Einsteinen tentsore

Geometria diferentzialaren alorrean, Einsteinen tentsorea barietate sasiriemanndarraren kurbadura definitzeko erabiltzen den bi heineko tentsorea da. Izena Albert Einstein fisikariarengandik datorkio, eta aztarna alderantzizkatutako Ricciren tentsorea ere deitzen zaio. Erlatibitate orokorrean espazio-denboraren kurbadura adierazteko erabiltzen da; zehazki, Einsteinen eremu-ekuazioetan, espazio-denboraren kurbadura lokala espazio-denbora horretako energia eta momentuarekin erlazionatzeko.

Einsteinen tentsorearen definizio matematikoa:

 : Einsteinen tentsorea
 : Ricciren tentsorea
  : Kurbadura-eskalarra edo Ricciren eskalarra
  : Tentsore metrikoa

Historia 
Newtonen Grabitazio Unibertsalaren Legeak ia berrehun urtez egon ziren zalantzapean jarri gabe. Newtonen formulaziotik mende batera, behaketa astronomiko garrantzitsu batzuk agertu ziren, teoria eta behaketen artean azaldu ezin zirenak. Newtonen ereduan grabitatea objektu masiboen arteko indar erakarle baten emaitza izan zen. Indar horren izaera ezezagunak Newton bera ere kezkatzen bazuen ere, oinarrizko teoria oso arrakastatsua izan zen planeten dinamika deskribatzeko. Anomalia horietako bat Merkurioren orbiten higidura izan zen.

Albert Einstein espazio-denboraren kurbaduraren jatorri fisikoa aztertzen aritu zen. 1913an, Marcell Grossgam matematikariarekin elkarlanean jardun ondoren, naturaren legeak orokorrean modu kobariantean adierazten zituen grabitazio teoria eraiki zuen. Teoria honi Entwurf izena jarri zioten. 

Einstein, ordea, ez zen gustora geratu egindako lanarekin; 1913ko abuztuaren 16an Lorentzi idatzitako eskutitzean aitortu zion Entwurf teoriak "ugly dark spot" bat zuela . Arazoa zen, azken teoria honen oinarrizko ekuazioak (eremu grabitatorioaren ekuazioak), ez zirela osotasunean kobarianteak. Izan ere, ekuazio hauen limite Newtondarrean Newtonen Grabitazio legea berreskuratzeko konplikazio matematikoak eduki zituztenez, eremu grabitatorioen ekuazioen adierazpenetik Ricciren tentsoreak kentzea erabaki zuten.

Hau da bere hasierako hipotesi okerra:

Hipotesi honen bidez Merkurioren perihelioaren prezesioa ondo finkatuta geratzen zen. Einsteinek uste zuen lortu zuela hainbeste urteetan ezezagunak ziren dinamika batzuk definitzea, baina bizkor konturatu zen ez zela teoria oso sendoa. Izan ere, energia-momentu lokalaren kontserbazioa ez zen betetzen unibertsoaren dentsitatea konstantea ez bazen. Beste hitz batzuetan, unibertsoa osatzen zuen objetu orok dentsitate berdina izan behar zuela, eta jakina, hori ez da erreala.

Gaur egun badakigu akats bat izan zela, adierazpen zuzena Ricciren tentsoreen bidezkoa baita. Buruhaustez beteriko hiru urteren ondoren, 1915eko azaroan Einsteinen eremu-ekuazio arrakastatsuak aurkeztu zituen Berlingo Königlich-Preußische Akademie der Wissenschaften-en (Zientzien Prusiar Akademia).  Ekuazio hauek idazteko Einsteinen tentsorea deiturikoa definitu zuen.

