Syklinen ryhmä

Syklinen ryhmä on yhden alkion virittämä ryhmä. On siis olemassa ryhmän  alkio , jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot. Siis jokaista ryhmän  alkiota  kohti on olemassa sellainen kokonaisluku , että  Tällöin merkitään

Ei-triviaaleja syklisiä ryhmiä löytyy aliryhminä kaikista ei-triviaaleista ryhmistä. Sykliset ryhmät ovat rakenteeltaan hyvin suoraviivaisia, ja esimerkiksi syklisen ryhmän aliryhmiin liittyvä rakenne tunnetaan täysin. Äärellisten ryhmien teoriassa syklisten ryhmien voidaan ajatella olevan Abelin ryhmien rakennuspalikoita suorien tulojen kautta ja ratkeavien ryhmien perusosasia kompositioketjun tekijöinä.

Syklinen ryhmä voi koostua joko n:stä alkiosta , tai se voi olla ääretön ryhmä .

Kertalukua  olevan syklisen ryhmän konstruointi
Olkoon  mielivaltainen  alkiota sisältävä joukko, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Numeroidaan joukon alkiot

ja asetetaan joukolle  binäärinen operaatio  seuraavasti: 
 mikäli  ja 
 mikäli 
kaikilla kokonaisluvuilla  Kokonaislukujen laskutoimitusten nojalla pari  toteuttaa ryhmän aksioomat. Tällöin alkio  on ryhmän neutraalialkio, alkion  käänteisalkio on alkio  missä  Lisäksi alkio  virittää ryhmän

Syklisten ryhmien ominaisuuksia 
 Sykliset ryhmät ovat kommutatiivisia, ts. Abelin ryhmiä.
 Kaikki syklisen ryhmän aliryhmät ja tekijäryhmät ovat syklisiä.
 Kaksi äärellistä syklistä ryhmää ovat keskenään isomorfisia, jos ja vain jos niiden kertaluvut ovat samat. Erityisesti siis kaikki kertalukua  olevat äärelliset sykliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
 Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on välttämättä syklinen.
 Äärellinen syklinen ryhmä on yksinkertainen, jos ja vain jos sen kertaluku on alkuluku. Itse asiassa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, ovat ainoat äärelliset yksinkertaiset ratkeavat ryhmät.

Olkoon jatkossa  kertalukua  oleva syklinen ryhmä.

 Jokaista kertaluvun  jakajaa  kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän  kertalukua  oleva aliryhmä. Jos , missä  on positiivinen kokonaisluku, niin tämä kertalukua  oleva aliryhmä on 
 Jokaista kertaluvun  jakajaa  kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän  kertalukua  oleva tekijäryhmä.
 Ryhmän  automorfismien ryhmä on isomorfinen ryhmän  kanssa.

Katso myös
Primitiivinen alkio

Lähteet 

Ryhmäteoria