تابع توما

تابع توما تابعی است که در سال ۱۸۷۵ میلادی توسط ریاضیدان آلمانی، کارل یوهانس توما معرفی شد. تابع توما در تمام نقاط گنگ دامنه‌اش پیوسته و در تمام نقاط گویای دامنه‌اش ناپیوسته است.

تعریف 
فرض می‌کنیم  در اینصورت تابع توما چنین تعریف می‌شود:

یعنی برای هر عدد گنگ x>۰ تعریف می‌کنیم f(x):=۰ و برای یک عدد گویا در A به صورت ، که در آن اعداد طبیعی m و n بجز ۱ عامل مشترکی ندارند، تعریف می‌کنیم .

بحث در پیوستگی تابع توما 
با توجه به تعریف بالا ادعا می‌کنیم که f در هر عدد گنگ در A پیوسته و در هر عدد گویا در A ناپیوسته است.

اگر a>۰ گویا باشد، فرض می‌کنیم (xn) دنباله‌ای از اعداد گنگ در A باشد که به a همگراست. در اینصورت ، در حالی که . بنابراین f در a ناپیوسته است.

حال فرض می‌کنیم x۰ عدد گنگ دلخواهی باشد. حدس می‌زنیم که  برای تحقیق در درستی این حدس باید نشان دهیم که:

اگر x∉ ℚ، گزارهٔ بالا درست است. در غیر اینصورت عدد N را طوری انتخاب می‌کنیم که . فرض کنید

واضح است که ، حال اگر  آنگاه مخرج عدد گویای x بزرگتر از N است و

پس حدسمان ثابت شد. یعنی ثابت کردیم که تابع f در عدد گنگ دلخواه x۰ پیوسته است.

جستارهای وابسته 
 تابع دیریکله

یادداشت

پانویس

منابع 
 
 

توابع خاص
توپولوژی عمومی
حسابان
ویکی‌سازی رباتیک