Fibonaccin alkuluvut

Fibonaccin alkuluvut ovat Fibonaccin lukujonossa esiintyvät alkuluvut. Ensimmäiset Fibonaccin alkuluvut ovat:

 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1 597, 28 657, 514 229, 433 494 437, 2 971 215 073

Tunnetut Fibonaccin alkuluvut

Ei tiedetä, onko Fibonaccin alkulukuja äärettömän monta. Fibonaccin jonon Fn ensimmäiset 33 alkulukujäsentä löytyvät seuraavista paikoista, kun alaindeksi n kertoo, monesko jonon jäsen on kyseessä:

 n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2 971, 4 723, 5 387, 9 311, 9 677, 14 431, 25 561, 30 757, 35 999, 37 511, 50 833, 81 839.

Näiden todistettujen alkulukujen lisäksi sarjasta on löydetty seuraavat mahdolliset alkuluvut:

 n = 104 911, 130 021, 148 091, 201 107, 397 379, 433 781, 590 041, 593 689, 604 711, 931 517, 1 049 897, 1 285 607, 1 636 007, 1 803 059, 1 968 721

Tapaus n=4 pois lukien kaikilla Fibonaccin alkuluvuilla on alkulukuindeksi, mutta kaikki alkulukuindeksit eivät osoita alkulukua.

Fp on alkuluku kahdeksalla ensimmäisestä kymmenestä alkuluvusta. Poikkeukset ovat F2 = 1 ja F19 = 4 181 = 37 × 113. Indeksin kasvaessa Fibonaccin alkuluvut ovat kuitenkin harvinaisempia, ja Fp on alkuluku vain kahdellekymmenellekuudelle 1 229 alkuluvusta, jotka ovat pienempiä kuin 10 000.

Suurin tunnettu Fibonaccin alkuluku on F81 839. Sen osoittivat alkuluvuksi David Broadhurst ja Bouk de Water vuonna 2001. Suurin tunnettu mahdollinen Fibonaccin alkuluku on F1 968 721. Siinä on 411 439 numeroa ja sen löysi Henri Lifchitz vuonna 2009.

Fibonaccin lukujen jaollisuus 
Alkulukuindeksisillä Fibonaccin luvuilla Fp ei ole lukua 1 suurempia yhteisiä jakajia identiteetin

 syt(Fn, Fm) = Fsyt(n,m).

vuoksi.

Jokaiselle n ≥ 3, Fn jakaa Fm:n jos ja vain jos n jakaa m:n.

Jos oletetaan, että m on alkuluku p yllä mainitusta identiteetistä ja n < p, niin selvästi nähdään, että Fp:llä ei voi olla yhteisiä tekijöitä aikaisempien Fibonaccin alkulukujen kanssa:

 syt(Fp, Fn) = Fsyt(p,n) = F1 = 1

Lähteet

Lukujonot
Alkuluvut