Satulapiste

Matematiikassa satulapisteellä tarkoitetaan funktion määrittelyjoukon pistettä, joka on funktion stationaaripiste, mutta joka ei kuitenkaan ole funktion paikallinen maksimi/minimi. Esimerkki satulapisteestä on vuorten välissä oleva sola tai kaksiulotteisessa koordinaatistossa toiseen suuntaan nouseva ja toiseen suuntaan laskeva käyrä.

Matemaattinen määritelmä 

Funktiolla  on satulapiste pisteessä  jos:

 pisteessä 

 pisteessä 

Todistus löytyy lähteenä olevasta Widderin kirjasta.

Määritelmä Hessen matriisin avulla 

Reaaliarvoisella funktiolla ƒ ei ole satulapiste vaan paikallinen maksimi tai minimi, jos funktion Hessen matriisi on positiivisesti tai negatiivisesti definiitti matriisi.
Hessen matriisi on reaaliarvoisen funktion toinen derivaatta. Jos (kahdessa ulottuvuudessa) matriisin determinantti on negatiivinen, ovat ominaisarvot erimerkkiset ja kyseessä on satulapiste. Jos determinantti on nolla, testi ei kerro mitään kyseisestä pisteestä.
Hessen matriisi yleisessä n-ulotteisessa tapauksessa (jolloin satulapisteen käsite ei ole niin yksiselitteinen):

Toinen tapa esittää sama asia: Merkitään edellisen matriisin determinanttia tunnuksella .
Funktion  determinantti on (kahdessa ulottuvuudessa)

Jos , niin kyseinen piste on satulapiste.

Determinantti  voidaan tulkita myös pinnan  Gaussin kokonaiskaarevuudeksi tarkastelupisteessä  missä funktion ensimmäiset osittaisderivaatat häviävät.

Esimerkki 
Tarkastellaan funktiota .
Funktion Hessen matriisi stationaaripisteessä  on

Nyt matriisin  determinantti , joten kyseinen piste  on satulapiste.

Sovellukset 

Dynaaminen systeemi: Dynaamisessa systeemissä satulapiste on jaksollinen piste, jonka vakaat ja epävakaat monikerrat omaavat nollasta eroavan ulottuvuuden.

Kahden henkilön nollasummapeli: Nashin tasapaino on satulapiste.

Satulapiste on matriisin ominaisuus, joka on samalla suurin elementti sarakkeessaan, sekä pienen elementti rivissään.

Katso myös 

 Maksimi
 Sola
 Derivaatta
 Differentiaaliyhtälö

Lähteet 

 Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
 Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, pp. page 128, ISBN 0-486-66103-2
 Englanninkielinen Wikipedia

Aiheesta muualla 

Differentiaaligeometria