Geometrisen keskiarvon lause

Geometrisen keskiarvon lause kuvaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusalta piirretyn korkeusjanan ja sen jakamien hypotenuusan osien suhdetta. Lauseen mukaan korkeusjanan pituus on näiden osien pituuksien geometrinen keskiarvo.

Lause

Jos h on suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vastaava korkeusjana ja p and q korkeusjanan jakamat hypotenuusan osat niin näiden suhdetta voidaan kuvata lauseella: 

tai vastaavasti:

Eukleides (n. 360–280 eaa.) käytti jälkimmäistä lausetta (2. kirjan 14. väittämä) annetun suorakulmion kanssa yhtäsuuren neliön piirtämiseen harpin ja viivaimen avulla:
-Ensin suorakulmion DBIE sivua BD jatketaan suorakulmion sivun DE verran(DE=DA). 
-Seuraavaksi piirretään puoliympyrä, jonka halkaisija on pidennetty sivu AB.
-Pidennetään janaa DE ympyrän kehälle pisteeseen C.
-DC on halutun neliön sivun pituus.

Lausetta voidaan soveltaa myös käänteisesti: Jos kolmion korkeus­janan jakamien segmenttien tulo on yhtä kuin korkeusjanan neliö, niin kolmio on suorakulmainen.

Todistus

Yhdenmuotoiset kolmiot
Teoreema:
Kolmiot  ja  ovat yhden­muotoisia. Yhdenmukaisuudesta seuraa yhtälö:

Käänteisesti:
Olkoon kolmio  jossa  pätee ja todistetaan että C on suorakulma. Koska  niin myös . Kolmioiden suorat kulmat ovat yhtäsuuret  joten kolmioilla ja  on yksi yhtä suuri kulma ja sen viereiset kulmat ovat keskenään saman suhtaisia, jolloin myös muut kulmat pienemmissä kolmioissa ovat yhtäsuuria. Tästä seuraa että::

Uudelleen järjesteltynä

Leikataan suorakulmainen kolmio korkeusjanan h kohdalta kahteen yhdenmuotoiseen kolmioon, jotka järjestetään peräkkäin suuremmaksi kolmioksi, jonka sivun pituudet ovat p+h ja q+h. Ensimmäisen kolmioiden väliin jäävä tyhjä tila täyttyy pinta-alaltaan  h2 kokoisella neliöllä, ja toinen kolmioiden väliin jäävä alue suorakulmiolla pq. Koska molemmat uudelleen järjestetyt kolmiot ovat saman kokoisia, niin myös lisättyjen neliön ja suorakulmion tulee olla keskenään saman kokoisia.

Lähteet
Eukleides: Elements,  book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy)

Aiheesta muualla 

Geometria