هندسه سیمپلکتیک

هندسه سیمپلکتیک ، شاخه ای از هندسه دیفرانسیل و توپولوژی دیفرانسیل است که به مطالعه منیفلدهای سیمپلکتیک می‌پردازد؛ یعنی، منیفلد های دیفرانسیل‌پذیری که مجهز به 2-فرمی های بسته ناتباهیده باشند. منشأ هندسه سیمپلکتیک در فرمولبندی همیلتونی مکانیک کلاسیک می باشد، در آنجا فضای فازی سیستم های کلاسیک خاصی، روی ساختار یک منیفلد سیمپلکتیک اختیار می شود.

معرفی انتگرال گیری 
یک هندسه سیمپلکتیک بر روی فضای هموار زوج-بعدی یک منیفلد دیفرانسیل تعریف می شود که. در این فضا، یک شیء هندسی، یعنی همان فرم سیمپلکتیک ای تعریف می شود که امکان اندازه گیری اندازه اشیاء دو بعدی را در این فضا فراهم می آورد. این فرم سیمپلکتیک در هندسه سیمپلکتیک نقشی مشابه با تنسور متریک در هندسه ریمانی بازی می کند. با این تفاوت که تنسور متریک طول و زوایا را اندازه گیری می کند، در حالی که فرم سیمپلکتیک به اندازه گیری مساحت های جهت دار می پردازد.

هندسه سیمپلکتیک از مطالعه مکانیک کلاسیک ظهور پیدا می کند، مثالی از ساختار سیمپلکتیک ، حرکت یک شیء در مسیر یک بعدیست. برای مشخص کردن مسیر حرکت یک شیء، نیاز است که هم موقعیت  آن شیء مشخص باشد هم گشتاور  آن، در نتیجه نقطه  در صفحه اقلیدسی  شکل می گیرد. در این حالت، فرم سیمپلکتیک به صورت زیر خواهد بود:

 

که یک فرم مساحت است که از طریق انتگرال‌گیری به اندازه گیری مساحت ناحیه  در صفحه می پردازد:

 

این ناحیه مهم است، چون با عبور سیستم های دینامیکی محافظه‌کار در زمان پیش روند، این مساحت تغییر نکرده، لذا یک پایای مهم برای آن سیستم خواهد بود.

هندسه های سیمپلکتیک ابعاد بالاتر نیز به طور مشابه تعریف می شوند. یک هندسه سیمپلکتیک 2n-بعدی به صورت زوج جهت های زیر:

 

در یک منیفلد 2n-بعدی به همراه فرم سیمپلکتیک زیر تعریف می شود:

 

این فرم سیمپلکتیک یک ناحیه 2n-بعدی  در فضا تشکیل می دهد. این ناحیه به صورت جمع نواحی تصویر های  روی هر صفحه حاصل از جفت جهت ها می باشد:

یادداشت‌ها

منابع 

 
 
  (An undergraduate level introduction.)
 
 
  Reprinted by Princeton University Press (1997). . .

 

هندسه سیمپلکتیک