Kommutoiva rengas

Algebrassa rengas on kommutoiva (myös kommutatiivinen tai vaihdannainen), jos siinä määritelty kertolasku on vaihdannainen, ts. kertolaskun lopputulos on sama riippumatta siitä, kummassa järjestyksessä kerrottavat alkiot ovat. Jos  on rengas, jossa on määritelty yhteenlasku () ja kertolasku (), niin  on kommutoiva, jos mille tahansa alkioille  pätee .

Esimerkkejä kommutoivista renkaista 
 Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutoivan renkaan yhteen- ja kertolaskujen suhteen: reaalilukujen laskusääntöjen nojalla kahden kokonaisluvun kertolasku on vaihdannainen.
 Jäännösluokkarengas  on kommutoiva kaikilla , sillä jäännösluokkien kertolasku määritellään , missä . Tällöin reaalilukujen laskusääntöjen nojalla myös .

Esimerkkejä ei-kommutoivista renkaista 
 Reaalisten -matriisien rengas  ei ole kommutoiva, sillä matriisien kertolasku ei yleisesti ole vaihdannainen. Esimerkiksi
 ja .

Huomaa, että ei-kommutoiva tai ei-kommutatiivinen eivät tarkoita samaa asiaa kuin antikommutoiva!

Suhde kokonaisalueeseen ja kuntaan 
Olkoon  kommutoiva rengas. Merkitään renkaan  yhteenlaskun neutraalialkiota (ns. nolla-alkio) :llä ja kertolaskun neutraalialkiota (ns. ykkös-alkio) :llä. Tällöin
 Jos kaikilla  ehdosta  seuraa, että  tai , niin  on kokonaisalue.
 Jos kaikilla  yhtälöllä  on ratkaisu , niin  on kunta.
Jos  on kunta, niin se on myös kokonaisalue, mutta kokonaisalue ei välttämättä ole kunta (esim.  on kokonaisalue, muttei kunta).

Katso myös 
 Ryhmä (algebra)
 Abelin ryhmä
 Kommutaattori (matematiikka)

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

Rengasteoria