Bézouten identitate

Bézouten identitateak (edo Bézouten lemak) zera dio: zeroren ezberdinak diren  eta  bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1= den.

Era berean, izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

 Alde batetik, baldin eta  bada, orduan dela . 

 Bestalde, dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura 
Bézouten identitateko (, ) zenbakiak (, 
)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta  haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

  eta 

 eta  bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

.

Hortaz, (, ) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (, ) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

 .

Adibidea 
Izan bitez  eta  bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez  Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den  kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

Hortaz,  da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (, ) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak:  eta .

Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:

 .

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak.  baliorako, adibidez, honako beste (, ) koefiziente-parea lortuko dugu:

 .

Egiazta daiteke Bézouten identitatea () betetzen dela:

 .

Erreferentziak

Kanpo estekak 
 EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
  Online calculator of Bézout's identity.
 Wolfram MathWorld, Bézout's identity

Ekuazio diofantikoak
Lemak (matematika)
Matematika-identitateak