משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.

ניסוח המשפט 
תהי אלברת בנך ונסמן ב את אוסף האיברים ההפיכים על . נסמן ב e את איבר היחידה ב . יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על . בבירור צריך להתקיים ש  וכן ש  לכל x ב . לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:

כל פונקציונל על  המקיים  הוא בהכרח רציף וכפלי.

הוכחה 
לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:

עובדה: יהי כך ש אז  הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של  היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי).

למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת  אז .

הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש  וכן . יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל , . נגדיר את הפונקציה הבאה:

. אזי h אנליטית במעגל ברדיוס . כמו כן אם אז נקבל ש. כעת מעקרון המקסימום,  לכל . נשאיף ונקבל שבהכרח g=0.

הוכחת המשפט:

יהי . יהו ההנחה ש גוררת שאפשר לרשום כאשר . ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש .נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר . נקבל ש . נציב x+y במקום x ונקבל ש . לכן . נתבונן בזהות הבאה: .

נניח ש . מהטענה הקודמת ומההנחה ש  נקבל שצד ימין וכן ב N. לכן ב N וכיוון ש נקבל ש ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.

נוכיח כעת ש רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, . לכן לכל   לכן נסיק ש רציף ומנורמה 1.

נשאר להוכיח ש . נקבע . ללא הגבלת הכלליות, . נגדיר . כיוון ש נקבל ש f שלמה ומקיימת  בבירור . נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה  מתכנסת בנורמה ומרציפות  נקבל ש  הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: (אותה הוכחה). בפרט . לכן

לכל , הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש ובפרט וקיבלנו את הדרוש.

ראו גם 
 אלגברת בנך

לקריאה נוספת 
 רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill.

קישורים חיצוניים 
 משפט גליסון-קיין-זלזקו, באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.

אנליזה פונקציונלית
משפטים באנליזה פונקציונלית