قضیه‌ی مقدار کرانی

در حسابان، قضیهٔ مقدار کرانی یا قضیهٔ مقدار فرین بیان می‌کند که اگر یک تابع با مقادیر حقیقی  در بازهٔ بسته و ناتهی ، پیوسته باشد، این تابع،‌ یعنی ، اقلاً یکبار به مقادیر حداکثر و حداقل دست می‌یابد؛ یعنی در بازهٔ ، اعدادی مانند  و  هستند به طوری که:

 

قضیه مقدار کرانی از قضیهٔ کرانه‌داری گویاتر است. این قضیه صرفاً بیان می‌کند که یک تابع پیوسته  در بازهٔ بسته  تابعی کران‌دار است؛ یعنی اعداد حقیقی همچون  و   وجود دارد به طوری که:

  .

چنین قضیه‌ای نمی‌گوید  و  لزوماً مقادیر حداکثر و حداقل  در فاصله  هستند؛ که این همان چیزی است که قضیه مقدار کرانی تصریح می‌کند، باید باشد.

توابعی که قضیه در مورد آن‌ها صدق نمی‌کند 
مثال‌های زیر نشان می‌دهند که چرا دامنه تابع باید بسته و محدود باشد تا قضیه اعمال شود. هر کدام از آن‌ها در بازهٔ مشخص شده به حداکثر نمی‌رسند.
  تعریف شده‌است  از بالا کران‌دار نمی‌شود.
  تعریف شده‌است  کران‌دار است اما به حداقل حد بالایی خود  نمی‌رسد.
  تعریف شده‌است  از بالا کران‌دار نمی‌شود.
  تعریف شده‌است  کران‌دار است اما هرگز به حداقل حد بالایی خود  نمی‌رسد.

تعیین  در دو مثال آخر نشان می‌دهد که هر دو قضیه نیاز به پیوستگی در  دارند.

منابع

جستارهای خارجی 
 اثباتی برای قضیهٔ مقادیر کرانی در زمان قطع
 قضیه مقدار کرانی توسط ژاکلین واندزورا با مشارکت‌های اضافی توسط استفان واندزورا، نمایش‌های پروژه ولفرام.
  
 اثبات سیستم Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15
قضایای حسابان
قضیه‌ها در آنالیز حقیقی
مقالات شامل اثبات