Eulerin identiteetti

Eulerin identiteetti on kompleksianalyysissä Eulerin lauseella saatu yhtälö

jossa
 on Neperin luku,
 on imaginaariyksikkö ja
 on pii.

Eulerin identiteettiä on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi, koska se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja kompleksiluvut. Kaavassa on myös yhtälöissä esiintyvä tapa kirjoittaa yhtäläisyysmerkin oikealle puolelle nolla.

Määrittäminen 
Eulerin lause on seuraavanlainen:

 

Lause on pätevä kaikille reaaliluvuille x.  Kulma x on radiaaneina.

Jos nyt asetetaan

 ,

niin

 

Koska

 

ja

seuraa, että

 

josta saadaan Eulerin identiteetti

  
Q.E.D.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 

Kompleksianalyysi
Seulonnan keskeiset artikkelit

pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera