Yhteisjakauma

Yhteisjakauma on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Yhteisjakaumaa voidaan kutsua myös moniulotteiseksi todennäköisyysjakaumaksi. Monet yhteisjakauman ominaisuudet perityvät yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta, mutta satunnaismuuttujien keskinäiset riippuvuudet vaikuttavat sen ominaisuuksiin oleellisesti. Moniulotteisten todennäköisyysjakaumiin liittyviä käsitteitä ovat reunajakaumat, ehdolliset jakaumat ja näiden tunnusluvut, kuten esimerkiksi kovarianssi ja korrelaatio.

Yhden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiöitä vain rajoitetusti, sillä satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä ja satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet ovat silloin mielenkiinnon kohteina. Näitä on selvintä tarkastella yhteisjakauman avulla. Yhteisjakauman perusominaisuuksia voi tutkia jo kahden satunnaismuuttujan yhteisjakamalla.

Kaksiulotteinen yhteisjakauma 
Kahdesta satunnaismuuttujasta  ja  muodostetaan järjestetty pari  määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (myös satunnaisvektori ). Satunnaismuuttujat voivat olla esimerkiksi diskreettejä, jatkuvia tai näiden tyyppien sekamuotoinen yhdistelmä. Järjestetty pari voi lisäksi olla näiden tyyppien yhdistelmä. Yksinkertaisuuden vuoksi tässä ei esitetä sekamuotoisien satunnaismuuttujien merkintöjä, vaan ne ovat joko diskreettisia tai jatkuvia satunnaismuuttujien pareja.

Todennäköisyysfunktio 
Todennäköisyysfunktio, joka on joko diskreettien satunnaismuuttujien pistetodennäköisyysfunktio tai jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktio, on kummassakin tapauksessa reaalilukufunktio

jolla on seuraavat alla esitetyt ominaisuudet.

Diskreettien satunnaismuuttujien pistetodennäköisyysfunktiolle 
 kaikille

Jatkuvien satunnaismuuttujien tiheysfunktiolle  
 kaikille

Tapahtuma 
Diskreetissä tapauksessa tapahtuma on sellainen järjestetty pari , jonka pistetodennäköisyysfunktion arvo ei ole nolla
 

Jatkuvassa tapauksessa tapahtuma koostuu sellaista alueista , joissa tiheysfunktio, ja sen seurauksena myös todennäköisyysfunktio, ei ole koko ajan nolla

Kertymäfunktio 
Kertymäfunktio voidaan muodostaa monilla eri tavoilla. Yleisin tapa on luoda tapahtumia, johon kerätään kaikkien satunnaismuuttujien arvot tiettyyn ylärajaan asti. Kaksiulotteisessa jakaumassa se tarkoittaa tapahtumaa

Kaksiulotteista kertymäfunktiota voidaan merkitä

ja sillä tarkoitetaan diskreetissä tilanteessa
 
ja jatkuvassa tilanteessa
 

Jatkuvassa tapauksessa, mikäli kertymäfunktio on derivoituva, saadaan osittaisderivoimalla kummankin satunnaismuuttujan suhteen
 
Derivaattafunktio on yhteisjakauman tiheysfunktio.

Reunajakaumat 

Yhteisjakauman ulottuvuuksia voidaan rajoittaa kiinnittämällä yksi tai useampia satunnaismuuttujia vakioiksi, ja laskemalla syntyvän alempiulotteisen jakauman todennäköisyys tai kertymäfunktiot. Näitä jakaumia kutsutaan yleisellä nimellä reunajakauma, joka on peräisin kahden satunnaismuuttujan jakauman ominaisuudesta.

Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumia on kaksi, joiden todennäköisyysfunktioiden muodostaminen esitetään tässä. Niiden pistetodennäköisyysfunktiot muodostetaan diskreetissä tapauksessa 
  (satunnaismuuttujan  suhteen)
   (satunnaismuuttujan  suhteen)
ja tiheysfunktiot jatkuvassa tapauksessa vastaavasti
 
 

Edellisillä reunajakaumilla on myös kertymäfunktiot  ja , ja näiden tunnusluvut, kuten esimerkiksi odotusarvot  ja  ja varianssit  ja , voidaan muodostaa reunajakaumista luonnollisella tavalla. Muut momentit saadaan esimerkiksi momenttifunktioista, jos ne ovat olemassa.

Tunnusluvut

Momentit 

Yhteisjakaumalle ja sen kummallekin reunajakuamalle voidaan määrittää momentit. Yhden satunnaismuuttujan jakaumille, kuten joskus reunajakaumille, origomomentit määritellään , keskusmomentit määritellään  ja tekijämomentit  Kahden satunnaismuuttujan yhteisjakaumille vastaavat jakaumat ovat  ja  Näiden määrittäminen yhteisjakaumalle voidaan suorittaa myös momenttifunktioilla ja generoivilla funktioilla.

Odotusarvo 
Kaksiulotteisen yhteisjakauman odotusarvo määritellään aina annetun reaalilukuarvoisen satunnaismuuttujan tai funktion avulla. Ellei eri satunnaismuuttujia voida muuttaa lausekkeeksi, ei odotusarvo ole määritelty. Eräs tapa kiertää tuo ongelma on laskea reunajakaumien odotusarvot  ja  ja muodostaa niistä järjestetty pari , joka määrää satunnaismuuttujien yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen arvot.

Ennalta annetun reaaliarvoisen funktion  odotusarvo määritellään 

kun on kyseessä diskreetit satunnaismuuttujat, ja

kun kyseessä on jatkuvat satunnaismuuttujat.

Eräiden funktioiden, kuten esimerkiksi , avulla voidaan laskea satunnaismuuttujien summan odotusarvo, jolloin summien ja integraalien ominaisuuksista johtuen voidaan aina kirjoittaa

ja jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomat, saadaan

Varianssit, kovarianssi ja korrelaatio 

Samasta syystä kuin odotusarvon tapauksessa, yhteisjakauman varianssi ei ole suoraan määritelty. Se voidaan laskea vain satunnaismuuttujista muodostetulle funktiolle ja sitten kummankin reunajakauman osalta erikseen. Sen sijaan kovarianssi  on määritelty niin, että se voidaan laskea kahdesta satunnaismuuttujasta seuraavasti 
 (diskreettit satunnaismuuttujat)
 (jatkuvat satunnaismuuttujat)
Varianssit lasketaan toisesta satunnaismuuttujasta (esimerkissä jatkuva s.m.)

missä  on yhteisjakauman reunajakauma muuttujan  suhteen.

Riippumattomat satunnaismuuttujat 

Kaksi satunnaismuuttujaa  ja  ovat riippumattomat (merkitään joskus ), jos kummankin satunnaismuuttujan tapahtumat  ja  ovat riippumattomia toisistaan. Silloin pätee tulo

Asialla on joitakin seurauksia. Kun satunnaismuuttujat ovat riippumattomat, niin silloin voidaan kirjoittaa:
 (pistetodennäköisyysfunktiot ja tiheysfunktiot)
 (kertymäfunktiot)
 (momenttifunktiot)
 (todennäköisyydet generoivat funktiot)

Moniulotteiset yhteisjakaumat 
Edellä käsitelty kaksimuuttujainen eli kaksiulotteinen yhteisjakauma on jo moniulotteinen yhteisjakauma. Muodostettaessa moniulotteisia jakaumia jatketaan kaksiulotteisen jakauman periaatetta kaikissa suhteessa lisäämällä siihen puuttuvat muuttujat ja huomioimalla eri tilanteissa syntyvien vaihtoehtojen kasvava lukumäärä.

Tärkeitä moniulotteisia jakaumia 
 Moniulotteinen normaalijakauma eli Multinormaalijakauma
 Elliptinen jakauma
 Dirichlet-jakauma (jatkuva, multinomijakauman posteriorijakauma)
 Moniulotteinen Studentin t-jakauma
 Multinomijakauma (diskreetti, toisensa poissulkevien tapahtumien frekvenssit toistokokeessa)

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta
Tilastotiede