אי-שוויון ניוטון

במתמטיקה, אי-שוויון ניוטון (באנגלית: Newton's inequalities) מתייחס לקבוצה של אי-שוויונות הנקראים על שם אייזק ניוטון. ניוטון ניסח והוכיח את האי-שוויונות האלה בספרו אריתמטיקה אוניברסלית (1707), במסגרת ההרחבה שנתן לכלל הסימנים של דקארט.

ניסוח האי-שוויונות 

יהיו a1, a2, ..., an מספרים ממשיים. נסמן ב-  את הביטוי הסימטרי האלמנטרי ה-k במספרים אלו (כלומר ערכו של  הוא הערך של הפונקציה הסימטרית האלמנטרית ה-k כשמציבים במשתנים שלה את מספרים אלו), ונגדיר את הממוצעים הסימטריים האלמנטריים כ-:

.

אי-שוויון ניוטון קובע כי הממוצעים הסימטריים מקיימים את האי-שוויון:

.

כיוון שהערכים של הפונקציות הסימטריות האלמנטריות של קבוצה של n מספרים ממשיים הם למעשה המקדמים של פולינום ממעלה n ששורשיו הם המספרים הממשיים האלה, ניתן לנסח מחדש את האי-שוויון כטענה על מקדמי פולינום שכל שורשיו ממשיים:

,

כאשר  הוא מקדם הפולינום ה-k.

אייזק ניוטון
אי-שוויונות