קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי  למרחב האוסדורף קומפקטי , שיש לה חשיבות אפילו כאשר  מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך  של  היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי , במובן שכל העתקה מ- למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך . אם  הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת  ב- הומיאומורפית ל-, וכך אפשר לחשוב על  כתת-מרחב צפוף של . במקרה הכללי, ההעתקה  אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש- אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של  באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליות 

המרחב  והפונקציה מ- אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה , כאשר  מרחב האוסדורף קומפקטי, יש הרחבה יחידה לפונקציה רציפה . כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את  עד כדי הומיאומורפיזם. 

ההעתקה  היא הומיאומורפיזם אל התמונה אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה  היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם  מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי  הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב- את הפונקטור השכחן. אז כל מורפיזם  (עבור ) מתאים באופן יחיד למורפיזם  (באמצעות צמצום ל- ותכונת האוניברסליות), כלומר . היינו, הפונקטור  הוא פונקטור צמוד משמאל ל-.

בניה 

אם  מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את  כמרחב כל העל-מסננים על , עם טופולוגיית סטון. אברי  מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה 

אם  חבורה למחצה דיסקרטית, יש הרחבה יחידה של הפעולה מ- ל- כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של  הוא רציף. הרחבה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש- אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם  חבורות למחצה דיסקרטיות, אז  גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של  (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם  חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז  הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה. 

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות  ו- סבוך להפליא. למשל, במרכזים של ,  ו- אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב- כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

מקורות  

 Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).

קומפקטיות