Suppeneva sarja

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon
raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.

Määritelmä

Sarja 
 suppenee, jos sen osasummien jono  

suppenee, ts. jos 

s.e. .
Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita

Lause 1.

Jos    suppenee, niin

Lause 2.

Suppenevalle sarjalle erotusta

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.

Suppenevalle sarjalle

Lause 4.

Jos  ja , sekä , niin

Lause 5.

Jos sarja  suppenee ja sarja  hajaantuu, niin summasarja  hajaantuu.
Jos molemmat sarjat  ja  hajaantuvat, niin niiden summasarja  voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille

Sarja  suppenee  kohti  s.e.

kaikilla  aina kun

Itseisesti suppeneva sarja

Määritelmä

sarja  
suppenee itseisesti, jos sarja  suppenee.

Lause 7.

Jos  suppenee, niin  suppenee.  Tällöin sarjoille pätee

Lähteet
Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2

Matemaattiset sarjat