Jacobin elliptiset funktiot

Jacobin elliptiset funktiot ovat kahdentoista erikoisfunktion joukko. Ne tulevat vastaan etsittäessä käänteisfunktiota ensimmäisen lajin elliptiselle integraalille. Jacobin elliptiset funktiot muistuttavat monilta ominaisuuksiltaan trigonometrisia funktioita ja niiden nimeämisessä on tiettyjä yhtäläisyyksiä. Funktiot otti käyttöön Carl Gustav Jakob Jacobi noin vuonna 1830.

sn, cn ja dn 
Olkoon ensimmäisen lajin elliptinen integraali määritelty Legendren muodossa

,

missä  on elliptisen integraalin amplitudi. Määritellään uusi funktio siten, että

.

Vastaavasti toinen funktio saadaan kosinin avulla

.

Kolmas funktio on

.

Nämä ovat kolme ensimmäistä Jacobin elliptistä funktiota. Viimeistä funktiota kutsutaan joskus myös delta amplitudiksi. Trigonometristen funktioiden tapaan näille on voimassa

ja funktion  määritelmästä nähdään, että

.

Muita Jacobin elliptisiä funktioita 
Lisää Jacobin elliptisiä funktioita saadaan edellisten osamäärinä. Huomaa kuinka uusien funktioiden nimet muodostuvat:

Kaikille funktioille voidaan kirjoittaa käänteisfunktio periaatteella

Yhteys trigonometrisiin ja hyperbolisiin funktioihin 
Jacobin elliptisillä funktioilla on yhteys sekä trigonometrisiin funktioihin että hyperbolisiin funktioihin elliptisen modulin  kautta ja elliptisiä funktioita voidaan pitää näiden alkeisfunktioiden kaksijaksoisina yleistyksinä. Trigonometrisiin funktioihin ovat voimassa relaatiot

ja hyperbolisiin funktioihin

Esiintyminen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna 
Jacobin elliptiset funktiot ratkaisevat eräitä epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden yhtälöiden yleinen muoto on

,

missä A, B, C ja D ovat vakioita. Esimerkiksi funktio  toteuttaa yhtälöt
 sekä

.

Funktio  toteuttaa yhtälöt

 sekä

ja funktio  toteuttaa yhtälöt

 sekä

Katso myös 
Elliptiset funktiot
Weierstrassin elliptiset funktiot

Aiheesta muualla 
Jacobin elliptiset funktiot Mathworldissa 

Elliptiset funktiot