Bosen–Einsteinin statistiikka

Bosen–Einsteinin statistiikka (BE-statistiikka) on statistisessa fysiikassa jakaumalaki, joka osoittaa samanlaatuisten bosonien energiatilojen jakauman termodynaamisessa tasapainotilassa. Bosonit ovat alkeishiukkasia, jotka toisin kuin fermionit eivät noudata Paulin kieltosääntöä ja joita näin ollen voi olla rajoittamaton määrä samassa energiatilassa. Sellaisia ovat esimerkiksi fotonit ja erilaiset mesonit.

Bosen–Einsteinin jakauman johti ensimmäisenä fotoneille Satyendra Nath Bose vuonna 1920, ja sen yleisti atomeille Albert Einstein vuonna 1924.

Eri statistiikkojen vertailua 
Statistisessa fysiikassa käytetään kolmea erilaista jakaumaa:
 Maxwellin–Boltzmannin statistiikka
 Bosen–Einsteinin statistiikka
 Fermin–Diracin statistiikka.

Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa sovelletaan molekyyleihin klassisessa termodynamiikassa. Kvanttiteoria on kuitenkin osoittanut, ettei se sovellu minkään alkeishiukkasen energiajakauman kuvaamiseen muutoin kuin tietyissä tapauksissa likimääräisesti.

Bosen–Einsteinin statistiikka soveltuu bosoneille kuten fotoneille ja mesoneille. Fermin–Diracin statistiikka soveltuu fermioneille kuten elektroneille ja protoneille, joita Paulin kieltosäännön mukaan ei voi olla useampi kuin yksi samassa kvanttitilassa.

Kaikkia kolmea statistiikkaa voidaan vertauksellisesti kuvailla olettamalla, että tietty määrä (p) palloja on sijoitettava tiettyyn määrään (n) laatikkoja.  Pallot vastaavat tällöin hiukkasia, laatikot energiatiloja.

Fermin–Diracin statistiikassa oletetaan tällöin, että kuhunkin laatikkoon mahtuu vain yksi pallo, kun taas kummassakin muussa statistiikassa laatikoiden vetoisuus on rajoittamaton. Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa johdettaessa kuitenkin oletetaan, että ainakin periaatteessa pallot voidaan yksilöidä, kun taas Bosen–Einsteinin statistikassa tämä oletetaan periaatteessakin mahdottomaksi, minkä vuoksi jakaumia johdettaessa symmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavalla. Jos laatikoiden välisiä kuviteltuja rajaseiniä merkitään pystyviivoilla (|), niin Maxwellin–Boltzmannin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää tapa, jolla tietty määrä eri kirjaimia voidaan sijoittaa näiden viivojen väliin. Tällaisia tapoja on kaikkiaan . Sitä vastoin Bosen–Einsteinin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää merkkijono, jossa on n-1 pystyviivaa ja p ympyrää. Voidaan osoittaa, että tällaisten tapojen lukumäärä on .

Yksinkertainen esimerkki 
Oletetaan, että kolme palloa on sijoitettava kolmeen laatikkoon. Maxwellin–Boltzmannin statistiikassa näitä palloja voidaan kuvata kirjaimilla a, b ja c, jolloin mahdolliset 33 = 27 erilaista tapaa ovat seuraavat:

 |abc|   |   |         |bc |a  |   |         |bc |   |a  |
 |ab |c  |   |         |b  |ac |   |         |b  |c  |a  |
 |ab |   |c  |         |b  |a  |c  |         |b  |   |ac |
 |ac |b  |   |         |c  |ab |   |         |c  |b  |a  |
 |ac |   |b  |         |c  |a  |b  |         |c  |   |ab |
 |a  |bc |   |         |   |abc|   |         |   |bc |a  |
 |a  |b  |c  |         |   |ab |c  |         |   |b  |ac |
 |a  |c  |b  |         |   |ac |b  |         |   |c  |ab |
 |a  |   |bc |         |   |a  |bc |         |   |   |abc|

Sitä vastoin Bosen–Einsteinin statistiikassa on olemassa vain seuraavat 10 tapaa:

 |ooo|   |   |         |o  |   |oo |
 |oo |o  |   |         |   |ooo|   |
 |oo |   |o  |         |   |oo |o  |
 |o  |oo |   |         |   |o  |oo |
 |o  |o  |o  |         |   |   |ooo|

Huomataan, että edellisessä tapauksessa todennäköisyys sille, että kaikki pallot ovat samassa laatikossa, on 3/27 = 1/9 = 0,111, jälkimmäisessä sen sijaan 3/10 = 0,3 siis merkittävästi suurempi. Toisaalta todennäköisyys, että kaikki pallot ovat eri laatikoissa, on edellisessä tapauksessa 6/27 = 2/9 = 0,222, jälkimmäisessä taas 1/10 = 0,1, siis edellistä pienempi.

Yleensäkin hiukkaset ovat Bosen–Einsteinin statistiikassa suuremmalla todennäköisyydellä samassa energiatilassa kuin ne olisivat Maxwellin–Bolzmannin jakauman mukaan. Täten näyttää siltä kuin samanlaatuiset bosonit vetäisivät toisiaan puoleensa, päinvastoin kuin fermionit. Todellista vetovoimaa niiden välillä ei kuitenkaan ole, vaan tämä ero perustuu kvanttimekaanisten aaltofunktioiden ominaisuuksiin. Ero näiden statistiikkojen välillä käy kuitenkin merkityksettömäksi silloin, kun mahdollisten energiatilojen lukumäärä on hyvin suuri verrattuna hiukkasten lukumäärään, jolloin energian kvantittumista ei tarvitse ottaa huomioon.

Hyvin matalissa lämpötiloissa on kuitenkin molekyyleillekin sovellettava joko Fermin–Diracin tai Bosen–Einsteinin statistiikkaa riippuen molekyylin spinistä.  Tästä syystä joidenkin aineiden kaikki molekyylit sijoittuvat matalissa lämpötiloissa alimmille energiatiloille muodostaen Bosen–Einsteinin kondensaatin.

Jakaumalaki 
Kun sekä hiukkasten että energiatilojen lukumäärä ovat suuria lukuja, hiukkasten todennäköinen lukumäärä energiatilassa i on Bosen–Einsteinin statistiikassa:

missä  ja:

ni  on tilassa i olevien hiukkasten lukumäärä
gi  on tilan i degeneraatio
 εi  on tilan i energia
μ on kemiallinen potentiaali
k on Boltzmannin vakio
T on absoluuttinen lämpötila

Jos  on paljon pienempi kuin , tämä voidaan pyöristää muotoon

,

mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki.

Historia 
Max Planck esitti jo vuonna 1900 lain, joka osoittaa mustan kappaleen lähettämän sähkömagneettisen säteilyn taajuusjakauman lämpötilan funktiona.  Tämän jakauman teoreettinen selitys osoittautui kuitenkin hankalaksi, ja jo samana vuonna Planck esitti, että kappale voi lähettää säteilyenergiaa vain tietyn kokoisina määrinä kerrallaan, kvantteina. Myöhemmin Albert Einstein kehitti teoriaa edelleen ja esitti, että säteilyn voidaan olettaa koostuvan hiukkasmaisista fotoneista. Vielä tämän jälkeenkään ei jakaumalain teoreettinen johto ollut tyydyttävä, mihin Dhakan yliopiston professori Satyendra Nath Bose kiinnitti huomiota 1920-luvun alussa. Hän osoitti kuitenkin, että tämä jakaumalaki voidaan johtaa, kun oletetaan, ettei hiukkasia voida yksilöidä ja että niille ei ole olemassa lukumäärän säilymislakia. Tällöin Planckin laki saadaan suoraan sovellettaessa Bosen jakaumalakia fotoneille.

Bosella oli kuitenkin vaikeuksia saada tutkimuksensa julkaistuksi. Vasta kun hän lähetti asiaa koskeneen kirjeen Einsteinille, tämä ymmärsi sen merkittävyyden, ja tutkimus julkaistiin.

Bosen–Einsteinin jakaumalain johto
Oletetaan, että on olemassa joukko energiatasoja, jotka on merkitty indeksinumeroilla
. Kunkin energiatilan energia on , ja siinä on  
 hiukkasta. Oletetaan edelleen, että kukin tila jakautuu vielä 

erilliseen alatasoon, joista jokaisella on yhtä suuri energia, mutta jotka jollakin muulla tavalla eroavat toisistaan. Näillä eri alatasoilla olevilla hiukkasilla voi esimerkiksi olla eri suuri liikemäärä mutta sama määrä energiaa. Tasoon  liittyvien tilojen lukumäärää  
 sanotaan tämän energiatason "degeneraatioksi". Kullakin tällaisella alatasollakin voi olla kuinka monta hiukkasta tahansa.

Olkoon  niiden tapojen lukumäärä, joilla  hiukkasta voidaan sijoittaa näille yhteensä 
 energiatason alatasolle. Kun hiukkasia ei voida yksilöidä, on vain yksi tapa sijoittaa  hiukkasta yhdelle alatasolle, minkä vuoksi 
. (Tässä kohdin jakauman johto eroaa Maxwellin-Bolzmannin jakaumasta). Voidaan helposti nähdä, että tällöin on  tapaa jakaa  kahden alatason kesken, minkä vuoksi voidaan kirjoittaa:

Samaan tapaan jatkamalla voidaan osoittaa, että niiden tapojen lukumäärä, joilla 
 hiukkasta voidaan jakaa kolmen alatason kesken, on

ja edelleen

Tämä seuraa binomikertoimia koskevasta kaavasta:

Kun jatketaan samoin, saadaan edelleen

Niinpä niiden tapojen lukumäärä, joilla hiukkaset voivat jakautua eri energiatasojen kesken, saadaan kertomalla eri energiatasoja vastaavat lukumäärät keskenään:

kun oletetaan, että .

Systeemi on termodynaamisessa tasapainotilassa, kun W:llä on suurin mahdollinen arvo. Tämä vastaa jakaumaa, jonka todennäköisyys on suurin. Jos oletetaan, että hiukkasten kokonaismäärä ja yhteenlaskettu energia tunnetaan, suureet
 ja  saavat maksiminsa samalla 
:n arvolla, joista se on matemaattisesti helpompi johtaa jälkimmäiselle. Voidaan rajoittua ratkaisuihin, jotka saadaan Lagrangen kertoimien avulla:

Jos oletetaan, että  on hyvin suuri luku, voidaan kertomalle laskea likiarvo Stirlingin kaavalla:

,

jolloin saadaan

Tämän maksimi saadaan ottamalla siitä derivaatta :n suhteen ja etsimällä derivaatalle nollakohta. Tällöin saadaan Bosen–Einsteinin statistiikan mukainen lukumäärä:

Termodynamiikan avulla voidaan osoittaa, että tässä kaavassa esiintyvät parametrit  ja  vastaavat systeemiin liittyviä fysikaalisia suureita seuraavasti:

 ja 
,

missä  on Boltzmannin vakio,   absoluuttinen lämpötila ja  systeemin kemiallinen potentiaali. Näin ollen kaava voidaan lopulta kirjoittaa muotoon

Katso myös

 Bosen–Einsteinin kondensaatti
 Maxwellin–Boltzmannin jakauma
 Fermin–Diracin statistiikka
 Planckin laki mustan kappaleen säteilystä

Lähteet

Viitteet

Statistinen mekaniikka
Kvanttimekaniikka
Todennäköisyyslaskenta