Riemannin pinta

Matematiikassa Riemannin pinta, nimetty matemaatikko Bernhard Riemannin mukaan, on 1-ulotteinen kompleksimonisto (eli 2-ulotteinen monisto). Riemannin pintojen voidaan ajatella olevan "epämuodostuneita" versioita kompleksitasosta: paikallisesti, jokaisen pisteen ympäristössä, ne näyttävät kompleksitasolta, mutta globaali topologia voi olla hyvinkin erilainen.

Riemannin pinnat ovat kätevä tapa tutkia useita moniarvoisia funktioita, sillä sopivalla Riemannin pinnalla tällaisesta funktiosta voidaan tehdä yksikäsitteinen. Esimerkkejä kyseisistä funktioista ovat neliöjuuri ja logaritmi.

Mille tahansa kompleksitasossa tai sen avoimelle osajoukolle määritellylle analyyttiselle funktiolle f (moniarvoinen tai yksikäsitteinen) on olemassa  Riemannin pinnalla määritelty analyyttinen ja yksikäsitteinen funktio g, siten että g vastaa funktiota f tietyin rajoituksin. 
Riemannin pinnat ovat siis hyödyllisiä analyyttisten funktioiden tutkimiseen.

Määritelmä 

Riemannin pinta voidaan määritellä usealla ekvivalentilla tavalla. Tässä muutama:
 Mikä tahansa 1-ulotteinen kompleksimonisto on Riemannin pinta . Tämä tarkoittaa sitä, että Riemannin pinta on Hausdorffin avaruus, jolla tiettyjen avointen osajoukkojen ja kompleksitason avointen osajoukkojen välillä on kokoelma Φ homeomorfismeja, jotka toteuttavat ehdot:
 Jokainen Riemannin pinnan piste kuuluu ainakin yhden homeomorfismin määrittelyjoukkoon.
 Jos kahden homeomorfismin  määrittelyjoukot menevät päällekkäin, niin yhdistetty kuvaus  on analyyttinen.
 Riemannin pinta on pinta, jolla on konformi struktuuri.

Esimerkkejä 

Kompleksitaso C on yksinkertaisin esimerkki Riemannin pinnasta.
Analogisesti, jokainen kompleksitason avoin osajoukko on Riemannin pinta. Yleisemmin, jokainen Riemannin pinnan avoin osajoukko on Riemannin pinta.
Olkoon S = C ∪ {∞} ja f(z) = z,  missä  z kuuluu joukkoon S \ {∞}  ja g(z) = 1 / z missä z kuuluu joukkoon S \ {0} sekä 1/∞ määritellään olemaan 0. Tällöin funktiot f ja g määrittävät Riemannin pinnan S. Tätä Riemannin pintaa kutsutaan Riemannin palloksi. Tämä on esimerkki kompaktista Riemannin pinnasta.

Esimerkkejä Riemannin pinnoista. Kuvissa väri edustaa neljättä ulottuvuutta. Kuvat ovat projektioita 4-ulotteisesta avaruudesta 3-ulotteiseen avaruuteen. Vaikka nämä Riemannin pinnat "elävätkin" neljäulotteisessa avaruudessa, ne voidaan kuitenkin upottaa tasoon.

Riemannin pinnan konstruktio neliöjuurifunktiolle 
Tämä konstruktio ei ole matemaattisesti kovin eksakti, mutta valottaa ehkä ajatusta Riemannin pintojen takana.

Funktio  ei ole yksikäsitteinen, vaan se saa jokaisessa pisteessä  kaksi eri arvoa. Nimittäin jokainen kompleksiluku z voidaan ilmoittaa muodossa , tällöin
.
Siispä kun z kulkee yhden kierroksen (r-säteistä ympyrää pitkin) niin  kulkee vain puolikierrosta.

Neliöjuurifunktiolla on siis kaksi haaraa. Tästä ongelmasta päästään eroon rajoittamalla argumentti esimerkiksi välille . Jatkuvuudessa kuitenkin ongelma säilyy. Riemannin ajatus oli ottaa niin monta kopioita kompleksitasosta, kuin funktiolla on haaroja. Eli tässä tapauksessa kaksi. Nämä kopiot asetetaan päällekkäin ja leikataan tasot haaroja pitkin (neliöjuuren tapauksessa negatiivista tai positiivista reaaliakselia pitkin). Leikataan siis molemmista tasoista negatiivista reaaliakselia pitkin.
Nyt liimataan ylemmän kompleksitason toisen neljänneksen leikkausreuna alemman kompleksitason kolmannen neljänneksen leikkausreunaan. Liimataan vielä ylemmän kompleksitason kolmannen neljänneksen leikkausreuna alemman tason toisen neljänneksen leikkausreunaan (kuvassa keltaiset reunat liimataan yhteen ja punaiset reunat liimataan yhteen).  

Näin on saatu aikaan pinta, joka itse asiassa on Riemannin pinta. Tällä Riemannin pinnalla voidaan määritellä uusi neliöjuurifunktio, joka on yksikäsitteinen - nyt voidaan nimittäin erottaa ne pisteet toisistaan, joissa neliöjuurifunktio sai kaksi eri arvoa. Eli funktio saakin kaksi eri arvoa kahdessa eri pisteessä. Tämä johtuu siitä, että täyden kierroksen kulkeminen uudella pinnalla vaatii molempien kompleksitasojen kierrosten läpikäymistä. Pisteet voidaan siis erottaa kierrosluvun perusteella (ensimmäinen kierros ja toinen kierros). Mielivaltainen luku  löytyy molemmilta kompleksitasoilta samasta kohtaa, mutta tässä konstruktiossa ne ovat eri pisteet (sillä ne ovat "eri kerroksessa"). Tarkempi tarkastelu osoittaisi, että neliöjuurifunktio on myös analyyttinen ja siis myös jatkuva tällä Riemannin pinnalla.

Riemannin pintojen luokittelu 
Riemannin pinnat voidaan luokitella kolmeen eri luokkaan: hyperbolisiin, parabolisiin ja  elliptisiin Riemannin pintoihin. Geometrisesti nämä vastaavat negatiivista kaarevuutta, nolla kaarevuutta ja positiivista kaarevuutta.

Elliptiset Riemannin pinnat 
Määritelmän mukaan, pinta X, jonka vakio kaarevuus on +1, on elliptinen. Riemannin pallo C ∪ {∞} on ainoa esimerkki.

Paraboliset Riemannin pinnat 
Määritelmän mukaan nämä ovat ne pinnat X, joiden vakio kaarevuus on 0. 
Tällöin on kolme mahdollisuutta X:lle. Se voi olla kompleksitaso, punkteerattu kompleksitaso tai torus

Hyperboliset Riemannin pinnat 
Riemannin pinnat joiden kaarevuus on −1 kutsutaan hyperbolisiksi. Tämä luokka on isoin näistä kolmesta.

Lähteet
 http://planetmath.org/encyclopedia/RiemannSurface.html 
 Ahlfors, Lars & Sario, Leo: Rieman surfaces, 2. painos, Princeton university press, 1960.

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla
 Riemann Surfaces

Kompleksianalyysi
Seulonnan keskeiset artikkelit