Բաժանելիություն

Բաժանելիություն, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ։ Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա։

Սահմանում 

Եթե որևէ  և  ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի  ամբողջ թիվ, որ , ապա ասում են, որ  թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է  թվի վրա կամ՝  թիվը տրոհում է  թիվը։

Ընդ որում  թիվը կոչվում է  թվի բաժանարար,  թիվը՝ բաժանելին, հանդիսանում է  թվի բազմապատիկ, իսկ  թիվը կոչվում է  թիվը  թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված քանորդ։

Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը։ Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները։

Նշանակումներ 
  նշանակում է, որ  թիվը բաժանվում է  թվի վրա, կամ՝ որ  թիվը  թվի բազմապատիկն է։
  նշանակում է, որ  թիվը տրոհում է  թիվը, կամ, որ նույնն է՝  թիվը   թվի բաժանարարն է։

Առնչվող սահմանումներ 
 Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը։ Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են պարզ, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ բաղադրյալ թվեր։ Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ։
 -ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար։
 Թվի սեփական բաժանարար է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար։ Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը։
Անկախ  ամբողջ թվի՝  ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից,  թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել  թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով. 
  որտեղ :
 Այս առնչության մեջ  թիվը կոչվում է թերի քանորդ, իսկ  թիվը՝  թիվը  թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ։ Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն։ 
  թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է  թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ  թիվը  թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի։
 Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես , այնպես էլ  թվերը, կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։ Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝  և : Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձ պարզ։
 Երկու  և  ամբողջ թվեր կոչվում են հավասարապես բաժանելի  ամբողջ թվի վրա, եթե և՛  թիվը, և՛  թիվը բաժանվում է  թվի վրա, կամ ո՛չ  թիվը, և ո՛չ էլ  թիվը չի բաժանվում նրա վրա։
 Ասում են, որ  թիվը  թվի բազմապատիկ է, եթե  թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է  թվի վրա։ Եթե  թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է  և  թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկ։ Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է  և  թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Հատկություններ 
 Նշում. այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ  ամբողջ թվեր են։
 Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.
 
 Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.
 
 Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.
 , ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։
 Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.
 
 Ցանկացած  ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի  ամբողջ թիվ, որի դեպքում 
 Եթե  և  ապա  Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե  և  ապա 
 Որպեսզի  անհրաժեշտ է և բավարար, որ 
 Եթե  ապա 
 Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
 անդրադարձական է, այսինքն՝  ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա.
 փոխանցական է, այսինքն՝ եթե  և  ապա 
 հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե  և  ապա 
 Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝  և  սակայն

Բաժանարարների քանակը 
 բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է  հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

 

Այստեղ -ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ -ի համար Դիրիխլեն ստացել է  արժեքը։ Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝  (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին)։ Սակայն, -ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան ):

Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես , ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան։ Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ :

Ընդհանրացումներ 
Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը։

Տես նաև 
 Բաժանում (մաթեմատիկա)
 Մնացորդով բաժանում
 Բաժանելիության հայտանիշներ
 Օղակ (մաթեմատիկա)

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.

Արտաքին հղումներ 
 Տեսանյութ բաժանելիության մասին

Թվերի տեսություն
Բաժանում
Մաթեմատիկա
Հանրահաշիվ
Տարրական մաթեմատիկա