Միխաելիս-Մենթենի հավասարում

Միխաելիս-Մենթենի հավասարում, կենսաքիմիայում ֆերմենտատիվ ռեակցիաների կինետիկայի հիմնարար հավասարում։ Այն անվանվել է գերմանացի կենսաքիմիկոս Լեոնոր Միխաելիսի և կանադացի ֆիզիկոս Մոդ Մենթենի պատվին։ Այս հավասարումը իրենից ներկայացնում է ֆերմենտատիվ ռեակցիայի  արագության կախվածությունը ռեակցիայի ելանյութի՝ սուբստրարի  կոնցենտրացիայից։ Հիմնարար հավասարումը գրվում է հետևյալ կերպով

որտեղ՝

  - համակարգի հնարավոր առավելագույն արագություն, 
  - Միխաելիսի հաստատուն, սուբստրատրի այն կոնցենտրացիան, որի դեպքում ։

Ընդունված է համարել, որ մեկ սուբստրատ պարունակով կենսաքիմիական ռեակցիաները ընթանում են Միխաելիս-Մենթենի առաջարկած մեխանիզմով։

Նախատիպ 

1903 թվականին ֆրանսիացի ֆիզիկական քիմիկոս Վիկտոր Անրին հայտնաբերել է, որ ֆերմենտատիվ ռեակցիաները ուղեկցվում են ֆերմենտի և սուբստրարի միջև հատուկ կապերի առաջացմամբ։ Նրա աշխատանքը հետագայում ուսումնասիրվել է գերմանացի կենսաքիմիկոս Լեոնոր Միխաելիսի և կանադացի ֆիզիկոս Մոդ Մենթենի կողմից, ովքեր հիմք են դրել ֆերմենտատիվ ռեակցիաների կինետիկային և առաջին անգամ հայտնաբերել են ինվերտազա ֆերմենտի ազդման մեխանիզմը, որով նա կատալիզում է սախարոզի հիդրոլիզը մինչև գլյուկոզ և ֆրուկտոզ։ 1913 թվականին նրանք առաջարկեցին այս ռեակցիայի մաթեմատիկական մոդելը, որը հետագայում ընդլայնվեց և հիմք հանդիսացավ քիմիայի նոր բնագավառի զարգացմանը։ Մեխանիզմն իր մեջ է ներառում  էնզիմի կապումը  սուբստրատի հետ, որի հետևանքով նախ առաջանում է էնզիմ-սուբստրատային  կոմպլեքսը, որը հետագայում վերածվում է  պրոդուկտի և  էնզիմի։ Սխեմատիկորեն այս մեխանիզմը կարելի է պատկերել հետևյալ կերպով

 ,

որտեղ ,  և  իրենցից ներկայացնում են համապատասխան ռեակցիաների արագության հաստատունները, իսկ -ի և -ի միջև կրկնակի սլաքը ցույց է տալիս, որ էնզիմի կապումը սուբստրատին դարձելի ռեակցիա է։

Որոշ մոտավորություններ անելուց հետո կարելի է ասել, որ պրոդուկտի առաջացման արագությունը տրվում է հետևյալ բանաձևով

Ռեակցիայի արագությունը մեծանում և ձգտում է առավելագույն  արժեքին (այն արագությունը, որի դեպքում ամբողջ էնզիմը կապվել է սուբստրատի հետ), երբ մեծանում է սուբստրատի կոնցենտրացիան ()։ Ցույց է տրված նաև, որ , որտեղ  - ֆերմենտի կոնցենտրացիան է, իսկ  - սուբստրատի մոլեկուլների այն առավելագույն քանակը, որը վերածվել է պրոդուկտի միավոր ժամանակում և մեկ էնզիմի վրա հաշվարկած։

Միխաելիսի  հաստատունը իրենից ներկայացնում է սուբստրատրի այն կոնցենտրացիան, որի դեպքում , բացի այդ, այն բնութագրում է սուբստրատի հակաաֆինությունը էնզիմի նկատմամբ (որքան փոքր է -ը, այնքան մեծ է աֆինությունը, հետևաբար արագությունը ավելի արագ կհասնի -ին)։ -ի արժեքը կախված է ինչպես էնզիմից և սուբստրատից, այնպես էլ ռեակցիայի կատարման պայմաններից (ջերմաստիճան, pH)։

Այս նախատիպը օգտագործվում է նաև բազմաթիվ այլ կենսաքիմիական ոլորտներում (հակածին-հակամարմին փոխազդեցություն, ԴՆԹ-ԴՆԹ հիբրիդացում, սպիտակուց-սպիտակուց փոխազդեցություն)։ Այն կարող է կիրառվել նաև ընդհանուր կենսաքիմիական ռեակցիաներ ուսումնասիրելիս, օրինակ՝ Լենգմյուրի հավասարման փոխարեն, որը թույլ է տալիս կազմել կենսաբանական օբյեկտների ադսորբցիայի մոդել կամ Մոնոդի հավասարման փոխարեն, որը թույլ է տալիս գնահատել մանրէի աճը։

Միխաելիս-Մենթենի հավասարումը կիրառվում է ոչ միայն կենսաքիմիայում, այլ նաև բազմաթիվ այլ բնագավառներում (փոշու հատիկի ալվեոլային մաքրության որոշում, ջրավազանների կենդանական աշխարհի առատության որոշում, արյան մեջ ալկոհոլի քանակության որոշում, ֆոտոսինթեզ-ճառագայթում կախվածության որոշում, բակտերիալ վարակների ուսումնասիրություն)։

Կիրառություն

Ֆերմենտների պարամետրերը խստիվ տարբերվում են մեկը մյուսից։

 հաստատունը ցույց է տալիս, թե որքան է ֆերմենտի արդյունավետությունը սուբստրատին պրոդուկտ դարձնելու գործում։ Այն ունի մոտավոր վերին սահման ()։ Այն ֆերմենտները, որոնք աշխատում են այդ տիրույթում (ֆումարազա), կոչվում են գերարդյունավետ։

Կինետիկական բնութագիր 

Դիտարկենք Միխաելիս-Մենթենի առաջարկած մեխանիզմը

Կիրառելով զանգվածների ներգործության օրենքը, որը պնդում է, որ ռեակցիայի արագությունը ուղիղ համեմատական է ելանյութերի կոնցենտրացիաների արտադրյալին, ստանում ենք չորս ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ։

Այս մեխանիզմում  էնզիմը հանդիսանում է կատալիզատոր, որը միայն արագացնում է ռեակցիան, միաժամանակ նրա ամբողջ կոնցենտրացիան (կապված և ազատ ձևերի կոնցենտրացիաների գումարը՝ ) հաստատուն մեծություն է։ Այս հավասարությունը հնարավոր է ստանալ նաև գումարելով առաջին և երրորդ դիֆերենցիալ հավասարումները։

Հավասարակշռային մոտավորություն
Իրականում Միխաելիսը և Մենթենը համարել են, որ սուբստրատը անմիջապես հավասարակշռության մեջ է մտնում կոմպլեքսի հետ և ։ Կիրառելով այս արտահայտությունը էնզիմի պահպանման օրենքի հետ համատեղ, ստանում ենք, որ կոմպլեքսի կոնցենտրացիան հավասար է

 ,

որտեղ  իրենից ներկայացնում է էնզիմ-սուբստրատային կոմպլեքսի դիսոցման հաստատունը։

Հետևաբար ռեակցիայի  արագությունը ( պրոդուկտի առաջացման արագությունը) հավասար է

 ,

որտեղ  - ռեակցիայի առավելագույն արագությունն է։

Քվազիստացիոնար մոտավորություն
1925 թվականին բրիտանացի բուսաբան Ջորջ Էդվարդ Բրիգսը և բրիտանացի գենետիկ Հոլդեյնը առաջարկեցին այս մեխանիզմի մեկ այլ կինետիկական մեկնաբանություն։ Նրանք համարեցին, որ միջանկյալ կոմպլեքսի (ինտերմեդիատի) կոնցենտրացիան չի փոխվում պրոդուկտի առաջացման ժամանակից կախված (քվազիստացիոնար մոտավորություն)։ Մաթեմատիկորեն այս մոտավորությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպով

Կիրառելով այս արտահայտությունը էնզիմի պահպանման օրենքի հետ համատեղ, ստանում ենք, որ կոմպլեքսի կոնցենտրացիան հավասար է

 ,

որտեղ  և հայտնի է Միխաելիսի հաստատուն անվանմամբ,

և որտեղ ,  և  համապատասխան ռեակցիաների արագության հաստատուններն են։

Հետևաբար ռեակցիայի  արագությունը ( պրոդուկտի առաջացման արագությունը) հավասար է

Մոտավորություններ և սահմանափակումներ
Առաջին մոտավորությունը կայանում է զանգվածների ներգործության օրենքի կիրառումը, քանի որ այն պահանջում է ազատ դիֆուզիա։ Պարզ է, որ կենդանի օրգանիզմի բջջում, որտեղ կա սպիտակուցների մեծ կոնցենտրացիա և, բացի այդ, ցիտոպլազման իրենից ներկայացնում է ավելի շուտ դոնդողանման, քան հեղուկ միջավայր, ապա մոլեկուլների շարժումները այդ միջավայրում խիստ սահմանափակված են։ Քանի դեռ զանգվածների ներգործության օրենքը թույլ է տալիս այն կիրառել հետերոգեն համակարգերում, ապա նպատակահարմար կլինի ցիտոպլազման դիտել որպես ֆրակտալ։

Երկու տարբեր մոտավորություններով ստացված ռեակցիայի արագությունները գրեթե նույնն են։ Տարբերությունը կայանում է նրանում, որ հավասարակշռային մոտավորությունը բերում է հաստատունին, իսկ քվազիստացիոնար մոտավորությունը՝  հաստատունին։ Միխաելիս-Մենթենի հավասարակշռային մոտավորությունը ճիշտ է կիրառել այն դեպքում, երբ սուբստրատը հասնում է հավասարակշիռ վիճակի ավելի շուտ, քան առաջանում է պրոդուկտը կամ ավելի ճիշտ, երբ

Բրիգս-Հոլդեյնի քվազիստացիոնար մոտավորությունը ճիշտ է կիրառել, երբ

Այսինքն այս մոտավորությունը տեղի ունի, եթե ֆերմենտի կոնցենտրացիան շատ փոքր է սուբստրատի կոնցենտրացիայից։ Եթե այս պահանջը բավարարված չէ, ապա  հաստատունի մեծ արժեքները նույնպես ընդունելի պայման են հանդիսանում։

Ե՛վ Միխաելիս-Մենթենի, և՛ Բրիգս-Հոլդեյնի կատարած մոտավորությունները ավելի լավ տեսք են ընդունում, երբ -ը նվազում է։

Շատ կարևոր պայման է նաև այն հանգամանքը, որ պետք է հաշվի առնել, որ ոչ մի ռեակցիա չի ընթանում մեկ ուղղությամբ։ Հետևաբար ֆերմենտատիվ ռեակցիայի մեխանիզմը ճիշտ կլինի գրել հետևյալ տեսքով

Իրականում, կարելի է համարել, որ ռեակցիան անդարձելի է, եթե պահպանվում է հետևյալ պայմաններից գոնե մեկը
1. Սուբստրատ(ներ) ի կոնցենտրացիան շատ մեծ է պրոդուկտ(ներ) ի կոնցենտրացիայից

Այս պայմանը ճիշտ է հատուկ in vitro և բազմաթիվ in vivo պայմաններում ընթացող կենսաբանական ռեակցիաների համար։
2. Ռեակցիայից անջատված էներգիան շատ մեծ է

Այն դեպքերում, երբ տեղի չունի հետևյալ երկու պայմաններից և ոչ մեկը, ապա սխալ է օգտագործել Միխաելիս-Մենթենի մոդելը։ Դրա փոխարեն կիրառում են ավելի բարդ մոդելավորման օրինակներ։

Հաստատունների որոշում 
 և  հաստատունների որոշման համար դիտարկում են նույն ֆերմենտատիվ ռեակցիան սուբստրատի տարբեր սկզբնական կոնցենտրացիաների համար և սկզբից չափում են ֆերմենտատիվ ռեակցիայի սկզբնական  արագությունը։ Սկզբնական ասելով նկատի ունեն, որ ռեակցիայի արագությունը չափվել է այն կարճ ժամանակում, երբ էնզիմ-սուբստրատային կոմպլեքս է գոյացել, և, բացի այդ, սուբստրատի կոնցենտրացիան մնացել է մոտավորապես հաստատուն։ Ապա այդ հաստատունները կարելի է ստանալ կառուցելով ռեակցիայի արագության կախումը կոնցենտրացիայից արտահայտող գրաֆիկը։

Նախքան համակարգչային մոդելավորման ի հայտ գալը կիրառվել են բազմաթիվ այլ հավասարումներ այդ հաստատունների որոշման համար (Էդի-Հոֆսթիի դիագրամ, Հան-Վուլֆի դիագրամ, Լայնովեր-Բերգի դիագրամ)։

1997 թվականին Սանտյագո Շնելը և Կլաուդիո Մենդոզան առաջարկեցին Միխաելիս-Մենթենի մեխանիզմի լուծման փակ մի եղանակ։ Այժմ այն կրում է Շնել-Մենդոզայի հավասարում անվանումը և ունի հետևյալ տեսքը

 ,

որտեղ W[]՝ Լամբերտի W-ֆունկցիան է, իսկ F (t)-ն իրենից ներկայացնում է հետևյալ ֆունկցիան

Շնել-Մենդոզայի հավասարումը ներկայումս լայնորեն կիրառվում է ֆերմենտատիվ ռեակցիաների  և  հաստատունների որոշման համար։

Ստորև տրված հավասարումը առաջարկվել է 2010 թվականին Մարիո Բարբերան-Սանթոսի կողմից և այն ևս լավ մոդել է ծառայում ռեակցիայի հաստատունների որոշման համար։

Տես նաև 
 Լայնովեր-Բերգի դիագրամ
 Ֆերմենտի ակտիվ կենտրոն
 Քիմիական կինետիկա

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
Միխաելիսի հաստատունի որոշում

Ֆերմենտներ
Կենսակատալիզ
Քիմիական կինետիկա
Դիֆերենցիալ հավասարումներ