LU-hajotelma

LU-hajotelma on matriisihajotelma, joka perustuu ideaan, että jokainen neliömatriisi voidaan esittää ylä- ja alakolmiomatriisien tulona. Tällöin siis matriisi 

missä  on alakolmiomatriisi ja  yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin  diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi -matriisille LU-hajotelma on siis

LU-hajotelma on käytännöllinen, sillä kolmiomatriisien käsittely esimerkiksi numeerisesti on yleensä paljon mielivaltaisen matriisin käsittelyä helpompaa.

Käyttö determinantin laskemiseen 
LU-hajotelman avulla matriisin  determinantti saadaan välittömästi, sillä se on matriisin  diagonaalialkoiden tulo eli

Käyttö käänteismatriisin laskemiseen 
Myös käänteismatriisi saadaan laskettua LU-kehitelmästä helposti ratkaisemalla yhtälöryhmä

missä kukin  on pystyrivivektori, jonka i:s alkio on ykkönen ja kaikki muut nollia ja kukin  on muodostuvan käänteismatriisin i:s pystyrivi.

Katso myös 
 QR-hajotelma – toinen yleinen tapa muuntaa matriisi helppojen matriisien tuloksi
 Choleskyn hajotelma – LU-hajotelman kaltainen hajotelma, joka hyödyntää lisäksi matriisin symmetrisyyttä

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Matriisihajotelmat

de:Gaußsches Eliminationsverfahren#LR-Zerlegung