על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון

על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון (בגרמנית: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) הוא מאמר מתמטי באורך 10 עמודים, שפרסם ברנהרד רימן בנובמבר 1859, בירחון "Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin". המאמר עוסק בפונקציית המספרים הראשוניים בכלים אנליטיים, ובעיקר התמרות פורייה, ואינטגרציה. אף על פי שזהו המאמר היחיד שפרסם רימן בתורת המספרים, הייתה לו השפעה מרחיקת לכת על התחום כולו, מזמן פרסומו ועד היום. המאמר מציג לראשונה (גם אם לא במפורש) את השערת רימן, שעוסק בפונקציית זטא של רימן. במאמר מוצגים כמה דברים חשובים:
 רימן מציג את פונקציית זטא של רימן, שהופיעה מוקדם יותר בעבודתו של אוילר.
 הוכחה שהפונקציה היא פונקציה אנליטית ורציפה במישור המרוכב חוץ מ-s ≠ 1.
 הצגתה של הפונקציה השלמה ξ, (אשר ידועה כפונקציית קסי של רימן), אשר קשורה לפונקציה על ידי פונקציית גמא (אשר במאמר מסומנת על ידי Π), וייצוגה על ידי מכפלה 
 הצגת שתי משוואות פונקציונליות של הפונקציה ζ
 הגדרת פונקציה  אשר מוגדרת עבור x ≥ 0 כאשר J(0) = 0, והפונקציה קופצת בערך של 1/n עבור כל חזקה של מספר ראשוני pn. במאמר הפונקציה מכונה .
במאמר יש כמה דוגמאות ליוצאי דופן של כתיבה מודרנית בתחום כגון יצוג פונקציית גמא על ידי , רישום tt במקום t2 ורישום גבולות של אינטגרל בתחום ∞ ל-∞ כאשר האינטגרל מוגדר עבור כל התחום הממשי.

קישורים חיצוניים

המאמר המקורי
המאמר בגרמנית (מעובד בתמליל latex)
המאמר מתורגם לאנגלית

תורת המספרים האנליטית
פונקציות זטא
השערת רימן
מאמרים