Bertranden bozketa ebazkizuna

Bertranden bozketa ebazkizuna ebazkizun klasikoa da konbinatorian eta probabilitatean. Honela dio: bozketa bateko bi hautagaiek p eta q boto lortu badituzte hurrenez hurren, zenbatekoa da boto zenbaketan p boto lortu dituen hautagaia beti aurretik izateko Pp,q probabilitatea?.

Adibidez, hautagaiek 10 boto eta 6 boto lortu badituzte hurrenez hurren, 10 boto lortu dituenak beti aurretik izateko probabilitatea hau da:

Argi denez, probabilitatea 0 izango da, p<q denean.

Bertranden bozketa ebazkizuna lehen aldiz Joseph Bertrand matematikari frantsesak asmatu eta ebatzi zuen 1887. urtean.

Ebazpena indukzio matematikoa erabiliz 

p=q denean argi dago formula bete egiten dela, formulak erakutsi bezala, orduan p boto lortu dituena beti aurretik joateko probabilitatea 0 baita, gutxienez azken botoaren zenbaketa bukatzean, p=q izanik azkenean berdinketa denean alegia, p boto lortu dituena aurretik joango ez delako.

p>0, q=0 balioetarako ere argi dago formula bete egiten dela, orduan beti joango baita p boto lortu dituena aurretik eta ondorioz beti aurretik joateko probabilitatea 1 da, formulak erakutsi bezala.

p>q balioetarako formula indukzio matematikoa erabiliz froga daiteke. Horretarako kalkula bedi Pp,q probabilitatea jakinda p boto lortu dituena beti aurretik joatea, besteak q boto lortu dituela, bi era hauetara hel daitekeela: azken botoa p boto lortu dituen hautagaiarena izanda (eta hori p/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p-1 eta q botorekin, hurrenez hurren, p-1 boto lortu dituena beti aurretik joan izanda; edo azken botoa q boto lortu dituenarena izanda (eta hori q/(p+q) probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan p eta q-1 botorekin, hurrenez hurren, p boto lortu dituena beti aurretik joan izanda. Erabateko probabilitatearen teorema erabiliz eta biderketa bakoitzaren bigarren biderkagaian emandako formula egiazkotzat hartuz:

Hau da, formula p-1,q eta p,q-1 balioetarako betetzen bada, p,q balioetarako ere bete egiten da. Formula p>0, q=0 eta p=q; p,q>0 balioetarako betetzen denez (orduan, argi dauden Pp,q=0=(p-0)/(p+0)=1 eta Pp,q=p=(p-p)/(p+p)=0 betetzen baitira), beste p>q>0 guztietarako ere beteko da, p-1,q eta p,q-1 balioetatik p,q balioetarako jauzi edo indukzioa eginez (adibidez, Pp=1,q=1 eta Pp=1,q=0 probabilitateetatik Pp=2,q=1 probabilitatera egiten da jauzi).

Kanpo estekak 

  The Ballot Problem and the First Return to 0, non argibideak eta applet bat dauden.

Erreferentziak

Bibliografia 

  RENAULT, Marc, Lost (and found) in translation: André's actual method and its application to the generalized ballot problem. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 4, 358-363.
  RENAULT, Marc, Lost in Translation: A Reflection on the Ballot Problem and André's Original Method, Mathfest, Shippensburg University. 2007-08-05.

Probabilitate aplikatua
Probabilitate teoremak
Konbinatoria enumeratiboa
Bozketen teoria