چندجمله‌ای کمینه (نظریه میدان)

چندجمله‌ای کمینه  (یا «چندجمله‌ای مینیمال»)، در نظریه میدان‌ها که شاخه‌ای از ریاضیات است، برای یک عنصر  از یک میدان، به صورت تقریبی، یک چندجمله‌ای با کمترین درجه (که ضرایبش در آن میدان است) به این صورت است که  ریشه چندجمله‌ای باشد. اگر چندجمله‌ای  موجود باشد، آنوقت حتماً یکتا است. ضریب جمله دارای بالاترین-درجه در چندجمله‌ای باید حتماً ۱ باشد، و نوع مابقی ضرایب می‌تواند عدد صحیح، عدد گویا، عدد حقیقی، یا موارد دیگر باشد.

به صورت صوری‌تر، یک چندجمله‌ای کمینه نسبت به توسیع میدانی  و یک عنصر از توسیع میدان  تعریف می‌شود. چندجمله‌ای کمینه برای یک عنصر، اگر موجود باشد، آنوقت عضوی از  (حلقه چندجمله‌ای‌ها در متغیر  با ضرایبی در ) است. اگر به ما عنصر  از  داده شده باشد، فرض کنید که  مجموعه همه چندجمله‌ای‌های  در  باشد به این صورت که  باشد. به عنصر  صفر یا ریشه هر چندجمله‌ای در  گفته می‌شود. مجموعه  به این دلیل این نام را دارد که یک ایده‌آل  است. چندجمله‌ای صفر، که همه ضرایبش ۰ می‌باشد، در هر  موجود می‌باشد زیرا برای همه ها و ‌ها معادله  درست است. این موضوع چندجمله‌ای صفر را برای طبقه‌بندی مقادیر مختلف  به انواع مختلف بیفایده می‌سازد، از این رو یک استثنا است. اگر یک چندجمله‌ای غیر-صفری در  موجود باشد، آنوقت به  یک عنصر جبری روی  گفته می‌شود، و در آن‌صورت حتماً یک چندجمله‌ای تکین با درجه حداقلی در  موجود است. این یک چندجمله‌ای کمینه از  نسبت به  است. این چندجمله‌ای یکتا است و روی  تحویل‌ناپذیر است. اگر چندجمله‌ای صفر تنها عضو  باشد، آنوقت به  عضو متعالی روی  گفته می‌شود، که هیچ چندجمله‌ای کمینه‌ای نسبت به  ندارد.

چندجمله‌ای‌های کمینه برای ساخت و تحلیل توسیع‌های میدان مفید هستند. وقتیکه  با چندجمله‌ای کمینه  جبری باشد، کوچکترین میدانی که شامل  و  است با حلقه خارج‌قسمتی  یکریخت است، که در آن  ایده‌آل  است که توسط  تولید شده‌است. از چندجمله‌ای‌های کمینه برای تعریف عناصر مزدوج هم استفاده می‌شود.

منابع 

چندجمله‌ای‌ها
میدان (ریاضیات)