תנאי הלדר

תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.

הגדרה

פונקציה  עבור תחום פתוח  מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים , אם לכל   מתקיים .

באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים , פונקציה  מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים , אם לכל  מתקיים .

תכונות

 אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע , אז היא רציפה באותו תחום.
 אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע , משמע היא חסומה.
 מהקמירות של הפונקציה , עבור כל , נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור  היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר    מרחב מטרי כלשהו.
 תנאי הלדר עם קבוע  נקרא תנאי ליפשיץ.

אנליזה פונקציונלית

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים  מעל קבוצה פתוחה  במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן . אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: , וגם הוא מרחב וקטורי. 

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב-  ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):

חשבון אינפיניטסימלי
מרחבים מטריים
רציפות