Võrdtempereeritud 22-helisüsteem

Võrdtempereeritud 22-helisüsteem, lühendina 22vjo (inglise keeles 22 equal divisions of the octave, 22edo) on muusikas võrdtempereeritud häälestuses helisüsteem, mis põhineb oktavi jagamisel kahekümne kaheks võrdseks intervalliks helisageduste suhtega kahekümne kahes juur kahest ehk umbes 54,55 tsenti.

Ajalugu
Idee jagada oktav 22ks võrdse suurusega intervalliks tekkis 19. sajandi muusikateoreetikul Robert Holford Macdowall Bosanquet'l, kes sai selleks inspiratsiooni oktavi jagamisest 22ks šrutiks india muusikas.

20. sajandi muusikateoreetik José Würschmidt pidas oktavi jagamist 22ks võimalikuks järgmiseks sammuks pärast jagamist 19ks võrdseks osaks. 

James Murray Barbour käsitles võrdtempereeritud 22-helisüsteemi oma klassikalises helisüsteemide ajaloo uuringus "Häälestus ja temperatsioon" (Tuning and Temperament).

Lähendused puhtale häälestusele
22vjo on pärast 12vjo-d ning 19vjo-d järgmine limiit-5 helisüsteem, milles temperatsiooniviga ei ületa 4 tsenti oktavi kohta. Veelgi enam, erinevalt 12vjo-st ning 19vjo-st jääb 22vjo temperatsiooniviga limiit-7 või limiit-11 puhul alla 3 tsendi oktavi kohta. Kuigi näiteks 31vjo on tempereerimisel veelgi tõhusam, võimaldab ka 22vjo kasutada juba paljusid kõrgema limiidi harmooniaid, sest ta on väikseim võrdtempereeritud jaotus, mis esindab järjekindlalt limiiti-11. Lisaks, erinevalt 12vjo-st ning 19vjo-st ei ole 22vjo kesktoonhäälestuses. Seetõttu võimaldab see ühtaegu uurida vähem tuttavat muusikalist territooriumi, mis samas on siiski sedavõrd väike, et seda on võimalik veel mingil määral teha ka olemasolevate ümberehitatud akustiliste muusikainstrumentidega, nagu näiteks 22vjo-kitarriga.

22vjo loomist võib mõista ka kui 11vjo 2., 7., 9., 11., 15. ja 17. osahelist koosnevale osahelide hulgale 3. ja 5. osaheli lisamisena, muutes selle tempereerimise seisukohast üsna täpseks osahelide hulgaks 2., 3., 5., 7., 11., 17. Siit jätkates jääb 31. osaheli ligikaudne väärtus poole tsendi piiresse, mis on veel üsna täpne. Samuti lähendab see mõningaid intervalle, näiteks 29. osaheli ehk 29/24, mille puhul viga jääb samuti poole tsendi piiresse. Seega sobituvad 22vjo-ga suhteliselt täpselt 2., 3., 5., 7., 11., 17., 29. ja 31. osaheli.

22vjo on väga lähedal laiendatud "veerandkomma superpythagorase häälestusele" ("quarter-comma superpyth"), mis on muus mõttes analoogne veerandkomma kesktoonhäälestusele, välja arvatud see, et limiit-7 komma (64/63) asemel on kasutusel süntooniline komma (81/80). Seetõttu on selles peaaaegu puhtad (9/7) limiit-7 suured tertsid.

Järgnevas tabelis on võrreldud paarituarvulise limiit-15 intervalle 22vjo intervallidga. Algarvulised osahelid on poolpaksus kirjas, vastuolulised intervallid kursiivis. 

Paarituarvuliste limiit-15 intervallide otsene lähendamine puhtas häälestuses intervallidele:

Temperatsioonid
22vjo kõige silmatorkavam omadus on, et selles ei tempereerita süntoonilist kommat 81/80 ning tegu ei ole ka kesktoontoonhäälestuses süsteemiga. See tähendab, et 22vjo-s on eristatud mitmed sellised Pythagorase ja limiit-5 intervallid, näiteks kaks tervetooni 9/8 ja 10/9, mida  12vjo, 19vjo ja 31vjo ei erista. Samas on loomulikult need eristused limiit-5 puhtas häälestuses ning paljudes teostes täpsemates häälestustes nagu 34vjo, 41vjo ja 53vjo veelgi täpsemad.

22vjo diatoonika põhineb superpythagorase temperatsioonil, millel on vaatamata kesktoonhäälestuse puudumisele kesktoonhäälestusega sarnane diatoonika struktuur (SSvSSSv), ning mille tertsid on 9/7 ja 7/6, mitte aga 5/4 ja 6/5. See tähendab, et tempereeritakse limiit-7 kommat 64/63, mitte süntoonilist kommat 81/80. Superpythagoras on meloodiliselt huvitav selle poolest, et sellele põhineb peaaegu võrdtempereeritud pentatooniline laadisüsteem astmete laiustega 4 4 5 4 5 (kuna suur tervetoon ja laiem väike terts on suuruselt üsna võrdsed) ja võrreldes 12vjo või kesktoonisüsteemidega ebaühtlasem heptatooniline laadisüsteem astmete laiustega 4 4 1 4 4 4 1.

Lisaks tempereerib see okasseakomma ehk maksimaalse dieesi 250/243, mis tähendab, et 22vjo toetab okassea temperatsiooni. Okassea generaator on kitsas väike tervetoon 10/9, millest kaks on kergelt teravad 6/5 ja kolm kergelt lamedad 4/3, mis viitab okasseale iseloomulikule võrdse sammuga tetrakordi. Okassiga on tähelepanuväärne veel selle poolest, et tegu on madalaima kõlblikkusega limiit-5 temperatsiooniga, mida ei ole enam võimalik lähendada 12vjo-le. Sellisena on see suurepärane lähtepunkt 22vjo harmooniliste omaduste uurimisel. See moodustab momentsümmeetria omadustega 7- ja 8-astmelisi laadisüsteeme, mis 22edo puhul oleks vastavalt 4 3 3 3 3 3 3 ja 3 1 3 3 3 3 3 3 ja neile vastavaid laade.

22edo võtmeintervalliks on aga "lame moll täistoon" suurusega 164 tsenti. Osaliselt seetõttu, et sellel on vähemalt kolm erinevat konsonantset limiit-11 intervalli: 10/9, 11/10 ja 12/11. Seega on see äärmiselt mitmetähenduslik ja paindlik. Kompromiss seisneb selles, et see on vägagi erineb 12vjo tervetoonist ja seetõttu nõuab kuulaja jaoks veidi harjumist. Lihtsad limiit-5 muusika transkriptsioonid 22vjo-sse võivad kõlada väga erinevalt, sest paratamatult tekib keerulisem harmooniline kvaliteet. 22vjo ei sisalda neutraalset tertsi, kuid mõlemal limiit-5 tertsil on "neutraalne" kvaliteet, kuna need on tempereeritud pigem üksteisele lähemale kui kaugemale nagu 12vjo puhul.

22edo toetab ka orwelli temperatsiooni, mis kasutab generaatorina limiit-7 subminoorset tertsi (5 astet) ja moodustab momentsümmeetrilisi laade astmete laiuste mustriga 3 2 3 2 3 2 3 2 2 ja 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2. Harmooniliselt saab orwelli teistes temperatsioonides häälestada tõpsemalt, näiteks 31vjo-s, 53vjo-s ja 84vjo-s. Siiski on 22vjo orwell teistega võrreldes meloodiliselt parem, kuna orwell[9] suuri ja väikeseid astmeid on 22vjo-s lihtsam eristada.

22vjo tempereerib välja ka teisi limiit-5 kommasid, nagu näiteks diaskisma 2048/2025 ja maagilise komma ehk väikse komma 3125/3072. Diaskismilises süsteemis, nagu 12vjo või 22vjo, võrdsustatakse diatooniline tritoon 45/32, mis on suure tertsi võrra laiem kui suur tervetoon 9/8, selle ümberpööratud vormiga 64/45. See, et tempereeritud on maagiline komma, tähendab, et 22vjo on maagiline häälestus, milles viis suurt tertsi moodustavad puhta kvindi.

Limiit-7 tempereerib 22vjo ka teatud 12vjo kommasid. See toimub 22vjo-st erinevalt 12vjo-st sarnaselt kesktoonhäälestustega. Nii juubelikomma 50/49 kui ka limiit-7 komma 64/63 tempereeritakse mõlemas süsteemis, milles just 50/49 tõttu võrdsustavad nad mõlemad limiit-7 tritoonid 7/5 ja 10/7 ning 64/63 tõttu ei tee nad kumbki vahet dominanatseptakordi ja otonaalse tetraadi vahel. Seega mõlemad tempereerivad välja ka limiit-7 kleisma  (50/49)/(64/63) = 225/224, nii et limiit-7 kleisma suurendatud kolmkõla on 22vjo-s akord, nagu selline võiks esineda ka mis tahes kesktoonhäälestuses. Limiit-7 komma, mida 12vjo ei tempereeri, kuid mida 22vjo tempereerib, on orwelli komma 1728/1715, mistõttu 22vjo üks akorde on orwelli tetraad.

Limiit-11 korral tempereerib 22vjo välja kvartisma, mille tulemusel viis veerandtooni 33/32 võrdsustatakse ühe alumise väikse tertsiga 7/6. See on omadus, mida 22vjo jagatab 24vjo-ga, kuid üllatuslikult ei jaga paljude teiste suhteliselt väikeste vjo-dega nagu 17vjo , 26vjo ja 34vjo. Tegelikult seda omadust pole isegi kuulsal 53vjo-l – kuigi tuleb märkida, et sellega seotud 159vjo-l jällegi on.

22vjo tempereerib järgmisi kommasid (eeldusel, et val on ):

Intervallid

* mõned lihtsamad suhted, järjestatud suurenevas järjekorras, ning põhinevad 22vjo käsitlemisel 2.3.5.7.11.17 osahelide alarühma tempereerimisel; võimalikud on ka muud lähenemised.

Akordid
22vjo võimaldav suurel määral harmooniaid. Lisaks tavalistele mažoor- ja minoorakordidele võimaldab ehitada väga erinevaid limiit-7 ja limiit-11 akorde.

Kolmkõlad
22vjo pakub suure valiku kolmkõlasid, mistõttu antud loend ei ole kattev.

Septakordid

Laadisüsteemid ja helilaadid
22vjo võimaldab rakendada nii orwelli, okassea (porcupine), siili (hedgehog), superpythagorase (superpyth), padžara (pajara), topeltlaia (doublewide), astroloogia (astrology) kui ka maagilises (magic) temperatsioonides laadisüsteeme. Lisaks võimaldab 22vjo ka  võrdtempereeritud 11-helisüsteem laadisüsteemide nagu näiteks masin[6], orgone[7], joan[5], joan[7] ja joan[9] rakendamist.

22vjo laadid võivad olla momentsümmeetrilised, nagu näiteks (nurksulgudes number tähistab laadisüsteemi astmete arvu, koolonile järgnev numbrid tähistavad helilaadi astmete laiusi):
 orwell[5]: 55255
 orwell[9]: 232323232
 orwell[13]: 2122122212212
 okassiga[7]: 3334333
 okassiga[8]: 33333331
 okassiga[15]: 121212121212121
 siil[6]: 353353
 siil[8]: 33323332
 siil[14]: 21212122121212
 pentatooniline superpythagoras[5]: 45454
 diatooniline superpythagoras[7]: 4144414
 kromaatiline superpythagoras[12]: 313131131311
 hüperkromaatiline superpythagoras[17]: 12111211211211121
 sümmeetriline dekatooniline padžara[10]: 2232222322
 padžara[12]: 222221222221
 topeltlai[4]: 5656
 topeltlai[6]: 551551
 topeltlai[10]: 4141141411
 topeltlai[14]: 31131113113111
 topeltlai[18]: 211121111211121111
 astroloogia[6]: 434434
 astroloogia[10]: 3131331313
 astroloogia[16]: 2121121121211211
 maagiline[7]: 1616161
 maagiline[10]: 5115115111
 maagiline[13]: 1141114111411
 maagiline[16]: 3111131111311111
 maagiline[19]: 1112111112111112111

või mitte, nagu näiteks
 pentakordiaalne dekatooniline padžara[10]:  2232223222
 heksakordiaalne dodekafooniline padžara[12]: 222122221222
 Zarlino-Ptolemaiose loomulik mažoor: 4324342
 Zarlino-Ptolemaiose loomulik minoor: 4234243
 tetrakordiaalne mažoor: 4324432
 tetrakordiaalne minoor: 4234234
 mažoorne pentatoonika: 43636
 minoorne pentatoonika: 63463

Orwell

5-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 4 laia ja 1 kitsas aste

9-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 4 laia ja 5 kitsast astet

13-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 9 laia ja 4 kitsast astet

Okassiga 
Okassiga (porcupine)

7-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 1 lai ja 6 kitsast astet

8-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 7 laia ja 1 kitsas aste

15-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 7 laia ja 8 kitsast astet

Siil
Siil (hedgehog)

5-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 2 laia ja 4 kitsast astet

8-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 6 laia ja 2 kitsast astet

14-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 8 laia ja 6 kitsast astet

Superpythagoras

7-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid ehk 22vjo diatoonika
Põhistruktuur: 5 laia ja 2 kitsast astet

5-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid ehk pentatoonika
Põhistruktuur: 2 laia ja 3 kitsast astet

12-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 5 laia ja 7 kitsast astet 

Scala files for all 12 modes

Audio comparison of the 12 modes

Padžara 
Padžara (pajara)

10-astmelised helilaadid
Põhistruktuur: 2 laia ja 8 kitsast astet

12-astmelised helilaadid
Põhistruktuur: 10 laia ja 2 kitsast astet

Topeltlai
Topeltlai (doublewide]

6-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 4 laia ja 2 kitsast astet

15-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 4 laia ja 6 kitsast astet

14-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 4 laia ja 10 kitsast astet

Astroloogia
Astroloogia (muusika) (astrology)

6-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 4 laia ja 2 kitsast astet

10-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 6 laia ja 4 kitsast astet

Maagiline
Maagiline (magic)

7-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 3 laia ja 4 kitsast astet

10-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 3 laia ja 7 kitsast astet

13-astmelised momentsümmeetrilised helilaadid
Põhistruktuur: 3 laia ja 10 kitsast astet

Välislingid
 22edo. Xenharmonic Wiki

Muusikateooria