Normaalijakauma

Normaalijakauma (toisilta nimiltään Gaussin jakauma tai Gaussin kellokäyrä) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys kellokäyrä tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa kirkonkellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja  on normaalijakautunut, niin merkitään

Parametri  on jakauman odotusarvo ja  on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on

Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali

jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

Standardoitu normaalijakauma eli standardinormaalijakauma on yleisen normaalijakauman erikoistapaus . Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio  voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion  avulla seuraavasti:

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

Normaalijakaumaa koskevia lauseita
Jos , niin .

Jos  ja  ja  ovat vakioita, niin .

Jos  ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja , niin .

Jos  ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja , niin satunnaismuuttujien keskiarvo noudattaa jakaumaa .

Normaalijakauman laskeminen tietokoneella 
Esimerkiksi Sagella voi laskea normaalijakauman N(0,1) likiarvon  seuraavasti:

 sage: N(integrate(1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),x,-infinity,1))
 0.841344746068543

Vastaavasti numeerisesti voidaan laskea, milloin vaikkapa :

 sage: import scipy.stats as st
 sage: st.norm.ppf(0.95,0,1)
 1.6448536269514722

Lähteet

Aiheesta muualla 

 Mathworld. Normal Distribution 
 Table of the Standard Normal Distribution  Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja 
 The Myth of the Bell Curve. Kritiikkiä normaalijakauman käytöstä yhteiskuntatieteissä. 
 Online laskin Normaalijakauma
 Interaktiivinen Normaalijakauma, Java/Geogebra

Todennäköisyysjakaumat
Seulonnan keskeiset artikkelit