Odotusarvo

Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.

Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.

Määritelmä ja merkinnät 
Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla  

Matemaattisesti odotusarvo  määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.

Diskreetti satunnaismuuttuja 
Diskreetin satunnaismuuttujan  saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään  Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti  Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein pistetodennäköisyyksiksi ja niitä saatetaan merkitä myös
 
jossa funktioita  ja  kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)

Esimerkkinä nopanheitto 
Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on
.
Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.

Jatkuva satunnaismuuttuja 
Jatkuvan satunnaismuuttujan  saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin , joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut   muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon  ja se voidaan merkitä . Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin  luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.

Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on  ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo 
.

Yleisempi jatkuva määritelmä 
Määritellään satunnaismuuttujan  odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon  todennäköisyysmitan  suhteen
. 

Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan  kertymäfunktion  suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla 
.

Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo 
Jos  on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo  Jos  on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo
 
ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi
 
Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja   tai keskusmomentteja

Ehdollinen odotusarvo 
Satunnaismuuttujan  ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla  on -mitallinen satunnaismuuttuja , jolle yhtälö

pätee kaikilla . Satunnaismuuttujan  ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja  on , missä  tarkoittaa satunnaismuuttujan  virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla  on , missä  on reaaliluku.

Ominaisuuksia 
Todennäköisyysmassalla tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.

Satunnaismuuttujan , jonka ulostuloina on vain vakion  arvoja, odotusarvo on
 
Tästä seuraa myös, että

Odotusarvon olemassaolo 
Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)

tai jatkuvassa tapauksessa
 

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos  tai .

Summat ja lineaarikombinaatiot 
Seuraaville satunnaismuuttujille  ja  sekä reaaliluvuille  ja  voidaan johtaa seuraavia tuloksia.

Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on
 
ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
 
Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös
 
ja
 

Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon

Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska

jos

Tulot 
Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa

ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa
 

Riippuvassa tapauksessa

Lisäksi jos , niin , ja yleisemmin jos , niin .

Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki

Populaatio- ja otoskeskiarvo 
Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku.  Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.

Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla

Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.

Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin

Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä  kasvaa.

Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.

Lähteet 

Todennäköisyyslaskenta
Seulonnan keskeiset artikkelit