Jacobin polynomi

Matematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

missä  on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

missä

Tässä kokonaisluvulle  on voimassa

ja  on Gammafunktio, jolle
 kaikilla . Siten

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

kun  ja . 

Polynomeilla on symmetrisyysehto
 ja siten

Reaaliluvuilla  Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

missä  ja .
Jos neljä suuretta
, , , and
 ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa 

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla  
() 
viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Derivaatat

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

Differentiaaliyhtälö
Jacobi polynomiat  ovat ratkaisuna yhtälölle

Erikoisfunktiot