Topologia orokor

Matematikan, topologia orokorra topologian erabiltzen diren multzo-teoriaren definizio eta eraikuntza nagusiekin lan egiten duen topologiaren adarra da. Topologiaren beste adar gehienen oinarria da, haien artean topologia diferentziala, topologia geometrikoa eta topologia aljebraikoa.

Topologia orokorrean kontzeptu nagusiak jarraitutasuna, trinkotasuna eta konexutasuna dira:

 Intuitiboki, funtzio jarraituek "hurbil" dauden puntuak "hurbil" dauden puntuetara eramaten dituzte.

 Multzo trinkoak nahi bezain "txikiak" diren multzo kopuru finitu batengatik estali daitezkeenak dira.

 Multzo konexuak elkarrengatik "urrun" dauden bi zatitan banandu ezin diren multzoak dira.

"Hurbil", "txikiak" eta "urrun" hitzen esanahia guztiz zehaztu daiteke multzo irekiaren kontzeptua erabiliz. "Multzo ireki"-en familia aldatzen badugu, funtzio jarraituak, multzo trinkoak eta multzo konexuak zein diren ere aldatzen dugu. "Multzo ireki"-en familia bakoitzari topologia bat deritzo. Multzo bati topologia bat egokitzean hau espazio topologiko bihurtzen da.

Espazio metrikoak espazio topologiko mota garrantzitsu bat dira. Bertan distantzia erreal, ez-negatibo bat, metrika ere deiturikoa, definitu daiteke espazioko puntu bikoteen gainean. Metrika bat edukitzeak frogapen asko errazten ditu, eta espazio topologiko ohikoenetako asko espazio metrikoak dira.

Multzo baten gaineko topologia 

Izan bedi X multzoa eta τ X-ren azpimultzoen familia. Esaten da τ X-ren gaineko topologia dela baldin eta:

1- Multzo hutsa eta X τ familiaren elementuak badira

2- τ familiaren elementuren edozein azpifamilia finituren ebakidura τ familian badago

3- τ familiaren elementuren edozein familiaren bildura τ familian badago

τ familia X-ren gainean definitutako topologia bada, (X,τ) bikotea espazio topologikoa dela esaten da.

τ familiaren elementuei X-ren multzo ireki deitzen zaie. Azpimultzo bat itxia izango da bere osagarria τ familian badago, hau da, bere osagarria irekia bada. X-ren azpimultzo bat irekia, itxia, biak edo bat ere ez izan daiteke. Hutsa eta X topologia guztietan irekiak eta itxiak dira.

Puntu baten ingurunea 
N azpimultzoa X espazioko x puntu baten ingurunea dela esaten da existitzen bada U ireki bat x puntua barruan duena eta N azpimutzotik ateratzen ez dena (x∈U⊆N). Inguruneek ez dute zertan irekiak izan, baina azpimultzo ireki bat beti izango da bere puntu guztien ingurunea.

Topologia baten oinarria 

τ topologia duen X espazio topologikoaren B oinarria τ topologiaren azpifamilia bat da non τ topologiako multzo ireki ez-huts bakoitza B azpifamiliako elementuen bildura bezala idatz daitekeen. Kasu honetan, esaten da B oinarriak τ topologia sortzen duela. Oinarriak oso erabilgarriak dira, izan ere topologien hainbat propietate, topologia hori sortzen duen oinarriari buruzko baieztapenetara laburbildu daitezkeelako. Horrez gain, hainbat topologia askoz errazago definitzen dira ireki-oinarriak emanda, topologia osoa emanda baino.

Espazio topologikoen adibideak 

 Multzo bakoitzak hainbat topologia ezberdin izan daiteke . Edozein multzori topologia diskretua egokitu dakioke, non azpimultzo guztiak irekiak diren.Gainera, edozein multzori ere topologia indiskretua egokitu dakioke, non ireki bakarrak multzo hutsa eta espazio osoa diren.

 R zenbaki errealen multzoan, topologia bat definitzeko hainbat modu daude. R-ren ohiko topologia tarte irekien bidez sortua dagoen topologia da. Tarte ireki guztien multzoak topologiaren oinarri bat osatzen du, hau da, multzo irekiak tarteen bildura gisa adieraz daitezkeen azpimultzoak dira. Zehazki, aurrekoak esan nahi du multzo bat irekia dela baldin eta soilik baldin edozein punturentzako ingurune bat existitzen bada multzotik ateratzen ez dena. Aurrekoa orokortuz, Rn multzoaren ohiko topologia bola irekien oinarriak sortutako topologia da. Era berean definitzen da ₵ eta ₵n multzoen ohiko topologia.

 Espazio metrikoak: Espazio metriko bat bat (M,d) bikote ordenatu bat da, M multzo bat eta d M-ren gaineko metrika bat izanik, hau da, d: M×M → R aplikazioa, hurrengo baldintzak betetzen dituena: edozein x, y, z ∈ M, d(x,y) ≥ 0 (ez-negatiboa), d(x,y) = 0 baldin eta soilik baldin x = y (Leibniz-en legea), d(x,y) = d(y,x) (simetrikoa) eta d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (desberdintza triangeluarra) d aplikazioak distantzia aplikazio izena jasotzen du, edo soilik distantzia. Orokorrean, espazio metriko bakoitzari topologia metriko bat egokitu dakioke, non oinarriko multzo irekiak metrikaren bitartez definitutako bola irekiak diren.

 Edozein multzori topologia kofinitua egokitu dakioke, non multzo irekiak multzo hutsa eta osagarri finitua duten azpimultzoak diren. Gainera, edozein multzori topologia kokontagarria egokitu dakioke, non multzo irekiak multzo hutsa eta osagarri kontagarria (hau da, finitua eta zenbakigarria) duten azpimultzoak diren. Multzoa zenbakigarria ez denean, topologia hau kontraadibide gisa erabiltzen da egoera askotan.

 Beste topologia ezagun batzuk Kolmogorov-en topologia eta Scattered topologia dira. Kolmogorov-en topologian multzo irekiak multzo hutsa, espazio osoa edo (a,+∞) moduko tarteak dira, a zenbaki erreala izanik. Scattered topologian, aldiz, multzo irekiak A eta B multzoen bildurak diren, non A ohiko topologian irekia den azpimultzoa den eta B zenbaki irrazionalen azpimultzoa den.

Zuzen errealari ere Sorgenfrey-ren topologia (edo behe-limitearen topologia) egokitu dakioke. Topologia honetan oinarriko multzo irekiak tarte erdi-irekiak dira [a,b) modukoak direnak.

Funtzio jarraituak

Definizioa 
Funtzio baten jarraitutasunaren definizio desberdin asko daude, horietako bat aurreirudien bidezko definizioa da. ƒ: X → Y funtzioa x∈X puntu batean jarraitua dela esaten da baldin eta soilik baldin multzo ireki (itxi) guztien aurreirudia irekia (itxia) bada.

Adibidez, X multzo bati topologia diskretua egokituz gero,

ƒ: X → Y

edozein Y espazio topologikora doan funtzio guztiak jarraituak dira. Izan ere, topologia diskretuan X-ren azpimultzo guztiak irekiak dira eta beraz Y espazioan irekia den edozein azpimultzoren aurreirudia irekia izango da beti. Bestalde, X-ri topologia indiskretua egokituz gero, funtzio jarraitu bakarrak konstanteak dira.

Definizio baliokideak

Inguruneen bidezko definizioa 
Aurreirudien bidezko definizioa zuzenean erabiltzea zaila da batzuetan. Hurrengo definizioak funtzio baten jarraitutasuna inguruneen bitartez adierazten du: ƒ: X → Y funtzioa x∈X puntu batean jarraitua dela esaten da baldin eta soilik baldin ƒ(x)-ren edozein ingurune V emanda, x-ren U ingurune bat existitzen bada ƒ(U)⊆V betetzen duena. Jarraitutasunaren esanahi intuitoboa da V oso “txikia” izan arren, beti existitzen dela x barne duen U, bere irudia V-tik ateratzen ez dena.

X eta Y espazio metrikoak badira, ingurune guztiak aztertu beharrean, x-n eta ƒ(x)-n zentratutako bola irekiak bakarrik kontutan hartu daitezke, eta definizio honen baliokidea da analisian erabili ohi den ε-δ-definizioa. Baina orokorrean espazio topologikoetan hurbiltasunak eta distantziak ez daukate zentzuzko esanahirik.

Eragileen bidezko definizioa 
Espazio topologiko batean azpimultzo irekiak zehaztu ordez, topologia itxitura eragile (cl) baten bidez deskribatu daiteke, A⊆X azpimultzo bakoitzari bere itxitura egokitzen diona, edota barrualde (int) eragile baten bidez, A⊆X azpimultzo bakoitzari bere itxitura egokitzen diona. Kasu honetan,

<big>ƒ: (X, cl) → (X, cl')</big>

funtzio bat jarraitua da baldin eta soilik baldin A⊆X guztietarako

ƒ(cl(A)) ⊆ cl'(ƒ(A))

Hau da, edozein A azpimultzoren itxituran dagoen x bat hartuta, ƒ(x) ƒ(A)-ren itxituraren barruan badago. Baldintza honen baliokidea da esatea A'⊆X guztietarako

<big>cl(ƒ-1(A')) ⊆ ƒ-1(cl'(A))</big>

Bestalde,

<big>ƒ: (X, int) → (X, int')</big>

funtzio bat jarraitua da baldin eta soilik baldin A⊆X guztietarako

ƒ-1(int'(A)) ⊆ int(ƒ-1(A))

betetzen bada.

 Propietateak 
ƒ: X → Y eta g: Y → Z jarraituak badira, orduan g∘ƒ: X → Z konposaketa ere jarraitua da eta

 X trinkoa bada, orduan ƒ(X) ere trinkoa da.

 X konexua bada, orduan ƒ(X) ere konexua da

 X bidez-konexua bada, orduan ƒ(X) ere bidez-konexua da.

Jarraitutasunaren erabilera bat X multzo baten gaineko topologien arteko partekotasun erlazioak zehaztea da: τ2 topologia bat τ1 beste topologia bat baino finagoa dela esaten da (τ1 ⊆ τ2) τ1-en irekia den edozein azpimultzo irekia bada τ2-n ere. Hau da, identitate aplikazioa

idX: (X, τ2) → (X, τ1)

jarraitua bada (ireki guztien aurreirudia irekia bada).  Orokorrean,

ƒ: (X, τX) → (Y, τY)

aplikazio jarraitu bat oraindik ere jarraitua izango da τX topologia baino finagoa den topologia batengatik ordezkatzen bada, edo τY beste topologia batengatik ordezkatzen bada, τY finagoa izanik.

 Homeomorfismoak 
Funtzio bat jarraitua izateaz gain, bijektiboa denean eta bere alderantzizkoa ere jarraitua denean homeomorfismo bat dela diogu. Homeomorfismo baten definizio baliokidea aplikazio jarraitu, bijektibo eta irekia (azpimultzo ireki guztien irudiak irekiak direnean) da. Bi espazio topologiko homeomorfoak direla esaten da haien arteko homeomorfismo bat existitzen denean, eta espazio homeomorfoek portaera bera daukate propietate topologikoekiko (adibidez, gero aztertuko ditugun trinkotasuna eta konexutasuna propietate topologikoak dira).

Intuitiboki, homeomorfismoek espazio bat beste batean "deformatzen" dute eta beraz, topologiaren ikuspuntutik, bi espazio horiek berdinak dira. Adibidez, katilu bat eta erroskila bat homeomorfoak izango lirateke, izan ere, bata bestean deformatu daiteke.

 Aplikazio jarraitu baten bidez definitutako topologia 
ƒ: X → S

aplikazio jarraitua bada, eta (X, τX) espazio topologikoa, S multzoaren gainean definitutako helburu-topologia hurrengoa da:

τ = { U⊆S : ƒ-1(U) ∈ τX }

Topologia hau da ƒ jarraitua egiten duen topologiarik finena. Gainera, ƒ suprajektiboa bada, topologia hau kanonikoki identifikatzen da ƒ-k zehaztutako baliokidetasun-erlazioaren gaineko zatidura topologiarekin.

Modu berean,

ƒ: S → X

aplikazio jarraitua bada eta (X, τX) espazio topologikoa, S-ren gainean definitutako hasiera-topologia hurrengoa da:

τ = { U⊆S : ƒ(U) ∈ τX }

S-ren gainean beste topologia bat zehazten badugu, ƒ jarraitua izango da baldin eta soilik baldin topologia berria hasiera-topologia baino finagoa bada. ƒ injektiboa bada, τ kanonikoki identifikatu daiteke S-ren azpiespazio topologiarekin (τS), S⊆X bezala begiratuz.

 Multzo trinkoak 
Izan bitez (X,τx) espazio topologikoa eta A ⊆ X. A trinkoa dela esango dugu baldin eta A-ren edozein estalki irekik azpiestalki ﬁnitu bat badu. Bestela, ez-trinkoa deitzen da. Adibidez, R ez da trinkoa ohiko topologian, {Un}=(-n,n) R-ren estalki irekia hartuz gero, ez da existitzen azpiestalki finiturik. Hau ere beste modu batean ondoriozta dezakegu ondorengo propietatea erabiliz: ohiko topologian, multzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin itxia eta bornatua bada.

