Kenttä (fysiikka)

Kenttä on fysikaalinen suure, jolla on arvo jokaisessa avaruuden pisteessä jokaisena ajan kohtana. Esimerkiksi sää­ennusteessa tuulen nopeutta jonakin päivänä jossakin maassa kuvataan vektorilla, joka saa arvonsa jokaisessa pisteessä. Jokainen vektori kuvaa ilman virtaussuuntaa kyseisessä pisteessä. Päivän kuluessa suunta, johon vektori missäkin kohdassa osoittaa, muuttuu tuulen suunnan muuttuessa.

Kentät voidaan ryhmitellä skalaari­kenttiin, vektori­kenttiin, spinori­kenttiin ja tensori­kenttiin riippuen siitä, onko kentän arvo kussakin pisteessä skalaari, vektori, spinori (esimerkiksi Diracin elektroni) tai yleisemmässä tapauksessa tensori. Esimerkiksi Newtonin fysiikan mukainen painovoimakenttä on vektorikenttä: sen arvon määrittäminen annetussa pisteessä tiettynä aikana edellyttää kolmea lukua, jotka tarkoittavat painovoiman kenttä­vektorin komponentteja tässä muodossa. Lisäksi sekä skalaari-, vektori- ja tensori­kentät voivat olla joko klassisia kenttiä tai kvantti­kenttiä riippuen siitä, onko kentän arvona luku vai kvantti­teoreettinen operaattori.

Kentän voidaan ajatella ulottuvan kaikkialle avaruuteen. Käytännössä jokaisen tunnetun kentän voimakkuus kuitenkin pienenee etäisyyden kasvaessa, kunnes sitä ei voida enää havaita. Esimerkiksi Newtonin painovoimalain mukaan painovoimakentän voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyteen sen aiheuttavasta kappaleesta. Tämän vuoksi Maan painovoimakenttä on kosmisessa skaalassa jo lähes niin pieni, ettei sitä voida havaita.

Vaikka kentät määritellään lukuina avaruudessa, kaikki fysiikassa käytetyt kentät ovat jotakin fysikaalisesti todellista. "Se varaa tietyn tilan. Se sisältää energiaa. Sen läsnäolo eliminoi todellisen tyhjyyden.". Kenttä saa aikaan "olotilan avaruudessa", niin että kun sinne asetetaan jokin hiukkanen, siihen kohdistuu voima.

Jos sähkövaraus liikkuu, sen vaikutukset toiseen varaukseen eivät ilmene välittömästi. Jos ensimmäiseen varaukseen kohdistuu vastusvoima, joka vähentää sen liikemäärää, tämä muutos vaikutaa toiseen varaukseen vasta, kun kentän muutos, joka etenee valonnopeudella (tyhjiössä), saavuttaa sen ja luovuttaa vastaavan liikemäärän sille. Missä tämä liikemäärä on, ennen kuin toinen varaus sen saa? Liikemäärän säilymislain mukaan sen on oltava jossakin. Fyysikot ovat havainneet "voimia analysoitaessa hyvin käyttökelpoiseksi" olettaa, että tänä väliaikana liikemäärä on kentällä.

Tämä kenttien käyttö­kelpoisuus saa fyysikot olettamaan, että sähkö­magneettisia kenttiä on todella olemassa, mikä on tehnyt kentän käsitteestä koko modernin fysiikan perustavan paradigman. Tosin John Wheeler ja Richard Feynman ovat kehittäneet fysikaalisia malleja myös Newtonin kaukovaikutus -käsitteen pohjalta, joka on peräisin ajalta, jolloin kenttiä ei vielä tunnettu, mutta he ovat itse jättäneet nämä teoriat taka-alalle, koska kentän käsite on yleisessä suhteellisuus­teoriassa ja kvantti­elektro­dynamiikassa edelleen käyttö­kelpoinen.

"Se seikka, että sähkömagneettisella kentällä voi olla liike­määrää ja energiaa, tekee siitä hyvin todellisen... Hiukkanen luo kentän ja kenttä vaikuttaa toiseen hiukkaseen, ja kentällä on sellaisia tuttuja ominaisuuksia kuin energia­sisältö ja liikemäärä, aivan samoin kuin hiukkasillakin."

