Massadistribuutio

Massadistribuutio on mittateorian käsite, jonka avulla voidaan kuvata "massan" jakautumista joukoissa.

Määritelmä

Olkoon  mitta-avaruus varustettuna topologialla ja . Nyt mitta  on massadistribuutio joukossa F, jos
 Perusjoukko X on äärellis- ja positiivimittainen, eli 
 Mitan  kantaja sisältyy joukkoon F, eli 
Tässä ajatellaan, että valitsemme äärellisen määrän massaa ja levitämme sen joukkoon F, jolloin saamme massan jakauman joukossa F. Triviaalisti jokainen mitta, joka toteuttaa ehdon 1. on aina massadistribuutio koko perusjoukossa X sillä kantaja on suoraan määritelmän nojalla aina X:n osajoukko.

Esimerkkejä

 Olkoon  väli [0,1] tasossa. Määritellään kuvaus  kaavalla

missä  on 1-ulotteinen Lebesguen mitta ja joukko  tulkitaan tason sijasta lukusuoran osajoukoksi. Tällöin Lebesguen mitan ominaisuuksista seuraa, että  on mitta. Lisäksi koska  ja kantaja , niin  on massadistribuutio joukossa .

Energia

Avaruudessa  massadistribuution liittyy oleellisesti potentiaaliteoreettiset käsitteet s-potentiaali ja s-energia. Niiden avulla voidaan mittateoriassa muun muassa arvioida fraktaalien Hausdorffin dimensiota.

Määritellään, että jos ,  ja  massadistribuutio :ssä, niin massadistribuution  s-potentiaali pisteessä  on luku

missä integraali on massadistribuution  määräämä mittaintegraali. Tapauksessa  ja  tämä kaava antaa tavallisen Newtonin gravitaatiopotentiaalin.

Vastaavasti massadistribuution  s-energia on luku

eli toisin sanoen

Esimerkiksi voidaan osoittaa, että jos  ja on olemassa massadistribuutio  joukossa F siten, että , niin Hausdorffin mitta  ja dimensio 

Mittateoria