Normiavaruus

Normiavaruus on matematiikassa lineaariavaruus, joka on varustettu normilla. Normi on matemaattinen yleistys kaksi- tai kolmiulotteisten Euklidisten avaruuksien intuitiivisesta pituuden käsitteestä, ja siten normiavaruuden yhteydessä voidaan puhua vektorien pituudesta tai koosta (jotka siis ovat  kyseisten  vektorien normeja), sekä niiden välisestä etäisyydestä. Tarpeen mukaan tietyn lineaariavaruuden voi varustaa erilaisilla normeilla, ja siksi normiavaruuden määrittämiseksi täytyykin esittää pari , missä  on lineaariavaruus ja  normi. Itseisarvo  on erikoistapaus normista, ja myös itseisarvoa vastaavaa merkintää käytetään joistakin normeista. Jos normi on asiayhteydestä selvä, tai sen valinta ei ole tärkeää, voidaan se jättää mainitsematta.

Normiavaruudessa voidaan kahden vektorin  ja  välinen etäisyys määritellä  normiksi .

Sanotaan, että kaksi normia ||||1 ja ||||2 lineaariavaruudessa  ovat
ekvivalentteja, jos on olemassa positiiviset reaaliluvut   ja , joilla yhtälö

toteutuu kaikilla lineaariavaruuden  vektoreilla .

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Lineaarialgebra