Sylowin lauseet

Ryhmäteoriassa Sylowin lauseet ovat osittainen käänteistulos Lagrangen lauseelle. Ne takaavat, että äärellinen ryhmä  sisältää tiettyjä p-ryhmiä ja kuvailevat niiden ominaisuuksia. Lauseet on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Ludwig Sylowin mukaan.

Sylowin lauseilla on lukuisia sovelluksia äärellisten ryhmien teoriassa, esimerkiksi tarkasteltaessa ryhmän ratkeavuutta tai yksinkertaisuutta. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita ratkeaville ryhmille.

Sylowin lauseet

Olkoon seuraavassa  äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on  missä  on alkuluku,  ja  ei jaa lukua 

Lause 1. Ryhmällä  on kertalukua  missä  oleva aliryhmä.

Ryhmän  Sylowin p-aliryhmäksi kutsutaan kertalukua  olevia aliryhmiä. Ensimmäinen Sylowin lause takaa siis näiden aliryhmien olemassaolon.

Lause 2. Jos  on kertalukua  missä  oleva aliryhmä, niin on olemassa sellainen ryhmän  Sylowin p-aliryhmä  ja sellainen alkio  että  Erityisesti ryhmän  Sylowin p-aliryhmät muodostavat konjugointiluokan.

Lisäksi toinen Sylowin lause takaa, että Sylowin p-aliryhmät ovat maksimaalisia p-aliryhmiä.

Lause 3. Jos  on ryhmän  Sylowin p-aliryhmien lukumäärä, niin 
, missä  on ryhmän  Sylowin p-aliryhmä, erityisesti  jakaa tasan luvun  ja

Seurauksia

Sylowin ensimmäinen lause sisältää erikoistapauksenaan Cauchyn lauseen, jonka mukaan jos alkuluku  jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun, niin tällä ryhmällä on kertalukua  oleva aliryhmä.

Koska funktio  on ryhmäisomorfia kaikilla , niin toisen lauseen suorana seurauksena ryhmän  Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Lisäksi äärellisellä ryhmällä on täsmälleen yksi Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos ryhmällä on normaali Sylowin p-aliryhmä.

Sylowin kolmatta lausetta voidaan käyttää monenlaisissa äärellisten ryhmien rakennetta tutkivissa tarkasteluissa, kunhan tiedetään jotain ryhmän kertaluvusta.

Esimerkki sovelluksesta

Olkoon  äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on kahden erisuuren alkuluvun  ja  tulo. Tällöin ryhmä  ei ole yksinkertainen.

Voidaan olettaa, että . Olkoon  on ryhmän  Sylowin p-aliryhmien lukumäärä. Kolmannen Sylowin lauseen nojalla luku  jakaa alkuluvun  Jos  niin edelleen  eli alkuluku  jakaa tasan luvun  Tämä on ristiriita oletuksen  kanssa, joten täytää päteä  Täten ryhmän  ainoa Sylowin p-aliryhmä on normaali. Täten ryhmä  ei ole yksinkertainen.

Lähteet

Viitteet 

Ryhmäteoria
Matemaattiset teoreemat