Zeroaren paritate

Zero zenbakia bikoitia da. Beste era batera esanda, zero zenbakiari dagokion «paritatea», hots, zenbaki oso bat bikoitia edo bakoitia izatearen ezaugarria, zenbaki bikoitiarena da. Zero zenbakia zenbaki bikoitiaren definizioarekin bat dator; izan ere,  denez, zero zenbakia ren multiploa den zenbaki osoa da. Ondorioz, zero zenbakiak ere zenbaki bikoitien propietateak ditu:

  zenbakiak  a zatitzen du
  a bi zenbaki oso bakoitien artean dago
 Zenbaki oso bat eta zenbaki beraren arteko kendura  da
 Elementurik ez duen multzoa bi multzo berdinetan bana daiteke.

Matematikako termino baten definizio zehatza, azken batean, konbentzio bat da. Matematikako termino edo definizio batzuk esplizituki eraikitzen dira kasu tribialak edo degeneratuak baztertzeko. Horren adibide argia zenbaki lehenen definizioa da. Izan ere, zenbaki lehenen definizioa urteetan zehar aldatzen joan da,  zenbakia zenbaki ez-lehentzat (konposatua) jo den arte. Autore gehienek hau nabarmentzen dute:  zenbakia zenbaki konposatutzat hartuz gero, zenbaki lehenen teoremak enuntziatzea errazagoa da. Hori gertatzen da, adibidez, Aritmetikaren oinarrizko teorema enuntziatzean . Era berean, posible izango litzateke zenbaki bikoitien definizioa aldatzea a bikoitia izan ez dadin. Hala ere, kasu horretan, definizio berriak zenbaki bikoitien teoremak ezartzea zailduko luke. Adibidez, definizioa aldatzeak eragina izango luke zenbaki oso bikoiti eta bakoitien gainean egiten diren ondoko eragiketetan :

 
 
  .

Aurreko eragiketak ez dira zuzenak  zero zenbakia bakoititzat hartzen bada. Kasu horretan, eragiketa horiek aldatu beharko lirateke. Horregatik, zenbaki bikoiti positiboen eta beste zenbaki osoen arauak bete ahal izateko, beharrezko da zeroa bikoitia izatea .

Zeroa da zenbaki oso bikoitien multzoaren elementu neutroa eta zenbaki arruntak definitzeko abiapuntutzat hartzen den zenbakia.

Oro har, zeroaren paritateak zalantzak sortzen ditu. Izan ere, uste zabaldua da ez dagoela zenbakirik zeroa multiplo duenik. Hala ere, argi geratu da  zenbakia aren multiploa dela; beraz, a zenbaki bikoitia da.

Zeroa bikoitia izatearen zergatia 
Zeroa zenbaki bikoitia dela berehala frogatzen da. Definizioz, zenbaki oso bat bikoitia da baldin  zenbakiaren multiploa bada. Beraz,  denez, zeroa zenbaki bikoitia da . Beste era batera esanda, zenbaki oso bat  zenbakiaz zatitzean lortzen den hondarra  bada, zenbaki hori bikoitia da.

Dena den, zero zenbakia bikoitia dela ere ondoriozta daiteke definizio formalak erabili gabe , honako bi azalpenetan adierazten den legez:

 Izan bedi edozein elementu kopuru duen multzoa. Multzo horretan zenbat elementu dauden jakiteko, zenbatzea da ohikoena. Elementurik ez duen multzoari multzo hutsa deritzo, eta zero da multzo horretan dagoen elementuen kopurua. Bi objektu dituzten multzoak eraikitzean, paritate kontzeptua erabiltzen dugu; hau da, multzo bateko elementuak binaka batu ahal badira elementu bat ere bakarrik geratu gabe, elementuen kopurua bikoitia da; eta alderantziz, elementu bat bakarrik, hots, binakatu gabe, geratzen bada, elementuen kopurua bakoitia izango da  . Multzo hutsak bi elementuko zero bikote ditu, eta ez da elementurik geratzen binakatu gabe. Egia da zaila dela bi elementu dituen zero multzo aurkitzea, edo existitzen ez den objektu batean arreta jartzea. Eskuineko diagraman , multzo hutsa eta multzo ez-hutsak alderatzen dira, zeroaren paritatea ulertzeko  .

 Zenbaki osoak zuzen errealean idazten badira zenbaki bikoiti eta bakoitiak desberdinduz, zero zenbakia bikoitia dela ondoriozta daiteke.  

Zenbaki bikoitiak eta bakoitiak txandakatu egiten dira. Edozein zenbaki bikoiti hartuta, binaka gorantz edo beherantz zenbatzen jarraitzen bada, lortzen diren zenbaki guztiak bikoitiak izango dira, zeroa barne . Gainera, bi zenbaki bakoiti osoen artean beti egoten da zenbaki bikoiti oso bat. Beraz, zero zenbakia bi zenbaki oso bakoitiren artean dagoenez, bikoitia da.

