Եռանկյունաչափության պատմություն

Եռանկյունաչափության պատմություն, տարբեր երկրաչափական պատկերների անկյունների ու կողմերի հարաբերությունների մասին գիտություն, որն ավելի քան երկու հազարամյակի պատմություն ունի։ Նման հարաբերությունների մեծամասնությունը հնարավոր չէ ներկայացնել պարզ հանրահաշվական գործողությունների միջոցով։ Այդ իսկ պատճառով անհրաժեշտություն է առաջացել ներմուծել նոր՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, որոնք սկզբում արտահայտվել են թվային աղյուսակների տեսքով։

Պատմաբանները կարծում են, որ եռանկյունաչափությունը հիմնադրել են հին աստղագետները և միայն ավելի ուշ այն սկսել է կիրառվել նաև գեոդեզիայի ու ճարտարապետության մեջ։ Ժամանակի հետ եռանկյունաչափության կիրառությունը սկսել է տարածվել։ Ներկայումս այն օգտագործվում է գրեթե բոլոր բնագիտական, տեխնիկական ու նմանատիպ այլ գիտություններում։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները հատկապես օգտակար դարձան տատանողական պրոցեսների նկարագրման համար։ Վերջիններիս վրա է հիմնված նաև ֆունկցիաների հարմոնիկ վերլուծությունն ու անալիզի այլ տարրերը։ Թոմաս Փեյնն իր «Գիտակցության դար» (1794) գրքում եռանկյունաչափությունն անվանում է «գիտության հոգի»։

Սկզբնական շրջան 

Եռանկյունաչափության տարրեր հնարավոր է գտնել հին Եգիպտոսի, Բաբելոնի, Չինաստանի արձանագրություններում։ Ռինդայի պապիրուսի (մ. թ. ա. 2-րդ հազարամյակ) 56-րդ առաջադրանքում պահանջվում է գտնել այն բուրգի թեքվածքը, որի բարձրությունը 250 կանգուն է, իսկ հիմքի կողմի երկարությունը՝ 360:

Բաբելոնյան մաթեմատիկայից է գալիս անկյունների չափումը աստիճաններով, րոպեներով ու վայրկյաններով (մաթեմատիկայի մեջ այս միավորների ներմուծումը վերագրվում է Հիպսիկլին, մ. թ. ա. 2-րդ դար)։ Հայտնի Բաբելոնյան թեորեմների շարքում կա նաև այսպիսին. ներգծյալ անկյունը, որը հենված է շրջանագծի տրամագծի վրա, ուղիղ անկյուն է ։

Այդ ժամանակաշրջանի կարևորագույն հայտնագործությունը դարձավ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև եղած օրինաչափությունը, որն ավելի ուշ ստացավ Պյութագորասի թեորեմ անվանումը։ Վան դեր Վարդենը կարծում էր, որ բաբելոնցիները այն հայտնագործել են մ. թ. ա. 2000-ից 1786 թվականներին։ Միանգամայն հնարավոր է, որ չինացները ևս, մյուսներից անկախ, հայտնագործել են այն։ Դեռևս անհայտ է, թե իմացել են արդյոք հին եգիպտացիները թեորեմի ընդհանուր բանաձևը, բայց պարզ է, որ 3, 4 և 5 կողմերով «եգիպտական եռանկյունը» լայնորեն կիրառվել է տարբեր բնագավառներում։

Հին Հունաստան 
Եռանկյունաչափական հարաբերությունների ընդհանուր ու տրամաբանական կապերը ի հայտ եկան հին հունական երկրաչափությունում։ Հույն մաթեմատիկոսները եռանկյունաչափությունը չէին համարում առանձին գիտություն, նրանց համար դա աստղագիտության մի մասն էր։

Հարթ եռանկյունաչափություն 
Եռանկյունաչափական բնույթի շատ թեորեմներ կան Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» գրքում (մ. թ. ա. IV դար)։ «Սկզբունքների» առաջին գրքի 18 և 19 թեորեմներում ասվում է, որ եռանկյան մեծ կողմի դիմաց գտնվում է մեծ անկյուն, և հակառակը՝ մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ։ 20 և 22 թեորեմները ներկայացնում են «եռանկյան անհավասարությունը». երեք հատվածներից կարելի է կառուցել եռանկյուն միայն այն դեպքում, երբ հատվածներից յուրաքանչյուրը փոքր է մյուս երկուսի գումարից։ 32-րդ թեորեմն ապացուցում է, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° է։

«Սկզբունքների» երկրորդ գրքի 12-րդ թեորեմը կոսինուսների թեորեմի բառերով ներկայացված տարբերակն է։

Դրան հաջորդող 13-րդ թեորեմը կոսինուսների թեորեմն է ուղղանկյուն եռանկյան համար։ Սինուսների թեորեմի անալոգը հույների մոտ սկզբնական շրջանում չի եղել։ Այդ կարևորագույն հայտնագործությունը կատարվել է ավելի ուշ։

Եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը կապված է Արիստարքոս Սամոսացու անվան հետ (մ. թ. ա. 3-րդ դար)։ Նրա «Արեգակի ու Լուսնի չափերն ու հեռավորությունները» տրակտատում խնդիր էր դրվում որոշել մինչև երկնային տարբեր մարմիններ եղած հեռավորությունը։ Այդ խնդիրը պահանջում էր հաշվել ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունը ունենալով միայն սուր անկյուններից մեկի աստիճանային չափը։ Արիստարքոսը քառակուսացման ժամանակ Արեգակի, Լուսնի ու Երկրի դասավորությունը դիտարկում էր որպես ուղանկուն եռանկյուն։ Նրանից պահանջվում էր գտնել ներքնաձիգի երկարությունը (Արեգակի ու Երկրի հեռավորությունը) էջով (Երկրի ու Լուսնի հեռավորությունը), այն դեպքում, երբ անկյունը հայտնի է՝ 87°: Դա համարժեք է -ը հաշվելուն։ Արիստարքոսի գնահատականով այդ հեռավորությունն ընկած է 1/20-ից 1/18 միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ Արեգակի հեռավորությունը Երկրից 20 անգամ ավելի մեծ է քան Լուսնի հեռավորությունը Երկրից։ Իրականում Արեգակը երկրից 400 անգամ ավելի հեռու է քան Լուսինը, իսկ այդ սխալն առաջացել էր անկյան աստիճանային չափը սխալ հաշվելու պատճառով։ Միաժամանակ, Արիստարքոսը ապացուցել է մի անհավասարություն, որը այժմյան տերմինների օգտագործմամբ արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով՝
 
Այս նույն բանաձևը կա նաև Արքիմեդի «Ավազահատիկների հաշվարկ»-ում։ Արքիմեդի աշխատություններում (մ. թ. ա. 3-րդ դար) կա լարի բաժանման թեորեմ, որը նման է կես անկյան սինուսի թեորեմին ։
 

Անտիկ գիտության զարգացման ժամանակաշրջանում եռանկյունաչափությունն ամենաշատը կիրառվել է աստղագիտության մեջ։ Բացի երկնային մարմինների հեռավորությունների հաշվարկման խնդիրները, եռանկյունաչափության հետագա զարգացումը պահանջում էր էպիցիկլերի և/կամ էկսցենտրերի պարամետրերի մի համակարգ, որը կներկայացներ լույսի տարածումը տարածության մեջ։ Համաձայն լայնորեն տարածված կարծիքի՝ այդ խնդիրն առաջին անգամ առաջադրել ու լուծել է Հիպարքոսը (մ. թ. ա. 2-րդ դարի կեսեր), Արեգակի ու Լուսնի ուղեծրերի հաշվարկման միջոցով։ Հնարավոր է, որ այդ խնդիրը աստղագիտության մեջ առաջ է քաշվել ավելի վաղ։ Հիպարքոսին է վերագրվում նաև առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը, որոնք մեզ չեն հասել։ Կա վարկած, որ առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները գոյություն են ունեցել արդեն մեր թվարկությունից առաջ 3-րդ դարում և ստեղծվել են Ապոլլոն Պերգացու կողմից։

Ժամանակակից ֆունկցիաների փոխարեն Հիպարքոսն ու մյուս հույն մաթեմատիկոսները դիտարկում էին շրջանագծի տրված կենտրոնական անկյան լարի ու կենտրոնական անկյան կախվածությունը։ Ժամանակից տերմնաբանությամբ միավոր շրջանագծի θ աստիճանային չափ ունեցող աղեղի լարի երկարությունը հավասար է θ/2 կենտրոնական անկյան սինուսի կրկնապատիկին։ Այդ հարաբերությունը ճշմարիտ է յուրաքանչյուր անկյան համար. 0° < θ < 360°: Լարերի լեզվի միջոցով էլ հենց հին հույնները ստացան եռանկյունաչափական բանաձևերը։ Օրինակ, հետևյալ ժամանակակից բանաձևը՝
 
