קדם-מידה

בתורת המידה, קדם-מידה (באנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה.

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות.

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים.

הגדרה

תהי  קבוצה, ותהי  אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל .

פונקציה  נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
 
 אם  איחוד  סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך , המקיים גם כי , אז

הסיבה לסימון  היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל .

משפט ההרחבה

נסמן ב- את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות . לכל קדם-מידה , קיימת מידה  המרחיבה את . כלומר, לכל  מתקיים .

כמו כן, במצב בו  היא סיגמא-סופית, אז  יחידה. במצב זה, כמובן גם  היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

אי היחידות של ההרחבה

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב , ותהי  האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה .

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על  המקיימת  לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה  מידה  ועוד מידה , כאשר  הוא הגודל של הקבוצה , והוא  בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של  (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה , שכן כל קטע  במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן .

בניית מידת לבג

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי , כאשר  יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר . כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה . ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על  המרחיבה את . מידה זו מכונה "מידת בורל".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את .

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע  היא האורך שלו, .

לקריאה נוספת

 Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224

קישורים חיצוניים
 

 משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath
 משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath
 Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new"
 An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new"

הערות שוליים

תורת המידה
משפט ההרחבה