Üldistatud lineaarne mudel

Üldistatud lineaarne mudel (inglise keeles generalized linear model, lühend GLM) on analüüsimeetod statistikas, mis võimaldab mingit uuritavat tunnust  prognoosida teiste, sõltumatute tunnuste  abil, kusjuures erinevalt lineaarregressioonist võimaldab üldistatud lineaarne mudel sobitada lineaarse mudeli ka mittelineaarse seose peale. GLM sobitab lineaarse mudeli uuritavale seosele seosefunktsiooni abil.

Olemus 
Lihtne lineaarregressioon hindab uuritava tunnuse  väärtust, kui see on lineaarkombinatsioon sõltumatu tunnuse  väärtustest (vaadeldud väärtused). Sellisel juhul  allub normaaljaotusele. Olgu meil näiteks lihtne lineaarne mudel, mis hindab õhutemperatuuri põhjal rannas olevate inimeste arvu. Iga 10 °C muutus õhutemperatuuris toob kaasa 1000-pealise muutuse rannasviibijate arvus. Kui on rand, kus inimesi on alguses 50, siis 10 °C languse korral annaks selline lineaarne mudel rannasviibijate arvu hinnanguks võimatu –950 inimest.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab kahte tunnust omavahel siduda nii, et uuritav tunnus  allub mingisugusele juhuslikule jaotusele, mis ei pea olema normaaljaotus. Meie näite kohaselt tähendaks see, et õhutemperatuuri  muutudes rannasviibijate arv  võib muutuda mittelineaarselt.

Jätkates sama näidet, olgu meil nüüd mingisugune üldistatud lineaarne mudel. 10-kraadise õhutemperatuuri languse korral selline mudel ei anna meile hinnanguks mitte –950 aktiivset rannasviibijat, vaid esialgsest 50 inimesest poole vähem ehk 25 rannasviibijat. Samas esialgse temperatuuriga võrreldes 10-kraadise tõusu korral oleks rannas jällegi 1000 inimest rohkem. On näha, et  konstantse muutuse korral  muutub mittelineaarselt. Selles konkreetses näites  allub Poissoni jaotusele.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab sellist mittelineaarset seost esitada lineaarsel kujul, teisisõnu  oleks justkui lineaarne. Sellist teisendamist üldistatud lineaarses mudelis võimaldab mudelis kasutatav seosefunktisoon (sellest täpsemalt allpool).

Ülevaade 
Üldistatud lineaarne mudel eeldab, et uuritav tunnus  allub mingisugusele jaotusele, mis kuulub eksponentjaotuste perre (nt normaaljaotus, eksponentjaotus, Bernoulli jaotus, Poissoni jaotus). Sellise jaotuse keskväärtus  sõltub sõltumatu tunnuse  väärtustest.

, kus:

  on  keskväärtus  korral;
  on seosefunktsioon;
  on lineaarkombinatsioon tundmatutest parameetritest .

GLM-i eesmärk on hinnata suurust  ehk keskväärtust. Parameetri  hindamiseks kasutatakse üldiselt suurima tõepära meetodit, kvaasitõepära või Bayesi meetodeid.

Mudeli komponendid 
Üldistatud lineaarne mudel koosneb kolmest komponendist.

 Juhuslik komponent (random component). Määrab uuritava tunnuse () jaotuse, kui  sõltub -st (tähistatakse kui ). See jaotus kuulub eksponentsjaotuste perre.  jaotuse keskväärtus on , mille hindamine ongi mudeli eesmärk.
 Süsteemne komponent (systematic component). Määrab mudeli sõltumatute tunnuste  hulga, kasutades selleks lineaarkombinatsiooni .
 Seosefunktsioon (link function). Seosefunktsioon  on funktsioon, mis seob juhusliku ja süsteemse komponendi, täpsemini  keskväärtuse  ja , moodustades seeläbi lineaarfunktsiooni: .

Seosefunktsioon 
Sõltuvalt uuritavate andmete olemusest, on valida mitme seosefunktsiooni vahel.

Vaata ka 

 Üldistatud aditiivne mudel
 Regressioonanalüüs

Viited 

Regressioonanalüüs