הרחבת חוג

באלגברה, הרחבת חוג של חוג R על ידי חבורה חילופית I היא זוג ( E,  ) המורכב מחוג E והומומורפיזם חוגי  שמתאים לרצף המדויק הקצר של חבורות חילופיות:

 

יש לזכור כי I הוא אז אידיאל דו צדדי של E. בהינתן חוג חילופי A, הרחבת-A   מוגדרת באותו אופן על ידי החלפת "חוג" עם " אלגברה על A" ו "חבורה חילופית" עם "מודול - A ".

נאמר כי הרחבה היא טריוויאלית אם  מתפצל; כְּלוֹמַר,  נותן קטע שהוא הומומורפיזם .

מורפיזם בין הרחבות R על ידי I, על, לדוגמה, A, הוא הומומורפיזם אלגברה E → E  המשרה את הזהויות ב- I ו- R. לפי למת החמישה, מורפיזם כזה הוא בהכרח איזומורפיזם, ולכן שתי הרחבות שוות ערך אם יש מורפיזם ביניהן.

דוגמאות

דוגמה 1 
בוא ניקח את החוג  של מספרים שלמים ובוא ניקח את הקבוצה החילופית  (תחת חיבור) של מספרים בינאריים. ניקח E = , אנו יכולים להגדיר כפל על E באמצעות  (כאשר  הוא הומומורפיזם הממפה מספרים זוגיים ל-0 ומספרים אי-זוגיים ל-1). זה נותן את הרצף המדויק הקצר

 

איפה p הוא ההומומורפיזם  .

דוגמה 2 
כך את R להיות חוג חילופי ו- M להיות מודול-R. תן E = R ⊕ M להיות הסכום הישיר של חבורות חילופיות. הגדר את הכפל ב- E על ידי

 

אפשר לזהות את ( a, x ) עם a + εx כאשר ε בריבוע הוא אפס וכשמפשטים את ( a + εx ) ( b + εy ) מניבה את הנוסחה שלעיל; בפרט אנו רואים כי E הוא חוג. לאחר מכן יש לנו את הרצף המדויק הקצר

 

כאשר p ההקרנה. לפיכך, E הוא הרחבה של R על ידי M. תכונה מעניינת אחת של בנייה זו היא שהמודול M הופך לאידיאל של חוג חדש כלשהו. ב"local rings" שלו, נגאטה מכנה תהליך זה כעקרון האידיאליזציה .

קישורים חיצוניים 
 E. Sernesi: דפורמציות של סכימות אלגבריות
 

תורת החוגים