משפט פאפוס

משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, נקבל שנפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה

כאשר: 
  הוא המרחק של מרכז הכובד של הצורה הדו-ממדית מן הישר.
 הוא שטח הצורה.
באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

דוגמה
נניח שעלינו לחשב את נפח העקומה הבאה:  המסובב סביב הישר .
זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה , אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא לשטח אליפסה -  כאשר  הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה. 
במקרה זה אורכי הצירים הם  ולכן שטח האליפסה הוא . 
כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו .

נרצה למצוא כעת את המרחק של האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:

לסיום, כל מה שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל:

קישורים חיצוניים

 

משפט פאפוס