אלגברת לי

אלגברת לי (נקראת על שם סופוס לי) היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p. זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.

הגדרה
אלגברת לי היא מרחב וקטורי  מעל שדה  (בדרך כלל, השדה הממשי או השדה המרוכב) ביחד עם תבנית ביליניארית  הנקראת "סוגריים של לי" (Lie brackets), המקיימת את התכונות הבאות:
 לכל  ב-.
 לכל  ב- ("זהות יעקובי").

מהתכונה הראשונה נובע כי סוגרי-לי הם אנטי-סימטריים, כלומר  לכל  ב-. האנטי-סימטריות, בתורה, גוררת את התכונה הראשונה, בתנאי שהמאפיין של  אינו 2.

המכפלה המוצגת על ידי סוגרי לי אינה אסוציאטיבית, כלומר: , אלא אם האלגברה נילפוטנטית מסדר שני, היינו .

דוגמאות
 אלגברה טריוויאלית: כל מרחב וקטורי  הופך באופן טריוויאלי לאלגברת לי עם סוגרי לי השווים זהותית 0 ().
 המרחב הווקטורי  עם המכפלה הווקטורית הוא אלגברת לי.
 בהינתן אלגברה אסוציאטיבית  עם פעולת כפל  אפשר להגדיר אלגברת לי עם הפעולה  (פעולה הידועה בשם "קומוטטור").
 מרחב השדות הווקטורים החלקים על יריעה גזירה יוצרת אלגברת לי מממד אינסופי, באופן הבא: עבור שני שדות וקטוריים  עם אופרטור גזירה חלקית נגדיר את מכפלת לי שלהם לכל פונקציה סקלרית על היריעה  להיות . זאת אלגברת לי של חבורת הלי מממד אינסופי של הדיפאומורפיזמים על היריעה.

ההצגה המצורפת 

על האלגברה  מגדירים את הפעולה המצורפת של איבר , לפי . זוהי פונקציה , המהווה (לפי זהות יעקובי) הומומורפיזם של אלגברות לי.

אלגברת לי של חבורת לי 

אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: . לכל חבורת לי מתאימה אלגברת לי יחידה אך ההפך איננו נכון. כך למשל, לאלגברת לי  מתאימות חבורות לי ,  ו-. עם זאת, לכל אלגברת לי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.

הקשר לאלגברות אסוציאטיביות

המעטפת האסוציאטיבית 
אם  אלגברה אסוציאטיבית, אפשר להגדיר בה פעולה חדשה על ידי , והאלגברה המתקבלת, בעלת המבנה החיבורי של  והמבנה הכפלי שמגדירה הפעולה החדשה, היא תמיד אלגברת לי, שאותה מסמנים ב-. כל אלגברת לי  ניתנת לשיכון באלגברת מהצורה  (משפט פואנקרה-בירקהוף-וויט). אם  מממד סופי, קיימת  כזו מממד סופי אף היא (Ado במאפיין אפס, Iwasawa במאפיין חיובי); אלגברה כזאת נקראת מעטפת אסוציאטיבית של . לכל אלגברת לי  קיימת מעטפת אסוציאטיבית אוניברסלית, . המעטפת האוניברסלית היא תחום אינסוף-ממדי המשוכן בחוג עם חילוק, וכאשר  מממד סופי (בתור מרחב וקטורי) אז  בעלת ממד גלפנד-קירילוב השווה לממד של .

באופן כללי יותר, לכל אלגברה לא אסוציאטיבית  אפשר להגדיר פעולת 'סוגרי לי' באותו אופן, אולם לא תמיד תתקבל אלגברת לי; אלגברה  שהאלגברה המתקבלת ממנה היא אלגברת לי, נקראת Lie admissible. מחלקה זו מוגדרת על ידי זהות חלשה ביותר של האסוציאטור: . במאפיין שונה מ-2, משפחת האלגברות שהן גם Lie admissible וגם מקיימות את הזהות הגמישה מאופיינת על ידי הזהות , שממנה נובע .

מעטפת פואסון 
אלגברת פואסון היא אלגברה קומוטטיבית המצוידת במבנה פואסון, שהוא סוגריים  המהווים סוגרי לי, ולכל  ההעתקה  מהווה דריבציה; במילים אחרות, לכל  מתקיים .

לכל אלגברת לי  ניתן להתאים מעטפת פואסון, שהמבנה שלה כאלגברה קומוטטטיבית היא האלגברה הסימטרית של , כלומר אלגברת פולינומים במשתנים פורמליים המתאימים לאיברי בסיס של , ומבנה הפואסון מושרה על ידי  לכל שני איברי בסיס .

המבנה של אלגברות לי סוף-ממדיות
תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים. לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל פתיר (אידיאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה פשוטה למחצה, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.

כדי לנתח את המבנה של אלגברת לי פשוטה למחצה (מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ), יש לקבוע תת-אלגברה נילפוטנטית . שורש של  הוא פונקציה  המתאימה לכל וקטור  ב- ערך-עצמי של האופרטור הצמוד לו, , המוגדר לפי . פירוק לפי שורשים הוא פירוק של  לסכום ישר , כאשר  הם שורשים, ו- הוא מרחב עצמי מוכלל של , עם ערך עצמי , לכל . כלומר:
 .
מתברר שלכל  נילפוטנטית קיימים די שורשים לפירוק כזה של . מרכיבי הפירוק מקיימים , כך שהאלגברה  מדורגת ביחס לקבוצת השורשים (שהיא סופית).

לכל אלגברת לי פשוטה למחצה  קיימת תת-אלגברת קרטן , שהיא תת-אלגברה אבלית (כלומר, מקיימת את הזהות ) מקסימלית. מכיוון ש- נילפוטנטית, אפשר לפרק את  לפי קבוצת שורשים של ; בפירוק כזה,  היא המרכיב המתאים לשורש 0.

על קבוצת השורשים ביחס לתת-אלגברת קרטן  של  אפשר לחשוב כקבוצה של וקטורים במרחב הדואלי , שהוא מרחב מכפלה פנימית ביחס לתבנית קילינג של . באופן כזה, מקיימת קבוצת השורשים מספר אקסיומות גאומטריות, ובראשן העובדה שהיא סגורה לשיקוף ביחס לכל אחד מן האיברים שלה. מאקסיומות אלה נובע, למשל, שהזווית בין שני שורשים יכולה להיות ישרה או קהה. את הזוויות האלה אפשר לקודד במטריצת קרטן, שממנה אפשר לשחזר את לוח הכפל של  כולה. את אלגברת לי אפשר לתאר גם באמצעות דיאגרמות דינקין המקודדות את המבנה של מערכת השורשים של האלגברה.

התכונות המיוחדות למטריצות קרטן מאפשרות למיין את כל האלגברות הפשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0: ישנן ארבע משפחות אינסופיות , ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': . מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.

הקשר לאלגברות ז'ורדן 

תהי  אלגברת לי מעל חוג קומוטטיבי שבו 2,3 הפיכים. איבר  שעבורו  נקרא איבר ז'ורדן. לכל איבר ז'ורדן ניתן לצייד את  בפעולה חדשה: ; נסמן ב- את האלגברה  עם הפעולה המושרית מ- על מנה זו. זוהי אלגברת ז'ורדן, המקודדת חלק מן המידע הצפון ב-. למשל, אם  אלגברת לי עם זהות פולינומית, אז גם מקיימת זהות (ז'ורדן) פולינומית.

ראו גם 
 הכללות של אלגברות לי: אלגברת מלצב, אלגברת לייבניץ, אלגברת פואסון.

קישורים חיצוניים
 
 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
אלגברה לא אסוציאטיבית
חבורות לי