Tuletis (matemaatika)

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid.  Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile.

Füüsikas on kohavektori tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus.

Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal.

Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste tuletis tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust Üldistusi.

Määratlus

Tuletis antud kohal
Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon  ning  mõni reaalarv funktsiooni määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus , siis seda nimetatakse funktsiooni  tuletiseks kohal  ning tähistatakse sümboliga .

Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et  on hulga  sisepunkt.

Kui funktsioonil  on lõplik tuletis kohal , nimetatakse funktsiooni  diferentseeruvaks kohal .

Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul , kus .

Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised
Kui funktsioon  on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna  punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon  on diferentseeruv.

Kui funktsioon  on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina .

Sellisel juhul saame uurida funktsiooni  tuletiste olemasolu. Funktsiooni  tuletist nimetatakse funktsiooni  teist järku tuletiseks ning tähistatakse . Kui funktsioon  on diferentseeruv ehk funktsioonil  on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni  kaks korda diferentseeruvaks.

Samamoodi, kui funktsioon  on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni  kolmandat järku tuletis  jne. Üldiselt, funktsiooni  -ndat järku tuletist kohal , kus , tähistatakse .

Tähistusi

Lagrange'i tähistus
Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:
  – funktsiooni  tuletis kohal 
  – teist järku tuletis
  – kolmandat järku tuletis
  ehk  – neljandat järku tuletis
  – -ndat järku tuletis ()

Leibnizi tähistus
Kui muutujate  ja  vahel on seos , siis nii funktsiooni  tuletisfunktsiooni  kui ka selle väärtust kohal  tähistatakse Leibnizi tähistuses .

Leibnizi tähistust põhjendab seos , kus  on suuruse  muut ning  on vastav suuruse  muut — tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega .

Kõrgemat järku tuletise  jaoks kasutatakse tähistust .

Newtoni tähistus
Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe  asemel enamasti tähte ), kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust: kui muutuja  sõltuvust ajast  kirjeldab seos , siis funktsiooni  tuletisi tähistatakse
 
 
ja nii edasi.

Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest paljusid täppe on tüütu kirjutada ja kokku lugeda ning puudub üldine tähistus -ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.

Näide
Olgu , sellisel juhul  ja

Tuletise rakendusi

Matemaatika

L'Hospitali reegel

Kui  ja leidub  

või  ja leidub  

siis kehtib võrdus
 
Näiteks

Taylori valem

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

 

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni  lähendamine x = 0 juures:

  

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse  vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui n ≥ 0 on täisarv ja  on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv  nii, et

Funktsiooni uurimine

Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon kasvab selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon kahaneb antud lõigus. Funktsiooni tuletise nullkohad on funktsiooni lokaalseteks miinimum- ja maksimumkohtadeks.

Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku kõverusraadiuse. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt kumer või nõgus. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse käänupunktideks.

Füüsika 

Tuletis (ja matemaatiline analüüs üldiselt) on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning liikumisvõrrandite kirjapanemine.

Näide: Kiirus ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis koordinaadisüsteemis sirgjooneliselt võrrandi  järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel  võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis: . Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse ajalise muutumise kiiruse ehk kiirenduse: . Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega.

Näide: Liikugu keha keskkonnas, mille poolt avaldatav hõõrdejõud on võrdeline keha kiirusega, st F = – k v, kus k on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt Newtoni II seadusele
 
kus  on kiirendus ja m on keha mass. Saadud avaldis annab hariliku diferentsiaalvõrrandi, mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub.

Üldistusi

Diskreetne matemaatika
Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul  funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi  muutuste suhtes (kas  otse-  või vastandfaasis).

Näide: olgu

Vaata ka 

 Osatuletis
 Integraal
 Diferentsiaalvõrrand

Matemaatiline analüüs