Arkhimedeen lause

Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua r kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku k siten, että
.

Todistus

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla  ja jotain sen ylärajaa symbolilla , ja määritellään . Koska joukko  on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, . Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon  alkio  siten että . Tällöin  on joukon  maksimi. Mikäli  ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku  siten, että . Tämä on ristiriita, koska  kaikilla . Täten siis  on joukon  maksimi. 

Mikäli , niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku . Oletetaan siis, että . Olkoon nyt joukko , jolloin  on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla  on maksimi. Merkitään  ja valitaan . Nyt  ei voi kuulua :ään, joten . 

Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua  kohtaan on olemassa luonnollinen luku  siten, että .

Todistus 

Olkoon  reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku  siten, että , mikä on yhtäpitävää epäyhtälön  kanssa.

Seurauslauseita

Kahden erisuuren reaaliluvun  välissä on aina rationaaliluku  ja irrationaaliluku  ja molempia vieläpä äärettömän monta eli .

Todistus 

Merkitään . Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku  siten, että . Joukolla  on olemassa minimiarvo. Merkitään . Nyt  ei kuulu joukkoon  ja pätee , joka on yhtäpitävää epäyhtälön  kanssa. Pätee myös , joten . Täten  ja  on etsitty rationaaliluku. 

Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä . 

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku  siten, että . 

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon , jossa ,  on olemassa  määrä. Tosin sanoen pätee .

Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku  siten, että . 

Täten haluttuja lukuja löydetään  määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee .

Etsitään seuraavaksi lukujen  ja  välistä irrationaaliluku: 

Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut  ja  siten, että . Merkitään  eli . Nyt ilmiselvästi pätee  ja  on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.

Katso myös
 Täydellisyysaksiooma
 Yläraja

Lukuteoria
Matemaattiset teoreemat