Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ

Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ, մաթեմատիկական բանաձև, որը վեկտորական դաշտի հոսքը փակ մակերևույթով արտահայտում է դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալով ըստ ծավալի, որը սահմանափակված է այդ մակերևույթով.

կամ

,

այսինքն՝ որոշակի V ծավալով տարածվող F վեկտորական դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալը հավասար է տվյալ ծավալը սահմանափակող S մակերևույթով վեկտորի հոսքին։

Բանաձևն օգտագործվում է ծավալային ինտեգրալը փակ մակերևույթով ինտեգրալի վերածելու համար։
Օստոգրադսկու աշխատության մեջ բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

որտեղ -ն և s-ը համապատասխանաբար ծավալային և մակերեսային դիֆերենցիալներն են, -ն ծավալային տարրն է, s=dS-ը՝ մակերևույթային տարրը։ P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z)-ը ֆունկցիաներ են, որոնք իրենց մասնակի ածանցյալների հետ միասին անընդհատ են մակերևույթի առաջին կարգի փակ մակերեսում, որը սահմանափակված է փակ հարթ մակերևույթով։

Գաուս-Օստոգրադսկու ընդհանրացված դեպքը Ստոքսի բանաձևն է։

Պատմություն 
Առաջին անգամ թեորեմը առաջարկվել է Լագրանժի կողմից։ 1762 թ. ձայնի տեսության մասին իր աշխատության մեջ Լագրանժը դիտարկում է թեորեմի մասնակի դեպքը։

Եռակի ինտեգրալը մակերեսայինի վերածելու ընդհանուր մեթոդն առաջին անգամ ցույց է տվել Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1813, 1830 թթ.)՝ էլեկտրադինամիկայի խնդիրների օրինակի վրա.:

1826 թ. Միխայիլ Օստրոգրադսկին դուրս բերեց բանաձևն ընդհանուր տեսքով՝ այն ներկայացնելով թեորեմի տեսքով (հրատարակվել է 1831 թ.)։ Բանաձևի ընդհանրացումը բազմաչափ դեպքի համար Օստոգրադսկին հրապարակեց 1834 թ.։ Այս բանաձևի օգնությամբ Օստոգրադսկին գտավ պարամետրով ածանցյալի և փոփոխական սահմանով n-րդ կարգի ինտեգրալի միջև արտահայտությունը և ստացավ բանաձև n-րդ կարգի ինտեգրալի վարիացիայի համար։

Անգլալեզու գրականության մեջ այս բանաձևն անվանում են նաև դիվերգենցիայի թեորեմ , երբեմն՝ Գաուսի բանաձև կամ Գաուս-Օստոգրադսկու բանաձև (թեորեմ)։

Ծանոթագրություններ 

Ինտեգրալ հաշիվ
Մաթեմատիկական անալիզի թեորեմներ
Դիֆերենցիալ երկրաչափություն