Բաժանելիության հայտանիշներ

Բաժանելիության հայտանիշ, ալգորիթմ, որը հնարավորություն է տալիս համեմատաբար արագ որոշել, արդյոք թիվը նախօրոք տրվածի բազմապատիկ է
: Եթե բաժանելիության հայտանիշը թույլատրում է պարզել ոչ միայն բաժանելիությունը նախօրոք տրված թվի վրա, այլ նաև բաժանումից ստացված մնացորդը, ապա այն անվանում են հավասարամնացորդայնության հայտանիշ։

Գաղափար բաժանելիության մասին 
Եթե  և  երկու ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի  թիվ, որ , ապա ասում են, որ  թիվը բաժանվում է  թվի վրա։

Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման տասական համակարգում

2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

3-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 154,  և  թվերը հավասարամնացորդ են 3-ի վրա բաժանելիս։

4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։ Օրինակ, 14676- վերջին երկու թվանշաններով կազմված է 76, որը բաժանվում է 4-ի վրա. 76:4=19: Երկնիշ թիվը բաժանվում է 4-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ,
երբ տասնյակի կրկնապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 4-ի վրա։ Օրինակ, 42-ը չի բաժանվում 4-ի վրա, քանի որ  չի բաժանվում 4-ի վրա։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87,  և  թվերը հավասարամնացորդ են 4-ի վրա բաժանելիս։

5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա։
Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Հայտանիշ 1
Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնյակի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։ Օրինակ, 154 -ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ  բաժանվում է 7-ի։ Այլ օրինակ. 1001 թիվը բաժանվում է 7-ի, քանի որ  բաժանվում է 7-ի։

Այս հայանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 87,   և  թվերը հավասարամնացորդ են 7-ի վրա բաժանելիս։

8-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Եռանիշ թիվը բաժանվում է 8-ի այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորի, տասնավորի կրկնապատիկի և հարյուրավորի քառապատիկի գումարը բաժանվում է 8-ի։ Օրինակ, 952 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ
 բաժանվում է 8-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 567,   և  թվերը հավասարամնացորդ են 8-ի վրա բաժանելիս։

11-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Հայտանիշ 1․ Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 9163627 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ  բաժանվում է 11-ի։ Այլ օրինակ. 99077-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ  բաժանվում է 11-ի։
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան․
 
 

Հայտանիշ 2. Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը բաժանվում է 11-ի։ Օրինակ, 103785 թիվը բաժանվում է 11-ի, քանի որ  և  բաժանվում են 11-ի։

Հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456,  և  թվերը հավասարամնացորդ են 11-ի վրա բաժանելիս։

13-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Հայտանիշ 1։ Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։ Օրինակ.
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ  և  թվերը բաժանվում են 13-ի վրա։

- երբ տասնյակների և միավորի իննապատիկի տարբերությունը բաժանվում է 13-ի վրա։ Օրինակ
949-ը բաժանվում է 13-ի վրա, քանի որ  թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Հայտանիշ 2։ Տրված թվի մեջ ընդգծելով վերջին երեք թվանշանները, ստացված թվից հանում են մնացած թվանշաններով կազմված թիվը (կամ հակառակը, կախված այն բանից, թե այդ թվերից որն է ավելի մեծ); եթե տարբերությունը 0 է կամ 13-ի վրա բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 13-ի վրա։

17-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 17-ի վրա այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի հնգապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ  և բաժանվում են 17-ի վրա։

-երբ տասնյակների և միավորի տասներկուապատիկի գումարի մոդուլը բաժանվում է 17-ի վրա։ Օրինակ, 1615-ը բաժանվում է 17-ի վրա, քանի որ

 և  թվերը բաժանվում են 17-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

19-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 19-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորի կրկնապատիկի գումարը բաժանվում է 19-ի վրա։ Օրինակ, 1197-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 19-ի բաժանվում են  և 

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

23-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Հայտանիշ 1։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի և վերջին երկու թվանշաններով կազմված թվի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի վրա։ Օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի վրա, քանի որ  և  բաժանվում են 23-ի։

Հայտանիշ 2։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ տասնյակի և միավորի յոթապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։

Հայտանիշ 3։ Թիվը բաժանվում է 23-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ հարյուրյակի, տասնյակների յոթապատիկի և միավորի եռապատիկի գումարը բաժանվում է 23-ի։ Օրինակ, 437-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ -ը բաժանվում է 23-ի։

27-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 27-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 27-ի վրա բաժանվում է միավորից սկսած՝ երեքական թվանշաններով կազմված թվերի գումարը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

29-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 29-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի գումարը բաժանվում է 29-ի վրա։
Օրինակ, 261-ը բաժանվունէ 29-ի, քանի որ  բաժանվում է 29-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

31-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 

Թիվը բաժանվում է 31-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակների և միավորների եռապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 31-ի վրա։ Օրինակ,
217-ը բաժանվում է 31-ի, քանի որ  բաժանվում է 31-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

37-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ միավորից սկսած՝ տրված թիվը երեքական թվանշաններով խմբավորելիս ստացված թվերի գումարը 37-ի բազմապատիկ է։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Այս ֆուկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Հայտանիշ 2: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի եռապատիկի ու տասնյակի քառապատիկի գումարի և միավորի յոթապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ
 -ը բաժանվում է 37-ի։
 
Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Հայտանիշ 3: Թիվը բաժանվում է 37-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 37-ի վրա բաժանվում է հարյուրյակի և միավորի տասնապատիկի գումարի և տասնյակի տասնմեկապատիկի տարբերության մոդուլը։ Օրինակ, 481 թիվը բաժանվում է 37-ի, քանի որ
 բաժանվում է 37-ի։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

41-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 

Հայտանիշ 1: Թիվը բաժանվում է 41-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի քառապատիկի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 41-ի վրա։
Օրինակ, 943-ը բաժանվում է 41-ի վրա, քանի որ  և  բաժանվում են 41-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Հայտանիշ 2։ Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 41-ի վրա, պետք է այն աջից դեպի ձախ տրոհենք մասերի, յուրաքանչյուրում՝ հինգ թվանշան։ Ապա պետք է յուրաքանչյուր խմբում աջից առաջին թվանշանը բազմապատկել 1-ով, երկրորդը՝ 10-ով, երրորդը՝ 18-ով, չորրորդը՝ 16-ով, հինգերորդը՝ 37-ով և ստացված բոլոր արտադրյալները գումարել։ Եթե արդյունքը բաժանվում է 41-ի վրա, այդ և միայն այդ դեպքում տրված թիվը կբաժանվի 41-ի վրա։

59-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 

Թիվը բաժանվում է 59-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի վեցապատիկի գումարը բաժանվում է 59-ի վրա։ Օրինակ, 767-ը բաժանվում է 59-ի վրա, քանի որ  և  թվերը բաժանվում են 59-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

79-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 79-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ տասնյակի և միավորի ութապատիկի գումարը բաժանվում է 79-ի վրա։ Օրինակ,
711-ը բաժանվում է 79-ի վրա, քանի որ  բաժանվում է 79-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

99-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 99-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ 99-ի վրա բաժանվում է երկուական թվանշաններից (սկսած միավորից) կազմված թվերի գումարը։
Օրինակ, 12573 -ը բաժանվում է 99-ի վրա, քանի որ  բաժանվում է 99-ի վրա։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.
 
 

Այս ֆունկցիան տալիս է նաև հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։ Օրինակ, 123456,  և 
թվերը հավասարամնացորդ են 99-ի վրա բաժանելիս։

101-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը 
Թիվը բաժանվում է 101-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ երկուական թվանշաններով (սկսած միավորից) կազմված կենտ խմբերով թվերի՝ (վերցված «+» նշանով) և զույգ խմբերով թվերի (վերցված «-» նշանով) հանրահաշվական գումարի մոդուլը բաժանվում է 101-ի վրա։ Օրինակ, 590547-ը բաժանվում ` 101-ի վրա, քանի որ  բաժանվում է 101-ի վրա։

Բաժանելիության ընդհանուր հայտանիշներ

Բաժանելիության հայտանիշը բաժանարարի վրա, որի ցուցիչը հաշվարկման համակարգի հիմքն է 
Եթե որոշ  և  թվերի համար  թիվը բաժանվում է  բնական թվի վրա, ապա
 հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած  ամբողջ թիվ հավասարամնացորդ է նրա  փոքր թվանշաններով կազմված թվին։

Այս հատկությունը թույլատրում է ստանալ հաշվարկան համակարգի հիմքին հավասար ցուցիչ ունեցող թվի վրա բաժանելիության և հավասարամնացորդայնության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

բաժանարարի վրա բաժանելիության հայտանիշ 
Եթե որոշ  և  բնական թվերի համար  թիվը բաժանվում է  բնական թվի վրա, ապա  հիմքով հաշվարկման համակարգում գրառված ցանկացած  ամբողջ թիվ հավասարաբաժան է այն թվերի գումարի հետ, որոնք ստացվում են -ական թվանշաններով խմբերի տրոհելիս` սկսած ամենափոքրից։ Այս հայտանիշը թույլ է տալիս ստանալ -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը։

Այս հայտանիշին համապատասխան ֆունկցիան.

 
 

Օրինակ, հաշվարկման տասական համակարգում այն թույլ է տալիս ստանալ 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 և այլ թվերի վրա բաժանելիության հայտանիշները։

Բաժանելիության հայտանիշները հաշվարկման այլ համակարգերում 
Հաշվարկման այլ համակարգերում բաժանելիության հայտանիշները դրանց անալոգն են տասական համակարգում։ Մասնավորապես, հաշվարկման ցանկացած համակարգում (թվերը գրառված են այն համակարգում, որում այդ պահին աշխատում ենք).
 թիվը բաժանվում է 10n- վրա, եթե այն վերջանում է n զրոներով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-1-ի վրա այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա թվանշանների գումարն առանց մնացորդի բաժանվում է k-1-ի վրա։ Մասնավորապես.
 թիվը բաժանվում է (10-1)-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է (10-1)-ի

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը կենտ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 2-ի։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը հավասար է k, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է (k+1)-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների
գումարը զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարից տարբերվում է (k+1)-ի բաժանվող թվով։ Մասնավորապես,

 թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե կենտ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարը կամ հավասար է զույգ համարներով դիքերում գտնվող թվանշանների գումարին, կամ նրանից տարբերվում է 11-ի բաժանվող թվով։

Եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը բաժանվում է որևէ k թվի վրա, ապա ցանկացած թիվ բաժանվում է k-ի այն և միայն այն ժամանակ, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է k-ի։ Մասնավորապես,

 եթե հաշվարկման համակարգի հիմքը զույգ է, ապա թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի։

Տես նաև 
Պասկալի հայտանիշ

Գրականություն 
 Воробьев Н. Н. «Признаки делимости» Москва, Наука 1988

Ծանոթագրություններ 

Բանավոր հաշվում
Բաժանում և մնացորդ