E (zenbakia)

e konstante matematikoa zenbaki irrazional garrantzitsuenetariko bat da. Bere balioa 2,71828 da eta matematikako adar desberdinetan agertzen da. Izan ere, e konstante matematikoa logaritmo nepertarraren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

Batzuetan, e zenbakiari Eulerren Zenbakia esaten zaio, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan, berriz,  Napierren konstantea, John Napier logaritmo-garatzailearen omenez.

Zenbaki horrek garrantzi handia dauka kalkulu eta analisi matematikoan, hain zuzen ere, matematikako funtziorik garrantzitsuenean, hau da, funtzio esponentzialean,  geometrian eta i (zenbaki irudikaria) analisi konplexuan eta aljebran den bezala. 

Hasieran aipatu dugunez, e zenbakia zenbaki irrazional bat da ,  zenbakia eta urrezko zenbakia (φ) diren moduan. e zenbakia ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa ezarri. Bestalde,  zenbakia bezala, zenbaki transzendentea da, ez baita koefiziente arrazionalak dituen ekuazio aljebraiko baten erroa.

π eta unitate irudikaria (i) ostean, e da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat.

Historia 
 zenbakiaren aurkikuntza  zenbakiarenarekin alderatuta, duela gutxikoa dela esan daiteke. Izan ere,  zenbakiaren aurkikuntzak jatorri analitikoa du eta  zenbakiarenak, aldiz, geometrikoa.

Konstante horren inguruko lehen aipamenak 1618an argitaratu ziren, John Napier-ek egindako logaritmoen inguruko lan bateko taula batean. Berez, taula horretan ez zen agertzen  zenbakiaren benetako baliorik, zenbaki horretatik abiatutako logaritmo natural batzuen kalkuluak baizik. Taula horren egilea Willian Oughtred dela esaten da. Urte batzuk geroago, 1624an,  zenbakia matematikako literaturan aipatu zen berriro. Urte horretan, Briggs-ek 10 oinarriko logaritmoekin lortutako hurbilketa bat eman zuen, baina bere lanean ez zuen  zenbakiaren izenik zehaztu.

 zenbakiaren ondorengo agerpena zalantzazkoa da. 1647an Saint Vicent-ek hiperbola angeluzuzenaren azpiko azalera kalkulatu zuen. Kalkulatutako azalerak logaritmoekin zuen erlazioa ez zen oso fidagarria, ez baitzegoen arrazoi garbirik  zenbakiarekin lotuta egoteko. Urte batzuk geroago, 1661ean, Huygens-ek hiperbolaren azalera eta logaritmoen arteko erlazioa aztertu zuen  kurbaren inguruko problema lantzean.

Hala ere,  zenbakiaren aurkikuntza ez dator logaritmoetatik, Jacob Bernoulli matematikari ezagunak 1683an egindako kapitalizazio konposatuaren  inguruko lanetik baizik. Moneta unitate (MU)  bat inbertitzen bada urteko % 100eko interesarekin eta interesak urtean behin ordaintzen badira, 2 MU lortuko genituzke. Interesak urtean bi aldiz ordaintzen badira, eta interes hori birekin zatitzen bada, lortutako emaitza   da. Urtea lau zatitan zatitzen badugu eta aurreko prozesua errepikatuz, honako hau lortuko genuke:  … Era berean, urtea hamabi hilabetetan banatuz gero, hau da, interesa hilero ordainduz gero, emaitza hau lortuko genuke: … Beraz, urteko interesak ordaintzeko epea handitzean, eta interes tasa txikitzean, moneta-unitatearen honako adierazpen hau lortuko genuke, n periodoa izanik eta \frac{1}{n} interes tasa:

Bernoullik azken limitearen balioa bi eta hiru artean zegoela frogatzeko, newtonen binomioa erabili zuen. Esan daiteke, limitearen balioa bi eta hiru artean egotea dela  zenbakiaren inguruko lehen hurbilpena. Gainera, adierazpen hori  zenbakiaren definiziotzat hartuz gero, limite baten bidez adierazten den lehen zenbakiaren definizioa izango litzateke. Bernoullik ez zuen bere lanaren eta logaritmoen arteko erlaziorik zehaztu. Hortik dator finantza-arloan ematen den  zenbakiaren definizioa:  zenbakia, urteko %100eko interes-tasa konposatua duen MU baten inbertsioaren limitea da. Modu orokorrago batean, K kapital bateko inbertsioak eta R urteko interes tasak   interes konposatua du.

