Topologin sinikäyrä

Topologin sinikäyrä on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien x = 0 ja x = 1 väliin jäävä osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sekä origo. Topologisena avaruutena sillä on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sitä käytetään usein esimerkkinä oppikirjoissa.

Matemaattinen määritelmä 

Topologin sinikäyrä voidaan määritellä sellaisen funktion f kuvaajana, joka saa puoliavoimen välin (0, 1] jokaisessa pisteessä x arvon  ja arvolla 0 arvon 0:

Toisinaan topologin sinikäyräksi määritellään laajempi avaruus, johon kuuluvat origon lisäksi sanotun funktion kuvaajan koko origon oikealla puolella oleva osa:

Sen topologia saadaan tason topologiasta relatiivitopologiana.

Ominaisuuksia 
Kun muuttuja x lähestyy nollaa, sen käänteisluku 1/x kasvaa rajatta. Tästä sekä sinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että funktion y = sin (1/x) nollakohtia ovat kaikki muotoa

olevat luvut, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Näin ollen 0 on funktion nollakohtien kasautumispiste. Funktiolla ei kuitenkaan ole raja-arvoa origossa, sillä olipa  > 0 kuinka pieni positiivinen kokonaisluku tahansa, avoimella välillä , ja myös välillä ), funktio saa kaikki reaalilukuarvot väliltä [-1, 1], vieläpä jokaisen niistä äärettömän monta kertaa. Tämä ilmenee käyrän heilahtelujen tihenemisenä origon läheisyydessä. Koska raja-arvoa ei ole, tämä funktio ei ole myöskään jatkuva origossa.

Topologisena avaruutena topologin sinikäyrä T on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voida yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin.  T ei myöskään ole lokaalisti yhtenäinen origossa.

Topologin sinikäyrä T voidaan muodostaa lokaalisti kompaktin avaruuden kuvana jatkuvassa kuvauksessa, mutta se itse ei ole lokaalisti kompakti. Olkoon V joukko  ja määritellään funktio f: V -> T seuraavasti:

, kun .
Tällöin joukko V on lokaalisti kompakti ja funktio on jatkuva, mutta T ei ole lokaalisti kompakti origossa.

T:n topologinen ulottuvuus on 1.

Muunnelmia 

Topologin sinikäyrästä on olemassa muunnelmia, joilla on muita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Suljettu topologin sinikäyrä voidaan määritellä lisäämällä topologin sinikäyrään sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) välinen jana . Se on samalla topologin sinikäyrän sulkeuma.  Tämä joukko on suljettu ja rajoitettu ja näin ollen Heinen–Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sillä on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinikäyrällä: se on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen eikä polkuyhtenäinen.

Laajennettu topologinen sinikäyrä määritellään lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään vielä pisteiden (0,1) ja (1,1) välinen jana .  Topologisena avaruutena se on polkuyhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen.

Varsovan ympyrä saadaan lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään kaari, joka yhdistää pisteen (0, -1) pisteeseen (1, sin 1).  Tämä avaruus ei ole kutistuva, vaikka sen kaikki homotopiaryhmät ovat triviaaleja.

Lähteet

Viitteet 

Käyrät
Topologiset avaruudet