Legendren symboli

Legendren symboli on lukuteoriassa symboli , joka kertoo, onko luku  neliöjäännös modulo . Toisin sanoen se ilmoittaa, onko olemassa sellainen kokonaisluku b, että 

eli b2:stä jää p:llä jaettaessa sama jakojäännös kuin a:stä.

Symbolin otti ensimmäisen kerran käyttöön Adrien-Marie Legendre vuonna 1798 yrittäessään todistaa neliönjäännöslausetta. 

Määritelmä: Olkoon  pariton alkuluku ja  kokonaisuluku

Symbolia voidaan merkitä sekä muodossa  että .

Esimerkiksi , koska esimerkiksi 42 = 16 on kongruentti 1:n kanssa modulo 5 eli sen jakojäännös 5:llä jaettaessa on 1. Sen sijaan , koska minkään kokonaisluvun neliö ei ole kongruentti 3:n kanssa modulo 5. 

Jos alkuluku p on valittu, Legendren symboli  käsitettynä a:n funktioksi on jaksollinen, jaksona p.  Arvon 0 symboli saa, kun a on tasan jaollinen p:llä. 

Eulerin kriteerin mukaan  eli  ja  ovat kongruentteja modulo . 

Jacobin symboli  on yleistys Legendren symbolista. Se ottaa huomioon myös ne tapaukset joissa alempi luku ei ole alkuluku.

Taulukko symbolin arvoista 

Seuraava taulukko osoittaa Legendren symbolin  arvot kaikilla kokonaisluvuilla a väliltä 1 … 30 ja alkuluvuilla p, jotka ovat pienempiä kuin 128.

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

lukuteoria