Historia

Ensimmäinen fysiikassa käyttöön tullut kenttä oli painovoima- eli gravitaatio­kenttä. Isaac Newtonille hänen yleinen veto­voima­lakinsa ilmaisi yksinkertaisesti gravitaatiovoiman, joka vaikutti minkä tahansa kahden massallisen hiukkasen välillä. Myöhemmin 1700-luvulla otettiin käyttöön uusi käsite kaikkien näiden gravitaatio­voimien käsittelemiseksi. Tämä käsite, paino­voima­kenttä, osoitti avaruuden jokaisessa pisteessä kaikkien gravitaatio­voimien resultantin, joka vaikuttaa tähän pisteeseen sijoitettuun kappaleeseen. Tämä ei muuttanut fysiikkaa mitenkään: ei ole merkitystä sillä, lasketaanko ensin kaikki tiettyyn kappaleeseen kohdistuvat gravitaatio­voimat, jotka sitten lasketaan yhteen, vai lasketaanko muiden kappaleiden aiheuttamat gravitaatio­vaikutukset ensin kenttinä yhteen ja vasta sitten sen vaikutus kyseisessä pisteessä olevaan kappaleeseen.

Kentän kehitys itsenäisenä käsitteenä alkoi toden teolla 1800-luvulla sähkömagnetismin teorian kehittyessä. Alkuvaiheessa André-Marie Ampère ja Charles Augustin de Coulomb tulivat toimeen Newtonin tyylisillä laeilla, jotka osoittivat sähkövarausten ja sähkö­virtojen väliset voimat. Pian tuli kuitenkin luonnolli­semmaksi omaksua kenttiin perustuvaa lähestymis­tapa ja muotoilla nämä lait sähkö- ja magneetti­kenttien avulla: vuonna 1849 Michael Faraday otti ensimmäisenä käyttöön termin "kenttä" ().

Kentän itsenäinen luonne tuli ilmeisemmäksi, kun James Clerk Maxwell osoitti, että sähkö­magneettinen kenttä voi muodostaa aaltoja, jotka etenevät äärellisellä nopeudella. Näin ollen varauksiin ja virtoihin vaikuttavat voimat eivät riipu ainoastaan toisten varausten ja virtojen sijainnista ja nopeudesta samalla hetkellä vaan myös niiden aikaisemmista sijainneista ja nopeuksista.

Aluksi Maxwell ei kuitenkaan omaksunut nyky­aikaista käsitystä kentästä perustavana oliona, joka voi olla itsenäisesti olemassa. Sen sijaan hän esitti, että sähkömagneettinen kenttä on ilmaus jonkin kannattavan väli­aineen, valoeetterin muodon­muutoksesta, joka on verrattavissa kumikalvon muodonmuutoksiin siihen kohdistuvan jännityksen vaikutuksesta. Suora seuraus tästä hypoteesista oli, että sähkömagneettisten aaltojen havaitun nopeuden pitäisi riippua havaitsijan nopeudesta eetterin suhteen. Monista yrityksistä huolimatta tätä ei voitu osoittaa kokeellisesti, minkä lopulta selitti Albert Einsteinin erityinen suhteellisuusteoria vuonna 1905. Tämä teoria muutti käsitystä siitä, miten liikkuvien havaitsijoiden näkökulmat suhtautuvat toisiinsa, sillä tavoin että Maxwellin teorian mukaisten sähkö­magneettisten aaltojen nopeus on sama kaikille havaitsijoille. Kun taustalla olevaa väli­ainetta ei enää tarvinnut olettaa, tämä kehitys teki fyysikoille mahdolliseksi käsitellä kentät todella itsenäisiksi olioiksi.

1920-luvun lopulla kehitettyjä kvantti­mekaniikan lakeja sovellettiin ensimmäiseksi sähkömagneettisiin kenttiin. Vuonna 1927 Paul Dirac selitti kvanttikenttien avulla menestyksellisesti, miten atomin siirtyminen alempaan kvanttitilaan saa aikaan, että se emittoi spontaanisti sähkö­magneettisen kentän kvantin eli fotonin. Pascual Jordanin, Eugene Wignerin, Werner Heisenbergin ja Wolfgang Paulin töiden ansiosta tämä johti pian oivallukseen, että kaikki hiukkaset, myös elektronit ja protonit, voidaan käsittää jonkin kvanttikentän kvanteiksi, mikä nosti kentät fysiikan perustavien olioiden asemaan.

