Աստիճանային ֆունկցիա

Աստիճանային ֆունկցիա,  տեսքի ֆունկցիա է, որտեղ  (աստիճանի ցուցիչ) որոշակի իրական թիվ է։

Հաճախ աստիճանային են համարվում նաև տեսքի ֆունկցիաները, որտեղ -ն որոշակի մասշտաբային արտադրիչ է։ Գոյություն ունի նաև աստիճանային ֆունկցիայի կոմպլեքս ընդհանրացումը։ Պրակտիկայում աստիճանի ցուցիչը գրեթե միշտ հանդիսանում է ամբողջ կամ ռացիոնալ թիվ։

Իրական ֆունկցիա

Որոշման տիրույթը 
Եթե ցուցչի աստիճանը ամբողջ թիվ է, ապա կարելի է դիտարկել աստիճանային ֆունկցիան ամբողջ թվային առանցքի վրա (բացառությամբ, հնարավոր է, զրո)։ Ընդհանուր դեպքում աստիճանային ֆունկցիան որոշված է -ի դեպքում։ Եթե ,ապա ֆունկցիան որոշված է նաև դեպքի համար, այլապես զրոն հանդիսանում է իր հատուկ կետը։

Ռացիոնալ աստիճանային ցուցիչ 
 Աստիճանային ֆունկցիաները  բնական ցուցչի դեպքում անվանում են -րդ աստիճանի պարաբոլաներ։ դեպքում ստացվում է ֆունկցիան, որը կոչվում է ուղիղ համեմատական կախվածություն։
  տեսքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ -ը բնական թիվ է, անվանում են -րդ աստիճանի հիպերբոլա։դեպքում ստացվում է  ֆունկցիան, որը կոչվում է հակադարձ համեմատական կախվածություն։
 Եթե , ապա ֆունկցիան հանդիսանում է -րդ աստիճանի թվաբանական արմատ։

Օրինակ, Կեպլերի երրորդ օրենքից հետևում է, որ արևի շուրջ մոլորակի պտտման  պարբերությունը կախված է իր ուղեծրի  մեծ կիսաառանցքից հետևյալ հարաբերությամբ՝ (կիսախորանարդ պարաբոլա)։

Հատկություններ 
 Ֆունկցիան անընդհատ և անսահմանափակ դիֆերենցելի է բոլոր կետերում, որոնց շրջակայքում նա որոշված է։ Զրոն, ընդհանրապես ասած, հանդիսանում է հատուկ կետ։ Օրինակ,  ֆունկցիան որոշված է զրոյում և նրա աջ շրջակայքում, բայց նրա ածանցյալը՝ , զրո կետում որոշված չէ։
  միջակայքում ֆունկցիան մոնոտոն աճում է -ի դեպքում և մոնոտոն նվազում է -ի դեպքում։ Ֆունկցիայի արժեքը այս միջակայքում դրական է։
 Ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է. 
 Անորոշ ինտեգրալն է .
ա) եթե , ապա ,

բ) եթե  ստանում ենք. ։

Կոմպլեքս ֆունկցիա 
 կոմպլեքս փոփոխականի աստիճանային ֆունկցիան, ընդհանրապես ասած, որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

Այստեղ  աստիճանի ցուցիչը որոշակի կոմպլեքս թիվ է։ Ֆունկցիայի արժեքը, որը համապատասխանում է լոգարիթմի գլխավոր արժեքին, անվանում են աստիճանի գլխավոր արժեք։ Օրինակ,-ի արժեքը հավասար է  որտեղ -ն կամայական ամբողջ է, իսկ նրա գլխավոր արժեքն է ։

Ֆունկցիայի կոմպլեքս աստիճանը բավականին տարբերվում է իր իրական անալոգից։ Կոմպլեքս լոգարիթմի բազմարժեքության արդյունքում նա, ընդհանրապես ասած, նույնպես կարող է ընդունել անսահման շատ արժեքներ։ Սակայն երկու պրակտիկորեն կարևոր դեպքերը դիտարկվում են առանձին։
 Բնական ցուցչի դեպքում ֆունկցիայի աստիճանը միարժեք է և -շերտանի։
 Եթե աստիճանի ցուցիչը դրական ռացիոնալ թիվ է, այսինքն  տեսքի կոտորակ (անկրճատելի),  ֆունկցիան կնդունի  տարբեր արժեքներ։

Տես նաև 
 Լոգարիթմ
 Բազմանդամ
 Աստիճանի բարձրացում

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
 Степенная функция.

Տարրական ֆունկցիաներ