משפט בל

בפיזיקה, משפט בל הוא שם כללי למשפחת תוצאות המוכיחות כי מכניקת הקוונטים סותרת את המובן הפשוט של עקרון המקומיות. עקרון המקומיות במובן זה הוא ההנחה שמדידה הנערכת במקום אחד במרחב, לא יכולה להשפיע באופן מיידי על תוצאת מדידה הנערכת במקום אחר במרחב. משפט בל מתקבל על ידי ניסוח מתמטי של אי-שוויונות הנוגעים לקורלציה האפשרית בין מדידות שונות תחת הנחת עקרון המקומיות, ומציאת תחזיות של מכניקת הקוונטים המְּפֵרות את האי-שוויונות הללו. אי-שוויונות כאלו נקראים אי-שוויוני בל.

את המשפט הגה והוכיח הפיזיקאי ג'ון סטיוארט בל במאמר בשנת 1964. היה זה למעשה מאמר תשובה לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן שתקפו את הפרשנות ההסתברותית למכניקת הקוונטים באמצעות הנחת עקרון המקומיות, ובקשו להוכיח את קיומה של תאוריית משתנים חבויים המשלימה את תורת הקוונטים. תשובתו של בל מצהירה שמכניקת הקוונטים סותרת באופן מהותי את הנחת היסוד של איינשטיין, פודולסקי ורוזן, ולפיכך הקושי עליו הצביעו לא נוגע דווקא לפרשנות ההסתברותית. כל תאוריית משתנים חבויים שתתאים לעקרון המקומיות לא תוכל להתאים לחלק מתחזיות מכניקת הקוונטים.

אי-שוויון בל 
אי-שוויון בל מתייחס למתאמים (קורלציות) בין תכונות השייכות לאובייקטים. אי השוויון נכון לכל 3 תכונות שהן. אין זה משנה אם התכונות תלויות או בלתי תלויות זו בזו.

התרחיש במאמר של בל מבוסס על תרחיש דומה לזה המופיע ב-EPR ובו בודקים את ערכי הספין של זוג אלקטרונים שזורים הנמצאים בשני מקומות מרוחקים ואי-השוויון מתייחס להתאמת הספין בכיוונים שונים. בניסוחו המקורי נכתב האי שוויון כך:

כאשר b,a ו-c הם כיוונים שונים שעבורם נמדד הספין של האלקטרונים, ו- היא ההתאמה בין ערכי הספין בכיוון x בגלאי אחד ובכיוון y בגלאי השני. 
לצורך ההסבר כאן נשתמש באי שוויון אחר ששקול לאי השוויון הזה (ראה גרסאות של אי שוויון בל בהמשך).

הסבר 
ניקח קבוצה של אובייקטים שלכל אחד מהם יכולות להיות או לא להיות כל אחת משלוש התכונות B, A ו-C. נסמן את קיומה של תכונה A ב-, את העדרה ב-, ובאופן דומה את קיומן או העדרן של התכונות האחרות. מספר האובייקטים בקבוצה שיש להם, למשל, התכונות A ו-B אבל לא C יהיה .

כיוון שמספר החברים בקבוצה שלהם צירוף כלשהו של תכונות יכול להיות 0 או יותר, נוכל לרשום את אי השוויון הבא:

נוסיף שני איברים לשני הצדדים של אי השוויון:

כיוון שמספר האובייקטים שיש להם תכונה מסוימת ועוד מספר האובייקטים שאין להם אותה תכונה הוא מספר כל האובייקטים, נוכל לחבר זוגות איברים ולרשום:

(2)                  

אי שוויון זה שקול לאי השוויון של בל (ראה תיאור גרפי של אי-שוויון בל למטה).

הספין של אלקטרון יכול לקבל אחד משני ערכים – up או down, או בסימון אחר 1/2 או 1/2- בכל כיוון מרחבי. על פי עקרון אי הוודאות של הייזנברג, לא ניתן למדוד את ערך הספין של אלקטרון מסוים ביותר מכיוון אחד. אבל עבור זוג אלקטרונים במצב שזירות, אם נמדוד את הספין של כל אחד מהם בכיוון מסוים נקבל תמיד ערכים הפוכים. אם לאחד מהם יהיה הספין בכיוון מסוים 1/2, הספין של השני באותו כיוון יהיה תמיד 1/2- . לכן, אם נמדוד את הספין של אחד מזוג אלקטרונים במצב שזירות בכיוון אחד ואת הספין של השני בכיוון אחר, נוכל לכאורה לדעת את הספין של כל אחד מהם בשני כיוונים שונים. יותר נכון, נוכל לדעת מה היה הספין של האלקטרון בכיוון שלא נמדד לו היינו מודדים אותו.

אם נמדוד באחד מזוג אלקטרונים ספין 1/2 בכיוון a ובשני ספין 1/2 בכיוון b, יהיה זה כאילו לאלקטרון הראשון יש ספין 1/2 בכיוון a וספין 1/2- בכיוון b. אם נמדוד מספר גדול מאוד של אלקטרונים בצורה דומה, נוכל לסמן ב- את מספר המדידות שבהן התקבלה תוצאה כזאת. באופן דומה נמדוד מספר זהה של מדידות גם בכיוונים a ו-c ובכיוונים b ו-c.
נוכל עכשיו לרשום עבור הניסוי את אי השוויון שלמעלה באופן כזה:

(3)                  

על פי תורת הקוונטים, אם מודדים את הספין של כל אחד מזוג אלקטרונים שזורים בשני כיוונים שונים שהזווית ביניהם θ, החלק של האלקטרונים שיהיה להם ספין 1/2 בגלאי אחד מתוך סך כל האלקטרונים שיש להם ספין 1/2 בגלאי השני נתון על ידי:

(4)                  

אם שני הגלאים מודדים ספין באותו הכיוון (θ=0) הערך יהיה 0 – לאף אלקטרון שלבן הזוג שלו יהיה ספין 1/2 לא יהיה ספין 1/2.
אם שני הגלאים מודדים בכיוונים ניצבים (θ=90o) הערך יהיה 0.5 – למחצית מן האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1/2.
אם שני הגלאים מודדים כיוונים הפוכים (θ=180o) הערך יהיה 1 – לכל האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1/2.

נניח ששלושת הכיוונים שלנו הם:
a=0o
b=30o
c=60o
ואנחנו בודקים עבור כל זוג זוויות N זוגות אלקטרונים שהספין שלהם בגלאי הראשון הוא 1/2.

לפי (4) יהיה:

כלומר, התחזית של תורת הקוונטים (4) לא מקיימת תמיד את אי השוויון (3).

ניסויים שונים שנערכו כדי לבדוק את משפט בל, איששו את תחזיות תורת הקוונטים וסתרו את אי השווין של בל.

המשמעות של משפט בל 

משפט בל הוא משפט לוגי-מתמטי היוצא מהנחות מסוימות ומגיע למסקנה הניתנת לבדיקה בעזרת ניסוי. אימות הפיתוח על ידי חוקרים רבים, יחד עם הפרכת המסקנה בניסויים רבים, מראה שאחת ההנחות שגויה.

שתי ההנחות המרכזיות בפיתוח, שאינן ניתנות לאימות, הן:

ריאליזם לכל אובייקט ישנן תכונות מוגדרות, שקיומן, או ערכיהן, אינם תלויים במדידות. לא יכול להתקיים מצב שבו לאובייקט מסוים תכונה כלשהי גם קיימת וגם לא קיימת.
מקומיות כל פעולה המתבצעת במקום כלשהו יכולה להשפיע רק על אובייקטים הנמצאים באותו מקום. בצירוף תורת היחסות הפרטית ניתן לומר שהמהירות שבה ההשפעה יכולה לנוע חסומה על ידי מהירות האור.

הפרשנויות המרכזיות של המשפט שוללות אחת משתי הנחות אלו. 

הנחות יסוד נוספות עוסקות בתקפות חוק המספרים הגדולים שבאופן כללי משמש להסקת מסקנות מניסויים פיזיקליים, ואף בתקפות הלוגיקה שבאופן כללי משמשת לאימות פיתוחים מתמטיים. אכן, יש המפרשים את המשפט באופן המציע לוגיקה אלטרנטיבית.

