תורת היחסות הכללית

תורת היחסות הכללית (באנגלית: General relativity) היא תאוריה גאומטרית של תופעת הכבידה שפורסמה על ידי אלברט איינשטיין ב-11 במאי 1916, והיא התיאור הנוכחי של הכבידה בפיזיקה המודרנית. התאוריה מטפלת בגופים בתאוצה ומסבירה את תופעת הכבידה, שבה עצמים בעלי מסה נמשכים זה אל זה. היא עוסקת בנושאים שתורת היחסות הפרטית, שפרסם איינשטיין בשנת 1905, לא דנה בהם.

תורת היחסות הכללית מסבירה את תופעת הכבידה בכך שכל גוף בעל מסה מעקם את המרחב סביבו, באופן שמשנה את ההגדרה של קווים ישרים, כך שתנועה בקו ישר במרחב העקום אינה נראית ככזו בעיני הצופה – כלומר הימצאותה של מסה במרחב גורמת לגופים הנעים בקרבתה לנוע באופן הנראה כסטייה ממסלול ישר. אפשר להמחיש זאת באנלוגיה לתנועה של נמלה על פני כדור: תנועה של הנמלה לאורך מסלול שנראה בעיניה כקו ישר על פני הכדור, היא למעשה תנועה מעגלית סביב הכדור.

הנוסחאות והחישובים של תורת היחסות הכללית מסובכים מאלו של תורת היחסות הפרטית, ודרשו מאיינשטיין להיעזר בשיטות מתמטיות שונות להשלמתם. תורת היחסות הכללית נבדקה במספר רב של ניסויים, שבהם אומתו תחזיותיה ברמת דיוק גבוהה. היא חוזה בין היתר את קיומם של חורים שחורים, ויש לה השפעה ניכרת על התאוריות הקוסמולוגיות הדנות באופן התפתחותו ועתידו של היקום.

רקע 

מיד עם תום כתיבת תורת היחסות הפרטית, ניגש איינשטיין לפתרון בעיה, שהניב בסופו של דבר את התורה הכללית: עיקרון יסודי של תורת היחסות הפרטית הוא שמהירות האור בריק היא גבול עליון למהירות ההתפשטות של השפעה כלשהי ביקום (הרחבה בנושא זה בערך תורת היחסות הפרטית). טענה בסיסית שכזו סותרת כלל בסיסי אחר, שניסח כ-250 שנה לפני כן הפיזיקאי והמתמטיקאי הנודע אייזק ניוטון. אחת התאוריות של ניוטון נקראה תורת הכבידה האוניברסלית של ניוטון, והיא ניתחה את פעילות המשיכה של גרמי שמיים. ניוטון יכול היה לתאר במשוואותיו בלבד את תנועות כוכבי הלכת סביב השמש, למשל, או את תנועת הירח סביב כדור הארץ. עם זאת, במשוואותיו אלה לא שם ניוטון גבול כלשהו למהירות הגופים. משוואתו המפורסמת לתיאור כוח המשיכה בין שני גופים:
 
(כאשר F הוא הכוח, M1 ו- M2 הם שתי המסות, r הוא המרחק ביניהן, ו-G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי), אינה כוללת דבר וחצי דבר בנוגע למהירות בה פועל הכוח.
השמש, לדוגמה, היא זו שמרתקת את כדור הארץ למסלולו, אולם היא מרוחקת מאיתנו מרחק של 8 דקות ו-19 שניות אור. אילו תיעלם השמש, לפי משוואות ניוטון, יבוטל מיד הכוח הפועל עלינו מצידה. אולם לפי איינשטיין, דבר לא יכול לנוע מהר מהאור, כולל השפעתו של כוח. נוצרה כאן סתירה בסיסית בין תורה עתיקת ימים של חוקים אוניברסליים של המשיכה, למול תורה צעירה וחדשה שטרם הוכחה אז, ומדברת על מקרים פרטיים וספציפיים מאוד.

איינשטיין לא התייאש, והיה בטוח בצדקתו. לכן, במשך כמעט עשור נטל עליו את המשימה למצוא את הטעות בחוקי ניוטון. הוא גילה כי הטעות הייתה בסיסית משחשב, וזו גרמה לו ליצור תאוריה חדשה של חוקי המשיכה.

השקילות בין תאוצה לשדה גרביטציה 

קצה החוט עלה במוחו של איינשטיין ב-1907. בניסוי מחשבתי הוא תיאר לעצמו כיצד ירגיש צבע שנופל מגג בניין (לפי גרסאות אחרות של הסיפור הוא ראה מחלונו את הצבע נופל, או תישאל צבע שנפל מבניין בעירו על הרגשתו בעת הנפילה). איינשטיין הבין שבעת הנפילה הצבע לא ירגיש את הכבידה. לימים כינה איינשטיין מחשבה זו "המחשבה השמחה ביותר בחיי". לפתע, הוא הבין את משמעות הכבידה.

איינשטיין דימה בנפשו מעלית שבצידה האחד מותקן מכשיר היורה קרן אור ממוקדת לצידה השני. קרן האור תהיה מקבילה לרצפת המעלית. אולם אילו תואץ המעלית במהירות עצומה כלפי מעלה, לא תיוותר קרן האור ישרה ומקבילה לרצפה, כי אם – קשתית ואולי אף פוגעת ברצפה. עד שקצה הקרן תפגע בצידה השני של המעלית, תספיק המעלית לעלות למעלה והקרן תפגע בנקודה הרבה יותר נמוכה מזו שיצאה ממנה. ביחס לכדור הארץ, אמנם, נותרה הקרן ישרה וללא שינוי, אולם ביחס למעלית הקרן נראית עקומה – כאילו משכו אותה למטה. באופן דומה, כשאנו עומדים במעלית המואצת כלפי מעלה, נרגיש כאילו כבידה חזקה יותר פועלת עלינו כלפי מטה. למעשה, המשקל שלנו יהיה גבוה יותר ממשקלנו על הארץ ללא תאוצה. תאוצת המעלית כלפי מעלה, לוחצת את רצפתה על רגלינו, והכוח הפועל בין המעלית ובינינו יהיה גדול יותר. מעלית מואצת, מספקת הרגשה של כבידה. לעומת זאת כאשר המעלית תואץ כלפי מטה, נרגיש לחץ קטן יותר, וכאשר היא תואץ למטה בתאוצה המשתווה לתאוצת הנפילה החופשית לא נרגיש כל לחץ – בדיוק כמו הצבע שנופל מהגג.

בעצם כל תאוצה יכולה להוות כוח. אילו לא היה כדור הארץ מושך אותנו, ובמקום זה היינו מואצים כלפי מעלה, מבחינתנו ההרגשה הייתה זהה. את הכבידה אולי קשה לנתח, אך תאוצה הרבה יותר קל. מפני ששתי אלו אקוויוולנטיות זו לזו, אין מנוס, אלא לכתוב את משוואות הכבידה כמשוואות תאוצה.

השקילות בין שדה גרביטציה למרחב עקום 

במשך עשר שנים פיתח איינשטיין את המשוואות הללו. הוא טבע את המונח "מרחב עקום" או "עקמומיות המרחב", שזו באה לתאר את המשיכה. בעצם – המרחב במעלית המואצת "התעקם" לדברי איינשטיין, ולכן ראינו את קרן האור בצורה פרבולית או קשתית. הוא השליך את המסקנות הללו לכבידה, וקבע כי בקרבת מסה (או ליתר דיוק בקרבת מסה, אנרגיה ולחץ) המרחב מתעקם. קשה לדמות בנפשנו מרחב עקום, אולם גם כאן הציע איינשטיין רעיון (ראה ציור בהמשך). הוא תיאר יריעת גומי מתוחה, שעליה מונחים גולות וכדורים בכל מיני גדלים. ככל שכדור יהיה כבד יותר, כך השקערורית שהוא ייצור ביריעת הגומי תהיה גדולה יותר, וכך גולה קטנה שתעבור בקרבת מקום תיפול אל תוך השקערורית ממרחק רב יותר. זהו תיאור של הכבידה. אך ככל שמסה היא גדולה יותר, כך היא מעקמת את המרחב באופן בוטה יותר, וגופיפים קטנים העוברים לידה יפלו מהר יותר אל ה"שקערורית" שהיא יוצרת במרחב. בעצם – כאשר אנו עומדים על כדור הארץ, אנחנו נופלים אל תוך השקערורית שהוא יוצר במרחב. יש לזכור כי זוהי המחשה נוחה, אך לא מלאה: היריעה דו־ממדית, והמרחב-זמן הוא ארבע ממדי – העיקום במציאות מתבצע במרחב-זמן כולו. כמו כן, בהמחשה הגורם לנפילה אל השקערורית הוא כוח המשיכה החיצוני של כדור הארץ, ואילו במציאות העיקום עצמו הוא כוח המשיכה.

