מרחב (CAT(k

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי  היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח  טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T). 

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי  אפשר לכייל למרחבי  אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.

הגדרות

מרחבי המודל 

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב-  את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה,  הוא המישור האוקלידי  עם המטריקה הרגילה שלו;  הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו-  הוא המישור ההיפרבולי. 

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא  (אחרת הקוטר אינסופי).

משולשי השוואה 

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על . אז קיים ב- משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

תנאי  

נניח ש- הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה , כאשר  הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים  לכל ). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב . 

המרחב X נקרא מרחב , אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על ), מקיים את תנאי . אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי . מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית". 

התנאי  הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם , אז כל מרחב  הוא גם מרחב . מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא  לכל , הוא גם .

דוגמאות 

המרחב  הוא . 

המרחב האוקלידי  (מכל ממד) הוא .
המרחב ההיפרבולי  (מכל ממד) הוא .
ספירת היחידה  (בכל ממד) היא  (אבל לא ). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות ) היא .
כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי  הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו . מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא , ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב  לכל k.

כל מרחב , עבור k<0, הוא מרחב . בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי  

יהי X מרחב .

תכונות מקומיות 

 בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על  אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
 כל עקום (שאורכו אינו עולה על  אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
 כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על  אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
 כדורים (שרדיוסם אינו עולה על  אם k>0) הם כוויצים.
 נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על  אם k>0) ולכל  קיים , כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על , נמצאת במרחק  לכל היותר מ-m.

מרחב הכיסוי האוניברסלי 

 מתכונות אלה נובע שאם , מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב  הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות  מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב .

היפרבוליות 

כל מרחב  (עבור ) הוא מרחב היפרבולי. מרחב  הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי  (עם המטריקה הרגילה).

ראו גם 

 מרחב (CAT(0

מרחבים מטריים