עקומת השטן

עקומת השטן או עקומת קרמר היא עקומה שטוחה אשר נלמדה לראשונה על ידי המתמטיקאי  השווייצרי גבריאל קרמר  ב-1750 ואחר-כך ב-1810 על ידי המתמטיקאי הצרפתי סילבסטר-פרנסוא לקרואה (Sylvestre-François Lacroix). מקור שמה הוא באביזר להטוטנות בשם דיאבולו אשר צורתו מזכירה את חלקה הסגור של העקומה. הצעצוע היה פופולרי בסוף המאה השמונה-עשרה. אף שהעקומה מכונה עקומת השטן, מוצא השם דיאבלו אינו מהמילה הדומה באיטלקית diavolo (שטן). השם של הצעצוע הוטבע על ידי המהנדס הצרפתי גוסטב פיליפארט שפיתח את הדיאבלו המודרני בתחילת המאה ה-20. הוא השתמש במילה היוונית dia bolo, שמשמעותה "להעיף מעבר".

משוואות

המשוואה למערכת צירים קוטבית היא: 

במערכת צירים קרטזית ניתנת העקומה כפונקציה סתומה עם משוואה ממעלה רביעית:

צורה אחרת שלה תהיה:

חקירת העקומה

ה-X וה-Y השונים מופיעים בתבנית ריבועית. העקומה סימטרית לאורך ציר X וציר Y ולכן גם יחסית לראשית הצירים. 

העקומה מתוארת על ידי שני פרמטרים חופשיים a ו-b. ניתן לצמצם באופן משמעותי את מספר הצירופים ביניהם בלי לאבד ממגוון הצורות הניראות בגרף.
מכיוון שהפרמטרים מופיעים רק בצורתם הריבועית, ניתן להצטמצם לבדיקת המקרים בהם a ו-b הם מספרים חיוביים.
הצורה נקבעת על ידי היחס בין שני הפרמטרים וגדלה ביחס לריבועיהם מבלי שצורת העקומה תשתנה. לכן ניתן לבחור a קבוע ו b משתנה מ-0 ל-1.

ניתוח שלוש העקומות המופיעות בדוגמה שמשמאל:
לערכים a=1 ו-b=1 מורכבת העקומה ממעגל ושני ישרים מצטלבים (בגרף הקודם). החל מ-b קטן מ-1 נוצר הדיאבולו המרכזי. הדיאבולו מצטמצם ככל ש-b מתרחק מהערך הגבולי 1. בנוסף קיימים שני מקטעים שהם תמיד אסימפטוטיים בזווית 45° עם מערכת הצירים.

דוגמה נוספת

המשוואה למערכת צירים קרטזית:

המשוואה למערכת צירים קוטבית:

האסימפטוטות מופיעות באדום וכיוונן  אינו תלוי ב-a.

ראו גם
 פונקציית קנטור או מדרגות השטן
 למניסקטה

קישורים חיצוניים

 
 עקומת השטן באתר MacTutor 
 

עקומות