مدل پاتز

مدل پاتز مدت زیادی است که به مطالعه رفتار سیستم‌های پیچیده می‌پردازد. این مدل می‌تواند بررسی کند که چگونه عناصر داخلی سیستم بر اساس برخی خصوصیات نسبت به هم واکنش نشان می‌دهند. رخ دادن این واکنشها سبب ظاهر شدن ویژگی‌های ماکروسکوپیک سیستم خواهد شد. اثبات شده‌است که مدل پاتز ابزاری بسیار مفید برای شبیه‌سازی سیستم‌های واقعی می‌باشد. این مدل در حیطه ای از مدلسازی ریاضی با عنوان مکانیک آماری مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این مدل سیستم به یک گراف نگاشت داده می‌شود به طوری که رئوس گراف اجزاء تشکیل دهنده سیستم و یال‌های آن ارتباط بین این اجزاء می‌باشد برای بسیاری از کاربردها بهتر است که تصور کنیم که گراف دارای ساختار منظمی می‌باشد، این گراف منظم را در می‌نامند. در راس این گرافها هر چیزی می ۱ اصطلاح شبکه تواند در نظر گرفته شود، مثل اتم، انسان، مایعات و سلول و حتی گره حسگر. مدل پاتز در واقع مدلسازی می‌کند که چگونه نزدیکترین عناصر همجوار با اسپینهای متفاوت با عناصر دیگر، در شبکه در ارتباط هستند. مدل فوق توسعه یافته مدل Ising می‌باشد. در مدل Ising برای هر رأس دو حالت در نظر گرفته می‌شود، اما در مدل پاتز، می‌توان q حالت مختلف برای هر رأس در نظر گرفت. با توجه به این که عناصر می‌توانند اسپینهای مختلفی داشته و با یکدیگر در تعامل باشند) که بستگی به مکان آنها در شبکه و اسپین خاص آنها دارد (باید معیاری برای محاسبه انرژی کل سیستم موجود باشد. تابعی که انرژی کل را برای یک حالت سیستم محاسبه می‌کند، تابع همیلتونی نام دارد.

σi در این تابع J انرژی بین عناصر مجاور سیستم، میزان اسپینی است که به رأس i در حالت ω اختصاص پیدا می‌کند، و δ در صورت یکسان بودن انرژی بین دو عنصر به لبه بین آنها مقدار یک و در صورت متفاوت بودن، به آن مقدار صفر می‌دهد. 1 Lattice تابع پارتیشن مدل پاتز برای یک گراف با n رأس که هر رأس آن می‌تواند q اسپین n مختلف داشته باشد، q حالت وجود دارد. مدل پاتز در واقع به بررسی این حالت می‌پردازد. تابع احتمال مدل پاتز تابعی است که احتمال پیدا کردن شبکه را در یک حالت خاص محاسبه می‌کند. این تابع، به توزیع بولتزمن از مکانیک آماری وابسته می‌باشد. معادله)۲)تابع فوق را با توزیع نمایی نشان می‌دهد. که: معادله)۳)تابع پارتیشن این مدل نامیده می‌شود. پس: این معادله احتمال پیدا کردن یک حالت خاص ω را در کل مجموعه حالت ممکن Ω محاسبه می‌کند؛ که KT/1 = β ،T k = ۱٫۳۸ × ۱۰ و سیستم دمای- ۲۳ ثابت(joules/Kelvin(بولتزمن نام دارد. اما محاسبه تابع پارتیشن تنها برای شبکه‌های کوچک رام شدنی مناسب می‌باشد و عموماً برای شبکه‌های بزرگ با qهای بزرگ hard-NP می‌باشد. ریاضیدانان به ویژگی‌های تابع پارتیشن مدل پاتز از راه‌های گوناگونی دست یافته‌اند. یکی از این راه‌ها تفسیر آن به وسیله چندضلعی Tutte می‌باشد.روش دیگر تقریب تابع با استفاده از یک تکنیک شبیه‌سازی با عنوان الگوریتم متروپولیس می‌باشد.

این مدل به افتخار رنفری پاتس ، که مدل را در پایان دوره دکتری خود در سال 1951 توصیف کرد، نامگذاری شده است. پایان نامه.  این مدل مربوط به "پاتس مسطح" یا " مدل ساعت " بود که توسط مشاورش سیریل دامب به او پیشنهاد شد . مدل پاتس مسطح چهار حالته گاهی اوقات به عنوان مدل اشکین-تلر ،  پس از جولیوس اشکین و ادوارد تلر ، که مدلی معادل را در سال 1943 در نظر گرفتند، شناخته می‌شود.

مدل پاتس با چندین مدل دیگر از جمله مدل XY ، مدل هایزنبرگ و مدل N-بردار مرتبط و تعمیم داده شده است . مدل Potts با برد بی نهایت به مدل Kac معروف است . هنگامی که اسپین ها به صورت غیرآبلی برهمکنش می کنند، مدل به مدل لوله شار مربوط می شود که برای بحث در مورد محصور شدن در کرومودینامیک کوانتومی استفاده می شود. تعمیم مدل پاتس نیز برای مدل سازی رشد دانه در فلزات و درشت شدن در فوم ها استفاده شده است. تعمیم بیشتر این روش ها توسط جیمز گلازیرو فرانسوا گرانر ، معروف به مدل Potts سلولی ،  برای شبیه‌سازی پدیده‌های استاتیکی و جنبشی در کف و مورفوژنز بیولوژیکی استفاده شده است.

توصیف فیزیکی

منابع

پیوند به بیرون 
 

مدل‌های شبکه
مدل‌های قابل حل دقیق
مکانیک آماری
ویکی‌سازی رباتیک