הלמה של בורל-קנטלי

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20. המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי

יהי  מרחב הסתברות, ותהי  סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא, .

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי

אם מתקיים כי , אז

הלמה השנייה של בורל-קנטלי

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים. אם מתקיים כי 
, אז .

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע  הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר . נשים לב כי במקרה זה, . אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים  שעבורה .

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות  במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על . מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן  גורר את  לכל . ואכן, למרות שמתקיים , עדיין .

ראו גם
 משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
 מספר נורמלי

הערות שוליים

בורל-קנטלי