Bisentrinen nelikulmio

Bisentrinen nelikulmio on geometriassa konveksi nelikulmio, joka on samalla sekä syklinen nelikulmio että tangentiaalinen nelikulmio. Nelikulmio on syklinen, jos sen kärjet sijaitsevat ympäri piirretyllä ympyrän kehällä, ja tangentiaalinen, jos sen kaikki sivut sivuavat sisälle piirrettyä ympyrää.

Kaikki nelikulmiot eivät ole tällaisia. Riittävä ehto, jotta konveksi nelikulmio on bisentrinen nelikulmio, on yhtä aikaa sekä
 
eli vastaisten sivujen summat ovat yhtäsuuret ja arvoltaan  eli puolipiiri, että 
 
eli vastaisten kulmien summat ovat molemmat 180°.

Erityispiirteitä 
Bisentrinen nelikulmio perii syklisen nelikulmion ja tangentiaalisen nelikulmion kaikki ominaisuudet. Sen lisäksi sen ominaisuuksia ovat:
 vastakkaisia tangenttien sivuamispisteitä yhdistävät jänteet eli tangentiaaliset jänteet u ja v ovat kohtisuoria ja ne leikkaavat pisteessä Z (katso viereistä kuviota).
 nelikulmion lävistäjät p ja q leikkaavat toisensa myös pisteessä Z.
 piste Z, sisäympyrän keskipiste I ja ulkoympyrän keksipiste O ovat kollineaarisia.
 vierekkäisiä tangenttien sivuamispisteitä yhdistävät jänteet muodostavat nelikulmion, jonka sivujen keskipisteet muodostavat suorakulmion.
 suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen I kautta, puolittaa sekä nelikulmion alan että piirin.
 jos on olemassa yksikin bisentrinen monikulmio (myös nelikulmio) kahden tietyn sisäkkäisen ympyrän välissä, on niitä vielä ääretön määrä lisää.

Ominaisuuksia 
Sisäympyrän säde r on
 

Ulkoympyrän säde R on
 

Ulkoympyrän keskipisteen O ja sisäympyrän keskipisteen I välimatka w toteuttaa yhtälön
 

Pinta-ala voidaan johtaa syklisen nelikulmion pinta-alan kaavasta (Brahmagupta)

huomioimalla ehto 
jolloin saadaan
 
tai kun käytetään lävistäjiä edelliseen tapaan
 

Vaikka nelikulmion muodon vaihdellessa sen alan suuruuskin muuttuu, voidaan alan arvo rajata epäyhtälöllä

Historia 
Ensimmäinen, joka tutki bisentrisiä nelikulmioita, oli saksalainen matemaatikko Nikolaus Fuss (1755−1825). Hän löysi ensimmäisenä ehdon sisä- ja ulkoympyrän keskipisteiden väliselle etäisyydelle w. Tätä pidettiin aikanaa yhtenä 100:sta vaikeimmasta matemaattisesta ongelmasta. Myös ranskalainen matemaatikko Poncelet (1788−1867) keksi mielenkiintoisen yleistyksen. Jos on olemassa yksikin monikulmio, joka on annetuille sisäkkäisille ympyröille bisentrinen, on näille samoille ympyröille niitä vielä ääretön määrä lisää.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 Konstruktio: Miten piirretään bisentrinen nelikulmio ympyröiden väliin?, s. 162
 Cut-The-Knot:Area of a Bicentric Quadrilateral
 Cut-The-Knot:Easy Construction of Bicentric Quadrilateral: What Is This About? A Mathematical Droodle
 GoGeometry: Geometry Problem 908

Monikulmiot