Tekijäavaruus (lineaarialgebra)

Tekijäavaruus lineaarialgebrassa on suppeampi vektoriavaruus, joka saadaan "kutistamalla" jossakin vektoriavaruudessa V jokin sen aliavaruus N nollaksi. Vektoriavaruuden V tekijäavaruus aliavaruuden N suhteen eli modulo N merkitään V/N.

Muodollinen määritelmä 
Muodollisesti tekijäavaruus konstruoidaan seuraavasti.

Olkoon V vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on K, ja olkoon N jokin V:n aliavaruus]. Määritellään V:ssä ekvivalenssirelaatio ~ siten, että x ~ y, jos ja vain jos x − y ∈ N.  Toisin sanoen alkiot x ja y ovat ekvivalentteja, jos toinen niistä voidaan saada lisäämällä toiseen jokin N:n alkio. Tästä määritelmästä voidaan päätellä, että jokainen N:n alkio on ekvivalentti nollavektorin kanssa; täsmällisemmin sanottuna kaikki N:ään kuuluvat vektorit kuvautuvat nollavektorin ekvivalenssiluokkaan.

Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio x kuuluu, käytetään usein merkintää
[x] = x + N 
sillä sen määrittää joukko
[x] = {x + n : n ∈ N}.

Tekijäavaruus V/N eli V/~ (V modulo N) määritellään tällöin kaikkien ekvivalenssirelaation ~ avaruudessa V määrittelemien ekvivalenssiluokkien joukoksi. Näiden ekvivalenssiluokkien eli tekijäavaruuden alkioiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään tällöin seuraavasti:* 

α[x] = [αx] for all α ∈ K, and
[x] + [y] = [x+y].

Helposti voidaan osoittaa, että nämä laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne eivät riipu siitä, mikä alkio valitaan edustamaan ekvivalenssiluokkaa. Näillä laskutoimituksilla varustettuna tekijäavaruus V/N on K:n vektoriavaruus, jossa N on nollaluokka, [0].

Kuvausta, joka liittää alkioon v ∈ V sitä vastaavan ekvivalenssiluokan [v] sanotaan ekvivalenssikuvaukseksi.

Esimerkkejä 

Olkoon  tavanomainen karteesinen taso ja olkoon Y origon kautta kulkeva suora X:ssä.  Silloin tekijäavaruus X/Y voidaan samastaa tasossa X olevien Y:n suuntaisten suorien muodostaman avaruuden kanssa. Toisin sanoen joukon X/Y alkioita ovat Y:n suuntaiset suorat tasossa X.  Tämä tarjoaa tavan visualisoida tekijäavaruuksia geometrisesti.

Toinen esimerkki on avaruuden  tekijäavaruus sen aliavaruuden suhteen, jonka muodostavat m ensimmäistä standardia kantavektoria. Avaruuteen  kuuluvat kaikki järjestetyt n reaaliluvun jonot (x1,…,xn).  Mainitun aliavaruuden, joka voidaan samastaa :n kanssa, muodostavat sellaiset n reaaliluvun järjestetyt jonot, joissa viimeiset n−m lukua ovat nollia:  Kaksi :n vektoria kuuluvat tämän kongruenssiluokkaan modulo tämä aliavaruus, jos ja vain jos niiden viimeiset n−m koordinaattia ovat samat.  Tekijäavaruus  on ilmeisellä tavalla isomorfinen avaruuden  kanssa.

Yleensäkin jos V on aliavaruuksien U ja W (sisäinen) suora summa eli 

niin tekijäavaruus V/U on isomorfinen W:n kanssa.

Funktioavaruuksien tärkeitä tekijäavaruuksia ovat Lp-avaruudet.

Ominaisuuksia 

Avaruudesta V tekijäavaruuteen V/U on olemassa luonnollinen epimorfismi, joka saadaan kuvaamalla jokainen  sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle [x]. Tämän epimorfismin ydin on aliavaruus U. 

Jos U on V:n aliavaruus, tekijäavaruuden V/U dimensiota sanotaan U:n kodimensioksi V:ss'. Koska V:n kanta voidaan muodostaa U:n kannasta A ja V/U:n kannasta B lisäämällä A:han jokaisen B:n alkion edustaja, V:n dimensio on avaruuksien U ja V/U dimensioiden summa.  Jos V on äärellisulotteinen, U:n kodimensio V:ss' on Vn ja U:n dimensioiden erotus:

Olkoon T : V → W lineaarikuvaus. T:n ydin (kernel), jolle käytetään merkintää ker(T) on niiden alkioiden x ∈ V joukko, joilla Tx = 0. Ydin on V:n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus V/ker(T) on isomorginen V:n kuva-avaruuden kanssa, joka on W:n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että V:n dimensio on sama kuin T:n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa:

 

Tekijäavaruutta W/im(T) sanotaan lineaarikuvauksen T : V → W kokerneliksi.

Banachin avaruuden tekijäavaruus aliavaruuden suhteen 
Jos X on Banachin avaruus ja M sen suljettu osajoukko, myös tekijäavaruus X/M on Banachin avaruus. Tekijäavaruudelle saadaan valmiiksi myös vektoriavaruuden rakenne edellä selitetyllä menettelyllä. Avaruudessa X/M määritellään normi seuraavasti:

Tekijäavaruus X/M on täydellinen normin suhteen, joten se on Banachin avaruus.

Esimerkkejä 
Olkoon C[0,1] välillä [0,1] määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden muodostama Banach-avaruus, jolla on supremumnormi. Muodostetaan sille aliavaruus M, johon kuuluvat ne funktiot  f ∈ C[0,1], joilla f(0) = 0. Tällöin ekvivalenssiluokan, johon annettu funktio g kuuluu, määrittää funktion arvo 0:ssa, ja tekijäavaruus C[0,1] / M on isomorfinen :n kanssa.

Jos X on Hilbertin avaruus, tekijäavaruus X/M on isomorfinen M:n ortogonaalisen komplementin kanssa.

Lähteet

Viitteet 

Lineaarialgebra
Funktionaalianalyysi