Ümbrus

Ümbrus on matemaatiline mõiste, mis määratletakse kõige üldisemal kujul topoloogias, kuid mida kasutatakse ka teistes matemaatika harudes, näiteks matemaatilises analüüsis. Ümbrus on matemaatilises analüüsis kasutatava ε-ümbruse mõiste üldistus. Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata.

Definitsioon topoloogilises ruumis 

Olgu  topoloogiline ruum.

Punkti ümbrus 

Olgu  ja . Hulka  nimetatakse punkti  ümbruseks, kui  sisaldab mingit lahtist hulka , millesse kuulub punkt .

Punkti kõigi ümbruste hulka nimetatakse selle punkti ümbruste süsteemiks. Punkti  ümbruste süsteemi tähistatakse  või (kui on selge, missugust topoloogiat vaatleme) .

Hulga ümbrus 

Olgu  ja . Hulka  nimetatakse hulga  ümbruseks, kui  sisaldab mingit lahtist hulka , mis sisaldab hulka .

Seega hulk  on hulga  ümbrus parajasti siis, kui  kõigi hulga  punktide ümbrus.

Lahtine ümbrus 

Ümbrus  ei pea ise lahtine olema. Kui  on lahtine hulk, siis nimetatakse teda (punkti  või hulga ) lahtiseks ümbruseks. Mõnedes allikates mõeldaksegi sõna ümbrus all aga lahtist ümbrust.

Punkti ε-ümbruse ja ümbruse definitsioon meetrilises ruumis

Punkti ε-ümbrus 

Olgu  meetriline ruum,  ja . Punkti  -ümbruseks ehk lahtiseks keraks keskpunktiga  ja raadiusega  nimetatakse siis hulka .

Punkti ümbrus 

Iga meetrilist ruumi võime vaadelda topoloogilise ruumina (vt alajaotust Meetriline ruum topoloogilise ruumina artiklis Topoloogiline ruum) ja nii saame meetrilises ruumis kasutada eeltoodud punkti ja hulga ümbruse definitsioone topoloogilises ruumis. Kui aga näiteks punkti ümbruse definitsioon meetrilise ruumi jaoks ilma topoloogia mõistet kasutamata lahti kirjutada, saame järgneva definitsiooni:

Olgu  meetriline ruum,  ja . Hulka  nimetatakse punkti  ümbruseks, kui  sisaldab mingit lahtist kera keskpunktiga .

Lihtne on veenduda, et eeltoodud punkti ümbruse definitsioonis sõnade "lahtine kera" asendamisel sõnadega "kinnine kera" või lihtsalt sõnaga "kera" (s. o. lahtine või kinnine kera) saaksime samaväärse definitsiooni.

Reaalarvu ε-ümbruse ja ümbruse definitsioon 

Arvestades, et kõigi reaalarvude hulk  on meetriline ruum kaugusega , määratletakse reaalteljel punkti ε-ümbrus ja ümbrus järgnevalt:

Olgu  ja . Punkti  -ümbruseks nimetatakse vahemikku . Punkti  ümbruseks nimetatakse iga reaalarvuhulka, mis sisaldab mingi  korral punkti  -ümbrust.

Topoloogia