מבחן לוקאס-להמר

בתורת המספרים, מבחן לוקאס-להמר הוא מבחן ראשוניות - העשוי לספק הוכחה מהירה לכך שמספר נתון n הוא ראשוני. המבחן הוצע על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס בשנת מותו, 1891, ושופר בשנות ה-30 של המאה העשרים על ידי האמריקאי ד.ה. להמר. מבחן אחר בעל שם דומה הוא מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן, המותאם במיוחד לבדיקת מספרי מרסן.

לפי המשפט הקטן של פרמה, אם n הוא ראשוני שאינו מחלק את a, אז . בניסוח אחר אפשר לומר שהסדר של a בחבורת אוילר של n מחלק את n-1. אם השוויון אינו מתקיים, זוהי ראיה מיידית לכך ש- n אינו ראשוני; אבל שוויון אינו מוכיח ש- n ראשוני - הוא עלול להיות פסאודו-ראשוני.

מבחן לוקאס-להמר מהווה מעין כיוון הפוך למשפט פרמה. אם הסדר של a בחבורת אוילר של n שווה ל- n-1, אז n מוכרח להיות ראשוני. כל מבחני הראשוניות שפותחו מאוחר יותר הם וריאציות על רעיון זה.

חסרונו הגדול של המבחן הוא שנדרשת ידיעת הפירוק לגורמים של n-1. בנוסף, הבדיקה דורשת עֵד, מספר שיקרא כאן a. כל עד עשוי להוכיח ש- n ראשוני, אבל אם עד מסוים נכשל, לא ניתן להסיק מכך ש- n אינו ראשוני. ב-2004 התברר שאין צורך לבדוק עדים הגדולים מ- ; אם כל העדים עד מספר זה נכשלו, המספר אינו ראשוני. מתוצאה זו נובע שהוכחת ראשוניות של n היא בעיה בעלת סיבוכיות פולי-לוגריתמית.

תיאור המבחן 
משפט: אם לכל גורם ראשוני q של n-1 קיים מספר a המקיים  ו- , אז n הוא ראשוני.

הוכחה: אם נגלה ש-n-1 מחלק את  (כאשר  היא פונקציית אוילר), אז נוכל להסיק ש-  (מכיוון שתמיד ), כלומר, אין אף מספר קטן מ- n המחלק אותו, ולכן n ראשוני. נניח, אם כן, ש- q הוא ראשוני שחזקתו  מחלקת את . לפי ההנחה קיים a שהסדר שלו בחבורת אוילר, , מחלק את n-1 אבל לא את . אם כך,  מוכרח לחלק את  (אחרת  היה מחלק את ), ולכן גם את , המתחלק תמיד ב-  (לפי משפט לגראנז'). הוכחנו שכל חזקת ראשוני המחלקת את n-1 מחלקת גם את , כפי שרצינו.

בדרך כלל מספיקה גם הגרסה החלשה הבאה של המבחן: אם קיים מספר a המקיים , ו-  לכל גורם ראשוני q של n-1, אז n הוא ראשוני. כאן מחפשים a שיתאים בבת-אחת לכל הגורמים הראשוניים (אף על פי שעל-פי המשפט הראשון, תנאי זה אינו הכרחי). ההוכחה של הגרסה החלשה מיידית: אם a מספר המקיים את התנאים, אז הסדר שלו בחבורת אוילר שווה ל- n-1, ולכן (לפי משפט לגראנז') סדר החבורה מתחלק ב-n-1, כפי שרצינו להוכיח.

כדי להוכיח ש-n נתון הוא ראשוני, צריך למצוא a שיקיים את הדרישות. אם n אכן ראשוני, אז יש  עדים פוטנציאליים אפילו למבחן החלש (כל היוצרים של חבורת אוילר, שהיא ציקלית במקרה זה). מכיוון שהיחס  קרוב בדרך-כלל ל-1, קל למצוא את העדים והמבחן נחשב למבחן הסתברותי יעיל.

ראו גם
 מבחני ראשוניות
 סדר של איבר בחבורה

מבחני ראשוניות
לוקאס-להמר
הוכחות