Կատեգորիաների տեսություն

Կատեգորիաների տեսություն, արդի մաթեմատիկայի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական օբյեկտներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը բազմությունների տեսության հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։

Կատեգորիաների տեսության ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, կատեգորիաներն ու ֆունկտորներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 
 կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն, 
 յուրաքանչյուր  օբյեկտների համար տրված  մորֆիզմների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են ), 
 մորֆիզմների արտադրյալ կամ համադրություն, որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր  և   զույգին համապատասխանեցնում է  մորֆիզմ։ 

Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին.
ա. ցանկացած  մորֆիզմների եռյակի համար՝   (արտադրյալի զուգորդականություն), 
բ. կամայական  օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի  մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն   և  մորֆիզմները՝  և  (միավոր մորֆիզմի գոյություն), 
գ.  և  բազմությունները չունեն ընդհանուր տարր, եթե  կամ ։ 

Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 
 օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր եռանկյունների բազմությունը, կամայական  եռանկյունների համար ՝ -ն -ին տանող բոլոր հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։ 
 Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր շրջանագծերը, -ն՝  շրջանագիծը  շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում  և  բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե  կամ ։

Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է  կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր  օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի  օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր  մորֆիզմին՝ Բ-ի  [համապատասխանաբար ] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, 
ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած  և  մորֆիզմների համար  [համապատասխանաբար  ],
բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ ։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։

Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկայում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են բազմությունները և նրանց արտապատկերումները, խմբերը և նրանց հոմոմորֆիզմները, տոպոլոգիական տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են Էյլենբերգն ու Մակլեյնը (1945)։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր հոմոլոգիաների տեսության և հանրահաշվական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն գիտության։

Կատեգորիաների տեսություն