בתורה זו בונה איינשטיין את השקילות שבין שדה כבידה לתאוצה ואת זה לעקמומיות במרחב, כלומר – כוח שווה גאומטריה. יתרה מכך, במשוואת איינשטיין המפורסמת נקבע כיצד משתנה העקמומיות המרחב בנקודה בהתאם לצפיפות המסה-אנרגיה בה.

תורת היחסות הכללית כחלק מהתאוריה של הכל 

התאוריה אינה מתיישבת עם מכניקת הקוונטים, תורה המתארת את העולם הפיזיקלי ברמת האינטראקציות של החלקיקים האלמנטריים, ושתחזיותיה אומתו אף הן בדייקנות רבה. כדי לנסות להגיע להבנת ההתרחשויות בראשיתו של היקום, והתהליכים בתוכם של חורים שחורים, יש צורך בתורה פיזיקלית שבה שתי התורות הללו, הטובות כל אחת לתחומה, מתמזגות לתורה אחת נקיה מקונפליקטים פנימיים. התחום העוסק בניסיון לאיחוד כזה קרוי תורת כבידה קוונטית.

הניסוח השלם של מכניקת הקוונטים, המאחד אותה עם תורת היחסות הפרטית (אך לא עם תורת היחסות הכללית), הוא תורת השדות הקוונטית. במונחים של תורת שדות, תורת היחסות הכללית היא תורת כיול, כאשר שדה הכיול הוא שדה קלאסי בעל ספין 2. לפיכך שילוב נאיבי של תורת היחסות הכללית בתורת השדות הקוונטית יהיה כתורת כיול עם שדה כיול קוונטי בעל ספין 2; אלא ששדה כזה אינו רנורמזבילי, כלומר הוא נותן תוצאות אינסופיות בכל חישוב, שלא ניתן לפרש באופן שיתקן אותן לתוצאות סופיות.

משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות הכלליות

הקדמה מתמטית – חשבון טנזורים 

אתגר חשוב בניסוח תורת היחסות הכללית היה ניסוח משוואות תנועה קו-ואריאנטיות כלליות (כלומר: משוואות תנועה המקיימות את עקרון הקו-ואריאנטיות הכללי) בנוכחות כבידה. לשם כך השתמש איינשטיין בתחום חדשני באותה עת במתמטיקה הנקרא חשבון טנזורים ומתבסס על גדלים גאומטריים מופשטים, שניתן לייצגם באמצעות מערכים רב-ממדיים הנקראים טנזורים, שמשתנים בצורה מיוחדת תחת התמרת קואורדינטות. הסקלר, הוקטור והמטריצה הם מקרים פרטיים של טנזור. למעשה, הטנזור עצמו הוא אינווריאנטי ומה שמשתנה הם הרכיבים שלו כתלות במערכת הייחוס (הבסיס האלגברי-מתמטי) בו אנו מתארים אותם.

ביחסות כללית, טנזור מיוצג כמערך רב-ממדי עם מספר (טבעי) כלשהו של אינדקסים, העובר התמרת קואורדינטות (שינוי מערכת ייחוס) מ x ל 'x באופן הבא
 
הגודל השמאלי נקרא "טנזור קונטרה-וריאנטי" ואילו הימני נקרא "טנזור קו-ואריאנטי". 
ההכללה למספר אינדקסים היא מיידית, למשל:
 

ראו גם: הסכם הסכימה של איינשטיין.

משוואות התנועה בהשפעת גרביטציה 

במרחב שטוח, מערכת ייחוס אינרציאלית  וללא כבידה מתקיימת משוואת התנועה של חלקיק חופשי:
 
כאשר כאן  היא המטריקה הלורנציאנית השטוחה של תורת היחסות הפרטית.

אנו רוצים להכליל נוסחה זאת בנוכחות כבידה. את ההכללה אפשר להסיק באופן מתמטי מחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות באמצעות שימוש בהגדרה מכלילה של גאודיזה או טרנספורט מקבילי של הווקטור המשיק למסלול התנועה של החלקיק (וקטור זה הוא המהירות). אפשר להסיק אותן גם באופן פיזיקלי מעקרון השקילות או מוואריאציה על הפעולה של יחסות כללית (ראו: עקרון הפעולה של המילטון). פירוש המשוואה הוא שהחלקיק/גוף נע לאורך גאודזה במרחב (במקרה של מרחב שטוח הגאודזה היא קו ישר).

בהינתן המטריקה  של המרחב, משוואת התנועה במרחב כלשהו תחת השפעת כבידה היא
 
כאשר
 
נקרא "סמל כריסטופל" והוא מקרה פרטי של קשר אפיני, גודל שאיננו טנזור המופיע באנליזה של מרחבים עקומים וקשור להגדרת נגזרת קו-ואריאנטית. סמל כריסטופל מייצג למעשה את שדה הכבידה ומאחר שהוא מורכב מנגזרות של המטריקה g עולה שבעצם המטריקה מייצגת את פוטנציאל הכבידה. עלינו לזכור שלמטריקה יש משמעות גאומטרית ללא תלות בפיזיקה: היא (או ליתר דיוק, נגזרותיה השניות) בעצם קובעת את עקמומיות המרחב.

למעשה, את המשוואה האחרונה אפשר לנסח באופן כללי יותר, אם במקום לגזור לפי הזמן העצמי גוזרים לפי הפרמטר האפיני , ואז מקבלים את המשוואה במונחי תנע, המוגדר היטב גם לפוטונים:
 
משוואה זו אומרת שגם האור נע לפי גאודזות במרחב עקום. כלומר: גם האור מושפע מגרביטציה, דבר שניוטון לא חזה. תחזית זו התאמתה ב-1919 כאשר משלחת בראשותו של ארתור אדינגטון מדדה הטיה במיקומם הנראה של כוכבים על ידי מסת השמש.

משוואות השדה של איינשטיין 

החלק הפיזיקלי ביותר בתאוריה של איינשטיין היא קביעתו שעקמומיות המרחב תלויה בצפיפות המסה, האנרגיה והלחץ שבכל נקודה וניסוחה המתמטי של קביעה זו. איינשטיין ניסח את משוואותיו באמצעות חשבון טנזורים, תחום מתמטי הדן בגדלים גאומטריים שלא משתנים בין מערכות יחוס. הקשר בין חומר לעקמומיות המרחב מובעת במשוואת השדה של איינשטיין

כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב (כמו המטריקה של המרחב, או טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י שמביעים את עקמומיותו), ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על צפיפות האנרגיה (ולכן צפיפות המסה), צפיפות התנע וזרימת התנע.

מטריקת שוורצשילד 

הפתרון הראשון שהוצע למשוואה ניתן על ידי הפיזיקאי קרל שוורצשילד. פתרון זה מתאר את עקמומיות המרחב סביב כוכב כדורי, ואם הכוכב דחוס דיו אזי הפתרון חוזה את קיומו של חור שחור. בעזרת הפתרון ניתן להגדיר חור שחור כגוף בעל שדה כבידה כה חזק עד שאפילו האור לא מסוגל לברוח ממנו. מטריקת שוורצשילד מתאימה לתיאור חור שחור לא טעון ולא מסתובב.

הקבוע הקוסמולוגי 

איינשטיין אמנם היה חלוץ בתחומו, אולם לא הסכים לקבל עובדה שנבעה באופן ברור מתורתו. המשוואות של היחסות הכללית גרסו כי גלקסיות חייבות לנוע זו ביחס לזו בגלל כוח המשיכה ביניהן. איינשטיין האמין ברעיון הישן של יקום סטאטי ומקובע שאינו גדל או קטן. מתברר שאפילו איינשטיין לא יכול היה להרחיק לכת במחשבתו, ולכן הוסיף קבוע שנקרא "הקבוע הקוסמולוגי" למשוואות. קבוע זה מאפשר כוח דחייה בין גלקסיות, כך שסכום הכוחות (דחייה + משיכה) מתאפס. מאוחר יותר התברר שהיקום אינו סטטי, ואיינשטיין הסיר את הקבוע הזה. לטעותו זו קרא לימים "הטעות הגדולה ביותר של חיי". אדווין האבל, אסטרונום אמריקאי, היה זה שצפה לראשונה בגלקסיות המתרחקות זו מזו, ובעקבותיו אוששה התאוריה של "המפץ הגדול" (the big bang), שגרסה כי היקום למעשה מתרחב.

בשלהי המאה ה-20, הפיזיקאים שוב החזירו את הקבוע הקוסמולוגי אל המשוואות, וזאת כדי לתקן את חוסר ההתאמה שיש בין ההתפשטות הנצפית של היקום לבין המסה הכוללת שלו שנמדדה. חוסר התאמה זה נובע מהשפעת האנרגיה האפלה.

אישוש תורת היחסות הכללית

"תחזיות בדיעבד" (1915) 
ההצלחה הראשונה של תורת היחסות הכללית הייתה הסברת הסטיות של כוכב הלכת חמה (מרקורי) מהתחזיות שניבא ניוטון: התיקון היחסותי הצליח להסביר בהצלחה את המדידה שהייתה ידועה עוד קודם, לפיה נקודת הפריהליון של כוכב חמה מתקדמת בקצב של כ-43 שניות-קשת על פני מאה שנה. כבר בעבודות המקוריות מנובמבר 1915 איינשטיין בדק ומצא שהסטיה מוסברת בתורה שלו, וזה נחשב להישג התצפיתי המשכנע הראשון שלה - הסבר תופעה ידועה ללא הסבר קודם.

עידוש כבידתי (1919)
בשנת 1919 יצאה משלחת לאפריקה בראשות האסטרופיזיקאי ארתור אדינגטון, על מנת לבדוק את תורת היחסות הכללית של איינשטיין. המשלחת צפתה בקרני האור של כוכבים, וגילתה כי אלו אכן מוסטות מעט בקרבת השמש – כלומר – הן אינן ישרות אלא מתעקמות בקרבת מסה. בדרך כלל השמש מסתירה את הכוכבים, אולם המדידות נעשו בעת ליקוי חמה: חצי שנה קודם לכן, נמדד מיקום הכוכבים באופן מדויק. בעת הליקוי, בבוקר ה-29 במאי 1919, אמורים הכוכבים להיות באותו מקום בדיוק, לפי המדידות. על פי מיתוס מקובל, כשנמדד מיקומם, נתגלתה סטייה של מאיות האחוז מהמדידות שנעשו חצי שנה לפני כן. משמע - השמש היטתה את הקרניים. למעשה, התוצאות לא היו חד משמעיות ואדינגטון בחר להתעלם ממדידה אחת מתוך השלוש שביצע, שתוצאותיה לא עלו בקנה אחד עם תחזיות תורת היחסות הכללית. אף על פי כן, מיד למחרת יצאו פרסומים בעיתונים על הגילוי המדהים לכאורה, הטיימס הלונדוני דיווח "מהפכה במדע, תאוריה חדשה של היקום, קרסו רעיונותיו של ניוטון", ותורת היחסות הכללית הפכה לשם דבר. האישוש לכאורה של תורת היחסות הכללית שהשיג אדינגטון שיקף את הקונצנזוס שכבר היה קיים בקרב מרבית חברי קהילת הפיזיקאים בדבר נכונותה של תורת היחסות הכללית. הצגת מדידות המשלחת כאישוש סופי של התאוריה הביאה לסגירת המחלוקת שעדיין הייתה קיימת במידה מועטה סביב תורת היחסות. בשנות העשרים נשלחו משלחות נוספות לבצע מדידות דומות בעת ליקויי חמה. תוצאות משלחות אלו אישרו את תוצאות המשלחת הראשונה משנת 1919. כיום יודעים לבצע מדידות מדויקות בהרבה, בתחום קרני הרדיו (על כן אין צורך בליקוי חמה), והתוצאות מתאימות עד כדי אלפית האחוז. ההכרזות הדרמטיות, בעקבות הליקוי של 1919, מקבלות כיום תוקף חד משמעי.

אישוש באמצעות זמן המחזור של מערכת בינארית (1974) 

על פי תורת היחסות הכללית, מערכת בינארית תפלוט גלי כבידה, וכך תאבד אנרגיה. בשל איבוד האנרגיה, יפחת המרחק בין שני האובייקטים במערכת הבינארית, וכך גם זמן המחזור. במערכת השמש או עבור כוכבים כפולים רגילים, ההשפעה קטנה מכדי שניתן יהיה לצפות בה. אבל האפקט יהיה משמעותי במערכת של שני כוכבי נייטרונים מסתובבים, מכיוון שכוכבי נייטרונים הם גופים קטנים ומסיבים מאוד, וכמויות משמעותיות של אנרגיה נפלטות בצורה של קרינת כבידה. התצפית הראשונה על ירידה בזמן המחזור עקב פליטת גלי כבידה נעשתה על ידי הולס וטיילור, באמצעות הפולסר הבינארי PSR1913+16 שגילו בשנת 1974. אותות הפולסר שימשו למדידות מדויקת של זמן המחזור של המערכת הבינארית. זה היה הזיהוי הראשון של גלי כבידה, אמנם זיהוי עקיף, שזיכה את שני המדענים בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1993. מאז, נמצאו פולסרים בינאריים נוספים, שהראו אפקט דומה, התואם את תחזיות תורת היחסות הכללית.

