הפלימפססט של ארכימדס

הפַּלִימְפסֶסט של ארכימדס (באנגלית: Archimedes Palimpsest, נקרא גם הקודקס של ארכימדס) הוא ספר תפילה שנכתב ככל הנראה בארץ ישראל  הספר נכתב על גבי גיליונות קלף, ששימשו קודם לכן כמה ספרים של המתמטיקאי היווני ארכימדס, ומספר טקסטים עתיקים נוספים. בין המאה ה-12 למאה ה-19 שכן הספר ככל הנראה במנזר מר סבא שבמדבר יהודה. במאה ה-20 הוא התגלה במנזר איה סופיה שבקונסטנטינופול על ידי החוקר הדני יוהאן לודוויג הייברג. הייברג זיהה את כתביו של ארכימדס מתחת לטקסט של ספר התפילה, וגילה שהפלימפססט כולל כמה ספרים של ארכימדס שלא היו מוכרים עד לימיו. בשנת 1998 נקנה הספר על ידי תורם אלמוני שהעביר את הספר למוזיאון וולטרס לאמנות  בבולטימור, שם הספר משוחזר ונחקר.

ארכימדס וכתביו
ארכימדס חי במאה ה-3 לפנה"ס בעיר סירקוזה שבסיציליה, ונחשב לאחד מגדולי המדענים בכל הזמנים. בין היתר חקר תכונות גאומטריות של חתכי חרוט בשיטות שהיוו את הבסיס לחשבון האינפיניטסימלי שהתגלה כאלפיים שנה מאוחר יותר. ארכימדס המציא את תורת המנופים, גילה את חוק הציפה הקרוי על שמו ובכך פיתח את ענף ההידרוסטטיקה, כמו כן חקר שיטות למציאת מרכז המסה של גופים מורכבים.

את עבודותיו העלה ארכימדס על הכתב ושלח כמכתבים למתמטיקאים אחרים בני התקופה, בראשם אאודוקסוס מקנידוס וארטוסתנס (הידוע בעיקר בזכות מציאת קוטר כדור הארץ על ידי מדידת אורך הצל בשתי נקודות שונות בו זמנית). ספרים אלה נכתבו על גבי מגילות קלף והועתקו ונלמדו בעת העתיקה במקומות שונים. במהלך ימי הביניים הגיעו חלק מכתבי ארכימדס לידי המתמטיקאים הערביים הגדולים שתרגמו אותם לערבית וחקרו אותם. בדומה לחלק גדול מהידע אודות המתמטיקה היוונית, מידע רב על ארכימדס מבוסס על כתביהם של אותם מתמטיקאים.

מעטים מכתביו של ארכימדס נשתמרו ועקבותיהם של רבים אחרים אבדו, בדומה לטקסטים חשובים רבים מהעת העתיקה שאבדו באירועים כמו שריפת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה בשנת 391, או בזיזת קונסטנטינופול במהלך מסע הצלב הרביעי בשנת 1203. בקטלוג מהמאה הרביעית מצוין שבין כתביו של האפיפיור היו שני אוספים של ספרי ארכימדס, הנקראים 'קודקס A' ו'קודקס B'. ספרים אלו היוו מקור השראה לרבים מהמדענים של תקופת הרנסאנס, כמו לאונרדו דה וינצ'י או גלילאו גלילאי, ובהמשך - אייזק ניוטון שהושפע ישירות מעבודתו. מספר תרגומים של קודקס A וכן של הספר 'על גופים צפים' מתוך קודקס B שרדו עד ימינו, אך עקבותיהם של הקודקסים המקוריים אבדו.

בשנת 1907 גילה החוקר הדני יוהאן לודוויג הייברג אוסף שלישי של כתבי ארכימדס, הנקרא 'קודקס C' (או הפלימפססט של ארכימדס). הקודקס נתגלה חבוי בצורת פלימפססט תחת טקסט של ספר תפילות, בספריית מנזר איה סופיה באיסטנבול. הקודקס הכיל טקסטים עתיקים וכן שבעה ספרים של ארכימדס, אשר לשלושה מהם אין עותקים אחרים: המתודה, על גופים צפים והסטומכיון.

