Carathéodoryn konstruktio

Carathéodoryn konstruktio on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten esimittojen avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

Määritelmä 

Olkoon  metrinen avaruus. Olkoon  kokoelma :n osajoukkoja ja kuvaus  (ns. esimitta). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle  on olemassa joukot , , I on numeroituva siten, että 
 ja .

(2) Jokaiselle  on olemassa joukko  siten, että 
 ja .

Olkoon nyt  kiinteä. Määritellään, että joukon  -peite on mikä tahansa numeroituva osakokoelma , jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma  on joukon A peite, eli pätee ,

- läpimitta  jokaisella . 

Määritellään nyt funktio 
.
Edellä annettu ehto (1) takaa -peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus  on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio  on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että  ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos , niin  kaikilla . Toisin sanoen kuvaus  on kasvava :aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla  on olemassa raja-arvo . Määrittelemmekin nyt siis funktion 
.
Koska funktiot  ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio  on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio  rajoitettuna -mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman  jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että  on itse asiassa Borel-säännöllinen.

Sovelluksia 

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi  kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman  ja asetamme funktion  kaavaksi , , niin saatu funktio  ja siis .

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen . Olkoon  luonnollinen luku, jolla . Asetetaan kokoelmaksi  :n Borelin perhe . Määritellään parametrille  esimitta ,
ja
,
missä 
 (ns. Grassmannin avaruus)
ja jokaiselle  kuvaus  on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle . Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden  varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla .

Näillä esimitoilla  saatuja Borelin mittoja , joita merkitään symboleilla , kutsutaan (m-ulotteisiksi) integraaligeometrisiksi mitoiksi parametrilla t.

Mittateoria