Catalanin otaksuma

Catalanin otaksuma on Eugene Charles Catalanin esittämä otaksuma, jonka mukaan Diofantoksen yhtälön 
 
ainoa positiivinen kokonaislukuratkaisu on 
, ,  ja , kun  ja . 
Catalanin otaksuman todisti vuonna 2002 Preda Mihăilescu syklotomisten kuntien ja Galois'n modulien teorian avulla.

Todistushahmotelma
Mihăilescun todistus perustuu viiteen päälauseeseen: Olkoot  ja  parittomia alkulukuja ja  nollasta poikkeavia kokonaislukuja.

Lause 1: On voimassa  ja .

Lause 2: On voimassa  tai .

Lause 3: On voimassa  ja .

Päälause: Yhtälön  ne kokonaislukuratkaisut, joille  ja  ovat .

Lause 4: Olkoot  ja  parittomia alkulukuja. Oletetaan, että  tai . Tällöin yhtälöllä  ei ole nollasta poikkeavia ratkaisuja, kun .

Näiden lauseiden todistukset perustuvat pääosin Rungen menetelmään ja syklotomisiin kuntiin.

Lähteet  

Diofantoksen yhtälöt
Matemaattiset teoreemat