Kosketuspiste

Topologisen avaruuden  osajoukon  kosketuspisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden  pistettä , että kaikki :n ympäristöt  sisältävät ainakin yhden :han kuuluvan pisteen. 
Formaalisti:  ja  siten, että kaikilla :n ympäristöillä  pätee
. Pisteen  ei ole välttämätöntä kuulua :han. 

Minkä tahansa osajoukon jokainen piste on samalla sen kosketuspiste, koska se kuuluu jokaiseen ympäristöönsä. Lisäksi joukon A kosketuspisteitä ovat kaikki joukon reunapisteet, jotka kuitenkin voivat joko kuulua tai olla kuulumatta A:han.

A:n kosketuspisteiden joukkoa sanotaan A:n sulkeumaksi:

Jokainen joukko  on siis sulkeumansa osajoukko: . Jos joukon A kaikki kosketuspisteet kuuluvat A:han eli A on itsensä sulkeuma, A on suljettu joukko, .

Sulkeumaa A saatetaan merkitä myös muilla tavoin: cl(A), Cl(A) tai .

Esimerkkejä 
 Avoimen välin ]a,b[ kosketuspisteitä ovat kaikki välillä olevat pisteet sekä myös sen päätepisteet a ja b, vaikka ne eivät kuulu avoimeen väliin.

 Cl ([0,1[) ∩ Cl (]1,2])  = [0,1] ∩ [1,2] = {1}

 Cl ([0,1[ ∩ ]1,2]) = Cl () = .

Kasautumispiste 
Joukon A kasautumispiste on piste x, jonka jokainen ympäristö sisältää x:n lisäksi jonkin muunkin A:han kuuluvan pisteen. Jokainen kasautumispiste on siis samalla kosketuspiste, mutta joukolla  saattaa olla myös erakkopisteitä, jotka kuuluvat joukkoon ja ovat myös sen kosketuspisteitä, mutta eivät kasautumispisteitä.

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta
 

Topologia

ar:نقطة ملاصقة