեկտոր» եզրույթը կազմվել է լատիներեն vehere ‘ տանել, ձգել բայից (նկատի է առնվել շարժվող կետի տեղափոխությունը  սկզբնական դիրքից ) վերջնական դիրք։

Երկրաչափությունը պարտական է Համիլտոնին այնպիսի եզրույթների համար, ինչպիսիք են կոլինեարություն, կոմպլանարություն (կիրառվել են միայն կետերի նկատմամբ, իսկ ընդհանուր սկզբնակետով վեկտորների համար համապատասխան դեպքերում օգտագործվել են termino-collinear և termino-coplanar արտահայտությունները)։

Համիլտոնի մի քանի աշխատություններ նվիրված են Աբելի աշխատանքների ճշգրտմանը թվային մթոդների վերաբերյալ։ Քվատերնիոնների հետազոտության ընթացքում Համիլտոնն ապացուցեց մի շարք հանրահաշվական թեորեմներ, որոնք վերաբերում են մատրիցների տեսությանը։ Գծային հանրահաշվում կարևոր Համիլտոնի-Կելիի թեորեմը նա ապացուցեց  չափսի մատրիցների համար, մատրիցի հասկացությունն ու թեորեմի ձևակերպումը (առանց ապացուցման) հրապարակել է Արթուր Կելին (1858), ընդհանուր դեպքի համար ապացույցը տվել է Ֆրոբենիուսը 1898 թվականին։

Օպտիկա

Լույսի տարածման տեսություն 
Իր առաջին գիտական խոշոր աշխատությունը՝ վերնագրված «Caustics», 19-ամյա Համիլտոնը 1824 թվականին ներկայացրեց դոկտոր Բրինկլիին, որն այդ ժամանակ Իռլանդիայի գիտությունների ակադեմիայի նախագահն էր։ Այդ աշխատությունը, որ նվիրված էր դիֆերենցիալ երկրաչափության զարգացմանը, մնացել էր ձեռագիր, սակայն 1827 թվականից Համիլտոնը սկսեց հրատարակել հոդվածների շարք՝ զգալի չափով ընդլայնված ու խորացված տարբերակով, ընդհանուր վերնագրով՝ «Ճառագայթների համակարգի տեսություն»(Theory of Systems of Rays)։ Այդ հոդվածներում Համիլտոնը ձգտում էր կառուցել հայտնի օպտիկական երևույթների ֆորմալ տեսությունը։ Նա հայտարարեց, որ իր նպատակն է ստեղծել օպտիկական երևույթների տեսություն, որն օժտված լինի այնպիսի «գեղեցկությամբ, արդյունավետությամբ և ներդաշնակությամբ», ինչ Լագրանժի անալիտիկ մեխանիկան։

Հոդվածներից առաջինում (1827 թվական) Համիլտոնը հետազոտում է լուսային ճառագայթների ընդհանուր հատկությունները, որոնք դուրս են գալիս մի լուսավորվող կետից և ենթարկվում են կամ անդրադարձման կամ բեկման։ Հետազոտությունների հիմքում նա դնում է ճառագայթների անդրադարձման ու բեկման՝ փորձից հայտնի օրենքները։ Ելնելով երկրաչափական օպտիկայի այս հասկացություններից, Համիլտոնը հանգում է «անընդհատ գործողության մակերևույթի» հասկացությանը, (ալիքային մեկնաբանությամբ՝ ալիքային ճակատ), ստանում և վերլուծում է տրված մակերևույթները նկարագրող դիֆերենցիալ հավասարումները։

