Philosophy of Mathematics: An Introduction

"Philosophy of Mathematics: An Introduction" on David Bostocki filosoofiline raamat, mis ilmus 2009. aastal Blackwell-Wiley väljaandena.

Kokkuvõte

Peatükk 1. Platon ja Aristoteles

A. Platon: 1. Sokraatiline taust
Sokratesele avaldas muljet, et headuse, ilu ja vooruse ning üksikute vooruste mõisteid ei osata seletada. Sokrates näitas, et ükski pakutud vastustest ei saa olla tõene, ning jõudis järeldusele, et me ei tea, millest me räägime. Ta pidas end teistest targemaks ainult selle poolest, et ta teab, et ei tea ("Sokratese apoloogia" 21b–23b). Teised mõtlejad olid pakkunud oma lahendusi, sageli subjektivistlikke või isegi nihilistlikke. Väideti näiteks, et õiglus on seaduste järgimine ning on seetõttu eri riikides erinev. Kuna seadused on inimeste leiutis, siis ka õiglus on inimeste leiutis. Sama lugu on kogu moraaliga. Küünilisemate järgi pole seetõttu põhjust moraali tõsiselt võtta; kel jõud, sel õigus. (Kallikles Platoni "Gorgiases" (482c–486c), Thrasymachos Platoni "Riigis" (336b–339a), Antiphon, DK 44A). Sokrates ja Platon olid aga veendunud, et moraal peab olema kuidagi objektiivne, kokkulepetest sõltumatu. Aga miks siis on nii raske moraali küsimustes tõde või rahuldavat vaadet leida? Bostocki arvates lähtus Platon sellest, et asi on selles, et selles maailmas pole selgeid näiteid. Tavaliselt antakse sõna (näiteks "punane") tähendus näidetega, aga õige ja väära puhul see pole võimalik. See, mis ühes kontekstis on õige, võib olla teises kontekstis väär. Ja väidetavad näited tekitavad vaidlusi, mille lahendamiseks pole üldtunnustatud protseduure. Aga kuidas me siis nendest sõnadest aru saame ja kuidas arusaamist saab parandada? Bostock arvab, et see tekitaski Platonil huvi matemaatika vastu: ka matemaatikas pole selgeid tajutavaid näiteid näiteks arvude kohta, kuid ometi on matemaatiline teadmine võimalik.

2. Meenutusteooria
Meno 80b–86d 

"Menoni" esimeses pooles on jutt sellest, mis on voorus. Sokrates on mitu Menoni vastust tagasi lükanud ning Menon küsib, kuidas üldse vastust otsida ja õiget vastust ära tunda. Sokrates toob näite matemaatikast, et see lootust tooks. Ta väitis, et tõeline teadmine on "meenutus". Ta kutsus ühe Menoni orjapoisi, kes geomeetriat ei tundnud, ja küsis, kuidas leida antud ruudust poole suurema pindalaga ruutu. Pärast paari vale vastust lahendas Sokrates ülesande, lastes poisil küsimustele vastata. Poiss vastab igale küsimusele õigesti, nagu ta juba teaks. Järeldus on see, et poiss teadis iga vastust arutelus, ja küsimused ainult meenutasid talle seda. Platon muidugi liialdab, sest isegi kui poiss kõiki eeldusi juba teadis, pole alust arvata, et ta ilma Sokratese küsimusteta oleks osanud neist järelduse teha. Aga see polegi tähtis. Keegi pidi ju selle teoreemi esimesena avastama. Ja Platon ei ütle, et poiss ei võtnud teadmist jooniselt, mille Sokrates liiva sisse tegi. Tõepoolest, tõestust võib taibata ka ebatäpselt jooniselt, selle võib üle kanda ka kõigile teistele ruutudele ning me näeme, et see on paratamatu tõde, aga joonis ei saa seda näidata. Platon tahtis kindlasti öelda, et tõestuse õigsusest saadakse aru aprioorselt, "vaimusilmaga". Tõenäoliselt tahab ta ka öelda, et ka eeldusi teatakse aprioorselt. Sel juhul on kogu matemaatika aprioorne. (Tõsi küll, "Riigis" ta enam nii ei arvanud.) Ja kindlasti tahtis ta öelda, et see teadmine peab olema kaasasündinud. Sellest ta järeldab, et hing pidi eksisteerima enne sündi ning on surematu.  
 
Phaidon 72e–77d 

"Phaidon" räägib hinge surematusest. Üks argumentidest selle kasuks tuletab meelde "Menoni" meenutusteooriat, kuid esitab siis teistsuguse argumendi, nimelt mõistetest arusaamise kohta. Sama probleem on õigluse jms mõistetega. Me saame aru võrdsuse mõistest, kuid seda ei saa seletada selles maailmas tajutud näidetega, sest ühemõttelisi näiteid ei ole. Kõik võrdne on ka ebavõrdne, sellepärast nende mõistete erinevus näidetest ei ilmne. Nähtavasti tajuti ühemõttelisi näiteid teises maailmas, kust me mälestuse kaasa võtsime. Sama peaks käima kõigi mõistete kohta, mis on Platoni silmis problemaatilised. Platon ei selgita, mis puudus tajutavatel võrdsuse näidetel on. Ühe tõlgenduse järgi on näiteks tikkudel või kividel alati mingid tajutavad erinevused. Bostock ei pea seda tõenäoliseks, sest tikud võivad olla eristamatud, ja mikroskoopi erinevuste nägemiseks kasutada ei saanud. (Sellest, et kaks tikku on pikkuse poolest eristamatud, piisaks ju võrdsuse näiteks vähemalt pikkuse poolest.) Usutavamaks peab Bostock teist tõlgendust, mille järgi asjad on alati millegi poolest erinevad, vähemalt asukoha poolest. Puhta matemaatika objektidel aga asukohta pole. Näiteks kaks ühte on tõeliselt võrdsed. Ja üldse, matemaatika objektidel ei ole selles maailmas rahuldavaid näiteid. Näiteks aritmeetika räägib täiesti võrdsete jagamatute ühikute kogumitest, aga maailmas neid pole ("Riik" 525d–526a, "Philebos" 56de). Geomeetria räägib täiuslikest ruutudest, ringidest jne, mida piiravad paksuseta jooned, aga selle maailma asjad on parimal juhul nende jämedad lähendused ("Riik" 510d–511a). Nii et matemaatika käib metafoorselt teise maailma kohta. Nii et matemaatikast arusaamist saab seletada ainult juhul, kui postuleerida "kogemus teisest maailmast", mis selle teooria järgi leiab aset enne sündi. Bostock lisab, et meenutus teisest maailmast on enamasti ähmane. Sellepärast enamik inimesi ei oska öelda, mis on headus, õiglus või isegi võrdsus. Me saame neist mõistetest mingil määral aru, sest me oskame neid kasutada, kuid see pole täielik arusaamine, mis võimaldaks neid defineerida. Filosoofi ülesanne on meeltetajule selg pöörata ja endas peidus olev teadmine välja tuua; teisiti pole arusaamine võimalik. Matemaatika näitab, et see on võimalik. Sellepärast on ka eetikas lootust.

3. Platonism matemaatikas 
Platonism tänapäeva matemaatikafilosoofias väidab, et 1) matemaatika räägib reaalsetest objektidest, mis eksisteerivad (metafoorselt) teises maailmas (objektid ei ole meeltega tajutavad, vaid intelligiiblid), ja 2) teadmine nende kohta ei pärine tajust (on aprioorne teadmine). Esimest, ontoloogilist väidet peetakse teise, epistemoloogilise väite järelmiks, kuid ta ei järeldu sellest. Teist võidakse pidada esimese järelmiks, kuid ka siin pole järeldumist. Platonismi keskne probleem on see, kuidas neid kahte väidet omavahel lepitada. Kui objektid on teises maailmas, kuidas me siis nende kohta nii palju teame ja saame üha rohkem teada. "Aprioorne teadmine" on sellise teadmise nimi, mitte seletus. Platon pakub seletuseks meenutuse. See teooria pole kunagi olnud veenev, nii sellepärast, et see võtab kahte maailma sõna-sõnalt, kui ka sellepärast, et meil pole mingit ettekujutust sellest, mis tunne on teises maailmas olevat matemaatilist objekti kogeda. Teised filosoofid pole seda teooriat toetanud, kuigi näiteks René Descartesi kaasasündinud ideede teooria on sarnane. Ka Platon ise ütles nähtavasti sellest lahti, vähemalt ei maini ta seda "Riigis" ega "Theaitetoses", ja ka Aristoteles ei maini seda. Teistsugust seletust matemaatilise teadmise võimalikkuse kohta Platon ei andnud.

4. Tagasivõtmised: jagatud joon "Riigi" VI peatükis (509d–511e)
Platoni vaated matemaatika loomuse kohta muutusid. "Riigi" VI raamatus läheb jutt ideedeõpetusele. Sellest oli esimest korda juttu "Phaidonis": sünnieelses elus me kohtasime ideid, millest meil on ähmane mälestus. Ideed on ühest küljest omadused, mis on ühised paljudele tajutavatele asjadele, mille kohta öeldakse, et nad osalevad nendes (või saavad nendest osa); teisest küljest on ideed nende omaduste täiuslikud näidised, mida tajutavad asjad ebatäiuslikult meenutavad. Näiteks ilu idees osalevad kõik ilusad asjad, ja ise on ta ülimalt ilus ja kõik teised ilusad asjad jäljendavad teda, on aga vähem ilusad. Nüüd vastandatakse nähtavaid ja intelligiibleid asju, ning esimesed on viimaste kujutised või jäljendused. Aga samasugune suhe on ka kummaski vallas, näiteks mõned nähtavad asjad on teiste kujutised (varjud või peegeldused). Seda kujutab joon, mis on jagatud kaheks ebavõrdseks osaks, ja kumbki osa on jagatud samas proportsioonis:

Nähtav - Intelligiibel = (A - B) - (C - D) = (Kujutised - Originaalid) - (Matemaatika - Dialektika) = (Kujutised - Originaalid)  

A : B = C : D = (A + B) : (C : D). A + B ja C + D kujutavad vastavalt nähtavaid ja intelligiibleid objekte. Tundub, et A ja B kujutavad mõlemad objekte (varje ja peegeldusi ning materiaalseid objekte, mis neid põhjustavad). Aga tundub, et C ja D puhul on vastandatud hoopis uurimismeetodid (matemaatika meetod ja dialektika). Esimene tõlgendus eeldab, et Platon peab kogu aeg silmas objekte, nii et C ja D eristuse taga tuleb otsida objektide erinevust. Teine tõlgendus eeldab, et Platon peab kogu aeg silmas meetodeid, nii et A ja B eristuse taga tuleb otsida meetodite erinevust.

Esimese tõlgenduse parim versioon tundub olevat see, mis toetub Aristotelesele (näiteks Anders Wedberg, "Plato's Philosophy of Mathematics"; Miles Burnyeat, "Plato on Why Mathematics is Good for the Soul"). Aristoteles ütleb, et Aristoteles eristas päris ideid ja matemaatika objekte. Mõlemad on intelligiiblid, aga vahe on selles, et päris idee on ainult üks (näiteks ringikujulisuse idee), aga matemaatikas on tarvis igast ideest palju täiuslikke näiteid (näiteks mitut täiuslikku ringi). Matemaatika objektid on seega päris ideede ja meeltega tajutavate asjade vahepealsed (Aristoteles, "Metafüüsika 1", 987b14–18). Siis on mõistlik eeldada, et C kujutab vahepealseid objekte ja D päris vorme. Pole aga selge, kas Platonile saab siin selle vaate omistada: Bostocki arvates pole tõenäoline, et Platon oli "Riigi" kirjutamise ajal selleni jõudnud, sest "Riigis" pole sellele ühtki vihjet. Ta räägib näiteks "ruudust endast" ainsuses. Ja 597c–d on selles asjas segadus, millest Platon tõenäoliselt hiljem aru sai, sest dialoogis "Parmenides" teeb ta sellest vastuvõetamatuid järeldusi, näiteks "kolmas inimene" (132a). Sellepärast Bostock on esimese tõlgenduse suhtes skeptiline. 

Teine tõlgendus on järgmine. A. Tavaliste nähtavate objektide uurimine varjude, peegelduste jt kujutiste kaudu. B. Nende otsene uurimine tavalisel moel. C. Intelligiiblite ideede kaudne uurimine nähtavate kujutiste (näiteks geomeetriliste jooniste) abil. See on matemaatika meetod. D. Nende otsene uurimine ainult puhta mõistuse abil. See on dialektika (filosoofia) meetod. Siin ei ole tarvis eeldada, et Platon tahab matemaatika ja dialektika objekte ontoloogiliselt eristada. Jääb võimalus, et dialektika meetodit saab rakendada ka matemaatilistele ideedele ja ümberpöördult. On ka vihjeid, et Platon nii mõtlebki. Matemaatilist meetodit iseloomustab ta nähtavate jooniste kasutamisega kõigile ilmsetest, õigustamist mittevajavatest "hüpoteesidest" dedutseerimisega. Ta ütleb ka, et üks neist tunnustest tingib teise. Paistab, et ta ütleb 510b, et nähtavate kujundite kasutamine nõuab hüpoteese, ja paistab, et 511a ütleb ta ümberpöördut. Seda, et viimane on Platoni seisukoht, peab Bostock tõenäolisemaks. Seda selgitatakse tavaliselt nii, et neid "hüpoteese" peetaksegi sellepärast ilmseteks, et nende ilmsus tundub nähtavatelt joonistelt ilmne olevat (vihjeks peetakse kohta 511a). Pole selgelt öeldud, milles need hüpoteesid seisnevad (510c on vihje), kuid on ilmne, et need on tõestuste eeldused ning Platon on taibanud, et sellised eeldused peavad olema. Pole selge, mis seisus matemaatika Platoni ajal oli, nii et ei saa öelda, milliseid hüpoteese Platon silmas pidas. Bostock peab võimalikuks, et Platon pidas silmas peamiselt või ainult definitsioone (võib-olla sellepärast mainitaksegi ainult mõisteid). Igatahes on Platon taibanud, et tõestustel peavad olema lähtekohad, mida matemaatikas endas ei õigustata. Sellepärast ei saa öelda, et lähtekohti ranges mõttes teatakse, nii et ei teata ka seda, mis on nendest dedutseeritud. "Menonis" peeti matemaatikat kindlasti teadmiseks, "Riigis" aga enam mitte. Kohas 511d vihjatakse, et matemaatika hüpoteesidele võiks rakendada dialektilist meetodit, ja siis need pole pelgad hüpoteesid ja matemaatikast võib saada tõeline teadmine. Teistpidi, midagi matemaatika meetodi sarnast (hüpoteeside aktsepteerimist ilma õigustuseta) saab rakendada paljudes valdkondades, sealhulgas moraaliideede loomuse uurimisel. "Menon" 86e–87c püüabki seda teha vooruse uurimisel (kuigi see ei õnnestu: "Menon" 86e–99c) ja "Riik" 437a viitab õigluse uurimisel õigustamata "hüpoteesile". Matemaatika algab Platonil hüpoteeside eeldamisest ja liigub deduktsiooni abil "allapoole", dialektika (filosoofia) aga liigub algsetelt hüpoteesidelt "ülespoole", otsides nende aluseid (kui need on tõesed, kuni on näidatud, et need järelduvad "mittehüpoteetilisest algprintsiibist". Pole lihtne öelda, kuidas dialektiline meetod töötab (Richard Robinson, "Plato's Earlier Dialectic"; Bostock, Plato's Phaedo, ptk 8.).
 
"Riigis" näeb Platon filosoofikandidaadile ette pika ja vaevalise matemaatilise koolituse, sest matemaatika oöörab vaimusilma materiaalsetelt asjadelt "kõrgemale". Võib ka olla, et ta leidis, et filosoofi "teekond ülespoole" algab matemaatika hüpoteesidest. (VII raamatus on juttu viiest matemaatika vallast, mida kõiki tuleb uurida, et taibata nende sugulust (531d). Võib-olla on asi selles, et taibata, et eri valdkondade alghüpoteesid on ühe üldisema tõe juhtumid.)

B. Aristoteles. 5. Üldine positsioon 
Aristoteles lükkab Platoni teooria matemaatika loomusest tagasi (Metafüüsika 13.3; Füüsika II.2, 193b22–194a12; De anima III.7, 43lb12–17; Metafüüsika 11.3, 1061a28–b4.) Platon eksis, kui ta lahutas teadmise objektid tavalistest selle maailma objektidest. Selles oli tal küll õigus, et on olemas ideed (vormid), ning teadmine käib nende kohta, kuid need ei eksisteeri eraldi oma näidetest selle maailmaga. Näiteks inimese idee (vorm) on ainult tegelikes inimestes. Ei ole kahte maailma, vaid ainult üks maailm, ja matemaatika käib selle maailma kohta. Kui räägitakse näiteks ringi omadustest, siis on väga üldises ja abstraktses keeles jutt kõigi tavaliste ringikujuliste objektide ühistest omadustest, mis neil on ringikujulisuse tõttu. Geomeetrias ei mõelda kujundeid asjadena, millel oleks temperatuur või mõni muu füüsiline omadus. See tuleb sellest, et jutt on ainult geomeetrilistest omadustest. Teisi omadusi ignoreeritakse, sest need ei puutu asjasse. Nähtavasti on Aristotelese järgi ka aritmeetika puhul nii. Kuigi tundub, et me tegeleme arvudega kui eriliste objektidega, millel pole ühtegi sellist omadust nagu tavalistel meeltega tajutavatel objektidel, tegeldakse tegelikult üldisel ja abstraktsel moel "kehastunud arvudega", näiteks lehmade arvuga karjamaal. (Bostock, "Aristotle's Philosophy of Mathematics", The Oxford Handbook on Aristotle.) Võrreldes Platoniga tundub see nagu sõõm värsket õhku. Meie teadmine sellistest tõdedest on tavaline empiiriline teadmine, mis põhineb tajul suuresti samamoodi nagu muugi teaduslik teadmine. Kui juba erilisi objekte pole, siis pole ka tarvis erilist aprioorse teadmise võimet. 

