چندجمله‌ای‌های زرنیک

در ریاضیات، چندجمله‌ای های زرنیک یک دنباله از چندجمله‌ای‌ها هستند که روی دایره واحد متعامد هستند. نام آنها از نام فیزیکدان نورشناسی (اپتیک) فریتسزرنیک برنده جایزه نوبل ۱۹۵۳ در فیزیک و مخترع میکروسکوپی فاز-کنتراست گرفته شده است. این چندجمله ای‌ها نقش مهمی در اپتیک پرتو دارند.

تعاریف 
چندجمله ای‌های زرنیک مرتبه زوج به صورت زیر تعریف می‌شوند.

و همچنین برای مرتبه فرد به این شکل تعریف می‌شوند.

که در آن m و n اعداد صحیح نامنفی هستند و n ≥ m و  φ زاویه ازیموت، ρ فاصله شعاعی است که فاصله شعاعی  و Rmn چندجمله ای‌های شعاعی هستند که در زیر تعریف می‌شوند. چندجمله ای‌های زرنیک محدود به محدوده -۱ تا +۱ هستند یعنی  . چندجمله ای‌های شعاعی Rmn به صورت زیر تعریف می‌شوند.

وقتی n-m زوج باشد و برابر صفرند وقتی که n-m فرد باشد.

منابع 

چندجمله‌ای‌های متعامد