Lambertin oikeapintainen tasoprojektio

Lambertin oikeapintainen tasoprojektio on eräs kuvaus pallopinnalta tason kiekolle eli ympyräviivan sisä­puolelle jäävälle alueelle. Siinä jokainen pallo­pinnan alue kuvautuu tasoalueelle, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin alku­peräisen alueen, mutta kulmien suuruudet muuttuvat. Kuvaus on nimetty sveitsiläisen matemaatikko Johann Heinrich Lambertin mukaan, joka esitti sen vuonna 1772.

Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota käytetään kartografiassa karttaprojektiona. Esimerkiksi Yhdys­valloissa National Atlas of the United States käytti sitä Map Maker -sovelluksessa, ja Euroopan ympäristövirasto suosittelee sen käyttöä tilastollista aineistoa kuvaavissa Euroopan kartoissa. Sitä käytetään myös tieteellisissä yhteyksissä kuten geologiassa suorien suuntien kuvaamiseen kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Tähän tarkoitukseen käytetään apuna erityisellä ruudukolla varustettua paperia, joka tunnetaan nimellä Schmidtin verkko.

Matemaattinen määritelmä 

Lambertin oikeapintainen tasoprojektio määritellään ajattelemalla, että taso sivuaa pallopintaa jossakin pisteessä S. Olkoon P mielivaltainen tason piste, ei kuitenkaan S:n antipodipiste. Olkoon d pisteiden S ja P välinen suora etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa (ei siis pallopintaa pitkin mitattuna). Tällöin piste P kuvautuu tasolle pisteeseen P′, jonka etäisyys sivuamis­pisteestä S on d.

Täsmällisemmin sanottuna on olemassa yksi­käsitteinen ympyrä S, joka kulkee pisteen P kautta ja on kohti­suorassa tasoa vastaan. Se leikkaa tason kahdessa pisteessä, ja merkitään P′:llä sitä niistä, joka on lähempänä P:tä. Piste P kuvautuu siihen. S:n antipodi­pisteellä ei ole yksi­käsitteistä kuvaus­pistettä, koska sitä tällä tavoin vastaava ympyrä ei ole yksi­käsitteinen. Piste S itse kuvautuu itselleen; sitä vastaavan "ympyrän" säde on nolla.

Koordinaatit 
Jos sivuamispiste S sijaitsee leveyspiirillä  ja pituuspiirillä , maan pinnan piste, jonka maan­tieteellinen leveys on  ja pituus , kuvautuu tasolle pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit (x, y) ovat:

missä tekijä k on

.

Tekijä k''' on verrannollinen kartan paikalliseen mitta­kaavaan kussakin pisteessä kyseisen pisteen ja sivuamispisteen kautta kulkevaa suoraa vastaan kohtisuorassa suunnassa.

 Erikoistapauksia 

Jos sivuamispiste S on pohjoisnavalla (φ1 = 90°), on  ja . Tällöin k:n lauseke yksinkertaistuu muotoon

ja koordinaattien lausekkeet muotoon

Leveyspiiri  kuvautuu tällöin ympyräksi, jonka keskipiste on kartan pohjois­navalla ja jonka säde on
.

Jos taas sivuamispiste S on päiväntasaajalla (φ1 = 0°), on  ja  Tällöin k:n lauseke yksin­kertaistuu muotoon

ja koordinaattien lausekkeet muotoon

 Ominaisuuksia 

Seuraavassa oletetaan, että vaakasuora taso sivuaa origo­keskeistä yksikköpalloa pisteessä (0, 0, -1). Tällöin Lambertin oikeapintainen taso­projektio matemaattisena kuvauksena on määritelty muissa yksikkö­pallon pinnan pisteissä paitsi pisteessä (0, 0, 1). Muut pallo­pinnan pisteet se kuvaa origo­keskeiselle avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Pallon päivän­tasaajan eli ne pisteet, joissa z = 0 se kuvaa origo­keskeiselle ympyrälle, jonka säde on . Päivän­tasaaja­tason ala­puolella olevat pisteet, joissa z < 0, kuvautuvat tämän ympyrän sisä­puolelle, ylä­puolella olevat sen ulko­puolelle.

Projektio on bijektio pallopinnalta, josta on poistettu piste (0,0,1) avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Se on myös diffeomorfismi, toisin sanoen äärettömän monta kertaa differentioituva molemmissa suunnissa. Siinä kuvajoukon pinta-ala on aina yhtä suuri kuin lähtöjoukon, mikä voidaan osoittaa laskemalla pinta-alkion ala pallolla, kun sitä parametrisoi projektion käänteiskuvaus. Karteesisissa koordinaateissa se on

Tämä merkitsee, että pallo­pinnalla olevan alueen pinta-alan määrittämiseksi riittää mitata sitä tason kiekolla vastaavan alueen pinta-ala.

Toisaalta projektiossa eivät pallo­pinnan käyrien väliset kulmat säily. Missään kuvauksessa joltakin pallon alueelta jollekin tason alueelle eivät säilykään sekä pinta-alat että kulmat. (Jos molemmat säilyisivät, kyseessä olisi lokaali isometria, jossa Gaussin kaarevuus säilyisi, mikä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska pallo­pinnalla ja tasolla on eri suuri kaarevuus.) Se seikka, että taso­kuviot eivät voi täydellisesti vastata pallo­pinnan alueita, onkin kartografian perustava ongelma.

Tästä seuraa, että pallopinnan alueet saattavat kuvautua tasolle suuresti vääristyneinä. Lambertin oikea­pintaisessa taso­projektiossa tämä vääristymä on erityisen suuri kaukana projektion sivuamis­pisteestä. Yleensä tätä projektiota käytetäänkin vain enintään pallonpuoliskon laajuista aluetta esittävissä kartoissa. Koko maapallo voidaan kuitenkin kuvata kahdella erillisellä Lambertin oikeapintaisen taso­projektion mukaisella kartalla, joiden sivuamis­pisteet ovat toistensa antipodissa.

 Sovelluksia 

Lambertin tasoprojektio tarkoitettiin alun perin oikea­pintaiseksi karttaprojektioksi. Nykyisin sitä käytetään muillakin aloilla kuten geologiassa suuntia kuvaavan aineiston kuvaamiseen seuraavasti.

Jokaista suuntaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaa jokin origon kautta kulkeva suora. Kaikkien sellaisten suorien joukko on itsessään avaruus, jota matematiikassa sanotaan reaaliseksi projek­tiiviseksi tasoksi. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa yksikkö­kiekon kahdessa pisteessä, joista toinen on alemmalla pallonpuoliskolla . Poikkeuksena ovat vaaka­suorat viivat, joiden leikkaus­pisteet sijaitsevat kahdessa vastakkaisessa pisteessä ekvaattorilla, . Molemmat toistensa antipodissa olevat pisteet vastaavat samaa suoraa. Täten suunnat kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaavat lähes täysin alemman pallon­puoliskon pisteitä. Tämä pallon­puolisko voidaan sitten Lambertin oikea­pintaisella projektiolla kuvata kiekolle, jonka säde on .

Niinpä Lambertin oikea­pintaisella projektiolla voidaan jokaista suuntaa vastaamaan asettaa tason piste. Projektion oikea­pintaisuuden vuoksi suuntien muodostamassa avaruudessa eli reaalisella projek­tiivi­sella tasolla määritellyt funktiot voidaan integroida integroimalla funktio vastaavan tasoalueen yli. Tämä on käyttö­kelpoista eri suuntia koskevan aineiston käsittelyssä.

Eivät ainoastaan suorat, vaan myös origon kautta kulkevat tasot voidaan kuvata Lambertin oikea­kulmaisella projektiolla. Tason ja pallonpuoliskon leikkaus on ympyrän­kaari, jota sanotaan tason uraksi, ja se kuvautuu yksikkö­kiekkoon käyräksi, joka yleensä ei ole ympyrän­kaari. Voidaan kuvata tätä käyrää, tai vaihto­ehtoisesti taso voidaan korvata sen kohti­suorasti leikkaavalla suoralla, jota sanotaan sen navaksi ja kuvata tason sijasta tätä käyrää. Jos useita tasoja on kuvattava yhdessä, on yksinkertaisempaa käsitellä napoja urien sijasta.

Rakennegeologian tutkijat käyttävät Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota kuvaamaan muun muassa mineraalien kide­rakenteen eri­suuntaisia akseleita ja pintoja, lineaatioita ja foliaatioita eri kivilajeissa. Tässä yhteydessä projektiota kutsutaan oikea­pintaiseksi hemi­sfääriseksi projektioksi''. Erikseen on olemassa myös oikea­kulmainen hemis­fäärinen projektio, jonka määrittelee stereografinen projektio.

Edellä on oletettu, että suunnat kuvataan alemmalle pallon­puoliskolle, , mutta yhtä hyvin ne voidaan kuvata myös ylemmälle pallon­puoliskolle , kuten toisinaan tehdäänkin. Itse asiassa mitä tahansa pallopinnan puoliskoa voitaisiin käyttää esittämään origon kautta kulkevia suoria kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

Lähteet

Viitteet

Karttaprojektiot