Կոշիի խնդիր

Կոշիի խնդիր – դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության (սովորական և մասնակի ածանցյալով) հիմնական խնդիրներից մեկն է, որտեղ պահանջվում է գտնել (ինտեգրալ) դիֆերենցիալ հավասարման այնպիսի լուծում, որը բավարարի սկզբնական պայմաններին (սկզբնական տվյալներին)։

Կոշիի խնդիրը սովորաբար առաջանում է գործընթացների վերլուծության ժամանակ, որոնք որոշվում են դիֆերենցիալ օրենքների զարգացմամբ և սկզբնական վիճակով (որոնց մաթեմատիկական արտահայտությունները հանդիսանում են հավասարումները և սկզբնական պայմանները)։ Սրանով մոտիվացվում է տերմինալոգիան և ընտրության նշանակումը՝ սկզբնական տվյալները տրվում են -ի, իսկ լուծումները որոնվում են -ի դեպքերում։

Եզրային խնդիրներից Կոշիի խնդիրը տարբերվում է նրանով, որ միջակայքը, որում պետք է որոշված լինի որոնվող լուծումը, այստեղ նախօրոք չի նշվում։ Ամեն դեպքում Կոշիի խնդիրը կարելի է դիտարկել որպես եզրային խնդիրներից մեկը։

Հիմնական հարցերը, որոնք կապված են Կոշիի խնդրի հետ, այսպիսին են՝
 գոյություն ունի (գոնե տեղային) Կոշիի խնդրի լուծում,
 եթե լուծումը գոյություն ունի, ապա որն է նրա գոյության միջակայքը,
 լուծումը արդյոք միակն է,
 եթե լուծումը միակն է, ապա այն կոռեկտ է, այսինքն անընդհատ է (ինչ որ առումով) սկզբնական տվյալների նկատմամբ։

Ասում են, որ Կոշիի խնդիրը ունի միակ լուծումը, եթե այն ունի  լուծումը և ոչ մի այլ լուծում չի հանդիսանում ինտեգրալ կոր, որը  կետի փոքր շրջակայքում ունի  ուղղվածության դաշտին համընկնող ուղղվածության դաշտ։  կետը տալիս է սկզբնական պայմանը։

Կոշիի խնդրի տարբեր դրվածքներ
 առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ածանցյալի նկատմամբ՝
 ,

 -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ, թույլատրելի ածանցյալների նկատմամբ (-րդ կարգի սովորական համակարգ)`
  ,

 -րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարում, թույլատրելի ավագ ածանցյալների նկատմամբ`
  ,

Կոշիի խնդրի լուծելիության թեորեմներ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համար

Դիցուք  տիրույթում դիտարկվում է Կոշիի խնդիրը՝

 ,

որտեղ : Դիցուք -ում առաջին մասը հանդիսանում է անընդհատ ֆունկցիա։ Այս ենթադրություններում տեղի ունի Պեանոյի թեորեմը, որը սահմանում է Կոշիի խնդրի լուծելիությունը։ Դիցուք  և  այնպիսին են, որ  տիրույթին պատկանող փակ ուղղանկյուն է

,

այդ դեպքում  հատվածի վրա, որտեղ , , գոյություն ունի Կոշիի լուծումը։ Նշված հատվածը կոչվում է Պեանոյի հատված։ Նշենք, որ Պեանոյի թեորեմի տեղային բնույթը կապված չէ աջ մասի հարթ լինելուց։ Օրինակ,  և -ի համար -ի լուծումը գոյություն ունի միայն  միջակայքում։ Նշենք նույնպես, որ առանց լրացուցիչ ենթադրությունների աջ մասի հարթ լինելուց, պետք չէ երաշխավորել Կոշիի խնդրի լուծման եզակի լինելը։ Օրինակ, –ի համար հնարավոր է մեկից ավելի լուծումներ։

Որպեսզի ձևակերպենք Կոշիի խնդրի լուծման միակության մասին թեորեմը, պետք է լրացուցիչ սահմանափակումներ դնել նրա աջ մասի վրա։ Կասենք որ,  ֆունկցիան բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին -ի վրա կախված -ից, եթե գոյություն ունի այնպիսի  հաստատուն, որ

բոլոր -ի համար։

Դիցուք -ի աջ մասը լրացուցիչ բավարարում է Լիֆշիցի պայմանին -ի վրա կախված -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը չի կարող ունենալ -ում մեկից ավելի լուծում։

Նշենք նույնպես, որ թեև այս թեորեմը ունի գլոբալ բնույթ, այնուամենայնիվ նա չի հաստատում գլոբալ լուծման գոյությունը։

Գլոբալ լուծման գոյության համար անհրաժեշտ է կիրառել ըստ -ի աջ մասի աճի պայմանի։ Դիցուք  ֆունկցիան բավարարում է  պայմանին, որտեղ  հաստատունը կախված չէ ոչ -ից և ոչ էլ -ից, այդ դեպքում Կոշիի խնդիրը ունի լուծում -ում։ Մասնավորապես, այս թեորեմից հետևում է, որ գծային հավասարումների համար (անընդհատ  գործակիցներով) Կոշիի խնդիրը ունի գլոբալ լուծում։

Տես նաև

 Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ
 Հատուկ լուծում
 եզրային խնդիր
 Էյլերի մեթոդը
 Ռինգե-Կուտի մեթոդը
 Պեանոյի թեորեմը

Գրականություն 
 А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников - Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения, издательство-Физматлит, 2005
 Ф.Хартман - Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство - Мир, 1972

Մաթեմատիկական խնդիրներ
Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