משפט התיכון

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: 

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים: 

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה 

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם  אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: 

נעביר אגפים, ונקבל: 

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: 

נציב , ונקבל: 

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: 

על פי כלל המעבר, נקבל: 

לאחר העברת אגפים, נקבל:

הוכחה גאומטרית 

נסמן . כמו כן נסמן 

אם , המשולש שווה שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, , נחשב את שטח המשולש  לפי נוסחת הרון:

נחשב את שטח המשולש  ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר . נשווה ביניהם ונמצא את 

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע: 

נסדר את המשוואה:

נצמצם ב  (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי ) ונקבל את התוצאה:  

תיכון, ה
משולש