Viivaintegraali

Viivaintegraalilla (myös käyrä- tai polkuintegraalilla) tarkoitetaan matematiikassa funktion integroimista käyrää pitkin. Tavallinen Riemannin yksiulotteinen integraali 

onkin tavallaan viivaintegraali x-akselilla kulkevaa janaa pitkin. Fysiikassa polkuintegraalin käyttö rajoittuu lähinnä vektorilaskentaan, kun taas matematiikassa polkuintegraali on erityisen oleellinen käsite kompleksianalyysissä.

Skalaarikentän viivaintegraali 
Olkoon  skalaarikenttä ja  käyrän C parametrisaatio. Tällöin :n viivaintegraali käyrää C pitkin on 

Kaava on pätevä melko lievin säännöllisyysoletuksin, esimerkiksi parametrisaation  jatkuva derivoituvuus välillä  riittää. Viivaintegraalin arvo on riippumaton parametrisaatiosta, eikä integroimissuunta vaikuta lopputulokseen. Käyrän kaarenpituus saadaan integroimalla funktiota   käyrää pitkin, ja mikäli integraali suppenee, sanotaan käyrää suoristuvaksi. Mikäli fysikaalinen skalaarikenttä  kuvaa käyrän "viivatiheyttä" (massa/pituus), antaa viivaintegraali käyrää pitkin kokonaismassan.

Vektorikentän viivaintegraali 
Olkoon  vektorikenttä ja  käyrän C parametrisaatio. Tällöin :n viivaintegraali käyrää C pitkin on
.
Viivaintegraalin arvo on jälleen parametrisaatiosta riippumaton, mutta integroimissuunnan vaihto muuttaa integraalin arvon vastaluvukseen. Vektorikentän viivaintegraalilla on huomattavan paljon sovelluksia fysiikassa: Esimerkiksi voimakentän  tekemä työ W, kun kappale liikkuu käyrän C kuvaaman matkan, saadaan viivaintegraalista
.
Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista sekä Faradayn induktiolaki että Ampere-Maxwellin laki sisältävät viivaintegraalin suljettua käyrää pitkin. Näiden lisäksi esimerkiksi Biot’n ja Savartin lain mukaan johtimen, jossa kulkee sähkövirta I, aiheuttama magneettivuon tiheys pisteessä P saadaan integraalista
, 
missä käyrä C kuvaa virtajohdinta ja  on vektori johdinelementistä  pisteeseen P.

Polkuintegraali kompleksianalyysissä 
Olkoon  jatkuva funktio, jonka määrittelyjoukko A on kompleksitason avoin osajoukko. Funktion polkuintegraali käyrää  pitkin määritellään
,
missä  on polun jatkuvasti derivoituva parametrisaatio. Integraalin arvo ei riipu polun parametrisaatiosta suunnistusta lukuun ottamatta. Analyyttisen funktion polkuintegraali pisteestä toiseen on lisäksi polusta riippumaton, ja polkuintegraalin arvo voidaankin laskea funktion integraalifunktion avulla analyysin peruslauseen mukaisesti, aivan kuten reaalisessa tapauksessa. Lisäksi analyyttisen funktion polkuintegraali suljettua käyrää pitkin on nolla. Polkuintegraalien laskutekniikka kompleksianalyysissä huipentuu residy-laskentaan, jonka avulla hyvinkin monimutkaisten funktioiden polkuintegraaleja suljettuja käyriä pitkin voidaan laskea helpohkosti.

Funktion polkuintegraali kaarenpituuden suhteen määritellään
.

Esimerkki 
Lasketaan esimerkkinä funktion 

polkuintegraali positiivisesti suunnistettua yksikköympyrää pitkin. Polun parametrisaatio on nyt
, 
joten polkuintegraaliksi saadaan

Polkuintegraali tätä suljettua käyrää pitkin poikkeaa nollasta, koska funktio ei ole analyyttinen polun sisäänsä sulkemassa alueessa (funktiolla on ensimmäisen kertaluvun napa origossa).

Funktion residy origossa saadaan kaavalla
,
joten residylauseen mukaan polkuintegraali mitä tahansa yksinkertaista suljettua käyrää pitkin origon ympäri on

Katso myös  
Mittaintegraali
Riemannin integraali
Maxwellin yhtälöt

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
Viivaintegraali  (pdf)

Integraalilaskenta