Pitagorasen teorema

Matematikan, Pitagorasen teorema geometria euklidiarrean  triangelu angeluzuzuen baten hiru aldeen arteko funtsezko erlazioa da. Honakoa dio: 

Beste modu batera esanik, hipotenusa , aldetzat duen karratuaren azalera, triangeluan kontrako angeluzuzena osatzen duten bi aldeen,  eta , karratuen azaleren batura da. Hau da: 

ekuazio honi batzuetan Pitagorasen ekuazioa deitzen zaio.

Teoremak K.a. 570 inguruan jaiotako Pitagoras filosofo greziarraren izena darama.  Teorema metodo desberdin askoren bidez frogatu izan da —segur aski, edozein teorema matematikok izandako frogatzerik handiena—. Frogak askotarikoak dira, geometrikoak eta aljebraikoak barne, batzuk duela milaka urtekoak.

Espazio euklidearra koordenatu kartesiarren sistema batek irudikatzen duenean geometria analitikoan, distantzia euklidearrak erlazio pitagorikoa betetzen du: bi punturen arteko distantzia puntuen arteko koordenatu bakoitzean dagoen aldearen karratuen batura da.

Teorema hainbat modutan orokortu daiteke: dimentsio gehiagoko espazioetara, euklidearrak ez diren espazioei, triangelu zuzenak ez diren objektuei, eta triangeluak ez diren objektuei, baizik eta n-dimentsiodun solidoak. Pitagorasen teoremak matematikatik kanpo interesa erakarri du abstrakzio matematikoaren, mistikoaren edo botere intelektualaren sinbolo gisa; erreferentzia herrikoi ugari ditu literaturan, antzerki-lanetan, musikaletan, abestietan, zigiluetan eta karikaturetan.

Historia 
Pitagorasen teoremak Pitagoras (K.a. VI. mendea) greziar filosofo eta matematikariaren ondoren darama izena, batez ere, haren froga eskola pitagorikoari zor zaiolako. Dena dela, lehenagoko, Mesopotamian eta Antzinako Egipton, bazuten zantzuaren aditzea, triangelu zuzenen aldeekin bat zetozen hirukote-balioak ezagutzen baitzituzten, eta triangelu horiei buruzko eragiketak ebazteko erabiltzen ziren, oholtxo eta papiro batzuetan adierazten den moduan. Hala ere, ez du luzaroan iraun inolako dokumenturik hori teorikoki erlazionatzen duenik.

Teoremaren historia lau zatitan bana daiteke: hirukote pitagorikoen ezagutza, triangelu zuzen baten aldeen arteko erlazioaren ezagutza, aldameneko angeluen arteko erlazioen ezagutza, eta sistema dedktibo batzuen barruan teoremak frogatzea.

Antzinako Egipton, K.a. 1800. urtean idatziriko papiro batean hirukote pitagorikoa erantzuntzat duen arazo bat biltzen du, nahiz eta triangeluekiko aipamenik ez dagoen. Mesopotamiako tauletan ere, K.a. 1800, Larsatik gertu hirukote pitagorikoekin lotura estua duten sarrera ugari aurkitu dira. K.a. XXVI. mendeko Kefrenen piramidea, egiptoar triangelu sakratuan oinarriturik eraiki zen lehen piramidea izan zen, 3-4-5 proportzioan.

Indian, Baudhayana Shulba Sutra-k, K.a. VIII. eta V. mende bitartean, hirukote pitagorikoen zerrenda eta Pitagorasen teoremaren enuntziatua ditu.

Askoz lehenago ezagutzen diren edukiekin, baina K.a. I. mendetik bizirik dauden testuetan, Zhoubi Suanjing textu txinatarrean (Gnomonen Klasiko Aritmetikoa eta Zeruko Bide Zirzularrak) (3,4,5) triangeluarentzako Pitagorasen teorema bidezko arrazoimena dago. Txinan honi "Gougu teorema" deitzen diote. Han dinastiaren garaian (K.a. 206tik K.o. 220ra), Matematika-artearen bederatzi kapituluak-en hirukote pitagorikoak agertzen dira, hauei dagozkien triangelu angeluzuzenen aipamenekin bat.

