Laplace-muunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

,

missä . Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti  on kompleksiluku: , missä  on imaginääriyksikkö ja . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

Laplace-muunnoksen ominaisuuksia 
Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:

Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:

Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:

Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:,

Katso myös 
Fourier'n muunnos
Mellinin muunnos

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
Laplace- ja Fourier-muunnoksia online  
Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista 
Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista 

Analyysi
Integraalimuunnokset