Modulaarisuuslause

Modulaarisuuslauseen (aiemmin Taniyaman–Shimuran otaksuma) mukaan jokainen elliptinen käyrä on modulaarinen. Puolivakaiden elliptisten käyrien todistaminen modulaarisiksi oli ratkaiseva askel Fermat'n suuren lauseen todistamisessa.

Täsmällisesti: Jos p on alkuluku ja E on elliptinen käyrä yli rationaalilukujen kunnan, voimme tarkastella E:n määräämää yhtälöä modulo p. Nyt äärellistä määrää alkulukuja p lukuun ottamatta saamme kaikilla  alkuluvuilla p tulokseksi elliptisen käyrän äärellisessä kunnassa Fp, jossa on np alkiota. Tarkastellaan jonoa

ap = np − p,

joka on tärkeä elliptisen käyrän E invariantti. Jokainen moduulimuoto vastaa myös saadun lukujonon alkioita Fourier'n muunnoksen mukaan. Elliptistä käyrää, jonka jono vastaa yllä kuvattua lukujonoa, sanotaan modulaariseksi. Nyt modulaarisuuslause saa muodon:
 Jokainen kunnan Q elliptinen käyrä on modulaarinen.

Tämän lauseen oli ensimmäiseksi otaksunut Yutaka Taniyama syyskuussa 1955. Hän tutki ja tarkensi otaksumaa yhdessä Goro Shimuran kanssa vuoteen 1957 asti. Kaksikon yhteinen tutkimusura ei olisi kuitenkaan kestänyt paljoa pidempää, sillä Taniyama teki itsemurhan seuraavana vuonna. 1960-luvulla otaksuma tuli osaksi Langlandsin ohjelmaa, eräänlaista matematiikan yhtenäisyysteoriaa. André Weil kiinnostui otaksumasta 1970-luvulla, ja toisinaan puhutaankin Taniyaman–Shimuran–Weilin lauseesta. Huolimatta kiinnostuksesta otaksumaa kohtaan, kysymyksen syvällisyys ilmeni vasta 1990-luvun tulosten perusteella.

Lähteet 
 Conrad, Brian & Diamond, Fred & Taylor, Richard: Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations , Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521–567. Lauseen todistus.

Algebralliset käyrät
Modulimuodot
Matemaattiset teoreemat