Eulerren formula

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

,

non :

x zenbaki erreala den;

e logaritmo naturalaren oinarria den;

i unitate irudikaria den;

sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

non ln logaritmo naturala den.

Frogapena 

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

-n zentratutako  funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

 , non

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta  hartuz  zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

 konbergentzia-tarteko edozein -rako

 denean, aurreko ekuazioan,  zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

 -ren ordez  ordezkatzen badugu, orduan:

Aurreko ekuazioaren () batuketaren lehenengo zatia  funtzioaren garapena da eta bigarren zatia -rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu:

modu orokorragoan honela ere idatz daiteke:

.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

 Eulerren formula eta Fermaten azken teorema
 Eulerren formularen ikus-adierazpena

Ikus, gainera 

 Moivreren formula

Trigonometria
Teoremak