Päässälasku

Päässälaskulla tarkoitetaan matemaattisten laskutoimitusten suorittamista mielessä, ilman apuvälineitä. Käsien ja eleiden käyttö muistiapuna sekä itsekseen mumina katsotaan yleensä kuuluvan päässälaskun piiriin, laskutoimitukset kynällä ja paperilla sen sijaan eivät.

Suppeasti käsitettynä päässälasku on vastaavien tehtävien ratkaisemista kuin laskimella, mutta ilman laskinta. Ihminen voi harjoittelun kautta päästä hämmästyttäviltä tuntuviin ja tavallisten laskinten kapasiteetin ylittäviin suorituksiin, kuten 13. juuren ottamiseen 200-numeroisesta luvusta. Laskin ratkaisee matemaattiset tehtävät erilaisten algoritmien avulla, ja periaatteessa mielen voi opettaa käyttämään samantyyppisiä tai ihmiselle optimoituja algoritmeja.

Päässälaskuksi kutsutaan etenkin peruskoulun ja lukion opetuksessa toisinaan myös sanallisia tai oivaltamistehtäviä, joissa ongelma tulee ensin osata muuttaa laskettavaan muotoon ja sitten ratkaista. Näille on tyypillistä, että välivaiheiden aikana lasku supistuu helposti laskettavaksi.

Päässälasku voidaan käsittää myös laajasti tarkoittamaan koko matemaattisten tehtävien muodostamista mielessä, tosielämän tilanteiden pohjalta, esimerkiksi: "Kaupassa on juustoa kilohintaan 7,70 €. Toinen juusto maksaa 10,55 €/kg, mutta se on 30 % alennuksessa. Haluan ostaa halvempaa." Vaikka itse laskutoimitus suoritettaisiinkin laskimella, tulee ongelman muotoilussa silti käyttää omia aivoja. Ongelmanmuotoilukyvyt ovat lähellä niitä, joita apuna käyttäen tehtävän voi myös ratkaista ilman laskinta.

Koska päässälaskutaidot ja ongelmanmuotoilu/ratkaisukyvyt ovat sidoksissa toisiinsa, voidaan päässälaskua harjoittamalla parantaa arkielämän matemaattisia ajatteluvalmiuksia. Kun on kyky laskea mielensä virkistykseksi ympäröivässä maailmassa näkyviä asioita, kyky myös pysyy harjoituksesta virkeänä.

Kilpaileminen

Päässälaskun varsinainen aritmeettinen osuus koostuu peruslaskutoimitusten suorittamisesta oikein ja nopeasti. Päässälaskun SM-kisoissa yleisimpiä tehtäviä ovat yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskut, neliöön korottaminen ja juurien ottaminen. Jakolaskussa ja juurien ottamisessa tehtävien ratkaisu on kokonaisluku. Kilpailuissa tehtävät ovat helppoja eivätkä vaadi kehittyneiden algoritmien omaksumista. Siksi kaikki suunnilleen vakavissaan suhtautuvat kilpailijat ovat samalla viivalla.

Päässälaskun tekniikoita

Yhteenlasku

Kahden luvun yhteenlasku
Jos luvut ovat pieniä, pystyy tuloksen useimmiten näkemään, kun aikaa käyttää hetkisen. Pidemmillä luvuilla voi käyttää allekkain laskusta tuttua oikealta-vasemmalle tekniikkaa, mutta siinä on ongelmansa. Välituloksen tallentaminen muistiin vaatii resursseja. Tehokkaampi on vasemmalta oikealle-menetelmä. Harjoitellaan 3-numeroisilla luvuilla:

Aloitamme vasemmalta laskemalla sataset yhteen 3+2=5, sanomme "viisisataa" (vaihtoehtoisesti kirjoitamme vastauspaperiin tai -kenttään viitosen), sitten kymmenet "yhdeksänkymmentä" ja ykköset "seitsemän". Näin lasku on suoritettu!

Useimmiten ei selvitä noin helpolla, vaan tarvitaan muistinumeroa. On siis vilkaistava seuraavaa numeroa ja tutkia, tuleeko ylivuoto:

Vasemmalta katsomme ensin oikeanpuoleisen (keskimmäisen) sarakkeen, jossa on ylivuoto: 8+3=11. Luemme vasemmalta 3+2+1=6 "kuusisataa". Keskeltä katsomme oikeanpuoleisen sarakkeen: 4+3=7. Ei toimenpiteitä. Luemme siis 8+3-10=1 "kymmenen" (mitä ei tietenkään kirjaimellisesti lueta :) ja oikea sarake "seitsemän", johon lisätään "-toista".

Asia tulee monimutkaisemmaksi, jos ylivuoto jatkuu pitkään, kuten alla:

Toimitaan kuitenkin samojen periaatteiden mukaan.

Menetelmän parhaat puolet tulevat esiin, jos yhteenlaskettavat luvut ovat pitkiä. Tällöin välituloksia ei tarvitse kirjoittaa omaan muistiinsa, vaan ne voi "laillisesti" kirjoittaa vastauspaperiin tai -kenttään tai sanoa ääneen, koska ne ovat osa lopputulosta.

Useamman luvun yhtäaikainen yhteenlasku

Tähän on erilaisia menetelmiä. Menetelmän valinta riippuu siitä, kuinka paljon yhteenlaskettavia lukuja on ja kuinka pitkiä ne ovat. Voidaan joko laskea oikealta alkaen (koulussa opetettu menetelmä laskea paperilla lukuja yhteen), vasemmalta alkaen (ks. yllä, mutta vaatii harjoitusta ylivuodon käsittelyyn, koska siltä ei voi välttyä) tai lisäämällä luvut yksi kerrallaan välisummaan. Peruskoulutason tehtävissä jotkut yhteenlaskettavista muodostavat tasalukuja, kuten 76 943 + 23 057 = 100 000. Jos tällaisesta on vaaraa, kannattaa tarkistaa ensin, ennen kuin ratkaisee tehtävän numeerisesti.

