Ulkomitta

Ulkomitta on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja.

Määritelmä  
Olkoon  joukko. Kuvaus  on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:
 Tyhjälle joukolle pätee  
 Jos , niin  
 Jos  kaikilla , niin . 

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi.

Joukon mitallisuus 
Jos  on ulkomitta :ssä, niin joukkoa  kutsutaan -mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla  pätee .
Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää   missä X ilmaisee perusjoukon ja  joukossa annetun ulkomitan.

Ulkomitan ominaisuuksia 
Jos  ovat -mitallisia joukkoja, niin .

Jos  ovat -mitallisia joukkoja ja , niin .

Jos joukot , , ovat -mitallisia ja erillisiä, niin .

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

Carathéodoryn lause 
Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos  on ulkomitta, niin sen rajoittuma -mitallisiin joukkoihin eli funktio  on mitta X:ssä.

Erityisiä ulkomittoja 
 Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.

 Ulkomitta  on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella  on olemassa -mitallinen joukko  s.e.  ja . Jos vielä , niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko  on -mitallinen jos ja vain jos .

 Jos  on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa  sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta  seuraa ominaisuus  kaikilla . Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Funktion mitallisuus 
Jos  on ulkomitta joukossa X ja , niin funktio  on -mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat -mitallisia. Toisin sanoen joukot ,  ja  ovat -mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla . 

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on -mitallinen jos ja vain jos joukko  on -mitallinen kaikilla .

Katso myös 
 Borel-joukko
 Carathéodoryn konstruktio
 Hausdorffin mitta
 Lebesguen mitta

Lähteet 

Mittateoria