Leibnizen serie

Matematikan, Leibnizen formulak π kalkulatzeko balio du. Gottfried Leibnizen ohorez horrela izendatua, honela dio:

 

Aurreko espresioa serie infinitu bat da, Leibnizen seriea deritzona, π ⁄ 4 denean konbergentzia lortzen duena. Gregalik-Leibniz saila ere deitzen zaio, James Gregoryren lana aitortzeko, Leibnizko garaikidea baita. Batuketaren ikurra erabiliz, honela adieraz daiteke seriea:

 

Serie edo formula hori sailak alderantzizko funtzio tangenterako duen hedapen orokorrago baten kasu berezia da. XV. mendean aurkitu zuen Madhava Sangamagramakoak, Keralako astronomia- eta matematika-eskolaren sortzaile indiarrak, Leibnizek bere serie espezifikoa argitaratu baino 300 urte lehenago. Bere lana eskertzeko, formula horri Madhava-Leibniz saila ere esaten zaio.

Demostrazioa 
Har dezagun serie geometriko infinitua

 

Berdintasunaren bi kideak integratuz, potentzia batzuk lortzen dira arkotangente batentzat:

 

x = 1 balioa sartzean, Leibnizen formula lortzen da (1 balioa π tangente da). Arrazoibide horren arazoa da 1 ez dagoela potentzia horien konbergentzia-erradioan, eta, beraz, argumentu sendoago bat behar da erakusteko seriea tan−1(1)  dela x = 1 denean. Aukera bat seriearen konbergentzia Leibnizen irizpidearen bidez erakustea da, gero Abelen teorema aplikatzeko tan−1(1) konbergentzia izan behar duela frogatzeko. Baina oinarrizko argudioa ere erabil daiteke.

Oinarrizko argudioa 
Demagun deskonposizio hau dugula:

 

|x| < 1rako, eskuineko frakzioa da serie geometrikoko gainerako terminoen batura. Hala ere, ekuazioak ez ditu serie infinituak erabiltzen, eta x-ren edozein balio errealetan betetzen da. Bi kideak 0tik 1era integratuz, hau lortzen da:

 

Gero eta -ra gehiago hurbildu, ekuazioko gaien baturak, integralak izan ezik, Leibnizen seriera jotzen du, eta integralak 0ra jotzen du:

 

Horrek frogatzen du Leibnizen formula.

π kalkulatzeko eraginkortasuna 
Praktikan, Leibnizen formula ez da oso eraginkorra π kalkulatzeko, urrats kopuru handia behar baitu nolabaiteko zehaztasuna lortzeko. π kalkulatzeko, 10 hamartar zuzen erabiliz, bost mila milioi eragiketa matematiko baino gehiago egin behar dira, eta ordenagailuek denbora gehiago beharko dute π kalkulatzeko formula eraginkorragoak erabiliz.

Hala ere, seriea une egokian eteten bada, hurbilketaren irudikapen hamartarra zuzena izango da beste digitu askorentzat, zifra isolatuak edo zifra multzoak izan ezik. 5 milioi termino hartuta, hau lortzen da:

 3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058...

azpimarratutako zifrak okerrak dira. Hain zuzen, aurresangarriak dira akatsak: Eulerren zenbakiek sortzen dituzte En formula asintotikoaren arabera

 

no N zenbaki oso bat baita, 4rekin zatitu daitekeena. N hamarreko potentzia bada, eskuineko gai bakoitza zatiki hamartar finitu bat da. Formula Boolek serie alternoen batuketa egiteko formularen kasu berezia da. 1992an, Jonathan Borweinek eta Mark Limberrek π kalkulatu zuten 5.263 hamartarrekin, Leibnizen formulako lehen mila terminoak bakarrik erabiliz.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Pi kalkulatzeko algoritmoak
Kalkulua
Gottfried Leibniz