Merkkinen mitta

Merkkinen mitta on mittateoriassa hyödyllinen mitan yleistys. Se kulkee kirjallisuudessa myös nimellä täysadditiivinen joukkofunktio.

Se määritellään muuten kuten (positiivinen) mitta, mutta arvojen pitää olla reaalilukuja, tai joissain määritelmissä myös  on sallittu.
Tässä artikkelissa nämä määritelmät erotellaan toisistaan termeillä "äärellinen merkkinen mitta" ja "yleistetty merkkinen mitta".

Määritelmä 
Olkoon  joukko ja  sigma-algebra perusjoukolla . Kuvaus  on yleistetty merkkinen mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot

 Tyhjän joukon mitta on nolla, eli 
 Jos joukot , , missä  on numeroituva joukko, ovat erillisiä ja summa  on olemassa, niin .

Yleistetty merkkinen mitta voi olla myös kuvaus . Kuvaus  ei kuitenkaan ole mielekäs kaavan

vuoksi, jos olisi  ja .

Äärellinen merkkinen mitta määritellään samoin paitsi että vaaditaan .

Yleensä "merkkinen mitta" tarkoittaa äärellistä merkkistä mittaa, mutta tämä artikkeli ei sitä vaadi.

Ominaisuuksia 
Mikäli merkkinen mitta on ei-negatiivinen kaikilla sigma-algebran alkioilla, on se selvästi mitta (eli positiivinen mitta).

Merkkiselle mitalle  voidaan jokaisessa joukossa  määritellä niin sanotut ylä- ja alavariaatiot 

 ja 

Kuvaukset  ja  ovat itse asiassa myös merkkisiä mittoja, jos rajoitumme sigma-algebran alkioihin. 

Näiden avulla voidaan osoittaa, että jokainen merkkinen mitta  voidaan lausua muodossa
.
Tästä itse asiassa seuraa niin sanottu Jordanin esityslause, jonka mukaan jokainen merkkinen mitta on jonkin kahden mitan erotusfunktio.

Mittateoria