אי-יציבות פלטו-ריילי

אי־יציבות פלטו-ריילי מסבירה מדוע ואיך זרם נופל נשבר לחבילות קטנות בעלות אותו הנפח אבל שטח פנים קטן יותר.
משתמשים באי יציבות זו כאשר מתכננים מדפסות הזרקת דיו בהם פרץ דיו הופך לטיפות.

התופעה נגרמת מכך שנוזלים, בהשפעת מתח הפנים, שואפים להקטין את שטח הפנים שלהם.

היסטוריה
התופעה קרויה על שם ז'וזף פלטו ולורד ריילי. בשנת 1873 מצא פלטו בניסוייו שזרם מים הנופל אנכית יישבר לטיפות אם אורך הגל שלו גדול ממכפלת קוטרו פי 3.13–3.18. לאחר מכן ריילי הראה תאורטית כי זרם של נוזל לא צמיג הנופל אנכית יישבר כאשר אורך הגל שלו יעבור את קוטרו.

תאוריה

חוסר היציבות קשור בהפרעות קטנות בנוזל. הם תמיד קיימות, לא משנה עד כמה הנוזל חלק. אם להפרעות צורת סינוסיאדה, נמצא שחלק מההפרעות גדלות בזמן וחלקן דועך. מבין אלה שגדלים בזמן, ישנם כאלה שגדלים מהר יותר, תלוי במספר הגל ובזרם.

בהנחה שכל ההפרעות מתחילות עם אותן אמפליטודות, ניתן לחזות את גודל הטיפה הסופי מתוך מספר הגל של הרכיב שגדל בקצב הגבוה ביותר.
כעבור זמן, הרכיב הזה הוא זה שיצבוט את הזרם לטיפה.

אף שהבנה מלאה של התהליך דורשת פיתוח מתמטי, ניתן להבין אותו באופן איכותי מתוך התרשים.
נביט בשתי טבעות שמקיפות את הזרם: אחת ברוחב המרבי ("הזרם הרחב") ואחת ברוחב המזערי ("הזרם הצר"). בזרם הצר, רדיוס הזרם קטן יותר, וממשוואת יאנג-לפלס נובע כי הלחץ הנגרם על ידי מתח הפנים גדל. בדומה, בזרם הרחב הלחץ הנגרם על ידי מתח הפנים קטן. לו זו הייתה ההשפעה היחידה היינו מצפים שהלחץ הגבוה בזרם הצר ידחף את הנוזל לפסגה, אזור עם לחץ נמוך, בדרך זו מבינים מדוע אמפליטודת הגל עולה בזמן.

אבל משוואת יאנג לפלס במקרה זה מושפעת משני רכיבי רדיוס. במקרה זה, אחד הוא רדיוס הזרם והשני הוא רדיוס הקמר של הגל עצמו.
נבחין בתרשים שרדיוס הקמר בזרם הצר הוא למעשה שלילי, כלומר על פי משוואת יאנג לפלס הוא מקטין את הלחץ בעמק.
באותו אופן רדיוס הקמר בזרם הרחב הוא חיובי ומגדיל את הלחץ באזור. כלומר השפעת רכיבי הרדיוס הפוך מהשפעת רדיוס הזרם עצמו.

שני האפקטים, ככלל, אינם מבטלים זה את לחלוטין. לאחד מהם יש השפעה גדולה יותר, תלוי במספר הגל וברדיוס ההתחלתי של הזרם.
כאשר מספר הגל הוא כזה שהשפעת רדיוס הקמר של הגל גדולה מהשפעת רדיוס הזרם, הגל ידעך כעבור זמן. כאשר מספר הגל הוא כזה שהשפעת רדיוס הזרם גדולה מהשפעת רדיוס הקמר של הגל, הגל יגדל אקספוננציאלית בזמן.
ניתן להראות מתמטית שהרכיבים שיגדלו בזמן הם רק אלה המקיימים שמכפלת מספר הגל ברדיוס ההתחלתי קטנה מאחת.

קישורים חיצוניים

הידרודינמיקה