Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa

Diedrinen symmetria on geometriassa sellaisen kolmiulotteisen kappaleen tai pistejoukon symmetria, jolla on symmetriaryhmänä jokin abstakti diedriryhmä Dihn ( n ≥ 2 ). Eri tavoin diedrisesti symmetrisiä kappaleita ovat muun muassa särmiöt, bipyramidit, antiprismat ja trapetsoedrit. Tällaiselle kappaleelle voidaan suorittaa jonkin akselin ympäri 360/n asteen rotaatio, jolla se kuvautuu itselleen, toisin sanoen tämä rotaatio on kappaleen symmetriaoperaatio. Lisäksi kappaleen symmetriaoperaatiota saattavat olla peilaukset eräiden tämän akselin kautta kulkevien tai sitä vastaan kohtisuorien tasojen suhteen.

Tyypit
Kolmessa ulottuvuudessa on kolme tyyppiä diedrisiä symmetrioita. Seuraavassa esitetään ne kaikki Schönfliesin, Coxeterin ja orbifoldimerkinnöillä.

Kiraalinen
Dn, [n,2]+, (22n) kertaluvun  2n – diedrinen symmetria eli para-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dihn)
Akiraaliset
Dnh, [n,2], (*22n), kertaluvun 4n – prismaattinen symmetria eli täysi orto-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dihn × Z2)
Dnd (tai Dnv), [2n,2+], (2*n), kertaluvun 4n – antiprismaattinen symmetria eli täysi gyro-n-kulmainen ryhmä (abstrakti ryhmä Dih2n)

Kun luku n on annettu, kaikilla kolmella on n-kertainen pyörähdyssymmetria yhden akselin suhteen (rotaatiossa kulman 360°/n kappale ei muutu), ja kaksinkertainen symmetria kohtisuoran akselin suhteen. Arvolla n = ∞ nämä vastaavat kolmea friisiryhmää. Tässä on käytetty Schönfliesin merkintää sekä Coxeterin symbolia hakasuluissa ja orbifoldimerkintää tavallisissa suluissa. Termiä horisontaalinen (h) käytetään, kun rotaatioakseli on pystysuora.

Kahdessa ulottuvuudessa symmetriaryhmä Dn sisältää peilauksia suorien suhteen. Kun kaksiulotteinen taso on asetettu vaakasuorasti kolmiulotteiseen avaruuteen, tällainen peilaus voidaan käsittää rajoittumaksi joko tämän tason peilauksesta pystysuoran tason suhteen tai 180°:n rotaatiosta peilaussuoran ympäri. Kolmessa ulottuvuudessa nämä ovat kaksi aivan eri operaatiota: ryhmä Dn sisältää vain rotaatiot, ei peilauksia. Saman kertaluvun pyramidaalinen symmetria Cnv muodostaa oman ryhmänsä.

Heijastussymmetrialla n-kertaisen rotaation akselia vastaan kohtisuoran tason suhteen saadaan Dnh [n], (*22n).

Dnh on säännöllisen n-kulmaisen särmiön ja myös säännöllisen n-sivuisen bipyramidin symmetriaryhmä. Dnd on säännöllisen n-sivuisen antiprisman ja Dn osittain kierretyn särmiön symmetriaryhmä.

Tässä edellytetään, että n on vähintään 2, sillä seuraavat ryhmät ovat samoja:
D1 ja C2 ovat sama kertaluvun 2 ryhmä, johon kuuluu vain 180°:n rotaatio
D1h ja C2v ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tässä tasossa olevan suoran ympäri
D1d ja C2h ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tasoon nähden kohtisuorassa olevan suoran ympäri

Tapauksessa n = 2 ei ole yhtä pääakselia ja kahta lisäakselia vaan kolme keskenään samankaltaista akselia.

D2 [2,2]+, (222) kertalukua 4 on yksi kolmesta symmetriaryhmätyypistä, jota vastaava abstrakti ryhmä on Kleinin neliryhmä. Sillä on kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia. Se on kuboidin symmetriaryhmä, kun siihen on merkitty S-kirjain kahdelle vastakkaiselle sivulle samoin päin suunnattuina.
D2h, [2,2], (*222) kertalukua 8 on kuboidin symmetriaryhmä.
D2d, [4,2+], (2*2) kertalukua 8 on muun muassa seuraavien kappaleiden symmetriaryhmä:
 neliökuboidi, jonka yhteen neliömäiseen sivuun on piirretty lävistäjä ja toiseen sivuun sitä vastaan kohtisuora lävistäjä;
säännöllinen tetraedri, joka on venytetty kahden vastaakkaisen sivun keskipisteiden välisen janan suunnassa (D2d on tetraedrisen symmetrian Td aliryhmä); skaalauksella vähennetään symmetriaa.

Aliryhmät

Ryhmällä Dnh, [n,2], (*22n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät:
 Cnh, [n+,2], (n*), kertalukua 2n
 Cnv, [n,1], (*nn), kertalukua 2n
 Dn, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n

Ryhmällä Dnd, [2n,2+], (2*n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät:
 S2n, [2n+,2+], (n×), kertalukua 2n
 Cnv, [n+,2], (n*), kertalukua 2n
 Dn, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n

Dnd on myös ryhmän D2nh aliryhmä.

Esimerkkejä

Dnh, [n], (*22n):

''D5h, [5], (*225):D4d, [8,2+], (2*4):D5d, [10,2+], (2*5):D''17d, [34,2+],  (2*17):

Lähteet

Aiheesta muualla 

Geometria
Ryhmäteoria