Väli

Matematiikassa väli on (osittain tai täysin) järjestetyn joukon osajoukko, jonka alkiot sijaitsevat jonkin kahden kiinteän rajan välillä.

Määritelmä 

Olkoon  järjestetty joukko ja , missä . Tällöin pisteiden a ja b välinen

 suljettu väli on joukko 
 

 avoin väli on joukko
 
 

 oikealta puoliavoin väli on joukko 

 vasemmalta puoliavoin väli on joukko 

missä merkinnällä  tarkoitetaan järjestyksen  antamaa relaatiota: alkioilla  pätee  jos ja vain jos  ja  .

Yleisesti joukko  on väli jos se voidaan kirjoittaa jollain edellä olevalla tavalla.

Päätepisteiden kuulumattomuus voidaan ilmaista myös väärinpäin kirjoitetuilla hakasulkeilla, esimerkiksi avoin väli on tällöin

Sovelluksia 

Tunnettu esimerkki järjestetystä joukosta, jossa välien käyttö on osoittautunut erittäin hyödylliseksi on (laajennettu) reaaliakseli  varustettuna tavallisella lukujen ja äärettömyyksien suurutta mittaavalla järjestyksellä. Tässä avaruudessa nimittäin voidaan välien helposti konstruoida topologioita avaruuteen  ja niille voidaan määritellä päätepisteiden etäisyyden avulla helposti geometrinen mitta. Täällä siis välit koostuvat niistä reaaliluvuista, jotka ovat jonkin kahden kiinteän luvun (tai +/-äärettömän) välissä.  

Esimerkiksi väli avoin väli  koostuu janasta nollasta yhteen, jossa päätepisteitä ei oteta mukaan ja vastaavasti  samasta janasta, johon lisätään päätepisteet.

Joukossa  avoimet välit muodostavat kannan euklidiselle topologialle ja puoliavoimet välit muodostavat kannan niin sanotulle puoliavoimelle topologialle.

Tulovälit 

Vaikka välin käsite on vahvasti sidoksissa joukon järjestykseen, välien käsite voidaan myös yleistää järjestettyjen joukkojen tuloavaruuksille. Tuloavaruuksiin ei voi yleisesti periyttää järjestystä tulon jäsenistä, kuten jo esimerkiksi tason  käy. 

Olkoon  osittain tai täysin järjestettyjä joukkoja, missä  ja J jokin epätyhjä joukko. Tällöin joukko  on tuloväli, jos on olemassa välit  siten, että

Esimerkiksi avaruudessa  tulovälit (kutsutaan tässä tapauksessa myös n-välit) ovat n:n reaaliakselin välin tuloja eli eräänlaisia useampiulotteisia laatikoita (avaruudessa  tulovälit ovat suorakaiteita ja avaruudessa  tulovälit ovat särmiöitä).

Avaruudessa  avoimien välien tuloina saadut tulovälit muodostavat avaruuden normitopologialle kannan.

Lähteet

Topologia