Fermat’n pieni lause

Fermat'n pienen lauseen mukaan kaikilla alkuluvuilla p ja kaikilla kokonaisluvuilla a on voimassa 

eli ap on kongruentti a:n kanssa modulo p. 

Toisinaan lause esitetään seuraavassa muodossa: 
jos p on alkuluku ja a on kokonaisluku joka ei ole p:n monikerta, niin tällöin

, 

toisin sanoen ap–1 – 1 on jaollinen p:llä. 

Tätä teoreemaa kutsutaan Fermat'n pieneksi lauseeksi erotuksena Fermat'n suuresta lauseesta. Fermat'n pieni lause on perustana Fermat'n alkulukutestille.

Historiaa 

Pierre de Fermat keksi lauseensa vuonna 1636. Se esiintyi eräässä hänen kirjeessään, joka on päivätty 18.10.1640, uskotulleen Freniclelle seuraavasti: p jakaa ap−1 − 1 aina kun p on alkuluku ja a ja p ovat keskenään jaottomia kokonaislukuja.

Kiinalaiset matemaatikot keksivät hypoteesin (toisinaan kutsuttu nimellä kiinalainen hypoteesi,) jonka mukaan p on alkuluku jos ja vain jos 

. 

eli 2p – 2 on jaollinen p:llä.

On totta, että jos p on alkuluku, on voimassa  (erikoistapaus Fermat'n pienestä lauseesta). Kääntäen tämä ei kuitenkaan päde, esimerkkinä tapaus p = 341, joka ei ole alkuluku.

On laajasti uskottu, että kiinalainen hypoteesi keksittiin noin 2000 vuotta ennen Fermat'n keksintöä. On huomattavaa, että vaikka hypoteesi on osittain väärä, tunsivat jo antiikin matemaatikot väitteen.

Lähteet

Viitteet 

Lukuteoria
Matemaattiset teoreemat