הפרדוקסים של זנון

הפרדוקסים של זנון הם פרדוקסים שחיבר הפילוסוף היווני זנון מאליאה שחי במאה החמישית לפני הספירה. פרדוקסים אלו עוסקים בתנועה, בזמן ובמרחב ובעיקר בבעיית האינסופיות שלהם. כל אחד מפרדוקסים אלה מציג "הוכחה" הסותרת את המציאות הגלויה לעין, ובא לתמוך בגישתו של פרמנידס לפיה אל לנו לסמוך על החושים המטעים אותנו. בין פרדוקסים אלה מוכרים בעיקר: פרדוקס אכילס והצב, פרדוקס הדיכוטומיה ופרדוקס החץ הנע.

החשבון האינפיניטסימלי שפותח על ידי מתמטיקאים, החל מהמאה ה-17 מתייחס למושג האינסוף אשר נמצא בבסיס הפרדוקסים.

פרדוקס אכילס והצב
הפרדוקס מתאר תחרות ריצה בין הלוחם האגדי, אכילס, לבין צב: אכילס רץ במהירות פי עשרה גדולה יותר מן הצב ולכן הוא מחליט להתחשב בצב ונותן לו יתרון של 100 מטרים בתחילת התחרות. מניסיון החושים ברור שאכילס יעבור את הצב תוך זמן קצר, אך לטענתו של זנון – בתנאים אלה אכילס לעולם לא ישיג את הצב.

הסיבה לכך היא שבזמן שאכילס יעבור את 100 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם עוד 10 מטרים, ולכן הוא עדיין יקדים את אכילס. כאשר אכילס ימשיך ויעבור את 10 המטרים הנוספים, הצב כבר יעבור עוד מטר, ושוב יקדים אותו. וכך הלאה, עד שאכילס מגיע לנקודה בה היה הצב קודם, הצב כבר מתקדם לנקודה רחוקה יותר. לכן, אכילס ילך ויתקרב אל הצב, אך לעולם לא יוכל להשיג אותו.

פרדוקס זה עומד, כאמור, בסתירה לידוע לנו – אכילס ישיג את הצב תוך זמן קצר. הפתרון של החשבון האינפיניטסימלי לפרדוקס הוא שלמעשה המרחק שאכילס יעבור, אותו תיאר הפרדוקס במספר אינסופי של שלבים, יכול להיות סופי, וכך גם הזמן הכולל שייקח לאכילס לבצע את אינסוף השלבים. במהלך כל שלב, הדרך אותה עובר אכילס הולכת וקטנה ובאותה מידה גם הזמן שלוקח לו לעבור אותה.

הפרדוקס מחלק את הריצה של אכילס למספר אינסופי של שלבים שונים שגודלם הוא סדרה הנדסית. המרחק הראשון אותו עבר אכילס הוא 100 מטרים (במשך 10 שניות), ובזמן זה עבר הצב 10 מטרים, המרחק השני אותו עבר אכילס הוא 10 מטרים (עשירית מהמרחק הקודם, במשך שנייה אחת), ובזמן זה עבר הצב מטר אחד, המרחק השלישי אותו עבר אכילס הוא מטר אחד (במשך עשירית שנייה), ובזמן זה עבר הצב 10 ס"מ, וכך הלאה, כל איבר בסדרה הוא 1/10 מקודמו. בכלים בסיסיים של החשבון אינפיניטסימלי ניתן להראות שהטור שמתאר סדרת הזמנים מתכנס למספר סופי שהוא  שניות. לאחר זמן זה אכילס והצב יהיו באותו מקום, ובצעד הבא ישיג אכילס את הצב.

ההסבר לפרדוקס הוא שאנו מסתכלים על המערכת בזמן שמתכנס ל- שניות ובזמן זה לעולם לא נראה את אכילס עוקף את הצב. ככל שהמרחקים קצרים, כך גם הזמן קצר.

פרדוקס הדיכוטומיה

אדם שרוצה לנוע ממקום למקום, כלומר לעבור מנקודת יציאה לנקודת יעד, לעולם לא יוכל להגיע למטרתו, כי לפני שיגיע לנקודת היעד, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת היציאה לבין נקודת היעד. בנוסף לזאת, לפני שיגיע מנקודת היציאה לאמצע הדרך, הוא חייב להגיע לאמצע הדרך שבין נקודת יציאה לבין אמצע הדרך, וכך הלאה. בהתאם לכך, האדם לעולם לא יוכל לזוז ממקומו, כי כדי להגיע לנקודה הראשונה במסעו הוא חייב לעבור אינסוף נקודות.

פרדוקס זה דומה לקודמו בכך שהוא מפרק תהליך סופי לאינסוף תהליכים שהולכים וקטנים. בנוסף, הפרדוקס מתבסס על ההנחה האינטואיטיבית שלכל אוסף של נקודות יש נקודה ראשונה אותה יש לעבור. שלילת הנחה זו עומדת בבסיס המושג המרכזי בחשבון האינפיניטסימלי "קטן כרצוננו".

פרדוקס החץ הנע

חץ נורה אל מטרה. ברגע מסוים במעופו הוא נמצא במקום מסוים, כלומר הוא נמצא במנוחה. תיאור זה נכון לגבי כל אחד מהרגעים של מעוף החץ, ולכן החץ נמצא במנוחה במהלך כל מעופו, כלומר תנועת החץ כלל אינה קיימת.

מושג הגבול של החשבון האינפיניטסימלי מראה שגם כאשר אורכו של הרגע שואף לאפס, מהירות החץ יכולה להיות גדולה מאפס (כלומר החץ לא נמצא במנוחה). זהו למעשה המושג הפיזיקלי של מהירות רגעית, המתקבלת מגזירת מיקום החץ כפונקציה של הזמן.

ראו גם 
 אינפיניטסימל
 חשבון אינפיניטסימלי
 גבול (מתמטיקה)
 אייזק ניוטון לעומת אוגוסטין לואי קושי
 שלוש מהפכות קופרניקניות
 מה שהצב אמר לאכילס
 אפקט זנון הקוונטי

לקריאה נוספת
 
 חיים שפירא, אנסוף - המסע שאינו נגמר, הפרק: הצב, אכילס והחץ - הפרדוקסים של זנון, עמ' 234–257.

קישורים חיצוניים

 
 
 

זנון, פרדוקס של
פרדוקסים של זנון
פרדוקסים של זנון
אינסוף