Թենզորական հաշիվ

Թենզորական հաշիվ, մաթեմատիկական տեսություն, որն ուսումնասիրում է հատուկ տիպի մաթեմատիկական մեծությունների՝ թենզորների և դրանցով կատարվող գործողությունների հատկությունները։ Թենզորի գաղափարը սերտորեն կապված է վեկտորի գաղափարի հետ։ V գծային տարածության վրա որոշված со իրական արժեք ֆունկցիան կոչվում է գծային, եթե со(ах+Ру) = асо(х)Рсо(у)։ Այդպիսի ֆունկցիան անվանում են կովեկտոր։ Եթե eA(i= 1, 2 ո) V տարածության որևէ բազիս է, ապա со կովեկտորը միարժեքորեն որոշվում է ei բազիսի վեկտորների վրա իր ունեցած coi=co(ei) արժեքներով։ Այդ թվերը կոչվում են со կովեկտորի կոորդինատներ ei բազիսում։ ո–չափանի V գծային տարածության բոլոր կովեկտորների բազմությունը ո-չափանի գծային տարածություն է։ Այդ տարածության բազիս են կազմում e1, e2,․․․, en կովեկտորները, —► որոնք որոշվում են е*^)=6^ աոնչություններով, որտեղ Այգ —՚-> բազիսն անվանում են շլ բազիսի համալուծ բազիս։ ա կովեկտորը այդ բազիսում ո ունի (օ== cne1 վերլուծությունը, որտեղ i = l coi-երը со-ի կոորդինատներն են ej բազիսում։ Այգ և նման գումարներում, երբ գումարման ինդեքսը հանդիպում է մի անգամ վերևում և մի անգամ՝ ներքևում, գումարման նշանը բաց են թողնում՝ ո co= J]coiei=coiei։ Եթե v=viei, ապա 1=1 co(v)=o)iVI։ (p, q) տիպի Թենզոր․ (p, q) տիպի թենզոր են անվանում Vi, v2,․․․t vq վեկտոր Փոփոխականների և со1, со2,․․․, сор կո- —►t—► վեկտոր Փոփոխականների T(vi ,․․․,vq, со1, ․․․,сор) իրականարժեք այն ֆունկցիան, որը գծային է ըստ յուրաքանչյուր փոՓոխականի։ Կովեկտորը համարվում է (0,1) տիպի թենզոր, վեկտորը՝ (1,0) տիպի, իսկ իրական թիվը՝ (0,0) տիպի։ (1,1) տիպի թենզորն անվանում են ա ֆինոր։ (p, q) տիպի T տենգորը միարժեքորեն որոշվում է ei բազիսի և նրան համալուծ Z1 բազիսի տարրերի վրա ունեցած իր t=T(eit,• • •,eit-eJp ար- ii»՝ •,lqt1tգ —►t—► ժեքներով։ Եթե va=va em, a = l,2,* • • ,q, cob=co^em, b=l,2,․ •p, ապա T(vi,․․․, Հ, m*,- • •(o)p)=t]1" ’ ՝jp v՝f- v‘4X 1 • • " p itԳ Xcoj • • -со? ։ т]1’ * ՝]р թվերը կոչվում են T Կ tJpti*t•t• զ թենզորի կոորդինատներ ei բազիսում։ ա) Ցենզորների գումարումը․ միևնույն (p, q) տիպի T և է թենզորների գումարը նույն տիպի թենզոր է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ (T+1)(՜^• • • ,Հ, ա* • • • ․ա») = = T(vi,- • C0p) +է (v4․ • -cop) բ) Ցենզորի բազմապատկումը թվով․ X իրական թվի և (p, q) տիպի T թենզորի արտադրյալը (p, q) տիպի թենզոր է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ (ьт) ( v^․ • • • ․^․<0*, • • • ,сор) = ХТ(^ • • • со»)։ գ) Ցենզորների բագմապատկ ումը․ (p, q) տիպի T թենզորի և (r, s) տիպի է թենզորի արտադրյալը (p+r, q+s) տիպի թենզոր է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ (T․t)(vi »** *• Vq+„ CO1,* ․ *,00р+г) = = t(vi„* • -,Vq, CD1, - ․ *COp)«t (vq+l,-* *, Vq+s, cop+1,* • • ,cop+r) ։ դ) ՏևնզորիՓաթույթ․ (p, q) տիպի T աենզորի փաթույթը ըաո vr և со3 փոփոխականների (որւոեղ l^r^q,l^s^p) (р—1, q—1) տիպի T թենզորն է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ Т(У1,․․․, V q-lCD1 ,• • • , со**՜1 ) = =T(vi,tVr_l,ei, Vr,,,,»Vq—1 , со1,•• • ,co8֊1 e*# cos, • • • ,cop) ե) Թենզորի սիմետրիկացումը և շեղսիմետրիկացումը․ եթե T-ն (p, q) տիպի թենզոր է, օ-ն 1, 2,․․․, г (r^q) թվերի որևէ տեղադրություն է և Kii<i2<․․․ ․․․ir Ըստ tv, փոփոխականների սիմետրիկացման Տ օպերատորը T թենզորի վրա գործում է հետևյալ կերպ՝ ST= —Լ ^ oT, որտեղ г! а€я г Яг-ը 1,2,․․․, г թվերի բոլոր տեղադրությունների խումբն է։ Ըստ նույն փոփոխականների շեղսիմետրիկացման А օպերատորը գործում է հետևյալ կերպ՝ 1 У AT=՛—j— ^ sgna*aT, որտեղ a€rtr сапгт—/ hPP a տեղադր․ զույգ է, [—1, երբ a տեղադր․ կենտ է։ T թենզորը ըստ Vj ․․․, Vi փոփոխականների»կոչվում է սիմետրիկ, եթե ST=T և շեղսիմետրիկ, եթե AT=T։ ST թենզորը սիմետրիկ է, AT թենզորը՝ շեղսիմետրիկ։ Համանման ձևով սահմանվում է թենզորի սիմետրիկացումը և շեղսիմետրիկացումը ըստ со1!,* • *, сЛ փոփոխականների։ Տ․ հ․ ստեղծվել է XIX դ․։ Այն սկսել է ձևավորվել գերմանացի մաթեմատիկոսներ Կ․ Գաուսի և Բ․ Ռիւէսաի աշխատանքներում և ավարտուն տեսք է ստացել իտալացի մաթեմատիկոս Գ․ Ռիչչի Կուրբաստրոյի աշխատանքներում։ Այն լայնորեն կիրառվում է երկրաչափության մեջ, տեսական ֆիզիկայում, մեխանիկայում և գիտության այլ բնագավառներում։

Գրականություն 
 Стернберг С․, Лекции по дифференциальной геометрии, пер․ с англ․, М․, 1970; Н о р д е н А․ П․, Пространства аффинной связности, 2 изд․, испр․, М․, 1976․ Կ, Եղիազարյան

Թենզորական հաշիվ