פליקס קליין

פליקס כריסטיאן קליין (25 באפריל 1849, דיסלדורף - 22 ביוני 1925, גטינגן) היה מתמטיקאי גרמני, שעסק בעיקר בתורת החבורות, בפונקציות מרוכבות, בגאומטריה לא אוקלידית ובקשרים בין הגאומטריה לתורת החבורות. תוכנית ארלנגן, אותה הגה ב-1872, ששמה למטרה לסווג גאומטריות בעזרת חבורות הסימטריות שלהן, השפיעה רבות על המתמטיקה המודרנית. קליין הצליח להחזיר את אוניברסיטת גטינגן, שבה פעל, למעמדה כמרכז מתמטי בעל מוניטין עולמי.

תולדות חייו
קליין נולד בדיסלדורף ב-25.4.1849 (הוא אהב לומר שכל אחד ממרכיבי תאריך הולדתו הוא ריבוע של מספר ראשוני) כבן להורים גרמנים לותרנים. אביו, קספר קליין, היה פקיד הממשל הפרוסי במחוז הריין. אמו הייתה סופי אליזה קליין לבית קייזר, בת לסוחרי אריגים מן העיר אאכן. קליין למד בגימנסיה בדיסלדורף, ולאחר מכן למד מתמטיקה ופיזיקה באוניברסיטת בון. בשנת 1868 סיים קליין את עבודת הדוקטור שלו, בהנחיית יוליוס פליקר. פליקר נפטר באותה שנה, קודם שהשלים את ספרו Neue Geometrie des Raumes, וקליין המשיך בכתיבת הספר. בפעולתו זו התוודע למתמטיקאי אלפרד קלבש, שעבר לאוניברסיטת גטינגן, ובשנת 1871 מונה קליין למרצה באוניברסיטת גטינגן.

בשנת 1872, והוא בן 23 בלבד, מונה קליין לפרופסור באוניברסיטת ארלנגן, בתמיכתו הנלהבת של קלבש, שצפה שקליין יהפוך למתמטיקאי הבולט של דורו. בשנת 1875 עבר לפוליטכניקום של מינכן, שעלה בחשיבותו על זו של אוניברסיטת ארלנגן. בשנה זו נישא לאן הגל, נכדתו של הפילוסוף גאורג וילהלם פרידריך הגל. בשנת 1880 עבר קליין לאוניברסיטת לייפציג, שבה קיבל מינוי לקתדרה חדשה לגאומטריה. בשנת 1882 הורע מצב בריאותו, ובשנים 1883–1884 סבל מדיכאון. בעקבות מחלתו חדל לעסוק במחקר מתמטי, והתמקד בניהול אקדמי, בהנחיית חוקרים צעירים ובכתיבת ספרים.

בשנת 1886 עבר לאוניברסיטת גטינגן, ופעל בה עד לפרישתו לגמלאות בשנת 1913. בגטינגן לימד בקורסים שונים על גבול המתמטיקה והפיזיקה, כגון מכניקה. הוא חתר, בהצלחה, לבסס מחדש את אוניברסיטת גטינגן (שבה פעלו לפניו גאוס, דיריכלה ורימן) כמרכז עולמי למחקר מתמטי. בכך זכה לתמיכתו של פרידריך אלטהוף, הממונה רב העוצמה על המערכת האקדמית בפרוסיה. מרכז המחקר שיסד בגטינגן שימש מודל למרכזים כאלה בעולם כולו. הוא ארגן מפגשי דיון שבועיים, והקים ספרייה מתמטית.

בשנת 1876 הפך לעורך הראשי של כתב העת המתמטי Mathematische Annalen, וזה נעשה בהנהגתו לאחד הטובים בעולם. כתב העת נוסד על ידי קלבש, אולם רק בהנהגתו של קליין הגיע למעמד גבוה מזה של Crelle's Journal שיצא לאור באוניברסיטת ברלין. קליין ארגן קבוצת עורכים קטנה שנפגשה באופן סדיר, וקיבלה החלטות באופן דמוקרטי. כתב העת התמקד באנליזה מרוכבת, בגאומטריה אלגברית ובתורת האינווריאנטים. כן עסק כתב העת באנליזה ממשית ובתורת החבורות.

