Logaritminen spiraali

Logaritminen spiraali eli tasakulmainen spiraali on itsesimilaarinen spiraalimainen käyrä, joka esiintyy usein luonnossa. Sen kuvasi ensimmäisenä Descartes, ja sen ominaisuuksia tutki myöhemmin tarkemmin Jakob Bernoulli, joka antoi sille nimen Spira mirabilis ’ihmeellinen spiraali’.

Käyrän yhtälö 
Napakoordinaatistossa () logaritmisen spiraalin yhtälö on

tai

missä e on Neperin luku, ja a ja b ovat vakiona pysyviä positiivisia reaalilukuja.

Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan esittää parametrimuodossa:

missä  ja  ovat reaalisia vakioita.

Logaritmisella spiraalilla on se huomattava ominaisuus, että sen jokaisessa pisteessä käyrän tangentin muodostaa yhtä suuren kulman spiraalin keskuksesta eli navasta alkavan puolisuoran kanssa. Tämän vakiokulman f ja käyrän yhtälössä esiintyvän vakion b välillä on yhteys:
 eli

Differentiaaligeometrian käsittein tämä yhteys voidaan ilmaista seuraavasti:

missä r ja  ovat käyrän mielivaltaisen pisteen napakoordinaatit.

Lausekkeen  derivaatta on verrannollinen parametriin . Toisin sanoen se ilmoittaa, kuinka "tiheästi" ja kumpaan suuntaan spiraali kiertyy. Rajatapauksessa, kun  (), spiraalista tulee -säteinen ympyrä. Toisaalta kun :n annetaan kasvaa rajattomasti (f -> 0), spiraali lähestyy puolisuoraa. Kulman f komplementtikulmaa sanotaan spiraalin kaltevuus­kulmaksi ().

Spira mirabilis ja Jacob Bernoulli
Logaritmisesta spiraalista käytetään myös latinalaista nimeä Spira mirabilis, "ihmeellinen spiraali". Vaikka muut matemaatikot olivat tutkineet sitä jo aikaisemmin, tämän nimen käyrälle antoi Jacob Bernoulli, koska häntä kiehtoivat sen ainutlaatuiset matemaattiset ominaisuudet: jokaisella kierroksella keskuksen ympäri spiraalin koko kasvaa, mutta sen muoto pysyy samana. Tätä ominaisuutta sanotaan itse­similaari­suu­deksi. Mahdollisesti juuri tämän ainut­laatuisen ominaisuutensa vuoksi spira mirabilis esiintyy monessa yhteydessä elollisessa luonnossa, esimerkiksi nautilus-helmiveneiden kuorissa ja auringonkukan mykerössä. Jacob Bernoulli ilmoitti toivomuksenaan, että hänen hautakiveensä kaiverrettaisiin logaritminen spiraali ja lause Eadem mutata resurgo ("Nousen jälleen muuttuneena ja silti ennallani"), mutta väärin­käsityksen vuoksi siihen kaiverrettiinkin Arkhimedeen spiraali.

Ominaisuudet 

Logaritminen spiraali eroaa Arkhimedeen spiraalista siinä, että käyrän ja sen keskuksesta lähtevän puolisuoran leikkauspisteiden väliset etäisyydet kasvavat keskuksesta etäännyttäessä geometrisen sarjan mukaan, kun taas Arkhimedeen spiraalissa tämä etäisyys on vakio. Jos sitä skaalataan origo skaalauskeskuksena tekijällä , missä b on kokonaisluku, se kuvautuu itselleen; jos skaalaustekijä on jokin muu, saadaan sama käyrä, joka saataisiin myös kiertämällä sitä origon ympäri jonkin kulman verran. Logaritminen spiraali on myös yhtenevä involuuttansa, evoluuttansa ja keskuksensa suhteen muodostetun pedaalikäyränsä kanssa.

