Taldeen errepresentazio

Matematikan, aljebrako talde teoriaren adar bat den taldeen errepresentazio teorian, talde errepresentazioa deritzo aztertu nahi den talde abstraktua talde lineal batekin lotzen duen homomorfismo orori. Horrela, talde abstraktuak bektore espazio baten automorfismoen bidez azter daitezke.

Izan ere, taldeen errepresentazio teoriak  talde abstraktuak deskribatzen ditu  -bektore espazioa baten  automorfismoen taldearen terminoetan; hau da, espazio bektorialetik espazio bektorial berberera doazen transformazio lineal bijetiboen multzoak aplikazioen konposaketarekin batera eratzen duen taldearen bitartez. Taldearen deskribapen hori,   talde homomorfismo baten bitartez lortuko da. Talderen baten gainean horrela definituriko  homomorfismo bat,  taldearen -errepresentazio bat dela esaten da.

Gainera,   dimentsioko -bektore espazioa bada,  talde isomorfismoa betetzen da, non   dimentsioko talde lineal orokorra den. Hots, koefizienteak  gorputzean dituzten   dimentsioko matrize alderantzizkagarriek matrizeen biderketarekin batera osatzen duten  taldearen isomorfoa da  automorfismoen taldea. Ondorioz, talde lineal orokorrak erabil daitezke talde abstraktuak deskribatzeko. Honela, talde abstraktuko elementuen ordez, matrize alderantzizkagarriak erabil daitezke eta talde abstraktuaren biderketaren ordez matrizeen arteko biderketak.

Taldeen errepresentazioak garrantzitsuak dira, talde teoriako problema asko aljebra linealeko problema bilakatzen dituztelako. Horrela problemak erraztu egiten dira, hobeto ezagutzen baitugu aljebra lineala talde teoria baino. Garrantzitsuak dira fisikan ere, adibidez, sistema fisiko baten simetria-taldeek sistema hori deskribatzen duten ekuazioen soluzioei nola eragiten dien deskribatzen baitute. Kimikan ere, talde errepresentazioak erlaziona daitezke molekulen errotazio simetrikoekin eta islapenekin.

Talde baten errepresentazioa terminoa adiera orokorragoan ere erabiltzen da, talde baten "deskribapena" edozein objektu matematikoren transformazio talde gisa adierazteko. Formalago, errepresentazio bat talde baten elementuak edozein objekturi dagokion automorfismoen taldera daraman homomorfismoa da. Objektua espazio bektoriala bada, orduan errepresentazio lineala dugu. Batzuetan, errealizazioa terminoa erabiltzen da kontzeptu orokorrerako, errepresentazio terminoa errepresentazio linealen kasu berezirako soilik erabiliz. Artikulu honetan talde finituen errepresentazio linealak deskribatzen dira batik bat.

Definizioak

Talde errepresentazioa 
Izan bedi  taldea. Izan bitez, baita ere,  gorputz baten gaineko  espazio bektoriala bat eta haren  automorfismoen taldea. Orduan,  talde homomorfismo bat bada,  homomorfismoa  taldearen -errepresentazio bat da. (Espazio bektorialaren dimentsioa finitua denean, era berean defini daiteke talde errepresentazio bat  automorfismoen taldea beharrean  talde lineal orokorra erabilita). 

Beraz,  errepresentazio batek talde homomorfismoa izateagatik ondoko propietatea bete behar du:

,      .

 bektore espazioari errepresentazio espazio esaten zaio eta -ren dimentsioari berriz errepresentazioaren dimentsio esaten zaio. Testuinguruarengatik homomorfismoa argi dagoenean ohikoa izaten da  errepresentazio espazioari deitzea errepresentazio. Errepresentazio espazioa   dimentsio finitukoa denean, bektore espazioaren oinarri bat zehazturik identifikatzen dira   taldeko automorfismoak  taldeko matrizeekin. 

Errepresentazioaren nukleoa, iruditzat identitate automorfismoa duten elementuek osatzen duten -ren azpitaldea da; hau da, . Errepresentazio bat fidela dela esaten da  denean.

