Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, funktion raja-arvoilla tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu) kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.

Merkintätapoja 
Raja-arvo on latinaksi limes, mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä

joka luetaan "funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p".

Sen toinen merkintätapa on

joka luetaan edelliseen tapaan.

Määritelmiä

Intuitiivinen määritelmä 

Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa f(p) ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla p, voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun p viereisiä) lukuja x. Mitä pienempi on lukujen p ja x välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo f(x) vastaisi kuviteltua funktion arvoa f(p) (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut x poikkeavat luvusta p, sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle L, ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen x arvojen lähestyessä luvun p arvoa.

Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono , joka lähestyisi lukua p lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla  laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono . Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.

Määritelmä toispuolisten raja-arvojen avulla 
Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun

missä L on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on oikeanpuoleinen raja-arvo ja toinen vasemmanpuoleinen raja-arvo, on raja-arvo olemassa ja sen arvo on L eli

Raja-arvon numeerinen määrittäminen 
Taulukossa on laskemia funktion  arvoista, kun muuttuja lähestyy ensin nollaa oikealta (yläpuolella) ja sitten vasemmalta (alapuolella). Likiarvoista voidaan todeta, että todennäköinen raja-arvo on luku 1,joka jää kummankin lukujonon väliin.
Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio  on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa () Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja  niin, että  Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli

Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan . Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli
. 
Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.

Eksakti määritelmä 

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon () ja delta () välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion  realilukuarvoinen määrittelyjoukko on  niin, että  on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku p, eli  (luku p voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo L kohdassa p, jos kaikilla luvuilla  on aina olemassa luku  siten, että 
 
Siis, valittiinpa positiivinen luku  kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku  siten, että kaikilla korkeintaan :n etäisyydellä olevilla luvuilla  ovat funktion  arvot korkeintaan :n etäisyydellä raja-arvosta L. Toistamalla :n pienentämisen, tulisi myös  pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun :n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun .

Esimerkki epsilon-delta-tekniikasta 
Funktiolla  on toki olemassa arvo luvulla , joka on . Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo L, kun luvut x lähestyvät lukua p = 3. Siis osoitetaan, että (lähde:)

Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon L = 9 erotuksen suuruuden ylärajaksi  siten, että

missä . Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa p = 3 tulee x valita, että ollaan korkeintaan :in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä

ja kun x on riittävän lähellä arvoa p = 3, on 

ja

Nyt huomataan että  ja  riippuvat toisitaan. Siis

kunhan

jolloin valitaan .

Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun :ia pienennetään, pienenee myös . Erityisesti, valitsemalla x luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla x riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.

Toispuolinen raja-arvo 
Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen x ja p erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, x lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut x ovat lukua p suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua p oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo . Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

Raja-arvon L yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua p lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut x ovat aina lukua p pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

Epäoleellinen raja-arvo 

Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se

jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se

jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa L luvulla. Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L". Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos

jos tulos kasvaa rajatta ja 

jos tulos vähenee rajatta.

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä

määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla

eli funktion arvo  on :n etäisyydellä raja-arvosta L, kun muuttuja x on ylittänyt rajan . Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa L, kunhan muuttuja x kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

Raja-arvon määritelmä funktioteoriassa 
Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa ) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun z moduuli lasketaan  Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla 

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia , ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun ) määriteltyä kompleksifunktiota , pystytään joskus määrittämään funktion  raja-arvo

Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue G voi olla pisteen  ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku z voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua  mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun  määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina

Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku L kohdassa , jos kaikilla luvuilla  on aina olemassa luku  siten, että

Käyttö differentiaali- ja integraalilaskennassa

Funktion jatkuvuuden toteaminen 
Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä p, mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion  arvo:

Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.

Derivaatan määritelmä 
Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä . Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena

Raja-arvojen laskusääntöjä 
Jos funktioilla  ja  on olemassa raja-arvot (), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:

Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.

Yhdistetyillä funktioilla

Historia 
Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan "Cours d'analyse" (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.

Katso myös 
 Lukujonon raja-arvo

Lähteet 
 
 
 
 
 Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I, (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

Viitteet

Aiheesta muualla 

 Encyclopedia of Math: Limit,

Differentiaalilaskenta
Analyysi