חבורת הקווטרניונים

חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.

ניתן להציג את החבורה כך: . זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. את לוח הכפל של החבורה אפשר לקרוא מן הטבלה הבאה (כאשר שינוי הסימן של אחד הגורמים משנה גם את הסימן של המכפלה):

חבורת הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון . האחרונה היא אוסף הצירופים הליניאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: .

הצגה ליניארית
חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה ליניארית כתת חבורה של , החבורה הליניארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הליניארית הכללית  שהדטרמיננטה שלהם היא 1:

הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של , חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם ):

הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של  (שהסדר שלה הוא 24).

תכונות

המרכז של החבורה הוא . חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.

חבורה המילטונית היא חבורה לא אבלית, שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית היא מכפלה של חבורת הקווטרניונים בחבורה אבלית שהיא מכפלת חבורת-2 אלמנטרית בחבורה מפותלת שכל אבריה מסדר אי-זוגי. (חבורה שהיא או אבלית או המילטונית נקראת לפעמים "חבורת דדקינד").

ראו גם
חבורת קווטרניונים מוכללת

קישורים חיצוניים

 

מבנים אלגבריים יחידאים
תורת החבורות