مسئله پایان خوش

مسئلهٔ پایان خوش (که توسط پل اردیش نامگذاری شده‌است، چرا که به ازدواج جورج سیکریس و استر کلاین منجر شد) گزارهٔ ذیل است:

قضیه. هر مجموعهٔ پنج تایی از نقاط در صفحه که دارای موقعیت عمومی هستند، یک زیرمجموعهٔ متشکل از چهار نقطه دارد که این نقاط رأس‌های یک چهار ضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

این قضیه یکی از نتایج اصلی است که منجر به ظهور نظریهٔ رمزی شد.

قضیهٔ پایان خوش، با تحلیل یک حالت ساده اثبات می‌شود: اگر چهار یا تعداد بیش‌تری نقطه، رأس‌های یک بدنهٔ محدب باشند، هر چهار نقطه‌ای به این شکل می‌توانند انتخاب شوند. از طرفی دیگر، اگر مجموعهٔ نقاط به فرم یک مثلث با دو نقطه درون آن باشند، دو نقطهٔ درونی و یکی از اضلاع مثلث می‌توانند انتخاب شوند. برای توضیح مصور این اثبات، پترسون (۲۰۰۰) را ببینید و برای بررسی دقیق‌تر این مسئله نسبت به آنچه اینجا ارائه شده‌است، موریس و سالتن (۲۰۰۰) را ببینید.

تخمین اردوش-سیکریس رابطهٔ کلی بین تعداد نقاطی که در یک مجموعهٔ نقاط با موقعیت عمومی هستند و بزرگ‌ترین چندضلعی محدب آن را به‌طور دقیق بیان می‌کند. این مسئله اثبات‌نشده باقی می‌ماند، اما مرزهای دقیق کم‌تری شناخته شده‌است.

چندضلعی‌های درجهٔ بالاتر 

دو دانشمند به نام‌های اردوش و سیکریس این قضیه را به صورت زیر تعمیم داده‌اند:
قضیه. برای هر عدد صحیح مثبت N، هر مجموعهٔ بزرگ ناتهی و کافی از نقاط در صفحه که هیچ سه تایی از آن‌ها روی یک خط نباشند و هیچ دوتایی از آن‌ها روی هم نباشند (موقعیت عمومی)، شامل یک زیرمجموعه از N نقطه است که رئوس چندضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

اثبات قضیه اردیش–ژکرس در مقاله‌ای که قضیهٔ زیردنباله‌های یکنواخت در دنباله‌های عددی را اثبات می‌کند آمده است.

فرض کنید (f(N کمترین مقدار M را نشان دهد که برای هر مجموعه از M نقطه در موقعیت عمومی یک Nضلعی محدب وجود داشته باشد. داریم:
 f(۳) = ۳، بدیهی.
 f(۴) = ۵.
 f(۵) = ۹. مجموعه‌ای از هشت نقطه که پنج ضلعی محدب ندارند در شکل نشان داده شده‌است، که نشان می‌دهد f(5)> ۸ است. قسمت دشوارتر اثبات این است که نشان دهیم هر مجموعه از ۹ نقطه در وضعیت معمولی دارای رئوس یک پنج‌ضلعی محدب است.
 f(۶) = ۱۷.
 مقدار f برای اعداد بیشتر از ۶ نامعلوم است، اما با توجه به نتیجهٔ مقالهٔ اردوش-سیکریس (۱۹۳۵) می‌دانیم مقدار متناهی دارد.

بر مبنای مقادیر مشخص (f(N، یعنی برای N = ۳, ۴, ۵، اردوش و سیکریس در مقالهٔ اصلی خود رابطهٔ زیر را تخمین زدند:
به ازای هر N ≥ ۳

بعدها این دو نفر با زدن مثال‌های خارجی دیگر ثابت کردند که:

اما بهترین کران بالا برای حالت‌هایی که N ≥ ۷ است، به صورت زیر است:

