Homotopia

Topologiassa kahden jatkuvan funktion sanotaan olevan homotooppisia keskenään, jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiassa.

Matemaattinen määritelmä 
Kahden jatkuvan funktion  ja  välinen homotopia on jatkuva funktio  siten, että  ja . Tällöin kuvauksia  ja  kutsutaan homotopia ekvivalenteiksi tai vain homotooppisiksi keskenään. Jos kuvauksen H toinen parametri ajatellaan olevan aikaparametri, voidaan H:ta ajatella funktiona, joka näyttää kullakin ajan hetkellä tietyn välivaiheen, kun kuvausta f ollaan muuttamassa kuvaukseksi g.

Ominaisuuksia 
Homotooppisuus on ekvivalenssirelaatio jatkuvien funktioiden joukossa X:ltä Y:lle. Tämä homotopiarelaatio on yhteensopiva  funktioiden yhdistämisen kanssa seuraavassa mielessä: Jos  ja  ovat homotooppisia ja  ovat homotooppisia, on näiden yhdistetyt kuvaukset  ja  myös homotooppisia.

Jos f ja g X:ltä Y:lle ovat homotooppisia, tällöin f:n ja g:n indusoimat ryhmähomomorfismit homologiaryhmien välille ovat samat:  kaikilla n (tämä on itse asiassa yksi Eilenbergin–Steenrodin aksioomista homologiateorioille). Jos erityisesti X ja Y ovat polkuyhtenäisiä, kuvaukset f ja g indusoivat saman ryhmähomomorfismin  homotopiaryhmien välille: .

Tämä kuvastaa sitä miksi algebrallisessa topologiassa avaruudet joudutaan usein erottelemaan vain niiden homotopialuokkien mukaan.

Isotopia 
Siinä missä homotopia vie jatkuvalla muunnoksella toisen jatkuvan kuvauksen toiselle, isotopia vie toisen upotuksen toiselle, niin että joka vaiheessa kuvaus on upotus.

Määritelmä
Upotukset  ovat isotooppisia, jos on olemassa upotus
 siten että ,
 ja .

Lähteet 

Homotopiateoria
Algebrallinen geometria
Seulonnan keskeiset artikkelit