תבנית פיסטר

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם.

תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים , ולכן יוצרות את המנות , ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים.

תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה.

הגדרה
יהי  שדה ממאפיין שאינו 2.

עבור , התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית  נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת . תבנית פיסטר מסדר  היא מכפלה טנזורית של  תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה , עבור .

התבנית מהצורה  היא מרחב היפרבולי.

תכונות ומבנה
לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן.

תכונות
ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר . תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות . בפרט, מתקיים  ו- לכל .

באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר  יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים , משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר .

התבנית  היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא . בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן.

מבנה
נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות.

משפט - תהי  תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב . אז מתקיים  אם ורק אם  מתקבל כערך של .

כמסקנה מקבלים:

משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית.

המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה.

משפט - נסמן ב- את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב- את החבורה . אם  תבנית פיסטר מתקיים .

כמסקנה, נובע כי אם  תבנית פיסטר אז  סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר.

משפט: התכונות הבאות שקולות:
  היא תבנית פיסטר.
 לכל הרחבת שדות , אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן , הוא חבורה.
 .

המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות.

משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב- הוא לפחות . אם הוא שווה ל-, התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר.

מסקנה:

הקשר לתורת K
לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K.

הן מספקות העתקה , הנתונה על ידי .

לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין , ולכן מתקבל איזומורפיזם , כאשר .

ראו גם
 תבנית ריבועית
 חוג ויט
 משפט הורוויץ
 רמה של שדה

לקריאה נוספת
 עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.

פיסטר