ממד פיניטיסטי

באלגברה הומולוגית, הממד הפיניטיסטי של חוג A הוא ערך מספרי המתאים לA שמסייע למדוד עד כמה מסובכת קטגוריות המודולים, ובמיוחד האלגברה הומולוגית שלה, מעל החוג A.

ישנן מספר וריאציות של הממד הפיניטיסטי. שתי הווריאציות השימושיות ביותר הן הממד הפיניטיסטי הפרויקטיבי הקטן (או בקיצור הממד הפיניטיסטי הקטן), המסומן fpd(A), והממד הפיניטיסטי הפרויקטיבי הגדול, המסומן FPD(A).

על פי ההגדרה, הממד הפיניטיסטי הקטן מוגדר להיות הסופרמום של הממד הפרויקטיבי של כל המודולים הנוצרים סופית שלהם ממד פרויקטיבי סופי. כלומר:

בדומה, הממד הפיניטיסטי הגדול מוגדר להיות הסופרמום של הממד הפרויקטיבי של כל המודולים שלהם ממד פרויקטיבי סופי:

מההגדרה נובע כי הממד הפיניטיסטי הגדול תמיד גדול או שווה לממד הפיניטיסטי הקטן.

אם החוג A הוא בעל ממד גלובלי סופי אז הממד הפיניטיסטי הגדול מתלכד עם הממד הגלובלי. אם זאת, ישנם חוגים רבים שלהם ממד גלובלי אינסופי, וממד פיניטיסטי גדול סופי, ובכך היתרון של מושג זה על הממד הגלובלי.

מעל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, הממד הפיניטיסטי הקטן תמיד שווה לעומק (depth) של החוג. מעל חוג קומוטטיבי נתרי, הממד הפיניטיסטי הגדול תמיד שווה לממד קרול. זהו משפט עמוק של Raynaud-Gruson. מצמד עובדות אלו נובע כי מעל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, הממד הפיניטיסטי הקטן והממד הפיניטיסטי הגדול מתלכדים אם ורק אם החוג הוא חוג כהן-מקולי.

בהינתן אלגברה (לא קומוטטיבית) נוצרת סופית מעל שדה, משערים כי הממד הפיניטיסטי הקטן והממד הפיניטיסטי הגדול הם תמיד סופיים. השערות אלו הן בעיות פתוחות במשך יותר מ-60 שנה, והן ידועות כהשערת הממד הפיניטיסטי הקטן והשערת הממד הפיניטיסטי הגדול.

וריאציות נוספות של הממדים הפיניטיסטים ניתנות להגדרה על ידי החלפת הממד הפרויקטיבי בהגדרות לעיל בממד אינג'קטיבי או בממד שטוח.

אלגברה
אלגברה הומולוגית