Mitta

Mitta on mittateorian peruskäsite, jolla tarkoitetaan funktiota, jonka halutaan liittävän erilaisiin tutkittaviin joukkoihin esimerkiksi lukumäärä, pituus, pinta-ala, tilavuus tai todennäköisyys. Mitan käsitteeseen pohjautuvat todennäköisyysteoria ja integraalilaskennan yleinen teoria.

Lebesguen mitta  reaalilukujen joukossa  ja sen osajoukoissa mittaa välin pituutta: . Usean pistevieraan välin yhdisteen mitta on näiden osavälien mittojen summa. Joukon  Lebesguen mitta mittaa joukkojen pinta-alaa, jne. Ihan kaikille joukon  osajoukoille Lebesguen mittaa ei pysty määrittelemään. Niistä, joille pystyy, käytetään termiä mitallinen joukko.

Lukumäärämitta puolestaan kertoo joukon alkioiden lukumäärän paitsi että äärettömillä joukoilla se saa arvon . Sen pystyy määrittelemään kaikille joukoille. Muitakin mittoja on loputtomasti.

Tässä artikkelissa "mitta" tarkoittaa positiivista mittaa eli sellaista, jonka arvot ovat joukossa .
Kompleksinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää olla kompleksilukuja (siis  on kielletty).
Merkkinen mitta määritellään muuten samoin, mutta sen arvojen pitää kuulua joukkoon  tai  riippuen siitä, minkä oppikirjan määritelmää käytetään. Välin  osajoukkoihin rajoitettu Lebesguen mitta on näitä kaikkia, mutta koko joukon  Lebesguen mitta ei tietenkään ole kompleksinen mitta.

Määritelmä 

Merkitään  (laajennetun lukusuoran ei-negatiivinen osa). 

Oletetaan, että  on joukko ja  on jokin joukon  sigma-algebra. Sanomme, että funktio  on mitta, jos seuraavat kaksi ehtoa pätevät:

 Tyhjän joukon mitta on nolla, eli 
 Jos joukot , , ovat erillisiä, niin .

Ehtoa (2) kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai -additiivisuudeksi.

Jos  on mitta joukossa , niin kutsumme kolmikkoa  mitta-avaruudeksi. Joukkoa  kutsutaan tällöin perusjoukoksi ja sigma-algebran  alkioita mitallisiksi joukoiksi.

Ominaisuuksia 

Mitan määritelmän avulla voidaan osoittaa esimerkiksi seuraavat ominaisuudet jokaisessa mitta-avaruudessa :

 Monotonisuus: jos  ja , niin 

 Subadditiivisuus: jos ,  (eivät välttämättä erillisiä), niin 

 Konvergenssilauseet: 
 Jos   ja , niin 
 Jos    ja , niin

Ulkomitan määräämä mitta 

Usein mittateoriassa mitta pyritään määrittelemään ns. ulkomitan avulla. Ulkomitta ei itsessään ole (yleensä) mitta, mutta siitä saadaan Carathéodoryn lauseen avulla mitta. Näin saatuja mittoja ovat mm. Hausdorffin mitat ja Lebesguen mitta.

Nimityksiä 

 Joukkoa  kutsutaan μ-nollamittaiseksi jos ja vain jos . 

 Ominaisuuden  sanotaan pätevän μ-melkein kaikkialla joukossa X jos ja vain jos suurin X:n osajoukko N, jossa ominaisuus P ei päde, on μ-nollamittainen.

 Mitta-avaruus on äärellinen, jos perusjoukon mitta on äärellinen. Mitta-avaruutta sanotaan σ-äärelliseksi, jos perusjoukko on numeroituva yhdiste äärellismittaisista joukoista. Voidaan osoittaa, että σ-äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste on σ-äärellinen.

Esimerkiksi reaalilukujen joukko  varustettuna Lebesguen mitalla  on σ-äärellinen mutta ei äärellinen. Se ei ole äärellinen, koska . Tarkastellaan suljettuja välejä  kaikilla kokonaisluvuilla . Näitä on numeroituvan monta, kaikkien mitta on , ja niiden yhdiste on koko reaaliakseli. Tarkastellaan reaalilukujen joukkoa varustettuna lukumäärämitalla , joka antaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärän mutta äärettömille joukoille arvon . Tämä mitta  ei ole σ-äärellinen, sillä jokainen äärellismittainen joukko sisältää vain äärellisen monta pistettä, joten reaaliakselia ei saada numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista joukoista (äärellisten joukkojen numeroituva yhdiste kun on numeroituva toisin kuin ).

Erityisiä mittoja 

 Mitta on täydellinen, jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko mitallinen. Voidaan osoittaa, että jokainen mitta voidaan täydellistää täydelliseksi mitaksi laajentamalla sigma-algebraa.

 Mitta on Borel, jos jokainen Borel-joukko on mitallinen.

Katso myös 
 Mittaintegraali
 Lebesguen mitta
 Hausdorffin mitta
 Todennäköisyysmitta
 Jordanin mitta
 Diracin mitta
 Lukumäärämitta

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Mittateoria