Poolrühm

Poolrühm (ingl semigroup) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne.

Tehe 
Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide  ja  korral tähistatakse neid elemente koos neil rakenduva tehtega järgmiselt:

 (või lihtsalt ).

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile .

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine. Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine, lahutamine jms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt , , ,  jms.

Assotsiatiivsus 
Assotsiatiivse tehte all rühmoidis mõeldakse võrdust

,

kus  ja  on antud rühmoidi suvalised elemendid. On selge, et selline rühmoid on ühtlasi poolrühm.

Üldistades eelnevat võrdust kõigile poolrühmadele, võib öelda, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. See tähendab, et poolrühma mistahes elementide ning indeksite  ja  () kehtib järgmine võrdus:

.

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks  ja . Siis

.

Korrutamine 
Olgu  poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi  astmed järgmiselt:

.

Liitmine 
Olgu  poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi  kordsed järgmiselt:

.

Elemendid 
Poolrühma suvalist elementi  nimetatakse idempotendiks, kui .

Eri tüüpi poolrühmi

Kommutatiivne poolrühm 
Kui poolrühma suvaliste elementide  ja  korral kehtib võrdus , siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.

Vaba poolrühm 
Poolrühma  elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus ), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.

Näide 1.

Jadade  ning elementide  korral:

.

Näide 2.

Olgu . Siis .

Seega või liitmistehte korral: .

Seos teiste struktuuridega 
Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.

Näited 
Poolrühm on:
 naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
 naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
 naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
 naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
 täisarvude hulk korrutamise suhtes,
 täisarvude hulk liitmise suhtes,
 ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
 ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
 reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
 reaalarvude hulk liitmise suhtes,
 vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
 vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st ).
Poolrühm ei ole:
 täisarvude hulk lahutamise suhtes,
 vektorruum vektorite korrutamise suhtes.

Viited 

Matemaatika
Algebra