השערת ברטראן

השערת ברטראן היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע . 

ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919 הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו
,
הנעזרת בפונקציית צ'בישב ובמקדמים בינומיים.

נימוק היוריסטי 

ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל , אם n גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע . הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x הוא בקירוב . (הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה  מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.

המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל: . 

כאשר n שואף לאינסוף, ההפרש -- שהוא מספר הראשוניים בקטע -- שואף לאינסוף.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים
  

ברטראן
מספרים ראשוניים
סריניוואסה רמנוג'אן