Wienin siirtymälaki

Wienin siirtymälaki on fysiikan laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilyn spektrin huippua vastaava aallonpituus  on kääntäen verrannollinen kappaleen lämpötilaan: 

missä  on kappaleen lämpötila kelvineinä (K) ja  on spektrin huippua vastaava aallonpituus metreinä. Verrannollisuuskerroin b = 0,002898 m K on luonnonvakio, joka voidaan esittää myös muodossa 0,29 cm K.

Wienin siirtymälain johti teoreettisesti Wilhelm Wien vuonna 1894. Wien tarkasteli mustan kappaleen tilavuuden adiabaattista muutosta ja päätteli, että säteilyn spektraalisen energiatiheyden täytyy olla muotoa

missä f on universaali, järjestelmän ominaisuuksista riippumaton funktio. Tämä tulos on Wienin siirtymälain vahva muoto. Heikko muoto on spektrihuipun aallonpituuden lämpötilariippuvuutta koskeva laki, joka voidaan johtaa vahvasta muodosta. Wienin siirtymälaki voidaan johtaa Planckin säteilylaista.

Siirtymälain pohjalta Wilhelm Wien esitti 1896, että mustan kappaleen säteily noudattaa Wienin säteilylakina  tunnettua muotoa, joka voidaan nykyaikaisin merkinnöin kirjoittaa muodossa

Tämä laki vastaa Planckin lain mukaista todellista jakaumaa korkeilla taajuuksilla.

Esimerkkejä 

Periaatteessa mitä kuumempi kappale on, sitä lyhyempi on aallonpituus, jolla se lähettää eniten säteilyä. Esimerkiksi Auringon pintalämpötila on 5780 K, jolloin huippu on noin 500 nm:n kohdalla. Tämä aallonpituus on lähellä näkyvän valon spektrin keskialuetta. Koska säteilyn spektri on huipun ympäristössä melko laakea, auringon säteilemän valon spektri on koko silmälle näkyvän valon alueella melko tasainen, ja auringon valo on siksi valkoista. (Valon kulkiessa ilmakehän läpi siitä kuitenkin siroaa pois sinistä valoa, minkä vuoksi suoraan auringosta tuleva valo on kellertävää ja ilmakehästä päivällä siroava auringon valo värjää taivaan siniseksi.) 

Hehkulampussa on hehkuva lanka, jonka lämpötila on Auringon pintalämpötilaa huomattavasti matalampi. Siksi hehkulampun säteilyssä on enemmän pitkäaaltoista punaista valoa kuin lyhytaaltoista sinistä valoa ja lampun valo vaikuttaa keltaiselta. Jos hehkulangan lämpötilaa edelleen lasketaan, säteilyn painopiste siirtyy yhä enemmän punaista kohti. Samoin käy hiilloksen hiipuessa.

Huoneenlämmössä olevan kappaleen lähettämä lämpösäteily on käytännöllisesti katsoen kokonaan näkymätöntä infrapunasäteilyä, jonka aallonpituus on suurempi kuin näkyvän valon. Mutta kun metallikappaletta tarpeeksi kuumennetaan esimerkiksi puhalluslampun avulla, se tulee ensin punahehkuiseksi, koska punainen vastaa näkyvän valon pitkäaaltoisinta osuutta. Kappaletta edelleen kuumennettaessa sen lähettämä valo muuttuu oranssinpunaiseksi, ja hyvin korkeissa lämpötiloissa kappale tulee valkohehkuiseksi, kun se alkaa lähettää kaikkia näkyvän valon taajuuksia. Mutta vaikka infrapunasäteily onkin näkymätöntä, jo ennen punahehkua sen voi aistia sen lämmittävän vaikutuksen vuoksi.

Kaikissa tähdissä aallonpituusjakauman huippu ei kuitenkaan ole näkyvän valon alueella. Esimerkiksi Orionin tähdistössä sijaitsevan kuuman superjättiläisen Rigenin säteilystä 60 % on ultraviolettia, kun taas samassa tähdistössä olevan viileän jättiläistähden Rigelin säteilystä 85 % on infrapunaista. Silti nämä molemmat lähettävät näkyvääkin valoa niin paljon, että ne kuuluvat taivaan kirkkaimpiin. Sinertävä Rigel (T = 12100 K) eroaa kuitenkin väriltään selvästi punaisesta Betelgeusesta (T ≈ 3300 K).

Vain harvat tähdet ovat yhtä kuumia kuin Rigel, mutta varsin monien tähtien lämpötila on samaa luokkaa kuin Betelgeusen ja siis selvästi alempi kuin Auringon. Värinsä ja siten lämpötilansa perusteella tähdet jaetaan spektriluokkiin.

Ihmisen ihon lämpötila on noin 310 K, joten sen lämpösäteilyn aallonpituus on noin 10 μm, kaukana näkyvän valon alueen ulkopuolella. Sen vuoksi ihmisten jäljittämiseen käytettyjen lämpökameroiden on oltava herkkiä tämän aallonpituusalueen infrapunasäteilylle.

