Irudi (matematika)

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

Definizioa 
"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan,  funtzio bat da  multzotik  multzora doana.

Elementu baten irudia 
Baldin eta  -ren elementua bada, orduan -ren irudia -n,  deitua,  ordezkatzean -k hartzen duen balioa da.  -rako -ren irteera gisa ezagutzen da.

 emanda,  funtzioak "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada  bat funtzioaren eremuan non  den. Era berean,  multzo bat emanda, -k "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada  bat funtzioaren eremuan non . Aldiz, "-k -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da  edozein  -ren eremuan  bada.

Azpimultzo baten irudia 
 azpimultzoaren irudia -n,  deitua, -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena:  

Nahasteko arriskurik ez dagoenean,  honela idazten da: . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz,  funtzio bat da zeinen eremua -ren potentzia-multzoa den eta koeremua -ren potentzia-multzoa.

Funtzio baten irudia 
Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua. Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

Erlazio bitarretara orokortzea 
 erlazio bitar arbitrarioa bada -n, orduan  multzoari -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean,  multzoari -ren eremua deritzo.

Aurreirudia 
 -tik -ra doan funtzioa izanda,  multzoaren aurreirudia,  deitua,  definitutako -ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan  eta  erabiltzen dira. Multzo baten aurreirudia  edo  da.

Adibidez,  funtziorako, -ren aurreirudia  izango litzateke. Ez da nahasi behar  notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non -ren aurreirudia -n, -ren irudia den -n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa 
Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat  irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

Geziaren notazioa 
 , 
 ,

Izarren notazioa 
 , -ren ordez
 , -ren ordez

Beste terminologiak 
 -ren ordez  ere erabiltzen da. 
 Zenbait testuk -ren irudia -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita -ren koeremua adierazteko.

Adibideak 
1. honek definituta: 

 multzoaren irudia -n  da.  funtzioaren irudia  da. -ren aurreirudia  da. -ren aurreirudia ere  da eta -ren aurreirudia multzo hutsa da .

2.  honek definituta: .

-ren irudia -n  da, eta -ren irudia  da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). -ren aurreirudia  -n  da.  multzoaren aurreirudia -n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

Propietateak

Orokorrean 
 edozein funtziorako eta  eta  azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

Horrez gain:

  baldin eta soilik baldin

Funtzio konposatuak 
 eta  funtzioetarako  eta  azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Izate-eremua

Kanpo estekak 

Funtzioak
Multzoen teoriaren oinarrizko kontzeptuak