Genus (matematiikka)

Genus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukumäärä. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillistä silmukkaa myöten pinnan voi leikata auki niin että se pysyy yhtenäisenä.

Määritelmä
Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":

Olkoon  projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan . Tällöin :n aritmeettinen genus on määritellään Eulerin karakteristikan avulla

joka riippuu :sta. Jos  on sileä projektiivinen varisto yli :n, niin :n geometrinen genus on

 missä  on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja  tarkoittaa :n nollatta Čechin kohomologiaryhmää.

Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa  määritellään korkeampiuloitteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla

missä  on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.

Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku.

Lähteet

Geometrinen topologia