חבורת האיזומטריות

בטופולוגיה, חבורת האיזומטריות של מרחב מטרי היא חבורת ההעתקות ההפיכות מהמרחב אל עצמו, אשר משמרות מרחק -- הנקראת גם איזומטריות. חבורה זו מכילה את המידע אודות הסימטריות של המרחב, ובעזרתה ניתן ללמוד על המבנה שלו.

הגדרה
בהינתן מרחב מטרי , איזומטריה של  היא העתקה , חח"ע ועל, אשר משמרת מרחקים: .

קל להיווכח בכך שהרכבה של שתי איזומטריות והפכית של איזומטריה גם הן איזומטריות. על כן, אוסף האיזומטריות של מרחב נתון מהווה חבורה, המכונה חבורת האיזומטריות של המרחב .

דוגמאות
 חבורת האיזומטריות של ספירה הנה החבורה האורתוגונלית (O(3.
 חבורת האיזומטריות של המספרים השלמים  (עם המרחק הרגיל בין מספרים) הנה החבורה הדיהדרלית האינסופית.
 חבורת האיזומטריות של מרחב מינקובסקי הנה חבורת פואנקרה.

מרחבים מטריים