Homomorfialause

Homomorfialause eli homomorfismien peruslause on hyvin yleinen algebrallisten systeemien rakennelause. Se takaa, että homomorfismin  kuva on isomorfinen :n ytimen sivuluokkien muodostaman rakenteen kanssa.

Homomorfialauseesta on olemassa oma versionsa mm. ryhmille, renkaille ja hiloille. Kuntien tapauksessa homomorfialause on triviaali, sillä jokainen kuntahomomorfismi on injektio ja indusoi siten isomorfismin.

Ryhmien homomorfialause 

Ryhmien tapauksessa homomorfialause kuuluu seuraavasti: Olkoot  ja  ryhmiä,  homomorfismi näiden välillä ja  :n ydin. Tällöin tekijäryhmä  on isomorfinen :n kuvan kanssa. Tämä isomorfismi on kuvaus , .

Lauseen todistuksessa tutkitaan ensin, että  on hyvinmääritelty ja osoitetaan se sitten isomorfismiksi toteamalla se homomorfismiksi, injektioksi ja surjektioksi. Osoitetaan nyt  hyvinmääritellyksi. Jos :n ja :n määräämät sivuluokat ovat samat, niin  eli , missä  on ytimen alkio. Nyt 
, 
eli  on hyvinmääritelty. Näytetään sitten, että  on isomorfismi.  on homomorfismi, sillä kun :n ja :n määräämät sivuluokat kuuluvat tekijäryhmään , niin . Homomorfismi ryhmien välillä on injektio silloin ja vain silloin, kun . Jos , niin  eli . Silloin  ryhmän ykkösalkio eli  on injektio.  on surjektiivinen, sillä kun  käy läpi koko :n niin  käy läpi koko :n kuvan. Siis  on isomorfismi.

Kirjallisuutta
 

Algebra