حلقه نیم-اول

در نظریه حلقه‌ها، ایده‌آل‌های نیم-اول  و حلقه‌های نیم-اول  تعمیم ایده‌آل‌های اول اند. در جبر جابجایی، به ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل‌های رادیکال هم می‌گویند.

به عنوان مثال، در حلقه اعداد صحیح، ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل صفر و تمام ایده‌آل‌هایی به شکل  اند که در آن  یک عدد صحیح مربع-آزاد است. بنابر این،  یک ایده‌آل نیم-اول از اعداد صحیح است (چون  و در تجزیه آن هیچ عامل اول تکراری مشاهده نمی‌شود)، اما  نیم-اول نیست (چون ، و تجزیه آن دارای عامل اول تکراری است).

دسته حلقه‌های نیم-اول شامل حلقه‌های نیم-ابتدایی، حلقه‌های اول و حلقه‌های تحویل یافته‌است.

بسیاری از تعاریف و گزاره‌های این مقاله در  و  ظاهر شده‌اند.

تعاریف 
برای یک حلقه جابجایی چون ، ایده‌آل محضی چون  را یک ایده‌آل نیم-اول گویند اگر  در هرکدام از دو تعریف معادل زیر صدق کند:
 اگر از  در  و برای عدد صحیح مثبتی چون  از  در  نتیجه شود که  هم در  باشد.
 اگر  در  باشد اما در  نباشد، آنگاه تمام توان‌های صحیح مثبت  هم در  نباشند.

شرط دوم می گوید که متمم یک ایده‌آل نیم-اول "تحت توان گیری بسته است". این شرط مشابه خاصیت ایده‌آل های اول است که متممشان تحت ضرب بسته است. 

همچون ایده‌آل های اول، خاصیت اخیر برای ایده‌آل های نیم-اول با کمک ایده‌آل ها به حلقه های ناجابجایی تعمیم پیدا می کند. شرایط زیر برای ایده‌آل نیم-اول  در یک حلقه  با هم معادلند:
 برای هر ایده‌آل  از ، اگر برای هر عدد طبیعی  داشته باشیم  آنگاه .
 برای هر ایده‌آل راست چون  از ، اگر برای هر عدد طبیعی  داشته باشیم  آنگاه .
 برای هر ایده‌آل چپ چون  از ، اگر برای هر عدد طبیعی  داشته باشیم  آنگاه .
 برای هر  در ، اگر ، آنگاه  در  خواهد بود.

در اینجا دوباره، حالتی مشابه با حالت ناجابجایی برای m-دستگاه ایده‌آل های اول داریم. یک زیرمجموعه ناتهی  از یک حلقه  را n-دستگاه  گویند اگر برای هر  در ، وجود داشته باشد یک  در  چنان که  در  باشد. با این نمادگذاری ها، تعریف معادل دیگری را می توان به تعاریف فوق اضافه کرد:
  یک n-دستگاه است.

حلقه  را حلقه نیم-اول گوییم اگر ایده‌آل صفر آن یک ایده‌آل نیم-اول باشد. در حالت جابجایی، این معادل است با این که  یک حلقه تحویل یافته باشد، چون  هیچ عضو پوچتوان ناصفری ندارد. در حالت ناجابجایی، این حلقه هیچ ایده‌آل راست پوچتوان ناصفری ندارد.بنابر این، در حالی که یک حلقه کاهش یافته همیشه نیم-اول است، عکس آن صحیح نیست.

پانویس

منابع 

 
 

 

ایده‌آل‌ها
نظریه حلقه‌ها