Kategoriateoria

Kategoriateoria on  matematiikan osa-alue, joka tutkii matemaattisia rakenteita keskittymällä objektien välisiin suhteisiin ja yhteyksiin. Kategoriateorian peruskäsite on  kategoria, jonka voidaan ajatella olevan tietty matemaattinen konteksti, jossa käsillä olevan matemaattisen teorian diskurssi tapahtuu. Kategorioita tavataan lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla, joten kategoriateoreettisia käsitteitä ja tuloksia voidaan käyttää matemaattisten teorioiden jäsentelyyn ja tutkimiseen. Kategorioita voidaan kuitenkin tutkia myös itsenäisinä olioina, ilman suoraa yhteyttä muihin matematiikan osa-alueisiin.

Kategoriateorian keskiössä ovat niin sanotut universaaliominaisuudet: oliot määritellään suhteessa kaikkiin tietyn kontekstin (eli kategorian) olioiden suhteen. Tällä tavoin määritellyt oliot eivät siis ole olemassa itsenäisesti, vaan oleellisella tavalla riippuvat ja sisältävät informaatiota siitä kontekstista tai teoriasta, johon kuuluvat. Tärkeä kategoriateoreettinen tulos on  Yonedan lemma, joka karkeasti ottaen sanoo, että kaikki kategorian objektit määräytyvät yksikäsitteisesti universaaliominaisuuksiensa kautta.

Kategoriateoria syntyi  puhtaan matematiikan osa-alueena  homologisen algebran tarpeisiin, minkä jälkeen sitä on sovellettu ja kehitetty matematiikan sisällä muun muassa  algebrallisen topologian,  algebran ja  matemaattisen logiikan yhteydessä. Tämän lisäksi kategoriateoriaa on sovellettu matematiikan ulkopuolella muun muassa  tietojenkäsittelytieteessä,  fysiikassa,  teoreettisessa biologiassa,  systeemiteoriassa ja  kieliteknologiassa.

Historia ja motivaatio 

Saunders Mac Lane ja Samuel Eilenberg määrittelivät funktorit ja luonnolliset isomorfismit  ryhmäteorian kontekstissa artikkelissaan vuodelta 1942. Heidän tarkoituksensa oli homologisessa algebrassa usein esiintyneiden "luonnollisten isomorfismien" systematisointi ja täsmällinen määrittely. Näiden määrittelemistä varten tarvittiin funktorin määritelmä, mikä puolestaan johti heidät esittelemään esimerkkejä luonnollisista muunnoksista muilta matematiikan osa-alueilta heidän seuraavassa artikkelissaan vuodelta 1945. Tässä artikkelissa myös määriteltiin kategoria ensimmäisen kerran.

Kategoriat 

Kategoria on kategoriateorian perusyksikkö, joka koostuu objekteista sekä näiden välisistä morfismeista. Morfismit voidaan ajatella prosesseina, joilla on lähtöpiste tietyssä oliossa (morfismin lähtöobjekti) sekä päätepiste jossakin toisessa oliossa (morfismin maaliobjekti). Morfismien ja objektien  määritelmä on kuitenkin täysin formaali eikä edellytä tällaista intuitiota. Kategorian mille tahansa objektille on olemassa identiteettimorfismi, ja mitkä tahansa kaksi peräkkäistä morfismia voidaan yhdistää yhdisteeksi. Lisäksi pätevät  identiteettilaki ja  liitäntälaki: minkä tahansa morfismin yhdiste identiteettimorfismin kanssa on sama kuin kyseinen morfismi, ja yhdisteen järjestyksellä ei ole väliä (katso kategorian täsmällinen  määritelmä).

Yleisiä periaatteita

Kommutatiiviset kaaviot 

Kategoriateorian tunnusomaisin  merkintä ja samalla tärkeä  todistustekniikka on kommutatiivinen kaavio. Tässä kontekstissa kaavioita (kommutatiivisia tai ei) käytetään yleensä epämuodollisesti, mutta mikä tahansa kaavio voitaisiin periaatteessa esittää muodollisesti  kaavion määritelmän avulla.

Kaavio koostuu objekteista, joita merkitään pistein tai kirjaimin, esimerkiksi  ja , ja näiden välisistä morfismeista, joita merkitään nuolin, esimerkiksi  ja . Kaavio on kommutatiivinen, jos kaikki kaavion morfismit kaavion minkä tahansa kahden objektin välillä (mukaan lukien yhdisteet) ovat yhtä suuria. Toisin sanoen kommutatiivisessa kaaviossa ei ole väliä, mitä "reittiä" (eli morfismien yhdisteitä) yhdestä objektista päädytään toiseen. Yllä olevassa esimerkissä kommutatiivisuus tarkoittaisi, että .

Universaaliominaisuudet ja yksikäsitteisyys isomorfismia vaille
Koska kategoriateoria keskittyy objektien (ja morfismien) keskinäisiin suhteisiin, tietty objekti tai morfismi määritellään yleensä suhteessa muihin kategorian objekteihin tai morfismeihin. Tällöin puhutaan objektin tai morfismin universaaliominaisuudesta. Universaaliominaisuuden kautta määriteltyä objektia tai morfismia kutsutaan vastaavasti universaaliobjektiksi tai universaalimorfismiksi.

Esimerkiksi  alkuobjekti määritellään universaaliominaisuuden kautta: objekti  on alkuobjekti mikäli mille tahansa objektille  on olemassa täsmälleen yksi morfismi .

Objekteille (ja morfismeille), jotka on määritelty universaaliominaisuuden kautta, on tyypillistä yksikäsitteisyys, mikäli isomorfisten objektien katsotaan olevan "yhtä suuria" tai "samoja". Täsmällisesti, määritellään objektien yksikäsitteisyys isomorfismia vaille ominaisuuden  suhteen seuraavasti: mikäli sekä objektilla  että objektilla  on ominaisuus , niin on olemassa  isomorfismi :sta :hen (eli siis myös isomorfismi :stä :hen). Tätä tiukempi käsite on yksikäsitteisyys yksikäsitteistä isomorfismia vaille, joka määritellään muuten samalla tavalla kuin yksikäsitteisyys isomorfismia vaille, mutta objektien välinen isomorfismi on lisäksi yksikäsitteinen.

Esimerkiksi  alkuobjekti, mikäli se on olemassa, on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.

Vastakkainen kategoria ja duaalisuus 

Olkoon  kategoria. Tällöin sen vastakkainen kategoria  määritellään siten että , ja jokaiselle objektiparille  olkoon . Selvästi .

Tärkeä kategoriateoreettinen käsite on duaalisuus: mitä tahansa lausetta tai käsitettä, joka pätee tai on määritelty jossakin kategoriassa, vastaa lause tai käsite vastakkaisessa kategoriassa, jota kutsutaan duaalilauseeksi tai -käsitteeksi. Esimerkiksi yllä mainituista käsitteistä alku- ja loppuobjekti sekä mono- ja epimorfismi ovat toistensa duaalikäsitteitä. Täsmällisesti, erään kategorian objekti on alkuobjekti jos ja vain jos se on loppuobjekti vastakkaisessa kategoriassa, ja morfismi on monomorfismi jos ja vain jos se on epimorfismi vastakkaisessa kategoriassa.

Tietyn käsitteen duaalikäsitteen nimi muodostetaan usein, muttei kuitenkaan aina, lisäämällä kyseisen käsitteen nimen eteen ko-etuliite.

Funktorit 

Myös kategoriat muodostavat kategorian, jonka morfismeina ovat funktorit.

Olkoot  ja  kategorioita. Funktori  kategoriasta  kategoriaan  koostuu seuraavista kuvauksista:
 jokaiselle objektille , objekti , ja
 jokaiselle :n morfismille  kategorian  morfismi ,
jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:
 identiteetin säilytys: jokaiselle objektille  pätee , ja
 yhdisteen säilytys: jokaiselle :n morfismiparille  ja  pätee .

Erityisiä funktoreita 

Olkoon  funktori. Määritellään jokaiselle objektiparille  kuvaus  siten että . Funktori  on
 täysi mikäli jokaiselle objektiparille , kuvaus  on surjektio,
 uskollinen mikäli jokaiselle objektiparille , kuvaus  on injektio,
 täysin uskollinen mikäli se on sekä täysi että uskollinen,
 oleellisesti surjektio objekteille mikäli jokaiselle objektille  on olemassa objekti  siten että  ja  ovat isomorfisia.

Esimerkkejä 

 Mille tahansa (ei tyhjille) kategorioille  ja  sekä objektille  voidaan määritellä vakiofunktori , jonka arvo kaikilla :n objekteilla on  ja kaikilla :n morfismeilla .

Luonnolliset muunnokset 

Kahden kategorian väliset funktorit voidaan niin ikään järjestää kategoriaksi. Morfismeiksi tarvitaan tällöin luonnolliset muunnokset. Itse asiassa Eilenbergin ja Mac Lanen alkuperäinen motivaatio oli algebrallisessa topologiassa käytettyjen "luonnollisten" kuvausten täsmällinen määritelmä, jota varten he määrittelivät sekä kategoriat että funktorit.

Olkoot  funktoreita. Luonnollinen muunnos  koostuu :n morfismista  jokaiselle :n objektille , siten että jokaiselle :n morfismille  pätee . Toisin sanottuna jokaiselle morfismille  kaavio

on kommutatiivinen.

Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä luonnollinen transformaatio (engl. natural transformation).

Yksittäistä morfismia , joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan :n komponentiksi, tai täsmällisemmin -komponentiksi.

Luonnollista muunnosta, jonka jokainen komponentti on isomorfismi, kutsutaan luonnolliseksi isomorfismiksi. Luonnolliset isomorfismit ovat isomorfismeja kategoriassa, jonka muodostavat kahden kategorian väliset funktorit sekä näiden väliset luonnolliset muunnokset.

Kategorioiden ekvivalenssi 

Koska (pienet) kategoriat ja funktorit muodostavat (suuren) kategorian, isomorfismin määritelmä pätee myös funktoreille. Kategorioiden isomorfisuus yhtenevyyden mittana on kuitenkin useissa tilanteissa liian tiukka, sillä se sivuuttaa sen faktan, että kategorioiden kategoriassa jokainen objekti omaa kategorian rakenteen. "Oikeampi", tai ainakin käytännällisempi, yhtenevyyden mitta onkin kategorioiden ekvivalenssi, joka muistuttaa muodoltaan  topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssia.

Olkoot  ja  kategorioita. Tällöin kategorioiden  ja  ekvivalenssi koostuu seuraavista:
 funktori ,
 funktori ,
 luonnollinen isomorfismi ,
 luonnollinen isomorfismi .

Rajat ja korajat

Kaaviot ja kartiot 

Olkoon  pieni kategoria. Tällöin funktoria  kutsutaan :n muotoiseksi kaavioksi kategoriassa . Kategoriaa  kutsutaan kaavion indeksikategoriaksi.

Kaavion  kartio on luonnollinen muunnos . Objektia  kutsutaan kartion kärjeksi ja luonnollisen muunnoksen komponentteja  kartion särmiksi. Yksityiskohtaisesti kartio koostuu siis objektista  ja kokoelmasta morfismeja  jokaiseen objektin  kuvaan, siten että jokaiselle :n morfismille  kaavio

on kommutatiivinen.

Merkitään  kartiota, jonka kärki on  ja luonnollinen muunnos . Määritellään kartiomorfismi kartiosta  kartioon  morfismina  siten että , jossa  on vakio luonnollinen muunnos, jonka jokainen komponentti on . Yksityiskohtaisesti ehto, jonka :n pitää toteuttaa ollakseen kartiomorfismi  on: jokaiselle objektille  pätee . Jokaisen kaavion  kartiot ja kartiomorfismit muodostavat kategorian, jota merkitään  ja jota kutsutaan kaavion  kartiokategoriaksi.

Rajat 

Raja voidaan määritellä hyvin lyhyesti kartiokategorian avulla: kaavion  raja on kategorian  loppuobjekti. Huomataan, että kaikilla kaavioilla ei välttämättä ole rajaa, sillä kartiokategoriassa ei välttämättä ole loppuobjektia. Tästä määritelmästä seuraa, että raja on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.

Koska yllä annettu rajan määritelmä on hyvin tiivis, rajan käsitteen merkitys ei välttämättä avaudu siitä. Näin ollen annetaan seuraavaksi yksityiskohtaisempi, mutta yhtäpitävä määritelmä. Olkoon  kaavio. Tällöin :n raja koostuu objektista  sekä kokoelmasta morfismeja  jokaiselle objektille  siten että  muodostavat kartion (eli jokaiselle :n morfismille  alla olevan kaavion sisempi kolmio on kommutatiivinen), ja kartio  on lisäksi universaali tämän ominaisuuden suhteen: mikäli  on :n objekti ja  on morfismi jokaiselle objektille  siten että  on kartio (eli jokaiselle :n morfismille  alla olevan kaavion ulompi kolmio on kommutatiivinen), niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen morfismi  siten että jokaiselle objektille  pätee , eli toisin sanottuna kaavio

on kommutatiivinen.

Kokartiot ja korajat 

Kaavion  kokartio on kaavion  kartio, eli luonnollinen muunnos . Samoin kuin kartiolle, objektia  kutsutaan kokartion kärjeksi ja komponentteja  särmiksi, ja kokartiota merkitään . Kokartiomorfismi kokartiosta  kokartioon  on morfismi  siten että . Merkitään kaavion  kokartioiden ja kokartiomorfismien kategoriaa . Tällöin kaavion  koraja on kategorian  alkuobjekti, mikäli se on olemassa.

Yksityiskohtaisesti, kaavion  koraja on kokartio  siten että mille tahansa kokartiolle  on olemassa yksikäsitteinen morfismi , joka jokaiselle :n morfismille  tekee kaaviosta

kommutatiivisen.

Esimerkkejä 

Esimerkkejä rajoista:
loppuobjekti on tyhjän kaavion raja,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa loppuobjekti (eli tyhjän kaavion raja) on täsmälleen yhden alkion sisältävä joukko,
osittain järjestetyssä joukossa loppuobjekti on suurin alkio;
binäärinen tulo on sellaisen diskreetin kaavion raja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen tulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon karteesinen tulo,
osittain järjestetyssä joukossa binäärinen tulo on kahden alkion infimum.

Esimerkkejä korajoista:
alkuobjekti on tyhjän kaavion koraja,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa alkuobjekti (eli tyhjän kaavion koraja) on tyhjä joukko,
osittain järjestetyssä joukossa alkuobjekti on pienin alkio;
binäärinen kotulo on sellaisen diskreetin kaavion koraja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen kotulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon erillinen yhdiste,
osittain järjestetyssä joukossa binäärinen kotulo on kahden alkion supremum.

Täydellisyys ja kotäydellisyys 

Kategorian  sanotaan omaavan :n muotoiset (ko)rajat mikäli millä tahansa :n muotoisella kaaviolla on (ko)raja :ssä. Kategoria on (ko)täydellinen mikäli se omaa :n muotoiset (ko)rajat jokaiselle indeksikategorialle . Kategoria on äärellisesti (ko)täydellinen mikäli se omaa :n muotoiset (ko)rajat jokaiselle äärelliselle indeksikategorialle .

Hom-funktorit ja Yonedan lemma

Esilyhteet 

Kategorian  esilyhde on funktori . Esilyhteet ja niiden väliset luonnolliset muunnokset muodostavat kategorian, jota merkitään . Mikäli  on jonkin  topologisen avaruuden  avointen joukkojen osittaisjärjestys, niin tämä esilyhteen määritelmä vastaa  algebrallisen topologian joukkojen  esilyhteen määritelmää.

Hom-funktorit 

Olkoon  lokaalisti pieni kategoria ja olkoon . Määritellään esilyhde  seuraavasti: jos  ja  ovat :n objekteja ja  morfismi, niin
  ja ,
jossa  on funktio .

Esilyhdettä  kutsutaan :n (kontravariantiksi) hom-funktoriksi.

Yonedan upotus 

Sillä hom-funktori  on määritelty mille tahansa lokaalisti pienen kategorian  objektille , tämä määrittää kuvauksen
 .
Laajennetaan kyseinen kuvaus funktoriksi
 
määrittelemällä jokaiselle morfismille  luonnollinen muunnos , jonka -komponentti on funktio , joka kuvaa .

Funktoria  kutsutaan :n Yonedan upotukseksi. Termin  upotus käyttö on perusteltua, sillä yksi Yonedan lemman (ks. alla) seurauksista on Yonedan upotuksen täysi uskollisuus. Näin ollen mikä tahansa lokaalisti pieni kategoria voidaan upottaa sen esilyhteiden kategoriaan; toisin sanottuna on olemassa esilyhteiden kategorian alakategoria, joka on isomorfinen sen kanssa.

Yonedan lemma 

Hom-funktoreiden erityistä asemaa esilyhteiden kategoriassa kuvastaa Yonedan lemma.

Lause. Olkoon  lokaalisti pieni kategoria. Tällöin on olemassa isomorfismi
 ,
joka on luonnollinen sekä objektin  että esilyhteen  suhteen.

Korollaari. Yonedan upotus on täysi ja uskollinen.

Korollaari. Olkoon  lokaalisti pieni kategoria. Tällöin kaikille objekteille  pätee:
  jos ja vain jos .

Liittofunktorit

Määritelmä morfismijoukkojen isomorfismin kautta 

Olkoot  ja  lokaalisti pieniä kategorioita, ja  vastakkaisiin suuntiin osoittavien funktoreiden pari. Tällöin sanotaan, että  on funktorin  vasen liittofunktori (ja vastaavasti  on :n oikea liittofunktori) mikäli on olemassa luonnollinen isomorfismi . Isomorfismin luonnollisuus voidaan ilmaista eksplisiittisemmin seuraavasti. Merkitään sekä isomorfismia että sen käänteismorfismia viivalla, eli:
  ja  siten että  ja .
Tällöin luonnollisuusehto on yhtäpitävä seuraavan ehdon kanssa: kaikille :n morfismeille  sekä :n morfismeille  pätee
  ja .

Yllä määriteltyä tilannetta merkitään .

Määritelmä yksikön ja koyksikön kautta 

Oletetaan, että on olemassa luonnollinen muunnos  sekä luonnollinen muunnos . Tällöin  on liitto mikäli molemmat kaaviot

kommutoivat.

Lause.  on liitto jos ja vain jos  on :n vasen liittofunktori. Tällöin liitto määrää morfismijoukkojen isomorfismin yksikäsitteisesti, ja käänteisesti, morfismijoukkojen isomorfismi määrää yksikön ja koyksikön yksikäsitteisesti.

Esimerkkejä 

 Unohdusfunktorilla  on sekä vasen että oikea liittofunktorit: , jossa vasen liittofunktori määrittelee jokaiselle joukolle  diskreetin topologian, ja oikea liittofunktori  indiskreetin topologian.
 Unohdusfunktorilla  on vasen liittofunktori, joka määrittelee jokaiselle joukolle sen virittämän  vapaan ryhmän.
 Jos  ja  ovat  osittain järjestettyjä joukkoja ja  funktoreita (eli järjestyksen säilyttäviä funktioita), niin  jos ja vain jos kaikille alkioille  ja  pätee:
  jos ja vain jos .
 Osittaisjärjestyksen morfismien liitto tunnetaan nimellä Galois'n vastaavuus (tai yhteys).
 Funktorit, jotka muodostavat kategorioiden ekvivalenssin, ovat aina liittofunktoreita.

Sovelluksia 

Matematiikan ulkopuolella kategoriateoriaa on hyödynnetty eniten teoreettisen tietojenkäsittelytieteen alalla. Esimerkiksi Haskell-ohjelmointikielen voidaan ajatella melkein muodostavan kategorian. Laajemmin ottaen, tarpeeksi abstraktilla tasolla mikä tahansa funktionaalinen ohjelmointikieli voidaan ajatella kategoriana.

Sovellukset pyrkivät usein teorioiden yhdenmukaistamiseen, yksinkertaistamiseen sekä oleellisimpien aspektien esille tuomiseen. Tavoitteena saattaa olla myös informaation, tiedon ja käytänteiden siirron helpottaminen eri alojen välillä. Esimerkiksi samoja matemaattisia rakenteita hyödyntäviä kategoriateoreettisia malleja on kehitetty sekä  kvanttilaskennan että  luonnollisen kielen käsittelyn tarpeisiin.

Monissa sovelluksissa lähtökohtana on monoidaalinen kategoria, eli kategoria , jolle on olemassa funktori , joka toteuttaa tietyt ehdot. Siinä missä tavallinen kategoria sallii prosessien (morfismien) peräkkäisen yhdistämisen, monoidaalinen kategoria sallii tämän lisäksi prosessien yhdistämisen suuremmaksi kokonaisuudeksi, siten että prosesseilla voi olla vaihteleva määrä syöttöjä (lähtöobjekteja) ja tulosteita (engl. output) (maalibjekteja). Esimerkiksi  kvanttiteoriasta sekä kemiallisia reaktioita mallintavista  Petri-verkoista on kehitetty matemaattisia malleja, jotka hyödyntävät monoidaalisia kategorioita.

Biologi  Robert Rosen on ehdottanut, että kategoriateorian metodit soveltuvat  relaatiobiologian tarpeisiin. Osittain Rosenin ajatuksiin perustuen, kategoriateoriaan nojaavaa mallia on ehdotettu biologisten organismien hierarkkisen järjestyksen hahmottamiseen.

Lähteet 
 Alakoskela, Riina. Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause. Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Joulukuu 2020. Viitattu 20.8.2021.
 Barr, Michael & Wells, Charles. Category Theory for Computing Science. Viitattu 20.8.2021.  
 Bradley, Tai-Danae. What is Applied Category Theory? Viitattu 20.8.2021. 
 Coecke, Bob & Sadrzadeh, Mehrnoosh & Clark, Stephen. Mathematical Foundations for a Compositional Distributional Model of Meaning. 
 Ehresmann, Andrée & Vanbremeersch, Jean-Paul. Memory Evolutive Systems; Hierarchy, Emergence, Cognition. Elsevier Science. 2007. ISBN 9780444522443. 
 Fong, Brendan & Spivak, David. Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory. Viitattu 20.8.2021. 
 Heunen, Chris & Vicary, Jamie. Categories for Quantum Theory. An Introduction. Oxford graduate texts in mathematics 28. Oxford University Press. 2019. ISBN 978-0-19-873961-6. 
 Landry, Elaine & Marquis, Jean-Pierre. Categories in Context: Historical, Foundational, and Philosophical. Philosophia Mathematica. Volume 13. Issue 1. February 2005. Pages 1-43. 
 Leinster, Tom. Basic Category Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 143. Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-04424-1. Verkkoversio. 
 Niskanen, Markus. Liittofunktorit. Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.
 Puuska, Ville. Yleiset persistenssimodulit ja lomitusmetriikat. Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Informaatiotieteiden yksikkö. Matematiikka. Joulukuu 2016. Viitattu 20.8.2021.
 Riehl, Emily. Category Theory in Context. Dover Publications. 2016. ISBN 978-0-486-80903-8. Verkkoversio. 
 Rosen, Robert. The Representation of Biological Systems from the Standpoint of the Theory of Categories. Bulletin of Mathematical Biophysics 20 (4): 317-341. 1958. DOI 10.1007/bf02477890. 
 Tuomi, Ilkka. Robert Rosenin ennakoivat systeemit ja tieteiden seuraava vallankumous Futura 36 (2017) : 3, s. 93-102.

Viitteet 

Seulonnan keskeiset artikkelit