مرکزساز و نرمال‌ساز

در ریاضیات، بخصوص در نظریه گروه‌ها، مرکزساز (همچنین به آن جابجاگر هم می گویند) یک زیر مجموعه  از گروهی چون ، مجموعه تمام عناصر  است که با هر کدام از عناصر  جابجا می شود، و نرمال‌ساز یک مجموعه چون  عناصری اند که در شرط ضعیف تری صدق می کنند. مرکزساز و نرمال‌ساز  زیرگروه‌هایی از  اند و می توانند در فهم ساختار  کمک کنند. 

این تعاریف به مونوئیدها و نیم‌گروه‌ها نیز قابل اعمال اند. 

در نظریه حلقه‌ها، مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه بر اساس عملگر (ضربی) نیم‌گروه حلقه تعریف می شود. مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه  زیر حلقه ای از  است. این مقاله همچنین با مرکزسازها و نرمال‌سازهای جبر لی نیز نیز سروکار خواهد داشت.

ایده‌آل‌ساز در یک نیم‌گروه یا حلقه سازه دیگری است که از جهاتی شبیه مرکزساز و نرمال‌ساز می باشد.

تعاریف

گروه و نیم‌گروه 
مرکزساز یک زیرمجموعه  از یک گروه (یا نیم‌گروه)  به این صورت تعریف شده است:

 

مواقعی که هیچ ابهامی در مورد گروه مورد نظر در مسئله وجود نداشته باشد، حرف  در نماد مرکزساز به کل حذف می شود. زمانی که  یک تک عضوی باشد، آنگاه  را می توان به صورت  خلاصه کرد. نماد دیگری که برای مرکزساز کمتر رایج است  بوده که برای نماد مرکز گروه هم به کار می رود. کسی که از نماد اخیر برای مرکزساز استفاده می کند باید مراقب باشد تا مرکز گروه  یعنی  را با مرکزساز عضو  در  که به صورت  ممکن است نوشته شود خلط نکرده و بینشان تمایز قائل شود. 

نرمال‌ساز  در گروه (یا نیم‌گروه)  به این صورت تعریف می شود:

 

تعاریف این دو مشابه اند اما یکی نیستند. اگر  مرکزساز  و  در  باشد، آنگاه ممکن است  باشد اما اگر  در نرمال‌ساز قرار داشته باشد آنگاه برای یک  در  داریم  که در آن  قویاً با  متفاوتست. یعنی عناصر مرکزساز  باید به صورت نقطه ای با  جابجا شوند، اما عناصر نرمال‌ساز  الزاماً تنها با  به عنوان یک مجموعه جابجا می شوند. همان قرارداد در مورد حذف نماد  و حذف آکولاد برای مجموعه تک عضوی در مرکزساز، برای نرمال‌ساز هم صدق می کند. نرمال‌ساز را نباید با بستار نرمال اشتباه گرفت.

یادداشت‌ها

منابع  

 
 
 

جبرهای لی
جبر مجرد
نظریه حلقه‌ها
نظریه گروه‌ها