Esfera

Esfera (grezieratik: σφαίρα - sphaira, "globoa, baloia") hiru dimentsioko espazioan puntu jakin batetik distantzia berera dauden espazioko puntu guztiek osatzen duten azalera da. Era berean, zirkulu bat bere ardatzaren inguruan biratzen denean sortzen den gorputz geometrikoa ere bada. Alde guztietatik begiratuta, esfera gorputz erabat biribila da.

Esferaren atalak 

 Zentroa: puntu guztietatik distantzia berera dagoen barne-puntua da.
 Erradioa: zentrotik gainazaleraino dagoen distantzia da.
 Korda: bi puntu lotzen dituen zuzena da.
 Diametroa: zentrotik pasatzen den korda da. Erradioa halako bi luze da.
 Biraketa-ardatza: esferako puntu guztiak biratzen diren lerroa da.
 Poloak: biraketa-ardatzaren eta gainazalaren arteko ebaki-puntuak dira.

Esferaren zirkunferentziak 

 Paraleloak: biraketa-ardatzarekiko perpendikularrak diren zirkunferentziak dira.
 Meridianoak: bi poloetatik pasatzen diren zirkunferentziak dira.
 Ekuatorea: zentrotik pasatzen den paraleloa da.

Esferaren gaineko koordenatuak 
Esferaren gainazalean dagoen puntu bat aurkitzeko, egokiagoa da koordenatu esferikoak erabiltzea koordenatu kartesiarrak baino, honako arrazoiengatik: batetik, azalera esferikoa bi dimentsioko espazioa delako eta koordenatu kartesiarrak hiru koordenatuetan banatzen direlako; bestetik, esfera batean lan egitean, angeluen terminoa erabiltzea egokiagoa delako, koordenatu ortogonalak erabiltzea baino.

Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak 
Koordenatu esferikoen bi jatorri ortogonalak kalkulatzeko, ekuatore bat eta horren puntu bat angelu horizontalen abiapuntu gisa aukeratzen dira. Lehenik eta behin,  angeluaren ikurra definitzeko, ekuatorearen orientazio bat hautatzen da. Ondoren,  angeluaren ikurra definitzeko, esferaren bi poloetatik polo bakarra aukeratzen da. Poloak esferaren ekuatoretik urrutien dauden puntuak dira, eta esfera batek, hain zuzen, bi polo ditu.

Puntuak angeluen bidez zehaztea 
 eta  angeluek esferaren puntu guztiak mugatzen dituzte. Plano horizontaleko (ekuatorearen planoa) eta plano bertikaleko angeluei esker esferaren edozein puntu aurki daiteke.

Geometrian eta geografian  eta  angeluak modu ezberdinetan neurtzen dira. Normalean arku-luzera kalkulatu ahal izateko, geometrian, angelu horiek radianetan neurtzen dira. Geografian, aldiz, gradu sexagesimalak edo ehundarrak erabiltzen dira angeluak lortzeko. Geografiaren kasuan, puntuak angeluen bidez zehazteko, jatorriak Greenwich-eko meridianoaren ekuatoreko puntuan eta Ipar poloko puntuan hartzen dira; era horretan,  angelua latitudea dela lortzen da, eta  angelua, longitudea.

Koordenatu esferikoekin espazioko edozein puntu aurkitu ahal izateko,  izeneko hirugarren parametroa sartu behar da ; esferaren erradioa da .

 koordenatu esferikoen bitartez, espazioko edozein puntu aurkitu daiteke. Hori kontuan hartuta,   koordenatu kartesiarrak  koordenatu esferikoen bidez adieraz daitezke. Honako eran adierazten dira:

, non  eta  diren.

Koordenatu kartesiarretatik abiatuta, koordenatu esferikoak lortzen dira:

Ekuazioak hiru dimentsioko espazioan 

Hiru dimentsioko espazio euklidear bateko koordenatu kartesiarreko sistema batean, esfera unitarioaren (erradioa  duen esferaren) ekuazioa honakoa da:

.

