Radon-mitta

Radon-mitat eli Radonin mitat ovat lokaalisti kompakteissa Hausdorffin avaruuksissa tärkeä mittatyyppi. Radon-mitat ottavat huomioon erityisesti avaruuden topologian niin, että Radon-mitan antama arvo vastaa enemmän intuitiivista tulkintaa koosta. Tärkeitä Radon-mittoja ovat mm. Lebesguen mitta, Hausdorffin mitat ja Haarin mitta.

Määritelmä 

Olkoon  lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus ja  Borel-mitta X:ssä. Nyt  on Radon-mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:
  kaikilla kompakteilla .
  kaikilla avoimilla .
  kaikilla Borel-joukoilla .

Monet lähteet jättävät ehdon 3. (ulkosäännöllisyys) pois ja vaativat vain, että mitta on sisäsäännöllinen ja lokaalisti äärellinen. 
Joskus ehto 2. vaaditaan myös kaikilla äärellismitallisilla Borel-joukoilla, kaikilla Borel-joukoilla tai peräti kaikilla mitallisilla joukoilla.
Harvoin vaaditaan, että .

Ehto 1. on ekvivalentti seuraavan ehdon kanssa:

  1'.  on lokaalisti äärellinen (eli joka pisteellä  on ympäristö, jonka mitta on äärellinen).

Todistus: 1.1'., koska jos  on ympäristö, jonka sulkeuma on kompakti, .
1'.1., koska jos jokaiseen kompaktin joukon pisteeseen liitetään äärellismitallinen ympäristö, äärellisen moni näistä ympäristöistä yhdessä peittää sen kompaktin joukon, jonka mitta on siis näiden mittojen summaa pienempi, siten äärellinen, MOT.

Jos jokainen joukon  avoin osajoukko on -kompakti (näin on jos  on joukon  avoin tai suljettu aliavaruus), kaikki ehdon 1. täyttävät mitat ovat säännöllisiä (täyttävät ehdot 2. ja 3.) ja siten Radon-mittoja. Erityisesti tällöin kaikki äärelliset mitat ovat Radonin mittoja.

Sovelluksia 

 Frostmanin lemma
 Mittojen heikko suppeneminen
 Rieszin esityslause

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 
 Radon measure, Encyclopedia of Mathematics.
 What is actually the standard definition for Radon measure?, Math Overflow.
 On Radon Measure, David Kent & Lindsay Mercer, 3.12.2016

Mittateoria