Ptolemaioksen lause

Ptolemaioksen lauseet ovat geometriassa nelikulmioihin liittyviä tuloksia. Kuuluisimpia Klaudios Ptolemaioksen nimiin kirjattuja tuloksia ovat syklisiin nelikulmioihin liittyvä yhtälö ja yleisiin nelikulmioihin liittyvä epäyhtälö. Näiden avulla hän muun muassa johti eräitä trigonometrian summakaavoja.

Ptolemaioksen lause 
Ptolemaios todisti konveksille sykliselle nelikulmiolle seuraavan lauseen (kuvan merkinnöillä):
 
eli vastaisten sivujen tulojen summa on sama kuin lävistäjien tulo (todistus ).

Pythagoraan lause 
Jos nelikulmio on (syklinen) suorakulmio, ovat vastaiset sivut yhtäpitkät. Nimeämällä kärjen A mukaan AB = CD ja AC = BD ja toteamalla lävistäjien olevan yhtäpitkät AD = BC, saadaan

eli

Tämä on Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle, jota mainitut sivut merkitsevät.

Ptolemaioksen toinen lause 
Ptolemaios huomasi toisenkin ominaisuuden. Syklisen nelikulmion lävistäjät ovat verrannollisia lävistäjän päätepisteistä lähtevien sivujen tulojen summaan. Esimerkiksi lävistäjän AC päätepisteestä A lähtee sivut AB ja AD ja päätepisteestä C lähtee sivut CB ja CD. Verrannollisuus on esitettävissä

Lävistäjien suhde on siten (todistus )

Ptolemaioksen epäyhtälö 
Ensimmäisen lauseen mukaan nelikulmion ABCD sivujen ja lävistäjien pituuksille voidaan esittää
.
Epäyhtälö on voimassa kaikille nelikulmioille, mutta yhtäsuuruus on voimassa vain syklisille nelikulmioille.

Ptolemaioksen epäyhtälön todistus 
Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Konstruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhdenmuotoiset( ja ). Tällöin 
joten

Koska myös , on
, sillä kolmiot  ja  ovat yhteneviä. Siten 
Siten  on jännenelikulmio, joten 
Siten pisteet  ja  ovat samalla suoralla, joten
.
Nyt saadaan siis 
Kertomalla yhtälö puolittain :llä saadaan 

Oletetaan sitten, että  ei ole jännenelikulmio. Tällöin 
joten pisteet ,  ja  muodostavat kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa . Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä 
Siis 
Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen:
, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos  on jännenelikulmio.

Lähteet

Viitteet

Geometria
Epäyhtälöt