Metrinen tensori

Metrinen tensori eli perustensori on avaruutta kuvaava symmetrinen tensori, joka kertoo kuinka etäisyydet kyseisessä avaruudessa tulee mitata. Se on siis avaruuden metriikan esitys. Jos avaruuden metrinen tensori tunnetaan, tunnetaan koko avaruuden geometria. Metrisellä tensorilla on aina kaksi indeksiä, mistä syystä se voidaan esittää matriisimuodossa.

Mielivaltaisessa avaruudessa etäisyys kahden pisteen  ja  välillä saadaan käyränpituuden kaavasta

,

missä on käytetty Einsteinin summaussääntöä. Käyränpituuden kaavassa esiintyvät kertoimet  ovat avaruuden metrisen tensorin komponentit. Metrinen tensori on symmetrinen, eli

.

Jos metriikka antaa mille tahansa kahdelle pisteelle aina etäisyyden, joka on positiivinen (tai nolla), metriikan sanotaan olevan positiividefiniitti ja tällöin puhutaan Riemannin metriikasta. Jos etäisyys voi olla myös negatiivinen, kyseessä on pseudo-Riemannin metriikka. Jälkimmäisiä tulee vastaan esimerkiksi suhteellisuusteoriassa (ajanluonteiset pinnat).

Jos avaruuden koordinaatisto voidaan lausua karteesisten koordinaattien avulla, metrisen tensorin laskeminen on helppoa Jacobin matriisin avulla. Jos  on koordinaatistomuunnosta vastaava Jacobin matriisi ja  sen transpoosi, metrinen tensori

.

Metrisen tensorin avulla mikä tahansa differentiaalinen etäisyys  voidaan Einsteinin summaussääntöä käyttäen kirjoittaa

.

Erityisesti jos tensorin kaikki nollasta eroavat komponentit ovat diagonaalilla, tämä on sama kuin

Tilanteessa, jossa  on euklidinen metriikka (ks. esimerkit alla) tämä vastaa täsmälleen Pythagoraan lausetta, kuten tietysti pitääkin.

Esimerkki metrisen tensorin määrittämisestä 
Kaksiulotteisessa napakoordinaatistossa

Tätä vastaava Jacobin matriisi on

joten napakoordinaatiston metriseksi tensoriksi saadaan

joka sievenee muotoon 

.

Esimerkkejä eri avaruuksien metrisistä tensoreista 
Kolmiulotteisella euklidisella avaruudella on yksinkertaisin mahdollinen metriikka

.

Neliulotteinen Minkowskin avaruuden metriikka on laakea, muttei positiividefiniitti

.

Joskus tässä etumerkit valitaan toisin päin, eli aikakoordinaattia vastaava alkio  ja paikkakoordinaatit . Valinnalla ei periaatteessa ole merkitystä.

Vakiosäteisen pallon pinta muodostaa kaksiulotteisen avaruuden, jonka koordinaatit ovat  ja jota vastaava metriikka on 

.

Pallon pinta on yksinkertainen esimerkki kaarevasta avaruudesta.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa vastaan tuleva Schwartzschildin metriikka

kuvaa avaruutta minkä tahansa -massaisen pallonmuotoisen kappaleen (vaikkapa tähden tai planeetan) ympärillä. Sen tunnetuin ominaisuus on mustan aukon mahdollisuus.

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

Differentiaaligeometria
Metrinen topologia