Դավիթ Հիլբերտ

Դավիթ Հիլբերտ (, ), գերմանացի մաթեմատիկոս, Թագավորական ընկերության անդամ։ Ճանաչվել է XIX և XX դարերի ամենաազդեցիկ և ունիվերսալ մաթեմատիկոսներից մեկը։

Հիլբերտը հայտնագործել և զարգացրել է հիմնարարար գաղափարների լայն շրջանակ բազմաթիվ բնագավառներում, ներառյալ ինվարիանտության տեսությունը և երկրաչափության աքսիոմատացումը։ Ձևակերպել է նաև Հիլբերտյան տարածությունների տեսությունը՝ ֆունկցիոնալ անալիզի հիմնադրույթներից մեկը։

Կենսագրություն

Վաղ տարիներ և ուսում 

Ծնվել է դատավոր Օտտո Հիլբերտի ընտանիքում, Քյոնիգսբերգի մոտ գտնվող Վելաու փոքր քաղաքում (Պրուսիա) (Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից հետո՝ Ռուսաստանի Կալինինգրադի մարզի Զնամենսկ ավան)։ Բացի Դավիթից, նրա ծնողներն ունեին նաև Էլիզա անունով կրտսեր դուստր։

1880 թվականին պատանին ավարտում է Վիլհելմի գիմնազիան (Wilhelm Gymnasium) և անմիջապես ընդունվում Քյոնիգսբերգի համալսարան, որտեղ ընկերանում է Հերման Մինկովսկու և Ադոլֆ Հուրվիցի հետ։ Նրանք հաճախ կատարում էին «մաթեմատիկական զբոսանքներ», որոնց ժամանակ եռանդով քննարկում էին գիտական խնդիրների լուծումները։ Ավելի ուշ Հիլբերտն օրինականացրեց այդպիսի զբոսանքները, որպես իր ուսանողներին ուսուցանելու անբաժանելի մաս։

1885 թվականին Հիլբերտը պաշտպանում է ինվարիանտների տեսության գծով թեզը, որի գիտական ղեկավարն էր Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեմանը, իսկ հաջորդ տարի դառնում է մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քյոնիգսբերգում (իսկական պրոֆեսոր 1892 թվականից)։ Դասախոսություններին Հիլբերտը վերաբերում էր չափազանց բարեխղճորեն և ժամանակի ընթացքում վաստակեց փայլուն դասախոսի համբավ։

1888 թվականին Հիլբերտը կարողացավ լուծել «Գորդանի խնդիրը», որը հաճախ անվանում են «ինվարիանտների տեսության հիմնական թեորեմ», և ապացուցեց ինվարիանտների ցանկացած համակարգի համար բազիսի գոյությունը (ինքը Պաուլ Գորդանը կարողացել էր ապացուցել միայն թեորեմի մասնավոր դեպքը երկակի ձևերի համար)։ Հիլբերտի ապացույցը ոչ կոնստրուկտիվ էր (նա ապացուցել էր բազիսի գոյությունը, բայց չէր նշել, թե ինչպես կարելի է այն իրականում կառուցել) և քննադատվեց։ Այնուամենայնիվ, ինվարիանտների տեսությունում Հիլբերտի հիմնարար գյուտերը նրան դարձրին Եվրոպայի առաջատար մաթեմատիկոսներից մեկը։

1892 թվականին Հիլբերտն ամուսնանում է Կետե Երոշի հետ (Käthe Jerosch, 1864-1945)։ Հաջորդ տարի ծնվում է նրանց միակ որդին՝ Ֆրանցը (1893-1969), որը տառապում էր հոգեկան հիվանդությամբ։

Գյոթինգեն (1895-1915) 

1895 թվականին Ֆելիքս Կլայնի հրավերով Հիլբերտը տեղափոխվում է  Գյոթինգենի համալսարան և զբաղեցնում այն ամբիոնը, որը ժամանակին զբաղեցրել էին Կառլ Գաուսը և Բեռնարդ Ռիմանը։ Այդ պաշտոնում նա մնում է 35 տարի, փաստորեն մինչև կյանքի վերջ։

