Lien tyyppinen yksinkertainen ryhmä

Matematiikassa Lien tyyppinen ryhmä on ryhmä, joka liittyy läheisesti reduktiivisen lineaarisen algebrallisen ryhmän G rationaalipisteiden muodostamaan ryhmään G(k), missä k on kunta. Äärelliset Lien tyyppiset ryhmät käsittävät valtaosan epäkommutatiivisista äärellisistä yksinkertaisista ryhmistä. Erikoistapauksina ovat klassiset ryhmät, Chevalleyn ryhmät, Steinbergin ryhmät ja Suzukin–Reen ryhmät. 

Dieudonné ja Carter ovat perinteisiä viitteitä Lien tyyppisille ryhmille.

Dieudonné ja Carter ovat perinteisiä viitteitä Lien tyyppisten ryhmien opettelussa.

Klassiset ryhmät

Ensimmäinen lähestyminen tähän kysymykseen oli niin sanottujen klassisten ryhmien kuntien suhteen määritteleminen ja yksityiskohtainen opettelu. Tämän teki Jordan vuonna 1870. Näitä ryhmiä tutki L. E. Dickson ja Jean Dieudonné. Emil Artin tutki näiden ryhmien kertalukuja tarkoituksenaan luokitella samankaltaisuudet.

Klassinen ryhmä on karkeasti sanottuna erityinen lineaarinen, ortogonaalinen, symplektinen tai unitaarinen ryhmä. On olemassa useita pieniä variaatiota, jotka saadaan ottamalla johdettuja aliryhmiä tai keskeisiä tekijäryhmiä. Näistä viimeksi mainittu johtaa projektiiviseen lineaariseen ryhmään. Nämä voidaan konstruoida annetun kunnan suhteen paljolti samalla tavalla kuin ne on kostruoitu reaalilukujen suhteen. Ne vastaavan Chevalleyn ja Steinbergin ryhmiä An, Bn, Cn, Dn, 2An, 2Dn.

Chevalleyn ryhmät
Lien tyyppisten ryhmien teoriaa selvensi algebrallisten ryhmien teoria ja Chevalleyn julkaisu Lien algebroista. Tässä
artikkelissa esiteltiin Chevalleyn ryhmät. Chevalley konstruoi Chevalleyn kannan kaikille kompleksisille yksinkertaisille Lien algebroille (tai 
pikemminkin niiden universaaleille enveloping algebroille), joissa niitä käytetään määrittämään vastaavat algebralliset ryhmät kokonaislukujen suhteen.
Erityisesti voitiin ottaa niiden alkiot mistä tahansa äärellisestä kunnasta. Lien algebroille An, Bn, Cn ja Dn tämä ontoi hyvin tunnetut klassiset 
ryhmät, mutta konstruktio antoi myös ryhmät, jotka liittyivät poikkeuksellisiin Lien algebroihin E6, E7, E8, F4 ja G2. Tyypin G2, jota kutsutaan myös Dicksonin
ryhmäksi, oli jo ennestään konstruoinut Dickson
samoin kuin tyypin E6.

Steinbergin ryhmät
Chevalleyn konstruktio ei antanut kaikkia tunnettuja klassisia ryhmiä. Se jätti pois unitaariset ryhmät ja jakautumattomat orthogonaaliset ryhmät.
Steinberg
löysi muunnoksen Chevalleyn konstruktioon joka antoi nämä ryhmät ja kaksi uutta perhettä, 3D4 ja 2E6. Jälkimmäisen löysi suunnilleen samaan aikaan eri tavalla
Tits.
Tämä konstruktio yleistää tavallista unitaarisen ryhmän konstruktiota yleisestä lineaarisesta ryhmästä.

Unitaarinen ryhmä esiintyy seuraavasti: yleisellä lineaarisella ryhmällä kompleksilukujen suhteen on kaavioautomorfismi, joka saadaan kääntämällä Dynkinin
kaavio An (jossa vastaavuus saadaan ottamalla transpoosi käänteisalkio), ja kunta-automorfismi saadaan ottamalla kompleksikonjugaatti, joka kommutoi.
Unitaarinen ryhmä on näiden kahden automorfismin tulon kiintopisteiden muodostama ryhmä.

Samoin monella Chevalleyn ryhmällä on kaavioautomorfismi joka on ryhmien Dynkinin kaavioiden indusoima, ja kunta-automorfismit, jotka ovat äärellisten kuntien
automorfismien indusoimia. Kuten unitaarisessa tapauksessa, Steinberg konstruoi analogisesti joukkojen perheitä ottamalla kaavion ja kunta-automorfismien tulon kiintopisteitä.

