Integral anizkoitz

Matematikan (zehazki, aldagai anitzeko kalkuluan), integral anizkoitza aldagai erreal anitzeko funtzioen integrala da. Bi aldagaiko  funtzioaren  planoko eremu bateko integralari integral bikoitz deritzo, eta hiru aldagaiko  funtzioaren  espazioko eremu bateko integralari integral hirukoitz. Aldagai bakarreko integral anizkoitzerako, ikus "Integrazio errepikaturako Cauchy-ren formula".

Sarrera 
Aldagai bateko funtzio positibo baten integralak funtzioaren grafikoaren eta  ardatzaren arteko eskualdearen azalera adierazten du. Modu berean, bi aldagaiko funtzio positibo baten integral bikoitzak funtzioak definitutako gainazalaren eta funtzioaren definizio-eremua duen planoaren arteko eskualdearen bolumena adierazten du hiru dimentsioko plano kartesiarrean, non  den. Funtzioak aldagai gehiago baditu, integral anizkoitzak dimentsio anitzeko funtzioaren hiperbolumena adierazten du.

 aldagaiko  funtzioaren integral anizkoitza  eremuan adierazteko, integralaren ikurra hainbat aldiz jartzen da bata bestearen atzetik. Ordena bati jarraituz kalkulatzen dira integralak, ezkerreko integrala kalkulatzen azkena izanik. Ondoren, integratuko den funtzioa idazten da eta amaieran diferentzialen ikurrak, ordena egokian idatzita (eskuineko diferentzialari dagokion integrala kalkulatzen azkena izango da). Integrazio-eremua integrazio-ikur bakoitzean modu sinbolikoan adieraz daiteke,  edo bestela modu laburtuan, eskuinean dagoen integral-ikurrean soilik:

 

Jatorrizko funtzioaren kontzeptua aldagai erreal bakarreko funtzioetarako bakarrik definitzen denez, integral mugagabearen ohiko definizioa ez da zuzenean orokortzen integral anizkoitzera.

Definizio matematikoa 
Izan bedi honela definitutako -dimentsioko  tarte erdiirekia,  izanik:

 

 tarte bakoitzaren  partizio bat kalkula daiteke, hau da, haien artean disjuntuak diren eta guztien artean tarte osoa osatzen duten  azpitarteen familia finitu bat, non azpitarteak ezkerreko muturrean itxiak eta eskuinekoan irekiak diren.

Hortaz,  tartearen partizio bat

biderkadura kartesiarra da.  partizioa  izendatuko ditugun  azpitarteren familia bat bada, non  azpitarteak ez diren gainezartzen (disjuntuak dira) eta guztien bildura  den.

Har dezagun  tartearen  partizio bat,

 

Izan bedi  tartean definitutako  funtzioa. Behetik -dimentsioko  tarteak eta goitik  funtzioaren -dimentsioko grafikoak bornatzen duten -dimentsioko bolumenaren kalkulua Riemann-en batura honen bidez hurbil daiteke:

 

non  hori  azpitarteko puntu bat den eta  hori  azpitartearen neurria den (ingelesetik, measure), hau da, azpitarteen luzeren biderkadura.

 azpitartearen diametroa  sortzen duten  tarteen luzerarik handiena da.  tartearen  partizio baten diametroa partizioko azpitarteen diametrorik handiena da. Intuizioz,  partizioaren diaetroa txikiagoa den heinean, azpitarteen  kopurua handitu egiten da, eta azpitarteen  neurria txikitu egiten da.  funtzioa Riemann-en zentzuan integragarria dela esaten da, baldin

 

limitea existitzen bada, limitea diametroa gehienez  duten  tartearen partizio posible guztietarako egiten delarik.

 funtzioa Riemann-en zentzuan integragarria bada,  tartearen gaineko  funtzioaren Riemann-en integrala  dela esaten da, eta honela idazten da:

 

Askotan, notazio hori laburtu egiten da, honela:

 

non  -kotea den eta   -dimentsioko bolumen-diferentziala den.

Hemendik aurrera, Riemann-en  dimentsioko integralari integral anizkoitz deituko zaio.

Propietateak 
Aldagai bakarreko funtzioen integraletan betetzen diren propietate asko integral anizkoitzetan ere betetzen dira (linealtasuna, trukakortasuna, monotonia-legea, etab.). Integral anizkoitzen propietate garrantzitsu bat honakoa da: integralaren balioa integrakizunen ordenaren independentea da, baldintza batzuk betetzen badira. Propietate horri Fubini-ren teorema deitzen zaio.

