Biot’n ja Savartin laki

Biot'n ja Savartin laki on sähkömagnetismia kuvaava laki, jolla on myös sovelluksia aerodynamiikassa. Alun perin laki kuvaa vakiosähkövirran synnyttämää magneettikenttää. Yksinkertaisen analogian avulla laki voidaan ulottaa myös laskemaan pyörteiden synnyttämiä ilman nopeuksia.

Biot'n ja Savartin laki seuraa Ampèren laista. Se on nimetty ranskalaisten fyysikoiden Jean Baptiste Biot'n (1774–1862) ja Felix Savartin (1791–1841) mukaan. Kaava kertoo, että jos määrittelemme differentiaalisen virta-alkion , niin sitä vastaava differentiaalinen magneettivuon tiheys on 

 

missä

 on tyhjiön permeabiliteetti
 on virta ampeereina
 on virta-alkion differentiaalinen pituusvektori
 on tarkasteltavan magneettikentän pisteen paikkavektori
 on yksikkövektori virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen
 on etäisyys virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen (vektorin  pituus).

Integroimalla tätä suljetun virtasilmukan yli saadaan silmukan synnyttämä magneettikenttä määritettyä mielivaltaisessa pisteessä 

.

Ei-origokeskinen muoto 

Yllä esitetty muoto differentiaaliselle magneettivuon tiheydelle pätee vain tapauksessa, jossa tarkastelija (eli origo) sijaitsee tarkasteltavassa magneettikentän pisteessä. Jos tarkastelija on systeemin ulkopuolinen, täytyy yhtälöön tehdä pieniä muutoksia.

Tarkastellaan virtajohdinta, jossa kulkee sähkövirta . Kiinnitetään johtimen mielivaltaiseen pisteeseen  virta-alkion differentiaalinen pituusvektori . Merkitään vektoria  (pisteen  paikkavektori) :llä ja vektoria  (pisteen  paikkavektori) :lla. Vektorien laskusääntöjen nojalla vektori  on tällöin . Biot'n ja Savartin lain yleinen muoto saadaan korvaamalla edellä esitetyssä muodossa vektori  vektorilla . Tällöin magneettivuon tiheys pisteessä  origosta katsottuna on:

. 

Merkintä  tarkoittaa vektorin  normia eli pituutta. Integraalimuoto saadaan vastaavasti:

. 

Ei-origokeskisen muodon etu on se, että sen avulla magneettivuon tiheys on hyvin määritelty myös, jos  on johtimen piste (jolloin alkuperäisessä yhtälössä ). Tällöin tosin magneettivuon tiheys on nolla, sillä .

Esimerkkejä

Pitkän, suoran virtajohtimen magneettikenttä 
Lasketaan (äärettömän) pitkän, ohuen, -akselilla kulkevan virtajohtimen magneettivuon tiheys johtimen ulkopuolella etäisyydellä . Johtimessa kulkee sähkövirta .

Ratkaisu:

Käytetään hyödyksi edellisen kappaleen kuvaa ja merkintöjä. Origo sijaitsee nyt johtimessa, sillä se on -akselin nollapiste. Koska ollaan kiinnostuneita vain etäisyyden vaikutuksesta magneettivuon tiheyteen, on helpointa valita piste  siten, että siitä kohtisuorasti johtimeen vedetty jana osuu origoon. Piste  sijaitsee myös -akselilla.

Virtajohdin kulkee -akselilla, joten virta-alkio on

,

missä  on -akselin kantavektori. Jos virta käännetään vastakkaissuuntaiseksi, korvataan kantavektori :lla. Muut vektorit ja niiden pituudet ovat:

Merkitään ristituloa varten vektoreiden  ja  välistä kulmaa :lla. Trigonometrian avulla huomataan, että

.

Lasketaan magneettivuon tiheys (suuruus) pisteessä  käyttäen Biot'n ja Savartin lain ei-origokeskistä muotoa. Koska johdin on äärettömän pitkä, ovat integrointirajat .

Lähteet

Kirjallisuutta  
 

Fysiikan lait
Sähkömagnetismi
Virtausdynamiikka