Vuorotteleva sarja

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

 

oleva sarja, missä  jokaisella  

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien 

 

muodostama jono  suppenee.

Leibnizin kriteerio 
 Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään  Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

Lause: Sarja

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono  suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan  termit kaksittain

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme 

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

Yhtälöstä

 

seuraa edelleen, että 

 

oli summausindeksi  mikä hyvänsä. 
Lopulta, koska oletimme ehdon  olevan voimassa, saamme

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa .  Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono  suppenee ja

Sarjan summan arvioiminen
Vuorottelevan sarjan summaa  voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia . Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

ja näin saadaan virhetermille arvio

Itseisesti suppeneva sarja
Sarja  on itseisesti suppeneva, jos sarja  suppenee.

Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

Todistus:
Oletetaan, että sarja  suppenee itseisesti. Tällöin sarjat  ja  suppenevat. 

Koska epäyhtälöt

 

ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja  suppenee. 

Näin ollen  suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä 

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.

Ehdollinen suppeneminen
Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja  hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

jolloin päädyttäisiin tulokseen 

mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

Katso myös
 Sarja (matematiikka)
 Harmoninen sarja

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Matemaattiset sarjat