Fermat’n pisteet

Fermat’n pisteet liittyvät geometriassa kolmioihin ja sen vanhin esitys liittyy Pierre de Fermat’n kirjeeseen ystävälleen Evangelista Torricellille. Siinä esitetty probleema, jota voidaan kutsua Fermat-Steiner-probleemaksi , kertoi kolmesta kylästä, joista tuli suunnitella suorat tiet niiden keskellä olevaan risteykseen siten, että maanteiden yhteispituus olisi mahdollisimman lyhyt. Kun kylät sijoitetaan kolmion kärkiin, sijaitsee janojen risteys pisteessä, jota kutsutaan Fermat’n pisteeksi (tarkemmin: ensimmäinen Fermat’n piste). Koska Torricelli ratkaisi probleeman, kutsutaan pistettä myös Torricellin pisteeksi, mutta toisinaan myös ensimmäiseksi isogooniseksi pisteeksi tai Steinerin pisteeksi. Piirroksissa pistettä merkitään usein X tai F1, ja se on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella .

Fermat’n piste löytyy muillakin tavoilla. Kun kolmion sivuille piirretään tasasivuiset kolmiot siten, että niiden sivut yhtyvät alkuperäisen kolmion kanssa. Tilanne on rakenteeltaan samanlainen konstruktio, jota Napoleonin lause käsittelee. Kun kolmion kärjet yhdistetään janoilla vastaisen sivun tasasivuisen kolmion vapaaseen kärkeen, leikkaavat janat Fermat’n pisteessä. Fermat’n piste syntyy myös tasasivuisia kolmioita ympäröivien ympyröiden leikatessa toisensa.

Ensimmäinen Fermat’n piste 
Fermat’n piste sijaitsee kohdassa, missä tieverkon etäisyyksien summa saa pienimmän arvonsa: . Tarkasteltaessa tilannetta Napoleonin lauseen konstruktiossa, on tieverkon pituus sama kuin janat , jotka siis ovat yhtä pitkät. Jos kolmion kaikki kulmat ovat alle 120° niin janat, jotka yhdistävät kolmion kärjet Fermat’n pisteeseen F1, muodostavat keskenään 120° kulmat. Tällaista ominaisuutta kutsutaan isogoniseksi.

Fermat’n piste voidaan löytää fysikaalisesti kokeilemalla. Tällöin porataan kolmion kärkiin pienet reiät, johon pujotetaan punnuksiin sidotut langat. Lankojen päät yhdistetään solmulla ja punnusten annetaan riippua samalla, kun kolmiota liikutellaan varovasti. Solmu hakeutuu asemaan, jossa lankojen suuntaiset vinot voimat lopulta kumoavat toisensa, mikä sijaitsee Fermat’n pisteessä.

Jos kolmion sivun pituudet ovat a, b ja c, ja kolmion kärkien etäisyydet Fermat’n pisteestä x, y ja z, on olemassa toinen tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on x + y + z, ja sen sisällä piste P siten, että etäisyydet tasasivuisen kolmion kärkiin ovat a, b ja c. 

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat
 
ja sen barysentriset koordinaatit ovat (A = kolmion ala)

Toinen Fermat’n piste 
Toinen Fermat’n piste (merkitään usein X', F2 tai ) syntyy samalla tavalla kuin ensimmäinenkin piste, mutta sillä erolla, että tasasivuiset kolmiot on käännetty kolmion päälle. Nyt kolmion kärjen ja sen vastaisen sivun tasasivuisen kolmion vapaan kärjen välisen janan jatkeet leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Pistettä kutsutaan myös nimellä toinen isogoninen piste.

Piste F2 löytyy myös ympyröillä. Konstruktion jokaisen tasasivuisen kolmion ympäri piirretään ympyrät, jotka sitten leikkaavat toisessa Fermat’n pisteessä. Pisteellä F2 on vielä eräs erikoisominaisuus. Jos yksi kulma, esimerkiksi C, on alle 60°, ja kaksi muuta kulmaa A ja B ovat yli 60°, on lausekkeella  arvo minimissään. Jos kulmaehdot eivät täyty, on minimilauseke pienin jonkin muun kulman suhteen.
 
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat
 
ja sen barysentriset koordinaatit ovat (A = kolmion ala)

Fermat'n pisteen historia 
Pierre de Fermat (1601–1665) kävi kirjeenvaihtoa Evangelista Torricellin (1608–1647) kanssa ja haastoi hänet keksimään ratkaisun ongelmaan, jossa kolme kylää tuli yhdistää kolmella tiellä siten, että ne yhtyvät samassa pisteessä ja että teiden yhteispituus olisi pienin mahdollinen. Koska Torricelli ratkaisi ongelman vuonna 1640 (Viviani julkaisi sen vuonna 1659), kutsutaan toisinaan tuota pistettä Torricellin pisteeksi. Fermat’n ongelma rajoittui kolmioon, jonka kaikki kulmat olivat alle 120°, vaikka ongelma toimii muillekin kulmille. Heinen todisti lauseen täydellisesti vuonna 1834.

Ensimmäinen Fermat’n piste on ensimmäinen merkillinen piste, joka löydettiin antiikin aikojen jälkeen. Tämä on poikkeuksellisen pitkä aika, koska nykyään niitä tiedetään olevan yli 5 000.

Muita ominaisuuksia 
 Ensimmäinen Fermat’n piste () on isogonaalinen konjugaatti ensimmäisen isodynaamisen pisteen () kanssa. Se on isotominen konjugaatti merkillisen pisteen  kanssa.
 Toinen Fermat’n piste () on isogonaalinen konjugaatti toisen isodynaamisen pisteen () kanssa. Se on isotominen konjugaatti merkillisen pisteen  kanssa.

Katso myös 
 Napoleonin lauseen konstruktioon liittyvät myös Napoleonin pisteet, jotka ovat kolmion merkillisiä pisteitä.

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 

 PlanetMath: Fermat−Torricelli theorem
 PlanetMath: Triangle center
 Ballew, Pat: The Fermat Point 
 Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 17, University of Kentucky

Geometria
51 Matematiikka