Binomikerroin

Binomikerroin on kombinaatioiden laskemiseen käytetty kaksiparametrinen funktio. Jos  ja , niin binomikerroin on .

Tämä luku osoittaa, kuinka monella eri tavalla  alkiota käsittävästä joukosta voidaan poimia sellainen osajoukko, jossa on  alkiota. 

Esimerkiksi neljästä henkilöstä (A, B, C ja D) voidaan valita kaksi henkilöä kuudella tavalla: AB, AC, AD, BC, BD ja CD. Näiden sisäisellä järjestyksellä (permutaatio) ei ole väliä. 

Täten: .  

Useissa laskimissa sama toiminto on nimeltään nCr (esim. nCr(4,2) ).

Ominaisuuksia 

Binomikertoimille pätevät seuraavat yleiset säännöt:
 
 
 
 Pascalin sääntö: 
 

Pascalin sääntö osoittaa, että binomikertoimen arvot voidaan lukea Pascalin kolmiosta niin, että n vastaa kolmion rivinumeroa, ja k binomikertoimen järjestysnumeroa rivin reunasta laskien.

Binomin potenssit 

Nimitys binomikerroin johtuu siitä, että samat luvut esiintyvät myös kertoimina, kun binomi korotetaan kokonaislukupotenssiin ja saatu lauseke kehitetään polynomiksi, esimerkiksi:

Yleistyksiä 

Korvaamalla kertoma gammafunktion avulla, voidaan binomikerroin laajentaa positiivisille reaaliluvuille ja joillekin negatiivisille reaaliluvuille määritellyksi. Negatiivinen binomikerroin on kuitenkin .

Yleisesti on voimassa, että jos , niin .

Binomikertoimien ala- ja ylärajoja 

Binomikertoimelle  on voimassa seuraavat arviot:

Lähteet

Aiheesta muualla 

 Binomial Coefficient

Kombinatoriikka