Erotusosamäärä

Erotusosamäärä on matematiikassa funktion muutosnopeutta kuvaava mitta. Koulumatematiikassa käytetään usein termejä käyrän jyrkkyys tai funktion kasvunopeus, jotka liitetään kuitenkin derivaatan käsitteeseen. Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.

Erotusosamäärä voidaan tulkita kasvunopeuden tai jyrkkyyden likiarvoksi. Monissa talousmallien ja fysikaalisten mittausten pohjana on kuitenkin suureiden erotusosamäärä, jolloin se approksimoi funktion tai suureen keskimääräistä muutosnopeutta. Numeerisessa analyysissa erotusosamäärällä lasketaan derivaatan likiarvoja.

Määritelmä ja tulkinta

Funktio  on määritelty välillä . Tällöin voidaan määrittää suhde
,
jota kutsutaan funktion  erotusosamääräksi tällä välillä.

Kun funktion arvon muutosta  suhteutetaan vaikutusalueen pituuteen , kutsutaan osamäärää funktion keskimääräiseksi kasvunopeudeksi kyseisellä välillä. Erotusosamäärä voidaan esittää myös "delta"-merkintänä
,
koska  merkitään usein myös .

Erotusosamäärän geometrinen tulkinta on funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretty sekantin eli pisteiden  ja  kautta piirretyn suoran kulmakerroin.

Raja-arvo
Kun erotusosamäärän nimittäjä pienenee, tarkoittaa se geometrisesti sekantin pisteiden lähentymistä. Lähellä olevat sekantin pisteet pakottavat sekanttisuoran kulkemaan lähes käyrän suuntaisesti. Kun toiseen pisteeseen asetetaan suora, joka on käyrän tangentti, saadaan vertailusuora sekantille. Voidaan ajatella, että kun sekanttipisteet siirtyvät hyvin lähelle toisiaan, on sekanttisuora ja tangentti lähes yhdensuuntaiset. Tangentin ja sekantin kulmakertoimet ovat tällöin lähes samat. Kun pisteet siirtyvät mielivaltaisen lähelle toisiaan, tulevat suorien kulmakertoimet samaksi.

Tämä raja-arvo voidaan määritellä:

Raja-arvo on funktion derivaatan arvo kohdassa , kun pisteen 1 kohta  lähestyy pisteen 0 kohtaa . Raja-arvolla on sama merkitys kuin sekantillakin on eli jyrkkyys.

Edellisen raja-arvon voi merkitä vaihtoehtoisesti
.

Esimerkkejä potenssifunktioilla
Seuraavassa eräiden potenssifunktioiden erotusosamäärät sievennettyinä ja niiden raja-arvot.

Rinnakkaisia määritelmiä
Numeerisen analyysin menetelmissä erotusosamäärällä on keskeinen sija derivaatan approksimoinnissa. Tätä varten erotusosamäärästä on kehitetty useita erilaisia muunnoksia.

Oikeanpuoleinen erotusosamäärä 

Oikeanpuoleinen erotusosamäärä on yllä esitetyn määritelmän tarkennettu nimitys. Siinä tarkastellaan pisteen kohdan  oikealle puolelle tehdyn hypyn  vaikutusta funktion arvoihin. Se voidaan merkitä myös seuraavasti:

Numeerisessa matematiikassa oikeanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin oikealla.

Vasemmanpuoleinen erotusosamäärä 
Vasemmanpuoleisessa erotusosamäärässä hyppy  tehdään vasemmalle eli :n arvosta vähennetään . Se merkitään seuraavasti:

Numeerisessa matematiikassa vasemmanpuoleista menetelmää käytetään funktioilla, jotka kasvavat maltillisemmin vasemmalla.

Keskusdifferenssi 
Kun vasemman- ja oikeanpuoleisesta erotusosamäärästä otetaan keskiarvo, saadaan:
 
 
 
Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää puolet pienempää , jolloin keskusdifferenssiksi tulee

Joissakin tapauksissa vasemman- ja oikeammanpuoleiset erotusosamäärät eivät suppene riittävän nopeasti, mutta keskusdifferenssi sen sijaan suppenee kohti derivaattaa nopeasti. Vaikka sillä derivaatan laskeminen on kierrosta kohden nopeampi, riittää vähäisempi iterointi ja tulos saadaan sitä kautta pienemmällä laskutyöllä.

Fysiikan suureita erotusosamääränä
Fysiikassa on useita suureita, joita voidaan määrittää erotusosamäärän raja-arvona. Käytännön laskuissa riittää usein keskimääräinen muutosnopeus, jolla tarkoitetaan luonnontieteissä juuri erotusosamäärää.

Erotusosamäärä ajan suhteen
Fysiikassa mekaniikassa käytetään erotusosamäärää liikkeen muutoksia laskettaessa.

Liikemäärän muutokseen käytettävä voima saadaan erotusosamääränä.

Teho määritellään työn erotusosamääränä.

Kondensaattorin sähkövarauksen purkautumisnopeus tarkoittaa sähkövirtaa.

Erotusosamäärä matkan suhteen
Kohteeseen tehty työ matkan suhteen määrittää käytetyn voiman.

Aiheesta muualla
St Vincent: Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.—MA109 The Difference Quotient 
 University of Birmingham: Dirk Hermans—Divided Differences
University of Wisconsin: Thomas W. Reps and Louis B. Rall—Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics
University of Arizona: Juan M. Restrepo—Divided Differences 
Mathworld:
Erotusosamäärä: Divided Difference
Väliarvolause: Mean-Value Theorem

Lähteet

 

 Analyysi
 Funktiot