ची वर्ग वितरण

सिद्धांत संभावना और सांख्यिकी में, स्वतंत्रता की डिग्री के साथ कश्मीर ची-वर्ग बंटन (भी ची के वर्ग या χ²-वितरण) कश्मीर स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर के वर्गों की राशि का वितरण है। यह गामा वितरण का एक विशेष मामला है और परिकल्पना परीक्षण में या विश्वास अंतराल के निर्माण में, आनुमानिक आँकड़े, उदा में सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल प्रायिकता वितरण में से एक है। जब यह है अधिक सामान्य ची-वर्ग बंटन से प्रतिष्ठित किया जा रहा है, इस वितरण कभी कभी केंद्रीय ची-वर्ग बंटन कहा जाता है। ची-वर्ग बंटन एक की आबादी के मानक विचलन के लिए एक सैद्धांतिक एक, गुणात्मक डेटा के वर्गीकरण के दो मापदंड की स्वतंत्रता के लिए एक मनाया वितरण के फिट की भलाई के लिए आम ची चुकता परीक्षणों में प्रयोग किया जाता है, और विश्वास अंतराल आकलन में एक नमूना मानक विचलन से सामान्य वितरण। कई अन्य सांख्यिकीय परीक्षण भी खेमे से विचरण के फ्राइडमैन के विश्लेषण की तरह, इस वितरण का उपयोग करें।

परिचय 
परीक्षण में उठता है, दूसरों के बीच में। आकस्मिकता तालिकाओं में ची चुकता स्वतंत्रता की कसौटी काल्पनिक वितरण करने के लिए मनाया डेटा के फिट की भलाई के काई-वर्ग परीक्षण नेस्टेड मॉडल के लिए संभावना अनुपात परीक्षण अस्तित्व के विश्लेषण में प्रवेश करें रैंक परीक्षण स्तरीकृत आकस्मिकता तालिकाओं के लिए कोचरन-मेंटल परीक्षण यह भी टी-वितरण और एफ वितरण टी परीक्षण, विचरण के विश्लेषण में इस्तेमाल किया, और प्रतिगमन विश्लेषण की परिभाषा का एक घटक है। प्राथमिक कारण है कि ची-वर्ग बंटन परिकल्पना परीक्षण में बड़े पैमाने पर इस्तेमाल किया जाता है सामान्य वितरण के लिए अपने रिश्ते है। कई परिकल्पना परीक्षण इस तरह के एक टी परीक्षण में टी आँकड़ों के रूप में, एक परीक्षण आंकड़ा का उपयोग करें। इन परिकल्पना परीक्षण के लिए, नमूना आकार के रूप में, एन, बढ़ जाती है, परीक्षण आंकड़ा के नमूने वितरण सामान्य वितरण (केन्द्रीय सीमा प्रमेय) दृष्टिकोण। क्योंकि परीक्षण आंकड़ा (जैसे टी के रूप में) एसिम्टोटिक सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, बशर्ते नमूने का आकार पर्याप्त बड़ी है, परिकल्पना परीक्षण के लिए इस्तेमाल वितरण एक सामान्य वितरण इसका अनुमान लगाया जा सकता है।

