השערת גלפנד-קירילוב

השערת גלפנד-קירילוב היא השערה אלגברית בתורת ההצגות הגאומטרית, שהוצעה על ידי ישראל גלפנד ואלכסנדר קירילוב ב-1966. ההשערה הופרכה בניסוחה הכללי, אך מקרים פרטיים חשובים שלה הוכחו ברבות השנים.

ניסוח ההשערה
תהי  אלגברת לי (מרוכבת) מממד סופי המתאימה לחבורה אלגברית. תהי  המעטפת האסוציאטיבית האוניברסלית שלה ויהי  חוג השברים של . השערת גלפנד-קירילוב טוענת ש- איזומורפי לחוג השברים של אלגברת וייל מסדר כלשהו, מעל שדה הפונקציות הרציונליות .

מקרים תקפים ודוגמות נגדיות
ההשערה תקפה עבור אלגברות לי פתירות או פשוטות למחצה מטיפוס . בשנת 1996 בנו Alev, Ooms ו-Van den Bergh דוגמה נגדית להשערת גלפנד-קירילוב דוגמה זו נבנית כמכפלה ישרה למחצה של אלגברת לי המתאימה לחבורת לי אלגברית קשירה לא-מיוחדת פשוטה למחצה עם הצגה סוף ממדית שלה בעלת מייצב גנרי טריוויאלי.
מתברר שבדוגמה זו מתקיימת גרסה חלשה של השערת גלפנד-קירילוב: חוג השברים של אלגברת המעטפת אמנם אינו איזומורפי לחוג השברים של אלגברת וייל, אך לאחר הרחבת סקלרים (טרנסצנדנטית טהורה) הוא נעשה כזה.

ב-2010, הראה Permet כי אם השערת גלפנד-קירילוב תקפה לגבי אלגברת לי מסוימת, אזי שדה הפונקציות הרציונליות מעליה במאפיין חיובי גדול דיו הוא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה של תת-שדה האינווריאנטים (ביחס לחבורה). בשילוב עם עבודות קודמות, הדבר אפשר לו להסיק כי אלגברות לי מטיפוסים  (עבור ),  (עבור ),  ו- אינן מצייתות אף הן להשערת גלפנד-קירילוב.

הערות שוליים

אלגברה
תורת ההצגות