נוסחת ברהמגופטה

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברהמגופטה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה.

נוסחה
שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה ( ) הוא:
 
הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:

הוכחה

אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה.
מרובע חסום ABCD  ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△, 

מכיוון שמרובע ABCD  הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ-

ומכאן:

ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△  על ידי משפט הקוסינוסים, אז 

ובגלל ש-cos C  −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן

אז 

ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז 

ולאחר מכנה משותף,

ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל

נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:

הכללות
ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,
 
כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ,  ומכאן cos2(180° − θ) = cos2 θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר. כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:

קישורים חיצוניים
 

מרובעים
ברהמגופטה
הוכחות
שטח