Konveksi funktio

Reaaliarvoinen funktio voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin tai ei kumpikaan. Tyyppiesimerkki konveksista funktiosta on toisen asteen polynomi .

Määritelmä 

Olkoon  reaalilukujen osajoukko ja  funktio.

Funkio  on konveksi, jos
 ,
kaikille  ja .

Epäyhtälön oikea puoli on pisteiden  ja  kautta kulkevan suoran arvo :n ja :n välisessä pisteessä ja vasen puoli on funktion arvo samassa pisteessä. 
Geometrisesti määritelmä siis tarkoittaa, että minkä tahansa funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretyn janan kaikki pisteet ovat funktion yläpuolella tai että jana sivuaa kuvaajaa.

Ominaisuuksia
Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:
Kahden konveksin funktion summa on konveksi.
Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä derivoituva.
Lineaariset funktiot ovat konvekseja sekä konkaaveja.
Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä  jos ja vain jos  välillä .

Konkaavi funktio 
Funktio  on konkaavi, jos

 . 

Toisin sanoen funktio  on konkaavi, jos funktio  on konveksi.

Lähteet 

Analyysi