Suora

Geometriassa, topologiassa ja muilla näille rinnasteisilla matematiikan aloilla suora määritellään pisteen ominaisuuksien ja aksioomien avulla.  

Jos suora katkaistaan ja toinen puolikas poistetaan, saadaan puolisuora eli säde. Jos puolisuora katkaistaan, saadaan puolisuora ja jana.

Määritelmä

Antiikin määritelmä
Antiikissa suora määriteltiin kahden pisteen ja viivaimen avulla. Valitaan tasolta kaksi pistettä. Eukleideen Alkeissa esitetyn määritelmän mukaan kahden pisteen välille voidaan aina vetää jana tai viiva. Määritelmästä on jäänyt viivain pois, joten sitä ei voi pitää täysin matemaattisena. Määritelmä on pääpiirteissään seuraava:
 Viiva on leveydetön pituus.
 Viivan äärirajat ovat pisteitä.
 Suora viiva on viiva, joka lepää tasaisesti pisteillään. 

Puolisuora eli säde piirretään silloin janan AB avulla niin, että janan toista päätä jatketaan samaan suuntaan pisteen C kautta äärettömän pitkälle. Kun sama toistetaan puolisuoran toiseen päähän, saadaan suora. Suora määräytyykin niiden kahden pisteen avulla, joiden kautta se kulkee. Antiikin määritelmässä korostetaan myös abstraktia käsitettä ääretön, joka tarkoitti geometriassa ”jatkamista loputtoman pitkälle”. 

Käyrä on suora, jos mitkä tahansa kolme suoran pistettä A, B ja C voidaan liittää kahteen janaan AB ja AC siten, että ne aina yhtyvät osan AB osalta. Toisaalta, suoran leveys on nolla, joten käyrä on suora koko pituudeltaan, jos sen projektio on piste, kun suoraa katsotaan sen kulkusuuntaan.  Tämä viimeinen testi on kirvesmiehille tuttu.

Analyyttisen geometrian määritelmä
Jana alkaa yhdestä pisteestä ja päättyy toiseen pisteeseen. Jana koostuu pisteistä, joita on tiheästi alku- ja loppupisteen välissä. Määritelmässä tiheällä tarkoitetaan ominaisuutta, että kahden mielivaltaisen lähellä toisiaan olevan pisteen väliin voidaan aina lisätä ainakin yksi piste lisää, mistä seuraa taas se, että pisteitä mahtuu pisteiden väliin äärettömästi. 

Vaikka yhden pisteen pituus on 0, muodostuu äärettömän monen pisteen janalle ominaisuus pituus. Jana ei kuitenkaan ole leveä tai paksu, koska janalla olevilla pisteillä ei ole itsessään ominaisuutta leveys ja paksuus. Janan ominaisuudet ovat seurausta pisteiden ominaisuuksista ja niiden äärettömästä lukumäärästä.

Kukin janalla oleva piste sijaitsee omassa paikassaan. Paikka voidaan ilmoittaa numeerisesti määrittämällä esimerkiksi pisteen paikan etäisyys janan alkupisteestä. Tämä etäisyys on luku, jota kutsutaan pisteen koordinaatiksi. 

Edelliseen tapaan voidaan määritellä myös pisteiden koordinaatit puolisuoralla ja suoralla. Puolisuoran pisteiden koordinaatit ovat esimerkiksi niiden etäisyys puolisuoran alkupisteestä. Suoralta tulee ensin valita piste, josta etäisyydet mitataan. Tätä pistettä kutsutaan origoksi. Pisteen etäisyys origosta on tällöin pisteen koordinaatti. Koska suora voidaan ajatella koostuvan origon molemmilla puolilla olevasta puolisuorasta, tulee koordinaatit olla positiivisia- ja negatiivisia reaalilukuja, riippuen siitä kummalla puolella origoa piste sijaitsee.

Pisteen koordinaatti janalla, puolisuoralla ja suoralla on aina yksi luku. Koska pisteen koordinaatteja tarvitaan vain yksi, sanotaan suoran olevan 1-ulotteinen olio eli sen dimensio on 1. Myös janan ja puolisuoran dimensio on 1. Koordinaattien avulla voidaan suoraa käsitellä numeerisesti esimerkiksi tietokoneella.

Aksiomaattinen määritelmä
Nykyään suorat määritellään joukko-opin avulla käyttäen useita aksioomia, jotka määrittelevät useita ominaisuuksia, joita suoran tulee samanaikaisesti täyttää. Suoran ominaisuuksia kutsutaan  aksioomiksi. Aksioomat on kirjoitettu niin, että pisteisiin viitataan isoilla kirjaimilla A, B ja C, ja suoriin pienillä kirjaimilla l ja a, tai pistepareilla esimerkiksi AB.
 Tasossa on olemassa osajoukkoja, joita kutsutaan suoriksi.
 Jokaista kahta eri pistettä  ja  kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora  jolla  ja 
 Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
 Suorille on määritelty relaatio välissä: Jos piste  on pisteiden  ja  välissä, niin ,  ja  ovat suoran eri pisteitä. Tällöin  on myös pisteiden  ja  välissä.
 Jos  ja  ovat eri pisteitä, niin suoralla  on piste  siten että  on pisteiden  ja  välissä.
 (Paschin aksiooma) Olkoon piste  suoran  ulkopuolella. Olkoon  suora ja , , . Jos  leikkaa janan , niin se leikkaa ainakin toisen janoista  ja .

