Ising-malli

Ising-malli on statistisen mekaniikan matemaattinen malli, jossa kullakin spinillä on kaksi mahdollista arvoa ja spin vuorovaikuttaa ainoastaan vieressään oleviin spineihin.  Tavanomaisesti Ising-mallia käytetään yksinkertaistettuna kuvauksena ferromagnetismista. Kaksiulotteinen Ising-malli oli myös historiallisesti merkittävä sillä se tarjosi ensimmäisen eksaktisti ratkeavan esimerkin systeemistä jossa tapahtuu faasimuutos.

Historia

Ising-mallin keksi alun perin Wilhelm Lenz, mutta malli sai kuitenkin nimensä Lenzin oppilaalta Ernst Isingiltä, joka julkaisi ensimmäisen Ising-mallia koskevan artikkelin vuonna 1925. Tuolloin ratkaistiin vasta yksiulotteinen malli, jossa magneettista faasimuutosta ei ilmeenny. Virheellisesti Ising oletti, ettei faasimuutosta löydy useampiulotteisistakaan malleista, mutta hän oli väärässä, sillä kaksi- ja useampiulotteisissa Ising-malleissa faasimuutos ilmenee.

Kaksiulotteisen Ising-mallin ilman ulkoista magneettikenttää ratkaisi norjalainen fyysikko Lars Onsager vuonna 1944.

Matematiikkaa

Energia Ising-mallissa välittyy vierekkäisten spinien vuorovaikuttaessa toisiinsa. Energiaa siirtyy myös ulkoisen magneettikentän muuttaessa hilassa spinien suuntaa.

Spinhilassa spinit vaikuttavat vain vieressään oleviin spineihin ja kullakin spinillä voi olla joko arvo  tai . Ising-mallissa järjestelmän energia määritellään yhtälöllä
 
missä siis summataan kaikkien vierekkäisten spinien tulo kerran. Alaindeksit  ja  kuvaavat vieretysten olevia spinejä. Jos vierekkäiset spinit ovat kummatkin samoja, niin tulo  ja jos vierekkäisillä spineillä on eri spinluku, tulo on . Yhtälössä  on kytkentävakio. Jos , niin kyseessä on ferromagneetti, jolloin järjestelmän kaikki spinit ovat samat. Kun , niin järjestelmä on antiferromagneettinen, jolloin joka toinen spin on 1 ja joka toinen -1. Jos , niin spinit eivät vuorovaikuta keskenään ja ovat siis täysin satunnaisessa järjestyksessä.

Lähteet

Aiheesta muualla 
K. Binder (2001), "Ising model", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

I. A. Stepanov, "Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models", – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118–122. The paper is on the Journal’s website with a free access.

Tiiviin aineen fysiikka
Statistinen mekaniikka