Hamiltonin operaattori

Hamiltonin operaattori, lyhyesti hamiltoni, vastaa kvanttimekaniikassa systeemin kokonaisenergiaoperaattoria. Hamiltonin operaattori siirtää myös tilavektoria ajassa eteenpäin Schrödingerin yhtälön mukaisesti.

Klassisessa mekaniikassa Hamiltonin operaattoria vastaa Hamiltonin funktio, joka kuvaa mekaanista systeemiä paikka- ja liikemäärä­muuttujilla. Ne muodostavat perustan Hamiltonin mekaniikkana tunnetun klassisen mekaniikan uudelleen muotoilulle. Hamiltonin funktion arvo on konservatiivisen systeemin tapauksessa (eli yleensä) systeemin kokonaisenergia.

Yhtälöitä

Hamiltonin operaattori 

Kvanttimekaaninen Hamiltonin operaattori muodostetaan klassisen mekaniikan Hamiltonin funktiosta korvaamalla paikka- ja liikemäärämuuttujat vastaavilla operaattoreilla. Paikkaesityksessä ne ovat  (paikkaoperaattori) ja  (liikemääräoperaattori). Hiukkaselle, jonka massa on m, Hamiltonin operaattori  voidaan kirjoittaa muodossa 

,

missä  on redusoitu Planckin vakio,  Laplacen operaattori ja  potentiaalienergia.

Schrödingerin yhtälö 
Hamiltonin operaattori hallitsee aaltofunktion  ajanmuunnosta operoidessaan Schrödingerin yhtälössä  

,

missä  on imaginaariyksikkö ja  aika. Näin ollen Schrödingerin yhtälö hiukkaselle, jonka massa on m, voidaan potentiaalissa  esittää muodossa

.

Katso myös 
 Hamiltonin mekaniikka
 Schrödingerin yhtälö

Lähteet 

Kvanttimekaniikka