نظریه نمایش

نظریه نمایش شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه ساختار های جبری از طریق نمایش عناصر آن ها به صورت تبدیل های خطی فضاهای برداری پرداخته و به مطالعه مدول ها روی این ساختار های جبری می پردازد. اساساً، این گونه نمایش ها، اشیاء ساختار های جبری را با توصیف عناصرشان به کمک ماتریس ها و عملگر های جبری چون جمع و ضرب ماتریسی، ملموس تر می کنند. اشیاء جبری که رام چنین توصیفاتی می شوند شامل گروه ها، جبر های شرکت پذیر و جبر های لی می شوند. برجسته ترینشان (و از نظر تاریخی اولینشان) نظریه نمایش گروه هاست که در آن عناصر گروه توسط ماتریس های معکوس پذیر چنان نمایش داده می شوند که عمل گروهی حکم همان عمل دوتایی گروه را دارد. 

نظریه نمایش روش مفیدیست، چرا که مسائل جبر مجرد را به مسائل جبر خطی که به خوبی شناخته شده اند تقلیل می دهد. به علاوه، فضای برداری که یک گروه (به عنوان مثال) را روی آن نمایش می دهیم می تواند بی نهایت بعدی باشد، و حتی مثلاً می تواند یک فضای هیلبرت باشد که در این صورت می توان روش های آنالیزی را بر روی نظریه گروه ها اعمال کرد. نظریه نمایش در فیزیک هم اهمیت دارد، چرا که به عنوان مثال، به توصیف چگونگی تأثیرگذاری تقارن گروهی یک سیستم فیزیکی بر روی مجموعه جواب معادلات توصیف کننده آن سیستم می پردازد.

نظریه نمایش بین شاخه های مختلف ریاضیات نفوذ بالایی دارد، به دو علت: یکی این که کاربرد های نظریه نمایش وسیعند، به علاوه اثرات آن بر روی جبر، نظریه نمایش بر روی موارد زیر هم اثرگذار است:
 بر روی آنالیز فوریه پرتو افکنده و آن را از طریق آنالیز هارمونیک تعمیم می دهد.
 از طریق نظریه پایا و برنامه ارلانگن به هندسه ارتباط پیدا می کند.
 از طریق فرم های اتومورف و برنامه لانگلند بر روی نظریه اعداد اثرگذار است.

ثانیاً، رهیافت های گسترده ای به نظریه نمایش وجود دارد. همان اشیاء را می توان با استفاده از روش های هندسه جبری، نظریه مدول، نظریه تحلیلی اعداد، هندسه دیفرانسیل، نظریه عملگر ها، ترکیبیات جبری و توپولوژی نیز مطالعه کرد.

موفقیت نظریه نمایش منجر به چندین تعمیم شده است. یکی از عام ترین های آن نظریه رسته هاست. اشیاء جبری که نظریه نمایش را می توان از دیدگاه آن (از دیدگاه نظریه رسته ها) به صورت رسته های خاصی دید، و نمایش ها را به صورت فانکتور هایی از اشیاء رسته به رسته فضاهای برداری دید. این توصیف به دو تعمیم آشکار اشاره می کند: اولین آن این که اشیاء جبری را می توان با رسته های عام تری جایگزین کرد؛ دومین آن این که رسته هدف را می توان به جای رسته فضاهای برداری با رسته های شناخته شده ی دیگری جایگزین نمود.

تعاریف و مفاهیم 
فرض کنید  یک فضای برداری روی میدانی چون . به عنوان مثال، فرض کنید  یکی از  یا  باشد، یعنی به ترتیب یک فضای برداری معمولی -بعدی روی  یا  باشد. در این صورت ایده نظریه نمایش این است که جبر مجرد را با استفاده از ماتریس های  از اعداد حقیقی یا مختلط ملموس کنند. 

سه نوع مختلف از اشیاء جبری وجود دارد که برای آن ها این کار (ملموس سازی با استفاده از ماتریس ها) را می توان انجام داد: گروه ها، جبر های شرکت‌پذیر و جبر های لی.
مجموعه تمام ماتریس های معکوس‌پذیر  تحت ضرب ماتریسی تشکیل گروه می دهند و نظریه نمایش گروه ها به تحلیل یک گروه با توصیف ("نمایش") عناصرش بر اساس ماتریس های معکوس پذیر می پردازد. 
جمع و ضرب ماتریسی مجموعه تمام ماتریس های  را تبدیل به جبر شرکت‌پذیر کرده و لذا متناظر با نظریه نمایش جبر های شرکت‌پذیر خواهد بود. 
اگر ضرب ماتریسی MN را با جابجاگر ماتریسی    جایگزین کنیم، آنگاه ماتریس های  تبدیل به جبر لی می شوند، که منجر به نظریه نمایش جبر های لی خواهد شد.

این کار را می توان به هر میدان  و هر فضای برداری  روی  تعمیم داد، که در آن نگاشت های خطی جایگزین ماتریس ها و ترکیب جایگزین ضرب ماتریسی می شود. اشیائی که با این تعمیم شکل می گیرند بدین قرارند: گروهی به نام  از خودریختی (اتومورفیسم) های ، جبر شرکت‌پذیر  از تمام درون‌ریختی (اندومورفیسم) های  و جبر لی متناظر آن یعنی .

یادداشت ها

منابع 

 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 
 
 .
 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
;  (2nd ed.); (3rd ed.)
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 
 .
 .
 .

پیوند به بیرون 

 
 Alexander Kirillov Jr., An introduction to Lie groups and Lie algebras (2008).  Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.

نظریه نمایش