Trilineaariset koordinaatit

Trilineaariset koordinaatit muodostuvat kolmesta järjestetystä luvusta  ja , jotka kuvaavat pisteen kohtisuoria etäisyyksiä kolmion kolmesta sivusta. Lukukolmikko ei esitä todellisia etäisyyksiä vaan etäisyyksien suhdelukuja. Ne ovat siten homogeeniset koordinaatit. Koordinaatit voidaan merkitä  tai .

Kolmion , jonka pinta-ala on  sivut a, b ja c sijaitsevat saman nimistä kulmaa vastapäätä. Pisteen P todellinen etäisyys sivusta a on a'. Tämän etäisyyden trilineaarinen koordinaatti on siten a' = . Koordinaatit muodostetaan siten
 
missä kerroin saadaan
 
Siis, pisteen P todelliset etäisyydet kolmion sivuista, eli todelliset trilineaariset koordinaatit, saadaan (suhteellisista) trilineaarisista koordinaateista kertomalla ne kertoimella k, ja päinvastoin jakamalla ne kertoimella k.

Koordinaatit ovat positiiviset, mikäli piste P on kolmion sisällä. Kolmion ulkopuolisille pisteille on yksi tai kaksikin koordinaattia negatiiviset. Mikäli kaikki koordinaatit ovat negatiivisia, voidaan negatiivisuus sisällyttää kertoimeen k ja supistaa merkinnästä pois. Piste on tällöin kolmion sisäpuolella.

Esimerkkejä 
Merkinnöissä kirjaimet ovat sivujen pituuksia tai kulmien suuruuksia.
 Kolmion kärkien trilineaariset koordinaatit ovat 1:0:0 (A), 0:1:0 (B) ja 0:0:1 (C).
 Kolmion kulmanpuolittajien leikkauspisteen trilineaariset koordinaatit ovat 1:1:1.
 Kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteen koordinaatit ovat .
 Kolmion painopisteen trilineaariset koordinaatit ovat  
 Kolmion keskijanojen kantapisteiden koordinaatit ovat   ja

Historia 
Ranskalainen Etienne Bobillier (1797−1832) esitteli barysentriset koordinaatit vuonna 1827 tutkiessaan kolmioita ja niiden ympäristön pisteitä. Koordinaattien tarkoituksena oli ilmaista pisteiden sijainteja kolmioon nähden ja helpottaa siten laskuja. Monet muutkin kehittelivät tuolloin samantapaisia ideoita, mutta vasta saksalainen Julius Plückert (1801−1868) kirjoitti vuonna 1829 artikkelin Über ein neues Coordinatensystem, jossa hän esitteli trilineaariset koordinaatit.

Trilineaarinen koordinaattijärjestelmä ei syrjäyttänyt karteesista koordinaattijärjestelmää, mutta sitä käytetään nykyäänkin kolmioihin liittyvien laskelmien perustana tietyillä aloilla. Vielä nykyäänkin aiheesta julkaistaan tutkielmia. Kuuluisa alan tutkija on Clark Kimberling, jonka suurtyö on ollut noin 5 000 pisteen trilineaaristen koordinaattien määrittäminen.

Lähteet

Viite

Aiheesta muualla 
 Kimberling, Clark: http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, Evansvillen Yliopisto, 2013

Geometria