Besselin funktiot

Besselin funktiot ovat useissa erilaisissa tilanteissa vastaantuleva joukko erikoisfunktioita. Ne liittyvät usein differentiaali- tai osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sylinterikoordinaatistossa, mistä syystä niitä kutsutaan joskus myös sylinterifunktioiksi. Esimerkiksi rummun kalvon värähtely säteen suunnassa on kombinaatio Besselin funktioita. Tyypillinen esimerkki on myös taajuusmoduloidun signaalin spektri.
Funktiot on nimetty preussilaisen tähtitieteilijän Friedrich Besselin mukaan.

Alun perin Besselin funktiot ovat Besselin differentiaaliyhtälön

ratkaisuja. Osoittautuu, että tämän yhtälön ratkaisuja ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, joten ratkaisut kuuluvat erikoisfunktioihin. Ratkaisun yleinen muoto on

,

missä funktio  on :s ensimmäisen lajin Besselin funktio ja funktio  vastaavasti :s toisen lajin Besselin funktio ja kertoimet .

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot 

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

Tässä esiintyvä funktio  on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa 

.

Jos  on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

.

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää.

Toisen lajin Besselin funktiot 

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös Weberin funktioina tai Neumannin funktioina. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

ja kokonaislukuindeksille 

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

.

Samoin yllä mainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

Hankelin funktiot 
Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

 
Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille 

.

Kokonaislukuindeksille yllä olevista kaavoista on laskettava . Negatiivisille :n arvoille

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 Tietopaketti Besselin funktioista 
Wolfram Mathworld: Bessel Function of the First Kind 
Wolfram Mathworld: Bessel Function of the Second Kind 

Analyysi
Erikoisfunktiot