Matematikaren adar batzuetan, geometria aljebraikoan esate baterako, "ia trinkoa" terminoa erabiltzen dute kontzeptu orokorra adierazteko, eta trinko hitza gordetzen dute Hausdorff eta ia trinkoak diren espazio topologikoetarako.R-ko luzera finituko tarte itxi guztiak trinkoak dira. Gainera, Rn-n ere multzo bat trinkoa da baldin eta soilik baldin itxia eta bornatua da.

Espazio trinko baten irudi jarraitu guztiak trinkoak dira.

Hausdorff den espazio batean azpimultzo trinko bat itxia da.

Bijekzio jarraitu guztiak espazio itxi batetik Hausdorff den beste batera, homeomorfismoak dira.

 Multzo konexuak 
X espazio topologiko bat ez-konexua dela esaten da bi multzo ireki ez huts disjuntuen bildura bada. Bestela, X konexua dela esaten da. Espazio topologiko baten azpimultzo bat konexua dela esaten da konexua bada azpiespazio topologikoan. Egile batzuek multzo hutsa baztertzen dute espazio konexu bezala, baina hemen ez dugu irizpide hori jarraituko.

X espazio topologiko baterako ondoko baieztapenak baliokideak dira:

 X konexua da
 X ezin da banandu bi multzo itxi ez huts disjuntuetan
 X-ren azpimultzoen artean, bakarrik X eta multzo hutsa dira irekiak eta itxiak aldi berean.
 X-ren azpimultzoen artean, bakarrik X eta multzo hutsa dira muga hutsa dutenak.R-ko tarte guztiak konexuak dira.

Espazio konexu baten irudia konexua da.

 Osagai konexuak 
Espazio ez-huts bateko azpimultzo konexurik handienei (partekotasunaren arabera ordenatuta) osagai konexuak deitzen zaie. X edozein espazio topologikoren osagai konexuek X-ren gaineko partiketa osatzen dute: disjuntuak eta ez-hutsak dira eta haien bildura espazio osoa da. Osagai konexuak jatorrizko espazioaren azpimultzo itxiak dira. Kopuru finitua diren kasuan, osagai konexu bakoitza azpimultzo ireki bat da gainera. Hala ere, kopuru infinitua bada, hau ez da zertan gertatu; adibidez, zenbaki arrazionalen multzoaren osagai konexuak puntu bakarreko multzoak dira, eta hauek ez dira irekiak.

Osagai konexu guztiak puntu bakarreko multzoak direneko espazio topologikoari, espacio guztiz ez kone deritzo.A multzo bat ez-konexua dela esaten da, existitzen badira bi ireki U eta V non A U eta V-ren bilduraren parte den, A-ren ebakidura U eta V-rekin desberdin hutsa den eta hiruren (A-ren V-ren eta U-ren) arteko ebakidura hutsa den. Adibidez, ohiko topologian, N ez-konexua, existitzen baitira U=(-∞,½) eta V=(½,+∞) bi multzo ireki ohiko topologian non N U eta V-ren bilduraren parte den, A-ren ebakidura U eta V-rekin desberdin hutsa den eta hiruren arteko ebakidura hutsa den.

 Bidezko konexutasuna 
X espazio topologikoan x puntutik y punturako bidea [0,1] tartetik X-rako ƒ funtzio jarraitu bat da ƒ(0)=x eta ƒ(1)=y betetzen duena. X-ren osagai bidez konexua X-ren baliokidetasun-klase bat da baliokidetasun-erlazioa barruan, x-etik y-raino bide bat egonez gero, x eta y baliokide egiten dituena. X espazio bat bidez konexua dela esaten da baldin eta gehienez bide osagai bat badago, hau da, X-ren edozein bi puntu lotzen dituen bide bat badago.

Espazio bidez konexu espazio guztiak konexuak dira. Kontrakoa ez da beti egia: topologoaren sinu kurba adibidez espazio konexua da baina ez da bidez konexua.

Hala ere, R-ren azpimultzoak konexuak dira baldin eta soilik baldin bidez konexuak badira; azpimultzo hauek R-ren tarteak dira. Gainera, Rn edo ₵n-ren azpimultzo irekiak konexuak dira baldin eta soilik baldin bidez konexuak badira. Honetaz aparte, konexutasuna eta bidezko konexutasuna propietate baliokideak dira espazio topologiko finituetan.

 Biderkadura topologikoa 
Izan bedi

X = Xi

Xi, i∈I espazio topologikoen biderkadura kartesiarra. Multzo horri biderkadura topologia (Tychonoff-en topologia deiturikoa) egokitu dakioke.

