התפלגות רב-נורמלית

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית, (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרה
יהי  וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש- מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל  המשתנה המקרי (החד־ממדי)  מתפלג נורמלית, כלומר קיימים  (תלויים ב-) כך ש-.

אם  משתנה רב-נורמלי, מסמנים  כאשר  הוא וקטור התוחלות, ו- היא מטריצת השונויות המשותפות -

תכונות

הפונקציה האופיינית
ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

מטריצה השונויות  היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שלא נכון באופן כללי).

לכסון
לכל משתנה מקרי רב-נורמלי  קיימים משתנה מקרי  ומטריצה אורתוגונלית  כך ש-, כאשר  ו- הם הערכים עצמיים של  (מטריצת השונויות המשותפות). 

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי  ולכל מטריצה אורתוגונלית , המשתנה המקרי  גם הוא רב נורמלי: .

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על  (בפרט, המטריצה  נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

פונקציית צפיפות
כאשר מטריצת השונויות  איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים  שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:

כאשר  מסמן את הדטרמיננטה של .

התפלגות רב-נורמלית סינגולרית
בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות  איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה כל פונקציית צפיפות ייקבעו על ידי פחות מ- משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב -ממדי של ) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומים
בעזרת התפלגות רב-נורמלית, ניתן להוכיח תוצאות חשובות בסטטיסטיקה. 

למשל, אם  משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים , נסמן  ו-. אז מתקיים , כלומר מתפלג סטודנט עם  דרגות חופש.

קישורים חיצוניים
 

התפלגויות רציפות