Alderantzizko funtzio trigonometriko

Matematikan, alderantzizko funtzio trigonometrikoak (batzuetan, arku funtzioak, funtzio antitrigonometrikoak edo funtzio ziklometrikoak ere esaten zaie) funtzio trigonometrikoen alderantzizko funtzioak dira (eremu mugatuekin, noski). Hain zuzen ere, sinu, kosinu, tangente, kotangente, sekante eta kosekante funtzioen alderantzizkoak dira, eta angeluaren erlazio trigonometrikoak jakinda angelu bera lortzeko erabiltzen dira. Alderantzizko funtzio trigonometrikoak asko erabiltzen dira ingeniaritzan, nabigazioan, fisikan eta geometrian.

Adierazpena 
Alderantzizko funtzio trigonometrikoak adierazteko, zenbait modu ezberdin daude. Hitzarmen ohikoena arc aurrizkia erabiliz izendatzea da: arcsin(x), arccos(x), arctg(x), etab. (Hau da artikulu honetan zehar erabiliko dugun konbentzioa.) Notazio hau θ radianeko angelu bat rθ-ko luzera duen arkua baitu delako, non r zirkuluaren erradioa da. Beraz, zirkulu unitarioan hitz egiten ari bagara, "x kosinua duen arkua" "x kosinua duen angelua"ren berdina da, zirkuluaren arkuaren luzera eta angeluaren neurria radianetan berdinak baitira. Ordenagailuen programazio hizkuntzetan, alderantzizko funtzio trigonometrikoei asin, acos edota atan forma laburtuak deritze maiz.

John Herschelek 1813an aurkeztu zituen notazioak —,  eta — ingelesezko testuetan ere erabiltzen dira maiz, ,  eta  adierazpenak baino askoz gehiago. Izan ere, lehenak askoz koherenteagoak dira alderantzizko funtzioen adierazpenekin,  Beraz, funtzio trigonometrikoen alderantzizkoa lortzea paralelismo bat egitearen bezain erraza izan behar liteke. Handik datozte  direlakoak. Izan ere, oso erabilgarria da funtzio hauek emaitz anitzdunak bihurtzeko. Hala, arkutangentea emaitza guztiak ematea nahi badugu, horrela adieraziko genuke:

Hala ere, horrek kontraesaten du beste oso adierazpen orokor bat: . Honek ez dagokio funtzioaren konposizioari, berreketari baino (funtzioaren konposizioari balegokio,  esan nahiko luke); beraz, alderantzizko funtzioa alderantzizko biderkagaiarekin nahas daiteke. Nahaste hori zertxobait izkutatzen da funtzio trigonometrikoen alderantzizko biderkagaiak berezko izena baitute: .

Zenbait idazlek, ordea, horiek ez erabiltzea gomendatzen dute anbiguotasunagatik. Autore-kopuru txiki batek erabiltzen duen beste konbentzio dudagarria lehen letra larria erabiltzea da, –1 indizearekin batera: , , etab.  Asmoa alderantzizko biderkagaiarekin nahastea saihestea bada ere —hau da, -rekin nahastea, eta abar, horrek beste arazo eta anbiguetate sortzen ditu. Goi-mailako programazio hizkuntza famatu askok, hala nola Wolframen Mathematikak eta Sidneyko Unibertsitateko MAGMAk, letra larridun adierazpen horiek erabiltzen dituzte funtzio trigonometriko basikoentzat. Beste batzuk, ordea, minuskula erabiltzen dute, adibidez, Python (SymPy eta NumPy), Matlab, MAPLE eta abar. 

Hortaz, 2009an, ISO 80000-2 arauak alderantzizko funtzioetarako aurrizkia "arku" izatea agindu zuen.

Oinarrizko kontzeptuak

Balio nagusiak 
Sei funtzio trigonometrikoetakik, ez dago bat bera ere ez bijektiboa dena. Horrek esan nahi du balio asko "errepikatuta" daudela. , baina , eta  ere. Beraz, zein da -ren emaitza? 90º? 270º? 

Ziurtasun eza hori saihesteko, funtzioaren eremua mugatu behar dugu. Alderantzizko funtzioak definitzean, sinu funtzioaren zati txiki bat besterik ez dugu erabiltzen, bijektiboa izan dadin. Beraz, alderantzizko funtzioen ibilbidearen (eta, beraz, jatorrizko funtzioen domeinuaren) azpimultzo arbitrario bat erabiltzen: adar nagusia. Lortzen dugun balioari, hortaz, balio nagusi deritzo.

Alderantzizko funtzioen adar nagusiak taula honetan ageri dira:

Oharra: Zenbait autorek arkusekantearen ibilbidea  bezala definitzen dute, tangente funtzioa ez baita negatiboa tarte honetan. Honek kalkulu batzuk sendoagoak egiten ditu. Adibidez, ibilbide hori erabiliz, ; eta  ibilbidearekin, ordea,  idatzi egin beharko genuke, tangentea positiboa baita -n baina negatiboa -n. Antzera, autore batzuk arkukosekantearen ibilbidea  eta  hartzen dute.

 zenbaki konplexua izan badaiteke, -ren ibilbide mugatua zati errealari soilik aplikatzen zaio.

 ikurrak zenbaki erreal guztien multzoa adierazten du, eta -k, zenbaki oso guztiena. Antzera,  zenbakiaren multiplo guztien multzoa (hots, pi oso batez biderkatuta) honela adierazten da:

 ikurrak multzo kendura esan nahi du; hau da, adibidez,  adierazpenak  (hau da, zenbaki errealak) multzoan dauden baina  tartean EZ dauden zenbakien multzoa da.

Minkowskiren batura  adierazpena erabili da ere. Goian,  eta  erabiltzen da -ren eremuak azaltzeko:

Kotangentearen () eta kosekantearen () eremuak: Biak berdinak dira.  betetzen duten  angelu guztien multzoa dira; hau da,  bezala adieraz ez daitekeen,  zenbaki oso bat izanda, zenbaki errealen multzoa dira. 

Tangentearen () eta sekantearen () eremuak: Biak berdinak dira.   betetzen duten  angelu guztien multzoa dira; hau da,  bezala adieraz ez daitekeen,  zenbaki oso bat izanda, zenbaki errealen multzoa dira.

Oinarrizko ekuazio trigonometrikoen emaitza 
Funtzio trigonometriko bakoitza periodikoa da balioaren zati errealean, eta bere balio guztiak bi aldiz zeharkatzen ditu  luzerakotarte bakoitzean.

 Sinu eta kosekantearen periodoa n hasten da (non  zenbaki oso bat den), n amaitu, eta gero alderantzizko ibilbidea egiten dute tik ra. 
 Kosinu eta sekantearen periodoa n hasten da, n amaitu, eta gero alderantzizko ibilbidea egiten dute tik ra. 
 Tangentearen periodoa tik ra doa; eta gero, bere periodoa  besterik ez denez, berdina errepikatzen du tik ra. Antzera, kotangenteak periodoa n hasten du eta n amaitzen du, eta berdina egiten du tik ra. 

Periodikotasun hori alderantzizkoen orokortzeetan ikusten da, non  zenbaki oso bat da.

Hurrengo taulan, funtzio trigonometriko estandarrak dituzten ekuazioak ebazteko bere alderantzizkoak nola erabil daitezkeen erakusten da. Taula osoan,  eta ren emandako balio guztiak eremu egokian daudela asumitu dugu, guztiak ondo definituta egon daitezen.Kontuan izan " batentzat" " zenbaki oso batentzat" esateko beste modu bat dela.

ikurrak berdintasun logikoa adierazten du.  adierazpenak A eta B egia direla adli berean, edo A eta B gezurra direla esan nahi du. A ezin da gertatu b gertatu barik, eta aldrebes. Berez, adierazpen horrek "A baldin eta soilik baldin B" esan nahi du, eta A gertatzeko B gertatzea beharrezkoa eta nahikoa dela adierazten du.

Adibidez,  bada, orduan  betetzen da  batentzat. Aldiz,  bada, orduan  betetzen da  bateren batentzat.  bikoitia izango da  kasuan, eta bakoitia  bada. Gainera,  eta  ekuazioek  eta  ekuazioen emaitza berdinak dituzte, hurrenez hurren. Goian agertzen diren beste kasu guztietan, hau da, guztiak / eta / izan ezik, k besterik ez du zehazten  zenbaki osoa ( eta  finkoak izanda).

 Plus/minus  ikurraren azalpen eta adibide zehaztua:

 eta  ekuazioen emaitzak plus/minus ikurra erabiltzen dute. Lehenaren kasuan, ematen diguten  tarte batean () dago, eta badakigu ren bat dagoela  betetzen duena. Hori da aurkitu nahi duguna. Emaitza, taularen arabera, hau da:Azken hori honako baieztapen hauetako bat (gutxienez) egia dela esateko modu laburtua da: 

  zenbaki oso jakin batentzat, edo
  zenbaki oso jakin batentzat  

Lehen aipatu den bezala,  gertatzen bada (definizioz,  kasuan besterik ezin da gertatu), goiko bi adierazpenak, (1) eta (2), egiak dira, nahiz eta  zenbaki osoaren balio desberdinekin:  (1) berdintasunaren zenbakia bada (hau da,  horrek  betetzen duela), orduan (2) berdintasunaren zenbakia  da, zeren eta .

Hala ere,  bada,  zenbaki oso bakar eta berdina da, ren araberakoa:

 bada (definizioz,  denean besterik ez dena gertatzen), orduan  gertatzen da,  delako. Hortaz, (1) eta (2) berdinak dira, eta biak egiak.

Bi kasu berezi horiek aztertu ondoren, beste guztiak ikusiko ditugu. Hortaz, hemendik aurrera  eta  asumituko dugu. ren emaitza, halere, oraindik honako forma orokor hau da:Lehen bezala, (1) edo (2), baten bat, egia dela esateko beste forma bat da. Oraingoan, halere,  eta  direnez, (1) eta (2) ez dira berdinal, eta bat besterik ez da gertatzen (biak ez). Zein den jakiteko, ri buruz gehiago jakin behar dugu.

Adibidez, esan  eta z dakigun guztia  dela. Hortaz:Gainera,  da kasu berezi honetan (bai  kasuan, bai  kasuan), eta, beraz,Honek ren balioa  edo  izan daitekela esan nahi du. Ezer gehiago jakin gabe, ezin da baieztatu  horietako zein den. Jakin daitekeen zerbait angelua  ardatzaren gainetik dagoela da (orduan  litzateke), edota ardatz berdinaren behetik (beraz, .

Ekuazio transformatzaileak

Aurreko ekuazioak islapen eta aldaketa identitateak erabiliz  aldatu egin daitezke :

Formula horiek hau egia izatea egiten dute, bereziki:non   eta  trukatzeak  funtzioentzako ekuazioak ematen dizkigun, hurrenez hurren.

Adibidez,  berdintza erabiliz,  ekuazioa  bihur daiteke. Horrek ren emaitza erabiltzea ahalbidetzen digu (non ); izan ere, emaitza hori  da. Hori hau bihur daiteke:

Honetaz konturatzean lortzen da: ordezkapena aurreko formularen eskuinaldea  ren arabera adierazteko baliogarria izan daiteke, ren ordez.

Funtzio trigonometrikoen berdintasunak 

Taula honek bi angelu  eta  erlazionatutak egon behar direla adierazten du, bere balio trigonometrikoak elkarren berdinak edo aurkakoak badira.

Alderantzizko funtzio trigonometriko eta funtzio trigonometriko estandarren arteko erlazioak 
Hona hemen alderantzizko funtzio trigonometrikoak, funtzio trigonometrikoen arabera. Erlazio hauek lortzeko modu azkar bat eskuin-triangelu baten geometria da: 1 luzera duen alde batekin eta  luzerako beste alde batekin, Pitagorasen teorema eta erlazio trigonometrikoen definizioak erraz aplika daitezke. Deribazio algebraiko hutsak, ordea, luzeagoak dira.

Esan beharra da, arkusekante eta arkukosekantean, diagramak positiboa dela hartzen du; beraz, emaitza zuzendu egin behar dela balio absolutuak eta signu funtzioa (sgn) erabiliz.

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen elkarren arteko erlazioak 

Angelu osagarriak:

 

Argudio negatiboak:

Alderantzizko argudioak:

Gure taula trigonometrikoan sinuak besterik ez baditugu:

 

Zenbaki konplexu baten erro karratua erabiltzean, zati erreal positiboa duen erroa aukeratzen dugu (edo zati irudikari positiboa, karratua erreal negatiboa bazen).

Aurreko formuletatik zuzenean lor daitekeen forma erabilgarri bat hau da:

 .

Erraz lor daiteke azken hau baldin badakigu:

Angelu erdiaren formulatik, , abiatuta, hau lortzen dugu:

Arkutangentearen batuketaren formula 

 

Hau lortzeko, batuketaren tangentearen formulan

 

 

bi ordezkatze hauek ezar daitezke.

Kalkuluan

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen deribatuak 
z-ren balio konplexuetarako deribatuak hauek dira:

 

Aldiz, x-ren balio errealetarako besterik ez:

 

Adibidez,  bada, hau lortzen dugu:

Integral definitu gisa adieraztea 
Deribatua integratu eta balioa puntu batean finkatzen, alderantzizko funtzio trigonometrikorako adierazpena lor dezakegu, integral definitu gisa:

 

x=1 denean, eremu mugatuak dituzten integralak integral inpropioak dira, baina hala eta guztiz ere ongi definituak daude.

Serie infinituak 
Sinu eta kosinu funtzioen antzera, alderantzizko funtzio trigonometrikoak berretura-serieak erabiliz kalkulatu daitezke. Arkosinuaren kasuan, bere deribatua  erabiliz serie binomial bat bezala handituz, eta gero batugai bakoitza integratuz, lor daiteke adierazpena. Arkutangentearen kasuan,  deribatua serie geometriko bihur daiteke, eta handik ere integratu (ikus Leibnizen serieak). erabiliz

 

 

Beste alderantzizko funtzio trigonometrikoen serieak bi funtzio horien arabera eman daitezke, aurrez emandako erlazioen arabera.  Adibidez, , , , eta abar. Beste serie bat da:

 

Leonhard Eulerrek arctangenterako beste serie bat aurkitu zuen, Taylorrena baino azkarrago konbergitzen egiten duena:

 

(n = 0 denean, batuketaren emaitza biderkagai hutsa da, hau da, 1.)

Bestela, honela adieraz daiteke:

 

Arkutangente funtziorako beste serie bat hau izan daiteke:

 

non , unitate irudikaria, den.

Arkutangentearen zatiki jarraituak 
Arkutangentearen berreture seriearen alternatiba bi honako hauek dira:

 

Bigarrenak ebakitako plano konplexuan balio du. Bi ebakidura daude: -i-tik eta puntu infinitu bateraino, ardatz irudikaritik behera joaten, eta i-tik puntu infinituraino, ardatz berdinetik gora joanez. -1 eta 1 bitarteko zenbaki errealetan hobeto funtzionatzen du. Izendatzaile partzialak zenbaki natural arrotzak besterik ez dira, eta zenbakitzaile partzialak (lehenengoaren ondoren) (nz)2 gaiak baino ez dira, non karratu perfektu bakoitza soilik behin agertzen den. Lehena Leonhard Eulerrek garatu zuen; bigarrena, Carl Friedrich Gaussek, serie hipergeometriko gaussiarra erabiliz.

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen integral mugagabeak 
z-ren balio erreal eta konplexuetarako:

 

x ≥ 1 betetzen duten erreal guztientzat:

 

x erreal guztientzat, -1 eta 1 artean dauedenak izan ezin:

 

Balio absolutua ezinbestekoa da arkusekante eta arkukosekante funtzioen balio negatiboak eta positiboak direla eta. Zeinu funtzioa ere da beharrezkoa bi funtzioen deribatuek dituzten balio absolutuengatik, x-ren balio positibo eta negatiboetarako bi iemaitza desberdin sortzen baitituzte. Horiek alderantzizko funtzio hiperbolikoen definizio logaritmikoen bidez  sinplifikatu egin daitezke:

 

Arcosh funtzioaren argumentuaren balio absolutuak bere grafikoaren erdia negatibo izatea eragiten du, eta lehen erakutsitako zeinu-funtzio logaritmikoaren berdina egiten du.

Antideribatu guzti horiek zatikako integrazioa eta arestian azaldutako deribazio-forma sinpleak konbinatuz lor daitezke.

Adibidea 
Zatikazko integrazioaren  formula erabiliz:

 

Beraz,

 

Zeinek  ordezkapen bakunaren bidez azken emaitza ematen duen:

Plano konplexura zabaltzea 

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak funtzio analitikoak direnez, lerro errealetik plano konplexura zabal daitezke. Horri esker, orri eta adar-puntu anitzeko funtzioetan. Luzapena definitzeko modu bat honako hau da:

 

non −i eta +i adar puntuen artean ez dagoen ardatz irudikariaren zatiak orrien arteko adar ebaketak diren. Integralaren bideak ezin du adar ebaketarik ebaki. Integralaren bide bat 0tik adar ebaketan ez dagoen edozein z-ra doan edozein lerro zuzen da. z adar ebaketan egotekotan, bidea Re[x] > 0tik hurbildu behar da goiko ebaketa bada, eta Re[x] < 0tik, behekoa bada.

Orduan, arkosinu funtzioa honela defini daiteke:

 

non erro karratu funtzioa ardatz negatibo errealaren zehar mozten duen eta −1 eta +1en artean ez dagoen ardatz errealaren zatia adar ebaketa den arkusinuaren orri nagusiaren eta beste orrien artean;

 

arkosinuaren ebaketa bera duena;

 

arkutangentearen ebaketa bera duena;

 

non ardatz errealaren −1 eta +1 arteko zatia, biak barne, arkusekantearen orri nagusiaren eta beste orrien arteko ebakidura den;

 

Arkusekantearen ebaketa bera duena.

Era logaritmikoak 
Funtzio hauek logaritmo konplexuak erabiliz adieraz daiteke ere. Honek bere eremuak plano konplexura zabaltzen ditu era natural batean. Hurrengo berdintzak, funtzioen balio nagusientzat, beti dira egia (baldin eta definituta badaude), bere adar ebaketetan ere.

 

Alderantzizko funtzio trigonometriko guztiek triangelu pitagoriko baten angelu bat ematen dutenez, Eulerren formula erabiliz orokortu daitezke, triangelu angeluzuzen bat osa dezaten plano konplexuan. Algebraikoki, horrek hau esan nahi du:

 

edo

 

edo

non  alboko katetoa da,  kontrakoa, eta  hipotenusa. Nori izanda,  bakan dezakegu:

 

 

Parte irudikaria hartzeak balio erreal  eta  balio erreal edozeinentzat ondo doa, baina  edo  konplexuak izatekotan, azken ekuazioa erabili behar dugu, emaitzaren zati erreala ez baztertzeko. Hipotenusaren luzerak angelua ez duenez aldatzen, -ren zati erreala alde batera uzteak  ezabatzen du ekuaziotik. Amaierako ekuazioan, triangeluak plano konplexuan duen angelua aldeen luzerak ordezkatuz aurki daitekeela ikusi dugu. Hiru aldeetako baten luzera 1, eta beste aldeetako batena guk sartutakoa () direla ezartzean, alderantzizko funtzio trigonometriko baterako formula bat lortuko dugu. Aldeak aldatuz, sei ekuazioetarakoak lor ditzakegu. Alderantzizko funtzio trigonometrikoek aldagai bakarra behar dutenez, beste bien terminoetan jarri behar dugu triangeluaren azken aldea, Pitagorasen teoremaren erlazioa erabiliz.

 

Beheko taula honetan, alderantzizko funtzio trigonometriko bakoitzaren a, b eta c-ren balioak ageri dira, balio horiek formulan ordezkatuz lortutako ren adierazpenekin batera. 

 

Logaritmo natural eta erro karratu funtzioen adar nagusiak alderantzizko funtzio trigonometrikoen adar nagusiarekin berdintzeko, formula sinplifikatuaren forma zehatzak garrantzia handia du. Eskuineko bi zutabeetan emandako adierazpenek  eta  asumitzen dute.  eta  adar nagusiak alderantzizko funtzio trigonometrikoen adar nagusiekin bat etor daitezen, ren emaitzatik  kendu behar da  denean.