Klassiset kentät
Klassiset kenttäteoriat ovat edelleen käyttökelpoisia tilanteissa, joissa kvantti-ilmiöt ovat merkityksettömiä, ja niitä tutkitaan edelleen. Materiaalien elastisuus, hydro- ja aerodynamiikka sekä Maxwellin yhtälöt ovat tästä esimerkkejä.

Eräitä yksinkertaisimpia kenttiä ovat voimia kuvaavat vektori­kentät. Histo­rialli­sesti kentät tulivat ensimmäisen kerran vakavasti käyttöön, kun Faraday kuvasi sähkö­kenttiä voima- eli kenttäviivojen avulla. Myöhemmin myös gravitaatiokenttää kuvattiin samaan tapaan.

Gravitaatiokenttä

Painovoimaa kuvaava klassinen kenttäteoria on Newtonin gravitaatioteoria, joka kuvaa gravitaatiota kahden massan välisenä vuorovaikutuksena.

Jokainen massallinen kappale M muodostaa ympärilleen gravitaatiokentän g, joka kuvaa sen vaikutusta muihin massallisiin kappaleisiin. Kappaleen M aikaansaama gravitaatiokenttä M avaruuden pisteessä r saadaan määrittämällä voima F, jolla kappale M vaikuttaa pisteeseen r sijoitettuun pieneen testimassaan m, ja jakamalla tämä voima m:llä:

Oletus, että m on paljon pienempi kuin M, merkitsee, että massan m vaikutus kappaleen M käyttäytymiseen on merkityksettömän pieni.

Newtonin gravitaatiolain mukaan voima F määräytyy sijainnin r funktiona seuraavasti:

missäe  on massan m sijaintipaikasta kohti massan M sijaintipaikkaa suuntautuva yksikkövektori. Sen vuoksi M:n aiheuttama gravitaatiokenttä on

Kokeellisesti on osoitettu, että jokaisen kappaleen hidas massa ja painava massa ovat äärimmäisen suurella tarkkuudella yhtä suuret. Tämän vuoksi gravitaatio­kentän voimakkuus voidaan samaistaa sen kiihtyvyyden kanssa, jonka gravitaatio­kenttä tietyssä pisteessä aiheuttaa mille tahansa kappaleelle. Tähän perustuu ekvivalenssiperiaate, joka johti yleiseen suhteellisuus­teoriaan.

Koska gravitaatiovoima F on konservatiivinen gravitaatio­kenttä g, voidaan vaihtoehtoisesti muotoilla myös gravitaatiopotentiaalin Φ(r) gradientin avulla:

Sähkömagnetismi 

Michael Faraday havaitsi ensimmäisenä kentät fysikaalisesti tärkeiksi käsitteiksi tutkiessaan magnetismia. Hän havaitsi, että sähkö- ja magneetti­­kentät eivät ole ainoastaan voima­kenttiä, jotka ohjaavat hiukkasten liikettä, vaan ne ovat itsenäisiä fysikaalisia entiteettejä, joihin sisältyy energiaa.

Näiden ajatusten pohjalta James Clerk Maxwell loi myöhemmin fysiikan ensimmäisen yhdistetyn kenttäteorian muodostamalla sähkö­magneettista kenttää kuvaavat yhtälöt, jotka nykyään tunnetaan Maxwellin yhtälöinä.

Sähköstatiikka 

Hiukkaseen, jolla on sähkövaraus q, kohdistuu voima F, joka riippuu ainoastaan hiukkasen varauksesta. Samaan tapaan kuin edellä gravitaatio­kentän tapauksessa, voidaan sähkökenttä E määritellä siten, että . Tämä yhdessä Coulombin lain kanssa osoittaa, että yhden varatun hiukkasen ympärilleen muodostama kenttä on

Myös sähkökenttä on konservatiivinen, ja näin ollen se voidaan esittää myös skalaarisen potentiaalin V(r) avulla:

Sähkökentän kahden pisteen potentiaalien erotusta sanotaan näiden pisteiden väliseksi jännitteeksi.

Magnetostatiikka 

Muuttumaton sähkövirta I, joka kulkee reittiä ℓ pitkin, kohdistaa lähellä oleviin varattuihin hiukkasiin voimia, jotka suuruudeltaan poikkeavat edellä kuvatuista sähkökentän aiheuttamista voimista. Voima, jonka virta I kohdistaa lähellä olevaan varaukseen q, joka liikkuu nopeudella v,

missä B(r) on magneettikenttään liittyvä magneettivuon tiheys, joka Biot'n ja Savartin lain mukaan on

Magneettikenttä ei yleensä ole konservatiivinen, eikä sitä näin ollen tavallisesti voida kirjoittaa skalaaripotentiaalin avulla. Kuitenkin se voidaan kirjoittaa magneettisen vektoripotentiaalin A(r) avulla seuraavasti:

Elektrodynamiikka 

Yleisesti siellä, missä esiintyy sekä varaustiheyttä ρ(r, t) että virrantiheyttä ja J(r, t), on sekä sähkö- että magneettikenttä, ja molemmat muuttuvat ajan kuluessa. Niitä kuvaavat Maxwellin yhtälöt, ryhmä differentiaaliyhtälöitä, jotka osoittavat, miten kentät E ja B riippuvat varaus- ja virrantiheyksistä ρ ja J.

1800-luvun lopulla sähkömagneettisen kentän katsottiin muodostuvan kahdesta vektorikentästä avaruudessa. Nykyisin niitä pidetään yhtenä antisymmetrisenä toisen kertaluvun tensorikenttänä aika-avaruudessa (katso myös sähkömagnetismi suhteellisuusteoriassa).

Gravitaatio yleisessä suhteellisuusteoriassa

Einsteinin gravitaatioteoria eli yleinen suhteellisuusteoria on toinen esimerkki kenttäteoriasta. Siinä tärkein kenttä on metrinen tensori, joka on symmetrinen toisen kertaluvun tensorikenttä aika-avaruudessa. Tämä korvaa Newtonin yleisen gravitaatiolain.

Aallot kenttinä

Aaltoja voidaan käsitellä fysikaalisina kenttinä, koska niillä on yleensä äärellinen etenemisnopeus ja kausaalinen luonne. Niitä koskee myös käänteisen neliön laki.

Kvanttikentät

Nykyisin uskotaan, että kvanttimekaniikka on kaikkien fysikaalisten ilmiöiden taustalla siten, että klassisen kenttäteorian pitäisi ainakin periaatteessa olla ilmaistavissa myös kvanttimekaniikan termein: tämä johtaa kutakin kenttää koskevaan kvanttikenttäteoriaan. Esimerkiksi klassisen elektrodynamiikan kvan­titta­minen johtaa kvanttielektrodynamiikkaan. Kvanttielektrodynamiikkaa voidaan hyvin perustein pitää kaikkein menestyksellisimpänä tieteellisenä teoriana: havainnot osoittavat sen ennusteet oikeiksi suuremmalla (useamman merkitsevän numeron) tarkkuudella kuin minkään muun teorian. Kaksi muuta perustavaa kvanttikenttäteoriaa ovat kvanttikromodynamiikka ja sähköheikon vuorovaikutuksen teoria.

Kvanttikromodymaniikassa värikentän kenttäviivoja kytkevät lyhyellä etäisyydellä toisiinsa gluonit, jotka kenttä polaroi. Tämä ilmiö voimistuu lyhyillä etäisyydellä, noin yhden femtometrin päässä kvarkista, mikä saa värivoiman lyhyellä etäisyydellä voimistumaan ja saa aikaan kvarkkien vankeuden hadronien sisällä. Koska gluonit vetävät kenttäviivat tiukasti yhteen, ne eivät kaarru ulospäin niin paljon kuin sähkövarausten välinen sähkökenttä.

Kaikki kolme kvanttikenttäteoriaa voidaan johtaa erikoistapauksena hiukkas­fysiikan niin sanotusta standardimallista. Gravitaation kenttä­teoriaa eli Einsteinin yleistä suhteellisuus­teoriaa ei vielä ole onnistuneesti kvantitettu. Kuitenkin sille on olemassa laajennus, lämpökenttäteoria, joka sopii yhteen kvanttikenttäteorian kanssa äärellisissä lämpötiloissa, mitä kvanttikenttäteoriassa harvoin on otettu huomioon.

