Multzoen teoria informal

Multzoen teoria informala (ingelesez, Naive set theory) matematikaren oinarriei buruzko eztabaidetan erabiltzen diren multzoen teoriek osatzen dute.  Logika formala erabiliz definitzen den multzo-teoria axiomatikoarekin konparatuz, multzo-teoria informalean hizkuntza naturala erabiltzen da. Matematika diskretuan erabiltzen diren multzoak deskribatzen dira (adibidez, Venn-en diagramak eta Boole-ren aljebrari buruzko arrazonamendu sinbolikoa). Gaur egun, multzo-teoriaren kontzeptuak formaltasun matematiko gehiegirik gabe erabiltzeko egokia da .

Multzoak oso garrantzitsuak dira matematikan; tratamendu formal modernoetan, matematika-objektu gehienak (zenbakiak, erlazioak, funtzioak, etab.) multzoen bidez definitzen dira. Multzoen teoria informala nahikoa da helburu askotarako.

Metodoa 
"Teoria informal" terminoak formalizatu gabeko teoria esan nahi du, hau da, multzoak eta eragiketak deskribatzeko hizkuntza naturala erabiltzen duen teoria. Hizkuntza naturaleko eta, edo, baldin...orduan, ez, existitzen da, edozein, etab. hitzak erabiltzen dira matematika arrunteko hitzak balira bezala. Multzoen teoria informalaren eta haren formalismoa erabiltzea egokia gertatzen da baita goi-mailako matematikan ere.

Multzoen teoriaren lehen garapena multzoen teoria informal bat izan zen. XIX. mendearen amaieran sortu zuen Georg Cantorrek, multzo infinituen azterketaren barruan , eta Gottlob Fregek garatu zuen Grundgesetze der Arithmetik lanean.

Multzoen teoria informal-ak honakoei egin diezaieke erreferentzia:

 Multzo-teoria axiomatikoaren aurkezpen informala, Paul Halmos-en Naive Set Theory liburuan agertzen dena, adibidez.
 Georg Cantorren teoriaren hasierako edo ondorengo bertsioak eta beste sistema informalak.
 Beste teoria batzuk (axiomatikoak izan ala ez), hala nola, Russell-en paradoxa ekarri zuen Gottlob Frege-ren teoria, eta Giuseppe Peanoren  eta Richard Dedekind-en teoriak.

Paradoxak 
Edozein propietate, inolako murrizketarik gabe, multzo bat osatzeko erabil daitekeela usteak paradoxak eragiten ditu.  Adibide ezagun bat Russell-en paradoxa da: "Elementu gisa beren burua ez duten multzo guztien multzoa ez da existitzen". Hala, multzoen teoria informalerako sistemak kontsistenteak izateko, zenbait murrizketa izan behar dituzte multzoak osatzeko erabil daitezkeen printzipioetan.

Cantor-en teoria 
Batzuen ustez, Georg Cantorren multzo-teoriak ez du multzo-teoriako paradoxarik eragiten. Hori hala den ziur jakitea zaila da, Cantorrek ez zuelako sistemaren axiomatizaziorik eman. 1899rako, Cantorrek bazekien bere teoria mugarik gabe interpretatzeak hainbat paradoxa ekar zitzakeela, hala nola Cantorren paradoxa eta Burali-Fortiren paradoxa, baina ez zuen uste horregatik bere teoria bazter zitekeenik. Cantorren paradoxa lehen aipatutako uste okerretik erator daiteke ("edozein P(x) propietate multzo bat osatzeko erabil daiteke"), P(x) propietate moduan "x zenbaki kardinala da" erabiliz. Frege-k modu esplizituan axiomatizatu zuen teoria bat, non multzoen teoria informalaren bertsio formala interpreta zitekeen, eta teoria formal hori izan zen Bertrand Russell-ek erabili zuena bere paradoxa aurkezteko, baina ez nahitaez Cantor-ek bere buruan zuen teoria, esan dugunez, bera zenbait paradoxaz jabetu baitzen.

Teoria axiomatikoak 
Multzoen teoria axiomatikoa multzoak ulertzeko lehen saiakera horiei erantzunez garatu zen. Zein eragiketa erabil zitezkeen eta noiz zehaztea zen teoria garatzearen helburua.

