Materiaaliderivaatta

Materiaaliderivaatta on virtausmekaniikassa tapa esittää paikasta ja ajasta riippuvan virtauksen mukana kulkevan suureen (esimerkiksi paine tai liikemäärä) muutosta ajan suhteen. Materiaaliderivaatta antaa työkalun yhdistää kyseisen suureen muutosnopeuden havainnot sekä virtauksen ulkopuolisen (nk. Eulerin havaintokoordinaatisto) että virtauksen mukana kulkevan (nk. Lagrangen havaintokoordinaatisto) tarkkailijan näkökulmista.

Jos virtauksen nopeus on ajasta ja paikasta riippuva vektorikenttä  ja  on jokin virtauksen mukana kulkeva suure, niin :n materiaaliderivaatta on

Materiaaliderivaattaa merkitään joskus myös  korostamaan sitä, että siinä on useita eri derivaattatermejä ja että se seuraa tiettyä virtauksen materiaalipistettä.

Lausekkeen johtaminen 
Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että . Olkoon lisäksi  paikasta ja ajasta riippuva derivoituva funktio. Derivoidaan  ajan suhteen käyttäen ketjusääntöä:

Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat ,  ja . Sijoitetaan tämä tieto edelliseen yhtälöön:

Lisäksi

Näin ollen voidaan kirjoittaa

Esimerkkejä 
Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä . Selvitetään virtauksen mukana kulkevan partikkelin kokema kiihtyvyys.

Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:

Lasketaan ensin derivaatat erikseen:

Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:

Katso myös 
 Advektio
 Navierin−Stokesin yhtälöt

Lähteet 

Virtausdynamiikka