Dinamika

Dinamika fisikaren adar bat da, zeinak sistema fisiko batek denboran zehar duen garapena deskribatzen baitu, egoera fisiko edo higidura-egoera hori sortzen duten kausen arabera. Dinamikaren helburua da sistema fisiko batean aldaketak sorraraz ditzakeen ezaugarriak deskribatzea, ezaugarri horiek kuantifikatzea eta higidura-ekuazioak edo garapen-ekuazioak proposatzea sistema horretarako. Dinamika ikertzea sistema mekanikoetan egiten da batez ere (mekanika klasikoan, mekanika erlatibistan eta mekanika kuantikoan), baina baita termodinamikan eta elektrodinamikan ere.

Dinamika zinematikaren kontrakoa da, zinematikak, objektuen higidura ikertzean, albo batera uzten baititu higidura gertatzeko arrazoiak.

Beste esparru zientifiko batzuetan, hala nola ekonomian edo biologian, ohikoa da fisikaz bezalatsu hitz egitea dinamikaz, hau da, sistema jakin batek denboran zehar duen garapenari erreferentzia egiteko.

Printzipioak
Orokorrean, dinamikan parte hartzen duten ikertzaileek sistema fisiko bat denboran nola garatu edo alda daitekeen aztertzen dute, eta aldaketa horien kausak aztertzen dituzte. Gainera, Newtonek fisikaren dinamika arautzen duten oinarrizko lege fisikoak ezarri zituen. Bere mekanika sistema aztertuz, dinamika uler daiteke. Zehazki, dinamika Newtonen bigarren mugimendu-legearekin lotuta dago. Hala ere, higiduraren hiru legeak hartzen dira kontuan, hauek erlazionaturik daudelako behaketa edo esperimentu jakin batean.

Dinamika lineala eta errotazionala

Dinamika bi kategoriatan aztertzen da: lineala eta errotazionala. Dinamika lineala lerro batean mugitzen diren objektuei dagokie, eta honako kantitate hauek barne hartzen ditu: indarra, masa/inertzia, desplazamendua (distantzia unitateetan), abiadura (denbora unitateko distantzia), azelerazioa (denbora unitate karratuko distantzia) eta momentua (abiadura unitateko masa denboretan). Errotazio-dinamikak biratzen ari diren edo bide bihurgunetsu batean mugitzen diren objektuei dagozkie, eta honako kopuru hauek barne hartzen dituzte: indar unea, inertzia-unea/inertzia birakaria, desplazamendu angeluarra (radianetan edo gutxiagotan, graduetan), abiadura angeluarra (radianetan, denbora unitateko), azelerazio angeluarra (radarretan, denbora unitate karratuko) eta une angeluarra (inertzia-aldietan, abiadura angeluarreko unitatea). Askotan, objektuek mugimendu lineal eta birakaria erakusten dute.

Elektromagnetismo klasikorako, Maxwellen ekuazioek zinematika deskribatzen dute. Mekanika eta elektromagnetismoa inplikatzen dituzten sistema klasikoen dinamikak Newtonen legeak, Maxwellen ekuazioak eta Lorentzen indarra konbinatuz deskribatzen dira.

Indarra
Newtonetik abiatuta, indarra objektu bat bizkortzea eragin dezakeen esfortzu edo presio gisa defini daiteke. Indarraren kontzeptua gorputz aske bat (objektua) bizkortzen duen eragina deskribatzeko erabiltzen da. Bulkada edo tiraldi bat izan daiteke, objektu bat norabidez aldarazten duena, abiadura berria duena edo aldi baterako edo betiko desitxuratzen duena. Orokorrean, indarrak objektuaren higidura-egoera aldatzen du.

Historia 

Mugimenduaren arrazoien inguruko lehenengo hausnarketetako bat Aristotelek egin zuen. Gaur egun egiten ez dugun bezala, Aristotelek lehenengo dinamika ikertu zuen eta, ondoren, zinematika. Arrazoitzeko modu honek mugimendua ikertzea zaildu zuen Alberto Handiak arazo honen berri eman zuen arte eta, ondoren Galileo Galilei eta Isaac Newtonek ikerketa berriak egin zituzten arte. Thomas Bradwardinek 1328an esan zuen bere  liburuan lege matematiko batek batzen zituela abiadura eta erresistentziak. Bere lanak Erdi Aroko mekanikaren ikerketan eragina izan zuen bi mendetan zehar, baina "gehikuntza"ren definizioan egin zuen akats matematiko bat dela eta ez zitzaion eman behar bezalako erabilera bere egunean.

Newtonengan eragin handia izan zuten Galileok uniformeki azeleratutako gorputzekin egin zituen esperimentuek . Honek mugimenduaren oinarrizko legeak formulatu zituen bere Philosophiae Naturalis Principia Mathematica liburuan. Gaur egungo zientzialarien ustez Newtonen mugimenduaren legeek erantzun zuzena ematen dute gorputz gehienen mugimenduaren inguruan dauden arazo gehienei, baina badira erantzuten ez dituen batzuk. Argiaren abiaduratik gertu doan gorputz baten mugimenduaren inguruko ekuazioak deskribatzeko ez dira baliagarriak, ezta gorputzak atomoen tamainakoak direnean ere.

Kalkulua dinamikan 
Mekanika klasiko eta mekanika erlatibistan posible da gorputz edo objektu baten mugimenduak deskribatzea desplazamendu, abiadura eta azelerazio kontzeptuen bidez, hauek nola sortu diren kontuan eduki gabe; diziplina honi zinematika deritzo. Ordea, mekanika indar-akzioen eraginpean dauden gorputzen azterketaz arduratzen da. Sistema kuantikoetan dinamikak beste planteamendu bat behar izaten du ziurgabetasunaren printzipioaren inplikazioaren ondorioz.

Kalkulu dinamikoa higidura-ekuazioen planteamenduan eta beraien integrazioan oinarritzen da. Problema oso samurretan mekanika newtondarraren ekuazioak erabiltzen dira, zeinak kontserbazioaren legeen osagarri diren. Mekanika klasiko eta mekanika erlatibistan dinamikaren funtsezko ekuazioa Newtonen bigarren legea (Newton-Euler legea) da, hurrengo forman:

non F indarren gehikuntza eta p higidura-kantitatea diren. Aurreko ekuazioa partikula batentzat edo solido zurrun batentzat baliagarria da. Ordea, gorputz jarrai batentzat aurrekoan oinarritutako ekuazio bat idatzi daiteke, lokalki bete behar dena. Erlatibitatearen teoria orokorrean ez da beharrezkoa espazio denboraren kurbadurak sortutako indar erresultantea definitzea. Mekanika kuantiko ez-erlatibistan, sistema kontserbakorra bada oinarrizko ekuazioa Schrödinger-en ekuazioa da:

Kontserbazioaren legeak 

Kontserbazioaren legeak formulatu daitezke magnitude bat zein baldintza zehazpean kontserbatzen den ezartzen duten teoremen terminoetan. Energiaren kontserbazioaren legetik gain, beste kontserbazioaren lege garrantzitsuek teorema bektorial forma hartzen dute. Teorema horrek hurrengoak dira:

 Higidura-kantitatearen teoremak, partikula puntualen sistema batentzat, behar du lehenik, partikulen indarrak soilik beraien arteko distantziaren menpekoak izatea eta bigarrenik, lotzen dituzten lerroengatik zuzenduak izatea. Ingurumen jarraituen mekanikan eta solido zurrunen mekanikan higidura-kantitatearen kontserbazioaren teorema bektorialak formulatu daitezke.
 Momentu zinetikoaren teoremak ezartzen du aurreko teorema bektorialaren antzeko egoerapean ardatz batekiko indar-momentuen gehikuntza momentu angeluarraren denborazko bariazioaren berdina dela. Zehazki sistemaren lagrangianoa.

Teorema hauek ezartzen dute zein baldintzapean energia, higidura-kantitatea eta momentu zinetikoa magnitudeak kontserbakorrak diren. Batzuetan, kontserbazioaren lege hauek sistema baten egoera fisikoaren eboluzioa modu sinpleago batean aurkitzea ahalbidetzen dute, higidura-ekuazio diferentzialak integratzeko beharra ekidituz.

Indarraren independentzia legeak 
Indar batek sortzen duen eragina ez dago beste indar batzuen existentziaren arabera, eta ezta ere gorputzaren higidura egoeraren arabera. Honela, m masa inertea duen partikula batean F1 indarra aplikatzen bada, partikula honek aplikatutako F1 indarraren ondorioz, a1 azelerazioa hartuko du. Bestalde, F1 indarra aplikatzeari utzi eta beste indar bat F2 aplikatzen bazaio, partikulak a2 azelerazioa hartuko du. Lege honek zehazten du, partikulak F = F1 + F2 indarra jasaten badu, indar honek eragingo dion azelerazioa a = a1 + a2 izango dela.

Higidura-ekuazioak 
Higidura-ekuazioak planteatzeko hainbat modu daude, hasierako egoeraren eta indar eragileen funtzioan sistema mekaniko baten eboluzioa denboran aurreikustea ahalbidetzen dutenak. Mekanika klasikoan hainbat formulazio posible existitzen dira ekuazioak planteatzeko:

 Mekanika newtondarrak bigarren mailako ekuazio diferentzial arruntak zuzenki idaztera jotzen du, indar-terminoetan eta koordenatu kartesiarretan. Sistema honek oinarrizko bideen bitartez integrazio zailtasun handia duten ekuazioetara bideratzen du, beraz bakarrik problema oso errazetan erabiltzen da. Normalean erreferentzia-sistema inertzialak erabiltzen dira.
 Mekanika lagrangearrak bigarren mailako ekuazio diferentzial arruntak erabiltzen ditu ere bai, baina planteatutako problemaren geometriara hobekien moldatzen den koordenatu orokorren erabilera ahalbidetzen du, koordenatu orokortuak izenekoak. Gainera, ekuazioak edozein erreferentzia-sistematan egokiak dira, hau inertziala nahiz ez-inertziala izanik. Errazago integratzeko sistemak aurkituz gain, Noether-en teoremak eta koordenatu transformazioek higidura-integralak aurkitzea ahalbidetzen dute, kontserbazioaren legeak deituak ere bai.
 Mekanika hamiltoniarra aurrekoaren antzekoa da, baina higidura-ekuazioak lehen mailako ekuazio diferentzial arruntak dira. Gainera, onartutako koordenatu-tranformazioen sorta mekanika langrangearrean baino handiagoa da. Honek higidura-integralak eta kantitate kontserbatuak errazago aurkitzea ahalbidetzen duena.
 Hamilton-Jacobi metodoan aldagai banaketaren metodoaren bidez deribatu partzialetan dauden ekuazio diferentzialak ebazten dira. Hau metodo errazena da higidura-integralen kopuru egoki bat ezaguna denean.

Mekanika erlatibistan azkenengo hiru ikuspegiak posibleak dira. Gainera, problema errazetan ikuspegi zuzen bat hartzea posible da, mekanika newtondarraren metodo askoren antzekoa dena. Era berean, ingurumen jarraituen mekanikak ikuspegi lagrangearrak eta hamiltoniarrak onartzen ditu.

Sistema mekanikoen dinamika 

Fisikan bi sistema fisiko nagusi daude: partikulen sistema finituak eta eremuak. Denboraren aldakuntza lehenengoan ekuazio diferentzial jakin batzuen bidez definitzen da; eta, horregatik, askatasun gradu finitu bat dauka. Denboraren aldakuntzak, berriz, eremuetan ekuazio konplexuak behar ditu. Deribatu partzialetan, askatasun gradu finitu batean partikula sistemen bezala jokatzen dute.

Sistema gehienak lehenengo motatakoak dira, hala ere, eremuak bezala definitzen diren sistema mekanikoak daude, fluidoetan edo solido deformagarrietan gertatzen den bezala. Material kopuru infinituz osatuta dauden sistema mekanikoetan ere gertatzen da, solido zurrunak definitzen direlako askatasun gradu batekin.

Partikularen dinamika 
Material puntuaren dinamika Newtonen mekanikaren zati bat da, non sistemak partikula puntualekin aztertzen diren, eta horiek bat-bateko indarrak eragiten dituzte.
Erlatibitatearen teorian elkarrekiko interakzioan dauden kargatutako partikulen multzoa ezin da aztertu partikulen aldizko kokapena erabiliz, egoera honek fisikaren kausalitatea eragiten diolako. Baldintza horietan partikula baten gaineko indarra pasatu duen posizioen araberakoa da.

Solido zurrunaren dinamika 

Solido zurrunaren mekanikak solidoen mugimendua eta oreka aztertzen du, deformazioak kontutan izan gabe. Orduan, solidoen mekanikaren parte bat aztertzeko modelo matematiko erabilgarria da, berez, solido erreal guztiak deformagarriak dira. Espazioan zehar puntuen multzoa batera mugitzen direnean, edozein indarra jaso arren puntuen arteko distantzia mantenduz, multzo hori solido zurruna dela esaten da.

