Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava on Niccolò Tartaglian keksimä kaava ratkaista yhtälöt muotoa 
 missä . Kun yhtälö jaetaan a:lla ja sijoitetaan x=y-b/3a, saadaan yhtälö muotoon y3+py+q=0. Jos p=0 nähdään, että yhtälöllä on ratkaisuna y=-q^(1/3). Siten y3+py+q=0 on jaollinen polynomilla y-q^(1/3) ja saatu toisen asteen yhtälö on helppo ratkaista. Keskitytään siis tapaukseen, missä 

Sijoittamalla y=u+v yhtälöön y3+py+q=0 saadaan yhtälö muotoon 
 Nyt voidaan valita u ja v siten, että 3uv=-p. Tällöin saadaan 
 Tämä näennäisesti kuudennen asteen yhtälö palautuu sijoituksella t=u3 toisen asteen yhtälöksi. Kun nämä arvot on saatu, voidaan päätellä edellisten sijoituksessa saatujen muuttujien arvot ja lopulta polynomin juuret saadaan selville.

Ratkaisut 

Suoraan yhtälön kertoimista juuret saadaan kaavoilla:

Lauseketta
 
kutsutaan yhtälön diskriminantiksi. Jos kaikki kertoimet a, b, c ja d ovat reaalilukuja ja diskriminantti positiivinen, on yhtälöllä vain yksi reaalinen ratkaisu, josta on edellä käytetty merkintää x1. Ratkaisut x2 ja x3 ovat tällöin kompleksilukuja, jotka ovat toistensa liittolukuja. Mikäli diskriminantti on negatiivinen, on neliöjuuresta saatu luku imaginääriluku. Tällöin molempien ratkaisukaavassa esiintyvien kuutiojuurten sisällä on kompleksiluku, jonka juuren ratkaisemiseksi tarvitaan De Moivren kaavaa.  Nämä kuutiojuuret ovat kuitenkin toistensa liittolukuja, minkä vuoksi niiden summa on reaaliluku. Tässä tapauksessa yhtälöllä on siis kolme reaalista ratkaisua (edellyttäen, että kertoimet ovat reaalilukuja).

Lähteet

Aiheesta muualla 
Ohjelma, joka antaa 2., 3. ja 4. asteen yhtälön ratkaisut, kun siihen syötetään kertoimet
 The Cubic Formula

Yhtälöt
Algoritmit
Seulonnan keskeiset artikkelit