Sierpińskin kolmio

Sierpińskin kolmio on fraktaali, joka on nimetty puolalaisen matemaatikon Wacław Sierpińskin mukaan, joka konstruoi sen vuonna 1915.

Sierpiński kolmio konstruoitiin alun perin käyräksi, ja se on yksi itsesimilaaristen joukkojen perusesimerkeistä, toisin sanoen se näyttää samalta tai samankaltaiselta, riippumatta siitä millä suurennoksella sitä katsoi.

Konstruointi

Seuraavalla algoritmilla saadaan aikaiseksi mielivaltaisen tarkka approksimaatio Sierpińskin kolmiolle:

Aloita mistä tahansa kolmiosta tasossa. Säännönmukainen Sierpińskin kolmio käyttää tasasivuista kolmiota, jonka kanta on yhdensuuntainen tason horisontaalisen akselin kanssa (ensimmäinen kuva).
Kutista kolmio sekä puoleen korkeuteen, että puoleen leveyteen, tee kolme kopiota ja sijoita ne niin, että jokainen koskettaa muita kolmiota kulmasta (toinen kuva). Huomaa, että keskelle muodostuu reikä, sillä kolme kolmiota peittää vain 3/4 alkuperäisestä kolmiosta. Reiät ovatkin tärkeässä roolissa Sierpińskin kolmiossa.
Toista kohta kaksi jokaisen kutistetun kolmion kohdalla (kolmas ja seuraavat kuvat).

Huomaa, että tehty ääretön prosessi ei ole riippuvainen siitä, onko alkuperäinen kuvio kolmio, se on vain yksinkertaisin esimerkki. Mikä hyvänsä suljettu ja rajattu alue tasossa toimii. Ensimmäiset askeleet esimerkiksi myös neliössä taipuvat kohti Sierpińskin kolmiota.

Todellinen fraktaali on se, mikä saataisiin äärettömän määrän iterointeja jälkeen. Formaalimmin sitä voidaan kuvailla suljettujen pistejoukkojen funktioiden suhteen.

Jos merkkaamme :lla pisteen a kertoimella 1/2 laajennusta, on Sierpińskin kolmio, jonka kulmat ovat pisteet a, b ja c, toimenpiteen  U  U  muodostama kiintopisteiden joukko.

Kun tämä toimitus lisätään mihin tahansa muuhun joukkoon toistuvasti, kuvat suppenevat kohti Sierpińskin kolmiota. Tämä tapahtuu yllä olevissa esimerkeissä, mutta mikä hyvänsä muukin joukko kelpaisi.

Jos otetaan piste ja sovelletaan jokaista toimenpidettä ,  ja  siihen sattumanvaraisesti, tuloksena saadut pisteet ovat tiheitä (eli jokaista Sierpińskin kolmion pistettä voidaan approksimoida jollain tuloksena saadulla pisteellä) Sierpińskin kolmiossa. Siispä seuraavakin algoritmi tuottaa mielivaltaisen tarkan approksimaation Sierpińskin kolmiosta:

Aloitetaan merkitsemällä p1, p2 ja p3 Sierpińskin kolmion kulmiksi, ja v1 satunnaiseksi pisteeksi. Asetetaan joukko vn+1 = ½ ( vn + prn ), missä rn on satunnainen numero 1, 2 tai 3. Piirrä pisteet v1 - v∞. Jos ensimmäinen piste v1 oli Sierpińskin kolmioon kuuluva piste, kaikki pisteet vn kuuluvat kyseiseen kolmioon. Jos taas ensimmäinen piste v1 on kolmion reunan sisällä, mutta ei ole Sierpińskin kolmioon kuuluva piste, mikään pisteistä vn ei kuulu Sierpińskin kolmioon, mutta ne suppenevat kohti sitä. Jos v1 on kolmion ulkopuolella, ainoa tapa, millä vn osuu kolmioon, on jos vn sijaitsee paikassa, mikä olisi osa kolmiota, jos tämä kolmio olisi äärettömän suuri.

Yllä kuvatun metodin voi myös ilmaista yksinkertaisemmin seuraavasti:

Valitse 3 pistettä tasossa, joista muodostuu kolmio. Kolmiota ei tarvitse piirtää.
Valitse satunnaisesti yksi piste kolmion sisällä. Se on tämänhetkinen sijaintisi.
Valitse satunnaisesti yksi kolmesta kärkipisteestä.
Kulje puoli etäisyyttä tämänhetkisestä sijainnistasi kohti valittua kärkipistettä.
Merkitse uusi sijaintisi.
Toista kohdasta kolme.

Huomautus: Tämä menetelmä on nimeltään kaaospeli. Voit aloittaa mistä tahansa pisteestä kolmion ulko- tai sisäpuolelta, ja se muodostaisi loppupeleissä Sierpińskin kolmion ja muutamia ylimääräisiä pisteitä. Kaaospeliä on mielenkiintoista kokeilla kynän ja paperin kanssa ja jo noin 100 pisteen jälkeen paperille hahmottuu Sierpińskin kolmiota muistuttava kuva. Muutaman sadan pisteen jälkeen kolmio alkaa jo huomattavasti näyttää Sierpińskin kolmiolta.

Ominaisuudet

Pascalin kolmiolla voidaan approksimoida Sierpińskin kolmiota. Otetaan Pascalin kolmio, jossa on 2n riviä ja väritetään parilliset luvut valkoisiksi, ja parittomat mustiksi. Se kaksivärinen 2n-rivinen Pascalin kolmio, jossa n lähestyy ääretöntä, on Sierpińskin kolmio.

Sierpińskin kolmion pinta-ala on nolla. Tämä saadaan laskemalla jäljelle jäänyt ala jokaisen iteraation jälkeen. Jäljelle jäänyt ala on aina 3/4 edellisestä, ja kun iteraatioita suoritetaan ääretön määrä, jäljelle jäävä pinta-ala on nolla.

Katso myös
 Pascalin kolmio

Aiheesta muualla

 Sierpińskin kolmio MathWorldissa (englanniksi)

Fraktaalit