Splain

Splain on sile, ühesuguse struktuuriga tükiti polünomiaalne funktsioon, mis liitepunktides rahuldab teatud sileduse tingimusi. Interpolatsiooniprobleemides eelistatakse tihtipeale splain-interpolatsiooni polünomiaalsele interpolatsioonile, kuna see annab sarnaseid tulemusi, isegi kui kasutada madala astme polünoome.

Mõiste "splain" pärineb painduvatest spiraalsetest seadmetest, mida laevaehitajad jajoonestajad kasutavad siledate kujundite saamiseks.

Sissejuhatus 
Mõistet "splain" kasutatakse viitamiseks laiale funktsioonide klassile, mis tegeleb andmete interpoleerimise ja/või silumisega. Andmed võivad olla kas ühe- või mitmemõõtmelised. Splainidega lähendamine on tükiti interpoleerimine ühe ja sama astme polünoomiga.

Splain-funktsioonid on olemuselt piiratud mõõtmed, mis on peamine põhjus nende kasulikkuseks arvutustes ja esitustes. Ülejäänud artiklis on keskendutud täielikult ühemõõtmelistele, polünoomsetele splainidele ja kasutatud terminit "splain" selles piiratud tähenduses.

Definitsioon 
Lihtsaim splain on tükiti polünomiaalne funktsioon, kus igal polünoomil on üks muutuja. Splain  võtab väärtused vahemikust  ja määrab need  reaalarvude hulka:

Kuna  on tükiti määratletud, valime  lõiku vahemikus : 
 
 
 
Kõik need lõigud on seotud polünoomiga ,
 .
-ndas lõigus vahemikus  on  määratletud  abil,
 
 
 
 

Antud  punkti  nimetatakse sõlmedeks. Vektorit  nimetatakse splaini sõlme vektoriks.
Kui sõlmed on ühtlaselt jaotatud vahemikus  siis splaini nimetatakse ühtlaseks, vastasel juhul nimetatakse splaini ebaühtlaseks.

Kui -nda polünoomi tükkidel  on iga aste vähemalt , siis splain on astmega  (või ).

Kui  kehtib  punkti  naabruses, siis on splain sile (vähemalt)  kohal . See tähendab, et kohal  jagavad  ja  ühist tuletisväärtust astmest  (funktsiooni väärtusest) kuni astmeni  (teisisõnu, kahe kõrvuti asetseva polünoomi tükki ühendavad kõige rohkem  sileduse kaotust).

Vektorit  kus splainil on siledus  kohal   nimetatakse splaini sileduse vektoriks.

Näited 
Oletame, et intervall  on  ja alamintervallid on. Oletame, et polünoomi tükid peavad olema astmega  ja tükid vahemikus  ja  peavad ühinema väärtuse ja esimese tuletisega ( korral) samal ajal kui tükid vahemikus  ja  ühinevad lihtsalt väärtusega ( korral). See määrab splaini  tüübi, mille kohaselt

 
 
 
oleks selle tüübi liige ja ka
 
 
 

oleks selle tüübi liige. (Märkus: kuigi polünoomi tükk  ei ole ruutpolünoom, siis tulemust kutsutakse ikka ruutsplainiks. See näitab, et splaini astmeks on polünoom-osade maksimaalne aste.) Sellist tüüpi splaini pikendatud sõlme vektor oleks .

Kõige lihtsam splain on astmega . Seda nimetatakse ka astmeliseks funktsiooniks. Järgmine kõige lihtsam splain on astmega . Seda kutsutakse ka lineaarsplainiks. Kinnine lineaarsplain (st esimene ja viimane sõlm langevad kokku) on lihtsalt hulknurk.

Tavaline splain on naturaalne . astme kuupsplain. Sõna "naturaalne" tähendab, et splaini polünoomi teine tuletis on interpoleerimise intervalli lõpp-punktides võrdne nulliga:

Algoritm kuupsplainide arvutamiseks 
Kuupsplainid on kujul .
Arvestades koordinaatide komplekti soovime leida hulga  splainiga    

Need peavad rahuldama:
 
 
 
 .
Defineerime ühe kuupsplaini  5-ennikuna  kus  ja  vastavad varem näidatud kujule ja  on võrdne parameetriga 

Algoritm kuupsplaini arvutamiseks:
Sisend: koordinaatide hulk , kus 
Väljund: splainide hulk, mis koosneb -ist 5-ennikust. 
 Loo uus massiiv  suurusega  ja iga  korral seadista 
 Loo uued massiivid  ja  mõlemad suurusega .
 Loo uus massiiv  suurusega  ja iga  seadista 
 Loo uus massiiv suurusega  ja iga  seadista .
 Loo uued massiivid  ja  kõik suurusega .
 Seadista 
 Iga 
 .
 .
 .
 Seadista 
 
 
 
 
 Loo uus splainide komplekt ja nimeta see valjund_komplekt. Paiguta sinna  splaini .
 Iga 
 
 
 
 
 
 Väljund valjund_komplekt

Viited

Välislingid 
Teooria
 Kuuplsplain moodul Prof. John H. Mathews California State University, Fullerton
 Interaktiivne sissejuhatus splainidesse, ibiblio.org
Exceli funktsioon
 XLL Excel Addin Funktsioon kuupsplaini rakendamiseks
Võrguteenuste pakkujad
 Online kuupsplain-interpolatsiooni keskkond
 Õppimine simulatsioonide abil Erinevate kuupsplainide interaktiivne simulatsioon
 Sümmeetrilised splaini kõverad, Theodore Gray animatsioon, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 Bezieri ja Splaini Kõverate uurimine, interaktiivne veebirakendus
Arvutikood
 Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab, Holistic Numerical Methods Institute
 mitmesugused rutiinid, NTCC
 Sisl: Opensource C-library for NURBS, SINTEF
 VBA splain-interpolatsioon, vbnumericalmethods.com

Viideteta väidetega artiklid