Ֆորդ-ֆալկերսոնի ալգորիթմ

Ֆորդ–Ֆալկերսոնի ալգորիթմը որոշում է տրանսպորտային ցանցերում առավելագույն հոսքերի հայտնաբերման խնդիրը։

Ալգորիթմի գաղափարը հետևյալում է. սկզբնապես հոսքի մեծությանը վերագրվում է 0։  նշանակություն՝ բոլոր  համար։ Ապա հոսքի մեծությունը ինտերատիվ մեծանում է՝ մեծացնող ուղու ընդլայնման հետևանքով ( s աղբյուրից t հոսանքին ուղին, որի երկայնքով կարելի է ավելի շատ հոսք ուղարկել)։ Գործընթացը շարունակվում է, քանի դեռ հնարավոր է գտնել մեծացնող ուղի։

Ալգորիթմ

Ոչ պաշտոնական բնութագրում 
 Բոլոր հոսքերը զրոյացնում ենք։ Մնացորդային ցանցը սկզբնապես համընկնում է ելակետային ցանցի հետ։
 Մնացորդային ցանցում գտնում ենք աղբյուրից դեպի հոսանք ցանկացած ուղի։ Եթե այդպիսի ուղի չկա՝ կանգ ենք առնում։
 Գտնված ուղով բաց ենք թողնում (այն անվանվում է մեծացնող ուղի կամ մեծացնող շղթա) առավելագույն հնարավոր հոսքը։
 Մնացորդային ցանցում հայտնաբերված ուղու վրա փնտրում ենք նվազագույն բացթողնման հնարավորությամբ եզրը ։
 Գտնված ուղու յուրաքանչյուր եզրի համար մեծացնում ենք հոսքը , իսկ դրա հակառակ ուղղությամբ՝ փոքրացնում ։
 Մոդիֆիկացնում ենք մնացորդային ցանցը։ Բոլոր եզրերի համար գտնված ուղու, ինչպես նաև դրան հակառակ եզրի վրա, դուրս ենք բերում նոր բացթողման հնարավորությունը։ Եթե այն դառնում է ոչ զրոյական, ապա եզրն ավելացնում ենք մնացորդային ցանցին, իսկ եթե զրոյական է՝ ջնջում ենք։
 Վերադառնում ենք 2-րդ քայլին։

Կարևոր է, որ ալգորիթմը չի հստակեցնում, թե կոնկրետ որ ուղին ենք մենք փնտրում 2-րդ քայլում կամ, թե ինչպես ենք մենք դա անում։ Այդ իսկ պատճառով ալգորիթմը համապատասխանում է միայն ամբողջ բացթողնման հնարավորություններին, սակայն անգամ դրանց համար, բացթողնման հնարավորությունների մեծ նշանակությունների դեպքում, այն կարող է շատ երկար աշխատել։ Եթե բացթողնման հնարավորությունները նյութական են, ապա կարող է անվերջ երկար աշխատել՝ չհամընկնելով օպտիմալ որոշմանը։ (տես օրինակը ներքևում).

Եթե փնտրենք ոչ ցանկացած ուղի, այլ ամենակարճը, կստացվի Էմոնդս-Կարպի ալգորիթմը կամ Դինիցի ալգորիթմը.

Պաշտոնական նկարագրություն 
Տրված է  գրաֆը  բացթողնման հնարավորությունով և  հոսքով՝ u-ից v եզրերի համար։ Պետք է գտնել s աղբյուրից t հոսանքին առավելագույն հոսքը։ Ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլի համար գործում են բոլոր հոսքերի համար գործող պայմանները։

 . -ից  հոսանքը չի գերազանցում բացթողնման հնարավորությունը։
 .
  բոլոր կապերի համար , բացի  և ։ Կապերի միջով անցնելիս հոսքը չի փոխվում։

Մնացորդային ցանց  - բացթողման հնարավորությունով ցանց  և առանց հոսքի։

Մուտք Գրաֆ  բացթողման հնարավորությունով , աղբյուր  և հոսանք 
Ելք Առավելագույն հոսք  -ից 
  բոլոր եզրերի համար 
 Քանի դեռ ուղի կա  -ից  , այնպիսին, որ բոլոր եզրերի համար ։
 Գտնել 
 Յուրաքանչյուր եզրի համար 
 
 

Ուղին կարող է գտնվել.օրինակ, լայնությամբ փնտրման (Էմոնդս-Կարպի ալգորիթմ) կամ խորությամբ փնտրման ։

Բարդությունը 
Արդեն գոյություն ունեցող հոսքերին հոսք ավելացնելով առավելագույն հոսքը կստացվի այն դեպքում, երբ հնարավոր չի լինի գտնել մեծացող հոսք։ Այդուհանդերձ, եթե բացթողնման հնարավորության մեծությունը իռացիոնալ թիվ է, ապա ալգորիթմը կարող է անվերջ աշխատել։ Ամբողջ թվերի դեպքում այդպիսի խնդիր չի առաջանում և աշխատանքի ժամանակը սահմանափակ է O(E*f), որտեղ E - գրաֆում եզրերի թիվն է, f - գրաֆում առավելագույն հոսքը, քանի որ ամեն մեծացող ուղի կարող է գտնվել O(E) համար և մեծացնում է հոսքը առնվազն 1-ով։

Չհամընկնող ալգորիթմի օրինակ 

Դիտարկենք հետևյալ ցանցի օրինակը  աղբյուրով,  հոսանքով,  = ,  = ,  =  եզրերի բացթողնման հնարավորություններով և մնացած բոլոր եզրերի բացթողնման հնարավորություններով, որոնք հավասար են  ամբողջ թվին.  հաստատունը ընտրված է այնպես, որ . Օգտագործում ենք ուղիներ մնացորդային գծագրից, որոնք բերված են աղյուսակում, ընդ որում՝ ,  և .

Նկատենք, որ 1 քայլից հետո, ինչպես և 5 քայլից հետո ,  և  եզրերի մնացորդային հնարավորությունները ունեն ,  և  ձևը, համապատասխանաբար, որևէ բնական  համար։ Դա նշանակում է, որ կարող ենք օգտագործել , ,  և  մեծացող ուղիները անվերջ անգամներ և այդ եզրերի մնացորդային բացթողնման հնարավորությունները միշտ կլինեն նույն ձևով։ 5-րդ քայլից հետո ամբողջական հոսքը հավասար է ։ Անվերջ ժամանակահատվածում ամբողջական հոսքը կհամընկնի , այն դեպում, որ առավելագույն հոսքը հավասար է " Այսպիսով, ալգորիթմը ոչ միայն անվերջ երկար է աշխատում, այլ նաև լավագույն որոշմանը չի համընկնում։

Օրինակ 
Հետևյալ օրինակը ցույց է տալիս Ֆորդ-Ֆալկերսոնի ալգորիթմի առաջին քայլերը չորս կապերով տրանսպորտային ցանցում` A աղբյուրով ևD հոսքով։ Այս օրինակը ցույց է տալիս ամենավատ դեպքը։ Լայնությամբ փնտրման դեպքում ալգորիթմին պետք կգա ընդամենը 2 քայլ.

Ծանոթագրություններ

Հղումներ 
 Визуализатор алгоритма 
 Реализация поиска максимального потока методом Форда-Фалкерсона на Java 

Ալգորիթմներ