מודל האטום של בוהר

מודל האטום של בוהר הוא מודל של מבנה האטום שהציע נילס בוהר בשנת 1913. זהו פיתוח של המודל הפלנטרי של האטום. כמו במודל הפלנטרי, האטום מתואר כגרעין הטעון מטען חשמלי חיובי, שמסביבו מסתובבים אלקטרונים במסלולים סגורים. התוספת של בוהר הייתה כי לא כל מסלול אפשרי, אלא רק מסלולים שבהם התנע הזוויתי של האלקטרונים מהווה כפולה שלמה של קבוע פלאנק המצומצם (המסומן לרוב ב-). מעבר האלקטרון בין מסלול למסלול (כלומר בין רמות אנרגיה) הוא מיידי ומלווה בפליטה או בבליעה של פוטון - מנה (קוונטה) של קרינה אלקטרומגנטית.

הצלחת המודל נבעה בעיקר מהסברתו את נוסחת רידברג לחישוב קווי הפליטה, אף על פי שהנוסחה אוששה זה מכבר בניסוי, היא לא הוסברה תאורטית עד לפרסום מודל האטום של בוהר. כמו כן הסביר המודל את יציבות האטום (אי-הסברת העובדה הזו היא אחד החסרונות הגדולים של המודל הפלנטרי).

המודל מציג באופן פשטני את אטום המימן. הוא אינו נותן חיזוי מדויק למבנה של מולקולת המימן, שבה יש שני אטומים, ולא למבנה של אטומים כבדים יותר ואינו מחשיב תיקונים כמו המבנה הדק והמבנה העל-דק. המודל יכול להיחשב כאומדן של אטום המימן בהקשר הרחב והמדויק הרבה יותר במכניקת הקוונטים. עקב פשטותו, הוא נלמד בבתי ספר תיכוניים כחלק מפרק פיזיקה מודרנית בתוכנית-הלימודים בפיזיקה (רמת 5 יחידות-לימוד), וכן במסגרת מבוא ראשוני למכניקת הקוונטים באוניברסיטה. המודל מאפשר חיזוי מדויק גם ליון הליום, בו לפי המודל אלקטרון אחד מקיף את גרעין ההליום.

היסטוריה
בתחילת המאה ה-20 הראו ניסויים שערכו ארנסט רתרפורד ואחרים כי האטום מורכב מגרעין הטעון במטען חיובי ומוקף אלקטרונים הטעונים במטען שלילי. בהתחשב בנתונים אלה, טבעי לחשוב על מודל דוגמת המודל הפלנטרי, בו האלקטרונים סובבים את הגרעין, אולם במודל זה ישנם מספר קשיים קריטיים שמונעים את קבלתו. הבעיה הגדולה מכולן היא אי-יציבותו של האטום על-פי מודל זה, בגלל העיקרון שקובע שמטענים המואצים (דוגמת האלקטרונים המסתובבים) פולטים קרינה אלקטרומגנטית ומאבדים אנרגיה על ידי כך. אם המודל הפלנטרי היה נכון, היה על האלקטרון להסתובב במסלול שרדיוסו הולך וקטן עד להתנגשות עם הגרעין. חישובים מראים שהתנגשות זו הייתה צריכה לקרות תוך חלקיקי שנייה (ראו פירוט של החישובים בערך המודל הפלנטרי), אך אנו עדים בכל זאת לכך שהחומר אינו קורס אל תוך עצמו.

זאת ועוד, המודל הפלנטרי אינו מסביר את ספקטרום הפליטה הנפלט מאטומים מעוררים חשמלית. בסוף המאה ה-19 הראו ניסויים שלכל סוג חומר יש ספקטרום פליטה ייחודי (רק אורכי גל מסוימים נפלטים מכל יסוד - הספקטרום הוא בדיד, כלומר קוונטי). המודל הפלנטרי אינו מסביר זאת.

על-מנת להתגבר על קשיים אלה הציע נילס בוהר ב-1913 תיקונים למודל הפלנטרי, המודל המשופר נודע היום בשם מודל האטום של בוהר.

