Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee , niin on voimassa
.
Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos .

Jos lukujen  oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin , saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö

.

Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö yleistää hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sen mukaan, jos  ovat ei-negatiivisia reaalilukuja ja  ovat ei-negatiivisia reaalilukuja, joiden summa on yksi, on

eli

Sovelluksia
Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön avulla voidaan todistaa vaikkapa eksponenttifunktion olevan äärellinen kaikilla reaaliluvuilla: Todistetaan ensin, että  Määritellään , jolloin on riittävää osoittaa että  on kasvava kun . Tämä seuraa, kun valitaan aritmeettis-geometrisessa epäyhtälössä n kappaletta lukuja  ja kerran . Toisaalta epäyhtälö  seuraa edellisestä, kun epäyhtälössä kirjoitetaan :n paikalle .

Yleistyksiä

Painotettu aritmeettis-geometrinen epäyhtälö
Olkoot epänegatiiviset luvut  ja epänegatiiviset painot  annettu. Asetetaan . Jos , on voimassa

 

ja yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos kaikki , joilla , ovat yhtäsuuria. Tässä on oletettu, että .

Jos kaikki , epäyhtälö palautuu tavalliseksi aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi.

Muita aritmeettis-geometrisen epäyhtälön yleistyksiä ovat Muirheadin epäyhtälö, Maclaurinin epäyhtälö sekä potenssikeskiarvoepäyhtälö.

Epäyhtälöt