Stefan-Boltzman legea

Stefan-Boltzmann legeak gorputz beltz batek erradiatzen duen potentzia deskribatzen du, gorputz beltzak duen tenperaturaren arabera. Lege hau, zehatza izango da gorputz beltz idealen kasuan (xurgatzaile perfektuak), baina hurbilketa ona da gorputz grisen kasurako. Hain zuzen, Stefan-Boltzmann legeak esaten du, gorputz beltz baten azalera unitateko erradiatzen den energia (gorputz beltzaren erradiantzia ) edozein denbora unitateko maiztasunetarako, gorputz beltzaren tenperatura termodinamikoaren  laugarren potentziaren zuzenki proportzionala da:

 proportzionaltasun konstantea, Stefan-Boltzmann konstantea da:

non  Boltzmann-en konstantea,  Planck-en konstantea, eta  argiaren abiadura hutsean diren.

Ikuspuntu angeluar zehatz batekiko erradiantzia  hurrengo eran definitzen da:

Erradiazioa guztiz xurgatzen ez duen gorputz batek (“gorputz gris” bezala ezagunak), ez du guztiz Stefan-Boltzmann legea beteko; hau da, gorputz honek emititzen duen energia, ez da gorputz beltz batek emititzen duen parekoa izango. Desberdintasun hau  gorputzaren emisibitateak adierazten du:

Erradiantziaren dimentsioak energia fluxuarenak dira (energia azalera unitateko eta denbora unitateko). SI sistema internazionalean Joule  -ko eta segunduko edo Watt  -ko adierazten da. Tenperaturaren  SI unitatea Kelvin-a  da. Emisibitatea ,  tarteko balio adimentsionala da (gorputz beltz perfektuaren kasuan  da), eta bere balioa gorputzak erradiatutako fotoien uhin-luzeeraren araberakoa da:.

Gorputz beltz batek erradiatzen duen potentzia totala, gorputzaren erradiantziaren eta gorputzaren azalera osoaren biderketak adierazten du.

Historia 

1864an, John Tyndall-ek platinozko harizpiaren emisio infragorriaren neurriak eta harizpiaren kolore egokia aurkeztu zuen. Jožef Stefan-ek (1835-1893) tenperatura absolutuaren laugarren potentziarako proportzionaltasuna ondorioztatu zuen 1879-an Tyndall-en neurketa esperimentaletan oinarriturik, Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur artikuluan (tenperatura eta erradiazio termikoaren erlazioari buruz) deduzitu eta Vienako Zientzietako Akademia sesioetako Boletinetan argitaratu zuen.

Ludwig Boltzmann-ek (1844-1906) 1884an begirune teorikoetatik legearen eratorpena aurkeztu zuen, Adolfo Bartoli-ren lanean oinarrituta. 1876an Bartoli-k printzipio termodinamikoetatik, erradiazioaren presioaren existentzia eratorri zuen. Bartoli-ri jarraituz, Boltzmann-ek erradiazio elektromagnetikoa erabiltzen zuen motore termiko ideala erabiltzea kontsideratu zuen, gas ideal baten ordez.Legea ia berehala egiaztatu zen esperimentalki. 1888an, Heinrich Weber-ek tenperatura altuagoetan desbideratzeak zeudela ikusi zuen, baina neurketa ziurgabetasunen barruan zehaztasun perfektuak zeudela egiaztatu zen -eko tenperaturaraino,1897an. Legea, Stefan-Boltzmann-en konstantea argiaren abiaduraren menpe denaren aurresan teorikoa barne, Boltzmann konstantea eta Planck-en konstantea, 1900an Planck-ek formulatutako legearen ondorio zuzena da.

2019ko nazioarteko sistemako oinarri unitate berdefiniziotik, Boltzmann-en  konstantearen balioak ezartzen ditu, baita Planck-en  konstantea, argiaren  abiadura eta Stefan-Boltzmann-en konstantea zehazki:

Sinbologia

Adibideak

Eguzkiaren tenperatura 
Bere legearekin, Stefan-ek Eguzkiaren gainazaleko tenperatura zehaztu zuen . Jacques-Louis Soret-en (1827- 1890) datuak erabiliz, Eguzkiaren energia fluxu dentsitatea, berotutako metal-lagin (xafla mehea) baten energia fluxu dentsitatea baino 29 aldiz handiagoa dela ondorioztatu zuen. Lagin biribila kokatu eta neurketa gailua distantzia zehatz batera jarri zuen, hori Eguzkiaren angelu berean ikusteko moduan. Soret-ek laginaren tenperatura gutxi gorabehera 1900℃-tik 2000℃-ra bitartean estimatu zuen. Stefan-ek suposatu zuen, Eguzkiko energia fluxuaren herena Lurraren atmosferak xurgatzen zuela, beraz, Eguzki energia fluxuaren balio zuzen bezala Soret-en emaitza baino 3/2 aldiz handiagoa zen balioa hartu zuen , .

Xurgatze atmosferikoaren neurketa zehatzik ez zen egin  1888-tik 1904-ra arte. Stefan-ek lortu zuen tenperatura aurrekoen balio ertaina 1950℃, eta tenperatura absolutua 2200K izan ziren. Nola  den, Eguzkiaren tenperatura 2.57 aldiz laginaren tenperatura baino handiagoa den legetik, Stefan-ek 5430℃ edo 5700K balioa lortu zuela (5778K da) ondorioztatzen da. Hori izan zen Eguzkiaren tenperaturarako lehen balioa. Izan ere, honen aurretik 1800℃-tik 13,000,000℃-raino zihoazen balioak erreklamatu ziren. Claude Pouillet-ek (1790-1868) balio baxuena,1800℃-koa, zehaztu zuen 1838-an, Dulong-Petit-en legea erabiliz.

Izarren tenperatura 
Eguzkia ez diren gainontzeko izarren tenperatura, aurrekoan erabilitako antzeko ingurunean, igorritako energia, gorputz beltzetako erradiazioa bezala tratatzerakoan , hurrengo eran estimatu daiteke:

non  argitasuna,  Stefan-Boltzmann-en konstantea,  izarraren erradioa eta  tenperatura eraginkorra diren. Formula hori bera erabil daiteke sekuentzia nagusiko izar baten gutxi gorabeherako erradioa kalkulatzeko, Eguzkiaren erradioarekiko:

non  Eguzkiaren erradioa den,  Eguzkiaren argitasuna, etab...

Stefan-Boltzmann-en legearekin, astronomoek izarren erradioak ondoriozta ditzakete. Hawking-en erradiazioa deituriko zulo beltzen termodinamikan ere lege hau betetzen da.

Lurraren tenperatura efektiboa 
Lurraren tenperatura efektiboa  kalkulatzea posible da honek eguzkitik jasotako energia, berak irradiatutakoarekin berdinduz, lurra gorputz beltza dela kontsideratuz. Eguzkiak irradiatutako potentzia osoa, :

Potentzia hau duen erradiantzia, espazioan zehar modu esferikoan banatuko da uniformeki, eta esfera horrek  balioko erradioa duenean (eguzkia eta lurraren arteko distantzia), esferaren azalera unitateko erradiatutako energia hurrengoa da :

Lurra,  erradioko esfera izanik, bere zeharkako-sekzioaren azaleran jasoko du eguzkiaren erradiazioa. Eguzkitik jasotzen den potentzia hau, erradiantzia fluxua deitzen da, eta lurra gorputz-beltza dela kontsideratu denez, guztiz xurgatuko du:

Stefan-Boltzmann legeak laugarren potentzia erabiltzen duenez, efektu egonkortzailea dauka. Beraz, Lurrak igorritako fluxuak xurgatutako fluxua bezalakoa izateko joera du, egoera geldikorretik hurbil non:

Bertatik lurraren tenperatura  egiaztatu daiteke:

non  eguzkiaren gainazaleko tenperatura,  eguzkiaren erradioa eta , lurraren eta eguzkiaren arteko distantzia diren. Lurraren tenperatura efektiboa bere gainazalean  ingurukoa dela lortzen da, baina lurrak eguzkitik datorren energia osoa xurgatzen duela kontsideratu da (lurra gorputz beltz moduan hartu da), eta gainera ez da efektu atmosferikoak kontuan hartu (lurrak atmosferarik ez duela kontsideratu da).

Lurrak, 0.3-ko albedoa du. Honek esan nahi du, jasotzen duen erradiazio guztitik, %30-a ez duela xurgatuko. Aurreko adibidean, eguzkitik jasotako energiaren etekina %70-ekoa dela kontsidera daiteke, eta honek, lurraren tenperatura efektiboa  faktorean murriztuko du. Beraz, .

Aurrekoa, espaziotik ikusita kalkulatutako lurraren tenperatura efektiboa da; hau da, lurrean dauden objektuek emititzen duten tenperaturaren batezbestekoa da. Baina berotegi-efektua kontsideratuz gero, Lurraren gainazaleko tenperaturaren batezbestekoa  edo -koa litzateke.

Hastapenak

Energia dentsitatearen deribazio termodinamikoa 
Erradiazioa duen kutxa batean dagoen energia dentsitatea -ren proportzionala izatea, termodinamika erabiliz deribatu daiteke.Deribazio horrek  erradiazio presioaren eta   barne energia dentsitatearen arteko erlazioa erabiltzen du. Energia-bulkada tentsore elektromagnetikoaren forma erabiliz, erlazio hori ikusi daiteke:

Termodinamikaren funtsezko erlaziotik:

 zatitu eta T finkatu ondoren, hurrengo adierazpena lortzen da:

Azkenengo berdintza Maxwell-en erlazio honetatik dator:

Energia dentsitatearen definiziotik ondoko erlazioa ondorioztatu daiteke

non erradiazioaren energia dentsitatea soilik tenperaturaren menpe dagoen. Orduan,

Hortaz, berdintza:

 eta  ordezkatzen badira haien adierazpen egokietan, horrela idatzi daiteke,

Deribatu partziala  soilik  eta -ren arteko erlazioa bezala adierazi daiteke, bat berdintzaren alde batean bakanduz gero. Deribatu partziala deribazio arrunt batez ordezkatu daiteke, diferentzialak bakandu eta gero, berdintza honelakoa da:

-ra zuzenean eramaten da,  integrazio konstantea izanik.

Planck-en legearen deribazioa 
Esfera erdiak igorritako gorputz beltz baten gainazal lau txiki bat kontuan hartuz Planck-en legea deribatu daiteke. Deribazio horretan koordenatu esferikoak erabiltzen dira,  angelu zenitala eta  angelu azimutala izanik. Gorputz beltzaren gainazal lau txikia xy planoan dago, non  den.

Gorputz beltzaren gainazala igortzen duen argiaren intentsitateak, Planck-en legeak ematen du:

non:

   tenperatura eta  maiztasun jakin batean gorputz beltz batek igorritako potentzia kantitatea azalera, angelua eta maiztasun unitateko.

  Planck-en konstantea

  argiaren abiadura

  Boltzmann-en konstantea
 magnitudeak,  azalerako gainazalak  angelu solidoan igorritako potentzia da  eta  artean.

Stefan-Boltzmann legea gorputz igorlea igortzen duen potentzia azalera unitateko adierazten du,

Kontuan hartu daiteke, kosinua gorputz beltzak Lambertiarrak (Lamberten kosinuaren legea betetzen dute) izatearen ondorioz agertzen dela. Horrek esan nahi du, esferan zehar behatutako intentsitatea, intentsitatea bider angelu zenitalaren cosinua izango dela. Stefan-Boltzmann legea deribatzeko,   integratu behar da esfera erdiaren gainean eta  integratu 0-tik -ra.

-ra gehituz,

Integral hori ebaluatzeko, ordezkapen bat egingo da,

Hortaz, hau lortzen da:

Eskuineko integrala orokorra da eta zenbait izen ditu; hala nola, Bose-Einstein integralaren kasu partikularra da, polilogaritmoa edo Riemann-en zeta funtzioa .Integralaren balorea  da,horrek gorputz beltz perfektu baten azaleraren emaitza ematen du:

Azkenik, frogapen hori hasi zen gainazal lau txiki bat kontuan hartuz. Hala eta guztiz ere, edozein gainazal diferentziagarria gainazal lau txikien bilduma batera hurbildu daiteke.

Baldin eta gainazalaren geometriak, gorputz beltza bere erradiazoa birxurgatzea eragiten ez badu, erradiatutako energia guztia gainazal bakoitzak erradiatutako energiaren batura da. Era berean, gainazalaren azalera guztia gainazalen azaleraren batura da; hortaz, gorputz beltz konbexuetan, gainazalak azalera guztian zehar tenperatura berbera izan behar du, eta orduan, lege hori ere aplika daiteke.

Lege hori gorputz beltz ez konbexuen erradiaziora ere aplikatu ahal da. Horretarako, gorputz beltz baten kasko konbexua, kaskoa bera gorputz beltz bat izango balitz bezala jokatzen duela kontuan hartzen da.

