Kokonainen funktio

Funktioteoriassa kokonainen funktio on holomorfinen funktio koko kompleksitasossa. Tyypillisiä esimerkkejä kokonaisesta funktioista ovat polynomit, eksponenttifunktio sekä kokonaisten funktioiden summat, tulot ja yhdisteet. Jokainen kokonainen funktio voidaan esittää kaikkialla suppenevan potenssisarjan avulla.

Huomaa, että kokonaisella funktiolla voi olla singulariteetti tai jopa oleellinen singulariteetti laajennetun kompleksitason äärettömyyspisteessä. Jälkimmäisessä tapauksessa funktiota kutsutaan transsendenttiseksi kokonaiseksi funktioksi. Liouvillen lauseesta seuraa, että funktio, joka on kokonainen koko Riemannin pallolla, on vakio.

Liouvillen lause antaa tärkeän kokonaisia funktioita koskevan tuloksen: Rajoitettu kokonainen funktio on vakio. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää algebran peruslauseen todistukseen. Picardin lause on merkittävä yleistys Liouvillen lauseesta: ei-vakio kokonainen funktio saa jokaisen kompleksiarvon korkeintaan yhtä lukuun ottamatta. Jälkimmäisestä poikkeuksesta on esimerkkinä eksponenttifunktio, joka ei saa arvokseen nollaa missään pisteessä.

Kompleksianalyysi