Rationaalijuurilause

Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä

voi olla.

Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu , missä syt (p,q)=1, niin p jakaa kertoimen a0 ja q jakaa kertoimen an.

Todistus 

Olkoon  yhtälön  juuri ja kertoimet an,an-1,...,a0 kokonaislukuja.

Tällöin pätee  Siirtämällä vakiotermi a0 toiselle puolelle yhtälöä ja kertomalla puolittain termillä qn saadaan yhtälö muotoon

Nyt siis p jakaa tulon . Koska p:n ja q:n suurin yhteinen tekijä on 1, p ei jaa q:ta eikä myöskään lukua qn. Siis p jakaa luvun a0. 

Siirtämällä korkeimman asteen termi oikealle puolelle voidaan päätyä vastaavasti yhtälöön

josta puolestaan voidaan päätellä, että luvun q täytyy jakaa luku an.

Esimerkki 
Tarkastellaan yhtälöä  ja tutkitaan, onko sillä rationaalijuurta p/q. Rationaalijuurilauseen perusteella p jakaa vakiotermin 4 ja q jakaa korkeimman asteen termin 3. Nyt siis  ja . Yhdistämällä tiedot voidaan päätellä mahdollisen rationaalijuuren kuuluvan joukkoon . Sijoittamalla juuret yhtälöön voidaan kokeilemalla huomata, että  Yhtälön rationaalijuuret ovat siis 1, 2 ja −2/3.

Rationaalijuurilause rajaa tarkasti, mitkä rationaaliluvut voivat olla yhtälön juuria. Yhdenkään näistä ei kuitenkaan tarvitse olla yhtälön juuri, sillä esimerkiksi yhtälöllä  ei ole rationaalijuuria. Rationaalijuuritestin perusteella sen ainoat rationaalijuuret voisivat olla 1, −1, −3 ja 3, mutta kuitenkin Q(1)= 4, Q(−1)= 2, Q(3)=246 ja Q(−3) = −240.

Algebrallinen yleistys 
Rationaalijuurilause pätee myös muille algebrallisille rakenteille kuin kokonaisluvuille ja rationaaliluvuille. Ylempänä esitetty todistus pätee jokaiselle tekijöihinjakorenkaan R polynomirenkaan R[X] alkiolle, kun tutkitaan polynomin juuria R:n osamääräkunnassa K.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 

Polynomit