Kolmion painopiste

Kolmion painopiste tarkoittaa geometriassa kolmion keskijanojen leikkauspistettä. Painopisteen nimitys tulee siitä, että se on samalla myös kolmion muotoisen homogeenisen levyn fysikaalinen painopiste. Painopiste on eräs kolmion merkillisistä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella   On vielä huomattava, että  on kolmiolevyn painopiste ja se eroaa Spiekerin painopisteestä , joka on kolmiokehikon painopiste.

Sijainti kolmiossa 
Keskijanat kulkevat aina kolmion sisällä. Sen vuoksi niiden leikkauspiste on myös aina kolmion sisällä ja ne jakavatkin kaikki toisensa suhteessa 1 : 2. Siksi kolmion painopiste on aina melko keskellä kolmiota.

Tasakylkisessä kolmiossa painopiste sijaitsee aina kylkien välisellä halkaisijalla ja tasasivuisessa kolmiossa aivan kolmion keskipisteessä.

Karteesiset koordinaatit 
Jos kolmion kärkien koordinaatit ovat ,  ja , on painopisteen koordinaatit

Trilineaariset koordinaatit 
Painopisteen trilineaariset koordinaatit ovat (eri muodoissaan)
.

Barysentriset koordinaatit 
Painopisteen barysentriset koordinaatit ovat .

Teoreemoja 
Kun kolmion keskijanojen kantapisteet yhdistetään, saadaan keskinen kolmio, jonka painopiste on sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla. Piirtämällä keskiselle kolmion sisään keskinen kolmio, ja jatkamalla keskisten kolmioiden rekursiivista piirtämistä, jää painopiste pienenevien kolmioiden sarjan sisälle.

Etäisyydet kolmion kärjistä painopisteeseen G toteuttavat yhtälön  
Kolmio pysyy fysikaalisesti tasapainossa minkä tahansa janan suhteen, joka kulkee painopisteen kautta.

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde R) keskipiste O ja painopiste G toteuttavat yhtälön

Lähteet

Viitteet 

Kolmion geometria