Funktioteoria

Funktioteoria eli kompleksianalyysi tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. Funktioteoria keskittyy derivoituvien (differentioituvien) kompleksimuuttujan funktioiden (analyyttisten eli holomorfisten funktioiden) tutkimiseen. Analyyttisten funktioiden teoria perustuu ratkaisevasti kompleksiseen integrointiin, joka huipentuu residylaskentaan (ranskaksi calcul des résidus, "jäännöslaskenta").

Suomessa on pitkät perinteet funktioteorian tutkimisessa. Tutkimussuunnan toi Suomeen Ernst Lindelöf, ja kansainvälistä huippua alalla ovat edustaneet muun muassa Rolf Nevanlinna ja ainoa suomalainen Fieldsin mitalisti, Lars Ahlfors.

Kompleksianalyysia hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla.

Analyyttiset funktiot

Cauchyn määritelmä
Kompleksimuuttujan  funktion  sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa , jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty kyseisessä alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen  jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta Augustin Louis Cauchy'lta. Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli

                        

Tässä siis myös luku  on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva.

Riemannin määritelmä
Bernhard Riemann määritteli analyyttisen funktion toisella tavalla Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio

missä , voidaan esittää kahden reaalimuuttujan  ja  avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio  on analyyttinen alueessa , jos "osafunktiot"  ja  ovat derivoituvia aluetta  vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla  ja  on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat kyseisessä alueessa.

Merkitys
Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot  ja  toteuttavat niin sanotun Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti Laplacen yhtälön) kahdessa ulottuvuudessa

Laplacen yhtälön kautta määriteltyjä funktioita, jotka siis ovat kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita, sanotaan harmonisiksi funktioiksi. 

Jos kompleksifunktiolla on olemassa integraalifunktio eli funktio, jonka derivaatta kyseinen kompleksifunktio on, niin integraalifunktio on analyyttinen. Tässä tapauksessa alkuperäisen kompleksifunktion käyräintegraali alueessa  riippuu vain käyrän päätepisteistä eikä siitä, mitä reittiä pitkin integrointi tehdään. Erityisesti käyräintegraali suljetun käyrän ympäri on aina nolla.

Lähteet

Viitteet 

Seulonnan keskeiset artikkelit