عملگر نردبانی

در جبر خطی و مکانیک کوانتومی، عملگر بالابرنده  یا عملگر پایین‌آورنده  که در مجموع عملگر نردبانی () خوانده می‌شوند عملگرهایی هستند که ویژه‌مقدار یک عملگر دیگر را افزایش یا کاهش می‌دهند. گاهی در فیزیک این عملگرها عملگر خلق و عملگر فنا نیز خوانده می‌شوند. از مشهورترین کاربردهای این عملگرها در مکانیک کوانتومی می‌توان به تحلیل نوسانگر هماهنگ کوانتومی و تکانه زاویه‌ای اشاره کرد.

اولین بار دیراک این عملگرها را ابداع و از این روش برای تحلیل تکانه‌ی زاویه‌ای و نشان دادن اینکه عدد کوانتومی تکانه‌ی زاویه‌ای کل باید مضربی از  باشد استفاده کرد.

شرح ریاضی
دو عملگر X و N را با فرض  که در آن c یک اسکالر است در نظر می‌گیریم.اگر  یک ویژه‌حالت N با معادله ویژه‌مقداری  باشد، در آن صورت عملگر X به گونه‌ای بر روی  عمل می‌کند که ویژه‌مقدار را به مقدار c جابه‌جا کند:

به عبارت دیگر، اگر  یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار n باشد در آن صورت  یک ویژه‌حالت N با ویژه‌مقدار  n + c است. در اینجا اگر c حقیقی و مثبت باشد X یک عملگر بالابرنده یا عملگر خلق برای N است  و اگر c حقیقی و منفی باشد X یک عملگر پایین‌آورنده یا عملگر فنا برای N است.

اگر N یک عملگر هرمیتی باشد، در آن صورت c باید حقیقی باشد و الحاقی هرمیتی (Hermitian adjoint) آن در رابطه‌ی : صدق می‌کند. به‌خصوص، اگر X یک عملگر پایین‌آورنده برای N باشد، X†  یک عملگر بالابرنده برای N است و بالعکس.

برخی کاربردها

نوسانگر هماهنگ
یکی از کاربردهای عملگرهای خلق و فنا، تحلیل نوسانگر هماهنگ است. برای این کار، عملگرهای خلق و فنا به صورت زیر تعریف می‌شوند: 

در این صورت، نمایش عملگرهای مکان و تکانه به صورت زیر درمی‌آید:

(عملگر  هرمیتی نیست، زیرا الحاقی آن  با خودش برابر نیست.) در این صورت، با اعمال این عملگرها روی ویژه‌حالت‌های انرژی ، ویژه‌مقدارهای انرژی به صورت زیر تغییر می‌کنند:

بنابراین  یک کوانتوم انرژی به انرژی حالت اضافه و  به همان میزان انرژی آن را کاهش می‌دهد. به همین دلیل به این عملگرها، عملگر خلق و فنا نیز گفته می‌شود.

منابع 

 

مکانیک کوانتم