Eilenbergin–Steenrodin aksioomat

Eilenbergin–Steenrodin aksioomat ovat kokoelma ominaisuuksia, jotka topologisten avaruuksien tutkimiseen käytettävien homologiateorioiden on toteutettava. Nämä ominaisuudet toteuttavat teoriat tuottavat samat keskeiset tulokset ja samat homologiset ominaisuudet samoille topologisille avaruuksille. 

Aksioomien tuoma hyöty on kahtalainen: Ennen kuin Samuel Eilenberg ja Norman Steenrod tunnistivat ja kokosivat aksioomat, erilaisia homologiateorioita oli paljon, eikä perusteellisesti ymmärretty miksi ne tuottavat samat tulokset. Toisaalta erilaisia teorioita (kuten simpleksihomologia, singulaarinen homologia ja Čechin homologia) tarvitaan koska kaikkia topologisia avaruuksia ei voida - eikä kannata - analysoida samoilla homologiateorioilla, ja aksioomien toteutuminen takaa että jos jokin avaruus voidaan analysoida kahdella eri homologiateorialla,  ne tuottavat samat tulokset.

Formaalisti 

Aksioomat koskevat topologisten avaruuksien pareja  joissa  on :n aliavaruus, sekä perhettä funktoreita , jotka liittävät kuhunkin pariin perheen Abelin ryhmiä (nämä ovat parin  homologiaryhmät). Lisäksi se koskee reunahomomorfismien indusoimia kuvauksia . Homologiaryhmät käytännössä lasketaan reunahomomorfismeista, mutta tässä yleisessä yhteydessä niitä ei ilmaista suoraan vaan em. kuvauksella. 

 Homotopia-aksiooma: Keskenään homotopiset kuvaukset parilta  parille  indusoivat samat homomorfismit homologiarymiltä  homologiarymille . 
 Poistoaksiooma:   Jos U on parin (X, A) X:n osajoukko s.e. U:n sulkeuma on A:n sisäpisteistön osajoukko, inkluusiokuvaus  indusoi isomorfismin homologiaryhmien  ja  välille (eli rymät ovat rakenteeltaan tarkalleen samanlaisia).  
 Dimensioaksiooma: Jos P on yhden pisteen avaruus,  pätee kaikille . 
 Additiivisuusaksiooma: Jos  pätee, tällöin pätee myös 
 Eksaktisuusaksiooma: Jokainen pari (X, A) indusoi  pitkän homologiajonon inkluusiokuvauksille  ja :

Homologiateoria
Matemaattiset aksioomat