Käänteisen etäisyyden menetelmä

Käänteisen etäisyyden menetelmät () ovat yksinkertaisia monimuuttujaisia interpolaatiomenetelmiä, joilla lasketaan näytteiden arvojen avulla annetussa pisteessä  sijaitsevan suureen  arvo. Näytteet sijaitsevat yksi- tai monidimensioisissa pisteissä , joiden etäisyydet  kohdasta  voidaan määrittää. Etäisyys voi olla joko euklidinen etäisyys tai jokin muu etäisyysfunktion arvo, joka noudattaa metriikan perusteita. Kunkin arvioitavan kohdan arvo saadaan laskemalla kullekin näytteelle painokertoimet , joiden avulla muodostetaan näytteiden arvoista  painotettu aritmeettinen keskiarvo

Tätä muotoa kutsutaan englanninkielisessä kirjallisuudessa usein Shepardin menetelmäksi. Se on eräs vanhimmista spatiaalisista interpolointimenetelmistä.

Painokertoiminen määritys

Etäisyyden laskeminen 
Näytteen  ja arvioitavan kohteen  välinen etäisyys

lasketaan normaalisti niin, että metriikkana on euklidinen etäisyys. Kun interpolointi suoritetaan yksiulotteisena (x-akselia pitkin), saadaan etäisyydeksi x-koordinaattien erotuksen itseisarvo eli välimatka

Kun interpolointi suoritetaan tasolla eli kaksiulotteisena, käytetään pisteiden koordinaateille  ja  Pythagoraan lauseen tulosta

Kolmiulotteisessa tapauksessa voidaan pisteet merkitä  ja  ja etäisyys laskea vastaavasti

Käänteisen etäisyyden potenssit 
Koska käytännössä ei yleensä merkitä etäisyyden käänteislukuja suoraan painokertoimiksi , merkitään niitä vielä . Usein etäisyyden käänteisluvut korotetaan potenssiin 
 
mikä korostaa lähellä olevien näytteiden painoarvoa kaukana olevien kustannuksella. Mitä lyhyempi on näytteistä mitattujen arvojen riippuvuus toisistaan, sen korkeampi on valittu potenssi.

Painokertoimien normitus 
Painokertoimille asetetaan yleensä ehto, että niiden summa tulee olla yksi

Näin halutaan varmistaa, että interpolointi tuottaa arvoja, joilla on sama odotusarvo  kuin näytteiden keskiarvo on eli

Kukin käänteisen etäisyyden potenssi tulee siksi jakaa näiden kaikkien summalla

jolloin painokertoimiksi saadaan lausekkeet
 
joiden summa on yksi.

Interpolointi näytteessä 
Menetelmä ei toimi, jos yritetään laskea kohteen painokertoimia näytteen kanssa samassa pisteessä. Etäisyys näytteen  ja kohteen  välillä on silloin nolla eikä nollalle ole määritelty käänteislukua. Algoritmiin lisätään siksi ehto, että kun kohteen etäisyys näytteestä  on nolla (tai hyvin lähellä nollaa), kirjataan näytteen painoksi  ja muille näytteille painoiksi  Näin menetelmä antaa näytteen  kohdalla suoraan näytteen  arvon ja menetelmästä tulee interpolointimenetelmä.

Interpolaation ominaisuuksia 

Koska menetelmässä huomioidaan vain näytteiden etäisyydet kohteestaan eikä näytteiden keskinäisiä etäisyyksiä, voi menetelmä painottaa suurestikin esimerkiksi kolmea läheistä näytettä. Näiden (todennäköisesti) lähes yhtäsuuret arvot saavat silloin kolminkertaisen painoarvon. Ongelma kierretään yleensä korvaamalla mainitut kolme näytettä yhdellä uudella näytteellä, jolle lasketaan arvoksi kolmen näytteen keskiarvo.

Kun käänteisen etäisyyden potenssin eksponentti kasvaa, kasvaa lähimmän näytteen painokerroin muiden näytteiden painokertoimien kustannuksella. Kunkin näytteen lähelle syntyy silloin leveä alue, jossa interpolaation antama tulos on lähes sama kuin näytteelläkin. Tämän ilmiön välttämiseksi eksponentin arvo tulee pitää matalana. Eksponentti  tuottaa tyydyttävät interpoloinnit.

Menetelmä on eksakti interpolointimenetelmä, sillä näytteen kohdalla se antaa aina arvoksi näytteen arvon. Näytteiden väleissä interpolaatiokäyrä taipuu kohti näytteiden keskiarvoa (viereinen kuva). Menetelmästä ei ole suurtakaan iloa, jos näytteiden välit ovat liian suuret, sillä samaan tulokseen pääsee keskiarvoa laskemalla.

Lähteet 

Interpolointi
Geostatistiikka