Lusinin lause

Matematiikassa Lusinin lause (tai myös Luzinin lause) on reaalianalyysin lause, joka on nimetty Nikolai Luzinin mukaan. Lusinin lause on toinen muotoilu Littlewoodin toisesta periaatteesta.

Sen mukaan jokainen mitallinen funktio on melkein jatkuva:

Olkoon väli  annettu ja olkoon  mitallinen funktio. Tällöin  on olemassa kompakti  siten, että f rajoitettuna E:hen on jatkuva ja . Tässä  on E:n komplementti. Huomaa, että E perii välin  topologian ja tässä topologiassa f:n jatkuvuus rajoittuu joukkoon E.

Lusinin lause todistetaan seuraavasti: Jatkuvat funktiot ovat tiheässä :ssä. Siten on siis olemassa jono jatkuvia funktioita  siten, että  :ssä. Tästä jonosta voidaan erottaa osajono, jota merkitään myös :llä, siten, että  melkein kaikkialla. Nyt Egorovin lauseen mukaan  tasaisesti lukuun ottamatta mielivaltaisen pientä joukkoa. Koska jatkuvat funktiot ovat suljettuja tasaisen suppenemisen suhteen, on väite todistettu.

Reaalianalyysi
Matemaattiset teoreemat