פונקציית הניקוד

בסטטיסטיקה, פונקציית הניקוד (באנגלית: Score function) של פרמטר  היא הגרדיאנט של לוג פונקציית הנראות  בכיוון של הפרמטר. הפונקציה מציינת עד כמה רגישה פונקציית הנראות לשינויים ב-. 

פונקציית הנראות ממלאת תפקיד חשוב במספר היבטים של הסקה סטטיסטית, כגון:
 מציאת סטטיסטי מבחן  בעל עוצמה מקסימלית מקומית
 הערכת גודל השגיאה של אומד נראות מקסימלית
 מציאת רווחי סמך
 הוכחה של חסם קרמר-ראו

פונקציית הניקוד ממלאת גם תפקיד חשוב בסטטיסטיקה חישובית , שכן היא יכולה לקחת חלק בחישוב של אומדי נראות מקסימלית.

הגדרה 
הערך של פונקציית הניקוד (או בקיצור: "הניקוד") הוא הגרדיאנט (וקטור של נגזרות חלקיות), בהתייחס לפרמטר מסוים , של הלוגריתם (בדרך כלל הלוגריתם הטבעי) של פונקציית הנראות. אם התצפית היא  והנראות שלה היא , אז הניקוד  ניתן לחישוב לפי כלל השרשרת באופן הבא:

לכן הניקוד  מציין את הרגישות  של  (הנגזרת כשהיא מנורמלת על ידי ערך הפונקציה). יש לשים לב ש- היא פונקציה גם של התצפית  אך גם של הפרמטר , לכן זהו לא סטטיסטי. אף על פי כן ניתן להשתמש בו ביישומים מסוימים, על ידי חישוב ערך הפונקציה עבור ערך  ספציפי (כמו ערך ה- של השערת האפס, או אומד הנראות המקסימלית של ), והתוצאות של חישובים אלו הן סטטיסטים.

תכונות

תוחלת 
תחת תנאי רגולריות מסוימים, התוחלת של פונקציית הניקוד  בהתייחס לתצפית , בהינתן הפרמטר האמיתי , כלומר , שווה ל-0. על מנת לראות זאת נכתוב מחדש את פונקציית הנראות L כפונקציית צפיפות: , ואז:

אם תנאי גזירות מסוימים מתקיימים, אינטגרל זה שווה ל:

מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0 כאמור לעיל, אם נדגום פעם אחר פעם מהתפלגות מסוימת, ובכל פעם נחשב את הניקוד, אז ממוצע ערכי הניקוד ישאף ל-0 כשמספר הדגימות ישאף לאינסוף.

שונות 

השונות של פונקציית הניקוד ידועה בשם אינפורמציה של פישר, ומסומנת: . מכיוון שהתוחלת של פונקציית הניקוד היא 0, ניתן לנסח את השונות בצורה הבאה:

יש לשים לב שהאינפורמציה של פישר כפי שהוגדרה לעיל, איננה פונקציה של תצפית מסוימת (אלא רק של הפרמטר ), שכן המשתנה המקרי  מתקזז בנוסחה. מושג זה של אינפורמציה שימושי כשמבצעים השוואה בין שתי שיטות תצפית מתהליך סטוכסטי כלשהו.

קישורים חיצוניים
 

סטטיסטיקה