Cantorren Argudio Diagonala

Cantorren Argudio Diagonala, diagonalaren metodoa bezala ezagutzen dena baita ere, Georg Cantorrek gutxi gorabehera 1891. urtean frogatutako argudio edo frogapena izan zen. Argudio honen bitartez Cantorrek zenbaki errealen multzoa  ez zela zenbakigarria frogatu zuen.

Zenbaki errealak zenbatzeko edo zerrendatzeko ezintasunaren frogapen hau ez zen lehenengoa izan, baina sinpleena eta dotoreena izan zen. Geroago, frogapen honek beste zenbait frogapen inspiratu zituen.

Froga 
 zenbakigarria ez dela frogatzeko nahikoa da frogatzen baldin badugu  ez dela zenbakigarria. Horretarako, lehenago frogatuko dugu  multzoaren eta -ren kardinalak berdinak direla, horrela  ez dela zenbakigarria frogatzeko.

eta -ren kardinalak berdinak dira 
Hau frogatzeko,  eta -ren arteko funtzio bijektibo bat bilatuko dugu, funtzio hau beste bi funtzioa¡ren osaketa izango da:

 Lehenengo  funtzioa da, honek bijekzio bat ezartzen du -ren eta -ren artean eta funtzio hau bijektiboa dela frogatzea oso erraza da.
 Bigarren funtzioa  da. Funtzio hau bijekzio bat da -ren eta -ren artean.

Osaketa eginez bijekzio bat aurkitu dugu  eta -ren artean, beraz bi multzoek kardinal bera dute.

ez da zenbakigarria,                                                                                                                                     (=zenbaki arruntak) 
Orain gure helburua -ren infinitua -rena baino handiagoa dela frogatzea da, horretarako ikusiko dugu azken honen kardinala -rena baino txikiagoa dela.

Frogapena 
 dela ikusi dugu, beraz, frogatzen baldin badugu  dela,  izango da. Horretarako, absurdura eramanez eta suposatuz  eta  multzoen artean korrespondentzia bat dagoela, aurkituko dugu  multzoaren elementu bat -rekiko korrespondentziarik ez duenik. Hau da, ikusiko dugu bi multzoen artean ez dagoela bana-banakako korrespondentzia bat.

Bi multzoen arteko bana-banakako korrespondentzia bat  multzoko elementuak zerrendatzea izango litzateke. Egin dezagun zerrenda hori  multzoko elementuei  deituz. Zenbaki arrunt bakoitzari  multzoko zenbaki bat esleituko diogu.

Orain  multzoko zenbaki bat aurkituko dugu -ko zenbakirik esleituta ez duena. Horretarako zenbaki berri bat () sortuko dugu,  multzoan egongo dena, beraz, gure zenbakia 0 batekin hasiko da eta haren dezimalak jadanik gure  multzoko zenbakietatik lortuko ditugu. Gure zenbaki berriaren lehenengo dezimala 1 zenbaki arruntari esleitu zaion zenbaki errealaren lehen dezimala +1  izango da. Gure zenbaki berriaren bigarren dezimala bigarren zenbaki errealaren bigarren dezimalaren zenbakia +1 izango da. Dezimala 9 baldin bada gure zenbaki berriarena 0 izango da.

 izango da

Horrela, lortu duguna izan da  sortzea eta zenbaki honek ez du korrespondentziarik zenbaki arruntekin, zenbaki berri hau  multzoko beste zenbakien desberdina delako, behintzat zenbaki bat desberdina du, zehazki aldatu dugun dezimal bakoitzarena. Beraz, aurkitu dugunez -rekin korrespondentziarik ez duen  multzoko zenbaki bat, hurrengoa dakigu:

  beraz,    dela frogatu dugu

Erreferentziak

Kanpo estekak 
 Gaussianos webgunea, La diagonalización de Cantor

Analisi matematikoa
Froga matematikoak
Multzo-teoria
Zenbaki errealak
Matematikaren oinarriei buruzko teoremak