הלמה של גרנוול

במתמטיקה, הלמה של גרנוול (על שמו של המתמטיקאי השוודי תומאס ה. גרנוול - Grönwall) היא אי-שוויון, המשמש בין היתר להוכחת היחידות במשפט הקיום והיחידות עבור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית רגילה.

ניסוח הלמה 
תהי  פונקציה רציפה ואי-שלילית, המקיימת עבור קבוע  ועבור  את האי-שוויון הבא:
אזי פונקציה זו היא בהכרח פונקציית האפס - .

הוכחה 
ברור שמתקיים  כי אם לא נקבל באגף ימין ביטוי שלילי, כעת על ידי העברת אגף ימין ניתן לראות כי:
 
 זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור:
 
  (לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי)
 
 על ידי כפל בגורם אינטגרציה  תתקבל המד"ר הבאה:
 
 
 על ידי ביצוע אינטגרציה  על שני צידי האי שוויון נקבל:

 

 פונקציית האקספוננט היא אי-שלילית ( לכל ) ולכן המסקנה היא:

 ולפי ההנחה מתקיים: 

 אבל ההנחה היא גם כי  ולכן בהכרח .

אי-שוויונות
גרינוול
הוכחות