Aste (polynomi)

Polynomin aste on matematiikassa käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia polynomeja niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta monomista, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

Esimerkki 
Monomin aste on potenssimerkinnässä olevan eksponentin arvo. Esimerkiksi potenssin

aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi p(x)

muodostuu viidestä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että polynomi p(x) on kuudetta astetta, ja se voidaan merkitä myös 
,
missä deg merkitsee englanniksi degree.

Nimityksiä 
Polynomifunktiosta, jonka asteluku on n, käytetään nimitystä
 n = 0: Vakiofunktio
 n = 1: Lineaarinen funktio eli ensimmäisen asteen polynomi
 n = 2: Kvadraattinen funktio eli toisen asteen polynomi
 n = 3: Kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomi
 n = 4: neljännen asteen polynomi
 n = n: n. asteen polynomi

Asteen määräytyminen 
Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla nollafunktio, sillä kun ei ole astetta.
Kahden polynomin P(x) ja Q(x) yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen P(x)±Q(x) aste on suurempi aste:
,
.
Esimerkiksi summan  aste on 3, koska 3 ≤ max(3, 2). Samoin erotuksen  aste on 2, koska 2 ≤ max(3, 3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:
.
Esimerkiksi  aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin  aste.

Polynomien P(x) ja Q(x) tulon P(x)Q(x) aste on asteiden summa

ja osamäärässä P(x)/Q(x) asteiden erotus
.
Esimerkiksi tulon  aste on 3 + 2 = 5.

Polynomien P(x) ja Q(x) yhdistetyn funktion aste on asteiden tulo
.
Esimerkiksi, jos , , niin , jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo

Asteen määrittäminen funktion arvoista 
Polynomin P(x) aste voidaan laskea raja-arvona 

Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:
 Käänteislukufunktion  aste −1.
 Neliöjuurifunktionn  aste on 1/2.
 Logaritmifunktion  aste on 0.
 Eksponenttifunktion  aste on ∞.

Yleisen funktion f(x) aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:
.

Lähteet 
 Wolfram Mathworld: Polynomial order
 Ranto, Sanna: Polynomin aste

Polynomit