Kroneckerin delta

Kroneckerin delta () on Leopold Kroneckerin mukaan nimetty matemaattinen kahden muuttujan, yleensä kokonaislukumuuttujan funktio, jonka arvo on 1, jos molemmat muuttujat ovat yhtä suuria, muutoin 0. Niinpä esimerkiksi , mutta . Kroneckerin delta käsitetään yleensä pikemminkin lyhennysmerkinnäksi kuin varsinaiseksi funktioksi.

Kroneckerin delta ilmaistaan tavanomaisesti yhtälöllä

Toisinaan käytetään myös yhden muuttujan Kroneckerin deltaa, : 

Kroneckerin deltaa käytetään monilla matematiikan aloilla, etenkin lineaarialgebrassa sekä myös signaalinkäsittelyssä.

Kroneckerin deltan ominaisuuksia

Matemaattisia sarjoja käsiteltäessä Kroneckerin deltalla on se huomattava ominaisuus, että jos j on mielivaltainen kokonaisluku, pätee mille tahansa lukusarjalle :

.

Jos kokonaislukujen joukko käsitetään mitta-avaruudeksi, jossa alkioiden lukumäärä ilmaisee osajoukon mitan, tämä yhtälö on analoginen Diracin deltafunktion kanssa, jolle määritelmän mukaan pätee:

Diracin deltafunktio onkin saanut nimensä tämän analogian perusteella.

Kroneckerin delta lineaarialgebrassa
Lineaarialgebrassa yksikkömatriisi on matriisi, jonka päälävistäjällä kaikki luvut ovat ykkösiä, muualla nollia:

Näin ollen matriisin i:nnellä rivillä j:nnessä sarakkeessa oleva alkio  on 1, jos i = j, muutoin 0, toisin sanoen se on aina sama kuin Kroneckerin delta . Tämä matriisi voidaankin kirjoittaa lyhyesti muotoon
,

missä n on matriisin sarakkeiden ja samalla rivien lukumäärä.

Matriiseja käytetään ilmaisemaan lineaarikuvausten. Tämä Kroneckerin delta-matriisi vastaa tällöin identtistä kuvausta.

Integraaliesityksiä

Funktioteoreettisessa residylaskennassa on muutamia tärkeitä integraaleja, joiden arvo voidaan aina ilmaista Kroneckerin deltan avulla. Tällainen on erityisesti seuraava:

missä integrointi on suoritettu vastapäivään kompleksitason origon ympäri. Tämä voidaan yhtäpitävästi esittää myös seuraavasti:

mikä vastaa kompleksitason kiertoa origon ympäri.

Määritelmän laajennus

Samaan tapaan voidaan määritellä myös useamman lukuparin () Kroneckerin delta seuraavasti:

Tämä on 1, jos vain jos jokaisessa lukuparissa ( on in = jn, muutoin 0.

Digitaalinen signaalinkäsittely

Kroneckerin deltaa käytetään myös digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, jossa se käsitetään kokonaislukujen joukossa  määritellyksi funktioksi
 

Kroneckerin deltasta käytetään signaalinkäsittelyssä myös nimitystä impulssi tai yksikköimpulssi.

Signaalinkäsittelyssä käytetään joko Kroneckerin deltaa tai Diracin deltafunktiota riippuen siitä, onko signaali jatkuva vai diskreetti. Niinpä merkintää  käytetään jatkuvien signaalien yhteydessä, kun taas argumentteja i, j, k, l, m ja n'' käytetään diskreeteille impulsseille. Toinen yleinen käytäntö on merkitä diskreettiä jonoja hakasuluilla:  .

Lähteet

Aiheesta muualla 
Wolfram MathWorld: Kronecker Delta 
Drew Rollins: Kronecker Delta, The University of California, Berkeley, August 27, 2006 (pdf) 

Funktiot