Korteweg-de Vries -yhtälö

Korteweg-de Vries -yhtälö (tai lyhyemmin KdV-yhtälö) on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla kuvataan matalassa vedessä eteneviä aaltoja. KdV-yhtälön merkitys solitoniteoriassa on suuri, sillä sen ratkaisuna saadaan malliesimerkki solitoniaallosta. Yhtälö on saanut nimensä sitä tutkineiden Diederik Kortewegin ja Gustav de Vries'n mukaan .

Määritelmä

KdV-yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle φ kahdessa ulottuvuudessa, paikassa x ja ajassa t: 

jossa ∂x merkitsee osittaisderivaattaa x:n ja ∂t t:n suhteen.

Solitoniratkaisut

Osa yhtälön merkittävyyttä johtuu siitä, että sille on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Tämä voidaan ratkaista muun muassa olettamalla solitoniaallon etenevän nopeudella v ja sen huipun sijaitsevan ajanhetkellä t = 0 kohdassa x. Otetaan käyttöön uusi muuttuja z = x − vt ja funktio f(z) = φ(x, t). Nyt saadaan yhtälöksi tavallinen differentiaaliyhtälö

joka voidaan integroida z:n suhteen ja saadaan

Tässä muuttuja C on integroimisvakio. Halutaan kuitenkin ratkaisun f(z):n arvon olevan nolla kaukana aallon huipusta. Toisin sanoen siis  f(z) lähestyy 0 kun z→±∞. Tästä seuraa, että vakio C = 0. Yhtälö täytyy kertoa vielä f''':lla ja integroida uudestaan ennen kuin ratkaisu saadaan ulos.

Ratkaisuksi näin saadaan

jossa x0 merkitsee aallon huipun paikkaa ajanhetkellä t = 0. Yhtälö mallintaa oikealle liikkuvaa solitonia.

Säilyvät suureet

KdV-yhtälölle saadaan ratkaistua äärettömän monta säilyvää suuretta . Ne voidaan laskea kaavalla

jossa P''i lasketaan kaavalla

Tästä saadaan muun muassa suureet:
 liikemäärä 
 energia

Historia
KdV-yhtälön ja solitonien historia alkaa 1834, kun John Scott Russell havaitsi kapeassa tasasyvässä kanavassa aallon etenevän muuttamatta muotoaan ja hajoamatta. Ilmiötä tutkivat Lord Rayleigh ja Joseph Boussinesq 1870-luvulla  ja lopulta Korteweg and De Vries vuonna 1895. Tästä seuraava merkittävä tulos saatiin 1965 kun Zabusky ja Kruskal mallinsivat KdV-yhtälöä numeerisesti  ja huomasivat useamman aallon törmäyksissä aaltojen säilyttävän muotonsa ja nopeutensa. Tämän jälkeen on löydetty analyyttisiä ratkaisuja useampaa kuin yhtä aaltoa mallintamaan.

Lähteet

Aaltomekaniikka
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt