קבוצת מנדלברוט

קבוצת מַנְדֶלְבְּרוֹט היא קבוצה של מספרים מרוכבים שנוצרים על ידי כללים פשוטים, אבל הקבוצה כולה היא בעלת מורכבות גדולה. תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת השפה מופיעה התנהגות פרקטלית של דמיון-עצמי בכל קנה מידה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979, וקרויה על שמו. הקבוצה מהווה אובייקט מחקר בסיסי ומעניין בתחום מחקר הפרקטלים, ובעזרתה חוקרים תופעות במערכות דינמיות מרוכבות.

היסטוריה
קבוצת מנדלברוט היא אחד הנושאים הנחקרים בתחום הפרקטלים, שהחל לתפוס תאוצה בתחילת המאה ה-20, כשבין אבותיו נמנים פייר פאטו וגסטון ז'וליה. קבוצת מנדלבורט תוארה לראשונה על ידי המתמטיקאי רוברט ברוקס בשנת 1978. בשנת 1980 גילה בנואה מנדלברוט את הקבוצה תוך ביצוע אנימציות של קבוצת ז'וליה במחשב, וכתב מאמר ראשוני בו היא נכללה. בשנת 1985 פרסמו שני מתמטיקאים נוספים מאמר נרחב על קבוצה זו, וקראו לה על שם מנדלברוט. בהמשך, הפכה קבוצת מנדלבורט לאובייקט מחקר בסיסי בתורת המערכות הדינמיות המרוכבות.

החל משנת 1985 הפך עניין שרטוט קבוצת מנדלבורט למושא עניינם של רבים, וגם פורסמו אלגוריתמים לשרטוט הקבוצה ותמונות צבעוניות שלה.

הגדרה
קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא:
לכל מספר מרוכב , אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון , והמשכה מחושב על-פי הכלל . הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של . קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים  שעבורם הסדרה  חסומה.

מנקודת מבט שונה במקצת, לכל , מוגדרת קבוצת ז'וליה  כשפה של קבוצת הנקודות  שעבורן הסדרה  חסומה (כאשר ). ז'וליה ופאטו הוכיחו שאם הסדרה  חסומה (כלומר  שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז  קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז  בלתי קשירה לחלוטין. משפט זה מוביל להגדרה שקולה נוספת של הקבוצה: זהו המקום הגאומטרי הקשיר של משפחת הפולינומים , כלומר אוסף הנקודות עבורן קבוצת ז'וליה המתאימה היא קשירה.

המערכת הדינמית 

השאלה האם מספר  נמצא בקבוצת מנדלברוט ומקומו בקבוצה זאת מספקת מידע רב על המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה . זאת אחת המערכות הדינמיות הפשוטות ביותר המוגדרות על ידי פונקציה לא הפיכה: מדובר בפולינום ממעלה שנייה במשתנה מרוכב אחד. מערכות דינמיות המוגדרות על ידי פונקציות ליניאריות הן פשוטת מאוד. כל מערכת דינמית המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שנייה ממשתנה מרוכב אחד שקולה למערכת המוגדרת על ידי הפונקציה . כך שניתן לחשוב על דוגמה זאת כעל "הדוגמה הלא טריוויאלית הראשונה". קבוצת מנדלברוט מאפשרת טיפול סימולטני בכל המערכות הדינמיות האלה לכל .

למרות פשטותה היחסית של מערכת זו היא מדגימה התנהגויות מורכבות מאוד כפי שניתן לראות מהמורכבות של קבוצת מנדלברוט. ישנן שאלות פתוחות רבות לגבי התנהגויות אלה אך גם תוצאות רבות שכבר הוכחו.

שאלות כלליות בחקר מערכות דינמיות
באופן כללי מערכת דינמית היא זוג, המורכב מקבוצה  ופונקציה  מ- לעצמה. במקרה שלנו  היא המישור המרוכב  ו- היא הפונקציה  עבור פרמטר.

השאלה הבסיסית בחקר מערכות דינמיות היא זו: בהינתן נקודה , איך מתנהגת הסדרה  שמתקבלת מהפעלת הפונקציה על  ואז על תוצאת ההפעלה וכך הלאה עד אינסוף. סדרות כאלה נקראות מסלולים.

יציבות של נקודות שבת ומסלולים מחזוריים
התנהגות אפשרית אחת היא התכנות לנקודת שבת. נקודת שבת היא נקודה  המקיימת . נקודת שבת  נקראת יציבה אם בהינתן נקודה  הקרובה מספיק ל , אז הסדרה  מתכנסת ל.

בהינתן נקודת שבת יציבה יש מסלולים רבים שמתכנסים אליה. משימת איתור נקודות שבת שקולה לפתרון משוואה, ולכן קלה יחסית. בדרך כלל ניתן לבדוק האם נקודת שבת היא יציבה על ידי ניתוח הנגזרת של הפונקציה בנקודת השבת, ולכן גם זו משימה לא קשה.

מיון נקודות השבת של מערכת דינמית היא השלב הראשון בחקירתה.

התנהגות אפשרית אחת היא היתכנות למסלול מחזורי. מסלול מחזורי הוא מסלול  המקיים  עבור  מסוים וכל . מסלול שבו במקום מסוים מופיעה הנקודה המקורית. אומרים שמסלול מתכנס למסלול מחזורי אם הכל ממקום מסוים הוא קרוב כרצוננו למסלול מחזורי. מסלול מחזורי נקרא יציב אם בהינתן נקודה  קרובה מספיק לאחת מנקודות המסלול, הסדרה  מתכנסת למסלול המחזורי.

ניתוח המסלולים המחזוריים ממחזור נתון  ויציבותם שקול לניתוח נקודות השבת של . מכאן שעבור  ספציפי מדובר במשימה פשוטה למדי. אולם ניתוח כל המסלולים המחזוריים ויצובותם הוא משימה מסובכת בהרבה.

קבוצות ז'וליה ופאטו

קל יותר לנתח מערכות דינמיות כאשר הקבוצה  היא קומפקטית. המישור המרוכב אינו קומפקטי. ניתן להחליף אותו בספירה של רימן (כלומר להוסיף לו נקודה באינסוף) ואז נקבל מרחב קומפקטי. קל לראות שהפונקציה  מתרחבת ברציפות לספירה של רימן (על ידי כך שקובעים את האינסוף להיות נקודת שבת שלה). מכאן ניתוח המערכת הדינמית שלנו שקול לניתוח המערכת הדינמית שמתקבלת על הספירה של רימן.

בהינתן מערכת דינמית על קבוצה קומפקטית  ניתן לחלק את  לשתי קבוצות:
 קבוצת פאטו - אוסף הנקודות  כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי קטן בסדרה 
 קבוצת ז'וליה - אוסף הנקודות  כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי גדול בסדרה

תכונות ייחודיות למערכת הדינמית 
עבור המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה  מתקימות התכונות הבאות:
 עבור כל  המקיים  הסדרה  שואפת לאינסוף. זה מאפשר לקבוע בקלות יחסית שנקודה מסוימת לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
 למערכת יש לא יותר ממסלול מחזורי אחד.
 למערכת יש מסלול מחזורי אם ורק אם המסלול המתחיל ב-0 מתכנס למסלול מחזורי.
 קבוצת ז'וליה של המערכת קשירה אם ורק אם  נמצאת בקבוצת מנדלברוט.
 אם  לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט אז קבוצת ז'וליה של המערכת הומיאומורפית לקבוצת קנטור ובפרט בלתי קשירה לחלוטין.
 אם למערכת יש נקודת שבת יציבה אז קבוצת ז'וליה של המערכת היא עקום פשוט (רציף ובדרך כלל לא חלק) סגור. בהתאם לפי משפט העקום של ז'ורדן, לקבוצת פאטו של המערכת יש בדיוק שני רכיבי קשירות (האחד תחום על ידי קבוצת ז'וליה והאחר מחוצה לה).
 אם למערכת יש מסלול מחזורי יציב (יציב שאינו נקודת שבת) אז לקבוצת פאטו של המערכת יש אינסוף רכיבי קשירות.

המבנה של קבוצת מנדלברוט
במבט חטוף על קבוצת מנדלברוט ניתן לראות שהיא מורכבת מ"חלקים" המהווים צורת גאומטריות פשוטת יחסית (לא פרקטלים). ניתן להגדיר באופן ריגורוזי חלקים אלה בתור רכיבי קשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט. משערים שפנים זה צפוף בקבוצת מנדלברוט.

הקרדיואידה הראשית
הגדול והבולט בין רכיבים אלו נקרא הקרדיואידה הראשית.
צורתה הגאומטרית היא קרדיואידה. ניתן להגדיר אותה כאוסף כל הנקודות  עבורם למערכת  יש נקודת שבת יציבה. קל לראות שקבוצה זאת מתוארת על ידי התנאי 
קל לראות שתנאי זה מתקיים אמ"ם קיים  בעיגול היחידה כך ש:

מכאן שהספה של הקבוצה הזאת מתוארת על ידי המשוואה הפרמטרית:

רכיבים היפרבוליים
רכיב נקרא רכיב היפרבולי אם עבור כל נקודה בו למערכת יש מסלול מחזורי יציב. מחזור המסלול במקרה זה הוא קבוע ונקרא המחזור של הרכיב. משערים שכל רכיבי הקשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט הם היפרבוליים.

עבור  נתון, תיאור כל הרכיבים ההיפרבוליים ממחזור  היא משימה הניתנת לביצוע באמצעות חישוב: התנאי לכך שנקודה נמצאת ברכיב היפרבולי ממחזור  הוא  זהו תנאי אלגברי-למחצה ולכן על פי משפט זינדנברג-טרסקי (שיש לו הוכחות קנסטרוקטיביות) נתן לשכתב תנאי זה ללא כמתים אלא רק עם אי-שוויונים פולינומיים על החלק הממשי והמרוכב של . לאחר מכן ניתן לחשב את מספר רכיבי הקשירות ואת האי-שוויון שמתאר כל אחד מהם. אולם כאשר  גדל חישוב ישיר נהיה לא מעשי מהר מאוד.

עבור נקודה  הנמצאת ברכיב היפרבולי ממחזור  לקבוצת פאטו של המערכת הנתונה יש אינסוף רכיבי קשירות.  הנקודות של המסלול המחזורי נמצאים ב- רכיבים שונים של קבוצת פאטו. הסגורים של רכיבים אלה נוגעים בנקודה אחת. ניתן להגדיר סדר ציקלי על רכיבים אלה לפי הסדר שבו הם נוגעים זה בזה (נגד כיוון השעון). סדר זה נותן סדר ציקלי על נקודות המסלול המחזורי. ניתן להראות שהפונקציה  מבצעת הזזה קבוע על נקודות המסלול המחזורי לפי הסדר הציקלי הנ"ל. גודל הזזה  זר ל-
. מכאן שאנו מקבלים מספר רציונלי מצומצם . מספר אינו תלוי בנקודה  ברכיב ההיפרבולי ובכך מהווה אינבריאנט של הרכיב ההיפרבולי.

רכיבים היפרבוליים ראשיים
ניתן למיין ולתאר במפורש את כל הרכיבים המשיקים לקרדאוידה הראשית. רכיבים אלה נקראים רכיבים היפרבוליים ראשיים. הם כולם בצורת עיגול. לכל מספר רציונלי  בקטע  קיים ויחיד רכיב היפרבולי ראשי שהאינבריאנט הרציונלי שהוגדר מעלה עבורו הוא . רכיב זה משיק לקרדיאוד הראשי בנקודה

אנטנות
בסמוך לכל רכיב היפרבולי ראשי, ניתן לזהות חלק של קבוצת מנדלברוט הנראה כמעין קו (מאוד לא חלק ומכיל לאורכו רכיבים נוספים) שמתפצל למספר קווים הנראים גם הם כך. חלקים אלה של קבוצת מנדלברוט נקראים לעיתים "אנטנות". ניתן להראות שהמספר הכולל של האנטנות בהתפצלות הראשונה בסמוך לרכיב הפרבולי ראשי שווה למחזור של רכיב זה.

