بتا اسکلت

در هندسۀ محاسباتی و نظریۀ گراف هندسی، بتا اسکلت یک گراف بدون جهت است که بر روی مجموعه‌ای از نقاط هندسۀ اقلیدسی تعریف می‌شود. دو نقطۀ p و q در صورتی توسط یک یال به یکدیگر متصل می‌شوند که همۀ زاویه‌های prq از آستانۀ تعیین شده توسط پارامتر عددی β کمتر باشد.

تعریف مبتنی بر دایره 

اگر β یک عدد حقیقی مثبت باشد، زاویۀ θ با استفاده از فرمول زیر بدست می‌آید:

برای هر دو نقطۀ p و q در صفحه، Rpq را مجموعه‌ای از نقاط در نظر بگیرید به‌طوری‌که زاویۀ prq از θ بزرگتر باشد. در این صورت به ازای β ≥ 1 و θ ≤ π/2 مجموعۀ Rpq به صورت اجتماع دو دایره با اندازۀ قطر βd(p,q) در خواهد آمد و به ازای β ≤ 1 و θ ≥ π/2 مجموعۀ Rpq به صورت اشتراک دو دایره به قطر d(p,q)/β خواهد شد. در صورتی که β = 1 باشد هر دو فرمول بالا جواب θ = π/2 را خواهند داد و مجموعۀ Rpq به صورت یک دایره به قطر pq خواهد شد.

اگر S یک مجموعۀ مجزا از نقاط در صفحۀ هندسۀ اقلیدسی باشد، بتا اسکلت آن یک گراف بدون جهت است که در آن دو نقطۀ p و q در صورتی با یال pq به یکدیگر متصل می‌شوند که Rpq حاوی هیچ یک از نقاط مجموعۀ S نباشد. در حقیقت بتا اسکلت یک گراف ناحیه خالی می‌باشد که با ناحیه‌های Rpq تعریف شده‌اند. هنگامی که مجموعۀ S شامل نقطۀ r باشد به‌طوری‌که زاویۀ prq بزرگتر از θ باشد، pq یال بتا اسکلت نخواهد بود؛ بتا اسکلت شامل آن جفت pq‌هایی می‌باشد که همچین نقطۀ r ای برای آن‌ها وجود نداشته باشد.

تعریف مبتنی بر هلال 
بعضی از نویسنده‌ها تعریف دیگری را بیان می‌کنند که در آن ناحیه‌های خالی Rpq به ازای β > 1 اجتماع دو دایره نیستند بلکه عدسی می‌باشند (در این متن به آن‌ها هلال می‌گوییم )، یعنی اشتراک دو دایرۀ متناجس به قطر βd(p,q) هستند به‌طوری‌که پاره خط pq بر روی شعاع هر دو دایره قرار می‌گیرد و همچنین دو نقطۀ p و q روی مرز تقاطع دایره‌ها قرار خواهند گرفت. همانند تعریف مبتنی بر دایره، بتا اسکلت مبتنی بر هلال نیز، در صورتی دارای یال pq می‌باشد که ناحیۀ Rpq از نقاط دیگر خالی باشد. با توجه به این تعریف، گراف همسایۀ مرتبط یک حالت خاص از بتا اسکلت با β = 2 می‌باشد. هر دو تعریف مبتنی بر دایره و مبتنی بر هلال به ازای β ≤ 1 یکسانند اما برای مقادیر بزرگ‌تر β، تعریف بتا اسکلت مبتنی بر دایره زیر گرافی از بتا اسکلت مبتنی بر هلال می‌باشد.

یک تفاوت مهم میان بتا اسکلت مبتنی بر دایره و هلال در این است که به ازای هر مجموعه نقاطی که روی یک خط قرار نداشته باشند، همیشه یک مقدار به اندازۀ کافی بزرگ برای β وجود دارد که بتا اسکلت مبتنی بر دایرۀ آن یک گراف تهی باشد. در مقابل اگر یک جفت نقاط p و q دارای این ویژگی باشند که برای همۀ نقاط r دیگر، یکی از دو زاویۀ pqr و qpr منفرجه شود، در آن صورت بدون توجه به این‌که β چقدر بزرگ باشد بتا اسکلت مبتنی بر هلال حتماً حاوی یال pq خواهد بود.

تاریخچه 
بتا اسکلت اولین بار توسط  به عنوان یک گونۀ مستقل از مقیاس از شکل‌های آلفای  مطرح شد. نام “بتا اسکلت” به این علت ایجاد شده‌است که بتا اسکلت از بعضی جهات شکل یک مجموعه نقاط را شرح می‌دهد به همان طریقی که اسکلت توپولوژی شکل ناحیه‌های دوبعدی را بیان می‌کند. انواع بسیار دیگری از گراف‌های بتا اسکلت وجود دارند که با ناحیه‌های خالی دیگر تعریف می‌شوند.

ویژگی‌ها 
اگر β به صورت پیوسته از 0 تا ∞ تغییر کند، β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره دنباله‌ای از گراف‌ها را، از گراف کامل تا گراف تهی، تشکیل می‌دهند. حالت خاصّ β=1 گراف گابریل را نتیجه می‌دهد که شامل درخت پوشای کمینۀ اقلیدسی است. بنابراین، زمانی که β≤1، یک β-اسکلت شامل گراف گابریل و درخت پوشای کمینه هم هست.

