Lebesguen differentioituvuuslause

Matematiikassa Lebesguen differentioituvuuslause on reaalianalyysin lause, jonka mukaan integroituvan funktion arvo voidaan laskea melkein kaikkialla laskemalla sen infinitesimaalisten keskiarvojen raja-arvo. Lause on nimetty Henri Lebesguen mukaan.

Väite
Jos f on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, niin infinitesimaalinen integraali on funktio, joka kuvaa mitallisen joukon A  funktion  Lebesguen integraalille, missä  on joukon A karakteristinen funktio. Tämä kirjoitetaan usein muodossa.
 
missä λ on n–-uloitteinen Lebesguen mitta.

Tämän integraalin derivaatta kohdassa x on määritelmän perusteella

 

missä |B| on x-keskisen pallon B tilavuus eli Lebesguen mitta. Lisäksi B → x tarkoittaa, että pallon säde lähestyy nollaa.

Lebesguen differentioituvuuslause sanoo, että yllä oleva derivaatta on olemassa ja sen arvo on f(x) melkein jokaisessa pisteessä x ∈ Rn. Niitä pisteitä x, joissa yhtäsuuruus on voimassa, sanotaan Lebesguen pisteiksi.
Integraalilaskenta
Matemaattiset teoreemat