אווריסט גלואה

אווריסט גלואה (בצרפתית: Évariste Galois; 25 באוקטובר 1811 – 31 במאי 1832) היה מתמטיקאי צרפתי, ממייסדי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה. הוא פיתח את שני התחומים המרכזיים האלה באלגברה מופשטת עוד בהיותו בשנות העשרה לחייו. גלואה לא זכה בחייו להכרה על עבודתו, והוא נהרג בדו-קרב בשנתו ה-21.

הישג נוסף של גלואה היה פתרון בעיה שהטרידה את המתמטיקאים במשך מאות שנים - הוא הוכיח כי במקרה הכללי, לא ניתן לפתור משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה באמצעות נוסחה שמערבת את ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש בלבד, והראה מתי הדבר בכל זאת אפשרי.

ביוגרפיה

ילדות ונעורים
אווריסט גלואה נולד בבור-לה-רן (Bourg-la-Reine), עיירה קטנה בעיבורה של פריז. אמו, אדלייד-מארי, הייתה נצר למשפחת משפטנים ידועה. אביו, ניקולא-גבריאל גלואה, היה אדם משכיל, שנבחר לראש העיירה כשגלואה היה בן 4. חייו של גלואה התנהלו בצל התהפוכות הפוליטיות שפקדו את צרפת בחמישים השנים הראשונות שלאחר המהפכה הצרפתית.

עד גיל 12 למד גלואה בביתו, כשאמו משמשת לו כמורה. לאחר מכן החל ללמוד בבית הספר "לואי הגדול" (Lycée Louis-le-Grand) בפריז - בית ספר נודע, שבין תלמידיו המפורסמים היו גם רובספייר וויקטור הוגו. עד גיל זה נחשב לילד רגיש ומלא שמחה, שידע לחרוז שירים כאביו. האווירה הקפואה במוסד, קשיחות המנהלים ובמיוחד אי ההבנות שהתפתחו בינו לבין מוריו גרמו לו לאבד את תכונותיו אלו. באחד הימים היה עד לגירוש המוני של תלמידים מבית הספר לאחר שמחו נגד מה שתפסו כריאקציות. גלואה הושפע מאירוע זה, שתרם לחוש הצדק המפותח שלו, תכונה שתהיה לו לרועץ במהלך חייו הקצרים.

בשנת לימודיו השנייה החל גלואה משתעמם בשיעורי הרטוריקה, אף שזכה לציונים לשבח במקצועות הלטינית והיוונית העתיקה, בזכות הידע שהעניקה לו אמו, אך כשגילה את קסם המתמטיקה זנח את כל המקצועות האחרים. הוא למד את ספר הגאומטריה "Éléments de Géométrie" ("יסודות הגאומטריה") מאת לז'נדר, שהיווה חידוש בתוכנית הלימודים באותה תקופה, ואת ספריו של ז'וזף לואי לגראנז'. קודם שהגיע לגיל 15 הספיק להשתלט על ספרי יסוד באלגברה שהיו מיועדים למתמטיקאים מקצועיים.

חייו של גלואה בבית הספר נעשו קשים מיום ליום, בכל המקצועות שאינם מתמטיים הוא סומן כעושה צרות, ונענש תדירות. עד מהרה עלה הידע המתמטי שצבר על זה של מוריו, והשיעורים הפכו לקלים מדי עבורו, אולם יכולתו לפתור את הבעיות המסובכות ביותר לא נזקפה לזכותו אצל מוריו. הם תבעו ממנו להסביר את פתרונותיו בפרטי פרטים, שהיו נטולי חשיבות לגביו, והדבר קומם אותו. מוריו לגלגו עליו באמרם כי פקחותו היא אגדה שאין הם יכולים לאשרה.

תחילת דרכו כמתמטיקאי
בגיל 16, מבלי שידע על עבודתו המוקדמת של אָבֶּל, סבר גלואה שמצא פתרון כללי למשוואה ממעלה חמישית, אך טעה בו כשם שאבל טעה באופן דומה. למשך זמן קצר האמין שחולל את הפלא, אך לבסוף הודה בטעותו. הייתה זו רק אחת משורת תופעות דומות בחייהם של גלואה ואבל, המתמטיקאי הנורווגי הצעיר שמת חסר כול בגיל 26.

ורנייה, מורהו למתמטיקה, ניסה לשדלו לעבוד בצורה שיטתית ולהעלות את הפתרון על הכתב, אולם גלואה לא שעה לעצתו. ב-1828 הוא ניגש לבחינות הכניסה ל"אקול פוליטקניק" (École Polytechnique), שהיה באותה עת המוסד החשוב ביותר למתמטיקאים בצרפת, אך נכשל כיוון שלא התכונן באופן המקובל לבחינות אלה. עד ניסיונו השני להתקבל למוסד, החל גלואה ללמוד במוסד נחות יחסית בהוראת המתמטיקה, École préparatoire, המכינה של אקול נורמל סופרייר.

אחד ממוריו, לואי פול אמיל רישאר, היה אחד הראשונים שזיהה את כישרונו הגדול של גלואה. ניתן ללמוד על כישרונו של גלואה מאמירתו של רישאר כי "תלמיד זה פועל רק בעולמותיה הגבוהים של המתמטיקה", ומכך שרישאר תבע כי גלואה יתקבל לאקול פוליטקניק ללא מבחני כניסה. באותה תקופה הגיע גלואה לכמה מהישגיו הבולטים באלגברה.

באפריל 1829 פרסם גלואה את מאמרו הראשון, שעסק בשברים משולבים. במאמר זה סטה גלואה מתחום העניין העיקרי שלו - פתרון משוואות. לאחר מכן כינס את כל תגליותיו בשני חיבורים ומסרם לאקדמיה הצרפתית למדעים. החיבורים התקבלו אצל המתמטיקאי המפורסם אוגוסטין לואי קושי, אולם הדבר לא הניב תוצאות. על פי מכתב של קושי, שהתגלה רק בשנת 1971 בארכיון האקדמיה, קושי אכן התרשם מכתבי היד ותכנן להציגם בפני האקדמיה, אך שלח אותם חזרה לגלואה עם דרישה שיסביר את תוצאותיו באופן בהיר ומפורט יותר, וכן שיאחד את שני החיבורים לאחד.

ב-28 ביולי 1829 התאבד אביו של גלואה, בעקבות ויכוח פוליטי מר עם כומר העיירה, שהתנגד לדעותיו הליברליות של האב והעליל עליו עלילות שווא. בהלוויה התפתחה תגרה בין תומכי האב למתנגדיו. האסון הותיר חותם עמוק על גלואה והשפיע על מהלך חייו. בחינת הכניסה השנייה של גלואה לאקול פוליטקניק נערכה זמן קצר לאחר שאביו התאבד, בטרם הספיק להתאושש. לא ידוע במדויק מה קרה בבחינה, אך נראה כי גלואה הותיר רושם רע על בוחניו בשל הרגלו לחשב את כל החישובים המתמטיים בראשו ולרשום על הלוח רק את התוצאה הסופית, וסבלנותו פקעה כשבוחניו דרשו שיסביר את חישוביו. האגדה מספרת כי בתסכולו השליך גלואה את הסחבה ששימשה לניקוי הלוח על בוחניו. כך בא הקץ לתקוותו להתקבל למוסד, שכן איש לא הורשה לגשת לבחינות הכניסה יותר מפעמיים.

לאחר הכישלון השני ניגש גלואה למבחני המכינה על מנת להמשיך לאקול נורמל סופרייר. גלואה התקבל לאקול נורמל אף שהתקשה בבחינות שעסקו במדעי הרוח - הבוחן שלו בספרות אמר ש"הוא אינו יודע דבר. סופר לי שלתלמיד הזה יש כישרון עצום במתמטיקה. זה מפתיע אותי מאוד".

באותה שנה נתקל גלואה במאמר שחיבר אָבֶּל ופורסם לאחר מותו, ושעסק בנושא בו גלואה התעניין - פתרון משוואות אלגבריות. בעקבות המאמר איחד גלואה את שני חיבוריו הקודמים למאמר אחד, ובפברואר 1830 הגיש אותו לתחרות שערכה האקדמיה למדעים, תחת הכותרת "על התנאים לפתרון משוואה באמצעות שורשים". המאמר היווה פריצת דרך חשובה בתחומו וקושי התרשם מהמאמר, ואף העריך כי יזכה בתחרות. אך מזכיר האקדמיה, ז'וזף פורייה, נטל את כתב היד לביתו ונפטר בטרם הגישו לוועדת הפרס. בשל כך אבד המאמר וכלל לא הגיע לעיון בוועדה, והפרס הוענק לאבל ולקרל גוסטב יעקובי. למרות אכזבתו הקשה, שערערה את אמונו בממסד המדעי, פרסם גלואה שלושה מאמרים באותה שנה. בשניים מהמאמרים הניח את היסודות לתורת גלואה, והשלישי עסק בתורת המספרים והציג לראשונה את המושג שדה סופי.

קריירה פוליטית
גלואה היה רפובליקני בדעותיו והתנגד נחרצות למשטר המלוכני. לאחר שמאמרו פורץ הדרך אבד בנבכי האקדמיה למדעים, חש גלואה כי הדבר נעשה במכוון בשל דעותיו הפוליטיות הקיצוניות. ממורמר מחוסר ההערכה כלפיו כמתמטיקאי, פנה גלואה להיאבק למען מטרות הרפובליקנים בצרפת.

בעת מהפכת יולי 1830 היה גלואה סטודנט באקול נורמל. רבים מהסטודנטים היו שותפים לדעותיו הפוליטיות, אך לא כך מנהל המוסד, גואיניו, שהיה מלוכני בהשקפתו. הואיל והיה מודע לדעותיהם של הסטודנטים במוסדו, סגר אותם גואיניו במעונות ונעל את שערי הקולג', במטרה למנוע מהם מלהשתתף בהפיכה. גלואה ניסה לטפס על חומת המוסד, אך נכשל, ונאלץ לוותר, לתסכולו הרב, על השתתפות בהפיכה. החיכוכים בין גלואה לבין הנהלת המוסד הלכו והחריפו, ובדצמבר 1830 פרסם גלואה בעיתון "Gazette des Écoles" מכתב שהוקיע את המוסד ואת מנהלו בשל צביעותם. אף שהמכתב פורסם בשם "תלמיד באקול נורמל", נפל החשד מיד על גלואה, שהיה ידוע במוסד יותר כעושה צרות מאשר כמתמטיקאי מוכשר, והוא גורש מן המוסד.

עוד בטרם גורש גלואה מהאקול נורמל הוא התגייס לגדוד הארטילריה של המשמר הלאומי, אך זמן קצר לאחר שהצטרף פורק הגדוד, ב-31 בדצמבר 1830, וגלואה נותר ללא תעסוקה. כדי להתפרנס, הוא פתח קורס פרטי לאלגברה, אך נחל הצלחה מועטה בשל דרישותיו הגבוהות מהתלמידים. גם במתמטיקה נחל באותה תקופה אכזבה נוספת - הוא הגיש שוב תזכיר לאקדמיה שעסק בפתרון משוואות, אך לא זכה לתגובה כלשהי. המתמטיקאית סופי ז'רמן תיארה במכתב את מצבו העגום של גלואה, וכתבה שהיא חוששת כי הוא עלול לצאת מדעתו.

באפריל 1831 הואשמו 19 מאנשי הארטילריה של המשמר הלאומי בקשר להפלת המשטר. כולם זוכו, וב-9 במאי 1831 ערכו כמאתיים צעירים מתומכי הרפובליקה סעודה כדי לחגוג את האירוע. בהם היה גם גלואה וכן הסופר הצרפתי המפורסם אלכסנדר דיומא, שתיעד מאוחר יותר את השתלשלות האירועים. במהלך ארוחת הערב הרים גלואה את כוסו תוך שהוא אוחז בידו השנייה פגיון, וקרא "ללואי פיליפ!", קריאה שהתפרשה כאיום על חיי המלך. גלואה נעצר למחרת בבוקר והוחזק במעצר כחודש, עד שהועמד לדין ב-15 ביוני. במשפט טען גלואה כי אמר "ללואי פיליפ, אם יבגוד", וכי המילים האחרונות לא נשמעו בשל שריקות הבוז שעורר שמו של לואי פיליפ. גלואה זוכה לאחר דיון קצר בן כחצי שעה.

