Կելվինի ձևափոխություն

Այս հոդվածը Կելվինի ձևափոխության մասին է, որն օգտագործվում է հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ապարատում։

Անվերջ տարածություններում հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ժամանակ հաճախ հարմար է լինում կցել անվերջ հեռու կետը(∞) Rn - ին։

Կելվինի ձևափոխության օգնությամբ ստանալու ենք նոր ֆունկցիա, սակայն մինչ դրան անցնելը սկզբում հետազոտենք Rn տարածության ինվերսիան 0 կենտրոնով և R շառավղով շրջանի նկատմամբ։ Ցանկացած x կետի համապատասխանության մեջ դնենք x* կետը հետևյալ ձևով՝

Մասնավորաբար R=1 - ի դեպքում այն կընդունի հետևյալ տեսքը

Ցանկացած E⊂Rn բազմության համար սահմանենք E* բազմությունը հետևյալ կերպ՝
E* = {x* : x ∈ E} 
Այս ձևափոխության կարևոր հատկույուններից մեկն այն է, որ այն արտապատկերում է անվերջ հեռու կետը 0-ի և հակառակը։
Տրված u ֆունկցիայի համար  E⊂Rn\{0} բազմության վրա սահմանենք K[u] ֆունկցիա E* բազմության վրա հետևյալ ձևով՝

Մասնավորապես միավոր շրջանի դեպքում այն կստանա հետևյալ տեսքը՝

K[u]-ն կոչվում է u ֆունկցիայի Կելվինի ձևափոխություն։

Երբ n=2 ,ապա 

Հեշտությամբ կարելի է համողվել, որ K[K[u]]=u
Կելվինի ձևափոխությունը նաև գծային է, այսինքն՝ եթե u-ն և v-ն տրված ֆունկցիաներ են E-ի վրա և b, c-ն հաստատուններ են, ապա
K[bu+cv]=bK[u]+cK[v], E* - ի վրա։
Կելվինի ձևափոխության կարևորագույն առանձնահատկությունն այն է , որ այն պահպանում է ֆունկցիայի հարմոնիկությունը,այսինքն՝ եթե u-ն հարմոնիկ ֆունկցիա Է E բազմության վրա, ապա K[u] - ն հարմոնիկ է E* բազմության վրա։

References 
 
 

Մաթեմատիկական ֆիզիկա