एक सामान्य वितरण का उपयोग कर परीक्षण परिकल्पना अच्छी तरह से समझ और अपेक्षाकृत आसान है। सरलतम ची-वर्ग बंटन एक मानक सामान्य वितरण का वर्ग है। तो जहाँ भी एक सामान्य वितरण एक परिकल्पना परीक्षण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, एक ची-वर्ग बंटन इस्तेमाल किया जा सकता है। विशेष रूप से, लगता है कि जेड एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर रहा है, मतलब के साथ = 0 और विचरण = 1. जेड ~ एन (0,1)। एक नमूना जेड से यादृच्छिक पर तैयार वितरण मानक सामान्य वितरण के ग्राफ में दिखाया गया है से एक नमूना है। एक नई यादृच्छिक चर अतारांकित प्रश्न एक यादृच्छिक नमूना उत्पन्न करने के लिए परिभाषित करें, जेड से एक नमूना लेने के लिए और मूल्य वर्ग। चुकता मूल्यों का वितरण यादृच्छिक चर क्यू = Z2 द्वारा दिया जाता है। {। \ Displaystyle \ क्यू \ \ सिम \ \ ची _ {1} ^ {2}} \ क्यू \ \ सिम \ \ ची _ {1}: यादृच्छिक चर क्यू के वितरण के एक ची-वर्ग बंटन का एक उदाहरण है ^ {2}। सबस्क्रिप्ट 1 इंगित करता है कि इस विशेष ची-वर्ग बंटन केवल 1 मानक सामान्य वितरण से निर्माण किया है। एक मानक सामान्य वितरण वर्ग निकालना
 द्वारा निर्मित एक ची-वर्ग बंटन स्वतंत्रता का 1 डिग्री के लिए कहा है। इस प्रकार, एक परिकल्पना परीक्षण के लिए नमूना बढ़ जाती है आकार के रूप में, परीक्षण आंकड़ा का वितरण एक सामान्य वितरण दृष्टिकोण, और परीक्षण आंकड़ा के वर्ग का वितरण एक ची-वर्ग बंटन दृष्टिकोण। बस के रूप में सामान्य वितरण के चरम मूल्यों कम संभावना है (और छोटे पी मूल्यों दे), ची-वर्ग बंटन के चरम मूल्यों कम संभावना है।
एक अतिरिक्त कारण यह है कि ची-वर्ग बंटन व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाता है कि यह संभावना अनुपात परीक्षण के वर्ग (एलआरटी) के एक सदस्य है एलआरटी के कई वांछनीय गुण होते हैं। विशेष रूप से, एलआरटी के सामान्यतः शून्य परिकल्पना (Neyman-पियर्सन लेम्मा) अस्वीकार करने के लिए उच्चतम शक्ति प्रदान करते हैं। हालांकि, सामान्य और ची चुकता अनुमानों ही मान्य एसिम्टोटिक हैं। इस कारण से, यह टी वितरण के बजाय सामान्य सन्निकटन या छोटा सा नमूना आकार के लिए ची चुकता सन्निकटन का उपयोग करने के लिए बेहतर है। इसी तरह, आकस्मिकता तालिकाओं का विश्लेषण में, ची चुकता सन्निकटन छोटा सा नमूना आकार के लिए खराब हो जाएगा, और यह फिशर सटीक परीक्षण का उपयोग करने के लिए बेहतर है। रैमसे और रैमसे चलता है कि सटीक द्विपद परीक्षण हमेशा सामान्य सन्निकटन की तुलना में अधिक शक्तिशाली है।

इतिहास और नाम 
इस वितरण पहले 1875-6 के अखबारों में जर्मन सांख्यिकीविद् फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मेरत द्वारा वर्णित किया गया था, जहां वह एक सामान्य जनसंख्या का नमूना विचरण का नमूना वितरण अभिकलन। इस प्रकार जर्मन में इस परंपरागत हेल्मेरत( "हेलम्र्शन") या "हेल्मेरत" वितरण" के रूप में जाना जाता था। वितरण स्वतंत्र रूप से फिट है, जिसके लिए वह अपने पीयरसन की काई-वर्ग परीक्षण विकसित की है, 1900 में प्रकाशित की भलाई के संदर्भ में अंग्रेजी गणितज्ञ कार्ल पियर्सन द्वारा फिर से खोज की गई थी (एल्देरतोन 1902), में एकत्र में प्रकाशित मूल्यों की गणना की मेज के साथ। नाम "ची चुकता" अंततः पीयरसन की आशुलिपि से ग्रीक अक्षर ची के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण में प्रतिपादक के लिए निकला, क्या -½xTΣ-1x के रूप में आधुनिक संकेतन (Σ सहप्रसरण मैट्रिक्स जा रहा है) में प्रकट होता है के लिए -½χ² लेखन। की "ची चुकता वितरण" एक परिवार का विचार है, लेकिन नहीं, पीयरसन की वजह से है, लेकिन 1920 के दशक में फिशर के कारण आगे के विकास के रूप में पैदा हुई।

एसिम्टोटिक गुण 
द्वारा केंद्रीय सीमा प्रमेय, क्योंकि ची-वर्ग बंटन परिमित मतलब और विचरण के साथ कश्मीर स्वतंत्र यादृच्छिक चर का योग है, यह बड़े कश्मीर के लिए एक सामान्य वितरण के लिए कोन्वरजिस। कई व्यावहारिक प्रयोजनों के लिए, कश्मीर के लिए> 50 वितरण पर्याप्त के लिए अंतर को नजरअंदाज किया जा करने के लिए एक सामान्य वितरण के करीब है। विशेष रूप से, एक्स ~ χ² (कश्मीर), तो के रूप में कश्मीर अनंत को जाता है, का वितरण {\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}} (X-k)/{\sqrt {2k}} एक मानक सामान्य वितरण के लिए जाता है। हालांकि, अभिसरण धीमी है के रूप में विषमता है {\ displaystyle {\ sqrt {8 / कश्मीर}}} {\ sqrt {8 / कश्मीर}} और अतिरिक्त kurtosis / कश्मीर है।

एल.एन. (χ2) का नमूना वितरण सामान्य χ2 का नमूना वितरण की तुलना में बहुत तेजी से करने के लिए converges, के रूप में लघुगणक विषमता का बहुत निकालता है। ची-वर्ग बंटन के अन्य कार्यों में अधिक तेजी से एक सामान्य वितरण के लिए एकाग्र। कुछ उदाहरण निम्न हैं|

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