כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (הקרוי על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה .

ניסוח הכלל
תהי  פונקציה רציפה במלבן , וגזירה ברציפות לפי  ( קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות  גזירות בקטע . אזי

.

מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות  קבועות, כלומר . אז נקבל כי

.

הוכחת הכלל

שלב א' - הוכחת המקרה הפרטי 
תהי  רציפה. נגדיר

ונטען שהיא רציפה. יהי . כיוון ש- רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים  כך שאם  אז .

יהיו  המקיימים . אבל  ולכן

.

מכאן ש- אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).

בפרט אם נבחר  היא רציפה מההנחה ש- רציפה. כעת, נביט בהפרש:

.

כיוון ש- רציפה וגזירה לפי , נוכל להיעזר במשפט לגרנז' ולקבל שקיימת  כך ש- (זאת כי קיבענו את ). לכן:

כי  רציפה. כלומר, הראנו כי .

שלב ב' - הוכחת המקרה הכללי 
אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה

.

לשם כך, נגדיר פונקציה חדשה

ונבחין כי

מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של  לפי  ולפי  הן

ואלו רציפות מההנחה ש- רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של  לפי  היא

וזו פונקציה רציפה מההנחה ש- רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של  קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם  דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים

כנדרש.

דוגמאות

דוגמה 1 - גבולות התלויים במשתנה הגזירה 
נחשב את הנגזרת הבאה ():

.

דוגמה 2 - שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים 
נחשב את האינטגרל

.

לשם כך, נסמן

עבור  והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא . נגזור ונקבל

.

מכאן

.

נבחין ש-. אזי

כלומר

ולכן

.

קישורים חיצוניים 
 
 על הכלל באתר Brilliant
 

חשבון אינפיניטסימלי
משפטים באנליזה
אינטגרלים