Konservatiivinen kenttä

Konservatiivinen kenttä  on vektorikenttä F, jolle pätee

missä:
 on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta.  Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa  jollekin skalaarikentälle . Mikäli F(x) on voimakenttä, on  potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun  läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että  voidaan parametrisoida  parametrille . Täten

{|

|-
!align=right|
!align=center|
!align=left|
|-
|
!align=center|
!align=left|
|-
|
!align=center|
!align=left|
|-
|
!align=center|
!align=left|
|-

|}

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

Yleisesti jos , silloin .

Vastaavasti jos , silloin  jollekin . Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin  .

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle , täten jos F on eksakti, eli , voidaan kirjoittaa . Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos  on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori

Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee . Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan  (kts. yllä):

koska  ja .

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska , on  minkä tahansa polun  ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti . Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska .)

Lähteet 

Vektorianalyysi