חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב. המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

ניסוח המשפט

נוסח ראשון: יהי  מרחב הסתברות, ותהי  קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.

נגדיר "מאורע זנב"  להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך .

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב , מתקיים  או .

נוסח שני: יהי  מרחב הסתברות, ותהי  קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב- ובלתי-תלויות.

עבור , נגדיר , ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, . מאורעות  מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע  מתקיים  או .

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת , כלומר  היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה  מדיד.

הוכחה

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

למה: תהי  אלגברה של קבוצות על . תהי .

אזי לכל , לכל  קיימת , כך שמתקיים .

הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את , ולכן היא מכילה את .

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור  נגדיר , ונגדיר . נשים לב כי  היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים .

בהינתן מאורע , מהלמה נובע כי לכל  יש מאורע  שעבורו מתקיים , כלומר .

יהי  שעבורו . נשים לב כי , ולכן  בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי .

אבל  שרירותי, ולכן נובע כי , כלומר  או .

דוגמאות

נתבונן במרחב , עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה  (כאשר  הוא הקואורדינטה ה- של ), עבור  כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות  לכל  ולכל . ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור  נגדיר , ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים .

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
 
 
  לאיזשהו

היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי

באופן כללי יותר, אם  אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע  הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור  מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות .

לקריאה נוספת

 אנדריי קולמוגורוב, Foundations of the Theory of Probability, 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"

הערות שוליים

חוקי אפס-אחד