Fermi-Diracen estatistika

Fisika kuantikoan, Fermi-Diracen estatistikak partikulen banaketa energia-egoera ezberdinetan deskribatzen du, Pauliren esklusio printzipioa jarraitzen duten partikula bereiztezinez osatutako sistemetan. Enrico Fermi eta Paul Dirac zientzialariek ematen diote izena estatistika mota honi. Biek garatu zuten teoria bakoitzak bere aldetik, baina Fermik Dirac-ek baino lehenago definitu zuen estatistika.

F-D estatistika, spin erdi-osoko partikula bereiztezinen sistemetan erabiltzen da, oreka termikoa dagoenean. Partikula mota hauei fermioi deritzegu. Gainera, onartu behar da partikula bakoitzak ez duela albokoekin elkarrekintzarik izaten. Era honetan gure sistema deskribatzeko partikula bakoitzaren energia-egoerari buruz hitz egin dezakegu. F-Den banaketan kontuan hartzen da energia-egoera bakoitzean ezin dela partikula bat baino gehiago egon (Pauliren esklusio printzipioa betetzen da). Askotan elektroien konportamendua azaltzeko erabiltzen da, spin erdiko partikulak baitira hauek.

Fermi-Diracen estatistika mekanika estatistikoaren adarra da eta mekanika kuantikoaren printzipioak erabiltzen ditu. Estatistika honen baliokidea bosoiei buruz hitz egiten denean (spin osoko partikulak) Bose-Einsteinen estatistika da. Kasu honetan partikula mota horrek ez du Pauliren esklusio printzipioa bete behar, eta ondorioz onartu daiteke bi bosoik energia-egoera bera partekatzea.

Aurrekariak

Teoria klasikoaren arazoak 
Fermi-Dirac-en estatistika agertu baino lehen zaila zen elektroien zenbait gertaera azaltzea. Momentu horretan korronte elektrikoa azaltzeko Drude eredua erabiltzen zen. Eredu horretan elektroien materialetan duten garraiatze propietateak azaltzeko eredu klasikoa erabiltzen da; hots, asumitzen da karga eramaileek gas ideal bat eratzen dutela. Eroankortasunaren zenbait propietate azaltzeko balio zuen ereduak, baina beste hainbat efektu azaltzen saiatzean huts egiten zuen. Adibidez, teoria honekin kalkulatutako metaletako elektroien bero ahalmena balio esperimentala baino 100 aldiz handiagoa zen.

Garaian bazekiten partikula bereiztezinez eratutako gas ideal bat Boltzmannen ekuazioa jarraituz azter daitekeela. Hala ere, hori egia izateko asumitu behar da gasa osatzen duten partikula kopurua oso txikia dela partikula horien egoera posible guztiekin alderatuta (Nk<<gk). Egoera horretan pentsa daiteke bi partikulek ez dutela inoiz lehiatuko egoera berean egoteko, partikula bakoitzeko orotara dauden aukera guztiak oso handiak direlako. Gure sistema hoztean edota partikula dentsitatea handitzean, berriz, onarpen hori apur daiteke. Egoera berri hau estatistika kuantikoaren oinarria da.

Konponketa: Estistika kuantikoa 
Partikula bereiztezinez osatutako sistema dentsoa aztertzeko, lehenik eta behin argitu behar da benetan bi partikula aldi berean egoera berean egon daitezkeen ala ez. Kasu klasikoan problema hau ez zen agertu, partikula bereizgarrien kasuan definizioz ezinezkoa eta gas idealen kasuan oso inprobablea baitzen. Problema hau mekanika kuantikoko problema da.

Hasteko, jakin behar da mekanika estatistikoaren ikuspuntutik bi partikula mota daudela: bosoiak, spin osoa (0, 1, 2,...) duten partikulak eta fermioiak, spin erdi-osoa (1/2, 3/2, 5/2...) dutenak. Propietate hau dela eta, esaten da bosoiek uhin-funtzio simetrikoa dutela: bi bosoi trukatuz uhin funtzioa inbariantea da eta ondorioz onartu daiteke bi partikula aldi berean egoera berean egotea. Fermioien kasuan, berriz, uhin-funtzioa antisimetrikoa da trukatzearekiko. Guri interesatzen zaigun arazoarentzat, propietate honetatik ondoriozta daiteke bi fermioik ezin dutela aldi berean energia-egoera bera hartu (hori gertatzeko probabilitatea 0 da). Fermioiek bete behar duten baldintza honi Pauliren esklusio printzipioa deritzo, lehen ere agertu dena, eta horregatik estatistika ezberdina behar da bi partikula mota hauek aztertzeko.

Fermi-Diracen banaketa-funtzioa 

Lehen azaldu bezala, energia-egoera bakoitzean partikula bakarra egon daiteke (Pauli esklusio-printzipioa). Gas motako distribuzioan energia mailak oso gertu daudenez, energia antzeko egoera multzoak fardeletan antolatu daitezke (1.irudia): k. fardelak gk egoera kopuru eta nk partikula ditu. Horrelako fardelean, nk partikula horiek gk egoeretan kokatzeko era guztiak hurrengoak dira:

Goikoa horrela bada, fardo guztietarako mikroegoeren kopurua hurrengoa da:

ΩFDtik gure banaketa-funtzioa lortzeko ΩFD bera (edo bere logaritmoa, errezagoa dena), maximizatu beharko dugu. Horretaz aparte, kontuan hartu behar dira  eta  baldintzak. Stirlingen hurbilketa erabiliz:

,

eta dierazpen horren deribatua zerora berdinduz:

Goiko formulari gure bi baldintzei (partikula kopurua eta energia totala zehaztuta daudela) dagozkien Lagrangeren biderkatzaileak aplikatuz hurrengo adierazpena lortzen da:

Eta hortik Fermioien banaketa funtzioa atera daiteke:

Goikoa da Fermi-Diracen (FD) banaketa-funtzioa, non beta=1/kBT eta  partikula kopuruarekin erlazionatatutako Lagrangeren biderkatzailea diren. n̅k-k ez du gk-rekiko menpekotasunik, energiaren funtzioa da soilik. Bestalde, gk>>Nk limitea hartuz, aurreko ekuazioa hurrengora sinplifikatzen da:

Eta ondorioz banaketa-funtzio “zaharra”, Boltzmannena, berreskuratu egiten da, espero zen bezala.

Elektroiak metaletan 
Fermi-Diracen estatistikaren adibiderik ezagunena elektroi gasa da.

Lehen azaldutako banaketan, elektroiak fermioiak dira, hau da, uhin funtzio antisimetrikoa dute partikula aldaketarekiko eta spin erdi-osoa, ½ kasu honetan. Metaletako kondukzio elektroien jokabidea azaltzeko gas partikula bezala hartzen dira, elkarrekiko indar koulombarrak kontuan hartu barik: “Elektroi aske eredua”

Fermi-Diracen banaketa funtzioa erabiliz, forma diferentzialean, kontuan hartuta energia mailak oso hurbil daudela:

g(Ɛ) egoera dentsitatea izanik (Ɛ eta Ɛ+dƐ tartean dauden egoera kuantiko kopurua).

Elektroi kopurua finkatuta dagoenez:

Integralak beti balio bera izateko  biderkatzailea T-ren funtzioa izan behar da.

 non μ potentzial kimikoa den, tenperaturaren menpekoa.

 definituko da, hau da, partikula kopurua egoera kuantiko kopuruko.

Tenperatura 0 absolutura jotzen duenean aztertzen bada, T→ 0, potentzial kimikoa  izan behar dela ikusten da, bestela partikula kopurua nulua izango litzateke energia guztietan.

Bi kasu bereiz daitezke,  kantitatea positiboa (  ) edo negatiboa ()  den arabera, esponentizala infiniturantz ()  edo zerorantz joko du ()  tenperatura zerora hurbiltzen denean.

Beraz,

 

Hau da, antzeman daiteke partikula kopurua unitatea dela egoera kuantiko kopuruko energia μ izan arte eta nulua hortik aurrera. Izan ere, tenperatura baxuenean partikulak ahalik eta energia txikiena izaten saiatuko dira, baina fermioien esklusio printzipioa betetzeko ezin da egon partikula bat baino gehiago egoera bakoitzean.

μ-ren balioari zero absolutuan Fermi energia () deritzo eta elektroiak aurki daitezkeen azken energia maila da.  

Hala ere, espazioko uhin funtzio bakoitzeko elektroiek bi espin balio posible izan dezakete, beraz bi elektroi egongo dira egoera espazioko, betiere betetzen espin eta espazio egoera bereko bi elektroi ez egotea.

Energia maila dentsitatea kontuan harturik, guztira dauden elektroi kopurua kalkula daiteke.

Bi elektroi daude 0tik Fermiren energiara arte dauden energia-egoera bakoitzean.

non partikula askeentzako egoera dentsitatea erabili den, elektroia aske moduan hartzen ari garelako.

Beraz, fermiren energia elektroien kontzentrazioen N/V menpekoa da soilik.

Ohiko metalen dentsitatea () eta metal monobalenteetan ioi bakoitzak elektroi bat askatzen duela kontuan hartuz, . Beraz, ohiko metalentzako fermi energia 5 eV-eko ordenakoa da. Balio hau gas partikulentzako aurkitutako energia baino askoz altuagoa da, Pauliren esklusio printzipioaren eraginagatik.

Bero ahalmena 
Sistema berotzen denean, egoera aldatzen da. Tenperatura igotzen hastean, hasieran energia maila txikieneko elektroiei ez die eragiten, baina energia handienekoak energia xurgatu eta egoera oraindik altuagoak okupatzen hasten dira, baina okupazio zenbakia  1 inguru mantentzen da.

Fermi gasa behar besteko tenperaturara berotzen bada, elektroiak energia desberdinetan sakabanatzen dira, eta okupazio zenbakia erdia baino txikiagoa izango da egoera guztietarako. (Hau da, Boltzmannen banaketara itzuliko da sistema: elektroiak ez daude egoera berean egoteko lehian.)

Beraz, T=0 tenperaturan ,  eta T handitzen den heinean potentzial kimikoa astiroka jaisten da. (Normalizazio ekuazioa betetzeko T handitzen bada 𝜀−𝜇 ere handitu behar da, eta beraz, 𝜇 txikitu.)

Okupazio funtzioan ikusten da energia potentzial kimikoaren berdina denean,

(),  dela. Hau da, egoera bakoitzean elektroi bakarra egongo da (kontuan hartuz bi spin posible daudenez: )

 denean tenperatura aldaketak ez du potentzial kimikoaren aldaketan eragin handirik eta -tik gertu egongo da. Giro tenperaturan dagoen metal baten kasuan  -ren portzentai txikia da (), baina sistema asko berotzen bada potentziala txikitu eta azkenean negatibo bihurtzen da, okupazioa erdia baino txikiagoa izango da egoera guztietan (Boltzmannen banaketa).

Bero ahalmena kalkulatzen saiatu gaitezke,  den egoera aztertuz.

 izango da energia gehienetarako, energia altuenetan bakarrik aldatuz. Sistema berotzen bada partikulen portzentai txikiak aldatuko du egoera, portzentai hori -ren ordenakoa izango da, eta bakoitzak irabazten duen energia  ingurukoa izango da.

Horrela, N partikulako sistemaren barne-energiaren bataz besteko irabazia:

Beraz, bero ahalmenaren definizioa kontuan hartzen bada:

 Hau da, bero ahalmena tenperaturaren proportzionala da.

Benetan, bero ahalmena  eta forma honetan idatzi ohi da: non  Fermiren tenperatura bezala definitzen den.

Bero ahalmenaren kalkulua garrantzitsua izan zen gaurko teoria garatzeko. Hasieran pentsatzen zen bero ahalmena bi gairen batura izan behar zela:  elektroi gasaren translazioari dagokion energia (gasaren eredu klasikoa) eta beste  faktorea ioien bibrazioagatik (tenperatura altuko hiru dimentsioko osziladore harmonikoan bezala). Hala ere, emaitza esperimentala ez zetorren bat eta Pauliren esklusio printzipioa aurkitu zen arte ez zen konpondu.

Fisika kuantikoaren eta klasikoaren arteko trantsizioa 
Aurreko atalean lortu da fermioi edota bosoi kantitate finkodun sistemen banaketa funtzioa:

Aipatutako banaketa funtzioen kasua estatistika kuantikoari dagokio; hau da, partikula bat baino gehiago egoera berera iristeko lehian egon daitezkela kontuan hartu da. Bosoien kasuan, nahi beste partikula egon daitezke egoera berean. Aldiz, fermioiei buruz hitz egitean, ezin da ahaztu Pauliren esklusio printzipioa bete behar dutela; hots, partikula bakar bat egon daiteke energia-egoera posible bakoitzean, horri dagokion uhin-funtzioarekin (elektroien kasuan, bi partikula egon daitezke espazio-egoera kuantiko bakoitzean, goranzko edo beheranzko spin-a duten arabera). Dentsitatea jaitsiz gero,  eta  eraginez, partikulak ez daude aipatutako lehian. Horrenbestez, nahiko egoera aske daudenez partikula bakoitzarentzat,  Boltzmann-en estatistikei dagokien formula klasikoa erabiltzeko aukera dago. Hori bai,  den kasuan,  da -en balio esanguratsu bakoitzarentzat, hurbilketa hau lortuz:

bai Bose-Einstein bai Fermi-Diracen gasen kasuan. Ikus daiteke estatistika kuantikoen limite klasikoak abiapuntua den Boltzmannen banaketara itzularazten gaituela.

Kuantikatik estatistika klasikora egindako trantsizioa interpretatzeko beste hainbat modu ere badaude, bakoitzak datu hutsez aparte esangura fisikoa azaleratzen duelarik.

Hasteko, estatistika klasikoa erabili ahal izateko baldintzak betetzea eta  betetzea baliokideak dira. Baldintza hori energia ororen kasuan bete behar denez, esponentzialaren balioa 1 deneko kasua ere barne dago,  denean. Laburtuz,  izan behar da. Gainera,

izanik, non  gas ideal baten partikula bakarreko partizio funtzioa den. Orduan,  honako honen baliokidea da:

Honek partikula kopuru finko batek (bosoiak zein fermioak) osatutako sistema baten energia-egoerak aztertzeko estatistika klasikoa ala kuantikoa erabili behar den erabakitzeko tresna eskaintzen du era kuantitatibo batean. Kualitatiboki, estatistika klasikoa betetzen da  tenperatura altua eta dentsitatea baxua direnean. Tenperatura igo ahala, partikulak gehiago zabaltzen dira, egoera kuantiko gehiago ahalbidetuz, eta ondorioz, partikulen egoera jakin batean aurkitzeko lehia gutxituz (hau da, fermioen kasuko Pauliren esklusio printzipioak garrantzia galtzen du). Era berean, dentsitatea gutxitzean arrazonamendu berbera jarrai daiteke.

Honats pare bat adibide: kontsideratu N_2 gasa Baldintza Estandarretan. Dagozkion dentsitate eta tenperatura egokiak (1) ekuazioan ordeztuz,  dela lortzen da, klasikoki azter daitekelarik. Beste aldetik, hartu elektroiak metaletan.  erlazioak balio oso altua du,  izatea eraginez giro-tenperaturan. Hori dela eta, Fermi-Diracen banaketa funtzio osoa hartu behar da kontuan.

Orain, -ren gaineko baldintza aztertuko da esanahi fisikoren bat aurkitzeko. Gogoratu edozein partikulari dagokiola uhin-luzera kuantiko bat, de Broglie  uhin-luzera, euren momentuarekin estuki erlazionatuta dagoena: . Orduan,  deneko kasuan, partikulak estatistika klasikoa betetzen duenez,  energia  ordenekoa izan behar da:

Horrenbestez, (2) ekuazioa (1)-ean sartuz, -ren potentzia bat gora behera, eredu klasikoak baliagarria izateko baldintzak honako itxura sinplea hartzen du:

Atomoen arteko  distantziarekin adieraziz:

eran ere idatz daiteke.

Adierazpen sinple horren esanahia honakoa da: estatistika klasikoa erabiltzea egokia da partikulen arteko distantzia euren de Broglieren uhin-luzerarekin alderatuta handia denean. Erabat zentzuzkoa dirudi, fenomeno kuantikoak de Broglieren uhin-luzeraren eskalako ordenetan agertzen hasten direnez. Gainera, partikulak bereizten hasiko lirateke euren uhin-luzerak gainezarriko balira; hau da,  denean.

Elektroien kasua 
Bestalde, elektroien kasuan, bada oraindik eredu kuantikoaren eta klasikoaren arteko trantsizioa azaltzeko beste bide bat. Gogoratu Fermiren energia, potentzial kimikoaren baliokidea zero absolutuan, honakoa dela:

(3) ekuazioa (1)-ean ordezkatuz gero, eredu klasikoarentzako baldintza deskribatzeko beste modu hau eskuratzen da:

Hau da,  behar da.

Fermioien kasua 
Gainetik,  potentzial kimikoaren tenperaturarekiko menpekotasunaren eztabaidari esker, ikusten da fermioien kasuan trantsizioa  zerotik pasaz balio negatiboak hartzen hasten den puntuan gertatzen dela.  negatiboa denean,  izan behar da energia guztietarako, eta horregatik partikulak ez daude egoera berean egoteko “borrokan”.

Eredu klasikoaren baldintzak betetzean, fermioien kasuan bero kapazitatea ez da jada tenperaturaren proportzionala izango,  limite klasikoranzko joera izango du baizik.

Nomenklatura 
Nomenklaturari dagokionez, endekatu hitza erabil daiteke testuinguru honetan. Mekanika kuantikoan, energia maila bat endekatua da uhin-funtzioa anitz badagozkio. Horrez gain, partikula sistemen kasuan, partikulak egoera berean egoteko lehian daudela adierazteko ere balio du. Horrela, sistema endekatu bat estatistika kuantikoaren bitartez aztertu beharrekoa da, eta ez-endekatua Boltzmann-en estatistika klasikoaren bidez deskribatu daitekeena.

Laburpena 
Laburbilduz, estatistika kuantikoaren ordez klasikoa erabil daiteke euren artean baliokideak diren bost baldintza hauetakoren bat betez gero: , bi partikula egoera berean aurkitzeko probabilitatea baztergarria da. Dentsitatea hain da baxua eta tenperatura hain altua non (1) ekuazioa betetzen den. Partikulen arteko distantzia oso handia da euren de Broglie-ren uhin-luzerarekin alderatuta . Elektroien kasuan, . Eta fermioentzat,  zerotik pasatzen da balio negatiboak hartzen hasiz.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Mekanika kuantikoa
Mekanika estatistikoa
1926 zientzian