מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן

במתמטיקה, מבחן לוקאס להמר הוא מבחן ראשוניות למספרי מרסן. המבחן פותח במקור בידי אדוארד לוקאס ב-1878 ולאחר מכן שופר בידי דריק הנרי להמר בשנות ה-30 של המאה העשרים. על-שם אותם שני מתמטיקאים קרוי גם מבחן ראשוניות כללי, מבחן לוקאס-להמר.

המבחן מחשב בצורה מהירה את האיבר ה- בסדרת לוקאס  ובודק האם הוא שקול ל-0 מודולו  (כאשר  הוא המספר שצריך לבדוק את ראשוניותו).

המבחן
נתונים מספר ראשוני , ומספר מרסן המתאים לו, . המשימה היא לבדוק האם M ראשוני. נגדיר סדרה  ברקורסיה:  , ולכל  מוגדר .

משפט. המספר M הוא ראשוני אם ורק אם .

זהו מבחן יעיל ביותר, והוא משמש עד היום לבדיקת ראשוניות של מספרי מרסן. החישוב מבוצע כולו מודולו M, ודורש כ- p פעולות של העלאה בריבוע מודולריות. בייצוג בינארי אלו פעולות מהירות יחסית: הריבוע האמיתי של מספר מתקבל מסיכום ההזזות שלו כלפי מעלה, וחישוב השארית מודולו M מהיר במיוחד מכיוון ש- , כך שתוצאת ההעלאה בריבוע מודולו M היא סכום שתי המחציות בריבוע שהתקבל. בסך הכול מדובר בכ-  פעולות בינאריות, מהיר יותר ממבחני הראשוניות האחרים כדוגמת אלגוריתם מילר-רבין הנחשב למהיר ביותר.

תמצית הוכחת המשפט 
נסתפק כאן בסקירה של ההוכחה לכיוון אחד של המשפט: אם M ראשוני, אז .

מכיוון ש-p אי-זוגי,  ולכן M הוא שארית ריבועית מודולו 3. אבל , ולכן משפט ההדדיות הריבועית מבטיח כי 3 איננו שארית ריבועית מודולו M. מכיוון שכך, סיפוח השורש הריבועי x של 3 לשדה  יוצר את השדה הסופי מסדר . בשדה הזה, נסמן .

כעת קל להווכח (באינדוקציה) ש- , ובסופו של דבר  אם ורק אם . מכיוון שהשדה בעל מאפיין M, מתקיים , כלומר . כדי להשלים חלק זה של ההוכחה, יש להראות שלשורש  של  אין, בתורו, שורש ריבועי.

הכיוון ההפוך דומה, אלא שבמקום השדה בגודל  יש לחשב בשדה בגודל  כאשר Q הוא גורם ראשוני של M שעבורו 3 איננו שארית ריבועית.

ראו גם
 מבחן לוקאס-להמר הכללי

לקריאה נוספת
Richard Crandall and Carl Pomerance (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective, 1st edition, Springer. . Section 4.2.1: The Lucas-Lehmer test, pp.167–170.

קישורים חיצוניים
 

 GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)
 A proof of Lucas-Lehmer test

מבחני ראשוניות
לוקאס-להמר למספרי מרסן
הוכחות