Aallokemuunnos

Aallokemuunnos on 1980-luvulta lähtien yleistynyt sovelletun matematiikan menetelmä, jota hyödynnetään mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja harmonisessa analyysissä. Se on korvaamassa monessa sovellutuksessa Fourier-muunnoksen. Toisin kuin Fourier-muunnoksessa, joka määrittelee signaalin jatkuvien trigonometristen funktioiden lineaarikombinaationa, aallokemuunnoksessa signaalin muodostavat osafunktiot ovat lokaaleja.

Aallokemuunnos tehdään suodattamalla syötesignaali käyttäen kantafunktiosta johdettujen aalloke- ja skaalausfunktioiden eri tavalla skaalattuja ja aika-avaruudessa siirrettyjä variaatioita.

Yleisesti käytössä on ns. diskreetti aallokemuunnos, jossa aallokkeiden skaalaus ja siirto määritellään diskreettien kokonaislukuparametrien avulla. On myös olemassa ns. jatkuva aallokemuunnos, jossa skaalaus- ja siirtoparametrit voivat olla mitä tahansa reaalilukuja.

Diskreetti aallokemuunnos
Olkoon  aallokefunktio tai "äiti-aalloke".  Sen muodostomaa funktioperhettä 

kutsutaan aallokejärjestelmäksi, jonka avulla voidaan määritellä diskreetti aallokemuunnos:

missä  on funktioavaruuden  sisätulo. Aallokemuunnoksen arvoja  kutsutaan funktion  aallokekertoimiksi. Fourier-muunnoksen tavoin niiden avulla on mahdollista analysoida funktion ominaisuuksia eri skaaloissa tai taajuuksilla, mutta lokaalisti: jokainen aalloke  on keskitetty ainoastaan  pituiselle osalle avaruutta . Parametrin  kasvaessa aallokkeiden koko pienenee ja niillä voidaan analysoida funktiota  entistä pienemmillä väleillä, eli korkeammalla resoluutiolla.

Erityisen suosittuja ovat aallokefunktiot , joiden muodostama aallokejärjestelmä on avaruuden  (tai sen aliavaruuden) kanta. Tällaisia aallokeperheitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Esim. Alfréd Haarin kehittämä Haarin aalloke, Ingrid Daubechiesin kompaktikantajaiset aallokeperheet ja Jean Morletin kompleksilukuarvoinen Morlet-aallokke..

Kannan määritelmän mukaisesti kaikki avaruuden alkiot voidaan esittää kannan avulla. Aallokkeiden tapauksessa mikä tahansa  voidaan ilmaista sen aallokertoimien avulla:

Tällöin lineaarinen analyysioperaattori  on Hilbertin avaruuksien välinen unitaarinen operaattori, jonka käänteismuunnos (eli synteesioperaattori) on

,

millä tahansa .

Lähteet

Kirjallisuutta
 

 

 

Aaltoliike
Kuvankäsittely