הכנת הפלימפססט ותיארוכו
בימי הביניים היה הקלף מצרך יקר, ולכן לא פעם השתמשו במגילות קלף ישנות להכנת ספרים חדשים. הטקסט הישן נמחק באמצעות גירוד (באופן דומה לדרך בה הוכן הקלף מלכתחילה), ובמקרים רבים ניתן עדיין לקרוא את הטקסט הישן תחת החדש, קלפים אלו מכונים פלימפססט.

ספר התפילות שנכתב על גבי כתבי ארכימדס נוצר בארץ ישראל, כנראה באזור ירושלים. ההשערה היא כי הוא הותקן בשנת 1229 על ידי כומר מעתיק בשם יוהנס מירונאס, זמן קצר לאחר כיבוש ירושלים על ידי פרידריך השני במסגרת מסעות הצלב. לשם הכנת ספר התפילות השתמש הכומר במספר רב של מגילות מכתבי ארכימדס ואחרים, אותם חתך וכרך מחדש בצורת קודקס.

מארץ ישראל לקונסטנטינופול והגילוי על ידי הייברג
החל מהמאה ה-16 ואולי אף קודם לכן, שכן הקודקס במנזר מר סבא שבמדבר יהודה. ספריית המנזר הכילה במאה ה-19 מעל לאלף ספרים, ונחשבה לספרייה הגדולה ביותר באזור. בשלב כלשהו הועבר הספר לכנסיית איה סופיה שבקונסטנטינופול (איסטנבול של ימינו). הכנסייה, בדומה למנזר מר סבא, השתייכה לכנסייה היווני אורתודוקסית, וההשערה היא שהספר הועבר אליה במאה ה-19 בידי צליינים שמילאו אז את הדרכים בין ארץ ישראל ואיסנטבול.
בתחילת המאה ה-20 החל החוקר הדני יוהאן לודוויג הייברג להתעניין בספר, בשל היותו פלימפססט המכיל כתבים מתמטיים עתיקים. הייברג היה מומחה לכתבי יד עתיקים ולהיסטוריה של המתמטיקה. עבודת הדוקטורט שלו עסקה בארכימדס, והוא ידוע מאוד גם במחקרים של מתמטיקאים גדולים אחרים בני התקופה. הייברג ערך את כתביהם של אוקלידס, אפולוניוס מפרגה, אריסטו, תלמי, הרון מאלכסנדריה ואחרים. בשנת 1906, לאחר שבקשתו לשליחת הקודקס לקופנהגן נדחתה, נסע הייברג לקונסטנטינופול וקיבל את רשות ספרן הכנסייה לחקור את הספר. הוא גילה שהפלימפססט מכיל את כתבי ארכימדס, פענח מתוכו את הטקסט של הספר 'מתודה' ושל ספרים אחרים, וצילם חלק מהדפים.

אובדן הפלימפססט וגילויו מחדש
לאחר שהייברג סיים את מחקרו, אבדו שוב עקבותיו של הספר, כנראה עם העברת ספרי הפטריארכיה היוונית באיסטנבול בחשאי לאתונה לאחר מלחמת העולם הראשונה. חלק מהספרים הגיעו לידיים פרטיות, ונראה שהפליפמססט הגיע לידי סוחר עתיקות פריזאי בשם סלומון גרסון. הספר הופיע שוב ב-1998 במכירה פומבית בניו יורק, שם נקנה תמורת 2.2 מיליון דולר על ידי נדבן אלמוני, שהעביר את הספר למוזאון וולטרס לאמנות בבולטימור, לצורך עבודות שחזור ומחקר.

