Runge-Kutta metodo

Runge-kutta metodoa ekuazio diferentzialen ebazpenerako zenbakizko metodo mota orokorra da. Metodo multzo hau, hasiera batean, C. Runge eta M. W. Kutta matematikariek 1900 urtearen inguruan garatu zuten.

Deskribapena 
Runge-kutta metodoek (RK)  ekuazio diferentzial arrunten soluzioen hurbilketarako iteraziozko metodo (esplizitu eta inplizitu) multzoa osatzen dute, zehazki,  hasierako balioko problemaren ebazpenerako metodoak.

Izan bedi

Ekuazio diferentzial arrunta, , non  multzo irekia den, eta ren hasierako balioak

betetzen du.

Kasu horretan ("s" etapako) RK metodoak, orokorrean, honako itxura du:

,

non h iterazio bakoitzeko urrats-luzera den, edo beste era batera esateko,  eta  ondoz ondoko puntuen arteko  gehikuntza.  koefizienteak tarteko hurbilketa puntuetan egindako  funtzioaren balioztatzeak dira

Horrela,  koefizienteek aukeratutako metodoa zehazten dute eta erabilitako zenbakizko integrazioaren araberako balioak dira.
Runge-kutta eskemak,  konstanteen arabera, inplizituak edo esplizituak izan daitezke.  balioek osatutako matrizea behe triangeluarra bada, eta diagonal nagusiko balioak zero badira, hau da,  betetzen bada  guztientzat, metodoa esplizitua da.

Adibidea 

Bi etapatako Runge-kutta eskema: lehenengo etapa  unean eta bestea  unean.

Lehenengo etapan  honakoa da:

eta  unean  hurbiltzeko Eulerren eskema erabil dezakegu:

 funtzioaren balioztatze hauek  ekuazioan ordezkatuz honako espresioa lortuko dugu:

Eskema honen koefizienteak, beraz,  dira.

Aldaerak 

Runge-kutta metodo klasikoen edo Runge-Kutta esplizitu gisa ezagutzen diren metodoen aldaerak existitzen dira, esate baterako, prozeduraren bertsio inplizitua edota Runge-Kutta metodo bikoteak (edo Runge-kutta-fehlberg metodoak).

Bikoteen kasuan soluzioaren bi hurbilketa lortzen dira, bakoitza ordena ezberdineko metodoa erabiliz, baina bi metodoek hasierako etapa berdinak erabiltzen dituzte eta orokorrean  koefizienteetan bereizten dira (posible da metodo batek besteak baino etapa gehiago edukitzea). Bi hurbilketen arteko diferentziak urrats bakoitzeko errorearen neurria ezagutzeko informazioa eman diezaguke, eta informazio hori erabil daiteke hurrengo urrats-luzera egokia aukeratzeko.

Runge-Kutta metodoak 

Runge-kutta metodoek iteraziozko metodoen familia garrantzitsua osatzen dute eta inplizituak edo esplizituak izan daitezke. Ekuazioa diferentzial arrunten soluzioak hurbiltzen dituzte eta 1900 urtearen inguruan Carl David Tolmé Runge eta Martin Wilhelm Kutta matematikari alemanek garatu zituzten teknika hauek.

Lau ordenako Runge-kutta metodoa 

Runge-Kutta metodoen arteko bat oso erabilia da, horregatik "Runge-Kutta metodoa" edo "RK4" izenek metodo horri egiten diote erreferentzia.

Hasierako balioaren problema bat defini dezagun:

Orduan problema honentzat RK4 metodoa hurrengo ekuazioak adierazten du:

Non

Honela, hurrengo  balioa une honetako  balioak eta  urrats-luzera eta malda estimatuaren arteko biderketak zehazten dute. Malda hainbat malden batezbesteko haztatua da.

 hasierako uneko malda da.

 tartearen erdiko puntuko malda da. Tartearen erdian,  unean,  balioa lortzeko  malda erabili da Eulerren metodoaren aplikazioan

 berriz ere tartearen erdiko puntuko malda da, baina oraingoan Eulerren metodoaren aplikazioan  malda erabili da  kalkulatzeko.

 tartearen bukaerako malda da, eta  balioa lortzeko  malda erabili da.

Lau maldak haztatzean tarteko puntuetako maldei pisu handiagoa ematen zaie:

Runge-kutta metodoaren forma hau lau ordenako metodoa da, horrek esan nahi du urrats bakoitzean egindako errorea  neurrikoa dela eta prozesu osoan metatutako errorea  ordenakoa dela.

Ikus, gainera 
 Eulerren metodoa

Erreferentziak

Kanpo estekak 
 
 TEMA 1 Problemas de Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Métodos Numéricos de un paso.

Zenbakizko analisia
Ekuazio diferentzialak