Laskeminen

Laskeminen on toimintaa, jossa käyttäen yhtä tai useampaa laskutoimitusta, ratkaistaan numeerinen ongelma käyttäen yleisesti hyväksyttyjä laskusääntöjä. Laskeminen voidaan tehdä päässä, sormin, käyttäen alkeellista tukkimiehen kirjanpitoa tai muita erilaisia laskuja helpottavia välineitä. Elektroniset välineet ovat korvanneet monia laskemisen muotoja.

Päässälasku

Päässälaskemisessa tärkein ominaisuus ovat muisti. Usein yksinkertaisetkin laskut ovat muistinvaraisia, jolloin laskun tulos poimitaan opellusta kertotaulusta tai yhteenlaskutaulusta. Välitulosten pitäminen muistissa vaatii harjaannusta, mutta avuksi voi ottaa muistiinkirjoittamisen.

Sormilla laskeminen

Alkeellinen sormilla laskeminen huolehtii samalla muistamisesta, kun laskun tulos voidaan lukea sormien asennoista. Kehittynyt sormilla laskeminen sitä vastoin vaatii avukseen muistia, kun osa laskettavista luvuista säilytetään "sormissa" ja osa muistissa. Itse asiassa sormet voivat olla päässälaskun apuna. Sormilla laskettiin yleisesti vielä 1500-luvulla, jonka jälkeen indo-arabialaiset luvut ja allekkain laskeminen alkoi syrjäyttää sormilaskennan.  Myöhemmin koululaitos alkoi kieltää sormilla laskemisen lapsilta, jotta he oppisivat kehittyneimmät laskumenetelmät ja päässälaskun paremmin.

Muinaiset laskuvälineet

Kivikasat
Yksinkertainen laskuväline on helppo hankkia. Jos ajatellaan esimerkiksi kivikautinen ihminen, jonka pitää laskea heimon käyttämällä viisikantaisella menetelmällä, on hänen laskuvälineensä yksinkertaiset. Hän etsii viisi mustaa kiveä, viisi valkoista ja viisi punaista kiveä. Mustat kivet edustavat perusmäärää ja valkoiset viisien lukumäärää ja punaiset kivet viisi-viisien määrää. Kun aletaan laskea, tiputetaan aina musta kivi maahan kunnes mustat kivet loppuvat. Tämän merkiksi jätetään valkoinen kivi maahan ja nostetaan mustat jatkolaskuja varten. Jatketaan laskemista mustilla ja kun ne loppuvat, jätetään niiden tilalle toinen valkoinen kivi, ja niin edelleen. Punaista kiveä tarvitaan vasta, kun valkoiset loppuvat. Tällä menetelmällä voidaan laskea helposti yhteen- ja vähennyslaskuja. Ei tiedetä, miten ihmiset kivikaudella laskivat, mutta tällaisia kivien tiputtamiseen perustuvia menetelmiä on ollut käytössä Afrikassa 1800 ja 1900 luvuilla. Kuvattua menetelmää käytettiin Madagaskarilla sotajoukon määrää arvioitaessa.

Abakus eli helmitaulu

Latinan sana calculus (suom. kivi) liittyy kivillä laskemiseen ja palautuu mahdollisesti laskupöytien käyttöön antiikin ja keskiajan aikana. Vaikka laskupöytiä, jonka toinen nimi on abakus, on ollut käytössä vähintään 1500 vuotta, ei niitä ole löydetty arkeologissa kaivauksissa kovinkaan usein. Pireuksen edustalla olevalla Salamiin saarella arkeologit ovat löytäneet suuren marmorisen katkenneen pöydän, joka olisi ollut rahanvaihtajan laskupöytä. Sen mitat olivat 1,5 metriä pitkä ja 80 cm leveä. Pöydn pintaan oli kaiverrettu viivoja ja merkkejä, jotka liittyivät antiikin kreikkalaisten käyttämiin rahoihin ja lukuihin. Eräs 3. tai 4. vuosisadalta ennen ajanlaskua on peräisin maljakko, johon on kuvattu Perian kuningas Darius ja änen hovinsa. Hänen rahastonhoitajansa kirjoittaa lukuja vahatauluun ja liikuttelee kädellään laskupöydän laskukiviä. 

Laskupöytä muuttui myöhemmin helmitauluksi, jotta laskukiviä olisi nopeampi liikutella. Kauppiaiden käyttäminä ne levisivät kauppareittejä pitkin itään ja saavuttivat Kiinan jo 2. vuosisadalla eaa.

Paperilla laskeminen
Intialaiset kehittivät desimaalilukujärjestelmän, joka perustui numeromerkinnässään paikkajärjestelmään. Tämä helpotti huomattavasti päässälaskemista, ja kirjaamalla välituloksia muistiin hiekkaan tai tauluun, voitiin nyt laskea nopeammin. Laskualgoritmien kehityttyä eteenpäin, voitiin kaikki laskut laskea kynän ja paperin avulla siten, että koko laskutapahtuma jäi näkyviin dokumenttina. Siirtyminen lasku- ja helmitaulusta paperilla laskemiseen on voitu dokumentoida vain Euroopassa, koska tapa tuli täällä käyttöön hyvin myöhään. Kirjapainotaito mahdollisti allekkain laskemisen oppikirjojen painattamisen ja halventunut paperin hinta edesauttoi uuden laskutavan leviämistä eri puolille Eurooppaa. 

Allekkain laskeminen kehittyi Intiassa 500-600 jaa. Heidän keksimät tavat suorittaa yhteen- ja vähennyslaskut sekä kerto- ja jakolaskut olivat niin tehokkaita, että laskutavat omaksuneet arabialaiset (750 jaa. alkaen) omaksuivat myös intialaiset numerot. Eurooppalaiset alkoivat tutkia arabialaista kirjallisuutta jo 1100-luvulla, mutta allekkain laskeminen arabialaisilla luvuilla levisi tänne vasta 1400 – 1600-lukujen aikana.

Taulukot
1900-luvulla myös koululaisilla oli ylemmillä luokilla laskemisen apuna taulukkokirjoja, joihin laskettiin sellaisten funktioiden arvoja, joita ei laskutikulla voinut määrittää. Nykyaikaisen funktiolaskimet ovat tehneet lukutaulukoista tarpeettomia.

Ensimmäiset matemaattiset taulukot julkaistiin Mesopotamiassa ja vanhin niistä löytyi Shuruppagin muinaisesta kaupungista Etelä-Irakista. Sen ikä on noin 4500 vuotta ja siinä luetellaan alat neliöille, joiden sivujen pituudet vaihtelevat 6 metristä 3 kilometriin. Nuoremmissa babylonialaisissa taulukoissa on luetteloitu kertotaulun, käänteislukujen, pituusmittojen, painojen, neliöiden ja neliöjuurten sekä kuutioiden ja kuutiojuurten arvoja 60:n kantalukujärjestelmässä. Joillakin potenssitauluilla oli mahdollista lukea myös tietyt logaritmit. Niitä laadittiin kantaluvuille 9, 16, 64 ja 225, jotka ovat 3:n, 4:n, 8:n ja 15:n neliölukuja. Taulukoitujen lukujen välisiä arvoja saatiin interpoloimalla väli lineaarisesti.

