אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

הגדרה

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

הגדרה ישירה
תהי  הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה  מסדר , ויהי . נגדיר  (כמרחב וקטורי עם בסיס ), עם פעולת הכפל:

בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת . (להוכחת טענות אלו ראו [Row]).

הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי
תהי  אלגברה פשוטה מרכזית מעל . נאמר ש- אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי)  המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים
אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: .

שקילות ההגדרות
ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית  היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

סקירת ההוכחה: בכיוון , תהי  חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש  כך ש-, ולכן גם . לכן , כלומר  שייך למרכז שהוא , כלומר , ומתקיים .

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית  היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה  (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם  של K הוא הצמדה באיבר כלשהו : . נגדיר , ונוכיח כי : משום ש-, כלומר ; הפעלת ההצמדה על  מראה כי , ולכן . כעת, קל לבדוק כי  בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

דוגמאות
 יהי  שדה, ויהי  הפיך בשדה. עוד נניח כי  מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר , נסמנו . נגדיר . מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר . 

לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה . כל האלגברות הציקליות עבור  הן בדיוק , עבור כל שורש יחידה -פרימיטיבי .

 יהי  שדה ממאפיין ראשוני , ויהי . עבור , נביט ב-. קל לראות שכל שורש של הפולינום  מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה  עבור אלפא עם שורש מינימלי . 

מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור  הן מהצורה .

ראו גם
אלגברה פשוטה מרכזית
משפט סקולם-נתר

לקריאה נוספת

[Row]; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464

[GS]; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]

מבנים אלגבריים