מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן

מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (באנגלית: Linear time-invariant theory, הידועה גם בתור מערכת LTI), היא מושג במתמטיקה שימושית, שיש לו יישומים בתחומים כגון מעגלים חשמליים, עיבוד אותות, תורת הבקרה, ספקטרוסקופיית NMR, סייסמולוגיה ועוד.

המונח LTI מיוחס לתגובה של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור אות כניסה שרירותי. ההתקדמות של מערכות אלה בדרך כלל נמדדת כאשר עובר זמן (למשל, בגל אקוסטי), אבל ביישומים כמו עיבוד תמונה ותורת השדות, מערכות LTI מתקדמות גם בממדים מרחביים. לפיכך, מערכות אלה נקראות גם ליניאריות בלתי תלויות בטרנסלציה, כדי לתת לתאוריה את ההיקף הכללי ביותר. במקרה הכללי של זמן דיסקרטי (כלומר, דגימות), מערכות ליניאריות בלתי תלויות בהיסט (shift) הוא המונח המקביל. דוגמה טובה למערכות LTI ניתן למצוא במעגלים חשמליים, אשר עשויים להיות מורכבים מנגדים, קבלים וסלילים.

סקירה 
הגדרת המאפיינים של כל מערכת LTI הן ליניאריות וקביעות (אי-תלות) בזמן.
 ליניאריות אומרת שהקשר בין הכניסה למוצא המערכת היא העתקה ליניארית: אם עבור הכניסה  ועבור הכניסה  אז הכניסה הליניארית . ניתן לראות כי אפשר להרחיב את זה למספר שרירותי של ביטויים, ועבור מספרים ממשיים ,
הכניסה  מייצרת יציאה . (נוסחה 1)
 בפרט,
כאשר  and  הם סקלארים וכניסות אשר משתנות לאורך רצף אינדקסים . לכן, אם פונקציית כניסה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות כניסה, המחוברות בצורה "ליניארית", כפי שמוצג בדוגמה, אז פונקציית המוצא המתאימה יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף פונקציות יציאה מתאימות, באותה טרנספורמציה ליניארית שבכניסה.
 קביעות בזמן אומר שעבור כניסה בהזזה של T שניות, המוצא יהיה זהה למעט עיכוב זמן של T שניות. כלומר, אם המוצא עבור הכניסה  הוא , אז המוצא עבור הכניסה  הוא . לפיכך, המערכת קבועה בזמן כי המוצא אינו תלוי בזמן שהכניסה נכנסת.
התוצאה היסודית במערכות LTI היא שכל מערכת LTI יכולה להיות מאופיינת כולה על ידי פונקציה אחת בשם תגובת ההלם של המערכת. המוצא של המערכת הוא פשוט קונבולוציה של הכניסה עם תגובת ההלם. שיטה זו של ניתוח נקראת לעיתים קרובות נקודת מבט של "מישור הזמן". אותה התוצאה נכונה עבור מערכות קבועות בזמן הדיסקרטי אשר האותות הן בזמן בדיד, והקונבולוציה מוגדרת על רצפים.

באופן שקול, ניתן לאפיין כל מערכת LTI במישור התדר על פונקציות התמסורת של המערכת, שהיא התמרת לפלס של תגובת ההלם של המערכת (או התמרת Z במקרה של מערכות בזמן הבדיד). כתוצאה ממאפיינים אלה, מוצא המערכת במישור התדר הוא סכום של פונקציה המעבר והטרנספורם של הכניסה. במילים אחרות, הקונבולוציה בזמן הבדיד שווה לכפל במישור התדר.
מערכת LTI טובה בתיאור מערכות חשובות רבות. רוב מערכות ה-LTI מתוארות כ"קלות לניתוח", לפחות ביחס לאלה שלא LTI. כל מערכת יכולה להיות ממודלת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית עם מקדמים קבועים היא מערכת LTI. דוגמה למערכת כזאת הם מעגלים חשמליים המורכבת מנגדים, קבלים וסלילים (RLC).

מערכת שאינה קבועה בזמן אך ליניארית ניתנת לפתירה על ידי נוסחת גרין, למשל. ניתן להשתמש באותה שיטה כאשר נתוני הבעיה אינם מלאים.

מערכות רציפות

תגובה להלם וקונבולוציה 
ההתנהגות של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור הכניסה (x(t ואות מוצא (y(t מתוארת על ידי אינטגרל הקונבולוציה:
{|
|-
|
|
|-
|
|
|}
כאשר המעבר נעשה על ידי שימוש בתכונת הקומוטטיביות.
כאשר (h(t היא התגובה להלם של המערכת: .

עבור מערכת ליניארית, O צריכה לספק את נוסחה 1:

 (נוסחה 2)

והפעם Invariance הדרישה היא:

 (נוסחה 3)

כעת נוכל לרשום את תגובת ההלם כ- .

באופן דומה:

כאשר הצורה של צד ימין של נוסחה 2 נשמרת עבור המקרה  ו- . נוסחה 2 מאפשרת את השלב הבא:

לסיכום, קלט הפונקציה, , יכולה להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות הלם מוזזות בזמן, בשילוב "ליניארי", כפי שמוצג ב-Eq.1. תכונת הליניאריות של המערכת מאפשרת את תגובת המערכת להיות מיוצגת על ידי רצף של תגובות הלם מתאימות, מסוכמות באותה הדרך. והפעם תכונת הקביעות בזמן מאפשרת את ייצוג הקומבינציה להיות מיוצגת על ידי אינטגרל הקונבולוציה.

אקספוננטים כפונקציות עצמיות 
פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה הפלט של האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, f היא פונקציה עצמית של , אם

כאשר  הוא קבוע, שנקרא בהקשר זה ערך עצמי.

פונקציות האקספוננט , כאשר , הן פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי וקבוע בזמן. ניתן להוכיח זאת באופן הבא: נניח שהכניסה היא  . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם: 

כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:

כאשר הסקלר

תלוי רק בפרמטר s.

אז תגובת המערכת היא טרנספורמציה ליניארית של הכניסה. בפרט, עבור כל  היציאה של המערכת היא הסכום של הכניסה  והקבוע . לפיכך,  הוא פונקציה עצמית של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI), והערך העצמי המתקבל הוא .

הוכחה ישירה
נאמר כי  אקספוננט מדומה () והגרסה המוזזת בזמן שלו הוא:  .

 כטרנספורמציה ליניארית של האקספוננט לפי הקבוע  .

 לפי קביעות בזמן לפי  .

אז,  . עבור  ונקבל:

כלומר, עבור אקספוננט מדומה  ככניסה, נקבל אקספוננט מדומה עם אותו תדר במוצא.

התמרת פורייה והתמרת לפלס
תכונת הפונקציה העצמית של אקספוננטים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת לפלס:

היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה  כאשר  ו- ). התמרת פורייה  מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות  ו-  נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.

התמרת לפלס בדרך כלל משמשת אותות חד-צדדיים, למשל, אותות ששווה לאפס עבור כל , כאשר  ערך קבוע כלשהו.

בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:

דוגמאות
דוגמה פשוטה לכך היא אופרטור הנגזרת:
  (כלומר האופרטור ליניארי)
  (כלומר האופרטור קבוע בזמן)
כאשר מתמירים את הנגזרת בהמרת לפלס, הנגזרת מותמרת להתמרת הפונקציה המקורית מוכפלת במשתנה הלפלס, s.

הפשטות של התמרת הנגזרת מעידה על למה התמרת לפלס יעילה על פונקציות מעבר.
עוד דוגמה פשוטה היא אופרטור הממוצע

מליניאריות האינטגרל,

ליניארי. בנוסף, מפני ש-

קבוע בזמן. למען האמת,  יכולה להיות מיוצגת כקונבולוציה עם פונקציית המלבן . כלומר,

כאשר פונקציית המלבן היא:

תכונות חשובות של מערכות
חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות.

סיבתיות
מערכת נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבעת אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה.

בייצוג מתמטי:

כאשר  הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת לפלס, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.

יציבות
מערכת נקראת "יציבה במובן BIBO" אם לכל כניסה חסומה נקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת:

מקבלים מוצא שמקיים:

(כלומר, המקסימום של  סופית גוררת שהמקסימום של  סופית גם כן), לכן המערכת יציבה.
תנאי הכרחי ומספיק הוא שהתגובה להלם, , נמצאת בL1 (בעלת נורמת סופית):

במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את הציר המדומה .

לדוגמה, מסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם תגובה להלם של פונקציית sinc היא לא יציבה במובן BIBO, מפני שנורמת L1 שלה לא סופית. לכן, עבור כניסה חסומה לאו דווקא נקבל מוצא חסום. בפרט, עבור הכניסה אפס ל- ושווה לסינוסאויד בתדר cutoff ל- , אז המוצא לא תהיה חסומה לכל זמן מלבד אלה שחוצות את האפס.

מערכות בדידות
כמעט לכל מערכת בזמן רציף יש חלק משלים במערכת בזמן בדיד.

מערכות בדידות ממערכות רציפות
בהקשרים רבים, מערכת זמן בדיד (זמן דיסקרטי, DT) היא למעשה חלק ממערכת זמן רציפה (CT) גדולה יותר. לדוגמה, מערכת הקלטה דיגיטלית לוקחת צליל אנלוגי, מבצעת דיגיטציה, אולי מעבדת את האותות הדיגיטליים, ומשמיעה צליל אנלוגי.

אם  הוא אות רציף, ממיר אנלוגי לדיגיטלי יהפוך אותו לאות DT:

כאשר T זה זמן הדגימה. חשוב מאוד להגביל את טווח התדרים של אות הכניסה לייצוג נאמן באות בדיד, כיוון שמשפט הדגימה מבטיח שאף מידע על אות הרציף לא יאבד. אות בדיד יכול להכיל טווח תדרים של . תדרים אחרים "יתקפלו" לאותו טווח.

תגובה להלם וקונבולוציה
יהי  ייצוג של הרצף .
יהי הייצוג הקצר יותר  תייצג .

מערכת בדידה הופכת לרצף קלט,  לרצף פלט, . באופן כללי, כל אלמנט של הפלט תלוי בכל רכיב הקלט. נייצג את אופרטור הטרנספורמציה על ידי , ועתה אנו יכולים לכתוב:

נשים לב שאם ההתמרה עצמה משתנה עם n, רצף הפלט הוא קבוע בלבד, והמערכת אינה מעניינת. במערכת טיפוסית, [y[n "תלויה בדרך כלל מהאלמנטים של x שהאינדקסים שלהם קרובים ל- n.

עבור מקרה מיוחד של הדלתא של קרונקר, , רצף המוצא יהיה התגובה להלם:

עבור מערכת ליניארית,  צריכה לספק את:
 (נוסחה 4)

והתנאי לקביעות בזמן:
 (נוסחה 5)

במערכת כזאת, התגובה להלם, , מתארת את המערכת לגמרי. כלומר, עבור כל רצף קלט, רצף הפלט יכול להיות מחושב במונחים של קלט התגובה להלם. כדי לראות איך זה נעשה, יש לשקול את הזהות:

אשר מייצגת את  כסכום של דלתאות במושקלים.
לכן,

כאשר עוררנו את נוסחה 4 עבור המקרה  ו-.

ובגלל נוסחה 5, נוכל לכתוב:

לכן:

{|
|-
|
|
|-
|
| (קומוטטיביות)
|} אשר מניבה את הנוסחה המוכרת עבור קונבולוציה בדידה.

אקספוננציאליים כפונקציות עצמיות 
פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה הפלט של האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, f היא פונקציה עצמית של , אם

כאשר  הוא קבוע, שנקרא בהקשר זה ערך עצמי.

את פונקציות האקספוננט , כאשר , הם פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי, וקבוע בזמן.  הוא קצב הדגימה, וכן , , . הוכחה פשוטה ממחישה את המושג הזה.

נניח שהכניסה היא  . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם  יהיה:

כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל:

כאשר הסקלר

תלוי רק בפרמטר z.

אז  היא פונקציה עצמית של מערכת LTI מפני שתגובת המערכת שקולה לקלט כפול הקבוע .

התמרת Z והתמרת פורייה הבדידה
תכנות הפונקציה העצמית של אקספוננציאליים שימושית מאוד כדי להבין יותר על המערכת LTI. התמרת Z:

היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסוידליות טהורות (למשל פונקציות אקספוננציאליים מרוכבים מהצורה  כאשר  ו- ). התמרת פורייה הבדידה (DTFT)  מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסוידאליות מדומות טהורות. שתי הפונקציות  ו-  נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר.

התמרת Z בדרך כלל מופעלת על אותות חד-צדדיים, למשל, אות ששווה לאפס עבור כל , כאשר  ערך קבוע כלשהו.

בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר:

דוגמאות
דוגמה פשוטה לכך היא אופרטור העיכוב (delay):

 (כלומר האופרטור ליניארי)
 (כלומר האופרטור קבוע בזמן)
כאשר מתמירים את הנגזרת בהמרת Z, הנגזרת מותמרת להתמרת הפונקציה המקורית מוכפלת במשתנה, z−1. כלומר,

עוד דוגמה פשוטה היא אופרטור הממוצע

מליניאריות הסכום,

ליניארי. בנוסף, מפני ש-

קבוע בזמן.

תכונות חשובות של מערכות
הקשר שבין הקלט לפלט במערכת LTI בדידה יכול להיות מתואר לגמרי על ידי תגובת ההלם של המערכת . חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות. בניגוד למערכות בזמן רציף, מערכות בדידות לא סיבתיות יכולות להתממש. זה טריוויאלי כדי להפוך מערכת עם תגובה להלם סופית סיבתי על ידי הוספת עיכובים (Delays). זה אפשרי אפילו לעשות מערכות שלא סיבתיות עם תגובה להלם אינסופית.

סיבתיות
מערכת בדידה נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבעת אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה.

תנאי הכרחי ומספיק למערכת סיבתית:

כאשר  הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת Z, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית.

יציבות
מערכת נקראת "יציבה במובן BIBO" אם לכל כניסה חסומה נקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת:

מקבלים מוצא שמקיים:

(כלומר, המקסימום של  סופית גוררת שהמקסימום של  סופית גם כן), לכן המערכת יציבה. תנאי הכרחי ומספיק הוא שהתגובה להלם, , נמצאת בL1 (בעלת נורמת סופית):

במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את מעגל היחידה (כלומר, המקום הגאומטרי המקיים  עבור  מרוכב)

ראו גם 
 תגובת הלם
 פונקציית גרין

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים
 ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – קדימון קצר על ניתוח מתמטי של מערכות LTI חשמליות
 ECE 209: Sources of Phase Shift – הסבר אינטואיטיבי של המקור של הזזות בפאזה בשתי מערכות LTI חשמליות משותפות
JHU 520.214 Signals and Systems course notes – קורס מקוצר על תורת מערכת ה- LTI, הולם להוראה עצמית
LTI system example: RC low-pass filter – תגובת ההגבר ותגובת הפאזה

הערות שוליים

הנדסת חשמל
עיבוד אותות
מתמטיקה שימושית