Hypergeometrinen sarja

Hypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.

Tavallisin hypergeometrinen funktio on , joka määritellään hypergeometrisena sarjana

eli aukikirjoitettuna

,

mikä suppenee välillä , jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos . Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio  toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön

.

Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.

Erikoisfunktiot