דיפאומורפיזם

בגאומטריה דיפרנציאלית, דיפאומורפיזם הוא אמצעי לזהות שני מבנים דיפרנציאליים כזהים עד כדי שם. זהו איזומורפיזם של מבנים עם שימור אינווריאנטים דיפרנציאליים.

בדומה לאיזומורפיזם ולהומאומורפיזם הזיהוי נעשה באמצעות פונקציה חד חד ערכית ועל מיריעה חלקה  ליריעה חלקה . נאמר שפונקציה כזו היא דיפאומורפיזם אם היא חלקה, והפונקציה ההפוכה לה גם כן חלקה. הגדרה זו דומה להגדרת ההומאומורפיזם ששם פונקציה בין מרחבים טופולוגיים היא הומאומורפיזם אם היא רציפה, וגם הפונקציה ההפוכה לה רציפה.

בצורה דומה למושגים הקשורים, נאמר ששתי יריעות הן דיפאומורפיות אם קיימת פונקציה שהיא דיפאומורפיזם ביניהן. יחס זה מהווה יחס שקילות על מחלקת כל היריעות הדיפרנציאליות.

לדוגמה הקטע  והקרן  דיפאומורפיות על ידי הדיפאומורפיזם .

לעומת זאת הפונקציה  איננה דיפאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו, כיוון שהפונקציה ההפוכה,  איננה גזירה בנקודה . לעומת זאת, פונקציה זו היא הומאומורפיזם בין הישר הממשי לעצמו.

פונקציה  נקראת  בסביבה של נקודה , אם קיימת סביבה פתוחה , כך ש- היא דיפאומורפיזם בין  ו-. לפי משפט הפונקציות ההפוכות אם  פונקציה חלקה כך שהנגזרת של  בנקודה  הפיכה, אז  היא דיפאומורפיזם מקומי בנקודה .

כל דיפאומורפיזם הוא גם הומאומורפיזם (כאשר מסתכלים על היריעות כמרחבים טופולוגיים), כי כל פונקציה חלקה היא בפרט רציפה, אבל לא להפך. קיימות יריעות חלקות שהומאומורפיות זו לזו אך לא דיפאומורפיות. מאבחנה זו נובע, לדוגמה, שאם שתי יריעות הן דיפאומורפיות אז הן בעלות אותו ממד.

קישורים חיצוניים

גאומטריה דיפרנציאלית
יחסי שקילות
מורפיזמים