Ածանցյալ

Ֆունկցիայի ածանցյալ, ֆունկցիայի հետազոտման տարր, դիֆերենցիալ հաշվի հիմնական հասկացություններից, որ բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը տվյալ կետում։

Ածանցյալը ֆունկցիայի աճի և արգումենտի աճի հարաբերության սահմանն է, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի։
Ածանցյալի հաշվման գործողությունը կոչվում է դիֆերենցում, իսկ հակադարձ գործողությունը՝ ինտեգրում։

Ֆունկցիայի ածանցելիություն 
  ֆունկցիան ածանցելի է  կետում, եթե կամայական  անվերջ փոքրի համար զուգամետ է  հաջորդականությունը։
 Եթե  ֆունկցիան ածանցելի է  կետում, ապա  հաջորդականության սահմանն անվանում են  ֆունկցիայի ածանցյալ  կետում և նշանակում  (կարդացվում է՝ էֆ շտրիխ )

։

Դիցուք -ն այն բազմությունն է, որին պատկանող կետերում  ֆունկցիան ածանցելի է։ Այդ բազմության յուրաքանչյուր  կետի համապատասխանեցնելով  թիվը, կստանանք  բազմության վրա որոշված ֆունկցիա։ Այդ ֆունկցիան անվանում են  ֆունկցիայի ածանցյալ և նշանակում՝  կամ ։

Ածանցյալի ֆիզիկական իմաստները 
  օրենքով ուղղագիծ շարժվող մարմնի  արագությունը ժամանակի  պահին հավասար է  ֆունկցիայի ածանցյալին՝

։
 Եթե ուղղագիծ շարժվող մարմնի արագությունը փոխվում է  օրենքով, ապա նրա  արագացումը ժամանակի  պահին հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին՝

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը 
 հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած  կետի և կամայական  անվերջ փոքրի համար՝

Հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալը զրոն է։

Գծային ֆունկցիայի ածանցյալը 

 գծային ֆունկցիայի ածանցյալը՝ ցանկացած  կետի և կամայական  անվերջ փոքրի համար՝

Հետևաբար, ։

Քառակուսային ֆունկցիայի ածանցյալը 

 ֆունկցիայի ածանցյալը՝

Հետևաբար՝ ։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը 

 ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր  կետում՝

Եթե -ն անվերջ փոքր է, ապա ։ Կիրառելով զուգամետ հաջորդականությունների քանորդի սահմանի վերաբերյալ թեորեմը, կստանք՝

 ֆունկցիան ածանցելի է իր որոշման տիրույթի բոլոր կետերում և

Ցուցչային ֆունկցիայի ածանցյալը 

 ֆունկցիայի ածանցյալը զրոյից տարբեր  կետում՝

Հաշվի առնելով, որ , ստանում ենք՝

։

Հետևաբար ։

Անընդհատ ֆունկցիայի թեորեմը 
 Եթե ֆունկցիան ածանցելի է որևէ կետում, ապա այդ կետում ֆունկցիան անընհատ է։

Ապացուցում 
Եթե  ֆունկցիան ածանցելի է  կետում, ապա կամայական  անվերջ փոքրի համար

 հաջորդականությունն անվերջ փոքր է։ Այստեղից ստանում ենք ՝

։

Քանի որ  և  հաջորդականություններն անվերջ փոքր են. ուրեմն  հաջորդականությունը նույնպես անվերջ փոքր է։ Հետևաբար՝  ֆունկցիան  կետում անընդհատ է։

Գումարի ածանցման կանոնը 

 Եթե  և  ֆունկցիաները ածանցելի են որևէ կետում, իսկ -ն հաստատուն է, ապա  և  ֆունկցիաները նույնպես ածանցելի են այդ կետում, ընդ որում՝

։

Ապացուցում 
Դիցուք  և  ֆունկցիաներն ածանցելի են  կետում, և -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների հատկություններից, ստանում ենք՝

Թեորեմի ֆիզիկական մեկնաբանությունը
Դիցուք գետափնյա նավամատույցից միաժամանակ սկսում են շարժվել լաստն ու շոգենավը։ Ենթադրենք ժամանակի կամայական  պահին շոգենավի հեռավորությունը լաստից  է, իսկ լաստի հեռավորությունը նավամատույցից՝  է։ Դա կնշանակի, որ շոգենավը լաստից հեռանում է արագությամբ, իսկ լաստը նավամատույցից՝  արագությամբ։ Պարզ է, որ եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա  պահին շոգենավի հեռավորությունը նավամատույցից կլինի՝, իսկ եթե շարժվեն հակառակ ուղղություններով, ապա՝ ։ Հետևաբար, եթե լաստն ու շոգենավը շարժվեն նույն ուղղությամբ, ապա շոգենավը նավամատույցից
կհեռանա

արագությամբ, իսկ հակառակ ուղղություններով շարժվելու դեպքում՝

Արտադրյալի ածանցման կանոնը 

 Եթե  և  ֆունկցիաներն ածանցելի են որևէ կետում, ապա այդ կետում ածանցելի է նաև  ֆունկցիան, ընդ որում՝

։

Ապացուցում 
Դիցուք  և  ֆունկցիաներն ածանցելի են  կետում, և -ը կամայական անվերջ փոքր է։ Հեշտ է ստուգել, որ

Քանի որ  ֆունկցիան  կետում ածանցելի է, ուրեմն այն անընդհատ է  կետում։
Հետևաբար, 
Օգտվելով զուգամետ հաջորդականությունների գումարի և արտադրյալի վերաբերյալ թեորեմից՝ երկու առնչություններից ստանում ենք.

Քանորդի ածանցման կանոնը 

Թեորեմ 1։ Եթե  ֆունկցիան ածանցելի է  կետում և , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև  ֆունկցիան, ընդ որում

։

Ապացուցում 
Դիցուք -ն անվերջ փոքր է։ Պարզ ձևափոխություններով ստանում ենք՝

Քանի որ  ֆունկցիան ածանցելի և հետևաբար՝ անընդհատ է  կետում, ուստի

Թեորեմ 2։ Եթե  և  ֆունկցիաններն ածանցելի են  կետում և , ապա այդ կետում ածանցելի է նաև  ֆունկցիան, ընդ որում

։

Ապացուցում 
Օգտվելով նախորդ թեորեմից և արտադրյալի ածանցման կանոնից, ստանում ենք՝

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը 

Թեորեմ 1։ Եթե  ֆունկցիան ածանցելի է  կետում, իսկ  ֆունկցիան՝  կետում, ապա  ֆունկցիան ածանցելի է  կետում, և

Թեորեմ 2։ Եթե  ֆունկցիան ածանցելի է, ապա  ֆունկցիան նույնպես ածանցելի է, և

Ապացուցում 
Դիցուք -ն անվերջ փոքր է։ Այդ դեպքում անվերջ փոքր է նաև  հաջորդականությունը, ուստի

Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները

Ծանոթագրություններ 
Մաթեմատիկական անալիզի հիմունքները։ Հեղինակ Ֆիխտենգոլց 

Դիֆերենցիալ հաշիվ
Մաթեմատիկական անալիզ
Ֆունկցիա