Todennäköisyys

Todennäköisyys on ilmiön tapahtumisen yleisyyden mitta, jonka arvo voidaan ilmaista kvalitatiivisesti tai kvantitatiivisesti. Todennäköisyys kvantifioidaan reaaliluvuksi väliltä 0 ja 1, vaikka joskus todennäköisyys ilmaistaan myös prosentteina. Todennäköisyys on 0 (0 %), kun tapahtuma ei satu koskaan, ja 1 (100 %), kun se tapahtuu aina. Mikäli todennäköisyys on näiden arvojen väliltä, sen tapahtuminen on epävarmaa. Mitä suurempi on todennäköisyyden arvo, sen varmemmin se tapahtuu. Jos tapahtuminen ja ei-tapahtuminen ovat yhtä varmoja, niin tapahtumisen todennäköisyys on 0,5 eli 50 %. 0,9 puolestaan tarkoittaa, että se tapahtuu keskimäärin yhdeksän kertaa kymmenestä. Esimerkiksi todennäköisyys saada klaava heittämällä yhtä kolikkoa yhden kerran on 0,5.

Todennäköisyyden yksikäsitteisestä määritelmästä on ollut vaikeaa päästä yksimielisyyteen. Koska todennäköisyys on ihmisen luoma omakohtainen käsite, ei sille löydy luonnontieteellistä tai filosofista perustetta. Todennäköisyyden tulisi kuitenkin vastata arjen kokemusta tapahtuman yleisyydestä. Ensimmäinen käytetty eksakti määritelmä on klassinen todennäköisyyden määritelmä, jolla voitiin arvioida uhkapelien todennäköisyyksiä riittävän hyvin. Määritelmä oli kuitenkin liian yksinkertainen arjen muiden tapahtumien kuvaamiseen, sillä se oletti alkeistapauksien todennäköisyyksien olevan yhtä suuret. Puutetta korjaamaan esitettiin tilastollinen todennäköisyystulkinta, joka oli käyttökelpoisempi tilastollisten tapahtumien todennäköisyyden määrittämisessä. Se myös salli alkeistapauksille erisuuruiset todennäköisyydet ja oli siten klassisen määritelmän laajennus. Tämän rinnalla esitettiin myös toinen todennäköisyyden määritelmä. Subjektiivisessa eli bayesiläisessä todennäköisyyden määrittelyssä voidaan todennäköisyyden ajatella kuvaavan tiedon epävarmuutta.

Näitä kaikkia vaivasivat puutteet, jotka jättivät todennäköisyyden perimmäisen määritelmän auki eivätkä ne kyenneet kertomaan, mitä todennäköisyys viime kädessä on. Lopulta neuvostoliittolainen Andrei Kolmogorov vuonna 1933 ilmestyneessä teoksessaan Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung () kiteytti todennäköisyyslaskennan perusteet matemaattisen tarkasti. Kolmogorovin luomassa aksiomaattisessa järjestelmässä yhdistettiin joukko-oppi, todennäköisyyslaskenta ja mittateoria. Edelleenkään todennäköisyydelle ei annettu ”perimmäistä selitystä”, mutta nyt sen matemaattiset ongelmat saatiin ratkaistua. Nykyaikainen todennäköisyyslaskenta perustuu Kolmogorovin luomalle perustalle. Matemaattisempi ja kattavampi todennäköisyyslaskennan käsittely löytyy artikkelista todennäköisyysteoria.

Todennäköisyyslaskentaa hyödynnetään monilla tieteenaloilla, kuten esimerkiksi matematiikassa, luonnontieteissä, tietotekniikassa, tilastotieteessä ja filosofiassa. Sitä tarvitaan myös monessa muussa toiminnassa, esimerkiksi talouselämässä ja uhkapeleissä.

Matemaattiset reunaehdot 
Satunnaisilmiön perimmäisiä rakenteita tai toimintoja ei tarvitse tuntea, vaan todennäköisyyslaskennassa kiinnitetään huomiota vain sen tuottamiin tuloksiin. Satunnaisilmiön sattumanvaraisesti syntyviä tai vaihtuvia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi tai satunnaismuuttujien arvoiksi. Kaikki alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvot tulee tuntea ja näiden arvojen esiintymisen yleisyys tulee voida mitata ja sitten esittää niiden todennäköisyys lukuarvoina. Vasta tämän jälkeen voidaan suorittaa todennäköisyyteen perustuvia arvioita satunnaisilmiön toiminnasta. Tapahtuman  todennäköisyyttä merkitään usein , ,  tai .

Kaikkien alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelmaa kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi tai tapahtuma-avaruudeksi. Perusjoukko sisältää kaikki ne alkeistapaukset tai satunnaismuuttujan arvot, joita voi sattua, eikä muita tapauksia tai arvoja tule esiintymään. Tähän varmuuteen perustuvat todennäköisyyslaskennan reunaehdot. Tapahtuma on sellaisten perusjoukon alkeistapauksien tai satunnaismuuttujan arvojen kokoelma, joka muodostaa osan perusjoukosta. Tapahtuma on siten perusjoukon osajoukko, ja ne tapaukset, jotka eivät kuulu tapahtumaan, ovat osa vastatapahtumaa eli komplementtitapahtumaa, joka on myös perusjoukon osajoukko. Tapahtuman  ja vastatapahtuman  osajoukot sisältävät eri tapaukset ja toisaalta yhdessä ne muodostavat koko perusjoukon eli . Terveen järjen mukaisesti tulee olla niin, että jos tapahtuman todennäköisyys on  ja vastatapahtuman todennäköisyys on , tulee näiden summaksi . Tapaus kuuluu siten tarkasteltavaan tapahtumaan tai sen vastatapahtumaan.

