Vedamatematiikka

Vedamatematiikka on kokoelma pikalaskemisen sääntöjä. Se perustuu 16 sutraan ja 13 upa-sūtraan eli seurauslauseeseen, joiden väitetään kattavan koko matematiikan. Ne esitti 1900-vuosisadan alussa hinduoppinut ja matemaatikko Jagadguru Swami Sri Bharati Krishna Tirthaji Maharaja.

16 Sūtraa ja upa-sūtrat

Sūtrat eli kaavat 
Sūtrien nimien suomennokset on tehty englanninkielisistä nimistä.

 EKĀDHIKENA PŪRVEŅA ()
 NIKHILAM NAVATAS’CARAMAM DASATAH ()
 ŨRDHVA TIRYAGBHYĀM ()
 PARĀVARTYA – YOJAYET ()
 SŨNYAM SĀMYASAMUCCAYE ()
 ĀNURŨPYE ŚŨNYAMANYAT ()
 SAŃKALANA – VYAVAKALANĀBHYAM ()
 PŨRANĀPŨRAŅĀBHYĀM ()
 CALANA - KALANĀBHYĀM ()
 EKANYŨŅENA PŨRVENA ()
 YĀVADŨNAM ()
 VYAŞŢISAMAŞŢIH ()
 ŚEŞĀNYAŃ KENA CARAMEŅA ()
 SOPĀNTYADVAYAMANTYAM ()
 GUŅITASAMUCCAYAH ()
 GUŅAKA SAMUCCAYAH ()

Upa-sūtrat tai seurauslauseet 

Upa-sūtrat ovat seurauksia tai edistyneitä sovelluksia sūtrista.

 ĀNURŨPYENA ()
 S’ISYATE S’ESASAMJ ÑAH
 ĀDYAMĀDYENĀNTYA - MANTYENA ()
 KEVALAIH SAPTAKAMGUNYAT
 VESTANAM
 YAVADŨNAM TAVADŨNAM
 YĀVADŨNAM TĀVADŨNĪKŖTYA VARGAÑCA YOJAYET ()
 ANTYAYOR DAŚAKE′PI ()
 ANTYAYOREVA ()
 SAMUCCAYAGUNITAH
 LOPANASTHĀPANĀBHYĀM ()
 VILOKANAM ()
 GUNÌTA SAMUCCAYAH - SAMUCCAYA GUŅÌTAH ()

Esimerkkejä sūtrien soveltamisesta ja niiden algebrallisia todistuksia 

Sūtrat ja upa-sūtrat ovat oleellisesti muistisääntöjä ja laskuteknisiä ohjeita, joiden tarkoitus on helpottaa ja nopeuttaa käytännön laskemista. Siksi ne ymmärtää parhaiten esimerkkien avulla.

Yhtä suuremmalla kuin edellinen 

Sūtra EKĀDHIKENA PŪRVEŅA eli suomeksi "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" on jako- ja kertolaskuun liittyvä laskutekninen ohje. Sillä on kaksi sovellusta.

Kertolasku: Numeroon 5 päättyvien lukujen neliöt 

Lasketaan 25².

Luku on 25. Viimeinen numero on siis 5 ja edellinen on 2. Nyt "Yhtä suuremmalla kuin edellinen" tarkoittaa lukua 2+1=3. Nyt kerrotaan "edellinen" numero (2) "yhtä suuremmalla" (3). Näin saadaan tulon vasen puoli: 2 * 3 = 6. Tulon oikea puoli on 5² = 25.

Siis  25² = 2 X 3 / 25 = 625.
(Merkki "/" ei tässä ole jakomerkki; se vain erottaa vasemman ja oikean puolen.)
 
Samoin,

35²= 3 X (3+1) /25 = 3 X 4/  25 = 1225;

105²= 10 X 11/25 = 11025;

Todistus 

Käytetään kaavaa (ax + b)² = a²x² +  2abx + b².

Sijoitetaan kaavaan x = 10 ja b = 5. Tällöin

(10a + 5)² =  10²a² + 2* 10a * 5 + 5²
=  10²a² + 10²a + 5²
=  10²(a²+ a ) + 5²
=  100a (a + 1) + 25.

Nyt tulon vasen puoli on a(a + 1) ja oikea puoli 25. M.O.T.

Jakolasku: Yhdeksään päättyvien lukujen yksikkömurrot 

"Yhtä suuremmalla kuin edellinen" -sutran avulla voidaan laskea helposti muotoa 1/a9, missä a on luonnollinen luku, olevien murtolukujen desimaalikehitelmät. Tämä voidaan tehdä sekä jakamalla että kertomalla. Tässä esitellään jakolasku .

Esimerkissämme nimittäjä on 19, joten on purva ("edellinen") 1 ja yhtä suurempi on 1+1=2.

Sovelletaan sutraa tässä kontekstissa. Sovitaan lisäksi merkinnästä a;b, jossa a tarkoittaa osamäärää ja b jakojäännöstä.

Askel 1: Jaa 1 luvulla 20, eli 1:20 = 0;1. Saadaan 0.10.

Askel 2: 10:2=5;0. Saadaan 0,005.

Askel 3: 5:2 = 2;1. Saadaan 0,0512.

Askel 4: 12:2 = 6;0. Saadaan 0,05206.

Askel 5: 6:2 = 3;0. Saadaan 0,052603.

Askel 6: 3:2 = 1;1. Saadaan 0,0526311.

Askel 7: 11:2 = 5;1. Saadaan 0,05263115.

Askel 8: 15:2 = 7;1. Saadaan 0,052631517.

Askel 9: 17:2 = 8;1. Saadaan 0,0526315718.

Askel 10: 18:2 = 9;0. Saadaan 0,05263157809.

Askel 11: 9:2 = 4;1. Saadaan 0,052631578914.

Askel 12: 14:2 = 7;0. Saadaan 0,0526315789407.

Askel 13: 7:2 = 3;1. Saadaan 0,05263157894713.

Askel 14: 13:2 = 6;1. Saadaan 0,052631578947316.

Askel 15: 16:2 = 8;0. Saadaan 0,0526315789473608.

Askel 16: 8:2 = 4;0. Saadaan 0,05263157894736804.

Askel 17: 4:2 = 2;0. Saadaan 0,052631578947368402.

Askel 18: 2:2 = 1;0. Saadaan 0,0526315789473684201.

Algoritmin suoritus voidaan keskeyttää tähän, koska seuraavaksi suoritetaan 1:2, jolloin ollaan taas askeleessa 1. Vastaus on siis
.

Huomataan myös, että vastaus voidaan lukea helposti askelien osamääristä: 0,5,2,6, jne.

Lähteet

Aiheesta muualla 
Sri Sathya Sai Veda Pratishtan 

Aritmetiikka