Totuustaulu

Totuustaulu on propositiologiikassa käytettävä taulukko, jossa on lueteltu tutkittava lause ja sen alikaavat. Totuustaulun avulla voidaan selvittää, mikä tutkittavan lauseen totuusarvo on tietyillä atomilauseiden totuusarvoilla. Totuustaulun yläriville tulee omiksi sarakkeikseen jokainen tutkittavassa lauseessa esiintyvä alikaava ja tutkittava lause. Atomilauseiden alapuolelle listataan kaikki mahdolliset totuusarvojen yhdistelmät (totta ja epätotta), joista sitten lasketaan varsinaisten tutkittavien lauseiden totuusarvot. Jokaisella propositiosymbolilla on taulukossa kaksi eri totuusarvoa, "totta"  ja "epätotta", joita yhdistämällä saadaan laskettua totuustaulun kaikkien rivien lukumäärä. Se on 2^n, missä n=propositiosymboleiden lukumäärä.

Totuustaulun käytöstä on havaittu ensimmäisiä viitteitä jo antiikin ajoilta. Sen käyttö yleistyi 1800-luvulla, mutta tunnetuksi se tuli vasta 1920-luvulla. Silloin sitä käyttivät Emil Post ja Ludwig Wittgenstein. Vaikka monet henkilöt olivat todistetusti käyttäneet totuustauluja aiemmin, niin kunnia sen keksimisestä yhdistetään Wittgensteiniin. Hän käytti totuustauluja muun muassa pääteoksessaan Tractatus logico-philosophicus (1922).

Kaikki konnektiivit
Taulukossa A ja B ovat lauseita, 0 = epätosi ja 1 = tosi.

Taulukon symbolien selitykset:
2. Ristiriita
3. NOR
4. Implikaation negaatio
5. NOT, ¬A, Negaatio
6. Implikaation negaatio
7. NOT, ¬B, Negaatio
8. XOR, Ehdoton disjunktio
9. NAND, Shefferin viiva
10. AND, Konjunktio
11. XNOR, Ekvivalenssi
12. B, Projektio
13. Jos, ... niin, Implikaatio (A→B)
14. A, Projektio
15. Jos, ... niin, Implikaatio (A←B)
16. OR, Disjunktio
17. Tautologia

Yleisimmin käytetyt konnektiivit
Yleisimmin käytetyt konnektiivit ovat negaatio(ei), konjunktio(ja), disjunktio(tai), implikaatio(jos,... niin) ja ekvivalenssi(jos ja vain jos). Näistä negaatiota sovelletaan yhteen lauseeseen ja muita konnektiiveja taas yhdistämään
kahta lausetta.

Negaatio
Negaatio kääntää lauseen totuusarvon päinvastaiseksi. Siis lauseen A negaatio on epätosi jos lause A on tosi. Vastaavasti
negaatio A on tosi, jos lause A on epätosi.

Negaation totuustaulu: ¬A (käytetään myös merkintöjä NA tai ~A)

Konjunktio
Lauseiden A ja B konjunktio on tosi, kun molemmat lauseet A ja B ovat tosia. Muussa tapauksessa se on epätosi.

Konjunktion totuustaulu: A ∧ B (Käytetään myös merkintöjä A ja B tai A & B)
{| class="wikitable" style="margin:1em auto; text-align:center;"
|+ Konjunktio|-
! style="width:15%" | A
! style="width:15%" | B
! style="width:15%" | A ∧ B
|-
| 1 || 1 || 1
|-
| 1 || style="background:papayawhip" | 0 || style="background:papayawhip" | 0
|-
| style="background:papayawhip" | 0 || 1 || style="background:papayawhip" | 0
|-
| style="background:papayawhip" | 0 || style="background:papayawhip" | 0 || style="background:papayawhip" | 0
|}

Disjunktio
Lauseiden A ja B disjunktio on totta, kun ainakin toinen lauseista A tai B on tosi. Jos molemmat lauseet ovat epätosia,
niin disjunktio on epätosi.

Disjunktion totuustaulu: A ∨ B (Käytetään myös merkintöjä A tai B, A || B, tai A + B)

Implikaatio
Implikaation symboli on → tai  ← riippuen implikaation suunnasta.
Implikaatio A → B on tosi, kun lauseet A ja B ovat tosia, sekä silloin kun A on epätosi. A → B on epätosi ainoastaan silloin, kun A on tosi ja B on epätosi.
Implikaatio A ← B on tosi, kun lause A on tosi, sekä silloin kun A ja B ovat epätosia. A ← B on epätosi ainoastaan silloin, kun A on epätosi ja B on tosi.

Implikaation totuustaulu: 

Ekvivalenssi
Ekvivalenssista käytetään ↔ merkkiä. Lause A ↔ B on tosi,
kun lauseilla A ja B on sama totuusarvo. Vastaavasti A ↔ B on epätosi, kun lauseilla A
ja B on eri totuusarvo.

Ekvivalenssin totuustaulu: A ↔ B (also written as A jos B , A = B, tai A ≡ B''')

Esimerkkejä

Esimerkki 1
Milloin lause A∨(¬B∧C) on totta?

Ratkaistaan tehtävä käyttämällä totuustaulua, josta voidaan lukea millä lauseiden A, B ja C arvoilla tutkittava lause on totta. Rivejä on taulussa yhteensä 2^3 = 8:

Taulukon oikeanpuoleisimmasta sarakkeesta nähdään, että tutkittava lause A∨(¬B∧C) on totta kun A on totta, tai kun A ja B ovat epätotta ja C on totta.

Esimerkki 2
Onko lause (A∧B)↔ A tautologia?

Tutkittava lause on tautologia, jos se on tosi riippumatta lauseiden A tai B totuudesta. Totuustaulussa on nyt 2^2 = 4 riviä.

Taulukon oikeanpuoleisimmasta sarakkeesta nähdään, että tutkittava lause (A∧B)↔ A on epätotta kun A on totta ja B epätotta. Koska tutkittava lause ei näin ollen ole aina totta, niin se ei ole tautologia.

Katso myös
 Totuusfunktio
 Looginen portti

Lähteet

Aiheesta muualla

 Quine, W.V. (1982), Methods of Logic, 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
 Enderton, H. (2001). A Mathematical Introduction to Logic, second edition, Harcourt Academic Press. ISBN 0-12-238452-0 

Matemaattinen logiikka