Alexanderin–Spanierin kohomologia

Algebrallisessa geometriassa Alexanderin–Spanierin kohomologia on kohomologiteoria, joka esiintyy monistojen differentiaalimuotojen, joilla on kompakti kantaja, teoriassa. Teoria on samantapaista ja jossain määrin duaalista de Rhamin kohomologian kanssa. Kohomologia on saanut nimensä J. W. Alexanderin ja Edwin Henry Spanierin (1921-1996) mukaan.

Olkoon X annettu monisto. Olkoon  reaalinen X:n k-muotojen vektoriavaruus joilla on kompakti kantaja ja olkoon d ulkoinen derivaatta. Tällöin Alexanderin–Spanierin kohomologiaryhmät  ovat homologisia ketjukompleksin :

;

kanssa, eli  on suljettuja k-muotoja modulo eksakti k-muoto.

Huolimatta niiden määritelmästä homologiakompleksina, Alexanderin–Spanierin ryhmät käyttäytyvät kovariantisti. Esimerkiksi jos on annettu inkluusiokuvaus X:n avoimelle joukolle U, on laajennus U:lta X:ään , joka indusoi kuvauksen

.

Ne antavat myös esimerkin kontravariantista kunnollisten kuvausten suhteen, eli kuvauksen kompaktien joukkojen alkukuvat ovat kompakteja. Olkoon F: U → X tällainen kuvaus. Tällöin pullback

indusoi kuvauksen

.

Mayerin–Vietoriksen jono on voimassa Alexanderin–Spanierin kohomologiassa.

Homologiateoria
Algebrallinen topologia