Aliryhmä

Ryhmän  alkioiden ei-tyhjä osajoukko  muodostaa aliryhmän, mikäli
 kaikilla  ja
 kaikilla 
Aliryhmärelaatiota merkitään tavallisesti 

Aliryhmän käsite voidaan määritellä myös yhtäpitävästi seuraavalla tavalla. Olkoon  ryhmän  alkioiden osajoukko. Tällöin joukko  on ryhmän  aliryhmä, mikäli
joukon  binäärinen operaatio , joka saadaan asettamalla  kaikilla  on hyvin määritelty (tämä on yhtäpitävä ehto aikaisemman määritelmän ensimmäisen ehdon kanssa) ja
pari  on ryhmä.
Toisin sanoen aliryhmä on itsessään ryhmä alkuperäisen ryhmäoperaation rajoittuman suhteen. Ryhmäteoriaa käsittelevässä kirjallisuudessa käytetään molempia määritelmiä.

Joukot  ja  ovat aina ryhmän  aliryhmiä. Aliryhmää  kutsutaan triviaaliksi aliryhmäksi. Mikäli  ja , niin aliryhmää  sanotan aidoksi ja merkitään

Ominaisuuksia
Olkoon seuraavassa   ja 

Ryhmän  neutraalialkio on myös aliryhmän  neutraalialkio.
Alkion  käänteisalkio ryhmässä  on myös sen käänteisalkio aliryhmässä 
Tulo  jos ja vain jos  Vastaavasti  jos ja vain jos 
Kahden aliryhmä joukko-opillinen unioni on aliryhmä jos ja vain jos toinen aliryhmistä sisältyy toiseen. Siis jos , niin
 jos ja vain jos  tai 
Aliryhmien joukko-opillinen leikkaus on aliryhmä. Eli jos  on mielivaltainen indeksijoukko, jolla  kaikilla , niin tällöin leikkaus

Jos , niin edellisen kohdan nojalla on olemassa sellainen yksikäsitteinen suppein ryhmän  aliryhmä, joka sisältää joukon . Tämä aliryhmä on
 ja sitä kutsutaan joukon  generoimaksi aliryhmäksi.

Katso myös
Sivuluokka
Normaali aliryhmä
Aliryhmäkriteeri
Lagrangen indeksilause
Sylowin lauseet

Kirjallisuutta
 

Ryhmäteoria