Laajennettu reaalilukujoukko

Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon  kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞.   Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla  tai välinä [−∞, +∞]. Laajennetun reaalilukujoukon geometrinen vastine on laajennettu lukusuora, jossa ajatellaan tavallisen lukusuoran kumpaankin päähän lisätyksi yksi äärettömän kaukainen piste.

Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.

Laskutoimitukset 

Tavalliset reaalilukujen laskutoimitukset voidaan osittain ottaa käyttöön myös laajennetussa reaalilukujoukossa.

Näissä määrittelyissä a + ∞ on sekä a + (+∞) että a − (−∞), ja vastaavasti a − ∞ on sekä a − (+∞) että a + (−∞).

Sen sijaan ∞−∞, ±∞ ÷ ±∞, (±∞)0, 0±∞, 1±∞ ja (−∞)±∞ ei tavallisesti ole määritelty. Raja-arvolaskennassa määrittämätön 0 * ±∞ taas määritetään todennäköisyyslaskennassa ja mittateoriassa tavallisesti nollaksi.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Lukuavaruudet