בעיית אפולוניוס

בגאומטריה אוקלידית, בעיית אפולוניוס  או בעיית המגעים מוגדרת כבניית מעגל שמשיק לצירוף כלשהו של שלושה אובייקטים במישור: נקודה, קו ישר ומעגל . אפולוניוס מפרגה (בקירוב 262 לפנה"ס עד 190 לפנה"ס) פרסם את הבעיה המפורסמת בעבודתו Ἐπαφαί ("משיקיים") אך לא נתן לה את כל הפתרונות האפשריים; עבודה זו אבדה, אך דיווח על תוצאותיו נכתב על ידי פאפוס מאלכסנדריה בן המאה ה-4 ושרד. 

מספר הצירופים בין שלושת האובייקטים הוא עשרה. פאפוס התייחס למקרה של שלושה מעגלים כבעיה העשירית והקשה מכולן. לעיתים בעיית אפולוניוס מתייחסת אליה בלבד. בשנת 1600 פתר פרנסואה וייט את כל עשרת המקרים בעזרת סרגל ומחוגה. 

האובייקטים יכולים לחתוך זה את זה, אך נהוג להתייחס למקרים בהם הם נפרדים זה מזה.

לבעיה העשירית יש שמונה פתרונות אפשריים (אחד מהם בתרשים 1). יש שמונה מעגלים אפשריים שמשיקים לשלושת המעגלים הנתונים (תרשים 2). כל מעגל מקיף תת-קבוצה שונה מתוך שלושת המעגלים וליתר המעגלים הוא משיק מבחוץ. ישנן 8 תתי קבוצות אפשריות בקבוצה בה העצמה היא 3, מאחר ש 8 = 23.

קישורים חיצוניים

 

גאומטריה
פרנסואה וייט