ניפוח (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית ניפוח (באנגלית blowing up) היא פעולה שאפשר לבצע על יריעה אלגברית (או על סכמה, באופן כללי יותר). הניפוח משנה את מבנה היריעה בצורה מבוקרת ונחשב כלי חשוב בגאומטריה אלגברית. הניפוח מאפשר לפשט יריעות אלגבריות  ואובייקטים אלגבריים עליהן ועומד בבסיס תהליך התרת הסינגולריות. ניתן לחשוב על ניפוח בתור גרסה אלגברית, מופשטת, וכללית של מעבר לקואורדינטות קוטביות.

ניפוח של יריעה אלגברית  לאורך תת-יריעה סגורה  היא בנייה מסוימת של יריעה  ביחד עם העתקה נאותה  אשר מהווה איזומרפיזם מחוץ ל-. באופן אינטואיטיבי הניפוח מחליף את  בפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל-.

ניפוח של מרחב אפיני לאורך נקודה
נקבע שדה  מעליו יהיו מוגדרים כל הירעות שנדון בהן. לצורך הפשטות נניח ש -  סגור אלגברית. זה יאפשר לנו לזהות בין הירעות ובין קבוצת הנקודות שלהן. כל הדברים להלן תקפים גם עבור שדה כללי, עם ההתאמות הנדרשות. 

בהינתן מרחב אפיני  ונקודה , הניפוח של  לאורך  הוא יריעה אלגברית  המהווה את אוסף הזוגות המורכבים מישר  ב-  שעובר דרך   ומנקודה . לפי ההגדרה   היא תת-קבוצה של המרחב של המכפלה  כאשר   הוא המרחב הפרויקטיבי המהווה את אוסף הישרים ב-  העוברים דרך . קל לראות ש-  היא קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי. הבחנה זאת נותנת מבנה של יריעה אלגברית (קווזי-פרויקטיבית) על . כמו כן אנו מקבלים העתקת הטל . 

הן היריעה  והן ההעתקה נקראות הניפוח של  לאורך   (או ב-) הנקודה  (כמו גם הקבוצה ) נקראת מרכז הניפוח.

ההעתקה  היא בירציונלית (זאת אומרת שהיא מהווה איזומורפיזם לאחר שמצמצמים אותה לקבוצות פתוחות וצפופות במקור ובתווך) ונאותה. במילים אחרות היא מודיפיקציה. זה גם המצב עבור ניפוח במקרה הכללי.

קשר עם קואורדינטות פולריות וספריות
קואורדינטות פולריות הן דרך לתאר נקודה במישור באמצעות 2 מספרים  כאשר  היא זווית ו -  הוא מרחק הנקודה מהראשית. כך אנחנו מקבלים העתקה . העתקה זאת איננה חד-חד-ערכית, מכיוון שלחלק מהנקודות יש מספר יצוגים שונים בקואורדינטות פולריות.

נשים לב שכאשר  אנחנו מקבלים נקודה על מעגל היחידה . לכן ניתן לחשוב על קואורדינטות פולריות בשני שלבים. בשלב הראשון    מיצגת נקודה על מעגל היחידה, ובשלב השני הזוג המורכב מנקודה זאת והמספר  מיצג נקודה במישור. במילים אחרות אנחנו מציגים את  כהרכבה . לצורך הקשר עם ניפוח נתמקד בחלק השני של ההרכבה . 

העתקה זאת ניתנת להכללה למרחבים ממימד גבוה יותר:   על ידי הנוסחה  כאשר  היא ספירת היחידה במרחב . להכללה זאת קוראים קואורדינטות ספריות. ההעתקה   דומה מאוד לניפוח. ליתר דיוק ניתן לכתוב אותה כהרכבה  כאשר ההעתקה הראשונה מתקבלת מההעתקה הטבעית . במילים אחרות היריעה  מתקבלת מהיריעה  על ידי הדבקת כל נקודה בספירה  לנקודה הנגדית שלה.

יש מספר הבדלים בולטים בין הניפוח לקואורדינטות ספריות:
 הניפוח עובד מעל כל שדה, בעוד שקואורדינטות ספריות תקפות רק מעל הממשיים.
 קואורדינטות ספריות מפורשות, הכוללות גם קוארדינטות זוויתיות על הספירה מבוססות על פונקציות טריגונומטריות שאינן אלגבריות, בעוד שניפוח הוא פעולה אלגברית לחלוטין.
 היריעה  היא יריעה חלקה ללא שפה, בעוד שהירעה  היא ירעה עם שפה.
 היריעה  איננה אוריינטבילית, בעוד שהירעה  אוריטביליות.
 לדוגמה, במקרה הדו-ממדי עיגול סביב  במשור מתאים לטבעת מביוס ב , ולטבעת רגילה () ב-.

למרות ההבדלים, קואורדינטות פולריות וספריות, מספקות תמונה אינטואוטיבית טובה עבור ניפוח.

הקשר וטרמינולוגיה
בהינתן יריעה אלגברית  ותת-יריעה סגורה  הניפוח של   לאורך   (או ב-) הוא יריעה (מסוימת)  יחד עם העתקה . הן היריעה    והן ההעתקה  נקראת הניפוח. היריעה   נקראת מרכז הניפוח. התמונה ההפוכה של מרכז הניפוח תחת העתקת הניפוח נקראת המחלק המיוחד. היא תמיד מחלק קרטייה ב-   זאת אומרת תת-יריעה (או ליתר דיוק תת-סכמה)  של  המוגדרת מקומית על ידי משוואה אחת (שאינה מחלקת אפס).

אם   אפינית אז ניתן להתאים ל- את האידיאל  של הפונקציות הרגולריות על     שמתאפסות על  . לניפוח לאורך  קוראים גם הניפוח לאורך האידיאל .  רק אידיאלים רדיקליים ניתן להציג בתור  עבור איזשהו . אולם ניתן לנפח יריעות אפיניות לאורך כל אידיאל של פונקציות רגולריות. באופן כללי יותר אם   לא אפינית, ניתן לנפח אותה לאורך כל אלומת אידיאלים  .

מושג הניפוח קיים גם עבור סכמות: ניתן לנפח סכמה    לאורך תת-סכמה סגורה  . הטרמינולוגיה והסימונים לניפוח סכמות זהים לאלה של יריעות. בשונה מיריעות, עבור  סכמה   , כל  אלומת אידיאלים  היא אלומת הפונקציות הרגולריות המתאפסות על תת-סכמה סגורה   מתאימה, ולכן אין הבדל בכלליות בין ניפוח לאורך תת-סכמה סגורה וניפוח לאורך אלומת אידיאלים.

בדרך כלל מקובל לנפח תת-יריעות סגורות דלילות (זאת אומרת שהמשלים שלהן הוא תת-קבוצה פתוחה צפופה). במקרה בו היריעה   היא בלתי פריקה הדבר שקול לכך ש - . באופן פורמלי תנאי זה לא נדרש, אולם חלק מהתכונות הבסיסיות של ניפוח לא יתקימו ללא תנאי זה. למשל אם  איננה דלילה אז העתקת הניפוח לא תהיה על.
לדוגמה הניפוח של  לאורך עצמו הוא הקבוצה הריקה.

אפיון הניפוח על־ידי תכונות אוניברסליות
ניתן להגדיר ניפוח כדרך אוניברסלית להפוך כל אידיאל למחלק קרטייה, זאת אומרת אלומת אידיאלים שמקומית נוצרת על ידי איבר אחד שאינו מחלק אפס.
באופן פורמלי יותר, בהינתן יריעה  ואלומת אידיאלים  עליה, ניתן להגדיר את הניפוח של  לאורך  בתור יריעה יחד עם העתקה  המקיימת את התכונות הבאות:
 המשיכה  היא אלומת אידיאלים על  הנוצרת מקומית על ידי איבר אחד שאינו מחלק אפס.
 לכל העתקה  כך שהמשיכה  היא אלומת אידיאלים הנוצרת מקומית על ידי איבר אחד קיימת, ויחידה ההעתקה  כך שהדיאגרמה 

קמוטטיבית.
במילים אחרות, הניפוח הוא אובייקט סופי בקטגוריית ההעתקות  כך שהמשיכה  היא מחלק קרטייה. משיקולים סטנדרטיים של תורת הקטגוריות נובע שהניפוח מאופין ביחידות על ידי תכונות אלה. קיום הניפוח הוא טענה מסובכת יותר. אפשר לראות בבניות להלן בתור הוכחות שונות לקייום הניפוח.

