Signum-funktio


Signum-funktio eli etumerkkifunktio on matematiikassa erikoisfunktio, joka saa arvoksi vain lukuja –1, 0 ja 1. Muita arvoja se ei saa. Funktion nimi tulee latinan sanasta signum, joka tarkoittaa merkkiä. Lausekkeissa funktion nimenä käytetään kolmikirjaimista lyhennettä sgn, jolloin lauseke voidaan merkitä esimerkiksi
 
Funktio onkin määritelty tietokoneiden ohjelmointikieliä varten, jotta laskelmissa voidaan määrittää lausekkeen tuloksen merkki ja käyttää sitä tietoa hyväksi.

Funktion saamat arvot tulevat argumentin merkin mukaan seuraavasti. Jos argumentti on negatiivinen, saa signum arvokseen –1, jos argumentti on nolla, saa signum arvokseen 0 ja jos argumentti on positiivinen, tulee signumin arvoksi +1 . Plus-merkki ja miinus-merkki tulkitaan signum-funktiossa luvuiksi +1 ja –1 . Tämä voidaan esittää reaaliluvuilla paloittaisena esityksenä

Funktion ominaisuuksia

Vaihtoehtoisia määritystapoja
Kun , se voidaan laskea myös muodossa

 

missä  tarkoittaa :n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion  avulla:

Parittomuus
Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle  pätee 

koska .

Muita ominaisuuksia
Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo . Toisaalta voidaan kirjoittaa myös .

Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista . Vastaava pätee osamäärällekin.

Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: .

Jatkuvuus realiluvuilla
Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on  ja oikeanpuoleinen raja-arvo .

Kompleksiluvut
Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku  on kompleksiluku, määritetään sen merkki

missä itseisarvo , ja muuten . Sama asia voidaan kirjoittaa myös 

missä . Kun signum reaaliluvulla tarkoittaa yleensä arvoa ±1, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli  
Kun kompleksiluku esitetään muodossa , tulee kaava muotoon 
 
Kaikille kompleksiluvuille  ja niiden kompleksikonjugaateille  on voimassa .

Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuraavia ominaisuuksia:
 (tulon merkkisääntö)
 positiiviselle reaaliluvulle 
 negatiiviselle reaaliluvulle 
 (pariton funktio kompleksiluvuille)

 kompleksilukujen konjugaateille
 kun .

Derivaatta ja integraali
Signum-funktiolla on derivaatta (joka on nolla) kaikkialla muualla paitsi origossa, joka on epäjatkuvuuskohta. Distibuutioteoriassa voidaan kuitenkin kirjoittaa

missä  on Diracin deltafunktio.
Signumin yleinen integraali on

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla

 Mathematik: Die Signumfunktion 
 LipsWork: Signum function

Analyysi
Erikoisfunktiot