Աստիճանային շարք

Աստիճանային շարք մեկ փոփոխականով, դա ֆորմալ հանրահաշվական արտահայտություն է։
 
որում գործակիցներ  ընտրվում է մի ինչ որ  օղակից։

Աստիճանային շարքերի տարածություն 
Տարածությունը մեկ փոփոխականով աստիճանային շարքով և գործակիցներ -ից նշանակում են.
 տարածությունը ունի դիֆերենցիալ հանրահաշվի կառուցվածք (կոմուտատիվ  օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է ) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ ածանցավոր ֆունկցիաներ)։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։

- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, ֆորմալ դիֆերենցում և ֆորմալ վերադրում գործողությունները։

Ենթադրենք
 
Այդ ժամանակ։
 
 
  (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի )

Աստիճանային շարքի զուգամիտություն 
Իրական կամ կոմպլեքս գործակիցներով ֆորմալ աստիճանային շարքից, գրառման ճանապարհով, ինչ որ  իրական ֆորմալ փոփոխականի մեծությունից, իրական և կոմպլեքս դաշտում կարելի է ստանալ աստիճանային շարք։ Աստիճանային շարքը համարվում է զուգամիտվող (գումարվող), եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից և կոչվում է բացարձակ զուգամիտություն, եթե զուգամիտվում է մասնակի հաջորդականության գումարը, կազմված նրա անդամներից, վերցրած մոդուլով (նորմայով)։

Զուգամիտության հայտանիշներ 
Աստիճանային շարքի համար գոյություն ունի մի քանի թեորեմ, նկարագրելով պայմանը և բնույթը զուգամիտության։

 Աբելի առաջին թեորեմ։ Ենթադրենք  շարքը զուգամիտվում է  կետում։ Այդ ժամանակ այդ շարքը զուգամիտվում է բացարձակապես  շրջանում և հավասարաչափորեն այդ շրջանի  ցանկացած կոմպակտ ենթաբազմությունում։ Հակադարձելով այդ թեորեմային, ստանում ենք, եթե աստիճանային շարքը տարամիտվում է  դեպքում, այն տարամիտվում է ցանկացած  դեպքում, այնպիսիք որ ։ Աբելի առաջին թեորեմայից նույնպես հետևում է, որ գոյություն ունի շրջանագծի այդպիսի  շառավիղ ( հնարավոր է, զրոյական կամ անվերջ), որ -ի դեպքում շարքը զուգամիտում է բացարձակապես (և հավասարաչափորեն այդ շրջանի -ի ) կոմպակտ ենթաբազմությունում, իսկ  դեպքում տարամիտում է։ Այդ  մեծությանը անվանում են շարքի զուգամիտության շառավիղ, իսկ  շրջանը՝ զուգամիտության շրջան։
 Կոշի-Ադամարի բանաձև։ Աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը (եթե վերևի սահման գոյություն ունի և դրական է, Աստիճանային շարքի մասին Ադամարի թեորեմ) կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով․
 
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով  տես․ «Հաջորդականության մասնակի սահման» հոդվածը)։

Ենթադրենք  և , երկու աստիճանային շարք են  և  զուգամիտության շառավիղներով։ Այդ ժամանակ
 
 
 
Եթե շարքի համար -ը զրոյական ազատ անդամ է, ապա
 

Հարցը  վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։

 Դալամբերի հայտանիշ։ Եթե  և  դեպքում,
  անհավասարությունը տեղի ունի,
 ապա  աստիճանային շարքը զուգամիտվում է  շրջանի բոլոր կետերում և հավասարաչափ -ով։

 Դիրիխլիի հայտանիշ։ Եթե  աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և  հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է  շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե  կետում։

Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես  կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է վերլուծական ֆունկցիայի տեսության ուսումնասիրման առարկա։

Փոփոխակումներ և ընդհանրացումներ 
n փոփոխականով աստիճանային շարք, դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,
  կամ բազմաինդեքս նշանակումներ,

 
որտեղ -ը  վեկտորն է, -ն ՝  մուլտիինդեքսը, -ն  միանդամը։  պարամետրերով և  գործակիցներով աստիճանային շարքի տարածությունը նշանակվում է՝ ։ Նրանում սահմանված է գումարման, բազմապատկման, յուրաքանչյուր փոփոխականի դիֆերենցման և -տեղային վերադրման գործողություններ։ Ենթադրենք
 
Ապա.
 
 
 
 տարածության մասին կարելի է գործնականում ասել նույնը, ինչ և ։

Շարքեր
Կոմպլեքս անալիզ
Իրական անալիզ