Regulaarne funktsioon

Ühe muutuja regulaarne funktsioon ehk holomorfne funktsioon on kompleksmuutuja funktsioon .  mille määramispiirkond on lahtine hulk U ning mis on diferentseeruv hulga U igas punktis. 

Kuigi see definitsioon on analoogiline diferentseeruva reaalmuutuja funktsiooni definitsiooniga, osutub kompleksmuutuja funktsiooniteoorias, et erinevalt reaalmuutuja funktsioonide diferentseeruvusest on tegu väga tugeva omadusega.  Näiteks on regulaarne funktsioon alati lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon ning ta on igas punktis arendatav astmeritta (analüütiline funktsioon).

Et regulaarsed funktsioonid langevad kokku analüütiliste kompleksmuutuja funktsioonidega, siis nimetatakse neid kompleksmuutuja funktsiooniteoorias sageli analüütilisteks funktsioonideks. 

Funktsiooni regulaarsus on defineeritav ka mitme muutuja funktsioonide korral.

Ühe muutuja regulaarsed funktsioonid

Definitsioonid 

Olgu  komplekstasandi lahtine alamhulk ning  punkt selles alamhulgas. Funktsiooni  nimetatakse kompleksselt diferentseeruvaks funktsiooniks punktis  , kui eksisteerib piirväärtus 
. 
Sel juhul tähistatakse seda piirväärtust .

Funktsiooni  nimetatakse regulaarseks punktis , kui eksisteerib punkti  ümbrus, milles  on kompleksselt diferentseeruv funktsioon. 

Kui  on regulaarne kogu komplekstasandil , siis nimetatakse funktsiooni   täisfunktsiooniks.

Selgitused

Erinevus kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vahel 

Mitte iga diferentseeruv funktsioon , kus , ei osutu regulaarseks, kui käsitada teda funktsioonina komplekstasandil. Reaalarvude puhul nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune -lineaarne kujutus , et kehtib võrrand 

, 

kus   on funktsioon, mille korral 

. 

Regulaarsete funktsioonide korral peab  olema -lineaarne, mis tähendab tugevat kitsendust.

Kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vaheline seos 

Funktsioon  on kompleksselt diferentseeruv parajasti siis, kui  on pidevalt osaliselt diferentseeruvad ning on rahuldatud Cauchy-Riemanni võrrandid

 ja .

Näited

Järgmised funktsioonid on regulaarsed kogu komplekstasandil :

 iga polünomiaalfunktsioon  koefitsientidega 
 eksponentsiaalfunktsioon 
 trigonomeetrilised funktsioonid  ja 
 hüperboolsed funktsioonid  ja 

Järgmised funktsioonid ei ole mitte üheski punktis  kompleksmuutuja diferentseeruvad funktsioonid ega ole seega ka mitte kuskil regulaarsed:

 moodulifunktsioon 
 projektsioonid reaalosale  ja imaginaarosale 
 kaaskompleksarvu võtmine

Omadused 
Kui  on kompleksselt diferentseeruvad punktis , siis on seda ka  ja . Kui , siis on ka  punktis  kompleksselt diferentseeruv. 

Peale selle, kehtivad summa tuletise reegel, korrutise tuletise reegel, jagatise tuletise reegel ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegel.

Järgnevad regulaarsete funktsioonide omadused, millel puudub vaste reaalmuutuja funktsioonide korral. 

Järgnevas olgu  piirkond ja  regulaarne.

Cauchy integraalteoreem
Kui  on ühelisidus ja  on tsükkel alamhulgas , siis kehtib Cauchy integraalteoreem

Vaata ka 

 Cauchy integraalvalem

Viited 

Kompleksmuutuja funktsioonide teooria