התפלגות ריילי

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי.

ההתפלגות תלויה בפרמטר , המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור. 

פונקציית הצפיפות היא . 

המומנטים נתונים על ידי , 

כאשר  מסמנת את פונקציית גמא. 

בפרט, מתקבלים: 

התוחלת 
,

השונות 
, 

הצידוד 
 

והגבנוניות 
.

אמידת פרמטרים 
בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר  (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה

דגימה מהתפלגות ריילי 
בהינתן שיש בידינו משתנה מקרי u מהתפלגות אחידה רציפה סטנדרטית (בין 0 ל-1), אז למשתנה X המוגדר על ידי:

יש התפלגות ריילי עם פרמטר . תוצאה זו מושגת על ידי שימוש בשיטת דגימת ההעתקה ההופכית (ITS).

התפלגויות קשורות 

 אם  משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז  מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא).
 אם , אז  מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש.
 אם  מתפלג התפלגות אקספוננציאלית, , אז  
.
 אם  אז לסכום הריבועים  יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- : 
.

התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וייבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי.

התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי.

פונקציית סיכון
פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא ליניארית, וערכה הוא .

ראו גם 

 התפלגות נורמלית
 התפלגות רייס

לקריאה נוספת
 Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984

קישורים חיצוניים

 

ריילי