Harmoninen värähtelijä

Harmoninen värähtelijä on fysiikassa järjestelmä, jossa kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima. Harmonisessa värähtelijässä voiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyteen tasapainoasemasta:

missä
  on kappaleeseen kohdistunut voima,
  on vakio (esimerkiksi jousille jousivakio, joka ilmaisee jousen jäykkyyttä),
 ja  poikkeama tasapainoasemasta.

Tällaista voimaa sanotaan harmoniseksi voimaksi. Harmoninen voima suuntautuu aina kohti tasapainoasemaa, sillä voimasta aiheutuva kiihtyvyys on jatkuvasti kohti tasapainoasemaa. Heiluri ja jousen päässä värähtelevä punnus ovat hyviä esimerkkejä harmonisesta värähtelijästä.

Jos F on ainoa systeemiin vaikuttava voima, kutsutaan systeemiä silloin vaimentumattomaksi tai ideaaliseksi harmoniseksi värähtelijäksi. Tällaisella värähtelijällä on vakioamplitudi ja –taajuus, joka ei riipu amplitudista. Värähtely on tällöin sinimuotoista.

Jos systeemiin vaikuttaa nopeuteen verrannollinen voima (kitkavoima), kutsutaan värähtelijää silloin vaimennetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Systeemillä on tällöin mahdollisuus käyttäytyä eri tavoin riippuen kitkakertoimen arvosta.

Jos systeemiin vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva voima (ns. pakkovoima), kutsutaan värähtelijää silloin pakotetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Pakkovoima tuo systeemiin uutta energiaa, joka voi estää vaimennetun harmonisen värähtelijän amplitudin pienenemisen ajan kuluessa.

Vaimenematon harmoninen värähtelijä

Vaimentumattomaan harmoniseen värähtelijään ei vaikuta kitka- eikä pakkovoimaa, jolloin systeemiin vaikuttava voima on muotoa:

Newtonin 2. laki:

Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta

Jos määritellään , voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon:

jonka yleinen ratkaisu on

Amplitudi A ja vaihe  määritetään alkuehdosta.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:

missä  on siirtynyt  verran.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa

missä  and  ovat vakioita, jotka voidaan määrittää alkuehdosta.

Värähtelyn taajuudeksi saadaan:

Värähtelyn nopeudeksi v ja kiihtyvyydeksi a saadaan

 ja

Värähtelijän kineettinen energia on

ja potentiaalienergia

Värähtelijän potentiaalienergia on siis suoraan verrannollinen tasa­paino­pisteestä mitatun etäisyyden neliöön.

Värähtelijän potentiaali- ja kineettinen energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen, mutta niiden summa on vakio:

Pakotettu harmoninen värähtelijä

Pakkovoima Fd on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja , on systeemin liikeyhtälö muotoa

missä F0 on pakkovoiman amplitudi ja  on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa

kun siis .  Jos tarkastellaan tapausta, jossa , ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan

josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan t kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys resonanssi-ilmiölle. Jos  on hyvin lähellä arvoa , mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi

Kun  on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.

Vaimennettu harmoninen värähtelijä

Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä

missä c on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen c arvosta. Merkitään  ja .

Ylivaimennus

Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska a, b > 0 ja b < a. Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa, kun . Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 korkeintaan kerran.

Alivaimennus

Jos vaimennuskerroin on niin pieni, että , differentiaaliyhtälön ratkaisu on 

jolloin syntyy vaimeneva värähdysliike, joka lähenee koko ajan tasapainoasemaa x = 0.

Kriittinen vaimennus

Jos vaimennuskerroin on , differentiaaliyhtälön ratkaisu on

Tämän värähtelyn muoto on hyvin samanlainen kuin ylivaimennetunkin. Mitään heilahtelua ei synny ja rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 tasan kerran ja , kun .

Vaimennettu ja pakotettu harmoninen värähtelijä

Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla Fd. Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on 

jonka ratkaisu muodostuu vaimennetun värähtelijän ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälöiden ratkaisujen summasta. Kuten aikaisemmin osoitettiin, vaimennetun värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu riippuu alkuehdoista. Epähomogeenisen liikeyhtälön yksittäisratkaisu taas ei riipu alkuehdoista, jolloin ratkaisuksi saadaan 

missä

ja

Katso myös
 Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä
 Oskillaattori

Lähteet

Aiheesta muualla

Harmoninen värähdysliike (pdf) 
Artikkeli harmonisesta värähtelijästä Hypertextbookissa
Animaatio vaimennetusta ja pakotetusta harmonisesta värähtelijästä 

Aaltoliike
Heilurit
Seulonnan keskeiset artikkelit