Oleellinen supremum ja oleellinen infimum

Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä, oleellinen supremum ja oleellinen infimum ovat supremumin ja infimumin käsitteiden yleistyksiä mitallisille funktioille ja joukoille. Ideana on määritellä funktion oleellinen yläraja siten, että se pätee melkein kaikkialla. Toisin sanottuna, niiden pisteiden joukko, joiden kuva on suurempi kuin oleellinen yläraja, on nollamittainen.

Intuitiivisesti, funktion oleellinen infimum on pienin arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion arvot kaikkialla, kun funktion arvot nollamittaisilla joukoilla jätetään huomiotta. Otetaan esimerkiksi funktio , jonka arvo on nolla kaikkialla paitsi määrittelyjoukon pisteen nolla kohdalla, jossa määritellään . Funktion supremum on tällöin yksi. Sen oleellinen supremum on kuitenkin nolla, koska yhden pisteen muodostama joukko on nollamittainen. Oleellinen infimum määritellään samankaltaisesti.

Määritelmä 
Kuten mittateoriassa yleensä, määritelmä perustuu tiettyjen mitallisten joukkojen  alkukuviin.

Olkoon  funktio joukosta  reaalilukujen joukkoon. Reaaliluku  on funktion  yläraja, jos kaikille joukon  alkioille  pätee , eli toisin sanottuna jos

 

on tyhjä . Määritellään funktion  ylärajojen joukko seuraavasti:

 

Tällöin funktion supremum määritellään

 

jos joukko  ei ole tyhjä, ja  jos  on tyhjä.

Vaihtoehtoisesti, supremum on sellainen reaaliluku , jolle pätee: jos  siten että kaikille , niin sitten .

Oletetaan nyt lisäksi, että  on mitta-avaruus, ja että funktio  on mitallinen. Reaaliluku  on funktion  oleellinen yläraja, jos joukko  on nollamittainen, eli jos melkein kaikille joukon  alkioille  pätee . Määritellään funktion  oleellisten ylärajojen joukko seuraavasti:

 

Tällöin oleellinen supremum määritellään (supremumin lailla)

 

jos  ja muuten .

Vaihtoehtoisesti, oleellinen supremum on sellainen reaaliluku , jolle pätee: jos  siten että  melkein kaikille , niin sitten .

Oleellinen infimum määritellään täysin vastaavasti oleellisten alarajojen supremumina:

 

jos oleellisten alarajojen joukko ei ole tyhjä, ja muuten .

Lebesgue-mitalliselle joukolle 

Olkoon  Lebesguen mitan mitta-avaruus. Lebesgue-mitallisen joukon  oleellinen supremum (infimum) määritellään inkluusiokuvauksen  oleellisena supremumina (infimumina). Yksityiskohtaisesti, joukon  oleellinen supremum on

 

ja oleellinen infimum

Terminologiaa 

Jos funktion tai joukon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti ylhäältä rajoitettu. Jos funktion tai joukon oleellinen infimum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti alhaalta rajoitettu. Jos funktion itseisarvon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti rajoitettu.

Ominaisuuksia 

 Jos , niin  . Jos  on nollamittainen, niin  ja .
  aina kun molemmat oikeanpuoleiset termit eivät ole negatiivisia.

Katso myös 

 Mittateoria
 Borel-joukko
 Supremum
 Infimum
 L p-avaruus

Lähteet 

 PlanetMath, Essential supremum Viitattu 1.3.2021. 
 Dieudonné, J. Treatise on analysis. Volume II. Enlarged and corrected printing. Academic press. New York, San Francisco, London. 1976.

Viitteet

Aiheesta muualla 

 Rowland, Todd. "Essential Supremum." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/EssentialSupremum.html. Luettu 1.3.2021. 

Mittateoria
Funktionaalianalyysi
Integraalilaskenta