פונקציות ברילואן ולנז'וון

פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות  המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.

פונקציית ברילואן 
פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן) היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר  ול-1- כאשר .

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:

כאשר:
  הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
  הוא פקטור g.
  הוא מגנטון בוהר.
  הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית :

 הוא קבוע בולצמן ו- היא הטמפרטורה.
במערכת היחידות SI, השדה המגנטי נמדד ביחידות טסלה ו- כאשר  הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו- הוא קבוע הפרמאביליות בריק.

פונקציית לנז'ווין 
בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי . אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):

עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת  כשבר משולב על פי למברט:

פונקציית לנז'וון ההפוכה , מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:

גבול טמפרטורה גבוהה 
כאשר , כלומר, כאשר  קטן מאוד - בגבול טמפרטורה  גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:

כאשר,  הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא .

גבול שדה רחוק 
כאשר  פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

פיזיקה סטטיסטית
מגנטיות