Kuigi palju argumente Aristoteles ei esita. Ta esitab küll sageli vastuväiteid ideedeõpetusele üldiselt, aga see pole piisav, sest Platon hakkas matemaatika objekte eristama ideedest enestest. Kui ka ideid Platoni moodi ei ole, võivad eraldi matemaatilised objektid sellegipoolest olla, sest need on lihtsalt täiuslikud näited. Ja võib-olla matemaatika ikkagi vajab täiuslikke näiteid, mis on olemas lahus selle maailma ebatäiuslikest näidetest. Sellest räägib Aristoteles ainult "Metafüüsika" 13. raamatu 2. peatükis, ja tema argumendid ei ole veenvad. Kohtades 1076b11–39 ja 1076b39–1077al4 esitab Aristoteles kaks põhilist argumenti selle kasuks, et kui me peame eeldama nende vahepealsete objektide olemasolu, siis me peame ka eeldama paljude teiste vahepealsete objektide olemasolu, see aga tähendaks uskumatut ja tarbetut entiteetide kahekordistamist. Aga ta ei ütle, miks Platonil neid vahepealseid objekte tarvis oli, ega esita vastuväiteid tema põhjenditele. Tavaliselt seletatakse asja nii, et Platon lähtus sellest, et matemaatika räägib täiuslikest näidetest, ning järeldas matemaatika tõesusest, et täiuslikud näited peavad olemas olema. Ent meeltega tajutavad näited ei ole täiuslikud, järelikult peavad kuskil olema mittetajutavad näited, mis on kättesaadavad ainult arule, mitte tajule. Oletame, et see ongi Platoni argument. Sel juhul on Aristotelese vastuargumentide põhiline nõrkus see, et need ei ütle, mis Platoni argumentidel viga on. Bostock otsib nüüd, mida saaks Aristotelese eest öelda.

6. Idealisatsioonid
Pole kindel, kas Aristoteles nõustus Platoni eeldusega, et selles maailmas ei saa olla täiuslikke näiteid. ("Metafüüsika" 2. raamatus 997b35–998a6 ta ütleb, et meeltega tajutavad jooned ei ole kunagi täiuslikult sirged ega täiuslikult ringikujulised, kuid seal pole alust arvata, et ta ise seda väidet toetab. Raamatus "De anima" I.1 403a12–16 ta paistab väitvat, et materiaalne sirge äär puutubki materiaalset kerapinda täpselt ühes punktis, kuid Bostock on umbusklik selle autentsuse suhtes, sest jääb arusaamatuks, milleks seda seal öelda (Bostock, "Aristotle's Philosophy of Mathematics", The Oxford Handbook on Aristotle.). Ta oleks pidanud selle eeldusega geomeetria puhul nõustuma, geomeetria puhul mitte.  

Aritmeetika

Gottlob Frege õpetuse valguses on selge, et Platon eksis, arvates, et aritmeetika toob sisse idealisatsioone. Eksitus tuleb eeldusest, et kui arve meeltega tajutavatele objektidele rakendatakse, siis öeldakse, et objektil endal on mingi arv. Frege järgi aga väidab "arvuväide" midagi mõiste kohta, mitte objekti kohta: ütleb, mitu objekti selle mõiste alla käib. (Alternatiivse vaate järgi käivad arvud füüsiliste objektide hulkade kohta ning ütlevad, mitu elementi hulgas on.) Enamasti saab seda täiesti üheselt öelda ja sellises arvu rakenduses pole midagi "ebatäiuslikku". Võib öelda, et "ühikuteks" on lehmad karjamaal, ilma et lehm peaks olema jagamatu ja lehmad peaksid omavahel võrdsed olema. Ja loendada saab ka mõne teise mõiste ja ühikuga, näiteks lehmade paar või lehmakilo. Aristoteles sai sellest aru. Ta võrdleb loendamist sageli mõõtmisega: mõlemal juhul valitakse miski ühikuks ja käsitletakse seda jagamatuna. (Metafüüsika 14.2, 1088a8–9; 1016b17–24; 1052bl5–17, 1053a24–30, 1054a4–9, 1082bl6–19, 1087b33-1088a14, 1052b31–1053a2, 1092bl9–20, 220a19–22.) Ent ta ei esita seda kunagi Platoni kriitikana. Ta esitab küll vastuväited Platoni järeldusele ning näitab raskusi seisukohas, et arv on eraldi olevate täiuslike ühikute paljus ([[Metafüüsika 13:6–8), kuid ei küsi, mis Platoni eksiteele viis. Ja pole selge, mida täpselt ta asemele pakub. 

Geomeetria

Geomeetria idealiseerib, kuid see, mida ta täiuslike ringjoonte kohta ütleb, võib kehtida ka ebatäiuslike ringjoonte kohta, sest seda võib mõista hüpoteetliselt: kui täiuslikud ringjooned on olemas, siis nad näiteks saavad täiuslikku sirgjoont puutuda ainult ühes punktis. Võidakse küsida, kuidas geomeetria saab praktikas nii kasulik olla, kui entiteete, millest ta räägib, pole olemas, aga see küsimus tekib ka platonistil ja igatahes on sellel lihtne vastus. Paljud teooriad idealiseerivad. Näiteks ideaalne gaas järgiks täpselt Boyle'i-Mariotte'i seadust ning see teooria aitab reaalsetest gaasidest aru saada, sest ta ideaalne teooria lihtsustab olukorda, ignoreerides teatud omadusi, millest palju ei olene (ideaalse gaasi teooria ignoreerib molekulide mõõtmeid ning nendevahelisi tõmbe- ja tõukejõude.) Ometi oleks absurdne eeldada, et ideaalsed gaasid kuskil olemas on. Umbes sama lugu on geomeetria idealisatsioonidega. Puusepp teeb laua, mis on täiuslikule ruudule nii lähedal, et ta saab kasutada geomeetriat. Nii et geomeetriat võib võtta meeltega tajutavate asjade ruumiliste omaduste uurimisena. Ta küll idealiseerib neid mingil ääral, kuid see ei anna alust öelda, et ta ei uurigi tajutavaid objekte, vaid mittetajutavaid ideaalseid objekte. Kõik see aga sõltub eeldusest, et geomeetriat võib mõista hüpoteetiliselt. Siis ligikaudsetel ruutudel ja ringjoontel on ideaalsete kujundite omadused ligikaudselt. Aga kas mitte geomeetria ei väida, et täiuslikud ringjooned on olemas?

7. Keerukused
Kohas 1078a2–5 ütleb Aristoteles, et matemaatika ei ole tajutava uurimine, isegi kui uuritav on juhtumisi tajutav. Kohas 1078a17–25 ütleb ta, et matemaatika postuleerib midagi lahus olevana, kuigi see ei ole lahus. Ta lisab, et sellest ei tulene väärus, nähtavasti sellepärast, et matemaatik ei võta lahusolemist eelduseks. Kohas 193b31–5 ütleb ta, et kuna matemaatik ei tegele omadustega, mis on tema uurimise seisukohast aktsidentaalsed, siis ta lahutab need, sest mõttes saab need lahutada; ja sellest ei tulene väärus. Selline fiktsionaalne lahutamine on matemaatikas ja mujal just abiks (1078a21–31). Ta ei ütle, mis laadi asjana lahutatud matemaatilist objekti mõeldakse. Bostock arvab, et küllap oma lahutatud maailmas intelligiiblina. Tõenäoliselt möönab Aristoteles, et tajutavad objektid pole geomeetriliste omaduste täiuslikud näited, ja küllap siis vaimne lahutatus silub ebatäiuslikkuse. (Bostock arvab, et lahutatud kujundit mõeldakse ka intelligiiblist mateeriast koosnevana (1036a1–12, 1036b32–1037a5; 1045a33–36). Sellepärast saab mõelda mitmest täiesti ühesugusest kujundist: igaühel on erinev intellektuaalne mateeria.) Aristoteles mõtleb peamiselt geomeetria peale, kuid eeldab ilmselt, et midagi sarnast kehtib ka aritmeetika puhul: matemaatik mõtleb arve lahutatud entiteetidena, kuigi see on fiktsioon. Ja küllap siis ka arve mõeldakse idealiseeritutena, küllap täiuslikult võrdsetest ja jagamatutest ühikutest koosnevatena. Aristoteles põhjendab, miks arvud ei saa sellised olla, ent võib-olla ta möönab, et matemaatikud võtavad neid nii.

Aristoteles ütleb, et matemaatika objektid ei eksisteeri tegelikkuses, vaid võimalikkuses ("mateeria moodi", 1078a28–31). Nähtavasti ta peab silmas, et lahus eksisteerivatena mõeldavad objektid saavad eksisteerida tegelikult, st tegelike füüsiliste objektidena. Mõned väga keerulised kujundid, näiteks korrapärane ikosaeeder, tegelikkuses ei eksisteeri, võimalikkuses aga küll. Sama lugu on väga suurte arvudega. Keerulisemaks teeb asja ka see, et matemaatilisest objektist mõtlemine teeb selle tegelikuks. Igatahes ütleb Aristoteles 1051 a21–23, et geomeetrid kasutavad tõestustes uute joonte konstrueerimist ning see on võimaliku tegelikuks tegemine. Nähtavasti just mõttes konstrueerimine loebki, sest ta ütleb seletuseks, et mõtlemine on tegelikkus. Ta möönab, et matemaatilisi objekte on (võimalikkuses) palju rohkem kui need, mis on tegelikult olemas ja mida tegelikult mõeldakse.

Aristotelese järgi uurib matemaatika tavaliste tajutavate objektide teatud omadusi väga üldiselt, pööramata tähelepanu nende mittematemaatilistele omadustele. Seetõttu on mugav fiktsioon eeldada, et ta tegeleb mingite eriliste objektidega, millel on ainult matemaatilised omadused. Ei tee kahju kujutleda, et need on olemas, ning ka välja siluda füüsiliste objektide geomeetrilised ebakorrapärad ning lisada geomeetrilisi ja aritmeetilisi omadusi, mida füüsilistel objektidel ei pruugi olla. Asi on selles, et nendel objektidel on vähemalt võimalik (potentsiaalne) olemasolu. Matemaatika aluseks jäävad ikkagi füüsilised kehad, millest arusaamine peab algama. Mitu küsimust jääb siin vastamata ning võib ainult oletada, mida Aristoteles vastaks. Näiteks arvab Bostock, et "7 + 5 = 12" ei käi Aristotelesel "arvude eneste" kohta, vaid üldistab selliseid asju: kui ühel karjamaal on 7 lehma ja teisel 5, siis mõlemal karjamaal kokku on neid 12. Bostock arvab, et Aristotelese järgi saadakse teada, et 
7 + 5 = 12, lehmade loendamise jms abil. Aristoteles ei vasta Platoni väitele, et teadmine peab olema aprioorne, vaid piirdub üldiste ütlustega. "Teise analüütika viimases peatükis (II.19) ta väidab, et igasugune teadmine pärineb kogemusest. Tajutakse üksikuid asju (partikulaar), kuid mälu võimaldab mitut üksikut juhtumit meeles hoida, ja see annab arusaamise universaalidest. Niiviisi haaratakse induktsiooni teel mis tahes teaduse algprintsiibid. "Metafüüsika" I raamatu I peatükist (981 a1–3, b20–25) selgub, et see käib ka matemaatika kohta. Aristoteles ei seleta, kuidas me aru saame, et need algprintsiibid on paratamatud tõed. Mujal ütleb Aristoteles, et algprintsiipide leidmiseks kasutatakse ka "dialektikat", kuid üksikasjad ei selgu. Igatahes on matemaatika teadmine (nagu igasugune teadmine) Aristotelese järgi empiiriline. (Kas ka loogika teadmine on empiiriline?)    

Kuidas saab olla, et matemaatikas kasutatakse lõpmatuse mõistet? Kuidas see on võimalik, kui matemaatika põhineb tajul? Lõpmatust ju ei tajuta.

8. Probleemid lõpmatusega 
Lõpmatusest räägib Aristoteles "Füüsika" III raamatu 4.–8. peatükis. Ta ütleb, et ei ole ega saa olla lõpmata suurt keha. Asi on selles, et maailm on lõplik kera, mis ei saa paisuda ega kokku tõmbuda, nii et maailma mõõtmeid ei saa ületada. Väljaspool maailma ei ole isegi mitte tühja ruumi. Järelikult peab ta eitama Eukleidese "Elementide" 2. postulaati, et iga sirgjoont saab mõlemas suunas pikendada. Siis ta ei saa ka aktsepteerida Eukleidese definitsiooni, et paralleelsed sirgjooned on need, mis ei lõiku, ükskõik kui kaugele neid pikendatakse. Aga paralleelsust saab ka teisiti defineerida, ja Eukleidese geomeetriat saab rakendada ka lõplikule ruumile: matemaatikud ei vaja lõpmatut pikkust ega ka luba lõplikku pikkust alati pikendada. Tõestamisel saab alati kasutada väiksemat sarnast kujundit ning tõestatu üle kanda suuremale sarnasele kujundile. Aristoteles nimetab kolm põhjendust, miks lõpmatus peab olemas olema: muidu on ajal algus ja lõpp, muidu ei ole suurused lõputult suurusteks jagatavad ja muidu arve ei ole lõputult (206a9–12). Mingis mõttes (kuigi mitte absoluutselt) peab saama öelda, et need asjad on lõpmatud. Aristoteles ütleb sageli, et lõpmatus on alati potentsiaalne (võimalik), nii et siis nähtavasti mitte kunagi aktuaalne (tegelik). Ta ei väljendu päris täpselt: õigupoolest peab ta silmas, et lõpmatu tervik saab eksisteerida ainult lõpmatu protsessi tulemusena, aga lõpmatu protsess ei jõua tulemuseni. Lõpetamata lõpmatu protsess saab olla, selle tulemust aga mitte. Enamik protsesse lõpeb, kuigi need on potentsiaalsed lõpmatud, sest nad saaksid alati jätkuda. Mõned protsessid ei lõpe kunagi (näiteks päeva järgnemine päevale), ja need on tegelikult lõpmatud protsessid. Aristoteles rakendab seda seisukohta lõpliku joone lõputule osadeks jagatavusele. Osasid, milleks joont jagatakse, ja punkte, mis neid jagavad, ei ole tegelikult olemas enne tegelikku jagamist. Tõepoolest, kui need oleksid olemas, siis tuleks lõpliku vahemaa läbimiseks läbi teha lõputu jada väiksemaid liikumisi (igaüks eelmisest poole väiksem), mis on Aristotelese meelest võimatu. Kui lihtsalt pidevalt liikuda teatud vahemaa, siis ei tehta tegelikuks (aktuaalseks) ühtki punkti sellel. Selleks tuleks mõnes punktis peatuda, märk maha panna või läbitavat punkti loendada. Bostock arvab, et selleks et punkti tegelikuks teha, tuleb Aristotelese järgi teha midagi, mis selle ümbritsevatest punktidest välja eraldab, ja lõpliku ajaga pole võimalik teha lõpmata palju selliseid tegusid (seda viimast Bostock ("Aristotle, Zeno, and the Potential Infinite") eitab.). Järelikult ei sisalda lõplik joon kunagi lõpmata palju tegelikke punkte, kuigi ta on potentsiaalselt lõputult jagatav. Kreeka geomeetrias olid punktid, sirged, tasandid ja kehad kõik fundamentaalsed. Kõige fundamentaalsem oli keha (sest tasand on keha piir, sirge tasandi piir ja punkt sirge piir), kõige vähem fundamentaalne punkt, ning sirgete jne konstrueerimiseks pole tarvis lõpmata palju punkte. ("Füüsika" VI raamatus püüab Aristoteles näidata, et paljastest punktidest joont konstrueerida ei saa.) Aga kas siis geomeetria postulaadid ei eelda, et punktid, jooned jne on ka siis, kui need pole välja eraldatud. See pole ilmne, vähemalt Eukleides ei nõua seda. Jutt on ainult sellest, et näiteks ühest punktist teise on võimalik tõmmata sirglõik, mitte ei ütle, et see on juba olemas. Kreeka matemaatika on "konstruktiivne", ta ei eelda, et on olemas kujund, mida ei saa joonlaua ja sirkliga konstrueerida. (Platon (527a–b) aga leiab, et jooni ei pea tõmbama, et nad olemas oleksid.) Tundub, et Aristotelesel on õigus eeldada, et konstrueeritud objekti ei ole, enne kui see on kirjeldatud. Siis ei ole kunagi lõpmata palju kujundeid. 
   
Aga vaevalt võib kreeka aritmeetikat pidada konstruktiivseks, ja siin on suurem raskus. Arve on lõpmata palju, sest arvud ei lõpe mõttes otsa (203b22–25); füüsiliselt need Aristotelese järgi lõpevad siiski otsa, sest maailm on lõplike mõõtmetega ja füüsilisi esemeid ei saa tegelikult lõpmatuseni jagada. Ka arvude mõtlemine ei aita, sest lõpmata palju arve ei jõua mõelda. Platonisti järgi on kõik arvud tegelikult olemas lahus tajutavatest asjadest. Aristoteles eeldab, et sel juhul peab olema kõigi arvude arv, mis on lõpmatu arv; aga see on võimatu, sest 1) muidu saaks lõpmatuseni loendada (207b7–10) ja 2) iga arv peab olema paaris või paaritu, aga lõpmatu arv pole kumbki (1083b37–1084a4). Aga tundub, et samad vastuväited kehtivad ka Aristotelese arvukontseptsiooni puhul: ka füüsiliste esemete kogumites olemasolevaid arve ei saa olla lõpmata palju. Järelikult on arve ainult potentsiaalselt lõpmata palju. Aga selle järeldusega ei saa rahul olla. Naeruväärne on öelda, et praegu on nii-ja-niipalju arve. Kas Aristoteles saaks seda kriitikat vältida? Bostock pakub, et saaks, kui ta räägiks siin idealiseerimisest, nagu ta peaks tegema geomeetria puhul: aritmeetika "idealiseerib", eeldades, et igal arvul on reaalselt järgmine arv. Nii ta silub välja meie maailma ebatäiuslikkuse. Võib loota näidata, et sellise idealiseeritud teooriata läbi ei saa.     

Üks raskemaid probleeme empiirilise matemaatikateooriaga on see, kuidas seletada lõpmatust. Ja kui vastust ei ole, kas siis tuleb platonismi juurde tagasi minna?

C. Ettevaated 
Hilisemad platonistid on öelnud, et matemaatika räägib platonistlikult tõlgendatud universaalidest, et omadustest, suhetest, funktsioonidest jne. Tänapäeval levinud versiooni järgi räägib see hulkadest (puhastest hulkadest, mille koosseisu ei mahu tajutavaid hulki. Peale meenutusteooria on ka teisi aprioorse teadmise teooriaid. Platon nägi seda raskust, et matemaatilised tõestused alustavad aksioomidest. Platonistid on väga erinevalt seletanud, kust me teame, et aksioomid on tõesed. Aristoteles lähtub sellest, et erilisi objekte pole tarvidust postuleerida, ja ütleb, et seda ei tuleks teha. Et veenvalt näidata, et saab läbi tavaliste objektidega, tuleb öelda, kuidas matemaatika propositsioone tõlgendada propositsioonidena tavaliste objektide kohta, ja seda Aristoteles ette ei võta. Bostock arvab, et ta pidas seda geomeetria puhul ilmseks ning eeldas ilma pikemata, et aritmeetikas on asi sarnane. Hiljem on raskuspunkt nihkunud aritmeetikale. Kuidas Aristotelese raamistikus seletada näilist osutamist arvudele? Esimese kõneväärse katse vastata tegi Bertrand Russell, ja see katse näitas, et probleem ei ole lihtne. Matemaatika epistemoloogias oli Aristotelese põhiidee, et matemaatika meetod põhimõtteliselt ei erine loodusteaduse meetodist. Selline teadmine on empiiriline, ja pole selge, mis õigustab selle nimetamist teaduseks ja kuidas täpselt selleni jõutakse. Siin on kaks külge: vaadeldavateks peetavate sündmuste vaatlemine ning nende vaatluste seletamiseks ja ennustamiseks teooriate loomine. Aristoteles pole viimase kohta head käsitlust andnud ning hiljem on sellele rohkem tähelepanu pööratud. Aristotelese empiiriline lähenemine on seniajani käibel. Nii Platoni ontoloogia ja epistemoloogia omavahel kui ka Aristotelese ontoloogia ja epistemoloogia omavahel käivad hästi kokku: kui matemaatika objektid on tavalised, siis on loomulik eeldada; et teadmise allikaks on taju; kui matemaatika objektid on erilised, intelligiiblid, siis on loomulik eeldada, et allikaks on erilist laadi mõtlemine. Aga need seosed pole vältimatud. Näiteks Russelli lähenemini ühitab Aristotelese ontoloogiat Platoni epistemoloogiaga. Russell tõlgendab matemaatilisi väiteid üldistustena tavaliste objektide kohta, aga ta ei pea neid tavalisteks empiirilisteks üldistusteks, vaid aprioorseteks loogikatõdedeks. On ka võimalik ühitada väidet, et igasugune teadmine on empiiriline, väitega, et matemaatika räägib abstraktsetest objektidest: selliseid objekte eeldavad meie loodusteaduslikud teooriad, ja ilma selle eelduseta ei ole füüsikanähtuste tavalised seletused võimalikud (Willard Van Orman Quine'i ja Hilary Putnami hädavajalikkusargument). 
Peale Platoni ja Aristotelese lähenemise on matemaatikafilosoofias veel idee, et matemaatika objektid on olemas ainult vaimus.

Peatükk 2. Aristotelesest Kantini

1. Keskaeg
Pärast Aristotelest kuni René Descartesini pöörati matemaatika loomusele vähe tähelepanu. Matemaatika tõdesid peeti igavesteks, muutumatuteks, paratamatuteks, kuid väga vähesed küsisid, kust me neid teame ja mis on matemaatika objektide ontoloogiline staatus.

See-eest küsiti universaalide ontoloogiline staatuse kohta üldiselt. Porphyrios küsis, kas universaalid on olemas; kui jah, kas väljaspool vaimu või vaimuentiteetidena; kui väljaspool vaimu, kas kehaliste või kehatutena; kas nad on meeltega tajutavates asjades või neist lahus. Realistide järgi on universaalid väljaspool inimese vaimu inimese mõtlemisest sõltumatult. Platon ja Aristoteles olid realistid. Matemaatikafilosoofias olid Gottlob Frege ja Kurt Gödel Platoni tüüpi realistid, John Stuart Mill oli Aristotelese tüüpi realist. Viimaste hulgas on ka Penelope Maddy raamatus "Realism in Mathematics" ja Philip Kitcher ("Arithmetic for the Millian", The Nature of Mathematical Knowledge). Kontseptualisti järgi on universaalid üksnes vaimus, vaim loobki neid, võib-olla reaktsioonina tajumustele, võib-olla tajumustest sõltumatult. Kõikide universaalide kontseptualistid tavaliselt nõustuvad, et üldideed on tajumuste tulemus, aga matemaatika puhul seda sagel eitatakse. Uuema aja matemaatikakontseptualistid, näiteks intuitsionistid, kalduvad ütlema, et me ise loome arvud, toetumata tajule. Nominalistid ütlevad, et universaale üldse pole. Keskajal oli sel vähe pooldajad, viimasel ajal on arvudenominaliste rohkem. "Reduktiivsed nominalistid" ütlevad, et sõnad, mis näiliselt universaalide kohta käivad, on tegelikult kasutusel lühendina keerulistest väljenditest, mis saavad läbi ilma sellise osutamiseta. Bertrand Russell pooldas sellist väidet arvude kohta. Teine nominalismi variant on veateooria, mille järgi näiliselt universaalile osutavad laused on mittetõesed, sest selliseid asju ei ole olemas. Näiteks Hartry Field on sellisel seisukohal arvude puhul. Sel juhul tuleb seletada, miks neid lauseid peetakse tõesteks ja miks nad on nii kasulikud, kui nad tõesed ei ole.

2. Descartes 
René Descartes otsis kindlust ning alustas mõttest, et matemaatikast leiame kindlust. Ta püüdis seda kindlust laiendada teistele valdkondadele. Ta küsis, miks just matemaatikas kindluseni jõutakse. Näiteks tavalistes uskumustes füüsilise maailma kohta saab mõistuspäraselt kahelda, sest meeled mõnikord petavad. Ei saa tõestada, et nad alati ei peta, järelikult saab kahelda, kas füüsiline maailm üldse on olemas. 
Kui matemaatikal on kindlus, mida uskumustel füüsilise maailma kohta ei ole, siis matemaatika tõed ei saa käia füüsilise maailma kohta, vaid peavad olema tõed meie ideede kohta või Jumala vaimu omadus, mis need ideed määrab. Ideed, millega matemaatika tegeleb, on erinevalt enamikust teistest ideedest eriti selged ja aredad. Sellepärast me ei saagi nendes kahelda ning saame lihtsatest matemaatilistest ideedest pika deduktsiooni teel jõuda keerulisemate mõteteni, kaotamata algset kindlust. Ta alustas ka teistes valdkondades kindluse otsingut selgetest ja aredatest ideedest, et deduktsiooni teel edasi minna. Descartes pidas selgeid ja aredaid ideid, millel matemaatika põhineb, kaasasündinuteks. Need ei ole mujalt tulnud ega minu leiutatud, vaid tulenevad minu loomusest, näiteks mis on mingi asi, mis on tõde ja mis on mõtlemine (kolmas meditatsioon). Loomulik on eeldada, et nende hulgas on ka arusaamine, mis on arv, tasand, sirge, punkt jne. Vastuses Hyperaspidesele ütles Descartes, et lootel on Jumala ja iseenda idee ja kõikide enesestmõistetavate tõdede ideed samamoodi nagu täiskasvanul, kes neile tähelepanu ei pööra; need oleks tal ka siis, kui ta kehast vabaneks. (Lapse hing ei pane kaasasündinud ideid tähele, enne kui ta on piisavalt küps, et meelte mõjust mitte välja teha.) Viiendas meditatsioonis ütleb Descartes, et ta leiab endast arvutult ideid asjadest, mida küll väljaspool teda ei ole olemas, kuid mis ei ole tema leiutatud, vaid on tõese ja muutumatu loomusega, näiteks kolmnurga määratletud loomus. Jumal on selle temasse pannud. Descartes ei ütle Platoni kombel, et nende ideede allikas on kogemus teises maailmas ja kolmnurgad peavad olemas olema. Matemaatika ei räägi abstraktsetest objektidest, mis on igasugusest mõtlemisest ja vaimust sõltumatud, vaid vaimuobjektidest, ideedest, mis saavad olla ainut vaimus. Ent mõlema teooria järgi on need sõltumatud tajutavast. Nende teadmine ei sõltu tajukogemusest, vaid on täiesti aprioorne. Mõlemad alustavad mõttest, et matemaatiline teadmine on kindel ja kaheldamatu, suurem osa matemaatilisest teadmisest tuleb tõestustest ja tõestused ei ole kaheldavad. Mõlemad taipasid, et tõestusel peavad olema tõestamata lähtekohad; Platon kahtles, kas neid teatakse kindlalt, Descartes oli aga selles veendunud ning esitas selgete ja aredate ideede teooria. See aga jätab palju küsimusi vastuseta.

3. Locke, Berkeley, Hume
Kuigi Descartes oli ratsionalist ning John Locke, George Berkeley ja David Hume olid empiristid, olid nad matemaatika loomuse põhiküsimustes ühel meelel: matemaatika käib ideede kohta ja matemaatiline teadmine on aprioorne. Erinevalt Berkeleyst usub Locke, nagu Descarteski, et peale ideede on olemas vaimud ehk vaimsed substantsid ja materiaalsed substantsid; matemaatika ei tegele materiaalsete asjadega, kui just mitte tuletuslikult. Ka Hume'il on sarnane positsioon. Locke'i järgi on igasugune teadmine meie ideede kooskõla või mittekooskõla tajumine, ja see käib ka matemaatilise teadmise kohta. Matemaatika tõed on üldised, ja üldisi tõdesid on Locke'i järgi võimalik teada ainult juhul, kui teadmine oleneb ainult ideede suhtest, mitte sellest, mida saab teada vaatlusest ja katsest; viimaste põhjal saab parimal juhul öelda, et üldine tõde on tõenäoline (An Essay Concerning Human Understanding IV: III, 28; VI, 6–13). Ka Hume räägib suuresti samas mõttes nagu Locke ideede suhete teadmisest, kuid vastandab seda fakti- ja olemasoluasjade teadmisele, jättes ruum kogemusel põhinevale teadmisele. Selles, et matemaatikas on teadmine, on nad ühel meelel, kuid on lahkarvamusel sellest, kuidas matemaatikas käsitletavad ideed omandatakse. Empiristide järgi saadakse need kogemusest. Locke'i "abstraheerimisteooria" järgi saadakse näiteks abstraktne inimese idee, võrreldes ideid üksikute inimeste kohta ja jättes alles kõigile inimestele ühise ning jättes ülejäänu välja (abstraheerimine; John Mackie ("Problems from Locke") järgi tähendab väljajätmine valikulist tähelepanu). Sama käib näiteks kolme või kolmnurga abstraktse idee kohta (Essee III: III, 6–10). Nähtavasti ei pidanud Locke abstraktset ideed (enamasti) mingit laadi kujutluseks, vaid teatud tunnuste väljajätmise tõttu määratletamata ideeks. Berkeley aga pidas ideid kujutlusteks ning ütles, et Locke'i abstraktsed ideed on võimatud. Ka Hume oli siin Berkeleyga ühel nõul: on ainult hulk ideid konkreetset laadi kolmnurkadest. Neid hoiab koos assotsiatsioon sõnaga "kolmnurk"; kui seda sõna kasutatakse, siis tuleb vaimu ainult üks hulga idee, kuid vaimul on kalduvus manada silme ette teisi ideesid sellest hulgast, kui mõtte edasiminek seda vajab.

Igatahes omistavad empiristid matemaatika puhul kogemusele olulise osa, mida ratsionalistid eitavad. Empiristi jaoks ei ole aprioorne teadmine kogemusest täiesti sõltumatu: teadmises on alati ideesid, ja ideed pärinevad otseselt või kaudselt kogemusest (Hume'i järgi on lihtideed kogemusest saadud muljete koopiad, liitideed moodustatakse lihtideede kokkupanemisel). Empiristlik aprioorse teadmise kriteerium on järgmine: kui teadmise formuleerimiseks vajalikud ideed on moodustatud, siis teadmine ei vaja täiendavat kogemust. Millised ideede suhted saavad anda aprioorse teadmise? Locke'i järgi ei anna "tühised" ehk "sõnalised" propositsioonid ("inimene on inimene", "hobune on neljajalgne") uut teadmist maailma kohta, aga matemaatikas leidub selliseid ideede suhteid nagu "iga kolmnurga välisnurk on suurem kummastki vastassisenurgast", mis täpsest liitideest järeldub, kuigi ei sisaldu sellest, ning on reaalne tõde, mis annab õpetlikku reaalset teadmist. Ent ta ei ütle, milles need keerukamad suhted seisnevad ega kuidas neid ära tunda. Ka Berkeley ega Hume ei öelnud selle kohta midagi. Hume teeb asja isegi segasemaks. Sellised propositsioone saab avastada pelga mõtlemisega, sõltumatult maailmas olemasolevast. Kui ka ringi või kolmnurka (ka arvud ja kujundid on ideed) maailmas kunagi ei oleks, jääksid Eukleidese tõestatud tõed ikkagi kindlaks ja ilmseks. Teised mõistuse objektid on tõsiasjad, mille tõesusel ei ole niisuguseid tõendeid nagu ideede suhetel; nende väärus ei ole vastuoluline ning on sama hõlpsasti ja aredalt kujutletav kui tõesus. Hume samastab võimalikkuse, mittevastuolulisuse, aredalt kujutletavuse ja arusaadavuse. Aga neid tuleb eristada. Esiteks, võimatu ei pruugi olla vastuoluline (nagu ka Immanuel Kant leidis). Teiseks, võimalik ei pruugi olla selgelt kujutletav. Kolmandaks, ka vastuolud on arusaadavad, muidu ei saaks need väärad olla. Kant teeb nende mõistete lahkulöömisel edusamme, kuigi see tal lõpuni ei õnnestu.   

Descartes laiendas geomeetria traditsioonilist valdkonda, võttes sisse ka ajalised mõisted, nii et ka liikumine jäi matemaatika valda. Ta pakkus välja liikumisseaduste aprioorse deduktsiooni ainult ruumiliste ja ajaliste mõistete abil. Ta lootis, et matemaatika neelab endasse ka füüsika ning võib-olla lõpuks ka teised teadused, nii et kogu loodusteadus muutub aprioorseks. Locke'il oli palju vähem optimismi. Ta oli kursis Isaac Newtoni füüsikaga ning teadis hästi, et enamik loodusteaduslikust teadmisest ei ole puhtaprioorselt saadav. Ta oli ka ülearu skeptiline selle teadmise laiendamise võimalikkuse suhtes, sest ta arvas, et selleks tuleb avastada kõigi kehade pisikeste koostisosakeste loomus, aga inimesed seda iialgi ei suuda, sest tavataju jääb selleks kaugelt liiga viletsaks. Küll aga oli ta nagu Descarteski kindel, et tõeline matemaatika on tõelise ja kaheldamatu teadmise reaalne allikas. Berkeleyl ja Hume'il seda kindlust ei olnud. Nendeaegsesse matemaatikasse kuulus Newtoni ja Leibnizi diferentsiaal- ja integraalarvutus, mis rääkis lõpmata väikestest suurustest, mis ei sarnane millegi tajutavaga. Sellepärast nad leidsid, et matemaatika on liiga kaugele läinud, nii et ta on nüüd võimatute vastuolude allikas. Neil oli õigus, ja Berkeley rünnak diferentsiaal- ja integraalarvutusele teoses "The Analyst" sisaldab hulga asjakohaseid vastuväiteid. Ka Hume arvas, et matemaatika ei saa lõpmatusest ilma paradoksideta rääkida. Descartesi keeles öelduna leidsid nad õigusega, et sealsed ideed ei ole selged ja aredad ning sellepärast ei ole üheseltmõistetavaid ideede suhteid, mis moodustaksid teadmise aluse.

4. Märkus kontseptualismi kohta 
Ei Descartes, Locke, Berkeley ega Hume ei põhjendanud oma kontseptualistlikku väidet, et matemaatika räägib ideedest; nähtavasti pidasid nad seda vaieldamatuks. Aga selline samastamine on ikkagi imelik: ei ole ju loomulik öelda näiteks, et üks idee on teise kuupjuur ning kuupi tõstetuna on ta see teine (või teisega võrdne) või et mõnel ideel on kuus tahku ja 12 serva. Siin võib pareerida, et seda ei tule võtta sõna-sõnalt.

Esiteks, mõte, et arv on lihtsalt idee, tuli pähe esimesena Platonile. Platoni keeles ütleb kontseptualism, et ideed on lihtsalt mõtted inimeste vaimus. Platon lükkas selle tagasi argumendiga, et mõte on alati mõte millestki ning idee ei ole mitte mõte, vaid see, mille kohta see mõte käib (Parmenides, 132b–c). Seda saab põhjendada sellesama argumendiga, et kuubi ideel ei ole kuus tahku. Teine põhjendus on see, et idee on privaatne, aga see, mille kohta ta käib, tavaliselt ei ole. Minu ja sinu idee ei saa olla sama asi. Ja eri inimeste ideed ei ole päris sarnased. Aga kõik mõtlevad ja räägivad samast asjast.  

