Kategoria (matematiikka)

Matematiikassa, kategoria on  rakenne, joka koostuu objekteista sekä objektien välisistä morfismeista. Keskeistä on kahden "peräkkäisen" morfismin yhdisteen olemassaolo: jos  on morfismi objektista  objektiin  ja  morfismi objektista  objektiin  niin silloin on olemassa yhdistetty morfismi  objektista  objektiin .

Suuri osa matematiikassa tutkittavista rakenteista voidaan nähdä kategorioina, mistä tunnetuin esimerkki lienee  joukkojen ja  funktioiden muodostama kategoria. Esimerkit eivät kuitenkaan rajoitu tähän, vaan kategorioita voidaan tutkia myös abstraktimmalla tasolla, ilman että oletetaan taustalla olevaa muuta matemaattista rakennetta. Matematiikan osa-alue, joka tutkii kategorioita, on kategoriateoria.

Määritelmä 

Kategoria  koostuu seuraavista:   
 luokka objekteja, jota merkitään ;
 jokaiselle objektiparille , luokka morfismeja :sta :hen, jota merkitään  tai ; morfismia  merkitään yleisesti , ja objekteja  ja  kutsutaan morfismin  lähtö- ja maaliobjektiksi; luokkaa, joka koostuu kaikista :n morfismeista merkitään ;
 jokaiselle objektille  on olemassa identiteettimorfismi ;
 jokaiselle morfismiparille  ja  siten että :n maaliobjekti on sama kuin :n lähtöobjekti on olemassa yhdiste 
siten että kaksi ehtoa pätevät:
  liitäntälaki: kaikille morfismeille ,  ja  pätee
,
  identiteettilaki: kaikille morfismeille  pätee
  ja .

Liitäntälain perusteella sulkeet voidaan jättää merkitsemättä useiden peräkkäisten yhdisteiden sarjassa. Yhdisteen symboli  jätetään usein merkitsemättä, ja yhdiste merkitään tällöin . Identiteettilain seurauksena jokaisen objektin identiteettimorfismi on yksikäsitteinen: jokaiselle objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi, jolle identiteettilaki pätee.

Peruskäsitteitä 

Kategoria  on
 pieni, jos  on joukko (eikä siis aito luokka),
 suuri, jos se ei ole pieni,
 lokaalisti pieni, jos jokainen  on joukko,
 äärellinen, jos  on äärellinen joukko
 lokaalisti äärellinen, jos jokainen  on äärellinen joukko,
 diskreetti, jos jokainen morfismi on identiteettimorfismi.

Erityisiä objekteja 

Jonkin kategorian objekti  on
 alkuobjekti, jos jokaiselle objektille  on olemassa täsmälleen yksi morfismi ,
 loppuobjekti, jos jokaiselle objektille  on olemassa täsmälleen yksi morfismi ,
 nollaobjekti, jos  on sekä alku- että loppuobjekti.

Erityisiä morfismeja 

Jonkin kategorian morfismi  on
 monomorfismi, jos kaikille morfismeille , joille  pätee ,
 epimorfismi, jos kaikille morfismeille , joille  pätee ,
 nollamorfismi, jos kategoriassa on nollaobjekti , ja , jossa  ja  ovat nollaobjektin yksikäsitteisiä morfismeja,
 isomorfismi, jos on olemassa morfismi  siten että  ja ; morfismia  sanotaan tällöin :n käänteismorfismiksi; sillä jokaiselle morfismille on olemassa korkeintaan yksi käänteismorfismi, sitä voidaan yksiselitteisesti merkitä , mikäli se on olemassa.

Jokainen isomorfismi on sekä mono- että epimorfismi, muttei käänteisesti: on olemassa kategorioita, joissa morfismi voi olla mono- ja epimorfismi muttei isomorfismi (esimerkiksi  topologiset avaruudet).

Jokainen identiteettimorfismi on isomorfismi, joka on itse oma käänteismorfisminsa. Isomorfismia, jonka lähtöobjekti on sama kuin maaliobjekti kutsutaan joskus automorfismiksi.

Esimerkkejä 

Kategoria on hyvin perustavanlaatuinen käsite, joten esimerkkejä kategorioista löytyy lähes jokaiselta matematiikan osa-alueelta. Näin ollen seuraava esimerkkilista on väistämättä puutteellinen, mutta se kuvaa hyvin kuinka yleisestä käsitteestä on kyse. Kussakin esimerkissä on ensiksi annettu objektien luokka ja toiseksi morfismien luokka:
  joukot ja  funktiot,
  vektoriavaruudet ja  lineaarikuvaukset,
  topologiset avaruudet ja  jatkuvat funktiot,
  metriset avaruudet ja  jatkuvat funktiot,
  ryhmät ja  ryhmähomomorfismit,
  mitta-avaruudet ja  mitalliset funktiot.

Kaikissa yllä listatuissa esimerkeissä kategorian rakenne muodostuu joukoista, joilla on määritelty jokin rakenne, kuten ryhmä tai topologia (objektit) ja tämän rakenteen säilyttävistä funktioista (morfismit). Alla on joitakin esimerkkejä, jossa näin ei ole.
  joukot ja  binäärirelaatiot,
 mikä tahansa  osittain järjestetty joukko, jonka  alkiot ovat objekteja ja  relaatiot  morfismeja,
 mikä tahansa esijärjestys, jonka objektit ja morfismit määritellään samalla tavalla kuin osittain järjestetylle joukolle.

Kategorioita voidaan myös käyttää muiden matemaattisten käsitteiden määrittelyyn, esimerkiksi:
 monoidi on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti (morfismit nähdään tällöin monoidin alkioina),
 grupoidi on kategoria, jossa jokainen morfismi on isomorfismi,
 ryhmä on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti ja jokainen morfismi on isomorfismi,
 esijärjestys on (pieni) kategoria, jossa jokaisen  järjestetyn objektiparin välillä on enintään yksi morfismi,
 osittain järjestetty joukko on (pieni) kategoria, jossa minkä tahansa kahden objektin välillä on enintään yksi morfismi.

Lähteet 
 Alakoskela, Riina. Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause. Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Joulukuu 2020. Viitattu 20.8.2021. 
 Leinster, Tom. Basic Category Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 143. Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-04424-1. Verkkoversio. 
 Niskanen, Markus. Liittofunktorit. Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.
 Riehl, Emily. Category Theory in Context. Dover Publications. 2016. ISBN 978-0-486-80903-8. Verkkoversio.

Viitteet 

Kategoriateoria