Konstantearen lehen erabilera 1690koa da, izan ere, Gottfried Leibniz-ek Christian Huygens-i  bidalitako gutun batean zenbaki hau b letraz adierazi zuen. Leonhard Euler izan zen konstantea adierazteko  letra erabiltzen hasi zen lehenengoa 1727an eta publikoki lehen aldiz 1736an egin zen ezaguna Eulerren liburu batean. Nahiz eta ondorengo urteetan ikertzaile batzuk c letra erabili zuten konstantea adierazteko,  erabiltzea zen ohikoena, ondorioz, zenbakiaren adierazpen ofizialtzat hartu zen. 1748an, Eulerrek Introductio in analysin infinitorum liburua argitaratu zuen eta bertan  zenbakiarekin lotutako informazio guztia bildu zuen. Adibidez, honako hau frogatu zuen:

Honela,  zenbakiaren hurbilpen bat eman zuen 18 hamartarrekin. Horrez gain, zatiki jarraituen egituran ere   zenbakiaren definizioa eman zuen. Azken karakterizazio horrekin ondorioztatu zen  zenbakia zenbaki irrazionala zela, eta beraz, ikerkuntza honengatik, matematika-adituen komunitateak dio Euler izan zela propietate hau frogatu zuen lehena.

Bestalde,  zenbakiarekin gertatu ez zen bezala, orokorrean ez zen  zenbakiaren hamartarrak aurkitzeko interesik agertu. Baina, matematikari batzuei hamartar horiek aurkitzeko grina piztu zitzaien eta 1854an lan hori egiten hasi zen lehena William Shanks izan zen. Esan beharra dago Shanks bera izan zela gehien saiatu zena  zenbakiaren hamartar desberdinak aurkitzen. James Whitbread Lee Glainser matematikariak frogatu zuen Shanks-ek ikertutako lehen 137 zenbaki hamartarrak zuzenak zirela, baina akats bat aurkitu zuen, nahiz eta gero Shanks-ek zuzendu eta 205 zifra hamartarretara iritsi. Izan ere, 200 hamartar lortzeko, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … moduko 120  termino inguru behar dira.

Boorman-ek 1884an egindako lanei esker, zenbaki hamartarren aurkikuntzek gora egin zuten eta 346 hamartar inguru kalkulatu zituen Boorman-ek. Kalkuluak egin ostean, ohartu zen berak aurkitutako lehen 187 hamartarrak eta Shanks-ek aurkitutakoak berdinak zirela, baina, gero, dibergitu egiten zutela. 1887an, Adams-ek -ren logaritmoa 10 oinarrian hurbildu zuen 272 zifra zehatzekin.

1873an, Charles Hermitek   zenbakia transzendentea dela frogatu zuen. Lorpen hau polinomio bat erabiliz lortu zuen, Lambert-ek landutako zatiki jarraituen laguntzaz. David Hilbert-ek lehen frogapenak egin zituen egindako ikerketa guztien inguruan.

Definizioak 

Definizio ugari ditu, baina e zenbakiaren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

    segidaren limite moduan definitzen da:  
  serie infinitu baten batukari gisa definitzen da:    non n! n-ren faktoriala den.
  zenbakia  ekuazioaren soluzioa da. Hau da,  honela definitzen da: .

Hiru definizio hauek baliokideak direla frogatu da.

e zenbakiaren deskubrimendua (Bernouilli,  1683) 
Eulerren zenbakia ez zen XVII. mendera arte deskubritu. Eta naturan hainbat esparrutan agertuagatik, diru irabaziei begira deskubritu zen e zenbakia. Jacob Bernouilli matematikaria interes konposatuari begira ari zen. Interes konposatuak honela funtzionatzen du: demagun euro bat daukagula eta urtebeteren buruan dugunaren %100 emango digutela. Orduan, daukagun kopuru hori urtebeteren buruan begiratzen badu bankuak, 1 izatetik 2 izatera pasako gara.

Baina zer gertatzen da %100 hori urtean zehar bi zatitan ematen badigute? Hau da, seigarren hilean dugunaren %50 eta handik sei hilera dugunaren %50, berriz. Orduan, ekainean 1,5 euro izatera pasako gara, eta abenduan 2,25 izango ditugu. Irabazten atera gara, beraz, interes konposatua bi zatitan bereizita. Eta hilabetero egingo bagenu? Orduan 2,61 eurorekin bukatuko genuke urtea.

Pentsa liteke urtea zatitzen jarraituta etengabe gehiago irabazten amaituko dugula. Baina badu muga bat prozesu honek. Ez gara sekula urte amaieran 3 euro izatera iritsiko. Egunero eginda, adibidez, 2,7145 euro irabaziko genituzke. Nanosegundutan zatituko bagenu urtea, ez ginateke kopuru horretatik apenas urrunduko: 2,7182... Eta hori da e zenbakia: interes konposatuaren epeekin jokatuta ere, irabaziek muga bat dutela adierazten digun zenbakia. Hortik dator goian eman den lehenengo definizoa

Behin zenbakia deskubrituta, beste hainbat propietate dituela ikusi zuten. Baita beste hainbat egoeratan agertzen dela ere. Probabilitateen teorian, esaterako, erruleta batean 37 zenbakitik bat hautatu eta huts egiteko probabilitatea 0,97 da. Bada, 37 aldiz jokatu, eta denetan huts egitekoa 0,3628. Gutxi gorabehera 1/e dena, hain zuzen ere. Hortik dator goian eman den bigarren definizioa.

Propietate matematikoak eta horien aplikazioak

Analisi matematikoak

Funtzio esponentziala 
Edozein  -rako  segida konbergentea da. Limite hau  modura idatz dezakegu:

Funtzio esponentziala, funtzio erreal bati deritzo non bere aldagai independenteak  osoa zeharkatzen duen. Honako hau da:

Funtzio esponentzialaren ezaugarri nagusia da funtzioa eta bere deribatua berdinak izatea.

Gainera, deribatua -ko puntu guztietan existitzen da.

Deribatuaren ezaugarri horretatik ondorioztatzen da funtzio esponentzialaren integrala eta funtzioa berdinak direla.

  non C integraleko konstante bat den.

Gainera, deribatuaren propietate hori betetzen duen funtzioa bakarra da edozein  baliorako zero balioa hartuko ez duena (edozein   ). Horregatik, analisi matematikoko funtzio garrantzitsuena da; bereziki, ekuazio diferentzialetarako.

 funtzioaren seriea, Maclauriren formula bidez lortzen da.

 (1)

 (2)

Maclauriren formula  denez, aurreko (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, honako hau dugu:

 hartuz, e zenbakiaren hurbilpen bat lortzen da,

non ≈ -k balio hurbildua adierazten duen.

Steiner-en problema 

Steiner-en problemaren helburua da,  funtzioaren maximo absolutua aurkitzea. Maximo absolutua,  zenbakia da hain zuzen.

Bestalde,   funtzioaren minimo absolutua da  kasurako.

Azken funtzio hori orokortuz,  funtzioaren maximo absolutua  puntua da  kasurako, eta minimo absolutua    denean.

Leonhard Euler-en teorema batetik ondokoa ondorioztatzen da:

Tetrazio infinitua

edo  

konbergentea da baldin eta soilik baldin  betetzen bada.

Zenbaki konplexuak 

 Euler-en formulan zenbaki konplexuekin erlazionatuta agertzen den zenbaki garrantzitsuenetarikoa da.

Aurreko honetan  denean, Eulerren identitatea izango dugu:

Hemendik, hau ondorioztatzen da:

Gainera, esponentzialaren legeak aplikatuz, honako hau lor dezakegu:

Hau, De Moivre-ren formula da.

Harvard-eko irakaslea den Benjamin Peirce-k ezagutarazi zuen formula hau, eta aditzera eman zuen, formulak aldi berean matematikan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak (0, 1, π, i eta e) batzen dituela.

Probabilitatea eta estatistika 
 zenbakia probabilitate-teoriaren aplikazioetan ere agertzen da. Horren adibide da subfaktorialaren problema, neurri batean Jacob Bernoulli-k Pierre Raymond de Montmort-en laguntzaz aurkitua, Txapelen problema ere deitzen zaio: Festa bateko  gonbidatuk diskoteka bateko sarreran beraien txapelak maiordomoari uzten dizkiote; honek, gonbidatu bakoitzaren izena duten  konpartimentu desberdinetan uzten ditu txapelak. Baina maiordomoak gonbidatuak ezagutzen ez dituenez, txapelak modu aleatorioan uzten ditu konpartimentuetan. De Montmort-en probleman, hain zuzen, txapel bakoitza dagokion konpartimentuan kokatuta ez egoteko probabilitatea kalkulatzen da. Probabilitate hori ondorengoa da:

 .

Gonbidatu kopuruak () infinitura jotzean,  balioa -ra hurbilduko da  .  Are gehiago,  -ren gertueneko zenbaki arrunta da txapel guztiak dagokien konpartimentuetan kokatuta ez egoteko aukera kopurua .

Azken emaitza hau, beste modu honetan ere defini daiteke: izan bedi  ausazko funtzio batek puntu finko bat izateko probabilitatea non  n{} den. Orduan,

Probabilitatean, ondorengo probleman ere ageri da  zenbakia: izan bitez  [0,1] tarteko  banaketa uniformea duten ausazko aldagaien segida bat, eta N,  desberdintza betetzen deneko  zenbaki txikiena:

Orduan, N-ren itxaropena  da. Emaitza horrekin, konstantearen balioa estima dezakegu ausazko simulazioak eginez.

Azkenik, esan beharra dago  zenbakiak matematikako arlo honetan agerpenik garrantzitsuena duela μ batezbestekoa eta σ desbideratze estandarreko banaketa normalaren probabilitatearen dentsitate-funtzioan; hau, gauss-en integraletik lortzen da:

Zenbaki teoria 
Bi lotura hauek zenbaki lehenen teoremaren korolarioak dira.

non  n. zenbaki lehena eta  n.zenbaki lehenaren eta  baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura diren.

non  n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua den.

Geometria 

 zenbakia planoko kurba jakin bati lotutako kantitateen arteko zatidura gisa interpreta daiteke,  zenbakia bezala. Izan bedi  kurba bat non jatorritik datorren edozein zuzenerdik kurba mozten duen  radianeko angelua osatuz. Radian bateko banaketa angeluarra duten bi puntu hartzen baditugu, P1 eta P2, eta  definituz, orduan,

Formula hori lortzeko radian bat neurtu behar denez, konplexua dela iruditu daiteke. Baina zirkunferentzia bat zuzen baten gainean mugitzen badugu, oso erraz lor daiteke. Aurretik aipatutako propietatea duen kurba, espiral logaritmikoa da, eta kurba horrek angelu guztiak berdinak dituenez, erraz egiazta daiteke koordenatu polarretako bere ekuazioa ondorengoa dela:

Espiral logaritmikoak  -ko angelua badu, koodenatu polarretako ekuazioa  da.

Irrazionalitatea eta traszendentzia 
 zenbakia irrazionala denez, ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa idatzi. Horixe frogatu zuen 1737an Euler-ek. Frogapen horretan, Eulerrek  zatiki jarraitu gisa jarri zuen, horrela, infinitua izatean, bazekien ez zegokiola zenbaki arrazional bati. Hala ere, frogapen ezagunena Fourier-ek egindakoa izan zen, eta zenbaki-seriearen garapenean oinarritu zen horretarako. 1768an J.H. Lambert-ek  irrazionala zela frogatu zuen  zenbaki arrazional positiboa izanik.

