Fareyn jono

Oletetaan, että m on positiivinen kokonaisluku. Fareyn jonolla Fm tarkoitetaan tällöin niiden välillä [0,1] olevien murtolukujen kasvavaa jonoa, jotka:

- ovat supistetussa muodossa (ts. osoittajan ja nimittäjän) suurin yhteinen tekijä on 1 ja

- nimittäjä on pienempi tai yhtä suuri kuin m.

Esimerkiksi:

F1 = {0⁄1, 1⁄1}
F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}
F8 = {0⁄1, 1⁄8, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 3⁄8, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 5⁄8, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 7⁄8, 1⁄1}

Fareyn jonojen historiaa
Fareyn jonot on nimetty brittiläisen mineralogin (kidetutkijan) John Fareyn mukaan. Hänen näitä jonoja koskeva kirjoitelmansa julkaistiin lehdessä nimeltä Philosophical Magazine vuonna 1816. Farey esitti väittämän, että jonon kukin jäsen voidaan laskea sen lähimpien naapurien ns. medianttina ts. jakamalla näiden lukujen osoittajien summa niiden nimittäjien summalla. Farey ei kuitenkaan tiettävästi itse  todistanut väittämäänsä. Todistuksen esitti ensimmäisenä Cauchy kirjassaan Exercises de mathématique. Saman tuloksen oli kuitenkin esittänyt toinen matemaatikko C. Haros jo vuonna 1802. Harosin artikkeli ei kuitenkaan liene ollut Fareyn tai Cauchyn tiedossa. On siis lähinnä historiallinen sattuma, että jonot kantavat edelleen Fareyn nimeä.

Välittömän edeltäjän ja seuraajan laskeminen

Tarkastellaan Fareyn jonoa, jossa nimittäjien maksimiarvo on .

Lukua , missä , 
välittömästi seuraava luku  
voidaan laskea kaavoista

missä  on luvun  modulaariaritmetiikan käänteisluku modulo , 
ts. , ja  tarkoittaa pyöristystä alaspäin lähimpään kokonaislukuun (ns. porrasfunktio).

Vastaavasti lukua  
välittömästi edeltävä luku  
voidaan laskea kaavoista

missä  on kuten edellä.
 
Tarvittavat modulaariaritmetiikan käänteisluvut voidaan laskea tehokkaasti ns. laajennetun eukleideen algoritmin avulla.

Kaavat ovat erityisen käyttökelpoisia tarkasteltujen lukujen ollessa suuria, esimerkiksi kymmenien tai satojen numeroiden mittaisia.

Lukuteoria