Տեսության կիրառություններ 
«Երրորդ հավելումում» Համիլտոնն իր տեսության հիման վրա կանխագուշակեց ներքին կոնական ռեֆրակցիայի երևույթը. եթե երկու օպտիկական առանցքներով բյուրեղում հատենք առանցքներից մեկին ուղղահայաց հարթ շերտ և այդ շերտի վրա ուղղենք լույսի փունջ այնպես, որ այն բեկվի օպտիկական առանցքին զուգահեռ, ապա շերտից ելքի վրա տեսանելի կլինի լուսատու օղակ (նրա տրամագիծը կախված է շերտի հաստությունից)։ Համալսարանական ֆիզիկոս Համֆրի Լլոյդի (Humphrey Lloyd) կողմից արված փորձերը արագոնիտի հետ այս ենթադրությանը տվեցին փորձառական վավերացում։ Այս սենսացիոն հայտնագործությունն ակնառու ցույց տվեց Համիլտոնի մեթոդների արդյունավետությունը, այն նույնիսկ համեմատեցին Նեպտունի հայտնագործման հետ։

Չնայած այն բանին, որ Համիլտոնի օպտիկական հետազոտություններն ի սկզբանե նպատակ էին հետապնդում ստեղծելու օպտիկական գործիքների հաշվարկման հուսալի հիմնավորված մաթեմատիկական մեթոդներ, նրա փայլուն աշխատանքները տասնամյակների ընթացքում գործնական կիրառություն չէին գտնում։ Միայն հետագայում Համիլտոնի տեսությունը լայն կիրառություն գտավ կիրառական երկրաչափական օպտիկայում և օպտիկական պարագաների տեսության մեջ։

Համիլտոնի օպտիկայի պատմական նշանակությունը 
Օպտիկայի վերաբերյալ Համիլտոնի նշանավոր աշխատանքները և բացահայտված օպտիկա-մեխանիկական միասնությունը միանգամից չգնահատվեցին գիտական հասարակայնության կողմից։ Միայն XIX դարի վերջում, երբ մի շարք արդյունքներ վերաբացահայտվեցին Բրունսի և այլ հետազոտողների կողմից, սկսվեց դրանց ներդրումն օպտիկայում։ Ավելի ուշ, արդեն XX դարի սկզբում, օպտիկայի ու մեխանիկայի խնդիրների միաձուլումը, որին հասել էր Համիլտոնն իր աշխատանքներում, կրկին բացահայտվեց Բրոյլի կողմից, լույսի ֆոտոնային տեսության վերաբերյալ աշխատություններում(որտեղ նա հանգեց կորպուսկույար-ալիքային երկվության կոնցեպցիային)։ Քիչ ուշ Համիլտոնի գաղափարները ոգեշնչող դեր խաղացին Շրյոդինգերի հետազոտությունների համար, որը բազմակողմանիորեն հետազոտեց ալիքային մեխանիկան և ալիքային ֆունկցիայի համար ստացավ քվանտային մեխանիկայի հիմնական հավասարումը՝ Շրյոդինգերի հավասարումը։

Տեսական մեխանիկա և ֆիզիկա

Ստացիոնար գործողության սկզբունքը 
Նկարագրված վարիացիոն մեթոդները, որոնք առաջարկել է Համիլտոնը օպտիկայի խնդիրների համար, շուտով զարգացրեց մեխանիկայի ընդհանուր խնդրի կիրառման մեջ, որտեղ դիտարկեց «բնութագրիչ ֆունկցիայի» անալոգը՝ «գլխավոր ֆունկցիան». դա իրենից ներկայացնում է գործողության ինտեգրալ։ Դինամիկայի հիմնական խնդիրն է. հաշվարկել մարմնի կամ մարմինների համակարգի շարժումը գործող ուժերի տրված բաժանման դեպքում։ Ընդ որում մարմինների համակարգի վրա կարող են դրված լինել կապեր(ստացիոնար կամ ժամանակի ընթացքում փոփոխվող)։ XVIII դարի վերջում Լագրանժն իր «Անալիտիկ մեխանիկայում» ձևակերպեց վարիացիոն սկզբունքի իր տարբերակը։ 1834-1835 թվականներին Համիլտոնը «Դինամիկայի ընդհանուր մեթոդի մասին» իր երկու հոդվածներում հրատարակեց վարիացիոն նոր սկզբունք (այժմ հայտնի ինչպես ստացիոնար գործողության սկզբունք կամ Համիլտոնի սկզբունք).

