Henstock–Kurzweil-integraali

Matematiikassa Henstock-Kurzweilin integraali, tunnettu myös nimillä Denjoyn integral ja Perronin integraali, on Riemannin integraalin yleistys. Se on myös toisinaan kätevämpi kuin Lebesguen integraali.

Integraalin määritteli ensimmäisen kerran Arnaud Denjoy vuonna 1912. Denjoy oli kiinnostunut integraalista, jolla voitiin integroida funktion

tyyppisiä funktioita. Tällä funktiolla on singulariteetti nollassa eikä funktio ole Lebesgue-integroituva. Vaikuttaa kuitenkin luonnolliselta integroida funktiota lukuun ottamatta väliä  ja tämän jälkeen ε → 0+ (tätä kutsutaan integraalin pääarvoksi tai ehdolliseksi suppenemiseksi. Denjoyn ja Lebesguen integraalin määritelmät yhtyvät positiivisilla funktioilla. 

Yrittäessään luoda yleistä teoriaa Denjoy käytti transfiniittistä induktiota erityyppisille singulaaripisteille, ja tämä teki integraalin määritelmän varsin monimutkaiseksi Nikolai Luzin ja Oskar Perron koettivat myös määritellä integraalia yksinkertaisemmin. Matemaatikoilta kesti hetken aikaa huomata, että Perronin ja Denjoyn integraalit ovat samat. Vuonna 1957 tšekkiläinen matemaatikko Jaroslav Kurzweil keksi integraalille elegantin määritelmän, joka oli luonteeltaan samanlainen kuin Riemannin integraali. Kurzweilin määritelmä sai jotkin yliopiston lehtorit harkitsemaan voitaisiinko uutta integraali käyttää differentiaali- ja integraalilaskennan peruskursseilla, mutta tämä ajatus ei lyönyt itseään läpi.

Toinen Henstockin integraalin ominaisuus on se, että jokainen funktio, joka on jonkin toisen funktion derivaatta, on integroituva, joten analyysin peruslause on voimassa Henstockin integraalille.

Määritelmä
Henstockin määritelmä on seuraava. Olkoon P välin [a, b] jako, toisin sanoen 

 

ja positiivinen funktio

, 

jota kutsutaan mitaksi. Sanotaan, että P  on -hieno jos 

.

Jaolle P ja funktiolle 

 

määritellään Riemannin summa kaavalla

Määritellään nyt annetulle funktiolle

 

mittaintegraali I siten, että kaikille  on olemassa  siten, että kaikilla -hienoilla P on voimassa

 

Riemannin integraali voidaan tulkita Henstockin-Kurzweilin integraalin siinä erikoistapauksena, missä sallitaan vain vakiomitat. Huomaa, että Cousinin lemman mukaan kaikilla mitoilla  on olemassa -hieno ositus.

Lähteet
 Russell A. Gordon, The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Graduate Studies in Mathematics, 4. ISBN 0-8218-3805-9

Aiheesta muualla
 http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/
 http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/letter/

Integraalilaskenta