Funtzio jarraitu

Matematikan, funtzio bat jarraitua dela esaten da aldagai askean izandako aldaketa txikiek funtzioaren balioan ere aldaketa txikiak eragiten dituztenean. Jarraituak ez diren funtzioak ez-jarraituak dira. Alderantzizko jarraitua duen funtzio jarraituari homeomorfismo deritzo.

Funtzioen jarraitutasuna topologiaren oinarrizko kontzeptua da, era orokorrean lantzen da aurrerago. Artikulu honen sarrera aldagai errealetako funtzioetan ardazten da. Jarraitutasunaren beste kasu sendoago bat jarraitutasun uniformea da. Gainera, artikulu honetan bi espazio metrikoren arteko funtzioen jarraitutasunaren kasu orokorragoaren definizioa lantzen da. Ordena teorian, bereziki domeinu teorian, Scotten jarraitutasuna kontsideratu daiteke. Beste jarraitutasun motak existitzen dira, baina ez dira lantzen artikulu honetan.

Jarraitutasunaren definizio zehatza badago ere, intuitiboki funtzioa jarraitua da definizio-eremuko tarte batean bere grafikoa arkatza paperetik altxatu gabe marraz daitekeenean. Adibidez, izan bedi  funtzioa, lore baten altuera deskribatzen duenta  denboran. Funtzio hau jarraitua da. Aldiz, -k banku kontu batean dagoen diru kopurua adierazten badu  denboran, funtzioak salto egiten du dirua sartu edo ateratzen denean; beraz funtzio ez-jarraitua da.

Historia 
Jarraitutasunaren epsilon-delta erako lehen definizioa Bernard Bolzanok eman zuen 1817. urtean. Augustin-Louis Cauchyk horrela definitu zuen  funtzioaren jarraitutasuna:

Cauchyk kantitate infinituki txikiak kantitate aldakorren arabera definitu zituen, eta bere definizioa gaur egungo definizio infinitesimalaren antzekoa da (ikus mikrojarraitutasuna). Puntuz puntuko jarraitutasunaren eta jarraitutasun uniformearen arteko desberdintasuna eta definizioa Bolzanok eman zituen 1830ko hamarkadan, baina bere lana ez zen 1930ko hamarkada arte argitaratu. Bolzano bezala, Karl Weierstrassek funtzio baten jarraitutasuna  puntuan ukatzen zuen funtzioa -n eta bere bi aldeetan definituta baldin ez bazegoen, baina Édouard Goursatek funtzioa -ren alde bakarrean definituta egotea baimendu zuen eta Camille Jordanek baimendu zuen -n bakarrik definituta bazegoen ere. Puntuz puntuko jarraitutasunaren hiru definizio ez-baliokide hauek oraindik erabiltzen dira. Edouard Heinek eman zuen jarraitutasun uniformearen lehen definizio argitaratua 1872. urtean, baina bere ideiak Dirichletek eman zituen 1854. urtean.

Funtzio errealak

Definizioa 

Funtzio erreal bat, hau da, zenbaki errealetatik zenbaki errealetara doan funtzio bat; grafo baten bitartez irudikatu daiteke plano kartesiarrean. Funtzio hori jarraitua da grafoa kurba ez-apurtu baten bitartez irudikatu baldin badaiteke, kurbaren definizio-eremua zuzen erreal osoa izanda. Jarraian definizio zehatzago bat ematen da.

Funtzio errealen jarraitutasunaren definizio zehatza limiteen bitartez ematen ohi da.  aldagaia duen  funtzio bat  puntuan jarraitua da baldin eta -ren limitea  -ra hurbiltzen den bitartean -ren berdina bada. Gainera, funtzioa jarraitua da puntu guztietan jarraitua bada. Funtzio bat ez-jarraitua da punturen batean ez jarraitua denean.

