Pellen ekuazio

Pell-en ekuazio diofantoarra gisa honetako ekuazioa da: , zeinetan  zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan. 

Pellen ekuazioaren:  , parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: , eta  beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik  zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren  ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan. 

Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz:  zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea.  

Irudian , ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira:

Historia 
Ekuazio honen ikerketa antzinakoa da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.

Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.

Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots:    edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat (  ), (usategiaren printzipioa erabiliz). 

Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.

Oinarrizko ebazpena determinatzeko metodoa, zatiki jarraien bidez ebatziko dute: Euler(1748), Lagrange(1768) eta Galois(1828)-ek: zenbaki irrazional bikarratuak, zatiki jarraien bidezko garapenarekiko karakterizatuz.

Oinarrizko ebazpena 
 zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: , bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak,  hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, , adieraziko da, hots: . Irudian agertu den kasuan: , ren oinarrizko ebazpena: . 

 Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.

Zatiki jarraien bidezko garapenaren . hondarra adieraziko da.

Zenbaki irrazionala:  , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: ,  berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.

Honela:  izango da zatiki jarraien bidezko garapena. 

Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:

 ,  bikoitia bada.

 ,  bakoitia bada.

Irudian agertu den kasuan: , ondorioz: , bakoitia. 

Eta oinarrizko ebazpena:

Ebazpen guztiak 
Pellen ekuazioaren: , oinarrizko ebapena bada: .  

, eta erlazio hori betetzen du edozein ebazpenek. Ondorioz:  

, berdintza betetzen da  edozein zenbaki osorentzat.  

, moduan adieraz daiteke, eta , moduan zeinetan:  

Zeinetan: , hartzen bada lehen koadranteko ebazpen guztiak hartzen diren. Ebazpen hauen artean ezin dela beste egon frogatuz, lehen koadanteko ebazpen guztiak gisa horretakoak dira.

Adibideak 
Lehena:

, ez da karratua, eta beraz: , bateragarria.

, zatiki jarraien bidezko garapena. 

, bikoitia denez:   

Ebazpen minimoa: . 

. 

Lehen koadranteko ebazpen guztiak: 

Bigarrena:

, ez da karratua, beraz: , bateragarria da.

, zatiki jarraien bidezko garapena.

, bakoitia denez:

Ebazpen minimoa: 

Eta lehen koadranteko ebazpen guztiak:

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Pellen ekuazioaren bateragarritasuna
 Pellen ekuazioaren ebazpen guztiak

Kanpo estekak 

Ekuazio diofantikoak