Virhefunktio

Virhefunktio on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista. Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös virhefunktion komplementti.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin määritelmä on

Virhefunktion ominaisuuksia 
Virhefunktio on pariton funktio

ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

.

Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

,

missä  on :s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

Virhefunktion käänteisfunktio voidaan esittää sarjakehitelmänä

,

missä

Virhefunktio ja normaalijakauma 

Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion  välillä on yhteys:

,
.

Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta
,
kun taas

Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.

Virhefunktion komplementti 

Virhefunktion komplementti määritellään

tai yhtäpitävästi integraalina

.

ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

.

Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

Aiheesta muualla 

Virhefunktio Mathworldissa 
Virhefunktion komplementti Mathworldissa 

Todennäköisyyslaskenta
Funktiot