גאומטריה לא-אוקלידית

גאומטריה לא-אוקלידית היא כל מערכת גאומטרית עקבית ששונה מהגאומטריה האוקלידית באקסיומה אחת או יותר. שתי המערכות הלא-אוקלידיות הידועות ביותר הן הגיאומטריה הספרית והגיאומטריה ההיפרבולית, ולעיתים המונח גאומטריה לא-אוקלידית מתייחס בעיקר לגאומטריות אלה.

רקע
בספרו יסודות, ביסס אוקלידס את הגאומטריה על חמש הנחות (אקסיומות). בניגוד לארבע ההנחות הראשונות, שהיו קצרות ופשוטות, ההנחה החמישית (הידועה גם כאקסיומת המקבילים) נוסחה על ידי אוקלידס באופן מסורבל וארוך יותר ונתפסה על ידי מתמטיקאים כפחות טבעית. לפיכך נעשו מאמצים רבים לאורך ההיסטוריה להחליפה באקסיומה טבעית יותר או להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – שהיא אינה אקסיומה אלא משפט. מאמצים אלה עלו בתוהו במשך כאלפיים שנה, עד שבראשית המאה ה-19 הבינו מתמטיקאים אחדים שהאקסיומה החמישית כלל אינה הכרחית עבור מערכת גאומטרית עקבית. בכך נפתח לראשונה הפתח לבניית גאומטריות שונות מהגאומטריה של אוקלידס, הגאומטריות הלא-אוקלידיות. לגילוי זה היו השלכות מרחיקות לכת על המתמטיקה ועל המדע בכלל. בתחילת המאה ה-20 השתמש אלברט איינשטיין בגאומטריה לא-אוקלידית על מנת לנסח את תורת היחסות הכללית.

גאומטריות לא-אוקלידיות

לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני. גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית): אי-האפשרות של צורות דומות, קיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length), גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על עקמומיות המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית. אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיון באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי ניקולאי איוונוביץ' לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי. אחת הגרסאות הלא־אוקלידיות, הגאומטריה ההיפרבולית, אומרת שדרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית). בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הכדורית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, תלמידו של גאוס, אומרת האקסיומה שכל שני קווים ישרים - נפגשים. בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים.

מאוחר יותר פיתח רימן את הגאומטריה הרימנית שמכלילה את כל הגאומטריות הנ"ל והניחה את היסודות לתחום הנקרא גאומטריה דיפרנציאלית, המטפל בין השאר ביריעות בעלות עקמומיות משתנה. ב-1868 נעזר אוגניו בלטרמי בשיטה הכללית של רימן כדי לבנות מודלים לגאומטריה ההיפרבולית. בשנות השבעים של המאה ה-19 חיבר אנרי פואנקרה את הרעיונות האלה אל הנושאים המרכזיים במתמטיקה של תקופתו, והפך אותם לכלי חיוני בתורת המספרים האנליטית.

עד סוף המאה ה-19 התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הדיפרנציאלית (שמאפשרת מרחב לא-אוקלידי) המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית (כלומר: יריעה בה הטנזור המטרי לא חיובי לחלוטין) בסיס לתורת היחסות הכללית, והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את המרחב-זמן.

עקביות הגאומטריה הלא-אוקלידית

הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר. פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור בגאומטריה הלא-אוקלידית, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה. כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה. אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.

המודלים המקובלים לגאומטריה לא-אוקלידית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית. קיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה הלא-אוקלידית. זו בפני עצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).

ניתן לפרש חלק מהגאומטריות הלא־אוקלידיות כגאומטריה של פני משטח עקום במרחב אוקלידי תלת־ממדי. בפירושים אלה הגאומטריה ההיפרבולית היא הגאומטריה על פני פרבולואיד היפרבולי (צורה דמוית אוכף) ואילו הגאומטריה של רימן היא גאומטריה על פני כדור.

לקריאה נוספת
 האם אלוהים הוא מתמטיקאי?, בתרגום עמנואל לוטם, אריה ניר הוצאה לאור, 2010, הפרק "הגיאומטריקאים: הלם העתיד", עמ'155–175
 Marvin J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008

קישורים חיצוניים

סקירת הגאומטריה הלא אוקלידית ב-MacTutor
 אורה אדלר, ראשיתה של הגאומטריה הלא אוקלידית - ניתוח עבודותיהם של ג'והן בוליי וניקולאי לובצ'בסקי, חיבור לשם קבלת תואר שני, אוניברסיטת בן-גוריון בנגב, 2002
 
 
 

גאומטריה