Möbius-kuvaus

Möbius-kuvaukset ovat muotoa  

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

Määritelmä 

Möbius-kuvaukset ovat muotoa 

olevia kuvauksia, missä a, b, c ja d ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon ad − bc ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty konformaaleina kaikkialla paitsi kun , jolloin on määritelty, että . 
Ne ovat konformisia bijektioita →
missä  tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa  eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

Ominaisuuksia 

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa , operaatio "venytys ja kierto" on muotoa  ja operaatio "inversio" on muotoa 
Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. 
Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

Kaksoissuhde 
Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:
Olkoot a1, a2, a3 ja a4 kompleksilukuja, joille aj ≠ ak kun j ≠ k. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku

Jos jokin ai = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun ai → ∞. 
Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa w = f(z) 
[w, w1, w2, w3] = [z, z1, z2, z3].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

Esimerkki 

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:
Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon D(0, 1) ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet z1 = 1, z2 = i, z3 = -1 ja ylemmän puolitason reunapisteet w1 = -1, w2 = 0, w3 = 1. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä z1 pisteen z2 kautta pisteeseen z3 jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä w1 pisteen w2 kautta pisteeseen w3 jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla w yhtälöstä

missä w1, w2, w3, z1, z2 ja z3 ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme
 ⇔  ⇔
 ⇔ 
 ⇔  ⇔

Katso myös 

 Funktioteoria
 Laajennettu kompleksitaso

Lähteet 

 R. Hurri-Syrjänen: Funktioteoria 1 (Luentomuistiinpanot)
 L. Myrberg:Funktioteoria 1 ja 2, osa 1 Limes ry 1971
 http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation (luettu 25.9.2011)
 http://en.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_Möbius (luettu 25.9.2011)
 

Lien ryhmät
Projektiivinen geometria
Funktiot