Pellen ekuazioaren bateragarritasuna



Pell-en ekuazioa bateragarria da. 
Pellen ekuazioa:  , bateragarria da,   edozein zenbaki arrunt eta ez karratu izanik. Pell-en ekuazioak beti onartzen du ebazpen neutroa: , horregatik bateragarria dela diogunean, neutroa ez den ebazpen baten existentziaz mintzo gara.

Pell-en ekuazioa bateragarria dela frogatuko da,  edozein zenbaki arrunt eta ez karratu izanik. Honetarako Dirichlet-en bidea jarraituz: Lema bat, korolario bat eta proposizio bat frogatuz.

Oharra: Notazioetan,  bitartea erabiliko da, multzoa adierazteko, eta , berriz, -ren zati osoa adierazteko.

, aleph zero sinboloak infinitu kontagarria adierazten du, eta -k,  multzoaren elementu kopurua. 

Zenbaki arrazionalak:

Lema 
 emanik, -rentzat  non  eta .

Froga. 
 zenbaki arrazionala,  eta  suposatzen da orokortasuna galdu gabe.

 emanik, ondorengo segida eraikiko da:  non  .

, -rentzat.

Honela  zenbaki ,  bitarte disjuntutan banatu dira, eta usategi printzipioa erabiliz, existitzen da bitarte bat, gutsienez bi zenbaki bere baitan dituena. 

, eta  non 

, eta  . Honela  eta  aukeratuz.

 non  eta .

Korolarioa (Dirichleten teorema) 
 eta

Froga 
, hartuaz . Ondorioz .

Absurdura bideratuz suposa bedi,  dela (finitua).

Zenbaki arrazionalen arkimedesen ezaugarriagatik: .

 eta  zenbakiei, aurreko Lema  aplikatuz: 

Ondorioz, 

Eta bestalde 

Absurdua denez ezinezkoa da  finitua izatea

Proposizioa 
 zenbaki arrunt eta ez karratua bada, Pell-en ekuazioak:  , badu ebazpen ez neutro bat.

Froga 
 zenbaki arrunt eta ez karratua bada,  ez da zenbaki arrazionala: .

 zenbakiari aurreko korolarioa aplikatuz,  , zeinetan: 

. 

 Ondorengo emaitza frogatuko da hiru pausotan:

 non .

Zeinetan  multzoa den.

Bat: , forgatuko da, zeinetan  .                              Ondorengo desberdintzak betetzen dituzte  multzoko zatikiek:  emanik: , eta desberdintza triangeluarra erabiliz:

  .

Bi zenbakien biderketa eginez:

 . Honela: . Eta emaitza frogatzen da: .

Bi  zeinetan .   

Ondorengo aplikazioa sortuko da: , zeinetan .

Erraz frogatzen da ondo definitutako aplikazioa dela, eta supraiektiboa dela.

 supraiektiboa .

infinitua denez,  ere infinitua da: .

Hiru:  non  .

Zeinetan multzoa den.

Multzoen arteko ondorengo berdintza betetzen da:

.

Absurdura bideratuz    suposatzen bada.

. Multzo finituen batura finitua finitua izateagatik.

Honela,  ondorioztatu da, zeinak , ukatzen duen: absurdua.

Existitzen da beraz multzoren bat infinitu elementu dituena.
 Behin  aukeratu dugularik ( ) eta ,  multzoan Pellen ekuazioa betetzen duen ebazpen ez neutro bat existitzen dela frogatuko da. Ondorengo atalak frogatuz:
Bat: Ondorengo emaitza frogatuko da:

: ,  .

, aplikazioa eraikiko da zeinetan   ,  eraztuneko elementuak izanik.

 Multzoa infinitua izateagatik eta , multzoa berriz finitua, irudi berdineko bi elementu desberdin existitzen direla ondoriozta daiteke ( zentzu zorrotzean infinitu ere exititu arren). , eta  .

 eta .  non

 , honela :

 eta .

Bi: Ondorengo erlazioa frogatuko da: .

frogatuko da, lehenik. . 

Eta modu berean argudiatzen da: .

Ondorioz:.

Hiru: frogatuko da.

.

.

Lau:  eta frogatuko da.

Kenketa eginez: 

.

.

Bost: Pellen ekuazioaren ebazpen bat existitzen dela frogatuko da. 

 non 

.

Ondorioz Pell ekuazioaren ebazpen bat existitzen da: .

Sei: Ebazpena ez dela neutroa frogatuko da: .

Absurdura bideratuz,  baldin bada: .

 denez ondorengo zenbakiak sortuko dira:

.

Zenbaki hauen zatitzaile komunetako handiena: 

.

Eta: 

. 

Zenbaki oso bat bere alderantzizkoaren berdina bada, zenbaki oso hori: 1 edo -1 da.

 bada, bietako bat negatiboa da, eta aukeraketa  multzotik egin da ezinezkoa.

, bada   . Zeinak osagaien aukeraketa ukatzen duen, ezinezkoa.

Ondorioz: .

Ekuazio diofantikoak