Ulottuvuus

Ulottuvuus eli dimensio on topologista avaruutta kuvaava matemaattinen käsite, joka voidaan määritellä usealla eri tavalla.

Algebrallinen dimensio kertoo vektoriavaruuden kannan mahtavuuden. 

Metrinen dimensio perustuu toisistaan yhtä kaukana sijaitsevien pisteiden lukumäärään. Yhdessä ulottuvuudessa näitä on kaksi, kahdessa kolme ja :ssä  kpl. Määritelmä toimii vain metrisessä avaruudessa. 

Lebesguen dimensiota (kulkee myös nimellä topologinen dimensio) sovelletaan avoimessa ympäristössä, jonka alipeitteeseen valitaan avoimia joukkoja s.e. mikään piste ei kuulu useampaan joukkoon kuin on välttämätöntä ympäristön peittämiseksi. Niiden joukkojen, johon tuo piste kuuluu, lukumäärä on ympäristön dimensio + 1. Lebesguen dimensio on aina kokonaisluku. 

Hyvin epäsäännöllisillekin metrisille avaruuksille voidaan määrittää Hausdorffin dimensio, joka ei välttämättä ole kokonaisluku (lähes kaikki fraktaalit ovat juuri niitä avaruuksia, joiden Hausdorffin dimensio on suurempi kuin niiden topologinen dimensio). Avaruus peitetään avoimilla palloilla ja tarkastellaan, kuinka nopeasti pallojen määrää on kasvatettava, jotta niiden säteen puolittuessa ne edelleen peittävät tutkittavan avaruuden (helpohko esimerkki on Kochin käyrä).

Kirjallisuutta 

Geometria
Abstrakti algebra
Topologia
Seulonnan keskeiset artikkelit