سری دو جمله‌ای

سری دوجمله‌ای یک سری توانی است که در بسط دوجمله‌ای برای اعداد مختلط ظاهر می‌شود:

  .

اگر  عددی صحیح و منفی نباشد () تعداد ضرایب بسط دو جمله‌ای محدود و با  برابر خواهد بود. در این حالت خاص ضرایب سری همان ضرایب سری دو جمله‌ای هستند.

در حالت کلی‌تر ضرایب با عبارت پایین برابر خواهند بود؛ در اینجا  همان فاکتوریل افتان است:

سری مکلورن موردی خاص از سری دوجمله‌ای است. در اینجا  که به عبارت پایین بسط پیدا می‌کند:

  .

تاریخ 
عمر خیام برای اولین بار سری دوجمله‌ای را برای کل اعداد مثبت در سال ۱۰۷۸ میلادی کشف کرد، این فرمول همان بسط دو جمله‌ای است. نیوتن در سال ۱۶۶۹ میلادی سری دو جمله‌ای  را برای هر عدد حقیقی  و تمام مقادیر حقیقی  در فاصله  محاسبه کرد. آبل در سال ۱۸۶۲ میلادی سری دوجمله‌ای را برای  محاسبه کرد؛ او ثابت کرد که اگر  باشد شعاع همگراییِ سری ۱ خواهد بود.

رابطه با سری هندسی 
سری هندسی حالتی خاص از سری دو جمله‌ای است. اگر  و  را با  جایگزین کنیم به عبارت پایین می‌رسیم که همان سری هندسی است؛ در اینجا  است:

شرایط همگرایی 
با فرض اینکه   و    موارد ذیل را می‌توان اثبات کرد:
  مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر    یا  .
 برای   سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر 
 برای  سری مطلقاً همگرا خواهد بود اگر و تنها اگر    یا  .

مثال‌ها

جستارهای وابسته 
 بسط دو جمله‌ای
 سری هندسی
 سری مکلورن

منابع 

آنالیز حقیقی
آنالیز مختلط
دنباله‌ها و سری‌ها
سری‌های ریاضی
موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای