Kategoria (matematika)

Matematikan, kategoria bat (batzuetan kategoria abstraktu ere deitzen zaio kategoria konkretu batetik bereizteko) morfismoen bidez loturiko objektuen bilduma da. Morfismoei, gezi edo aplikazio ere deitzen zaie sarritan. Kategoria batek oinarrizko bi propietate ditu; morfismoak konposatzeko elkartze propietatea betetzen du eta objektu bakoitzeko identitate-morfismo bat izan behar du. Adibide sinple bat multzoen kategoria da, zeinen objektuak multzoak baitira eta zeinen morfismoak aplikazioak baitira.

Kategorien teoriak, matematika osoa kategorien arabera orokortzea du helburu, beren objektuek eta morfismoek adierazten dutenaz abstraiturik. Matematika modernoaren ia adar guztiak kategorien arabera deskriba daitezke. Horrela, itxuraz ezberdinak diren matematikaren arloen arteko ikuspegi eta antzekotasun sakonak agertzen dira. Gainera, kategorien teoria matematikaren oinarriak ezartzeko alternatiba bat da multzo teoriaren zein gainontzeko oinarri axiomatiko batzuen aurrean. Oro har, objektuak eta morfismoak edozein motatako zerizan abstraktuak izan daitezke, eta kategoriaren nozioak zerizan matematikoak eta horien erlazioak deskribatzeko modu oinarrizkoa eta abstraktua eskaintzen du.

Matematika formalizatzeaz gain, kategorien teoria informatikako beste sistema asko formalizatzeko ere erabiltzen da. Adibidez, programazio-lengoaien semantika.

Bi kategoria berdinak dira objektu bilduma bera, morfismo bilduma bera eta morfismoak konposatzeko elkartze metodo bera badute. Baldintza batzuen pean, kategoria ezberdinak kategoria baliokidetzat har daitezke, nahiz eta egitura bera ez izan.

Kategoria konkretu bat estruktura matematiko klase bat duten eta estruktura hori gordetzen duten aplikazioez osatua dagoela esan daiteke. Adibidez Set kategoria, multzoez eta hauen arteko aplikazioez osatutakoa; Grp kategoria, taldez eta hauen arteko talde homomorfismoz osatutakoa; edo Top kategoria, espazio topologikoz eta hauen arteko aplikazio jarraituez osatutakoa. Kategoria konkretu guzti hauek betetzen dituzte kategoria abstraktuaren axioma definitorioak.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Kategoria-teoria