Կավարի տեսություն

Կավարի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ  բազմության վրա որոշված երկտեղանի  հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {} համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե -ի կամայական  տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները. 
 , 
 եթե  և , ապա , 
 եթե a\leqslant b և , ապա ։ 

Եթե , բայց -ն հավասար չէ -ին, ապա ասում են, որ -ն խիստ փոքր է -ից և նշանակում՝ ։  բազմությունը կոչվում է {} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {} համակարգը կոչվում է կավար, եթե -ի կամայական  տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

 ա. գոյություն ունի -ին պատկանող  տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ  հարաբերության

 բ. գոյություն ունի -ին պատկանող  տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ  հարաբերության

 տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են , իսկ ստորինը՝ ։ {}  համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝  , ։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։  հատվածը, որտեղ -ն իրական թվեր են և , իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի  տարր, որ կամայական  բավարարում է  պայմանին, ապա -ն կոչվում է {} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում -ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են  նշանով, նվազագույնը՝  նշանով։ Եթե  և գոյություն չունի այնպիսի , որ , ապա  տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում -ն մաքսիմալ տարր է, իսկ  և  տարրերը՝ մինիմալ։ 

Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական  տարրերի համար տեղի ունի  առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն  և , յուրաքանչյուր  տարրին համապատասխանում է այնպիսի  տարր, որ  և ։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ , և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

Գրականություն 
 Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
 Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
 Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969

Աբստրակտ հանրահաշիվ