فرم ماک ماژولار

در ریاضیات، فرم ماک ماژولار ، بخش هولومورفیک از یک فرم ماس (Maass Form) ضعیف هارمونیک بوده و یک تابع تتای ماک اساساً فرم ماژولار ماکی با وزن  است. اولین مثال‌ها از توابع تتای ماک توسط سرینیواسا رامانوجان در آخرین نامه‌اش در سال ۱۹۲۰ به گ.هـ. هاردی و در دفترچهٔ گم‌شده‌اش توصیف شده‌است. سندر زووگرز (Sander Zwegers) کشف نمود که افزودن برخی از توابع غیر-هولومورفیک بهشان، آن‌ها را تبدیل به فرم‌های ماس ضعیف می‌کند.

تاریخچه 

نامه ۱۲ ژانویه ۱۹۲۰ میلادی رامانوجان به هاردی، ١٧ مثال از توابعی را که او به نام توابع تتای ماک می‌نامید، فهرست کرده، و دفترچه گم‌شده اش شامل چندین مثال دیگر نیز می‌باشد (منظور رامانوجان از اصطلاح «تابع تتا»، چیزیست که امروزه به یک فرم ماژولار معروف است). رامانوجان اشاره کرد که این توابع دارای بسط مجانبی در کاسپ‌ها بوده، که با فرم‌های ماژولاری با وزن  شباهت داشته، به طوری که احتمالاً دارای قطب‌هایی در کاسپ‌ها بوده اما نمی‌توان آن‌ها را برحسب توابع تتای «معمولی» نوشت. او توابعی با خواص مشابه را «توابع تتای ماک» نامید. زووگرز (Zwegers)، بعدها ارتباط تابع تتای ماک با فرم‌های ماس ضعیف کشف نمود.

رامانوجان به توابع تتای ماکش، مرتبه (order) نسبت داد، که تعریف واضح و مشخصی نداشت. قبل از کار زووگرز، مراتب توابع تتای ماک شناخته شده شامل این موارد بودند:

مفهوم رامانوجان از مرتبه، بعدها تبدیل به کونداکتورِ کاراکتر نبنتیپوس (Nebentypus character) با فرم‌های ماس هارمونیک از وزن  شد که توابع تتای ماک رامانوجان را به عنوان تصویرهای هولومورفیک می‌پذیرند.

ارجاعات

منابع 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Reprinted in volume I of his collected works.

برای مطالعه بیشتر

پیوند به بیرون 

 International Conference: Mock theta functions and applications 2009
 Papers on mock theta functions by George Andrews
 Papers on mock theta functions by Kathrin Bringmann
 Papers on mock theta functions by Ken Ono
 Papers on mock theta functions by Sander Zwegers
 

فرم‌های مدولار
Q-آنالوگ‌ها
سرینیواسا رامانوجان