משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:

כאשר  הוא המרכז של G,  הוא המְרַכֵּז של  (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-.

 הוא האינדקס של  ב- והוא שווה ל-.

רקע
שני איברים  נקראים איברים צמודים אם קיים  כך ש-. צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את  למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל- כ-.

המרכז של  מוגדר  (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה). 

המְרַכֵּז של איבר  מוגדר  (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g). למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש- היא תת-חבורה של .

הוכחה
תהי  חבורה סופית ויהי . נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:

כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.

מכאן ש- ו- שונים אם ורק אם  ו- שייכים לקוסטים שמאליים שונים של . לכן מתקיים:

מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:

כש- עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות. 

נגדיר את  כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי . לכל  ולכל  מתקיים  ולכן  (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים:

מסקנות
ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.

הוכחה: תהי  חבורה מסדר . אם  אבלית  אינו טריוויאלי. נניח ש- אינה אבלית. יהי , לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים . בהכרח , אחרת  בסתירה לכך ש-. לכן: . לפי משוואת המחלקות:

אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p.  הוא מספר חיובי (כי ) שמתחלק ב-p ולכן . ∎

שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.

המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.

הערות שוליים

משפטים בתורת החבורות