Pyörähdyspinta

Pyörähdyspinta on euklidisessa avaruudessa oleva pinta, joka syntyy, kun jokin käyrä (pyörähdys­pinnan generatrix) pyörähtää jonkin suoran, pyörähdys­akselin ympäri.

Esimerkkejä 

Yksinkertaisimpia pyörähdyspintoja ovat lieriö- ja kartiopinnat, jotka saadaan, kun suora tai jana pyörähtää jonkin akselin ympäri. Tällöin tuloksena on lieriö, jos pyörähtävä suora tai jana on yhden­suuntainen akselin kanssa, muussa tapauksessa kartio. Kun ympyrä pyörähtää jonkin halkaisijansa ympäri, tuloksena on aina pallo­pinta, jossa alku­peräinen ympyrä on isoympyränä. Sen sijaan jos ympyrä pyörähtää sellaisen akselin ympäri, joka ei kulje ympyrän sisään jäävän alueen eli kiekon kautta, tuloksena on toruspinta, joka ei leikkaa itseään.

Ominaisuuksia 

Pyörähdspinnan ja sellaisen tason leikkauksia, johon sen akseli kuuluu, sanotaan meri­dio­naali­siksi leikkauksiksi. Jokaista meri­dio­naa­lista leikkausta voidaan pitää pinnan genera­trixina leikkauksen ja akselin määrittämässä tasossa.

Pyörähdyspinnan ja sen akselia vastaan kohtisuorien tasojen leikkaukset ovat ympyröitä. Pyörähdyspinnan ja kahden tällaisen tason rajoittama kappale on pyörähdyskappale.

Jotkin hyperboloidit, laskettiinpa mukaan sen molemmat haarat tai vain toinen niistä, sekä jotkin elliptiset paraboloidit ovat pyörähdys­pintoja.  Sellaisia ovat ne toisen asteen pinnat, joiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorassa suunnassa on ympyrä.

Jos generatrix on jonkin funktion  kuvaaja ja tämä pyörähtää x-akselin ympäri, pyörähdys­pinnan käsittävät ne avaruuden pisteet (x, y, z), joiden etäisyys x-akselista on f(x) eli jotka toteuttavat yhtälön:
.

Pinta-ala
Jos pyörähtävällä käyrällä on parametriesitys , missä t vaihtelee jollakin välillä  ja pyörähdys­akselina on y-akseli, pyörähdys­pinnan pinta-ala Ay voidaan laskea integraalilla 

edellyttäen, että x(t) ei päätepisteiden a ja b välillä saa missään negatiivisia arvoja. Tämä lauseke seuraa Pappuksen sentroidilauseesta. Tässä esiintyvä lauseke

seuraa Pythagoraan lauseesta ja esittää käyrän kaaren pienintä osuutta samoin kuin kaaren­pituuden kanssa. Lauseke  on sen matkan pituus, jonka tämä käyrän osa kulkee käyrän pyörähtäessä, kuten Pappuksen lause edellyttää.

Samaan tapaan jos pyörähdys­akselina on x-akseli eikä lauseke  saa missään negatiivisia arvoja, pyörähdys­pinnan ala on

Jos käyrä voidaan esittää funktiolla , integraali yksinkertaistuu muotoon

kun käyrä pyörähtää x-akselin ympäri, ja muotoon 

kun se pyörähtää y-akselin ympäri ja a ≤ y ≤ b. 

Esimerkiksi yksikköpallo saadaan, kun yksikköympyrä eli käyrä , missä t on välillä [0,π], pyörähtää x-akselin ympäri. Sen pinta-ala on siis

Yleisemmin ympyrällä, jonka säde on r, on parametri­esitys . Kun se pyörähtää x-akselin ympäri, syntyy pallopinta, jonka ala on 

Minimaalinen pyörähdyspinta on kahden pisteen välisten käyrien määrittämistä pyörähdys­pinnoista se, jonka pinta-ala on pienin eli joka minimoi pinta-alan. Yksi variaatiolaskennan keskeisimmistä tehtävistä on löytää kahden pisteen välisistä käyristä se, joka tuottaa minimaalisen pyörähdyspinnan.

Ainoat minimaaliset pyörähdys­pinnat ovat taso ja katenoidi.

Funktion pyörähdys
Minkä tahansa skalaari­funktion  kuvaajaa vastaava pyörähdys­pinta voidaan muodostaa asettamalla u funktion parametriksi ja samalla pyörähdys­akselin funktioksi ja pyöräyttämällä funktio akselin ympäri v:n avulla valitsemalla kahdeksi muuksi funktioksi  ja  Esimerkiksi funktion  kuvaaja voidaan pyöräyttää x-akselin ympäri aloittamalla xz-tason ylä­puolelta ja para­metroimalla se 

missä  ja .

Geodesia pyörähdyspinnalla
Geodesian pyörähdyspinnalla määrittää Clairaut'n relaatio.

Toroidit

Pyörähdys­pintaa, jonka rajoittamassa kappaleessa on reikä ja jonka pyörähdys­akseli ei leikkaa pintaa, sanotaan toroidiksi. Esimerkiksi kun suorakulmio pyörähtää sen jomman­kumman sivun suuntaisen, mutta kokonaan suora­kulmion ulko­puolella olevan akselin ympäri, syntyy ontto rengas, jonka poikki­leikkaus on suora­kulmainen. Jos pyörähtävä käyrä on ympyrä, syntyvää toroidia sanotaan torukseksi.

Sovelluksia 

Pyörähdys­pinnoilla on keskeinen merkitys monilla fysiikan ja insinööri­tieteiden aloilla. Kun kappaleita kuvataan digitaalisesti, pyörähdys­kappaleita voidaan usein käyttää pinta-alojen määrittämiseen tarvitsematta mitata kuvattavan kappaleen pituutta ja sädettä.

Katso myös 
 Pyörähdyskappale
 Gabrielin torvi
 Pintaintegraali

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla

 
 

Pinnat
Integraalilaskenta