Koaternioi

Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak,  multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau  multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa  espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere  espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta , hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.

Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:

.

Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k.

Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:

Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:

(a1 + b1i + c1j + d1k ).(a2 + b2i + c2j + d2k) =

a1 a2 + a1 b2i + a1c2j + a1 d2k + b1a2i + b1b2ii + b1c2ij + b1d2ik + c1a2j + c1b2ji + c1c2jj + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2kk

Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,

a1 a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1 b2i + b1a2i + c1d2i - d1c2i  + a1c2j + c1a2j - b1d2j + d1b2j + a1 d2k + d1a2k + b1c2k - c1b2k

azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:

(a1 a2 - (b1b2 + c1c2 + d1d2)) 1 + (a1 b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2) i  + (a1c2 + c1a2 - b1d2 + d1b2) j + (a1 d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2) k

Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,

Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:

eta

non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den.

q koaternioiaren norma honela definitzen da:

Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.

Kanpo estekak 

Zenbakiak