Lukumäärämitta

Lukumäärämitta on mitta, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Lukumäärämitta toimii lähinnä yksinkertaisena esimerkkinä mitasta, mutta sen avulla voidaan myös tutkia sarjateoriaa mittateorian perustulosten avulla.

Määritelmä 

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus , jolle

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

Yhteyksiä 

 Lukumäärämitalla on yhteys Diracin mittaan: jos , niin

 Lukumäärämitta yhtyy myös nollaulotteiseen Hausdorffin mittaan:

 Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa , niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos , niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä -normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.

Mittateoria