Ülekandefunktsioon

Ülekandefunktsioon (inglise keeles transfer function) on avaldis, mis seob lineaarse süsteemi (nt signaalitöötlusseadme) väljundsuuruse tema sisendsuurusega. Ülekandefunktsiooni võib esitada sõltuvalt ajast või sagedusest.

Autuomaatjuhtimissüsteemide ja nende lülide matemaatilisel kirjeldamisel esitatakse ülekandefunktsioon harilikult väljundsignaali Laplace'i teisenduse ja sisendsignaali Laplace'i teisenduse suhtena (nullilistel algtingimustel). 

Kui on teada süsteemi sisendsignaal ja ülekandefunktsioon, siis on määratav ka väljundsignaal.

Lineaarsed ajas muutumatud süsteemid 
Ülekandefunktsioone kasutatakse signaalitöötluses, automaatjuhtimissüsteemides ja kommunikatsiooniteoorias. Ülekandefunktsiooni all mõeldakse tavaliselt lineaarseid ajas muutumatuid süsteeme. Praktikas pole enamus süsteeme lineaarsete sisend- ja väljundkarakteristikuga, kuid nominaalsete tööparameetrite puhul saab neid lihtsustada lineaarseteks ajas muutumatuteks süsteemideks.

Allpool olevad kirjeldused on antud komplekskujul muutujaga . Üldjuhul on piisav defineerida muutuja  (seega ), mis lihtsustab kompleksarvuliste muutujatega Laplace'i teisenduse reaalarvuliste muutujatega  Fourier' teisenduseks. Rakendustes, kus sellist lihtsustamist kasutatakse, uuritakse ainult püsiseisundit, mitte põgusaid sisse- ja väljalülitamise käitumist ning stabiilsus probleeme. Selliseid rakendusi esineb signaalitöötluses ja kommunikatsiooniteoorias.

Seega pideva sisendsignaali  ja väljundi  ülekandefunktsioon  on sisendi Laplace'i teisenduse  lineaarne kujutamine väljundi Laplace'i teisenduseks :

või
.

Diskreetsete süsteemide korral kasutatakse Z-teisendust sisendsignaaali  ja väljundsignaali  suhtel ning siis on ülekandefunktsioon tuttaval kujul .

Diferentsiaalvõrrandite otsene tuletis  

Vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset diferentsiaalvõrrandit 

kus  ja  on sobivalt sujuvad funktsioonid ajas  ja  on vastavas funktsiooniruumis määratletud operaator, mis on kujutus funktsiooni  ja funktsiooni  vahel. Sellist võrrandit saab kasutada, et väljundfunktsiooni  jõuga piirata funktsiooni . Ülekandefunktsiooni saab kasutada operaatori  määratlemiseks, mis toimib -i parempöördena, ehk 

Homogeense konstantse koefitsiendiga diferentsiaalvõrrandi  lahendused leiab asendusega . See asendus annab karakteristliku võrrandi

Mittehomogeense juhu saab hõlpsasti lahendada, kui sisendfunktsioon  on kujul . Sel juhul asendades  saame , kui defineerida

Ülekandefunktsiooni selline definitsioon nõuab kompleks- ja reaalarvuliste väärtuste vahel hoolikat eristamist, kus traditsiooniliselt koheldakse  kui võimendusena ja  kui faasinihkena. Kasutatakse ka teisi ülekandefunktsiooni määratlusi, nagu näiteks

Võimendus, siirdeprotsessid ja stabiilsus 

Üldist sinusoidaalset sisendit  sagedussüsteemi saab esitada kujul . Süsteemi impulsskoste sinusoidaalne sisend, mis algab ajahetkest , koosneb püsiseisundi ja siirdeprotsessi impulsskostete summast. Püsiseisundi impulsskoste on süsteemi väljund lõpmatu ajahulga jooksul ja siirdeprotsessi impulsskoste on vahe süsteemi impulsskoste ja püsiseisundi impulsskoste vahel (see vastab ülaltoodud diferentsiaalvõrrandi homogeensele lahendile.) Lineaarse ajas muutumatu süsteemi puhul saab seda esitada korrutisena 

kus sPi on karakteristliku võrrandi N juured ja on seega ülekandefunktsiooni poolused. Vaatleme ühe poolusega ülekandefunktsiooni näidet  kus . Ühikulise amplituudiga sinusoidi Laplace'i teisendus on . Laplace'i teisenduse väljund on  ja ajaline väljund on pöördvõrdeline selle funktsiooni Laplace'i teisendusega: 

Lugejas olev teine muutuja on siirdeprotsessi impulsskoste ja lõpmatu ajahulga jooksul hajub see lõpmatult, kui  on positiivne. Selleks, et süsteem oleks stabiilne, ei tohi sellel ülekandefunktsioonil olla ühtegi poolust, mille reaalosad oleksid positiivsed. Kui ülekandefunktsioon on rangelt stabiilne, on kõigi pooluste reaalosad negatiivsed ja siirdeprotsess läheneb lõpmatult nullile. Püsiseisundi väljund on 

Sageduskoste (ka "võimendus")  on määratletud kui väljundamplituudi ja püsiseisundi sisendi amplituudi suhte absoluutväärtus 

mis on lihtsalt ülekandefunktsiooni  absoluutväärtus, mida hinnatakse väärtusel . Selle tulemuse kehtivust saab näidata suvalise ülekandefunktsiooni pooluste arvuga.

Signaalitöötlus 

Olgu  sisend üldisesse lineaarse ajas muutumatusse süsteemi ja väljundiks  ning kahepoolne Laplace'i teisendus väärtustest  ja . Siis saame defineerida

 

Siis on väljund sisendiga seotud ülekandefunktsiooniga  järgnevalt

 

ja ülekandefunktsioon ise on seega

 

Harmoonilise Kompleksarvulise signaali, millel on sinusoidaalne komponent, mille amplituud , nurksagedus  ja faas on , kus arg on argument, saab esitada kujul

kus  sisestamisel lineaarsesse ajas muutumatusse süsteemi, saame väljundil vastava komponendi

Pange tähele, et lineaarses ajas muutumatus süsteemis pole sisendsagedus  muutunud, süsteemis on muutnud ainult sinusoidi amplituud ja faasinurk. Sageduskarakteristik  kirjeldab seda muutust iga sageduse  puhul võimenduse

ja faasinihe

 

abil.

Grupihilistus (st ülekandefunktsiooniga sinusoidi ümbrisesse viidud sagedustest sõltuv viivituste summa) leitakse faasinihke tuletise arvutamisel nurksagedusest :

Ülekandefunktsiooni saab näidata ka Fourier' teisenduse abil, mis on ainuke Kahepoolne Laplace'i teisenduse erijuht, kui .

Levinud ülekandefunktsioonid 
Mõned levinumad ülekandefunktsioonid ja nende eripärad on:
 Butterworthi filter – maksimaalselt tasane ribapääs ja ribatõke antud järgus.
 Tšebõševi filter – maksimaalselt tasane ribapääs, teravam lõige kui samas järgus Butterworthi filtril.
 Besseli filter – parim impulsskoste antud järgus, kuna sellel pole grupihilistus lainetust.
 Elliptiline filter – antud järgu kõige teravam lõige (kitsam üleminek ribapääsu ja ribatõkke vahel).
 Optimaalne L-filter
 Gaussi filter – minimaalne grupinihe; ei lasku mööda astmefunktsioonist.
 Liivakella filter
 Kõrgendatud koosinusfilter

Vaata ka
 Sagedusfilter
 Must kast
 Bode diagramm
 Konvolutsioon
 Sageduskoste
 Impulsskoste
 Laplace'i teisendus
 Operatsioonvõimendi

Viited

Automaatika