משטח מינימלי

משטח מינימלי במתמטיקה הוא משטח שממזער באופן מקומי את השטח שלו. הגדרה זו שקולה לכך שהמשטח יהיה בעל עקמומיות ממוצעת אפס (ראו פרק ההגדרות למטה). 

במונח "משטח מינימלי" נעשה שימוש מכיוון שמקורם של המשטחים הללו הוא בבעיות שעסקו במציאת המשטח שממזער את שטח הפנים הכולל שלו בהינתן אילוצים מסוימים. ניתן להכין מודלים פיזיקליים למשטחים מינימליים באמצעות טבילת מסגרת תיל בסבון, מה שיוצר קרום סבון המהווה פתרון מתמטי לבעיה של מציאת משטח בעל שטח מינימלי ששפתו היא מסגרת התיל. עם זאת, במונח נעשה שימוש גם כדי להתייחס למשטחים יותר כלליים שיכולים לחתוך את עצמם או שאינם נתונים לאילוצים. באופן כללי, בהינתן אילוץ ספציפי עשויים להתקיים מספר משטחים מינימליים, כל אחד עם שטח שונה: ההגדרות הסטנדרטיות מתייחסות לאופטימום מקומי, ולא לאופטימום גלובלי.

הגדרות 

משטחים מינימליים יכולים להיות מוגדרים בכמה דרכים שקולות ב-R3. העובדה שהן שקולות מדגימה כיצד התאוריה של משטחים מינימליים מהווה צומת חשובה ביחסי הגומלין בין כמה דיסציפלינות מתמטיות, בייחוד גאומטריה דיפרנציאלית, חשבון וריאציות, תורת הפוטנציאל, אנליזה מרוכבת ופיזיקה מתמטית. להלן מוצגות כמה מן ההגדרות למשטח מינימלי.

  משטח שממזער מקומית את השטח: משטח M ⊂ R3 הוא מינימלי אם ורק אם לכל נקודה p ∈ M יש סביבה בעלת שטח מינימלי בהשוואה לשפה שלה. 

ההגדרה הזו היא מקומית: ייתכנו משטחים אחרים בעלי אותה שפה הממזערים שטח טוב יותר.

  הגדרה וריאציונית: משטח M ⊂ R3 הוא מינימלי אם ורק אם הוא מהווה נקודה קריטית של פונקציונל השטח עבור כל הווריאציות האפשריות.

הגדרה זו הופכת את המושג של משטחים מינימליים לאנלוג הדו-ממדי לגיאודזות.

 הגדרת קרום הסבון: משטח M ⊂ R3 הוא מינימלי אם ורק אם לכל נקודה p ∈ M יש סביבה Dp הזהה לזו של קרום הסבון האידיאלי הייחודי עם שפה Dp∂.

לפי משוואת יאנג-לפלס העקמומיות הממוצעת בנקודה של קרום סבון פרופורציונלית להפרש בלחץ משני צידי המשטח: אם הוא שווה לאפס, אז לממברנה יש עקמומיות ממוצעת אפס. שימו לב שבהתאם להגדרה הזאת, בועות סבון כדוריות אינן משטחים מינימליים: בעוד הן ממזערות את השטח הכולל בהינתן אילוץ של נפח פנימי קבוע, יש להן עקמומיות ממוצעת חיובית.

עקמומיות ממוצעת אפס: משטח M ⊂ R3 הוא מינימלי אם ורק אם העקמומיות הממוצעת שלו מתאפסת בכל נקודה.

השלכה ישירה של ההגדרה הזאת היא שכל נקודה על משטח מינימלי היא נקודת אוכף עם ערכי עקמומיות ראשיים שווים והפוכים בסימנם.

קיום משוואה דיפרנציאלית מסוימת: משטח M ⊂ R3 הוא מינימלי אם ורק ניתן לבטא אותו באופן מקומי כגרף של הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית:

משוואה דיפרנציאלית חלקית זאת נמצאה ב-1762 על ידי לגראנז'.

 הגדרה הרמונית: שיקוע איזומטרי של משטח רימן M ב-R3 הוא משטח מינימלי אם רכיבי ה-x,y,z שלו הם פונקציות הרמוניות של M.

היסטוריה 
מקורה של התאוריה של משטחים מינימליים הוא בעבודתו של לגראנז' אשר ב-1762 חקר את הבעיה הווריאציונית של מציאת המשטח (z = z(x, y בעל שטח מינימלי הנמתח לאורך מתאר סגור נתון. הוא גזר את משוואת אוילר-לגראנז' של הפתרון:

אך לא הצליח במציאת פתרון אחר פרט למישור. ב-1776, Jean Baptiste Meusnier גילה שההליקואיד והקטנואיד מקיימים את המשוואה הדיפרנציאלית, והראה שהביטוי הדיפרנציאלי שמופיע במשוואה שווה לפעמיים העקמומיות הממוצעת של המשטח. מכך הוא הסיק שמשטחים עם עקמומיות ממוצעת אפס הם ממזערי-שטח.

באמצעות פיתוח של משוואת לגראנז' ל-:

גספאר מונז' ואדריאן-מארי לז'נדר גזרו ב-1795 נוסחאות הצגה למשטחים המהווים פתרונות אפשריים. אף על פי שנעשה בהן שימוש בידי היינריך שרק (Heinrich Scherk) ב-1830 כדי לגזור את משטחי Scherk, הנוסחאות הללו נחשבו באופן כללי לבלתי שמישות. אז'ן שרל קטלן הוכיח ב-1842/43 שההליקואיד הוא משטח הישרים המינימלי היחיד. 

ההתקדמות בנושא הייתה איטית עד אמצע המאה ה-19, כאשר בעיית Björling נפתרה באמצעות שיטות סבוכות. כך החל "תור הזהב" הראשון של המשטחים המינימליים. שוורץ מצא את הפתרון לבעיית פלטיאו בעבור מרובע רגולרי ב-1865 ובעבור מרובע כללי ב-1867 (מה שאפשר את הבנייה של משפחות המשטחים המחזוריות שלו) באמצעות שיטות מאנליזה מרוכבת. ויירשטראס ואלפרד אנפר פיתחו נוסחאות הצגה שימושיות יותר, מה שיצר זיקה בין התאוריה של משטחים מינימליים לאנליזה מרוכבת ופונקציות הרמוניות. תרמו גם בלטרמי, בונה, דארבו, לי, רימן, סרה וויינגרטן.

בין השנים 1925 ל-1950 חלה תחייה מחודשת בעיסוק בתאוריית המשטחים המינימליים, שכעת כוון בעיקר לחקר משטחים מינימליים לא פרמטריים. הפתרון המלא לבעיית פלטיאו בידי ג'ס דגלאס היה נקודת ציון, והוביל לזכייתו באחד מפרסי פילדס הראשונים. בעיית ברנשטיין ועבודתו של רוברט אוסרמן על משטחים מינימליים שלמים בעלי עקמומיות כוללת סופית היו גם הן בעלות חשיבות.

בשנות ה-1980 חלה תחייה נוספת. סיבה אחת הייתה התגלית של Celso Costa מ-1982 של משטח שהפריך את ההשערה שהמישור, הקטנואיד וההליקואיד הם המשטחים המינימליים השלמים היחידים המשוכנים ב-R3 ובעלי טיפוס טופולוגי סופי (כלומר שנוצרים על ידי מספר ניקובים סופי של משטח קומפקטי).

העיסוק העכשווי על התאוריה של משטחים מינימליים כולל גם את החקר של תת-יריעות מינימליות בגאומטריות משכנות אחרות, מה שהפך את התאוריה לרלוונטית בפיזיקה מתמטית (השערת המסה החיובית, השערת פנרוז) ובחקר יריעות תלת-ממדיות (השערת פואנקרה והשערת הגאומטריזציה של תרסטון).

דוגמאות  

דוגמאות קלאסיות למשטחים מינימליים כוללות את:
 המישור - המקרה הטריוויאלי.
 הקטנואיד - משטח מינימלי הנוצר על ידי סיבוב קו השרשרת מסביב לציר ה-x. 
 ההליקואיד - משטח ישרים בורגי.

דוגמאות מפורסמות מהמאה ה-19 כוללות את:
 המשטחים המינימליים של שוורץ.
 המשטח המינימלי של רימן.
 משטח Enneper.

דוגמאות מודרניות כוללות את:

 המשטח המינימלי של קוסטה - הפרכה מפורסמת של השערה מתמטית. הוא תואר לראשונה על ידי  Celso Costa ב-1982, והפריך את ההשערה שהמישור, הקטנואיד וההליקואיד הם המשטחים המינימליים השלמים היחידים המשוכנים ב-R3 ובעלי טיפוס טופולוגי סופי.

ראו גם 
 בועת סבון

קישורים חיצוניים

 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
גאומטריה דיפרנציאלית