בשנת 1888 פרסם קליין ב-Mathematische Annalen מאמר מאת דויד הילברט הצעיר, מאוניברסיטת קניגסברג, שבו פתר הילברט את הבעיה המרכזית של תורת האינווריאנטים, בהראותו שלכל מערכת אינווריאנטים יש בסיס סופי. לפרסום המאמר התנגד פאול גורדן, מראשי העוסקים בתחום, שטען על הוכחתו של הילברט "זו אינה מתמטיקה. זו תאולוגיה"
. בהמשך לכך הביא קליין את הילברט לגטינגן בשנת 1895, לכהן כראש המחלקה למתמטיקה. הילברט שימר את תהילתה של גטינגן עד לפרישתו בשנת 1932, והפך למתמטיקאי החשוב בדורו. על שיתוף הפעולה בין קליין להילברט כתב ההיסטוריון של המדע ליאו קורי:
"ביסוד השותפות בין קליין להילברט עמדה ראייה של המתמטיקה (ושל המדעים המדויקים בכלל) כתחום ידע בעל פנים רבות, אך כמערכת מאוחדת במהותה. השניים הדגישו היבטים אחרים של האחדות הזו ופעלו בדרכים שונות למימושה ולקידומה, אך היו שותפים להבנת האחדות ככוח מניע ראשון במעלה, הן במחקר והן בהוראה".

במכתב של קליין אל אדולף הורוויץ מ-1892 הוא כותב סיבות שונות מדוע אין זה כדאי שימליץ על הורוויץ, ואחרון הסיבות "אף על פי שמחליא אותי להזכיר זאת" הוא היותו של הורוויץ יהודי, ועל כן לא יוכל להתקבל כי הוא יעבור את המכסה. במכתב אליו מאותה התקופה, של תלמידו חברו היהודי פאול גורדן נכתב: "המלצתך על הורוויץ היא המלצה ראויה, אבל למזלך לא התקבלה... תיאר לך מה היה קורה אם התקבל... הוא היה 'היהודי' שלך, שכל תקלה אמיתית או מדומה נופלת עליך"

בעקבות מאמציו של קליין נפרצה "המכסה היהודית" - המגבלה הלא רשמית על מספר היהודים המורשים ללמד באוניברסיטאות גרמניות בתפקיד מסוים. אל המכון שהקים בגטינגן, לאחר שהצליח לקבל את סגנו היהודי אדולף הורביץ, הוא צירף יהודים רבים, מאסכולות מתנגדות. בין השאר הודות למאמציו של קליין, החלה אוניברסיטת גטינגן לקבל נשים ללימודים ולסגל, ובראשן מלחמתו לקבלת אמי נתר היהודייה, שהתקבלה דרך פשרה כסייעת, ולבסוף כפרופסור מן המניין. הוא שימש מנחה של הדוקטורנטית הראשונה במתמטיקה בגטינגן, גרייס צ'יסהולם יאנג, שהייתה תלמידתו של המתמטיקאי האנגלי ארתור קיילי.

בערך בשנת 1900 החל להתעניין בהוראת המתמטיקה בבתי ספר תיכוניים. בשנת 1905 מילא תפקיד מרכזי בתוכנית לפיה יסודות החשבון האינפיניטסימלי ומושג הפונקציה ייכללו בתוכנית הלימודים בבית הספר התיכון. המלצה זו יושמה במדינות רבות. בשנת 1908 נבחר ליו"ר הוועדה הבינלאומית להוראת המתמטיקה בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים שנערך ברומא. בהנחייתו, השלוחה הגרמנית של הוועדה פרסמה ספרים רבים על הוראת המתמטיקה בכל הרמות.

בשנת 1893 העניקה לו החברה המתמטית של לונדון את מדליית דה מורגן. בשנת 1895 נבחר לחבר החברה המלכותית, ובשנת 1912 הוענקה לו מדליית קופלי.

בשנת 1913 פרש מחמת בריאות לקויה, אך המשיך להורות מתמטיקה בביתו במשך שנים אחדות.

באוקטובר 1914 נמנה עם החותמים על מנשר ה-93 - מנשר לאומני שעליו חתמו 93 מדענים והביע תמיכה בפעולותיה המלחמתיות של גרמניה בתחילת מלחמת העולם הראשונה. חתימתו על המנשר הביאה את הצרפתים למחוק את שמו מרשימת חברי האקדמיה הצרפתית. במכתב לגרייס צ'יסהולם יאנג הסביר שלראשונה ראה את המנשר רק לאחר שהתפרסם בעיתון, וכי למעשה נתן הסכמתו למנשר מתון יותר, שקרא לגישה אובייקטיבית במהלך המלחמה. עם זאת, קליין סירב להסתייג פומבית מתוכן המנשר.

קליין נפטר בגטינגן בשנת 1925. שמונה שנים לאחר מכן חוסל למעשה המכון למתמטיקה בגטינגן, בעקבות עליית הנאצים לשלטון, שהביאה לפיטוריהם של המתמטיקאים היהודים.

הטענות בעניין יהדותו 
ערך על קליין הופיע בשנת 1901 באנציקלופדיה היהודית. בשנת 1933 פרסם ד"ר הוגו דינגלר מכתב בן 20 עמודים בו טען שקליין, "שיהדותו לפחות מצד חלק ממשפחתו אינה מוטלת בספק", עמד בראש מזימה להחדרת היהודים לתחומי הפיזיקה והמתמטיקה, מאז נפתחו משרות ההוראה ליהודים ב-1869. מספר חודשים לאחר מכן, לודוויג גאורג ביברבך הציג את קליין כתומך של הרעיון של גישות מתמטיות שונות לגזעים שונים, על סמך ציטוט מדברים של קליין מ-1889 אשר בה טען קליין שישנם סגנונות חשיבה והתבוננות מתמטית שונים, ושאלו כנראה תלויים גם בלאום. ב-1936 פורסם בעיתון גזעני בגרמניה מאמר שטען שקליין היה "ארי טהור גזע", ושהשמועה על כך שהיה יהודי, בטעות של האנציקלופדיה היהודית יסודה. עיתון זה טען שהיהודים ניסו לנכס את שמו של קליין במסגרת "הניסיון שלהם להטביע את שם עמם על אנשים מפורסמים, על מנת להאדיר את אומתם".

יצירתו המתמטית

תגליותיו החשובות הראשונות נעשו בשנת 1870. בשיתוף עם המתמטיקאי הנורווגי סופוס לי, גילה קליין את התכונות היסודיות של קווים אסימפטוטיים במרחב קומר. הם המשיכו בחקירה של עקומים אינווריאנטיים תחת טרנספורמציה פרויקטיבית. לי הציג בפני קליין את מושג החבורה, שמילא תפקיד מרכזי בהמשך מחקריו של קליין. קליין למד על חבורות גם מקאמי ז'ורדן.

קליין יצר את בקבוק קליין, הקרוי על שמו, שהוא משטח קומפקטי, שיש לו צד אחד בלבד. אף על פי שהמשטח הוא דו-ממדי בסביבה הקרובה של כל נקודה, הוא אינו ניתן לשיכון במרחב האוקלידי התלת-ממדי, אלא רק במרחב בעל ארבעה ממדים או יותר.

בשנות ה-90 של המאה ה-19 עבר קליין לעסוק בפיזיקה מתמטית. יחד עם ארנולד זומרפלד חקר את הגירוסקופ. הוא ערך, יחד עם ק. מילר, את ארבעת הכרכים על מכניקה באנציקלופדיה למדעי המתמטיקה, שאותה יסד בשנת 1895.

בשנת 1871 הגיע קליין לפריצות דרך חשובות בגאומטריה. הוא פרסם שני מאמרים על גאומטריה לא אוקלידית, שבהם הראה שאפשר לראות כל גאומטריה דו-ממדית כהדבקה של חתך חרוט מתאים למישור פרויקטיבי. מסקנה מכך היא שהגאומטריה הלא-אוקלידית עקבית אם ורק אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, כלומר לשתיהן מעמד שווה מבחינה לוגית. בכך הביא קליין לידי סיום את המחלוקת סביב הגאומטריה הלא-אוקלידית, אם כי קיילי סירב לקבל את טיעונו של קליין, משום שהאמין שזהו טיעון מעגלי. קליין העניק לשתי הגאומטריות הלא-אוקלידיות המרכזיות את השמות שבהם הן ידועות: גאומטריה אליפטית וגאומטריה היפרבולית.

התייחסותו של קליין לגאומטריה כאל חקר של תכונות של מרחב שהן אינווריאנטיות תחת פעולת חבורה נתונה, הידועה כתוכנית ארלנגן, השפיעה עמוקות על התפתחות המתמטיקה. את התוכנית הציג קליין בהרצאה שנתן לכבוד מינויו לפרופסור באוניברסיטת ארלנגן. התוכנית הציעה גישה מאוחדת לגאומטריה, והפכה לגישה המקובלת עד היום. קליין הראה שהתכונות הבסיסיות של גאומטריה נתונה ניתנות לייצוג על ידי פעולת חבורה המשמרת תכונות אלה. היסטוריון המתמטיקה קרל בויר כתב על התוכנית: "תוכנית ארלנגן של קליין הייתה באופן כה מובהק תוצר של המאה ה-19, שלא ניתן בשום אופן לשייכה למועד מוקדם יותר כלשהו. תחילה היא זכתה לתפוצה מצומצמת, אך עד לסוף המאה זכתה להשפעה נרחבת בכל רחבי העולם המתמטי."

קליין ראה את עבודתו באנליזה מרוכבת כתרומתו העיקרית למתמטיקה, ובפרט:
 הזיקה בין רעיונות אחדים של ברנהרד רימן ובין תורת האינווריאנטים.
 תורת המספרים ואלגברה מופשטת.
 תורת החבורות.
 גאומטריה בת יותר משלושה ממדים ומשוואות דיפרנציאליות, בפרט משוואות שיצר - פונקציות אליפטיות מודולריות ופונקציות אוטומורפיות.

בספרו משנת 1884 על האיקוסהדרון פיתח קליין את התורה של הפונקציות האוטומורפיות, וקשר בין האלגברה לגאומטריה. גם אנרי פואנקרה עסק בנושא זה, ובין השניים התפתחה יריבות ידידותית. את עבודתו בעניין פונקציות אוטומורפיות ופונקציות אליפטיות מודולריות סיכם קליין בספר בן ארבעה כרכים, אותו כתב יחד עם רוברט פריקה במשך 20 שנה.

על שמו של קליין קרויים עצמים מתמטיים אחדים:
 בקבוק קליין: משטח קומפקטי, שיש לו צד אחד בלבד.
 גאומטריית קליין: גאומטריה שפיתח קליין במסגרת תוכנית ארלנגן.
 חבורת קליין: החבורה מסדר 4 שאינה ציקלית
 חבורה קלייניאנית: סריג בחבורת המטריצות .
 מודל בלטרמי-קליין: מודל של גאומטריה היפרבולית n-ממדית
 משטח קליין (Klein quartic): משטח רימן קומפקטי מגנוס 3, עם הסדר הגבוה ביותר האפשרי של חבורת אוטומורפיזמים לגנוס זה, 168; זהו משטח הורוויץ הראשון.
 Klein quadric.

קישורים חיצוניים

 ליאו קורי, "מתמטיקאים יהודים בגטינגן: 1895-1933", זמנים, אביב 1999
 Felix Klein Protocols
 Gert Schubring - Felix Klein, on the  site of ICMI 2013

הערות שוליים

מתמטיקאים גרמנים

זוכי מדליית קופלי
סגל אוניברסיטת גטינגן
סגל אוניברסיטת לייפציג
זוכי מדליית דה מורגן
בוגרי אוניברסיטת בון
גרמנים שנולדו ב-1849
גרמנים שנפטרו ב-1925
חברי האקדמיה למדעים ולאמנויות של גטינגן