Osittaisfunktio

Osittaisfunktio on funktion  yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon  alkioon  enintään yhden maalijoukon  alkion, jota merkitään , jos tämä :n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon  alkioon  tarkalleen yhden joukon  alkion , mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin :n alkioilla  tällaista siihen -liitettävää -joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla  sanotaan, että  ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä

.

Niitä joukon  alkioita, joilla  on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion  määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla . Tavallisilla funktioilla  eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä  eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että  eli  ei ole määritelty missään joukon  pisteessä.

Esimerkkejä 

1)

Funktio , joka on määritelty niin, että  ja  eli arvoilla  ja  funktio  ei ole määritelty.

2)

Funktio , missä , on määritelty tarkalleen silloin, kun  on neliö eli kuuluu joukkoon , sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.

3)

Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä  kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion -arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja  jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.

Funktiot