Reaaliluku

Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten  tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää, joten määrittely käydään läpi tässä artikkelissa seuraavaksi.

Reaalilukujen havainnollinen määritelmä 
Reaalilukujen joukko  koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi  ja  ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja  ja  ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan.

Vaikka tämä määritelmä kelpaa koulumatematiikkaan, se ei ole täsmällinen, koska nyt herää kysymys, mitä luku ja desimaalikehitelmä tarkoittavat. Siksi reaaliluvut määritellään nykymatematiikassa aivan toisesta lähtökohdasta.

Reaalilukujen aksiomaattinen määritelmä 
Tarkastellaan abstraktia joukkoa , jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku , abstrakti kertolasku  (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio . Algebrallinen struktuuri  on täydellinen järjestetty kunta eli reaalilukujen kunta, jos sillä on seuraavassa mainitut algebralliset ominaisuudet, järjestysominaisuudet ja täydellisyysominaisuus.

Reaalilukujen algebralliset ominaisuudet 
(A1) Yhteenlaskun vaihdantalaki: Kaikilla  on .

(A2) Yhteenlaskun liitäntälaki: Kaikilla  on .

(A3) Nollan olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku , että kaikilla  on .

(A4) Vastaluvun olemassaolo: Jokaista reaalilukua  kohti on olemassa sellainen reaaliluku , että . Merkitään .

(A5) Kertolaskun vaihdantalaki: Kaikilla  on .

(A6) Kertolaskun liitäntälaki: Kaikilla  on .

(A7) Ykkösen olemassaolo: On olemassa sellainen reaaliluku , että kaikilla  on .

(A8) Käänteisluvun olemassaolo: Jos  ja , niin on olemassa sellainen , että . Merkitään .

(A9) Osittelulaki: Kaikilla  on .

Reaalilukujen järjestysominaisuudet 
(J1) Refleksiivisyys: Kaikilla  on .

(J2) Antisymmetrisyys: Olkoon . Jos  ja , niin .

(J3) Transitiivisuus: Olkoon . Jos  ja , niin .

(J4) Vertailullisuus: Kaikilla  on  tai .

(J5) Järjestyksen säilyminen yhteenlaskussa: Olkoon . Jos , niin .

(J6) Ei-negatiivisuuden säilyminen kertolaskussa: Olkoon . Jos  ja , niin .

Reaalilukujen täydellisyysominaisuus 
Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla  mutta ei ole rationaalilukujen joukolla . 

Joukon  epätyhjä osajoukko  on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen reaaliluku , että kaikilla  on . Tällöin  on joukon  yläraja.

(T) Täydellisyys: Joukon  jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja. (Toisin sanoen, jokaisen tällaisen osajoukon ylärajojen joukossa on pienin luku.)

Joukolla  ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa.

Reaalilukujen konstruointi rationaaliluvuista 
Kun rationaalilukujen joukko  oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen joukko  voidaan konstruoida käyttämällä Dedekindin leikkauksia tai Cauchyn jonoja. Edellinen tapa tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään sen kaikkien rationaalisten alalikiarvojen joukkona. Jälkimmäinen tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään kaikkina mahdollisina sitä kohti suppenevina rationaalilukujonoina. 

Siis, kun  oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen aksioomajärjestelmälle (A1)–(A9), (J1)–(J6), (T) voidaan muodostaa malli, joten reaaliluvut "ovat olemassa". Voidaan todistaa, että kaikki tämän aksioomajärjestelmän mallit ovat keskenään isomorfisia, mikä havainnollisesti tarkoittaa, että niiden matemaattinen rakenne on täysin sama ja ne eroavat toisistaan vain merkintöjen osalta.

Reaalilukujen joukon ylinumeroituvuus 
Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.

Katso myös 
 Kompleksiluku

Lähteet 
 Browder, A.: Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, 1996.
 Ebbinghaus, H-D.; Hermes, H.; Hirzebruch F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R.: Numbers. Corrected 3rd printing. Springer, 1995.
 Lindelöf, E.: Johdatus korkeampaan analyysiin. 4. p. WSOY, 1956.
 
 Myrberg, Lauri: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa I. 7. p. Kirjayhtymä, 1999. ISBN 951-26-0936-3.
 Myrberg, Lauri: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa II. 4. p. Kirjayhtymä, 1995. ISBN 951-26-0994-0.
 Rudin, W.: Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X.

Kirjallisuutta 
 

Reaaliluvut
Seulonnan keskeiset artikkelit