Kolmioepäyhtälö

Matematiikassa kolmioepäyhtälö on lause, jonka mukaan kolmion sivun pituus on vähintään kolmion kahden muun sivun pituuden erotuksen itseisarvo ja korkeintaan yhtä suuri kuin kahden muun sivun pituuden summa.

Kolmioepäyhtälö on voimassa monissa avaruuksissa, kuten reaaliluvuilla, euklidisissa avaruuksissa, Lp-avaruuksissa ja sisätuloavaruuksissa. Se esiintyy myös monissa matemaattisen ja funktionaalianalyysin määritelmissä, kuten esimerkiksi normiavaruuden ja metrisen avaruuden määritelmässä.

Normiavaruus
Normiavaruudessa V kolmioepäyhtälö on muotoa
      kaikilla V:n alkioilla x, y.
Siten vektoreiden summan normi on enintään samojen vektoreiden normien summa.

Reaaliluvut muodostavat normiavaruuden, missä normina on itseisarvo, joten kaikille reaaliluvuille x ja y on voimassa

 

Kolmioepäyhtälö on hyödyllinen matemaattisessa analyysissä arvioimaan kahden luvun summan suuruutta. Myös summan alarajalle saadaan arvio. Tätä nimitetään toisinaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi. Sen mukaan kaikilla reaaliluvuilla x ja y on voimassa

 

Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan

Todistus

Lemma

, missä 

Lemman todistus

 itseisarvon määritelmän nojalla 

 itseisarvon määritelmän nojalla . 

Olkoon .

Itseisarvon määritelmän nojalla  ja .
Kun yhdistetään edelliset epäyhtälöt, saadaan .
 Lemman nojalla .

Edellä todistetun (1) nojalla  ja .
  ja .
. 
 Lemman nojalla .

Metrinen avaruus

Jos metrisessä avaruudessa M on annettu metriikka d, on kolmioepäyhtälö muotoa 
      kaikilla M:n alkioilla x, y ja z. Siten etäisyys x:stä z:aan on enintään yhtä suuri kuin etäisyys x:stä y:hyn ja y:stä z:aan.

Seurauksia

Seuraavat kolmioepäyhtälön seuraukset ovat usein hyödyllisiä. Ne antavat alarajoja ylärajojen sijasta:
  tai metriikan termein .

Tämän mukaan siis normi , samoin kuin metriikka d(x, –), ovat 1-Lipschitz, ja siten jatkuvia.

Katso myös Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.

Minkowskin avaruuden kolmioepäyhtälö
Tavallisessa Minkowskin avaruudessa kolmioepäyhtälön suunta kääntyy:

      kaikilla V:n alkioilla x, y joille ,  ja 

Esimerkkinä tästä on suppean suhteellisuusteorian kaksosparadoksi.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Epäyhtälöt
Lineaarialgebra
Kolmion geometria