Funtzio baten jarraitutasunaren hainbat definizio existitzen dira. Batzuetan esaten da funtzio bat jarraitua dela jarraitua bada bere definizio-eremuko puntu guztietan. Adibidez,  funtzioa jarraitua da bere definizio eremuan (zenbaki errealak non ,  edozein zenbaki oso izanda). Batzuetan, salbuespenak egiten dira definizio-eremuaren mugekin. Adibidez,  funtzioaren grafoa, bere erenua zenbaki erreal ez-negatiboak izanda; ezkerraldean amaiera puntua dauka. Kasu honetan eskuinaldeko limitea bakarrik behar da funtzioaren balioa lortzeko. Definizio honen arabera,  jarraitua da  mugan eta zenbaki ez-negatibo guztietan. Definiziorik arruntenaren arabera, funtzio bat jarraitua da zenbaki erreal guztietan jarraitua bada. Kasu honetan, aurreko bi adibideetako funtzioak ez dira jarraituak, baina edozein polinomioren funtzioa jarraitua da, sinua, kosinua eta esponentziala bezala. Beraz, jarraitu hitzaren erabilpen arduratsua egin behar da, testuinguruaren arabera bere esanahia aldatu daitekelako.

Notazio matematikoa erabilita, aurreko hiru zentzuetan jarraitutasuna definitzeko hainbat era daude.

Izan bedi
 zenbaki errealen  azpimultzoan definitutako funtzioa.

 azpimultzoa -ren definizio-eremua da. Aukera posibleen artean ondorengoak daude:
 (zenbaki errealen multzo osoa), edo,  eta  zenbaki errealentzat,
 ( tarte itxia da), edo
 ( tarte irekia da).

 tarte irekia bada,  eta  ez dira mugak aurreko zentzuan bezala, eta beraz 
eta -ren balioek ez dute ondoriorik -ren gaineko jarraitutasunean.

Funtzioen limiteen bidezko definizioa 
 funtzioa bere definizio-eremuko  puntuan jarraitua da -ren limitea  -ra hurbiltzen den heinean (-ren definizio-eremuan zehar) existitzen bada eta -ren berdina bada. Notazio matematikoan, hurrengoaren baliokidea da:

Benetan, honek hiru baldintza inplikatzen ditu: lehenik,   puntuan definituta dago (betetzen dena,  -ren definizio-eremuan dagoelako). Bigarren, limitea existitu behar da. Hirugarren, limitearen balioa -ren berdina izan behar da.

(Asumitu dugu -ren definizio eremuak ez duela puntu isolaturik. Adibidez, tarteek edo tarteen bildurek ez dute puntu isolaturik.)

Inguruneen bidezko definizioa 
 puntuaren ingurunea -tik distantzia finko bat baino hurbilago dauden definizio-eremuko puntu guztiak dituen multzo bat da. Intuitiboki, funtzio bat jarraitua da  puntuan -ren murrizketa -ren ingurune batean  puntu bakarrera txikitzen bada -ren inguruko ingurunearen zabalera zerorantz doanean. Zehazki,  funtzioa jarraitua da bere definizio-eremuko  puntuan, baldin edozein ingurunerentzat  existitzen bada ingurune bat  non ,  denean.

Definizio honek bakarrik behar du eremua eta koeremua espazio topologikoak izatea, eta ondorioz definiziorik orokorrena da. Definizio honetatik ondoriozta daiteke  funtzioa jarraitua dela bere definizio-eremuko puntu isolatu guztietan. Adibidez, zenbaki osoen gaineko balio errealetako funtzio guztiak jarraituak dira.

Segiden limiteen bidezko definizioa 

Ordez, eskatu daiteke  punturantz konbergenteak diren definizio-eremuko elementuez osatutako  segida guztietarako  segida  punturantz konbergentea izatea. Notazio matematikoan:

Weierstrassen eta Jordanen definizioa 

 funtzio bat emanda, bere definizio eremuko  puntuan jarraitua da baldin eta edozein  positiborako existitzen bada  positibo bat non  betetzen duten  balioetarako

betetzen den. Beste era batean idatzita,  jarraitua bada definizio-eremuko  puntuan, edozein  positiborako existitzen da  positiboa non definizio eremuko  guztietarako:

Era intuitiboago batean, honela esan daiteke:  funtzioaren balioak -ren ingurune batean egotea nahi bada, behar den gauza bakarra da -ren ingurune egoki bat aukeratzea  aldagaiak balioak hartzeko. Nahi dugun beste txikitu ahal bada -ren ingurunea, orduan  jarraitua da -ren inguruan.

Weierstrassek behartu zuen  tartea definizio eremuan egotera, baina Jordanek baldintza hori kendu zuen.

Ondarraren kontrolaren bidezko definizioa 
Analisi numerikoan eta frogak egiteko, askotan beharrezkoa da jakitea zein azkarrak diren limiteen konbergentziak, hau da; ondarraren kontrola. Hori formalizatu daiteke jarraitutasunaren definizio bat sortzeko.

Funtzio bat  kontrol-funtzioa da baldin
  ez beherakorra bada.
 

 funtzio erreala  jarraitua da -n baldin

 , definizio eremuan dauden  guztietarako

Funtzio bat jarraitua da -n -jarraitua baldin bada  kontrol-funtzio baterako.

Estrategia hau erabiliz jarraitutasunaren kontzeptua findu daiteke erabili daitezkeen kontrol-funtzioak murriztuz.  kontrol-funtzioen multzoa izanda, funtzio bat -jarraitua da baldin -jarraitua bada  baterako. Adibidez,  esponentedun Lipschitzen eta Hölderren jarraitutasunak hurrengo multzoekin definitzen dira:

.

Oszilazioen bidezko definizioa 

Jarraitutasuna oszilazioen bidez definitu daiteke ere:  funtzioa jarraitua da  puntuan baldin eta soilik baldin bere oszilazioa puntu horretan zero bada, notazio matematikoan . Notazio honen abantaila bat ez-jarraitutasuna kuantifikatzen duela da: oszilazioak esaten du zenbatekoa den ez-jarraitutasuna puntu batean.

Definizio hau erabilgarria da multzo teoria deskribakorrean puntu ez-jarraituen multzoak eta puntu jarraituak (oszilazioa  baino txikiagoa duten multzoen ebakidura (Gδ multzo bat)) ikertzeko. Gainera, definizio honek Lebesgueren integragarritasun baldintzaren norabide bateko froga azkarra ematen du.

Oszilazioa ε-δ definizioaren berrantolapen baten baliokidea da, limiteak erabiliz oszilazioa definitzeko: puntu batean  batentzat ez bada existitzen -rik non baldintza betetzen den, orduan oszilazioa gutxienez  da. Aldiz,  guztientzat  existitzen bada, oszilazioa 0 da. Oszilazioen bidezko definizioa espazio topologikoetatik espazio metrikoetara doazen funtzioetara orokortu daiteke.

Hipererrealen bidezko definizioa 
Cauchyk emandako jarraitutasunaren definizioa ideia intuitiboetan oinarritzen da: aldagaian egindako aldaketa infinitesimal batek funtzioaren balioan aldaketa infinitesimala eragiten du. Kalkulu ez-estandarraren bidez definizio hori matematikoki zehatza egin daiteke. Zuzen erreala zenbaki infinitu eta infinitesimalen bidez handitu daiteke zenbaki hipererrealak sortzeko. Kalkulu ez-estandarrean jarraitutasuna horrela definitu daiteke, Cauchyren definizioa gaur egungo notaziora "itzuliz":

 funtzio erreala jarraitua da  puntuan baldin bere hipererrealetako hedadura hurrengo propietatea betetzen badu:  infinitesimal edozeinerako,  infinitesimala da.

Funtzio jarraituen eraikuntza 

Funtzio baten jarraitutasuna ebaluatzeko prozesua sinplifikatu daiteke aurreko propietateak ebaluatuz funtzioaren "blokeetan". Erraza da frogatzea definizio-eremu batean jarraituak diren bi funtzioen batuketa jarraitua dela eremu horretan. Bi funtzio emanda
,

orduan funtzio jarraituen batura

( izanda,  guztientzat)
jarraitua da -n.

Gauza bera gertatzen da funtzio jarraituen biderketarekin

( izanda,  guztientzat)
jarraitua da -n.

Aurreko emaitzak funtzio konstanteen eta identitate funtzioaren () jarraitutasunarekin konbinatuz, funtzio polinomikoen jarraitutasuna zenbaki errealetan ondoriozta daiteke. Adibidez

(eskuineko irudian irudikatua).

Era berean froga daiteke funtzio baten alderantzizkoa (biderkadurarekiko)

( izanda  guztientzat non )
jarraitua dela -n.

Horrek inplikatzen du funtzio jarraituen zatiketa (-ren erroak kenduta)

( izanda  guztientzat non )
ere jarraitua dela -n.

Adibidez, hurrengo funtzioa (eskuineko irudian)

definituta dago zenbaki erreal guztientzat ( izan ezik), eta jarraitua da puntu horietan. Beraz, funtzio jarraitua da.  puntuan ez da jarraitua, puntu hori ez dagoelako funtzioaren definizio-eremuan. Ez da existitzen  funtzio jarraiturik -rekin bat datorrenik  guztientzat.

Sinu funtzioa zenbaki erreal osoetan jarraitua denez, sinc funtzioa () definituta dago eta jarraitua da  erreal guztientzat. Kasu honetan, hala era,  zenbaki erreal guztietan jarraitua den funtzio batera luzatu daiteke;  ezarriz. Izan ere, hori da funtzioaren limitea 0-rantz hurbiltzen denean:
 

Beraz, ezarriz

sinc funtzioa zenbaki erreal osoetan jarraitua den funtzio batean bihurtzen da. Puntu singular saihesgarri izena erabiltzen da kasu hauetan, non funtzioaren balioak definitu daitezke funtzioa jarraitua egiteko puntu zehatzetan.

Funtzioen arteko beste eragiketa bat funtzioen konposaketa da. Bi funtzio jarraitu izanda

beraien konposizioa
(),  izanda, jarraitua da.

Aurreko proposizioa erabiltzen lortzen da adibidez,  jarraitua dela  guztietarako.

Funtzio ez-jarraituen zenbait adibide 

Funtzio ez-jarraituen adibide bat Heavisideren eskailera funtzioa da (), horrela definituta:

Hartu adibidez . Ez dago -ren inguruko  (hau da,  tarte irekia,  izanda) non -ren balioak -ren  egongo diren (hau da, -n). Intuitiboki, ez-jarraitutasun mota hau funtzioaren balioetan gertatzen den bat-bateko jauzia da.

Antzeko kasu bat zeinu funtzioarena da:

ez-jarraitua da  puntuan, baina jarraitua da beste puntu guztietan. Hurrengo adibide honetan:

funtzioa jarraitua da puntu guztietan, -n izan ezik.

Aurreko kasuen antzekoak diren funtzio ez-jarraituetaz gain, funtzio batzuek jokaera patologikoa daukate. Thomaeren funtzioaren kasua da:

Thomaeren funtzioa zenbaki irrazional guztietan jarraitua da, eta ez-jarraitua zenbaki arrazional guztietan. Antzeko era batean, Dirichleten funtzioa ez da inon ez jarraitua

Propietateak

Tarteko balioaren teorema 
Tarteko balioaren teorema existentzia teorema bat da, zenbaki errealen osotasunean oinarritua. Honela dio:

  funtzio erreala jarraitua bada  tarte itxian eta  zenbakia  eta -ren artean badago, orduan exititzen da  zenbaki bat  tartean non .

Adibidez, ume bat 1 m-ko altueratik 1.5 m-ko altuerara hazten bada bi eta sei urte dituen bitartean, orduan, momenturen batean denbora tarte horretan umearen altuera 1.25 m izan da.

Teorema honen ondorioz,  jarraitua bada  tartean eta  eta -ren zeinuak ezberdinak badira, orduan  tarteko  puntu batean -ren balioa zero da.

Muturreko balioaren teorema 
Muturreko balioaren teoremak (edo Weierstrassen teorema) horrela dio: edozein funtzio   tarte batean (edo edozein multzo itxi eta bornatu) definituta badago eta bertan jarraitua bada, orduan funtzioak maximo bat dauka tarte horretan (existitzen da  non   tarteko  guztientzat). Gauza bera gertatzen da minimoarekin. Orokorrean, emaitza horiek ez dira agertzen funtzioa  tarte ireki batean definituta dagoenean;  funtzioaren kasuan adibidez. Funtzio hori definituta dago eta jarraitua da  tartean, baina ez dauka maximorik ez-bornatua delako goitik.

