Likiarvopolynomi

Likiarvopolynomi on polynomi, jolla voidaan approksimoida jotain polynomia. Likiarvopolynomia käytetään matematiikan numeerisissa menetelmissä.

Jos tunnetaan funktion f(x) arvot eri x:n arvoilla tai etsitään ne differentiaali- tai/ja integraaliyhtälöistä käyttäen funktiosta polynomiarviota voidaan käyttää Taylorin kaavaa:
                 
|f[x0+x]    |   ||1,0,0,0 |                         | |f[x0]    |     
|f[x0+T+x]  |   ||0,1,0,0 |                         | |f[x0+T   |     
|f[x0+2T+x] | = ||0,0,1,0 |+x D/1!+x² D²/2!+x³ D³/3!|*|f[x0+2T  | =M* F
|f[x0+3T+x] |   ||0,0,0,1 |                         | |f[x0+3T  |     

Tässä           |1,0,0 |  |1,-1/2, 1/3|  |-1, 1, 0,0 | ,kun polynomi on kolmatta astetta.
       D=  1/T *|1,1,0 |* |0,   1,-1/2| *| 1,-2, 1,0 |  
                |1,2,1 |  |0,   0,   1|  |-1, 3,-3,1 | 
                |1,3,3 |                                4.asteen polynomilla on:

                |1,0,0,0 |  |1,-1/2, 1/3,-1/4|  |-1, 1, 0, 0,0 | 
       D=  1/T *|1,1,0,0 |* |0,   1,-1/2, 1/3| *| 1,-2, 1, 0,0 |  
                |1,2,1,0 |  |0,   0,   1,-1/2|  |-1, 3,-3, 1,0 |
                |1,3,3,1 |  |0,   0,   0,   1|  | 1,-4, 6,-4,1 | jne korkeamman asteen polynomeille.
                |1,4,6,4 |
  
Kun D-matriisilla kerrotaan F-vektori, saadaan funktion derivaatat pisteissä x0...xn. D:n ensimmäinen ja kolmas matriisi muodostuvat binomikertoimista (Pascalin kolmio). Keskimmäisen matriisin kertoimet ovat sarjakehitelmän Log[1+x] kertoimia. Kun pisteet eivät ole tasavälein, käytetään kullekin matriisin M vaakariville eri x:n arvoa.

Kaava on helppo derivoida ja integroida x:n suhteen. Näin voidaan muuntaa differentiaali- ja integraaliyhtälöt yhtälöryhmiksi. 
Esimerkiksi: g1[x]*d²f[x]/dx²+g2[x]*df[x]/dx+g3[x]*f[x]=g4[x] muuntuu aritmeettiseksi yhtälöksi kullakin x:n arvolla kun derivaatat korvataan D-matriisilla. Esimerkiksi d²f[x]/dx²→D^2*F. g1[x] jne korvataan diagonaalimatriiseilla, jonka diagonaaliatvot ovat g1[x0],g1[x1],...g1[xn].

Kaava voidaan yleistää useammille muuttujille. Virheet ovat suurimmat alueen reunoilla. Niitä voidaan parantaa esimerkiksi valitsemalla pisteet projektiona ympyräkehältä halkaisijalle, kun kehä on jaettu tasavälein:x(i)=(a+b)/2+(a-b)/2 Cos[i*Pi/n],i=0...n,x=a...b,T=(b-a)/(n-1). Tällöin D-matriisi saadaan Derivoimalla Lagrangen PolynomiLagrange formula ja asettamalla asettamalla muuttujan paikalle edellä mainitut pisteet. Laskennassa on käytettävä tarkkaa aritmetiikkaa jos pisteitä on paljon.

Numeerinen analyysi