Vektoriavaruus

Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen joukko, jolle on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja  skalaarilla kertominen.

Vektoriavaruus on lineaarialgebran peruskäsite, jota käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi.

Johdanto 

Esimerkiksi vektoriavaruuden  eli "x-y-tason" alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukaksikot . Kahden tällaisen vektorin summa lasketaan koordinaateittain: . 

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen tällaisen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esim. . Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin. 

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa -avaruuksissa, mutta on myös paljon monimutkaisempia ja jopa ääretönulotteisia vektoriavaruuksia, ja joidenkin vektoriavaruuksien skalaarikunta on jokin muu kuin reaalilukujen kunta .

Määritelmä 

Olkoon  kunta (ns. kerroinkunta), V joukko ja kuvaukset  ja . Määrittelemme, että kolmikko  on vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) jos ja vain jos kuvaukset f ja g toteuttavat ehdot

Kuvaus f on vaihdannainen:  kaikilla .
Kuvaus f on liitännäinen:  kaikilla .
Kuvauksen f nollavektori: On olemassa , jolle  kaikilla .
Vektorin vastavektori: Jokaiselle  on olemassa , jolle .
Neutraalialkio: Kunnan  neutraalialkiolle  pätee  kaikilla .
Osittelulaki:  kaikilla  ja .
Skalaarien summan osittelu:  kaikilla  ja .
Skalaarien tulon osittelu:  kaikilla  ja .

Vektoriavaruuden kuvausta f kutsutaan vektoreiden yhteenlaskuksi ja g skalaarilla kertomiseksi. Ne ovat oletusten nojalla  binäärioperaatioita joukossa V. Yleisesti näille binäärioperaatioille käytetään lineaariavaruuksissa merkintöjä  kaikilla  ja  kaikilla  ja . Mikäli , kyseessä on reaalinen vektoriavaruus ja jos , niin kyseessä on kompleksinen vektoriavaruus.

Vektoriavaruus on erikoistapaus modulista. Toisin kuin moduleilla, jokaisella epätriviaalilla vektoriavaruudella on kanta, eli joukko lineaarisesti riippumattomia vektoreita, joiden lineaarikombinaationa jokainen avaruuden vektori voidaan ilmaista. Usein sovitaan, että tyhjä joukko on triviaalin vektoriavaruuden kanta. Vektoriavaruus on äärellisulotteinen, jos sillä on kanta, jossa on äärellinen määrä vektoreita. Muussa tapauksessa vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Vektoriavaruuden kanta voidaan yleensä valita äärettömän monella eri tavalla, mutta valinnasta riippumatta äärellisulotteisen vektoriavaruuden kannassa on aina yhtä monta vektoria. Myös ääretönulotteisen vektoriavaruuden eri kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Kannan olemassaolo voidaan todistaa Zornin lemman avulla ja yhtämahtavuus ultrafiltterilemman avulla.

Esimerkkejä 

Kannattaa huomata, että vektoriavaruuden alkiot eivät välttämättä ole järjestettyjä lukujoukkoja, joiksi vektorit usein mielletään, kuten myöskään kerroinkunnan alkiot eivät välttämättä ole lukuja. Vektoriavaruuden alkioina voivat "tavallisten" vektorien sijaan olla yhtä hyvin matriisit tai jopa funktiot. Eräs vektoriavaruus, ns. triviaali vektoriavaruus, on vain nolla-alkiosta koostuva joukko {0}. Tärkeimpia vektoriavaruuksia matematiikassa ovat

 Euklidinen avaruus  skalaarikuntana .
 Kompleksikertoimisten matriisien  avaruus skalaarikuntana .
 Jonoavaruudet  skalaarikuntana .
 p-integroituvien funktioiden avaruudet  skalaarikuntana 

Tosin riippuen tapauksesta on myös yleistä käyttää edellä olevissa esimerkeissä skalaarikuntana kompleksilukuja.

Vektorialiavaruus 

Vektoriavaruuden (V,f,g) osajoukkoa A kutsutaan aliavaruudeksi jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:
 Joukko A on suljettu yhteenlaskun suhteen:  kaikilla 
 Joukko A on suljettu skalaarilla kertomisen suhteen:  kaikilla  ja .
Esimerkiksi vektoriavaruuden  aliavaruus on mikä tahansa origon kautta kulkeva suora. Lisäksi esimerkiksi jonoavaruuden  eräs aliavaruus on nollaan suppenevien jonojen joukko.

Sovelluksia 

Vektoriavaruuksiin voidaan liittää lisärakenteena esimerkiksi normi tai sisätulo. Näiden avulla voimme määritellä mm. topologisen struktuurin vektoriavaruuksiin. Topologisista vektoriavaruuksista enemmän artikkeleissa normiavaruus ja sisätuloavaruus.

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

Ryhmäteoria
Lineaarialgebra
Seulonnan keskeiset artikkelit