Tapahtuma (todennäköisyys)

Tapahtuma () eli joskus vain tapaus  on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa sellaista satunnaisilmiön alkeistapauksien joukkoa, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Satunnaisilmiön kaikki alkeistapaukset muodostavat joukon, jota kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi. Tapahtuma on siten aina perusjoukon osajoukko.

Esimerkiksi kortinnostossa 52 pelikortin korttipakassa jokainen nostettu kortti on alkeistapaus. Alkeistapauksella tarkoitetaan satunnaisilmiön (kortin nosto pakasta) tulosta, joka on yksikäsitteisenä olemassa (jokainen kortti on eriarvoinen). Korttipakka on siis arvontaväline, jolla arvotaan tuloksia (alkeistapauksia). Kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon. Jotkut alkeistapaukset (kortit) muodostavat joukon, joka voi sisältää vain hertta-kortit. Toinen joukko muodostuu vain kuvakorteista. Näitä joukkoja, jotka ovat perusjoukon osajoukkoja, kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tapahtumiksi.

Jos perusjoukko on ylinumeroituva, yleensä sen kaikille osajoukoille ei voida määrittää toden­näköisyyttä, koska ne eivät kaikki ole mitallisia. Tällaisissa tapauksissa tapahtumiksi sanotaan vain sellaisia perus­joukon osa­joukkoja, joille toden­näköisyys voidaan määrittää. Tällaiset joukot muodostavat perus­joukon sigma-algebran.

Esimerkkejä tapahtumista

Diskreetit tapaukset 
Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset ovat perusjoukoksi kirjoitettuina (silmäluvut numeroina)  Pelin tiimellyksessä voi tulla tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat tapahtuman  Tapahtuma  on perusjoukon osajoukko eli joukko-opin merkinnöillä

Jatkuvat tapaukset 
Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko  sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli  Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin päässä napakympistä muodostavat tapahtuman , joka voidaan määritellä

Tapahtumien joukot 
Todennäköisyyslaskennan ajatukset on matematiikassa puettu joukko-opin käsitteisiin. Tapahtumat ja perusjoukko muodostuvat alkeistapauksista. Joukko-opin triviaali merkintä tälle olisi  Koska perusjoukossa ovat kaikki alkeistapaukset ja tapahtumissa on usein vähemmän alkeistapauksia, ovat tapahtumat perusjoukon osajoukkoja. Tämä merkitään yksinkertaisesti  

Jos tapahtuma on määritelty siten, ettei sitä toteuta mikään alkeistapaus, on tapahtuma tyhjä joukko eli  Toinen erikoinen tilanne syntyy siitä, että tapahtuman toteuttaa yksittäinen alkeistapaus. Tällöin tapahtuma on kyseinen alkeistapaus yksinään. Mikäli kaikki alkeistapaukset toteuttavat tapahtuman, on tapahtuma satunnaisilmiön perusjoukko eli

Vastatapahtuma 
Koska tapahtuman  osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon komplementtijoukko   määritellään  Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin:  ja vastaavasti  Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli  Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon:

Kaikki tapahtumat: potenssijoukko 
Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi kohota suureksi. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni:  Selvästikin tyhjä joukko sekä kruuna että klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin: Joukossa on alkioina  osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi  Nopanheitossa, missä , on potenssijoukko  Niistä muodostuu yhteensä  osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia  kappaletta.

Joukko-opin merkinnöin  eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.

Todennäköisyys

Tapahtumaan liitettävä todennäköisyys 
Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus , joka kuuluu tapahtumaan eli . On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan  kuuluu erilaisia alkeistapauksia , sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys . Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, missä mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa  ja  Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa

Symmetrian periaate 
Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan 1/n. Tapahtuman  todennäköisyys  saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää  perusjoukon kokoon :

Katso myös 
 Satunnaisilmiö
 Alkeistapaus
 Satunnaismuuttuja
 Perusjoukko
 Todennäköisyys
 Todennäköisyysfunktio
 Todennäköisyysjakauma

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta