ماتریس جایگشت

در ریاضیات، بخصوص در نظریه ماتریس‌ها، یک ماتریس جایگشت ، ماتریسی مربعی مبنای دویی است که در هر سطر و ستون آن دقیقاً یک درایه 1 داشته و بقیه درایه ها 0 باشند. هر ماتریس با این خصوصیت چون ، نماینده جایگشت  عنصر است و زمانی که در ماتریسی چون  ضرب شد، باعث جایگشت سطور (اگر ضرب به صورت  باشد) یا ستون ها (اگر ضرب به صورت  باشد) ی ماتریس  می شود.

تعریف 
فرض کنید جایگشت دلخواه  از  عنصر داده شده باشد:

 

که می توان آن را به صورت زیر نمایش داد:

 

دو راه برای نظیر کردن یک ماتریس به چنین جایگشتی وجود دارد؛ از یک ماتریس  همانی  شروع کرده و بر اساس  سطر ها یا ستون های آن را جایگشت دهیم. هردو روش به عنوان تعریف ماتریس جایگشت در متون ظاهر شده اند و خواص بیان شده در یک نمایش را می توان به راحتی تبدیل به نمایش های دیگر کرد. در این مقاله تنها با یکی از این نمایش ها سروکار خواهیم داشت و تنها زمانی که نیاز باشد به تفاوت دو نمایش اشاره می شود.

ماتریس  جایگشت  با جایگشت ستون های ماتریس همانی  بدست می آید، یعنی برای هر  اگر  آنگاه  در غیر این صورت . در این مقاله از چنین جایگشتی به نمایش ستونی یاد می شود. از آنجایی که درایه های سطر  ام همگی 0 هستند به جز یک درایه 1 در ستون ، می توان نوشت:

 

که در آن ، بردار پایه استاندارد است که نشانگر بردار سطری به طول  با موقعت  ام 1 است که درایه های دیگر آن 0 اند.

به عنوان مثال، ماتریس جایگشت  متناظر با جایگشت  به این صورت است:

 

همانگونه که مشاهده می کنید، ستون  ام ماتریس همانی ، اکنون به صورت ستون  ام  ظاهر شده است. 

نمایش های دیگر از جایگشت سطر های ماتریس  بدست می آیند، یعنی برای هر ، اگر  آنگاه  و در غیر این صورت . به نمایش اخیر نمایش سطری می گویند.

پانویس

منابع 

 
 

 

جایگشت‌ها
ماتریس‌ها
ماتریس‌های تنک