Juuri (laskutoimitus)

Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa 

,

missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava. 

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi  on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio 

Nollan juuri on nolla kaikilla luvun n arvoilla.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu, eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen. Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli

Perusominaisuudet

Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio 

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi.  Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:
 S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
  S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää</small>
 origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
  Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
 Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora 

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa  n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös
Alkeisfunktio
Juurifunktio
Imaginaariluku
Neliöjuuri
Kuutiojuuri

Lähteet

Viitteet

Funktiot

da:Radix
es:Raíz (matemáticas)
he:בסיס
ja:べき根
vi:Nghiệm số