Kollineaarisuus

Kollineaarisuus tarkoittaa geometriassa pistejoukon ominaisuutta, kun ne sijaitsevat kaikki samalla suoralla. Tasogeometriassa kaksi pistettä ovat itsestään selvästi kollineaarisia, sillä kahden pisteen avulla voidaan määrittää suora. Myös suoran omat pisteet ovat itsestään selvästi kollineaarisia. Pistejoukko on epäkollineaarinen, jos kaikki pisteet eivät ole yhteisellä suoralla.

Yhteisellä suoralla olevat pisteet  ovat kollineaariset. Tämä voidaan merkitä lyhyesti

Kollineaarisuustestejä 
Kolme pistettä, tai enemmän, sijaitsevat samalla suoralla vain erityistapauksissa ja kollineaarisuuden voi selvittää eri tavoin.

Kolmas piste  sijaitsee samalla suoralla pisteiden  ja  kanssa, jos 
 

Kolme pistettä muodostavat kolmion, jos ne eivät ole kolineaarisia, muuten ne muodostavat suoran. Kolmen pisteen muodostaman kolmion pinta-ala on nolla, jos kolmion kärkinä olevat pisteet ovat kollineaariset. Pinta-ala voidaan laskea determinantin avulla
 
tai evaluoidussa muodossa
 

Kolmas piste on kahden muun kanssa kollineaarinen, jos kolmannen pisteen etäisyys suorasta, jonka kaksi muuta pistettä määrittävät, on nolla. Pisteiden paikkavektoreiden  avulla voidaan ristitulolla laskea pisteen  etäisyys suorasta ja merkitä se nollaksi:

Menelauksen lause  
Menelauksen lause: Pisteet R, S, T ovat kolmion ABC sivusuorilla ja ne ovat kollineaariset jos ja vain jos suunnatuilla janoilla 
 
Menelauksen lauseessa voivat kaikki kolme pistettä olla kolmion sivusuorilla. Piste on kolmion sivusuoralla, jolloin se voi olla kolmion sivulla tai sivun jatkeella.

Transversaalilause 
Jos  ja  ovat kollineaarisia,  ei ole näiden pisteiden kautta kulkevalla suoralla ja  ja  ovat mielivaltaisia pisteitä suorilla  ja , niin  ja  ovat kollineaarisia jos ja vain jos , missä pituudet ovat suunnatut.

Esimerkkejä kollineaarisuudesta 
Yleisen kolmion keskijanojen leikkauspiste (painopiste), kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste, korkeusjanojen leikkauspiste (ortokeskus) ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ovat kollineaariset. Suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.

Lähteet

Viitteet 

Geometria