מערכת הנון-היילס

מערכת הנון-היילס (באנגלית: Hénon–Heiles system) היא מערכת כאוטית קלאסית יסודית המתארת בעיה אסטרונומית של כוכב המסתובב סביב מרכז גלקטי בתנועה לא ליניארית המוגבלת למישור. המערכת תוארה לראשונה בשנת 1962 על ידי האסטרונום הצרפתי מישל הנון ועמיתו האמריקאי קארל היילס. בשנת 1964 פרסמו השניים מאמר שכותרתו "יישומיות האינטגרל השלישי של התנועה: ניסויים נומריים אחדים" (The applicability of the third integral of motion: Some numerical experiments, ראה אור בכתב העת The Astronomical Journal).

לצורך תיאור המערכת לעיל, הנון והיילס השתמשו בפוטנציאל לא ליניארי פשטני ודו־ממדי בעל סימטריה סביב ציר אלכסוני, ומצאו כי האינטגרל השלישי, שהוא למעשה קבוע תנועה, קיים עבור סך מוגבל של תנאי התחלה אפשריים. במונחים בני זמננו, תנאי ההתחלה שעבורם לא מתקבל האינטגרל השלישי של התנועה, נקראים מסלולים כאוטיים.

תיאור מתמטי 
פוטנציאל הנון-היילס הוא כדלקמן (ביחידות מנורמלות):

 

כאשר הפרמטר  הוא חסר יחידות, ובדרך כלל נלקח כ-1 לשם פשטות.

בהתאם, ההמילטוניאן של המערכת, אשר מורכב מהאנרגיה הקינטית ומהפוטנציאל גם יחד, הוא:

 

ארבע המשוואות המצומדות שיתקבלו מהצבת המילטוניאן זה במשוואות המילטון, הן:

 
 
 
 

פתרונה הנומרי של המערכת ניתן לעיתים לטיפול באמצעות Painlevé transcendents . כאנלוג קוונטי, ניתן להציב את המילטוניאן הנון-היילס בתוך משוואת שרדינגר.

לקריאה נוספת 
 המאמר המקורי של הנון והיילס, באתר אוניברסיטת הרווארד
 מערכת הנון-היילס, באתר Wolfram MathWorld
Classical and Quantum Chaos, Martin C. Gutzwiller, p.102

מכניקה אנליטית
תורת הכאוס