Talde sinple finituen sailkapena

Matematikan, talde sinple finituen sailkapena teorema bat da, talde sinple finitu bakoitza ziklikoa edo txandakakoa edo Lie motako taldeak izeneko klase infinitu batekoa dela dioena, edo hogeita sei edo hogeita zazpi salbuespenetako bat da, noizean behingo talde deitzen direnak. Talde-teoria oinarrizkoa da matematika puruaren eta aplikatuaren arlo askotan, eta sailkapen-teorema gizateriaren lorpen intelektual handienetako bat izan da. Sailkapen hori eusten duten frogak ehun egile inguruk idatzitako ehunka aldizkaritako hamarka milaka orrialdetan daude, gehienbat, 1955 eta 2004 urteen artean argitaratuak.

Talde sinpleak talde finitu guztien oinarrizko eraikuntza-bloke gisa ikus daitezke, zenbaki lehenak zenbaki naturalen oinarrizko eraikuntza-blokeak direla gogoraraziz. Konposizio-seriea talde finituei buruzko datu hori adierazteko modu zehatzagoa da. Hala ere, zenbaki osoen faktorizazioarekiko desberdintasun esanguratsu bat da eraikuntza-bloke horiek ez dutela, hala beharrez, talde esklusibo bat zehazten, talde ez-isomorfo asko egon baitaitezke konposizio-serie berarekin, edo, beste modu batera esanda, hedapen-arazoak ez du irtenbide bakarra.

Gorenstein-ek, Lyons-ek eta Solomon-ek frogaren bertsio sinplifikatu eta berrikusia pixkanaka argitaratzeari ekin zioten.

Sailkapen-teoremaren deklarazioa 

Sailkapen teoremak matematikaren adar askotan ditu aplikazioak, izan ere, talde finituen egiturari buruzko galderak (eta beste objektu matematiko batzuen gainean duten ekintza), batzuetan, talde finitu bakunei buruzko galderetara murriztu baitaitezke. Sailkapen-teoremari esker, zenbaitetan, galdera horiei talde sinpleen familia bakoitza eta noizbehinkako talde bakoitza egiaztatuz erantzun daitezke.

Daniel Gorensteinek 1983an iragarri zuen talde sinple finitu guztiak sailkatuta zeudela, baina baieztapen hori goiztiarra izan zen, talde ia-argalaren sailkapenaren frogari buruz gaizki informatuta baitzegoen. Sailkapenaren proba osoa Aschbacherrek (2004) iragarri zuen  Aschbacherrek eta Smith-ek talde ia-argalaren falta zen kasurako 1221 orrialdeko froga bat argitaratu ostean.

Sailkapen-teoremaren frogaren laburpena 
Gorensteinek bi liburuki idatzi zituen frogaren gama baxua eta ezaugarri berezia deskribatuz; eta Aschbacher, Lyons, Smith eta Solomonek hirugarren liburuki bat idatzi zuten 2 ezaugarriaren gainerako kasua biltzen duena. Proba hainbat zati nagusitan bana daiteke honela:

2 mailako talde txikiak 
2 mailako talde sinpleak, gehienak, maila txikiko Lie motako taldeak dira bakoitiak diren gorputzen gainean, bost talde txandakatzailerekin eta zazpi 2 ezaugarrikoekin eta noizbehinkako bederatzi talderekin batera.

2 mailako talde sinple txikiak honako hauek dira:

 2, 0 mailako taldeak: beste hitz batzuetan, ordena bakoitiko taldeak, guztiak Feit–Thompson teoremaren bidez ebazteko modukoak direnak.
 2, 1 mailako taldeak: Sylow 2ren azpitaldeak ziklikoak dira, transferentzia-aplikazio baten bidez erabiltzeko errazak direnak, edo Brauer-Suzukiren teoremaren arabera kudeatzen diren koaternioi orokorrak: bereziki, ez dago 2, 1 mailako talde sinplerik.
 2, 2 mailako taldeak: Alperin-ek frogatu zuen Sylowen azpitaldea diedroa, ia-diedrikoa, kiribildua edo "U"3 (4)ren Sylow 2 azpitaldea izan behar duela. Lehenengo kasua Gorenstein-Walter teorema erabiliz aztertu zen, zeinak erakutsi zuen talde bakun bakarrak isomorfoak direla L2 (q) q bakoitientzat  edo A7, bigarren eta hirugarren kasuak Alperin-Brauerren teorema erabiliz ebatzi ziren; horrek esan nahi du talde sinpleak diren bakarrak isomorfoak direla L3 (q) edo U3 (q) q bakoitientzat edo M11rekiko, eta azken kasua Lyonsek aztertu zuen, zeinak frogatu zuen U3(4) aukera sinple bakarra zela erakutsi zuen.
 2 mailako sekzio-taldeak, gehienez 4: Gorenstein-Harada teoremaren arabera sailkatuta.

