Poissonin jakauma

Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on toden­näköisyys­laskennassa ja tilastotieteessä diskreetin satunnais­muuttujan todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan  Poisson-prosessiksi. 

Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten, että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.

Poissonin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja  on Poisson-jakautunut, merkitään
.
Parametri  on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on

Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat
 ja 

Jos  ja  sekä  ja  ovat riippumattomia, niin .

Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:
jos  kun , niin 
 jakaumaltaan.
jos  kun , niin 
 jakaumaltaan. 

Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.

Oletetaan, että satunnaismuuttuja  toteuttaa ehdot  ja  ja .  Satunnaismuuttujaa  kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat
 ja

Katso myös 

 Kertoma

Aiheesta muualla 

 Mathworld: Poisson Distribution

Todennäköisyysjakaumat
Seulonnan keskeiset artikkelit