Mittateoria

Mittateoria on matematiikan ala, joka tutkii sigma-algebroja, mittoja, ulkomittoja, mitallisia funktioita ja integraaleja. Mittateoriaa käytetään erityisen paljon analyysissä ja todennäköisyyslaskennassa.

Historiaa 

Mittateoria on alun perin kehittynyt ongelmasta määritellä vaikeille joukoille 'koko', jota voisi intuitiivisesti ajatella esimerkiksi pinta-alana/tilavuutena. Mittateoreettisia ajatuksia esiintyi jo antiikin Kreikassa, kun Arkhimedes halusi määrittää tarkkaa arvoa ympyrän pinta-alalle. Hän itse asiassa kehitti alkeellista integrointia muistuttavan ekshaustiomenetelmän. Kuitenkin itse ala on 1900-luvun keksintö. Mittateorian pioneereihin kuuluu muun muassa Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory ja Alfréd Haar. Henri Lebesgue kehitti muun muassa vallankumouksellisen Lebesguen mitan ja -integraalin, joiden historiasta on enemmän artikkelissa Henri Lebesgue. Georg Cantor ja Émile Borel määrittelivät myöhemmin mitalliset joukot ja Borel-joukot. Constantin Carathéodory kehitti mittateorian yleistä teoriaa määrittelemällä muun muassa ulkomitan ja yleisen mitan. Alfred Haar tunnetaan Haarin mitasta, jonka avulla voidaan määritellä eräänlainen intuitiivisesti pinta-alan/tilavuuden kaltainen käsite lokaalikompakteihin topologisiin ryhmiin. 

Osoittautuikin, että mittateorian määritelmät sopivat hyvin vastaamaan monimutkaisten ja patologisten joukkojen geometriaan. Sillä pystyttiin määrittelemään joukoille muun muassa dimensio, joka kertoo enemmän joukon hienorakenteesta kuin esimerkiksi perinteinen topologinen dimensio. Tästä enemmän artikkelissa Hausdorffin dimensio. Itse asiassa vuonna 1919 A.S. Besicovitš kehitti geometrisen mittateorian vastaamaan joukkojen ja mittojen geometrisiin kysymyksiin.

Mittateoriasta on ollut sovelluksissa paljon hyötyä. Mittateorian synty mullisti muun muassa todennäköisyyslaskennan. Andrei Kolmogorov kehitti todennäköisyyslaskennalle mittateoreettiset aksioomat ja määritteli todennäköisyyden mittana ja tapahtumat sigma-algebrana. Nykyään todennäköisyyslaskennan mittateoreettista tutkimusta kutsutaan todennäköisyysteoriaksi.

Käsitteitä 
 Sigma-algebra
 Mitta
 Ulkomitta
 Mittaintegraali
 Mitallisuus
 Merkkinen mitta
 Borelin joukot
 Carathéodoryn konstruktio
 Borel-mitat
 Radon-mitat
 Lebesguen mitta
 Hausdorffin mitta
 Hausdorffin dimensio
 Jordanin mitta
 Diracin mitta
 Massadistribuutio
 Lebesgue–Stieltjes-integraali
 Riemannin integraali
 Epäoleellinen integraali
 Todennäköisyysteoria
 Todennäköisyyden aksioomat

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 MathWorld. Measure
 MathWorld. Almost Everywhere
 MathWorld. Integral
 MathWorld. Hölder's Inequalities
  Henri Léon Lebesgue (28 juin 1875 [Rennes] – 26 juillet 1941 [Paris]) (ranskaksi)