Teiseks, arvu olemasolu ei sõltu mingi vaimse entiteedi olemasolust. Seda saab põhjendada mitut moodi. Esiteks, oli aeg, mil mõtlevaid olendeid ei olnud, aga me ei taha öelda, et millalgi arve ei olnud ja aritmeetilised tõed ei olnud tõesed. Teiseks, mingil hetkel olemasolevaid või teatud ajani olemas olnud ideesid on lõplik arv, aga arve on ju lõpmata palju. (Aristotelese jutt, et arve on potentsiaalselt lõpmatult, ei lohuta.)

Need on lihtsad ja ilmsed vastuväited, kuid tollal ei pidanud ükski filosoof neid vastamisväärseks. Kontseptualism pole kadunud, kuigi see tavalise kõne- ja mõtteviisiga hästi ei klapi.

5. Kant: probleem 
Immanuel Kant uskus, et matemaatika tõed on ühtaegu aprioorsed ja sünteetilised, ja probleemiks oli seletada, kuidas see on võimalik. "Puhta mõistuse kriitika" sissejuhatuses ta selgitab neid mõisteid ning esitab oma väited, kuid ei seal ega mujal ta neid kuigi palju ei põhjenda. Kant defineerib aprioorse teadmise oodatult kui kogemusest sõltumatu teadmise, kuid lisab ootamatult, et aprioorsuse tunnused on paratamatusena mõeldavus ja range üldisusega mõeldavus. Kogemus ei saa öelda, mis peab olema, ega seda, et kas jääb nii, nagu seni on olnud. Kant väidab, et need kaks kriteeriumi langevad paratamatult kokku, nii et iga aprioorne tõde on üleüldine tõde. Nendel kriteeriumidel on see ilmne nõrkus, et propositsiooni võidakse mõelda paratamatuna ja range üldisusega, kuigi see pole paratamatu, rangelt üldine ega isegi mitte tõene. Mööname, et Kant võib lisada tingimuse, et propositsioon on tõene ja see on teada, kuid sellest ei järeldu, et erandid pole võimalikud, ja isegi kui erandid ei ole võimalikud, ei pea nende teadmine sellepärast olema kogemusest sõltumatu. (Saul Kripke ("Nimetamine ja paratamatus") tõi mitu näidet propositsioonidest, mille puhul me teame aprioorselt, et kui see on tõene, siis see on paratamatu, ning teame empiiriliselt, et see on tõene, nii et teatakse, et see on paratamatu, ent seda propositsiooni ei teata aprioorselt.)    

Jätame praegu need kahtlused ajutiselt kõrvale ja eeldame, et Kant mõistab aprioorset teadvust samamoodi nagu teised. Ta väidab, et matemaatika propositsioonid on aprioorselt teatavate propositsioonide selged näited. Ta ei põhjenda seda, pidades seda nähtavasti vaieldamatuks. Tahaks siiski, et ta oleks esitanud veenvama argumendi kui see, et paljud peavad neid paratamatuteks ja rangelt üldisteks. 

Kanti järgi on matemaatilised tõed sünteetilised. (Teatud mõttes oli tema eelkäijaks Locke, sest Locke rõhutas, et matemaatilised tõed ei ole "tühised" ehk "sõnalised".) Kanti kontseptsioon ei ole hoolikalt esitatud ja seda on sageli kritiseeritud. Kant ei räägi lihtsalt ideedest, vaid eristab kaemusi (üksikettekujutused üksikesemetest) ja mõisteid (üldisi mõisteid esemete liigitamiseks ja kirjeldamiseks). (Need ei ole "vaimupildid".) Nagu Locke ütleb, et üks idee on teise osa, ütleb Kant, et üks mõiste on teise osa. Tõeses otsustuses kujuga "Kõik A-d on B-d" kas predikaat B sisaldub subjektis A või on väljaspool A-d. Esimesel juhtumil on otsustus analüütiline, teisel juhul sünteetiline. (A6 = BlO) Näiteks "Kõik kehad on ulatuvad" on analüütiline, "Kõik kehad on rasked" on sünteetiline. (A7 = Bll) Tavaliselt väidetakse vastu, et see definitsioon sobib ainult propositsioonide kohta, millel on kuju "Kõik A-d on B-d". Siiski on selge, miks see definitsioon näitab, miks analüütiline tõde on aprioorne: tarvis on ainult analüüsida mõisteid, ja see ei sõltu kogemusest. Sünteetilise otsustuse puhul mõistete vaatlusest ei piisa, sest need ei ole osa ja terviku suhtes. Ent Kanti järgi on mõned sünteetilised tõed aprioorsed, ja matemaatika tõed on selged näited (B14). (Nende seas ei ole definitsioonid, ja on veel erandeid (B16, B17).) Kuidas seda seletada? Kant ei põhjenda matemaatika tõdede aprioorsust ja peab nähtavasti ka nende sünteetilisust nähtavasti üsna ilmseks (ka Locke'ile oli see ilmne), kuid siiski põhjendab seda näidete varal. 

Aritmeetikas on näiteks "7 + 5 = 12" (Kant võtab seda nähtavasti üldjaatava otsustusena). 7 + 5 mõiste ei sisalda 12 mõistet (B15). Liitmine tuleb kas või näppude peal ära teha. Suuremate arvude puhul on see veel ilmsem (B16). Bostock lisab argumendi, et kumbagi mõistet saab omada ilma teist mõistet omamata; võidakse osata loendada, tundmata liitmist; võidakse tunda liitmist ja väikseid arve, kuid mitte suuri arve. Loomulik on vastu väita, et see näide näitab lihtsalt, et Kantil on valed definitsioonid. Millegipärast analüüsib Kant ainult subjekti, mitte predikaati. Kui mõlemat analüüsida, siis võib-olla selgub, et nad peavad kokku langema. Võtame näiteks "2 + 2 = 4". Leibniz (Nouveaux Essais, IV, vii, 10) tõestab seda nii (Charles Parsons ("Kant's Philosophy of Arithmetic") arutab võimalust, et Kant teadis seda tõestust.). Ta defineerib 2 = 1 + l; 3 = 2 + l; 4=3+1 ning saab 2+2=2+1+1=3+1=4 (loogikareeglid on: a = a; kui b = c, siis a + b =a+ c ja b +a= c +a). "2 + 2" ja "4" analüüsitakse samade mõistete abil ning saadakse samasus. Sellele esitatakse tavaliselt vastuväide, et tuleb lisada sulud ning siis tuleb välja, et eeldatakse, et 2 + 2 = 2 + (1+1) = (2 +1) + 1=3+1, st eeldatakse liitmise assotsiatiivsust. Kas assotsiatiivsust saab ehk tõestada liitmise definitsiooni põhjal? Igatahes on Kanti analüütilisuse definitsioon liiga lihtsustatud, et asja üle otsustada.
 
Geomeetrias on näiteks: "Sirge joon kahe punkti vahel on lühim." Võidakse vastu väita, et see ongi sirge joone definitsioon, kuid Kant ütleb, et tema sirge joone mõistes pole kvantiteeti, vaid ainult kvaliteet (Bl6). Nähtavasti alustab Kanti mõiste joone välimusest. Tarvis on aga täpsustusi. Et joonel ei ole paksus, tuleb mõelda nähtava joone ühte äärt, kujutleda seda nii, et ta on ka mikroskoobi all selge ja sirge. Ühesõnaga, püüame sirgena paistmist idealiseerida. Ent saab vastu väita, et sirgena paistmine ja sirge olemine on täiesti erinevad mõisted (vrd vees murtuna paistvat sirget keppi). Teise oletuse järgi aga eeldab Kant niisugust õpikudefinitsiooni: sirge joon on joon, mille moodustab punkt, mis liigub alati samas suunas. Siin saab vastu väita, et suuna mõiste on keerulisem kui sirguse mõiste. Et Kant oma sirguse mõistet ei selgita, siis pole selge, mida tema näitega peale hakata. Bostock asendab selle vähem vaieldava näitega: mis tahes kahe punkti vahel on üks ja ainult üks lühim joon. Selle mitteanalüütilisus tundub Bostockile ilmne. Kahtlane on aga selle aprioorsus. 

Kantil on õigus, et mõned tavalise geomeetria propositsioonid on mitteanalüütilised. Aga tänapäeval neid analüütilisteks ei peeta. Aritmeetika väiteid aga peetakse tänapäeval tavaliselt aprioorseteks, kaheldav aga on see, kas nad on mitteanalüütilised.

6. Kant: lahendus 
(Charles Parsons, "The Transcendental Aesthetic", The Cambridge Companion to Kant; Kant's Philosophy of Mathematics.) Lahenduse annab Kant kahes osas. Esimene on transtsendentaalne esteetika (A19–49, B33–73). Kant väidab, et ruum on välismeele vorm ja aeg on sisemeele vorm. Teine on "Puhta mõistuse distsipliin selle dogmaatilises rakenduses" (A712–738, B740–766). Kant väidab, et matemaatiline mõtlemine põhineb kaemusel. 

Välismeel on kogemus, mis esineb tavaliselt siis, kui me arvame, et me tajume. Iseloomulik on see, et me arvame, et tajume endast "väljaspool" olevaid asju. Kant väidab, et siis me tajume neid alati ruumilisi omadusi omavatena. Kanti idee on, et asjade ruumiline organiseeritus tuleb meist, mitte asjadest enestest. See tuleb inimloomusest, ja teised olendid tajuvad võib-olla teistmoodi. Ta ei väida, et igasugune väliskogemus peab olema ruumiline või isegi sarnane sellega, vaid ainult seda, et inimeste puhul see faktiliselt nii on. See tundub vaieldamatu, kuid vaieldav on see, et ruumivormi surub meie kogemustele peale inimloomus. Kanti järgi küll stimuleerivad teadvust mujalt tulevad andmed, kuid nähtumused tulevad ainult osalt andmete loomusest, osalt aga sellest, kuidas vaim reageerib. Nähtumuste ruumilised omadused pärinevad inimeselt, mitte andmete ruumilistelt omadustelt. Kanti põhiline argument põhineb eeldusel, et geomeetriateadmine on aprioorne. Geomeetria uurib ruumi, seega on meil aprioorne teadmine ruumi loomusest. Kui kogemused oleksid ruumilised lihtsalt sellepärast, et andmed on ruumilised, siis peaks teadmine ruumi loomusest olema empiiriline. 

Kas Kanti teooria annab parema seletuse? John Locke ja teised eristasid objektide primaarseid ja sekundaarseid kvaliteete. See, kuidas sekundaarsed kvaliteedid (näiteks värvus, heli, lõhn) nähtuvad, ei sarnane millegagi esemetes, mis neid põhjustaks; primaarsed kvaliteedid (näiteks mõõtmed, kuju) nähtuvad sellistena, nagu nad reaalselt on. Näiteks ümmargused esemed nähtuvad ümmargustena lihtsalt sellepärast, et nad on ümmargused, aga punased esemed nähtuvad punastena sellepärast, kuidas nende pinna aatomid valgust neelavad ja peegeldavad, ja sellel põhjusel ei ole mitte mingit arusaadavat seost nähtumusega, mis on nende tagajärg. Kanti seisukohta võib tõlgendada väitena, et ka esemete nähtuvad ruumilised omadused on sekundaarsed kvaliteedid: meil ei ole alust oletada, et objekti tunnus, mis paneb ta nähtuma näiteks ümmargusena, sarnaneks kuidagi selle nähtumusega. See, kuidas me helisid tajume, võimaldab eristada liht- ja liithelisid. Igal lihthelil on kindel kõrgus ja helikõrgused paigutuvad ühemõõtmelisele skaalale. See vastab helilainete lainepikkuste skaalale, kuid katab ainult osa sellest skaalast. Värvusi me tajume aga nii, et ei saa eristada liht- ja liitvärvusi. Värvitoonid ei moodusta ühemõõtmelist skaalat, kuid neid saab kujutada kerapinnal. Sellel värvitoonide korrastusel puudub vaste valguslainete lainepikkuste korrastusena. Värvitoonidel ja lainepikkuste kombinatsioonidel on keeruline suhe; paljud erinevad kombinatsioonid nähtuvad sama toonina. Kant väidab, et midagi sarnast kehtib ruumitaju puhul. Näiteks me tajume ruumi kolmemõõtmelisena, kuid see, mis säärase taju tekitab, ei pruugi olla kolmemõõtmeline. Oletame, et see peab paika. Kuna punktid, jooned ja kujud nähtuvad sellistena osalt meie panuse tõttu kogemusse, siis see kogemus ("kaemus") on aprioorne kaemus. Et see kaemus on aprioorne, siis on aprioorsed ka otsustused, mis sellest kaemusest lähtuvad, ja seda oligi tarvis seletada. Üldine idee on selline: kui mõni meie kogemuse tunnus tuleb meist endist, siis see annab aprioorse teadmise selle tunnuse kohta. Tundub aga, et Kant peaks ütlema helide ja värvuste kohta sedasama mis ruumi kohta: see, kuidas me helisid ja värvusi kogeme, tuleb osalt inimloomusest, nii et neid kogemusi peaks pidama aprioorseteks kaemusteks ning nendest peaksid tulenema aprioorsed otsustused. Kuigi Kant "Prolegomenides" (§ 13) seda paralleeli möönab, eitab ta "Puhta mõistuse kriitikas" (A28–30, B44–45) relevantset sarnasust sekundaarsete kvaliteetidega: need peavad olema erinevad, sest ühe kohta meil on aprioorne teadmine, teise kohta mitte. See on petitio principii, sest see ei seleta, kuidas see erinevus on võimalik. A-trükis lisab Kant, et värvusi või maitseid tajub ainult üks meel ning et millegi välisena tajumise tarvilik tingimus ei ole see, et me tajuksime seda värvust või maitset omavana. Tundub, et esimene argument eraldi võetuna ei ole relevantne, aga koos teisega on mõeldud võib-olla seda, et selleks et tajuda asju välistena, tuleb neid tajuda ruumilistena, aga pole tarvis tajuda (teisi?) sekundaarseid kvaliteete omavatena. Aga isegi kui see nii oleks, ei seletaks see ikka, kuidas meil on võimalik aprioorselt teada ruumilisi omadusi, mida tajutavad objektid alati ilmutavad, ja pealegi on mõistlik kahelda, kas see on tõene. (Peter Frederick Strawson (Individuals, ptk 2) kirjeldab maailma, kus tajutakse ainult helisid, kuid neid tajutakse välistena, ja see on vastunäide.) B-trükis jäetakse mõlemad argumendid ära, võib-olla Kant sai aru, et need argumendid pole relevantsed. Nähtavasti tal muid argumenti polnud. Järelikult esimene osa Kanti vastusest pole õnnestunud.

Kas meil on aprioorset teadmist helide, värvuste või ruumi loomuse kohta? Ei. Seda, et kuuldavatel helikõrgustel on ühemõõtmeline kord, värvitoonidel aga mitte, teame üksnes kogemusest. Sama kehtib ka kujude ja teiste ruumiliste suhete teadmise kohta. Ilma kogemuseta me ei tea, et need nõuavad kolme mõõdet. Tundub, et sama vastuse saame siis, kui rakendame Kanti enda selgitust, et aprioorne teadmine on see, mida mõeldakse paratamatuna ja rangelt üldisena. Pole alust uskuda, et kõikidel helidel, mida me kunagi kuuleme, peab olema kõrgus tuttaval skaalal, või et kõigil värvustel, mida me kunagi näeme, peab olema juba tuttav värvitoon. (Osalt sellepärast, et me peame võimalikuks, et inimloomus võib muutuda, nii et me hakkame näiteks nägema infrapunaseid värvusi. Ka sellepärast, et me peame võimalikuks, et see, kuidas me värvusi tajume, sõltub osalt ka asjadest enestest (need võivad muutuda).) Nähtavasti kehtib see ka ruumiliste omaduste ja suhete kohta. Loomus võib muutuda, ärritajad võivad muutuda, võib-olla sellepärast, et ruum muutub kõveramaks. Paistab, et siin aprioorset teadmist ei ole. Ent need kaalutlused näitavad ainult, et helide, värvuste ja ruumi tajutavad omadused ei ole tegelikult paratamatud. Aga Kant räägib sellest, kas neid mõeldakse paratamatutena. Teistsuguseid helide, värvuste ja ruumi omadusi ei suudeta kujutleda. Bostock arvab, et see ongi Kant väite taga, et meie ruumitunnetus on aprioorne.

Kant rõhutab matemaatikas rakendatava mõtlemise vastandlikkust teistes valdkondades, eriti metafüüsikas rakendatava mõtlemisega. Tema meelest on matemaatilisel mõtlemisel eelis selle pärast, kuidas ta kasutab kaemust. Ruum ja aeg on aprioorsed kaemused, ruumi- ja ajamõisted konstrueeritakse kaemuses. On võimalik tuua mingi mõiste näide kujutluses või paberil ning pöörata tähelepanu ainult nendele näite tunnustele, mis selle mõistega antud on. Peale selle, selleks et tõestada mõni teoreem näiteks kolmnurga kohta, konstrueerib ta peale kolmnurga veel jooni. Kanti järgi on tegu läbinisti kaemusest juhinduvate järelduste ahelaga. Kas Kant arvab, et geomeetrilise tõestuse puhul konstrueeritakse alati lisajooni? On ka tõestusi, mis seda tehnikat ei rakenda. Võidakse kasutada kolmnurkade nihutamist. Sageli öeldakse, et sellise meetodi kasutamine on Eukleidese tõestuste puudus, sest see ei tule aksioomidest. Aga see on hea näide kaemuses konstrueerimisest. Nähtavasti kõik huvitavad geomeetrilised tõestused nõuavadki mingit laadi konstrueerimist. Ruumikaemusele tuginedes me näeme, et konstruktsioon on alati võimalik ja sellel on soovitav tulemus. Seda, et Eukleides toetub kaemusele, peetakse tema aksiomaatika puuduseks. Aga Kant arvas vist, et geomeetria aksiomaatika, mis midagi kujutluse hooleks ei jäta, pole võimalik. Geomeetria tollast taset arvestades on see mõistlik mõte. Alles David Hilbert (1899) andis geomeetria ammendava aksiomaatika. Kanti järgi nõuab geomeetriline arutlus kujutluses kujundite konstrueerimist, ja tõestused tuginevad sellele, mis on kujutletav.     

