Homomorfism

Homomorfism on kujutus ühest algebralisest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad tehted ja/või seosed.

Definitsioon ja selgitus 
Matemaatikas tähendab homomorfism sama tüüpi algebraliste struktuuride vahelist niisugust kujutust, mille puhul vaadeldavad operatsioonid säilivad.

Näiteks, kui on antud hulk X osalise järjestusega <, ja teine hulk Y osalise järjestusega, siis kujutus f: X -> Y hulgast X hulka Y on homomorfism kui
 kui    u < v    siis    f(u) { f(v).

Kui hulkadel X ja Y on defineeritud binaarsed tehted, vastavalt * ja @, siis kujutus f on homomorfism, kui
 f(u) @ f(v)  = f(u * v).

Homomorfismid on näiteks 
 rühmade homomorfismid, 
 ringide homomorfismid,  
 vektorruumide homomorfismid ehk lineaarsed operaatorid 
 pidevad kujutused.

Homomorfismi tuum 
Iga homomorfism f: X -> Y defineerib algebraliste struktuuride ekvivalentsiseose ehk kongruentsi ~ algebralisel struktuuril X: 
a ~ b parajasti siis, kui f(a) = f(b). 
Kongruentsi ~ nimetatakse homomorfismi f tuumaks. Vastaval faktorhulgal X/~, mida nimetatakse X faktoralgebraks kongruentsi ~ järgi, saab loomulikul viisil anda algebra struktuuri, näiteks [x] * [y]  = [x * y]. Tänu viimasele on algebra X kujutis algebras Y isomorfne algebraga X/~. See tõik on üks isomorfismiteoreemidest.

Teatud juhtudel (näiteks rühmade ja ringide puhul) piisab faktoralgebra määramiseks ühestainsast ekvivalentsiklassist K. Sel juhul tähistatakse seda faktoralgebrat X/K ja homomorfismi tuumaks mitte kongruentsi ~, vaid ekvivalentsiklassi K.

Universaalalgebrate homomorfismid

Definitsioon 
Olgu A=<A, f(1),...,f(n)> ja B=<B, g(1),...,g(n)> sama signatuuriga universaalalgebrad ning h : A → B funktsioon, mis kujutab hulga A hulka B. Olgu i=1,...,n korral a(i) tehete f(i) ja g(i) aarsus (need aarsused peavad olema võrdsed, sest algebratel A ja B on sama signatuur). Siis h on algebra A homomorfism algebrasse B, kui iga i=1,...,n korral ja hulga A elementide iga a(i)-korteeži (x(1),...,x(a(i))) korral kehtib võrdus (f(i)(x(1),...,x(a(i))))=g(i)(h(x(1)),...,h(x(a(i)))). See tähendab, et iga i=1,...,n korral kujutab kujutus h tehte f(i) tehteks g(i).

Näited

Näide 1 
Olgu G=<G, +, –, 0> ja H=<H, +′, –′, 0′> Abeli rühmad ja h : G → H. Eeldame, et kõikide a, b korral rühmast G kehtib võrdus h (a + b) = h(a) +′ h(b). Siis h on rühma G homomorfism rühma H. Tõepoolest, eelduse põhjal võib öelda, et h kujutab rühmatehte + rühmatehteks +′. Peale selle on kerge näidata, et h kujutab rühma G rühmatehte Ühikelemendi 0 rühma H rühmatehte ühikelemendiks 0′, nii et kehtib võrdus h(0) = 0′. Analoogiliselt on kerge näidata, et iga a ∈ G korral kehtib h(–a) = –′ h(a).

Näide 2 
Vaatame funktsiooni f(x) = 2x reaalarvude hulgast, kus on defineeritud (ainult) liitmine, positiivsete reaalarvude hulka, kus on defineeritud (ainult) korrutamine. Antud tehete suhtes on funktsioon f rühmade, täpselmalt Abeli rühmade, homomorfism:
f (x + y) = f (x) · f (y).

Homomorfismide tüübid 
 Homomorfismi, mis on ühtlasi bijektsioon, mille pöördkujutus on samuti homomorfism, nimetatakse isomorfismiks. Kaks isomorfset objekti on vaatlusaluse struktuuri poolest eristamatud. 
 Homomorfismi iseendasse nimetatakse endomorfismiks, ja kui see on ühtlasi isomorfism, siis nimetatakse seda automorfismiks.
 Homomorfismi, mis on sürjektiivne, nimetatakse epimorfismiks.
 Homomorfismi, mis on injektiivne, nimetatakse monomorfismiks.

Viited

Kirjandus
 Gräzin, Igor jt (toimetaja), 1985. Filosoofia leksikon. Tallinn.
 Schmidt, Heinrich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgart. (venekeelne tõlge, 2003, Moskva. ISBN 5-250-01794-0.)
 Novaja filosofskaja entsiklopedija. 2001, Moskva. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1).
 Smirnov, D. M., 1979. Gomomorfizm. Matematitšeskaja entsiklopedija, tom 1, Moskva.
 McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y., ISBN 007524335.

Algebra