אפקט הול הקוונטי

בפיזיקה אפקט הול הקוונטי הוא הגרסה הקוונטית לאפקט הול הקלאסי. באפקט הול הקוונטי אפשר לראות מדרגות בדידות בהתנגדות הול כפונקציה של השדה המגנטי, כלומר קיימים ערכי שדה מגנטי שעבורם התנגדות הול עולה בחדות, בעוד שבין הערכים הללו ערך התנגדות הול נשאר קבוע. ההתנגדות הארכית (האוהמית) של הדגם שווה לאפס כפונקציה של השדה המגנטי, פרט לאזורים שבהם התנגדות הול משתנה.

זרם העובר דרך גז אלקטרונים דו־ממדי בנוכחות שדה מגנטי חזק הניצב למישור הגז גורם ליצירת מתח בכיוון המאונך לכיוון הזרם. בטמפרטורות נמוכות, מתרחש מעבר פאזה קוונטי שבו מוליכות הול, המוגדרת בנוסחה:

(כאשר  הוא הזרם החשמלי בדגם,  הוא מתח הול, e הוא מטען האלקטרון ו-h הוא קבוע פלאנק), מקבלת ערכים בדידים. מקדם המילוי  יכול להיות מספר שלם או שבר (1/3, 2/5, 3/7, 2/3, 3/5, 1/5, 2/9, 3/13, 5/2...), והוא מייצג את היחס בין מספר האלקטרונים למספר קוונטות השטף המגנטי במערכת. האפקט נקרא אפקט הול הקוונטי השלם או השברי לפי הערך אותו מקבל מקדם המילוי.

התופעה נצפית בהתקני מוליכים למחצה שבהם האלקטרונים מתנהגים בקירוב טוב כמו גז אלקטרונים דו־ממדי שמאפשר את התרחשות התופעה.

רקע היסטורי
אפקט הול הקוונטי נחזה תאורטית על ידי אנדו, מצומוטו וימורה בשנת 1975, באמצעות חישובים מקורבים שהם עצמם הטילו ספק בנכונותם .
האפקט התגלה נסיונית ב-1980 על ידי קלאוס פון קליצינג בעת שחקר התקן מוליך למחצה מסוג Si-MOSFET בטמפרטורות נמוכות ושדות מגנטיים חזקים. המדרגות המופיעות במדידות של מוליכות הול נצפו שנתיים קודם לכן, ב-1978, על ידי אנגלרט ופון קליצינג, אולם רק ב-1980 חשב פון קליצינג לראשונה על התופעה במונחי קוונטות של . פון קליצינג זכה בפרס נובל עבור תגלית זו בשנת 1985. ב-2007 אפקט הול הקוונטי השלם נצפה בגרפן בטמפרטורת החדר.

מודלים תאורטיים

קוונטיזצית לנדאו – גז האלקטרונים הדו־ממדי הדרוש לשם צפייה באפקט הול הקוונטי נמצא בסוגים שונים של מוליכים למחצה שבהם ניתן להגביל את האלקטרונים לתנועה במישור דו־ממדי. בשדה מגנטי חזק, האנרגיות העצמיות של האלקטרונים שבגז הדו־ממדי מקוונטטות לרמות לנדאו. בשל קיומו של אי סדר בחומר, הנובע מזיהומים בסריג, מתרחשת הרחבה של רמות לנדאו לפסים. ההשלכה המשמעותית ביותר הנובעת מקיומם של זיהומים היא יצירת שני סוגים של מצבים אלקטרוניים: מצבים ממוקמים (פונקציית הגל ברובה נמצאת באזור מסוים, קטן, בדגם) ומצבים פרושים (פונקציית הגל פרושה על פני כל הדגם). כשצפיפות האלקטרונים עולה, המצבים האלקטרוניים מתמלאים בהדרגה ואנרגיית פרמי מוסטת. כשאנרגיית פרמי נמצאת בתחום שבו נמצאים המצבים הממוקמים, האכלוס של המצבים הפרושים לא משתנה. מאחר שרק המצבים הפרושים נושאים זרם, מוליכות הול לא משתנה, ונוצרת תבנית המדרגות. כאשר הדגם נמצא בחלק האופקי של המדרגה נעלמת ההתנגדות הארכית, משום שרק ערכים ממוקמים נמצאים בסביבת אנרגיית פרמי. כאשר אנרגיית פרמי מגיעה לרמת לנדאו הבאה, מופיעה דעיכה במערכת, והתנגדות הול עוברת למישור הבא. לכן, אפשר להבין את אפקט הול הקוונטי כמעבר בין מצבים ממוקמים ולא ממוקמים כאשר אנרגיית פרמי נעה דרך צפיפות המצבים.

