Topologinen aliavaruus

Topologinen aliavaruus on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös indusoiduksi topologiaksi eli relatiivitopologiaksi.

Määritelmä 

Olkoon  topologinen avaruus ja S jokin X:n osajoukko. Olkoon  inkluusio, toisin sanoen sellainen kuvaus, että  kaikilla . Tällöin :n indusoima topologia joukossa S on , toisin sanoen tässä topologiassa avoimia joukkoja ovat X:n avointen joukkojen ja S:n leikkaukset. Tätä inkluusion indusoimaa topologiaa sanotaan S:n relatiivitopologiaksi jonka S perii X:stä, ja joukkoa S tällä relatiivitopologialla varustettuna X:n aliavaruudeksi.

Vaihtoehtoisesti osajoukon  relatiivitopologia voidaan määritellä karkeimmaksi topologiaksi, jolla inkluusiokuvaus  on jatkuva.

Yleisemmin voidaan olettaa, että  on mikä tahansa kuvaus joukosta  topologiseen avaruuteen . Tällöin S :n indusoitu topologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa  on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa  olevat joukot, joissa  on :n avoin osajoukko. Tällöin, mikäli kuvaus  on injektio,  on homeomorfinen :ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu indusoidulla topologialla. Tällaista kuvausta  sanotaan topologiseksi upotukseksi.

:n aliavaruutta sanotaan avoimeksi aliavaruudeksi, jos injektio  on avoin kuvaus, toisin sanoen jos jokaisen :n avoimen joukon kuva tässä kuvauksessa on :n avoin joukko. Vastaavasti sitä sanotaan suljetuksi aliavaruudeksi, jos  on suljettu kuvaus.

Huomautuksia merkinnöistä 

Merkinnöissä ei joukon ja topologisen avaruuden välillä aina tehdä selvää eroa, mikä saattaa aiheuttaa sekaannusta, kun määritelmiin ensimmäisen kerran tutustutaan. NIinpä jos  on :n osajoukko ja  topologinen avaruus, saatetaan merkintöjä  ja  käyttää sekä joukoista  ja  käsitettyinä :n osajoukoiksi, että myös avaruuksista  ja  topologisina avaruuksina edellä kuvatulla tavalla. Niinpä jos esimerkiksi sanotaan, että " on :n avoin aliavaruus", tarkoitetaan itse asiassa, että  on :n avoin aliavaruus, toisin sanoen
 (i) , eli S on avoin joukko topologisessa avaruudessa , ja
 (ii)  on varustettu relatiivitopologialla.

Esimerkkejä 
Seuraavassa  tarkoittaa reaalilukujen joukkoa tavanomaisella topologiallaan.
 Luonnollisten lukujen joukon  relatiivitopologia on diskreetti topologia.
 Rationaalilukujen joukon  relatiivitopologia ei ole diskreetti topologia; esimerkiksi pelkän nollan käsittävä joukko {0} ei ole avoin joukko :ssa. Jos a ja b ovat rationaalilukuja, avoin väli (a, b) ja :n leikkaus on myös rationaalilukujen topologiassa avoin ja [a, b] suljettu joukko, mutta jos a ja b ovat irrationaalilukuja, niiden rationaalilukujen joukko, jotka ovat a:n ja b:n välissä, on tässä topologiassa sekä avoin että suljettu joukko.
 Suljettu väli [0,1] on :n aliavaruutena sekä avoin että suljettu, mutta :n osajoukkona se on vain suljettu.
 :n aliavaruutena joukko [0, 1] ∪ [2, 3] muodostuu kahdesta avoimesta osajoukosta (jotka samalla ovat myös suljettuja), ja sen vuoksi se on epäyhtenäinen avaruus.
 Käsitellään puoliavointa väliä S = [0, 1) :n aliavaruutena. Tällöin [0, 1/2) on avoin aliavaruudessa S, mutta ei avaruudessa . Samoin [½, 1) on suljettu S:ssä, mutta ei :ssä. Itsensä osajoukkona S on sekä avoin että suljettu, mutta ei :n osajoukkona.

Ominaisuuksia 

Relatiivitopologialla on seuraava tyypillinen ominaisuus. Olkoon  avaruuden  aliavaruus ja olkoon  inkluusiokuvaus. Silloin jokaiselle topologiselle avaruudelle kuvaus :  on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus  on jatkuva. 

Tämä ominaisuus on karakteristinen siinä mielessä, että sitä voitaisiin käyttää vaihtoehtoisena määritelmänä relatiivitopologialle :ssa.

Relatiivitopologialla on myös seuraavat ominaisuudet. Seuraavassa oletetaan, että  on :n aliavaruus.
 Jos  on jatkuva, sen rajoittuma :ään on jatkuva.
 Jos  on jatkuva, myös  on jatkuva.
 Suljettuja joukkoja avaruudessa  ovat :n suljettujen joukkojen ja :n leikkaukset, ja vain ne.
 Jos  on :n aliavaruus,  on myös :n aliavaruus ja sellaisena sillä on sama topologia. Toisin sanoen   perii :stä saman topologian kuin :stäkin.
 Olkoon  avaruuden  avoin aliavaruus (jolloin ). Silloin :n osajoukko on avoin :ssä, jos ja vain jos se on avoin :ssä.
 Olkoon  avaruuden  suljettu aliavaruus (jolloin ). Silloin :n osajoukko on suljettu :ssä, jos ja vain jos se on suljettu :ssä.
 Jos  on :n topologian kanta, niin  on :n topologian kanta
 Metrisen avaruuden osajoukon indusoitu topologia, joka saadaan rajoittamalla metriikka tähän osajoukkoon, on sama kuin saman osajoukon relatiivitopologia aliavaruutena.

Topologisten ominaisuuksien säilyminen 

Jos siitä, että topologisella avaruudella on jokin topologinen ominaisuus, seuraa, että sama ominaisuus on myös sen kaikilla aliavaruuksilla, ominaisuutta sanotaan perinnölliseksi.  Jos ominaisuus on vain suljetuilla osajoukoilla, sitä sanotaan 'heikosti perinnölliseksi.

 Täydellisesti metristyvän avaruuden jokainen avoin ja suljettu aliavaruus on täydellisesti metristyvä.
 Bairen avaruuden jokainen avoin aliavaruus on Bairen avaruus.
 Kompaktin avaruuden jokainen suljettu aliavaruus on kompakti.
 Että avaruus on Hausdorffin avaruus, on perinnöllinen ominaisuus.
 Avaruuden normaalius on heikosti perinnöllinen ominaisuus.
 Että metrinen avaruus on totaalisesti rajoitettu, on perinnöllinen ominaisuus.
 Että avaruus on täysin epäyhtenäinen, on perinnöllinen ominaisuus.
 Että avaruus on N1-avaruus eli että sen jokaisella pisteellä on numeroituva ympäristökanta, on perinnöllinen kanta.
 Että avaruus on N2-avaruus eli että sillä on numeroituva kanta, on perinnöllinen ominaisuus.

Katso myös 
 Tekijätopologia
 Tulotopologia

Lähteet

Viitteet 

Topologia