ריבוע הקסם של פרוידנטל

ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:

השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט , ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים ( עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).

בניית טיץ 

כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, , שדה המספרים המרוכבים , אלגברת הקווטרניונים של המילטון  ואלגברת האוקטוניונים . תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית , שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה  מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.

נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב-  וב- את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי , כאשר  היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל  ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר:  כאשר . פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: , כאשר . 

אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.

מקורות 

 Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.

ראו גם 

 אלגברת ז'ורדן 
 אלגברת אלברט
 אלגברת לי ספורדית

אלגברה לא אסוציאטיבית