Analyyttinen funktio

Analyyttinen funktio on funktio, joka voidaan paikallisesti esittää suppenevana potenssisarjana. On olemassa reaalisia analyyttisiä funktioita ja kompleksisia analyyttisiä funktioita.

Toinen tapa määritellä analyyttinen funktio on todeta, että funktio on analyyttinen, jos se on differentioituva jokaisessa joukon  pisteessä.

Analyyttinen reaalifunktio 
Muodollisesti funktio  on reaalinen analyyttinen funktio reaaliakselin avoimessa joukossa , jos missä tahansa joukon  pisteessä  voidaan kirjoittaa

missä kertoimet  ovat reaalilukuja ja sarja suppenee kohti funktiota , kun  on valittu pisteen  ympäristöstä.

Analyyttinen funktio voidaan määritellä myös toisella tavalla. Analyyttinen funktio on äärettömästi derivoituva funktio, jonka määrittelyalueen missä tahansa pisteessä  kehitetty Taylorin sarja

suppenee kohti funktiota , kun  on valittu pisteen  ympäristöstä (keskineliömielessä).

Kaikkien reaalisten analyyttisten funktioiden joukkoa annetussa määrittelyjoukossa  merkitään usein kirjoittamalla . Jossakin reaaliakselin osajoukossa määritelty funktio  on reaalinen analyyttinen funktio pisteessä , jos on olemassa kyseisen pisteen ympäristö , jossa funktio  on reaalianalyyttinen.

Analyyttinen kompleksifunktio 

Kompleksilukujen joukossa tai jossakin sen joukossa määritelty funktio on analyyttinen kompleksitason alueessa A, jos sillä on derivaatta tässä alueessa. Funktio on analyyttinen pisteessä z, jos sillä on derivaatta jossakin tämän pisteen ympäristössä.  Analyyttisia kompleksifunktioita tutkii funktioteoria.

Voidaan osoittaa, että jos funktio on analyyttinen jollakin alueella, sillä on kaikkien korkeampienkin kertalukujen derivaatat ja se voidaan esittää Taylorin sarjana 

Analyyttisen funktion derivaatta ja kaikki korkeampien kertalukujen derivaatat ovat myös analyyttisia funktioita.

Jos analyyttisen funktion derivaatta jossakin pisteessä ei ole nolla, funktio on samalla konformikuvaus jostakin tämän pisteen ympäristöstä johonkin kompleksitason alueeseen.

Analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosa ovat jollakin tasoalueella määriteltyjä harmonisia funktioita.

Esimerkkejä
Useimmat erikoisfunktiot ovat analyyttisiä ainakin jossakin kompleksitason osassa. Tyypillisiä esimerkkejä analyyttisista funktioista ovat seuraavat.

 Kaikki (reaaliset tai kompleksiset) polynomit ovat analyyttisia funktioita. Jos polynomin aste on , niin Taylorin sarjassa kaikki :ää korkeampiasteiset termit ovat nollia, jolloin sarja suppenee triviaalisti. Jokaisen polynomin Maclaurinin sarja on myös polynomi itse.

 Eksponenttifunktio on analyyttinen sekä reaali- että kompleksilukujen joukossa. Määritelmän mukaan riittää, että funktion Taylorin sarja suppenee riittävän läheltä pistettä  valituissa pisteissä , mutta eksponenttifunktion Taylorin sarja suppenee kaikissa muuttujan  reaali- tai kompleksiarvoilla.

 Trigonometriset funktiot, logaritmi ja potenssifunktiot ovat analyyttisiä missä tahansa määrittelyalueensa avoimessa osajoukossa.

Tyypillisiä esimerkkejä funktioista, jotka eivät ole analyyttisiä ovat puolestaan seuraavat.

 Itseisarvofunktio (reaali- tai kompleksiluvuilla määriteltynä) ei ole kaikkialla analyyttinen, koska se ei ole differentioituva pisteessä . Paloittain määritellyt funktiot (jotka määritellään eri kaavoilla määrittelyjoukon eri osissa) eivät tyypillisesti ole analyyttisia niissä kohdissa, joissa palaset yhtyvät.

 Kompleksikonjugaattifunktio  ei ole kompleksinen analyyttinen funktio. Sen rajoittuma eli restriktio reaaliakselille on identiteettifunktio, joka puolestaan on reaalisesti analyyttinen funktio joukosta  joukkoon .

Katso myös
 Funktioteoria
 Cauchyn–Riemannin yhtälö
 Meromorfinen funktio
 Algebrallinen funktio
 Transkendenttifunktio

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 
 

Kompleksianalyysi

pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora