שדה (מבנה אלגברי)

שדה הוא קבוצה שעליה פועלים חיבור, חיסור, כפל, וחילוק המתנהגים כמו הפעולות המתאימות על המספרים הרציונליים והממשיים. על כן, שדה הוא מבנה אלגברי בסיסי אשר נעשה בו שימוש נרחב באלגברה (במיוחד באלגברה מופשטת), תורת המספרים, ותחומים רבים אחרים במתמטיקה.

השדות הידועים ביותר הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. שדות רבים אחרים, כגון שדות של פונקציות רציונליות, שדות מספרים ושדות p-אדיים, נלמדים ומשמשים רבות במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובגאומטריה אלגברית. רוב הפרוטוקולים הקריפטוגרפיים נשענים על שדות סופיים, כלומר שדות עם כמות סופית של איברים.

הקשר בין שני שדות מתבטא ברעיון של הרחבת שדות. תורת גלואה, אותה התחיל אווריסט גלואה במאה ה-19, מוקדשת להבנת הסימטריות (האוטומורפיזמים) של הרחבות שדה. בין היתר, תורה זו מראה כי לא ניתן לשלש זווית או לתרבע מעגל באמצעות סרגל ומחוגה. יתרה מזאת, היא מראה כי משוואות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון אלגברי.

שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של אנליזה מתמטית, המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש כסקלרים עבור מרחב וקטורי, שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור אלגברה ליניארית. שדות מספרים, אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק בתורת המספרים.

הגדרה

מבוא אינטואיטיבי 
באופן לא פורמלי, שדה הוא קבוצה יחד עם שתי פעולות שהוגדרו עליה – פעולת חיבור הנכתבת על ידי  ופעולת כפל הנכתבת על ידי  כאשר שניהם מתנהגים באופן דומה לחיבור וכפל אצל מספרים רציונליים ומספרים ממשיים, כולל קיומו של מספר נגדי  לכל  ושל מספר הופכי  לכל  שונה מאפס. זה מאפשר לשקול גם את מה שנקרא פעולות "הפוכות" של חיסור,  וחלוקה, , על ידי הגדרת:

הגדרה פורמלית 
שדה  זו קבוצה עם שתי פעולות בינאריות הנקראות חיבור וכפל. תוצאת החיבור של  מסומנת  ותוצאת הכפל מסומנת , או בקיצור . הפעולות הללו חייבות לקיים את האקסיומות הבאות לכל  ב-:
סגירות של חיבור ושל כפל: לכל  מתקיים  וגם ;
קומוטטיביות של חיבור ושל כפל:  וגם  (בעברית, חוק החילוף);
אסוציאטיביות של חיבור ושל כפל:  וגם  (בעברית, חוק הקיבוץ);
 איברים נייטרליים לחיבור ולכפל: קיימים איברים שונים  המקיימים  וגם ;
 קיום מספר נגדי: לכל  קיים איבר ב- שיסומן  המקיים ;
 קיום מספר הופכי: לכל  קיים איבר ב- שיסומן  המקיים ;
 דיסטריבוטיביות:  (בעברית, חוק הפילוג).

כל זה ניתן לקיצור באמירה כי שדה זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל כאשר השדה עם פעולת החיבור זו חבורה אבלית, השדה בלי 0 עם פעולת הכפל זו חבורה אבלית, ומתקיימת דיסטריבוטיביות. זה ניתן לסיכום אפילו יותר בקצרה באמירה כי שדה הוא חוג קומוטטיבי שבו כל איבר שונה מ-0 הוא הפיך (או במילים אחרות, חוג חילוק קומוטטיבי).

דוגמאות

מספרים רציונליים 

מספרים רציונליים  היו בשימוש נרחב זמן רב לפני המצאת מושג השדה. אלו מספרים שניתן לכתוב כשברים , כאשר  ו- הם מספרים שלמים עם . הנגדי לשבר שכזה הוא  וההופכי אליו (בהנחה כי ) הוא , שניתן לראות כדלקמן:

כל אקסיומות השדה שצריך לקיים אלו תכונות סטנדרטיות של מספרים רציונליים. לדוגמה, ניתן להוכיח דיסטריבוטיביות באופן הבא:

מספרים ממשיים 

המספרים הממשים , עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל, גם יוצרים שדה.