אישושים נוספים 
תחזיות נוספות שנגזרות מתוך תורת היחסות הכללית ואוששו עם השנים הן הימצאות חורים שחורים ותופעת העידוש הכבידתי. אישוש מעניין לתורת היחסות הכללית התרחש בתחילת שנות האלפיים עם הפעלת לווייני ה-GPS. בתחילה המהנדסים הפעילו את מערכת המעקב ללא התחשבות בתופעות יחסותיות שנובעות מהתעקמות המרחב-זמן סביב כדור הארץ, אך דיוק המערכת ירד בצורה משמעותית. רק לאחר הכנסת התיקונים הנדרשים לפי תורת היחסות הכללית מערכת ה-GPS פעלה כשורה.

ניתן להוסיף גם את אישושי תאוריית המפץ הגדול כאישושים לתורת היחסות הכללית וזאת משום שהתפשטות היקום ותחילת היקום מנקודה סינגולרית (המפץ הגדול) הן פתרונות של תורת היחסות הכללית (פתרון פרידמן).

לתורת היחסות הכללית היו השלכות משמעותיות על הקוסמולוגיה וחקר התפתחות היקום. אמנם גם תורת הכבידה של ניוטון חוזה את עיקומו של אור בשדה כבידה, כי ניוטון האמין שאור הוא חלקיקי; אך תורת איינשטיין חזתה עיקום גדול פי 2, וזאת כיוון שלא רק המרחב מתעקם סביב מסה, אלא גם הזמן.

הסחה לאדום בהשפעת גרביטציה

מדידה ישירה של גלי כבידה (2016) 
בפברואר 2016 הודיעו מדענים כי מדדו באופן ישיר גלי כבידה, באמצעות אינטרפרומטר LIGO. בריצת התצפית הראשונה (O1) של הגלאים נמדדו שלושה אירועים של התמזגות זוגות חורים שחורים, כאשר גלי הכבידה מתאימים לצפוי על פי תורת היחסות הכללית.

נצפו גלי כבידה בעוד שלשה אירועים שונים במתקן LIGO. כמו כן סוכנות החלל האירופית אישרה את תוכנית LISA, לפיה יבנה אינטרפרומטר המורכב משלש גשושיות בחלל, במרחקים של 2.5 מיליון קילומטרים זו מזו, ויאפשר החל מ-2034 יכולות תצפית רגישות יותר בגלי כבידה.

ראו גם

פיזיקה - רקע:
 כבידה
 מכניקה
 תורת היחסות הפרטית
פיזיקה - יישומים:
 חור שחור
 קוסמולוגיה
עידוש כבידתי
מתמטיקה:
 חשבון טנזורים
 גאומטריה דיפרנציאלית
תורת כבידה קוונטית
תורת המיתרים

לקריאה נוספת
 
 אלברט איינשטיין, על תורת היחסות הפרטית והכללית, תרגם מגרמנית יעקב גרינברג, הוצאת דביר, תרפ"ט 1928; תרגום יכין אונא, הוצאת מאגנס, 2015
 Albert Einstein,  Relativity - the Special and General Relativity ,Crown, New York, 1961 (מהדורה להפצה בארצות הברית בלבד, תרגום מהמקור בגרמנית 1916)

קישורים חיצוניים

 מאה שנים לתורת היחסות, באתר "הארץ", 27 בנובמבר 2015
 יואב בן-דב, כבידה ועיקום - תורת היחסות הכללית, בספר מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים.
 רפי מור, להבין את תורת היחסות הכללית
 
 גלי וינשטיין, אודיסאת איינשטיין ליחסות הכללית, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל, 30 באוגוסט 2016.
 The fundamentals of space-time - סרטוני הסבר על יסודות החלל זמן: חלק 1, חלק 2 וחלק 3

הערות שוליים

כבידה
פיזיקה תאורטית