משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק  של הסדר של חבורה , מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה  מתחלק ב-. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.

ניסוח המשפט 
תהי G חבורה ויהי  מחלק של הסדר . נסמן ב  את אוסף האיברים מסדר המחלק את . אזי .

הוכחה 
נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר , כאשר  זרים, אפשר לפרק בצורה  כאשר  (למעשה אפשר לבחור את  להיות חזקות של ).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם  לא ריקה אז  כאשר  היא פונקציית אוילר. בנוסף אם  מהצורה  כאשר  ואם  אז  ריקה או ש .

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים . לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא . מקבלים ש  איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש . נרשום את A בצורה הבאה: . אם A אינה ריקה נקבל ש כאשר  מסמן את המחלקה של . כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב . ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו . ההוכחה באינדוקציה כפולה על . מקרה הבסיס  או  טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי . תהי . מתקיים .

מאינדוקציה נקבל כי  ולכן מספיק להראות ש . אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה  ולכן מספיק להראות ש . נרשום ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש . נסמן ב  את המרכז של a וב  את מחלקת הצמידות של . עבור  ב  נגדיר . מקבלים ש . נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו . נקבל ש . כיוון ש וכן נקבל ש  והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש  לכל a מסדר . נשים לב שהעתקה  היא התאמה חח"ע ועל ולכן . יהי . ההתאמה  היא התאמה חח"ע ועל מ  ל . כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש  ולכן . ממשפט מסלול מייצב נקבל ש  ולכן . כיוון שגם  וגם  מחלקים את  נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם  מחלקת את . לכן  מחלק את . מכיוון ש  נקבל ש  וסיימנו.

שימושים 
1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש  ו  סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת  סילו היא נורמלית ב  ובנוסף  חבורה פתירה. בפרט אם חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת  סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על  ש  עבור  כך ש . המקרה של  ברור. נניח שהראנו לכל מחלק  מהצורה לעיל הגדול מ , ונוכיח כעת עבור . יהי  המחלק הראשוני הגדול ביותר של . תהי. כיוון שחבורות  סילו ציקליות,  לא ריקה. מהנחת האינדוקציה . ממשפט פרובניוס קיים  כך ש . מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש  מהצורה של  כל מחלק של  הוא לפחות  ולכן  לכן  ולכן . קיבלנו לכן ש  עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור נקבל ש  ונקבל שתת-חבורת ה  סילו  יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה , פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ .

2) על ידי חישוב  בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל  על ידי חישוב  בחבורה הסימטרית  ניתן להראות כי מתקיים:.

תוצאות נוספות 
 גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם  היא מחלקת צמידות עם  איברים אזי מספר האיברים  כך ש  נמצא ב  מתחלק ב .
 פרובניוס שיער שאם  ו  אז , תת-חבורה נורמלית של . ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה של אנשי תורת החבורות.

ראו גם 
 משפטי סילו

קישורים חיצוניים 
 הוכחת המשפט ושימושים

הערות שוליים 

2019 06
תורת החבורות
משפטים בתורת החבורות