Բազմաձևություն

n-չափանի տոպոլոգիական բազմաձևություն կոչվում է հաշվելի բազայով Հաուսդորֆյան տոպոլոգիական տարածությունը, որը տեղայնորեն հոմեոմորֆ է Էվկլիեդսյան n-չափանի տարածությանը։f։x→y արտապատկերումը կոչվում է հոմեոմորֆիզմ, եթե այն փոխմիարժեք է և անընդհատ։ Տոպոլոգիական տարածությունը կոչվում է անընդհատ, եթե նրա կամայական 2 կետերի համար այդ տարածության մեջ, գոյություն ունեն չհատվող շրջակայքեր։ Շատ կարևոր է, որ տոպոլոգիական բազմաձևությունները տեղայնորեն կառուցված են, ինչպես համապատասխան չափողականության Էվկլիդեսյան տարածություններ։ Սակայն կարելի է կառուցել տոպոլոգիական տարածություն, որը Հաուսդորֆյան է, տեղայնորեն հոմեոմորֆ է Էվկլիդեսյան տարածությանը, սակայն բազմաձևություն չէ։

Օրինակ. Դիտարկենք Էվկլիդեսյան հարթությամ մեջ y=α հավասարմամբ տրված զուգահեռ ուղիղների բազմությունը, որտեղ α-ն իռացիոնալ թիվ է։ Նման իռացիոնալ օրդինատներ ունեցող ուղիղների բազմությունը կազմում է Հաուսդորֆյան տոպոլոգիական տարածություն, տեղայնորեն հոմեոմորֆ է թվային ուղղին, սակայն տոպոլոգիական բազմաձևություն չէ, քանի-որ նրանում հնարավոր չէ ներմուծել հաշվելի բազա։ Դրանում համոզվելու համար ուղիղներից յուրաքանչյուրի վրա ֆիքսենք ինչ-որ հաշվելի անվերջ բազա։ Ակնհայտ է, որ դիտարկվող հավաքածուի ուղիղների բազաների միավորումը անհաշվելի է, քանի-որ նրա հզորությունը փոքր չէ իռացիոնալ թվերի բազմության հզորությունից։ Բազմաձևությունը կոչվում է բաց, եթե այն կոմպակտ է, և փակ՝ եթե այն չունի կոմպակտ բաղադրիչներ։

Տոպոլոգիա