Lorentzen transformazio

Fisikan, Lorentz-en transformazioa Minkowski-ren espazio-denborako koordenatu sistema batetik honekiko abiadura konstantez higitzen ari den beste koordenatu sistema baterako sei parametrodun transformazio linealen familia da. Honi dagokion alderantzizko transformazioa abiadura honen negatiboaz parametrizatzen da. Transformazioa garatu zuen Hendrik Lorentz Herbehereetako fisikariaren omenez du izena.

Historia 
Hainbat fisikarik -Woldemar Voigt, Oliver Heaviside, Joseph Larmor eta Hendrik Lorentz berak, besteak beste- Lorentz-en transformazioek deskribatutako fisika 1887tik eztabaidatu zuten. 1889an, Oliver Heaviside-ek frogatu zuen, Maxwell-en ekuazioetatik, karga-banaketa esferiko baten inguruko eremu elektrikoak simetria esferikoa galdu beharko lukeela karga eterrarekiko higidura erlatiboan egonda. Ondoren, FitzGerald-ek Heaviside-ren distortsioa indar intermolekularri buruzko teoria batean aplika litzatekeela susmatu zuen. Hilabete batzuk beranduago, FitzGerald-ek higitzen ari diren gorputzak uzkurtzen direlako hipotesia argitaratu zuen, 1887ko Michelson-Morley esperimentuaren emaitza harrigarriak azaltzeko asmoz. 1892an, Lorentz-ek modu independentean eta detaile handiagoz ideia berdina aurkeztu zuen, FitzGerald-Lorentz uzkurdura izena jaso zuena. Haien azalpena oso ezaguna zen 1905 baino lehen.

Lorentz (1892-1904) eta Larmor-ek (1897-1900), eter argitsuaren hipotesia sinesten zutenek, eterretik koordenatu-sistema higikor batera transformatzean Maxwell-en ekuazioak aldaezin mantentzen zituzten transformazioa bilatu zuten. FitzGerald-Lorentz uzkurdura hipotesia hedatu zuten, denbora-koordenatua ere aldatu behar dela aurkituz (denbora lokala). Henri Poincaré-k denbora lokalaren interpretazio fisikoa eman zuen (argiaren abiadurarekiko normalizatutako bi erreferentzia-sistemen arteko abiadura erlatiboaren, -ren, lehen ordeneraino) erlojuen sinkronizazioaren ondorio gisa, sistema higikorretan argiaren abiadura konstantea dela onartuz. Larmor bere ekuazioei datxekien denbora-zabalkuntzaren propietate garrantzitsua ulertzen lehena izan omen zen.

1905ean, Poincaré transformazioa talde matematiko baten propietateak dituela ohartzen lehena izan zen, eta Lorentz-en omenez izendatu zuen. Beranduago urte berean Albert Einstein-ek erlatibitate berezia argitaratu zuen, erlatibitate-printzipioa eta argiaren abiadura edozein koordenatu-sistema inertzialetan konstantea dela onartuta (eta eterraren ideia alde batera utzita) Lorentz-en transformazioa deribatuz.

Lorentz-en transformazioaren formulazioa

Koordenatuen transformazioa 
 erreferentzia-sistemako behatzaile "geldikor" batek gertaerak  koordenatuekin definitzen ditu; -rekiko   abiadura konstantez higitzen ari den  erreferentzia-sistemako behatzaile "higikor" batek,   koordenatuez. 

Bi erreferentzia-sistematako epazio-koordenatuetako ardatzak elkarren paraleloak dira ( eta  elkarren paraleloak dira,   eta  elkarren paraleloak dira, eta  eta  elkarren paraleloak dira), sistema bereko ardatzak elkarren perpendikular mantentzen dira, eta bi sistemen arteko higidura erlatiboa bat datozen  ardatzetan zeharrekoa da ( abiadura erlatiboa  ardatzen paraleloa da).  aldiunean, bi koordenatu-sistemetako jatorriak berdinak dira, . Baldintza hauek betetzen direnean koordenatu-sistemak konfigurazio estandarrean edo sinkronizatuta daudela deritzo. 

 sistemako behatzaileak gertaera definitzeko erabiltzen dituen koordenatuak  sistemakoarekin Lorentz-en transformazioen bidez erlazionatuta daude:

 

Hemen  bi koordenatu-sistemen arteko abiadura erlatibo konstantea,  argiaren abiadura, eta  Lorentz-en faktorea dira. Azken hau hurrengo moduan definituta dago:

 

Hemen,  transformazioaren parametroa da, eta boost jakin baterako konstantea da. Honen balioa  tarte jarraituko edozein izan daiteke (Lorentz-en faktoraren kasuan, ). Erabilitako konfigurazio honetan,  abiadura erlatibo positiboa  ardatzetan zeharreko higidura positiboa da,  higidura erlatibo eza da, eta    ardatzetan zeharreko higidura higidura.

