הרחבת פיקאר-וסיו

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה דיפרנציאלית, הרחבת פיקאר-וסיו (Picard–Vessiot) היא הרחבת שדות דיפרנציאלים המתקבלת על ידי הוספת פתרונות של משוואה דיפרנציאלית לשדה המקורי.

הגדרה

יהי  שדה דיפרנציאלי עם גזירה . אומרים כי שדה דיפרנציאלי  עם גזירה  הוא הרחבה דיפרנציאלית של  אם  והצמצום של  ל- שווה ל.

הרחבה דיפרנציאלית  נקראת הרחבת פיקאר-וסיו אם מתקיימים שני התנאים הבאים
 שדה הקבועים של  שווה לשדה הקבועים של .
 קיימת משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית  מסדר  עם מקדמים ב- כך  נוצר מעל  על ידי הפתרונות של , וכך שמרחב הפתרונות של  ב- הוא מרחב וקטורי מממד  מעל שדה הקבועים.
במקרה זה אומרים כי  היא הרחבת פיקאר-וסיו של  ביחס למשוואה .

הרחבות פיקאר-וסיו הן המקבילה של הרחבות גלואה בתורת גלואה הדיפרנציאלית.

קיום ויחידות

אם  שדה דיפרנציאלי ששדה הקבועים שלו הוא שדה סגור אלגברית, אז לכל משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית  קיימת הרחבת פיקאר-וסיו  ביחס ל-. אם שדה הקבועים אינו סגור אלגברית יש דוגמאות שבהן לא קיימת הרחבת פיקאר-וסיו. למרות זאת, לכל שדה דיפרנציאלי ומשוואה  כדלעיל קיימת הרחבה דיפרנציאלית  שבה נמצאים כל הפתרונות של  וששדה הקבועים שלה הוא הרחבה אלגברית של שדה הקבועים של .

אם קיימת ל- הרחבת פיקאר-וסיו ביחס למשוואה  אז היא יחידה עד כדי איזומורפיזם של שדות דיפרנציאלים (כלומר, איזומורפיזם של שדות המכבד את פעולת הגזירה).

לקריאה נוספת
 A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory,  American Math. Soc., 1994

אלגברה דיפרנציאלית
תורת השדות