համապատասխանում է հետևյալ հունական բանաձևին՝
 
որտեղ ՝ -ը կենտրոնական անկյան լարն է, -ը՝ շրջանագծի տրամագիծը։

Ընդ որում, այն ժամանակ միավոր շրջանագիծ չէին վերցնում, ինչպես հիմա։ Օրինակ՝ Հիպարքոսի մոտ շրջանի շառավիղը R=3438 միավոր էր չափողականության այս պայմաններում շրջանի աղեղի երկարությունը հավասար էր լինում աղեղի անկյունային չափին՝ արտահայտված րոպեներով , որը հետշացնում էր հաշվարկները։ Պտղոմեոսի մոտ՝ R=60 միավոր։ Ժամանակակից վերակառուցվածքների համաձայն՝ Հիպարքոսի մոտ լարերի երկարությունը հաշվարկվում էին 7°30' միջակայքով։ Հնարավոր է, որ Հիպարքոսի աղյուսակի հիմքում ընկած է Արքիմեդի կողմից հայտնագործված մեթոդը, որը առաջարկվել էր նաև Արիստարքոսի կողմից։

Ավելի ուշ 2-րդ դարի աստղագետ Կլավդիոս Պտղոմեոսը «Ամահեսթում» լրացնում է Հիպարքոսի ստացած արդյունքները։ «Ալմահեսթի» տասներեք գրքերը անտիկ գիտության մեծագույն եռանկյունաչափական աշխատություններն են։ Մասնավորապես, «Ալմահեսթը» պարունակում է աղեղների հսկայական հնգամակարդակ աղյուսակներ ինչպես սուր, այնպես էլ բութ անկյունների համար՝ 30 րոպեին հավասար քայլերով։ Լարերը հաշվելու համար Պտղոմեոսը գրքի X գլխում օգտագործում էր Պտղոմեոսի թեորեմը (որը հայտնի էր դեռ Արքիմեդին), որը պնդում է հետևյալը. 

Այս թեորեմից դժվար չէ ստանալ երկու բանաձևեր՝ գումարային անկյան սինուսն ու կոսինուսը, ու ևս երկու բանաձևեր՝ տարբերություն անկյան սինուսն ու կոսինուսը։ Սակայն հույների մոտ բանաձևային տեսքերը բացակայում էին։

Անտիկ եռանկյունաչափական տեսության հիմնական հայտնագործությունը այսպես կոչված «եռանկան լուծումն» էր, այսինքն, եռանկյան անհայտ տարրերը գտնելը՝ օգտվելով երեք տրված տարրերից (որոնցից գոնե մեկը կողմ է)։ Արդյունքում, այդ խնդիրն ու դրա ընդհանրացումը դարձան եռանյունաչափության հիմքը. տրված են եռանկյան որոշ (սովորաբար երեք) հայտնի տարրեր, պահանջվում է օգտվելով այս տվյալներից գտնել մյուսները։ Ի սկզբանե եռանկյան տարրերի (հայտնի կամ անհայտ) ցանկում էին միայն նրա կողմերն ու գագաթի անկյունները, ավելի ուշ դրանց ավելացվեցին նաև բարձրությունները, կիսորդները, միջնագծերը, ներգծված ու արտագծված շրջանագծերի շառավիղները, ծանրության կենտրոնը և այլն։ Կիրառական եռանկյունաչափական խնդիրները տարբեր են. կարող են տրված լինել ոչ անմիջական տվյալներ (օրինակ՝ անկյունների գումար կամ կողմերի հարաբերություն)։

Սֆերիկ եռանկյունաչափություն 
Հարթ եռանկյունաչափության հետ զուգահեռ հույները աստղագիտության ազդեցությամբ, լայնորեն զարգացրեցին սֆերիկ եռանկյունաչափությունը։ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» սֆերիկ եռանկյունաչափությանն առնչվող միայն մի քանի թեորեմ կա, որոնք նվիրված են տարբեր տրամագծերով գնդերի ծավալների հարաբերություններին։ աստղագիտության ու քարտեզագրության մեջխիստ պահանջված լինելու շնորհիվ այս բնագավառն սկսեց արագորեն զարգանալ։ Սֆերիկ եռանկյունաչափությունը կիրառվում է նաև երկնային կոորդինատների, քարտեզագրական պրոյեկցիաների մեջ (մասնավորապես՝ աստրոլաբիա)։

Պատմաբաններն այդպես էլ ընդհանուր հայտարարի չեկան անտիկ հույների երկնոլորտի ուսումնասիրությունների զարգացման մակարդակի վերաբերյալ։ Որոշ հետազոտողներ եզրակացնում են, որ հասարակածային ու խավարման կոորդինատային համակարգերը օգտագործվել են աստղագիտական հետազոտությունների ամփոփման համար ու հայտնագործվել են առնվազն Հիպարքոսի ժամանակներում։ Հնարավոր է, որ այն ժամանակ արդեն հայտնի են եղել սֆերիկ եռանկյունաչափության որոշ թեորեմներ, որոնք անհրաժեշտ էին գեոդեզիայում և աստղային կատալոգների ստեղծման համար համար։

«Սֆերիկայի» (ասինքն, սֆերիկ երկրաչափություն) թեմայով մեզ հայտնի առաջին գիտական աշխատությունները գրել են՝
 Աուտոլիկուսը Պետեից և Եվկլիդեսը («Ֆենոմեններ») (մ. թ. ա. 4-րդ դար)։
 Թեոդոսիոսը և Հիփսիկլեսը (մ. թ. ա. II դար)

Այս ժողովածուներում բազմիցս հանդիպում են եռանկյունաչափական արտահայտություններ, սակայն մակերեսային ուսումնասիրության պատճառով հեղինակները լուրջ եզրահանգումների չեն գալիս։ Օրինակ՝ «գտնել լրիվ արևածագը (մայրամուտը) կենդանակերպի համաստեղության» խնդիրը Հիպսիկլեսը լուծել է բազմանկյուն թվերի օգնությամբ։

Տեսության զարգացման վճռական փուլը Մենելայոս Ալեքսանդրիացու «Սֆերիկա» մոնոգրաֆիան (մոտավորապես մեր թվարկության 100 թվական) էր։ Առաջին գրքում նա նկարագրում է սֆերիկ եռանկյուների մասին թեորեմները, Եվկլիդեսի անալոգային թեորեմները՝ հարթ եռանկյուների մասին։ Պատմաբանները կարծում են, որ Մենելայոսի մոտեցումը շատ առումներով հիմնվում է Թեոդոսիոսի աշխատության վրա, սակայն Մենելայոսը առավել խորացված է ներկայացրել եզրակացություններն ու ավելացրել նորերը։ Համաձայն Պապուս Ալեքսանդրիացու հաղորդագրության՝ Մենելայոսն առաջինն էր, ով սֆերիկ եռանկյունը դիտարկեց որպես առանձին մարմին, այն ներկայացնելով գնդի հատվածների միջոցով։ Մենելայոսն ապացուցել է մի թեորեմ, որի վերաբերյալ Եվկլիդեսը չունի հարթ անալոգ. երկու սֆերիկ եռանկյուններ համատեղելի են, եթե համապատասխան անկյունները հավասար են։ Մեկ այլ թեորեմում նա պնդում է, որ սֆերիկ եռանկյան անկյունների գումարը միշտ մեծ է 180°:

«Սֆերիկայի» երկրորդ գիրքը ներկայացնում է սֆերիկ երկրաչափության կիրառությունը աստղագիտության մեջ։ Երրորդ գիրքը պարունակում է կիրառական աստղագիտության կարևորագույն թեորեմներից մեկը՝ Մենելայոսի թեորեմը, որն այլ կերպ հայտնի է «վեց բարձրությունների կանոն» անվանումով։ Մենելայոսի մյուս երկու հայտնագործությունները, որոնք ևս հիմնարար բնույթ ունեն, հետագայում անվանվեցին «չորս բարձրությունների կանոն» և «տանգենսների կանոն»։

