Egyptiläinen murtoluku

Egyptiläinen murtoluku on rationaaliluku, joka esitetään ykkösen tasaosien eli resiprookkimurtolukujen summana. Egyptiläiset murtoluvut ovat yli 4 000 vuotta vanhaa matematiikkaa Niilin alueelta. 

Vuonna 1858 skotlantilainen nuorukainen Henry Rhind osti Egyptistä torikauppiaalta thebalaisesta haudasta löydetyn papyruskäärön, joka tunnetaan nimellä Rhindin papyrus ja joka Rhindin kuoleman jälkeen ajautui British Museumiin Lontooseen. Käärössä esitellään egyptiläisten käyttämä murtolukujärjestelmä, joka on vertailun kannalta ja monissa käytännön tilanteissa yksinkertaisempi kuin nykymatematiikan käyttämä rationaalinen muoto. Muinaiset egyptiläiset tunsivat murtoluvuista vain ykkösen tasaosat, kuten luvut 1/2, 1/3 ja 1/4. He ilmaisivat kaikki murtoluvut tällaisten egyptiläisten murtojen summina, vieläpä niin, että yhteenlaskettavat olivat aina keskenään erilaisia. Esimerkiksi:

Apuna käytettiin erilaisia taulukoita.

Eräs tapa muuntaa tavallinen ykköstä pienempi (positiivinen) murto edellä mainitunlaiseksi summaksi on ahne algoritmi: Murrosta erotetaan ensimmäiseksi yhteenlaskettavaksi mahdollisimman suuri murto 1/m, jäännöksestä toinen mahdollisimman suuri murto 1/n ja niin edelleen niin kauan, ettei mitään jää. Menettely todella päättyy aina jossain vaiheessa, minkä todisti vuonna 1202 italialainen Fibonacci. Seuraavana esimerkki ahneen algoritmin tuottamasta esityksestä:

.

Kuten esityksestä ilmenee, ei ahne algoritmi ole aina kaikkein lyhin tapa esittää rationaaliluku resiprookkimuodossa.

Egyptiläisten murtolukuesitysten käyttö kokonaislukujen tekijöihinjaossa

Egyptiläiset murtolukuesitykset voivat nykyajan matematiikan harrastajan tai tutkijan mielestä tuntua lähinnä historialliselta kuriositeetilta.
Tässä esitetään kuitenkin eräs nykyajan tietoliikenteen tietoturvaan liittyvä sovellus. 

Monet julkisen avaimen infrastruktuurin (PKI) salakirjoitusmenetelmät nojautuvat siihen, että suurten kokonaislukujen kertominen keskenään on tietokoneilla erittäin helposti suoritettavissa, kun taas päinvastainen operaatio, suurten kokonaislukujen tekijöihinjako on erittäin vaikeaa. Tunnetuin esimerkki tällaisesta algoritmista on RSA.

RSA-menetelmän julkisen avaimen moduuliosa  on kahden suuren, esimerkiksi 100–200 -numeroisen alkuluvun tulo, . Jos alkuluvut  ja  tunnetaan, salakirjoitusjärjestelmän murtaminen on helposti suoritettavissa.

Oletetaan, että tunnetaan jollakin positiivisella kokonaisluvulla , missä luku  ei ole jaollinen 
luvuilla  tai , luvun  egyptiläinen murtolukuesitys.

Olkoon 
,
missä .

Tällöin

Toisin kirjoittaen

Siten  jakaa välttämättä jonkin luvun  ja  jakaa jonkin luvun .

Jos ko. egyptiläinen murtolukuesitys on satunnaisesti valittu, on hyvin todennäköistä, että .

Tällöin luvun n alkutekijät saadaan selville laskemalla luvun  suurimmat yhteiset tekijät kunkin luvuista  kanssa.

Egyptiläisten murtolukujen tekijöihinjakomenetelmän etuna muihin tekijöihinjakomenetelmiin nähden on se, että
 murtolukuesitysten laskemiseen ei tarvita luvun  tekijöihinjakoa
 menetelmä hyödyntää sitä, että peruslaskutoimitukset (samoin kuin modulaariaritmetiikan perusoperaatiot) ovat helposti suoritettavissa normaalipituisia RSA-avaimia huomattavastikin suuremmilla (esimerkiksi kymmeniätuhansia numeroita sisältävillä) kokonaisluvuilla.

Osoitamme vielä, että luvulla , missä  on kahden parittoman alkuluvun tulo, on aina olemassa egyptiläinen murtolukuesitys, joka 'erottelee' tekijät  ja . Todetaan nimittäin, että
,
missä

ja
.

Lähteet

Aiheesta muualla 

 Kevin Gong. Egyptian Fractions (PDF-tiedosto) Useita algoritmeja egyptiläisten murtolukujen määrittämiseksi, jotkut niistä ovat tehokkaita ja jotkut hankalampia
 Dr Ron Knott. Egyptian Fractions Yleistä tietoa egyptiläisistä murtoluvuista

Aritmetiikka
Matematiikan historia
Murtoluku