Diferentsiaalarvutus

Diferentsiaalarvutus on üks matemaatilise analüüsi põhikomponente integraalarvutuse kõrval (et nad on omavahel tihedalt seotud, siis nimetatakse neid koos diferentsiaal- ja integraalarvutuseks). Diferentsiaalarvutuse keskne teema on funktsiooni lokaalne muutumine.  

Selleks kasutatakse funktsiooni tuletise mõistet, mis on diferentsiaalarvutuse põhimõiste. Selle geomeetriline vaste on funktsiooni graafiku puutuja tõus. Tuletis on (Leibnizi ettekujutuse järgi) võrdelisustegur argumendi väärtuse lõpmata väikeste muutude ja funktsiooni väärtuse lõpmata väikeste muutude vahel. Kui niisugune võrdelisustegur (mingil kohal) eksisteerib, siis nimetatakse funktsiooni (sellel kohal) diferentseeruvaks funktsiooniks. Samaväärselt võib tuletist mingil kohal defineerida selle lineaarfunktsioonina, mis lähendab funktsiooni lokaalselt teistest lineaarfunktsioonidest paremini. Sellepärast nimetatakse tuletist ka funktsiooni linearisatsiooniks. 

Paljudel juhtudel on diferentsiaalarvutuse kasutamine tegelikkust võimalikult täpselt kujutavate matemaatiliste mudelite konstrueerimisel ja järgneval analüüsimisel möödapääsmatu. 
Sageli vastab tuletisele tegelikkuses muutumise hetkkiirus, majandusteaduses ka näiteks piirkulud ja piirtootlikkus.

Geomeetria seisukohast on tuletis tõusu üldistus. Tõus on algselt defineeritud ainult lineaarfunktsioonide jaoks (nende graafik on sirge). Suvalise funktsiooni tuletist kohal  defineeritakse funktsiooni  graafiku puutuja tõusuna punktis .

Aritmeetika seisukohast ütleb funktsiooni  tuletis iga koha  kohta, kui suur on funktsiooni  muudu lineaarosa (1. järku muut), kui argumendi  väärtuse muut  on kui tahes väike. Selle asjaolu täpseks formuleerimiseks kasutatakse piirväärtuse mõistet. 

Klassikalises füüsikalises rakenduses näitab ajast sõltuva koha- või teepikkusefunktsiooni tuletis osakese hetkkiirust. Hetkkiiruse tuletis aja järgi näitab hetkkiirendust.

Tuletise ja diferentseeruvuse definitsioon

Sissejuhatus 

Tuletise definitsiooni lähtekoht on puutuja tõusu lähendamine lõikaja tõusu ehk kõõlu tõusu abil. Otsitagu funktsiooni  graafiku tõusu punktis . Kõigepealt arvutatakse funktsiooni  lõikaja tõus lõplikus vahemikus:  

 Lõikaja tõus = .

Lõikaja tõus on niisiis kahe muudu suhe; sellepärast nimetatakse seda ka muutude suhteks. Tähistades  lühidalt kui , saab lõikaja tõusu üles kirjutada kui .

Muutude suhted on igapäevaelust hästi tuntud, näiteks keskmise kiirusena: 

"Sõites Augsburgist Flensburgi olin ma kell 9.43 () Biebelriedi ristil (ööpäeva kilomeetrinäit  = 198 km). Kell 11.04 () olin ma Hattenbachi kolmnurgas (ööpäeva kilomeetrinäit =341 km). Seega läbisin ma 1 tunni 21 minutiga () 143 km (). Minu keskmine kiirus sellel lõigul oli seega 143 km / 1,35 h = 106 km/h ()."

Et arvutada puutuja tõusu (siinses rakenduses hetkkiirust), tuleb kahte punkti, millest lõikaja on läbi tõmmatud, teineteisele aina lähemale tuua. Seejuures lähenevad nii  kui ka  nullile. Suhe  jääb aga paljudel juhtudel lõplikuks. Sellel piirprotsessil põhineb järgmine definitsioon:

Diferentseeruvus ja tuletis punktis: formaalne definitsioon ja tähistus 
Funktsiooni , mis kujutab vahemiku U reaalarvude hulka, nimetatakse diferentseeruvaks kohal , kui eksisteerib piirväärtus

   (). 

Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni  tuletiseks  järgi kohal  ja seda tähistatakse 

   või      või     või  .

Avaldisi  ja  nimetatakse diferentsiaalideks, aga tänapäeva matemaatilises analüüsis 
(esituse selles kohas) on need ainult sümbolid ning seni tohib neid kasutada ainult sellises tuletise tähistuses. Mõnedes rakendustes (liitfunktsiooni diferentseerimine, mõne diferentsiaalvõrrandi integreerimine asendusreegel integreerimisel) arvutatakse nendega peaaegu nagu tavaliste muutujatega. Sellele annab täpse formaalse põhjenduse diferentsiaalvormide teooria. Diferentsiaal on ka integraalide tavalise tähistuse osa.

Tuletise tähistuse kahe diferentsiaali suhtena võttis kasutusele 
Leibniz. Newton kasutas punkti selle muutuja peal, mis märgib selle funktsiooni väärtust, millest tuletis võetakse; füüsikas kasutatakse seda tähistust tänini, kui tegu on tuletisega aja järgi (. Kriipsuga tähistus () pärineb Joseph-Louis Lagrange'ilt, kes võttis selle 1797 kasutusele oma raamatus "Théorie des fonctions analytiques".

Aja jooksul leiti järgmine samaväärne definitsioon, mis on osutunud üldisemas kompleksmuutuja või mitmemõõtmeliste funktsioonide puhul mugavamaks:

Funktsiooni nimetatakse punktis  diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune konstant , et 

Funktsiooni  muutu, kui punktist  kaugenetakse ainult pisut, näiteks väärtuse  võrra, saab niisiis väga hästi lähendada funktsiooniga, sellepärast nimetatakse lineaarfunktsiooni , kus , ka funktsioni  linearisatsiooniks kohal .

Veel üks definitsioon on järgmine: eksisteerivad kohal  pidev funktsioon , kusjuures , ja konstant , nii et iga  korral

 .

Tingimused, et  ja  on kohal  pidev, tähendavad parajasti seda, et kui  läheneb punktile , siis "jääkliige"  läheneb nullile.

Mõlemal juhul on konstant  üheselt määratud ja .

Selle formuleeringu eeliseks on, et tõestused on lihtsamad, sest ei ole tarvis kasutada jagatist. Seda esitust parima lineaarlähenduse kaudu kasutasid järjekindlalt juba Weierstraß, Henri Cartan ja Jean Dieudonné.

Kui funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks, mainimata kindlat kohta, siis see tähendab, et funktsioon on diferentseeruv igal oma määramispiirkonna kohal ehk funktsiooni graafiku igal punktil on üheselt määratud puutuja.

Tuletis kui funktsioon 

Funktsiooni  tuletist kohal , mida tähistatakse  kirjeldab lokaalselt funktsiooni käitumist vaadeldava koha  ümbruses. Aga  ei ole ainus koht, millel  on diferentseeruv. Sellepärast võib proovida seada igale arvule  funktsiooni  määramispiirkonnast vastavusse tuletise sellel kohal (). Niiviisi saadakse uus funktsioon  mille määramispiirkond on kõigi niisuguste punktide hulk , millel funktsioon  on diferentseeruv. Seda funktsiooni  nimetatakse funktsiooni  tuletisfunktsiooniks ehk lühidalt tuletiseks ja öeldakse, et funktsioon  on piirkonnas  diferentseeruv. Näiteks on ruutfunktsioonil  mis tahes kohal  tuletis  seega on ruutfunktsioon reaalarvude hulgal diferentseeruv. Vastav tuletisfunktsioon  on antud kui 

Tuletisfunktsioon erineb tavaliselt algsest funktsioonist, erandiks on eksponentsiaalfunktsiooni kordsed .

Kui funktsiooni  tuletis on pidev, siis nimetatakse teda pidevalt diferentseeruvaks funktsiooniks. Määramispiirkonnaga  pidevate funktsioonide ruumi tähistatakse , sama määramispiirkonnaga pidevalt diferentseeruvate funktsioonide ruumi tähistatakse .

Tuletiste arvutamine 

Funktsiooni tuletise arvutamist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks

Elementaarfunktsioonide (näiteks , ) arvutamiseks juhindutakse ülal esitatud definitsioonist, arvutatakse muutud suhe ning leitakse piirväärtus, kus  läheneb nullile. Koolimatemaatikas nimetatakse seda h-meetodiks. Tüüpiline matemaatika rakendaja teeb selle arvutuse läbi ainult mõned korrad elus. Hiljem ta teab tähtsamate elementaarfunktsioonide tuletisi peast ning harvem esinevate funktsioonide tuletisi vaatab tabelitest (näiteks Bronštein-Semendjajevist või meie tuletiste ja algfunktsioonide tabelist ja arvutab liitfunktsioonide tuletised diferentseerimisreeglite abil.

Tuletisfunktsiooni elementaarse arvutuse näide 
Otsitagu funktsiooni  tuletist. Edasi arvutatakse muutude suhe: 

.

Nüüd leitakse piirprotsessis, kus , funktsiooni tuletis:

Diferentseerimisreeglid 

Liirfunktsioonide, näiteks  ja , diferentseerimine taandatakse diferentseerimisreeglite abil elementaarfunktsioonide diferentseerimisele (vaata ka Tuletiste ja algfunktsioonide tabel).

