המשפט היסודי של האלגברה

המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0. ניסוח שקול של משפט זה הוא ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית. שימוש חשוב של משפט זה, שהוא למעשה ניסוח שקול שלו, אומר כי כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ליניאריים.

לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה שמשתמשת אך ורק באלגברה שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהו בה. ישנן הוכחות שאופיין אלגברי במהותו, אבל כולן משתמשות במשפטים או כלים כלשהם מאנליזה, כדוגמת משפט ערך הביניים.

מן המשפט נובע שכל פולינום מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה  יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום  יש שורש.

מסקנה מהמשפט 
מסקנה חשובה של המשפט היא מיון פולינומים אי-פריקים מעל הממשיים. יהי  פולינום בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים: . אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של p, גם הצמוד של המספר הזה הוא שורש מרוכב של p. לכן, ניתן לכתוב מחדש  כאשר  שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אז p בבירור ליניארי כי הוא אי-פריק) ועכשיו, אפשר להסתכל על p כמכפלה של  פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי-פריקות p מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:

הוכחות למשפט היסודי

הוכחה באמצעות משפט ליוביל 
נניח  פולינום לא קבוע ללא שורשים מרוכבים, המקיים . אם נסתכל על הפונקציה , הגבול שלה באינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה (כהרכבה של פונקציות שלמות כאשר ל- אין אפסים) בפרט היא גם חסומה. ממשפט ליוביל נקבל שהפונקציה  קבועה, וזאת בסתירה להנחה המקורית שהפולינום  לא קבוע. דהיינו שלפולינום לא קבוע מעל המרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד.

הוכחה באמצעות עיקרון המינימום 
עיקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום האומרת כי עבור פונקציה הולומורפית לא קבועה , כאשר U קבוצה פתוחה וקשירה (תחום), ל-יש מינימום מקומי ב-אם ורק אם . ההוכחה של עיקרון המינימום היא להניח בשלילה אחרת, ולהסתכל על הפונקציה שמקבלת מקסימום מקומי ב-, דבר הנוגד את עיקרון המקסימום. פולינום היא פונקציה כזו על כל , ומתקיים שעבור  פולינום,  ולכן ניתן למצוא מינימום גלובלי לפונקציה (קיים מינימום מקומי בקבוצה סגורה גדולה מספיק, כך שמחוץ לה, הוא גדול מידי). המינימום הגלובלי הזה, מעיקרון המינימום, הוא 0 וזה מסיים את ההוכחה.

הוכחה באמצעות תורת גלואה 
הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי . מכיוון שגם  ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע ש-היא הרחבת גלואה.

תהי חבורת גלואה של ההרחבה . תהי חבורת 2-סילו של . האינדקס  של  ב- הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת  מעל הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר . מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע ש-, כלומר  היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2 . שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים  כך ש-. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן ש-N=1 והממד של K מעל הממשיים הוא 2, כלומר .

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת . נשתמש בסימון  למסילה  שמקיפה את המעגל  פעמים (כשהסימן של  הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי  פולינום מדרגה . נוכל להניח בלי הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום . נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח שנובע .

לכל  נגדיר מסילה . קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה () עם נקודות קצה .
עבור , מתקיים , ולכן .
בנוסף, ברור כי לכל  המסילות  ו- הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה ), ומכאן .

נקבע  גדול יותר מ- וגדול יותר מ-.
כעת, לכל  כך ש- מתקיים:

כלומר .
מכאן שלכל  לפולינום  אין שורשים המקיימים .

לכל  נגדיר .
עבור  מקבלים  ולכן , פירוש הדבר .
עבור  מקבלים  ולכן .
 כמקודם, מתקיים שהמסילות  הומוטופית  (בעזרת ההומוטופיה ).

לסיכום, , ולכן , ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם , כנדרש.

קישורים חיצוניים

 
 

משפטים באנליזה מרוכבת
פולינומים
הוכחות
יסודי של האלגברה