Hädavajalikkusargument

Hädavajalikkusargument (inglise keeles indispensability argument) on argument, mis esitab seda, et matemaatika on loodusteaduse teooriate formuleerimiseks ja ennustuste tegemiseks hädavajalik, tõendina platonismi kasuks (või mõne muu metafüüsilise väite) kasuks. Üldisemalt on see mis tahes argument, mis viitab millegi hädavajalikkusele millegi jaoks.  

Willard Van Orman Quine'ile ja Hilary Putnamile omistatakse järgmine argument (Quine'i-Putnami hädavajalikkusargument matemaatilise realismi kasuks). Osutamine matemaatilistele entiteetidele või kvantifitseerimine üle nende on meie parimates loodusteaduslikes teooriates hädavajalik, järelikult peab meil olema nende olemasolu sidumus. Matemaatilised entiteedid on ühe pulga peal teiste loodusteaduse teoreetiliste entiteetidega, sest uskumust, et need on olemas, õigustavad samad tõendid, mis õigustavad uskumist teooria tõesusse. 

Kui hädavajalikkusargument viitab millegi hädavajalikkusele millegi seletamiseks, siis on tegu seletava hädavajalikkusargumendiga. Sellise iseloomuga on parima seletuse järeldamine.

Quine'i-Putnami argument
Paljud peavad Quine'i-Putnami argumenti parimaks argumendiks matemaatilise platonismi kasuks. Antiplatonistid peavad ütlema, milles see eksib. Eriti raskes olukorras on need antiplatonistid, kes usuvad, et mittematemaatilised teoreetilised entiteedid on olemas, sest nende uskumus toetub tavaliselt sarnasele argumendile (parima seletuse järeldamine).  

Argumendil on niisugune kuju:

Meil peaks olema kõigi nende entiteetide ontoloogiline sidumus, mis on meie parimate loodusteaduslike teooriate jaoks hädavajalikud.
Matemaatilised entiteedid on meie parimate loodusteaduslike teooriate jaoks hädavajalikud.
Järelikult peaks meil olema matemaatiliste entiteetide ontoloogiline sidumus.  

See on kehtiv arutlus, nii et kritiseerida saab ainult eeldusi.

"Hädavajalikkuse" tähendus 
Hädavajalikkus ei ole sama mis mittekõrvaldatavus. Craigi teoreemi järgi saab iga aksiomatiseeritava teooria niimoodi ümber aksiomatiseerida, et osutamine teoreetilistele entiteetidele on kõrvaldatud, kuid teooria järeldused on samad. Selleks, et entiteet oleks mittehädavajalik, peab ta olema kõrvaldatav nii, et tulemuseks oleks ligitõmbav, võib-olla isegi ligitõmbavam teooria. Ligitõmbavuse alla käivad näiteks empiiriline edukus, ühtsustusjõud, lihtsus, seletusjõud ja viljakus.  

Tundub, et hädavajalikkusargument õigustab matemaatikasse uskumist ainult selles ulatuses, milles loodusteadus seda vajab. Võidakse siiski väita, et matemaatika osadel, milles füüsikas rakendusi pole, on ontoloogiline sidumus, sest neil on rakendused matemaatikas.

Naturalism ja holism
Quine õigustas esimest eeldust naturalismi ja holismiga.  

Naturalismiks nimetatakse tavaliselt Quine'i eeskujul seisukohta, et esimest filosoofiat ei ole ja filosoofia on loodusteaduse jätk, ta ei ole loodusteadusele eelnev ja tal pole privilegeeritud staatust loodusteaduse suhtes. Loodusteadus koos filosoofiaga kui oma jätkuga on kõik, mis maailma kohta öelda on. Parimad loodusteaduslikud teooriad ütlevadki metafüüsikule, mille olemasolusse tuleks uskuda. (Näiteks Penelope Maddy (1988) mõistab naturalismi sellisena, et see ei toeta Quine'i-Putnami argumenti.) Igasugune naturalism ei pruugi siiski õigustada uskumist parimate teooriate kõigisse entiteetidesse.

Kinnitusholism on seisukoht, mille järgi teooriaid kinnitatakse või jäetakse kinnitamata tervikuna. Kinnitus hõlmab ka teoorias kasutatavat matemaatikat. Teooria matemaatilist komponenti õigustavad samad tõendid nagu teisi komponente. Naturalism ja kinnitusholism koos õigustavad esimest eeldust.   

Peale kinnitusholismi ehk Quine'i-Duhemi teesi pooldas Quine ka semantilist holismi, mille järgi tähenduse ühik ei ole mitte üksik lause, vaid lausete süsteemid või koguni kogu keel. Kuid kinnitusholism ei eelda semantilist holismi. Kuigi Quine ise toetus semantilisele holismile, leiab enamik kommentaatoreid, et see pole hädavajalikkusargumendi õigustamiseks hädavajalik.

Vastuväited
Charles Parsons (1980) toob esile, et Quine'i pilt ei seleta fundamentaalsete matemaatikaväidete ilmsust. Philip Kitcher (1984: 104–105) toob esile, et hädavajalikkusargument ei seleta matemaatika hädavajalikkust loodusteadusele. 

Hartry Field (1980) lükkab tagasi Quine'i-Putnami argumendi teise eelduse. Ta väidab esiteks, et sellest, et matemaatikateooriad oleksid rakendustes kasulikud, ei pea nad olema tõesed, vaid piisab konservatiivsusest. Viimane tähendab, et kui nominalistlikule loodusteaduslikule teooriale lisatakse matemaatiline teooria, siis ei tulene nominalistlikke järeldusi, mis ei tulene nominalistlikust teooriast eraldi võetuna. See seletab, miks matemaatikat saab kasutada, kuid ei seleta, miks matemaatikat kasutataks. Asi on Fieldi järgi nimelt selles, et matemaatika teeb paljudes teooriates arvutuse ja formuleeringud palju lihtsamaks. Matemaatika ei ole hädavajalik, vaid lihtsalt pragmaatiliselt kasulik. Field püüab ka tõestada, et meie parimad loodusteaduslikud teooriad on nominaliseeritavad: mõistlikult ligitõmbavad teooriad on võimalikud ka ilma kvantifitseerimiseta üle matemaatiliste entiteetide. Ta nominaliseeris suure osa Newtoni gravitatsiooniteooriast. On vaieldud selle üle, kas on tõenäoline, et kõiki füüsikateooriaid saab nominaliseerida, kuid Fieldi programmi olulisuses on vähesed kahelnud. 

Penelope Maddy (1992; 1995; 1997) on juhtinud tähelepanu sellele, et kui esimene eeldus on väär, siis Fieldi programmil pole matemaatilise realismi küsimuses tähtsust. Maddy leiab, et meil ei pea olema kõigi hädavajalike entiteetide ontoloogilist sidumust. Kinnitusholismil on Maddy järgi raske seletada teatud loodusteaduslike ja matemaatiliste praktikate legitiimsust, naturalism aga nõuab nende praktikate austamist. Tegelikult on loodusteadlastel kinnitatud teooria eri osade suhtes erinev hoiak (uskumine, sallimine või tagasilükkamine). Maddy eelistab siin holismile naturalismi ning ütleb, et esimene eeldus tuleb tagasi lükata. Edasi tekib küsimus, kas teooria matemaatilised osad on selle tõesed või idealiseeritud osad. Maddy eelistab viimast vastust, sest see tundub olevat teadlaste eneste vaade. Näiteks tehakse veelainete uurimisel sageli väär eeldus, et vesi on lõpmatult sügav, ja fluidumidünaamikas tehakse tavaliselt eeldus, et aine on pidev (Maddy 1992: 281–282). See näitab, et teadlasi huvitab ainult see, et matemaatika töötaks, mitte matemaatilise teooria tõesus (Maddy 1995: 255). Ka siin tundub kinnitusholism olevat loodusteadlaste praktikaga ning seega naturalismiga konfliktis ning Maddy eelistab naturalismi. Esimene eeldus tuleb tagasi lükata. Maddy kolmas vastuväide on see, et on raske aru saada, mida matemaatikud teevad, kui nad püüavad lahendada küsimusi, mis on hulgateooria standardsest aksiomaatikast (ZFC) sõltumatud. Esitatakse uusi aksioomikandidaate ning argumente nende kasuks. Need argumendid on matemaatikasisesed ning paistab, et neil pole mingit pistmist rakendustega füüsikas. Aga hädavajalikkusteooria järgi peaks uusi aksioome hindama selle järgi, kuidas need praeguste parimate loodusteaduslike argumentidega kokku sobivad. Sellepärast tundub, et kinnitusholism pooldab standardse matemaatilise praktika revideerimist, mis on jällegi naturalismiga konfliktis (Maddy 1992: 286–289). See vastuväide seab esimese eelduse kaudselt kahtluse alla, sest eeldus toetub nii naturalismile kui ka holismile. 

