0,999...

Matematikan, 0,999... (koma bereizle hamartarra izanik) bat balio duen zenbaki hamartar periodikoa da. Bestela esanda, "0,999..." eta "1" sinboloak zenbaki erreal beraren bi errepresentazio ezberdin dira. Berdintasun honen frogapen matematikoak zehaztasun maila ezberdinekin formulatu dira, zenbaki errealak, hasierako hipotesiak eta suposizioak, testuinguru historikoa edo hartzailea definitzeko aukeratutako metodoaren arabera.

Zenbaki erreal batzuk digitu sekuentzia batez baino gehiagoz irudikatu ahal izatea ez da sistema hamartarrera mugatzen. Fenomeno bera oinarri guztietan gertatzen da, eta matematikariek ere 1 idazteko moduak oinarri ez-osoetan kuantifikatu dituzte. 1 zenbakira mugatutako fenomenoa ere ez da: zenbaki hamartar ez-baliogabe orok biki bat du, bederatzi amaigabeekin, adibidez: 2 eta 1,999... bi zenbaki naturala ordezkatzen dute; 28,3287 eta 28,3286999... zenbaki hamartar bera ere ordezkatzen dute. Sinpletasunaren mesede, hamartar finitua, ia beti, irudikapen gogokoena da, irudikapen bakarra dela oker interpretatzen lagun dezakeena. Bestalde, zenbaki baten forma ez terminalak zati batzuen hedapen hamartarraren patroiak errazago aztertzeko aukera ematen du; hiru oinarrian, adibidez, Cantor multzoaren egitura hirutarra adierazteko aukera ematen du, fraktal sinple bat. Errepresentazio anizkoitza kontuan hartu behar da zenbaki errealen zenbakitasun ezaren demostrazio klasikoan. Modu orokorragoan, zenbaki errealen edozein zenbaketa posizionalek errepresentazio anizkoitzak dituzten zenbakien kopuru infinitua dauka.

0,999... = 1 berdintasuna aspalditik onartu dute matematikariek eta testuliburuetan sartu dute. Azken hamarkadetan, matematikako irakasleek ez dute ikasleen artean berdintasun horren pertzepzioa aztertu nahi izan, eta horietako askok zalantzan jarri edo ukatu egin dute. Asko testuliburuen eta irakasleen autoritatearekiko apelazio baten bidez edo arrazonamendu aritmetikoen bidez konbentzitzen dira. Hala ere, batzuk ez dira konformatzen eta, beraz, geroko justifikazio bat bilatzen dute.

0,999... = 1 berdintasuna oso lotuta dago baliogabeak ez diren zenbaki erreal infinitesimalen gabeziarekin. Zenbaketa-sistema alternatibo batzuek, zenbaki hipererrealek adibidez, bai dituzte infinitesimal ez-deusezak; sistema horietan, errealetan ez bezala, egon daitezke zenbaki batzuk 1etik zenbaki arrazionaletara dagoen aldea baino txikiagoa dutenak. Beste sistema batzuek, adibidez zenbaki p-adikoek, "hedapen hamartarraren" beste forma bat dute, zenbaki errealen hedapenaren oso bestelakoa dena. Nahiz eta zenbaki errealak analisi matematikoaren esparruan aztergairik ohikoena izan, hipererrealek eta p-adikoek aplikazioak dituzte arlo honetan.

Kanpo estekak 

Bat
Matematika paradoxak
Zenbaki errealak