Մի քանի տասնամյակ անց Կլավդիոս Պտղոմեոսն իր «Երկրաչափություն», «Անալեմա» և «Պլանիսֆերաներ» աշխատույթուններում տալիս է եռանկյունաչափական արտահայտությունների հստակ կիրառությունը քարտեզագրության, աստղագիտության ու մեխանիկայի մեջ։ Այդ ամենի հետ մեկտեղ, գրքում նկարագրված է ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիան ու բացատրված՝ մի քանի կոնկրետ առաջադրանք. գտնել երկնային լուսատուի բարձրությունն ու ազիմուտը՝ կախված նրա թեքումից ու ժամային անկյունից։ Եռանկյունաչափության տեսանկյունից դա նշանակում է, որ պետք է գտնել սֆերիկ եռանկյան կողմը, ըստ մյուս երկու կողմերի ու հանդիպակաց անկյան։

Պտղոմեոսը սֆերիկ երկրաչափությանն է նվիրել նաև առաջին գրքի՝ «Ալմեհեսթի» XIII գլուխը, ի տարբերություն Մենելայոսի, Պտղոմեոսը չի ներկայացրել իր պնդումների մեծ մասի ապացույցները, բայց մեծ ուշադրություն է դարձրել ալգորիթմերին, ինչը շատ անհրաժեշտ է աստղագիտության մեջ։ Որպես հիմնական կառուցվածք, լարերի փոխարեն «Ալմահեսթում» ծառայում է «Մենելայոսի քառանկյունը»։ Ուղղանկյուն սֆերիկ եռանկյան «լուծման» համար, այսինք եռանկյան բնութագրիչների որոշման համար, Պտղոմեոսը տվել է չորս թեորեմ։ Ժամանակաից տերմինալոգիայով դրանք ունեն հետևյալ տեսքը ( անկյունն ուղիղ է).
  (Սինուսների թեորեմի մասնավոր դեպք)
 
  (կոսինուսների թեորեմի մասնավոր դեպք)
 
Պարզաբանենք, որ սֆերիկ երկրաչափությունում եռանկյան կողմերն ընդունված է չափել ոչ թե գծային միավորներով, այլ նրա վրա հենված կենտրանական անկյան աստիճանային չափով։ Ժամանակակից սֆերիկ երկրաչափությունում կիրառում են ևս երկու հայտնի հարաբերակցույթուններ
  (ևս հետևում է սֆերիկ երկրաչափության կոսինուսների թեորեմից)
 
Պտղոմեոսի մոտ սրանք բացակայում են, քանի որ չեն հետևում Մենելեյի տեսությունից.

Միջնադար

Հնդկաստան 
4-րդ դարում անտիկ գիտության վախճանից հետո մաթեմատիկայի զարգացման կենտրոնը տեղափոխվեց Հնդկաստան։ Հնդիկ մաթեմատիկոսների աշխատությունները՝ սիդհանթերը, ցույց են տալիս, որ նրանք քաջատեղյակ են եղել հույն երկրաբանների ու աստղագետների աշխատություններին։ Հնդիկները քիչ էին հետաքրքրվում զուտ երկրաչափությամբ, բայց նրանց ներդրումը կիրառական աստղագիտության ու եռանկյունաչափության հաշվարկման բնագավառների մեջ անփոխարինելի է։

Առաջին հերթին հնդիկները փոխեցին եռանկյունաչափության բազմաթիվ հայեցակարգեր՝ այն մոտեցնելով ժամանակակից եռանկյունաչափությանը։ Նրանք անտիկ լարերի փոխարեն ուղղանկյուն եռանկյուններում ներմուծեցին սինուսները («սինուս» բառը սանսկրիտում ծագել է «աղեղնլարից»)։ Դրանով հնդիկներն սկսեցին եռանկյունաչափությունը դիտարկել որպես առանձին գիտություն, չնայած, ի տարբերություն հունական լարերի, հնդկական մոտեցումը վերաբերում էր միայն սուր անկյուններով ֆունկցիաներին։

Հնդիկները սինուսն այլ կերպ էին ընկալում, քան ժամանակակից մաթեմատիկայում (տե՛ս, նկար աջից)։ Սինուսի տակ ընկալվում էր AD հատվածի երկարությունը, որը հենված է R=3438 շառավղով (ինչպես Հիպարքոսի մոտ) շրջանագծի AC լարի վրա։ Այդ կերպ անկյան «հնդկական սինուսը» 3438 անգամ մեծ էր ժամանակակից սինուսի արժեքից ու երկարության չափողականություն ուներ։ Այդ կանոնից կային, օրինակ՝ Բրահմագուտը անհայտ մեթոդներով գտել էր 3270 միավորի հավասար ռադիուս։

Հնդիկներն առաջինն էին, որ օգտագործեցին կոսինուսը։ Կիրառվում էր նաև, այսպես կոչված, հակադարձ սինուսը, կամ սինուս-վերզուսը, որը աջ մասի նկարում հավասար է DC հատվածի երկարությանը։

Ինչպես հույների, այնպես էլ հնդիկների մոտ եռանկյունաչափությունը զարգանում էր աստղագիտության, մոլորակների շարժման ու երկնային ոլորտի ուսումնասիրությունների համար։ Դա վկայում է այն մասին, որ նրանք լավ տեղյակ էին «Ալմահեսթ» և «Անալեմա» աշխատություններում նկարագրված սֆերիկ երկրաչափությանը, սակայն նրանք չէին գրել աշխատություններ եռանկյունաչափության վերաբերյալ։ Այնուամենայնիվ, աստղագիտական խնդրների լուծման բնագավառում հնդիկները ահռելի հաջողությունների են հասել։ Օրինակ՝ Վարահամիհիրի (7-րդ դար) «Պանչա-սիդհանթիկայում» տրվում է Պտղոմեոսի կողմից նկարագրված աստղագիտական խնդրի յուրօրինակ լուծում. գտնել Արևի բարձրությունը հորիզոնից, եթե հայտնի է տեղանքի լայնությունը, Արեգակի թեքումն ու ժամային անկյունը։ Լուծման համար հեղինակը կիրառում է կոսինուսների թեորեմի անալոգը։ Հենց նա է առաջին անգամ ստացել կես անկյան սինուսի բանաձևը։

Աստղագիտական հաշվարկների համար ստեղծվեցին եռանկյունաչափական աղյուսակներ։ Սինուսների առաջին (քառարժեք) աղյուսակները ստեղծել է Արիաբհատոսը՝ «Սուրիա-սիդահարթ» («Արիաբհատիա», 5-րդ դար)։ Արիաբհատոսի աղյուսակները պարունակում էին սինուսների ու սինուս-վերզուսների 24 արժեք, 3°45' միջակայքերով (սրա մի մասը արդեն կար Հիպարքոսի աղյուսակում)։

Եռանկյունաչափության մեջ մեծ ներդրում ունեցավ Բրահմապուտրան (7-րդ դար), ով հայտնագործեց մի քանի եռանկյունաչափական հարաբերություններ, այդ թվում նաև նրանք, որոնք ժամանակակից տերմինալոգիայում ունեն հետևյալ տեսքը՝
 
 

Բացի այդ, հնդիկները գիտեին բազմապատիկ անկյունների սինուսներ՝ , ,  համար։ «Սուրիա-սիդահարթ»-ում օգտագործվում է սինուսների թեորեմի սֆերիկ տարբերակը, այդ թեորեմի վերջնական տեսքը սակայն հնդիկներին այդպես էլ չհաջողվեց տալ։ Պատմաբանները հնդիկների մոտ հայտնաբերել են տանգենսի մասնակի օգտագործման դեպքեր, բայց այդ հասկացության կարևորությունը հասկացվեց ավելի ուշ իսլամական երկրների մաթեմատիկոսների կողմից

Մեկ այլ հայտնի գիտնականի՝ Բհասկարա II-ի աշխատություններում (12-րդ դար), տրվում են անկյունների գումարների ու տարբերությունների սինուսների ու կոսինուսների տարբերությունների բանաձևերը.
 
ինչպես նաև.
 
