פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:

לפונקציה  יש סינגולריות בתחום t=1, ולכן הפונקציה מוגדרת במדויק לכל , ומוגדרת לכל  באמצעות הערך הראשי של קושי , בנוסחה:

פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך
פונקציית האינטגרל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגרתמי של אוילר מוגדרת להיות:

או בצורה אינטגרלית:
.
פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית, והיא מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-x.

הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי

הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי
לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי (Ei(x)) על ידי המשוואה:

שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:

חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:

הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית
ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. לדוגמה:

כאשר O הוא סימון לנדאו. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:

או:

רישום זה גורר לרישם הבא:

הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של איברים.

ערכים מיוחדים של הפונקציה
לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא x ≈ 1.45136 92348 ... .בנוסף לכך, הערך של הפונקציה בנקודה x=2 הוא  כאשר  היא פונקציית גמא הלא שלמה.

ראו גם
מספר סקיוז
משפט המספרים הראשוניים

קישורים חיצוניים

 

האינטגרל הלוגריתמי