Prothin teoreema

Prothin teoreema on lukuteoreettinen lause, jonka avulla voidaan testata, onko annettu Prothin luku alkuluku. 

Jos  on Prothin luku, eli muotoa , missä  on pariton kokonaisluku ja , ja on olemassa sellainen kokonaisluku , että

,

niin Prothin lauseen mukaan  on alkuluku. 

Tällaista alkulukua kutsutaan Prothin alkuluvuksi. 

Prothin lause tarjoaa käytännöllisen menetelmän sen testaamiseksi, onko Prothin luku alkuluku. Jos nimittäin  on alkuluku, umpimähkään valittu  toimii noin 50 prosentin todennäköisyydellä.

Esimerkkejä 

 Jos p = 3, 21 + 1 = 3 on jaollinen luvulla 3, joten 3 on alkuluku.
 Jos p = 5, 32 + 1 = 10 on jaollinen luvulla 5, joten 5 on alkuluku.
 Jos p = 13, 56 + 1 = 15626  on jaollinen luvulla 13, joten 13 on alkuluku.
 Jos p = 9 (joka ei ole alkuluku), ei ole olemassa sellaista lukua a, niin että a4 + 1 on jaollinen luvulla 9.

Muutama ensimmäinen Prothin alkuluku :
3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153

Suurin tunnettu Prothin alkuluku on Seventeen or Bust -projektin löytämä 19249 · 213018586 + 1. Siinä on 3918990 numeroa ja se on suurin tunnettu alkuluku, joka ei ole Mersennen alkuluku.

Historia 

Ranskalainen matemaatikko François Proth (1852 - 1879) julkaisi teoreeman vuoden 1878 tienoilla.

Katso myös 
 Sierpinskin luku

Lähteet

Aiheesta muualla 
 Prothin teoreema MathWorld -matematiikkasivustolla

Lukuteoria

de:Prothsche Primzahl
nl:Prothgetal