Kolmioluku

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55. 

Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku  on  

Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä:

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku 

Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Formaalinen määritelmä
Kolmioluvut  saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan  peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:
 
Merkintä  tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin  :sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä.

Yhteyksiä matematiikkaan 

Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista.

Arjen erikoisuuksia 
Keilat asetetaan kolmioluvun  tapaan tetraktyksen muotoon.  Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun  tapaan.

Pedon luku on kolmioluku  666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat.

Kolmiolukujen ominaisuksia 

Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. 
Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku . 
 
Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan  

Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.

Kun esimerkiksi n = 3, saadaan  

Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.
 (kuvio 1)
 (kuvio 2)
Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.

Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.

Kytkentä muihin kuviolukuihin 
Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku : 

Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.

Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta. 

Toinen vastaava esimerkki on
 
Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti

saadaan tulokseksi neliöluku. 

Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku :  

Jokainen viisikulmioluku  on kolmasosa kolmioluvusta:  

Jos  on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi , joka on kolmioluku .

Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:
 

Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:

Yhteyksiä muuhun matematiikkaan
Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. 

Kaikki luvun  jakajat ovat muotoa  ja samoin on laita lukujen , jotka ovat kaikki muotoa . Muotoa  olevilla luvuilla on jakajina luvut  ja  eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. 

Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja , jossa p on alkuluku. Kaikki  ovat muotoa  missä  on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa  

Kombinatoriikassa -henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä  monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku  

Kolmiolukuja  voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti  

Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:

Historiaa
Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen  kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. 

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria. 

Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi  ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.

Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana.

Katso myös 
 Metcalfen laki
 OEIS – kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla
 Hobson, N.: "Triangular Numbers" 
 Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares 

Kuvioluvut
Luonnolliset luvut