Paloittain määritelty funktio

Paloittain määritelty funktio tarkoittaa matematiikassa funktiota, joka on määritelty eri tavoin määrittelyjoukkonsa osajoukoissa. Funktion määritteleminen paloittain on tarpeen silloin, kun yksi tietty funktio ei riitä kuvaamaan tarkasteltavaa tilannetta tai kun halutaan laajentaa funktion määrittelyjoukkoa sellaisiin joukkoihin, joissa se ei muutoin olisi mahdollista.

Funktion määrittely paloittain 
Olkoon  ja  joukkoja ja joukolla   kappaletta erillisiä osajoukkoja, , jotka osittavat joukon . Ts.  kaikilla ,  kaikilla  ja . Olkoon lisäksi joukoilta  joukolle  funktiot

.

Tällöin funktio ,

on paloittain määritelty funktio. Funktion määrittelemisessä paloittain on ehtoja, joiden tulee toteutua:
 Osajoukkojen  tulee olla erillisiä. Näin varmistetaan, että paloittain määritelty funktio on funktio, eli se ei saa kahta tai useampaa eri arvoa samassa pisteessä.
 Osajoukkojen  tulee täyttää määrittelyjoukko . Näin varmistetaan, että funktio on hyvin määritelty (määrittelyjoukkoon ei jää ''aukkoja'').
 Funktion  pitää olla määritelty koko osajoukossa . Tämä liittyy edelliseen kohtaan.
Esimerkiksi, jos määrittelyjoukosta  otetaan osajoukot ,  ja , niin funktiota  ei voi määritellä paloittain joukkojen ,  ja  avulla, sillä ehdot 1. ja 2. eivät toteudu ( ja  eivät ole erillisiä joukkoja ja luku 5 ei kuulu yhteenkään osajoukoista). Osajoukkoja voi olla myös äärettömän monta.

Esimerkkejä

Erikoisfunktioita 
 Yksinkertaisimpia paloittain määriteltyjä funktioita edustaa Heavisiden funktio 

Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
Signum-funktio 

Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
 Yleisesti ottaen kaikki porrasfunktiot ovat paloittain määriteltyjä funktioita.
 Indikaattorifunktio on paloittain määritelty funktio.
 Reaaliluvun  itseisarvo on paloittain määritelty funktio:

Muita esimerkkejä 

Funktio ,

on paloittain määritelty koko reaaliakselilla ja se koostuu kolmesta eri funktiosta, jotka on määritelty omilla osaväleillään ,  ja . Osa funktion graafista on esitetty viereisessä kuvassa.

Paloittain määriteltyjen funktioiden ominaisuuksia

Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot 
 Jos funktion määrittelevät osafunktiot ovat jatkuvia, niin paloittain määritelty funktio on paloittain jatkuva.

 Paloittain määritelty funktio on jatkuva, jos se on paloittain jatkuva ja lisäksi jokaisessa määrittelyvälin reunapisteessä  pätee jatkuvuusehto
.

Lähteet 

Funktiot