Kolmnurga võrratus

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.

Teiste sõnadega kolmnurga küljed  ja  on seoses  

Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid  ja  ning nende pikkusi:

Eukleidese geomeetria 

Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades  joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".

Alustatakse kolmnurgaga . Küljele  moodustatakse võrdhaarne kolmnurk  nii, et külg  on külje  pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk , nii et külg . 

Kuid , nii et külgede summa on , mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.

Võrratusest tulenevad valemid

Võrratus teisel kujul 
Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede  ja  vahel järgmised seosed:     

Sellest valemist järeldub

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

Seda saab panna kirja valemina

 mis on sama mis

Kolmnurga võrratuse juhud 
Kui on antud kolm külge  ja , kus  on pikim külg, siis tulenevalt -külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul: 

  
 (summavektor vektorite käsitluses) 
 , kus -külje pikkus on vähesel määral väiksem kui  ja  summa.

Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest

Näide kahel hulknurgal 
Olgu meil hulknurk  ja selle sees kolmnurk . 

Tõestame, et kus  on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

 Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele  ja  
 Saame  ja 
 Liidame võrratused:  ehk 
 Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse 
 Saame  ehk

Kolmnurga võrratus vektorruumis 

Kui on antud normeeritud vektorruum siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite  ja  summavektoriks  nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori  alguspunktist vektori  lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui  ja  pikkuste summa.

Meetriline ruum 
Olgu  mitte tühi meetriline ruum ning  funktsioon üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on: 

 

Igale paarile  on vastavusse seatud reaalarv mis on  ja  vaheline kaugus: (absoluutväärtus või moodul arvude   ja  vahest).   

Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist.  

 korral:  

(M1)   

(M2) kui    

(M3)   

(M4)

Tagurpidi kolmnurga võrratus 
Tuletame meetrilise ruumi eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust.  

 korral:   

   

Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude M3 ja M4 abil:   

   

ja sellest tuleneb   

   

ning  saame   

mis on tagurpidi kolmnurga võrratus.  

Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju kus  ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine:  

mis tähendabki seda, et  

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et  :

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

Vaata ka 
Kolmnurk
Meetriline ruum
Vektorruum

Viited