אינטגרל

אִינְטֶגְרָל או אַסְכֶּמֶת הוא מושג מתמטי בתחום החשבון האינפיניטסימלי, המהווה (עבור פונקציה ממשית) הכללה מתמטית של מושג הסכום. לאינטגרל שימושים רבים ביותר, וּבהם חישוב שטח של תחום מישורי, נפח של מרחב רב־ממדי, מסה של גוף, אורך של מסילה עקומה, הסתברות של משתנים מקריים רציפים, כוח הפועל בין שני גופים, אנרגיית החום הכוללת של אמבט, מהירות מקומו המרחבי של גוף הנע בהשפעת כוח בעל עצמה משתנה ועוד.

המושג הכללי של אינטגרל כולל בתוכו שני מושגים שונים לכאורה: האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא־מסוים (קרי: הפונקציה הקדומה).
 האינטגרל המסוים של פונקציה אי־שלילית המוגדרת על קטע סופי, הוא מספר השווה לשטח הכלוא בין ציר ה־ לבין גרף הפונקציה, בין קצות הקטע (ראו תרשים משמאל).
 האינטגרל הלא־מסוים או הפונקציה הקדומה  של  מציינים את קבוצת כל הפונקציות הממשיות, שנגזרתן שווה ל־. לפונקציה מסוג זה נהוג לקרוא "פונקציה קדומה" של .

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע ששני המושגים הללו מתלכדים. כלומר: אם הפונקציה  אינטגרבילית בקטע  (בהמשך יוגדרו התנאים לאינטגרביליות) וגם יש לה פונקציה קדומה, אז האינטגרל המסוים של  בקטע  שווה לביטוי , כאשר  מסמנת את הפונקציה הקדומה של .

סימון 
את האינטגרל מסמנים בסימן ∫ שניתן על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ ושמקורו ב־S הארוכה שבתחילת המילה הלטינית Summa (סְכוּם), שאותה הוא כתב כ־ſumma. אין לבלבל בינו לבין האות ʃ, המייצגת עיצור בתר-מכתשי, חוכך שורק, אטום באלפבית הפונטי הבינלאומי.

האינטגרל המסוים
כאמור לעיל, האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית, מעל קטע סגור, שווה לשטח שמתחת לגרף הפונקציה ומעל ציר ה־ (כאשר השטח שמתחת לציר ה־ מוגדר כשטח שלילי). כדי לקבל הגדרה מסודרת של האינטגרל, יש לבחון את המשמעות המדויקת של המושג "שטח", במיוחד כאשר הגרף אינו ישר, ואף אינו בהכרח רציף. השטח של מלבן מובן היטב, ואחת הדרכים להגדיר את השטח שמתחת לגרף היא לקרב את הצורה שמתחת לגרף באמצעות מלבנים זרים (וּמקבילים לצירים). בהגדרה זו יש בעיה עקרונית: כל עוד מספר המלבנים סופי, והפונקציה אינה מלבנית, השטח הכולל שלהם אינו אלא קירוב של השטח האמיתי, וניתן לשפר את הקירוב על ידי הקטנת המלבנים והגדלת מספרם.

ברנרד רימן הפך את הבעיה הזו להגדרה של ערך האינטגרל: במקום לחפש את הקירוב הטוב ביותר, שלרוב אינו קיים, מסכמים מלבנים קטנים ורבים יותר, כך שהקירוב ילך וישתפר. בסופו של דבר בוחרים את הגבול של סדרת הסכומים המתקבלת מסדרת הקירובים. גישה דומה, המגיעה לאותן תוצאות, מבוססת על סכומי דארבו: כאן מקרבים את הצורה החוסמת מלמטה ומלמעלה באמצעות מלבנים הכלואים מתחת לגרף ומלבנים הכולאים אותו מלמעלה.

הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים במדויק היה רימן. בעקבותיו הוצעו הכללות רבות: בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה (העשוי להיות הישר הממשי כולו, קובייה במרחב האוקלידי ה־n־ממדי, או כל מרחב קומפקטי מקומית), בערכים שהפונקציה עשויה לקבל (מספרים ממשיים או מרוכבים, מספרים p־אדיים, או וקטורים שאלו רכיביהם), ובאופי הפונקציות שעבורן מחושב האינטגרל.

חלוקה של קטע 
סדרה (סופית) של נקודות  נקראת חלוקה של הקטע . את הסדרה אפשר לפרש כאילו היא מחלקת את הקטע ל־ תת־קטעים , החותכים זה את זה רק בנקודות הקצה שלהם. לכל חלוקה  אפשר להגדיר את קוטר החלוקה (או פרמטר החלוקה) באופן הבא: . מכיוון שסכום אורכי הקטעים הוא , הקוטר של חלוקה בת  קטעים הוא לפחות . מכאן שכדי לקרב את קוטר החלוקה לאפס, יש להגדיל את מספר הנקודות באופן שאינו חסום.

חלוקה  היא עידון של חלוקה , אם החלוקה הראשונה כוללת את כל הנקודות המופיעות בחלוקה השנייה. לדוגמה,  מעדנת את . ברור שבמקרה כזה, .

הגדרת האינטגרל המסוים באמצעות סכומי רימן 

בחלוקה נתונה , אפשר לבחור נקודה  מכל תת־קטע. חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מהתת־קטעים, נקראת חלוקה מסומנת. לחלוקה כזו אפשר להגדיר את סכום רימן . זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע  וגובהם  (עבור ), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם לסימן של הפונקציה בנקודה ). כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר .

פונקציה , המוגדרת בקטע , היא אינטגרבילית לפי רימן, אם לכל בחירה של סדרת חלוקות מסומנות  בעלות גדלים  השואפים לאפס, הגבול  קיים (היינו, הסדרה מתכנסת). במקרה כזה, כל הגבולות  שווים זה לזה, והאינטגרל המסוים מוגדר כערך (המשותף) של כל הגבולות; ערך זה הוא השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה־. אם לא כל הגבולות האלה קיימים, הפונקציה אינה אינטגרבילית לפי רימן.

את ערך האינטגרל מסמנים כך: . הביטוי שבתוך האינטגרל, , נקרא אינטגרנד. המשתנה  בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", והוא קשור לתחום האינטגרציה – המשמעות היא שהנקודה השמאלית בתחום היא  והנקודה הימנית היא . אם מחליפים את משתנה האינטגרציה, כדי לשמור על ערך האינטגרל יש לשנות את תחום האינטגרציה בהתאמה. לדוגמה, אם , אזי מתקיים: .

הגדרה באמצעות סכומי דארבו

נניח ש־  חסומה בקטע הסגור . לכל חלוקה , אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף. לצורך כך נסמן בכל תת-קטע  של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב־ , ואת החסם התחתון ב־  (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה ערך מינימלי או מקסימלי, אלו יהיו הערכים של  ושל  בהתאמה). באופן הזה, מובטח ש־  לכל  בתת-הקטע. משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על ידי ציר ה־x, גרף הפונקציה, והישרים  ו־ ,
גדול או שווה לשטח המלבן , וקטן (או שווה) לשטח המלבן .

אם נסכם את כל המלבנים, הסכום  נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו
 הוא הסכום העליון שלה. קל להוכיח שאם  מהווה עידון של , אז , ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.

החסם התחתון של כל הסכומים העליונים , עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל העליון. החסם העליון של כל הסכומים התחתונים  הוא האינטגרל התחתון. הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות  המעדנות זו את זו, כך שההפרש  שואף לאפס).

אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה.
ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור. עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר – ראו אינטגרל לא אמיתי.

מרחב הפונקציות האינטגרביליות
הסכום של פונקציות אינטגרביליות (לפי רימן) והכפולה של פונקציה אינטגרבילית בסקלר נותנים פונקציות אינטגרביליות; לכן אוסף הפונקציות האינטגרביליות מעל קטע קבוע  מהווה מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים, ואף מוגדרת בו מכפלה פנימית.