Energia dentsitatea 
Gorputz beltzen  energia dentsitate totala kalkulatu daiteke, integrazioa esfera osoaren gainean edota kosinurik ez egotean izan ezik, energia dentsitatea () lortzeko energiaren fluxua ()  abiaduraz  zatitu behar da:

  magnidudez ordezkatu da 4 faktore gehigarria emanez.

Beraz,

Leslie-ren kuboraen esperimentua 
Leslie-ren kuboa erabiliz egindako hurrengo saiakerarekin Stefan-Boltzmann legea demostratu daiteke:

Orokorrean, tenperatura oso altuko gorputzekin, tenperaturaren magnitudea dela eta (laugarren potentzia), giro-tenperatura, kalkuluetan baztergarria da. Baina saiakuntza honetan, Stefan-Boltzmann legea tenperatura baxuetarako aztertzen da, , ezin da aurreko hurbilketa egin.

Orduan, Leslie-ren kuboak beroa askatu eta erradiazio sentsorea duen detektagailuak, jasotako erradiantzia neurtuko du. Neurketa hori ez da zehazki Leslieren kuboak igorritako energia izango; giro tenperatura baztergarria ez denez, detektatutako erradiantzia, benetakoaren balio proportzional bat izango da; hurrengoa hain zuzen:

Beste aldetik, detektagailuak ere energia erradiatuko du (bere tenperatura ez baita nulua Leslie-ren Kuboaren eraginpean egon ondoren):

Teorikoki, detektagailuak xurgatzen eta igortzen duen erradiantzia berdina izan beharko litzateke, baina kasu honetan esperimentua tenperatura baxuetan egin denez, giro-tenperatura ez kontsideratzeak sortuko lukeen errorea nabaria da, eta hurrengo eran definitutako erradiantzia netoak nulua izan beharrean, giro-tenperaturan detektagailuak irradiatutako erradiantziaren balioa emango du, Stefan-Boltzmann legea frogatuz:

Gorputz beltzen arteko erradiazio trukea 
Bi gorputz beltzen arteko erradiazio trukean, gorputz beltz batek  tenperaturan beroa igorriko du eta beste gorputz beltzak  tenperaturan energia erradiatzaile guztia xurgatuko du, energia trukea honela adierazi daiteke:

Bi gorputz beltzen artean erlazio geometriko jakin bat izanez gero, erlazio hori F forma faktorearekin zehaztu daiteke.

Era berean, beroaren fluxua honela lortzen da:

Bi gorputz beltzen arteko erradiazio trukeak kalkulatzeko, aurreko adierazpenari forma-faktorea () eragin behar zaio. Forma faktorea kontzeptu geometrikoa da; hain zuzen ere, gainazal batetik igortzen den energia guztiaren frakzioa beste gainazal batean jotzea (xurgatua, islatuta edo transmitituta) zehazten du. Azkenengo adierazpena:

Kontuan hartu behar da  betetzen dela. Gainazal errealetarako (emisibitatea 1 baino txikiagoa) kontuan hartu behar da energia igortzeaz gain, gainazalak, energia islatu ere egiten duela. Horretarako,  definitzen da erradiositate bezala, energia islatu eta igorriaren batura.

Gorputz beltz baten kasu partikularrean  betetzen da.

Adibidea 
Bi gainazal errealez osatutako barrunbe itxiarentzako erradiazio trukea:

Gorputz errealek ez dituzte erradiatzaile idealen zehaztasunak betetzen; hala ere, gorputz beltzek baino abiadura gutxiagorekin igortzen dute erradiazioa.

Ikus, gainera 

 Ludwig Boltzmann
 Boltzmann-en konstantea
 Jožef Stefan
 Stefan-Boltzmann konstantea
 Gorputz Beltza
 Gorputz eltzaren erradiazioa
 Erradiantzia
 Erradiazio Termikoa
 Wien-en desplazamendu legea
 Planck-en erradiazio legea
 Rayleigh–Jeans legea

Erreferentziak

Bibliografia 

 Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (1985). "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles". 
 Griffiths, D. J. (2004). "Introduction to Quantum Mechanics" (2nd ed.). Essex England: Pearson Education. .

Termodinamikaren legeak
Beroaren transferentzia
Erradiazio elektromagnetikoa
Fisika kuantikoa