2 mailako talde txikien sailkapenak, batez ere 2 mailakoak gehienez, karaktereen teoria arrunt eta modularra erabiltzen du, eta hori ia inoiz ez da zuzenean erabiltzen sailkapenaren beste zati batzuetan.

2 maila txikiko ez den talde guztiak bi klase nagusitan bana daitezke: osagai motako taldeak eta 2 motako ezaugarri taldeak. Hori da talde batek 2 maila sekzional badu gutxienez 5, orduan, MacWilliamsek bere Sylow 2 azpitaldeak konektatuta daudela erakutsi zuen, eta oreka-teoremak esan nahi du Sylow-en 2 azpitaldeak konektatuta dituen edozein talde sinple 2 osagai edo ezaugarri motakoa dela. 2 behe mailako taldeentzat, frogantza horrek ez du funtzionatzen, zeren funtore seinaleztatzailearen teorema bezalako teoremak gutxienez 3 mailako ezaugarriko azpitalde abeliarrentzat bakarrik funtzionatzen baitute.

Osagai mota taldeak 
Talde bat osagai motakoa dela esaten da, baldin eta inboluzio bateko C zentralizatzaileren batentzat C/O(C) osagai bat badu (non O(C) C-ren nukleoa ordena bakoitiko gehieneko azpitalde normala den).

Hauek dira, gutxi gorabehera, maila handiko bakoitiak diren Lie motako taldeak eta txandakako taldeak, noizbehinkako talde batzuekin batera. Kasu horretan, urrats garrantzitsua inboluzio baten nukleoaren oztopoa ezabatzea da. Hori B teoremaren bidez lortzen da, zeinak C/O(C) osagai bakoitzak C osagai baten irudia dela ezartzen duen.

Asmoa da talde horiek inboluzio baten zentralizatzaile bat izatea talde ia-sinple txikiagoa den osagai batekin, indukzioz jada ezaguna dela pentsa daitekeena. Orduan, talde horiek sailkatzeko, talde sinple ezagun bakoitzaren hedadura zentral bakoitza hartzen da, eta talde bakun guztiak inboluzio-zentralizatzaile batekin aurkitzen dira, hori osagai gisa hartuta. Horrek kasu kopuru handia ematen du egiaztatzeko: 26 noizbehinkako talde eta 16 familia Lie motako talde ez ezik txandakako taldeak ere badaudela, baizik eta maila txikiko talde askok edo eremu txikietan ere kasu orokorrarekin zerikusirik ez dutela eta banan-banan tratatu behar direla eta Lie motako talde bakoiti eta bikoiti ezaugarrikoak ere nahiko ezberdinak direla elkarren artean.

2 ezaugarri motako taldeak 
Talde bat 2 ezaugarrikoa da baldin eta 2-lokal azpitalde bakoitzeko Y Fitting F*(Y) azpitalde orokortua 2 talde bat bada. Izenak iradokitzen duen bezala, hauek dira Lie motako taldeak 2 ezaugarriko eremuetan, gehi txandakakoak, noizbehinkakoak edo bakoitiak diren beste batzuk. Bere sailkapena maila txiki eta handiko kasuetan banatzen da, non maila abeliar azpitalde bakoiti baten mailarik handiena den 2 azpitalde ez-hutsal bat normalizatzen duena eta sarritan (baina ez beti) Kartanen azpialjebra baten maila bera dena taldea LIe motako taldeko 2 ezaugarria denean.

1 mailako taldeak talde argalak dira, Aschbacherrek sailkatutakoak, eta 2 mailakoak talde ia-argal ezagunak dira, Aschbacherrek eta Smithek sailkatutakoak. Horiek, gutxi gorabehera, 2 mailako eremuei dagozkien 1 edo 2 mailako Lie motako taldeei dagozkie.

