תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים  של חבורה  היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה  היא המנה האבלית הגדולה ביותר של .

איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה   שכך שיש תמורה  המקיימת  כאשר  הוא איבר היחידה בחבורה.

הגדרה
הקומוטטור של שני איברים  בחבורה  הוא האיבר . תת-חבורת הקומוטטורים של  היא החבורה הנוצרת . את החבורה המתקבלת מסמנים  או . הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם  תת-חבורות נורמליות של , אז  היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים  עבור ; זו תת-חבורה נורמלית גם של  וגם של .

תכונות
תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה  היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית  של , המנה  אבלית אם ורק אם . זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה  נקראת האבליזציה של .

מכיוון שהומומורפיזם  מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה . בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש- ובפרט .

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של , באינדוקציה: , ולכל , . בפרט מקצרים וכותבים ,  וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז  היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון 
 נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות  היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, , בעוד ש- מושלמת לכל  (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים , כאשר . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית. 

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה , או נוסחה מהצורה  כאשר  הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות  (לכל חבורה ), ואלו המקיימות ; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות  של , מתקיים .

האורך בחבורת הקומוטטורים 

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2). 

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס , עבור . בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים.

ראו גם
 חבורה נילפוטנטית

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

אלגברה
תורת החבורות