Habemeajaja paradoks

Habemeajaja paradoks on hulgateooria ja matemaatilise loogikaga seotud paradoks, Russelli paradoksi üldarusaadav versioon.

Sõnastus
Habemeajaja paradoksi saab esitada üksikasjade poolest erinevates sõnastustes. Sõnastus mõjutab paradoksaalsuse astet ja selle iseloomu.

Tingimus nendinguna
Habemeajaja paradoks räägib linnast, kus on niisugune meeshabemeajaja, kes ajab iga päev habet igal selle linna mehel, kes ise endal habet ei aja, ja mitte kellelgi teisel. 

Selgub, et:  
 Kui habemeajaja ei aja täna endal habet, siis ta on niisugune selle linna mees, kes täna  endal ise habet ei aja, järelikult ajab habemeajaja tal, seega iseendal, täna habet. Niisiis, kui ta ei aja endal habet, siis ta ajab endal habet. 
 Kui habemeajaja ajab täna endal habet, siis ta on niisugune selle linna mees, kes täna  endal ise habet ajab, järelikult habemeajaja ei aja tal, seega iseendal, täna habet. Niisiis, kui ta ajab endal habet, siis ta ei aja endal habet. 
Habemeajaja kas ajab täna endal habet või ei aja endal habet. Kui ta ajab täna endal habet, siis ta ei aja täna endal habet. Seega ta ajab endal täna habet ja ei aja täna endal habet. Kui aga ta ei aja täna endal habet, siis ta ajab täna endal habet. Seega ta ei aja endal täna habet ja ajab täna endal habet. Nii et tuleb välja, et igal juhul ta ajab endal täna habet ja ei aja endal täna habet. 

Et see pole võimalik, siis muidugi võib järeldada, et niisugust linna ei saa olla. Seetõttu nimetatakse Russelli paradoksi mõnikord ka pseudoparadoksiks.

Tingimus reeglina
Teises versioonis võib habemeajaja paradoksi sõnastada nii: 

Ühes linnas on niisugune meeshabemeajaja, kes peab  habet ajama nendel ja ainult nendel selle linna meestel, kes ise endal habet ei aja. 

Selgub, et:
 Kui habemeajaja ajaks endal habet, siis ta rikuks reeglit, sest siis ta ajaks iseendal habet ning siis ei tohiks habemeajaja tal, seega iseendal, habet ajada.
 Kui habemeajaja jätaks endal habeme ajamata, siis ta rikuks reeglit, sest siis ta ei ajaks iseendal habet ning siis peaks habemeajaja tal, seega iseendal, habet ajama. 
 Habemeajaja saab kas ajada endal habet või mitte ajada endal habet. Kummalgi juhul rikub ta reeglit.

Analüüs
Kui me jätame ära tingimuse, et habemeajaja on mees, siis ta võib-olla mittemees (näiteks naine) ning sel juhul ei järeldu habemeajaja habeme ajamise kohta mitte midagi. 

Paradoksi sõnastuses on oluline, et habemeajaja kuuluks nende isikute ringi, kelle habeme ajamise üle tuleb otsustada.  Võib algusest peale mitte piirata seda isikute ringi meestega. Sel juhul ei oleks lahenduseks, kui öelda, et habemeajaja on naine. Tõepoolest, kui naine jätab endal habeme ajamata, siis ta peab ikkagi endal habet ajama, sest eeldatav nõue käib ka tema kohta.

Seos Russelli paradoksiga
Suhe x ja y (kus x ja y on teatud linna mehed) vahel "x ajab y habet" habemeajaja paradoksis on täpses vastavuses suhtega x ja y vahel (kus x ja y on hulgad) "x on y element" Russelli paradoksis.

Kui me vaatleme näiteks nende meeste hulka, kes ise endal habet ei aja, siis mingit paradoksi ei teki.

Päritolu
Habemeajaja paradoks omistatakse Bertrand Russellile, kes 1901. aastal avastas Russelli paradoksi, mis näitas, et Georg Cantori naiivne hulgateooria on vastuoluline.

Russell ise esitas selle nimetamata allikale viidates avalikult esimest korda 1918. aastal Londonis peetud loengusarjas, millel põhineb tema töö "Philosophy of Logical Atomism". Ta kirjutab selles töös: "Too vastuolu on äärmiselt huvitav. Selle kuju saab modifitseerida; mõned modifitseeritud kujud on kehtivad, mõned mitte. Kunagi esitati mulle üks selle kuju, mis ei ole kehtiv, nimelt küsimus, kas habemeajaja ajab iseendal habet või mitte. Habemeajaja võib defineerida kui 'kellegi, kes ajab habet kõigil neil ja ainult neil, kes iseendal habet ei aja'. Küsimus seisneb selles, kas habemeajaja ajab endal habet. Sellel kujul ei ole seda vastuolu väga raske lahendada..." 

Hulgateooria
Bertrand Russell