Binomilause

Alkeisalgebrassa binomilause kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n  summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on x tai y jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Kerroin a termissä xbyc   tunnetaan binomikertoimena  tai  (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

missä b! tarkoittaa luvun b kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa  osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa n alkion joukolla on.

Historiaa
Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko  Eukleides Aleksandrialainen  mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia.
Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

Lauseen väite

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (x + y):n  summaksi, joka on muotoa

missä jokainen  on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan  binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan  tai  binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen x :n ja y :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä

Tavallisin esimerkki binomilauseesta on  x + y:n neliö:

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet  x + y:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

Huomaa, että 
x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n  ( n potenssissa 
y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on  n (myös n potenssissa
Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia

Kombinatorinen todistus

Esimerkki
xy2n kerroin

on  koska on kolme kolmen kirjaimen pituista x,y  jonoa, joissa on tarkalleen kaksi ytä, nimittäin,

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

missä jokaisessa osajoukossa eritellään yn paikka vastaavassa jonossa.

Yleinen tapaus
Kun kehitetään auki (x + y)n niin se tuottaa 2 n tulojen summaa, jotka ovat muotoa e1e2 ... e n missä jokainen e i on x tai  y.  Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa xn−kyk  k: n  arvoilla  0:sta n:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

alkioiden lukumäärä xn − kyk :n alkioiden kehitelmässä
n-alkioisten jonojen lukumäärä x:ää ja y:tä, joissa y on tarkalleen k kertaa
k-alkioisten osajoukkojan lukumäärä joukosta { 1, 2, ..., n}

Tämä todistaa binomilauseen.

 Binomisarja 

Jos eksponentti n ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta  voida kehittää polynomiksi. Yleistetyn binomilauseen''' mukaan sille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmä:

, 

missä yleensä pätee kuitenkin vain,  (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun ), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimille  käytetään myös merkintää . Tätä sarjaa sanotaan binomisarjaksi.

Erikoistapauksessa, kun n on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimet n''+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause.

Lähteet 
Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Binomial Theorem Introduction

Aiheesta muualla 

Algebra
Kombinatoriikka