התפלגות ברנולי

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך  או ערך  בהסתברות  ו-. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- (כלומר: ).

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על  היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . אם תסומן התוצאה  כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .

את העובדה שלמשתנה מקרי  יש התפלגות ברנולי מסמנים  (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה  לכל  (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של  משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית,  (ובפרט, ההתפלגות  היא התפלגות ברנולי).

תכונות 
אם  הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

פונקציית הסתברות  של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

צורה שקולה לביטוי זה היא:

או:

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור .

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של . עבור ערכי  ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של  עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת 
התוחלת של משתנה מקרי  המתפלג ברנולי היא:

זאת משום שעבור בו  יחד עם  מתקבל:

שונות 
השונות של משתנה מקרי  המתפלג ברנולי היא:

הוכחה
ראשית,

ומכאן:

כמובטח.

קישורים חיצוניים

 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
ברנולי