Täydellinen luku

Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Viisi ensimmäistä täydellistä lukua ovat 6, 28, 496, 8 128 ja 33 550 336. Esimerkiksi 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

Laskenta
Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

 .

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

 n = 2: 
 n = 3: 
 n = 5: 
 n = 7: . 

Eukleides osoitti, että  on täydellinen luku aina, kun  on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja. Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin  ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

Ominaisuuksia
Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Tekijöiden käänteislukujen summa
Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,

.

Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät  ja niiden käänteislukujen summa on 

.

Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.

Katso myös 
 Moninkertaisesti täydellinen luku
 Puolitäydellinen luku
 Runsas luku
 Vajaa luku
 Lähes täydellinen luku
 GIMPS

Lähteet

Viitteet 

Luonnolliset luvut
Lukuteoria
Ratkaisemattomat matemaattiset ongelmat