Keplerin yhtälö

Keplerin yhtälö on eräs taivaanmekaniikan perustavimmista yhtälöistä. Se ilmaisee yhteyden kahden taivaankappaleiden (planeetta, asteroidi, komeetta, tms.) liikkeiden laskemisessa tarvittavan suureen, keskianomalian  ja eksentrisen anomalian , välillä. Keplerin yhtälö on näennäisesti yksinkertainen:

,

missä  on taivaankappaleen radan eksentrisyys. Yhtälössä sekä  että  on lausuttu radiaaneina. Varsinainen ongelma on, että tyypillisesti  ja  tunnetaan, ja eksentrinen anomalia  täytyisi saada selville. Tämän ratkaiseminen ei ole mitenkään mahdollista analyyttisesti vaan ratkaisussa joudutaan aina turvautumaan numeerisiin menetelmiin.

Yllä oleva muoto Keplerin yhtälöstä on voimassa ellipsiradoille. Hyperbeliradoille se pätee myös, mutta tällöin kulma  on imaginäärinen. Paraabeliradalle yhtälöstä on olemassa oma erikoistapauksensa, jota kutsutaan Barkerin yhtälöksi.

Ratkaisu 
Jos taivaankappaleen rata halutaan esittää ajan funktiona, lasku vaatii käytännössä eksentrisen anomalian ratkaisemista jokaista aika-askelta varten. Tästä syystä Keplerin yhtälön mahdollisimman tehokas ratkaisu on tärkeää. Yhtälön muoto tuottaa kuitenkin hankaluutta, sillä jos rata on hyvin soikea eli  on lähellä ykköstä ja etenkin jos tämän lisäksi  on pieni (lähellä nollaa), yhtälön iterointi suppenee varsin hitaasti ja voi olla numeerisesti epätarkka. Tästä syystä erilaisia menetelmiä yhtälön ratkaisemiseksi on esitetty satoja. 

Eräs kätevimpiä menetelmiä on seuraava. Merkitään , ja lasketaan tämän ensimmäinen ja toinen derivaatta :n suhteen eli  ja . Nyt yhtälö voidaan ratkaista valitsemalla alkuarvoksi  ja iteroimalla kaavasta

,

kunnes haluttu tarkkuus on saavutettu (eli kunnes , missä  on yleensä luokkaa 10−6 tai pienempi). Tämä menetelmä toimii aina ja suppenee hyvin nopeasti.

Taivaanmekaniikka