Endomorfismo



Definizioa: 
Endomorfismo bat eremu eta koeremu bera dituen aplikazio lineal bat da. V espazio bektorial baten endomorfismo taldea (), V-tik V-ra doazen aplikazio linealek osatzen dute:

Propietateak: 

 Definizioz, alderantzizko funtzioa duten V-ko endomorfismoek,  multzoa osatzen dute: 

  alderanzgarria da baldin eta soilik baldin bere matrize elkartua ( ) alderanzgarria bada
 Hartu V K gorputzaren gainean dagoela definituta. , -ren balio propioa da baldin eta soilik baldin

Matrize elkartuak: 
Edozein aplikazio linealek matrize elkartuak dauzka bere baitan, eremuko oinarri bat eta koeremuko bat erlazionatzen dituena. Endomorfismoen kasuan,  motako elkartutako matrizeak erabili daitezke funtzioa definitzeko. Honek bisualki asko lagundu dezake. Adibidez, gure funtzioari lotutako matrizea identitate matrizea bada, badakigu funtzioa konstantea dela. Lehen aipatutako propietatean sakonduz, -ko funtzioei elkartutako matrizeek  taldea osatzen dute, hau da, V espazioaren dimentsioa duten matrize alderanzgarrien taldea.

Balio propioak edo autobalioak: 
V K gorputzaren gainean definituta egonik, , -ren balio propioa da baldin eta soilik baldin .

Adibidez: : Ohartu  delataz.

Gainera, , beraz  eta  funtzioaren balio propiak dira, eta  haiei lotutako bektoreak, hurrenez hurren.

Balio propioei lotutako azpiespazio bektorialak: 
Hau jakinda, azpiespazio ezberdinak defini ditzakegu,  balioari dagokion f-ren azpiespazio propioak deritzonak:

.

Ohartu gure eremu eta koeremua V direnez,  edozein balio propiorako. Hain zuzen:      (1 = V gaineko funtzio konstantea)

 eta

 V-ren gaineko endomorfismo bat denez, .

Hartzen badugu  (beta bidezko f-ri elkartutako matrizea), eta :

.

Hemendik erraz lortu dezakegun edozein azpiespazio propioren dimentsioa:

Polinomio karakteristikoa: 
Matrize ororekin polinomio karakteristikoa izena duen polinomio bat dago lotuta. Polinomio hori sortzeko arrazonamendu bat dago:

Lehenik, konturatu behar gara edozein  izanik gure  matrizearen balio propioa dela baldin eta soilik baldin hau betetzen bada:
 sistemak soluzio ez nulurik badu ,Orduan, expresio horri polinomio karakteristikoa deituko diogu.  eta  polinomio horren erroa bada, orduan A-ren balio propioa da, eta ondorioz endomorfismoarena ere.