Darboux’n kehys

Darboux’n kehys on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle
Olkoon S suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E3.  Darboux’n kehys pinnalla S voidaan määritellä kaikille pinnan S. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

Määritelmä
Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori u (suunnistuvan pinnan määritelmä).  Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla S, Darboux’n kehys käyrälle γ pisteessä γ(s) määritellään asettamalla
     (yksikkötangentti)
     (yksikkönormaali)
     (tangenttinormaali)
Kolmikko T,u,t on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio
Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta.  Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen.  Olkoon
     (yksikkötangentti, kuten edellä)
     (Frenet-normaalivektori)
     (Frenet-binormaalivektori).

Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen N ja B kiertäminen tuottaa parit t ja u:

Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan

missä:
 κg on käyrän geodeettinen kaarevuus,
 κn on käyrän normaalikaarevuus ja
 τr on käyrän suhteellinen torsio (ts. geodeettinen torsio).

Lähteet

 
 
 
 

Differentiaaligeometria