Virtafunktio

Virtafunktio on kaksiulotteisen ja kokoonpuristumattoman virtaavan fluidin nopeutta kuvaava funktio. Virtafunktio on apuväline virtauksen jatkuvuusyhtälön sekä Navierin−Stokesin yhtälöiden ratkaisemiseen pienentämällä muuttujien lukumäärä yhteen. Virtafunktion geometrinen tulkinta liittyy virtauksen virtaviivoihin: virtaviivat ovat viivoja, joiden kohdalla virtauksen virtafunktion arvo on vakio.

Määritelmä

Karteesiset koordinaatit 
Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää . Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on

,

missä

 on virtaavan fluidin tiheys,
 on aika ja
 on osittaisdifferentiaalioperaattori ''nabla''.

Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: , ,  ja . Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta. Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät -tasossa, niin pätee

.

Määritellään nyt virtafunktio  siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa

.

Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että

jolloin virtauksen nopeus saa muodon

.

Napakoordinaatit 
Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein , on virtafunktio määriteltävä siten, että

Sylinterikoordinaatit 
Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja -akselin suuntaista: . Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että

Kokoonpuristuva virtaus 
Virtafunktio voidaan määritellä myös kaksiulotteiselle virtaukselle, jossa tiheys ei pysy vakiona. -tasossa jatkuvuusyhtälöstä tulee tällöin

.

Nyt virtafunktio määritellään yksinkertaisesti siten, että

Virtafunktion ominaisuuksia

Virtaviiva 
Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä

,

eli . Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan

.

Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:

.

Virtafunktion differentiaalille siis pätee

,

eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla. Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.

Tilavuusvuo 

Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon  (jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus -akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on

,

missä

on pinnan yksikkönormaali. Korvataan nopeusvektori virtafunktiolla, jolloin

Kahden virtaviivan,  ja , rajoittaman tarkkailupinnan osan läpi kulkeutuva tilavuusvuo on tällöin virtafunktioiden erotus:

.

Sovelluksia

Roottori 

Kaksiulotteisen, kokoonpuristumattoman virtauksen nopeusvektorikentän roottori saadaan virtafunktion ja Laplacen operaattorin avulla:

,

jossa  on karteesisen koordinaatiston positiivisen -akselin suuntainen yksikkövektori.

Navierin−Stokesin yhtälö 

Virtaavan fluidin liikemääräyhtälö, eli Navierin−Stokesin yhtälö on

,

missä

 on putoamiskiihtyvyys,
 on paine ja
 on fluidin viskositeetti.

Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota :

,

missä  on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja . Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.

Laplacen yhtälö 

Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi  ja . Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö

.

Lähteet 

Virtausdynamiikka