Kuutiojuuri

Luvun x kuutiojuuri (merkitään  tai x1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun  kuutiojuuri on 

sillä  

Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.

Geometrisia sovelluksia 

Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri, 
.

Kompleksiluvun kuutiojuuri 

Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi.  Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat ,  ja . Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.

Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen  reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.

Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, ) avulla:

,

missä
 ja
.

Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.

De Moivren kaavan mukaan 

,
ja erityisesti 

josta saadaan kääntäen:

Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin:

ja

Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:

,
 ja
.

Katso myös 
 Kuutio (algebra)
 Neliöjuuri
 Kuution kahdentaminen
 Juuri (laskutoimitus)

Algebra