Դաշտի տեսություն

Դաշտի տեսություն մաթեմատիկայում, վեկտորական և սկալյար դաշտերի հատկություններն ուսումնասիրող մաթեմատիկական տեսություն։

Նկարագրություն

Սկալյար և վեկտորական դաշտեր 
Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի մի շարք խնդիրների ուսումնասիրությունը հանգեցվում է տարածության (կամ հարթության) տիրույթների ուսումնասիրման, որոնց յուրաքանչյուր Р կետին համապատասխանության մեջ է դրվում  թիվ (ջերմաստիճան, ճնշում, խտություն և ալն) կամ  վեկտոր (արագություն, ուժ և այլն)։ Այդպիսի տիրույթները, իրենց մեջ որոշված  կամ  ֆունկցիաներով, համապատասխանաբար կոչվում են սկալյար կամ վեկտորական դաշտեր։ Սկալյար դաշտի տրումը համարժեք է։

թվային ֆունկցիայի, իսկ վեկտորական դաշտինը՝ առանցքների վրա

-ի  

պրոյեկցիաների տրմանը։

Հաստատուն և փոփոխական դաշտեր 
Եթե ,  ֆունկցիաները ժամանակից կախված չեն, ապա դաշտը կոչվում է ստացիոնար (հաստատուն), հակառակ դեպքում՝ ոչ ստացիոնար (փոփոխական)։

Ոլորտային և գլանային դաշտեր  
Սկալյար դաշտերը պատկերվում են  հավասարումով որոշվող մակարդակի մակերևույթների կամ մակարդակի գծերի օգնությամբ։ Եթե գոյություն ունի այնպիսի O կետ (Н առանցք), որ -ն կախված է միայն ОР (P-ից Н) հեռավորությունից, ապա դաշտը կոչվում է կենտրոնական կամ ոլորտային (առանցքային կամ գլանային)։ Ոլորտային և գլանային դաշտերի մակարդակի մակերևույթները համապատասխանաբար ոլորտներ և գլաններ են։

Դաշտի գրադիենտ
Եթե -ը դիֆերենցելի Է, ապա սկալյար դաշտի յուրաքանչյուր կետի համապատասխանում է u-ի ամենաարագ աճի ուղղությունը ցույց տվող վեկտոր (գրադիենտ, ), որի երկարությունը հավասար է այդ ուղղությամբ u-ի աճման արագությանը։

Վեկտորական մակերևույթներ 
Վեկտորական դաշտերի նկարագրման համար կիրառվում են գծեր, որոնք իրենց յուրաքանչյուր  կետում ունեն  վեկտորի ուղղությունը, այսինքն բավարարում են դիֆերենցիալ

 

հավասարումների համակարգին։ Այդ գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական մակերևույթ և բնութագրվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր  վեկտոր ընկած է  կետում մակերևույթի շոշափող հարթության վրա։ Փակ կորը հատող վեկտորական գծերով կազմված մակերևույթը կոչվում է վեկտորական խողովակ։ Դաշտը, կախված տարածության մեջ վեկտորների ունեցած դիրքից, կոչվում է հարթ (վեկտորներն ընկած են մի հարթության մեջ), հարթ-զուգահեռ (հարթության միևնույն կետին պրոյեկտվող բոլոր կետերում դաշտի վեկտորներն իրար հավասար են և զուգահեռ այդ հարթությանը), կենտրոնական (վեկտորներն ընկած են միևնույն կետով անցնող ուղիղների վրա) և այլն։

Վեկտորական դաշտի հոսք 
Վեկտորական դաշտի հոսք Տ մակերևույթով կոչվում է 

ինտեգրալը, որտեղ -y  վեկտորի պրոյեկցիան է մակերևույթի՝ իր ուղղությունն անընդհատորեն փոփոխող նորմալի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի ցիրկուլյացիա 
Վեկտորական դաշտի շրջանառություն (ցիրկուլյացիա)  փակ կորով կոչվում է 

ինտեգրալը, որտեղ -ը -ի պրոյեկցիան է L կորի շոշափողի ուղղության վրա։

Վեկտորական դաշտի դիվերգենցիա և ռոտոր 
Վեկտորական դաշտի փոփոխությունը որևէ կետի շրջակայքում առաջին մոտավորությամբ բնութագրվում է երկու մեծությունով՝ սկալյար, որը կոչվում է դաշտի տարամիտություն (դիվերգենցիա, ) և վեկտորական, որը կոչվում է դաշտի մրրիկ (ռոտոր, )։

Պոտենցիալ (ոչ մրրկային) և սոլենոիդալ վեկտորական դաշտեր 
Վեկտորական դաշտը կոչվում է պոտենցիալ՝ ոչ մրրկային (բնութագրվում է  պայմանով), եթե 
։

Վեկտորական դաշտը կոչվում է սոլենոիդալ (բնութագրվում է  պայմանով), եթե 
։

Այս դեպքում -ն կոչվում է  դաշտի վեկտոր պոտենցիալ։

Վեկտորական դաշտի գաղափարն այլ տարածություններում 
Սկալյար և վեկտորական դաշտերի գաղափարները դիտարկվում են նաև ո-չափանի էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

Գրականություն 
 Кочин Н․ Е․, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 7 изд․, М․, 1951
 Дубнов Я․ С․, Основы векторного исчисления, ч․1, 4 изд․, М․—Л․, 1950, ч․ 2, М․, 1952

Թենզորական հաշիվ
Վեկտորական անալիզ