نابرابری گرانوال

نابرابری گرانوال که در ریاضیات به آن لم گرانوال یا نابرابری گرانوال- بلمن گفته می‌شود، این امکان را می‌دهد که یک تابع که نابرابری دیفرانسیلی یا نابرابری انتگرالی خاصی را ارضا می‌کند، به وسیلهٔ تابع پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل و یا معادلهٔ انتگرالی متناظر محدود کنیم.
نابرابری گرانوال ابزار مهمی برای رسیدن به تخمین‌های مناسب در نظریهٔ معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل تصادفی است.
فرم دیفرانسیلی این نابرابری در سال ۱۹۱۹ توسط گرانوال و فرم انتگرالی آن در سال ۱۹۴۳ توسط ریچارد بلمن به اثبات رسید.

لم گرانوال 
فرض کنید تابع  یک تابع حقیقی‌مقدار و پیوسته باشد که در نابرابری  صدق می‌کند،و هم‌چنین

باشد، که  و  و  ثوابت مثبت باشند، آنگاه برای  داریم:

اثبات 
فرض کنید برای تمام  داریم:  ، حال  و  است برای تمام  . از قضیه‌ی اساسی حسابان نتیجه می‌شود که:

آنگاه نتیجه می‌شود که :

برای تمام  . و این رابطه برابر است با:

یا

یا

که برای تمام  نتیجه می‌شود که

منابع 

معادلات انتگرالی
معادلات دیفرانسیل
معادلات دیفرانسیل معمولی
معادله‌های دیفرانسیل تصادفی
نابرابری‌های احتمالاتی