Ellipsirata

Ellipsirata on soikea rata, jossa jokin kappale kiertää toista kappaletta pitkin ellipsiä, jolla on tietty eksentrisyys eli soikeus. Keskuskappale on se kappale jota yleensä pienempi kappale, kiertolainen kiertää. Maa kiertää Aurinkoa ellipsiradalla, joka on lähes ympyrä, sillä se ei ole kovin soikea. Sanotaan, että Aurinko on planeetta Maan keskustähti, sillä tähdet ovat aurinkoja. Käytännössä Maa-Aurinko -parilla on 2 ellipsirataa, sillä Maa huojuttaa Aurinkoa jota se kiertää lähes ympyrämäisellä ellipsiradalla, hyvin pientä ellipsiä pitkin. Nämä ellipsit kiertävät yhteistä painopistettä. Käytännössä näiden ellipsien summa kuvataan yhtenä ellipsinä.

Ratamekaniikkaa
Suljetun, ellipsimäisen kiertoradan muodon, koon ja suunnan määrittämiseen tarvitaan kuusi riippumatonta muuttujaa, esimerkiksi tieto kappaleen paikka- ja nopeusvektorista tietyllä hetkellä (kaksi kolmiulotteisen avaruuden vektoria muodostaa kuusi muuttujaa). Ellipsiradan tapauksessa käytetään yleensä Johannes Keplerin elementtejä: ellipsin isoakselin puolikkaan pituus, eksentrisyys, inklinaatio eli kulma johonkin vertailutasoon verrattuna, nousevan solmun pituus, periapsin argumentti, periapsisaika.

Periapsis on kiertoradan matalin kohta ja vastaavasti apoapsis on korkein. Gravitaatiovoimien takia kappale kulkee sitä suuremmalla nopeudella mitä lähempänä se on kiertämäänsä kappaletta.

Periheli ja apheli
Ellipsiradan lähin piste on peri- ja kaukaisin ap-/apo-.
Lisäksi kuvataan se kappale, josta peri tai ap/apo on otettu:

Maa: perigeum ja apogeum (esimerkiksi satelliitin ellipsiradan lähin ja kaukaisin piste)
Aurinko: periheli ja apheli (esimerkiksi planeetan Aurinkoa lähin ja kaukaisin piste)
Tähti: periastroni ja apoastroni
Mielivaltainen taivaankappale: periapsis ja apoapsis.

Kiertoaika ellipsiradalla 

Tavallinen on tapaus, jossa hyvin pienimassainen kappale kiertää valtavan massiivista kappaletta.
Tällöin pienen kappaleen vaikutus isompaan voidaan useasti unohtaa ja kirjoittaa yksinkertaisempia yhtälöitä. Kiertoaika lasketaan seuraavalla kaavalla:

,

jossa

 = kiertoaika
 = kappaleiden keskietäisyys
 = gravitaatiovakio
 = suuren kappaleen massa

Tämä yhtälö selittää Keplerin aikoinaan huomaaman Keplerin kolmannen lain, jonka mukaan planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuin niiden isoakselin puolikkaiden kuutiot.

Ratanopeus ellipsiradalla 

 = kappaleen ratanopeus
 = kappaleen etäisyys
 = kappaleen keskietäisyys
 = gravitaatiovakio
 = keskuskappaleen massa

Kahdella samamassaisella kappaleella ei voi olla samaa rataa ja eri ratanopeutta, sillä suuremman ratanopeuden omaavalla kappaleella on enemmän liike-energiaa, jolloin kappale pyrkii keskipakovoiman ansiosta poistumaan vetovoimakentästä. Tällöin rata suurenee.

Ellipsiradan soikeus eli eksentrisyys e 

Ellipsiradan soikeutta kuvataan eksentrisyydellä e, joka on ympyrälle 0. Ellipsiradalle e on aina alle 1. Planeetoille on monesti ympyrämäinen rata, jossa karkeasti e on suunnilleen 0 (ehkä e <0,1).

Planeetan paikka ellipsiradalla 

Planeetan etäisyys keskuskappaleesta ellipsiradalla, kun planeetan kulmaetäisyys perihelistä tunnetaan, on

 

missä
 = planeetan etäisyys keskuskappaleesta
 = planeetan radan isoakselin puolikas
 = planeetan radan eksentrisyys
 = perihelin ja planeetan sijainnin välinen kulma

Planeetan kulmaetäisyys ν perihelistä ja säde  saadaan laskettua, kun tunnetaan periheliaika ja planeetan nykyinen olinaika. Historiallisista syistä käytetään nelivaiheista menetelmää, jossa yhdessä tarvitaan iterointia.

1. Lasketaan planeetan keskianomalia  kaavasta

2. Lasketaan eksentrinen anomalia  numeerisesti iteroiden Kaplerin yhtälöä:

3. Lasketaan todellinen anomalia ν yhtälöstä:

4. Lasketaan etäisyys auringosta eli heliosentrinen etäisyys  :

Ja myös

missä  on vakio. Vakio saadaan kaavasta

,

missä  ja  ovat kappaleiden massat.

Planeetan paikkavektori  lasketaan kaavasta

eli

ja

ja paikkavektorin pituus eli etäisyys Auringosta on

Planeetan todellinen eli luonnollinen anomalia  lasketaan jakamalla paikkavektorin komponentit  ja  keskenään ja ottamalla tästä osamäärästä käänteinen tangentti.

eli silloin

jossa

 = todellinen anomalia
 = radan isoakselin puolikas
 = eksentrinen anomalia
 = radan eksentrisyys
, = paikkavektorin komponentit,  isoakselin suuntainen

Toinen tapa lausua planeetan paikkavektori on käyttää ellipsin isoakselia  ja pikkuakselia

Ellipsiradan kaltevuus eli inklinaatio 

Ellipsiradalla on kaltevuus eli inklinaatio , joka tavallisesti ilmoitetaan asteina. Esim kaksoistähden inklinaatio ilmoitetaan taivaanpallon pintaa vastaan.

Ellipsiradan energia 

Kun kappale kiertää ellipsiradalla toista kappaletta, sen energiatasapaino vaihtelee potentiaalienergian ja liike-energian välillä. Vuoroin jompikumpi on suurempi, mutta ellipsiradan ominaisrataenergia on vakio. Jos kappale on lähellä keskuskappalettaan, sen potentiaalienergia on pieni mutta liike-energia suuri, kauempana päinvastoin. Ympyrämäisellä radalla potentiaalienergia ja liike-energia ovat tasapainossa.

 kiertävän kappaleen ratanopeus
 kiertävän kappaleen etäisyys keskuskappaleesta.
 on radan isoakselin puolikas,
 on vakiogravitaatioparametri, μ = G*M
 = gravitaatiovakio
 = massa

Katso myös
Keplerin lait
Eksentrinen anomalia
Paraabelirata
Hyperbelirata

Lähteet  

Taivaanmekaniikka
Kiertoradat