Tasainen jatkuvuus

Tasainen jatkuvuus on matemaattisen analyysin käsite. Karkeasti ilmaistuna tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että pientä muutosta x:ssä vastaa pieni muutos funktion arvossa f(x), ja tämän muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteestä x.

Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f on jatkuva (tai epäjatkuva) tietyssä pisteessä. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin välillä, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Sitä vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on määritelty joukossa, ei pisteessä. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa välin pisteessä olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Määritelmä 

Olkoon D R:n osajoukko, .

Kuvaus  on tasaisesti jatkuva jos ja vain jos

.

Tärkeää on, että toisin kuin tavallisen jatkuvuuden määrittelyssä δ riippuu ainoastaan ε:sta.

Yleistys metrisiin avaruuksiin 

Määritelmä yleistyy metrisiin avaruuksiin seuraavasti:

Olkoot (X, dx) ja (Y, dy) metrisiä avaruuksia. Kuvaus  on tasaisesti jatkuva, jos kaikille reaaliluvuille ε > 0 on olemassa luku δ > 0  siten, että kaikkien joukon X pisteiden x1 ja x2, joiden välinen etäisyys on pienempi kuin δ, kuvapisteiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin ε, toisin sanoen

Ominaisuuksia 

Jokainen tasaisesti jatkuva funktio on jatkuva, mutta käänteisesti väite ei päde. Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x, jonka lähtöjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko, on jatkuva mutta ei tasaisesti jatkuva, sillä kun x lähestyy nollaa, muutokset arvossa f(x) kasvavat rajatta.

Todistus 

Olkoon . Tällöin , kun  ja

, kun . Täten valittiinpa  miten pieneksi
tahansa, niin silti löydetään luvut  ja , joilla  ja joilla  saadaan mielivaltaisen
suureksi. Siispä  ei ole tasaisesti jatkuva. 

Kuitenkin jos funktio on jatkuva jokaisessa kompaktin välin pisteessä, se on tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Lähteet 

Analyysi