פולינומי צ'בישב

סדרת פולינומי צ'בישב כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים, , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח פפנוטי צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן  מקיים את אי-השוויון  , והפולינומים  הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. הפולינומים קרויים על-שמו של צ'בישב.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

הגדרה ותכונות יסוד 

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה , שבגללה  לכל . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: 
, 
 ו- . מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה--י היא . 

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

מן ההגדרה נובע ש- 
, 
וכן
.
באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה
ולקבל את הפונקציה היוצרת 
.

מתקיים גם השוויון .

פולינומי צ'ביצ'ב  מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת .

השלכות לבניות גאומטריות 

מכך שמעלת  היא  נובע כי  פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה , ובפרט הממד
. אם בוחרים  מתקבל , ולעיתים קרובות  הוא הפולינום המינימלי של .

ראו גם
מסנני  צ'בישב

קישורים חיצוניים

פולינומים
פונקציות אורתוגונליות