Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափություն

Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափություններ, էվկլիդեսյան երկրաչափությունից տարբեր այն երկրաչափական համակարգերը, որոնցում որոշվում (սահմանվում) է պատկերների շարժում, ընդ որում ազատության այնպիսի աստիճանով, որով այն տրվում է էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ։ Ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափություններիի մեջ հատուկ նշանակություն ունեն Լոբաչևսկու երկրաչափությունը (հիպերբոլական երկրաչափություն) և Ռիմանի երկրաչափությունը։ Ոչ Էվկլիդեսյան Երկրաչափություններ ասելով հաճախ հասկանում են այդ երկրաչափությունները։ Լոբաչևսկու երկրաչափությունը կառուցվում է աքսիոմների այնպիսի համակարգի հիման վրա, որն ստացվում է էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների համակարգից՝ զուգահեռների էվկլիդեսյան աքսիոմը փոխարինելով մի աքսիոմով, ըստ որի՝ գոյություն ունի այնպիսի  ուղիղ և այդ ուղղին չպատկանող  կետ, որ  կետով անցնում են  ուղիղը չհատող և -ի հետ միևնույն հարթության մեջ գտնվող առնվազն երկու ուղիղ։ Ռիմանի երկրաչափության աքսիոմների համակարգը ավելի շատ է տարբերվում էվկլիդեսյան երկրաչափության աքսիոմների համակարգից, մասնավորաբար ընդունվում է հետևյալ աքսիոմը, տրված ուղղի հետ միևնույն հարթության մեջ գտնվող ցանկացած ուղիղ հատում է այդ ուղիղը։

Ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափություններ մի քանի փաստեր։ 
 Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափությունում եռանկյան ներքին անկյունների գումարը հավասար չէ երկու ուղիղ անկյան։ Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ այն փոքր է, իսկ Ռիմանի երկրաչափություն մեջ՝ մեծ երկու ուղիղ անկյունից։
 Լոբաչևսկու երկրաչափության մեջ եռանկյան մակերեսը R2(π-Σ) է, Ռիմանի երկրաչափության մեջ՝ R2(Σ-π), որտեղ Σ-ն եռանկյան ներքին անկյունների գումարն է, R-ը՝ հաստատուն, այդ հաստատունը որոշվում է չափման միավորի ընտրությամբ։
 Լոբաչևսկու հարթության վրա տրված А կետով անցնում են անվերջ թվով ուղիղներ, որոնք չեն հատում А կետով չանցնող а ուղիղը, և գոյություն ունեն այդ չհատողների ձախակողմյան a1 և աջակողմյան a2 սահմանային ուղիղներ, որոնք անվանում են a-ին՝ համապատասխանաբար ձախ և աջ զուգահեռ ուղիղներ։
 Լոբաչևսկու հարթության վրա միևնույն ուղղությամբ (աջ կամ ձախ) իրար զուգահեռ ուղիղների փնջի օրթոգոնալ հետագծերը կոչվում են օրիցիկլեր․ օրիցիկլը ուղղի հետ ունի ամենաշատը երկու ընդհանուր կետ․ բոլոր օրիցիկլերը համընկնելի (կոնգրուենտ) են․ իրարից տարբեր A և В կետերով անցնում են երկու օրիցիկլեր, որոնք սիմետրիկ են АВ ուղղի նկատմամբ։ Լոբաչևսկու հարթության վրա տրված а ուղղի միևնույն կողմում գտնվող և նրանից հավասարահեռ կետերի բազմությունը անվանում են а հիմքով հավասարահեռ գիծ (էքվիդիստանտ)․ այն, ի տարբերություն էվկլիդեսյան հարթության, ուղիղ գիծ չէ։

Ոչ էվկլիդեսյան երկրաչափություն