סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה  השייכת למרחב  הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את . מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי  ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה .

הגדרה פורמלית
יהא  מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא  קבוצה. אם  היא קבוצת הקבוצות הסגורות  המקיימות  (כלומר, קבוצת הקבוצות הסגורות המכילות את ), אז הסגור של  יסומן  או , ויוגדר על ידי:
.

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותן כהגדרה, ניתן להוכיח מהן את ההגדרה המקורית):

 היא קבוצת כל האיברים של  שבכל סביבה שלהם קיים איבר של  (לא בהכרח שונה מהם).
, כאשר  היא הקבוצה הנגזרת של .
 הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .

דוגמאות
 הסגור של הקטע הפתוח  הוא הקטע הסגור .
 הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים  הוא הישר הממשי כולו .

תכונות הנוגעות לסגור

כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
.
.
.
 היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל  בתחום שלה מתקיים .
 אם  קבוצה קשירה, לכל  מתקיים שגם  קבוצה קשירה. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה גם הוא קשיר.
קבוצה  במרחב  המקיימת  נקראת קבוצה צפופה.
קבוצה  במרחב  המקיימת  נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.

קישורים חיצוניים
 

טופולוגיה