Riemannin–Stieltjesin integraali

Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa 
, 
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi. 
Integraali voi myös olla muotoa 
.

Määritelmä

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa  , missä

a=  ≤  ≤  ≤  = b.

Merkitään 

  = , missä (i = 1,  , n).

Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan 

 = sup f(x) ( ≤ x ≤ )

 = inf f(x) ( ≤ x ≤ ).

Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä 

 α = α() - α().

On selvää, että  α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan 

U (P, f, α) =    , 

L (P, f, α) =    . 

Jos 

 , 

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään 
 
tai
.
Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi :n suhteen yli välin [a,b].

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin

Merkitsemällä  nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista: 

.

Yleisissä tapauksissa :n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia. 
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.

Muuttujan vaihto

Olkoon funktio  välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja  ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti 

,

jos . 
Silloin funktio  välillä S ja 
.

Lineaariominaisuudet

Jos  ja  välillä [a,b], niin 

 välillä [a,b] ja

.

Katso myös 
 Lebesgue–Stieltjes-integraali

Lähteet

Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953 
Laitinen T., Riemann-Stieltjes-integraali, Pro gradu -työ, 2006

Kirjallisuutta
 

Integraalilaskenta