פרדוקס בוחן הפתע

פרדוקס בוחן הפתע (ידוע גם כפרדוקס התליין) הוא פרדוקס שעוסק בציפיות של אדם לגבי מועד התרחשותו של אירוע עתידי שאמור להתרחש בהפתעה.

הפרדוקס
הפרדוקס ידוע בנוסחים שונים, וניתן להדגימו על ידי הסיפור הבא:

מורה נכנס לכיתה ומודיע לתלמידיו, כי באחד מימי השבוע הבא יתקיים בוחן פתע בתשע בבוקר.

התלמידים, בניסיון לדעת את מועד הבוחן, ערכו את הניתוח הבא:
 לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום שישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום חמישי, נדע בוודאות בסופו של יום חמישי שהבוחן יתקיים ביום שישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
 יום חמישי הוא אם כן היום האחרון שבו יכול הבוחן להתרחש. אם כך, לא ייתכן שהבוחן ייערך ביום חמישי, משום שאם הבוחן לא יתקיים עד יום רביעי, נדע בוודאות בסופו של יום רביעי שהבוחן יתקיים ביום חמישי, וזאת בניגוד לקביעתו של המורה כי עד לתחילת הבוחן לא תהיה לנו אפשרות לדעת באיזה יום הוא יתרחש.
 באופן דומה נפסל גם יום רביעי, ואחריו יום שלישי, יום שני ויום ראשון. 
מסקנתם של התלמידים הייתה שבהתאם לתנאים שקבע המורה, הבוחן אינו יכול להתקיים, ולכן כלל לא טרחו להתכונן אליו. מה גדולה הייתה הפתעתם כאשר ביום שלישי נכנס המורה לכיתה והודיע על תחילתו של בוחן הפתע המובטח. איפה הטעות בניתוח שעשו התלמידים?

ניתוח הפרדוקס
השורש של הפרדוקס טמון במשמעות הסמנטית של המושג "בוחן פתע". בדיקה מדוקדקת של הפרדוקס תראה שהוא נוצר מכיוון שאנו מייחסים למושג "בוחן פתע" שתי משמעויות שונות בו זמנית.

ראשית, כאשר התלמידים מניחים שאם המבחן לא התקיים עד יום חמישי, הוא אינו יכול להתקיים ביום שישי, המשמעות שהם מייחסים למושג "בוחן פתע" היא זאת - "בוחן שלא ניתן לדעת בשום יום באיזה יום יתקיים". בוחן פתע שכזה אכן אינו אפשרי כאשר המבחן ניתן במסגרת זמן מוגבלת - תמיד יהיה ניתן לדעת עבור היום האחרון, ועבורו בלבד, שהבוחן בהכרח יתקיים בו אם הוא לא התקיים עד עתה. כלומר, "בוחן פתע" מושלם (כזה שמפתיע בכל יום) אינו אפשרי במסגרת זמן מוגבלת. על כן, התלמידים אכן מוכיחים שבוחן פתע מושלם אינו יכול להתקיים, אולם הם אינם מוכיחים מאומה עבור בוחני פתע "מוגבלים", שמפתיעים בחלק מהזמן.

לאחר מכן, משניתן הבוחן ביום שלישי ועדיין היה "מפתיע", מייחסים התלמידים למושג "בוחן פתע" משמעות אחרת: "בוחן שכאשר ניתן, לא היה ניתן לדעת באיזה יום יתקיים". זוהי גרסה חלשה בהרבה של הבוחן ה"מושלם" שבה השתמשו התלמידים בהנחת האינדוקציה שלהם, מכיוון שכאן על הבוחן להיות מפתיע רק ביום ספציפי אחד, היום שבו הוא ניתן - ויום זה נתון לבחירתו השרירותית של המורה.

כלומר, הפרדוקס נגרם לכאורה מכיוון שהתלמידים מופתעים על ידי בוחן שאינו מפתיע תמיד. הבוחן יכול להפתיע רק בחלק מן הזמן.

במאמר מ-1953 הראה וילארד ואן אורמאן קוויין כי מדובר בפרדוקס לכאורה.

הפרדוקס מופיע גם בתורת המשחקים, בעת ניתוח דילמת האסיר האיטרטיבית, והוא קרוי שם "פרדוקס האינדוקציה לאחור" (Backward Induction Paradox).

לקריאה נוספת
 
O'Connor, D. J. (1948). "Pragmatic Paradoxes". Mind 57: 358–359. 
Scriven, M. (1951). "Paradoxical Announcements". Mind 60: 403–407.
 Shaw, R. (1958). "The Unexpected Examination". Mind 67: 382–384. 
Wright, C. & Sudbury, A. (1977). "the Paradox of the Unexpected Examination". Australasian Journal of Philosophy 55: 41–58. 
Margalit, A. & Bar-Hillel, M. (1983). "Expecting the Unexpected". Philosophia 13: 337–344.
Chihara, C. S. (1985). "Olin, Quine, and the Surprise Examination". Philosophical Studies 47: 19–26.
Kirkham, R. (1991). "On Paradoxes and a Surprise Exam". Philosophia 21: 31–51. 
Chow, T. Y. (1998). "The surprise examination or unexpected hanging paradox". The American Mathematical Monthly.
Franceschi, P. (2005). "Une analyse dichotomique du paradoxe de l'examen surprise". Philosophiques 32 (2): 399–421. English translation.
Gardner, M. (1969). "The Paradox of the Unexpected Hanging". The Unexpected Hanging and Other * Mathematical Diversions. 
Quine, W. V. O. (1953). "On a So-called Paradox". Mind 62: 65–66.
Sorensen, R. A. (1982). "Recalcitrant versions of the prediction paradox". Australasian Journal of Philosophy 69: 355–362.
Kacser, Claude (1986). "On the unexpected hanging paradox". American Journal of Physics 54 (4): 296.
Shapiro, Stuart C. (1998). "A Procedural Solution to the Unexpected Hanging and Sorites Paradoxes". Mind 107: 751-761.

קישורים חיצוניים
  
 שירה קריצ'מן ורן רז, "The Surprise Examination Paradox and the Second Incompleteness Theorem" 
 
 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
תורת המשחקים
פרדוקסים