Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)

Հաշվարկման համակարգ մաթեմատիկայում անվանում են թվերի գրության և ներկայացման կանոնների համախումբը։ Նշանները, որոնք օգտագործվում են հաշվարկման համակարգում անվանում են թվանշաններ։ Հաշվարկման համակարգը կարելի է ներկայացնել երկու ձևով՝ ոչ դիրքային և դիրքային։

Ոչ դիրքային համակարգ
Ոչ դիրքային համակարգում թվերի գրառման մեջ թվանշանների դիրքից կախված չէ նրա մեծությունը։ Ոչ դիրքային համակարգի օրինակներից է հռոմեական համակարգը (հռոմեական թվեր)։ Հռոմեական համակարգում թվանշանների փոխարեն օգտագործում են լատինական տառերը՝ I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000։

Օրինակ 1։ CCCXXI թիվը կազմված է երեք հարյուրակից, երկու տասնյակից և մեկ միավորից՝ 321։
Հռոմեական թվերում թվանշանները գրվում են ձախից աջ՝ նվազման կարգով։ Այս դեպքում նրանց արժեքները գումարվում են։ Եթե ձախից գրված է փոքր թիվ, իսկ աջում՝ մեծ, ապա նրանց արժեքները հանվում են։

Օրինակ 2։ CX = 100 + 10 = 110, իսկ XC = 100 – 10 = 90։

Օրինակ 3։ MCMXCVI = 1000 + (1000-100) + (100 - 10) + 5 + 1 = 1996։

Դիրքային համակարգ 
Հաշվարկման դիրքային համակարգում թվերի գրության մեջ օգտագործվող թվանշանի արժեքը կախված է նրա դիրքից։ Թվերի գրառման մեջ օգտագործվող թվանշանների քանակը անվանում են հաշվարկման դիրքային համակարգի հիմք, իսկ թվանշանները՝ այբուբեն։

Հաշվարկման համակարգը, որն օգտագործվում է ժամանակակից մաթեմատիկայում, հանդիսանում է դիրքային տասական համակարգը։ Նրա հիմքը հավասար է 10-ի, քանի որ թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում են տաս թվանշան՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (արաբական թվանշաններ)։

Այս համակարգի դիրքայնությունը հեշտ է հասկանալ ցանկացած բազմանիշ թվի գրառության վրա։ Օրինակ, 547 թվում առաջին թվանշանը նշանակում է հինգ հարուրյակ, երկրորդը՝ չորս տասնյակ, երրորդը՝ յոթ միավոր։

Այժմ դիտարկենք հաշվարկման դիրքային համակարգը, որոնց հիմքը N է։ Սա նշանակում է, որ տվյալ դիրքային համակարգում թվերի գրառման ժամանակ օգտագործվում է N թվանշան։ Սովորաբար, երբ N<10, օգտագործվում են արաբական թվանշանները, իսկ N>10 դեպքում արաբական թվանշաններին ավելացնում են լատինական տառերը։ Բերենք հաշվարկման դիրքային համակարգերի օրինակներ՝ իրենց այբուբենով.

Եթե թվի գրառությունում պետք է նշել հաշվարկման համակարգի հիմքը, ապա այն գրվում է այդ թվի ներքևի ինդեքսում՝ 10112, 6057, 8A0BF16։

Օրինակ 4։ Գրենք առաջին 17 թվերը 2-ական և 7-ական հաշվարկման համակարգերում։

P հիմքով հաշվարկման համակարգում (P-ական համակարգ) թվի գրառման ընդլայնված ձև կոչվում է գրառումը, որն ունի այսպիսի տեսք՝

AP=±(an-1Pn-1+an-2Pn-2+ . . . +a0P0+a-1P−1+ . . . +a-mP-m),

որտեղ AP հենց ինքը՝ թիվն է, P–ն հաշվարկման համակարգի հիմքն է, ai–ն տվյալ հաշվարկման համակարգի թվանշաններն են, n-ը՝ թվի ամբողջ մասի կարգերի թիվն է, m-ը՝ թվի կոտորակային մասի կարգերի թիվն է։

Օրինակ 5։ Տասական համակարգի 8542 և 72,604 թվերը ներկայացնել ընդլայնված տեսքով։

8542 = 8*103 + 5*102 + 4*101 + 2*100,

72,604 = 7*101 + 2*100 + 6*10−1 +0*10−2 + 4*10−3։

Օրինակ 6։ Ստանալ տարբեր [համակարգերում] գրված 406257, 1101012, 2F3CA16, 110,1012 թվերի ընդլայնված տեսքերը։

406257 = 4*104 + 0*103 + 6*102 + 2*101 + 5*100,

1101012 = 1*10101 + 1*10100 + 0*1011 + 1*1010 + 0*101 + 1*100,

2F3CA16 = 2*104 + F*103 + 3*102 + C*101 + A*100,

110,1012 = 1*1010 + 1*101 + 0*100 + 1*10−1 + 0*10−10 + 1*10−11։

Ուշադրություն դարձրեք, որ ցանկացած հաշվարկման համակարգում նրա հիմքը գրված է 10։

Եթե ոչ տասական համակարգի թվերի ընդլայնված տեսքում բոլոր գումարելիները ներկայացնենք տասական համակարգով, ապա կստանանք տվյալ հաշվարկման համակարգի թվին համապատասխան տասական համակարգի թիվը։ Այս սկզբունքով ոչ տասական համակարգի թիվը բերվում է տասական համակարգի թվի։

Օրինակ 7. [Նախորդ] օրինակում բերված բոլոր թվերը ձևափոխել 10-ական համակարգում։

406257 = 4*74 + 0*73 + 6*72 + 2*71 + 5*70 = 991710,

1101012 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 5310,

2F3CA16 = 2*164 + 15*163 + 3*162 + 12*161 + 10*160 = 19271410,

110,1012 = 1*22 + 1*21 + 0*20 + 1*2−1 + 0*2−2 + 1*2−3 = 6,62510։

Հաշվարկման համակարգեր
Գիր