Laplace teisendus

Laplace'i teisendus on funktsiooni integraalteisendus, mis teisendab ajadomeeni funktsiooni  , kus muutuja   Laplace'i sagedusdomeeni funktsiooniks , kus s on kompleksarv ,  on reaalosa ning  imaginaarosa.   Kõnealune teisendus on nimetatud Laplace’i teisenduseks prantsuse matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Pierre-Simon Laplace’i (1749−1827) auks, kes kasutas seda teisendust esmakordselt oma tõenäosusteooria alases töös aastal 1782. 

Laplace'i teisendus on tööriist, mida kasutatakse palju inseneriteaduses. Dünaamilist juhtimissüsteemi, olgu see siis elektriline, mehaaniline, termiline, hüdrauliline jne, saab esitada diferentsiaalvõrrand<iga. Süsteemi diferentsiaalvõrrand tuletatakse süsteemi reguleerivate füüsikaliste seaduste järgi. Süsteemi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi lahendamise hõlbustamiseks teisendatakse võrrand algebralisele kujule. See teisendus tehakse Laplace'i teisendustehnika abil.   Laplace'i pöördteisenduse abil saab teisendada sagedusdomeeni funktsiooni tagasi ajadomeeni funktsiooniks.  Laplace'i teisendust kasutatakse palju juhtimissüsteemides ja robootikas, samuti signaalitöötluses ja elektroonikas.

Definitsioon 
Teisendust kujul

mis seab funktsioonile  vastavusse funktsiooni , nimetatakse funktsiooni  Laplace’i teisenduseks.

Kui eksisteerib lõplik piirväärtus 

,  

siis integraal 

koondub ja funktsioonil on olemas Laplace'i teisendus, vastasel juhul integraal hajub ja funktsioonil ei ole Laplace'i teisendust. 

Oluline on tähele panna, et Laplace'i teisendus on defineeritud ainult  korral.

Tingimused 

Laplace'i teisendus eksisteerib ainult teatud funktsioonide klassil ja sellesse klassi kuuluvaid funktsioone nimetatakse originaalideks. Funktsiooni  nimetatakse originaaliks, kui see rahuldab järgmisi tingimusi:

1. Funktsioon on tükiti pidev lõigus [], kui leidub lõplik jaotus osalõikudeks punktidega ,  nii,
et igas vahemikus () on funktsioon  pidev ja punktid , , on funktsiooni  katkevuspunktideks.
Funktsioon  on tükiti pidev poollõigus [), kui ta on iga  korral tükiti pidev lõigus []. 

2. Funktsioon  on eksponentsiaalse kasvuga  poollõigus [), kui leiduvad konstandid  ja  nii, et iga  korral

.

Omadused 

Allpool on välja toodud mõned Laplace'i teisenduse omadused. 

Olgu meil funktsioonid  ja , millel leiduvad vastavad Laplace'i teisendused  ja . Teisendustele rakenduvad järgmised omadused:

1. Lineaarsus.

;

2. Diferentseerimine.  

3. Integreerimine.

4. Korrutamine. 

 

5. Konvolutsioon.

Põhifunktsioonide teisendus 

Järgnev tabel näitab kõige levinumate funktsioonide Laplace'i teisendusi.

Viited 

Integraalteisendused