تغییر متغیر اویلر

تغییر متغیر اویلر یک روش برای یافتن حاصل انتگرال‌های به فرم زیر است:

 

که در آن  یک تابع گویا از  و  است. در چنین مواردی انتگرال را می‌توان با تغییر متغیر اویلر به دست آورد.

اولین تغییر متغیر اویلر 
اولین قانون تغییر متغیر اویلر هنگامی استفاده می‌شود که  . در این تغییر متغیر از طریق برابری  به دست می‌آید:  و  هم همچون  بر حسب  قابل بیان است.

در این تغییر متغیر انتخاب علامت مثبت یا منفی می‌تواند انتخاب شود.

دومین تغییر متغیر اویلر 
اگر  باشد ما چنین برابری‌ای را حل می‌کنیم: 
و  چنین به دست خواهد آمد: 
مشابه مورد بالا  نیز برحسب  به دست خواهد آمد.

سومین تغییر متغیر اویلر 
اگر چندجمله‌ای  دارای ریشه های حقیقی  و  باشد می‌توان با معادله‌ی زیر،   و  را بر حسب  به دست آورد.

که نتیجه خواهد داد:

مثال‌ها

نمونه‌هایی برای اولین تغییر متغیر اویلر

یک 
در انتگرال   ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری  حاصل زیر را داشته باشیم:

بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:

به ازای ، چنین فرمول‌هایی به دست می‌آید.

دو 
برای پیدا کردن پاسخ   طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت:  و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت: ؛

ها حذف خواهند شد و در پایان  برابر با  خواهد شد. را با مشتق گرفتن از دو سمت معادله‌ی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست می‌آوریم:

 است و   پس

منابع 

حساب انتگرال
ویکی‌سازی رباتیک