Mekanika analitiko

Mekanika analitikoa edo mekanika teorikoa mekanika klasikoaren formulazio alternatiboen bilduma da, fisika teorikoan eta fisika matematikoan erabiltzen dena. Zientzialari eta matematikari ugarik garatu zuten XVIII. mendetik aurrera, mekanika newtondarraren ondoren. Newtonen mekanikak mugimendu-kantitate bektorialak kontsideratzen dituenez (bereziki sistemaren osagaien azelerazioak, momentuak eta indarrak), Newtonen legeek eta Eulerren legeek arautzen dituzten mekanikarientzako izen alternatibo bat mekanika bektoriala da.

Aldiz, mekanika analitikoak sistema bere osotasunean irudikatzen duen higiduraren propietate eskalarrak erabiltzen ditu (normalean sistemaren energia zinetiko totala eta energia potentziala), Newtonek erabilitako partikulen indar bektorialen ordez. Eskalar bat kantitate bat da, bektore bat aldiz kantitate eta norabide bidez irudikatzen den elementu matematikoa.

Mekanika analitikoak sistema baten mugak baliatzen ditu arazoak konpontzeko. Mugek sistemak izan ditzakeen askatasun mailak mugatzen dituzte, eta mugimendurako behar diren koordenatu kopurua murrizteko erabil daitezke. Formalismoa egokia da koordenatuen hautu arbitrarioetarako, koordenatu orokor deritzenak. Sistemaren energia zinetikoak eta potentzialak koordenatu orokor horiek erabiliz adieraziz gero, higiduraren ekuazioak erraz ezar daitezke; horrela, mekanika analitikoak arazo mekaniko ugari metodo bektorialak baino eraginkortasun handiagoz konpontzeko aukera ematen du. Ez du beti balio indar ez-kontserbatzaileentzat, ezta marruskadura bezalako indar disipatzaileentzat ere; kasu horietan mekanika newtondarra aplika daiteke.

Mekanika analitikoaren bi adar nagusi hauek dira: mekanika lagrangearra (koordenatu orokortuak eta espazio konfigurazioan dagozkien abiadura orokortuak erabiltzen dituen mekanika) eta mekanika hamiltondarra (koordenatuak eta dagokion momentua fase-espazioan erabiltzen dituen mekanika). Bi formulazio horiek Legendreren transformazio baten baliokideak dira koordenatu, abiadura eta une orokortuetan; beraz, biek informazio bera dute sistema baten dinamika deskribatzeko. Beste formulazio batzuk daude, hala nola Hamilton–Jacobiren teoria, mekanika routhiarra eta Appellen mugimenduaren ekuazioa. Edozein formalismotan, partikula eta alorretarako higidura-ekuazio guztiak eragin txikienaren printzipioa deritzan emaitzatik erator daitezke. Emaitza bat Noether-en teorema da, kontserbazio-legeak beren simetriekin lotzen dituen adierazpena.

Mekanika analitikoak ez du fisika berririk sartzen, eta ez da mekanika newtondarra baino orokorragoa. Aitzitik, aplikazio zabala duten formalismo baliokideen bilduma da. Izan ere, mekanika erlatibistan eta erlatibitate orokorrean printzipio eta formalismo berberak erabil daitezke, eta eraldaketa batzuekin baita mekanika kuantikoa eta eremu kuantikoaren teorian ere.

Mekanika analitikoa asko erabiltzen da, oinarrizko fisikan eta matematika aplikatuan, bereziki kaosaren teorian.

Mekanika analitikoaren metodoak partikula diskretuei aplikatzen zaizkie, bakoitzak askatasun maila kopuru mugatu bat duelarik. Askatasun gradu amaigabeak dituzten eremu edo fluido jarraituak deskribatzeko ere alda daitezke. Definizioek eta ekuazioek antz handia dute mekanikarien definizioekin.

Oinarriak

Lotura mekanikoa 
Lotura mekaniko deritzo sistema mekaniko baten mugimendu-aukerak murrizten dituen muga geometriko eta orori. Murrizketa geometrikoa denez, lotura oro ekuazio aljebraiko baten edo gehiagoren bidez adieraz daiteke; ekuazio hauek lotura-ekuazioak dira.

Esan bezala, lotura orori ekuazio bat esleitu dakioke, muga geometrikoaren adierazpen analitiko gisa. Baieztapen hori argitze aldera, demagun puntu material bat, zeina mugitzera behartuta dagoen, zentroa koordenatuen jatorrian duen r erradioko gainazal esferiko batean zehar. Puntuaren koordenatuek bete beharko duten erlazio edo murrizketa bat existituko da:

Murrizpena puntua esferak mugatutako esparruan sartzea eragoztea bada, formulazio matematikoak honako forma hau hartzen du:

Adierazpen matematikoa ekuazio bat denean, lehenengo kasuan gertatzen den bezala, lotura holonomoa dela esaten da, eta, bestela, lotura ez-holonomoa deitzen zaio.

