Jensenin epäyhtälö

Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.

Äärellinen muoto

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille ai on voimassa

Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.

Jos ai=1, on 

Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:

Yleinen väittämä

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

Mittateoreettinen muotoilu

Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että  μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa

Todennäköisyysteoreettinen muotoilu

Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on

Todistus

Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla

Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

missä t < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.

Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:

Tällöin kaikilla x on voimassa . Tämä nähdään siitä, että jos x>x0 ja t = x − x0 > 0, on voimassa

Siten

kuten vaadittiin. Tapaus x < x0 todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus .

φ(x0) voidaan siten kirjoittaa muodossa

Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla k voimassa

Erityisesti

Q.E.D.

Lähteet  

Walter Rudin, Real and Complex Analysis
David Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics

Aiheesta muualla
 Jensenin epäyhtälö MathWorldissä
 Jensenin epäyhtälö on Kööpenhaminan yliopiston matematiikan laitoksen logossa.

Epäyhtälöt
Analyysi