Hurwitzen zeta funtzio

Matematikan, Hurwitzen zeta funtzioa zeta funtzio ugarietako bat da. Honela definitzen da formalki s argumentu konplexu baterako eta q argudio erreal baterako:

 

Segida hori konbergentea da q>0 eta Re(s)>1 direnean. q zenbaki ez-positibo osoa bada, jotzen da ez direla kontuan hartzen izendatzaile nulua duen ondorengoetako terminoak. Hala ere, oro har, bat 0 < q ≤ 1 baino ez da, eta horrek funtzio horri aplika dakizkiokeen formuletako asko sinplifikatzen ditu.

Kontuan izan behar da, berez, ez dagoela ezer q aldagaia konplexua ez izateko (kasu horretan, Re(q)>0 murrizketa naturala da, nahiz eta ezinbesteko baldintza ez izan). Hedapen hori beharrezkoa da Schwingerren formularako, elektroi bikoteen ekoizpen-erritmorako.

Hedapen analitikoa 
Hurwitz-en zeta funtzioak s ≠ 1 duten zenbaki konplexu guztietarako zehaztutako funtzio meromorfiko baterako hedapen analitikoa izan dezake. s = 1 denean, 1 hondarreko polo bakuna du. Termino konstantea honela adierazten da:

 

non Γ baita Gamma funtzioa, eta ψ baita digamma funtzioa.

Segidaren irudikapena 
1930ean, Helmut Hassek segida konbergente baten forma aurkitu zuen, q > −1ek definitua, eta zenbaki konplexu guztientzat s ≠ 1:

 

Segida hori uniformeki bateratzen da s planoko azpimultzo trinko batean, funtzio oso batera. Barne-batuketak ren n-garren diferentzia progresibo gisa ulertu behar da, hau da,

 

non Δ baita eragile diferentzial progresiboa. Beraz, baliagarria da baildin eta

Irudikapen integrala 
Funtzioak Mellinen transformatuaren araberako irudikapen integrala du. Hau da:

 

 denean.

Hurwitzen formula 
Hurwitzen formulak teorema hau ezartzen du: 

 

izanik 

 

zetaren adierazpen bat da, eta balio du -rentzat. Non,  polilogaritmoa baiten.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Zeta eta L funtzioak
Funtzio eponimoak