Beta-jakauma

Beta-jakauma eli jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.

Jos satunnaismuuttuja  on Beta-jakautunut parametreillä  ja , merkitään se yleensä

Todennäköisyysjakauma 
Satunnaismuuttujalla , joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on [0,1], on kaksi positiivista parametria  ja . Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
 
missä niin sanottu beta-funktio on
 
jossa  taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.

Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi ( ja ), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.

Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:
  kaikilla 
 Jos  ja , niin  on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä 
 Jos  ja , niin  on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä 
 Jos  ja , niin  on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä 
 Jos  ja , niin  on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä  ja 
  on symmetrinen, jos 

Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.

Tunnusluvut ja momentit

Momenttifunktio 
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
 
ja koska gammafunktiolla on , siitä saadaan ensimmäiset momentit

ja

Keskusmomenttien yleinen muoto on

missä  on hypergeometrinen funktio.

Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan

Tunnuslukuja 
Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
 

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
 

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
 
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
 
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun  ja 

Jos  tai  voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun  on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.

Esimerkkejä 
Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä  ja . Heittojen kokonaismäärän ollessa , noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät  binomijakaumaa . Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä , kun saadaan  "kruunaa", on se Beta-jakautunut .

Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään

Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä  on pieni ja suhde  on lähellä arvoa 0 tai 1.

Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.

Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien  arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle  arvot    . Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla  kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli  <  < ... < ). Silloin arvo  kun .

Muut jakaumat 
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi

Lähteet

Aiheesta muualla 

 https://noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/mat-1.3621/luennot/Mat-1_3621_todennakoisyyslaskennan_kertausta_.pdf
 http://doingbayesiandataanalysis.blogspot.fi/2012/06/beta-distribution-parameterized-by-mode.html
 http://users.iems.northwestern.edu/~ajit/beta.pdf
 http://www.epixanalytics.com/modelassist/CrystalBall/Model_Assist.htm#Distributions/Continuous_distributions/Beta.htm 

Todennäköisyysjakaumat
Tilastotiede