Kuten klassisia kenttäteorioita, voidaan kvantti­kenttä­teorioitakin samaan tapaan käsitellä puhtaasti matemaattisesti. Riippuen siitä, mitä kenttäyhtälöitä käytetään, voidaan puhua Yangin-Millsin, Diracin, Kleinin-Gordonin ja Schrödingerin kentistä. Vaikeuksia aiheuttaa, että yhtälöissä saattaa esiintyä monimutkaisia matemaattisia objekteja, joilla on erikoisia algebrallisia ominaisuuksia: esimerkiksi spinorit eivät ole tensoreita, joten niitä on käsiteltävä spinorikenttinä, mutta periaatteessa niitä voidaan sopivilla matemaattisilla yleistyksillä käsitellä analyyttisin menetelmin.

Kenttäteoria

Kenttäteoriat ovat fysikaalisia teorioita, jotka kuvaavat, miten yksi tai useampi fysikaalinen kenttä vuorovaikuttaa aineen kanssa.

Yleensä kenttä­teorioissa käytetään kentälle dynaamista mallia, joka osoittaa, miten kenttä muuttuu ajan kuluessa tai miten se riippuu muista fysikaalisista muuttujista. Tämä tehdään tavallisesti Lagrangen tai Hamiltonin funktion avulla ja soveltamalla klassista tai kvanttimekaniikkaa systeemin, jolla on äärettömän monta vapausastetta. Tuloksena saatavia kenttä­teorioita sanotaan klassisiksi tai kvantti­kenttä­teorioiksi.

Klassisen kentän dynamiikan määrittää tavallisesti kentän komponenttien Lagrangen tiheys, jolloin dynamiikka saadaan soveltamalla vaikutus­periaatetta.

Yksinkertaisia kenttiä voidaan konstruoida tarvitsematta tuntea fysiikkaa ennalta, käyttämällä ainoastaan useamman muuttujan analyysia, potentiaali­teoriaa ja osittaisdifferentiaaliyhtälöistä. Skalaari­kentissä esiintyviä suureita voivat olla esimerkiksi aalto­funktion amplitudi-, tiheys- ja painekentät virtaus­dynamiikassa taikka lämpötila- ja konsentraatio­kentät lämpö­opissa. Varsinaisen fysiikan ulko­puolella, kuten radiometriassa ja tieto­kone­grafiikassa, esiintyy myös valo­kenttiä.

Kaikki edellä mainitut ovat skalaari­kenttiä. Vastaavalla tavalla vektori­kenttiä voivat olla siirtymä-, nopeus- ja pyörteisyyskentät sovelletussa matemaattisessa virtaus­dynamiikassa, mutta lisäksi voidaan tarvita vektorianalyysia. Yleisemmässä tapauksessa jatkuvan aineen mekaniikassa voidaan soveltaa esimerkiksi elastisuustensorikenttiä (joista on peräisin termi tensori, joka johtuu latinan vääntymistä tarkoittavasta sanasta), kompleksisiin virtauksiin tai aniso­trooppiseen diffuusioon, mikä yleensä edellyttää matriisi­laskennan soveltamista.

Modernissa fysiikassa useimmiten tutkitut kentät ovat ne, joilla mallinnetaan neljää perusvuorovaikutusta, mikä saattaa aikanaan johtaa yhtenäiseen kenttäteoriaan.

Kvanttikenttäteoriassa jokaista hiukkaslajia vastaa avaruuteen jakautunut kenttä. Mitä suurempi kentän amplitudi (arvo) on, sitä todennäköisempää on kyseisen hiukkasen muodostuminen tai tuhoutuminen. Kullekin hiukkasreaktiolle voidaan laskea todennäköisyys Feynmanin sääntöjen mukaan.

Jos kvanttikenttäteoriaan lisätään jokin mittasymmetria, voidaan ennustaa, millaisia vuorovaikutuksia systeemillä on. Sähkömagneettinen, heikko ja vahva vuorovaikutus osataan johtaa tällaisista kenttäteorioista.

Kenttien symmetria
Sekä klassisia että kvanttikenttiä voidaan luokitella symmetriaominaisuuksiensa mukaan. Symmetria voi merkitä ajallista ja avaruudellista symmetriaa taikka sisäistä symmetriaa.

