Polinomio laburtezin

Eraztunen teorian,  gorputza izanik,   polinomio ez-nulu bat irreduziblea dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan   berdintzako  eta  polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen  zeinek  polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta   betetzen den. Beraz,   edo  da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan,   polinomio erreduziblea dela esaten da.

Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta   gorputza,  zenbaki errealen multzoa,  zenbaki konplexuen multzoa,  zenbaki arrazionalen multzoa edo  zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.

Adibideak 
Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:

 ,
 ,
 ,
 ,
 .

  zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
   zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
  zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
  zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere, -n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:

 
 non  polinomioaren koefiziente nagusia den eta   -ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.

Irreduzibilitate irizpideak 
Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.

Lehen mailako polinomioak 
Irreduzibleak dira beti,   bada,  delako eta  denez eta  izan behar duenez, ez da posible.

Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak 
Baldin eta  edo  bada, orduan   irreduziblea da -ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.

gorputzeko erroak 
Baldin eta  bada eta  bada, orduan -k -n  erroren bat izatekotan  izanik, derrigorrez,  eta  izan behar du.

Gaussen lema 
Baldin eta   bada, orduan -n   polinomioa  maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin -ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da,  eta -n irreduzible izatea baliokidea da.

Einseinstein-en irizpide orokortua 
Baldin eta  bada,  zenbaki lehena bada, eta

  non 
 
 

Orduan -k  eraztunean  edo  baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki,   bada,  irreduziblea da -ren gainean.

Kanpo estekak 

Eraztunen teoria
Polinomioak