Graafi paljuaspektilisus

Graafe kasutas Leonhard Euler kõmulise Königsbergi sildade probleemi lahendamiseks 1736 aastal . Seda peetakse ka graafiteooria alustuseks. Neid on korduvalt erinevate nimede all taasavastatud teid, vooge ja tsükleid puudutavate praktiliste ülesannete lahendamise käigus. See on jätnud graafiteooriale tugeva jälje.

Graafid on "mitmepalgelised" ehk paljuaspektilised objektid. Neid on käsitletud geomeetria, kombinatoorika, algebra, topoloogia, tõenäosuse jt aspektidest. Levinuim on kombinatoorikaline aspekt, mis paraku jätab graafide nii mõnegi muu külje märkamatuks. On olemas ka algebraline , algoritmiline , geomeetriline , ekstreemne , spektraalne , topoloogiline , juhuslike graafide teooria  ning neid teooriad on tekkinud teisigi.

Paraku on graafide struktuurne aspekt unarusse jäetud. Järgnevas on esitatud lühiülevaade graafide struktuurisemiootilise käsitlemise käigus ilmsiks tulnud atribuutidest  .

Graaf ja selle struktuur
Struktuur on diskreetse süsteemi elementidevahelist organiseeritust iseloomustav atribuut. Struktuur ise on kujutatav graafina. 

Graafi struktuur on tuvastatav selle tippudevaheliste binaarsuhete süvaidentifitseerimise teel saadud struktuurimudeli  või graafi seosmaatriksi korrutise (astme)  näol. Isomorfsetel graafidel on ühesugune struktuur ning selle esitis isomorfsete graafide täielik invariant.

Struktuur ja selle sümmeetria
Sümmeetria kui nähtus (omadus) tähendab millegi kordumist ruumis või ajas. Niisugused kordumised graafi struktuuris avalduvad ühesuguste elementide,  ekvivalentsusklasside, näol. Rühmateooria käsitluses kujutavad need automorfismide transitiivsuspiirkondi mida graafi orbiitideks  nimetatakse (väga ebakohane termin!).
Graafi tippudevaheliste binaarsuhete orbiitide   baasil kooruvad välja ka tipuorbiidid .

Täiesti sümmeetrilised on vaid täisgraafid ja nende täiendid tühigraafide näol, omades vaid üht tipu ja binaarsuhete orbiiti. Tippudest sümmeetrilisi ehk transitiivseid graafe millel on rohkem kui üks binaarorbiit on juba rohkem. Binaarorbiiti kuuluvad elemendid moodustavad orbiitgraafe.  Mitmete tipu- ja binaarorbiitidega graafide ehk ositi sümmeetriliste esinemissagedus on kõige suurem. Graafe, mille iga binaarsuhe kujutab endast omaette orbiiti on nimetatud 0-sümmeetrilisteks. Nende esinemissagedus suureneb graafi tippude arvu suurenemisel.

Seega avalduvad graafi sümmeetriaomadused tema orbiitide baasil. Sümmeetria väärtus on Shannoni infomahu valemi baasil 0 ja 1 vahel mõõdetav suurus, mida korrapärasuseks nimetatakse. .

Sümmeetriaomadused ja naaberstruktuurid
Graafi  binaarorbiidist  serva  eemaldamisel saadud suurimad alamgraafid      on isomorfsed ning kujutavad endast graafi suurimat alam-naaberstruktuuri .

Graafi  binaarorbiiti  serva  lisamisel saadud väikseimad ülemgraafid       on isomorfsed ja kujutavad endast graafi väikseimat ülem-naaberstruktuuri .
 
Graafi naaberstruktuuride arv võrdub binaarorbiitide  arvuga.
Üleminekut lähtestruktuurilt  naaberstruktuurile  nimetame morfismiks . 
Morfism on reversiivne: lähtestruktuuri  igas naaberstruktuuris 
 eksisteerib reversiivne orbiit  millele rakendatud reversiivne morfism  rekonstrueerib (taastab) lähtestruktuuri  .

Graafide kogum ja naaberstruktuuride süsteem
On käsitletud ja esitatud n-tipuliste graafide hulki jaotatult alamhulkadeks nende servade arvu järgi. Esimesena esitas 3- kuni 6-tipulisi kogumaid Frank Harary 1969 aastal. Tänaseks on Graafiatlases selliselt esitatud kõik kolme kuni seitsmetipuliste graafide hulgad . Näiteks, kuuetipuliste graafide hulk koosneb 156 graafist. Siin on õigem öelda, koosneb 156 mitteisomorfsest graafist ehk struktuurist. Graafide süsteemi moodustamiseks on vaja fikseerida morfismid naaberstruktuuride vahel  . Igal struktuuril on oma väikseimad ülemstruktuurid ja suurimad alamstruktuurid, st struktuuride (graafide) vahel eksisteerivad kindlad seosed. Struktuurimudelite baasil on need morfismid paika pandavad ning on genereeritud n-tipuliste struktuuride süsteeme koos vastavate struktuursete ja tõenäosuslike parameetritega .

Graafide süsteeme tippude arvu n, struktuuride  (mitteisomorfsete graafide) arvu p, nivoode arvu  m,  ja morfismide arvu q järgi:
 Kolmetipulised: p = 4, m = 4, q = 3.
 Neljatipulised: p = 11, m = 7, q = 14.
 Viietipulised: p = 34, m = 11, q = 72.
 Kuuetipulised: p = 156, m = 16, q = 572.
 Seitsmetipulised: p = 1044, m = 22, q'' =?

Graafide süsteemide olemasolu kinnitab Ulami hüpoteesi kehtivust.

Vaata ka
Graafide identifitseerimine

Viited

Välislingid
 Graafide identifitseerimise ja süstematiseerimise alused (pdf)
 Systematic analysis of the graphs (pdf)

Graafiteooria