Eksponentiaalinen hajoaminen

Suure pienenee tai vähenee eksponentiaalisesti, jos sen hetkellinen arvo N pienenee kullakin ajanhetkellä t nopeudella, joka on suoraan verrannollinen senhetkiseen arvoon. Positiivista verrannollisuuskerrointa λ kutsutaan tällöin hajoamisvakioksi. Tällöin hajoaminen toteuttaa hajoamislaiksi kutsutun differentiaaliyhtälön:

Yhtälöä kutsutaan hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat N0 eli N:n arvo hetkellä t=0 ja Nt eli arvo hetkellä t. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t. 

    

josta saadaan lopulta ratkaistua Nt:

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan hajoamislain integraalimuodoksi.

Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet

Puoliintumisaika
Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on puoliintumisaika. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure N pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika T voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla , eli ajanhetkellä t=T on N:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi 

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla  hajoamislain integraalimuotoon):

Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa () suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua () neljäsosaan jne.

Keskimääräinen elinaika
Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika . Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee 1/e:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin N0 ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Toisenlainen johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

Useita rinnakkaisia hajoamisia 
Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla . Tällöin 

Nyt saadaan yhtälö

, josta ratkaisemalla saadaan

Tämä voidaan yleistää koskemaan n kappaletta prosesseja muodossa

Esimerkkejä 

 Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista.

 Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.

Katso myös
 Alkeisreaktio
 Eksponenttifunktio
 Eksponentiaalinen kasvu

Aiheesta muualla
 A stochastic simulation of exponential decay
 Tutorial on time constants 

Differentiaaliyhtälöt