Ristikorrelaatio

Ristikorrelaatio eli liukuva pistetulo on signaalinkäsittelyssä käytetty mittari, joka kertoo kahden aaltomuodon samankaltaisuuden, kun toista on siirretty ajan  verran. Usein ristikorrelaation avulla etsitään lyhyttä signaalia f pidemmästä signaalista g.

Sanan ristikorrelaatio vaihtoehtoinen merkitys (tilastotieteessä) on kahden satunnaismuuttujan X ja Y kovarianssi cov(X, Y) erotuksena yhden satunnaismuuttujan X "kovarianssista", jolla tarkoitetaan muuttujan X skalaarikomponenttien kovarianssimatriisia.

Jatkuville funktioille f ja g alussa mainittu ristikorrelaatio määritellään:

 

missä f * tarkoittaa funktion f kompleksikonjugaattia.

Vastaavasti diskreeteille funktioille ristikorrelaatio määritellään:

 

Ristikorrelaatio siis eroaa konvoluutiosta siten, että konvoluutiossa funktio g peilataan (käännetään) ajallisesti (termin n+m tilalla n-m) ja funktiota f ei konjugoida. Joskus ristikorrelaatio normalisoidaan.

Funktion ristikorrelaatiossa itsensä kanssa huippu saavutetaan aina muuttujan arvolla nolla (aito huippu, ellei kyseessä ole nollasignaali).

Selitys

Jos funktio f on sama kuin funktio g mutta siirrettynä, näiden ristikorrelaation maksimikohta kertoo, kuinka suuri siirto oli. Muutenkin ristikorrelaation reaaliosan maksimikohta kertoo, mikä kohta g:stä on pisimmällä f:n suunnassa.

Normalisoitu ristikorrelaatio
Kuvankäsittelysovelluksissa, joissa kuvan ja etsityn mallin kirkkaus vaihtelevat, kuvat normalisoidaan ennen ristikorrelaation laskemista.

Kun kuvasta  etsitään mallia , tämä tehdään seuraavasti:
 .
missä  on pikselien lukumäärä,  signaalin f keskiarvo
ja  keskihajonta (jakajan n-1 selitys on samanlainen kuin keskihajonnan määritelmässä).
Jos merkitään
 
ja
 
niin normalisoitu ristikorrelaatio voidaan kirjoittaa muotoon
 
missä  on sisätulo ja  on L²-normi. Kyseessä on siis normalisoitujen vektoreiden välinen pistetulo eli vektorien F ja T välisen kulman kosini, joka on siis välillä -1...1, mikäli F ja T ovat reaalisia matriiseja. Jos arvo on 1, matriisi T on sama kuin matriisi F kerrottuna positiivisella vakiolla.

Signaalinkäsittely
Lineaarialgebra