معادله پائولی

معادله پائولی، که با نام معادله شرودینگر-پائولی نیز شناخته شده‌است، فرمول‌بندی معادله شرودینگر برای ذرات اسپین-۱⁄۲ است که برهمکنش اسپین ذرات با میدان الکترومغناطیسی را در نظر می‌گیرد. این معادله در حقیقت حد غیرنسبیتی معادله دیراک است و در سرعت‌هایی که اثرات نسبیتی قابل چشم‌پوشی هستند، کاربرد دارد. این معادله در سال ۱۹۲۷ توسط ولفگانگ پائولی به دست‌آمد.

جزئیات 
برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q  در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری 

 

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ، این معادله می‌شود:

که در آن 

 

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است، یعنی هر مؤلفه آن یک ماتریس پاولی است؛

 

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان است و 

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است، یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده‌است. به‌طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

که هامیلتونی در آن، به خاطر وجود ماتریس‌های   پاولی، یک عملگر ماتریسی ۲ × ۲ است .

رابطه با معادله شرودینگر و معادله دیراک 
معادله پائولی غیرنسبیتی است، اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند. بنابراین جایگاهی بین  معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:
 معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
 معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.
توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی، اگر بردار  صفر گردد، معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر  ϕ تبدیل می‌شود.

حالات خاص 
در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

 

که در آن 

, 

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند. B میدان مغناطیسی خارجی است و

 
ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

جستارهای وابسته
 کره بلوخ
 ماتریس‌های پائولی

منابع 

 
 
 

مکانیک کوانتم