תכונת הופף

בתורת החבורות, חבורה בעלת תכונת הופף היא חבורה שאינה איזומורפית לאף חבורת מנה שלה. את התכונה הגדיר היינץ הופף ב-1932, כשהוכיח שהחבורה היסודית של כל משטח רימן סגור ובעל כיוון היא בעלת תכונה זו.

תכונת הופף שקולה לכך שכל אנדומורפיזם של החבורה שהוא על, הוא אוטומורפיזם. כל חבורה המקיימת את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות מקיימת את תכונת הופף. 

כל חבורה נוצרת סופית שהיא residually finite מקיימת את תכונת הופף (מלצב, 1940). בפרט, החבורות החופשיות הנוצרות סופית מקיימות את תכונת הופף. כל חבורה היפרבולית מקיימת את תכונת הופף. כל חבורה מוצגת סופית אפשר לשכן בחבורה מוצגת סופית בעלת תכונת הופף.

הדוגמה הקלה ביותר לחבורה שאינה מקיימת את תכונת הופף היא מכפלה ישרה של מספר בן-מניה של עותקים של חבורה כלשהי. את הדוגמה הראשונה לחבורה נוצרת סופית שאינה מקיימת את תכונת הופף מצא B.H. Neumann ב-1950; החבורה הוצגה על ידי אינסוף יחסים. את הדוגמה הראשונה שהיא מוצגת סופית מצא גרהם היגמן ב-1951. ב-1962 הראו Baumslag ו-Solitar שחבורת באומסלג-סוליטר  אינה מקיימת את תכונת הופף. באופן כללי יותר,  מקיימת את תנאי הופף אם ורק אם p=1 או של-p,q יש אותם גורמים ראשוניים.

תורת החבורות