עקרונות היסוד של המודל
האלקטרונים נעים בתנועה מעגלית סביב הגרעין. הם נתונים למשיכה החשמלית של הגרעין (לפי חוק קולון) ונמצאים בשיווי משקל בהתאם לחוקי המכניקה הקלאסית.
האלקטרונים אינם יכולים לנוע בכל מסלול מעגלי סביב הגרעין, אלא רק באלו בהם התנע הזוויתי של האלקטרונים הוא כפולה שלמה של קבוע פלאנק המצומצם (לכל תנע זוויתי נתון יש מסלול יחיד שמקיים שיווי משקל בין הכוח הצנטריפוגלי לכוח קולון):
על אף שהאלקטרון מואץ בתנועה סיבובית, הוא איננו פולט קרינה (בניגוד לתחזית של תורת האלקטרומגנטיות של מקסוול, לפיה מטען מואץ פולט קרינה אלקטרומגנטית)
האלקטרון יכול לעבור בין מסלולים מותרים. בתהליך המעבר נקלט או נפלט קוונטום של קרינה אלקטרומגנטית - פוטון. הקרינה נקלטת עבור מעבר למסלול בו האנרגיה גדולה מהאנרגיה במסלול הנוכחי, ונפלטת עבור מעבר למסלול בו האנרגיה קטנה יותר.  תדירות הקרינה,  נקבעת על פי הפרש האנרגיה בין המסלולים השונים: .

רמות האנרגיה של האלקטרון באטום מימן
המודל של בוהר מדויק רק למערכת בעלת אלקטרון אחד, כמו אטום מימן או דמוי מימן, כדוגמת יון הליום בעל אלקטרון אחד. הכתוב מטה ישתמש במודל של בוהר כדי למצוא את רמות האנרגיה לאלקטרון באטום מימן.

נתחיל מההנחות הבסיסיות:
1) לכל החלקיקים יש תכונות גליות. אורך הגל של החלקיק  תלוי בתנע שלו p כך ש:

כאשר h הוא קבוע פלאנק. בוהר לא הניח הנחה זו (הידועה כהשערת דה ברויי) כי היא לא הייתה מוצעת בזמנו. בכל מקרה, הנחה זו מאפשרת את המשך המהלך. אורך הגל של חלקיקים נקרא אורך גל דה ברויי, על-שם ההנחה המאפשרת אותו, כדי להבדיל אותו מאורך גל של גל אמיתי מוסיפים לסימון שלו DB.
2) היקף המסלול של האלקטרון חייב להיות שווה לאורך הגל שלו כפול מספר שלם:
 
כאשר r הוא רדיוס המסלול ו-n הוא מספר טבעי.
3) האלקטרון מוחזק במסלולו על ידי כוח הנובע מחוק קולון המהווה כוח צנטריפטלי:
 
כאשר  הוא מטען האלקטרון,  מייצג את מסת האלקטרון, v- את מהירות האלקטרון ו-k מייצג את קבוע קולון השווה ל 109*9.

אלה שלוש משוואות עם שלושה נעלמים: , r ו-v. לאחר שפותרים את מערכת המשוואות כדי למצוא ביטוי ל-v לבדו ואותו מציבים במשוואה למציאת האנרגיה הכוללת של האלקטרון 
 
ממשוואה 3 נמצא ביטוי ל-r, נציב ונקבל:

לאחר החלפת הקבועים במספרים נקבל: 

יוצא שאנרגיית האלקטרון ברמה הכי נמוכה (n=1) באטום מימן היא 13.6eV-, ברמה מעליה (n=2) אנרגיית האלקטרון היא 3.4eV- וכך הלאה. האנרגיה השלילית מבטאת את העובדה שהאלקטרון קשור לפרוטון. אנרגיה חיובית תתאר אלקטרון חופשי המתאים למצב של יון.

ביטוי רמות האנרגיה בעזרת קבועים אחרים
נתחיל ממה שמצאנו למעלה: 

לאחר הכפלת אגפי המשוואה ב-c2 וסידורה נראה ש: 

משום שהאנרגיה של חלקיק במנוחה היא , ניתן לכתוב את אנרגיית האלקטרון באופן כללי בעזרת קבועים אחרים: 

כאשר:
 מייצג את אנרגיית האלקטרון ברמת האנרגיה n.
 זו אנרגיית האלקטרון במנוחה.
 הוא מספר טבעי המייצג את מספר רמת האנרגיה.
 הוא קבוע המבנה העדין השווה ל .

נוסחת רידברג
בשנת 1890, לפני פרסום המודל של בוהר, הציע יוהנס רידברג נוסחה למציאת הספקטרום של אטום מימן (כלומר רמות האנרגיה), אך נוסחה זו לא הייתה מוסברת, עד הצעת מודל בוהר שמספק הסבר תאורטי.

כעת נפתח את הנוסחה מתוך מודל בוהר. אם נשתמש בנוסחה שפיתחנו לרמות האנרגיה באטום מימן, נוכל למצוא את אורך הגל של הפוטונים שאטום מימן יכול לפלוט.

את הנוסחה נפתח מהשוואה בין הפרש האנרגיות של האלקטרון:

לבין הנוסחה למציאת אנרגיה של פוטון:

נפשט ונמצא ביטוי לאורך הגל של הפוטון על ידי:

הביטוי האחרון ידוע כנוסחת רידברג, כאשר כל הקבועים מצוינים בתור קבוע יחיד ∞R הנקרא "קבוע רידברג". הנוסחה הייתה ידועה כבר במאה ה-19 למדענים שעסקו בספקטרוסקופיה, אך עד פרסום מודל האטום של בוהר לא הייתה לה שום תמיכה תאורטית.

רידברג לא היה הראשון שנתן נוסחה שחוזה את הספקטרום של אטום המימן, היה זה יוהאן יאקוב בלמר, שרשם כבר ב-1885 נוסחה מתמטית שנותנת תחזית לספקטרום הפליטה של אטום מימן, ההבדל בינו לבין רידברג היה שבאלמר עבד באורכי גל בעוד שרידברג עבד במספרי גל שהם פרופורציונליים לאנרגיה, ולכן נוחים יותר.

עקרון הקוונטיזציה של זומרפלד - וילסון

לאחר שבוהר נתן את המודל שלו לאטום המימן עולם הפיזיקה נשאר מעט מבולבל, אומנם הוא תאם תצפיות ניסיוניות באופן מדויק, אבל לא היה הסבר מספק למקור שלו ולחוקיות שלו.

על מנת לשפוך אור על המודל ולאפשר יישום שלו על מערכות פיזיקליות אחרות פיתחו שני פיזיקאים (וילסון וזומרפלד) עקרון קוונטיזציה למערכות פיזיקליות.

העיקרון הוא שלכל מערכת עם קורדינאטה מחזורית (קפיץ, מטוטלת, וכו') האינטגרל של התנע הצמוד לקורדינאטה זו (הנגזרת של הלגראנז'יאן לפי הנגזרת בזמן של הקורדינאטה) על גבי מחזור שלם שווה לכפולה שלמה של קבוע פלאנק:

מתוך עיקרון זה ניתן לקבל את הנחת היסוד השנייה של מודל בוהר, לפיה התנע הזוויתי של האלקטרון במסלולו (באטום המימן) הוא כפולה שלמה של קבוע פלאנק לחלק ב-  כלומר עיקרון זה הוא הכללה מסוימת של מודל בוהר. 
ניתן גם לקבל קוונטיזציה של רמות האנרגיה באוסצילטור הרמוני קוונטי:

, תוצאה שהיא נכונה עד כדי , רמת האפס של אוסצילטור הרמוני.

ראו גם 
ניסוי פרנק-הרץ
ניסוי רתרפורד
הצדקה ומוטיבציה למשוואת שרדינגר

לקריאה נוספת
 פליקס דותן, אל הכוכבים – מאטומים עד חורים שחורים, הוצאת מאגנס, 2001, פרק 7 עמ' 129-178.
 Mourici, The Hydrogen Atom Relativistic Model ,http://vixra.org/abs/1306.0061
 Mourici, Quantum Mechanics With Relativity a Different Approach, http://vixra.org/abs/1307.0038

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

פיזיקה אטומית
מכניקת הקוונטים
נילס בוהר