תורת החוגים

תורת החוגים היא ענף של האלגברה המופשטת העוסק בחקר חוגים - מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המכלילות דוגמאות יסודיות כמו חוג המספרים השלמים וחוג המטריצות מעל שדה. באמצעות הכללה זו, משפטים מהאריתמטיקה מורחבים לעצמים שאינם מספרים, כגון פולינומים, מטריצות ופונקציות. 

תורת החוגים עוסקת במבנה של חוגים, באידיאלים והמודולים שלהם, במחלקות מיוחדות של חוגים (כגון חוגי חבורה וחוג עם חילוק), ובשלל תכונות של חוגים, מהן המעוררות עניין במסגרת תורת החוגים עצמה, ומהם הרלוונטיות ליישומי תורת החוגים.

גאומטריה אלגברית ותורת המספרים האלגברית, המכילות דוגמאות רבות לחוגים חילופיים (קומוטטיביים), הניעו חלק נכבד מחקר החוגים החילופיים, הידוע כעת כאלגברה קומוטטיבית. כיוון ששלושה ענפים אלה כל כך קשורים זה בזה, קשה לפעמים לשייך תוצאה מסוימת דווקא לאחד מהם. משפט האפסים של הילברט, למשל, הוא משפט יסודי בגאומטריה אלגברית, אך הוכחתו נעשית בכלים של אלגברה קומוטטיבית. דוגמה נוספת היא המשפט האחרון של פרמה, שמנוסח במונחים של אריתמטיקה אלמנטרית, שהיא חלק מהאלגברה הקומוטטיבית, והוכחתו כוללת תוצאות עמוקות מתורת המספרים האלגברית וגאומטריה אלגברית.

חוגים לא חילופיים הם בעלי אופי שונה. המגמה הנוכחית בחקירתם החלה בשנות ה-80, עם פיתוחה של גאומטריה לא קומוטטיבית ועם גילוין של חבורות קוונטיות, שהובילו להבנה טובה יותר של חוגים לא חילופיים, ובפרט חוגים נתריים לא חילופיים.

היסטוריה
שורשיה של תורת החוגים החילופיים נמצאים בתורת המספרים האלגברית, בגאומטריה אלגברית ובתורת השמורות הפולינומיות. מקום מרכזי בהתפתחותם של ענפים אלה תפסו חוגי שלמים בשדות מספרים אלגבריים ובשדות פונקציות אלגבריות וחוגים של פולינומים בשני משתנים או יותר. תורת החוגים הלא חילופיים החלה בניסיונות להרחיב את המספרים המרוכבים למערכות של מספרים היפר-מרוכבים. ראשיתן של תורות אלה בתחילת המאה ה-19, והן הגיעו לבשלות רק ברבע השלישי של המאה העשרים. 

ויליאם רואן המילטון הניח את היסודות לאלגברת הקווטרניונים בשנת 1843. חוקרים נוספים עסקו במאה ה-19 במבנים אלגבריים נוספים, קודם שהנושא נעטף במסגרת הכללית של מבנים אלגבריים. מספרים היפר-מרוכבים שונים זוהו עם חוגי מטריצות בידי ג'וזף ודרברן (1908) ואמיל ארטין (1928). הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני איברים a,b יש איברים רגולריים u,v כך ש-ab=bau=vba. ב-1920 פרסמה אמי נתר, יחד עם ו. שמיידלר, מאמר שעסק בתורת האידיאלים, שבו הגדירו אידיאל ימני ואידיאל שמאלי בחוג. כעבור שנה פרסמה נתר מאמר פורץ דרך בדבר תנאי שרשרת בהקשר של אידיאלים. מאמר זה הביא ליצירת המושג חוג נתרי, ובו נתנה נתר את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי.

חוג
חוג הוא מבנה הכולל קבוצה  עם פעולות המכונות "חיבור" ו"כפל", המקיימות מספר תכונות:
 שתי הפעולות קיבוציות (אסוציאטיביות; כלומר  וכן )
 פעולת החיבור חילופית (קומוטטיבית; כלומר )
 קיים איבר יחידה ביחס לחיבור, שבדרך כלל מסומן כ-0 (כלומר )
 קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור, שבדרך כלל מסומן בסימן מינוס (כלומר )
 מתקיים חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות; כלומר  וכן )

אם ביחס פעולת הכפל יש איבר יחידה, שמסומן בדרך כלל כ-1 או כ-, החוג נקרא "חוג עם יחידה". לדוגמה, חוג המספרים השלמים הוא חוג עם יחידה (המספר 1), אך לחוג , שכולל את כל המספרים השלמים הזוגיים עם הפעולות הרגילות, אין יחידה כפלית.
אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי" (חוג קומוטטיבי). לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי.

כמו בהרבה מבנים אלגבריים, גם כאן אפשר להגדיר תתי-מבנים. זה טבעי להגדיר תת-חוג של  בתור תת-קבוצה של  שסגורה תחת פעולות החיבור והכפל של החוג (ואם לחוג יש יחידה, דורשים גם שהיחידה תהיה בתת-חוג). עם זאת, יש תת-מבנה של חוג שמתגלה כהרבה יותר שימושי, מבנה זה נקרא אידיאל. תת-חבורה  של חוג  נקראת אידיאל שמאלי אם לכל  ו- מתקיים  ואידיאל ימני אם לכל  ו- מתקיים . אידיאל דו-צדדי הוא אידיאל שהוא גם אידיאל שמאלי וגם אידיאל ימני. בחוגים חילופיים כל האידיאלים הם דו-צדדיים. האידיאלים משחקים תפקיד חשוב מאוד בתורת החוגים ובאפיון המבנה של החוג.

לעיתים ישנן צורות שונות להציג את אותו החוג. הדרך לזהות שתי הצגות של אותו החוג היא למצוא "איזומורפיזם" בין שתי ההצגות. כלומר: העתקה בין שני חוגים תקרא הומומורפיזם אם היא מכבדת את פעולות החיבור והכפל ואת איברי היחידה. היא תיקרא מונומורפיזם אם היא גם חד חד ערכית, ותיקרא אפימורפיזם אם היא על. במקרה שהיא גם מונומורפיזם וגם אפימורפיזם, היא נקראת איזומורפיזם. במילים אחרות, חוגים באותו הגודל הם איזומורפיים, אם ניתן לזהות את האיברים שלהם בהתאמה מלאה השומרת על שתי הפעולות.

שלושת משפטי האיזומורפיזם של חוגים מספקים צורה כללית לאיזומורפיזם בין חוגי מנה שונים של חוג נתון.

חוגים חילופיים
חוג קרוי חילופי אם פעולת הכפל המוגדרת בו היא חילופית. חוגים חילופיים מדמים מערכות מספרים מוכרות, ומאפיינים שונים של חוג חילופי בודקים עד כמה הוא דומה למספרים השלמים. בתורת החוגים החילופיים מספרים מוחלפים לעיתים קרובות באידיאלים, ואידיאל ראשוני מכליל את המספר הראשוני בחוג המספרים השלמים. חוגים חילופיים הם גם בעלי חשיבות בגאומטריה אלגברית - בעזרתם ניתן לחקור מאפיינים של עצמים גאומטריים, כמו חוגי קואורדינטות וממד.

תחום שלמות, שהוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם , אז בהכרח  או ), מכליל תכונה נוספת של השלמים. תחום ראשי (או "תחום אידיאלים ראשיים") הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים, כלומר מהצורה . תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.

חוג אוקלידי הוא חוג חילופי שבו אפשר לבצע חילוק עם שארית, וכך לממש את האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי. הדוגמאות המוכרות ביותר לחוג כזה הן חוג המספרים השלמים וחוג פולינומים מעל שדה, וההגדרה מכלילה ואורגת את התכונות המשותפות לשתיהן. לתכונת האוקלידיות יש גם השלכות חישוביות, בפרט בתורת המספרים האלגברית, וגם לבעיות הקשורות ביצירה של חבורות אלגבריות. כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי. 

