סדרת לוקאס

במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה , כאשר  ו- קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדוארד לוקאס, דוגמה: 1,3,4,7,11,18,29......

הגדרה פורמלית
לאחר בחירת הקבועים P,Q, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה , ותנאי ההתחלה הקובעים את . בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה  (ונוסחת הנסיגה ) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה  (ונוסחת הנסיגה ) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני. 

למשל,  היא סדרת פיבונאצ'י,  הם מספרי לוקאס,  היא סדרת פל,  היא סדרת פל-לוקאס,  הם מספרי מרסן ו- היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות: . לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא . נסמן את הדיסקרימיננטה , לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

ולכן אם שני השורשים שונים אז
 ו-

ואם שני השורשים זהים,  ו-  כאשר  מתקיים ש-.

זהויות
סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

, .

קישורים חיצוניים
 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
סדרת פיבונאצ'י
לוקאס