השערת קתה

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

השערת קתה 

השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):
 האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:
 הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
 אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
 לכל חוג  מתקיים , כאשר  הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו- הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
 לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות  נילי.
 לכל חוג נילי , חוג הפולינומים  קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
 אם  אז .
אם  חוג נילי אז  איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג  השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי.
בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם  נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים  תחת היחסים: , האיברים  ו- יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

מקרים שבהם ההשערה מתקיימת 

השערת קתה מתקיימת בחוג  אם לכל אידיאל נילי שמאלי , האידיאל הדו-צדדי  הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:
 בחוגים נתריים (לפי משפט הופקינס-לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
 בכל חוג עם זהויות  (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו , משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
 בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
 באלגברה אלגברית מעל שדה;
 באלגברה  שממדה מעל  קטן ממש מהעוצמה של ;
 בחוג  אם  היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה ראוי לציין שמעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית  כך ש- אינו נילי; סמוקטונוביץ', 2000).
 באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג  הוא מהצורה  כאשר  אידיאל נילי. מכאן שאם  הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז .

מקורות 

 On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
 The Concise Handbook of Algebra, C.18.
A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73

הערות שוליים

תורת החוגים
בעיות פתוחות באלגברה