Peanon aksioomat

Peanon aksioomat ovat matematiikassa italialaisen matemaatikon Giuseppe Peanon esittämät yhdeksän aksioomaa, jotka määrittävät luonnolliset luvut.  Keskeisessä asemassa aksioomia on seuraajafunktio S, jolle S(a)=a+1 (merkitään myös ilman sulkuja Sa=a+1) kaikilla luonnollisilla luvuilla a. Peanon aksioomat ovat:

 0 on luonnollinen luku.
 Jokainen luonnollinen luku on yhtä suuri itsensä kanssa eli yhtäsuuruusrelaatio on refleksiivinen.
 Jokaiselle luonnollisille luvuille a ja b a=b,  jos ja vain jos b=a (yhtäsuuruusrelaatio on symmetrinen).
 Luonnollisille luvuille a, b ja c, jos a=b ja b=c, on a=c (yhtäsuuruusrelaatio on transitiivinen).
 Jos a = b ja b on luonnollinen luku, a on luonnollinen luku.
 Jos a on luonnollinen luku, on Sa luonnollinen luku.  
 Jos a ja b ovat luonnollisia lukuja, a=b, jos ja vain jos Sa = Sb.
 Jos a on luonnollinen luku, Sa ≠ 0.
 Jokaiselle joukolle K, jos 0 kuuluu K:hon ja jokaisen K:ssa olevan alkion a seuraaja Sa kuuluu K:hon, jokainen luonnollinen luku kuuluu K:hon.

Lähteet
 Itä-Suomen Yliopisto: Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin, (Pro Gradu-tutkielma)
 
 California State University: THE PEANO AXIOMS  (luento), 
 David Groisser: Peano Axioms for the Natural Numbers, 2001

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla
 Turun Yliopisto: Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta
 Itä-Suomen yliopisto: Harjoitustehtäviä

Matemaattiset aksioomat
Aritmetiikka

hu:Giuseppe Peano#A természetes számok Peano-axiómái