Kulmakerroin

Kulmakerroin on matematiikassa kaksiulotteisessa koordinaatistossa y-koordinaatin muutoksen Δy ja sitä vastaavan x-koordinaatin muutoksen Δx suhde, jonka tarkoitus on kuvata suoran kaltevuutta. Kulmakerrointa merkitään k:lla, ja se voi olla mikä tahansa reaaliluku. Kulmakerroin on keskeinen käsite analyyttisessä geometriassa, algebrassa, trigonometriassa ja differentiaalilaskennassa.

Tekniikassa kulmakerrointa käytetään yleisesti erilaisten pintojen kaltevuuden ilmaisemiseen. Esimerkiksi tien tai rautatien pituuskaltevuus on kulmakerroin: 35 promillen kaltevuus merkitsee 35 metrin nousua yhtä vaakasuuntaista kilometriä kohti. Tällä tavoin ilmoitetaan myös rinteen jyrkkyys urheilussa. Rakentamisessa luiskien, kattojen, lattioiden ym. kaltevuus ilmoitetaan usein kulmakertoimena, joko prosentteina tai suhdelukuna. Lattioiden ym. kaltevuutta kutsutaan myös kaadoksi. Hydrologiassa tarkastellaan virtavesien pituuskaltevuutta.

Kulmakertoimen määritelmä 
Suoran kulmakerroin määritellään kahden minkä tahansa suoralla olevan pisteen avulla.
Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2), kun x1 ei ole x2, kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

 Jos suoran k > 0, suora on nouseva.
 Jos suoran k < 0, suora on laskeva.
 Jos suoran k = 0, suora on x-akselin suuntainen eli vaakasuora.
 Jos suoran k on määrittelemätön eli jos x1 = x2, suora on y-akselin suuntainen eli pystysuora.
 Jos kahden suoran kulmakertoimet ovat yhtäsuuret tai jos suorat ovat pystysuoria, suorat ovat yhdensuuntaiset.
 Jos kahden suoran kulmakertoimien tulo on −1 tai jos toinen suora on pystysuora ja toinen vaakasuora, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Esimerkki 

Lasketaan pisteiden (2,3) ja (8,7) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

Suora on nouseva (koska k > 0).

Suoran normaali 
Suoran normaali on suora, joka kulkee 90° asteen kulmassa suoran läpi. Näiden kahden suoran kulmakertoimet ovat toistensa käänteislukujen vastaluvut.

Edellä olevan esimerkin suoran normaalin kulmakerroin on siis .

Geometria 
Mitä suurempi suoran kulmakerroin on, sitä jyrkemmin suora nousee ylöspäin. Suoran kaltevuutta voidaan kuvata myös suuntakulmalla α, joka on suoran ja positiivisen x-akselin muodostama välillä ]−90°, 90°] oleva kulma. Suoran kulmakerroin on yhtä suuri kuin suoran suuntakulman tangentti eli

 
ja

Kun suuntakulma on pieni, on kulmakerroin likimäärin yhtä suuri kuin kulma radiaaneina.

Algebra 
Lineaarisen eli ensimmäisen asteen funktion ratkaistusta muodosta

nähdään suoran kulmakerroin k ja vakiotermi b, joka ilmoittaa suoran ja y-akselin leikkauspisteen (0, b).

Jos suoran kulmakerroin on k ja suoran piste on (x0, y0), suoran yhtälö on

Differentiaalilaskenta 
Funktion derivaatta jossakin pisteessä  on funktion muodostamaa käyrää sivuavan tangentin kulmakerroin kohdassa .

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Analyyttinen geometria
Algebra
Differentiaalilaskenta
Seulonnan keskeiset artikkelit