Ekuazio diofantoar

Ekuazio diofantoarra deitzen zaio bi aldagai ezezagun edo gehiago duen edozein ekuazio aljebraikori, zeinen koefizienteak zenbaki osoen multzoan zehar ibiltzen diren eta zenbaki oso edo soluzio naturalak bilatzen diren, hau da, zenbaki osoen multzoak diren. Horrelako ekuazioen mota jakin bat dira bi ezezagunetako ekuazio diofantoar linealak, zeinak  forma duten.

 -rekin zenbaki osoei dagokiena, soluzioa izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa da eta -ren zatitzaile komun handienak  zatitzen duela

Adibidea 
Ekuazio diofantoar baten adibidea da:  .

Ekuazio horrek soluzio infinituak ditu zenbaki errealetan . Arau orokor gisa, dena den, arazoetan agertzen diren ekuazioek kasu kopuru txiki batera eta are soluzio bakar batera mugatzen laguntzen diguten murrizketak dituzte.

Adibidez, gure ekuazioan, balore posibleak  eta  zenbaki oso positiboei mugatzen baditugu, -rentzako 4 irtenbide ditugu: .

Ekuazio diofantoarren bidez ebazten den problema matematiko oso famatua tximinoaren eta kokoena da.

Ekuazio diofantoar lineala 
 ekuazio diofantoarra edo Bézout identitateak badu konponbidea du baldin eta  (zatitzaile komun handiena) C -ren zatitzaile soila bada. Kasu horretan, ekuazioak soluzio infinitu ditu.

Era berean,  ekuazioak soluzioa du baldin eta  -ren zatitzaile soila bada  .

Irtenbide orokorra 
Demagun   ekuazio diofantoarra. Irtenbidea soilik du  bada .  bilatzeko Euklidesen algoritmoa erabiltzen dugu. Ekuazio diofantoar batek soluzioa badu, nahitaez soluzio infinituak ditu eta denak era honetakoak dira:Non ,  eta  eta  ekuazioaren soluzio jakin bat diren.

Zenbaki osoen soluzio horrek ekuazio beraren soluzioarekin kontrajartzen du  zenbaki errealak direla kontuan hartzen denean eta  (suposatuz  ) formako soluzio infinituek osatzen dutenean.

Irtenbide partikularra 
Soluzio jakin bat aurkitzeko, Bézout-en identitatea erabiltzen dugu Euklidesen algoritmoarekin batera. Horrek  eta ematen digu. Ikus dezagun adibidea:

 ekuazio diofantoarra dugu

 d = mcd(6, 10) bilatzen dugu, eta Euklidesen algoritmoa erabiliz aurkitzen dugu  .
 -k (non "" "banatu -ri") esan nahi duen, hau da, , irtenbide jakin bat kalkulatzen dugu Bézout identitatea erabiliz:  eta . Ekuazioa honela geratuko litzateke:  .
 Orain,   ekuazioaren soluzio bat dugu. Horrekin,  eta  . Ekuazioaren zati bakoitza -rekin biderkatzen badugu, gure jatorrizko ekuazioaren soluzio partikularra izango dugu . Ekuazioa honela geldituko litzateke:  .
 Goian ikusi dugunarekin, irtenbide orokorra bilatzen dugu:

Bi ezezagun dituen ekuazio ez-lineala 
 ekuazioa

 bezala idatz daitekeena.  ;  deituz, ekuazioa honela adierazten da  .

Badakigu  eta  parekotasun bera dutela. Sistema ebazterakoan, honako hau lortzen dugu:

Ekuazio pitagorastarra 
Ekuazio pitagorastarra -rekin  ekuazioari deitzen zaio. Goiko ekuazioaren edozein soluzio hirukoitz (x, y, z) hirukoitz pitagorastar deritzo. Gainera,  ekuazio pitagorastarraren soluzio hirukoitz pitagorastarra bada, baita:

 hirukoitz  eta  txandakatuz:  .
 hirukoitz anitz bat  .
 hirukoitz bat seinaleren bat aldatuta ,  bai  .
 Aurreko prozedurak konbinatuz, lortutako beste edozein zerrenda laburtua.
 ere izango dira

hirukoitz primitiboa dela esaten da zatitzaile komun handiena  ,  ,  unitatea bada, hau da, . hirukoitz primitibo guztietan, gutxienez,  edo  zenbakietako bikoitia da, eta  bakoitia. Baldintza horietan ikus daiteke ekuazio pitagorastarraren soluzio diren hirukoitz primitibo guztiak erakoak direla:

Platonen ekarpena 
Platoni zor zaio ekarpena gaiari hiruki zuzen baten aldeak zenbaki osoetan formulatzen dituenean,, dudarik gabe, eragina izan baitzuen garapen matematiko orokorrean.

Hirukoitz pitagorastarrak 
, ,  zenbaki oso positiboak triangelu zuzen baten aldeen luzerak irudikatzen dituztenean, (u, v, w) hirukoa hirukoitz pitagorastarra dela esaten da. Adibidez ,  eta  hirukoitz pitagorastarrak dira.

Ekuazio diofantoar kubikoa 
 ekuazioa Ramanujanek konpondu zuen, automatikoki, zeinak soluzio gisa eman zituen —auto baten matrikulan agertzen ziren zifrei erreparatuz—  (1,12), (12,1) (10,9) (9,10) ordenatutako bikoteak.

Hilberten hamargarren problema 
1900. urtean, David Hilbert-ek problema-zerrenda famatu bat proposatu zuen, zeinaren konponbidea matematikari ekarpen handiak emango zizkiola hartzen zen. Horietako bat, zehazki hamargarrena, ekuazio diofantoarraren soluzio orokorrari buruzkoa zen, mende hasieran problema irekia zena. Problema, azkenean, 1970ean konpondu zen, Matiyasevichen teorema izenez ezagutzen den logika matematikoko emaitza berri batek Hilberten problemari ezezkoa erantzun zionean: «ez dago ekuazio diofantoar batek zenbat soluzio dituen ezartzeko aukera ematen duen prozedura orokorrik».

Erreferentziak

Bibliografia 
 Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics 30. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8. Zbl 0188.34503. 
 Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020. 
 Shorey, T. N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics 87. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011. 
 Smart, Nigel P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations. London Mathematical Society Student Texts 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X. Zbl 0907.11001. 
 Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (Second Edition edición). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

Ikus, gainera 
 Zenbakien teoria

Kanpo estekak 
 
 Ekuazio diofantoarra PlanetMath-en.

Ekuazio diofantikoak