משפט דיריכלה

משפט דיריכלה הוא משפט מתמטי, הקובע כי יש אינסוף מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית שבסיסה זר להפרשה. גרסאות חזקות יותר של המשפט קובעות את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה בשנת 1837.

עוד מימי אוקלידס ידוע שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות , ,  או , וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (היינו, סדרה מהצורה  שבה  ו- זרים), קיימים אינסוף ראשוניים.

דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל- מודולו  יש צפיפות דיריכלה ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל-, כאשר  היא פונקציית אוילר. ההוכחה מבוססת על התמרת פורייה דיסקרטית על חבורת אוילר המאפשרת לבטא את הצפיפות היחסית באמצעות סיכום משוקלל של לוגריתמים של פונקציות L של דיריכלה - וריאנטים על פונקציית זטא של רימן התלויים בקרקטר כיפליים מודולו .

ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה באנליזה מתמטית לא טריוויאלית כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת תורת המספרים האנליטית, כמו כן ההוכחה השפיעה על התפתחות תורת המספרים האלגברית ותורת ההצגות.

ב-1896, יחד עם הוכחת משפט המספרים הראשוניים, הראו ז'אק אדמר ודה לה ואלה פוסן שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה בצפיפות הטבעית.

גרסאות של המשפט
יהי  מספר טבעי. הגרסה הבסיסית של משפט דיריכלה אומרת:

כל ההוכחות הידועות למשפט (התקפות באופן כללי) מוכיחות גם חסם כמותי לצפיפות הראשוניים במובן זה או אחר. הוכחתו המקורית של דיריכלה הוכיחה גם את המשפט הבא:

המקרה  הוכח על ידי אוילר עוד במאה ה-18. לכן גרסה זאת נובעת מהגרסה הבאה שגם אותה הוכיח דיריכלה:

הטורים המוזכרים מעלה מהווים מדד עקיף לצפיפות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. משפט המספרים הראשוניים מספק מדד ישיר ומדויק יותר לצפיפות קבוצת המספרים הראשוניים. יחד עם הוכחת משפט המספרים הראשוניים, שילבו ז'אק אדמר ודה לה ואלה פוסן בין הוכחת משפט המספרים הראשוניים והוכחת משפט דיריכלה וקיבלו את המשפט הבא:

המקרה  הוא משפט המספרים הראשוניים, כך שבהינתן משפט המספרים הראשוניים, ניסוח זה שקול לניסוח הבא:

היסטוריה

מספרים ראשוניים בעת העתיקה

העובדה שישנם אינסוף מספרים ראשוניים הייתה ידועה עוד ביוון העתיקה. ההוכחה הראשונה הידועה שלה מופיעה בספר יסודות של אוקלידס עוד במאה השלישית לפני הספירה.

מספר עשורים לאחר מכן פיתח ארטוסתנס שיטה יעילה ליצור טבלאות ראשוניים, באמצעותה ניתן היה להבחין בתבניות הקשורות להתפלגות המספרים הראשוניים.

משוואת פל

המשוואה  (כאשר  הוא פרמטר טבעי ו-  הם נעלמים שלמים) נחקרה עוד בעת העתיקה. במאה ה-12 המתמטיקאי ההודי בהסקארא השני (Bhāskara II) הציג פתרון כללי למשוואה. אולם פתרון זה לא הגיע לאירופה. כחמש מאות שנה מאוחר יותר פתר משוואה זאת מחדש פייר דה פרמה והפתרון נודע באירופה.

אוילר כינה משוואה זאת משוואת פל, מכיוון שייחס את הפתרון בטעות לג'ון פל, ומאז התקבע השם.

ההוכחה הראשונה של משפט דיריכלה השתמשה בפתרון משוואת פל למקרים בהם ל- יש גורמים ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-. עבור שאר המקרים, את מקומה של משוואת פל מחילפה המשוואה , והיא פשוטה מאוד.

אנליזה מתמטית וקשריה עם תורת המספרים

האנליזה המתמטית פותחה במאה ה-17 על-ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (אף שניצניה הופיעו מאות רבות קודם לכן, החל לפחות בעבודותיו של ארכימדס). האנליזה המתמטית פותחה לצורך מחקר הפיזיקה, מתמטיקאים רבים הוסיפו לפתח את האנליזה המתמטית ובמרוצת השנים היא נהייתה שימושית מאוד במגוון תחומים במתמטיקה ובמדעים אחרים.

האנליזה המתמטית איפשרה לטפל באופן שיטתי בסכומים אינסופיים. סכומים כאלה נקראים טורים. לאונרד אוילר פיתח מאוד את תורת הטורים והשתמש בה (ובכלים נוספים מהאנליזה) לטובת תורת המספרים. אפשר לראות בעבודותיו אלה של אוילר את לידתה של תורת המספרים האנליטית, אולם השימוש של אנליזה בתורת המספרים אצל אוילר היה הרבה פחות מובהק מאשר בהוכחה של משפט דיריכלה. לכן רבים ראים בהוכחה של משפט דיריכלה, בתור נקודת לידתה של תורת המספרים האנליטית המודרנית.

האנליזה המתמטית פותחה תחליה ללא הגדרות והוכחות ריגורוזיות. במשך השנים היא קיבלה צורה מתמטית ריגורוזית. בתהליך השתתטפו מתמטיקאים רבים והוא הושלם רק לקראת סוף המאה ה-19, אולם כבר בתחילת המאה ה-19 הכלים האנליטיים שבהם השתמש דיריכלה בהוכחתו היו ריגורוזיים למדי, כך שהוכחתו של דיכילה נחשבת למלאה גם בסטנדרטים מודרניים.

עבודותיו של אוילר

במאה ה-18, חקר לאונרד אוילר את התפלגותם של מספרים ראשוניים. הוא חקר את הפונקציה שלימים הורחבה על ידי רימן ונקראה פונקציית זטא של רימן. פונקציה זאת היא ארכיטיפוס של משפחה רחבה של פונקציות הנקראות פונקציות L. לפוקציות אלה (כמו גם לפונקציית זטא של רימן) היה תפקיד מכריע בהוכחה של דיריכלה.

אוילר פיתח את נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן, נוסחה זאת הפכה לימים כלי מרכזי בתורת המספרים האנליטית בכלל ובהוכחת משפט דיריכלה בפרט. באמצעות נוסחה זאת הוכיח אוילר (בשנת 1737) כי טור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר.

אוילר גם העלה את ההשערה (בשנת 1785) שמשפט דיריכלה תקף עבור סדרות חשבוניות מהסוג .

בנוסף, עבודתיו של אוילר על חבורת המספרים ההפיכים מודולו  התבררו לימים חיונית להוכחה.

ניסוח המשפט

בשנת 1798 ניסח אדריאן-מארי לז'נדר את משפט דיריכלה ואף הציג הוכחה בשבילו. אולם הוכחה זאת הייתה שגויה. הוא השתמש בטענה טכנית מסוימת וכתב שקל להוכיח אותה. אולם לא כך היה הדבר. טענה זאת הופרכה בשנת 1858 על-ידי אתאנאס דופרה (Athanase Dupre). עם זאת לז'נדר נתן הוכחה נכונה למספר מקרים פרטיים.

תבניות ריבועיות

בשנת 1801 פרסם קרל פרידריך גאוס את הספר מחקרים אריתמטיים, שבנוסף לידע שהיה קיים אז בתורת המספרים, הכיל גם עבודות חדשות של גאוס על תבניות ריבועיות. בעבודותיו אלה חקר את השאלה איזה מספרים שלמים אפשר לבטא בצורה  כאשר  שלמים נתונים ו-  משתנים שלמים. פונקצוית מהצורה . במחקריו של גאוס הופיע אינווריאנט הנקרא מספר המחלקה של תבנית ריבעית. כמו כן, כלל גאוס בספר זה את ההוכחות הראשונות (שלו) להדדיות הריבועית.
הן לההדדיות הריבועית והן למספר המחלקה היה תפקיד חשוב בהוכחתו של דיריכלה, אם כי חלק מההוכחות המאוחרות יותר לא משתמשות בהן.

טור פורייה

בתחילת המאה ה-19 פיתח ז'וזף פורייה שיטה לקרב כל פונקציה מחזורית על ידי קומבינציה של פונקציות טריגונומטריות.
שיטה זאת היא אנליטית מטבעה ועוסקת באובייקטים רציפים. עד היום מרבית השימושים בשיטה הם אנליטיים ורציפים. אולם לימים התברר שגרסה דיסקרטית של השיטה בעלת תפקיד מפתח בהוכחת משפט דיריכלה.

הוכחת המשפט

בשנים 1837–1839 הוכיח גוסטב דיריכלה את המשפט בסדרת מאמרים. בשנת 1837 דיריכלה הצהיר על כך שהוכיח את המשפט ופרסם את ההוכחה עבור  ראשוני. הוא גם הצביע על הטעות בהוכחתו של לז'נדר. את ההוכחה למקרה הכללי פרסם דיריכלה ב-1839.

הוכחתו של דיריכלה מתבססת על התמרת פוריה דיסקרטית על חבורת אוילר ועל משפחה של פונקציות שהוא הגדיר הנקראת כיום פונקציות  של דיריכלה המהוות הכללה של פונקציית זטא של רימן. השלב הראשון בהוכחתו של דיריכלה מהווה רדוקציה לאי-התאפסות של פונקציות  בנקודה 1. שלב זה הופיע במאמרים מ-1837 למקרה הכללי. דיריכלה גם נתן במאמרים אלו נוסחה מפורשת לערך של פונקציות  בנקודה 1 והצליח להוכיח מנוסחה זאת את אי-ההתאפסות עבור  ראשוני. במאמרים משנת 1839 הציג דיריכלה נוסחה אחרת לערך של פונקציות  בנקודה 1 הקושרת בין ערך זה לאינווריאנט מסוים של תבנית ריבועית הנקרא מספר המחלקה שלה. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה והוכחתה מתבססת על עבודותיו של גאוס על תבניות ריבועיות. הנוסחה גוררת באופן מידי את אי-ההתאפסות של פונקציות  בנקודה 1 ובכך משלימה את ההוכחה.

הוכחתו של דיריכלה נותנת גם מידע כמותי על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית: היא מוכיחה שצפיפות דיריכלה שלהם מבין כל הראשוניים היא חיובית.
אולם היא לא נותנת מידע על הצפיפות הטבעית של קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית.

הוכחות מאוחרות יותר
כאמור ההוכחה של משפט דיריכלה מחולקת לשני חלקים:
 רדוקציה לאי-התאפסות של פונקציית  בנקודה 1.
 הוכחת אי-התאפסות זאת.
החלק הראשון כמעט ולא השתנה עם השנים. ישנם מספר גרסאות לחלק זה, אך הן דומות למדי. הדרכים המודרנית להציג את ההוחכה שונות במקצת מההצגה המקורית.

לאומת זאת, במרוצת השנים, מתמטיקאים רבים מצאו גרסאות רבות ושונות לחלק השני של ההוכחה.
ישנן גם הוכחות מועטות למשפט דיריכלה שאינן עוברות דרך פונקציית  כלל.

עבודותיו של דדקינד על תרת המספרים האלגברית

במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב ריכרד דדקינד את הספר הרצאות בתורת המספרים (Vorlesungen über Zahlentheorie). הספר סיכם את עבודותיו של דיריכלה והכיל מספר תוספות של דדקינד. בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחתו של דיריכלה בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר. בגרסאות המאוחרות של הספר, הוא פיתח את התורה של חוגי השלמים בשדות מספרים והאידיאלים שלהם. תורה זאת מאפשרת ניסוח מחדש של מושג מספר המחלקה במונחים של הרחבות ריבועיות של   במקום תבניות ריבועיות. בכך היא מאפשרת גם הכללת מוסג זה עבור שדות מספרים כלליים. דדקינד הוכיח הכללה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה לשדות מספרים כללים. הכללה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דדקינד. היא מספקת הוכחה נוספת למשפט דיריכלה. הוכחה זאת לא עושה שימוש בהדדיות ריבועית, ובמובן מסוים קונספטואלית יותר, אבל היא פחות אלמנטרית מכיוון שהיא עושה שימוש בכלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית. בפרט היא החליפה את השימוש במשוואת פל (הפשוטה יחסית) בשימוש במשפט היחידות של דיריכלה המהווה הכללה של משוואת פל.

ההוכחות האלמנטריות של מרטנס

בשלהי המאה ה-19 הציג פרנץ מרטנס (Franz Mertens) מספר הוכחות אנליטיות אלמנטריות לאי-התאפסות של פונקציית  בנקודה 1. ההוכחות האלה היו יותר פשוטות מהוכחתו של דיריכלה. הן לא עברו דרך נוסחת מספר המחלקה. למעשה הן לא נתנו מידע ישיר על הערך של פונקציית , אלא רק את העובדה שהיא לא מתאפסת.

הרחבה של פונקציית זטא ופונקצוית L למישור המרוכב

בשנת 1859 פרסם ברנהרד רימן את מאמרו על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון בו הוא הרחיב את ההגדרה של פונקציית זטא של רימן (שהוגדרה במקור על ידי אוילר עבור משתנה ממשי גדול מ-1) עבור כל משתנה מרוכב. הרחבה זאת איפשרה לקבל מידע רב על מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת, ובכך סללה את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.

מספר מתמטיקאים (Kinkelin, A. Hurwitz, R. Lipschitz) הרחיבו את תוצאותיו של רימן עבור פונקציות L של דיריכלה.

משפט המספרים הראשוניים וגרסה מדויקת יותר של משפט דיריכלה

בשנת 1896 הוכיחו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן את משפט המספרים הראשוניים, בהתבסס על עבודוריו של רימן. ביחד עם הוכחותיהם למשפט המספרים הראשוניים, הוכיחו אדמר ודה לה ואלה פוסן גרסה של משפט דיריכלה שנותנת מידע על הצפיפות הטבעית של קבוצת המספרים הראשוניים בסדרה חשבונית. הוכחתם משלבת בין הוכחתו של דיריכלה והוכחת משפט המספרים הראשוניים.

ההוכחות הקצרות של לנדאו

בתחילת המאה ה-20 מצא אדמונד לנדאו שתי הוכחות אנליטית נוספת לאי ההתאפסות של פונקציית L ב-1. הוכחות אלו קצרות אף יותר מההוכחות של מרטנס, אך משתמשות בכלים של אנליזה מרוכבת ובכך פחות אלמנטרית.

ההוכחות ללא פונקציות L של דיריכלה

החל מאמצע המאה ה-20 נמצאו מספר הוכחות (על ידי אטלה סלברג, הרולד שפירו, הנס זסנהאוס ואחרים) למשפט דיריכלה אשר לא משתמשות בפונקציית L של דיריכלה. הוכחות אלה משתמשות בכלים מאנליזה ואינן אלמנטריות או פשוטות יותר מהוכחתו של דיריכלה. אולם הן שונת ממנה באופן מהותי.
ההוכחות מתבססות בין היתר על הכלים שפותחו על ידי סלברג ופאול ארדש בהוכתם האלמנטרית של משפט המספרים הראשוניים. אחת מההוכחות של סלברג למשפט דיריכלה מוכיחה את הגרסה על הצפיפות הטבעית של הראשוניים בסדרה החשבונית. בדומה להוכחה של סלברג וארדש למשפט המספרים הראשוניים, הוכחה זאת לא משתמשת באנליזה מרוכבת אלה רק באנליזה ממשית.

הכללות
למשפט דיריכלה נמצאו הכללות במשך השנים. כמו כן מספר השערות ידועות מהוות הכללות שלו.
 משפט הצפיפות של צ'בוטרב ומשפט פרובניוס: שני משפטים אלה מחשבים את הצפיפות של תתי-קבוצות מסוימות של קבוצת המספרים הראשוניים.

משפט פרובניוס אינו מכליל את משפט דיריכלה אך אנלוגי לו והוכחתו התבססה על הוכחת משפט דיריכלה. משפט הצפיפות של צ'בוטרב מהווה הכללה משותפת של משפט דיריכלה ומשפט פרובניוס. לשני המשפטים גרסאות הנוגעות לצפיפות דיריכלה ולצפיפות הטבעית.

בהינתן פולינום  (עם מקדמים שלמים), משפט פורובניוס מחשב את הצפיפות של קבוצת המספרים הראשוניים  כך שהפולינום מודולו  מתפרק לגורמים בלתי פריקים בתבנית פירוק מסוימת. תבנית פירוק היא מספר הגורמים הבלתי פריקים, ריבויים ודרגותיהן. דוגמה לתבנית פירוק היא התפצלות הפולינום לגורמים ליניאריים.

משפט צ'בוטרב אומר שבהינתן הרחבת שדות  ואיבר בחבורת גלואה  קיימים אנסוף ראשוניים  כך שמחלקת פרובניוס המתאימה להם ב  תכיל את . המשפט גם מחשב את הצפיפות של קבוצת הראשוניים האלה.

כדי לקבל את משפט דיריכלה ממשפט צ'בוטרב יש להציב את המקרה בו  היא הרחבה ציקלוטומית (או באופן שקול את המקרה בו ).

הוכחת המשפטים האלו מקבילה להוכחת משפט דיריכלה. היא משתמשת בכלים מתורת המספרים האלגברית שפיתחו דדקינד ופרובניוס. את אי-ההתאפסות של פונקציית L של דיריכלה מחליפה אי-ההתאפסות של פונקציית L של ארטין. זאת נובעת מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד שמחליפה את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
ניתן לראות במשפט דיריכלה חלק מתופעה כללית, על-פיה במקרים רבים בהינתן תנאי מסוים שאין מניעה ברורה שמספרים ראשוניים יקיימו אותו, אז קיימים מספרים ראשוניים המקימים אותו. דוגמאות נוספות לתופעה זאת הן:
 השערת התאומים הראשוניים
 משפט גרין-טאו
 בעיית לנדאו הרביעית
 השערת שלשות הראשוניים
 השערת גולדבך, במידה מסוימת
משפט דיריכלה היא הדוגמה הראשונה לתופעה זאת שהוכחה. השערה מרחיקת לכת הממחישה תופעה זאת היא השערת דיקסון (Dickson's conjecture) המוכללת, ההשערה אומרת שאם  הם פולינומים במשתנה אחד עם מקדמים שלמים המקיימים תנאים מסוימים, אז קיימים אינסוף מספרים טבעיים  כך שהמספרים  הם ראשוניים.
השערה זאת נקראת גם השערת בוניאקובסקי (Bunyakovsky conjecture) המוכללת. ההשערה מכלילה את כל הטענות שנמנו מעלה למעט השערת גולדבך.
 חלק מרכזי במשפט דיריכלה הוא אי ההתאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1. ישנים טענות אי-התאפסות של פונקציות L שונות. ביניהן כאלה שמכלילות את משפט דיריכלה. לדוגמה:
 אי-התאפסות של פונקציית זטא של רימן על הישר  הוכחה על ידי אדמר ודה לה ולה פוסן. היא גוררת את משפט המספרים הראשוניים.
 אי-התאפסות של פונקציית  של דיריכלה על הישר  הוכחה על ידי אדמר ודה-לה-ולה פוסיון. היא גוררת את הגרסה של משפט דיריכלה לגבי הצפיפות הטבעית.
 אי-התאפסות של פונקציית  של ארטין ב-1 גוררת את משפט הצפיפות של צ'בוטרב.
 אי-התאפסות של פונקציית  של ארטין על הישר  גוררת גרסה של משפט צ'בוטרב התקפה לגבי הצפיפות הטבעית.
ההכללה האולטימטיבית של כל אי ההתאפסויות האלה היא השערת רימן המוכללת.

שימושים
עיקר השפעתו של משפט דיריכלה היא עקיפה. אולם למשפט גם מספר שימושים ישירים. להלן מספר דוגמאות:
משפט דיריכלה והגרסאות הכמותיות שלו מהווים כלי מרכזי בהוכחת השערת גולדבך החלשה.
משפט דיריכלה גורר כי עבור אינוסף ראשוניים , הפולינום  מתפצל לגורמים ליניאריים מעל השדה . משפט צ'בוטרב גורר את אותו הדבר עבור כל פולינום עם מקדמים שלמים. כך שבעוד שעבור כל מספר ראשוני  השדה הסופי  אינו סגור אלגברית, לפי משפט דיריכלה ומשפט צ'בוטרב, כל השדות האלה יחד מהווים מעין "מערכת סגורה אלגברית".
בהינתן מערכת משוואות פולנומיאליות  עם מקדמים שלמים במספר משתנים, השערות וייל מספקות קשר בין הטופולוגיה של היריעה  של הפתרונות המרוכבים של  ובין מספר הנקודות בקבוצה  של הפתרונות ב- של . השימוש המרכזי של השערות וייל הוא לקבל מידע על הקבוצה  באמצעות היריעה . אולם בזכות משפט דיריכלה ומשפט צ'בוטרב ניתן גם לקבל מידע על היריעה  באמצעות כל הקבוצות  כאשר  רץ על כל הראשוניים.

השפעה

תורת המספרים האנליטית

ניתן לראות במשפט דיריכלה את לידתה של תורת המספרים האנליטית. אומנם שימוש באנליזה לטובת תורת המספרים הופיע עוד בעבודותיו של אוילר, אולם תפקידה של האנליזה בהוכחתו של דיריכלה היה סיסטמטי ומסיבי בהרבה. משפט דיריכלה יצר פרדיגמה חדשה בתורת המספרים. על פי פרדיגמה זאת, כדי לחקור שאלה מסוימת בתורת המספרים יש לבצע את השלבים הבאים:
 להתאים לשאלה הנחקרת פונקציית L. זאת אומרת טור דיריכלה המקודד את הבעיה.
 להוכיח תכונות בסיסיות של פונקציית L זאת: מכפלת אוילר, ולאחר עבודותיו של רימן, גם המשכה אנליטית (למישור המרוכב) ומשוואה פונקציונלית.
 לחקור פונקציית L זאת בכלים אנליטיים. זה כולל בדרך כלל:
 הוכחת אי-ההתאפסות שלה באזורים מסוימים במישור המרוכב.
 הוכחת הרגולריות שלה באזורים מסוימים במישור המרוכב.
 מציאת חסמים על גודלה.
 להסיק מהתנהגות פונקציית L זאת מסקנות על השאלה המקורית בתורת המספרים.
פרדיגמה זאת השתרשה עד כדי כך, שכיום תוצאות רבות בתורת המספרים מנוסחות בתור תוצאות על תכונות של פונקצייות L, ללא גזירה של מסקנות לגבי האובייקטים מתורת המספרים שפונקציות L אלה מבוססות עליהם.

להלן מספר דוגמות לפונקציות L הנחקרות כיום:
 פונקציית זטא של רימן - מקודדת תכונות של המספרים הראשויניים.
 פונקציית L של דיריכלה - מקודדת תכונות של המספרים ראשויניים בסדרה חשבונית וקרקטרי דיריכלה.
 פונקציית זטא של תבנית ריבועית - מקודדת תכונות של תבנית ריבועיות מעל השלמים.
 פונקציית זטא של דדקינד- מקודדת תכונות של שדות מספרים.
 פונקציית L של ארטין - מקודדת תכונות של הצגות גלואה של הרחבות שדות מספרים.
 פונקציית L של הקה - מקודדת תכונות של חבורת מחלקות האידלים וקרקטרי הקה.
 פונקציית L של תבנית אוטומורפית - מקודדת תכונות של תבניות אוטומורפיות.
 פונקציית L מוטיביות - מקודדות תכונות של אובייקטים מגאומטריה אלגברית אריתמטית. לדוגמה:
 פונקציית זטא של הסה-וויל ופונקציית זטא אריתמטית - שתיהן סופרות נקודות ביריעיות אלגבריות מעל שדה סופי.
 פונקציית זטא של איגוסה - סופרת נקודות ביריעיות אלגבריות מעל חוגים סופיים.
פונקציות L מופיעות גם מחוץ לתורת המספרים, כאשר סופרים אובייקטים. לדוגמה:
 פונקציית זטא של חבורה - טור דיריכלה הסופר תתי-חבורות של חבורה.
 פונקציית זטא הצגתית של חבורה - טור דיריכלה הסופר הצגות של חבורה.
הערה: פונקציות זטא הן מקרה פרטי של פונקציות L, בו כל המקדמים הם חיוביים.

לעיתים, הדרך לקשר בין שני אובייקטים שונים היא להוכיח שיש להם אותה פונקציית L. השערת לנגלנדס והשערת טניאמה-שימורה הן דוגמאות לקשר כזה.

תורת המספרים האלגברית ואלגברה קמוטטיבית

שימושים בכלים אלגבריים לטובת תורת המספרים עתיקים כמו תורת המספרים עצמה. כך שתורת המספרים האלגברית התפתחה לאורך תקופה ארוכה. במהלך המאה ה-19 חלה התפתחות דרמטית בתחום זה. אחת מאבני הדרך המשמעותיות בתחום זה הן העבודות של דדקינד על חוגי שלמים בשדות המספרים והאידיילים שלהם. עבודות אלה שמתבססות על עבודותיו של קומר מהוות המשך ישיר לעבודותיו של דיריכלה על משפט דיריכלה.

האלגברה הקמוטטיבית פותחה על ידי הילברט ונתר בהתבסס על עבודותהם של דדקינד וקומר.

תורת ההצגות

ההתפתחות של תורת ההצגות ושל תורת המספרים האלגברית שזורות זו בזו. ניתן לראות בעבודותיו של פורייה על פירוק של פונקציה לקומבינציה של פונקציות טריגונומטריות את תחילתה של תורת ההצגות. פירוק זה נקרא טור פורייה (או התמרת פורייה). מנקודת מבט מודרנית, אפשר לראות פירוק זה בתור פירוק של מרחב הפונקציות על הישר (או המעגל) לתתי מרחבים אינווריאנטים לגבי הזזות. במילם אחרות: פירוק של ההצגה הרגולרית של הישר (או המעגל) להצגות בלתי פריקות. אולם בשלב זה, רעיונות אלה הוגבלו למספר מצומצם של דוגמאות דומות, ורק לחבורת קמוטטיביות.

דיריכלה, שהיה תלמידו של פורייה, הוציא את הרעיונות האלה מההקשר של אנליזה בהם הם פותחו והפעיל אותם על דוגמאות נוספות של חבורות קמוטטיביות. מהלך זה היה אחד הרעיונות המשמעותיים בהוכחת משפט דיריכלה.

דדקינד שיכתב את עבודותיו של דיריכלה בשפה כללית ונקייה יותר, ובכך פיתח את התמרת פורייה ותורת הקרקטרים עבור חבורה אבלית סופית כלשהי. דדקינד הבין שבישביל שימושים מתקדמים יותר בתורת המספרים הוא צריך גם אנלוגים של תורת הקרקטרים גם עבור חבורות לא קמוטטיביות. במכתביו לפרובניוס, הציע לו דדקינד לפתח תורה כזאת.

פרובניוס הצליח לפתח תורה זאת במאמרו המפורסם משנת 1896. במאמר זה פותחה תורה מעמיקה של קרקטרים של חבורות לא קמוטטיביות, ואנלוגים של פירוק פורייה בשבילהם, אולם מושג ההצגה עוד לא היה קיים. עבודותיו של פרובניוס איפשרו להגדיר את פונקציית L של ארטין, שהיא הכללה של פונקציית L של דיריכלה, ולהוכיח את משפט צ'בוטרב שהוא הכללה של משפט דיריכלה.

את מושג ההצגה הגדיר תלמידו של פרובניוס, שור, ובכך הניח את היסודות לתורת ההצגות בצורתה המודרנית. שור גם הסביר את הקשר בין הצגות וקרקטרים.

במהלך המאה ה-20 התפתחה תורת ההצגות והפכה לתחום מרכזי במתמטיקה המקושר לתחומים שונים הכוללים לצד תורת המספרים גם אלגברה, גיאומטריה, אנליזה ואפילו פיזיקה. אולם תורת המספרים האנליטית הייתה ונשארה אחד המקורת המרכזיים לשאלות בתורת ההצגות. כך לדוגמה התחום של תבניות והצגות אוטומורפיות הוא תחום משותף לתורת המספרים ותורת ההצגות. כמו כן תורת ההצגות של חבורות p-אדיות הוא תחום בתורת ההצגות השואב את עיקר המוטיבציה שלו מתורת המספרים.

ההוכחות למשפט

הוכחות אלגבריות למקרים פרטיים

כל ההוכחת הידועות למשפט דיריכלה הן אנליטיות, ומוכיחות טענה חזקה יותר מאינסופיות קבוצת הראשוניים בסדרה חשבונית. אולם עבור מקרים פרטיים של משפט דיריכלה יש הוכחות אלגבריות הדומות להוכחתו של אוקלידס לכך שיש אינסוף ראשוניים וכמעט שאינן מספקות מידע על צפיפות קבוצה זאת. רוב ההוכחות האלה מבוססות על הרעיון הבא: מוצאים פולינום  כך שלכל  טבעי, למספר  יש גורם ראשוני בסדרה החשבונית. אז מציבים מכפלה של ראשוניים מהסדרה החשבונית לפולינום כדי לקבל מחלקים ראשוניים מהסדרה החשבונית שלא השתתפו במכפלה. נדגים שיטה זו במספר מקרים:

מספרים שאינם ריבוע מודולו

מספרים שהם  מודולו 

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה הבאה:

הפולינום  הוא למעשה  כאשר  הוא הפולינום הציקלוטומי של . הוכחת הלמה מתבססת על כלים של תורת המספרים האלגברית, ההוכחה איננה פשוטה אך אלגברית לחלוטין. לצורך המחשה נביא כאן את ההוכחה כאשר  ראשוני.