עבודת השחזור והמחקר המודרני
השוואת מצב הספר לאחר הופעתו מחדש, לבין מחקרו של הייברג מתחילת המאה ה-20, מלמדת כי לספר נגרם נזק רב: חלק מהעמודים נקרעו ואבדו, על כמה מהם צוירו זיופי ציורים עתיקים שלא היו בו קודם, והספר כולו נפגע מלחות.
צוות מומחים מטעם המוזיאון עמל על מלאכת שחזור הספר, שכללה הפרדה בין הדפים, ניקויים ותפירתם מחדש. הדפים צולמו תחת סוגי תאורה שונים ובשיטות הדמיה שונות, על מנת לאפשר את קריאת הטקסט המקורי של ארכימדס. הצילומים הועברו לידי חוקרי כתבי יד, בהם רויאל נץ, שפענחו את הכתב המקורי. הצלחה יוצאת דופן בשחזור הטקסט המקורי הושגה על ידי הדמיה בעזרת קרני רנטגן שנעשתה ב-SLAC (מאיץ החלקיקים של אוניברסיטת סטנפורד).

כתבי ארכימדס המופיעים בקודקס

הקודקס מכיל שבעה ספרים של ארכימדס, אשר לשלושת האחרונים זהו מקור יחידי:
 'שיווי משקל של שטחים מישוריים'
 'קווים ספירלים' 
 'המדידה של העיגול' 
 'על הכדור והגליל'
 'על גופים צפים'
 'המתודה'
 'הסטומכיון'

'שיווי משקל של שטחים מישוריים' עוסק במציאת מרכז הכובד של גופים דו-ממדיים; 'המדידה של העיגול' מפורסם בעיקר בזכות שיטת ארכימדס לקירוב הערך של פאי על ידי סדרת מצולעים משוכללים; 'על הכדור והגליל' כולל נוסחאות לחישוב הנפח של גופים תלת-ממדיים, כולל הגילוי שנפח כדור שווה לשני שלישים הנפח של הגליל הכולא אותו (בעקבות גילוי זה נחרט ציור של כדור הכלוא בתוך גליל על גבי המצבה של ארכימדס); 'על גופים צפים' כולל את גילוי חוקי הציפה ומהווה את הבסיס להידרוסטטיקה.

הספר 'מתודה', שנוסח כמכתב למתמטיקאי היווני ארטוסתנס, מכיל את שיטת ארכימדס לטיפול באינסוף על ידי סדרת גדלים מתכנסים. שיטות אלו היוו את הבסיס לחשבון האינפיניטסימלי שפיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ כאלפיים שנה מאוחר יותר.

השיטה של משפטים מכניים ("המתודה") 

התגלית המשמעותית ביותר בפלימפססט של ארכימדס היא הספר "מתודה", אשר הפלימפססט מכיל את העותק הידוע היחיד שלו.

בעבודותיו האחרות, ארכימדס לעיתים קרובות מוכיח את השוויון בין שני שטחים או נפחים בעזרת שיטת המיצוי של אאודוקסוס, גרסה יוונית עתיקה לשיטת הגבולות של ימינו. כיוון שהיוונים היו מודעים לכך שמספרים מסוימים אינם רציונליים, ההגדרה שלהם למספר ממשי שרירותי הייתה כמות Q שמקרבים אותה על ידי שתי סדרות, אחת מספקת חסם עליון והשנייה מספקת חסם תחתון. אם מוצאים שתי סדרות אינסופיות U ו-L, כאשר U תמיד גדולה יותר מ-Q, ו-L תמיד קטנה יותר מ-Q, ושתי הסדרות מתקרבות ל-Q מרחק קטן יותר מכל כמות ספציפית, אז נאמר ש-Q נמצא, או ממוצה במונחים של U ו-L.

