Հերմիտի բազմանդամներ



Սահմանում 

Հերմիտի բազմանդամների թեորեմը ընդհանրապես որոշվում է արտահայտությամբ

 ;

Ֆիզիկայում ընդհանրապես օգտագործվում են այլ արտահայտություններ
 .

Առաջին տասնմեկ գլխավոր արտահայտությունները բազմանդամների () համար։

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ։

Անալոգիական եղանակով որոշվում է առաջին տասնմեկ () բազմանդամների ֆիզիկակական սահմանման համար։

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ընդհանուր հավասարումը Հերմիտի բազմանդամների համար ունի հետևյալ տեսքը՝

Հատկություն 
 բազմանդամը պարունակում է անդամներ այնպիսի պարզությամբ, ինչպես որ  թիվը։
:

-ի դեպքում ճշմարիտ են այսպիսի հարաբերակցությունները։

 ,   
 .   (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)

 բազմանդամը կարելի է պատկերասնել   մատրիցի որոշչի տեսքով։

Գումարման բանաձև 

Հերմիտի բազմանդամների համար կա բազմապատկման հետևյալ բանաձևը։
 

Հեշտությամբ կարողենք տեսնել, որ հաջորդ բանաձևերը հանդիսանում են նրա մասնավոր դեպքերը։

 , . ապա

 .

 , , . ապա

 .
 , . ապա

 .

 , , . ապա

 .

Դիֆերենցումի և ռեկուրենտի հարաբերակցությունը

Օրթոգոնալություն 
Հերմիտի բազմանդամը ստեղծում է լիքը օրթոգոնալ սիստեմ  ինտերվալում  կամ  զանգվածով, կախված սահմանումից։
 , 
 , (ֆիզիկական սահմանման ժամանակ)
որտեղ -ը Կրոնեկերայի դելտա-սիմվոլն է։
Էրմիտի բազմանդամների օրթոգոնալության կարևոր հետևանք է հանդիսանում Հերմիտի բազմանդամների շարքում տարբեր ֆունկցիաների վերլուծման հնարավորությունը։ Յուրաքանչյուր ոչ բացասական  ամբողջ թվի համար ճշմարիտ է արտահայտությունը։

Դրանից բխում է կապ  ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև և  ֆունկցիայի տարալուծված գործակցի միջև, որը անվանում են Նիլս Նիլսոնի կապ։

Օրինակ Կումերիկ տարալուծված ֆունկցիան կունենա հետևյալ տեսքը՝

Որտեղ  -ը գեր-երկրաչափական ֆունկցիայի երկրորդական դասավորության ընթանրացումն է, իսկ -ը գամմա ֆունկցիան է։

Տարալուծված ֆունկցիաներ, որոնց մեջ բացակայում է աստիճանացույց 
Ցանկացած ֆունկցիայի համար, որը գրվում է որպես -ի աստիճանացույցի վերդիրք, կարելի է գրել հաջորդ տարալուծվածները Հերմիտի բազմանդամներով։

Տարալուծված հիպերբոլական ֆունկցիաները և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հետևյալ տեսքը՝

Դիֆերենցիալ հավասարումները 

 Հերմիտի բազմանդամները հանդիսանում են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

Եթե  հանդիսանում է բնական թիվը, ապա վերոհիշյալ հավասարում ամբողջ լուծումը գրվում է ինչպես

,

որտեղ  կամայական հաստատուններ են, իսկ  ֆունկցիան կոչվում է Էրմիտի ֆունկցիայի երկրորդ տիպ։ Այս ֆունկցիաները չեն հանգում բազմանդամներին և դրանց կարելի է արտահայտել միայն տրանսցենդենտ ֆունկցիաների՝  և  միջոցով։

Արտահայտում  
Հերմիտի բազմանդամները առաջարկում են այսպիսի արտահայտություններ։

Որտեղ  ուրվագիծն է, որը ներառում է կոորդինատի սկիզբը

.

Կապ այլ հատուկ ֆունկցիաների հետ  
 Կապ Կումմերի ֆունկցիայի հետ.

 

 Կապ Լագերրի բազմանդամների հետ.

 

Հանրահաշիվ