Kasu partikularrak 
denean,

 

 funtzioaren integral bikoitza da  tartean, eta bada,

 

 funtzioaren integral hirukoitza da  tartean.

Integral bikoitza bi integral-ikurren bidez adierazten da eta integral hirukoitza hiru integral-ikurren bidez. Notaziorako akordio hori egokia gertatzen da integral anizkoitz bat integral berritu gisa kalkulatzen denean, artikulu honetan aurrerago azaltzen den bezala.

Integrazio-metodoak 
Integral anizkoitzak ebazteko, gehienetan, integral berritu batera laburtzen da, hau da, aldagai bakarreko hainbat integraletan deskonposatzen da, haietako bakoitza zuzenean ebazteko modukoa delarik. Funtzio jarraituetan, hori Fubini-ren teoremaren bidez justifikatzen da. Batzuetan, zuzenean lor daiteke integral anizkoitzaren emaitza, inolako kalkulurik egin gabe.

Hauek dira integrazio-metodo sinple batzuk:

Funtzio konstanteak integratzea 
Integratu behar dena  funtzio konstantea denean, integrala  konstantearen eta integrazio-eremuaren neurriaren arteko biderkadura da. Baldin  bada eta integrazio-eremua  planoko eremu bat bada, integralak eremuaren azalera ematen du, eta integrazio-eremua  espazioko eremua bada, integralak eremuaren bolumena ematen du. 
Adibidea. Izan bitez  funtzioa eta integrazio-eremu hau:

 

Hortaz,

 

definizioz

 
baita.

Aldagai-aldaketa 
Askotan, integrazio-mugak ez dira trukatzen errazak izaten. Aldagai-aldaketa egitean, integrala eremu "erosoago" batean idazten da eta, horrela, formula sinpleago baten bidez adieraztea lortzen da. Horretarako, funtzioa koordenatu berrietara egokitu behar da.
1a adibidea. Izan bedi  funtzioa eta izan bitez  eta , hau da,  eta . Aldagai-aldaketa eginez, honako funtzioa lortzen da: .

 Integrazio-eremuarekin antzera egiten da, aldatuak izan diren jatorrizko aldagaiek mugatzen dutelako (adibidean,  eta ).
  eta  diferentzialak matrize jacobitarraren determinantearen balio absolutuaren bidez aldatzen dira. Bertan aldaketaren aldagai berriekiko deribatu partzialak daude (kontuan hartu, adibide gisa, transformazio diferentziala koordenatu polarretan).

Aldagai-aldaketen hiru  "mota" nagusi daude (bat  planoan, bi  espazioan); hala ere, aldaketa orokorragoak egin daitezke printzipio bera erabiliz.

Koordenatu polarrak 

 planoan, integrazio-eremuak simetria zirkularra badu eta funtzioak ezaugarri berezi batzuk baditu, koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko aldaketa egin daiteke (ikus adibidea irudian); horrek esan nahi du, koordenatu kartesiarretako  puntu orokorrak koordenatu polarretan dagozkien puntu bihurtuko direla. Aldaketa horrek integrazio-eremuaren forma aldatzeko eta eragiketak sinplifikatzeko aukera ematen du.

Aldaketa hori egiteko funtsezko erlazioa honako hau da:

 ,
 .

2a adibidea. Izan bedi  funtzioa. Koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko aldaketa aplikatuz, funtzioa honela geratzen da:

 .
2b adibidea. Izan bedi  funtzioa. Kasu honetan, honela geratzen da:

 ,

Pitagoras-en identitate trigonometrikoa erabiliz, eragiketa horiek asko sinplifikatzen dira. 

Integrazio-eremuaren aldaketa egiteko,  eta  aldagaietatik abiatuz, erradioaren koroaren luzera eta deskribatutako angeluaren anplitudea definitzen dira  eta  aldagaien tarteak definitzeko. 

2c adibidea. Izan bedi honako integrazio-eremua (2ko erradioa duen zirkulua):

Estaltzen duen angelua zirkuluaren angelua denez,  aldagaia 0tik 2-ra doa eta koroaren erradioa 0tik 2ra. 
 2d adibidea. Izan bedi honako integrazio-eremua:

,

hau da, koroa zirkularra  aldagaiaren planoerdi positiboan (ikus irudia 2c adibidean).  aldagaiaren bidez planoaren angelua deskribatzen da eta  aldagaia 2tik 3ra doa. Hortaz, integrazio-eremua aldatu ondoren, honako laukizuzena geratzen da:

.

Aldaketaren determinante jacobitarra honakoa da:

.

Determinante hori lortzeko, hau egin da:  eta  berdintzen -rekiko deribatu partzialak lehen zutabean kokatu dira eta -rekiko deribatu partzialak bigarrenean. Horrela, aldaketarekin  diferentziala  bihurtu da. 

Funtzioa aldatu eta domeinua ebaluatu ondoren, koordenatu kartesiarretatik koordenatu polarretara aldatzeko formula defini daiteke:

.

 aldagaia  tartean dago eta  aldagaiak, aldiz, balio positiboak hartuko ditu, luzeraren neurri bat delako. 

2e adibidea. Izan bedi   funtzioa eta 2d adibideko integrazio-eremua.  eremuaren aurreko analisitik, tarteak ezagutzen ditugu:  (2tik 3ra) eta  (0tik -ra). Funtzioaren aldaketa honela egingo dugu:

.

Integrazioa aplikatuz, honela geratzen da:

Tarteak ezagunak izanik, honela geratzen da:

Koordenatu zilindrikoak 

 espazioan, oinarri zirkularra duten integrazio-eremuetan integrala kalkulatzeko, koordenatu zilindrikoetara aldatzen da; funtzioaren aldaketa erlazio honen bidez egiten da:

,
 ,
 .

Eremuaren aldaketa grafikoki lortzen da, oinarriaren forma baino ez baita aldatzen, eta altuerak, berriz, hasierako eremuaren formari jarraitzen dio.3a adibidea. Izan bedi honako eremua:

(hau da, 2d adibideko irudiko koroa oinarri duen eta 5eko altuera duen "hodi" bat); aldaketa aplikatzen bada, eremu hau lortzen da:

 .

Aldaketarekin  aldagaia ez denez aldatzen,  diferentziala koordenatu polarretarako aldaketan bezala aldatzen dira; beraz,  bihurtzen da.

Azkenik, koordenatu zilindrikoetarako formula aplika daiteke:

 .

Metodo hau egokia da integrazio-eremua zilindrikoa edo konikoa denean.

3b adibidea. Izan bedi  funtzioa eta integrazio-eremua honako zilindroa: 

         .

 eremua koordenatu zilindrikoetara aldatuta, honela geratzen da:

 .

Funtzioa honela geratzen da:

 .

Hortaz, integrala honela geratzen da:

 

Formula garatuz,

.

Koordenatu esferikoak 

 espazioan, zenbait integrazio-eremuk simetria esferikoa dute; beraz, integrazio-eremuko puntuen koordenatuak bi angeluren eta distantzia baten bidez adieraz daitezke. Orduan, koordenatu esferikoetara pasatzea egokia gertatzen da; funtzioa erlazio honen bidez aldatzen da:

,
 ,
 .

 ardatzeko puntuek ez dute karakterizazio zehatzik koordenatu esferikoetan; beraz,  aldagaia 0 eta  artean alda daiteke.

Aldaketa honetarako integrazio-eremurik egokiena esfera da.

4a adibidea. Izan bedi

(zentroa jatorrian duen 4 erradioko esfera). Aldaketa egin ondoren, honako eremua lortzen da:

 .

Aldaketa horren determinante jacobitarra honakoa da:

 .

Beraz,  diferentziala honela geratzen da: .

Integrazio-formula honela geratzen da:

.

Hobe da metodo hori erabiltzea integrazio-eremua esferikoa denean eta funtzioa erraz sinplifikatzen denean  espaziora hedatutako trigonometriaren lehen oinarrizko erlazioen bidez (ikus 4b adibidea). Beste kasu batzuetan, koordenatu zilindrikoak erabiltzea egokiagoa izan daiteke (ikus 4c adibidea).

 

Formulan agertu diren  eta  jacobitarretik datoz.

Hurrengo adibideetan  eta  aldagaiek jokatzen duten paperak trukatuta daude.

4b adibidea. Izan bedi 4a adibideko  eremua eta demagun  funtzioaren integrala kalkulatu behar dela. Aldaketa oso erraza da:

 .

 eremua aldatuz lortutako  eremuaren tarteak ezagutzen ditugu:

 .

Beraz, integrazio-formula aplikatzen dugu:

 ,

eta, garatuz, honakoa lortzen da:

 

4c adibidea. Izan bedi  eremua erdigunea jatorrian duen  erradioko pilota,

 ,

eta izan bedi  integratu beharreko funtzioa.

Integrazio-eremua ikusita, koordenatu esferikoetara pasatzea egokia dela dirudi;  eremu berria mugatzen duten aldagaien tarteak hauek dira:

 .

Hala ere, aldaketa eginda, funtzioa honela geratzen da:

 .

Integral hau lortzen da:

 .

Integral berrituen bidez kalkulatzen da..

;

;

.

Zati guztiak bilduz, honela geratzen da:.

Beste modu batera egin daiteke, koordenatu zilindrikoetara pasatuz. Hauek dira  eremuaren tarte berriak:

 ;

 aldagaiaren tartea lortzeko, pilota bi hemisferiotan zatitu da,  eremuaren formulatik aldagaia askatuz (eta, orduan,  zuzenean aldatuz  lortzeko). Funtzio berria  besterik ez da. Integrala honela geratzen da:

 .

Hau lortzen da:

 

Integral hirukoitza koordenatu zilindrikoetara aldatuz, oso erraz ebazten den aldagai bakarreko integral bat lortu da.

Adibideak

Integral bikoitza laukizuzen batean 
Demagun aldagai anitzeko  funtzioaren integrala kalkulatu nahi dugula  eremu batean:

 .

Honako integrala kalkulatuko dugu.

 

Lehenik, barneko integrala egiten da, -rekiko integratuz eta  konstante moduan hartuz, ez baita integrazio-aldagaia. Integral horren emaitza soilik -ren mendeko funtzio bat da.

 

Emaitza hori, ondoren, -rekiko integratzen da:

 

Funtzioaren balio absolutuaren integral bikoitza finitua den kasuetan, integrazio-ordena trukagarria da, hau da, lehenengo -rekiko integratzeak edo lehenengo -rekiko egiteak emaitza bera sortzen du (Fubiniren teorema). Adibidez, aurreko kalkulua alderantzizko ordenan eginez gero, emaitza bera lortzen da:

Integral bikoitza eremu erregular batean 

Izan bedi honako eremua (ikus grafikoa):

 .

Kalkula dezagun honako integrala:

 .

 integrazio-eremua erregularra da  eta  ardatzekiko. Integrala kalkulatzeko,  eremua zehazten duten funtzioak eta funtzio horiek definituta dauden tarteak aurkitu behar dira. Kasu honetan, bi funtzioak honakoak dira:

 .

Tarteak kalkulatzeko, funtzioen eta  ardatzaren arteko ebaki-puntuak kalkulatu behar dira. Tartea  da ( ardatzarekiko erregulartasuna aukeratu da, hobeto ulertzeko).

Integrala honela geratzen da:

 

(hasteko, bigarren integrala kalkulatzen da,  konstante moduan hartuz). Gainerako eragiketak egiteko, integraziorako oinarrizko teknikak aplikatzen dira:

 .

Erregulartasuna  ardatzarekiko aukeratuz gero, integrala honela geratzen da:

 

eta balio bera lortzen da.

Bolumenen kalkulua 
Aipatutako metodoak erabiliz, hainbat solido arrunten bolumenak kalkula daitezke.

 Zilindroa:  erradioko oinarri zirkularra duen  altuerako zilindro baten bolumena kalkulatzeko,  funtzio konstantea integra daiteke integrazio-eremu gisa oinarri zirkularra hartuz eta koordenatu polarrak erabiliz.

 .

Hori bat dator prisma baten bolumena kalkulatzeko formularekin:

 

 Esfera:  erradioa duen esfera baten bolumena kalkulatzeko, 1 funtzio konstantearen integrala kalkula daiteke integrazio-eremu gisa esfera hartuz eta koordenatu esferikoak erabiliz.

 

 Tetraedroa (piramide triangeluarra edo 3-simplex-a): goi-erpina jatorrian eta  luzerako albo-ertzak ,  eta  ardatzetan dituen tetraedroaren  bolumena kalkula daiteke, 1 funtzio konstantea integratuz eta integrazio-eremu gisa tetraedroa hartuz.

 

 Hori bat dator piramide baten bolumena kalkulatzeko formularekin:

 .

Integral inpropio anizkoitzak 
Integrazio-eremua bornegabea denean edo integratu behar den funtzioa eremuaren mugan bornegabea denean, integral inpropio bikoitza edo hirukoitza erabili behar da.

Ikus, gainera 

 Jatorrizko funtzio
 Deribatu
 Limite
 Aldagai anitzeko kalkulua

Erreferentziak

Kanpo estekak 

 (ingelesez) Wolfram Mathworld. Multiple integral (https://mathworld.wolfram.com/MultipleIntegral.html)
 (gazteleraz) Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com) Integral anizkoitzen kalkulagailua (https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/calculus-and-analysis).
 (gazteleraz) Maxima. Aljebra konputazionalerako sistema bat (https://maxima.sourceforge.io/es/index.html)

Aldagai anitzeko kalkulua
Kalkulu integrala