Alternoiva ryhmä

Alternoiva ryhmä on ryhmäteoriassa äärellisen joukon parillisten permutaatioiden ryhmä. Permutaatio on parillinen, jos se saavutetaan parillisella määrällä transpositioita, kun lähdetään peruspermutaatiosta. Jos permutaatio saavutetaan parittomalla määrällä transpositioita, on se pariton. Kun permutaatiossa kaksi lukua vaihdetaan keskenään niin tehdään transpositio. Joukon {1, ..., n} alternoivaa ryhmää kutsutaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryhmäksi ja sitä merkitään An tai Alt(n).

Esimerkiksi astetta neljä oleva alternoiva ryhmä on A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

Esimerkin alternoivassa ryhmässä A4 syklinen merkintätapa (123) tarkoittaa, että alkio 1 kuvautuu alkiolle 2, alkio 2 kuvautuu alkiolle 3, alkio 3 kuvautuu alkiolle 1 ja alkio 4 kuvautuu itselleen. Uusi permutaatio on nyt (2314). Peruspermutaatio (1234) saadaan kahdella transpositiolla (2314) → (2134) → (1234). (123) on siis parillinen permutaatio.

Perusominaisuuksia 

Kun n > 1, ryhmä An on symmetrisen ryhmän normaali aliryhmä, jonka indeksi on 2 ja jossa on siten n!/2 alkiota. Se on homomorfismin sgn : Sn → {1, −1} ydin.

Ryhmä An on Abelin ryhmä, jos ja vain jos n ≤ 3, ja yksinkertainen, jos ja vain jos n = 3 tai n ≥ 5 .
A5 on pienin ei-kommutatiivinen yksinkertainen ryhmä. Sen kertaluku on 60 ja se on pienin ei-ratkeava ryhmä.

Automorfismiryhmä 

Kun n > 3 paitsi n = 6, An:n automorfismiryhmä on symmetrinen ryhmä Sn sisäisenä automorfismiryhmänään An ja ulkoisena automorfismiryhmänään Z2.

Kun n = 1 tai 2, on automorfismiryhmä triviaali. Kun n = 3, automorfismiryhmä on Z2, sisäinen automorfismiryhmä on triviaali ja ulkoinen automorfismiryhmä Z2.

A6:n ulkoinen automorfismiryhmä on Z22. Ylimääräinen A6:n ulkoinen automorfismi vaihtaa 3-syklit (kuten (123)) 32-tyyppisiksi sykleiksi (kuten (123)(456)).

Kirjallisuutta
 

Ryhmäteoria