Rolleren teorema

Kalkulu diferentzialean, Rolle-ren teoremak dio funtzio bat  tarte batean jarraia eta  tarte batean deribagarria bada,  izanik, existituko dela gutxienez puntu bat tarte horretan malda nulua duena, hau da, . Bataz besteko balioaren teoremaren kasu berezi bat da.

Bhaskara II matematikari indiarrak deskribatu zuen 12. mendean, baina Michel Rolle (1652-1719) matematikariak frogatu zuen 1691-an.

Teorema 
Izan bedi  funtzioa  tartean jarraitua eta  tarte irekian deribagarria eta demagun  dela. Orduan .

Froga 
 funtzioa  tartean jarraitua denez, minimo eta maximo absolutuak lortzen ditu  tartean arabera, hau da, . Bi posibilitate daude:

 Maximoa edo minimoa  tartean dago.  puntua orduan mutur bat (minimo bat) izango da, beraz , mutur baten deribatuaren balioa  delako, eta  izango da.  puntuaren kasuan konklusioa berdina da.
 Aurrekoa ez bada egia,  eta  tartearen muturrak izango dira. Beraz,  eta  suposatu dezakegu. Beraz,  ikusi dezakegu, baina  denez, funtzioa konstantea izango da, eta edozein punturen deribatuaren balioa  izango da.

Adierazpen geometrikoa 
Hurrengo irudian ikus daitekeenez, hiru baldintzak betetzen dira: funtzioa  tarte batean jarraitua da,  tarte batean deribagarria eta  da. Ikus daitekeenez, badago gutxienez  puntu bat non , kasu honetan puntu guztiak, funtzioa konstantea delako. 

Irudian funtzio konstantea ikus daiteke, baina ez da betetzen den kasu bakarra.

1. kasua 
Hurrengo kasuan ikus daitekeenez, tartearen puntu maximoa  eta -ren berdina da, eta minimoa ezberdina da, beraz, kurba ganbila da.. Puntu minimoa  da, eta
funtzioaren deribatua puntu honetan  da.

2. kasua 
Puntu minimoa   eta -ren berdina da eta maximoa ezberdina, beraz, kurba ahurra da. Puntu maximoa  da eta bere deribatua  da puntu horretan.

3. kasua 
Kasu honetan, bai puntu maximo bai minimoa  eta -ren ezberdinak dira. Beraz, funtzioak  tarte barnean  eta  baino handiagoa den  puntu maximo bat eta   eta  baino txikiagoa den  puntu bat izango ditu gutxienez. Bai maximoan bai minimoan deribatuaren balioa nulua izango da, hau da,   eta  .

Kanpo estekak 

Matematikako teoremak
Frantziako zientzia eta teknologia