מספרים מורכבים 

המספרים המורכבים , עם הפעולות הרגילות של חיבור וכפל יוצרים שדה. מתקיים  כאשר  היא היחידה המדומה כלומר

מספרים הניתנים לבנייה 

בעת העתיקה, מספר בעיות גאומטריות נגעו להיתכנות של בניות גאומטריות מסוימות באמצעות סרגל ומחוגה. למשל, היוונים שיערו כי לא ניתן לשלש זווית באופן זה, אבל ללא הוכחה. ניתן לפתור בעיות אלה באמצעות שדה המספרים הניתנים לבנייה. מספרים ניתנים לבנייה הם, בהגדרה, אורכים של קטעים שניתן לבנות בכמות סופית של צעדים תוך שימוש רק סרגל ומחוגה, בהינתן קטע באורך 1. מספרים אלה, עם חיבור וכפל שמוגדרים עליהם בתור מספרים ממשיים, יוצרים שדה הכולל את שדה הרציונליים . האיור מראה כיצד ניתן לבנות שורש ריבועי של אורך נתון, שורש שאינו בהכרח מספר רציונלי. בהינתן קטע  באורך , ניתן לשרטט את הנקודות  ו-עם האורכים המתוארים באיור, יחד עם חצי מעגל שקוטרו  ואנך לישר הנתון דרך . הנקודה , שהיא החיתוך של חצי המעגל ושל האנך, תהיה במרחק של  מ-.

לא כל המספרים הממשיים ניתנים לבנייה. ניתן להראות כי  אינו מספר הניתן לבנייה, מה שמראה כי אי אפשר להכפיל את הקובייה, בעיה נוספת שהציבו היוונים הקדמונים.

שדה עם ארבעה איברים 
בנוסף למערכות מספרים מוכרות כמו הרציונליים, ישנן דוגמאות אחרות ופחות מיידיות של שדות. הדוגמה הבאה היא שדה המורכב מארבעה איברים הנקראים , ,  ו-. הסימון נבחר כך ש- ממלא את התפקיד של האיבר הנייטרלי לחיבור (מסומן 0 באקסיומות שלמעלה), ו- הוא האיבר הנייטרלי לכפל (מסומן 1 באקסיומות לעיל). ניתן לאמת את אקסיומות השדה באמצעות כלים נוספים מתאוריית השדות, או על ידי חישוב ישיר. לדוגמה,

 שווה ל- כמו שמתבקש מדיסטריבוטיביות.

שדה זה הוא שדה סופי עם ארבעה איברים, והוא מסומן  או  (השדות הסופיים נקראים על שמו של אווריסט גלואה - ומכאן Galois field). תת-הקבוצה המורכבת מ- ו- (מודגשת באדום בטבלאות משמאל) היא גם שדה, המכונה השדה הבינארי  או . בהקשר של מדעי המחשב ואלגברה בוליאנית,  ו- מסומנים לעיתים קרובות בהתאמה על ידי שקר ואמת, חיבור מסומן על ידי XOR, והכפל מסומן AND. במילים אחרות, מבנה השדה הבינארי הוא המבנה הבסיסי המאפשר מחשוב עם ביטים.

מושגים בסיסיים

מסקנות מההגדרה 
לכל  ב- מתקיים גם ש-, מה שאומר כי כל שדה הוא תחום שלמות.

התכונות הבסיסיות הבאות מתקיימות לכל  ב-:

מאפיין 

בנוסף לחיבור ולכפל שמוגדרים לכל שני איברי , ניתן להגדיר את המכפלה  לכל איבר  ב- ושלם חיובי  על ידי החיבור החוזר

אם אין שלם חיובי המקיים  אז יאמר על השדה שיש לו מאפיין . למשל, לשדה של מספרים רציונליים  יש מאפיין  כיוון שאין בו שלם חיובי השווה ל-. אחרת, אם יש שלם חיובי  המקיים את המשוואה הזו, ניתן להראות כי השלם החיובי הכי קטן שמקיים את המשוואה הזו הוא מספר ראשוני. במצב זה, נהוג לסמן את מספר זה ב- ונאמר על השדה שיש לו מאפיין .

אם ל- יש מאפיין  זה אומר כי  לכל  ב-. מזה נובע כי

מכיוון שכל המקדמים הבינומיים האחרים המופיעים בבינום של ניוטון מתחלקים ב-. כאן,

מוגדר על ידי כפל חוזר. מכך נובע שהומומורפיזם פרובניוס

הוא אכן הומומורפיזם של שדות. הקיום של הומומורפיזם שכזה הופך שדות עם מאפיין  לדי שונים משדות עם מאפיין .

תת-שדות 
תת-קבוצה של שדה  נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במילים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של , ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההופכי.

אם  הוא תת-שדה של , אז  הוא מרחב וקטורי מעל , ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי,  מוכרח להיות אלגברי מעל . במקרה זה, כדי שתת-קבוצה  המכילה את  וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה הראשוני, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

שדות סופיים 

שדות סופיים (או שדות גלואה) אלו שדות עם כמות סופית של איברים, שמספרם מכונה גם הסדר של השדה. למעלה נמצאת הדוגמה לשדה עם ארבעה איברים, או . התת-שדה שלו  הוא השדה הקטן ביותר, שכן לפי ההגדרה לכל שדה יש שני איברים שונים .

