Funktion differentiaali

Differentiaali on matematiikassa reaaliarvoisen funktion eräs sen muutosnopeutta määrittelevän lausekkeen tai mitan nimitys. Differenssi, joka tarkoittaa funktion todellista muutosta, jaetaan muutoksen lineaariseen osaan, eli differentiaaliin, ja korjaustermiin. Differentiaalin käsite on keskeisessä osassa differentiaalilaskennassa ja esimerkiksi derivaatan määritelmässä.

Johdanto

Historia 
Differentiaalit esitteli ensimmäisenä Gottfried Wilhelm Leibniz, jonka heuristinen ja intuitiivinen ajatus oli esittää dy äärimmäisen pienenä suureen y muutoksena. Muutos dy oli pienempi kuin mikään reaaliluku, mutta ei kuitenkaan aivan nolla. Tällaisia lukuja on kutsuttu infinitesimaaleiksi ja niiden käytön perinne juontaa Euroopassa Kreikan antiikkiin. Yhdessä muuttujan x muutoksen dx kanssa voitiin nyt esitellä muutosnopeus dy/dx, joka kutsutaan Leibnizin merkinnäksi derivaatalle. Vaikka luvut dy ja dx olisivatkin äärimmäisen pieniä lukuja, ei osamäärä dy/dx sitä välttämättä ole.

Koska infinitesimaalien käyttöä kritisoitiin voimakkaasti 1700- ja 1800-luvuilla, julkaisi Augustin-Louis Cauchy uuden differentiaalin määritelmän, joka ei enää käyttänyt infinitesimaalin käsitteitä määrittelyn perusteinaan. Sen sijaan se määriteltiin derivaatan avulla, joka taas määriteltiin raja-arvon avulla. Tästä alkoi kehitys, joka tarkensi analyysin käsitteiden perusteita tehden tästä matematiikan haarasta laajemmin hyväksytyn.

Infinitesimaaleista ei kuitenkaan päästy eroon. Monilla fysiikan ja tekniikan aloilla sitä käytetään rinnakkain raja-arvoon perustuvan matematiikan rinnalla. Haluttomuus luopua infinitesimaaleista johtunee niillä laskemisen vaivattomuudesta.

Merkitys 
Yhden muuttujan tapauksessa (viereinen kuvaaja) tarkastelupisteeseen piirretty tangentti erottaa differenssistä  (kuviossa RS) differentiaalin  (RQ), joka jää kuviossa tangentin alle. Differentiaali on siten funktion muutoksessa sen lineaarinen komponentti ja se kuvaa melko tarkasti funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä. Differenssi, joka on funktion todellinen muutos, on melkein saman suuruinen kuin differentiaali. Korvaamalla differenssi differentiaalilla tehdään pieni virhe. Raja-arvotilanteessa, kun väli  lyhenee melkein nollaksi, pienenee virhe hyvin pieneksi, joten tarkastelupisteessä differentiaalia voisi käyttää erotusosamäärän lausekkeessa (derivaatan määrittämiseksi) yhtä hyvin kuin differenssiäkin. Monesti funktion kulkua tarkastelupisteessä kuvataankin tangenttisuoralla, jonka derivaatta on sama kuin funktion käyrällä. Differentiaalit liittyvätkin muutostarkasteluihin, joissa funktion käyrä tai pinta korvataan tangentin suuntaisilla vektoreilla. Funktion differenssit lasketaan silloin likiarvoilla

Differenssi 
Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan x arvoilla. Kun funktion  arvo lasketaan arvolla , saadaan  Siirrytään sopivan matkan  etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo  Funktion arvojen differenssi  ( eli erotus) pisteessä  on 

Usein tämä merkitään myös

Differentiaali ja korjaustermi  
Merkitään virhefunktiota  ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta x ja siirtymästä h. Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten 

Voidaan osoittaa, että jos korjaustermi pienenee olemattomaksi

on funktio derivoituva kyseisessä pisteessä x.

Kertomalla edellinen yhtälö luvulla h, saadaan 

Sama yhtälö voidaan merkitä myös

eli

Yhtälön vasenta puolta kutsutaan differenssiksi  ja oikealla puolella ovat differentiaali , joka merkitään joskus , ja korjaustermi  Merkinnällä  viitataan funktion arvojen (vanhanaikaiseen) infinitesimaaliseen muutokseen.

Merkintöjä 
Kun käytetään suureita  ja  ja suure  riippuu suureesta , voidaan differentiaali merkitä 

tai

kun ollaan hyvin lähellä tarkastelupistettä eli 

Jos tunnetaan :n lauseke , voidaan merkitä myös 

Yleisesti voidaan myös merkitä  funktiolle  sen differentiaalia

Likiarvoista 
Funktion lisäys eli differenssi on määritelty

joka voidaan esittää myös differentiaalin avulla

missä  kun 
Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun h on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo

Usean muuttujan funktiot 
Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on skalaarikenttä . Funktio f on differentioituva tarkastelupisteessä , jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä

missä  ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke

on funktion differentiaali df. Merkintä  (lue "nabla f") tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä . Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan suunnalla , saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa .

Lähteet 
 Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, 2013
 Hassi, Seppo: Matemaattiset menetelmät II (luentomoniste), Vaasan yliopisto, 2014

Viitteet

Aiheesta muualla 
 Johdatus analyysiin (Luentomoniste), Kurssin sivusto, Tampereen yliopisto, 2011
 Karjalainen, Tiina: Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa  (tutkielma), 2011, Tampereen yliopisto
 Kock, Anders:  Synthetic Differential Geometry, Cambridge University Press., 2006, 
 Goursat, Édouard: A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry, E. R. Hedrick, New York: Dover Publications, 1904 (julkaistu 1959)

Differentiaalilaskenta