Napakoordinaatisto

Napakoordinaatisto on kaksiulotteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman  ja säteen  funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää trigonometrian keinoilla.

Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulmaa pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen -akseli.

Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossa 

Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat  (etäisyys navasta) ja  (kiertokulma vastapäivään positiivisesta -akselista).

Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (−3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen säde vastaa 180 asteen kiertoa.

Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti piste  voidaan esittää muodossa  tai , jossa  on mielivaltainen kokonaisluku.

Mielivaltaisia koordinaatteja  käytetään yleensä esittämään napaa, sillä -koordinaatin arvosta huolimatta piste, jolle , sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakulmakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina, käyttäen muunnoskaavaa . Valinta riippuu usein lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.

Karteesiset koordinaatit 

Napakoordinaatit  ja  voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi  ja  käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini: 

 
 

Karteesiset koordinaatit  ja  voidaan muuntaa napakoordinaatiksi  Pythagoraan lauseella:

 

Kiertokulman  määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:
 Kun , kulma  voi olla mielivaltainen.
 Kun , kulma  valitaan yleensä välille .

Kulman  saamiseksi väliltä  voidaan käyttää seuraavia kaavoja (funktiota  merkitään joskus , lähinnä laskimissa)

 

Kulman  saamiseksi väliltä , voidaan käyttää seuraavaa:

Yhtälöitä napakulmakoordinaatistossa 
Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakulmakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä  muuttujan  funktiona.

Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.

Ympyrä 

Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on  ja säde , on

Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollessa navassa ja säteen ollessa :

Suora 
Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö

jossa  kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla , jossa  on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran  pisteessä  pätee yhtälö

Ruusukäyrä 

Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakulmakoordinaatiston yhtälöllä

mille tahansa vakiolle  sisältäen nollan. Jos  on pariton kokonaisluku, ruusukäyrän yhtälöt tuottavat -terälehtisen ruusun, ja jos  on parillinen kokonaisluku, -terälehtisen ruusun. Jos  on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekkäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä -terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja  kuvaa ruusun terälehtien pituutta.

Arkhimedeen spiraali 

Arkhimedeen spiraali on kuuluisa Arkhimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.

Muuttujan  arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja muuttujan  arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkhimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille , ja toinen arvoille . Haarat yhdistyvät napapisteessä.

Kartioleikkaukset 

Kartioleikkaus, jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä

 

jossa  on eksentrisyys ja  on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos , yhtälö määrittelee hyperbelin; jos , se määrittelee paraabelin; jos , se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun , yhtälö määrittelee -säteisen ympyrän.

Kompleksiluvut 

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku  voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa

 

jossa  on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa

 

ja edelleen muodossa

 

jossa  on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma  ilmoitetaan radiaaneissa.)

Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korottaminen onnistuu huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Koordinaattijärjestelmät
Seulonnan keskeiset artikkelit