دوگان (ریاضیات)

در ریاضیات، می توان به طور عام گفت که دوگان مفاهیم و ساختارهای ریاضیاتی را به دیگر مفاهیم، قضایا و ساختارها، به صورت تناظر یک به یک ترجمه می کند، این عمل توسط عملیات پیچش انجام می شود: اگر دوگان  برابر  باشد، آنگاه دوگان  هم  خواهد بود. به عنوان مثال، قضیه دزارگ خود-دوگان است، بدین معنا که تحت عمل استاندارد دوگان گیری در فضای تصویری دوگانش برابر خودش می باشد.

در ریاضیات، مفهوم دوگان معانی متعددی دارند. از دوگان به عنوان "وسیع ترین و مهم ترین مفهوم در ریاضیات مدرن"  و "یک الگوی عمومی که تقریباً در تمام عرصه های ریاضیات بروز و ظهور دارد" یاد شده است.

بسیاری از دوگان های ریاضیاتی بین اشیائی از دو سنخ با روش جفت کردن یک سری از اشیاء صورت می گیرد. مثلاً در جبر خطی، برای هر فضای برداری یک فضای دوگان ساخته می شود، که در ادمه به جزئیات آن پرداخته خواهد شد. سپس با کمک تبدیلات دوخطی می توان به هر جفت از فضاهای برداری و دوگانشان یک اسکالر نسبت داد. مثالی دیگر، وجود رابطه دوگان بین توزیع ها و توابع آزمون می باشد، یا رابطه دوگانی پوانکاره که عدد برخورد (که در هندسه جبری مطالعه می شود) را به صورت جفت کردن زیر منیفلد های یک منیفلد دلخواه تعریف می کند.

از نقطه نظر نظریه رسته ها، مفهوم دوگان را می توان حداقل در قلمرو فضاهای برداری به صورت یک تابعگون دید. این تابعگون، به هر فضای برداری، دوگان آن را تخصیص می دهد، و ساختار عقب بر  به هر بردار ، دوگان آن یعنی  را تخصیص می دهد.

مثال های مقدماتی 

مایکل عطیه می می گوید:

لیست مثال های زیر، نشان دهده ی ویژگی های مشترک بین دوگان های مختلف می باشد، اما همچنین نشانگر این است که مفهوم دوگان از حالتی به حالت دیگر کمی متفاوت می باشد.

متمم یک مجموعه 
دوگان ساده، یا ساده تهرین دوگان را می توان با در نظر گرفتن زیر مجموعه هایی از یک مجموعه ثابت  پیدا کرد. برای هر زیر مجموعه ، مجموعه  (متمم  در  که با  هم نمایش داده می شود) شامل تمام اعضایی از  است که در  قرار ندارند. پس متمم  خود زیر مجموعه ای از  است. متمم گیری خواص زیر را دارد:
دوبار متمم گیری مجموعه اولیه را می دهد. به این صورت هم بیان می کنند که عمل متمم گیری یک پیچش است.
شمول مجموعه ها، یعنی  با عمل متمم گیری عکس می شود: .
اگر دو زیر مجموعه ی A و B از S داده شده باشد، A مشمول در  است (یعنی A زیر مجموعه ای از  است) اگر و تنها اگر B مشمول در  باشد.

این رابطه ی دوگان، در توپولوژی، به صورت وجود دوگان بین زیر مجموعه های باز و بسته از یک فضای توپولوژی  ظاهر می شود: یک زیر مجموعه  از  بسته است اگر و تنها اگر متمم آن در  باز باشد. به همین دلیل، بسیاری از قضایا در مورد مجموعه های بسته دوگان قضایای مربوط به مجموعه های باز می باشد. به عنوان مثال، اجتماع تعداد دلخواهی از مجموعه های باز، باز است، پس دوگان آن می شود: اشتراک تعداد دلخواهی از مجموعه های بسته، بسته است. درون یک مجوعه، بزرگترین مجموعه باز داخل آن مجموعه است، و بستار یک مجموعه، کوچکترین مجموعه بسته شامل آن مجموعه می باشد. به دلیل وجود رابطه دوگان اخیر، متمم درون یک مجموعه ی دلخواه  از فضای توپولوژی، برابر با بستار متمم  خواهد بود.

یادداشت‌ها

منابع

دوگان در حالت عام 

 Atiyah, Michael (2007), Duality in Mathematics and Physics, lecture notes from the Institut de Matematica de la Universitat de Barcelona (IMUB).
.
.
  (a non-technical overview about several aspects of geometry, including dualities)

دوگان در توپولوژی جبری 

James C. Becker and Daniel Henry Gottlieb, A History of Duality in Algebraic Topology

دوگان‌های خاص 

 . Also author's site.
 . Also author's site.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

نظریه‌های دوگان