Spinori

Spinori on matematiikassa ja fysiikassa esiintyvä eräiden kompleksisten vektoriavaruuksien elementti. Ryhmäteoreettisesti ajateltuna spinori on spin-ryhmän pienimmän esityksen vektori.
Koska spin-ryhmä Spin(1,3) on Lorentz-muunnosten ryhmän SO(1,3) peite, on spinoreilla erittäin tärkeä osuus relativistisen kvanttimekaniikan formulaatiossa.

Spinorin käsite
Ranskalainen matemaatikko Élie Cartan löysi spinorit vuonna 1913. Myöhemmin spinorit otettiin käyttöön erityisesti kvanttimekaniikassa kuvaamaan hiukkasen sisäistä pyörimismäärää, spiniä. Paul Ehrenfest otti käyttöön nimityksen spinori kvanttifysiikassa.

Spinorin käsitettä voidaan lähestyä kahdella tavalla.

Ensimmäinen lähestymistapa on ryhmäteoreettinen. Lähtökohtaisesti tiedetään, että ortogonaaliryhmän Lie-algebralla on olemassa esityksiä, joita ei voida muodostaa tavallisen tensorilaskennan keinoin. Näitä esityksiä kutsutaan spin-esityksiksi ja niiden elementtejä spinoreiksi. Tässä katsantokannassa spinori kuuluu kiertojen ryhmän  peitteen esitykseen, tai yleisemmin, yleistetyn erikoisen ortogonaaliryhmän  esitykseen avaruuksissa, joiden metrinen signatuuri on . Nämä peitteet ovat Lien ryhmiä ja niitä kutsutaan spin-ryhmiksi .

Toinen lähestymistapa on geometrinen. Spinori voidaan muodostaa ensin eksplisiittisesti, jonka jälkeen Lien ryhmien vaikutusta siihen voidaan tutkia. Tämän lähestymistavan etuna on se, että spinorin käsite on hyvin konkreettinen alusta pitäen. Tällainen lähestyminen voi kuitenkin olla epäkäytännöllinen tarkasteltaessa spinorien monimutkaisia ominaisuuksia, kuten Fierzin identiteettejä.

Diracin spinori
Diracin spinori on yleisimmin fysiikassa esiintyvä spinori. Se on nimetty Paul Diracin mukaan. Diracin spinori on kompleksisen Cliffordin algebran  (johon spin-ryhmä Spin(p, q) voidaan upottaa) fundamentaalin esityksen elementti. Diracin yhtälön mukaan spinorit ovat välttämättömiä relativistisen elektronin kvanttitilojen kuvauksessa. Vapaan Diracin yhtälön

toteuttavaa tasoaaltoratkaisua

kutsutaan Diracin spinoriksi. Diracin spinori on bispinori.
Edellä (yksiköissä )
 on relativistinen spin-1/2 kenttä,
 on Diracin spinori, jonka aaltovektori on 
,
 on nelivektori, joka kuvaa tasoaallon aaltovektoria, ja jossa  on mielivaltainen,
 ovat nelikoordinaatit annetussa inertiaalijärjestelmässä.

Positiivisen energian ratkaisu Diracin yhtälölle voidaan kirjoittaa muotoon

jossa
 on mielivaltainen 2-spinori,
 ovat Paulin matriisit ja
 on positiivinen neliöjuuri, .

Weylin spinori
Weylin spinori on pienin kompleksinen ryhmän  esitys. Se on samanaikaisesti myös pienin kompleksinen aliagebran  esitys. 
Siinä missä Diracin spinori sisältää hiukkasen molemmat helisiteetit, Weylin spinori kuvaa ainoastaan yhtä helisiteettiä.
Diracin bispinori voidaankin esittää kahden vastakkaista helisiteettiä kuvaavan 2-komponenttisen Weylin avulla:

Weylin spinorit muodostavat Lorentzin ryhmän redusoitumattoman esityksen.
Weylin spinori nimetty saksalaisen fyysikon ja matemaatikon Hermann Weylin mukaan.

Majorana-spinori
Majorana-spinori on pienin reaalinen ryhmän  esitys. Majorana-spinori toteuttaa Majoranan yhtälön ja kuvaa hiukkasta, joka on oma antihiukkasensa. Majorana-spinori on nimetty italialaisen fyysikon Ettore Majoranan mukaan.

Lähteet

Viitteet

Kvanttimekaniikka
Kvanttikenttäteoria
Differentiaaligeometria
Ryhmäteoria