Porrasfunktio

Porrasfunktio on matematiikassa funktio, joka voidaan koostaa peräkkäisillä suljetuilla, puoliavoimilla tai avoimilla väleillä määritellyistä vakiofunktioista. Toisin sanoen porrasfunktio voidaan esittää äärellisen monen indikaattorifunktion lineaarikombinaationa määrittelyvälinsä jaon avulla. Funktion arvoille jakopisteissä ei ole erillisiä ehtoja. Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisen porrasfunktion kuvaaja muodostaa nimensä mukaisesti ''portaikon''.

Määritelmä

Yhden reaalimuuttujan porrasfunktio 
Olkoon  väli (välin ei tarvitse olla rajoitettu).  Funktio  on porrasfunktio, jos on olemassa välin  jako

ja luvut , , joille

kaikilla .

Porrasfunktio määritellään yhtäpitävästi indikaattorifunktion avulla:  on porrasfunktio, jos

missä  ja  on joukon  indikaattorifunktio.

Useamman reaalimuuttujan porrasfunktio 
Olkoon väli. Funktio  on porrasfunktio, jos on olemassa välin  jako  siten, että vastaavassa osavälijaossa  funktio  on vakio jokaisen osavälin sisuksessa. Ts.

jollekin  kaikilla .

Esimerkkejä porrasfunktioista 

 Vakiofunktio on yksinkertaisin porrasfunktio. Vakiofunktiossa on vain yksi ''porras'' ja väli  jaetaan yhteen osaväliin.
 Signum-funktio ; välin  jako on .
 Heavisiden funktio ; välin  jako on .
 Lattia- ja kattofunktiot  ja  ovat porrasfunktioita, jos niiden määrittelyjoukko on rajoitettu. Jos määrittelyjoukko on rajoittamaton, niin määritelmän mukaan lattia- ja kattofunktiot eivät ole porrasfunktioita, sillä välin  jakopisteitä pitäisi olla äärettömän monta.

Porrasfunktioiden ominaisuuksia 
 Kahden porrasfunktion summafunktio on aina porrasfunktio.
 Kahden porrasfunktion tulofunktio on aina porrasfunktio.
Kahden porrasfunktion lineaarikombinaatio on aina porrasfunktio.
 Porrasfunktio on paloittain jatkuva (epäjatkuvuuskohtien lukumäärä on äärellinen) määrittelyjoukossaan.
 Porrasfunktio on Riemann-integroituva. Jos , niin määritelmässä käytetyin merkinnöin
, 

missä  on välin  pituus.
 Porrasfunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi epäjatkuvuuskohdissaan. Porrasfunktion derivaatta epäjatkuvuuskohtien ulkopuolella on nollafunktio.

Katso myös 
 Erikoisfunktio

Lähteet

Aiheesta muualla 

Erikoisfunktiot