Suurima tõepära meetod

Suurima tõepära meetod on statistikas laialt kasutatav meetod hinnangute leidmiseks. Suurima tõepära meetod on üldjuhul efektiivsem kui muud levinud meetodid.

Põhikomponendid 

Olgu antud valim  jaotusest , mis võib olla kas pidev või diskreetne. Tõepärafunktsiooniks nimetame avaldist
 

kus  tähistab jaotuse  tihedusfunktsiooni (pideval juhul) ja  tähistab  tõenäosusfunktsiooni
(diskreetsel juhul), .

Olgu  sõltumatud suurused ja , siis  on valimi  saamise tõenäosus (diskreetsel juhul) või juhusliku vektori  tihedusfunktsiooni
väärtus punktis  (pideval juhul) antud  korral.
Realiseerunud valimi  korral on suurused  teadaolevad arvud ja  on üksnes
parameetri  funktsioon. Eesmärgiks on leida niisugune  väärtus parameeterruumist
, et  oleks maksimaalne. Ütleme, et vastav  väärtus on kõige tõepärasem vaadeldava valimi
jaoks (st ka vastav üldkogumi jaotus on kõige tõepärasem vaadeldava valimi jaoks).

Suurima tõepära printsiip – kõige tõepärasema üldkogumijaotuse määramine antud valimi jaoks.

Väärtust , mida maksimeeritakse parameeterruumis  ( saavutab maksimaalse
väärtuse), nimetatakse parameetri  suurima tõepära hinnanguks:
 

Kui tahta leida suurima tõepära hinnangut praktiliselt, on tihti lihtsam kasutada tõepärafunktsiooni logaritmi. Logaritmi monotoonsuse tõttu saavutavad  ja  maksimumi samas
punktis, st määravad sama suurima tõepära hinnangu.

Logaritmiline tõepärafunktsioon on

Näited 

Näide 1: Mündivise. Üldkogumijaotuseks on mündi visketulemuse (vapp, kiri) jaotus,
kus vapi tulemise tõenäosuseks on  ja kirja tulemise tõenäosuseks . Olgu eelnevalt teada, et  Olgu meil kaks
vaatlust:  = vapp ja  = vapp. Kumb on tõepärasem hinnang parameetrile p, kas  või  Kirjutame välja tõepärafunktsiooni:

 

millest saame, et .

Kuna , siis  on suurima tõepära hinnang -le. 

Näide 2: Olgu üldkogumijaotus eksponentjaotusest  parameetriga  . Jaotusele vastav tihedusfunktsioon on
 

Olgu parameeter  tundmatu. Pole raske näidata, et  on antud jaotuse keskväärtus.
Olgu meil  vaatlust jaotusest:
 

Leiame tõepärafunktsiooni
 

ja logaritmilise tõepärafunktsiooni:
 

Paneme tähele, et tõepärafunktsioonid on  funktsioonid. Mõlemad funktsioonid saavutavad maksimumi
samal kohal, kuna logaritmfunktsioon on monotoonselt kasvav.
Maksimumi leidmiseks leiame tuletise,
 

Tuletise võrdsustamisel nulliga saame logaritmilise tõepärafunktsiooni maksimumpunkti, mis on ühtlasi parameetri 
suurima tõepära hinnanguks, .

Hinnang logistilise regressiooni korral  

Logistilise regressiooni korral avaldub suurima tõepära hinnang järgmiselt:
 
kus  on tõepära hinnang,  on vaadeldav väärtus -l juhul ja  on ennustatud tõenäosus -l juhul.  väärtused tulevad logistilise regressiooni mudelist ja valemist , kus  on log-šansid, mis on määratud vabaliikme ja parameetri väärtuste  poolt. Eesmärk on leida  väärtused, mille tulemusel saadakse  ja  väärtused, mis maksimeerivad -i.

Viited