G-מודול

G-מודול הוא חבורה אבלית  שעליה פועלת חבורה  באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של . -מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה 

תהי G חבורה ותהי  חבורה אבלית כך ש- פועלת של  משמאל, כלומר: 
 
כך ש- ולכל  ו- מתקיים .

כדי ש- תהייה -מודול נדרוש שפעולת  מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של , כלומר
 .
במקרה זה אנו אומרים ש- הוא -מודול שמאלי. אם  פועלת על  מימין באופן דומה נקבל -מודול ימני. את קטגוריית ה- מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה--מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות 

בסעיף זה נניח שכל ה--מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל--מודולים ימניים.

העתקה  תיקרא מורפיזם של -מודולים או העתקה -ליניארית או -הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של  (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:
  ו-.

האוסף של -מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה .

תת--מודול  של -מודול  הוא תת-חבורה  כך ש-, כלומר   לכל  ו-. במקרה כזה אפשר להגדיר את -מודול המנה  כחבורת מנה עם הפעולה .

דוגמאות 

  חבורה כלשהי,  ו- פועלת טריוויאלית על , כלומר: .
  החבורה הליניארית הכללית ( שדה) ו- מרחב וקטורי מעל  מממד .
  ו- הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של  על  תהיה גם רציפה.

אלגברה
תורת החבורות