השדות הסופיים הפשוטים ביותר, אלו עם סדר ראשוני מתקבלים ישירות מחשבון מודולרי. עבור שלם חיובי , על הקבוצה

מוגדרים פעולות כפל וחיבור על ידי ביצוע כפל וחיבור ב-, ולקיחת השארית אחרי חלוקה ב-. הקבוצה הזו תצא שדה אם ורק אם  הוא מספר ראשוני, כיוון שאחרת ניתן לקחת זוג מספרים שלמים חיוביים  כך ש- שזה  ב-, וזה מונע מ- להיות שדה כמוסבר למעלה.

לכל שדה סופי  יש  איברים, כאשר  ראשוני כלשהו ו-. טענה זו נכונה כיוון שניתן לראות את  בתור מרחב וקטורי מעל התת-שדה הראשוני שלו. הממד של מרחב וקטורי זה הוא בהכרח סופי, נסמנו , ונקבל את הדרוש.

ניתן לבנות שדה עם  איברים בתור שדה הפיצול של הפולינום .

שדה פיצול זה הוא הרחבה של  שבה לפולינום  יש  שורשים. קבוצת השורשים האלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם  הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים  בבירור, וגם  הנובע משימוש חוזר בשוויון , מה שאומר שקבוצת השורשים סגורה לחיבור ולכפל (ובבירור מתקיים שההופכי והנגדי של שורש הם עדיין שורש). שדה זה הוא בגודל , והוא מסומן על ידי . זהו השדה היחיד עם  איברים, מכיוון שאם נתבונן בחבורה הכפלית של שדה שכזה, נקבל ממשפט לגראנז' כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום .

היסטוריה 
היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון משוואות פולינומיות, תורת המספרים האלגברית, וגאומטריה אלגברית. צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי ז'וזף-לואי לגראנז', שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של משוואה ממעלה שלישית  מקבלים בביטוי

רק שני ערכים (כאשר  הוא שורש יחידה מסדר שלישי).

באופן הזה, לגראנז' מסביר את הקונספט של הפתרון הקלאסי למשוואות ממעלה שלישית של שיפיונה דל פרו ופרנסואה וייט, המתחילה בצמצום של משוואה ממעלה שלישית ב- למשוואה במעלה שנייה ב-. יחד עם הבחנה דומה על משוואות ממעלה רביעית, לגראנז' חיבר בין מה שמאוחר נהיה הקונספט של שדה והקונספט של חבורה. ונדרמונד, גם ב-1770, וגם קרל פרידריך גאוס במידה מסוימת בספרו מחקרים אריתמטיים (1801), חקר את המשוואה

עבור ראשוני , ובכך קיבל את מה שידוע כיום בתור חבורת גלואה ציקלית. גאוס הסיק מכך שיש בנייה בסרגל ובמחוגה עבור מצולע משוכלל עם  צלעות, כאשר . בהסתמך על עבודתו של לגראנז', פאולו רופיני טען ב-1799 כי לא ניתן לפתור באופן אלגברי משוואה ממעלה חמישית, אבל היו חורים בהוכחה שלו. חורים אלו מולאו על ידי נילס הנריק אבל ב-1824. אווריסט גלואה מצא ב-1832 תנאים הכרחיים ומספיקים לכך שמשוואה ממעלה חמישית תהיה פתירה על ידי רדיקלים, ובכך התחיל את מה שידוע כיום בתור תורת גלואה. גם אבל וגם גלואה עבדו עם מה שמכונה היום שדה מספרים, אבל לא הגו באופן מפורש את המושג של שדה, או את המושג של חבורה.

ב-1871 ריכרד דדקינד הציג את המילה הגרמנית Körper עבור קבוצה של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה תחת ארבע פעולות החשבון, שמשמעותה בגרמנית היא "גוף" או "קורפוס" (כדי לציין ישות שסגורה באופן אורגני). המונח האנגלי field, שתורגם ישירות לעברית כ"שדה", הוצג לראשונה על ידי מור.

ב-1881, לאופולד קרונקר הגדיר את מה שהוא כינה "תחום הרציונליים", שהוא שדה שברים במונחים של היום. ההגדרה של קרונקר לא כיסתה את שדה המספרים האלגבריים (שהוא שדה במובן של דדקינד), אבל מצד שני הייתה יותר אבסטרקטית מזו של דדקינד בכך שהיא לא עשתה אף הנחה ספציפית בנוגע לסוג האיברים שיכולים להופיע בשדה. קרונקר פירש שדה כמו  באופן אבסטרקטי כמו השדה של פונקציות רציונליות . לפני כן, דוגמאות למספרים טרנסצנדנטליים היו ידועות מאז עבודתו של ז'וזף ליוביל ב-1884, עד ששארל הרמיט (1873) ופרדיננד לינדמן (1882) הוכיחו כי  ו- טרנסצנדנטליים, בהתאמה.

