فضای آفین

در ریاضیات، یک فضای آفین، ساختاری هندسی است که برخی از خصوصیات فضاهای اقلیدسی را به گونه ای که مستقل از مفهوم فاصله و اندازه‌گیری زاویه باشد، تعمیم می‌دهد، به گونه ای که تنها خواص توازی (موازی بودن) و نسبت طول پاره خط‌های موازی با هم حفظ شوند.

در یک فضای آفین، هیچ نقطه تمایز یافته‌ای به عنوان مبدأ فضا وجود ندارد؛ لذا، هیچ برداری مبدأ ثابت ندشته و هیچ برداری را نمی‌توان به‌طور منحصر به فردی به یک نقطه نسبت داد. در یک فضای برداری، تنها بردارهای جابجایی وجود دارند که به آن‌ها بردارهای انتقال یا به‌طور ساده‌تر انتقال بین نقاط فضا گفته می‌شود. لذا، تفاضل نقاط فضا معنادار خواهد بود و منجر به تولید بردار انتقال می‌گردد، اما جمع کردن نقاط فضا بی‌معنی خواهد بود. بنابر این، می‌توان با جمع کردن یک بردار انتقال به یک نقطه، به نقاط جدید رسید.

هر فضای برداری را می‌توان به عنوان یک فضای آفین دید. این امر با فراموش کردن نقش ویژه ای که بردار صفر در فضای برداری بازی می‌کند فراهم می‌گردد. در این حالت، عناصر فضای برداری را می‌توان یا به صورت نقاط فضای آفین دید، یا به صورت بردارهای جابجایی یا «انتقال ها». زمانی که یک بردار صفر را به عنوان نقطه بنگیرم، به آن مبدأ هم گفته می‌شود. اضافه کردن یک بردار ثابت به عناصر یک زیر فضای خطی از یک فضای برداری، زیر فضای آفین را تولید خواهد کرد. اغلب گفته می‌شود که این زیر فضای آفین از طریق انتقال (دور کردن آن از مبدأ) یک زیر فضای خطی با کمک بردار انقال بدست آمده‌است. در ابعاد نامتناهی، چنین زیرفضای آفینی، مجموعه جواب دستگاه خطی ناهمگن خواهد بود. بردارهای انتقال برای آن فضای آفین هم جواب‌های متناضر به دسگاه همگن خطی خواهد بود که خود زیر فضایی خطی می‌باشند. در مقایسه، زیرفضاهای خطی همیشه شامل مبدأ آن فضای برداریست.

بعد یک فضای آفین به صورت بعد فضای برداری انتقالات آن تعریف می‌شود. یک فضای آفین از بعد یک را خط آفینی می‌گویند. یک فضای آفین از بعد ۲ همان صفحه آفین است. یک زیر فضای آفین از بعد n-1 در یک فضای آفین از فضای برداری از بعد n را نیز ابرصفحهٔ آفین نامند.

پانویس

منابع 

 
 
 
 
 Affine space, Dolgachev and Shirokov
 
 
 
 

 

جبر خطی
هندسه آفین