פונקציה אלמנטרית

פונקציה מרוכבת או ממשית (במשתנה אחד) היא פונקציה אלמנטרית אם ניתן לבנות אותה על ידי מספר סופי של פעולות האריתמטיקה הבסיסיות והרכבה ממספר פונקציות בסיסיות:
 פונקציית פולינום.
 פונקציה רציונלית.
 הפונקציה המעריכית (האקספוננט) - .
 הלוגריתמים -  (כאשר הלוגריתם הוא לפי הבסיס הטבעי).
 הפונקציות הטריגונומטריות -  וכדומה.
 הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות -  וכדומה.
 הוצאת שורש מכל סדר.

לדוגמה, הפונקציה  היא פונקציה אלמנטרית, ולעומתה פונקציית הערך השלם [x] אינה אלמנטרית. קיים אלגוריתם רקורסיבי שמחשב את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית כלשהי, באמצעות כללי הגזירה והנגזרות של הפונקציות הבסיסיות. לעומת זאת, פונקציה קדומה של פונקציה אלמנטרית אינה בהכרח אלמנטרית. לדוגמה הפונקציה  מפורסמת בכך שאינה אלמנטרית (ראו משפט ליוביל).

אם פונקציה קדומה היא אלמנטרית, ניתן (בהכרח) למצוא אותה מהנגזרת שלה על ידי אינטגרציה, על ידי אלגוריתם ריש .

מינימליות
מן הפונקציות ברשימה לעיל אפשר לבנות כל פונקציה מעריכית  עם ; את הפונקציות , ועוד. בגלל הקשר ההדוק בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציית המעריך, דרך הפונקציות ההיפרבוליות, אפשר לוותר על חלק מן הפונקציות ברשימה, ולקבל אותן מתוך פונקציות אחרות. ליתר דיוק, כאשר דנים בפונקציות אלמנטריות במספרים מרוכבים, ניתן להסתפק רק ב-  והפונקציות הקבועות המרוכבות כדי לבנות את כל הפונקציות האלמנטריות.

גזירה אלגברית
ניתן לפתח את מבנה הפונקציות האלמנטריות באמצעות מושג הגזירה האלגברית. גזירה אלגברית על שדה R היא אופרטור אדיטיבי  המקיים את כלל לייבניץ  (לכל ).

נתחיל משדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד מעל המרוכבים, , שהוא שדה השברים של חוג הפולינומים. על שדה זה מוגדרת פעולת גזירה טבעית - הנגזרת המרוכבת הרגילה. שדה זה הוא תת-שדה של שדה הפונקציות המרוכבות הגזירות. את שדה הפונקציות האלמנטריות ניתן ליצור באמצעות מגדל של הרחבות, באינדוקציה, כך שפונקציה כלשהי היא אלמנטרית אם היא מופיעה בשלב מסוים במגדל. בשלב ה-k נתון השדה . נוסיף אלמנטים לשדה שיתפקדו כמו הפעלת אקספוננט או לוגריתם על איבר בשדה הקודם. התוספות נקבעות לפי פעולת אופטור הגזירה עליהן, כלומר כפתרון של משוואה דיפרנציאלית. נשלים את מה שנוצר לשדה סגור אלגברית, באמצעות לקיחת החיתוך של כל תתי השדות של שדה הפונקציות הגזירות שהם גם סגורים אלגברית, גם מכילים את כל איברי  וגם מכילים את כל האלמנטים שהוספנו (האקספוננטים והלוגריתמים). לשדה שמתקבל נקרא . 
בכל שלב הוספנו אלמנטים מהצורה:
 u הוא אקספוננט של a, איבר של  אם הוא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית: .
 u הוא לוגריתם של a, איבר של  אם הוא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית: 
בכל שלב השדה המתקבל גדול ממש מהשדה הקודם, ועדיין מוכל בשדה הפונקציות המרוכבות הגזירות.

האיחוד העולה של כל השדות  הוא גם כן שדה, ולכן הוא סגור תחת חיבור, חיסור, כפל וחילוק. בנוסף שדה זה סגור גם תחת הרכבת פונקציות, ומכיל את הפונקציות הבסיסיות שמהן בונים את הפונקציות האלמנטריות (האקספוננט, הלוגריתם והקבועים המרוכבים) ולכן הוא שווה לשדה הפונקציות האלמנטריות.

חישוביות 

לא ידוע האם קיים אלגוריתם המכריע האם פונקציה אלמנטרית נתונה שווה זהותית לאפס. אלגוריתם ריש  מבצע רדוקציה של בעיית חישוב האינטגרל הלא מסוים של פונקציה אלמנטרית, לבעיית הזיהוי של פונקציית האפס.

קישורים חיצוניים

 

אלמנטרית
בעיות פתוחות במתמטיקה