Matriisi

Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Määritelmä 

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan tyypin  matriisiksi ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:

Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään  tai . Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j.

Tavallisia matriiseja 

Yksikkömatriisi  on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia.  yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla . Tällöin pätee , kun , ja muuten .

Nollamatriisi  on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

Neliömatriisilla on yhtä monta riviä ja saraketta.

Lävistäjämatriisi (engl. diagonal matrix) on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille  pätee että  kun :

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on m vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja n saraketta, kyseessä on vaakavektori.

Transpoosi ja symmetrisyys 

Matriisin A transpoosi (merk. AT) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:
jos , niin .

Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli .

Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa

Skalaarilla kertominen 

Matriisi  kerrotaan skalaarilla  siten, että jokainen :n alkio kerrotaan skalaarilla c:

Yhteenlasku 

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien  ja  summa on

Kertolasku 

Matriisien kertolaskussa tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden pistetuloista. Olkoon matriisi A kokoa  ja B kokoa . Tällöin matriisien A ja B tulo AB on kokoa . Nyt matriisitulo on

,

missä kukin  on  matriisin A i:nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja  on matriisin B j:nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin A sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin B vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

Esimerkki

Tärkeimmät laskusäännöt 

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille ,  ja , mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

, missä 

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: 

On huomattava, että yleisesti , so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

Determinantti 

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin  determinantti merkitään:

Matriisin  alimatriisi  saadaan poistamalla matriisista :s vaakarivi ja :s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia  sanotaan alkion  alideterminantiksi.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

Määritelmä 

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin  determinantti on

,jossa  on eräs :n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 

Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,n}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi  determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

Laskusääntöjä 

, jossa A ja B ovat molemmat n  n -matriiseja.

Jos A:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

Jos A:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

Jos matriisi A1 saadaan matriisista A kertomalla jokin rivi vakiolla c,

Jos matriisi A on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

Jos matriisi A1 saadaan matriisista A vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

Determinantin laskeminen 

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

,jossa Aij on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan A:sta i:s rivi ja j:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo  matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

,jossa vakio c määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja  ovat A:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus c:hen näkyy alla:

 Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: .
 Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: .
 Kun kerrotaan rivi vakiolla k: .

Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.

Sarrus’n sääntö on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

Alkion komplementti 

määritellään alkion  komplementti eli kofaktori
.

Matriisin  adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
.

Determinantin käyttäminen 

Neliömatriisia  sanotaan singulaariseksi, jos . Jos , matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille  pätee
 ja .

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.

Matriisit ja lineaarikuvaukset
Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta  vastaa tietty  kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.

Lineaariset yhtälöryhmät 

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on  ehtoa ja  tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

Sama voidaan esittää matriisilla  ja -pituisilla vektoreilla  ja  lyhyesti muodossa :

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys 

Neliömatriisi  on säännöllinen eli kääntyvä mikäli on olemassa matriisi  siten että  ja . Muussa tapauksessa matriisi  on singulaarinen. Matriisia  kutsutaan matriisin  käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla . Säännölliset -matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen renkaan, jota merkitään . Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä  on  ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis  on  neliömatriisi. Matriisin  säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli  on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori  mikä hyvänsä. Mikäli  on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin  arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi  on säännöllinen, jos ja vain jos .

Historia
Englanninkielisen sanan Matrix tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: 

Sana ( ’kohtu’ < mater ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 Matriisien kertolasku eli matriisitulo

Seulonnan keskeiset artikkelit