Alkulukufunktio

Alkulukufunktio on matematiikan funktio, jolla lasketaan reaalilukua x pienempien tai yhtäsuurten alkulukujen lukumäärää. Funktion merkintä on    (Kaavassa π(x) ei viitata lukuun π.)

Historiaa 

1700-luvulla löysivät Gauss ja Legendre että

on hyvä approksimaatio alkulukufunktiolle; tarkemmin,

Tämä lauseke tunnetaan alkulukulauseena; se todistettiin 1800-luvun lopulla oikeaksi. Väite voidaan kirjoittaa yhtäpitävästi muodossa

jossa  on logaritminen integraalifunktio.

Littlewoodin lause 
John Littlewood todisti 1914 että on olemassa mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

ja mielivaltaisen suuria lukuja x, joille

Tästä seuraa että erotuksen π(x) − li(x) merkki vaihtuu äärettömän usein.

Riemannin hypoteesi 

Riemannin hypoteesi on ekvivalentti seuraavaan kaavaan: 

 

Riemannin hypoteesi siis antaisi alkulukufunktion antamalle arviolle alkulukujen määrästä huomattavasti nykyistä tiukemmat virherajat.

Lähteet 

Analyyttinen lukuteoria