משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני  נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה . 

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה  של  חייב לחלק את הסדר של . משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק  של הסדר של  שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר . משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת- מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות

אם  הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית , אז קיימת חזקה מקסימלית של  המחלקת את הסדר. כלומר  מחלק את סדר החבורה, אבל  אינו מחלק. לתת-חבורה של  שסדרה שווה ל- קוראים חבורת p-סילו של . הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת -סילו היא תת-חבורה של  שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-.

לדוגמה, אם  אז תת-חבורה מסדר  היא חבורת -סילו של , ותת-חבורה מסדר  היא חבורת -סילו של .

ניסוח המשפטים

נניח ש- חבורה סופית וש- היא חזקה מקסימלית של ראשוני  המחלקת את הסדר של . נסמן ב- את מספרן של חבורות p-סילו השונות של . נציין מיד שאם  חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות -סילו.

משפט סילו הראשון

לכל חבורה  קיימת חבורת -סילו. (דהיינו ).

הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת  המחלקת את הסדר של , לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה.

משפט סילו השני

כל חבורות -סילו של  צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של , שהיא חבורת , מוכלת באיזושהי חבורת -סילו של .

מסקנה
חבורת -סילו היא יחידה (כלומר ) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של .

משפט סילו השלישי

מספרן של חבורות -סילו של  שקול לאחת מודולו . כלומר .

מסקנה
 מחלק את הסדר של . אם נסמן  (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש- מחלק את , משום שלפי משפט סילו השלישי  זר ל־.

הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה  של  שווה לאינדקס של המנרמל של  ב-, שהוא תת-חבורה המכילה את . אבל המנרמל מכיל את , לכן האינדקס שלו מחלק את זה של , וממילא הוא זר ל-.

דוגמה לשימוש

נראה שלכל חבורה  מסדר  מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. , ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר ,  ו-. מספרן של החבורות מסדר  שקול ל- מודולו  ומחלק את  - ולכן הוא  או . באופן דומה מספרן של החבורות מסדר  הוא  או , ושל אלו מסדר  הוא  או . אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש  חבורות מסדר , שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן  איברים מסדר . באופן דומה יש  איברים מסדר  ו- מסדר . ביחד יותר מ-, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של . ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של  על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון. 

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל  של . מכיוון ש-, קל לחשב ש- אינו מחלק את העוצמה של . החבורה פועלת על  על ידי כפל משמאל: . 

מכיוון שהגודל של  אינו מתחלק ב-, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של , שגודלו אינו מתחלק ב-. תהי  נקודה באותו מסלול; נבחר , אז גם  היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של . לכן אפשר להניח ש- . מצד אחד, המייצב של  מוכל ב- (שהרי ), ולכן גודלו  לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את , אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- ומחלק את . יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל-, ואם כך הוא שווה ל-; אבל אז  היא חבורת -סילו.

כעת נסמן ב- את אוסף חבורות p-סילו של ; המשפט הראשון טוען ש- אינה ריקה. החבורה  פועלת על  לפי הצמדה. 

טענה. אם תת-קבוצה  של  סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל- מודולו .

הוכחה. ברור שכל חבורת -סילו היא תת-חבורת- מקסימלית. לכן, אם  שתיהן חבורות p-סילו, אז  אינה תת-חבורה של  (אחרת סדרה היה שווה ל- , וזו חזקת- גדולה מדי). מכאן יוצא ש- אינה יכולה לנרמל את  (אחרת  היא תת-חבורה).

כעת תהי  חבורת -סילו; בתור תת-חבורה של , גם  פועלת על  בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על . גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של , ולכן הם כולם חזקות של . יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם , ואלה שגודלם מתחלק ב-. אם  היא נקודה יחידה במסלול, אז  מנרמלת את , וזה בלתי אפשרי - אלא אם . כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו , והוא המסלול המכיל את  בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב-, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של ) שקול ל- מודולו .

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור  בטענה. 

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל- מודולו . אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.

קישורים חיצוניים
 

סילו