זהות ויינשטיין-ארונסיין

זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם  היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו- היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת
 
כאשר  היא מטריצת היחידה מסדר k.

נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב, שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא .

הוכחה 

נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים: 

אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כמכפלת מטריצות:

כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה: 
ברם,

אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של מטריצת בלוקים נקבל

ואם נסכם הכל:

מש"ל.

קישורים חיצוניים 

 

דטרמיננטות
משפטים באלגברה ליניארית