Momentti (tilastotiede)

Momentti on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku, joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät origomomentteihin, keskusmomentteihin ja tekijämomentteihin. Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.

Momentti eli origomomentti 
Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan  tapauksessa
 
Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan  tapauksessa momentti lasketaan
 
mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös  

Kullekin eksponentin  positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään :t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä)
 jota kutsutaan odotusarvoksi.
 jota kutsutaan toiseksi momentiksi.
 jota kutsutaan kolmanneksi momentiksi.
 jota kutsutaan n:nneksi momentiksi.

Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa

ja jatkuvassa tapauksessa

missä   ...,,.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio n kertaa ja sijoittamalla siihen

Keskusmomentti 
Keskusmomentilla, keskimomentilla eli keskeisellä momentilla tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon  erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan  tapauksessa

Jatkuvan satunnaismuuttujan  tapauksessa keskusmomentti lasketaan
 
mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös  

Kullekin eksponentin  positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään 

 jota kutsutaan varianssiksi.
 jota kutsutaan kolmanneksi keskusmomentiksi eli vinoudeksi.
 jota kutsutaan neljänneksi keskusmomentiksi eli huipukkuudeksi.
 jota kutsutaan n:nneksi keskusmomentiksi.

Tekijämomentti 
Tekijämomentit, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti
 
ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa
 
ja jatkuvassa tapauksessa

Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat
 (odotusarvo)
 (varianssi)

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta
Tilastotiede