1897 թվականին լույս է տեսնում նրա «Zahlbericht» («Հաշվետվություն թվերի մասին») մենագրությունը հանրահաշվական թվերի տեսության մասին։ Այնուհետև Հիլբերտը, իր սովորության համաձայն, կտրուկ փոխում է իր հետազոտությունների թեմատիկան և 1899 թվականին հրապարակում է «Երկրաչափության հիմունքները», որոնք նույնպես դառնում են դասական։

1900 թվականին Միջազգային մաթեմատիկական երկրորդ համաժողովում Հիլբերտը ձևակերպում է չլուծված քսաներեք խնդիրների հանրահայտ ցանկը, որն ամբողջ 20-րդ դարի ընթացքում դառնում է բոլոր մաթեմատիկոսների ջանքերի ներդման ուղղորդող ցուցիչը։ Բանավիճելով Անրի Պուանկարեի և այլ ինտուիցիոնիստների հետ՝ Հիլբերտը նաև կարճ ձևակերպում է իր գիտական փիլիսոփայությունը։ Նա հայտարարում է, որ ցանկացած ոչ հակասական մաթեմատիկական օբյեկտ իրավունք ունի համարվելու գոյություն ունեցող, նույնիսկ եթե ո՛չ կապ ունի իրական օբյեկտների հետ, ո՛չ էլ ունի ինտուիտիվ հիմնավորում (այն ժամանակ հատկապես թեժ վեճեր էին առաջացնում բազմությունների տեսության հեղափոխական կառուցվածքները)։ Նա վստահություն է հայտնում, որ մաթեմատիկական ամեն մի խնդիր կարող է լուծվել և առաջարկում է անցնել ֆիզիկայի աքսիոմատացմանը։

1902 թվականին Հիլբերտը դառնում է մաթեմատիկական «Mathematische Annalen» հեղինակավոր ամսագրի խմբագիրը։ 1910-ական թվականներին ստեղծում է ժամանակակից տեսքով ֆունկցիոնալ անալիզը՝ ներմուծելով Հիլբերտյան տարածություն անվանումը ստացած հասկացությունը, որն ամփոփում է Էվկլիդեսյան տարածությունը անվերջանալի չափսերի դեպքերի համար։ Այդ տեսությունը բացարձակ օգտական եղավ ոչ միայն մաթեմատիկայում, այլև շատ այլ բնական գիտություններում՝ քվանտային մեխանիկայում, գազերի կինետիկական տեսությունում և այլն։

Առաջին համաշխարհային պատերազմը սկսվելուց հետո (1914) Հիլբերտը հրաժարվում է ստորագրել 93-ի մանիֆեստը ի պաշտպանություն գերմանական զորքերի (ստորագրածների թվում էին այնպիսի խոշոր գիտնականներ, ինչպիսիք են Վիլհելմ Վինը, Ֆելիքս Կլայնը, Ֆիլիպ Լենարդը, Վալտեր Նեռնստը, Մաքս Պլանկը, Վիլհելմ Ռենտգենը)։ Ինտերնացիոնալ դիրքորոշումը Հիլբերտը պահպանում է ամբողջ պատերազմի ընթացքում։ Այսպես, 1917 թվականին, հակառակ ազգայնականների բողոքների, նա հրապարակում է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժան Գաստոն Դարբուի մահախոսականը։ Դրա շնորհիվ Հիլբերի հեղինակությունը պատերազմից հետո չի տուժում, և 1928 թվականին նրան համընդհանուր օվացիայով են դիմավորում Բոլոնյայում կայացած Միջազգային մաթեմատիկական ութերորդ համաժողովում։

Վերջին տարիներ (1915-1943) 
1915 թվականին Հիլբերտը խորհուրդներ է տալիս Ալբերտ Այնշտայնին և օգնում է նրան ավարտելու հարաբերականության ընդհանուր տեսության դաշտի հավասարումների արտածումը։

