Laplaceren transformazio

Matematikan, Laplaceren transformazioa, Pierre-Simon Laplace zientzialari frantsesaren ohorez izendatua, aldagai errealeko funtzio bat (normalean )   aldagai konplexuko funtzio batera bihurrarazten duen transformazio integrala da.

Lehenengo funtzioa, gehienetan , denbora-eremuan egoten da definitua; bigarren funtzioa, aldiz, maiztasun-eremuan egon ohi da definitua, alegia, -eremu notazioaz ezagutzen den horretan.

Transformazio honek hainbat erabilera ditu zientzia eta ingeniaritzako esparruetan, ekuazio diferentzialak ebazteko tresna baita. Partikularki, ekuazio diferentzial arruntak ekuazio aljebraiko bihurtzen ditu eta konboluzioa, biderketa. funtzio egokietarako, Laplaceren transformazioa hurrengo integrala da:

Historia 
Pierre-Simon Laplace astronomo eta matematikariaren oroimenez izendatua izan zen Laplaceren transformazioa, hark probabilitate teoriarako antzeko transformazio bat erabili baitzuen. Laplacek  funtzio sortzaileen erabilerari buruz luze idatzi zuen Essai philosophique sur les probabilités (1814) liburuan, zeinen ondorioa Laplaceren transformazioaren forma integrala izan zen.

Gaur egun z-transformazio deitzen denaren antzekoa zen Laplaceren funtzio sortzaileen erabilera, baina Laplacek ez zien kasu handirik egin aldagai jarraituei, Niels Henrik Abelek ikertu zuena. Teoria hori geroago garatu zuten Mathias Lerch, Oliver Heaviside, eta Thomas Bromwichek XIX. eta XX. mendeetan.

Laplaceren transformazioaren gaur egungo erabilera hedatuena (nagusiki ingeniaritzan) Bigarren Mundu Gerran sortu zen, eta lehenagoko Heavisideren kalkulu operazionala ordezkatu zuen. Laplaceren transformazioaren  abantailak Gustav Doestchek nabarmendu zituen, eta badirudi beronek ezarri zuela Laplaceren transformazio izena.

1744tik aurrera, Leonhard Eulerrek era honetako integralak ikertu zituen:Ekuazio diferentzialen ebazpen bat lortu nahian; baina gai hori asko garatu gabe utzi zuen. Eulerren mireslea zen Joseph Louis Lagrange, bere probabilitatearen dentsitate-funtzioei buruzko lanean, ondorengo erako adierazpenak ikertzen aritu zen:Zenbait historialariren ustez, aurreko adierazpen horiek Laplaceren transformazioaren teoriaren barruan kokatu beharko lirateke.

Era horretako integralek Laplaceren arreta piztu zuten 1782an, eta integralak ekuazioen soluziotzat hartzen hasi zen. Alabaina, 1785an, integral erako soluzioak bilatu beharrean, aurrerako pauso bat eman eta transformazioak erabiltzen hasi zen geroago erabiliko zen eran. Horrela, ondoko era honetako integralak erabili zituen (Mellinen transformazioaren antzeko zirenak):Integral horiek erabili zituen ekuazio diferentzial oso bat transformatzeko, eta horrela transformazioaren soluzio bat bilatzeko. Orduan, hurrengo urratsa egin zuen Laplacek: Laplaceren transformazioa era berean erabiltzen hasi zen eta, zenbait propietate deribatuz, transformazioak izan zezakeen potentzialaz ohartu zen.

Laplacek onartu zuen halaber difusio ekuazioa ebazteko Joseph Fourierrek erabilitako Fourierren serieen metodoa  eremuko esparru mugatu batean bakarrik aplikatu ahal zela; soluzioak periodikoak baitziren. 1809an, Laplacek bere transformazioa erabili zuen mugarik ez zuten soluzioak aurkitzeko.

Definizio formala 
 funtzio baten Laplaceren transformazioa, edozein  zenbaki errealetarako definituta,  funtzioa da, zeina transformazio unilaterala den hurrengo moduan definiturik:non  maiztasun parametro konplexua den,

 eta  zenbaki errealak izanik.

Laplaceren transformazioa adierazteko beste notazio bat  izan daiteke, -ren ordez.

Integralaren existentziarako,  lokalki integragarri izan behar da  tartean. Lokalki integragarri diren funtzioak, zeinak infinituan ahultzen diren edo esponentzialak diren (), Lebesgueren integral zuzentzat har daitezke. Hala ere, hainbat aplikaziotarako, integral hori infinituan integral inpropiotzat hartuko dugu, zeinak konbergentzia baldintzatuta duen.

Borelen neurketa finitu baten () Laplaceren transformazioa honela defini daiteke:. Kasu berezi bat daukagu  probabilitate neurketa bat denean, adibidez, Diracen delta funtzioaren kasuan. Analisi diferentzialean, neurketa baten Laplaceren transformazioa  probabilitate-dentsitate funtziotik datorrela suposatuko da. Kasu horretan, Laplaceren transformazioa hurrengo moduan adieraziko da, sor daitezkeen nahasketak ekiditeko:Limite horrek adierazten du 0an kokatuta dagoen edozein masa puntual guztiz sartuta dagoela Laplaceren transformazioan. Hala ere, Lebesgueren integrala erabiliz gero, ez litzateke beharrezkoa izango limite hori hartzea, modu zuzenago batean erlazionatzen delako Laplace-Stieltjesen transformazioarekin.

Laplaceren transformazio bilaterala 
"Laplaceren transformazioa" aipatzen denean besterik gabe, transformazio unilaterala ulertzen da. Beste aukera bat Laplaceren transformazioa definitzeko, Laplaceren transformazio bilaterala edo aldebiko Laplaceren transformatua izan daiteke, integrazio limiteak ardatz erreal osora zabalduz. Hori eginez gero, orokorra den transformazioaren definizio unilaterala transformazio bilateralaren kasu berezi bat bihurtzen da (non transformatzen den funtzioaren definizioa biderkatzen den bider maila-funtzioa).

Laplaceren transformazio bilaterala  honela defini daiteke:-ren ordez,  adieraz daiteke.

Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa 
Bi funtzio integragarrik Laplaceren transformazio bera izango dute, baldin eta haien arteko diferentzia zero multzo bat bada Lebesgue neurketan. Horrek alderantzizko transformazio bat dagoela esan nahi du transformatuaren tartean. Izatez, Laplaceren transformazioa funtzio injektiboa da funtzio-espazio batetik bestera, nahiz eta tartearen bereizketa zaila izan.

Kasu horietan, Laplaceren transformazioaren irudia konbergentzia eremuko funtzio analitikoen eremuan aurkitzen da. Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa hurrengo integral konplexua itzuliko du, izendatzeko hainbat modu dauzkana (Bromwich integrala, Fourier-Mellin integrala, eta Mellinen alderantzizko formula):non  zenbaki erreal bat den, integrazio eremua -ren konbergentzia eremuan egon dadin. Erabiltzen den gehienetan eremua itxia izan daiteke, Cauchyren hondarraren teorema aplikatzeko aukera emanez. Posten inbertsio formula beste formula aukera bat Laplaceren alderantzizko transformazioa kalkulatzeko izan daiteke, limitea ahul-*topologian bilatuz.

Praktikoki, orokorrean, erabilgarriagoa da Laplaceren transformazioa taulatik ateratako ezagunak diren funtzioen transformazioetan banantzea, eta alderantzizkoa ikuskatuz eraikitzea.

Probabilitate teoria 
Probabilitate puruan eta aplikatuan, Laplaceren transformatua itxarondako baliotzat defini daiteke.  ausazko aldagaia izanik,

 dentsitate-funtzioa duena, hurrengoa izango da f-ren Laplaceren transformazioa:Hitzarmenez, horri  ausazko aldagaiaren Laplaceren transformazioa deitzen diogu. s aldagaia -z ordezkatuz gero, -ren momentu sortzaile funtzioa lortuko da. Laplaceren transformazioa nabarmenki erabiltzen da probabilitate teorian, prozesu estokastikoak barne hartuz, esate baterako, Markov prozesua.

Laplaceren transformazioa baliagarria da banaketa-funtzioa berreskuratzeko,  ausazko aldagai jarraituarena hain zuzen, hurrengo moduan erabiliz:

Konbergentzia eremua 
 lokalki integragarria den funtzioa izanik,  Laplaceren transformazioak konbergitu egingo du ondorengo limitea existitzen bada:

Ondorengo integrala Lebesgueren integral propio bezala existitzen bada, Laplaceren transformazioak absolutuki konbergituko du:Laplaceren transformazioa, orokorrean, baldintzazko konbergentea da, hau da, azaldutako lehenengo zentzuan konbergituko du, baina ez du zertan bigarren zentzuan.

-k absolutuki konbergitzeko har ditzakeen -ren balioak  edo  erakoak dira, non  konstante erreal hedatua den eta  (konbergentzia teorema menderatuaren ondorio).  konstantea konbergentzia absolutuaren abzisa izenez ezagutzen da, eta -ren handitze portaeraren araberakoa da.  Era berean, aldebiko Laplaceren transformazioak absolutuki konbergitu egiten du   tarte batean, eta ziurrenik   eta  zuzenak ere barne hartuko ditu. Konbergentzia absolutuko eremua Laplaceren transformazioak absolutuki konbergitu egiten dueneko -ren balio tartea izango da. Laplaceren transformazioa analitikoa da konbergentzia absolutuko eremuan, Fubbiniren teoremaren eta Moreraren teoremaren ondorio dena.

Antzeko eran, -k konbergitzen duenean (bai absolutuki bai baldintzaz), har dezakeen -ren balioen tarteari konbergentzia-eremu deritzo. Laplaceren transformazioak -n konbergitu egiten badu (baldintzaz), edozein  baliotan konbergituko du automatikoki,  bada. Hortaz, konbergentzia-eremua  formako planoerdia da,  zuzeneko puntu batzuk hartuta, agian.

 konbergentzia-eremuan,  funtzioaren Laplaceren transformazioa ondorengo zatikako integralaren bidez adieraz daiteke:Hau da, konbergentzia eremuan,  beste funtzio baten Laplaceren transformazio gisa adieraz daiteke modu eraginkorrean, edo, zehatzagoak izanik, absolutuki konbergitzen duen Laplaceren transformazio gisa.

Hainbat Paley-Wienerren teorema daude  funtzioaren ahultze-propietateen eta Laplaceren transformazioak konbergentzia eremuan dituen propietateen arteko harremanaren inguruan.

Ingeniaritzarako aplikazioetan, linealki denborarekiko inbariantea den sistema bati (LTI sistema edo Linear Time-Invariant) dagokion funtzio bat egonkorra da bornatutako sarrera bakoitzak bornatutako irteera sortzen badu. Horren baliokidea izango litzateke Laplaceren transformazioaren konbergentzia absolutua pultsu-erantzunaren funtzioarentzat,  eremuan. Ondorioz, LTI sistemak egonkorrak dira, baldin eta pultsu-erantzun funtzioaren Laplaceren transformazioaren poloek parte erreal negatiboa badute.

Konbergentzia-eremu hori sistemen kausalitatea eta egonkortasuna aztertzeko erabiltzen da.

Propietateak 
Laplaceren transformazioak hainbat propietate ditu sistema dinamiko linealak analizatzeko. Abantaila handiena da -ren bidez deribatua biderketa eta integrazioa zatiketa bihurtzen direla.

Azken propietate honengatik, Laplaceren  aldagaia aldagai eragile izenaz ezagutzen da  eremuan: bai deribatu aldagai eragilea (-erako), bai integrazio aldagai eragilea. Laplaceren transformazioak, beraz, eraldatu ahal ditu ekuazio integralak eta ekuazio diferentzialak ekuazio polinomikoetara, ebazteko askoz errazagoak direnak. Behin ekuazioak ebatzita, Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa erabiliz jatorrizko eremura itzul daiteke.

Aipa ditzagun Laplaceren transformazioaren propietateak banan-banan. Izan bitez  eta  funtzioak, eta hauen Laplaceren transformazioak  eta :Ondorengo taula Laplaceren aldebakarreko transformazioaren propietateen zerrenda bat da:

Beste transformazioekiko lotura

Laplace-Stieltjesen transformazioa 
 funtzio baten Laplace-Stieltjesen transformazioa (aldebakarrekoa), Lebesgue-Stieltjesen integralak definitzen du:

 funtzioa bornatutako bariaziokoa dela suposatuko da.  funtzioa -ren antideribatua izanik, ondorengoa beteko da:eta  funtzioaren Laplace-Stieltjesen transformazioak eta -ren Laplaceren transformazioak bat egingo dute. Orokorrean, Laplace-Stieltjesen transformazioa -ri dagokion Stieltjesen neurriaren Laplaceren transformazioa da. Beraz, praktikan, bi transformazioen arteko alde bakarra da Laplaceren transformazioa neurketaren dentsitate-funtzioan aplikatzen dela, eta Laplace-Stieltjesen transformazioa, ordea, metatze banaketa-funtzioan.

Fourierren transformazioa 
Fourierren transformazioa aldebiko Laplaceren transformazioaren kasu berezi bat da (zenbait baldintzaren pean). Funtzio baten Fourierren transformazioa aldagai erreal baten funtzio konplexua da, eta Laplaceren transformazioa, ordea, aldagai konplexu baten funtzio konplexua da. Laplaceren transformazioa  duten transformazio-funtzioetara mugatu ohi da. Laplaceren transformazioa  aldagaiko funtzio holomorfoa izatea izango da  mugaketa honen ondorioetako bat. Fourierren transformazioa ez bezala, banaketa baten Laplaceren transformazioa joera egokidun funtzioa izan ohi da.

Aldagai konplexuzko teknikak ere erabil daitezke Laplaceren transformazioak aztertzeko. Funtzio holomorfoa izanik, Laplaceren transformazioa berretura-serie bidez adieraz daiteke. Berretura-serie horrek funtzioak haien momentuen gainezarpen-lineal moduan adierazten ditu. Ikuspegi honek zenbait aplikazio ditu probabilitate-teorian.

Fourierren transformazioaren adierazpenaren baliokidea da aldebiko Laplaceren transformazioan  edo  aldagai irudikariak ordezkatzea, ondorengo baldintza betetzen baldin bada:

Fourierren transformazioaren hitzarmen honek  faktorea behar du Fourierren transformazioaren alderantzizkoan.  Fourierren eta Laplaceren transformazioen arteko harreman hau maiz erabiltzen da seinale edo sistema dinamiko baten maiztasun-espektroa zehazteko.

Goiko harremana onargarria da baldin eta soilik baldin -ren konbergentzia eremuak ardatz irudikaria () barne hartzen badu.

Adibide bat jartzearren, har dezagun  funtzioa. Bere Laplaceren transformazioa  da, zeinen konbergentzia-eremua  motakoa den. Gainera,  aldagaiaren balioa  funtzioaren poloa denez,  funtzioan ordezkatzeak ez du  funtzioaren Fourierren transformazioa betetzen. Transformazio hori Diracen delta-funtzioarekiko proportzionala da ().

Hala ere, ondokoa bezalako harreman-mota batek baldintza ahulagoetan eusten dio:Esate baterako, esandakoa goiko adibidean bermatuko da baldin eta limite hori limite ahultzat hartzen bada. Laplaceren transformazioarekin harremana duten baldintza orokorrek, Fourierren transformazioarekiko mugan, Paley-Wiener teoremen forma hartzen dute.

Mellinen transformazioa 
Mellinen transformazioa eta bere alderantzizkoa aldagai-aldaketa soil batez lot daitezke aldebiko Laplaceren transformazioarekin. Mellinen transformazioan  ordezkatuz, aldebiko Laplaceren transformazioa lortzen da:

Borelen transformazioa 
Borelen transformazioaren forma integralaLaplaceren transformazioaren kasu partikularra da, non  funtzio oso bat den esponentzial itxurakoa; hau da, eta  konstante batzuentzat. Borelen transformazio orokortuak onartzen du esponentziala ez den beste pisu funtzio bat erabiltzea, transformatu ahal izateko esponentzial itxurakoak ez diren funtzioak. Nachbinen teoremak ematen dizkigu beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak Borelen transformazioa ondo definituta egon dadin.

Oinarrizko erlazioak 
Aurreko kasuetan ikusi dugun moduan, Laplaceren oinarrizko transformazio bat aldebiko transformazio baten moduan idatz daiteke. Gainera, aldebiko transformazio bat aldebakarreko bi transformazioren batuketaz idatz daiteke. Hori dela eta, azken finean, Laplace-, Fourier-, Mellin- eta Z-transformazioak gai berdineko kasu partikularrak dira. Hala ere, problema eta propietate ezberdinak ematen dizkigute lau oinarrizko integral transformazio hauek.

Adibideak eta aplikazioak 
Laplaceren transformazioa askotan erabilgarria da ingeniaritzan eta fisikan.

Esate baterako, Laplaceren transformazioak ekuazio diferentzial lineal bat ekuazio aljebraiko bihur dezake. Honek ekuazioa ebazteko prozesua nabarmenki azkartu eta erraztu dezake.

Kondentsadore baten inpedantzia konplexua 
Zirkuitu elektrikoen teorian, kondentsadore baten korronte-fluxua zuzenki proportzionala da kapazitatearekiko eta potentzial elektrikoaren aldakuntzarekiko (SI unitatetan). Hau adieraz daiteke honako ekuazio diferentzialaren bitartez:

non  kondentsadorearen kapazitatea den (farad unitatetan),  kondentsadoretik doan korronte elektrikoa (ampere unitatetan) denborarekiko funtzio gisa adierazita, eta  kondentsadoreko plaken arteko potentzial diferentzia (volt unitatetan) neurtzen duen denborarekiko funtzioa. Aurreko ekuazioan Laplaceren transformazioa aplikatuzlortzen dugu, non bakantzen badugu,Inpedantzia konplexua  funtzioaren bidez adieraziko dugu. Hain zuzen ere, inpedantzia konplexuaren definizioa (ohm unitatetan) potentzial diferentzia eta korronte elektrikoaren arteko zatiketa da; hau da,Inpedantzia konplexuaren definizioan  aurreko ekuaziotik ordezkatuz,Azken ekuazio hau guztiz erabilgarria da kondentsadore baten inpedantzia konplexua kalkulatzeko.

Cauchyren problema baten ebazpena 
Demagun honako Cauchyren problemaren soluzioa aurkitu nahi dugula, alegia, ekuazio diferentzial baten soluzioa aurkitu, hasierako balioak emanda.

.

Egia esan, ekuazio diferentzialen teoria erabiliz, problema honen soluzioa aurkitu daiteke. Hala ere, Laplaceren transformazioaren teoria erabiliz, prozesua nahiko azkartu daiteke. Ekuazioaren transformazioa eginez, hauxe lortzen dugu: bakanduz, hauxe lortzen dugu:Ohartu izendatzailea sinu edo kosinu itxurakoa dela; beraz, zenbakitzailean aldaketa batzuk egin beharko ditugu. Zatiketa banatu dezagun bi batugaitan:Lehenengo batugaia argi ikusten da  funtzioaren transformazioa dela. Bigarren batugaiaren zenbakitzailean 2 bat izango bagenu,  funtzioaren transformazioa izango genuke. Hau konpontzeko, zatiketa biderkatu eta zatituko dugu 2 zenbakiarekin:Ondorioz, hasierako problemaren soluzioa hauxe da:

Frakzio sinpletako deskonposaketa 
Kontsidera dezagun denborarekiko independentea den sistema, honako transferentzia funtzioarekin:Pultsu erantzuna aurreko transferentzia funtzioaren Laplaceren transformazioaren alderantzizko funtzioa da:Funtzio honen adierazpena aurkitzeko lehenik eta behin  funtzioa berridatziko dugu frakzio sinpletako deskonposaketa eginez, eta  konstante ezezagunak transformazio-funtzioko hondarrak dira. Cauchyren hondarraren teoremak esaten du Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa soilik dagoela poloen eta haien hondarren menpe.  hondarra aurkitzeko, biderka dezagun berdintza  baturaz:Egiten badugu  aldagai aldaketa, hauxe lortzen dugu:Antzeko modu batean, aurkitzen dugu  hondarra:Ohartu honako berdintza betetzen dela:Eta, beraz,  eta  ordezkatzen baditugu  funtzioan, honako hau daukagu:Azkenik, linealtasunaren propietatea erabiliz eta esponentzial negatiboaren transformazioa aplikatuz, lortzen dugu  funtzioaren alderantzizko Laplaceren transformazioa:Lortu dugun funtzioa, lehen esan dugun bezala, sistemaren pultsu-erantzuna da.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Ekuazio diferentzialak
Fourierren analisia
Fisika matematikoa
Transformatu integralak