Kontsistentzia 
Multzoen teoria informal bat ez da zertan inkonsistentea izan behar, nahitaez, onargarriak diren multzoak zuzen zehazten badira. Hori definizioen bidez egin daiteke, hau da, axioma inplizituen bidez. Posiblea da modu esplizituan axioma guztiak zehaztea, Halmos-en Naive Set Theory-n bezala. Izan ere, bertan Zermelo–Fraenkel-en ohiko multzo-teoria axiomatikoaren aurkezpen informala ematen da. Matematika informal arruntean erabili ohi diren lengoaia eta notazioa erabiltzen direlako esaten zaio "informal", sistema axiomatikoaren kontsistentzia edo osotasuna tratatu gabe.

Era berean, multzo-teoria axiomatiko bat ez da nahitaez kontsistentea, hau da, ez da nahitaez paradoxarik gabea. Gödel-en ez-osotasunaren teorematik ondorioztatzen da nahiko konplexua den lehen mailako sistema logiko bat (multzo-teoria axiomatiko ohikoenak barne hartzen dituena) kontsistentea izanda ere ezin dela kontsistente denik frogatu. Hala ere, sistema axiomatiko arruntak kontsistenteak direla uste da; haien axiometatik paradoxa batzuk baztertzen dira, Russell-en paradoxa, adibidez. Gödelen teoreman oinarrituta, ezin da jakin eta sekula ezingo da jakin, ea teoria horietan edo lehen mailako edozein multzo-teorian paradoxaririk ba ote dagoen.

Multzoen teoria informal terminoa Fregek eta Cantorrek aztertutako multzoen teoriari erreferentzia egiteko erabiltzen da gaur egun oraindik ere, eta ez multzoen teoria axiomatiko informal modernoari erreferentzia egiteko.

Erabilgarritasuna 
Neurri handi batean, komeni denaren arabera aukeratzen da multzoen teoria axiomatikoa edo beste teoria bat. Eguneroko matematikan, multzoen teoria axiomatiko informala aukeratzea da onena, seguraski.  Horregatik, normalean, beharrezkoa denean bakarrik egiten zaie erreferentzia axioma partikularrei; hautapenaren axioma, adibidez, erabiltzen denean bakarrik aipatzen da. Era berean, froga formalak beharrezkoak direnean bakarrik egiten dira. Multzoen teoria axiomatikoa hain modu informalean erabiltzeak multzo-teoriari itxura informala eman diezaioke. Formulazioak eta frogak modu informalean egitea formalki eta zorroztasun handiz egitea baino errazagoa da, bai irakurtzeko eta baita idazteko ere, eta errore gutxiago sortzen dira.

Multzoak, osaera eta berdintasuna 
Multzoen teoria informalean, multzo bat ondo definitutako objektuen bilduma gisa deskribatzen da. Objektu horiei multzoko elementu esaten zaie. Objektuak edozer izan daitezke: zenbakiak, pertsonak, beste multzo batzuk, etab. Esate baterako, 4 zenbaki osoen multzoko elementu bat da. Argi dago zenbaki osoen multzoa infinituki handia dela; ez da beharrezkoa multzoa finitua izatea.

Multzoen definizioa Georg Cantor-ek eman zuen 1915ean Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre artikuluan:“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor“Multzo bat gure pertzepzioko edo pentsamenduko objektu zehatz eta desberdinen bilduma bat da, eta multzoko elementu deritze”. – Georg Cantor

Multzoko elementu 
x elementua A multzoan badago, orduan A multzokoa dela esaten da. Hori adierazteko  ikurra erabiltzen da, hau da,  idazten da.  ikurra  "ε" epsilon letra greko minuskularen eratorpen bat da. Giuseppe Peanok erabili zuen 1889an, eta  "ἐστί"  hitzaren lehen hizkia da eta "da" esan nahi du. x elementua A multzoan ez dagoela adierazteko  ikurra erabiltzen da ( idazten da).

Berdintasuna 
Bi multzo A eta B berdinak direla esaten da zehazki elementu berdinak dituztenean, hau da, A multzoko elementu guztiak B-ko elementu direnean eta B-ko elementu guztiak A-ko elementu direnean (hedadurazkotasun-axioma). Hala, multzoa bere elementuek erabat zehazten dute. Adibidez, 2, 3 eta 5 elementuak dituen multzoa eta 6 baino txikiagoak diren zenbaki lehenen multzoa berdinak dira. A eta B multzoak berdinak direla adierazteko, ohikoa den ikurra erabiltzen da, hau da, A = B.

Multzo hutsa 
Elementurik ez duen multzoa multzo hutsa dela esaten da eta  ikurraren bidez edo  adierazten da. Multzoa bere elementuek erabat zehazten dutenez, multzo huts bakarra egon daiteke (multzo hutsaren axioma). Multzo hutsak elementurik ez badu ere, beste multzoen elementu izan daiteke. Horrela,  betetzen da, lehenengoak ez duelako elementurik eta bigarrenak elementu bakarra duelako. Matematikan, multzoak multzo hutsetik abiatuz eraiki daitezke.

Multzoak zehaztea 
Multzo bat deskribatzeko modurik errazena multzoko elementuak giltzen artean zerrendatzea da. Horrela,  notazioak 1 eta 2 elementuak besterik ez dituen multzoa adierazten du. Honakoak kontuan izan behar dira:

 Elementuen ordenak ez du garrantziarik, hau da, , adibidez. 
 Elementuak errepikatzeak (anizkoiztasunak) ez du garrantzirik; adibidez, 

Notazio horren adibide bat  da, multzo hutsa adierazten du, elementurik ez duena.

 edo  notazioa erabiltzen da P baldintza betetzen duten  elementuen multzoa adierazteko. Adibidez,  notazioak zenbaki errealen multzoa adierazten du.

Hauek dira notazio horren aldaera batzuk:

  notazioak  baldintza betetzen duten A multzoko x elementuen multzoa adierazten du. Adibidez,  zenbaki osoen multzoa izanik,  notazioak zenbaki oso bikoitien multzoa adierazten du.
  notazioak A multzoko elementuak   formulan ordezkatzean lortzen diren objektuen multzoa adierazten du. Adibidez, zenbaki oso eta bikoitien multzoa adierazteko beste modu bat  da.
 Multzo bat adierazteko formarik orokorrena  da. Adibidez, txakur-jabeen multzoa  da.

Azpimultzoak 
A eta B bi multzo izanik, A multzoa B-ren azpimultzoa da A-ren elementu guztiak B multzoko elementu badira. A multzoa B-ren parte dela ere esan ohi da, edo A multzoa B-ren barruan dagoela. Kasu partikular moduan, B multzo oro bere buruaren azpimultzoa da; B-ren berdina ez den B-ren azpimultzo oro B-ren azpimultzo propioa da. A multzoa B-ren azpimultzoa bada, orduan B multzoa A-ren supermultzoa dela esan daiteke.

Azpimultzo eta supermultzo erlazioak adierazteko erabiltzen diren ikurrak  eta  dira, hau da, A multzoa B-ren azpimultzoa dela adierazteko  eta B multzoa A-ren supermultzoa dela adierazteko  . Autore batzuek  eta  ikurrak erabiltzen dituzte, baina beste batzuek ikur horiekin azpimultzo eta supermultzo propio adierazteko erabiltzen dituzte. Esanahia argi gera dadin, multzoak berdinak ezin direla izan modu esplizituan adieraztea komeni da  eta  ikurrak erabiliz.

Adibide moduan, izan bitez  zenbaki errealen multzoa,  zenbaki osoen multzoa, B zenbaki oso bakoitien multzoa eta L loreen multzoa. B multzoa -ren azpimultzoa da eta  multzoa -ren azpimultzoa da. Ondorioz, B multzoa -ren azpimultzoa da. Gauza bera ondoriozta daiteke azpimultzo propioetarako ere. Multzo guztiak ezin dira horrela konparatu. Adibidez, L multzoa ez da -ren azpimultzo, eta  multzoa ez da L-ren azpimultzo.

Multzo berdinen definiziotik erraz ondorioztatzen da,  betetzen dela baldin eta soilik baldin  eta  bada. Hain zuzen ere, askotan horrela ematen da multzo berdinen definizioa. Bi multzo berdinak direla frogatu nahi denean, ohikoa da bi partekotasun horiek betetzen direla frogatzea. Bestalde, multzo hutsa multzo ororen azpimultzoa da. Izan ere, multzo hutseko elementu guztiak edozein multzoren elementu direla frogatzea berehalakoa da.

A multzo jakin baten azpimultzo guztien multzoari Aren potentzia-multzoa deritzo eta  notazioaz adierazten da. A multzoak n elementu baditu, orduan  potentzia-multzoak  elementu izango ditu.

