Apollonioksen ongelma

Apollonioksen ongelmassa on tarkoituksena löytää ympyrä, joka sivuaa kolmea kuviota, joista kukin voi olla piste, suora tai mielivaltainen ympyrä. Ongelma on saanut nimensä kreikkalaisesta matemaatikko Apollonios Pergalaisesta, joka ratkaisi ongelman 10 versiosta kaikki lukuun ottamatta vaikeinta, jossa ympyrä piirretään sivuamaan kolmea ympyrää. Kahteen helpoimpaan versioon, kolmen pisteen ja kolmen suoran tapauksiin oli esitetty ratkaisu jo Eukleideen Elementassa. Kolmen ympyrän version ratkaisi 1500-luvulla ranskalainen matemaatikko Viéte. Tälle versiolle on kahdeksan mahdollista ratkaisua, jota oikealla oleva kuva havainnollistaa. 

Apollonioksen ongelma voidaan ratkaista peilauksena ympyrän suhteen. Ensin kasvatetaan tai pienennetään ympyröitä saman verran, kunnes kaksi ympyrää sivuaa toisiaan. Nyt peilaus sivuamispisteen suhteen muuntaa toisiaan sivuavat ympyrät kahdeksi yhdensuuntaiseksi suoraksi. Sama muunnos muuntaa kolmannen ympyrän joksikin toiseksi ympyräksi. Nyt voidaan konstruoida ympyrä, jonka tangentteina ovat saadut kaksi suoraa ja joka koskettaa kolmatta ympyrää. Ottamalla vielä alkuperäisen peilauksen käänteispeilaus saadaan haluttu ympyrä.

Lähteet

Aiheesta muualla

 Ogilvy, C. Stanley (1990): Excursions in Geometry, Dover. ISBN 0-486-26530-7.

Geometria