פרינקיפיה מתמטיקה (ראסל)

פרינקיפיה מתמטיקה (במקור: Principia Mathematica - PM; בעברית: עקרונות המתמטיקה) היא עבודה בת שלושה כרכים על יסודות המתמטיקה, אשר נכתבה על ידי אלפרד נורת' וייטהד וברטראנד ראסל ופורסמה בשנים 1910, 1912 ו-1913. בשנת 1927, היא הופיעה במהדורה שנייה עם הקדמה חשובה, נספח A שהחליף את 9* ונספח C חדש לגמרי.

הפרינקיפיה הייתה ניסיון לתאר אוסף של אקסיומות וכללי היסק בלוגיקה מתמטית אשר מתוכם ניתן להוכיח באופן עקרוני את כל האמיתות המתמטיות. פרויקט שאפתני זה הוא בעל חשיבות רבה בהיסטוריה של המתמטיקה והפילוסופיה, עקב היותו אחד התוצאים הראשונים במעלה של האמונה כי מפעל מסוג זה הוא בר מימוש. עם זאת, בשנת 1931 משפטי האי-שלמות של גדל הוכיחו שלמעשה כל ניסיון לא יוכל להגשים את המטרה הנשגבת, שכן לכל אוסף של אקסיומות וכללי היסק שיוצאו כדי לתמצת את המתמטיקה, או שהמערכת תהיה בלתי-עקבית, או שיהיו אמיתות מתמטיות מסוימות שלא יהיה ניתן להסיק מהן.

אחת ההשראות וההנעות הראשיות לפרינקיפיה היא העבודה של גוטלוב פרגה בלוגיקה, אשר ראסל גילה שמאפשרת את היצירה של קבוצה פרדוקסלית (הפרדוקס של ראסל). פרינקיפיה נועדה להימנע מבעיה זו על ידי שלילת האפשרות ליצירה שרירותית של קבוצות. דבר זה הושג על ידי החלפת הרעיון של קבוצה כללית עם הרעיון של היררכית קבוצות מטיפוסים שונים, כך שקבוצה מטיפוס מסוים יכולה להכיל רק קבוצות מטיפוסים נמוכים יותר. מתמטיקה מודרנית נמנעת מפרדוקסים כגון זה בדרכים פחות מגושמות, כמו אקסיומות צרמלו-פרנקל.

אין לבלבל בין ה-Principia Mathematica לבין "The Principles of Mathematics" של ראסל שמשמעות שמו דומה אבל יצא לאור בשנת 1903. בפרינקיפיה מצוין ש:"במקור יעדנו להכליל את העבודה הזו ככרך שני של "the principles".... אבל ככל שהתקדמנו, הלך והתברר שהנושא גדול בהרבה משניתן היה להניח. לא רק זאת אלא שמשוואות בסיסיות רבות אשר נותרו מעורפלות ונתונות בספק בעבודה הקודמת, עתה הגענו למה שאנו רואים כפתרונות המשביעים את הדעת". הפרינקיפיה של ראסל שואבת את שמה מן הפרינקיפיה המפורסמת האחרת, של אייזיק ניוטון.

הוצאת הספרייה המודרנית (Modern Library) דרגה את PM במקום ה-23 ברשימת 100 ספרי העיון של השפה האנגלית במאה העשרים.

היקף היסודות שהונחו 
הפרינקיפיה מתמטיקה כיסתה רק את תורת הקבוצות, מספרים קרדינליים, מספרים סודרים ומספרים ממשיים. משפטים מאנליזה ממשית לא נכללו, אבל לקראת סוף הכרך השלישי היה ברור למומחים שבאופן עקרוני ניתן באמצעות התוכן הקיים לפתח חלקים ניכרים מהתחומים שלא כוסו. היה ברור גם כמה מורכב ומסובך יהיה פיתוח מלא מסוג זה. 

כרך רביעי אודות היסודות של הגאומטריה תוכנן לצאת לאור, אך המחברים הודו בתשישות אינטלקטואלית עם השלמתו של הכרך השלישי.

בסיס תאורטי 
כפי שצוין בביקורת של קורט גדל, שלא כמו תאוריית הפורמליזם, התאוריה ה"לוגית" של הפרינקיפיה חסרה את התחביר המדויק של הפורמליזם. הערה נוספת היא שכמעט מיד מוצגים פירושים (במובן של תורת המודלים) כמונחים של ערכי אמת עבור ההתנהגות של הסמל"⊢" (טענות נכונות), "~" (לא) ו "V" (או).

