תורת הקבוצות - מונחים

תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
 תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים. 
 תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל. 

 קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. 

 תת קבוצה: קבוצה  היא תת קבוצה של הקבוצה  אם כל איבר של  שייך גם ל-. נסמן זאת בצורה: .

 הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן  (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}. 
יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
 פעולות על קבוצות:
איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: .
 הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
 חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: . 
הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
 מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר  ו-
הפרש: ההפרש בין  ל־ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ ולא שייכים ל־.
פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות  ו- הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי  שלא שייכים ל- וכל איברי  שלא שייכים ל־ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
 מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות  היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- והשני שייך ל-. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
 הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
 בחירה
קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
 קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

 עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה  תסומן .
 (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
  או : עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.

 השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין  ו-, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).

 קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס). 
 קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
 קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה  תסומן .

 יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת -  (לא בהכרח שונה מ-). בכתיב פורמלי: קבוצה  תיקרא יחס מ- ל- אם .
פונקציה: יחס בו לכל איבר של  קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה  תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל  בטווח  קיים לכל היותר  אחד בתחום  המקיים .
פונקציה על: פונקציה  תקרא על אם לכל  בטווח  קיים לפחות  אחד בתחום  המקיים .
פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל  קיים  יחיד כך ש- (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
 יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה  המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
 סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
 סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
 סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
 שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).

 קבוצת כל הפונקציות מקבוצה  לקבוצה : קבוצה המסומנת  והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה  אל תוך הקבוצה .

 הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.

ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.

 משפטים:
משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה  לקבוצה , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה  לקבוצה , אז שתי הקבוצות שקולות.

מונחונים