Efronin nopat

Efronin nopat ovat kehittäjänsä, Bradley Efronin mukaan nimetyt nopat, joiden paremmuusjärjestys muodostaa ringin. Voittava (suuremman silmäluvun antava) noppa riippuu siitä mitkä nopat valitsee.
Kaikki Efronin nopat ovat 6-tahkoisia noppia.

A voittaa B:n 2/3 ajasta

B voittaa C:n 2/3 ajasta

C voittaa D:n 2/3 ajasta

D voittaa A:n 2/3 ajasta.

Tahkojen silmäluvut nopilla A–D ovat:

A:4,4,4,4,0,0

B:3,3,3,3,3,3

C:6,6,2,2,2,2

D:5,5,5,1,1,1

Noppa A voittaa B:n aina, kun nopan A heitto tuottaa nelosen. Noppa A häviää aina, kun nopan A heitto tuottaa nollan. Todennäköisyys, että A voittaa B:n, on siis

Noppa B:n heitto tuottaa aina kolmosen. Noppa B voittaa noppa C:n aina, kun nopan C heitto tuottaa kakkosen. Todennäköisyys, että B voittaa C:n, on siis

Todennäköisyys, että noppa C:n heitto tuottaa kuutosen, on 1/3; tässä tapauksessa C voittaa D:n riippumatta noppa D:stä (todennäköisyydellä 1). Todennäköisyys, että noppa C:n heitto tuottaa kakkosen, on 2/3; tässä tapauksessa C voittaa D:n, jos ja vain jos nopan D heitto tuottaa ykkösen, minkä todennäköisyys on 1/2. 

Todennäköisyys, että C voittaa D:n, on siis

Todennäköisyys, että noppa D:n heitto tuottaa viitosen, on 1/2; tässä tapauksessa D voittaa A:n riippumatta noppa A:sta (todennäköisyydellä 1). Todennäköisyys, että noppa D:n heitto tuottaa ykkösen, on 1/2; tässä tapauksessa D voittaa A:n, jos ja vain jos nopan A heitto tuottaa nollan, minkä todennäköisyys on 1/3.

Todennäköisyys, että D voittaa A:n, on siis

Peliteoria