 

Այստեղ  - գործողություն է,  — դինամիկ համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան,  — ընդհանրացված կոորդինատները։ Համիլտոնն այս սկզբունքը դրեց իր Համիլտոնյան մեխանիկայի հիմքում։ Նա ցույց տվեց ֆունդամենտալ ֆունկցիայի (Համիլտոնի ֆունկցիայի) կառուցման եղանակը և վերջավոր ձևափոխություններով, առանց ինտեգրման, ստացվում են վարիացիոն խնդրի բոլոր լուծումները։

Ընդհանրացված կոորդինատներով գործողությունն ըստ Համիլտոնի ունի այսպիսի տեսք.

 

որտեղ

 - Համիլտոնի ֆունկցիան է տրված համակարգի համար

 - ընդհանրացված կոորդինատներ

 - նրանցով զուգակցվող ընդհանրացված իմպուլսները։

Կոորդինատների և իմպուլսների հավաքածուն բնութագրում է (ժամանակի յուրաքանչյուր պահի) համակարգի դինամիկ վիճակը, և այդպիսով, լիովին որոշում է տրված համակարգի էվոլյուցիան (շարժումը)։

Համլիտոնի կանոնական հավասարումներ 
1835 թվականին Համիլտոնը ստացավ մեխանիկական համակարգերի շարժման հավասարումների նոր ձևակերպում - Համիլտոնի կանոնական հավասարումներ.

 

Կանոնական հավասարումների ստացված համակարգը պարունակում է կրկնակի անգամ շատ դիֆերենցիալ հավասարումներ, քան Լագրանժի մոտ, բայց դրանք բոլորը առաջին կարգի են (Լագրանժի մոտ՝ երկրորդ)։

Դինամիկայի վերաբերյալ Համիլտոնի աշխատությունների նշանակությունը 
Համիլտոնի առաջարկած դինամիկայի ձևակերպումը գրավեց XIX դարի խոշորագույն մաթեմատիկոսների՝ Յակոբիի, Պուանկարեի, Օստրոգրադսկու, Շ.Դելոնեի, Է. Ջ. Ռաուսի, Սոֆուս Լիի և մյուսների ուշադրությունը, որոնք էականորեն ընդլայնեցին ու խորացրեցին Համիլտոնի աշխատանքները։

Դինամիկայի վերաբերյալ Համիլտոնի աշխատանքները բարձր է գնահատել ՍՍՀՄ ԳԱ թղթակից-անդամ Սրետենսկին, նշելով. «Այդ աշխատանքներն ընկած են XIX դարում անալիտիկ մեխանիկայի ամբողջ զարգացման հիմքում»։

Նմանատիպ կարծիք արտահայտել է ակադեմիկոս Վ. Վ. Ռումյանցևը. «Համիլտոնի օպտիկա-մեխանիկական անալոգիան պայմանավորեց անալիտիկ մեխանիկայի հարյուրամյա առաջընթացը»։ Պրոֆեսոր Լ. Ս. Պոլակի կարծիքով, դա եղել է «տեսություն, որը գրեթե չուներ անալոգը մեխանիկայում», մեխանիկայում և կից գիտություններում բացել է վիթխարի հնարավորություններ. Ակադեմիկոս Վ. Ի. Առնոլդը հետևյալ կերպ է բնութագրել համիլտոնյան մեխանիկայի բացահայտումից հետո ընձեռված հնարավորությունները.

