Brocardin pisteet

Brocardin pisteet liittyvät geometriassa kolmioihin. On osoitettu, että jokaisessa kolmiossa voidaan piirtää kolmion kärjistä ceviaanit, jotka leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä ja samalla erkanevat samankätisestä sivusta saman suuruisen Brocardin  kulman  verran. Kulman  suuruus riippuu kolmion kulmista. Jos ceviaanit erkanevat kulman oikeasta vai vasemmasta kyljestä, kutsutaan leikkauspisteitä vastaavasti Ensimmäiseksi- (merkitään ) tai Toiseksi Brocardin pisteeksi (merkitään ). Brocardin pisteet ovat kolmion sisäpisteitä, mutta ne eivät kuulu kolmion merkillisiin pisteisiin niin sanotun symmetrian puutteen vuoksi.. Pisteet on nimetty ranskalaisen matemaatikon Henri Brocardin (1845−1922) mukaan.

Kolmion ABC sivut merkitään a, b ja c. On olemassa täsmälleen yksi piste , jolle janat ,  ja  muodostavat saman kulman , sivujen c, a ja b kanssa, eli
 
Ceviaanin ja kolmion sivun välinen kulma voidaan valita kahdella tavalla. Kun käytetään ceviaanin ja kulman oikean kyljen välistä kulmaa (katso animaatiota), saadaan leikkauspisteeksi ensimmäinen Brocardin piste ja kun käytetään kulmassa vasenta kylkeä saadaan toinen Brocardin piste. Ne ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteja.

Brocardin kulma 
Brocardin kulma ensimmäiselle- ja toiselle Brocardin pisteelle ovat aina samat. Kulman suuruus riippuu kolmion muodosta, mutta se on sellainen, että Brocardin pisteet ovat kolmion sisäpiste.

Jos kolmion kulmat ovat  ja , saadaan Brocardin kulmaksi 
 
tai jos kolmion sivut ovat  ja  sekä kolmion pinta-ala , saadaan

Ensimmäinen Brocardin piste 

Ensimmäinen Brocardin piste (merkitään usein , joskus myös  tai ) muodostuu ceviaaneista, joiden Brocardin kulma mitataan kolmion kulman oikeasta kyljestä. Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
.

Toinen Brocardin piste 
Toisen Brocardin pisteen (merkitään , joskus myös  tai ) kulma mitataan kolmion kulmien oikeasta kyljestä. Toisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat
.

Brocardin keskipiste 
Brocardin keskipiste (merkitään joskus ) sijaitsee ensimmäisen- ja toisen Brocardin pisteen yhdistävän janan keskipisteessä. Toisin kuin kaksi ensimmäistä Brocardin pistettä, Brocardin keskipiste on kolmion merkillinen piste ja tunnetaan Kimberlingin merkinnällä .

Keskipisteen trilineaariset koordinaatit ovat 

missä  on Brocardin kulma. Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

Konstruktio ympyröillä 
Brocardin piste sijaitsee sellaisessa kolmion sisäpisteessä, että sen pisteen ja kolmion sivujen päätepisteiden kautta kulkevat ympyrät sivuavat kukin aina yhtä sivua tangenttiaalisesti. Kehäkulmalauseella voidaan osoittaa, että kaarta vastaan oleva kehäkulma on yhtä suuri kuin kaaren päätepisteessä olevan tangentin ja kaaren jänteen välinen kulma. Piirtämiseen tarvitaan suora kulma ja harppi.

Ensimmäisen Brocardin pisteen konstruointi aloitetaan valitsemalla kolmion sivu, johon piirretään kaksi normaalia. Sivun vasempaan päätepisteeseen on määritelty Brocardin kulma, joten piirrettävän ympyrän tangentiaalinen piste sijaitsee sivun oikeassa päätepisteeseessä. Siihen piirretään normaali, joka on kohtisuorassa viereiseen sivuun nähden. Sivulle piirretään myös keskinormaali, joka leikaa ensimmäistä normaalia. Harpilla piirretään ympyrä, joka kulkee sivun päätepisteiden kautta. Muille sivuille muodostetaan omat ympyrät samalla tavalla. Ympyrät leikkaavat yhteisessä pisteessä, joka on ensimmäinen Brocardin piste.

Toinen Brocardin toinen piste sijaitsee kolmen ympyrän leikkauspisteessä, joka muodostetaan peilikuvamaisesti. Ympyrät sivuavat tangentiaalisesti viereistä sivua nyt sivun vasemmassa päätepisteessä, koska Brocardin kulma on sivun toisessa päässä.

