Հակադարձ խնդիրներ

Հակադարձ խնդիրներ, մաթեմատիկայում, մաթեմատիկական ֆիզիկայում, տեխնիկայում և ճշգրիտ բնագիտության այլ բնագավառներում դրվող խնդիրներ, որոնց լուծումը հաճախ ունի կարևոր գիտական կամ գործնական նշանակություն։ Յուրաքանչյուր քանակական գիտական խնդիր նպատակ ունի նախապես հայտնի ինչ-որ տվյալներից (մուտքի տվյալներ) դուրս բերել ուրիշ անհայտ համարվող տվյալներ (ելքի տվյալներ)։ Եթե մի որևէ խնդրում փոխենք մուտքի և ելքի տվյալների դերերը, ապա կստանանք մի նոր խնդիր, որը կկոչվի հակադարձ՝ սկզբնական խնդրի նկատմամբ։ Այդպիսով, հակադարձ խնդրի գաղափարը հարաբերական է, և ամեն մի խնդիր կարող է դիտվել որպես մի այլ խնդրի նկատմամբ հակադարձ խնդիր։ Շատ գիտություններում, սակայն, պատմականորեն առաջացել են խնդիրներ (կամ խնդիրների ամբողջ դասեր), որոնք ավանդաբար դիտվել են որպես տվյալ գիտության առաջնային կամ ուղիղ խնդիրներ, իսկ հետագայում կարիք է զգացվել լուծելու նրանց նկատմամբ հակառակ խնդիրներ, որոնք պարզապես կոչվել են հակադարձ։ Ստորև բերվում են օրինակներ տարբեր բնագավառներից։

Մաթեմատիկա
ա. առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման  ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը՝ , որտեղ -ն կամայական հաստատուն է։ Դրան հակառակ տրված  հավասարումով որոշվող կորերի ընտանիքի համար կարելի է գտնել առաջին կարգի մի դիֆերենցիալ հավասարում ( հաստատունը չպարունակող), որին բավարարում է այդ ընտանիքի յուրաքանչյուր կորը։ Այդ դիֆերենցիալ հավասարումը և հակադարձ խնդրի լուծումն է։ բ. Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական պրոբլեմներից մեկն այս վերջին հարյուրամյակում եղել է Շտուրմ-Լիուվիլի խնդիրը, որը կայանում է հետևյալում՝ գտնել տրված  գծային դիֆերենցիալ օպերատորի համար  հավասարման մեջ մտնող  պարամետրի այն  արժեքները, որոնց դեպքում այդ հավասարումն ունի որոշ համասեռ եզրային պայմաններին բավարարող, բայց զրոյից տարբեր լուծում։ Եթե -երի որոշումը դիտվում է որպես ուղիղ խնդիր, ապա  օպերատորի (կամ նրա մեջ մտնող գործակիցների) որոշումը, երբ տրված են Xk-երը, համարվում է հակադարձ խնդիր։

Ընդհանրապես  օպերատորը գտնելու համար կարող են որոշ տեղեկություններ տրված լինել ոչ միայն -երի արժեքների, այլև սեփական ֆունկցիաների () մասին։ Նման հակադարձ խնդիրները կարող են ունենալ առանձին դեպքերում միարժեք լուծում, այլ դեպքերում՝ բազմաթիվ լուծումներ և կամ ոչ մի լուծում (ինքնահակասական պայմանների դեպքում)։

Տեսական աստղագիտություն
ա. ուղիղ խնդիր՝ մոլորակի կամ գիսավորի ուղեծրի տրված տարրերի արժեքների հիման վրա կանխագուշակել նրա տեսանելի դիրքերը երկնքի վրա ապագա որոշ ժամկետների համար։ Հակադարձ խնդիր՝ երեք տարբեր ժամկետներում մոլորակի կամ գիսավորի դիտված տեսանելի դիրքերի հիման վրա գտնել նրա ուղեծրի տարրերը։ Այս հակադարձ խնդրի լուծումը տվել է Գաուսն իր դասական աշխատության մեջ, որն օգտագործվում է մինչև այժմ։

բ. Կեպլերի խնդիրը, երկու մոլորակներ Արեգակի շուրջը կատարում են պարբերական շարժումներ պարփակ ուղեծրերով, որոնցից մեկը (ներքին մոլորակը) միշտ ավելի մոտ է Արեգակին, քան մյուսը։ Պարբերությունների հարաբերությունն ունի իռացիոնալ արժեք։ Ներքին մոլորակի վրայից որոշվում են ուղղությունները դեպի մյուսը և դեպի Արեգակը՝ ցանկացած պահերի համար։ Անհրաժեշտ է այդ դիտումներից որոշել ուղեծրերի ձևերը։ Այս խնդրի լուծումը Մարսի և Երկրի ուղեծրերի համար Կեպլերին բերեց մոլորակների պտտման օրենքների հայտնագործմանը (Կեպլերի օրենքներ)։

Գալակտիկ աստղագիտություն
Ուղիղ խնդիր՝ գնդաձև աստղակույտի համար տրված է աստղերի խտության բաշխումը տարածության մեջ, որպես կենտրոնից նրանց ունեցած հեռավորության ֆունկցիա։ Պետք է գտնել աստղերի տեսանելի բաշխումը երկնքի վրա պրոյեկցիայում։ Հակադարձ խնդիր՝ տրված է գնդաձև աստղակույտի աստղերի տեսանելի բաշխումը երկնքի վրա, պետք է գտնել աստղերի տարածական բաշխումը կույտի կենտրոնի շուրջը։ Հայտնի է, որ այս հակադարձ խնդիրը բերվում է Աբելի ինտեգրալ հավասարման։

Օպտիկա
Ուղիղ խնդիր՝ տրված է տարրական ծավալում գտնվող գնդաձև մասնիկներից բաղկացած փոշու մեջ մասնիկների բաշխումն ըստ տրամագծի արժեքների, պետք է գտնել ծավալում լույսի ցրման գործակիցը որպես ալիքի երկարության ֆունկցիա։ Հակադարձ խնդիր՝ տրված է տվյալ ծավալում գտնվող նյութից լույսի ցրման գործակիցը։ Պետք է գտնել նյութը կազմող գնդաձև մասնիկների տրամագծերի արժեքների բաշխումը։

Գրավիմետրիայի հակադարձ խնդիրը
Նյուտոնի ձգողականության օրենքից ելնելով, կարելի է եզրակացնել, որ տվյալ մարմնի շուրջը ձգողականության դաշտը կամ ձգողականության պոտենցիալը կախված է մարմնի մեջ խտության բաշխումից։ Այդ պոտենցիալի որոշումը տրված խտության բաշխման դեպքում համարվում է պոտենցիալի տեսության ուղիղ խնդիր։ Մարմնի մեջ խտության բաշխումը միարժեքաբար որոշում է ձգողական դաշտը, ինչպես մարմնի ներսում, այնպես էլ դրսում։ Հակառակը նույնպես ճիշտ է։ Ավելին, բավական է իմանալ պոտենցիալը  մարմնի միայն ներսում, որ  բանաձևից, որտեղ -ն Լապլասի օպերատորն է, գտնվի խտության բաշխումը։ Սակայն գրավիմետրիայում, որտեղ խոսքը Երկրի դաշտի մասին է, սովորաբար հնարավոր չէ անմիջապես չափել ձգողական ուժը մոլորակի ներսում։ Բայց անհրաժեշտ է պարզել խտության բաշխումը Երկրի բոլոր շերտերում։ Գրավիմետրիան ձգտում է այդ բաշխման մասին տեղեկություններ ստանալ՝ արտաքին դաշտի չափումներից ելնելով։ Հենց դա է գրավիմետրիայի հակադարձ խնդիրը։ Անմիջապես պարզ է, որ այդ խնդիրը չի կարող ունենալ միարժեք լուծում։ Դա հետևում է թեկուզ նրանից, որ մարմնի ոլորտային սիմետրիայի մասնավոր դեպքում, երբ մարմնի խտությունը ֆունկցիա է նրա կենտրոնից ունեցած հեռավորությունից, արտաքին պոտենցիալի արժեքները բոլորովին կախված չեն այդ ֆունկցիայի տեսքից։ Սակայն ընդհանուր դեպքում, երբ ոլորտային սիմետրիան բացակայում է, կարելի է դաշտը չափելով կարևոր տեղեկություններ ստանալ խտության բաշխման վերաբերյալ։

Ռենտգենախտորոշում
Ուղիղ խնդիր՝ տրված է մարմնի մեջ ռենտգենյան ճառագայթների որոշ ալիքների թուլացման գործակիցը՝ որպես երեք տարածական կոորդինատների ֆունկցիա։ Պետք է գտնել նույն ալիքում ռենտգենյան յուրաքանչյուր ճառագայթի ընդհանուր թուլացումը մարմնում, երբ այն թափանցում է մարմին ցանկացած տեղում և ցանկացած ուղղությամբ։ Հակադարձ խնդիր՝ տրված է տվյալ մարմնի միջով անցնող ամեն մի ուղղով տարածվող ռենտգենյան ճառագայթի համար նրա ինտեգրալ թուլացումը։ Պետք է գտնել մարմնի ներսում թուլացման գործակիցը՝ որպես կոորդինատների ֆունկցիա։ Այս վերջին հակադարձ խնդիրը տալիս է մի բարդ ինտեգրալ հավասարում, որը պարզեցնելով, կարելի է բերել Աբելի պարզ ինտեգրալ հավասարման։

Հակադարձ խնդրների մեթոդաբանական նշանակությունը
Հայտնի է, որ ժամանակակից ճշգրիտ բնագիտության հիմքում ընկած են բնության օրենքները և օրինաչափությունները, որոնք սովորաբար արտահայտվում են մաթեմատիկական հավասարումների ձևով։ Այդ օրենքները և օրինաչափությունները թույլ են տալիս մասնավոր իրադրությունների դեպքում կանխահաշվել այս կամ այն երևույթը նկարագրող քանակական չափելի պարամետրերը կամ ֆունկցիաները։ Օրինակ, մարմնի բաղադրության, կառուցվածքի և արտաքին մի շարք պայմանների հիման վրա կարելի է կանխագուշակել (նախահաշվել) նրա բազմաթիվ չափելի հատկությունները և այդ հատկությունների փոփոխությունը՝ կախված արտաքին պայմաններից (ջերմաստիճան, ճնշում և այլն)։ Հակառակ դրան, քանակական ձևով արտահայտված այդ հատկությունները կարող են հիմք ծառայել մարմնի կառուցվածքը և բաղադրությունը որոշելու համար։ Ավելին, տարբեր ձևով կառուցված մարմինների դեպքում, որոշելով պարամետրերը և ֆունկցիաները, մենք կարող ենք նաև փորձել գտնել այն հիմնական օրինաչափությունները, որոնք ուղիղ խնդրում համարվում են տրված։

Կեպլերի օրենքներից ձգողականության օրենքի արտածումը Նյուտոնի կողմից նման հակադարձ խնդրի լուծման մի դեպք է, երբ դիտվող մասնավոր քանակական (այդ թվում և՝ երկրաչափական) օրինաչափությունների հիման վրա դուրս է բերվել ավելի հիմնական և ընդհանուր օրենք։

Այսպիսով, բնության օրենքների և օրինաչափությունների հայտնագործման համար կարող են լինել երկու իրար հակառակ մոտեցումներ, ա. ընդունվում է օրենքի այս կամ այն ենթադրական ձև (օրինակ, կոնկրետ ձևի դիֆերենցիալ հավասարում), որը լուծվում է տարբեր կոնկրետ պայմանների համար, այստեղից գտնվում են չափելի մեծությունների «տեսական» արժեքները և համեմատվում փորձերի կամ դիտումների արդյունքների հետ։ Եթե համաձայնություն չի ստացվում, եզրակացվում է, որ օրենքի ընդունված ձևը սխալ է և փորձում են այլ հնարավոր ձե։ Այսպիսով, ընթանալով «փորձ ու սխալ» ուղիով, երբեմն կարելի է հասնել իսկական օրենքի։ Ավելի կոնկրետ դեպքերում, երբ հարցը վերաբերում է այս կամ այն մարմնի կառուցվածքին (մի կառուցվածք, որը հնարավոր չէ անմիջապես դիտել, օրինակ, աստղի կառուցվածքը) կամ որևէ երևույթի պատճառներին (երբ այդ պատճառներն անմիջապես չեն դիտվում), ընդունելով այդ կառուցվածքի կամ երևույթի պատճառների մասին որոշակի ենթադրություններ, որոնք պետք է ստուգվեն, մենք խոսում ենք կառուցվածքի կամ պատճառների մոդելի մասին։ Ընդունելով այդ մոդելը, նրա հիման վրա հաշվում ենք դիտվող և չափվող մեծությունների արժեքները և համեմատում դիտման արդյունքների հետ։ Բոլոր նման դեպքերում հիմքում դրվում է մի մոդել՝ որպես մի վարկած, որը և պետք է փորձարկվի։ Այս մոտեցումը կարելի է անվանել «մոդելների մեթոդ»։ բ. Կառուցվում են հավասարումներ, որոնք դիտումների արդյունքները կապում են հիմնական օրենքի ձևի (առանց վերջինիս կոնկրետացման), մարմնի կառուցվածքի կամ էլ երևույթի պատճառների հետ, որից հետո կոնկրետ չափումների հիման վրա այստեղից անմիջապես ստացվում են փնտրվող կոնկրետ օրենքը, օրինաչափությունը, մարմնի կառուցվածքը կամ երևույթի պատճառները։ Այս երկրորդ մոտեցումը կարելի է անվանել մոտեցում հակադարձ խնդիրների տեսակետից։

Քանի որ գիտությունը պետք է իր հիմքում ունենա փաստական տվյալներ, որոնք ստացվում են փորձերից, դիտումներից ու չափումներից և, մյուս կողմից, գիտության նպատակն է գտնել կամ հիմնական օրենքներն ու օրինաչափությունները, կամ օբյեկտների կառուցվածքն ու կոնկրետ երևույթների պատճառները, ապա թվում է, որ երկրորդ մոտեցումն է ավելի անմիջականը և ավելի ուղղակին։ Սակայն պատմականորեն ստացվել է այնպես, որ ա. մոտեցումը կոչվել է ուղիղ խնդիրների, իսկ բ. մոտեցումը՝ հակադարձ խնդիրների ճանապարհ։

Բնական է հարցնել, արդյոք բ. մոտեցումը թույլ տալի՞ս է գտնել բնության օրինաչափությունները կամ այլ խնդիրների լուծումները անմիջապես դիտումներից, առանց որևէ ենթադրությունների։ Իհարկե, ոչ։ Որոշ, շատ ընդհանուր ենթադրություններ, որոնց ճշմարտությունը հետևում է այնպիսի հանգամանքներից, որոնք իրենց հերթին քիչ թե շատ անկախ են տվյալ կոնկրետ դեպքում օգտագործվող դիտողական տվյալներից, լինում են անհրաժեշտ։ Օրինակ, վերևում բերված աստղագիտական խնդրում, որտեղ անհրաժեշտ է որոշել գնդաձև աստղակույտի մեջ աստղերի տարածական բաշխումը, ենթադրվում է, որ աստղակույտի մեջ աարածական խտությունների բաշխումը, այս կամ այն ճշգրտությամբ, ունի ոլորտային սիմետրիա։ Այդ ենթադրության ճշգրտության չափի մասին կարելի է դատել այնպիսի կողմնակի տվյալների հիման վրա, ինչպես, օրինակ, գնդաձև աստղակույտերի ճնշող մեծամասնության պատկերների շրջանաձևությունից դիտվող շեղումների փոքրությունը։

Բնական գիտություններում հանդիպող հակադարձ խնդիրները սովորաբար բերվում են մաթեմատիկայի հակադարձ խնդիրների։ Ընդսմին, պետք է հաշվի առնել, որ մաթեմատիկական հակադարձ խնդիրների լուծումները հաճախ անկայուն են, այն իմաստով, որ չափված մեծությունների արժեքներում որոշ տեսակի փոքր սխալներ կարող են երբեմն առաջացնել հակադարձ խնդրից որոշվող պարամետրերի և ֆունկցիաների արժեքների շատ մեծ սխալներ։ Ավելին՝ մի փոքր սխալի պատճառով ձևական լուծումը կարող է առհասարակ գոյություն չունենալ։ Այդպիսի դեպքերում անհրաժեշտ է լինում ուսումնասիրել հակասության պատճառը և հաշվի առնել, որ որոշման ենթակա ֆունկցիաների արժեքները գտնելու համար դիտումներում պարունակող ինֆորմացիան կարող է լինել անբավարար կամ ունենալ մինչև անգամ զրո ծավալ։

Վերջապես պետք է նշել, որ որոշ դեպքերում, բացի ա. և բ. մոտեցումներից, կարող է լինել և կոմպլեքս (խառը) մոտեցում, երբ որոշման ենթակա ֆունկցիաների կամ չափանիշների մասին արվում են որոշ ենթադրություններ, բայց մոդելում թողնվում է նաև մասնակի անորոշություն, որը պետք է վերացվի դիտողական տվյալների հիման վրա։

Այսպիսով, բնագետի համար սկզբունքորեն ամբողջ բնությունը հակադարձ խնդիրների մի հսկայական ասպարեզ է։ Սակայն, երբեմն այդ խնդիրների դժվարությունը և բարդությունը նրան ստիպում են գնալ ենթադրական մոդելների ստեղծման ճանապարհով։ Գիտության պատմությունը թույլ է տալիս եզրակացնել, որ բնությունը ճանաչելու հարցում երկու մոտեցումն էլ եղել են օգտակար։

Մաթեմատիկական ֆիզիկա
Կիրառական մաթեմատիկա