Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus

Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus on matemaatilise analüüsi ja täpsemalt diferentsiaal- ja integraalarvutuse alaliik, mis tegeleb erinevate viiside uurimisega, kuidas defineerida diferentsiaaloperaatori D ja integraaloperaatori J reaalarvulisi või kompleksarvulisi astmeid ning analüüsi arendamisega, mis üldistaks klassikalist matemaatilist analüüsi.

Käesolevas kontekstis kasutatakse terminit aste viitamaks korduvale lineaaroperaatori D rakendamisele funktsioonile f. Täpsemalt nii: .

Näiteks võib küsida, mis on mõistlik tõlgendus

jaoks, kuivõrd peaks tegu olema ruutjuure analoogiga diferentsiaaloperaatori jaoks. Sellise operaatori näol on tegu lineaaroperaatoriga, mida tuleb rakendada kaks korda, et saavutada efekt, mis on tavalisel diferentseerimisel. Üldisemalt võib vaadelda küsimust, kuidas defineerida 

mistahes reaalarvu a korral nii, et kui a on täisarvulise väärtusega n ∈ ℤ, langeb definitsioon kokku klassikalise n-järku diferentseerimisega.

Selliste üldistuste sissetoomise ja arendamise üks motivatsioon on asjaolu, et operaatori D astmete hulk on {| a ∈ ℝ} puhul pidev poolrühm, millest klassikaline diskreetne n-ide poolrühm {| n ∈ ℤ} korral on esimese alamhulk. Kuna pidevate poolrühmade kohta on välja arendatud korralik teooria, saab seda kasutada ka antud kontekstis.

Murrulised diferentsiaalvõrrandid, mida on ka ebatavalisteks diferentsiaalvõrranditeks nimetatud, on diferentsiaalvõrrandite üldistus murrulise matemaatilise analüüsi rakendamise kaudu.

Ajaloost
Rakendusmatemaatikas ja matemaatilises analüüsis on murruline tuletis suvalist järku tuletis, kusjuures järk võib olla reaal- või kompleksarvuline. Selline kontseptsioon nägi ilmavalgust kirjas, mille kirjutas Gottfried Wilhelm Leibniz Guillaume de l'Hôpitalile 1695. aastal. Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus toodi esmakordselt välja ühes Niels Henrik Abeli varases artiklis, kus kõik vajaminevad komponendid on olemas: idee murrulist järku diferentseerimisest ja integreerimisest; nendevahelisest suhtest, mis on teineteise pöördtehe; mõistmine, et murrulist järku diferentseerimine ja integreerimine on sisuliselt samade klassikaliste operatsioonide üldistus; ning isegi üldistatud tähistusviis suvalise reaalarvulist järku operaatori jaoks.
Sõltumatult rajas kõnealuse valdkonna aluseid ka Joseph Liouville'i 1832. aasta artikkel.
Autodidakt Oliver Heaviside tõi esmakordselt välja murruliste diferentsiaaloperaatorite praktilise kasutusvõimaluse elektri ülekandeliinide analüüsimiseks umbes 1890. aastal. Murrulise analüüsi teooria ja rakendused laienesid 19. ja 20. sajandil märkimisväärselt ning mitmed autorid on andnud murruliste tuletiste ja integraalide definitsioone.

Murrulise tuletise olemus

a-ndat järku tuletis funktsioonist f(x) punktis x on lokaalne omadus vaid juhul, kui a on täisarv; see ei ole nii mitte-täisarvuliste astmetega tuletiste puhul. Teisisõnu, mitte-täisarvuline murruline tuletis f(x) punktis x=a sõltub kõigist f väärtustest, isegi neist, mis on punktist a kaugel. Seega võib eeldada, et murrulise tuletise võtmise operatsioon hõlmab endast mingisuguste ääretingimuste seadmist, mis sisaldab informatsiooni funktsiooni kohta kaugemal.

a-ndat järku murruline tuletis on sageli defineeritud Fourier või Mellini integraalteisenduse kaudu.

Heuristika
Loomulik on küsida, kas leidub lineaaroperaator H, nn pooltuletis nii, et

Osutub, et on olemas selline operaator, ning iga a > 0 jaoks on olemas operaator P nii, et

või teisiti öeldes,  definitsiooni saab üldistada kõigile n reaalarvulistele väärtustele.

Olgu f(x) defineeritud x > 0 korral. Koostame määratud integraali nullist x-ni. Nimetame selle

Protsessi korrates saame

ning seda võib üldistada edasi.

Cauchy valem kordseks integreerimiseks, täpsemalt

viib otse üldistuse juurde reaalarvuliste n jaoks.

Gammafunktsiooni kasutamine, et minna mööda faktoriaali funktsiooni diskreetsest iseloomust, annab meile loomuliku kandidaadi murrulise integraaloperaatori rakenduseks.