מודל מצבי הקצה – מודל זה מבוסס על פורמליזם שפותח על ידי לב לנדאו שבו הזרם מהווה את הכח הדוחף למעבר האלקטרונים בדגם (ולא שדה חיצוני). בתנאים עבורם מתרחש אפקט הול הקוונטי, הזרם יכול לעבור בין המקור (Source) לשפך (Drain) רק אם הם מחוברים באמצעות שפה משותפת. הזרם הנמדד באפקט מתקבל כתוצאה מהפוטנציאלים האלקטרוכימיים של כל ההדקים (Terminals) השונים, והפוטנציאל האלקטרוכימי הוא זה שנמדד בניסוי בהדקי המתח.
עבור דגימה בגודל סופי, רמות לנדאו כפופות בקצות הדגם. עבור כל רמת לנדאו שחוצה את אנרגיית פרמי נוצר ערוץ זרם חד־ממדי הנקרא "ערוץ שפה". באופן קלאסי, ערוצים אלו שקולים למסלול האלקטרון הנע לאורך שפה של דגם תחת השפעת שדה מגנטי (Skipping Orbits). ניתן להראות שעבור אפקט הול הקוונטי יש מעבר אידיאלי בין המגעים (אין פיזור לאחור (Backscattering) כתוצאה מהמפגש עם שפת הדגם), ולכן ההתנגדות הארכית נעלמת, והתנגדות הול נתונה על ידי .

אפקט הול הקוונטי השברי
בעוד באפקט הול הקוונטי השלם מוליכות הול נמדדת בכפולות שלמות של , באפקט הול הקוונטי השברי  הוא שבר. אפקט זה הוא תוצאה של אינטראקציות אלקטרון-אלקטרון היוצרות חלקיקים אפקטיביים הקרויים פרמיונים מורכבים. הפרמיונים המורכבים הם מצבים קשורים של אלקטרונים יחד עם מספר זוגי של קוונטות שטף מגנטי. אם מחליפים את האלקטרונים במודל התאורטי עבור אפקט הול הקוונטי השלם בחלקיקים אפקטיביים אלו, מתקבל תיאור נכון של התופעה, כשהערכים שמוליכות הול מקבלת הם שברים של , .

רוברט לפלין, הורסט סטורמר ודניאל צוי זכו בפרס נובל בפיזיקה בשנת 1998 על הגילוי וההסבר של אפקט הול הקוונטי השברי.

יישומים
אפקט הול הוא דוגמה לקוונטיזציה מדויקת מאוד. במדידות, נמדדו ערכים שלמים של , בדיוק של עד אחד לביליון. תופעה זו, הקרויה "קוונטיזציה מדויקת", היא ביטוי לעקרון האינווריאנטיות לכיול של שדות.
אפקט הול הקוונטי מאפשר בשל הקוונטיזציה המדויקת מדידה מדויקת של מטען האלקטרון, ובעזרתו הוגדרה מחדש ההתנגדות החשמלית על ידי קבוע פון קליצינג, .

האפקט מאפשר את ביצוען של מדידות חשמליות מדויקות ביותר ואת קביעת קבוע המבנה העדין של חבורת הכיול המתארת את האלקטרודינמיקה הקוונטית (QED).

היבטים מתמטיים

המספרים השלמים המופיעים באפקט הול הקוונטי השלם הם דוגמה למספרים טופולוגיים קוונטיים. הם ידועים במתמטיקה כמספרי צ'רן הראשונים הקשורים גם לפאזת ברי. מודל מרשים בהקשר זה הוא מודל אזבל-הרפר-הופשטטר שדיאגרמת הפאזות הקוונטית שלו מכונה "הפרפר של הופשטטר". הציר האנכי של הדיאגרמה מתאר את עצמת השדה המגנטי והציר האופקי את הפוטנציאל הכימי, הקובע את צפיפות האלקטרונים. הצבעים מייצגים את מוליכויות הול השלמות – צבעים חמים עבור שלמים חיוביים וצבעים קרים עבור שלמים שליליים. דיאגרמת הפאזות היא פרקטלית, כלומר בעלת אותו המבנה בכל סקאלה. כמו כן, קיימת סימטריה ברורה בין החלקים השונים בדיאגרמה.

מקורות
 http://www.bourbaphy.fr/jeanneret.pdf The Quantum Hall Effect as an Electrical resistance standard ,B. Jeckelmann and B. Jeanneret, Semiare Poincare

ראו גם 
 אפקט הול
גרפן

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

פיזיקה של חומר מעובה