Potenssisarja

Potenssisarja on sellainen sarjakehitelmä, joka (yhden muuttujan tapauksessa) on muotoa

. 

Tyypillinen potenssisarja on jotakin funktiota kuvaava Taylorin sarja. Usein funktion kehittäminen potenssisarjaksi tapahtuu origon ympäristössä, jolloin  ja kehitelmä saa yksinkertaisemman muodon

Polynomit ovat potenssisarjojen erikoistapauksia, joissa summaus on äärellinen. Potenssisarjat ovat hyvin käyttökelpoisia työkaluja ja niitä tulee vastaan monissa yhteyksissä. Analyysissä potenssisarjat ovat perustyökaluja, mutta niitä tarvitaan myös muun muassa todennäköisyyslaskennassa (generoivat funktiot), elektroniikassa (Z-muunnos) tai lukuteoriassa (p-adiset luvut ja desimaaliesitykset).

Sarjakehitelmän neliö

Sarjakehitelmän neliön tarkastelemiseksi olkoon funktion f(x) sarjakehitelmä

Tämän neliö on

jossa p = m + n ja on käytetty hyväksi ehtoa, että kertoimen a alaindeksi ei saa olla negatiivinen:

eli

Oheiseen kuvaan viitaten on sama käydäänkö indeksialue läpi edestakaisin vasemmalta oikealle vai alhaalta ylös. Tämä vastaa summien järjestyksen vaihtamista, joten saadaan

Merkitään tässä vielä

jolloin voidaan kirjoittaa

jossa siis kertoimet b saadaan alkuperäisen sarjakehitelmän kertoimista

Lähteet 

Matemaattiset sarjat