מידת דיראק

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, מידת דיראק היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע  על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים.

הגדרה 
בהינתן מרחב מדיד  ואיבר , מידת דיראק המתאימה ל- מסומנת על ידי  ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי :

 

כאשר  היא הפונקציה המציינת של .

מידת דיראק היא מידה אטומית, ו- הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה  כמעט בוודאות במרחב המדגם . מידות דיראק הן  של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על .

מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא:

אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא:

תכונות 
יהי  מרחב מדיד ותהי  מידת דיראק שמרכזה .
  מידת הסתברות ולכן מידה סופית, ובפרט סיגמא-סופית.

נניח ש- הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה  עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של  (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה).
  מידה חיובית ממש אם ורק אם  שייך לכל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) בטופולוגיה . לדוגמה, עבור הטופולוגיה הטריוויאלית .
 מכיוון ש- מידת הסתברות, היא .
 אם  הוא מרחב האוסדורף עם סיגמא-אלגברת בורל המתאימה, אז  היא , משום שיחידון כמו  הוא תמיד קומפקטי.
 ‏בהנחה שהטופולוגיה עדינה מספיק כך ש- קבוצה סגורה (זה המצב במקרים רבים, למשל במרחב האוסדורף), אז  היא גם .
 ‏במרחבים בהם שלוש התכונות האחרונות מתקיימות, מידת דיראק היא מידת רדון, ישירות מהגדרתה של זו.
 ‏אם  סגורה, אז התומך של  הוא  (אחרת, התומך הוא הסגור של  ב-). בנוסף,  היא מידת ההסתברות היחידה שהתומך שלה הוא .
 ‏ היא מידה סינגולרית ביחס למידת לבג על המרחב האוקלידי .

הכללות 
מידה בדידה דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה.

קישורים חיצוניים 
 
 
אנליזה פונקציונלית
תורת המידה