بهینه‌سازی مخروطی

بهینه‌سازی مخروطی شاخه‌ای از بهینه‌سازی محدب است که هدف آن کمینه کردن توابع محدب در فضای مشترک زیر فضاهای همگَر و مخروطهای محدب است. بهینه‌سازی مخروطی شامل برخی از نمونه‌های شناخته شده مسائل بهینه‌سازی محدب می‌شود، مسائلی مانند برنامه‌نویسی خطی و برنامه‌ریزی نیمه‌معین.

تعریف 
با توجه به یک فضای بردار حقیقی ، و یک تابع محدب با مقادیر حقیقی  که برای مخروط محدب  تعریف شده‌است و یک زیرفضای همگر  که با محدودیت‌های  مشخص می‌شود، یک مسئله بهینه‌سازی مخروطی پیداکردن یک نقط  در  است به گونه‌ای که تابع  را کمینه کند.

مثالهای مخروط  شامل متعامد کنجِ ، ماتریسهای مثبت معین  و مخروط‌های درجه دومِ  می‌شود. تابع  معمولاً خطی است که باعث می‌شود مسئله بهینه‌سازی مخروطی به برنامه‌ریزی خطی، برنامه‌ریزی نیمه‌معین، یا برنامه‌ریزی مخروطی درجه دوم تقلیل پیدا کند.

دوگانگی 
بعضی موارد خاص مسائل بهینه‌سازی مخروطی، فرمت دوگانه مشخصی دارند.

مخروطی LP 
دوگانه برنامه خطی مخروطی

 minimize 
 subject to 
برابر است با

 maximize 
 subject to 
در اینجا  دوگانه مخروط  است.

در حالتی که دوگانگی ضعیف در برنامه‌نویسی خطی مخروطی وجود دارد، دوگانگی قوی لزوماً برقرار نیست.

بهینه‌سازی نیمه معین 
دوگانه یک مسئله بهینه‌سازی نیمه معین در شکل نابرابری پایین

 minimize 
 مشروط بر اینکه  باشد.

برابر است با

 maximize 
 مشروط بر اینکه  و  باشد.

منابع

پیوند به بیرون 
 
 نرم افزار MOSEK قادر به حل مشکلات بهینه‌سازی مخروطی است.
بهینه‌سازی محدب
صفحات با ترجمه بازبینی‌نشده