Errepresentazio isomorfoak 
 eta  bi -bektore espazio izanik, eta  eta  bi errepresentazio izanik, baliokideak (batzuen arabera antzeko egokiagoa litzateke) edo isomorfoak direla esaten da baldin eta bektore espazioen arteko 

isomorfismo bat badago, zeinak  guztietarako  automorfismoen arteko berdintza betetzen duen. Bestela ere, gauza bera da  berdintza betetzea.

Karakterea 
Izan bitez,  talde finitua eta ,  zero karakteristikako gorputza. Orduan,   dimentsioko -bektore espazioa bada   errepresentazioak induzituriko  aplikazio bat defini daiteke honela: , ( ikurrak matrizearen aztarna, edo traza, adierazten duelarik). Aplikazio horri,  -errepresentazioak induzituriko -ren karaktere deritzo. Antzeko matrizeek aztarna bera dutenez, errepresentazio baliokideek karaktere bera dutela ondorioztatzen da. Beraz, karakterea klase funtzioa da, hots,  beteko da.

G-inbarianteak eta azpierrepresentazioak 
 talde baten, ,  bektore espazioaren gaineko -errepresentazio bat izanik,   azpiespazioa bada, orduan taldearen ekintzarekiko inbariantea dela esaten da (-inbariantea da laburdura), baldin eta  betetzen bada; hau da, -ko bektoreen irudiek azpiespazioan egoten jarraitzen badute  -ren automorfismo guztietarako. Ondorioz, -ren  azpiespaziorako murrizketa,   adierazten dena,  bektore espazioaren automorfismoa izango da. Orduan,  errepresentazioa definitu daiteke  betearaziz;  errepresentazioari  errepresentazioaren azpierrepresentazio deritzo.

Azpiespazio tribialak, hau da,  eta  azpiespazioak, -inbarianteak dira errepresentazio guztietarako.

Errepresentazio laburgarriak eta laburtezinak 
Izan bitez,  taldea eta  errepresentazioa. Orduan, errepresentazioa laburgarria dela esango dugu (erreduziblea dela),  bektore espazioaren azpiespazio propioren bat inbariante utziz gero, hau da,  eta  azpiespazio tribialetaz gain besteren bat ere inbariante utziz gero. Bestela, errepresentazio laburtezina (irreduziblea) dela esaten dugu. (Ohartu, 1 mailako errepresentazio guztiak irreduzibleak direla, kasu horretan bektore espazioek ez baitu azpiespazio propiorik).

Talde finituen kasuan,  matrize alderantzizgarrien gaineko  -errepresentazioak erabil ditzakegunez, errepresentazio laburtezinen definizioa era matrizialean adieraz dezakegu, honela:

 errepresentazioa laburtezina izango da,  -bektore espazioaren oinarri bat lor badaiteke  errepresentazioaren matrizea blokeka banatuko duena hurrengo eran,        non   eta  matrize karratuak diren. Orduan, ohartu  errepresentazioa izateagatik  eta  ere errepresentazioak direla ondorioztatu daitekeela. Izan ere,  taldeko edozein bi elementu harturik,  talde homomorfismoa izateagatik  beteko da, hots,  eta beraz,  eta  ere  taldearen -errepresentazioak dira baina  baino maila txikiagokoak.

Errepresentazio guztiz laburgarriak 
Gainera,  mailako  errepresentazio laburgarri bat errepresentazio guztiz laburgarria dela esango dugu, errepresentazioaren matrizea  baldin bada   guztietarako non    matrize karratuei dagozkien  errepresentazioak laburtezinak diren; noski . Kasu horretan,  errepresentazioa  errepresentazioen batura zuzen gisa banatzen da. Honela adierazten da,  edo laburturik bestela,  . Demagun, gainera, badaudela elkarren baliokideak diren errepresentazio irreduzibleak eta ondorioz soilik  errepresentazio direla guztiz ezberdinak. Orduan,  -bektore espazioaren oinarri aldaketa egokiarekin errepresentazio baliokideak errepresentazio bera bilaka ditzakegu eta   baldin badira haietako bakoitza errepikatzen den kopurua:   idatz dezakegu. Gainera, errepresentazio laburtezin bakoitzari dagokion karakterea  bezala adieraziz gero,   errepresentazioaren  karakterea honela lor daiteke: .

