Reunajakauma

Reunajakauma  on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta muodostettu rajoitettu jakauma, jossa varioi vain yksi satunnaismuuttuja, tai osa satunnaismuuttujista, ja samalla huomioidaan muiden satunnaismuuttujien yhteisvaikutus todennäköisyyteen. Reunajakaumat ovat erityisen hyödyllisiä kaksiulotteisissa yhteisjakaumissa, jossa reunajakaumiin jää jäljelle vain toinen satunnaismuuttuja. Niillä yritetään pääasiassa helpottaa yhteisjakauman toiminnan ymmärtämistä, mikä toimii hyvin riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa.

Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumat

Todennäköisyysfunktioilla 
Kaksiulotteinen yhteisjakauma muodostuu kahdesta satunnaismuuttujasta  ja , jotka muodostavat järjestetyn parin  Diskreetin yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion arvo annetuilla arvoilla  merkitään 
 
ja jatkuvalla yhteisjakauman tiheysfunktiolla

olevalla reaaliarvoisella lausekkeella.

Reunajakaumia on kaksi, koska yksi satunnaismuuttuja voidaan "jättää pois" kahdella eri tavalla. Diskreetillä satunnaismuuttujaparilla reunajakaumat muodostetaan ensimmäisen satunnaismuuttujan  suhteen
 
tai toisen satunnaismuuttujan  suhteen
 

Jatkuvilla satunnaismuuttujaparilla muodostetaan vastaavasti
 
tai

Kertymäfunktioilla 
Kaksiulotteinen yhteisjakauman  kertymäfunktiot muodostetaan todennäköisyysfunktioista summan tai määrätyn integraalin avulla. Tässä esitetään ylhäältä rajoitettujen kertymäfunktioiden muodostustavat. Diskreetin satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio arvojen  alla merkitään ja lasketaan
 
ja vastaavasti jatkuvan satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio merkitään ja lasketaan
 

Näistä muodostetut reunajakaumien kertymäfunktiot ovat diskreettisillä satunnaismuuttujilla vastaavasti
 
sekä
 
ja jatkuvilla satunnaismuuttujilla
 
sekä

Esimerkki kahdella satunnaismuuttujalla 
Kaksi diskreettiä satunnaismuuttujaa muodostavat yhteisjakauman . Satunnaismuuttujalla  on vain neljä arvoa  joita ei mainita tässä. Vastaavasti satunnaismuuttujalla  on myös neljä arvoa  Jokaista arvoparia  vastaa pistetodennäköisyys  jollainen on esimerkiksi  Kaikki todennäköisyydet on esitetty oheisessa taulukossa.

Yhteisjakaumalla  on kaksi reunajakaumaa  ja . Reunajakaumat muodostetaan laskemalla kullekin satunnaismuuttujan arvoille yhteistodennäköisyydet. Esimerkiksi  lasketaan

ja se on sijoitettu taulukkoon satunnaismuuttujan  reunajakauman omalle riville alareunaan. Oikeassa pystysarakkeessa sijaitsevat satunnaismuuttujan  reunajakauman todennäköisyydet.

Moniulotteiset reunajakaumat 
Kolmiulotteiset yhteisjakaumien todennäköisyysfunktiot satunnaismuuttujille ,  ja  ovat muotoa  ja kertymäfunktioille  Näiden reunajakaumia voidaan muodostaa "jättämällä pois" kaksi satunnaismuuttujaa laskemalla niiden vaikutukset todennäköisyyksiin mukaan jäljelle jäävän satunnaismuuttujan vaihteluihin. Silloin saadaan kolme reunajakaumaa: ,  ja 

Näiden lisäksi voidaan muodostaa vielä kolme reunajakaumaa "jättämällä pois" vain yksi satunnaismuuttuja. Näin muodostettujen reunajakaumien todennäköisyysfunktiot olisivat ,  ja 

Kun todennäköisyysjakaumien ulottuvuudet kasvavat, lisääntyvät myös eri mahdollisten reunajakaumien lukumäärät.

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta