Pii (vakio)

Pii eli π on matemaattinen vakio, ympyrän kehän suhde halkaisijaan euklidisessa geometriassa. Pii esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla.

Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: . Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi , jolle .

Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.

Joissakin maissa pii tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolphin luku matemaatikkojen Arkhimedes ja Ludolph van Ceulen mukaan.

Piin vanhoja likiarvoja 

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa  on 3: ”Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri”.

Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä :n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa :n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2 000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että  on joko 3 tai  (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo  (kaksi des. oikein) on tiedetty pitkään.

Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen  ja  välillä. Ptolemaios käytti :n arvoa  (kolme des. oikein). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla :lle arvon  (kuusi des. oikein), jota parempi murtolukuarvio on vasta  (yhdeksän des. oikein). 

Luku  todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.

Piin laskeminen sarjakehitelmien avulla 
Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:

Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:

Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on

saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:

Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.

Alkulukujen 7, 11, 13, … avulla on johdettu tulokaava

Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, … lähtien pätee myös tulokaava

Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos

,

josta saadaan

Muita äärettömiä sarjoja:

 

.

Muutama BBP-kaava:

Piin laskeminen tulokehitelmien avulla 
Wallisin tulo:

 

Viètan kaava:

.

Muita äärettömiä tuloja:

Piin approksimaatioita 
Piin avulla laskiessa voidaan lausekkeissa se korvat erityisellä lausekkeella. 
 kaksi oikeaa desimaalia:
 
 

 kolme oikeaa desimaalia:

 kolme oikeaa desimaalia:

 Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:

 neljä oikeaa desimaalia:

 kuusi oikeaa desimaalia:

 Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:
 

 yhdeksän oikeaa desimaalia:

 yhdeksän oikeaa desimaalia:

 17 oikeaa desimaalia:

 29 oikeaa desimaalia:

 51 oikeaa desimaalia:

 160 oikeaa desimaalia:

missä

ja

.

Piin desimaalien laskeminen

Englantilainen amatöörimatemaatikko William Shanks (1812 – 1882) laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.

Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.
 
1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään (elokuu 2021) siitä tiedetään ensimmäiset 62,8 biljoonaa desimaalia. 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita, mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.

Muita esimerkkejä 

Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.

Avoimia kysymyksiä
Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:
Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?
Toistuvatko jotkin numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?

Katso myös 
 Luettelo piin laskukaavoista
 Feynmanin piste
 Tau (vakio)

Lähteet

Viitteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

  Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
 PiFastilla voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti
 Pi-memory 
  Pii-laskin, joka toimii selaimessa

Seulonnan keskeiset artikkelit