Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul

kus  on nabla-operaator ja  tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja  järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf  0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes

Kahemõõtmelises ruumis 
Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y'

Polaarkoordinaatides kehtib

 Kolmemõõtmelises ruumis 
Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

Silindrilistes koordinaatides:

Sfäärilistes koordinaatides:

( tähistab sfäärilist laiust ja  sfäärilist pikkust).

Avaldise  võib asendada samaväärse avaldisega .

 N dimensioonis N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul , kus , , on Lapalace'i operaatoril kuju

kus  on Laplace'i-Beltrami operaator  dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise  võib asendada samaväärse avaldisega 

 Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites 
Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:
 
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:
 
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:
 
kus g on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

kus  on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:
 
kus k'' on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:
 
kus  on lainefunktsioon, on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja on potentsiaalne energia.

Vaata ka 
 Nabla-operaator
 Pierre-Simon Laplace

Viited

Välislingid 

Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)

Diferentsiaalvõrrandid