ארכימדס נעזר במיצוי כדי להוכיח את המשפטים שלו. ארכימדס קירב את הצורה שאת שטחה הוא רוצה לחשב באמצעות חלוקה שלה לחלקים בעלי שטח ידוע, אשר מספקת חסם עליון וחסם תחתון לערך השטח של הצורה. ארכימדס לאחר מכן מוכיח ששני החסמים נעשים שווים לערך השטח של הצורה שהוא הצהיר מראש כאשר חלוקת הצורה נעשית לאינסוף חלקים. ההוכחות האלו, שעדיין נחשבות לריגורוזיות ונכונות, עשו שימוש בגאומטריה בדרך מבריקה. מתמטיקאים מאוחרים יותר לעיתים קרובות הלינו על כך שארכימדס לא הסביר כיצד הוא הגיע לתוצאותיו בראשונה. הסבר זה סופק לראשונה עם הגילוי של המתודה.

השיטה שמתאר ארכימדס מבוססת על החקירות שלו בפיזיקה על מרכז הכובד ועקרון המנוף.

באמצעות השיטה שלו, ארכימדס היה מסוגל לפתור בעיות שכעת שייכות לחשבון אינטגרלי, תחום שצורתו המודרנית ניתנה לו בעבודתם של אייזק ניוטון וגוטפריד לייבניץ. בין התוצאות שלו ישנו חישוב מיקום מרכז הכובד של המיספירה (חצי כדור), חישוב מיקום מרכז הכובד של frustrum של פרבולואיד (frustrum הוא פרוסה שנחתכת מגוף תלת־ממדי על ידי שני מישורים מקבילים), וחישוב השטח התחום בין פרבולה וקו ישר.

בעיה שנפתרת באופן בלעדי במתודה היא חישוב הנפח של cylindrical wedge, תוצאה שמופיעה מחדש כמשפט 17 בעבודתו של קפלר Stereometria.

במספר דפים של המתודה לא נעשה שימוש על ידי המחבר של הפלימפססט ולכן הם עדיין אבודים. מרפרנסים לספר של מתמטיקאים אחרים עולה, כי בין הדפים האבודים הללו ישנה תוצאה על הנפח של הגוף שנוצר על ידי החיתוך של שני גלילים.

סטומכיון 
הספר 'סטומכיון' (ביוונית:  Ὀστομάχιον, "אוסטומכיון") היווה תגלית מפתיעה, משום שלהבדיל מספריו האחרים של ארכימדס (שכל אחד מהם נחשב לקפיצת דרך חשובה במתמטיקה) ספר זה עסק בנושא הנחשב כשעשוע. הסטומכיון היא חידת הרכבה, הדומה לחידת הטנגרם המפורסמת יותר, בה ריבוע מחולק ל-14 חלקים, שאיתם ניתן להרכיב מגוון רחב של צורות שונות כמו אנשים, בעלי חיים וכו'. חידה זו נחשבת לחידה המכנית העתיקה ביותר שהשתמרה עד היום, והייתה ידועה בימי קדם בשם 'הסטומכיון של ארכימדס' (אף על פי שלא ברור מה היה העניין של ארכימדס בחידה זו).

דפי הספר 'סטומכיון' בפלימפססט של ארכימדס היו במצב גרוע במיוחד וחלק רב מהם היה חסר. עם זאת, מניתוח הדפים שכן השתמרו העלה רויאל נץ את ההשערה שארכימדס חקר את השאלה: "בכמה דרכים שונות ניתן לחבר את חלקי הסטומכיון על מנת ליצור ריבוע?" (התשובה לשאלה היא 17,152). אם השערה זו נכונה, אזי ארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה.

לקריאה נוספת
 רויאל נץ וויליאם נואל, מאנגלית - דרורה בלישה, הקודקס של ארכימדס, תל אביב, פן, 2007, .

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

היסטוריה של המתמטיקה
ארכימדס
ספרים אבודים
ספרי מתמטיקה
כתבי יד
כתבי יד יווניים