משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל  מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט 
יהי  מרחב בנך מעל השדה  (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב , ופונקציה תת-ליניארית  (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי  החסום על ידי  (כלומר:  לכל ) אפשר להרחיב לפונקציונל  שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:
  (כלומר:  הוא אכן הרחבה של ).
  (כלומר:  חסום גם כן על ידי ).

מסקנות ושימושים 
 קיום הרחבה שומרת נורמה:
 אם  הוא מרחב בנך ו- הוא תת-מרחב שלו, ואם  הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על , אזי קיימת לו הרחבה  רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: . זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: , ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך,  הוא אובייקט אינג'קטיבי.
 משפט ההפרדה בין נקודות:
 .
 בפרט, אם נגדיר  עבור  אזי נקבל שקיים פונקציונל  כך ש . כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
 משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
 יהי  מרחב בנך ויהי  הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי  נקודה שאיננה בסגור של , אזי קיים פונקציונל רציף (חסום)  כך ש:
  ,
 
 ומתקיים ש

הוכחת המשפט 
הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של  החסומות על ידי  לתת-מרחב כלשהו  עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב- שמהווה הרחבה של  המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל .

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב- מוגדרת על תת-מרחב , כאשר . אזי קיים  ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי , המוגדרת על ידי:
 
כאשר  פירוק יחיד של  כאשר  ו- הוא ההרחבה המקסימלית על  (והם איברי המשפחה ). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך  כך שלכל  בתחום ההגדרה יתקיים . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים  כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל- מ- לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של , וניתן לראות בקלות שגם היא ב-, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של  מוגדר היטב על כל  ומהווה הרחבה של  המקיימת את הנדרש.

ראו גם 
 אנליזה פונקציונלית
 פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית

קישורים חיצוניים
 
 

האן-בנך