Omaväärtus ja omavektor

Lineaaralgebras maatriksi A omavektor (inglise keeles eigenvector) on mittenull vektor, kus maatriksi  ja vektori korrutis on võrdne skalaari  ja vektori korrutisega. Seda skalaari nimetatakse omaväärtuseks. Omaväärtused on laialdaselt kasutused erinevates valdkondades, näiteks informatsiooniteoorias, ehituses, stereo süsteemides, elektrilises ning mehaanilises inseneerias.

Omaväärtus rahuldab võrrandit , mille saab ümber kirjutada kujule . Kuna omavektor on mittenull, saame leida omaväärtuse lahendades karakteristliku võrrandi . Maatriksi  karakterisliku võrrandi kõikide lahenduste hulka nimetatakse  spektriks. Teisest küljest, kui maatriksil  on  teada, saab leida omavektori lahendades võrrandi .

Mona Lisa illustratsioon annab hea näite. Pildil saab igat punkti kohelda kui vektorit keskpunktist. Näites kasutatakse shear teisendust, kus x-teljest kõrgemaid punkte nihutatakse paremale ning madalamaid vasakule, kusjuures x-telg ise jääb samaks. Suvaline x on omavektor siis ja ainult siis, kui ta on x-teljega kolineaarne, kuna x-telg jääb pärast transformeerimist konstantseks.

Omadused
 Maatriksitel  ja  on võrdsed omaväärtused.
 Ruutmaatriksi A omaväärtuste summa on võrdne A jäljega ning korrutis determinandiga
 Sümmeetrilise maatriksi astak võrdub tema mittenulliliste omaväärtuste arvuga.
 Kui  on maatriksi  omaväärtus, siis  on maatriksi  omaväärtus.
 Olgu  -maatriks,  diagonaalmaatriks, mille peadiagonaalil paiknevad maatriksi  omaväärtused ning  -maatriks, mis koosneb maatriksi  omaväärtustele vastavatest omavektoritest. Kui  on mittesingulaarne, siis on maatriks  avaldatav kujul .

Arvutus
Omaväärtuste arvutamine on teoorias ja praktikas väga erinev. Klassikaliselt leitakse enne omaväärtus ning seejärel omavektorid iga omaväärtuse kohta. On aga leitud, et see viis ei anna häid tulemusi ujukomaarvudega nende ebatäpsuse tõttu.

Omaväärtused
Maatriksi A omaväärtused saab arvutada leides lahendused karakteristlikule võrrandile. See on lihtne  maatriksite korral, aga muutub komplekssemaks maatriksi suuruse kasvades.

Teoorias, karakteristliku võrrandi kordajad saab arvutada täpselt, kuna nad on maatriksi elementide korrutiste summa ja leiduvad algoritmid, mis suudavad leida kõik nullkohad suvalisele polünoomile vajaoleval täpsusel. See lähenemine aga ei anna praktikas täpseid tulemusi, kuna ujukomaarvude kasutamine tekitab ümardusvigu ning nullkohad võivad olla sensitiivsed väikestele muudatustele. Isegi täisarvuliste maatriksite puhul on arvutus mittetriviaalne, kuna summad on väga pikad. Determinandi arvutamiseks on vaja  maatriksil vaja  korrutustehet.

Omavektorid
Kui täpne omaväärtus on teada, saab arvutada vastava omavektori leides lahendused võrrandile Ax = λx, mis on siis võrrandsüsteem teatud kordajatega. Näiteks, kui on teada, et maatriksi

omaväärtus on 6, saame leida omavektorid lahendades võrrandi :

See maatriksite võrrand on ekvivalentne kahele lineaarsele võrrandile:
  ehk  

Mõlemad võrrandid lihtsustuvad . Seega iga vektor , kus  on mingi suvaline reaalarv, on maatriksi A omaväärtusega  omavektor.

Iteratiivne meetod
Arvutitel kasutatakse vastupidist meetodit, kus algul leitakse omavektorid ning seejärel nendele vastavad omaväärtused. Lihtsaim algoritm alustab suvalise vektoriga ning korrutab seda maatriksiga korduvalt. Kui seda piisavalt kaua teha, läheneb see vektor selle maatriksi omavektorile. Sellele ekvivalentselt saab vektorit korrutada maatriksiga , mille tagajärjel läheneb see vektor omavektorile, mis vastab omaväärtusele, mis on lähim arvule .

Kui  on ligikaudne maatriksi  omavektor, siis vastava omaväärtuse saab leida valemiga
 
kus  on maatriksi  kaasmaatriks.

Kasutus
Pilditöötluses on võimalik arvutada omanägu (inglise keeles eigenface), mis on hulk omavektoreid, mis on kasuks näotuvastuses. Need omavektorid on arvutatud tõenäosusjaotuse kovariantsimaatriksist üle kõrgdimensionaalse näopiltide vektorruumi. Omanäod moodustavad ise kõigi kovariantsimaatriksi konstrueerimisel kasutatud piltide baaside hulga. See vähendab dimensiooni, võimaldades esindada algseid treeningkujutisi väiksemate aluspilte baaside hulgana. Klassifikatsiooni saab sel juhul teha baaside hulkade peal.

Google'i PageRanki algoritm kasutab omaväärtusi ja omavektoreid, et arvutada võtmesõnale vastava lehekülje tõenäosust.

Viited