קוהומולוגיית הוכשילד

במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד  ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר  כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות.

הגדרה 
תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה  של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M.

אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן:  ו- , כאשר . עבור M=A מקצרים וכותבים  ו- , כאשר . זהו מודול מעל המרכז של A. להלן נציג הגדרה מפורשת.

ההומולוגיה אדיטיבית וכפלית:  ו-. היא תלויה רק בקטגוריית הבימודולים של A (שקילות מוריטה). 

עבור שדה F, 
, ושאר ההומולוגיה מתאפסת. עבור אלגברה (עם יחידה) A, 
 היא המנה הקומוטטיבית המקסימלית; מבנה זה מאפשר למיין את המודולים האי-פריקים מעל A. חבורות ההומולוגיה הגבוהות קשורות בהרחבות של מודולים, ובדרך כלל קשה לחשב אותן, בעיקר משום שהסדרה המדויקת המוגדרת על ידי אידיאל של A אינה מספקת סדרה מדויקת ארוכה של חבורות ההומולוגיה.

הרזולוציה החופשית 
האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית  היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס , שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי ; כאן  היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי).

קומפלקס הקו-שרשרת
כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור  על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות . קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא
, כאשר
.

הקוהומולוגיה 
מכיוון ש- מתקיים גם , ולכן . בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור ) כמנות , כאשר .

הממד 
אם M בימודול אינג'קטיבי, אז  לכל . אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז  לכל  ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו  למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות.

לאלגברות בעלות ממד קרול אפס יכול להיות ממד אינסופי: אם  אז  עבור n=0,1,2,... .

מרחבי הקוהומולוגיה הראשונים 
לפי ההגדרה,  (ה"מרכז" של M).

נגזרות 
הגרעין של  הוא אוסף הנגזרות הפורמליות , בעוד שתמונת  כוללת את הנגזרות הפנימיות, . אם כך,  אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב
 ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה  שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה .

הרחבות 
הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש- ו-, כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב  ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן  אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה).

דפורמציות 
תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב , המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר . שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם  אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על ). חישוב מראה שהרכיב  לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של ), ולכן קובע מחלקה ב-. איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם  אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר).

קישורים חיצוניים
 
 Sarah Witherspoon, Hochschild Cohomology, Notices of the AMS, June/July 2020
 Richard Melrose, Hochschild homology, MIT
 Topological Hochschild homology in arithmetic geometry

אלגברה הומולוגית