تابع شمارش اعداد اول

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد  نمایش می‌دهند.

تاریخچه 

در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر توانستند تقریب دقیق  را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به نظریه اعداد اول مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که:

با تعریف تابع انتگرال لگاریتم که آن را با نماد  نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

ثابت شد که:

بررسی تابع 
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! 
! 
! 

|-
| ۱۰
| ۴
| ۰٫۹۲۱

|-
| ۱۰۲
| ۲۵
| ۱٫۱۵۱
|-
| ۱۰۳
| ۱۶۸
| ۱٫۱۶۱
|-
| ۱۰۴
| ۱٬۲۲۹
| ۱٫۱۳۲
|-
| ۱۰۵
| ۹٬۵۹۲
| ۱٫۱۰۴
|-
| ۱۰۶
| ۷۸٬۴۹۸
| ۱٫۰۸۴
|-
| ۱۰۷
| ۶۶۴٬۵۷۹
| ۱٫۰۷۱
|-
| ۱۰۸
| ۵٬۷۶۱٬۴۵۵
| ۱٫۰۶۱
|-
| ۱۰۹
| ۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴
| ۱٫۰۵۴
|-
| ۱۰۱۰
| ۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱
| ۱٫۰۴۸
|-
| ۱۰۱۱
| ۴٬۱۱۸٬۰۵۴٬۸۱۳
| ۱٫۰۴۳
|-
| ۱۰۱۲
| ۳۷٬۶۰۷٬۹۱۲٬۰۱۸
| ۱٫۰۳۹
|-
| ۱۰۱۳
| ۳۴۶٬۰۶۵٬۵۳۶٬۸۳۹
| ۱٫۰۳۴
|-
| ۱۰۱۴
| ۳٬۲۰۴٬۹۴۱٬۷۵۰٬۸۰۲
| ۱٫۰۳۳
|-
| ۱۰۱۵
| ۲۹٬۸۴۴٬۵۷۰٬۴۲۲٬۶۶۹
| ۱٫۰۳۱
|-
| ۱۰۱۶
| ۲۷۹٬۲۳۸٬۳۴۱٬۰۳۳٬۹۲۵
| ۱٫۰۲۹
|-
| ۱۰۱۷
| ۲٬۶۲۳٬۵۵۷٬۱۵۷٬۶۵۴٬۲۳۳
| ۱٫۰۲۷
|-
| ۱۰۱۸
| ۲۴٬۷۳۹٬۹۵۴٬۲۸۷٬۷۴۰٬۸۶۰
| ۱٫۰۲۵
|-
| ۱۰۱۹
| ۲۳۴٬۰۵۷٬۶۶۷٬۲۷۶٬۳۴۴٬۶۰۷
| ۱٫۰۲۴
|-
| ۱۰۲۰
| ۲٬۲۲۰٬۸۱۹٬۶۰۲٬۵۶۰٬۹۱۸٬۸۴۰
| ۱٫۰۲۳
|-
| ۱۰۲۱
| ۲۱٬۱۲۷٬۲۶۹٬۴۸۶٬۰۱۸٬۷۳۱٬۹۲۸
| ۱٫۰۲۲
|-
| ۱۰۲۲
| ۲۰۱٬۴۶۷٬۲۸۶٬۶۸۹٬۳۱۵٬۹۰۶٬۲۹۰
| ۱٫۰۲۱
|-
| ۱۰۲۳
| ۱٬۹۲۵٬۳۲۰٬۳۹۱٬۶۰۶٬۸۰۳٬۹۶۸٬۹۲۳
| ۱٫۰۲۰
|-
| ۱۰۲۴
| ۱۸٬۴۳۵٬۵۹۹٬۷۶۷٬۳۴۹٬۲۰۰٬۸۶۷٬۸۶۶
| ۱٫۰۱۹
|-
| ۱۰۲۵
| ۱۷۶٬۸۴۶٬۳۰۹٬۳۹۹٬۱۴۳٬۷۶۹٬۴۱۱٬۶۸۰
| ۱٫۰۱۸
|-
|}

همانطور که مشاهده می‌شود اعداد به ۱ نزدیک می‌شوند.

محدوده تابع 
ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

منابع 

اعداد اول
ریاضیات
لگاریتم‌ها
نظریه اعداد
نظریه تحلیلی اعداد
توابع حسابی