Geometrinen todennäköisyys

Geometrinen todennäköisyys on todennäköisyyslaskennassa eräs tapa havainnollistaa jatkuvia alkeistapauksia tai satunnaismuuttujia esittämällä ne yksi- tai useampiulotteisina kuvioina. Kuviot muodostaneet pisteet tulkitaan alkeistapauksiksi, jotka ovat klassisen todennäköisyyslaskennan tapaan symmetrisiä eli yhtä yleisiä tapauksia. Vertaamalla kuvion osien mittoja, voidaan niitä vertaamalla laskea tapahtumien todennäköisyyksiä. Geometrista todennäköisyyslaskentaa pidetäänkin klassisen todennäköisyyslaskennan yleistyksenä.

Reunaehdot 
Geometrista todennäköisyyslaskentaa voidaan soveltaa tilanteisiin, jossa kaikki perusjoukon  pisteet muodostavat geometrisen kuvion ja tapahtuman  pisteet sen osakuvion. Todennäköisyyden suuruus ei saa riippua osakuvion sijainnista ja muodosta, vaan ainoastaan sen mitoista.

Lukuvälien perusjoukkoja voidaan esittää lukusuoralla tai janalla. Myös tasokuviot ja tilavuuskappaleet voivat esittää perusjoukkoja, joista erotetaan osajoukkojen alueita. Perusjoukon koko  saadaan pituuksista, aloista ja tilavuuksista, samoin tapahtumia edustavien osajoukkojen koko . Funktiolla  ilmaistaan geometrisen kuvion koko (pituus, ala tai tilavuus eli mitta).

Määritelmä 
Oletetaan aluksi, että satunnaisilmiö voi valita minkä tahansa perusjoukkoa  esittävän kuvion pisteistä yhtä todennäköisesti. Tapahtumat ovat perusjoukon osajoukkona kuvion osakuvio. Geometrisessä todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että osakuvion  piste valitaan todennäköisyydellä

Esimerkkejä 
Yllä olevan ympyrän sisältä sattumanvaraisesti valittujen pisteiden osuminen keskustan alueelle riippuu ainoastaan ympyräalueiden pinta-aloista. Suurimman ympyrän säde on 4 senttimetriä ja keskustan ympyrän säde vain 2 senttimetriä. Ympyrän pinta-ala lasketaan , joten suuren ympyrän koko on  ja pienen . Silloin kysytty todennäköisyys on
 

Sykkyrässä olevan metrin pituisen narun katkaiseminen saksilla voidaan muuttaa geometriseksi tehtävksi olettamalla katkaisukohdan valikoituvan sattumanvaraisesti. Naru voidaan aluksi ajatella olevan suoraksi ojennettuna lukusuoralla, jolloin se asettuu lukuvälille . Kun naru katkaistaan valitusta kohdasta , saadaan kaksi  narun pätkää. Lukusuoralla nämä vastaavat välejä  ja , joiden pituudet ovat  ja . Todennäköisyyslaskut voidaan pelkistää luettelemalla suotuisat luvun  arvot välien yhteispituuksina ja vertaamalla ne narun kokonaislituuteen (joka on yksi).

Buffonin neula on ongelma, jossa lautalattialle heitetään neula tai tulitikku. Millä todennäköisyydellä neila osuu lattian raon kohdalle? Ongelma voidaan pelkistää kahden parametrin ongelmaksi: tikun keskikohdan ja tikun asentoon lattiarakoihin nähden.

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta