Metrika tentsore

Erlatibitate orokorraren arloan, metrika tentsoreak (normalean metrika izenaz ezagutua testuinguru honetan) espazio-denbora osoaren geometria deskribatzen du. Beraz zenbait kontzeptu deskribatzeko oso erabilgarria da, hala nola, denbora, distantzia, bolumena, kurbatura, angelua, baita gertaeren kausaltasun erlazioak eta iragana eta etorkizunaren arteko muga.

Notazioa eta hitzarmenak 
Artikulu honetan zehar metrikaren signatura sasi-positiboa hautatuko da (- + + +). G grabitazio unibertsalaren konstantea esplizituki adieraziko da. Seinuen hitzarmena iturriaren arabera alda daiteke. Azken hitzarmen gisa, ohartu artikuluan zehar Einsteinen baturaren hitzarmena aplikatuko dugula, eta beraz, ondorengoak baliokideak dira.

 ,

Definizioa 
Matematikari dagokionez, espazio-denbora lau dimentsioko barietate diferentziagarri baten bidez adierazten da, , eta metrika bigarren mailako tentsore kobariante, alderanzgarri eta simetriko baten bidez, . Tentsore hori degenerazio gabekoa eta (- + + +) signaturaduna izan behar da. Metrika hau darabilen barietati bati Lorentz-en barietatea deritzo.

Esplizituki, tentsore metrikoak forma bilinear simetrikoa dauka puntuz puntu diferentziagarria den -rekiko tangentea den espazio bakoitzean.

Suposatu bi bektore tangente,  eta , ditugula -ko  puntuan. Orduan, metrika  eta  bektoreetan ebaluatu daiteke balio erreal bat eskuratzeko.

 

Metrika biderketa eskalarraren orokorpena da espazio Euclidear arrunt batentzako. Baina, espazio Euclidearrean ez bezala, non biderketa eskalarra positiboki definituta dago, metrika ez dago definituta eta espazio tangente orori Minkowskiren espazioaren egitura ematen dio.

Koordenatu lokalak eta adierazpen matriziala 
Fisikariek askoran koordenatu lokaletan lan egiten dute. Koordenatu lokalak  izanik (non  0-tik 3-ra doan zenbaki bat den) metrika hurrengo eran idatzi daiteke

 faktoreak koordenatu eskalarren eremuaren 1-forma gradienteak da. Beraz, metrika koordenatuen 1-forma gradienteen biderkadura tentsorialen konbinazio lineala da. 16 koefiziente errealez osatuta egongo da metrika (tentsorea eremu tentsorial izanik, espazio-denbora barietatearen puntu guztietan definituta egongo delako). Dena dela, metrika simetrikoa izango bada,

beraz, 10 koefiziente baino ez dira izango independienteak.

Koordenatu lokalak ezagunak badira (aurretiaz zehaztu direlako edo testuingurutik ondorioztatuz),  gaiek osaturiko 4  4 dimentsioko matrize gisa adierazi daiteke metrika, matrizea simetriko izanik.  degeneratu gabea denez gero matrize hori ez da singularra izango. Signaturatik ondoriozta daiteke matrize horren autobalioetako bat negatiboa izango dela eta beste hirurak positiboak. Kontuan izan, fisikaren arloan, matrize hau bera edo  koordenatuak direla adierazi nahi duguna metrika aipatzean.

Aurretiaz ez bezala,  gaiak koordenatuen desplazamendu tetrabektorial baten gai infinitesimalak izango dira (lehen 1-forma gradienteak ziren baina notazioa aldatuko dugu orain). Metrikak desplazamendu infinitesimal baten aldaezinaren karratua zehaztuko du, tarte gisa ezagutuko duguna. Tarte hori hurrengo eran adieraziko dugu:

Tarte hori oso loturiko dago espazio-denboraren egitura kausalarekin.  denean, denbora motako tartea daukagu esku artean. Masadun objektuek denbora motako tarteetan zehar bakarrik desplazatu daitezke.  denean, argi motako tartea dugu eta argi konoa mugatzen du. Mota honetako tarteetan zehar bidaiatzen dute argiaren abiaduran desplazatzen diren masa gabeko partikulak.  denean, tartea espazio motakoa da. Espazio motako tarteetan zehar ezin da desplazatu objekturik, argi konotik kanpo dagoelako. Tarte mota honetan kausaltasuna ez da posiblea. Bi gertaera kausa-ondorioa izan daitezen argi konoen barnean egon behar du espazio-denbora aldaezinak.

Ohartu metrikaren gaiak hautaturiko koordenatu sistema lokalaren araberakoak direla. Beraz, ondorengo eran transformatzen dira metrikaren gaiak  koordenatu aldaketa burutzean:

Kurbadura 
 metrikak guztiz definitzen du espazio-denboraren kurbatura. Riemann-en geometriaren oinarrizko teoremaren arabera, edozein barietate sasi-Riemanndarrean konexio bakarra dago metrikarekin bateragarria eta tortsio-gabea dena. Konexio horri Levi-Civita konexioa deritzo. Konexio horren Christoffel-en ikurrak metrikaren  koordenatu lokalekiko deribatu partzialen funtzioan eman daitezke hurrengo eran

(komen eskuinean ageri drie koefizienteek koefiziente horretako koordenatu lokalekiko deribatu partziala adierazten dute).

Espazio-denboraren kurbadura Riemann-en kurbadura tentsorearen bidez eman dezakegu, tentsore hau goian aipaturiko konexioen bidez definituz. Koordenatu lokaletan ondorengo forma izango du:

Aldi berean, konexioak metrikaren eta bere deribatu partzialen funtzio gisa eman daitekeenez, metrika  eta bere deribatuen menpe bakarrik geratuko da kurbatura.

Einsteinen ekuazioak 
Erlatibitate orokorraren ideia nagusietako bat da metrika zehaztea espazio-denborako materia eta energiaren arabera. Einstein-en eremu ekuazioek metrika eta kurbatura tentsorea (ikusi dugu tentsore hori guztiz lotuta dagoela metrikarekin) energia-momentu tentsorearekin  erlazionatzen dituela.

 

non Ricci-ren kurbatura tentsorea:

 

eta kurbatura eskalarra ditugun:

 

Energia-momentu tentsorea ekuazio diferentzial partzial ez-linealen multzo konplikatu bat da. Hori dela eta, Einstein-en eremu ekuazioen soluzioak lortzea nahiko zaila da.

Metriken adibideak 
Metrika asko eta asko badaude ere, bakoitzak bere abantailak eta arazoak ditu aztertzen ari garen ingurunearen arabera. Ondo aukeratuz gero, baliteke metrika batek Einsteinen ekuazioen soluzioak era erraz batean ematea proposaturiko kasurako.

Berton hiru metrika sakonduko ditugu erlatibitate orokorrarentzako duten garrantziagatik.

Minkowski-ren metrika 
Lorentz-en barietate baten adibide sinpleena espazio-denbora laua da, R4 espazio gisa adierazi daitekeena, koordenatuak ondorengoak izanik . Minkowski-ren metrika  ikurraz adierazten da. Espazio-denborako tarte infinitesimala ondorengo eran erlazionatzen da metrikarekin:

Minkowski-ren metrika da erlatibitate bereziaren arloan erabiltzen dena eta bere adierazpen matrizeala ondorengoa dugu:

Kasu batzuetan, hitzarmenaren arabera,  ordez  koordenatua erabiltzen da eta beraz, adierazpen matrizealaren itzura ondorengoa izango litzateke.

 

Koordenatu inertzial lokaletatik beste koordenatu batzuetara  aldaketa eginez, ondorengo eran transformatzen da metrika kobariantea:

Kontrabariantearen kasuan ordea:

Koordenatu esferikoertara aldatuz, espazio-denbora lauaren metrikak ondorengo itxura du:

 

non

Schwarzschild-en metrika 
Minkowski-ren metrikaren ondoren, erlatibitate orokorrean erabiltzen den metrika garrantzitsuena da. Pausagunean dagoen gorputz esferikoki simetriko batek sortutako eremu estatiko eta simetrikoki esferiko batentzako Einsteinen ekuazioen soluzio erraz bat lor dezakegu. Metrika hau oso erabilia da, besteak beste, kargatu gabeko eta errotazio gabeko zulo-beltzetarako. Ondorengo eran adierazi daiteke metrika koordenatu lokaletan:

Non,

Ondorengo koordenatu multzoa hautatuz,

metrikaren adierazpen matriziala lor daiteke:

Non, G grabitazio unibertsalaren konstantea den, c argiaren abiadura eta M aurretiaz aipaturiko koordenatuen jatorrian zentraturiko gorputz esferikoaren masa.

FLRW metrika 
Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metrika edo FLRW metrika Einsteinen ekuazioen soluzio bat da erlatibitate orokorrean. Unibertso homogeneo eta isotropo baten hedapena deskribatzen du. Baliteke iturriren batean metrika hau lau egileen izenen azpimultzo batez izendatuta agertzea.

Metrikak ondorengo itxura izango du, non aldagai espazialak denborarekiko menpekotasuna izan dezake:

Non,  eskala faktorea den,  kurbadurarekin erlazionaturik dago eta konstantea da denboran zehar.  horrek har ditzakeen balioak  dira.-ri kurbadura espazial nulua deritzo eta espazio-denbora kurbatua bada ere, sekzio espaziala laua da. -ri kurbadura espazial positiboa deritzo eta espazio itxia ematen duela esaten da. -ri kurbadura espazial negatiboa esaten zaio ordea, eta kasu honen sekzio espaziala irekia da.

Ondorengo koordenatu multzoa hautatuz,

metrikaren adierazpen matriziala lor daiteke:

Metrika hau Big-Bang-aren eredu kosmologikoaren lehen hurbilketa gisa erabili daiteke.

Beste batzuk 

 de Sitter metrika
 Lemaître–Tolman metrika
 Peres-en metrika
 Rindler-en metrika
 Gödel-en metrika
 Alcubierre-ren metrika
 Senovilla-en metrika

Luzeera, angelua eta bolumena 
t elementuaz parametrizaturiko kurba baten luzeera, -tik -rako tarte batean, ondorengoa da:

U eta V bektoreen arteko angelua ondorengo eran defintitzen da:

R ingurune baten bolumena ondorengo eran lortzen da:

Erreferentziak

Bibliografia 
 
 Wald, Robert M. (1984). General Relativity. University of Chicago Press.
 
 Aguirregabiria, Juan M. (2017). Grabitazioa eta Kosmologia. Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). ISBN: 978-84-9860-710-9

Ikus, gainera

Kanpo estekak 

Erlatibitate orokorra
Kosmologia fisikoa
Riemanndar geometria
Tentsoreak
Geometria diferentziala