Hala ere, teoria guztien atzean beti dago norbait lehenago aurkitu zuela esango duena. Nahiz eta Einsteinek eremu ekuazioak aurkitu, David Hilbert matematikari alemaniarrak artikulu batean argitaratu zituen Einsteinen artikulua baino lehen. Horrek Einsteinen aurkako plagio salaketak ekarri zituen, baina ez Hilberten aldetik. Ondorioz, Einsteinen ekuazioak moduan ezagutzen ditugun ekuazio horiek "Einstein-Hilberten eremu ekuazioak" moduan esan behar direla esaten da. Hala ere, Hilbertek ez zuen bere lehentasuna eskatu, eta batzuk esan zuten Einsteinek aurkeztu zituela ekuazio zuzenak, Hilbertek bere lana zuzendu aurretik. Horrek iradokitzen du Einsteinek garatu zituela lehenengo eremu-ekuazio zuzenak, nahiz eta Hilbertek, agian, geroago beregain iritsi.

Bestelako teoriak 
Hainbat saio egin dira erlatibitate orokorraren akatsak aurkitzeko. Horietatik ezagunenak Brans – Dicke teoria (eskalar-tentsore teoria bezala ere ezaguna) eta Rosen teoria bimetrikoa dira. Bi teoriek erlatibitate orokorraren eremu-ekuazioetarako aldaketak proposatu zituzten. Rosenen jatorrizko teoria ezeztatua izan da pulsar binarioen behaketa batzuen ondorioz.

Gainera, erlatibitate orokorra mekanika kuantikoarekin bateraezina da; materiaren partikula-uhin dualtasunak eta mekanika kuantikoak deskribatzen dituen teoria fisikoek, ez dute grabitatearen erakarpenik deskribatzen eskala mikroskopikoan.Fisika komunitatean espekulazio handia dago erlatibitate orokorrean eta mekanika kuantikoan behar liratekeen eraldaketei buruz, elkarren artean bat egiteko.

Erlatibitate orokorra eta mekanika kuantikoa elkartzen dituen teoria hipotetikoari grabitate kuantikoa deitu ohi zaio. Baina oraindik teoria huts bat da.

Jatorria 
Korrespondentzia printzipioetatik abiatuz, Einsteinen tentsoreak eduki behar dituen propietateak ondorioztatu daitezke.

Korrespondentzia printzipioak 

 Eremu grabitatorioa estatikoa eta ahula bada eta abiadurak ez-erlatibistak, Newtonen grabitazio unibertsalaren legea berreskuratu beharda. (Grabitazio newtondarraren orokorpena da erlatibitate orokorra.)
 Eremu grabitatoriorik ezean, abiadura guztietan, erlatibitate berezia berreskuratu behar da. (Erlatibitate bereziaren orokorpena da erlatibitate orokorra.)

Grabitazioa estatikoa eta ahula bada eta abiadurak txikiak, hurbilketa ona izango da Newtonen teorian  potentzial grabitatorioak betetzen duen ekuazioa:

 non  grabitazio unibertsalaren konstantea eta  masa dentsitatea diren.

Eremu grabitatorioa ahula denean, metrika Mikowskiren metrikaren antzekoa da:

 non  eremu grabitatorioak eragindako perturbazio txikia den.

Orduan, eremu grabitatorio estatiko ahuletan:

(Grabitazio iturritik aldentzean  eta ; Mikowskiren metrika berreskuratzen da)

Erlatibitatean energiaren zati bat masa da. Hortaz, masaren dentsitateaz gain, energiarena ere hartu beharko da kontuan. Baina energia eta momentu lineala ez dira independenteak, elkarrekin transformatzen baitira Lorentzen transformazioetan. Beraz, masaren eta momentu linealaren dentsitateak eta korronteak kontsideratu behar dira. Horregatik, Newtonen ekuazioan, masa dentsitatea energia-momentu tentsorearekin ordezkatzea da egokiena. Grabitazioaren jatorria  dentsitate txikia duen eta  abiadura txikian doan hauts-hodei bat dela onartzen badugu, energia-momentu tentsorean  eta  ordenako gaiak arbuila ditzakegu. Ondorioz, hurbilketa ez-erlatibistan hurrengo eran erlazionatzen dira hauts-hodeiaren energia-momentu tentsorea eta masa dentsitatea:

