Tukivektorikone

Tukivektorikone () on 1990-luvulla kehitetty lineaarinen luokitinmalli, joka soveltuu luokitteluun ja käyränsovitustehtävään. Tukivektorikone voidaan toteuttaa neuroverkolla. Tukivektorikoneen yleistämiskyky on  MLP-neuroverkkoon verrattuna parempi. Yleistämiskyky kuvaa luokittimen kykyä luokitella ennalta tuntemattomat näytteet oikein.

Perusteet

Tukivektorikoneen perusajatus on sovittaa kahden näytejoukon väliin sellainen taso, että sen kanssa yhdensuuntaisten marginaalitasojen välimatka on mahdollisimman suuri eikä yksikään näyte jää marginaalitasojen väliin. Marginaalitasojen välimatkaa rajoittavia näytevektoreita kutsutaan tukivektoreiksi. Luokittelun tulos riippuu ainoastaan näistä tukivektoreista.

Tukivektorikoneen tulee opetuksen jälkeen osata luokitella mielivaltainen näyte. Luokitin opetetaan opetusaineiston perusteella, ja siksi sen hyvyys osaltaan riippuu opetusaineiston hyvyydestä.

Kun opetusjoukot eivät ole separoituvia, käytetään tukivektorikonetoteutusta, jota kutsutaan joustavan marginaalin luokittimeksi. Menetelmä etsii opetusaineistosta ne näytevektorit, jotka määrittävät eri luokkien rajat.

Optimimarginaaliluokitin
Optimimarginaaliluokitin on tukivektorikoneen toteutus separoituville näytejoukoille. Optimimarginaaliluokitin määrää päätöstason  kahden separoituvan näytejoukon välille. Lisäksi vaaditaan että kummankin luokan päätöstasoa lähimmän pisteen ja päätöstason välinen etäisyys on mahdollisimman suuri. Tämä tarkoittaa sitä että kummankin luokan lyhin etäisyys pintaan nähden on sama, koska kokonaisuuden kannalta lyhin etäisyys määrittyy lähempänä olevan luokan perusteella.

Luokat ovat lineaarisesti separoituvia silloin kun kahden eri luokan yksikäsitteinen erottaminen yhdellä tasolla on mahdollista.

Etsitään piirreavaruuden  tasoa  siten, että näytevektorille  pätee

.

Sovitaan, että luokan  pisteitä vastaa :n arvo  ja luokan  . Muodostetaan yhtälö

,

joka pätee kummankin luokan pisteille. Jos opetustieto koostuu  eri pisteestä, jotka ovat , kun , ja  ovat niiden vastaavat luokat (joko  tai ), niin vaadimme että luokat erottava taso 
toteuttaa ehdon

.

Näytepisteen euklidinen etäisyys tasoon  on

.

Päätöstason löytämiseksi on olemassa useita ratkaisutapoja. Kirjallisuudessa usein esiintyvä ratkaisutapa perustuu neliölliseen optimointiin. Toinen tapa on etsiä kummallekin luokalle  konveksipeitteet, ja sen jälkeen etsiä konveksipeitteiden välinen lyhin etäisyys ja tätä vastaavat pisteet  ja  peitteiden pinnalla. Päätöstason normaalivektori  on pisteiden  ja  erotus vektorin suuntainen, ja  on näiden pisteiden keskiarvo.

Ratkaiseminen neliöllisellä optimoinnilla

Optimimarginaaliluokitin määritetään ratkaisemalla seuraava neliöllinen optimointiongelma. Ratkaistaan päätöstaso minimoimalla lauseke 
tason normaalivektorin  suhteen ehdolla

.

Muuttuja  ratkaistaan ehdosta.

Päätöstason yksiselitteiseen määrittämiseen tarvitsee tuntea kaksi tasoa lähinnä olevaa pistettä  ja . Pisteen  euklidinen etäisyys tasoon  on
,

missä  on normalisointitermi.

Taso  on yhdensuuntainen tason  kanssa, kun , josta seuraa että  voidaan valita siten, että  pisteille  ja . Tällöin euklidisten etäisyyksien summaksi saadaan 

.

Tämän seurauksena rajoittamalla reunaehdot annetun tehtävän mukaisesti ja minimoimalla , marginaalitasoilla sijaitsevien pisteiden m ja n etäisyys maksimoituu.

Joustavan marginaalin luokitin

Joustavan  marginaalin luokitin (C-SVM) optimimarginaaliluokittimen yleistys ei-separoituville näytejoukoille. Lähes kaikissa käytännön luokittelutehtävissä näytejoukot ovat ei-separoituvia. Ei-separoituvuus huomioidaan määrittämällä jokaiselle väärään luokkaan luokittuvalle näytteelle ns. slack-vakio , mikä on näytteen etäisyys päätöspintaan. Vakio , kun näyte luokittuu oikein.

Kahteen luokkaan luokitteleva joustavan marginaalin luokitin määritetään ratkaisemalla neliöllinen optimointiongelma

muuttujien ,  ja  suhteen 
kun reunaehdot ovat

 
ja
 

kun . Ongelma voidaan ratkaista ratkaisemalla Lagrangen menetelmällä konstruoitu duaaliongelma

 

missä  on regularisointitermi ja reunaehdot ovat
 
ja
 

missä  ovat Lagrangen kertoimet ja .

Epälineaarinen tukivektorikone 

Coverin teoreeman mukaan kaksi ei-separoituvaa näytejoukkoa separoituvat suuremmalla todennäköisyydellä, kun ne kuvataan epälineaarisesti korkeampiulotteiseen avaruuteen. Tukivektorikoneen suorituskykyä voidaan parantaa kuvaamalla piirreavaruus kernelifunktiolla , joka implisiittisesti määrittelee kuvauksen.

Mercerin teorian perusteella kernelifunktiolle  on olemassa sisätuloavaruus jos matriisi  on positiivisemidefiniitti ja  on symmetrinen funktio, kun  kaikille . Luokittelu suoritetaan sisätuloavaruudessa lineaarisesti, mutta päätöspinta kuvautuu piirreavaruuteen epälineaariseksi, kuten ympyräksi tai ellipsiksi radiaalisella kernelifunktiolla. Mercerin teoria mahdollistaa epälineaarisen luokittimen määrittämisen intuitiivisesti.

Mielivaltainen piste  luokitellaan luokkaan , kun

ja muussa tapauksessa luokkaan .

Havaitaan, että kun , niin  on tukivektori. Näin ollen luokittelu riippuu ainoastaan tukivektoreista.

Kernelifunktiota
Yleisimpiä kernelifunktiota ovat
 polynominen kernelifunktio , kun  on positiivinen kokonaisluku
 radiaalinen kernelifunktio , kun 

Polynominen kernelifunktio erottelee piirteet lineaarisesti lähtöavaruudessa kun taas radiaalinen funktio erottelee piirteet lineaarisesti tietyssä korkeaulotteisessa avaruudessa. Lähtöavaruuden näkökulmasta radiaalinen kernelifunktio erottelee näytteet epälineaarisesti ja se voi näin ollen sen suorituskyky on joissain tilainteissa polynomista luokitinta parempi.

Tukivektorikonetoteutuksia
 SVM light

Katso myös
 Neuroverkot
 Hahmontunnistus

Lähteet

 Haykin, Simon: Neural Networks - A comprehensive foundation 2nd edition, Prentice-Hall, 1999

Neuroverkot
Hahmontunnistus