Talde errepresentazioak errepresentazio laburtezinetan deskonposatzeari buruzko emaitza garrantzitsu bat ondokoa da.  gorputzaren karakteristikak  talde finituaren ordena zatitzen ez badu,  taldearen edozein -errepresentazio azpierrepresentazio laburtezinen batura zuzen gisa bana daiteke (ikus Maschke-ren teorema). Bereziki, talde finitu baten  zenbaki konplexuen gaineko edozein errepresentaziok beteko du, zenbaki konplexuen gorputzaren karakteristika,  zero baita, eta noski, ez du inoiz talde baten ordena zatituko.

Ohartu, -laburgarritasuna, -laburtezintasuna eta guztizko laburgarritasuna mantendu egiten dela errepresentazio baliokideetarako.

Talde errepresentazioen orokorpenak 

 Talde topologikoak:  talde topologiko baten kasuan,   -bektore espazio topologiko bat izanik,  talde errepresentazioa errepresentazio jarraitua izango da, baldin eta  ,   aplikazio jarraitua bada.

Adibideak 

 -ren 1 mailako -errepresentazio tribiala deritzogu, ,  guztietarako  betetzen duen talde homomorfismoari. (Ohartu, = gorputzari batuketarekiko elementu neutroa kendurik biderketarekiko osatzen den taldea dela). Noski,  ere beteko da  guztietarako.
 Izan bitez  talde finitua eta   1 dimentsioko -bektore espazioa, orduan, = izango da eta beraz,  talde homomorfismo bat, -ren 1 mailako -errepresentazio bat dela esango dugu. Ohartu, edozein  harturik,   beteko dela 1 mailako errepresentazioetarako. Hots, errepresentazioa eta karakterea bat datoz taldeko elementu guztietarako.
 -ren 1 mailako -errepresentazio batzuen adibide konkretuak ondokoa dira: izan bitez  zenbaki konplexuen gorputza eta  talde ziklotomikoa. Orduan,  guztietarako,  talde homomorfismoak defini ditzakegu honela, . Hare gehiago, horrek dira  talde ziklotomikoaren -errepresentazio laburtezin (irreduzible) guztiak.
 Izan bedi,  talde homomorfismoa non   permutazioz osaturiko taldea den. Orduan,  -errepresentazio bat bezala uler daiteke honela: Izan bitez  gorputza eta  dimentsioko  -bektore espazioa  bere -oinarri bat delarik. Defini dezagun ondoko aplikazioa, , hau da, oinarriko bektoreak  permutazioen bidez honela berrantolatuko dituen aplikazioa;  izango da  delarik  guztietarako. Horrela,  bektore espazioaren automorfismoa izateko naturalki definitzen da  bektore bakoitzeko  bektorearen oinarriaren araberako adierazpena izanik;  . Gainera, erraz ikus daiteke  ere talde homomorfismoa dela. Izan ere,  taldeko bi elementu hartuz gero,  zehazturik dugun  bektore espazioaren oinarriko edozein bektore izanik,                                                                                                                                                                                                                    Hau da,  betetzen da  guztietarako eta ondorioz talde homomorfismoa da. Beraz,  talde homomorfismoa definitu dugu, zeinari  taldearen -errepresentazio permutazionala deitzen zaion. Gainera, ohartu  automorfismo bakoitzari dagokion  talde lineal orokorreko matrizea, hain zuzen ere,  permutazioari dagokion permutazio matrizea dela. Matrize honek, 1 bat eta bakarra du errenkada eta zutabe bakoitzean, gainontzeko elementuak aldiz 0-ak dira. Beraz, ondokoa izango da errepresentazioaren  karakterea:   non   aplikazioa den, hau da,  permutazioak finko uzten duen letra kopurua zehazten du  aplikazioak.
