Homologia

Matematiikassa homologia on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.

Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.

Yleinen rakennelma 

Olkoon  avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi , joka sisältää jotain tietoa :stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja
,
missä  ja , niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että , ja voidaan rakentaa tekijäryhmä , jonka sanotaan olevan . homologiaryhmä :stä.

Singulaarinen homologia 

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi -simpleksi  on joukko vektoreita -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa 

ja -simpleksi  topologisessa avaruudessa  on jatkuva kuvaus :stä :ään:

:n reuna  on määritelty formaaliksi summaksi  rajoitettu :n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos  on viiva , niin silloin  ja .  Olkoon  rengas. Tällöin voidaan konstruoida -moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki -simpleksejä :ssä . Nyt meillä on -moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta  sanotaan -reunoiksi  ja kuvausta  sanotaan -sykleiksi .  :n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten  (eli  jokaiselle :lle).

Eksakteja jonoja 

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono
,
missä .  Seuraavat jonot ovat tärkeitä:

eli ;

eli  ja  ovat isomorfisia.

Jos , , ja  ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono

eli

jokaiselle :lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono

Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

Kategorinen näkökulma 
Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna  on kovariantti funktori.  Siis jos  ja  ovat samassa kategoriassa , ja  on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa  vie :n :iin.  Usein  kirjoitetaan .

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan.  Jos  on ketju jossain topologisessa avaruudessa , ja  on jatkuva kuvaus, niin summa  on ketju :ssä. Näin :stä tule homomorfismi .

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori  on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa.  Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
Allen Hatcher: Algebraic Topology

Homologiateoria

ru:Гомология (топология)#Когомологии