כעת נוכיח את המשפט

מסקנות
מטענות אלה נובע משפט דיריכלה ל- .

מכפלת אוילר

נקודת המוצא של הוכחתו של דיריכלה (כמו גם של כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) היא נוסחת המכפלה של אוילר:
כאשר המכפלה עוברת על כל המספרים הראשוניים. הנוסחה מבוססת על טורים הנדסיים ועל משפט קיום ויחידות של פירוק לגורמים ראשוניים. הנוסחה מאפשרת לקבל מידע על ההתפלגות של מספרים ראשוניים (מאגף ימין) באמצעות כלים של אנליזה (בהם מנתחים את אגף שמאל). עם זאת, בצורתה זו הנוסחה לא נותנת מידע רב, שכן שני אגפיה מתבדרים. כדי להפוך אותה לשימושית יותר, מכניסים פרמטר ממשי  ומחליפים את הנוסחה בנוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן:

באופן כללי, כדי לקבל מנוסחה זו את המידע הדרוש לנו, יש לנתחה כאשר  שואף ל-. בדרך כלל כדי להבין את הטיעונים ברמה האינטואיטיבית אפשר להציב , אבל זה לא מספיק כדי לקבל הוכחה ריגורוזית.

ממכפלת אוילר ניתן לקבל שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. לשם כך לוקחים לוגריתם של שני הצדדים של הנוסחה ומשתמשים בקירוב טיילור מסדר ראשון של הלוגוריתם, ומקבלים:

כאשר:

מכאן קל להסיק שהטור

מתבדר.

באופן פשטני אפשר לומר כי הרעיון בהוכחתו של דיריכלה הוא להתאים טיעון זה לטור דומה עבור הראשוניים בסדרה חשבונית.

שימוש במספרים מרוכבים

אחד הרעיונות המהפכניים של רימן בתורת המספרים האנליטית היא להציב לפונקציית זטא ערכים מרוכבים של המשתנה  (עם חלק ממשי גדול מ-1) ואז להמשיך את פונקציית זטא של רימן לפונקציה מרומורפית המוגדרת על המישור המרוכב כולו. זה הופך את פונקציית זטא לכלי עוצמתי לחקר ההתפלגות של המספרים הראשוניים. רעיון זה הוביל בין היתר להוכחת משפט המספרים הראשוניים. אולם רעיון זה הופיע כ-30 שנה לאחר הוכחת משפט דיריכלה ואינו מופיע בהוכחה המקורית של דיריכלה. חלק מההוכחות המאוחרות יותר משתמשות ברעיון זה, מה שמקצר את ההוכחה. המחיר של קיצור זה הוא שימש בכלים מתקדמים יחסית מאנליזה מרוכבת, שוהכחתם לא פשוטה.

הוכחתו של דיריכלה (כמו גם כמעט כל ההוכחות המאוחרות יותר) משתמשת במספרים מרוכבים במקום אחר: פונקציות  של דיריכלה, שהן גרסאות של פונקציית זטא של רימן הנחוצות בהוכחה, הן פונקציות עם ערכים מרוכבים גם כאשר המשתנה שלהן ממשי. שימוש זה לא דורש אנליזה מרוכבת אלא רק הבנה של מספרים מרוכבים, ולכן פשוט בהרבה. גם שימוש זה לא הכרחי, אפשר להחליף אתו בשימוש בפונקציות טריגונומטריות, אולם החלפה כזאת תסרבל את ההוכחה ותסתיר את הרעיונות שבה, כך שהיא לא מקובלת.

קרקטר דיריכלה

מכפלת אוילר נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דיריכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת-קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה  אפשר להגדיר גרסה ממושקלת של פונקציית זטא של רימן באופן הבא:

טור כזה נקרא באופן כללי טור דיריכלה. עבור בחירות מסוימות של  יהיו לפונקציה זאת חלק מהתכונות הטובות של פונקציית זטא של רימן, לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה  היא קרקטר דיריכלה.

לטורי דיריכלה עם פונקציית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים פונקציות  של דיריכלה. עבור פונקציות אלה מתקימת נוסחת המכפלה של אוילר:

כיוון שקרקטר דיריכלה הוא פונקציה מחזורית (תנאי 1) ניתן לראות בו פונקציה על החוג הסופי . כיוון שהוא מתאפס על האיברים הלא הפיכים בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראות בו פונקציה על חבורת האיברים ההפיכים בחוג זה. חבורה זאת נקראת חבורת אוילר ומסומנת ב-. מנקדת מבט זאת קרקטר דיריכלה הוא קרקטר כיפלי של החבורה . קרי הומומורפיזם מחבורה זאת לחבורה .
אוסף כל קרקטרים של חבורה  נקרא החבורה הדואלית של  ומסומן ב-. בהתאם, אוסף כל קרקטרי דיריכלה עם מנחה  מסומן ב-.

התמרת פורייה דיסקרטית כפלית

אנו מעוניינים בראשוניים בסדרה החשבונית . באופן עקרוני ניתן לבודד ראשוניים אלה על ידי שימוש בפונקציית משקל שתהיה הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית. אולם פונקציה זאת איננה קרקטר, ולכן מכפלת אוילר לא תקפה עבורה. דיריכלה התמודד עם קושי זה בכך שהוא הציג את הפונקציה המציינת של הסדרה החשבונית בתור צירוף ליניארי של קרקטרים. באופן ספציפי, הוא הוכיח את הטענה הבאה:

טענה זאת היא מקרה פרטי של התמרת פוריה על חבורות אבליות סופיות:

למשפט זה יש הכללה לחבורת אבליות טופולוגיות קומפקטיות מקומית ואף לחבורת לא אבליות.
ניתן להוכיח את המשפט על ידי ליכסון משותף של אופרטורים ממרחב הפונקציות  לעצמו המתקבלים מהזזה באיברי . אך יש למשפט גם הוכחות אלמנטריות יותר. שלא משתמשות באלגברה ליניארית. למשל הוא נובע בקלות יחסית מהלמה הבאה:

עובדה זו (הנכונה בנוסח המוכלל  לכל חבורה סופית) נובעת מ"יחס שור השני" על טבלת הקרקטרים. ניתן להסיק אותה גם מן הלמה הבאה:

למה זאת נובעת בקלות ממשפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית המראה ש-x שייך למחובר ישר ציקלי; אך ניתן גם להוכיח אותה ישירות על ידי הרחבה הדרגתית של קרקטר מתת-חבורה לכל החבורה. כמו כן, במקרה שרלוונטי למשפט דיריכלה  ניתן גם להוכיח אותה באמצעות ניתוח המבנה של החבורה  המבוסס על משפט השאריות הסיני.

רדוקציה להתכנסות ואי-התאפסות של פונקציית L של דיריכלה
עבור פונקציה חסומה  נסמן 
משפט דיריכלה נובע מהטענה הבאה:

כאשר  היא הפונקציה האופיינית שהוגדרה מעלה.
מאידך 
באופן דומה להסבר מעלה, מכאן, ניתן להסיק ש:

כאשר  היא פונקציה חסומה בקרן .

אם  הוא הקרקטר הטריוויאלי אז  דומה מאוד לפונקציית זטא של רימן, ובפרט . לכן . כך שכדי להוכיח ש  די להוכיח ש  חסום בסביבת  עבור  לא טריוויאלי. במילים אחרות, די להוכיח ש: 

הערה: לשוויונים מעלה יש משמעות ריגורזית רק כאשר . כמו כן, פונקציית הלוגריתם איננה מוגדרת ביחידות, כך שהטיעון שהוצג איננו ריגורוזי. ניתן לקבל טיעון ריגורוזי בהתבסס על הלמה הפשוטה הבאה:

התכנסות של פונקציית L של דיריכלה

נקבע קרקטר לא טריוויאלי  בעל מחזור .
ההתכנסות (בתנאי) של הטור  היא טענה פשוטה למדי. היא נובעת בקלות ממבחן דיריכלה להתכנסות טורים ומהלמה הפשוטה הבאה:

למעשה קל להסיק מלמה זאת גם חסם יעיל על קצב ההתכנסות של הטור.

