Ապոլոնիուսի թեորեմ

Ապոլոնիուսի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան միջնագծի և նրա կողմերի երկարությունների միջև։

Սա Ստյուարտի թեորեմի մասնավոր դեպք է։ Հավասարասրուն եռանկյան դեպքում այն վերածվում է Պյութագորասի թեորեմի։ Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվելիս կիսում են իրար, Ապոլոնիուսի թեորեմը համարժեք է զուգահեռագծերի օրենքին։

Թեորեմը իր անունը կրում է հին հույն գիտնական Ապոլլոնիոսի պատվին։

Ապացույց 

Այս թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես Ստյուարտի թեորեմ մասնավոր դեպք, այն կարելի է ապացուցել վեկտորների միջոցով։
Ստորև բերվում է մեկ այլ ապացույց, որն օգտագործում է կոսինուսների թեորեմը։

Դիցուք a-ն, b-ն և c-ն որևէ եռանկյան կողմերն են, իսկ d-ն a-ին տարված միջնագիծն է։ Միջնագիծը a-ն կբաժանի երկու m = 1/2 a երկարությամբ հատվածների։ a-ի և d-ի միջև ընկած անկյունը նշանակենք θ, իսկ θ′-ով նշանակենք նրա կից անկյունը (հետևաբար, cos θ′ = −cos θ)։ Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից՝ θ և θ′ անկյունների համար.

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանանք

որն էլ որ պահանջվում էր ապացուցել։

Տեսեք նաև 
 Ստյուարտի թեորեմ

Աղբյուրներ 

 Թեորեմի մասին PlanetMath-ում 

Եռանկյան երկրաչափություն
Էվկլիդեսյան երկրաչափության թեորեմներ