משפט הסינוסים

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו-   הזויות שמולן, בהתאמה, אז  כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

הוכחה

א 

גובה המשולש המסומן ב -  ניתן להצגה באופן הבא:
 
אבל גם באופן הזה:
 
ולכן:
  
או
 
מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות . כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב 

אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.

נתבונן במשולש BDC.
במשולש ישר-זווית זה 
(זווית ההיקפית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטרו של המעגל).
נסמן ב - את הזווית CDB ואז
 
אבל זווית  שווה לזווית  כי הן נשענות על אותה קשת, לכן
 
או
 
כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה
 
שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה  הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה .

ראו גם

משפט הקוסינוסים 
משפט הטנגנסים

קישורים חיצוניים
 
 

משולש
הוכחות
סינוסים