See on hästi defineeritud operaator.

Siit on otseselt nähtuv, et operaator J rahuldab

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Tõestus
|-
|

kus viimase sammu juures vahetati integreerimise järjekord ja eraldati f(s) tegur t integreerimisest. Vahetades muutuja nii, et selleks on r, mis on defineeritud t=s+(x-s)r,

Sisemine integraal on beetafunktsioon, mis rahuldab järgmist tingimust:

Asendades tagasi võrrandisse

Vahetades α ja β nähtub, et ei ole oluline, mis järjekorras operaatorit J rakendatakse ning see lõpetab tõestuse.
|}

Seda suhet nimetatakse murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite poolrühma omaduseks. Kahjuks on samaväärne protseduur diferentsiaaloperaatori D jaoks märkimisväärselt keerulisem, kuid on võimalik näidata, et D ei ole üldiselt kommutatiivne ega aditiivne.

Lihtsa astmefunktsiooni murruline tuletis

Olgu f(x) tegur kujul

Esimest järku tuletis on

Seda korrates saame üldisema tulemuse

Mis peale faktoriaalide asendamist gammafunktsiooniga viib avaldiseni

k=1 ja  jaoks saame pooltuletise funktsioonist x kui

Näitamaks, et see on tõepoolest pooltuletis (kus ), kordame protseduuri ja saame:

(sest  ja Γ(1)=1) mis on tõepoolest oodatud tulemus, kui

Negatiivse täisarvulise astme k korral ei ole gammafunktsioon defineeritud ning tuleb kasutada järgnevat seost:

Ülaltoodud diferentsiaaloperaatori üldistus ei pea olema piiratud reaalarvuliste astmetega. Näiteks (1 + i) järku tuletis võetuna (1 − i) järku tuletisest annab tulemuseks teist järku tuletise. Muutujale a negatiivsete väärtuste andmine annab tulemuseks integraalid.

Üldise funktsiooni f(x) ja 0 < α < 1 jaoks, on täielik murruline tuletis

Suvalise α jaoks, kuna gammafunktsioon ei ole defineeritud argumentide jaoks, mille reaalosa on negatiivne täisarv ning mille imaginaarosa on null, on vajalik rakendada murrulist tuletist peale täisarvulise tuletise rakendamist. Näiteks

Laplace'i teisendus

Võime jõuda murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite küsimuseni ka Laplace'i teisenduse kaudu. Teades, et

ja

jne, seega väidame

.

Näiteks

nagu oligi oodata. Tõepoolest, kasutades konvolutsioonireeglit

ning selguse mõttes kirjutame  ja saame

mis on sama, mille saime eelnevalt Cauchy abil.

Laplace'i teisendused "töötavad" suhteliselt väheste funktsioonidega, aga nad on sageli kasulikud murruliste diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Murrulised integraalid

Riemanni-Liouville'i murruline integraal
Murrulise analüüsi klassikaline vorm algab Riemanni-Liouville'i integraaliga, mida sisuliselt kirjeldati ka ülal. Riemanni-Liouville'i integraal esineb kahes vormis – ülemine ja alumine. Vaadeldes vahemikku [a,b], on need integraalid defineeritud nii

Kus ülemine kehtib t>a korral ja alumine kehtib t<b korral.

Vastupidi algab Grünwaldi-Letnikovi tuletis hoopis tuletisest, mitte integraalist.

Hadamardi murruline integraal
Hadamardi murrulist integraali tutvustas Jacques Hadamard ning see on antud järgnevalt

Atangana-Baleanu murruline integraal

Kasutades üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni, pakkusid Atangana ja Baleanu välja uue formuleeringu mittelokaalse ja mittesingulaarse tuumaga murrulise tuletise jaoks. Integraal on defineeritud nii

 

kus AB(α) on funktsiooni normaliseerimine nii, et AB(0)=AB(1)=1.

Murrulised tuletised
Erinevalt klassikalistest Newtoni tuletistest defineeritakse murruline tuletis murrulise integraali kaudu.

Riemanni-Liouville'i murruline tuletis
Vastav tuletis arvutatakse, kasutades Langrange'i reeglit diferentsiaaloperaatorite kohta. Arvutades n-dat järku tuletist integraalist järguga (n − α), saadakse α-ndat järku tuletis. On oluline märkida, et n on vähim täisarv, mis on suurem kui α (st, n=⌈α⌉). Sarnaselt Riemanni-Liouville'i integraalile on ka tuletisel ülemine ja alumine variant.

