פונקציה מדידה

במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה.
בניסוח פורמלי, אם  הם מרחבים מדידים, אז  היא פונקציה מדידה אם
.

אם נתון מרחב טופולוגי , ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה -אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות. 

לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.

מקרים מיוחדים

 פונקציה מדידה  נקראת מדידת בורל כאשר  הן אלגבראות בורל. כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
 פונקציה מדידה  נקראת מדידת לבג אם  אלגברת בורל ו  היא סיגמה אלגברה של לבג.
 תהא f פונקציה , אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים
 לכל  הקבוצה  מדידה
 לכל  הקבוצה  מדידה
 לכל  הקבוצה  מדידה
 לכל  הקבוצה  מדידה
 לכל  הקבוצה  מדידה

תכונות
 אם הפונקציות ,  מדידות, אז ההרכבה שלהן  היא פונקציה מדידה.
 אם  מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד. אם  אז גם הפונקציה  מדידה.
 אם  מדידות אז גם  מדידות. אם קיים הגבול, אז גם  מדידה.
 אם  ו- קבוצת תת-קבוצות של  עבורה , אז  מדידה אם ורק אם . במילים, מספיק לבדוק מדידות ל"קבוצה פורשת" של הסיגמא-אלגברה.

קירוב של פונקציה מדידה
פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים.
יהא  מרחב ו  קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה

כאשר  היא הפונקציה מציינת.
אם  מרחב מדיד ו  קבוצות מדידות, אז  נקראת פונקציה מדידה פשוטה.

משפט: לכל פונקציה מדידה , קיימת סדרה  של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש  נקודתית. אם  ניתן לבחור את הסדרה כך ש  ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש

ראו גם
 תורת המידה
 סיגמא-אלגברה
 מידה (מתמטיקה)
 השווה גם הגדרה של פונקציה רציפה במרחב טופולוגי.

קישורים חיצוניים

 

תורת המידה
מדידה