Hilberten problemak

Hilberten problema David Hilbert matematikari alemaniarrak 1900ean argitaratutako 23 matematika-problema dira. Denak zeuden argitu gabe une hartan, eta hainbatek eragin handia izan zuten XX. mendeko matematiketan. Hilbertek hamar problema aurkeztu zituen (1., 2., 6., 7., 8., 13., 16., 19., 21. eta 22.a) Parisen, Matematikarien Nazioarteko Biltzarrean, abuztuaren 8an Sorbonan hitz eginez. 23 problemaen zerrenda osoa geroago argitaratu zen, 1902an, Amerikako Matematika Elkartearen Aldizkarian.

Problemen izaera eta eragina 
Hilberten problemak gai eta zehaztasunean oso anitzak ziren.  Horietako batzuk behar bezain zehatz aurkeztu ziren baiezko edo ezezko erantzun argia emateko, hala nola hirugarren problema, ebazten lehena izan zena, edo zortzigarren problema (Riemann-en hipotesia), oraindik ebatzi gabe dagoena. Beste probelma batzuetan, adibidez bosgarrenean, adituek tradizioz interpretazio bakarra adostu dute, eta onartutako interpretazioari irtenbide bat eman zaio, baina elkarren artean lotura estua duten eta konpondu ez diren arazoak daude.  Hilberten beste baieztapen batzuk ez ziren behar bezain zehatzak problema jakin bat zehazteko, baina gaur egungo zenbait problemari erreferentzia egiten dietela dirudite. Adibidez, 9. problema.  Beste problema batzuk, hala nola 11. eta 16. problemak, gaur egun loratzen ari diren azpikultura matematikoei buruzkoak dira, hala nola forma koadratikoen teoriak eta kurba aljebraiko errealak.

Bi arazo ez daude konponduta, eta, gainera, arau modernoen bidez konponezinak izan litezke. Seigarren arazoa fisikaren axiomatizazioari buruzkoa da, eta badirudi XX. mendeko garapenek helburu hori urrunagokoa eta garrantzi gutxiagokoa bihurtzen dutela Hilberten garaietan baino.  Era berean, 4. problema geometriaren oinarriei buruzkoa da, eta, gaur egun, lausoegitzat jotzen da behin betiko erantzuna eman ahal izateko.

Beste 21 problema guztiek arreta handia jaso dute, eta XX. mendearen amaieran arazo horiei buruzko lanak oraindik garrantzi handikotzat jotzen ziren.  Paul Cohenek Fields Domina jaso zuen 1966an, lehen arazoari buruz egindako lanagatik, eta 1970ean Yuri Matiyasevichek  (Julia Robinson, Hilary Putnam eta Martin Davisen lana osatuz)  hamargarren arazoaren konponbide negatiboak ere antzeko txaloak eragin zituen. Arazo horien hainbat alderdi oso interesgarriak dira gaur egun ere.

24. problema 
Hilbertek 24 arazo idatzi zituen bere zerrendan, baina horietako bat ez sartzea erabaki zuen argitaratutako zerrendan. "24. arazoa" (probaren teorian, sinpletasunaren eta metodo orokorren irizpideari buruz) Rüdiger Thiele historialari alemanak 2000. urtean Hilberten eskuizkribuaren jatorrizko oharretan aurkitu zuen.

Sekuelak 
1900az geroztik, matematikariek eta matematika-erakundeek arazoen zerrendak iragarri dituzte, baina, salbuespen gutxi batzuekin, ez dute Hilberten problemek adinako eraginik izan, ez eta halako lanik sortu ere.

Salbuespen bat André Weilek 1940ko azken urteetan egindako hiru konjetura dira (Weilen konjeturak). Geometria aljebraikoaren, zenbakien teoriaren eta bien arteko loturen eremuetan, Weilen konjeturak oso garrantzitsuak izan ziren. Lehenengoa Bernard Dworkek probatu zuen. Alexander Grothendieckek ere lehenengo bien proba eman zuen, guztiz ezberdina den bide bat erabiliz (kohomologia jarraitua). Weilen konjeturetako azkena, eta sakonena, (Riemannen hipotesiaren analogo bat) Pierre Delignek egiaztatu zuen. Grothendieckek eta Delignek Fields domina jaso zuten. Weilen konjeturak, ordea, Hilberten problema bakar baten gisakoak ziren, eta Weil-k inoiz ez zituen proposatu matematika guztietarako programa gisa..

Paul Erdõsek ehunka problema matematiko planteatu zituen, milaka agian, horietako asko sakonak. Erdõsek askotan sari monetarioak eskaintzen zituen; sariaren tamaina arazoaren zailtasunaren araberakoa zen.

Milurtekoaren amaierak, Hilberten arazoen iragarpenaren mendeurrena ere bazena, aukera natural bat eman zuen "Hilberten problema multzo berri bat" proposatzeko.  Zenbait matematikarik onartu zuten erronka, bereziki Fields saria jasotako Steve Smalek. 18 problemako zerrenda bat proposatu zuen, Vladimir Arnoldek egindako eskaerari jarraiki.

Gutxienez komunikabide nagusietan, Hilberten problemen XXI. mendeko analogoa Milurteko Sariak dira, 2000. urtean Clay Matematika Institutuak aukeratutako zazpi arazoren zerrenda. Hilberten arazoek ez bezala (sari nagusia Hilberten mirespena, bereziki, eta matematikariena, oro har, baitzen), XXI. medeko problema bakoitzak milioi bat dolarreko saria du.  Hilberten arazoekin bezala, sariaren arazoetako bat (Poincaréren aierua) arazoak iragarri eta berehala konpondu zen.

Riemann-en hipotesiak atentzioa ematen du Hilberten problemen zerrendan agertzeagatik, Smaleren zerrendan agertzeagatik, Milurteko Sarien zerrendan, eta baita Weilen konjeturetan ere, bere itxura geometrikoan. Gure garaiko matematikari handiek eraso egin dioten arren, aditu askok uste dute mende askoan ebatzi gabeko problema-zerrendetako parte izaten jarraituko duela. Hilbertek berak adierazi zuen: "Mila urte lo egin ondoren esnatuko banintz, nire lehen galdera hau izango litzateke: Riemannen hipotesia frogatu al da?"

2008an, DARPAk bere 23 problemen zerrenda iragarri zuen, eta horrek aurrerapen matematiko handiak ekar zitzakeela uste zuen, "Garapen Departamentuaren gaitasun zientifiko eta teknologikoak indartuz".

Laburpena 
Hilberten arazoetatik, 3., 7., 10., 14., 17., 18., 19. eta 20. problemek ebazpenak dituzte, eta horiek matematika-komunitatearen adostasunez onartzen dira. Bestalde, 1., 2., 5., 6., 9., 11., 15., 21. eta 22. problemek onarpen partziala duten soluzioak dituzte, baina nolabaiteko eztabaida dago arazoak konpontzen dituzten ala ez erabakitzeko.

Hori horrela izanda, 8. (Riemann-en hipotesia), 12., 13. eta 16. problemak ebatzi gabe daude, eta 4. eta 23.a, berriz, lausoegiak dira ebatzi gisa deskribatzeko. Erretiratutako 24, problema ere mota horretakoa litzateke. 6. problema fisikako arlokoa da, ez matematikakoa.

Arazoen taula 
Hauek dira Hilberten 23 problemak:

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Matematikaren historia
1900 zientzian
Alemaniako zientzia eta teknologia