QR-hajotelma

QR-hajotelma on eräs matriisihajotelma, jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu matriisi jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona. QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen -matriisin  QR-hajotelma on tulo

,

missä  on  unitaarimatriisi ja  on  yläkolmiomatriisi. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin A tapauksessa  on ortogonaalimatriisi. Koska kahden kolmiomatriisin tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi sisältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin

Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa Gramin–Schmidtin ortonormeeraukseen, mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko Householderin peilausmatriiseilla tai Givensin rotaatiomatriiseilla.

QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu lineaariavaruuksien projektioiden käsittelyssä ja sitä käytetään yleisesti myös matriisien numeerisessa käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä matriisin rangi eli kuva-avaruuden dimensio ja hajotelman matriisista  löytyy myös kuva-avaruuden kanta ortonormeerattuna.

Katso myös 
LU-hajotelma

Lähteet 

Matriisihajotelmat