חבורה אלגברית ליניארית

במתמטיקה, וביפרט בתורת החבורות האלגבריות, חבורה אלגברית ליניארית היא תת חבורה אלגברית סגורה של החבורה הליניארית הכללית. חלק גדול מתורת החבורת האלגבריות מוקדש לעיסוק בחבורות אלגבריות ליניאריות. ביפרט רוב תורת ההצגות של חבורת אלגבריות מתמקדת בחבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמאות רבות של ירעות אלגבריות מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות. כמו כן בניות רבות של חבורות, חבורות טופולוגיות וחבורות לי מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות.

הגדרות

הגדרה אלמנטרית
ניתן להגדיר חבורה אלגברית ליניארית באופן יחסית אלמנטרי (לא דורש את מושג היריע האלגברית והחבורה האלגברית באופן כללי) כדילכמן:
יהי  שדה סגור אלגברית למשל שדה המספרים המרוכבים. תת-קבוצה   של מרחב המטריצות  מעל   נקראת חבורה אלגברית ליניארית אם מתקיים
 היא מכילה את מטריצת היחידה
 היא חבורה ביחס לכפל מטריצות
 כימים פולינומים  ב- משתנים, כך שאם אנו חושבים על המשתנים שלהם בתור מקדמי מטריצה  אז אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות  שמהבים מטריצות הפיכות הוא .
החיסרון של הגדרה זאת הוא שהיא דורשת שיכון ספציפי של החבורה במרחב המטריצות.

הגדרה אבסטרקטית
ניתן להגדיר את מושג חבורה אלגברית ליניארית באופן אבסטרקטי כמקרה פרטי של חבורה אלגברית.
יהי  שדה. אוסף המטריצות  ההפיכות  מעל  היא תת-קבוצה של מרחב המטריצות   המהווה מרחב ליניארי מממד . תת-קבוצה זאת היא קבוצה פתוחה בטופולגיה של זריטסקי. מכאן שיש על קבוצה זאת מבנה טבעי של יריעה אלגברית. כפל מטריצות מגדיר מבנה של חבורה אלגברית על ירעה זאת. חבורה זאת נקראת 
החבורה הליניארית הכללית    מעל השדה . חבורה אלגברית ליניארית היא חבורה אלגברית שאיזומורפית לתת חבורה סגורה של   , ז"א תת יריעה סגורה של  שמהווה תת-חבורה.

חבורות אלגבריות אפיניות
חבורה אלגברית אפינית היא חבורה אלגברית שבתור יריעה אלגברית מהווה יריעה אלגברית אפינית. כל לראות שכל חבורה אלגברית ליניארית היא אפינית. למעשה ההפך גם נכון:
משפט: אם  חבורה אלגברית אז היא לינארית אמ"ם היא אפינית.

לטענה זאת יש הכללות עבור סכמות חבורה אולם המצב שם מסובך יותר.

תכונות
חבורת אלגבריות לינאריות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. זאת אומרת:
 אם  חבורה אלגברית ליניארית ו- תת-חבורה (סגורה זריצקי) שלה אז גם   חבורה אלגברית ליניארית.
 אם  חבורה אלגברית ליניארית ו- תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה אז גם   חבורה אלגברית ליניארית.
 אם  חבורה אלגברית ו- תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה כך ש-   ו-   בורת אלגבריות לינאריות, אז גם  חבורה אלגברית ליניארית.

סוגים של חבורות אלגבריות ליניאריות

חבורות יוניפוטנטיות

משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות היא חבורות יוניפוטנטיות. דוגמה לחבורה יוניפוטנטית היא החבורה   של מטריצות המשולשיות עליונות   שכל עברי האלחסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת יוניפוטנטית אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של  . 

חבורת יוניפוטנטיותט סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה יניפוטנטית היא קשירה. 
החבורה  איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה. אפשר ליראת בדוגמה זאת הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה יוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות היוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה יוניפוטנטית יש מרכז לא טריביאלי. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז מרכז זה מכיל תת חבורה איזומרפית ל-.

חבורות רדוקטיביות

טורוסים

חבורות פשוטות למחצה

מבנה כללי

הערות שוליים