Lagrangen kertoimet

Lagrangen menetelmä on ranskalaisen matemaatikon Joseph-Louis Lagrangen mukaan nimetty menetelmä yhtälörajoitetun optimointitehtävän ratkaisemiseksi.

Määritelmä 
Olkoon  minimointitehtävän kohdefunktio ja  rajoite-ehtofunktio. Tarkastellaan näiden määrittämää rajoiteoptimointititehtävää

Tehtävä voidaan kirjoittaa muodossa, jota kutsutaan Lagrangen funktioksi 

Kertoimia  kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. Esitetyn optimointitehtävän käypä eli rajoite-ehdot täyttävä ratkaisu löydetään Lagrangen funktion  ääriarvopisteessä , jossa siis . Voidaan tulkita, että kertoimet ohjaavat ratkaisun rajoite-ehtojen määräämään käypään joukkoon.

Esimerkki 
Minimointitehtävä  ratkaistaan seuraavasti:
 kirjoita tehtävä funktiona 
 etsi osittaisderivaatat muuttujien  ja  suhteen
 ratkaise derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä

Langrangen funktio esimerkille

Etsitään osittaisderivaatat ja niiden muodostama yhtälöryhmä

Ratkaistaan saadusta yhtälöryhmästä ääriarvopisteet (, , ) algebran menetelmin (ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat yhtälöryhmästä).

Menetelmä 
Olkoon  minimointitehtävän kohdefunktio ja  rajoite-ehtofunktio. Kutsutaan ehdon  määräämien pisteiden joukkoa käyräksi . Olkoot funktiot  derivoituvia kaikkien muuttujiensa suhteen käyrän  pisteissä. Oletetaan myös, että kohdefunktio  on derivoituva tehtävän ratkaisupisteen  ympäristössä. Kun lisäksi oletetaan, että piste  ei ole käyrän  päätepiste, ja gradientti , on olemassa sellainen luku  niin, että piste  on ns. Lagrangen funktion 

kriittinen piste. Toisin sanoen funktion  käyrällä  sijaitsevat ääriarvot voidaan löytää etsimällä Lagrangen funktion ääriarvot. Ääriarvot löydetään ratkaisemalla funktion  osittaisderivaatojen nollakohta

eli

Geometrinen tulkinta 

Lagrangen kerroin  voidaan nähdä skaalaustekijänä, jolla rajoitusehdon gradienttivektoria  tulee kertoa, että siitä tulee
yhtä pitkä kuin kohdefunktion gradienttivektorista  optimointitehtävän ratkaisupisteessä. Tulkinta yleistyy useamman rajoitusehdon tapaukseen, jolloin
aktiivisia rajoitusehtoja vastaavat kertoimet  valitaan niin, että niiden lineaarikombinaatio vastaavien gradienttien kanssa kumoaa kohdefunktion 
gradientin.

Herkkyystulkinta 
Herkkyystulkinnassa tarkastellaan, miten kohdefunktion arvo muuttuu, kun yhtälörajoitetta muutetaan. Tarkastellaan  muotoista tehtävää, missä
. Lagrangen kerroin ilmaisee kunka paljon kohdefunktion arvo muuttuu yhtälörajoituksen muuttuessa eli

missä  tarkoittaa gradienttia rajoitusehdon muutoksen suhteen.

Esimerkki: pisteen etäisyys suorasta 

Esitetään tehtävä matemaattisessa muodossa ja ratkaistaan se Lagrangen menetelmällä. Olkoon piste  ja suora , missä  ovat mielivaltaisia vakioita.

Minimoidaan etäisyyden funktio

 

ehdolla

 

Suoran yhtälö on siis optimointitehtävän ehto.

Muodostetaan etäisyysfunktiosta ja ehdosta Lagrangen funktio

 

Ratkaistaan funktion  ääriarvot muuttujien ,  ja  suhteen etsimällä  osittaisderivaattojen nollakohdat:

Katso myös 
 Matemaattinen optimointi

Lähteet 
 Robert A. Adams (1999), Calculus: A Complete Course 5. painos, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-79131-5.

Matemaattinen_optimointi