Hyperbolinen funktio

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.

Määritelmät 

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

 

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

Muunnoskaavoja 

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

, koska  on parillinen funktio.

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli 

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

,

voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa 

.

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat 

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

Funktiot kompleksialueessa 

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille.  Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on , hyperbolisen tangentin .

Katso myös
 Alkeisfunktiot

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla

GonioLab : Havainnollistamaittu trigometria

Funktiot
Seulonnan keskeiset artikkelit