Jakoyhtälö

Jakoyhtälö on yhtälö, joka osoittaa, miten kokonaisluku a voidaan esittää toisen kokonaisluvun b avulla yhdellä ja vain yhdellä tavalla muodossa a = q · b + r, missä q ja r ovat kokonaislukuja ja .  Lukua a sanotaan jaettavaksi, lukua b jakajaksi, q sanotaan (kokonaiseksi) osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi. 

Jakoyhtälö on oleellisesti sama asia kuin jakolasku käytettäessä ainoastaan kokonaislukuja. Koska murto- tai desimaaliluvut eivät ole käytössä, jako ei aina mene tasan, vaan tuloksena saadaan osamäärän ohella myös jakojäännös, joka tosin saattaa olla myös nolla.  Siinä tapauksessa sanotaan, että x on jaollinen y:llä.

Jakoyhtälöä käytetään sellaisilla matematiikan aloilla, joissa käytetään vain kokonaislukuja. Siihen perustuu esimerkiksi Eukleideen algoritmi, jonka avulla voidaan löytää kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä. Lisäksi sen avulla määritellään erityinen kongruenssirelaatio. Kongruenssiyhtälöissä lasketaan jakojäännöksillä.

Vastaavalla tavalla kuin kokonaislukujen joukossa voidaan jakoyhtälö määritellä myös polynomeille sekä yleensäkin jokaisessa algebrallisessa renkaassa, joka ei ole kunta.

Olemassaolo ja yksikäsitteisyys 

Lause:
Olkoot  ja  kokonaislukuja ja . Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut  ja , että
.

Todistus

Olemassaolo 

Olkoon b > 0 ja joukko A = {a - nb, }. Hyvän järjestyksen periaatteen nojalla joukossa A on pienin positiivinen alkio . Nyt , koska muuten  olisi vielä pienempi kokonaisluku. Näin siis 

Jos b < 0, käytetään edellistä sijoittamalla b:n tilalle -b, jolloin
.

Yksikäsitteisyys 

Olkoon  ja .
Tällöin qb + r = q'b + r' eli (q' - q)b = r - r'.
Tehdään vastaoletus: .
Nyt , koska q' ja q ovat kokonaislukuja.
Edelleen .

Toisaalta

.

Näin olisi , mikä on ristiriita.
Vastaoletus  on väärä, joten .
Tällöin 0*b = r - r' eli r - r' = 0 eli r = r', mikä oli todistettava.

Lähteet 

Lukuteoria

nl:Quotiënt