Հիլբերտյան տարածություն

Հիլբերտյան տարածություն, արդի մաթեմատիկայի կարևոր հասկացություններից։ Ձևավորվել է XX դ. սկզբին, գերմանացի մաթեմատիկոս Դավիթ Հիլբերտի աշխատություններում արտահայտված գաղափարների ազդեցությամբ։ Հիլբերտյան տարածություն սահմանման մեջ հանդես եկող հիմնական հասկացությունը ներքին կամ սկալյար արտադրյալն է։ Այդպես կոչվում է այն արտապատկերումը, որը կոմպլեքս (կամ իրական)  գծային տարածության տարրերի (վեկտորների) յուրաքանչյուր  զույգին համապատասխանեցնում է կոմպլեքս (իրական)  թիվ և -ի կամայական  տարրերի և  կոմպլեքս (իրական) թվի համար բավարարում է հետևյալ պայմաններին՝ 
 , ընդ որում  միայն  դեպքում, 
 , 
 , 
 եթե , ապա , այսինքն՝ :

 և  մեծությունները համապատասխանաբար որոշում են  և  վեկտորների միջև հեռավորությունը և  վեկտորի երկարությունը (նորմը), որոնց միջոցով -ում ներմուծվում է մետրիկական ու նորմավորված տարածությունների կառուցվածք։ Ներքին արտադրյալով օժտված գծային տարածությունը, որը լրիվ է որպես մետրիկական տարածություն, կոչվում է հիլբերտյան տարածություն։ Հիլբերտյան տարածությունը էվկլիդեսյան տարածության հասկացության լայն ընդհանրացումն է։ Հիլբերտյան տարածության կարևոր օրինակ է  հաջորդականությունների  գծային տարածությունը՝  ներքին արտադրյալով։

Սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունը պարունակում է օրթոնորմավորված բազիս, այսինքն՝ տարրերի այնպիսի  համակարգ , որի կամայական  տարր ունի միարժեք ներկայացում՝ , որտեղ -երը թվեր են, իսկ շարքը զուգամիտում է -ի նորմով։ Վերը նշված  տարածությունը սեպարաբել է, որում օրթոնորմալ բազիս է, օրինակ,  վեկտորների համակարգը։ Հիլբերտյան տարածությունների իզոմորֆիզմ ասելով հասկանում են գծային կառուցվածքը և ներքին արտադրյալը պահպանող փոխմիարժեք համապատասխանությունը։ Բոլոր սեպարաբել հիլբերտյան տարածությունները իզոմորֆ են։ Հիլբերտյան տարածության կիրառությունների ոլորտը ապահովվում է, առաջին հերթին, հիլբերտյան տարածությունում գծային օպերատորների խոր և բովանդակալից տեսությամբ, որը լայնորեն օգտագործվում է մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ բնագավառներում՝ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունում, ֆունկցիոնալ անալիզում, քվանտային մեխանիկայում ևն։

Տես նաև 
 Մետրիկական տարածություն

Ֆունկցիոնալ անալիզ
Գծային հանրահաշիվ
Քվանտային մեխանիկա