Goursat’n lemma

Goursat'n lemma on Édouard Goursat'n vuonna 1884 todistama funktioteorian tulos, joka on samalla Cauchyn integraalilauseen erikoistapaus. Sen mukaan  holomorfisen  funktion integraali kolmion muotoisen polun yli on nolla.

Lemman täsmällinen muotoilu 

Olkoon funktio f   holomorfinen  alueessa A  ja Δ kolmion muotoinen alue, jonka sulkeuma sisältyy alueeseen A. Silloin on

.

Lemman merkitys 

Goursat'n lemma sellaisenaan pätee vain kolmion muotoisille alueille. Kun kuitenkin jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioihin, lemmasta seuraa välittömästi, että sama pätee myös jokaiselle monikulmiolle, ja koska jokaista yhdesti yhtenäistä tasoaluetta voidaan approksimoida jonolla sen yhä tarkemmin peittäviä monikulmioita, pätee vastaava tulos, Cauchyn integraalilause, myös kaikille niille. Cauchyn integraalilausetta, jonka erikoistapaus Goursat'n lemma on, voidaan pitää funktioteorian perustavimpana lauseena. Sen mukaan annetulla alueella holomorfisen funktion integraali tähän alueeseen sisältyvän suljetun käyrän yli on nolla. Cauchy todisti tämän lauseen tietyin edellytyksin jo 1820-luvulla. Hänen käyttämänsä holomorfisen funktion määritelmä, samoin kuin hänen käyttämänsä todistuskin, kuitenkin edellyttivät, paitsi että funktiolla on derivaatta, myös sen että sen derivaatta on jatkuva. Goursat'n lemman todistuksessa sitä vastoin ei oleteta, että derivaatan on oltava jatkuva, ainoastaan, että funktiolla on derivaatta jollakin alueella. Goursat'n lemmasta kuitenkin seuraa, että tällöin derivaatta on myös jatkuva, sillä  Cauchyn integraalilauseesta seuraa Cauchyn integraalikaava, jonka avulla voidaan osoittaa, että holomorfinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva.

Täten Goursat'n lemma teki mahdolliseksi todistaa perustavanlaatuinen Cauchyn integraalilause olettamatta, että kompleksinen derivaatta on jatkuva. Nykyisin kompleksisen derivaatan jatkuvuutta ei yleensä sisällytetä holomorfisen funktion määritelmäänkään, sillä Goursat'n lemma osoitti, että se seuraa kompleksisen derivaatan olemassaolosta. Vaikka Goursat'n lemmalla ei ole käytännön merkitystä integraaleja laskettaessa, niin teoreettisessa mielessä tulos on tärkeä holomorfisten funktioiden luokan minimaalisen määritelmän valintaan (valinta on tehty Cauchyn integraalilauseen perusteella, sillä koko sovelluksiltaan rikas funktioteoria perustuu siihen).

Todistus 

Kolmion Δ sivujen keskipisteet voidaan yhdistää janoilla, jotka jakavat alkuperäisen kolmion neljään keskenään yhtenevään kolmioon, jotka lisäksi ovat yhdenmuotoisia alkuperäisen kolmion kanssa. Näille kolmioille käytetään seuraavassa merkintöjä Δ1, Δ2, Δ3 ja Δ4, ja δ on seuraavassa reunan merkki, joka tarkoittaa aina, että kolmio, jonka merkinnän eteen se on sijoitettu, kierretään vastapäivään sen reunaa myöten. Tällöin

sillä muodostettaessa viimeksi mainittu summa tulee funktio integroiduksi niiden alkuperäisen kolmion Δ keskipisteiden yhdistysjanojen yli kahteen kertaan, vastakkaisiin suuntiin, jolloi näiden janojen yli otetut integraalit ovat toistensa vastalukuja.  Valitaan kolmioksi Δ1 se näistä kolmioista, jonka reunan ympäri otettuna funktion f integraali on itseisarvoltaan suurin. Jos tämän integraalin arvolle käytetään merkintää I1 on siis |I| = |I1|.  Käytetään kolmioiden Δ ja Δ1 pinta-aloille merkintöjä |Δ| ja |Δ1|, jolloin |Δ| = 4 |Δ1|. Tällöin saadaan:

.

Tämä menettely voidaan toistaa jakamalla edelleen Δ1 neljään yhtenevään kolmioon ja valitsemalla niistä se, jonka reunan yli laskettuna f:n integraalilla on suurin itseisarvo, ja jakamalla tämä kolmio edelleen neljään yhtenevään kolmioon ja niin edelleen. Täten saadaan päättymätön jono sisäkkäisiä kolmiota:
,
joille pätee:

,

missä

ja |Δn| on kolmion  Δn pinta-ala.

Konstruktiosta seuraa topologisesti, että kaikkien näin saatujen kolmioiden 
Δn leikkaus 

käsittää vain yhden pisteen, jolle voidaan käyttää merkintää z0.

Koska funktiolla f on oletuksen mukaan derivaatta jossakin pisteen z0 ympäristössä, on:

,

missä  Δ (z-z0 lähestyy nollaa, kun z lähestyy arvoa z0.  

Kahdessa ensimmäisessä yllä olevassa integraalissa on integroitavana vakiofunktio f(z) = 1 sekä funktio f(z) = z-z0. Näillä molemmilla on integraalifunktio, edellisellä z, jälkimmäisen (z-z0)2/2. Jo ennen Gourzat'n lemmaa oli kompleksifunktioiden osalta todistettu, että jos funktiolla on integraalifunktio, sen integraali säännöllisen umpinaisen polun yli on nolla. Kolmannessa integraalissa taas lauseke |z-z0| lähestyy nollaa, kun n kasvaa rajatta.  Lukujonon raja-arvon määritelmän mukaan näin ollen jokaista positiivista lukua ε kohti on olemassa sellainen kokonaisluku nε, että kun n ≥ nε, on |η (z-z0)| < ε. Jos |δΔn| on kolmion Δn kehän pituus, saadaan jo aikaisemmin todistetun epäyhtälön perusteella:

.

Tästä seuraa:

.

Kun kuitenkin kaikki kolmiot Δ, Δ1, ..., Δn jne. ovat yhdenmuotoisia, on 

ja näin ollen
,
mikä on mahdollista vain, jos I = 0, mikä oli todistettava.

Lähteet

Viitteet 

Kompleksianalyysi
Matemaattiset todistukset