אי-שוויון צ'בישב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון צ'בישב (גם: צ'בישוֹב) הוא אי-שוויון המאפשר להעריך את ההתפלגות של משתנים מקריים על ידי התוחלת שלהם. האי-שוויון קרוי על שמו של ממציאו, המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב. 

אי-שוויון צ'בישב קובע כי אם השונות והתוחלת של משתנה מקרי  קיימים, אז
לכל  מתקיים: 
.

אי-שוויון צ'בישב מאפשר להעריך את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי כלשהו יסטה במידה זו או אחרת מהתוחלת שלו באופן מדויק יותר מאי-שוויון מרקוב ונותן משמעות נוספת למושג השונות. בפרט נובע ממנו, שכאשר השונות קטנה, ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת קטנה גם היא. בעזרת אי-שוויון צ'בישב אפשר להוכיח את החוק החלש של המספרים הגדולים למקרה הפרטי שבו לסדרת המשתנים המקריים יש שונות סופית. אי-שוויון צ'רנוף נותן גרסה חזקה יותר עבור משתני ברנולי.

בגרסה כללית יותר, אי-שוויון צ'בישב קובע כי . אי-שוויון קאנטלי הוא גרסה חד צדדית של אי-שוויון צ'בישב.

הוכחת אי-שוויון צ'בישב 

על פי ההגדרה:
.
אם נבצע אינטגרציה רק על קבוצת הנקודות במרחב ההסתברות עבורן  נקבל גודל קטן
יותר או שווה לזה שהתחלנו ממנו:

ועל ידי חלוקה של שני האגפים ב  מקבלים את אי-שוויון צ'בישב.

ניתן גם להוכיח את אי-שוויון צ'בישב ישירות מאי-שוויון מרקוב.

קישורים חיצוניים

 

צ'בישב