שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה -אדי אחד לכל מספר ראשוני , ומקובל לסמן אותו באות . כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה--אדיים נקראת "שדה -אדי".

על שדה המספרים ה--אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא -אדי לאיזשהו .

את המספרים ה--אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות.

תכונות 

כל מספר -אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה  כאשר  שלם, ו-. החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד.

אלגברה 
המספרים מהצורה  נקראים "שלמים -אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים , שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של ; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר : . חוג השלמים ה--אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה .

טופולוגיה 

על שדה המספרים ה--אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית  (בהנחה ש-), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי  ומטריקה (), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה--אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית.

אריתמטיקה 

שורשי היחידה ב- הם אלו שסדרם מחלק את . כאשר  אי-זוגי, לשלם רציונלי  שאינו מתחלק ב- יש שורש -אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו  (כך למשל ); עבור  התנאי הוא שיהיה ל- שורש מודולו 8, ולדוגמה . הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה--אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות .

בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה--אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם  אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד.

הסגור האלגברי  אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- , ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי),  איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, .

חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של  היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית  היא פרו-פתירה.

ראו גם 

 חוג האדלים
 משפט גרונוולד-ואנג

תורת השדות
תורת המספרים האלגברית
סדרות של מבנים אלגבריים