Matematika eta artea

Matematika eta Artea modu desberdinetan erlazionatuta daude. Matematikak edertasuna bultzatzen duen artea dela esaten da. Musika, dantza, pintura, arkitektura, eskulturagintza eta ehungintza bezalako arteetan antzeman daiteke matematika.

Arteak eta matematikak konbergentzia ardatz ugari sortzen dituzte matematikariek eta artistek elkarri laguntzen dieten interesen arabera, baina baita erabileraren eta prozesuen inguruan ere. Gaur egungo proiektu estetiko asko praktika matematikoetatik datoz, baina guztiak kultura matematikoaren hedapen harrigarriaren lekuko dira. Matematikak tresna ugari eskaintzen ditu errealitatearen konplexutasuna adierazteko, haren irudikapenak ikertzeko,  baita egiturak eta formak asmatzeko gaitasuna ere.

Maila praktikoenean, tresna matematikoak erabili izan dira betidanik artea sortzeko. Antzinatik, iparrorratza, erregela eta karratua, marrazkilarien eta artisauen beste tresna sinple batzuekin batera, jauregi, katedral, meskiten arkitekturan eta dekorazioan egindako diseinu ederrak sortzeko erabili izan dira.

Errenazimentu garaian hainbat artistak sareta sinpleak eta gailu matematikoak erabili zituzten eszenak gainazal lau batean zehaztasunez irudikatzeko, perspektiba linealaren printzipioen arabera. Garai hauetan artearen eta matematikaren sinbiosia, ikuspegi lineala eta geometria proiektiboa garatu ahala, norabide berrietan ia aldi berean garatzen diren eta artearen eta matematikaren adibiderik aipagarrienetako bat da.

Gaur egungo matematikarako tresnak sofistikatuagoak dira, eta teknologia digitala azkar bihurtzen ari da lehen aukera. Ordenagailuek artea sor dezakete, beren gaitasun magikoak sortzen dituzten barne prozesu matematiko konplexu ikustezinek bultzatuta. Artea ilusioa da eta eraldaketak garrantzitsuak dira ilusioa sortzeko.

Isometriek, antzekotasunek eta eraldaketa afinek irudiak eraldatu ditzakete. Eraldaketa berezi batzuk, arte anamorfikoa sortzen dute. Gainera, eraldaketa horiek guztiak matematikoki deskribatu daitezke. Iparrorratzak, erregelak, saretak, gailu mekanikoak, teklatua eta sagua artea sortzeko tresna fisikoak dira, baina harreman eta prozesu matematikoen ahalmena ez balute, tresna horiek sormen indar txikia izango lukete.

Matematika eta natura 
Natura forma geometriko eta sekuentzia batzuez osatuta dago. Matematika eta natura duten erlazioa behatuz, ondorio aipagarriak atera ditzakegu.

Lehenengoa, landareak forma geometrikoak jarraitzen dituzte. Adibidez, Petuniaren loreak pentagono ezin hobeak dira. Gainera, adarrak eta hostoak Fibonacciren sekuentzia jarraituz garatzen dira.

Proportzio fraktala etengabe ikus dezakegu naturan. Fraktala, eskala ezberdinetan errepikatzen den objektu erdigeometriko bat da. Adibidez, proportzio hau aza barietate batean agertzen da, Romanesko izenekoa.

Geometriak oso paper garrantzitsua dauka naturan, simetria ia ekosistema guztietan ikus dezakegu. Esate baterako, laranja bat erditik moztean zehaztutako erradioak dituen zirkunferentzia ikusiko da. Irudi simetriko bat sortuz.

Greziarrek, urrezko edo phi izenaz esagutzen den zenbakia gizakiaren hainbat proportzioetan zegoela ikusi zuten. Adibidez, gizakiaren altueraren eta zilborretik eskura arteko distantziaren arteko erlazioa urrezko zenbakia da, hatzen falangeen arteko erlazioa urrezko zenbakia da, buruaren luzeraren eta zabaleraren arteko erlazioa ere zenbaki hori da...

Ez dakigu matematika betidanik existitu egin den edo natura eta bizitza interpretatzeko tresna bat moduan sortu egin dugun. Baina, nabaria da, matematikaren eta naturaren artean erlazio estua dagoela aintzinatik.

Matematika eta Musika 

Musikak eta matematikak bat egiten dute gauza askotan: biek behar dute sormena garatzeko. Oso harreman estua dute: hizkuntza unibertsalak eta abstraktuak dira, deszifratu ahal izateko beren ikaskuntza eskatzen dutenak, eta biek bilatzen dute edertasuna. Elkarrekin ikastea paralelotasun natural horrekin jarraitzea besterik ez da.

Jakina da antzinako txinatarrek, egiptoarrek eta mesopotamikoek soinuaren printzipio matematikoak aztertu zituztela. Alabaina, antzinako Greziako pitagorikoak izan ziren musika-eskalen adierazpenaren lehen ikertzaileak zenbakizko proportzionaltasunei dagokienez, batez ere zenbaki txiki osoen proportzioei dagokienez. Haien doktrina nagusia zera zen: “zenbakiz osatutako harmonia da natura guztia”.

Gaur egun, matematikak zerikusi handiagoa du akustikarekin konposizioarekin baino, eta matematikaren erabilera; konposizioan historikoki, neurtzeko eta zenbatzeko eragiketa sinpleenetara mugatzen da. Musika konposatu eta entzuteko modu berriak egituratu eta komunikatzeko saiakerak ekarri ditu; adibidez, multzoen teoria, aljebra abstraktua eta zenbakien teoriaren aplikazio musikalak . Konpositore batzuek urrezko proportzioa eta Fibonacciren zenbakiak sartu dituzte lanean. Matematika musikaren oinarrietako bat da, musikaren hainbat arlotan baitago, eta nabaria da afinazioetan, noten antolamenduan, akorde eta harmonietan, erritmoan, denboran eta nomenklaturan.

Denbora, erritmoa eta metrika 
Egitura erritmikoak mugak ez balitu, musika ezinezkoa litzateke; erritmoa errepikakortasunaren funtsezko moldaketa baita. Antzinako ingelesean, " errima" (rhyme) hitza, "erritmoa" (rhythm) hitzetik eratorria, "rin" (rim - number) zenbakiarekin lotu eta nahastu zen; eta "metrika" eta "neurria" bezalako terminoen erabilera musikal modernoak ere musikaren garrantzi historikoa islatzen du.

Forma musikala 
Forma musikala musika zabaltzen den planoa da. "Plano" (plan) terminoa Arkitekturan ere erabiltzen da, eta azken hau, forma musikalarekin konparatzen da.

Soinua 
Gizakiarentzat soinua da, aireak transmititutako bibrazio mota batzuk (presio atmosferikoaren diferentziak) hautematen dituen forma. Giza entzumenak 20 eta 20.000 hertz (bibrazio segunduko) arteko maiztasunean bibratzen duten uhinak hauteman ditzake.

Musika-noten ezaugarria da harmoniko nagusiaren maiztasuna, musika-tresna batek jotzen duena. Soinuak musika-notak sortzen ditu, fisikan parte hartzen duten matematikak erabiliz.

Maiztasuna eta harmonia 
Eskala musikala altuera-multzo diskretu bat da, musika egin edo deskribatzeko erabiltzen dena. Mendebaldeko tradizioan eskala garrantzitsuena eskala diatonikoa da, baina bestelako eskala asko erabili eta proposatu dira garai historiko eta munduko zati desberdinetan . Eskala batek errepikapen-tarte bat du, normalean zortziduna. Zortziduna emandako afinazioaren maiztasuna halako bi da. Erlazioa 2:1 litzateke, eta hori da kontsonantziarik handiena.

