लजान्द्र रूपान्तर

गणित में किसी वास्तविक मान वाले, तथा सभी बिन्दुओं पर अवकलनीय फलन f तथा g में निम्नलिखित सम्बन्ध हो तो g को f का लजान्द्र रूपान्तर (LegendreTransform) कहा जाता है। इस रूपान्तर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ आद्रियें मारि लजान्द्र (Adrien-Marie Legendre) के नाम पर पड़ा है।

 

जहाँ D , अवकलज (डिफरेंशियल) का प्रतीक है तथा दाहिनी ओर आने वाला -1 , प्रतिलोम फलन को सूचित कर रहा है। यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि g , f का लजान्द्र रूपान्तर हो तो f, g का लजान्द्र रूपान्तर होगा 

उदाहरण के लिये, फलन  तथा फलन  एक दूसरे के लजान्द्र रूपान्तर हैं।

एक विशेष स्थिति में, यदि फलन f एक उत्तल फलन (कान्वेक्स फंक्शन) हो तो इसका लजान्द्र रूपान्तर ƒ* निम्नलिखित सम्बन्ध द्वारा अभिव्यक्त किया जा सकता है-

उपयोग
(१) ऊष्मागतिकी में - ऊष्मागतिक विभव प्राप्त करने के लिये,
(२) क्लासिकल यांत्रिकी में -- to derive the Hamiltonian formalism out of the Lagrangian formalism
(३) सांख्यिकीय यांत्रिकी में,
(३) अनेक चरों वाले अवकल समीकरणों का हल प्राप्त करने के लिये।

उदाहरण

प्रथम उदाहरण 
Let  defined on , where  is a fixed constant.

For  fixed, the function  of  has the first derivative  and second derivative ; there is one stationary point at , which is always a maximum. Thus,  and 

 

Clearly, 

 

namely .

द्वितीय उदाहरण
Let  for .

For  fixed,  is continuous on  compact, hence it always takes a finite maximum on it; it follows that . The stationary point at  is in the domain  if and only if , otherwise the maximum is taken either at , or . It follows that

 .

तृतीय उदाहरण
The function  is convex, for every  (strict convexity is not required for the Legendre transformation to be well defined). Clearly  is never bounded from above as a function of , unless . Hence  is defined on } and .

One may check involutivity: of course  is always bounded as a function of }, hence . Then, for all  one has 

 
and hence .

चतुर्थ उदाहरण (अनेक चर)
Let 

 

be defined on , where  is a real, positive definite matrix. Then  is convex, and

 

has gradient  and Hessian , which is negative; hence the stationary point  is a maximum. We have , and

 .

गुण

इन्हें भी देखें
लाप्लास रूपान्तर
फूर्ये रूपान्तर

गणितीय रूपान्तर