Jarraian azalduko da nola lortzen den aurreko ekuazioa.

Izan bitez esferaren jatorria  eta esferaren edozein puntu . Lehenengo elementua  baten bidez adieraziko da, eta bigarren elementua, aldiz,  baten bidez. Esferaren  puntuan  bektore normalak  balioa duela jota, hasierako formula lortzen da.

Formula hori orokortzeko, demagun esferaren jatorria  dela. Hortaz,

.

Bestalde,  puntuan  plano tangentearen ekuazioa aldagai-banaketaren bitartez lortzen da. Esfera unitarioaren kasuan, jatorria  da:

.

Formula hori orokortzeko, demagun esferaren jatorria  dela. Beraz,

.

Izan bitez  eta  zenbaki errealak,  izanik eta

   .

Orduan, esfera adierazteko beste era bat honako hau da:

.

 -k hartzen duen balioaren arabera, zenbait esfera mota ezberdindu daitezke.

·  bada,  ekuazioaren soluzioak ez dauka puntu errealik. Beraz, aurreko ekuazioa esfera irudikari baten ekuazioa da.

·  bada,  ekuazioaren soluzio bakarra  puntua da. Beraz, aurreko ekuazioa esfera puntual baten ekuazioa da.

·  bada,  ekuazioak, aldiz,  zentrodun eta  erradiodun esferaren ekuazioa adierazten du.

Aurreko ekuazioan -ren balioa  bada, orduan  plano baten ekuazioa da.

Gainera, hiru dimentsioko espazio euklidear batean, esferaren gainazaleko puntuak modu honetan parametriza daitezke:

, non  eta  diren.

  da esferaren erradioa; , zentroaren koordenatuak, eta , ekuazioaren parametro angeluarrak.

Bestalde,  puntuan zentratutako edozein erradiotako esfera gainazal integral bat da. Honela definitzen da esfera forma diferentzialean:

.

Azken ekuazio horrek adierazten du esfera baten posizio-bektorea  eta puntuaren abiadura  elkarrekiko ortogonalak direla.

Bolumena 

Esferaren bolumena

da, non  esferaren erradioa den.

Esfera baten bolumena esfera horretan zirkunskribatutako zilindroaren bolumenaren  dela esan daiteke. Kontuan izanda zilindroaren oinarria esferak duen diametro bereko zirkulu bat dela eta altuerak aipatutako diametroaren neurri bera duela, ondorengoa adieraz daiteke:

.

Adierazitako bolumenen arteko erlazioa Arkimedesek frogatu zuen.

Bestalde, posible da esferaren bolumena kalkulatzea  erabili gabe, horren errore-marjina koa izanik.

.

Azalera 
 erradiodun esfera baten azalera hurrengoa da:

.

Arkimedesek   formula lortu zuen zilindro zirkunskribatuaren alboko gainazalerako proiekzioak eremua mantentzen duela kontuan hartuz. Dena den, azaleraren formula beste era batera lor daiteke: bolumenaren formula -rekiko deribatuz.

Edozein  erradio emanda, bolumen graduala   erradiodun azaleraren  eta egituraren lodieraren  arteko biderkadurarena bezalakoa da.

.

Egituren arteko bolumen guztien gehiketa esferaren bolumenaren totala da.

.

-ren limitean -ra hurbiltzen denez,

.

Bolumena ordezkatuz,

.

Bi aldeak -rekiko deribatuz gero,

.

Horren ondorioz, azalera hurrengoa da:

,

non  esferaren erradioa den.

Kurbak

Zirkuluak 

 Esferaren eta planoaren arteko ebaketaren emaitza zirkulu bat, puntu bat edo hutsa () izan daiteke.

Zirkulu bat denean, ekuazio parametriko batekin adieraz daiteke.

Aldiz, beste zenbait gorputzak esfera moztean zirkuluak ere sortzen dituzte:

 Biraketa-gainazal baten eta esfera baten arteko ebakidura ez hutsak zirkuluez edota puntuez osatuta daude.

Irudian ikus daitekeenez, zilindroa eta esfera ebakitzen direnean, bi zirkulu sortzen direla. Zilindroak eta esferak erradio bera badute eta haien artean tangenteak badira zirkulu bakarra sortzen da.

Clelia kurbak 
Esfera modu honetan definituta badago,

Clelia kurbak lortzen dira angeluek hurrengo ekuazioa betetzen badute:  

  .

Kasu bereziak: Viviani´s kurba  eta espiral esferikoak .

Gorputz orokorren eta esferaren arteko ebaketa 
Esfera bat beste gainazal batekin ebakitzean, kurba esferiko konplexuagoak sortu daitezke.

Adibidea: esfera eta zilindroa

Esferaren eta zilindroaren arteko ebaketen emaitzak ekuazioen arteko sistema eginez lortzen dira eta ez dira beti bi zirkulu edo zirkulu bakarra izan behar.

Esferaren ekuazioa:  .

Zilindroaren ekuazioa:  .

Esferetatik lortzen diren irudi geometrikoak 
- Hemisferioa: esferaren zentrotik pasatzen den planoak bi zatitan banatzen du gainazala. Bi zati horiei hemisferio deritze.

- Esferaerdia: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen artean dagoen esferaren zatia da.

- Ziri-gainazal esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko gainazalaren zatia da.

Ziri-gainazal esferikoaren azalera  da non  bi planoen arteko angelua den.

- Ziri esferikoa: esferaren diametroan ebakitzen diren bi planoen arteko esferaren zatia da.

Ziri esferiko baten bolumena  da non  bi planoen arteko angelua den.

- Kalota esferikoa: plano ebakitzaile batek zehazten duen esferaren zati bakoitza da.

Kalota esferikoaren azalera: .

Kalota esferikoaren bolumena: .

- Esfera-zona: Bi plano ebakitzaile paraleloen arteko esferaren zatia da.

Esfera-zonaren azalera:.

Esfera-zonaren bolumena: .

Esferaren hamaika propietateak 
Geometry and the Imagination liburuan David Hilbertek eta Stephan Cohn-Vossenek esferaren hamaika propietate deskribatzen dituzte, eta eztabaidatzen dute ea hamaika propietate horiek esfera modu bakarrean zehazten duten edo ez. Hamaika propietate horiek ondorengoak dira:

1. Esferaren puntu guztiak puntu finko batekiko distantzia berera daude. Gainera, bere puntuetatik bi puntu finkoetara dagoen distantziaren ratioa konstantea da.

2. Esferaren perimetroak eta sekzio lauak zirkuluak dira.

3. Esferaren zabalera eta zirkunferentzia konstanteak dira.

4. Esferaren puntu guztiak unbilikalak dira.

5. Esferak ez dauka zentro gainazalik.

6. Esferaren geodesiko guztiak kurba itxiak dira.

7. Bolumena duten gorputz guztietatik esfera da gainazal txikiena duen gorputza, eta gainazala duten gorputz guztietatik esfera da bolumen handiena duen gorputza.

8. Esfera, gainazal zehatza duten gorputz ganbil guztietatik, batez besteko kurbadura txikiena duen gorputza da.

9. Esferak batez besteko kurbadura konstantea du.

10. Esferak Gaussen kurbadura positiboa eta konstantea du.

11. Esfera bere baitan transformatzen da hiru parametroetako familia zurrun baten higiduraren bidez.

Esfera forma duten hainbat objektu 
 Baloia
 Pilota
 Planetak eta exoplanetak
 Hainbat fruta
 Burbuila

Erreferentziak

Bibliografia 

 Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, .
 Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover.
 Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4.
 Serra, Bernat Requena. (2017-05-06).«Esfera» Universo Formulas.
 Maths, Sangaku. «Esferas y sus figuras geométricas» www.sangakoo.com.

Kanpo estekak 

 Mathematica/Uniform Spherical Distribution .
 Surface area of sphere proof .

Gainazalak