Jarraitutasunaren erlazioa diferentziagarritasunarekin eta integragarritasunarekin 
Edozein funtzio diferentziagarri

jarraitua da, frogatu daitekeen bezala. Alderantzizkoa ez da egia: adibidez, balio absolutuaren funtzioa

edonon jarraitua da. Hala ere, ez da diferentziagarria  puntuan (baina beste puntu guztietan bada). Weierstrassen funtzioa puntu guztietan jarraitua da, baina ez da inon ez diferentziagarra.

 funtzio diferentziagarri baten deribatuak  ez du zertan jarraitua izan.  jarraitua bada,  jarraituki deribagarria da. Baldintza hori betetzen duten funtzioen multzoa  da. Orokorrean, multzo ireki batetik zenbaki errealetara doazen funtzioen multzoari,

non   aldiz diferentziagarria den eta -garren deribatua jarraitua den,  deritzo. Ordenagailu grafikoen arloan, maila horiei  (posizioaren jarraitutasuna),  (tangentziaren jarraitutasuna) eta  (kurbaduraren jarraitutasuna) izenak ematen zaizkie batzuetan.

Edozein funtzio jarraitu

integragarria da (Riemannen integralaren zentzuan, adibidez). Alderantzizkoa ez da betetzen, zeinuaren funtzioak (integragarria baina ez-jarraitua) frogatzen duen bezala.

Limite puntual eta uniformeak 

Funtzioen segida bat emanda

non limitea

definizio eremuko  guztientzat existitzen den,  funtzioa segidaren limite puntuala da. Limite puntual funtzioak ez du zertan jarraitua izan,  guztiak jarraituak badira ere; eskuinaldeko animazioan ikusten den bezala. Hala ere,  jarraitua da  funtzio guztiak jarraituak badira eta segida konbergentzia uniformea badauka (konbergentzia uniformearen teoremaren ondorioa). Teorema hori funtzio esponentzialak, logaritmoak, erro karratu funtzioa eta funtzio trigonometrikoak jarraituak direla frogatzeko erabili daiteke.

Jarraitutasun norabidetua eta erdi-jarraitutasuna 

Funtzio ez-jarraituak era mugatu batean ez-jarraituak izan daitezkenez, jarraitutasun norabidetuaren (edo eskuin eta ezker-jarraitutasuna) eta erdi-jarraitutasunaren kontzeptuak agertzen dira. Intuitiboki, funtzio bat eskuin-jarraitua da ez badago jauzirik limitearen puntura hurbiltzean eskuinetik. Formalki,  eskuin-jarraitua da  puntuan hurrengoa betetzen baldin bada: edozein -rentzat existitzen da  non  betetzen duten  guztientzat

Baldintza hau eta funtzio jarraituena ia berdinak dira: kasu honetan  baino handiagoak diren -tarako bakarrik bete behar da. Aldiz, eskatzen bada baldintza betetzea  betetzen duten -tarako, ezker-jarraitutasuna agertzen da. Funtzio bat jarraitua da baldin eta soilik baldin ezker eta eskuin-jarraitua bada.

Funtzio bat behe erdi-jarraitua da baldin egon daitezkeen jauziak behera badoaz, eta ez gora. Hau da, edozein -rentzat existitzen da  non  betetzen duen eta definizio-eremuan dagoen edozein -rentzat hurrengoa betetzen den:

Alderantzizko baldintza goi erdi-jarraitutasuna da.

Espazio metrikoen arteko funtzioen jarraitutasuna 

Funtzio erreal jarraituen kontzeptua espazio metrikoen arteko funtzioetara orokortu daiteke. Espazio metriko bat  multzo bat da, funtzio batez () hornituta dagoena (metrika deritzo). Intuitiboki, -ko edozein bi elementuen arteko distantzia neurtzen duen erregela da. Formalki, metrika honako funtzioa da:

Funtzio honek zenbait propietate betetzen ditu, desberdintza triangeluarra nabarmenki. Bi espazio metriko ( eta  ) eta funtzio bat emanda,

orduan  jarraitua da puntuan emandako metrikarekiko, baldin eta edozein  positiborako existitzen bada  positiboa non  betetzen du -ko edozein  baliok  betetzen badu. Gainera, aurreko kasuko funtzio errealetan bezala;  limitea duen -ko edozein  segidarentzentat  betetzea jarraitutasunaren definizo baliokidea da.

