منیفلد دیفرانسیل‌پذیر

در ریاضیات، یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر  نوعی منیفلد است که جهت انجام حساب دیفرانسیل و انتگرال، به طور موضعی به میزان کافی به یک فضای خطی شبیه اند. هر منیفلدی را می توان توسط گردایه ای از چارت‌ها که به آن اطلس هم می گویند، توصیف کرد. آنگاه می توان ایده‌هایی را از حسابان به کار گرفت، در حالی که هر چارت در فضایی خطی قرار داشته که در ان می توان قواعد حسابان را به کار برد. اگر چارت‌ها به طرز مناسبی با هم سازگار باشند (یعنی تابع انتقال از یک چارت به دیگری دیفرانسیل پذیر باشد)، محاسبات انجام گرفته در یک چارت در بقیه چارت‌های دیفرانسیل پذیر نیز برقرار است.

به زبان صوری، یک منیفلد دیفرانسیل‌پذیر، منیفلدی توپولوژیک است که ساختار دیفرانسیل سرتاسری بر روی آن تعریف شده است. هر منیفلد توپولوژیکی را می توان به طور موضعی و با کمک هومئومورفیسم ها در اطلس و یک ساختار استاندارد دیفرانسیل رو یک فضای خطی، مجهز به یک ساختار دیفرانسیل کرد. برای القای یک ساختار دیفرانسیل روی دستگاه های مختصاتی موضعی با استفاده از هومئومورفیسم‌ها، ترکیبشان روی اشتراک چارت ها باید توابعی دیفرانسیل پذیر روی فضای خطی متناظر باشد. به بیان دیگر، اگر دامنه چارت‌ها همپوشانی داشته باشند، مختصات تعریف شده توسط هر چارت باید نسبت به مختصات تعریف شده در هر چارت از اطلس نیز دیفرانسیل پذیر باشد. نگاشت‌هایی که مختصات تعریف شده توسط چارت‌های مختلف را به هم مرتبط می کنند را نگاشت‌های انتقال گویند.

دیفرانسیل‌پذیری در موقعیت های مختلف، معانی مختلفی دارد: به طور پیوسته دیفرانسیل‌پذیر، k بار دیفرانسیل پذیر، هموار و هولومورفیک. به علاوه، امکان القای چنین ساختار دیفرانسیلی روی یک فضای مجرد، امکان گسترش تعریف دیرانسیل پذیری به فضاهایی که دستگاه مختصات سرتاسری ندارند را نیز می دهد. یک ساختار دیفرانسیل امکان تعریف فضای مماس دیفرانسیل پذیر سرتاسری، توابع دیفرانسیل‌پذیر، تنسور دیفرانسیل پذیر و میدان برداری را می دهد. منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر در فیزیک اهمیت بالایی دارند. برخی از انواع خاص منیفلدهای دیفرانسیل پذیر پایه ای برای نظریات فیزیکی چون مکانیک کلاسیک، نسبیت عام و نظریه یانگ-میلز را می دهد. امکان تکوین حاسابان برای منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر وجود دارد. از نتایج این تکوین، ماشین های ریاضیاتی چون حساب خارجی می باشد. به مطالعه حسابان روی منیفلدهای دیفرانسیل پذیر هندسه دیفرانسیل می گویند.

منابع 

 
 
 
 .
 
  .
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

منیفلدهای هموار