משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקאר-לינדלוף (Picard-Lindelöf), משפט הקיום של פיקאר או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: אמיל פיקאר, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידות

יהי  מלבן סגור המכיל את הנקודה . תהי  פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-, המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה  המוגדרת בקטע פתוח סביב  וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית  לכל  בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה .

סקירת ההוכחה
הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר

וגם

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של  (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על , כאשר  ו- הם שני פתרונות, יראה ש-, ולכן הפתרון הוא יחיד.

לקריאה נוספת
 M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצוניים
 נקודת שבת והאלגוריתם של פיקאר
 איטרציית פיקאר
 הוכחה למשפט פיקאר-לינדלוף

הקיום והיחידות
הקיום והיחידות