מערכות מספרים

במתמטיקה, מערכת מספרים היא קבוצה של מספרים, או עצמים הדומים למספרים, שמוגדרות בה פעולות אריתמטיות כגון חיבור וכפל. המערכות החשובות ביותר הן קבוצת המספרים הטבעיים, חוג המספרים השלמים, שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. עם זאת, לשאלה 'מהי מערכת מספרים' אין תשובה מדויקת, וקבוצות כלליות יותר עשויות להיחשב למערכות מספרים בהקשר המתאים.

סביר להניח שבתחילה רק מספרים טבעיים נחשבו כ'מספרים'. אלו הם מונים של קבוצות סופיות: אחד, שניים, שלושה, ארבעה וכן הלאה. בבית הספר של פיתגורס 'מספר' היה תמיד יחס בין שני מספרים שלמים, כלומר (בשפה המודרנית) מספר רציונלי. מצד שני הפיתגוראים זיהו מספר עם האורך של קטע מתאים, והעדיפו בזה את הגישה הגאומטרית לשאלה 'מהו מספר'. עד למאה ה-16 מספר היה צריך להיות בעל משמעות גאומטרית: אורך, שטח או נפח; אפילו בפתרונות הראשונים למשוואה ממעלה שלישית ורביעית התייחסו בנפרד למקרים שבהם צריך להשוות 'נפח ועוד שטח' (כלומר ) למספר קבוע, לעומת השוואת נפח ל'שטח ועוד קבוע'. ההתקדמות ביכולת לפתור משוואות אלו הביאה להכרה בצורך במספרים כלליים יותר, החל במספרים שליליים וכלה במספרים המרוכבים.

התכונות היסודיות של המספרים הפכו במתמטיקה לאקסיומות המאפיינות את מערכות המספרים, ואלו הופרדו בהמשך ממקורן, והפכו לניצניה של האלגברה המודרנית.

היסטוריה
המושג מספר ואיתו זהות מערכות המספרים (קבוצת כל המספרים) עברו שינויים רבים במהלך ההיסטוריה. בתרבויות קדומות נעשה שימוש במספרים על מנת לספור עצמים - ומשום כך המושג מספר התייחס רק למערכת המספרים הטבעיים. שימוש נוסף שנעשה במספרים היה כמדד כמותי, למשל לאורך או לשטח. מושג זה של מספר תואם את המושג המודרני של מערכת המספרים הממשיים החיוביים. ביוון העתיקה ניסו לקשר את שתי ההגדרות השונות - ולבסס את תורת המספרים על יסודות גאומטריים. הרעיון התבסס על כך שניתן לקחת קטע ולהגדיר את האורך שלו כ-1, ואזי המספר 2 יהיה מקושר לקטע בעל אורך כפול, וכן הלאה לגבי שאר המספרים. הם גם האמינו שניתן להציג אורך של כל קטע כמנה של שני קטעים טבעיים. מערכת המספרים המתקבלת באופן זה (ממנה של שני מספרים טבעיים) נקראת היום המספרים הרציונליים החיוביים. ואולם המתמטיקאים הפיתגוראים הראו שבריבוע, שאורך צלעו הוא 1, לא ניתן להציג את אורך האלכסון כמנה של שני מספרים טבעיים. תגלית זאת היוותה משבר פילוסופי חמור עבור הפיתגוראים, שהיו כת פילוסופית דתית שהאמינה בשלמות המספרים וחשיבותם לתיאור הטבע. האגדה אף מספרת שהם זרקו לנהר את התלמיד שגילה אותה.

במאה ה-6 לספירה החלו מתמטיקאים הודים להתייחס גם ל-0 כאל מספר, ועשו בו שימוש בחישוביהם. מתמטיקאים הודים החלו גם להשתמש במספרים שליליים בחישוביהם החל מהמאה ה-7, ואומנם ההתייחסות אל מספרים שליליים כאל מספרים הפכה למקובלת רק במאה ה-19, והיא כתוצאה של שינוי שחל בתפיסת המושג מספר. בתור מדד לכמות איברים בקבוצה, או כמדד לאורך, אין למספרים שליליים משמעות, אך יש למספרים משמעות כעצמים המשמשים לחישובים. כך לדוגמה אם משתמשים במספר על מנת לציין את כמות הכסף שאיש הפקיד בבנק, כלומר כמות הכסף שהבנק חייב לאיש, אזי המספר 0 מציין מצב שבו לאיש אין כסף בבנק, ואילו מספרים שליליים מציינים שהאיש חייב כסף לבנק. באופן זה מספרים שליליים מקלים על חישובים מכיוון שהם מאפשרים לא להפריד בין מקרים שונים - הם מאפשרים החסרה של מספר גדול ממספר קטן ממנו (דבר שאיננו אפשרי אם המושג מספר מצומצם למספרים חיוביים בלבד).

ההתייחסות אל מספרים כאל עצמים שבהם נעשה שימוש בפעולות חישוב, אפשרה גם התייחסות אל מספרים מרוכבים כאל מספרים. מספרים אלו, שהומצאו על ידי ג'ירולמו קרדאנו בתחילת המאה ה-16, הם התוצאה של פעולות חשבון כמו הוצאת שורש ריבועי של מספר שלילי.

ההגדרות הפורמליות למספרים כאל עצמים שניתן לפעול עליהם עם פעולות חשבון החלה עם הצגת המושג "שדה" על ידי ריכרד דדקינד ב-1877, הגדרה שאותה שיפר היינריך מרטין ובר ב-1893, עם הפיתוח האקסיומטי של ג'וזפה פאנו למושג המספרים הטבעיים, וכן עם פיתוח תורת הקבוצות האקסיומטית בתחילת המאה ה-20.

המספרים הטבעיים 

המספרים הטבעיים, כמו 1, 3 או 18, משמשים לספירה או לסידור של עצמים. הפיתוח האקסיומטי, המסודר, של מערכות מספרים החל בניסיונו של ג'וזפה פאנו, בסביבות 1880, לבנות מערכת של אקסיומות שתתפוס בדייקנות את מה שאנחנו מצפים מן המספרים האלה. אקסיומות אלה נוסחו במה שמאוחר יותר ייקרא בלוגיקה מתמטית שפה מסדר ראשון. הרעיון הבסיסי של פאנו היה שכדי לתאר את המספרים הטבעיים מספיק להניח שקיים איבר קטן ביותר (האפס), ושלכל איבר יש עוקב (העוקב של 7 הוא 8, וכן הלאה). מהנחות אלה, יחד עם אקסיומת האינדוקציה, הוא פיתח את מערכת פאנו של המספרים הטבעיים.

האינדוקציה מאפשרת להגדיר את פעולת החיבור: אם נסמן ב-  את העוקב של , אז הוספת 1 מוגדרת לפי , בעוד שהוספת כל מספר גדול יותר מוגדרת כעוקב של פעולת חיבור שכבר הוגדרה: . באופן דומה אפשר להגדיר גם את הכפל: , ואילו . פאנו הראה שפעולות אלה מקיימות את כל התכונות המוכרות של חיבור וכפל: קומוטטיביות, אסוציאטיביות, ודיסטריבוטיביות. עוד תכונה יסודית המשולבת במערכת של פאנו: ישנו יחס סדר המאפשר להשוות שני מספרים טבעיים ולקבוע מי מהם גדול יותר. יחס הסדר הזה הוא יחס סדר ליניארי שהוא גם סדר טוב.

מאוחר יותר, במסגרת הכללית יותר של תורת הקבוצות האקסיומטית, ביקשו הלוגיקאים לבסס את המספרים הטבעיים על המושג היסודי של קבוצה. ג'ון פון נוימן בנה מודל לאקסיומות של פאנו באמצעות שימוש בקבוצות. הוא הציע לבחור את הקבוצה הריקה כאיבר האפס, ולהגדיר את המספרים הבאים באינדוקציה: , כאשר  היא פעולת האיחוד של קבוצות. מהגדרה זו יוצא שהמספר 1 הוא הקבוצה שיש לה איבר יחיד, 0; 2 היא הקבוצה שיש לה שני איברים, 0 ו-1, ובאופן כללי המספר n הוא הקבוצה שיש בה בדיוק n איברים: . מודל זה ניתן לניסוח במסגרת השפה של תורת הקבוצות (עם אקסיומות צרמלו פרנקל).

את מערכת המספרים הטבעיים מקובל לסמן באות . לפעמים הכוונה היא לקבוצה הכוללת את כל המספרים מאפס ואילך, ולפעמים רק את אלו הגדולים ממש מאפס.

המספרים השלמים 

לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים. באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים , על ידי שמזהים זוגות  אם ורק אם . באופן לא פורמלי חושבים על מחלקת השקילות של הזוג , אותה מסמנים ב- , כאילו היא מייצגת את ההפרש .

כעת אפשר להגדיר את פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים: , ו- . אפשר לבדוק שהגדרות אלו מוגדרות היטב (כלומר אינן תלויות בבחירת הנציגים), ושהפעולות לא איבדו את התכונות הטובות שהיו להן קודם לכן. בנוסף לזה מרוויחים תכונה חדשה: לכל מספר  יש מספר  כך שסכומם הוא אפס. יתרה מזו, קבוצת המספרים הטבעיים לא הלכה לאיבוד: אם מתבוננים בתת-הקבוצה של המספרים מהצורה , מתברר שהיא מקיימת את כל התכונות שהיו למספרים הטבעיים. אם כך, קבוצת המספרים השלמים מכילה 'עותק' של המספרים הטבעיים בתוכה. גם את יחס הסדר אפשר להעתיק לכאן, והוא עדיין יחס סדר ליניארי. כך למעשה הוספנו את המספרים השליליים.

הקבוצה שבנינו כאן היא חוג קומוטטיבי, הנקרא חוג המספרים השלמים. קבוצה זו מסמנים בדרך-כלל ב- . זוהי הדוגמה הבסיסית והפשוטה ביותר לתחום שלמות, שהוא במקרה זה חוג אוקלידי.

המספרים הרציונליים 

החיסרון הבולט של המספרים השלמים הוא בכך שלא תמיד ניתן לחלק במסגרתם, או, במילים אחרות, הם אינם סגורים תחת פעולת החילוק. אין מספר שלם שאם נכפיל אותו בשלוש ייתן שבע. כדי לפתור את הבעיה, מגדירים מערכת מספרים גדולה יותר, שתכלול את כל המספרים השלמים, וגם את המנות שלהם.

בניית המספרים הרציונליים דומה לזו שהניבה את השלב הקודם בסולם, המספרים השלמים. אנו מתבוננים באוסף הזוגות , כלומר, כל הזוגות הסדורים של מספרים שלמים שבהם הרכיב השני אינו אפס, ומגדירים עליו יחס שקילות לפי התנאי  אם ורק אם . שוב אפשר לחשוב על הזוג  כאילו הוא מייצג את המנה , אלא שפורמלית איננו יכולים לדבר על שברים משום שעדיין לא בנינו אותם. פעולות החיבור והכפל בין מחלקות השקילות החדשות מוגדרות על-פי הפעולות במספרים השלמים:  ו- . שוב יש לבדוק שההגדרות אינן תלויות בבחירת הנציגים, ושהפעולות החדשות מקיימות את אותן תכונות שהתקיימו במערכת הקודמת. את יחס הסדר אפשר להגדיר כך:  אם . היחס עדיין ליניארי (כלומר: אם שני איברים שונים זה מזה, אז אחד מהם גדול מן השני), וכעת הוא גם צפוף.

גם בבנייה הזו אנחנו מרוויחים תכונה חדשה: לכל מספר  שאינו אפס, יש מספר  הופכי ביחס לכפל. קבוצה בעלת כל התכונות האלה נקראת שדה סדור. השדה הסדור המתקבל נקרא שדה המספרים הרציונליים ומסמנים אותו באות . איבריו של השדה הזה הם מספרים רציונליים.

המספרים השלמים עדיין איתנו: אלו הם המספרים מהצורה . אפשר לחבר ולהכפיל אותם כמספרים שלמים (באמצעות הפעולות שהוגדרו ב- ) או כמספרים רציונליים, ומתקבלת אותה תוצאה.

מספרים אלגבריים 

במערכת המספרים הרציונליים  אפשר לחלק, אבל יש לה שני חסרונות בולטים אחרים:
 המספרים הרציונליים אינם כוללים שורשים, כגון , וגם אין בהם שורשים למשוואות מסובכות יותר, כמו .
 שדה המספרים הרציונליים אינו שלם, כלומר, יש בו קבוצות חסומות שאין להן חסם עליון (משמעותו של חיסרון זה תובהר בסעיף הבא).

