Tyhjä joukko

Tyhjä joukko on joukko-opillinen kokonaisuus, joka ei sisällä yhtään alkiota.  Tyhjän joukon merkki on isohko poikkiviivallinen ympyrä ∅, mutta vaihtoehtoisesti tyhjää joukkoa voidaan merkitä myös tyhjillä aaltosulkeilla {}. Epätyhjä joukko A puolestaan on joukko, joka ei ole tyhjä joukko. Tällöin merkitään A ≠ ∅.

Koska tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, on tyhjän joukon jokaiselle alkiolle jokainen väite tosi. Tämä helpottaa monesti tyhjää joukkoa koskevien lauseiden formalisointia. Sen sijaan tyhjälle joukolle kaikki väitteet eivät ole tosia. Epätosi on esimerkiksi väite ”tyhjässä joukossa on alkio”.

Metrisissä avaruuksissa tyhjä joukko on määritelty sekä avoimeksi että suljetuksi.

Esimerkkejä 
 {x ∊ ℝ : x² < 0} = ∅ eli sellaisten reaalilukujen joukko, joiden neliö eli toinen potenssi on negatiivinen, on tyhjä joukko.
 {n ∊ ℕ : n < 0} = ∅ eli negatiivisten luonnollisten lukujen joukko on tyhjä joukko, sillä ei ole olemassa negatiivista luonnollista lukua.

Tyhjä joukko osajoukkona
Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko. Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Tehdään vastaväite: on olemassa joukko A, jonka osajoukko ∅ ei ole. Tällöin joukossa ∅ on oltava alkio, joka ei ole joukon A alkio. Mutta tyhjässä joukossa ei määritelmän mukaan ole alkioita. Siispä vastaväite on johtanut ristiriitaan, joten se ei voi pitää paikkaansa.

Tyhjän joukon merkit tietokonejärjestelmissä

Tyhjän joukon merkin otti käyttöön ranskalainen matemaatikko André Weil vuonna 1939. Alun perin kyseessä oli norjalainen Ø-kirjain, jolle Weil täten antoi uuden matemaattisen merkityksen.  Nykyisin se käsitetään kuitenkin muun muassa Unicodessa eri merkiksi, joka on saanut koodiarvon U+2205.

Koska tyhjän joukon merkkiä on kuitenkin hankala tuottaa tavanomaisella näppäimistöllä eikä se edes sisälly kaikkiin merkistöihin tai fontteihin, korvikkeena voidaan käyttää Latin 1 -merkistöönkin sisältyvää suuraakkosta Ø (U+00D8), joka tosin ei yleensä ole muodoltaan täydellinen ympyrä. Melkein samannäköinen kuin tyhjän joukon merkki mutta pienempi on halkaisijan merkki ⌀ (U+2300).

Teknisesti turvallisin tyhjän joukon merkintätapa ovat aaltosulkeet, sillä ne sisältyvät jo ASCII-merkistöön ja toimivat siis käytännöllisesti katsoen tilanteessa kuin tilanteessa.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Joukko-oppi
Ei mitään
Seulonnan keskeiset artikkelit