چندضلعی‌های خالی 
ممکن است سؤال پیش بیاید که آیا برای هر مجموعهٔ کافی از نقاط در موقعیت عمومی دارای یک چهارضلعی، پنج‌ضلعی و.. هست یا نه، به این معنی که نیاز به نقطه ورودی جدید نداشته باشد. راه حل اصلی مسئلهٔ پایان خوش را می‌توان طوری تطابق داد که نشان دهد به ازای هر پنج نقطه با وضعیت موقعیت عمومی در صفحه یک چهارضلعی محدب خالی وجود دارد، همان‌طور که در تصویر نشان داده شده، و به ازای هر ده نقطه با شرایط فوق یک پنج‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. اگرچه مجموعه‌های بزرگ و دلخواهی از نقاط با موقعیت عمومی ممکن است وجود داشته باشند که هیچ هفت‌ضلعی خالی برای آن‌ها یافت نشود.
برای مدت طولانی این سؤال که آیا شش‌ضلعی خالی وجود دارد یا نه، بدون پاسخ ماند، ولی نیکولاس (۲۰۰۷) و گرکن (۲۰۰۸) ثابت کردند که به ازای هر مجموعهٔ کافی از نقاط با موقعیت عمومی در صفحه یک شش‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. به صورت خاص، گرکن نشان داد که تعداد نقاط مورد نیاز بیشتر از (f(۹ نیست. (f در بالا تعریف شده) درحالیکه نیکولاس نشان داد این مقدار حداکثر به اندازهٔ (f(۲۵ است. (Valtr(۲۰۰۶ اثبات گرکن را ساده می‌کند و نشان می‌دهد که به نقاط بیشتری از (f(۹، یعنی به اندازهٔ (f(۱۵ که برابر ۳۰ نقطه می‌شود، نیاز داریم، چرا که یک مجموعه از ۲۹ نقطه در موقعیت عمومی در صفحه وجود دارد که برای آن شش‌ضلعی محدب خالی وجود ندارد.

مسائل مرتبط 
مسئلهٔ پیدا کردن مجموعه‌عای شامل n نقطه به طوری که تعداد چندضلعی‌های محدب را کمینه کند، مشابه کمینه‌کردن تعداد عبور در یک ترسیمِ خطِ مستقیمِ یک گراف کامل است. تعداد چندضلعی‌ها باید متناسب با توان چهارم n باشد، اما مقدار ثابت دقیقی، مشخص نیست.
به‌طور سرراست می‌توان نشان داد که در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر، مجموعه‌های به اندازهٔ کافی بزرگ از نقاط، یک زیرمجموعه از k نقطه خواهند داشت که رأس‌های یک چندبر محدب را تشکیل می‌دهند، برای هر k بزرگ‌تر از بُعد: این مسئله خیلی سریع از موجود بودن k-ضلعی محدب در مجموعه‌های نقاط مسطح به اندازهٔ کافی بزرگ پیروی می‌کند، به این صورت که مجموعه نقاط با ابعاد بالاتر را در یک شبه فضای دوبعدی اختیاری طراحی می‌کند. اما تعداد نقاط لازم برای پیدا کردن K نقطه در حالت محدب ممکن است در ابعاد بالاتر نسبت به حالتی که در صفحه است، کم‌تر باشد، و همچنین پیدا کردن زیرمجموعه‌هایی که محدودتر هستند، امکان‌پذیر است. به‌طور مشخص، در d بعد، هر d + ۳ نقطه در موقعیت عمومی، یک زیرمجموعه از d + ۲ نقطه دارد که رئوس یک چندبر چرخه‌ای را تشکیل می‌دهند. در حالت کلی‌تر، برای هر d و k> d، عدد (m(d, k وجود دارد به گونه‌ای که هر مجموعه از (m(d, k نقطه در موقعیت عمومی یک زیر مجموعه از k نقطه خواهد داشت که رئوس یک چندبر همسایگی را تشکیل می‌دهد.

نکات

منابع 

 .
 .
 . Reprinted in: .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .

پیوند به بیرون 

 Happy ending problem  and Ramsey-theoretic proof of the Erdős-Szekeres theorem  on پلنت‌مث
 

مسئله‌های ریاضی
نظریه رمزی
هندسه مسطحه اقلیدسی
هندسه گسسته
پل اردوش
چندضلعی‌ها
چهارضلعی‌ها