Pintaintegraali

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain :n pinnoille.

Määritelmä 

Olkoon  yhtenäinen ja  eräs :n derivoituva pinta. Olkoon  joukko siten, että pinnan  kuvaaja . Olkoon nyt funktio  sellainen, että funktio ,

,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska  on :n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat :n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion  pintaintegraali yli pinnan  on luku

.

Sovelluksia 

Jos valitsemme nyt funktioksi , niin pintaintegraali antaa pinnan  kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan  kuvaajan pinta-alaksi kaavan

.

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta ,

.

Huomataan, että pinnan  kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan  kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

ja edelleen sen normiksi

.

Näin ollen

.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

Vuopintaintegraali 

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta  ja joukko  kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio  sellainen, että funktio ,

,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion  vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan  on luku

.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos  on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, , missä  on avoin ja  on :n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon  reuna , niin derivoituvan funktion  vuo

.

Lähteet 

Integraalilaskenta