חוג בזו הוא חוג בו כל אידיאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד, כלומר ראשי. חוג ראשי מיוחד הוא חוג בזו מקומי וארטיני. לחוגים אלו מבנה נוח למדי - יש להם רק מספר סופי של אידיאלים, כולם חזקות של האידיאל המקסימלי היחיד. משפט זריצקי-סמואל קובע כי כל חוג בזו ניתן לכתוב כמכפלה של תחומים ראשיים וחוגים ראשיים מיוחדים.

גאומטריה אלגברית

גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה העוסק בחקירה של עצמים גאומטריים באמצעות אלגברה מופשטת (לרוב קומוטטיבית). גאומטריה אלגברית קלאסית עוסקת בחקר אוסף הפתרונות של מערכת משוואות פולינומיליות. כאשר ישנו יותר ממשתנה אחד, שיקולים גאומטריים הופכים להיות חשובים לצורך הבנת התופעות השונות המתרחשות. הגאומטריה האלגברית עוסקת לרוב בניסיון להבין את מכלול הפתרונות של משוואות פולינומיליות, ולרוב אינה עוסקת בחיפוש פתרון מסוים. מספר משפטים מאלגברה קומוטטיבית מהווים את הבסיס בגאומטריה האלגברית הקלאסית, כמו משפט הבסיס של הילברט ומשפט האפסים של הילברט.

אלכסנדר גרותנדיק נתן הגדרות מודרניות נחרצות לעצמים של הגאומטריה האלגברית. הוא הגדיר ספקטרום של חוג חילופי כמרחב של האידיאלים הראשוניים עם טופולוגיית זריצקי, והרחיב מינוח זה בעזרת אלומה וסכמה של חוגים.

תורת המספרים האלגברית

תורת המספרים האלגברית היא תת-תחום של תורת המספרים, הנעזר במונחים אלגבריים (חילופיים) כדי לחקור עצמים כמו חוגי שלמים ושלמים אלגבריים בעזרת חוגים.

מונח מרכזי בתורה זו הוא חוג דדקינד - חוג חילופי נתרי נוצר סופית, בו כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי (כלומר בעל ממד קרול 1). הוא המהווה הכללה נחוצה לחוג ראשי, ובכך פותר את הבעיה של פירוק לראשוניים בחוגי שלמים כלליים - בחוג דדקינד כל אידיאל ניתן לכתוב כמכפלה סופית ויחידה של אידיאלים ראשוניים. בחוג דדקינד לכל אידיאל שברי קיים אידיאל שברי הפכי לו. לכן חבורת מחלקות האידיאלים היא אכן חבורה, ואף חבורה אבלית חופשית לה תפקיד מרכזי באפיון החוג. לכל חוג דדקינד ניתן להגדיר הערכה לפי אידיאל ראשוני, כחזקה המקסימלית שבה הוא מופיע בפירוק של האידיאל. כך ניתן להבין אובייקטים בתורת המספרים האלגברית בעזרת תורת ההערכות.

חוגים לא חילופיים
חוג לא חילופי הוא חוג בו פעולת הכפל איננה חילופית. לחוגים לא חילופיים תורת מבנה עשירה ומסובכת יותר מזו של חוגים חילופיים. אובייקט המרכזי בתורה זו הוא חוגי מטריצות. חוגים לא חילופיים המקיימים תנאי שרשרת על האידיאלים השמאליים שלהם, כמו חוגים ארטיניים ונתריים, מהווים נושא חשוב למחקר. למשל, משפט הופקינס-לויצקי קובע כי כל חוג ארטיני שמאלי הוא נתרי שמאלי.

חוגים לא חילופיים נחקרים גם על ידי המודולים שלהם, וטענות רבות קושרות בין חוג למודולים מעליו, כמו הלמה של נקאימה.

חוג מטריצות

חוגי מטריצות הם הדוגמה הקלאסית לחוגים לא חילופיים. חוג מטריצות (מסדר נתון) מעל חוג נתון, הוא אוסף כל המטריצות מאותו סדר באיברי החוג, עם פעולת החיבור (רכיב רכיב) וכפל מטריצות, המושרות מפעולות החוג המקורי. כל חוג מטריצות מסדר גדול מ-1 איננו חילופי ובעל מחלקי אפס. תורת המבנה של חוגי מטריצות מעל חוגים כלליים היא עשירה ומסובכת. כל חוג שקול מוריטה לחוג מטריצות מעליו, בכל מספר משתנים, מה שמכליל את האפיון במשפט ודרברן-ארטין. חוגים רבים מתקבלים כחוגי מטריצות מעל חוגים מיוחדים, כמו חוגים עם חילוק.

