מערכת לא ליניארית

מערכת לא ליניארית היא מבנה אשר לא ניתן להגדיר את צורתו ו/או התנהגותו כסכום של רכיביו. בפרט, מערכת לא ליניארית אינה כפופה לעקרונות הסופרפוזיציה כמופיעות במערכות ליניאריות לרבות, אי קיום קשר חד-חד ערכי.

בשונה ממערכות ליניאריות, הניתנות לביצוע חישובי קירוב והערכות, במערכות לא ליניאריות לא ניתן לבצע חישובים אילו ואף קשה עד בלתי אפשרי ליצור מודל התנהגותי של המערכת. דבר זה מקשה על ביצוע חישובי תחזיות. אחת הדרכים להגיע להצגת תבנית של מערכת לא ליניארית היא לקרב המערכת לתבנית של מערכת ליניארית - תהליך המכונה ליניאריזציה.

ישנן מספר מערכות לא ליניאריות הניתנות לפתרון או שניתן באמצעותן לבצע פעולות אינטגרציה, בעוד שאחרות מאופיינות באי-סדר מוחלט ועל-כן אין להן פתרון או אפילו אומדן קירוב. תחום חקר משוואות לא ליניאריות עדיין אינו מובן בשלמותו, אולם, יישום של מערכות אלה נמצאו במגוון תופעות פיזיקליות הכוללות את תורת הכאוס ובתופעה הנקראת גלים חריגים אשר דוגמאות לכך ניתן למצוא בין היתר בגלי הים.

רקע

מערכות לא ליניאריות באלקטרוניקה
באלקטרוניקה, מערכת לא ליניארית מתארת מודל, שבה נמצא רכיב או מספר רכיבים המאופיינים בהתנהגות לא ליניארית.

מערכות לא ליניאריות במתמטיקה
במתמטיקה מערכת לא ליניארית באה לידי ביטוי כמשוואה או כאוסף של משוואות לא ליניאריות.

תיאור מערכות לא ליניאריות
מערכות ומשוואות לא ליניאריות הן תחום מחקר שכיח בקרב קהילת המתמטיקאים והפיזיקאים בניסיון ללמוד על תופעות פיזיקליות אשר מטבען הן לא ליניאריות. שכיחות הנושא נובע מריבוי הימצאותן של תופעות לא ליניאריות בטבע לעומת התופעות הליניאריות.

ניתן לתאר את המשוואה הלא ליניארית בצורה:  עבור משתנה כלשהו .

על מנת לפתור כל משוואה, נדרש להחליט על מרחב פתרונות, ש- יימצא בו.  עשוי להיות מספר ממשי, וקטור או אפילו פונקציה.

בעוד שהפתרון של משוואה ליניארית ייתן למעשה סופרפוזיציה או פתרון נוסף של אותה משוואה, פתרון של משוואה לא ליניארית עשוי להיות מסובך יותר ויכול להופיע אף בצורה של משוואה לא ליניארית חדשה.

משוואות לא ליניאריות מפורשות
ישנן כמה מערכות לא ליניאריות המובנות היטב, לדוגמה:

ועוד כמה מערכות פולינום. אולם, מערכות לא ליניאריות פולינומיות מדרגה גבוהה יותר הן יותר מסובכות. באותו אופן, ניתן לתאר מערכות לא ליניאריות דיפרנציאליות כגון:

הניתנת לפתרון על ידי שיטת "הפרדת המקדמים" ואילו משוואות אלו מסדר גבוה יותר כגון:
, כאשר  היא פונקציה לא ליניארית,
עשויות להוות אתגר לא מבוטל.
כמו כן, עבור מערכת משוואות דיפרנציאליות חלקיות התמונה עשויה להסתבך על אף, שניתן להוכיח את מספר הפתרונות האפשריים.

המשוואה הדיפרנציאלית של מטוטלת מתמטית ניתנת לתיאור על ידי משוואה לא ליניארית:

בעקרון, המשוואה הופכת לליניארית בהינתן  מספיק קטן (קרי, ) כך ש:

פתרון המשוואה עבור ערכים גדולים יותר של  או תנועה לא רציונלית של המטוטלת נעשית באמצעות "פירוק לשלבים".

כלים לפתרון מערכות לא ליניאריות
כיום, ישנן מספר דרכים לפתור מערכות לא ליניאריות:
 משפט הפונקציות הסתומות - מתן אפשרות לחלץ ממשוואה בכמה משתנים חלק מהמשתנים, כפונקציה של האחרים. כלומר, המשפט מראה באלו תנאים משוואה מציגה פונקציה באופן סתום, ומהן התכונות של אותה פונקציה.
 תורת ההסתעפויות - בוחנת כיצד שינוי קל במערכת גורם להשפעה בטווח הארוך בדינמיקה של המערכת.
 תורת ההפרעות - שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות, אשר באמצעותה ניתן גם למצוא קירוב לפתרון משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות.

דוגמאות נוספות למערכות לא ליניאריות
 מודלים בתורת היחסות
 משוואות בדינמיקה של נוזלים
 אופטיקה לא ליניארית
 מערכת זרמי האוקיינוס
 איזון גופים ומציאת מרכז מסה

קישורים חיצוניים

 

אלקטרוניקה
תורת הכאוס
מערכות דינמיות