Lebesguen mitta

Lebesguen mitta on  reaalilukujen joukon mitta, jota kutsutaan havainnollisuutensa vuoksi myös luonnolliseksi mitaksi. Sen integraali eli Lebesguen integraali on Riemannin integraalin laajennus.

Lebesguen mitalla on useita luonnolliselta tuntuvia ominaisuuksia. Se yhtenee geometrian pituus-, pinta-ala- ja tilavuuskäsitteiden kanssa sikäli, että esimerkiksi reaalilukuvälin  Lebesguen mitta on , -neliön  mitta on  ja -kuution  mitta on . Se on siirto- ja kiertoinvariantti, minkä voi tulkita graafisesti niin, ettei joukon asennolla tai sijainnilla ole vaikutusta sen mittaan. 

Lebesguen mitta on määritelty kaikille helposti kuviteltaville joukoille. Valinta-aksiooman avulla voidaan kuitenkin todistaa, että on olemassa sellaisiakin :n osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia.  Kaikki sellaiset ovat kuitenkin luonteeltaan hyvin monimutkaisia ja abstrakteja.

Lebesguen mitan määrittely 

Lebesguen mitta määritellään Lebesguen ulkomitan kautta, joka on mitta, joka on määritelty mielivaltaisille -ulotteisille reaalilukujen joukoille. Alustavasti on kuitenkin tehtävä joitakin määritelmiä.

Yksiulotteinen avoin väli on perinteiseen tapaan väli 
.
-ulotteinen avoin väli on yksiulotteisten avoimien välien karteesinen tulo
.
Kiinnitetään geometriselle mitalle symboli . Jos  on -ulotteinen väli, niin sen geometrinen mitta on
.

Lebesguen ulkomitta 

Jos  on luonnollinen luku, joukko 
, niin joukon  Lebesguen ulkomitta on
.
 on kuvaus .

Yleensä samaistetaan symbolit  ja , jos dimensio on yhteydestä selvä.

Lebesgue-mitalliset joukot 

Joukko  on Lebesgue-mitallinen, jos
 kaikilla joukoilla .
Tämä on niin kutsuttu Carathéodoryn ehto.

-ulotteisten Lebesgue-mitallisten joukkojen joukkoa merkitään symbolilla . Voidaan sanoa, että kaikki helposti kuviteltavat joukot ovat Lebesgue-mitallisia.  on sigma-algebra.

Lebesgue-mitallisia joukkoja:
 -ulotteiset avoimet välit ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja
 jos pätee , niin  on Lebesgue-mitallinen
 numeroituvat joukot ovat Lebesgue-mitallisia
 avoimet ja suljetut joukot ovat Lebesgue-mitallisia
 Lebesgue-mitallisen joukon komplementti on Lebesgue-mitallinen
 Lebesgue-mitallisten joukkojen numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset ovat Lebesgue-mitallisia
 Borel-joukot ovat Lebesgue-mitallisia
Kaikki Lebesgue-mitalliset joukot eivät kuitenkaan ole Borel-joukkoja.

Lebesguen mitta 

Jos joukko  on Lebesgue-mitallinen, niin sen Lebesguen mitta on 
.  on siis kuvaus .

Jos dimensio on yhteydestä selvä, merkitään .

Lebesgue-mitalliset funktiot 

Jos , niin funktio  on Lebesgue-mitallinen, jos  on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla .

Jos , niin funktio  on Lebesgue-mitallinen, jos  on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla  sekä  ja  ovat Lebesgue-mitallisia joukkoja.

Lebesgue-mitallisia funktioita:
 jos  on Lebesgue-mitallinen joukko, niin indikaattorifunktio  on Lebesgue-mitallinen funktio
 jos  on mitallinen, niin jatkuvat funktiot  ovat Lebesgue-mitallisia
 jos ,  on Lebesgue-mitallinen funktio , ,  ja  on jatkuva funktio , niin yhdistetty kuvaus  on Lebesgue-mitallinen
 Lebesgue-mitallisten funktioiden välinen summa ja tulo muodostavat Lebesgue-mitallisen funktion
 jos  on Lebesgue-mitallinen funktio ja , niin  on Lebesgue-mitallinen funktio
 jos  ja  on jono Lebesgue-mitallisia funktioita , niin funktiot , ,  ja  ovat Lebesgue-mitallisia. Jos lisäksi  on olemassa, on se Lebesgue-mitallinen

Lebesguen mitan ominaisuuksia 

Jos  on -ulotteinen avoin väli, niin . Lebesguen mitta on siis geometrisen mitan laajennus siinä mielessä, että kaikilla niillä joukoilla, joilla geometrinen mitta on määritelty, on myös Lebesguen mitta ja se on sama kuin geometrinen mitta. Lebesguen mitta on samoin myös Jordanin mitan laajennus.

Jos  on jono pareittain erillisiä Lebesgue-mitallisia joukkoja, niin
.

Jos  on numeroituva joukko, niin .

Lebesguen mitta  on täydellinen mitallisella kentällä .

Lebesguen integraali 

Lebesguen integraali on mittaintegraali Lebesguen mitan suhteen. Kun määritellään 
 ja 
Lebesgue-mitalliselle funktiolle , ja edes toinen integraaleista  tai  on äärellinen, voidaan Lebesguen integraali yli mitallisen joukon E määritellä 
. 
Mikäli 
,
sanotaan, että funktio on Lebesgue-integroituva yli joukon E, ja merkitään esimerkiksi . Lebesguen integraali on Riemannin integraalin aito laajennus: Mikäli Riemannin integraali funktiolle on olemassa, Lebesguen integraali antaa saman tuloksen. Lisäksi monille funktioille, jotka eivät ole Riemann-integroituvia, Lebesguen integraali antaa vaivatta modernin analyysin kannalta "oikean" tuloksen. Sanallinen kuvaus Lebesguen integraalin määritelmästä ja ominaisuuksista löytyy täältä.

Katso myös 
 Banachin—Tarskin paradoksi
 Borel-joukko

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
 MathWorld. Lebesgue Measure
 MathWorld. Lebesgue Integral

Mittateoria