הרכבת פונקציות

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו.

ובאופן פורמלי: אם  פונקציה מ- ל- ו- פונקציה מ- ל-, אז ההרכבה  (בסדר זה, קרי:  מורכבת על ) היא הפונקציה מ- ל- המוגדרת לפי . ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה () מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה ().

תכונות 

התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את  על  ואת  על , אז . בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה  לעצמה הוא מונויד. פונקציה  שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת  כך ש- וגם  (דהיינו, ההרכבה  היא פונקציית הזהות על , ובנוסף ההרכבה  היא פונקציית הזהות על ). למעשה, אם קיימת פונקציה  שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של " ולרוב מסומנת ב-.

הרכבה של פונקציות ממשיות 

הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה  היא ההרכבה  כאשר  ו- .

ניתן לדון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם  ו- פונקציות שעבורן  וכן גם קיים הגבול  (עבור  כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות  כאשר  קיים ושווה ל-. אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם  מתקיים:  רציפה ב- (כלומר ) או שקיימת סביבה מנוקבת של  שבה . שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים.

כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.

קישורים חיצוניים

 

תורת הקבוצות
פעולות בינאריות