Derivaatta

Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin keskimääräisestä muutosnopeudesta, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla muutosnopeus yhdessä kohtaa. Sanaa derivaatta käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.

Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.

Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla.

Yhden reaalimuuttujan funktiot

Määritelmä kahden kohdan avulla 
Yhden reaalimuuttujan funktion  derivaatan  formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä  ja 

Merkinnällä  tarkoitetaan suureen  arvojen muutosta tai erotusta . Välin  jälkimmäistä päätepistettä  siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä . Tämä merkitään raja-arvon arvolla
 
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla  on derivaatan arvo kohdassa , joka merkitään tavallisesti .

Määritelmä välin pituuden avulla 

Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden  ja  avulla, missä luku  on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan

Nyt väliä  voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua , jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä

Funktion kulun tarkastelu 
Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio aidosti kasvava tai aidosti vähenevä.

Esimerkiksi kolmannen asteen funktio  derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon . Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat  ja  saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.

Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä , huomattaisiin, että funktio saisi suurimman ja pienimmän arvonsa kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat  ja  ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.

Derivaatan olemassaolo 

Derivaatta on olemassa pisteessä , mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.

Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi matemaattinen määritelmä. Sellainen on esimerkiksi
.

Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille  löytyy siitä riippuva luku  siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle :in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle :n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua  pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi , voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.

Yhden muuttujan derivaattafunktio 
Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan derivoimiseksi. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös derivaataksi. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.

Määritetään funktion  derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä  hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi  (käytetään toista määritelmää)
 
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.

Esimerkiksi funktion  derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:

Lausekkeella  voi helposti laskea funktion  derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.

Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.

Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja 
Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
 

Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään

Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään t), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
 

Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä

Merkinnät  ja  tarkoittavat suureiden  ja   differenssejä ja nimittäjästä  voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.

Derivaatan arvo jossakin kohdassa  merkitään vastaavasti , ,  tai

Moninkertaiset derivaatat 
Kun funktion :n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota  kutsutaan kahdesti derivoituvaksi. Kahdesti derivoitu funktio eli toinen derivaatta määritetään
 
ja merkitään ,   tai   . Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos :n :s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on  kertaa derivoituva, ja sen :ttä derivaattaa merkitään ,    tai   .

Jos funktion (:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan ( kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion :s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on -funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan -funktio.

Eräiden alkeisfunktioiden derivointia 
Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.

Potenssin derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan

jolloin potenssifunktiolle saadaan

Koska
,

missä  vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti  ja ), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa

 
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion  derivaatta.

Yleisiä derivointisääntöjä 
Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.

Vakiofunktion  derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:

Yhden kompleksimuuttujan funktiot 
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia , ja tietyssä alueessa G (sisältää luvun ) määriteltyä kompleksifunktiota , pystytään joskus määrittämään funktion  derivaatta.

Holomorfinen funktio 
Derivaatta on olemassa, mikäli  toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt  ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen  ympäristössä G jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
 
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.

Derivaatan olemassaolon toteaminen 
Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki

Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat 

 ja

Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt

ja

on funktio  derivoituva.

Kompleksifunktioiden derivointikaavat 
Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.

Usean muuttujan funktiot 
Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin . Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.

Osittaisderivaatta 
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.

Suunnattu derivaatta 
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.

Sovelluksia

Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys , kun mitataan putoavan pallon putoama matka  ajan  funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista

ja nopeus  on matkan derivaatta ajan suhteen

mistä edelleen putoamiskiihtyvyys  on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:

Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä  ja .

Historia 
Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muuttujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi  funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona.

Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta (johdos) otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.

Katso myös 
Osittaisderivaatta
Integraalifunktio
Jatkuva funktio
Gradientti

Lähteet 
 
 Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I, (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

Viitteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

Matematiikan etäopiskeluympäristö, Derivaatta. Opetus.tv.
”Newton, Leibniz, and Usain Bolt”. Khan Academy. 
”Derivative”. MathWorld. 

Differentiaalilaskenta
Analyysi
Seulonnan keskeiset artikkelit