Oro har, puntu materialen sistema bat k lotura holonomoren menpe badago, k ekuazio ezar daitezke, puntuen 3N koordenatu kartesiarren artean dauden erlazioak adierazten dituztenak:

Mekanika analitikoak, ordea, lotura mekanikoaren kontzeptua hedatzen du, muga zinematikoak ere kontuan hartuz. Hau da, mekanika analitikoaren ikuspegitik, lotura mekaniko baten definizioa: lotura mekanikoa da sistema mekaniko baten mugimendu-aukerak murrizten dituen muga geometriko edo zinematiko oro.

Beraz, beste sailkapen bat egin daiteke lotura holonomoen barnean.

Loturen sailkapena 
Demagun N partikula materialez osatutako sistema mekaniko bat daukagula. Partikula bakoitzak xi, yi eta zi koordenatuak dituen Ai puntu baten egongo da kokatuta. Sistema k loturaren menpe baldin badago, ekuazio diferentzial edo inekuazio formako k erlazio eratu ahalko dira. Ekuazio diferentzialaren kasuan:

non aji, bji, cji eta dj0, xi, yi, zi eta t aldagaien funtzioak diren.

Aurreko ekuazio diferentzial hori integragarria baldin bada, lotura holonomoa izango da, eta arestian lorturiko lotura holonomoen funtzioaren ekuazioa lortuko da:

Kasu honetan baina, sailkapen gehigarri bat egin behar da: ekuazioan denbora esplizituki agertzen ez denez, lotura, holonomoa izateaz gain, eskleronomoa ere izango da. Ordea, lortutako ekuazioan denbora esplizituki adierazita agertzen baldin bada:

Lotura, holonomoa izateaz gain, erreonomoa izango dela esango da.

Ekuazio diferentziala integragarria ez baldin bada, aurretik definituriko inekuazio edo lotura ez-holonomoa lortuko da:

Askatasun-gradua 
Sistema mekaniko baten askatasun-graduen kopurua da konfigurazio geometrikoa zehazteko behar den gutxieneko koordenatu independenteen kopurua. Horrela, espazioko partikula libre batek hiru askatasun gradu ditu, hiru direlako bere posizio bektorearen koordenatuak, eta N partikula independentez osatutako sistema mekaniko batek, bere partikulen posizioa finkatzeko 3N parametro behar dituenak, 3N askatasun gradu ditu.

Sistema mekaniko batek lotura holonomoak baldin baditu, lotura hauek sistemako koordenatuak erlazionatuz adieraziko dira. Ondorioz, lotura-ekuazio bakoitzak askatasun gradu bat galtzea eragingo du. i eta j partikulaz osatutako sistema material batean, partikulen arteko distantzia konstante mantentzen bada, horrela adieraziko da lotura-ekuazioa:

non L bi partikulen arteko distantzia den.

Kasu honetan, 5 koordenatu ezagutuz, seigarren koordenatua lotura-ekuaziotik aterako litzateke. Kasu orokor batean, N partikulaz osatutako sistema batek k baldintza zinematiko independente jasan behar baditu, askatasun-gradu kopurua n = 3N − k izango da.

Solido zurrun batentzat, froga daiteke askatasun-gradu kopurua n = 6N - k dela.

Koordenatu orokortuak 
Aurreko ataleko sistema aintzat hartuko da: 3N koordenatu eta k lotura holonomo. n = 3N - k koordenatu independenteak, 3N koordenatuetatik k lotura kopurua kenduta lortutakoak, koordenatu orokortu deritzenak izango dira.

Kasu askotan, interesgarriagoa izan daiteke sistema baten posizioa kartesiarrak ez diren koordenatu batzuen arabera finkatzea, honen konfigurazio geometrikoaren definizioa errazteko. Notazio sinple bat erabili ahal izateko, koordenatu kartesiarrak x1, x2, x3, ..., x3N bidez adieraziko dira, k lotura-ekuazio bakoitzak, kasurik orokorrenean, forma hau har dezan:

Jatorrizko koordenatu orokortuen (x1, x2, ..., xn) eta koordenatu orokortu berrien (q1, q2, ..., qn) artean existitzen den erlazioa, koordenatuen aldaketa definitzen duen n ekuazioko sistema batek zehaztuko du:

Eraldaketa hori zuzena izan dadin, ezinbestekoa da biunibokoa izatea eta, ondorioz, jakobiarra zero ez izatea:

Horrela, sistemaren puntu baten posizio-bektorea koordenatu orokor berrien eta denboraren funtzio esplizitu gisa adieraz daiteke:

Lotura guztiak holonomoak eta eskleronomoak badira, posizio-bektorean ez da denbora esplizituki agertuko:

Desplazamendu birtuala 
Loturekin bateragarria den eta denbora aldatu gabe gertatzen den koordenatuen aldaketa infinitesimal bati desplazamendu birtual deritzo. Hori irudikatzeko, δ sinboloa erabiltzen da; horrela, δr-k posizio-bektorea r duen puntu baten desplazamendu birtuala adierazten du. Ikur horrek aldakuntza deritzon kontzeptu matematikoa adierazten du, eta Lagrangek sartu zuen bere izaera birtuala nabarmentzeko eta dt denbora-tarte batean gertatzen diren desplazamendu errealak irudikatzeko erabiltzen den d sinbolotik bereizteko.

