מודל הרוכסן לשכפול DNA

מודל הרוכסן הוא מודל תרמודינמי משמש קירוב פשטני של סליל DNA במהלך שכפול. המודל מקרב את ה-DNA למולקולה חד־ממדית שמבצעת מעבר פאזה, שמתוארת על ידי רוכסן שיכול להיפתח ולהיסגר. הפיתוח המלא ודיון בו פורסמו לראשונה על ידי צ'ארלס קיטל ב-1969.

הדמיון בין המערכות נובע מהמכניזם של תהליך פתיחת ה-DNA לצורך שכפולו, ובייחוד תהליך האתחול. תהליך האתחול מתרחש מסביב למקור השכפול (Origin of Replication), שהוא אזור מסוים בכרומוזום שבו מתחיל שכפול ה-DNA.

בהמשך התהליך נקשרים מספר חלבונים למקור השכפול וגורמים לו להיפתח בצורה חלקית (הפתיחה נעשית באמצעות הפרדת זוגות הנוקלאוטידים שמקשרים בין הגדילים). כך נוצרת בועת השכפול (Replication Bubble), שבשני הצדדים שלה נוצרים מזלגות השכפול (אזורי המעבר בין החלק הפתוח של ה-DNA לזה הסגור, נקראים כך משום צורתם), אחד בכל צד. המשך הפתיחה מבוצע על ידי ה-DNA הליקאז, אנזים שאחראי על הפרדת שני הגדילים. 

המזלגות הנוצרים במהלך הפתיחה דומים לאזור הפתיחה של רוכסן: ה-DNA שעוד לא נפתח מקביל לחלק ברוכסן שבו השיניים סגורות ומשולבות, החלק הפתוח של ה-DNA מקביל לשני הקצוות הפתוחים של הרוכסן והחוליות מקבילות לנוקלאוטידים.

פיתוח תרמודינמי 

מערכת הרוכסן היא מולקולה חד־ממדית בעלת  זוגות של חוליות. כל זוג יכול להיות באחד משני מצבים: סגור או פתוח. נניח כי הרוכסן יכול להיפתח רק מכיוון אחד.  

נגדיר את מספר החוליות הפתוחות, . כדי להבחין בין קצות הרוכסן, נניח כי החוליה  לא יכולה להיפתח ולכן נאמר כי הרוכסן פתוח כאשר . בנוסף נניח כי למצב הפתוח של חוליה יש ניוון  שנובע מדרגות החופש הרוטציוניות שלה.

פונקציית החלוקה 
נניח כי אם  החוליות הראשונות פתוחות, האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה-  היא . אחרת, לפחות חלק מ-  החוליות הראשונות סגורות ואז האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה-  היא אינסופית.

האנרגיה הדרושה עבור פתיחת  החוליות הראשונות היא  והניוון של  החוליות הוא . התרומה של מצב זה לפונקציית החלוקה היא: 

כאשר ,  הטמפרטורה ו-  קבוע בולצמן.

מכך מתקבלת פונקציית החלוקה, כאשר נסכום על מספר החוליות הפתוחות כדי לקבל תרומות מכל המצבים:ועל ידי שימוש בטור הגאומטרי והגדרת משתנה חסר יחידות  נקבל

מספר החוליות הפתוחות 
את מספר החוליות הפתוחות הממוצע עבור טמפרטורה  מקבלים על ידי מיצוע תרמודינמי. הממוצע של פונקציה תרמודינמית  הוא 

 

כאשר  ההסתברות למצב ה-.

