Nagelin piste

Nagelin piste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella . Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään Nagelin piste. Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.

Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.

Sijainti kolmiossa 
Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.

Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.

Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.

Trilineaariset koordinaatit 
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
.

Barysentriset koordinaatit 
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

Todistus 

Todistetaan, että kolmion  mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun  tangenttipiste on  ja sivun  tangenttipiste on . Nyt janojen  ja  pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan .

Merkitään kärjen  vastaisen sivun  tangenttipistettä  ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken  kannalta. Kärjen  vasemman sivulla kärjessä  risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on  (1). Vastaava tilanne on pisteessä , jossa  (2). Kun jana  kirjoitetaan pisteen  avulla murtoviivana  ja  vastaavasti , voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa  ja  .

Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä  on vastaiselle sivulle pisteeseen  yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen  tai  kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien  ja  osalta, jolloin pisteet  ja  ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi  janat  ja .

Edelleen, kun esimerkiksi suoran  janat  eli  ja  eli  sisältävät yhteisen osan , ovat myös päät  ja  yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa 
, koska , ja 
, koska  , ja vielä 
, koska .

Cevan lausetta mukaellen

Cevan lauseen mukaan janat ,  ja  ovat konkurrentit.

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 
 Ballew, Pat: Nagel Points and Nagel Line 
 Kimberling, Clark: Christian Heinrich von Nagel (1803–1882) geometer, educator

Geometria