Hitausmomentti

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

 

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

missä  on tiheysjakauma tilan yli. Koska , saadaan

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja
 Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
 Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
 Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
 Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
 Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
 Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
 Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Hitausmomenttitensori 
Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu :stä kappaleesta, joiden massat ovat , missä . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella  jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella  ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

, 

missä  kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

. 

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

,

on rotaatioenergia on tällöin

. 

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa  ja . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

.  

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee , joten:  

  

Määritellään -summan :s termi suureeksi , ts.  

.  

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:  

,  

missä  on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä  on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa -matriisin alkioiksi:  

Matriisia  kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot ,  ja  ovat kappaleen hitausmomentit -, - ja -akselien suhteen. Jos käytetään koordinaattien  sijaan karteesisia koordinaatteja  ja merkitsemällä , tensori  voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:    

    

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on , niin    

,    

missä  on paikkavektorin  osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja  on kappaleen tilavuus.

Katso myös 
Liikemäärä
Pyörimismäärä
Steinerin sääntö

Lähteet 

Suureet
Klassinen mekaniikka
Seulonnan keskeiset artikkelit