משפט קנטור לרציפות במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור (הידוע גם כמשפט קנטור-היינה) על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו. 

המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה
נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה  היא רציפה בנקודה  אם ורק אם עבור כל סדרה  השואפת לנקודה זו,  מתקיים . כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת  פונקציה רציפה בקטע הסגור . נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים  כך שעבור כל  קיימות שתי נקודות  כך שמתקיים , אבל .

נביט כעת בסדרה . כל אברי הסדרה שייכים לקטע , כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר .

כעת נוכיח כי  - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

כיוון ש- נובע כי , כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי 

 

על פי רציפות , מתקיים: . מאריתמטיקה של גבולות נקבל , וזו סתירה לכך שמתקיים  לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.

קנטור לרציפות במידה שווה
הוכחות
רציפות