משפט לבג מאפיין אינטגרביליות באופן הבא: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן, אם ורק אם קבוצת נקודות אי־הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.

לדוגמה, כל פונקציה רציפה וכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור, היא אינטגרבילית. גם פונקציית רימן אינטגרבילית (והאינטגרל שלה הוא אפס). לעומת זאת, פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן.

ההתאמה  היא פונקציונל ליניארי המוגדר על המרחב הזה, משום שהאינטגרל של פונקציות מקיים את התכונה . האינטגרל מונוטוני, במובן הבא: אם  אינטגרביליות בקטע , ולכל  מתקיים , אז  ואם  לכל  אז מתקיים אי השוויון החזק .

חישוב האינטגרל המסוים 
הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מחשבת את האינטגרל המסוים, אם ידוע האינטגרל הלא־מסוים (ראו להלן). במקרים אחרים יש להפעיל שיטות אנליטיות מיוחדות, או שיטות נומריות.

האינטגרל הלא מסוים

הגדרה
פונקציה  נקראת פונקציה קדומה של  בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע . כלומר  היא הנגזרת של  בקטע.

האינטגרל הלא מסוים של פונקציה  מוגדר לרוב בתור אוסף הפונקציות הקדומות שלו. בסימון: , כאשר  היא פונקציה קדומה של  ו- הוא קבוע שרירותי.

ניתן להצדיק את הסימון בכך שכל הפונקציות הקדומות של פונקציה ניתנות לכתיבה בתור קבוע ועוד פונקציה קדומה כלשהי. מצד אחד, אם  אז ברור כי גם  כי נגזרת של קבוע היא 0. מצד שני, אם  פונקציות קדומות של  אז מתקיים , כלומר הפונקציה  קבועה, כלומר , כנדרש.

בהינתן פונקציה  אינטגרבילית בקטע הסגור  ניתן להגדיר פונקציה באופן הבא:

ערכה של פונקציה זו בכל נקודה הוא ערך האינטגרל המסוים של  בין נקודה זו לנקודת מוצא כלשהי. פונקציה זו היא תמיד רציפה, אך אינה בהכרח גזירה ולכן אינה בהכרח פונקציה קדומה של . עבור פונקציית מדרגה, למשל, לא יהיה אינטגרל זה גזיר, שכן פונקציית מדרגה אינה מקיימת את תכונת הנגזרת הבאה לידי ביטוי במשפט דארבו.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר ש  גזירה בכל מקום בו  רציפה. כלומר: אם  רציפה ב  אזי מתקיים ש . כלומר,  היא פונקציה קדומה של  באופן כללי,  לא חייבת להיות גזירה בכל מקום.

על כן, המשפט היסודי קושר בין האינטגרל המסוים  ובין האינטגרל הלא מסוים של הפונקציה, וממנו נגזרת הנוסחה היסודית  המאפשרת לחשב אינטגרל מסוים באמצעות שימוש בפונקציה קדומה.

דוגמה
ידוע כי הנגזרת של  היא . על כן כל פונקציה קדומה של  נבדלת מ- בקבוע, ונכתוב: .

מציאת האינטגרל הלא מסוים
בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה. באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.

גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים. בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה  נחשבים לפתרון קביל.

הערות 
למעשה, סכום רימן הוא חלוקה של הקטע למלבנים צרים שגובהם הוא , סיכום שטחיהם ומעבר לגבול כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס. באנליזה נומרית יש חשיבות גדולה לבחירת נקודות הביניים כדי לקבל התכנסות מהירה של הקירוב הנומרי לערך המדויק (שלרוב אינו ניתן לחישוב).

הכללות של אינטגרל רימן

אינטגרל לבג 

אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי והוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה חסומה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.

בהיות האינטגרל של לבג הכללה של אינטגרל רימן, מאפשר מושג זה לחשב אינטגרל לפונקציות שאינן אינטגרביליות במובן רימן. הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה. היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה. לכן, מחלקת הפונקציות שהן אינטגרביליות במובן לבג רחבה יותר ממחלקת הפונקציות האינטגרביליות רימן. למעשה, גם פונקציות שאינן רציפות באף מקום יכולות להיות אינטגרביליות לבג (בעוד שאינן אינטגרביליות רימן). אחת הדוגמאות הבסיסיות והיפות לפונקציה כזאת היא פונקציית דיריכלה.

אינטגרל רימן־סטילטיס ואינטגרל לבג־סטילטיס
אינטגרל רימן-סטילטיס הוא הכללה אחרת של אינטגרל רימן.

אינטגרל רימן־סטילטיס של פונקציה ממשית  של משתנה ממשי ביחס לפונקציה ממשית  מסומן:

ומוגדר להיות הגבול של הביטוי:

כאשר  נמצא ברווח ה־ בחלוקת הקטע  לקטעים וכאשר אורך הקטע המקסימלי בחלוקה שואף ל־0.

האינטגרל אינו מוגדר כאשר לשתי הפונקציות  ו־ יש נקודת אי־רציפות משותפת. יש הכללה שתגדיר את האינטגרל כאשר בנקודת אי הרציפות המשותפת אחת הפונקציות רציפה מימין והשנייה משמאל.

הכללה נוספת היא אינטגרל לבג-סטילטיס, שהוא הכללה הן של אינטגרל רימן־סטילטיס והן של אינטגרל לבג. שתי ההגדרות, של אינטגרל רימן־סטילטיס ושל אינטגרל לבג־סטילטיס הן הגדרות זהות כאשר הפונקציה  היא פונקציה מונוטונית עולה, וזהו המקרה בו אינטגרל זה משמש בסטטיסטיקה ובמשתנים מקריים כאשר הפונקציה  היא פונקציה ההסתברות (המצטברת).

שימושי האינטגרל 
שימוש חשוב של האינטגרל הוא מציאת שטח. השטח בין פונקציה  אי־שלילית (כלומר:  ) בקטע  ובין ציר  הוא . כאשר  מקבלת גם ערכים שליליים, האינטגרל מחשב את השטח שכלוא בין גרף הפונקציה לציר x אך מחזיר אותו עם סימן בהתאם למיקום של השטח ביחס לציר ה־x: סימן חיובי אם השטח כלוא מעל ציר ה־x וסימן שלילי אם השטח כלוא מתחתיו. למשל: . כך ייתכן למשל, ששטחים יקזזו זה את זה כאשר חלק מהם מעל לציר ה־x וחלק מהם מתחתיו. למשל:  בעוד ש-.

אורך של גרף הפונקציה  שהיא גזירה ברציפות בקטע  הוא
. זאת כמקרה פרטי של הנוסחה לאורך עקומה  גזירה ברציפות ורגולרית: .

בנוסף, אפשר להשתמש באינטגרל לחישוב נפח של גוף סיבוב. גוף סיבוב הוא גוף המתקבל על ידי סיבוב של פונקציה אחת סביב ציר. נפח גוף הסיבוב של הפונקציה  סביב ציר x בקטע  הוא . נפח גוף הסיבוב של הפונקציה  סביב ציר בקטע  הוא .

שטח הפנים של גוף סיבוב הוא (ללא שטח הבסיסים) .

הנפח של הגוף ששטח החתך שלו עבור כל שיעור  הוא  שווה ל־.

הערך הממוצע של ערכי הפונקציה  בקטע  הוא
.

נוסחאות אינטגרציה 

 כאשר  היא פונקציה קדומה של

ראו גם 
 שיטות אינטגרציה
 אינטגרל רב ממדי
 אינטגרל קווי
 אינטגרל לבג

קישורים חיצוניים

 מחשבון אינטגרלים
 מחשבון אינטגרל רימן-סטילטיס

הערות שוליים 

חשבון אינפיניטסימלי