Menelaoksen lause

Menelaoksen lause on tasogeometrian tulos joka koskee kolmiota ja suoraa. Olkoon ABC kolmio ja Z, Y, X janoilla AB, BC ja AC tai niiden jatkeilla, mutta X,Y,Z eivät kuitenkaan ole janojen päätepisteitä. Tällöin Z, Y ja X ovat samalla suoralla l jos ja vain jos
. Toisin sanoen X, Y ja Z ovat samalla suoralla jos ja vain jos toisiinsa koskemattomien sivujen tulo on yhtä suuri kuin toisten toisiinsa koskemattomien sivujen tulo.

Tod. Olkoon A:n, B:n ja C:n projektiot l:llä A1, A2, A3 ja janat AA1=h1,BA2=h2,CA2=h3. Tällöin yhdenmuotoisista kolmioista saadaan AZ/BZ=h1/h2, BY/CY=h2/h3, CX/AX=h3/h1. Kertomalla nämä keskenään saadaan  Toiseen suuntaa väite on selvä. Kiinnitetään pisteet Z ja Y. Tällöin edellä todistetun nojalla pitää olla CX/AX=BZ/AZ*BY/CY, joka on voimassa kun AZ/BZ*BY/CY*CX/AX=1. Mutta annetulla janalla on olemassa täsmälleen yksi piste joka jakaa janan annettuun suhteeseen.

Lähteet

Geometria