Helilainevõrrand

Helilainevõrrand on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu , osakese kiiruse u, kiiruste potentsiaali  või siirete potentsiaali  muutusi sõltuvana asukohast x ja ajast .

Lineaarne homogeenne helilainevõrrand 
Lineaarne homogeenne ilma sumbuvuseta helilainevõrrand helirõhust  avaldub kujul:

kus,
  on Laplace'i operaator;
  on helikiirus;

Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamine 
Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.

Akustilised suurused helirõhk ja surutavus 
Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab häirimata osakese tihedus  ja häirimata osakese rõhk . Osakese piires on rõhk ja tihedus igal ajahetkel sama väärtusega. Helilaine levimisel keskkonnas muutub osakese rõhk ja tihedus ajas. Helilaine levimise ajal leidub osakese piires antud osakese hetkeline tihedus  ja osakesele mõjuv hetkeline rõhk . Seejuures on helirõhk on defineeritud hetkelise-  ja häirimata rõhu  vahe ehk . Akustiline tihedus on analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse  ja häirimata tiheduse  vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus , mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehk

Olekuvõrrand akustikas 
Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed mis esinevad rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reanakus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste  väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuste vahel kirja panna lineaarse seosekus suurust , nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutades akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehkSeega on helirõhk  ehk hetkeline erinevus tasakaalu oleku rõhust ligikaudu võrdeline surutavusega  ehk hetkelise tiheduse erinevusega tasakaaluoleku tihedusest ning võrdeteguriks nende kahe suuruse vahel on adiabaatiline mahtelastusmoodul .

Keskkonna pidevuse võrrand 
Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on  ja tema pinna pindala . Osakese pinna kuju on määratud vektorfunktsiooniga , mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide  ja elementaarpindade  korrutisega . Osakese massi juurdekasv ruumalas  võrdub osakese pinda  läbiva massi voo suurusega:Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja  saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujuleVastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada: Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga  saame keskkonna pidevuse võrrandi kujulAsendades hetkelise tihedused  surutavusega  vastavalt tema definitsioonile  ja arvestades, et häirimata tihedus  muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja eeldusest tuleneva surutavuse  vähese muutumisega osakese piires saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandi

Euleri võrrand 
Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav laialt levinust teistsugusel kujul. Pidevas keskkonnas on osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga  liikuma vastavalt kiirendusega  ehkKasutades jälle Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutadaVastavalt eeldustele võib pidevas keskkonnas osakese piires gradienti rõhust lugeda konstantseks ja seegamida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga  saame Euleri võrrandi viia kujuleViimases on  materiaalne tuletis kiirusest:Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu  ja  helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)

Viimases on  osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujule

Lineaarne helilainevõrrand 
Võttes divergentsi lineaarsest Euleri võrrandist saamekus  on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise lineaarsest pidevuse võrrandist  ja arvestame, et  on ajas vähe muutuv,lineaarne olekuvõrrand lubab surutavust esitada, kui  ja kuna  on ajas vähe muutuv saame

kus  on helikiirus, mis on defineeritud kui

Vaata ka 
 Helilaine
 Akustika
 Lainevõrrand

Viited 

Akustika
Diferentsiaalvõrrandid