Kovarianssifunktio

Kovarianssifunktio on todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastiikassa ja tilastotieteessä käytettävä riippuvuuden määrän ilmaisemiseen käytettävä mitta. Stokastisissa prosesseissa, jotka muistuttavat esimerkiksi aikasarjoja, käytetään autokorrelaatiota prosessin sisäisen riippuvuuden mittaamiseksi. Satunnaiskentissä, jotka muodostetaan moniston  avulla, satunnaismuuttujien välillä olevan riippuvuuden määrää mitataan spatiaalisen autokorrelaation avulla. Riippuvuutta ilmaisevan kovarianssifunktion rinnalla käytetään myös korrelogrammia ja variogrammia.

Määritelmä

Kovarianssin määritelmä 
Kahden satunnaismuuttujan  ja  välinen riippuvuus määritellään kovarianssin avulla. Kovarianssi merkitään ja määritellään

Lausekkeet voidaan kertoa auki

Koska odotusarvo  on lineaarinen operaattori ja jos sen arvot merkitään  ja , saadaan

Satunnaiskentän kovarianssi 
Satunnaiskenttien kohdassa  olevat tai indeksillä  merkityt satunnaismuuttujat voidaan esittää merkinnällä
 
Silloin merkinnät  ja  tarkoittavat eri pisteissä  ja  olevia satunnaismuuttujia. Näiden välinen riippuvuus on ollut tapana merkitä

Käytännön sovelluksissa, jollainen on esimerkiksi geostatistiikka, satunnaiskenttiä  ovat esimerkiksi maaston alueita () tai maanalaisia tilavuuksia (). Tutkittavaa ilmiötä vastaavan matemaattisen satunnaiskentän stationäärisyys voi olla niin vahvaa, että kovarianssi riippuu pelkästään joko pisteiden välisestä etäisyydestä tai etäisyyden suuntavektorista. Tällaisissa tapauksissa kovarianssin arvot ovat esimerkiksi etäisyyden ja suunnan funktioita  tai pelkästään etäisyyden funktioita . Tämän tyyppisiä kovariansseja kutsutaan kovarianssifunktioiksi ja niitä merkitään :n sijasta tavallisesti .

Ominaisuuksia

Peruspiirteet 
Jos satunnaismuuttujan varianssin arvo merkitään , niin satunnaismuuttujan kovarianssi itsensä kanssa on  (varianssin määritelmän mukaan). Satunnaiskentissä, jossa satunnaismuuttujien riippuvuus heikkenee etäisyyden kasvaessa, on yleensä suurin riippuvuus lähekkäin sijaitsevilla satunnaismuuttujilla. Kovarianassifunktiossa tämä tapahtuu etäisyysarvoilla nolla eli  jolloin kovarianssi saa varianssin arvon eli 

Monesti halutaan, vaikka kokeellisesti eli tilastollisesti määritellyt kovarianssien arvot ovat tietyillä etäisyyksillä negatiivisia, kovarianssifunktion olevan positiividefiniitti eli  Mikäli negatiivisia riippuvuuksia löytyy, tarkoittaa se, että toisen satunnaismuuttujan arvot vähenisi kun toisen kasvaisi, ja päinvastoin. Tämä on luonnonsovelluksissa harvinaista, mutta taloussovelluksissa yleisempää.

Satunnaiskentissä riippuvuus yleensä heikkenee etäisyyden kasvaessa. Jos riippuvuuden heikkeneminen ja etäisyyden kasvaminen on koko ajan samansuuntaista, on kovarianssi etäisyyden suhteen vähenevä funktio. Kovarianssifunktion maksimi eli varianssi saavutetaan silloin origossa .

Stationäärisyysoletuksien vaikutuksia 
Satunnaiskentän vahva stationäärisyys takaa kaikille satunnaismuuttujille saman jakauman, samat momentit ja satunnaismuuttujien moniulotteiset jakaumat ovat invariantit paikan valinnalle. Nämä ehdot takaavat myös kovarianssifunktiolle saman arvon samalla etäisyydellä olevalle satunnaismuuttujaparille. Jos niiden toinen momentti on lisäksi äärellinen, on niillä äärellinen odotusarvo, joka on vakio, ja kovarianssifunktion arvo riippuu vain erotusvektorista. Tällaisia ideaalisia satunnaiskenttiä ei luonnosta kuitenkaan löydy.

Satunnaiskentän heikko stationäärisyys ei takaa samaa moniulotteista jakaumaa, joka on invariantti paikan valinnalle. Satunnaiskentän kaikilla satunnaismuuttujilla on kuitenkin äärellinen odotusarvo  ja toinen momentti  Kovarianssifunktio riippu vain etäisyysvektorista. Muita satunnaiskentän ominaisuuksia ei taata. Niiden seurauksena satunnaiskentän varianssi on vakio  ja korrelogrammi on rajoitettuna olemassa
 
Kovarianssifunktio on näiden lisäksi etäisyysvektorin suhteen symmetrinen eli  ja sen arvot ovat  Kaikki edellä kerrotut vahvan ja heikon stationäärisyyden ominaisuudet ovat voimassa Gaussisella satunnaiskentällä.

Heikkokin stationäärisyys on käytännän kannalta erittäin vahva oletus ja tulee harvoin täytyttyä. Siksi on kehitetty sovelluksia varten sellainen stationäärisyysehto, jossa odotusarvo voi vaihdella ja toinen momentti voi olla ääretön.

Satunnaiskentän sisäinen stationäärisyys on määritelty niin, ettei kovarianssia voi käyttää, sillä se muuttuu negatiiviseksi. Kovarianssifunktion sijasta käytetään näissä tapauksissa variogrammia.

Kovarianssin estimaattori 
Yleensä kovarianssifunktio määritetään tutkimuskentältä  määritetyistä näytteistä . Aluksi tulee kovarianssifunktion määrittelyssä huomioida sekä etäisyys että suunta, joista muodostetaan omat luokat ja joiden kovarianssit lasketaan luokittain. Jos kovarianssi on kuitenkin samanlainen eri suunnissa, voidaan eri suuntien etäisyydet yhdistää samaan etäisyysluokkaan. Kullekin etäisyysluokalle lasketaan sitten kovarianssien arvot

Kun kaikki etäisyysluokat  on määritetty, sovitetaan niihin kovarianssifunktion lauseke niin, että käyrä kulkee mahdollisimman lähellä kaikkia estimoituja etäisyysluokkien kovarianssiarvoja. Tätä käyrää kutsutaan kokeelliseksi eli empiiriseksi kovarianssifunktioksi.

Lähteet 
 
 Koistinen, Esko: Geomatematiikan menetelmiä ja sovelluksia malmivaratutkimuksissa, Tutkimusraportti nro 52, Geologinen tutkimuslaitos, 1981
 Heikkinen, Juha: Geostatistiikka, luentomoniste, Helsingin Yliopisto, 2006

Viitteet 

Geostatistiikka