Multzo lausoren eragiketa

Multzo lausoren eragiketak multzo lausoekin egindako eragiketak dira. Eragiketa hauek multzo arrunt edo zurrunen eragiketen orokortzeak dira,  multzo zurrun unibertsalaren  potentzia-multzoaren ( multzoaren azpimultzo zurrun guztiez osatutako multzoaren) barruan ordez,  multzoaren azpimultzo lauso guztiez osatutako multzoaren barnean definituak.

Beraz  erako funtzio bidez zehaztutakoak,  dela.

Hemen gutxi batzuk bakarrik aurkeztuko badira ere, era askotako orokortzeak daude. Gehien erabilitakoa multzo lausoren eragiketa estandarrak izenaz deiturikoa da eta bera aurkezten da lehenengoz hemen; gehien erabiltzen dena izateaz gain, orokortze guztien artean berak bakarrik betetzen dituelako atzerago jarritako axioma guztiak.
  
Oinarrizko hiru eragiketa daude: osagarri lausoak, ebaketa lausoak eta bilketa lausoak.

OHARRA: Multzo lausoen multzokidetza-mailen multzoa orokorrean edozein sareta izan ahal bada ere, artikulu honetan multzokideza-mailen multzoa  dutenen multzo lausoen eragikeak bakarrik aztertzen dira.

Multzo lausoren eragiketa estandarrak 
 multzo unibertsalaren  azpimultzo lausoaren multzokidetza-funtzioa bada,  multzoaren edozein elementu -k  multzo lausoan duen multzokidetza-maila da eta adierazten du  elementua zein punturaino den  multzo lausoaren elementua.

 betetzen duten  eta  multzo lausoen oinarrizko eragiketa estandarrak honela definitzen dira

Osagarri estandarra
 eta  eta 

Ebakidura estandarra
 eta  eta 

Bildura Estandarra 
 eta  eta

Osagarri lausoak 
 multzo unibertsalaren  azpimultzo lausoaren  multzoarekiko multzo osagarria  edo  idazten da, eta atzerago agertzen den  funtzioaren antzeko funtzio bidez definitzen da. Multzo zurrunetan  da baina multzo lausotan ez.

 eta

Osagarri lausoentzako axiomak 

Hemendik aurrera, idazkera erraztearren,  elementuaren  eta  multzokidetza-mailak  eta  multzo lausoetan  eta  idatziko dira, argi dagoenean zer diren.

Goiko  funtzioak osagarri lausoak defini ditzan hurrengo bi axiomak bete behar ditu:

o1 axioma, Mugalde-baldintza multzo zurrunen osagarriekin bateragarria izateko.
 eta 

o2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.
 guztientzat,  bada, orduan 

Edozein osagarri lausok (multzo lauso baten osagarriak) bete behar ditu lehenengo bi axioma hauek; multzo zurrunekin erabiliz gero multzo zurrunen osagarriak lortzeko eta intuizioak elementu baten multzokide-maila multzo batean handituz gero, haren multzo osagarrian txikitu edo, gutxienez, berdin geratu behar dela esaten digulako.

Badaude funtzio osagarrientzat desiragarriak diren beste ezaugarri batzuk, eskatuz gero osagarrien kopurua murrizten dutenak; desiragarrienen artean askotan eskatzen diren hurrengo biak daude.

o3 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.
 funtzio jarraitua da.

o4 axioma, Inboluzioa ziurtatzekoa.
 inbolutiboa da eta, beraz, edozein rentzat  da.

Proposatutako osagarri batzuk 

Osagarri estandarrez gain hurrengo osagarriak ere, proposatu dira:

Sugeno motakoak:

 parametroaren ibiltartea  delarik.
 denean Sugenoren osagarriak eta osagarria estandarrak berdinak dira.

Yager motakoak:

 parametroaren ibiltartea  izanik.
 denean Yagerren osagarriak eta osagarria estandarrak berdinak dira.

Ebakidura lausoak 

 eta  bi multzo lausoen ebakidura normalean hurrengo paragrafoetan deskribatutako funtzioaren antzeko funtzioz definitzen da.

.

 guztientzat

 eta

Ebakidura lausoentzako axiomak 

Goiko  funtzioak ebakidura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:

e1 axioma, Mugalde-baldintza, multzo zurrunen ebaketarekin bateragarria izateko.

e2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzrkoa.
 eta  badira, orduan 

e3 axioma, Trukakortasuna ziurtatzekoa

e4 axioma, Elkarkortasuna) ziurtatzekoa.

Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:

non eta beste kasu guztietan  diren.

Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:

e5 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.
 funtzio jarraitua da.

e6 axioma, Idenpotentzia ziurtatzekoa-

Ebaketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den ebaketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen ebaketa bakarra.

Proposatutako ebakidura batzuk 

Ebakidura estandarraz gain hurrengo ebakidurak ere, proposatu dira:

Yager motakoak:

 parametroaren ibiltartea  delarik.
 denean Yagerren ebakidura eta ebakidura estandarra berdinak dira
 delako. .

Schweizer & Sklar motakoak:

 parametroaren ibiltartea  izanik.

Bildura lausoak 
 eta  bi multzo lausoen bildura normalean hurrengo paragrafoetan deskribatutako funtzioaren antzeko funtzioz definitzen da.

.

 guztientzat eta

 eta

Bildura lausoentzako axiomak 

Goiko  funtzioak bildura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:

u1 axioma, Mugalde-baldintza, multzo zurrunen bilketarekin bateragarria izateko.

u2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.
b ≤ d implies u(a, b) ≤ u(a, d)

u3 axioma, Trukakortasuna ziurtatzekoa.

u4 axioma, Elkarkortasuna ziurtatzekoa

Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:

non eta beste kasu guztietan  diren.

Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:

u5 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa.
 funtzio jarraitua da.

u6 axioma, Idenpotenzia ziurtatzekoa.

Bilketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den bilketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen bilketa bakarra.

Proposatutako bildura batzuk 

Bildura estandarraz gain hurrengo bildurak ere, proposatu dira:

Yager motakoak:

 parametroaren ibiltartea  delarik.
 denean Yagerren bildura eta bildura estandarra berdinak dira
  delako.

Schweizer & Sklar motakoak:

 parametroaren ibiltartea  izanik.

Multzo lausoren elkartze-eragiketak 
Multzo lausoren elkartze-eragiketen bidez multzo lauso batzuk elkartzen dira multzo lauso bakarra emanez.

 multzo lausoren elkartze-eragiketak

 erako funtzioren bidez definitzen dira.

Elkartze-eragiketa orokorren axiomak 

h1 axioma, Mugalde-baldintzak.
 eta 

h2 axioma, Monotonotasuna ziurtatzekoa.
Edozein  eta  bikoterentzat, non  eta  diren,  guztientzat  bada 

Nahiz eta funtsezkoak ez izan hurrengo axiomak betetzea ere, eskatzen zaie askotan elkartze-eragiketei.

h3 axioma, Jarraitutasuna ziurtatzekoa
 funtzio jarraitua da.

h4 axioma, Simetrikotasuna ziurtatzekoa.
ren edozein  permutaziorako 

Orain arte ikusi ditugun ebaketak eta bilketak bi eragigaiko elkartze-eragiketak dira baina, bai ebaketak eta bai bilketak elkarkorrak direnez, aise zabaldu ahal dira haien definizioak eragigairen edozein kopururako. Beraz ebaketak eta bilketak haien emaitzak gorago ikusi diren mugen artean dituzten elkartze-eragiketak dira.

Azken lau axioma hauek ez dute muga haiek jartzen eta badira batezbestekoak lortzeko eragiketak deitutako elkartze-eragiketak ebaketek eta bilketek eman ezin dituzten emaitzak ematen dutenak.

Ikusitako hiru elkartze-eragiketa moten emaitzen arteko mugak hurrengoak dira:

 EBAKIDURAK  BATEZBESTEKOAK  BILDURAK 

Ba dago batezbesteko orokortuak izena ematen zaion batezbestekoak lortzeko eragiketen mota bat ebakiduren eta bilduren arteko tarte osoa hartzen duena eta hurrengo funtzioez osatuta dagoena.

 parametroa  izanik.

 1 denean batezbesteko aritmetikoa lortzen da

 2 denean batezbesteko koadratikoa lortzen da

 -1 denean batezbesteko harmonikoa lortzen da

eta  0-ra hurbiltzen denean batezbesteko geometrikoa lortzen da

Elkartzen diren multzoen garrantzien arteko ezberdintasunak kontuan hartu gura badira  oraindik gehiago orokortu ahal da hurrengo funtzioa erabiliz batezbesteko orokor haztatuak emateko.

bertan  pisuek  eta  baldintzak bete behar dituztela.

Erreferentziak

Kanpoko Erreferentziak 
 L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965

Ikus, gainera 
 Logika lauso
 Multzo lauso
 T-norma
 2. motako multzo eta sistema lausoak

Kanpo estekak 

Logika lausoa
Multzo-teoria