Käänteisalkio

Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon  kuuluvan alkion  binäärioperaation laskutulos  on joukon  neutraalialkio  eli  
Tällöin sanotaan, että  ja  ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla  on olemassa yksi käänteisluku , jolle

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät
Alkiolla  on vasemmanpuoleinen käänteisalkio , jos  ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos  Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemassa käänteisalkio. Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion  käänteisalkiota . Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli .

Esimerkkejä
Kokonaislukujen joukossa pari  sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus  on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla . Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus  kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku , voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta . Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku , koska . Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti.

Funktioiden joukossa , missä  on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus  on yhdisteen  neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa  Jos  on bijektio, on  funktion  käänteiskuvaus laskutoimituksen  suhteen ja . Muilla joukon  alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.

Käänteisalkiot algebrassa
Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio. Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio. Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutoimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi. Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.

Aiheesta muualla
 Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets

Lähteet

Abstrakti algebra