Unibertsoa eta multzo osagarria 
Testuinguru batean, multzo guztiak "unibertso" edo "multzo unibertsal" jakin baten azpimultzo direla esan daiteke. Adibidez,   zenbaki errealen multzoaren edo -ren azpimultzoen propietateak aztertzean,  multzo unibertsal edo unibertso moduan har daiteke. Multzo-teoria estandarrean ez dago benetako multzo unibertsalik (ikus paradoxak atala behean), baina multzo-teoria ez-estandar batzuetan badago.

 multzo unibertsala izanik eta -ren A azpimultzo bat emanik, A-ren osagarria (-n) horrela definitzen da:

 

hau da,  multzoa (A multzoaren osagarria, ingelesez "A-complement") A multzoan ez dauden  unibertsoko elementuen multzoa da. Adibidez,  zenbaki errealen multzoa,  zenbaki osoen multzoa eta B zenbaki oso bakoitien multzoa izanik, multzo unibertsala  bada, orduan   zenbaki oso bikoitien multzoa da, baina unibertsoa  bada, orduan  zenbaki erreal eta oso bikoiti guztien eta oso ez diren zenbaki erreal guztien multzoa da.

Bildura, ebakidura eta osagarria 
A eta B bi multzo izanik, haien bildura A-n dauden elementuek edo B-n dauden elementuek edo bietan dauden elementu guztiek osatzen dute eta  notazioaz adierazten da. 

A eta B multzoen ebakidura A-n eta B-n dauden elementu guztien multzoa da eta   notazioaz adierazten da.

Azkenik, B-ren osagarri erlatiboa A multzoan (edo diferentzia), A multzoan dauden baina B-n ez dauden elementu guztien multzoa da eta  edo  notazioaz adierazten da

Modu matematikoan, horrela definitzen dira, hurrenez hurren:

 

B multzoak ez du A-ren azpimultzo izan behar  diferentziak zentzua izateko; hori da osagarri erlatiboaren eta aurreko atalean definitutako osagarriaren arteko diferentzia, .

Ideia horiek azaltzeko, demagun A ile kizkurra duten pertsonen multzoa dela, eta B ile horia duten pertsonen multzoa. Orduan,  ile kizkurra eta horia duten pertsona guztien multzoa da; , aldiz, ilea kizkurra edo horia duten pertsona guztien multzoa da. Bestalde,  ilea kizkurra duten eta horia ez duten pertsona guztien multzoa; , berriz, ile horia duten baina kizkurra ez duten pertsona guztien multzoa da.

Adibidearekin jarraituz, izan bedi E gizaki guztien multzoa da, eta F 1.000 urtetik gorako izaki bizidun guztien multzoa. Zein da  multzoa? Ez dago 1.000 urte baino gehiagoko gizakirik; beraz, ebakidura hori multzo hutsa da, .

A multzo bat izanik,  potentzia-multzoa, bilduraren eta ebakiduraren eragiketekin batera, Booleren aljebra bat da.

Bikote ordenatuak eta biderkadura kartesiarra 
Modu intuitiboan esanda, bikote ordenatu bat bi objektuko bilduma bat besterik ez da, non haietako bat lehenengo elementua den eta bestea bigarren elementua den. Bikote ordenatuen oinarrizko propietatea da, bi bikote ordenatu berdinak direla baldin eta haien lehenengo elementuak berdinak badira eta bigarren elementuak ere berdinak badira.

Formalki, lehenengo koordenatua (osagaia) a eta bigarrena b dituen bikote ordenatua  notazioaz adierazten da. Esan daiteke bikote ordenatu bat ordena totaleko erlazio bitarra duen  multzoa dela. 

Beraz,  eta  bi bikote ordenatu berdinak dira baldin eta  eta  badira.

Oharra: Nahasgarria gerta daiteke,  notazioa zenbaki errealen zuzenean tarte irekia adierazteko ere erabiltzen delako. Hala ere, testuinguruak argi utzi beharko luke bi esanahietako zein adierazten den kasu bakoitzean.

A eta B bi multzo izanik, haien biderkadura kartesiarra (edo biderkadura, besterik gabe) horrela definitzen da:

 

Hau da,  multzoa, lehenengo koordenatua A-ko elementu bat eta bigarrena B-ko elementu bat dituzten bikote ordenatu guztien multzoa da.

Hiru multzo A, B eta C izanik, biderkadura kartesiarraren definizioa heda daiteke. Horrela,  hirukote ordenatuen multzoa da. Gehiago orokortuz, n zenbaki osoa eta positiboa izanik, n multzoren biderkadura kartesiarra n-kote ordenatuen multzoa da.

Biderkadura kartesiarra lehen aldiz René Descartesek garatu zuen geometria analitikoaren testuinguruan.  zenbaki errealen multzoa izanik,  biderkadura kartesiarrak bi dimentsioko plano euklidearra adierazten du, eta  biderkadurak hiru dimentsioko espazio euklidearra.

Multzo garrantzitsu batzuk 
Badira oso ezagunak eta erabiliak diren hainbat multzo. Haiek adierazteko erabiltzen den notazioa ia unibertsala da. Atal honetan horietako batzuk zerrendatzen dira. a, b, eta c notazioaren bidez zenbaki arruntak adierazten dira, eta r eta s notazioarekin zenbaki errealak.

 Zenbaki arruntak.  (edo N letra lodia) notazioa erabiltzen da multzo hori adierazteko. Zenbaki horiek zenbatzeko erabiltzen dira.
 Zenbaki osoak.   (edo Z) multzoa da. Multzoa adierazteko notazio hori alemanieratik dator (Zahlen, alemanez zenbaki esan nahi du). x + a = b moduko ekuazioen soluzio gisa agertzen diren zenbakiak dira.
 Zenbaki arrazionalak.  (edo Q) multzoa da. Multzoa adierazteko notazio hori quotient hitzetik dator eta zatikiei egiten die erreferentzia. a + bx = c moduko ekuazioen soluzio gisa agertzen diren zenbakiak dira. 
 Zenbaki aljebraikoak.   (edo Q gainmarra batekin). Gainmarrak itxitura aljebraikoa adierazten du. Koefiziente osoak dituzten ekuazio polinomikoen soluzio gisa agertzen diren zenbakiek osatzen dute multzoa. Bertan erroak ( barne) eta beste zenbaki irrazional batzuk daude. 
 Zenbaki errealak.  (edo R) multzoa da. Zuzen erreala adierazten du, eta zenbaki arrazionalen bidez hurbil daitezkeen zenbaki guztiak dira. Zenbaki horiek arrazionalak edo aljebraikoak izan daitezke, baita zenbaki transzendenteak ere (koefiziente arrazionalak dituzten ekuazio polinomikoen soluzio gisa agertu ezin direnak).
 Zenbaki konplexuak.  (edo C) multzoa da. Zenbaki erreal baten eta zenbaki irudikari baten batura moduan osatzen diren zenbakiak dira: . Adierazpen horretan,  edo  (edo biak) zero izan daitezke; hala, zenbaki errealen multzoa eta zenbaki hertsiki irudikarien multzoa zenbaki konplexuen multzoaren azpimultzoak dira. Zenbaki errealen multzorako itxitura aljebraiko bat osatzen dute; horrek esan nahi du, -ko koefizienteak dituzten polinomioek gutxienez erro bat multzo horretan dutela. Kontuan izan behar da,  zenbakiak planoan  puntu baten bidez adieraz daitezkeenez, funtsean  multzoa eta   biderkadura kartesiarra "berdinak" direla. "Berdinak" direla esaten denean esan nahi da, multzo bateko puntu bakoitzari puntu bakarra dagokiola beste multzoan. Kalkuluen emaitzari dagokionez, berdin da bietako zein erabiltzen den, baldin eta biderketa-erregela  multzorako egokia bada.

Paradoxak hasierako multzo-teorian 
Sakontzeko, irakurri: «Paradoxa»

Multzoak murrizketarik gabe osa daitezkeela baieztatzen duen printzipioari "axiom schema of unrestricted comprehension" deritzo, eta zera dio:Axioma hori hasierako multzo-teoriako hainbat paradoxaren iturria da:

  multzoak Burali-Forti-ren paradoxa izenez ezagutzen den paradoxa eragin zuen 1897an. Argitaratua izan zen lehen antinomia da.
  multzoak Cantor-en paradoxa eragin zuen 1897an.
  multzoak Cantor-en bigarren antinomia eragin zuen 1899an. Hemen,  propietatea egiazkoa da  guztietarako, eta ondorioz  multzo unibertsala izango litzateke, elementu guztiak dituena.
  multzoak, hau da, beren burua elementu gisa ez daukaten multzoen multzoak, Russell-en paradoxa eragin zuen 1902an.

