Euklidinen avaruus

Euklidinen avaruus on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruudelle käytetään merkintöjä  tai .

Tunnetuin euklidinen avaruus on  eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso  ja kolmiulotteinen avaruus . 

Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.

Johdanto 

Esimerkiksi vektoriavaruuden  alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot . Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain:
. 

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi
.
Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari, 
.
Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen  normi eli pituusmitta: 
.
Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin  etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi:
.

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa .

Määritelmiä 

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli :n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi

Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:

:n mielivaltainen vektori merkitään

missä reaaliluvut  ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:

Lukua 0 vastaa nollavektori

Kahden :n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:

Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:

Laskusääntöjä 

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. :n vektoreille  ja  se on

Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:

Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille  ja  se on

Kulma vektoreiden  ja  välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:

Katso myös 
 Eukleides

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta
 
 
 

Lineaarialgebra
Euklidinen geometria
Seulonnan keskeiset artikkelit