Irrationaaliluku

Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, eli rationaalilukuna ,
missä  ja  ovat kokonaislukuja. Irrationaalilukua ei voi esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna.

Irrationaalilukuja ovat muun muassa ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii, Neperin luku, kultaisen leikkauksen suhde, useimpien kokonaislukujen juuret (esimerkiksi ), useat logaritmit ja useat trigonometristen funktioiden arvot.

Historia 

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausetta mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Toisin sanoen neliön lävistäjä ja sivu ovat keskenään yhteismitattomia. Ilman tätä havaintoa voitaisiin ajatella, että rationaaliluvuilla saadaan koko lukusuora katetuksi, sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.

Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.

Irrationaaliluvuista ja rationaaliluvuista

Kahden rationaaliluvun summa tai erotus on aina rationaaliluku. Kahden irrationaaliluvun summa tai erotus voi kuitenkin olla niin irrationaali- kuin rationaalilukukin. 

Esimerkkinä kahden irrationaaliluvun summasta, joka on rationaaliluku, ovat luvut  ja , joiden summa
on .

Esimerkki irrationaalisuuden todistamisesta 

Luku  voidaan todistaa irrationaaliluvuksi epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: oletetaan, että  on rationaaliluku, eli että on olemassa kokonaisluvut  ja  siten, että .
Ainakin toisen luvuista  ja  voidaan olettaa olevan pariton, koska muuten murtolukua  voidaan supistaa luvulla kaksi.

Luvun neliö on , mistä saadaan kokonaislukujen neliöiden välinen yhtälö .
Parittoman luvun neliö on selvästi
pariton, joten tällöin :n on oltava parillinen eli muotoa , missä  on kokonaisluku. Koska luku  on parillinen, on luvun  oltava pariton. Toisaalta
, jolloin neliöiden välinen yhtälö voidaan supistaa muotoon . Koska parittoman luvun neliö on pariton, ollaan saatu ristiriita. Täten alkuperäinen väite pätee, eli  on irrationaaliluku.

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

Reaaliluvut
Seulonnan keskeiset artikkelit