לפיכך, כדי להוכיח את המשפט דיריכלה, די להוכיח את המשפט הבא:

משפט זה לא פשוט כלל, ולמעשה מהווה את עיקר הקושי בהוכחת משפט דיריכלה, אולם, יש הבדל עקרוני משמעותי בינו לבין משפט דיריכלה:
בעוד שגם עבור סידרה חשבונית נתונה, משפט דיריכלה אינו טריוויאלי כלל, משפט זה קל לבדיקה לכל קרקטר דיריכלה נתון: כדי להוכיח את המשפט לקרקטר נותון די לחשב את הסכום החלקי  עד ל  גדול מספיק כך שהערכה לשגיאה בחישוב הטור תהיה קטנה מערך הסכום החלקי. אומנם בהיעדר חסם מלרע לערך של פונקציית  ב -1, אין דרך לדעת כמה זמן יערוך חישוב כזה, אך (בהנחה שהמשפט מתקיים; מה שאנו יודעים בדיעבד) החישוב בהכרח יוכיח אותו בזמן סופי עבור הקרקטר הנתון.

כיוון שיש מספר סופי של קרקטרי דיריכלה עם מנחה (conductor) נתון, טיעון זה מאפשר להוכיח את משפט דיריכלה עבור כל סידרה חשבונית נתונה באמצעות חישוב סופי. במחשב מודרני, קל לבצע את החישוב עד ערכי  גדולים למדי (אלפים). גם באמצעות חישוב ידני אפשר להוכיח את המשפט לערכי  שעבורם הוא לא היה ידוע בטרם דיריכלה פיתח שיטה זאת.

מההתכנסות של  יחד עם הנוסחה למעלה, קל להסיק שההתבדרות של  גוררת את ההתבדרות של  לכל  זר ל- . במילים אחרות מקבלים רדוקציה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה למקרה בו . עם זאת רדוקציה זאת לא תקפה לגרסה הרגילה של משפט דיריכלה. כך שההוכחה האלגברית שהוסברה למעלה למשפט דיריכלה למקרה  איננה מספיקה כדי לסיים את ההוכחה. אולם ניתן להתאים את ההוכחה הזאת לכדי הוכחה של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה ובכך לסיים את ההוכחה. ראו פרוט למטה.

המקרה הלא ממשי
דיריכלה מצא טיעון פשוט ואלגנטי להוכיח ש  כאשר לא כל ערכי  ממשיים. לא כל ההוכחות למשפט דיריכלה משתמשות בטיעון זה. זאת כיוון שאת רוב ההוכחות לאי-התאפסות  במקרה שערכי  ממשיים ניתן להתאים גם למקרה הכללי. עם זאת, התאמות אלה בדרך כלל מכבידות על ההוכחה. לכן, הרבה מקורות מציגים את הטיעון של דיריכלה למקרה הלא ממשי בנפרד, ובכך מפשטים את שאר ההוכחה. כך גם נראתה ההוכחה המקורית של דיריכלה.

אפשר לראות בטיעון זה של דיריכלה כטעון דיכוטומיה: או ש לא מתאפס, או שהוא מתאפס באופן מובהק מספיק שיגרור מסקנות לא הגיונית על התפלגות הראשוניים בסדרה חשבונית שיובילו לסתירה. באופן פורמלי יותר, הטיעון מבוסס על הלמה הבאה:

הרעיון בהוכחת הלמה מבוסס על ניתוח צפיפות דיריכלה של הראשוניים בסדרה החשבונית : כאמור מעלה צפיפית זאת נתונה על ידי הנוסחה

כאשר  היא פונקציה חסומה בקרן .
נסמן ב  את הקרקטר הטריוויאלי.
באופן לא ריגורוזי, אם מניחים בשלילה ש- ומציבים  לנוסחה מקבלים:

מה שלא ייתכן כי .
אמנם אין כל משמעות ריגורוזית לחיבור וחיסור של ערכים אינסופיים, אבל ניתן להפוך טיעון זה לריגורוזי:

מלמה זאת קל להסיק אי-התאפסות של פונקציית  לקרקטר לא ממשי:

מטענה זאת ומהנוסחה למעלה קל להסיק את משפט דיריכלה (בגרסה הכמותית) עבור  שאינו ריבוע מודולו אף מחלק גדול מ-2 של .
כמו כן, בשיטה דומה, אפשר לקבל רדוקציה של משפט דיריכלה לטענה הבאה:

כאשר  היא הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים שהם ריבוע מודולו .

מהלמה למעלה קל גם להסיק את הטענה הבאה:

קיים  כך שמשפט דיריכלה נכון לכל  שאינו מחלק את . כמו כן, על ידי חישוב של מספר סופי של פונקצוית L, ניתן לחסום מלרע את הערך של  על ידי חסם גבוהה כרצוננו.

רדוקציה להתבדרות פונקציית זטא של דדקינד

נקבע קרקטר דיריכלה ממשי .
נגדיר

על ידי פתיחת סוגריים קל להראות כי זהו טור דיריכלה עם מקדמים חיוביים. למעשה (עד כדי מודיפיקציה קלה) זוהי פונקציית זטא של דדקינד עבור הרחבה ריבועית מסוימת של שדה המספרים הרציונליים.

השלב הבא ברוב ההוכחות של משפט דיריכלה הוא להראות שהתבדרות של טור זה ב -  גוררת ש - . באופן אינטואיטיבי אפשר להסביר זאת בכך שאם  אז

קל להפוך טיעון זה לריגורוזי, באופן דומה להוכחת הלמה למעלה

קל לראות ש:

מתכנס כש  לכן התבדרות  שקולה למעשה להתבדרות

השקולה להתבדרות

זאת בתורה שקולה להתבדרות הטור

ההתבדרות האחרונה היא למעשה מקרה פרטי של הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה. ואכן למקרה זה יש הוכחות אלגבריות כמעט לחלוטין שלא עושות שימוש בכל הארגומנטים לעליל, כך שאפשר לראות בכל ההוכחה עד כאן בתור רדוקציה למקרה זה. אולם יש גם הוכחות אנליטיות למקרה זה אשר משתמשות בטיעונים לעליל וספציפית בפירוק

שאותו לא ניתן לראות סתם מחקר של קבוצת הראשוניים המקיימים .

המקרה של קרקטר לא ממשי
אומנם הראינו איך ניתן לטפל במקרה של קרקטר לא ממשי למעלה, אבל ניתן לטפל גם בו באמצעות פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. זאת היא הפונקציה

זאת למעשה פונקציית זטא של דדקינד עבור השדה הציקלוטומי  (עד כדי מודיפיקציה קלה).
גם במקרה זה קל להראות שהתבדרות פונקציה זאת ב  גוררת עבור כל  ושקול להתבדרות הטור
 גם במקרה זה, ניתן להוכיח זאת הן בגישה אלגברית והן בגישה אנליטית, אך הוכחות אלה מסובכות יתר מההוכחות למקרה הממשי.

