Gamma-matriisit

Matemaattisessa fysiikassa, gamma-matriisit, {γ0, γ1, γ2, γ3}, eli Diracin matriisit muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä.  

Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.

Diracin kannassa neljä kontravarianttia gamma-matriisia on

Matemaattinen rakenne
Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio

missä  on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ − − −) ja  on yksikkömatriisi.

Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ − − −), (− + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.

Kovariantit gamma-matriisit määritellään
,
jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.

Määritelmä ei määrää yksikäsitteisesti gamma-matriiseja.

Historiaa
Paul Dirac löysi gammamatriisit koettaessaan löytää kvanttimekaanista liikeyhtälöä, joka kuvaa spin-1/2 hiukkasia. Klein ja Gordon olivat yrittäneet tätä jo 1926, jolloin he tekivät Schrödingerin tapaan operaattorisijoituksen  ja  dispersiorelaatioon

Tuloksena ollut Kleinin-Gordonin yhtälö ei antanut positiividefiniittiä todennäköisyystiheyttä ja ennusti väärät energiatasot vetyatomille. Ongelma perustuu toisen kertaluvun derivaattoihin. Ottamalla ensin dispersiorelaatiosta neliöjuuri ja vasta sen jälkeen sijoittamalla saadaan neliöjuuren alla oleva operaattori, minkä käsittely aiheuttaa vaikeuksia.

Dirac linearisoi operaattorineliöjuuren olettamalla, että

missä  on kolmekomponenttinen vektori. Korottamalla yrite toiseen tulisi saada dispersiorelaatio ja samalla ehtoja tekijöille  ja . Ehdot ovat

missä i ≠ j. Näitä ehtoja eivät täytä yhtäaikaa mitkään kompleksiluvut. Dirac huomasi, että tietyt matriisit toteuttavat annetut ehdot. Pienimmät annetut ehdot toteuttavat matriisit ovat 4x4-matriiseja. Nykymerkinnöin  ja  , missä .

Diracin yhtälö
Luonnollisessa yksikköjärjestelmässä Diracin yhtälö voidaan ilmaista muodossa

missä  on nelikomponenttinen Dirac-spinori. Jos  olisi nelivektori, se osoittaisi johonkin aika-avaruuden suuntaan ja Diracin yhtälö ei olisi Lorentz-invariantti.

Feynmanin sivallusmerkintä määritellään

 

Diracin yhtälö on tämän avulla ilmaistuna

Käyttämällä operaattoria  molemmin puolin, saadaan

eli Kleinin-Gordonin yhtälö. Kuten merkinnästä voi päätellä, Diracin yhtälöä noudattavan hiukkasen massa on m.

Viides gamma-matriisi
On hyödyllistä muodostaa viides gamma-matriisi neljän gamma-matriisin tulona seuraavalla tavalla:
 (Diracin kannassa)
Vaikka  käyttää gamma-kirjainta, sitä ei pidetä määritelmän mukaisena gamma-matriisina. Yläindeksi 5 on jäänne ajasta, jolloin  oli . 

 voidaan ilmaista vaihtoehtoisesti myös seuraavassa muodossa:

Tässä  on neliulotteinen yleistys Levi-Civita-symbolille. Viides gamma-matriisi on hyödyllinen käsiteltäessä hiukkasten kätisyyttä eli kiraalisuutta hiukkasfysiikassa. Esimerkiksi Diracin kentän voi projisoida vasen- (L) ja oikeakätisiksi (R) seuraavasti:
.

Matriisilla on seuraavat ominaisuudet:
Hermiittisyys:

Ominaisarvot ovat ±1, sillä:

Antikommutointi gamma-matriisien kanssa:

Matemaattisia identiteettejä
Seuraavat gamma-matriiseja koskevat laskusäännöt seuraavat suoraan matriisit määrittelevästä antikommutaatiorelaatiosta, joten ne pätevät missä tahansa kannassa.

Sekalaisia laskusääntöjä
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align=""
! style="background:#ffdead;" | Nro !! style="background:#ffdead;" | Laskusääntö
|-
| 1 || 
|-
| 2 || 
|-
| 3 || 
|-
| 4 || 
|-
| 5 || 
|}

Jälkien laskusääntöjä

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align=""
! style="background:#ffdead;" | Nro !! style="background:#ffdead;" | Laskusääntö
|-
| 0 || 
|-
| 1 || Tulon, jossa on pariton määrä gamma-matriiseja, jälki on 0
|-
| 2 || Tulon, jossa on  kerrottuna parittomalla määrällä gamma-matriiseja, jälki on 0
|-
| 3 || 
|-
| 4 || 
|-
| 5 || 
|-
| 6 || 
|-
| 7 || 
|}

Ylläolevien laskusääntöjen todistaminen vaatii kolmen lineaarialgebrasta tutun laskusäännön käyttämistä:
tr(A + B) = tr(A) + tr(B) 
tr(rA) = r tr(A) 
tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

missä A, B ja C ovat matriiseja ja r on skalaari.

Feynmanin sivallusmerkintä
Kvanttikenttäteoriassa usein esiintyvä gamma-matriisin ja nelikomponenttisen vektorin yhdistelmä lyhennetään jättämällä gamma-matriisi merkitsemättä ja piirtämällä kenoviiva vektorin päälle:

Sivallusmerkintään liittyviä laskusääntöjä:

missä
 on neliulotteinen Levi-Civita-symboli ja

Muut kannat
Gamma-matriisit kirjoitetaan joskus blokkidiagonaalimuodossa käyttäen 2x2-yksikkömatriisia, , ja määrittelemällä

missä k on kokonaisluku yhden ja kolmen väliltä ja σk ovat Paulin matriiseja.

Diracin kanta
Tässä artikkelissa gamma-matriisit on kirjoitettu Diracin kannassa:

Weylin kanta
Toinen yleisessä käytössä oleva kanta on Weylin kanta, missä  pysyvät samoina, mutta  on erilainen, jolloin  on myös erilainen:

Weylin kanta on hyödyllinen, koska hiukkasfysiikassa kiraaliset kentät saavat siinä yksinkertaisen muodon:

Erityisesti voidaan päätellä

missä  ja  ovat vasen- (L) ja oikeakätiset (R) kaksikomponenttiset Weylin spinorit.

Toinen mahdollinen määritelmä Weylin kannalle on

Tällöin kiraaliset kentät saavat hiukan eri muodon:

Toisin sanoen:

missä  ja  ovat vasen- ja oikeakätiset kaksikomponenttiset Weylin spinorit, kuten edellä.

Majoranan kanta
On olemassa myös Majoranan kanta, missä kaikki Diracin matriisit ovat imaginaarisia mutta spinorit ja Diracin yhtälö ovat reaalisia. Paulin matriisien avulla sen voi ilmaista seuraavasti:

Lähteet

Matemaattinen fysiikka
Matriisit