Juurifunktio

Juurifunktio on muuttujan  matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä 

missä  on potenssi ja yksikkömurtoluku  sen eksponentti. Eksponentissa luku  kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

Juurifunktion ominaisuuksia
Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli  laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste  on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla  On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on  . Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen  napakulmat ovat  vastaavasti ja siksi lausekkeen  arvoksi valitaan .

Parillisuus ja parittomuus
Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla    määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.

Monotonisuus
Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.

Käänteisfunktiot
Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja . Neliöjuurifunktion  käänteisfunktio  on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio  Kuutiojuurifunktion  käänteisfunktio on 

Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla 

ja parittomilla asteilla

Derivointi ja integrointi
Yleinen potenssien derivaatta, kun  lasketaan
 
Kun juurifunktion aste on , tulee derivaataksi
 
tai vaihtoehtoisesti
 

Neliöjuuren derivaatta on siten
 
ja kuutiojuuren derivaatta
  
ja neljäsjuuren derivaatta
  

n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan
  
eli 
  

Silloin neliöjuuren integraali on 
  
ja kuutiojuuren integraali

Kompleksiluvut
Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja . De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun  reaalilukuinen potenssi  esitetään polaarisessa muodossa
 
voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi 

kun

Neliöjuuri
Neliöjuurelle  saadaan kaksi arvoa, kun  ja 

Ensimmäinen juuri on arvoltaan 

ja toinen 

eli

Esimerkki neliöjuurella
Jos lasketaan kompleksiluvun  neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on  ja napakulma  eli  Siten  Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa

Kuutiojuuri
Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun

Neljäsjuuri
Neljäs antaa neljä arvoa, kun

Katso myös
Alkeisfunktio
Imaginaariluku
Juuri (laskutoimitus)
Neliöjuuri
Kuutiojuuri

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla
 Etälukio: Juurifunktio 
 Jyväskylän Yliopisto: Potenssi- ja juurifunktiot sekä rationaalipotenssit

Analyysi
Differentiaalilaskenta
Funktiot