Suljettu joukko

Suljettu joukko on matemaattinen joukkoa koskeva käsite.

Olkoon  topologinen avaruus. Osajoukkoa  kutsutaan suljetuksi joukoksi jos ja vain jos sen komplementti . Toisin sanoen joukko on suljettu jos ja vain jos sen komplementti on avoin (topologiassa ).

Voidaan osoittaa, että jokainen suljettujen joukkojen leikkaus on suljettu. Myös jokainen suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste eli unioni on suljettu. Tyhjä joukko on samanaikaisesti sekä suljettu että avoin, koska se toteuttaa molempien määritelmät.

Mikäli määräämme reaaliakselille  itseisarvon virittämät avoimet joukot, niin erityisesti :n avoimet välit ovat nyt avoimia joukkoja. Tästä seuraa, että esimerkiksi suljetut välit  ovat suljettuja joukkoja, sillä niiden komplementti saadaan avoimien välien  ja  yhdisteenä, joka on topologian määritelmän mukaan avoin joukko.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Joukko-oppi