Polttopiste (geometria)

Geometriassa polttopisteet ovat piste­pari, jonka avulla eräät käyrät voidaan määritellä. Poltto­pisteiden avulla voidaan määritellä muun muassa kartioleikkaukset, joiden neljä tyyppiä ovat ympyrä, ellipsi, paraabeli ja hyperbeli. Muita käyriä, jotka voidaan määritellä poltto­pisteiden avulla, ovat Cassinin käyrä ja Descartesin ovaali.

Kartioleikkaukset ja niiden polttopisteet

Määritelmät kahden polttopisteen avulla 

Ellipsi voidaan määritellä niiden pisteiden urana, joiden kahdesta annetusta poltto­pisteestä mitattujen etäisyyksien summa on annettu vakio.

Ympyrä voidaan käsittää ellipsin erikois­tapaukseksi, jossa molemmat poltto­pisteet yhtyvät. Niinpä ympyrä voidaan yksin­kertaisemmin määritellä niiden pisteiden uraksi, joiden etäisyys annetusta polttopisteestä eli ympyrän keski­pisteestä on tietty vakio. Toisaalta ympyrä voidaan määritellä myös Apolloniuksen ympyränä eli niiden pisteiden urana, joiden kahdesta annetusta polttopisteestä mitattujen etäisyyksien suhde on vakio.

Paraabeli saadaan ellipsin raja­tapauksena, kun toinen poltto­piste siirtyy äärettömän kauas.

Hyperbeli voidaan määritellä niiden pisteiden urana, joiden kahdesta annetusta poltto­pisteestä mitattujen etäisyyksien erotuksen itseisarvo on annettu vakio.

Määritelmät polttopisteen ja johtosuoran avulla 

Vaihto­ehtoisesti kaikki kartio­leikkaukset voidaan määritellä myös yhden polttopisteen ja yhden johtosuoran avulla. Johto­suora on annettu suora, joka ei kulje poltto­pisteen kautta. Kartio­leikkaus on tällöin niiden pisteiden ura, joiden polttopisteestä ja johtosuorasta mitattujen etäisyyksien suhde on annettu vakio, jota sanotaan kartioleikkauksen eksentrisyydeksi e. Jos eksentrisyys on nollan ja yhden välillä, eli käyrän pisteet ovat lähempänä poltto­pistettä kuin johto­suoraa, kartio­leikkaus on ellipsi. Jos se on yksi, on kyseessä paraabeli, ja jos se on suurempi kuin yksi, on kyseessä hyperbeli. Ympyrä saadaan raja­tapauksena, jossa käyrän pisteiden etäisyys annetusta pisteestä on vakio ja johtosuoran oletetaan olevan äärettömän kaukana, jolloin eksentrisyys on nolla.

Erityisesti paraabeli voidaan määritellä niiden pisteiden urana, jotka ovat yhtä etäällä annetusta poltto­pisteestä ja annetusta johto­suorasta.

Tähtitieteellinen merkitys 

Gravitaatiolain nojalla voidaan osoittaa, että kahden kappaleen systeemissä kumpikin kappale kiertää systeemin massakeskipisteen ympäri kartio­leikkauksen muotoisia ratoja, joiden yhteisenä poltto­pisteenä on systeemin massakeskipiste. Tärkeänä erikois­tapauksena tästä on Keplerin ensimmäinen laki.  Koska Auringon massa on monin­kertaisesti suurempi kuin planeettojen yhteensäkään, aurinko­kunnan massa­keski­piste on Auringossa. Tämän vuoksi planeetat kiertävät Aurinkoa ellipsin muotoisia ratoja pitkin, joiden yhteisenä polttopisteenä Aurinko on.

Muita käyriä 

Descartesin ovaali on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta annetusta poltto­pisteestä laskettujen etäisyyksien painotettu summa on vakio. Jos molempien etäisyyksien paino­kertoimet ovat samat, on kyseessä ellipsi.

Cassinin käyrä on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta annetusta poltto­pisteestä mitattujen etäisyyksien tulo on vakio.

Lähteet

Viitteet 

Kartioleikkaukset