מודל האברד

מודל האברד הוא מודל מקורב המשמש לתיאור מעבר פאזה ממצב של מערכת מבודדת למצב של מערכת מוליכה. המודל נקרא על שם ג'ון האברד. המודל מתאר חלקיקים עם אינטראקציה בסריג, כאשר ההמילטוניאן של המערכת מכיל רק שני איברים: איבר קינטי המאפשר מנהור של חלקיקים בין מקומות שונים בסריג ואיבר פוטנציאל המכיל אינטראקציה מקומית (הנובעת בדרך כלל מאינטראקציה עם היונים בסריג). החלקיקים במודל יכולים להיות פרמיונים, כמו בעבודה המקורית של האברד, או בוזונים. במקרה הבוזוני נהוג לקרוא למודל "מודל בוזה-האברד" או "מודל האברד הבוזוני".

מודל האברד הוא קירוב טוב עבור חלקיקים בפוטנציאל מחזורי בטמפרטורות נמוכות מספיק, כך שכל החלקיקים נמצאים בפס בלוך הנמוך ביותר וניתן להתעלם מאינטראקציות ארוכות טווח בין החלקיקים. אם האינטראקציות בין החלקיקים בנקודות שונות בסריג נכללות במודל, נהוג לקרוא למודל "מודל האברד המורחב".

המודל הוצע לראשונה בשנת 1963 על מנת לתאר אלקטרונים בחומר מוצק, מאוחר יותר החלו להשתמש בו גם לתיאור של על מוליכות בטמפרטורות גבוהות. מודל בוזה-האברד שימש לתיאור התנהגותם של אטומים קרים הלכודים בסריג אופטי. 

עבור אלקטרונים במוצק, מודל האברד הוא שיפור של מודל הקשירה ההדוקה (tight binding model), המכיל רק איבר קינטי. עבור אינטראקציות חזקות, אנו מקבלים במודל זה תוצאות שונות איכותית מהתוצאות של מודל הקשירה ההדוקה, החוזות נכונה את קיומם של מבודדי מוט (Mott insulators), שאינם הופכים למוליכים בשל דחייה חזקה בין החלקיקים.

תאוריה 
מודל האברד מבוסס על קירוב הקשירה ההדוקה בפיזיקת המצב המוצק. בקירוב הקשירה ההדוקה מניחים שהאלקטרונים מאכלסים את האורביטלים הסטנדרטיים של האטומים שאליהם הם שייכים, כאשר האלקטרונים יכולים "לקפוץ" מאטום לאטום. באופן מתמטי, תיאור זה מיוצג על ידי האיבר הקינטי t, המייצג המנהור, שניתן לראותו כעיקרון הפיזיקלי שיוצר את מבנה הפסים בחומרים בעלי מבנה גבישי, בשל החפיפה בין אורביטלים אטומיים. רוחב הפס תלוי במשרעת החפיפה. בנוסף קיימת במודל אינטראקציה U בין שני חלקיקים בעלי ספינים הפוכים הנמצאים באותה נקודה על הסריג.

המודל מתואר על ידי ההמילטוניאן:

כאשר הסכימה  היא סכימה על שכנים קרובים (נקודות סריג סמוכות) ו  הם אופרטורי יצירה והריסה, בהתאמה.

דוגמה: שרשרת חד־ממדית של אטומי מימן
לאטום המימן יש רק אלקטרון אחד, היכול להמצא במצב עם ספין  או במצב עם ספין  . האורביטל s שבו נמצא האלקטרון יכול להכיל לכל היותר שני אלקטרונים בעלי ספינים הפוכים (בשל עקרון האיסור של פאולי). נניח שרשרת חד־ממדית של אטומי מימן. בתיאורית הפסים נצפה שייווצר פס הולכה רציף שיהיה חצי מלא (כלומר: חצי מהמצבים הקוונטיים האפשריים יהיו מאוכלסים). לכן, נצפה שהשרשרת שלנו תהיה מוליכה על פי תאוריית הפסים הרגילה. אולם, אם נגדיל בהדרגה את המרחק בין האטומים בשרשרת בנקודה מסוימת השרשרת תהפוך למבודדת, בניגוד לתחזית מודל הפסים. כאשר נוסיף למבנה הפסים איבר פוטנציאל המייצג אינטראקציה, נקבל את מודל האברד, ומעבר פאזה ממוליך למבודד כפונקציה של המרחק בין האטומים בסריג המתאר נכונה את המערכת.

לקריאה נוספת 
Gerald D. Mahan, Condensed matter in a nutshell,2011, Princeton university press

פיזיקה של חומר מעובה