זהות פרמה

בקומבינטוריקה, זהות פרמה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה) היא נוסחת הסיכום הבאה עבור מקדמים בינומיים באלכסון של משולש פסקל: . הזהות ידועה גם בתור זהות מקל ההוקי על שם צורתה הגאומטרית במשולש פסקל, המזכירה מקל הוקי.

הוכחה

קומבינטורית
תהי סדרה מונוטונית עולה בת  מספרים.
אגף ימין של הזהות מונה כמה דרכים ניתן לבחור  איברים מתוך  איברי הסדרה.
באגף שמאל, נבחר איבר  כלשהו ולאחר מכן נבחר  מתוך  האיברים הקטנים ממנו. עבור  מתקיים  ולכן .

באמצעות פונקציות יוצרות

באמצעות אלגברה

באינדוקציה
עבור  נקבל .

נניח כי הזהות מתקיימת עבור , ונוכיח כי היא מתקיימת עבור  (באמצעות זהות פסקל):

קישורים חיצוניים
 

קומבינטוריקה
משפטים בקומבינטוריקה
מתמטיקה