את הבעיה הראשונה אפשר לפתור עבור כל פולינום ופולינום באופן פרטני, על ידי יצירת הרחבות מתאימות של שדה הרציונליים (שדות אלו נקראים שדות מספרים). מכל ההרחבות האלה יחד אפשר לבנות את הסגור האלגברי של שדה הרציונליים (הנקרא שדה המספרים האלגבריים), שבו יש שורש לכל פולינום.

גישה זו של פתרון משוואות פולינומיות אינה מתגברת על חוסר השלמות שציינו קודם לכן. בנוסף לזה, כיוון שעדיין לא בנינו שדה גדול יותר, לא ברור איך לחבר איברים של הרחבות שונות זה עם זה, ולכן הבנייה של הסגור האלגברי די מסובכת (היא דורשת את הלמה של צורן). מתברר שגישה אחרת, המתמודדת רק עם החיסרון השני, פותרת בדרך אגב גם את הבעיה הראשונה, ולכן בפיתוח מסודר של מערכות המספרים לא רואים צורך לעצור בדרך לשם בנייה של שדה המספרים האלגבריים.

מספרים ממשיים 

כפי שציינו, שדה המספרים הרציונליים אינו שלם, והדבר מכביד מאוד על פיתוח מסודר של האנליזה.
המעבר לשדה שלם הוא מסובך יותר מהשלבים הקודמים, ולכך יש סיבה עקרונית. כל המערכות שראינו עד כאן: הטבעיים, השלמים, הרציונליים ואפילו המספרים האלגבריים, הן בנות מנייה. בבניית השדה השלם, שדה המספרים הממשיים, אנחנו צריכים לייצר קבוצה בעלת עוצמה גדולה יותר, במקרה הזה עוצמת הרצף.

את אי-השלמות של המספרים הרציונליים אפשר לנסח בשתי דרכים:
 ישנן קבוצות חסומות שאין להן חסם עליון, דהיינו חסם מלעיל מינימלי. לדוגמה, קבוצת המספרים הקטנים מארבע בעלי סינוס חיובי היא כמובן קבוצה חסומה. כל מספר (רציונלי) גדול מפאי, גדול מכל האיברים בקבוצה זו ולכן הוא חסם מלעיל. אבל פאי אינו מספר רציונלי, ולכן בקבוצת המספרים הרציונליים הגדולים מפאי אין איבר קטן ביותר.
 ישנן סדרות קושי שאינן מתכנסות. בדרך כלל מפתחים את המושגים 'סדרת קושי' ו'סדרה מתכנסת' אחרי שנבנה השדה הממשי, ולכן חשוב להדגיש כאן שאפשר להגדיר מושגים אלה כבר אחרי שבנינו את השדה הרציונלי  (לצפיפות והארכימדיות יש כאן תפקיד חשוב).

כנגד שתי המגבלות האלה של שדה הרציונליים, הוצעו ב-1872 שתי גישות לבניית שדה המספרים הממשיים.
ריכרד דדקינד הציע בנייה המבוססת על חתכי דדקינד, שהם קבוצות  של מספרים רציונליים (בשלב זה - אלו המספרים העומדים לרשותנו) המקיימות ארבע דרישות:
 הקבוצה  אינה ריקה.
 הקבוצה  אינה כוללת את כל הרציונליים.
 כל איבר ב-  קטן מכל איבר שאינו ב- .
 אין ל-  איבר מקסימלי.
קבוצה בעלת תכונות אלה נקראת כאמור 'חתך דדקינד', וחתכים אלו הם המספרים הממשיים. דדקינד הראה איך להגדיר חיבור וכפל על קבוצות אלה, באופן שיכבד את כל התכונות הקודמות. את יחס הסדר מגדירים בעזרת ההכלה (מספר קטן יותר מוכל במספר גדול ממנו). אפשר לזהות את המספר הרציונלי  עם הקבוצה , וכך, פעם נוספת, מכילה הקבוצה החדשה עותק של הקבוצה הקודמת שבנינו.

את קבוצת החתכים מסמנים באות . זהו שדה סדור שלם מינימלי: הוא מוכל בכל שדה סדור שלם אחר. מכיוון שכך, שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור השלם המינימלי היחיד (אם יש שניים כאלה, הם מוכלים זה בזה ולכן שווים).

