Riemannen geometria

Riemann-en geometria edo geometria Riemanndarra Riemann-en barietateak aztertzen dituen geometria diferentzialaren adarra da. Riemannen barietateak Riemannen metrikan oinarritutako barietateak dira. Espazio tangentearen puntuetan biderkadura eskalarra dute, puntuz puntu leun aldatuz doana. Horrek, angeluaren,  arku-luzeraren, gainazalen azaleraren eta bolumenaren nozio lokalak ematen ditu. Horietatik, beste kantitate global batzuk erator daitezke integrala aplikatuz.

Riemann-en geometria Bernhard Riemannek "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz") izenburuarekin eman zuen inaugurazio-hitzaldiarekin hasi zen. R3-ko gainazalen geometria diferentzialaren orokortze zabal eta abstraktua da. Riemannen-en geometriaren garapenak gainazalen geometria eta haien geodesikoen portaera sistetizatu ahal izatea ekarri zuen, eta dimentsio handiagoko barietate diferentziagarriak aztertzeko erabil daitezkeen teknikak aplikatu ahal izatea. Horri esker, Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorra formulatu ahal izan zen. Gainera, eragin handia izan zuen talde-teorian eta errepresentazioaren teorian,  eta topologia aljebraikoaren eta topologia diferentzialaren garapena bultzatu zituen.

Sarrera 

Riemannen geometria Bernhard Riemannek aurkeztu zuen lehen aldiz XIX. mendean. Puntu batetik bestera propietate metriko desberdinak dituzten geometriak aztertzen ditu, baita geometria ez-euklidestar mota estandarrak ere.

Barietate leunek Riemannen metrika onartzen dute, eta horrek, maiz, topologia diferentzialeko problemak ebazten laguntzen du. Halaber, konplexuagoak diren barietate sasi-Riemanndarrak (edo, erdi-Riemandarrak) aztertzeko ere balio du. Egitura horiek lau dimentsiotan, erlatibitate orokorraren teoriaren objektu nagusiak dira. Riemannen geometriaren beste orokortze bat Finsler-en geometria da.

Geometria diferentzialak eta kristal erregularretan sortzen diren akatsen egitura matematikoek badute halako antzekotasun bat haien artean. Dislokazioek (Taylor's dislocation) eta desklinazioek (disclination) bihurdurak eta kurbadurak eragiten dituzte.

Sarrera moduan, honakoak irakurtzea komeni da:

 Metrika tentsore
 Riemannen barietate
 Levi-Civita konexio
 Kurbadura
 Riemann-en kurbadura-tentsore
 Geometria diferentzialeko gaien zerrenda
 Riemannen geometriari eta geometria metrikoari buruzko glosategi

Teorema klasikoak 
Jarraian, Riemannen geometriako teorema klasikoen zerrenda bat aurkezten da. Formulazioaren garrantziaren arabera aukeratuak izan dira.  Emaitza gehienak Jeff Cheeger-en eta D. Ebin-enen monografia klasikoan aurki daitezke.

Teorema orokorrak 

 Gauss–Bonnet-en teorema. Bi dimentsioko Riemannen-en barietate trinko batean, Gauss-en kurbaturaren integrala 2πχ(M) da, non χ(M) notazioaren bidez Eulerren karakteristika adierazten den. Teorema honen orokorpena existitzen da, dimentsio bikoitiko Riemannen-en barietate trinkoetarako (Gauss-Bonnet-en teorema orokortua).
 Nash-en txertatze-teoremak (Nash embedding). Teorema horien arabera, Riemannen barietateak Rn espazio euklidear batean txertatuak egon daitezke modu isometrikoan.

Geometria handia 
Ondorengo teorema guztietan, espazioaren portaera lokalen bat suposatzen da. Normalean kurbaduraren suposizioa eginez formulatzen dira eta horri esker, espazioaren egitura globalari buruzko informazioa lortzen da, hala nola, barietatearen topologia motari buruzko informazioa edo nahi adina distantzia handira dauden puntuen portaerari buruzko informazioa.

Atalkako kurbadura zurbila (pinched sectional curvature) 

 Esferaren teorema. 
 Cheeger-en finitutasunaren teorema. 
 Gromov-en barietate ia lauak

Behetik bornatutako atalkako kurbadura 

 Cheeger–Gromoll-en soul teorema.
 Gromov-en Betti-zenbakiaren teorema. 
 Grove–Petersen-en finitutasunaren teorema.

Goitik bornatutako atalkako kurbadura 

 Cartan–Hadamard-en teorema.

Behetik bornatutako Ricciren kurbadura 

 Myers-en teorema. 
 Bochner-en formula. 
 Splitting-teorema. 
 Bishop–Gromov inekuazioa.
 Gromov-en trinkotasun-teorema.

Ricci-ren kurbadura negatiboa 

 Ricci-ren kurbadura negatiboa duen Riemannen barietate trinkoen isometria talde diskretua da.
 n ≥ 3 dimentsioko barietate leunek Ricci-ren kurbadura negatiboko Riemannen metrika onartzen dute (gainazaletan ez da betetzen).

Eskalar positiboko kurbadura 

 n-dimentsioko toruak ez du eskalar positiboko kurbadura duen metrikarik onartzen.
 n-dimentsioko Riemannen barietate trinkoaren injektibotasun erradioa (injectivity radius)  ≥ π bada, orduan batez besteko kurbadura eskalarra n(n-1) izango da, gehienez.

Erreferentziak

Bibliografia 

 Liburuak

 . (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
 ; Revised reprint of the 1975 original.
 .
 .
 
 From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, eta Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN 978-3-319-60039-0

 Artikuluak

Kanpo estekak 

 V. A. Toponogov-en Riemannaren Geometria Matematikako Entziklopedian
 

Riemanndar geometria