לוח הלוגריתמים של נאפייר

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("תיאור לוח הלוגריתמים המופלא", 1614) ו-Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ("בניית לוח הלוגריתמים המופלא", 1619) הם שני ספרים בלטינית מאת ג'ון נאפייר המסבירים את השימוש בלוגריתמים ואת הבנייה שלהם. מתמטיקאים אחרים דוגמת  עסקו ברעיון הלוגריתם לפני נאפייר, אך הוא היה הראשון לפרסמו ולספק תיאור מפורט של טבלאות מחושבות מראש הניתנות לשימוש פשוט.

טרם השימוש בלוגריתמים, חישובים מספריים הכוללים כפל, חילוק והוצאת שורש דרשו עמל רב והיו מועדים לשגיאות. לוגריתמים מפשטים מאוד חישובים כאלה, כפי שציין נאפייר:"...אין דבר מייגע יותר, עמיתיי המתמטיקאים, בעיסוק באומנות המתמטיקה, מאשר החדגוניות והעיכובים הכרוכים בהכפלות ובחילוקים ממושכים, במציאת יחסים ובחילוץ שורש ריבועי וקובי... [עם] השגיאות הערמומיות הרבות שעשויות לצוץ...מצאתי דרך מדהימה לקצר את הפעולות [בה]...כל המכפלות והמנות של מספרים, יחד עם המשימות הארוכות והמפרכות של חילוץ שורש ריבוע וקובי...מוחלפים במספרים אחרים, הממלאים את משימותיהם של הקודמים באמצעות חיבור, חיסור וחילוק בשתיים או בשלוש בלבד".

הספר מכיל 57 עמודים של הסברים ו-90 עמודים של טבלאות של פונקציות טריגונומטריות והלוגריתמים שלהן. הטבלאות פישטו מאוד חישובים בטריגונומטריה ספירית המשחקים תפקיד מרכזי באסטרונומיה ובניווט שמימי וכוללים בדרך כלל תוצרים של סינוסים, קוסינוסים ופונקציות אחרות.

ג'ון נאפייר עבד 20 שנה על חישוב הטבלאות הלוגריתמיות. יצוין כי עבודתו המוקדמת של  תרמה רבות לחישוב הערכים בטבלאות. בחיבורו , סטבין כונן את השיטה העשרונית כפי שנהוגה כיום ואפשר את הייצוג של החלק השלם והשברי של ערך כמספר יחיד. רעיון זה, יחד עם הסברים שסיפק סטבין כיצד לבצע ולפשט אריתמטיקה הכוללת שברים, היו הצוהר לחישובים כמו אלה של נאפייר.

בשנת 1619 פרסם בנו של נאפייר את ספרו Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio לאחר פטירת אביו, עם תוספות מאת . הספר מפרט כיצד נאפייר יצר והשתמש בשלוש טבלאות של סדרות הנדסיות בשביל להקל על חישוב הלוגריתמים של פונקציית הסינוס.

הטבלאות הלוגריתמיות 
בתקופתו של נאפייר, השיטה העשרונית כפי שהייתה נהוגה באירופה שימשה לייצוג מספרים שלמים בלבד.  היה הראשון שהציע לייצג גם את החלקים השבריים של מספר באמצעות השיטה העשרונית. אולם שיטתו של סטבין הייתה מעט מסורבלת מהנהוג כיום. לדוגמה, המספר  היה מיוצג על ידי רצף המספרים . הרעיון להשתמש בנקודה כדי להפריד את החלק השלם של מספר עשרוני מהחלק השברי תפס תאוצה (אך כנראה הומצא שנים בודדות קודם לכן) הודות לנאפייר ומוצג ב-Constructio, פרק 5: "במספרים המובחנים כך על ידי נקודה בתוכם, כל מה שנכתב לאחר הנקודה הוא שבר, שהמכנה שלו הוא היחידה, עם אפסים אחריה כמספר הפריטים אחרי הנקודה." הוא השתמש ברעיון כדי להקל על חישוב מדויק יותר של הטבלאות, אבל לא בטבלאות המודפסות עצמן. לפיכך ערך הסינוס של זווית בטבלה של נאפייר הוא מספר שלם המייצג את אורך הצלע שממול לאותה זווית במשולש ישר-זווית עם יתר באורך 10,000,000 יחידות. הלוגריתם בטבלה, לעומת זאת, הוא של ערך הסינוס הזה חלקי 10,000,000. הלוגריתם מוצג בתורו אף הוא כמספר שלם עם מכנה מרומז של 10,000,000.

