אי-שוויון ברנולי

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון לכל מספר שלם  ולכל מספר ממשי . אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה  עולה בזמן שהסדרה  יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.

תחולה 

אי השוויון נכון לכל  ממשי, ובלבד ש- (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל , וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל  (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור  אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

. 

את המקרה הכללי (היינו ) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור  מתקיים: . 
נניח את נכונות אי-השוויון עבור , ונוכיח את נכונותו עבור   (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: , ונוכיח ש-. נשים לב ש- ולכן: . מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: , ומכאן:  . הביטוי   חיובי (כי  וגם ) ולכן מתקיים: .

הכללה

לכל חזקה ממשית  ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל  ולכל 

ועבור כל 

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

 

ברנולי