Biderkadura topologian azpimultzo irekiak Ui itxurako azpimultzoen bildurak dira, Ui ∈ τi izanik, eta Ui ≠ Xi kopuru finitu batean. Topologia honek proiekzio koordenatuak pi: X → Xi jarraituak egiten ditu, eta X-ren gainean beste topologia bat ezartzen bada proiekzio koordenatuak jarraituak egiten dituena, Tychonoff-en topologia baino finagoa izango da.

Biderkadura topologia proiekzio koordenatuen bidez zehaztu daiteke: pi-1(U) itxurako azpimultzoek sortutakoa baita, i∈I eta Ui∈τi izanik. Hau da, {pi−1(U)} azpimultzoek X-ren gaineko topologiaren azpioinarri bat osatzen dute. X-ren azpimultzo bat irekia izango da baldin eta soilik baldin pi−1(U) itxurako multzoen ebakidura finituen bildura (infinitua izan daiteke) bada. pi−1(U) multzoek zilindro ireki izena jasotzen dute eta haien ebakidura finituek X-ren ireki-oinarri bat osatzen dute.

Orokorrean, Xi bakoitzeko irekien biderkadurek kutxa-topologia deritzon topologiaren ireki-oinarri bat osatzen dute. Orokorrean, kutxa-topologia Tychonoff-en topologia baino finagoa da, baina biderkadura finituetarako berdinak dira.

Biderkadura espazioetan, trinkotasunari dagokionean, Tychonoff-en teoremak zehazten du espazio trinkoen biderkadura trinkoa izango dela.

 Banantze axiomak 
Izen hauetako askok beste esanahiak dituzte literatura matematiko batzuetan, adibidez "normal" eta "T4" batzuetan elkarren artean trukatzen dira, baita "erregular" eta "T3" ere, eta abar. Kontzeptu askok ere izen desberdinak dituzte; zerrendatuetan lehenengoa da beti anbiguoa izateko aukera gutxien dituena.

Hurrengo definizioetan (X ,τ) espazio topologikoa da:

 X T0 edo Kolmogorov da X-ko edozein bi puntu x eta y desberdin emanda, existitzen bada U ireki bat x barruan duena eta y ez, edo y barruan duena eta x ez. Hau da,

 X T1 edo Fréchet da X-ko edozein bi puntu x eta y desberdin emanda, existitzen bada U ireki bat x barruan duena eta y ez, eta beste V ireki bat y barruan duena eta x ez. Hau da,

Propietate honen baliokidea da X espazioko edozein x puntu emanda, {x} azpimultzoa itxia izatea. Ohikoa da banantze axiomen artean T1 eskatzen duen axiomaren bertsio bat eta T1 eskatzen ez duen beste bat egotea.

 X Hausdorff edo T2 da X-ko edozein bi puntu x eta y desberdin emanda, existitzen badira bi ireki U eta V disjuntu, batek x barruan duena eta besteak y. Hau da,

 X erregularra da X-ko F azpimultzo itxi bat eta F-tik kanpo dagoen x puntu bat emanda, existitzen badira U eta V bi ireki disjuntu, batek F barruan duena eta besteak x. Hau da,

X erregularra eta T1 bada, T3 dela esaten da.

 X normala da X-ren edozein F eta G bi azpimultzo itxi disjuntu emanda, existitzen badira U eta V bi ireki disjuntu batek F barruan duena eta besteak G. Hau da,

X normala eta T1 bada, T4 dela esaten da.

Banantze axiomen artean hurrengo inplikazioak betetzen dira:

Kontagarritasun axiomak 
Kontagarritasun axioma bat objektu matematiko baten (normalean kategoria batekoa) propietate bat da, propietate zehatz batzuk betetzen dituen multzo kontagarri baten existentzia eskatzen duena.

Espazio topologikoen kontagarritasun axioma garrantzitsuenak:

 Espazio lehen zenbakigarria: puntu bakoitzak ingurune-oinarri kontagarri bat dauka.

 Espazio bigarren zenbakigarria: topologiak ireki-oinarri kontagarri bat dauka.

 Espazio banangarria: azpiespazio dentso kontagarri bat existitzen da.

 Lindelöf espazioa: edozein estalki-irekik azpiestalki kontagarri bat dauka.

Axiomen arteko erlazioak:

 Edozein espazio bigarren-kontagarri lehen-kontagarria, banangarria eta Lindelöf da.

 Espazio metrikoak lehen-kontagarriak dira.

 Espazio metrikoetan bigarren-kontagarritasuna, banangarritasuna eta Lindelöf propietateak baliokideak dira.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Espazio topologikoa

Kanpo estekak 

Topologia