שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

הגדרה פורמלית
תהא  מטריצה מסדר . המטריצה המשוחלפת שלה,  (מקובלים גם הסימונים )
היא מטריצה מסדר  שמוגדרת כך:  , עבור כל  .

דוגמאות:

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:
. 
.

מן התכונות האלה נובע גם שאם  הפיכה אז גם  הפיכה ו-.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של  שווה לזה של , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית  נקראת סימטרית אם , כלומר  שווה למטריצה המשוחלפת שלה.  נקראת אנטי-סימטרית אם .

אם  היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים , אז  נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית  היא אורתוגונלית אם ורק אם , כאשר  היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה  מסומן  וכאמור מוגדר לפי . אם  מקיימת , היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה ליניארית

אם  ו- הם מרחבים וקטוריים מעל שדה  ו- היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה  בין המרחבים הדואליים של  ו-  המוגדרת באופן הבא:
 לכל  ולכל  .
זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת . הפונקציונל  מכונה לעיתים המשיכה לאחור של  במקביל ל-.

אם  ו- הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים,  הוא בסיס סדור ל- עם בסיס דואלי ,  הוא בסיס סדור ל- עם בסיס דואלי  ו- היא המטריצה המייצגת של  ביחס לבסיסים , אז המטריצה המייצגת של  ביחס לבסיסים  היא בדיוק .

קישורים חיצוניים
 

מטריצות

de:Matrix (Mathematik)#Die transponierte Matrix