גרעין (תורת הקטגוריות)

בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.

באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם  עבור  אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט  "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה , כך ש-.

הגדרה

תהי  קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו  אובייקטים ויהי  מורפיזם.

הגרעין של  הוא אובייקט  שעבורו קיים מורפיזם  שהוא המשווה של  ושל מורפיזם האפס , וכן  אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום .

באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:
 , כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

 בהינתן אובייקט  עם מורפיזם כלשהו  כך ש-, קיים מורפיזם יחיד  כך ש . כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:

במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם  הוא העתקת ההכלה הטבעית.

ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

דוגמאות

 בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם , אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה  הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
 בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).

תורת הקטגוריות