Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomi eli kvadraattinen funktio on matematiikassa polynomifunktio, jonka asteluku on 2. Se on yleinen yhden muuttujan funktio, joka voidaan esittää muodossa

missä a, b ja c ovat reaalilukukertoimia. Funktion kuvaajan muoto on paraabeli. Kvadraattisia funktioita voidaan määritellä myös moniulotteisessa avaruudessa, jolloin sen ominaisuudet muuttuvat. Kvadraattisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla.

Funktion kuvaaja

Huippu, symmetria-akseli ja kyljet
Kaikki toisen asteen polynomifunktion kuvaajat ovat paraabeleja. Paraabelilla on aina huippu, joka sijaitsee symmetria-akselilla. Huipusta lähtien kuvaajan vasenta ja oikeaa puoliskoa kutsutaan paraabelin kyljeksi. Paraabelin kuvaaja on symmetria-akselin suhteen oma peilikuvansa eli vasen ja oikea kylki sijaitsevat yhtä kaukana akselista. Kyljet kaartuvat akseliin päin, mutta etääntyvät akselista kuitenkin loputtomasti. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille.

Paraabelin huippu sijaitsee kohdassa . Funktio saa tässä kohtaa  arvon . Se on funktion ääriarvona joko sen maksimikohta, kun a < 0, tai sen minimikohta, kun a > 0.

Symmetria-akselin analyyttinen yhtälö on , joka on pystysuora.

Parametrien vaikutukset funktion kuvaajaan
Parametri a määrää funktion kuvaajan terävyyden ja aukeamissuunnan. Kun kerroin a on positiivien reaaliluku, aukeaa paraabeli ylöspäin. Kun a on negatiivinen, aukeaa se alaspäin. On huomattava, ettei a voi olla 0, koska funktio ei silloin ole toista astetta.

Parametri b vaikuttaa paraabelin sijaintiin koordinaatistossa sekä sivu- että pystysuunnassa, mutta ei vaikuta paraabelin terävyyteen tai muulla tavalla sen muotoon. Eri b:n arvoilla paraabelin toinen kylki kulkee origon kautta ja huippu sijaitsee koordinaatistossa käyrällä .

Kun parametri c eli vakiotermi kasvaa, sijoittuu paraabelin kuvaaja koordinaatistossa ylemmäksi. Vakion c pienentyessä vajoaa kuvaaja alaspäin.

Erikoistapaukset
Toisen asteen polynomifunktiolla  on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista.  

Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c = 0, saadaan . Tätä kutsutaan toisen asteen potenssifunktioksi. Tämän funktion kuvaaja kulkee origon kautta. Jos a = 1, on kuvaaja paraabeli .

Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c ≠ 0, saadaan . Tämän funktion kuvaaja kulkee symmetrisesti siten, että y-akseli jakaa kuvaajan kahteen peilikuvamaiseen puoliskoon.

Kun a ≠ 0 ja b ≠ 0 ja c = 0, saadaan . Tämän funktion kuvaaja kulkee aina origon kautta, mutta ei ole sijoittunut minkään akselin suhteen symmetrisesti.

Funktion yleisiä ominaisuuksia

Nollakohdat
Toisen asteen polynomifunktion nollakohdat saadaan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisuista. Ne voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä tai soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Funktion lausekkeen esitystapoja
Toisen asteen polynomifunktion lauseke voidaan esittää kolmessa eri muodossa.
 Yleinen muoto: 
 Yhtälössä tekijät näkyvissä: , jossa  ja  ovat funktion nollakohdat. 
 Yhtälössä näkyvät huipun koordinaatit: , jossa kuvaajan huipun koordinaatit ovat (h,k).

Parillinen funktio
Toisen asteen polynomifunktio on parillinen funktio, kun kerroin b = 0 eli . Silloin funktio saa saman arvon vastalukujensa s ja -s kohdissa eli , koska .

Monotonisuus
Toisen asteen funktio ei ole monotoninen määrittelyjoukossaan. Sen sijaan, jos määrittelyjoukosta valitaan väli, johon ei sisälly funktion kuvaajan huipun kohta , on funktio tällä välillä monotoninen.

Käänteisfunktio
Toisen asteen funktiolla ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole monotoninen. Jos funktion määrittelyjoukkoa rajoittaa sellaiselle välille, jossa funktio on monotoninen, voidaan käänteisfunktion lauseke muodostaa.

Yksinkertaisimman toisen asteen potenssifunktion  käänteisfunktio on neliöjuurifunktio. Jos valitaan väli positiivisista reaalilukujen joukosta, saadaan käänteisfunktioksi . Jos valitaan väli negatiivisista luvuista, tulee käänteisfunktioksi . Muutkin kvadraattisen funktion käänteisfunktiot sisältävät neliöjuurifunktion.

Derivaatta ja integraali
Toisen asteen polynomifunktion derivaattafunktio on . Derivaattafunktion nollakohta on aina samassa kohtaa kuvaajan huipun kanssa. Funktion toinen derivaatta on  ja kolmas derivaatta .

Sen integraalifunktio on , missä C on integraalivakio.

Funktion määrätty integraali

voidaan laskea myös Simpsonin säännöllä tarkasti:

Kvadraattinen muoto usean muuttujan tapauksissa

Kahden muuttujan kvadraattinen funktio
Kun funktio on määritelty 
,
on kyseessä kahden muuttujan toisen asteen polynomifunktio. Tämän tapaisia funktioita käytetään kenttäteoriassa ja niiden kuvaajat ovat kaarevia pintoja kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa. Asettamalla funktio  nollaksi, saadaan pinnan ja vaakatason  leikkauskuvio, joita kutsutaan toisen asteen käyriksi. Toinen yleinen nimitys näille on kartioleikkaus.

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla
 Wolfram Mathworld: Sana kvadraattinen 
 Aalto-yliopisto, Systeemianalyysin laboratorio: Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Polynomit
Funktiot