حساب کسری

حساب کسری  بخشی از آنالیز ریاضی است که بر روی انجام عمل‌های مشتق و انتگرال روی اعداد حقیق یا اعداد در مراتب کسری مطالعه می‌کند. به‌طور مثال عملگر مشتق به صورت روبه‌رو تعریف نمی‌شود

 

و عملگر انتگرال به صورت J. (در فیزیک از I استفاده می‌شود)

همچنین توان‌ها از روش ترکیب تابع بدست می‌آید به‌طور مثال، f2(x) = f(f(x)). و ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا

معنی دارد. حساب کسری روی توان‌هایی از عملگر مشتق کار می‌کند که صحیح نیستند و می‌تواند هر مقدار گویایی به خود بگیرند:

از این طریق می‌توان معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری را تعریف کرد و سیستم‌های فیزیکی را مدل‌سازی کرد. کاربردهای این مدل‌سازی در فیزیک در شبیه‌سازی حرکت و شبیه‌سازی سیستم‌های ترمودینامیکی است.

تاریخچه 

تابع گاما (به انگلیسی: Gamma function) در علم ریاضیات، یک تعمیم پرکاربرد برای تابع فاکتوریل به اعداد مختلط است. نماد تابع گاما {\displaystyle \Gamma } می‌باشد، که این نماد حرف بزرگ گاما در الفبای یونانی است. تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده‌است. برای هر عدد صحیح مثبت {\displaystyle n} رابطه زیر برقرار است:

تابع گاما در امتداد محور حقیقی

تابع گاما در صفحه مختلط

{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\ .}

دانیال برنولی برای اعداد مختلط با قسمت حقیقی مثبت، رابطه زیر را برای تابع گامای این اعداد به دست آورد، این عبارت یک انتگرال ناسره همگرا می‌باشد:

0\ .}">{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx,\ \qquad \Re (z)>0\ .}0\ .}" style="margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; font-style: inherit; font-variant: inherit; font-weight: inherit; font-stretch: inherit; line-height: inherit; font-family: inherit; font-size: 16px; vertical-align: -2.338ex; background: none; display: inline-block; width: 39.644ex; height: 5.843ex;">

تابع گاما به صورت امتداد تحلیلی این تابع انتگرالی به یک تابع مرومورفیک تعریف شده‌است (این تابع یک تابع تمام‌ریخت (هولومورفیک) در صفحه مختلط، بجز در اعداد صحیح غیر مثبت ، که در آنها تابع قطب ساده دارد، می‌باشد).

تابع گاما مقدار صفر ندارد، یعنی تابع گامای معکوس {\displaystyle 1/\Gamma } یک تابع کامل است. در واقع، تابع گاما متناظر با تبدیل ملین برای تابع نمایی منفی است:

{\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z).}

تعمیم‌های دیگری نیز برای تابع فاکتوریل وجود دارد، اما تابع گاما مردمی‌ترین و مفیدترین تعمیم می‌باشد. این تابع یکی از مولفه‌های مهم در توابع مختلف توزیع احتمال است؛ و از این رو تابع گاما، قابل استفاده در احتمال و آمار و همچنین ترکیبیات می‌باشد.

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!\,}

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

{\displaystyle \Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,}

این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.[۱]

تعریف

خواص

تبدیل لاپلاس

انتگرال کسری

مشتق کسری

کاربردها

جستارهای وابسته 
 معادله دیفرانسیل
 تبدیل فوریه کسری

منابع 

 Wikipedia contributors, "Fractional calculus," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fractional_calculus&oldid=598091686 (accessed March 20, 2014).

پیوند به بیرون 
Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." From مث‌ورلد — A Wolfram Web Resource.
MathWorld - Fractional calculus
MathWorld - Fractional derivative
Fractional Calculus at MathPages
 Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
 Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
 Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
www.nasatech.com
unr.edu (Broken Link)
Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc.
s.dugowson.free.fr
History, Definitions, and Applications for the Engineer (پی‌دی‌اف) دانشگاه نوتردام
Fractional Calculus Modelling
Introductory Notes on Fractional Calculus
Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
Power Law & Fractional Dynamics
The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable

 
تعمیمات
حسابان