התמרמרותו של גלואה הלכה וגברה. ב-14 ביולי, יום הבסטיליה, הוא נעצר שנית במהלך הפגנה כשהוא לבוש במדי גדוד הארטילריה שפורק (לבישת המדים הייתה בלתי חוקית באותה עת) ונושא כלי נשק. הוטל עליו עונש כבד יחסית של שישה חודשי מאסר, ואת זמנו בכלא בילה בעבודות מתמטיות. מצבו הנפשי התערער, והוא החל לשתות לשוכרה לאחר ששותפיו למאסר הקניטו אותו. הרדיפות הפוליטיות לא פסקו בהיותו במאסר - צלף ירה מעליית הגג לתוך תאו של גלואה, ופגע בשותפו לתא, אך גלואה היה משוכנע כי הכדור כוון אליו. בהיותו במאסר קיבל את תשובת האקדמיה לגבי המאמר שהגיש ב-17 בינואר 1831. התשובה נשלחה כבר בתחילת יולי, אך עקב מאסרו הגיעה אליו רק באוקטובר. מצבו הנפשי הורע עוד יותר עקב החשש שיפגעו בחייו ועקב חוסר ההערכה לעבודתו המתמטית (אותה ייחס לאפליה על רקע דעותיו הפוליטיות הקיצוניות), והוא ניסה לדקור את עצמו למוות בהיותו שתוי, אך ניצל הודות לשותפיו לכלא.

במרץ 1832, כחודש לפני תום מאסרו, פרצה מגפת כולרה בפריז וכל האסירים, ובהם גלואה, שוחררו. מאוכזב מיחס האקדמיה למדעים לעבודתו, פרסם גלואה את מאמריו הבאים באופן פרטי באמצעות חברו אוגוסט שבלייה.

מותו בדו-קרב

הרקע לדו-קרב שבו מצא גלואה את מותו אינו ברור באופן ודאי עד היום. לפי גרסה אחת, ב-29 במאי 1832 הסתבך גלואה בקטטה עם יריב פוליטי והחל מעליבו לעיני כול. זה שלף את חרבו כדי להגן על כבודו, וכך גם עשה גלואה. על כן, הזמינו היריב לדו-קרב וגלואה, מפאת כבודו, הסכים, אף כי היה ברור לו כי לא ינצח בהתמודדות זו. על פי גרסה אחרת, שהיא הגרסה המקובלת ביותר, נערך הדו-קרב על רקע רומנטי. קיימות עדויות שגלואה היה מאוהב באישה מאורסת בשם סטפני פליס דו-מוטל, וכאשר ארוסה גילה זאת, הוא הזמין את גלואה לדו-קרב. גרסה שלישית קושרת את המשטרה החשאית לדו-קרב, ולפיה אותה אישה נועדה לפתות את גלואה, ולגרום לו להיקלע לדו-קרב נגד שוטר חשאי שהתחזה לארוסה של האישה.

גם לגבי יריבו בדו-קרב קיימות השערות שונות. אלכסנדר דיומא תיאר את היריב בשם פשה ד'ארבינוויל (Pescheux d'Herbinville), אחד מ-19 קציני הארטילריה שנעצרו ושוחררו במסגרת האירוע שבעקבותיו נעצר גלואה לראשונה. אולם פרסומים בעיתוני פריז בימים שלאחר המוות הטרגי סותרים טענה זו, ורומזים לכיוונו של אחד מהשותפים לדעותיו הפוליטיות של גלואה, שאף היה כלוא איתו, ארנסט דושטלה (Ernest Duchatelet). אין אישוש לגבי אף אחת מההשערות, כך שזהות האדם שנטל את חייו של גלואה, אבדה.

גלואה היה משוכנע כי ימות ביום המחרת, ובשעותיו האחרונות כתב במהירות כמה מרעיונותיו המתמטיים, וכן מכתבים לאחדים מחבריו. אריק טמפל בל, היסטוריון של המתמטיקה ובעל נטייה לרומנטיקה, מתאר בספרו הנודע "Men of Mathematics" (אנשי המתמטיקה), את הלילה שלפני הקרב:

תיאור זה של בל לוקה בדרמטיזציה יתרה, ועולה ממנו כאילו תורת החבורות נוצרה בין לילה. אך האמת היא שגלואה השתמש במושג "חבורה" (בצרפתית: groupe) עוד כשהיה בן 17, הראשון שהשתמש במושג זה במשמעותו המודרנית, וחיבר במהלך השנים מאמרים אחדים בתחום זה. באחד מהמכתבים שכתב ערב מותו לידידיו התנצל על כך שהוא עומד למות שלא למען המולדת, ובמכתב אחר ציין שהוא יוצא לדו-קרב בניגוד לרצונו. במכתב לידידו שבלייה הוא מציין את פעילותו המתמטית:

גלואה המשיך ותיאר מאמר שנדחה על ידי פואסון, ומאמרים שחיבר לאחר מכן. במהלך הלילה תיקן גלואה מאמרים אלה, והוסיף להם הערות.

בבוקר ה-30 במאי 1832 נערך הדו-קרב. גלואה ויריבו התרחקו זה מזה 25 צעדים ושלפו אקדחים. גלואה נפגע במעיו בירייה הראשונה ונפל ארצה. בניגוד למקובל, השאירו יריבו מוטל בשדה למשך מספר שעות. לפי גרסה אחת נאסף גלואה על ידי איכר שעבר לידו במקרה, ולפי גרסה אחרת על ידי אחיו הצעיר אלפרד, שהוזעק למקום ולקח אותו לבית החולים קושן. מילותיו האחרונות של גלואה לאחיו היו: "אל תבכה! אני זקוק לכל עוז רוחי כדי להיפרד מהעולם בגיל עשרים". גלואה סירב לראות כומר, וב-31 במאי בשעה 10 בבוקר נפטר בבית החולים. הוא נקבר ב-2 ביוני מבלי שיסומן מקום קברו, ולכן מקום קבורתו המדויק אינו ידוע.

עבודתו המתמטית 

גלואה פרסם ארבעה מאמרים מתמטיים (שהוגדרו "מכובדים, אבל לא מהפכניים") לפני גיל 18. מאמרו החשוב הראשון התפרסם ביוני 1830, ובו הוא פיתח באופן מפורש את השדות הסופיים הקרויים על-שמו שדות גלואה. בנייה זו הקדימה את ניסוח האקסיומות המגדירות את המבנה האלגברי הקרוי שדה ב-60 שנה.

עבודה אחרת, שנודעה כ-Second Memoire (משום שהתפרסמה אחרי ה-Premier Memoire) נכתבה - כטיוטה לא מעובדת - ביוני 1830, והציגה, לראשונה, את תורת החבורות. את עבודתו העיקרית, "רשימות על התנאים לפתרון משוואה על ידי רדיקלים" (ידועה בשם Premier Memoire), הגיש גלואה לאקדמיה הלאומית למדעים של פריז בינואר 1831, אך המאמר נדחה והוחזר לגלואה ביולי באותה שנה. משערים שמאמר זה הוא שחזור של עבודה דומה שגלואה הגיש לאקדמיה לשם קבלת ה-Grand Prix de Mathematiques, אחד-עשר חודשים קודם לכן, ואבדה. במאמר הזה פיתח גלואה את היסודות של תורת השדות, המכונים היום תורת גלואה: הרחבות של שדות וחבורות גלואה של הרחבות אלו. מופיעים שם בין השאר הפירוק של חבורה לקוסטים של תת-חבורה, ומושג תת-החבורה הנורמלית (גם אם לא המונח עצמו). התוצאה המרכזית בעבודה זו היא הקריטריון של גלואה לפתירות על ידי רדיקלים עבור פולינומים מדרגה ראשונית (גלואה מגדיר, למעשה, את סדרת ההרכב של חבורת גלואה של הפולינום, וכותב "אם בכל אחת מן החבורות האלה [גורמי ההרכב] יש מספר ראשוני של תמורות אז המשוואה פתירה על ידי רדיקלים, ואם לא - לא" (כלומר, הפולינום פתיר אם ורק אם חבורת גלואה שלו פתירה). את זאת הוא עושה דרך ספירה של קוסטים, בלי להגדיר את מושג חבורת המנה, ובלי להוכיח גרסה של משפט ז'ורדן-הולדר הנחוצה להפעלה יעילה של הקריטריון.

