Weierstrassin lause

Weierstrassin lause on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon. 

Olkoon f: [a, b] → R jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että välillä [a, b] on luvut c ja d siten, että kaikilla välin pisteillä  funktion arvo pysyy arvojen f(c) ja f(d) välissä. Matemaattisesti

.

Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.

Todistus 
Todistetaan, että löydetään suurin arvo kuten edellä mainittu. Pienin arvo löydetään vastaavasti, kun tutkitaan funktiota . 

Tehdään oletus, että  ei ole rajoitettu välillä . 

Tällöin , jolla . Koska  on rajoitettu, niin Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla :lla on suppeneva osajono  eli  kun . Koska , niin . 

Koska  on jatkuva :ssa, niin  siten, että , kun . Koska  niin  siten, että , kun . Näillä  pätee . Mutta koska  ja koska , kun , niin saadaan ristiriita. 

Näin ollen  on rajoitettu välilä , mistä seuraa se, että on olemassa . Nyt on osoitettava vielä  jollakin . 

, jolle . Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla jonolla  on olemassa suppeneva osajono , jolla , kun . Funktion  jatkuvuuden nojalla , kun . Toisaalta , mistä seuraa kuristusperiaatteen nojalla .

Lähteet

Aiheesta muualla 
 Extreme value theorem (cut-the-knot) 

Analyysi
Matemaattiset teoreemat

de:Stetigkeit#Satz vom Minimum und Maximum