Մերսենի թիվ

Մերսենի թվեր են համարվում Mn = 2n - 1 տեսքի թվերը, որտեղ n-ը բնական թիվ է, իսկ Mn-ը՝ պարզ։ Անունն ստացել են 17-րդ դարում դրանք ուսումնասիրած ֆրանսիացի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։

Մերսենի թվերի հաջորդականությունը սկսում է այս կերպ՝ 
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … :
Երբեմն Մերսենի թվեր անվանում են Mp թվերին, որտեղ p-ն պարզ թիվ է։ Այդ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝ 
3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, … :
2013 թ. փետրվարի դրությամբ հայտնի է Մերսենի 48 թիվ։ Ամենամեծ հայտնի 257 885 161 − 1 պարզ թիվը Մերսենի պարզ թիվ է։ 1997-ից սկսած, Մերսենի բոլոր նոր թվերը հայտնաբերվել են  “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS) ինտերնետային հաշվողական նախագծով։

Հատկություններ 
 Եթե Mn-ը պարզ թիվ է, ապա n-ը նույնպես պարզ է։ Հակառակն, ընդհանուր առմամբ, ճիշտ չէ, ամենափոքր օրինակ է հանդիսանում՝ :
 Mp թվի ցանկացած բաժանարար պարզ p-ի համար ունի 2pk+1 տեսք, որտեղ k-ն բնական թիվ է (Ֆերմայի փոքր թեորեմի հետևանք)։
 Ամեն զույգ կատարյալ թիվ ունի  տեսքը, որտեղ Մերսենի  թիվը հանդիսանում է պարզ (ապացուցել է Էյլերը)։

Մերսենի պարզ թվերը
Մերսենի թվերը հայտնի դարձան, կապված Լյուկ-Լամերի բավականին արդյունավետ պարզության հայտանիշի հետ, որի շնորհիվ, Մերսենի պարզ թվերը արդեն բավականին ժամանակ է, ինչ ամենամեծ հայտնի պարզ թվերն են։ 
Մերսենի 45-րդ պարզ թիվը  թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում  թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին։ Տասնորդական գրության դեպքում 
-ի երկարությունը 12978189 թվանշան է, ինչը թույլ տվեց այն հայտնաբերած GIMPS-ին 2009 թվին ստանալու տասը միլիոնից ոչ պակաս թվանշան պարունակող պարզ թիվ գտնելու համար Electronic Frontier Foundation-ի սահմանած 100 000 ԱՄՆ դոլար մրցանակը։

Ընդհանրացումներ
 Մերսենի կրկնակի թվերը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ .
Այսօրվա դրությամբ հայտնի են այդ տեսքի միայն չորս պարզ թիվ՝ n = 2, 3, 5, 7 դեպքում։

Բաց խնդիրներ
 Մերսենի պարզ թվերի քանակի անվերջությունը և դրանց ասիմպտոտիկան։
  թվի պարզությունը։

Կիրառությունը

Գործնականում Մերսենի պարզ թվերը կիրառվում են մեծ պարբերականության կեղծ պատահական թվերի գեներատորներ կառուցելու համար։

Ուշագրավ փաստ 
Փոքր մոլորակով թիվ 8191 աստերոիդի անունն ի պատիվ Մերին Միրսենի, դրել են (8191) Միրսեն, քանի որ 8191-ը Միրսենի պարզ թիվ է։(3 Յունոնան, 7 Իրիսը, 31 Եւփրոսինեն և 127 Հովհաննան հայտնաբերվել և անուններ են ստացել 19-րդ դարի ընթացքում։)

Աղբյուրներ

Ամբողջաթիվ հաջորդականություններ
Թվերի տեսություն