Diracin deltafunktio

Diracin deltafunktio on brittiläisen fyysikon Paul Diracin käyttöön ottama matemaattinen konstruktio. Intuitiivisesti se voidaan käsittää eräänlaiseksi erikoislaatuiseksi funktioksi, jonka kuvaaja on sellainen äärettömän terävä piikki, jonka alle jäävä pinta-ala on 1.  Diracin deltafunktiolla on integraalilaskennassa vastaava merkitys kuin Kroneckerin deltalla sarjateoriassa. Signaalinkäsittelyn alalla sitä sanotaan myös yksikköimpulssifunktioksi. Diracin deltafunktiota käytetään esimerkiksi sähködynamiikassa kuvaamaan pistemäisen varauksen varaustiheyttä.

Tarkkaan ottaen Diracin deltafunktio ei ole funktio lainkaan, vaan ajatus, joka on vasta myöhemmin formalisoitu niin sanottujen jakaumien tai distribuutioiden kautta. Nuo ovat todennäköisyysteoriasta osin lähteneitä matemaattisia rakenteita, jotka sitäkin yleisemmin formuloidaan mitta- ja integraaliteorian kautta, sekä vetoamalla lineaariseen funktionaalianalyysiin.

Ajatus lähtee alun perin fysiikasta ja sen pistemäisenä pitämästä elektronista, jolla siis on pistemäinen varaus. Sitä käytetään yleisemmin kuvaamaan tapauksia, joissa jokin suure tai kenttä on keskittynyt niin pienelle alueelle, että sen voidaan katsoa olevan yhteen pisteeseen keskittynyt. Tällaisten kenttien kuvaus vaatii perinteisestä funktioihin perustuvasta, jatkuvasta ja differentioituvasta matematiikasta poikkeavaa kuvausta, samalla kun funktionaalinen kuvaus lopulta osoittautuu varsin kauniiksi sekä säännölliseksi.

Yleistä 
Diracin deltafunktio on karkeasti ajatellen käsitettävissä funktioksi, jonka arvo on nolla kaikkialla muualla paitsi nollassa, jossa se on ääretön: 

 

ja joka lisäksi toteuttaa ehdon

Tämä on kuitenkin vain heuristinen määritelmä, sillä nimestään huolimatta deltafunktio ei ole tavanomaisessa mielessä funktio. 

Yleensäkin on 

,

jos a < 0 < b, mutta

,

jos a ja b ovat joko molemmat positiivisia tai molemmat negatiivisia. Täten Diracin deltafunktio on Heavisiden funktion derivaatta.

Diracin deltafunktio voidaan kertoa mielivaltaisella reaaliluvulla A, jolloin saadun funktion integraali on A. Kuitenkin esimerkiksi funktiot f(x) = δ(x) ja g(x) = 2 δ(x) ovat kaikkialla yhtä suuret, myös nollassa, jossa molemmat saavat arvon ääretön, mutta siitä huolimatta niiden integraalit ovat eri suuret. Tämä on kuitenkin ristiriidassa Lebesguen integraaliteorian kanssa. Sen mukaan jos funktiot f ja g saavat saman arvon melkein kaikkialla (toisin sanoen kaikkialla muualla paitsi joukossa, jonka Lebesguen mitta on nolla), silloin g on integroituva, jos ja vain jos f on integroituva ja molempien funktioiden integraalit ovat yhtä suuret. Diracin deltafunktio voidaankin täsmällisesti määritellä ainoastaan matemaattisten distribuutioiden teorian avulla. 

Diracin deltafunktiota käytetään runsaasti fysiikan eri aloilla. Integroitaessa se on hyvin hyödyllinen sellaisten funktioiden approksimaationa, jotka ovat terävän piikin muotoisia. Se voidaan käsittää samankaltaiseksi abstraktioksi kuin massapiste tai pistemäinen sähkövaraus. Mekaniikassa sitä voidaan soveltaa törmäyksiin, esimerkiksi pallon lyöntiin pesäpallomailalla, jolloin palloon kohdistuva voima vaikuttaa vain äärimmäisen lyhyen ajan, mutta pallon liikemäärän ja liike-energian muutos ja siten voiman impulssi ja sen tekemä työ ovat helposti todettavissa. Tällöin voidaan ajatella palloon kohdistuvan voiman vaihdelleen ajan funktiona Diracin deltafunktion mukaisella tavalla.

Laskukaavoja 
Jos f(x) on mielivaltainen funktio ja a < 0 < b, on

. 

