Funktioavaruus

Funktioavaruus on tiettyjen joukkojen X ja Y välisten funktioiden muodostama joukko. Funktioavaruutta kutsutaan avaruudeksi, koska se on monissa sovelluksissa joko topologinen avaruus tai vektoriavaruus (tai molempia).

Funktioavaruudet ovat yleisiä monilla matematiikan osa-alueilla, sillä monet lukuavaruuksien ja niiden välisten funktioiden ominaisuudet pätevät jossain muodossa myös funktioavaruuksilla ja funktioita kuvaavilla funktioilla, eli operaattoreilla tai funktionaaleilla.

Erilaisia funktioavaruuksia tutkitaan erityisesti matemaattisen analyysin eri osa-alueilla, osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisussa ja  topologiassa. Funktioavaruuksia käytetään myös  fysiikassa, esimerkiksi  kvanttimekaniikassa hiukkaset voidaan ajatella funktioiksi sopivassa  Hilbertin avaruudessa.

Esimerkkejä
Topologiassa funktioavaruutta voidaan ajatella joukkojen  ja  tulojoukkona , sillä millä tahansa funktiolla  jokainen  "indeksoi" jonkin alkion  (jota merkitään yleensä ). Vastaavasti esimerkiksi jokaista vektoria  voidaan myös ajatella funktiona .

Lineaarialgebrassa enintään -asteisten polynomien joukko  on -ulotteinen funktioiden vektoriavaruus. 

Lebesguen avaruudet eli  -avaruudet ovat klassinen esimerkki funktioavaruuksista, jotka ovat  täydellisiä  normiavaruuksia, eli  Banach-avaruuksia.

 Sileiden funktioiden joukko, eli -kertaa  jatkuvasti  derivoituvien funktioiden joukko  ja  äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituvien funktioiden joukko .

Funktionaalianalyysi
Funktionaalianalyysi on matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan erityisesti ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, niiden ominaisuuksia ja kuvauksia. Monet tällaiset avaruudet ovat joko lukujono- tai funktioavaruuksia. Esimerkiksi operaattorin ominaisuudet (kuten jatkuvuus) riippuvat funktioavaruuden ominaisuuksista.

Lähteet

Kirjallisuutta

Joukko-oppi