ערכי אמת: הפרינקיפיה מטמיעה את המושגים של "אמת" (truth) ו"שקר" (falsity) במושג של "טענה פרימיטיבית" (primitive proposition). תאוריה פורמליסטית גולמית (טהורה) לא תספק את המשמעות של הסמלים אשר יוצרים טענות פרימיטיביות - הסמלים עצמם יכולים להיות שרירותיים ובלתי מוכרים לחלוטין. התאוריה תציין רק איך הסמלים מתנהגים בהתבסס על התחביר של התאוריה. לאחר מכך, על ידי הקצאה של "ערכים", מודל יכול לספק פירוש של מה הנוסחאות מביעות. על כן, במערכת הסמלים של Kleene, ה"פירוש" של המשמעות הנפוצה של הסמלים, ואופן השימוש המשתמע ממנה, ניתנת בסוגריים. למשל: "¬ (לא)". אבל, אין זו תאוריה פורמליסטית טהורה.

הבניה של תאוריה רשמית התואמת את התקופה 
התאוריות הפורמליסטיות הבאות מוצגות כנגד התאוריה הלוגיסטית של הפרינקיפיה. מערכת רשמית התואמת את התקופה תבנה בדרך זו:
 שימוש בסמלים: זו המערכת ההתחלתית וסמלים נוספים יכולים להופיע רק על ידי הגדרה הנובעת מתוך סמלים התחלתיים אלו. מערכת התחלתית יכולה להיות מערכת הסמלים הבאה שהופקה על ידי Kleene בשנת 1952: הסמלים הלוגיים "→" (אם-אז, IF-THEN, "⊃"), "&" (וגם), "V" (או), "¬" (לא), "∀" (לכל), "∃" (קיים); predicate symbol "=" (שווה); סמלי פונקציות: "+" (חיבור), "∙" (כפל), "'" (עוקב); הסמל "0" (אפס); משתנים "a", "b", "c", וכו'; וסוגריים "(" ו-")". 
 מחרוזת סמלים: התאוריה תבנה "מחרוזות" של סמלים אלו על ידי שרשור.
 חוקי יצירה: התאוריה מפרטת את חוקי התחביר, בדרך כלל כהגדרה רקורסיבית שמתחילה ב"0" ומציינת איך לבנות שרשורים מקובלים או נוסחאות בנויות היטב (well-formed formulas - wffs) כמו חוק ההחלפה. 
 חוקי טרנספורמציה: האקסיומות שמפרטות את ההתנהגויות של הסמלים ורצפי הסמלים.
 כללי היסק, ניתוק, מודוס פוננס (modus ponens): החוק שמאפשר לתאוריה "לנתק" "מסקנה" מתוך הנחות היסוד שהובילו אליה ובכך להיפטר מהן (סמלים מצדו השמאלי של הקו |, או סמלים מעל הקו אם הוא  מאוזן). אם זה לא היה המקרה, אז ההחלפה הייתה מובילה לשרשורים ארוכים יותר ויותר שהיה צריך לגרור הלאה. לאחר תהליך זה כל שנותר הוא המסקנה, השאר נעלם במהלך התהליך.
 תאוריות רבות מתארות את האקסיומות הראשונות שלהן כקלסיות, מודוס פוננס או "חוק הניתוק":A, A ⊃ B │ Bהסמל "|" נכתב בדרך כלל כקו אנכי, כאן "⊃" מציין "גורר" (implies). הסמלים A ו-B הם "שומרי מקום" (stand-ins) עבור שרשורים. צורה זו של כתיבה מכונה "סכמת האקסיומה". ניתן לקרוא את זה בדרך דומה ל "אם-אז", אבל עם שינוי: בהינתן שרשור הסמלים "אם A" ו- "A גורר B" "אז B" (וניתן לשמר רק את B לצורך שימוש עתידי). אבל לסמלים אין שום "פירוש" (אין טבלת אמת, ערכי אמת או פונקציות אמת) ומודוס פוננס ממשיכה באופן מכני על ידי הדקדוק לבדו.

