Kalkyyli

Kalkyyli on yksinkertaisimmillaan aksioomista ja syntaktisista päättelysäännöistä muodostuva merkkijonoihin liittyvä formaali systeemi. Aksioomat ja päättelysäännöt (tai laskusäännöt) esittävät, mitä kalkyylissä voidaan päätellä, eli ne esittävät sen, kuinka mielivaltaista lausetta on lupa käsitellä.

Yleensä vaaditaan, etteivät päättelysäännöt saa olla liian monimutkaisia ollakseen periaatteessa ihmisen käytettävissä. Tämän ajatellaan usein tarkoittavan sitä, että päättelysääntöjä voi olla vain äärellinen määrä, ja että on oltava mekaanisesti ratkaistavissa, milloin sääntöä on sovellettu oikein, milloin väärin.

Esimerkki kalkyylistä 

Määritellään yksinkertainen kalkyyli:

Määritelmä. Merkki. Symbolit "U" ja "I" ovat merkkejä.

Määritelmä. Merkkijonon induktiivinen määritelmä. 
 Jos x on merkki, niin x on merkkijono.
 Jos x ja y ovat merkkijonoja, niin jono xy on merkkijono.
 Kaikki merkkijonot saadaan ehdoilla 1–2.

Aksiooma. "I" voidaan päätellä.

Päättelysääntö 1. Jos x voidaan päätellä, niin se merkkijono, joka muodostuu liittämällä yhteen "U", x ja "U" tässä järjestyksessä, voidaan päätellä. 

Päättelysääntö 2. Jos x voidaan päätellä, niin se merkkijono, joka muodostuu liittämällä yhteen x ja "I" tässä järjestyksessä, voidaan päätellä.

Yllä olevat säännöt ovat hiukan monimutkaiset siksi, että ne huomioivat muuttujan ja merkin nimen välisen eron. Esimerkiksi päättelysääntöjen käytöstä voimme todeta, että koska "I" voidaan päätellä, voidaan "UIU" päätellä. Tällä perustella myös "UIUI" voidaan päätellä säännön 2 nojalla.

Kalkyyli ja ristiriitaisuus 

Väite kalkyylin ristiriidattomuudesta ymmärretään usein väitteenä, että kaikkia mahdollisia merkkijonoja ei voida johtaa.Semanttinen perustelu tälle on, että ristiriidasta seuraa jokaisen lauseen totuus, ja toisaalta jotta kalkyylin päättelysysteemi olisi mielekäs, on sen tuotettava tosia lauseita jos aksioomat ovat tosia. Yllä oleva kalkyyli on tässä mielessä ristiriidaton, koska merkkijonoa "UI" ei voida johtaa aksioomasta eikä päättelysääntöjen avulla muodostetuista merkkijonoista.

Jos kalkyyli sisältäisi symbolin negaatiolle (ks. predikaattilogiikka), voitaisiin täsmentää yllä käytettyä syntaktista ristiriidan käsitettä. Tällöin sanoisimme, että jos lause ja sen negaatio ovat pääteltävissä kalkyylissä, on se ristiriitainen. Jos vielä antaisimme semanttisen teorian kalkyylille, voisimme ottaa käyttöön semanttisen ristiriidan käsityksen, jonka mukaan kalkyyli on ristiriitainen jos se sisältää lauseen joka on sekä tosi ja epätosi.

Katso myös 
 Logiikka
 Matematiikka
 von Wright, Georg Henrik, 1945, Looginen Empirismi; Eräs nykyisen filosofian pääsuunta, suom. Hilppa Kinos, Otava, Helsinki, s. 141–69.

Lähteet 

Logiikka