Hondarraren txinatar teorema

Hondarraren teorema txinatarra kongruentzien ekuazio sistemak ebazteko balio duen teorema da. Teorema hau aplikatzeko baldintza bakarra ondokoa da: ekuazioen moduluak beraien artean lehenak izan behar dira, hau da,  izan behar da m ekuazio sistemetako edozein ekuazioaren modulua izanik.

Hondarraren teorema txinatarrak zera dio: demagun kongruentzia sistema bat dugula eta bertako ekuazio guztien moduluak beraien artean lehenak direla. Orduak sistemak soluzio bakarra izango du  moduluarekiko. Existitzen diren beste soluzio guztiak  motakoak izango dira.

Frogapena 
Kongruentzia sistema bat:

 (mod )

 (mod )

 (mod )

non  den  denean

Izan bitez  modulu guztien biderkadura eta    ez diren moduluen biderkadura. Hipotesiagatik badakigu  denean, beraz,  da. Ondorioz,  (mod )-k soluzio bat du eta bakarra da  moduluarekiko. Soluzio horri  deituko diogu.

 sistema osoaren soluzioa izango da. Soluzioa dela ikustekoa  (mod ) betetzen dela ikusiko dugu.  bakoitza -gatik zatigarria da  izan ezik. Beraz  (mod ). -k   (mod ) betetzen duenez  (mod ). Beraz,  soluzioa da.

 moduluarekiko bakarra dela ziurtatzeko, x eta y, bi soluzio hartuko dutugu. Bi horiek soluzioak badira  (mod ) eta  (mod )  guztietarako. Beraz,   (mod )  guztietarako. Moduluak elkarrekiko lehenak direnez   (mod )  dugu. Orduan, badakigu sistemaren soluzio guztiak kongruenteak direla  moduluarekiko.

Adibidea 
Lehen esan bazala, kongruentzia linealetako sistemak ebazteko balio du teorema honek. Ebatzi dezagun, bat hondarraren teorema txinatarra nola aplikatzen den ikusteko. Demagun, hondako kongruentzia sistema dugula:

Lehenik eta behin kalkulatu dezagun .

Ondoren kalkulatu desagua modulu bakoitza, oro har,  .

Has gaitezen kongruentzia lineal bakoitza bere aldetik aztertzen:

1.kasua

Bezouten identitatea erabiliz: 

Beraz, 

2.kasua

Bezouten identitatea erabiliz: 

Beraz, 

3.kasua

Bezouten identitatea erabiliz: 

Beraz, 

Teoremaren frogan erabili dugun notazioarekin,. Horiekin soluzio bat idatziko dugu:

Sistemaren soluzio guztiak  edozein izanik

Erabilpenak

Segiden zenbaketa 
Hondarraren txinatar teorema Gödelen segiden zenbaketarako erabiltzen da, Gödel-en osatugabetasunaren teoremak frogatzeko erabili zenean.

Fourier-en transformatu azkarra (FTT) 
Faktore lehenaren FTT algoritmoak hondarraren teorema txinatarra erabiltzen du   tamainuko Fourier-en transformatu azkarraren zenbaketa txikitzeko   tamainuko zenbaketa batera,   eta   elkarrekiko lehenak direla zihurtatuz.

Enkriptatzea 
RSAren algoritmo gehienek hondarraren teorema txinatarra erabiltzen dute HTTPS ziurtagiriak sinatzeko eta deszifratzeko.

Hondarraren teorema txinatarra mezu ezkutuak bidaltzeko ere erabil daiteke. Pertsona talde batean mezu batzuk partekatzean datza. Denek batera bidalitako mezu horietatik mezu sekretua lor dezakete. Mezu horietako bakoitza kongruentzia bat da, eta kongruentzia sistema ebaztean hondarraren teorema txinatarra erabiliz, mezu sekretua lortzen da.

Kanpo estekak 

Aritmetika modularra
Zenbakien teoria
Matematikako teoremak
Txinatar matematika
Aljebra trukakorra