הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה

הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה (Compact-Open topology) היא טופולוגיה על מרחב הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי אחד לאחר. זו הטופולוגיה הסטנדרטית בתחומים שונים, כמו במרחבי פונקציות ובתורת ההומוטופיה, בפרט במרחבים נוצרים קומפקטית.

הגדרה

יהיו  שני מרחבים טופולוגיים. נסמן ב- את אוסף הפונקציות הרציפות ביניהם.

על קבוצה זו נגדיר תת בסיס לטופולוגיה בתור אוסף הקבוצות , כאשר  קומפקטית ו- פתוחה. הטופולוגיה הנוצרת נקראת, כאמור, הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. (תת הבסיס בדרך כלל אינו בסיס לטופולוגיה).

אם  מרחב האוסדורף, אז כדי לבנות תת-בסיס מספיק להתחיל מתת בסיס של ; כלומר, אם  תת-בסיס של , אז  לכל  ו- קומפקטית, אף הוא תת-בסיס.

תכונות כלליות

לדוגמה, המרחב  הומיאומורפי ל-.

אם  מרחבים, כאשר  קומקפטי מקומית, אז פונקציית ההרכבה  היא רציפה. בפרט, אם  הוא נקודון, אז העתקת ההצבה  רציפה. טענה זו שימושית במיוחד בתורת המרחבים הנוצרים קומפקטית.

המרחב  מקבל בירושה תכונות רבות של המרחב . למשל, אם המרחב  מקיים את אחת מאקסיומות המנייה , גם  מקיים אותה.

מרחב הפונקציות כאשר Y מטרי 

בסעיף זה נניח ש- מטרי, עם מטריקה d.

ההתכנסות בטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה שקולה לטופולוגיית ההתכנסות הקומפקטית. כלומר, סדרה של פונקציות   מתכנסת תחת הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה אל הפונקציה , אם ורק אם  לכל תת-קבוצה קומפקטית  (עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר, כאשר Y מרחב אוניפורמי ). 

נניח כעת, בנוסף לכך ש-Y מטרי, גם ש-X קומפקטי. אז  עצמו הוא מרחב מטרי, עם המטריקה . בדומה לזה, אם Y מרחב נורמי, אז  הוא מרחב נורמי (עם המטריקה שהוגדרה לעיל). המקרה המיוחד  הוא בעל חשיבות מרכזית באנליזה פונקציונלית. משפט אסקולי-ארצלה קובע שעבור תת-קבוצה , הסגור  קומפקטי אם ורק אם הקבוצה חסומה במידה שווה ורציפה במידה אחידה.

ראו גם
טופולוגיה חסומה-פתוחה

קישורים חיצוניים
 

קומפקטית-פתוחה
קומפקטית-פתוחה