فاکتوریل‌های صعودی و نزولی

در ریاضیات، فاکتوریل نزولی،  (اسامی دیگر فاکتوری سقوط کننده، ضرب دنباله‌ای سقوط‌کننده، یا فاکتوریل تحتانی) به صورت این چندجمله‌ای تعریف می‌گردد:

همچنین فاکتوریل صعودی  (نام‌های دیگر: فاکتوریل بالارونده، چندجمله‌ای پوکهامر، فاکتوریل بالارونده، ضرب دنباله‌ای بالارونده، یا فاکتوریل فوقانی) نیز به این صورت تعریف می‌گردد:

هرگاه  باشد (حاصلضرب تهی)، مقدار هرکدام از این فاکتوریل‌ها را ۱ فرض می‌کنند. این نمادها را جمعاً توان‌های فاکتوریل می‌نامند.

نماد پوکهامر (Pochhammer Symbol) که توسط لئو آگوست پوکهامر معرفی شد، دارای نماد  بوده که در آن n عدد صحیح نامنفی است. ممکن است این نماد در کتب و مقالات مؤلفان مختلف، بسته به قراردادهای بکار رفته توسط آن‌ها، در مواردی نمایانگر فاکتوریل نزولی، و در موارد دیگر نمایانگر فاکتوریل صعودی باشد. در حقیقت خود پوکهامر از این نماد برای معنای دیگری، یعنی ضریب دوجمله‌ای  استفاده نمود.

در این مقاله، نماد  را جهت نمایش فاکتوریل نزولی و نماد  را جهت نمایش فاکتوریل صعودی به کار می‌بریم. این قراردادها در ترکیبیات استفاده شده‌اند، گرچه نمادگذاری دونالد کنوث، یعنی  برای این اشیاء ریاضیاتی به‌طور فزاینده ای در حال معروف شدن می‌باشند. در نظریه توابع خاص (به خصوص توابع فوق‌هندسی) و در مرجع استاندارد Aabramowitz and Stegun، از نماد پوکهامر  جهت نمایش فاکتوریل صعودی استفاده شده‌است.

هنگامی که x عدد صحیح مثبتی باشد،  تعداد n-جایگشت‌های یک مجموعه x عضوی را می‌دهد، یا به‌طور معادل تعداد توابع یک‌به‌یک از مجموعه‌ای به اندازه n به مجموعه‌ای به اندازه x. همچنین،  «تعداد طرقی است که n پرچم را می‌توان در x سوراخ پرچم» آرایش داد، به طوری که تمام پرچم‌ها باید استفاده شود و هر سوراخ پرچم می‌تواند حداکثر یک پرچم داشته باشد.

ارجاعات

پیوند به بیرون 

 
 Elementary Proofs

روش تفاضلات محدود
عملیات روی اعداد
گاما و توابع مرتبط
موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای