מרחב האוסדורף

בטופולוגיה, מרחב האוסדורף הוא מרחב טופולוגי שבו ניתן להפריד בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות זרות. כלומר, נאמר שמרחב  הוא האוסדורף אם לכל שתי נקודות שונות  קיימות סביבה פתוחה  של  וסביבה פתוחה  של  כך ש- זרות. מרחבי האוסדורף קרויים על-שם המתמטיקאי פליקס האוסדורף. הם נקראים גם מרחבי , על-פי עוצמתה של אקסיומת ההפרדה שהם מקיימים.

דוגמאות

כל המרחבים המטריים הם מרחבי האוסדורף (ויותר מזה: הם נורמליים).

מישור מור הוא דוגמה למרחב טופולוגי ספרבילי המקיים את תכונת האוסדורף, שאינו קומפקטי מקומית ואינו נורמלי. הטופולוגיה הקו-סופית (על קבוצה אינסופית) מגדירה מרחב שאינו האוסדורף, שכן כל קבוצה פתוחה לא-ריקה כוללת את כל הנקודות ב- פרט למספר סופי, ולכן אין שתי קבוצות פתוחות לא-ריקות וזרות.

התכנסות במרחבי האוסדורף

במרחב האוסדורף מתקיימת תכונת ההפרדה הראשונה, שלפיה כל נקודה  היא קבוצה סגורה. אכן, לכל נקודה אחרת יש קבוצה פתוחה שאינה מכילה את p. איחוד כל הקבוצות האלו נותן את המשלים של . מאחר שזהו איחוד של קבוצות פתוחות, מתקבלת קבוצה פתוחה. והמשלים שלה הוא . המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, כנדרש.

יותר מזה: לכל סדרה מתכנסת במרחב האוסדורף יש גבול יחיד, שהרי אילו  היו נקודות גבול שונות לאותה סדרה, אז כל סביבה שלהן הייתה צריכה להכיל כמעט את כל אברי הסדרה, וזה בלתי אפשרי ברגע שבוחרים סביבות זרות. במרחב שאינו האוסדורף יכולה סדרה להתכנס ליותר מגבול אחד. למשל, במרחב (אינסופי) עם הטופולוגיה הקו-סופית, סדרה שכל אבריה שונים זה מזה מתכנסת לכל נקודה (משום שכל קבוצה פתוחה כוללת כמעט את כל האיברים). משום כך, מושג הגבול של סדרות שימושי בעיקר במרחבי האוסדורף. מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא מרחב-US.

מרחבי האוסדורף מקיימים תכונה עוד יותר חזקה: כל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC. כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב-US מקיים את תכונת ההפרדה T1. בין מרחבים המקיימים את אקסיומת המניה הראשונה, מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

האוסדורף