Sarja (matematiikka)

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku.  Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki

Voidaan päätellä, että 

Tämän sarjan osasummien jonolla

on raja-arvo 

Esimerkki

Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että

Sarjan  osasummia ovat

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on

Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarja

Sarja  on aritmeettinen, jos lukujono  on muotoa  eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio .

Sarja  on geometrinen, jos lukujono  on muotoa  eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio .

Kaavoja ja sääntöjä

 Sarja  hajaantuu, jos
  tai
  ei ole olemassa.
 Vuorotteleva sarja  eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
 
 Aliharmoninen sarja  hajaantuu.
 Harmoninen sarja  hajaantuu.
 Yliharmoninen sarja  suppenee.
 Geometrinen sarja  suppenee, kun  tai .
 Tällöin

Esimerkkejä

Määritetään sarjan  summa.

Osasumma 
Summa on geometrinen summa; , termejä .
.

Sarjakehitelmä
Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Matemaattiset sarjat
Seulonnan keskeiset artikkelit