Natura-ereduak

Natura-ereduak ingurune natural batean dauden forma erregularrak dira. Eredu horiek testuinguru desberdinetan errepika daitezke, eta, batzuetan, matematikoki deskriba daitezke. Eredu matematikoen artean, hauek aurki ditzakegu: zuhaitzak eta fraktalak, simetriak, uhinak eta dunak, burbuilak eta aparra, teseladunak, pitzadurak, marrak eta puntuak.

Platon (Ka 427-347), Pitagoras (Ka 569-475) eta Enpedokles (Ka V.mendea) eredu horiek aztertzen hasi ziren, naturaren ordena azaldu nahi zutelako. Handik aurrera, zientzialari askok eredu horien ikerketa egiten jarraitu dute, hala nola Joseph Plateau (1801-1883) fisikari belgikarrak eta Ernst Haeckel (1834-1919) biologo alemanak.
Matematikak, fisikak eta kimikak naturako prozesuak maila desberdinetan deskribatzen dituzte. Izaki bizidunetan diren patroiak prozesu biologikoen bidez azaltzen dira. Patroiak eratzeko azterketek ordenagailu-ereduak erabiltzen dituzte patroi mota asko simulatzeko.

Historia 
Antzinako Greziako filosofoak naturak islatzen zuen ordena azaltzen saiatu ziren, kontzeptu modernoetara aurreratuz. Adibidez, Platon (Ka 427– 347) filosofoak naturan agertzen ziren formen ideia perfektuak existitzen zirela adierazten zuen. Teofrastok (Ka 372– 287) nabari zuen hosto lauak zituzten landareek serie erregularretan zituztela antolatuta. Plinio Zaharrak (Ko 23–79) antzeman zuen patroi zirkularra jarraituz antolatuta zeudela. Mende batzuk geroago, Leonardo Fibonaccik (1170-1240) Fibonacciren segida aurkeztu zuen mundura, berak idatzitako Liber Abaci liburuarekin. Esperimentu bat egin zuen, irudizko untxi-familia baten ugalketa azaltzeko.

Leonardo Da Vinci (1452–1519) hostoen espiral gisako patroiaz jabetu zen. Horretaz gain, konturatu zen zuhaitzak zahartu ahala horien enborretako eraztunen kopurua handitzen doala. Johannes Keplerrek (1571–1630) Fibonacciren segidaren bidez azaldu zuen zenbait loreen eredu pentagonala, segida hau naturan zegoela frogatuz. 1754.urtean Charles Bonnet (1720-1793) naturalistak landare anitzen espiral filotaxia ikastean, haien hostoen antolaketa urrezko zenbakiaren bidez deskrikatu ahal zela ikusi zuen. Geroago, 1837.urtean Auguste Bravaisek(1811-1863,) eta Louisek, bere anaiak, filotaxi ezberdinen proportzioak Fibonacciren segidarekin erlazionatu zituzten, eta pinaburuetan eta ananetan Fibonacciren segida agertzen zela ikusi zuten. 1854.urtean idatzitako liburuan, Adolf Zeising(1810-1976) psikologo alemaniarrak urrezko zenbakiaren agerpena ikertu zuen kristaletan, landareen atalen antolakuntzan, animalien eskeletoetan eta haien nerbio eta zainen antolakuntzan. 1917.urtean D'Arcy Thompsonek idatzitako liburuak On Growth and Form beste eredu batzuk azaldu zituen; adibidez, ekuazio sinpleen bidez, animalien adarretan eta moluskuen oskoletan aurkitutako espiral gisako patroiak deskribatu zituen.

