מתאם

מִתְאָם או קשר (באנגלית: Correlation, Covariation) הוא מושג המבטא את קיומו או אי-קיומו ואת חוזקו של קשר סטטיסטי בין שני משתנים. קשר זה אינו חייב להיות קשר סיבתי. בדרך כלל עוצמת הקשר נמדדת על ידי מדד סטטיסטי המכונה "מקדם מתאם" או "מקדם קשר". יש מספר רב של מקדמי מתאם. סוג מקדם המתאם תלוי בסולמות המדידה של שני המשתנים המעורבים בבדיקת הקשר.

בדרך כלל ערכיהם של מקדמי הקשר נעים בין 1- ל-1, או בין 0 ל-1. ערך של 0 מציין  חוסר  קשר בין המשתנים (במובן שבו הוגדר הקשר), וערכים של 1 או של 1- מציינים   קשר מלא בין המשתנים.

היסטוריה
מושג המתאם הופיע לראשונה במחקריו של סר פרנסיס גולטון. הוא התעניין באינטליגנציה האנושית וניסה לברר האם אינטליגנציה עוברת בתורשה. לשם כך היה זקוק למדד שיבטא את הקשר המשותף (Co-relation) בין רמת האינטליגנציה של דור מסוים ורמת האינטליגנציה של הדור הקודם. קשר משותף חזק היה מספיק לדעתו להוכיח גם קשר סיבתי – האינטליגנציה מועברת בירושה מאבות לבנים. עם זאת, הבין כי החשיבות המדעית של מדידת הקשר בין שני משתנים משתרעת מעבר לבעיה הספציפית בה התעניין, ולכן פיתח את רעיונותיו גם על ידי מחקר של נתונים אחרים, כגון תכונות פיזיקליות של בני אדם ושל צמחים.

גולטון פרסם את מסקנותיו בשלושה מאמרים שהופיעו בשנים 1885–1888. מקדם המתאם שהציע התבסס על ההנחה שלשני המשתנים הנמדדים יש התפלגות משותפת דו-נורמלית. החישוב שלו התבסס על שרטוט הנתונים בגרף, מדידה פיזית של שיפוע קו הרגרסיה בין המשתנים, וחישוב סטיות התקן שלהם (אם כי לא במפורש – מושג סטיית התקן הופיע והוגדר מאוחר יותר).

גולטון עמד גם על תכונותיו של מקדם המתאם שחישב המוכרות לנו כיום: ערך של 1 מציין קשר חיובי מלא, ערך 0 מציין חוסר קשר, וכו'. הוא היה מודע לכך שהמקדם שחישב מודד קשר ליניארי בלבד בין המשתנים, והבהיר כי אין להסיק קשר סיבתי בין המשתנים רק על סמך מתאם גבוה ביניהם.

קרל פירסון המשיך את עבודתו של גולטון ובנה את המסגרת המתמטית שבה שולב מקדם המתאם, ביחד עם המושג של סטיית התקן, וזאת בשני מאמרים שפרסם ב-1893 וב-1896. במאמרים אלה הגדיר את מקדם המתאם הקרוי על שמו "מקדם פירסון", והראה כי אין צורך בהנחת ההתפלגות הנורמלית של גולטון.

מקדם המתאם של פירסון הוגדר למדידת הקשר בין שני משתנים כמותיים. פירסון ניסה לפתח מקדם דומה למדידת הקשר בין שני משתנים איכותיים (קטגוריים), שנתוניהם מוצגים בלוח שכיחות דו-ממדי. ב-1900 הוא הציג את סטטיסטי חי-בריבוע, שמבטא רעיון דומה לרעיון של מקדם המתאם. מקדם המתאם התבסס על ההפרשים בין התצפיות והממוצע שלהן. סטטיסטי חי בריבוע מבוסס על ההפרש בין מספר התצפיות בתא מסוים בלוח השכיחות הדו-ממדי, והמספר הצפוי של התצפיות באותו תא בהנחה כי יש אי-תלות בין משתנים.

במקביל לפיתוח מדד חי בריבוע, ניסה פירסון גם להכליל את מקדם המתאם למדידת קשר בין שני משתנים איכותיים על ידי הכנסת הנחה על קיומו של משתנה נסתר (לטנטי). לדוגמה, אם יש משתנה המתאר את גובהו של אדם באוכלוסייה מסוימת כ"נמוך" או "גבוה", ערכים אלה נקבעים על ידי התפלגות הגבהים של האנשים באוכלוסייה, וניתן להניח כי זוהי התפלגות נורמלית. כאשר דנים בשני משתנים, טען פירסון כי ניתן להניח שקיימים שני משתנים נסתרים עם התפלגות משותפת דו-נורמלית. תחת הנחה זו פיתח את מקדם המתאם הטטרכורי, ומאוחר יותר את מקדם המתאם הפוליכורי.

הגישה הזו של פירסון נתקלה בהתנגדות של הסטטיסטיקאי אדני יול, שטען כי במקרים רבים ההנחה הבסיסית של פירסון לפיה מקורם של הנתונים האיכותיים נמצא בהתפלגות דו-נורמלית שאינה ניתנת לצפייה אינה נכונה. יול הציג גישה אלטרנטיבית שמבוססת על הערכים הנצפים בלוח השכיחות, ללא הנחה של התפלגות נסתרת או השוואה למצב של אי-תלות. רוב הסטטיסטיקאים קיבלו את גישתו של יול, ופיתחו מדדי קשר שהתבססו על העקרונות שלו. עם זאת, גישתו של פירסון המניחה התפלגות נסתרת מהווה בסיס למודלים סטטיסטיים אחרים העוסקים בניתוח הקשר בין משתנים איכותיים למשתנים אחרים, כגון רגרסיה לוגיסטית.

סוגים של מדדי מתאם

מקדם המתאם של פירסון 

המדד המוכר ביותר לקשר בין שני משתנים כמותיים הוא "מקדם המתאם של פירסון" (לעיתים קרובות נקרא בפשטות "מתאם פירסון" או אף "מקדם המתאם"). מקדם מתאם זה זה מודד את עוצמת הקשר הליניארי בין שני משתנים כמותיים, כאשר ערך של 1 מציין קשר ליניארי חיובי מלא, וערך של 1- מציין קשר ליניארי שלילי מלא. ערך של 0 מציין חוסר קשר ליניארי. ייתכנו מצבים בהם ערכו של מתאם פירסון שווה או קרוב לאפס, ועדיין קיים קשר בין המשתנים. דבר זה קורה למשל כשהקשר בין המשתנים אינו לינארי אלא  ריבועי או אחר.

מקדם המתאם של ספירמן

מקדם ספירמן הוא הכללה של מתאם פירסון שמתאימה למקרה בו לפחות אחד משני המשתנים נמדד בסולם סדר, והמשתנה השני יכול להימדד בסולם סדר, רווח או מנה. כדי לחשב את מתאם ספירמן מדרגים את הערכים של כל אחד מהמשתנים, כך שהתצפית שערכה הנמוך ביותר מקבלת דרגה השווה ל-1 וכן הלאה. לדוגמה, אם ערכי משתנה אחד הם "גבוה", "נמוך" ו-"בינוני", הדרגות יהיו 3, 1 ו-2 בהתאמה. לאחר מכן, מפעילים את נוסחת החישוב של מתאם פירסון על דרגות הערכים במקום על הערכים עצמם.

מקדם הקשר של קראמר

מקדם הקשר של קראמר (המסומן בדרך כלל באות V) פותח על ידי הסטטיסטיקאי השוודי הראלד קראמר. מקדם זה מתאים למדידת עצמת הקשר בין שני משתנים קטגוריים. הוא מבוסס על ערכו של סטטיסטי חי-בריבוע המיועד לבדיקת ההשערה הסטטיסטית של אי-תלות בין המשתנים, כאשר ערך זה מתוקנן לפי מגודל המדגם, מספר הקטגוריות של כל אחד מהמשתנים והוצאת שורש. ערכו של מקדם המתאם של קראמר נע בין 0 ל-1, כאשר ערך 0 מציין אי-תלות סטטיסטית בין המשתנים.

