Azpiespazio topologia

Topologiaren arloan, X espazio topologiko baten azpiespazioa, X-ren A azpimultzo bat da X-tik heredaturiko topologia duena, azpiezpazio topologia ( edota topologia erlatiboa) deiturikoa.

Definizioa 
Izan bedi  espazio topologikoa eta   -ren azpimultzoa, -ren azpiezpazio topologia honela dago definituta:

Hau da, -ren azpimultzo bat irekia da azpiespazio topologikoan baldin eta solik baldin -ren eta -n irekia den multzo baten ebakidura gisa adieraz badaiteke.

azpiespazioan itxiak izango dira,espazioan itxia den eta A-ren arteko ebakidura gisa adieraz badaiteke, eta itxien multzoa denotatuko dugu.

 multzoak azpiezpazio topologia badauka, orduan, berez espazio topologikoa da, eta -ren azpiezpazioa deritzo. Espazio topologikoen azpimultzoek azpiezpazio topologia dutela ulertzen da maiz, besterik esaten ez bada.

Propietateak 
, -ren azpimultzo baterako azpiezpazio topologia modu honetan ere defini dezakegu: topologiarik txikiena zeinetarako partekotasun aplikazioa  jarraitua den.

Izan bitez , -ren azpimultzoa eta  partekotasun aplikazioa.

 Orduan edozein espazio topologiko baterako  aplikazioa jarraitua da baldin eta soilik baldin  jarraitua bada.
  -ren gaineko beste topologia bada non  jarraitua den, orduan, .

Ondorioz, jarraitua bada, orduan jarraitua da. Izan ere, ,

eta aurreko proposizioaren ondorioz, jarraitua da.

Propietate gehiago:

  ∈  baldin eta soilik baldin badago non  den.
  baldin eta soilik baldin  badago non  den.
  -ren ireki-oinarria bada, orduan,  -ren ireki-oinarria da.
  baldin eta soilik baldin  badago non  den.
  x-ren ingurune-oinarria bada  espazio topologikoan, orduan x-ren ingurune-oinarria da -n.
  -ren azpioinarria bada orduan -ren azpioinarria da.
  bada, orduan,  eta 
  bada, orduan,  eta , eta berdintza ematen da  denean.

Izan bitez  espazio topologikoa,  eta .  -ren azpiezpazio moduan ikus daiteke, -ren gaineko topologia erlatiboa lortuz edota -ren azpiezpazio moduantopologia erlatiboa lortuz. Orduan,

Adibideak 
Hurrengoetan  sinboloak zenbaki errealen multzoa adierazten du ohiko topologiarekin.

 Zenbaki arrunten, , azpiezpazio topologia, -ren azpiezpazio gisa, topologia diskretua da(zenbaki osoena, , ere bai) .
 Zenbaki arrazionalek, , -ren azpiezpazio gisa,  ez dute topologia diskretua,, {0} adibidez ez da multzo irekia -n. a eta b arrazionalak badira, orduan (a,b) eta [a,b] tarteak irekia eta itxia dira hurrenez hurren, baina a eta b irrazionalak badira, orduan x arrazional guztien multzoa non a < x < b itxia eta irekia da.
 [0,1] multzoa -ren azpiezpazio gisa, itxia eta irekia da, aldiz, -ren azpiezpazio gisa bakarrik itxia da.
 -ren azpiezpazio gisa, [0, 1] ∪ [2, 3] multzoa, bi multzo ireki disjuntuek osatzen dute (itxiak ere direnak), eta, ondorioz, azpiespazio ez-konexu bat da.
 Izan bitez A = [0, 1) -ren azpiezpazioa . Orduan [0, 1/2) irekia da A -n, baina ez -n. Halaber, [½, 1) itxia da A-n, baina ez -n. A bai irekia eta itxia da bere buruaren azpimultzo gisa, baina ez -ren azpimultzo gisa.

Adibide gehiago ikasitako espazio topologikoetan

 espazioan, non ,edozein , .
 espazioan,non ,-ren partiketa ,orduan edozein , 
 espazioan, non,  ,  infinitua bada, orduan  eta  finitua bada, orduan .
 espazioan, non ,  kontagarria ez bada, orduan  eta  kontagarria bada, orduan .

Propietate topologikoen kontserbazioa 
Propietate bat heredagarria da, espazio topologiko batek propietate bat betetzeak inplikatzen badu bere edozein azpiezpaziok ere propietate hori beteko duela. Azpiezpazio itxiek soilik propietatea betetzen badute orduan ahulki heredagarri deritzo.

 Metrizagarria izatea propietate heredagarria da.
 Baire espazio baten edozein azpiezpazio ireki Baire ezpazio bat da.
 Espazio trinko baten edozein azpiespazio itxi trinkoa da.
 Hausdorff (T2) izatea propietate heredagarria da.
 Espazio normala izatea ahulki heredagarria da.

Aplikazio konbinatuak 
Izan bitez X eta Y bi multzo eta X-ren estalkia (hau da ) . Demagun  erako aplikazioa dugula non  denean guztietarako den( =).

Orduan,  aplikazio konbinatua, modu honetan definituta dagoen aplikazioa da:  bada.

Aurreko egoeran, eta espazio topologikoak badira :

(i) , eta  jarraitua bada, orduan  aplikazio konbinatua jarraitua da.

(ii)  finitua bada, ,  eta  jarraituak ,orduan aplikazio konbinatua jarraitua da.

Kontradibidea 
(ii) atalean,  finitua izan behar da. Adibidez,bada,  ez da jarraitua, aldiz,  jarraitua da guztietarako.

Murgilketak 
Murgilketa bat apliklikazio bat da non homeomorfismo bat den. Esango dugu  -n murgilduta dagoela  -ren bidez.

Murgilketa baten bidez espazioa -ren azpiezpazio gisa ikusten da.

Propietateak 

 Izan bitez murgilketa eta  homeomorfismoa. Orduan,  murgilketa da.
 Izan bedi  espazio topologikoa eta  bere azpimultzo bat topologiarekin. Orduan, partekotasun aplikazioa murgilketa da baldin eta solik baldin

Ikus gainera 
Zatidura espazio topologikoa

Biderkadura espazio topologikoa

Kanpo estekak 

Espazio topologikoa