Aritmeettinen funktio

Aritmeettinen funktio eli lukuteoreettinen funktio on kuvaus, joka on määritelty luonnollisille luvuille ja joka saa arvoksi kompleksilukuja. Aritmeettiset funktiot liittyvät lähinnä lukuteoriaan ja laskettavuuden teoriaan.

Aritmeettisia funktioita tutkitaan paljon Bellin sarjojen avulla. Funktiojoukkoa voidaan käsitellä myös kommutatiivisena renkaana kahteen joukossa määriteltyyn operaatioon nähden. Funktiojoukon tärkeimmät osajoukot ovat additiiviset ja multiplikatiiviset funktiot.

Matemaattisia määritelmiä

Formaalisti aritmeettiset funktiot määritellään seuraavasti:

missä  tarkoittaa luonnollisten lukujen joukkoa  ja  kompleksilukujen joukkoa.

Aritmeettiset funktiot muodostavat joukon, jonka keskuudessa voidaan määritellä erilaisia binäärioperaatioita. Nämä operaatiot siis muodostavat kahdesta joukon funktiosta uuden funktion. Keskeisiä operaatioita ovat seuraavat:

 summa , jota tarvitaan additiivisten funktioiden määrittelyssä sekä renkaan muodostamisessa:

 tulo , jota tarvitaan multiplikatiivisten funktioiden määrittelyssä:

 Dirichlet'n tulo eli Dirichlet'n konvoluutio , jota tarvitaan renkaan muodostamisessa:

Näissä  ja  ovat aritmeettisia funktioita ja  on positiivinen kokonaisluku. Merkintä  tarkoittaa, että  on jaollinen :llä.

Funktiojoukon algebrallinen rakenne

Aritmeettisten funktioiden joukko  muodostaa yllä määriteltyjen summan ja Dirichlet'n tulon kanssa kommutatiivisen renkaan .
Tämän renkaan nolla- ja ykkösalkiot ovat aritmeettiset funktiot  ja , jotka määritellään seuraavasti:

 ei ole kunta, sillä kaikille funktiojoukon funktioille ei löydy käänteisfunktiota Dirichlet'n tulon suhteen. Käänteisfunktio on vain sellaisilla aritmeettisilla funktioilla, joilla .

Esimerkkejä

Aritmeettisia funktioita ovat esimerkiksi seuraavat:
 ,  tekijöiden summa -funktio

    (tässä  on imaginaariyksikkö)

Aritmeettisten funktioiden generoivia funktioita

Lähteet

 William J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, 1996, Courier Dover Publications
 Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 1987, CRC Press