Reunanylityslause

Reunanylityslause on topologiaan liittyvä seuraava tulos: Olkoon  topologinen avaruus, osajoukko  yhtenäinen ja . Jos  kohtaa sekä :n että :n, niin  kohtaa myös :n reunan .

Todistus 

Merkitään  ja . Jos , niin . Sisäpisteen ja ulkopisteen määritelmästä seuraa  ja oletuksista seuraa . Nyt . Koska joukot  ja  ovat erillisiä, epätyhjiä ja :ssä avoimia, niin  on epäyhtenäinen. Tämä on ristiriita oletusten kanssa, joten täytyy päteä .

Vaihtoehtoinen todistus: 

Tehdään vastaoletus,  ei kohtaa :n reunaa: . Eli . 

Olkoon  ja  (oletukset). Nyt . Tutkitaan sitten leikkauksia  ja . 

, joka on vastaoletuksen ja sulkeuman määritelmän nojalla . , joka on vastaoletuksen ja säännon  nojalla . 

Joukko  siis separoituu, joten se ei ole yhtenäinen. Tämä on ristiriita. Täten alkuperäinen väite on tosi.

Lähteet

Topologia