Indukzio matematiko

Matematikan, indukzio matematikoaren printzipioa, -ren menpean dauden proposizioak egia diren ala ez frogatzea ahalbidetzen duen arrazonamendua da. Kontuan harturik,  zenbaki arrunt infinituko multzoaren barruan dagoela.

Arrazonamendua hurrengoa izango litzateke:

 propietatea betetzen duen  zenbaki arrunt bat hartuz, frogatu behar da edozein zenbaki ,   propietatea izanik, inplikatzen duela  zenbakiak ere propietatea beteko duela. Beraz  baino handiagoak diren zenbaki guztiak  propietatea beteko dute.

Historia 
K.a. 370. urtean. C. Platonen Parmenideak froga induktibo inplizitu baten adibide goiztiar bat izan dezake. Kontrako teknika iteratu bat, gorantz beharrean beherantz kontatuz, soriteen paradoxan aurkitzen da, non argudiatzen zen 1.000.000 harea alek multzo bat osatzen bazuten, eta meta batetik ale bat kenduta pila bat bezala uzten bazuten, orduan hondar ale bakar batek (edo alerik ere ez) multzo bat osatzen duela.

Indian, indukzio matematiko bidezko lehen froga inplizituak Bhaskararen "metodo ziklikoan" eta al-Karajik 1000 urte inguruan idatzitako al-Fakhrin agertzen dira. C. Sekuentzia aritmetikoei aplikatu zien, binomioaren teorema eta Pascalen hirukiaren propietateak frogatzeko.

Hala ere, antzinako matematikari hauetako batek ere ez zuen esplizituki adierazi indukzioaren hipotesia. Antzeko beste kasu bat (Vaccak idatzi zuenaz bestera, Freudenthalek kontu handiz frogatu zuen bezala) Francesco Maurolicorena izan zen bere Arithmeticorum libri duo-n (1575) lanean, zeinak teknika erabili baitzuen lehen n oso bakoitien batura n2 dela frogatzeko.

Indukzioaren lehen erabilera zorrotza Gersonidesek egin zuen (1288-1344) [11] [12]. Indukzio-printzipioaren lehen formulazio esplizitua Pascalek eman zuen bere Traité du triangle arithmétique (1665) lanean. Beste frantses batek, Fermatek, antzeko printzipio bat erabili zuen zabal-zabal: zeharkako proba jaitsiera infinituaren bidez.

Indukzioaren hipotesia Jakob Bernoulli suitzarrak ere erabili zuen, eta ordutik oso ezaguna egin zen. Hasierako tratamendu formal modernoa ez zen XIX. mendera arte iritsi, George Boole,  Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano eta Richard Dedekindekin .

Indukzioaren bidezko froga 
Izan bedi  zenbaki arrunten multzoa definituriko propietatea: 

Izendatutako propietatea  zenbaki arrunt guztietarako beteko da, hurrengo bi baldintzak betetzen badira:

(i) Oinarrizko kasua:  denean,  egia izango da.

(ii) Edozein  izanik,  egiazkoa bada (hipotesia) ,  ere egia izango da (tesia).

Beraz, honekin froga daiteke  egia dela  arrunt guztietarako

1. adibidea 
Fogatu nahi da  egia dela,  zenbaki arrunt guztientzako.

 -k adierazten du,  baino txikiagoak edo berdinak diren zenbaki arrunt guztien batura.

(i) OINARRIZKO KASUA: Frogatu behar da  betetzen dela. Horretarako:

Eskuineko aldea ebatziz,

Beraz,

 frogatu nahi zen bezala.

(ii)  dela kontuan hartuz, frogatu nahi da  egia bada  egia izango dela zenbaki arrunt guztietarako.

Horretarako, demagun  egia dela. Beraz, frogatu behar da  egia izango dela.

Indukzio hipotesia ( egia da) erabiliz, ezkerreko terminoa berridatzi daiteke:

Aurrekoa garatuz,

Horrela frogatuta gelditzen da  egia dela. Orduan, esan daiteke  bete egiten dela   zenbaki  arrunt guztietarako.

2. adibidea 
Fogatu nahi da  egia dela,  zenbaki arrunt guztientzako.

(i) OINARRIZKO KASUA: Frogatu behar da  betetzen dela; izan ere  den edozein zenbaki naturaletarako ez da baieztapena betetzen. Horretarako:

(ii)   hartuz, suposatuz  egia dela, frogatuko dugu  kasuan ere ezberdintza beteko dela  edozein zenbaki arruntetarako. Hau da, ondorengo ondoriora iritsi nahi gara:

Horretarako ezberdintzaren ezkerreko aldetik hasiko gara eskuinekora iritsi ahal izateko. Lehendabizi gure hipotesiaren bi aldeetan  gaia biderkatuko dugu, frogatu nahi dugunaren ezkerreko aldearen itxura lortzearren: 

Orain argi ikus dezakegu  izango dela. Hori dela eta ondorengo ondorioa lortu dugu:

Jakinik  dela, frogatu nahi genuen adierazpenera iritsi gara:

Bestelakoak 
Praktikan, indukzio bidezko frogek egitura desberdinak izan ditzakete, frogatu nahi dugun propietatearen araberakoa izaten baita.

Oinarrizko kasua 0 edo 1 ez denean 
Baieztapena b zenbaki natural batetik aurrera betetzen dela frogatu nahi dugunean, indukzio bidezko froga ondorengo itxura hartuko du:

(i) Oinarrizko kasua:  denean,  egia izango da.

(ii) Edozein  izanik,  egiazkoa bada (hipotesia) ,  ere egia izango da (tesia).

Adibidez, 2n ≥ n + 5 beteko dela edozein n ≥ 3 -rako, aurreko egituraz baliatuko gara.

Indukzio sendoa 
Indukzio sendoan ematen den aldaketa, hasierako hipotesia sendoago edo indartsuago izatea litzateke. Modu honetan, suposatuz   egia dela edozein  -rako, frogatuko dugu  kasuan ere baieztapena betetzen dela. Hala ere, nahiz eta hartutako hipotesia sendoagoa izan, horrek ez du esan nahi indukzio matematikoaren ohiko egitura baino ondorio garrantzitsuago batera helduko garenik. Izan ere, 'sendoa' hitzak hipotesiari egiten dio erreferentzia. Beraz, bi metodoak baliokideak izango dira. Azken egitura honetan,   kasua frogatzea falta zaigu, eta batzuetan,  oinarrizko kasu gehigarriak frogatzea komenigarria izaten da, argumentu orokorra aplikatu ahal izateko; adibidez Fibonacci Fn' zenbakietarako.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Frogaren teoria