Նյոթերի թեորեմ

Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.
 
 Ժամանակի համասեռությանը համապատասխանում է էներգիայի պահպանման օրենքը։
 Տարածության համասեռությանը համապատասխանում է իմպուլսի պահպանման օրենքը։
 Տարածության իզոտրոպությանը համապատասխանում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը։
 Տրամաչափային սիմետրիային համապատասխանում է էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը և այլն։

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին։

Ձևակերպում

Դասական մեխանիկա 
 դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է
 ։

Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը
 
տեսքն ունի, իսկ  Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն
 , եթե ։
Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է
 ։

Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ  պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում ։ Այդ դեպքում
 
 
ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝
 ։

Դաշտի տեսություն 

Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է  պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են  կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա
 
տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների  խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է
 
վեկտորը, որը կոչվում է Նյոթերի հոսքի վեկտոր։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. ։
Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ
 
այդ պատճառով  հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ժամանակ կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա  հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ 

Դիցուք ունենք  գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ -ը լագրանժյանն է. -ն՝ անկախ փոփոխականներ, -ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ -ից։  կարող է կախված լինել նաև -ի ածանցյալներից ըստ -ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել
 

տեսքով, որտեղ -երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

,

-ն  ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ  փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե -ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա -ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ
,

որտեղ  — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ  ածանցյալը մտնում է -ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է  ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

Պահպանման օրենքներ 

Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ -ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ -ի։ -ն -ի, -ի և ըստ -ի -ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։
Պահպանման տրիվալ օրենքներ են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

 որոնց համար -ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
 որոնց համար -ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
 որոնց համար -ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե  և  ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար  տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են համարժեք։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

,

որտեղ -ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. ։ Նկարագրվող դեպքի համար  և

։

 կախված են -ից, -ից և ըստ -ի -ի ածանցյալներից և կոչվում են պահպանման օրենքի բնութագրեր։

Վարիացիոն սիմետրիաներ 

Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ  և -ն կարող են կախված լինել ոչ միայն -ից և -ից, այլև -ի ածանցյալներից ըստ -ի։

Սահմանում. -ն կոչվում է  ֆունկցիոնալի վարիացիոն սիմետրիա, եթե գոյություն ունի  համախումբ այնպես, որ

։

-ն -ի շարունակությունն է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ -ի գործողությունը -ի և -ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի -ից վերցնել այնպիսի -ով բաղադրիչներ, որոնց համար -ն մտնում է -ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ -ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են  ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե -ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա -ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ  արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են  տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր 

 ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է  վեկտորական դաշտի բնութագիր։ -ի փոխարեն կարելի է վերցնել

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է -ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։
 
-ն և -ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են -ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ -ի շարունակությունը որոշվում է -ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու - երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

Նյոթերի թեորեմ 
 ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է  ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա  բնութագիրը  պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

Պահպանման օրենքներ 

Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

Կիրառություններ 
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

 Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե X առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով  իմպուլսը պահպանվում է։
 Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
 Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար։

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
 Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.

Արտաքին հղումներ 
 Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ
 Ջոն Բաեսի հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին 
 Nina Byers, E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
 Նյոթերի թեորեմը MathPages կայքում 
 Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. 
 Giachetta G., Mangiarotti L.,Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

Տեսական մեխանիկա
Դաշտի տեսություն
Դաշտի քվանտային տեսություն
Պահպանման օրենքներ
Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Ֆիզիկայի հասկացություններ