Mellinin muunnos

Mellinin muunnos on matematiikassa integraalimuunnos joka voidaan tulkita multiplikatiivisena versiona kaksipuoleisesta Laplacen muunnoksesta. Tämä integraalimuunnos liittyy läheisesti Dirichlet'n sarjoihin ja muunnosta käytetään paljon lukuteoriassa ja asymptoottisissa kehitelmissä. Mellinin muunnos liittyy läheisesti Laplacen- ja Fourier'n muunnoksiin sekä gammafunktioon.

Funktion f Mellinin muunnos on

mikäli integraali on olemassa. Sen käänteismuunnos on

Merkintätavasta seuraa, että tämä on viivaintegraali pystysuoraan kompleksitasossa. Ehdon käänteismuunnoksen olemassaololle antaa Mellinin inversiolause.

Muunnos on nimetty suomalaisen matemaatikon Robert Hjalmar Mellinin (1854–1933) mukaan.

Suhde muihin muunnoksiin

Kaksipuolinen Laplacen muunnos voidaan määritellä Mellinin muunnoksen avulla:

ja toisaalta Mellinin muunnos voidaan määritellä kaksipuolisen Laplacen muunnoksen avulla asettamalla

Mellinin muunnos voidaan ajatella integroimalla xs:n ydintä  multiplikatiivisen Haarin mitan suhteen, joka on invariantti dilaation  suhteen, jolloin
. Tämä kaksipuolinen Laplacen muunnos integroidaan additiivisen Haarin mitan  suhteen, joka on translaatioinvariantti, joten .

Fourier'n muunnos voidaan myös määritellä Mellinin muunnoksen avulla ja päinvastoin: määrittelemällä kaksipuolinen Laplacen munnos kuten yllä saadaan

jolloin

Mellinin muunnos yhdistää Newtonin sarjan ja binomimuunnoksen toisiinsa yhdessä Poissonin generoivan funktion kanssa. Tämä tunnetaan nimellä Poissonin–Mellinin–Newtonin sykli.

Cahenin-Mellinin integraali
Kun ,  ja  on valittu päähaarasta, on 

Missä  on gammafunktio. Tämä integraali tunnetaan nimellä Cahenin–Mellinin integraali.

Lähteet  
 Paris, R. B., ja Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
 A. D. Polyanin ja A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
 Taulukko integraalimuunnoksista EqWorldissä: The World of Mathematical Equations.

Viitteet

Kirjallisuutta 
 

Kompleksianalyysi
Integraalimuunnokset