הזהות הגמישה

באלגברה לא אסוציאטיבית, הזהות  נקראת הזהות הגמישה. זהות זו משותפת למחלקות חשובות רבות של אלגברות לא אסוציאטיביות, לרבות אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות. כל אלגברה קומוטטיבית או אנטי-קומוטטיבית מקיימת את הזהות הגמישה.

קשרים  

מן הזהות הגמישה נובע שהאסוציאטור מקיים את המולטילינאריזציה , ובמאפיין שונה מ-2, שתי הזהויות שקולות.

הזהות הגמישה שקולה לכך שהקומוטטור , כאשר  ו-  הן פעולות הכפל משמאל ומימין ב-x.

פיזור פעולת הכפל 

אם A היא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל שדה F, עם פעולת כפל , אפשר להגדיר בה פעולת כפל חדשה, , לפי , כאשר  הם קבועים. איבר היחידה של  נשאר איבר יחידה גם ביחס לפעולה החדשה, אם . אם , אפשר לשחזר את  מן הפעולה , לפי הנוסחה 
 
כאשר
.

אם A גמישה ביחס לפעולה המקורית, אז היא גמישה גם ביחס לפעולה החדשה. 

במאפיין שונה מ-2, מסמנים ב-  את האלגברה הקומוטטיבית המתקבלת מההגדרה , היינו . בפרט, אם A גמישה, אז גם  גמישה (אם כי ההפך אינו בהכרח נכון).

מיון 

במאפיין אפס, אם A גמישה ופשוטה למחצה, אז  אלגברת ז'ורדן.

בכל מאפיין שונה מ-2, אם A גמישה ופשוטה, ו- אלגברת ז'ורדן פשוטה, אז מתקיים אחד משלושת התנאים הבאים: (1) A היא אלגברת ז'ורדן פשוטה; (2) A היא אלגברה ריבועית עם תבנית נורמה לא מנוונת, או (3) A היא "אסוציאטיבית למחצה": קיימת K/F ריבועית, כך ש- , כאשר B אלגברה פשוטה אסוציאטיבית מרכזית מעל K, והכפל ב-  מוגדר על ידי פיזור הכפל של B: 
.

אלגברה לא אסוציאטיבית