Tulon derivoimissääntö

Tulon derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka sisältää derivoituvien funktioiden tulon.

Olkoot funktiot  ja   derivoituvia pisteessä  . Tällöin funktio  on derivoituva ja 

 .

Tulon derivoimissääntö voidaan kirjoittaa myös yksinkertaisempaan muotoon:

 .

Todistus 

Todistetaan tulon derivoimissääntö derivaatan matemaattisen määritelmän, erotusosamäärän raja-arvon, avulla. Tämän määritelmän mukaan

 .'

Olkoon funktio  derivoituva, ja todistetaan että

Ilmaistaan yhtälö  funktioiden  ja  avulla

Lisätään ja vähennetään termi  yhtälöön  ja järjestetään termit uudelleen:

Derivaatan määritelmän perusteella

ja

 .

Sen lisäksi nyt pätee

 ,

jolloin yhtälöstä  saadaan

 .

Esimerkkejä

Esimerkki 1 
Derivoidaan ƒ(x) = x2 sin(x). Koska x2:n derivaatta on 2x ja sin(x):n derivaatta on cos(x), niin tulon derivoimissääntöä käyttämällä saadaan ƒ '(x) = 2x sin(x) + x2cos(x).

Yleistyksiä

Useamman kuin kahden funktion tulo 

Tulon derivoimissääntöä voidaan käyttää myös useamman kuin kahden funktion yhtälöille. Esimerkiksi kolmen funktion tulon derivaatta on

Korkeamman asteen derivaatat 

Sääntö voidaan myös yleistää Leibnizin yleinen sääntö avulla n:n asteen derivaatalle: 

Katso myös binomilause and binomikerroin.

Differentiaalilaskenta