Multzoen arteko aljebra

Matematikan, multzoen aljebrak, multzoen propietateek eta legeek, bildura, ebakidura eta osaketaren eragiketak definitzen ditu. Adierazpideak ebaluatzeko eta kalkuluak egiteko prozedura sistematikoak ere ematen ditu, eragiketa eta erlazio horiek tartean sartuz.

Multzoen arteko eragiketen bidez, multzo "zaharretatik" berriak eraiki ahal izango ditugu, enuntziatu zaharretik berriak eraikiz. Lotura estua izango dute eraikunta modu hauek eraikuntzekin. Lotura izango dute ukapen, konjuntzio eta disjuntzioarekin.

De Morganen Legeak honako bi arau betetzen ditu:

Multzoak 
Multzo bat objektu gisa hartzen diren objektuen bilduma da. Multzoak, hauek osatzen dituen elementuez dago definituta soilik,  ez hauek irudiktzeko moduagatik. Orokorrean, multzoak letra larriz idatzi ohi dira eta elementuak, letra xehez. Normalean, multzo baten elementuak giltzen artean zerrendatzen dira.

Hainbat erlazio existitzen dira multzoak eta hauek osatzen dituzten elementuen artean:

Pertenentzia: Oinarrizko erlazioa pertenentzia da. Izan ere x elementu bat A multzo baten barne edo kanpo egon daiteke, honela adierazten da:

 x, A ren barne dago.

 x, Atik kanpo dago.

Berdintasuna: Bi multzo berdinak dira, elementu berdinak badituzte, aldiz, elementu desberdinak badituzte, multzoak ez dira berdinak. Suposatuz A eta B multzoak ditugula, honela adierazten da:

 A eta B multzoak berdinak dira

 A eta B multzoak desberdinak dira

Inklusioa. A multzo bat emanda ,  B multzoaren azpi-bilduma  edo honen berdina da, bere elementuak B-ren azpimultzo bat badira , eta honela adierazten da

 A B-ren azpimultzoa da.

 A ez da Bren azpimultzoa.

Multzo hutsa, elementurik ez duen multzoa da eta ∅ edo {} bidez adierazten da. Multzo unibertsala, elementu guztiez osatuta dagoen multzoa da, kontextu bakoitzaren arabera. Adibidez zenbaki naturalak aztertuz gero, multzo unibertsala  izango litzateke, hau da, zenbaki natural guztiek osatzen dutena.

Azpimultzoen aljebra 
Ondorengo proposizioak dio inklusioa multzu baten eta horren azpimultzo baten arteko erlazioa ordena-erlazioa dela.

PROPOSIZIOA 1: Izan bitez A, B eta C multzoak. Orduan honakoa ikusten da:

 Erreflexiboa:

 Antisimetrikoa:

 eta  baldin eta soilik baldin 

 Trantsitiboa:

 eta  badira, orduan 

PROPOSIZIOA 2: Izan bitez A, B eta C S multzo baten azpimultzoak, orduan honakoa ikusten da:

 Elementu maximoaren eta minimoaren existentzia:

 Bilduren existentzia:

 eta  badira, orduan 

 Ebakiduraren existentzia:

 eta  badira, orduan 

Ondorengo proposizioak dio   beste adierazpen hauen baliokidea dela, bildura, ebakidura et osagarria erabiliz.

PROPOSIZIOA 3: Izan bitez edozein A eta B multzoak, eta   izanik, orduan honako adierazpen hauek baliokideak dira:

Multzoaren osagarria 

A-renak ez diren X-ren elementuak osatutako multzoa da, honela adierazita:

Argi dagoenean zein -rekiko hartzen den osagarria,  ere idatzi ohi da, -ren ordez.

Era berean, X-ren barnean dauden bi multzoen arteko diferentzia ere adierazi daiteke. Hau da, A-ren B-rekiko osagarria da B-n dauden eta A-n ez dauden elementuak:

Era berean definitu daiteke A-n dauden eta B-n ez dauden elementuak:

Propietateak:

De Morganen Legeak:

 
 

Osagarri bikoitza:

 

Multzu hutsaren eta X multzoaren osagarriak:

PROPOSIZIOA: Izan bidez A eta B X multzo baten azpimultzoak:

  eta  badira, orduan

Bildura 

A eta B bi multzoen arteko bildura,  bidez adierazten dena, aldi berean A eta B-ren elementuak diren multzoak osatzen dute,  bidez adieratzen dena:

Honako propietate hauek betetzen ditu:

 Lege ekipotentea: 
  eta 
 Elkartze-propietatea: 
 Trukatze-propietatea: 
Banatze-propietatea:

Ebakidura 

A eta B bi mueltzoen arteko ebakidura,  bidez adieratzen dena, aldi berean A-n eta B-n dauden elementuak osatzen duten multzoa da,  bidez adierazten da:

Honako propietate hauek betetzen ditu:

 Lege ekipotentea: 
  eta 
 Elkartze-propietatea: 
 Trukatze-propietatea: 
Banatze-propietatea:

Biderkadura kartesiarra 
A eta B-ren arteko biderkadura kartesiarra bi multzoen artean egindako eragiketa da, non multzo berri bat sortuko dena bikote ordenatuez osatuta, eta honela adierazten da:

Honako propietate hauek betetzen ditu:

 
 
 baldin  eta  badira, orduan 
 
 
 
 baldin  bada, orduan 
 
baldin A,B,C eta D multso ez hutsak badira, orduan  baldin eta soilik baldin  eta  badira.

Propietateak 
Eragiketa horietako batzuek zenbaki arruntekin egindako eragiketen antzeko propietateak dituzte. Adibidez, ebakidura eta bildura komutatiboak eta asoziatiboak dira. Multzo hutsa bilduraren elementu neutroa da, eta ebakiduraren  eta elementu kartesiarraren elementu xurgatzailea. Multzo unibertsala elkargunearen elementu neutroa eta loturaren elementu xurgatzailea da.

Gainera, bildura, ebakidura, diferentziako eta osagarriko eragiketak Booleren aljebra bateko eragiketen oso antzekoak dira, baita logika proposizionalaren konektore logikoen oso antzekoak ere.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Multzo
 Venn diagrama
 Multzo-teoria
 Multzoen teoria informal

Kanpo estekak 

  https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_set_identities_and_relations List of set identities and relations (Wikipedia)
  Weisstein, Eric W. https://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html "Set Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,  

Multzo-teoria
Aljebra
Multzoen teoriaren oinarrizko kontzeptuak