אפיון הניפוח על ידי תכונות אוניברסליות עבור סכמות זהה למקרה של יריעה.

תכונות בסיסיות נוספות
נאותות: העתקת הניפוח  היא נאותה.
בירציונליות: הניפוח הוא איזומורפיזם מחוץ ל- . ליתר דיוק ההעתקה  המושרת מהניפוח היא איזומורפיזם. אם   דלילה זה אומר שהניפוח הוא שקילות בירציונלית.
מודיפיקציה: העתקה נאותה שהיא גם שקילות  בירציונלית נקראת מודיפיקציה. מכאן שאם   דלילה אז הניפוח הוא מודיפיקציה.
פונקטוריאליות: הניפוח הוא פונקטוריאלי בזוג  במובן הבא: בהינתן העתקה של יריעות אלגבריות  ואלומת אידיאלים  אז קיימת ויחידה העתקה  כך שהדיאגרמה 

קמוטטיבית.
חלקות: אם  ו -  חלקות אז כך גם .
המחלק המיוחד: אם  ו -  חלקות אז המחלק המיוחד  איזומורפי לפרויקטיויזציה של האגד הנורמלי ל- ב- .
ניפוח לאורך מחלק קרטייה: אם   הוא מחלק קרטייה ב-   אז הניפוח   הוא איזומורפיזם.

ניפוח לאורך מרכז חלק או חיתוך מלא

ניפוח של מרחב אפיני לאורך תת מרחב
בהינתן מרחב אפיני   ותת-מרחב אפיני  ניתן לבחור משלים אפיני  ל -   ולהציג את  בתור המכפלה . זה מאפשר להגדיר את  בתור  כאשר  היא נקודת החיתוך בין   ל-  .

ניתן לתאר בניה זאת עם פחות בחירות. נסמן  וב -   את הנקודה המתאמה ל - . נקבל העתקה  כך ש - . נגדיר את   להיות מכפלת הסיבים  .

ניפוח של יריעה חלקה לאורך מרכז מחתוך מלא
אם  יריעה חלקה ו תת-יריעת חיתוך מלא בתוכה (ז"א תת יריעה שמוגדרת על-ידי מספר משוואות השווה להפרש הממדים ), אז אפשר להגדיר את הנפוח של  לאורך  באופן הבא: תהיה  העתקה המורכבת מהמשוואות המגדירות את . זאת אומרת ש-  מקיימת . נגדיר את הנפוח   להיות מכפלת הסיבים  .

ניתן להראות שבניה זאת לא תלויה בבחירת . דרך אחת להראות זאת היא להראות שהבניה מקיימת את התחונות האונברסליות שתואתו מעלה (ראו להלן). ניתן להראות זאת גם באופן ישיר, לשם כך יש לבנות איזומורפיזם בין הבניות לכל 2 בחירות של  ולהוכיח שעבור 3 בחירות כאלה האיזומרפיזמים שניבנו קומפטביליים.

ניפוח של יריעה חלקה לאורך מרכז מחתוך מלא מקומית
בהנתן יריעה חלקה , תת-יריעה   נקראת מחיתוך מלא מקומית אם ניתן לחסות את  על ידי קבוצות פתוחות  כך ש:  היא תת-יריעת חיתוך מלא (או ריקה). מיכיוון שהבניה למעלה לא תלויה בחירות, ניתן להרחיב אותה לבניה של ניפוח של יריעה חלקה   לאורך מרכז  מחתוך מלא מקומית.

ניפוח של יריעה אפינית לאורך מרכז חלק

ניפוח של יריעה כללית לאורך מרכז חלק

ניפוח של יריעות אפיניות

בנייה על־ידי הספקטרום הפרויקטיבי

בנייה על־ידי מנה בפעולה של החבורה הכפלית

הוכחת התקימות התכונה האונבסלית

ניפוח במקרה הכללי

דוגמאות

התרת סינגולריות

ניפוח ממושקל

ראו גם
 התרת סינגולריות
 קואורדינטות קוטביות
 מודיפיקציה

לקריאה נוספת
 Kempf. Algebraic Varieties.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

גאומטריה אלגברית