הטבלה מורכבת מ-45 זוגות של עמודים. כל זוג מסומן בחלק העליון בזווית של 0 עד 44 מעלות, ובחלקו התחתון בזווית של 90 עד 45 מעלות. חלקי זוויות נמדדו בדקות קשת, כאשר כל "דקה" היא  מעלה. על מנת לאפשר חישוב מדויק, העמודה הראשונה בכל עמוד בטבלה והעמודה הימנית הקיצונית הכילו חלקי זווית בדקות. את הערך בעמודה הראשונה יש להוסיף לערך המעלות בראש העמוד, ואת זה בעמודה הימנית להוסיף לערך בתחתית העמוד. הערכים סודרו כך שהזווית הכוללת המיוצגת על ידי העמודה השביעית היא הזווית המשלימה של העמודה הראשונה (סכומן 90°). העמודה השנייה מציגה את ערך הסינוס של הזווית בעמודה הראשונה, ובעמודה הבאה הערך המוחלט של הלוגריתם של אותו סינוס. הלוגריתם של קוסינוס הזווית רשום בעמודה החמישית, שם מוצג הלוגריתם של סינוס הזווית בעמודה השביעית (שהיא כאמור המשלימה לזווית בעמודה הראשונה, מה שמניב את ערך הקוסינוס). העמודה האמצעית מציגה את ההפרש בין הלוגריתם של הסינוס ללוגריתם של הקוסינוס, שהוא הלוגריתם של טנגנס הזווית (קוטנגנס אם הופכים סימנים).

ניתן להיעזר בטבלאות גם לחישוב לוגריתמים עבור מספרים חיוביים קטנים מאחד, תוך שימוש בערכי הסינוס כארגומנט ובערכי הלוגרתימים של הסינוס כלוגריתם המתקבל.

שלוש השורות הראשונות בטבלה להלן מדגימות את הסידור של נאפייר ואת חישוביו עבור הערך 19 מעלות (ראו תמונה). שורת הכותרות הראשונה כבמקור. בשלוש השורות אחריהן מוצגים סימונים מודרניים וערכים המחושבים באמצעות אלגוריתמים מודרניים עבור אותן זוויות. הערכים מעוגלים לדיוק של שמונה ספרות אחרי הנקודה העשרונית, כאשר נאפייר הגיע לדיוק של שבע ספרות בטבלה שלו. מספרי עמודות מוצגים לצורך הבהירות.

התיאור (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) 
התיאור של נאפייר מחולק לשני כרכים. הראשון מתאר את המצאתו, דן ביישומים מסוימים וכולל את הטבלאות הלוגריתמיות. השני דן ביישומים טריגונומטריים.