1658. urtean, Sir Thomas Browne(1605–1682) fisikari eta filosofo ingelesak naturaren eredu geometrikoa eztabaidatu zuen "The Garden of Cyrus" izeneko hitzaldian. Ernst Haeckelek (1834–1919) itsasoko organismoen hainbat marrazki egin zituen, bereziki Radiolaria izeneko protozooaren marrazkiak. Marrazki horietan nabaria zen haien simetria. Wilson Bentley(1865–1931) argazkilari amerikarrak elur-maluta baten lehenengo mikrografia egin zuen 1885.urtean.
1952.urtean, Alan Turingek (1912-1954), "The Chemical Basis of Morphogenesis" liburua idatzi zuen (euskaraz "Morfogenesiaren Oinarri Kimikoa"). Liburu horretan, izaki bizidunetan patroiak sortzeko gertatzen diren mekanismoen analisia egin zuen; hau da, morfogenesia izeneko prozesua azaldu zuen. Morfogenesia deritzo organismoek haien izaera garatzeko egiten duten prozesuari. Erreakzio kimiko oszilatzaileak iragarri zituen, Belousov-Zhabotinsky erreakzioa hain zuzen. Mekanismo aktibatzaile-inhibitzaile horiek, marren eta puntuen patroiak sortzen dituzte animalietan eta landareen espiral gisako filotaxian dute eragina, Turingen arabera.

1968.urtean, Aristid Lindenmayerek (1925-1989), Hungariako biologo teorikoak, L-sistema garatu zuen, landareen hazkuntza fraktalak erabiliz deskribatzen dituen gramatika formal bat. L-sistemek sinboloen alfabeto bat daukate, eta sinbolo hauek konbina daitezke sinboloen kate luzeagoak sortzeko. Bestalde, sortutako kateak egitura geometrikoetan bihurtzeko mekanismoak dauzkate. Mendeetan zehar, matematikaren atal honen aurrerakuntzak oso motelak izan ziren, baina matematikari hauei esker burutu ziren: Gottfried Leibniz(1646-1716), Georg Cantor(1845–1918), Helge von Koch(1870-1924), Wacław Sierpiński(1882–1969). Hala ere, 1975.urtean, Benoît Mandelbrotek (1924–2010) "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension" izeneko artikulua plazaratuz argi utzi zuen fraktal kontzeptuaren gogoeta matematikoa.

Kausak 

Orkideak, kolibriek eta hegazterren isatsek diseinu abstraktuak dituzte, horregatik artista gehienek diseinu horien formak, patroiak eta koloreak aztertzeko arazoak izan ohi dituzte. Gizakiok naturan ikusten dugun edertasuna, askotan patroiek eragiten dituzten formen ondorioa da.

Matematikaren bidez, mota guztietako patroiak aurkitzen eta azaltzen saiatzen da gizakia. Gizakiok erraz ikus ditzakegun patroiak kaosaren teoriaren, fraktalen, espiral logaritmikoen edo topologiaren bidez azaltzen dira. Adibidez, L-sistemek hainbat zuhaitzen hazkunde-patroien eredu sendoak osatzen dituzte.

Matematikaren abstrakzioak fisikaren legeen bidez ikusten dira naturan, perfektuak balira bezala. Adibidez, kristal bat perfektua da erabat simetrikoa bada; hau da, haren egiturak akatsik ez badu. Hala ere, perfekzio matematiko zehatzak objektu errealen hurbilketa bat baino ezin du egin. Naturan ikusgai ditugun patroiak fisikaren legeek ezartzen dituzte; adibidez, meandroak fluidoen dinamika erabiliz azal daitezke.

Patroi motak

Simetria 

Simetria nonahi aurki daiteke izaki bizidunen artean. Animalia gehienek, hostoek eta hainbat landareek (orkideak, adibidez) aldebiko simetria dute. Landare eta lore askok, eta zenbait animalia taldek (anemonak adibidez) simetria errotazionala daukate. Bestalde, badaude simetria boskoitza daukaten izaki bizidunen taldeak, adibidez, ekinodermoak. Talde horren barruan itsas izarrak, itsas trikuak eta komatulak daude.

Izaki bizigabeen artean, simetria seikoitza duten elur-malutak nabarmen ditzakegu. Elur-malutaren zati bakoitzaren egitura kristalizazio prozesuan emandako baldintzen erregistroa da, eta sei zatien hazkuntza-patroia ia-ia berdina da. Orokorrean, kristaletan aniztasun handiko simetria aurki daiteke; badaude simetria kubikoa duten kristalak, baita simetria oktaedrikoa dutenak ere. Hala ere, benetako kristalek ezin dute simetria boskoitza izan. Horrez gain, beste simetria mota bat aurki daiteke hainbat arlotan: simetria errotazionala. Simetria mota hori ikus dezakegu, adibidez, ur-tanta bat urmael batean erortzean sortzen diren zipriztinetan, edo Saturno planetaren itxura eta eraztunetan.

Zuhaitzak eta fraktalak 

Leonardo Da Vincik (1452-1519) zuhaitzen adarkaduraren patroia deskribatu zuen Italiar Errenazimenduan. Honako hau adierazi zuen:
"Garaiera berreo zuhaitz-adar guztiak batuz gero, haien lodiera adarren azpiko zuhaitz-enborraren lodieraren bezalakoa izango da."
Adierazpen horren bertsio orokorrago bat ere badago: zuhaitz bateko adar bat bi adar edo gehiagotan banatzean, adar horien azalera-eremuak batuz, lehenengo adarraren azalera-eremua lortuko dugu. Beste adierazpen-baliokide bat hau litzateke: zuhaitz baten adar bat bi adar txikiagotan banatuz gero, haien zehar-diametroak eta adar handiaren zehar-diametroak triangelu angeluzuzena osatzen dute. Ezaugarri horri esker zuhaitzek haize-bolada handiak jasan ditzakete. Eredu biomekanikoak erabiliz egindako simulazioak lege honekin bat datoz.

Fraktal moduko ereduak oso ugariak dira naturan; adibidez, hodeietan, ibai-sareetan, faila geologikoetan, mendietan, kostaldeetan, animalien koloreetan, elur-malutetan, kristaletan, odol-hodien adarkaduran, aktina-zitoeskeletoetan eta itsas uhinetan.

Kiribilak 
Kiribilak landare eta animalietan maiz aurki daitezke, batez ere moluskuetan. Adibidez, nautilo izeneko molusku zefalopodoan, haren oskolaren ganbera bakoitza hurrengoaren gutxi gorabeherako kopia da, kiribil logaritmiko baten moduan antolatuta.
Landareetan aurkitutako landare-kiribilak hainbat leku ezberdinetan aurki daitezke: haien filotaxian, hostoen antolakuntzan, eta beste atalen antolakuntzan. Filotaxien kiribilak matematikaren bidez azal daitezke Fibonacciren segidaren bidez. Segida honetan zenbaki bakoitza aurreko bi zenbakien batura da. Beste filotaxietan, eguzkiloreetan eta bitxiloreetan kukuluak Fermaten kiribila jarraituz daude antolatuta, lorea heldua denean eta elementu guztiak neurri berekoak direnean. Fibonacciren proportzioak urrezko angelua hurbiltzen du. Angelu horren balioa 137.508°, eta Fermaten kiribila zuzentzen du.

Uhinak eta dunak 

Uhinak mugitzen diren heinean energia garraiatzen duten perturbazioak dira. Uhin mekanikoak uraren edo airearen bitartez hedatzen dira eta haietatik pasatzean oszilatzea eragiten dute. Haize-uhinak itsasoaren azaleko uhinak dira, edozein ur-gorputz handiren patroi kaotiko bereizgarria sortzen dutenak.
Uhinak harea gainetik pasatzen direnean, uhin-patroiak sortzen dituzte. Haizea harea-gorputz handien gainetik pasatzean, dunak sortzen dira; batzuetan duna-eremu zabalak, Taklamakan basamortuan bezala. Dunek patroi mota asko sor ditzakete, haien artean ilargierdiak, lerro zuzen oso luzeak, izarrak, kupulak eta parabolak.

Burbuilak eta aparrak 

Xaboi-burbuila batek esfera bat osatzen du, baina bi burbuilek forma konplexuagoa sortzen du: bi burbuilen kanpoko gainazalak esferikoak dira eta beste gainazal esferiko batez lotuta daude, burbuila txikia handienean pixka bat sartuz.
Aparra burbuila-masa bat da, eta naturan hainbat materialetako aparrak ager daitezke. Xaboi-geruza mehez sortutako aparrak Platoien legeak jarraitzen dituzte; lege hauek diote geruzak lauak eta jarraituak izan behar dute eta haien batez besteko kurbatura konstantea puntu guztietan. Zelula bizietan ere agertzen dira aparren patroiak; adibidez, itsas trikuen kaltzita eskeletoetan.

