מרחב CAT(0)

במתמטיקה, מרחב CAT(0) הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0). למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.

ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.

הגדרה 

משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.

כל מרחב , עם k שלילי, הוא ; וכל מרחב  הוא מרחב  לכל k חיובי.

מרחבי הדמר 
מרחב  שלם נקרא מרחב הדמר. התכונה הבולטת של מרחבי הדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם  הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה  קמורה כפונקציה של t. (ראו גם משפט קרטן-הדמר).

תכונות 

לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k. 

מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב  הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. 

מרחב  הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי  (עם המטריקה הרגילה).

חבורות CAT(0) 

חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב  הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת ". חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה פתירה של חבורת  היא דמוית-. 

מכפלה ישרה של חבורות  היא חבורת . מכפלה חופשית של שתי חבורות  עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-, היא . הרחבת HNN של חבורת  ביחס לחבורה סופית, היא .

חבורות קוקסטר הן .

ראו גם 

 מרחב (CAT(k

מרחבים מטריים