ثابت اویلر–ماسکرونی

ثابت اویلر-ماسکرونی (با نام ثابت اویلر نیز شناخته می‌شود) یک ثابت ریاضی است که در آنالیز و نظریه اعداد بررسی می‌شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی گامای کوچک() نشان داده می‌شود.

این ثابت به صورت حد تفاضل بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی تعریف می‌شود:

 

در اینجا،  تابع جزء صحیح را نشان می‌دهد.

مقدار عددی ثابت اویلر-ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:

تاریخچه 
لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان De Progressionibus harmonicis observationes (نمایهٔ Eneström 43) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت  و  برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان ایتالیایی، لورنزو ماسکرونی از نمادهای  و  برای آن استفاده کرد. علامت  در هیچ‌یک از نوشته‌های اویلر و ماسکرونی دیده نمی‌شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با تابع گاما انتخاب شده باشد . مثلاً، ریاضیدان آلمانی کارل آنتون برسشنایدر از علامت  در سال ۱۸۳۵ استفاده کرد و آگوستوس دمورگان از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده‌است.

ویژگی‌ها 
تابه حال جبری یا متعالی بودن عدد  مشخص نشده‌است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن  نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل کسر مسلسل، نشان داد که اگر  گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10244663 باشد.

ارتباط با تابع گاما 
 به تابع دایگاما ، و مشتق تابع گاما  مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:

 

که این برابر با حد زیر است:

 

نتایج حدی بیشتر :

 

حد مربوط به تابع بتا است (که بر حسب توابع گاما بیان شده‌است)

کسر مسلسل 
بسط کسر مسلسل  به شکل روبه رو است     OEIS: A002852، که الگوی آشکاری ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده‌اند، و تعدادشان بی‌نهایت است اگر و تنها اگر  گنگ باشد.

منابع 

   به عنوان مبالغی از توابع zeta ریمان استخراج می‌کند.
 
 
 
 Gourdon , Xavier و Sebah , P. (2004) " ثابت اولر:  " .

پیوند به بیرون 
 
 
 Jonathan Sondow. 
 Fast Algorithms and the FEE Method, E.A. Karatsuba (2005)
 Further formulae which make use of the constant: Gourdon and Sebah (2004).

ثابت‌های ریاضی
لئونارد اویلر
مسائل حل‌نشده در نظریه اعداد
مسئله‌های حل‌نشده در ریاضیات