Kosinilause

Kosinilause on trigonometrian tulos, jonka perusteella on mahdollista määrittää kolmion kulmat, kun sen kaikki sivut tunnetaan tai kolmion tuntematon sivu, kun yksi kolmion kulma ja sen viereiset sivut tunnetaan.

Kosinilauseessa  on kolmion kulma,  ja  ovat kulman viereisten sivujen pituudet ja  vastakkaisen sivun pituus. Kaava palautuu Pythagoraan lauseeseen, kun  on suora kulma.

Todistus 
 

Oletetaan, että kulma  on terävä. Olkoon h:n pituus lyhin etäisyys kolmion sivulta b sivujen a ja c yhtymään. Tällöin h voidaan esittää Pythagoraan lauseen avulla kahdella eri tavalla:

Tästä saadaan 

Yhtälöstä voidaan sievennyksien jälkeen ratkaista :

Kulman  kosini on kuvion mukaan

Yhtälö saadaan muotoon .

Todistus sujuu samoin, jos kulma  on tylppä.

Kosinilause ja vektorit 
Kosinilause on vektorikielellä olennaisesti sama asia kuin kahden vektorin erotuksen pituuden lauseke pistetulon avulla laskettuna. Ensimmäisen kuvan merkinnöin ja pistetulon perusominaisuuksia hyväksi käyttäen saadaan:

Katso myös 
 Sinilause
 Tangenttilause
 Kotangenttilause

Lähteet

Aiheesta muualla 

 Opetusvideoita aiheesta Opetus.tv-sivustolla
 Erilainen todistus kosinilauseelle Solmussa
 Opetushallitus, etälukio: Kosinilause 

Geometria
Trigonometria
Seulonnan keskeiset artikkelit