Multzoak murrizketarik gabe osa daitezkeela baieztatzen duen printzipioa erlaxa daiteke "axiom schema of separation" edo "axiom schema of specification"  izenez ezagutzen den beste axioma honetara:Horrela, aipatutako paradoxa guztiak desagertu egiten dira. Korolario bat dago. Teoriaren axioma moduan "axiom schema of specification" hartuz gero, honakoa teoriaren teorema dela ondorioztatzen da:Edo, are ikusgarriagoa dena (Halmos-ek esana): Unibertsorik ez da existitzen. Froba: Demagun existitzen dela eta U notazioaz izendatzen dugula. X = U-rako "Axiom schema of separation"  axioma erabiliz, eta  P(x) propietate  hartuz, horrek Russell-en paradoxa dakar berriro. Hortaz, teoria horretan  ezin da existitu. 

Har dezagun orain honako multzoa:

 ,

non inplikazioaren ondorengo adierazpena faltsua den, nabaria denez. -ren definiziotik abiatuta eta ohiko inferentzia-arauak erabiliz, honakoak ondorioztatzen dira:  eta . Hortaz,  betetzen da. Hori Curry-ren paradoxa da.

Nahiz eta harrigarria izan daitekeen, arazoa ez da  posiblea izatea. Berriro ere, arazoa "axiom schema of unrestricted comprehension" axioma da,  propietaterako  onartzen duelako. Axioma horren ordez "axiom schema of specification" hartuz gero, ez da  ondorioztatzen eta, beraz,  ez da ondorio logikoa.

Hala ere, askotan  betetzeko aukera baztertu egiten da esplizituki, edo inplizituki, Zermelo–Fraenkel (ZFC) teoriako "axiom of regularity" edo "axiom of foundation" izenez ezagutzen den axioma bete dadin eskatuz. Horren ondorio bat hau da:
 edo, bestela esanda, ez dago multzorik bere buruaren elementu denik.

"Axiom schema of specification" axioma ahulegia da eta "axiom schema of unrestricted comprehension", aldiz, gogorregia multzo-teoria goian aipatu bezala garatzeko, hau da, bere ohiko eragiketekin eta eraikuntzekin. Bestalde, "axiom of regularity" axioma ere murriztailea da. Beraz, beste axioma batzuen formulazioa beharrezkoa gertatzen da, multzo-teoria garatzeko adina multzoren existentzia bermatzeko. Horietako batzuk artikulu honetan bertan modu informalean deskribatuak izan dira, eta beste asko ere deskriba daitezke. Axioma bururagarri guztiak ezin dira modu librean konbinatu teoria sendoak osatzeko. Adibidez, Zermelo–Fraenkel (ZFC) teoriako hautapenaren axioma ("axiom of choice" ) bateraezina da beste honekin: "zenbaki errealen multzoak Lebesgue measure neurriaren bidez neur daiteke". Hautapenaren axiomatik ondorioztatzen da bigarrena faltsua dela.

Erreferentziak

Ikus, gainera 

 Multzoen arteko aljebra
 Multzoen identitateen eta erlazioen zerrenda
 Multzoen-teoria
 Multzoa (matematika)
 Curry-ren paradoxa
 Russell-en paradoxa

Bibliografia 

 Bourbaki, N.: Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer Verlag, Berlin, Alemania, 1994.
 Cantor, Georg (1874), Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. doi:10.1515/crll.1874.77.258.ISSN 0075-4102, J. Reine Angew. Math 1874 (77):258-262
 Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2. argitalpena, Springer - Verlag, New York, NY, 1993.
 María J. Frapolli–Frapolli, María J., 1991, ""Is Cantorian set theory an iterative conception of set?". Modern Logic, v.1. 4, 1991, 302–318.
 Frege, Gottlob. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, Jena
 Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.
 Halmos, Paul (1974). Naive Set Theory (Reprint ed.). New York: Springer-Verlag. {{ISBN|0-387-90092-6}}.
 Halmos, Paul (2011). Naive Set Theory (Paperback ed.). Mansfield Centre, CN: D. Van Nostrand Company. {{ISBN|978-1-61427-131-4}}.

 Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. {{ISBN|3-540-44085-2}}.
 Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
 van Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Math Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Zuzenketekin berrinprimatua, 1977.  ISBN 0-674-32449-8.
 Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried. (1991). Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors. Springer {{ISBN|3-540-50621-7}}.
 Peano, Giuseppe. (1889). Arithmetices Principies nova Methoda exposita. Turin
 Zermelo, Ernst. (1932). Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author. Berlin. Springer.

Kanpo estekak 

  https://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)
  https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_set_identities_and_relations List of set identities and relations (Wikipedia)
  Weisstein, Eric W. https://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html "Set Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,  

Multzo-teoria