Jarraitutasunaren ideia hau erabiltzen da, adibidez, analisi funtzionalean. Adar honetako oinarrizko proposizio batek dio  eta  bektore espazio normaduen arteko operadore lineal bat

jarraitua dela baldin eta solik baldin bornatua bada, hau da, existitzen da  konstante bat non

 edozeinerako.

Jarraitutasun uniformea, Hölderriarra eta Lipschitziarra 

Espazio metrikoen arteko funtzioen jarraitutasuna zenbait eratan sendotu daiteke, mugatuz -ren menpekotasuna  eta -rekiko (aurreko definizioan). Intuitiboki,  funtzioa uniformeki jarraitua da  ez bada  puntuaren menpekoa. Zehazki, beharrezkoa da edozein  positiborentzat existitzea  positiboa non  betetzen duten edozein -rentzat  izatea. Beraz, edozien funtzio uniformeki jarraitu jarraitua da. Alderantzizkoa ez da betetzen orokorrean, baina betetzen da  trinkoa bada. Aplikazio uniformeki jarraituak espazio uniformeen egoera orokorreagoan definitu daitezke.

Funtzio bat Hölderriarra da  berretzailearekin (zenbaki erreala), existitzen bada  konstantea non -ko edozein  eta -rentzat hurrengo desberdintza betetzen den:

Edozein funtzio Hölderriar uniformeki jarraitua da.  kasu bereziari Lipschitzen jarraitutasuna deritzo. Hau da, funtzio bat Lipschitziarra da hurrengo desberdintza betetzen duen  konstantea existitzen bada

-ko edozein  eta -rentzat. Lipschitzen baldintza agertzen da adibidez, Picard–Lindelöf teoreman, ekuazio diferentzial arrunten soluzioetaz arduratzen dena.

Espazio topologikoen arteko funtzioen jarraitutasuna 

Jarraitutasunaren beste kontzeptu abstraktuagoa espazio topologikoen arteko funtzioen jarraitutasuna da, non orokorrean ez dago distantziarik, espazio metrikoen kasuan bezala. Espazio topologiko bat  multzo bat da beraren gaineko topologia batekin. -ren gaineko topologia -ren azpimultzoen familia da. Azpimultzoen arteko bildurei eta ebakidurei buruzko zenbait propietate bete behar dira: propietate horiek espazio metrikoetako bola irekien propietateak orokortzen dituzte, puntu baten ingurunea oraindik definituta dagoen bitartean. Topologia baten elementuei -ren azpiultzo ireki deritze (-ren topologiarekiko).

 eta  espazio topologikoen arteko funtzioa

jarraitua da baldin eta  edozein multzo irekirako bere aurreirudia

-ren azpimultzo irekia bada. Hau da,   eta -ren arteko funtzioa da, baina -ren jarraitutasuna  eta -ren gaineko topologien menpekoa da.

Baldintza horren baliokidea da -ren multzo itxien (multzo irekien osagarriak) aurreirudiak -n itxiak izatea.

Adibidez,  multzoari topologia diskretua (azpimultzo guztiak irekiak) ematen bazaio, edozein  espazio topologikorainoko funtzio guztiak

jarraituak dira. Aldiz, -ri topologia indiskretua (azpimultzo ireki bakarrak multzo hutsa eta  dira) ematen bazaio, eta  espazioa gutxienez T0 bada, orduan funtzio jarraitu bakarrak funtzio konstanteak dira. Alderantziz, koeremu indiskretua duen edozein funtzio jarraitua da.

Puntu bateko jarraitutasuna 

Epsilon-delta erako jarraitutasunaren definizioa inguruneen hizkuntzara itzuliz gero, puntu bateko jarraitutasunaren ondoko definizioa lortzen da:

Definizio honen baliokidea da definizio bera baina ingurune irekietara murriztuta. Gainera, hainbat eratan berridatzi daiteke, irudien ordez aurreirudiak erabiliz.

