עקרון הבחירה המוגבלת

עקרון הבחירה המוגבלת (באנגלית Principle of restricted choice) הוא עיקרון סטטיסטי במשחק הברידג' לפיו כאשר שחקן משחק קלף, קטנה ההסתברות שהוא מחזיק בקלף שווה ערך. העיקרון מבוסס על חוק בייס, לפיו הסתברות התרחשות אירועים מתעדכנת על פי מידע שמצטבר. 

קלפים שווי ערך הם קלפים צמודים ברצף הערכים של קלפים במשחק הברידג', כגון: KQ, AK ו QJ באותה סדרה. כך למשל אם שיחקנו קלף בסדרה ואחד המגנים זכה ב A, על פי העיקרון ההסתברות ששותפו מחזיק ב K גדלה וההסתברות שהשחקן שהחזיק ב A, מחזיק גם ב K קטנה. העיקרון מאפשר לשחקנים המכירים אותו, להגדיל את ההסתברות להצלחה בביצוע חוזים באמצעות משחק המבוסס על ההנחה, שקלפים מכובדים מחולקים בין שני היריבים (Split Honnors). ההיסק הסטטיסטי של עקרון הבחירה המוגבלת דומה להיסק הסטטיסטי של בעיות ביסייאניות בתחומים אחרים כגון: בעיית מונטי הול. 

ניתן להרחיב את העיקרון גם למצבים בהם מדובר בשלושה קלפים שווי ערך, אבל במקרה זה המודל הופך למודל הרבה יותר מורכב.

דוגמה
הדוגמה מתייחסת לסדרת ה . נציג בה רק קלפים בסדרה זו.

בידו של צפון הקלפים הבאים: AJ1096.

בידו של דרום הקלפים הבאים: 8754.
 בידי מזרח ומערב ארבעה קלפים בסדרה: KQ32. לכרוז בצפון לא ידוע כיצד הם מתחלקים בין מזרח למערב.

הכרוז שיחק את ה 4. מערב שיחק את ה 3. הכרוז כיסה עם ה J ומזרח זכה עם ה K. הכרוז נכנס שוב לידו של דרום באמצעות קלף בסדרה אחרת ושיחק את ה 5 ומערב את ה 2. 

הדילמה שניצבת בפני הכרוז היא: האם לשחק את ה A בהנחה שהקלפים בסדרה מתחלקים 2-2 ואז מזרח חייב לשחק את ה Q או לשחק את ה 10 ולהניח שה Q היא קלף שלישי בסדרה בידו של מערב?
על פי עקרון הבחירה המוגבלת, הכרוז צריך להניח שההסתברות שה Q נמצאת במערב גבוהה יותר ולשחק את ה 10. אם יזכה בלקיחה, עליו להמשיך ב A שיפיל את ה Q של מערב. חישוב סטטיסטי מראה כי ההסתברות שה Q נמצאת במערב גבוהה בערך פי 2 מההסתברות שהוא נמצא במזרח.

הטבלה להלן מציגה את כל האפשרויות לחלוקת קלפי ה  בין מערב למזרח בדוגמה לעיל:
 שימו לב שבטבלה מוצגות 16 אפשרויות לחלוקת קלפי ה . מודגשות באותיות מובלטות שתי האפשרויות הרלוונטיות להחלטתה האם לזכות ב A או לשחק את ה 10, לאחר שבפעם הראשונה ששוחקה הסדרה, שיחק מזרח את ה K ומערב קלף קטן.

נצא מההנחה שאם שחקן מחזיק ב K וב Q הוא ישחק את אחד מהם באופן רנדומלי. משחק אחד מהקלפים שווי הערך הוא האסטרטגיה הטובה ביותר.

מנקודת מבטו של דרום ההסתברות שמערב מחזיק בשלושה קלפים כולל ה Q גבוהה מההסתברות שמזרח החזיק KQ. זאת משום שבחצי מהמקרים, שבהם הוא היה מחזיק בשני קלפים אלה הוא היה משחק את ה Q ולא את ה K. כך שב 2/3 מהמקרים ה K במזרח הוא קלף בודד ורק בשליש מהמקרים הוא אחד משני קלפים, כולל ה Q.

שיטות חישוב מדויקות יותר של ההסתברויות בדוגמה
שיטות החישוב מתייחסות לדוגמה שהובאה בפיסקה הקודמת. הן מנסות להיות מדויקות יותר מהשיטה שתוארה בפיסקה הקודמת.

שיטה 1: חישוב ההסתברויות אפריוריות והאפוסטריוריות
שתי העמודות הימניות בטבלה מתארות את ההסתברויות האפיריוריות לחלוקת ארבעת הקלפים. כך למשל ההסתברות ששלושה מהקלפים נמצאים ביד אחת והרביעי ביד השנייה היא 49.1%. 

העמודה השלישית מכילה את מספר החלוקות הספציפיות, בתוך כל חלוקה של מספר קלפים. מהטבלה בפיסקה הקודמת אפשר להבין, כיצד קיבלנו את המספרים בעמודה זאת. כך למשל ניתן לראות שיש רק שתי חלוקות שבהן ארבעה קלפים באחת הידיים. באחת מהן כל הקלפים במזרח ובשנייה כל הקלפים במערב.

בעמודה הרביעית מופיעה ההסתברות האפריוירית לכל חלוקה ספציפית. היא מחושבת, באמצעות חלוקת ההסתברות לחלוקה של מספר קלפים מסוים למספר החלוקות הספציפיות. דוגמה: ההסתברות לחלוקה של 2-2 היא 40.70%. יש לנו 6 חלוקות ספציפיות ולכן ההסתברות של כל אחת מהן היא 40.70% לחלק ל 6. 

מעיון בטבלה ניתן לראות שההסתברות האפריורית (ההסתברות לפני ששוחק סיבוב אחד של קלפים בסדרה) של חלוקה 3:1 גבוהה מההסתברות האפריורית של חלוקה 2:2. כך שההסתברות האפריורית ל K היא 6.22% בעוד ההסתברות האפריורית של KQ היא 6.78%. אבל היות שהנחנו, שבמחצית מהמקרים בהם יש KQ תשוחק ה Q ולא ה K, יחס ההסתברות האפוסטריוריות הוא 3.39:6.22 (3.39 הוא 6.78 מחולק ב 2), כלומר: בקצת יותר מיחס של 2:1 לטובת המקרה של K. בתרגום לאחוזים ההסתברות ל KQ היא קצת יותר מ 35%. 
 אם יוצאים מהנחה, ששיטת המשחק של מזרח-מערב מחייבת לשחק את ה K בכל המקרים שבהם הוא מחזיק KQ, אז ההסתברות האפוסטריורית שברשות השחקן KQ, קרובה ל 100% ואז יש לבצע עקיפה ל 10.

שיטה 2: התחשבות בכל הקלפים
שיטה 2 מרחיבה את שיטה 1 על מנת לקבל הסתברות מותנית מדויקת עוד יותר. השיטה מתייחסת לכל אפשרויות החלוקה ומביאה בחשבון שגם ה 3 וה 2 הם קלפים שווי ערך. השיטה מניחה שבדומה ל K וה Q, שאף הם קלפים שווי ערך, השחקן ישחק במחצית מהמקרים את ה 3 ובמחצית מהמקרים את ה 2. 

חישוב מדויק על פי שיטה זו, הוא מעבר לטווח של כתיבת ערך. 

השורה התחתונה של כל השיטות היא שההסתברות הבייסיאנית (ההסתברות המותנית או ההסתברות האפוסטריורית) לקלף יחיד מבין שני קלפים שווי ערך גבוהה בערך פי שניים מההסתברות של שני קלפים שויי ערך באותה יד.

ראו גם
 טרנס ריס
 בעיית מונטי הול
 שיווי משקל נאש
 הסתברויות בברידג'

קישורים חיצוניים
 אלדד גינוסר, עקרון הבחירה המוגבלת (Restricted Choice), מועדון ברידג' השרון
 Bridge Paradoxes,Richard Pavlicek 
 The principle of Restricted Choice – a Simple Explanation,terencereese.tripod.com 
 Restricted Choice, American Contract Bridge League
 The Principle of Restricted Choice,Zia Mahmud, The Guardia, 2005

הערות שוליים

ברידג'
תורת ההסתברות