החלפה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, תכונת ההחלפה היא תכונה של מודולים, הנלמדת בקשר לפירוק לסכום ישר (כגון במשפט קרול-שמידט) והרמה של אידמפונטים.

הגדרה 

למודול  יש תכונת ההחלפה הסופית אם בכל מקרה בו  הוא מחובר ישר בסכום ישר , יש פירוק  שבו  (נובע מכאן שכל  הוא מחובר ישר של ). 

באופן כללי יותר, עבור מונה , למודול  יש תכונת ההחלפה ה- אם בכל מקרה בו  הוא מחובר ישר בסכום ישר 
, יש פירוק  שבו  לכל  (וגם כאן נובע שכל  הוא מחובר ישר של ). התכונה נעשית חזקה יותר ככל שהמונה  גדול יותר. אם  מקיים את התנאי לכל , אומרים שיש לו תכונת ההחלפה (הכללית). כל תכונות ההחלפה הסופיות (ל-) שקולות זו לזו.

תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההחלפה הכללית אם המודול נוצר סופית, או אם הוא סכום ישר של מודולים אי-פרידים; במקרה הכללי זוהי בעיה פתוחה. מודול פרויקטיבי עם תכונת ההחלפה הבת-מניה מקיים את תכונת ההחלפה הכללית.

לכל מודול איג'קטיבי יש תכונת ההחלפה.

תכונת ההחלפה וסכומים ישרים 

תכונת ההחלפה ה- עוברת ממודול למחובר ישר שלו, ואם היא נכונה לשני מודולים היא נכונה גם לסכום הישר שלהם.

יהי  מודול אי-פריד (כזה שאינו סכום ישר). אז הוא מקיים את תכונת ההחלפה, אם ורק אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה הסופית, אם ורק אם הוא "אי-פריד בחזקה" (כלומר, חוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי). בפרט, אם המודול אי-פריד, תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההצבה (שהיא גרסה חזקה של תכונת הצמצום).

תכונת ההחלפה של חוגים 

אומרים שלחוג  יש תכונת ההחלפה, אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה כמודול מעל עצמו. למודול  מעל  יש תכונת ההחלפה הסופית אם ורק אם לחוג האנדומורפיזמים  יש תכונת ההחלפה. חוג  מקיים את תכונת ההחלפה אם ורק אם אפשר להרים בו אידמפוטנטים מודולו כל אידיאל שמאלי או ימני, אם ורק אם אפשר להרים אידמפוטנטים מודולו רדיקל ג'ייקובסון  והחוג  מקיים את תכונת ההחלפה
.

מקורות 
 A. A. Tuganbaev, Rings and modules with exchange properties, J. Math. Sci. 110(1) (2002), 2348–2421.

הערות שוליים

תורת המודולים
סכום ישר