גומבוץ (מתמטיקה)

גומבוץ (בהונגרית: Gömböc) הוא גוף תלת-ממדי וקמור בעל צפיפות הומוגנית שכאשר מניחים אותו על משטח שטוח יש לו רק שתי נקודות שיווי משקל: אחת יציבה והשנייה רופפת. בכך לגוף כזה יש תכונה ייחודית - יכולת יציבה אבסולוטית - כלומר, במילים אחרות, ישנו מנח יחיד בו הוא יכול להימצא באמת במצב סטטי. קיומו שוער לראשונה ב-1995 על ידי המתמטיקאי הרוסי ולדימיר ארנולד, והוכח ב-2006 על ידי המדענים ההונגרים גאבור דומוקוש ופטר ורקוני, שתיארו משפחה של גופים בעלי התכונה הזאת.

מאז שנתגלה, צורתו עזרה להסביר את מבנה הגוף של צבים יבשתיים, בהקשר של יכולתם הטבעית לחזור לתנוחת שיווי משקל לאחר שהופכים אותם מלמטה למעלה.

היסטוריה 

בגאומטריה, גוף עם תנוחה יציבה יחידה נקרא מונוסטטי, בעוד המונח מונו-מונוסטטי נטבע כדי לתאר גוף אשר בנוסף לכך יש לו נקודת שיווי משקל רופף יחידה. כדור שמשקלו מפולג ככה שמרכז המסה שלו מוסט ביחס למרכז הגאומטרי שלו הוא גוף מונו-מונוסטטי. דוגמה נפוצה יותר היא זו של נחום תקום (ראו איור מימין). בשיווי משקל, מרכז המסה שלו ונקודת המגע נמצאים על ישר שניצב לקרקע. כאשר הצעצוע מוטה במקצת, גובה מרכז המסה שלו עולה ובנוסף מתרחק אופקית מהישר הזה. הדבר מפיק מומנט התיישרות אשר משיב את הצעצוע למנח היציב שלו.

הדוגמאות שהוזכרו מקודם של גופים מונו-מונוסטטיים הן בהכרח לא הומוגניות, כלומר, בדוגמאות אלו צפיפות החומר ממנו עשוי הגוף אינה אחידה. השאלה האם ניתן לבנות גוף תלת-ממדי שהוא לא רק מונו-מונוסטטי אלא גם הומוגני וקמור הועלתה על ידי המתמטיקאי הרוסי ולדימיר ארנולד ב-1995. דרישת הקמירות היא מהותית לבעיה שכן בנייה של גוף מונו-מוסטטי לא קמור היא טריוויאלית (ניתן לקחת לדוגמה כדור הומוגני עם חלל כדורי בעל מרכז שונה בתוכו; במקרה זה מרכז המסה של הגוף יוסח ממרכז הכדור למרחק מה בכיוון הפוך מכיוון מרכז החלל הכדורי). הקמירות פירושה שכל קו ישר שמחבר שתי נקודות על הגוף נמצא כולו בתוך הגוף, או, במילים אחרות, שבמשטח אין שקעים אלא רק בליטות כלפי חוץ (או שהוא לכל הפחות שטוח) בכל נקודה.

בשנה בה העלה ארנולד את השערתו כבר היה ידוע, מההכללה הטופולוגית והגאומטרית של משפט ארבעת הקודקודים הקלאסי, שלעקומה מישורית יש לפחות ארבע נקודות קיצון של העקמומיות, ובאופן ספציפי יותר, לפחות שתי נקודות מקסימום מקומי ושתי נקודות מינימום מקומי. כיוון שהתנאים ליציבות של גוף דו־ממדי עבור נקודת מגע נתונה הם שמרכז המסה יהיה בדיוק מעל נקודת המגע, ושמרכז המסה יימצא מתחת למרכז העקמומיות (אשר גובהו הוא רדיוס העקמומיות), נובע איפה שיציבות מקומית של הגוף נקבעת על פי מיקום מרכז המסה ביחס לאוולוט של העקומה. למעשה, נקודת שיווי משקל יציב תיתכן רק כאשר מרכז המסה יימצא מעל נקודת מינימום מקומי של העקמומיות. כיוון שחייבות להיות לפחות שתי נקודות מינימום כאלו, כל עקומה מישורית תהיה בעלת לפחות שתי תנוחות יציבה; פירוש הדבר שלא קיימים גופים קמורים מונו-מונוסטטיים בשני ממדים.

המצב בשלושה ממדים סבוך בהרבה, שכן ישנה עקמומיות נורמלית שונה (של חתכים נורמליים שונים) עבור כל כיוון הטיה של הגוף (ולפיכך גם היסט אנכי שונה של מרכז המסה), אולם בתקופתו של ארנולד מקובל היה לחשוב שגם בשלושה ממדים לגוף בהכרח יהיו לפחות ארבע נקודות קיצון. בניגוד לסברה הקיימת, ארנולד שיער שניתן להקטין את המספר הזה.

הפתרון

קישורים חיצוניים

הערות שוליים 

גאומטריה
שעשועי מתמטיקה