Hermiten polynomi

Hermiten polynomit ovat joukko ortogonaalisia polynomeja. Käytännön sovelluksissa niihin törmää esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa ja kvanttimekaniikassa. Hermiten polynomien määrittely eroaa hiukan riippuen siitä, onko materiaalin kirjoittaja tottunut matematiikassa vai fysiikassa käytettyyn esitysmuotoon. Tässä esitetty käsittely vastaa fyysikoiden käyttämää muotoilua. Nämä saadaan muutettua "matemaatikkomuotoon" melko yksinkertaisesti. Polynomit on nimetty ranskalaisen matemaatikon, Charles Hermiten mukaan.

Hermiten polynomeja saadaan Hermiten differentiaaliyhtälön 

ratkaisuna, kun yhtälön ratkaisuun käytetty sarjakehitelmä katkeaa :nnen kertaluvun termin jälkeen. Viisi ensimmäistä Hermiten polynomia ovat

Polynomien matemaatikko- ja fyysikkomuotojen välillä on yhteys

.

Hermiten polynomit ovat ortogonaalisia yli koko reaalilukusuoran, sillä kahden polynomin funktiolla  painotettu sisätulo on nolla eli

aina kun . Hermiten polynomit voidaan laskea Rodriguesin kaavasta

tai helpommin rekursiokaavalla

.

Hermiten polynomien generoiva funktio on 

.

Tätä on kätevää käyttää monien polynomien ominaisuuksien todistamisessa. Koska Hermiten polynomit ovat ortogonaalisia, niitä voidaan käyttää funktioavaruuden kantana ja näin muodostaa muille funktioille sarjakehitelmiä. Funktio  voidaan lausua Hermiten polynomikannassa

,

missä kertoimet  saadaan laskemalla integraali

Hermiten funktiot 

Hermiten polynomien ("fyysikkomuoto") avulla saadaan joukko uusia funktioita

.

Näitä kutsutaan Hermiten funktioiksi. Ne ovat ortogonaalisia välillä , sillä

,

missä  on Kroneckerin delta. Hermiten funktiot ovat tärkeitä kvanttimekaniikassa, sillä ne toteuttavat differentiaaliyhtälön

,

mikä vastaa Schrödingerin yhtälöä (yksiulotteisen) harmonisen oskillaattorin tapauksessa eli ne vastaavat hiukkasen energian ominaistiloja ja sitä kautta ovat hiukkasen aaltofunktioita. 

Hermiten funktiot ovat myös (jatkuvan) Fourier'n muunnoksen ominaisfunktioita.

Kirjallisuutta
 

Todennäköisyyslaskenta
Kvanttimekaniikka
Erikoisfunktiot