Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

Matematikan, Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza, Schwarz-en desberdintza, Cauchy-ren desberdintza eta Cauchy-Schwarz-en desberdintza izenekin ere ezagutzen da. Desberdintza hau matematikaren hainbat arlotan aplikatu ohi da, besteak beste, aljebra lineala, analisi matematikoa eta probabilitate teorian.

Augustin Louis Cauchy (1821) batuketarako desberdintza publikatu zuen, aldiz, Vitor Yakovlevich Bunyakovsky          (1859) integralei dagokion desberdintza ezarri zuen eta ondoren, Hermann Amandus Schwarzek (1888) berraurkitu zuen.

Cauchy-Schwarz-en desberdintza 
Izan bedi  espazio bektorial konplexua biderketa eskalarrarekiko, non  bektoreek Cauchy-Schwarz-en desberdintza betetzen dute.

Non  biderketa eskalarra den.

Frogapena

Har dezagun  bektoreen konbinazioa non    . Biderketa eskalarraren propietateengatik, bektore honen biderketa bere buruarekiko handiago edo berdin zero da beti.

Linealtasuna biderketa eskalarraren eskumatik aplikatuz, aurreko espresioa garatu daiteke.

Eta azkenik:

Q.E.D

Beraz, desberdintza berdintza bihurtzen da baldin eta soilik baldin bektoreak linealki dependienteak badira haien artean.

Kasu berezia: Desberdintza V espazio bektoriala -ren gain 
Izan bitez  eta  edozein zenbaki errealak.

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

Gainera, desberdintza egiaztatzen da baldin eta soilik baldin existitzen bada zenbaki erreal bat  non  edozein .

Frogapena

Karratuen batuketa ezin da inoiz negatiboa izan, beraz, hauxe daukagu:

          

edozein  zenbaki erreal izanik.

Desberdintza betetzen da baldin eta soilik baldin batuketaren termino bakoitza (   edozein ) berdin zero bada. 

Desberdintza hau modu honetan idatz daiteke: 

     

non

               

Aurreko ekuazioak polinomio koadratiko batek ezin izango duela izan bi erro errealak zehazten du, handiago edo berdin zero delako beti. Hortaz, bere diskriminatzailea txikiago edo berdin zero izan behar da.

Orduan:

 eta hauxe da Cauchy-Schwarz-en desberdintza.

Notazio bektoriala erabiliz, Cauchy-Schwarz-en desberdintzak forma hau hartzen du:

 

non

 bi bektore n dimentsiokoak diren,  haien biderkadura eskalarra den eta    a eta b-ren norma diren.

Bitxikeriak

 Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Hölder desberdintzaren kasu partikular batekin froga daiteke, p=q=2-rekin.
 Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Lagrange-en identitatearen kasu partikular batekin froga daiteke, baita zenbaki konplexuko kasurako ere. 
 Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza biderketa eskalarra topologia induzituarekiko funtzio jarraitua dela frogatzeko erabiltzen da. 
 Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Bessel-en desberdintza frogatzeko erabiltzen da.
 Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioaren formula orokorra Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza erabiliz  deribatzen da biderketa eskalarrarekiko uhin funtzio fisikoen espazioan definituta.

Erreferentziak

Bibliografia 

 Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
 H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953) 
 M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Ikus, gainera 
 Hölderren desberdintza
 Minkowskiren desberdintza

Kanpo estekak 

 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy Schwarz inequality», Encyclopaedia of Mathematics (ingeleses), Springer, ISBN 978-1556080104.

Aljebra lineala
Desberdintzak
Analisi matematikoa
Operadoreen teoria