Transpoosi

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. Neliömatriisin transpoosi saadaan peilaamalla alkiot päälävistäjän suhteen. Matriisin A transpoosia merkitään Atr, tA, A′ tai AT.

Muodollisesti m×n-matriisin A transpoosi on n×m-matriisi AT, jolle
AT[i, j] = A[j, i] kaikilla 1 ≤ i ≤ n ja 1 ≤ j ≤ m.

Esimerkiksi

Ominaisuuksia 
Kaikille m×n-matriiseille A ja B ja kaikille skalaareille c pätee (A + B)T = AT + BT ja (c A)T = c (AT). Tämän perusteella transpoosi on lineaarikuvaus m×n-matriisien joukosta n×m-matriisien joukkoon.

Transpoosi on itsensä käänteiskuvaus eli (AT)T = A.

Jos A on m×n-matriisi ja B on n×k-matriisi, on (AB)T =  (BT)(AT). Huomaa, että tulon tekijöiden järjestys vaihtuu. Tästä voidaan päätellä, että neliömatriisi A on kääntyvä vain, jos AT on kääntyvä. Tällöin on (A−1)T = (AT)−1.

Kahden (pysty)vektorin a ja b pistetulo voidaan laskea matriisitulona

missä oikealla puolella oleva tulo on tavallinen matriisien kertolasku.

Jos A on mielivaltainen reaalikertoiminen m×n-matriisi, on ATA positiivisesti semidefiniitti matriisi.

Jos A on n×n-matriisi jossain kunnassa, on A similaarinen transpoosinsa AT kanssa.

Lisää määritelmiä 
Jos neliömatriisi A on itsensä transpoosi, A:ta sanotaan symmetriseksi. Siis A on symmetrinen vain, jos

Ortogonaalinen matriisi on matriisi A, jolle A-1=AT.

Jos neliömatriisille A pätee AT=-A, sanotaan A:ta vinosymmetriseksi.

Kompleksikertomisen matriisin A konjugaattinen transpoosi A* saadaan kun A transponoidaan ja sen jälkeen jokaisesta alkiosta otetaan kompleksikonjugaatti.

Lineaarikuvausten transpoosi 
Jos f: V→W on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen operaattori duaaliavaruuksinaan W* ja V*, on f:n transpoosi määritelmän mukaan lineaarikuvaus tf : W*→V*, jolle
   kaikilla   W*.

Jos matriisi A on kahden kannan välinen lineaarikuvaus, on matriisi AT kahden duaaliavaruuden kannan välinen lineaarikuvaus.

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

Lineaarialgebra