Neliöinti

Mielivaltaisen luvun neliöinti

Mielivaltaisen luvun neliöinnissä voi tietysti käyttää luvun kertomista itsellään kertolaskualgoritmilla. Nopeampi tapa on kuitenkin käyttää pyöristystä kuten alla:

517²

Pyöristämme luvun sopivaan kokonaislukuun, tässä 517 -> 500 (-17). Kerromme tämän luvulla, joka on pyöristetty yhtä paljon vastakkaiseen suuntaan 517 -> 534 (+17).

500 * 534 = 267 000

Jotta vastaus olisi tarkka, pitää lisätä pyöristyksen neliö 17² = 289: 

267 000 + 289 = 267 289

2-numeroisen luvun neliöinti

Kaksinumeroisen luvun neliöinti on tehtävätyyppi, joka soveltuu kilpailutehtäväksi hyvin sen vuoksi, että ilmeistä parasta algoritmia ratkaisemiseen ei ole, ja kaikkien vastausten (n. 90 kpl) opetteleminen ulkoa ei ole mielekästä useimmille.

Tehtävän voi ratkaista mm.

1. Kertomalla luku itsellään, eli 2-numeroinen luku 2-numeroisella luvulla

2. Mielivaltaisen luvun neliöinnin menetelmällä pyöristämällä lähimpään kymmeneen (ja siitä poispäin), kertomalla 2-numeroinen luku 1-numeroisella ja lisäämällä triviaali neliö (1, 4, 9 tai 16)

3. Hyödyntämällä sääntöä, että neliöitävän luvun päättyessä tiettyyn numeroon, päättyy sen neliökin aina tiettyyn numeroon:

Kuutiojuuri

Kuutiojuuren ottaminen 2-numeroisen luvun kuutiosta

Tällä voi yllättää ystävänsä, koska "tempun" avulla voi muuten kokematonkin päässälaskija ottaa kuutiojuuren 5-6 -numeroisista luvuista yhtä nopeasti kuin kysyjä lukee luvun.

Alkuperäisen luvun on oltava jonkin kokonaisluvun kuutio, esimerkiksi:

Tehtävän suorittamiseen täytyy osata yksinumeroisten lukujen kuutiot 1³...9³ sekä "kääntösääntö": 3<->7 ja 2<->8.

Algoritmi perusteluineen on seuraava: 

- Tiedämme, että vastauksen on oltava kaksinumeroinen (näin on aina, jos kuutiossa on 4-6 numeroa, koska 10³ = 1 000 ja 100³ = 1 000 000). 

- Meidän tulee selvittää ensimmäinen numero (kymmenet) ja toinen numero (ykköset).

- Ykköset saamme selville tietämällä, että luvun kuution viimeinen numero on sama kuin luvun viimeisen numeron kuution viimeinen numero. (Kertolaskussa viimeiseen numeroon ei vaikuta muu kuin viimeinen numero). Havaitsemme, että luvun kuution viimeinen numero on useimmiten luku itse, paitsi yllä olevissa kääntösäännön mukaisissa tapauksissa:

- Kuutiojuuren kymmenet pystymme päättelemään kuution suuruusluokasta, joka ilmenee sen kolmesta ensimmäisestä numerosta (tuhannet ja suuremmat). Tässä auttaa hahmottaa, että (10a)³ = 1000a, eli jos luvussa on 0 ykkösten paikalla, sen kuutiossa on kolme nollaa. Esimerkiksi 60³ on siis yhtä kuin 1000*6³ = 216 000. Jokainen tätä suurempi kuutio on tällöin oltava sellaisesta luvusta, joka on suurempi kuin 60. Ei siis tarvitse osata kuin sijoittaa kuution "tuhat-osa" oikeaan kohtaan yksinumeroisten lukujen kuutioiden taulukkoa. Jos se on suurempi (tai yhtä suuri) kuin 216 mutta pienempi kuin 343, vastauksen kymmenet on oltava 6.

- Nyt tiedämme sekä kymmenet että ykköset, toisin sanoen koko vastauksen. Erityisen mukavaa on se, että jos tehtävä esitetään suullisesti, alkuperäinen luku 195 112 luetaan: "Mikä on luvun sata yhdeksänkymmentä viisi tuhatta ..." [Kymmenet voidaan päätellä: 125 < 195 < 216, eli vastaus on viisikymmentä-jotain] "... sata kaksitoista ..." [päättyy siis kakkoseen, 2->8, vastaus on siis 58] "... kuutiojuuri?" Vastaus: "Viisikymmentäkahdeksan" pystytään esittämään välittömästi kysymyksen päätyttyä.

Tätä pystyy lähinnä käyttämään temppuna, koska tosielämässä tulee harvoin vastaan tilanteita, joissa tiedettäisiin etukäteen, että annetun luvun kuutiojuuri on kokonaisluku. Menetelmä ei toimi muille luvuille.

Luvun jakaminen tekijoihin

Luvun jakamisessa tekijöihin pääsee hyvään alkuun hyödyntäen jaollisuussääntöjä.

Jaottomuussääntöjä on mm. se että jos luvulla ei ole pienempää tekijää kuin luvun neliöjuuri on se jaoton.

Useamman luvun yhtäaikainen yhteenlasku

Aiheesta muualla
 MAOL: Päässälaskut matematiikanopetuksessa 

Aritmetiikka