Aritmeettinen sarja

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on , jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on , jossa vakioerotus on −0,5).

Aritmeettisen sarjan summa

Sarja   on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo , eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalle
n:s termi: , missä d = peräkkäisten termien erotus

Ensimmäisten n termin summa: 

Todistus 1: Geometrisesti Sn on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on an ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan .
Todistus 2: Kirjoitetaan Sn kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):

Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:

.

□

Aritmeettisen sarjan summalle  kaikilla :n arvoilla pätee:

Katso myös

Geometrinen sarja

Lähteet
 Viitteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla
Alkulukujen esiintyminen aritmeettisina jonoina

Algebra
Matemaattiset sarjat