Tekijäavaruus (topologia)

Topologiassa ja siihen liittyvillä matematiikan aloilla tekijäavaruus on, intuitiivisesti ilmaistuna tulos, joka saadaan samastamalla toisiinsa tai ”liimaamalla yhteen” jotkin annetut topologisen avaruuden  pisteet. Toisiinsa samastettavat tai ”yhteen liimattavat” pisteet määritellään ekvivalenssirelaatiolla. Tavallisimmin tämä tehdään uuden topologisen avaruuden konstruoimiseksi jonkin ennestään tunnetun avulla. Tekijätopologia käsittää ne joukot, joiden alkukuva siinä kanonisessa projektiossa, jolla jokainen lähtöavaruuden alkio kuvataan sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle, on avoin joukko.

Määritelmä 
Olkoon  topologinen avaruus, ja olkoon ~ jokin ekvivalenssirelaatio avaruudessa .  Tekijäavaruus on :n alkioiden ekvivalenssiluokkien joukko:

varustettuna topologialla, jossa avoimia joukkoja ovat ne ekvivalenssiluokkien joukot, joiden yhdisteet ovat avoimia joukkoja X:ssä:

Yhtäpitävästi voidaan määritellä avoimiksi ne joukot, joiden alkukuva surjektiivisessa kuvauksessa , joka liittää jokaiseen X:n pisteeseen sitä vastaavan ekvivalenssiluokan, on avoin:

Tekijäavaruuden avoimien joukkojen muodostama tekijätopologia on siis projektion  koindusoima topologia avaruudessa X/~.

Samastuskuvaus 

Tekijäavaruuteen liittyy läheisesti myös samastuskuvauksen eli tekijäkuvauksen käsite. Sanotaan, että kuvaus  on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos Yn osajoukoista U ovat avoimia ne ja vain ne, joiden alkukuva on avoin. Yhtäpitävästi voidaan määritellä, että  on samastuskuvaus, jos se on surjektio ja jos se koindusoi maaliavaruuteen Y sen alkuperäisen topologian.

Jos  on ekvivalenssirelaatio joukossa , kanoninen kuvaus  on samastuskuvaus.

Pisteiden liimaaminen 
Liimaaminen. Topologiassa käytetään usein ilmaisua, että pisteet ”liimataan” yhteen. Olkoon X topologinen avaruus ja  kaksi sen pistettä. Muodostetaan ekvivalenssirelaatio ~, jossa a ~ b, jos ja vain jos joko
 ,
  ja  tai 
  ja . 
Tämän ekvivalenssirelaation määrittämän tekijäavaruuden muodostamista sanotaan pisteiden x ja y ”liimaamiseksi” yhteen. Yleensäkin tekijäavaruuden muodostamista voidaan havainnollistaa kuvittelemalla, että samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvat pisteet ikään kuin ”liimataan” kiinni toisiinsa. Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, tämä voidaan monessa, joskaan ei kaikissa tapauksissa tehdä aivan konkreettisestikin.

Esimerkkejä 

Tarkastellaan yksikköneliötä I2 = [0,1] × [0,1] ja ekvivalenssirelaatiota ~, jossa kaikki neliön reunapisteet ovat ekvivalentteja, toisin sanoen ne muodostavat yhden ekvivalenssiluokan; muihin ekvivalenssiluokkiin kuuluu kuhunkin vain yksi piste, jokin neliön sisäpiste. Tällöin I2/~ on homeomorfinen yksikköpallon S2 kanssa.
Edellistä esimerkkiä voiaan yleistää seuraavasti: Olkoon  suljettu n-ulotteinen kuula ja  sen reuna, (n-1)-ulotteinen pallo.  Silloin tekijäavaruus  on homeomorfinen :n kanssa. Tässä  saadaan kutistamalla n-kuulan reuna pisteeksi, ja se on muodollisesti sellaisen ekvivalenssirelaation määrittämä tekijäavaruus, jossa kaikki reunan  pisteet ovat ekvivalentteja.
Vieläkin yleisemminkin voidaan menetellä seuraavasti. Oletetaan, että X on topologinen avaruus ja A jokin sen aliavaruus. Voidaan muodostaa ekvivalenssirelaatio, jossa kaikki A:n pisteet ovat keskenään ekvivalentteja, kun taas A:han kuulumattomat pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa. Tämän ekvivalenssirelaation määrittämälle tekijäavaruudelle käytetään merkintää X/A. Esimerkiksi pallonpinta  on homeomorfinen sen tekijäavaruuden kanssa, joka saadaan, kun yksikkökiekossa  määritellään tällä tavoin tekijäavaruus , missä  on yksikköympyrän kehä.
 Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaan kahden vastakkaisen sivun kaikki pisteet (0,y) ja (1,y), kun 0 <= y <= 1, saadaan katkaisu lieriö. Tämä voidaan tehdä konkreettisestikin kiertämällä neliön muotoinen paperiarkki lieriöksi ja liimaamalla vastakkaiset sivut yhteen.
 Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaankin kahden vastakkaisen sivun kaikki pisteet (0,y) ja (1, 1-y), kun 0 <= y <= 1, saadaan Möbiuksen nauha. Tämäkin on mahdollista tehdä myös konkreettisesti, joskin neliön sijasta on tällöin käytettävä sen kanssa homeomorfista, tarpeeksi pitkää ja kapeaa suorakulmiota.
 Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaan pisteiden (0,y) ja (1,y) lisäksi myös pisteet (x,0) ja (x,1), kun 0 <= x <= 1 ja 0 <= y <= 1, saadaan toruspinta. Toruksen voidaan ajatella muodostuvan, kun tarpeeksi pitkä lieriö kierretään niin, että se muodostaa pituussuunnassa ympyrän, minkä jälkeen sen molemmat päät yhdistetään.
 Jos neliössä I2 = [0,1] × [0,1] samastetaan pisteet (0,y) ja (1, 1-y) sekä (x,0) ja (x,1), saadaan Kleinin pullo. Jos taas samastetaan pisteet (0,y) ja (1, 1-y) sekä (x,0) ja (1-x,1), saadaan projektiivinen taso. Näitä kuitenkaan ei voida toteuttaa konkreettisesti, sillä kolmiulotteisessa avaruudessa  ei ole sellaisia osajoukkoja, jotka olisivat näiden kanssa homeomorfiset.
Tarrkatellaan reaalilukujen joukkoa  varustettuna tavanomaisella topologialla ja määritellään ekvivalenssirelaatio, jossa x ~ y jos ja vain jos x - y on kokonaisluku. Tällöin tekijäavaruus X/~ on homeomorfinen yksikköympyrän S1 kanssa: tässä homeomorfismissa kutakin reaalilukua x vastaa yksikköympyrällä oleva piste (cos 2πx, sin 2πx).
Edellinen esimerkki voidaan yleistää seuraavasti: Olkoon G topologinen ryhmä, jonka alkiot ovat X:n jatkuvia kuvauksia itselleen. Tällöin avaruudessa X voidaan muodostaa ekvivalenssirelaatio, jossa pisteet x ja y ovat ekvivalentteja, jos ja vain jos on olemassa sellainen tähän ryhmään kuuluva kuvaus f, että . Tämän ekvivalenssirelaation määrittämälle tekijäavaruudelle käytetään tällöin merkintää X/G.  Edellä mainittu esimerkki voidaan käsittää tämän erikoistapaukseksi samastamalla kokonaislukujen ryhmä  reaalilukujen joukossa määriteltyjen kuvausten  muodostaman ryhmän kanssa kanssa, missä n on kokonaisluku. Muodostettu tekijäavaruus on siis , joka on homeomorfinen S1:n kanssa.

Huomattakoon kuitenkin, että merkintä  voi tarkoittaa kahta eri asiaa. Jos  käsitetään edellä selitetyllä tavalla :n kuvausten muodostamaksi ryhmäksi, saadaan edellä kerrotulla tavalla ympyrä.  Jos kuitenkin  käsitetään :n aliavaruudeksi, tekijäavaruudeksi saadaan numeroituvasti ääretön joukko silmukoita, jotka kohtaavat toisensa yhdessä pisteessä; kukin silmukka vastaa yhtä avointa väliä , missä n on kokonaisluku.

Ominaisuuksia 
Jokainen kompakti metristyvä avaruus voidaan esittää Cantorin joukon tekijäavaruutena.

Jokainen kompakti yhtenäinen n-monisto, kun n>0, voidaan esittää minkä tahansa muun kompaktin yhtenäisen n-moniston tekijäavaruutena, ja kuvaus tekijäavaruudesta f:X/~->Y on jatkuva, jos ja vain jos f0q:X->Y on jatkuva.

Topologisen avaruuden X surjektio q toiselle topologiselle avaruudelle Y on samaistuskuvaus, jos sillä on seuraava ominaisuus: jos Z on mikä tahansa topologinen avaruus ja  mikä tahansa kuvaus, f on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus f ° q on jatkuva.

Tekijäavaruutta X/~ yhdessä samastuskuvauksen q : X -> X/~ kanssa luonnehtii seuraava universaaliominaisuus: Jos g : X -> Z on sellainen jatkuva kuvaus, että kaikilla samaan ekvivalenssiluokkaan kuuluvilla Xn alkioilla on sama kuvapiste Z:ssä, on olemassa yksi ja vain yksi sellainen jatkuva kuvaus f : X/~ -> Z, että g = f ° q.  Sanotaan, että g laskeutuu tekijäavaruuteen.

Tekijäavaruuden X/~ jatkuvia kuvauksia ovat siis ne ja vain ne kuvaukset, jotka saadaan X:ssä määritellyistä jatkuvista kuvauksista ja jotka ovat yhteensopivia ekvivalenssirelaation kanssa (siinä mielessä, että ekvivalenteilla alkioilla on sama kuva).  Tutkittaessa tekijäavaruuksia tätä kriteeriä käytetään paljon.

Usein on selvitettävä, onko jokin surjektio q : X -> Y samaistuskuvaus. Jos q on avoin tai suljettu kuvaus, se on samaistuskuvaus. Nämä ovat kuitenkin vain riittäviä, mutta eivät välttämättömiä ehtoja.  On helppo muodostaa esimerkkejä samaistuskuvauksista, jotka eivät ole avoimia eivätkä suljettuja. Topologisten ryhmien tapauksessa samaistuskuvaukset ovat avoimia.

Suhde muihin topologisiin käsitteisiin

Erotteluaksioomat 
Erotteluaksioomien suhteen tekijäavaruudet käyttäytyvät usein yllättävällä tavalla. Vaikka topologinen avaruus X toteuttaa yhden tai useamman erotteluaksiooman, tekijäavaruus X/~ ei niitä välttämättä noudata. Toisaalta tekijäavaruudella X/~ voi olla erotteluominaisuuksia, joita alkuperäisellä avaruudella X ei ole. Seuraavat tulokset ovat kuitenkin voimassa:
 X/~ on T1-avaruus, jos ja vain jos jokainen ~:n ekvivalenssiluokka on suljettu X:ssä.
 Jos tekijäavaruutta vastaava samaistuskuvaus on avoin, tekijäavaruus X/~ on Hausdorff-avaruus, jos ja vain jos relaatiota ~ vastaava tuloavaruuden X×X osajoukko R = {} on suljettu.

Yhtenäisyys 
Jos avaruus on yhtenäinen tai polkuyhtenäinen, samoin ovat sen kaikki tekijäavaruudet.

Yhdesti yhtenäisen tai kutistuvan avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole yhdesti yhtenäinen eikä kutistuva.

Kompaktius 
Kompaktin avaruuden kaikki tekijäavaruudet ovat kompakteja.  Sen sijaan lokaalisti kompaktin avaruuden tekijäavaruus ei välttämättä ole lokaalisti kompakti.

Ulottuvuus 
Tekijäavaruuden topologinen ulottuvuus voi olla suurempi tai pienempi kuin alkuperäisen avaruuden. Avaruuden täyttävät käyrät tarjoavat tästä esimerkkejä.

Lähteet

Viitteet 

Topologia