Nilpotentti

Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että  xn = 0.

Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.

Esimerkkejä

Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi 
 
on nilpotentti, koska A3 = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.

Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 32 on kongruentti 0 modulo 9.
 Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c2 = (ba)2 = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:

 
 Tässä AB = 0, BA = B.

Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Ominaisuudet

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tn.

Jos x on nilpotentti, niin silloin 1 - x on olemassa käänteisalkio, koska xn = 0 edellyttää, että

Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan ykkösalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannainen rengas

Vaihdannaisen renkaan  nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin ; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali  kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio  kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin , koska . Joten  sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos  ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida :t potenssien mukaan: :  saadaan nollasta poikkeava rengas . Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne , jotka toteuttaa . Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos  ei ole nilpotentti niin  ei kuulu , jollakin  :n alkuideaalilla . Siksi  on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Rengasteoria