חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל , עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.

החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p.

הגדרה
יהי  חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג  היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: , כאשר . הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: 

ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים  יהיו הפיכים בעצמם):.

חבורת הייזנברג מסדר  היא: .

דוגמאות

חבורת הייזנברג הממשית
כאשר החוג  הוא שדה המספרים הממשיים , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.

במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.

חבורת הייזנברג הבדידה
כאשר החוג  הוא חוג המספרים השלמים , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:

לחבורה הייצוג הבא: , כאשר  הם כדלעיל ו-.

במקרה זה, האיבר  יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה.

בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו.

מעל שדה סופי
חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי  היא מסדר  ומאקספוננט . ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:

חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות - חבורת-p בה המרכז  איזומורפי ל- וחבורת המנה  היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר .

במקרה של , מתקבלת החבורה הדיהדרלית .

אלגברת לי המתאימה
לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:

,

עם הבסיס הבא:

איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:

ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים 

תורת החבורות
חבורות לי