Brocardin ympyrä 
Brocardin ympyrän (), joka tunnetaan myös seitsemän pisteen ympyränä (), halkaisijan muodostaa jana , jonka päätepisteitä ovat ulkoympyrän keskipiste  ja symmediaaninen piste .

Halkaisijan keskipiste on samalla Brocardin ympyrän keskipiste (Kimberlingin merkillinen piste ). Ympyrän säde voidaan laskea usealla tavalla. Kun merkitään kolmion sivut ja kolmion ympäröivän ympyrän säde sekä Brocardin kulma kirjaimilla  ja , saadaan säteelle lausekkeet
 

Ympyrän kehällä olevia pisteitä ovat ainakin
 molemmat Brocardin pisteet  ja , jotka sijaitsevat  Brocardin janan suhteen symmetrisesti
 Kolmion keskinormaalien leikkauspiste  eli 
 symmediaaninen piste  eli 
 kaksi muuta merkillistä pistettä (Kimberlingin merkintä  ja )
 nimensä mukaan vielä yksi tunnettu merkillinen piste.

Brocardin kolmiot

Ensimmäinen Brocardin kolmio 
Ensimmäinen Brocardin kolmio syntyy Brocardin ympyrään siten, että ceviaanit, jotka kulkevat ensimmäisen Brocardin pisteen kautta, leikkaavat ympyrän kolmessa pisteessä. Ceviaanit, jotka kulkevat toisen Brocardin pisteen kautta, leikkaavat saman ympyrän samoissa pisteissä. Kolmio syntyy, kun nämä kolme pistettä yhdistetään janoilla, ja se on käänteisesti yhdenmuotoinen referenssikolmion kanssa. Käänteisesti yhdenmuotoiset monikulmioiden kulmat ovat samat, mutta esiintyvät käänteisessä järjestyksessä.

Kun referenssikolmion kärjistä piirtää sitä ympäröivälle ympyrälle suorat, jotka ovat ensimmäisen Brocardin kolmion sivujen suuntaisia, leikkaavat ne ympyrän kehällä yhteisessä pisteessä. Pistettä kutsutaan Steinerin pisteeksi ja se on eräs kolmion merkillinen piste (Kimberlingin merkinnöin ).

Koska Brocardin kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, voidaan sivujen pituudet ja pinta-ala laskea ketoimen  avulla:
  
  ja 
 
sekä 

missä
 

Referenssikolmion painopiste (Kimberlingin merkinnöin ) on yhteinen Brocardin kolmion painopisteen kanssa ja symmediaaninen piste on Brocardin kolmion Steinerin piste.

Toinen Brocardin kolmio 
Toinen Brocardin kolmio syntyy kuuden ympyrän kaarista, jotka kulkevat sivun päätepisteiden ja toisen Brocardin pisteen kautta. Samasta kolmion kärjestä erkanevat ja eri Brocardin pisteen kautta kulkevat ympyrät leikkaavat toisensa yhdessä toisen Brocardin kolmion kärjessä. Toinen tapa konstruoida tämä kolmio on piirtää ceviaanit symmediaaniseen pisteeseen, jolloin ceviaanien ja Brocardin ympyrän leikkauspisteet muodostavat toisen Brocardin kolmion kärjet. Tämä kolmio ei ole yhdenmuotoinen referenssikolmion kanssa. Sen keskinormaalien leikkauspiste  on referenssikolmion Brocardin ympyrän keskipiste .

Jos referenssikolmiolle piirtää ulkoympyrän ja jatkaa symmediaaniselle pisteelle  piirrettyjä ceviaaneja ulkoympyrälle saakka, sijaitsevat toisen Brocardin kolmion kärjet näiden jatkettujen ceviaanien keskipisteissä.

On olemassa myös kolmas- ja neljäs Brocardin kolmio.

Lähteet

Aiheesta muualla
 Kimberling; Clark: Central Points and Central Lines in a Plane of a Triangle, Mathematical Magazine, vol 67, issue 3, s. 163–187, myös täällä.
 Kimberling; Clark: Triangle Centers as Functions, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 23/1993, (s.1269–1286)
 De punten van Brocard
 Pamfilos, Paris: Brocard points, Brocard angle, Kreetan yliopisto
 Pamfilos, Paris: Second Brocard Triangle, Kreetan yliopisto
 Pamfilos, Paris: Brocard ellipse, Kreetan yliopisto
 Pamfilos, Paris: Median triangle, Kreetan yliopisto
 Pamfilos, Paris: Rotating triangle's sides about their middle, Kreetan yliopisto
 Pamfilos, Paris: Yagci's problem, Kreetan yliopisto

Geometria