מערכת דינקין

מערכת דינקין היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין.

משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית.

הגדרות

תהי  קבוצה.
 משפחה של תת-קבוצות  נקראת מערכת-π, אם לכל  מתקיים .
 משפחה של תת-קבוצות  נקראת מערכת-λ (או מערכת דינקין), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
 
 לכל  המקיימות , מתקיים .
 לכל סדרה  המקיימת , מתקיים כי .

יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ. 

תהי  משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.
 נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי  להיות . זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את .
 נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי  להיות . זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את .

משפט π−λ

משפט: תהי  קבוצה ותהי  מערכת-π. אזי .

נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות  מתקיים . משפט π−λ מוסיף כי אם  היא מערכת-π, אז  היא למעשה סיגמא-אלגברה.

הוכחה

 נראה כי  סגורה לחיתוך. 
למה: לכל  נגדיר . אזי  היא מערכת-λ המכילה את .
הוכחת הלמה: ברור כי . נראה כי היא מערכת-λ.
 ברור כי . יהיו  המקיימות . מתקיים כי , וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל-, לכן . בהינתן סדרה  העולה ביחס להכלה, אז ברור כי , לכן .
מסקנה:  סגורה לחיתוכים סופיים.
הוכחת המסקנה: מהלמה נובע שלכל  מתקיים כי  היא מערכת-λ המכילה את , לכן נובע כי .
יהיו . נגדיר . באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי  היא מערכת-λ המכילה את , ומכך נובע כמו קודם כי , כלומר לכל  מתקיים .

 נסיק כי  היא סיגמא-אלגברה.
סגירות למשלים: תהי . מהיות  מערכת-λ נובע כי , ולכן גם .
סיגמא אדיטיביות: תהי . נציג , וברור כי הסדרה  עולה ביחס להכלה, ולכן .

שימוש יסודי

משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא סיגמא-סופית אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.

טענה: תהי  מערכת-π על מרחב X, ויהי  המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי  מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת  המקיימת . אזי המידה  נקבעת ביחידות על כל , על-פי ערכיה על .

בפרט למשל עבור המרחב  יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה  על  שמקיימת:

לכל  עבור .

הוכחה: יהיו  זוג מידות המזדהות על המערכת-π . נקבע  המקיימת . נסמן . ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את , ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את . כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי  נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב:

תורת ההסתברות
תורת המידה
משפחות של תת-קבוצות