Kolmion keskinormaalien leikkauspiste

Kolmion keskinormaalien leikkauspiste on geometriassa piste, joka syntyy jokaisen sivun keskinormaalin kohdatessa toisensa. Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella . Pisteen nimeksi on valittu monissa kielissä melko samantapainen termi, joka kirjoitetaan englanniksi circumcenter. Se viittaa kolmion ympärille piirrettyyn ympyrään, jonka keskipiste yhtyy leikkauspisteeseen.

Sijainti kolmiossa 
Keskinormaalit ovat kohtisuorassa kolmion sivuihin nähden. Kahden sivun välinen tylppä kulma voi kääntää kahden sivun keskinormaalit lähes yhdensuuntaisiksi, jolloin niiden leikkauspiste jää kauaksi. Leikkauspiste voi siksi sijaita tietysti kolmion sisällä, mutta myös kaukana kolmion ulkopuolella.

Sivun keskinormaali on suora, jonka pisteet sijaitsevat yhtä kaukana molemmista sivun päätepisteistä. Kun näin on laita kaikille kolmion keskinormaaleille, ovat keskinormaalien leikkauspisteen etäisyydet kaikkiin kolmion kärkiin yhtä pitkät. Jos kolmion kärkien kautta piirtää ympyrän, tulee sen säteeksi leikkauspisteen etäisyys kolmion kärkiin.

Kun kolmion sivujen pituudet merkitään  on säteen  pituus
 

Kun kolmiosta tunnetaan kärkiä  vastaavat kulmat , saadaan Sinilauseesta

Karteesit koordinaatit 
Kolmion kolme kärkeä merkitään , , ja . Leikkauspisteen  koordinaatit ovat silloin

missä

Trilineaariset koordinaatit 
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat :.

Barysentriset koordinaatit 
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 
.

Muuta

Eulerin suora 
Jos varhain huomattiin, että keskinormaalin leikkauspiste () on kollineaarinen kolmion painopisteen (), ortokeskuksen () ja yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteen () kanssa. Näiden kautta kulkevaa suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.

Etäisyyksiä 
Painopiste G ja ortokeskus O sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta Eulerin suoralla tasavälein niin, että HG = 2•GO.

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde R) keskipiste eli kolmion keskinormaalien leikkauspiste O ja painopiste G toteuttavat yhtälön

Lähteet

Viitteet 

Kolmion geometria