Elliott Sober (1993) ründab väidet, et empiirilised tõendid meie parimate loodusteaduslike teooriate kasuks toetavad ka matemaatilisi teooriaid. Matemaatikateooriaid testitakse teistmoodi kui loodusteaduse teooriaid. Hüpoteese kinnitatakse võistlevate hüpoteeside suhtes. Kui kinnitatakse ka matemaatikat, nagu hädavajalkkusteooria väidab, siis peavad olema matemaatikavabad võistlejad. Aga kõik võistlevad loodusteaduslikud teooriad kasutavad ühist matemaatilist tuuma. See ei ole vastuväide esimesele eeldusele ega hädavajalikkusargumendile (Sober 1993: 53), küll aga Quine'i seisukohale, et matemaatika on empiirilise teaduse osa. Siin on argument kinnitusholismi vastu, ning see, kui palju see mõjutab esimest eeldust, oleneb sellest, kui palju see eeldus kinnitusholismile toetub.    

Soberi ja Maddy vastuväiteid arvestades eeldab hädavajalikkusargumendi järelduse omaksvõtmine, et peetakse vähemalt lubatavaks niisuguste entiteetide ontoloogilist sidumust, millel empiirilist toetust ei ole. See aga ei ole algse hädavajalikkusargumendi vaimus.

