Polkuyhtenäisyys

Polkuyhtenäisyys on matemaattinen termi. Se on topologinen käsite vastaavasti kuin yhtenäisyyskin on. Polkuyhtenäinen avaruus
 on sellainen topologinen avaruus, jossa avaruuden mitä tahansa pistepareja voidaan yhdistää polulla kyseisessä avaruudessa . Topologiassa polku on jatkuva kuvaus suljetulta väliltä  avaruuteen .

Polkuyhtenäisyyden määritelmä
Polku  yhdistää  pisteet  ja , joita sanotaan maaliavaruudessa polun  päätepisteiksi.
Topologinen avaruus  on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari  voidaan yhdistää polulla avaruudessa .

Lauseita

Polkuyhtenäisyys vs. yhtenäisyys
Polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. Yhtenäistä avaruutta ei voida jakaa kahteen erilliseen, epätyhjään, avoimeen osajoukkoon. Polkuyhtenäisyys on vahvempi avaruuden ominaisuus kuin yhtenäisyys. Polkuyhtenäisyydestä välttämättä seuraa heti yhtenäisyys.

Yhtenäinen avaruus ei aina ole polkuyhtenäinen. On avaruuksia, jotka ovat kyllä yhtenäisiä, mutta eivät ole kuitenkaan polkuyhtenäisiä. Sellainen on esimerkiksi topologin sinikäyrä, jonka muodostavat origo sekä funktion  kuvaajan y-akselin oikealla puolella oleva osa.

Jatkuva kuvaus
Polkuyhtenäisyys on topologinen ominaisuus, joka säilyy jatkuvissa kuvauksissa. Jotkut avaruuksien ominaisuuksista eivät muutu lainkaan jatkuvassa kuvauksessa.

Polkuyhtenäinen ympäristö
Polkuyhtenäisessä avaruudessa  on sellainen ominaisuus, että sen jokaisella pisteellä on polkuyhtenäinen ympäristö .

Väli  on polkuyhtenäinen. Silloin jokaisella kyseisen välin pisteellä  on olemassa polkuyhtenäinen ympäristö . Ympäristö on topologiassa määritelty avoimeksi joukoksi.

Lisäesimerkkejä
Polkuyhtenäinen avaruus "Kampa" koostuu seuraavista osajoukoista: y-akselilta väli , x-akselilta väli  sekä x-akselin suuntaiset janat , kun n on luonnollinen luku ja 

Reaalilukujen joukko  on polkuyhtenäinen.

Suljettu väli  on polkuyhtenäinen.

Yksiö  on polkuyhtenäinen. 

Yhdiste  ei ole polkuyhtenäinen, eikä yhtenäinen. 

Avaruus  on yhtenäinen, mutta ei ole polkuyhtenäinen.

Muutetaan vähän äskeisen esimerkin avaruutta :

Avaruus  on yhtenäinen ja erityisesti se on polkuyhtenäinen.

Katso myös
 Yhtenäisyys

Lähteet
 Martio, Olli: Vektorianalyysi. Helsinki: Limes ry, 2004.
 Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes ry, 2004.
 Väisälä, Jussi: Topologia II. Helsinki: Limes ry, 2005.

Kirjallisuutta
 
 
Topologia