הבנייה 
לתאוריה של הפרינקיפיה יש נקודות דמיון ושוני בהשוואה לתאוריה פורמלית. קלן (Kleene) מציין ש"הדידקציה (deduction) של מתמטיקה מלוגיקה הוצאה כאקסיומה אינטואטיבית. האקסיומות נועדו לכך שיאמינו בהן, או שלפחות יקבלו אותן כהיפותזות אפשריות בנוגע לעולם. אמנם, בשונה מתאוריה פורמליסטית שעורכת מניפולציות על סמלים על פי חוקי תחביר, הפרינקיפיה מציגה את המושג של "ערכי אמת" (כלומר, אמת ושקר כפי שהם באים לידי ביטוי בעולם הממשי) ואת "טענת הנכונות" באופן כמעט מיידי כאלמנטים החמישי והשישי במבנה של התאוריה (PM 1962:4–36): 
 1. ערכים
 2. שימושים באותיות שונות
 3. הפונקציות הבסיסיות של הטענות (The fundamental functions of propositions): "פונקציית הסתירה" (Contradictory Function) המסומלת על ידי "~" וה"פונקציה של סכום לוגי או הבדלה" (Logical Sum or Disjunctive Function) המסומל על ידי "∨" שנחשבת לגורר פרמיטיבי ולוגי שמוגדר על ידי:
p ⊃ q .=. ~ p ∨ q Df. (PM 1962:11)
ותוצר לוגי מוגדר כ:
p . q .=. ~(~p ∨ ~q) Df. (PM 1962:12) 
 4. שקילות: שקילות לוגית, לא אריתמטית: "≡" ניתנת כהדגמה לדרך השימוש בסמלים. למשל "כך ' p ≡ q ' מסמל '( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p )'."  מתוך (PM 1962:7). כדי לדון בסימול מסוים הפרינקיפיה מגדירה "מטה"-סימול עם "[רווח]... [רווח]".
 שקילות לוגית מופיעה שוב כהגדרה:p ≡ q .=. ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) (PM 1962:12),שימו לב להופעתם של הסוגריים. השימוש התחבירי הזה אינו מפורט באופן מוגדר ומופיע באופן בלתי סדיר (ספוראדי). עם זאת לסוגריים יש תפקיד חשוב בשרשורים של סמלים, כמו למשל הסימול "(x)" עבור "x∀" הנהוג במתמטיקה המודרנית.
 5. ערכי אמת: ערכי האמת של טענה הוא "אמת" אם היא אמיתית ו"שקר" אן היא שקרית (PM 1962:7).
 6. סימן הטענה: " ניתן לקרוא את '⊦'. p. כ'זה נכון ש'.... ולכן  '⊦: p .⊃. q ' אומר " זה נכון ש- p גורר q, בעוד ש '⊦. p .⊃⊦. q ' אומר p אמיתי ולכן q אמיתי. הראשון מביניהם לא מערב בהכרח את האמתיות של p או q, בעוד שהשני מערב את האמתיות של שתיהן (PM 1962:92).
 7. הסקה: הגרסה של הפרינקיפיה למודוס פונוס "[If] '⊦. p ' וגם '⊦ (p ⊃ q)' התרחשו, אז '⊦ . q ' יתרחש אם יהיה רצון לתעד זאת. לא ניתן לצמצם את התהליך של הסקה לסמלים. העדות היחידה שלו היא ההתרחשות של '⊦. q '  [במילים אחרות, הסמלים בצד שמאל נעלמים או ניתנים למחיקה] (PM 1962:9).
 8. השימוש בנקודות
 9. הגדרות: הן משתמשות בסימן "=" אם "Df" בסוף הצד הימני.
 10. סיכום של טענות קודמות: דיון קצר של הרעיונות הפרמיטיביים: "~ p", "p ∨ q"  ו- "⊦" כתחיליות הצמודות לטענות.
 11. טענות פרמיטיביות: האקסיומות או ההנחות. היבט זה שונה בצורה משמעותית במהדורה השנייה.
 12. פונקציות של טענות: הרעיון של "טענות" שונה באופן משמעות במהדורה השנייה, כולל ההצגה של טענות "אטומיות" (atomic) המקושרות על ידי סמלים לוגיים מטענות "מולקולריות" (molecular), והשימוש בתחליפים של טענות מולקולריות לטענות אטומיות או מולקולריות ולצירת ביטויים חדשים.
 13. הטווח של ערכים והסכום הכולל של השונות.
 14. טענות דו משמעיות (Ambiguous) והמשתנה האמיתי: סעיף זה והשניים שאחריו שונו או ננטשו במהדורה השנייה. במיוחד הדיון בין המושגים שהוגדרו בסעיף 15 ו- 16.
 15. הגדרות והמשתנה האמיתי. סעיף זה הוסר מהמהדורה השנייה.
 16. טענות בנוגע למשתנים אמתיים וגלויים. סעיף זה הוסר מהמהדורה השנייה.
 17. השלכות פורמליות ושקילות פורמלית
 18. זהות
 19. סוגים ויחסים (Classes and relations)
 20. פונקציות תאוריות שונות של יחסים
 21. פונקציות תאוריות מרובות
 22. יחידות הסוגים (Unit classes)

