Nyquisti-Shannoni teoreem

Nyquisti-Shannoni teoreem on digitaalses signaalitöötluses kasutatav teoreem, mis seob ajaliselt pidevaid ja diskreetseid signaale. Teoreem sätestab, milline peab olema diskreetimissagedus, et digitaalses signaalis oleks olemaks kogu teave piiratud ribalaiusega pideva signaali kohta.

Teoreem on nimetatud Harry Nyquist ja Claude Shannoni järgi, ehkki Vladimir Kotelnikov oli selle juba 1933. aastal avastanud. Iseseisvalt on teoreemi avastanud ka E. T. Whittaker ja teised. Teoreemi võib kohata ka Nyquisti-Shannoni-Kotelnikovi, Whittakeri-Shannoni-Kotelnikovi  ja Whittakeri-Nyquisti-Kotelnikovi-Shannoni' teoreemi nimega.

Sissejuhatus
Diskreetimiseks nimetatakse signaali (näiteks pideva aja või ruumi funktsioon) teisendamist väärtuste jadaks (diskreetse aja või ruumi funktsioon). Shannoni versioon teoreemist väidab:

Kui funktsioon  ei sisalda kõrgemaid sagedusi kui B hertsi, siis on see täielikult määratav punktidega, mille vahe on .

Seega piisavaks signaali rekonstrueerimiseks (pidevsignaaliks tagasi muundamiseks) peab olema diskreetimissagedus suurem kui  ehk , kus  on diskreetimissagedus ja  on signaali kõrgeim sagedus.

Kui diskreetimissagedus oleks aga väiksem, siis signaali rekonstrueerimisel tekiksid Aliase efekti tõttu diskreetmoonutused. Teoreemi praegusaegne tõlgendus on ettevaatlikum, öeldes, et  ei tohi sisaldada sinusoidset komponenti, mis oleks täpselt sagedusega B, või et B'' peab olema oluliselt väiksem kui ½ diskreetimissagedust.

Diskreetmoonutused

Kui  on funktsioon Fourier' teisenduses  :

siis Poissoni liitmisvalemi kohaselt saame asendada  funktsiooniga , mis on piisav, et luua  perioodiline summa. Seega saame:

mis on perioodiline funktsioon ja on võrdväärne Fourier' reaga, mille koefitsient on . Seda funktsiooni tuntakse ka kui diskreetse aja Fourier' teisendust (DTFT).

Kõrval oleval joonisel on näha, et funktsiooni  on nihutatud  võrra ja liidetud. Algse funktsiooni koopiad eristuvad juhul, kui kehtib    ja  on piisavalt suur. Kui aga Nyquisti kriteerium ei ole täidetud, siis külgnevad koopiad kattuvad ja sellisel juhul pole võimalik ühemõtteliselt eristada . Kõik sageduskomponendid, mis on kõrgemad kui , on eristamatud madalamatest sageduskomponentidest, neid kutsutaksegi diskreetmoonutusteks. Kui diskreetimissagedus on eelnevalt määratletud, siis  on tavaliselt juba piiratud kõrgeid sagedusi madalpääsfiltri abil sobivale tasemele..

Kriitiline sagedus
Näitamaks  vajalikkust, vaatleme sinusoidide süsteemi, mis on saadud järgneva valemi järgi, kasutades erinevaid  väärtusi:

Kasutades lugemivõtmissagedust  või lugemitevahelist aega , saame tulemuseks

On näha, et lõpptulemus ei sõltu enam  väärtustest. Seepärast on vaja diskreetimisteoreemis ranget ebavõrdsustingimust.

Viited 

 Digitaalne signaalitöötlus