Laplace'i pöördteisendus

Laplace'i pöördteisendus on integraalteisendus, mis teisendab kompleksmuutuja funktsiooni , kus kompleksarv  (kompleks sagedusdomeen ehk s-domeen), tagasi reaalmuutuja funktsiooniks , kus  (ajadomeen). Kuna Laplace teisendus on üheselt määratav teisendus, siis on võimalik näidata, et selle pöördteisendus on samuti üheselt määratav:

Bromwichi integraal 
Laplace'i pöördteisenduse leidmiseks on mitmeid võimalusi, kus igaühel on omad eelised, aga kõige laialdasema rakendusega on Bromwichi integral (Mellini inverteeritud integral või Fourier-Mellini integral), mis tuletatakse Fourier' teisenduse juba teadaoleva pöördseose vaatlemisel: 

kus  tähistab Laplace'i pöördteisendust ja integreerimine toimub vertikaalsel joonel  komplekstasandil selliselt, et  väärtus oleks suurem (ehk vasakul) kõikidest  pooluste reaalarvulisest osadest.

Praktikas on Laplace'i pöördteisenduse tegemine tüüpiliselt mugavam, kui esmane  funktsioon teha osadeks vastavalt tabelitest leitavatele esitusvormidele ning pöördteisendus kirjutada lihtsalt ümber tabeli vastete järgi (lookup table).

Omadused 
Olgu meil funktsioonid  ja , millel leiduvad vastavad Laplace'i pöördteisendused  ja . Teisenduse

1. Aditiivsus (summa või vahe)

Laplace'i pöördteisendus kahe funktsiooni summast on võrdne nende üksikute funktsioonide Laplace'i pöördteisenduste summaga.

2. Homogeensus (konstandiga korrutamine)

kus  on konstant.

3. Esimene teoreem sageduse nihutamise kohta

4. Teine teoreem sageduse nihutamise kohta

kus  on ühikastme funktsioon.

Kui Laplace' pöördteisenduses esineb  komponent, siis on see võimalik teisenduse lõpus asendada astmefunktsiooniga. Nimelt tehes Laplace' pöördteisenduse selliselt, et ignoreerides  komponenti ja lõpptulemuses  asendada  ning juurde lisada korrutiseks ühiksastme funktsioon, saamegi korrektse Laplace' pöördteisenduse kogu funktsiooni kohta.

Vaata ka 

 Laplace teisendus

Viited

Välislingid 
 Laplace' pöördteisenduse kalkulaator
 Laplace' pöördteisenduse vastete tabel
 Inverse Laplace transform - Wikipedia

Signaalitöötlus
Integraalteisendused