Varianssi

Varianssi on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan hajonnan mitta. Varianssi kuvaa sitä, kuinka paljon satunnaismuuttujan arvot keskimäärin vaihtelevat odotusarvosta tai populaation keskiarvosta. Varianssissa yksittäisen mittauksen poikkeamat keskiarvosta tai odotusarvosta korotetaan toiseen potenssiin (neliöön). Varianssi saadaan ottamalla keskiarvo näistä neliöön korotetuista eroista. Kun arvot keskittyvät odotusarvon ympärille tiiviisti, on varianssin arvo pieni, ja kun arvot ovat hajallaan odotusarvon ympärillä, on sen arvo suuri. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskusmomentti. Varianssin yksikkö on satunnaismuuttujan yksikkö korotettuna toiseen potenssiin. Varianssin neliöjuurta sanotaan keskihajonnaksi, jonka yksikkö on sama  kuin satunnaismuuttujalla.

Määritelmä ja merkinnät 
Matemaattisesti varianssi  määritellään reaaliarvoisen satunnaismuuttujan  odotusarvon  avulla
 
missä  on satunnaismuuttujan odotusarvo. Varianssin arvo on ääretön, ellei odotusarvo  ole äärellisenä olemassa. Varianssi voidaan merkitä myös
 

Varianssin avulla voidaan esittää myös keskihajonta eli standardipoikkeama

Diskreetti satunnaismuuttuja 
Diskreetin satunnaismuuttujan varianssi lasketaan 
 
missä  on jakauman pistetodennäköisyysfunktio.

Jatkuva satunnaismuuttuja 
Jatkuvan satunnaismuuttujaparin varianssi on taas 
 
missä  on jakauman tiheysfunktio.

Ominaisuuksia

Rinnakkaiskaavan johtaminen 
Varianssin lauseketta voidaan kehittää edelleen käyttämällä hyväksi odotusarvon ominaisuuksia:

Ensimmäistä muotoa kutsutaan toiseksi keskusmomentiksi ja viimeisessä muodossa käytetään toista ja ensimmäistä origomomenttia.

Varianssin laskemiseksi on käytössä myös tekijämomentin sisältävä muoto:

Ominaisuuksia 
Varianssin arvo on aina epänegatiivinen. Kun varianssi on nolla, ei arvoissa esiinny vaihtelua ja satunnaismuuttuja antaa vain samoja arvoja. Siten
 
Varianssi on kovarianssi kahden identtisen satunnaismuuttujan välillä
  (kovarianssi)

Päättelysääntöjä summista 
Jokaisen satunnaismuuttujan arvoon lisätty vakio ei vaikuta varianssin arvoon eli
 
mutta arvojen kertominen vakiolla kasvattavat  tai vähentävät  varianssia
 
Kahden satunnaismuuttujan lineaarikombinaatiossa varianssiin vaikuttaa myös satunnaismuuttujien kovarianssi
 
mikä merkitään yleisemmässä tapauksessa
 
Nämä arvot voidaan käsitellä hallitummin kovarianssimatriisissa. Tämä ominaisuus vaikuttaa myös satunnaismuuttujien summan varianssiin
 
Kovarianssia ei tarvitse huomioida, mikäli satunnaismuuttujat ovat korreloimattomia   jolloin

Riippumattomat satunnaismuuttujat ovat aina korreloimattomia. Korreloimattomilla satunnaismuuttujilla välimerkki ei vaikuta varianssin arvoon

Päättelysääntöjä tuloista 
Kahden satunnaismuuttujan tulon varianssi voidaan määrittää odotusarvon ominaisuuksien avulla

Populaatio- ja otosvarianssi 
Varianssi lasketaan äärelliselle populaatiolle  seuraavasti
 
missä  on populaation keskiarvo. Tätä kutsutaan toisinaan otosvarianssiksi, mutta termin käyttö on vaihtelevaa. Kun  on otos laajemmasta populaatiosta,  on varianssin tarkentuva mutta harhainen estimaatti. Harhaton estimaatti on
 
jota yleensä kutsutaan otosvarianssiksi. Suurten otosten tapauksessa ei ole käytännössä merkitystä kumpaa estimaattoria käytetään. Molempien keskihajonta saadaan ottamalla varianssista neliöjuuri.

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta
Seulonnan keskeiset artikkelit