Alkeistapaus

Alkeistapaus  () eli tapaus  eli ulostulo  () on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön tuottamaa tulosta (joskus ei-numeerinen). Esimerkiksi nopanheitossa tiettyä asentoa kutsutaan alkeistapaukseksi tai ulostuloksi. Nopan asennolla on nimi, joka määräytyy ylimmän tahkon "silmien" lukumäärän mukaan ja se annetaan nopanheiton tulokseksi. Yleisemmin määriteltynä alkeistapaus tarkoittaa minkä tahansa satunnaisilmiön tulosta, joita syntyy aina vain yksi kerrallaan ja jonka arvo ymmärretään aina vain yhdellä tavalla (yksikäsitteisyys). Satunnaisilmiö tuottaa erilaisia alkeistapauksia, joista muodostuvaa joukkoa kutsutaan perusjoukoksi (merkitään usein isolla kirjaimella , joka lausutaan "oomega"). Perusjoukkoa kutsutaan myös nimillä otosjoukko, otosavaruus tai tapahtuma-avaruus. Perusjoukko sisältää siis alkeistapausten kaikki mahdolliset arvot. Alkeistapauksiin viitataan usein pienellä "oomegalla" eli .

Todennäköisyyslaskennassa nimitykset vaihtelevat sen mukaan, on kyseessä tilastollinen-, todennäköisyys- tai matemaattinen tarkastelu. Koska satunnaisilmiön matemaattinen suora käsittely voi olla mahdotonta, jää sille käytettäväksi vain tapausten tilastollinen tai todennäköisyyslaskennallinen analysointi. Tämä ajatus muodostaa tilastotieteen tai todennäköisyyslaskennan perustan.

Esimerkkejä tapauksista

Diskreetit alkeistapaukset 
Esimerkiksi kolikonheitossa alkeistapauksina voi esiintyä "kruuna" tai "klaava". Vaikka kolikko voi asettua vaikkapa reunallensa, ei tätä asentoa hyväksytä tapaukseksi, vaan heittäjää pyydetään heittämään kolikkoaan uudelleen. Perusjoukko sisältää siten vain kaksi alkeistapausta 

Esimerkiksi nopanheitossa (arpakuutio) kaikki mahdolliset alkeistapaukset ovat  jos silmäluvut muutetaan ensin luvuiksi. Kortinnostossa korttipakasta, jossa on 52 pelikorttia, jokainen kortti edustaa omaa alkeistapausta. Kortit on merkitty samanaikaisesti kahdella tavalla (maa ja numero), jotka yhdessä muodostavat kortinnostossa alkeistapauksen arvon. Rulettipöydän alkeistapaus on tunnus (väri ja numero) siinä lokerossa, mihin pallo asettuu.

Kahden kolikon heitossa alkeistapauksiksi ei valita kolikoiden tulokset erikseen vaan ne yhdistetään pariksi. Koska kumpikin kolikko saa kaksi arvoa, on perusjoukossa 2×2 = 4 alkeistapausta, jotka ovat lueteltuina  Kahden nopan alkeistapaukset saadaan vastaavalla tavalla:  Siinä on yhteensä 36 alkeistapausta. Vaihtoehtojen lukumäärä kasvaa esimerkiksi kortinpeluussa, jossa pelaajien kädessä on aina viisi korttia. Montako "kättä" eli viiden kortin muodostelmaa on mahdollista muodostaa 52 kortin pakasta?

Koska tapausten arvot ovat erillisiä arvoja, kuten kokonaislukuja, kutsutaan niitä diskreeteiksi eli erillisiksi. Diskreettien tapausten perusjoukko voi olla kooltaan äärellinen tai numeroituvasti ääretön.

Jatkuvat alkeistapaukset 
Esimerkiksi ihmisen paino on jatkuva-arvoinen alkeistapaus eli painon ulostulo, kun valitaan ihmisjoukosta satunnaisesti ihminen ja punnitaan hänet hyvin tarkasti. Painon ulostulo on silloin reaaliluku, joka voi olla (ainakin periaatteessa) mikä tahansa luku nollan ja 1000 kilogramman väliltä. Kahden eri ihmisen painot voisivat olla mielivaltaisen lähellä toisiaan, jonka vuoksi alkeistapauksilla on samat ominaisuudet kuin reaaliluvuilla. Jos ihmisen paino esitetään pyöristettynä kilogramman tarkkuuteen, saadaan punnituksen tulokseksi diskreettiset alkeistapaukset.

Muita jatkuvia tapauksia voisivat olla esimerkiksi tikan osumakohta seinällä, malmin pitoisuus kallion tietyssä kohdassa ja ihmisen älykkyysosamäärä. Koska jatkuvat tapaukset voidaan kuvata reaaliluvuilla, on perusjoukon koko ylinumeroituvasti ääretön.

Tapauksien joukot: Tapahtumat 

Yksittäisillä alkeistapauksilla saattaa olla mitätön merkitys, jos niitä on paljon tai ääretön määrä. Käytännön elämän ongelmia voidaan tutkia paremmin monien alkeistapausten muodostamilla joukoilla eli luokilla. Tällaisia joukkoja voisivat olla ikäluokat, painoluokat tai ylioppilasarvosanat. Todennäköisyyslaskennassa tapausten joukkoja on kutsuttu tapahtumiksi ().

Tapahtumaa, joka sisältää vain yhden tapauksen, kutsutaan alkeistapaukseksi tai tapaukseksi. Jos tapahtuma sisältää kaikki satunnaisilmiön tapaukset, kutsutaan sitä perusjoukoksi. Yksittäinen tapaus voi kuulua useaan eri tapahtumaan. Joukko-opin merkintöjä käyttäen alkeistapaus  kuuluu tapahtumaan  merkitään  

Äärellisen perusjoukon tapauksessa, joka siis sisältää äärellisen määrän tapauksia, jokainen perusjoukon osajoukko muodostaa tapauksen. Joukko-opissa perusjoukon potenssijoukon jokainen alkio on siten tapahtuma. Tämä periaate toimii, vaikka joukko olisi numeroituvasti ääretön. Lähestystapa ei toimi automaattisesti kaikilla ylinumeroituvien perusjoukkojen kohdalla. Kun satunnaisilmiöstä muodostetaan todennäköisyysavaruus, on usein välttämätöntä karsia osa tapahtumista.

Satunnaismuuttuja 

Joskus arvontavälineen tai satunnaisilmiön antama satunnainen tulos halutaan muuttaa numeeriseksi arvoksi. Silloin jokaiselle alkeistapaus liitetään yksikäsitteisellä tavalla lukuarvo käyttämällä funktion kuvausta. Funktion tulos voi olla kokonaisluku tai reaaliluku ja sen arvoalue diskreettis- tai jatkuva-arvoinen tulos. Myös alkeistapauksista muodostettavat tapahtumat voidaan kuvata satunnaismuuttujiksi funktion määrittelyn tai -lausekkeen avulla.

Todennäköisyys

Alkeistapaukseen liittyvä todennäköisyys 

Satunnaisilmiön alkeistapaus voi esiintyä todennäköisyydellä (merkitään usein  tai ), joka on nollan ja ykkösen väliltä (rajat mukaan luettuina) eli . Äärellisessä ja diskreettisessä tilanteessa, missä perusjoukon koko on äärellinen, perusjoukon kullekin alkeistapaukselle liitetään todennäköisyyden arvo. Diskreetin alkeistapauksen todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Kaikkiin alkeistapauksiin liittyvää todennäköisyystaulukkoa kutsutaan todennäköisyysjakaumaksi.

Jatkuvassa tapauksessa kunkin ulostulon eli alkeistapauksen todennäköisyys on aina nolla, sillä alkeistapauksia on ylinumeroituva määrä. Todennäköisyyksiä voidaan siinä tapauksessa liittää vain tapahtumille. Todennäköisyyslaskennan mittateoreettisessä todennäköisyysavaruudessa kaikkien tapahtumien todennäköisyyksiä ei tarvitse tuntea. Riittää, kun tietää perusjoukon potenssijoukon -algebran (lue "sigma-algebra) muodastavan osajoukon todennäköisyydet siten.

Symmetrian periaate 
Tiettyissä satunnaisilmiöissä voidaan olettaa, että perusjoukon alkeistapaukset esiintyisivät yhtä usein. Tapaukset ovat silloin symmetrisiä ja niihin liitettävät todennäköisyydet ovat yhtä suuret. Näin menetellään esimerkiksi kolikonheitossa, noppapeleissä ja muissa satunnaisuuteen perustuvien pelien kohdalla. Arpomisvälineet valmistetaan geometrisesti ja fysikaalisesti niin symmetrisiksi, että todennäköisyydet ovat muutaman desimaalin tarkkuudella samat. Näin saadaan diskreettisessä tilanteessa tasainen jakauma. Klassisessa todennäköisyyslaskennassa teorian perustana onkin symmetriset alkeistapaukset.

Katso myös 
 Satunnaisilmiö
 Tapahtuma
 Satunnaismuuttuja
 Perusjoukko
 Todennäköisyys
 Todennäköisyysfunktio
 Todennäköisyysjakauma

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta