Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi. Siten A on symmetrinen jos

,

jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (aij), on

kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:

Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli

.

Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:

Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden  ortonormaali kanta.

Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Matriisit