Viited

Kirjandus
Willard Van Orman Quine. Word and Object, Cambridge, MA: MIT Press 1960.
C. Chihara. Ontology and the Vicious Circle Principle, Ithaca, NY: Cornell University Press 1973.
Willard Van Orman Quine. Carnap and Logical Truth. – W. V. O. Quine. The Ways of Paradox and Other Essays, ümbertöötatud trükk, Cambridge, MA: Harvard University Press 1976, lk 107–132. 
Hilary Putnam. Mathematics, Matter and Method: Philosophical Papers, kd 1, 2. trükk, Cambridge University Press 1979.
What is Mathematical Truth, lk 60–78.
Philosophy of Logic, lk 323–357.
H. H. Field. Science Without Numbers: A Defence of Nominalism, Oxford: Blackwell 1980.
C. Parsons. Mathematical Intuition. – Proceedings of the Aristotelian Society, 1980, 80, lk 145–168.
Williard Van Orman Quine. – From a Logical Point of View, 2. trükk, Cambridge, MA: Harvard University Press 1980.
On What There Is, lk 1–19.
Two Dogmas of Empiricism, lk 20–46.
Willard Van Orman Quine. Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press 1981
Things and Their Place in Theories, lk 1–23.
Five Milestones of Empiricism, lk 67–72.
Success and Limits of Mathematization, lk 148–155.  
D. Malament. Review of Field's Science Without Numbers. – Journal of Philosophy, 1982, 79(9), lk 523–534.
Paul Benacerraf, Hilary Putnam (toim). Philosophy of Mathematics: Selected Readings, 2. trükk, Cambridge: Cambridge University Press 1983.
Paul Benacerraf. What Numbers Could Not Be, lk 272–294.
Willard Van Orman Quine. Carnap and Logical Truth, lk 355–376.
Paul Benacerraf. Mathematical Truth. lk 403–420.
J. Burgess. Why I Am Not a Nominalist. – Notre Dame Journal of Formal Logic, 1983, 24(1), lk 93–105.
C. Parsons. Quine on the Philosophy of Mathematics. – Mathematics in Philosophy: Selected Essays, Ithaca, NY: Cornell University Press 1983, lk 176–205.
Stewart Shapiro. Conservativeness and Incompleteness. – Journal of Philosophy, 1983, 80(9), lk 521–531.
P. Kitcher. The Nature of Mathematical Knowledge, New York: Oxford University Press 1984.
Williard Van Orman Quine. Review of Parsons' Mathematics in Philosophy. – Journal of Philosophy, 1984, 81(12): 783–794.
M. D. Resnik. How Nominalist is Hartry Field's Nominalism. – Philosophical Studies, 1085, 47, lk 163–181.
Willard Van Orman Quine. Reply to Charles Parsons. – L. Hahn, P. Schilpp (toim). The Philosophy of W. V. Quine, La Salle, ILL: Open Court 1986, lk 396–403.
Hartry Field. Realism, Mathematics and Modality, Oxford: Blackwell 1989.
A. D. Irvine (toim). Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer 1990.
A. D. Irvine (toim). Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer 1990.
A. Urquhart. The Logic of Physical Theory, lk 145–154. 
Penelope Maddy. Physicalistic Platonism, lk 259–289.
Penelope Maddy. Indispensability and Practice. – Journal of Philosophy, 1992, 89(6): 275–289.
S. Feferman. Why a Little Bit Goes a Long Way: Logical Foundations of Scientifically Applicable Mathematics. – Proceedings of the Philosophy of Science Association, 1993, 2, lk 442–455.
Elliott Sober. Mathematics and Indispensability. – Philosophical Review, 1993, 102(1), lk 35–57.
Penelope Maddy. Naturalism and Ontology. – Philosophia Mathematica, 1995, 3(3), lk 248–270.
M. D. Resnik (toim). Mathematical Objects and Mathematical Knowledge, Aldershot (UK): Dartmouth 1995.
D. Malament. Review of Field's Science Without Numbers, lk 75–86.
Stewart Shapiro. Conservativeness and Incompleteness, lk 87–97. 
C. Parsons. Mathematical Intuition, lk 589–612.
M. D. Resnik. Scientific Vs Mathematical Realism: The Indispensability Argument. – Philosophia Mathematica, 1995, 3(2), lk 166–174.
M. Balaguer. Towards a Nominalization of Quantum Mechanics. – Mind, 1996, 105(418), lk 209–226.
M. Balaguer. A Fictionalist Account of the Indispensable Applications of Mathematics. – Philosophical Studies, 1996, 83(3), lk 291–314.
W. D. Hart (toim). The Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press 1996.
Paul Benacerraf. Mathematical Truth, lk 14–30.
Williard Van Orman Quine. Two Dogmas of Empiricism, lk 31–51. 
C. Parsons. Mathematical Intuition, lk 95–113.
Stewart Shapiro. Conservativeness and Incompleteness, lk 225–234.
S. Vineberg. Confirmation and the Indispensability of Mathematics to Science. – PSA, 1996 (Philosophy of Science, supplement to vol. 63), lk 256–263.
J. Azzouni. Applied Mathematics, Existential Commitment and the Quine-Putnam Indispensability Thesis. – Philosophia Mathematica, 1997, 5(3), lk 193–209.
J. Burgess, G. Rosen. A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic Interpretation of Mathematics, Oxford: Clarendon 1997.
Penelope Maddy. Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press 1997.
A. Peressini. Troubles with Indispensability: Applying Pure Mathematics in Physical Theory. – Philosophia Mathematica, 1997, 5(3), lk 210–227.
M. D. Resnik. Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Clarendon Press 1997.
M. Balaguer. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, New York: Oxford University Press 1998.
M. Colyvan. In Defence of Indispensability. – Philosophia Mathematica, 1998, 6(1), lk 39–62.
H. G. Dales, G. Oliveri (toim). Truth in Mathematics, Oxford: Clarendon 1998.
Penelope Maddy. How to be a Naturalist about Mathematics, lk 161–180.
Stephen Yablo. Does Ontology Rest on a Mistake? – Aristotelian Society (Supplementary Volume), 1998, 72, lk 229–261.
M. Colyvan. Contrastive Empiricism and Indispensability. – Erkenntnis, 1999, 51(2–3), lk 323–332.
M. Colyvan. Confirmation Theory and Indispensability. – Philosophical Studies, 1999, 96(1), lk 1–19.
A. Cantini, E. Casari, P. Minari (toim). Logic and Foundations of Mathematics, Dordrecht: Kluwer 1999.
G. Hellman. Some Ins and Outs of Indispensability: A Modal-Structural Perspective, lk 25–39.
J. Melia. Weaseling Away the Indispensability Argument. – Mind, 2000, 109(435), lk 455–479.
A. Baker. Mathematics, Indispensability and Scientific Progress. – Erkenntnis, 2001, 55(1), lk 85–116.
M. Colyvan. The Indispensability of Mathematics, New York: Oxford University Press 2001.
M. Colyvan. Mathematics and Aesthetic Considerations in Science. – Mind, 2002, 111(441), lk 69–74.
M. Leng. What's Wrong with Indispensability? (Or, The Case for Recreational Mathematics). – Synthese, 2002, 131(3), lk 395–417.
J. Melia. Response to Colyvan. – Mind, 2002, 111(441), lk 75–80.
O. Bueno. Is it Possible to Nominalize Quantum Mechanics? – Philosophy of Science, 2003, 70(5), lk 1424–1436.
J. Azzouni. Deflating Existential Consequence, New York: Oxford University Press 2004.
C. Pincock. A Revealing Flaw in Colyvan's Indispensability Argument. – Philosophy of Science, 2004, 71(1), lk 61–79.
A. Baker. Are There Genuine Mathematical Explanations of Physical Phenomena? – Mind, 2005, 114(454), lk 223–238.
Stephen Yablo. The Myth of the Seven. – M. E. Kalderon (toim). Fictionalism in Metaphysics, Oxford: Oxford University Press 2005, lk 90–115.
M. Leng, A. Paseau, M. Potter (toim). Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press 2007. 
M. Colyvan. Mathematical Recreation Versus Mathematical Knowledge, lk 109–122. 
A. Lyon, M. Colyvan. The Explanatory Power of Phase Spaces. – Philosophia Mathematica, 2008, 16(2), lk 227–243.
M. Colyvan. There is No Easy Road to Nominalism. – Mind, 2010, 119(474), lk 285–306.
M. Leng. Mathematics and Reality, Oxford: Oxford University Press 2010.
J. Azzouni. Taking the Easy Road Out of Dodge. – Mind, 2012, 121(484), lk 951–965.
A. Baker. Science-Driven Mathematical Explanation. – Mind, 2012, 121(482), lk 243–267.
O. Bueno. An Easy Road to Nominalism. – Mind, 2012, 121(484), lk 967–982.
M. Colyvan. Road Work Ahead: Heavy Machinery on the Easy Road. – Mind, 2012, 121(484), lk 1031–1046.
M. Leng. Taking it Easy: A Response to Colyvan. – Mind, 2012, 121(484), lk 983–995.
D. Liggins. Weaseling and the Content of Science. – Mind, 2012, 121(484), lk 997–1005.
Hilary Putnam. Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics”. – Hilary Putnam. Philosophy in an Age of Science: Physics, Mathematics and Skepticism, Cambridge, MA: Harvard University Press 2012, ptk 9.
Stephen Yablo. Explanation, Extrapolation, and Existence. – Mind'', 2012, 121(484), lk 1007–1029.

Välislingid
Mark Colyvan. Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics, Stanfordi filosoofiaentsüklopeedia, 2015.

Filosoofia