פונקציית המספרים הראשוניים

במתמטיקה ובעיקר בתורת המספרים, פונקציית המספרים הראשוניים, המסומנת על ידי  (לא קשור למספר פאי), היא פונקציה שסופרת את כמות  המספרים הראשוניים הקטנים או שווים למספר ממשי x. הפונקציה ידועה בעיקר ממשפט המספרים הראשוניים, אומרת שפונקציית המספרים הראשוניים היא אסימפטוטית לפונקציה x/ln x, או ברישום מתמטי:

או:

טענה זו שקולה לטענה ש:

כאשר li היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי. עובדה זו שוערה לראשונה על ידי גאוס ולז'נדר בסוף המאה ה-18 בנפרד, והוכחה על ידי ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן ב-1896 כשהם מתבססים על מאפיינים של פונקציית זטא של רימן שרימן הציג בשנת 1859, והמשפט הוכח ללא שימוש בפונקציית זטא של רימן או אנליזה מרוכבת על ידי פאול ארדש בשנת 1948.

טבלה של ערכי הפונקציות
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! x 
! π(x)
! π(x) − x / ln x
! li(x) − π(x)
! x / π(x)
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 2.2
| 2.500
|-
| 102
| 25
| 3.3
| 5.1
| 4.000
|-
| 103
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|-
| 104
| 1,229
| 143
| 17
| 8.137
|-
| 105
| 9,592
| 906
| 38
| 10.425
|-
| 106
| 78,498
| 6,116
| 130
| 12.740
|-
| 107
| 664,579
| 44,158
| 339
| 15.047
|-
| 108
| 5,761,455
| 332,774
| 754
| 17.357
|-
| 109
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1,701
| 19.667
|-
| 1010
| 455,052,511
| 20,758,029
| 3,104
| 21.975
|-
| 1011
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 11,588
| 24.283
|-
| 1012
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 38,263
| 26.590
|-
| 1013
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 108,971
| 28.896
|-
| 1014
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 314,890
| 31.202
|-
| 1015
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 1016
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 1017
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 1018
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 1019
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,960
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 1020
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,701
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 1021
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 1022
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 1023
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7,250,186,216
| 51.939
|-
| 1024
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 17,146,907,278
| 54.243
|-
| 1025
| 176,846,309,399,143,769,411,680
| 3,128,516,637,843,038,351,228
| 55,160,980,939
| 56.546
|-
| 1026
| 1,699,246,750,872,437,141,327,603
| 28,883,358,936,853,188,823,261
| 155,891,678,121
| 58.850
|}

קישורים חיצוניים

 

מספרים ראשוניים