Tasainen suppeneminen

Tasainen suppeneminen on funktiojonon ominaisuus, joka on pisteittäistä suppenemista vahvempi. Sitä voi kuvailla karkeasti niin, että funktion arvot suppenevat samanaikaisesti jokaisessa pisteessä kohti rajafunktiota.

Tasaisesta suppenemisesta seuraa käytännöllisiä tuloksia funktiojonojen integraaleille, derivaatoille ja summille.

Matemaattinen määritelmä 

Olkoon  jokin väli,  jono funktioita  ja väli . Jono  suppenee välillä  tasaisesti kohti funktiota , jos
, kun .

Yhtäpitävä ehto tasaiselle suppenevuudelle on, että jokaista lukua  kohti on luku  siten, että kun , niin

kaikissa pisteissä .

Tasaisen suppenemisen määritelmä voidaan yleistää reaalifunktioilta metrisille avaruuksille määritellyille kuvauksille.

Ominaisuuksia 

Jos funktiojono suppenee tasaisesti jollakin välillä, se suppenee tasaisesti sen jokaisella osavälillä. Tasaisesti suppeneva funktiojono suppenee myös pisteittäin kohti samaa rajafunktiota.

Kaikki pisteittäin suppenevat funktiojonot eivät suppene tasaisesti. Tavallinen ja helppo esimerkki tällaisesta jonosta on funktiot 
 
välillä . Tämä jono suppenee pisteittäin kohti funktiota 
, jolloin jos se suppenisi tasaisesti, se suppenisi tasaisesti kohti samaa funktiota. Toisaalta kuitenkin pätee
,
eli arvo ei suppene nollaan kun . Täten jono ei suppene tasaisesti.

Tasainen suppenevuus on ehto, mikä vaaditaan, että raja-arvon oton ja Riemannin integraalin välinen järjestys voidaan vaihtaa.

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
 MathWorld. Uniform Convergence

Analyysi