Isogonaalinen konjugaatti

[[Tiedosto:Isogonal Conjugate.svg|pienoiskuva|Pisteen P isogonaalinen konjugaatti P*.]]
Isogonaalinen konjugaatti  on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle , joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä . Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät  ja .

 Sijainti kolmiossa 
 Trilineaariset koordinaatit 
Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit 
, 
ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit 
.
Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös 
, 
jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden  ja  olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.

 Barysentriset koordinaatit 
Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

ja isogonaaliset koordinaatit ovat 
,
missä  ovat kolmion sivujen pituuksia.

 Esimerkkejä 
Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja:
 kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste () itsensä kanssa ()
 kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste () ja ortokeskus ()
 symmediaaninen piste () ja kolmion painopiste ()
 Gergonnen piste () ja piste 
 ensimmäinen Napoleonin piste () ja piste 
 toinen Napoleonin piste () ja piste 
 Nagelin piste () ja piste 
 ensimmäinen Fermat'n piste () ja ensimmäinen isodynaaminen piste ()

 Todistus 
Todistetaan isogonaalisen konjugaatin  olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle , joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska  on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta 

 Janat sinilausekkeiksi 
Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta  kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

ja kolmiosta  ensimmäisen osamäärän nimittäjä

Koska kulmat  ja  ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli , saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä

Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää 

ja

ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan
 
eli 

 Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi 
Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä , tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua

Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa 

ja

Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi  ja  jolloin

Kun tätä verrataan Cevan lauseen  yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ( ja  sekä  ja  ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

ja

 Sijoitus Cevan yhtälöön 

Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen'' ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 
 http://zacharyabel.com/papers/Tri-Centers_A07_MOSP.pdf
 Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry 
 Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky
 http://zacharyabel.com/papers/Mean-Geo_A07.pdf
 http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200812.pdf
 http://blog.zacharyabel.com/category/geometry/

Geometria