גז אולטרה-יחסותי

גז אולטרה-יחסותי (באנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי.

באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר:

כאשר  הוא התנע של החלקיק,  מסת המנוחה שלו, ו- מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים , ועל כן האנרגיה שלו היא:

כאשר  הוא קבוע פלאנק המצומצם.

משתנים תרמודינמיים 
נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל  חלקיקים בנפח , המצומד למאגר חום בטמפרטורה  (כאשר , ו- הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות  הוא , כאשר  צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא:

מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד:

כאשר .

פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא:

מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת:

האנרגיה הפנימית: 

האנרגיה החופשית של הלמהולץ: 

כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג.

האנטרופיה: 

הלחץ: 

ניתן לשים לב שמתקיים:

(כאשר )

אפקטים קוונטיים בגז 
בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו- הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) .

לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה:

כאשר  היא פונקציית גמא,  הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- .

גז פרמיונים אולטרה-יחסותי

בגבול  (גז פרמיונים מנוון) 
בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי () יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב:

כאשר  היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- . לכן:

כאשר תנע פרמי  הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה . עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים:

ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי:

בטמפרטורה כללית 
האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות , כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים.

הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא 

מספר החלקיקים:

בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים:

( היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ:

כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם , ניתן לקבל את הקשר , כאשר  היא האנטרופיה. מכאן:

גז בוזונים אולטרה-יחסותי 
לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין.

הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: 

כאשר בוצעה החלפת משתנים . באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים:

נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים:

( היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית)

כדי לקבל את הלחץ:

וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל:

חשיבות המודל

התפשטות היקום המוקדם 
למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח , וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל:

כאשר  היא פונקציית זטא של רימן.

היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים . כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר . מכאן ניתן לרשום:

כאשר  הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט.

יציבות של ננסים לבנים 
נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים.

לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל:

(כאשר )

פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה:

מכיוון ש-  (כאשר  המספר האטומי של האטומים בכוכב,  מספר המסה שלהם,  הצפיפות של הננס הלבן ו-  מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים:

הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי:

כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב.

ביבליוגרפיה 
<div style="direction: ltr;">
Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology
Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press

לקריאה נוספת 
 גז פרמי

גזים