משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)

משפט ליוביל הוא משפט באלגברה דיפרנציאלית, הקובע תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של פונקציה קדומה אלמנטרית לפונקציה נתונה. את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל ב-1835.

מהמשפט עולות דוגמאות מפורסמות לאינטגרלים לא מסוימים שאינם פונקציות אלמנטריות, כגון פונקציית השגיאה , האינטגרל הלוגריתמי ההפוך  (המוכר ממשפט המספרים הראשוניים) ו-.

רקע
פונקציה אלמנטרית היא פונקציה המתקבלת ממספר סופי של פעולות פשוטות על פונקציות בסיסיות. פורמלית, ניתן לבנות את הפונקציות האלמנטריות באופן אלגברי כמתואר להלן.

יהי  שדה עם פעולת גזירה . השדה  יחד עם הפעולה  נקרא שדה דיפרנציאלי. אוסף האיברים  הוא תת-שדה של  הקרוי שדה הקבועים של .

אקספוננט של איבר  הוא איבר המסומן  שמקיים:  (זהו אנלוג אלגברי של פונקציית האקספוננט). באופן דומה, לוגריתם של איבר  הוא איבר המסומן  שמקיים:  (זהו אנלוג אלגברי של הלוגריתם הטבעי).

הרחבת שדות דיפרנציאלית זהה להרחבת שדות רגילה בכפוף לתנאי שהנגזרות מזדהות על השדה הקטן. הרחבה דיפרנציאלית  נקראת הרחבה אלמנטרית של  אם קיימת שרשרת סופית של הרחבות  כך שלכל  מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:
 כאשר a אלגברי מעל .
 כאשר .
 כאשר .

המשפט
יהי  ותהי  הרחבה אלמנטרית כך ש-, וכן קיים  המקיים . אזי קיימים קבועים  ואיברים  כך שמתקיים:

במילים אחרות, לכל איבר בשדה דיפרנציאלי עם קדומה אלמנטרית יש קדומה בשדה, עד כדי סכום של מספר סופי של לוגריתמים.

ליוביל
אלגברה דיפרנציאלית