אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה  במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור , מגדירים את נורמת  של וקטור  לפי הנוסחה .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: , לכל שני וקטורים .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת  מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה
נוכיח את נכונות אי-השוויון.

לפי אי-שוויון המשולש:

כעת, לפי אי-שוויון הולדר:

ולכן: 
,
ולאחר צמצום נקבל 
.

בתורת המידה

בתורת המידה, נורמה- של פונקציה על מרחב מידה  מוגדרת כך - . המרחב  הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה  מתקבל מרחב הילברט .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי ; הוא מתקבל עבור המרחב , כאשר  ו- היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם
 נורמה
 אי-שוויון הולדר
 מרחב Lp

קישורים חיצוניים
 

אי-שוויונות
משפטים באנליזה