אי-שוויון קולמוגורוב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון קולמוגורוב או אי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב מתאר חסם הסתברותי למאורע שהמקסימום של סדרת הסכומים החלקיים של סדרה סופית של משתנים מקריים בלתי-תלויים גדול מערך קבוע כלשהו.

האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

נוסח פורמלי

יהיו  משתנים מקריים בלתי תלויים, שתוחלת כולם היא אפס ושונות כולם סופית.

נסמן  לכל . אזי לכל  מתקיים,

הוכחה

ניתן להראות כי הסדרה  היא מרטינגל. נניח ללא הגבלת הכלליות כי  וכי  לכל .

נגדיר בצורה אינדוקטיבית , וכן

ניתן להראות כי הסדרה  גם היא מרטינגל.

נשים לב שמתקיים,

ניתן לראות כי אותו הדבר נכון עבור הסדרה . לכן נובע על ידי אי-שוויון צ'בישב כי,

שימוש

נתבונן בהילוך מקרי פשוט על , בו כל צעד הוא משתנה מקרי  בעל התפלגות אחידה בדידה . לכן השונות של כל צעד היא .

בצעד ה-, מיקומו של ההילוך הוא . לפיכך מאי-שוויון קולמוגורוב ניתן להסיק כי אם אנחנו בצעד ה-, ההסתברות שהמיקום הרחוק ביותר אליו הגיע ההילוך הוא , היא לכל היותר

לקריאה נוספת

*  (Theorem 22.4)
 

אי-שוויונות בתורת ההסתברות