Q-analogia

q-analogia on matematiikan osa-alue, joka muistuttaa tavallista analyysiä, mutta perustuu hieman erilaiseen määritelmään. q-analogiassa saadaan monia normaalia tutunnäköisiä tuloksia, mutta tavallisten funktioiden q-analogioiden ominaisuudet ovat yleensä hieman totutusta poikkeavia. q-analogiassa keskeinen suure on kompleksiluku q, joka valitaan siten, että .

Eulerin–Jacksonin operaattori eli q-derivaatta on eräs tapa määritellä derivaatan diskreetti vastine. q-derivaatta, joka operoi funktioon f(x), määritellään erotusosamääränä

.

Helposti nähdään, että kun tässä  niin q-derivaatan määritelmä lähestyy tavallisen derivaatan määritelmää.

Tämän q-derivaatan avulla voidaan määritellä differentiaaliyhtälöiden diskreettejä vastineita, q-differenssiyhtälöitä. Tällaisen yhtälön yleinen muoto on 

,

missä z ja q ovat kompleksilukuja. Kun derivaatan lisäksi määritellään vielä q-siirto -operaattori

saadaan määriteltyä kokonainen q-derivaattaan perustuva analyysin vastine.

Usein vastaantulevia merkintöjä ovat nk. q-sulkeet

sekä q-kertoma

joiden avulla kirjoitettuna q-analogian lausekkeet muistuttavat normaalin analyysin vastaavia. Erityisesti kannattaa huomata, että

,

joten q-kertoma on täsmälleen analoginen tavallisen kertoman kanssa.

Analyysi
Lukuteoria