Gradientti

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille . Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.

Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään  tai symbolin nabla avulla  ja määritellään
,
missä  ja  -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien  ja  suhteen.  Yleisen  muuttujan funktion gradientti määritellään
,
missä  on funktion muuttujien muodostama vektori
.

Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille .

Määritelmiä ja laskusääntöjä

Differentiaali  
Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin
,
ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla
,
missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta 
Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin  suuntaan on
,
missä  on :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.

Ketjusääntö 
Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli 
,
saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta
,
missä siis
.
Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa 
Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on
,
sylinterikoordinaatistossa

sekä pallokoordinaatistossa

.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat

Katso myös 
Derivaatta
Roottori
Divergenssi

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla  
 
 "Gradient 1"  – Khan Academy 

Differentiaalilaskenta
Seulonnan keskeiset artikkelit