Ծավալ

Ծավալ, մարմնի կամ նյութի զբաղեցրած տարածության քանակական բնութագիրը, երկրաչափական մարմինը բնորոշող հիմնական հասկացություններից։

Ծավալի հաշվումը 
Ծավալի միավոր է համարվում միավոր կողով խորանարդի ծավալը։ Պարզագույն դեպքում մարմնի ծավալը հաշվվում է իր պարունակած միավոր խորանարդների քանակով։ Ավելի բարդ դեպքերում մարմնի ծավալը հաշվում են հետևյալ կերպ. A մարմինն ու իր շրջակայքը փոխուղղահայաց հարթություններով տրոհում են a երկարության կող ունեցող խորանարդների։ V (a)-ով նշանակենք բոլոր այն խորանարդների ծավալների գումարը, որոնք ամբողջությամբ ընդգրկված են A-ի մեջ, իսկ W (a)-ով՝ բոլոր այն խորանարդներինը, որոնք A-ի հետ ունեն գոնե մեկ ընդհանուր կետ։ a-ն փոքրացնելիս V (a)-ն աճում է, իսկ W (a)-ն՝ նվազում, ընդ որում՝ միշտ V(a)≤W(a)։ V (a)-ն և W (a)-ն ունեն նույն սահմանը (երբ a-ն ձգտում է 0-ի), որը և կոչվում է A մարմնի ծավալ։

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների համակարգում A մարմնի ծավալը հաշվվում է

 և

 բանաձևերով, որտեղ առաջին ինտեգրալը տարածված է A մարմնով, իսկ երկրորդը՝ A-ի՝ Z առանցքի վրա ունեցած պրոյեկցիայով։

Ընդհանուր աֆինական կոորդինատական համակարգում ծավալը հաշվվում է

 բանաձևով, որտեղ -ն  հիմնական քառակուսային ձևի դիսկրիմինանտն է։

Ընդհանրացնելով այս բանաձևը՝ մուծվում է ո-չափանի ծավալի հասկացությունը.

Չափի միավորները 
Երկարության յուրաքանչյուր միավորից ստացվում է ծավալի համապատասխան միավոր, որն իրենից ներկայացնում է այդ միավորով կողով խորանարդ։ Օրինակ, խորանարդ սանտիմետրը (սմ3) կլինի այն խորանարդի ծավալը, որի կողերն ունեն 1 սմ երկարություն։
Չափերի միավորների SI միջազգային համակարգում ծավալի հիմնական միավորն է խորանարդ մետրը (մ3)։ Մետրական համակարգի մեջ է մտնում նաև լիտրը (Լ), որպես հեղուկների և սորուն նյութերի ծավալի միավոր։ Լիտրը 10 սանտիմետրանոց խորանարդի ծավալն է՝
1 լիտր=(10սմ)3=1000 խորանարդ սանտիմետր=0.001 խորանարդ մետր,
հետևաբար՝
1 խորանարդ մետր=1000 լիտր
Փոքր քանակի հեղուկների ծավալները հաճախ չափվում են միլիլիտրերով՝
1 միլիլիտր=0.001 լիտր=1 խորանարդ սանտիմետր։
Կան նաև ծավալի այլ ավանդական չափի միավորներ՝ թեյի գդալ, ճաշի գդալ, փինթ, գալոն, բարել, բուշել և այլն։

Երկրաչափական մարմինների ծավալների բանաձևեր 
{|
|-
| align=right | Խորանարդ 
| style="text-align:left"|
որտեղ -ն կողի երկարությունն է։
_
|-
| align=right | Գլան
| style="text-align:left"|
որտեղ -ը հիմքի շառավիղն է, -ը՝ բարձրությունը։
_
|-
| align=right | Պրիզմա
| 
որտեղ՝ -ն հիմքի մակերեսն է, -ը՝ բարձրությունը
_
|-
| align=right | Բուրգ
| 
որտեղ՝ -ն հիմքի մակերեսն է, -ը՝ բարձրությունը
_
|-
| align=right | Կոն
| 
որտեղ՝ -ը հիմքի շառավիղն է, -ը՝ բարձրությունը
_ 
|-
| align=right | Էլիպսոիդ
| 
որտեղ՝ -ն, -ն, -ն կիսաառանցքներն են։
_
|-
| align=right | Կանոնավոր քառանիստ
| 
որտեղ՝ -ն կողի երկարությունն է։
_
|-
| align=right | Զուգահեռանիստ
| 

որտեղ՝ -ն, -ն, -ն կողերի երկարություններն են, α-ն, β-ն, և γ-ն՝ կողերի ներսի անկյունները։
|}

Միևնույն շառավղով և բարձրության կոնի, գնդի և գլանի ծավալների հարաբերակցությունը 

Վերևում բերված բանաձևերը կարելի է օգտագործել ցույց տալու համար, որ միևնույն շառավիղ և բարձրություն ունեցող կոնի, գնդի և գլանի ծավալները հարաբերվում են ինչպես 1 ։ 2 ։ 3.
Եթե շառավիղը r է, բարձրությունը՝ h, ապա կոնի ծավալը կլինի՝

գնդինը՝

իսկ գլանինը՝

Գնդի և գլանի ծավալների 2 ։ 3 հարաբերությունը հայտնաբերել է Արքիմեդեսը։

Ինտեգրալ հաշվումը 

Ծավալ