( դեպքում) որը համապատասխանում է սինուսի դիֆերենցման արտահայտությանը։ Հենվելով սինուսի գումարման բանաձևի վրա՝ Բհասկարան հարապարակեց Արիաբհատոսի եռանկյունաչափական աղյուսակի ավելի ճշգրիտ ու մանրամասն տարբերակը, 1° միջակայքով։

11-րդ դարում մուսուլմանները (Մահմուդ Գազնեվի) գրավեցին ու ավերեցին Հյուսիսային Հնդկաստանը։ Մշակութային կենտրոնները տեղափոխվեցին Հարավային Հնդկաստան, որտեղ ձևավորվում էր այսպես կոչված «Կերալի դպրոցը» (Հնդկաստանի հարավում գտնվող Կերալի նահանգի անունից)։ 15-16-րդ դարերում Կերալի մաթեմատիկոսները աստղագիտական հետազոտությունների ժամանակ մեծ հաջողությունների հասան թվային շարքերի հետ առնչվող հաշվարկներում, այդ թվում նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաներում։ Անանուն «Կարանապադհատի» («Հաշվարկների տեխնիկա») տրակտատում տրված են սինուսներն ու կոսնուսները, անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևեր, որոնք ամենայն հավանականությամբ դուրս են բերվել, դպրոցի Մեդհավ (15-րդ դարի առաջին կես) անունով գիտնականի ու նրա հետևորդ՝ Նիլականտի աշխատություններից։ Այդ բանաձևերից հեշտությամբ հնարավոր է ստանալ արկտանգենսը և անվերջ թվով շարքերի բաժանելու բանաձևերը։ Եվրոպայում նման արդյունքի են հասել միայն 17-18-րդ դարերում։ Այդ նույն ձևով Իսահակ Նյուտոնը մոտավորապես 1666 թվականին կիրառում էր սինուսների ու կոսինուսների շարքերը, արկտանգենսը հայտնաբերեց Գրեգորին 1671 և Լեյբնիցը 1673 թվականին։

Իսլամական երկրներ 
8-րդ դարում Մերձավոր ու Միջին արևելքի երկրներ հասան հին հունական ու հնդկական մաթեմատիկոսների ու աստղաբանների աշխատություններին։ Այդ աշխատությունները արաբերեն թարգմանելու գործով զբաղվել են 8-րդ դարի լեգենդար գիտնականներ Իբրահիմ Ալ-Ֆազարին և Յակուբ իբն Տարիկը։ Հետագայում նրանք ու նրանց սերունդնեը սկսեցին լայնորեն զբաղվել այդ տեսությունների մեկնաբանությամբ ու զարգացմամբ։ Ինչպես հնդիների, այնպես էլ իսլամական գիտնականների համար հետազոտման հիմնական կառուցվածքը եռանկյան սինուսն էր, կամ որ նույնն է՝ լարի կեսը շրջանագծի մեջ։

Նրանց աստղագիտական տրակտատները, հնդկական սիդհաների օրինակով, կոչվում էին «զիջեր». տիպիկ զիջն իրենից ներկայացնում էր աստղագիտական ու եռանկյունաչափական աղյուսակների հավաքածու, որտեղ աղյուսակները դասավորված էին օգտագործելիության։ 8-13-րդ դարերի զիջերի ուսումնասիրությունները ցույց են տալիս, որ այդ ժամանակ եռանկյունաչափության վերաբերյալ գիտելիքներն արագորեն համալրվում էին։ Իսլամական գիտնականների համար առավել հետաքրքիր էր սֆերիկ եռանկյունաչափությունը, որի միջոցով հնարավոր էր իրականացնել աստղագիտական ու գեոդեզիական հաշվարկներ։ Լուծման ենթակա խնդիրների շարքում էին նաև՝
- Օրվա տևողության ստույգ որոշում։
- Երկնային մարմինների հետագա դիրքերի հաշվարկները, դրանց ծագման ու մայր մտնելու ժամանակների որոշումը, 
- Արեգակի ու Լուսնի խավարումները
- Տվյալ վայրի աշխարհագրական կոորդինատների որոշումը
- Քաղաքների ու տրված կոորդինատների միջև հեռավորությունների որոշումը
- Մեկկուի դիրքի որոշումը սահմանված դիրքից։

Պահպանված ամենահին աշխատություններից են Ալ-Խորեզմիի ու Ալ Մարվազի (9-րդ դար) տեսությունները, ովքեր դեռևս հնդիկներին հայտնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսին ու կոսինուսին զուգահեռ ներմուծեցին նոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ տանգենս, կոտանգենս, սեկանս, կոսեկանս։ Սկզբնապես այս ֆունկցիաներն այլ կերպ էին ընկալվում։ Այսպես, կոտանգենսի տակ ընկալվում էր ուղղաձիգ 12 (երբեմն 7) միավոր բարձրությամբ գնոմոնի ստվերի երկարությունը։ Սկզբում այս հաշվարկներն օգտագործվում էին արևային ժամացույցների հաշվարկների համար։ Տանգենս էր կոչվում հորիզոնական գնոմոնի ստվերը։ Սեկանս ու կոսեկանս էին կոչվում գնոմոնից ու նրա ստվերից առաջացած ուղղանկյուն եռանկյունների ներքնաձիգերը (աջ մասի նկարում AO հատվածը)։ Միայն 10-րդ դարում փիլիսոփա ու մաթեմատիկոս Ալ Ֆարաբին իր «Ալմահեսթի» մեկնաբանություններում նոմոնիկայից անջատ տվել է այդ հասկացությունների սահմանումները՝ դրանք որոշելով պտղոմեոսյան եռանկյունաչափական ռադիուսի սինուսներով ու կոսինուսներով (60 միավոր)։ Այս վեց ֆունկցիաների կապերը նույն հարյուրամյակում տվել է Ալ Բատանին։ Այս ամենն ընդհանրացրեց Աբու-ալ-Վաֆան 10-րդ դարի կեսերին։ Նա առաջինն էր, ով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հաշվարկների ժամանակ օգտագործեց միավոր շրջանագիծը, ինչպես ժամանակակից մաթեմատիկայում է։

Սաբիտ իբն Կուրան (9-րդ դար) և Ալ-Բատանին (10-րդ դար) առաջինը բացահայտեցին սինուսների հիմնական թեորեմը մասնավոր ուղղանկյուն սֆերիկ եռանկյան համար։ Սֆերիկ եռանկյան թեորեմի ապացույցը տվեցին (տարբեր եղանակներով, և, հավանաբար, միմյանցից անկախ) Աբու-յ-Վաֆան, ալ-Հուջանին ու իբն Իրաքին 10-րդ դարի վերջում։ Իր մեկ այլ տրակտատում իբն Իրաքը ձևակերպել ու ապացուցել է սինուսների թեորեմը հարթ եռանկյան համար։

Կոսինուսների թեորեմը իսլամական երկրներում սֆերիկ եռանկյան թեորեմը ձևակերված ու ապացուցված չէր, բայց Սաբիտ իբն Կուրայի, ալ-Բատանիի ու մյուս աստղաբանների աշխատանքներում կան դրան համարժեք պնդումներ։ Ռեգիոմոնտանը, ով առաջինը տվեց այդ կարևորագույն կապվախության ձևակերպումը (15-րդ դար), դրան տվեց «Ալբատենիայի թեորեմ» (այն ժամանակ Եվրոպայում այդպես էին անվանում ալ-Բատանիին)։

Իբն Յունիսը (10-րդ դար) բացահայտեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բազմապատկման բանաձևերը, օրինակ.
 

Բազմապատկման բանաձևերը հնարավորություն տվեցին խուսափել արտադրիչների վերլուծման ժամանակատար հաշվարկներից։ Եվրոպայում այդ բանաձևերն օգտագործվեցին հակառակ նպատակով. գումարման ու հանման գործողությունները փոխարինում էին բազմապատկմամբ, որպեսզի արդյունքը գրանցեն լոգարիթմական աղյուսակում

Այդ ժամանակների գիտության կարևորագույն խնդիրներից էր հնարավորինս փոքր քայլով եռանկյունաչափական աղյուսակների ստեղծումը։ 9-րդ դարում Ալ-Խորեզմին ստեղծեց սինուսների աղյուսակ 1°-ի հավասար քայլով։ Նրա ժամանակակից Խաբաշ ալ-Հասիբը (ալ-Մարվազի) դրան ավելացրեց տանգենսների, կոտանգենսների, կոսինուսների առաջին աղյուսակները (նույն քայլով)։ 10-րդ դարի սկզբում ալ-Բատանին հրապարակեց 30' աստիճանային չափի հավասար քայլով աղյուսակներ։ Նույն հարյուրամյակի վերջում Իբն Յունիսը կազմեց 1' քայլով աղյուսակներ։ Աղյուսակներ կազմելու ժամանակ կարևորը -ի արժեքի որոշումն էր։ Դրա մեծությունը չափելու մեթոդներն առաջարկել են Իբն Յունիսը, Աբու-լ-Վաֆան, ալ-Բիրունին։ 15-րդ դարում լավագույն արդյունքին հասավ ալ-Կաշին. իր աշխատություններից մեկում նա հաշվել է, որ  (բոլոր նիշերը ճիշտ են)։ Սամարղանդյան Ուլուգբեկի աստղադիտարանում նրա մասնակցությամբ «Աստղագիտական աղյուսակները» կազմիելիս սինուսի արժեքը հաշվարկվել է վեց վեցական միավորներով, 1' քայլով։ Ուգուլբեկ սուլթանը անձամբ է մասնակցել այդ գործին. նա հատուկ տրակտատ է գրել 1°-ի անկյան սինուսի հաշվման մասին։

Եռանկյունաչափական առաջին մասնագիտացված աշխատությունը միջինասիացի գիտնական ալ-Բիրունիի (10-11-րդ դար) «Ատղագիտական գիտությունների բանալիների գիրք» (995-996 թվականներ) աշխատությունն է։ Եռանկյունաչափության ամբողջ կուրսը պարունակում էր ալ-Բիրունիի գլխավոր աշխատությունը՝ «Կանոն Մասուդա» (գիրք III)։ Բացի սինուսների աղյուսակից (15' քայլով) Ալ-Բիրունին տվել է նաև տանգենսների աղյուսակը (1° քայլով)։ Գաղափարապես Բիրունիի աշխատությունները մոտ են պտղոմեոսյաններին. աղեղների լեզվով նա ձևակերպում է կրկնակի ու կես սինուսների, անկյունների գումարի ու տարբերության սինուսների մասին թեորեմները։ Ալ-Բիրունի գիրքը ցույց է տալիս նաև կանոնավոր ներգծյալ իննանկյան կառուցումն ու դրա կողմի երկարության մոտավոր որոշումը. այդ ալգորիթմը նա օգտագործում է  ստացման համար։ Մեկ այլ աշխատությունում՝ «Գեոդեզիայում», Բիրունին հաղորդում է երկրային զենիթի սեփական հաշվումների արդյունքները, որոնք մոտ էին իրականին (մետրական համակարգով Բիրունին ստացել էր 6340 կմ)։

Եռանկյունաչափության, որպես առանձին գիտության հիմնարար հասկացությունները (ինչպես հարթաչափական, այնպես էլ սֆերիկ) տվել է պարսիկ մաթեմատիկոս ու աստղաբան Նասրեդին Թուսին 1260 թվականին։ Նրա «Աշխատություն ուռուցիկ քառանկյան մասին» աշխատությունը պարունակում է տիպիկ խնդիրների՝ այդ թվում բարդ վարժությունների պրակտիկ լուծումներ, որոնք լուծել է հենց աթ-Թուսին, օրինակ՝ սֆերիկ եռանկյան կառուցումն ըստ տրված երեք անկյունների։ Ձևակերպված է տանգենսների թեորեմը սֆերիկ եռանկյունների համար, նկարագրված է կարևոր բևեռային եռանկյուններ հասկացությունը (առաջին անգամ օգտագործել են 11-րդ դարում Իբն Իրաքին ու ալ-Ջայանին)։ Աթ-թուսիի աշխատությունները լայնորեն հայտնի են եղել Եվրոպայում ու խստորեն ազդել են եռանկյունաչափության հետագա զարգացման վրա։

Այդ կերպ, 13-րդ դարի վերջում արդեն հայտնաբերվեցին եռանկյունաչափության հիմնական բովանդակությունը կազմող հիմանարար տեսությունները։
 - Եռանկյունաչափական կամայական ֆունկցիայի ներկայացումը ցանկացած այլ ֆունկցիայի տեսքով։
 - Սինուսների ու կոսինուսների բազմապատիկ ու կես անկյունների բանաձևերի, նաև անկյունների գումարի ու տարբերության սինուների ու կոսինուների բանաձևերի արտածումը։
 - Սինուսների ու կոսինուսների թեորեմները։
 - Հարթաչափական ու սֆերիկ եռանկյունների հաշվումը։
Հանրահաշվական սիմվոլիկայի բացակայության պատճառով այս բոլոր թերորեմները ներկայացվել են բառերով, չեն ունեցել բանաձևային արտահայտություն։ Մյուս առումներով դրանք լիովին համապատասխանում են ժամանակակից տարբերակներին։

Եվրոպա 

Երբ 12-13-րդ դարերում արաբական տրակտատները հասան լատինական երկրներ հնդիկ ու պարսիկ մաթեմատիկոսների բազմաթիվ գաղափարներ դարձան եվրոպական գիտության հաջողությունները։ Ամենայն հավանականությամբ եվրոպացիների առաջին ծանոթությունը եռանկյունաչափության հետ տեղի ունեցավ Ալ-Խորեզմիի զիջու շնորհիվ, որի երկու թարգմանությունները կատարվել են 12-րդ դարում։ Սկզբնական շրջանում եռանկյունաչափության վերաբերյալ վկայությունները (նրա օգտագործման կանոններ, որոշ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակներ) հայտնվել են աստղագիտության վերաբերյալ աշխատություններում, սակայն Ֆիբոնաչիի «Երկրաչափության կիրառություն» աշխատությունում, որը գրվել է 1220 թվականին, եռանկյունաչափությունը ներկայացված է, որպես երկրաչափության բաժին։ Առաջին եվրոպական աշխատությունը, որն ամբողջությամբ նվիրված է եռանկյունաչափությանը, հաճախ անվանում են «Չորս տրակտատ ուղիղների ու լարերի հարաբերությունների մասին»։ Այն գրել է անգլիացի աստղաբան Ռիչարդ Ուոլլինգֆորդը (մոտավորապես 1320 թվական)։ Գիրքը պարունակում է եռանկյունաչափական նույնությունների ապացուցների շարք և սինուսների հաշվման յուրօրինակ մեթոդներ։ Մոտավորապես նույն թվականներին է գրվել նաև հրեա մաթեմատիկոս Լևի բեն Գերշոմի (Գերսոնիդես) «Սինուսների, լարերի ու աղեղների մասին» աշխատությունը, որը լատիներեն թարգմանվել է 1342 թվականին։ Գիրքը պարունակում է սինուսների թեորեմի ապացույցն ու սինուսների հնգանիշ աղյուսակներ։ Եռանկյունաչափությունը շոշափվում է նաև անգլիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Բրադվարդինի «Տեսական երկրաչափություն» աշխատությունում (գրվել է 14-րդ դարի առաջին կեսում, հրապարակվել է 1495 թվականին)։ Եռանկյունաչափական աղյուսակները, որոնք առավել հաճախ թարգմանվում էին արաբերենից, իսկ երբեմն էլ օրիգինալ, պարունակվում էին նաև 14-15-րդ դարերի այլ հեղինակների աշխատություններում։ Հենց այդ ժամանակ էլ եռանկյունաչափությունը մտավ կրթական համակարգ։

Խոշոր ձեռքբերում էր Ռեգիոմոնտանի «Հինգ գիրք բոլոր տեսակների եռանկյունների ամսին» մենագրությունը (հրատարակված՝ 1462-1464), որում ներկայացված էին այդ ժամանակ հայտնի հարթաչափական ու գնդային եռանկյուների մասին տեսություններն ու եռանկյունաչափական բանաձևերը, նաև սինուսների (1' քայլով) ու տանգենսների (1° քայլով) յոթանիշ աղյուսակներտը։ Պակաս կարևոր չէ նաև այն, որ Ռեգիոմոնտանի աղյուսակներում աստղագիտական ավանդույթի խախտմամբ առաջին անգամ օգտագործվել է տասական համակարգը։ Եռանկյունաչափական շրջանի շառավիղը Ռեգիոմոնտանն ընդունել է -ին հավասար, որպեսզի աղյուսակաին տվյալները ամբողջ թվեր լինին (տասնորդական կոտորակներն ավելի ուշ ի հայտ եկան, ընդ որում դրանց ներմուծման հիմնական դրդապատճառը եռանկյունաչափական բանաձևերն էին)։

Աթ-Թուսիի աշխատության կհամեմատ Ռեգիոմոնտանի աշխատութունն ավելի ընդհանրացված էր, պարունակում էր նոր վարժությունների ցանկ, որոնք լուծվել են յուրօրինակ մեթոդներով։ Օրինակ, ցուցադրվում է, թե ինչպես կառուցել եռանկյունը, եթե հայտնի է նրա մի կողմը, նրան տարված բարձրությունն ու հանդիպակաց անկյունը։

Նոր ժամանակներ

16-17-րդ դարեր 

Նոր ժամանակներում եռանկյունաչափության զարգացումը չափազանց կարևոր էր ոչ միայն աստղաբանության ու աստղագիտության զարգացման համար, այլ նաև այլ ոլորտների համար, այդ թվում հրետանու, օպտիկայի, ծովային հեռավոր ճանապարհորդությունների կազմակերպման համար։ Այդ իսկ պատճառով 16-րդ դարում այդ թեմայով սկսեցին զբաղվել այնպիսի մեծանուն գիտնականներ, ինչպիսիք են Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը, Յոհան Կեպլերը, Ֆրանսուա Վիետը։ Կոպեռնիկոսը եռանկյունաչափությանն է նվիրել իր «Երկնայի գնդերի պտույտի մասին» (1543) տրակտատի երկու գլուխներ։ Շուտով (1551) հայտնվեցին Կոպեռնիկոսի աշակերտի՝ Ռետիկի տասնհինգանիշ եռանկյունաչափական աղյուսակները՝ 10" քայլով։ 1604 թվականին Կեպլերը հրապարակում է «Աստղագիտության օպտիկական մաս» աշխատությունը։

Բարդ եռանկյունաչափական հաշվարկների անհրաժեշտություն առաջացավ 17-րդ դարի սկզբում, լոգարիթմների հայտնաբերմամբ։ Ընդ որում, Ջոն Նեպերի առաջին լոգարիթմական աղյուսակները պարունակում էին միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների լոգարիթմներ։ Նեպերի այլ հայնտագործությունների ցանկում կարևոր էին սֆերական եռանկյունների լուծման նպատակահարմար մեթոդները, որոնք ստացել են «Նեպերի անալոգիայի բանաձևեր» անվանումը։

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը, որպես մաթեմատիկական դիսցիպլինա ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը, իր 1595 թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» () գրքում։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ, մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» (), քանի որ ; նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցոին ու դարձրին co-sinus (Էդմունդ Հունթեր), իսկ ավելի ուշ՝ cos (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը (), իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծեց կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» (1770) աշխատությունում։

Թոմաս Ֆինկն առաջարկել է գեոդեզիական խնդիրների յուրօրինակ լուծում՝ գտնել եռանկյան անկյունները, եթե հայտնի է նրանց գումարը՝  և հանդիպակաց կողմերի հարաբերությունը՝ : Լուծման համար Ֆինկն օպգտագործել է Ռեգիոմոնտանի բանաձևը (տես նկարը)։
 

Վիետն իր «Մաթեմատիկական կանոնի» (1579) առաջին մասում ներառել է տարբեր աղյուսակներ, այդ թվում նաև եռանկյունաչափականներ, իսկ երկրորդ մասում տվել է հարթաչափական ու սֆերիկ եռանկյունաչափական հասկացությունների կապերի բանաձևեր, սակայն առանց ապացույցների։ 1593 թվականին Վիետը պատրաստեց այդ աշխատության ընդլայնված, ավարտուն տեսքը։ 

Վիետի հաջորդ կարևորագույն ներդրումը եռանկյունաչափության մեջ հանրահաշվական սիմվոլիկայի ներմուծումն էր. եթե նախկինում առաջադրանքի լուծումը երկրաչափական գծագրի կառուցումն էր, ապա այժմ, սկսած Վիետի աշխատությունից լուծումը սկսում է ձեռք բերել նաև հանրահաշվական տեսք։ Սիմվոլիկայի ներմուծումը հնարավորություն տվեց կոմպակտ ձևով ներկայացնել եռանկյունաչափական նույնությունները, օրինակ բազմապատիկ անկյան բանաձևերը՝
 
 

Պետք է նշենք, որ հենց ինքը Վիետը այս բանաձևերը սկզբնական շրջանում մասամբ բառային տեսքով է տվել, բայց դրա հետ մեկտեղ պարզորեն ցույց է տվել կապը բանաձևերի գործակիցների ու բինոմալ գործակիցների միջև։ Նա նաև տվել է աղյուսակ -ի ոչ մեծ արժեքների համար։

Վիետի այլ ձեռքբերումներից. «Լրացումներ երկրաչափությանը» աշխատությունում Վիետն առաջարկել է խորանարդական հավասարման եռանկյունաչափական նոր լուծում։ Վիետը տվել է պատմության մեջ առաջին անվերջ հավասարումը՝
 

Բացի հրետանուց ու տեղորոշումից, եռանկյունաչափությունը արագորեն տարածվել է նաև գեոդեզիայում։ Տանգենսների լայն կիրառությունը բացատրվում է նրանով, որ դրանցով հեշտ է լեռների կամ շենքների բարձրությունների որոշումը (տե՛ս նկարը)՝
 

1615 թվականին Սնելիուսը գտավ «Սնելիուսի-Պոնտոյի առաջադրանքի» լուծումը. գտնել կետը, որից տրված (հարթ) եռանկյան կողմերը երևում են տրված անկյան տակ։ Նա նաև բացահայտել է լույսի բեկման օրենքը. տրված սկզբնական ու բեկվող ճառագայթների համար անկման ու բեկման անկյունների սինուսների հարաբերությունը հաստատուն է։ Հենց դրանով էլ Սնելիուսը բացահայտեց օպտիկայում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման նոր ճանապարհը, իսկ նույն թվականին հայտնագործված աստղագիտակն էլ ավելի մեծացրեց Սնելիուսի գյուտի նշանակությունն ու կարևորությունը։

Սինուսոիդի առաջին գրաֆիկը հայտնվել է Ալբրեխտ Դյուրերի «Կարկինով ու քանոնով չափումների ուղեցույց» (, 1525 թվական) աշխատությունում։ 1630-ական թվականներին Ժիլ Ռոբերվալը, իր ցիկլոիդների ուսումնասիրության արդյունքում, անկախ իր իսկ կամքից գծագրում է սինուսոիդ, հենց նա է հրապարակել կրկնակի անկյան տանգենսի բանաձևը։ Ջոն Վալլիսն իր «Մեխանիկայում» (1670) ճշգրտորեն ներկայացրել է յուրաքանչյուր քառորդում սինուսի նշանը և ցույց է տվել, որ սինուսոիդն անվերջ պարբերական ֆունկցիա է։ Տանգենսի գրաֆիկն առաջին քառորդի համար առաջինը տվել է Ջեյմս Գրեգորին (1668):

17-րդ դարի երկրորդ կեսում կտրուկ զարգացում սկսվեց կվադրատուրայի (այսինքն, մակերեսների հաշվման) բնագավառում, որն ավարտվեց դարի վերջում մաթեմատիկական անալիզի առաջացմամբ։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար կարևոր էին այդ շրջանի սկզբում Բլեզ Պասկալի հայտնագործությունները (հրապարակված իր «Ա. Դետոնվիլի նամակները իր մի քանի երկրաչափական հայտնագործությունների մասին» գրքում, 1659 թվական)։ Ժամանակակից տերմինալոգիայով Պասկալը հաշվեց սինուսի ու կոսինուսի ու դրանց հետ կապված այլ մեծությունների դրական աստիճանների ինտեգրալները, նաև նշեց, որ : Եռանկյունաչափության բնագավառում աշխատանքներ տարել են 17-րդ դարի այնպիսի նշանավոր մաթեմատիկոսներ ինչպիսիք են Օտրեդը, Հյուգենսը, Օզանամը, Վալլիսը։ 17-րդ դարի երկրորդ կեսում նշանավոր պրոցես էր եռանկյունաչափության հանարահաշվացումը, դրա սիմվոլիկայի կատարելագործումն ու պարզեցումը (չնայած Էյլերից առաջ սիմվոլիկան ավելի բարդ էր քան այժմ)

18-րդ դար 
Մաթեմատիկական անալիզի հայտնագործումից հետո, սկզբում Ջեյմս Գրեգորին, հետո Իսահակ Նյուտոնը ստացան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների (ինչպես նաև նրանց հակադարձների) հետազոտությունները անվերջ շարքերում։ Նյուտոնը եռանկյունաչափական ու երկրաչափական խնդիրներին է նվիրել իր «Համալսարանային թվաբանություն» գրքի 10 առաջադրանք։ Օրինակ, X առաջադրանքում պահանջվում է «լուծել եռանկյունը», եթ հայտնի են նրա մի կողմը, դրա դիմացի անկյունն ու մյուս երկու կողմերի գումարը։ Նյուտոնի առաջարկած մեթոդն իրենից ներկայացնում է Մոլվեյդի բանաձևերից մեկը։

Լեյբնիցը խիստ ապացուցել է, որ -ը չի կարող հանրահաշվորեն արտահայտվել լինել -ով, այսինքն, ժամանակակից տերմինալոգիայով ասած եռանկյունաչափական ֆունցիաները տրանսցենդենտ են։

18-րդ դարեսկզբի կարևորագույն հայտնագործություններն են՝
 - Անկյունների ռադիանային չափերի հայտնագործումն ու տարածումը (Ռոջեր Քոթս, 1714)։ Ինքը տերմինը՝ Ռադիանը, առաջացել է ավելի ուշ, 1873 թվականին, առաջարկել է Ջեյմս Թոմսոնը։
 - Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական տեսքի ներկայացումն ու Մուավրի բանաձևը։
 
 - Կոորդինատների բևեռային համակարգի (դեկարտյանի հետ եռանկյունաչափական հարաբերություններով կապված) օգտագործման սկիզբը (Նյուտոն և Գրեգորի), ընդհանուր օգտագործման համար այս համակարգը հարմարեցրեց Էյլերը (1748)։
1706 թվականին շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Գերմանը հրապարակեց անկյունների գումարի ու բազմապատիկ անկյունների տանգենսների հաշվման բանաձևերը, իսկ Յոհան Լամբերտը 1765 թվականին ստացավ չափազանց կարևոր բանաձևեր, որոնք եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտում են կես անկյան տանգենսի բանաձևով։ Ուսումնասիրելով հիպերբոլական ֆունկցիաները (1761), Լամբերտը ցույց տվեց, որ դրանց հատկությունները անալոգային են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ; դրա պատճառը դեռ 1707 թվականին նկատել էր Մուավրը։

Գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆրիդրիխ Վիլհելմ ֆոն Օփելը «Եռանկյունների անալիզ» գրքում (1746) հրապարակեց Մոլվեյդի բանաձևերի ժամանակակից տեսքերը։

«Բազմանկյունաչափություն» (1789) գրքում Սիմոն Լյուիլյեն ընդհանրացնում է եռանկյունաչափական հարաբերությունները եռանկյունների համար, տալով դրանց արտահայտությունները նաև այլ կանոնավոր բազմանկյունների համար, ներառյալ տարածականները։ Այս թեմայով աշխատանքներ տանելիս Լյուիլյեն հանգեց եռանկյունաչափության հիմնական թեորեմներից մեկին. բազմանիստի յուրաքանչյուր նիստի մակերեսը հավասար է մյուս նիստերի մակերեսների ու առաջին նիստի հետ նրանց կազմած անկյան կոսինուսի արտադրյալների գումարին։ Նա դիտարկել է  հատ կողմ ունեցող «բազմանկյունների լուծման» տարբեր եղանակներ տրված հնարավոր տարբեր դեպքերով. տրված է  կողմ և  անկյուն, կամ բոլոր անկյուններն ու  կողմ, կամ բոլոր կողմերն ու  անկյուն։

1798 թվականին Լեժանդրն ապացուցեց, որ եթե սֆերիկ եռանկյան չափերը փոքր են սֆերայի շառավղի համեմատ, ապա եռանկյունաչափական խնդիրների լուծման համար կարելի է կիրառել հարթ եռանկյունների բանաձևերը։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձերը arc-ի (՝ աղեղ) միջոցով ներկայացնելու մեթոդն առաջարկել է ավստրիացի մաթեմատիկոս Կարլ Շերֆերը (, 1716-1783), բայց ամրապնդվել է Լեժանդրի շնորհիվ։ Ի նկատի ունեին, որ, օրինակ, եթե սինուսը թույլ է տալիս շրջանագծի աղեղի միջոցով հաշվել լարի երկարությունը, իսկ հակադարձ ֆունկցիան թույլ կտար հաշվել հակառակը։ 16-րդ դարի անգլիական ու գերմանական մաթեմատիկական դպրոցներն այլ նշանակումներ առաջարկեցին՝ , բայց դրանք չկիրառվեցին։

Լեոնարդ Էյլերի բարեփոխումները 

Եռանկյունաչափության ժամանակակից տեսքը տվել է Լեոնարդ Էյլերը։ «Ներդրումներ անվերջների անալիզում» (1748) տրակրտատում Էյլերը տվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումները, որոնք համարժեք են ժամանակակիցներին, և համապատասխանաբար որոշեց հակադարձները։ Եթե նրա նախորդները սինուսն ու մյուս հասկացությունները երկրաչափորեն ընկալերին, այսինքն, որպես շրջանագծի կամ եռանկյան գծեր, ապա Էյլերի աշխատանքներից հետո , ,  և մյուսները կդիտարկվեին, որպես իրական ու կոմպլեքս փոփոխականների առանց չափերի անալիտիկ ֆունկցիաներ։ Կոմպլեքս դեպքերի համար նա ստացավ կապը եռանկյունաչափական ֆունկցիայի ու տրված ֆունկցիայի մեջ (Էյլերի բանաձև)։ Էյլերի մոտեցումը համընդհանուր ընդունման արժանացավ ու մտավ դասագրքեր։

Էյլերը հետազոտել էր ինչպես թույլատրելի բացասական անկյունները, այնպես էլ 360°-ից մեծ անկյունները, ինչը հնարավորություն էր տալիս եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացնել ամբողջ թվային առանցքում, իսկ հետո շարունակել կոմպլեքս հարթությունում։ Երբ առաջացավ բութ անկյուններում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման հարցը, պարզ դարձավ, որ մինչև Էյլերը նշանների մի մասը սխալ էր որոշված։ Օրինակ, շատ մաթեմատիկոսներ կարծում էին, որ բութ անկյան կոսինուսն ու տանգենսը դրական են։ Էյլերը որոշեց այդ ֆունկցիաների նշանները տարբեր կոորդինատային վանդակների համար։

Էյլերն առաջինն էր, ով եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացրեց անվերջ արտադրիչների տեսքով (1734), որից էլ ստացավ դրանց լոգարիթմերը։

Այլ աշխատություններում, առաջին հերթին «Սֆերիկ եռանկյունաչափության հիմքեր, մաքսիմումներով ու մինիմումներով» (1753) և «Համընդհանուր սֆերիկ եռանկյունաչափություն, պարզ ու համառոտ ներկայացված սկսած սկզբնաղբյուրներից» (1779), Էյլերն առաջին անգամ տվեց սֆերիկ եռանկյունաչափության լրիվ համակարգված հիմքերը, ընդ որում խոշոր հայտնագործությունների մի մասը պատկանում են հենց Էյլերին։

18-րդ դարի կեսերին այրվեց իր հետևանքներով շատ կարևոր «վեճ լարի մասին»-ը։ Լեդամբերի հետ բանավեճի ժամանակ Էլյերն առաջարկեց ֆունկցիայի ավելի ընդհանուր որոշումը, քան ընդունված էր նախկինում, մասնավորապես, ֆունկցիան կարող էր ներկայացվել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով։ Իր աշխատություններում Էյլերն օգտագործել է որոշ հանրահաշվական ֆունկցիաների ներկայացումները եռանկյունաչափական շարքի տեսքով, օրինակ՝

 
Եռանկյունաչափական շարքերի ընդհանուր ուսումնասիրությամբ Էյլերը չի զբաղվել ու ստացված շարքերի համատեղելիությունը չի ուսումնասիրել, բայց ստացել է մի շարք կարևոր հետևանքներ։ Մասնավորապես, նա ստացել է սինուսի ու կոսինուսի ամբողջ աստիճանների բանաձևերը։

Եռանկյունաչափությունը Ռուսաստանում 
Ռուսաստանում առաջին եռանկյունաչափության վերաբերյալ գրառումները կատարվել են «Լոգարիթմերի, սինուսների, կոսինուսների ու տանգենսների աղյուսակներ» գրքում, որը հրապարակվել է Լ. Ֆ. Մագնիցկու ներկայությամբ 1703 թվականին։ 1714 թվականին հայտնվեց «Երկրաչափության պրակտիկա» բովանդակային ձեռնարկը՝ ռուսական առաջին եռանկյունաչափական դասագիրքը, որը հիմնված է հրետանային, տեղորոշման ու գեոդեզիական առաջադրանքների վրա։ Ռուսաստանում եռանկյունաչափական գիտելիքների յուրացման շրջանի ավարտ կարելի է համարել Մ. Ե. Գոլովինի (Էյլերի աշակերտը) «Հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությունները հանրահաշվական ապացույցներով» (1789)։

18-րդ դարի վերջում Սանկտ Պետերբուրգում հիմնադրվեց եռանկյունաչափական հատուկ դպրոց (Ա. Ի. Լեկսել, Ն. Ի. Ֆուս, Ֆ. Ի. Շուբերտ)։

19-20-րդ դարեր 
19-րդ դարի սկզբում Ն. Ի. Լոբաչևսկին հարթ ու սֆերիկ եռանկյունաչափությանը ևս մի բաժին ավելացրեց՝ հիպերբոլական (Լոբաչևսկու երկրաչափության համար, առաջին աշխատությունը հրապարակեց Ֆ. Ա. Տաուրինուսը 1826 թվականին)։ Լոբաչևսկին ցույց տվեց, որ սֆերիկ եռանկյունաչափության բանաձևերը անցնում են հիպերբոլականի եռանկյան կողմերի a, b, c երկարությունները ai, bi, ci փոխելու դեպքում, կամ, որ համարժեք է, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխումը հիպերբոլականի։

19-20 դարերում հատկապես բուռն զարգացում ապրեցին եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունները իրենց հետ կապված մաթեմատիկական ոլորտների հետ մեկտեղ. հարմոնիկ անալիզ, պատահական պրոցեսների տեսություն, աուդիո և վիդեո ինֆորմացիայի կոդավորում և այլն։ Դեռ Դանիել Բեռնուլին առաջարկել էր պնդում, որի համաձայն յուրաքանչյուր (ոչ ընդհատ) ֆունկցիա տրված միջակայքում հնարավոր է ներկայացնել եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ։ Քննարկումները շարունակվում էին մինչև 1807 թվականը, երբ Ֆուրիեն հրապարակեց մասաանալիտիկ ֆունցիաները եռանկյունաչափական շարքերի տեսքով ներկայացնելու տեսությունը (ավարտուն տարբերակը պարունակվում է նրա «Ջերմության անալիտիկ տեսություն» աշխատությունում, 1822):  ֆունցիան եռանկյունաչափական շարքի տեսքով ներկայացնելու համար՝
 
Ֆուրիեն տվել է գործակիցների հաշվարկի ինտեգրալային բանաձևերը.
 
Ֆուրիեի ստացածը խիստ չէ ըստ ժամանակակից հասկացողության, արդեն պարունակում էր բոլոր նմանատիպ շարքերի նմանության տարրերը։ Այն ֆունցիաների համար, որոնք որոշված են ամբողջ թվային առանցքի վրա և պարբերական չեն Ֆուրիեն առաջարկել է Ֆուրիեի ինտեգրալի ձևակերպումը։

Ռիմանն իր ատենախոսության մեջ անդրադառնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին առանց դիտարկելու դրանց կապը որևէ ֆունկցիայի հետ (1853), նա կիրառում էր «տեղայնացման սկզբունքը»։ Կամայական չափումներով և գրեթե ամեն տեղ անվերջ ֆունցիայի ներկայացումը եռանկյունաչափական շարքի տեսքով (որի համընկնումը Ֆուրեյի շարքի հետ պարտադիր չէ) լուծվեց 1941 թվականին Մենշովի թեորեմի շնորհիվ։

Ուսումնասիրելով եռանկյուանաչափական շարքերի հատուկ կետերի բազմությունները Գեորգ Կանտորը ստացավ ամբողջ մաթեմատիկայի համար հիմնարար բնույթ ունեցող բազմությունների տեսությունը Եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը ահռելի նշանակություն ունեցավ նաև կոմպլեքս անալիզի, մաթեմատիկական ֆիզիկայի, էլեկտրոնիկայի ու գիտության մյուս ճյուղերի համար։ Լեբեգի իրական փոփոխականի ֆունցիայի, չափման ու ինտեգրալի տեսությունները ի հայտ եկան և սկսեցին զարգանալ եռանկյունաչափական շարքերի հետ հեռավոր կապի մեջ լինելով։

Եռանկյունաչափությունը Հայաստանում 

Մաթեմատիկայի ու բնական գիտությունների հետ մեկտեղ առաջին հայկական դպրոցներում (5-րդ դար), ապա նաև միջնադարյան համալսարաններում ուսուցանվել է նաև եռանկյունաչափությունը։ Անանիա Շիրակացին (7-րդ դար), Գրիգոր Մագիստրոսը (11-րդ դար), Հովհաննես Սարկավագը (11-12-րդ դարեր) և ուրիշներ կազմել են դասագրքեր, թարգմանել հույն դասականների երկերից։ Անանիա Շիրակացու թվաբանության դասագրքի մաթեմատիկական աղյուսակները հնագույնն են աշխարհում հայտնի համանման աղյուսակներից։ Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» աշխատությունը բնագրից առաջինը հայերեն է թարգմանվել և որպես դասագիրք օգտագործվել հայկական դպրոցներում։

14-րդ դարում Կիլիկյան Հայաստանի պետականության անկումից հետո մաթեմատիկական բարձրագույն կրթությունն ու մաթեմատիկական գիտություններն անկում են ապրել։ Սակայն գաղթավայրերում, որտեղ շարունակվել է մշակութային կյանքը, կազմվել և հայերեն են թարգմանվել մի շարք ձեռնարկներ։

1794 թվականին Վենետիկում տպագրվել է Սահակ Պրոնյանի գրաբարով շարադրված «Երկրաչափություն» գիրքը՝ 423 էջով։ Գիրքը նվիրված էր երկրաչափական թեորեմներին ու աքսիոմներին, ինչպես նաև երկրաչափական տերմինների (ուղիղներ, անկյուններ, եռանկյուններ, շրջանագծեր և այլն)ուսումնասիրությանը։ 1810 թվականին, արդեն Սահակ Պրոնյանի մահից հետո, Վենետիկում լույս է տեսնում նրա «Եռանկյունաչափություն» աշխատությունը։ Այստեղ հայալեզու մաթեմատիկական գրականության մեջ առաջին անգամ օգտագործված էին մաթեմատիկական նշաններ։ Գիրքը նվիրված էր եռանկյունաչափությանը, եռանկյունների լուծմանը, սֆերիկ երկրաչափությանը։ Բաղկացած Է երկու գրքից և հավելվածից (ծավալը՝ 104 Էջ), շարադրված է գրաբար լեզվով։ Աշխատության վերջում, (62-րդ էջի վրա) զետեղված Է 1-10.000 թվերի լոգարիթմական աղյուսակը։ Դրան հաջորդում է 28 եռանկյունաչափական թեորեմների ու խնդիրների երկու տախտակ, ինչպես նաև երկու համեմատության կարկինի երկրաչափական գծագրերը։ Վերջում մեկ Էջի վրա զետեղված է եռանկյունաչափական գծերի աղյուսակը։ Գծագիրը կարդալու համար գործածվում են հայկական այբուբենի տառերը։ Աշխատությունն ունի երկու էջից բաղկացած առաջաբան, որտեղ նշվում Է եռանկյունաչափության կարևոր դերն ու նշանակությունը մաթեմատիկական գիտությունների մեջ։

Առաջին գիրքը նվիրված է ուղղագիծ եռանկյունաչափությանը։ Առաջին պրակում սահմանվում են եռանկյունաչափական գծերը, գործ են ածվում հետևյալ տերմինները՝ 

Երկրորդ պրակը նվիրված է բնական թվերի լոգարիթմներին, իսկ երրորդը՝ ուղղանկյուն և շեղանկյուն եռանկյունների լուծմանը։

Երկրորդ գիրքը նվիրված է սֆերիկ եռանկյուունաչափությանը։ Առաջին պրակում խոսվում է սահմանումների, սֆերիկ եռանկյունների կողմերի և անկյունների կապակցությունների մասին։ Երկրորդ պրակը նվիրված է եռանկյունների լուծմանը և վարժություններին։ Գրքի հավելվածում բացատրվում է համեմատության կարկինը և նրանից օգտվելու եղանակը։

Պրոնյանը հայկական տպագիր գրականության մեջ առաջին անգամ լրիվ կերպով կիրառում է գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման և այլ մաթեմատիկական նշաններ։

Եռանկյունաչափության պատմաբաններ 
18-19 դարերում մաթեմատիկայի ու աստղագիտության պատմություններում մեծ տեղ հատկացվեց նաև եռանկյունաչափության պատմությանը (Ժ. Է. Մոնտուկլա, Ժ. Բ. Ժ. Դելամբր, Հ. Հանկել, Պ. Տանների և ուրիշներ)։ 1900 թվականին գերմանացի մաթեմատիկական պատմաբան Անտոն ֆոն Բրաունմյուլը հրապարակեց առաջին մոնոգրաֆիան երկու հատորով, որը հատուկ նվիրված էր եռանկյունաչափության պատմությանը։ 20-րդ դարում այդ թեմայով խոշորածավալ աշխատանքներ հրապարակեցին Ցեյտենը, Կանտորը, Նայգեբաուերը, Ռոզենֆելդը, Մատվիևսկայան և ուրիշներ։

Գրականություն

Գրքեր 
 
 
 
 
 
 История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

Հոդվածներ

Նշումներ

Ծանոթագրություններ

Տես նաև 
 Աստղագիտությունը հին Հունաստանում
 Միջնադարյան իսլամական աստղագիտությունը
 Մաթեմատիկայի պատմություն
 Եռանկյունաչափական նույնություններ
 Եռանկյունաչափություն

Արտաքին հղումներ 
 .
 .
 .

Եռանկյունաչափություն