Yhteenlasku

Yhteenlasku on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme ), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku.

Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi.

Formaali määritelmä luonnollisilla luvuilla 

Yhteenlaskuoperaatio + luonnollisilla luvuilla ℕ on kuvaus + : ℕ × ℕ → ℕ, +(a, b) = c, jossa a, b, c ∈ ℕ. Tavallisesti merkitään a + b = c.

Ominaisuuksia 

On olemassa yksikäsitteinen (luonnollinen luku) c = a + b, eli +(a,b) = c.
Yhteenlaskun liitäntälaki: (a + b) + c = a + (b + c), eli +((a+b),c) = +(a,(b+c))
Yhteenlaskun vaihdantalaki: a + b = b + a, eli +(a,b) = +(b,a)

Nämä voidaan todistaa Peanon aksioomien avulla.

Voidaan myös osoittaa, että esimerkiksi ((a + b) + c) + d = a + b + c + d. Toisin sanoen yhteenlasku voidaan suorittaa useammallekin kuin kahdelle luvulle.

Esimerkkejä 
Vaikka yhteenlasku määritellään formaalisti luonnollisille luvuille, se on usein määritelty vastaavasti myös muissa lukujärjestelmissä. Esimerkiksi vektoreita voidaan laskea yhteen. 

Esimerkiksi kokonaisluvuille -3, -1 ja 2 pätee:2 + (-1) = (-1) + 2 = 1, ((-3) + (-1)) + 2 = (-3) + ((-1) + 2) = -2
Rationaaliluvuille m/n ja p/q yhteenlasku määritellään:
Vektorien yhteenlasku määritellään seuraavasti:
Olkoot  ja  vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa Rn.
Määritellään, että .
Toisin sanoen lasketaan vektorien vastaavilla kohdilla olevat arvot yhteen.

Yhteenlasku allekkain 
Yhteenlasku voidaan suorittaa paperilla ns. allekkainlaskuna.

Allekkainlaskussa luvut kirjoitetaan allekkain niin, että vastaavilla paikoilla olevat desimaalit ovat allekkain. Sitten lasketaan yhteen oikealta aloittaen vastaavat luvut.

Esimerkki:

   12                  jossa on 0 sataa, 1 kymmentä ja 2 ykköstä
 +321                  jossa on 3 sataa, 2 kymmentä ja 1 ykköstä
  333                  jossa on 3 = 2 + 1 ykköstä, 3 = 1 + 2 kymmentä ja 3 = 0 + 3 sataa

Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1,...,9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan.

Esimerkki:

  7656
 +5555

Aloitetaan laskeminen oikealta: 6 + 5 = 11 > 10. Nyt merkitään 6 + 5 = 1, muistiin: 1.

    1
  7656
 +5555
     1

Jatketaan: 1 + 5 + 5 = 11 = 1, muistiin: 1.

   11
  7656
 +5555
    11

Ja

 1111
  7656
 +5555
 13211

Vastaavasti voidaan laskea allekkain myös useampia lukuja:

Esimerkki:

 11222
  34512
  12451
  12455
  31245
  12455
 +12467
 115585

Lähteet

Aiheesta muualla 

Aritmetiikka
Seulonnan keskeiset artikkelit