Kategooria (matemaatika)

Kategooria mõiste on matemaatikas üldistus samalaadsete matemaatiliste objektide vaheliste "morfismide" (hulkade kujutuste, topoloogiliste ruumide pidevate kujutuste, lineaarruumide lineaarkujutuste, rühmade homomorfismide jne) kompositsioonide algebralistest omadustest tingimustel, et on olemas samasusteisendused ning morfismide kogumid on kompositsiooni suhtes kinnised. 

Kategooria mõiste pärineb Samuel Eilenbergilt ja Saunders Mac Lane'ilt (1945).

Definitsioon 
Formaalselt koosneb iga kategooria  kahest klassist:
 klassist , mille elemente nimetame kategooria   objektideks 
 klassist , mille elemente nimetame kategooria  morfismideks, kusjuures morfismidel peavad olema järgmised omadused: 
 igale kahe objekti A, B järjestatud paarile   on seatud vastavusse A-st B-sse viivate morfismide ehk noolte klass  (seda tähistatakse mõnikord ka ,  või ). Kui  , siis objekti A nimetame morfismi f alguseks või määramispiirkonnaks ning objekti  B tema lõpuks; mõnikord kirjutame   asemel ,
 iga morfism f kuulub ainult ühte klassi ,
 klassis  on defineeritud osaline korrutamisreegel: morfismide ,  korrutis on defineeritud siis ja ainult siis, kui  B = C, ning sel juhul kuulub ta klassi . Nimetame seda morfismide f ja g kompositsiooniks ning tähistame  või gf.
 morfismide kompositsioon on assotsiatiivne: kui ,  ja , siis ,
 igase klassi  kuulub niisugune morfism idA, et mis tahes morfismide   ja  korral  ja . Morfisme idA nimetame samasusmorfismideks ehk identsusmorfismideks ehk ühikmorfismideks.

Nendest aksioomidest järeldub, et iga objekti korral on olemas samasusmorfism.

Kui , siis kirjutame  ja .

Väikesed ja lokaalselt väikesed kategooriad

Kui vaadeldud objektide klassid ja morfismide klassid on hulgad, siis nimetame kategooriat väikeseks. On palju tähtsaid kategooriaid, mis ei ole väikesed. 

Kui iga kahe objekti  korral on klass  hulk, siis nimetame kategooriat lokaalselt väikeseks.

Vaata ka
kategooriateooria

Kirjandus
Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane. Relations between homology and homotopy groups of spaces. – Annals of Mathematics 46 (1945), 480–509.
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats, John Wiley and Sons, Inc 1990. Täiendatud ja parandatud veebiväljaanne 2004

Algebra