Teseladunak 
Teselatuak gainazal lau batean baldosak errepikatuz sortzen diren patroiak dira. Guztira 17 talde simetriko lau daude. Artean eta diseinuan ohikoagoak diren arren, naturan aurkitzeko zailagoak dira. Liztorren habietako eta erleek egindako panaletako gelaxkak adibide argiak dira. Narrastiak, hezurrak dituzten arrainak edo salak bezalako fruituak osteodormoari esker babesten dira; eredu hori asko errepikatzen da, tamaina ugaritan. Frilitillaria meleagris loreak, adibidez, dama-patroia du petaloetan. Azkenik, milaka mineral ezagutzen diren arren, kristalean ere patroiak bereiz daitezke.

Pitzadurak 
Pitzadurak materialetan sortzen diren irekidura linealak dira, tentsio mekanikoa askatzeko. Material elastiko bat bere haustura-indarrera iristen denean, pitzadura norabide askotan joan daiteke. Hala ere, material inelastiko bat hausten denean, pitzadura zuzenak sortzen ditu tentsio mekaniko hori askatzeko. Beraz, arrailduraren patroiak materiala elastikoa den ala ez adierazten du. Material haritsuenetan, pitzadurek askatzen dute tentsioa, baina ez dira asko handitzen, zuntz elastiko sendoek eteten baitituzte. Material bakoitzak bere egitura duenez, pitzadura bakoitzak patroi desberdinak eratuko ditu.

Marrak eta puntuak 

Lehoinabarrak pikardatuak dira; zebrak eta aingeru-arraina, berriz, marratuak. Patroi horiek azalpen eboluzionarioa dute: patroiak dituzten animalien kumeen ugaltzeko aukerak areagotzen dituzten funtzioak dituzte. Funtzio bat kamuflajea da; adibidez, ikusten zailagoa den lehoinabar batek harrapakin gehiago harrapatuko ditu. Beste funtzio bat seinaleak dira; hegazti harrapariek marigorringo gutxi harrapatzen dituzte, ohartarazpen-kolore ausartak baditu, mikatzagoak izaten baitira. Txori batek marigorringoa jaten badu, ez du errepikatuko. Orduan, patroiak dituzten lehoinabar-kumeek eta marigorringoek bizirik irauteko aukera gehiago dituzte. Hala ere, eboluzio-argudio horiek azaltzen dute zergatik behar dituzten animalia horiek zenbait eredu, baina ez dute azaltzen nola eratzen diren.

Patroien eraketa 

Alan Turingek (1912–1954), eta geroago James Murray biologo-matematikariak, patroi marratuak edo pikardatuak berez sortzen dituen mekanismo bat deskribatu zuten: erreakzio-difusio sistema bat. Organismo gazte baten zelulek morfogeno deituriko seinale kimiko batez aktiba daitezkeen geneak dituzte. Ondorioz, egitura mota jakin bat hazten da, hala nola ilunki pigmentatutako larruazal zati bat. Morfogenoa alde guztietan badago, pigmentazio uniformea lortzen da, lehoinabar beltzetan bezala. Baina uniformeki banatuta ez badago, marrak edo puntuak sortzen dira. Turingek iradoki zuen morfogenoaren ekoizpenaren berrelikadura-kontrola egon zitekeela. Horrek etengabeko gorabeherak eragin ditzake morfogeno kopuruan, gorputzaren inguruan barreiatzen denean. Bigarren mekanismo bat behar da uhin geldikorren ereduak sortzeko (puntuetan edo arrailetan sortzen direnak): inhibitzaile kimiko bat, morfogenoaren ekoizpena desaktibatzen duena, eta gorputzean zehar morfogenoa baino azkarrago hedatzen dena, eskema inhibitzaile-aktibatzaile baten bidez. Belousov-Zhabotinsky erreakzioa eskema mota horren adibide ez-biologikoa da.

Sabanetan, adibidez, patroiak arrazoi ezberdinengatik agertzen dira. Kasu zehatz honetan, pitzadurak mendi-hegal lehorretan agertzen dira eta pitzadura hauen bidez landareek euri-ura jasotzen dute.

Beste kasu batzuetan, patroiak animaliek sortzen dituzte. Adibidez, Namibian  izeneko patroi naturalak bertako termita taldeen lehiaketen ondorioz sortzen dira.

Ikus, gainera 
 Emergentzia

Kanpo estekak 

Natura
Matematika aplikatua
Jolas-matematika