Lineaarinen interpolaatio

Lineaarinen interpolaatio on matematiikassa approksimaatiomenetelmä, jossa sovituskäyrinä käytetään lineaarisia polynomeja eli suoria. Lineaarisella interpolaatiolla halutaan yleensä laskea tunnettujen pisteiden välistä puuttuvia pisteitä, mutta sitä käytetään myös täydentämään taulukkoarvojen välistä puuttuvia arvoja. Toisinaan halutaan määrittää lineaarisen funktion lauseke tai sitä kuvaava suoran yhtälö (interpolaatiosuora tai myös interpolantti), jolla interpolaation voi suorittaa. Joskus vain lasketaan lineaarinen funktio, jolla approksimoidaan mutkikkaampaa funktiota.

Kahden pisteen välinen interpolointi 
Jos ilmiöstä tunnetaan vain kaksi havaintopistettä  ja , voidaan pisteitä yhdistävältä suoralta määrittää mikä tahansa piste  interpoloimalla. Tarvittavan suoran yhtälö määritetään seuraavasti. Kollineaariset pisteet muodostavat samansuuruiset erotusosamäärät eli suoran kulmakertoimet
 
Ratkaisemalla yhtälöstä muuttuja y, joka saadaan kohdassa x, tulee yhtälöstä
 
Tällä voidaan interpoloida minkä tahansa välillä  olevan x-kohdan y-koordinaatin arvo. Jos liikutaan välin ulkopuolella, voidaan samalla yhtälöllä suorittaa lineaarisen ekstrapoloinnin.

Yhtälö voidaan myös kirjoittaa siten, että kertoimet  ja  ovat painotetun aritmeettisen keskiarvon painokertoimia, jotka voidaan tulkita olevan interpoloitavan pisteen etäisyyksiä välin päätepisteistä. Tämä yhtälö kirjoitetaan silloin muodossa
 
eli

missä painot  ovat Lagrangen kertojapolynomit.

Virhe 
Jos y-koordinaatit ovat tunnetun funktion arvoja  ja jos funktiolla on toinen derivaatta olemassa, voidaan funktion interpoloinnissa tehtyä maksimivirhettä arvioida lausekkeella
 
Luku  on jokin välin  luku, jolla virhe suurenee maksimiarvoonsa. Toinen tapa arvioida virhettä on laskea funktion ja interpolantin välinen erotus

ja tutkia sen suuruus suljetun välin  ääriarvotehtävänä.

Usean pisteen lineaarinen interpolointi 
Jos tarvitaan interpolointi, joka ulottuu usean pisteen  yhteiselle alueelle  voidaan interpolaatio suorittaa kullekin perättäisen pisteparin välille kahden pisteen välisenä interpolointina. Saadut interpolaation arvot muodostavat jatkuvan käyrän, joka kulkee kaikkien pisteiden kautta, mutta käyrä ei ole derivoituva tunnetuissa pisteissään. Se ei ole sileä, mutta se on jatkuva (merkitään ). Funktiota, joka määritellään kullekin välille erikseen, kutsutaan paloittaiseksi funktioksi.

Sovelluksia 
Lineaarisen interpoloinnin varhainen käyttö liittyi taulukkoarvojen välistä puuttuvien lukujen laskemiseen. Kahden taulukkoarvon välisiä arvoja interpoloidaan ja taulukkoarvojen ulkopuolisia arvoja ekstrapoloidaan.

Jos esimerkiksi funktion laskeminen on työlästä, funktiota ei voi jollakin välillä laskea, funktion lauseketta ei kaikkialla tunneta, funktion nollakohtaa ei pystytä laskemaan, funktiota ei pystytä suoraan derivoimaan tai integroimaan, niin approksimoimalla funktio interpolaatiosuoralla tai -käyrällä voidaan erilaiset vaikeudet sivuttaa. Esimerkiksi funktion nollakohdan laskeminen saattaa alkuperäisen lausekkeen avulla olla algebrallisesti mahdotonta, mutta korvaamalla funktion lauseke hetkeksi suoralla, voidaan arvio nollakohdasta määrittää nopeasti. Tähän ajatukseen perustuvat esimerkiksi Newtonin menetelmä ja sekanttimenetelmä, jotka hakevat nollakohtaa interpoloimalla tai ekstrapoloimalla approksimoitavaa suoraa. Määrätyn integraalin määritys funktiolle, jonka lausekkeen integrointi on vaikeaa ja josta tunnetaan vain pisteitä, voidaan tehdä puolisuunnikassäännöllä. Siinä funktio korvataan funktiota seuraavalla murtoviivalla, jota on helppo integoida.

Menetelmän kehittäminen

Tarkkuus 
Mikäli lineaarisuus aiheuttaa liikaa virhettä tai pisteissä oleva derivoituvuuden puute on hankalaa, voidaan suorat korvata korkeamman asteen polynomeilla kuten esimerkiksi kuutiosplineillä.

Useat ulottuvuudet 
Lineaarista interpolatiota käytetään yleisesti myös kaksi- ja kolmeulotteisissa tapauksissa. Mikään ei estä käyttämästä sitä myös useampiulotteisissa tilanteissa. Kaksiulotteisena sitä kutsutaan bilineaariseksi interpolaatioksi ja kolmiulotteisena trilineaariseksi interpolaatioksi. Kaksiulotteisessa interpolaatiossa voidaan annettujen kolmen pisteen muodostaman kolmion sisäosa interpoloida, jolloin arvot muodostavat lineaarikombinaationa tasomaisen arvojoukon. Joskus alue jaetaan suorakulmaiseen hilaan, jolloin interpoloidaan neljää pistettä ja lineaarikombinaatio antaa paraboloidimaisen arvojoukon. Tällä menetelmällä voidaan luoda esimerkiksi maaston mittauspisteiden korkeusarvoista kumpuileva kolmiulotteinen kartta.

Splinit 
Vaihtamalla lineaariset suorat mutkitteleviin käyriin, saadaan menetelmän tarkkuutta ja soveltuvuutta parannettua. Eräs tunnettu käyräjoukko muodostuu erityyppisistä splineistä. Myös korkeampiasteisia polynomeja käytetään yleisesti.

Historia 
Muinaisesta Babyloniasta, ja erityisesti nuolenpääkirjoituksissa Urukista ja Babylonista (noin 300 eaa.), tunnetaan esimerkkejä lineaarisen interpolaation käytöstä. Interpolaatiota käytettiin pääasiassa astronomisten kalentereiden havaintoluetteloiden tihentämisessä. Sään takia puuttuvia mittaushavaintoja luotiin puuttuville päiville interpoloimalla ne viereisistä mitatuista arvoista. Niillä myös ekstrapoloitiin eli ennustettiin taivaan tapahtumia taulukoiden pohjalta. Muinaisten kreikkalaisten kirjoituksissa löytyy esimerkkejä interpoloinnista. Hipparkhos (noin 100 eaa.) käytti sitä laskiessaan trigonometrisiä taulukoita ympyrän jänteiden pituuksista. Myös Ptolemaios käytti interpolaatiota yrittäessään helpottaa raskaita laskutehtäviään muun muassa kirjassaan Almagest (100 jaa.). Kiinassa ja Intiassa oli jo käytössä toisen asteen interpolaatiomenetelmiä 600- ja 800-luvuilla jaa. Ennen niiden käyttöönottoa oli ilmeisesti ollut käytössä lineaarisia interpolointimenetelmiä.

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 
 Laskuri: Linear interpolation
 Karttunen, Hannu: Interpolointi
 Lähteenmäki, Matti: Interpolointi, TamK

Interpolointi