Tulotopologia

Tulotopologia on kahden tai useamman topologisen avaruuden karteesiselle tulolle määritelty topologia.

Avaruuksien karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa ainakin kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien avaruuksien topologioista.  Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

Määritelmä 
Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

Joukon X tulotopologia on projektioiden Pi: X -> Xi indusoima topologia.

Tulotopologian kannan muodostavat joukot , jossa jokainen Ui on avoin joukossa Xi ja Ui ≠ Xi vain äärellisen monta kertaa.

Avaruuksien tulotopologia on karkein niistä X:n topologioista, joissa jokainen projektio Pj on jatkuva.

Tulotopologia ja laatikkotopologia 

Topologisten avaruuksien karteesiselle tulolle voidaan määritellä toinenkin luonnolliselta vaikuttava topologia valitsemalla kannaksi joukot , missä Uj on mielivaltainen Xj:n avoin osajoukko. Tällä tavoin saadaan laatikkotopologia, joka ei ole kuitenkaan osoittautunut kovin merkitykselliseksi.

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen eli karteesinen tulo muodostetaan vain äärellisestä määrästä avaruuksia, ei edellä mainitulla kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä. Tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa toisistaan äärellisten tulojen tapauksessa.

Esimerkkejä 
Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot  ja , toisen  ja , jolloin topologiat ovat  ja vastaavasti . Avaruuden kannaksi tulee , ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni .

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rn.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa  avoin ei ole esimerkiksi jono . Sen sijaan  on avoin.

Ominaisuuksia 
 Erotteluaksioomat
 T0-avaruuksien tulo on T0-avaruus.
 T1-avaruuksien tulo on T1-avaruus.
 T2-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T2-avaruus.

Lähteet 

Topologiset avaruudet