Yksikköjuuri

Yksikköjuuri tai ykkösenjuuri on kompleksiluku, joka korotettuna annetun positiivisen kokonaisluvun n osoittamaan potenssiin on 1.  Toisin sanoen n:nnet yksikköjuuret ovat yhtälön

ratkaisuja kompleksilukujen joukossa.

Moivren ja Eulerin kaavat 

Kutakin positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa n kpl n:siä yksikkö­juuria. Ne sijaitsevat kaikki kompleksitasoon piirretyn yksikköympyrän kehällä ja muodostavat tämän ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärki­pisteet, kun yksi kärki­pisteistä on pisteessä 1.  Yksikkö­juurten arvot voidaan esittää muodossa

missä luku k saa kaikki kokonais­luku­arvot 0:sta n-1:een.  Tämä seuraa Moivren kaavasta, jonka mukaan
.

Eulerin kaavan mukaisesti nämä luvut voidaan esittää myös muodossa
 (k=0, 1, …, n-1).

Tavallisesti n:nnellä yksikköjuurella tarkoitetaan näistä luvuista nimenomaan sitä, jossa k = 1, siis lukua

Sille käytetään myös merkintää .

Yksikköjuurten avulla voidaan muun muassa ratkaista yleinen binomiyhtälö
,
missä q on mielivaltainen kompleksiluku (≠ 0).  Kun q voidaan aina esittää muodossa 
,
ovat yhtälön ratkaisut
.

Esimerkkejä 

Esimerkiksi toisen yksikköjuuren arvot ovat 1 ja -1, neljännen 1, i, -1 ja -i, jotka sijaitsevat kompleksi­tasoon piirretyn neliön kärki­pisteissä. Kolmannen yksikkö­juuren (ε3k) arvot ovat 1 sekä , jotka muodostavat tasa­sivuisen kolmion. Kuudennen yksikkö­juuren (ε6k) vastaavasti 1 ja -1 sekä , ja kahdeksannen (ε8k)  1, i, -1 ja -i sekä .

Lähteet

Kirjallisuutta 
 
 

Kompleksiluvut