Gutxienez 3 mailako taldeak 3 klasetan banatzen dira trikotomiako teoremagatik, Aschbacherrek 3 mailarako frogatua, eta Gorenstein eta Lyonsek gutxienez 4 mailarako.

Hiru klaseak GF(2) motako taldeak dira (batez ere Timmesfeld-ek sailkatua), lehen bakoitiren batentzat estandarrak diren taldeak (Gilman-Griess teoremaz sailkatuta eta beste hainbatentzat funtzionatzen duena) eta berezitasun motako taldeak, non Aschbacherren emaitzak talde sinplerik ez dagoela esan nahi duen.

Goi-mailako kasu orokorra osatzen dute, gutxienez, 3 edo 4 mailako 2 ezaugarriko eremuetan Lie motako taldeek.

Talde sinpleen existentzia eta berezitasuna 
Sailkapenaren zati nagusiak talde sinple bakoitzaren karakterizazioa sortzen du. Ondoren, karakterizazio bakoitzerako talde sinple bat eta bakarra dela egiaztatu behar da. Horrek arazo bereizi ugari ematen ditu; adibidez, munstro taldearen existentziaren eta berezitasunaren jatorrizko frogak 200 orrialde inguru ziren guztira, eta Thompson eta Bombieriren Ree taldeen identifikazioa sailkapenaren zati zailenetako bat izan zen. Existentzia-froga askok eta noizbehinkako taldeen berezitasun-froga batzuek, hasieran, ordenagailu bidezko kalkuluak erabiliz egiten zituzten, eta horietako gehienak eskuzko froga laburragoek ordezkatu dituzte.

Probaren historia

Gorensteinen programa 
1972an, Gorenstein (1979, Eranskina) talde bakun finituen sailkapena osatzeko programa iragarri zuen, honako 16 urratsez osatua:
 2 maila baxuko taldeak. Gorensteinek eta Haradak ebatzi zuten funtsean, zeinak 2 sekzio-maila duten taldeak gehienez 4 gisa sailkatu baitzituzten. 2 mailako gehienez 2 kasu gehienak eginak zeuden Gorensteinek bere programa iragarri zuenerako.
 2 geruzen erdi sinpletasuna. Arazoa da talde sinple bateko inboluzio baten zentralizatzailearen geruza 2a erdi sinplea dela frogatzea.
 Forma estandarra ezaugarri bakoitian. Talde batek Lie motako talde bakoitiko osagarria duen 2 osagai bateko inboluzioa badu helburua da erakustea forma estandarrean inboluzio zentralizatzaile bat duela; horrek esan nahi du inboluzio-zentralizatzaile batek Lie motako osagai bat duela ezaugarri bakoitian eta 2 sekzional mailako zentralizatzailea ere baduela.
 Mota bakoitietako taldeen sailkapena. Arazoa da erakustea talde batek inboluzioaren zentralizatzaile bat badu forma estandarrean, orduan, ezaugarri bakoitiak dituen Lie motako taldea dela. Hori Aschbacherren inboluzio teorema klasikoaren bidez ebatzi zen.
 Forma ia estandarra.
 Inboluzio zentralak.
 Txandakako taldeen sailkapena.
 Noizbehinkako talde batzuk.
 Talde meheak. Talde finitu mehe sinpleak 2 lokal mailakoak, gehienez 1 p maila dutenak lehen bakoitientzat, Aschbacherrek sailkatu zituen 1978an.
 p bakoitientzako azpitalde oso txertatua duten taldeak.
 Lehen bakoitientzako seinaleztatzailearen funtorearen metodoa. Arazo nagusia seinaleztatzaile funktorearen teorema frogatzea da ebatzi ezin diren seinale funktoreetarako, McBridek 1982an ebatzi zuena.
 p ezaugarri motako taldeak. p-arekin gogor txertatutako 2 lokaleko azpitaldea duten taldeen arazoa da, p bakoitia izanik, Aschbacherrek maneiatu zuena.
 Talde ia-meheak. Talde ia-mehea da bere bi azpitalde lokalak p lehen bakoiti guztientzat gehienez 2ko maila dutena, eta arazoa 2 ezaugarri motako sinpleak sailkatzea da. Hori Aschbacherrek eta Smithek osatu zuten 2004an.
 Maila baxuko 2 tokiko 3 taldeak, funtsean, Aschbacherren trikotomiaren teorema e(G) = 3 duten taldeetarako ebatzitakoak. Aldaketa nagusia da 3 tokiko 2 mailaren ordez tokiko p 2 maila izango dela lehen bakoitientzat.
 3 elementuko zentralizatzaileak forma estandarrean, funtsean trikotomiaren teorema bidez frogatua.
 2 ezaugarri motako talde bakunen sailkapena, Gilman–Griess teoremaren arabera, 3 elementu lehen bakoitietarako p elementuz ordezkatuta.

