קבוצת קנטור

במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה של מספרים, שמקיימת את התנאי הבא: מתחילים מקטע ישר; מסירים מהקטע את השליש המרכזי שלו, ומקבלים שני קטעים קטנים יותר; על כל אחד מהם, מבצעים את אותה פעולה (הסרת השליש האמצעי); מבצעים את אותה פעולה על ארבעת הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד אינסוף. קבוצת קנטור היא קבוצת המספרים שלא יוסרו באף אחד משלבי הבניה.

קבוצה זו התגלתה בשנת 1874 בידי המתמטיקאי הנרי ג'ון סמית ותוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883. חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומדגימות את מורכבותו של האינסוף. תופעות כגון אלה עודדו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות.

קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות איברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו (ובפרט, יש בשתיהן כל-כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם בסדרה, כלומר לא ניתן לצמצמה למספרים טבעיים).

מבחינה טופולוגית, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא המרחב המטרי הקומפקטי המושלם היחיד (עד כדי הומיאומורפיזם) שהוא לא קשיר לחלוטין. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה רציפה שלה.

בניית קבוצת קנטור

בנייה איטרטיבית

באופן פורמלי, בנייה של קבוצת קנטור נעשית בצורה איטרטיבית:
 מתחילים עם הקטע הסגור ;
 בשלב הראשון, מסירים מהקטע  את השליש האמצעי שלו, שהוא הקטע הפתוח . נותרים שני קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא ;
 בשלב השני, מסירים מכל אחד משני הקטעים שנותרו (כלומר מהקטעים  ו-) את השליש האמצעי שלו (כלומר את הקטעים  ו-). נותרים 4 קטעים סגורים שאורך כל אחד מהם הוא ;
 באופן כללי, בשלב n (כאשר  מספר טבעי), מסירים מכל קטע סגור שנוצר בשלב הקודם את השליש האמצעי שלו. לאחר ההסרה, נותרים  קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא .

תהי  הקבוצה שהתקבלה בשלב . קבוצת קנטור היא החיתוך של כל הקבוצות הללו:במילים אחרות, קבוצת קנטור היא אוסף כל המספרים בקטע  שלא הוסרו באף שלב של התהליך המתואר לעיל.

בנייה לפי בסיס 3 

אפשר לקבל את קבוצת קנטור אם אוספים את כל המספרים בקטע  שאפשר לכתוב אותם בבסיס 3 בלי להשתמש בספרה .

בשביל להיווכח שכך מתקבלת קבוצת קנטור, נשים לב שבבסיס 3 המספר  נכתב כ- ואילו  כ-. כלומר בשלב הראשון באלגוריתם האיטרטיבי המוזכר למעלה אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה , מלבד אלה שבהם כל הספרות שאחרי ה- הן  (כלומר ) או כל הספרות שאחרי ה- הן  (כלומר ), ונשארים רק עם מספרים מהצורה  או .

יש לשים לב שגם את  אפשר לכתוב כ-  ואת  אפשר לכתוב כ , וכך לא להשתמש בספרה , ולכן שני מספרים אלה שייכים לקבוצת קנטור.

בשלב הבא מחלקים את הקטעים  ו- לשלישים; בקטע הראשון אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה  (חוץ מאלה בהם כל הספרות שאחרי ה- זהות, כלומר שתי הקצוות) ונשארים עם מספרים מהצורה  או , ומהקטע השני את כל המספרים מהצורה , ונשארים עם מספרים מהצורה  או .

אם כן, האיטרציה מספר  באלגוריתם האיטרטיבי, מטפלת במספרים בהם הספרה  הראשונה מופיעה במקום ה- אחרי הנקודה (לפי בסיס ).

בנייה רקורסיבית 

אפשר לתת גם הגדרה רקורסיבית: "קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת משיבוץ עותק מוקטן של קבוצת קנטור בשליש הראשון והשליש האחרון של הקטע ". זוהי אמנם הגדרה מעגלית, אבל קל 'לתקן' אותה להגדרה מדויקת: קבוצת קנטור היא תת-הקבוצה הגדולה ביותר (ביחס להכלה) של הקטע , השווה לאיחוד של עותק מוקטן שלה בשליש הראשון, עם עותק מוקטן שלה בשליש האחרון.

על מנת לקבל את קבוצת קנטור האמיתית, צריך להשתמש ברקורסיה אינסופית כאמור למעלה. אבל לכל שימוש גרפי מעשי, צריך לקבוע תנאי קצה בו אחרי קבוצת קנטור בעומק מסוים של הרקורסיה, תצויר כקו עליה היא נבנית (או כשני המספרים בקצהו).

תכונות 

קבוצת קנטור היא בעלת עוצמת הרצף, אבל אינה מכילה אף קטע פתוח, ומידת לבג שלה היא אפס. כחיתוך (בן מניה) של איחודים סופיים של קטעים סגורים, היא מהווה קבוצה סגורה. ומאחר והיא חסומה, היא גם קומפקטית. בנוסף, הפונקציה האופיינית של קבוצת קנטור אינטגרבילית רימן והאינטגרל רימן שלה שווה לאפס.

מבוא אינטואיטיבי 

אם נסכם את אורכי הקטעים שהסרנו בזמן הבנייה, נקבלכלומר - הסרנו קטעים באורך כולל של . מכאן שה"אורך" של הקבוצה הנותרת הוא אפס. למרות זאת, לא רק שנותרים מספרים - "כמות" המספרים שנשארו שווה לכמות המספרים בקטע שממנו התחלנו. (באופן פורמלי, קבוצת קנטור היא "שוות עוצמה" בקטע ).
קבוצת קנטור היא הדוגמה הנפוצה ביותר לקבוצה שאינה בת מנייה שמידת לבג שלה היא מידה אפס. זהו מצב מפתיע.

עוצמתה של קבוצת קנטור 

עיון בתהליך הבנייה של הקבוצה מראה מיד שהמספרים בקצה של כל קטע שנוצר בתהליך הבנייה, כגון  ו- בצעד הראשון, אינם מוסרים (ולכן הם נכללים בקבוצת קנטור). כיוון שבתהליך יש מספר בן מנייה של צעדים, הרי נובע שעוצמתה של קבוצת קנטור אינה קטנה מעוצמת הטבעיים (, קרי: אָלֶף אֶפֶס). אף שעלול להיווצר הרושם כי רק המספרים הללו שבקצה נכללים בקבוצת קנטור, לא זה המצב - גם המספר , למשל, שאינו בקצה, נכלל בה: המספר  נמצא בקטע השמאלי בצעד הראשון, בקטע הימני בצעד השני, בקטע השמאלי בצעד השלישי וכך הלאה, עד אינסוף, הוא לעולם אינו נמצא בשליש האמצעי, שאותו מסירים בתהליך. באופן דומה, גם המספר . הוא מחלק כל קטע ביחס של , ולעולם לא יפול בשליש אמצעי של אף קטע. אפשר להוכיח באינדוקציה על האיטרציות, עבור 2 המספרים הנ"ל.

נוכיח שבקבוצת קנטור נשארו  איברים (עוצמת הרצף). עוצמה זו זהה לעוצמת המספרים בקטע והיא גדולה מעוצמת הטבעיים (לפי האלכסון של קנטור).

הוכחה אריתמטית: נעשה זאת על ידי כך שנראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לבין קבוצת כל המספרים שבפיתוח הטרינרי (בסיס 3) שלהם לא מופיעה הספרה . כידוע, פיתוח בבסיס עשרוני לכל  הוא הטור
  כאשר ,
(פיתוח זה איננו יחיד שכן  ואחריו סדרה אינסופית של אפסים, שקול ל- ואחריו סדרה אינסופית של תשיעיות)

באותו אופן אפשר לרשום פיתוח בבסיס :
  כאשר .

נסתכל על קבוצת כל  כך ש  לא מופיע בפיתוח הטרינארי שלהם, כלומר, כל המספרים בקטע  שמקיימים
  כאשר .
לכל נקודה בקבוצת קנטור אפשר להתאים ייצוג טרינארי של מספר בקטע .
 שלב ראשון: עבור  בקטע  נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם  בקטע השמאלי יותר - נרשום  בספרה הראשונה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום .
 שלב שני: נסתכל בתת-הקטע שבו  מוכל. נסתכל על תתי-הקטע שלו המתקבלים מקבוצת קנטור: אם  בקטע השמאלי יותר - נרשום  בספרה השנייה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום .
 ...
 שלב : נסתכל בתת-הקטע שבו  מוכל. נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם  בקטע השמאלי יותר - נרשום  בספרה מספר  בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום .
לפי הלמה של קנטור נקבל שחיתוך בן מנייה של כל הקטעים האלה יתכנס לנקודה יחידה  ובאמצעות הבניה לעיל הראנו את הצגתו בצורה טרינארית.
מתיאור זה ברור גם איך אפשר לשכן כל מספר שבפיתוח הטרינארי שלו מופיעים רק הספרות  או  בקבוצת קנטור. מכאן, זה ברור מדוע ההתאמה בין שתי הקבצות היא חד-חד-ערכית ועל.

נותר להוכיח שקבוצת כל המספרים בעלי פיתוח טרינארי שלא מופיעה בו הספרה  אינה בת מנייה. אכן, ההתאמה(פונקציית קנטור) היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לקטע .

הוכחה קומבינטורית: נראה שיש  מספרים בקבוצת קנטור, על ידי הגדרת פונקציה חד-חד ערכית מהקבוצהשל כל הסדרות האינסופיות של אפסים ואחדים, לתוך קבוצת קנטור . 

בהינתן סדרה  של אפסים ואחדים, נתאים לה סדרת קצוות שמאליים של קטעים שהופיעו בבניה של קבוצת קנטור:
 נתבונן בשני הקטעים של השלב הראשון בבניה. אם , ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע השמאלי. ואם לא, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע הימני. נסמן קצה זה .
 נתבונן בקטע שבחרנו בשלב הראשון. בשלב השני, הקטע הוחלף בשני קטעים קצרים יותר. אם , ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע השמאלי מביניהם. ואם לא, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע הימני מביניהם. נסמן קצה זה .
 באופן כללי, בשלב  נתבונן בקטע שבחרנו בשלב ; בשלב הנוכחי, הוחלף קטע זה בשני קטעים קצרים יותר. אם , ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע השמאלי מביניהם. ואם לא, ניקח את קצהו (השמאלי) של הקטע הימני מביניהם. נסמן קצה זה .
קיבלנו סדרה עולה  של מספרים בקבוצת קנטור. הקבוצה חסומה (למשל, על ידי הקצה הימני של הקטע ממנו התחלנו), ולכן מתכנסת לגבול, שנסמנו .

נתאים לסדרה הנתונה  את המספר  שהוגדר בצורה הזאת.

ההתאמה היא חד-חד ערכית, כיון שעבור שתי סדרות שונות, ישנו מקום בו הסדרות שונות, ובמקום זה נבחרו קצוות של קטעים שונים. מאידך, ברגע שנבחר קצה של קטע, מעתה ואילך ייבחרו רק קצוות של קטעים המוכלים בו, ולכן גם נקודת הגבול שהגדרנו תהיה שייכת לו.

נקודת הגבול שייכת לקבוצת קנטור מאותה סיבה: לכל שלב בבניה, יש קטע שכל המספרים בסדרה שבחרנו משלב זה ואילך נמצאות בו, ולכן נקודת הגבול שייכת לו. יוצא, שהגבול שייך לכל הקבוצות  שהוגדרו בבניית קבוצת קנטור, ולכן שייכת לחיתוכן, שהוא קבוצת קנטור.

זה מסיים את ההוכחה, אבל אפשר להראות גם שהפונקציה שהגדרנו היא על: לכל מספר  בקבוצת קנטור, בשלב  של הבניה יש קטע יחיד אליו המספר שייך, וזה אחד משני תת-הקטעים של הקטע מהשלב הקודם אליו המספר היה שייך. אם זה הקטע השמאלי, נגדיר , ואם זה הקטע הימני, נגדיר . הפונקציה שהגדרנו לעיל ממפה את הסדרה המתקבלת  למספר , כיון שהקצוות השמאליים של הקטעים אליהם המספר שייך מתכנסים אליו (אורך הקטע בשלב  הוא , והמרחק בין מספר בקטע לקצה הקטע אינו גדול יותר).

מידתה של קבוצת קנטור 

קבוצת קנטור מכילה בכל שלב איטרטיבי , קטעים שאורך כל קטע כזה הוא . ולכן בכל שלב ניתן לכסות אותה על ידי אורך קטעים כנ"ל. בשלב  של הבניה האיטרטיבית אנו מכסים את קבוצת קנטור בקטעים שסכום האורכים שלהם שווה ל-. מכיוון שסדרה זו שואפת לאפס, המידה של קבוצת קנטור היא אפס.

