Matemaattinen optimointi

Matemaattinen optimointi tarkoittaa määritellyn kohde-, hyöty- tai kustannusfunktion perusteella parhaan ratkaisun valintaa kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta. Kun kohdefunktio kuvaa ratkaisusta saatavaa hyötyä, jonka halutaan olevan mahdollisimman suuri, kutsutaan optimointitehtävää maksimoinniksi. Kun taas halutaan ratkaisusta koituvan mahdollisimman vähän kustannuksia tai haittaa, kutsutaan tehtävää minimoinniksi.

Formaalisti optimointi on sellaisen pisteen  etsiminen ratkaisujoukosta , missä funktio  saa joko pienimmän tai suurimman arvonsa. Tätä pistettä  kutsutaan minimipisteeksi.

Jokaista maksimointiongelmaa vastaa tietty minimointiongelma, joka ratkaisee maksimointiongelman. Funktion  maksimointi on sama tehtävä kuin funktion  minimointi. Näin ollen matemaattisen optimointiteorian riittää tarkastella vain minimointiongelmaa.

Merkintätapa 

Tehtävää, jonka tarkoituksena on etsiä  pienin arvo, kutsutaan minimointitehtäväksi. Tehtäväkuvaus merkitään formaalisti

missä  on tehtävän kohdefunktio.

Vastaavasti kohdefunktion maksimointitehtävää merkitään

Optimointitehtävässä

joukkoa  kutsutaan käyväksi ratkaisujoukoksi tai vain käyväksi joukoksi. Käypä joukko voidaan määritellä esimerkiksi

Monen muuttujan tehtävässä käypä ratkaisujoukko voidaan määritellä esimerkiksi

Optimointitehtävän globaali minimi on piste , jolle pätee  kaikilla , jotka kuuluvat käypään alueeseen. Tätä pienempää funktion arvoa ei voida saavuttaa käyvässä joukossa.

Funktiolla voi olla yksi tai useampi paikallinen optimipiste, lokaali optimi. Paikallinen minimi määritellään pisteeksi , jolle on olemassa  siten, että  ja  kuuluu käypään joukkoon. Toisin sanoen on olemassa jokin alue eli ympäristö, jossa piste  antaa pienempiä funktion arvoja kun muut pisteet.

Optimointitehtävätyyppejä 
 Konveksin optimointitehtävän kohdefunktio sekä mahdolliset rajoitusehdot ovat konvekseja. Konveksin minimointitehtävän tärkeä ominaisuus on, että paikallinen minimipiste on myös tehtävän globaali minimipiste. 
 Lineaarisen optimointitehtävän (engl. lyh. LP) kohdefunktio ja rajoitusehdot ovat lineaarisia funktioita. Lineaarinen tehtävä on laajasti tutkittu ja tälle on kehitetty paljon tehokkaita ratkaisualgoritmeja kuten George Dantzigin vuonna 1947 .
 Neliöllinen optimointitehtävä on konveksin optimointitehtävän erikoistapaus, missä kohdefunktio on neliöllinen ja käypä ratkaisujoukko monitahokas.
 Epälineaarinen optimointi on yleisnimitys optimointitehtävälle, jonka kohdefunktio ja mahdolliset rajoitusehdot ovat epälineaarisia
 Stokastisen optimointitehtävän kohdefunktiossa ja rajoitusehdoissa esiintyy yksi tai useampi satunnaismuuttuja.
 Kokonaislukuoptimointitehtävän käypä ratkaisujoukko kuuluu kokonaislukujen joukkoon. Kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen on laskennallisesti haastavaa ja usein tyydytään riittävän hyvään ratkaisuun globaalin optimiratkaisun sijasta.
 Dynaaminen ohjelmointitehtävä on tehokas kokonaislukutehtävän ratkaisumalli, jota voidaan soveltaa vain jos tehtävä on mahdollista esittää toisistaan riippumattomia alitehtävien yhdistelmänä. Ns. Bellmanin yhtälö määrää välttämättömät ehdot kohdetehtävlle, johon voidaan soveltaa dynaamisen ohjelmoinnin periaatetta.

Lineaarinen optimointi
Lineaarinen optimointi tarkoittaa optimointia kun kohdefunktio ja käypää aluetta rajoittavat ehdot ovat lineaarisia. Lineaarista optimointia kutsutaan myös lineaariseksi ohjelmoinniksi. Yleinen lineaarinen tehtävä voidaan esittää muodossa

Tässä  ja  merkeillä tarkoitetaan, että jokaista alkiota verrataan riveittäin toisiinsa. Voidaan osoittaa, että kaikki lineaariset optimointitehtävät voidaan esittään ali- ja ylijäämämuuttujien (engl. slack variable) avulla ns. standardimuodossa

missä ,  ja . Ts. aina kun tarkastellan yleistä lineaarista tehtävää, voidaan tarkastella pelkästään standarditehtävää menettämättä tuloksien yleispätevyyttä. Huomaa, että myös vektorit  ja  muuttuvat tehtävätyypin muunnoksessa.

