Homeomorfismi

Tätä käsitettä ei tule sekoittaa homomorfismiin.

Homeomorfismi (kreikan sanoista homeos ’identtinen’ ja morphe ’muoto’) on topologiassa tietyt ehdot täyttävä kuvaus kahden topologisen avaruuden välillä. Kahta avaruutta kutsutaan homeomorfisiksi, jos niiden välillä on homeomorfismi.

Intuitiotasolla homeomorfismi on kuvaus, jolla voi rutistaa ja venyttää kappaleita kuitenkaan täyttämättä kappaleen reikiä tai repimällä uusia. Esimerkiksi neliö ja ympyrä ovat homeomorfisia. Vitsin mukaan topologi ei osaa erottaa kahvikuppia donitsistaan, sillä nämä kappaleet ovat keskenään homeomorfisia.

Määritelmä

Olkoon f kuvaus X:ltä Y:lle. f:ää sanotaan homeomorfismiksi, jos on voimassa

 f on bijektio,
 f on jatkuva kuvaus,
 Käänteisfunktio f −1 on jatkuva. 

Viimeksi mainitun ehdon voi korvata jommallakummalla seuraavista ehdoista: 

 f on avoin, tai
 f on suljettu.

Homeomorfismit jakavat topologiset avaruudet ekvivalenssiluokkiin. Saatua ositusta kutsutaan homeomorfismiluokiksi.

Keskenään homeomorfisten topologisten avaruuksien avoimet joukot ovat täydellisessä vastaavuussuhteessa. Koska topologia voidaan pohjimmiltaan palauttaa avoimien joukkojen tutkimiseksi (ks. topologian tekninen määritelmä), mikä tahansa tietylle topologiselle avaruudelle pätevä topologian tulos pätee myös sen kanssa homeomorfisille topologisille avaruuksille.

Lähteet

Aiheesta muualla

Kirjallisuutta 
 

Topologia