Fermaten azken teorema

Fermaten azken teorema zenbakien teoriaren teoremarik ospetsuenetako bat da. Era honetan adierazi zuen Pierre de Fermat XVII. mendeko frantziar matematikariak:

 ekuazioko berretzailea 3 edo zenbaki handiagoa denean, zenbaki oso eta positiboko soluziorik ez du

Aurreko hau Fermatek Diofanto greziarraren Arithmetica liburuaren ertz batean idatzi zuen eta, aldi berean, frogapena bertan kabitzen ez zitzaiola ere esan zuen. Hirurehun urte luzez matematikari asko saiatu zen baieztapen hori frogatzen. Nahiz eta teoria matematiko ederrak eraiki, ez zen erabateko frogapenik lortu, emaitza partzialak baizik. Azkenik, 1994an, Andrew Wiles matematikari ingelesak erakutsi zuen teoremaren frogapena, eta 1995ean argitaratu zuen. Wilesek ez zuen zuzenean Fermaten teorema frogatu, Taniyama-Shimura-Weilen aierua baizik; duela urte batzuk Fermaten teorema aieru horren ondorio zela ikusi baitzen. Emaitza denbora luzez gorde zuen isilpean, ongi egiaztatu gabe kaleratu nahi izan ez zuelako.

Historia

Fermaten adierazpena 
III. mendean Alexandrian bizi zen Diofanto matematikariak idatzi zituen liburu batzuetan biltzen zen grekoek aritmetikaz zuten ezagutza. Liburu horiek arabierara itzuli ziren eta arabiarren matematikan nabaria izan zen beren eragina. Erdi Aroan, mendebaldeko Europara heldu zirenean, jatorrizko hamalautik sei besterik ez ziren gelditzen. Galduta zeuden zazpi liburuetatik lau Irango Maxhaden aurkitu dituzte oraintsu, 1971. urtean, arabierazko itzulpenean.

Aspaldiko sei haiek 1621. urtean eman zituen argitara Bachet de Méziriacek, grekoari latinezko itzulpena eta iruzkinak erantsiz. Hauxe izan zen Fermatentzat zenbakien teoriako emaitzen iturri nagusia. Hain zuzen, liburuan bertan idazten zituen Fermatek bere ohar eta iruzkinak eta hil eta gero semeak hartu zuen Diofantoren Arithmetica aitak eginiko oharrekin argitaratzeko ardura.

Dagokigun problemari lehen aztarnak hiruko pitagorikoetan aurkituko dizkiogu, hau da,  ekuazioa betetzen duten zenbaki osoen kalkuluan. Adibidez, (3, 4, 5) edo (5, 12, 13). Lan pixka batekin, denak ematen dituen formula bat ere lor daiteke. Fermatek galdera orokortu eta karratuen lekuan beste edozein berretzaile erabiltzea proposatu zuen. Eta aipatu dugun Arithmetica liburuaren ertz batean hauxe idatzi zuen: “Ezinezkoa da kubo bat bi kubotan banatzea, eta bikoadratu bat bi bikoadratutan edo, oro har, karratua ez den beste edozein berredura, berretzaile bereko bi berreduratan. Honen frogapen benetan zoragarria aurkitu dut, baina orrialde-ertz hau txikiegia da bertan sartzeko”. Hau da,  ekuazioak ez duela ebazpen oso positiborik, n bi baino handiagoa denean, aldarrikatu zuen Fermatek.

Frogapenik gabe utzi zizkigun beste emaitza batzuetan hauxe bakarrik gelditu zen frogatu ezinik handik urte batzuetara, eta horrexegatik esaten zaio Fermaten azken teorema , berez frogatu gabeko emaitzak teorema izena merezi ez badu ere. Gaur egun ez du inork sinesten Fermaten emaitza honek frogapena zuenik. Eskutitzetan n = 3 kasua bakarrik aipatu zuen, eta n = 4 kasua beste problema baterako erabili zuen metodoak ebazten du. Baliteke bi hauetatik orokortzea posible zela uste izatea edo beste akatsen bat egitea, baina ez dago hori zehazteko modurik.

XIX mendeko aurrerapenak 
XIX. mendearen hasieran n = 3 eta n = 4 kasuak bakarrik ziren ezagunak. Legendrek 1825ean lortu zuen n = 5erako erantzuna, eta Dirichletek, kasu horretarako beste frogapen bat eman ondoren, n = 7 kasua aztertu zuen. Hau frogatu ezinik, n = 14 ebatzi zuen 1832an eta, zazpi urte geroago, Laméren eskutik etorri zen n = 7rentzako erantzuna. Bitartean, Frantziako Akademiak sari bat eskaini zuen frogapen osoa ematearen truke.

Benetako aurrerapena 1844-47 bitartean heldu zen Ernst Kummerren lanarekin. Honek zenbaki oso ziklotomikoak estudiatu zituen. Zenbaki hauek, ohiko osoak bezala, zenbaki lehenetan faktoriza daitezke baina, ohikoekin ez bezala, kasu batzuetan faktorizazio bat baino gehiago egon daiteke zenbaki berarentzat. Ez zen hasieran arazo honetaz konturatu eta oker batzuk egin zituen, baina gero konpontzeko zenbaki idealen teoria sortu zuen alde batetik, eta klase gorputzak bestetik. Faktorizazioa zein txarra izan daitekeen neurtzeko, klase-kopurua delako kontzeptua sartu zuen.

Honekin lotuta, zenbaki lehen erregularrak definitu zituen eta hauentzat Fermaten azken teorema egia dela frogatu ere egin zuen. Zenbaki hauek ezagutzeko irizpide bat erakutsi zuen eta 100dik beherako zenbaki lehenetatik 37, 59 eta 67 bakarrik dira irregularrak. Bat-batean ikaragarrizko aurrerapena eragin zuen Kummerren berrikuntzak. 1850ean Frantziako Akademiak bigarrenez saria eskaini zuen arren, handik urte batzuetara kendu eta sari nagusiko urrezko domina Kummerri ematea erabaki zuten, Cauchyk proposatu bezala. Ehunen azpitik falta ziren kasuak aztertzeko metodoak garatu zituen gero Kummerrek, baina XX. mendearen hasieran Harry Vandiverrek bete zituen hark utzitako zuloak.

XX. mendea 
XX. mendearen hasieran, 1905ean, Göttingengo Zientzi Elkarteko Paul Wolfskehlek ehun mila marko eskaini zituen frogapena emango zuen lehenengoarentzat. Diruaren hotsak matematikari profesionalak ezezik, zaleak ere atera zituen plazara eta ehundaka ustezko ebazpen heldu zitzaizkien. Denak alferrik, ordea. Sariaren balioa oso murriztuta gelditu zen markoaren debaluazioak medio, baina badaude diru-saririk gabe ere bitarteko erabat elementalekin frogapena egin dutela uste dutenak.

Ordenadoreen kalkulu-ahalmena handiagotu zen neurrian n-ren balio berezientzat egiaztapenak egitea posible izan zen. Horrek ezin du inola ere teorema osoa frogatu, baina n = 4.000.000ren azpitik egia dela jakiteak (horretara heldu ziren 1993an) nekez utz zezakeen aurkakoa sinesteko zirrikiturik. Hala ere, matematikan frogapenak behar dira. Geometria algebraikoaren garapenak ekarri zuen estrategia aldaketa Fermaten azken teoremari dagokionez. Kurba eta gainazalen estudioetan agertu ziren problema batzuk Fermaten teoremarekin erlaziona zitezkeen. Hiru alorretan (geometria diofantikoan, gainazal aritmetikoetan eta kurba eliptikoetan) proposatu ziren aieruetako batzuetatik berehala ondorioztatzen zen Fermatena.

1983. urtean, Gerd Faltings alemaniarrak, Mordellek hirurogei urte lehenago proposatutako aieru bat frogatu zuen eta, ondorioz,  ekuazioak n bakoitzeko “benetan” desberdin diren soluzioen kopurua finitua dela, n Ž 3 denean. Hona zer esan nahi dugun “benetan” desberdinak horrekin. (3, 4, 5) hirukoteak  ekuazioa betetzen badu, bistan da (6, 8, 10), (9, 12, 15) eta, oro har, edozein multiplok ere betetzen duela. Horiek denak ebazpen berdintzat jo ditzakegu. Baina (5, 12, 13) eta (7, 24, 25) hirukoteak ere ebazpenak dira eta ez dira berdinak. Eta erraz ikus daiteke n = 2 kasuan ebazpen desberdinak infinitu direla. Faltingsen teoremaren arabera ez da hori gertatzen n Ž 3 denean. Bat ere ez dagoela frogatzea da helburua, baina bitartean aurrerapauso sakona izan zen hura. Mordellena ezezik, beste bi aieru nagusi ebatzi zituen Faltingsek, eta Fields domina irabazi zuen 1986an horiei esker. Bestetik, Yoichi Miyaokak gainazal aritmetikoekin erlazioa duen desberdintza bat aldarrikatu zuen (Bogomolov-Miyaoka-Yau esaten zaio desberdintzari). Egia izan balitz, n-ren balio finko batetik gorakoentzat bederen Fermaten azken teorema betetzen dela ondorioztatuko zatekeen, baina akats bat aurkitu zioten frogapenari eta bere horretan gelditu zen.

Andrew Wilesen lana 

1955ean, Yukata Taniyama japoniar matematikariak aieru bat proposatu eta hurrengo hamarkadan Goro Shimurak zehaztu zuen. Algebrarien terminologian hauxe dio: “Zenbaki razionalen gaineko edozein kurba eliptiko, modularra da”. Urte askotan inori ez zitzaion bururatu aieru horrek Fermaten teoremarekin zerikusia izan zezakeenik, harik eta Gerhard Frey alemaniarrak 1985ean Taniyama-Shimura aierua Fermaten teorema baino gogorragoa zela esan zuen arte, hau da, lehenengoaren frogapenak bigarrena zekarrela berarekin adierazi arte. Ez zen zehazteko gauza izan, baina hurrengo urteetan Jean Pierre Serrek bideratu eta Kenneth Ribetek bukatu zuen lanarekin Frey zuzen zegoela argi gelditu zen.

10 urte zituenean aurkitu zuen Andrew Wilesek Fermaten azken teoremari buruzko liburu bat herriko liburutegian. Harriturik geratu omen zen, 300 urte pasata, artean ebatzi gabe zegoelako. Haren esanetan, une hartatik jakin zuen ez ziola ihes egiten utziko, eta ebatzi egin behar zuela. Urte luzez aritu behar izan zuen, ordea, teorema ebazten. 1987tik aurrera, Taniyama-Shimuraren aierua izan zen Wilesen lanaren helburua. Kasurik orokorrena frogatu ez arren, kurba askotarako egiaztatzea lortu omen zuen, eta horietan zeuden Fermaten teorema erabakita uzten zutenak. Adituen esanetan, frogapenak sinesgarritasun handia zuen eta horregatik zabaldu zen berria munduan zehar. Ohi den bezala, argitaratu aurretik lana aditu batzuen esku gelditu zen hauek onespena eman zezaten. Handik hilabete batzuetara, zerbait oker zegoela hasi zen entzuten. Gauzak argitu nahian, Wilesek berak ohar bat kaleratu zuen 1993ko abenduan, eta honakoa aitortu zuen: bere eskuizkribuan berrikuste-lanetan osatu beharreko puntu batzuk aurkitu zituztela eta gehienak konpondu zituela ere bai; bakar batek, hala ere, ihes egin ziola, eta horrek eskatzen zuen kalkulua menperatu arte bere lana amaitutzat ezin eman zezakeela. Hilabete batzuk geroago, azken arazo hori ere konpondu zuten.

Erreferentziak

Kanpo estekak 
 Pitagoras, Fermat eta Wiles, bi teoremaren istorioa, Norteko Ferrokarrila irratisaioko audioa, zientzia.eus
 Duoandikoetxea, Javier, Abokatu okzitaniar baten ondarea, zientziakaiera.eus
 Angulo, Patxi, Ertzeko oharrik ospetsuena, aldizkaria.elhuyar.eus

1637
Zenbakien teoria
Matematikako teoremak