בעיית קורוש

בעיית קורוש היא בעיה בתורת החוגים, העוסקת באלגברות אלגבריות נוצרות סופית. את הבעיה העלה אלכסנדר קורוש  באנלוגיה לבעיית ברנסייד מתורת החבורות, והיא שואלת האם אלגברה אלגברית נוצרת סופית היא בהכרח מממד סופי. לשאלה זו, כלשונה, יש פתרון שלילי, אך התשובה לחלק מן הווריאציות עדיין אינה ידועה.

אלגברה קומוטטיבית הנוצרת על ידי מספר סופי של איברים אלגבריים, היא בעלת ממד סופי. תכונה זו אינה נכונה באלגברות לא קומוטטיביות (האלגברה הנוצרת על ידי איברים  המקיימים  היא בעלת ממד אינסופי), ולוז הבעיה, אם כך, הוא באופן שבו האלגבריות של כל האיברים אמורה לצמצם את המימד. 

אם אלגברת החבורה של חבורה  היא אלגברית, אז החבורה מפותלת (ההפך אינו נכון). במובן זה, בעיית קורוש על אלגברות חבורה חלשה מבעיית ברנסייד, העוסקת בחבורה נוצרת סופית שכל אבריה בעלי סדר סופי. מצד שני, החבורה הנלווית של אלגברה נילית מעל שדה ממאפיין חיובי היא מפותלת.

יבגני גולוד  בנה, בעזרת למת גולוד-שפרביץ', אלגברה נילית נוצרת סופית בעלת ממד אינסופי (1964). זוהי דוגמה נגדית לבעיית קורוש, משום שכל איבר נילי הוא אלגברי. בנייה זו פתרה את בעיית ברנסייד הכללית, משום שכאשר מממשים אותה מעל שדה סופי, מתקבלת אלגברה שחבורתה הנלווית מפותלת אך לא סופית-מקומית. 

דוגמה חזקה יותר לבעיית קורוש, בעלת ממד גלפנד-קירילוב סופי, נבנתה על ידי לנגן וסמוקטונוביץ'. 

מאידך, בעיית קורוש עדיין פתוחה עבור חוגים עם חילוק (וכל חוג אלגברי ללא מחלקי אפס הוא כזה). אפילו ללא הנחת האלגבריות, לא ידועה אלגברת חילוק נוצרת סופית (כאלגברה) מממד אינסופי; בעיה זו הוצעה על ידי לטישב ואיקדה.

קפלנסקי הראה שלבעיית קורוש פתרון חיובי עבור אלגברה עם זהויות.
פתרונו הקומבינטורי של Shirshov לאותה בעיה מכסה גם אלגברות אלטרנטיביות ואלגברות ז'ורדן המקיימות זהויות. פתרונו של זלמנוב לבעיית ברנסייד המצומצמת עובר דרך הוכחה כי אלגברת לי נילית המקיימת זהות פולינומית היא נילפוטנטית מקומית.

הערות שוליים

תורת החוגים
בעיות פתוחות באלגברה