Maalijoukko

Matematiikassa funktion maalijoukko tarkoittaa sitä joukkoa, jossa on funktion kuvauksessa saatavia alkioita. Matemaattisessa merkinnässä
 
joukko  tarkoittaa kuvauksen määrittelyjoukkoa ja  tarkoittaa maalijoukkoa.

Arvojoukko maalijoukossa
Funktion eli kuvauksen määritelmä on laadittu siten, että kaksi funktiota ovat samat vain, kun kaikki on samaa:
 lähtöjoukko  on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
 maalijoukko  on alkiolleen sama kummassakin kuvauksessa
 kuvauksen sääntö kuvaa kummassakin kuvauksessa kaikki samat lähtöjoukon alkiot samoiksi maalijoukon alkioiksi
Tämän vuoksi maalijoukon sisältö ja funktion arvojoukko siinä tulee tuntea tarkoin.

Arvojoukko on maalijoukon osajoukko.

Joskus funktion arvojoukkoa käytetään maalijoukon synonyyminä, mutta sitä se ei ole. Jos maalijoukko on sama kuin arvojoukko, kaikille maalijoukon arvoille voidaan osoittaa ainakin yksi määrittelyjoukon alkio.

Esimerkkejä
Määritellään toisen asteen potenssifunktio seuraavasti
, missä 
Lähtöjoukko sisältää kaikki reaaliluvut  ja niillä kaikilla voidaan laskea lausekkeen  arvo. Lähtöjoukko kelpaa siten määrittelyjoukoksi. Kun kaikilla lähtöjoukon luvuilla lasketaan funktion arvot, saadaan vain reaaliluvut , joka on reaalilukujen  osajoukko. Kuvaus EI ole injektio eikä surjektio. Injektion määritelmän mukaan , kun . Tämä ei toteudu funktiolla , sillä esimerkiksi . Surjektion määritelmän mukaan  on surjektio, jos  eli funktion maalijoukko on sama kuin sen arvo- eli kuvajoukko. Funktion  arvojoukko on kaikki positiiviset reaaliluvut, mutta maalijoukoksi on määritelty kaikki reaaliluvut, myös negatiiviset. Funktiosta  voi kuitenkin "pakottaa" surjektion määrittelemällä maalijoukon uudelleen:

Määritellään funktio hieman muuntaen seuraavasti
, missä 
Kuvaus on tällä kertaa surjektio ja samalla maalijoukko on tietenkin myös arvojoukko, koska kaikki maalijoukon alkiot osallistuvat kuvaukseen kerran (nolla) tai kaksi kertaa (x > 0).

Kolmannen asteen potenssifunktio 
, missä 
on jo lausekkeen takia valmiiksi injektio ja surjektio. Funktio on tällöin bijektio, jossa kaikki maalijoukon alkiot kuvautuvat tietyksi maalijoukon alkioksi.

Yhdistetty funktio
Yhdistetyn funktion maalijoukoksi tulee "viimeisen funktion" maalijoukko. Funktio  on määritelty
 
ja funktio  on määritelty
. 
Tällöin voidaan määrittää yhdistetty funktio 
 siten, että . 
Funktion arvot lasketaan ensin  ja sitten  avulla. Ensin valitaan luku lähtöjoukosta  ja lasketaan se funktion  lausekkeella, jolloin saadaan maalijoukon  arvo. Saatu arvo sijoitetaan funktion f lausekkeeseen, jolloin saadaan maalijoukon  arvo.

Lähteet
 Wolfram Mathworld: Codomain

Viitteet

Kirjallisuutta
 

Joukko-oppi