ההגדרה הברורה הראשונה לשדה אבסטרקטי הייתה של היינריך וובר (1893). ספציפית, ההגדרה שלו כללה את השדה . ג'וזפה ורונזה (1891) חקר את השדה של טורי חזקות פורמליים, מה שהוביל את קרט הנזל (1904) להציג את שדה המספרים ה-p-אדיים. שטייניץ (1910) אסף וסידר את הידע על שדות אבסטרקטיים שנצבר עד כה. הוא חקר אקסיומתית את התכונות של שדות והגדיר הרבה מהרעיונות החשובם בתורת השדות. רוב המשפטים המוזכרים בפרקים של תורת גלואה, בניית שדות, ומושגים בסיסיים, נמצאים בעבודתו של שטייניץ. ארטין ושטייניץ (1927) חיברו את הרעיון של סידור איברי שדה, ובכך את התחום הרחב של אנליזה, לתכונות אלגבריות טהורות. אמיל ארטין פיתח מחדש את תורת גלואה בין 1928 ל-1942, ומחק את התלות של התורה במשפט האיבר הפרימיטיבי.

בניית שדות

בניית שדות מחוגים 
חוג קומוטטיבי זו קבוצה עם פעולות חיבור וכפל המקיימת את כל האקסיומות של השדה פרט לקיום ההופכי . למשל, המספרים השלמים  הם חוג קומוטטיבי אבל לא שדה, מכיוון שההופכי של מספר שלם  אינו שלם אלא אם .

בהיררכיית המבנים האלגבריים, שדות ניתנים לאפיון בתור חוגים קומוטטיביים  שבהם כל איבר שונה מ- הוא איבר הפיך (מה שאומר כי לכל איבר יש הופכי). באופן דומה, שדות הם חוגים קומוטטיביים עם בדיוק שני אידיאלים,  ו-. שדות גם מאופיינים בתור החוגים הקומוטטיביים בהם  הוא האידיאל הראשוני היחיד.

בהינתן חוג קומוטטיבי , יש שתי דרכים להגדיר שדה הקשור ל-, כלומר שתי דרכים לשנות את  כך שכל איבריו השונים מ- יהיו הפיכים: יצירת שדה שברים, ויצירת שדה מנה. עבור חוג השלמים , שדה השברים הוא שדה הרציונליים  בעוד ששדות המנה של  הם השדות הסופיים .

שדה שברים 
בהינתן תחום שלמות , שדה השברים שלו  בנוי על ידי השברים של שני איברים של  בדיוק כפי ש- נבנה מתוך . ביתר דיוק, האיברים של  הם שברים מהצורה  כאשר  ו- הם איברים ב- וגם . שני שברים  ו- הם שווים אם ורק אם . הפעולות על השברים פועלות בדיוק כפי שהן פועלות על מספרים רציונליים. למשל:

ניתן להראות ישירות כי אם  הוא תחום שלמות, מה שתיארנו כאן יוצר שדה.

דוגמה מפורסמת לשדה שברים הוא השדה  של פונקציות רציונליות מעל שדה , שהוא שדה השברים של חוג הפולינומים . השדה  של טורי לורן

מעל שדה  הוא שדה השברים של החוג  של טורי החזקות הפורמליים מעל שדה  (שבו ). אבל כיוון שכל טור לורן ניתן להצגה בתור טור חזקות מחולק בחזקת , אין הרבה חשיבות להצגה של איברי השדה כשברים.

שדה מנה 
בנוסף לשדה השברים, שמעביר את  לשדה בהעתקה חד-חד-ערכית, ניתן לבנות שדה מתוך חוג קומוטטיבי  בהעתקה על . בהינתן אידאל מקסימלי , חוג המנה  הוא שדה, הנקרא שדה המנה.

למשל, בהינתן חוג פולינומים , האידיאל הנוצר על ידי פולינום  הוא מקסימלי אם ורק אם הפולינום  הוא אי פריק מעל , כלומר לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים אחרים ב-. אם האידיאל אכן מקסימלי, זה יוצר את השדה

השדה הזה כולל איבר  (מחלקת השקילות של ) שמקיים . ניתן לשכן את  ב-, שכן כל איברי  הם פולינומים ממעלה  ב- ומחלקות השקילות שלהם שונות. כלומר, השדה  זו מעין הרחבה של השדה , שכוללת שורש לפולינום .

כך למשל, ניתן לבנות את השדה מהשדה , באמצעות הוספת שורש לפולינום . קל לבדוק שזהו אכן פולינום אי-פריק ב-, ולכן נוכל לבנות את השדה

ראו גם 
 הרחבת שדות
 תורת גלואה

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

הערות שוליים 

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
אלגברה ליניארית
מבנים אלגבריים
תורת השדות
טיפוסי חוגים