Konsistenssi

Konsistenssi eli looginen ristiriidattomuus on matemaattisen logiikan käsite. Looginen teoria on konsistentti eli ristiriidaton, jos siitä ei voi johtaa ristiriitaa. Teoria on siis epäkonsistentti eli ristiriitainen jos ja vain jos on olemassa sellainen kaava P, että kyseisestä teoriasta voi johtaa sekä kaavan P että kaavan ei-P. 

Teoriaa sanotaan toteutuvaksi (), jos sillä on malli. Joskus konsistenssilla tarkoitetaan toteutuvuutta ("semanttinen määritelmä"), useimmiten ylempänä määriteltyä ristiriidattomuutta ("syntaktinen määritelmä").

Looginen teoria on täydellinen, jos jokaiselle sen termein muodostetulle kaavalle P pätee: P tai ei-P voidaan todistaa (siis ainakin toinen). Teoria on siis täydellinen jos ja vain jos kaikki sen kaavat voidaan todistaa "oikeiksi (ja/)tai vääriksi". Siis jos kaikille teorian piiriin kuuluville kaavoille P pätee: "P voidaan todistaa tai ei-P voidaan todistaa muttei molempia", teoria on sekä täydellinen että ristiriidaton. 

Predikaattikalkyylin täydellisyyden todisti Kurt Gödel vuonna 1930. Muun muassa toisen kertaluvun logiikka ei ole täydellinen.

Gödelin epätäydellisyyslause (1931) osoitti, ettei mikään "riittävän ilmaisuvoimainen" (täydellinen ja luonnolliset luvut sisältävä) ristiriidaton aksioomajärjestelmä voi koskaan osoittaa omaa ristiriidattomuuttaan. Tämä romutti Hilbertin ohjelman "matematiikan perustan" löytämisestä (aksiomaattinen järjestelmä, joka yksin kattaisi kaiken matematiikan).

Katso myös 

 Hilbertin ongelmat
 Hilbertin toinen ongelma
 ω-konsistenssi

Lähteet 

 "Consistency", The Cambridge Dictionary of Philosophy.
 Ebbinghaus, H. D. & Flum, J. & Thomas, W.: Mathematical Logic
 Heijenoort, Jean van: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
 Jevons, W. S.: Elementary Lessons in Logic, 1870.
 Kleene, Stephen: Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterday, New York, 1952 (10. painos 1991). ISBN 0 7204 21039.
 Reichenbach, Hans: Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc. New York, 1947. ISBN 0-486-24004-5,
 Tarski, Alfred:  Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Second Edition, Dover Publications, 1946. Inc., New York, ISBN 0-486-28462-X.

Viitteet 

Matemaattinen logiikka