Laplaceren ekuazioa

Kalkulu bektorialean, Laplace-ren ekuazioa mota eliptikoko bigarren mailako deribatu partzialetako ekuazioa da, Pierre-Simon Laplace fisikariaren eta matematikariaren omenez izendatua.

Mekanika newtondarraren beharrizanek sartuta, Laplaceren ekuazioa fisika teorikoko beste adar askotan agertzen da, hala nola astronomian, elektrostatikan, fluidoen mekanikan edo mekanika kuantikoan.

Definizioa 
Hiru dimentsiotan, bi aldiz deribagarria, eta  aldagai errealetako  funtzio erreal bat aurkitzean datza problema,  non

koordenatu cartesiarretan,

 

 koordenatu zilindrikoetan,

 

 koordenatu esferikoetan,

 
 baita.

 

non  Laplace-ren eragilea edo "Laplacetarra" da.

Ekuazio hau deribatu partzialetan honela ere idatz daiteke:

 

non  dibergentzia den, eta  gradientea den.

Edo, batzuetan notazioa hau izan daiteke:

 

non  Laplace-ren eragilea ere baden.

Laplace-ren ekuazioaren soluzioei funtzio harmoniko deitzen zaie.

Berdintzaren eskuinaldean  funtzio bat zehazten bada, hau da, ekuazioa honela idazten bada:

 

orduan "Poisson-en ekuazioa" duzu, beraz, Laplace-ren ekuazioa horren kasu partikularra da. Laplace-ren ekuazioa Helmholtz-en ekuazioaren kasu partikular bat ere bada.

Laplace-ren ekuazioa, baita Poisson-en ekuazioa ere, deribatu partzialetako ekuazio eliptikoren adibiderik errazenak dira.

Laplaceren ekuazioa bi dimentsiotan 
Laplaceren ekuazioa bi aldagai independentetan:

Denboraren mende ez dauden zenbait egoera fisiko modelatzen ditu Laplaceren ekuazioak. Bero-transferentziari buruzko Fourier-en legean tenperatura, edo Fick-en difusio-legean kontzentrazio kimikoa edo Ohm-en eroapen-legean potentzial elektrostatikoa adieraz ditzake.

Funtzio analitikoak 
Konplexuetako funtzio analitiko baten parte errealak eta irudikariak Laplaceren ekuazioa betetzen dute. Hau da,  bada eta , orduan  analitikoa izateko baldintza Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzea da: 

 non  -rekiko -ren lehen deribatu partziala den. 

Orduan, . 

Ondorioz, -k Laplaceren ekuazioa betetzen du. Antzeko kalkulu batek frogatzen du -k ere betetzen duela Laplaceren ekuazioa.

Alderantziz, funtzio harmoniko baten ondorioz, funtzio analitiko baten zati erreala da . Hori frogatzeko modu bat da: 

, orduan Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dira;

.

Erlazio horrek ez du zehazten , bere gehikuntzak soilik;

Laplace-ren ekuazioak -rako adierazten du betetzen dela integragarritasun-baldintza -rako.

, eta, hala, , lineako integral batekin defini daiteke. 

Integragarritasun-baldintzak eta Stokes-en teoremak adierazten dute bi puntu lotzen dituen linearen integralaren balioa eta bidea independenteak direla. Laplaceren ekuaziotik ateratzen den emaitza-pareari funtzio harmoniko konjokatua esaten zaio. Hau lokalki baino ez da baliozkoa, edo baldin eta bidea berezitasun batekin inguratzen ez bada. Adibidez,  eta  koordenatu polarrak badira eta , orduan, dagokion funtzio analitikoa hurrengoa da:

Hala ere,  angelua jatorririk gabeko eskualde batean baino ez da kokatzen.

Laplaceren ekuazioaren eta funtzio analitikoen arteko erlazio estuak ezartzen du Laplaceren ekuazioko edozein ebazpenak maila guztietan dituela deribatuak, eta potentzia-serieetan zabal daitekeela, berezitasunik ez duen zirkulu baten barruan gutxienez. Hori uhinaren ekuazioaren emaitzekin kontrastean dago, eskuarki erregulartasun txikiagoa baitu.

Potentzia-serieen eta Fourier-en serieen arteko lotura estua dago. Potentzia-serieetan  funtzio bat hedatzen badugu  erradioko zirkulu baten barruan, horrek esan nahi du

, behar bezala definitutako koefizienteekin, non benetako eta irudizko zatiak hauek diren: 

Orduan,

Fluido-fluxua 
Izan bitez  eta  kantitateak, hurrenez hurren, fluxu konprimaezin geldikorraren eta irrotazionalaren abiadura-eremuaren osagai horizontal eta bertikalak, bi dimentsiotan. 

Fluxua konprimaezina izateko baldintza hau da: . 

Eta fluxua irrotazionala izateko baldintza hau da: 

-ren diferentziala  bezala definitzen badugu, orduan, konprimi-ezintasunaren baldintza da diferentzial horren integragarritasuna: ondoriozko funtzioari korronte-funtzio deritzo, konstantea baita fluxu-lerroetan zehar. 

-ren lehen deribatuak:

, eta irrotazionaltasunaren baldintzak ezartzen duenez, -k betetzen du Laplaceren ekuazioa.  funtzio harmonikoak, -ren konjokatua denak, abiadura-potentzial deritzo. Cauchy-Riemann-en ekuazioek hau ezartzen dute: 

.

Beraz, funtzio analitiko bakoitzari fluido konprimiezinen fluxu geldikor eta irrotazional bat dagokio planoan. Zati erreala abiadura-potentziala da, eta zati irudikaria korronte-funtzioa.

Elektrostatika 
Maxwellen ekuazioen arabera, bi dimentsioko eremu elektriko batek , denborarekiko independentea denak, hau betetzen du:

non  kargaren dentsitatea den. Maxwellen lehen ekuazioa integragarritasun-baldintza da  diferentzialarentzat. Beraz,  potentzial elektrikoa honako hau asetzeko eraiki daiteke: 

Maxwellen bigarren ekuazioak hau ezartzen du:

, Poisson-en ekuazioa izenez ezagutua.

Garrantzitsua da ikustea Laplaceren ekuazioa hiru dimentsioko problemetan erabil daitekeela elektrostatikan eta fluido-fluxuan, bai eta bi dimentsiotan ere.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Fourierren analisia
Ekuazio diferentzial partzialak