רעיונות פרמיטיביים
Cf. PM 1962:90–94, עבור המהדורה הראשונה:
 1. טענות יסודיות.
 2. טענות יסודיות של פונקציות.
 3. טענה: הצגה של המושגים "אמת" ו"שקר".
 4. טענה של היגדים פונקציונליים (propositional function)
 5. שלילה: "אם p היא טענה כלשהי, הטענה "לא-p" או "p היא שקרית" תהיה מיוצגת על ידי "p~".
 6. הפרדה (Disjunction): "אם p ו- q הן טענות כלשהן, הטענה "p או q" כלומר "או ש-p נכונה או ש- q נכונה", כאשר שתי האפשרויות אינן סותרות אחת את השנייה, יסומנו על ידי "p ∨ q" 
 (cf. section B)

טענות פרמיטיביות 
המהדורה הראשונה (ראה את הדיון על המהדורה השנייה בהמשך) מתחילה עם הגדרת הסימן "⊃"

✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. Df.

✸1.1. כל מה שנגרר או מרומז (implied) על ידי טענה אמיתית בסיסית הוא אמת. Pp מודוס פונס

(✸1.11 ניטש במהדורה השנייה.)

✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp עיקרון של טאוטולוגיה

✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp עקרון החיבור

✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp עיקרון החילוף

✸1.5. ⊦: p ∨ ( q ∨ r ) .⊃. q ∨ ( p ∨ r ). Pp עקרון הקיבוץ

✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp עקרון החיבור

✸1.7. אם p היא תענה בסיסית, ~p היא נענה בסיסית. Pp

✸1.71. אם p ו- q הן טענות בסיסיות, p ∨ q i היא טענה בסיסית. Pp

✸1.72. אם φp ו- ψp הן טענות בסיסיות פונקציונלית (elementary propositional functions) functions שמשתמשות בטענות בסיסיות כארגומנטים (arguments), φp ∨ ψp היא טענה בסיסית. Pp

יחד עם ה"הקדמה למהדורה השנייה", נספח A של המהדורה השנייה זונח את כל סעיף ✸9. זה כולל שיש טענות פרימיטיביות ✸9 עד ✸9.15 יחד עם אקסיומות הפריקות (reducibility)

התאוריה המחודשת (revised theory) נהיית קשה יותר עקב ההצגה של קו שֶׁפֶר ("|") לסימול "אי התאמה" (למשל, אם שתי הטענות הבסיסיות p ו- q אמיתיות, ה"קו" שלהן p | q הוא שקרי), התואם ל"לא-וגם" הלוגי ( NAND: not-AND). בתאוריה המחודשת, ההקדמה מציגה את המושג של "טענות אטומיות" (atomic proposition), "נתון" אשר "מקושר לחלק הפילוסופי של הלוגיקה". אין להן חלקים שהם טענות והם לא מכילים את המושגים "הכל" או "חלק". לדוגמה: "זה אדום", או "זה מוקדם יותר ממנו". דברים כאלו יכולים להתקיים כ- ad finitum, למשל גם "מנייה אין סופית" (infinite eunumeration) שלהם להחלפת ה"הכללה" (generality). כמו למשל המושג "לכל". הפרינקיפיה "מתקדמת לטענות מולקולריות" המקושרות על ידי קו שפר. הגדרות נותנות שקילות עבור "~", "∨", "⊃", ן- ".". 

