Parilliset ja parittomat funktiot

Matematiikassa parilliset ja parittomat funktiot ovat funktioita, jotka toteuttavat tietyt symmetrian ehdot. Ne ovat tärkeitä monilla matemaattisen analyysin aloilla, erityisesti potenssisarjojen ja Fourier'n sarjojen teoriassa. Parilliset ja parittomat funktiot ovat saaneet nimensä potenssifunktioiden eksponentin parillisuuden perusteella: potenssifunktio f(x) = xn on parillinen, jos n on parillinen, ja pariton, jos n on pariton. Useimmat funktiot eivät ole parillisia tai parittomia.

Parilliset funktiot

Olkoon  funktio, joka saa reaalilukuarvoja. Silloin  on parillinen, jos funktio saa saman arvon luvulla  ja sen vastaluvulla :

Tämän vuoksi parillisen funktion kuvaaja on peilikuva-symmetrinen y-akselin suhteen eli yhtä kaukana y-akselista olevissa kohdissa funktio saa saman arvon.

Esimerkkejä
Potenssifunktiot, joilla on parillinen aste, ovat parillisia funktioita. Näitä ovat muun muassa  (kun ) ,  jne. Jos esimerkiksi , voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:
.
Erikoisfunktioissa on joitakin parillisia funktioita. Jos merkitään itseisarvofunktiota , voi parillisuuden perustella itseisarvon määritelmän avulla:
.
Trigonometriassa kosinin arvo on yksikköympyrän määritelmän mukaan sama sekä positiivisella että negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä: 
.

Muita parillisia funktioita ovat muun muassa hyperbolinen kosini  ja vakiofunktio.

Parittomat funktiot

Olkoon  reaalinen funktio. Silloin  on pariton, jos seuraava yhtälö pätee kaikille funktion  määrittelyjoukon alkioille :

tai

Geometrisesti parittoman funktion kuvaaja on piste-symmetrinen origon suhteen eli yhtä kaukana origosta olevissa pisteissä funktio saa arvoikseen vastaluvut.

Esimerkkejä
Potenssifunktiot, joilla on pariton aste, ovat parittomia funktioita. Näitä ovat muun muassa  jne. Jos esimerkiksi , voi tämän perustella kertolaskun ominaisuuksilla:
.

Trigonometriassa sinin arvot ovat yksikköympyrän määritelmän mukaan vastaluvut positiivisella ja negatiivisella kulmalla. Tällöin voidaan merkitä: 
.

Muita parittomia funktioita ovat muun muassa etumerkkifunktio, tangentti , hyperbolinen sini  ja virhefunktio .

Ominaisuuksia

Parillinen tai pariton funktio ei ole välttämättä derivoituva tai jatkuva. Parillinen funktio ei ole monotoninen paitsi vakiofunktio. Ainoa funktio, joka on sekä parillinen että pariton, on vakiofunktio, joka antaa aina arvoksi 0. (Siis  kaikilla .) Pariton funktio sitä vastoin voi olla monotoninen.

Säilyminen peruslaskutoimituksissa
Funktioiden summa on parillinen, jos molemmat funktiot ovat parillisia. Summa on pariton, jos funktiot ovat vastaavasti parittomia. Jos summassa on sekä parillinen että pariton funktio, ei tuloksesta voida tehdä päätelmiä. Tästä on poikkeuksena summa nollafunktion kanssa, jolloin funktion parillisuus tai parittomuus säilyy.

Funktio kertominen vakiolla säilyttää funktion parillisuuden tai parittomuuden. Sillä ei ole lopputulokseen vaikutusta, onko vakio parillinen tai pariton luku.

Funktioiden tulo on parillinen, jos tekijäfunktiot ovat molemmat parillisia tai parittomia. Tulo on pariton, jos tekijäfunktioista toinen on parillinen ja toinen pariton. Osamäärän tulos määräytyy vastaavasti.

Funktion pakottaminen parilliseksi tai parittomaksi
Jatkuvasta funktiosta  voidaan muodostaa uusi funktio , joka on parillinen: 
.
Esimerkiksi  ei ole parillinen tai pariton funktio, mutta

on parillinen.

Jatkuvasta funktiosta  voidaan muodostaa uusi funktio , joka on pariton: 
.
Esimerkiksi  ja siitä tulee nyt
,
joka on pariton.

Edellisten parillisen  ja parittoman  funktion summa on alkuperäinen funktio :
 .
Edellinen esimerkki antaa
 ,
kuten luvattiin.

Yhdistetyn funktion osana
Kahden funktion  ja  yhdistetty funktio  voi olla parillinen, pariton tai ei kumpaakaan. Jos yhdistettävät funktiot ovat molemmat parillisia, on yhdistetty funktio myös parillinen. Parittomilla funktioilla tulos on pariton. Parillisen ja parittoman funktion yhdistetty funktio on parillinen. Parillinen funktio dominoi tulosta niin voimakkaasti, että jopa parillisen ja minkä tahansa jatkuvan funktion yhdistetty funktio on parillinen.

Derivaatta
Parillisen funktion derivaatta on pariton ja parittoman funktion derivaatta on parillinen. Polynomeilla tämä havaitaan asteluvun muutoksena, kun parillinen aste alenee parittomaksi ja pariton aste alenee parilliseksi.

Integraali
Jatkuvan parittoman funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat  ja  sijaitsevat, on nolla:
.
Jatkuvan parillisen funktion määrätty integraali välillä, jossa integraalirajat  ja  sijaitsevat, on arvoltaan kaksinkertainen arvoon, joka saadaan integroimalla yli välin 0:sta a:han:
.

Funktiot