Rollen lause

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä  jatkuvan ja avoimella välillä  derivoituvan funktion derivaatta saa arvon  jossain avoimen välin  pisteessä , mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin  päätepisteissä  ja .  Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

Todistus

Oletuksen nojalla funktio  on jatkuva välillä , joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä  ja , niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta  jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin  pisteessä . Osoitetaan, että tässä pisteessä . Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska  on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska . Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

Tämä perustuu siihen, että funktio  on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos , niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

 
sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska  on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska . Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

(iii) Koska funktio  on derivoituva pisteessä , niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

Kun merkitään , niin todistus on päätöksessään.

Katso myös
 Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Lähteet 

Differentiaalilaskenta