חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'

חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'  הוא משפט בתורת ההסתברות שהוכיחו המתמטיקאים אדווין יואיט ולאונרד סאוואג'. המשפט מתאר מאורעות שהסתברותם היא 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, המשפט קובע כי בהינתן סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי-התפלגות, כל מאורע שנקבע על ידי המשתנים המקריים הללו, אך שאינו תלוי באף שינוי סדר של מספר סופי מתוך המשתנים המקריים, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

נוסח פורמלי

תהי  מידת הסתברות על , כאשר  היא סיגמא אלגברת בורל.

נדון במרחב המכפלה , כאשר  וכן . נשים לב כי במרחב זה המשתנים המקריים  המוגדרים  הם כולם בלתי-תלויים, והם גם שווי-התפלגות, שכן כל אחד מהם בעל ההתפלגות .

נתבונן בחבורה  של התמורות הסופיות על , כלומר התמורות שמשנות רק מספר סופי של איברים. נשים לב כי  פועלת על , על ידי כך שכל תמורה סופית , משרה העתקה , על ידי .

אזי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הפעולה היא ארגודית. כלומר, לכל מאורע , אם  לכל , אז  או .

הוכחה

תחילה ניתן להראות כי המשפחה  מהווה תת-סיגמא-אלגברה.

אם כך תהי . נתבונן בהעתקה המציינת , ונשתמש בעובדה הבאה: קיימת סדרה של העתקות  החסומות על ידי , כך שלכל  ההעתקה  היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה , ומתקיים  כאשר .

תהי  העתקה כלשהי שהיא -מדידה. נבחר תמורה  שמקיימת . יש כזאת, כי ניתן למשל לבחור את התמורה שמחליפה את המספרים  עם המספרים , ואת כל שאר המספרים משאירה במקומם.

תחילה נשים לב כי  היא העתקה בלתי-תלויה ב-, ולכן מתקיים . כמו כן נבחין כי מההנחה לגבי  נובע כי , ולכן נובע כי .

עוד נשים לב כי מתקיים:

כעת נוכל להסיק כי:

,

ממה שהראינו נובע כי שני הנסכמים שואפים לאפס, ולכן בהכרח , כלומר  או .

דוגמאות

בדומה לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב, מאורעות זנב גבוליים, כדוגמת , הם מאורעות שאינם תלויים בהחלפת הסדר של אף קבוצה סופית של המשתנים המקריים, ולכן גם חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הסתברותם היא 0 או 1.

דוגמה שלא ניתן להסיק מתוך חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, היא הילוך מקרי פשוט  על המספרים השלמים, בהסתברות  ללכת ימינה ובהסתברות המשלימה ללכת שמאלה, כלומר  באופן בלתי תלוי לכל . במצב זה נתבונן בסדרת המשתנים המקריים  המוגדרים , כלומר  קובע היכן נמצא ההילוך בצעד ה-. אזי המאורע , כלומר המאורע שמתאר כי ההילוך המקרי חוזר אינסוף פעמים ל-, הוא מאורע שכמובן נקבע על ידי , והוא לא תלוי באף תמורה סופית על . לכן לפי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא בעל הסתברות 0 או 1 בלבד.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב אינו מספיק כדי לקבוע כי המאורע הנ"ל הוא מאורע בעל הסתברות 0 או 1 בלבד, שכן  הם משתנים מקריים תלויים.

קישורים חיצוניים

 Bruce K. Driver, Probability Tools with Examples , 2010

הערות שוליים

חוקי אפס-אחד