Կոր

Կոր տոպոլոգիական տարածությունում,  թվային ուղղի ցանկացած , հատվածի անընդհատ արտապատկերում կամայական տոպոլոգիական տարածության մեջ։ Եթե  թվի իմաստը ժամանակն է, իսկ  համապատասխան կետը՝ շարժվող կետի դիրքն է պահին, ապա երբ -ն -ից  ուղղությամբ անընդհատ անցնում է  հատվածը,  կետը անցնում է որոշ «անընդհատ կոր»՝  կորի «հետագիծը»։ Ընդ որում, թույլատրվում Է, որ շարժվող կետը ժամանակի տարբեր պահերին տարածության միևնույն կետով անցնի մի քանի անգամ կամ որոշ ժամանակահատվածում մնա «անշարժ»։ Դեռ ավելին, չեն բացառվում նաև  հաստատուն կորեր, որոնց համար  արտապատկերումը հաստատուն է, այսինքն յուրաքանչյուր -ի համար , որտեղ -ն  տարածության որևէ սևեռված կետ է։ Կորի  կետերի անցման կարգը էական է, և այդ պատճառով յուրաքանչյուր  կորը ստանում է որոշ ուղղություն՝  սկզբնակետից դեպի  վերջնակետը։ Նկարում այդ ուղղությունը նշվում է սլաքով։  կորը կոչվում է փակ, եթե նրա ծայրակետերը համընկնում են , և փակ պարզ կորը, եթե նաև  յուրաքանչյուր -ի համար, որտեղ ։  էվկլիդեսյան տարածության  կորը կոչվում է անընդհատ դիֆերենցելի, եթե գոյություն ունի անընդհատ  ածանցյալ։ Անհրաժեշտ է ընդգծել, որ  կորը դա  արտապատկերումն է, և ոչ թե նրա  կետերի բազմությունը։  տարածության միևնույն ենթաբազմությունը կարող է դիտվել որպես կետերի բազմություն այդ տարածության տարբեր կորերի համար։ Օրինակ, դիցուք -ն  հարթության որևէ շրջանագիծ է, -ն նրա կենտրոնը, իսկ ‘  գագաթով սևեռված ճառագայթ։ Այդ շրջանագծի վրա ընտրենք շրջանցման դրական ուղղություն և կառուցենք  փակ կոր հետևյալ կերպ՝ -ն  ճառագայթի և  շրջանագծի հատման կետն է, իսկ -ն, ,  շրջանագծի այնպիսի կետ է, որի համար  ճառագայթի և  կետը  կետի հետ միացնող հատվածի միջև կազմված անկյունը հավասար է  (տես նկարը)։ Պարզ է, որ փոխելով  ճառագայթի դիրքը՝ կստանանք անթիվ բազմությամբ տարբեր կետեր, որոնց համար կետերի բազմությունը  շրջանագիծն է։  տարածության բոլոր կորերի բազմությունում մտցվում է համարժեքության հարաբերություն հետևյալ կերպ՝  և  կետերը կոչվում են համարժեք, եթե տեղի ունի  առնչությունը, որտեղ -ն  հատվածի այնպիսի տոպոլոգիական արտապատկերում է  հատվածի վրա, որի համար , իսկ ։ Եթե  որևէ կոր է, ապա կարելի է կառուցել այնպիսի  կոր, որը լինի համարժեք  կորին։ Օրինակ, , որտեղ  տոպոլոգիական արտապատկերումը տրվում է  բանաձևով։ Այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս դիտարկել միայն այնպիսի կորեր, որոնց որոշման տիրույթը  հատվածն է։

Վերը նշված համարժեքության հարաբերության հետևանքով  տարածության բոլոր կորերի բազմությունը տրոհվում է իրար համարժեք կորերի դասերի։ Լրիվ խստությամբ  տարածության կորը կոչվում է յուրաքանչյուր այդպիսի համարժեքության դաս։ Կորի նշված գաղափարի հետ սերտորեն կապված է գծի բավականաչափ ընդհանուր գաղափարը։ Ժամանակակից տոպոլոգիան առաջադրեց գծի մասին պատկերացման ճշգրտության խնդիրը, որը լուծեց խորհրդային մաթեմատիկոս Պ. Ուրիսոնը (1921)։ Ըստ նրա սահմանման, գիծ է կոչվում յուրաքանչյուր միաչափ կոնտինուում, այսինքն միաչափ, կապակցված, բիկոմպակտ, հաուսդորֆյան տարածություն։ Հարթ գծի սահմանումը (որը համապատասխանում Է Ուրիսոնի սահմանման հետ) տվել է դեռևս Գ. Կանտորը, հարթ գծերը հաճախ անվանում են կանտորյան գծեր։ Որպեսզի  կոնտինուումը լինի կանտորյան գիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ -ը  հարթության նկատմամբ չունենա ոչ մի ներքին կետ։

Երկրաչափություն