Sigma-algebra

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä 

Olkoon  mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla  on sen osajoukkojen joukkoperhe , joka toteuttaa ehdot:
 
 jos , niin :n komplementtijoukko 
 jos  kaikilla , missä  on numeroituva joukko, niin .

Sigma-algebran ominaisuuksia 

Sigma-algebran  ominaisuuksia:
 perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli 
 Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos  ja , niin esimerkiksi ,  ja 
 jos  kaikilla , missä  on numeroituva, niin 
 sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä 

Triviaali sigma-algebra on joukko . Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran  ali-sigma-algebra on joukkoperhe 
, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon  mielivaltainen joukkoperhe joukon  osajoukkoja. Joukkoperheen  virittämä sigma-algebra, jota merkitään , on suppein sigma-algebra, jolla .

Olkoon  kuvaus . Kuvauksen  virittämä sigma-algebra, jota merkitään , on suppein sigma-algebra, jonka suhteen  on mitallinen.  on suppein sigma-algebra, jonka suhteen  ja  ovat mitallisia.

Olkoon  sigma-algebra ja  sen alisigma-algebra jokaisella . Jos  jokaisella , niin  on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja 
Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
 MathWorld. Sigma-Algebra

Mittateoria
Todennäköisyyslaskenta