Järgnevate reeglitega saab liitfunktsioonide diferentseerimise taandada lihtsamata funktsioonide diferentseerimisele. Olgu ,  ja  (oma määramispiirkonnas) diferentseeruvad reaalarvuliste argumendi väärtuste ja funktsiooni väärtustega funktsioonid ning  ja  reaalarvud. Siis kehtivad järgmised reeglid:

Konstantse funktsiooni reegel

Konstantse kordaja reegel

Summareegel

Korrutise reegel ehk Leibnizi reegel 

Jagatise reegel

Pöördväärtuse reegel

Astmereegel

Liitfunktsiooni reegel

Pöördfunktsiooni reegel
 Kui funktsioon  on kohal  diferentseeruv bijektiivne funktsioon,  ning selle pöördfunktsioon  on kohal  diferentseeruv, siis

 Funktsiooni  graafiku punkti  peegeldamisel 1. nurgapoolitaja suhtes saadakse funktsiooni  graafiku punkt ; funktsiooni  graafiku tõus punktis  on siis pöördväärtus funktsiooni  graafiku tõusust punktis .

Logaritmiline tuletis
 Liitfunktsiooni reeglist järeldub, et funktsiooni  naturaallogaritmi tuletis 
.
 Murdu kujul  nimetatakse logaritmiliseks tuletiseks.

Astmefunktsiooni tuletis
 Funktsiooni  diferentseerimiseks tuletame meelde, et reaalarvuliste astendajatega astmed defineeritakse eksponentsiaalfunktsiooni kaudu: . Liitfunktsiooni reegli ja korrutamisreegli abil saame: 
.

Leibnizi reegel
 Kahe  korda diferentseeruva funktsiooni  ja  -is tuletis saadakse valemist 
.
 Siin esinevad avaldised kujul  on binomiaalkoefitsiendid. 

Faà di Bruno valem
 See valem väljendab kahe  korda diferentseeruva funktsiooni kompositsiooni -indat tuletist. See valem üldistab liitfunktsiooni reegli mitmekordsetele tuletistele.

Mittediferentseeruvad funktsioonid
Iga diferentseeruv funktsioon on pidev, ümberpöördu aga ei kehti. Veel 19. sajandi alguses oldi veendunud, et pidev funktsioon saab olla mittediferentseeruv mitte rohkem kui vähestel kohtadel (nagu absoluutväärtuse funktsioon). Bernard Bolzano konstrueeris esimesena funktsiooni, mis on kõikjal pidev, aga ei ole kuskil diferentseeruv, aga see ei saanud teistele matemaatikutele teatavaks. 1860ndatel leidis sellise funktsiooni ka Karl Weierstraß (Weierstraßi funktsioon) ja see lõi matemaatikute seas laineid. Pideva mittediferentseeruva funktsiooni tuntud mitmemõõtmeline näide on Kochi kõver, mille esitas 1904 Helge von Koch.

Mitte kõikjal diferentseeruva funktsiooni näide  

Funktsioon  (absoluutväärtuse võtmine) ei ole kohal 0 diferentseeruv.

Tõepoolest, iga  korral , mistõttu

.

Seevastu iga  korral  ning järelikult

.

Et vasakpoolne piirväärtus ja parempoolne piirväärtus ei lange kokku, siis piirväärtus ei eksisteeri. Seega ei ole funktsioon  kohal 0 diferentseeruv. Sellegipoolest on see funktsioon diferentseeruv kõigil teistel kohtadel.  

Kohal 0 eksisteerivad siiski parempoolne piirväärtus 

ja vasakpoolne piirväärtus

.

 

Funktsiooni  graafiku järgi on näha, et diferentseeruvuse mõiste tähendab näitlikult, et funktsiooni graafik on nurkadeta.

Mitte kuskil diferentseeruva pideva funktsiooni näide   

Mitte kuskil diferentseeruvaid pidevaid funktsioone on esialgu raske ette kujutada, kuid nende näideteks on peaaegu kõik Wieneri protsessi (Browni liikumise) trajektoorid. Wieneri protsessi kasutatakse näiteks aktsiakursside graafikute modelleerimiseks.

Mitte kõikjal pidevalt diferentseeruva funktsiooni näide 

Funktsiooni nimetatakse pidevalt diferentseeruvaks, kui selle tuletis on pidev funktsioon. Isegi kui funktsioon on kõikjal diferentseeruv, ei pruugi tuletis olla pidev. Näiteks funktsioon
 

on diferentseeruv kõikjal, sealhulgas kohal . Tuletis, mille saab kohal 0 muutude suhte kaudu leida, 

 

ei ole aga kohal 0 pidev.

Newtoni-Leibnizi valem 
 
integreerimine ja diferentseeriine on omavahel seotud:

Kui  on vahemik,  pidev funktsioon ja  suvaline punkt, siis on funktsioon

 

pidevalt diferentseeruv, ja selle tuletis on .

Sellega on antud juhatus integreerimiseks. Otsitakse funktsiooni, mille tuletis on integreeritav. Siis Newtoni-Leibnizi valem ütleb: 

 .

Ajalugu

Diferentsiaalarvutuse ülesandepüstitus oli antiigist saadik tuntud puutujaprobleemina. Üks lahenduskava nägi kõverjoone puutuja lähendamist joone lõikajaga lõplikult, aga suvaliselt väikeses vahemikus. Tuli ületada lõpmatu väikesele vahemikule ülemineku tehniline raskus. 

Diferentsiaalarvutuse algmed pärinevad Pierre de Fermat'lt, kes töötas umbes 1628 välja meetodi algebraliste avaldiste ekstreemumite määramiseks ning koonuselõigete ja teiste kõverate puutujate arvutamiseks. Tema meetod oli puhtalgebraline, ta ei vaadelnud piirprotsesse ega tuletisi. Siiski saab tema meetodit tõlgendada matemaatilise analüüsi vahenditega ning on teada, et ta mõjutas Isaac Newtonit ja Gottfried Wilhelm Leibnizit. 

Mõni aasta hiljem valis René Descartes teise algebralise meetodi, asetades kõvera juurde ringjoone, mis lõikab kõverat kahes lähestikku asetsevas punktis või puutub kõverat. See lähenemine võimaldas tal määrata teatud kõverate tõusud. 

17. sajandi lõpus õnnestus Isaac Newtonil ja Gottfried Wilhelm Leibnizil töötada teineteisest sõltumatult välja vastuoludeta diferentsiaal- ja integraalarvutuse. Newton lähenes probleemile füüsikaliselt hetkkiiruse probleemi kaudu, Leibniz aga geomeetriliselt puutujaprobleemi kaudu. Nende tööd võimaldasid abstraheeruda puhtgeomeetrilisest esitusest ja seetõttu peetakse neid matemaatilise analüüsi alguseks. 

Tuntuks said need eelkõige Guillaume François Antoine, markii de L'Hôpitali raamatu kaudu. De L'Hôpital õppis eraviisiliselt Johann Bernoulli juures ja avaldas tema matemaatilise analüüsi alased uurimused. 

Tänapäeval tuntud diferentseerimisreeglid põhinevad eelkõige Leonhard Eulerilt, kes võttis kasutusele funktsiooni mõiste. 

Newton ja Leibniz töötasid kui tahes väikeste positiivsete arvudega. Seda kritiseerisid ebaloogilisuse tõttu juba kaasaegsed, näiteks George Berkeley vaidluskirjas "The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician". Hoolimata valitsevast ebakindlusest arendati diferentsiaalarvutust järjekindlalt edasi, esmajoones selle arvukate rakenduste tõttu teistes matemaatika harudes ja füüsikas. Tollele ajale sümptomaatiline oli Kuningliku Preisi Teaduste Akadeemia auhinnatöö teema: "Kõrgem geomeetria kasutab sageli lõpmata suuri ja lõpmata väikesi suurusi; ometi vältisid antiikõpetlased hoolega lõpmatust, ja mõned meie aja kuulsad analüütikud tunnistavad, et sõnad "lõpmatu suurus" on vastuolulised. Akadeemia nõuab niisiis, et selgitataks, kuidas on vastuolulisest eeldusest tekkinud nii palju õigeid lauseid, ning et antaks kindel ja selge alusmõiste, mis võiks lõpmatuse asendada, tegemata arvutust liiga raskeks ega liiga pikaks; ..."

Alles 19. sajandi alguses õnnestus Augustin-Louis Cauchyl anda diferentsiaalarvutusele tänapäevase ranguse, loobudes lõpmatu väikestest ja lõpmata suurtest suurustest ning defineerida tuletise lõikaja tõusude (muutude suhete) piirväärtusena. Tänapäeval kasutatava piirväärtuse definitsiooni võttis lõpuks kasutusele Karl Weierstraß 19. sajandi lõpus.

1822. aastal esitas Charles Babbage kuninglikule astronoomiaühingule ettekande «Märkusi masinate rakendamise kohta astronoomiliste ja matemaatiliste tabelite arvutamisel» ja tegi ettepaneku ehitada diferentsiaalarvustumasin. See oli mõeldud veatute matemaatiliste tabelite tootmise kiirendamiseks ning seda võib pidada tänapäevaste arvutite eellaseks. 1991. aastal valmis Londoni teadusmuuseumis sellise diferentsiaalarvustusmasina töötav eksponaat.

Viited

Matemaatiline analüüs