  talde baten -errepresentazio permutazional baten adibide konkretu bat   -errepresentazio erregularra da,    taldearen eskumako errepresentazio erregularrak sorturikoa. Explizituago, izan bedi   non   aplikazioa taldeko elementuen permutazioa den. Berehalakoa da,  taldeko elementu guztierako  betetzen dela, eta beraz, aplikazioa ondo definiturik dagoela. Izan ere, argi dago  taldea izateagatik,  eta ondo definiturik dagoela. Gainera, -ren bidezko irudi bera duten  taldeko bi elementu harturik,  betetzen denez, aplikazioa injektiboa da. Horretaz gain, aplikazioa supraiektiboa ere badela ikusteko, nahikoa da ohartzea  taldeko elementu bat hartuz gero,  elemetuaren irudia izango dela; hau da,   betetzen dela. Beraz,  aplikazio bijektiboa da eta ondorioz  dugunez, ondo definiturik dago  aplikazioa. Gainera, erraz ikus daiteke  talde homomorfismoa dela, izan ere,   taldeko elementu oro harturik, betzen baita, hots,  beteko da  taldeko elementu guztietarako eta ondorioz,  talde homomorfismoa da. Orain, izan bitez  gorputza eta  dimentsioko  -bektore espazioa  bektore espazioaren -oinarri bat delarik,  taldearen bidez indekazaturik dagoena. Orduan, errepresentazio erregularra honela definitzen da,  non aplikazioaren irudiko automorfismoak diren. Errepresentazio erregularrak induzituriko karakterea  bidez adierazten da eta  dira bere balioak, ez baitago talde batean neutroa ez den elementurik beste elementuren batekin biderkaturik elementua finko uzten duenik.
 Izan bitez  eta   taldearen -errepresentazioak   eta  bektore espazioen gainean hurrenez hurren. Gainera,   eta  errepresentazioen karaktere induzituak  eta  diren hurrenez hurren. Orduan: 
 Bektore espazioen   batura zuzenaren gaineko  taldearen -errepresentazioa sor daiteke honela:   talde homomorfismoa, zeina  taldeko elementu bakoitzerako honela definitzen den;. Gainera,  errepresentazioak induzituriko karakterea jatorrizko errepresentazioek induzituriko karaktereen batura da, hots, .
 Bektore espazioen  biderkadura tentsorialaren gaineko  taldearen -errepresentazioa sor daiteke honela:   talde homomorfismoa, zeina  taldeko elementu bakoitzerako honela definitzen den; eta gainera,  errepresentazioak induzituriko karakterea jatorrizko errepresentazioek induzituriko karaktereen biderketa da, hots, .
 Izan bedi,  taldea zenbaki konplexuen ohiko biderketarekin. Orduan,  errpresentazioa defini dezakegu honela: , ,  eta . Ohartu,  errepresentazioa guztiz laburgarria dela eta beraz,  batura zuzen bezala adieraz dezakegula  guztietarako. Batura zuzenean agertzen diren errepresentazioak ondokoak dira: , ,  eta ; eta, , ,  eta  lehen mailako errepresentazio irreduzibleak. Gainera,  errepresentazioa  matrizearekin transformatuz gero,  errpresentazio baliokidea lortuko dugu: , ,  eta . Ohartu,  errepresentazioaren kasuan irudi denak direla matrize errealak. Karaktereaari dagokionez,  beteko da noski,  eta errepresentazio balikideak izateagatik:  ,    eta   direlarik.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Errepresentazioaren teoria 
 Errepresentazio teorema
 Itôren teorema
 Maschke-ren teorema
 Zenbakizko analisi
 Aljebra unibertsala

Apunteak 

  Group representation theory, Lecture Notes. Travis Schedler      https://www.imperial.ac.uk/people/t.schedler/document/8765/lecture-notes/?lecture-notes.pdf
  Lecture notes: Basic group and representation theory; Thomas Willwacher (February 27, 2014) https://people.math.ethz.ch/~wilthoma/docs/grep.pdf
 "1.4: Representations". Chemistry LibreTexts. 2019-09-04. Retrieved 2021-06-23.

