Lebesguen–Stieltjesin integraali

Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta
,
missä  ja  ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely 

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon , , funktio  kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

kaikissa pisteissä  olemassa. 

Olkoon . Määritellään joukkofunktio  kaavalla . Tällöin  on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin  Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion  kanssa.

Mitallisen funktion  Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla , eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina
.
Sille käytetään kuitenkin merkintää
.
Funktiota  kutsutaan integrandiksi ja funktiota  integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos  on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma , missä  ja  ovat kasvavia funktioita . Tällöin määritellään
.

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia 

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:
.

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion  Riemannin integraaliksi yli välin :

olettaen, että  on Riemann-integroituva.

Jos  on derivoituva sekä  ja  ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava
.
Jos funktiolla  on epäjatkuvuuskohta pisteessä  ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin
.

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos  on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin
,
missä  on tihentyvä jono välin  jakoja, eli
, kun .

Katso myös 
 Odotusarvo

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
 MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral

Integraalilaskenta