Differentiaalilaskennan väliarvolause

Differentiaalilaskennan väliarvolause on erittäin keskeinen lause differentiaalilaskennassa.

Lagrangen väliarvolause sanoo, että suljetulla välillä derivoituvan funktion derivaatta saa jossakin tämän välin pisteessä arvon, joka on yhtä suuri kuin funktion arvojen erotus välin päätepisteissä jaettuna näiden pisteiden erotuksella. Havainnollisemmin tämä voidaan selittää niin, että kuvaajan tangentti on jossakin pisteessä samansuuntainen välin päätepisteet yhdistävän janan kanssa.

Formaalisti: Olkoon  välillä [a, b] jatkuva ja välillä ]a, b[ derivoituva funktio. Tällöin on olemassa , jolle 

.

Väliarvolausetta voidaan käyttää approksimoimaan funktion arvoa jossain pisteessä, mikäli sen arvo tunnetaan toisessa pisteessä ja tiedetään derivaatan itseisarvon yläraja näiden kahden pisteen välillä. 

Cauchyn väliarvolause on yleisempi kuin Lagrangen versio. Sen mukaan, jos funktiot f(t) ja g(t) ovat molemmat jatkuvia suljetulla välillä [a, b] ja derivoituvia avoimella välillä ]a, b[, niin tällöin välillä ]a, b[ on olemassa reaaliluku c, jolle

Cauchyn väliarvolausetta voidaan käyttää muun muassa L’Hôpitalin säännön todistamisessa. Lagrangen väliarvolause on Cauchyn väliarvolauseen erikoistapaus, missä g(t) = t. 

Väliarvolausetta näkee käytettävän harvoin sovelluksissa. Sen sijaan väliarvolauseen avulla voidaan todistaa monia derivaattaa koskevia differentiaalilaskennan perustuloksia. Lagrangen väliarvolauseesta nähdään esimerkiksi se, että aidosti kasvavan ja derivoituvan funktion derivaatta on kaikkialla epänegatiivinen.

Lagrangen väliarvolauseen todistus 
Olkoon [a, b] annettu väli ja  derivoituva välillä ]a, b[. Määritellään 

Nyt  ja  on derivoituva välillä ]a, b[, joten Rollen lauseen nojalla on olemassa luku  jolle . Nyt

 □

Cauchyn väliarvolauseen todistus 

Olkoon , jolloin  on jatkuva, kun , ja derivoituva, kun .
. 

  
  
Täten .
Rollen lauseen nojalla  siten, että

Katso myös 
 Rollen lause
 Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Lähteet

Aiheesta muualla

Kirjallisuutta 
 

Differentiaalilaskenta