1920-ական թվականներին Հիլբերտը և նրա դպրոցը ջանքերը կենտրոնացնում են մաթեմատիկայի ձևական-տրամաբանական աքսիոմատիկ հիմնավորման կառուցման վրա։ 1930 թվականին, համալսարանի կանոնակարգի համաձայն, 68-ամյա Հիլբերտը հրաժարական է տալիս, թեև ժամանակ առ ժամանակ դասախոսություններ է կարդում ուսանողներին (վերջին դասախոսությունը Գյոթինգենում Հիլբերտը կարդում է 1933 թվականին)։ Տհաճ անակնկալ էին Կուրտ Գյոդելի երկու թեորեմները (1931), որոնք ցույց էին տալիս մաթեմատիկայի հիմունքներին ձևական-տրամաբանական մոտեցման անհեռանկարայնությունը։ Հիլբերտը, սակայն, պահպանում է լավատեսությունը և հայտարարում. «Ամեն մի տեսություն անցնում է զարգացման երեք փուլ՝ նաիվ, ձևական և քննադատական»։

Գերմանիայում նացիոնալ-սոցիալիստների իշխանության գալուց հետո Հիլբերտն ապրում էր Գյոթինգենում համալսարանական գործերից հեռու։ Նրա գործընկերներից շատերը, որոնք չունեին արիական ծագմամբ բավականաչափ նախնիներ կամ ազգականներ, ստիպված էին արտագաղթել (այդ թվում Հիլբերտի մոտ ընկերներ Հերման Վեյլն ու Պաուլ Բեռնայսը)։ Ստեղծվեց «Գերմանական մաթեմատիկա» ընկերությունը՝ ակտիվ նացիստներ Լյուդվիգ Բիբերբախի և Թեոդոր Ֆալենի գլխավորությամբ, որոնք համակրում էին ինտուիցիոնիստներին և մերժում բազմությունների տեսությունը (հնարավոր է նաև հրեական խորհրդանշաններ օգտագործելու համար)։ Մի անգամ նացիստների կրթության նախարար Բեռնհարդ Ռուստը հարցրել է Հիլբերտին. «Ինչպե՞ս է այժմ մաթեմատիկայի վիճակը Գյոթինգենում, երբ այն ազատագրվել է հրեական ազդեցությունից»։ Հիլբերտը թախծոտ պատասխանել է. «Մաթեմատիկան Գյոթինգենո՞ւմ։ Այն այլևս չկա» ()։

1934 թվականին Հիլբերտը հրապարակում է (Բեռնայսի հետ համատեղ) «Մաթեմատիկայի հիմունքները» մենագրության առաջին հատորը, որտեղ ընդունում է տրամաբանական թույլատրելի միջոցների ցանկն ընդլայնելու անհրաժեշտությունը (ավելացնելով որոշ տրանսֆինիտ գործիքներ)։ Երկու տարի անց Գերհարդ Գենցենը, իրոք, տրանսֆինիտ ինդուկցիայի օգնությամբ ապացուցում է թվաբանության անհակասականությունը, բայց դրանով առաջընթացը սահմանափակվում է։ Ձևական-տրամաբանական մոտեցումը արժեքավոր ներդրում եղավ մաթեմատիկական տրամաբանության և ապացույցների տեսության մեջ, սակայն ընդհանուր առմամբ չարդարացրեց Հիլբերտի հույսերը։

Հիլբերտը մահացավ Գյոթինգենում՝ պատերազմական 1943 թվականի փետրվարի 14-ին։ Նրա դագաղի հետևից գնում էր ընդամենը մոտ մեկ տասնյակ մարդ։ Թաղված է Գյոթինգենի Groner Landstrasse քաղաքային գերեզմանատանը։

