Բրահմագուպտայի բանաձև

Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ Բրահմագուպտայի բանաձևը կապ է հաստատում ներգծյալ քառանկյան կողմերի և մակերեսի միջև։

Բանաձև 
Եթե ներգծյալ քառանկյան մակերեսը  է, իսկ կողմերը՝ , , , , ապա՝

 

որտեղ –ը քառանկյան կիսապարագիծն է և հավասար է՝

 

Բանաձև եռանկյան համար Հերոնի բանաձևի ընդհանրացումն է։ Եռանկյունը կարելի է դիտել որպես քառանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, եթե  կողմը ընդունենք զրո, ապա ներգծյալ քառանկյունը վերածվում է ներգծյալ եռանկյան (քանի որ բոլոր եռանկյուններին հնարավոր է արտագծել շրջանագիծ), իսկ Բրահմագուպտայի բանաձևը՝ Հերոնի բանաձևի պարզեցված ձևն է։

Կիսապարագծից չօգտվելու դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը՝

 

որը հավասար է

  հավասարմանը։

Ապացույց

Եռանկյունաչափական ապացույց 

Ներգծյալ քառանկյան  մակերեսը հավասար է  և  եռանկյունների գումարին (գծանկար)․

։

Բայց քանի որ –ն ներգծյալ քառանկյուն է, ուրմեն ։ Հետևաբար՝ ։ Այստեղից՝

Կոսինուսների թեորեմի օգնությամբ  և  եռանկյուներից հաշվելով ընդհանուր  կողը, կստանանք՝

Փոխարինելով  (քանի որ  և  անկյունները հանդիպակաց են) և ձևափոխելով բանաձևը, կստանանք՝

Տեղադրելով սա մակերեսի բանաձևի մեջ՝ կունենանք՝

Հավասարման աջ կողմը  տեսքի է, ուստի կարելի է ձևափոխել

որը հավասար է հետևյալ հավասարումներին՝

Ներմուծելով  կիսապարագիծը,

և քառակուսի արմատ հանելով կստանանք՝

Ոչ-եռանկյունաչափական հավասարում 
Բանաձևը կարելի է նաև ապացուցել օգտվելով եռանկյան մակերեսի Հերոնի բանաձից՝ հաշվելով նման երկու եռանկյուները։

Ընդլայնում ոչ ներգծյալ քառանկյունների համար 
Ոչ ներգծյալ քառանկյան դեպքում Բրահմագուպտայի բանաձևը կարելի է վերաձևակերպել օգվելով քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյուններից.

 

որտեղ -ն կամայական երկու հանդիպակաց անկյունների կիսագումարն է։ (Անկյունների ընտրությունը էական չէ, քանի որ տարբերությունը հավասար է ։ Քանի որ , ուրեմն՝ ։) Այս ավելի ընդլայնված բանաձևը հայտնի է Բրետշնայդերի բանաձև անվամբ։

Ներգծյալ քառանկյան հատկության համաձայն՝ քառանկյան հանդիպակաց անկյունների գումարը հավասար է 180°։ Ուստի, ներգծյալ քառանկյան դեպքում –ն 90° է, հետևաբար, Բրետշնայդերի բանաձևը ստանում է Բրահմագուպտայի բանաձևի տեսքը․

Սրանից հետևում է, որ տրված կողմերով քառանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի ներգծյալ քառանկյունը։

Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյան մակերես հավասար է՝

 

որտեղ –ն և –ն քառանկյան անկյունագծերն են։ Ներգծյալ քառանկյան դեպքում, ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի,  և այս բանաձևը վերածվում է Բրահմագուպտայի բանաձևի։

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
 Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". MathWorld. 

''This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

Երկրաչափական թեորեմներ
Հարթաչափություն