Topologinen avaruus

Topologiset avaruudet ovat yksinkertaisimpia matemaattisia rakenteita, joissa voidaan määritellä sellaisia käsitteitä kuin avoimuus, jatkuvuus, homeomorfisuus ja yhtenäisyys.

Määritelmä 

Topologinen avaruus on järjestetty pari , missä  on joukko ja  on sellainen sen osajoukkojen kokoelma (ns. topologia), jonka jäseniä ovat
 tyhjä joukko ja joukko  itse,
 kaikki sen alkioiden mielivaltaiset yhdisteet,
 kaikki sen alkioiden äärelliset leikkaukset,
ts.  toteuttaa topologiset aksioomat
 
 
 .

Käytännössä yleensä tutkitaan äärettömiä topologioita. Äärellinen topologia voi olla helpommin ymmärrettävä esimerkki joistakin topologian peruskäsitteistä, mutta toiset käsitteet ovat mielekkäitä vain äärettömissä joukoissa. Äärettömään joukkoonkin voidaan määrittää topologia, jossa on äärellinen määrä alkioita (esimerkiksi koko , tyhjä joukko ja vain luvun 1 sisältävä joukko muodostavat topologian reaalilukujen joukolle), mutta käytännön merkitystä niillä ei juuri ole.

Topologian ei tarvitse sisältää alkioidensa mielivaltaisia leikkauksia, ainoastaan äärelliset. Esimerkki: Määritellään joukon N kofiniittinen topologia: siihen kuuluu tyhjä joukko ja jokainen joukko, jonka komplementti on äärellinen. Joukko  on selvästi äärellinen, jolloin sen komplementtijoukko  kuuluu mainittuun topologiaan. Kaikkien näiden joukkojen leikkaus puolestaan on joukko , joka on äärellinen, eikä siis kuulu mainittuun topologiaan.

Topologiseen avaruuteen liittyviä käsitteitä 

Osa käsitteistä pohjautuu reaaliluvuille määriteltyyn topologiaan, johon kuuluvat avoimet välit ja niiden yhdistelmät. Esimerkiksi  ja  ovat avoimia välejä, niiden komplementti  suljettu väli.

Topologisen avaruuden alkioita sanotaan yleensä pisteiksi.

Kokoelmaan  kuuluvia joukkoja sanotaan topologisen avaruuden avoimiksi joukoiksi. Joukot, joiden komplementti X:ssä on avoin, ovat suljettuja joukkoja. Termit ovat epäintuitiivisia: joukko voi olla avoin, suljettu, ei kumpaakaan tai molempia. Esimerkiksi edellä mainitussa reaalilukujen tavallisessa topologiassa joukko  ei ole avoin eikä suljettu. Jokaisessa topologisessa avaruudessa ainakin koko joukko  ja tyhjä joukko ovat sekä avoimia että suljettuja.

Jos joukon pisteitä ei voi jakaa kahteen erilliseen avoimeen joukkoon, joukkoa sanotaan yhtenäiseksi. Jos näin on kaikkien pisteiden suhteen, koko avaruus on yhtenäinen.

Jos topologisen avaruuden mitä tahansa kahta eri pistettä  ja  kohti on olemassa sellaiset avoimet joukot  ja , että

  ja 

ts. pisteille  ja  löytyy aina erilliset ympäristöt, sanotaan avaruutta Hausdorffin avaruudeksi.

Kantapisteavaruus on topologinen avaruus, jossa yksi piste, kantapiste, on asetettu erikoisasemaan.

Avaruuksien luokittelua 

Avaruus on , jos jokaiselle pisteparille  löytyy avoin joukko, johon joko  kuuluu mutta  ei, tai toisinpäin.

Avaruus on , jos jokaiselle pisteparille  löytyy sekä avoin joukko, johon  kuuluu mutta  ei, että avoin joukko johon  kuuluu mutta  ei. Nämä avoimet joukot saavat sisältää yhteisiä pisteitä.

Avaruus on  eli Hausdorffin avaruus, jos jokaiselle pisteparille  löytyy sekä avoin joukko, johon  kuuluu mutta  ei, että avoin joukko johon  kuuluu mutta  ei, ja näillä avoimilla joukoilla ei ole yhteisiä pisteitä.

Luonnollisten lukujen topologia, joka sisältää tyhjän joukon ja koko joukon lisäksi vain parilliset ja parittomat luvut avoimina joukkoina, ei ole . Luonnollisten lukujen alkusegmenttitopologia, jossa avoimia ovat joukot  kaikilla termin  arvoilla on  mutta ei . Luonnollisten lukujen kofiniittinen topologia on  mutta ei . Tyyppiesimerkki -topologiasta on reaalilukujen tavallinen topologia, jossa avoimia ovat avoimet välit ja niiden unionit.

Esimerkkejä 

Mistä tahansa joukosta  voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan  kuuluviksi ainoastaan joukko  ja tyhjä joukko. Tällainen topologinen avaruus ei ole Hausdorffin avaruus, paitsi jos joukkoon  kuuluu vain yksi piste. Tällaista topologiaa sanotaan minitopologiaksi.

Mistä tahansa joukosta  voidaan myös muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan  kuuluviksi :n kaikki osajoukot.  Tällöin kyseessä on niin sanottu diskreettitopologia, ja muodostettu avaruus on Hausdorffin avaruus.

Jokaisesta metrisestä avaruudesta voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan  kuuluviksi eli avoimiksi joukoiksi sellaiset :n osajoukot, joiden jokaisella pisteellä on tähän osajoukkoon sisältyvä ympäristö. Tällaiset topologiset avaruudet ovat aina Hausdorffin avaruuksia.

Sovellusten kannalta tärkeimpiä metrisiä avaruuksia ovat joukot  (eriulotteiset euklidiset avaruudet) ja niiden osajoukot, joissa topologia on edellä sanotulla tavalla määritelty euklidisen metriikan avulla. Tästä yleistys on Hilbertin avaruus, joka on (mahdollisesti ääretönulotteinen) täydellinen sisätuloavaruus.

Katso myös
 Monisto

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

Seulonnan keskeiset artikkelit