מספר אור

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190.

לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:

ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא:

גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.

מספרי אור ומספרים מושלמים 

אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו , מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל- עצמו. מכאן נובע ש- הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את .

אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם  הוא בדיוק . לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא , כאשר ‎ הוא מספר המחלקים של . לכל ,  הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם  הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק  של , מחלק שונה ממנו - . אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה , כאשר . לכן, עבור מספר מושלם כלשהו ,  הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא . לכן,  הוא מספר אור-הרמוני.

אור שיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.

חסמים וחיפושים באמצעות מחשב 
W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107, ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.

Cohen, Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.

תכונות 
אם  הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז  או .
אם  הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז  הוא לא אור-הרמוני.
אם  הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז  הוא מספר מושלם זוגי.

ראו גם 
 שבר יסודי

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

תורת המספרים