برای هر β ثابت، می‌توان از یک ساختار فراکتال که نمایانگر نسخۀ مسطح برف‌دانۀ کخ باشد برای مشخص کردن دنباله‌ای از گروه نقطه‌ها که β-اسکلت‌های آن‌ها مسیرهایی به طول دلخواه در یک مربع واحد است، استفاده کرد. بنابراین، برخلاف مسئلۀ مرتبطِ مثلث‌بندی دیلانی، β-اسکلت‌ها پوشای هندسی نیستند.

الگوریتم‌ها 
یک الگوریتم بدیهی که برای هر سه‌تایی ،  و  عضویت  را در محدودۀ  بررسی می‌کند، می‌تواند برای هر مجموعۀ تایی از نقاط، β-اسکلت را در زمان  بسازد.

به ازای β≥1، یک β-اسکلت (با هر یک از تعریف‌ها) زیرگرافی از گراف گابریل است که آن هم زیرگرافی از مثلث‌بندی دیلانی است. اگر  یکی از یال‌های مثلث‌بندی دیلانی باشد که به β-اسکلت تعلق ندارد، آن‌گاه نقطۀ ، یکی از دو نقطه‌ای که در مثلث‌بندی دیلانی با  و  تشکیل مثلث می‌دهند، زاویۀ بزرگ  را درست می‌کند. در نتیجه، برای این مقادیر β، یک β-اسکلت مبتنی بر دایره با محاسبۀ مثلث‌بندی دیلانی و حذف کردن یال‌های اضافی با این آزمون برای یک مجموعۀ شامل  نقطه در زمان  ساخته می‌شود.

به ازای β<1 الگوریتم دیگری از  ساختن β-اسکلت را در زمان  ممکن می‌سازد. کران بالای بهتری برای زمان اجرا در بدترین حالت ممکن نیست. زیرا برای هر مقدار ثابت β در محدودۀ ۰ تا ۱، در حالت کلی مجموعه‌هایی از نقاط وجود دارند که β-اسکلت آن‌ها یک گراف کامل است که تعداد یال‌هایش با توان دوم تعداد نقاط متناسب است. همچنین تمام طیف β (دنبالۀ β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره که از تغییر مقدار β به‌دست می‌آیند) در زمان مشابه (درجۀ دو) محاسبه می‌شود.

کاربردها 
از β-اسکلت مبتنی بر دایره می‌توان در آنالیز تصویر برای بازسازی شکل یک شیء دو بعدی با داشتن مجموعه‌ای از نقاط نمونه روی مرز آن شیء استفاده کرد.(شکل محاسباتی بازی وصل کردن نقاط، که در آن ترتیب نقطه‌ها در صورت مسئله نیست و باید توسط یک الگوریتم به دست آید.) اگرچه برای این کار باید مقدار مناسبی برای پارامتر β اتخاذ شود، ثابت می‌شود به ازای β=1.7، در صورتی که نسبت تراکم نمونه‌ها به  انحنای موضعی سطح به اندازۀ کافی زیاد باشد، β-اسکلت تمام مرز هر سطح صاف را بازسازی می‌کند و هیچ یال اضافی‌ای تولید نمی‌کند. البته در عمل، مقدار β=1.2 در یک سامانه اطلاعات جغرافیایی برای بازسازی نقشۀ خیابان‌ها از روی مجموعه‌ای از نقاط که روی خط میانی خیابان‌ها بودند مناسب‌تر بود. برای حالت‌های تعمیم‌یافتۀ روش β-اسکلت برای بازسازی سطوح در سه بعد،  را ببینید.

از β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره برای یافتن زیرگراف‌های  مثلث‌بندی با وزن کمینه‌ی یک مجموعه از نقاط استفاده می‌شود: برای مقادیر به اندازۀ کافی بزرگ β، هر یال β-اسکلت به مثلث‌بندی با وزن کمینه تعلق دارد. اگر نقاط ورودی با این یال‌ها یک گراف همبند را تشکیل دهند، یال‌های باقی‌ماندۀ مثلث‌بندی با وزن کمینه با برنامه‌نویسی پویا در زمان چندجمله‌ای به دست می‌آیند. البته مسئلۀ مثلث‌بندی با وزن کمینه در حالت کلی ان‌پی-سخت است و یال‌های به دست آمده با این روش الزاماً یک گراف همبند درست نمی‌کنند.

علاوه بر این، β-اسکلت‌ها در یادگیری ماشین برای حلّ مسائل شناسایی هندسی  و در شبکه‌های بی‌سیم ادهاک به عنوان یک سازوکار برای کنترل پیچیدگی ارتباط، با انتخاب یک زیرمجموعه از جفت ایستگاه‌های بی‌سیم که توانایی ارتباط با یک‌دیگر را دارند، کاربرد دارند.

پانوشت‌ها

منابع 

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

گراف‌های هندسی
هندسه مسطحه اقلیدسی
هندسه محاسباتی