Lineaarikombinaatio

Lineaarikombinaatio tai lineaariyhdistely on matematiikassa lause, jossa joukko termejä kerrotaan kukin omalla kertoimellaan ja lasketaan yhteen.

Määritelmä
Olkoon K kunta ja V K kertoiminen vektoriavaruus K. Tällöin V:n alkioita nimitetään vektoreiksi ja K:n alkioita skalaareiksi. Jos  v1,...,vn ovat V:n vektoreita ja  a1,...,an ovat skalaareita, on näiden vektoreiden lineaarikombinaatio muotoa

Tilanteesta riippuen K ja V voidaan antaa eksplisiittisesti tai ne voidaan olettaa asiayhteydestä tunnetuksi. Jos kerroinkunta tiedetään, voidaan puhua yleisesti vektoreiden  v1,...,vn lineaarikombinaatiosta. Jos toisaalta S on V:n osajoukko, voi käsite lineaarikombinaatio tarkoittaa sitä, että vektorit kuuluvat joko S:ään tai V:hen. Selkeyden vuoksi on tällöin mainittava kumpaa joukkoa tarkoitetaan.

Määritelmän mukaan lineaarikombinaatiossa on otettuna mukaan vain äärellisen monta vektoria. Itse vektoriavaruus V voi toki sisältää äärettömän monta vektoria, mutta niistä on valittava vain äärellisen monta, mikäli halutaan puhua lineaarikombinaatiosta.

Esimerkki 
Olkoon x ja y lineaarisesti riippumattomia :n vektoreita. Tällöin
 missä , kattavat kaikki 2-ulotteisen reaaliavaruuden pisteet. Toisaalta kaikki reaalikertoimiset vektoreiden x ja y lineaarikombinaatiot ovat tätä muotoa.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Lineaarialgebra