Binetin–Cauchyn identiteetti

Binetin–Cauchyn identiteetti, joka on nimetty Jacques Philippe Marie Binetin ja Augustin-Louis Cauchyn mukaan, on yhtälö algebrassa.

 

jossa ai, bi, ci ja di, kaikilla i:n arvoilla, ovat reaalilukuja. Sama yhtälö pätee kompleksiluvuilla ja yleisemmin kaikissa kommutatiivisissa renkaissa.

Todistus
Laskemalla auki yhtälön viimeisen termin binomitulo, saamme

jossa toinen ja neljäs termi ovat toistensa vastaluvut, jotka on lisätty yhtälöön, jotta se pystytään saattamaan seuraavaan muotoon:

Tästä i:llä indeksoidut termit osittelemalla saadaan alkuperäisen yhtälön ensimmäiset kaksi termiä, joka päättää todistuksen.

Binetin–Cauchyn identiteetti kolmessa ulottuvuudessa
Kun n = 3, ensimmäinen ja toinen termi vastaavat pistetulojen tuloja, kun taas kolmas termi vastaa ristitulojen pistetuloa. Tämä voidaan merkitä

Lineaarialgebra