Laplacen yhtälö

Laplacen yhtälö  on matemaatikko Pierre-Simon Laplacen mukaan nimetty osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voidaan mm. mallintaa tasapainotilan potentiaaleja. Laplacen yhtälöllä on sovelluksia mm. sähkömagnetismissa, tähtitieteessä ja virtausmekaniikassa. 

Laplacen yhtälö kirjoitetaan nabla-operaattorin avulla muodossa 

Yleisessä käytössä, etenkin matematiikassa, on myös rinnakkainen merkintätapa

missä Δ on niin kutsuttu Laplacen operaattori. 

Karteesisessa koordinaatistossa yhtälö voidaan kirjoittaa auki muotoon
    

Pallokoordinaatistossa yhtälö saa aukikirjoitettuna muodon

Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi.

Jos yhtälössä on myös vakiotermi tai koordinaateista riippuva funktio muotoa g(x,y,z), niin kyseessä on Poissonin yhtälö.

Katso myös 
 Mallintaminen
 Differentiaalilaskenta
 Differentiaaliyhtälö
 Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Lähteet

Aiheesta muualla 
 Laplacen yhtälö mathworld.wolfram.com:ssa 

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Seulonnan keskeiset artikkelit