Metrinen avaruus

Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä

Metrinen avaruus on pari , missä  on joukko ja  kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon  alkioilla ,  ja  toteuttaa ehdot

  (kolmioepäyhtälö), 
 , 
 , ja
 .

Ehdoista seuraa , sillä  (1)  (2) . 

Kun  toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka. 

Metristä avaruutta  kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi , jos käytössä oleva metriikka  on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden  alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua  pisteiden  ja  väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä
 Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa  voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä  jos  ja  muutoin.
 Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan .
 Jokaisessa joukossa  tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden  ja  välinen etäisyys on
 
Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.
 Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos  on normiavaruus, niin funktio  määrää metriikan joukkoon X.
 Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä

Kuulat ja pallot
Olkoon  metrinen avaruus,  ja . Tällöin joukkoa

kutsutaan avaruuden  -keskiseksi -säteiseksi avoimeksi kuulaksi. Toisin sanoen,  on niiden pisteiden  joukko, joiden etäisyys pisteestä  on aidosti pienempi kuin . Joukkoa  kutsutaan myös pisteen  kuulaympäristöksi.

Vastaavasti määritellään joukot

ja

joista edellistä kutsutaan suljetuksi kuulaksi ja jälkimmäistä palloksi.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden  metriikasta , ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä .

Avoin ja suljettu joukko

Avaruuden  osajoukko  on avoin, jos jokaisella pisteellä  on kuulaympäristö  siten, että . Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään :n topologian, ns. tavallisen topologian ; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden  topologiaa  metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin :n metriikka  siten, että .

Joukko  on suljettu, jos sen komplementti  on avoin. Joukko  voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

Rajoitettu joukko
Metrisen avaruuden  osajoukkoa  sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde , että  kaikilla . Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon halkaisijaksi eli läpimitaksi.

Pisteen etäisyys joukosta
Metrisen avaruuden pisteen  etäisyys joukosta  on lyhin etäisyys pisteestä  johonkin joukon  pisteeseen, toisin sanoen

.

Katso myös
Avaruus
Ultrametrinen avaruus

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla

Kirjallisuutta
 
 

Topologia
Seulonnan keskeiset artikkelit