Suoristuva joukko

Suoristuvat joukot ovat mittateorian sovelluksissa käytettävä joukkotyyppi, joilla on paljon sileiden monistojen ominaisuuksia mittateoreettisessa mielessä. Suoristuvuutta käytetään erityisesti fraktaalien teoreettisessa tutkimuksessa.

Määritelmä  

Olkoon  ja . Nyt joukko E on m-suoristuva, jos on olemassa Lipschitz-kuvaukset , joilla

missä  on m-ulotteinen Hausdorffin mitta.

Toisin sanoen m-suoristuvaa joukkoa voidaan approksimoida Lipschitz-kuvausten kuvajoukoilla mittateoreettisessa mielessä tarkasti.

Kirjallisuudessa joukkoa  sanotaan puhtaasti m-epäsuoristuvaksi, jos jokaisella m-suoristuvalla  pätee

Epäsuoristuvuutta ja puhtaasti epäsuoristuvuutta ei tule sekoittaa keskenään. Nimittäin on olemassa joukkoja, jotka eivät ole puhtaasti epäsuoristuvia, mutta ovat epäsuoristuvia (esimerkiksi puhtaasti epäsuoristuvan ja suoristuvan joukon erillinen yhdiste). Toisaalta voidaan osoittaa, että jokainen joukko  voidaan jakaa puhtaasti m-epäsuoristuvaan ja m-suoristuvaan osaan.

Esimerkkejä 

 Suoristuvia joukkoja ovat mm. sileät m-monistot (m-suoristuvia) ja suoristuvat käyrät (1-suoristuvia). 

 Puhtaasti 1-epäsuoristuvia ovat mm. Kochin lumihiutale ja Cantorin joukon tulojoukko itsensä kanssa.

Approksimatiivinen tangentti 

Olkoon ,  ja  affiini kuvaus. Olkoon lisäksi  ja joukko

missä  on pisteen x etäisyys joukosta .

Määritellään, että  on joukon  approksimatiivinen tangentti pisteessä , jos jokaisella  on raja-arvo

Voidaan osoittaa, että m-suoristuvilla joukoilla on approksimatiivinen tangentti -melkein jokaisessa pisteessä .

Mittateoria