Proba kronograma 
Beheko zerrendako elementu asko Solomon (2001)etik hartuak dira. Emandako data, normalean, emaitza baten froga osoaren argitalpen-data izan ohi da, hau da, batzuetan, frogaren edo emaitzaren lehen iragarpenaren ondorengo urte batzuetara; beraz, elementuetako batzuk ordena okerrean agertzen dira.

Bigarren belaunaldiko sailkapena 
Teoremaren frogari, 1985 inguruan zegoen bezala, lehen belaunaldia dei dakioke. Lehen belaunaldiko probaren muturreko hedadura dela eta, ahalegin handia egin da proba sinpleago bat aurkitzeko, bigarren belaunaldiko sailkapen proba izenekoa. Errebisionismoa deituriko ahalegin hori Daniel Gorensteinek zuzendu zuen hasiera batean.

2021erako, bigarren belaunaldiko probaren bederatzi liburuki argitaratu dira (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). 2012an, Solomonek proiektuak beste 5 liburuki beharko zituela kalkulatu zuen, baina aurrerapena motela zela esan zuen. Proba berriak, azkenean, 5.000 orrialde inguru hartuko dituela uste da. Luzapen hori, neurri batean, bigarren belaunaldiko proba estilo lasaiagoan idatzita dagoelako da. Dena den, serieko 9. liburukia argitaratuta, eta Aschbacher-Smithen ekarpena barne, zenbatespen hori lortu zen, hainbat liburuki gehiago prestatuta (hasieran 9 bolumena zuena, eta 10 eta 11 bolumen proiektatuak). Aschbacherrek eta Smithek beren bi liburukiak idatzi zituzten kasu ia-argalari eskainitakoak; beraz, bolumen horiek bigarren belaunaldiko frogaren parte izan daitezke.

Gorensteinek eta bere kolaboratzaileek hainbat arrazoi eman dituzte frogantza sinpleagoa egin daitekeela adieraziz.

 Garrantzitsuena da orain teoremaren azken adierazpen zuzena ezagutzen dela. Teknika sinpleagoak aplika daitezke, guztiz sinpleak diren talde motetarako egokiak direla ezagunak direnak. Aitzitik, lehen belaunaldiko frogan aritu zirenek ez zekiten zenbat noizbehinkako talde zeuden, eta, hain zuzen ere, noizbehinkako talde batzuk (adibidez, Jankoren taldeak) sailkapen teoremaren beste kasu batzuk frogatzen ziren bitartean aurkitu ziren. Ondorioz, teoremako pieza asko orokorregiak ziren teknikak erabiliz frogatu ziren.
 Ondorioa ezezaguna zenez, lehenengo belaunaldiko frogak kasu berezi garrantzitsuez arduratzen diren teorema independente askok osatzen dute. Teorema horiek frogatzeko, lanaren zati handi bat kasu berezi ugari aztertzera bideratu zen. Proba handiagoa eta zabalagoa denez, kasu berezi horietako askoren tratamendua atzeratu daiteke hipotesi sendoagoak aplikatu arte. Berrikusitako estrategia horrengatik ordaintzen den prezioa da lehen belaunaldiko teorema horiek ez dutela froga nahiko laburrik, baizik eta sailkapen oso batean oinarritzen direla.
 Lehen belaunaldiko teorema asko gainjartzen dira, eta, beraz, kasu posibleak eraginkortasunik gabe zatitzen dituzte. Ondorioz, talde finitu sinpleen familiak eta azpifamiliak hainbat aldiz identifikatu ziren. Berrikusitako probak erredundantzia horiek ezabatzen ditu kasuen azpizatiketa desberdin batean oinarrituta.
 Talde finituetako teorikoek esperientzia handiagoa dute ariketa mota horretan, eta teknika berriak dituzte eskura.

Aschbacher (2004) Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth eta beste batzuen sailkapen-arazoari buruzko lana hirugarren belaunaldiko programa gisa deskribatu da. Lan horren helburuetako bat 2 ezaugarriko talde guztiak uniformeki tratatzea da bateratze-metodoa erabiliz.

Zergatik da hain luzea proba? 
Lie talde trinkoaren sailkapenaren antzeko sailkapenaren froga laburrik ez egotearen arrazoi batzuk aztertu ditu Gorensteinek.

 Arrazoirik nabariena da talde bakunen zerrenda nahiko korapilatsua dela: 26 noizbehinkako talderekin, litekeena da edozein frogatan kontuan hartu beharreko kasu berezi asko egotea. Orain arte, inork ez du aurkitu Dynkin diagramen bidez Lie talde trinkoen parametrizazioaren antzeko talde bakun finituen deskribapen garbi eta uniformerik.
 Atiyah-k eta beste batzuek iradoki dute sailkapena sinplifikatu beharko litzatekeela, taldeek eragiten duten objektu geometrikoren bat eraikiz eta, gero, egitura geometriko horiek sailkatuz. Arazoa da inork ezin izan duela talde sinple bati lotutako egitura geometriko bat aurkitzeko modu errazik iradoki. Zentzu batean, sailkapenak BN bikotea bezalako egitura geometrikoak aurkituz funtzionatzen du, baina hori talde sinple finitu baten egituraren azterketa oso luze eta zailaren amaieran bakarrik dator.
 Froga sinplifikatzeko beste iradokizun bat errepresentazioaren teoria gehiago erabiltzea da. Hemen arazoa da errepresentazio-teoriak talde baten azpitaldeen gaineko kontrol oso estua behar duela ondo funtzionatzeko. Maila txikiko taldeentzat, kontrol eraginkorra lortzen da, eta irudikapen teoriak oso ondo funtzionatzen du, baina ez maila handiagoko taldeentzat, non inork ez duen lortu teoria erabiltzea sailkapena errazteko. Sailkapenaren hasierako garaietan, ahalegin handia egin zen errepresentazioaren teoria erabiltzeko, baina inoiz ez zuen arrakasta handirik lortu maila altuagoko kasuetan.

Sailkapenaren ondorioak 
Atal honetan, talde sinple finituen sailkapena erabiliz frogatu diren emaitza batzuk zerrendatzen dira:

 Schreier-en aierua
 Seinale funktorea teorema
 B aierua
 Talde guztietarako Schur-Zassenhaus teorema (nahiz eta Feit-Thompson teorema bakarrik erabiltzen den).
 Elementu 1 baino gehiago dituen multzo finitu bateko truke iragankorreko talde batek potentzia-nagusiaren ordenako puntu finkorik gabeko elementu askea du.
 2 permutazio-talde iragankorren sailkapena.
 3. mailako permutazio-taldeen sailkapena.
 Sims-en aierua.
 Frobeniusen aierua en soluzio kopuruari buruzkoa.

Oharrak

Erreferentziak

Bibliografia 
 
 
 
 
 
 
  Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", "Scientific American", 1 de diciembre de 1985, vol. 253, no. 6, págs. 104-115.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Mark Ronan,  Symmetry and the Monster , , Oxford University Press, 2006. (Introducción concisa para lectores profanos)
 Marcus du Sautoy,  Finding Moonshine , Fourth Estate, 2008,  (otra introducción para el lector lego)
 Ron Solomon (1995) "Sobre grupos simples finitos y su clasificación", "Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense". (No demasiado técnico y bueno en historia)
  - artículo ganado premio Levi L. Conant por exposición

Kanpo estekak 
 Talde Finatuen Irudikapenen ATLASA . Bilatu irudikapenen eta bestelako datuen datu-basea talde finitu sinple askotarako.
 Elwes, Richard, " A Huge Theorem: The Classification of Finite Simple Groups ", Plus Magazine, 41. alea, 2006ko abendua. Laikoentzat.
 Madore, David (2003) Non-Belian Simple Group Orders. Beliar ez diren talde sinple guztien zerrenda biltzen du. eskaera 10 10 arte.
 Zein zentzutan da "ezinezkoa" talde finitu guztien sailkapena?

Matematikaren historia
2004 zientzian
Talde-teoria