Korapiloen teoria

Korapiloen teoria korapiloaren eguneroko nozioaren abstrakzioa egiten duen matematika-objektua aztertzeaz arduratzen den topologiaren adarra da.

Korapilo hitza entzutean, hainbat irudi etortzen zaizkigu burura, hala nola zapata batzuen lokarriak, marinelen sokak eta abar. Irudi horiek guztiak korapiloen adibideak dira, korapiloaren kontzeptu matematikotik gertu daudenak. 

Muturrak itsatsi ondoren, korapilo bat kurba sinple eta itxi baten bidez irudikatzen da R3-n; edo, modu zabalagoan, inguru-espazio topologikoetan zirkunferentziaren ahokadura edo txertatuen (embeddings) bidez.

Definizioa 
Korapiloaren definizio matematikoak korapiloa zer den zehatz-mehatz deskribatu nahi du, eta, hala, korapilo bat eta bestea bereizten dituen horri erantzutea du helburu. Definizio horren oinarrizko ideia hau da: korapilo bat ez askatzeko, korapiloaren muturreko puntak itsasten dira. 

 Horregatik esaten da korapilo bat zirkunferentziaren ahokadura dela giro-espazioan (,edo beste 3-aldaera bat).

Bestalde, korapilo bat beste korapilo batean deformatu ahal izatea, matematikan, bi ahokalekuen arteko ingurune-isotopia gisa deskribatzen da.

Reidemeisterren korapiloen eta mugimenduen diagramak 

Korapilo bat, oro har, bere diagramaren bidez deskribatzen da. Diagramak planoaren gainean duen proiekzioa adierazten du, eta bidegurutze bakoitzean goiko eta beheko tarteen arteko diferentzia nabarmentzen da (normalean eten batekin markatuta agertzen da). 

Baliteke norabide jakin batean bi korapilo proiektatzean informazioa galtzea eta proiekzio bera lortzea. Hori gerta ez dadin, beharrezko informazio guztia duten proiekzio erregularrak deituriko tresnekin lan egiten da.

Baina korapilo berak diagrama-formako irudikapen desberdinak onartuko ditu, eta, beraz, lehenengo arazo nagusia sortuko da: noiz irudikatuko dute korapilo bera bi diagramak?

1927an, Reidemeisterren teoremak partzialki ebatziko du problema hori. Teorema horren bidez erabaki daiteke korapiloa beste bat ote den, marrazkiak eginez soilik, eta tresna sendoa ote den inbariante batzuk probatzeko.

Reidemeisterren teoremak honela dio: korapilo baten proiekzio erregularretik beste proiekzio batera igarotzeko, mota hauetako baten mugimenduak baino ez dira egin behar hurrenez hurren:

Problema itxuraz ebazten duen arren, ez du algoritmorik ematen bi korapilo baliokideak diren zehazteko. Hala, ez dakigu diagrama bat beste diagrama bihurtzeko zenbat mugimendu egin behar diren. Bi korapilo baliokideak ez badira ere, ezin da denbora mugatu batean ziur jakin. Norabide horretan egindako aurrerapen garrantzitsu bat izan zen 1929an lehen inbarianteak sartzea.

Bibliografia 

 Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, 2001, 
 M.A. Armstrong, Topología Básica, Ed. Reverté, 1987. . (X. kapitulua)
 Dale Rolfsen, Knots and Links, Berkeley: Publish or Perish, Inc. (1976).

Erreferentziak

Kanpo estekak 

 Korapilo, lotura eta haien zeregina hiru dimentsioko barietateen azterketan
 KnotInfo: korapilo aldagaitzen eta korapiloen teoriari buruzko baliabideen taula.
 Wiki korapilo-atlasa: korapiloei buruzko informazio zehatza.
 KnotPlot: korapiloen propietate geometrikoak ikertzeko softwarea.

Topologia aljebraikoa
Topologia geometrikoa
Topologia