Banachin tulitikkuongelma

Banachin tulitikkuongelma on klassisen todennäköisyyslaskennan tehtävä, joka on kunnianosoitus Stefan Banachille. Matemaatikko Hugo Steinhaus kertoi, että ongelman inspiraation lähteenä oli ollut Banachin tupakointi, ja koska nimestä tuli kirjallisuudessa niin suosittu, hän päätti olla muuttamatta ongelman nimeä.

Kuvitellaan tilanne, jossa matemaatikko kantaa aina yhtä tulitikkurasiaa oikeassa taskussaan ja yhtä tulitikkurasiaa vasemmassa taskussaan. Kun hän tarvitsee tulitikun, hän valitsee toisen taskuista sattumanvaraisesti, käyttää yhden tulitikun ja laittaa rasian taskuun katsomatta, kuinka monta tulitikkua rasiaa jäi. Tarkastellaan tilannetta, jossa matemaatikko huomaa ensimmäisen kerran, että toinen rasioista on tyhjä. Oletetaan, että alun perin molemmissa rasioissa on täsmälleen  tulitikkua. Mikä on todennäköisyys, että toisessa rasiassa on täsmälleen  tikkua () silloin, kun matemaatikko havaitsee toisen rasian olevan tyhjä?

Ratkaisu
Olkoon vasemman taskun valinta ”onnistuminen” ja oikean taskun valinta ”epäonnistuminen”. Huomataan, että vasemman taskun rasia on tyhjä hetkellä, kun oikean taskun rasiassa on täsmälleen k tikkua jos ja vain jos täsmälleen N−k epäonnistumista tapahtuu ennen onnistumista N+1. Taskun valinnan todennäköisyys on p = 1/2, joten saamme negatiivisella binomijakaumalla todennäköisyydeksi

.

Sama todennäköisyys pätee myös sille, että oikean taskun ollessa tyhjä vasemmassa on k tikkua. Täytyy siis laskea tapaukset yhteen, joten vaadittu todennäköisyys on

.

Taulukko

Numeerisia arvoja, kun alkuperäinen tulitikkumäärä on , nähdään seuraavasta taulukosta.  on todennäköisyys sille, että rasiassa on  tikkua.  on todennäköisyyksien summa.

Katso myös
 Stefan Banach
 Banachin avaruus
 Banachin kiintopistelause
 Banachin–Tarskin paradoksi

Lähteet

Aiheesta muualla
 Java-sovellus

Todennäköisyyslaskennan ongelmat