אנליזה מתמטית

אָנָלִיזָה מָתֶמָטִית היא ענף מרכזי במתמטיקה החוקר פונקציות מתמטיות ממשיות ומרוכבות. רציפות של פונקציה, גזירותה, אינטגרביליות והתכנסות של טור איברים - כל אלה הן הפעולות המרכזיות בהן עוסקת האנליזה. כדי להגדיר פעולות אלו במדויק יש צורך להשתמש במושג הגבול - והוא הרעיון המרכזי שמפריד בין האנליזה ליתר חלקי המתמטיקה: באנליזה יש מעברים גבוליים. 

האנליזה החלה בחקירת פונקציות ממשיות, ובפרט, פונקציות רציפות. פונקציות רציפות הן פונקציות אותן "ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף" - פונקציות שאינן נקטעות או קופצות בחדות בין ערכים. הגדרה מדויקת של רציפות מחייבת שימוש במושג הגבול. משפטים מרכזיים בתחום זה הם משפט ערך הביניים, משפטי ויירשטראס ומשפט קנטור לרציפות במידה שווה. 

בתוך משפחת הפונקציות הרציפות מתמקדת האנליזה בפונקציות הגזירות - אלו שאין להן "שפיצים" והן חלקות - כלומר, השינויים בהן אינם מיידיים וקיצוניים. לשם כך מוגדר מושג הנגזרת. 

סכימה של פונקציה בדרך של מעבר גבול היא האינטגרציה. בדרך זו מתקבל סכום מדויק יותר מסכומים שמתבססים על דגימת הפונקציה בנקודות נפרדות, מכיוון שהאינטגרל מביא בחשבון את ערכי הפונקציה בכל אחת מנקודותיה.

האנליזה עוסקת גם בטורים אינסופיים - סכומים אינסופיים שיכולים להיות של מספרים (ואז נשאלת השאלה האם גם סכום הטור הוא מספר) או פונקציות (ואז נשאלת השאלה מהו סוג הפונקציה אליה מתכנס הטור, אם בכלל). בהקשר של טורי פונקציות עולה מושג ההתכנסות במידה שווה, שהוא סוג ההתכנסות של טורי הפונקציות ששומר על תכונות הפונקציות שהן אברי הטורים. מקרה פרטי מיוחד בחקר טורי הפונקציות הוא טורי החזקות, שלהתכנסותן מספר תכונות מיוחדות; רבות מהפונקציות המוכרות לנו ניתנות להבעה באמצעות טורים אלו, שקל יחסית לחשבם.

רציפות, גזירות, אינטגרציה וסכימת טורים של פונקציות ממשיות - אלה חלקי האנליזה הקלאסיים.

אנליזה מתקדמת

חקירת פונקציות מרוכבות ובעלות מספר משתנים. חקירת פונקציות של מספר משתנים מכלילה את המושגים המוכרים מפונקציות של משתנה אחד, ומרחיבה אותם - למשל, מושג הדיפרנציאביליות, שמבטא את היכולת לקרב פונקציה מרובת משתנים בצורה ליניארית, הוא הכללה של מושג הנגזרת במשתנה יחיד. גם לפונקציות מרוכבות ניתן להגדיר את המושגים הבסיסיים של האנליזה, כגון נגזרת ואינטגרל, אך בשל תכונות המרחב המרוכב, תכונות אלו הן חזקות יותר ובעלות השלכות עמוקות יותר מאשר במקרה הממשי.

הרקמה הבסיסית של הפונקציות - הטופולוגיה. בענף זה נחקרים המרחבים המטריים, שבהם מרחיבים את מושג המרחק, בו משתמשים באנליזה, למושג המטריקה - מושג יותר כללי של מרחק, הנותן משפחה ענפה יותר של מרחבים. כמו כן משתמשים באחד המושגים הנובעים ממושג המטריקה - הקבוצה הפתוחה בתור מושג היסוד שעליו נבנים מרחבים - והתוצאה, המרחבים הטופולוגיים, היא משפחה רחבה עוד יותר של מרחבים, שמהווה הכללה והפשטה של המרחבים הנחקרים באנליזה. הטופולוגיה מכלילה תכונות רבות של מרחבים, דוגמת קומפקטיות וקשירות. כלי העבודה הבסיסי בטופולוגיה הן הפונקציות הרציפות (שגם הגדרתן הופכת לכללית יותר) שמשמרות את צורתן של הקבוצות עליהן הן פועלות, גם אם הן "מעקמות" אותן.

משוואות המערבות פונקציות ונגזרותיהן - משוואות דיפרנציאליות. המשוואות הדיפרנציאליות מופיעות בענפים רבים של המדע, ובשל הקושי שהן מציבות דרושות דרכים יעילות לפתרונן. מספר המשוואות הניתנות לפתרון הוא קטן יחסית, ועוד יותר קטן מספר המשוואות הניתנות לפתרון שיטתי. על כן חקר המשוואות הדיפרנציאליות עוסק גם בדרכים להוכחת קיום ויחידות של פתרון, ובשיטות למצוא פתרון מקורב למשוואה שבה עוסקים. חקר המשוואות הדיפרנציאליות נחלק בין חקר משוואות דיפרנציאליות רגילות, העוסקות בפונקציה של משתנה אחד ונגזרותיה, וחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות, העוסקות בפונקציה מרובת משתנים ובנגזרותיה החלקיות.

תורת המידה המכלילה מושגים של אורך ו"גודל" של קבוצות ובכך מאפשרת לבצע אנליזה על קבוצות מורכבות ומוזרות כגון קבוצת קנטור או פרקטלים. יישומיה המרכזיים הם מידת לבג ואינטגרל לבג.

ענפים באנליזה 
לענפים רבים במתמטיקה יש תחום אנליזה מתאים:

 אנליזה ממשית – ניתוח של פונקציות ממשיות רגילות. 
 אנליזה מרוכבת – ניתוח של פונקציות מרוכבות. 
 אנליזה וקטורית – האנליזה של פונקציות ממשיות במספר משתנים: ניתוח של פוטנציאל (פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה סקלר) ושל שדה וקטורי (פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה וקטור).
 אנליזה פונקציונלית – ניתוח של אופרטורים ופונקציונלים, כלומר העתקות שהארגומנט שלהן הוא פונקציה (והן מחזירות פונקציה אחרת או מספר סקלרי, בהתאמה). 
 אנליזה הרמונית – ניתוח של פונקציות באמצעות טורי פורייה. 
 אנליזה נומרית – ניתוח של פונקציות והשתנותן באמצעות קירובים נומריים.

ראו גם

 אנליזה מתמטית - מונחים
 חשבון אינפיניטסימלי
 A Course of Pure Mathematics

קישורים חיצוניים