משפט מוררה

משפט מוררה הוא משפט באנליזה מרוכבת שנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה.

המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה , שהוכיח אותו בשנת 1886.

ניסוח פורמלי 
תהי  פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר . אם לכל משולש  שמוכל יחד עם פנימו ב- מתקיים , אזי  הולומורפית ב-.

הוכחה 
ראשית נוכיח שלפונקציה  קיימת פונקציה קדומה ב-.

תהי  נקודה בתחום. מכיוון ש-D היא קבוצה פתוחה, קיים עיגול .

לכל  נגדיר .

יהי  משולש המוכל בעיגול  (מתקיים בעבור  קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע .

נוכל לרשום את השוויון כך: 

ולאחר העברת אגפים נקבל , ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון .

כעת, נוכיח שהפונקציה  היא פונקציה קדומה של . כלומר מתקיים .

נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל: .

נעריך את הביטוי האחרון: .

מרציפות  נקבל שכאשר  שואף לאפס גם הביטוי  שואף לאפס, כלומר מתקיים , ולכן  היא פונקציה קדומה של .

ומכיוון ש- הולומורפית ב- נובע שגם נגזרתה הולומרפית, כלומר  הולומורפית ב-.

שימושים 
משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל.

דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא  על ידי כך שנוכיח את השוויון  לכל מסילה סגורה .

מהגדרת פונקציית גמא מתקיים: .

ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל: .

הפונקציה  אנליטית, ולכן מתקיים  (נובע ממשפט קושי-גורסה). כלומר,  לכל מסילה סגורה , ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור.

לקריאה נוספת 
 פונקציות מרוכבות (כרך ג' יחידות 5–6), האוניברסיטה הפתוחה, 2009

קישורים חיצוניים 
 
 

משפטים באנליזה מרוכבת