Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.

Kaksiulotteisen avaruuden  osajoukoissa määriteltyjen funktioiden  integraaleja kutsutaan kaksinkertaisiksi integraaleiksi ja kolmiulotteisen avaruuden  osajoukoissa määriteltyjen funktioiden  integraaleja vastaavasti kolminkertaisiksi integraaleiksi. Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.

Merkintätavoista 
Tavanomaista, välillä  määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:

.

Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion  integraalia yli tason  (merkinnästä  ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:

.

Vastaavasti kolmen muuttujan funktion  integraalia yli avaruuden  merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:

.

Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa , missä , , määritellyn funktion  integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:

,

.

Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):

,  tai , 

missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää . Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.

Määritelmä 
Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.

Kaksinkertainen integraali 
Olkoon  suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja  rajoitettu kuvaus. Jos :hen kuuluvat kaikki pisteet  siten, että  ja , niin :hen voidaan määritellä ositus  siten, että

Ositus  koostuu :stä suorakulmiosta , missä  ja , jotka edelleen koostuvat pisteistä , missä  ja . Suorakulmion  pinta-ala on

ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla

.

Määritellään osituksen  suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:

.

Valitaan jokaisesta suorakulmiosta  mielivaltainen piste  ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:

.

Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio  ja korkeus on funktion  arvo pisteessä  (siis mikäli ). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion  ja funktion  kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja  pienennetään (jolloin jaon normi  pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että . Lopullinen määritelmä kuuluu:

Funktio  on integroituva suorakulmion  yli ja sillä on kaksinkertainen integraali

,

jos kaikilla  on olemassa (:sta riippuva) luku  siten, että ehto

pätee kaikille :n osituksille , joille  sekä kaikkien osajoukkojen  kaikissa pisteissä .

Merkintä  tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan  raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa

,

mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.

Kolmin- tai useammankertainen integraali 
Olkoon , . Joukkoon avaruuden  kompakti väli  (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi  rajoitettu funktio. Jos , niin välin  jako  on: 

. 

Ts. väli  voidaan esittää :n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi)  unioinina. Jos jokaiselle  on olemassa välin  jako , niin joukon  jako on: 

. 

Jako  määrää  kappaletta kompakteja jakovälejä , jotka osittavat välin . Merkitään mielivaltaista joukon  pistettä  sekä kaikilla : 

 ja 

 

(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon  liittyvä alasumma kaavalla 

 

ja vastaavasti jakoon  liittyvä yläsumma kaavalla 

. 

Joukolle  voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako  tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos  on välin  jako,  on :n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon  jakopisteet) ja  on kummankin edellisen jaon alajako, niin: 

 

Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos  on joukon  mielivaltainen jako, niin aina 

. 

Tällöin funktio  on (Riemann-)integroituva (joukossa  tai joukon  yli), jos 

.  

Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon ,  ja  on rajoitettu funktio. Tällöin funktio  on integroituva, jos ja vain, jos kaikilla  on olemassa välin  jako  siten, että  

.

Integrointi yleisen joukon yli 

Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että  on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue  ja funktio  rajoitettu. Määritellään funktio  siten, että:

  

Jos  on integroituva yli :n, niin myös funktio  on integroituva yli :n ja:  

.

Integraalin arvo ei riipu joukon  valinnasta, kunhan .

Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia 
Olkoon seuraavassa , , , funktiot  ja  integroituvia funktioita joukossa  sekä  ja  vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:
  (merkintä  tarkoittaa joukon  sisäpisteiden joukkoa).
  = integrointialueen  tilavuus (pinta-ala, jos  ja pituus, jos ).

 , jos  (joukolla  ei ole sisäpisteitä).
 Funktio  on integroituva joukossa  ja .
 Jos  kaikilla , niin .
 Kolmioepäyhtälö: .
 Jos joukot  osittavat joukon , niin .

Integrointimenetelmiä

Symmetrioiden käyttö 
Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.

Esimerkki 1 
Olkoon integrointialue  suorakulmio , . Tällöin

Esimerkki 2 
Määritetään integraalin  arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on -tason origokeskinen yksikkökiekko (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:

Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio  on pariton funktio, niin kuvaajan ja -tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa  ja . Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin . Vastaavasti, funktio  on myös pariton, joten . Näin ollen

Iterointi 

Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue  on
 säännöllinen -suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat  ja , sekä mikä tahansa -akselin suuntainen suora leikkaa alueen  reunan korkeintaan kahdesti.

 säännöllinen -suunnassa, jos sitä rajoittavat suorat  ja , sekä mikä tahansa -akselin suuntainen suora leikkaa alueen  reunan korkeintaan kahdesti.
Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue  on säännöllinen -suunnassa ja sitä rajoittavat suorat  ja  sekä käyrät  ja  siten, että  kaikilla . Funktion  kuvaajan ja -tason väliin jäävä avaruus voidaan ''viipaloida'' -tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis ) pitkin -akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:

.

