Lukujono

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista. 
 Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
 Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
 Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Määritelmä 

Tarkemmin lukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta

missä  on luonnollisten lukujen joukko ja  mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (an) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (an) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xn ≤ xn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

Erikoistapauksia

Aritmeettinen lukujono 

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus  on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on .

Geometrinen lukujono 

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä  on vakio. Jos  on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim.  . 

Geometrisen lukujonon yleinen termi on .

Esimerkkejä 

1.  tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa  ...
 Toisin sanoen 
2.  tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa 

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:
 
 Täten esimerkiksi .
 Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään

 saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. a0=2, a1=4, a2=16, a3=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Lukujonon maksimi ja minimi

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Todistetaan väite induktiolla:

Alkuaskel

Olkoon joukko , joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku . Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi.

Induktio-oletus
Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa  on  määrä alkiota eli  ja että väite pätee, jolloin joukolla  on olemassa maksimi eli .

Induktioaskel

Olkoon  mielivaltainen joukko, jossa on  määrä alkiota. Poistetaan :stä mikä tähansa sen alkio . Nyt saadaan joukko , jossa on  määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla . Täten myös joukolla  on olemassa maksimi, joka on . 

Näin ollen mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle  () löydetään aina maksimi. 

Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.

Osajono

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi. 

Esimerkiksi

Olkoon (a1, a2, a3, a4, a5, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a. 

Tällöin jono (a2, a4, a5, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono. 

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono. 

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: ay1, ay2, ay3, ay4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y1, y2, y3, ...). Tällöin pätee aina: yn ≥ n. 

Todistus induktiolla: 

Alkuaskel: n = 1, jolloin y1 on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y1. 

Induktio-oletus: n ≤ yn. 

Induktio-askel: n+1 ≤ yn+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee yn+1 ≤ yn+1, mistä seuraa: n+1 ≤ yn+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono 

Todistus: 

Olkoon joukko . 

1) Joukossa  on ääretön määrä alkoita

, jossa siis  . Tällöin pätee . Näin ollen osajono  on nouseva. 

2) Joukko  on äärellinen 

i)  on tyhjä, jolloin valitaan . 

ii)  on epätyhjä, jolloin valitaan . 

Koska , niin  siten, että . Samalla tavalla  osoitetaan induktiolla, että  siten, että . Näin ollen osajono  on aidosti laskeva.

Katso myös 
 Sarja
 Cauchyn jono

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Seulonnan keskeiset artikkelit