Ringi ideaal

Üldalgebras nimetatakse ringi ideaaliks (ehk ideaaliks selles ringis) selle ringi alamhulka, mis sisaldab nullelementi ning on kinnine oma elementide liitmise ja lahutamise suhtes ning on kinnine ringi mis tahes elemendiga (vasakult või paremalt) korrutamise suhtes. 

Näiteks on kahe paarisarvu summa ja vahe jälle paarisarvud ning paarisarvu korrutis mis tahes täisarvuga on samuti paarisarv. Seega on paarisarvude hulk täisarvude ringi ideaal. 

Nimetus "ideaal" on tuletatud ideaalarvu mõistest. Ideaale võib pidada arvude üldistuseks. Ideaali mõiste pärineb 19. sajandi algebralisest arvuteooriast  (Ernst Eduard Kummer). Seda arendasid edasi Richard Dedekind ja Leopold Kronecker.

Definitsioon 

Olgu   ringi  alamhulk. Hulka  nimetatakse siis vasakpoolseks ideaaliks, kui:
1: ,
2: kõigi  korral  (alamrühmakriteerium),
3L: iga   ja  korral .

 on parempoolne ideaal, kui on täidetud tingimused 1, 2 ja
3R: Iga  ja  korral .

Hulka  nimetatakse kahepoolseks ideaaliks ehk lihtsalt ideaaliks, kui   on vasakpoolne ideaal ja parempoolne ideaal, st on täidetud tingimused 1, 2, 3L ja3R erfüllt.

Märkused 

 Et ideaal  sisaldab nullelementi , siis ta ei ole tühi. Tegelikult piisab tingimuse  1 asemel juba nõudest, et  ei ole tühi.
 Nõuded 1 und 2 koos on samaväärsed ütlusega, et  on ringi R aditiivse rühma  alamrühm.
 Ringi  iga ideaal  moodustab ka ringi  alamringi , üldjuhul aga ilma ühikelemendita . Ühikelemendiga ringide kategoorias ei ole  siis alamring.
 Vasakpoolne ideaal või parempoolne ideaal  in  ei ole midagi muud kui vasakpoolse -mooduli või parempoolse -moodulina  käsitatud ringi  -alammoodul .
 Kui ring on kommutatiivne, langevad kõik kolm mõistet kokku, mittekommutatiivses ringis võivad nad aga erineda.

Näited 

 Paaris täisarvude hulk  on ideaal kõigi täisarvude ringis .
 Paaritute täisarvude hulk  ei ole ideaal ringis ; see ei täida ühtki kolmest tingimusest.
 Kõikide polünoomiga  jaguvate reaalarvuliste kordajatega polünoomide hulk moodustab ideaali polünoomide ringis . Korpus  on isomorfne kompleksarvude korpusega ja   on isegi maksimaalne ideaal.
 Kõigi pidevate funktsioonide ringis  reaalarvude hulgal  on ideaal, mille moodustavad pidevad funktsioonid , mille korral  . Ühe teise ideaali ringis  moodustavad kompaktse kandjaga pidevad funktsioonid.  
 Hurwitzi kvaternioonide mittekommutatiivne ring sisaldab nii vasakpoolseid, parempoolseid  kui ka kahepoolseid ideaale. Kõik need on peaideaalid. 
 Hulgad  ja  on alati ringi  ideaalid. Ideaali  nimetatakse nullideaaliks, ja kui ringil R on ühikelement , nimetatakse ideaali  ühikideaaliks. Kui  ja  on ringi  ainsad ideaalid, nimetatakse seda ringi  lihtsaks ringiks. Assotsiatiivne kommutatiivne ühikelemendiga lihtne ring, mis ei ole nullring, on korpus.

Ideaalide tekitamine 

Kõik vasakpoolsed ideaalid, kõik parempoolsed ideaalid ja kõik kahepoolsed ideaalid moodustavad igaüks sulundisüsteemi. Vastavaid ideaalioperaatoreid tähistatakse sulgude  harva ka kolmnurksulgude  abil.

Kui  on ringi  alamhulk, siis alamhulga  tekitatud ideaaliks 

nimetatakse ringi vähimat (vastavalt vasakpoolset, parempoolset või kahepoolset) ideaali, mis sisaldab hulka .

Kui ringil  on ühikelement  siis

ja kui  on ka kommutatiivne, siis

Ühe elemendi  tekitatud ideaali

nimetatakse peaideaaliks.

Erilised ideaalid 

Ideaali  nimetatakse pärisideaaliks, kui ta ei ole kogu  . Ühikelemendiga ringide puhul ühikelemendiga  on see nii parajasti siis, kui ideaal seda ühikelementi ei sisalda. 

Pärisideaali  nimetatakse maksimaalseks ideaaliks, kui ei ole suuremat pärisideaali, st iga ideaali  korral

Zorni lemma abil saab näidata, et ühikelemendiga ringi iga pärisideaal sisaldub mõnes maksimaalses ideaalis. Igal ühikelemendiga ringil peale nullringi leidub maksimaalne ideaal.  

Pärisideaali  nimetatakse lihtsaks ideaaliks, kui kõikide ideaalide  korral 
 või 

Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.

Faktorringid ja tuumad 

Ideaalid on ringide homomorfismide tuumad ja võimaldavad defineerida faktorringe. 
 
Ringide homomorfism  ringist  ringi  on kujutus , mille korral kõikide  korral
 

Homomorfismi  tuum on defineeritud kui

Tuum on alati ringi  kahepoolne ideaal.

Ringi  kahepoolne ideaal  võimaldab defineerida faktorringi  (loe: " modulo "; mitte segi ajada faktoriaalringiga), mille elementidel on kuju

kus  on ringi  mingi element. Kujutus

on sürjektiivne ringide homomorfism, mille tuum on parajasti ideaal . Seega on ringi  ideaalid parajasti sellel ringil määratud homomorfismide tuumad.  

Olgu ring  kommutatiivne. Kui  on lihtne ring, siis  on integriteetkond. Kui  on maksimaalne ideaal, siis  on korpus.

 faktorringide äärmuslikud näited tekivad ideaalide  ja  puhul. Faktorring  on isomorfne ringiga  ja  on triviaalne ring

Ideaali norm 

Arvukorpuse  täiselementide ringis  saab defineerida ideaali  normi kui    (ja nullideaali korral ). See norm on alati lõplik arv ning on seotud korpuse laiendi normiga  peaideaalide  korral kehtib nimelt  See norm on multiplikatiivne, st  . Üldisemalt vaadeldakse neid norme ka arvukorpuste järkude ideaalide puhul.

Algebra