Cauchy-Schwarzi võrratus

Cauchy-Schwarzi võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski  võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

kus  ja  vastavalt  vektorite  skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum.  Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Erijuhud

 Eukleidilises ruumis  kehtib:
 .
 Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis

Tõestuse idee 

Vaatame suurust , kus  on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures on moodustada vektor  ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva  väärtuse. Valime  väärtuse nii, et vektori  pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks  väärtuseks osutub

Asendades  esimesse võrratusse näeme, et

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse.  Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui , mis tähendab, et x = - y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Vaata ka 
 Hölderi võrratus – Cauchy-Schwarzi võrratuse üldistus

Märkmed

Välislingid 

Lineaaralgebra
Matemaatiline analüüs