De Brangesin lause

Funktioteoriassa de Brangesin lause kertoo välttämättömän ehdon sille, että analyyttinen funktio kuvaa yksikkökiekon injektiivisesti kompleksitasoon. Lause on nimetty ranskalais-amerikkalaisen Louis de Brangesin mukaan, mutta se tunnettiin aikaisemmin  Bieberbachin otaksumana saksalaisen Ludwig Bieberbachin mukaan.  Otaksuman esitti Bieberbach jo vuonna 1916, mutta sen todisti de Branges vuonna 1984. Myöhemmin de Brangesin alkuperäistä todistusta on pystytty lyhentämään.

De Brangesin lause koskee yksikkökiekossa sileän eli injektiivisen analyyttisen funktion  Taylorin sarjan kertoimia. Kun  normitetaan niin, että  ja , niin  :llä on  yksikkökiekossa potenssisarjaesitys, joka on muotoa 

De Brangesin lauseen mukaan kaikilla  on

Lisäksi kertoimien maksimit saavutetaan. On nimittäin  silloin ja vain silloin, kun 

 

missä .

Väitteen todisti oikeaksi tapauksessa  Ludwig Bieberbach vuonna 1916. Vuoteen 1973 mennessä väite oli onnistuttu todistamaan oikeaksi, kun .

Lähteet 

Kompleksianalyysi
Matemaattiset teoreemat