Algoritmo matematikoak 
Musikan algoritmo matematikoen hainbat aplikazio aurki ditzakegu eta aplikaziorik erabiliena pultsu-kopuru jakin bat denbora-unitate kopuru jakin batean modu erregularrean banatzea da, "Erritmo euklideoak" izenekoa sortuz.

Demagun azenturik gabeko denbora bat zero (0) batekin irudikatzen dela, eta azentudun denbora bat (1) batekin; eta "x denboratan" "eta "y azentuak" banatu nahi ditugu erregularki. Horretarako, Toussainten algoritmoa erabiltzen da.

Matematika eta Arkitektura 
Matematikak eta arkitekturak erlazio estua dute, izan ere, arkitektoek (beste artista batzuek bezala) matematika erabiltzen dute haien ideiak garatzeko. Adibidez, eraikinak sortzeko behar diren kalkuluak egiteko eta eraikuntzaren diseinuan pentsatzeko. Azken hau, askotan geometrian oinarritzen da.

Matematika gero eta aberatzagoa egin zenean gero eta eraikin sofistikatuagoak sortu ziren. Garapen hau argi ikusten da, iraganeko eta gaur egungo eraikuntzak alderatzen baditugu.

Piramideak 
Piramideak, antzinako piramide itxurako eraikuntzak dira, Egipton kokatuta daudenak. Argi dago piramideak matematikaren forma geometriko bat direla. Hainbat piramideen artean bat aukeratuko dugu, Keopsen Piramidea matematikarekin hainbat erlazio dituena. Adibide moduan, bere perimetroa kalkulatuz eta bi aldiz bere altuerarekin zatituz ikus dezakegu matematikaren zenbaki garrantzitsu bat lor dezakegula:

 Ipar aldea:: 230,364 m
 Hegoaldea:: 230,365 m
 Ekialdea:: 230,319 m
 Mendebaldea:: 230,342 m

 ~ 

Gaur egun ez dakigu nahita egin zuten edo distantziak gurpilekin neurtzearen ondorio bat den.

Tenpluak 

Partenoia  Atenasko Akropolian kokatutako greziar tenplua da, bertako eraikin nagusia, Atenea jainkosari eskainia. Badirudi Urrezko zenbakian oinarrituz (gutxi gorabehera 1,618ren berdina dena) diseinatuta dagoela.

Taj Mahal, Agra hirian (India) dagoen mausoleo handia da, Shah Jahan errege mogolak bere emaztea zen Mumtaz Mahalen omenez eraikia XVII. mendean. Taj Mahal-a harmonia perfektua lortzen du geometria eta simetria erabiliz .

Familia Santuaren tenplua  Antoni Gaudí arkitektoak diseinatu zuen 1882an. Oraindik eraikitzen ari da. Gaudik kurba katenarioetan oinarritu zuen honen diseinua.

Eraikuntza modernoa 

Guggenheim Bilbao Museoa arte moderno eta garaikideko museoa da, Bilbon (Bizkaia) kokatua. Frank Gehry arkitekto estatubatuarrak diseinatu zuen. 1997 urriaren 19an  zabaldu zuten. Bere zailtasun matematikoagatik bereiztuta, museoaren diseinua proiektatu izan zen Catia izeneko programa informatiko bati esker, honekin forma kurbilinieko eskultura erraldoiak sor daitezke, geometriaren kontrola eta eraginkortasuna matenduz.

30 St Mary Axe, (The Gherkin), Ingalaterrako Londres hirian dagoen bulego etxe orratz bat da, City of London eremuan. Guztira 180 metro eta 40 solairu dauzka eta 2003an amaitu zuten eraikitzen. Honen egitura eraikin zirkular batean oinarrituta dago eta honen diseinuari esker energia gutxi kontsumitzen du.

Water Cube,  munduko ETFE estaldura handiena du, 100.000 m² baino gehiago dituena.  Kristala baino bero eta argi gehiago erakartzen ditu, energiaren gastua %30 murriztuz.​ Kelvinen probleman oinarrituta dago, horregatik xaboi burbuilez osatuta dagoela dirudi.

