מונואיד חופשי

מונואיד חופשי הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים.

הגדרה
קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי.

מונואיד חופשי  הוא רביעייה סדורה של קבוצה , פעולה , איבר , וקבוצה נוספת  כך ש  מונואיד ומתקיים:

ההגדרות הבאות שקולות:

 לכל מונואיד, ולכל  פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד  כך שמתקיים  כאשר  העתקת ההכלה (כלומר ). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה . כל ההומומורפיזמים של המונואיד  נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי  "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי .
 יוצרת את , וגם לכל מספר טבעי  ולכל  מתקיים: . ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה . אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים.

דוגמאות

המספרים הטבעיים 
הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר  המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר ), ו מהווה את .

כלומר הקבוצה  מכילה מספרים כמו  וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא:  וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי:  וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2.

כוכב קלין

כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים  מסומן ב- ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו- המהווה את הקבוצה . לדוגמה אם  אז  מכיל איברים כגון  וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא: .

תתי-מונואידים של המונואיד החופשי

הגדרת תת-מונואיד 
יהי  מונואיד. אומרים כי  תת-מונואיד של  אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות:

 .
 אם  אזי .
 .

חיתוך של תתי-מונואידים 
משפט: יהי  מונואיד חופשי. תהי  קבוצה של תתי-מונואידים של  כך שלכל  מתקיים כי  מונואיד חופשי. אזי מתקיים  מונואיד חופשי.

ראו גם
 חבורה חופשית
 מונואיד (מבנה אלגברי)

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

חבורות למחצה
שפות פורמליות
אובייקטים חופשיים