Tekijäryhmä

Ryhmäteoriassa tekijäryhmä on tunnetusta ryhmästä  ja sen normaalista aliryhmästä  konstruoitu uusi ryhmä. Tekijäryhmälle käytetään yleensä merkintää  ja tätä kutsutaan ryhmän  tekijäryhmäksi modulo . 

Tekijäryhmien merkitys ryhmäteoriassa perustuu siihen, että useat hyödylliset ryhmäteoreettiset ominaisuudet säilyvät siirryttäessä tarkastelemaan tekijäryhmiä. Toisaalta tekijäryhmän rakenne antaa myös tietoa alkuperäisen ryhmän rakenteesta. Esimerkiksi äärellisten ryhmien teoriassa usein käytetty todistustekniikka perustuu induktioon ryhmän kertaluvun suhteen. Tällöin tutkittavalle ryhmälle pyritään löytämään sopiva tekijäryhmä, johon induktio-oletusta voitaisiin soveltaa ja josta ominaisuus pyritään siirtämään takaisin alkuperäiseen ryhmään.

Konstruktio
Olkoon  ryhmä ja  sen aliryhmä. Määritellään aliryhmän  vasempien sivuluokkien joukolle

relaatio  seuraavasti:
 kaikilla 
Tutkitaan milloin kyseessä on funktio tarkastelemalla milloin kuva-alkio ei riipu sivuluokkien edustajien valinnasta. Olkoon  ja  mielivaltaisilla  Tällöin
 ja 
Nyt

jos ja vain jos

Yllä oleva yhtälö pätee täsmälleen silloin, kun  Koska alkio  oli mielivaltainen, niin relaatio  on funktio täsmälleen silloin, kun aliryhmä  on normaali eli  kaikilla . Tällöin aliryhmän vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat, jolloin joukko  on myös oikeiden sivuluokkien joukko. Suoraan määritelmästä nähdään, että joukko  on binäärioperaation neutraalialkio, alkion  käänteisalkio on alkio  ja että operaatio on assosiatiivinen. Siis pari  on ryhmä.

Toinen konstruktio
Olkoon joukot  ryhmän  alkioiden ei-tyhjiä osajoukkoja. Määritellään joukkojen  ja  tulo joukkona

Tämä tulo määrittelee nyt assosiatiivisen binäärioperaation ryhmän  alkioiden ei-tyhjien osajoukkojen joukolle. Jos  ja , niin

eli kahden vasemman sivuluokan tulo on vasen sivuluokka. Täten joukolle  voidaan määritellä assosiatiivinen binäärioperaatio joukkojen tulon avulla. Kuten aikaisemmassakin esimerkissä, niin tämän binäärioperaation neutraalialkio on joukko  ja alkion  käänteisalkio on sivuluokka

Esimerkki

Kokonaisluvut  muodostavat ryhmän yhteenlaskun suhteen. Olkoon  mielivaltainen kokonaisluku ja joukko

luvun  monikertojen joukko. Tällöin aliryhmäkriteerin nojalla  ja koska kyseessä on Abelin ryhmä, niin  Nyt tekijäryhmä  on kertalukua  oleva syklinen ryhmä, jota kutsutaan kokonaislukujen yhteenlaskuryhmäksi modulo

Ominaisuuksia
Kuvausta  kutsutaan luonnolliseksi homomorfiaksi. Kuvaus  on surjektio ja sen ydin on sivuluokka . Täten  mikä on eräs erikoistapaus homomorfismien peruslauseesta. Tämä osoittaa myös, että ryhmän  aliryhmä  on normaali jos ja vain jos on olemassa sellainen ryhmä  ja sellainen homomorfismi , että aliryhmä  on ryhmän homomorfismin  ydin.
Jokaisella ryhmällä  on triviaalit tekijäryhmät  ja 
Mikäli normaalilla aliryhmällä  on äärellinen määrä sivuluokkia ryhmässä , niin tekijäryhmän  kertaluku on sivuluokkien lukumäärä eli Lagrangen indeksilauseen nojalla

Syklisen ryhmän jokainen tekijäryhmä on syklinen.
Abelin ryhmän jokainen tekijäryhmä on Abelin ryhmä.
Nilpotentin ryhmän jokainen tekijäryhmä on nilpotentti.
Ratkeavan ryhmän jokainen tekijäryhmä on ratkeava.
Derivaattaryhmä  jos ja vain jos  ja tekijäryhmä  on Abelin ryhmä. Täten derivaattaryhmä on suppein normaaleista aliryhmistä, joiden tekijäryhmä kommutoi.
Jos  niin  jos ja vain jos  Tällöin lisäksi  jos ja vain jos 
Ryhmällä voi olla tekijäryhmiä, jotka eivät ole isomorfisia minkään aliryhmän kanssa. Toisaalta esimerkiksi jos  ja on olemassa sellainen , että  ja  niin

Lähteet 

Ryhmäteoria