Todennäköisyyden aksioomat

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys  määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys  on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma 
Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

missä  on tapahtumien joukko ja  jokin tapahtuma joukossa .

Toinen aksiooma 
Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:
 .

Kolmas aksiooma 
Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai -additiivisuudeksi:
 Jos tapahtumat  ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:
.

Seurauksia
Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus

Tyhjän joukon todennäköisyys

Todennäköisyys on normeerattu mitta

Todistukset

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys
Määritellään  ja ,
missä  kaikilla . On helposti nähtävissä, että joukot 
ovat pistevieraita ja . Siten kolmannesta aksioomasta saamme
 

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on , joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus . Tyhjän joukon todennäköisyys  voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos  niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

 

Jos , saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä , joka on äärellinen. Siis  ja .

Todennäköisyys on normeerattu mitta
Ensimmäisen aksiooman nojalla
  ja , mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta 

 Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
 Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).

Todennäköisyyslaskenta
Matemaattiset aksioomat

de:Wahrscheinlichkeitstheorie#Axiome von Kolmogorow