نظریه اشتورم-لیوویل

در ریاضیات و کاربردها، یک معادلهٔ اشتورم-لیوویل کلاسیک، نام‌گذاری شده به نام ژاک شارل فرانسوا استورم (۱۸۵۵-۱۸۰۳) و جوزف لیوویل (۱۸۸۲-۱۸۰۹) یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی مرتبهٔ دوم حقیقی به صورت

      (معادله ۱)

است که در آن y تابعی از متغیر x می‌باشد. توابع  و  و  در ابتدا مشخص شده‌اند. در ساده‌ترین حالت، همهٔ ضرایب در بازهٔ متناهی  پیوسته هستند و p دارای مشتق پیوسته است. در ساده‌ترین حالت، تابع y یک پاسخ خوانده می‌شود، اگر در  به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر باشد و معادلهٔ بالا را در هر نقطه از بازهٔ (a،b) ارضا نماید. علاوه‌براین، معمولاً تابع y باید در a و b برخی شرایط مرزی را ارضا کند. تابع (w(x که گاهی با (r(x نمایش داده می‌شود تابع وزن یا تابع چگالی نامیده می‌شود.

مقدار λ در معادله مشخص نیست. یافتن مقادیری از λ که به ازای آن مقادیر، پاسخی غیربدیهی(پاسخ بدیهی یعنی جواب حاصل برابر صفر شود و غیر بدیهی یعنی جواب حاصل ناصفر شود) برای معادلهٔ ۱ که شرایط مرزی را نیز ارضا می‌کند وجود داشته باشد، جزئی از مسئله به نام مسئلهٔ اشتورم-لیوویل است. ( S–L) problem) )

این مقادیر λ اگر موجود باشند، ویژه‌مقدارهای مسئلهٔ مقدار مرزی تعریف شده توسط معادلهٔ بالا و شرایط مرزی تعیین شده خوانده می‌شوند. پاسخ‌های متناظر به هر λ، ویژه‌تابع‌های مسئله نامیده می‌شوند.

تحت فرضیات آورده شده در بالا برای ضرایب، این معادله و ضرایب آن، یک عملگر دیفرانسیلی هرمیتی در یک فضای تابع تعریف شده با شرایط مرزی تعریف می‌کنند. نظریه بررسی وجود و رفتار مجانبی ویژه‌مقدارها، بررسی کیفی ویژه‌تابع‌ها و تمامیت آن‌ها در یک فضای تابع مناسب با نام نظریه اشتورم-لیوویل خوانده می‌شود. این نظریه در ریاضیات کاربردی بسیار مهم است و مسائل اشتورم-لیوویل بسیار معمول هستند، به خصوص هنگام روبه‌رو شدن با معادلات دیفرانسیل خطی با مشتقات پاره‌ای جدایی‌پذیر.

معادلات دیفرانسیل معمولی
نظریه عملگرها
نظریه طیفی
مسئله‌های مقدار مرزی
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی