Deribagarritasun

Matematikan, tradizionalki, deribagarritasunaren (edo frogagarritasunaren) kontzeptua frogapenaren teorian deribazioen arabera definitzen da:

serieak edo zuhaitz-formako egiturakformulaz edo segidaz osatuta, proba-arauak eskatzen dituzten baldintza jakin batzuk betetzen dituztenak.

Normalean, deribazioen "indar-eragilea" baldintzazko adierazpenetan  datza: xede-hizkuntzan dituen ondorioak.

( ), loturak meta-hizkuntzan, edo segidak inplikatzen dituzten proba-araua

Deribagarritasuna eta jarraitasuna 
Jarraitutasunaren eta deribagarritasunaren arteko erlazioa deskribatzen duten bi enuntziatu daude:

a) f deribagarria bada Xo-n orduan, f jarraia da Xo-n.

b) f jarraia bada -n orduan, f deribatu bat da.

a) atalak ez du azalpen gehiagorik behar. b) atalak f = F´ baieztatzen duen F funtzio bat existitzen dela dio.

F funtzio honi f-ren antideribatua edo oinarrizkoa deritzo. f jarraia bada, badakigu b) atala egia dela, Kalkulu Integralaren oinarrizko teoremagatik.

Deribagarritasunaren azterketa funtzio jarraituetan 
Hurrengo 3 adibideak funtzioen deribagarritasuna aztertzean aurki ditzakegun egoera guztiak hartzen dituzte:

Adibide 1 a eta b aurkitu, x=-1 denean hurrengo funtzioa deribagarria izan dadin:

Erantzuna: Alboko limiteak berdinduz x = -1-ean,  lortzen dugu, finkatu behar dena jarraitasuna ziurtatzeko.

Gainera,  baldin eta  ;  baldin eta 

 (x=-1-era doanean ezkerretik) eta  (x = -1-era doanean eskumatik) dela egiaztatzen da. Beraz:

a) Baldin eta ,  x = -1-era doanean existitzen da eta  deribagarria da x = -1 denean.

b) Baldin eta , orduan -k ez dauka deribaturik x = -1-ean, existituko balitz, orduan  etenune bat izango litzateke x = -1-ean, eta hori ez da posiblea.

Adibide 2 Deribagarritasuna aztertu x = 0 -rena.

Erantzuna Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Gainera,

 baldin eta  ;  baldin eta 

Kasu honetan, -k ez dauka deribaturik x = 0 denean.

Adibide 3 Hurrengo funtzioaren  deribagarritasuna aztertu x=0 denean:

Erantzuna Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Ikus dezagun  baldin eta 

Beraz,  x=0-ra doanean ez da existitzen. Egiaztatzen da  dela. Beraz,  deribagarria da x=0 denean eta  ez da jarraia x = 0 denean.

Erreferentziak