Sinuaren teorema

Trigonometrian, sinuaren teorema hiruki, trigono edo triangelu bateko angeluen eta haien aurkako aldeen ezaugarri batzuen arteko arrazoia konstantea dela ezartzen duen teorema da.

Bereziki, triangelu baten ebazpenean erabiltzen da, bi alde eta horietako baten aurkako angelua ezagunak direnean edota bi angelu eta aurkako alde bat ezagutzen direnean.

Sinuen legea trigonometria lauan 

Trigonometria laua triangelu lauen ebazpenaz aritzen den trigonometriaren atala da; triangelu lauak lerro zuzen batean lerrokatuta ez dauden hiru puntutan binaka elkar ebakitzen duten hiru zuzenen puntuen arteko segmentuez, hiru puntuak kokatuta dauden planoan, osatzen diren izaki geometrikoak direla,
 
Haietan zuzenak elkar ebakitzen duten puntuak triangeluaren erpinak dira eta orokorrean letra larriz identifikatzen dira (,  eta  normalean), erpinen arteko zuzenen segmentuak triangeluaren aldeak eta letra xehez identifikatu ohi dira (,  eta  normalean), eta alde horien arteko angeluak triangeluaren angeluak eta letra greziar xehez identifikatzen dira (,  eta  normalean).

Trigonometria lauan sinuen legea deitzen zaio

berdintzen bidez adierazten diren hirukien propietate-multzoari.

Berdintza horietan ,  eta  hirukiaren angeluak, ,  eta  haien aurrez aurreko hirukiaren aldeak,  hirukiaren azalera eta  hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa direla.

Propietate horiek badirela frogatzeko bide ezberdin batzuk daude eta hemen, oraingoz, euretariko bat agertzen da.

Sinuen teorema 

Hirukiaren azalera lortzeko hurrengo formulak erabil daitezke:

Non ,  eta  ,  eta  aldeei dagozkien garaierak diren

Baina, sinuaren definizioa kontuan hartuta, alboko irudian ikus daiteke

dela, eta modu berean

       eta

direnez hurrengoa idatz daiteke:

eta sinplifikatuz

bestalde lehenengo irudian ikus daiteke  angelua koa dela hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuan inskribatua izanda ko  arkua besarkatzen duelako. Gainera  eta  angeluak berdinak dira, hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuan inskribatuta egon eta bertan arku bera (  ) besarkatzen dutelako.

Aurrekoa kontuan hartuta            da eta, beraz,      .

Eta honenbestez, hiruki lauetan aurrean jarritako berdintzak betetzen direla frogatuta geratu da

Sinuen legea trigonometria esferikoan 

Trigonometria esferikoa triangelu esferikoen ebazpenaz diharduen trigonometriaren atala da eta garrantzi handikoa da astronomia eta nabigazioaren esparruetan.

Triangelu esferikoak definitzerakoan planoak eta lerro zuzenak erabili beharrean esferak edo gainazal esferikoak eta esferen zirkulu nagusiak erabiltzen dira. Esfera batean zirkulu nagusiak esfera horren gainazalekoak eta esfera horren zentrotik igarotzen den plano batekoak batera diren puntuez osatutako zirkunferentziak direla.

Triangelu esferikoak zirkulu nagusi berean ez dauden hiru puntutan binaka elkar ebakitzen duten hiru zirkulu nagusien puntuen arteko arkuez, hiru puntuak kokatuta dauden gainazal esferikoan, osatzen diren izaki geometrikoak izanik,
 
Haietan zirkulu nagusiak elkar ebakitzen duten puntuak triangeluaren erpinak dira eta orokorrean letra larriz identifikatzen dira (,  eta  normalean), erpinen arteko zirkulu nagusien arkuak triangeluaren aldeak eta letra xehez identifikatu ohi dira (,  eta  normalean), eta alde horiek kokatuta dauden planoek osatzen duten diedroen angeluak triangeluaren angeluak eta letra greziar xehez identifikatzen dira (,  eta  normalean).

Aldeak neurtzeko ez dira erabiltzen arkuen luzerak, dagozkien zirkulu nagusietan dagozkien angeluak baizik.

Diedroen angeluak eta triangeluaren aldeei dagozkien zirkulu nagusien tangenteen arteko angeluak erpinetan berdinak dira. Hori dela eta, sarritan, irudietan ikur larregi ager ez dadin, angeluentzat ikur bereziak erabili barik, erpinenak erabiltzen dira, bai trigonometria lauan eta bai esferikoan. Atal honetan hori egin da.

Trigonometria esferikoan sinuen legea deitzen zaio

berdintzen bidez adierazten diren hiruki esferikoen propietate-multzoari.

Sinuen teorema 

Aurrean jarritako legea frogatzeko har  triangelu esferiko bat unitate-erradioko esfera batean. Bertan:

 

Aukera  puntua eta  puntua  eta  angeluak koak izan daitezen

Aukera  puntua  eta  angeluak koak izan daitezen.

Orduan  eta  dira eta  ren proiekzioa  planoan.

 lerroa
 planoarekiko perpendikularra delako haren bi lerrorekiko (  eta  lerroak ) perpendikularra izateagatik eta horren ondorioz  planoa  lerroa barnean duten plano guztiekiko perpendikularra da eta haien artean  planoarekiko; gauza bera esan ahal da  lerroa  planoa eta  planoei buruz eta  eta  planoak  planoarekiko perpendikularrak badira plano bi horiena den  lerroa ere  planoarekiko perpendikularra dalako.

Beraz            dira eta hori eta            dela kontuan hartuta, oinarrizko trigonometriaz, badakigu

 

 

berdintzak betetzen direla, eta ekuazio horiek elkartuz:

 

 

Triangeluaren beste bi erpinekin eta dagozkien aurrez aurreko planoekin antzeko arrazoibidea erabiliz, triangelu esferikoen sinuen legea

 

frogatuta dago.

Sinuen legea geometria hiperbolikoan 

Geometria hiperbolikoan kurbatura  denean , sinuen legea hurrengo berdintzez zehazten da:

eta  angelu zuzena den kasu berezian hurrengoa betetzen da:

Geometria euklidearrean triangelu zuzen bateko angelu baten sinua aurreko aldea hipotenusaz zatituz lortzen dela esaten duen formularen analogoa den geometria hiperbolikoaren formula dena.

Sinuen legeen formulazio bateratua 

 parametro erreal baten funtzioa ere den hurrengo sinu funtzio orokortua definituz:

Eta Gaussear kurbatura konstantea duten gainazaletan, kurbaturaren arabera hurrengoa jazoten da:

    denean    

    denean    

    denean    

    denean    

    denean    

eta  kurbatura konstanteko gainazaletan sinuen legea

adierazpen orokorraz irudikatu ahal da; eta  ,  eta -ekin ordezkatzen denean, hurrenez hurren gorago aurkeztutako trigonometria euklidear, eliptiko (esferiko) eta hiperbolikoen sinuen legeen adierazpenak lortzen dira.

2 baino dimentsio gehiagoko espaziotan 

-dimentsioko Euklidear espazioko -dimentsioko simplex (i.e., triangelu (2), tetraedro (3), pentakoro (4), e.a.) baterako , erpin batean elkartzen diren facet/aurpegitxoekiko bektore normalen sinu polarraren balio absolutua (), erpinaren aurrez aurrekoa den aurpegitxoaren hiperazaleraz zatituz gero emaitza berdina da, aukeratutako erpina edozein izanda ere. -dimentsioko simplexen hiperbolumena irudikatzeko  idatziz eta (-1)-dimentsioko aurpegitxoen hiperazaleren biderkadurarako , erpin guztientzako arrazoiaren balioa hurrengoa da:

 

Adibidez, tetraedro batek lau triangeluar aurpegitxo ditu eta erpin batean batzen diren hiru aurpegitxoekiko bektore normalen sinu polarraren balio absolutua laugarren aurpegitxoaren azaleraz zatituz gero zatidura ez da aldatzen aukeratutako erpinarekin:

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Trigonometria
 Kosinuaren teorema
 Tangentearen teorema

Kanpo estekak 

Trigonometria