Caputo murruline tuletis
Veel üks võimalus murrulise tuletise arvutamiseks on Caputo murruline tuletis. Seda tutvustas Michele Caputo oma 1967. aasta artiklis. Erinevalt Riemanni-Liouville'i tuletisest ei ole Caputo definitsiooni abil diferentsiaalvõrrandeid lahendades tarvis defineerida murrulist järku algtingimusi. Caputo definitsiooni illustratsioon, kus taas n=⌈α⌉, on järgnev:

Caputo murrulise tuletise definitsioon:

millel on eelis, et ta on null kui f(t) on konstant ja tema Laplace'i teisendus on väljendatud funktsiooni ja tema tuletise algväärtuste keskväärtustena.

Caputo-Fabrizio murruline tuletis
2015. aasta artiklis esitasid M. Caputo ja M. Fabrizio murrulise tuletise definitsiooni, millel on mittesingulaarne tuum, funktsiooni    jaoks:

kus

Atangana-Baleanu tuletis
Sarnaselt integraalile on ka murruline tuletis, mille puhul kasutatakse üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni tuumana. Autorid tutvustasid kahte versiooni, üks on Atangana-Baleanu tuletis Caputo mõttes (ABC), mis on antud funktsiooni lokaalse tuletise ja Mittagi-Leffleri funktsiooni konvolutsioon. Teine on Atangana-Baleanu tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes (ABR), mis on sellise funktsiooni konvolutsiooni tuletis, mida ei saa diferentseerida üldistatud Mittag-Leffleri funktsiooni abil. Atangana-Baleanu murruline tuletis Caputo mõttes on defineeritud järgnevalt:

 

Atangana-Baleanu murruline tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes on defineeritud nii:

Rieszi tuletis

kus F tähistab Fourier integraalteisendust.

Veel mõningaid variante
Klassikaliste murruliste tuletiste hulka kuuluvad:
 Grünwaldi-Letnikovi tuletis
 Sonini-Letnikovi tuletis
 Liouville'i tuletis
Caputo tuletis
 Hadamardi tuletis
 Marchaud' tuletis
 Rieszi tuletis
 Milleri-Rossi tuletis
Weyli tuletis
Erdélyi-Koberi tuletis

Uute murruliste tuletiste hulka kuuluvad:
 Coimbra tuletis
Katugampola tuletis
 Hilferi tuletis
 Davidsoni tuletis
 Cheni tuletis
 Caputo-Fabrizio tuletis
 Atangana–Baleanu derivative

Üldistused

Erdélyi-Koberi operaator

Erdélyi-Koberi operaator on Arthur Erdélyi poolt 1940. aastal ja Hermann Koberi poolt samuti 1940. aastal tutvustatud integraaloperaator ning see on antud järgnevalt:

mis üldistab Riemanni-Liouville'i integraaloperaatorit ja Weyli integraali.

Funktsionaalanalüüs
Funktsionaalanalüüsi kontekstis uuritakse ka üldisemaid funktsiooni f(D) kujusid, kui astmefunktsioon, sellega tegeletakse spektraalteoorias. Pseudo-diferentsiaaloperaatorite teooria lubab samuti käsitleda D astmeid. Seal esilekerkivad operaatorid on singulaarsed integraaloperaatorid ning klassikalise teooria kõrgematele järkudele üldistamine kannab Rieszi potentsiaalide nime. Seega on mitu kaasaegset teooriat, mille raames on võimalik rääkida murrulisest matemaatilisest analüüsist.

Rakendused

Murruline massi jäävus
Nagu kirjeldasid Wheatcraft ja Meerschaert (2008), on tarvis kasutada murrulist massi jäävuse võrrandit, et modelleerida vedeliku voolamist, kui kontrollruumala ei ole piisavalt suur võrreldes materjali heterogeensusega või kui voog kontrollruumala sees on mittelineaarne. Viidatud artiklis on massi jäävuse murruline võrrand toodud järgmiselt:

Põhjavee ülesanne
2013–2014 kirjeldasid Atangana et al. mõningaid põhjavee voolamise probleeme kasutades murrulist järku tuletise kontseptsiooni. Nendes töödes üldistatakse klassikalist Darcy seadust, käsitledes veevoolu kui funktsiooni piesomeetrilise samba kõrguse murrulisest tuletisest. Seda üldistust ja massi jäävuse seadust kasutati, et tuletada uus võrrand põhjavee voolamise kirjeldamiseks.

Murruline advektsiooni hajumise võrrand
Kõnealune võrrand on leidnud kasutust, et modelleerida saastunud aine voolamist poorses keskkonnas.

Atangana ja Kilicman laiendasid murrulise advektsiooni hajumise võrrandit. Nende töös üldistati hüdrodünaamilise dispersiooni võrrandit, kasutades varieeruvat järku tuletist. Modifitseeritud võrrand lahendati numbriliselt Crank-Nicolsoni meetodil. Numbriliste simulatsioonide stabiilsus ja koonduvus näitasid, et modifitseeritud võrrand on usaldusväärsem saaste liikumise ennustamiseks, kui varasemad variandid.

