מספר ציקלי

מספר ציקלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן n ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ-n מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים ציקליים קשר לשברים עשרוניים מחזוריים כמוסבר בהמשך הערך.

המספר הציקלי הקטן ביותר (בבסיס B=10) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן 285714, 428571, 571428, 714285 ו-857142, כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים ציקליים גדולים יותר, כמו המספר הציקלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים. 

יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים הציקליים. לכל מספר ראשוני p זר ל-10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של p. הסדר הזה הוא t החיובי הקטן ביותר כך ש-. לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את p-1. אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של p) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר p-1.

מתברר שכל מספר ציקלי עשרוני הוא מהצורה  (והכפולות של מספר זה) כאשר p ראשוני שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר p. המספרים הציקליים הראשונים מתקבלים עבור p=7,17,19,23,29,47,59,61. אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של p, אז ההצגה העשרונית של  היא מחזורית, עם מחזור באורך p-1 המהווה בעצמו מספר ציקלי. כך למשל . 

אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של p=13, שעבורו הסדר הוא 6 משום ש-, מתקבל מספר "ציקלי למחצה": כל תמורה ציקלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה ציקלית.

קישורים חיצוניים
 

תורת המספרים
תכונות התלויות בבסיס הספירה