חוג עם חילוק

חוג עם חילוק הוא חוג בו לכל איבר שונה מאפס יש הפכי (דו צדדי) לכפל. חוג חילופי עם חילוק הוא שדה. לעומת זאת, במקרה הלא קומוטטיבי, התורה עשירה הרבה יותר. המשפט הקטן של ודרברן קובע כי כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה, ולכן עיקר העניין הוא בחוגים אינסופיים. דוגמה לחוג כזה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון. משפט ודרברן-ארטין קובע כי כל חוג ארטיני פשוט הוא חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק. כל מודול מעל חוג עם חילוק הוא מודול חופשי.

חוג פשוט למחצה

חוג פשוט למחצה הוא חוג המהווה מודול פשוט למחצה מעל עצמו, כלומר חוג השווה לתשתית (סכום האידיאלים הפשוטים) שלו. חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל מודול מעליו הוא פריק לחלוטין.

משפט ודרברן-ארטין קובע כי חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם הוא איזומורפי למכפלה של חוגי מטריצות מעל חוג עם חילוק. חוג חבורה של חבורה סופית הוא פשוט-למחצה אם ורק אם המאפיין של שדה הבסיס זר לסדר החבורה (הכיוון הקשה הוא משפט משקה).

חוג ראשוני למחצה

חוג ראשוני למחצה הוא חוג ללא אידיאלים נילפוטנטיים. רדיקלים רבים, כמו רדיקל ג'ייקובסון, הם ראשוניים למחצה.

חוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם רדיקל ג'ייקובסון הוא אפס. כל תחום שלמות אפיני (מעל שדה) הוא פרימיטיבי למחצה; בתורה הלא חילופית המונח עשיר יותר.

משפט גולדי קובע כי כל חוג גולדי ראשוני למחצה משוכן כחוג שברים בחוג פשוט למחצה. חוג פרימיטיבי למחצה ארטיני הוא פשוט למחצה.

יישומים

חוג קואורדינטות של יריעה אלגברית אפינית

כאשר X היא יריעה אלגברית אפינית, הקבוצה של כל הפונקציות הרגולריות על X יוצרת חוג הקרוי קוראים חוג הקואורדינטות של X. ליריעה אלגברית פרויקטיבית מוגדר חוג אנלוגי, הקרוי חוג הקואורדינטות ההומוגני.

שמורה פולינומית

שמורה פולינומית ביחס לפעולה של חבורה G על מרחב וקטורי  היא פולינום  הנשמר תחת הפעולה:  לכל . השמורות תלויות בחבורה G, ובאופן שבו היא פועלת על המשתנים  (המהווה הצגה ליניארית שלה על המרחב V). אוסף השמורות מהווה תת-חוג של חוג הפולינומים, שאותו מקובל לסמן ב-. תורת השמורות הפולינומיות סובבת סביב המבנה של חוג הפולינומים, החל ממציאת יוצרים מפורשים עבור חבורה נתונה (היינו, קבוצת שמורות שאפשר להציג בעזרתה כל שמורה אחרת), וכלה בפרטי המבנה האלגברי של החוג. לפי משפט שהוכיח דויד הילברט, המכונה המשפט היסודי של תורת האינווריאנטים, אם  חבורת אוטומורפיזמים הפועלת ליניארית על אלגברה אפינית  (הליניאריות פירושה שגם ), אז  אף היא אפינית - כלומר קיימים מספר סופי של אינווריאנטים היוצרים את  מעל השדה. משפט זה היה משפט חשוב מאוד שהוכיח הילברט, לאחר שרבים ניסו להוכיח אותו למקרים פרטיים.

קישורים חיצוניים

 
 The development of Ring Theory, at the MacTutor Archive
 Edwin H. Connell, Elements of Abstract and Linear Algebra, Chapter 3 - Rings

הערות שוליים

אלגברה