Normaali aliryhmä

Ryhmäteoriassa normaali aliryhmä on aliryhmä, joka toteuttaa kaikilla  ehdon
 
eli mielivaltaisen alkion määräämät vasen ja oikea sivuluokka ovat samat. Aliryhmärelaatiota merkitään  Normaalien ryhmien olemassaolo vaikuttaa suuresti ryhmän rakenteeseen. Lisäksi normaalien aliryhmien avulla voidaan konstruoida tekijäryhmiä.

Normaaliuskriteeri
Mikäli , niin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä
aliryhmä  on normaali ryhmässä ,
kaikilla  pätee, että ,
kaikilla  pätee, että ,
 ja
on olemassa sellainen ryhmä  ja sellainen homomorfismi , että aliryhmä  on ryhmän homomorfismin  ydin eli

Koska ehdot ovat yhtäpitäviä, voitaisiin niistä mikä tahansa valita normaalin aliryhmän määritelmäksi. Monissa ryhmää vastaavissa algebran rakenteissa otetaan käyttöön viimeisen väitteen analogia, kun halutaan määritellä normaalia aliryhmää vastaava rakenne. Esimerkiksi luupeissa normaalin aliluupin määritelmä on usein helpointa tehdä luuppihomomorfismien avulla. Toisaalta kommutativiisia renkaita tutkittaessa normaalia aliryhmää vastaava rakenne on ideaali. Vaikka ideaalin määritelmä ei suoraan muistuta normaalin aliryhmän määritelmää, niin kommutatiivisen ryhmän osajoukko on ideaali jos ja vain jos se on jonkin rengashomomorfismin ydin.

Todistus eräälle normaaliuskriteerille
Monesti aliryhmän normaalius selvitetään käyttämällä nk. normaaliuskriteeriä, jonka mukaan ryhmän  aliryhmä  on normaali, jos ja vain jos 

Tämä normaaliuskriteeri voidaan todistaa seuraavasti: 
Oletetaan aluksi, että  on ryhmän  normaali aliryhmä. Koska sivuluokat yhtyvät, voidaan valita mielivaltaiset sivuluokkien alkiot , missä . Kertomalla tämä alkion  käänteisalkiolla, saadaan  Oletetaan sitten väitteen oikea puoli todeksi ja tutkitaan alkiota  Osoitetaan, että . Valitaan  ja merkitään , jossa . Kertomalla oikealta alkiolla  saadaan . Siis . Tehdään samoin korvaamalla alkio  alkiolla käänteisalkiollaan. Siis , , josta saadaan  eli . Kokonaisuudessaan siis , eli aliryhmä  on normaali.

Esimerkkejä ja ominaisuuksia
Triviaali aliryhmä  ja ryhmä itse ovat aina ryhmän normaaleja aliryhmiä.
Ryhmän keskus  on aina normaali ryhmässä 
Ryhmän derivaattaryhmät , missä  ovat aina normaaleja ryhmässä 
Abelin ryhmän jokainen aliryhmä on normaali.
Jos aliryhmän  indeksi ryhmässä on 2, niin 
Jos ryhmän  on äärellinen, p on ryhmän  kertaluvun pienin alkutekijä ja aliryhmän  indeksi ryhmässä on p, niin 
Jos  niin aliryhmän  alkiot melkein kommutoivat muiden aliryhmään kuulumattomien alkioiden kanssa sillä jos  ja  niin on olemassa sellainen alkio  että

Lähteet 

Ryhmäteoria