Forsseerimine (matemaatika)

Forsseerimine on hulgateoorias meetod, mille abil konstrueeritakse mudeleid, mida rakendatakse peamiselt suhtelistes kooskõlalisustõestustes. 

Forsseerimist rakendas esimesena 1963 Paul Cohen, tõestades valikuaksioomi sõltumatuse aksiomaatikast ZF ning kontiinumi hüpoteesi sõltumatuse aksiomaatikatest ZF ja ZFC. Hiljem on Coheni meetodit mitmeti edasi arendatud.

Põhiidee 
Forsseerimise meetodi põhiidee seisneb selles, et hulgateooria aksiomaatika (näiteks ZFC) antud mudelile (alusmudelile ) lisatakse teatud hulk  nõnda, et tekib jälle selle aksiomaatika mudel (geneeriline laiend ). Konstruktsioon on niisugune, et hulka   saab alusmudelis lähendada;  see võimaldab väljendada mudeli  omadusi (nagu näiteks kontiinumi hüpoteesi kehtetust) alusmudelis  defineeritavas keeles ning seejärel tõestada.

Mudel M[G] 
Olgu   Zermelo-Fraenkeli hulgateooria (ZFC) loenduv  transitiivne mudel. (Seda eeldust on selgitatud alajaotuses Forsseerimine ja suhtelised kooskõlalisustõestused.)

Tingimushulgad ja geneerilised filtrid 
Tingimushulga all mõistetakse mudelil   defineeritud järjestatud kolmikut  , kus  on eeljärjestus hulgal  ning  on suurim element selle eeljärjestuse suhtes. Hulga  elemente nimetatakse tingimusteks. Tingimus  on tugevam kui tingimus , kui . Rakendustes on eeljärjestus  enamasti antisümmeetriline, nii et tegu on osalise järjestusega. Teoorias ei ole see nõue tarvilik. 

Hulka  nimetatakse tihedaks, kui 
 
st kui iga tingimuse korral eksisteerib sellest tugevam tingimus hulgas . Filtrit  nimetatakse geneeriliseks, kui ta laseb läbi mudeli  iga tiheda alamhulga, st kui  kõigi tihedate hulkade  korral. 

Rasiowa-Sikorski lemmast järeldub, et iga  korral eksisteerib geneeriline filter , mille element   on. Kõigi huvitavate tingimushulkade puhul jääb   väljapoole mudelit .

Kirjandus 
Keneth Kunen. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland 1980, ISBN 0-444-85401-0.
Thomas Jech. Set Theory, Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-44085-2.

Matemaatika