Rengas (matematiikka)

Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite, joka sijoittuu rakenteellisesti ryhmän ja kunnan väliin. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait. Sen sijaan renkaan alkioilla ei tarvitse olla käänteisalkiota kertolaskun suhteen.

Määritelmä
Ryhmä  on rengas binääristen operaatioiden  ja  suhteen (merkitään ) kun se toteuttaa  seuraavat ehdot:

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
 .

Toisin sanoen

  on Abelin ryhmä operaation  suhteen (1, 3, 5, 7, 8).
  on monoidi operaation  suhteen (2, 4, 6).
 operaatio  on distributiivinen (9, 10).

Jos  on kommutatiivinen,  on kommutatiivinen rengas.

Rengas on siis monoidia ja ryhmää monimutkaisempi rakenne jo siinä mielessä, että se yhdistää kaksi operaatiota. Näin rengas eroaa olennaisesti suorasta tulosta.

Kannattaa huomata, etteivät edellä merkityt , ,  ja  eivät tarkoita lukujen yhteen- tai kertolaskua, tai lukuja 1 tai 0, vaan joukossa käytettäviä operaattoreita ja joukon alkioita. Tosin lukurenkaista puhuttaessa nämä ovat usein yhteneviä.

Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi. 

Esimerkkejä:

 Kokonaislukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. Kannattaa huomata, että vaikka luvuilla onkin yhteenlaskun suhteen käänteisalkio, kertolaskun suhteen sitä ei ole.
 Kompleksilukujen joukko muodostaa kommutatiivisen renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen. 
Imaginaarilukujen joukko ei yksinään voi muodostaa rengasta, jossa on kertolasku, sillä kertolaskun yksikköalkio on luku 1, eikä se kuulu imaginaarilukujen joukkoon. Lisäksi imaginaarilukujen joukko ei ole kertolaskun suhteen suljettu.

Kääntyvät alkiot ja nollanjakajat

Renkaan  alkio  on kääntyvä eli säännöllinen, jos on olemassa sellainen ryhmän :n alkio , että ; silloin tätä alkiota u kutsutaan yleisesti yksiköksi. :n kääntyvien alkioiden joukosta, eli yksikköryhmästä, käytetään merkintää .  on ryhmä, mikä todistetaan seuraavasti:
 Koska , kääntyvien alkioiden joukko ei ole tyhjä.
 :n ykkösalkio on .
 Oletetaan, että . Tällöin , joten kääntyvien alkioiden joukko on suljettu kertolaskun suhteen.
  on assosiatiivinen, koska  on assosiatiivinen :n suhteen.

Nollasta poikkeavaa alkiota  sanotaan nollanjakajaksi, jos on nollasta poikkeava , jolle . Tällöin tietysti myös  on nollanjakaja. Kommutatiivista rengasta, jossa ei ole nollanjakajia, sanotaan kokonaisalueeksi.

Renkaan alkioista kääntyvät alkiot käyttäytyvät yleensä kaikkein säännöllisimmin, kun taas nollanjakajat vaikeuttavat tarkastelua. Erityisesti supistamissääntö  on voimassa vain, jos  ei ole nollanjakaja. Tästä seuraa muun muassa se, että astetta n olevalla polynomilla, jonka kertoimet ovat :n alkioita, voi olla enemmän kuin n juurta, jos ryhmässä  on nollanjakajia.

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Rengasteoria
Algebralliset rakenteet
Seulonnan keskeiset artikkelit