Antikommutatiivisuus

Binäärioperaatio on antikommutatiivinen tai antikommutoiva, jos alkioiden operointijärjestyksen vaihtaminen muuttaa operaation tuloksen käänteisalkiokseen. Tämä määritelmä on kuitenkin hieman epätarkka, sillä käänteisalkiolla voidaan tarkoittaa joko additiivista käänteisalkiota tai multiplikatiivista käänteisalkiota riippuen joukosta, jossa kyseinen operaation on määritelty. Tarkempi määritelmä käyttäen additiivista käänteisalkiota (ks. vastaluku) seuraa.

Formaali määritelmä 
Olkoon  epätyhjä joukko varustettuna binäärisillä operaatioilla  ja . Vaaditaan lisäksi ensimmäiseltä operaatiolta se, että joukko  varustettuna laskutoimituksella  muodostaa ryhmän. Tämä on välttämätöntä käänteisalkion olemassaolon kannalta. Jos , niin merkitään :n käänteisalkiota :lla (kuten vastalukua). Ts.

,

missä  on ryhmän  neutraalialkio. Tällöin binäärinen operaatio  on antikommutatiivinen, jos kaikilla  pätee

.

Antikommutatiivinen vai epäkommutatiivinen? 
Antikommutatiivisuutta ei pidä sotkea epäkommutatiivisuuteen (tai ei-kommutoivaan). Epäkommutatiivinen tarkoittaa ei-vaihdannaista, eli edellä olevin merkinnöin

.

Antikommutatiivisuus on siis epäkommutatiivisuuden erikoistapaus.

Esimerkkejä 
 Vektoreiden ristitulo on antikommutatiivinen: jos , niin .
 Reaalilukujen vähennyslasku on antikommutatiivinen, kunhan vähennyslasku tulkitaan nimenomaan yhteenlaskun käänteislaskutoimituksena: kaikille reaaliluvuille  ja .

Katso myös 
 Operaattori (matematiikka)

Algebra