קבוצת קנטור היא פרקטל 

קבוצת קנטור היא אבטיפוס של פרקטל. היא בעלת דמיון-עצמי מכיוון שהיא מהווה איחוד של שני עותקים של עצמה, כאשר כל עותק מכווץ בגורם שליש (כלומר: קטן פי 3) ומוזז. ממד האוסדורף של הקבוצה הוא . אפשר להשוות את המספר המתקבל לממד האוסדורף של קבוצה סופית (שהוא תמיד אפס) מחד, ולממד של קטע (קטן ככל שיהיה), שהוא תמיד , מאידך (ראו פירוט על ממד פרקטלי בערך ממד האוסדורף).

תכונות טופולוגיות 

קבוצת קנטור יורשת את המטריקה הרגילה של הישר הממשי, וכך היא מהווה מרחב מטרי. הקבוצה סגורה בטופולוגיה המטרית של הישר הממשי, מכיוון שהמשלים שלה בקטע  הוא איחוד של קטעים פתוחים. מאחר שהקבוצה חסומה, משפט היינה בורל מבטיח שהיא קבוצה קומפקטית. מכאן נובע גם שהיא שלמה.

אם קטע פתוח מכיל מספר בקבוצת קנטור, אז הוא מכיל אינסוף איברים שלה. לכן, כל נקודה בקבוצת קנטור היא נקודת הצטברות. קבוצה כזאת נקראת בטופולוגיה "קבוצה מושלמת".

קבוצת קנטור היא קבוצה דלילה (nowhere dense) שכן הפנים שלה ריק. היא לא קשירה לחלוטין כי היא לא מכילה אף קטע לא טריוויאלי (קטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר). תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, הומיאומורפי) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (וראו גם פונקציית קנטור: הכללות).

משפט של בראואר מאפיין את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב האוסדורף קומפקטי בלתי קשיר לחלוטין ללא מספרים מבודדים הומיאומורפי לקבוצת קנטור. כל מכפלה בת-מניה של קבוצות סופיות (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) הומיאומורפי לקבוצת קנטור. על פי משפט אלכסנדרוף-האוסדורף קבוצת קנטור היא המרחב המטרי הקומפקטי האוניברסלי (היינו, יש פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על כל מרחב מטרי קומפקטי). הוכחת המשפט מתבססת על הכללה של פונקציית קנטור. עובדה זו מייצרת למשל את עקום פאנו.

וריאציות

קבוצת סמית-וולטרה-קנטור

במקום להוריד מכל קטע את השליש האמצעי שלו, אפשר להוריד חלק בכל גודל אחר מאמצע הקטע. אם גודל הקטע קטן משליש, אפשר לבנות קבוצה הומיאומורפית לקבוצת קנטור שמידת לבג שלה היא מספר חיובי (אך היא עדיין דלילה). הקבוצה בה מורידים מכל קטע את הרבע שלו נקראת "קבוצת סמית-וולטרה-קנטור" על שם הנרי סמית וויטו וולטרה.

אבק קנטור
אבק קנטור הוא הכללה רב-ממדית של קבוצת קנטור. ניתן להגדיר אותו כמכפלה הקרטזית של קבוצת קנטור בעצמה. כמו קבוצת קנטור, גם אבק קנטור הוא ממידה אפס.

הכללה דו-ממדית אחרת של קבוצת קנטור היא שטיח שרפינסקי, בו מתחילים עם ריבוע ומורידים ממנו את החלק האמצעי ( ממנו), משמונת הריבועים שנותרו מורידים גם כן את האמצע, וכך עד אינסוף. הכללה דומה עבור תלת-ממד בה מורידים מכל קובייה את האמצע מכונה ספוג מנגר.

ראו גם 
 תורת המידה (מידת לבג)
 אנליזה מתמטית
 טופולוגיה ומרחב טופולוגי
 פרקטל
 ממד האוסדורף
 פונקציית קנטור

לקריאה נוספת 
 Stephen Willard, General Topology, Chapter 30, 1970.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

מרחבים טופולוגיים יחידאים
תורת המידה
פרקטלים