Eulerren karakteristika

Matematikan eta, bereziki, topologia aljebraikoan, Eulerren karakteristika edo Euler-Poincaréren karakteristka inbariante topologiko bat da, espazio topologiko mota baten forma edo egitura deskribatzeko balio duen zenbaki definitu bat. Gehienetan  (Ji letra grekoak) adierazten du.

Eulerren karakteristika poliedroetarako definitu zen hasiera batean, eta haiei buruzko zenbait teorema probatzeko erabili zen, solido platonikoen sailkapena barne, Francesco Maurolikoren 1537ko eskuizkribu ezezagun batean agertzen zela ikusi delarik. Leonhard Eulerrek, poliedro ganbilentzat sartu zuen modu orokorragoan eta bere omenez jaso du deitura. Hala ere, ezin izan zuen zehatz-mehatz frogatu inbariantea zela.

Poliedroetarako duen formula ezaguna honako hau da:

Matematika modernoetan, Eulerren ezaugarria homologia kontzeptutik eta, era abstraktuagoan, aljebra homologikotik sortzen da, eta era guztietako gainazalen karakterizaziora zabaldu da.

Eulerren karakteristika poliedrotan 
Hiru dimentsioko politopo (poliedro)  baten Eulerren karakteristika formula hau erabiliz kalkula daiteke: 

 

non E, Er eta A ertzen, erpinen eta aurpegien zenbakiak baitira, hurrenez hurren. Zehazki, esfera bati homeomorfo zaion edozein poliedroarentzat:

 

Adibidez, kubo batentzat 6 + 8 - 12 = 2 betetzen da, eta tetraedro batentzat, berriz, 4 + 4 - 6 = 2. Aurreko formulari Eulerren formula ere esaten zaio, eta indukzio matematikoz edo esfera baten gaineko korrespondentziaz froga daiteke.

Hona hemen beste adibide batzuk:

Esfera bati homeomorfo ez zaion poliedro batek, irudiko poliedro toroidala bezalakoak, emaitza ezberdina ematen du. 48 aurpegi, 22 erpin eta 70 ertz ditu, beraz lortutako emaitza 22 - 70 + 48 = 0 da.

Beste poliedro batzuen Eulerren ezaugarrien taula

Gainazaletara orokortzea 

Gainazal trinkoak, hala nola esfera, torua, toru bikoitza, ertza duen diskoa, etab. poliedro bat etengabe deformatzetik sortzen dira. Adibidez, esfera bat lortu arte ikosaedro bat deformatzen badugu, ertzak kurba bihurtuko dira esferaren gainean, aurpegiak "triangeluak" izango dira eta erpinak haien gainean puntuak izango dira. Hala, esfera "triangelatuta" geratuko da. Gainazal baten karakteristika definitzeko, triangelatze horiek erabiliko dira, eta, horretarako, antzeko formula bat erabiliko da χ(S) = Triangeluak - Aldeak + Erpinak. Egia esan, triangelatzeak ez dira nahitaez triangeluekin egin behar, edozein poligonorekin baizik. Kontuan izan behar da bi poligonok ertz bakarra elkarbanatu dezaketela gehienez, eta, alde bat elkarbanatuz gero, alde horretako bi erpinak baino ez dituztela partekatzen. Hala, Eulerren karakteristika S gainazal itxi baterako orokortzea hau da: 

 

Gainazal orientatu itxien Eulerren karakteristika bere g generoarekin erlazionatzen da; zenbaki horrek gainazalaren "helduleku" kopurua deskribatzen du. Erlazioa honela ematen da:

 

Adibidez: toruak helduleku bat du eta, beraz,

Erreferentziak 

Geometria
Topologia aljebraikoa