זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות , כאשר  הוא פולינום קפלי ב- משתנים. כל אלגברה מממד  קטן מ- מקיימת את הזהות . התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי , כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ- משתנים.

הזהות  נובעת מן הזהות , כך שהתנאי  הולך ונעשה חלש כאשר  גדל. באלגברה עם יחידה , ו- אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום  נקרא -מתחלף אם לכל  מתקיים . פולינום קפלי ה--י הוא -מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה--מתחלף הכללי ביותר:  היא זהות של האלגברה , אם ורק אם כל פולינום -מתחלף הוא זהות של . לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית  אפשר להסיק מהזהות  על ידי ההצבה  (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות  (מעל שדה ) מקיימת את זהות קפלי , אבל לא את הזהות . האלגברה  מקיימת את  אם ורק אם  קומוטטיבי. 

אם  אלגברה מעל שדה  ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים  (כאשר  הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים ), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות  על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה  מקיימת את זהות קפלי  אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של  היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל  קיימת זהות קפלי  הנובעת מן הזהות הסטנדרטית .

אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי.

הערות שוליים

תורת החוגים