Kertoma

Positiivisen kokonaisluvun  kertoma on luvun  ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään . Esimerkiksi

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.

Merkinnän  esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.

Kertomaa käytetään yleensä pitkien kertolaskujen esittämiseen. Esimerkiksi

 voidaan esittää muodossa

Määritelmä 
Luvun  kertoma määritellään seuraavasti: 
 kaikilla luonnollisilla luvuilla .
Esimerkiksi 
.
On lisäksi määritelty, että , koska tyhjä tulo on .
Luvun  kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.

Stirlingin approksimaatio

Stirlingin approksimaatiolla voidaan arvioida kokonaisluvun kertomaa. Tämän likimääräismenetelmän tarkkuus suurenee kun käsitellään suuria kokonaislukuja. Arvioinnin menetelmää pidetään yleisesti skottilaisen matematiikon James Stirlingin kehittämänä, joskin samoihin aikoihin myös ranskalainen matematiikko Abraham de Moivre oli tutkinut aihetta.
Tilastollisessa termodynamiikassa tarkastellaan hiukkasjoukkoa, jonka suuruus vastaa Avogadron vakiota. Entropiaa laskettaessa tarvitaan näin suuresta hiukkasjoukosta ottaa kertoma, jonka laskeminen ilman likimääräismenetelmää on työlästä.

Stirlingin approksimaation johtamiseksi tarkastellaan kertoman logaritmia kun  otetaan suurena lukuna:

Euler-MacLaurin -yhtälöä käyttäen saadaan tarkempi approksimaatio:

Tästä yhtälöstä kaksi ensimmäistä termiä ovat täysin riittäviä kertoman luonnollisen logaritmin approksimaation laskemiseksi käsiteltäessä hyvin suurta hiukkasjoukkoa. Oheisessa kuvassa on esitetty havainnollisuuden vuoksi yhtälön kahden ensimmäisen termin ja toisaalta kolmen ensimmäisen termin laskentatarkkuudella suhteellisen virheen pieneneminen tarkasteltavana olevan hiukkaslukumäärän kasvaessa.  

Kertoman logaritmiton Stirlingin approksimaatio on . Tämän lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla  on voimassa arvio:

Esimerkkejä approksimaation käytöstä:

Lukuteoria 
Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti  on jaollinen kaikilla lukua  pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että  on yhdistetty luku, jos
.
Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan
,
jos  on alkuluku.
Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa . Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

Kertomafunktion arvo gammafunktion avulla 

Kertomafunktio voidaan ilmaista kokonaislukuargumenttisen gammafunktion  avulla:

.

Gammafunktion avulla kertoma voidaan määritellä myös muille kuin luonnollisille luvuille, mutta tällöin kertoman sijasta yleensä viitataan suoraan gammafunktioon.

Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona 

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta
,
missä luvut  ovat alkulukuja.

Katso myös 

 Todennäköisyyslaskenta
 Gammafunktio
 Binomikerroin
 Kertomafunktio
 Primorial
 Fibonaccin kertoma

Lähteet

Aiheesta muualla 

 Mathworld: Factorial 
 Mathworld. Stirling's Approximation 
 http://factorielle.free.fr 
  Online laskimet kertoma

Funktiot
Kombinatoriikka
Seulonnan keskeiset artikkelit
Kertomat