Polku (topologia)

Polku on topologian käsite, joka kuvaa yhteyttä kahden pisteen välillä jossakin topologisessa avaruudessa. Täsmällisemmin määriteltynä polku pisteestä  pisteeseen  avaruudessa  on sellainen jatkuva kuvaus

että  ja .
Tällöin  on polun alkupiste,  on sen loppupiste, ja polku yhdistää pisteet  ja .

Intuitiivisesti voi ajatella, että polkufunktion argumentti on aikakoordinaatti , ja funktio kuvaa pisteen  liikkumista käyrää pitkin ajan kuluessa. Alkuhetkellä  piste on polun alkupisteessä , ja liikkuu sitten jotakin käyrää (polkufunktion kuvajoukkoa) pitkin jatkuvasti, ilman hyppäyksiä, kunnes loppuhetkellä  se on polun loppupisteessä .

Koska reaalilukuväli  on yhtenäinen, niin jatkuva kuvaus  kuvaa sen yhtenäiseksi joukoksi maaliavaruudessa . Niinpä polun yhdistämät pisteet kuuluvat samaan yhtenäiseen komponenttiin (intuitiivisesti: yhtenäinen aliavaruus ei voi ulottua epäyhtenäisessä avaruudessa olevan ”aukon” yli). Topologinen avaruus on polkuyhtenäinen, jos sen minkä tahansa kahden pisteen välillä on olemassa polku. Topologian perustuloksiin kuuluu, että jos avaruus on polkuyhtenäinen, niin se on myös yhtenäinen. Käänteinen ei päde: on olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät kuitenkaan ole polkuyhtenäisiä. Klassinen esimerkki on topologin sinikäyrä.

Lähteet

Topologia