מספר סטירלינג

מספרי סטירלינג הם מספרים דמויי המקדמים הבינומיים, המופיעים במגוון בעיות קומבינטוריות. המספרים נקראים על-שם ג'יימס סטירלינג, שחקר אותם במאה ה-18. 

יש שתי משפחות של מספרי סטירלינג. מספרי סטירלינג מהסוג הראשון הם המספרים  המתקבלים מן הזהות , כאשר . בדומה לזה, מספרי סטירלינג מהסוג השני הם המספרים  המתקבלים מן הזהות . מהשוואת המונום העליון נובע ש-. 

למספרים אלה יש משמעות קומבינטורית.  הוא מספר התמורות על n איברים שיש להן k מחזורים. למשל, 
 כי יש 8 תמורות שמבנה המחזורים שלהן הוא 3+1, ועוד 3 שהמבנה שלהן הוא 2+2. בדומה לזה,  הוא מספר הדרכים לפרק קבוצה בת n עצמים ל-k תת-קבוצות לא ריקות. למשל,  משום שיש שבע דרכים לפרק קבוצה בת 4 איברים לשני חלקים: ארבע שבהן יש בקבוצה אחת איבר יחיד ובשנייה שלושה, ועוד שלוש שבהן יש בכל חלק שני איברים. מספרי סטירלינג מהסוג השני מקיימים את נוסחת הרקורסיה .

סדרת המונומים  מהווה בסיס סטנדרטי לחוג הפולינומים במשתנה אחד. גם הסדרה  מהווים בסיס למרחב הזה, והמטריצות (s) ו-(S) הן מטריצות מעבר מהבסיס הראשון לשני ובחזרה, בהתאמה. לכן הן הפוכות זו לזו: , ומכאן הזהויות  ו-  לכל .

קומבינטוריקה