Հանրահաշիվ

Հանրահաշիվ (Algebra (արաբերեն "al-jabr", բառացիորեն նշանակում է "անջատված մասերի վերամիավորում")) մաթեմատիկայի ծավալուն մասերից մեկն է, ինչպես թվերի տեսությունը, երկրաչափությունը և մաթանալիզը,  հանրահաշիվը, ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկական սիմվոլների և դրանց վրա սահմանված կանոնների ուսումնասիրությունն է։ Այն համարյա ողջ մաթեմատիկայի կապող թելն է։ Այն ներառում է ամեն ինչ, սկսած տարրական հավասարումների լուծումներից մինչև այնպիսի աբստրակտ հասկացություններ, ինչպիսիք են խմբերը, օղակները և դաշտերը։ Հանրահաշվի ավելի հիմնական մասերը կոչվում են տարրական հանրահաշիվ, ավելի աբստրակտ մասերը՝ աբստրակտ հանրահաշիվ կամ ժամանակակից հանրահաշիվ։ Տարրական հանրահաշիվը կարևոր է համարվում մաթեմատիկայի ցանկացած ուսումնասիրության համար, կարևոր գիտության, կամ ճարտարագիտության, ինչպես նաև բժշկության և տնտեսագիտության համար։ Աբստրակտ հանրահաշիվը բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմնական բնագավառն է, որն ուսումնասիրվում է պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների կողմից։

Տարրական հանրահաշիվը թվաբանությունից տարբերվում է աբստրակցիայի կիրառմամբ, օրինակ թվերի փոխարեն տառեր օգտագործել, որոնք անհայտ են կամ բազմարժեք են։ Օրինակ, -ում -ն անհայտ է, բայց դրա արժեքը կարելի է գտնել օգտվելով ինվերսիաների կանոնից․ .  = -ում  և  տառերը փոփոխականներ են, իսկ -ն հաստատուն է՝ լույսի արագությունը անօդ տարածության մեջ։ Հանրահաշիվը բանաձևեր գրելու և հավասարումներ լուծելու պարզ մեթոդներ է տալիս, քան նախկին բառերով ներկայացնելու մեթոդը։

Մաթեմատիկոսը, որ հետազոտություններ է կատարում հանրահաշվում, կոչվում է ալգեբրաիստ։

Ծագումնաբանություն 
Ալգեբրա բառը սկիզբ է առնում արաբերենից  ( որ բառացիորեն նշանակում է "կոտրված մասերի վերամիավորում") պարսիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Ալ-Խորեզմիի Ilm al-jabr wa'l-muḳābala գրքի վերնագրից։ Բառը մուտք է գործել անգլերեն լեզու տասնհինգերորդ դարում, կամ իսպաներենից, իտալերենից կամ միջին լատիներենից։ Սկզբում այն վերաբերում էր կոտրված կամ դուրս ընկած ոսկորներին։ Մաթեմատիկական իմաստը գրանցվել է տասնվեցերորդ դարում։

Հանրահաշիվը որպես մաթեմատիկայի ճյուղ 

Հանրահաշիվը թվաբանության նման սկիզբ է առել հաշվարկներից, տառեր թվերի փոխարեն։ Սա հնարավորություն է տալիս ապացուցել հատկանիշներ, որ ճիշտ են անկախ ներգրավված թվերից։ Օրինակ,
 քառակուսի հավասարման մեջ
 կարող են լինել ցանկացած թիվ (բացառությամբ  հավասար է  -ի), և քառակուսային բանաձևը կարող է օգտագործվել արագ և հեշտությամբ հաշվելու  անհայտը, որը բավարարում է հավասարմանը։ Այսինքն գտնել հավասարման բոլոր լուծումները։

Պատմականորեն և ժամանակակից ուսումնառության մեջ հանրահաշվի ուսումնասիրությունը սկսվում է քառակուսի հավասարման նման հավասարումներ լուծելուց։ Այնուհետ ավելի ընդհանուր հարցեր են դիտարկվում, ինչպիսիք են "հավասարումը լուծում ունի՞", "Հավասարումը քանի լուծում ունի՞", "ի՞նչ կարելի է ասել լուծումների բնույթի մասին"։ Այս հարցերն հանգեցրին հանրահաշիվի ընդլայնմանը ոչ թվային օբյեկտների, ինչպիսիք են տեղափոխությունները, վեկտորները, մատրիցաները և բազմանդամները։ Այս ոչ-թվային օբյեկտների կառուցվածքային հատկությունները այնուհետև աբստրակցվեցին հանրահաշվական կառուցվածքների, ինչպիսիք են խմբերը, օղակները և դաշտերը։

