Käänteisfunktio

Käänteisfunktio on funktio, joka kääntää alkuperäisen funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi. Funktion  käänteisfunktiota merkitään . Tämä on vain merkintätapa, eikä liity mitenkään potenssilaskuihin. Käänteisfunktiossa alkuperäisen funktion arvot vastaavat käänteisfunktion muuttujan arvoja ja käänteisfunktion muuttujan arvot alkuperäisen funktion arvoja. Toisin sanoen käänteisfunktiolle ja alkuperäiselle funktiolle pätee . Kaikille funktioille ei ole olemassa käänteisfunktioita.

Määritelmä
Olkoon  funktio. :n kuvajoukko  on kaikkien niiden alkioiden  joukko, joille  jolloin . Jos  on injektio (ehdosta  aina seuraa ) on mahdollista määritellä funktio  asettamalla :ksi se , jolle . Täten  tulee toteuttamaan ehdon  kaikilla  ja  kaikilla .

Funktiota  sanotaan funktion  käänteisfunktioksi ja merkitään symbolilla . Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin alkuperäisen funktion arvojoukko. Käänteisfunktion arvojoukko on sama kuin alkuperäisen funktion määrittelyjoukko.

Jos funktio  on funktion  käänteisfunktio, on samalla myös  funktion  käänteisfunktio.

Esimerkkejä

Olkoon kuvitteellisessa Mattilan perheessä 5 henkeä: Juhani (37v), Anna (32v), Siru (10v), Pasi (8v) ja Taru (5v). Olkoon f funktio, joka liittää perheenjäsenen nimen hänen ikäänsä. Olkoon M perheenjäsenien nimien joukko ja I perheenjäsenien ikien joukko. Toisin sanoen

Jos haluamme selvittää, kuka perheenjäsen on 32-vuotias, voimme muodostaa funktion, joka liittää perheenjäsenen iän hänen nimeensä. Tämä funktio on f:n käänteisfunktio:

f:n käänteisfunktio siis käänsi funktion kuvaussuunnan päinvastaiseksi.

Reaalifunktiot
Laskulausekkeella määritellyn reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion  käänteisfunktion lauseke voidaan usein määrittää ratkaisemalla  yhtälöstä . Esimerkiksi funktion ,  käänteisfunktioksi saadaan näin , .

Jotta reaalilukujen joukossa tai reaalilukuvälillä määritellyllä funktiolla  olisi käänteisfunktio, :n on oltava aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Funktiolla f on käänteisfunktio jos ja vain jos f on bijektio.. Siten esimerkiksi funktiolla ,  ei ole käänteisfunktiota, mutta (positiivisten reaalilukujen joukossa)   , , on käänteisfunktio , .

Esimerkkejä

 Positiivisten reaalilukujen joukossa potenssifunktion  käänteis­funktio on juurifunktio . Jos eksponentti n on pariton, funktiolla on käänteis­funktio koko reaali­luku­alueella. Vastaavasti juurifunktion käänteis­funktio on potenssi­funktio.
 Eksponenttifunktion käänteis­funktio on logaritmifunktio .
 Trigonometrisilla funktioilla koko reaali­luku­alueella määriteltyinä ei ole käänteis­funktioita, sillä ne ovat jaksollisia ja saavat saman arvon äärettömän monella muuttujan arvolla. Niille on kuitenkin olemassa rajoitetut välit, joilla niillä on käänteis­funktiot, joita sanotaan arkus­funktioiksi.

Käänteisfunktion derivaatta
Jos  ja  ovat reaalimuuttujan derivoituvia funktioita, niin on voimassa kaava
.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 
 
 

Joukko-oppi