Saccherin nelikulmio

Saccherin nelikulmio on sellainen nelikulmio, jossa on kaksi suoraa kulmaa ja kaksi keskenään yhtäpitkää sivua. Mielenkiintoisia tuloksia saadaan tarkastelemalla kahden jäljelle jäävän kulman suuruutta.

Historia 
Saccherin nelikulmio on nimetty italialaisen jesuiittamatemaatikon Girolamo Saccherin (1667-1733) mukaan. Hän käytti nelikulmiota yrittäessään epäsuorasti todistaa Eukleideen paralleelipostulaattia. Saccheri tarkasteli tapauksia, joissa jäljelle jäävät kulmat oletetaan joko tylpiksi tai teräviksi. Tylppien kulmien tarkastelu johti selvästi ristiriitaan, mutta terävien kulmien tapaus jäi epäselväksi. Saccheri kuitenkin väitti päätyneensä tässäkin tapauksessa ristiriitaan, mikä olisi todistanut kulmien voivan olla ainoastaan suoria. Itse asiassa Saccheri ei onnistunut osoittamaan paralleelipostulaatin välttämättömyyttä, vaan loi pohjan myöhemmälle epäeuklidiselle geometrialle.

Saccherin nelikulmio absoluuttisessa geometriassa
Tarkastellaan ensin Saccherin nelikulmiota absoluuttisessa geometriassa, eli tilanteessa, jossa suorien yhdensuuntaisuudesta ei tehdä mitään oletusta. Tällöin jäljelle jäävät kulmat ovat yhtäsuuret.

Todistus 

Olkoon nelikulmio  Saccherin nelikulmio, kuten kuvassa. Olkoot kulmat  ja  suoria, 
ja olkoot .

Piirretään halkaisijat  ja .

Tällöin muodostuu kaksi yhtenevää kolmiota:  ja 

Näin ollen halkaisijat  ja  ovat keskenään yhtäpitkät.

Nyt kolmioilla  ja  on kolme yhtäpitkää sivua, joten ne ovat yhtenevät.

Siis kulmat  ja  ovat yhtäsuuret.

Saccherin nelikulmio euklidisessa geometriassa 
Tarkastellaan nyt luonnollista, euklidista tapausta, eli kun paralleelipostulaatti on voimassa. Tällöin päädytään intuitiivisesti selvään tulokseen eli, että Saccherin nelikulmion kaikki kulmat ovat suoria.

Todistus 

Lähdetään liikkeelle samanlaisesta Saccherin nelikulmiosta kuin absoluuttisen geometrian tapauksessa. 

Merkitään suoraa kulmaa lyhyesti symbolilla 

Nyt koska 
 niin suorat  ja  ovat yhdensuuntaiset, toisin sanoen ne eivät leikkaa toisiaan.

Tällöin 

Siis

Samalla tavalla todistetaan, että

Katso myös 
 Euklidinen geometria
 Epäeuklidinen geometria

Lähteet 
 
 
 
 

Geometria