Tällöin kaksinertainen integraali  saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala  ja paksuus ) tilavuudet suorien  ja  välillä:

.

Samaa integraalia voidaan merkitä myös:

 tai

.

Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:

Jos  on rajoitettu ja säännöllinen -suunnassa (, ) sekä  on jatkuva funktio, niin

.

Jos  on rajoitettu ja säännöllinen -suunnassa (, ) sekä  on jatkuva funktio, niin

.

Esimerkki 3 
 on neliö, jonka määrittelevät rajat  ja . Määritetään neliön  ja tason  väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue  on säännöllinen sekä - että -suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.

Esimerkki 3a: 
Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa  kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön  rajoittaman kappaleen tilavuus on:

Esimerkki 3b: 
Integroidaan ensin - ja sitten -suunnassa. Integroitaessa -suunnassa muuttujaa  kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön  rajoittaman kappaleen tilavuus on:

Esimerkki 4 

Ratkaistaan itegraali , missä aluetta  rajaavat suorat  ja  sekä käyrä  (tai ). Alue  on säännöllinen sekä - että -suunnissa. Koska funktiolle ,  ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan -suunnassa:

Esimerkki 5 
Olkoon  suorakulmainen laatikko siten, että ,  ja , missä ,  ja  ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali . Avaruus  ''viipaloidaan'' nyt (esimerkiksi) -tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan  suhteen. Nämä ''viipaleet'' ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:

Muuttujanvaihto 

Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujan­vaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien  ja  sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat  ja  voidaan esittää kahden muun muuttujan,  ja , funktioina:

Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi -tason osajoukolta  -tason osajoukolle . Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi. Tällöin on olemassa käänteismuunnos

joukolta  joukolle . Jos funktioilla  ja  on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti

pisteessä , niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen  ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin

Koordinaatistomuunnoksessa joukolta  (-tasolta) joukolle  (-tasolle) integroitava funktio ,  muuntuu funktioksi ,

.

Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:

 

Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella): 

Olkoon  ja  injektioita -tason osajoukolta  -tason osajoukolle . Olkoon funktioilla  ja  olemassa joukossa  jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien  ja  suhteen. Jos funktio  on integroituva :ssä ja jos , niin: 
 

Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:

Olkoon ,  ja  injektioita -avaruuden osajoukolta  -avaruuden osajoukolle . Olkoon funktioilla ,  ja  olemassa joukossa  jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien ,  ja  suhteen. Jos funktio  on integroituva :ssä ja jos , niin: 

Tässä Jacobin determinatti on:

Muuttujanvaihto yleistyy n:lle muuttujalle:

Olkoon kuvaus avoimelta joukolta  avoimelle joukolle  siten, että Jacobin determinantti
.
Olkoon  rajoitettu :n osajoukko ja funktio  integroituva kuvajoukossa . Tällöin funktio

on integroituva :ssä ja
.

Esimerkki 6 

Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:

missä  ja  (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on

.

Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.

Ratkaistaan integraali , missä integrointialue  on -akselin ja suoran  väliin jäävä osa ympyrärenkaasta . Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:

Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on  ja ulkosäde  ja jota raoittavat suorat  ja . Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti  sekä  ja . Integraali on tällöin:

missä käytettiin tietoa .

Esimerkki 7 
Määritetään ellipsoidin  tilavuus, kun :n määrittelee yhtälö

,

missä ,  ja  ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa

jolloin ellipsoidi  kuvautuu yksikköpalloksi , jossa

.

Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:

Tällöin ellipsoidin  tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):

Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.

Käytännön sovelluksia 
 Funktion , missä  on rajoitettu joukko, ja -tason väliin jäävä tilavuus on

 Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus , massa saadaan kolminkertaisella integraalilla

,

missä  on kappaleen tiheys pisteessä .

 Jos  on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että  on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä , missä  on rajoitettu joukko, niin pinnan  pinta-ala on:

 Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma  alueessa , massakeskipiste  määritetään kaavoilla:

missä  on kappaleen kokonaismassa. Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori  on

,

missä .

 Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma  alueessa , hitausmomentti pyörimisakselin  suhteen on

,

missä  on differentiaalisen massaelementin  etäisyys pyörimisakselista .
 Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma  alueessa , hitaussäde pyörimisakselin  suhteen on

.

Katso myös 
 Riemannin integraali
 Pintaintegraali
 Tilavuusintegraali

Lähteet 

Integraalilaskenta