Kertymäfunktio

Kertymäfunktio  eli jakaumafunktio  (, cdf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion  arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja  saa reuna-arvon  tai sitä pienempiä arvoja eli . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.

Määritelmä 
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään
 
missä  on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa  pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan  suhteen
 
missä  on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää  kohdassa  ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen

Merkintöjä 
Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi  ja  Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella  (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut  (pieni kirjain).

Esimerkkejä

Diskreetti satunnaismuuttuja 
Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa

kun  jotka ovat yhtä suuret eli  Kertymäfunktio saadaan arvoa x pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli
 
Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.

Jatkuva satunnaismuuttuja 
Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on 
 
ja sen kertymäfunktioksi saadaan
 
Sen kuvaaja on alla.

Ominaisuuksia

Funktiona 
Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille , eli
 
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus

Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin
 
Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli

Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä
 
Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli 
 kun on . 
Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi
 
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta a lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista

Todennäköisyyksinä 
Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana  eli

Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle  pätee
 
voidaan vastatapahtuman todennäköisyys laskea
 

Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille  ja  pätee
 
voidaan välin  todennäköisyys laskea
 

Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.

Lähteet  

Tilastotiede
Todennäköisyyslaskenta