Erroketa

Matematikan, erroketa  a zenbaki baten n ordenako erroak aurkitzeko prozesua da.

Erroketa  berreketaren alderantzizko eragiketa da.

Beraz, honako hau betetzen da; , non n errotzailea edo ordena den, a errokizuna eta x n-garren erroa.
-ren bigarren ordenako erroari -ren erro karratu deritzo eta   edota  modura denotatzen da.

-ren hirugarren ordenako erroari -ren erro kubiko deritzo eta   modura denotatzen da.

Goi-ordenako erroei zenbaki ordinalak deritze; adibidez, laugarren erroa, bosgarren erroa, seigarren erroa edo zazpigarren erroa.

Definizioa eta notazioa  

a zenbaki baten n-garren erroa, ondorengo ekuazioaren n emaitza erreal edo konplexuetako edozeini esaten zaio,

non x ezezaguna den eta n zenbaki oso positibo bat den. Honela adierazten da: . Horrela, ondoko baliokidetasuna lortzen da: 

.

Erro karratua (n = 2) askotan goi-indize gabe idazten da, hau da,  ,  beharrean. n = 1 kasurako, erroa idaztea edo ez idaztea baliokidea da: .

Zenbaki erreal positiboen barruan beti aurki daiteke n-garren erro positibo bakarra. Bestalde, a zenbakia negatiboa bada n  errotzailea bakoitia  denean soilik existituko da erro erreal bat.  n errotzailea bikoitia denean, aldiz, zenbaki negatibo baten n-garren erroa ez da zenbaki erreala (ez dago zenbaki errealen barruan definituta).

Zenbaki konplexuen barruan, z zenbaki bakoitzerako zehazki n n-garren erro desberdin aurki daitezke.

Oinarri matematikoak

Berreketarekiko harremana 
n ordenako erroketa eta ordena bereko berreketa elkarren artean baliogabetzen dira. a zenbaki erreal positiboetarako eta n arruntetarako erroaren definizio orokorra hartuz, hau lortzen da: .

Zenbaki baten n ordena jakin bateko erroa, zenbaki hori  alderantzizko berreketarekin berretzearen baliokidea da. Berreketa arauen arabera, .

Beraz, n ordenako erroketa,  berretzailearen  berreketa adierazteko beste modutzat uler daiteke: .

Zenbaki positiboen erroen singulartasuna 

Zenbaki positiboen erroak aurkitu aurretik aipaturiko problemak, zeinu desberdineko bi ebazpen ditu n bikoitia denean. Hala ere, erroketari aplikaturiko  ikurrak funtzio bat adierazten du eta, beraz, printzipioz emaitza positiborako den balio bakarra itzuli behar du. Adibidez,  ekuazioak +2 eta -2 soluzioak ditu, baina -ri 2 soluzioa esleitzen zaio, eta ez -2 balioa.

Zenbaki negatiboen erroak 

Zenbaki negatiboen erroekin ez da uniformeki lan egiten. Adibidez, 

da, eta hortik lor dezakegu -2 dela zenbaki erreal bakarra zeinen kuboa -8 den. Oro har, berretzaile arrunt bakoitiko zenbaki negatiboen potentziek zenbaki negatiboak emango dituzte.

Zenbaki negatiboen erro bakoitiei dagokienez, erroaren barruan ez da zeinu negatiboa jartzen, zehaztugabetzat jo daitekeelako edo txarto definituta egon daitekeelako. Irizpide hori erabiliz,  ekuazioaren emaitza  bezala adierazi behar da, eta ez  bezala. Horrela idatzita, zenbaki negatiboen erroak onartzen dira errotzailea zenbaki bakoitia bada, (3, 5, 7, ...), non

den. Erroak horrela adierazteak erro positiboetarako baliagarriak diren propietate batzuekiko kontraesanak saihesten ditu. Horren erakusgarri izan daiteke: 

Mugagabetzat jotzen den adierazpenak ere ez du balio formula honekin,
,

zenbaki negatibo baten logaritmoa ez dagoelako definituta (a ezin da negatiboa izan). Zenbaki negatiboen errotzaile bikoitidun erroak ezin dira zenbaki errealak izan, zenbaki horien berretzaile bikoitien berreturak ez baitira inoiz negatiboak. Ez dago x errealik non   betetzen den eta, beraz, zenbaki errealen barruan ezin da   aurkitu. Zenbaki negatiboen erroen beharrak  zenbaki konplexuak sortzea ahalbidetu zuen. Hala ere, zenbaki konplexuen eremuan, zenbaki negatiboen erroek ere murrizketa batzuk dituzte.

Propietateak 

Aurretik aipatutakoagatik, berreketaren propietateak erroketarekin ere betetzen dira. Propietate hauek bete daitezen, erroen errokizuna positiboa izatea eskatzen da.

Biderkadura baten erroa 

Adibidez,  =  = 

Hurrengo erara emaitza bera lortzen da:

Zatidura baten erroa  

Adibidez,  =

Erro baten erroa

Adibidez,

Erro baten berretura 

Adibidez,  m = 3 eta n = 4 badira:
 .

Beste propietate batzuk 

Oinarrizko propietateak erabiliz, beste propietate batzuk lor daitezke. Adibidez, errotzaile desberdinak baina errokizun bera duten erroen biderkadura, errotzaileak biderkatuz eta errotzaileen baturak sortzen duen erroa mantenduz lortzen den propietatea da.

.

Forma sinplifikatuak 
Habiarik gabeko adierazpen erradikal bat (hau da, bere barruan beste erroketarik ez duen erro bat) forma sinplifikatuan dagoela esaten da baldin eta
 Ez du errokizunenan biderkagairik non berretzailea errotzailea baino handiagoa edo berdina den.
 Ez dago zatikirik erro barruan.
 Ez dago erroketarik izendatzailean.

Adibidez,  adierazpen erradikala forma sinplifikatuan idazteko, hurrengo pausoak jarraitu behar dira. Hasteko, karratu perfektuak bilatzen dira erro karratuaren barruan eta kanpora ateratzen dira:

Ondoren, zatiki bat dago erro karratuaren barruan eta honela aldatzen da:

Azkenik, izendatzailearen erroketa honela ezabatzen da:

Erroketen batuketa eta kenketa 

Sinplifikatu ostean errotzaile eta errokizun bera duten erroketei antzeko erroketa deritzegu. Antzeko erroketak batzeko eta kentzeko,  termino guztiek amankomunean duten erroketa ateratzen da biderkagai komun gisa. Antzekoak ez badira, ezin izango dira terminoak batu edota kendu. Adibidez,

Arrazionalizazioa
Adierazpen bat arrazionalizatzea izendatzailearen erroketa ezabatzean datza, hasierako adierazpena adierazpen baliokide batera bihurraraziz.  Kasurik sinpleena izendatzailean  n-garren erro bakarra dagoenean da, non izendatzailea sinplifikatzen den zenbakitzailea eta izendatzailea   adierazpenarekin biderkatuz.

Erroketak dituen izendatzaile bat dagoenean, beti aurki daiteke biderkagai bat izendatzailea eta zenbakitzailea biderkatzeko, eta horrela adierazpena sinplifikatzeko. Adibidez, bi erro kubikoren baturaren faktorizazioa erabiliz:

n-garren erroaren kalkulua

Funtzioen bidez 

Erroaren kalkulu eraginkorra logaritmo eta esponentzial funtzioen bidez egiten da:

non x zenbaki erreal positiboa den.

n-garren erroaren algoritmoa 
A zenbaki baten n-garren erroa Newtonen metodoaren kasu berezia den n-garren erroaren algoritmoa erabiliz kalkula daiteke. Algoritmoa x0 hasierako balioarekin hasten da, eta ondoren  errepikapen-erlazioa erabiliz iteratzen da, nahi den zehaztasuna lortu arte.

Erabileraren arabera, nahikoa izan daiteke soilik Newtonen metodoaren lehen hurbilketa erabiltzea:

Adibidez, 34ren bosgarren erroa aurkitzeko, kontuan izan 25 = 32 dela. Beraz, aurreko formulan x = 2, n = 5 eta y = 2 aukeratuz:

Hurbilketaren errorea %0,03koa baino ez da.

n-garren errorako, Newtonen metodoa alda daiteke zatiki jarraitu orokor bat sortzeko. Hainbat modutan adieraz daiteke hau,esate baterako:

Serie infinituak 
n-garren erroa serie infinitu baten bidez adieraz daiteke:

non
 

den  hasierako balioarekin, biderketa hutsa delako. Serie honek | x | < 1 denean konbergitzen du eta haren adierazpena serie binomialetik dator.

Zenbaki konplexuak 

z zenbaki konplexua bada, modulu eta argumentu bidez (forma polarra) adieraz daiteke:
, non  diren.

Era honetan, forma polarrean,  ekuaziorako behar diren z-ren n-garren erroak formula honen bidez kalkula daitezke: 

Beraz, zenbaki konplexu batek n erro desberdin ditu. Plano konplexuan, jatorrian zentroa duten n aldeko poligono erregular baten erpinetan daude erroak. erro kubikoa eta poligono horren erdigunetik erpinetara dagoen distantzia   da.

Adibidez,

Ariketak

Erreferentziak

Bibliografia 
 Andoni Blanco, Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.

Ikus, gainera

Kanpo estekak 
 

Erroak
Oinarrizko aljebra
Operazio bitarrak