באותה שנה הציע גאורג קנטור שיטה אחרת להשגת אותה מטרה. אצל קנטור 'מספר ממשי' הוא מחלקת שקילות של סדרות קושי של מספרים רציונליים, כאשר שתי סדרות קושי שקולות זו לזו אם סדרת ההפרשים מתכנסת לאפס. החיבור והכפל מוגדרים על-פי רכיבים. גם כאן התוצאה היא שדה סדור שלם מינימלי, ומכאן שקנטור ודדקינד בנו (באופנים שונים) את אותה המערכת.

מספרים מרוכבים 

לשדה המספרים הממשיים יש עדיין חיסרון אחד: אין בו שורש של מספרים שליליים. זו אינה בעיה ייחודית למספרים הממשיים - בכל שדה סדור (שדה שיש בו סדר, ולכן מספרים חיוביים ושליליים) המכפלה של חיובי בחיובי היא חיובית, וגם המכפלה של שלילי בשלילי היא חיובית, ומכאן שאין מספר שריבועו שלילי. אם רוצים שורשים למספרים שליליים, מוכרחים לוותר על יחס הסדר.

שדה כזה אפשר לקבל על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל על זוגות סדורים של מספרים ממשיים:
 ו- . את הזוג (a, b) מסמנים ב-a+bi. הקבוצה  הופכת תחת פעולות אלה לשדה סגור אלגברית שהוא גם מרחב מטרי שלם. שדה זה, אותו מסמנים ב-, נקרא שדה המספרים המרוכבים, והוא המצע לכל הפעילות באנליזה. בתור אוסף של זוגות סדורים,  הוא מרחב וקטורי מעל השדה הממשי, וממדו 2. אינטואיטיבית, מספר מרוכב הוא למעשה תוצאת חיבור של מספר מדומה, כלומר שורש של מספר שלילי, עם מספר ממשי - שורש של מספר חיובי.

יצירתם של המספרים המרוכבים מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו בתחילת המאה ה-16, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.

מערכות מספרים נוספות

אלגברות קיילי-דיקסון 
מערכות מספרים גדולות משדה המספרים המרוכבים אינן מקיימות את מלוא התכונות של אלה, אבל יש להן כמה תכונות מעניינות. המבנה הטיפוסי כאן צריך להיות מרחב וקטורי מעל , שאפשר להגדיר בו פעולת כפל מוצלחת. מערכות כאלה אכן קיימות, אלא שבהיפוך מוזר של המגמה שראינו עד כה, בכל צעד של הבנייה מאבדים תכונה חשובה. מעל לשדה המספרים המרוכבים בנה ויליאם רואן המילטון את אלגברת הקווטרניונים, שאינה שדה אלא אלגברה לא קומוטטיבית עם חילוק. בקווטרניונים ישנם אינסוף עותקים של שדה המספרים המרוכבים.

אלגברת הקווטרניונים היא אלגברה אסוציאטיבית. קיימת אלגברה מממד 8, אלגברת האוקטוניונים, שהיא עדיין אלגברה עם חילוק (כלומר, לכל איבר שאינו אפס קיים הפכי), אבל אינה אסוציאטיבית: זוהי אלגברה אלטרנטיבית, המכילה עותק של אלגברת הקווטרניונים.

המעברים מן הממשיים למרוכבים, מן המרוכבים לקווטרניונים ומשם לאוקטוניונים הם כולם מקרים פרטיים של הבנייה של אלגברות קיילי-דיקסון, המייצרת מאלגברה עם אינוולוציה מממד n אלגברה חדשה, מממד 2n. האלגברה של קיילי-דיקסון מממד 16 היא אלגברה לא אסוציאטיבית שאינה אפילו אלטרנטיבית.

מערכות מספרים אריתמטיות 
שדות אחרים שאפשר לראות כמערכות של מספרים הן שדה המספרים ה-p-אדיים שהוא ההשלמה של השדה הרציונלי ביחס להערכה לא ארכימדית, והשדה של המספרים הסוריאליסטיים.

מספרים סודרים 
המעבר מן המספרים הטבעיים אל השלמים מבוסס על פעולת החיסור. אם מוותרים על פעולה זו ומעדיפים להכליל את תכונות הספירה של המספרים הטבעיים (כך שיכולו גם על גדלים אינסופיים), מתקבלים המספרים המונים, או המספרים הסודרים, הכוללים את המונים בתוכם.

מערכות מספרים בפילוסופיה של המתמטיקה
מושגי מערכות המספרים עוררו תהיות פילוסופיות רבות. האם המספרים השלמים, הממשיים והמרוכבים "קיימים" באותה מידה? גם הוגיהם הראשונים של המספרים המדומים והמרוכבים סברו שמדובר במספרים דמיוניים. כך, לדוגמה, לאופולד קרונקר טען כי "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם".

ניתן לשאול בהקשר זה האם ניתן למצוא הקבלה לעולם החושי במספרים שונים. אפשר להקביל את המספר הטבעי 2 לשני תפוחים, את המספר השלם השלילי 2- לחוב של שני תפוחים ואת המספר הרציונלי 1/2 כחציו של תפוח. במספרים האי-רציונליים נתקלים בקושי מסוים במודל התפוחים, אך עבור אלו מהם הנכללים בשדה המספרים הניתנים לבנייה קל לפתור אותו. כך למשל את המספר האי רציונלי השורש הריבועי של 2 ניתן להציג, על פי משפט פיתגורס, כיחס בין אורך היתר לאורך הניצב במשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.

לעומת זאת, עבור מספרים שאינם ניתנים לבנייה, ועל אחת כמה וכמה שאינם ממשיים, קשה למצוא עצם חוץ מתמטי שיקיים את תכונותיהם. עם זאת, המספרים המרוכבים שימושיים, בין השאר, בתורת החשמל ובמכניקת הקוונטים, כך שיש להם גם נגיעה לעולם הממשי.

התומכים בעמדה לפיה מעמדם של המספרים הממשיים והלא ממשיים שווה מזכירים כי כל מערכות המספרים נבנו כדי למלא חוסרים במערכת המוכלת בהם, וטוענים כי לפיכך אין הבדל מהותי בין בניית 2- כ"2 פחות 4" לבין בניית i כ"שורש הריבועי של 1-". אכן, מבחינה היסטורית המספרים השליליים והאי-רציונליים זכו ליחס מפקפק לא פחות מהמדומים, ובפרט ידוע סיפור העם על פיו השליכו תלמידיו של פיתגורס את תלמידו היפאסוס לנהר בשל גילוי האי-רציונליות של השורש הריבועי של 2. למעשה, האמירה לפיה פיתגוראים גילו את קיומם של מספרים אי-רציונליים היא אנכרוניזם. כל תגליתם היא שקיימים קטעים חסרי מידה משותפת, מה שמקביל בעיניים מודרניות לקיום מספרים אי-רציונליים, ולפיכך ניתן לראות שגם מה שנראה כגילוי שאין להכחישו, מקבל פרשנות אחרת בהתאם לחשיבה של אותו זמן. באופן דומה, בכל תקופת תור הזהב של המתמטיקאים היוונים איש מהם לא דן במספרים שליליים, רעיון שהתפתח רק בהודו במאה ה-7, פחות או יותר, אף על פי שהיו ידועות משוואות שתוצאותיהן, לכאורה, שליליות. באופן דומה, גם המספרים המרוכבים התקבלו רק כשהבשילו התנאים. ג'ירולמו קרדאנו, בבואו לפתור את המשוואה , הגיע לביטוי שכלל את המספר . בספרו "האמנות הגדולה" (Ars magna) פרסם קרדאנו פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת", והתפתחות המתמטיקה המתקדמת בנושא זה מאוחרת יותר. בכל אופן, גילוי (או המצאת) המספרים השליליים, האי-רציונליים והמרוכבים קדם לניסוח הריגורוזי של בנייתם מהמערכת הקודמת.

מן הצד השני ישנו הפורמליזם, שעל פיו לאף אחד מהמספרים אין קיום משל עצמו אלא רק בהתאמה לאקסיומות, ולכן במערכת המוגדרת כמכילה את המרוכבים, ואף מערכת מורכבת יותר, ממשותם של כל המספרים במערכת זהה. אם ב"משחק" המתמטי מניחים את קיומם של מספרים, והדבר לא מוביל לסתירות, הם קיימים במסגרתו (ובשום פנים ואופן לא מעבר לכך).

לקריאה נוספת 
 Elliott Mendelson, Number Systems and the Foundations of Analysis, Academic Press Inc., 1973.
 H.A.Thurston, "The Number System", Blackie and Son, 1956.
 Ethan D. Bloch, "The Real Numbers and Real Analysis", Springer, 2011.

הערות שוליים

מספרים

en:Number system