Buckinghamin π-teoreema

Buckinghamin π-teoreema on keskeinen teoreema dimensioanalyysissa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta dimensiotonta suuretta fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä n kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista k toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin π-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko p = n − k  dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

missä qi  ovat n muuttujaa, jotka voidaan ilmaista k riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

missä p = n − k ja πi ovat dimensiottomia suureita siten, että

missä eksponentit mi  ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty Edgar Buckinghamin (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna 1914.

Esimerkki: matemaattinen heiluri

Ongelmana on määrittää matemaattisen heilurin heilahdusaika T. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus L, massa M sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla g (yksikkö m/s2). Malli on muotoa

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure π, ja se voidaan ilmaista muodossa

missä

joillakin m1…m4. Tulee siis olla , eli

pituus: 
massa: 
aika: 

Tästä voidaan ratkaista, että vain 

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on .

Aiheesta muualla 
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU), Harald Hanche-Olsen: Buckingham’s pi-theorem (pdf-tiedosto englanniksi)

Dimensioanalyysi