הוכחות אנליטיות
ההוכחות האנליתיות מתבססות על תופעת הדיכוטומיה הבאה: אם  אז לא רק שטור הדיריכלה  מתכנס ב  אלא הוא גם מתכנס עבור כל  חיובי. זה מוביל לסתירה מכיוון שקל לראות שהטור  מתבדר.

באופן מפורט יותר, תחילה כותבים את הפונקציה  כטור דיריכלה:  ומוכיחים את הלמה הפשוטה הבאה:

מכאן יש 2 גישות:
 הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת (ספציפית בלמה של לנדאו)
 הוכחה אלמנטרית, אך קשה יותר טכנית

הוכחה המשתמשת באנליזה מרוכבת
תחילה מוכיחים (באמצעות מבחן דיריכלה) שהטור  מתכנס (בתנאי) כאשר . לאחר מכן שמים לב כי עבור  מתקיים:

מכאן מסיקים כי אם  אז למכפלה  יש המשכה אנליטית לחצי המישור . לכן מכיוון שמקדמי הטור  הם חיוביים, הלמה של לנדאו גוררת שטור זה מתכנס כאשר . זה מוביל לסתירה כי:

הוכחה אלמנטרית

ההוכחה האלמנטרית מתבססת על שיערוך הטור

כאשר  גדול.
ראשית מקבלים חסם מלרע:

לאחר מכן משתמשים בפירוק
 המבוסס על הפירוק

ובשיטת ההיפרבולה של דיריכלה כדי לקבל שיערוך אסימפטוטי של הסכום
 לשם כך יש לקבל את השיערוכים האסימפטוטיים הבאים:

כאשר  קבוע מתאים.
כל אלה נותנים את השיערוך

כך שאם  זה מוביל לסתירה עם החסם מלרע.

המקרה הלא ממשי
קל למדי להתאים את ההוכחה שמשתמשת באנליזה מרוכבת לכל קרקטר . ההוכחה האלמנטרית נהיית מסורבלת בהרבה אם מנסים להתאימה לקרקטר כללי, כך שהדבר לא נעשה מכיוון שהוא מיותר.

הוכחות אלגבריות

כאמור, אין הוכחות אלגבריות לחלוטין למשפט דיריכלה. אולם ישנן הוכחות הדומות באופיין להוכחות האלגבריות למעלה להתבדרות , או באופן שקול לעובדה שיש הרבה ראשוניים המקיימים . היתרונות בהוכחות האלגבריות הוא שהן מפורשות יותר ונותנות נוסחה מפורשת לערך  כאשר  הוא קרקטר ממשי. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.

גישה אלמנטרית
הרעיון הוא למצוא פולינום כך שחלק ניכר מהמחלקים הראשוניים של ערכיו (בנקודות שלמות) יקיימו . אולם הפעם לא די בכך, מכיוון שאנו צריכים שלפולינום יהיו די ערכים כדי לגרור את התבדרות הטור המתאים. לכן זה צריך להיות פולינום במספר משתנים, מכיוון שקבוצת הערכים של פולינום לא ליניארי ממשתנה אחד דלילה מידי.

מתברר שהפולינום המתאים הוא  כאשר  מספר שלם מסוים התלוי ב (עד כדי כפל בסימן וב-2 זה המנחה של ). הנקודה המרכזית בחלק זה של ההוכחה היא הלמה הבאה:

למה זאת איננה פשוטה כלל, והוכחתה משתמשת בהדדיות ריבועית. עם זאת ניתן להוכיח אותה בצורה אלמנטרית ואלגברית לחלוטין.

כדי להשלים את ההוכחה, די להראות כי יש אחוז חיובי של מספרים מהצורה  עד גודל  מסוים. אינטואיטיבית הדבר די ברור. הרי אם  הם בטווח  אז מספר האפשרוית ל  הוא כ- והם כולם קטנים (בערכם המוחלט) מ- . אולם מכיוון שהפולינום  איננו פונקציה חח"ע זאת אינה הוכחה. כדי לקבל הוכחה יש לחסום את מספר הזוגות השונים שנותנים את אותו הערך בהצבה ל-. בפרט יש להבין את פתרונות המשוואה

כאשר  חיובי זאת משימה קלה מאוד. כאשר  שלילי, משוואה זאת נקראת משוואת פל וניתוחה מצריך עבודה מסוימת.

ניתן להביא טיעון זה לידי הוכחה ריגורוזית, אך הדבר קשה מבחינה טכנית. הוכחתו המקורית של דיריכלה הייתה לאורך קווים אלו. דדקינד פיתח שיטה אלגנטית ופשוטה להציג טיעון זה באמצעות כלים מתקדמים יותר מתורת המספרים האלגברית.

גישה המשתמשת בתורת המספרים האלגברית
בהינתן שדה מספרים  (ז.א. הרחבה סופית של ), ניתן להגדיר את חוג השלמים בו  להיות חוג כל איברי  המהווים שלמים אלגבריים. פונקציית זטא של דדקינד של השדה  מוגדרת כך:
כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים ב .
דדקינד הוכיח כי (עד כדי מודיפיקציה קלה) פונקציה זאת שווה לפונקציה  עם בוחרים את  להיות הרחבה ריבועית מסוימת של  המתאימה ל-. טענה זאת היא גרסה מתקדמת של הלמה למעלה, והוכחתה משתמשת בפריקות יחידה לאידיאלים בחוגי דדקינד ובהדדיות ריבועית.

כעת נותר להוכיח את ההתבדרות של  בנקודה 1. לשם כך נשים לב ש: 
כאשר הסכום הוא על כל האידיאלים הראשיים ב  (ז.א. אידיאלים הנוצרים על ידי איבר אחד). לכן די להוכיח ש:

קל לרארת ש:
 כאשר  הוא הערך המוחלט של נורמת גלואה של . כמו כן, קל לראות ש  אם"ם  כאשר  מסמן את חבורת האיברים ההפיכים ב . מכאן מקבלים ש:

במקרה ש  היא הרחבה ריבועית החוג  איזומורפי כחבורה אבלית לסריג . הפונקציה  היא (ערך מוחלט של) פונקציה ריבועית על סריג זה. החבורה  היא חבורה סופית (במקרה שההרחבה  היא מרוכבת) או חבורה ציקלית חופשית המתוארת על ידי משוואת פל (במקרה שההרחבה  היא ממשית). לכן קל למדי להראות את התבדרות הטור  ובכך לסיים את הוכחת המשפט.

ניתן גם לנתח באופן מדויק את האסימפטוטיקה של  כאשר . לשם כך יש להעריך את היחס . במילים אחרות צריך להבין מהוא חלקם של האידיאלים הראשיים מתוך כלל האידיאלים. חלק זה נמדד באמצעות חבורת המחלקה שגודלה נקרא מספר המחלקה של . מכיוון שהאסימפטוטיקה של  כאשר  קשורה בקשר ישיר לערך , אנו מקבלים נוסחה הקושרת ערך זה למספר המחלקה. נוסחה זאת נקראת נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. נוסחה זאת גוררת באופן מידי את אי-ההתאפסות 

הערות:
 הניסוח המקורי של דיריכלה לנוסחת מספר המחלקה לא משתמש במספר המחלקה של השדה , אלא במספר המחלקה של תבנית ריבועית מתאימה. זהו מושג שפיתח גאוס ומהווה גרסה מוקדמת למספר המחלקה של שדה מספרים.
 נוסחת מספר המחלקה כוללת גם את המנחה  של  ומידע על חבורת האיברים ההפיכים .
 אומנם דיריכלה השתמש בנוסחת המחלקה כדי לקבל מידע על הערך  באמצעות מספר המחלקה, אבל רוב השימשים המודרניים לנוסחת המחלקה הם בכיוון ההפוך. זאת מכיוון שחישוב מספר המחלקה איננה משימה פשוטה, בעוד שחישוב של  עבור קרקטר  נתון היא משימה פשוטה למדי. למעשה די לשערך את  ואין צורך לחשב אותו במדויק, מכיוון שמספר המחלקה תמיד שלם ולכן נוסחת מספר המחלקה כופה מגבלות על הערך . במקרה של דיריכלה המצב היה הפוך מכיוון שהוא התעניין בתצאה כללית על אי-התאפסות, כך שלא די בשיטות חישוב לקרקטר נתון. מאידך אי התאפסות של מספר המחלקה מובנת מההגדרה.

המקרה הלא ממשי
ניתן להתאים את ההוכחות האלגבריות למקרה הלא ממשי. את מקומה של ההרחבה הריבועית , תתפוס ההרחבה הציקלוטומית . פונקציית זטא של דדקינד של הרחבה זאת נותנת (לאחר מודיפיקציה קלה) את הפונקציה  שהוגדרה מעלה, שהיא מכפלת כל פונקציות ה- של דיריכלה עם קרקטרים בעלי מנחה . טענה זאת נובעת מפריקות יחידה לאידיאלים ראשוניים בחוג דדקינד, בדומה לטענות למעלה. במובן מסוים טענה זאת פשוטה יותר מכיוון שאיננה משתמשת בהדדיות ריבועית. דבר זה אינו מפתיע, מכיוון שאחת ההוכחות של ההדדיות הריבועית משתמשת בסכום גאוס המראה שניתן לשכן כל הרחבה ריבועית להרחבה ציקלוטומית. כך שאם מלכתחילה אנו עובדים עם הרחבה ציקלוטומית חלק זה נחסך מאיתנו.

כדי להשלים את ההוכחה בגישה זאת, נותר להראות שפונקציית זטא של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב . למעשה פונקציית זטא של דדקינד של כל שדה מספרים מתבדרת ב . ההוכחה של טענה זאת דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח משוואת פל יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את משפט היחידות של דיריכלה.

גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטא של דדקינד ב . ספציפית עבור כל שדה מספרים  אפשר להביע את הגבול  באמצעות מספר המחלקה של  ואינווריאנטים נומריים נוספים של . קשר זה נקרא נוסחת המחלקה של דדקינד. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול  איננו ערך של פונקציית  מסוימת. אולם אם  הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה

באופן מפורש יותר אפשר לסכם את הגישה הזאת באמצעות הלמה הבאה:

הפולינום  הוא למעשה נורמת גלואה בחוג השלמים של הרחבה ציקלוטומית. זה פולינום מסובך למדי אך מפורש לחלוטין.

מלמה זאת קל להסיק את הגרסה הכמותית של משפט דיריכלה עבור הסדרה החשבונית . כאמור גרסה זאת גוררת את משפט דיריכלה באופן כללי.

נשים לב כי הפולינום  מההוכחה האלגברית האלמנטרית למעלה הוא צימצום של הפולימום  כאן, לישר. כך שההוכחה כאן היא למעשה הרחבה של הארגומנט האלמנטרי עבור משפט דיריכלה לסדרה החשבונית  כך שיתן גם חסם כמותי יעיל על צפיפות דיריכלה של הראשוניים על סידרה זאת.

סיכום
ניתן לתאר את רוב ההוכחות השונות לפי הסכמה ההבאה:
 ההוכחות מתבססת על ניתוח הטור  בנקודה s=1.
 באמצעות התמרת פוריה דיסקרטית על החבורה  מפרקים טור זה לטורים מהסוג 
 באמצעות מכפלת אוילר מקרבים טורים אלה עם הלוגריתם של פונקציית L של דיריכלה.
 מכאן קל לבצע רדוקציה של משפט דיריכלה להתכנסות ואי-התאפסות של פונקציית L של דיריכלה בנקודה 1.
 ההתכנסות של פונקציית L של דיריכלה קלה יחסית, כך שדי להוכיח את אי-ההתאפסות.
 ניתן להראות את אי-ההתאפסות עבור קרקטרים לא ממשיים על ידי טיעון דיכוטומיה אנליטי, שלפיו אם פונקציית L כזאת מתאפסת בנקודה 1, אז גם פונקציית L נוספת צריכה להתאפס, ומכאן "שיש  ראשוניים בסדרה החשבונית ". שלב זה אינו הכרחי. אפשר להתאים את השלבים הבאים כך שלא יהיה צורך בשלב זה. אולם הדבר יסבך את ההוכחה, בדרך כלל.
 אי-ההתאפסות של פונקציית L בנקודה 1, שקולה להתבדרות של פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. חלק מההוכחות משתמשות בשקילות זאת וחלק לא. מדובר בהבדל שהוא אקספוזיציוני בעיקרו.
 מכאן יש שתי גישות:
 הגישה האלגברית: ניתן להעריך את קצב ההתבדרות של פונקציית זטא של דדקינד בנקודה 1 באמצעים אלגבריים, על ידי בנייות אלגבריות של מספרים ראשוניים שמקיימים תנאי קונגואנציה מתאים. ניתן לבצע הערכה כזאת בשפה קלאסית (בעזרת תבניות ריבועיות), או בשפה מודרנית יותר (בעזרת שדות מספרים). שיטה זאת מספקת נוסחאות לערכי פונקציית L ב-1: נוסחאת מספר המחלקה של דיריכלה ונוסחאת מספר המחלקה של דדקינד.
הגישה האנליטית: משתמשים בטיעון דיכוטומיה אנליטי שמראה שאם פונקציית זטא של דדקינד מתכנסת בנקודה 1 אז יש לה תכונות אנליטיות "טובות" נוספות, למשל התכנסות בנקודה 1/2. זה עומד בסתירה להתבדרות הטור ההרמוני. ניתן לממש גישה זאת באמצעות אנליזה מרוכבת, או אם מעט יותר מאמץ על ידי כלים אנליטיים אלמנטריים.

מספר הערות היסטוריות
 המושג קרקטר דיריכלה הוגדר על ידי דדקינד. בהוכחה של דיריכלה, במקום לדבר על קרקטרים של חבורת אוילר, דיריכלה בחר יוצרים בלתי תלויים של חבורה זאת והתאים פונקציית L לכל בחירה של שורשי יחידה מתאימים עבור כל יוצר.
 לפני שדיריכלה הוכיח את משפט דירכלה לסדרה חשבונית כללית, הוא הוכיח את המשפט לסדרה חשבונית עם הפרש ראשוני. הוא עשה זאת באמצעות הנוסחה המפורשר המתארת מעלה ל- עבור קרקטר ממשי, ועל ידי הארגומנט האנליטי המתאר מעלה עבור קרקטר לא ממשי.
 ההוכחה האנליטית האלמנטרית המתוארת בערך היא אחת מהוכחותיו של מרטנס.
 ההוכחה באמצעות אנליזה מרוכבת המתוארת בערך היא אחת מהוכחותיו של לנדאו.

לקריאה נוספת
 The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood מאת Władysław Narkiewicz. ספר המכיל סקירה היסטורית של הבעיה ואת הפתרון המקורי של דיריכלה.

קישורים חיצוניים

אינציקלופדיות

בלוגים

 254A, Notes 1: Elementary multiplicative number theory פוסט של טרי טאו על משפט דיריכלה .

וידאו
סרטון של 3Blue1Brown המזכיר את משפט דיריכלה 
, סדרת הרצאות בעברית על משפט דיריכלה.

הערות שוליים

תורת המספרים האנליטית
דיריכלה
מספרים ראשוניים