Z-teisendus

Z-teisendus on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline.

Definitsioon
On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: kahepoolne ja ühepoolne Z-teisendus.

Kahepoolne Z-teisendus 
Diskreetse-ajalise signaali  kahepoolse Z-teisenduse  valem on defineeritud selliselt:

kus  on täisarv ja  on üldjuhul kompleksarv:
,
kus  on  kompleksarvu absoluutväärtus,  on imaginaarühik ning  on kompleksarvu argument radiaanides.

Ühepoolne Z-teisendus 
Juhul, kui  on defineeritud ainult  jaoks, ühepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:

Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks.

Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent  on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust  ning funktsioon  on üldiselt kujutatud nagu  (kus ). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis.

Pöörd-Z-teisendus

Pöörd-Z-teisendus on 

kus C on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et C rada peab ümbritsema kõik  pooluseid.

Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui C on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui  on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele:

Z-teisendus n lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega z väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on z piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht.

Konvergentsipiirkond

Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub.

Näide 1 (ilma konvergentsipiirkonnata)

Olgu x[n] = (0.5)n. Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

Vaadates summa

Järelikult, pole z väärtusi mis rahuldavad seda tingimust.

Näide 2 (põhjuslik (kausaalne) konvergentsipiirkond)

Olgu  (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

Vaadates summa

Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5z−1| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| > 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| > 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud".

Näide 3 (antikausaalne konvergentsipiirkond)

Olgu  (kus u on Heaviside funktsioon).  Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub

Vaadates summa

Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1z| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| < 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| < 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on algpunktis keskendatud ring raadiusega 0.5.

Sellist näidet eelnevast eristab ainult konvergentsipiirkond. See on selleks, et näidata, et ainult teisenduse tulemust ei ole piisav.

Näidete kokkuvõte
Näited 2 ja 3 näitavad, et x[n] Z-teisendus X(z) on unikaalne siis ja ainult siis, kui määratletakse  konvergentsipiirkonda. Poolus-null graafiku loomine kausaalse ja antikausaalse näidete jaoks näitab, et konvergentsipiirkond mõlemal juhul ei sisalda poolust, mis asub 0.5 peal. See laieneb mitme poolustega juhtumitele: konvergentsipiirkonda ei sisalda pooluseid mitte kunagi.

Kausaalne süsteem näites 2 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = ∞ ning kausaalne süsteem näites 3 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = 0.

Mitme poolustega süsteemides on võimalik saada konvergentsipiirkonda, mis ei sisalda mitte |z| = ∞ ega |z| = 0. Konvergentsipiirkond loob ringkujulist ala. Näiteks,

sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 < |z| < 0.75, mis ei sisalda mitte algpunkti ega lõpmatust. Sellist süsteemi nimetatakse segakausaalsuse süsteemiks, sest see sisaldab kausaalse piiri (0.5)nu[n] ja antikausaalse piiri −(0.75)nu[−n−1].

Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|z| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |z| > 0.5 sisaldab ühikringi.

Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane x[n]). Me saame määrata unikaalset x[n] tingimusel, et soovime:
 Stabiilsust
 Kausaalsust

Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees.

Seejärel saab leida unikaalset x[n].

Omadused

Parseval teoreem

Vaata ka
Laplace'i teisendus

Viited

Digitaalne signaalitöötlus
Integraalteisendused