Suora analyyttisessa geometriassa

Suora yksiulotteisessa avaruudessa
Suora täyttää yksiulotteisen avaruuden  kokonaan, jolloin kaikki avaruuden pisteet ovat suoran pisteitä. Kutakin pistettä vastaa jokin koordinaatti, joka on pisteen etäisyys origoksi valitusta pisteestä. Pisteen koodinaatti on reaaliluku .

Suora kaksiulotteisessa avaruudessa
Kaksiulotteinen avaruus  tarkoittaa ääretöntä tasoa, jonne voidaan sijoittaa suora mielivaltaisesti. Koska suoran pisteet ovat koordinaattipareja , muodostavat pisteiden koordinaatit relaation. Suoran pisteisiin pääsee käsiksi usealla erilaisella lähestymistavalla.

Kaksiulotteinen parametriesitys
Suora voidaan määritellä kahden pisteen  ja  avulla. Suoran mikä tahansa kolmas piste  voidaan ilmaista lausekkeella, jonka ”koordinaattina” on parametri 

Jos suoran pisteet ovat kaksiulotteisia, saadaan  ja koordinaateille parametrimuotoinen esitys
  eli 
missä  ja  ovat kulmakertoimia.

Kaksiulotteinen vektoriesitys suuntavektorin avulla 
Sama parametrimuotoinen esitys voidaan ilmaista parametrimuotoisena vektoriesityksenä, jossa pisteet esitetään pystyvektoreilla 
 
Jos merkitään   ja 
saadaan suoran pisteiden vektoriksi 
 
Vektoria  kutsutaan suuntavektoriksi ja vektori  on yksi suoran pisteen paikkavektori.

Suoran yhtälö
Edellisestä parametrimuotoisesta esityksestä voidaan muodostaa suoran koordinaateille tunnetumpi relaatioesitys. Ratkaistaan luvun  lausekkeesta parametri 

joka sijoitetaan y:n lausekkeeseen
 
eli
  
jota kutsutaan suoran kahden pisteen esitykseksi pisteillä  ja 
Merkitsemällä  saadaan yksinkertaisempi yhtälö

missä 

Tämä on suoran pisteiden  ja koordinaattien välinen relaatio , jota kutsutaan suoran yhtälöksi. Yhtälön tätä muotoa
 
kutsutaan termillä y:n suhteen ratkaistu muoto. Yhtälössä kerrointa  kutsutaan kulmakertoimeksi ja lukua  vakiotermiksi. Toisaalta mahdollinen on myös
 
jota kutsutaan termillä x:n suhteen ratkaistu muoto. Siinä  on kulmakerroin ja  vakiotermi. Jos y:n suhteen ratkaistusta muodosta kirjoitetaankin

saadaan yleinen muoto
 
missä   ja  Kerroin  voidaan kirjoittaa kaksirivisenä determinanttina:

Kaksiulotteinen vektoriesitys normaalivektorin avulla 
Suoran suunta voidaan esittää suuntavektorin asemasta normaalivektorilla, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan eli myös suuntavektoria vastaan. Valitaan suuntavektorin suuntainen erotusvektori , jossa  on yksi suoran pisteiden paikkavektori. Merkitään normaalivektoria . Silloin nämä ovat kohtisuorassa ja niiden pistetulo on nolla
 
eli
 .
Viimeisestä vaiheessa

missä 
 
Normaalivektorin  koordinaatit  ja  ovat suoran normaalimuotoisen yhtälön kertoimet.

Muita suoran muodostamistapoja

Kulmakertoimen avulla
Jos pisteet  ja  ovat eräät suoran pisteistä, ja suoran yleinen piste merkitään , voidaan suoran kulmakerroin ilmaista kahdella tavalla:

Suoran yhtälö nollakohtien avulla
Suora voidaan määrittää käyttämällä tietoa siitä, missä suora ja koordinaattiakselit leikkaavat toisensa. Jos näitä leikkauspisteitä merkitään koordinaattipareilla, saadaan suoran ja x-akselin leikkauspisteeksi  ja vastaavasti y-akselin leikkauspisteeksi . Mikäli leikkauskohdat ovat muualla kuin origossa, saadaan suoran yhtälöksi

Suoran yhtälö etäisyydellä origosta 
Jos suoralle piirretään origosta korkeusjana ja mitataan korkeusjanan suuntakulma  sekä suoran etäisyys  origosta, voidaan suoran yhtälö ilmaista

Suora kolmiulotteisessa avaruudessa
Kolmiulotteisen avaruuden suora voidaan määritellä vektorien avulla. Olkoot  ja  pisteiden paikkavektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa . Aiemminkin kirjoitettiin

missä pisteet on korvattu kolmiulotteisilla paikkavektoreilla. Vektorimuotoinen parametriesitys näyttää pystyvektoreilla kirjoitettuna
 
Parametrin kertoimena olevaa vektorierotusta 

kutsutaan suuntavektoriksi. Suora on suuntavektorinsa kanssa yhdenssuuntainen. Pistettä

kutsutaan paikkavektoriksi.  on eräs suoran pisteistä. Suoran vektoriesitys voidaan ilmaista yksinkertaisemmin
 

Vektorimuotoisesta parametriesityksestä voidaan siirtyä suoraan parametrimuotoiseen esitykseen
 

Suora voidaan avaruudessa määritellä myös kahden tason leikkauksena.

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta
 
 
 

Geometria
Analyyttinen geometria
Seulonnan keskeiset artikkelit