Քառանիստ

Տետրաէդր կամ քառանիստ ( ←  «չորս» +  «նստույք, հիմք»),  պարզագույն բազմանիստ, որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ։

Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։

Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։

Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։

Էյլերի բանաձևը քառանիստի համար 
Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։
4 + 4 - 6 = 2
2 = 2

Քառանիստի տեսակներ

Հավասարանիստ քառանիստ 

Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։

Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.
 Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
 Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
 Եռանիստ անկյունները հավասար են։ 
 Հակադիր անկյունները հավասար են։ 
 Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
 Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
 Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ։
 Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
 Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
 Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
 Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
 Նիստերի պարագծերը հավասար են։
 Նիստերի մակերեսները հավասար են։
 Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
 Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
 Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
 Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
 Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
 Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
 Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
 Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։

Քառանիստի ծավալ 
Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են ,
, ,
, որոնք հավասար են։

Եռանկյան և քառանիստի բանաձևերի համեմատում

Քառանիստը ոչ էվկլիդյան տարածություններում

Ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալ 
Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը  և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով։

Քառանիստի երկնիստ անկյունների հարաբերություն 
 — գնդային քառանիստի համար։

 — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ  -ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։

-ն  i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։

Կոսինուսների թեորեմ 
 — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

 — գնդային քառանիստի համար։

 — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Որտեղ  -ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։

 -ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։

-ն  մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։

Սինուսների թեորեմ 
 — գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։

Արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ 
 — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. , որտեղ  քառանիստի նիստերի նորմալներն են։

Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով. :

 — հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։

Ներգծած գնդային մակերևույթի շառավիղ 
 — գնդային քառանիստի համար։

Արտահայտության մեկ այլ գրառում. , որտեղ  քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։

 — հիպերբոլային քառանիստի համար։

Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնների միջև հեռավորություն 
 — գնդային քառանիստի համար։

Քառանիստի բանաձևերը բարիցենտրիկ կոորդինատներով 
 Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

 — գնդային քառանիստի համար։

 Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.

 — գնդային քառանիստի համար։

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
 Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
 Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.

Երկրաչափություն