Tilavuusintegraali

Tilavuusintegraali eli avaruusintegraali on kolmiulotteisessa avaruudessa  tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.

Määritelmä 

Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona   Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on

Jos  on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:

Valitaan suorakulmainen särmiö  siten, että D sisältyy A:hen eli .
Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio fD siten, että
 , kun , ja
 , kun 

Nyt määritellään, että

.

Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen.

Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä: 

, kun ,

mikäli tämä raja-arvo on olemassa.  Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.

Tilavuusmitta 

Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χD, jonka arvo on
 , kun , ja
 , kun , 

Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion  tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:

, 

mikäli karakteristinen funktio on integroituva.

Koska &chiD saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χ</sub>D</sub> korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli ), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:

.

Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli:

Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa 

Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.

Olkoot  avoimia,  ja  kompakteja,  ja  nollajoukkoja sekä  bijektiivinen -kuvaus, . Jos  on jatkuva, niin

, 

missä  on kuvauksen  jacobiaani eli Jacobin determinantti

,

ja  ovat :n koordinaattifunktiot. 

Kuvaukselle , , missä

saadaan Jacobin determinantiksi , kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke:

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

Jacobin determinantiksi  ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke

Esimerkki 
Lasketaan :n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla 
 pallokoordinaatteihin sijoituksella:

Katso myös 
 Pintaintegraali

Lähteet 

Integraalilaskenta