Ceviaani

Ceviaani on geometriassa kolmioon liittyvä jana. Se yhdistää kolmion kärjen ja sen vastaisen sivun tai sivun jatkeella olevaan pisteeseen, joka ei kuitenkaan ole kolmion kärkipiste. Sivun kohtaamispistettä kutsutaan kantapisteeksi.

Nimi Cevian tai cévienne on alun perin annettu italialaisen Giovanni Cevan kunniaksi. Muunkieliset vastineita nimelle ovat muun muassa ,, , , , ,  ja . Se ei ole vakiinnuttanut asemaansa suomalaisessa termistössä, mutta muunlaisen nimityksen puuttuessa tätä nimitystä voidaan käyttää suorana käännöksenä.

Kolmion eri kärjistä lähtevät ceviaanit voivat kaikki leikata toisensa yhteisessä leikkauspisteessä, ceviaanipisteessä. Tällaisen leikkauspisteen olemassaolon voi todeta Cevan lauseen avulla.

Ceviaanin pituus 

Stewartin lauseen mukaan ceviaanin pituus  toteuttaa yhtälön  missä  ja  ovat kolmion sivuja ja  on jaetun sivun  kärjen  puoleinen osa ja  kärjen  puoleinen osa. Ceviaanin pituus saadaan tästä ratkaistua  
.

Ceviaanien pituuksia 
Seuraavissa ceviaanien pituuksien lausekkeissa  merkitsee kolmion pinta-alaa,  ja  kolmion sivujen  ja  vastaisia kulmia sekä  kolmion piirin puolikasta eli puolipiiriä. Ne ovat kaikki johdettavissa Stewartin lauseesta.
 Korkeusjanan pituus ,
 Kulmanpuolittajan pituus  ,
 Keskijanan pituus   ja
 Symmediaanin pituus .

Ceviaanin kantapiste 
Kantapiste on ceviaanin leikkauspiste kärjen vastaisella sivulla tai sen jatkeella. Jos kantapiste on  kolmion sivulla, se jakaa sivun kahteen osaan. Seuraavien ceviaanien kantapisteiden jako-ominaisuuksia:
 Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa eli b : c.
 Keskijana jakavat vastaisen sivun kahteen yhtäpitkään osaan eli sivun jakosuhde on 1 : 1.
 Symmediaani jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen neliöiden suhteessa eli b2 : c2.
Kun ceviaanien kantapisteet yhdistää toisiinsa, saadaan uusi kolmio, ceviaanikolmio.

Lähteet

Viitteet 

Kolmion geometria
Geometria