Pistetodennäköisyysfunktio

Pistetodennäköisyysfunktio  eli pistetodennäköisyys  on todennäköisyyslaskennassa diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio, jolla saa nollasta eroavan arvon yksittäiselle perusjoukon  alkeistapaukselle, tapahtumille tai satunnaismuuttujan arvolle.

Pistetodennäköisyysfunktion arvot saadaan kunkin arvon yleisyydestä, joka määritetään todennäköisyysmitan  avulla 

missä  Funktio saa todennäköisyysarvoja kaikille perusjoukon arvoille, mutta muille arvoille se määritellään nollaksi. Pistetodennäköisyysfunktio on siten diskreetti kuvaus

Nimityksiä ja merkintöjä 
Sitä funktiota, joka määrittelee todennäköisyyslaskennassa satunnaisilmiön alkeistapauksien, tapahtumien tai satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyydet, kutsutaan yleisesti todennäköisyysfunktioksi. Diskreettisessä tapauksessa sitä kutsutaan yleisimmin pistetodennäköisyysfunktioksi ja jatkuvassa tapauksessa tiheysfunktioksi. Esimerkiksi englannin kielisten käytäntöjen mukaisesti, molempia tapauksia ja niiden yhdistelmiä kutsutaan harvemmin myös samalla nimityksellä todennäköisyyden massafunktioksi (), jonka viittaa fysiikan mekaniikkaan, kuten tekee myös käsite tiheysfunktio (), jota käytetään harvoin tässä samassa merkityksessä.

Tiheysfunktion mallin mukaisesti, pistetodennäköisyysfunktion tunnuksena voidaan käyttää myös latinalaista kirjainta  tai jopa kreikkalaista kirjainta .

Esimerkkejä 

Yleensä, diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa, pistetodennäköisyysfunktion kaikkien arvojen esittämiseksi voidaan joutua luettelemaan ne taulukossa. Toisinaan, todennäköisyyksien arvot noudattavat tietyn lausekkeen arvoja. Esimerkiksi satunnaismuuttujan  (kuva) arvot ovat

 ja

Muilla arvoilla se on nolla 

Esimerkki diskreetistä satunnaismuuttujasta , jonka pistetodennäköisyysfunktion arvot voidaan lausua lausekkeena, saadaan nopanheitosta. Lasketaan todennäköisyys saada "kuutosia" viidestä nopanheitosta. "Kuutosen" esiintymisen todennäköisyys on  ja jonkin muun todennäköisyys on . Kombinatoristen sääntöjen mukaan todennäköisyys saada k "kuutosta" on
 
Lausekkeen avulla voidaan laskea kaikki todennäköisyydet eri määrille kuutosia (tässä likiarvoina):

 ja

Ominaisuudet 
Kukin funktion saama arvo on  Arvot vaihtelevat kuitenkin siten, että niiden summa on aina yksi:

Tämä sääntö pätee luonnollisesti edellisiin esimerkkeihin.

Kaikki perusjoukon arvojen todennäköisyydet muodostavat yhdessä niin sanotun todennäköisyysjakauman. Vain diskreettien ilmiöiden ja satunnaismuuttujien jakaumat muodostuvat pistetodennäköisyyksistä.

Katso myös 
 Todennäköisyysfunktio ja sen jatkuvan tapauksen tiheysfunktio
 Todennäköisyysjakauma

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta