מספר דלנואה

מספר דלנואה (בצרפתית: Delannoy) במתמטיקה מתאר את מספר המסלולים בסריג מלבני מהפינה הדרום-מערבית (0,0) עד הפינה הצפון-מזרחית (m,n) תוך התקדמות צפונה, מזרחה או צפון-מזרחה בלבד. מספרי דלנואה נקראים על-שם המתמטיקאי הצרפתי הנרי דלנואה.
מספרים אלה גם נותנים את:
 מספר הרצפים הגלובלי של שני רצפים באורך m ו n
 מספר הנקודות בסריג בעל מספר שלם m של ממדים במרחק צעדים מקסימלי n.
 באוטומט תאי את מספר התאים בסביבת פון נוימן במימד m וברדיוס n.

דוגמה
מספר דלנואה (3,3) הוא 63. באיור הבא מוצגים 63 מסלולי דלנואה בסריג 3 x 3:

תת הקבוצה של מסלולים שאינם חוצים את האלכסון דרום-מערב - צפון-מזרח ניתנת על ידי משפחת מספרים אחרת מספרי שרדר.

מערך דלנואה
מערך דלנואה הוא מטריצה אינסופית של מספרי דלנואה.

{| class="wikitable" 
|-
! |m / n
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
! 0
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
! 1
| 1 || 3 || 5 || 7 || 9 || 11 || 13 || 15 || 17
|-
! 2
| 1 || 5 || 13 || 25 || 41 || 61 || 85 || 113 || 145
|-
! 3
| 1 || 7 || 25 || 63 || 129 || 231 || 377 || 575 || 833
|-
! 4
| 1 || 9 || 41 || 129 || 321 || 681 || 1289 || 2241 || 3649
|-
! 5
| 1 || 11 || 61 || 231 || 681 || 1683 || 3653 || 7183 || 13073
|-
! 6
| 1 || 13 || 85 || 377 || 1289 || 3653 || 8989 || 19825 || 40081
|-
! 7
| 1 || 15 || 113 || 575 || 2241 || 7183 || 19825 || 48639 || 108545
|-
! 8
| 1 || 17 || 145 || 833 || 3649 || 13073 || 40081 || 108545 || 265729
|-
! 9
| 1 || 19 || 181 || 1159 || 5641 || 22363 || 75517 || 224143 || 598417
|}

במערך המספרים בעמודה הראשונה שוים תמיד ל 1, בעמודה השנייה תמיד אי-זוגיים, בעמודה השלישית והרביעית סוגי מספרים מצולעים. ניתן לערוך את המספרים גם במערך משולש הדומה למשולש פסקל כאשר כל איבר הוא סכום שלושת האיברים שמעליו.

             1
           1   1
         1   3   1
       1   5   5   1
     1   7  13   7   1
   1   9  25  25   9   1
 1  11  41  63  41  11   1

מספרי דלנואה מרכזיים
סדרת מספרי דלנואה המרכזיים היא אלכסון המערך ונותנת את מספר המסלולים בסריגים ריבועיים n X n.
האיברים הראשונים של הסדרה הם: 1, 3, 13, 63, 321, 1683,...
זו סדרה רקורסיבית :

ניתן לבטא אותה באמצעות פולינומי לז'נדר :

 

הפונקציה היוצרת היא:

ראו גם
 מספר מוצקין

קישורים חיצוניים
 

קומבינטוריקה
סדרות של שלמים