Avaruudelliset ja ajalliset symmetriat

Kenttiä luokitellaan usein sen mukaan, miten ne käyttäytyvät aika-avaruuden muunnoksissa. Eri luokkia ovat:
 skalaarikentät (esimerkiksi lämpötila), joiden arvon ilmaisee yksi luku avaruuden kussakin pisteessä. Tämä arvo ei muutu avaruuden muunnoksissa.
 vektorikentät (esimerkiksi voiman suuruus ja suunta magneettikentän kussakin pisteessä), joiden arvon ilmaisee vektori avaruuden kussakin pisteessä. Vektorin komponentit muuntuvat tavanomaiseen tapaan avaruuden rotaatioissa.
 tensorikentät (esimerkiksi kiteen jännitys), joiden arvon ilmaisee tensori avaruuden kussakin pisteessä. Tensorin komponentit muuntuvat tavanomaiseen tapaan avaruuden rotaatioissa.
 spinorikenttiä käytetään kvanttikenttäteoriassa.

Sisäiset symmetriat

Aika-avaruudellisten symmetrioiden lisäksi kentilä voi olla sisäisiä symmetrioita. Esimerkiksi monissa tilanteissa tarvitaan kenttiä, jotka ovat ajassa ja avaruudessa vaihtelevien skalaari­suureiden luetteloja: (φ1,φ2...φN). Esimerkiksi sään­ennustuksessa tällaisia voivat olla lämpötila, ilmanpaine, kosteus jne. Hiukkas­fysiikassa kvarkkien välisen vuorovaikutuksen symmetrisyys väri­varauksen suhteen on esimerkki vahvan vuoro­vaikutuksen sisäisestä symmetriasta. Vastaavia sisäisiä sym­metrioita on isospinillä ja kvarkkien mauilla.

Jos johonkin probleemiin liittyy sym­metria, jonka mukaisesti nämä komponentit voidaan muuntaa toisikseen ja joka ei koske aikaa ja avaruutta, tällaista symmetrioiden joukkoa sanotaan sisäiseksi sym­metriaksi. Myös kenttien varaukset voidaan luokitella sisäisten symmetrioiden mukaan.

Statistinen kenttäteoria

Statistisessa kenttäteoriassa yritetään laajentaa kenttä­teoreettista paradigmaa monen kappaleen systeemeihin ja statistiseen mekaniikkaan. Kuten edellä, voidaan käyttää tavan­omaista äärettömän moneen vapausasteeseen perustuvaa lähestymis­tapaa.

Samoin kuin statistinen mekaniikka on osittain päällekkäin klassisen ja kvantti­mekaniikan kanssa, myös statistisella kenttäteorialla on yhtymäkohtia sekä kvantti- että klassiseen kenttä­teoriaan, joista varsinkin edellisen kanssa sillä on monia yhteisiä metodeja. Muuan huomattava esimerkki tästä on keskikenttäteoria

Jatkuvat satunnaiskentät
Edellä kuvatun kaltaiset klassiset kentät kuten sähkömagneettinen kenttä ovat tavallisesti äärettömän monta kertaa derivoituvia funktioita ja lähes kaikissa tapauksissa ainakin kaksi kertaa derivoituvia. Sitä vastoin yleistetyt funktiot eivät ole jatkuvia. Kun klassisia kenttiä tutkitaan tarpeeksi tarkasti äärellisessä lämpötilassa, käytetään jatkuvien satunnaiskenttien matemaattisia metrodeja, koska termiset fluktuaatiot eivät ole missään derivoituvia. Satunnaiskentät ovat satunnaismuuttujien indeksoituja joukkoja; jatkuva satunnaiskenttä on satunnaiskenttä, jonka indeksijoukon muodostavat funktiot. 

Jatkuva satunnaiskenttä voidaan hyvin karkeasti käsittää tavalliseksi funktioksi, jonka arvo on  melkein kaikkialla, mutta siten, että jokaisessa äärellisessä alueessa sille voidaan määrittää painotettu keskiarvo, joka on äärellinen. Äärettömyydet eivät ole hyvin määriteltyjä, mutta äärelliset arvot voidaan yhdistää funktioihin, joita käytetään paino­kertoimina äärellisten arvojen saamiseksi, ja ne voivat olla hyvin määriteltyjä. Jatkuva satunnais­kenttä voidaan käytännössä määritellä myös lineaarikuvauksena funktio­avaruudesta reaalilukujen joukkoon.

Lähteet

Kirjallisuutta

Teoreettinen fysiikka
Fysiikan käsitteet