אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת קבוצה S של אלגברה A נקראת בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס K, אם לא קיים פולינום לא טריוויאלי עם מקדמים מ-K שמאפס תת-קבוצה סופית של איברי S. במילים אחרות, S היא בלתי תלויה אלגברית אם לכל  ב-S ולכל פולינום  שאינו פולינום האפס, .
בפרט, קבוצה בת איבר אחד  היא בלתי תלויה אלגברית מעל K אם ורק אם  הוא טרנסצנדנטי מעל K. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל K, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך.
לדוגמה, תת-הקבוצה  של שדה המספרים הממשיים היא לא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונלים

מתקיים
.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של A מעל K.

השאלה האם הקבוצה  היא תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים היא בעיה פתוחה במתמטיקה.
ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה  היא בלתי תלויה אלגברית מעל .

משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס. לינדמן הוכיח ב-1882 כי  הוא מספר טרנסצנדנטי לכל  אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם  הם מספרים אלגברים בלתי תלויים ליניארית מעל  אז המספרים  הם בלתי תלויים אלגברית מעל .

ראו גם 
 משפט הנורמליזציה של נתר

קישורים חיצוניים
 

אלגברה
תורת השדות
בעיות פתוחות באלגברה