Lämpöyhtälö

Lämpöyhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka kuvaa lämmön johtumista aineessa. Yksinkertaisimmillaan yhtälö tiivistyy muotoon
,
joka on tyypillinen esimerkki parabolisesta osittaisdifferentiaaliyhtälöstä.

Lämpöyhtälön johtaminen 
Tarkastellaan avointa avaruuden osajoukkoa , ja olkoon  lämpötila,  aineen sisäenergia (J/kg) ja  lämpövuo (J/(m^2 s)). Energia tarkasteltavassa alueessa voidaan kirjoittaa
,
missä  on aineen tiheys. Toisaalta energiaa poistuu alueesta nopeudella
,
missä  on alueen yksikköulkonormaali. Gaussin divergenssilauseen avulla jälkimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa muotoon 
,
ja energian säilymisestä saadaan tällöin yhtälö
.
Koska nyt derivointi voidaan viedä integraalin sisään ja yhtälö pätee mielivaltaiselle alueelle, saadaan yhtälö
.
Toistaiseksi tarkasteluissa ei ole käytetty fysiikkaa lainkaan. Fourierin laki kertoo kuitenkin lämpövuon ja lämpötilan välillä olevan yhteyden 
,
joka kertoo lämmön virtaavan siihen suuntaan, missä lämpötila laskee nopeimmin. Lisäksi aineen sisäenergian ja lämpötilan välillä on yhteys
,
missä  on aineen ominaislämpökapasiteetti (J/(kgK)). Sijoittamalla nämä aiemmin saatuun yhtälöön saadaan nyt
.
Jos Fourierin lain kerroin  (lämmönjohtumisvakio) ei riipu paikasta, saadaan 
,

missä  on Laplacen operaattori.

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

ru:Уравнение диффузии