פנטציה

במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה,  פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או  . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל

אֶטִימוֹלוֹגִיָה 
את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות.

סימון 
אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.
 אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל:  = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
 בסימון החץ למעלה,  מיוצג כ  אוֹ  . בסימון זה,  מייצג חזקה ו- מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
 בסימון חץ משורשר,  . 
 סימון מוצע נוסף הוא , אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר.

דוגמאות 
ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם  מוגדר על ידי הישנות אקרמן  עם התנאים ההתחלתיים  ו , לאחר מכן  . 

כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation  מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו:
 
 
 
 
 
 
 

מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:
 
 
  (מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה  )
 
 
 
 
  (מספר עם יותר מ-10 153 ספרות)
  (מספר עם יותר מ-10 10 2184 ספרות)

ראו גם
 פונקציית אקרמן
 מספרים גדולים
 המספר של גרהם

הערות שוליים

מספרים גדולים