Neutraalialkio

Joukon  alkio  on neutraalialkio eli identiteetti  jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation  suhteen, jos laskutoimituksien tulokset ovat  tai .  Alkiolla  ei näytä olevan vaikutusta tulokseen eli sen vaikutus on neutraali.  Kirjain  tulee saksankielisestä sanasta Einheit.

Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on luku 1, sillä mikä tahansa reaaliluku  kerrottuna yhdellä on luku  itse eli  Tämän vuoksi neutraalialkiota kutsutaan myös kertolaskun yksikköalkioksi eli ykkösalkioksi. Reaalilukujen yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0, koska nollan lisääminen lukuun  on luku  eli  Tällöin neutraalialkiota kutsutaan myös yhteenlaskun nolla-alkioksi.

Formaalinen määritelmä ja nimityksiä
Olkoon operaatio  joukossa  määritelty binäärioperaatio, jota on tapana merkitä parina . Neutraalialkiosta voidaan käyttää seuraavia nimityksiä. Joukon  alkio  on vasemmanpuoleinen neutraalialkio, jos  kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla . Samoin, jos  kaikilla joukkoon  kuuluvilla alkioilla , on  oikeanpuoleinen neutraalialkio. 

Jos  on monoidi, on neutraalialkio sekä vasemman- että oikeanpuoleinen ja sitä kutsutaan molemmanpuoleiseksi neutraalialkioksi tai yksinkertaisesti pelkäksi neutraalialkioksi. Tällöin on voimassa

Esimerkkejä
Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Jos vallan erikoinen laskutoimitus  määritellään seuraavasti:  kun  Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan  Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä  on tilanne päinvastainen. 

Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista , ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille , kun laskutoimitus määritellään 

Jos laskutoimituksella on sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen neutraalialkio, on sen oltava sama alkio. Helppoja esimerkkejä on reaalilukujen nolla-alkio yhteenlaskun tapauksessa () ja ykkösalkio kertolaskun tapauksessa ().  Keksimällä esimerkiksi sellainen laskutoimitus, jossa reaaliluvuilla lasketaan  siten, että  Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä  ja

Muita esimerkkejä

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Neutraalialkio ja käänteisalkio
Luvun  käänteisalkio  ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion  eli . Jos parilla  on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio.

Katso myös 
 Käänteisalkio
 Magma, Monoidi ja Ryhmä

Lähteet

Aiheesta muualla
 PlanetMath: Grupoid
 Dr. Claire Wladis: The Identity Property
 Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets 

Abstrakti algebra

fa:عمل دوتایی#عضو خنثی