Horrekin jarraituz, alderantzizko funtzio trigonometriko guztiak funtzio logaritmiko konplexuaren kasu espezifikotzat har daitezke. Definizio horiek edozein  konplexutarako balio dutenez, emandako balioa angelu hiperboliko gisa ateratzea onartzen dute, eta alderantzizko funtzio hiperbolikoak beste era batera definitzeko erabil daitezke. Erlazio horien oinarrizko frogapenak funtzio trigonometrikoak era esponentzialean adieraziz ere egin daitezke.

Adibidezko frogapena 

 

Sinuaren definizio esponentziala erabiliz, eta  ezarriz, 

 

(adar positiboa aukeratzen da)

Aplikazioak

Eskuineko triangelu baten angelua aurkitu 

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak triangelu pitagoriko baten gainerako bi angeluak zehazteko oso erabilgarriak dira, triangeluaren aldeen luzerak ezagutzen direnean. Triangelu angeluzuzenetan sinu eta kosinuaren definizioak gogoratuz, hau ondorioztatzen da:

 

Askotan, hipotenusa ezezaguna da, eta Pitagorasen teorema erabiliz kalkulatu behar da; hau da, , non  hipotenusaren luzera den. Arkutangente funtzioa oso ona da kasu honetarako, angelua lor daitekelako hipotenusaren erdiko urrats horrik gabe.

 

Adibidez, demagun teilatu bat 2 metroko altuera duela, etxearen 7 metrotako luzera estaltzeko. Teilatuak θ angelua egiten du lurreko horizontalarekin, eta θ honela kalkula daiteke:

Informatikan eta ingeniaritzan

Bi argudioko arkutangentearen aldaera 
Bi argudiodun atan2 funtzioak y/x balioaren arkutangentea kalkulatzen du y eta x jakinda, (−, ] ibilbidearekin. Beste erara esanda, atan2(y, x) plano baten x ardatzaren eta (x, y) puntuaren arteko angelua da, erlojuaren orratzen kontrako angeluetarako zeinu positiboarekin (goiko planoa, y > 0), eta erlojuaren orratzen noranzkoko angeluetarako zeinu negatiboarekin (beheko planoa, y < 0). Lehen aldiz programazio informatikoko hizkuntza askotan sartu zen, baina orain ohikoa da zientzia eta ingeniaritzaren beste arlo batzuetan ere.

Arctg funtzio estandarraren arabera, hau da, (−, ) ibilbideduna, honela adieraz daiteke:

 

x + iy zenbaki konplexuaren argumentuaren balio nagusiaren baliokidea ere bada.

Aurreko funtzioaren bertsio mugatu bat existitzen da, angelu erdiaren tangentearen formula erabiliz definituta:

 

baldin x > 0 edo y ≠ 0. Halere, x ≤ 0 eta y = 0 kasuan, ez da betetzen; adierazpen hori ez da egokia erabilera konputazionalerako.

Aurreko argudio ordena (y, x) da arruntena; bereziki, ISO arauetan erabiltzen da, hala nola C programazio-lengoaian bezala. Autore batzuek kontrako konbentzioa, (x, y), erabil dezakete, eta, beraz, zuhurtzia pixka bat gomendatzen da.  Aldaketa horiek atan2-n zehazten dira.

Kokapen-parametroa duen arkutangente funtzioa 
Aplikazio askotan,  ekuazioaren ebazpenak emandako  balioa ahalik eta gehien hurbildu behar da balio jakin batera, . Emaitza egokia arkutangente funtzioaren parametro modifikatuak emandakoa da. 

 

 funtzioak hurbileneko zenbaki osora borobiltzen du.

Zenbakizko zehaztasuna 
0 eta  inguruko angeluetarako, arkukosinua gaizki egokituta dago, eta, beraz, ordenagailuetan inplementatzean zehaztasun gutxirekin kalkulatuko da angelua (zifra-kopuru mugatua dela eta). Era berean, arkosinu ez da zehatza −/2 eta /2 inguruko angeluetarako.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Funtzio hiperboliko
 Zerrenda:Funtzio hiperbolikoen integralak
 Trigonometriaren historia
 Alderantzizko funtzio

Kanpo estekak 

Dimentsiorik gabeko zenbakiak
Arrazoiak (matematika)
Matematika-erlazioak
Funtzio berezi elementalak
Trigonometria