Kalkuluaren oinarrizko teorema

Kalkuluaren oinarrizko teorema (edo Kalkulu inegralaren oinarrizko teorema) funtzio baten deribazioa eta integrazioa alderantzizko eragiketak direla baieztatzean datza. Baieztapen horrek edozein funtzio jarraitu integragarrirako egiaztatzen du haren integralaren deribatua hura bera dela. Teorema hori funtsezkoa da matematikaren adarretako bat den analisi matematiko edo kalkulu deiturikoan.

Teorema horren ondorio zuzena Barrowren erregela da, Kalkuluaren bigarren oinarrizko teorema ere deiturikoa. Bigarren teorema horren bidez funtzio baten integrala kalkula dezakegu integratu beharreko funtzioaren jatorrizkoa erabiliz.

Arkimedesek eta antzinako beste matematikariek bolumenen, azaleren eta luzera makurren gutxi gorabeherako kalkulua egiteko metodoak bazituzten ere, hasiera batean Isaac Barrow matematikari ingelesak garatutako ideia bati esker eta gero Isaac Newtonen eta Gottfried Leibnizen ekarpenei esker teorema hori enuntziatu eta frogatu ahal izan zuten.

Kalkulu integralaren oinarrizko teoremak

Lehenengo oinarrizko teorema

Frogapena 

Lema garrantzitsua:

Demagun  funtzioa  tartean integragarria dela eta , orduan:

Frogapenaren hasiera

Hipotesia:
Biz .
Biz  tartean integragarria eta c puntuan jarraitua den  funtzioa.
Biz  tartean honela definitutako  funtzioa: , non  den.

Tesia:
F'(c)=f(c)

Definizioz hau daukagu: .

Demagun h>0 dela, orduan .

 eta  honela definituta:

,

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:
.

Beraz,

Orain demagun  dela, izan bitez:
,
.

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:
 .

Honako hau betetzen denez:
,

Orduan:
.

 denez gero, orduan hau daukagu:
 .

Eta  funtzioa c puntuan jarraitua denez, orduan:
 ,

Azkenean, guzti horrek teorema frogatzera garamatza:

.

Adibideak

Bigarren oinarrizko teorema 

Barrowren erregela ere deiturikoa, Isaac Barrowren omenez.

Teorema hau askotan erabiltzen da integral mugatuak ebaluatzeko.

Frogapena 
Hipotesia:
Biz  tartean jarraitua den  funtzioa
Biz  tartean diferentziagarria den  funtzioa, non  den

Tesia:

Frogapena:

Izan bedi
 .

Kalkuluaren lehenengo oinarrizko teorema dela medio, hau daukagu:
 .

Beraz:
  non  den.

Hau aintzat hartuta:
 

Eta hortik segitzen denez  da; beraz:
 .

Bereziki, baldin  bada, hau dugu:

Adibideak

Ikus, gainera 

 Barrowren erregela
 Integrala
 Integrazio metodoak
 Leibnizen erregela
 Riemannen integrala

Kanpo estekak 

Kalkulu integrala