Ekuazio lineal

Ekuazio lineala lehen mailako ekuazio aljebraiko bat da non ezezagunen berreturak bat diren. Aldagai bateko ekuazio linealen adibide sinpleena hau da: , non  eta  konstanteak diren, eta  zeroren desberdina. Konstante horiek hainbat motatakoak izan daitezke: zenbakiak, parametroak…

Ekuazio linealek aldagai bat baino gehiago izan ditzakete. Adibidez, hiru aldagaiko ( eta ) ekuazio lineala honela idatz daiteke: , non  eta  konstanteak diren, eta  eta  ez-nuluak. Ekuazio linealak maiz erabiltzen dira Matematikaren hainbat arlotan, bereziki, Matematika Aplikatuan. Gainera, fenomeno fisikoak modelizatzeko erabil daitezke. Izan ere, ekuazio ez-linealak ekuazio linealen bidez hurbil daitezke.

Ekuazioa lineala izango da gai bakoitzeko aldagaien berreturen batura 1 bada. Berretura 1 baino handiagoa duten ekuazioei ez-lineal deritze. Adibidez,  ekuazioa ez-lineala izango da lehenengo gaiko aldagaien berreturen batura 2 delako ( ). Gainera, funtzio polinomikoak ez diren funtzioak dituzten ekuazioak ez-linealak dira.

Bi aldagairen kasuan, soluzio bakoitza Euklideko planoko puntu baten koordenatu kartesiar gisa interpreta daiteke. Ekuazio lineal baten soluzioek zuzen bat osatzen dute Euklideko planoan, eta, alderantziz, zuzen bakoitza bi aldagaitako ekuazio lineal baten soluzio guztien multzo gisa ikus daiteke. Hura da lineal terminoaren jatorria ekuazioak mota hori deskribatzeko. Orokorrean, n aldagaietako ekuazio lineal baten soluzioek hiperplano bat osatzen dute (n-1 dimentsioko azpiespazio bat) n dimentsioko euklidear espazioan.

Ekuazio linealak maiz gertatzen dira matematika guztietan eta horien aplikazioak fisikan eta ingeniaritzan, neurri batean sistema ez-linealak ekuazio linealen bidez ondo hurbiltzen direlako.

Jarraian, aldagai kopuru desberdinetako ekuazio linealak aztertuko dira. Gainera, funtzio linealen eta inekuazio linealen oinarrizko kontzeptuak azalduko dira.

Aldagai bakarreko ekuazio linealak 
Aldagai bakarreko ekuazio linealen forma orokorra hau da:

,

non  eta  zenbaki errealak diren eta  zeroren desberdina den.

Ekuazio lineal orokorraren soluzioa hau da:

.

Edozein beste ekuazio lineal bakandu daiteke aurreko formara, aljebraren oinarrizko legeak aplikatuz. Adibidez,  ekuazioa oso erraz bakanduko dugu  itxurara, eta azken hori forma orokorra da.

Bi aldagaiko ekuazio linealak 
Bi aldagaiko ekuazio linealen ohiko forma honako hau da:

non  eta  konstanteak diren, eta  zeroren desberdina.

Mota honetako ekuazioen soluzioak planoan zuzen baten bidez irudika daitezkeelako esaten zaie lineal.

Horregatik,  ekuazioan  konstanteak zuzenaren malda adierazten du eta,  konstanteak, zuzenak  ardatza zein puntutan mozten duen.

Bi aldagaiko ekuazio linealen adierazpen motak 
Ekuazio linealak hainbat modutara berridatz daitezke oinarrizko aljebra erabiliz.

Forma orokorra (estandarra) 
Ekuazio linealen forma orokorra honela adierazten da:

non  eta  zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren grafikoa zuzen bat da, eta edozein zuzen aurreko ekuazioaren bidez adieraz daiteke.  zeroren desberdina denean, zuzenak  puntuan ebakiko du  ardatza;  zeroren desberdina bada, zuzenak  puntuan ebakiko du  ardatza, eta zuzenaren malda  izango da. Batzuetan, ekuazio linealaren forma orokorra honela idazten da:

non  eta  zeroren desberdinak diren. Ekuazioaren adierazpen batetik bestea lor daiteke konstantea mugituz.

