אידיאל (אלגברה)

באלגברה, אידיאל הוא תת-קבוצה של חוג, המקיימת תנאים מסוימים. תנאים אלה מבטיחים שאפשר יהיה לבנות חוגי מנה, מהם ניתן לשאוב מידע על החוג המקורי. תפקידם של האידיאלים בתורת החוגים דומה לזה של התת-חבורות הנורמליות בתורת החבורות.

המונח אידיאל מתייחס בדרך כלל לאידיאל דו צדדי, שהוא תת-קבוצה של החוג הסגורה לחיבור וחיסור, וכן לכפל מימין או משמאל באיבר של החוג. דרישות אלה שקולות לכך שפעולות החיבור והכפל על קבוצת הקוסטים מוגדרות היטב, באופן המשרה מבנה של חוג מנה.

בחוגים לא קומוטטיביים, מגדירים באופן דומה גם אידיאל ימני ואידיאל שמאלי, הנקראים אידיאלים חד-צדדיים. אידיאל חד-צדדי הוא מודול (ימני או שמאלי) מעל החוג.

הגדרה פורמלית 
יהא  חוג. תת-קבוצה ממש  שעבורה  היא תת-חבורה של  נקראת אידיאל שמאלי אם לכל  ולכל  מתקיים ; ואידיאל ימני אם לכל  ולכל  מתקיים . קבוצה שהיא גם אידיאל שמאלי וגם אידיאל ימני נקראת אידיאל דו-צדדי או סתם אידיאל.

אידיאל אמיתי (בחוג עם יחידה) איננו יכול להכיל את איבר היחידה  של החוג, משום שאז ההגדרה תאלץ אותו להכיל את החוג כולו. מכאן נובע שאידיאל שמאלי אינו יכול להכיל איברים הפיכים משמאל, בעוד שאידיאל ימני אינו יכול להכיל איברים הפיכים מימין.

בחוג חילופי, כל אידיאל שמאלי או ימני הוא אידיאל. בחוג לא חילופי יש הבדלים רבים בין שתי התכונות. בדרך כלל, מועיל לחשוב על אידיאל חד-צדדי (שמאלי או ימני) כקבוצה "גדולה", בעוד שאידיאל (דו-צדדי) הוא קבוצה "קטנה". הסיבה היא שאידיאלים דו-צדדיים מנועים מלכלול הרבה יותר איברים מאשר האידיאלים החד-צדדיים.

דוגמאות

אידיאל נוצר 
אידיאל נוצר  של חוג  על ידי קבוצה  המוכלת ב- הוא האידיאל הקטן ביותר של  המכיל את , והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה

.

בדומה, אידיאל נוצר שמאלי  של חוג  על ידי קבוצה  המוכלת ב- הוא האידיאל השמאלי הקטן ביותר של  המכיל את , והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה

.

ואידיאל נוצר ימני  של חוג  על ידי קבוצה  המוכלת ב- הוא האידיאל הימני הקטן ביותר של  המכיל את , והוא קבוצת הסכומים הסופיים מהצורה

.

מוסכם כי האידיאל (שמאלי, ימני ודו-צדדי) הנוצר על ידי קבוצה ריקה הוא האידיאל המכיל את אפס בלבד.

אידיאל ראשי 
אידיאל הנוצר על ידי איבר אחד נקרא אידיאל ראשי. לאידיאל שמאלי ראשי יש הצורה , ולאידיאל ימני ראשי הצורה הדואלית, . האידיאל (הדו-צדדי) הנוצר על ידי  הוא קבוצה גדולה בהרבה: , הכוללת את כל המכפלות  וכל הסכומים שלהן. כל אידיאל הוא סכום (לאו דווקא סופי) של אידיאלים כאלה.

תחום שלמות שבו כל האידיאלים הם ראשיים נקרא תחום ראשי. לדוגמה, בחוג המספרים השלמים, הקבוצה , קבוצת כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש, היא אידיאל ראשי. קל לוודא שמדובר באידיאל. (כיוון שסכום שתי כפולות של שלוש הוא כפולה של שלוש, מספר נגדי לכפולה של שלוש הוא כפולה של שלוש ומכפלת מספר המתחלק בשלוש בכל מספר שלם אחר תתחלק גם היא בשלוש). חוג המספרים השלמים הוא חוג ראשי.

גרעין של הומומורפיזם 
לכל הומומורפיזם  בין שני חוגים , הגרעין  הוא אידיאל דו-צדדי של .

הגדרות ומשפטים הנוגעים לאידיאלים
ישנם כמה סוגים חשובים במיוחד של אידיאלים, המוגדרים על-פי תכונות של חוג המנה. אידיאל ראשוני הוא אידיאל  של החוג, שעבורו החוג  הוא חוג ראשוני. אפשר לנסח תכונה זו גם כך: לכל שני אידיאלים , אם המכפלה  מוכלת ב-, אז אחד מן האידיאלים מוכרח להיות מוכל ב-. בחוג חילופי, אידיאל הוא ראשוני אם ורק אם אינו יכול להכיל מכפלה  של איברים, בלי להכיל אחד מן האיברים.

דוגמה: בחוג המספרים השלמים , כל אידיאל הוא מהצורה . אידיאל כזה הוא ראשוני אם ורק אם המספר  הוא מספר ראשוני, או אפס. אכן, אם מספר ראשוני  מחלק מכפלה  של מספרים שלמים, אז הוא חייב לחלק אחד מהם.

אידיאל מקסימלי הוא אידיאל שאינו מוכל באידיאל גדול יותר, ולכן הוא מקסימלי עבור יחס ההכלה. ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן שבכל חוג עם יחידה, כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי. כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני, אבל ההפך אינו נכון (לדוגמה, אידיאל האפס של חוג השלמים הוא ראשוני ואינו מקסימלי). חוג שמכיל אידיאל מקסימלי יחיד נקרא חוג מקומי.

בניסוח שקול,  הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם חוג המנה  הוא חוג פשוט. (כלומר, חוג שאין בו אידיאלים לא טריוויאליים) מכאן שלכל חוג קיימים חוגי מנה פשוטים; תכונה זו הופכת את החוגים הפשוטים לאבני הבניין של תורת החוגים. כל חוג חילופי פשוט הוא שדה.

אידיאל מינימלי הוא אידיאל שאינו מכיל אף אידיאל פרט לאפס. כל אידיאל מינימלי הוא ראשי, אבל ההפך אינו נכון. אף על פי שהיפוך סריג האידיאלים על ראשו היה מחליף בין מינימליים למקסימליים, אידיאלים מינימליים הם בעלי תכונות שונות לחלוטין מאלו של אידיאלים מקסימליים. בראש וראשונה, אידיאלים כאלה לא תמיד קיימים (למשל, בחוג השלמים), וההנחה שבכל מחלקה קיים אידיאל מינימלי היא הנחה חזקה (ארטיניות).

קישורים חיצוניים
 
 
 

אלגברה
תורת החוגים