פאי

במתמטיקה,  (האות היוונית פִּי; בעברית מקובלת ההגייה פַּאי, על דרך האנגלית) הוא מספר טהור המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו.  הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את ערכו של היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון הציע את השיטה לחישוב הערך בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה ארכימדס. במהלך השנים נמצאו נוסחאות נוספות לחישובו.

 הוא מספר אי-רציונלי (ואף מספר טרנסצנדנטי), כלומר הוא אינו שווה ליחס בין שני מספרים שלמים. בשל כך, הייצוג העשרוני של  כולל אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ללא מחזוריות קבועה. 100 הספרות הראשונות אחרי הנקודה בייצוג העשרוני הן:אך לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 3.14.

מקור השם 
האות היוונית  משמשת כסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין היקף המעגל לקוטרו משום שזו האות הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. השימוש המתועד הראשון של השימוש בסימון זה נמצא בספר "Synopsis Palmariorum Matheseos" (או "תצפית הישגי המתמטיקה") של המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס מ-1706. בשימוש מתמטי, האות הקטנה  מובדלת מהאות הגדולה , שמשמשת לציון מכפלה.

תכונות 
 הוא מספר אי-רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן-ויירשטראס ממנו נובע ישירות ש־ הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע ש־ אינו ניתן להצגה באמצעות שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.

חישוב פאי 
חישוב ערך מדויק יותר ויותר של  היווה אתגר במשך מאות שנים.

קירובים ל- היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את  בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה

(המופיעה בספר על המדידה של המעגל):

בתחילת המאה ה-15 חישב ג'אמשיד אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את  בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.

ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את  באמצעות השבר .

בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את  בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־ בשם מספר לודולף.

התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של . שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של  כסכום של טור אינסופי.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של  היא "שיטת מונטה־קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא .

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של . הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של  (רק 127 מתוכן היו נכונות).

רמנוג'ן מצא נוסחאות רבות לפאי הנובעות מחישוב ערכים של פונקציות מודולריות, כגון , שהקירוב שהיא נותנת משתפר בכשמונה ספרות עשרוניות עם כל מחובר .

השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של  מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא אלגוריתם צ'ודנובסקי. סיבוכיות האלגוריתם כדי לחשב  ספרות היא . בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP). השיא העולמי בחישוב הספרות של  היה במרץ 2019 היה למעלה מ- ספרות. באוגוסט 2021 חושבו למעלה מ- ספרות. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.

קירובים של פאי 
קירוב מקובל של  כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את , היא  או . קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של  בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.

ההצגה של  כשבר משולב פותחת ב־.

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:

(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר ל- הוא ; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר ל- הוא ; וכן הלאה.)

רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר ל-: . קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של  רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא , השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך  רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא  השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך  רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא , השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך  רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

ערכי פאי במקורות יהודיים 
במקרא בספר מלכים א' () (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, . ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של  בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.

יש שציינו שהיחס בין הקבוע  ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נרמז בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב 1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי ארבע ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע , לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות.

במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל  כשווה ל-3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל- כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה- כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, והסבירו כי דברי חכמים מכוונים להלכות מעשיות, ולכן הביאו מידת קירוב לשימוש האדם ביום יום - וכי לא הייתה כוונתם כלל לעסוק בדיוק החשבוני 

בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)". הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.

הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב". בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־ הוא מספר אי־רציונלי. דברים דומים נאמרו גם על ידי כמה מתמטיקאים מוסלמים קודמים לרמב"ם, כגון אל-חוואריזמי ואל-בירוני.

נוסחאות הקשורות בפאי  
 מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

גאומטריה

אנליזה מתמטית 
 נוסחה של פרנסואה וייט, 1593:
 
 נוסחת גרגורי-לייבניץ, הקרויה על שם ג'יימס גרגורי (1638–1675) ווילהלם לייבניץ. את הנוסחה גילה גרגורי ב־1672. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava בקרלה שבהודו. הנוסחה קובעת כי
 
 כלומר:
 
 (בהקשר רחב יותר, זהו הערך  בפיתוח לטור טיילור של )
 מכפלת ואליס:
 
 נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית):
 
 בעיית בזל נפתרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זטא של רימן):
 
 
 פונקציית גמא (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2:
 
 נוסחת סטירלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:
 
 (מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח אסימפטוטי של פונקציית גמא)
 זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):
 
 שטחו של רבע מעיגול היחידה:
 
 אינטגרל לא אמיתי נוסף:

אנליזה מרוכבת 
 יישום של משפט השאריות:

