מטריצת אולם

בתורת הקבוצות, מטריצת אוּלַם (באנגלית: Ulam matrix) היא מערך של תתי קבוצות של מונה עם תכונות מסוימות. מטריצות אולם הוצגו על ידי סטניסלב אולם והן שימושיות למספר הוכחות, בהן ההוכחה שמונה מדיד ממשית הוא אי-נשיג חלש.

הגדרה 
נניח כי  הם מונים. יהי   מסנן על . מטריצת אולם היא אוסף של תתי קבוצות של , ,  כך שמתקיים:

 לכל  ו- , חיתוך הקבוצות  ריק ("כל שורה מורכבת מקבוצות זרות בזוגות").
 לכל  מתקיים  ("איחוד הקבוצות לאורך עמודה הוא גדול").

הדוגמה הסטנדרטית למטריצת אולם מתקבלת במקרה שבו , ו- מסנן כך ש- . לכל סודר  נקבע פונקציה על . כעת, נגדיר . נבדוק שמתקבלת מטריצת אולם:

התנאי הראשון מתקיים: נניח   ו- . אם קיים  , אז, מההגדרה,  .

התנאי השני מתקיים: נניח  . לכל סודר  בין  ל- , קיים   כך ש- . לפיכך  . זה מראה ש- ולכן .

יישומים 
נניח  והמסנן  הוא -שלם (כלומר, סגור לחיתוך של פחות מ- קבוצות) ומרחיב את המסנן  . תהי   מטריצת אולם. לכל  נתבונן בעמודה המתאימה לו. יש בעמודה זו  קבוצות, ואיחודן במסנן; מה--שלמות, יש אינדקס  כך ש-, כלומר  נחתכת באופן לא ריק עם כל קבוצה מ-. מאחר ש-, קיים  כך ש- מעוצמה . קיבלנו קבוצה   של קבוצות זרות ב-. לעובדה זו יש מספר יישומים:

כל מונה מדיד ממשית הוא אי נשיג חלש: נניח  מונה מדיד ממשית, כלומר קיימת עליו מידה  שהיא -אדיטיבית. לא קשה להראות ש- מונה סדיר. לכן מספיק להוכיח שאינו עוקב. נניח בשלילה שיש מונה  כך ש-. יהי . זה מסנן -שלם. מהאמור לעיל, קיימת קבוצה של  קבוצות זרות בזוגות ממידה חיובית, סתירה.
 משפט סולוביי למונים עוקבים: נניח  ו- קבוצה שבת. נוכיח שניתן לחלק את   ל- קבוצות שבת זרות בזוגות. נבנה מטריצת אולם עבור המסנן ה- שלם . נובע שקיימת קבוצה מעוצמה של קבוצות זרות בזוגות ששייכות ל-. נקבל חלוקה של (תת קבוצה של)  ל- קבוצות שבת זרות בזוגות.

תורת הקבוצות