Պաուլիի հավասարում

Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգեր-Պաուլիի հավասարում, Շրյոդինգերի հավասարման ձևակերպումը կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար, որը հաշվի է առնում մասնիկի սպինի փոխազդեցությունն արտաքին էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ։ Այն Դիրակի հավասարման ոչ ռելյատիվիստական սահմանն է և կարող է օգտագործվել միայն լույսի արագությունից փոքր արագությամբ շարժվող մասնիկի դեպքում, այնպես որ ռելյատիվիստական էֆեկտները տեղի չունեն։ Ձևակերպել է Վոլֆգանգ Պաուլին 1927 թ.։

Հավասարման տեսքը 

m զանգվածով և q լիցքով մասնիկի համար, որը գտնվում է A = (Ax, Ay, Az) վեկտորական պոտենցիալով և ϕ սկալյար պոտենցիալով նկարագրվող էլեկտրամագնիսական դաշտում , Պաուլիի հավասարումը հետևյալն է՝

,

որտեղ σ = (σx, σy, σz) Պաուլիի մատրիցներն են՝ հարմարության համար վեկտորական տեսքով ներկայացված, p = −iħ∇-ն իմպուլսի օպերատորն է, որտեղ ∇ նշանակված է գրադիենտի օպերատորը և

երկու բաղադրիչային սպինորային ալիքային ֆունկցիան է, Դիրակի նշանակումներով գրված Երկչափ վեկտորով։

Համիլտոնյան օպերատորը՝

Պաուլիի մատրիցների պատճառով 2 × 2 մատրիցային օպերատոր է։ Տեղադրելով Շրյոդինգերի հավասարման մեջ՝ կստանանք Պաուլիի հավասարումը։ Համիլտոնյանը նման է էլեկտրամագնիսական դաշտի հետ փոխազդող դասական hամիլտոնյանին։ Կինետիկ էներգիայի բաղադրիչը ազատ մասնիկի համար էլեկտրամագնիսական դաշտի բացակայությամբ պարզապես p2/2m է, որտեղ p-ն կինետիկ իմպուլսն է, մինչդեռ էլեկտրամագնիսական դաշտի առկայությամբ ունենք p = P − qA կեղծ զույգը, որտեղ P-ն կանոնիկ իմպուլսն է։

Պաուլիի վեկտորական նույնականացման միջոցով կարելի է Պաուլիի մատրիցները հանել կինետիկ էներգիայի անդամից

Ստանալու համար

որտեղ B = ∇ × A-ն մագնիսական դաշտն է։

Կապը Շրյոդինգերի հավասարման և Դիրակի հավասարման հետ 

Պաուլիի հավասարումը ոչ ռելյատիվիստական է, սակայն այն չի կանխատեսում սպինը։ Որպես այդպիսին, կարելի է մտածել, որ նա միջին տեղ է գրավում Շրյոդինհերի հայտնի հավասարման (կոմպլեքս սկալյար ալիքային ֆունկցիայով), որը ոչ ռելյատիվիստական է և չի կանխատեսում սպինը և Դիրակի հավասարման (կոմպլեքս չորս բաղադրիչով սպինորով) միջև, որն ամբողջովին ռելյատիվիստական է և կանխատեսում է սպինը։

Նշենք, որ Պաուլիի մատրիցների հետևանքով եթե A մագնիսական վեկտորական պոտենցիալը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումն ընդունում է Շրյոդինգերի հավասարման տեսքը մասնիկի համար ϕ ամբողջովին էլեկտրական պոտենցիալով, բացառությամբ, որ այն ազդում է երկու բաղադրիչանի սպինորի վրա։ Այսպիսով, մենք կարող ենք տեսնել, որ մասնիկի սպինն ազդում է իր շարժման վրա միայն մագնիսական դաշտի ազդեցության դեպքում։

Հատուկ դեպքեր 

Երկու սպինորային բաղադրիչները բավարարում են Շրյոդինգերի հավասարմանը։ Արտաքին B դաշտի ազդեցությամբ Պաուլիի հավասարումը գրվում է

որտեղ

2 × 2 նույնականացման մատրիցն է, որը գործում է որպես նույնականացման օպերատոր։

Շտեռն-Գեռլախի տերմիններով կարելի է ստանալ սպինի կողմնորոշումը մեկ վալենտական էլեկտրոնով ատոմի համար։
Նման կերպ, մագնիսական դաշտում սպեկտչալ գծերի միաձուլման համար պատասխանատու անդամը կարելի է տեսնել Զեեմանի անոմալ էֆեկտում։

Ծանոթագրություններ 

Քվանտային մեխանիկա
Մագնիսականություն