Fraktal

Fraktal on enesesarnane kujund või nähtus, mille struktuur eri tasemetel või suurendusastmetel on sarnane tervikkujundiga.  

Kitsas tähenduses fraktalid on geomeetrilised objektid, mille mõni mõõde ei ole täisarv ning mida saab konstrueerida matemaatiliste algoritmidega. Sellised fraktalid on näiteks Mandelbroti fraktal ja allpool toodud kõverad. Laiemas tähenduses võib fraktal olla aga mistahes enesesarnane objekt: puuvõra, veekogu rannajoon, elusolendi närvikudede või veresoonte võrk. Ka suured inimeste loodud süsteemid – linnade plaanid ja organisatsioonid – on vaadeldavad kui fraktalid.

Fraktalid matemaatikas 
Fraktaleid on matemaatikas uuritud alates 20. sajandi algusest. Fraktali mõiste võttis 1975. aastal kasutusele matemaatik Benoît Mandelbrot. Tema definitsiooni järgi on fraktal mittetäisarvulise dimensionaalsusega geomeetriline kujund või eukleidilise ruumi alamhulk. Termini nimi viitab ladinakeelsele sõnale frāctus 'murtud', kuna kõige lihtsamaid fraktaleid saab konstrueerida sirglõigu korduva (rekursiivse) murdmise või jagamise teel. Sellised fraktalid on näiteks Hilberti kõver, Kochi lumehelves ja "draakoni kõver". Geomeetrilisi fraktaleid saab konstrueerida ka kahe- või kolmemõõtmeliste objektide jagamisel ja kordamisel – nii tekivad näiteks Pütaagorase puu, Sierpinski vaip (kolmnurk) ja Mengeri käsn. 

Fraktaalsel kujundil võib olla näiteks lõplik pindala, kuid lõpmatu ümbermõõt või pikkus. 

Kõige tuntum matemaatiline fraktal on Mandelbroti fraktal ehk Mandelbroti hulk. Selle moodustamiseks tuleb kompleksarvude tasandil rakendada lihtsat iteratiivset algoritmi ning leida, kas selle tulemus koondub või mitte. Tekkiv kujund on visuaalselt väga ilus. Kui Mandelbroti fraktalit "suurendada", st arvutada see välja tekkinud piirjoone mingil väiksemal alal, siis on "suurendatud" kujund kogu hulgaga sarnane. Internetis on palju interaktiivseid Mandelbroti fraktali vaatamise ja uurimise lehti, näiteks siin. Lihtsa algoritmi ja kena tulemuse tõttu on Mandelbroti fraktali (ja sellega seotud Julia hulga) joonistamine ka populaarne programmeerimisülesanne. 

Fraktalite alla klassifitseeritakse matemaatikas ka kaoseteooriast tuntud veidrad atraktorid ja mitmed muud lõpmatult keerulise struktuuriga hulgad.

Fraktalid looduses 
Looduses leidub fraktaleid või fraktalilaadseid nähtusi igas suuruses, alates universumi kosmoloogilisest superstruktuurist kuni ainete kristallvõreni ning raku ehituseni.  

Looduslike fraktalite uurimine algas tõdemusest, et riigipiiride ja eriti rannajoonte pikkus sõltub nende mõõtmise täpsusest ning on seda suurem, mida täpsemalt mõõta. Vahed on suured; 1951. aastal leiti, et Portugali ja Hispaania vahelise piiri pikkus on Hispaania entsüklopeedias 987 km, kuid Portugali omas 1214 km. Nendest tähelepanekutest ja eriti Suurbritannia rannajoone mõõtmistest saigi alguse moodne fraktalgeomeetria. Arvutati välja eri riikide või rannajoone lõikude matemaatilised dimensioonid. Suurbritannial on see 1,25, väga liigendatud Norra rannikul 1,52, Eesti rannajoonel 1,2 ja suhteliselt ühtlasel Lõuna-Aafrika rannajoonel 1.05.

Näited fraktalite kohta looduses

 Veekogude või saarte rannajooned
 Puude ja põõstaste võrad
 Taimede lehtede ja õisikute struktuurid
 Pikesenoole kuju
 Elusolendi närvisüsteemi ja veresoonte võrk
 Imetajate kopsude ehitus
 Mäestike topograafia
 Jõgede kuju nii ülemjooksul (mägedes), keskjooksul (looked) kui suudmealal (deltad)
 Ainete kristallstruktuur
 Universumi superstruktuur galaktikate superparvedest kuni planeedisüsteemideni

Paljude loodusnähtuste puhul ei ole tegemist puhtakujulise fraktaliga, kuid fraktalgeomeetria meetodite kasutamine võimaldab vastavaid objekte uurida ja kirjeldada uudsel viisil.

Fraktalid kunstis 
Korduvate ja eri suurustes iseendaga sarnaste mustrite võimalusi on kasutatud ära nii arhitektuuris, maastikukujunduses kui tavalises kujutavas kunstis. Budistlikud mandalad on tihti fraktalilaadsed.  

Arvutite teke ja levik on muutnud matemaatiliste fraktalite loomise kergeks ja käepäraseks. Paljude ülikoolide kunsti ja tehnoloogiat siduvates kursustes on fraktalid kasutusel näitena "arvuti abil tehtavast kunstist". Fraktalite aluseks olevad algoritmid on tihti väga lihtsad, seetõttu saab isegi algaja programmeerija joonistada väga ilusaid ja tänu oma "suurendatavusele" visuaalset avastamisrõõmu pakkuvaid kujundeid.  

Fraktalite joonistamiseks ja uurimiseks on loodud palju erinevaid programme nii allalaadimiseks kui otse internetis kasutamiseks.

Fraktalite näiteid

Vaata ka 
 Mandelbroti fraktal
 Fraktaalkunst ehk fraktaalne kunst
 Kaoseteooria
 Fraktaalantenn

Viited

Välislingid 
"Kaose-fraktalite käsitus kujundamas 21. sajandi nägu" – Heino Tooming, Horisont 4 / 2003
Fraktalid – prof Jüri Engelbrechti kursus "Mittelineaarne dünaamika", peatükk 6
Fraktalite kirjeldus Brilliant.org veebilehel
Fractals - Hunting the Hidden Dimension - PBS Nova dokumentaal fraktalite kasutamisest elektroonikas, filmikunstis, meditsiinis jne

Geomeetrilised kujundid