Teorema Euklidesen Elementuaken (I. Liburua, 47. Proposizioa) agertzen da, "Arotzaren teorema" izenez, eta bertan katetoen karratuen batura hipotenusaren karratua dela frogatzen du. Bestalde, Pitagorikoek triangeluen parekotasunaren bitartez frogatu zutela uste da, nahiz eta ez gauden zihur parekotasunaren teoria garai hartan ezaguna al zen.

Frogak 

Pitagorasen teoremak froga ugari ditu, bakoitza bere metodoarekin. E.S. Loomis matematikari estatubatuarrak adibidez, 1927. urtean, 367 froga batu zituen The Pythogorean Proposition liburuan. Liburu horretan, Loomisek ebazpenak lau multzo handitan banatu zituen: aljebraikoak, non triangeluaren aldeak eta segmentuak erlazionatzen diren; geometrikoak, non azaleren konparaketa egiten den; dinamikoak indarra eta masaren propietateen bidez; eta koaternioiak, bektoreen bidez.

Froga algebraikoak 
Ondorengo froga Zhoubi Suanjing, K.a. 500-300 urteen artean idatzitako lan matematiko txinatarrean agertzen da, baina Pitagorasek obra honen berri izan ez zuelako ustea dago.

Froga honela doa. Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula, ,  katetoak (orokortasunik galdu gabe, demagun ) eta  hipotenusa dituena.

Beheko animazioan ikusten den bezala,  aldedun karratuan hasieran barnean zuen triangeluaz gain, alde bakoitzari  eta  katetodun beste triangelu bat gehitzen badiogu, karratu txikiago bat lortuko dugu erdian. Barneko karratu honen aldeen luzera  da (gogoratu  hipotesiz). Karratu baten azalera aldeen karratua denez, eta triangeluzuzen baten azalera katetoen biderketaren erdia,  aldedun karratuaren azalera lau triangeluren azaleren batura gehi erdiko karratuaren azalera da. Hau da, froga amaituz:

Antzeko froga bat ere bada hipotenusaren aldeak kanporantz definituriko karratua aztertu beharrean, barrurantz definituriko karratua aztertzen duena. Hau da,  aldedun karratuaren kanpoko alde bakoitzean, lau denera,  hipotenusadun triangeluak jarriz gero,  luzeradun aldea duen karratua lortuko dugu. Beraz,  azaleraduna. Lau triangeluek eta  aldedun karratuak karratu haundienaren azalera bera izan behar duenez:

Pitagorasen ekuazioa ondorioztatuz

Froga geometrikoak

Triangeluen antzekotasuna 

Froga hasi aurretik, gogoan izan bi triangeluren angeluak kongruenteak badira, antzeko triangeluak direla. Kasu honetan, dagozkien aldeen luzerak proportzionalak dira. 

 triangelua bi triangeluzuzenetan zatitu daiteke,  angeluan oinarriarekiko zuzena botaz, irudian ikusten den moduan. 

,  eta  triangelu angeluzuzenek angelu kongruenteak dituzte:  angeluzuzena,  eta  angeluzuzenez ordezkatu dugu. Ondorioz, esandako triangeluak antzekoak dira, ondorengo ekuazioak betez

  eta -ren arteko antzekotasuna:

  eta -ren arteko antzekotasuna:

Aurreko bi ekuazioak batuz gero:

baina   denez, azkenik, Pitagorasen ekuazioa lortzen da:

Einsteinen froga trigonometrikoa

Antzeko triangeluen frogaren moduan, Albert Einstenen frogak ere hipotenusako angeluzuzena zatitzen du aurkako aldera perpendikularra sortuz. Triangelu angeluzuzen baten barruko ratioa sinuaren definizioan erabiliz gero:

eta beraz

Froga grafikoa

Ezkerreko irudian ikusten den , ,  aldedun triangelu angeluzuzen eta katetoei eta hipotenusari dagokien karratuetatik abiatuz, bi karratu ezberdin eraikitzen dira:

 Horietako bat katetoen karratuez eta hasierako triangeluaren berdinak diren beste lau triangelu angeluzuzenez dago osaturik (erdiko irudia).

 Beste karratua aurreko lau triangeluek eta hipotenusaren karratuak osatzen dute (eskuineko irudia).

Hauetako karratu bakoitzari triangeluak kentzen badizkiogu, nabarmena da azalera griseko karratua , karratu urdin eta horiaren  baliokidea dela. Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da.

Froga analitikoa 

Kalkulu diferentziala erabiliz ere lortu dezakegu teoremaren frogarik. Kalkuluko notazioarekin bat egiteko,  triangeluaren aldeei izena aldatuko diegu,  deituz hipotenusaren luzerari eta  kateto bertikalari diagraman ikusi daitekeen moduan.  aldea apur bat luzatuz gero,  kopuruz, orduan  ere apur bat haundituko da,  triangelua sortuz.  puntutik  aldearekiko perpendikularra hartuz gero,  triangelua sortua dugu, gutxi gorabehera  triangeluaren antzekoa. Beraz, triangeluen antzekotasuna erabiliz, aldeen proportzioa berdina izan beharko luke, hau da:

Honek ekuazio diferentzial batera garamatza, , zuzenean ebatzi dezakeguna integratuz:

ondorioz

Konstantea erraz aurkitu dezakegu  eta  hartuz, hau da, . Froga hau intuitiboa da, baina zehatz egin daiteke limiteak hartuz, erreferentzian ikus daitekeen moduan.

Teoremaren alderantzizkoa 
Pitagorasen teoremaren alderantzizkoa ere egia da. Hau da, , eta  luzerako aldeak dituen triangelu bat emanik,  betetzen bada, orduan  eta  aldeen arteko angelua angelu zuzena da.

Teorema hau Euklidesen Elementuaken (I. Liburua, 48. Proposizioa) ageri da, aldeak definitzen duten karratuei erreferentzia eginez: "Triangelu baten aldeetako bateko karratua triangeluaren gainerako bi aldeetako karratuen batura berdina bada, orduan gainerako bi aldeek duten angelua angelu zuzena da."

Proba kosinuaren teorema erabiliz froga daiteke.  triangelu orokor bat emanik, non ,  eta  aldeek pitagorasen erlazioa betetzen duten , baina triangeluak ez duelarik nahitaez angelu zuzenik. Bestalde, beti sor dezakegu beste triangelu  bat,  eta  aldeak dituena, angelu zuzen bat izanik alde honetan, eta orain pitagorasen teoremaren ondorioz triangelu honen hipotenusak

beteko du. Beraz alde berdinak dituzten bi triangelu ditugu, ,  eta , kosinuaren teoremaren ondorioz, alegia triangeluaren angelu bakoitza hiru aldeek bakarrik zehazten dutenez,  triangeluko  eta  aldeen arteko angelua  triangeluaren berdina da, hau da, angelu zuzena.

Erabilera adibideak

Hirukote pitagorikoak 

Hirukote pitagorikoak  hiru zenbaki oso positiboz ,  eta  osatua dago, non pitagorasen erlazioa betetzen duten . Horrelako hirukotea  idatzi ohi da, adibide ezagun bat  izanik.

Gainera, hiru zenbakiak ,  eta  elkarrekiko lehenak badira (hau da, zatitzaile komun handiena  da), hirukote pitagoriko primitiboa deitzen diogu. Adibidez,  hirukote pitagoriko primitibo bat da, baina  ez.

Hirukote pitagorikoek triangelu zuzen baten hiru alde osoen luzera, hau da, aldearen luzera zenbaki oso bat da, deskribatzen dute. Hala ere, alde osoak ez diren triangelu zuzenek ez dute hirukote pitagorikoa osatzen. Adibidez,  eta  aldeak dituen triangelua angeluzuzena da, baina ez da hirukote pitagorikoa,  ez baita zenbaki oso bat.

Soluzio osoak bilatzean,  ekuazio diofantoarra da. Beraz, hirukot epitagorikoak ekuazio diofantino ez-lineal baten soluzio zaharrenen artean daude.

Zenbaki neurtezinak eraikitzea  

Pitagorasen teoremaren ondorioetako klasikoetako bat, zenbaki neurtezinak (arrazionalak ez diren zenbaki errealak) zuzen eta konpasa erabiliz eraiki daitezkeela da. Honek eskola Pitagorikoaren zenbakien kontzueptuarekin talka egiten zuen, hauek proportzioak zenbaki osoen zatiketaz aztertzen baitzituzten (hau da, zenbaki arrazionalak bakarrik onartzen zituzten). Kondairak dio, pitagorikoek Hipaso (K.a. 500) itsasoan itoarazi zutela, zenbaki irrazionalen existentzia ezagutarazteagatik.

Zehazki, luzera  duten bi alde izanez gero,  eta , zenbaki neurtezinak Pitagorasen teorema erabiliz eraiki daitezke, hipotenusa zenbaki irrazional neurtezina baita, .

Zenbaki konplexuak 

Jakina da zenbaki konplexu baten

balio absolutua, zenbaki konplexuen kasuan modulua ere deitua, parte erreal eta irudikariaren karratuen baturaren erroa dela

Beste era batera esanik, zenbaki konplexuen moduluak, parte errealak eta irudikariak hirukote pitagorikoa osatzen dute. Hau da,

Bada  geometrikoki, ardatz horizontala zati erreal bezala eta bertikala irudikari bezala,  puntuak onarriarekiko  luzera errepresentatzen du.

Geometria euklidearra 
Koordenatu kartesiarretan ezarririko bi punturen arteko distantziaren ekuazioa Pitagorasen teoremaren ondorioa da. Plano errealeko bi punturen  eta  arteko distantzia, batzuetan distantzia Euklidearra deitua, honakoa da

Irudian ikus daitekeen bezala, bi punturen distantzia hauek osatzen duten triangelu angeluzuzenaren hipotenusatzat uler daiteke. Hala interpretatuz gero, triangeluaren bi katetoek  eta  luzera izango dute hurrenez hurrun. Balio absolutuaren karratuak sinua errespetatzen duenez,

Distantziaren nozio hau -dimentsiodun espazio Euklidearretara orokortu daiteke. Bertan puntuak  dimentsiodun bektoreak dira, adibidez  eta <mathB=(b_1,\ldots,b_n)</math>. Pitagorasen teoremaren orokortzean, bi bektore hauen arteko distantzia honako ekuazioaz definitzen da:

Pitagorasen identitate trigonometrikoa 

Diagraman ikusi daitekeen moduan, triangelu angeluzuzen batean  katekoaren eta  hipotenusaren arteko  angeluaren sinua eta kosinua aldeen ratioak definitzen ditu

Identitate trigonometrikoa beraz Pitagorasen teoremaren ondorioa da zeren

Bestalde, antzeko triangeluetan aldeen arteko proportzioek angeluekiko mendekotasuna dute, triangeluen azalera edozein dela ere. Beraz hipotenusaren luzera unitatea duen triangelu angeluzuzen baten katetoek  eta  luzera dute, irudian ikusi daitekeen moduan.

Biderketa bektoriala 

Pitagorasen teoremak biderketa eskalarra eta biderketa bektorialaren arteko erlazioa dakar:

 eta  bektoreak direlarik. Gogoratu operazio bilinear hauen definizioak honakoak direla

non  bektore unitarioa,  eta  bektoreekiko normala den. Erlazioa beraz Pitagorasen teorema eta identitate trigonometrikoaren ondorioa da

Pitagorasen alderantzizko teorema 
Triangelu angeluzuzen batean, pitagorasen alderantzizko ekuazioak bi katetoak,  eta , eta altuera  erlazionatzen ditu:

Gehiago 

 Eskailera baten neurria kalkulatzeko; eskuratu nahi den hormaren h altuera eta erpinetik (lurzoru-horma) eskaileraren oinera dagoen p distantziak ezagutzen dira.

 Geometria analitiko lauan,  eta puntuen artean distantzia aurkitzeko.

 Geometrian, triangelu aldekide baten altuera aldearen menpe kalkulatzeko; ertza erabiliz tetraedro erregular baten altuera lortzeko. Zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa ezagututa, inskribatutako triangelu aldekide eta hexagono erregular baten apotema aurkitzeko.
 Aljebran, zenbaki oso gaussiar bat lehena den aztertzeko. Adibidez, , haren norma  da.
 Arkeologoek Pitagorasen Teorema erabiltzen dute indusketetan. Indusketa bat hasten dutenean, sareta laukizuzen bat jartzen dute induskatu beharreko azaleraren gainean. Sareta zehatz bat izateko, oinarrizko lerroen luzera erabaki ondoren (eje-X eta eje-Y), diagonalaren luzera Pitagorasen Teorema erabiliz kalkulatzen da, koadrantea laukizuzena dela eta ez beste paralelogramo bat ziurtatzeko. Gainjarritako sareta  Koordenatu Kartesiarren sistema gisa erabiltzen dute.

Orokortzeak

Kosinuaren teorema 

Pitagorasen teorema, edozein triangelutan aldeen luzerak erlazionatzen dituen teorema orokorragoaren kasu berezi bat da, kosinuaren teorema. Honakoa dio, ,  eta  aldeak dituen triangelu batean

non ,  eta  aldeen arteko angelua den. Alde hauek ortogonalak direnean, hau da  eta ondorioz , kosinuaren teorema Pitagorasen teoremara murrizten da.

Barne produktudun espazioak 
Pitagorasen teorema barne produktudun espazioetara orokortu daiteke, berean barne produktudun espazio ezagunenak Hilberten espazioak izanik, espazio euklidearren orokortzeak. Adibidez, funtzio bat barne produktudun espazio batean infinitu osagai dituen bektoretzat har daiteke, hau da, segidatzat.

Barne produktudun espazioetan aldagai perpendikularren ordez, aldagai ortogonalez hitz egiten dugu: bi bektore  eta  ortogonalak diogu, haien barne produktua  zero baldin bada. Barne produktua bektoreen  biderketa eskalarraren orokotzea da, hau izanik espazio Euklidearren barne produktu kanonikoa, baina beste batzuk ere defini ditzakegu.

Aldeen luzeraren ordez, barne produktudun espazioetan norma defini daiteke

Barne produktudun espazioetan, Pitagorasen teoremak bi elementu ortogonalen  eta , non  (katetoak liratekenak) baturaren  (hipotenusa) karratua, bektore bakoitzaren luzeraren karratuen gehiketa dela dio:

Gainera, Pitagorasen ekuazioa bi bektore ortogonal baino gehiagoren baturara heda daiteke. Hau da,  binakako bektore ortogonalak badira (i.e.  edozein ), Pitagorasen teoremak ondorengoa dio:

Bektore ez ortogonalentzat ere orokortu daiteke Pitagorasen teorema, norma batek paralelogramoaren legea betetzen diogu edozein bi bektorek ondorengo ekuazioa betetzen badute

Ohartu propietate hau bektore espazio normatuaren propietate bat dela. Hau da, paralelogramoaren legea ez dute bektore espazio normatu guztiek betetzen. Gainera, analisi funtzionaleko teorema ezaguna da espazio bektore normatu batek paralelogramoaren legea betetzen badu, norma barne produktu baten eratorria dela.

Ariketak

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Geometria
Teoremak
Hirukiak