Համիլտոնի մոտեցումն արդյունավետ եղավ ֆիզիկայի մաթեմատիկական շատ մոդելներում։ Այդ ստեղծագործական մոտեցման վրա է հիմնված, օրինակ, Լանդաուի և Լիֆշիցի «Տեսական ֆիզիկա» ուսումնական դասընթացի (учебный курс «Теоретическая физика» Ландау и Лифшица) բազմահատորյակը։

Ի սկզբանե Համիլտոնի վարիացիոն մեթոդը ձևակերպվել է մեխանիկայի խնդիրների համար, բայց նրանից որոշ բնական ենթադրությունների դեպքում դուրս են բերվում էլեկտրոմագնիսական դաշտի Մաքսվելլի հավասարումները։ Հարաբերականության տեսության ի հայտ գալով պարզվեց, որ այդ սկզբունքը խստորեն իրականանում է նաև ռելյատիվիստական դինամիկայում Նրա էվրիստիկ ուժը էականորեն օգնեց քվանտային մեխանիկայի մշակմանը, իսկ հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը ստեղծելիս Դավիթ Հիլբերտը համիլտոնի սկզբունքը կիրառեց գրավիտացիոն դաշտի հավասարումներն արտածելիս (1915 թվական)։ Ասվածից հետևում է որ Համիլտոնի փոքրագույն գործողության սկզբունքը տեղ է գրավում բնության արմատական, բազային օրենքների մեջ. էներգիայի պահպանման օրենքի, թերմոդինամիկայի օրենքների կողքին։

Այլ աշխատություններ մեխանիկայի բնագավառում 
Համիլտոնին է պատկանում նաև մեխանիկայում հոդոգրաֆի հասկացության ներմուծումը (1846—1847 թվականներ) - ժամանակի ընթացքում վեկտորի մեծության և ուղղության փոփոխության ակնառու ներկայացումը։ Հոդոգրաֆի տեսությունը Համիլտոնը զարգացրել է սկալյար արգումենտի ցանկացած վեկտորական ֆունկցիայի համար։ Կինեմատիկայում առավել հաճախ գործ են ունենում կետի արագության հոդոգրաֆի հետ։

Համիլտոնն ապացուցել է դինամիկային վերաբերող թեորեմ. Նյուտոնյան ձգողականության ազդեցության տակ ուղեծրով շարժվելու դեպքում արագության հոդոգրաֆը միշտ շրջանագիծ է։

Աշխարհայացք և անձնային որակներ

Բնավորության գծեր 
Ինչպես փայլուն ընդունակությունները, այնպես էլ անհաջող կյանքը Համիլտոնի մեջ արթնացրին անհաղթահարելի հրապուրանք ստեղծագործական գիտական աշխատանքով։ Օրվա ընթացքում նա աշխատում էր 12 և ավելի ժամ, մոռանալով սննդի մասին։ Մի անգամ նա կատակել է իր տապանագրի մասին. «Ես եղել եմ աշխատասեր և ճշմարտասեր»։ Նա ակտիվ նամակագրություն էր վարում կոլեգաների և գրականագետների հետ։ Առավել հետաքրքրիր է նամակագրությունը մաթեմատիկական տրամաբանության հիմնադիրներից մեկի՝ Օգաստես դե Մորգանի հետ։ Ինչ-որ պատճառներով նա ոչ մի անգամ նամակագրություն չի ունեցել այն ժամանակվա խոշորագույն մաթեմատիկոսների (Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուս, Օգյուստեն Լուի Կոշի, Բեռնարդ Ռիման և այլք) հետ։ Պետք է նշել, որ արտասահմանյան գիտական ամսագրերը Իռլանդիա էին հասնում անկանոն կերպով, և նամակներում Համիլտոնը դժգոհում էր մաթեմատիկական նորագույն նվաճումներին ծանոթանալու դժվարություններից։ 1842 թվականին Համիլտոնը Անգլիայում մասնակցելով գիտական սեմինարի, հանդիպեց իր աշխատանքների ակնառու շարունակողին՝ Կառլ Գուստավ Յակոբին, որը հետագայում Համիլտոնին անվանեց «այդ երկրի Լագրանժ»։