Lähtemällä pisteestä  ja etenemällä spiraalia pitkin sisäänpäin sen keskus voidaan kiertää rajattoman monta kertaa ilman, että sitä koskaan saavutaan. Kuitenkin tämän käyrän osan pituus on äärellinen, tai tarkemmin sanottuna sen pituuden raja-arvo, kun , on äärellinen. Tämän totesi ensimmäisenä Evangelista Torricelli jo ennen kuin differentiaali- ja integraalilaskenta keksittiin. Tarkemmin sanottuna spiraalin tämän osan pituus on , missä  on pisteen  etäisyys origosta suoraa pitkin mitattuna.

Kompleksitasossa eksponenttifunktio kuvaa kaikki suorat, jotka eivät ole reaali- eivätkä imaginaariakselin suuntaisia, logaritmisille spiraaleille, joiden keskus on origossa. Kääntäen jokainen tällainen logaritminen spiraali saadaan jonkin suoran kuvaksi eksponentti­funktiolla. Kuvana saatavan spiraalin kaltevuus­kulma on alku­peräisen suoran ja imaginaari­akselin välinen kulma.

Funktio , missä  on kompleksiluku, jonka imaginaariosa ei ole nolla, kuvaa kompleksi­tason reali­akselin logaritmiselle spiraalille.

Kultainen spiraali on logaritminen spiraali, jonka pisteiden etäisyys kasvaa kultaisen leikkauksen suhteessa kierrettäessä origon ympäri 90 astetta. Sen kaltevuus­kulma on noin 13,03239 astetta. Sitä voidaan approksimoida "Fibonaccin spiraalilla", joka muodostuu sarjasta ympyrän kehän neljänneksiä, joiden säteet ovat verrannollisia Fibonaccin lukujonon lukuihin.

Logaritminen spiraali luonnossa 

Useissa luonnon­ilmiöissä esiintyy käyriä, jotka ovat ainakin liki­pitäen logaritmisen spiraalin muotoisia. Esimerkiksi muuttohaukka lähestyy saalistaan logaritmista spiraalia myöten. Se näkee tarkimmin suuntaan, joka muodostaa tietyn suuruisen kulman sen lento­suuntaan nähden; kun se pitää lentosuuntansa ja saaliin suunnan välisen kulman vakinaisesti tämän suuntaisena, lentoreitiksi muodostuu logaritminen spiraali, jonka kaltevuus­kulma on kyseisen kulman suuruinen.

Hyönteiset lähestyvät usein keino­tekoisia valon­lähdeitä logaritmisen spiraalin muotoista reittiä pitkin. Luonnossa ne suunnistautuvat siten, että lentosuunnan ja valonlähteen suunnan välinen kulma pysyy vakiona. Luonnossahan yleensä ainoa valon lähde on aurinko tai yöllä lentävien lajien tapauksessa kuu. Molemmat ovat niin kaukana, että hyönteisen lentäessä suoraan valonlähteen suunnan ja hyönteisen lentosuunnan välinen kulma pysyy käytännössä vakiona. Kun keino­tekoiset valon­lähteet kuitenkin ovat paljon lähempänä, ne voivat harhauttaa hyönteisen kiertämään niitä spiraalimaista reittiä myöten.

Lähellä logaritmista spiraalia ovat muodoltaan myös:
Kierteisgalaksien kierrehaarat. Omalla galaksillamme, Linnunradan galaksilla, tällaisia kierre­haaroja on useita, ja niiden kaltevuus­kulmat ovat noin 12 astetta.
Sarveiskalvon hermot
Trooppisiin hirmumyrskyihin liittyvät sadealueet
Monet biologiset rakenteet, kuten nilviäisten kuoret. Syynä lienee, että ne rakentuvat yhdenmuotoisten osien laajetessa samaan tapaan kuin monikulmiot oheisessa kuviossa.
Rantaviiva hiekkarannoilla saattaa meren aaltojen heijastumisen ja diffraktion vaikutuksesta vähitellen muotoutua suunnilleen logaritmisen spiraalin kaaren muotoiseksi. Niin on tapahtunut esimerkiksi Half Moon Bayn rannalla Kaliforniassa.

Katso myös 

 Arkhimedeen spiraali
 Epispiraali
 Kultainen spiraali

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 

 
 
 
 
 

Spiraalit