Todennäköisyydet generoiva funktio

Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus tgf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.

Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.

Määritelmä 
Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo

Diskreetti satunnaismuuttuja 
Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja

jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan  arvoille . Muuttuja  on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan  arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.

Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos . Siten arvo  on sallittu arvo. Sen sijaan arvo  ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä

Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa , sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä  merkitään siksi . Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.

Jatkuva satunnaismuuttuja 
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään

Ominaisuuksia

Funktion arvo: G(0) 
Yleisessä tapauksessa, missä , saadaan
 

Erityistapauksessa, jossa  ja niiden todennäköisyydet vastaavasti , tulee generoivasta funktiosta
 
josta saadaan
 
kunhan

Funktion arvo: G(1-) 
Yleisessä tapauksessa, missä , saadaan

sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.

Riippumattomat satunnaismuuttujat 
Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja  kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta  ja  merkitsemällä , voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla

Momentit generoiva funktio 
Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo
 
Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla

Tekijämomentit 
Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: 

Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

ja sen arvo ykkösessä antaa
 
eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

ja sen arvo ykkösessä on

eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi.
Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan 
 
eli r:s tekijämomentti.

Todennäköisyysarvot 
Erityistapauksessa, jossa  ja niiden todennäköisyydet vastaavasti , saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet . Generoiva funktio on nyt
 
ja sen ensimmäinen derivaatta on

Sijoittamalla siihen  saadaan

kun tilanteessa "" huomataan  Toinen derivaatta antaa

ja sijoittamalla taas  saadaan

Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua
 
Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio.

Esimerkki: noppa 
Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun  todennäköisyydellä . Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio

jolla on ominaisuus

eli todennäköisyyksien summa on yksi.

Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:

Tekijämomentit ja varianssi 
Derivaatta kohdassa yksi on
 
ja

  (odotusarvo)

Toinen derivaatta kohdassa yksi on
 
ja
  (ensimmäinen tekijämomentti)

Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta

Lähteet

Aiheesta muualla 
 Cut the Knot's: Probability generating functions

Todennäköisyyslaskenta