קריטריון קרטן

באלגברה מופשטת, קריטריון קרטן הוא קריטריון להיותה של אלגברת לי פתירה. ממנו נובע תנאי הכרחי ומספיק להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה, בעזרת תבנית קילינג.

ניסוח
תהי  תת-אלגברת לי של אלגברת האנדומורפיזמים  של מרחב וקטורי  מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. אז  פתירה אם ורק אם
.

הוכחה
קודם נניח כי  פתירה. משפט לי קובע כי אם  פתירה אז ניתן להציג כל איבר בה כמטריצה משולשית עליונה. מסקנה נוספת ממשפט לי קובעת כי אם  פתירה אז  נילפוטנטית, ומשפט אנגל קובע כי כל איבר של אלגברת לי נילפוטנטית ניתן להציג כמטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). לכן, מכפלה של איבר מ- באיבר מ- ייתן מטריצה משולשית עליונה ממש, והעקבה שלה היא אפס, כדרוש.

כדי להוכיח את הכיוון השני, יש להיעזר בלמה:

למה: יהיו , ונביט ב-. לכל , אם מתקיים , אז  נילפטונט.

(הוכחה ללמה ראו בקריאה נוספת).

כדי להוכיח את הקריטריון, כלומר כדי להוכיח ש- פתירה, מספיק להוכיח כי  נילפטונתית (כי אז היא גם פתירה ואז גם  פתירה). לפי משפט אנגל מספיק להוכיח כי כל איבר ב- נילפוטנט. כדי לעשות זאת, נשתמש בלמה עם . כאן , ומתקיים . כדי להסיק מהלמה שכל איברי  נילפוטנט, מספיק להוכיח כי
. אכן מתקיים  - המעבר האחרון נכון כי לפי ההנחה ש-z ב- ולכן  , ולכן אפשר להשתמש בנתון.

מסקנה לכל אלגברת לי
קריטריון קרטן כפי שנוסח לעיל נכון רק לתת אלגברות של אלגברת האנדומורפיזמים (אחרת אין משמעות לעקבה של האיברים). ההכללה הטבעית היא:

מסקנה: תהי  כל אלגברת לי, כך ש-, כאשר  הוא ההצגה הצמודה. אז  פתירה.

הוכחה: נפעיל את קריטריון קרטן עבור, ונקבל כי  פתירה. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון עבור ההעתקה  נקבל כי  פתירה (כאשר  הוא המרכז של ); אבל  אבלית ולכן פתירה, ולכן גם  פתירה כדרוש.

ראו גם
 אלגברת לי פתירה
 משפט אנגל
 משפט לי

לקריאה נוספת
 Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 19-20

קרטן
קרטן