Borel-joukko

Borel-joukot muodostavat matematiikassa laajan kokoelman joukkoja, joihin kuuluu mm. avoimet, suljetut, kompaktit, - ja -joukot. Borel-joukkoja käytetään paljon erityisesti mittateoriassa helpon lähestyttävyyden vuoksi. Esimerkiksi avaruudessa  Borel-joukot muodostavat hyvin laajan Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelman.

Määritelmä 

Olkoon  topologinen avaruus. Kutsumme kokoelmaa

joukon  Borelin perheeksi. Tämän perheen alkioita kutsutaan Borel-joukoiksi. Borelin perhe on siis määritelmänsä mukaan suppein niistä joukon  sigma-algebroista, jotka sisältävät :n avoimet joukot eli topologian . Erityisesti Borelin perhe on :n topologian virittämä sigma-algebra .

Esimerkkejä 

Reaalilukujen joukon  osajoukoista Borelin joukkoja ovat muun muassa:

  itse
 kaikki avoimet, puoliavoimet ja suljetut välit
 kaikki muotoa , ,  tai  olevat rajoittamattomat välit
 kaikki muutkin :n avoimet ja suljetut joukot
 esimerkiksi kaikki joukot, joissa on vain äärellinen tai numeroituva määrä alkioita tai joiden ulkopuolelle jää vain äärellinen tai numeroituva määrä reaalilukuja
 kaikki avoimien joukkojen numeroituvat leikkaukset ja suljettujen joukkojen numeroituvat yhdisteet.

Itse asiassa ei olekaan helppo muodostaa esimerkkiä :n osajoukosta, joka ei ole Borelin joukko. Kuitenkin Borelin joukot muodostavat vain pienen osan :n kaikista osajoukoista. Kaikkien Borelin joukkojen joukon mahtavuus nimittäin on sama kuin :n (kontinuumin mahtavuus), kun taas :n kaikkien osajoukkojen joukon mahtavuus on aidosti suurempi.

:n Borelin joukoilla on keskeinen merkitys muun muassa toden­näköisyys­laskennassa. Toden­näköisyys­kentissä, joiden perusjoukkona on , on todennäköisyys määriteltävissä vain niille :n osajoukoille, jotka ovat Borelin joukkoja.

Ominaisuuksia 

Voidaan osoittaa, että jokainen avaruuden  avoin joukko on Lebesgue-mitallinen. Tästä seuraa, että jokainen :n Borel-joukko on Lebesgue-mitallinen eli

Nimittäin mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran  ja Borelin perhe  on saatu leikkaamalla kaikki ne sigma-algebrat, jotka sisältävät avoimet joukot.

Koska Borelin perhe on sigma-algebra, joka sisältää kaikki avoimet joukot, niin se sisältää myös kaikki suljetut joukot. Lisäksi sigma-algebran ominaisuuksista näemme, että Borelin perhe sisältää myös kaikki numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset avoimista ja suljetuista joukoista. Tästä seuraa, että leikkaamalla, yhdistämällä ja komplementoimalla saadaan lukemattomia erilaisia joukkoja. Siksi on itse asiassa vaikea konstruoida joukkoa, joka ei ole Borel. Ei-Borel-joukkoja on kuitenkin olemassa. Tällainen saadaan muun muassa seuraavalla esimerkillä, jonka vaiheiden perustelut löytyvät tarkemmin lähteestä: 

Olkoon  ja  (yleisiä) Cantorin joukkoja :ssä. Oletetaan, että esimerkiksi  positiivimittainen ja  on nollamittainen. Tällöin Lebesguen ulkomitan ominaisuuksista seuraa, että  sisältää ei-Lebesgue-mitallisen joukon . Koska Cantorin joukot ovat keskenään homeomorfisia, niin on olemassa homeomorfismi . Tästä seuraa, että joukko  ei itse asiassa ole Borel-joukko. Nimittäin jos se olisi Borel, niin olisi funktion f jatkuvuuden nojalla joukko  Borel (homeomorfismit ovat erityisesti jatkuvia, joten ne ovat Borel-kuvauksia). Toisaalta funktion f bijektiivisyyden nojalla , joten joukko A olisi tällöin Borel. Tämä on mahdotonta, sillä oletimme, että A ei ole Lebesgue-mitallinen joukko ja siis ei erityisesti Borel-joukkokaan. Toisaalta voidaan osoittaa, että se taasen on mm. Lebesgue-mitallinen, mikä osoittaa sen, että Borelin perhe  on aito osajoukko Lebesgue-mitallisten joukkojen kokoelmasta .

Borel-mitat ja Borel-ulkomitat 

 Topologisen avaruuden  mitta  on Borel-mitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat mitallisia eli mitan sigma-algebran alkioita.

 Topologisen avaruuden  ulkomitta  on Borel-ulkomitta jos ja vain jos kaikki Borel-joukot ovat -mitallisia.

 Lisäksi määritellään, että Borel-ulkomitta   on Borel-säännöllinen jos ja vain jos jokaista  kohti on olemassa Borel-joukko , jolla . 

Ulkomitan Borel-säännöllisyys tuo esille Borel-joukkojen kätevyyden mittateoriassa. On mahdollista, että esimerkiksi todistaessa jollekin patologiselle joukolle jotain sen mitan avulla voi olla suoraan vaikeaa, sillä mitta on vaikeasti laskettavissa, mutta käyttämällä sitä Borel-joukkoa, joka peittää tämän joukon ja on samanmittainen, niin tilanne voi helpottua huomattavasti. Esimerkiksi joukon mitallisuus voidaan Borel-säännöllisen ulkomitan tapauksessa todistaa pelkästään Borel-joukkoja hyväksikäyttäen.

Borel-ulkomitat voidaan karakterisoida toisella tavalla metrisissä avaruuksissa. Jos siis edellä mainittu topologia  metristyvä, ts. on olemassa jokin joukon  metriikka  siten, että , niin jokainen tämän topologian ulkomitta  on Borel jos ja vain jos ehdosta

seuraa ominaisuus

kaikilla .

Borel-funktiot 

Olkoon  topologinen avaruus ja joukko . Kutsumme funktiota  Borel-funktioksi jos ja vain jos jokaisen avoimen joukon alkukuva kuvauksessa f on Borel-joukko. 

Tämä määritelmä voidaan myös lausua muodossa: joukko  on Borel-joukko ja joukko

on Borel-joukko kaikilla . Borel-funktioita kutsutaan joskus kirjallisuudessa Bairen funktioiksi.

Voidaan osoittaa, että jokainen jatkuva kuvaus on Borel-kuvaus. Lisäksi jokaisessa Borel-kuvauksessa jokaisen Borel-joukon alkukuva on Borel.

Lisäksi jos annettu topologia  on metristyvä, niin voidaan osoittaa, että jokainen tämän topologian Borel-funktio on mitallinen jokaisen Borel-mitan suhteen.

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Topologia
Mittateoria

el:Σ-άλγεβρα#σ-άλγεβρα Borel