Գիտական գործունեություն 

Հիլբերտի հետազոտությունները մեծ ազդեցություն են գործել մաթեմատիկայի շատ բաժինների զարգացման վրա, իսկ նրա գործունեությունը Գյոթինգենի համալսարանում զգալիորեն նպաստել է նրան, որ 20-րդ դարի առաջին երեք տասնամյակում Գյոթինգենը մաթեմատիկական մտքի համաշխարհային կենտրոններից էր։ Մեծաթիվ խոշոր մաթեմատիկոսների (նրանց թվում են Հերման Վեյլը, Ռիխարդ Կուրանտը) թեզերը գրվել են նրա գիտական ղեկավարությամբ։

Հիլբերտի գիտական կենսագրությունը հստակորեն բաժանվում է մաթեմատիկայի որևէ բնագավառին նվիրված ժամանակահատվածների.
 Ինվարիանտների տեսություն (1885-1893)։
 Հանրահաշվական թվերի տեսություն (1893-1898)։
 Երկրաչափության հիմունքներ (1898-1902)։
 Դիրիխլեի սկզբունքը (մաթեմատիկական ֆիզիկա) և նրան հարող վարիացիոն հաշվի ու դիֆերենցիալ հավասարումների խնդիրներ (1900-1906)։
 Ինտեգրալ հավասարումների տեսություն (1902-1912)։
 Թվերի տեսությունում Վարինգի խնդրի լուծում (1908-1909)։
 Մաթեմատիկական ֆիզիկա (1910-1922)։
 Մաթեմատիկայի հիմունքներ (1922-1939)։

Մաթեմատիկա 
Հիլբերտի հետազոտությունները ինվարիանտների տեսությունում 19-րդ դարի երկրորդ կեսում մաթեմատիկայի այդ ասպարեզում բուռն զարգացման ժամանակաշրջանի ավարտն էին։ Նա ապացուցել է ինվարիանտների համակարգի վերջնական բազիսի գոյության մասին հիմնական թեորեմը։

Հանրահաշվական թվերի տեսության ուղղությամբ Հիլբերտի աշխատությունները վերափոխեցին մաթեմատիկայի այդ ասպարեզը և դարձան հետագա զարգացման ելման կետը։ Իր դասական տեսությունում նա կատարել է տվյալ նյութի խոր և բովանդակալից շարադրանք։ Գերմանացի մաթեմատիկոսներ Պետեր Գուստավ Դիրիխլեի, Էռնստ Էդուարդ Կումմերի, Լեոպոլդ Կրոնեկերի, Յուլիուս Վիլհելմ Ռիխարդ Դեդեկինդի, այնուհետև՝ Էմմի Նյոթերի և Հերման Մինկովսկու ջանքերով ստեղծվեց թվային դաշտերի բաժանելիության ավարտուն տեսությունը, որը հիմնված է իդեալի և պարզ իդեալի հասկացությունների վրա։ Սակայն բաց էր մնում այն հարցը, թե ինչ է կատարվում պարզ իդեալի հետ այն «վերդաշտում» ընդգրկելիս, և այդ բարդ խնդրի հետ կապված Հիլբերտը ներմուծեց մի շարք կարևոր հասկացություններ, ձևակերպեց և մասամբ ապացուցեց սրան վերաբերող հիմնական արդյունքները։ Դրանց ամբողջական ապացուցումը և հետագա զարգացումը դարձան նրա մեծագույն հետնորդներից ոմանց գործը։

Հանրահաշվական դաշտերի տեսության զարգացման գործում հիմնարար դեր է կատարել Հիլբերտի «Հանրահաշվական թվերի դաշտերի տեսություն» մենագրությունը, որը մի քանի տասնամյակ դարձավ այդ թեմայով հետագա հետազոտությունների հիմքը։  Հիլբերտի սեփական հայտնագործություններից առանձնանում է Գալուայի տեսության նրա զարգացումը, այդ թվում՝ կարևոր «90-րդ թեորեմը»։

Հիլբերտի սահմանած Դիրիխլեի խնդրի լուծումը դրեց վարիացիոն հաշվի, այսպես կոչված, ուղղակի մեթոդների մշակման սկիզբը։

Հիլբերտի կառուցած համաչափ միջուկով ինտեգրալային հավասարումների տեսությունը դարձել է ժամանակակից ֆունկցիոնալ անալիզի և հատկապես գծային օպերատորների սպեկտրալ տեսության հիմքերից մեկը։

Հիլբերտն իրեն դրսևորեց որպես Կանտորի բազմություների տեսության համոզված կողմնակից և այն պաշտպանում էր բազմաթիվ հակառակորդների քննադատություններից։ Նա ասում էր. «Ոչ ոք չի վտարի մեզ Կանտորի ստեղծած դրախտից»։ Ինքը՝ Հիլբերտը, սակայն, այդ ասպարեզը չի մշակել, թեև անուղղակիորեն շոշոափել է ֆունկցիոնալ անալիզի աշխատություններում։

Մաթեմատիկայի հիմնավորումը 
Հիլբերտի դասական «Երկրաչափության հիմունքները» (1899) դարձան երկրաչափության աքսիոմատիկ կառուցման հետագա աշխատանքների նմուշ։ Թեև մաթեմատիկական մեկ կառուցվածքը մյուսի հիման վրա կառուցելու գաղափարը օգտագործվել է և Հիլբերտից առաջ (օրինակ, Ուիլյամ Ռոուեն Համիլտոնը), սակայն Հիլբերտն այն իրագործեց սպառիչ կերպով։ Նա ոչ միայն սահմանեց  երկրաչափության ամբողջական աքսիոմատիկան, այլև մանրամասնորեն վերլուծեց այդ աքսիոմատիկան՝ ապացուցելով իր յուրաքանչյուր աքսիոմի անկախությունը (մի շարք սրամիտ մոդելների օգնությամբ)։ Հիլբերտը նաև ստեղծել է մետամաթեմատիկան և հստակ սահմանել է կատարյալ աքսիոմատիկ տեսության պահանջները. անհակասականություն, լրիվություն, աքսիոմների անկախություն։ Հիլբերտի ֆորմալիզմն առաջ բերեց մի շարք խոշոր մաթեմատիկոսների (այդ թվում՝ Ֆրիդրիխ Լյուդվիգ Գոտլոբ Ֆրեգեի և Անրի Պուանկարեի) թշնամական քննադատությունը։ Նրանք ինտուիցիոնիստական դիրքորոշման կրողներ էին և համարում էին, որ աքսիոմները պետք է լինեն ինտուիտիվ իսկություն, իսկ ցանկացած այլ մոտեցում «խաբեբայություն» է։

Մինչև 1922 թվականը Հիլբերտի մեջ ձևավորվել էր ամբողջ (կամ գոնե զգալի, բոլորի կողմից ընդունված հատվածի) մաթեմատիկայի հիմնավորման ընդարձակ պլան` նրա ամբողջական ֆորմալիզացման եղանակով ֆորմալացված մաթեմատիկայի անհակասականության «մետամաթեմատիկական» ապացույցով։ Այդ ծրագիրն իրագործելու համար Հիլբերտը, շարունակելով Ֆրեգեի աշխատանքը, մշակում է ապացույցների խիստ տրամաբանական տեսություն, որի օգնությամբ մաթեմատիկայի անհակասականությունը կհանգեր թվաբանության անհակասականության ապացուցմանը։ Ընդ որում` Հիլբերտն օգտագործել է միայն բոլորի կողմից ընդունված տրամաբանական միջոցներ (առաջին կարգի տրամաբանություն)։ Ինչպես հետագայում պարզեց Կուրտ Գյոդելը, նրա ծրագիրն անիրագործելի էր (1931), սակայն մաթեմատիկական տրամաբանության զարգացման զգալի խթան հանդիսացավ։

Հիլբերտի և Պաուլ Բեռնայսի համատեղ գրած «Մաթեմատիկայի հիմունքների» երկու հատորները, որոնցում այդ հայեցակարգը մանրամասն զարգացվում է, լույս են տեսել 1934 և 1939 թվականներին։ Այդ ասպարեզում Հիլբերտի սկզբնական հույսերը չարդարացան. ֆորմալիզացված մաթեմատիկական տեսությունների անհակասականության խնդիրն ավելի խոր և բարդ էր, քան սկզբում ենթադրում էր Հիլբերտը, և իսկության հասկացությունը չհաջողվեց հանգեցնել տրամաբանական արտածելիությանը։ Բացի վերը նշված Գյոդելի թեորեմներից, Հիլբերտի ծրագրին մահացու հարվածներ հասցրին Գյոդելի և Տարսկու արդյունքները (1931-1933) ֆորմալ տեսության համար հասարակ արտածելիությունից տարբերվող իսկության սեփական հասկացության որոշման անհնարինության վերաբերյալ, ինչպես նաև Լյովենհայմի-Սկուլեմի թեորեմը, որի համաձայն առաջին կարգի ֆինիտային տեսությունները չափազանց թույլ են սեփական մոդելների կարդինալ թիվը վերահսկելու համար (երկրորդ կարգի տրամաբանությունում վիճակն այլ է)։ Չըրչի-Թյուրինգի թեզիսը, որը քննարկվել է նույն ժամանակաշրջանում, սահմանափակել է առաջին կարգի տրամաբանությունը նաև ալգորիթմական հաշվելիության հարցում։

Սակայն մաթեմատիկայի տրամաբանական հիմունքների վերաբերյալ հետագա ամբողջ աշխատանքը զգալի չափով ընթանում է Հիլբերտի նախանշած ճանապարհով և օգտագործում է նրա ստեղծած հայեցակարգերը։

Կողմ լինելով տրամաբանական տեսանկյունից մաթեմատիկայի լիակատար ֆորմալիզացման անհրաժեշտությանը` Հիլբերտը միևնույն ժամանակ հավատում էր ստեղծագործական մաթեմատիկական ներըմբռնման ուժին։ Նա մաթեմատիկական տեսությունների բարձր աստիճանի զննական շարադրանքի մեծ վարպետ էր։ Այդ առումով նշանակալի է «Զննական երկրաչափությունը», որը Հիլբերտը գրել է Ստեֆան Կոն-Ֆոսսենի հետ համատեղ։ Դրա հետ մեկտեղ Հիլբերտը մաթեմատիկական ստեղծագործության հանդեպ սահմանափակումներ մտցնելու ինտուիցիոնիստների փորձերի (օրինակ, բազմությունների տեսությունը, ընտրության աքսիոմի կամ նույնիսկ բացառված երրորդի օրենքն արգելելու) վճռական հակառակորդ էր։ Այդ դիրքորոշումը գիտական միջավայրում ծնեց բանավեճ, որի ընթացքում մաթեմատիկոսների մի մասը Հիլբերտի ապացույցների տեսությունը (հատկապես Գյոդելի վերոնշյալ աշխատություններից հետո) մեղադրում էր անբովանդակալի լինելու համար և անվանում էր բանաձևերով փուչ խաղ։

Հիլբերտի ստեղծագործություններին բնորոշ են մարդկային բանականության անսահմանափակ ուժի մեջ վստահությունը, մաթեմատիկական գիտության միասնականության և մաթեմատիկայի ու բնագիտության միասնականության մեջ համոզվածությունը։ Հիլբերտի ստեղծագործությունների ժողովածուն, որը հրատարակվել է նրա հսկողության ներքո (1932-1935), ավարտվում է «Բնության իմացություն» հոդվածով, իսկ բուն հոդվածը՝ «Մենք պարտավոր ենք իմանալ։ Մենք կիմանանք» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.) կարգախոսով։ Դա հակադրություն է անճանաչելիության դիրքերում կանգնած Էմիլ Դյուբուա Ռեյմոնի «Մենք չգիտենք՝ մենք չենք իմանա» («Ignoramus — ignorabimus») ասույթին։

Ֆիզիկա 
Ֆիզիկայում Հիլբերտը խիստ աքսիոմատիկ մոտեցման կողմնակից էր և համարում էր, որ մաթեմատիկայի աքսիոմացումից հետո անհրաժեշտ է նույնը կատարել ֆիզիկայի հետ։ Հիլբերտի ամենահայտնի ներդրումը ֆիզիկայում հարաբերականության ընդհանուր տեսության (ՀԸՏ) հիմնական հավասարումների՝ դաշտի հավասարումների արտածումն է, որը նա կատարել է 1915 թվականի նոյեմբերին գործնականում Ալբերտ Այնշտայնի հետ միաժամանակ (այդ մասին տե՛ս՝ Հիլբերտ և գրավիտացիոն դաշտի հավասարում)։ Բացի այդ, անվիճելի է Հիլբերտի էական ազդեցությունը Այնշտայնի վրա այդ հավասարումներն արտածելու նրանց զուգահեռ աշխատանքի ժամանակահատվածում. այդ ժամանակ նրանք վարում էին փոխադարձ օգտակար արդյունավետ նամակագրություն, որն էականորեն արագացրեց հարաբերականության ընդհանուր տեսությունը բարեհաջող ստեղծելու աշխատանքը։ Այդ հավասարումներն արտածելիս Հիլբերտն առաջինն օգտագործեց վարիացիոն եղանակը, որը հետագայում դարձավ հիմնականներից մեկը տեսական ֆիզիկայում։ Ակնհայտ է, որ սա առաջին դեպքն էր ֆիզիկայի պատմության ընթացքում, երբ հիմնարար տեսության մինչ այդ անհայտ հավասարումները ստացվում էին նման եղանակով (համենայն դեպս, եթե խոսենք հաստատված տեսությունների մասին)։

Հարաբերականության ընդհանուր տեսության ասպարեզում այլ աշխատություններ Հիլբերտը գործնականում չուներ. նա ի սկզբանե ՀԸՏ-ն դիտարկում էր Գուստավ Միի գաղափարների հիման վրա «մատերիայի համընդհանուր տեսության» ստեղծման քայլերից մեկը և փորձում էր աշխատել այդ ուղղությամբ, բայց առանց առանձնակի հաջողության, և շուտով թողեց այդ թեման։

Հետաքրքրություն է ներկայացնում նաև հետևյալ դեպքը. 1926 թվականին մատրիցային քվանտային մեխանիկան ստեղծելուց հետո Մաքս Բոռնը և Վերներ Հայզենբերգը որոշում են խորհրդակցել Հիլբերտի հետ՝ գոյություն ունի՞ արդյոք մաթեմատիկայի բնագավառ, որտեղ օգտագործվում է նման ֆորմալիզմ։  Հիլբերտը պատասխանում է, որ նման մատրիցների հանդիպել է, երբ ուսումնասիրել է մասնակի ածանցյալներում երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումների գոյություն ունենալու հարցը։ Ֆիզիկոսներին թվում է, թե մաթեմատիկոսն իրենց չի հասկացել, և որոոշում են այդ հարցն այլևս չուսումնասիրել։ Մոտ կես տարի անց Էրվին Շրյոդինգերը ստեղծում է ալիքային քվանտային մեխանիկան, որի հիմնական հավասարումը՝ Շրյոդինգերի հավասարումը, մասնակի ածանցյալներում երկրորդ կարգի հավասարում է, և ապացուցում է երկու մոտեցումների՝ հին մատրիցայինի և նոր ալիքայինի համարժեքությունը։

Աշակերտներ 

Դավիթ Հիլբերտի անմիջական աշակերտներն էին Գյոթինգենում.
 Օտտո Բլյումենտալը
 Հերման Վեյլը
 Ռիխարդ Կուրանտը
 Էմանուել Լասկերը՝ շախմատի աշխարհի երկրորդ չեմպիոնը
 Ջոն ֆոն Նեյմանը, որը եղել է նաև նրա օգնականը
 Էռնստ Ցերմելոն
 Հուգո Շտայնհաուզը
և այլք։ Ավելի մեծ է այն գիտնականների շրջանակը, որոնք իրենց համարում էին Հիլբերտի աշակերտներ։ Նրանց թվում են, օրինակ, Էմմի Նյոթերը և Ալոնզո Չըրչը։ Ընդհանուր առմամբ Հիլբերտը եղել է 69 ասպիրանտի գիտական ղեկավար, որոնք պաշտպանել են դոկտորական թեզեր։ Ուշագրավ է նրա կարծիքը ասպիրանտներից մեկի մասին, որը թողել է մաթեմատիկան և «վերաորակավորվել» որպես բանաստեղծ. «Դա լավ է, մաթեմատիկոսի համար նա շատ քիչ երևակայություն ունի»։

Գնահատականներ և անձնական որակներ 
Ժամանակակիցները հիշում են Հիլբերտին որպես կենսուրախ, չափազանց շփվող և բարյացակամ մարդու, նշում են նրա բացառիկ աշխատասիրությունը և գիտական խանդավառությունը։

Անվանի մաթեմատիկոսները Դավիթ Հիլբերտի դերի մասին մաթեմատիկայում արտահայտվել են այսպես.

Հերման Վեյլ.

Մաքս Լաուե.

Պյոտր Նովիկով.

Նորբերտ Վիներ.

Ժան Դյոդոնե.

Ռիխարդ Կուրանտ.

Հիշատակ 
1970 թվականին Միջազգային աստղագիտական միությունը Դավիթ Հիլբերտի անունով է կոչել Լուսնի հակառակ կողմի խառնարաններից մեկը։ Նրա անունով է կոչվում նաև (12022) Հիլբերտ աստերոիդը։

Պարգևներ և կոչումներ 
 Բեռլինի գիտությունների ակադեմիայի թղթակից անդամ (1913 թվականից)
 Ն. Լոբաչևսկու անվան մրցանակ (1903), Կազանի ֆիզիկամաթեմատիկական ընկերություն
 Պոնսելեի մրցանակ (1903), Ֆրանսիայի գիտությունների ակադեմիա
 Կոտենիուսի մեդալ (1906), Գերմանիայի «Լեոպոլդինա» ընկերություն
 Բոյայիի մրցանակ (1910), Հունգարիայի գիտությունների ակադեմիա
 Քյոնիգսբերգի պատվավոր քաղաքացի (1930)
 Գիտնականի անունով փողոց է անվանակոչված Գյոթինգեն քաղաքում (Հիլբերտշտրասսե)

Հիլբերտն ընտրվել է գիտությունների բազմաթիվ ակադեմիաների արտասահմանյան անդամ։

Ծանոթագրություններ 

Գերմանացի մաթեմատիկոսներ
Գյոթինգենի համալսարան
Մաթեմատիկոսներ այբբենական կարգով
20-րդ դարի մաթեմատիկոսներ
Լոնդոնի թագավորական միության արտասահմանյան անդամներ
Պրուսիայի գիտությունների ակադեմիայի անդամներ
Գերմանացի փիլիսոփաներ
Գյոթինգենի համալսարանի շրջանավարտներ
Քյոնիգսբերգի համալսարանի շրջանավարտներ
Շվեդիայի գիտությունների թագավորական ակադեմիայի անդամներ
ԱՄՆ-ի գիտությունների ազգային ակադեմիայի արտասահմանյան անդամներ
Լոնդոնի թագավորական ընկերության անդամներ
ԽՍՀՄ ԳԱ թղթակից անդամներ
Ֆրանսիայի Գիտությունների ակադեմիայի թղթակից անդամներ