Suunnattu derivaatta

Suunnattu derivaatta on matematiikassa usean muuttujan funktion derivaatta annetun vektorin suunnassa ja annetussa kohdassa. Muutosnopeuden suuruus voidaan parhaiten arvioida derivaatan avulla, joka määritellään niin, että tarkastelun suunta tulee huomioiduksi. Usean muuttujan funktion arvojen muutosnopeus muuttuu siirryttäessä eri suuntiin. Siksi erotukseksi yhden muuttujan funktioista, joilla on jokaisessa kohdassa yksi derivaatan arvo, usean muuttujan suunnatulla derivaatalla on jokaisessa pisteessä ääretön määrä derivaatan arvoja, jotka riippuvat tarkastelusuunnasta. Suunnatulla derivaatalla on sovelluksia enimmäkseen tieteen ja tekniikan aloilla.

Yhden muuttujan reaalifunktiolla suunnattua derivaattaa vastaa toispuoleinen derivaatta, joka voidaan ottaa vasemmalta tai oikealta puolelta tarkastelupistettä.

Johdanto

Esimerkki 
Yksinkertaisin usean muuttujan funktio on kahden muuttujan funktio  Funktion muuttujia on tapana esittää joko koordinaattipareina tai kaksipaikkaisina vektoreina, joita kutsutaan pisteiksi. Funktion määrittelyjoukko on usein osajoukko -koordinaatiston pisteistä. Funktion arvot lasketaan jokaiselle koordinaatiston pisteelle  erikseen ja kuvataan usein lisäämällä koordinaatistoon -ulottuvuus funktion arvoja varten. Silloin funktion käyttäytymistä voidaan esittää yhtälön  avulla.

 
Esimerkkinä käytetään funktiota  joka on aina positiivinen lukuun ottamatta yhtä nollakohtaa origossa . Valitaan piste , joka sijaitsee oheisen kuvaajan määrittelyalueen nurkkauksessa taka-vasemmalla, ja jossa funktio saa arvokseen  Kuvaajasta päätellään, että funktiota esittävä pinta muistuttaa pullistunutta pussia, joka on sekä - että -akselin suhteen symmetrinen. Koska molemmat symmetriat ovat yhtä aikaa voimassa, on kuvaaja samalla -akselin suhteen symmetrinen ja muodostaa pyörähdyskappaleen pinnan. Pisteen  kohdalla on pinnan -koordinaatti  Piirtämällä yhtälön  kuvaaja -koordinaatistoon, muodostuu siihen ympyrä, jonka säde on  ja keskipisteenä origo. Koska tämän käyrän pisteissä  funktio saa aina saman arvon , kutsutaan sitä tasa-arvokäyräksi. Tasa-arvokäyrillä saa funktion arvoista tarkan kuvan, jos käyrät nimikoidaan niiden arviolla.

Funktion arvojen muutosnopeus näkyy -koordinaatistossa pinnan jyrkkyytenä. Jyrkkyys vaihtelee kuitenkin eri suunnissa. Jos vertaa funktion arvoja tasa-arvokäyrän suunnassa, on funktion arvon muutos nolla. Suurin muutosnopeus on origosta poispäin olevissa suunnissa (gradientti) ja pienin (negatiivinen) origoon päin olevissa suunnissa. Juuri tässä mielessä suunnattu derivaatta on tarpeellinen käsite, kun funktion muutosherkkyyttä eli derivaattaa määritellään eri suunnissa.

Käytännöllinen keino määrittää suunnattu derivaatta on laskea ensin gradientti. Gradientti on vektori, jonka arvo eli pituus on funktion suurin muutosnopeus kyseisessä pisteessä. Vektori myös osoittaa  siihen suuntaan, missä muutosnopeus on suurimmillaan. Piirretään samaan pisteeseen suora, joka kulkee samaan suuntaan kuin suunnattu derivaatta tullaan määrittämään. Gradientin projektio tälle suoralle antaa sunnatun derivaatan arvon projektivektorin pituutena. Se voidaan laskea ottamalla gradientin arvosta kosini suoran ja gradientin välisestä kulmasta.

Esimerkkifunktion gradienttivektori lasketaan osittaisderivaatan avulla 

jolloin vektorin arvoksi tulee  Valitaan derivaatan suunnaksi yksikkövektori , jolloin suunnatun derivaatan  arvoksi saadaan vektorien pistetulon avulla 

eli

Merkintöjä 
Suunnattu derivaatta merkitään monella eri tavalla. Pisteessä  ja suunnassa  määritetty funktion  suunnattu derivaatta voidaan merkitä seuraavilla tavoilla:

missä merkityt kertolaskut ovat vektorien pistetuloja.

Määritelmä 
Usean muuttujan funktion  määrittelyjoukko voidaan ajatella koostuvan usean muuttujan pisteistä tai vektoreista  , jolloin merkitään  (lihavoidut suureet ovat pisteitä ja vektoreita). Kun halutaan laskea funktion arvoja pisteessä , joka sijaitsee pisteestä  lähtevän yksikkövektorin  suunnassa, kirjoitetaan  missä . Funktion arvojen muutosnopeus pisteen  ympäristössä ja suunnassa  muodostetaan erotusosamäärän avulla, jonka raja-arvona saadaan haluttu derivaatta

Yhteys gradienttiin 
Funktion gradientti  (lue "nabla f") on vektori, joka osoittaa kussakin pisteessä  siihen suuntaan, missä funktion suunnattu derivaatta  saa suurimman arvonsa. Silloin suunnatun derivaatan arvo on yhtä suuri kuin gradientin itseisarvo eli . Suunnattu derivaatta voidaan laskea yksikkövektorin ja gradientin vektorien pistetulon avulla 

missä  on yksikkövektorin ja gradientin välinen kulma. Gradienttia käyttämällä saadaan helpoin tapa määrittää suunnatun derivaatan arvo.

Gradientti lasketaan ottamalla funktiosta osittaisderivaatat kunkin muuttujan suhteen erikseen ja järjestämällä tulokset muuttujien mukaiseen järjestykseen vektoriksi

Ominaisuuksia 
Suunnatun derivaatan ominaisuuksia, kun derivaatta on otettu suunnassa :

Funktioiden summa: 

Vakiovektorin sääntö: 

Funktioiden tulon sääntö: 

Ketjusääntö: Jos g on differentioituva pisteessä p and h on differentioituva pisteessä g(p), silloin

Toispuoleiset suunnatut derivaatat 
Toispuoleiset derivaatat funktiolle   suunnassa , missä , voidaan määritellä 

Suunnattu derivaatta suunnassa  on olemassa, kun toispuoleiset suunnatut derivaatat  ja  ovat samanarvoiset. Tällöin pätee

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla
 Heikki P.: Gradientti ja suunnatut derivaatat 
 Kangaslampi, R.: 6. Osittaisderivaatta 1, Osittaisderivaatta 2, 2012
 Silvennoinen, Risto: Luku 3. Raja-arvot. Osittaisderivaatat. , 2010
 Turunen, E.: Differentiaalilaskentaa (viikko4) 
 Hirvensalo, Mika: Insinöörimatematiikka IIB 2012 
 Long, Kevin: Math 5311 – Gateaux differentials and Frechet derivatives, 2009

Differentiaalilaskenta