שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה , כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר . בפרט, ממד ההרחבה הוא , כאשר  היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של  הוא הפולינום הציקלוטומי .

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם ; 
 (משום ש-);
; 
; ו-
. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז . למשל, .

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי  מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם  הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, .

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי . הדיסקרימיננטה של ההרחבה  היא , ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של  (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- , ובדומה לזה ). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו 
כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי . הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה  הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: .

קישורים חיצוניים

 

תורת המספרים האלגברית
תורת השדות
סדרות של מבנים אלגבריים