Suppenemistestit

Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

Suppenemistestejä

Majorantti- ja minoranttiperiaate
Olkoon  kaikilla  . Tällöin
 Jos sarja  suppenee, niin sarja  suppenee (majoranttiperiaate).
 Jos sarja  hajaantuu, niin sarja  hajaantuu (minoranttiperiaate).

Vertailutesti
Oletetaan, että  ja  kaikilla  , ja että raja-arvo  on olemassa. Tällöin
 Jos , niin sarja  suppenee, jos ja vain jos  suppenee.
 Jos  ja sarja  suppenee, niin myös  suppenee.
 Jos  ja sarja  hajaantuu, niin myös  hajaantuu.

Juuritesti
Olkoon  kaikilla  .

 Jos on olemassa    ja vakio  siten, että  kaikilla , niin sarja  suppenee.

 Jos on olemassa    ja vakio  siten, että  kaikilla , niin sarja  hajaantuu.

 Jos raja-arvo  on olemassa, niin sarja 
 suppenee, jos 
 hajaantuu, jos .

Osamäärätesti
Olkoon  kaikilla  .
 Jos on olemassa    ja vakio  siten, että  kaikilla , niin sarja  suppenee.
 Jos on olemassa    ja vakio  siten, että  kaikilla , niin sarja  hajaantuu.
 Jos raja-arvo  on olemassa, niin sarja 
 suppenee, jos 
 hajaantuu, jos .

Integraalitesti
Olkoon  vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä . Merkitään  kaikilla .

Tällöin sarja  suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali  suppenee.

Esimerkkejä 
  hajaantuu, koska   , kun , ja  hajaantuu (vertailutesti).

     suppenee, koska       kun      (juuritestin raja-arvomuoto).

Lähteet 
 Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
 Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
 Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.

Matemaattiset sarjat