Lipschitz-jatkuvuus

Lipschitz-jatkuvuus on matemaattinen termi tietyntyyppiselle metristen avaruuksien välisen funktion jatkuvuudelle. Lipschitz-jatkuvuus on rajoittavampi ehto kuin funktion jatkuvuus. Erityisesti jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on jatkuva.

Määritelmä 

Metristen avaruuksien  ja  välinen funktio  on Lipschitz-funktio, Lipschitz-kuvaus tai lyhyemmin Lipschitz, jos on olemassa sellainen luku , että 

 

kaikilla . Tällöin sanotaan :n olevan L-Lipschitz. Eli esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz. Pienintä lukua , joka toteuttaa yllä olevan epäyhtälön, kutsutaan funktion  Lipschitz-vakioksi. Funktiota, joka on Lipschitz vakiolla , kutsutaan kontraktioksi.

Lipschitz-funktion ominaisuuksia 

Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva, ja Rademacherin lauseen mukaan Rn:n avoimessa osajoukossa A määritelty Lipschitz-funktio on derivoituva melkein kaikissa A:n pisteissä.

Lähteet

Viitteet 

Reaalianalyysi
Metrinen topologia