Langlandsin ohjelma

Matematiikassa Langlandsin ohjelma on joukko otaksumia, jotka yhdistävät lukuteoriaa ja ryhmien esitysteoriaa ryhmiä koskeviin tuloksiin. Robert Langlands julkaisi ohjelmansa 1967.

Yhteys lukuteoriaan 

Langlandsin ohjelman voidaan katsoa alkaneeksi, kun Artin julkaisi resiprositeettilakinsa, joka yleistää neliönjäännöslausetta. Artinin resiprositeettilaki koskee algebrallisia lukukuntia joiden Galois'n ryhmä kunnassa Q on Abelin ryhmä, antaa L-funktioille yksiulotteisen esityksen Galois'n ryhmänä ja väittää, että nämä L-funktiot ovat identtisiä Dirichlet'n L-sarjojen kanssa (siis analogisia Dirichlet'n karakteristikoista tehdyn Riemannin zeeta-funktion kanssa).

Galois'n ryhmille, jotka eivät ole Abelin ryhmiä, voidaan myös määrittää L-funktiot luonnollisella tavalla: Artinin L-funktioiden avulla

Esitys automorfimuotojen avulla 

Langlandsin tavoitteena oli löytää kunnollinen yleistys Dirichlet'n L-funktioille, jotka voisivat yleistää Artinin lauseen.

Hecke oli aiemmin löytänyt yhteyden Dirichlet'n L-funktioiden ja automorfimuotojen (holomorfinen funktio kompleksitason ylemmässä puolitasossa, jotka toteuttavat tiettyjä funktionaaliyhtälöitä) välille. Langlands yleisti nämä automorfisiksi kärkiesityksiksi, jotka ovat eräänlaisia ryhmän GLn ääretönulotteisia jaottomia esityksiä adelen renkaan Q suhteen. (Tästä renkaasta nähdään kaikki Q:n täydellistymät p-aditisten lukujen avulla.)

Langlands liitti L-funktioita näihin automorfiesityksiin ja otaksui, että jokainen lukukunnan Galois'n ryhmän äärellisulotteinen esityksen Artinin L-funktio on sama kuin automorfinen esitys. Tämä tunnetaan resiprositeetti-otaksumana.

Lukuteoria
Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat