Eulerin φ-funktio

Eulerin φ-funktio  on niiden positiivisten kokonaislukujen  määrä, joille pätee syt(n, k) = 1 eli n ja k ovat suhteellisia alkulukuja. Esimerkiksi , koska lukua 10 pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista ainoastaan luvut 1,3,7 ja 9 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 10 kanssa.

φ-funktion arvo voidaan laskea kaavasta

eli tuloon otetaan tekijöiksi kaikki alkuluvut  jotka jakavat luvun . Esimerkiksi

,

koska vain alkuluvut 2 ja 5 jakavat luvun 10.

Ominaisuuksia
 

missä ζ on Riemannin zeeta-funktio.
Kaavasta seuraa approximaatio 

(missä γ on Eulerin vakio).

missä m > 1 on positiivinen kokonaisluku ja ω(m) on m:n eri alkulukujakajien määrä.

Epäyhtälöitä φ-funktiolle
φ-funktiolle on voimassa

, kaikille n>6.

 kun n > 2, missä  on Eulerin vakio.

 kun n > 0,

Kaikille :

Suurillekaan luvuille n yllä olevaa epäyhtälöä ei voi parantaa. Tarkemmin sanoen:

Menonin identiteetti

Lähteet

Viitteet 

Multiplikatiiviset funktiot