Elliptinen integraali

Elliptiset integraalit on ovat joukko erikoisfunktioita, jotka tulivat alun perin vastaan laskettaessa ellipsiviivan pituutta. Yleinen elliptinen integraali on muotoa

,

missä  on rationaalifunktio ja  polynomi, joka on muuttujan  suhteen kolmatta tai neljättä astetta, ja jonka kaikki juuret ovat erisuuria. Integraalin alaraja  on vakio, tavallisesti nolla. Integraalin yläraja voi olla myös kiinnitetty, jolloin elliptisen integraalin sanotaan olevan täydellinen. Elliptisiä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta niiden arvoja on taulukoitu.

Elliptiset integraalit voidaan kirjoittaa useammalla yhtäpitävällä tavalla. Tässä käytetyistä muodoista ensimmäinen on tavallisin tapa, ns. Legendren muoto. Sitä seuraa yllä olevaa yleistä määritelmää vastaava polynomimuoto. Elliptisten integraalien käänteisfunktioita ovat trigonometrisiä funktioita muistuttavat Jacobin elliptiset funktiot.

Ensimmäisen lajin elliptinen integraali 

Epätäydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on muotoa

Tässä esiintyvän muuttujan  sanotaan olevan elliptisen integraalin amplitudi ja merkitään

.

Vakiokerroin  on puolestaan elliptinen moduuli ja se saa arvoja avoimelta väliltä . Täydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on

Toisen lajin elliptinen integraali 
Epätäydellinen toisen lajin elliptinen integraali on

ja vastaavasti täydellinen muoto on 

Toisen lajin integraali saadaan tuloksena, jos ellipsin reunaviivan pituutta yritetään laskea.

Kolmannen lajin elliptinen integraali 
Epätäydellinen kolmannen lajin elliptinen integraali on

ja täydellinen 

Tässä integraalissa esiintyvä vakio  on elliptinen karakteristika.

Legendren relaatio 
Täydellisiä ensimmäisen ja toisen lajin elliptisiä integraaleja  ja  yhdistää nk. Legendren relaatio

.

Aiheesta muualla 
Mathworld: Ensimmäisen lajin elliptinen integraali 
Mathworld: Toisen lajin elliptinen integraali 
Mathworld: Kolmannen lajin elliptinen integraali 
Erikoisfunktiot