Diofantoksen yhtälö

Diofantoksen yhtälö on kokonaislukukertoiminen vähintään kahden muuttujan polynomiyhtälö, jolle etsitään kokonaislukuratkaisuja. On todistettu, ettei ole olemassa algoritmia, joka selvittäisi yleisessä tapauksessa, onko annetulla Diofantoksen yhtälöllä ratkaisuja. Monia erikoistapauksista sen sijaan on tutkittu ja löydetty ehtoja, joilla ratkaisu on olemassa. Yhtälöä kutsutaan tällä nimellä Diofantos Aleksandrialaisen mukaan.

Eräitä erikoistapauksia
 Lineaarinen Diofantoksen yhtälö: Kun  ovat annettuja lukuja, onko lukuja  ja  siten, että . Ratkaisuja on joko äärettömästi tai ei yhtään sen perusteella onko luku  lukujen  ja  suurimman yhteisen tekijän monikerta. Ratkaisu löytyy Eukleideen algoritmilla.

 Pythagoraan kolmikot ovat lukuja  joilla . Näitä kolmikoita on ääretön määrä.

 Fermat'n suuri lause kysyy Pythagoraan kolmikoiden vastinetta siten, että eksponentti on suurempi kuin 2. Tällaisten lukukolmikoiden olemassaolo todistettiin mahdottomaksi yli 350 vuotta hypoteesin esittämisen lauseen jälkeen. Erikoistapaukset ovat kuitenkin helpompia, näistä  kaikkein helpoin.

Pellin yhtälö

Catalanin otaksuma

 Jos  on annettu luku, on yhtälöllä  lähes aina ratkaisu, jossa . Poikkeuksen muodostaa enintään 19 luvun  arvoa, joista 18. pienin on 462. Jos 19. poikkeus on olemassa, se on suurempi kuin .

Esimerkkejä
Yhtälöllä  ei selvästi ole ratkaisuja: vasemman puolen arvo on aina kymmenellä jaollinen, oikea puoli ei.

Yleistä
Yleisen ratkaisumenetelmän mahdottomuuden todisti Juri Matiasevic.

Monet kuuluisat matemaattiset ongelmat pyytävät määrittämään tietyn Diofantoksen yhtälön kaikki ratkaisut tai onko ratkaisuja ylipäätänsä olemassa. Näihin ongelmiin tarvitaan lähes poikkeuksetta kehittyneitä nykymatematiikan menetelmiä, kuten algebrallista geometriaa.

Katso myös
Hilbertin 10. ongelma

Lähteet

Aiheesta muualla

 https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/42335/Diofantoksen%20yhtalot.pdf?sequence=2

Diofantoksen yhtälöt
Seulonnan keskeiset artikkelit