همه اسب‌ها یک‌رنگ هستند

همۀ اسب‌ها یک‌رنگ هستند (به انگلیسی: All horses are the same color) یک قضیهٔ نادرست است که با استفاده از استقرای ریاضی تلاش دارد ثابت کند هر مجموعهٔ -تایی از اسب‌ها یک‌رنگ هستند. صورت قضیه را می‌توان به این صورت بیان کرد: «به ازای هر عدد صحیح مثبت ، هر مجموعهٔ -تایی از اسب‌ها همواره یک‌رنگ هستند.»

این مسئله را جورج پولیا طراحی کرده‌است.

برهان 
گام اول برای  درستی بدیهی است؛ زیرا در هر مجموعهٔ یک‌اسبی همهٔ اسب‌ها با یکدیگر هم‌رنگ هستند (هر اسبی همرنگ خودش است).
گام دوم فرض می‌کنیم در هر مجموعهٔ -تایی از اسب‌ها همهٔ اسب‌ها یک‌رنگ هستند. حال یک مجموعهٔ -تایی از اسب‌ها را در نظر می‌گیرم. یک اسب دلخواه را از مجموعه انتخاب و از آن جدا می‌کنیم، مجموعهٔ  اسب باقی‌مانده بنا به فرض استقرا باید همرنگ باشند. حال اسب اول را به مجموعه برمی‌گردانیم و اسب دیگری را جدا می‌کنیم و باز هم مجموعهٔ -تایی باقی‌مانده هم‌رنگ خواهند بود. نتیجه می‌گیرم که همهٔ اسب‌های مجموعهٔ -تایی نیز یک‌رنگ هستند. به عبارت دیگر چون دو مجموعهٔ -تایی اول و دوم با یکدیگر دارای اشتراک هستند؛ پس با توجه به ترایا بودن رابطهٔ همرنگی می‌توان نتیجه گرفت اسب اول و دوم با سایر اسب‌ها یک‌رنگ هستند.

اشتباه 
یافتن اشتباه موجود در این برهان ساده نیست چون استدلال به‌کار رفته برای هر مجموعهٔ -عضوی صادق است مگر حالت ، یعنی زمانی که بخواهیم ثابت کنیم یک مجموعهٔ دو-اسبی همرنگ هستند و فرض ما این باشد که هر مجموعهٔ یک‌اسبی هم‌رنگ است، که قابل اثبات نیست چون دو مجموعه با یکدیگر اشتراک نخواهند داشت و رابطهٔ ترایا ندارند. این مغالطه نشان می‌دهد که در استقرای ریاضی اثبات‌پذیر بودن گزارهٔ  به ازای همهٔ -های بزرگتر-مساویِ فرضِ اولیه دارای اهمیت است.

جستارهای وابسته 
 پارادوکس
 فهرست پارادوکس‌ها

منابع 

 
 
 

اسب
اسب‌ها در فرهنگ عامه
پارادوکس‌ها
پارادوکس‌های ریاضیات
رنگ
شوخی‌های ریاضیاتی