פונקציית אוילר

פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית  (פי), מוגדרת באופן הבא:  שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל- ואינם גדולים ממנו. למשל, , , ואילו  (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר המתאימה ל-: . 

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר  מחלק את .

חישוב הפונקציה
אם  מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ- זרים לו, ולכן . באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל- הם כל אלו שמתחלקים ב-, שמספרם , ולכן . ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר,  כל אימת שהמספרים  זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה , כאשר  הם הגורמים הראשוניים השונים של . לדוגמה . נראה זאת. נכתוב  ואז נקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:

תכונות הפונקציה

 פונקציית אוילר מקיימת את הזהות , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית . 

 נוכל להסתכל על הזהות הזו כקונבולוציה  כאשר  היא פונקציית הזהות. לכן, מנוסחת ההיפוך של מוביוס נובע כי

כאשר  היא פונקציית מוביוס.

נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה  לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם נסמן ב- את הגורמים הראשוניים השונים שמחלקים את , נוכל להבחין כי

שהרי לכל מחלק , אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז  מהגדרת פונקציית מוביוס.

 לכל ,  מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם  בעבור , אז . אחרת, ל- יש מחלק  ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה , ולכן: , ו- זוגי.

 הערך הממוצע של הפונקציה הוא . הגבול התחתון של היחס  הוא , כאשר  הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
 ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:

כאשר  היא פונקציית זטא של רימן.

 .

 בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית  של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר  (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

מקורות 

 Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה
אוילר
לאונרד אוילר