Kontraktio

Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.

Määritelmä
Funktio  on kontraktio, jos riippumatta luvuista  on olemassa  siten, että 

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla: 
funktio  on kontraktio, jos riippumatta pisteistä 
 on olemassa  siten, että 
,
missä  ja  ovat avaruuksien  ja   metriikat, vastaavasti.

Esimerkkejä
Funktio  on kontraktio. Nimittäin nyt 
 
eli .

Funktio  ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

Lause 
Olkoon  derivoituva, missä  on väli. Tällöin  on kontraktio jos ja vain jos .

Todistus:
Olkoon .
Jos , niin  differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella 
 
kaikilla 
joten tällöin  on kontraktio. (Jos   ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos , niin on olemassa  siten, että .
Tällöin on olemassa  siten, että 

jolloin . Siis mikään  ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis , niin  ei ole kontraktio, MOT.

Esimerkki 
Funktio  ei ole kontraktio funktiona  mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä:
. On näet

kaikilla
 ja  eli  kaikilla 
mutta silti 

joten 
 jos ja vain jos väli  on äärellinen.
Tässä on käytetty apuna sitä, että 
 kaikilla .

Katso myös
Banachin kiintopistelause

Lähteet

Funktiot