Permutaatiomatriisi

Permutaatiomatriisi on  matematiikan matriisiteoriassa eliöllinen yksikkömatriisi, jolla on täsmälleen yksi johtava alkio 1 jokaisella rivillä ja sarakkeessa ja kaikkialla muualla 0. Jokainen sellainen matriisi esittää tiettyä permutaatiota, jossa on m alkiota ja kerrottaessa toisella matriisilla, se voi tuottaa uuden matriisin, jolla on toisen matriisin rivit ja sarakkeet.

Määritelmä 

Annettu "m":n alkion permutaatio π ,

annettu kahden rivin muodossa

sen permutaatiomatriisi on m × m matriisi Pπ, jonka johtavat alkiot ovate kaikkialla 0, paitsi rivillä i, johtava alkio π(i) on 1. Voidaan kirjoittaa

jossa  merkitsee rivivektorin pituutta "m", jolla on 1 js asemassa ja 0 kaikkialla muualla.

Ominaisuudet 

Annetut kaiksi permutaatiota π ja σ, joilla on "m" alkiota ja vastaavat permutaatiomatriisit 
 Pπ ja Pσ 

Tämä jollain tapaa epätoivottu sääntö on seurausta permutaatioiden kertolaskun määritelmästä (bijektioiden rakenne) ja matriiseista ja valinnasta käyttää vektoreita  permutaatiomatriisien riveinä; jos käytetään sarakkeita niin yllä olevasta tulosta tulee 
, joke on yhtäsuuri alkuperäisessä järjestyksessä olevien permutaatioiden kanssa.

Koska permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia  matriiseja
(ts., ), käänteismatriisit ovat olemassa ja voidaan kirjoittaa

Kertomalla  kertaa  sarakevektorilla (englanniksi column vector) g voidaan permutoidan vektorin rivit:

Käyttämällä  sen jälkeen kun   on käytetty, saadaan sama tulos kuin käyttämällä suoraan 

yhtäpitävästi yllä olevan kertolaskusäännön kanssa:
merkitään
, toisin sanoen 

kaikilla i, siten 

Kertomalla rivivektoria (englanniksi  row vector) h kertaa 

permutoi vektorin sarakkeet käänteis :

Jälleen voidaan tarkistaa, että .

Notes 

Merkitään Sn:lla symmetristä ryhmää (engl. symmetric group), 
tai permutaatioiden ryhmää {1,2,...,n}.  Koska nyt on  n! permutaatioita, on olemassa n! permutaatiomatriiseja. Yllä olevien kaavojen perusteella n × n permutaatiomatriisit muodostavat ryhmän (engl. group) yksikkömatriisin kertolaskulla.

Jos (1) viittaa identiteetti permutaatioon (yksikkö permutaatio), niin P(1) on yksikkömatriisi.

Permutaatiomatriisia voidaan tarkastella σ:n permutaationa, kun permutaatio σ on yksikkömatriisin "I" sarakkeina tai "I":n rivien permutaatioina σ−1.

Permutaatiomatriisi on stokastinen neliömatriisi.

Tulo "PM" saadaan kertomalla matriisia "M" permutaatiomatriisilla "P", permutoimalla "M"n rivit "i" liikkuvat riveiksi π(i).  Päinvastoin tulo MP permutoi M:n sarakkeita.

Kuvaus Sn → A ⊂ GL(n, Z2).  Siten, |A| = n!.

Permutaatiomatriisin jälki permutaation kiinnitettyjen pisteiden lukumäärä. Jos permutaatiolla on kiinteitä pisteitä, niin se voidaan kirjoittaa rengasmuodossa kuten  π = (a1)(a2)...(ak)σ where σ jos sillä ei ole kiinteitä pisteitä, silloin voidaan kirjoittaa ea1,ea2,...,eak jotka ovat permutaatiomatriisin ominaisarvot.

Ryhmäteorian pohjalta tiedetään että mikä tahansa permutaatio voidaan kirjoittaa transpoosin tulona. Sen tähden minkä tahansa permutaatiomatriisin "P" tekijät saadaan Alkeismatriisin rivitoimituksilla, jossa jokaisella on determinantti -1. Siten permutaatiomatriisin "P" determinatti on vastaavan permutaation merkki.

Esimerkkejä

Rivien ja sarakkeiden permutaatiot

Kun permutaatiomatriisia "P" kerrotaan matriisilla "M" vasemmalta "PM" permutoi "M":n rivit (sarakevektorin alkioilla), kun "P" kerrotaan "M":llä oikealta "MP" permutoi "M":n sarakkeet (rivivektorin alkiot):

Rivien ja sarakkeiden permutaatiot ovat esimerkkejä peilauksesta (katso alla) ja syklisistä permutaatioista (engl. cyclic permutation matrix).

Rivien permutaatio
PErmutaatiomatriisi Pπ vastaa permutaatiota : joten

Annetulle vektorille g,

Selitys 
Permutaatiomatriisi on aina muotoa

jossa  eai esittää i:ttä basis alkeisvektoria (kuten riviä) R:lle 'j, missä

on permutaatio muoto permutaatiomatriisista.

Suorittamalla matriisikertolaskun, erityisesti muodostamalla pistetulo ensimmäisen matriisin jokaisen rivin toisen matriisin jokaisen sarakkeen kanssa. Tässä esimerkissä muodostetaan pistetulo jokaisen tämän matriisin rivin ja halutun vektorin alkioiden välille. Joka on esimerkiksi  v= (g0,...,g5)T, 
eai·v=gai

Siten permutaatiomatriisin tulo vektorin v kanssa (yllä), 
muodostaa vektorin muotoa (ga1, ga2, ..., gaj), ja tämä on siten v:n permutaatio kun sanotaan, että permutaatio on muotoa

Siten permutaatiomatriisit itse asiassa permutoivat vektorin alkioiden järjestyksessä kerrottaessa permutaatiomatriisit niillä.

Lähteet

Viitteet

Matriisit