Matematika eta Dantza 

Matematika eta dantza denboran zehar espazioan erlazionatzen dira. Dantzan ikus daitekeenez, koreografietan, zirkulu, lerro eta irudi desberdinen konbinazioak egiten dira, hau da, geometria. Eta geometria fisikoki esperimentatzeko modu asko daude.

Gorputzak forma bat sor dezake edo patroi jakin batean mugi daiteke, eta faktore gehiago eransten ditugunean, aldakortasuna izugarria da.

Zoritxarrez-edo, beste gauza komun bat ere badute matematikak eta dantzak. Alegia, honako alderdi hau ere partekatzen dute: biak memorizazioaren bidez irakasten direla. Askotan, egitura antolatuak (urratsak) errepikatuz irakasten da dantza, ikasleek pentsatu gabe sekuentzia osoa egikaritu arte. Era berean, matematika maiz irakasten da formulak edo kalkuluak errepikatuz (adibidez, biderketa-taulak), analisirik gabe, erabat memorizatu arte.

Hala ere, bakoitzak bere onarriak ditu. Dantzaren kasuan, urratsak; eta, matematikaren kasuan, oinarrizko eragiketak eta axiomak. Izan ere, horiek dira lehenengo irakatsi eta ikasten direnak, gero, problema bat ebazteko unea denean, edo aske dantzatzeko unea denean, ikasleek lehenengo tresna horiek erabil ditzaten beren gaitasunen arabera.

Matematika oso funtsezkoa da dantzarako, bere forma guztietan agertzen delako:

-Gorputz matematizatua: dantzariaren gorputzak mugitzean (edo dantzatzean), oso ondo egokitzen diren matematikaren ohiko balioak bereganatzen ditu (kontrola, zorroztasuna eta milimetrikoa izatea). Ikaskuntza-metodoaren hierarkiak (zailtasun txikienetik handienera) matematikarekin du zerikusia, haren zati guztiak deskonposa baitaitezke (ariketa konplexuak sinpleenetara itzul daitezke, prozesuaren zati guztiak ondo eginez). Dantziaren gorputzak figura matematikoak marrazten ditu: zirkuluak, erronboak, elipseak, lerroak.

-Espazio matematizatua: dantzak eskatzen dio dantzariari eszenografia-espazioaz jabetzea, bere koreografia erabat garatu ahal izateko. Horretarako, bere lekua eta espazioan duen posizioa kontuan hartu behar ditu. Dantzari bakoitzak leku bat hartzen du, planoan dauden puntuak bezala. Urratsetako irudiak askotan batera egiten direnez, beharrezkoa da dantzari bakoitzak bere posizioa argi izatea. Dantzariek, izan ere, musika kontatu behar dute dantzatzeko. Haien buruan musikaren erritmoa eraman behar dute eta ezin dute konpasa galdu.

Balleta 

Ballet klasikoan, ikuspegia eta irudia funtsezkoak dira eta, horregatik, geometriak bide ezin hobea eskaintzen du eszenatokiaren gaineko proportzio eta formetan. Adibidez, balleteko irudi batzuek beren bikaintasuna aurkitzen dute poligonoetan inskribatzean. Posizio hauen arteko mugimendua simetria-erlazioei jarraituz egiten da. Dantzariaren mugimendua eta gorputza sartzen diren planoa aldaezina uzten duten mugimenduak(adibidez, bira edo translazio bat) egitura aljebraikoa osatzen dute, eta matematikariek talde deitzen diote holako mugimendu-multzo horri.

Beste ikuspegi batetik, dantzariaren mugimendua, bere posizioen denbora-bilakaera aztertuz, sistema dinamikotzat har daiteke. Bilakaera edo eboluzio hori ekuazio diferentzialen bidez deskribatzen da; bereziki, gorputza modelizatzen da, ziba baten antzeko simetria duen solido zurrun gisa biratuz.

Gainera, urratsak kateatzeak erritmoa markatzen duen zenbakizko eredu jakin bati jarraitzen dio. Dantzako erritmoak oinarrizko matematikaren forma intuitiboena dira: aritmetika. Ballet klasikoan funtsezko bi erritmo mota daude: adagioak eta allegroak. Adagioetan mugimenduak oso mantso egiten dira, normalean zortzi musika-denborako tartean edo zortziren multiploetan. Aitzitik, allegroak jauzi handi eta txikien bidez adierazten dira, denbora-tarte txikietan tartekatuta..

Hala, koreografia bat urrats bakoitzean emandako musika-denborekin ordenatutako zenbaki-serie bati dagokio: prozedura horri segida matematiko deritzo, eta errepikatu egingo da konposizioan zehar, eta errepikapen matematiko bat eragingo du. Segiden ikasketaz matematikaren adarrik zaharrenetako bat  arduratzen da, zenbakien teoria izenekoa.

Azkenik, espazioaren ikuskera funtsezkoa da, bai koreografoentzat bai dantzarientzat. Espazioaren ulertze tradizionalari jarraituz, euklidear espazio gisa ikusiko genuke balleta, non mugimendua zuzenetan marrazten den eta desplazamenduak translazio eta biraketen bidez egiten diren. Hala ere, dantza garaikideek eszenografia berriak esperimentatzen dituzte espazio kurboekin, eta horietan gorputza posizio arriskutsuagoetara eramaten da. Espazio berri horiek, matematikaren ikuspuntutik, barietateak direla esango genuke, eta espazio kurbo hauen mota berezi bat direla. Barietateak, oro har,  kurbadura nulua duten espazio euklideotik oso urrun dauden propietateak dituzte. Kurbadura konstanteko espazioei riemanniar barietateak deitzen zaie, eta haien bi adibide nagusiak espazio eliptikoa eta hiperbolikoa dira.

Balletaren simetriari dagokionez, matematikaren talde-teoriak zeresan handia du: balletaren posizio asko “kiralak” dira, eta horrek esan nahi du posizio askok ardatz bertikalarekiko islapen-simetria dutela, hau da, ezkerrera nahiz eskuinera egin daitezkeela.

Bestalde, balletaren urrats asko plano kartesiar batekin erlaziona daitezke.

Ezkerreko irudian uler dezakegu airean zintzilik dagoen dantzariaren oinak funtzio lineal gorakorra eratzen duela, eta lurrean dagoen hankak, berriz, “y” ardatza adierazten duela bere alde negatiboan.

Balletean erabiltzen den beste gimnasia-ariketa bat “zubia” da. Zubi horrek antz handia du beherantz egiten duen funtzio koadratikoarekin.

Balleteko jauzi batzuek ibilbide parabolikoa osatzen dute, eta funtzio koadratiko bat eratzen dute beherantz.

Bachata 
Matematikan zein bachata dantzan, biraketa desberdinak aurkitu ditzakegu:

Euskal Dantzak 
Euskal dantza gehienak taldeka dantzatzen dira eta talde horietako dantzariak modu ordenatu batean antolatzen dira irudi geometrikoak sortuz.

Izen matematikoak Euskal dantzetan 
Euskal dantzetan matematikarekin lotura duten izenak bilatzen ditugunean zenbakiak agertzen dira gehienbat.

Dantzari-dantza 
Dantzari-dantza Durangaldeko dantza sorta bat da, bederatzi zati dituena: Agintariena, Zortzinangoa(edo Zortzikoa), Ezpata joko txikia, Banangoa (edo Banakoa), Binangoa (edo Binakoa), Ezpata joko nagusia, Launangoa (edo Launakoa), Makil dantza eta Txotxongiloa.

Dantzari-dantzan zortzi dantzarik parte hartzen dute.

 Zortzinangoan zortzi dantzariek aldi berean dantzatzen dute.
 Banangoan dantzariek banaka egiten dituzte beren urratsak.
 Binangoan binaka aritzen dira dantzariak.
 Launangoan, lau dira aldi berean dantzan ari diren dantzariak.

Jauziak 
Jauzien zenbait urratsen izenetan ere zenbakiak erabiltzen dira. Jauzien urratsen artean; lau urrats, ezker-hiru eta eskuin-hiru ditugu. Bestalde, urrats batzuei "eta hiru" gehitzen zaie oinarrizko pausoaren bariazio bat adierazteko, hala nola, erdizka eta hiru, zote eta hiru edo ebats eta hiru.

Mutil-dantzak 
Baztango bi mutil-dantzaren izenetan ere zenbakiak agertzen dira, Zazpi jauziak eta Hiru puntukoa dantzetan, hain zuzen ere. Bigarrenean gainera, zenbakia ez den beste kontzeptu matematiko bat agertzen da, puntua.

Euskal dantzak eta irudi geometrikoak 
Bi taldetan sailka ditzakegu irudi geometrikoekin lotura nabaria duten dantzak: alde batetik, biribilean edo korroan egiten diren dantzak , eta bestetik, poligono forma desberdinak eginez dantzatzen direnak.

Azken hauekin hasiko gara.

Bai gizonezkoen zein emakumezkoen euskal dantza askotarako zortzi dantzari behar dira. Zenbaki horrek ematen duen oinarrizko eigturari jarraituz lortzen den poligonoa laukizuzena da, oinarrian bi dantzari eta altueran lau dantzari egonik (24) edo alderantziz,(42).

Irudi geometriko hau ohikoa da eta herrialde askotako dantzetan aurki daiteke, besteak beste:

Gipuzkoako Brokel dantzaren sortako Uztai txiki eta Makil dantzan 24 laukizuzen egitura errepikatzen da, baina, taldeaz gain, askotan buruzagiaren irudia agertzen da pentagono bat sortuz.

Azkenik, Txotxongiloaren kasuan hexagono bat irudikatzen dute dantzariek.

Biribilean egiten diren dantzei dagokienez, agertzen den irudi geometrikoa zirkunferentzia da. Hainbat dantzaren kasuan ez dago aldez aurretik partaideen kopuru finkorik, beraz, zirkunferentzia tamaina askotakoa izan daiteke. Honen adibide gisa honako dantza hauek aipa ditzakegu: Paganoseko Txulalai, fandangoa eta arin-arina, Iribaseko ingurutxua.

Batzuetan, zirkunferentzia zentrokide bi azaltzea gerta daiteke. Fandangoan eta arin-arinean, adibidez.

Partaideen kopurua finkoa izanik, zirkunferentzia osatzen duen dantzetako bat Xemeingo Ezpata dantza da. Hamahiru dantzari daude eta horietako batek ardatzarena egingo du, erdian jarriz eta gainerako hamabiak gurutzatuz joango dira zirkunferentzia osatu arte. Gainera, haien ezpatekin zirkunferentziaren erradioak eta ebakitzaileak argi ikus daitezke.

Azkenik, biribilean egiten den dantza ezagunenetariko bat aipatu behar da, zinta-dantza, hain zuzen ere. Hainbat zinta-dantza mota daude, Bizkaian, Araban edo Nafarroan, koreografia desberdinekin baina ezaugarri komun batzuekin. Oro har 8 dantzarik egingo dute dantza, baina 6,10 edo 12-rekin ere egin daiteke. Gainera, ardatz bati lotuta egongo dira.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
Matematikari garrantzitsuak
Artearen historia
Matematika eta Arkitektura
Matematika eta Kirola
Matematika eta Bideojokoak

Kanpo estekak 
 https://www.youtube.com/watch?v=qxRW5pDT2o4

Artearen historia
Matematika eta artea
Matematika eta kultura
Matematika aplikatua
Arte ederrak