Edellä selostettu ominaisuus, jossa tapahtuma ja sen vastatapahtuma sisältävät eri alkeistapaukset, on nimeltään toistensa poissulkevuus tai erillisyys. Yleisesti sanotaan, että saman perusjoukon kaksi tapahtumaa  ja  ovat erillisiä tapahtumia, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkeistapausta. Jos nämä tapahtumat yhdistetään suuremmaksi joukoksi, tulisi niiden yhdistelmä olla edellisiä yleisempi. Yleensä vaaditaankin erillisissä tapahtumissa, että todennäköisyydet on voitava laskea suoraan yhteen. Tätä kutsutaan todennäköisyyden additiiviseksi ominaisuudeksi. Sen avulla voidaan perustella myös tapahtuman ja sen vastatapahtuman tulos 1.

Matemaattisesti on huomattu välttämättömäksi olettaa todennäköisyyden jatkuvuus. Se on vaikein ”terveen järjen vaatimuksista” ymmärtää, mutta se onkin matemaatikkojen asettama lisävaatimus. Tarkastellaan kahta tapahtumaa, josta  on tapahtuman  osajoukko. Tapahtuma  sisältää kaikki alkeistapaukset, jotka ovat myös tapahtumassa . Tapahtumassa  on näiden tapauksien lisäksi vielä muitakin eli tapahtuma  on suurempi tapahtuma kuin . Joukko-opillisesti tämä merkitään . Arkipäivän järjen mukaan tapahtuman  todennäköisyys tulisi olla suurempi kuin tapahtuman  eli . Todennäköisyyden jatkuvuus tarkoittaa sitä, että kaikille tapahtumille, jotka jotka ovat toistensa osajoukkoja seuraavasti 

tulisi todennäköisyyksien kasvaa

Vaikka tapahtumajoukkoa laajennettaisiin loputtomasti, tulisi sen laajinta yhdistettä kutsua myös tapahtumaksi ja sille tulisi voida laskea todennäköisyyden arvo. Siis

jonka todennäköisyys on 

Samaa ominaisuutta on vaadittu myös osajoukoille, jossa tapahtumien sisältämiä tapauksia karsitaan 
 
jolloin todennäköisyydet pienenevät ja lopullinen todennäköisyys olisi

Näillä ajatuksilla voidaan perustella suurten lukujen lait, jotka vaadittiin tilastollisessa todennäköisyyden tulkinnassa.

Edellä esitellyt todennäköisyyksien ominaisuudet ovat kuitenkin niin väljät, etteivät niillä voida määritä todennäköisyysmittaa tiukasti. Todennäköisyyden määrittelyyn jää runsaasti valinnanvaraa ja sille onkin käytössä erilaisia määritelmiä. Niiden matematiikka kuitenkin seuraa edellisiä yleisiä reunaehtoja.

Todennäköisyyslaskennan perusperiaatteita 
Todennäköisyyslaskennassa tapahtuman  todennäköisyys on jokin reaaliluku 0:n ja 1:n väliltä eli
 

Tapahtuman  vastatapahtuman eli komplementtitapahtuman  todennäköisyys on
 
koska tapahtumalle ja vastatapahtumalle tulee päteä . Esimerkiksi todennäköisyys sille, ettei yhden nopan heitossa saada kuutosta, on ”1 − todennäköisyys saada kuutonen” eli .

Jos kaksi tapahtumaa  ja  ovat erillisiä tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että joko tapahtuma  tai tapahtuma  sattuu (myös molemmat voivat sattua) on
 
Esimerkiksi todennäköisyys heittää yhdellä nopalla silmäluvun yksi tai kaksi on .

Jos tapahtumat eivät ole erillisiä, niin silloin tapahtumista jätetään yhteiset tapaukset kerran pois ja todennäköisyyden arvosta ne vähennetään kerran pois:
.

Jos kaksi tapahtumaa  ja  ovat riippumattomia tapahtumia, niin todennäköisyys sille, että sekä tapahtuma  että tapahtuma  sattuvat on
 
Esimerkiksi, jos kahta kolikkoa heitetään, niin todennäköisyys sille, että molemmat ovat kruunia, on .

Jos tapahtumat eivät ole riippumattomia, saadaan todennäköisyys
 
missä merkintä  tarkoittaa ehdollista todennäköisyyttä.

Tapahtuman  ehdollinen todennäköisyys, on todennäköisyys tapahtumalle  sillä ehdolla, että tapahtuma  tapahtuu varmasti.
Ehdollinen todennäköisyys merkitään , joka luetaan: ”tapahtuman  todennäköisyys ehdolla ” ja se määritellään 
 
Jos tapahtuman  todennäköisyys on 0, eli , niin  ei ole määritelty, sillä nollalla ei saa jakaa.

Lisää todennäköisyyslaskennasta on artikkelissa todennäköisyysteoria.

Katso myös 
 Satunnaisilmiö
 Alkeistapaus
 Tapahtuma
 Perusjoukko
 Satunnaismuuttuja
 Todennäköisyysfunktio
 Todennäköisyysjakauma

Lähteet

Kirjallisuutta 
 Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
 Elfving, Gustav & Tuominen, Pekka: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).

Aiheesta muualla 

 MathWorld. Probability
 MathWorld. Probability Measure
 MathWorld. Probability Function 
 MathWorld. Conditional Probability
 MathWorld. Bayes' Theorem

Seulonnan keskeiset artikkelit