Aljebra multilineal

Aljebra multilineala Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.

Notazioa 
Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.

 Oinarrizko kasuan (1 mailako tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz:  Horrek adierazten du X objektua konbinazio lineala dela:

  oinarrizko bektoreen gainean, eta X-ren osagaiak deituriko balioen gainean, non  hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.

 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak  aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera.  funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira, betetzen duten  transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein  kobektore honela idazten da: Notazioa hori honela laburtu daitekeela: 
 Bigarren mailako tentsoreak:
 Kontrabarianteko bi heineko tentsore bat da hau:
 Kobarianteko bi heineko tensorea da. 
 Eta bi heineko tensore misto bat da hau:  Horrek bi-indezedun konbinazio lineal  bat adierazten du.

 Adibidez:

 espazioaren dimentsioa bi bada.

 Aurrekoa orokortuz,  idazten da A tensore misto baten osagaiak irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina

 indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.

Hori guztia kontuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

Produktu tentsoriala 
V eta W bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da

 

hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala

 

Eta, beraz,  espazioan bizi den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.

 

eta honela laburtu daiteke

  s edo t indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.

Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta  bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:

 
 
 
 
 

Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

Tensoreak eta formak 
Bedi  espazio bat -ekin sortua. Sinboliza dezagun -rekin  oinarri duala,   multiespazioko edozein elementu  honela idazten da: . Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke

 

jakinik dela, non  Kronecker-en delta.

Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea) 

 tensore
 espazio dual
 Bobektoreak
 geometria diferentziala
 tensore-kalkulua
 analisi bektoriala
 bektoreen kobariantza eta kontraxia
 tensore metrikoa
 deribatu kobariantea
 konexioa
 Riemann-en kurbadura-tensorea
 Christoffelen ikurrak
 kanpoko aljebra
 forma diferentziala
 kurbadura
 Stokesen teorema
 Levi-Civita ikurra
 Atala (matematika)
 Eremu bektoriala
 Eremu tensoriala
 Pullback

Erreferentziak

Bibliografia 

 Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9049-3.
 Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829.
 Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
 Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. ISBN 978-0-12-639202-9. OCLC 59106339.

Ikus, gainera 

 Aljebra lineal

Kanpo estekak 

Aljebra multilineala
Geometria diferentziala