Algebrallinen laajennus

Abstraktissa algebrassa kuntalaajennusta L/K sanotaan algebralliseksi jos jokainen L:n alkio on algebrallinen K:n suhteen, eli jokainen L:n alkio on jonkun nollasta poikkeavan K-kertoimisen polynomin juuri. Jos annetussa kuntalaajennuksessa on alkio, joka ei ole algebrallinen, sanotaan kyseistä alkioita transkendenttiseksi. Transkendenttisen alkion sisältävää kuntalaajennusta kutsutaan transkendenttiseksi laajennukseksi.

Esimerkiksi kuntalaajennus R/Q on transkendenttinen, mutta laajennukset C/R ja Q(√2)/Q ovat algebrallisia.

Kaikki annetun kunnan ääretönasteiset laajennukset ovat transkendenttisia, jolloin äärellisasteinen laajennus on aina algebrallinen. Toisaalta on myös olemassa algebrallisia laajennuksia, joiden aste on ääretön. Esimerkiksi algebrallisten lukujen kunta on rationaalilukujen ääretön algebrallinen laajennus.

Jos a on algebrallinen K:n suhteen, on K[a], joukko kaikista a:n virittämistä polynomeista, jonka kertoimet kuuluvat K:hon, kunta. Se on K:n algebrallinen kuntalaajennus, jonka aste K:n suhteen on äärellinen. Esimerkiksi kun K=Q, saadaan rationaalilukujen kunta. Q[a] on tällöin esimerkki algebrallisesta lukukunnasta.

Kuntaa, jolla ei ole aitoa algebrallista laajennusta, sanotaan algebrallisesti suljetuksi. Esimerkkinä tästä on kompleksilukujen kunta. Jokaisella kunnalla on olemassa algebrallinen laajennus, joka on algebrallisesti suljettu ja jota kutsutaan algebralliseksi sulkeumaksi. Tämän todistaminen kaikille kunnille vaatii valinta-aksiomin käyttöä.

Laajennus L/K on algebrallinen jos ja vain jos jokainen L:n ali-K-algebra on kunta.

Yleistyksiä

Malliteoria yleistää algebrallisen laajennuksen käsitteen mielivaltaisille teorioille: M:n upotus N:ään on algebrallinen laajennus jos kaikilla N:n alkioilla x on olemassa kaava p, jonka parametrit kuuluvat M:ään siten, että p(x) on voimassa ja joukko  

{y N:n alkio | p(y)}

on äärellinen. Osoittautuu, että soveltamalla kyseistä määritelmää kuntateoriaan nähdään, että algebrallisen laajennuksen kuntateoreettinen ja malliteoreettinen määritelmä yhtyvät. N:n Galois'n ryhmä M:n suhteen voidaan määritellä automorfismien ryhmänä ja osoittautuu, että suuri osa Galois'n ryhmien teoriasta voidaan ylestää malliteoreettisiksi tuloksiksi.

Katso myös 

 Algebrallinen luku
 Algebrallisesti suljettu kunta
 Algebrallinen sulkeuma

Kuntateoria