Kannanvaihto

Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.

Kannanvaihtomatriisi
Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

Kannanvaihtomatriisin määritelmä
Olkoot  ja  vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille  pätee =M(T←S), missä  on vektorin  koordinaattivektorin kannan T suhteen ja  vektorin  koordinaattivektorin kannan S suhteen.

Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi
Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [In|A], missä  on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

Esimerkkejä

Esimerkki 1
Olkoon  vektoriavaruuden R3 luonnollinen kanta ja olkoon  vektoriavaruuden R3 toinen kanta, jossa ,  ja . Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis
M(E←S)=.

Esimerkki 2
Olkoot  ja  vektoriavaruuden R2 kantoja, joille , ,  ja . Olkoon lisäksi . Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi 
redusoituun porrasmuotoon . Tällöin M(T←S)=. Vektorin  koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla . Lasketaan vektorin  koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan
=M(T←S)==.

Lähteet

Kirjallisuutta
Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.

Lineaarialgebra