Trigonometria

Trigonometria (grezieraz τριγωνο, <trigōno> triangelu + μετρον <metron> neurtu), triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da.

Sarrera 
Trigonometria, (antzinako grezierazko trigonometria hitzetik dator, trigonon triangelua eta metron neurria) triangeluaren elementu batzuek ezagututa, alde, angelu, altura, etab., ezezagunak diren beste batzuek kalkulatzeko bideak ematen dituen matematika-adarra da.

Adibidez, bi alde eta angelu baten balioak ezagutu daitezkeenean, beste aldearen eta bi angeluen balioak jakitera iritsi daiteke. Zehatzago esanda, trigonometriak triangeluak ebazteko oinarriak ematen ditu, triangelu lauak izan ala triangelu esferikoak izan. Trigonometriaren ezagutza hau, jakintzaren zuzia zibilizazioz zibilizazio pasatzen joan ziren jakintsu askori esker metatu ahal izan da ; horietako batzuek ondoren aipatzen dira.

Pitagoras, bere teorema ezagunarekin. "Triangelu zuzenean, hipotenusaren karratua, katetuen karratuen baturaren berdina da. "Aristarko Samoskoak, Kristo baino hiru mende lehenago, Ilargiaren eta Eguzkiaren tamaina kalkulatzea erabaki zuen eta baita Lurretik zein distantzietara zeuden jakitea ere. Horretarako, honetan oinarritu zen, Ilargia zehatz-mehatz erdi-argituta dagoen unean, Lurra, Ilargia eta Eguzkia, irudiak azaltzen duen bezalako triangelu angeluzuzenaren erpinetan daude.

Gaur egun ontzat ematen ditugun emaitzak lortu ez bazituen, huts hori ezin zaio metodoari bota, metodoa berez zuzena baitzen, angeluak neurtzeko erabili zituen tresnei baizik, ez baitzuten horretarako behar zen doitasunik.

Historia 

Trigonometriaren historia 3.000 urtetik gora zabal liteke. Babiloniarrek triangelu angeluzuzenen angeluen neurketak eta aldeen luzeren hurbilketak zehaztu zituzten; buztin lehorraren gainean grabatu zituzten zenbait taulak aditzera ematen dute. Adibidez, kuneiformean idatzitako taula babiloniar batean, Plimpton 322 izenekoan (K.a. 1900 inguruan), hamabost hiruko pitagoriko eta zenbaki-zutabe bat ageri dira, funtzio trigonometrikoen  taula gisa interpreta daitekeena. Dena den, zenbait eztabaida daude honen inguruan.

Astronomo babiloniarrek izarren irteera eta ilunabarra, planeten mugimenduari eta eguzki eta ilargi eklipseei buruzko erregistroak eraman zituzten, eta horrek guztiak zeruko esferaren gainean neurtutako distantzia angeluarrarekiko ezagupena eskatzen du.

Egiptoarrek, Kristoren aurreko bigarren milurtekoan, trigonometriaren jatorrizko forma bat erabiltzen zuten piramideak eraikitzeko. Ahmesen papiroa, Ahmes egiptoar eskribak idatzia (K.a. 1680-1620), honako arazo hau dauka trigonometriarekin lotuta:

 Piramide bat 250 ukondokoa altu bada eta oinarriaren aldea 360 ukondo luze bada, zein da haren sekeda?

Arazoaren irtenbidea piramidearen oinarriaren erdiaren eta altueraren arteko erlazioa da. Beste era batera esanda, seked-erako aurkitzen den neurria piramidearen oinarria eta bere aurpegia osatzen duten angeluaren kotangentea da.

Trigonometria laua 
Trigonometria lauaren helburua, planoko triangeluak ebaztea da.

Triangelu horiek, zuzenak edota bestelakoak izan daitezke.Triangelu zuzenetan, lau arazo-mota aurki daitezke: •
 Hipotenusa eta kateto bat ezagunak izatea.
 Kateto bat eta angelu bat ezagunak izatea.
 Hipotenusa eta angelu bat ezagunak izatea.
 Bi katetuak ezagunak izatea.