Deltafunktio voidaan skaalata seuraavasti (edellyttäen, että  ei ole nolla),

mistä saadaan:

Tämä skaalausominaisuus voidaan yleistää muotoon:

 

missä luvut xi ovat funktion g(x) nollakohdat. Näin ollen on esimerkiksi

Integraalimuodossa tämä skaalaus voidaan esittää seuraavasti:

 

n-ulotteisessa avaruudessa, jossa paikkavektori on , tämä voidaan yleistää muotoon

 

missä oikeanpuoleinen integraali on otettu alueen  yli, joka on  yhtälön  määrittelemä n-1  -ulotteinen pinta. 

Deltafunktiolle on myös voimassa:

Deltafunktio jakaumana 
Diracin deltafunktio voidaan käsittää myös todennäköisyysjakauman erikoistapaukseksi. Se kuvaa sellaista satunnaismuuttujan rajatapausta, jossa muuttuja saa aina saman arvon. Sen avulla voidaan myös diskreetit jakaumat käsittää jatkuvien jakaumien erikoistapauksiksi, joissa tiheysfunktio on muotoa

Tällöin satunnaismuuttujan tiheysfunktio voi sisältää samaan aikaan diskreetin ja jatkuvan osan. Tiheysfunktio koostuu jatkuvasta taustasta, ja korkeintaan numeroituvasta määrästä toisistaan erillisiä singulaarisia Dirac-funktioita. Nuo vastaavat todennäköisyydessä kertymäfunktion jatkuvia ja hyppääviä osia, hyppäysten ollen Dirac-distribuutioita kertymäfunktion yleistettynä derivaattana.

Jakaumana Diracin deltafunktio vastaa myös sellaista normaalijakauman rajatapausta, jossa  keskihajonta lähenee käänteisesti rajatta nollaa. Monia muitakin tapoja lähestyä eri funktioavaruuksien eri normeissa kohti delta-funktiota tunnetaan. Eräät tärkeimmät ovat glue- eli liimafunktiot, perheissään, koska ne ovat tärkeitä reaalianalyysin ja kompleksianalyysin rajapinnassa. Sellaisa ovat myös erilaiset harmonisen analyysin tuottamat kehitelmät, eli ensimmäisenä sinc(x)-kehitelmä, kaistarajatun impulssin suppenemisessa Dirac-impulssiin, yhä korkeammalla kaistarajalla. Sellainen liittyy näytteistysteoreemaan ja jopa fysikaalisten teorioiden cutoff-analyysiin.

Matemaattisia yksityiskohtia 
Todennäköisyysjakaumana Diracin deltafunktion karakteristinen funktio (siis Fourier-muunnos) on vakio 1 ja momenttigeneroiva funktio vakio 0. Sitä vastaava kertymäfunktio on 0 negatiivisilla ja 1 positiivisilla muuttujan arvoilla.

Yleisemmässä temperoitujen distribuutioiden teoriassa delta-funktionaalilla on kaikki derivaatat ja integraalit, kaikissa dimensioissa. Niitä voi vapaasti käyttää kaikissa differentiaali- ja osittaisdifferentiaaliyhtälöissä mihin vain äärelliseen kertaluokkaan, mutta kertolasku syntyvien funktioiden välillä on todistetusti hankalaa. Suoraan epäkonsistenttia.

Fourier-teoria syntyvien paikallisten funktionaalien välillä on kaunis ja täydellinen, varsinkin neliönormissa. Se on temperoidussa neliönormidistribuutioavaruudessa täysin duaalinen: koko Laplace-teoria menee Fourier-kautta polynomeihin ja päin vastoin. Delta-funktionaali kuvautuu Fourier-muunnoksen kautta nollannen asteen polynomiksi eli vakioksi; sen derivaatta kuvautuu ensimmäiseksi lineaariseksi asteeksi; sikäli kuin on ajassa siirrettyjä asioita, ne kuvautuvat eri tavoin summatuiksi polynomeiksi ja takaisin.

Tämä kaikki toimii yhteen siksi, että ei puhuta globaalisesta integroituvuudesta, vaan vain siitä mitä tapahtuu paikallisesti. Puhutaan siitä miten pienessä joukossa, paikallisesti, tietty määrä testifunktioita käyttäytyy suhteessa testattavaan asiaan, kuten Diracin deltaan.

Kun tehdään näin, integroituvuudesta tulee paikallinen suure globaalin asemesta, ja siksi Dirac-impulssi ja jopa sen kaikki derivaatat voidaan määritellä kunnolla. Ne määritellään suhteessa paikalliseen koetteluun, testifunktioiden suhteen.

Lähteet

Aiheesta muualla 

MathWorld: Delta Function 
PlanetMath 
Diracin deltafunktion integraali- ja sarjaesityksiä 
Diracin deltamitta on hyperfunktio (pdf)
Diracin deltafunktion integraalin yksikäsitteisyyttä koskeva matemaattinen todistus
Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure. 
International Electrotechnical Commission (IEC): Dirac delta function 

Mittateoria