अतिपरवलयिक फलन

गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं। 

हाइपरबोलिक साइन "sinh" ( या ), और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (), मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" ( या ), हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" ( या ), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" ( या ), तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" ( या ), व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-
 Hyperbolic sine:

 Hyperbolic cosine:

 Hyperbolic tangent:

 Hyperbolic cotangent:

 Hyperbolic secant:

 Hyperbolic cosecant: 

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल  हैं-

such that 
 and .

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं-

such that  for the hyperbolic cosine, and  for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:
 Hyperbolic sine:

 Hyperbolic cosine:

 Hyperbolic tangent:

 Hyperbolic cotangent:

 Hyperbolic secant:

 Hyperbolic cosecant:

where i is the imaginary unit with the property that 

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.

सन्दर्भ

फलन