עקרון האיסור של פאולי

עקרון האיסור של פאולי הוא עיקרון פיזיקלי בתורת הקוונטים הקובע ששני פרמיונים לא יכולים להמצא באותו מצב קוונטי, באותה מערכת קוונטית, בו-זמנית. העיקרון נוסח על ידי וולפגנג פאולי בשנת 1925.

כיוון שהאלקטרונים הסובבים את גרעין האטום הם פרמיונים, עקרון האיסור של פאולי עוזר להבין את מבנה קליפות האלקטרונים באטום. קליפות אלה קובעות בין היתר חלק מתכונות היסודות הכימיים ואת מבנה הטבלה המחזורית. כמו כן מגדיר העיקרון את המושג של לחץ פרמי, כוח דחייה בין פרמיונים שמונע מהם להגיע לאותו מצב קוונטי, ובכך הוא מסייע להבין את המבנה ואת התכונות של ננסים לבנים ושל כוכבי נייטרונים.

עקרון האיסור של פאולי הוא גם הבסיס לדחייה בין אטומים ומולקולות במרחקים קצרים, שמונעים מהם להתקרב זה לזה יתר על המידה. בקירוב ניתן לתאר זאת כך: כאשר מסלולים מלאים של אלקטרונים בקליפות החיצוניות של אטומים שכנים מתקרבים זה לזה, על האלקטרונים באחד המסלולים לעבור למסלול אחר, בשל עקרון האיסור של פאולי. בדרך כלל מסלול זה יהיה בעל אנרגיה גבוהה יותר, כיוון שהמסלולים בעלי האנרגיה הנמוכה יותר (או שווי האנרגיה) תפוסים כבר בידי אלקטרונים אחרים. לפיכך, התקרבות מעבר למידה מסוימת עולה באנרגיה.

ניסוח העיקרון
עקרון האיסור של פאולי מתייחס לפרמיונים בלבד (יש סוג נוסף של חלקיקים הנקראים בוזונים ואינם מקיימים את עקרון האיסור). לעיקרון יש שני ניסוחים (חזק וחלש):
 ניסוח חלש - שני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי.
 ניסוח חזק - מערכת מרובת חלקיקים היא אנטי סימטרית להחלפה בין כל זוג פרמיונים זהים במערכת.

הערה: הניסוח החזק הוא חלק ממשפט הספין סטטיסטיקה.

ניתן לראות כיצד הניסוח החלש נובע מתוך הניסוח החזק, אם נבחן החלפה של שני פרמיונים שנמצאים באותו מצב קוונטי:

אך אם שני הפרמיונים נמצאים באותו מצב קוונטי, הרי ש:

כלומר:

מערכת רבת חלקיקים ועקרון הסימטריה 
חלקיקים זהים הם חלקיקים שלא ניתן להבדיל ביניהם, כגון אלקטרונים. בפיזיקה מניחים שכל אלקטרון ביקום זהה.
נרצה לתאר מצב של מערכת רבת חלקיקים זהים בתורת הקוונטים. מצב של מערכת בעלת חלקיק בודד תיארנו על ידי מצב עצמי (בייצוג המקום מצב זה הוא פונקציית גל שמתארת את אמפליטודת ההסתברות של החלקיק להמצא במקומות שונים במרחב). הרבה פעמים נוח להסתכל על פונקציה שהיא פתרון של ההמילטוניאן שמתאר את הבעיה.
פונקציית גל שהיא מכפלה של פונקציות גל חד חלקיקיות היא פתרון להמילטוניאן רב חלקיקי, אך פתרון זה לא בהכרח פיזיקלי.
כדי להבין מדוע, נסתכל על מערכת ובה שני חלקיקים זהים בקופסה (אטום הליום לדוגמה). לפי כל הידוע לנו ממכניקה קלאסית, בהינתן תנאי התחלה (ובהנחה שתייגנו את החלקיקים, למשל על ידי 'חלקיק 1' ו'חלקיק 2') ניתן לעקוב אחרי החלקיקים ולקבוע בכל זמן היכן ממוקם כל אחד מהם (הנחה זו מדגישה את הדטרמיניזם של המכניקה הקלאסית).

בתורת הקוונטים יש לכל אחד מהחלקיקים הסתברות מסוימת להמצא בכל נקודה בקופסה (כלומר המיקום שלהם איננו גודל מוגדר), קרי אין משמעות למי אנחנו קוראים חלקיק 1 ולמי 2. החשיבות היא שישנם שני חלקיקים, ולכן אנחנו מסיקים כי מתחייב שכל החלפה בין החלקיקים לא תשפיע על הגדלים הפיסקאליים המאפיינים את המערכת.

לכן אנו מחפשים את המצבים העצמיים של ההמילטוניאן כך שכל גודל פיזיקלי (כלומר ערך תצפית) שלהם לא יושפע מהחלפה בין החלקיקים.

עיקרון זה הוא אחת מהנחות היסוד של תורת הקוונטים - הנחת הסימטריות. ההנחה אומרת כי לא כל פונקציית גל שמספקת את ההמילטוניאן של המערכת יכולה לתאר אותה אלא רק פונקציות גל בעלות סימטריה מוגדרת להחלפה בין החלקיקים (סימטריות או אנטי סימטריות).

בפיזיקה מפרידים את כל החלקיקים לשתי קבוצות:
 החלקיקים שניתנים לתיאור על ידי פונקציות גל סימטריות נקראים בוזונים
 החלקיקים שניתנים לתיאור על ידי פונקציות גל אנטי סימטריות נקראים פרמיונים

חשיבות המינוח היא רק במערכת רבת חלקיקים.

נחזור לדוגמת שני החלקיקים בקופסה. אלו פונקציות גל הן בעלות סימטריה מוגדרת להחלפה בין החלקיקים?

1. פונקציית גל סימטרית - 

2. פונקציית גל אנטי סימטרית - 

הפונקציות הנ"ל הן פתרון להמילטוניאן נתון אם  ו-  פתרונות, וכל ערך מדיד (ערך תצפית) איננו מושפע מחילוף בין החלקיקים, לכן זוהי הצורה של הפונקציות העצמיות של מערכת רבת חלקיקים.

פאולי קבע (הניסוח החזק) כי לפרמיונים יש פונקציית גל אנטי סימטרית. מהסתכלות על משוואה 2 ניתן להבין את הקשר לניסוח החלש, שכן אם נציב במשוואה זו שתי פונקציות גל זהות (כלומר שני החלקיקים 1 ו- 2 בעלי אותו מצב קוונטי) אז פונקציית הגל הכוללת תתאפס, ומכאן כלל האיסור - שני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי.

אנטי סימטריזציה של מצבים
כדי לייצג מערכת רבת חלקיקים פרמיונים בצורה נכונה יש צורך במצב אנטי סימטרי.
בסעיף קודם למדנו איך לבנות מצבים סימטריים ואנטי-סימטריים במערכת בעלת שני חלקיקים (כדי לקבל אינטואיציה). עולה השאלה, איך נעשה זאת באופן כללי עבור N חלקיקים?
נניח שמצאנו את המצבים העצמיים של ההמילטוניאן ה-N-חלקיקי שניתנים לרישום באופן הבא:

נגדיר את  כפרמוטציה מסוימת של סדרת המספרים הקוונטיים . אופרטור השחלוף של אותה פרמוטציה  פועל על המצב באופן הבא:

אם נגדיר את קבוצת כל הפרמוטציות האפשריות של סדרת המספרים  כ- , נוכל להגדיר אופרטור אנטי-סימטריזציה באופן הבא:

בעזרת אופרטור זה נוכל לקבל מצב עצמי אנטי-סימטרי של ההמילטוניאן:

זהו מצב עצמי פיזיקלי. כיוון שהוא יכול לתאר מערכת פיזיקלית של פרמיונים, הוא אנטי סימטרי.

הערות:
 הפעלה של אופרטור האנטי-סימטריזציה על מצב מייצרת סכום של מצבים שנקרא דטרמיננטת סלייטר, כלומר דטרמיננטה של מטריצה המכילה את כל המסלולים.
 הספין במקרה זה נצמד לקואורדינטת המיקום, כך שכדי לקבל את התוצאה מהסעיף הקודם (עבור שני חלקיקים) יש צורך בסכום של דטרמיננטות סלייטר.
 אופרטור האנטי-סימטריזציה הוא הרמיטי.

כוחות חילוף 
בהתבסס על המבנה הבסיסי של פונקציית גל במערכת מרובת חלקיקים זהים, ניתן להבין את תופעת כוחות החילוף. על מנת לתאר מערכת קוונטית יש צורך במכפלה של פונקציית גל מהמרחב הרגיל בפונקציית גל ממרחב הספין.

בהתאם לניסוח החזק של עקרון האיסור, עבור שני פרמיונים (אלקטרונים באטום הליום לדוגמה) עלינו לבחור פונקציית גל אנטי-סימטרית. פונקציית גל אנטי-סימטרית תהיה מכפלה של פונקציית גל סימטרית באנטי-סימטרית (פונקציית גל סימטרית מהמרחב הרגיל כפול פונקציית גל אנטי-סימטרית ממרחב הספין, או להפך).

כדי להבין את התופעה באופן איכותי נניח שפונקציות הגל המרחביות של חלקיקים 1 ו-2 הן יחסית דומות (כלומר באותן קואורדינטות מרחביות הן נותנות ערכים דומים).

אם פונקציית הגל ממרחב הספין אנטי-סימטרית (מהצורה של משוואה 2) אז פונקציית הגל המרחבית היא סימטרית (מהצורה של משוואה 1). במקרה כזה, פונקציית הצפיפות של ההסתברות המרחבית מקבלת בקירוב ערך גדול פי שניים כאשר האלקטרונים מתקרבים זה לזה, קרי החפיפה המרחבית ביניהם גדולה. עבור אלקטרונים (הדוחים זה את זה) חפיפה זו מעלה את האנרגיה, לכן למצב זה אנרגיה גבוהה יותר.

אם פונקציית הגל ממרחב הספין סימטרית אז פונקציית הגל המרחבית אנטי-סימטרית, ובאותו אופן באזורים קרובים זה לזה פונקציית הצפיפות של הפרמיונים שואפת לאפס. זה מצב מועדף, כיוון שהאלקטרונים הדוחים זה את זה מעדיפים "להיפגש" כמה שפחות.

הערה: ההסבר הנ"ל הוא "נפנוף ידיים". כוחות החילוף יכולים לגרום למצב מרחבי אנטי-סימטרי להיות מועדף אנרגטית, או באותו אופן למצב מרחבי סימטרי. זה נקבע כתלות בפרמטרים של הבעיה (קרי ההמילטוניאן).

כך מתקבלים כוחות בין החלקיקים הנובעים מעקרון האיסור, ואלו כוחות החילוף. בעזרת כוחות אלו ניתן למשל להבין את תופעת הפרומגנטיזם (מודל אייזינג).

מבנה הגרעין 

לעקרון האיסור של פאולי חשיבות רבה גם במבנה הגרעין. בגרעינים הפרוטונים והניטרונים מוחזקים יחד בזכות הכוח הגרעיני החזק קצר הטווח, אך פרוטונים דוחים זה את זה דחייה חשמלית. האנרגיה המתקבלת מן הכוח הגרעיני החזק מספיקה כדי שפרוטונים יוכלו להפוך לנייטרונים (תוך פליטת פוזיטרון וניטרינו), אך למרות הדחייה החשמלית בין הפרוטונים, יש עלות אנרגטית בהפיכתם לניטרונים מעבר למספר מסוים, כיוון שבין הניטרונים (כמו גם בין הפרוטונים) מתקיים עקרון האיסור של פאולי, כך שמעבר למספר מסוים (המשתנה מגרעין לגרעין) ניטרונים נוספים צריכים להיות במסלולים בעלי אנרגיה גבוהה יותר מאשר ניטרונים קיימים.

ראו גם 
 התפלגות פרמי-דיראק
 התפלגות בוז-איינשטיין
 סימון דיראק
 משפט הספין סטטיסטיקה
 מודל אייזינג
 אנרגיית פרמי
 כללי הונד

קישורים חיצוניים
עקרון האיסור של פאולי באתר hyperphysics

הערות שוליים

משפטי אי היתכנות
קשרים כימיים