Rieszin esityslause

Funktionaalianalyysissä on useita variaatioita Rieszin esityslauseesta. Alkuperäisen tuloksen funktioavaruudessa  todisti unkarilainen matemaatikko Frigyes Riesz vuonna 1909 artikkelissaan Sur les opérations fonctionnelles linéaires 

Yksinkertaisimmillaan Rieszin esityslause sanoo, että jokainen Hilbertin avaruus on oma duaalinsa:  Tarkemmin sanottuna ne ovat isometrisesti isomorfiset. Lause voidaan yleistää myös Banachin avaruuksille.

Hilbertin avaruudessa
Olkoon  Hilbertin avaruus,  sen (jatkuva) duaaliavaruus (ja skalaarikunta  tai ).

Tällöin jokaista funktionaalia  vastaa yksikäsitteinen , jolla pätee  kaikilla . Vastaavasti kaikilla , kuvaus  on jatkuva funktionaali.

Lineaaristen funktionaalien esityslause Cc(X):ssä 
Seuraava lause esittää positiivisia lineaarisia funktionaaleja Cc(X):ssä, kompaktissa joukossa jatkuvia komleksifunktioita. Borelin joukko viittaa σ-algebraan, jonka virittää avoimet joukot.

Epänegatiivinen additiivinen Borelin mitta μ lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa X on säännöllinen jos ja vain jos 

 μ(K) < ∞ kaikilla kompakteilla joukoilla K;

 Kaikilla Borel-joukoilla E,

  Ehto

on voimassa kun E on avoin tai E on Borel ja μ(E) < ∞.

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus. Kaikille joukossa Cc(X) määritellyille positiivisille lineaarisille funktionaaleille ψ on olemassa yksikäsitteinen Borel-säännöllinen mitta μ X:ssä, jolle

kaikilla Cc(X)-funktioilla f.

Viitteet

Aiheesta muualla
 Bachman, Narici: Functional analysis

Funktionaalianalyysi