Gainera, ingurune bat parte daukan edozein multzo ingurune bat denez, eta  -ren azpimultzorik handiena denez non  den; definizio hau horrela sinplifikatu daiteke:

Multzo ireki bat bere puntu guztien ingurunea den multzoa denez,  funtzioa jarraitua da -ren edozein puntutan baldin eta soilik baldin funtzio jarraitua bada.

 eta  espazio metrikoak badira, baliokidea da -n zentratutako bola irekien ingurune sistema kontuan hartzea, ingurune guztiak hartu beharrean. Honek epsilon-delta jarraitutasunaren definizioa bueltatzen du espazio metrikoetan. Espazio topologiko orokorretan, ez dago ez distantziarik ez hurbiltasunik. Hala ere, helburu espazioa Hausdorff bada, oraindik ere egia da  jarraitua dela -n baldin eta soilik baldin -ren limitea -ra hurbiltzen den heinean  bada. Puntu isolatu batean, edozein funtzio jarraitua da.

Ordezko definizioak 
Espazio topologikoak deskribatzeko tresna ezberdinak daudenez gero, zenbait definizio baliokide existitzen dira funtzio jarraitu bat definitzeko.

Segidak eta sareak 
Hainbat testuingurutan, espazioaren topologia metatze puntuen bidez definitzen da. Zenbait kasuetan, hori lortzen da argituz noiz den puntu bat segida baten limitea, baina espazio orokorrago batzuetan, zehaztu behar da noiz den puntu bat sare baten limitea. Funtzio bat jarraitua (Heinearra) da baldin eta segiden limiteak segiden limitetara eramaten baditu. Lehengo kasuan, limiteen kontserbazioa baldintza nahikoa da; bigarrenean funtzio batek segiden limiteak kontserbatu ditzake eta jarraitua ez izan, baina sareen kontserbazioa baldintza beharrezkoa eta nahikoa da.

Zehazki,  funtzioa segidaz jarraitua da baldin eta  segidak  limitea badu,  segida  limitea duen -ko edozein segida izanda. Hortaz, segidaz jarraituak diren funtzioak segiden limiteak kontserbatzen dituzte. Funtzio jarraitu guztiak segidaki jarraituak dira, baina kontrakoa ez da orokorrean egia.  espazio lehen-kontagarria bada, orduan alderantzizkoa ere gertatzen da: segiden limiteak kontserbatzen dituen funtzio bat jarraitua da.  espazio metrikoa bada jarraitutasuna eta segidako jarraitutasuna baliokideak dira; baina hori ez da zertan gertatu espazio topologiko orokorragoetan. Arrazoi honengatik, espazio topologikoen testuinguruan, sareak erabiltzen dira segidak baino. Funtzio jarraituek sareen limiteak kontserbatzen dituzte, izan ere propietate hori jarraitutasunaren karakterizazioa da.

Itxidura eragileen bitarteko definizioa 
Espazio topologiko baten azpimultzo irekiak zehaztu beharrean, topologia itxidura eragileen ( izendatuta) bitartez definitu daiteke;  eragileak  edozein azpimultzo bere itxidurara bidaltzen du.  barrualde eragileak  edozein azpimultzori bere barrualdea esleitzen dio. Beraz, espazio topologikoen arteko funtzio bat

jarraitua da aurreko zentzuan baldin eta soilik baldin  azpimultzo guztietarako

betetzen bada. Hau da, -ren itxituran dagoen -ren edoezein  puntu hartuta,  -ren itxituran dago. Horren baliokidea da esatea  azpimultzo guztietarako hurrengoa betetzen dela:

Gainera,

jarraitua da baldin eta soilik baldin

betetzen bada  edozeinentzat.

Propietateak 
 eta  jarraituak badira,  ere jarraitua da.  jarraitua bada eta
  trinkoa bada, orduan  trinkoa da.
  konexua bada, orduan  konexua da.
  Lindelöf bada, orduan  Lindelöf da.
  banangarria bada, orduan  banangarria da.

Finkatutako  multzo baten gaineko topologia posibleak partzialki ordenatuta daude:  topologia lodiagoa da  topologia baino -eko edozein azpimultzo ireki -n irekia bada. Ondorioz,  identitatea

jarraitua da baldin eta soilik baldin  bada. Orokorrean, funtzio jarraitu bat

jarraitua izaten jarraitzen du  topologia beste topologia lodiago batengatik ordezkatzen bada, edo  topologia beste topologia finago batengatik ordezkatzen bada.

Homeomorfismoak 
Aplikazio jarraituaren kontzeptuaren antzekoa da aplikazio irekiarena, non multzo irekien irudiak irekiak diren. Egitan,  aplikazio irekiak alderantzizkoa badauka, alderantzizkoa jarraitua da; eta  aplikazio jarraituak alderantzizkoa badu, alderantzizkoa irekia da. Bi espazio topologikoen arteko  bijekzio bat emanda,  alderantzizkoak ez du zertan jarraitua izan. Alderantzizko jarraitua duen aplikazio jarraitu eta bijektiboari homeomorfismo deritzo.

Bijekzio jarraitu baten definizio-eremua trinkoa bada eta bere koeremua Hausdorff bada, orduan homeomorfismoa da.

Topologien definizioa funtzio jarraituen bitartez 
Funtzio bat emanda

non  espazio topologika den eta  multzo bat (topologiarik gabe), -ren gaineko bukaera topologia definitu daiteke. -ren multzo irekiak izango dira -ren  azpimultzoak non  irekia den -n. -k aurretik topologia bat badauka,  topologia horrekiko jarraitua da baldin eta soilik baldin aurretiko topologia bukaera topologia baino lodiagoa bada. Hortaz, -ren topologiarik finena non  jarraitua den bukaera topologiaren karakterizazio bat izango da.  supraiektiboa bada, topologia hori kanonikoki identifika daiteke zatidura topologiarekin, -k definitutako baliokidetasun-erlazioaren bitartez.

Gainera,  multzotik  espazio topologiko batera doan  funtzio batentzat; -ko hasiera-topologiaren irekiak -ren  azpimultzoak izango dira non , -ren  irekiren baterako. -k aurretik topologia bat badauka,  topologia horrekiko jarraitua da baldin eta soilik baldin aurretiko topologia hasiera-topologia baino finagoa bada. Hortaz, -ren topologiarik lodiena non  jarraitua den hasiera-topologiaren karakterizazio bat izango da.  injektiboa bada, topologia hori kanonikoki identifika daiteke -ren azpiespazio topologiarekin, -ren azpimultzotzat hartuz.

 multzo baten gaineko topologia bat determina daiteke  funtzio jarraitu guztien klaseen bitartez,  edozein espazio topologiko izanda. Dualki, antzeko ideia erabili daiteke  funtzioekin.

Lotutako kontzeptuak 

Matematikako beste adar batzuek jarraitutasun kontzeptua erabiltzen dute esanahi ezberdin baina erlazionatuekin. Adibidez, ordena teorian, ordena mantentzen duen  funtzioa  eta  partzialki ordenatutako multzoen artean jarraitua da baldin eta -ren azpimultzo bideratu bakoitzarentzat  betetzen bada. Hemen,   eta -ren ordenaketekiko gorena da. Jarraitutasun kontzeptu hau jarraitutasun topologikoaren berdina da partzialki ordenatutako multzoek Scotten topologia daukatenean.

Kategoria teorian, bi kategorien arteko funktorea

jarraitua da baldin eta limite txikiekin konmutatzen badu. Hau da:

edozein objektu-diagrama txikiarentzat -n.

Jarraitutasun espazioa espazio metriko eta poseten orokortzea da, quantalen kontzeptua erabiltzen duena eta espazio metrikoen eta domeinuen nozioa bateratzeko erabili daitekena.

Oharrak

Erreferentziak

Bibliografia

Ikus, gainera 
 Diniren jarraitutasuna
 Ekijarraitutasuna
 Ez-jarraitutasunen sailkapena
 Jarraitutasun absolutua
 Jarraitutasun simetrikoa
 Prosezu estokastiko jarraitua
 Zatikako funtzioak

Kanpo estekak 

Funtzioak
Analisi matematikoa
Funtzio motak