פיזיקה מתמטית

פיזיקה מתמטית עוסקת בפיתוח שיטות מתמטיות לפתרון בעיות בפיזיקה.

גבולות התחום
כתב העת "Journal of Mathematical Physics" מגדיר את התחום: "יישום של המתמטיקה לבעיות בפיזיקה ופיתוח שיטות מתמטיות שמתאימות ליישום כזה ולניסוח של תאוריות פיזיקליות." הגדרה חלופית תכלול גם נושאי מתמטיקה ששאבו השראה מבעיות בפיזיקה (תחום הקרוי לעיתים מתמטיקה פיזיקלית ). מכון איינשטיין למתמטיקה של האוניברסיטה העברית בירושלים מתאר: "הפיזיקה המתמטית נמצאת בתפר שבין מתמטיקה לפיזיקה, והיא עוסקת בהבנת המבנים המתמטיים בתיאוריות פיזיקליות. הבעיות המרכזיות בהן עוסקים במסגרת הפיזיקה המתמטית מתפרשות בין יצירת בסיס מתמטי מדוייק לתיאוריות פיזיקליות לבין חקירת ההשלכות המתמטיות והפיזיקליות של תאוריות אלו."

ספרו של הפיזיקאי הבריטי ג'ון הראפאת'  משנת 1847, "פיזיקה מתמטית", משקף את גבולות התחום באותה עת.

חלקים מסוימים במתמטיקה, שצמחו בתחילה מהתפתחות הפיזיקה, אינם נחשבים כחלק מהפיזיקה המתמטית, בעוד שתחומים אחרים הקשורים לפיזיקה - נחשבים. דוגמה: משוואות דיפרנציאליות חלקיות וגאומטריה סימפלקטית נחשבים לתחומים מתמטיים טהורים, אף שהם משמשים גם לנושאים בפיזיקה, ואילו מערכות דינמיות ומכניקה המילטונית  נכללים בפיזיקה מתמטית.

המונח "פיזיקה מתמטית" משמש לעיתים לציון מחקר שמטרתו לחקור ולפתור בעיות בפיזיקה או בניסויים מחשבתיים במסגרת קפדנית מבחינה מתמטית. במובן זה, פיזיקה מתמטית מכסה תחום אקדמי רחב מאוד, המובחן רק על ידי שילוב של היבט מתמטי כלשהו והיבט תיאורטי לפיזיקה. אף על פי שהיא קשורה לפיזיקה תאורטית, הפיזיקה המתמטית במובן זה מדגישה את הקפדנות המתמטית המקובלת במתמטיקה. מצד שני, הפיזיקה התיאורטית מדגישה את הקישורים לתצפיות ולפיזיקה ניסויית, שלעיתים קרובות מחייבת פיזיקאים תיאורטיים להשתמש בטיעונים היוריסטיים, אינטואיטיביים או משוערים. טיעונים כאלה אינם נחשבים קפדניים על ידי מתמטיקאים. פיזיקאים מתמטיים מרחיבים ומבהירים בעיקר תאוריות פיזיקליות. בגלל רמת הקפדנות המתמטית הנדרשת, חוקרים אלה עוסקים לעיתים קרובות בשאלות שפיזיקאים תיאורטיים חשבו שכבר פתרו. עם זאת, לפעמים הם יכולים להראות שהפתרון הקודם לא היה שלם, שגוי או פשוט תמים מדי. דוגמה לכך הן סוגיות לגבי ניסיונות להסיק את החוק השני של התרמודינמיקה ממכניקה סטטיסטית.

תחומים
מתקיימים ענפים אחדים של פיזיקה מתמטית, המתאימים בערך לתקופות היסטוריות ספציפיות.

מכניקה קלאסית
במכניקה קלאסית כוללת הפיזיקה המתמטית ניסוח מתקדם ומופשט של מכניקה ניוטונית תוך אימוץ של מכניקה לגראנז'ית ומכניקה המילטונית גם בנוכחות אילוצים. שני ניסוחים אלה נכללים במכניקה אנליטית ומובילים להבנה של יחסי הגומלין העמוקים של מושגי סימטריה  וחוקי שימור במהלך האבולוציה הדינמית, כפי שהיא מגולמת בתוך הניסוח הבסיסי ביותר של משפט נתר. גישות ורעיונות אלה הורחבו לתחומים אחרים בפיזיקה, כגון פיזיקה סטטיסטית, מכניקת הרצף, תורת השדות הקלאסית ותורת השדות הקוונטית. יתר על כן, הם סיפקו מספר דוגמאות ורעיונות בגאומטריה דיפרנציאלית (למשל כמה מושגים בגאומטריה סימפלקטית ואגד וקטורי).

משוואות דיפרנציאליות חלקיות
התאוריות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, חשבון וריאציות, אנליזת פורייה, תורת פוטנציאל ואנליזה וקטורית מקושרות כנראה הכי קרוב לפיזיקה מתמטית. אלה פותחו באופן אינטנסיבי החל מהמחצית השנייה של המאה ה-18 ועד שנות ה-30 של המאה ה-20, על ידי ד'אלמבר, אוילר, לגראנז' ועוד. יישומים פיזיקליים של פיתוחים אלה כוללים הידרודינמיקה, מכניקת הרצף, אלסטיות, אקוסטיקה, תרמודינמיקה, חשמל, מגנטיות ואווירודינמיקה.

מכניקת הקוונטים
התאוריה של ספקטרוסקופיה (ובהמשך מכניקת הקוונטים) התפתחה כמעט במקביל לחלקים מסוימים של התחומים המתמטיים של אלגברה ליניארית, תורה ספקטרלית של אופרטורים ואלגברת אופרטורים  ובאופן רחב יותר אנליזה פונקציונלית.

יחסות
תורת היחסות הפרטית ותורת היחסות הכללית מצריכות סוגים שונים של מתמטיקה. תורת החבורות מילאה תפקיד חשוב בתורת השדות הקוונטית ובגאומטריה דיפרנציאלית. אלה נתמכו בהדרגה על ידי הטופולוגיה ואנליזה פונקציונלית בתיאור המתמטי של תופעות קוסמולוגיות ובתורת השדות הקוונטית. בתיאור המתמטי של תחומי פיזיקה אלה חשובים גם עקרונות באלגברה הומולוגית ותורת הקטגוריות.

מכניקה סטטיסטית
מכניקה סטטיסטית כוללת תחום נפרד, שכולל את התאוריה של מעברי פאזה. תחום זה נשען על מכניקה המילטונית וקשור קשר הדוק לתורה ארגודית וחלקים של תורת ההסתברות. מתקיים קשר הדוק בין קומבינטוריקה ופיזיקה, בפרט בפיזיקה סטטיסטית .

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

פיזיקה
מתמטיקה