Bestalde, paritate kontzeptua egitura aritmetikoan adieraz daiteke:

  zenbaki osoa bikoitia izango da  eran deskonposa badaiteke,  zenbaki osoa izanik
  zenbaki osoa bakoitia izango da  eran deskonposa badaiteke,  zenbaki osoa izanik.

 zenbakiak lehenengo propietatea betetzen duenez, bikoitia dela ondoriozta daiteke, eta zuzen errealean ageri den ideia indartzen da .

Zeroaren paritatearen garrantzia 
Argi dago zeroaren paritateak Matematikaren hainbat arlotan berebiziko garrantzia duela, hala nola aritmetikan, grafoen teorian, geometria konputazionalean… Matematikaz gain, beste arlo askotan ere erabiltzen da zeroaren paritatea.

Garrantzia teknologian 
Egunero, ohiko jarduerak egin ahal izateko, tresna elektroniko ugari erabiltzen dira, hala nola mugikorra, ordenagailua, telebista... Tresna horietan, informazioa transmititzeko sistema bitarra erabiltzen da. Sistema horretan, bi sinbolo idatz daitezke,  (zero) eta  (bat), eta erabilitako zifra bakoitzari bit deritzo. Bit horiek bloke desberdinetan gordetzen dira, eta bloke bakoitzak esanahi bat du. Normalean, blokeen hasierako bitetan, trasmititu nahi den informazioa gordetzen da, eta azken bita paritate-bita izaten da, hau da, informazioaren transmisioan gerta daitezkeen akatsak detektatzeko erabiltzen den bita. Azken digitu hori  bada, horrek esan nahi du aurreko blokeetan bat zenbakien kopurua bakoitia dela. Azken digitua  bada, berriz, bat zenbakien kopurua bikoitia da. Ondorioz, paritate-bitari esker bi akats mota hauteman daitezke: batetik, transmititu nahi den informazioan zeroaren ordez bata idaztea; bestetik, bataren ordez zeroa agertzea.

Informatikan erroreak detektatzeko paritate-bita erabiltzea metodo ohikoena izan arren, paritate-bitak desabantaila batzuk ditu. Izan ere, transmititu nahi den informazioan akats kopurua bakoitia bada, paritate-bitak detektatuko du errorea; baina akats kopurua bikoitia bada, ezingo da atzeman akatsa.

Adibideak 
Bizitzako zenbait alderditan oso garrantzitsua da aurretik aipatutako erroreak aurkitzea.

Demagun auto baten matrikula zenbakia transmititu nahi dela.

Sistema hamartarrean:   sistema bitarrean: 

Datu horiek tresna elektronikoetan idaztean, sistema bitarreko zenbakiari paritate-bita gehitzen zaio akatsak ekiditeko. Bat zenbakien kopurua  bikoitia denez,  izango da matrikula-zenbakia.

Zenbakia transmititzean aldaketarik izango balitz, paritate-bitak errorea adieraziko luke. Adibidez, lehenengo posizioan dagoen  zenbakiaren ordez  zenbakia agertzen bada , errorea detektatzen da, bat zenbakien kopurua  bakoitia delako.

Akatsik detektatu ezean, nahi ez den matrikula bat lortzen da:

Sistema Bitarrean:   Sistema Hamartarrean: 

Hurrengo adibidean, herri bateko posta-kodea transmititu nahi da. Kasu horretan, jasotako akats kopurua bikoitia izango da, eta paritate-bitak ez du errorerik detektatuko.

Sistema hamartarrean:   sistema bitarrean: 

Tresna elektronikoan idaztean: 

Paritate-bita  da, bat zenbakien kopurua  bakoitia delako.  Zenbakia sistema bitarrean idaztean bi zenbaki aldatzen badira, hots, lehenengo eta azkenengo  zenbakien ordez  idazten bada , paritate-bitak ez du akatsa atzemango, bat zenbakien kopuruak  bakoitia izaten jarraitzen duelako.

Bitxikeriak 
Zeroaren paritateak jendartean sortzen dituen zalantzak direla eta, munduan zenbait gertaera bitxi suertatu dira. Adibidez, 2016. urtean, Madrilen, kutsadura-maila murrizteko asmoz, automobilen zirkulazioa gutxitu zen. Hori aurrera eramateko, matrikularen azken zenbakia bikoitia edo bakoitia izatearen arabera atera ziren autoak errepidera. Matrikulan azken zenbakia zeroa zuten gidariei, baina, ez zitzaien argi geratu zein egunetan atera zitezkeen errepidera. Hori dela eta, Madrilgo egunkari garrantzitsuenek zeroa zenbakia bikoitia dela argitaratu behar izan zuten. Espainian ez ezik, Frantzian ere, Parisen, 1977. urtean antzeko trafiko-murrizketak egin ziren. Kasu horretan,  zenbakiaren inguruan zeuden zalantzak ekiditeko, matrikulan azken zenbakia zeroa zuten autoak edozein egunetan atera zitezkeela erabaki zen, zeroaren paritatea kontuan hartu gabe.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Oinarrizko aritmetika
Paritatea
Zero