Lp-avaruus

{{DISPLAYTITLE:Lp-avaruus}}
Matematiikassa Lp-avaruudet ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä. 

Lp-avaruuksia kutsutaan myös Lebesgue-avaruuksiksi Henri Lebesguen mukaan , joskin Bourbakin mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz. 

Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

Motivaatio 
[[Kuva:Vector norms.svg|frame|right|Eri p-normien yksikköympyröiden kuvaajia (eli pisteet, joihin origista piirretyn vektorin p-normi on 1').]]

Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit
reaaliselle vektoriavaruudelle Rn. Kahden vektorin summa avaruudessa Rn määritellään

ja skalaarilla (eli reaaliluvulla)  kertominen

Vektorin  x = (x1, x2, …, xn) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla

mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin x pituus. Jos p on reaaliluku, p ≥ 1, niin vektorin x Lp-normi määritellään
.
Näin ollen L2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys L1 on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle p = ∞ määrittelemällä
,
mikä on sama kuin raja-arvo Lp-normista, kun p lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla p ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla p ≥ 1 avaruus Rn varustettuna Lp-normilla (eli p-normilla) on Banach-avaruus. 

 Kun 0 < p < 1 

Avaruudessa Rn, kun n > 1, kaava

ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (Rn, dp) käytetään merkintää ℓnp. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

ℓp-avaruudet 

Tämä p-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä ℓp. Tämän erikoistapauksia ovat:
 ℓ1, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
 ℓ2, neliösummautuvien jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
 ℓ∞, rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä p-normi määritellään

Jos normi on ääretön, x ei kuulu avaruuteen ℓp.

Vastaavasti ∞-normi määritellään

Voidaan todistaa, että
,
jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön.
Kaikki nämä ℓp-avaruudet ovat Banach-avaruuksia. 

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit x ovatkin funktioita f ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

 Lp-avaruudet 
Olkoon 1 ≤ p < ∞ ja olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus. 
-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin Lp-avaruus)
on kaikkien niiden mitallisten funktioiden SC (tai SR) joukko, joiden itseisarvon p:nnen potenssin integraali on äärellinen eli

Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla

kaikilla skalaareilla λ.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||p. Niinpä tämä avaruus  on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus  samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis  on 
 
missä
  

Avaruus L∞(S, μ) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla

Jälleen
 
jos f ∈ L∞(S, μ) ∩ Lq(S, μ) jollain q < ∞.

Arvoilla 1 ≤ p ≤ ∞ avaruus Lp(S, μ) on Banach-avaruus. Rieszin-Fischerin lause sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään Lp(μ) tai Lp. 

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden Lp-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

 Erikoistapauksia 

Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus L2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille L2-sisätulo määritellään

Kompleksitapauksessa L∞ on kommutatiivinen C*-algebra. 

ℓp-avaruudet (1 ≤ p ≤ ∞) ovat erikoistapaus Lp-avaruuksista, jossa joukko S on positiivisten kokonaislukujen joukko N ja mitta μ on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle S avaruutta L p lukumäärämitalla merkitään ℓp(S).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2(V) kanssa, missä V'' on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

Lähteet

Viitteet

Lineaarialgebra