מתמטיקה: דמותה ותכליתה

מתמטיקה: דמותה ותכליתה (באנגלית: Mathematics: Form and Function) הוא ספר מתמטי-פילוסופי, אשר נכתב על ידי המתמטיקאי האמריקאי סאונדרס מקליין. לאורך הספר סוקר מקליין את המתמטיקה בכללותה, תוך שהוא בוחן את מקורותיה הרעיוניים, בעיותיה הפילוסופיות, וכן נושאים מתחום הפרקטיקה של המחקר המתמטי. הספר משמש ככר בו מקליין פורש את משנתו ודעותיו בנושאים אלו.

הרקע לכתיבת הספר 
העניין של מקליין בפילוסופיה של המתמטיקה החל בגיל צעיר, בין היתר כאשר קרא בנערותו את ספרם של ראסל ווייטהד פריניקיפיה מתמטיקה. היות שנולד בשנת 1909, נעוריו של מקליין ותחילת דרכו כמתמטיקאי עברו עליו בשנות ה-20 וה-30, שנים בהן העיסוק ביסודות המתמטיקה ובפילוסופיה שלה היה פעיל מאוד (בין היתר עקב "משבר היסודות" שהתרחש בשנים אלו). ייתכן שבהשפעת הסביבה הזו, מקליין בחר לעשות את עבודת הדוקטורט שלו (1933) בתחום הלוגיקה המתמטית, באוניברסיטת גטינגן, בהנחייתו של פאול ברנייס (Paul Bernays) - מגדולי החוקרים בתחום הלוגיקה המתמטית באותה עת.

לאורך העשורים שלאחר מכן, רמת העניין של מרבית המתמטיקאים בתחום היסודות והפילוסופיה של המתמטיקה פחתה במהירות. אף שמקליין מעולם לא איבד עניין בפילוסופיה של מתמטיקה, הוא הרגיש שמדובר בתחום שקשה מאוד לתרום לו תרומה בעלת ערך, ומיעט יחסית לעסוק בנושא בשנים אלו. מחקרו של מקליין עבר לתחומי האלגברה והטופולוגיה האלגברית, מה שיוביל אותו בהמשך לייסד את תורת הקטגוריות ואת האלגברה ההומולוגית יחד עם שותפו, סמואל אילנברג.

מקליין מספר שבעיניו עבודות רבות העוסקות בפילוסופיה של המתמטיקה מתבססות על גישה מוטעית, מכיוון שהן אמנם מכילות דיונים רבים בנוגע לטיבם ומציאותם של אובייקטים מתמטיים, אך דיונים אלו מתבססים לרוב רק על החלקים האלמנטריים ביותר של המתמטיקה עצמה. יתר על כן, מחבריהן של עבודות אלו לעיתים קרובות אף כלל לא מכירים לעומק את חלקיה המתקדמים של המתמטיקה המודרנית - מקליין מציין את ויטגנשטיין כדוגמה למי שלדעתו כשל בנקודה זו. להשקפתו של מקליין, כדי שפילוסופיה של המתמטיקה תהיה באמת משכנעת, היא צריכה קודם כל להתבסס על בחינה רעננה של מה יש במתמטיקה. רק כך, מול חומר הראיות הרלוונטי, ניתן יהיה לגבש פילוסופיה רלוונטית של המתמטיקה.

לכן, מקליין גמר אומר לכתוב ספר שבו יתאר דעותיו באשר לפילוסופיה של המתמטיקה, כאשר הטענות הפילוסופיות יוצגו כנגד חומר רב הסוקר את המקור והמשמעות של חלקים נרחבים מהמתמטיקה המודרנית, בהתאם לעקרון שהוא הציג.

הספר מבוסס על מאמציו של מקליין לגבש פילוסופיה של המתמטיקה בארבע השנים שקדמו להוצאתו (1982-1986), ובפרט על סמינרים והרצאות שונות שמקליין העביר בנושא בתקופה זו, במיוחד סמינר שנתי בנושא שנערך על ידו באוניברסיטת שיקגו.

לקריאה נוספת 
 (2005) Saunders Mac Lane: A Mathematical Autobiography

קישורים חיצוניים 
 הספר בגרסה אינטרנטית חינמית באתר Scribd

הערות שוליים

ספרי מתמטיקה