Փիլիսոփայական և կրոնական հայացքներ 
Դատելով Համիլտոնի նամակներից ու գրառումներից, նա հետաքրքրվել է փիլիսոփայությամբ և առանձնակի գնահատել է Ջորջ Բերկլիին և Էմանուել Կանտին։ Նա չէր հավատում, որ բնության՝ մեր բացահայտած օրենքները նույնականորեն արտացոլում են իրական օրինաչափությունները։ Նա գրում էր, որ աշխարհի գիտական մոդելն ու իրականությունը հրաշալի ձևով կապված են ծայրահեղ միասնականության, սուբյեկտիվի ու օբյեկտիվի հետևանքով։ Կանտի հետ համապատասխանելով, Համիլտոնը գիտական գաղափարները համարում էր մարդկային ինտուիցիայի ծնունդ։ Համիլտոնը անկեղծ հավատացյալ մարդ էր, անգլիական եկեղեցու պահպանողական «Օքսֆորդյան շարժման» ակտիվ անդամ, նույնիսկ ընտրվել է իր շրջանի երեցփոխ։ 1840-ական թվականներին գիտական ամսագրերում նա հրատարակեց հոդվածներ կրոնական երկու խնդիրների մասին. Նիկիայի Ա տիեզերական ժողովի տարում գիշերահավասարի հաշվարկը և Քրիստոսի՝ դեպի երկինք համբարձման ժամանակի գնահատականը։

Գիտական հետազոտության մեթոդաբանություն 
Աշխատելով մաթեմատիկական օպտիկայի հիմքերի հետ, Համիլտոնը մեթոդոլոգիական բնույթի կարևոր եզրակացությունների է հանգել։ Համիլտոնի՝ XX դարում հրատարակված ձեռագրերը ցույց են տալիս, որ օպտիկայում ընդհանուր արդյունքների նա հանգել է մասնավոր դեպքերի մանրակրկիտ վերլուծության հիման վրա, որին հետևել է շարադրանքի մանրազնին մշակումը, գործնականում թաքցնելով ուղին, որով շարժվել է հեղինակը։

Իր գիտա-մեթոդական կոնցեպցիան Համիլտոնը շարադրել է 1833 թվականին, «Լույսի և մոլորակների ուղեգծերի՝ բնութագրիչ ֆունկցիայի գործակիցների օգնությամբ որոշման ընդհանուր մեթոդի մասին» հոդվածում։ Այդտեղ նա գրել է, որ յուրաքանչյուր ֆիզիկական գիտություն ունի զարգացման երկու տարբեր ուղղություններ՝ ինդուկտիվ և դեդուկտիվ. «Յուրաքանչյուր ֆիզիկական գիտության մեջ մենք պետք է փաստերից օրենքների հասնենք ինդուկցիայի ու վերլուծության միջոցով և օրենքներից հետևությունների անցնենք դեդուկցիայի ու սինթեզի միջոցով»։ Ընդ որում, մաթեմատիկական մեթոդների հաջող կիրառության համար դեդուկտիվ մոտեցումը պետք է հենվի ընդհանուր մեթոդի վրա, ելնելով մեկ կենտրոնական գաղափարից։ Համիլտոնը մանրամասնորեն հիմնավորել է օպտիկայի համար որպես ընդհանուր օրենք փոքրագույն (ստացիոնար) գործողության օրենքն ընդունելու նպատակահարմարությունը, իսկ հոդվածի վերջում քննարկել է մեխանիկայում և աստղագիտությունում անալոգ մոտեցման հեռանկարները։

Հիշողություն 
Գիտության մեջ շատ հասկացություններ ու պնդումներ կապված են Համիլտոնի անվան հետ։
 Համիլտոնի օպերատոր(Оператор набла )
 Համիլտոնի-Յակոբիի հավասարում (Уравнение Гамильтона — Якоби )
 Համիլտոնյան (քվանտային մեխանիկա)
 Համիլտոնյան մեխանիկա (Гамильтонова механика )
 Ռոդրիգի-Համիլտոնի պարամետրեր
 Համիլտոնի սկզբունք
 Համիլտոն-Կելիի թեորեմ
 Համիլտոնի հավասարումներ (Уравнения Гамильтона )
 Համիլտոնի ֆունկցիա
 Գիտնականի պատվին անվանվել է խառնարան լուսնի
տեսանելի կողմի վրա՝ Համիլտոն (լուսնային խառնարան)
 Իռլանդիայում երկու գիտական ինստիտուտներ անվանվել են այդ երկրի խոշորագույն մաթեմատիկոսի պատվին.
 Ազգային համալսարանին կից համիլտոնյան ինստիտուտ(The Hamilton Institute at the National University of Ireland), Մեյնութ
 Դուբլինյան Տրինիտի քոլեջին կից մաթեմատիկայի համիլտոնյան ինստիտուտ(Hamilton Mathematics Institute)

2005 թվականին շատ երկրներում գիտական հասարակությունը նշեց Ուիլյամ Համիլտոնի 200-ամյակը, Իռլանդիայի կառավարությունն այդ տարին հայտարարեց «Համիլտոնի տարի», իսկ Իռլանդիայի Կենտրոնական բանկը թողարկեց 10 եվրո արժողությամբ հուշադրամ։

Ռուսերեն թարգմանված աշխատություններ 
 Гамильтон У.Р. Избранные труды: Оптика. Динамика. Кватернионы. М.: Наука, 1994. (Серия: Классики науки). — 560 с.
 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
 Об одном взгляде на математическую оптику (9)
 Третье дополнение к «Опыту теории систем лучей» (10)
 О некоторых результатах, проистекающих из взгляда на характеристическую функцию в оптике (166)
 ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
 Исследования по динамике света (175)
 Исследования о колебании, связанном с теорией света (177)
 ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
 Об общем методе представления путей света и планет частными производными характеристической функции (184)
 О приложении к динамике общего математического метода, ранее приложенного к оптике (210)
 ДИНАМИКА
 Об общем методе в динамике, посредством которого изучение движений всех свободных систем притягивающихся или отталкивающихся точек сводится к отысканию и дифференцированию одного центрального соотношения, или характеристической функции (215).
 Второй очерк об общем методе в динамике (287).
 КВАТЕРНИОНЫ
 О кватернионах, или о новой системе мнимых величин в алгебре (345).
 Предисловие к «Лекциям о кватернионах» (392).
 ДОПОЛНЕНИЯ
 Из письма У. Р. Гамильтона Дж. Гершелю (439).
 Письмо У. Р. Гамильтона Джону Т. Грэйвсу, эсквайру (442).
 ПРИЛОЖЕНИЯ
 Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (1805—1865) (457).
 Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона (519).
 Комментарии, библиография, указатель имён
Տես նաև список математических трудов Гамильтона։

Գրականություն 

  - С. 205-235.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Volume I  Volume II  Volume III

Հղումներ 
 
 
 Tribute to Sir William Hamilton

Ծանոթագրություններ 

Իռլանդացի մաթեմատիկոսներ
Մաթեմատիկոսներ այբբենական կարգով
Մեխանիկներ այբբենական կարգով
Ֆիզիկոսներ այբբենական կարգով
Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի թղթակից անդամներ
Տեսական ֆիզիկոսներ
Պրուսիայի գիտությունների ակադեմիայի անդամներ
Պոլիգլոտներ
ԱՄՆ-ի գիտությունների ազգային ակադեմիայի անդամներ
ԱՄՆ-ի գիտությունների ազգային ակադեմիայի արտասահմանյան անդամներ
Իռլանդացի ֆիզիկոսներ
Լոնդոնի թագավորական ընկերության անդամներ