ثابت‌های فایگنباوم

در ریاضیات، به‌طور خاص نظریه دوشاخگی، ثابت‌های فایگنباوم  دو ثابت ریاضی هستند که هر دو نسبت‌ها را در نمودار دوشاخگی برای یک نگاشت غیرخطی بیان می‌کنند. نام آن‌ها از فیزیکدان میچل جی. فایگنباوم گرفته شده‌است.

تاریخ 
فایگنباوم در ابتدا ثابت اول را به دوشاخگی‌ها با مضاعف‌سازی-تناوب در نگاشت لُجستیک مربوط می‌کند، اما همچنین نشان می‌دهد که برای همه نگاشت‌های یک-بُعدی با تنها بیشینه مرتبه دوم ثابت است. در نتیجه این عمومیت، هر سیستم آشوبناکی که با این توصیف مطابقت داشته باشد، با همان سرعت دوشاخه می‌شود. در سال ۱۹۷۵ کشف شد.

ثابت اول 
ثابت اول فایگنباوم نسبت محدود کننده هر فاصله دوشاخگی به بُعدی بین هر مضاعف‌سازی-تناوب، یک نگاشت تک-پارامتری است

 

در این‌جا  تابعی است که توسط پارامتر دوشاخگی  پارامتری می‌شود.

با این حد بدست می‌آید

 

که در آن ها مقادیر گسسته  در تناوب ام مضاعف‌سازی هستند.

نام‌ها 
 سرعت دوشاخگی فایگنباوم
 دلتا

مقدار 
 ۳۰ رقم اعشار:  = 
 
 یک تقریب منطقی ساده ۴ * ۳۰۷/۲۶۳ است

شرح

نگاشت‌های غیر-خطی 
برای دیدن چگونگی پیدایش این عدد، نگاشت حقیقی یک پارامتری را در نظر بگیرید

 

در اینجا  پارامتر انشعاب است،  متغیر است. مقادیر  که تناوب برای آن دوبرابر می‌شود (به عنوان مثال بزرگترین مقدار برای  با هیچ مدار تناوب-۲، یا بزرگترین  با هیچ مدار تناوب-۴)،  ، و غیره هستند. این موارد در زیر آورده شده‌است:

این نسبت در ستون آخر به ثابت اول فایگنباوم همگرا می‌شود. همین عدد برای نگاشت لُجستیک بوجود می‌آید

 

با پارامتر حقیقی  و متغیر . جدول‌بندی مجدد مقادیر دوشاخگی:

فراکتال 

در مورد مجموعه مندلبرو برای چندجمله‌ای درجه دوم مختط

 

ثابت فایگنباوم نسبت بین قطر دایره‌های متوالی در محور حقیقی در صفحه مختلط است (به انیمیشن سمت راست مراجعه کنید).

ثابت دوم 
ثابت فایگنباوم دوم یا ثابت آلفایِ فایگنباوم ،

 

نسبت بین عرض یک شاخک و عرض یکی از دو زیرشاخک‌های آن است (به استثنای شاخک نزدیک به تاخورده). هنگامی که نسبت بین زیرشاخک پایین و عرض شاخک اندازه‌گیری می‌شود، علامت منفی به  اعمال می‌شود.

این اعداد برای دسته بزرگی از سیستم‌های دینامیکی (به عنوان مثال، شیرهای چکه‌کننده تا رشد جمعیت) اعمال می‌شوند.

یک تقریب منطقی ساده (۱۳/۱۱) * (۱۷/۱۱) * (۳۷/۲۷) است.

خواص 
اعتقاد بر این است که هر دو عدد اعداد متعالی هستند، اگرچه ثابت نشده‌است که چنین هستند. همچنین هیچ اثبات شناخته شده‌ای مبنی بر غیر منطقی بودن هر یک از ثابت‌ها وجود ندارد.

اولین اثبات جهانشمولی بودن ثابتات فیگنباوم که توسط اسکار لانفورد در سال ۱۹۸۲ انجام شد (با تصحیح اندکی توسط ژان پیر اکمان و پیتر ویتوِر از دانشگاه ژنو در سال ۱۹۸۷) با کمک رایانه انجام شد. با گذشت سال‌ها، روش‌های غیر-عددی برای قسمت‌های مختلف اثبات کشف شد و به میخائیل لیوبیچ در ارائهٔ اولین اثبات کامل غیر-عددی کمک کرد.

جستارهای وابسته 
 نمودار دوشاخگی
 نظریه دوشاخگی
 شکست آبشاری
 تابع فایگنباوم
 فهرست نگاشت‌های آشوبناک
 قضیه راکتِ تنیس
 وارونی ژئومغناطیسی

یادداشت

منابع 

 Alligood, Kathleen T. , Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences Springer, 1996,

پیوند به بیرون 

 Feigenbaum Constant - از Wolfram MathWorld
 

 
 
 ثابت Feigenbaum - PlanetMath
 

ثابت‌های ریاضی
سامانه‌های دینامیکی
نظریه آشوب
نظریه انشعاب