Brahmaguptan kaava

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto 
Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

 

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

Brahmaguptan kaavan todistus 

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion  pinta-ala + kolmion   pinta-ala:

Koska  on jännenelikulmio, on  Siis  joten

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin  ja  saadaan

Sijoittamalla  (koska kulmat  ja  ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

Koska  on 

ja lopulta

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa 

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

 

missa  on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on , voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus 

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 

Euklidinen geometria