Ortogonaaliset polynomit

Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja , joista :s polynomi on aina :ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

on nolla, aina kun . Tässä esiintyvä funktio  on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen  ja  väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

Ominaisuuksia

Generoiva funktio 
Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa 

,

kunhan polynomi  on korkeintaan toista astetta ja polynomi  lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan Rodriguesin kaavana. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

,

missä painofunktio 

ja  polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista generoivaa funktiota. Funktio  on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

Rekursiokaava 
Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

Juurten reaalisuus ja erisuuruus 
Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaitsevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon :nnen polynomin kaikki nollakohdat sijaitsevat :nnen polynomin nollakohtien välissä.

Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja 
Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat
 Legendren polynomit
 Laguerren polynomit
 Hermiten polynomit
 Tšebyševin polynomit
 Jacobin polynomit

Algebra