Lagrange'i keskväärtusteoreem

Lagrange'i keskväärtusteoreem on üks matemaatilise analüüsi põhilisi tulemusi. Kõlab ta järgnevalt: kui funktsioon  on pidev lõigus  ning tal leidub lõplik tuletis vahemikus , siis leidub  nii, et .

Tõlgendusi

Geomeetriline tõlgendus

Geomeetriliselt ütleb Lagrange'i keskväärtusteoreem, et kui funktsioon  on pidev mingis lõigus  ning diferentseeruv vahemikus , siis leidub  ja  vahel niisugune arv , et funktsiooni  graafiku puutuja kohal  on paralleelne punkte  ning  läbiva lõikajaga.

Füüsikaline tõlgendus
Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldustel leidub niisugune , et funktsiooni  väärtuse muutumise kiiruseks punktis  on teatavas mõttes funktsiooni  väärtuse keskmine muutumise kiirus lõigus .
Olgu näiteks funktsiooniks  auto läbitud teepikkuse sõltuvus ajast. Eeldame, et autol on igal ajahetkel olemas lõplik hetkkiirus (s. t. funktsioon  on kõikjal diferentseeruv; diferentseeruvusest järeldub ka pidevus). Lagrange'i keskväärtusteoreem ütleb nüüd, et kui auto keskmine kiirus teekonna jooksul oli 60 km/h, siis mingil ajahetkel selle teekonna jooksul oli auto hetkkiiruseks 60 km/h.

Tõestus
Olgu täidetud Lagrange'i keskväärtusteoreemi eeldused. Määratleme lõigus  uue funktsiooni . Paneme tähele, et siis  ning funktsioon  on lõigus  pidev ja omab vahemikus  lõplikku tuletist, kusjuures iga  korral . Rolle'i teoreemi põhjal leidub seega  nii, et  ehk , m. o. t. t.

Matemaatiline analüüs
Teoreemid