פונקציית החלוקה (תורת המספרים)

__ללא_תוכן_עניינים__

בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו . שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית. 

מספר החלוקות השונות של n נקרא פונקציית החלוקה של n, ומקובל לסמנו ב- . לדוגמה, החלוקות השונות של 3 הן , ושל 4 הן . מכיוון של- 4 יש חמש חלוקות, . עבור הערכים , פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים הבאים: . ערכי הפונקציה גדלים במהירות: , ואילו . ג. ה. הארדי וראמאנוג'ן הוכיחו ב- 1917

את הנוסחה האסימפטוטית . לצורך כך השתמשו הארדי וראמאנוג'ן בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל" לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה, .

בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה ראמאנוג'ן: לכל n,  מתחלק ב-5. באופן דומה  מתחלק תמיד ב-7, ו-  מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים. מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים  מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.

פונקציה יוצרת
את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית , צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית. 

הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי:
 

מספר הפעמים שהאיבר  יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק  מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר k מופיע בחלוקה נתונה.

מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה  הוא: .

באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת, נובעת ממשפט המספרים המחומשים נוסחת הנסיגה:

כאשר  הוא המספר המחומש המוכלל ה-n-י. זהו סכום סופי, מכיוון ש- (סכום ריק) ולכל k שלילי .

ראו גם 
 משפט החלוקה של אוילר
 מספרי בל - ספירת חלוקות בהן זהות האיברים בכל חלק חשובה

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
תורת המספרים
תורת המספרים האדיטיבית
קומבינטוריקה
לאונרד אוילר
פונקציות אריתמטיות
סריניוואסה רמנוג'אן

ca:Partició