Potenssifunktio

Potenssifunktio on muuttujan  matemaattinen funktio, joka voidaan esittää yleistettynä 

missä  on potenssi ja  sen eksponentti. Eksponentin arvoa kutsutaan myös potenssin asteeksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

Potenssifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli  sievennysongelmien välttämiseksi. Määrittelyjoukko määritetään siten aina tapauskohtaisesti.

Potenssifunktion arvon määrittäminen

Eksponentti on luonnollinen luku

Erään potenssifunktion määritelmän mukaan se on tulo äärellisestä lukumäärästä ( kpl) vakioita  ja muuttujaa :

Tämän määritelmän mukaan potenssifunktio, jonka eksponenttina on luonnollinen luku, kuuluu alkeisfunktioihin, sillä se on muodostettu äärellisestä määrästä muuttujia ja vakioita niiden välisillä kertolaskuilla (alkeisoperaatio), ja se on samalla yleisen potenssifunktion erikoistapaus, joka merkitään usein 

Tällainen potenssifunktio on samalla myös polynomifunktio, jossa on yksi termi. Useiden eriasteisten potenssien summa muodostaa monitermisen polynomifunktion. Eriasteisten potenssien sarjoja käytetään monissa potenssisarjoissa.

Erikoistapauksia
Potenssifunktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa. 

Kun n = 0, saadaan  , koska . Tätä kutsutaan vakiofunktioksi ja se saa kaikilla x:n arvoilla saman arvon a. Vakiofunktion erikoistapaus on nollafunktio, jonka arvoksi tulee aina nolla (ei mitään).

Kun n = 1, saadaan , koska . Tämä on lineaarisen polynomifunktion  erikoistapaus, kun . Silloin funktion arvo  ja muuttuja  ovat suoraan verrannolliset eli . Jos funktion kerroin , saadaan . Funktio on tällöin identiteettifunktio, jolla funktion  arvo on sama kuin muuttujan  arvo. 

Kun n = 2, saadaan . Tämä on yksinkertaisin kvadraattinen funktio eli neliöllinen funktio eli toisen asteen polynomifunktio. Tunnettuja kvadraattisia funktioita ovat muun muassa geometriassa  (ympyrän pinta-ala) ja  (pallon pinta-ala).

Kun n = 3, saadaan . Tämä on yksinkertaisin kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomifunktio.

Edelliset potenssifunktiot voidaan tulkita verrannollisuuden mukaan. Esimerkiksi, kun n = 2, voidaan sanoa, että funktion arvot ovat suoraan verrannolliset muuttujan toiseen potenssiin eli .

Eksponenttina kokonaisluku
Eksponenttina voi olla myös negatiivinen kokonaisluku. Koska potenssilaskennassa on määritetty

saadaan myös potenssifunktiolle vastaavasti

Potenssifunktion määrittelyjoukossa on huomioitava nimittäjän rajoitus . Potenssifunktiolla, jonka asteluku on negatiivinen, on sen vuoksi määrittelyjoukko . 

Kun n = 1, saadaan niin sanottu käänteislukufunktio (tässä: ) 

Tällöin funktion arvot ovat muuttujan arvoon nähden kääntäen verrannolliset.

Eksponentti on rationaaliluku
Jos eksponenttina on rationaaliluku, saadaan

Jos eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, joka on muotoa

niin potenssifunktio tulkitaan juurifunktioksi:

Juurifunktion määrittelyjoukko riippuu juuren asteluvusta. Jos juuren aste on parillinen, rajoitetaan muuttuja ei-negatiiviseksi eli . Jos aste on pariton, kuuluvat kaikki luvut määrittelyjoukkoon eli .

Juurifunktion astelukua voidaan nostaa korottamalla se vielä kokonaislukupotensiin m:

Eksponenttina reaaliluku
Kun eksponenttina on reaaliluku, määritellään yleisesti
. 

Kun eksponentina on rationaaluku, lasketaan potenssifunktion arvo edellä kuvatulla tavalla. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Kun eksponenttina on irrationaalinen luku, lasketaan potenssifunktion arvo raja-arvon avulla. Koska jokaista irrationaalilukua  kohden on olemassa rationaalilukujen jono  siten, että jono suppenee kohti irrationaalilukua :

Potenssifunktion arvo kohdassa , kun  lasketaan silloin

Yleistäen voidaan sanoa, että

Potenssifunktion yleisiä ominaisuuksia

Kaikille potenssifunktioille yhteiset pisteet
Kun potenssifunktioille piirretään kuvaajat xy-koordinaatistoon, merkitään funktion argumentin x arvot x-koordinaateiksi ja funktion arvot y-koordinaateiksi eli . Kahden potenssifunktion kuvaajat kulkevat saman pisteen kautta, kun niiden kuvaajilla on samalla x-koordinaatilla samat funktion arvot. Yhteiset pisteet voidaan määrittää yhtälöllä (s > r):

Joka tapauksessa kohdassa  on kaikilla potenssifunktioilla yhteinen piste , sillä
.

Yhteisiä pisteitä voi siis olla kaksi tai kolme riippuen potenssifunktioiden asteista. Jos eksponenttit ovat molemmat parillisia tai parittomia, saadaan kaksi kohtaa lisää, ja jos toinen on pariton ja toinen parillinen, saadaan vain yksi kohta lisää, missä on yhteinen piste:
.

Potenssifunktion derivointi ja integrointi
Potenssifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvon avulla. Määritelmän tulokset potenssiosalle voidaan esittää helposti muistettavassa muodossa:

Potenssifunktion tavallinen (Rieman-) integraali on siten

, kun  

tai

, kun  .

Katso myös
 Alkeisfunktiot

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Analyysi
Differentiaalilaskenta
Funktiot