Egorovin lause

Matematiikassa Egorovin lause antaa ehdon mitallisten funktioiden jonon tasaiselle suppenemiselle.

Olkoon (fn) jono reaaliarvoisia mitallisia funktioita mitta-avaruudessa  (X,Σ,μ) siten, että fn suppenee μ-melkein kaikkialla äärellismittaisessa joukossa A kohti rajafunktiota f. Tällöin kaikilla ε > 0 on olemassa A:n osajoukko B jolle μ(B) < ε ja (fn) suppenee tasaisesti kohti f:ää joukossa A−B. Tässä μ(B) tarkoittaa B:n (μ-)mittaa.

Toisin sanoin pisteittäinen suppeneminen A:n melkein jokaisessa pisteessä antaa funktiolle f A:ssa paljon vahvemman tasaisen suppenemisen jossain A:ta mielivaltaisen vähän pienemmässä A:n osajoukossa. Lause voidaan todistaa suoraan käyttämällä tasaisen suppenemisen määritelmää ja μ:n subadditiivisuutta. Lauseen antamaa suppenemista kutsutaan melkein tasaiseksi suppenemiseksi. Huomaa, että oletus μ(A) < ∞ on välttämätön Egorovin lauseessa. Tarkastellaan Lebesguen mitan suhteen indikaattorifunktiota

joka on määritelty kaikilla reaaliluvuilla R. Tämä jono suppenee pisteittäin kohti nollafunktiota kaikkialla, mutta ei suppene tasaisesti missään joukossa R−B, missä B on mikä tahansa äärellismittainen joukko.

Egorovin lausetta voidaan soveltaa kompaktikantajaiseen jatkuvaan funktioon, jolloin saadaan todistettua Lusinin lause.

Lause on nimetty Dmitri Egorovin, venäläisen fyysikon ja geometrikon, mukaan.

Aiheesta muualla 

Beals, Richard (2004).  Analysis: An Introduction.  New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
Weisstein, Eric W., et al. (2005).  Egorov's Theorem. Retrieved April 19, 2005.

Matemaattiset teoreemat