Potenssijoukko

Potenssijoukko on joukon kaikkien osajoukkojen joukko.  Joukon  potenssijoukkoa merkitään tyypillisesti symboleilla  tai  tai .

Johdanto
Tarkastellaan ensin nelialkioista äärellistä joukkoa . Joukko-opin mukaan tyhjä joukko  on yksi osajoukko. Myös yksialkioiset osajoukot 
 
ovat joukon  osajoukkoja. Sitten voidaan muodostaa kuusi kaksialkioista osajoukkoa 

ja neljä kolmialkioista osajoukkoa 

Viimeinen osajoukko on joukko  itse, sillä joukko-opin mukaan joukko on aina itsensä osajoukko.

Helposti nähdään, että neljän alkion joukosta voidaan muodostaa  osajoukkoa. Muodostettu osajoukkojen joukko koostuu näistä 16 luetelluista osajoukoista ja sitä kutsutaan joukon  potenssijoukoksi. Potenssijoukon koko eli mahtavuus on 16.

Määritelmä
Muodollinen määritelmä: jos  on mielivaltainen joukko, niin on 
.

Mahtavuus
Joukon  mahtavuus voidaan merkitä  tai .

Äärellisen joukon potenssijoukon mahtavuus voidaan laskea seuraavasti. Yleisesti voidaan merkitä, montako  jäsenistä osajoukkoa voidaan ottaa mahtavuudeltaan  olevasta joukosta:

Kun lasketaan yhteen tyhjän joukon, kaikki yksialkioiset osajoukot, kaksialkioiset, ..., (n-1)-alkioiset ja joukko itse, saadaan
 

Jos äärellisen joukon mahtavuus on , niin sen potenssijoukon mahtavuus on kahden potenssi eli  .

Tyhjän joukon potenssijoukko sisältää määritelmän mukaan tyhjän joukon, mutta myös itsensä. Koska tyhjiä joukkoja on olemassa vain yksi, ei sitä voi esiintyä osajoukkojen joukossa kahdesti. Tyhjässä joukossa ei ole alkioita, joista voidaan muodostaa osajoukkoja. Tällöin on . Tyhjän joukon mahtavuus on , niin sen potenssijoukon mahtavuus on .

Numeroituvasti äärettömän joukon potenssijoukon mahtavuus on siten , jos numeroituvasti äärettömän joukon mahtavuus on . Voidaan osoittaa, että  eli sama kuin reaalilukujen mahtavuus. Se on suurempi kuin luonnollisten lukujen mahtavuus ja se merkitään . Tällaisen potenssijoukon mahtavuus on ylinumeroituvasti ääretön.

Voidaan todistaa, ettei joukon  ja sen potenssijoukon välillä ei ole bijektiota. Silloin ei joukon  numeroituvuudesta voida päätellä potenssijoukon numeroituvuutta.

Ylinumeroituvien joukkojen potenssijoukot ovat entistä mahtavampia, jolloin esimerkiksi . Potenssijoukosta muodostettu potenssijoukko on edellisiä mahtavampi. Niiden mahtavuutta on ollut tapana merkitä kardinaaleilla . Niilläkin on suuruusjärjestys

Katso myös 
 Tyhjä joukko
 Mahtavuus
 Numeroituva joukko
 Ylinumeroituva joukko

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta
 

Joukko-oppi