Մինչև 16-րդ դարը մաթեմատիկան բաժանված էր երկու ենթաճյուղերի՝ թվաբանություն և երկրաչափություն։ Չնայած շատ վաղ մշակված որոշ մեթոդներ ներկայումս կարող են դիտարկվել որպես հանրահաշիվ, այնուամենայնիվ հանրահաշվի ծագումը և դրանից անմիջապես հետո անվերջ փոքրերի հաշիվը, որպես մաթեմատիկայի ենթաճյուղ, վերագրվում է 16-րդ կամ 17-րդ դարերին։ 19-րդ դարի հաջորդ կեսերին մաթեմատիկայի նոր ճյուղեր ծնունդ առան, որոնց մեծ մասն օգտագործում էր թե թվաբանություն և թե երկրաչափություն, և համարյա բոլորը՝ հանրահաշիվ։

Ներկայումս հանրահաշիվն այնքան է զարգացել, որ այն ներառում է մաթեմատիկայի շատ ճյուղեր։ Հանրահաշիվն այնքան է զարգացել, մինչև այն ներառել է մաթեմատիկայի շատ ճյուղեր, ինչպես դա երևում է Մաթեմատիկական առարկաների դասակարգումը հոդվածից,
առաջին մակարդակի ոչ մի բնագավառ հանրահաշիվ չի կոչվում։ Ներկայումս հանրահաշիվը ներառում է 08-Ընդհանուր հանրահաշվական համակարգեր, 12-Դաշտերի տեսություն, 16-ասոցիատիվ հանրահաշիվ, 17-ոչ ասոցիատիվ օղակներ և ոչ ասոցիատիվ հանրահաշիվ, 18-Կատեգորիաների տեսություն; հոմոլոգիական հանրահաշիվ, 19-K-տեսություն և 20-Խաղերի տեսություն։ Հանրահաշիվը լայնորեն օգտագործվում է նաև 11-Թվերի տեսության և 14-Հանրահաշվական երկրաչափության մեջ։

Պատմություն

Հանրահաշվի վաղ պատմությունը 

Հանրահաշվի արմատները տանում են հին բաբելոնացի մաթեմատիկոսներին, որոնք զարգացրել են առաջադեմ մաթեմատիկական համակարգ, որի օգնությամբ նրանք կարողանում էին ալգորիթմական ձևով հաշվարկներ կատարել։ Բաբելոնացիները խնդիրներ լուծելու համար բանաձևեր էին մշակել, որոնք այժմ լուծվում են օգտագործելով գծային հավասարումներ, քառակուսի հավասարումներ և անորոշ գծային հավասարումներ։ Հակառակ դրան, այդ բնագավառի եգիպտացի մաթեմատիկոսները, ինչպես նաև հույն մաթեմատիկոսները և չինացի մաթեմատիկոսները մ․թ․ա․ 1-ին հազարամյակում սովորաբար այսպիսի հավասարումները լուծում էին երկրաչափական մեթոդներով, ինչպես նկարագրված է Մաթեմատիկական մագաղաթի, Էվկլիդեսի Սկզբունքներ և Մաթեմատիկայի ինը գլուխներ աշխատություններում։ Հույների երկրաչափական աշխատանքները, որ նկարագրված են Սկզբունքներ գործում, հիմք հանդիսացան մասնավոր խնդիրներից ավելի ընդհանրական խնդիրների ձևակերպումների և հավասարումների լուծումների, չնայած այն չիրագործվեց մինչև միջին դարերի իսլամում մաթեմատիկայի զարգացումը։

Հույն մաթեմատիկոս Պլատոնի ժամանակ արդեն մաթեմատիկան կտրուկ փոփոխության էր ենթարկվել։ Հույները ստեղծել էին երկրաչափական հանրահաշիվը, որտեղ տարրերը ներկայացնում էին երկրաչափական օբյեկտների կողմերը, սովորաբար ուղիղներ, որոնք նշանակվում էին տառերով։ 
Դիոֆանտուսը (մ.թ. III դար), ում երբեմն "հանրահաշվի հայր" էին անվանում, ալեքսանդրիացի հույն մաթեմատիկոս էր և Թվաբանություն վերնագրով գրքերի շարքի հեղինակ։ Այս տեքստերը վերաբերում են հանրահաշվական հավասարումների լուծումներին և թվերի տեսության մեջ հանգեցրին Դեոֆանտյան հավասարումների հասկացության ներմուծմանը։

Վերևում հիշատակված վաղ ավանդույթներն անմիջական ազդեցություն են ունեցել պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմիի (780–850) վրա։ Հետագայում, իր The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing գրքում նա հանրահաշիվը ներկայացրեց որպես մաթեմատիկայի ճյուղ, որն անկախ է երկրաչափությունից և թվաբանությունից։

Հելենական մաթեմատիկոսներ Հերոնը Ալեքսանդրիայից և Դիոֆանտուսը, նաև հնդիկ մաթեմատիկոսները, ինչպիսին Բրահմագուպտան է, շարունակեցին Եգիպտոսի և Բաբելոնի ավանդույթները, չնայած Դիոֆանտուսի Diophantus' Թվաբանությունը և  Բրահմագուպտայի Brāhmasphuṭasiddhānta բարձր մակարդակի էին։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման առաջին ամբողջական թվաբանական լուծումը (ներառյալ զրոն և բացասական լուծումները) նկարագրված էին Բրահագուպտայի գրքում։ Հետագայում պարսիկ և արաբ մաթեմատիկոսները զարգացրին լուծումները գտնելու ավելի բարձրակարգ հանրահաշվական մեթոդներ։ Չնայած Դիոֆանտուսը և բաբելոնացիները հավասարումները լուծելու համար հիմնականում օգտագործում էին հատուկ ad hoc մեթոդները, Ալ-Խորեզմիի ներդրումը հիմնարար էր։ Նա գծային և քառակուսի հավասարումները լուծում էր առանց հանրահաշվական սիմվոլիզմի, բացասական թվերի և զրոյի, ուստի նա պետք է տարբերակեր հավասարումների մի քանի տեսակներ։

Երբ հանրահաշիվը նույնականացվում է հավասարումների տեսության հետ, հույն մաթեմատիկոս Դիոֆանտուսը ավանդաբար հայտնի էր որպես "հանրահաշվի հայր", իսկ երբ այն նույնականացվում է հավասարումների ձևափոխության և լուծման կանոնների հետ, պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին է համարվում որպես "հանրահաշվի հայր"։
Ներկայումս բանավեճ է ընթանում արդյոք ով (ընդհանուր առմամբ) իրավունք ունի համարվել "հանրահաշվի հայր"։ Նրանք, ովքեր աջակցում էին Դիոֆանտուսին, մատնանշում էին, որ Al-Jabr-ի հանրահաշիվը ավելի պարզունակ է, քան Թվաբանության մեջ հայտնաբերված հանրահաշիվը, որ Թվաբանությունը համաձայնեցված է, մինչդեռ Al-Jabr-ը ամբողջովին հռետորական։ Նրանք, ովքեր աջակցում էին Ալ-Խորեզմիին, փաստում էին, որ կրճատման և հավասազորության մեթոդները մտցնելով "պարզեցման" և "հավասարակշռման" մեթոդները (հանված անդամների տեղափոխությունը հավասարման մյուս կողմ, այսինքն նման անդամների հեռացումը հավասարման երկու կողմերից), որը al-jabr տերմինը ի սկզբանե վերաբերում էր, և քառակուսի հավասարումների լուծման վերաբերյալ, երկրաչափական ապացույցներով հիմնավորված, սպառիչ բացատրություն էր տալիս, հանրահաշիվը դիտարկելով որպես անկախ բնագավառ իր սեփական իրավունքով։ Նրա հանրահաշիվը այևս չի վերաբերվում "լուծման ենթակա մի շարք պրոբլեմների, որոնց նկարագրությունը սկսվում է պարզ տերմիններից, որում համադրությունները պետք է տան հավասարումների բոլոր հնարավոր նախատիպերը, որոնք հետևաբար ակնհայտորեն կբացահայտեն ուսումնասիրության իրական օբյեկտը"։ Նա նաև ուսումնասիրում է հավասարումը հանուն իրեն և "ընդհանուր առմամբ, քանի որ այն սկիզբ է առնում ոչ թե խնդիրների լուծման ընթացքում, այլ հատուկ կոչված է սահմանելու խնդիրների անվերջ դաս"։

Մեկ այլ պարսիկ մաթեմատիկոսի՝ Օմար Խայամին է վերագրվում հանրահաշվական երկրաչափության հիմքերի բացահայտումը և խորանարդ հավասարումների ընդհանուր երկրաչափական լուծումներ գտնելը։ Նրա Հանրահաշվական խնդիրների ձեռնարկ գիրքը (1070), որ նկարագրում է հանրահաշվի հիմունքները, պարսկական մաթեմատիկայի մի մասն էր, որն ի վերջո տեղափոխվեց Եվրոպա։ Եվս մեկ պարսիկ մաթեմատիկոս Շարախ ալ-Դին ալ-Տուսին գտել էր խորանարդ հավասարումների տարբեր դեպքերի համար հանրահաշվական և թվային լուծումները։ Նա նաև զարգացրեց մաթեմատիկական ֆունկցիայի գաղափարը։ Հնդիկ մաթեմատիկոսներ Մահավիրան և Բհասակարա II-ը, պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ Կարաջին և չին մաթեմատիկոս Զու Շիջին թվային մեթոդներով լուծեցին խորանարդ, չորրորդ, հինգերորդ և ավելի բարձր աստիճանի բազմանդամ հավասարումներ։ 13-րդ դարում Ֆիբոնաչիի կողմից խորանարդ հավասարումների լուծումը Եվրոպական հանրահաշվի վերածննդի սկիզբ դարձավ։  Ալ-Կալասադին (1412–1486) "հանրահաշվական սիմվոլիզմի ներմուծման առաջին քայլերը կատարեց։" Նա նաև հաշվարկեց ∑n2, ∑n3 և քառակուսի արմատներ հաշվելու համար օգտագործեց հաջորդական մոտավորությունների մեթոդը։ Որքան իսլամիկ աշխարհը հետ էր գնում, այնքան Եվրոպական աշխարհն առաջընթաց էր ապրում։ Եվ այստեղ էր, որ հանրահաշիվն իր հետագա զարգացումն ապրեց։

Հանրահաշվի ժամանակակից պատմությունը 

16-րդ դարի վերջում Ֆրանսուա Վիետի աշխատանքը նոր հանրահաշվի վրա կարևոր քայլ էր ժամանակակից հանրահաշվում։  1637 թվականին Ռենե Դեկարտը հրատարակեց Երկրաչափությունը, որտեղ ներկայացրել էր անալիտիկ երկրաչափությունը և առաջարկել ժամանակակից հանրահաշվի նշումները։ Հանրահաշվի հետագա զարգացման մեջ մեկ այլ կարևոր իրադարձություն էր 16-րդ դարի կեսերին խորանարդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումների ընդհանուր հանրահաշվական լուծումը։ Դետերմինանտի գաղափարը մշակել էր ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Կովան 17-րդ դարում, իսկ տասը տարի անց անկախ դրանից, Լեյբնիցը՝ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար, օգտագործելով մատրիցներ։ Գաբրիել Կրամերը նույնպես կատարել է որոշ աշխատանք մատրիցների և դետերմինանտների վրա 18-րդ դարում։ Տեղափոխություններն ուսումնասիրվել են Ժոզեֆ-Լուի Լագրանժի կողմից և տեղ են գտել 1770 թվականին հրապարակված նրա Հանրահաշվական հավասարումների լուծումները աշխատության մեջ, որում նա ներկայացրեց Լագրանժի լուծումները։ Պաուլո Ռուֆինին առաջինն էր, որ զարգացրեց տեղափոխության խմբերի տեսությունը, և ինչպես իր նախորդները նաև հանրահաշվական հավասարումների լուծման համատեքստում։

Աբստրակտ հանրահաշիվը զարգացել է 19-րդ դարում, սկիզբ առնելով հավասարումների լուծման նկատմամբ հետաքրքրությունից, ի սկզբանե կենտրոնանալով այն բանի վրա, որ հիմա կոչվում է Գալուայի տեսություն, և կառուցման խնդիրների վրա։ Ջորջ Պիկոկը թվաբանության և հանրահաշվի մեջ աքսիոմատիկ մտածողության հիմնադիրն էր։ Օգաստես Դե Մորգանն իր Տրամաբանության առաջարկվող համակարգի ծրագիրը աշխատանքում բացահայտել է ռելացիոն հանրահաշիվը։ Ջոզայա Գիբսը մշակել է վեկտորների հանրահաշիվը եռաչափ տարածության մեջ, և Արթուր Քելին զարգացրել է մատրիցների հանրահաշիվը (սա ոչ կոմուտատիվ հանրահաշիվն է)։

Վերնագրում հանրահաշիվ բառ պարունակող մաթեմատիկայի ոլորտներ 
Աբստրակտ հանրահաշվին վերագրվող մաթեմատիկայի որոշ ճյուղեր իրենց վերնագրերում ունեն հանրահաշիվ բառը, օրինակ գծային հանրահաշիվ։ Մյուսները չունեն, օրինակ՝ խմբերի տեսություն, օղակների տեսություն և դաշտերի տեսություն։ Ներքո բերված են մաթեմատիկայի այն ոլորտները, որոնց վերնագրում կա "հանրահաշիվ" բառը։ 
 Տարրական հանրահաշիվ, հանրահաշվի մաս, որ սովորաբար դասավանդվում է մաթեմատիկայի առաջին կուրսերում։
 Աբստրակտ հանրահաշիվ, որում հանրահաշվական այնպիսի կառուցվածքներ, ինչպիսիք են խմբերը, օղակները և դաշտերը, աքսիոմատիկորեն սահմանված են և ուսումնասիրված։
 Գծային հանրահաշիվ, որում ուսումնասիրվում են գծային հավասարումների, վեկտորական տարածության և մատրիցաների առանձնահատկությունները։ 
 Բուլյան հանրահաշիվ, հանրահաշվի ճյուղ, հաշվարկների սխալ և ճիշտ արժեքների միջոցով վերացականացմամբ։
 Կոմուտատիվ հանրահաշիվ, կոմուտատիվ օղակների ուսումնասիրություն։
 Հաշվարկային հանրահաշիվ, Հանրահաշվական մեթոդների իրականացումը որպես ալգորիթմներ և կոմպյուտերային ծրագրեր։
 Հոմոտրամաբանական հանրահաշիվ, հանրահաշվական կառուցվածքների ուսումնասիրություն, որոնք հիմնարար են տոպոլոգիական տարածությունների ուսումնասիրություններում։
 Ունիվերսալ հանրահաշիվ, ուսումնասիրվում են բոլոր հանրահաշվական կառուցվածքների ընդհանուր հատկությունները։
 Հանրահաշվական թվերի տեսություն, որտեղ թվերի հատկություններն ուսումնասիրվում են հանրահաշվական տեսանկյունից։
 Հանրահաշվական երկրաչափություն, երկրաչափության ճյուղ, որի պարզունակ տարբերակը կորերն ու մակերևույթները ներկայացնում է որպես բազմանդամ հավասարումների լուծումներ։
 Հանրահաշվական կոմբինատորիկա, հանրահաշվական մեթոդներն օգտագործվում են կոմբինատոր հարցերի ուսումնասիրության համար։
 Ռելացիոն հանրահաշիվ, հարաբերությունների բազմություն, որ փակ է որոշակի գործողության նկատմամբ։

Բազմաթիվ մաթեմատիկական կառուցվածքներ կոչվում են հանրահաշիվ։
 Հանրահաշիվ դաշտի վրա կամ ավելի ընդհանրական հանրահաշիվ օղակների վրա։Հանրահաշվի շատ դասեր, դաշտի կամ օղակի միջով հատուկ անուն ունեն․
 Ասոցիատիվ հանրահաշիվ
 Ոչ-ասոցիատիվ հանրահաշիվ
 Lie հանրահաշիվ
 Հոպֆի հանրահաշիվ
 C*-հանրահաշիվ
 Սիմետրիկ հանրահաշիվ
 Արտաքին հանրահաշիվ
 Tensor հանրահաշիվ
 Չափման տեսության մեջ,
 Sigma-հանրահաշիվ
 Հանրահաշիվ մի բազմության վրա
 Կատեգորիայի տեսության մեջ
 F-հանրահաշիվ և F-համահանրահաշիվ
 T-հանրահաշիվ
 Տրամաբանության մեջ,
 Ռելացիոն հանրահաշիվ, 
 Բուլյան հանրահաշիվ, 
 Հեյթինգի հանրահաշիվ։

Ծանոթագրություններ 

Հանրահաշիվ