Ympyrä

Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan jänteeksi. Halkaisija on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella .

Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala 

Ympyrän kehän (piirin) pituus  saadaan kaavasta:
, jossa  on ympyrän säde ja on vakio pii  noin 3,14.

Voidaan myös ilmaista säde  ja halkaisijan  avulla, eli :

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala  saadaan kaavasta: 
, missä  on ympyrän säde tai vastaavasti: 
, jossa  on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän kehän pituus  tunnetaan, voidaan pinta-ala  laskea kaavasta:

Jos ympyrän halkaisija  ja kehän pituus  tunnetaan, voidaan
pinta-ala laskea (ilman lukua ) kaavasta:

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, 
on ympyrä sellainen käyrän muoto, 
joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon  sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja  sen
rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin
 
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

Ympyrän kaari, sektori ja segmentti 

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla .

Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla .

Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa

Keskipisteen ja säteen avulla 
Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

 , jossa a, b, c  ja r ovat reaalilukuja:

  

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

joka on parametrimuodossa:

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

Kolmen pisteen avulla 
Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään   ja , voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla
 
joka on evaluoituna
 
missä

x:n kerroin  saadaan matriisista

jättämällä  termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti :n suhteen) determinantista

ja

ja vakiotermi c

Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
 
missä keskipisteen koordinaatit ovat

ja

sekä säde

Ympyrän kulmia

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

Neljä ympyrää 

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

 ,

missä r on kunkin ympyrän säde.

Seitsemän ympyrää 

Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.

Ympyrä ja neliö 

Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.

Ympyrä ja paraabeli 

Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt

Katso myös 
 Pisteen potenssi
 Ympyrän keskipisteen konstruointi

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla

 Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
 Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
 Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
 Ympyrän pinta-alan laskeminen

Tasokuviot
Kartioleikkaukset
Käyrät
Seulonnan keskeiset artikkelit