בעיית איינשטיין

בעיית איינשטיין היא מונח בגאומטריה של המישור ושואלת לגבי קיומו של אריח יחיד אשר כשלעצמו מהווה קבוצה של אריחים א-פריודיים, כלומר, צורה שיכולה לרצף את המישור, אבל רק באופן לא-מחזורי. צורה כזו נקראת "איינשטיין" (אין להתבלבל עם הפיזיקאי אלברט איינשטיין), ומשמעותה נובע ממשחק המילים הגרמניות "איינ" (אחד) "שטיין" (אריח).

את בעיית איינשטיין ניתן לראות כהרחבה טבעית של החלק השני של הבעיה השמונה-עשרה של הילברט, המבקשת פוליהדרון יחיד המרצף את המרחב האוקלידי התלת־ממדי, אך כזה שאין ריצוף של רצפה בעזרת הפוליהדרון הוא איזוהדרלי. אריחים אניזו-הדרליים כאלה נמצאו על ידי קארל ריינהרדט בשנת 1928, אך אריחים אניזו-הדרליים אלו מרצפים במחזוריות את המרחב.

פתרונות מוצעים 

בשנת 1988, פיטר שמיט גילה פרוטוטיל א-מחזורי יחיד במרחב האוקלידי התלת-ממדי. בעוד שאף ריצוף על ידי פרוטוטיל זה לא אפשר הזזה כסימטריה, לחלקם יש סימטריה של בורג . פעולת ההברגה כוללת שילוב של הזזה וסיבוב דרך כפולה אי-רציונלית של π, כך ששום מספר של פעולות חוזרות אינן מניבות הזזה טהורה. בנייה זו הורחבה לאחר מכן על ידי ג'ון הורטון קונוויי ולודוויג דנצר לקבוצה קמורה א-מחזורית, אריח שמיט-קונווי-דנזר . נוכחות הסימטריה של הבורג הביאה להערכה מחדש של הדרישות לאי-מחזוריות. חיים גודמן-שטראוס  הציע כי ריצוף ייחשב מאוד א-מחזורי אם הוא לא מאפשר בשום קבוצה מחזורית אינסופית של תנועות אוקלידיות  כסימטריות, ושרק קבוצות אריחים האוכפות א-מחזוריות חזקה ייקראו א-מחזוריות חזקה, בעוד שקבוצות אחרות ייקראו א-מחזוריות חלשה.

בשנת 1996 בנתה פטרה גומלט אריח מעוטר מעוצב והראתה שכאשר מותרים שני סוגים של חפיפות בין זוגות אריחים, האריחים יכולים לכסות את המישור, אך ורק באופן לא מחזורי. בדרך כלל, פירוש המילה ריצוף הוא חיפוי ללא חפיפות, ולכן אריח הגומלט אינו נחשב לפרוטוטיל א-מחזורי. אריח א-מחזורי שנקבע במישור האוקלידי המורכב מאריח אחד בלבד - אריח סוקולאר-טיילור  - הוצע בתחילת 2010 על ידי ג'ושוע סוקולאר וג'ואן טיילור. בנייה זו מחייבת כללים תואמים, כללים המגבילים את הכיוון היחסי של שני אריחים ואשר מתייחסים לעיטורים המצוירים על האריחים, וכללים אלו חלים על זוגות של אריחים לא צמודים. לחלופין, ניתן לבנות אריח לא מעוטר ללא כללים תואמים, אך האריח אינו מחובר. ניתן להרחיב את הקונסטרוקציה לאריח תלת־ממדי מחובר ללא כללים תואמים, אך אריח זה מאפשר ריצוף מחזורי בכיוון אחד, ולכן הוא א-מחזורי חלש בלבד. יתר על כן, האריח אינו פשוט מחובר.

בשנת 2022, חובב החידות, דייוויד סמית, גילה אריח בצורת "כובע" שנוצר משמונה עותקים של דלתון 60°–90°–120°–90°, מודבק מקצה לקצה, שנראה היה כמרצף את המישור רק מדי פעם. סמית' גייס עזרה מהמתמטיקאים קרייג ס. קפלן, ג'וזף סמואל מאיירס וחיים גודמן-שטראוס, ובשנת 2023 פרסמה הקבוצה הדפסה מוקדמת המוכיחה ש"הכובע", כאשר הוא מורכב עם תמונת המראה שלו, יוצר מערכת פרוטוטיל א-מחזורית. יתר על כן, ניתן להכליל את "הכובע" למשפחה אינסופית של אריחים עם אותה תכונה א-מחזורית. ההוכחה שלהם ממתינה לביקורת עמיתים ולפרסום רשמי.

בשנת 2023, אותו הצוות (סמית', מאיירס, קפלן וגודמן-שטראוס) פרסמו טיוטה בנושא משפחה של צורות, הנקראות "ספקטרים". כמו אצל ה"כובע", כל צורה כזו יכולה לרצף את המישור בעזרת הזזה וסיבוב בלבד. יתר על כן, אריח ה"ספקטר" נחשב אריח "כיראלי מוחלט": אפילו אם תמונות המראה היו מותרות, כל הריצופים היו משתמשים רק בכיראליות אחת של הספקטר. במילים אחרות, אין שום ריצופים של המישור שמשתמשים גם בספקטר וגם בתמונת המראה שלו.

קישורים חיצוניים
 An aperiodic monotile by Smith, Myers, Kaplan, and Goodman-Strauss
 , 5 במאי 2023

הערות שוליים 

איינ
גאומטריה אוקלידית