לכן מספר החוליות הפתוחות הממוצע יהיה:

אנטרופיה 
האנטרופיה  מחושבת על ידי:

כאשר , האנרגיה החופשית של הלמהולץ. לכן האנטרופיה של המערכת:
נזהה את  ונקבל

מעבר פאזה 
נשים לב כי אם נשרטט את הגרף של מספר החוליות הפתוחות הממוצע כפונקציה של , נקבל תופעה מעניינת.
אפשר לראות עלייה חדה באזור . זה אזור שבו כאשר מעלים את הטמפטורה מעט (כשמגדילים את  מגדילים את  בלבד כי , קבועים), נפתחות הרבה מאוד חוליות ברוכסן וקצב הפתיחה גדל גם הוא. באזור זה מתרחש מעבר פאזה בין המצב של הרוכסן הסגור לבין המצב של שני קצוות הרוכסן הפתוחים.

אזורי  שונים 

 

כדי למדל את ההתנהגות באזור זה תחילה נפתח לטור את מספר החוליות הפתוחות הממוצע. נשים לב כי המכנה של  מתאפס באזור הזה ולכן ניעזר בפיתוח לטור.

מפיתוח טיילור לפי  סביב  עד סדר ראשון נקבל

כעת נניח כי  ונחלק ב-:

נגדיר  משום שיהיה נוח בהמשך להתייחס לאזור מעבר הפאזה כ- . השיפוע באזור זה יהיה
כלומר סך הכל קיבלנו שעבור  ו-  השיפוע אינסופי בנקודת המעבר וגם מספר החוליות הפתוחות הוא .

 

עבור , נוכל לראות שמתקיים:
כאשר מזניחים את האיבר . כלומר  שואף מלמטה לחסמו העליון .

 

עבור , נקבל כי האיבר  זניח ולכן:
ללא תלות ב-.

טמפרטורת המעבר 
ראינו כבר כי המעבר מתקיים בנקודה , כלומר הטמפרטורה הקריטית של מעבר הפאזה היא הפתרון למשוואה
עבור , למשוואה זו יש פתרון רק בטמפרטורה אינסופית. לכן נקבל כי התנאי לקיום מעבר פאזה בטמפרטורה סופית הוא:
והטמפרטורה בה מתקיים מעבר הפאזה, , היא:
תוצאה זו מערערת על ההגדרה של המודל כחד־ממדי, משום שניתן לטעון כי הניוון  נובע מדרגות החופש הרוטציוניות של החוליה, שאינן קיימות במודל חד־ממדי אמיתי. בכל זאת, ישנם מודלים חד־ממדיים דומים בהם משמש הניוון חלק חשוב ממעבר הפאזה. זה נובע מכך שהקיום של קונפיגורציות אסורות במערכת (כלומר, אנרגיה אינסופית) הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק למעבר פאזה במערכת חד־ממדית כמו זו. דרישה נוספת יכולה להיות, למשל, שהניוון של מצב מעורר של יחידה מבנית (באנגלית- Structural Unit) חייב להיות גדול מהניוון של מצב היסוד.

ניתן להראות גם כי באזור מעבר הפאזה מתקיים

קיבול החום 
הגדרת קיבול החום היא . באזור מעבר הפאזה האנטרופיה היא , ולכן קיבול החום באזור זה:
ותחת ההנחה  מתקבל הביטוי
כלומר קיבול החום לחוליה שואף לאינסוף כאשר  וזה מעבר פאזה מסדר ראשון.

פתיחת כל החוליות ברוכסן 
תופעה מעניינת היא קיום של מעבר פאזה כאשר כל החוליות ברוכסן פתוחות, כלומר . הסיכוי למצב כזה:
אנחנו קרובים לנקודת המעבר, לכן  ומתקיים  ומקבלים:
כלומר רוכסן אחד מכל  יהיה פתוח לגמרי בנקודת מעבר הפאזה. מעל נקודה זו, עבור  הסיכוי לרוכסן פתוח לחלוטין הוא

ראו גם 

 שכפול DNA
 ביופיזיקה
 מעברי פאזה

קישורים חיצוניים 

 http://x3dna.org/articles/seeing-is-understanding-as-well-as-believing, באתר x3dna.

הערות שוליים 

2020 07
DNA