Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa. Tehtävänä on laskea integraali , missä  on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja  on analyyttinen :ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä . Tällöin funktio  voidaan esittää Laurentin sarjana . Tällöin integraalin arvoksi saadaan . Tässä  kutsutaan funktion  reduaaliksi pisteessä  ja merkitään  tai lyhyemmin .

Esimerkki 1: Tarkastellaan funktiota  ja lasketaan integraali , kun tiedetään, että funktiolla on residuaali pisteessä .

Ratkaisu: Funktiolla  on Taylorin sarja . Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle  pisteen  ympäristössä . Tällöin . Koska piste  on ainoa nollakohta ympyrän  sisällä, saadaan integraalin arvoksi .

Lähteet
 Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineerging, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

Viitteet

Kirjallisuutta
 
 
 

Kompleksianalyysi
Integraalilaskenta