Eulerin–Mascheronin vakio

Eulerin–Mascheronin vakio on matemaattinen vakio, jota käytetään pääosin lukuteoriassa. Se määritellään harmonisen sarjan ja luonnollisen logaritmin erotuksen raja-arvona:

Sitä merkitään yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella γ (gamma), ja sen likiarvo 20 desimaalin tarkkuudella on 0,57721566490153286061. Ei tiedetä, onko γ rationaali- vai irrationaaliluku. Vakiota kutsutaan myös joskus Eulerin vakioksi, mutta sitä ei pidä sekoittaa e:n, joka tunnetaan paremmin Neperin lukuna, kanssa.

Eulerin–Mascheronin vakio esiintyy muun muassa gammafunktion tulokaavassa, luonnollisen logaritmin Laplacen muunnoksessa, Eulerin φ-funktion epäyhtälössä ja osana Meisselin–Mertensin vakiota.

Historiaa
Eulerin–Mascheronin vakion määritteli ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler paperissaan De Progressionibus harmonicis observationes vuonna 1735. Euler käytti vakiolle merkintöjä C ja O ja laski sen arvon viiden desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1781 hän oli laskenut vakion 15 desimaalin tarkkuudella.

Vuonna 1790 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni esitti vakiolle merkinnän A ja esitti sen arvon 31 desimaalin tarkkuudella, tosin desimaalit 20:nnestä eteenpäin osoittautuivat virheellisiksi. Mascheroni ei koskaan käyttänyt merkintää γ. Vakiolla on yhteys gammafunktioon.

Joulukuussa 2006 opiskelija Alexander J. Yee laski Eulerin–Mascheronin vakion 116 580 040 desimaalin tarkkuudella.

Integraaleja

 
Hieman monimutkaisempia integraaleja:

Kaksoisintegraali gammalle on
 

Vertaa

Catalan löysi integraalin

Äärettömiä sarjoja
Euler todisti kaavan

Toinen kaava on

Vacca on todistanut kaavat

Toinen kaava on

Äärettömiä tuloja

Lähteet

Vakiot
Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat