Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislakia eli keskivirheen kasautumislakia käytetään, kun mittaustuloksista ja niiden virheistä lasketaan jokin toinen suure ja sille virhe. Virheellä ei tässä tarkoiteta arkikielestä tuttua virhettä vaan jokaiseen mittaukseen liittyvää epätarkkuutta ja tuloksen epävarmuutta. Virhe kuvaa tässä tuloksen sisäistä tarkkuutta (englanniksi precision).

Virhettä merkitään symbolilla , siten että :n virhe on . Suure  voi olla mikä tahansa suure, jonka virhettä halutaan kuvata. Esimerkiksi jännite , jolloin jännitteen virhe on . Jos on mitattu useampaan kertaan samaa suuretta, esimerkiksi johonkin tiettyyn matkaan kulunut aika, saadaan jakauma mittaustuloksia, jotka usein ovat normaalijakautuneita. Tällöin jakauman otoskeskiarvo on mittaustulos, jonka virhe on otoshajonta.

Esimerkki. On haluttu mitata kappaleen nopeus  mittaamalla kappaleen kulkema matka  ja matkaan kuluttama aika . Kappaleen nopeus , mutta mikä on tuloksen epävarmuus? Matkan ja ajan virheet ( ja ) tunnetaan (esimerkiksi mittaustarkkuudesta), joten oikea tapa menetellä on laskea nopeuden virhe käyttäen virheen kasautumislakia, jossa virhe kasautuu. Nopeuden virhe siis nimenomaan ei ole suoraan  vaan jotain muuta.

Matemaattinen esitys

Olkoon  funktio, joka riippuu :stä muuttujista . Kullakin muuttujalla on virhe () eli jokainen muuttuja voidaan ilmaista muodossa .

Jos muuttujat ovat riippumattomia, :n epävarmuus  johtuu jokaisen muuttujan yksittäisestä virheestä  ja se voidaan laskea yhtälöllä:

,

missä  on funktion  osittaisderivaatta muuttujan  suhteen.

Jos muuttujat eivät ole toisistaan riippumattomia täytyy ottaa huomioon jokaisen muuttujaparin välinen kovarianssi  :

,

missä .

Lasketun tuloksen  epävarmuus voidaan nyt ilmaista :n avulla .

Tuloksen pyöristäminen

Tulos ja sen virhe esitetään lopullisessa muodossaan aina pyöristettynä samaan tarkkuuteen. Esimerkiksi, jos tulokseksi on laskettu T = 3,058 s ja virheeksi ΔT = 0,987 s, tulee tulos pyöristää T = 3 s ja virhe ΔT = 1 s. Virhe siis määrää kuinka monta merkitsevää numeroa tuloksesta ilmoitetaan. Yleensä tapana on ilmoittaa virhe (ja tulos) kahden yksikön tarkkuudella vain, jos virhe alkaa ykkösellä tai korkeintaan kakkosella. Esimerkiksi 1,06 m0,15 m on oikein pyöristetty tai 0,97 m0,21 m, mutta 2,17 m0,37 m on kyseenalainen, sillä virhe alkaa kolmosella. Oikeampi pyöristys olisi 2,2 m0,4 m.

Pyöristys tehdään aina tarkimman arvon perusteella. Jo pyöristettyä tulosta ei siis enää uudelleen pyöristetä vaan pyöristys tehdään alkuperäisestä tuloksesta. Esimerkiksi välituloksia ei pyöristetä. Jos aluksi virheen tiedetään olevan 0,345 m ja se pyöristetään kahteen merkitsevään desimaaliin 0,35 m. Uudelleen pyöristäminen aiheuttaisi pyöristyksen 0,4 metriin, vaikka oikea pyöristys pyöristämättömästä virheestä antaa pienemmän virheen 0,3 m (ja samalla tarkemmin ilmoitetun tuloksen!). Tulosta ja virhettä ei pidä pyöristää turhaan ylöspäin, jotta sitä ei keskimäärin yliarvioida tulossarjoissa.

Esimerkkilasku: resistanssin epävarmuus

Halutaan laskea resistanssi , kun on mitattu vastuksen läpi kulkeva virta  ja sen yli oleva jännite . Ohmin lain mukaan .

Mittausepävarmuudet tunnetaan suoraan vaikkapa yleismittarin asteikon tarkkuudesta  ja , jolloin laskettu epävarmuus  saadaan

 

Yksinkertaisemmin ilmaistava suhteellinen virhe  on siis neliöjuuri mitattujen suureiden suhteellisten virheiden neliöiden summasta.

Sijoitetaan laskuun vielä numerot. Oletetaan, että jännite  ja virta . Tällöin resistanssi

ja resistanssin virhe

 

Virheen pyöristyssääntöjen mukaan tulos ilmoitetaan pyöristettynä .

Lähteet

Viitteet

Numeerinen analyysi
Data-analyysi