Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on skalaariarvoinen determinantti, joka kuvaa tiettyjä sitä vastaavan lineaarikuvauksen ominaisuuksia. Esimerkiksi  matriisin determinantin itseisarvo kertoo kuinka paljon tilavuus muuttuu lineaarikuvauksessa. Neliömatriisin  determinantti merkitään:

Matriisin  alimatriisi  saadaan poistamalla matriisista :s vaakarivi ja :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia  sanotaan alkion  alideterminantiksi.

Määritelmä 

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin  determinantti on

jossa  on eräs :n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi  determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

Laskusääntöjä 

, jossa A ja B ovat molemmat n  n -matriiseja.

Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,

Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

Determinantin laskeminen 

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

jossa Aik on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan A:sta i:s rivi ja k:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo  matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja  ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

 Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: .
 Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: .
 Kun kerrotaan rivi vakiolla k: .

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Alkion komplementti 

määritellään alkion  komplementti eli kofaktori
.

Matriisin  adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
.

Determinantin käyttäminen 

Neliömatriisia  sanotaan kääntyväksi tai säännölliseksi, jos . Jos , matriisi on singulaarinen.

Säännölliselle matriisille  pätee
 ja .

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Geometrisia tulkintoja 

Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantti vastaa lineaarikuvauksen geometrisia ominaisuuksia. Determinantin itseisarvo vastaa joko pinta-alan tai tilavuuden muutosta lineaarikuvauksessa. Determinantin positiivinen etumerkki tarkoittaa, että kätisyys ei muutu kuvauksessa, kun taas kätisyyden peilaavien kuvauksien determinantti on negatiivinen. Jos determinantti on , lineaarikuvaus litistää pienempään ulottuvuuteen, suoralle tai tasolle.

Lisäksi determinantti vastaa matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

Lähteet

Kirjallisuutta 
 Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
 de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273.
 Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
 Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on 2009-10-31
 Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
 Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
 G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078
 Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
 Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
 Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall

Muita lineaarialgebraan liittyviä kirjoja 
 Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
 Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand
 Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
 Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
 Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-145334-0
 Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, ISBN 978-1-56881-234-2
 Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra
 Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0-13-229654-0
 Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
 Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-185785-8
 Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
 Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, ISBN 978-0-538-73545-2
 Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4398-0040-9
 Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, ISBN 978-0-8218-4441-0
 Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6
 The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., ISBN 978-1-59327-413-9
 Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98258-8
 Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1
 Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-389-3
 Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, ISBN 978-0-8218-3813-6
 Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44554-0
 Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1376-8
 Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2664-5
 Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66082-0
 Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45332-3
 Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
 Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, ISBN 0-7923-3614-3
 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
 Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-8018-5414-9
 Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251
 Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-90093-3
 Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, ISBN 978-0-13-486024-4
 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1
 Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-96412-6
 Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, ISBN 978-0-486-67102-4
 Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on October 31, 2009
 Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7
 Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3
 Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9
 Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63518-7
 Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-33194-2
 Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98455-1
 Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-898-71361-9
 Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, ISBN 978-0-8220-5331-6
 Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-136200-9
 Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-038023-3
 McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, ISBN 978-0-07-146579-3
 Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-9125-0

Matriisit