Ստյուարտի թեորեմ

Ստյուարտի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի և եռանկյան մի գագաթից դիմացի կողմին տարված հատողի երկարության միջև։ Թեորեմը անվանվել է շոտլանդացի մաթեմատիկոս Մեթյու Ստյուարտի պատվին, որը հրատարակել է թեորեմը 1746 թվականին։

Թեորեմը 
Դիցուք -ն, -ն, և -ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են։ Եթե  հատվածը բաժանում է  կողմը  և  երկարությամբ հատվածների, ապա ըստ Ստյուարտի թեորեմի՝
 

Ապոլոնիուսի թեորեմը այս թեորեմի մասնավոր դեպքն է (երբ d-ն միջնագիծ է)։

Ապացույց 
Թեորեմը կարելի է ապացուցել հետևյալ եղանակով.

Դիցուք θ-ն m և d, իսկ θ′-ը՝ n և d հատվածների միջև ընկած անկյուններն են։ Սյդ անկյունները կից անկյուններ են, ուստի cos θ′ = −cos θ. Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից θ և θ′ անկյունների համար.

Առաջին հավասարումը բազմապատկենք n-ով, իսկ երկրորդը՝ m-ով, և ապա գումարենք մեկը մյուսին՝

Աղբյուրներ

Արտաքին հղումներ

  Թեորեմի մասին mathworld-ում
  ,   Թեորեմի մասին planetmath-ում

Եռանկյունաչափություն
Եռանկյան երկրաչափություն