סדרת פרי

במתמטיקה, סדרת פרי (Farey) מסדר n היא סדרה של שברים מצומצמים בין 0 ו-1, שהמכנה שלהם הוא קטן או שווה ל-n, כאשר בכל סדרה האיבר הראשון הוא 0, האחרון הוא 1, האיבר האמצעי הוא 2\1 (n > 1) והסדרה נבנית לפי סדר עולה. ניתן לראות כי כל סדרת פרי מסדר n מכילה את כל הסדרות פרי מסדר הקטן מ-n. הסדרה מסדר n מסומנת על ידי Fn (ללא קשר לסדרת פיבונאצ'י)

מאפיינים
ניתן לראות כי אפשר לקשר בין כמות האיברים בין סדרות עולות על ידי פונקציית אוילר בצורה רקורסיבית (כאשר F1| = 2|):

או ללא התייחסות לפונקציית אוילר:

ועל ידי שימוש בנוסחת ההיפוך של מביוס נקבל:

מבחינה אסימפטוטית, ניתן לראות כי:

קשר להשערת רימן
אם נסמן את איברי הסדרה כ-, ונגדיר . בשנת 1924 הוכיח ג'רומה פראנל (Jérôme Franel) כי הטענה הבאה:
 
שקולה להשערת רימן, ובאותה שנה הוכיח אדמונד לנדאו כי הטענה:
 
גם היא שקולה להשערת רימן

קישורים חיצוניים

 

השערת רימן
רקורסיה
תורת המספרים