Dirichlet’n konvoluutio

Dirichlet'n konvoluutio eli Dirichlet'n tulo on lukuteoreettisille funktioille määritelty matemaattinen operaatio. Operaatio muistuttaa lukujen kertolaskua, mutta lukujen sijaan operoidaan funktioilla. Laskemalla kahden lukuteoreettisen funktion konvoluutio saadaan tulokseksi kolmas lukuteoreettinen funktio. Dirichlet'n konvoluutio on siis samantyyppinen operaatio kuin muutkin konvoluutiot.

Matemaattinen määritelmä

Olkoon  ja  kaksi lukuteoreettista funktiota, jotka on siis määritelty vain positiivisille kokonaisluvuille. Olkoon  mielivaltainen positiivinen kokonaisluku.
Dirichlet'n konvoluutio  määritellään seuraavasti:

Tässä  merkitsee, että  on jaollinen :llä.
Dirichlet'n konvoluutiossa siis lasketaan yhteen kaikki sellaiset termit, joissa kerrotaan keskenään  ja  sellaisilla arvoilla, joiden tulo on .

Ominaisuuksia

Dirichlet'n konvoluutiolla on seuraavat ominaisuudet:
 assosiatiivisuus: 

 kommutatiivisuus: 

 distributiivisuus:  

 lukuteoreettisella funktiolla  on käänteisalkio  Dirichlet'n konvoluution suhteen silloin ja vain silloin, kun .

Esimerkkejä

Esimerkki 1. Määritellään lukuteoreettinen funktio  seuraavasti:

Nyt funktion  ja minkä tahansa lukuteoreettisen funktion  konvoluutioksi saadaan funktio 

Esimerkki 2. Määritellään lukuteoreettiset funktiot  ja  seuraavasti:

Lasketaan näiden konvoluution arvo, kun :

Konvoluution arvo voidaan laskea myös toisella tavalla:

Lähteet
 

Lukuteoria