Murrulised difusioonivõrrandid
Anomaalseid difusiooniprotsesse keerulistes keskkondades saab edukalt modelleerida murrulist järku difusioonivõrrandite abil. Murrulise difusiooni kirjeldava võrrandi võib kirja panna näiteks nii

Murrulise tuletise laiendus on varieeruvat järku diferentsiaalvõrrand, α ja β viiakse kujule α(x,t) ja β(x,t). Selle rakendusi anomaalse difusiooni modelleerimisel võib leida viidetest.

Sumbuvuse mudelid
Murrulisi tuletisi kasutatakse, et modelleerida viskoelastset sumbuvust teatud tüüpi materjalides, nt polümeerides.

PID kontrollerid
PID kontrollerite üldistamine murruliste järkude kaudu suurendab nende vabadusastet. Uus võrrand, mis seob kontrollmuutuja u(t) mõõdetud veahinnnagu e(t) külge, saab kirjutada

kus α ja β on positiivsed murrulised järgud ja , , ning , kõik mittenegatiivsed, tähistavad koefitsiente vastavalt proportsionaalse, integraaliga, ja tuletisega liikmete jaoks (vahel tähistatud P, I, ja D).

Akustilised lainevõrrandid keerulistes keskkondades
Helilainete levik keerulistes keskkondades, nt bioloogilises koes, viitab sageli laine levikule mõjuvale segajale, mis allub sageduse ja võimsuse suhtele. Sellist nähtust võib kirjeldada, kasutades põhjuslikku lainevõrrandit, mis hõlmab ka murrulist järku tuletist aja järgi:

Vt ka Holm & Näsholm (2011) ja sealsed viited. Sellised mudelid on seotud laialt levinud hüpoteesiga, et korduvad relaksatsiooniprotsessid mõjutavad lainete sumbuvust keerulistes keskkondades. Seda seost on täpsemalt kirjeldanud Näsholm & Holm (2011) ja ülevaateartiklis, ja niisamuti akustilise sumbuvuse artiklis. Vt Holm & Näsholm (2013), kus võrreldakse murrulisi lainevõrrandeid astmefunktsioone kasutava mudeliga. Holmi raamat astmefunktsioonidega kirjeldatavast sumbuvusest käsitleb samuti kõnealust teemat detailselt.

Pandey ja Holm andsid murrulistele diferentsiaalvõrranditele füüsikalise tähenduse, kui tuletasid need füüsikalistest printsiipidest ning tõlgendasid murrulisi järke akustilise keskkonna parameetrite kaudu. Pandey ja Holm tuletasid seismoloogias tuntud Lomnitzi seaduse ja reoloogias tuntud Nuttingi seaduse, kasutades murrulist matemaatilist analüüsi. Nuttingi seadust kasutati modelleerimaks lainete levikut meresetetes, kasutades murrulisi tuletisi.

Murruline Schrödingeri võrrand kvantfüüsikas
Murruline Schrödingeri võrrand, mis on murrulise kvantmehaanika põhivõrrand, omab järgnevat kuju:

kus võrrandi lahendiks on lainefunktsioon kujul ψ(r, t) – kvantmehaaniline tõenäosusamplituud, et osakesel on teatud olekuvektori väärtus r mistahes ajahetkel t, kus ħ on Plancki nurkkonstant. Potentsiaalse energia V(r, t) avaldise täpne kuju sõltub vaadeldavast süsteemist.

 on Laplace'i operaator, ja  on skaalategur, mille füüsikaline dimensioon on , (kus α=2,  osakese jaoks massiga m), ja operaator  on 3-mõõtmeline murruline Rieszi tuletis, mis on defineeritud kui

Indeks α on murrulises Schrödingeri võrrandis Lévy indeksi nime all, 1 < α ≤ 2.

Varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrand
Murrulise Schrödingeri võrrandi üldistus on varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrand, mida on samuti kasutatud kvantnähtuste uurimisel:

kus  on Laplace'i operaator ja operaator  on varieeruva järguga murruline Rieszi tuletis.

Viited

Allikad

Lisalugemiseks

Artikleid murrulise matemaatilise analüüsi ajaloost

Raamatud

Välislingid
Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
MathWorld – Fractional calculus
MathWorld – Fractional derivative
Fractional Calculus at MathPages
Eriala-ajakiri: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998–2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
Eriala-ajakiri: Fractional Differential Equations (FDE)
Eriala-ajakiri: Communications in Fractional Calculus
Eriala-ajakiri: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
www.nasatech.com
Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. 
GigaHedron – Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc. 
s.dugowson.free.fr
History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame
Fractional Calculus Modelling
Introductory Notes on Fractional Calculus
Power Law & Fractional Dynamics
The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable

Matemaatiline analüüs