Kahe valimi t-test

Kahe valimi t-test on üks statistiline test, üks t-testidest. See kontrollib kahe valimi keskmiste järgi, kas kahe üldkogumi keskmised on omavahel võrdsed (alternatiiviks on see, et üks keskmistest on teisest väiksem).

Kahe valimi t-testil on kaks varianti:

 kahe sõltumatu valimi jaoks, kusjuures mõlemal üldkogumil on sama standardhälve 
kahe mittesõltumatu valimi jaoks.

Kui kaks sõltumatut valimit pärinevad erineva standardhälbega üldkogumitest, siis tuleb kasutada Welchi testi.

 Testi idee 

Kahe valimi t-test kontrollib (lihtsaimal juhul) kahe valimi keskmiste  ja  järgi, kas vastavate üldkogumite keskmised on erinevad. 

Joonis näitab kahte üldkogumit (mustad punktid) ja kahte valimit  (sinised ja punased punktid), mis on üldkogumitest juhuslikult valitud. Valimite keskmised  ja  saab valimitest, arvutada, üldkogumite keskmised   ja  on aga tundmatut. Joonisel on üldkogumid nii konstrueritud, et nende keskmised on võrdsed:  . Nüüd oletatakse ajaloosündmuste tõttu või teoreetilistel kaalutlustel, et üldkogumite keskväärtused  ja  on erinevad.

Lihtsaimal juhul kontrollib test  
nullhüpotees]i, et üldkogumite keskmised on võrdsed (), *alternatiivhüpoteesi vastu, et üldkogumite keskmised on erinevad  ().

Kui valimid on sobivalt valitud, näiteks lihtsate juhuvalimitena, siis on valimi 1 keskmine  suure tõenäosusega üldkogumi 1 keskmise  lähedal ja valimi 2 keskmine  suure tõenäosusega üldkogumi 2 keskmise  lähedal. See tähendab, kaugus punase ja musta punktiirjoone vahel ning kaugus sinise ja musta punktiirjoone vahel on suure tõenäosusega väikesed. 

Kui  ja  vaheline kaugus ehk sinise ja punase punktiirjoone vaheline kaugus on väike, siis on ka üldkogumite keskmised   ja  lähestikku. Siis ei saa nullhüpoteesi tagasi lükata.
Kui  ja  vaheline kaugus ehk sinise ja punase punktiirjoone vaheline kaugus on suur, siis on ka üldkogumite keskmised   ja  teineteisest kaugel. Siis võib nullhüpoteesi tagasi lükata.  

Täpsed arvutused on järgnevates jaotistes. 

 Kahe valimi t-test sõltumatute valimite korral 

Et uurida kahe võrdse tundmatu standardhälbega  üldkogumi keskmiste vahesid, kasutatakse kahe valimi t-testi.  Selleks peavad mõlemad üldkogumid olema normaaljaotusega või valimid nii suured, et rakendub tsentraalne piirteoreem, (valimite suurus ületab 30).  Testi jaoks valitakse n-elemendiline valim   1. üldkogumist ja sellest sõltumatult m-elemendiline valim   2. üldkogumist. Vastavate sõltumatute valimimuutujate  ja  keskväärtuste kohta kehtib siis    ja , kus  ja  on üldkogumite keskmised. Kui keskmiste vahe jaoks on ette antud arv , siis ütleb nullhüpotees, et 

ja alternatiivhüpotees, et
.  

Statistiliseks kriteeriumiks osutub 

kus ja  on vastavad valimikeskmised ja 

 

kaalutud dispersioon, mis arvutatakse valimite dispersioonide  ja  kaalutud keskmisena.

Statistilisel kriteeriumil  on nullhüpoteesi korral  vabadusastmega t-jaotus. Kontrollväärtus (statistilise kriteeriumi realisatsioon valimi korral) saadakse siis kujul

kus  ja  on valimist arvutatavad keskväärtused ja  

kaalutud dispersiooni realisatsioon, mis arvutatakse valimite dispersioonidest   ja .

Olulisnivool  lükatakse nullhüpotees alternatiivi kasuks tagasi, kui 

Teise võimalusena võib sama statistilise kriteeriumiga  testida järgmisi hüpoteese:

  versus  ja nullhüpotees lükatakse tagasi, ui .
  versus  ja nullhüpotees lükatakse tagasi, kui .

 Märkus 

Kui üldkogumite dispersioonid ei ole võrdsed, siis tuleb teha Welchi test.

