Gammafunktio

Gammafunktio on  funktio, jolle käytetään symbolia  (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä
. 
Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan  se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi.

Gammafunktion arvoa ei pysty antamaan suljetussa muodossa mielivaltaisessa pisteessä.

Gammafunktioon saavutaan, kun toistuvasti derivoidaan integraaliyhtälöä .  on vain parametrin a funktio, kuten voimme odottaa. Siispä:

josta

Toistetaan:

Toistetaan:

Sijoitetaan  ja saamme

josta määrittelemme gammafunktion

n!:n yleistykseksi kompleksiluvuille. Luonnollisille luvuille:

Gammafunktion ominaisuuksia 
 Jos  on luonnollinen luku, niin 
 Jos  on luonnollinen luku, niin , josta saadaan arvo 
 Gammafunktio voidaan määritellä myös raja-arvona:

Katso myös 
 Gamma-jakauma, Beta-jakauma

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 Mathworld. Gamma Function 

Funktiot
Seulonnan keskeiset artikkelit