Näistä saadaan:

  Unitaarisia ryhmiä 2An, kun otetaan kertalukua kaksi olevat An:n automorfismit.
  Orthogonaalisia ryhmiä 2Dn, kun otetaan kertalukua kaksi ovevat Dn:n automorfismit. 
  Sarjat 2E6, kun otetaan kertalukua kaksi olevat E6:n automorfismit.
  Sarjat 3D4, kun otetaan kertalukua kolme olevat D4:n automorfismit.

Tyyppiä 3D4 olevilla ryhmillä ei ole analogiaa reaalilukujen kanssa, koska kompleksiluvuilla ei ole kertalukua kolme olevia automorfismeja. D4-kaavion
symmetriat aiheuttaa trialiteetin.

Suzukin–Reen ryhmät
Suzuki löysi uuden äärettömän joukon ryhmiä, jotka eivät näyttäneet ensisilmäyksellä
liittyvän tunnettuihin algebrallisiin ryhmiin. Ree tiesi, että algebrallisella ryhmälla B2 oli "lisä"automorfismi karakteristikaa 2,
jonka neliö oli Frobeniuksen automorfismi. Hän keksi, että jos karakteristikaa kaksi olevalla äärellisellä kunnalla on automorfismi, jonka neliö
on Frobeniuksen kuvaus, niin Steinbergin konstruktion tapaisella analogisella konstruktiolla saadaan Suzukin ryhmät. Kunnat, joiden automorfismi on
tällainen, ovat kertalukua  ja niitä vastaat ryhmät ovat Suzukin ryhmät

2B2(22n+1) = Suz(22n+1).

Tarkkaan ottaen ryhmää Suz(2) ei lasketa Suzukin ryhmäksi koska se ei ole yksinkertainen; sen Frobeniuksen ryhmä on kertalukua 20. Reen onnistui samantapaisia
perheitä 

2F4(22n+1)

ja

2G2(32n+1)

-yksinkertaisia ryhmiä hyväksi käyttämällä löytää faktaa, että F4:llä ja G2:lla on lisäautomorfisti karakteristikassa kaksi ja kolme.
(Karkeasti ottaen karakteristika p on sallittu, jotta Dynkin kaaviossa voidaan jättää huomioimatta sidoksen nuoli joka on kertalukua p kun otetaan 
kaavioautomorfismit.) Pienin tyyppiä 2F4 oleva ryhmä 2F4(2) ei ole yksinkertainen, mutta sillä on 
yksinkertainen aliryhmä indeksiä kaksi. Tätä kutsutaan Titsin ryhmäksi ja se on nimetty matemaatikko Jacques Titsin mukaan. Pienin tyyppiä 2G2
oleva ryhmä 2G2(3) ei ole yksinkertai, mutta sillä on normaali aliryhmä indeksiä kolme, ja se on isomorfinen ryhmät SL(2, 8) kanssa.
Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa Reen ryhmien

2G2(32n+1)

rakenteen selvittäminen eksplisiittisesti on yksi vaikeimmista tapauksista. Nämä ryhmät olivat myös merkittävässä roolissa kun ensimmäinen moderni
sporadinen ryhmä löydettiin. Niillä on involuution keskittäjä muotoa Z/2Z × PSL(2, q) missä q = 3n. Janko löysi sporadisen ryhmän J1
tutkimalla ryhmiä, joiden involuution keskittäjä on samantapainen kuin Z/2Z × PSL(2, 5).

Suzukin ryhmät ovat ainoita epäkommutatiivisia yksinkertaisia ryhmiä, joiden kertaluku on jaollinen kolmella. Niiden kertaluku on 22(2n+1)(22(2n+1) + 1)(2(2n+1) −1).

Suhteet äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin
Lien tyyppiset äärelliset ryhmät olivat ensimmäisten tutkittujen ryhmien joukossa syklisen, symmetrisen ja alternoivan ryhmän jälkeen. PSL(2,p):n
konstruoi Évariste Galois 1830-luvulla. Lien tyyppisten äärellisten ryhmien systemaattisen tutkimisen aloitti Camille Jordanin lause, jonka mukaan
projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä PSL(2,q) on yksinkertainen kun q ≠ 2, 3. Tämä lause yleistyy korkeampiulotteisille projektiivisille ryhmille
ja siitä seuraa tärkeä ääretön perhe äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä, nimittäin PSL(2,q). Muita klassisia ryhmiä tutki Leonard Dickson 1900-luvun
alussa. 1950-luvulla Claude Chevalley havaitsi, että sopivasti muotoiltuna monilla puoliyksinkertaisia Lien ryhmiä koskevilla lauseilla on analoginen
algebrallisia ryhmiä koskea vastine annetussa kunnassa k. Tämä johti Chevalleyn ryhmien konstruoimiseen. Ja kuten kompaktien yksinkertaisten Lien ryhmien
tapauksessa, vastaavuus tuntui olevan yhtä yksinkertaista kuin abstrakteilla ryhmillä (Titsin yksinkertaisuuslause). Vaikka 1800-luvulta asti oli tiedetty,
että on olemassa muitakin yksinkertaisia ryhmiä, kuten Mathieun ryhmiä, levisi hitaasti usko, että lähes kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät
saadaan sopivalla laajennuksilla Chevalleyn kostruktioon, yhdessä syklisten ja alternoivien ryhmien kanssa. Edelleen poikkeustapaukset, eli sporadiset
ryhmät, toteuttavat monia samoja ominaisuuksia kuin äärelliset Lien tyyppisen ryhmät ja ne voidaan konstruoida ja karekterisoida niigen geometrian avulla Titsin hengessä.

Uskomuksesta oli nyt tullut lause. Äärelliset yksinkertaiset ryhmät oli luokiteltu. Tarkastelemalla äärellisten yksinkertaisten ryhmien listaa huomataan,
että äärellisen kunnan suhteen Lien tyyppiset ryhmät sisältävät kaikki äärelliset yksinkertaiset ryhmät lukuun ottamatta syklisiä ryhmiä,
alternoivia ryhmiä, Titsin ryhmää ja 26:tta sporadista ryhmää.

Pienet Lien tyyppiset ryhmät
Yleisesti äärellinen ryhmä, joka liittyy yhdesti yhtenäiseen yksinkertaiseen algebralliseen ryhmään on äärellisen kunnan universaali keskeinen laajennus,
joten se on perfekti ja sillä on triviaali Schurin kertoja. Kuitenkin jotkut alla olevien perheiden pienimmistä ryhmistä eivät ole perfektejä tai niillä
on Schurin kertoja poikkeuksellisen suuri.

Tapaukset, joissa ryhmä ei ole perfekti, sisältää seuraavat ryhmät:

    A1(2) = SL(2, 2) Ratkeava kertalukua kuusi oleva ryhmä eli kolmen alkion symmetrinen ryhmä.
    A1(3) = SL(2, 3) Ratkeava kertalukua 24 oleva ryhmä eli neljän alkion alternoivan ryhmän 2A2(4) kaksoispeite, ratkeava).
    B2(2) Ei ole perfekti, mutta on isomorfinen kuuden alkion symmetrisen ryhmän kanssa, joten sen johdetun aliryhmän indeksi on kaksi ja
    se on kertalukua 360 oleva yksinkertainen ryhmä.
    2B2(2) = Suz(2) Kertalukua 20 oleva ratkeava ryhmä, niin sanottu Frobeniuksen ryhmä.
    2F4(2) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kaksi ja ryhmä on yksinkertainen Titsin ryhmä.
    G2(2) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kaksi ja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6048.
    2G2(3) Ei ole perfekti, mutta johdetun ryhmän indeksi on kolme ja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 504.

Joissain tapauksissa ryhmä on perfekti mutta sen Schurin kertoja on suurempi kuin ensinnäkemältä odottaisi. Näitä tapauksia ovat muun muassa:

    A1(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    A1(9) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6 vaikka odottaisi olevan 2.
    A2(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    A2(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/4Z × Z/4Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 48 vaikka odottaisi olevan 3.
    A3(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    B3(2) = C3(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    B3(3) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 6 vaikka odottaisi olevan 2.
    D4(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 4 vaikka odottaisi olevan 1.
    F4(2) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    G2(3) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 3 vaikka odottaisi olevan 1.
    G2(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    2A3(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 2 vaikka odottaisi olevan 1.
    2A3(9) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/3Z × Z/3Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 36 vaikka odottaisi olevan 4.
    2A5(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 12 vaikka odottaisi olevan 3.
    2E6(4) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 12 vaikka odottaisi olevan 3.
    2B2(8) Schurin kertojalla on lisäryhmä Z/2Z × Z/2Z, joten Schurin kertoja on yksinkertainen ryhmä kertalukua 4 vaikka odottaisi olevan 1.

On olemassa hämmentävä määrä isomorfismeja pienten Lien tyyppisten ryhmien välillä samoin kuin alternoivien ryhmien välillä. Esimerkiksi ryhmät SL(2, 4), PSL(2, 5),
ja viiden alkion alternoiva ryhmä ovat kaikki keskenään isomorfisia.

Joillakin pienillä alternoivilla ryhmillä on poikkeuksellisia ominaisuuksia. Alternoivilla ryhmillä on yleensä kertalukua kaksi oleva ulkoinen automorfismiryhmä, 
mutta kuuden alkion alternoivalla ryhmällä on kertalukua neljä oleva ulkoinen automorfismiryhmä. Alternoivilla ryhmillä on yleensä kertalukua kaksi oleva
Schurin kertoja, mutta kuuden ja seitsemän alkion alternoivilla ryhmillä on kertalukua kuusi oleva Schurin kertoja.

Merkinnällisia asioita
Valitettavasti ei ole standardoituja merkintöjä Lien tyyppisille äärellisille ryhmille, ja kirjallisuudessa esiintyvien merkintöjen lukumäärä on kymmeniä.

 Yksinkertainen ryhmä PSL(n, q) ei ole yleensä sama kuin ryhmä PSL(n, Fq), PSL(n):n Fq-arvopisteet. Ongelma on siinä, että surjektiivinen kuvaus algebrallisten ryhmien välillä, kuten SL(n) → PSL(n), ei välttämättä indusoi vastaavien ryhmien välille surjektiivista kuvausta, missä arvot ovat jossain ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa. Samanlaisia ongelmia esiintyy tapauksissa, missä toisten algbrallisen ryhmän alkion kuuluvat johonkin äärelliseen kuntaan.

 Tyyppiä An−1 olevia ryhmiä merkitään joskus PSL(n, q) (projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä) tai L(n, q).

 Tyyppiä Cn olevia ryhmiä merkitään joskus Sp(2n, q) (symplektinen ryhmä) tai (häiritsevästi) Sp(n, q).

 Merkintätavat tyypille Dn (ortogonaalisille ryhmille) ovat erityisen hämmentäviä. Näille käytetään merkintöjä O(n, q), O−(n, q), PSO(n, q), Ωn(q), mutta on olemassa niin monta tapaa merkitä ryhmiä, että on mahdotonta sanoa mikä ryhmistä vastaa mitäkin eri merkintätavassa. Ongelma on peräisin siitä, että yksinkertainen ryhmä ei ole ortogonaalinen ryhmä O, ei projektiivinen spesiaali ortogonaalinen ryhmä PSO, mutta on pikemminkin PSO:n aliryhmä jolla ei ole klassista merkintätapaa. Erityisen ilkeäksi tämän tekee se, että esimerkiksi ATLAS käyttää merkintää O(n, q) ryhmälle, joka ei ole ortogonaalinen ryhmä mutta on sitä vastaava yksinkertainen ryhmä. Merkinnän Ω, PΩ esitteli Jean Dieudonné, vaikka hänen määrittelemänsä ryhmä ei ole yksinkertainen kun n ≤ 4. Siten samaa merkintätapaa voidaan käyttää hieman erilaisille ryhmille, jotka ovat samoja kun n ≥ 5 mutta erilaisia pienillä n.

 Steinbergin ryhmille jotkut käyttävät merkintää 2An(q2) (ja niin edelleen) ryhmille, joille toiset käyttävät merkintää 2An(q). Ongelma on siinä, että tähän käsitteeseen liittyy kaksi kuntaa. Toinen on kertalukua q2 ja sen kiintokunta on kertalukua q, ja ihmisillä on erilaisia näkemyksiä siitä, mitä pitäisi sisällyttää merkintään. Merkintätapa "2An(q2)" on loogisempi ja johdonmukaisempi, mutta merkintätapa "2An(q)" on tavallisempi ja lähempänä algebrallisten ryhmien merkintätapaa.

 Eri matemaatikoiden mielestä on eroja siinä, onko muotoa An(q) olevien ryhmien alkiot yksinkertaisen vai yhdesti yhtenäisen  algebrallisen ryhmän alkiota. Esimerkiksi An(q) voi tarkoittaa joko erityistä lineaarista ryhmää SL(n+1, q) tai projektiivista erityistä lineaarista ryhmää PSL(n+1, q). Siten 2A2(4) voi tarkoittaa kirjoittajasta riippuen neljää erilaista ryhmää.

Lähteet  

Ryhmäteoria