יחס הופכי

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי  על קבוצה , הוא היחס המסומן  ומוגדר על ידי . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס  על  הוא היחס .

תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי
 סימטריה. בפרט אם  סימטרי, אז .
הוכחה: .
 רפלקסיביות.
הוכחה: .
 טרנזיטיביות.
הוכחה: .
 אנטי רפלקסיביות.
הוכחה: מההגדרה  נובע כי , ולכן .
 אנטי סימטריה וכן א-סימטריה.
 הוכחה:  ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה:  ולכן אם  א-סימטרי אז  א-סימטרי.

תכונות נוספות של היחס ההופכי
 ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ-"אם ב אז ב" ל-"ב אם ורק אם ב".
הוכחה: לכל x,y - 
 הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: .
הוכחה: לכל x,y -  ולכן .
 ההופכי מתפלג מעל החיתוך: .
הוכחה:לכל x,y -  .
 ההופכי מתפלג מעל האיחוד: .
הוכחה: לכל x,y - .
 ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: .
הוכחה: לכל x,y - .
 מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.

דוגמאות
 לכל קבוצה , היחס ההופכי ליחס  על  הוא .
 לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
 היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".

ראו גם
 יחס (תורת הקבוצות)
 פונקציה הופכית

קישורים חיצוניים
 תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו, עמוד 11.

תורת הקבוצות
יחסים מתמטיים