Deribatu kobariante

Matematikan, deribatu kobariantea barietate topologiko bateko bektore tangentzialetan zehar deribatu bat zehazteko modu bat da. Era berean, deribatu kobariantea barietate batean konexioekin lan egiteko bidea da, eragile diferentzialak erabiliz. Dimentsio handiagoko espazio euklidear bateko barietate isometriko baten kasuan, deribatu kobariantea barietatearen espazio tangentzialeko norabide-deribatu euklidearraren proiekzio ortogonala da. Kasu horretan, deribatu euklidearrak bi atal ditu: osagai estrintseko normala eta deribatu kobariante intrintsekoa.

Deribatu kobariante izena fisikan koordenatu-aldaketak duen garrantzitik dator; deribatu kobariantea kobarianteki transformatzen da koordenatu-transformazio orokor batean, hau da, linealki transformatzen da matrize jacobiarraren bidez.

Motibazioa 
Deribatu kobariantea kalkulu bektorialeko norabide-deribatuaren orokorpen bat da. Norabide-deribatuarekin bezala, deribatu kobariantea erregela bat da, , zeinak hurrengo "input"-ak hartzen dituen: (1)  puntuan definitutako u bektore bat, eta (2) -ren inguruan definitutako v eremu bektorial bat. "Output"-a, berriz,  puntuko  bektorea da. Norabide-deribatu ohikoarekiko desberdintasun nagusia -k koordenatu sistema batean adierazteko moduarekiko independentea izan behar duela da.

Bektore bat oinarri batekiko zenbaki-zerrenda baten arabera deskribatu daiteke, baina objektu geometriko baten gisan, bektore batek bere identitatea mantentzen du, oinarriren batekiko jartzean bere osagaiak aldatu arren. Bektore bat oinarri batean idatzita egonik, eta oinarria aldatzen bada, bektorearen osagaiak oinarri aldaketaren formularen arabera transformatuko dira eta, identitatea mantentzen duela ikusten da. Transformazio erregela horri transformazio kobariantea deritzo. Deribatu kobariantea koordenatu aldaketen bitartez, oinarri bat transformatzen den bezala transformatzen da; hots, deribatu kobariantea transformazio kobariantearen bidez aldatu behar da.

Espazio euklidear baten kasuan, eremu bektorial baten deribatua gertuko bi puntutako bi deribaturen arteko diferentzia gisa definitzen da. Horrelako sistema batean bektoreetako bat bestearen jatorrira transladatzen da, paraleloki. Koordenatu sistema kartesiar batean "paraleloki" transladatzeak bektorearen osagaiak konstante mantentzea esan nahi du. Espazio euklidearrean horren adibide sinpleena ikus daiteke, deribatu kobariante bat gertuko bi punturen arteko desplazamendu bektorearen norabideko osagaien ohiko norabide-deribatua hartuz lortzen da.

Kasu orokorrean, hala ere, koordenatu sistemaren aldaketa kontuan hartu behar da. Adibidez, deribatu kobariante bera 2-D ko plano euklidearrean koordenatu polarretan idatzita badago, orduan, koordenatu sareak bere burua nola biratzen duen deskribatzeko gai gehigarriak ditu. Beste kasu batzuetan, gai gehigarri horiek koordenatu sarea nola hedatzen, uzkurtzen, korapilatzen, ... diren adierazten dute. Kasu honetan, "paralelo mantentzeak" ez du esan nahi translazioan zehar osagaiak konstante mantenduko direnik.

Kontsideratu plano euklidear bateko kurba batean zeharreko higidura. Koordenatu polarretan,  bere erradioarekiko adierazi daiteke eta koordenatu angeluarrak -ren bidez.  aldiuneko bektore bat (kurbaren azelerazioa esaterako)  gaien bidez idatzita dago, non  eta  koordenatu polarren bektore unitario tangenteak diren, eta, zeinak, bektore bat osagai erradial eta tangeteetan deskonposatzeko erabiltzen diren. Denbora tarte txiki baten ostean, koordenatu polarretako oinarri berria hasierakoarekiko apur bat biratuta agertzen da. Oinarriko bektoreen deribatu kobarianteek (Christoffel-en ikurrek) aldaketa hori adierazteko balio dute.

Espazio kurbatu batean, Lurraren gainazala esaterako, translazioa ez dago ondo definituta eta bere analogoa, garraio paraleloa, bektorea translazio bidearen araberakoa da.

Esfera baten ekuatoreko  puntuko  bektore bat iparralderantz zuzenduta dago. Bektorea ekuatorean zehar  punturaino paraleloki garraiatzen dugula suposatuz, ondoren, meridiano batean zehar  poloraino, eta, azkenik, beste meridiano batean zehar  punturaino. Zirkuitu itxi batean zehar paraleloki garraiatutako bektorea ez da bektore berdina itzuli ostean, beste orientazio batekin itzultzen baita. Hori ez litzateke espazio euklidearrean gertatuko, esferaren gainazalaren kurbaduraren ondorioz gertatzen baita. Efektu berdina ikus daiteke bektorea bi gainazal itxi infinitesimaletan (bi norabidetan zehar eta gero itzuli) zehar eramaten badugu. Bektorearen aldaketa infinitesimala kurbaduraren neurketa bat da.

Oharrak 

 Deribatu kobariantearen definizioak espazioan ez du metrika erabiltzen. Hala ere, metrika bakoitzerako tortsio askeko deribatu kobariante bakarra dago, Levi-Civita konexioa deritzona, zeinetan metrikaren deribatu kobariantea nulua den.
 Deribatuaren propietateen arabera   puntuaren ausazko inguru infinitesimal baten menpekoa da. Era berean, kurba batean zeharreko funtzio eskalar baten  puntuko deribatu kobariantea -ren ausazko inguru infinitesimalaren menpekoa da.
 Deribatu kobarianteko  puntu baten inguruneko informazioa bektore baten garraio paraleloa definitzeko erabili daiteke. Kurbadura, tortsioa eta geodesikoak deribatu kobariantearen bidez defini daitezke baita ere, edo konexio linealaren bestelako bariazio baten bidez.

Definizio formala 
Deribatu kobariantea tangente sorta bateko eta beste tentsore sorta batzuetako (Koszul) konexio bat da; funtzioetan diferentzialak eragiten duen modu berean eragiten du deribatu kobarianteak eremu bektorialetan.

Funtzioak 
 barietate bateko  puntu bat, barietateko  funtzio erreal bat eta  bektore tangente bat izanik, -ren  puntuko eta -n zeharreko deribatu kobariantea,  definitzen den -ko eskalarra da. Formalki, diferentziagarria den  kurba bat existitzen da zeinetan  eta  diren. -ren  puntuko deribatu kobariantea hurrengo eran definitzen da,

 -ko eremu bektoriala denean,  deribatu kobariantea -ren eremu komuneko edozein  puntu eta , eskalarrarekin elkartzen duen funtzioa da,  .

Eremu bektorialak 
 barietateko  puntu bat izanik,  eremu bektorial bat  eta  bektore tangente baten inguruan definitua, -n zeharreko -ren deribatu kobariantea  puntuan -ko bektore tangentea da, . Hurrengo propietateak betetzen dituzte (edozein -ko ,  eta  bektore tangenteetarako, -ren inguruan definitutako  eta  eremu bektorialetarako, -ko  eta  balio eskalarretarako eta -ren inguruan definitutako  funtzioa eskalarrerako):

  lineala da  -n, beraz:
 
  batukorra da  -n, hortaz:
 
  biderketaren erregela betetzen du,
 

Azken propietatearen eraginez ohartu  u-k  puntuan duen balioaren menpekoa izateaz gain, -ren inguru infinitesimalean -k duen balioen menpekoa ere badela.

 eta  eremu arrunteko eremu bektoreak izanik, orduan -k eremu bektoriala adierazten du, zeinaren eremuko edozein  puntuko balioa bektore tangentea den.

Eremu kobektorialak 
-ren inguruan definitutako  kobektorez osatutako eremu bat izanik, bere deribatu kobariantea  tentsore kontrakzioarekin eta biderketaren erregelarekin bateragarria da, hau da, hurrengo identitatea -ren inguruko  eremu bektorial guztietarako betetzen da,

Eremu kobektorial baten  eremu bektorial batean zeharreko deribatu kobariantea eremu kobektorial bat da.

Eremu tentsorialak 
Behin deribatu kobariantea eremu bektorial eta kobektorialentzat definituta, edozein eremu tentsorialetarako definitu daiteke ondoko identitateak aplikatuz;  puntuaren inguruko edozein bi eremu tentsorialetarako,  eta ,

 

da eta ordena berdineko  eta -rentzat,

 

Eremu tentsorial baten  eremu bektorial batean zeharreko deribatu kobariantea ordena berdineko eremu tentsorial bat da.

Esplizituki,  ordenako  eremu tentsoriala izanik, kontsideratu   sorta kotangenteko  sekzio deribagarriz eta  sorta tangenteko  sekzioez osatutako funtzio multilineal bat dela. Horrela adierazten da, .

-ren -n zeharreko deribatu kobariantea,

Koordenatuen deskribapena 
Hurrengo funtzioen koordenatuak izanik,

edozein bektore tangente

oinarriko osagaien bidez deskribatu daiteke.

Oinarriko bektore baten oinarriko bektore batean zeharreko deribatu kobariantea bektore bat da, hortaz,  konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke. Deribatu kobariantea zehazteko nahikoa da -n zeharreko  eremu bektorialen oinarrien deribatu kobariante denak zehaztea.

 

non  koefizienteak koordenatu lokalen sistema batekiko adierazitako konexioaren osagaiak diren. Barietate riemanndar-en eta sasiriemanndar-en teorietan, koordenatu lokalen sistema batekiko adierazitako Levi-Civita konexioaren osagaiei Christoffel-en ikurrak deritze.

Orduan, definizioko erregelak aplikatuz,  eta  eremu bektorial orokorretarako,

 

da, beraz,

 

Formula horretako lehenengo terminoak koordenatu sistema deribatu kobariantearekiko "biratzen" du eta bigarrenak  eremu bektorialaren osagaien aldaketak eragiten ditu. Bereziki,

 

da. Deribatu kobariantea koordenatuetan zeharreko ohiko deribatua da. Zuzentze terminoak ditu koordenatuak nola aldatzen diren jakiteko.

Kobektoreentzat, modu berean,

 

da non  den.

 motako eremu tentsorial baten -n zeharreko deribatu kobariantea, hurrengo eran adierazten da,

 

Tentsorearen deribatu partzialeko  goi-indize bakoitzeko  gehitu eta  behe-indize bakoitzeko  gehitu.

Tentsore baten ordez tentsore erlatibo (pisua, ) bat deribatu nahi bada, orduan  terminoa gehitu behar zaio.

 pisuko tentsore erlatibo bat bada, orduan biderkatu termino hori -rekin. Adibidez,  dentsitate eskalar bat da ( pisukoa), orduan,

 

non ";"-ak deribazio kobariantea adierazten duen eta ","-k deribazio partziala. Gainera, ohartu adierazpen hori nulua dela, metrikarekiko soilik menpekoa den funtzio baten deribatu kobariantea nulua baita beti.

Notazioa 
Sarritan, deribatu kobariantea puntu eta koma bidez adierazten da eta deribatu partzial arrunta koma bidez. Notazio honen arabera,

 

Puntu eta komaren ondoren indize bi edo geihago egonez gero, denak deribatu kobariante kontsideratu behar dira.

 

Testu zaharren kasuan, berriz, (Adler, Bazin & Schiffer, Introduction to General Relativity), deribatu kobariantea "||" bidez adierazten da eta deribatu partziala "|" marratxo bertikal baten bidez,

Deribatu kobariantea eremu desberdinetarako 
 eremu eskalar baten kasuan, deribatu kobariantea deribatu partzial bat da,

 

 eremu bektorial kontrabariante baten kasuan,

 

 eremu bektorial kobariante baten kasuan,

 

 motako eremu tentsorial baten kasuan,

 

 motako eremu tentsorial baten kasuan,

 

 motako eremu tentsorial baten kasuan,

 

Notazio horrekin honakoa esan nahi da,

Propietateak 
Oro har, deribatu kobarianteak ez dira trukakorrak; esaterako, eremu bektorialaren deribatu kobarianteak. Riemann-en tentsorea honako modura definitzen da,

 

edo, era berean,

 

 motako eremu tentsorialaren deribatu kobarianteak honakoa betetzen du,

 

Hori erraz froga daiteke  berdintza onartzen bada.

Deribatu kobariantea erabiltzen duten zenbait ekuazio 
Deribatu kobariantea fisikako hainbat alorretan (kosmologia, elektromagnetismoa...) erabilgarria suertatzen da. Horregatik, hainbat ekuaziotan erabiltzen da.

 Gauge teorian

 Bigarren mailako Christoffelen ikurrak (edo konexio-koefizienteak):

 Maxwell-en ekuazioak:

 Bianchi-ren identitateak

Deribatua kurba batean zehar 
 puntuko  eremu tentsorialaren  deribatu kobariantea soilik  puntuan  eremu bektorialaren balioaren menpekoa denez, barietate bateko  kurba deribagarri batean zeharreko deribatu kobariantea definitu daiteke:

 

Ohartu  eremu tentsorialak soilik  kurban zehar egon behar duela definituta, definizio horrek zentzua izateko.

Bereziki,   kurban zeharreko eremu bektoriala da.  nulua bada orduan kurbari deribatu kobarianteko geodesikoa deritzo. Geodesikoak espazio kurbatu batean "marraztea" posible diren "lerro zuzenenak" dira.

Deribatu kobariantea positiboki definitutako metrika baten Levi-Civita konexioa bada, orduan, konexioaren geodesikoak arkuaren luzerarekin parametrizatutako metrikaren geodesikoen berdinak dira.

Kurba batean zeharreko deribatu kobariantea kurba batean zeharreko garraio paraleloa definitzeko ere erabiltzen da.

Batzuetan, kurba batean zeharreko deribatu kobarianteari deribatu absolutu edo intrintseko deritzo.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Geometria diferentziala
Konexioa
Metodo matematikoak erlatibitate orokorrean