רמה של שדה

בתורת השדות, הרמה של שדה F, המסומנת , היא המספר הקטן ביותר  כך ש- הוא סכום של  ריבועים. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם הרמה שלו אינסופית. חישוב הרמה של שדה הוא בדרך כלל בעיה אריתמטית קשה.

הגדרה
יהי  שדה.  האורך של כל  הוא המספר המינימלי  עבורו  הוא סכום של  ריבועים. אם אין מספר כזה, נאמר שהאורך הוא אינסופי. הרמה של השדה היא האורך של , ומסמנים אותה 

אלברט פיסטר הוכיח שהרמה של שדה היא או אינסוף או חזקה של 2. לכל חזקת 2 אכן קיים שדה שזו הרמה שלו, לפי המשפט הבא של פיסטר:

משפט (Pfister): שדה הפונקציות הרציונליות של היריעה הפרויקטיבית האלגברית הנתונה על ידי המשוואה  הוא מרמה 
.

שדות מסוג זה היו הדוגמאות הראשונות לשדות מרמה שגדולה מ-4, ובמובן מסוים הם השדות היחידים מרמה גדולה מ-4 הידועים עד היום.

דוגמאות
 משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם  איננו סכום של ריבועים, כלומר הרמה שלו אינסופית.
 הרמה של שדה סופי מסדר  היא  אם  ו- אם .
 הרמה של שדה מספרים מהצורה  כאשר  מספר טבעי שהוא סכום של שלושה ריבועים היא 4.
 האורך של סכום ריבועים בשדה גלובלי הוא לכל היותר 4, ולכן הרמה היא 1,2 או 4 או אינסוף.
 מתקיים .
 אם הרמה של שדה לא ממשי היא , אז חוג ויט  הוא בעל פיתול .
 הרמה של הרחבה לא-ממשית סופית של  היא לכל היותר .

רמה ביחס לתבנית ריבועית
יהי  שדה ו- תבנית ריבועית מעל . הרמה של השדה ביחס לתבנית היא המספר המינימלי  עבורו  הוא סכום של  ערכים של , כלומר  (ואינסוף אם אין ערכים כאלה). הרמה של השדה היא הרמה ביחס לתבנית , והאורך של איבר  הוא הרמה ביחס לתבנית . את הרמה ביחס לתבנית נסמן .

מתקיימות התכונות הבסיסיות הבאות:
 .
 אם  הרחבת שדות אז , לכל תבנית משדה הבסיס. 
 אם ההרחבה לעיל מממד אי-זוגי, אז יש שוויון - 
 בדומה לרמה הרגילה, אם  הרחבה טרנסצנדנטית אז .

אם  הרחבת שדות ריבועית, ונניח , אז מתקיים , כאשר  היא תבנית פיסטר. 

ביתר כלליות, אם  אלגברת קווטרניונים מעל  אז .

אם  תבנית פיסטר אז  הוא או אינסוף או חזקת 2. במקרה של הרחבת שדות ריבועית  עם  , אז .

שאלת הרמה
שאלת הרמה (The level question) שואלת האם קיים שדה בעל מספר מחלקות ריבועים  סופי, שהרמה שלו . שאלה זו נשארה פתוחה עד היום. בכל זאת, ישנן מספר תוצאות משניות (למקור ראו בקריאה נוספת).

משפט (Djokovic): אם  שדה בעל רמה  אז מתקיים:

עבור  מתקבלות תוצאות טובות יותר:

משפט:
 אם  אז .
 אם  אז .

ראו גם
משפט ארטין-שרייר

לקריאה נוספת
 Level of a field and the number of square classes, Dragomir Ž. Djoković, 1974
 On the Number of Square Classes of a Field of Finite Level, Karim Johannes Becher, 2011
 Sums of values represented by a quadratic form, G. Berhuy, N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi, 2011

תורת השדות
תבניות ריבועיות
שדות סדורים