Multiplikatiivinen funktio

Lukuteoriassa multiplikatiivisella funktiolla tarkoitetaan funktiota f, jolle kaikilla keskenään jaottomilla kokonaisluvuilla a ja b pätee f(ab) = f(a) f(b). Jos ehto pätee myös kaikilla luvuilla a ja b jotka eivät ole keskenään jaottomia, sanotaan funktion olevan täydellisesti multiplikatiivinen.

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista 

Esimerkkejä multiplikatiivisista funktioista, jotka ovat laajalti käytössä lukuteoriassa: 
 (n): Eulerin fii , niiden lukua n pienempien lukujen a lukumäärä, joilla a ja n ovat keskenään jaottomia.
 (n): Möbiuksen funktio, niiden n:n alkutekijöiden lukumäärä, jotka ovat neliöttömiä. (täydellisesti multiplikatiivinen).
 syt(n,k): lukujen n ja k suurin yhteinen tekijä, missä k on kiinteä kokonaisluku.
 d(n): luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärä,
 (n): kaikkien n:n positiivisten tekijöiden summa
 k(n): sigmafunktio, joka on kaikkien luvun n positiivisten tekijöiden k:nsien potenssien summa. Erikoistapauksina
 0(n) = d(n) ja
 1(n) = (n),
 1(n): vakiofunktio, määritellään 1(n) = 1 (täydellisesti multiplikatiivinen)
 Id(n): identtinen funktio, määritellään Id(n) = n (täydellisesti multiplikatiivinen)
 Idk(n): potenssifunktio, määritelty Idk(n) = nk kaikille luonnollisille luvuille (tai jopa kompleksiluvuille) k (täydellisesti multiplikatiivinen). Erikoistapauksina saadaan
 Id0(n) = 1(n) ja
 Id1(n) = Id(n),
 (n): funktio, joka on määritelty (n) = 1 jos n = 1 ja = 0 jos n > 1, tunnetaan myös nimellä Dirichlet'n konvoluution multiplikatiivinen yksikkö tai yksikkö; Tämä kirjoitetaan toisinaan muodossa u(n), ettei sitä sekoiteta Möbiuksen funktioon (n).
 (n/p), Legendren symboli, missä p on kiinteä alkuluku (täydellisesti multiplikatiivinen).
 (n): Liouvillen funktio, jonka arvo on niiden alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n. Liouvillen funktio on täydellisesti multiplikatiivinen.
 (n), joka määritellään (n)=(-1)(n), missä additiivinen funktio (n) on erillisten alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n.
 Kaikki Dirichlet'n karakteristikat ovat täydellisesti multiplikatiivisia funktioita.

Esimerkki aritmeettisesta funktiosta, joka ei ole multiplikatiivinen on r2(n) - kuinka monella tavalla luku n voidaan esittää kahden kokonaisluvun neliöiden summana, esimerkiksi

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

ja siten r2(1) = 4 ≠ 1. Tämä osoittaa, että funktio ei ole multiplikatiivinen. Kuitenkin r2(n)/4 on multiplikatiivinen.

Katso myös 
 Aritmeettinen funktio

Lähteet

Viitteet