Nollalla jakaminen

Nollalla jakaminen tarkoittaa jakolaskua, jossa jakaja on nolla. Muodollisesti tällaista jakolaskua merkitään . Tavallisessa aritmetiikassa  ei ole määritelty.

Algebrallinen tulkinta 

Jakolasku määritellään kertolaskun avulla: osamäärä  tarkoittaa sitä lukua , jolla pätee . Oletetaan nyt, että . Jakolaskun määritelmän mukaan  on se luku , jolla . Kuitenkin  riippumatta luvusta . Siis ei ole olemassa lukua , eli nollalla ei voi jakaa nollasta eroavaa lukua .

Myöskään nollaa ei voi jakaa nollalla: mikä tahansa luku  toteuttaa yhtälön , joten  voisi olla mikä reaaliluku hyvänsä.

Geometrisen summan avulla 

Yksi tapa lähestyä nollalla jakamisen ongelmaa on geometrisen summan  avulla. Tiedetään että summan suppenemissäde on .

Kun sijoitetaan summaan arvo , saadaan . Koska summa  kasvaa rajatta, suureella  ei ole mielekästä arvoa.

Raja-arvot ja nollalla jakaminen

Nollalla jakamista voi tarkastella myös raja-arvojen avulla. Kun  lähestyy nollaa oikealta puolelta, kasvaa osamäärä  rajoittamattomasti. Kun  lähestyy nollaa vasemmalta puolelta, osamäärä  vähenee rajatta. Jos siis haluttaisiin määritellä nollalla jakaminen lausekkeen  raja-arvona, tulisi osamäärän  olla yhtä aikaa sekä äärettömän suuri että äärettömän pieni. Tämä on mahdotonta, joten nollalla jakamista ei voi määritellä tälläkään tavalla.

Nollalla jakamisen seuraukset 

Jos sallitaan nollalla jakaminen ja oletetaan, että , voidaan todistaa, että esimerkiksi 2 = 1.

Nollan ominaisuuksista johtuen tiedetään että  ja . Näin siis on . Jakamalla yhtälö puolittain nollalla saadaan . Siispä .

Jakamalla nollalla on päädytty selvästi ristiriitaiseen johtopäätökseen. Siis nollalla ei voi jakaa.

Laajennettu reaaliakseli 

Reaaliakseli  voidaan laajentaa sisältämään alkiot  ja , jotka sopivasti tulkittuna antavat järkevän määritelmän nollalla jakamiselle. Joissain matematiikan aloissa, kuten mittateoriassa, tämä on luontevaa sillä usein eteen tulee funktioita, joille esimerkiksi ääretönarvoisuus olisi selkempää määritellä kuin jättää raja-arvojen varaan.

Määrittelemme, että laajennettu reaaliakseli on joukko , missä  ja  ovat alkioita, joille pätee seuraavat ominaisuudet:

  kaikilla  

  ja  

  ja  

  kaikilla 

  kaikilla  

  kaikilla 

  kaikilla  

  kaikilla  

  kaikilla  

  kaikilla  

  kaikilla  

  kaikilla 

  kaikilla .

Tapauskohtaisesti myös määritellään

  ja .

Merkinnät

 ,

 , 

 , 

  ja 

 

eivät ole määritelty joukossa .

Nollalla jakaminen ohjelmoinnissa 

Tietokoneohjelmoinnissa kokonaislukujen jakolasku, jossa jakaja on nolla, aiheuttaa ohjelman keskeytymisen tai siirtymisen poikkeuskäsittelijään. Liukuluvuilla laskettaessa (hallitsevan IEEE 754 -standardin mukaan) nollia on kaksi: positiivinen nolla ja negatiivinen nolla; näiden voi ajatella kuvaavan esitystarkkuuden rajaa pienempiä lukuja, joista kuitenkin tiedetään etumerkki. Nollalla jakaminen antaa tulokseksi positiivisen äärettömän tai negatiivisen äärettömän riippuen jaettavan ja nollajakajan etumerkeistä. Jos myös jaettava on nolla eli jaetaan nollaa nollalla, tulos on määrittelemätön arvo, jota kutsutaan nimellä Not-a-Number tai lyhenteellä NaN (vakiintumaton suomennos 'epäluku').

Lähteet

Analyysi
Nolla
Ohjelmointivirheet

de:Null#Division