Jacobin matriisi

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan. 

Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.

Muunnoksen F : Rn → Rm eli kuvauksen -ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat  -ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat  kuvaa Jacobin matriisi

Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon

.

Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F-1 : Rm → Rn on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.

Esimerkki Jacobin matriisin laskemisesta 
Karteesisen koordinaatiston ja napakoordinaatiston välillä on yhteys

.

Jacobin matriisin laskemiseksi on laskettava vastaavat osittaisderivaatat

Näin siis muunnoksen napakoordinaatistosta karteesiseen koordinaatistoon kuvaa matriisi, jossa osittaisderivaatat muuttujan r suhteen on sijoitettu ensimmäiseen sarakkeeseen ja osittaisderivaatat muuttujan theta suhteen on sijoitettu toiseen sarakkeeseen

Ominaisuuksia 

Kenties tärkein ominaisuus Jacobin matriisilla liittyy Jacobin determinantin laskemiseen, mikä puolestaan liittyy integraalien muuttujien vaihtoon. Nimittäin jos F : Rn → Rn on jatkuvasti derivoituva ja injektiivinen jossain avoimessa joukossa , joka on Rn osajoukko ja lisäksi kaikkialla täällä joukossa funktion F Jacobin matriisi on kääntyvä, niin jos g : Rn → R on jatkuva joukossa , niin

Tässä funktio J on funktion F Jacobin matriisi pisteessä x. Sen determinanttia kutsutaan myös Jacobin determinantiksi.

Yllä esitetyssä esimerkissä on oikeastaan laskettu Jacobin matriisi muuttujanvaihdolle, joka muuttaa polaarikoordinaatit karteesisiksi. Tälle oikeastaan pätee tämä lause, mikä helpottaa useiden kaksiulotteisten integraalien laskemista.

Katso myös 
Hessen matriisi

Lähteet 

Matriisit
Determinantit
Differentiaalilaskenta