Monotoninen funktio

Monotoninen funktio on matematiikassa funktio, jonka arvot pelkästään kasvavat tai vähenevät määrittelyjoukossaan. 

Määritelmästä voidaan erottaa kaksi erillistä tapausta:
Funktio on monotonisesti kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat, eli jos  siitä seuraa . 
Funktio on monotonisesti vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot sen sijaan vähenevät, eli jos  siitä seuraa . 
Kummatkin tapaukset sisältyvät yleiseen määritelmään monotonisesta funktiosta. 

Funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä:
Funktio on aidosti kasvava, kun jos  niin silloin . 
Funktio on aidosti vähenevä, kun jos  niin silloin . 

Reaaliluvuilla aidosti monotoninen funktio on samalla bijektio määrittelyjoukolta arvojoukolleen.  Se ei kuitenkaan välttämättä ole :n bijektio :lle, sillä esimerkiksi eksponenttifunktio ex on aidosti kasvava, mutta se ei saa millään reaalilukuarvolla negatiivisia arvoja.

Monotonisuuden tutkiminen
Määritelmä antaa tyydyttävän perusteen selvittää tavallisen yksiarvoisen funktion monotonisuutta. Käytännössä on kuitenkin mahdotonta todistaa yksittäinen funktio monotoniseksi, koska silloin täytyisi osoittaa kaikille lukupareille  ja  määritelmä todeksi. Käytännössä määritelmää käytetään osoittamaan jokin funktion monotonisuus epätodeksi.

Käytännössä monotonisuus osoitetaan erotusosamäärän

avulla. Jos  eli  kaikille lukupareille  ja , niin määritelmän mukaan aidosti kasvavalle funktiolle pätee silloin aina  eli myös . Muodostettu erotuksien osamäärä tulee positiiviseksi, jos molemmat erotukset ovat saman merkkiset. Funktio on tällöin aidosti kasvava. Jos erotuksien merkit ovat erit, tulee osamäärä negatiiviseksi ja funktio on aidosti vähenevä.

Erotusosamäärän testaaminen eri lukupareilla ei ole käytännöllistä, vaan erotusosamäärän lauseke muutetaan funktion  derivaattafunktioksi  toisen pisteen  suhteen 

tai vaihtamalla merkintöjä niin, että esitetään derivaattafunktion lauseke kohdassa x
.
Derivaattafunktion  ominaisuuksia tutkimalla voidaan päätellä monotonisuuden laatua ja vaihtumista. Monotonisuuden voi jaotella derivaattafunktion ominaisuuksien mukaan koko tarkasteluvälillä seuraavasti:
Jos , on funktio aidosti kasvava.
Jos , on funktio kasvava.
Jos , on funktio aidosti vähenevä.
Jos , on funktio vähenevä.

Aito monotonisuus täsmällisesti määriteltynä: derivoituva funktio  on aidosti kasvava, kun  ja jos ei ole olemassa väliä, jolla . Esimerkiksi funktio  on aidosti kasvava, vaikka sen derivaattafunktio ei ole kaikkialla suurempi kuin 0. Kyseisen funktion derivaatta onkin 0 vain yksittäisessä pisteessä: . Ja , kun . Funktion derivaatta voi siis olla yksittäisissä pisteissä 0 ilman, että  menettää aidon monotonisuutensa. 

Vastaavasti (derivoituva) funktio on aidosti vähenevä, kun  ja jos ei ole olemassa väliä, jolla  .

Esimerkkejä monotonisista funktioista
Aidosti kasvavia alkeisfunktioita koko laajimmassa määrittelyjoukossaan ovat muun muassa muut eksponenttifunktiot (kantaluku > 1), logaritmifunktio, parittomat potenssifunktiot, juurifunktiot, tangenttifunktio ja arcustangenttifunktio.

Aidosti väheneviä alkeisfunktioita ovat muun muassa muut laskevat lineaariset funktiot ja eksponenttifunktiot (0 < kantaluku < 1).

Eksponenttifunktio  on aidosti kasvava funktio koko reaalilukualueessa. Negatiivisilla x:n arvoilla funktion kasvuvauhti on pieni, mutta positiivisilla arvoilla se kasvaa nopeasti. Eksponenttifunktion derivaattafunktio on myös eksponenttifunktio , joka on positiivinen eli  kaikilla x:n arvoilla. Tämä täyttää monotonisuusehdon.

Toisen asteen potenssifunktio  ei ole monotoninen funktio. Kuvaajasta nähdään, että funktion arvot vähenevät negatiivisilla x:n arvoilla ja kasvavat positiivisilla x:n arvoilla. Jos määrittelyjoukkosta poistettaisiin kaikki negatiiviset luvut, olisi kuvaus 

aidosti kasvava funktio. Negatiivisilla arvoilla kuvaus

olisi aidosti vähenevä funktio.

Lähteet
 Tampereen Teknillinen Korkeakoulu: Funktion ominaisuuksia 
 Jyväskylän yliopisto: Funktion monotonisuus
 Helsingin yliopisto: Matematiikan tukikurssi, #8
 Wolframs Mathworld: Monotonic functions
 Connexions: Monotonic functions
 Swarthmore: Monotonic functions 
 Math eCources: Monotonic functions

Viitteet

Kirjallisuutta 
 

AnalyysiFunktiot