מחלקה מונוטונית

מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

הגדרה

תהי  קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות  נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר:
 לכל סדרה  המקיימת , מתקיים כי .
 לכל סדרה  המקיימת , מתקיים כי .

משפט המחלקה המונוטונית

תהי  קבוצה ותהי  משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי  להיות , ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי  להיות . לא קשה לראות כי  היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את  וכי  היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את .

משפט: תהי  אלגברה של קבוצות על קבוצה  (כלומר  משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי .

הוכחה

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי . כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי  מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי  היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי . נגדיר . לא קשה לראות כי  מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי  מהיות  אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל  מתקיים .

לכל , לכל  מתקיים כי  מהיות  אלגברה. לכן נובע כי . נזכור כי  מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי .

אם כך לכל  מתקיים , ובאופן שקול , ולכן נובע כי גם  לכל .

אם כך לכל  מתקיים , כלומר , ולכן  סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן  מהווה אלגברה.

משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות

משפט: תהי  מערכת-π ותהי  קבוצה השייכת ל-, ותהי  משפחה של פונקציות , המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
 לכל  מתקיים , כאשר  היא הפונקציה המציינת.
 אם  אז  וכן  לכל .
 לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות  המתכנסת לפונקציה גבולית , מתקיים .

אזי  מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי .

הוכחה

הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.

ההנחה כי  יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה  מהווה מערכת-λ.

מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי .

תכונה 2 מראה כי  מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.

תורת ההסתברות
תורת המידה
משפחות של תת-קבוצות