מקדם המתאם התוך-אשכולי 
מקדם המתאם התוך-אשכולי (Intraclass correlation או ICC) מודד את עצמת הקשר בין משתנה כמותי ומשתנה קטגורי. המקדם, שפיתח רונלד פישר, מבוסס על הפרמטרים של מודל ניתוח שונות חד כיווני. מודל זה משווה בין הממוצעים של משתנה כמותי הנמדד באופן בלתי תלוי במספר קבוצות. המדד הוא היחס בין השונות שבין הקבוצות ובין השונות הכוללת, וערכו נע בין 0 ל-1.

מדדים נוספים של תלות בין משתנים אקראיים 
המידע הניתן על ידי מקדם המתאם לא מספיק על מנת להגדיר את מבנה התלות בין משתנים אקראיים. מקדם המתאם מגדיר את מבנה התלות לחלוטין רק במקרים מאוד מסוימים, למשל כאשר ההתפלגות היא התפלגות רב-נורמלית (ראה דיאגרמה בתחילת העמוד). במקרה של התפלגות אליפטית הוא מאפיין את אליפסות הצפיפות השווה. עם זאת, הוא לא מאפיין לחלוטין את מבנה התלות.

מתאם מרחק ומתאם בראוני (Brownie coeffiecient) הובאו על מנת לטפל במחסור של מתאם פירסון שיוכל להיות אפס עבור משתנים תלויים אקראיים; מתאם מרחק אפסי ומתאם בראוני אפסי מצביעים על חוסר תלות.

מתאם וסיבתיות 
מתאם הוא לעיתים קרובות תנאי הכרחי אך לא מספיק לקשר סיבתי. על מנת שנוכל לטעון לקשר סיבתי בין X (גובהו של אדם) ל-Y (הצלחה במבחן אינטליגנציה), כלומר שגובהו של האדם גורם להצלחה במבחן האינטליגנציה, תנאי הכרחי הוא שיהיה קשר או מתאם בין X ל-Y. בדוגמא ספציפית זו מובן שיתקבל מתאם בין גובה להצלחה במבחן אך מתאם זה לא יעיד על קשר סיבתי אלא ינבע מהשפעה של משתנה שלישי. כלומר, משתנה שלישי  (גיל האדם Z) משפיע על הקשר בין X ל-Y. כלומר, גיל האדם משפיע על גובהו, מחד, וגיל האדם משפיע על ההצלחה במבחן האינטליגנציה, מאידך. תופעה זו, בה הקשר בין X ל-Y אינו קשר סיבתי והוא למעשה תוצאה של השפעה של משתנה שלישי (Z) על כל אחד מהם נקרא מתאם מזויף (Spurious Correlation). למעשה, אחת ההבחנות החשובות שהאדם עושה ביומיום היא בין קיום קשר לקיום קשר סיבתי. יתרה מכך, מחקרים ניסויים רבים תוך נסיון לקבוע אילו משתנים משפיעים סיבתית על תופעה, מנסים לנכות מה שקרוי הסברים חלופיים באמצעים ניסויים אן סטטיסטיים, כך שיהיה  שהמשתנה שגם לתופעה  שבמוקד הוא אך ורק המשתנה   הבלתי תלוי ולא משתנים אחרים.    

מכל מקום, קיום מתאם ברמה כלשהי מוסכם על ידי מרבית התאורטיקנים כתנאי הכרחי אם כי לא מספיק להיסק על סיבתיות. ראו למשל את הקריטריונים של ברדפורד היל, וההתייחסות של הפילוסוף דייוויד יום לבעיית הסיבתיות וביקורת האינדוקציה.

ראו גם 
שונות משותפת
מדדי קשר ותלות
סיבתיות
שיפוט מתאם
מודלים נורמטיביים ומודלים דסקריפטיביים

קישורים חיצוניים 

The Development of Correlation and Association in Statistics - Jake D. Brutlag

יוסי לוי, סטטיסטיקה רעה: אי הבחנה בין מתאם לסיבתיות, באתר "נסיכת המדעים"
Crash Course - על ההבחנה בין מתאם/קורלציה לסיבתיות 

 
 

שיטות מחקר
מדדי קשר