Modulimuoto

Modulimuodot ovat funktioryhmiä, jotka on määritelty kompleksitason ylemmässä puoliskossa. Ne keksittiin vasta 1800-luvulla ja ovat oma abstrakti matematiikan alueensa. Modulimuodot ovat monin tavoin symmetrisiä; symmetria tulee esiin tyypillisellä muunnoksella .

Esimerkki 
Dedekindin eetafunktio määritellään 

Silloin modulaarinen diskriminantti Δ(z) = η(z)24 on modulimuoto.

Automorfiset muodot ja muita yleistyksiä 
Modulimuodot voidaan yleistää sallimalla funktio  niin että  ja

Funktiot muotoa  tunnetaan automorfisina kertoimina.

Toinen yleistys on Hilbert-modulimuodot.

Formaali määritelmä
Kirjassa on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon  positiivinen kokonaisluku. Tällöin algebrallinen käyrä  on tasoa  oleva modulikäyrä. Säännöllinen differentiaalimuoto modulikäyrällä  on tasoa  oleva -kertoiminen modulimuoto.

Kirjassa on annettu modulimuodon formaali määritelmä seuraavasti: Olkoon  kokonaisluku. Meromorfinen funktio  on heikosti modulaarinen painolla  jos  kun  ja .

Funktio  on modulimuoto painolla , jos  on holomorfinen sekä :ssa että :ssä ja  on heikosti modulaarinen painolla

Lähteet

Analyyttinen lukuteoria