Autokorrelaatio

Tilastotieteessä ja signaalinkäsittelyssä autokorrelaatio on matemaattinen työkalu, joka kuvaa aikasarjan havaintojen välistä riippuvuutta havaintojen välisen aikaeron funktiona. Voidaan ajatella, että aikasarjassa esiintyy autokorrelaatiota silloin, kun sarja ei ole täysin satunnainen, vaan uudet havainnot riippuvat jollain tavalla olemassa olevista havainnoista.

Määritelmä
Autokorrelaatio määritellään odotusarvona :n suhteen

,

missä  on aikasarjan näytteen arvo hetkellä . Symboli  tarkoittaa kompleksikonjugointia ja reaaliarvoiselle aikasarjalle tällä ei siis ole vaikutusta.

Valkoisen kohinan autokorrelaatio
Olkoon  jono normaalijakautunutta kohinaa odotusarvolla , jonka eri ajanhetkiltä peräisin olevat näytteet ovat korreloimattomia. Määritelmän mukaan kaksi satunnaismuuttujaa ovat korreloimattomat, jos niille pätee

.

Korreloimattomuudesta ja kohinan  nolla-keskiarvoisuudesta seuraa, että

Tässä  on varianssi-operaattori.

Autokorrelaation estimointi
Käytännön sovelluksissa tilastollista autokorrelaatiota ei tunneta, vaan se joudutaan estimoimaan havaitusta aineistosta.

Autokorrelaatiomenetelmä
Autokorrelaatio estimoidaan menetelmällä

Tämä estimaattori on harhainen, mutta asymptoottisesti harhaton.

Esimerkkejä

R 

Tuotetaan R:llä aikasarja käyttäen autoregressiomallia , jolloin voidaan odottaa sarjasta löytyvän selvää autokorrelaatiota sarjan aikaisempien arvojen välillä:

 rand = rnorm(1000)
 x = rep(0, 1000)
 for (i in 2:1000) { x[i] = 0.95 * x[i - 1] + rand[i] }
 acf(x, 20, pl=FALSE)

 Autocorrelations of series ‘x’, by lag

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11    12 
 1.000 0.912 0.830 0.743 0.666 0.598 0.541 0.486 0.441 0.391 0.341 0.295 0.256 
    13    14    15    16    17    18    19    20 
 0.216 0.191 0.173 0.158 0.140 0.124 0.105 0.083

Katso myös 

 Spatiaalinen autokorrelaatio

Lähteet
 Hayes, Monson H. 1996: Statistical signal processing and modeling, Wiley & sons.

Kirjallisuutta 
 

 

Todennäköisyyslaskenta
Tilastotiede
Signaalinkäsittely