Levi-Civita-symboli

Levi-Civita-symbolia eli permutaatiosymbolia käytetään matematiikassa tietyissä tensorilaskuissa. Se on nimetty italialaisen matemaatikon Tullio Levi-Civitan mukaan.

Määritelmä 

Levi-Civita-symbolin alaindeksien permutaatiossa jotkin sen vierekkäin olevan alaindeksit vaihtavat paikkaa keskenään.

Levi-Civita-symboli kolmessa ulottuvuudessa määritellään alaindeksien permutaatioiden kautta seuraavasti 

eli Levi-Civita-symboli saa arvon , jos  saadaan parillisella permutaatiomäärällä :sta ja arvon , jos  saadaan parittomalla permutaatiomäärällä :sta. Lisäksi, jos Levi-Civita-symbolissa on vähintään kaksi samaa alaindeksiä, se saa arvoksi .

Levi-Civita-symboli determinantin esityksessä 

Levi-Civita-symbolia voidaan käyttää :n -matriisin determinantin laskemiseen seuraavasti

,

missä siis :t ovat matriisin  alkioita.

Levi-Civita-symboli ja Kroneckerin delta 

Levi-Civita-symbolin ja Kroneckerin deltan suhteen voi esittää kolmessa ulottuvuudessa seuraavasti

.

Saatua muotoa kutsutaan Levi-Civita-symbolin identiteetiksi.

Katso myös 
 Kroneckerin delta

Lähteet 

Lineaarialgebra