Kuula (matematiikka)

Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Jos  on metrinen avaruus sekä  ja , niin joukko

 

on avoin kuula, jonka keskipiste on  ja säde  sekä

 

on suljettu kuula, jonka keskipiste on  ja säde . Lisäksi määritellään joukko

,

joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa  sanotaan myös pisteen  kuulaympäristöksi.

Ominaisuuksia 
Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:

Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:

Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:

Metriikan määritelmästä johtuen , joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:

Osajoukon kuulat 
Metrisen avaruuden  osajoukossa  avointa kuulaa merkitään :llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon . Toisin sanoen , jos ja vain, jos  (ja ). Näin ollen

.

Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:

.

Esimerkkejä

Avoin ja suljettu väli 
Avaruudessa , varustettuna metriikalla , on avoin kuula  avoin väli:

Vastaavasti suljettu kuula  on suljettu väli:

Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:

Kiekko ja kuula 
Varustetaan avaruus  metriikalla . Jos , niin avoin kuula  on reunaton kiekko:

Vastaavasti suljettu kuula  on kiekko:

Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä, on suljettu kuula . Jos , niin suljettu kuula  on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):

Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo .

{0,1}-metriikan kuula 
Olkoon mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka

Tällöin

Lähteet 

Metrinen topologia