ההשלכות הפילוסופיות של משפט בל 

על החלק התיאורי של תורת הקוונטים אין כמעט חילוקי דעות. התחזיות והנוסחאות הסטטיסטיות שכלולות בה נבדקו בניסויים רבים ותוצאות הניסויים תואמות את התחזיות. לעומת זאת, על הפרשנות של תורת הקוונטים ניטש ויכוח ארוך שנים. תורת הקוונטים אומרת שלא ניתן לחזות מראש את תכונותיו הקוונטיות של חלקיק מסוים, אלא רק את הסיכוי למציאת כל אחד מהערכים האפשריים אם וכאשר נמדוד אותם. על פי פרשנות קופנהגן – ממשנתו של נילס בוהר – לחלקיק אין כלל ערך מסוים לתכונה עד למדידתה, אלא הוא נמצא במצב של סופרפוזיציה קוונטית שמשלב את כל הערכים האפשריים. רק בזמן המדידה עצמה הוא מקבל את אחד הערכים האפשריים. פרשנות זו סותרת את אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הקלאסית – ההנחה שהמציאות היא דטרמיניסטית ובכל נקודת זמן יש לה תכונות מוגדרות וחד משמעיות שיקבעו את כל המצבים הבאים שלה. איינשטיין התנגד לפרשנות זו וידועה אמירתו "אלוהים אינו משחק בקוביות" שהופיעה במכתב לפיזיקאי מקס בורן.
פרשנות זו נעשית עוד יותר בעייתית כאשר מדובר על זוגות חלקיקים במצב של שזירות קוונטית. במצב כזה, בכל מדידה נקבל תמיד ערכים משלימים לשני החלקיקים. אם למשל יהיה לאחד מהם ספין 1+ לשני יהיה בהכרח ספין 1-. אם החלקיק מקבל את כיוון הספין רק בזמן המדידה, הוא צריך להשפיע באופן מיידי גם על הספין של בן זוגו – גם אם זה נמצא במרחק רב. את האפשרות להשפעה כזאת כינה איינשטיין: "Spooky action at a distance" (פעולה מוזרה ממרחק).
איינשטיין גרס, שלכל חלקיק ישנן תכונות קבועות מראש – משתנים סמויים - שקובעות מה יהיה הערך של כל תכונה קוונטית, גם אם איננו יכולים לדעת מראש מה הן.
הוויכוח בין תומכי פרשנות קופנהגן לבין תומכי תאוריית המשתנים הסמויים נמשך עד היום.
עד לפרסום משפט בל, הוויכוח הזה התנהל ברמה הפילוסופית בלבד. מכיוון שאין כל דרך לדעת מה מצבו של חלקיק שאיננו מודדים אותו באופן כלשהו, כל אחת משתי הפרשנויות האלה עשויה להיות נכונה באותה המידה והבחירה ביניהן תלויה בהשקפה הפילוסופית של כל אחד.
פרסום משפט בל, שהראה שיש סתירה בין תחזיות תורת הקוונטים לבין כל תאוריית משתנים סמויים לוקאליים אפשרית, נתן אפשרות להעמיד לבחינה בניסויים את היתכנותה של תאוריה כזאת. כאמור, תוצאות הניסויים שנערכו לבדיקת משפט בל, תמכו בתחזיות תורת הקוונטים והיטו את הכף כנגד תאוריית משתנים סמויים לוקאליים.
רבים נוהגים להסיק מכך שהמציאות, לפחות ברמת החלקיקים התת-אטומיים, איננה לוקאלית ושפרשנות קופנהגן היא הפרשנות הנכונה לתורת הקוונטים. אבל האמת היא, כפי שנאמר קודם, שמה שמראים הניסויים הוא שאיננו יכולים לדבוק בכל ארבע ההנחות המופיעות למעלה. ויתור על אחת או יותר מההנחות הללו, יפתור את הסתירה בין תוצאות הניסויים לאי השוויון של בל. השאלה על איזו מן ההנחות הללו לוותר מחזירה אותנו – לפחות בינתיים - למגרש של הפילוסופיה.

גרסאות של אי השוויון של בל 
היום ידועות מספר גרסאות של אי השוויון של בל. במאמר המקורי של ג'ון בל מופיע אי השוויון בצורה הבאה:

(4)                  

ניתן לפשט ביטוי זה לצורה של (1) למעלה:

                 

נראה תחילה שאי השוויון (3) שבו השתמשנו להסבר שלמעלה שקול לאי השוויון (1):
ניתן לכתוב את אי השוויון שהשתמשנו בו (3) גם כך:

(6)                  

מכיוון שאפשר לבחור במקום כל תכונה את התכונה ההפוכה לה, נוכל לרשום גם:

(7)                  

אם נחבר את (6) ו-(7) נקבל:

נכפיל את שני צידי אי השוויון ב-2/N ונוסיף ונחסר 1 בכל צד שלו ונקבל:

(8)                  

אפשר להראות שעבור שתי תכונות שכל אחת מהן יכולה לקבל שני ערכים בהסתברות שווה, הקורלציה ביניהן שווה לביטוי:

(9)                  

אם נציב את (9) ב-(8) נקבל:

                  

אבל בשל הסימטריה בין זוגות הזויות נוכל להחליף ביניהן ולכתוב גם:

                  

אם נאחד את שתי המשוואות נקבל:

                  

או:

אי השוויון CHSH 
גרסה נוספת ידועה של אי השוויון היא זו של ג'ון קלאוסטר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט (CHSH) שפורסמה במאמר בשנת 1969. אי השוויון מתייחס לקורלציה הקוונטית של זוגות זוויות בניסוי דומה לזה המתואר ב-EPR: כל גלאי בכל אחד מהצדדים מכוון לשתי זוויות שונות, ובארבע בדיקות נפרדות בודקים את ארבעת הצירופים האפשריים של זוויות הגלאים.
אי השוויון נרשם כך:

                 

כאשר (x,y)E מוגדר כממוצע המשוקלל של המכפלה (x)B•(x)A. אם מגדירים את ערכי הספין 1 ו-1-, (x,y)E נתון על ידי מספר המקרים בהם הערכים ב A ו-B היו שווים, פחות מספר המקרים שהערכים היו שונים חלקי סך-הכל המקרים שנבדקו:

ניסויים לבדיקת משפט בל 

מאז פרסום משפט בל נערכו מספר גדול של ניסויים לבדיקת קיומו או אי קיומו של אי השוויון של בל. רוב הניסויים נערכו על אור מקוטב ולא על הספין של אלקטרונים כפי שמוצע במסמכים המקוריים, מכיוון שניסויים באור מקוטב קלים יותר ליישום. תכונת הקיטוב של האור דומה במובנים רבים לתכונת הספין של אלקטרונים, כאשר הזויות של המקטבים הן מחצית הזויות המקבילות של גלאי הספין.
ישנם ניסויים בעלי ערוץ אחד שבו יש גלאי אחד בכל צד. בניסוי כזה מניחים שלכל פוטון או אלקטרון שלא נקלט בגלאי ישנו הערך הקוונטי ההפוך מזה של אלה שנקלטים בגלאי. הנחה כזאת יכולה להכניס אי דיוקים לניסוי.
אפשרות אחרת, קצת מורכבת יותר, היא ניסוי עם שני ערוצים שבו ישנם שני גלאים בכל צד שמודדים את שני הערכים הקוונטיים האפשריים.
הבעיה העיקרית בניסויים האלה היא היעילות הנמוכה של הגלאים, שכאשר מכניסים אותה לחישובים הסטטיסטיים מורידה באופן משמעותי את אמינות התוצאות.

תיאור גרפי של אי-שוויון בל 
אם ניקח שלוש קבוצות:
קבוצת האובייקטים בעלי תכונה A, קבוצת האובייקטים בעלי תכונה B וקבוצת האובייקטים בעלי תכונה C ונצייר אותן בדיאגרמה עם כל החפיפות (חיתוכים) האפשריות ביניהן, נקבל שבעה אזורים שנסמן אותם באותיות

a-g:

כל אחד מהאזורים יכול להכיל 0 או יותר אובייקטים.

נרשום את האיברים של משפט בל באמצעות האזורים בדיאגרמה:

מכיוון ש-b + d ≥ 0 הרי שאי-שוויון בל מתקיים.

ראו גם 
 מכניקת הקוונטים
 הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן
 מצב בל
 שזירה קוונטית

קישורים חיצוניים

 המאמר המקורי של ג'ון בל: On the Einstein Podolsky Rosen Paradox
 מאמר של אבנר שמעוני באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד: Bell's Theorem
 הסבר על משפט בל: Spooky Action at a Distance
 עוד הסבר פשוט: Bell's Theorem

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
מכניקת הקוונטים
בל