Konvoluutio

Matematiikassa ja erityisesti  funktionaalianalyysissä konvoluutio on kahden funktion  ja  välille määritelty  operaatio, joka tuottaa uuden funktion . Konvoluutiota käytetään  tilastotieteessä, signaalinkäsittelyssä ja  differentiaalilaskennassa. Erityisesti diskreettiä konvoluutiota käytetään  digitaalisessa signaalinkäsittelyssä signaalin suodattamiseen.

Konvoluutio voidaan kuvata kahden signaalin yhteisenä pinta-alana siirroksen funktiona, kun jälkimmäinen signaali ensin käännetään y-akselin suhteen ja tämän jälkeen liikutetaan sitä x-akselilla positiiviseen suuntaan.

Määritelmä 
Konvoluutio määritellään jatkuville funktioille integraalina

tai tämän kanssa yhtäpitävästi

Määritelmissä integrointi ulottuu funktioiden määrittelyalueen yli. Konvoluutio voidaan jakaa integroinnin kannalta lineaariseen konvoluutioon ja jaksolliselle funktioille määriteltyyn ympyräkonvoluutioon.

Diskreeteille funktioille konvoluutio määritellään vastaavasti sarjakehitelmänä
.

Lukuteoreettisille funktioille on määritelty Dirichlet'n konvoluutio:

Konvoluution ominaisuuksia 
Konvoluution ominaisuudet vastaavat monia reaalilukujen kertolaskun ominaisuuksia:

Assosiatiivisuus

Distributiivisuus

Kommutatiivisuus 

Skalaarimonikerta

Konvoluution derivaatta

Konvoluutioteoreema 
Tärkeimpiä konvoluution ominaisuuksia on konvoluutioteoreemana tunnettu ominaisuus, jonka mukaan kahden funktion konvoluution  Fourier-muunnos on näiden funktioiden Fourier-muunnosten tulo, eli

,

missä  ja  ovat funktioiden  ja  Fourier-muunnoksia. Teoreema pätee myös  Laplace-muunnokselle ja diskreetissä tapauksessa  Z-muunnokselle. Konvoluutioteoreema pätee myös monille muille  integraalimuunnoksille.

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

Analyysi
Signaalinkäsittely