Kaprekarin luku

Kaprekarin luku annetussa lukujärjestelmässä on positiivinen kokonaisluku, jonka neliö tuossa lukujärjestelmässä voidaan jakaa kahteen numero-osaan niin, että näiden osien summa on tuo alkuperäinen luku. Esimerkiksi 297 on Kaprekarin luku kymmenjärjestelmässä, koska 2972 = 88 209, joka voidaan jakaa 88:ksi ja 209:ksi, jolloin 88 + 209 = 297. Jälkimmäinen osa voi alkaa numerolla 0, mutta sen on oltava positiivinen. Esimerkiksi 999 on Kaprekarin luku kymmenjärjestelmässä, koska 9992 = 998 001, joka voidaan jakaa 998:ksi ja 001:ksi, jolloin 998 + 001 = 999. Sen sijaan 100 ei ole Kaprekarin luku: vaikka 1002 = 10 000 ja 100 + 00 = 100, jälkimmäinen osa ei ole positiivinen.

Matemaattisesti ilmaistuna: Olkoon X positiivinen kokonaisluku. X on Kaprekarin luku b-lukujärjestelmässä, jos on olemassa ei-negatiiviset kokonaisluvut n ja A sekä positiivinen kokonaisluku B niin, että seuraavat kolme ehtoa täyttyvät:

 0 < B < bn
 X² = Abn + B
 X = A + B

Ensimmäiset Kaprekarin luvut kymmenjärjestelmässä ovat 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2 223 ja 2 728.

Binäärijärjestelmässä kaikki parilliset täydelliset luvut ovat Kaprekarin lukuja.

Jokaisessa lukujärjestelmässä on äärettömän monta Kaprekarin lukua. Oikeastaan b-lukujärjestelmässä kaikki luvut muotoa bn − 1 ovat Kaprekarin lukuja.

Kaprekarin luvut on nimetty D. R. Kaprekarin mukaan. Niitä ei tule sekoittaa lukuun 6 174, jota sanotaan Kaprekarin vakioksi.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 Douglas E. Iannucci, The Kaprekar Numbers, Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000),  http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/iann2a.html 

Lukuteoria