Kant ütleb, et me saame teada, et 7 + 5 = 12, ainult kujutledes 5 asja ning liites need ükshaaval kujutlusele 7 asjast. See on nähtavasti kaemuses konstrueerimine. Aga kuidas saada teada, et 700 + 500 = 1200? Siin tuleb kasutada üldisi liitmise reegleid, kuigi paistab, et Kant nende olemasolu ei tunnista. Ta ütleb, et aritmeetikas ei ole aksioome, nähtavasti sellepärast, et iga võrdus tehakse kindlaks eraldi konstruktsiooniga. (Selliseid propositsioone, nagu "kui võrdsetele liidetakse võrdsed, saadakse võrdsed" ta peab analüütilisteks ega pea neid aksioomideks.) Kant vihjab, et aritmeetikal on eriline seos ajaga (A139 = B178). Ta märgib ka, et algebra on tuletuslikult konstruktsioon kaemuses (A717 = B745, A734 = B762). Bostock arvab, et see tähendab, et tehted sümbolitega on legitiimsed ainult sellepärast, et need representeerivad tehteid suurustega, mida päris kaemus saab kontrollida.

Peatükk 3. Reaktsioonid Kantile
"Puhta mõistuse kriitikast" kuni Williard Van Orman Quine'i artiklini "Empirismi kaks dogmat" oli üks matemaatikafilosoofia keskseid küsimusi, kas Kantil oli õigus selles, et matemaatika tõed on sünteetilised ja aprioorsed. Empiristid tahtsid seda eitada, nii et neil tuli näidata kas seda, et need on analüütilised, või seda, et need on aposterioorsed. Esimene oli populaarsem; teise väljapaistev esindaja oli John Stuart Mill. Ta pööras tähelepanu ainult geomeetriale ja elementaararitmeetikale. Geomeetria osas oli tal õigus, aritmeetika osas mitte.

1. Mill geomeetriast
Milli põhiväide on see, et paratamatus ja eriline kindlus, mis matemaatika tõdedele omistatakse, on illusioon. Nagu peaaegu kõik filosoofid enne Saul Kripke raamatut "Nimetamine ja paratamatus", samastab Mill (System of Logic) paratamatut tõde ja aprioorset teadmist, seega ta eitab ka matemaatika tõdede aprioorsust. Mill kasutab peamiselt vastuargumente. Esiteks, geomeetria tõdede paratamatust on põhjendatud sellega, et geomeetria on täis idealisatsioone, sellepärast räägib ta ideedest meie vaimus. Mill vastab, et ka vaim ei suuda idealisatsioone ette kujutada. (Tegelikult saab: musta ja valge ala piir on paksuseta.) Geomeetriat saab käsitada tavaliste esemete geomeetriliste omaduste uurimisena, isegi kui neid mõnevõrra idealiseeritakse; Bostocki meelest on see parem kui eeldada puhtvaimseid objekte. Mill aktsepteerib, et geomeetriateadmine saadakse deduktsiooni teel aksioomidest ja definitsioonidest. Kui eeldused oleksid aprioorsed, siis ka järeldused oleksid aprioorsed. Ta aktsepteerib ka, et definitsioone võib võtta stipulatsioonidena ning need on seetõttu paratamatud ja aprioorsed. Ta on ka valmis möönma, et mõned aksioomideks peetavad väited saab sõnastada definitsioonidena või asendada definitsioonidega, millest need järelduvad. Aga ta rõhutab, et deduktsioonid tuginevad ka ehtsatele aksioomidele, mis on sisulised väited, mitte varjatud definitsioonid. Tema lemmiknäide on: "Kaks sirget ei saa kaks korda lõikuda." Selliseid aksioome saab Milli järgi teada ainult kogemuse põhjal. Ta möönab, et asi pole lihtsalt selles, et me pole säärast lõikumist kunagi kogenud, vaid ka selles, et me ei saa seda ette kujutada. Aga viimane pole lisatõend, sest see, mida saab kujutleda, on piiratud sellega, mida on tajutud, ja kogemus on näidanud, et see, mida saab kujutleda, esineb, ja see, mida ei saa kujutleda, ei esine. Ruumilise kujutletavuse seost ruumilise võimalikkusega ei saa aprioorselt kindlaks teha. (Kui olukorda, mida kujutab mõni Maurits Cornelis Escheri joonistus, on võimalik kujutleda, on võimalikkuse ja kujutletavuse seosel erandeid). Millegi mõeldavuse all mõistab Mill meie võimet aru saada, et see võib tõene olla. Ta möönab, et tavaliste geomeetria aksioomide väärus on mõeldamatu, kuid väidab et sellest ei saa legitiimselt järeldada ei seda, et meie teadmine selle kohta ei põhine kogemusel, ega seda, et selle väärus on võimatu: ka seda, mida inimene saab mõelda, piirab see, mida ta on kogenud, see, mille uskumiseni ta on viidud, ja tema loova mõtlemise nõrkus. Mill mainib juhtumeid, kus midagi praegu tõeseks peetavat on kunagi peetud mõeldamatuks. Aristotelese liikumisseadus ütleb, et selleks et asja liikumine jätkuks, tuleb sellele jätkuvalt jõudu rakendada, praegu pole aga lastelgi raske uskuda inertsiseadust. Teine näide on kaugmõju, mida Newtoni gravitatsiooniteooria paistab nõudvat, mida kartesiaanid aga ei suutnud uskuda ja asendasid pööriste teooriat; ja mida Gottfried Wilhelm Leibniz ei uskunud; ja mida Isaac Newton ise ei uskunud, aga meie lapsed usuvad. Mill toob veel näiteks aine jäävuse seaduse, mille väärus oli kaasaegsetele tõsistele teadlastele mõeldamatu, mida aga relatiivsusteooria eitab. Selliseid näiteid pakuks ka kvantteooria. Bostock on kindel, et Mill ei teadnud mitteeukleidilistest geomeetriatest. Praegu on üldtunnustatud, et see, milline geomeetria käib tegeliku ruumi kohta, on empiiriline küsimus. Tänapäeva füüsikud peavad ruumi kõveraks, nii et Eukleidese aksioomid ei kehti. Matemaatik ütleb, et see pole tema asi, milline geomeetria tegelikult tõene on. Matemaatik võib väita, et pole mõtet rääkida aksiomaatikate tõesusest. Või ta võib väita, et on mõtet rääkida küll, aga vastamine pole tema, vaid füüsiku pädevuses.  

Praegu on üldtunnustatud, et me saame kõik aru, mis on Eukleidese ruum, ja oskame selle raames arutada, näiteks öelda, millised aksioomid selle kohta kehtivad, ning et igapäevane ruumikogemus näitab, et see on ligilähedaselt Eukleidese ruum, kuigi see ei näita, kas see on täpselt nii. Sellepärast tundubki Eukleidese geomeetria nii intuitiivne ja me tõlgendame oma kogemust automaatselt selle järgi (see on lihtsaim ja tavaelus kõige tõhusam). Poleks aga ime, kui füüsikud jõuaksid järeldusele, et ruumi kui terviku geomeetria on teistsugune.

2. Mill ja Frege aritmeetikast 
Et geomeetria oli deduktiivne teadus, sai Mill keskenduda aksioomidele. Aritmeetika aga polnud veel aksiomatiseeritud, nii et polnud selge, millised propositsioonid on aksioomid. Tundub, et ta arvas, et elementaararitmeetika sõltub ainult üksikute arvude definitsioonidest ning printsiipidest "võrdsete summad on võrdsed" ja "võrdsete vahed on võrdsed". (Praegu on selge, et on ka teisi.) Mill väidab, et need printsiibid on kogemuse üldistused füüsilise liitmise ja lahutamise kohta. Ta ütleb ka, et üksikute arvude definitsioonid on kogemuse üldistused, ja selles tal mõttekaaslasi pole olnud. Kõigepealt lükkab ta tagasi "nominalismi", mille järgi aritmeetikatehted on puhtsõnalised, keelelised teisendused, näiteks "3" asendamine "2 + 1"-ga. Õpetust, et fakte saab avastada keelelise manipuleerimisega, peab ta terve mõistuse vastaseks, nii et ainult filosoof saab seda uskuda. Ta peab silmas õpetust, et näiteks "3" ja "2 + 1" on sama tähendusega. Edasi väidab ta, et kõik arvud on millegi arvud, pole abstraktseid arve, aga sellepärast on need mille tahes arvud. Järelikult ka propositsoonid üksikute arvude kohta on tegelikult üldistused, näiteks "2 + 1 = 3" tähendab 'Mis tahes kaks ja mis tahes üks on kokku kolm.' Aga sellest veel ei järeldu, et neid üldistusi teatakse empiiriliselt. Mill ütleb, et kui võtta kolme definitsiooniks "kolm on kaks pluss üks", siis seda kasutavad arvutused ei sõltu mitte definitsioonist, vaid eeldatud teoreemist, et on olemas niisugused objektide kogumid, mis paistavad meeltele kolmena ja mida saab lahutada kaheks ja üheks. Gottlob Frege ("Aritmeetika alused") naerab välja mõtte, et kui me ei saaks seda lahutamist teha, siis 2 + 1 ei oleks 3. Ta lisab, et Milli järgi tuleb välja, et pole korrektne rääkida kolmest kellalöögist, kolmest maitsest ja võrrandi lahendamise kolmest meetodist. Milli tõlgendus liitmisele ei ole kaitstav. Võib proovida teisi tõlgendusi, mis ei viita paistmisele vms, kuid lubaks siiski öelda, et liitmised tehakse kindlaks kogemusega. Võiks näiteks oletada, et "7 + 5 = 12" tähendab umbes: 'Kui loendada üks kogum ja saada summaks 7 ning loendada teine kogum, milles pole esimesega ühiseid elemente, siis kui loendada need kaks kogumit koos, siis tuleb summaks 12.' See on küll empiiriline propositsioon, kuid väär, sest tuleb lisada tingimus, et loendatakse õigesti. Nüüd tekib küsimus, kas õige loendamise mõistet tuleb empiiriliselt selgitada. Ei tule. Võtame näiteks "2 + 2 = 4". Predikaatloogikas saab seda väljendada nii, et kui on täpselt 2 F-i ja täpselt 2 G-d ja ükski indiviid pole F ja G, siis on F-e ja G-sid kokku täpselt 4. Selle kindlakstegemiseks pole aga loendamiskogemust tarvis, sest see on predikaatloogika teoreem. Teiste naturaalarvude summadega on sama lugu. Frege ütleb veel, et näiteks seda, et 7000 + 5000 = 12 000 on tõene, me ei usu mitte sellepärast, et oleme palju kordi loendanud ning leidnud, et iga kord tuleb see tulemus. Kuidas empirist saab seda teadmist seletada? On ilmne, et summa ei ole saadud mitte loendades, vaid arvutades: 7000 + 5000 = (7 × 1000) + (5 × 1000) = (7 + 5) × 1000 = 12 × 1000 = 12 000. Esimest ja viimast sammu on mõistlik võtta araabia numbrite definitsioonidest tulenevatena. Kolmas samm tuleb propositsioonist 7 + 5 = 12 koos printsiibiga, et võrdsete korrutised võrdsetega on võrdsed. Teine samm tuleb distributiivsuse printsiibist: (x × z) + (y × z) = (x + y) × z. Aga kuidas me teada saame, et see üldine printsiip on tõene? See küsimus käib ka teiste üldiste printsiipide kohta. Paistab, et selleks et see teadmine oleks Milli vaimus empiiriline, ei ole muud võimalust, kui et printsiibid tuleb väikeste arvude peal katseliselt kontrollida ning siis kasutada induktsiooni. Ent sel juhul me poleks nii kindlad, et need printsiibid väga suurte arvude puhul kehtivad. Kokkuvõtteks, Frege kriitikal on kaks põhirubriiki. Esiteks, tehteid ei saa lihtsalt samastada füüsiliste operatsioonidega, sest sellega, et füüsilised operatsioonid ei anna alati sama tulemust, ei saa aritmeetika propositsioone ümber lükata, ja viimaseid saab rakendada ka mittefüüsilistele operatsioonidele mittefüüsiliste objektidega. Aritmeetika lauset ei tohi ära segada selle rakendustega. Tavaliselt on empiiriline küsimus, kas konkreetne rakendus töötab, aga aritmeetika ise sellest ei sõltu. Teiseks, me oleme kindlad, et aritmeetika seadused käivad ka suurte arvude kohta, aga seda on empiristil raske seletada. Kolmandana lisab Bostock: kuidas empirist seletab uskumust, et arve on lõpmata palju? Milli teooria järgi tundub see uskumus väär.        

Frege leidis, et geomeetria osas oli Kantil õigus, aga aritmeetika tõed on analüütilised. Analüütiliseks tõeks nimetas Frege tõde, mis on tõestatav puhta loogika ning mõistete definitsioonide põhjal. Ta väitis, et see definitsioon väljendab Kanti mõtet selgemalt. 

Frege kriitika Milli empirismi aadressil aritmeetika vallas on otsustav. Tema enda positsioon on esialgselt ligitõmbav. Kuidas tuleb analüütilisus defineerida, et Kanti väited ümber lükata?

3. Analüütilised tõed
 
Kanti algne mõte oli järgmine: kerge on näha, kuidas "analüütilisi" tõdesid on võimalik aprioorselt teada ning teada, et need on paratamatud, sest tuleb lihtsalt analüüsida neid mõisteid, mis meil juba on. Analüüs oli Kanti jaoks lihtsalt mõiste jagamine "osadeks". Frege rääkis tõestustest, mis tuginevad ainult loogikale ja definitsioonidele. Ta ei arvanud, et iga õige definitsioon ütleb, millistest "osadest" mõiste koosneb. Teised on väitnud, et definitsiooni mõiste on liiga kitsas. Traditsioonilise vaate järgi on väljendi defineerimine uue, tavaliselt keerulisema väljendi esitamine (väljend on oma definitsiooni lühend, nii et selle võib igas kontekstis asendada definitsiooniga). Aga tänapäeva matemaatikas on definitsiooni mõiste laiem. Näiteks arvude omadusi saab defineerida rekurrentsete definitsioonidega. Veel radikaalsemalt on väidetud, et analüüsi mõiste peaks ulatuma definitsiooni mõistest kaugemale. Paljud on väitnud, et "kõik punane on värviline" on analüütiline, samuti "miski ei ole (üleni, ühel ajal jne) nii punane kui ka roheline", kuigi nad möönavad, et "punane", "roheline" ja "värviline" pole defineeritavad. Nii et lubatavad on peale tähendusvõrduste ka tähenduse sissehaaramised ja tähenduse välistamised. Aga sellisel laiendamisel ei ole loomulikku lõppu (näiteks "esivanema vanem on esivanem"). Nii jõuame Rudolf Carnapi (Meaning and Necessity) ettepanekuni, et iga keele juurde tuleb anda palju "tähendusreegleid", ja nende kuju ei saa ette anda.  

Fregel ei ole analüütilised mitte ainult analüüsi tulemused, vaid ka see, mida ta nimetab loogikaks. Definitsioonid tavalises mõttes ei taga tõesust. Näiteks "poissmehe" definitsioon võib öelda, et see sõna tähendab sama mis "mees, kes ei ole abielus". Siis "Ükski poissmees ei ole abielus" tähendab sedasama mis "Ükski mees, kes ei ole abielus, ei ole abielus". Aga mis tagab, et viimane on tõene? Ei ole tarvis veel üht definitsiooni ega osavamat analüüsi, vaid loogikat. Frege peab loogika tõdesid automaatselt analüütilisteks. Nüüd aga ei piisa aprioorse teadmise seletamisest sellest, et me analüüsime mõisteid; tuleb seletada ka seda, kuidas on loogika tõdesid võimalik aprioorselt teada. Fregel pole selle kohta midagi öelda. Võtame aluseks järgmise: analüütiline tõde on tõde, mille tõesuse määrab selle väljendamiseks kasutatavate sõnade tähendus. Näiteks Alfred Ayer (Language, Truth and Logic, ptk 4) väidab, et loogika ja matemaatika on analüütilised, ning defineerib: propositsioon on analüütiline, kui selle kehtivus sõltub ainult seda väljendavas lauses sisalduvate sümbolite definitsioonidest. Jutt ei ole mitte tavamõistes definitsioonidest, vaid keelekasutuse reeglitest, sõnade funktsioonist, sõnakasutuse kokkuleppest. Loogikaväidete tõesuse võtab ta loogikasõnade (näiteks "või", "kui", "kõik") funktsioonidest või nende kasutamise kokkuleppest, definitsioonidest pole juttu. Ayer väidab, et keelelised kokkulepped tagavadki loogika propositsioonide tõesuse. Kuidas need seda teevad? Küllap need ongi kokkulepped mingite propositsioonide tõesuse kohta. Võib ju lisada, et mõned kokkulepped, näiteks loogiliselt korrektsete järeldamisvormide kohta, on tngimuslikud, kui teatud propositsioonid on tõesed, siis ka teatud teised propositsioonid on tõesed. Aga mingid kokkulepped peavad stipuleerima otseselt tõesuse. Ayer ei pööra järeldamisreeglitele tähelepanu ega pea loogika puhul deduktsiooni oluliseks. Iga loogika propositsioon kehtib omaette; selleks pole tarvis süsteemi ega enesestmõistetavatest propositsioonidest dedutseerimist. Loogika süsteem on kasulik analüütiliste propositsioonide avastamiseks ja kontrollimiseks, kuid pole sellekski hädavajalik. Mõeldav on sümbolite süsteem, milles iga analüütilise propositsiooni analüütilisus nähtub selle vormist. Keelelised kokkulepped stipuleerivadki tõesuse, ja stipuleeritud tõesusega propositsioonid ongi analüütilised ja aprioorsed.

Aga kui keelelised kokkulepped lihtsalt stipuleerivad tõesuse (või tingimusliku tõesuse), mis sellel on pistmist tähendusega? Vastus peab olema see, et teatud lausete tõesust stipuleerides antakse selles sisalduvatele sõnadele tähendus, sest stipuleeritakse, et neil sõnadel on niisugune tähendus, mis teeb need laused tõeseks. Selle järgi, mis on tõene, tuleb tähendused alles leida. Analüütilised tõed on küll stipuleeritud, kuid ned võib siiski pidada tõesteks tähenduse tõttu, sest stipuleeritud on see, et neil peab oleme selline tähendus, mis teeb need tõesteks. Ent see õpetus ei tööta. See eeldab, et me lihtsalt stipuleerime loogika reeglid, ja see, mis on niimoodi stipuleeritud, peab olema tõene. Aga see ei ole nii. Arthur Prior ("The Runabout Inference-Ticket") tõi niisuguse näite. Oletame, et keegi tahab sisse tuua uue lausekonnektori "tonk", millel oleks samasugune grammatika nagu konnektoritel "ja" ja "või", kuid teistsugune tähendus. Tähenduse stipuleerib see, et ta rahuldab kaht järgmist dedutseerimisreeglit: mis tahes lausete P ja Q korral kehtivad arutlused

P
––––
P tonk Q

ja 

P tonk Q
––––
Q 

Ayeri keeles stipuleeritakse, et järgmised konditsionaalid on alati tõesed: "Kui P, siis P tonk Q;" "Kui P tonk Q, siis "Q". Niisugune stipuleerimine ei õnnestu, sest kui arutluste kehtivuse ja sõna "kui" tähendus samaks jätta, siis arutlus

P
––––
Q

kehtiks alati ja konditsionaal "Kui P, siis Q" oleks alati tõene. Nii et sellise sõna lisamine teeks keele vastuoluliseks Emil Leon Posti mõttes: iga lause on tõestatav. Pole mõtet stipuleerida, et sõnal "tonk" on niisugune tähendus, sest lausekonnektoril ei saa olla niisugust tähendust. Teine näide on Grellingi paradoks. Ei saa stipuleerida omadussõnu iseloomustavat sõna "heteroloogiline", mis peab omadussõna kohta olema tõene parajasti siis, kui see omadussõna ei ole tõene iseenda kohta. Loogika ise paneb piirid sellele, mida saab stipuleerida. Pole selge, kuidas loogikal saab olla stipulatsioonide üle nii suur võim, kui ta ise on stipuleeritud. Igatahes pole tagatist, et mis tahes stipulatsioonide komplekt on korraga kehtestatav. See on hoop Ayeri konventsionalismile. Nüüd meil pole aprioorse teadmise lihtsat seletust, et me lihtsalt teame seda, mida oleme ise stipuleerinud. Me peame teadma ka seda, kas meie stipulatsioonidel õnnestub sisse tuua ehtsaid tähendusi. Ja sellel, kuidas seda on võimalik teada, seletust pole. See on kuidagi seotud loogikaga, aga konventsionalism ei anna loogika teadmisele rahuldavat seletust. Oletame, et seda, mis on tõeseks stipuleeritud, teatakse aprioorselt. Siis ka selle loogilisi järelmeid teatakse aprioorselt. Aga stipuleeritu loogiline järelm ei ole ise stipuleeritud, nii et selle teadmisel pole seletust. Võtame näite tavalisest lauseloogikast. Siin võiks öelda, et me teame stipuleeritut: näiteks lausekonnektorite tähenduse annavad tõeväärtustabelid. Vaatame arvutust, mis näitab, et valem P v P saab alati tõeväärtuseks "tõene". P on kas tõene või väär (see on stipuleeritud lausetähtede kasutamise kokkuleppega). 2. Kui P on tõene, siis P v P on tõene (stipuleeritud disjunktsiooni tõeväärtustabeliga). 3. Kui P on väär, siis P on tõene (stipuleeritud eituse tõeväärtustabeliga). 4. Kui P on tõene, siis P v P on tõene (stipuleeritud disjunktsiooni tõeväärtustabeliga).
5. Järelikult kõigil juhtudel P v P on tõene (see ei ole stipuleeritud, kuigi see stipulatsioonidest järeldub). Kui eelduste tõesus on aprioorne, siis arutluse tõttu ka järeldus on aprioorne, kuid see pole otseselt stipuleeritud. Algsetest kokkulepetest on võimalik aru saada, teadmata nende mõju konkreetsetele valemitele, ning asja uurides saame uue teadmise, mis on aga nähtavasti ikkagi aprioorne. Eelduste tõesusest piisab järelduse tõesuse tagamiseks, kuid mis annab järelduse teadmise? Muu hulgas meie võime taibata, et järeldus järeldub eeldustest. Ja see võime ei ole stipulatsiooni teadmine. Mõte on ju selles, et algsed stipulatsoonid annavad tähenduse. Selleks et tähendust saaks haarata, peab algseid stipulatsioone olema vähe. Aga neil on isegi sel lihtsal juhtumil lõpmata palju järelmeid. Sellepärast ei saa kõik järelmid olla stipulatsioonid. Väga sarnane vastuväide on Williard Van Orman Quine'i artiklis "Truth by Convention", kus on jutt üldistusest üksikjuhtumiteni jõudmisest. Selleks et algsetel stipulatsioonidel oleks lõpmata palju järelmeid, peavad nad olema antud üldistustena, näiteks: mis tahes lausete P ja Q korral kui P on tõene, siis P v Q on tõene. Edasi läheb arutlus nii, et igal propositsoonil on eitus P ning siis ka kui P on tõene, siis P v P on tõene. See on järeldamine. Quine'i artikkel ei rõhuta, et järeldamine võib lähtuda ka mitmest üksikjuhtumist. Igatahes selleks et sõnade tähendusi saaks tähendust andvate kokkulepete järgi ära õppida, peab neid kokkuleppeid olema lõplik arv. Aga nende järelmeid on potentsiaalselt lõpmatult, ja sageli me taipame, et see-ja-see on järelm. Seda taipamist peetakse aprioorseks, järelikult ei piirdu aprioorne teadmine tähendust andvate kokkulepete teadmisega. Bostock peab seda järeldust tänapäeval väga üldtunnustatuks. Seda tunnustavad isegi need, kellele meeldib mõte, et analüütilisus on aprioorse teadmise tähtis allikas, näiteks Christopher Peacocke ("How Are A Priori Truths Possible?").  

On siiski üks meeleheitlik katse seda järeldust vältida, radikaalne konventsionalism. Ayerit peetakse mõõdukaks konventsionalistiks, sest ta ei väida, et näilised kokkulepete järelmid on tegelikult samuti kokkulepped. Ta lihtsalt ei taibanud probleemi. Radikaalne konventsionalist ütleb, et me mitte ei avasta uusi järelmeid, vaid otsustame teha uusi tähendust andvaid kokkuleppeid, nii et me täpsustame väljendite algseid tähendusi. (Seda vaadet on omistatud Ludwig Wittgensteinile (Michael Dummett, "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics"; Crispin Wright, Wittgenstein on the Foundations of Mathematics; Barry Stroud ("Wittgenstein and Logical Necessity") eitab seda.) See väide ei ole usutav. Kui küsitakse, kas 167 on algarv, siis vastusena avastatakse järelm, aga radikaalne konventsionalist peab ütlema, et saadakse uus aprioorne teadmine uue keelelise kokkuleppe põhjal, kusjuures täpsustatakse lause "167 on algarv" tähendust. Aga milles see uus tähendus võiks seisneda? Sellest teooriast järeldub muide ka, et ei õnnestu tõestada seda, mida hakati tõestama, sest tõestus muudab tõestatava teesi tähendust. Peale selle, radikaalse konventsionalismi järgi jääb meie otsustada, kas teesi lugeda tõestatuks. Tegelikult aga leiavad kõik, et tõestust ei saa tagasi lükata. Võib-olla küll tunne, et tõestus on sundiv, on illusioon, aga siis radikaalne konventsionalism seda illusiooni ei seleta, sest selle teooria järgi me oleme vabad tegema või tagasi lükkama mis tahes kokkuleppeid, sest ükski valik ei kitsenda teisi valikuid. Aga me tunneme seda kitsendust, ja nimelt välisena. Võib-olla me mingis mõttes teeme eeldusi tõesteks ja võib-olla me mingis mõttes teeme järeldamisreegleid, aga me oleme kindlad, et see ei olene meist, paratamatus on juba olemas.

4. Kokkuvõtvad märkused 
Kant tuli mõttele, et analüütiliste tõdede aprioorne teadmine on täiesti arusaadav, seletada on aga tarvis sünteetiliste tõdede aprioorset teadmist. Ta ei näidanud kõigile veenvalt, et viimane olemas on. Ta pööras põhitähelepanu geomeetriale ja eksis selles. Tavalise geomeetria väited ei ole analüütilised ega aprioorsed. Millil oli selles õigus, üldtunnustatuks sai see hiljem. Aritmeetika puhul on Kanti väide püsima jäänud, kuigi tema argumente ei peeta enam veenvateks. Frege tõestas üksikasjalikult, et aritmeetika väiteid tuleb pidada analüütilisteks. Ent ta pidas ilmseks, et kui aritmeetika tõed on analüütilised, siis nad peavad olema aprioorsed. Ta ei püüdnudki seda põhjendada, ja tema analüütilisuse definitsiooni korral tekib kaks raskust. Esiteks, mida pidada analüüsiks ja kuidas kindlaks teha, kas väljapakutud analüüs on õige? Teiseks, kuidas seletada loogika teadmist? Matemaatika teadmise saab taandada analüüside teadmisele ja loogika teadmisele, aga see pole veel probleemi lahendus.

Peatükk 4. Matemaatika ja selle alused 

Bostock püüab näidata, et matemaatikal on alused ja ta vajab aluseid, st põhiprintsiipe, millel kõik ülejäänu põhineb.

1. Geomeetria 
Vana-Kreekat loetakse matemaatika hälliks, sest seal hakati otsima tõestusi. Tõestuse nõuet võib võtta kindluse nõudena või seletuse nõudena. Tänapäeval on tõenäoliselt enamiku matemaatikute jaoks valdav esimene, muinaskreeklaste jaoks oli aga Bostocki arvates valdav esimene, vähemalt alguses. Muidu oleks imelik, et nad otsisid tõestust ammu teada asjadele. Ja see läheb kokku ka loodusteaduse ja filosoofia algusega, sest need on seotud seletuse otsimisega. Tõestuse nõue viib aksioomide otsimisele, sest iga tõestus nõuab eeldusi. Mõnikord piirdutakse konsensusega selles, mis ei vaja tõestust, nagu Vana-Kreeka aritmeetikas. Eukleides taandab "Elementides" arvud joontele, mistõttu ta ei esita nende kohta eraldi aksioome. Esimese tõsiseltvõetava katse naturaalarvude teooria aksiomatiseerida tegi Richard Dedekind ("Was sind und was sollen die Zahlen?"). Sellegipoolest avastati ka varem palju huvitavaid tõestusi. Geomeetrias aga hakati aluseid otsima ammu enne Eukleidest. Eukleides esitab kõigepealt hulga definitsioone, millest mõnesid ta kunagi ei kasuta, ning seejärel mõned teesid, mida ta nimetab postulaatideks, ning mõned teesid, mida ta nimetab üldisteks arusaamadeks. Viimased on põhiliselt samasuse seadused, esimeste seas on mõned olemasoluväited ja kaks väidet, mis koos moodustavad paralleelide aksioomi. Need on mõeldud ammendavate alustena, kuigi tänapäeval peetakse neid mitteammendavateks. "Elementide" ülejäänud sisu põhineb nendel. Platon, Aristoteles, Galileo Galilei ja Isaac Newton samastasid tõelist matemaatikat geomeetriaga, sest geomeetrias tuleb kõik tõestada. Eukleides avastaski, et on tarvis paralleelide postulaati või selle ekvivalenti, mis paistis millelegi lihtsamale mitte taanduvat. See postulaat ei tundu nii ilmsena kui teised. Hiljem püüti edutult seda millelegi lihtsamale taandada, ja avastati hoopis mitteeukleidilised geomeetriad. See andis tõuke formalismile. Alternatiivsete geomeetriate avastamine muutis kahtlaseks eelduse, et Eukleidese geomeetria on universumi ruumi teooria. Matemaatik pidi nüüd möönma, et ta ei saa seda küsimust lahendada ning see tuleb jätta füüsikule. Oli ebaselge, kas Eukleidese geomeetrial on mudel, mille jaoks ta oli mõeldud. Ent juba René Descartesi ajast oli teada, et tal on mudel, millele polnud mõeldud, nimelt Descartesi koordinaadid: tasandi iga punkti võib tõlgendada reaalarvude järjestatud paarina, sirget mingi lineaarvõrrandi lahendite hulgana jne. Punkti ja sirge mõiste ei olnud algselt nii mõeldud, aga matemaatikut see ei häirinud, sest uus tõlgendus osutus geomeetria uurimisel väga kasulikuks. (Sarnased tõlgendused on olemas ka mitteeukleidiliste geomeetriate jaoks.) See julgustab mõtet, et pole mõtet küsida, kas geomeetria aksioomid on tõesed, sest neid tõlgendatakse mitmeti ning ühes tõlgenduses on need tõesed, teises väärad. Siit tuleb mõte, et matemaatikat huvitab ainult see, mis aksioomidest järeldub või ei järeldu. See on loomulik reaktsioon mitteeukleidiliste geomeetriate avastamisele. Mitteeukleidilist aritmeetikat pole avastatud. Kas sellel oleks samasugune mõju?

2. Erinevad arvude liigid
Klassikalises kreeka matemaatikas on ainult naturaalarvud alates 1-st. Me ütleksime, et geomeetrias läheb tarvis ka ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Aga kreeka matemaatika ei omista pikkustele arve, vaid räägib pikkuste proportsioonidest ning võrdleb neid naturaalarvude jagatistega. Tõenäoliselt peeti algul enesestmõistetavaks, et näiteks igale pikkuste proportsioonile vastab naturaalarvude jagatis, kuid siis avastati, et see nii ei ole. Näiteks ruudu külje ja diagonaali proportsioonile ükski naturaalarvude jagatis ei vasta (see on meie mõistes irratsionaalarv). Nii et tarvis oli üldist proportsioonide teooriat, selle esitas Eudoxos ning seda kirjeldab Eukleidese "Elementide" V raamat. Keskne idee oli järgmine. Kaht proportsiooni (a:b ja c:d) saab samastada: 
a:b :: c:d ehk a suhtub b-sse nagu c d-sse. Iga pikkust (või pindala või muud suurust) saab korrutada naturaalarvuga, nii et n·a on n korda pikem kui a. Kui n ja m on naturaalarvud ja a:b :: c:d, siis n•a :: m•b parajasti siis, kui n•c :: m•d ehka:b :: m:n parajasti siis, kui c:d :: m:n. Kui nüüd võtta a:b ja c:d reaalarvudeks, siis see definitsioon ütleb, et need on sama arv siis ja ainult siis, kui neil on kõik needsamad suhted (suurem, võrdne, väiksem) ratsionaalarvudega. Teiste sõnadega, need on sama, kui need teevad ratsionaalarvudesse sama "lõike". See on peaaegu sama mis Dedekindi lõige. Ainult et kreeka teooria ei näita, et igale lõikele vastab reaalarv. Kreeka teooria seletas ka, kuidas proportsioonidega tehteid teha. Mõlema teooriaga sai teha enam-vähem samu asju. Kreeklased andsid oma teooriale "aluse", aga meie reaalarvude teooria pidi alust kaua ootama. Hiljem tunnistati üha rohkem liike asju arvudeks, aga aksiomaatikaid ei püütud rajada. Kreeklased ei andnud naturaalarvude aksiomaatikat ja nähtavasti ei vajanud seda.    

Kreeka teooria esimesed laiendused olid null ja negatiivsed täisarvud. Need tulid nähtavasti Indiast araablaste kaudu hiliskeskajal. Null võimaldas positsioonisüsteemi (araabia numbrid). Negatiivsetele arvudele seisti vastu, kuid need osutusid kasulikuks. Varsti defineeriti nendega arvutamise reeglid. Aga neid reegleid täpselt dedutseerida ei püütud. 
    
Järgmine tähtis mõisteline uuendus oli proportsioonidest arvude tegemine. Juba Kreekas praktikas arve ja proportsioone alati rangelt ei eristatud. Kaasa aitas algebra tähtsuse kasv. Algebralise võrrandi muutujaid võeti sageli geomeetriliste suuruste (pikkused, pindalad) kohta käivatena, kuid neid saadi võtta ka naturaalarvude või murdude või negatiivsete arvude kohta käivatena. Kõigil neil juhtudel tuleks muutujate väärtusteks pidada arve, kui kaasa arvata ka reaalarvud, sest see ei takista algebra rakendamist geomeetria probleemidele, vaid julgustab seda, ja see tehnika osutub väga produktiivseks, nagu selgus Descartesi töödest ja hilisematest rakendustest. Nii et arvu mõiste haarab siis peale naturaalarvude siis nulli, negatiivseid täisarve ning positiivseid ratsionaal- ja reaalarve. Miski ei takista lisamast negatiivseid ratsionaal- ja reaalarve, eriti kui võrranditega tegeldakse vanal viisil. Tee on lahti ka näiteks imaginaararvudele, eriti kui algebraülesanded paistavad neid vajavat. Arvu mõiste laiendamine toimus pikkamööda ja vaidluste saatel. 17. sajandiks oli arvu mõiste tunduvalt laienenud. Aga keegi ei otsinud sellele laienenud teooriale alust. Paistab, et aluste teemat ignoreeriti täielikult, kuni diferentsiaal- ja integraalarvutus hakkas näitama, et aluseid on tõesti tarvis.

3. Diferentsiaal- ja integraalarvutus   
Diferentsiaal- ja integraalarvutuse tähtis eelkäija oli geomeetria tehnikate laiendamine ajale (René Descartes, Pierre de Fermat). Liikumine oli nüüd matemaatika vallas ja seda sai kujutada graafikuna. See joon kujutas funktsiooni ning funktsioonide uurimine muutus aina tähtsamaks. Algne mõte oli see, et punktid joonel näitavad liikuva eseme asukohta igal hetkel, nii et ühtlast liikumist kujutab sirge, kiirenevat või aeglustuvat liikumist kõver. Eseme hetkkiirust igal hetkel kujutab kõvera tõus, st kõvera puutuja tõus selles punktis. Matemaatikud said esimest korda tõhusalt mõelda muutumise kiirusest teatud hetkel. Seda tehnikat saab rakendada igasugusele pidevale muutumisele, aga tüüpnäide on asukoha muutumine ajas. Näiteks kui on teada, kui kaugele kukkuv ese on mingi aja jooksul jõudnud, siis saab öelda, kui kiiresti ese igal hetkel kukkus. Tuleb lihtsalt leida puutuja igas punktis. Kõverate omadused olid matemaatikuid alati huvitanud, aga nüüd selgus, et need on olulised füüsika jaoks. Diferentsiaal- ja integraalarvutuse leiutamine oli suuresti motiveeritud rakendustega füüsikas. Need rakendused olid kindlasti tähtsad Isaac Newtonile ja Gottfried Wilhelm Leibnizile, kes selle leiutasid. Nad said aru, et see meetod annab palju kasulikke tulemusi, kuid ei saanud aru, kuidas see meetod töötab. Oletame, et funktsiooniga y = f(x) on antud kõver, näiteks y². Me tahame leida puutuja tõusu muutuja x iga väärtuse korral. Olgu dx väike lisandus muutuja x väärtusele, nii et see on nüüd x + dx. Olgu dy vastav lisandus muutujale y, nii et y + dy = f (x + dx). Et y = f(x), siis dy= f(x + dx) -f(x). Väljendada võrrandi parema poole dx-i kordsena: dy = (x + dx)² – x² = (x² + 2x(dx) + (dx)²) – x² = dx(2x + dx). Jagades võrrandi mõlemad pooled dx-ga, saame dy/dx = 2x+dx. Et dx võib võtta kui tahes väikseks, siis jääb järele dy/dx = 2x. See tähendab, et x-i mis tahes väärtuse korral on puutuja tõus 2x. Sellel lihtsal juhtumil ja paljudel teistel juhtumitel saab vastust kontrollida vanade meetoditega. Miks see nii on? Arutlus on ju vastuoluline: dx-iga jagamisel eeldasime, et dx ei võrdu nulliga (nulliga jagada ei saa), aga lõpus lugesime selle nulliks. Ja kui dx on 0, siis ka dy on 0, aga dy/dx on 0/0, mis on mõttetus. Ometi me saame siin ja teistel vanade meetoditega kontrollitavatel juhtumitel õige vastuse. Miks? Vastuse leidmiseni läks peaaegu kakssada aastat. Leibniz lihtsalt soovitas seda meetodit, teadmata, miks see töötab. Mandri matemaatikud tegid selle abil palju avastusi, saamata aru, mida nad teevad. Newton muretses seletuse puudumise pärast, ja inglise matemaatikud jätkasid seletuse otsimist. Häda paistis olevat selles, et sümbol dx väljendab nii positiivset suurust kui ka nulli, ja sellepärast hakati seda pidama millekski vahepealseks, nimelt lõpmata väike suurus. Seda peeti nullist suuremaks, kuid igast lõplikust suurusest väiksemaks, ja see tundub arusaamatu. Meetodi arendamine viis lõpmatute jadadeni, mille puhul osutus oluliseks koonduvus, sest ilma selleta standardsed meetodid ei töötanud. koonduvuse esimese selge definitsiooni andis Augustin-Louis Cauchy piirväärtuse mõiste abil. Ta rõhutas ka, et see mõiste on tähtis nii funktsiooni pidevuse defineerimiseks kui ka diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetodite seletamiseks (dy/dx ei ole mitte lõpmata väikeste suuruste jagatis, vaid 2x+dx piirväärtus, kui dx läheneb nullile). Cauchyl ei tulnud asi siiski hästi välja, sest ta arvas, et lõpmata väikeste suuruste kasutamine on nüüd põhjendatud, aga see viis teda mõnikord eksiteele. Alles Karl Weierstrass tegi asja täiesti selgeks ja pagendas lõpmata väikesed suurused.

Lõpmata väikese suuruse mõiste ulatub tagasi Archimedeseni, kes kasutas seda heuristilise vahendina, mida tuleb traditsiooniliste meetoditega kontrollida. Ka Newton lootis sellisele seletusele (see osutus asjatuks lootuseks). Meetodit kasutati veel kakssada aastat, teadmata, miks see töötab. Lõpuks leiti, et on reaalseid probleeme, mida ei saa lahendata ilma alusteta.

4. Tagasitulek aluste juurde
Pärast Weierstrassi oli reaalarvude teooria (matemaatiline analüüs) palju selgem, kuid veel mitte täielik. Nüüd oli tarvis tõestada piirväärtuste olemasolu. Et aga polnud teooriat selle kohta, mis reaalarvud on, polnud selge, kuidas seda teha. Tugineti "geomeetrilisele intuitsioonile". Alati oli võetud ilmsena, et reaalarvud vastavad sirge punktidele. (Analoogselt mõisteti pidevat funktsiooni "pideva kõvera" kaudu, st laias laastus kõvera kaudu, mille joonestamiseks pole tarvis pliiatsit paberilt tõsta. Kuni Bernhard Riemanni ja Karl Weierstrassi töödeni polnud isegi selge, et pidev funktsioon pole sama mis diferentseeruv funktsioon.) Augustin-Louis Cauchy ja Weierstrass olid juba andnud definitsioonid, kuid geomeetriast lahtisaamiseks tuli täpsustada reaalarvu mõiste. Richard Dedekind pakkus selleks ühe viisi. Dedekind kaebas, et ilma geomeetriata ei saa isegi tõestada, et √2 × √3 = √6. Tema idee on Dedekindi lõige: reaalarv teeb ratsionaalarvudesse "lõike", st lahutab need kaheks klassiks, nii et kõik ühe klassi elemendid on kõigist teise klassi elementidest väiksemad. Reaalarv on ühe klassi vähim ülemtõke (ülemraja) ja teise klassi suurim alamtõke (alamraja). Iga sellise lõike puhul leidub reaalarv, mis selle lõike teeb. Näiteks reaalarvude liitmise saab defineerida nii: kui x ja y on mis tahes reaalarvud, siis x + y on reaalarv, mille lõike alumises pooles on ratsionaalarvud r + s, mille korral r < x ja s < y. Dedekind postuleeris ratsionaalarvude iga lõike jaoks reaalarvu, mis sellele vastab. Alternatiivina võib reaalarvu samastada lõikega. Praktikas on mugavam defineerida lõige nii, et alumisel poolel ei ole kunagi suurimat liiget, ning samastada reaalarv alumise poolega. Georg Cantor defineeris reaalarvu teistmoodi. Tema põhiidee oli defineerida ratsionaalarvude koonduv jada ning siis postuleerida, et sellel on alati piirväärtus, mis ongi reaalarv. Selleks tuli anda piirväärtustest sõltumatu kriteerium, millal kahel jadal on sama piirväärtus. Reaalarvu võib defineerida ka kõigi selleks koonduvate jadade hulgana. Cantor näitas ka, et võib lihtsalt anda reaalarvude aksiomaatika (täielik järjestatud korpus), kasutamata ratsionaalarvu mõistet. 

Need olid alternatiivsed reaalarvude teooria alused. Alust oli tarvis sellepärast, et oli probleeme (näiteks piirväärtuse olemasolu kohta), mida ilma selleta ei saanud lahendada. Teiste arvuliikide puhul selliseid probleeme polnud, kuid ka nendele hakati alust otsima. Ratsionaalarvude teooria saab taandada täisarvude paaride teooriale. Identsuse kriteerium on niisugune: x/y on sama mis z/w kui x·w = y·z. Siis saab paaride vahel defineerida ekvivalentsusseose: paar (x,y) on ekvivalentne paariga (z,w) parajast siis, kui x·w = y·z. Ratsionaalarvu x/y saab siis samastada kõigi selliste täisarvupaaride hulgaga, mis on selles mõttes ekvivalentsed paariga (x,y). Tehted ratsionaalarvudega saab defineerida täisarvude tehete põhjal.    

Analoogselt saab täisarvude teooria taandada naturaalarvude paaride teooriale. Seda saab teha mitut moodi, aga kõige lihtsam on samastada arv +n paariga (0,n) ja arvu –n paariga (n,0). Üks võimalus on samastada +n kõikide niisuguste naturaalarvupaaride (x,y) hulgaga, et x + n = y, ja arvu –n niisuguste paaride hulgaga, et x – n = y. 

Oleme jõudnud olukorda, mille kohta Leopold Kronecker ütles: "Täisarvud on teinud armas Jumal, kõik ülejäänu on inimeste kätetöö." Samas vaimus võib edasi minna kompleksarvude ja veel teistsuguste arvude juurde. Aga mis on naturaalarvud, kas nendele saab anda aluse? Jah, selle andis Richard Dedekind. Naturaalarvude jadal on esimene element, mida võib nimetada nulliks, ja igal elemendil on järgmine, mida võib nimetada selle järglaseks. Seda saab väljendada aksioomidega, aga põhiline on see, et iga naturaalarvu võib saada nullist järglasefunktsiooni lõplik arv kordi itereerides, ja muid naturaalarve ei ole. Dedekind väljendab seda nii, et naturaalarvude hulk on vähim hulk, mis sisaldab nulli ja sellest järglasefunktsiooni abil saadud elemente. Siiski on tarvis nulli ja järglasefunktsiooni kohta rohkem infot, sest muidu võiksid naturaalarvud piirduda nulliga, mis on iseenda järglane. Kanooniline aksiomaatika on järgmine:
0 on naturaalarv.
Iga naturaalarvu järglane on naturaalarv. 
Iga naturaalarv saab olla ainult ühe naturaalarvu järglane. 
0 ei ole ühegi naturaalarvu järglane.
Kui 0 kuulub mingisse hulka ning sellesse hulka kuulumine pärandub järglasele, siis kõik naturaalarvud kuuluvad sellesse hulka.          

Viimane postulaat on matemaatilise induktsiooni postulaat. Seda aksiomaatikat nimetatakse Peano postulaatideks ehk Peano aksiomaatikaks, kuigi need tulevad otseselt Richard Dedekindilt. Need aksioomid ei ütle midagi tehete kohta. Kui formuleerida Peano postulaadid esimest järku loogikas, siis tuleb 5. postulaat asendada aksioomiskeemiga, kus igale hästimoodustatud valemile vastab aksioom. Sel juhul saab lisada tavalised rekursiivsed definitsioonid (x' on x-i järglane): 6 x+0=x; 7 x+y'=(x+y)'; 8 x·0=0; 9 x·y'=x·y+x. Aga kui võtta aluseks teist järku loogika, siis on 5. postulaat üks aksioom ja tehted saab defineerida kui minimaalsed tehted, mis rahuldavad neid tingimusi. Dedekind tõestas ka üldise rekursiooniteoreemi.

5. Lõpmatud arvud

Georg Cantor avastas uue matemaatika valdkonna, mis samuti vajas aluseid, nimelt lõpmatute arvude teooria.

Uut liiki arvude konstrueerimisel on esimene probleem anda uut liiki arvudele identsuskriteerium. Millal on tegu sama kardinaalarvuga? Cantor defineerib kardinaalarve hulkade võimsustena ning vastab, et kahel hulgal on sama võimsus siis ja ainult siis, kui nende vahel leidub üksühene vastavus. Lõplike hulkade puhul on võimsus sama, kui elementide arv langeb kokku. Lõpmatute kardinaalarvude puhul saame üllatavad tulemused. Naturaalarve on sama palju kui paaris naturaalarve. Ratsionaalarve on sama palju kui naturaalarve. Aga reaalarve on rohkem kui naturaalarve (Cantori diagonaaltõestus). Sama argumendiga saab näidata, et igal hulgal on rohkem alamhulki kui elemente ehk hulga astmehulk on suurema võimsusega kui hulk ise. Nii et igast hulgast on võimsam hulk ja kardinaalarvude jadale ei tule lõppu. Cantor hakkas lõpmatuid kardinaalarve tähistama heebrea tähega alef koos alaindeksiga. Kõigi naturaalarvude arv  on kõige väiksem kardinaalarv. (Selle tõestamiseks tuleb lihtsalt näidata, et naturaalarvude hulga iga alamhulk on kas lõplik või seda saab seada üksühesesse vastavusse naturaalarvude hulgaga.) Reaalarvude arv on sama mis naturaalarvude hulga alamhulkade arv . Aga kas see on järgmine lõpmatu arv: kas  =  või on vahepeal veel lõpmatuid arve? Hüpotees, et see ongi järgmine arv, on kontiinumi hüpotees. Cantoril ei õnnestunud seda tõestada. Seda pole tõestatud ega ümber lükatud.    

Millal on üksühene vastavus olemas? Kui saab näidata, milline see vastavus on, siis on, ja kui saab näidata, et sellist vastavust ei saa olla, siis ei ole. Aga võib-olla ei saa kumbagi näidata. Bertrand Russell (Introduction to Mathematical Philosophy, ptk 12) toob järgmise näite. Oletame, et meil on loenduv hulk saapapaare ja loenduv hulk sokipaare. Me tahame näidata, et meil on loenduv hulk saapaid ja loenduv hulk sokke. Saabastega probleemi pole: tuleb lihtsalt võtta igas paaris kõigepealt vasak saabas ja siis parem saabas, nii saamegi üksühese vastavuse naturaalarvude hulgaga. Aga sokkide puhul nii ei saa, ja pole kindel, et saab näidata, kuidas üksühesesse vastavusse seada. Et Cantori kriteeriumi säilitada, peame ütlema, et üksühene vastavus peab olema, isegi kui me ei saa seda kirjeldada. Sokke peab ju olema sama palju kui saapaid. Nii et peavad olema seosed, mida ei saa kirjeldada. Aksioomi, mis näeb ette, et need vastavused on olemas, nimetatakse valikuaksioomiks. Seda saab mitut moodi formuleerida, ja Russelli näite juurde sobib kõige paremini "trihhotoomia": iga kahe hulga x ja y puhul kas leidub hulga x üksühene vastavus hulga y alamhulgaga või leidub hulga y üksühene vastavus hulga x alamhulgaga. Ilma selle aksioomite ei saa Cantori kriteeriumi aktsepteerida, kuigi tundub, et Cantor seda ei taibanud.     

Cantor ei ütle, mis laadi asi kardinaalarv on. Alles hiljem hakati väitma, et kardinaalarvud on ise mingid hulgad.  

Naturaalarve võib võtta nii kardinaalarvudena kui ka ordinaalarvudena (järgarvudena). Järgnevus on antud lineaarse järjestusega. Piirdume täieliku järjestusega: lisatud on tingimus, et igal alamjärgnevusel on kõige varasem liige. Teine definitsioon ütleb, et kui alustada mis tahes liikmest ja minna tagasi varasema juurde ja siis veel varasema juurde jne, siis jõuab lõpliku arvu sammudega algusesse välja. Lõpmatuid laskumisi ei ole, kuigi väga hästi võivad olla lõpmatud tõusmised. Ordinaalarvudega mõõdetakse täielike järjestuste pikkusi. Näiteks alustame naturaalarvudega loomulikus järjestuses. See on kõige lühem lõpmatu järgnevus, ja selle pikkust tähistatakse , sest  on vähim lõpmatu ordinaalarv. Iga teise järgnevuse kohta, mida saab seada sellega üksühesesse vastavusse, nii et järjestus säilib, öeldakse samuti, et sellel on pikkus , (näiteks kõigi algarvude järgnevus). Nüüd aga lisame selle lõppu, st kõigi naturaalarvude järele, midag muud, võib-olla  enda, nii et saame 
(0, 1, 2, 3, .... ; ). Selle järgnevuse pikkus on  + 1. Liikmete arv on sama, sest  + 1 = , aga pikkus on erinev, sest järjestus ei lange kokku. Me võime veel midagi lisada, näiteks  + 1, ja saame (0, 1, 2, 3, .... ; ,  + 1). Selle pikkus on  + 2. Edasi saame järgnevused pikkusega  + 3,  + 4 jne. Kõigi lõpmatute ordinaalarvude jada algab nii:  
,  + l, .... ,  + n, .... ,  +  ( =·2) 
·2, ·2 + 1, .... , ·3, .... , ·n, .... , · (= ²) 
², ² + l, .... ³, .... , n, .... , ωω
ωω, .... , ....

Kõik siin toodud ordinaalarvud esindavad  liikmega järgnevusi, aga lõpuks jõutakse võimsuseni . Ei saa öelda, millal see tuleb, sest muidu me tõenäoliselt teaksime, kas kontiinumi hüpotees on tõene. (Valiku aksioomist järeldub, et iga hulka saab täielikult järjestada, nii et see kehtib ka kõikide naturaalarvude hulkade hulga kohta, millel on vähemalt  elementi. (Kui kontiinumi hüpotees on tõene, siis on tal täpselt  elementi.) Aga igal täielikult järjestatud hulgal on ordinaalarv, ja kui hulgal on vähemalt  elementi, siis sel ordinaalarvul peab olema vähemalt  eellast. Ja lõpuks peab ordinaalarvude järgnevus ületama kõik kardinaalarvud ,  jne. (Kardinaalarvude lõpmatu jada moodustamiseks kasutatakse alaindeksitena ordinaalarve.) Tänapäeval samastataksegi tavaliselt kardinaalarvu kõige varasema ordinaalarvuga, millel on nii palju eellasi, ja ordinaalarvu samastatakse kõikide sellest väiksemate ordinaalarvude hulgana. Cantor ei öelnud ei kardinaal- ega ordinaalarvude kohta, mis nad on.

6 Jälle alused
Georg Cantor kasutas oma avaldatud töödes hulga mõistet ebakriitiliselt. Varsti selgus, et see viib probleemideni. 

Esimene oli Burali-Forti paradoks (1897). Et seal on keerulisi eeldusi ordinaalarvude ja täielikult järjestatud jadade kohta, siis arvati algul, et piisab sellest, kui eeldusi pisut revideerida. Kõigi ordinaalarvude jada on ise täielikult järjestatud jada. Aga igal täielikult järjestatud jadal on ordinaalarv, nimelt see, mis tuleb neid ordinaalarve, mis nummerdavad jada elemente. Praegusel juhul need nummerdavad ordinaalarvud on need ordinaalarvud ise. Järelikult kogu jada ordinaalarv on kõigist ordinaalarvudest suure ordinaalarv. See on vastuolu.

Varsti ilmusid teised ja lihtsamad paradoksid, mis puudutasid ka juba hulga mõistet ennast. Üks väga lihtne on niisugune. Vaatleme kõigi asjade hulka. Siis peavad selle elementide seas olema ka selle alamhulgad, aga Cantor tõestas, et hulgal on rohkem alamhulki kui elemente. See on vastuolu.

Selle üle mõeldes jõudis Bertrand Russell veel lihtsama paradoksini (Russelli paradoks). Universaalhulk (kui see olemas on) peaks olema iseenda element, ja see idee tekitab juba paradoksi. Vaatleme kõigi niisuguste hulkade hulka, mis ei ole iseenda elemendid (on "normaalsed"). See peaks olema hulk, mis on iseenda element parajasti siis, kui ta ei ole iseenda element. See on vastuolu, millel pole mingit pistmist lõpmatute arvude olemasoluga. See näitab, et tuleb uurida hulga mõistet ennast või püüda ilma selleta läbi saada. 

Cantori teooria ilmselt eeldab hulkade alusteooriat, mida keegi polnud püüdnud formuleerida. Ka arvude alusteooriad eeldavad hulgateooriat. 1900. aasta paiku oli ilmne, et sellist teooriat on tarvis, jälle on tarvis "aluseid". Kogu järgnev matemaatikafilosoofia on sellest probleemist hästi teadlik, ja osalt sellepärast hakkavad teooriad üha enam loogikale toetuma.

Peatükk 5. Logitsism
Richard Dedekind nimetas aritmeetikat (algebrat, analüüsi) loogika osaks, et ta pidas arvu mõistet täiesti sõltumatuks ruumi- ja ajakaemusest. Selles mõttes võib teda nimetada logitsistiks. Et ta iseloomustas naturaalarvude jadade struktuuri, võib teda nimetada strukturalistiks. Ta väitis, et arvud on inimvaimu vaba looming, mis on saadud abstraheerimisel; see on kontseptualistlik mõte. 

Logitsism väidab, et matemaatika on laias laastus Gottlob Frege mõttes analüütiline, st on ainult loogika ja definitsioonide asi. Frege ei pidanud seda tõeseks kogu matemaatika kohta, vaid pidas geomeetriat ruumi teooriaks ning ruumikaemusele tuginevaks. Küll aga väitis ta seda elementaarariteetika kohta. Hilisemad logitsistid väitsid, et kogu matemaatika on loogika, sest nad ei pidanud matemaatika asjaks, milline geomeetria käib tegeliku ruumi kohta. Praktikas rääkisid nad ainult elementaargeomeetriast. Nad lootsid, et saavad kaasata ka vähemalt osa Georg Cantori lõpmatute arvude teooriast.

1. Frege 
Gottlob Frege esimene ja Bostocki arvates suurim panus matemaatikafilosoofiasse on moodsa loogika leiutamine. Ta esitas selle "Mõistekirjas" (1879). Osalt kohmaka kahemõõtmelise notatsiooni tõttu ei pööratud sellele algul väärilist tähelepanu. Paljud selle põhiideed taasavastasid sõltumatult peagi Giuseppe Peano ja Bertrand Russell. Varsti tunnustas ja soovitas Russell Frege tööd ning see sai üldtuntuks. 

Loogika jaguneb Fregel viieks osaks: 1) tõeväärtusfunktorite (eitus, konjunktsioon, disjunktsioon, materiaalne implikatsioon) loogika (lauseloogika), 2) esimest järku kvantorite (üldisuskvantor, olemasolukvantor) loogika (esimest järku predikaatloogika), 3) võrdusmärgi loogika, 4) teist järku kvantorite loogika (teist järku predikaatloogika), 5) üks katastroofiline eeldus hulkade kohta. Otsustav on kehtivuse mõiste. Valem on kehtiv, kui ta on tõene kõigis (lubatud) interpretatsioonides. Sekvents (loogika)|is on vasakul üks või mitu või mitte ühtegi valemit ja paremal üks või mitte ühtegi valemit. Sekvents on kehtiv, kui ta säilitab tõesuse kõigis (lubatud) interpretatsioonides, st kui ei ole (lubatud) interpretatsiooni, milles kõik valemid vasakul on tõesed ja valem paremal on väär. Interpretatsioonina me lubame ükskõik millist lausetähtedele tõeväärtuste omistamise viisi, mida kasutatakse tõeväärtusfunktorite loogikas, tõeväärtusfunktsioonid aga peavad järgima oma tõeväärtustabeleid. Seal, kus on mängus subjektitähed, predikaaditähed ja kvantorid, võib valida mis tahes objektide universumi (tavaliselt see ei tohi küll tühi olla) ning iga subjektitähte interpreteeritakse mõnd universumi elementi tähistavana ning iga predikaaditähte mõnede universumi elementide või nende ennikute korral tõesena, teiste korral väärana. Kvantoreid tuleb interpreteerida etteantud viisil ning võrdusmärki võrdumisena. Teist järku kvantoreid interpreteeritakse analoogselt esimest järku kvantoritega. Kehtivuse definitsioon jääb alati samaks: interpreteeritakse kõigis lubatud interpretatsioonides tõeseks või tõesust säilitavaks. Edas tuleb otsida tõesusreegleid. Need peavad olema kooskõlalised (kõik tõestatav on kehtiv) ja võimaluse korral täielikud (kõik kehtiv on tõestatav). Frege andis tõestusreeglid kõigi eelnimetatud loogika osade kohta. Kõik olid kooskõlalised, täielikkus ei ole teist järku predikaatide korral võimalik. Frege ise esitas oma loogikat pisut teisiti. Ta ei defineerinud kehtivust ega mõistnud selle all tõesust kõigis interpretatsioonides kõigis universumites. Ta eeldas, et universum on alati sama, nimelt kõigi objektide universum. Ta mõtles loogikast alati tõestuse kaudu. Praegu on teada, et teise tasandi teoorias ei pruugi tõestus ja kehtivus kokku langeda, kuid see ei tulnud Fregele pähe. (Näiteks defineeris Frege analüütilist tõde tõena, mis on tõestatav ainult loogika ja definitsioonide põhjal. Ta oleks pidanud ütlema, et see on tõde, mis on loogika ja definitsioonide põhjal kehtiv.) (Frege järgi osutab predikaat mõistele ja predikaadikvantori juures on tarvis rääkida kõigist mõistetest.)

Frege ei ütle otseselt midagi Richard Dedekindi naturaalarvude teooria aluste kohta. Ta nimetab Dedekindi teost kõige põhjalikumaks tööks aritmeetika aluste kohta, mis talle hiljuti teatavaks on saanud. Ta märgib, et Dedekind jõuab ruttu kaugele peamiselt sellepärast, et ta ei formuleeri oma alusloogikat ega esita tõestusi kõigis üksikasjades. Seda tahtis Frege teha. Ta ei ütle midagi Peano postulaatide aluseks oleva Dedekindi "lihtsalt lõpmatu süsteemi" iseloomustuse kohta, tema tõestuse kohta, et need postulaadid on kategoorilised, ega tema rekursiooniteoreemi kohta, mis lubab funktsioone ja seoseid defineerida rekursiooni abil. Fregel on kõigist neist teoreemidest oma versioon, kuid see on vähetuntud, sest need ilmuvad alles "Aritmeetika põhiseaduste" esimese köite lõpu eel.   

Mis laadi asi arv on? Aritmeetikas on loomulik käsitada arvsõnu nimedena, kuigi igapäevakeeles on neil teine funktsioon, need on näiteks omadussõnad või osa sellistest kvantoritest nagu "on olemas 2". Frege märgib, et lauseid saab alati ümber sõnastada nii, et arvsõna oleks nimisõna. Näiteks "Jupiteril on 4 kaaslast" ja "on olemas 4 Jupiteri kaaslast" saab ümber sõnastada kujule "Jupiteri kaaslaste arv on 4". See viimane on identsusväide, aga identsust tuleb Frege meelest alati mõista objektide vahelise suhtena. Seda, et arvud on objektid, ta millegi muuga ei põhjenda, aga see ei ole kuigi veenev: Frege ei küsi, kas mitte ei või sama hästi ümber sõnastada ka teises suunas (objektidest kvantorite osadeks). Frege deduktsioonid on võimalikud ainult eeldusel, et arvud on objektid (Michael Dummett, Frege: Philosophy of Mathematics). Lühendame väljendi "niisuguste objektide x arv, et Fx" kujule [Nx:Fx]. See on objekti väljend, ja Frege eeldab, et niisugune arv on alati olemas, ükskõik mis predikaat F-i asemele panna. Nagu Georg Cantorgi, pakub ta selliste objektide identsuskriteeriumiks, et F-ide arv ja G-de arv on sama parajasti siis, kui on F-ide ja G-de vahel on üksühene vastavus. Frege teoreemiks nimetatakse sageli väidet, et Peano postulaadid saab teise tasandi loogikas neist eeldustest ("Hume'i printsiibist") tuletada. Selleks on tarvis defineerida 0, järglane ja naturaalarv. Frege defineerib need nii. 0 on niisuguste x-ide arv, et x ei ole iseendaga identne. See, et n on m-i järglane, tähendab, et leiduvad niisugused F ja y, et Fy, n on niisuguste x-ide arv, et Fx, ja m on niisuguste x-ide arv, et Fx ja x ei ole identne y-iga. See, et x on naturaalarv, tähendab, et iga F-i korral kui F0 ja iga n-i ja m-i korral kui n on m-i järglane, siis kui Fm, siis Fn, siis Fx. Viimane ütleb, et naturaalarvud on need asjad, mille kohta käib matemaatiline induktsioon alates 0-ist järglasesuhte kaudu. Siit võib kergesti saada kõik Peano postulaadid, välja arvatud väide, et igal arvul on järglane. Selleks on tarvis keerulisemat argumenti, sest sisuliselt lõpmatuse aksioom: iga naturaalarv on millegi arv. Frege tõestab, et iga arv on endast väiksemate arvude arv. Frege eeldustel on see matemaatilise induktsiooni printsiibi otsene rakendus. 

Frege tunnistab, et tema eeldused ei ütle, mis objektid arvud on. 
Seda nimetatakse Julius Caesari probleemiks: kas selle teooria järgi võib Julius Caesar olla arv? Talle endale on tähtsam, et ta ei saa Hume'i printsiipi ilma õgustuseta lihtsalt eeldada. Ta tahab ju tuletada aritmeetikat loogikast ja abidefinitsioonidest, ja Hume'i printsiip ei ole definitsioon ega loogika alusel tõestatav. Aga edasi tuleb katastroof. Frege eeldab, et on olemas hulgad (mida ta ise nimetab mõistete ekstensioonideks). Ta eeldab, et hulk on ka ise objekt ning mis tahes tingimuse korral on olemas täpselt nende objektide hulk, mis seda tingimust täidavad. Ta eeldab ka standardset hulkade identsuskriteeriumi: hulgad on samad parajasti siis, kui nende elemendid on samad, (ekstensionaalsuse aksioom). Neid eeldusi ta väljendab ooma aksioomis V. Ta peab hulga mõistet väga üldiseks ja teemaneutraalseks, nii et see võib pretendeerida loogilisusele, ja seda aksioomi üldtunnustatuks. Peale selle saab ta (mõnevõrra kunstlikult) defineerida F-ide arvu sama asjana mis kõikide mõistega F samaarvsete mõistete ekstensioonideks olevate objektide arv. See definitsioon võimaldab tuletada Hume'i printsiibi ning viib seega Frege projekti näiliselt lõpule.           
 
Aga siin oli otsustav viga, sest aksioom, mille Frege hulkade kohta sisse toob, ei ole kooskõlaline ning viib otse vastuolule (nagu Bertrand Russell kirjas temale 1902. aastal märkis (Russelli paradoks)). Frege defineerib elemendiks olemise nii: see, et x on y-i element, tähendab, et on olemas niisugune F, et y on predikaadiga F defineeritud hulk ja Fx. Siis on lihtne tuletada hulkade abstraheerimise piiramatu printsiip: iga F-i korral on olemas niisugune y, et iga x korral x on y-i element siis ja ainult siis, kui Fx. Võtame erijuhu, kus Fx tähendab, et x ei ole iseenda element. Saame: on olemas niisugune y, et iga x korral x on y-i element siis ja ainult siis, kui x ei ole iseenda element. Sellest järeldub vastuolu: leidub niisugune y, mis on iseenda element siis ja ainult siis, kui ta ei ole iseenda element. 

Siin peab olema midagi väga valet. Kas logitsismi saab päästa? Frege püüdis seda lisas kiiruga päästa, muutes oma V aksioomi. 
See muudatus ei ole usutav, ja varsti ta leidis, et see ei võimalda tõestada kõike, mida ta tahtis tõestada. Hiljem näidati, et muudetud versioon ei taastagi kooskõlalisust (Williard Van Orman Quine, "On Frege's Way Out").

2. Russell
(Bostock räägib Russellist lähemalt artiklis "Aristotle's Philosophy of Mathematics"). Frege loogikas kasutatakse kvantoreid meelega teistmoodi kui loomulikus keeles, kus neid väljendatakse juhuslikult. Frege formaalne keel on kristallselge ja väljendab keerulisi mõtteid selgelt. Ent Frege võtab meie harjumustest üle hulkade olemasolu liiga helde eeldamise. Kui me muudame predikaadi nimisõnafraasiks, siis me kunagi ei kahtle, kas niisugune objekt on olemas. Näiteks predikaadi "on inimene" saab asendada fraasidega "kõikide inimeste hulk", "omadus olla inimene" või "inimsus". (Ka predikaat "on inimene" sisaldab nominaliseeringut, ja see pole probleemideta, nagu näitab predikaat "on iseenda kohta tõene".) Russell lükkas predikaadi nominaliseerimise lõpuks täielikult tagasi, aga selleks pidi ta mitu aastat pead vaevama. 

Russelli esimene reaktsioon vastuolule, mis Frege põrmustas, on toodud raamatu "Principles of Mathematics" lisas, kus ta visandab rutakalt ja toorelt lihtsa tüüpide teooria klasside kohta (Russell nimetab hulki klassideks). Lõplik teooria on mõnevõrra teistsugune. (Varajases versioonis on ka tüüpide summad tüübid ning seal on ka lõpmatu tüüp.) Lihtsat tüüpide teooriat võib kirjeldada nii. Alustame asjadest, mis ei ole klassid. Russell nimetab neid indiviidideks. Need on kõik 0-tasandil. Siis moodustame klassid, mille elementideks on indiviidid. Need on 1. tasandi klassid. Neist omakorda moodustame 2. tasandi klassid jne. On olemas iga lõpliku tasandi klassid, aga lõpmatu tasandi klasse ei ole. See on "range" hierarhia: iga tasandi klassi elemendid tohivad olla ainult eelmiselt tasandilt. Iga tasandi klasside jaoks on eraldi muutujad, ja kõige lihtsam on seda väljendada alaindeksiga, mis on tasandi number (praktikas neid küll tavaliselt ei kasutata). Ei ole muutujaid, mille piirkonda kuuluks mitme tasandi klassid. Igal tasandil on piiramatu abstraheerimise aksioom ja ekstensionaalsuse aksioom. Vastuolu välditakse tasanditeks stratifitseerimisega. Russell tahtis seda vältida alati ka iseenda elemendiks olemise mõttetuks kuulutamisega, aga siin see pole vajalik. Russelli teoorias on olemas kõigi eelmise tasandi klasside klass. kõigi eelmise tasandi enda elemendiks mitteolevate klasside klass langeb sellega kokku, ja vastuolu siin ei ole. Russell oleks võinud öelda, et ükski klass ei ole ühegi mittejärgmise tasandi element, kuid ta eelistas öelda, et sellist asja väljendavad valemid on mõttetut. Praktikas olulist vahet ei ole.        

Tundub, et Russell ei jäänud selle teooriaga rahule, kuigi ta ei ütle, miks. Tõenäoliselt ta leidis, et selle teooria kitsendused on kohmakad ja põhjendamatud. Miks näiteks ei või kvantifitseerida mitme klassi üle korraga? Ja miks ühte klassi ei või kuuluda mitme tasandi elemendid? Või miks see, et x on iseenda element, on mõttetu? Selle teooria kasuks võib küll öelda, et see väldib vastuolu, aga see on kaudne argument, ja kui on ka teisi teooriaid, mis vastuolu väldivad, siis on see nõrk argument. Russell uuris mitu aastat mõningaid teisi teooriaid, nagu ta ütleb artiklis "On Some Difficulties in the Theory of Transfinite Numbers and Order Types". Ta soosib seal kõige rohke klassideta teooriat, mis on tema lõpliku teooria eelkäija. See oli ka lausefunktsioonideta teooria, sest see lubab ainult kvantifitseerimist üle indiviidide ja propositsioonide.    

Filosoofiateosed
2009. aasta kirjandusteosed