Graafi invariant

Graafi invariant on graafi struktuuri iseloomustava atribuudi arvuline väärtus või niisuguste väärtuste korrastatud kogum, mis ei sõltu graafi tippude märgistatusest ega selle graafilisest kujutisest. Mängib olulist osa graafide isomorfismi tuvastamisel.

Graafi fundamentaalne invariant on tema graafi struktuur|struktuur kui diskreetse objekti elementide kooslus (organiseeritus) selle elementide seostatuskorra näol.
Struktuur kui niisugune ise on esitatav graafina G, kus isomorfsed graafid omavad ühesugust struktuuri. 
Struktuuri peamisteks karakteristikuteks on selle graafi sümmeetria|sümmeetria omadused, mis avalduvad ühesuguste elementide (st tippude, tipupaaride) näol mida rühmateooria aspektist orbiitideks (sh transitiivsuspiirkondadeks, ekvivalentsusklassideks, positsioonideks jm)  nimetatakse.

Tipupaarid on eristatavad graafi seosmaatriksi astendamise teel. Korrutada algne seosmaatriks  iseendaga, kus  ning   kusjuures iga astme  korral fikseerida erinevate binaarmärkide  arv  maatriksis , mis reeglina suureneb.
Tipupaariorbiitide basil korrastatud korrutis  on isomorfsete graafide täielik invariant . 

Graafi invariandid jagunevad globaalseteks (graafi tervikut iseloomustavateks) ja lokaalseteks (näiteks, üksikuid tippe ja tipupaare iseloomustavateks).

Invariantide lihtsamaid näiteid 
 Tippude arv  või servade arv  või mõlemad koos.
 Graafi diameeter  on lühima tee pikkus (kaugus) kahe omavahel kõige kaugema tipu vahel.
 Sidusate komponentide arv .
 Tippude minimaalne arv mille eemaldamine on tarvilik mittesidusa graafi saamiseks.
 Servade minimaalne arv mille eemaldamine on tarvilik mittesidusa graafi saamiseks.
 Seosmaatriksi determinant.
 Seosmaatriksi karakteristlik polünoom.
 Graafi orbiidid.
 Hadwigeri arv .
 Kromaatiline arv .
 Wieneri indeks — suurus , kus  on tippudevaheline väikseim kaugus  и .
 Randichi indeks — suurus .
 Graafi spekter, mis saadakse seosmaatriksi alusel.

Invariantide arendusi 
Invariandina võib käsitleda mitte vaid üht konkreetset arvu vaid ka nende korteeži kujul , nagu selleks on:
 Tippude valentsuste (astakute) vektor .
 Polünoom ;
 , kus  on tippude arv valentsusega i.
Kahest või rohkemast parameetrist sõltuvaid invariantide süsteeme võib esitada formaalsete muutujate polünoomidena , nagu:
 , kus  on graafi  alamgraafide arv, mis omavad  tippu ja  serva;
 , kus  on i tipuliste alamgraafide hulk, kus nõelte (st alamgraafi tippe graafi teiste tippudega siduvate servade) arv võrdub .

Selliseid invariante on arendatud hulgi, nende kokkulangemine on tarvilik kuid paraku mitte piisav tingimus isomorfismi olemasoluks.

Täielik invariant 
Invariant on täielik kui nende kokkulangevus on tarvilik ja piisav isomorfismi tuvastamiseks. Näiteks, igaüks väärtustest  ja  osutub fikseeritud tippude arvuga  graafi täielikuks invariandiks.

Täielike invariantidena töötavad järgmised moodustised:
 Kolmkuup koodid, mis kujutavad endast ülipikki kahendsüsteemis jadasid (http://www.math.fau.edu/locke/isotest. ). Paraku ei sisalda need mingit teavet graafi struktuuri kohta.
 Suurimad summad, mis kujutavad endast pikki arvude jadasid (http://web.me.com/blazej.podsiadlo/poudis/Graph_Isomorphism.html). Paraku ei sisalda needki mingit teavet graafi struktuuri kohta kuid võimaldavad mõõta sarnasust graafide vahel.
 Semiootilised mudelid on rajatud tipupaaride süvaidentifitseerimisele ning esitavad graafi struktuuri orbiitide ja isomorfismi täpsusega .

Algoritmilisest keerukusest 
Invariante eristatakse nende algoritmilise keerukuse alusel. Invariandid , ,  ja  saadakse triviaalselt, samal ajal kui niisuguste invariantide nagu , , , , ,  puhul see nii ei ole.

Käesoleva aja ametlikust, XX sajandist pärit seisukohast, polünomiaalset täielikku invarianti ei tunnustata, kuigi pole tõestatud et neid ei esine. Samal ajal on näidatud, et semiootilise mudeli algoritmiline keerukus saab sõltuda vaid tippude arvust.

Vaata ka 

Graafi kanooniline esitus

Graafide identifitseerimine

Viited

Kirjandust 
 Harary, F. 1972 Graph Theory. Addison-Wesley ISBN 0201027879.
 Зыков, А. А. 1987 Основы теории графов. Наука, Москва.
 Dharwadker, A., Pirzada, B. 2011. Graph Theory, Amazon Books, 2011. ISBN 9781466254998

Graafiteooria