Kategorien teoria

Kategorien teoria egitura matematikoen eta hauen arteko harremanen teoria orokor bat da. Samuel Eilenbergek eta Saunders Mac Lanek sortu zuten teoria hau XX. mendearen erdialdean, topologia aljebraikoari buruz egin zituzten sorrera lanetan. Gaur egun, kategorien teoria matematikaren ia arlo guztietan eta informatikaren arlo batzuetan erabiltzen da. Izan ere, hainbat testuingurutan antzera agertzen diren objektu matematiko berrien eraikuntza asko kategorien arabera adierazten eta bateratzen dira. Adibidez, zatidura espazioak, biderkadura zuzenak, osaketak eta dualtasunak.

Kategoria teoriaren oinarria, kategoria, funktore eta transformazio natural kontzeptuek osatzen dute. Kategoria bat bi motatako objektuek osatzen dute: kategoriaren objektuek eta morfismoek. Morfismoek domeinu eta kodomeinu deritzen bi objektu erlazionatzen dituzte. Morfismo bat gezi bat dela esan ohi da, bere domeinu bere kodomeinuan mapatzen duena. Morfismoak konposatu daitezke, baldin eta lehenengo morfismoaren kodomeinua bigarrenaren domeinuaren berdina bada. Morfismoen konposaketak funtzio konposaketen antzeko propietateak ditu (elkarkortasuna eta identitate-morfismoen existentzia). Morfismoak sarritan izaten dira funtzioak, baina hori ez da beti horrela izaten. Adibidez, monoide bat objektu bakar bat duen kategoriatzat uler daiteke, zeinaren morfismoak monoidearen osagaiak diren.

Funktore batek,  eta  bi kategoriaren arteko morfismo baten papera betetzen du. Funktoreak, -eko objektuak -eko objektuetara bidaltzen ditu; eta  -eko morfismoak -eko morfismoetara bidaltzen ditu morfismoen domeinu domeinuetara bidaliz eta kodomeinuak kodomeinuetara bidaliz (edo, alderantzizko funtzionarioaren kasuan, domeinuak kodomeinuetara eta alderantziz). 

Transformazio naturalak berriz, funktoreen arteko morfismoak bezala uler daitezke.

Kanpo estekak 

Kategoria-teoria
Matematikaren oinarriak