Binäärioperaatio

Joukon A binäärioperaatio tai binäärinen operaatio on funktio  Pohjimmiltaan se on abstrakti laskutoimitus.

Alkion  kuva-alkiolle on yleinen merkintätapa . Koska relaatio  on funktio, täytyy päteä, että alkio  on yksikäsitteinen.

Ominaisuuksia

Joukon A binäärioperaatio  on
ykkösellinen, jos on olemassa sellainen alkio  (neutraalialkio), jolle pätee  kaikilla 
kommutatiivinen, jos  kaikilla  ja
assosiatiivinen, jos  kaikilla .

Viimeisessä kohdassa merkintä  tarkoittaa parin  kuva-alkiota.

Esimerkkejä

Kokonaislukujen yhteenlasku (+) ja kertolasku ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia binäärioperaatiota. Yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun neutraalialkio on 1. Vastaavasti myös esimerkiksi rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolaskut ovat binäärioperaatioita.

Nollasta eroavien kokonaislukujen jakolasku (/) ei ole binäärioperaatio, koska esimerkiksi parin  kuva  ei kuulu kokonaislukuihin. Toisaalta nollasta eroavien rationaalilukujen jakolasku on binäärioperaatio, joka ei ole kommutatiivinen, koska esimerkiksi

Merkitys algebrassa

Binäärioperaatiolla on merkittävä osa useassa abstraktin algebran rakenteessa. Esimerkiksi magma on pari , missä A on joukko ja  on joukon A binäärioperaatio. Magman johdannaisissa rakenteissa binäärioperaatiolta vaaditaan lisää ominaisuuksia. Esimerkiksi puoliryhmä on magma, jonka binäärioperaatio on assosiatiivinen. Muita magmasta lähteviä rakenteita ovat esimerkiksi monoidi, kvasiryhmä, luuppi ja ryhmä. Rengas, kokonaisalue ja kunta ovat taas kolmikkoja , missä A on joukko sekä  ja  ovat joukon A binäärioperaatiota tietyin lisäehdoin.

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Algebra