Bibliografia 

 Burrow, M. (2014). Representation theory of finite groups. Courier Corporation. ISBN 0486145077, 9780486145075
 Alperin, J. L.. Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups. Cambridge University Press, 1986. ISBN 978-0-521-44926-7..
 Bargmann, V. «Irreducible unitary representations of the Lorenz group». Annals of Mathematics, 48, 3, 1947, p. 568–640. DOI: 10.2307/1969129..
 Borel, Armand. Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2001. ISBN 978-0-8218-0288-5..
 Borel, Armand; Casselman, W. Automorphic Forms, Representations, and L-functions. American Mathematical Society, 1979. ISBN 978-0-8218-1435-2..
 Curtis, Charles W.; Reiner, Irving. Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), 1962. ISBN 978-0-470-18975-7..
 Gelbart, Stephen «An Elementary Introduction to the Langlands Program». Bulletin of the American Mathematical Society, 10, 2, 1984, p. 177–219. DOI: 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..
 Folland, Gerald B. A Course in Abstract Harmonic Analysis. CRC Press, 1995. ISBN 978-0-8493-8490-5..
 Fulton, William; Harris, Joe. Representation theory. A first course. 129. Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6. ISBN 978-0-387-97495-8..
 Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. Representations and Invariants of the Classical Groups. Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-66348-9..
 James, Gordon; Liebeck, Martin. Representations and Characters of Finite Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. ISBN 978-0-521-44590-0..
 Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 222. 2nd. Springer, 2015. ISBN 978-3319134666.
 Helgason, Sigurdur. Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces. Academic Press, 1978. ISBN 978-0-12-338460-7.
 Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Birkhäuser, 1972a. ISBN 978-0-387-90053-7..
 Humphreys, James E. Linear Algebraic Groups. 21. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972b. ISBN 978-0-387-90108-4.
 Jantzen, Jens Carsten. Representations of Algebraic Groups. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3527-2..
 Kac, Victor G. «Lie superalgebras». Advances in Mathematics, 26, 1, 1977, p. 8–96. DOI: 10.1016/0001-8708(77)90017-2..
 Kac, Victor G. Infinite Dimensional Lie Algebras. 3rd. Cambridge University Press, 1990. ISBN 978-0-521-46693-6..
 Knapp, Anthony W. Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples. Princeton University Press, 2001. ISBN 978-0-691-09089-4..
 Kim, Shoon Kyung. Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64062-6..
 Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. Linear Algebra and Geometry. Taylor & Francis, 1997. ISBN 978-90-5699-049-7..
 Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». Notices of the AMS, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
 Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
 Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. Geometric invariant theory. 34. 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. ISBN 978-3-540-56963-3.; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
 Olver, Peter J. Classical invariant theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-55821-1..
 Peter, F.; Weyl, Hermann «Còpia arxivada». Mathematische Annalen, 97, 1, 1927, p. 737–755. Arxivat de l'original el 2014-08-19. DOI: 10.1007/BF01447892 [Consulta: 14 octubre 2021]..
 Pontrjagin, Lev S. «The theory of topological commutative groups». Annals of Mathematics, 35, 2, 1934, p. 361–388. DOI: 10.2307/1968438..
 Sally, Paul; Vogan, David A. Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. American Mathematical Society, 1989. ISBN 978-0-8218-1526-7..
 Serre, Jean-Pierre. Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0387901909..
 Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer, 1997. ISBN 978-0-387-94732-7..
 Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88218-7..
 Sternberg, Shlomo. Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55885-3..
 Tung, Wu-Ki. Group Theory in Physics. 1st. New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. ISBN 978-9971966577.
 Weyl, Hermann. Gruppentheorie und Quantenmechanik. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931. S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ISBN 978-0-486-60269-1..
 Weyl, Hermann. The Classical Groups: Their Invariants and Representations. 2nd. Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ISBN 978-0-691-05756-9..
 Wigner, Eugene P. «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group». Annals of Mathematics, 40, 1, 1939, p. 149–204. DOI: 10.2307/1968551..

Kanpo estekak 

Talde-teoria
Errepresentazioaren teoria