Wallisin kaavat

Wallisin kaavat ovat menetelmiä, joilla voidaan laskea piin likiarvoja mielivaltaisen tarkasti. Kaavat on johtanut englantilainen matemaatikko John Wallis. Wallisin kaavojen mukaan:

(1) 

(2) .

Kaavojen todistus 

Wallisin kaavat pystytään todistamaan  osittaisintegroinnin avulla.

Merkitään jokaiselle 

Tällöin

 ja 

Jos  , niin osittaisintegroimalla nähdään, että

Siispä saadaan  rekursiivinen kaava :lle:

Tämän avulla nähdään, että

 ja

 

Näin ollen

 , eli

Koska  kaikilla  , niin  . Siten

 , kun  . Siis

 , eli väite (1) on todistettu. 

Koska

 ja

 , niin  induktiotodistuksella nähdään helposti, että

 kaikilla n. Siten väite (2) seuraa väitteestä (1).

Katso myös 
Luettelo piin laskukaavoista

Lähteet  

Pii