Nelinopeus

Nelinopeus on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.

Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen nopeus sitä vastoin on sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.

Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta.

Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden (c) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen.

Nopeus 

Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla:

 ajan  funktiona:

missä luvut  tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä t.

Nopeuden  (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat

Suhteellisuusteoria 

Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota , missä  merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista , jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi.

Aikadilaatio 

Aikadilaatiosta tiedetään, että 

missä  on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:

ja  u on nopeusvektorin euklidinen normi :

.

Nelinopeuden määritelmä 

Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä  määritellään seuraavasti:

missä  on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja  itseisaika.

Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen.

Nelinopeuden komponentit 
Aika t ja koordinaattina ilmaistu aika   vastaavat toisiaan yhtälön

mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan , suhteen, saadaan nopeuden komponentti  tapauksessa μ = 0:

.

Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille 1, 2, 3,  saadaan:

missä on käytetty yhteyttä

Täten nelinopeudelle  saadaan:

Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden , toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.

Lähteet 

 
 

Suhteellisuusteoria
Suureet