Gaussin laki sähkökentille

Gaussin laki sähkökentille on Carl Friedrich Gaussin muotoilema vuonna 1835 ja se julkaistiin 1867. Gaussin laki antaa suljetun pinnan läpi virtaavan sähkövuon  ja pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen välisen relaation , ja on yksi Maxwellin yhtälöistä. Sen integraalimuoto on:

 

missä  on sähkövuon tiheys (yksikkö C/m2),  on pinnan differentiaalisen neliön pinta-ala siten, että ulospäin suuntautuva normaalivektori määrää sen suunnan,  on pinnan sisäänsä sulkema varaus ja  on pintaintegraali pinnan A yli.

Gaussin divergenssilauseen mukaan vektorikentän pintaintegraali suljetun pinnan A yli (eli kentän vuo) saadaan integroimalla divergenssiä pinnan sisäänsä sulkeman tilavuuden V yli, eli
.
Pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen suuruus saadaan toisaalta integroimalla sähkövaraustiheyttä ρ (yksikkönä C/m3) saman tilavuuden yli, joten Gaussin laki saadaan muotoon
.
Koska tämä pätee kaikille suljetuille pinnoille, saadaan integrandien välille yhteys
 ,
jota kutsutaan lain differentiaalimuodoksi.

Yhteys Coulombin lakiin 

Coulombin lain mukaan varatun hiukkasen toiseen hiukkaseen kohdistama sähköstaattinen voima on verrannollinen hiukkasten varausten tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön. Coulombin laki seuraa Gaussin laista melko suoraan. Pistemäisen varauksen, jonka suuruus on , aiheuttama sähkövuo r-säteisen pallopinnan yli on sähkövuon määritelmän mukaisesti
.
Jos hiukkanen on pallon keskipisteessä, voidaan symmetrian perusteella olettaa että  on yhtäsuuri jokaisessa pinnan pisteessä ja osoittaa säteittäisesti pinnasta ulospäin. Toisaalta Gaussin lain mukaan vuon suuruus on , ja koska , missä  on tyhjiön permeabiliteetti, on :n synnyttämä sähkökenttä
.
Tässä  on yksikkövektori, joka osoittaa varauksesta kohti tarkastelupistettä. Sähkökenttä kohdistaa varaukseen, jonka suuruus on , voiman 
,
joten kahden varatun hiukkasen välinen voima on
,
missä  on nyt hiukkasesta toiseen osoittava yksikkövektori.

On mahdollista edetä myös toiseen suuntaan ja johtaa Gaussin laki staattisessa tilanteessa Coulombin lain pohjalta. Coulombin laki on voimassa vain staattisille varausjakaumille, kun taas Gaussin laki pätee myös yleisessä dynaamisessa tapauksessa.

Lähteet

Kirjallisuutta 
 

Fysiikan lait
Sähköstatiikka
Sähködynamiikka