Infimum

Järjestetyn joukon T osajoukon S infimum eli suurin alaraja on joukon T alkio, joka on suurin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita pienemmistä tai yhtä suurista alkioista. Infimum ei välttämättä kuulu osajoukkoon S. Jos joukko sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se myös joukon infimum. Infimum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.

Reaalilukujen joukon osajoukoille infimum määritellään joskus miinus äärettömyydeksi, jos se ei ole olemassa. Tällöin saatetaan sanoa, että kaikille reaalilukujoukoille on yksikäsitteinen infimum.

Jos  on järjestetty joukko, niin sen infimumia merkitään symbolilla
,  tai .
Vähenevän lukujonon , jolle siis , infimumia voi merkitä symbolilla
.

Reaalilukujoukon infimum

Alarajan määritelmä. Olkoon .

Reaaliluku e on joukon S alaraja , jos ja vain jos kaikille  pätee x ≥ e.

Joukko S on alhaalta rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen alaraja.

Infimumin määritelmä. Olkoon edelleen .

Luku e   on joukon S infimum eli suurin alaraja,
jos ja vain jos se on suurin joukon S alarajoista eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon S alaraja.

Tällöin merkitään e = inf(S). Siis joukolla S on infimum ja kyseinen infimum on e.

e = inf(S) 

1) e ≤ x kaikilla x   S eli e on joukon S alaraja.

2) e ≥ m kaikilla joukon S alarajoilla m.

Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku e on joukon S infimum jos ja vain jos e on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja e on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S alarajoja.

Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa infimum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi infimum.
Todistus. Olkoon inf(S) = e ja inf(S) = e2. Siis e2 on joukon S eräs alaraja. Tällöin infimumin määritelmän nojalla e ≥ e2. Samoin saadaan e2 ≥ e. Siis e = e2.

Jos inf(S) on olemassa niin joukko S on alhaalta rajoitettu. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.

Joukon minimi

Joukon pienimmän alkion eli minimin on kuuluttava joukkoon kun taas infimumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos infimum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.

Jos  ja minS on olemassa niin minS = inf(S).

Todistus. Olkoon olemassa minS = e.

1)e on joukon S alaraja eli kaikilla x  S pätee x ≥ e.

2)Koska e  S niin e ≥ inf(S). Toisaalta 1):n nojalla e on joukon S alaraja. Siis e ≤ inf(S). Siis e = inf(S).

Infimumin osoittaminen

Yksinkertaisessakin tapauksessa infimumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla infimumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.

Lause 1. Olkoon e = inf(S) ja   > 0. Tällöin on olemassa x  S, jolle x <  e + 

Lause 2. Olkoon S  ja e . Tällöin e = inf(S) jos ja vain jos

1) e on joukon S alaraja. Siis x ≥ e kaikilla x  S.

2) Kaikille  > 0  x    S, jolle x < e + 

Infimum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:

a) Jos joukossa S näyttäisi olevan pienin alkio e, osoitetaan kohdat:

1) e   S.

2) x ≥ e  kaikille x  S.

Tällöin  minS = inf(S).

b) Jos joukko S on alhaalta rajoitettu, mutta joukossa ei ole pienintä alkiota, osoitetaan kohdat:

1) x ≥ e kaikille x  S, jolloin e on S:n eräs alaraja.

2) e +  ei ole S:n alaraja. Siis e on alarajoista suurin.

Tällöin e = inf(S).

c) Osoitetaan, että joukko ei ole alhaalta rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen pieniä lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa pienempiä lukuja.

Esimerkkejä

Luonnollisten lukujen joukolla  ei ole ylärajaa, sillä joukolla  ei ole suurinta alkiota eikä joukko  siis ole ylhäältä rajoitettu. Joukolla  on kuitenkin alaraja: nolla. Siis  on alhaalta rajoitettu ja  luonnollisten lukujen joukolla  on siis infimum. Merkitään inf() = 0.

Katso myös 
 Limes inferior Jonon äärettömän kaukana olevien alkioiden infimum
  Oleellinen infimum Joukon suppeimman positiivismittaisen osajoukon infimum
 Supremum Joukon pienin yläraja

Aiheesta muualla 
 MathWorld. Infimum

Lähteet
Apostol, Tom. M.: Mathematical analysis. Addison-Wesley publishing company. 3. edition. London, England, 1960, 7–8.
Hurri-Syrjänen, Ritva. Differentiaali- ja integraalilaskenta, Luentomonisteet. Helsingin yliopisto, Syksy 1999, 11–14.
Huuskonen, Taneli. Analyysin peruskurssi: Supremum ja infimum. Luentomoniste-pdf. Helsingin yliopisto. Helsinki, 2006.
Myrberg, Lauri. Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1. 3 painos. Yhteiskirjapaino Oy, Helsinki, 1981, 17–20, 24–26.
http://joyx.joensuu.fi/~didmatcl/anper1.pdf/ 
https://matta.hut.fi/matta2/mtreeni1/ag/ag002.pdf

Joukko-oppi