Bolzanoren teorema

Bolzanoren teorema kalkuluko batezbesteko balioaren teoremaren kasu konkretu bat adierazten duen teorema bat da. Bernard Bolzanok proposatu zuen 1817an.

Teorema 
Izan bedi  funtzioa  tartean jarraitua. Baldin eta  eta  balioen zeinuak desberdinak badira, orduan existitzen da  den.

Edo errazago esanda, funtzio bat jarraitua den tarte batean positibotik negatibora (edo kontrara) badoa zerotik pasatzen da.

Froga 
Kontsideratuko dugu  eta  direla eta izan bedi  tartea. Kontsidera dezagun tarte honen erdiko puntua, .

  bada,  izango da, beraz, frogatuta geratzen da. 

  bada, izan bitez  eta . 

  bada, izan bitez  eta  .

 tartearekin prozesua errepikatuz  tartea lortuko dugu, eta hainbat aldiz errepikatuz  tarteen familia non . Beraz, .

 jarraitua dela kontsideratuko dugunez,  eta .

Beraz, , eta Bolzanoren teorema demostratuta geratzen da.

Adierazpen grafikoa 
Irudi honetan ikus dezakegun bezala, teoremaren baldintza guztiak betetzen dira, hau da,  eta  dira eta funtzioa jarraia da  tartean. Beraz, ikusi dezakegunez, badago  non  den.

Hala ere,ez da soilik puntu bakar bat egon behar eta posible da bat baino gehiago egotea.

Ikus, gainera 
 Batez besteko balioaren teorema
 Rolleren teorema

Kanpo estekak 
 Bolzano-ren teorema adibide praktikoa (English)

Analisi matematikoa