הצגת הקבוצה כפרקטל
את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה  חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האיברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים – 2 בדרך כלל.

הדגמה
בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד.

הכללה

את קבוצת מנדלברוט ניתן להכליל באופן הבא: במקום להביט בפונקציה  ולהציב בה ערכים, מביטים בפונקציה הכללית , עבור  ממשי כלשהו. כאשר  מספר שלם, המשפט אודות הקשר בין הגדרה זו להגדרה בעזרת קבוצת ז'וליה נשאר תקף.

כאשר  משתנה, ניתן לשרטט את הקבוצה ולקבל תמונה שונה בכל פעם. כך למשל, כאשר  נמצא בין 0 ל-5 (כמו בתמונה המצורפת), ניתן לראות את קבוצת מנדלברוט "נולדת" מכלום ומתפתחת.

קירוב לפאי בעזרת קבוצת מנדלברוט
שימוש נוסף של קבוצת מנדלברוט הוא האפשרות לקרב את פאי בעזרת מונחים וכלים מנושא זה. כידוע, המספר  הוא המספר הממשי הגדול ביותר בקבוצת מנדלברוט; עוד ידוע כי כל פעם שהסדרה  חסומה, אז היא קטנה מ-2 בהכרח. כעת, לכל מספר ממשי , מסמנים ב- את מספר הפעמים שיש לבצע את האיטרציה עד שעוברים את 2, כלומר המספר הראשון כך ש-.

מסתבר שהסדרה  מתכנסת ל-.

נקודות נוספות בקבוצת מנדלברוט אשר מאפשרות לקרב את פאי כוללות נקודות הנמצאות על התפר בין הצורות של הקבוצה. עבור נקודות כאלו, המסלול אשר בעזרתו שואפים אל הנקודה משתנה ולרוב איננו כולל מספרים ממשיים.

הסבר אינטואיטיבי אודות הקשר בין קבוצת מנדלברוט לפאי
עבור הפונקציה הממשית , הישר  משיק לפונקציה; לכן, בעת הפעלת התהליך של סדרת מנדלברוט, נוצרת מעין פונקציית מדרגה תחומה בין הפרבולה לבין הישר, אשר שואפת בגובהה אל  אך לא מגיעה. לעומת זאת, בפונקציה , הישר  לא משיק לפרבולה, ולכן נוצרת ביניהם פונקציית מדרגה. במובן מסוים, פאי הוא ה"זמן" שלוקח לאותה פונקציית מדרגה לעבור את .

הסבר נוסף כלהלן: כאמור לעיל, הפונקציה הממשית  עוברת את . צורת הגרף סביב ערך זה (בטווח) מתקרבת לצורה של פונקציית הטנגנס ככל שאפסילון קטן יותר. הקשר של פונקציה זו לפאי מעולם הטריגונומטריה ברור.

קישורים חיצוניים

 
 "Mandelbrot Set - Online Generator"
 "עשר דקות של תקריב לתוך הפרקטל"
 קורס על דינמקה מרוכבת הכלל את ההגדרה של קבוצות מנדלברוט.
 וידיאו של 3Blue1Brown על דינמיקה הולומורפית.
 וידיאו של Matheologer על דינמיקה הולומורפית.
 וידיאו של numberphile על דינמיקה הולומורפית.
 סדרת סרטוני יוטיוב של numberphile מאת הולי קריגר. חלק גדול מהסרטונים עוסקים בקבוצת מנדלברוט.
 Robert L. Devaney, The Complex Geometry of the Mandelbrot Set, Boston University

הערות שוליים

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
פרקטלים
מערכות דינמיות