Ingurune jarraituen dinamika eta eremuen teoria 

Fisikan dauden beste entitate batzuk, hala nola ingurune jarraituak (solido deformagarriak eta fluidoak) eta eremuak (grabitazionalak, elektromagnetikoak, etab.) ezin dira sistemaren egoera karakterizatzen duten koordenatu kopuru finitu batzuen bidez deskribatu. Orokorrean, eremu kuatridimentzionalean dauden funtzioak beharrezkoak dira. Mekanika klasikoaren eta mekanika erlatibistaren azterketarako inguru jarraituetan ekuazio diferentzialen deribatu partzialak beharrezkoak ditu; horrek zailtasun analitiko garrantzitsuagoak ekartzen ditu askatasun gradu eta koordenatu kopuru finituak dituen sistema batekin konparatuta, azken horiek ekuazio diferentzial orokorrekin landu daitezkeelako.

Inertzia 
Gorputz orok aurretik zeukan pausaguneko edo HZU-ko egoeran irauten du, bere gainean inolako indarrik eragiten ez badu edo gainean eragiten duten indarren erresultantea nulua bada.

Fisikan esan ohi da gorputz batek inertzia gehiago duela gorputz honen egoera fisikoa aldatzeko zailtasunik baldin badugu. Fisikaren bi erabilera nagusienak inertzia mekanikoa eta inertzia termikoak dira. Lehenengoa mekanikan agertzen da eta HZU edo pausaguneko egoeran aldatzeko zailtasuna neurtzen du. Inertzia mekanikoan masa kantitatearen eta gorputzaren inertziaren tentsioaren menpe dago. Inertzia termikoa neurtzen du gorputz baten zailtasuna bere tenperatura aldatzeko beste gorputzen kontaktuan egotean edo berotua izatean. Inertzia termikoa masa kantitatearen eta bero ahalmenaren menpe dago.

Inertziaren indarrak fikzio indarrak dira erreferentzia sistema ez inertziala ikusle batentzat.

Masa inertziala masaren erresistentziaren neurri bat da abiadura aldatzen denean erreferentzia sistema inertzial batekiko. Fisika klasikoan partikula puntualen masa inertziala ekuazio honekin adierazten da, non 1 partikula unitate bat bezala kontuan hartzen dugu (m1=1):

non mi i partikularen masa inertziala da, eta ai1 i partikularen hasierako azelerazioa da, i partikularen norabidean 1 partikularen noranzkoan, i eta 1 partikulaz osatutako bolumena, non bi partikulak hasieran pausagune egoeran daude eta unitate bateko distantzian. Ez daude kanpo indarrik baina bi partikulak bien artean egiten dituzte indarrak.

Lana eta energia 
Lana eta energia mekanikan agertzen dira teorema energetikoei esker. Nagusiena, nondik datozte beste teorema guztiak, energia zinetikoaren teorema da. Teorema hau bi modutara adieraz daiteke: bertsio diferentzialean edo bertsio integralean. Hemendik aurrera energia zinetikoaren teorema TEC moduan izendatuko dugu.

TEC-i esker, mekanika eta beste zientzien arteko erlazio bat aurki dezakegu, kimika edo elektroteknia bezala, non beharrezkoa da teorema hau.

Indarra eta potentziala 
Partikularen edo eremu jarraien mekanika formulazio desberdinak dituzte mekanika klasikoan, mekanika erlatibistan edo mekanika kuantikoan. Guztietan aldakuntzak indarren bidez edo antzeko kontzeptuekin adierazten dira, indarren sistemari erlazionatutako energia potentziala. Lehenengo bietan indarraren kontzeptua erabiltzen da batez ere. Hala ere mekanika kuantikoan, ohikoa da adieraztea energia potentzialarekin. Indar erresultantea F sistema mekaniko klasiko batekiko erlazionatzen da mugimendu kantitatearen aldakuntzarekin P, erlazio bakun batekin:

Sistema mekanikoa kontserbakorra denean, energia potentziala V erlazionatzen da energia zinetikoarekin k, erlazionatzen dena mugimenduari modu honetan:

Mekanika erlatibistan aurreko erlazioak ez dira izango baliagarriak t denbora osagai bat baldin bada, baina t bereko denbora bada, baliagarriak izango dira. Mekanika klasikoan, denbora izaera absolutua duenez, ez dago benetako diferentzia behatzailearen denboraren eta koordinatu tenporalaren artean.

Ariketak

Sistema dinamikoak 
Sistema dinamikoaren teoria matematiken adar bat da ekuazio diferentzialarekin eta kaos-arekin erlazio estu bat duena, eta eboluzio dinamikoaren ekuazioaren propietateak aztertzen ditu.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

 
Jakindunen bideoak dituzten artikuluak