Rationaalinen trigonometria

Rationaalinen trigonometria on Norman J. Wildbergerin (University of New South Wales (UNSW) Sydney, Australia) ehdottama vaihtoehtoinen formulaatio metristen avaruuksien sekä taso- ja avaruusgeometrian teorialle. Hänen vuoden 2005 kirjassaan Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry (ja myöhemmin YouTube-videoilla) esitetään trigonometrian ja geometrian menetelmiä, jotka ovat riippumattomia äärettömyydestä, rajankäynnistä ja transkendenttifunktioiden kuten sini ja kosini käyttämisestä.

Lähestymistapa

Rationaalisen trigonometrian teoria nojaa vahvasti lineaarialgebraan ja tunnettuihin geometrian aiheisiin. Uutta kalkyylia varten etäisyys korvataan sen neliöllä (kvadranssi), ja perinteinen kulman käsite korvataan kahden suoran välisellä avaumalla (engl. spread), jolla viitataan tietynlaiseen vektorien sisätuloon. Välttämällä neliöjuuria ja trigonometrisia funktioita, trigonometriasta tulee täysin algebrallista, ja monet perinteisesti trigonometristen funktioiden avulla esitetyt kaavat voidaan esittää polynomiyhtälöinä. Tämä mahdollistaa rationaalisen trigonometrian käytön myös abstraktimmille kunnille, joissa ei oleteta käytettävän reaalilukuja. Kirjan nimessä olevalla "universaalilla geometrialla" viitataan juuri tähän abstraktioon.

Näiden uusien määritelmien esittämisen jälkeen merkittävä osa Wildbergerin kirjasta keskittyy johtamaan uudelleen tärkeitä geometrian tuloksia. Trigonometriasta tutut kaavat kuten Pythagoraan lause, sinilause ja kosinilause korvataan niiden neliöanalogeilla. Rationaaliseen trigonometriaan otetaan mukaan myös kaksi uutta lausetta, joilla ei ole suoraa vastinetta klassisessa trigonometriassa.

Rationaalisen trigonometrian esitys Wildbergerin kirjassa perustuu pitkälti karteesiseen analyyttiseen geometriaan. Mielivaltainen tason piste määritellään järjestettynä parina (x,y), ja suora määritellään yhtälöllä

Kvadranssi 

Kvadranssi ja etäisyys (pituus) mittaavat pisteiden eriytymistä. Käy ilmi, että kvadranssi on etäisyyden neliö.(x, y)-tasossa kvadranssi Q(A1, A2) pisteille A1 and A2 määritellään (Pythagoraan lauseen mukaisesti) seuraavasti:

Avauma 

Avauma mittaa suorien eriytymistä. Se on dimensioton luku väliltä nollasta yhteen, missä '0' viittaa yhdensuuntaisiin suoriin ja '1' kohtisuoruuteen. Avauma korvaa trigonometriassa kulman, mutta eroaa kulman käsitteestä monilta osin ja sen voi tulkita monella tapaa:
 
Trigonometria: suorakulmaisessa kolmiossa tuttu vastakkaisen sivun ja hypotenuusan (kvadranssien) suhde.

Vektorit: relaatio suorien kulmakertoimien välillä.

Karteesinen: koordinaattien rationaalifunktio, joilla suorien suuntavektorit määritellään.

Avauman laskeminen 

 Trigonometria
Oletetaan, että kaksi suoraa, ℓ 1 ja ℓ 2, risteävät pisteessä A kuten oikealla nähdään. Valitaan piste B ≠ A suoralta ℓ 1 ja annetaan C:n olla piste, missä B:ltä ℓ 2:lle piirretty korkeusjana kohtaa toisen suoran. Tällöin suorien välinen avauma s

 

 Vektori/kulmakerroin
Olkoon tason suorien yhtälöt muotoa:
a1x + b1y = vakio, ja a2x + b2y = vakio. Suorien väliseksi avaumaksi voidaan johtaa ainoastaan yhtälön vakioista riippuva kaava

Avauman ja kulman vertailua 

Avauma on rationaalisessa trigonometriassa kahden suoran rationaalifunktio. Kulma määritellään kahden samasta pisteestä lähtevän säteen tai janan relaationa. Kaksi risteävää suoraa muodostavat neljä kulmaa, mutta vain yhden avauman. Avauma on yhtäsuuri kulman sinin neliön kanssa.

Kvadraattisen määritelmän johdosta avauma ei ole lineaarinen suure, joten esimerkiksi 30 asteen muutos ei vastaa aina samaa avaumaa.

Trigonometriaa mielivaltaisilla kunnilla

Koska rationaalisessa trigonometriassa ei käytetä reaalilukuja vaativia trigonometrisia funktioita vaan ainoastaan polynomilaskuja, voidaan trigonometria laajentaa toimimaan mielivaltaisissa kunnissa (joiden karakteristika ei ole 2).

Lähteet 
 Wildbergering sivusto rationaaliselle trigonometrialle
 Klassisen ja rationaalisen trigonometrian vertailua

Viitteet

Aiheesta muualla 
N. J. Wildberger's homepage
Print a protractor to measure spread
N. J. Wildberger's YouTube channel—lectures on rational trigonometry
James Franklin reviews "Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry"
The ancient Greeks present: Rational Trigonometry
One dimensional metrical geometry
Euler Math Toolbox implementation of Rational Trigonometry

Trigonometria