Aksiomaattinen joukko-oppi

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

Aksiomaattinen joukko-oppi 

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:
 Ekstensionaalisuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.  
 Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa .
 Pariaksiooma: Jos  ja  ovat joukkoja, niin myös  on joukko, joka sisältää vain alkiot  ja .  
 Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa  kohti on olemassa joukko , jonka alkiot ovat samat kuin joukon  alkioiden alkiot. 
 Äärettömyysaksiooma: On olemassa sellainen joukko , että  on :n alkio ja aina kun  on :n alkio, niin on myös unioni .
 Erotteluaksiooma (erotusaksiooma, separaatioaksiooma tai osajoukkoaksiooma): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota)  kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon  alkiot, joille  pätee.
 Korvausaksiooma: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa  missä ehdosta  ja  seuraa , kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
 Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa  kohti on olemassa joukko , joka sisältää vain kaikki :n osajoukot.
 Säännöllisyysaksiooma: Jokainen epätyhjä joukko  sisältää sellaisen alkion , että  ja  ovat erillisiä joukkoja. 
 Valinta-aksiooma: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa  kohti on olemassa joukko  joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta :n alkiosta.

Kirjallisuutta
 
 

en:Set theory#Axiomatic set theory