Puolipiiri

Puolipiiri eli piirin puolikas  tarkoittaa geometriassa monikulmion tai muun tasokuvion piirin jakamista kahteen yhtäpitkään osaan, joiden yhteinen pituus on koko kuvion piiri. Puolipiirillä voidaan tarkoittaa myös sitä käyrää tai murtoviivaa, joka muodostaa kuvion piirillä sen pituuden puolikkaan mittaisen kuvion. Tällöin samalle kuviolle voidaan esittää lukemattomia puolipiirejä.

Vaikka termin tunteminen ei ole geometriassa välttämätöntä, sillä voidaan yksinkertaistaa monia geometrian laskukaavoja. Jos merkitään piiriä  () ja puolipiiriä  (), voidaan esittää 
.

Esimerkiksi kolmion puolipiirin pituus saadaan sivujen pituuksien summan puolikkaasta

ja muidenkin monikulmien puolipiirit vastaavalla tavalla. Ympyrän (säde ) puolipiiri lasketaan  ja neliön (sivu ) .

Kolmio 
Jos annetaan tasokuviosta piirin piste, voidaan aina määrittää toinen piste, joka jakaa piirin kahteen puolipiiriin. Jokainen tasokuvion piirin piste määrittää yksikäsitteisesti kaksi puolipiiriä. Nämä kohtaavat toisensa näissä kahdessa pisteessä.

Yleisiä ominaisuuksia 
Kolmion kärjestä mitatut puolipiirit kohtaavat aina kolmion vastaisella sivulla. Tämän voi päätellä seuraavasti. Jos yksi sivuista on yli puolet kolmion piiristä, jää kahdelle muulle sivulle alle puolet piiristä. Tällöin puolipiirit kohtaisivat ensimmäisellä sivulla. Tämä on kolmiossa kuitenkin mahdotonta, koska kaksi jäljellä olevaa sivua eivät yhdessäkään ylettyisi ensimmäisen sivun päätepisteisiin.

Janaa, jolla yhdistetään kolmion kärki kolmion vastaisen sivun pisteeseen, kutsutaan ceviaaniksi. Jos ceviaani yhdistetään kärjestä alkavien puolipiirien kohtaamispisteeseen, saadaan jana, jota kutsutaan . Kolme tällaista janaa leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä.

Janaa, joka alkaa kolmion sivun keskipisteestä ja jakaa kolmion kahteen puolipiiriin, kutsutaan . Kolmen tällaisten janan leikkauspisteessä sijaitsee kolmion piirin painopiste eli Spiekerin piste.

Kolmion sivujen keskipisteet yhdistämällä saadaan keskinen kolmio. Keskisen kolmion piiri on alkuperäisen kolmion puolipiiri, sillä sen jokainen sivu on puolet alkuperäisen kolmion yhdensuuntaisesta sivusta.

Laskusääntöjä 
Kolmion pinta-ala voidaan laskea puolipiirin  avulla, kun ensin selvitetään sisäympyrän säde 
 
Ellei sisäympyrää tunneta, voidaan ala laskea myös kolmion sivujen pituuksien  avulla käyttäen Heronin kaavaa
 
Kolmion sisäympyrän säde  saadaan
  
ja kolmion ulkoympyrän säde  saadaan

Nelikulmio 
Nelikulmion puolipiirin pituus saadaan sivujen pituuksien  avulla
 

Syklisen nelikulmion pinta-ala saadaan sivujen pituuksien  avulla käyttäen Brahmaguptan kaavaa 
 
Yleisen nelikulmion tapaukselle on yleisempi Bretschneiderin lause.

Lähteet

Viitteet 

Geometria