הכרך הראשון 
הפרק הראשון בכרך מכיל סדרה של הגדרות וטענות המסבירות את תפיסתו של נאפייר בנוגע ללוגריתמים. הוא תיאר לוגריתמים במונחים של שני מודלים של תנועה. בראשון, חלקיק מתחיל בנקודה ונע לאורך קו ישר במהירות קבועה. בשני, חלקיק נע לאורך קו ישר, באותה מהירות התחלתית, אך מהירותו יורדת ביחס ישר למרחקו מנקודת ההתחלה. הלוגריתם של מספר a מוגדר להיות המרחק שעבר החלקיק שנע במהירות הקבועה, במהלך הזמן שלקח לחלקיק השני להגיע ל-a. הוא מגדיר את הלוגריתם של 10,000,000 להיות אפס. הלוגריתם של ערכים קטנים יותר הוא חיובי, בעוד שלמספרים גדולים יותר יש לוגריתם שלילי, מה שמבטא היפוך סימן ביחס ללוגריתמים המודרניים (שינוי סימן זה מתבטא לפעמים באמירה שנאפייר השתמש בלוגריתמים עם בסיס ).  בספר מצוין כי ניתן לבחור כל ערך שיהיה בעל לוגריתם אפס (במונחים מודרניים, חופש לבחור בסיס ללוגריתם). נאפייר בוחר את הערך 10,000,000 כדי להקל על החישוב שכן הוא תואם את "הסינוס הכולל" (היתר) בטבלאות הסינוס שלו. במונחים מודרניים, הלוגריתם של נאפייר הוגדר להיות: .

הפרק השני פורט תכונות של לוגריתמים ומציג מספר נוסחאות (בצורת טקסט) לעבודה עם יחסים. הפרק מסתיים בהערה לפיה הוא מעכב את פרסום עבודתו על בניית לוגריתמים (ה-Constructio) עד שיראה כיצד מתקבלת המצאתו. בפרק השלישי מתוארות טבלאות הלוגריתמים ככתוב לעיל. בפרק הרביעי מוסבר השימוש בהן וניתנות דוגמות מעובדות עבור חישובים של סינוסים, טנגנסים וסקנטים (אחד חלקי קוסינוס). נאפייר אף מדגים כיצד לקבל לוגריתמים של מספרים ישירות על ידי שימוש בערכי הסינוס כארגומנט ובערכי הלוג-סינוס כתוצאה, ולהפך.

בפרק החמישי מוצגות בעיות נוספות העוסקות ביחסים ופתרונן. הוא מסיים ושואל "כמה תועלת גדולה מוענקת מלוגריתמים אלה: שכן על ידי חיבורם של אלה עבור כפל, חיסורם עבור חילוק, בחילוקם בשניים עבור הוצאת שורשים מרובעים, ובשלוש לשורשים קוביים...נמנעת כל עבודת החישוב הכבדה יותר."

הכרך השני 
הכרך השני עוסק ב"סוג האציל של גיאומטריה, שנקרא טריגונומטריה". הפרק הראשון עוסק בשימוש בלוגריתמים לפתרון בעיות בטריגונומטריה מישורית עם משולשים ישרים, ובפרט בזוויות קטנות, שבהן הלוגריתמים הטריגונומטריים של נאפייר הופכים גדולים. הפרק הבא עוסק במשולשים שאינם ישרי זווית, והפרקים הנותרים בטריגונומטריה ספירית. הוא גם מתאר את הפנטגרם המופלא שלו - מצולע כוכבי על פני ספירה, המורכב מחמש קשתות מעגלים גדולים, כך שכל קשת חותכת את הקשת הסמוכה להבזווית ישרה.

הבנייה (Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio) 

נאפייר לא שש לפרסם את התיאוריה ואת הפרטים של האופן שבו יצר את טבלאות הלוגריתמים שלו. הוא בחר להמתין למשוב מהקהילה המתמטית על רעיונותיו, אך נפטר זמן קצר לאחר פרסום התיאור. בנו רוברט פרסם את הבנייה ב-1619. לכרך יש הקדמה מאת רוברט וכמה נספחים, כולל קטע על שיטותיו של ג'ון נאפייר לפתרון בעיות עם משולשים על הספירה וקטע מאת ביגס על "סוג אחר וטוב יותר של לוגריתמים", כמו לוגריתמים בבסיס 10. תרגום לאנגלית מאת ויליאם ריי מקדונלד פורסם עם ביאורים בשנת 1889.

כמצוין לעיל, נאפייר מתאר לוגריתמים באמצעות התאמה בין שתי נקודות בתנועות שונות. הנקודה הראשונה P נעה לאורך קטע קו סופי עד Q, עם מהירות התחלתית היורדת באופן פרופורציונלי למרחק של P מ-Q. הנקודה השנייה L נעה לאורך קטע קו בלתי מוגבל המתחיל ב-L 0 באותו זמן כ-P ובאותה מהירות התחלתית, אך שומרת על מהירות קבועה. עבור כל מיקום אפשרי של P, הנמדד לפי המרחק שלו מ-Q, ישנו מיקום סימולטני מקביל ל-L. נאפייר הגדיר את הלוגריתם של המרחק מ-P ל-Q כמרחק מ-L 0 לאותו L.

גישת החישוב 
נאפייר מסתמך על כמה תובנות כדי לחשב את טבלת הלוגריתמים שלו. כדי להשיג דיוק גבוה הוא מתחיל עם בסיס גדול של 10,000,000. הוא משיג דיוק נוסף על ידי שימוש בשברים עשרוניים בסימון שהוא המציא, כלומר שימוש בנקודה עשרונית. הוא ממשיך ומסביר כיצד הסימון שלו עובד עם כמה דוגמאות. הוא גם מציג צורה של אריתמטיקה (Interval arithmetic) כדי לחסום ולתחום את השגיאות בחישוביו.

עוד הוא מבחין כי שברים בעלי מכנים שהם חזקות של 10 ניתנים לחישוב בקלות בסימון עשרוני על ידי הזזת המספר ביחס לנקודה העשרונית. לדבריו: "...כל החלקים שהמכנים שלהם מורכבים מהיחידה וממספר אפסים, חלקים כאלה מתקבלים על ידי דחיקת פריטים בסוף המספר הראשי כמספר האפסים במכנה."

לשיטתו של נאפייר, קל לחשב סדרות חשבוניות מכיוון שהן כוללות רק חיבור וחיסור, אך בדרך כלל קשה יותר לחשב סדרות הנדסיות מכיוון שהן כרוכות בכפל, בחילוק ואולי בהוצאת שורשים. עם זאת, הוא מבחין כי סדרות הנדסיות בעלות מנה מהצורה  (כלומר  עם m טבעי של תשיעיות) ניתנות לחישוב מדויק ככל שנרצה תוך שימוש רק בהזזה אחת ובחיסור אחד בכל שלב. באופן דומה, מנות מהצורה  (כלומר מספרים מהצורה ) דורשים רק הזזה אחת, חלוקה אחת בשתיים וחיסור אחד בכל שלב כדי להגיע לדיוק מלא. לדבריו, "קל באופן נסבל".

זאת ועוד, נאפייר מבחין שהלוגריתמים של סדרה הנדסית נבדלים בערך קבוע בכל שלב - הלוגריתם של המנה. בסימונים מודרניים, אם a ו-b איברים עוקבים בסדרה הנדסית עם מנה q, אזי: . לכן, בהינתן הלוגריתם של הערך ההתחלתי של סדרה הנדסית ושל המנה, אפשר לחשב את הלוגריתם של כל איבר בסדרה על ידי חיבור חוזר ונשנה של הלוגריתם של המנה.

חישוב הלוגריתם הראשון 
באמצעות מודל שתי התנועות שלו, נאפייר מוצא חסמים תחתונים ועליונים ללוגריתם של . עבור החסם החסם התחתון הוא מניח שהנקודה P לא מאטה, ובמקרה זה L ינוע לאורך מרחק של . הגבול העליון מתקבל מהנחה ש-P התחילה במהירות הסופית שלה, . במקרה זה L גמעה מרחק של . בהגדלה לסקאלה של נאפייר,  יחידות, החסם התחתון הוא  והחסם העליון הוא . הוא מציין שמשום שההבדל בין הערכים הללו הוא זעיר, בחירה של כל ערך ביניים תגרור "טעות חסרת חשיבות" של פחות מאחד ל-10 מיליון. אולם הערך שנבחר ללוגריתם ההתחלתי ללא הסבר מספק את הדעת הוא בנקודת האמצע, כלומר . בחירה זו מאפשרת דיוק רב, כפי שציין המתרגם ויליאם ריי מקדונלד בנספח לתרגומו. הערך המוגדל של נאפייר עבור הלוגריתם של  קרוב מאוד לערך הנכון, שהוא  בקירוב. כל חישובי הלוגריתמים הבאים מסתמכים על הערך , ומקדונלד מציע שלנאפייר כנראה הייתה סיבה טובה יותר לבחור את נקודת האמצע.

טבלאות העזר 

נאפייר משתמש במסקנותיו כדי לבנות שלוש טבלאות. הטבלה הראשונה (בסימון מודרני) מכילה את המספרים  עבור n שלמים בין 0 ל-100. בדומה לכך, הטבלה השנייה מורכבת מהמספרים  עבור n שלמים בין 0 ל-50. לאחר מכן הוא מציב את הערך שקיבל עבור הלוגריתם של  כדי לחשב לוגריתמים עבור כל הערכים בטבלה הראשונה. הוא יכול להשתמש בערך האחרון כדי לחשב את הלוגריתם של , מכיוון ש- קרוב מאוד ל-. אז הוא משתמש בטבלה השנייה, שהיא בעצם 50 חזקות של , כדי לחשב את הלוגריתם של . מקדונלד בתרגומו מציין שגיאה שהתגנבה לחישוב של נאפייר בטבלה השנייה - הערך החמישים של נאפייר הוא , בעוד שהערך הנכון הוא . מקדונלד דן בהשלכות של טעות זו בנספח שלו.

"הטבלה הרדיקלית" 
בהמשך, נאפייר בונה טבלה שלישית של יחסים עם 69 עמודות ו-21 שורות, אותה הוא מכנה "הטבלה הרדיקלית". היחס בין הערכים לאורך שורה נתונה הוא , ולאורך עמודה נתונה הוא  (יצוין ש-, מה שמאפשר הכפלה "קלה באופן נסבל" על ידי חצייה, הזזה והפחתה כפי שתואר). נאפייר משתמש בעמודה הראשונה כדי לחשב את הלוגריתם של , תוך שימוש בלוגריתם של , שכבר יש לו. כעת הוא יכול למלא את הלוגריתם של כל ערך בטבלה השלישית, כי ההבדל בלוגריתמים בין הערכים הוא קבוע. הטבלה השלישית מספקת כעת לוגריתמים לקבוצה של 1,449 ערכים המכסים את הטווח שבין 5,000,000 ל-10,000,000 בערך, התואם לערכים של פונקציית הסינוס מ-30 עד 90 מעלות (בהנחה של רדיוס 10,000,000). לאחר מכן, נאפייר מסביר כיצד להשתמש בטבלאות כדי לחשב מרווחי שגיאה עבור לוגריתמים בטווח זה.

טבלאות הלוגריתמים שפורסמו 

נאפייר מספק הוראות לשחזור הטבלאות שפרסם, עם שבע העמודות והכיסוי של כל דקת קשת (1/60 מעלה). הוא לא מחשב את הסינוסים עצמם, שאת הערכים עבורם יש למלא מטבלה שכבר זמינה: "טבלת הסינוסים הנפוצה של ריינהולד, או כל אחר מדויק יותר, תספק לך את הערכים האלה." לוגריתמים של סינוסים עבור זוויות מ-30 מעלות עד 90 מעלות מחושבים בעזרת הלוגריתמים שמספקת הטבלה הרדיקלית. אם הערך אינו מופיע במדויק בטבלה אז חישוב הלוגריתם של הסינוס הרצוי יתבצע על ידי אינטרפולציה ליניארית בין ערכים קרובים. הספר מציע מספר דרכים גם לחישוב לוגריתמים עבור סינוסים של זוויות קטנות מ-30 מעלות. לדוגמה, אפשר להכפיל סינוס שהוא קטן מ-0.5 בחזקה כלשהי של שתיים או עשר כדי להכניס אותו לתחום בין 0.5 ל-1. לאחר מציאת הלוגריתם הזה בטבלה הרדיקלית, מוסיפים את הלוגריתם של חזקת שתיים או עשר שהייתה בשימוש (הוא נותן טבלה קצרה), כדי לקבל את הלוגריתם הנדרש.

נאפייר מסיים ואומר ששתיים מהשיטות שלו להרחבת הטבלה מניבות תוצאות דומות. הוא מציע שאחרים "שאולי יש להם הרבה תלמידים..." יבנו טבלה חדשה עם מקדם קנה מידה גדול יותר של 10,000,000,000. אותן שיטות, תוך שימוש בטבלה רדיקלית עם 35 עמודות בלבד, תהיה מספיקה כדי לכסות זוויות מ-45 עד 90 מעלות.

סוף דבר 
בנספח, נאפייר דן בבנייה של "סוג אחר וטוב יותר של לוגריתם" כך שהלוגריתם של אחד הוא אפס והלוגריתם של עשר הוא 10,000,000,000. זהו למעשה לוגריתם בבסיס 10 בקנה מידה גדול. הוא עוסק בדרכים שונות לחישוב טבלה שכזו ומסיים בתיאור הלוגריתם של 2 כמספר הספרות ב-, שהוא מחשב להיות כ-301,029,995. הנספח מלווה בהערות של הנרי בריגס על הרעיונות של נאפייר. הסעיף הבא הוא חיבור בן 12 עמודים מאת נאפייר שכותרתו: "כמה הצעות מדהימות לפתרון משולשים כדוריים בקלות מופלאה". בחיבורו הוא מתאר כיצד לפתור אותם מבלי לחלק אותם לשני משולשים ישרים. קטע זה מלווה גם הוא בפירוש של בריגס.

המתרגם מקדונלד כולל כמה הערות בשלב זה, ביניהן: איות שמו של נאפייר, התייחסויות לעיכובים בפרסום הכרך השני, התפתחות החשבון העשרוני, השגיאה בטבלת העזר השנייה, דיוק השיטה של נאפייר ושיטות לחישוב לוגריתמים בבסיס 10.

תגובות 
שיטת החישוב החדשה של נאפייר התפשטה במהירות בבריטניה ומחוצה לה. קפלר הקדיש את האפמריס שלו לנאפייר, עם מכתב המברך אותו על המצאתו ועל תועלתה הרבה לאסטרונומיה. קפלר לא מצא שגיאות משמעותיות למעט כמה אי דיוקים בזוויות קטנות. , מומחה לניווט שמימי, תרגם את התיאור הלטיני של נאפייר לאנגלית עוד בשנת 1615, אך הפרסום התעכב בעקבות מותו של רייט. בריגס הרחיב את הרעיונות בספר ללוגריתם הנוח יותר בבסיס 10, או "הלוגריתם הנפוץ". המתמטקיאי בנג'מין אורסינוס כינה את נאפייר "מתמטיקאי שאין שני לו". שנה מאוחר יותר, ב-1914, כינה  את הלוגריתמים "אחת התגליות המדעיות הגדולות ביותר שהעולם ראה".

פונקציית הלוגריתם הפכה למרכיב עיקרי באנליזה מתמטית. באופן טבעי, טבלאות מודפסות של לוגריתמים פחתו בהדרגה בחשיבותן במאה העשרים יחד עם השתכללות המחשבונים מכניים ולאחר מכן המחשבים אלקטרוניים. כניסתם של מחשבונים מדעיים ידניים בשנות ה-70 סיימה את עידן סרגלי החישוב (אשר גרסה ראשונית שלהם פותחה עוד ב-1622 על ידי ויליאם אוטרד). המהדורה משנת 2002 של אנציקלופדיית הניווט של  עדיין מכילה טבלאות של לוגריתמים ולוגריתמים של פונקציות טריגונומטריות.

ראו גם 
 סקאלה לוגריתמית
 לוגריתם טבעי

קישורים חיצוניים

הערות שוליים 

היסטוריה של המתמטיקה
לוגריתמים