Tuloksia
 Lineaarisen optimointitehtävän käypä alue on n dimensioisen avaruuden monitahokas (engl. polyhedra).
 Oletetaan, että tehtävänä on minimoida lineaarista kohdefunktiota epätyhjän monitahokkaan sisällä (ts. kyseessä on lineaarinen optimointitehtävä). Tällöin kohdefunktion optimaalinen arvo on  tai on olemassa optimaalinen ratkaisu . Huomaa, että optimipisteen  yksikäsitteisyyttä ei ole taattu.
 Jos lineaarisen optimointitehtävän ratkaisu  on äärellinen, tulee yksi ratkaisu löytymään jostain rajoittavan monitahokkaan S kulmasta. Jos kaksi pistettä  ja  ovat optimaalisia ovat myös pisteet muotoa  optimaalisia. Tämän voi tulkita siten, että kahden kulman välillä oleva särmä on optimaalinen, jos kummatkin kulmat ovat optimaalisia. Todistus: Oletetaan, että annetut pisteet minimoivat kohdefunktion f. Voidaan osoittaa, että monitahokas on konveksi joukko, eli kaikilla  pätee . Koska annetut pisteet ovat optimaalisia, eli niitä pienempiä arvoja funktio ei voi monitahokkaassa saada, pätee. Toisaalta , mikä voidaan kirjoittaa . Helposti voidaan huomata, että tapaus voidaan yleistää koskemaan n:ää pistettä, eli jos pisteet  ovat optimaalisia, niin ovat myös niiden ns. konveksikombinaatiot  myös optimaalisia. Todistus on analoginen kahden pisteen tapauksen kanssa.

Esimerkkejä

Lineaarinen optimointitehtävä

voidaan esittää standardimuodossa muunnoksella , missä  ja . Kun lisätään vielä ali- ja ylijäämämuuttujat  ja  saadaan tehtäväksi

Jos siis valitaan , ,  ja

on tehtävä saatu standardimuotoon. Huomaa, että optimipisteessä vain toinen muuttujista  ja  on nollasta poikkeava, joten ylimääräiset muuttujat eivät vaikuta rajoitusehtoihin.

Epälineaarinen optimointi 

Epälineaarisella optimoinnilla tarkoitetaan sellaisen optimointitehtävän ratkaisemista, joka on muotoa

missä , f on mielivaltainen kohdefunktio, funktiot  epäyhtälörajoitukset,  yhtälörajoitukset ja X käypä joukko. Vaikka yhtälörajoitukset voidaan esittää epäyhtälörajoitusten avulla ( ja ), tämä ei käytännössä aina ole mahdollista, sillä jotkin ratkaisumenetelmät olettavat tehtävän rajoitusten olevan optimipisteessä lineaarisesti riippumattomat.

Epälineaarinen ja lineaarinen tehtävä (LP) eroavat toisistaan seuraavasti. Epälineaarisessa tehtävässä käypä alue voi olla mielivaltainen, kun LP-tehtävän käypä joukko on aina monitahokas. Toiseksi LP-tehtävän lineaarinen kohdefunktio on aina myös konveksi, joten tehtävälle löydetään globaali optimi hyödyntämällä konveksin optimoinnin tuloksia. Epälineaarinen tehtävä on lineaarista tehtävää yleisempi, joten kaikki tulokset, jotka on johdettu epälineaariselle tehtävälle, pätevät myös lineaariselle tehtävälle.

Välttämättömät optimaalisuusehdot 

Kun jokin optimointitehtävän käyvän alueen piste on optimaalinen, se täyttää välttämättömät optimaalisuusehdot. Lause ei päde toisin päin, eli tehtävälle voi olla mahdollista löytää optimaalisuusehdot täyttävä piste, joka ei välttämättä ole optimipiste.

Rajoittamattoman tehtävän välttämätön optimaalisuusehto optimointitehtävän ratkaisupisteelle  on

Yleiselle rajoitetulle tehtävälle voidaan johtaa Karush-Kuhn-Tuckerin välttämättömät optimaalisuusehdot (välttämättömät KKT-ehdot), ja hieman yleisemmät Fritz Johnin välttämättömät optimaalisuusehdot (välttämättömät FJ-ehdot).

Fritz Johnin välttämättömät optimaalisuusehdot

Olkoon käypä joukko epätyhjä ja avoin sekä  jonkin epälineaarisen tehtävän lokaali optimi. Tällöin on olemassa vektori  siten, että

missä  ja  ovat m ja l vektoreita joiden i:nnet komponintit ovat  ja . Luonnollisesti on oletettava, että gradientit ovat olemassa. FJ-ehdot saadaan toteutumaan mielivaltaiselle käyvälle pisteelle lisäämällä sopivia merkityksettömiä rajoituksia.

Karush-Kuhn-Tuckerin välttämättömät optimaalisuusehdot

Fritz Johnin ehdot redusoituvat tietyin ehdoin KKT-ehdoiksi. KKT-ehdot ovat FJ-ehtoja hyödyllisempiä, sillä ne karsivat pois turhia kandidaattipisteitä. Käytännössä näiden ehtojen on taattava, että FJ-ehtojen  on nollasta poikkeava, jolloin jakamalla sillä puolittain saadaan ns. KKT-ehdot.

Olkoon  jonkin epälineaarisen tehtävän lokaali optimi, jolla on sopivat rajoitusehdot. Tällöin on olemassa vektori  siten, että

missä  ja  ovat m ja l vektoreita joiden i:nnet komponentit ovat  ja .

Esimerkkejä
 Funktio , kun , saavuttaa miniminsä pisteessä .
 Funktiolla , kun , ei ole minimipistettä, sillä jokaista pistettä  kohden on aina olemassa pienempi piste .
 Funktiolla on kaksi nollakohtaa  ja . Se on aina ei-negatiivinen, joten funktion minimiarvo on nolla. Huomaa, että kaksi eri :n arvoa antavat saman optimin, eli optimi ei ole yksikäsitteinen. Jos optimointi tehdään rajoitetussa joukossa , niin optimi on yksikäsitteinen.

Kirjallisuutta 
 
 

Seulonnan keskeiset artikkelit