Անվերջություն (մաթեմատիկա)

Անվերջություն մաթեմատիկայում (խորհրդանիշ՝ ∞), մաթեմատիկայի հիմնական գաղափարներից մեկը, կոնկրետացվում է «անվերջ փոքր մեծության», «անվերջ հեռու կետ», «անվերջ կարդինալ թիվ» և այլ հասկացություններում, որոնք հիմնվում են կամ ակտուալ անվերջություն, կամ պոտենցիալ անվերջություն գաղափարների վրա։

«Ակտուալ անվերջ» մաթեմատիկական օբյեկտ 
«Ակտուալ անվերջ» մաթեմատիկական օբյեկտը այս կամ այն իմաստով ընդգրկում է կամ գերազանցում նման տիպի բոլոր վերջավոր օբյեկտները (օրինակ անվերջ կարդինալ թվերը մեծ են բոլոր վերջավոր թվերից)։

«Պոտենցիալ անվերջ»–ը մենք պատկերացնում ենք կառուցման (առաջացման) պրոցեսով, որի ընթացքում ստեղծվող օբյեկտները կարող են ընդգրկել կամ գերազանցել նման տիպի ցանկացած վերջավոր սևեռված օբյեկտ (օրինակ, անվերջ աճող թվային հաջորդականության անդամները կարող են գերազանցել ցանկացած սևեռված թիվ)։

Մաթեմատիկական անվերջությունը անալիզում 
Մաթեմատիկական անալիզում անվերջությունը հանդես է գալիս անվերջ մեծ և անվերջ փոքր մեծությունների գաղափարներում, որոնք, որպես որոշակի տիպի հաջորդականություններ կամ ֆունկցիաներ, դիտարկվում են պոտենցիալ անվերջության շրջանակում, օրինակ իրական թվերի, a1 a2,..., «aո, ... հաջորդականությունը կոչվում է անվերջ նվազող կամ անվերջ փոքր (և համապատասխանաբար՝ անվերջ աճող կամ անվերջ մեծ), եթե կամայապես փոքր (համապատասխանաբար՝ կամայապես մեծ) դրական ե թվի համար կարելի է նշել հաջորդականության այնպիսի aո անդամ, որից սկսած բոլոր an+1, aո+2»... անդամները իրենց բացարձակ արժեքով ավելի փոքր են (համապա՜ տասխանաբար ավելի մեծ են) b-ից, օր. 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... հաջորդականությունն անվերջ նվազող է (կամ՝ անվերջ փոքր), իսկ 1,1, 1/2, 1/4, 1, 1/8, 1,... հաջորդականությունը՝ ոչ։ Անվերջ մեծ մեծություններից պետք է տարբերել «անիսկական» անվերջ թվերը՝ ∞,+∞,—∞, որոնք երբեմն ձևական պատճառներից ելնելով, մուծվում են մաթեմատիկայի որոշ բաժիններ։ Անվերջ մեծ և «անիսկական» անվերջ թվերի տարբերությունը երևան է գալիս հետևյալ դեպքում. (+∞)—(+∞), (—∞) + (—∞) կամ ∞+∞ արտահայտությունները համարվում են անիմաստ, մինչդեռ երկու անվերջ մեծ մեծությունների գումարը կամ տարբերությունը (նրանք կարող են լինել կամ չլինել անվերջ մեծ մեծություններ) միշտ իմաստ ունի, օրինակ 10, 16, 20, 26, 30,... և 10, 15, 20, 25, 30, ... անվերջ մեծ հաջորդականությունների տարբերությունը 0,1, 0,1, 0,1,... հաջորդականությունն է, որն անվերջ մեծ չէ, իսկ 10, 15, 25, 30... և 10, 14, 18, 22, 26,... անվերջ մեծ հաջորդականությունների տարբերությունն անվերջ մեծ է։

Անվերջ հեռու ուղիղ 
Պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ, ելնելով ձևական նկատառումներից, տրվամ են անվերջ հեռու կետի և անվերջ հեռու ուղի գաղափարները։ Անվերջ հեռու կետը ձևականորեն սահմանվում Է որպես ինչ-որ սևեռված ուղին զուգահեռ բոլոր ուղիղների համախմբության, ընդ որում, ընդունվում է, որ այդ կետը պատկանում է նշված համախմբության բոլոր ուղիղներին։ Անվերջ հեռու կետը սահմանեւուց հետո կարող ենք ասել, որ ցանկացած երկու չհամընկնող ուղիղներ ունեն ճիշտ մեկ հատման կետ՝ սովորական կամ անվերջ հեռու։ Անվերջ հեռու ուղիղը սահմանվում է որպես բոլոր անվերջ հեռու կետերի համախմբություն։ Այս գաղափարը մտցնելուց հետո կարող ենք ասել, որ ցանկացած երկու կետով (սովորական կամ անվերջ հեռու) անցնում է ճիշտ մի ուղիղ (սովորական կամ անվերջ հեռու)։ Անվերջ հեռու կետերից, նշված իմաստով, պետք է տարբերել «անվերջ հեռու կետը», որպես «անիսկական» կոմպլեքս թիվ, որը մտցվում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսության մեջ։

Տարբերություն 
Տարբերությունն այն է, որ անվերջ հեռու կետը, որպես «անիսկական» կետ, միակն է կոմպլեքս հարթության վրա և միաժամանակ պատկանում է այդ հարթությանը պատկանող բոլոր ուղիղներին։ Նշված հասկացությունները մտցվում են՝ ակտուալ անվերջության գաղափարից ելնելով, բայց փաստորեն ձևական դեր են խաղում մաթեմատիկական տեսություններն ավելի միօրինակ դարձնելու և բացառիկ դեպքերի քննարկումից խուսափելու համար։ Բազմությունների տեսությունում ակտուալ անվերջության գաղափարն օգտագործվում է որպես հիմնական սկզբունք։ Թայլատրվում են դիտարկել, օրինակ ոչ միայն «բոլոր իրական թվերի բազմությունը», այլև «իրական թվերի բոլոր հնարավոր բազմությունների բազմությունը», ընդ որում, իրական թվերի բազմություններն այստեղ դիտարկվում են անկախ նրանց կառուցման և տրման հնարավորություններից։ Այդ տեսակետից մտցվում են բազմությունների տեսության հիմնական գաղափարները, օրինակ կարդինալ թիվ կամ հզորություն և կարգաթիվ, որոնք հնարավորություն են տալիս կազմել անվերջ բազմությունների որոշ դասակարգումներ։ Այսպես, բոլոր իրական թվերի բազմության հզորությունն ավելի մեծ է, քան բոլոր բնական թվերի բազմության հզորությունը։ Այս փաստը բազմությունների տեսության մեջ մեկնաբանվում է այնպես, որ իրական թվերը, կոպիտ ասած, «ավելի բազմաթիվ են» կամ կազմում են «ավելի զորեղ անվերջություն», քան բնական թվերը։ Այս մեկնաբանումը ժամանակակից մաթեմատիկայում երբեմն համարվում է կասկածելի, որոշ տեսակետից ավելի բնական է պատկերացնել մեծ հզորություն ունեցող բազմությունները ոչ թե որպես «ավելի բազմաթիվ», այլ որպես ավելի բարդ կառուցվածք ունեցող, քան համեմատաբար փոքր հզորությամբ բազմությունները։ Ակտուալ անվերջության նմանօրինակ օգտագործումը առաջացրեց բազմությունների տեսության պարադոքսներ։

Պարզվեց, որ «բոլոր բազմությունների բազմություն» գաղափարը հակասական է։ Այդպիսի հասկացությունների և մաթեմատիկայի հիմունքներում նրանց հետ կապված դժվարությունների հաղթահարման համար ժամանակակից մաթեմատիկայում ակսէուալ անվերջության օգտագործման վրա դրվում են որոշ սահմանափակումներ։

Տես նաև 
 Պարադոքս
 Ինտուիցիոնիզմ
 Լոգիցիզմ
 Ֆորմալիզմ

Մաթեմատիկայի փիլիսոփայություն
Մաթեմատիկական առարկաներ