Sinc

במתמטיקה, לפונקציית ה-sinc, שמסומנת , יש שתי הגדרות:

 בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, פונקציית ה-sinc המנורמלת מוגדרת כ-:

 במתמטיקה, פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת מוגדרת בדרך כלל כ-:

בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה  לעיתים קרובות נקבע כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x.

המונח המקוצר "sinc" הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal".

תכונות 
לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions):

  ו   עבור  and ו  (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה.
  הפונקציות   יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות  עם תדירות זוויתית מקסימלית  (כלומר  התדירות המקסימלית היא ).

תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc:

 נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת      מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר  לכל נקודה בה הנגזרת של  היא 0.
 פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון,  . פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת .
 האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי (). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת  הם מספרים שלמים השונים מאפס.
 התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת     הוא  .
,
 כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת.

 אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי

 הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-:

 
 
 כאשר  היא פונקציית גאמה.

 כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral).
 לפי נוסחת אוילר:

הקשר לפונקציית דלתא של דיראק 
אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק  כך:

זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים:

לכל פונקציה חלקה  עם תומך קומפקטי.

בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של , ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של  כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס.

ראו גם 
 אנטי אליאסינג
 מסנן sinc
 הגבול של sin(x)/x
 נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון

קישורים חיצוניים 

 sinc באתר MathWorld
 

פונקציות ממשיות ומרוכבות
עיבוד אותות