ההקדמה החדשה מגדירה "טענות בסיסיות" כטענות אטומיות ומולקולריות ביחד. או אז היא מחליפה את כל הטענות הפרמיטיביות ✸1.2 עד ✸1.72 עם טענה פרמיטיבית בודד,  המבוססת על המושגים של קו שפר:
"אם p, q, r הן טענות בסיסיות, בהינתן p ו- p|(q|r), אנו יכולים להסיק את r. זוהי טענה בסיסית."
ההקדמה החדשה משמרת את המושג של "קיימות" (there exists) אשר עוצבה מחדש כ"אמיתי לפעמים" ו"לכל" אשר שעוצבה מחדש כ"תמיד אמיתי". נספח A מחזק את המושג של "מטריצה" או "פונקציית ניבוי" (predicative function) (טענה בסיסית, PM 1962:164) ומציגה ארבע טענות פריטיביות חדשות כ ✸8.1–✸8.13.

✸88. אקסיומת הכפל  

✸120. אקסיומה של אין סוף

טיפוסים מסתעפים (Ramified types) ואקסיומת הפריקות (reducibility)

תוכן

חלק I לוגיקה מתמטית. כרך I מ-1✸ עד 43✸ 
חלק זה מתאר את תחשיב הפסוקים ותחשיב הפרדיקטים, ונותן את התכונות הבסיסיות של מחלקות, יחסים וטיפוסים.

חלק II דיון מקדים לתחשיב העוצמות. כרך I מ-50✸ עד 97✸ 
חלק זה מקיף תכונות מגוונות של יחסים, במיוחד אלו שנדרשות לאריתמטיקה של עוצמות.

חלק III תחשיב העוצמות. כרך II מ-100✸ עד 126✸ 
חלק זה מכסה את ההגדרה והתכונות הבסיסיות של עוצמות. לכל טיפוס יש את אוסף הקרדינלים המיוחסים לו וישנו צורך בניהול חשבונות משמעותי להשוואה בין קרדינלים מסוגים שונים. הפרינקיפיה הגדירה את החיבור, כפל והעלאה לחזקה של קרדינלים, והשוותה הגדרות שונות של עוצמות סופיות ואינסופיות. 120.03✸ היא האקסיומה של אין סוף.

חלק IV מתמטיקה של יחסים. כרך II מ-150✸ עד 189✸

חלק V סדרות. כרך II מ-200✸ עד 234✸ וכרך III מ-250✸ עד 276✸ 
חלק זה מכסה את נושא הסדרות.

חלק VI כמות. כרך III מ-300✸ עד 375✸ 
חלק זה בונה את מושג השלמים, שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים, ומשפחות וקטורים, שמקושרות למה שמכונה היום טורסורים מעל חבורות אבליות.

הבדלים בין מהדורות 

פרט לתיקון של טעויות דפוס, רוב הטקסט של הפרינקיפיה לא השתנה בין המהדורה הראשונה והשנייה. במהדורה השנייה כרכים 2 ו-3 כמעט שלא השתנו, פרט למספור העמודים. עם זאת, בכרך הראשון היו חמש תוספות חדשות:
 הקדמה בת 54 עמודים מאת ראסל, אשר מתארת את השינויים שהם היו עושים לו היה להם יותר זמן ואנרגיה. השינוי העיקרי שהוא הציע הוא ההסרה של אקסיומת ה- reducibility השנויה במחלוקת, אף על פי שהוא מודע שאין בידו להציע תחליף ראוי עבורה. נראה גם שהוא תומך יותר ברעיון שעל פונקציה להיקבע על ידי הערכים שלה (כמקובל במתמטיקה המודרנית). 
 נספח A, ממוספר כ- 8*, מכיל 15 עמודים על הסימן | של Sheffer, המייצג את פעולת ה-NAND.
 נספח B, ממוספר כ- 89*, דן באינדוקציה בלי אקסיומת ה- reducibility
 נספח C בן 8 עמודים, אשר דן ב- Propositional functions 
 רשימה בת 8 עמודים של הגדרות בסוף, המספקת אינדקס נחוץ ביותר לכ-500 הסימונים שבהם נעשה שימוש.
בשנת 1962 Cambridge University Press פרסמה מהדורה מקוצרת בכריכה רכה, המכילה חלקים מהמהדורה השנייה של כרך 1: ההקדמה החדשה, הטקסט העיקרי עד 56* ונספחים A ו-C.

ראו גם 
 כתב מושגים
 אלגברה בוליאנית

קישורים חיצוניים

הערות שוליים 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
ספרי 1910
ספרי 1912
ספרי 1913
לוגיקה מתמטית
ספרי מתמטיקה