הבעיה השלוש-עשרה של הילברט

הבעיה השלוש-עשרה של הילברט, ה-13 בסדרת 23 הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים של שנת 1900, עוסקת באפשרות להציג פונקציות של שלושה משתנים כהרכבה של פונקציות של שני משתנים.

תורת גלואה קובעת שפעולות השדה והוצאת שורש מספיקות כדי למצוא שורש של פולינום רק עד מעלה 4. עוד ב-1683 הראה Tschirnhaus שאפשר להביא משוואה ממעלה חמישית לצורה , שאותה אפשר לפתור באמצעות פונקציות היפרגאומטריות של שני המשתנים a ו-b.

הילברט צפה שאי-אפשר יהיה להציג את הפתרון למשוואה ממעלה שביעית  (מעל המרוכבים), שהוא - בהגדרה - פונקציה אלגברית של הפרמטרים a,b,c, באמצעות הרכבה של מספר סופי של פונקציות בשני משתנים. הילברט לא הגדיר את אופיין המדויק של הפונקציות האלה, וכך יש לבעיה ה-13 מספר וריאציות הנובעות באופן טבעי מן השאלה המקורית.

אחת המרכזיות שבהן - האם אפשר להציג כל פונקציה רציפה בשלושה משתנים, כהרכבה של פונקציות רציפות בשני משתנים? לנוסח הזה נתן ולדימיר ארנולד (אז סטודנט בן 19 של אנדריי קולמוגורוב) תשובה חיובית ב-1957, שנה לאחר שקולמוגורוב הראה שכל פונקציה רציפה בכמה משתנים אפשר להרכיב מפונקציות של שלושה משתנים. (למעשה הראה ארנולד שכל פונקציה רציפה ב-n משתנים, בקוביה , אפשר להציג כסכום של פונקציות רציפות של סכומים של פונקציות רציפות במשתנים הבודדים; ב-2009 הראו Feng ו-Gartside שהמשפט תקף גם לפונקציות המוגדרות על כל המרחב האוקלידי).

זמן מה קודם לכן, ב-1954, הראה Vitushkin שיש פונקציות ב-n משתנים עם נגזרת ראשונה רציפה, שלא ניתן להציג כהרכבה של פונקציות בפחות משתנים עם נגזרת ראשונה רציפה.

הגרסה האלגברית של הבעיה עדיין פתוחה - האם אפשר להציג כל פונקציה אלגברית בשלושה משתנים, כהרכבה של פונקציות אלגבריות בשני משתנים?

מקורות 
 Feng and Gartside, On Hilbert's 13th problem

משוואות פולינומיות
13
השערות מתמטיות שהופרכו