Alef-null

Alef-null on loenduva hulga võimsuse tähisena kasutatav kardinaalarv , vähim kardinaalarv.

 on naturaalarvude hulga võimsus ja esimene  transfiniitne kardinaalarv ehk alef-arv. ZFC tingimustel on  vähim transfiniitne kardinaalarv selles mõttes, et mis tahes lõpmatul hulgal peab olema alamhulk võimsusega .  

Hulga A võimsus on  siis ja ainult siis, kui ta on loenduv lõpmatu hulk, st on olemas üksühene vastavus selle hulga ja naturaalarvude hulga vahel. 

Niisugused hulgad on näiteks: 
kõigi algarvude hulk
 kõigi täisarvude hulk
 kõigi ratsionaalarvude hulk 
algebraliste arvude hulk
 loenduva hulga elementide kõigi järjestatud ennikute hulk
 loenduva hulga kõigi lõplike alamhulkade hulk

Kui kehtib loenduva valiku aksioom, siis  on väiksem mis tahes muust transfiniitsest kardinaalarvust. 

Kardinaalarv  on ühtlasi ordinaalarv  ehk  ), vähim transfiniitne ordinaalarv. Tänapäeval peetakse kõiki kolme tähist põhimõtteliselt ekvivalentseteks. Ajaloolistel põhjustel kasutatakse 
tähist , kui jutt on sellest arvust kui kardinaalarvust
tähist  või , kui jutt on sellest arvust suuremate ordinaalarvude kontekstis. 

Tähistuste erinevus tuleb sellest, et naiivses hulgateoorias mõisteti ordinaalarve täielikult järjestatud hulkade tüüpideni ning kardinaalarve hulkade võimsuste tüüpidena, niisiis objektidena, millel pole teineteisega midagi ühist. Ordinaalarvu  mõisteti naturaalarvude hulga täieliku järjestuse tüübina, st järjestustüübina, mis on lõplike täielikult järjestatud hulkade piir. Nähtavasti sellepärast tähistataksegi ordinaalarvu  kreeka tähestiku viimase tähega. Seevastu kardinaalarv  on vähim lõpmatute suuruste tüüpide reas. Sellest tuleb kardinaalarvu tähistamine heebrea tähestiku esimese tähega (suurima võimsuse, kõigi kardinaalarvude klassi võimsuse tähistas Georg Cantor heebrea tähestiku viimase tähega ת (taf). 
 
 on piirordinaal, piirkardinaalarv ja regulaarne ordinaal.

Vaata ka
Lõpmatus
Hulgateooria
Georg Cantor
Bertrand Russell
Alef-funktsioon

Viited

Välislingid

Hulgateooria

en:Aleph number#Aleph-naught