قانون لگاریتم‌های تکراری

قانون لگاریتم‌های تکراری، اولین بار توسط A. Y. Khinchin (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.

مقدمه 
از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر  متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول  باشند و  باشد، آنگاه داریم:که منظور از  و  به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:

و برای هر ای که شرایط زیر را داشته باشد:

داریم:

برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری  را در نظر بگیرید که در آن ،  امین رقم اعشاری عدد در سیستم دودویی است. دو نمودار (نقطه چین) و  (خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی  این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال 
فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‌اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی  را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله ام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:

که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر  را به صورت زیر تعریف کنیم:

مقدار  بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله ام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:

و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:

جستارهای وابسته 
 قانون اعداد بزرگ
 قضیه حد مرکزی

منابع 

تئوری آمار تقریبی
فرایندهای تصادفی
قضایا در آمار