Tarte horretatik kanpo, transformazio horiek ez daude definituta. Argiaren abiaduran ()  infinitua da, eta argiaren abiaduratik haratago ()  zenbaki konplexua da. Bi kasuetan transformazioek zentzu fisikoa galtzen dute, koordenatu espazio-denboralak magnitude neurgarriak direnez zenbaki errealak izan behar baitira.

Transformazio aktibo baten gisara,  sistemako behatzaileak gertaeraren koordenatuak  ardatzetako noranzko negatiboetan zehar boost (bultzada, ingelesez) bat jasotzen dutela ikusten du, transformazioetako  dela eta. Honek  koordenatu-sistema  ardatzetako noranzko positiboetan zehar boost bat jasotzearen efektu baliokidea du, bigarren kasu honetan gertaera aldatu gabe mantenduz eta beste koordenatu-sistema ezberdin batean adieraziz, hau da, transformazio pasibo bat adieraziz.

Alderantzizko erlazioak ( koordenatuak  koordenatuen menpe) aurreko ekuazio-sistema algebraikoki ebatziz lor daitekezke. Beste modu eraginkorrago bat printzipio fisikoak erabiltzean datza. Alderantzizko erlazioak bilatzean,  erreferentzia-sistema geldikorra da, eta  erreferentzia-sistema higikorra. Erlatibitate printzipioaren arabera, ez dago erreferentzia-sistema pribilegiaturik, eta -tiko -rako transformazioek -tiko -rako transformazioen itxura berbera eduki behar dute. Ezberdintasun bakarra abiadura erlatiboaren noranzkoa da,   abiaduraz mugitzen baita -rekiko. Horrela, -ko behatzaileak gertaera bat  koordenatuen menpe definitzen badu,  sistemako behatzaileak gertaera bera hurrengo koordenatuekin definitzen du:

 

Lorentz-en faktorearen balioa berdin mantentzen da. Abiadura erlatiboaren magnitudea mantentzea eta noranzkoa alderanztea (primadun eta primarik gabeko magnitudeak elkartrukatuz) alderantzizkoz transformazioa lortzeko "trikimailua" edozein norabidetan zeharreko boost guztiei aplika dakieke.

Batzuetan komenigarriagoa da  erabiltzea -ren ordez:

 

Honek argiago erakusten du transformazioaren simetria. -ren baimendutako balioak eta -ren definizioa kontuan hartuta, .  eta -ren erabilera estandarra da literaturan. Lorentz-en faktorea -ren funtzioan:

Lorentz-en transformazioak funtzio hiperbolikoen funtzioan 
Lorentz-en transformazioak espazio tridimentsionaleko errotazio zirkularren antzera adieraz daitezke, funtzio hiperbolikoak erabiliz.  noranzkoko boost baterako:

 

Hemen  azkartasuna da. Espazio tridimentsionaleko (,  eta  plano kartesiarretan) koordenatu espazialen errotazioekiko antzekotasuna handia izanik, Lorentz boost bat lau dimentsiotako Minkowski-ren espazioan (,  eta  plano kartesiar-denboraletan) emandako errotazio hiperboliko gisa har daiteke.  parametroa errotazioaren angelu hiperbolikoa da, errotazio zirkular normalen analogoa. Transformazio hau Minkowski-ren diagrama baten bidez irudikatu daiteke.

Funtzio hiperbolikoak espazio-denbora tarteko denbora- eta espazio-koordenatuen karratuen kendura da, batura izan beharrean. Funtzio hiperbolikoen esanahia transformazioetan  edo  eginez ikustarazi daiteke. Emaitzen karratuen kendura eginez, koordenatu konstantetako eta  aldakorreko kurba hiperbolikoak lor daitezke. Azkartasunak kurbak parametrizatzen ditu hurrengo identitatearen arabera:

 

Alderantziz,  eta  ardatzak koordenatu aldakorretarako eta  konstanterako eraiki daitezke. Hurrengo definizioak,

 

azkartasunaren balio konstante baten eta espazio-denborako  ardatzaren maldaren arteko lotura ezartzen du. Azken bi formula hiperbolikoetatik Lorentz faktorearen forma duen hurrengo identitatea ondorioztatzen da:

 

Lorentz-en transformazioak abiadura erlatiboaren eta azkartasunaren funtzioan konparatuz, edo goiko formulak erabiliz, ,  eta -ren arteko erlazioak hurrengoak dira:

 

Alderantzizko tangente hiperbolikoak azkartasuna ematen du abiadura erlatiboaren menpe:

 

 denez, .  eta  parametroen arteko erlaziotik, azkartasun positiboak ()  ardatzetan zeharreko higidura positiboa deskribatzen du; azkartasun nuluak, () higidura erlatibo eza; eta azkartasun negatiboak (),   ardatzetan zeharreko higidura negatiboa.

Alderantzizko transformazioak magnitude primatuak eta primatu gabekoak elkartrukatuz eta  eginez (abiadura erlatiboaren noraznkoa alderanzkatzearen baliokidea) lortzen dira. Horrela,

Tarteen Lorentz-en transformazioa 
Orain arte Lorentz-en transformazioa gertaera bakarrari aplikatu zaio. Bi gertaera egotekotan, bien arteko espazio-denborako tartea dago. Lorentz-en transformazioa lineala denez, transformazioa bi gertaerei aplika dakieke eta bien arteko kendura egin tarteen transformazioak kalkulatzeko:

 

Alderantzizko erlazioak:

 

 ikurrak magnitude batzuen arteko desberdintasuna adierazten du: adb.,  -ren bi baliotarako, etab.

Tarteen transformazioak (gertaera bakarraren koordenatuenen ordez) hainbat arrazoi direla-eta dira erabilgarriak:

 Kalkulu eta esperimentuetan, bi puntuen arteko luzera edo denbora-tarteak neurtzen dira (adb., higitzen ari den ibilgailu baten luzera, edo leku batetik bestera bidaiatzeko behar den denbora).
 Abiaduren transformazioa tarte infiitesimalak hartuz eta ekuazioak zatituz lor daitezke, eta azelerazioena prozesu berdinez.
 Koordenatu-sistemak ez badatoz bat inoiz (hau da, ez badaude konfigurazio estandarrean), eta bi behatzaileek gertaera bat ados badezakete  eta  koordenatuetan  eta   erreferentzia-sistematan, hurrenez hurren, gertaera hori jattori gisa erabili dezakete, eta espazio-denborako koordenatuen tarteak haien koordenatuen eta jatorri honen arteko tarteak dira: , , etab.

Bektoreen transformazioak 
Bektoreen erabilerak posizioak eta abiadurak norabide arbitrariotan modu konpaktuan adieraztea ahalbidetzen du. Edozein noranzkotan zeharreko boost bat abiadura erlatiboaren bektorearen (,  modulukoa) menpekoa da.

Transformazioetan, denbora eta higidura erlatiboaren norabidearen paraleloak diren koordenatuak baino ez dira aldatzen, honekiko perpendikularrak direnak berdin mantentzen direlarik. Hau kontuan hartuta, posizio-bektore espaziala,   erreferentzia-sisteman eta  -n, -rekiko osagai perpendikular () eta paralelotan () banatzen da:

 

Horrela, transformazioak horrela adierazten dira, non  biderketa eskalarra den:

 

Alderantzizko transformazioa primadun eta primatu gabeko koordenatuak elkartrukatuz eta abiadura alderantzizkatuz lortzen da:

 

Lorentz-en faktoreak definizio berdina mantentzen du edozein norabidetako boost baterako, abiadura erlatiboaren moduluaren menpekoa baino ez da. Berriro ere  defini dezakegu,  magnitudekoa.

Bestalde,  higidura erlatiboaren noraznkoko bektore unitarioa definituz, abiadura erlatiboa  da,  magnitude eta  noranzkokoa. Horrela,

 

Emaitza hauek transformazio osoak ematen dituzte:

 

Alderantzizko transformazioak primatutako eta primatu gabeko koordenatuak elkartrukatu eta abiaduraren noraznkoa alderantzizkatu ( edo ,  modulua positiboa delako) egiten dira:

 

Bektore unitarioak boost bakar bateko ekuazioak sinplifikatzen ditu, baina ez da komenigarria boost bat baino gehiagorako.

Abiadura erlatibo eta azkartasunaren arteko harreman bektoriala:

 

Horrela, "azkartasun bektorea":

 

Honen moduluaren baimendutako tartea  da.

Abiaduren transformazioa 
Berriro ere  eta  koordenatu-sistema sinkronizatuak kontsideratzen ditugu, non haien arteko abiadura erlatiboa  ardatzekiko paraleloa den. Erreferentzia-sistema bakoitzeko abiadurak koordenatu espazialen denborarekiko deribatu gisa definituta (), bi sistemetako abiadurak ( eta   eta  erreferentzia-sistematan, hurrenez hurren) erlazionatzen dituzten Lorentz-en transformazioak hurrengoak dira:

 

Alderantzizko transformazioak, berriro ere, abiadura erlatiboaren zeinua aldatuz eta primatu gabeko eta primatutako koordenatuak elkartrukatuz lortzen dira:

 

Abiaduraren transformazioa erabilgarria da aberrazio estelarra, Fizeau esperimentua, eta Doppler efektu erlatibista aztertzerakoan.

Formulazio tentsoriala 
Notazio tentsoriala oso erabilgarria da Lorentz-en transformazioarekin lan egitean.  (non  izan daitekeen) posizio-denbora tetrabektorea hurrengo moduan definitzen dugu:

Koordenatuen transformazioa 
Hauen menpe Lorentz-en transformazioa simetrikoagoak dira ( eta  faktoreen definizioa berdina da):

 

Eta alderantzizkoa:

 

Transformazio zuzen eta alderantzizkoa era laburragoa adierazteko (erreferentzia-sistema konkretu hauetarako) hurrengo matrizeak definitzen dira:

 

Horrela geratzen dira Lorentz-en transformazioak:

 

Einstein-en batuketa hitzarena erabiltzen dugu: gai batean indize bat goiko eta beheko posizioetan agertzen bada, bere balio guztietarako batuketa egiten dela ulertu behar da. Aurreko adierazpenetik:

Bektoreen transformazioa 
Bi erreferentzia-sistemen arteko abiadura erlatiboa ez bada  ardatzen paraleloa edo koordenatuen ardatzak ez badira elkarren paraleloak (baina  unean bi jatorriak puntu berean badaude), hurrengoa dugu Lorentz-en transformazioa:

 

Kasu honetan  eta  matrizeen elementuak aurreko azpiatalekoak baino konplexuagoak dira, funtzionamendua bera bada ere.

Abiaduren transformazioa 
Tetra-abiadurak erreferentzia-sistema bakoitzeko koordenatu espazialen denbora propioarekiko () deribatu gisa definitzen dira:

 

non  eta diren. Abiaduren transformazioak koordenatuenen antzekoak dira:

Bektore kontrabariante eta kobarianteak 
 eta  tetrabektoreen gisara transformatzen diren  multzoei bektore kontrabariante deritze:

 

 bektore kontrabariante bakoitzari  bektore kobariante bat dagokio:

 

Hemen  Minkowski-ren metrika tentsorea erabili dugu, hurrengo moduan definituta:

 

 

Arloaren arabera, signatura hau edo kontrakoa (zeinu guztiak alderantzizkatuta) erabiltzen dira.

Ondorio fisikoak 
Lorentz-en transformazioak berehalako ondorio garrantzitsuak dituzte.

Aldiberekotasunaren erlatibitatea 
 erreferentzia-sisteman bi gertaera,  eta , aldi berean gertatzen badira espazioko posizio ezberdinetan, ez dira aldi berean gertatuko  erreferentzia-sisteman.  badugu, orduan 

 

Beraz, aldibereko bi gertaera ez badira leku berean gertatzen  erreferentzia-sistema inertzialean, -rekiko abiadura erlatibo ez nuluko  erreferentzia-sistema inertzialean ez dira aldiberekoak izango.

FitzGerald eta Lorentz-en uzkurdura 
Demagun hagatxo bat  erreferentzia-sistema inertzialean pausagunean dagoela,  ardatzaren paralelo. -n bere luzera, luzera propioa,  neurtzen da. Beste  erreferentzia-sistema inertzial batean luzera neurtzeko aldiune berean () hagatxoaren bi muturren posizioak neurtzen dira. Tarteen transformazioa kontuan hartuta, hagatxoaren luzera  erreferentzia-sisteman hurrengoa dugu:

 

 denez  denean (  denean), behatzailearekiko higitzen den gorputz bat  faktore batez uzkurturik neurtzen da higidura erlatiboaren norabidean. Higidura erlatiboaren perpendikularreko neurriak ez dira aldatzen.

Denboraren zabalkuntza 
Era berean,  erreferentzia-sistema inertzialean leku berean () dagoen erloju batek bi gertaeren arteko  denbora-tarte bat neurtzen badu, beste  erreferentzia-sistema inertzial batean bi gertaera berdinen arteko  denbora-tartea neurtzen bada, hurrengo moduan erlazionatuta daude:

 

 denez  denean (  denean), behatzailearekiko higitzen den erloju batek neurtutako denbora-tartea  faktore batez handituta neurtzen da.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Erlatibitate printzipioa
 Erlatibitate berezia
 Galileoren transformazioak
 Erlatibitate orokorra

Kanpo estekak 

 MinutePhysics-en bideoa YouTube-n, Lorentz-en transformazioa Minkowski-ren diagrama mekaniko batekin azaltzen eta irudikatzen duena.

Erlatibitate berezia
Eponimoak
1904 zientzian