Mercatorren serie

Matematikan, Mercator seriea edo Newton–Mercator seriea logaritmo naturalen Taylorren seriea da:

 

Idazkera batukaria erabiliz idatzia,

 

Serieak logaritmo naturalarekin bat egiten du (aldagaia 1 mugitua) −1 < x ≤ 1 denean.

Historia 
Nicholas Mercator, Isaac Newton eta Gregory Saint-Vincentek aurkitu zuten seriea, bakoitzak bere aldetik. Mercator-ek lehen aldiz argitaratu zuen 1668ko Logarithmo-technica tratatuan.

Deribazioa 
Seriea Taylorren teorema aplikatuz lor daiteke, ln x funtzioaren n. deribatua indukzioaren bidez kalkulatua x = 1 puntuan,

  baldintzatik hasiz.

Bestela

 

serie geometriko finituarekin has daiteke (t ≠ −1) eta hau lortzen da:

 

Beraz:

 

eta gaiz gai integratuz,

 

Baldin eta −1 < x ≤1 bada, hondarrak 0-ra jotzen du,  doanean.

Adierazpen hori k aldiz gehiago integra daiteke iterazioz, hau lortzeko:

 

non

 

eta

 

x-ren polinomioak diren.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Logaritmoak
Serie matematikoak