מספר p-אדי

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p, שהוא סופי בצד החזקות השליליות , ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p, וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.

תכונות
במספר p-אדי, שצורתו הכללית
 ,
עשויים המקדמים  להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח , והצגה זו היא יחידה. על-כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.
מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים , שבהם אין חזקות שליליות של p.

מרחק בין שני מספרים
בין מספרים ה-p-אדיים a ו- b מגדירים מרחק לפי חזקת p הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם  אזי  כאשר k הוא המספר הקטן ביותר שמקיים . כמו כן, מגדירים . המטריקה היא .
תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים  הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה  שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה  היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.

הצגת מספר שלילי 

לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם  שלכאורה הם חיוביים ולכן אפשר לחשוב שאי-אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדים. זה לא נכון. לדוגמה: יהי  ונסתכל על המספר 
 
נחבר לו את המספר 1, נקבל
 
שכן 1+2=3 ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1+2=3 ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים: 
  
ולכן 

במקרה הכללי מתקיים ש-. אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של  אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן  ולכן
 

כעת, כל מספר שלילי m ניתן להציג כמכפלה של ההצגה הפיאדית של  בהצגה הפיאדית של .

הצגת מספר רציונלי
כל מספר רציונלי ניתן להציג, באופן יחיד, בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, 
. אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור  מתכנס, וסכומו על-פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים, . לכן הסכום לעיל מתכנס ל- . 

השבר המצומצם  הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p אינו מחלק את המכנה b. למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל,  (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר , ו- a הוא מספר שלם זר ל-p ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a שורש p-אדי אם ורק אם a הוא שארית ריבועית מודולו p. בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מכיוון שלמספר השלילי  תמיד יש שורש p-אדי.

חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.

הגישה האלגברית 

ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:
 
כך שלכל  : (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
 הם מקיימים  
או באופן שקול, המעבר מ- ל- נעשה על ידי .
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים . אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא:
 חיבור: 
 כפל: 
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ). 
זהו חוג עם אפס  ויחידה . יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן .

גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.

מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך 

נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:
 

כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:
 
בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:
 

או בנוסחה מפורשת: 
 
כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר: לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל: ).

שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים
קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הקרוי שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח שלמשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.

כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר . אוסף ההעתקות הרציפות מ- למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה .

ראו גם 

 שדה המספרים ה-p-אדיים
 חוג השלמים ה-p-אדיים

קישורים חיצוניים 

 
 
 אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011
 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
תורת המספרים
שיטות ספירה