Fourier’n sarja

Fourier’n sarja on tapa esittää jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla äärettömänä summana eli sarjakehitelmänä. Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Joseph Fourier kehitti sarjat tutkiessaan lämmönjohtumisen teoriaa 1800-luvun alkupuolella.

Fourier’n sarja on määritelty Eulerin lausetta hyväksikäyttäen kompleksilukujen eksponenttifunktion avulla:

Missä Fn on Fourier’n kerroin. Kerroin saadaan vastaavasta funktiosta f(x) integroimalla:

Joskus Fourier’n sarja on annettu suoraan trigonometrisina funktioina. Merkintä on pidempi, mutta se saattaa olla joskus havainnollisempi.

.

Tässä esiintyvät kertoimet an ja bn saadaan integraaleista:

 ja

Kertoimia  kutsutaan sarjan parillisiksi ja  parittomiksi kertoimiksi. Nimitys tulee siitä, että parillisilla funktioilla (joilla ) ainoastaan kertoimet , kun taas parittomilla funktioilla (joilla vastaavasti ) vain kertoimet . Parilliset ja parittomat funktiot ovat kuvaajiltaan symmetrisiä tai antisymmetrisiä y-akselin suhteen eikä nimityksellä ole suoraa yhteyttä esimerkiksi lukujen parillisuuteen.

Fourier’n sarjoja esiintyy fysiikassa erittäin monenlaisissa yhteyksissä. Niitä käytetään apuna esimerkiksi röntgenkristallografiassa, optiikassa, akustiikassa, kvanttikenttäteoriassa ja signaalinkäsittelyssä. Myös eräiden osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat Fourier’n sarjoja. Fourier’n sarjan kaltaisia sarjoja voidaan rakentaa sinin ja kosinin johdannaisten lisäksi myös muiden ortogonaalisten funktiojoukkojen avulla.

Katso myös 
Fourier’n muunnos

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Analyysi
Seulonnan keskeiset artikkelit