Integral inpropio

Kalkuluan, funtzio baten integral inpropio bat integral zehatz baten limitea da, integrazio-tartearen mutur bateko edo bietako puntuak bere eremuan ez dagoen zenbaki batera hurbiltzen direnean, -ra edo -ra. Gainera, integral definitu bat inpropioa da integral definituaren funtzio integratua integrazio-tarte osoan jarraitua ez denean. Bi egoerak ere gerta daitezke.

Muga infinituko integral inpropioak 
Izan bedi  eta   integragarria (t>a zanik), ,  integral inpropioa konbergentea da.

Izan bedi  eta   integragarria. Orduan,  integral inpropioa konbergentea da eta  konbergenteak direnean. Kasu horretan, .

Orokorrean,

Funtzio ez-negatiboen integral inpropioen konbergentzia irizpideak

Konbergentzia irizpidea 
Izan bitez  funtzioa integragarriak  (t>a zanik). Suposatu  . Orduan,

  konbergentea  konbergentea

  dibergentea  dibergentea

Froga 
 bada 

. Beraz,



Adibideak 
Izan bedi  integral inpropioa.

, .

,  konbergentea  konbergentea.

Limitearen irizpidea 
Izan bitez  funtzioa integragarriak . Suposatu  eta   eta . Orduan,

(i) 

  konbergentea  konbergentea

(ii) 

  konbergentea  konbergentea

(iii) 

  dibergentea  dibergentea

Froga 
(i) 

Kasu partikularra, . Orduan,

(ii) 

Kasu partikularra, k=1:



Adibideak 
 integral inpropioaren konbergentzia aztertu.

 f(x) eta g(x) bera izaera bera dute.

Orduan,

   dibergentea

Konbergentzia absolutua 
Funtzioa negatiboa denean konbergentzia absolutua aztertu behar da.

 konbergente   absolutuki konbergente   konbergente eta

Adibideak 
 -ren konbergentzia aztertu:

 

 eta  denez, integrala konbergentea da. Horrek inplikatzen du  konbergentea izatea eta, beraz,  absolutuki konbergentea  konbergentea.

Kanpo estekak 

Kalkulu integrala