Friedmanni võrrandid

Friedmanni võrrandid on üldrelatiivsusteooriast leitud kosmoloogia võrrandid, mis määravad homogeense ja isotroopse aegruumi evolutsiooni. Võrrandid tuletas esimesena Alexander Friedmann aastal 1922 ja 1924. aastal lisas ka täiendavad võrrandid negatiivse ruumikõveruse jaoks.

Võrrandid

Friedmanni võrrand on
.

Friedmanni kiirenduse võrrand on
.

Suurus  on Newtoni gravitatsioonikonstant,  on energiatihedus,  on valguse kiirus,  on mastaabikordaja ja  on rõhk.
Hubble'i parameeter  on defineeritud kui

.

Mastaabikordaja  on pikkuse dimensiooniga suurus, mis määrab kahe kaasaliikuva punkti suhtelise kauguse. Kasutusel on ka pikkuse dimensiooniga mastaabikordaja, mis saadakse dimensioonitu mastaabikordaja korrutamisel mingi pikkusega, näiteks ruumikõveruse raadiusega. 

Ruumikõverust määrav kordaja  võib olla vastavalt mastaabikordaja valikule pidev või diskreetne. 
 Kui mastaabikordaja on pikkuse dimensiooniga, siis kõveruse kordaja on dimensioonitu ning võib omada ainult kindlaid väärtusi: +1, 0 ja −1. Väärtusele +1 vastab sfääriline, 0 eukleidiline ning -1 hüperboolne ruum.
 Dimensoonitu mastaabikordaja korral omab kõveruse kordaja pikkuse pöörddimensiooni ning lubatud väärtuste hulk on pidev. Sfäärilisele ruumile vastab k > 0, eukleidilisele k = 0 ning hüperboolsele k < 0.

Võrrandid pole sõltumatud. Esimese võrrandi saab teisest, kui arvestada adiabaatilist paisumist. Lisaks saab teise võrrandi avaldada pidevusevõrrandi:

Kuna kiirenduse võrrand on teist järku tuletise tõttu komplitseeritum, siis kasutatakse rohkem esimest võrrandit.

Tiheduse võib jagada kolmeks teadaolevaks komponendiks:

.

Esimene liige vastab vaakumi energiatihedusele ehk kosmoloogilisele konstandile ning on avaldatav kujul . Teine liige vastab barüon- ja tumeainele. Kolmas liige vastab kiirgusele. Kuna mastaabikordaja võetakse antud ajahetkel üheks, siis tihedused vastavad hetke hetkeväärtustele. Kiirguse liikmele tekib ruumilisele sõltuvusele  lisaks sõltuvus punanihkest .

Võrrandite leidmisel eeldatakse kosmoloogilise printsiibi kehtimist, millest saadakse Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker meetrika:

.

Võetakse ideaalse vedeliku energia-impulsi tensor

ning sisestatakse see koos meetrikaga Einsteini väljavõrranditesse.
Esimene võrrand tuleb 00 komponendist ning teine ruumilise osa jäljest.

Tihedusparameeter  
Tihedusparameeter on defineeritud kui tegeliku ja kriitilise tiheduse suhe . Kriitiline tihedus on defineeritud kui  ning on selline tihedus, mille korral on kindla  väärtuse korral aegruumi ruumiline osa tasane. Kuna Hubble'i parameeter sõltub üldjuhul ajast, siis peab ka kriitiline tihedus ajast sõltuma.  tähistab tihedusparameetri hetkelist väärtust.

Tihedusparameeter võib üldiselt koosneda mitmest erinevast komponendist
.
Kui vaadata ajahetke kui , siis saab .

Friedmanni esimesest võrrandist saab leida seose tihedusparameetri ja ruumikõveruse vahel 
.
Sellest järeldub, et ruum on avatud, kui , tasane, kui  ning kinnine, kui .

 on kosmoloogilisele konstandile vastav tihedusparameeter.

Barotroopne olekuvõrrand 
Kuna sõltumatuid Friedmanni võrrandeid on kaks ning otsitavaid parameetreid on kolm (,  ja ), siis selleks, et võrrandid lahendata, tuleb teha täiendavaid eelduseid.

Eeldusel, et universum sisaldab homogeenset ja isotroopset vedelikku, saab leida rõhku ja energiatihedust siduva barotroopse olekuvõrrandi

.

Suurust  nimetatakse barotroopseks indeksiks. Erinevatele  väärtustele vastavad erinevad mateerialiigid:
  vastab relativistlikule mateeriale, milleks on kiirgus ja neutriinod;
  vastab mitterelativistlikule mateeriale, milleks on barüon- ja tumeaine;
  vastab kosmoloogilisele konstandile.
Universum paisub kiirenevalt kui  ning superkiirenevalt kui .

Superkiirenevale paisumisele vastab fantoomenergia, mille osakaal suureneb Universumi paisumisel ning lõpliku aja vältel tekib singulaarsus nimega Big Rip. Singulaarsust iseloomustab seotud struktuuride, näiteks galaktikate ja aatomite, lahtirebimine. Mida negatiivsem on , seda kiiremini saabub singulaarsus.

Ühekomponendilise ideaalse vedeliku lahendid 
Vaadates ainult ühte komponenti ning eeldades, et vedelik allub barotroopsele olekuvõrrandile, saab leida Friedmanni võrranditele lahendid. Tasase ruumi jaoks saab:

Kõiki tasase universumi mudeleid iseloomustab mastaabikordaja lõputu kasv ning konstantne aeglustusparameeter . Kui suurendada  väärtust ning seetõttu ka rõhku, siis aeglustusparameeter väheneb ning ruumi paisumine aeglustub. Negatiivsed rõhu väärtused kiirendavad ruumi paisumist.

Kõikidel  mudelitel eksisteerib singulaarsus kus mastaabikordaja läheneb nullile ning tihedus hajub. Vastavate lahendite nimeks on Suur Pauk. Nullist erineva kosmoloogilise konstandi korral võib singulaarsust vältida.

Üldjuhul mittetasase juhu jaoks võrrandid analüütiliselt ei lahendu. Mitterelativistliku aine erijuhul () saab võrrandid siiski lahendada.

Negatiivse kõverusega mudeli jaoks on lahendiks:

Positiivse kõverusega mudeli lahendiks on tsükloid:

 .

Positiivse kõveruse juhu korral saab leida punkti, kus  ning millest alates  hakkab vähenema sümmeetriliselt kasvuga. Nulli jõudes tekib singulaarsus nimega Big Crunch.

Viited 

Kosmoloogia
Gravitatsioon