Riemanni meetrika

Riemanni meetrika (inglise keeles Riemannian metric) on diferentsiaalgeomeetrias teatav sümmeetriline tensorväli.

Sümmeetrilisi (2,0)-tensorvälju (ehk bilineaarvormivälju) võib üksühese vastavuse põhjal käsitleda ka ruutvormiväljadena. Kui niisuguse välja ruutvorm on igas punktis positiivselt määratud, siis nimetatakse seda välja Riemanni meetrikaks (Bernhard Riemanni järgi).

Ajalugu
Riemann üldistas Carl Friedrich Gaussi antud pinna sisegeomeetria mõistet ja seadis 1854. aastal Göttingeni Ülikoolis professorite ees (üks neist oli Gauss) peetud geomeetria alushüpoteese käsitlevas ettekandes sellise sümmeetrilise tensorvälja n-mõõtmelise kõverruumi geomeetria (Riemanni geomeetria) aluseks. Trükis ilmusid selle loengu materjalid alles pärast tema surma 1868. aastal.

Määratlus
Mis tahes meetrilise tensoriga on seotud ruutvorm, mis on määratletud igas puutujaruumis järgmise avaldisega: 

Kui  on positiivne kõigi nullist erineva  väärtuste puhul, siis on meetrika m-is positiivselt määratud. Kui meetrika on positiivselt määratud iga m ∈ M juures, siis g-d nimetatakse Riemanni meetrikaks. Üldistatud juhtudel, kui ruutvormid   omavad püsivat signatuuri, mis ei sõltu m-st, siis g-d nimetatakse pseudo-Riemanni meetrikaks.

Riemanni meetrika erijuhud
Riemanni meetrika erijuhud on pinna esimene ruutvorm ja vektorite skalaarkorrutis eukleidilises ruumis En.

Vaata ka
Pseudo-Riemanni meetrika

Viited

Riemanni geomeetria
Meetrilised tensorid
Bernhard Riemann