Kovarianssi

Kovarianssi on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä kahden satunnaismuuttujan välisen riippuvuuden mitta. Se kuvaa, kuinka läheisesti muuttujat vaihtelevat yhdessä. Yksinkertaistaen voidaan havainnollistaa, että kovarianssi saa positiivisen arvon, kun satunnaismuuttujan arvot jäävät samalle puolelle odotusarvoihinsa nähden, ja vastaavasti negatiivisen arvon, kun niiden arvot jäävät eri puolille odotusarvoihinsa nähden. Kovarianssi on yhteisjakauman toinen keskusmomentti, jonka yksiköksi eli dimensioksi tulee kummankin satunnaismuuttujan yksiköiden tulo. Momentin käsitteeseen liittyy tulkinta, että kovarianssi on niin sanotun yhteisjakauman "todennäköisyysmassan painopisteen"  ympärillä tapahtuvan vaihtelun mitta. Korrelaatio on kovarianssin normalisoitu tunnusluku, joka on puolestaan yksikötön.

Todennäköisyyslaskennassa kovarianssi on yhteisjakauman tunnusluku, kun taas tilastolaskennassa kovarianssi on todennäköisyyslaskennan tunnusluvun estimaatti.

Määritelmä ja merkinnät 
Matemaattisesti kovarianssi  on määritelty kahden reaaliarvoisen satunnaismuuttujan  ja  avulla
 
missä  ja  ovat vastaavasti satunnaismuuttujien odotusarvot. Kovarianssi voidaan merkitä erilaisilla vaihtoehtoisilla tavoilla, kuten esimerkiksi
 

Yhteisjakaumassa voi esiintyä myös merkinnät  ja . Ne esittävät satunnaismuuttujien keskihajontoja  ja .

Diskreetit satunnaismuuttujat 
Diskreetin satunnaismuuttujaparin kovarianssi lasketaan 
 
missä  on yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio.

Jatkuvat satunnaismuuttujat 
Jatkuvan satunnaismuuttujaparin kovarianssi on taas 
 
missä  on yhteisjakauman tiheysfunktio.

Ominaisuuksia

Rinnakkaiskaavan johtaminen 
Yleisessä tilanteessa satunnaismuuttujat ovat toisistaan riippuvia jossakin mielessä. Silloin kovarianssi voidaan kehittää edelleen hyödyntämällä odotusarvo-operaattorin tunnetut ominaisuudet:

Riippumattomuus 
Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, saadaan odotusarvoksi

Yleisen kovarianssin kehitetystä lausekkeesta tulee silloin

Siten, jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia toisistaan, saadaan kovarianssiksi nolla. Päinvastainen ei pidä aina paikkaansa, sillä kovarianssin ollessa nolla, ei satunnaismuuttujat aina ole riippumattomia toisistaan.

Arvojoukko 
Kovarianssin yksikkö määräytyy satunnaismuuttujien tulosta. Koska korrelaation arvo jää välille , saadaan kovarianssin arvolle väli , missä  on keskihajontojen tulo.

Päättelysääntöjä 
Kovarianssille voidaan johtaa seuraavia laskusääntöjä ( ovat reaalivakioita):
 
  eli   (varianssi)
   (symmetrisyys)
  (kertoimien ulosotto)
  (vakionlisäys)
   (summan kovarianssi)
  (lineaarikombinaatiot)
   (useiden satunnaismuuttujien summat)

Tilastollinen kovarianssi 
Arvioitaessa kahden tilastomuuttujan kovarianssia, käytetään estimaattorina lauseketta
 
missä otoksen suuruus on  ja otoksen muuttujien keskiarvot ovat  ja . Usein kuitenkin jaetaan summa otoksen suuruutta yhtä pienemmällä luvulla (vapausaste)

Satunnaisvektorit 
Kun X ja Y ovat n- ja m-ulotteisia pystyvektoreita, n x m-ulotteinen kovarianssimatriisi on määritelty:

 

Matriisit cov(X,Y) ja cov(Y,X) ovat toistensa transpooseja. Kun X on vektori, matriisia cov(X,X) sanotaan X:n kovarianssimatriisiksi tai pidemmin varianssi-kovarianssi-matriisiksi.

Korrelaatiokerroin 
Kovarianssilla voidaan mitata satunnaismuuttujien riippuvuuksia, mutta satunnaismuuttujien keskihajonnat vaikuttavat myös kovarianssin arvoon. Tuloksesta voidaan puhdistaa keskihajontojen vaikutukset jakamalla kovarianssi niillä, jolloin saadaan uusi riippuvuuden mitta korrelaatiokerroin
 
Sen arvot vaihtelevat välillä  eikä sillä ole mittayksikköä.

Katso myös 
 Momenttifunktio

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta
Tilastotiede