Zuzenak ez diren triangeluen kasuan ere, lau arazo-mota agertzen dira : • Alde bat eta bi angelu ezagunak izatea.
 Bi alde eta beren arteko angelua ezagunak izatea.
 Bi alde eta horietako baten pareko angelua ezagunak izatea.
 Triangeluaren hiru aldeak ezagunak izatea.

Aipatutako arazo horiek ebazteko, ezinbestekoak dira ondoren azalduko diren oinarrizko ezagutza eta erlazio batzuek.

Oinarrizko ezagutzak 

Angelua, sorburu berbera duten bi zuzenerdiren artean kokatutako zuzenerdi-multzo gisa har daiteke. Angelua mugatzen duten bi zuzenerdiei alde deritze eta jatorriari berriz erpin.Ondoren datorrenarentzat, komeni da mota honetako angeluak bereiztea :

 Angelu zuzena, bere aldeak bi zuzenerdi elkartzut direnean.
 Angelu zorrotza, angelu zuzena baino txikiagoa denean.
 Angelu kamutsa, angelu zuzena baino handiagoa denean.
 Angelu laua, bere aldeak erpinez aurkakoak diren bi zuzenerdi direnean. Bi angelu zuzenen balioa du.
 Angelu osagarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira eta bien artean angelu zuzena osatzen dute.
 Angelu betegarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira eta bien artean bi angelu zuzen osatzen dituzte.

Angeluak neurtzeko unitateak 
Angeluak neurtzeko unitate bi daude: batetik radianak ( rad ) eta bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º /' /)

 Angelu orientatuak 
Angelua orientatzea zera da, bera mugatzen duten bi zuzenerdiak ordenatzea da. Batari jatorrizko zuzenerdia deritzo eta besteari muturreko zuzenerdia.

 Arrazoi trigonometrikoak 

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen  angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangente arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

 Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.
 

 Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.
 

 Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.
 

 Alderantzizko arrazoi trigonometrikoak 
Oinarrizko arrazoi trigonometrikoen alderantzizkoak ere defini daitezke:

 Kosekantea (laburtuta csc) sinuaren alderantzizko arrazoia da, hipotenusaren eta aurkako katetoaren artekoa.

 Sekantea (laburtuta sec) kosinuaren alderantzizko arrazoia da, hipotenusaren eta ondoko katetoaren artekoa.

 Kotangentea (laburtuta cot'') tangentearen alderantzizko arrazoia da, ondoko katetoaren eta aurkako katetoaren artekoa.

Balioak 
{|
| 
| 
|-
| align="center"| Zirkunferentzia radianetan.
| align="center"| Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.
|}

{| 
|- bgcolor="#EAEAEA" align="center"
! Radian
! Gradu hirurogeitar
! sin
! cos
! tan
! cosec
! sec
! cotg
|-----
| align="center" | 
| align="center" | 
| 
| 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
|-----
| align="center" | 
| align="center" | 
| 
| 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
|-----
| align="center" | 
| align="center" | 
| 
| 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
|-----
| align="center" | 
| align="center" | 
| 
| 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
|-----
| align="center" | 
| align="center" | 
| 
| 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
| align="center" | 
|}

Zirkunferentzia goniometrikoa 

Zirkunferentzia goniometrikoa zentroa  puntuan duen eta 1 erradioa duen zirkunferentzia da. Horrela, zirkunferentziaren luzera  izango da. Arrazoi trigonometrikoak aztertzeko erabiltzen da, triangelu zuzenak irudikatuz  bere barnean. 

Erradioa 1 denez, hipotenusaren balioa  da ere. Beraz, honako hauek dira arrazoi trigonometrikoen balioak:

 
 
 

Gainera, adierazpen grafiko honi esker, erraz ondoriozta daiteke koadrente bakoitzean arrazoi trigonometrikoen balioa positiboa edo negatiboa izango den. Izan ere, kosinuaren balioa zirkunferntziak puntu bakoitzean duen abszisa izango da, eta sinua, aldiz, ordenatu ardatzarena.

Eragiketa trigonometrikoak

Pitagorasen teorema 

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:
 

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:
 

 

 

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

Bi angeluen batuketa eta kenketa

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa

Angelu bikoitza

Angeluerdia

Ariketak

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Trigonometria