Riemannin zeeta-funktio

Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta.

Määritelmä

Riemannin zeeta-funktio  on määritelty kompleksiluvuille , joiden reaaliosa ,  summaksi
.
Alueessa  tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen.  Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä . Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.

Integraaleja

Jos   pätevät kaavat
 
 
ja
 

Jos  on
 .

Integraali zeetafunktion derivaatalle on

joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1.

Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion

missä ψ0 on digammafunktio.

Sarjoja Eulerin vakiolle:

Sarja Catalanin vakiolle:

Katso myös 
 Zeeta-funktio

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

Kompleksianalyysi
Analyyttinen lukuteoria
Erikoisfunktiot