פיזיקה 

ניתן לקבל את ערכו של  באמצעות מערך ניסוי שכולל משטח נטול חיכוך, קיר ושתי מאסות שיחס המסות ביניהן הוא חזקה שלמה של 100, כשכל התנגשויות אלסטיות לחלוטין. במערך הניסוי הגוף בעל המסה הקטנה ניצב במנוחה בין המסה הגדולה והקיר. המסה הגדולה מחליקה במהירות קבועה כלפי המסה הקטנה. בעת ההתנגשות (האלסטית לחלוטין) של הגוף המסיבי בגוף הפחות מסיבי נהדף האחרון כלפי הקיר, פוגע בו ומוחזר כלפי הגוף המסיבי, וחוזר חלילה עד שהגוף המסיבי מאבד את כל המהירות בכיוון הקיר ומתרחק במהירות שווה או גדולה למהירות הגוף הפחות-מסיבי הלאה מהקיר. מספר ההתנגשויות בין המסה קטנה לבין הקיר והגוף המסיבי נותן את ספרות , וככל שהחזקה ב 100 בחזקת יחס המסות גבוהה יותר יתקבלו עוד ספרות של .
 זמן המחזור של מטוטלת מתמטית הוא 
 קבוע פלאנק h הוא קבוע פיזיקלי שהוצג על ידי מקס פלאנק ומאפיין את העולם הקוונטי. בפועל, מקובל יותר השימוש בקבוע דיראק (קבוע פלאנק המצומצם) שמוגדר להיות  (מבוטא "h-באר").

שברים משולבים 
אפשר להציג את  באמצעות שברים משולבים רבים, בהם:

תורת המספרים 
בתורת המספרים יש קשר בין  לבין מספר תוצאות:
 ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא .
 ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא .
 מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא .

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.

בעיות פתוחות
בחקר מאפייניו של  ישנן בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם  הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של  כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייוויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של  בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.

בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה  תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים.
ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה  היא בלתי תלויה אלגברית מעל .

הצעות לסימון חלופי 
מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב-  כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את  כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן  משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן  לייצוג סיבוב אחד. תחת זאת, בשנת 2010 הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית  (לציון Turn). וראו גם סרטון של וי הארט בנושא.

פאי בתרבות 
קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של , בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של , למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס:

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).

יש החוגגים את 14 במרץ (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה בארצות הברית כ־3.14) כ"יום פאי", ואחרים חוגגים ביום קירוב  ב-22 ביולי (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל- מאשר 3.14). מהדרי החג חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).

ביום פאי בשנת 2004, קבע הגאון האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. שיא גינס בדקלום  שייך לרג'וויר מינה מהודו שב-21 במרץ 2015 דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו-27 דקות.

חמשירים אחדים חוברו לכבודו של , להלן אחד מהם:

ב־1998 הופק סרט בשם "Pi", שגיבורו הוא מתמטיקאי.

דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שילכו ויתקרבו ל־: גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.

"נקודת פיינמן" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של . כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים ש- הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, שישה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של  עד לשלב שבו יוכל לומר "תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי ש- הוא מספר רציונלי.
האזכור הראשון לרצף זה מופיע בספרו של דאגלס הופשטטר "Metamagical Themas" שם סיפר הופשטטר כי כ"נער משוגע בתיכון", כלשונו, שינן 380 ספרות בפיתוח העשרוני של  מתוך כוונה להגיע לרצף המופעים הרצופים של הספרה 9.

הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם "" כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכרת עובדה בדויה שבבסיס 11, הספרות של  (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.

באוקטובר 2014 פורסם סרטון בערוץ יוטיוב "Numberphile" עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של  על נייר באורך 1,688 מטרים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של דיו בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט.

ב-21 באוקטובר 2015 שארמה סורש קומאר דיקלם 70,030 ספרות של π ושבר שיא עולם.

ראו גם 
 הצעת חוק פאי
 יום פאי
 קבוע הפרבולה האוניברסלי
 e (קבוע מתמטי)

לקריאה נוספת 

על  במקורות היהדות
 הערך "היקף", באנציקלופדיה תלמודית, כרך י.
 ראו במאמרים הבאים (מכתבי עת תורניים):
 
 
 
 
 אביגדור אמיתי, תירוץ חדש לקושיה עתיקה בעניין יחס היקף המעגל אל רוחבו
 רבי שמעון בן צמח דוראן (1361 − 1444), שו"ת תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, דפים ס"א − ס"ג))
 ירון ידען, ידיעת חכמים בערך הפאי באתר דעת אמת, אדר א, תש"ס

קישורים חיצוניים 

 
 π והיקף המעגל, באתר מחלקה להוראת המדעים, מכון ויצמן למדע
 Jon McLoone, All Rational Approximations of Pi Are Useless, Wolfram Blog, 30 ביוני 2011
 עזרי זיכרון של פאי (עותק דף שמור מתוך ארכיון האינטרנט)
 
  פרק 44 – דבר היום: על דרך קירוב – כשפיי נרמז בתנ"ך בפודקאסט דברי הימים בהגשת אילן אבקסיס
 , "פרויקט אפסילון", הטלוויזיה החינוכית

הערות שוליים 

קבועים מתמטיים
היסטוריה של המתמטיקה
מספרים טרנסצנדנטיים
מעגל
יחסים
ויקיפדיה - ערכים מומלצים לשעבר
ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה