Hilberten Hotel infinitua

Hilberten Hotel infinitua David Hilbert matematikari alemaniarrak asmatutako eraikuntza abstraktua da. Paradoxa honek, modu sinple eta intuitiboan, infinitu kontzeptu matematikoarekin lotutako gertakari paradoxikoak azaltzen ditu (zehaztasunez Georg Cantor matematikariak ezarritako kardinal transfinituekin ).

Hilberten paradoxek, Georg Cantorrek aurkitutako lau paradoxa deskribatzen dituzte infinitu gelako hotel baten bidez. Hainbat pertsona istorioak sortu dituzte David Hilberten metaforari buruz.

Munduko hotelik handiena 
Munduko hotelik handiena eraiki nahi zuten bi ostalari horri buruz  eztabaidatzeko elkartu ziren eta lehen gaiari buruz eztabaidatzen hasi ziren: zenbat gela edukiko luke.  

Hotel handiago bat egon zitekeenez beti, aukera bakarra infintu gelako hotel bat egitea zela ondorioztatu zuten, munduko beste hotel batek bere tamaina gaindi ez zezan.

Infinitu gehi bat 
Hala ere, logela infinituak dituen hotel batean, dena ez da erraza. Hotel honen ateak ireki bezain laster, hainbat jende etorri zen non logela infinituko hotela bete egin zen, eta hori oso eragozpen larria sortu zuen. Hemen sortu zen lehenengo paradoxa, eta horri aurre egiteko, apopiloak beti logela bat izan zezaten, eskatzen zuten bakoitzean logelaz aldatu beharko zutela agindu zuten.  

Orduantxe gizon bat heldu zen hotelera, baina beteta zegoen. Horrek ez zuen bezeroa kezkatu, Hotel Infinitoan denek gela bat izango zutela ziurtatzen baitzen. Gizonak bere gela eskatu zuen eta harrerako arduradunak, mikrofono bat hartu zuen eta horren bidez apopilo guztiei eskatu zien beren gelako zenbakia hartzeko, zenbaki horri bat gehitzeko eta lortutako zenbakia duen gelara joateko. Horrela, bezero berriak lehenengo gelan lo egin ahal izan zuen . Baina zer gertatu zen orduan azken gelan zegoen bezeroarekin? Besterik gabe, ez dago azken gelarik.

Bi infinitu 
Hotela infinitu apopiloz beteta, bidaia agentzia bateko ordezkari bat iritsi zen, infinitu turistako txango batekin. Orduan, orain infinitu apopiloei eman behar zitzaien gela infinitu gela beteta dituen hotel batean. Hala ere, harreragileak ez zuen problemarik izan turista berriak  onartzeko. Mikrofonoa hartu zuen eta apopiloei eskatu zien bere gelaren zenbakia bider bi egiteko, eta lortutako zenbakia zuen gelara joateko. Horrela, guztiek gela bikoiti batera mugitu ziren, eta gela bakoiti guztiak libre geratu ziren. Infinitu zenbaki bakoiti daudenez, infinitu turistak gelditu ahal izan ziren problemarik gabe, INFINITU × 2 = INFINITU

Infinitu kopuru infinitua 
Hotela infinitu apopiloz beteta, bidaia agentziaren beste ordezkari bat iritsi zen eta beste arazo baten berri eman zion. Orain agentziak txango kopuru infinitu bat zuen, bakoitzak turista kopuru infinitu batekin "Zein arazo izugarria dugula orain!"  pentsatu zuten bidaia agentziaren ordezkariek: Nola eman diezaiekezu turista infinituren kopuru infinituari harrera? Harreragilea, lasaitasun berarekin, mikrofonoa hartu eta gela guztiei eskatu zien bere zenbakia bikoiztu eta hara mugitzeko.

Orduan, txango bakoitzari zenbaki lehen bat egokitu zitzaion (biren ezberdina) eta txango bakoitzaren turista bakoitzari zenbaki bikoiti edo bakoiti bat (t), eta horrela turista bakoitzaren gela, bere txangoaren zenbaki lehena (p) hartuz eta berari tokatutako zenbakira berretuz kalkulatzen da .

Zebaki lehenen kopuru infinitua eta zenbakien kopuru infinitua (bikoitiak eta bakoitiak) existitzen direnez, infinitu apopiloen infinitu multzo ostatatu ziren bakarrik infinitu gela dituen hotel batean.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Matematika paradoxak