Պյութագորասի թեորեմ

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։ 
Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։ Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։
Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի և c ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝
A քառակուսի + B քառակուսի= C քառակուսի
Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ.- մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։

Ապացույցներ

Նման եռանկյունների մեթոդ 

Դիցուք ABC-ն A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է։
A գագաթից տանենք AD բարձրությունը։
ADC և ABC եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների։
Նմանապես BAD եռանկյունը նման է ABC եռանկյանը։
Մտցնենք հետևյալ նշանակումները
 
ստացանք
 
ինչը համարժեք է
 
Գումարելով կստանանք
 
կամ
 , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ 

Կոսինուսների թեորեմը   երբեմն  անվանում   են  Պյութագորասի ընդհանրացված   թեորեմ։  Այս    անվանումը   պայմանավորված   է  նրանով,   որ  կոսինուսների   թեորեմը   իր   մեջ   ներառում   է   նաև  Պյութագորասի թեորեմը՝   որպես   մասնավոր   դեպք։   Իրոք,   եթե  ABC  եռանկյան    A  անկյունը  ուղիղ   է,   ապա  cosA=cos900=0:  Կոսինուսների   թեորեմով   կստացվի՝ a2=b2+c2-2bccos900 ,   որտեղից   էլ a2=b2+c2:
Օգտվելով   թեորեմից՝   կարելի   է պարզել   նաև   եռանկյան  տեսակը՝   սուրանկյուն,  ուղղանկյուն   կամ  բութանկյուն։   Մասնավորապես,   եթե
 a2=b2+c2,   ապա  եռանկյունը   ուղղանկյուն  է,
 a2 < b2+c2 ,   ապա եռանկյունը   սուրանկյուն   է,
 a2 > b2+c2,    ապա    եռանկյունը    բութանկյուն  է։  Ընդ  որում  a>b,  a>c:

Վերադասավորումներով ապացույց 

{|
| 
Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի և այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը՝ մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։
Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։
Վերևի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ և կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով՝ ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքևի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։ 
Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ներքևի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերևի երկու քառակուսիների մեջ։

Պյութագորասի թվեր 

Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասի թվեր։ Այսինքն՝ դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։
Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 և 5 թվերի շարքը, քանի որ՝ 32+42=52։
Դրան հաջորդող եռյակներն են՝
5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25;
20, 21, 29;
21, 28, 35;
12, 35, 37;
9, 40, 41....

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ

 Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)

Հավասարումներ
Եռանկյուններ
Ապացույց պարունակող հոդվածներ
Էվկլիդեսյան երկրաչափության թեորեմներ
Մաթեմատիկա
Երկրաչափություն
Երկրաչափական ալգորիթմներ