Newtonen ekuazioko  eta  tentsore gaiekin ordezkatuz:

Kobariantzia orokorraren printzipioaren arabera, eremuaren ekuazioak tentsorialak dira eta Newtonen ekuazioa berreskuratu behar da grabitaziorik ez dagoenean. Ondorioz, espazio-denboraren kurbadura materiarekin erlazionatzeko

egiturako ekuazioren bat espero dugu (aurreko ekuazioaren orokorpena). Jakina,  tentsore kobariante egokia izan behar da. Hasteko, energia-momentuaren tentsorearen propietateak eduki behar ditu: simetrikoa eta dibergentziarik gabekoa. Gainera, gehienez bigarren ordenako metrikaren deribatu partzialak agertzea espero dugu, eta ez ordena altuagokoak.

Einsteinen tentsoreari dagokionez, derrigorrean:

Eta limite Newtondarra berreskuratzeko  izan behar da.

Formalismo matematikoa 
Ikus artikulu nagusia : Ricciren tentsorea, Riemannen tentsorea

Lehenik eta behin ezinbestekoa da tentsorea definitzea. Tentsore bat aukeratzen den marko edo erreferentzia sistemarekiko independentea den konposatu matematiko bat da. Orokorrean matrize baten bidez adierazten dira, eta adibide garbiak dira eskalarrak,bektoreak edo matrizeak; orden nulua eskalarrek, orden batekoa bektoreek eta matrizeek bigarren ordena dute.

Einsteinen tentsorea bigarren ordenako tentsorea da, eta ekuazioa lortzeko eta ulertzeko Riemannen eta Ricciren tentsoreak erabili behar dira. Honela definitzen da Einsteinen tentsorea:

 Ricciren tentsorea da,  kurbadura-eskalarra edo Ricciren eskalarra, eta  tentsore metrikoa. Ondorioz, Einsteinen matrizeek tentsore hauen propietateak izango dituzte.

Ricciren tentsorea Riemannen kurbadura tentsoreen kontrakzio bat da, eta honela definitzen da.

Aldi berean, kurbadura-eskalarra Ricciren tentsorearen kontrakzioa da:

Ricciren tentsorearen deribatu kobarianteak eta kurbadura eskalarrak erlazio berezi bat betetzen dute:

Eta horregatik dira Ricciren tentsoreak egokiak Einsteinen tentsorea adierazteko (parentesi artekoa Einsteinen tentsorea da).

Ricciren tentsoreek indizeen arteko simetria hau dute: 

Eta ondorioz, Einsteinen matrizeek propietate hau izango dute:

Baldintza honek tentsoreen osagaien kopurua murrizten digu; izan ere, bi indize ditugu, indize bakoitzak lau osagai izanik (bat denborarena eta beste hirurak espazioarena) eta tentsoreek 16 osagai izatea ahalbidetzen du. Simetria honek, aldiz, 10 osagaietan uzten du tentsorea.

Badago Einsteinen tentsorea adierazteko beste modu bat: energia-momentu tentsorearen bidez. Horretarako bi heineko tentsore orokorrena hartzen da, betiere metrikaren deribatu altuenak bigarrenak dituena, eta hauek bakarrik modu linealean dituena:

Kasu honetan =0 hartuko dugu; bestela, ez da desagertzen azken gaia grabitaziorik gabeko espazio-denbora mikowskiarrean, eta korrespondentzia printzipioaren aurka doa. Energia-momentu tentsorearekin lotuta dagoenez bere propietateak jarraituko ditu. Horietako garrantzitsuena, deribatu kobariantearena.

Gure tentsoreari hau aplikatuz honetara heltzen gara:

Ondorioz, gure konstanteen balioak finka genitzake: 

Eta gure ekuazioa honela geratuko litzateke:

 non  den.

=1 moduan hartuko dugu (limite newtondarra ), eta Einsteinen tentsorearen eta energia-momentuaren tentsorearen arteko erlazio bat lortuko dugu:

Azken adierazpen honetan dauden ekuazioak Einsteinen eremu-ekuazioak izenez ezagutzen dira.

Traza 

Erlatibitate orokorrean traza erabiltzen da, baina aljebran aztarna izenez ere ezagutzen da. Matrize karratu baten traza bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Einsteinen tentsorearen traza lortzeko, metrika tentsoreakin egingo dugu kontrakzioa, n dimentsiotan. Hau da:

Definizioak kontuan hartuz, Riemannen eskalarra ekuazioaren eskuma aldeko lehenengo zatia da. Ezkerreko aldean, formatu berdina du. Bestetik metrika tentsoreen arteko biderkadura dimentsioaren arabera geratuko da.

Formula honetatik atera dezakegun ondorio garbiena n=4 denekoa da. Izan ere, lau dimentsiotan  da, hau da, Einsteinen tentsorearen traza lau dimentsiotan Ricciren tentsorearen aurkakoa da. Hori dela eta, Einsteinen tentsoreari "aztarna alderantzizkatuko Ricciren tentsorea" deritzogu.

Aplikazioak

Einsteinen eremu-ekuazioak 

Ikus artikulu nagusia : Einsteinen eremu-ekuazioak.

Einsteinen eremu-ekuazioek espazio-denboraren geometria materiaren distribuzioarekin lotzen dute. Honela adierazten dira:

Ikusten den bezala, aurrerago genuen ekuazioaren antzekoa da, konstante kosmologiko izenez ezagutzen den koefizientea aldatzen da bakarrik. Kontua da Einsteinen tentsorea definitzeko unean baztertu zela , baina Einsteinek ondorioztatu zuen konstante kosmologikoa beharrezkoa eta egokia zela zabaltzen edo kontraitzen ez den unibertso batean. Bi arazo nagusi izan zituen:

 Azaldu daitezkeen egoera geldikorren soluzioak ez dira egonkorrak
 Unibertsoaren zabalkuntza dago, Edwin Hubblek ondorioztatu zuen moduan.

Hala ere, urte batzuen burura, behaketa astronomiko batzuk frogatu zuten unibertsoa azeleratzen dagoela. Azelerazio positibo hori adierazteko modu bakarra konstante kosmologiko positiboa kontuan hartu behar da. 

Konstante kosmologikoa baztergarria da galaxia edo galaxia baino txikiagoko eskaletan.

Berezitasuna 
Einsteinen tentsorea metrikaren dibergentziarik gabekoa da, eta soilik metrikaren lehenengo eta bigarren ordenako deribatu partzialak ditu. 1971an David Lovelock-ek lau dimentsioko barietate diferentziagarrian baldintza hauek betetzen dituen tentsore bakarra Einsteinen tentsorea dela frogatu zuen. 

Einsteinen eremu-ekuazioek hiru oinarrizko baldintza betetzen dituzte:

 Newton-Poissonen ekuazio grabitazionalaren orokorpen bat izatea, eta limite Newtondarrean berau berreskuratzea
 Edozein koordenatu sistemetan aplikagarria izatea
 Edozein metrikatarako energia-momentuaren kontserbazio kobariante lokala bermatzea

Badaude hiru baldintza hauek betetzen dituzten beste ekuazio alternatibo batzuk, esaterako, Einstein-Cartan teorian deskribatzen direnak. Azken teoria hau erlatibitate orokorretik bereizten da espazio-denboraren kurbaduran tortsio ez nuluko baldintza ezartzean.

Erreferentziak

Ikus, gainera

Kanpo estekak 

Erlatibitate orokorra
Albert Einstein
Tentsoreak erlatibitate orokorrean