Johto Planckin laista 

Wienin siirtymälaki voidaan johtaa Planckin laista, jonka avulla voidaan myös johtaa arvo Wienin laissa olevalle kertoimelle b. Tavallisesti säteilytehon jakauma ilmaistaan aallonpituuden funktiona. Tällöin Planckin lain mukaan lämpötilassa T olevan mustan kappaleen lähettämä säteilyteho säteilevää pinta-ala-, avaruuskulma- ja aallonpituusyksikköä kohti aallonpituuden  kohdalla on 

,

missä h on Planckin vakio, c valonnopeus ja k Boltzmannin vakio.

Tämä saa suurimman arvonsa kohdassa, jossa tämän funktion derivaatta on nolla. Täten saadaan:

mikä voidaan yksinkertaistaa muotoon

Määrittelemällä

tästä saadaan yhden muuttujan x yhtälö

joka on yhtäpitävä yhtälön

kanssa.

Yhtälön ratkaisu on 

missä  on Lambertin W-funktion päähaara, ja sen arvoksi saadaan x = 4,965114231744276303.... . Kun tästä ratkaistaan aallonppituus λ millimetreinä ja lämpötila ilmaistaan kelvineinä, saadaan:

 μmK/T.

Parameterisointi taajuuden mukaan 

Edellä säteilyn jakauma on parametroitu aallonpituuden mukaan. Yhtä hyvin se voidaan kuitenkin parametroida myös taajuuden mukaan. Tällöin Planckin laki on esitettävä muodossa, joka esittää säteilytehon taajuuden ν funktiona:

Samaan tapaan kuin edellä tästä saadaan:

ja lopulta

Tämäkin voidaan samaan tapaan kuin edellä ratkaista Lambertin W-funktion avulla:  Muuttujan x arvoksi saadaan

eli x = 2.821439372122078893...

Kun tästä ratkaistaan taajuus ν, saadaan:

 THz/K.

Maksimikohdan riippuvuus parametroinnista 

On huomattava, että samassakin lämpötilassa säteilytehon maksimikohdalle saadaan kaksi eri tulosta riippuen siitä, parametroidaanko säteily taajuuden vai aallonpituuden mukaan.

Esimerkiksi lämpötilassa T = 6000 K saadaan aallonpituuden mukaan parametroitaessa maksimikohdaksi aallonpituus λ = 482.962 nm, jota vastaava taajuus ( on ν = 620,737 THz}}.  Samassa lämpötilassa saadaan kuitenkin taajuuden mukaan parametrisoitaessa maksimikohdaksi aallonpituus 352,735 THz, jota vastaava aallonpituus on 849,907 nm.

Selitys tähän näennäiseen ristiriitaan on, että Planckin lain mukaiset funktiot ovat säteilyn tiheysfunktioita, jotka on skaalattu niin, että tulokset saadaan radianssin yksikköinä. Nämä tiheysfunktiot voivat olla eri muotoisia eri parametrisoinneilla, mikä riippuu siitä, minkä verran kaavio mistäkin kohdasta venyy tai kutistuu siirryttäessä parametroinnista toiseen. Koska säteilyn taajuus ja aallonpituus ovat toisiinsa kääntäen verrannollisia, ei yhtä suurta aallonpituuden muutosta vastaa kaikilla aallonpituuksilla yhtä suuri taajuuden muutos. 

Kappaleen kokonaisradianssi on jakauman integraali kaikkien positiivisten arvojen yli, ja se on samassa lämpötilassa yhtä suuri kaikilla parametroinneilla. Lisäksi samassa lämpötilassa sellaisten fotonien lukumäärä, joiden aallonpituus on jollakin tietyllä välillä, on parametroinnista riippumaton.  Tämä merkitsee, että aallonpituuden mukaan parametroidun jakauman integraali aallonpituuden arvosta λ1 arvoon λ2 on yhtä suuri kuin taajuuden mukaan parametroidun jakauman integraali taajuuden arvosta ν1 = c / λ1 arvoon ν2 = c / λ2. Jakauman muoto kuitenkin riippuu parametroinnista, ja kuten edellä olevat laskelmat osoittavat, myös jakauman huippukohta riippuu käytetystä parametroinnista.

Yhtälön  määrittämää implisiittifunktiota käyttämällä saadaan säteilyn jakauma, kun parametrina käytetään radianssia suhteellista kaistanleveyttä kohti. (Tällaisen taajuuskaistan leveys on verrannollinen taajuuteen itseensä, ja tämä vastaa sitä, että taajuuden taajuuden ν tai aallonpituuden λ sijasta säteilyteho esitetäänkin jommankumman logaritmien  tai  funktiona. Tämä onkin mahdollisesti luonnollisin tapa esittää säteilyn jakauman maksimikohta. Jos näin menetellään, edellä esitettyjen laskujen muuttujaa x vastaava arvo on x = 3.920690394872886343...

Oleellista Wienin laissa kuitenkin on, että parametroitiinpa säteilyteho aallonpituuden, taajuuden tai minkä tahansa niistä riippuvan tekijän suhteen tahansa, säteilyn aallonpituuden mediaani on kääntäen verrannollinen lämpötilaan.

Katso myös 
Stefanin–Boltzmannin laki

Aiheesta muualla 

Heli Honkonen: Mustan kappaleen säteily opetuksessa, Pro gradu -tutkielma Fysiikan opettajan suuntautumisvaihtoehto, Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos, 5.9.2012 (pdf)

Fysiikan lait
Sähkömagnetismi
Kvanttimekaniikka
Optiikka