Nesbittin epäyhtälö

Nesbittin epäyhtälön (1903) mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b ja c on voimassa
 Nesbittin epäyhtälö voidaan todistaa suuruusjärjestysepäyhtälön avulla. Nesbittin epäyhtälö on kuuluisin erikoistapaus yleisemmästä Shapiron epäyhtälöstä.

Yksinkertainen todistus 

Merkitään ,  ja . Tällöin luvut ,  ja  ovat myös positiivisia ja ,  ja .
Sijoittamalla nämä Nesbittin epäyhtälön vasempaan puoleen saamme

sillä positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa on aina .

Jos nimittäin  olisi positiivinen reaaliluku, niin olisi

mistä väite seuraa.

Yleistys 

Olkoot ,missä  on kokonaisluku, mielivaltaisia positiivisia reaalilukuja ja . Tällöin

Perustelu. Tapaus  on yhtäpitävä sen kanssa, että positiivisen luvun ja sen käänteisluvun summa on aina . Tapaus  esitettiin ja perusteltiin tätä tulosta käyttäen edellä. Suuremmilla luvun  arvoilla epäyhtälön todistus onnistuu samaa tekniikkaa käyttäen.

Esimerkiksi neljälle positiiviselle reaaliluvulle  pätee siis

Epäyhtälöt