נגזרת

בחשבון אינפיניטסימלי, הנגזרת של פונקציה ממשית מתארת את ההשתנות של פונקציה ביחס לשינוי הפרמטר שהיא מוגדרת לפיו. למושג הנגזרת ישנו חשיבות גדולה בפיזיקה, שכן גדלים פיזיקליים רבים כמו מהירות ותאוצה מוגדרים באמצעות נגזרות. חוקי התנועה בענפים רבים בפיזיקה מבוססים על משוואות דפרנציאליות - משוואות הקושרות גדלים עם הנגזרות שלהם. לדוגמה, הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום (העתק) של מכונית נוסעת, היא פונקציית המהירות של המכונית, ובאותו אופן הנגזרת של פונקציית המהירות שווה לפונקציית התאוצה. הנגזרת לפי משתנה הזמן של פונקציית המיקום של המכונית בזמן מסוים נקראת המהירות הרגעית של המכונית בזמן זה. הנגזרת מוגדרת כגבול של היחס שבו משתנה ערך הפונקציה בעקבות שינוי זעיר בערך הפרמטר.

הפונקציה הנגזרת של פונקציה ממשית  היא בעצמה פונקציה ממשית, שערכה בנקודה  שווה לערך הנגזרת של  באותה נקודה. הפונקציה הנגזרת היא כלי בסיסי בחקר הפונקציות. למשל, בנקודות קיצון מקומיות (נקודות מינימום ומקסימום מקומיים של הפונקציה) של פונקציה גזירה ערך הפונקציה הנגזרת הוא אפס. לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אפשר, בתנאים מסוימים, לשחזר את הפונקציה המקורית מן הפונקציה הנגזרת שלה, באמצעות אינטגרציה. את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית אפשר לחשב באמצעות כללי גזירה ידועים. לא לכל פונקציה ממשית רציפה יש בהכרח נגזרת (לדוגמה: פונקציית ויירשטראס); פונקציה בעלת נגזרת נקראת פונקציה גזירה (בנקודה או בקטע). את מושג הנגזרת אפשר להכליל לפונקציות מרוכבות ולפונקציות (ממשיות או מרוכבות) בכמה משתנים. במקרה האחרון הנגזרת היא וקטור שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה. באלגברה מופשטת נחקרות התכונות האלגבריות של הנגזרת בענף הנקרא אלגברה דיפרנציאלית.

למושג הנגזרת יש פירוש גאומטרי: הנגזרת של פונקציה בנקודה שווה לשיפוע המשיק באותה נקודה, כלומר, לכיוון של העקומה שהפונקציה מתארת.

הגדרה 

הנגזרת של פונקציה  בנקודה  מוגדרת כגבול  כאשר  שואף לאפס, בתנאי שהגבול קיים (וסופי). גבול זה שווה לגבול שיפוע הישר המחבר את הנקודה  שעל גרף הפונקציה עם הנקודה הקרובה לה  כאשר  שואף לאפס, ולכן הנגזרת מתארת את שיפוע המשיק בנקודה. את ערך הנגזרת מקובל לסמן ב-  או .

אם לפונקציה יש נגזרת בנקודה, אומרים שהפונקציה גזירה שם; הפונקציה גזירה בקטע ממשי  אם היא גזירה בכל הנקודות שלו.

הפונקציה הנגזרת של פונקציה גזירה  היא הפונקציה המתאימה לכל  את הנגזרת . את הפונקציה הזו מסמנים ב-  או  (כשמדובר בנגזרת של פונקציה התלויה בזמן), או בסימון . כאן
 הוא שם המשתנה שלפיו גוזרים את הפונקציה. בפונקציה של כמה משתנים אפשר להתייחס לכולם פרט לאחד כאילו היו קבועים, ולגזור את הפונקציה לפי המשתנה שאינו קבוע. לנגזרת כזו קוראים נגזרת חלקית, ומסמנים .

סימון לנגזרת 
להלן סימונים מקובלים נוספים, המשמשים לסימון נגזרות. אלו הם הסימונים של לייבניץ ובאופן אינטואיטיבי הם מייצגים את הנגזרת כמנה של דיפרנציאלים השואפים לאפס. סימונים אלה שימושיים בפיזיקה, באנליזה וקטורית ובפתרון משוואות דיפרנציאליות.

נגזרת מלאה לפי  :
 
 
 

נגזרות חלקיות (לפי  או ):
 
 

הסימון  מתאר נגזרת חלקית כאופרטור הפועל על הפונקציה, ונועד לקיצור הכתיבה.

בפיזיקה נהוג לסמן נגזרת ראשונה לפי הזמן בנקודה מעל סימון הפונקציה (למשל  היא הנגזרת של הפונקציה  לפי הזמן), ונגזרת שנייה לפי הזמן בשתי נקודות מעל סימון הפונקציה. כך למשל, החוק השני של ניוטון, הנכתב בדרך כלל כ-, יכתב כ- (שכן הנגזרת השנייה של המיקום לפי הזמן של גוף כלשהו היא תאוצתו).

כללי גזירה 
כללי הגזירה הבסיסיים מטפלים בפעולות אריתמטיות בין פונקציות:
 אדיטיביות: לכל שתי פונקציות  ו-, .
 הומוגניות: לכל פונקציה  וקבוע , מתקיים .
 ליניאריות: 
 כלל המכפלה (כלל לייבניץ): . מכאן נובעת הנוסחה לנגזרת ה-: , כאשר  הוא המקדם הבינומי.
 כלל המנה: כאשר , .

ניתן להשתמש בגזירה סתומה ולקבל נוסחה לגזירה של פונקציה בחזקת פונקציה: 

את הנגזרת של הרכבת פונקציות אפשר לחשב באמצעות
 כלל השרשרת: אם , אז . כאשר  היא הנגזרת הפנימית.

אפשר לחשב את הנגזרת גם אם הפונקציה נתונה באופן סתום. לדוגמה, אם  מגדיר את  כפונקציה של , אז גזירה לפי  נותנת , או . משפט הפונקציה הסתומה מכליל שיטה זו לפונקציות בכמה משתנים.

הנגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי זוגית ולהפך. עובדה זו נקראת לפעמים "חוק הזוגיות".

דוגמה
כדוגמה לשימוש בכללי הגזירה, הנגזרת של הפונקציה:
 
היא

את הביטוי השני חישבנו באמצעות כלל השרשרת, ואת השלישי באמצעות כלל המכפלה. כמו כן, השתמשנו בנגזרות הידועות של הפונקציות הבסיסיות (ראו בטבלאות).

גזירה נומרית 

ניתן לחשב קירוב לנגזרת של פונקציה באמצעות אנליזה נומרית. אם נתונה הקבוצה , כך שבכל נקודה  נתון ערך הפונקציה , ישנן מספר שיטות לקבל קירוב של הנגזרת בנקודה . לדוגמה, כאשר נתון ערך הפונקציה בשלוש נקודות , ניתן לקבל קירוב לנגזרת ב- באמצעות הנוסחה  כאשר .

גזירות ורציפות 

רציפות הוא תנאי הכרחי לכך שפונקציה תהיה גזירה. אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, היא רציפה בנקודה זו. ההפך אינו נכון - פונקציית הערך המוחלט  רציפה בכל הישר, אך אינה גזירה בנקודה . פונקציית ויירשטראס היא פונקציה שרציפה בכל נקודה, אך לא גזירה באף נקודה. הנגזרת עצמה אינה חייבת להיות רציפה. לדוגמה, הפונקציה:
 
רציפה ב-, אך לפי הגדרת הנגזרת מקבלים , אבל . למעשה לנגזרת יש כאן אי-רציפות מסוג שני.

עם זאת, לא כל פונקציה יכולה להיות נגזרת, ולפונקציות שהן נגזרת של פונקציה אחרת יש "נטייה" מסוימת לרציפות. לדוגמה, הן מקיימות את מסקנת משפט ערך הביניים החל בדרך כלל רק על פונקציות רציפות: אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע (זהו משפט דארבו).

תהי  פונקציה גזירה בקטע. קבוצת נקודות אי-הרציפות של הנגזרת  היא קבוצה מקטגוריה ראשונה במובן בייר, כלומר מוכלת באיחוד בן מניה של קבוצות דלילות (קבוצות דלילות הן כאלה שאין להן נקודות הצטברות). הסיבה לכך היא שהנגזרת היא הגבול הנקודתי של סדרת הפונקציות הרציפות  (ראו סדרת פונקציות), וקבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה כזו היא תמיד מקטגוריה ראשונה (לפי משפט הקטגוריה של בייר). בפרט, קבוצת נקודות הרציפות של הנגזרת צפופה בקטע.

לנגזרת לא יכולה להיות אי-רציפות מסוג קפיצה: אם  אינה רציפה בנקודה, אז אין לה גבול שם.

ערך הנגזרת בנקודה

נקודות קיצון 

אחד השימושים הבולטים לנגזרת הוא באיתור נקודות קיצון (מקסימום או מינימום מקומי). משפט פרמה קובע שהנגזרת חייבת להתאפס בכל נקודת קיצון. ההפך אינו בהכרח נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.

במקרים של פונקציה הגזירה מספר רב של פעמים, ניתן לקבוע את טיב הנקודה החשודה לפי הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת (אם זו קיימת). אם הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת היא מסדר זוגי אזי מדובר בנקודת קיצון, ואילו אם זו נגזרת מסדר אי-זוגי מדובר בנקודת פיתול.

דוגמאות:
 לפונקציה  יש מינימום בנקודה , שבה הנגזרת שווה ל-0.
 לפונקציה  יש מקסימום בנקודה , שבה הנגזרת שווה ל-0.
 לפונקציה  יש נקודת פיתול בנקודה , שבה הנגזרת שווה ל-0.
 לפונקציה  יש נגזרת השווה ל-0 בנקודה  אך זו אינה נקודת קיצון ואף לא נקודת פיתול. נרחיב בעניין זה:

נגדיר את הפונקציה:

פונקציה זו רציפה באפס (מכפלה של פונקציה חסומה בפונקציה השואפת לאפס), היא גם גזירה באפס:

אולם אפס אינה נקודת קיצון: נגדיר
,
, אזי

. מכאן שבכל סביבה של אפס יש אינסוף נקודות בהן הפונקציה חיובית, ואינסוף נקודות בהן הפונקציה שלילית, ולכן אפס אינה יכולה להיות נקודת קיצון (לו אפס הייתה נקודת מקסימום או מינימום, הייתה סביבה סביב 0 בה הפונקציה קטנה או גדולה מאפס, בהתאמה). אפס גם אינה נקודת פיתול, שכן נקודת פיתול היא נקודה שבה המשיק לגרף הפונקציה נמצא מצד אחד מעל הפונקציה, ובצד השני מתחת לפונקציה. במקרה זה המשיק הוא
 (ציר ), ואותו טיעון כמו קודם מראה שאין חצי סביבה של אפס שבה הפונקציה כולה מתחת או מעל לציר ה-. כלומר, אף על פי שהנגזרת היא אפס, הנקודה אינה נקודת קיצון, ואינה נקודת פיתול.

הערות נוספות על הפונקציה:
 אם נגזור אותה, נקבל כי הנגזרת היא:

כלומר הנגזרת אינה רציפה באפס (זוהי אי-רציפות מן הסוג השני, כפי שמבטיח משפט דארבו).
 דוגמה מעניינת נוספת היא הפונקציה:

זוהי פונקציה רציפה וגזירה. לפונקציה זו יש מינימום מקומי באפס, אבל בניגוד לאינטואיציה אין חצי סביבה שמאלית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית יורדת, ואין חצי סביבה ימנית של אפס שבה הפונקציה מונוטונית עולה.

ערך ממוצע והכללות 
לפי משפט רול, אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, הנגזרת שלה מתאפסת בתוך הקטע.

משפט לגראנז' מכליל את משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה. משפט הערך הממוצע של קושי מכליל משפט זה.

הכללות

נגזרות חד-צדדיות
ניתן להגדיר גם נגזרת מימין , ונגזרת משמאל . הנגזרות החד-צדדיות מוגדרות על ידי הגבולות:

כלומר חישוב הגבול נעשה רק בסביבה ימנית או בסביבה שמאלית של הנקודה.

הערות:
 לפונקציית הערך המוחלט  אין נגזרת ב- אולם שתי הנגזרות החד-צדדיות קיימות: 
 פונקציה היא גזירה בנקודה אם ורק אם קיימות באותה נקודה שתי הנגזרות החד-צדדיות, והן שוות.
 לפונקציה קמורה המוגדרת בקטע פתוח יש נגזרות חד-צדדיות בכל נקודה בקטע.

נגזרת של פונקציה מרוכבת
ניתן להגדיר נגזרת של פונקציה מרוכבת  בנקודה , בדיוק כפי שמגדירים נגזרת לפונקציה ממשית, באמצעות הגבול . בניגוד לגבול בפונקציות ממשיות, הגבול כאן נלקח כאשר  במישור המרוכב, ולא לאורך הציר הממשי.

אף על פי שאפשר לראות את  גם כפונקציה , הנגזרת המרוכבת שונה מן הנגזרת הממשית (של פונקציה בשני משתנים), וקיומה הוא תנאי חזק יותר. תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של נגזרת מרוכבת נתון במשוואות קושי-רימן.

נגזרות בפונקציות של כמה משתנים
בפונקציות של כמה משתנים, מושג הגזירות של פונקציה מוחלף במושג הדיפרנציאביליות שלה, שפירושו שקיים לפונקציה קירוב ליניארי. מושג זה מתלכד עם מושג הגזירות בפונקציות של משתנה יחיד. בנוסף לכך, כאשר גוזרים פונקציה של כמה משתנים על פי משתנה יחיד, ומתייחסים לשאר המשתנים כקבועים, הנגזרת המתקבלת נקראת נגזרת חלקית של הפונקציה. מושגי הדיפרנציאביליות והנגזרות החלקיות קשורים ביניהם בקשר הדוק - נגזרת חלקית של פונקציה לפי אחד המשתנים יכולה להיות קיימת או לא (כמו שפונקציה של משתנה אחד יכולה להיות גזירה או לא) אבל מושג הדיפרנציאביליות של פונקציה עם יותר ממשתנה אחד הוא מושג חזק יותר מקיום של נגזרות חלקיות. כלומר: אפילו אם לפונקציה עם כמה משתנים קיימות כל הנגזרות החלקיות שלה אין זה אומר בהכרח שהיא דיפרנציאביליות, אבל אם היא דיפרנציאביליות אז בהכרח קיימות כל הנגזרות החלקיות שלה.

נגזרת פורמלית

ניתן לנצל את תכונות הנגזרת גם במבנים אלגבריים כללים, בהם לא ניתן לגזור פונקציות באופן הרגיל (על ידי גבולות). לדוגמה, בשדות כלשהם, אפילו ממאפיין שונה מ-0, ניתן להגדיר את פעולת הנגזרת על הפולינומים כאופרטור ליניארי שמקיימת לכל  טבעי . ניתן להראות שהנגזרת הפורמלית כמו שהוגדרה מקיימת את התכונות הבסיסיות של הנגזרת הרגילה (ליניאריות, כלל המכפלה, וכלל השרשרת), ובנוסף מאפשרת בחינה נוחה של תכונות מסוימות של פולינומים. לדוגמה, כדי לבדוק האם פולינום נתון הוא ספרבילי, די לבדוק שהוא זר לנגזרת הפורמלית שלו.

נגזרת פרשה ונגזרת גאטו 
בעוד שהנגזרת הסטנדרטית מוגדרת אך ורק לפונקציות ממשיות, ניתן להרחיב את מונח הנגזרת לפונקציות המוגדרות בין שני מרחבי בנך כלליים בשתי דרכים: נגזרת פרשה ונגזרת גאטו.

נגזרת פרשה מוגדרת להיות תמיד אופרטור ליניארי חסום בין שני המרחבים אשר מקרב את התנהגות הפונקציה בנקודת הגזירה. לעומתו, נגזרת גאטו אינה מחויבת להיות ליניארית.

ניתן להוכיח כי במידה ובנקודה כלשהי קיימת נגזרת פרשה, אזי קיימת באותה נקודה גם נגזרת גאטו והיא שווה לאותה נגזרת פרשה.

במידה ושני המרחבים הם המרחב הממשי, הגדרות נגזרת פרשה ונגזרת גאטו מתלכדות עם מונח הנגזרת הסטנדרטית.

הנגזרת השנייה

הגדרה
לאחר שפונקציה נגזרה פעם ראשונה ניתן לגזרה פעם שנייה, בכללים דומים לאלו של הפונקציה הראשונה, לפונקציה הנוצרת מספר משמעויות בחשבון אינפיניטסימלי.

שימושי הנגזרת השנייה

סיווג נקודת קיצון 
על ידי הנגזרת השנייה ניתן לסווג נקודת קיצון לנקודות מינימום, או לנקודות מקסימום במקומות בהם הנגזרת הראשונה מתאפסת. ניתן להציב את שיעור ה- בנקודה בה הנגזרת הראשונה מתאפסת בנגזרת השנייה ובכך לגלות האם מדובר בנקודת מינימום, או מקסימום. בנקודות מינימום הנגזרת השנייה תהיה חיובית, ובנקודות מקסימום הנגזרת השנייה תהיה שלילית.

מציאת נקודות פיתול

בנקודת פיתול הנגזרת השנייה מתאפסת. נקודת פיתול היא נקודה המפרידה בין קטע בפונקציה בו הפונקציה היא קמורה, לבין קטע בפונקציה בו היא קעורה. במילים אחרות, נקודת פיתול היא הנקודה בה משתנה שיפוע הנגזרת הראשונה מחיובי לשלילי ולהפך.

טור טיילור
ראה

נגזרות בסיסיות 
בטבלאות מוצגות הנגזרות הידועות למספר פונקציות שימושיות. בנוסחאות הגזירה שלהלן,  ו- n קבועים, ו- a הוא מקדם.

 (כאשר הביטויים  ו- מוגדרים) כלל זה מכונה גם כלל החזקה.

נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרות של פונקציות היפרבוליות

ראו גם 
 כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול המנה של הנגזרות שלהן.
 נגזרת חלשה

קישורים חיצוניים

 מחשבון נגזרות
 
 
מהי נגזרת?, באתר לרגו
 
 
 

חשבון אינפיניטסימלי
אופרטורים דיפרנציאליים
פונקציות מתמטיות