Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktio

Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktio eli Hardyn–Littlewoodin maksimaalioperaattori avaruudessa  on lokaalisti Lebesgue-integroituville funktioille   määritelty operaattori 
:

 ,

missä  on -keskisen -säteisen pallon  Lebesguen mitta.

Funktio on alaspäin puolijatkuva ja sublineaarinen, eli 
kaikilla lokaalisti integroituvilla funktioilla f ja g ja skalaareilla a ja b.

Taustaa

Ensimmäisen yksiulotteisen maksimaalifunktion kehitti intohimoisena kriketinpelaajana tunnettu matemaatikko G.H. Hardy kollegansa J.E. Littlewoodin kanssa 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla (ks. Hardy ja Littlewood 1930, ja Young 1981). Tämä mietiskeli pelin pisteiden laskua ja totesi kuinka yhdessä pelissä epäonnistuminen tasoittuu aiempien taikka tulevien pelien hyvillä tuloksilla, ja etenkin, mikäli jokin edeltävä peli on ollut todellinen menestys, voisi se keskiarvoja laskeskelemalla vaikuttaa tulevien pelien tuomaan tason notkahdukseen lohduttavasti vielä pitkänkin ajan päästä. Tutkiakseen suurimpien arvojen vaikutusta keskiarvoihin, Hardy ja Littlewood kehittivät reaalisuoralle etäisyydellä painotetun ”suurimman keskiarvon” funktion: maksimaalifunktion, joka kuvaa funktioita niiden suurimpien ”massakeskittymien” avulla.

Reaalianalyysi

Maksimaalilause

Eräs keskeisimpiä maksimaalifunktiota koskevia tuloksia on Maksimaalilause.

Maksimaalilause

Olkoon .

(a) Jos , niin funktio  on äärellistä melkein kaikkialla.

(b) Jos  , niin jokaiselle 
 , missä  on vain dimensiosta  riippuva vakio (esimerkiksi  kelpaa). 
(c) Jos , niin  ja 
 , missä  riippuu vain luvusta  ja dimensiosta .

Maksimaalilauseen seurauksia

Maksimaalilauseen seurauksena saadaan (ks. esimerkiksi Stein 1970) muun muassa Lebesguen differentioituvuuslause.

Lähteet

G.H. Hardy ja J.E. Littlewood, A Maximal Theorem with Function-Theoretic Applications. Acta Math. 54 (1930), 81-116
Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1970
Laurence Chisholm Young, Mathematicians And Their Times. North-Holland Mathematics Studies 48, 1981