מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה  היא קבוצה של איברי חבורה  אשר מתקבלת מהכפלת אברי  באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה  מהווה חלוקה של  לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה  בחבורה  נקרא האינדקס של  ב-, ומסומן . אם  סופית, אינדקס זה שווה ל-.

חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה
 ותת-החבורה שלה
. הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא , והוא אינו סגור לכפל.

הגדרה פורמלית 
תהא  חבורה ותהא  תת-חבורה שלה. יהא  איבר כלשהו, אז הקבוצה  תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של  ב-, והקבוצה  תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של  ב-.

תכונות 
קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה , המחלקות (מאותו צד) של  מהוות חלוקה של  לקבוצות זרות.

הוכחה: אם  אז לפי הגדרה קיימים  כך ש- ולכן . מכיוון ש-, נובע ש-, ולכן . הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של  מהוות חלוקה של . לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה  שווה למספר האיברים ב-. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות 
אם לתת חבורה מסוימת  מתקיים , כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה 
ניקח את החבורה , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור.  היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות:
. נציגים לדוגמה מהמחלקה  הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה  הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים
 

תורת החבורות

de:Gruppentheorie#Nebenklassen
ru:Глоссарий теории групп#К