Subharmoninen funktio

Subharmoniset funktiot ovat matematiikassa tärkeä funktioiden luokka, jota käytetään varsinkin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa, kompleksianalyysissa ja potentiaaliteoriassa. Subharmoniset funktiot ovat kahden tai useamman reaalimuuttujan taikka yhden tai useamman kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita.

Intuitiivisesti subharmoniset funktiot ovat verrattavissa yhden muuttujan konvekseihin funktioihin, joiden kuvaaja on alaspäin kupera. Jos konveksin funktion kuvaaja leikkaa jonkin suoran kahdessa pisteessä, sen kuvaaja on näiden pisteiden välillä kyseisen suoran alapuolella. Samaan tapaan, jos subharmonisen funktion arvot jonkin pallon pinnalla ovat enintään yhtä suuret kuin jonkin harmonisen funktion arvot samalla pallopinnalla, subharmonisen funktion arvot pallon sisälläkin ovat enintään yhtä suuret kuin kyseisen harmonisen funktion.

Vastaavalla tavalla määritellään superharmoniset funktiot; määritelmässä vain korvataan sana "enintään" (tai "pienempi tai yhtä kuin") sanalla "vähintään" (tai "suurempi tai yhtä kuin"). Vaihtoehtoisesti superharmoniset funktiot voidaan määritellä niinkin, että sellaisen arvo on kaikkialla jonkin subharmonisen funktion arvon vastaluku, ja tästä syystä jokaista subharmonisten funktioiden yleistä ominaisuutta vastaa ilmeisellä tavalla jokin superharmonisten funktioiden yleinen ominaisuus.

Muodollinen määritelmä
Muodollisesti subharmoniset funktiot määritellään seuraavasti.  Olkoon  jokin euklidisen avaruuden  osajoukko ja olkoon

ylhäältä toispuolisesti jatkuva funktio. Tällöin funktiota  sanotaan subharmoniseksi, jos jokaisessa suljetussa pallossa , jonka keskipiste on  ja säde  ja joka kokonaan sisältyy joukkoon , jokaiselle pallossa  määritellylle reaaliarvoiselle jatkuvalle ja harmoniselle funktiolle, joka toteuttaa epäyhtälön   kaikilla pallon pinnan  pisteillä , pätee  kaikilla  

Edellä olevan määritelmän mukaan myös funktio, jonka arvo on kaikkialla −∞, on subharmoninen, mutta toisinaan määritelmää rajoitetaan niin, että tämä funktio suljetaan käsitteen ulkopuolelle.

Funktiota  sanotaan superharmoniseksi, jos   on subharmoninen.

Ominaisuuksia
 Funktio on harmoninen, jos ja vain jos se on sekä subharmoninen että superharmoninen.
 Jos  on C2 (kahdesti jatkuvasti differentioituva) funktio avoimessa joukossa , niin   on subharmoninen, jos ja vain jos epäyhtälö  pätee koko :ssä, kun  on Laplacen operaattori.
 Subharmonisella funktiolla ei voi olla suurinta arvoa sen alueen sisällä, jossa se on määritelty, ellei se ole vakio. Tätä sanotaan maksimiperiaatteeksi. Subharmonisella funktiolla voi kuitenkin olla pienin arvo alueen sisällä. 
 Subharmoniset funktiot muodostavat konveksin kartion, toisin sanoen subharmonisten funktioiden lineaarikombinaatio, kun kertoimet ovat positiivisia, on myös subharmoninen.
 Funktio, jonka arvo jokaisessa pisteessä on sama kuin suurempi kahden subharmonisen funktion arvoista kyseisessä pisteessä, on subharmoninen.
 Subharmonisten funktioiden muodostavan laskevan jonon raja-arvo on subharmoninen funktio (tai identtisesti ).

Subharmoniset funktiot kompleksitasossa
Subharmonisilla funktioilla on erityisen suuri merkitys kompleksianalyysissä, jossa ne liittyvät läheisesti holomorfisiin funktioihin.

Kompleksiluku x + yi voidaan käsittää reaalilukupariksi (x,y) ja sen mukaisesti jokainen kompleksimuuttujan funktio kahden reaalimuuttujan funktioksi. Näin ollen edellä esitettyjä subharmonisen ja superharmonisen funktion määritelmiä voidaan soveltaa myös kompleksimuuttujien reaaliarvoisiin funktioihin. Voidaan osoittaa, että kompleksimuuttujan funktio, joka on määritelty alueella , on subharmoninen, jos ja vain jos jokaiselle suljetulle kiekolle , jonka keskipiste on  ja säde  pätee 

Tätä tulosta käytetään toisinaan kompleksitason subharmonisen funktion määritelmänäkin. Intuitiivisesti tämä merkitsee, että subharmonisen funktion ei missään pisteessä ole suurempi kuin sen arvojen keskipiste kyseistä pistettä ympäröivän ympyrän kehällä. Tätä seikkaa voidaan käyttää sen todistamiseen, että maksimiperiaate pätee subharmonisille funktioille.

Jos  on holomorfinen funktio, niin
 
on subharmoninen funktio, kun määritellään, että :n arvo :n nollakohdissa on −∞.
Tästä seuraa, että 
 
on subharmoninen jokaisella arvolla α > 0. Tällä tuloksella on huomattava merkitys Hardyn avaruuksien teoriassa, etenkin avaruuden Hp kannalta, kun 0 < p < 1.

Kompleksitason tapauksessa subharmonisten funktioiden yhteys konvekseihin funktioihin on helposti todettavissa samoin kuin tulos, jonka mukaan subharmoninen funktio , joka alueessa  on vakio imaginaariakselin suunnassa, on konveksi reaaliakselin suuntaisessa ja päinvastoin.

Subharmonisten funktioiden harmoniset majorantit
Jos funktio  on subharmoninen jollakin kompleksitason alueella  ja funktio  on samalla alueella harmoninen, sanotaan, että  on :n harmoninen majorantti alueessa , jos ≤ koko alueella . Tätä epäyhtälöä voidaan pitää :n kasvuehtona.

Subharmoniset funktiot yksikkökiekossa ja radiaalinen maksimaalifunktio 

Olkoon φ subharmoninen, jatkuva ja ei-negatiivinen funktio kompleksitason avoimella osajoukolla Ω, johon suljettu yksikkökiekko D(0, 1) kokonaisuudessaan sisältyy. Funktion φ radiaalinen maksimaalifunktio (rajoitettuna yksikkökiekkoon) määritellään yksikköympyrän kehällä seuraavasti:

Jos Pr merkitsee Poissonin ydintä, subharmonisuudesta seuraa:

Voidaan osoittaa, että jos funktion φ rajoittumalle yksikkökiekkoon T käytetään merkintää φ∗, edellä olevassa epäyhtälössä esiintyvä integraali on pienempi kuin tämän rajoittuman  Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktion arvo pisteessä
e iθ 

mistä seuraa, että 0 ≤ M φ ≤ φ∗. Tunnetusti Hardyn–Littlewoodin operaattori on rajoitettu alueessa Lp(T), kun 1 < p < ∞. Tästä seuraa, että jollekin yleiselle vakiolle C pätee:

Jos f on Ω:ssa holomorfinen funktio ja 0 < p < ∞, edellä esitetty epäyhtälö pätee myös arvolla φ = |f | p/2. Edellä sanotusta seuraa, että Hardyn avaruus Hp toteuttaa ehdon

Jonkin verran työläämmin voidaan myös osoittaa, että F:llä on radiaaliset raja-arvot F(e iθ) melkein kaikkialla yksikkökiekossa, ja dominoivan suppenemisen lauseesta seuraa edelleen, että Fr, joka määritellään lausekkeella Fr(e iθ) = F(r e iθ), suppenee kohti F:ää
avaruudessa Lp(T).

Subharmoniset funktiot Riemannin monistoilla 
Subharmonisen funktion käsite voidaan yleistää myös mielivaltaiselle Riemannin monistolle.

Olkoon M on Riemannin monisto ja   ylhäältä toispuoleisesti jatkuva funktio. Oletetaan, että jokaiselle avoimelle osajoukolle  ja jokaiselle harmoniselle funktiolle f1, joka U:n reunalla toteuttaa epäyhtälön , pätee kaikkialla U:ssa epäyhtälö . Tällaista funktiota f sanotaan subharmoniseksi.

Tämä määritelmä on yhtäpitävä ylempänä esitetyn kanssa. Riemannin monistoillakin kahdesti differentoituva funktio on subharmoninen, jos ja vain jos se toteuttaa kaikkialla epäyhtälön , kun  on Laplacen operaattori.

Lähteet

Viitteet 

Potentiaaliteoria
Kompleksianalyysi
Funktiot