Gudermannin funktio

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan -akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (1798–1852) mukaan .

Gudermannin funktio, , määritellään

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

Ominaisuuksia 
Gudermannin funktio on pariton, sillä

Sillä on myös kaksi asymptoottia

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

ja lisäksi

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

Lähteet

Aiheesta muualla 
Gudermannin funktio Mathworldissa 

Trigonometria
Erikoisfunktiot