בערב שלפני הדו-קרב הגורלי, כתב גלואה מכתב ארוך לידידו אוגוסט שבליה (Auguste Chevalier), ובו סיכם את עבודתו, לרבות רעיונות שטרם הספיק לפתח עד תום. שבליה פרסם את המכתב כבר בספטמבר 1832, אבל את רשימותיו האחרות של גלואה הוא העתיק ומסר לעיונו של ז'וזף ליוביל רק ב-1843. ליוביל פרסם את עבודתו העיקרית של גלואה ב-1846.

שאר רשימותיו של גלואה שמורות ב-Institut de France בפריז.

לאחר מותו
חרף כל הסערות שפקדו אותו, המשיך גלואה בעבודתו המתמטית עד יומו האחרון. עבודתו לא זכתה להכרה בחייו, ורק ב-1843, 11 שנים לאחר מותו, השקיע ז'וזף ליוביל חודשים אחדים בבדיקת כתבי היד שהותיר גלואה, והכיר בחשיבותם. שלוש שנים לאחר מכן, ב-1846, פורסם המאמר בכתב העת "Journal des mathématiques pures et appliquées". תרומתו העיקרית הייתה הוכחה כי במקרה הכללי משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה אינן ניתנות לפתרון בנוסחה שמערבת רדיקלים, ואפיון התנאים שבהם הדבר כן ייתכן. פאולו רופיני פרסם בשנת 1799 הוכחה חלקית לטענה. נילס הנריק אבל פרסם עוד ב-1824 הוכחה לפיה לא ניתן לפתור משוואות מהמעלה החמישית ומעלה באמצעות נוסחה כזו (ראו משפט אבל-רופיני). החידוש בשיטתו של גלואה הייתה קביעתו לגבי כל משוואה מסוג זה - האם היא פתירה באמצעות רדיקלים, ואם כן, כיצד.

על שמו של גלואה נקראים מונחים מתמטיים אחדים:
 תורת גלואה - התורה המתמטית שראשיתה בעבודתו של גלואה, הקושרת הרחבות של שדות עם חבורות
 שדה גלואה - כינוי לשדה סופי, מושג שאותו יצר גלואה
 חבורת גלואה - חבורת האוטומורפיזמים של הרחבת שדות
 הרחבת גלואה - הרחבה של שדות שהיא נורמלית וספרבילית
 בעיית ההיפוך של תורת גלואה - הבעיה של מציאת הרחבה שחבורת גלואה שלה נתונה
 התאמת גלואה - הכללה של הקשר בין תת-שדות לתת-חבורות בתורת גלואה

לקריאה נוספת
 מריו ליביו, שפת הסימטריה, מהדורה עברית: תרגום מאנגלית עמנואל לוטם, הוצאת אריה ניר 2006.
 סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2000, עמ' 267–285.
 Lie, Sophus (1895), "Influence de Galois sur le Développement des Mathématiques", Le centenaire de l'École Normale 1795-1985, Hachette.
 Laura Toti Rigatelli, Evariste Galois, Birkhauser, 1996
 Galois and his Groups, Peter M. Neumann, Newsletter of the European Mathematical Society, Dec. 2011.

קישורים חיצוניים

 
 
 Paul Dupuy, La vie d'Évariste Galois - (בצרפתית). ביוגרפיה ראשונה של גלואה
 
 
 
 The Galois Archive (biography, letters and texts in various languages)
 Tony Rothman, Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois
 Biography in French
 Œuvres Mathématiques published in 1846 in the Journal de Liouville, converted to Djvu format by Prof. Antoine Chambert-Loir at the University of Rennes.
 A short biography on Holistic Numerical Methods Institute
 Alexandre Dumas, Mes Mémoires, the relevant chapter of Alexandre Dumas' memoires where he mentions Galois and the banquet.
 Theatrical trailer of University College Utrecht's "Évariste - En Garde"

הערות שוליים

מתמטיקאים צרפתים
אישים שמקום קבורתם לא נודע
הרוגי דו-קרב
בוגרי אקול נורמל סופרייר
בוגרי אקול פוליטקניק
צרפתים שנולדו ב-1811
צרפתים שנפטרו ב-1832