Disjunktiivinen normaalimuoto

Disjunktiivinen normaalimuoto tarkoittaa sellaista lauseketta, joka on koottu propositiologiikan propositiomuuttujista sekä TAI-, JA- ja EI-konnektiiveista (merkitään ,  ja ) tietyllä tavalla, joka kuvataan alla tarkemmin. Tämän menetelmän mukainen esitys on olemassa jokaiselle totuusfunktiolle, mikä osoittaa kyseisen konnektiivijoukon täydelliseksi ja näin tekee propositiologiikan "peruskonnektiiveista" ja itse disjunktiivisen normaalimuodon menetelmästä perustavan välineen niin kaksiarvologiikan tutkimiselle kuin sen sovelluksillekin esimerkiksi loogisissa piireissä.

Normaalimuodon rakenne 

Totuusfunktiota esittävän lausekkeen sanotaan olevan disjunktiivisessa normaalimuodossa, kun se on seuraavaa muotoa:
 Lauseke on yhden tai useamman alkeiskonjunktion disjunktio.
 Kukin alkeiskonjunktio on yhden tai useamman literaalin konjunktio.
 Kukin literaali on joko yksittäinen propositiomuuttuja tai sellaisen negaatio.

Esimerkiksi lauseke

on disjunktiivisessa normaalimuodossa. Se koostuu kolmesta alkeiskonjunktiosta, joissa on viisi, yksi ja neljä literaalia.

On huomattava, ettei mikä tahansa TAI-, JA- ja EI-konnektiiveja yhdistelemällä muodostettu lauseke ole disjunktiivisessa normaalimuodossa. Normaalimuoto edellyttää "3-tasoisuutta", jossa TAI-konnektiivit ovat uloimpana, JA-konnektiivit seuraavalla tasolla, ja EI-konnektiivit sisimpänä suoraan propositiomuuttujien edessä.

Normaalimuodon käyttö halutun totuusfunktion esittämisessä 

Mielivaltainen totuusfunktio  voidaan esittää disjunktiivisessa normaalimuodossa olevalla lausekkeella, jonka muodostamisen tapa kuvataan tässä.

Monipaikkainen yhdistely TAI- tai JA-konnektiivilla 

Alipropositioiden monipaikkainen TAI-yhdistelmä  antaa TAI-konnektiivien sulutuksesta huolimatta arvon  tarkalleen silloin jos edes yksi -alipropositio saa arvon , sillä TAI:n määritelmän perusteella se nousee "sulkuja avattaessa" aina ylemmäs päätyen lopulta koko lausekkeen arvoksi. Esimerkiksi

.

Erityisesti TAI-konnektiivi on siis liitännäinen. Sama päättely pätee JA-konnektiivilla arvon  suhteen, joten on nähty miten TAI- tai JA-konnektiivin yhdistelmä on tulkittavissa monipaikkaiseksi totuusfunktioiksi yksinkertaisella tavalla. Esimerkiksi monipaikkainen JA-konnektiivi antaa arvon  vain silloin, kun kaikki siinä yhdistettävät arvot ovat .

Käytettävien alkeiskonjunktioiden muodostaminen 

Muodostetaan sellaisia alkeiskonjunktioita, jotka saavat arvon  tarkalleen yhdellä totuusjakaumalla, ja nämä totuusjakaumat ovat tarkalleen samat kuin ne, joilla haluttu totuusfunktio  saa arvon . Tämä onnistuu niin, että kussakin muodostettavassa alkeiskonjunktiossa on kaikki :n käyttämät propositiomuuttujat, joista EI-konnektiivilla varustetaan ne, joiden arvo on  alkeiskonjunktioon liittyvässä totuusjakaumassa, jotta kaikista literaaleista saataisiin sillä arvo  alkeiskonjunktion JA-yhdistelyyn ja täten  alkeiskonjunktiosta saatavaksi arvoksi. Jos esimerkiksi  saa arvon  totuusjakaumalla , tähän totuusjakaumaan liitetään alkeiskonjunktio .

Lopullisen normaalimuoto-esityksen kokoaminen ja sen vastaavuus totuusfunktion kanssa

Yhdistetään yllä kuvatulla tavalla muodostetut alkeiskonjunktiot TAI-konnektiiveilla, jolloin halutun totuusfunktion  normaalimuotoesitys on valmis. Näin koottu lauseke esittää todella haluttua totuusfunktiota, sillä siitä saadaan arvo  tarkalleen silloin, kun joku TAI-yhdistelyssä olevista alkeiskonjunktioista antaa arvon , mikä taas käytettyjen alkeiskonjunktioiden muodostamistavan perusteella tarkoittaa sitä, että totuusjakaumana on nyt jokin niistä totuusjakaumista, joilla haluttu totuusfunktio  saa arvon . Toisaalta jokaista :ssä arvon  antavaa totuusjakaumaa kohti koottu esitys sisältää alkeiskonjunktion, joka antaa arvon  tällä totuusjakaumalla, jolloin  päätyy TAI-yhdistelyn kautta myös kootusta esityksestä saatavaksi totuusarvoksi. On siis nähty, että  ja koottu normaalimuoto antavat arvon  tarkalleen samoilla totuusjakaumilla.

Erikoistapauksena esityksen kokoamisessa on se tilanne, jossa haluttu totuusfunktio on -funktio, joka saa arvon  kaikilla totuusjakaumilla. Yllä kuvatulla tavalla normaalimuodoksi tulisi nyt tyhjä lauseke. Tämän välttämiseksi voidaan esitykseksi valita nyt aina -arvoinen lauseke , joka on disjunktiivisessa normaalimuodossa sallittua muotoa.

Esimerkki totuusfunktion esityksen kokoamisesta 

Totuusfunktion esittäminen disjunktiivisessa normaalimuodossa hahmottunee parhaiten esimerkin kautta. Olkoon haluttu totuusfunktio  se -kokoinen totuusfunktio, joka on kuvattu alla olevassa totuustaulussa.

Kyseinen totuusfunktio saa arvon , kun totuusjakaumana on  tai , mistä seuraa, että menetelmän mukaiset käytettävät alkeiskonjunktiot ovat nyt  ja . (Huomaa, että tässä esimerkissä JA-konnektiivit on jätetty kirjoittamatta, mikä on yleinen tapa kirjallisuudessa.)

Kun ne "disjunktoidaan" TAI-konnektiiveilla, normaalimuodon lausekkeeksi saadaan nyt 

Tämä lauseke esittää totuusfunktiota , mitä voidaan "testata" vaikka totuusjakaumalla , jolloin lauseke antaa arvon 

, tai totuusjakaumalla , jolloin lauseke saa arvon 

Logiikka
Matemaattinen logiikka