Neperin luku

Neperin  luku (Napierin luku) on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on 2,718 281 828 459 045 ja jolle on kiinnitetty merkintä . Neperin luku on luonnollisen logaritmi­funktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua , mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873. Luku tunnetaan toiselta nimeltään myös Eulerin lukuna Leonhard Eulerin mukaan.

Neperin luku on määritelmän mukaan

Eksponenttifunktio 
Neperin luvulla on suuri merkitys eksponenttifunktion  kantalukuna.
Tällä funktiolla on se ominaisuus, että funktion derivaatta on sama kuin funktio itse.

Kun eksponenttifunktion  kantalukuna on positiivinen luku , niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku  on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on . Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:

Olkoot . Derivaatan määritelmän mukaan

Näin huomataan, että kaikilla kantaluvun  arvoilla funktion  derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella
.

Oletetaan sitten, että jollakin kantaluvun  arvolla  tämä raja-arvo on 1 eli

Koska osamäärän raja-arvo = osoittajan raja-arvo jaettuna nimittäjän raja-arvolla, niin nimittäjän raja-arvolla kertomalla saadaan

Siis luku  on sama kuin Neperin luku.

Vaihtoehtoisia esitysmuotoja 

Neperin luvulle tunnetaan seuraava sarjakehitelmä:

Koska kertoma  kasvaa luvun n kasvaessa todella nopeasti, voidaan tämän sarjan avulla melko nopeasti laskea hyviä Neperin luvun likiarvoja.

Luku  voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona: 

 saadaan määrättynä integraalina funktiosta :

Sovelluksia 
Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €·2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa ja jälkimmäisellä kerralla korkoa korolle, olisi loppusaldo 1 €·1,52 = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €·(1,333…)3 ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa 1/n-kertaisen koron n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €·(1+1/n)n. Kun 1/n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+1/n)n e:tä.  Samaan tapaan jos alkuperäinen korkoprosentti olisi x % ja maksukertojen lukumäärää vastaavalla tavalla tihennettäisiin, saataisiin raja-arvona loppusaldoksi ex/100 €.

Myös luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka noudattavat samantapaista matemaattista lakia. Tällaista sanotaan eksponentiaaliseksi kasvuksi. Likimääräisenä esimerkkinä tällaisesta voidaan mainita puun kasvu.

Katso myös 
 Luonnollinen logaritmi
 Eksponenttifunktio

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 Mathworld: e

Transkendenttiset luvut
Vakiot
Seulonnan keskeiset artikkelit