Gergonnen piste

Gergonnen piste on geometriassa eräs kolmion merkillinen piste, joka ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella   Kun kolmion sisään piirretään suurin ympyrä (sisäympyrä), mikä sinne mahtuu, sivuaa se kolmion sivuja sen sisäpuolelta. Kun sivuamispisteet, joita kutsutaan myös kantapisteiksi, yhdistetään ceviaaneilla sivujen vastaisiin kärkiin, leikkaavat nämä toisensa pisteessä, jota kutsutaan Gergonnen pisteeksi.

Sijainti kolmiossa

Trilineaariset koordinaatit 
Pisteen trilineaariset koordinaatit 
.

Barysentriset koordinaatit 
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 
 : 
missä  on kolmion piirin pituuden puolikas.

Ominaisuuksia 
 Gergonnen pisteen isogonaalinen konjugaatti on insimilikeskus ().
 Sen sykloceviaaninen konjugaatti on se itse.
 Sen isotominen konjugaatti on Nagelin piste ().
 Se on pisteen  komplementti.
 Se on Mittenpunktin () antikomplementti.

Todistus 
Cevan lauseella on helppo todistaa, että sisäympyrän sivuamispisteisiin päättyvät ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä Gergonnen pisteessä. Merkitään kolmion  sisäympyrän sivuamispisteitä vastaisen kärjen kirjaimilla . Samaa kärkeä käyttävät suunnatut janat , koska ne ovat sisäympyrän tangentteja. Samoin on muidenkin kärjistä lähtevät janat  ja . Silloin Cevan lausetta seuraten 

Cevan lauseen mukaan janat ,  ja  ovat konkurrentit.

Lähteet 

Geometria