משוואות תנועה

משוואות תנועה הן תיאור מתמטי להתנהגות של מערכות פיזיקליות המציגות את התנועה כתלות בזמן. כלומר, משוואות התנועה מתארות את אופי המערכת הפיזיקלית כאוסף של פונקציות מתמטיות בעזרת משתנים דינמיים: בדרך כלל על פי מתן קואורדינטות מדויקות במרחב ובזמן, ולעיתים אף משתנים נוספים, כדוגמת תנע או כוח. לרוב, נהוג לסמן את המיקומים בקואורדינטות כלליות, ולסמנן במשתנה כלשהו. במכניקה הקלאסית, הפונקציות מוגדרות במרחב האוקלידי, ובתורת היחסות מופיעות בתור מרחבים עקומים. אם הדינמיקה של מערכת ידועה, המשוואות הן למעשה משוואות דיפרנציאליות המתארות את התנועה והדינמיקה במערכת.

דינמיקה וקינמטיקה 
ישנן שתי צורות לתיאור תנועה: דינמיקה וקינמטיקה. דינמיקה היא כללית, כיוון שהמומנטים, הכוחות והאנרגיה במערכת נלקחים בחשבון. לעיתים המונח דינמיקה מתייחס למשוואות הדיפרנציליות שהמערכת מתייחסת אליהן (כמו החוק השני של ניוטון או משוואות אוילר), ולעיתים אחרות מתייחס המונח לפתרונות של המשוואות הללו. 

קינמטיקה, בהיותה פשוטה בהרבה, כוללת רק משתני מיקום וזמן. במקרים של תאוצה קבועה, משוואות התנועה הפשוטות הללו מכונות בדרך כלל למשוואות "SUVAT", שפרוש שמן הוא:
 S - Displacement (העתק, מרחק)
 U - Intial Velocity (מהירות התחלתית)
 V - Final Velocity (מהירות סיום)
 A - Acceleration (תאוצה)
 T - Time (זמן)

מכאן, שמשוואות התנועה הן למעשה קבוצה תחת הערך תנועה. סוגי התנועה העיקריים הם סיבובים, פניות, תנודות, או כל שילוב של אלה. מבחינה היסטורית, משוואות תנועה התפתחו מהמכניקה הקלאסית והורחבו למכניקה שמיימית, על מנת לתאר את התנועה של אובייקטים כבדים. לאחר מכן, הן הופיעו באלקטרודינמיקה, לשם תיאור התנועה של גופים טעונים בשדות מגנטים וחשמליים. עם התקדמות תורת היחסות הכללית, המשוואות הקלאסיות של התנועה השתנו. בכל המקרים הללו המשוואות הדיפרנציאליות תוארו על ידי קואורדינטות של מקום וזמן, שהושפעו מכוחות או שינויי אנרגיה. 

המשוואות של מכניקת הקוונטים יכולות גם להיחשב כמשוואות תנועה, כיוון שהן משוואות דיפרנציאליות של תנועת גלים, ומתארות איך תורת הקוונטים היא הגיונית כאשר משתמשים בקואורדינטות המיקום והזמן. קיימת השוואה בין משוואות התנועה לתחומים נוספים בפיזיקה, גלים למשל.

אופן השימוש במשוואות 
משוואות התנועה בדרך כלל כוללות:
 משוואה דיפרנציאלית של תנועה, בדרך כלל באמצעות חוקים פיזיקליים ושימוש בקבועים פיזיקליים.
 בחירת הצירים ובחירת נקודת האפס.
 פונקציה של המיקום או התנע יחד עם הזמן, שמתארת את הדינמיקה של המערכת.
 פתרון המשוואה הדיפרנציאלית תוך שימוש בתנאי התחלה (או תנאי שפה).
המשוואה הדפרנציאלית היא בדרך כלל תיאור כללי של הנחה, ולעיתים מותאמת באופן ספציפי למצב מסוים. הפתרון, אם כן, מתאר בדיוק כיצד המערכת תתנהג בכל הפעמים שלאחר המצב ההתחלתי, בהתאם לתנאים המוגדרים.

מכניקה ניוטונית
לעיתים נוח לנסח את משוואות התנועה בצורה וקטורית, על ידי שימוש בחוקי התנועה של ניוטון. במקרה זה הרכיבים הווקטוריים יהיו רבים ותלויים מפורשות בזמן ובמיקום. הדבר עשוי להקשות על פתרון המשוואות ואף להוביל לכך שהן לא תהיינה פתירות אנליטית. לעיתים קרובות יש עודף של משתנים שמקשים לפתור את הבעיה, כך שחוקי ניוטון הם הדרך היעילה ביותר למצוא ולפתור את הבעיה. במקרים פשוטים של גאומטריה במישור, שימוש בקואורדינטות קרטזיות עובד טוב, אבל שימוש בכל מערכת קואורדינטות אחרת הופך להיות מסובך ביותר.

החוק השני של ניוטון

משוואת התנועה הכללית הראשונה שפותחה היא החוק השני של ניוטון. לפיו, קצב השינוי של התנע של גוף שווה לכוח הפועל עליו, כלומר: 
. במשוואה זו p וקטור התנע של הגוף, ו-F הכוח הפועל עליו. כאשר המסה אינה משתנה ניתן לכתוב באופן שקול: , כאשר m המסה ו-a וקטור התאוצה של הגוף. זו כתיבה נוחה מכיוון שבבעיות קלאסיות רבות המסה היא פרמטר שאינו משתנה. אולם, כתיבת החוק במונחים של תנע היא מדויקת יותר, אוניברסלית יותר וניתן להכלילה גם למערכות המטופלות במסגרת תורת היחסות הפרטית והכללית.  

עבור מערכות מרובות גופים, משוואת התנועה של הגוף ה-i מושפעת מאינטראקציה עם שאר הגופים. לכן ניתן לנסח את החוק השני באופן הבא: 

כאשר  הוא המומנט של הגוף ה-,  הוא הכוח שמפעיל הגוף ה- על הגוף ה-, ו- הוא הכוח החיצוני.

שימוש

מספר דוגמאות מחוקי ניוטון כוללים תיאור התנועה של מטוטלת:

משוואה הרמונית:

או של כדור שנזרק באוויר, עם התנגדות כמו רוח, מתואר על ידי וקטור שדה: 

:

כאשר G הוא קבוע הכבידה העולמי, M זו המסה של כדור הארץ וA זו התאוצה של הגוף בהתאם להתנגדות האוויר במיקום R ובזמן T. זהו למעשה שימוש בחוק הכבידה, כאשר מסת הכדור m מתבטלת.

אנלוגיה לשדות וגלים
בשונה ממשוואות התנועה לתיאור גופים מכנים, שהן בדרך כלל משוואות דפרנציאליות, המשוואות האנלוגיות במשוואות הגלים ובשדות הן תמיד חלק ממשוואות דפרנציאליות, כוון שהגלים או השדות הן פונקציות של מקום וזמן. לפעמים, משוואות הגל או השדה נקראות גם "משוואות התנועה".

משואות שדה
משוואות המתארות את התלות של המרחב והתפתחות הזמן בשדות נקראות "משוואות שדה". אלו כוללות לדוגמה את משוואות נאוויה-סטוקס למדידת מהירות השדות, את משוואות מקסוול עבור שדות אלקטרומגנטיים ואת משוואות השדה של איינשטיין לכבידה.

קישורים חיצוניים
 

חוקים פיזיקליים