Kreikkalaisilla oli 200-luvulla eaa. ympyrän sektorin jänteiden ja kaarien pituuksien taulukoita eri sektorin keskuskulmille. Tunnetuimmat tradition luojat olivat muun muassa Apollonios, Hipparkhos ja Klaudios Ptolemaios. Jännetaulukot korvautuivat myöhemmin intialaisten ja arabien trigonometrisilla taulukoilla. Eri Siddhantoissa (400-luvulla jaa.) ja Aryayabahtiyassa (500-luvulla jaa.) esiteltiin sinien taulukoita. Trigonometriset taulukot levisivät Eurooppaan vasta 1400-luvulla arabien välityksellä. Sen sijaan itse keksityt logaritmitaulukot tulivat laajaan tietoisuuteen 1600-luvulla Euroopassa. Esimerkiksi italialainen Bonaventura Cavalieri julkaisi vuonna 1632 taulukot sinin, tangentin, sekantin ja versaalisinin arvoille sekä niiden logaritmille. Logaritmien keksijöinä voidaan pitää sveitsiläistä Jobst Bürgiä, skotlantilaista John Napieria ja englantilaista Henry Briggsiä, joiden taulukoiden avulla lukuisat laskijat suoriutuivat suurten lukujen laskuistaan nopeasti. 

Kirjapainotaito ja alentuneet kirjojen hinnat mahdollistivat taulukoiden laajan tuotannon. Niistä kiinnostuivat laskemiseen erikoistuneet ammatin harjoittajat kuten muun muassa tieteentekijät, insinöörit, navigoijat, maanmittarit, pankkiirit ja kauppiaat. Kuuluisin ja eniten kopioitu taulukkokirja lienee Alankomaiden Adrian Vlacqin, jonka 1628 julkaisemassa taulukoissa esitettiin muun muassa logaritmit arvoilla 1 – 101000.

Modernit laskuvälineet

Laskutikku

Laskutikku oli viivaimen tapainen mitta, jolla yhteenlaskut voitiin suorittaa mittaamalla etäisyyksiä. Tulos saatiin siten analogisesti etäisyyden likiarvona, jolloin tulos ei ollut aivan tarkka. Mittaamiseen perustuvia muita lasku- tai mittauslaitteita olivat muun muassa sektori (tykistö) sekä astrolabi (tähtitiede) ja sekstantti (navigointi). Ensimmäisen laskutikun kehitti englantilainen Edmund Gunter vuoden 1620 paikkeilla. Se koostui viivaimesta, johon oli kaiverrettu logaritmiasteikko, ja harpista. Laskutikun tarkkuutta paransi William Oughtred vuonna 1622 tai 1632, kun laskutikkuun liitettiin toinen viivain, jossa oli identtinen logaritminen asteikko. Viivaimia liu'uttamalla toisiinsa nähden mahdollisti kertolaskujen tekemisen. Laskutikut olivat 1900-luvulla erittäin suosittuja ja niitä käytettiin vielä 1970-luvulla, kunnes laskimet syrjäyttivät ne.

Laskukoneet ja laskimet

Erilaiset laskukoneet ja sähköiset laskimet ovat tehneet suurilla luvuilla laskemisen yhtä helpoksi kuin pienet arkilaskutkin. Tämä on mahdollistanut työelämän ja yhteiskunnan kehittymisen matemaattiseen suuntaan. Niiden hinta on alentunut tuhansista eurosta muutamaan euroon ja näin tasa-arvoistanut laskemista maapallon mittakaavassa. Laskimet valloittavat edelleen maailmaa integroitumalla muiden laitteiden, esimerkiksi puhelimien, sisälle.

Tietokoneet

Laskemisen historiassa suuri keskustietokone sai hoitaakseen suuria laskelmia, kuten kirjanpidon, väestölaskennan, virastojen asiakirjahallinnon, sääennustukset ja paljon muuta. Tietokoneet ovat pienentyneet, mutta ne on yhdistetty keskenään lähiverkoilla tai Internetin välityksellä. Niiden laskuteho yhdessä tietoliikenneyhteyksien kanssa tekevät niistä merkittävimmän apuvälineet ihmiskunnan historiassa. Arjen laskemista tietokoneet helpottavat ohjelmallisten laskinohjelmiensa tai taulukkolaskentaohjelmiensa ansiosta. Erikoisohjelmilla voi ohjelmoida tietokoneen tekemään millaisia laskelmia tahansa.

Lähteet

Viitteet 

Matematiikan käsitteet

no:Kalkulering