קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות).

הגדרה
נניח כי C היא קטגוריה וכי  היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה  היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים  (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים  קיים מורפיזם יחיד  כך שלכל  מתקיים . במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה  עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). 

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב, ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f1 ∐ f2 או f1 ⊕ f2 או f1 + f2 או [f1, f2].

באופן כללי, הקו-מכפלה של   מסומנת
 
ולעיתים 
.

דוגמאות

 בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים  ו- הם פשוט ההכלות (כגון ). בפרט, , וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר.
 אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם  לוקחים קבוצה  שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד  עם שיכון  כאשר  היא פונקציית שקילות של קבוצות.
 קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת .
 קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת  כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל  האיבר שבא מ- שווה לאפס. למשל:  אך .
 בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב  היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים  ו-.

קיום ויחידות
לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה  קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם  ו- הן זוג מכפלות של המשפחה  אז קיים איזומורפיזם יחיד  כך ש .

ראו גם 

 מכפלה (תורת הקטגוריות)
 מכפלת סיב (תורת הקטגוריות)
 גבול ישר (תורת הקטגוריות)
 פונקטור מיוצג
 אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

קישורים חיצוניים

תורת הקטגוריות