Kommutaattori (matematiikka)

Ryhmäteoriassa ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori on ryhmän G alkio [x, y] = x−1y−1xy. Kommutaattorin voidaan ajatella mittaavan eräällä tavalla alkioiden kommutointia.

Ominaisuuksia

Alkioiden x ja y kommutaattori liittyy olennaisesti alkioiden vaihdannaisuuteen, sillä xy = yx[x, y]. Täten alkiot x ja y kommutoivat (eli ovat vaihdannaisia) täsmälleen silloin, kun kommutaattori [x, y] on ryhmän G neutraalialkio. 

Suoraan laskemalla voidaan todistaa kommutaattorille seuraavia ominaisuuksia: 

 
 
 

Jos A ja B ovat ryhmän G osajoukkoja, niin ryhmän G aliryhmä  on joukon
 
generoima aliryhmä. Aliryhmä 

on ryhmän G derivaattaryhmä. Erityisesti ryhmä G on Abelin ryhmä, jos ja vain jos

Lähteet

Viitteet 

Ryhmäteoria