Desplazamendu birtualak zehazteko, kalkulu diferentzialaren arauak jarraitzen dira. Gainera, desplazamendu-mota horietan denbora konstantea denez, aurretiaz definituriko funtzio bektorialen aldaketek forma bera izan behar dute nahitaez:

Kontuan izan lotura erreonomoak dituen sistema mekaniko batean desplazamendu birtual bat ezin dela benetako batekin bat etorri, kasu honetan:

Lotura indarrak 
Oro har, m koordenatuk (x1, x2, ..., xm) definituriko n askatasun-graduko sistema batean, k = m - n lotura holonomo ezar daitezke:

k koordenatu ezabatu daitezke lotura-ekuazioen bidez, eta n = m - k koordenatu independenteen arabera adieraz daiteke sistema.

Kasu honi lotura fisikoetarako erabili den arrazoiketa aplikatzen bazaio, aurreko ekuazioei marruskadurarik gabeko m-dimentsiodun espazioen azaleren esanahia eman dakieke. Lotura holonomoek inplizituki daramatzaten indarrak, beraz, azalera horiekiko normalak dira, eta haien ekuazioak, geometria analitikoak emanak, honako forma hau du:

non u1, u2, ..., um bektoreak, m-dimentsioko espazioaren bektore unitarioak diren eta λj dimentsiodun parametro bat den.

Lan birtuala

Desplazamendu errealek egindako lana 
Lotura holonomoak oinarritzat dituzten desplazamendu erreal infinitesimalei drj deituz gero, Rj izango dira lotura hauek eragindako lotura indarrak. Indar hauek egindako lana izango da:

Hala ere, dr infinitesimala hurrengo adierazpena du m-dimentsioko espazioan:

Aurreko bi ekuazioak, lotura indarren ekuazioarekin batuz, hurrengo hau lortuko da:

Era berean, lotura-ekuazioak era diferentzialean adieraziz gero:

Aurreko bi kasuetatik, hurrengo ekuazioa ondoriozta daiteke:

Beraz, baiezta daiteke lotura erreonomoek eragindako indarrek, lana egiten dutela desplazamendu erreal batean. Ondorioz, lotura eskleronomoa ez baldin bada, loturak lana egingo du.

Desplazamendu birtualek egindako lana 
Desplazamendu birtual batean F indarrak egindako lanari lan birtual deritzo. Desplazamendu erreal batean bezala, lan birtuala indarra desplazamenduarekin biderkatuz lortzen da:

Beraz, lotura holonomoei dagozkien indarrek egindako lan birtuala honela adieraz daiteke:

desplazamendu errealen kasuan lez, desplazamendu birtualek forma matematiko analogo bat daukate:

Berriz ere, ekuazioak batuz, lan birtualaren adierazpena lor daiteke:

Lotura-ekuazioen aldakuntza totala zehazten bada:

Aurreko bi ekuazioak alderatuz gero, ondoriozta daiteke lotura holonomoei dagokien indarrek egindako lan birtuala zero dela. Honek, mekanika Newtondarreko lotura perfektu kontzeptua hedatzea ahalbidetzen du.

Mekanika analitikoan beraz, lotura bat perfektua izango da, lotura horrek sortzen duen indarrak ez duenean lanik egiten desplazamendu birtualean.

Mekanika lagrangearra 
Mekanika lagrangearra edo Lagrangeren mekanika, mekanika klasikoaren formulazio bat da, akzio minimoaren printzipioan oinarritzen dena. Joseph-Louis Lagrange matematikari eta astronomo italiarrak aurkeztu zuen 1788an, Mécanique analytique liburuan.

Mekanika hamiltondarra 
Mekanika hamiltondar edo Hamiltonen mekanika, mekanika lagrangearraren birformulazio bat da. Mekanika lagrangearrean erabiltzen diren abiadura orokortuak erabili ordez, momentu orokortuak erabiltzen ditu. 1833. urtean aurkeztu zuen aldaera berri hau Sir William Rowan Hamilton matematikariak.

Erreferentziak

Ikus, gainera 

 Mekanika
 Mekanika aplikatua
 Mekanika klasiko
 Newtonen legeak
 Lagrangeren mekanika
 Fisika teoriko

Kanpo estekak 
  

Mekanika
Mekanika klasikoa
Fisika
Fisika teorikoa
Fisika matematikoa