פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים 

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי:  מקיימת בהכרח ארבע תכונות:
 הגבול  שווה ל-0.
 הגבול  שווה ל-1.
 הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר  לכל .
 הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות . ואכן, אם דורשים ש- , נובע שהגבול משמאל  שווה להסתברות . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה , 
, 
 
ו- .

בפרט נובע ש-, כך שהסיכוי למאורעות  הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

דוגמאות

קובייה 
נניח ש- הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של  נתונה על ידי:

התפלגות ברנולי 
דוגמה נוספת: נניח ש- הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי , ואת הערך 0 בסיכוי  (למשל: אם  אז ).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של  נתונה על ידי:

כי ההסתברות ש- יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן  או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא .

התפלגות אחידה רציפה 
נניח ש- מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1].
אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של  נתונה על ידי:

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי  יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע  לכל מספר  בין 0 ל-1 היא .

התפלגויות רציפות
התפלגויות בדידות

קישורים חיצוניים

 

תורת ההתפלגויות