Relaatioalgebra

Relaatioalgebra on abstraktin algebran osa-alue, jonka käsittämillä operaattoreilla voidaan muodostaa uusia relaatioita operandina saatavista olemassa olevista relaatioista.

Relaatioalgebra muodostaa relaatiotietokantojen ja niiden käsittelyyn tarvittavien kyselykielien (esim. SQL) teoreettisen pohjan. Relaatioalgebra käsittää yhteen relaation kohdistuvia unaarisia operaattoreita (esim. valinta, uudelleennimeäminen) ja kahta relaatiota käsitteleviä binaarisia operaattoreita.

Unaariset operaattorit

Valinta 
Valinta tuottaa relaation valitsemalla alkuperäisen relaation monikot, jotka täyttävät operaattorille määritetyn valintaehdon. Operaatiota kuvataan notaatiolla , missä  on valintaoperaattori, jolla on valintaehto .  on lähtörelaatio.

Valintaehto voi koostua alkuperäisen relaation attribuuteista, arvojoukkojen vakioista tai alkuperäisen relaation pohjalta kirjoitetuista vertailulauseista. Ehtolauseita voidaan yhdistellä loogisilla operaattoreilla ja, tai ja ei.

Projektio 
Projektio tuottaa relaation, johon on valittu halutut alkuperäisen joukon attribuutteja vastaavat sarakkeet. SQL-kyselykielen projektio-operaattori eroaa toteutuksessaan relaatioalgebran kuvaamasta, sillä kyselykielessä syntyvään uuteen relaatioon jätetään toisteiset monikot, kun relaatioalgebran operaattorissa ne poistetaan.

Projektio kuvataan relaatioalgebrassa notaatiolla , missä  on projektio-operaattori,  ovat projektiossa syntyvään relaatioon sisällytettävät attribuutit ja  lähtörelaatio.

Uudelleennimeäminen 
Uudelleennimeäminen tuottaa alkuperäistä relaatiota vastaavan uuden relaation, missä voidaan vaihtaa joko relaation, sen attribuuttien tai molempien nimiä. Operaatio kuvataan muodossa , missä  on alkuperäinen relaatio,  muodostettavalle relaatiolle annettava nimi ja  muodostetun relaation attribuuteille annettuja uusia nimiä. Mikäli attribuutteja ei lähdetä uudelleennimeämään, voidaan operaattori esittää tiiviimmässä muodossa .

Monikkoja yhdistävät operaattorit

Karteesinen tulo 
Karteesinen tulo muodostaa relaation, johon kuuluvat pareittain kaikki lähtörelaatioiden alkiot. Kahden relaation karteesinen tulo vastaa joukko-opin unionia ja sisältää kaikki mahdolliset monikot, joissa jokin ensimmäisen relaation monikko on yhdistetty toisen relaation monikon kanssa. Operaattorin käyttökohteet yksinään ovat varsin rajalliset, mutta operaattorilla voidaan yhdistellä relaatioita monipuolisesti, kun operaattori yhdistetään unaariseen valintaoperaatioon.

Karteesisen tulon notaatio on , missä  ja  ovat lähtörelaatiot ja  tulo-operaattori.

Luonnollinen liitos 
Luonnollinen liitos yhdistää kahden tietokannan yhteiset attribuutit ja poistaa kaikki monikot, joiden yhteiset attribuutit eivät vastaa toisiaan. Liitoksen tiukat toteutumisehdot rajoittavat sen käyttökohteita, sillä se ei sovellu esimerkiksi tilanteisiin, missä liitettävillä relaatioilla ei ole samannimisiä attribuutteja. Liitos voidaan myös tehdä vain relaatioille, joissa esiintyy yksi samanniminen attribuutti.

Luonnollisen liitoksen notaatio on , missä  ja  ovat liitettävät alkuperäiset relaatiot ja  liitosoperaattori.

Theta-liitos 
Theta-liitos on luonnollisen liitoksen tapainen liitto-operaattori. Liitos tehdään luonnollisesta liitoksesta poiketen erikseen määritetyn ehdon perusteella ja se säilyttää molempien alkuperäisten relaatioiden kaikki attribuutit. Liitoksessa syntyvään relaatioon lisätään monikot, jotka täyttävät liitokselle annetun ehdon. Uuden relaation attribuutteja käsitellään liitoksen jälkeen alkuperäisiin relaatioihin viitaten.

Theta-liitoksen notaatio on , missä  on liitosoperaattori, jonka liitosehto on .  ja  ovat liitettävät alkuperäiset relaatiot.

Joukko-operaatiot 

Relaatioiden joukko-operaatiot edellyttävät, että lähtörelaatiot muodostuvat samoista attribuuteista. Lähtörelaatioiden attribuuttisarakkeet järjestellään ennen operaatioita samaan järjestykseen.

Unioni 

Unioni eli yhdiste sisältää lähtörelaatioiden monikot, jotka esiintyvät jommassakummassa tai molemmissa lähtörelaatioissa. Karteesisesta tulosta poiketen relaatioiden leikkaukselle osuvat monikot esiintyvät unionin tulosrelaatiossa vain kerran.

Unionin notaatio on , missä  ja  ovat lähtörelaatiot ja  unionioperaattori.

Leikkaus 

Leikkaus sisältää lähtörelaatioiden monikot, jotka esiintyvät vain molemmissa lähtörelaatioissa.

Leikkauksen notaatio on , missä  ja  ovat lähtörelaatiot ja  leikkausoperaattori.

Erotus 

Leikkaus sisältää ensimmäisen lähtörelaation monikot, jotka eivät esiinny toisessa lähtörelaatiossa.

Erotuksen notaatio on , missä  ja  ovat lähtörelaatiot ja  erotusoperaattori.

Lähteet

Viitteet 

 Abstrakti algebra