מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.

תכונות

תהי  מטריצת סיבוב מסדר . מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:

המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:

 המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:

    כאשר היא מטריצת היחידה.

 ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:

כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת  נגדיר בעזרת כפל מטריצות.

דו-ממד

בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית  היא:

כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:

ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה  אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.

מטריצות סיבוב נפוצות:

תלת-ממד

 מטריצת הסיבוב סביב ציר ה-  בזווית  היא:

 

 מטריצת הסיבוב סביב ציר ה-  בזווית  היא:

 מטריצת הסיבוב סביב ציר ה-  בזווית  היא:

כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.

ראו גם
 מטריצה אורתוגונלית
 זוויות אוילר
 נוסחת הסיבוב של רודריגז
 מטריצות פאולי

קישורים חיצוניים
 

מטריצות
אנליזה וקטורית