Keskijana

Keskijana eli mediaani on geometriassa jana, jonka toinen päätepiste on kohdejanan keskipisteessä. Esimerkiksi kolmiossa keskijana kulkee kolmion kärjestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen eli kantapisteeseen. (Mediaani tarkoittaa myös erästä keskilukua: lukusarjan keskimmäistä lukuarvoa.)

Keskijanan kantapiste merkitään usein alaviitteellä, mutta merkinnässä on lähteistä riippuen eroja. Jos jana alkaa pisteestä A, saatetaan kantapistettä merkitä  tai . Joskus se merkitään  tai , jos se sijaitsee janalla 

Tässä merkitään kolmion sivujen pituuksia kirjaimilla a, b ja c sekä kolmion kärkiä kirjaimilla A, B ja C. Kantapisteet ovat silloin Ma, Mb ja Mc sekä keskijanojen pituudet ma, mb ja mc.

Kaavoja 
Yleisen kolmion keskijanan pituus on  missä keskijana toinen pää on janan  keskipisteessä. Tämä on seuraus Apolloniuksen lauseesta.

Kun keskijanojen yhteispituuden puolikasta merkitään  pätee kolme asiaa:
 (vastaavasti muillekin kolmion suvuille)

Yleisiä teoreemoja 
Jos kolmiossa on keskijanat yhtä pitkät kuin vastinjanat toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.

Jokainen keskijana leikkaa toisensa suhteessa 1 : 2. Keskijanat jakavat kukin yksin kolmion kahteen pinta-alaltaan tai, tasapaksulla levyllä vastaavasti, painoltaan yhtä painavaan, osaan.

Kolmion keskijanat jakavat kolmion kuuteen pienempään kolmioon, joilla kaikilla on sama pinta-ala.

Kolmion keskijanojen kantapisteiden kautta voidaan piirtää ympyrä. Tämä ympyrä kulkee myös kolmion korkeusjanojen kantapisteiden kautta.

Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka painopiste sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla.

Jos kolmion keskijana on samalla korkeusjana eli se kohtaa janan kohtisuorasti, on kolmio tasakylkinen- tai tasasivuinen kolmio.

Painopiste 
Kolmion keskijanat leikkaavat aina samassa pisteessä, jota kutsutaan painopisteeksi ja merkitään usein kirjaimella G. Painopiste jakaa jokaisen keskijanan osiin suhteessa 2 : 1 siten, että janan lyhyempi osa jää kantapisteen puolelle.

Lähteet

Viitteet 

Geometria