Archimedese aksioom

Archimedese aksioom ütleb: mis tahes kahe suuruse   korral leidub naturaalarv , mille korral . 

Geomeetriliselt on Archimedese aksioom tõlgendatav nii: kui meil on sirgel kaks lõiku, siis saab neist suuremat ületada, korrates väiksemat piisav arv kordi. 

Järjestatud rühma või järjestatud korpust, milles kehtib Archimedese aksioom, nimetatakse vastavalt arhimeediliseks järjestatud rühmaks või arhimeediliseks järjestatud korpuseks.

Reaalarvude korpuse  puhul võetakse Archimedese aksioomi mõnikord aksioomina. Järjestatud korpuse aksioomidest ja pidevuse aksioomist (järjestatud korpuse igal mittetühjal ülalt tõkestatud alamhulgal on ülemine raja) saab järeldada, et reaalarvud on arhimeediliselt järjestatud.

Kuigi väide on nime saanud Archimedese järgi, sõnastas selle juba Eudoxos oma suurusõpetuses.

Archimedese aksioomi tõestus järjestatud korpuses pidevuse aksioomi põhjal 

Olgu 

Väide: Mis tahes  korral leidub naturaalarv , mille korral .

Vastuväide: Leidub , mille korral  kõigi naturaalarvude  korral.

Vastuväitest järeldub, et  on kõikide naturaalarvude  korral  ülemine tõke. Koos pidevuse aksioomiga järeldub sellest, et eksisteerib vähim ülemine tõke . Kui aga  kõikide naturaalarvude  korral, siis ka  ning siis ka  kõikide naturaalarvude  korral. Ent siis on  ülemiseks tõkkeks ka . Et , siis järelikult  ei ole vähim ülemine tõke, mis on vastuolus  definitsiooniga. Järelikult peab vastuväide olema väär ja väide on tõestatud.

Järeldused Archimedese aksioomist 

Iga arvu  korral leidub  nii, et  ja . Sellest järeldub: iga  korral leidub üheselt määratud arv , mille korral

Seejuures tähistatakse arvu x täisosa  tähisega  või . Samuti eksisteerib üheselt määratud arv , mille korral

;

seda tähistatakse  või . Seetõttu kehtib ka: mis tahes  korral leidub , mille korral  ja seetõttu ka . Matemaatilises analüüsis on see seos kasulik näiteks jada koonduvuse või hajuvuse tõestamisel.

Archimedese aksioomist järeldub ka, et kahe reaalarvu  korral leidub alati ratsionaalarv , mille korral , ning et maturaalarvude hulk korpuses  ei ole ülalt tõkestatud.

Viited 

Geomeetria