Zenbaki elkarrekiko lehenak

Matematikan, elkarrekiko lehenak diren zenbakiak, elkarren artean faktore lehen komunik ez duten bi zenbaki oso, a eta b, dira. Beste modu batera esanda, 1 eta -1ez gain ez badute beste zatitzaile komunik. Elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin, haien zatitzaile komun handiena 1 bada, hau da, a eta b zenbaki osoak badira a eta b elkarrekiko lehenak dira baldin eta zkh(a,b)=1 bada

Adibidez, 6 eta 35 elkarrekiko lehenak dira, baina 6 eta 27 ez dira zeren eta biak 3 zenbakiak zatitzen ditu.

Bi zenbaki elkarrekiko lehenak diren jakiteko modu azkar bat Euclidesen algoritmoa erabiltzea da.

Propietateak

Oinarrizkoak 

 Elkarrekiko lehenak diren bi zenbakiren arteko zatitzaile komun handiena 1 da. Hori dela eta, ez da existitzen biak zatituko dituen zenbaki lehenik, zkh .

  eta  elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira bi zenbaki,  eta y non  den. (Bézout-en identitatea)
  eta  elkarrekiko lehenak badira eta  orduan .(Euklidesen lema)
  eta  zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin -k alderantzizko bat badu modulu  produkturako, hau da, existitzen da zenbaki oso bat y non  (mod a). Honen ondorio bat da  eta  elkarrekiko lehenak badira eta , orduan . Beste modu batera esanda,  sinplifika daiteke  moduluko osokoen Z/nZ eraztunean.

  eta  zenbaki arruntak, elkarrekiko lehenak badira, , , ere bai.
  eta  zenbaki oso positiboak elkarrekiko lehenak badira, , ,  ere bai.

Beste Propietate Batzuk 

  eta  zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin eta soilik baldin, koordenatu sistema kartesiar batean  koordenatua  jatorrik ikus badaiteke. Hau da, ez dago beste koordenatu punturik  eta ren artean.(Ikus 1 irudia);
 Ausaz hartutako bi zenbakik elkarrekiko lehenak izateko duten probabilitatea  da.
 Bi zenbaki arrunt a eta b elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin,  eta  elkarrekiko lehenak badira.
 Zenbaki oso positibo batekiko, , elkarrekiko lehenak diren zenbaki osoen kopurua,  eta  bitartean, Eulerren funtzioak ematen du .
 Bi zenbaki ondoz ondokoak badira, elkarrekiko lehenak dira. (Hori erraz ikus daiteke Euclidesen Algoritmoa erabilita).

Elkarrekiko Lehenak Izateko Probabilitatea 
Bi ausaz aukeratutako zenbaki oso  eta  hartuz gero, normala izango litzateke hauek  eta  elkarren artean lehenak izateko duten probabilitateaz galdetzea. Hau egiaztatzeko,  eta  elkarren artean lehenak direla esango dugu, baldin eta soilik baldin bi zenbakiak beste zenbaki lehen edozeinek ez baditu zatitzen (ikusi Aritmetikaren oinarrizko teorema).

Beste edozein zenbaki lehen (edo beste oso)  batek zatitzeko probabilitatea  da; adibidez, 7. oso bakoitza zazpi zenbakiaz zatigarria da. Hori dela eta, bi zenbaki -k zatitzeko probabilitatea da. Edozein zenbaki lehen ezberdinekin loturiko zatigarritasun gertaeren bilduma finkoa elkar independentea da. Esaterako, bi zenbakiko kasuan, zenbaki bat  eta lehenekiko zatigarria izango da baldin eta soilik baldin -rekiko ere zatigarria bada. Arrazoiketa hori zatigarritasun gertakari infinituetara hedatu daitekeelako suposizio heuristikoa egiten badugu, bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea, zenbaki guztien gaineko produktu batek ematen du,

Hemen ζ Riemann en zeta funtzioari dagokio, zenbaki lehenen produktua ζ (2) gainean erlazionatzen duen identitatea, Eulerren produktu baten adibidea da, eta ζ(2) ebaluazioa π2/6 bezala Baselen problema da, Leonhard Eulerrek ebatzia 1735 ean.

Ez dago ausazko zenbaki positibo bat hautatzeko modurik, zenbaki positibo bakoitza probabilitate berarekin gertatzeko, baina hauei (ausaz hautatutako zenbaki osoak) buruzko adierazpenak, aurrekoak bezala, dentsitate naturalaren nozioarekin formalizatu daitezke. Zenbaki oso positibo N bakoitzarentzat, ausaz autatutako  bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea PN izango da. Nahiz eta PN ez den inoiz  ren berdina izango zehazki, batek lana eginez,  limitean probabilitatea ,  ra gerturatzen dela frogatu lezake.

Oro har, ausaz hautatutako k zenbaki elkarren artean lehenak izateko probabilitatea  da.

Elkarrekiko Zenbaki Lehen Bikote Guztiak Sortzen 

Elkarrekiko lehenak diren zenbaki bikote guztiak , disjuntoak diren bi zuhaitz hirutarretan antolatu daitezke. Zuhaitz bat -etik hasita (bakoiti-bikoiti eta bikioiti-bakoiti bikoteentzat) eta bestea -etik hasita (bakoiti-bakoiti bikoteentzat). Erpin  batetik ateratzen diren adar guztiak, honela sortuta daude:

 1 Adarra: 

 2 Adarra: 
 3 Adarra: 

Eskema hau guztiz baliogabea eta ez-erredundantea da, kide baliogaberik gabe.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Zenbaki lehenak
Zenbakien teoria