Weierstrassin elliptinen funktio

Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio, joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta. Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista, Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.

,

missä  ja  ovat funktion jaksot ja . Usein merkitään , jolloin  on funktion perussuunnikas. Funktion derivaatalle saadaan lauseke

,

joka on selvästi pariton funktio, eli . Myös  itse on pariton. Koska Weierstrassin funktio on kaksijakoinen, 

.

Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön

.

Merkitsemällä  ja  nähdään, että tämä differentiaaliyhtälö on elliptinen käyrä. Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys

.

Kaavoja 
Summakaava

Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta

Origon lähellä funktiota voidaan approksimoida Laurentin sarjalla

Aiheesta muualla 
Weierstrassin elliptinen funktio MathWorldissa 

Elliptiset funktiot
Algebralliset käyrät