Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetti satunnaismuuttuja  ()  eli diskreetti stokastinen muuttuja  on todennäköisyyslaskennassa äärellisen tai numeroituvasti äärettömän määrän arvoja saava satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua, joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Se nähdään usein "vastakkaisena" jatkuvalle satunnaismuuttujalle, jonka arvot muodostavat reaalilukujen jatkumona ylinumeroituvasti äärettömän määrän arvoja. Äärellistä diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan yksinkertaiseksi.

Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Siksi arvojoukkoa kutsutaan diskreetiksi (). Satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujaa, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppiseksi.

Satunnaismuuttujan saamat lukuarvot muodostavat perusjoukon, jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella.

Matemaattiset määritelmät 
Satunnaismuuttuja  on mitallisen funktion kuvaus , missä määrittelyjoukko  on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien  muodostana perusjoukko  eli otosavaruus, ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa  Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä . Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.

Samoin kuin klassisessa todennäköisyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma  on siis joukko-opillinen käsite  Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma  samalla idealla eli  eli lyhyemmin kirjoitettuna , kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus . Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon  alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan (-algebra) . Vain osajoukot  ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä:  on satunnaismuuttuja, jos  on tapaus (eli ) kaikilla Borel-joukoilla  Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.

Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle  voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapauksessa todennäköisyys.

Diskreetin satunnaismuuttujan ominaisuuksia

Todennäköisyysfunktio 

Yksinkertaisen eli äärellisen diskreetin satunnaismuuttujan perusjoukko käsittää  alkeistapausta , joista kukin esiintyy todennäköisyydellä  Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Sille on yleisesti käytössä merkinnät
 
missä .

Satunnaismuuttujan arvot ja todennäköisyysfunktion arvot muodostavat yhdessä satunnaismuuttujan jakauman. Diskreetin luonteensa vuoksi nämä arvot voidaan luetella taulukossa, mutta joissakin jakaumissa todennäköisyysfunktiolle on määritelty kompakti lauseke.

Todennäköisyyksien summa tulee aina olla yksi:

Kertymäfunktio 

Todennäköisyyslaskennassa halutaan usein laskea todennäköisyyksiä tapahtumille, jotka ovat muotoa ,  tai  Näiden kaikkien todennäköisyydet voidaan esittää pelkästään todennäköisyyksien  avulla. Diskreetin satunnaisfunktion kertymäfunktio eli jakaumafunktio määritetään
 
Todennäköisyysfunktion arvot eli pistetodennäköisyydet voidaan laskea kahden kertymäfunktion arvon avulla

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiolla  on seuraavia omainaisuuksia:
 Sen arvoalue: 
  on oikealta jatkuva porrasfunktio 
  on ei-vähenevä funktio 
 Raja-arvo on olemassa: 
 Raja-arvo on olemassa:

Tunnuslukuja 

Äärellisen ja diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo merkitään ja määritellään
 
Äärettömän ja diskreetin satunnaismuuttujan odotosarvo ei välttämättä ole äärellisenä olemassa. Yleensä ääretön summa lukuja kasvaa yli kaikkien rajojen, koska silloin pienetkin termit kasvavat äärettömän suureksi summaksi. Siksi odotusarvo on olemassa vain, kun se suppenee itseisesti eli

Odostusarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan ensimmäiseksi momentiksi. Muut momentit ovat
 (toinen momentti)
 (kolmas momentti) jne.

Näissäkin ääretön summa on olemassa, jos se suppenee itseisesti. Satunnaismuuttujan varianssi merkitään ja määritellään
 missä  
ja sama erilaisilla summakaavoilla
 

missä itseinen suppeneminen on äärettömien summien lisäehtona. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri

Diskreetin satunnaismuuttujan jakauma 
Tunnettuja diskreettien satunnaismuuttujien jakaumia on lukuisia. Niissä käsitellään useimmiten lukumääriä ja niiden esiintymisen todennäköisyyksiä. Alla on muutama yleisesti tunnettuja esimerkkejä satunnaismuuttujista, jotka kuvaavat lukumääriä.

 Diskreetti tasainen jakauma kuvaa satunnaismuuttujia, joiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki samansuuruiset. Tällainen tilanne on esimerkiksi, kolikonheitossa, jossa kruuna ja klaava ovat yhtä todennäköiset, nopanheitossa, jossa kukin silmäluku esiintyy yhtä todennäköisesti.
 Bernoullin jakauma kuvaa kaksiarvoista satunnaismuuttujaa, jollainen on esimerkiksi yhden kerran suoritettu kolikonheitto. Nyt todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret. Nopanheitossa tulee tarkastella tilannetta, jossa joko tulee "kuutonen" tai tulee "jokin muu" silmäluku.
 Binomijakauma (toistokoe) kuvaa toistojen aikana sattuneiden onnistumisten lukumääriä, kun onnistumisen todennäköisyys tunnetaan etukäteen. Tällainen on useaan kertaan suoritettu nopanheitto, jossa yritetään saada "kuutosia".
 Geometrinen jakauma kuvaa epäonnistumisten lukumäärää ennen kuin saadaan ensimmäinen onnistuminen. Tällainen tilanne syntyy on taas nopanheitossa, kun yritetään heittoja toistamalla saada "kuutonen" kerran.
 Hypergeometrinen jakauma kuvaa onnistumisten määrää, kun vaihtoehdoista poimitaan tietyn suuruinen otos. Esimerkiksi lotossa se kuvaa "oikeita" arvauksia, kun oikeita on seitsemän ja arvauksia on myös seitseman (otanta ilman takaisinpanoa).
 Negatiivinen binomijakauma kuvaa lukumäärää, jota tulee toistaa ennen kuin onnistutaan halutun monta kertaa. Jakauman lukumääräksi tosin ilmoitetaan tähän tulokseen pääsemiseen vaadittavien epäonnistumisten lukumäärä.
 Poissonin jakauma kuvaa sattuvien tapahtuien lukumäärää vakioaikavälillä (Poisson-prosessin insidenssien lukumäärä).

Lähteet

Aiheesta muualla 
 

Todennäköisyyslaskenta