Yleinen lineaarinen ryhmä

Yleinen lineaarinen ryhmä on n-ulotteisen vektoriavaruuden V kääntyvien lineaarikuvausten muodostama ryhmä. Tätä ryhmää merkitään GL(V) (sanoista General Linear Group).

Kun vektoriavaruus V on äärellinen ja sille valitaan kanta, GL(V)-ryhmä matriisien kertolaskulla varustetun kääntyvien neliömatriisien joukon muodostama ryhmä ovat isomorfiset. Jälkimmäistä ryhmää merkitään GL(n) tai GLn(F) tai GL(n, F), missä F on matriisialkioiden (äärellinen tai ääretön) kunta tai yksiköllinen rengas (ks. rengas). Äärellisen kunnan tapauksessa ryhmää merkitään myös alkioiden lukumäärällä GLn(q).

Matriisin alkioiden kunta K on usein reaaliluvut R tai kompleksiluvut C ja  renkaana R esimerkiksi kokonaisluvut Z.

Erityinen lineaarinen ryhmä SL(n,F) on ryhmän GL(n,F) normaali aliryhmä, jonka alkioiden (A) determinantti det A = 1.

Yleisiä lineaarisia ryhmiä ja sen aliryhmiä kutsutaan usein matriisiryhmiksi tai lineaarisiksi ryhmiksi (näistä esim. Aut(V) {eli GL(V)}, joka kuuluu vain jälkimmäisiin). Näitä ryhmiä sovelletaan muun muassa ryhmän esityksiä, symmetrioita ja polynomien tutkimuksessa.

Kääntyvyys ja determinantit 

Voidaan osoittaa, että kunnan K neliömatriisi A on kääntyvä jos ja vain jos sillä on ei-nolla determinantti (det A ≠ 0). Ryhmän GL(n,K) vaihtoehtoinen määritelmä on siis, että se on sellaisten matriisien joukko (kertolaskulla varustettuna), joiden determinantti on eri kuin nolla. Yleisemin, jos matriisialkiot ovat vaihdannaisessa renkaassa R, matriisi on kääntyvä jos ja vain jos sen determinantti on renkaan R yksikkö eli alkio jolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen.

Lähteet

Lineaarialgebra
Lien ryhmät