Cayleyn lause

Cayleyn lause on ryhmäteorian perustulos. Se sanoo, että jokainen ryhmä G on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän SG aliryhmän kanssa. Erityisesti jos G on kertalukua n oleva äärellinen ryhmä, niin se on isomorfinen erään symmetrisen ryhmän Sn aliryhmän kanssa. Cayleyn lause on eräs sovellus ryhmän G toiminnasta itselleen. Lause on nimetty matemaatikko Arthur Cayleyn mukaan.

Cayleyn lause on merkittävä, koska sen perusteella konstruktioiltaan hyvinkin erilaiset ryhmät ovat pohjimmiltaan vain permutaatioiden muodostamia ryhmiä. Ennen Cayleytä matemaatikot eivät käyttäneet ryhmän modernia määritelmää, vaan varhainen ryhmäteoria oli yksinomaan permutaatioiden ominaisuuksien tutkimista. Cayley määritteli ryhmän ensimmäisenä modernilla tavalla binäärisen operaation avulla ja osoitti, että tämä määritelmä johtaa pohjimmiltaan saman rakenteen tutkimiseen kuin permutaatioryhmien tapauksessa. Tämän lähestymistavan etu on, että se abstraktimpana soveltuu useampiin tilanteisiin.

Lisäksi Cayleyn lause osoittaa, että isomorfismin suhteen on olemassa vain äärellinen määrä tiettyä kertalukua olevia ryhmiä. Täten on olemassa vain äärellinen määrä kertalukua n olevia rakenteeltaan "merkittävästi" eroavia ryhmiä.

Todistus
Todistuksen ideana on muodostaa jokaista ryhmän alkiota kohti sellainen yksikäsitteinen joukon G permutaatio, että ryhmän rakenne säilyy siirryttäessä tarkastelemaan näiden permutaatioiden muodostamaa ryhmää. Olkoon g ryhmän  mielivaltainen alkio. Asetetaan funktio

Koska
 ja 
kaikilla , niin kuvaus  on bijektio ja siten joukon  permutaatio. Siis  ja lisäksi nämä kuvaukset muodostavat ryhmän  toiminnan itselleen. Mikäli ryhmä  on äärellinen ja sen alkiot ovat , niin syklimuodossa permutaation esitys on

Asetetaan funktio

Kyseessä on homomorfismi, sillä

kaikilla . Lisäksi , joten homomorfismien peruslauseen nojalla

mikä todistaakin lauseen väitteen.

Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että joukko

on ryhmän  aliryhmä ja . Koska  jos ja vain jos  kaikilla , niin kuvaus  on injektio. Tällöin sen rajoittuma joukkoon  on bijektio, ja lause on täten todistettu.

Lähteet 

Ryhmäteoria
Matemaattiset teoreemat