אי-שוויון התמורות

אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.

האי-שוויון קובע כי: אם נתונות שתי N-יות סדורות בעלות n איברים, a ו-b, כך שאיברי a מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם ב- ) 
ו-b בסדר מסוים (ומסומנים גם הם ), אז הביטוי  מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי b מסודרים מהקטן לגדול.
ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.

הוכחה

טענת עזר: אם  ו-, אז . הוכחה: ביטוי שקול הוא 
 או
. כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.

הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על b ונחשב את הביטוי. נשים לב שאם קיימים שני מספרים i>j כך ש-, אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר). נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי b מסודרים לפי הסדר. כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי b מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו. כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי b מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.

ההוכחה שכאשר איברי b מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.

אי-שוויונות
הוכחות