Gainera,  zenbakia zenbaki traszendentea da, hau da, ez da koefiziente osoak dituen polinomio baten erroa. Zenbaki traszendentetzat hartu zen lehenengo zenbakia izan zen eta Charles Hermitek frogatu zuen mota horretako zenbakia zela.

e zenbakia duten formulak 
Hona hemen  zenbakia barne hartzen duten formula batzuk:

 formula hau  identitatetik lortzen da.

Euler-en formula: 

Stirling-en formula: 

Gosperren formula: 

 zenbakiaren hurbilketa bat, aldi berean urrezko zenbakia eta π erabiliz, honako hau da:

e zenbakiaren adierazpena 
 zenbakia, zenbaki erreal gisa hainbat modutan adieraz daiteke: serie infinitu, biderkadura infinitu, zatiki jarraitu eta segida baten limite bezala.

Limite gisa 
 zenbakiaren definizioa: 

1975ean, Felix A. Keller suitzarrak limite simetrikoa lortu zuen: 

Stirling-en formulatik ondorengoa lortzen da: 

 n. zenbaki lehena eta  n. zenbaki lehenaren eta  baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura izanik,  frogatu zen.

Azkenik,  adierazpena lortu zen  n baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua izanik.

Serie edo batura infinitu gisa 

 

 

 

 

   non   Bell-en n. zenbakia den.

Azkeneko karakterizazioaren adibide batzuk:

Biderkadura infinitu gisa 
 zenbakia <<Wallisen erako>> biderkadura infinitu gisa ere adieraz daiteke hainbat modutan:

Pippenger-en biderkadura:

 

Catalán-en biderkadura:

 

eta Guillera-ren biderkadura:

 
 n. faktorea n. erroa izanik
 

eta azkenik, biderkadura infinitu gisa

Zatiki jarraitu gisa 
 zenbakiaren hamartarrek ez dute patroi erregular bat jarraitzen. Hala ere, normalizatu daitezkeen zatiki jarraituei esker, zatiki jarraitu normalizatu gisa lor dezakegu:

eta  moduan idazten da. Azken propietate hau Leonhard Euler-ek lortu zuen. Zatiki jarraitu ez normalizatuaren adierazpena, berriz,  da.

Bi kasutan, argi ikusten da  zenbakiaren hamartarrek ez dutela patroi bat jarraitzen.

Digitu dezimalen kopuru ezaguna 

Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren  zenbakiaren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori. 1949an, J. Von Neumann eta bere taldeak ENIAC erabili zuten 2010 hamartar lortzeko.

1961ean, D. Shanks eta J.W. Wrecnch-ek  2,5 ordu behar izan zituzten 100.265 hamartar lortzeko Eulerren formularekin. 1994an, R.Nemiroff eta J.Bonellek 10.000.000 hamartar topatu zituzten.

Azken hamarkadetan, ordenagailuek hamartar kopuru handiak dituzten zenbakiak lortu dituzte. 2000. urtean, esaterako, Pentium III 800 ordenagailuko PiFast33 programa erabiliz, 12884901000 zifra hamartar lortu ziren eta hau lortzeko 167 ordu behar izan zituzten.

Lehenengo ehun hamartarrak 
 zenbakiaren lehenengo 100 hamartarrak ondorengoak dira:

e zenbakiaren inguruko auzi batzuk 

 Ez dakigu e 10 oinarrian edo beste oinarriren batean normala den. Hau da, sistema hamartarraren hamar digituetako bakoitzak hedapen hamartar batean agertzeko probabilitate bera duen ala ez.
 Ez dakigu  traszendentea den.
 Ez dakigu  eta  irrazionalak diren. Baina jakina da ez direla 9 baino txikiagoko maila duten eta 109  ordenako koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak.

Erreferentziak

Ikus, gainera 
 Eulerren identitate.

Kanpo estekak 

Konstanteak
Zenbaki irrazionalak
Zenbaki transzendenteak