Neliöluku

Neliöluku on positiivinen kokonaisluku, jonka  osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio.

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella , jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska  Kaksi­kymmentä ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400.

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa  pariton luku 

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Määritelmä
Neliöluvut  saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan  peräkkäistä paritonta lukua yhteen:
 

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku  ja sitten siihen lisätään gnomoneita 

Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen  avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.

Yhteyksiä matematiikkaan

Neliölukujen ominaisuuksia
Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on

Kytkentä muihin kuviolukuihin
Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan
Jos luku  parillinen luku, niin luvut  ja  ovat peräkkäiset parittomat luvut. Vastaavasti, jos  on pariton luku, niin luvut ovat peräkkäiset parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli
  

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi    ja  Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi   ja 

Neljän parittoman luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän parillisen luvun neliöitten summana.

Alkuluku , joka voidaan lausua muodossa , voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska

Historiaa
Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa.  Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta. 

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy.

Katso myös 
 OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 Solmu-lehti: Tehtäviä kolmio ja neliöluvuista
 Pythagoraan kolmikko

Lähteet

Viitteet 

Kuvioluvut