Minkowskiren desberdintza

Analisi matematikoan, Minkowskiren desberdintzak, Hermann Minkowskik formulatua, Lp espazioak bektore-norma bat duten bektore-espazioak direla ezartzen du. Bira S espazio neurgarri bat, 1 ≤ p ≤ ∞ eta f eta g Lp(S)-ko elementuak. Orduan, f + g ere Lp(S)-koa da, eta honako hau betetzen da:

berdintza 1 < p < ∞ kasuan da, baldin eta soilik f eta g guztiz linealki mendekoak badira,  ≥ 0 baten baterako f =  g edo g =  f dela esan nahi duena.

Minkowskiren desberdintza Lp(S)-ko desberdintza triangeluarra da.

Hölderen desberdintza bezala, Minkowskiren desberdintza segida eta bektoretarako ere zehatz daiteke honela:

Zenbaki erreal (edo zenbaki konplexu) x1, ..., xn, y1, ..., yn guztietarako, non n S-ren kardinala den (S-ren elementuen kopurua).

Frogapena 

Lehenik, frogatuko dugu f+g baturak p-norma finitua duela, baldin f eta g biek badute, hori ondorengotik segitzen da,

Alabaina, hor erabiltzen da  funtzio ganbila izatea  multzoan ( > 1 bada) eta horregatik, a eta b positiboak badira, orduan,

Beraz,

Orain,  adierazpenaz hitz egin daiteke. Zero bada, Minkowskiren desberdintza betetzen da. Orain, demagun  ez dela zero. Hölderen desberdintza erabiliz

Minkowskiren desberdintza lortzen da bi aldeak bider  egitean.

Kanpo estekak 

Desberdintzak