Malda-intersekzio forma 

non  konstantea zuzenaren malda den eta   ardatzaren ebaki-puntua. Hori erraz ikus daiteke: -ri zero balioa emanez,  lortzen da, eta horrek esan nahi du zuzenak  ardatza  puntuan ebakitzen duela. Forma horren bidez, erraz ikus daiteke zuzena gorakorra edo beherakorra den. Zuzena beherakorra da  denean, eta gorakorra  denean.

Puntu-malda forma 

non  konstantea zuzenaren malda den eta  zuzeneko edozein puntu.

Forma honek erakusten du  ardatzeko bi punturen arteko distantzia   ardatzeko bi punturen arteko distantziarekiko  proportzionala dela. Porportzionaltasun-konstantea  da (zuzenaren malda).

Puntu bikoitzeko forma 

non  eta ,  baldintza betetzen duten zuzeneko bi puntu diren. Puntu bikoitzeko forma puntu-malda formaren baliokidea da, zuzenaren malda eran emanda baitago.

Ekuzioaren bi aldeak  balioarekin biderkatuz, forma simetriko deritzon adierazpena lortzen da:

Oinarrizko propietateak aplikatuz eta gaiak berrantolatuz, honako forma hau lortzen da:

.

Aurreko adierazpenetik determinante forma lor daiteke:

Intersekzio-forma 

non  eta  zeroren desberdinak diren. Adierazpen honetatik erraz ondoriozta daiteke zuzenak  ardatza  puntuan ebakiko duela eta  ardatza  puntuan. Intersekzio-forma forma orokor bezala idatz daiteke  eta  aldaketak eginez. Jatorritik igarotzen diren zuzenak, zuzen bertikalak eta zuzen horizontalak ezin dira modu horretan adierazi.

Forma matriziala 
Forma orokorretik abiatuta, hots,  ekuaziotik hasita, forma matriziala lor daiteke:

Gainera, adierazpen hori ekuazio linealen sistemetara heda daiteke.

Adibidez,

ekuazio-sistema honela laburtu daiteke:

Adierazpen horren bidez erraz alda daiteke dimentsio handiagoetara; horregatik, aljebra linealean eta programazio matematikoan oso ohiko adierazpena da. Ekuazio linealen sistemak ebazteko metodoak, adibidez, Gauss-Jordan metodoa, matrizeko ilaren arteko eragiketak eginez adieraz daitezke.

Forma parametrikoa 

eta

Aldibereko bi ekuazio horiek  parametroaren arabera idatzita daude. Zuzenaren malda  izango da,  ardatza  puntuan ebakiko du eta  ardatza  puntuan.

2 dimentsioko bektorearen determinante-forma 
Zuzen baten ekuazioa bi bektoreren arteko detemerminante gisa idatz daiteke.  eta  zuzeneko puntuak badira, orduan  puntua zuzeneko parte izango da honakoa betetzen bada:

Formula ulertzeko modu bat da bi bektoreren arteko determinanteak puntuek osatzen duten paralelogramoaren azalera ematen digula jakitea. Gainera, determinantea zeroren berdina bada, paralelogramoak ez du azalerarik, eta bi bektoreak zuzen berdina osatzen dutela esaten da.

Zehatzago idatzita esan daiteke ,  eta  direla. Kasu horretan,  eta  direnez, aurreko ekuazioa honela idatz daiteke:

Adierazpena garatuz,

Hau da,

Ekuazioaren bi aldeetan  gaia biderkatuz puntu bikoitzeko forma lortzen da.

Kasu bereziak 
 . Ekuazio hau  eta  direneko forma orokorraren kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda 0 dela esan daiteke; zuzena horizontala izango da eta, ekuazioak dioen bezala,  ardatza  puntuan ebakiko du.  den kasuetan esango dugu zuzenak ez duela  ardatza ebakiko.  denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak  ardatzean egongo dira.

 .Ekuazio hau  eta  direneko forma orokorraren beste kasu berezi bat da. Kasu honetan zuzenaren malda definitu gabea dela esan daiteke; zuzena bertikala izango da eta,  den kasuetan, esan daiteke zuzenak ez duela  ardatza ebakiko.  denean, ordea, zuzeneko puntu guztiak  ardatzean egongo dira.

Funtzio linealekin duten lotura 
 moduan adierazten den eta jatorritik igarotzen den ekuazio linealak honako bi propietate hauek betetzen ditu:

eta

non  eskalarra den. Aurreko bi propietateak betetzen dituen funtzioari funtzio lineal deritzo.

Bi aldagai baino gehiagoko ekuazio linealak 
Ekuazio linealek bi aldagai baino gehiago izan ditzakete, eta  aldagaiko edozein ekuazio lineal modu honetan berridatz daiteke:

,

non koefizienteak zenbaki ez-nuluak diren. aldagaiei ezezagun deritze eta, b koefizienteari, gai aske. Oro har, hiru aldagai edo gutxiago dituzten ekuazio linealak adierazteko, ,  eta  erabiltzen dira,  eta  erabili beharrean.

 aldagaiko ekuazioan koefiziente guztiak nuluak badira gai askea izan ezik, ekuazio linealak ez du soluziorik izango. Izan ere,  berdintza lortuko da,  izanik, eta horrek ez du zentzurik zenbakiak erabiltzen direnean. Gai askea eta koefizienteak nuluak baldin badira, ekuazio linealak infinitu soluzio izango ditu edozein zenbaki-multzotarako beteko baita ekuazioa.

Aldagairen baten koefizientea zeroren desberdina izanez gero, posible da aldagai hori bakantzea. Esaterako, .koefizientea ez-nulua bada, , ekuazio lineala modu honetan berridatz daiteke:

. Hots, koefiziente ez-nulua duen aldagaia ekuazio linealeko beste aldagaien menpe adieraz daiteke.

Aldai anitzeko ekuazio linealak geometrikoki adieraz daitezke, aldagai bakarreko eta bi aldagaiko ekuazioen antzera.  denean, soluzio multzoa plano bat da hiru dimentsioko espazio bektorialean;  aldagai daudenean, soluzio multzoa  dimentsioko hiperplanoa da  dimentsioko espazio euklidearrean (edo espazio afinean, zenbakiak konplexuak direnean, esaterako).

Ekuazio linealen sistema 

Matematikan, ekuazio linealen sistema (edo sistema lineala) deritzo aldagai kopuru bera duten bi ekuazio lineal edo gehiagoren bildumari. Adibidez, bi aldagaiko ekuazio linealen sistema da hau:

,

.

Ekuazio linealen sistema baten soluzioak sistemaren ekuazio guztiak bete behar ditu. Aurretik emandako ekuazio linealen sistemaren soluzio bat hau da:  eta . Sistema hitzak adierazten du ekuazio-bilduman dauden ekuazio guztiak batera hartu behar direla kontuan, eta ez bakoitza bere aldetik.

Ekuazio ez-linealez osatutako sistemei ekuazio ez-linealen sistema deritze; ekuazio ez-linealen antzera, ekuazio ez-linealen sistemak ekuazio linealetako sistemen bidez hurbil daitezke.

Inekuazio linealak 
Inekuazio lineal esaten zaie berdintza-ikur ordez desberdintza-ikurra duten ekuazio linealei. Horien adibide dira honako hauek:

eta

.

Ariketak

Bibliografia 
 Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th ed.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson,

Kanpo estekak 
 Linear Equations and Inequalities Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Linear equation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 

Aljebra lineala
Ekuazioak