 Näide 1 

Tuleb võrrelda väetisesorte. Selleks kasutatakse 25 väetisena ühesuurust portsjonit, nimelt  portsjonit väetist sordist A ja  portsjonit väetist sordist B. Eeldatake, et saakidel on normaaljaotus ja dispersioonid on võrdsed. Esimese sordi puhul on keskmine saak  valimi dispersiooniga  ja teise sordi puhul on keskmine saak  dispersiooniga . Kaalutud keskmiseks saame
 .
Siit saame kontrollväärtuse
 .
See väärtus on suurem kui  vabadusastmega t-jaotuse 0,975-kvantiil .
Järelikult saab -ise usaldusega väita, et väetisesortide toimes on erinevus. 

 Kahe valimi t-test mittesõltumatute valimite korral (paarisvõrdluse t-test) 

Siin on  und  kaks paarikaupa erinevat valimit, mis on saadud näiteks samade uuritavate üksuste kahest mõõtmisest (korduvmõõtmine). Valimid võivad olla paarikaupa mittesõltumatud ka muudel põhjustel, näiteks kui -i ja -i väärtused on partnerluses olevate naiste ja meeste näidud ning huvi pakuvad soolised erinevused. 

Selleks et testida nullhüpoteesi, et normaaljaotusega üldkogumil on võrdsed keskmised, võib testida ühe valimi t-testi abil hüpoteesi, et vahede  keskmine on null. Praktikas peab väiksemate valimite () korral olema täidetud tingimus, et vahedel on üldkogumis normaaljaotus. Piisavalt suurte valimite korral jaotuvad paaride vahed ligikaudselt normaaljaotusega ümber üldkogumi vahe aritmeetilise keskmise. Tingimuste täidetuse suhtes ei ole t-test kuigi tundlik.

 Näide 2 
Et testida uut ravimeetodit kolesterooli taseme alandamiseks, määratakse 10 katsealusel kolesterooli tase enne ja pärast ravi. Saadakse järgmised näidud:

Näitude vahede aritmeetiline keskmine on  ja valimi standardhälve on . Kontrollväärtuseks saame 
 .
Et , siis . Seega ei saa nullhüpoteesi, et kolesteriini taseme keskväärtused on enne ja pärast ravi võrdsed, nii et ravil pole toimet, olulisusnivool  tagasi lükata.
Et , siis ka ühepoolne alternatiiv, et ravi alandab kolesterooli taset, statistiliselt oluline. Kui ravil üldse toime on, pole see nii suur, et seda võiks nii väikse valimi pealt avastada.

 Welchi test 

Welchi testi puhul arvutatakse statistiline kriteerium sarnaselt nagu kahe valimi t-testi puhul:

Ent sellel kriteeriumil ei ole nullhüpoteesi korral t-jaotust, vaid seda lähendatakse t-jaotuse abil vabadusastmete arvu muutmise teel (vaata ka Behrensi-Fisheri probleem):

kus  ja  on üldkogumite standardhälvete hinnangud valimite järgi ning   ja  on valimite suurused.

Kuigi Welchi test on välja töötatud spetsiaalselt juhtumiks, kus , ei tööta ta hästi, kui vähemalt üks jaotus on mittenormaalne ning juhtumite arvud on väikesed ja väga erinevad  ).

 Alternatiivsed testid t-testi kasutatakse selleks, et testida hüpoteese ühe või kahe tundmatu standardhälbega normaaljaotusega üldkogumitest võetud valimi keskväärtuste kohta. 
 Eeldust, et kumbki rühm omaette on normaaljaotusega, saab kontrollida Shapiro-Wilki testiga või Kolmogorovi-Smirnovi testiga. Kui normaaljaotus puudub, võib t-testi asemel kasutada mitteparameetrilisi teste, näiteks Wilcoxoni-Manni-Whitney testi ehk Manni-Whitney U''-kriteeriumi ehk Wilcoxoni astaksummatesti sõltumatute valimite korral või Wilcoxoni astakmärgitesti paarikaupa seotud valimite korral. Lihtne alternatiivne meetod kiireks hindamiseks on Tukey kiire test.
Kui on tarvis testida keskväärtuste võrdsust rohkem kui kahe normaaljaotusega valimi puhul, võib kasutada dispersioonanalüüsi.
Kui tuleb võrrelda keskväärtusi teadaoleva standardhälbega normaaljaotusega valimite puhul, siis võib kasutada Gaußi teste.

Viited

Välislingid
Võimalus teha t-teste

Statistika