יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה

יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה (בגרמנית: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet; 13 בפברואר 1805 - 5 במאי 1859) היה מתמטיקאי גרמני-צרפתי עתיר הישגים, רובם בתורת המספרים. משפט דיריכלה אותו הוכיח ב-1837 נחשב לתחילתה של תורת המספרים האנליטית. תרם תרומות מעמיקות באנליזה מתמטית לתאוריה של טורי פורייה והיה הראשון להוכיח ריגורוזית את המשפט היסודי של טורי פורייה. עשה עבודה חשובה גם בנושאים אחרים באנליזה; היה בין המתמטיקאים הראשונים שנתנו את ההגדרה המודרנית הפורמלית של פונקציה.

ביוגרפיה

משפחתו הגיעה מהעיירה ריכלה (Richelet) בבלגיה, ומכך נובע שם משפחתו "לז'ן דיריכלה" (מצרפתית:"le jeune de Richelet" = "הבחור הצעיר מרישל").

דיריכלה נולד בדירן (Düren), שבצרפת של אותם הימים, בה ניהל אביו את משרד הדואר המקומי. בנעוריו למד בערים הגרמניות בון וקלן, שם גם זכה להרחיב ידיעותיו באמצעות מורו גאורג אוהם. בהמשך הביאו אותו לימודיו לקולז' דה פראנס, בו זכה ללמוד ממיטב המתמטיקאים. עבודתו הראשונה הייתה בנושא המשפט האחרון של פרמה. דיריכלה פיתח הוכחה חלקית למקרה n = 5, שהושלמה על ידי אדריאן-מארי לז'נדר. מאוחר יותר פיתח הוכחה מלאה למקרה שבו n = 14.

החל משנת 1855 לימד באוניברסיטת גטינגן. הוא נישא לרבקה מנדלסון, נכדתו של הפילוסוף משה מנדלסון ואחותו של המלחין פליקס מנדלסון-ברתולדי. לאופולד קרונקר היה מתלמידיו.

מחקר מתמטי

תורת המספרים
תורת המספרים הייתה מושא המחקר המרכזי של דיריכלה, תחום אשר הוא מצא בו מספר תוצאות עמוקות חדשות ואשר בהוכחתם הוא נקט בשיטות וכלים שנהפכו אחר כך לכלים מרכזיים ויסודיים, ורבים מהם נקראו מאוחר יותר על שמו. ב-1837 הוא פרסם והוכיח את משפט דיריכלה על סדרות חשבוניות, זאת באמצעות שימוש במושגים מאנליזה מתמטית כדי לתקוף בעיה אלגברית, ובכך הוא יצר את תורת המספרים האנליטית. בהוכחת המשפט, הוא הציג את הקרקטרים של דיריכלה ואת פונקציות L. בנוסף, במאמר שלו הוא הבחין בין התכנסות מוחלטת והתכנסות בתנאי של טור וכן ניבא את חשיבות ההבדל בין השניים לגיבוש משפט הטורים של רימן. ב-1841 הוא הכליל את המשפט שלו על סדרות חשבוניות לחוג השלמים של גאוס .

בצמד מאמרים שנכתבו ב-1838 ו-1839 הוא הוכיח את נוסחת מספר המחלקה (Class Number Formula) הראשונה, עבור תבניות ריבועיות. תוצאה מעמיקה זו סללה את הדרך לתוצאות עמוקות רבות מאוחרות יותר, התקפות לשדות מספרים כללים יותר. בהתבסס על מחקרו על המבנה של חבורת היחידות של שדות ריבועיים, דיריכלה גילה והוכיח את משפט היחידות של דיריכלה, תוצאה יסודית בתורת המספרים האלגברית.

הוא עשה שימוש בעקרון שובך היונים (שלעיתים נקרא על שמו "עקרון דיריכלה") כדי להוכיח שכל מספר אי-רציונלי ניתן לקירוב דיופנטי מסדר 2. הוא הוכיח את המשפט האחרון של פרמה למקרים n = 5 ו-n = 14. הוא תרם גם לחוק ההדדיות מסדר רביעי (דיריכלה פירש ופישט את הטיעונים של גאוס בשני מאמריו על שאריות ביריבועיות). בעיית המחלקים של דיריכלה, עבורה הוא מצא את התוצאות הראשונות, עודנה בעיה פתוחה בתורת המספרים על אף תרומות מאוחרות יותר בידי חוקרים אחרים.

מלבד עבודתו הרבה בתורת המספרים, הייתה לדיריכלה חשיבות מפתח להתפתחות ההוראה האקדמית באוניברסיטאות בגרמניה, כפרשן של עבודתו של גאוס בתורת המספרים, שבאותה עת נראתה מתקדמת מדי ולא מובנת. דיריכלה הפך את תורת המספרים כפי שכונן אותה גאוס לנגישה יותר לדור החדש של המתמטיקאים בגרמניה. תרומתו המרכזית של דיריכלה להוראת תורת המספרים הייתה חיבורו "Vorlesungen über Zahlentheorie" (בגרמנית: הרצאות על תורת המספרים) שפורסם לאחר מותו (ב-1863), שהפך לטקסט מרכזי ללימוד תורת המספרים והציג בצורה מפושטת רבים מהנושאים שנידונו ב-"מחקרים אריתמטיים" של גאוס, כמו גם כמה מהתרומות המקוריות שלו עצמו.

אנליזה 
דיריכלה פעל רבות גם בתחום האנליזה, ותחום זה הוא שהדגים את הריגורוזיות חסרת התקדים של ההוכחות שלו. היה זה דיריכלה שהוכיח לראשונה בצורה ריגורוזית את המשפט היסודי של טורי פורייה; שכל פונקציה אנליטית מחזורית ניתנת להצגה כטור טריגונומטרי. לפני פתרונו של דיריכלה, לא רק פורייה, אלא גם פואסון וקושי ניסו ללא הצלחה למצוא הוכחה ריגורוזית להתכנסות.

בתורת הפוטנציאל דיריכלה ידוע במיוחד בזכות השימוש שלו בעקרון היוריסטי על פונקציות הרמוניות שמקיימות תנאי שפה מסוימים. דיריכלה הראה שקיימת פונקציה שמביאה למינימום אינטגרל המייצג פונקציית אנרגיה מסוימת (שנקראת אנרגיית דיריכלה). רימן מאוחר יותר כינה את הגישה הזו עקרון דיריכלה, אף על פי שידע שנעשה בו שימוש קודם כבר על ידי גאוס ולורד קלווין.

תחומים אחרים
דיריכלה תרם גם לחקר משוואות דיפרנציאליות ולסטטיסטיקה, וגילה את דיאגרמות ורונוי. בסטטיסטיקה, על אף שהוא לא פרסם הרבה בתחום זה, הוא הרצה על תורת ההסתברות ושיטת הריבועים הפחותים, והציג כמה שיטות ותוצאות מקוריות, באופן ספציפי בנוגע למשפטי גבול, וכן הציע שיפור לשיטת לפלס לקירוב בהקשר של משפט הגבול המרכזי. התפלגות דיריכלה  ותהליך דיריכלה, המתבססים על אינטגרל דיריכלה, נקראים על שמו.

דיריכלה מפורסם בעיקר בשל תרומותיו הרבות למתמטיקה טהורה, אך הוא תרם גם תרומות חשובות מאוד לפיזיקה מתמטית, בין היתר לתורת הפוטנציאל, לתאוריה של החום, ולהידרודינמיקה. הוא פתר בעיה שהוצעה על ידי פורייה בנוגע להתפלגות הטמפרטורה על פני משטח הנתון לאילוצי טמפרטורה מסוימים. במחקרו על הידרודינמיקה הוא עסק בבעיה של תנועת כדור בזורם אי דחיס, ומסגרת חקר בעיה זו היה הראשון שעשה אינטגרציה מדויקת של משוואות ההידרודינמיקה. הוא חשף רק קומץ מתוצאותיו על הידרודינמיקה במהלך חייו; אחרי מותו הערותיו על הנושאים הללו נערכו ופורסמו על ידי דדקינד במסה מפורטת. הוא חקר את המקרה הדינמי של הבעיה של זורם מסתחרר הנתון להשפעת כובדו העצמי; תיאור הצורות היציבות המתקבלות ותיאור התנועה במקרה של אי יציבות. זוהי בעיה שנחקרה מאוחר על ידי רימן שתרם לתאוריה תרומות מכרעות, ועל ידי פואנקרה שקידם את התאוריה עוד יותר. 

על שמו קרויים מונחים רבים במתמטיקה: פונקציית דיריכלה ופונקציית בטא של דיריכלה, טור דיריכלה, קונבולוציית דיריכלה, צפיפות דיריכלה, משפט היחידות של דיריכלה, תנאי השפה של דיריכלה, עקרון דיריכלה, משפט דיריכלה על קירובים דיופנטיים, מבחן דיריכלה לטורים ולאינטגרלים, ממברנת דיריכלה, ומשפט דיריכלה.

קישורים חיצוניים

 

חברי האקדמיה המלכותית השוודית למדעים
מתמטיקאים גרמנים
בוגרי אוניברסיטת בון
סגל אוניברסיטת גטינגן
סגל אוניברסיטת הומבולדט של ברלין
סגל אוניברסיטת ורוצלב
משפחת מנדלסון
חוקרי תורת המספרים
חברי האקדמיה למדעים ולאמנויות של גטינגן
צרפתים שנולדו ב-1805
גרמנים שנולדו ב-1805
גרמנים שנפטרו ב-1859
צרפתים שנפטרו ב-1859