יחסי גרין

יחסי גרין הם יחסי שקילות בסיסיים המוגדרים בחבורה למחצה, ומארגנים את המבנה שלה סביב תת-החבורות המקסימליות. את היחסים הגדיר סנדי גרין 
(1926-2014).

הגדרה 

תהי  חבורה למחצה, ויהי  המונואיד המתקבל מצירוף איבר יחידה ל-. יחסי גרין הם ארבעה יחסי שקילות המוגדרים על : 
 אם  יוצרים את אותו אידיאל דו-צדדי, כלומר .
 אם  יוצרים את אותו אידיאל שמאלי, כלומר .
 אם  יוצרים את אותו אידיאל ימני, כלומר .
 אם  וגם .

תכונות עיקריות 

נאמר "מחלקת-" במקום "מחלקת שקילות לפי ", וכדומה. היחס  הוא העדין ביותר: כל מחלקת- היא איחוד של מחלקות- ואיחוד של מחלקות-, וכל אחת מאלו היא איחוד של מחלקות-. אם  סופית, אז . תכונות אלו מציעות פירוק של כל מחלקת- ל"תבנית ביצים", כך ששני איברים נמצאים באותה שורה אם הם שקולים-, באותה עמודה אם הם שקולים-, ובאותה תיבה אם הם שקולים-. בין מחלקות- מוגדר יחס סדר ( אם  מוכל ב-). 

איבר  הוא רגולרי אם קיים  כך ש- ו-; במקרה זה  הוא הפכי של . אם מחלקת- מכילה איבר רגולרי, אז כל האיברים במחלקה הם רגולריים, וכל ההפכיים שלהם שייכים לאותה מחלקה.

תת-החבורות המקסימליות של  הן מחלקות- הכוללות אידמפוטנט. אם המחלקות של שתי תת-חבורות מקסימליות שקולות-, אז הן איזומורפיות; מחלקת- המכילה תת-חבורה מקסימלית היא רגולרית. יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ההצגות האי-פריקות של , לבין הזוגות  כאשר  מחלקת- רגולרית ו- הצגה אי-פריקה של חבורה המוכלת בה.

חבורות למחצה
יחסי שקילות