Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri

Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri on avoin matemaattinen ongelma, joka liittyy rationaalisiin pisteisiin elliptisellä käyrällä. Rationaaliset pisteet tarkoittavat pisteitä, joiden koordinaatit ovat rationaalilukuja. Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri on yksi seitsemästä Clay-instituutin Millennium-ongelmasta. Sen ratkaisusta Clay-instituutti on luvannut miljoona Yhdysvaltain dollaria. Konjektuurin loivat brittiläiset matemaatikot Bryan John Birch ja Peter Swinnerton-Dyer 1960-luvun alkupuolella tutkiessaan elliptisten käyrien rationaalisia pisteitä tietokoneavusteisesti. Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri oli ensimmäisiä matemaattisia otaksumia, joiden synnyssä tietokoneet olivat merkittävässä roolissa.

Taustaa 
Elliptinen käyrä voidaan määritellä yhtälön  avulla. Tavoitteena on löytää pisteet  ja , jotka ovat molemmat rationaalilukuja ja samalla toteuttavat kyseisen yhtälön. Näitä rationaalisia pisteitä voi yleisesti ottaen olla mikä tahansa määrä nollasta äärettömään eri tilanteissa. Osoittautuu, että rationaalisten pisteiden löytäminen elliptiseltä käyrältä on vaikeaa. Toiveena on, että Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri auttaa näiden pisteiden löytämisessä.

Ongelma rationaalisten pisteiden löytämisestä elliptiseltä käyrältä muistuttaa Fermat'n viimeistä teoreemaa. Fermat'n viimeinen teoreema todistettiinkin lopulta elliptisten käyrien avulla ja se liittyy samaan matematiikan alaan kuin Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri.

Väite 
Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri käsittelee elliptiseen käyrään E liittyvää L-funktiota. L-funktion määritelmää ei voida esittää lyhyesti, joten sitä ei anneta tässä. Sen arvoja kuitenkin kyetään laskemaan moderneilla matemaattisilla laskentaohjelmistoilla. Helpoimmassa muodossaan konjektuurin väite on seuraava: 

 Elliptisellä käyrällä on ääretön määrä rationaalisia pisteitä jos ja vain jos siihen liittyvälle L-funktiolle pätee .

Konjektuuri kokonaisuudessaan kertoo kuitenkin vielä enemmän rationaalisista pisteistä. Konjektuuri liittää L-funktion pisteen 1 ympärillä kehitetyn Taylorin sarjan ensimmäisen nollasta poikkeavan termin asteen siihen, kuinka tiheästi käyrällä on rationaalisia pisteitä. Kaikkein tiukimmassa muodossaan konjektuuri ennustaa myös Taylorin sarjan ensimmäisen nollasta poikkeavan termin kertoimen. Jos tämä muoto pitää paikkansa, se voisi antaa tehokkaan tavan löytää rationaalisia pisteitä elliptisellä käyrällä.

Lähteet

Lukuteoria
Konjektuurit
Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat