Simsonin suora

Simsonin suora on geometriassa kolmioon ja ympyrään liittyvä seuraava tulos. Ne kolmion eri sivuilla, tai sivujen jatkeilla, olevat pisteet, joiden etäisyys kolmiota ympäröivän ympyrän kehäpisteelle on lyhin, sijaitsevat samalla suoralla.

Sama asia voidaan ilmaista toisinkin. Kolmiota ympäröivältä ympyrän kehältä valitaan piste P, josta vedetään normaalit kullekin kolmion sivusuoralle, eli sivulle tai sen jatkeelle. Normaalien ja sivusuorien leikkauspisteet ovat keskenään kollineaariset.

Teoreeman käänteinen tulos 
Niiden pisteiden ura, joiden normaalien kantapisteet kolmion sivusuorilla ovat kollineaariset, muodostavat ympyrän, joka kulkee kolmon kärkien kautta eli ympäröi kolmion. Teoreema on siten molempisuuntainen.

Pedaalinen kolmio 
Pisteen P normaalit kolmion sivuille voidaan tulkita pedaaleiksi eli kohtisuoriksi, joiden kohtaamispisteitä kutsutaan siksi kantapisteiksi (tai projektiopisteiksi). Pistettä P kutsutaan silloin pedaalipisteeksi ja kantapisteiden muodostamaa kolmiota kutsutaan pedaaliseksi kolmioksi.

Kun pedaalipiste on kolmion sisällä, on pedaalikolmio useimmiten teräväkulmainen kolmio. Kun pedaalipiste siirretään kolmion kehän yli sen ulkopuolella, muttuu pedaalikolmio tylppäkulmaiseksi kolmioksi. Lopulta pedaalikolmion yksi kärki yhtyy vastaiseen sivuun, kun pedaalipiste P on kolmiota ympäröivällä ympyrällä, jolloin kolmion on muuttunut janaksi (Simsonin suora).

Erityisiä ominaisuuksia 
 Kun piste P sijaitsee kolmion kärjessä, muodostuva Simsonin suora on vastaisen sivun normaali, jolloin se yhtyy kolmion korkeusjanaan.
 Kun Simsonin suora yhtyy kolmion sivun kanssa, sijaitsevat piste P ja kolmion vastainen kärki ympäröivän ympyrän yhteisellä halkaisijalla. 
 Simsonin suora puolittaa ortokeksuksen O ja kehäpisteen P yhdistävän janan. Tämä keskipiste on myös yhdeksän pisteen ympyrällä.
 Jos valitaan ympyrältä kaksi pistettä P ja P' siten, että ne sijaitsevat ympyrän vastakkaisilla puolilla, on niiden Simsonin suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Leikkauspiste sijaitsee yhdeksän pisteen ympyrällä.
 Jos valitaan kaksi kehäpistettä P ja P' mielivaltaisesti, on niiden Simsonin suorien välinen kulma puolet pisteisiin P ja P' päättyvien ympyrän säteiden välisestä keskuskulmasta.
 Kaikkien pisteiden P Simsonin suorien pyyhkäisemä alue muodostaa deltoidin. Deltoidin pinta-ala on puolet ympäröivän ympyrän pinta-alasta. Referenssikolmion sivut ovat deltoidin tangentteja.

Todistus 

Kollineaarisuus voidaan todistaa osoittamalla, että kantapisteet ovat linjassa eli  (merkinnät kuvassa). 
 Ympyrän kehällä olevat neljä pistettä P, C, A ja B voidaan yhdistää sykliseksi nelikulmioksi. Sille pätee, että vastakkaisten kulmien summa on aina 180°. Erityisesti  ja vielä huomataan, että .
 Toinen nelikulmio voidaan muodostaa pisteistä P, M, N ja B. Tämä nelikulmio on myös syklinen, koska Thaleen lauseen mukaan janan PB vastaiset kulmat  ja  syntyvät näitä ympäröivän ympyrän takia. Tämän ympyrän halkaisija on siten jana PB. Kun valitaan vastakkaiset kulmat sopivasti, saadaan .
 Kohdista 1. ja 2. seuraa, että on olemassa yhtäsuuruiset kulmat .
 Tarvitaan vielä edellisen nelikulmion viereinen nelikulmio, joka syntyy yhdistämällä pisteet P, L, C ja M. Tämäkin ympyrä on syklinen, koska siinä on halkaisijan PC molemmilla puolilla suorat kulmat  ja . Nelikulmion jännettä PL vastaan aukeaa kaksi samansuuruista kehäkulmaa , joista jälkimmäisen vieruskulmalle  pätee .

Nyt voidaan laske kulmien summa (suluissa päättelyyn johtavat tulokset)
.

Tämä on alkuperäinen väite, joka on nyt osoitettu todeksi.

Historia 
Simsonin suoran nimesi Poncelet Robert Simsonin (1687–1768) kunniaksi. Simsonin julkaisuissa sitä ei kuitenkaan esiinny ja ensimmäinen tunnettu julkaisu teoreemasta on William Wallacelta vuonna 1797. Tämän vuoksi teoreeman käänteistä muotoa saatetaan kutsua Wallace-Simson-suoraksi.

Lähteet

Viitteet 

Geometria