Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta
Annetulle neliömatriisille  on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat :n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi
Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille  karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa , missä , niin karakteristinen polynomi on muotoa 

 

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus

Yleisen -neliömatriisin  tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku)  on matriisin  ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) , että

,

eli

,
 
missä  on yksikkömatriisi. Koska vektori  on nollasta eroava, on matriisin  oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on . Tämän determinantista saadun polynomin   juuret ovat :n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä
Olkoon  kunta ja  -kertoiminen  -matriisi. 
Matriisin  karakteristinen polynomi  on määritelmän mukaan

,

missä  on  yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla .

Esimerkki
Lasketaan matriisin

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

Tämä determinantti on  

Tämä on :n karakteristinen polynomi, missä  on matriisin ominaisarvo.

Kirjallisuutta 
 
 

Lineaarialgebra