Aplikazio lineal

Matematiketan aplikazio lineala bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

Definizioa 
Aplikazio lineal,  funtzio lineal edo transformazio lineal esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein  aplikaziori:

Bitez  gorputzaren gainean eraikitako eta  bektore-espazioak.  aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako  eta edozein eskalarrendako  ondokoa betetzen bada:
 
 .
Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

 .

Adibideak 

 Identitate aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:
 Homoteziak -dimentsioko  gorputzean ere aplikazio linealak dira, non  handitze () edo txikitze () konstantea baita:Demostrazioa: bitez . Orduan .

Irudia eta nukleoa

Irudia 
Izan bitez  gorputzaren gaineko  espazio bektorialak.   aplikazio lineala definituz, orduan,  multzoari aplikazioaren irudia deritzo definizioz, eta  ere adierazten da.  Multzo hau -ren azpimultzoa da, are gehiago,   -ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin,  bada.

Nukleoa 
 hartuz, bere nukleoa ( adierazia) honako hau izango da:

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera,  -ren azpiespazio bektoriala da ere. 

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin  bada.

Aplikazio linealen oinarrizko teorema 
Izan bedi  aplikazio lineala. Orduan,  berdintza betetzen da.

Aplikazio linealen eraikuntza 
 eta  linealak badira,  ere lineala izango da ().

 lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan,  ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez,  transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

 eta  linealak badira, orduan haien konposizio g∘f: V → Z  ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

 transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

Transformazio linealen sailkapena 

 Funtzional lineala:   transformazio linealei (non  den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
 Monomorfismoa:  injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada. 
 Epimorfismoa: Baldin eta  supraiektiboa bada.
 Isomorfismoa: Baldin eta  bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
 Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
 Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

Aplikazio linealari dagokion matrizea 
Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta  eta  V eta W-ren oinarriak. Hartu  L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea  eta  oinarriekiko, i. zutabean  bektorearen  oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

hau da,  guztietarako,  da.

Kanpo estekak 

Aljebra lineala