פונקציה הומוגנית

במתמטיקה פונקציה הומוגנית מסדר  היא פונקציה שכאשר הארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע , ערך הפונקציה מוכפל ב־.

הגדרה מפורטת

תהי  פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה , ויהי  מספר שלם. אזי הפונקציה  תיקרא הומוגנית מסדר  אם  לכל  שונה מאפס, ולכל .

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר  כאשר הדרישה  צריכה להתקיים רק עבור  חיובי, ו- יכול להיות כל מספר מרוכב.

דוגמאות

העתקות ליניאריות
כל העתקה ליניארית  היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות:  לכל  ולכל  .

פולינומים הומוגניים
כל מונום (חד-איבר) ב- משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית . לדוגמה שטח של ריבוע -  - הוא מונום הומוגני  מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר .

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה:  הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם  הוא פולינום הומוגני מסדר  ו- הוא פולינום הומוגני מסדר , אזי  היא פונקציה הומוגנית מסדר  בכל הנקודות חוץ מבשורשים של .

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית -  - היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית - , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים  .

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנשארו בחומר לאחר פרק זמן  נתון על ידי , ובעוד שמתקיים , קרי  היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

ניסוח המשפט
תהי  פונקציה חלקה אזי  הומוגנית חיובית מסדר  אם ורק אם:
.

הוכחה
: תהי  פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: . נגזור את שני האגפים לפי  ונקבל: .

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל , נציב  ונקבל: .

: תהי  פונקציה חלקה המקיימת  לכל .

נבחר  כלשהו ונגדיר: .

כעת: .

נציב: .

ונקבל: . לכן  היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש:  לכן לכל  מתקיים . כלומר

תוצאה
עבור פונקציה  גזירה והומוגנית חיובית מסדר  נקבל ש- היא הומוגנית מסדר . כלומר:
.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי . שכן על פי משפט אוילר:
.
נגזור לפי  ונקבל:
.
ולכן:
. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

הומוגנית