Diskreetti tasainen jakauma

Diskreetti tasainen jakauma () eli symmetrinen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.

Hieman samantapainen, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma on tasajakauma.

Merkinnät 
Satunnaisilmiö tuottaa n erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja  numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi
 
missä parametri n määrittää perusjoukon  lukumäärään. Saman satunnaisilmiön modifioitu satunnaismuuttuja saa lukuarvot  ja se voidaan merkitä
 

Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla a ja b siten, että

jolloin perusjoukossa  on  alkeistapausta.

Muita käytettyjä merkintöjä ovat

Tasaisia diskreettejä jakaumia

Yleiset jakaumat 
Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti . Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.

Esimerkki: Kolikonheitto 
Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, kruunan ja klaavan, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin  ja jakaumaa merkitään .

Esimerkki: Nopanheitto 
Nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos  on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko  ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä . Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasainen, sillä summat kuten summa 7 esiintyy todennäköisyydellä  ja summa 2 todennäköisyydellä . Jakaumaa merkitään esimerkiksi .

Ominaisuuksia 
Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle , jonka perusjoukon  suuruus on n.

Todennäköisyysfunktio 
Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään

Kertymäfunktio 
Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä  olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta

Merkintä  tarkoittaa lattiafunktiota. Kun , on , ja kun , on . Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.

Odotusarvo 
Yleisessä tapauksessa odotusarvo  on
 
joka vastaa lukujen keskiarvoa.

Kun jakauma on , on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna
,

ja peräkkäisten lukujen tapauksessa  saadaan

Varianssi ja keskihajonta 
Yleisessä tapauksessa varianssi  on

missä  on odotusarvo.

Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla

tai peräkkäisten lukujen tapauksessa
.

Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta

Lähteet

Aiheesta muualla 
 

Todennäköisyysjakaumat