Cantorren teorema

Cantor-en teorema, Georg Cantorrena, Zermo-Fränkel-en multzoen teorian formalizagarria den emaitza da:Multzo finituetarako Cantorren teorema betetzen dela erraz ikus daiteke azpimultzo kopurua kontatuz. Multzo hutsa azpimultzo gisa hartuta,  elementu dituen multzoak azpimultzo ditu eta beraz, teoremak dioena egiazkoa da,  delako zenbaki arruntetarako.

Cantorren teorema ordea askoz esanguratsuagoa bilakatzen da edozein multzori aplika dakiokeela erreparatuz, bai eta multzo infinituei ere. Cantorrek frogatu zuen zenbaki errealen multzoaren kardinala zenbaki arrunten potentzia-multzoaren berdina dela eta ondorioz, zenbaki arrunten kardinala baino hertsiki handiagoa dela. Zenbaki errealen kardinalari "jarraitasunaren kardinalitatea" esaten zaio. 

Georg Cantor matematikari alemaniarraren izena du teoremak. Cantorrek XIX. mendearen amaieran planteatu eta erakutsi zuen lehen aldiz teorema. Cantorren teoremak berehala ondorio garrantzitsuak izan zituen matematikaren filosofian. Adibidez, multzo infinitu baten potentzia-multzoa modu iteratiboan hartuz eta Cantorren teorema aplikatuz, kardinal infinituen  hierarkia infinitu bat lortzen dugu, kardinal  bakoitza aurrekoa baino hertsiki handiagoa delarik. Honela, kardinal handiena ez dela existitzen ondorioztatzen da (azkar esanda, "ez dago handiena den infiniturik").

Eztabaida 
Multzo finituetarako berehalakoa da Cantorren teorema: multzo finitu batek n elementu baditu, multzo horren potentzia multzoak 2n  elementu ditu eta nabaria da 2n > n dela, teoremak dion bezala. Multzo infinituetarako ere egiazkoa izatea ez da guztiz intuitiboa. Cantorrek multzo infinituen kardinalari trasfinitua deitu zien eta multzo hauetarako zenbait emaitza interesgarri ezartzeko aukera ematen du teoremak. 

 Kardinal transfinitu ugari dago, eta horrek esan nahi du, berez, infinitu mota asko dagoela (izan ere infinitu), bakoitza aurrekoa baino handiagoa. A priori emaitza hori ez da oso intuitiboa, baina oso garrantzitsua da matematikaren oinarrietan.
 Ez dago  zenbaki arrunten multzoko azpimultzo guztiak zerrendatzeko modurik.

Frogapena 
 multzoaren kardinala  multzoaren kardinala baino hertsiko txikiagoa dela frogatzeko, frogatu behar da badela  funtzio injektiboa baina ez dela existitzen bi multzoen arteko funtzio  bijektiborik. Beste era batera esanik, ez dela existitzen tik rako funtzio supraiektiborik. 

Gure kasura etorriz, har dezagun edozein  funtzioa, non  -ren parteen-multzoa edo potentzia-multzoa den. Cantorren teoremak potentzia-multzoaren kardinala jatorrizko multzoarena baino hertsiki handiagoa dela dio, beste era batera esanda f ez dela supraiektiboa. 

 ez dela supraiektiboa frogatzeko, ren azpimultzo bat topatu behar da ( multzoko elementu bat alegia) ez dena ko elementu baten irudia  funtziorako. Horretarako Cantorrek  azpimultzo partikular bat hartu zuen, honela definitua:

 

Azpimultzo hori ezin dela ko elementu baten irudia izan frogatu zuen. Horretarako absurdo bidezko froga egin zuen honela. 

Demagun badela  elementua. Orain, bi aukera daude,  ala :

 Baldin eta  bada, orduan,  definitu den moduagatik  behar du eta beraz, kontraesanera iritsi gara.
 Baldin eta  bada, orduan,  definitu den moduagatik  eta berriro ere kontraesanera iritsi gara.  

Hau da, edonola ere kontraesan batera iritsi garenez, ez da existitzen  elementua,  multzoaren aurreirudia dena. Eta beraz, f funtzioa ez dela supraiektiboa frogatuta da. 
Frogapena amaitzeko,  funtzio injektibo bat topatu behar dugu. Kasu honetan erraza da, izan ere  identitate-funtzioak,  elementua bera bakarrik biltzen duen  multzora eramaten duen funtzioa injektiboa baita.

Aren kardinala infinitu zenbakigarria denean 
Azter dezagun nolako den egin berri dugun frogapena  multzoa infinitu zenbakigarria denean. Orokortasunik galdu gabe,  zenbaki arrunten multzoa har daiteke.

 potentzia-multzoak zenbaki arruntekin osatutako infinitu azpimultzo biltzen ditu. Bertan dago adibidez zenbaki bikoitien multzoa ({2, 4, 6,...}) baita multzo hutsa () ere. Bere itxura honelako zerbait izango da:

 

Aurreko frogapenari helduz, demagun  eta bere potentzia-multzoa  multzo ekipotenteak direla onartzen dugula une batez, berriro ere absurdo bidezko froga egiteko.

Saia gaitezen ko elementu bakoitza ko beste elementu batekin lotzen. Bi multzoak ekipotenteak badira, multzo bakoitzeko elementu bakoitza beste multzoko elementu bakarrarekin lotu ahalko dugu. Adibidez, honelako zerbait:

 

Ezarritako lotura horietan zenbaki arrunt batzuk zenbakia bera barneratzen duten azpimultzoekin lotuta daudela ikus daiteke. Adibidez, 2 zenbaki arrunta bera barneratzen duen {1, 2, 3} azpimultzoarekin lotuta dago. Dei diezaiegun zenbaki horiei berekoi. Beste zenbaki arrunt batzuk, bera barneratzen ez duten azpimultzoekin lotuta daude. Adibidez 1 zenbakia {4, 5} azpimultzoarekin lotuta dago eta azpimultzo horrek ez du 1 zenbakia barneratzen. Zenbaki horiei ez berekoi deituko diegu. Era berean, 3 eta 4 zenbakiak ez dira berekoiak.

Ideia horiek erabiliko ditugu absurdo bidezko froga honetan kontraesana emango digun multzoa definitzeko. Izan bedi  multzoa, zenbaki ez berekoi guztiez osatuta dagoena. Definizioz,  potentzia-multzoak zenbaki arrunten multzo guztiak ditu, eta, beraz,  multzo hori ere badu elementu gisa.  eta ren artean ezarritako lotura funtzioa bijektiboa bada,  zenbaki arrunt batekin lotu ahalko da, adibidez  zenbakiarekin. Baina horrek arazo bat sortzen du: baldin eta  badago, orduan  berekoia da definizioz, loturiko multzoan dagoelako; baina horrek  multzoaren definizioa kontrajartzen du. Baldin eta , orduan ez berekoia da eta definizioz ko kide izan beharko luke. Beraz, ez dago modurik  multzoarekin lotuta dagoen  zenbaki arruntik topatzeko.

rekin lotuta dagoen zenbaki arruntik ez dagoenez,  eta ren artean bijekzio bat bazenaren gure hasierako usteak kontraesanara garamatza.

Absurduaren bidezko froga honekin  eta ren kardinalak ezin direla berdinak izan frogatu dugu. Gainera, ren kardinala ezin da rena baino txikiagoa izan ale bakarreko multzo guztiak barneratzen dituelako, nolabait ren kopia bat  multzoan txertatuz. Beste era batera esanda,  funtzioa bijektiboa da. Beraz, ren kardinala rena baino hertsiki handiagoa izatea beste aukerarik ez dago, Cantorren teorema frogatuz.

Erreferentziak

Kanpo estekak 
 Wang, H. (2011). Ehun urte logika matematikoan. Gogoa, 6(1). https://doi.org/10.1387/gogoa.4005 (itzulpena)

Matematikako teoremak