עקרון המקסימום

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם  פונקציה הולומורפית בתחום  וקיים  שהוא מקסימום מקומי של  אז  קבועה.

בנוסח שקול, אם  רציפה בקבוצה קומפקטית , והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של  ב- מתקבל על השפה .

הוכחה
יהי  מקסימום מקומי של . משמע קיים  קטן מספיק כך שבעיגול ברדיוס  סביב ,   הולומורפית ו- מקסימום מוחלט של . יהי . לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל האי-שוויונות הם שוויונות. לכן:

נגדיר  בקטע .  עולה חלש, שכן מהמקסימליות של :

אולם מ- נובע ש-, ולכן  לכל . מכאן ש- לכל , כלומר:

קיבלנו ש- קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם  קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע ש- קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית
ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה  עם  שווה זהותית לאפס על  אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט - אם  פונקציה הרמונית בתחום , ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה , אז היא קבועה בסביבת .

הגרסה הכללית היא:

משפט - אם  הרמונית בתחום חסום , ורציפה בשפה , אז אם קיימת  כזו 
ש- אז היא קבועה ב-.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם  פונקציה שלמה ומתקיים , אז  קבועה, משום שמתקיים  ולפי עקרון המקסימום , ואז הפונקציה  איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם  קבועה.

קישורים חיצוניים
 

משפטים באנליזה מרוכבת
de:Maximumprinzip (Mathematik)