Monotoonne funktsioon

Matemaatilises analüüsis nimetatakse reaalmuutuja funktsiooni  kasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kasvab, ning  kahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse rangelt monotoonseteks. Funktsiooni nimetatakse mittekahanevaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kahane, ning mittekasvavaks, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kasva. Mittekahanevaid ja mittekasvavaid funktsioone nimetatakse monotoonseteks.

Definitsioon

Olgu A ja B teatavad reaalarvude hulgad ja olgu f funktsioon hulgast A hulka B. Funktsiooni f nimetatakse
 kasvavaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) < f(y),
 kahanevaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) > f(y),
 mittekahanevaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≤ f(y),
 mittekasvavaks, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≥ f(y).

Kui funktsioon on mittekahanev või mittekasvav, nimetatakse seda monotoonseks. Kui funktsioon on rangelt kasvav või kahanev, nimetatakse seda rangelt monotoonseks. Iga rangelt monotoonne funktsioon on monotoonne, aga mitte vastupidi.

Mõnedes allikates nimetatakse kasvavaks ja kahanevaks vastavalt mittekahanevat ja mittekasvavat funktsiooni. Sel juhul nimetatakse rangelt monotoonset funktsiooni vastavalt rangelt kasvavaks või rangelt kahanevaks funktsiooniks. Tekstides, kus kasutatakse mõisteid "mittekasvav" ja "mittekahanev", eeldatakse, et mõisted "kasvav" ja "kahanev" tähendavad vastavalt ranget kasvamist ja kahanemist. Antud artiklis kasutatakse viimast tähistust.

Tuleb tähele panna, et väited funktsioon f on mittekahanev ning funktsioon f ei ole kahanev ei ole samaväärsed: funktsioon, mis ei ole kahanev, ei pea veel olema mittekahanev (vastupidine järeldus mittekahanev ⇒ ei ole kahanev küll kehtib, kui hulgas A on rohkem kui üks element). Väljendit funktsioon f on mittekahanev tuleks mõista pigem nii: argumendi kasvades funktsiooni f väärtus kunagi ei kahane või nii: funktsioon f ei ole kahanev oma määramispiirkonna üheski vähemalt kaheelemendilises alamhulgas (vt. alajaotust Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas). Samamoodi ei ole väide funktsioon f on mittekasvav samaväärne väitega funktsioon f ei ole kasvav.

Erijuhul, kui A on kõigi naturaalarvude hulk, siis funktsioon f määrab ära jada ning saame eelnevast rangelt kasvava, rangelt kahaneva, mittekahaneva, mittekahaneva, monotoonse ja rangelt monotoonse jada definitsioonid.

Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas

Sageli kõneldakse funktsiooni kasvamisest ja kahanemisest mingis tema määramispiirkonna A alamhulgas X. Seda mõistetakse järgmiselt: funktsiooni f nimetatakse kasvavaks, kahanevaks, mittekahanevaks või mittekasvavaks hulgas X, kui funktsiooni f ahend hulgale X on vastavalt kasvav, kahanev, mittekasvav või mittekahanev.

Üks ja sama funktsioon võib seega olla oma lähtehulga ühes alamhulgas kasvav, teises kahanev.

Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis punktis

Olgu a funktsiooni f määramispiirkonna sisepunkt. Funktsiooni f nimetatakse
 kasvavaks kohal a, kui punkti a mingis vasakpoolses ümbruses f(x)<f(a) ning mingis parempoolses ümbruses f(x)>f(a),
 kahanevaks kohal a, kui punkti a mingis vasakpoolses ümbruses f(x)>f(a) ning mingis parempoolses ümbruses f(x)<f(a) .

Diferentseeruva funktsiooni monotoonsusomadused

Olgu funktsioon f on diferentseeruv mingis oma määramispiirkonna sisepunktis a. Siis kehtivad järgnevad väited (need tulenevad otse piirväärtuse monotoonsusest):
 kui f'(a) > 0, siis funktsioon f kasvab kohal a,
 kui f'(a) < 0, siis funktsioon f kahaneb kohal a.

Olgu funktsioon f pidev mingis lõigus [a, b] ning diferentseeruv vahemikus (a, b). Lagrange'i keskväärtusteoreemist ja piirväärtuse monotoonsusest saab siis lihtsasti tuletada, et funktsioon f on lõigus [a, b]
 kahanev, kui funktsiooni f tuletis on vahemikus (a, b) negatiivne,
 kasvav, kui funktsiooni f tuletis on vahemikus (a, b) positiivne,
 mittekasvav parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on vahemikus (a, b) mittepositiivne,
 mittekahanev parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on vahemikus (a, b) mittenegatiivne.
Märgigem, et esimese kahe väite puhul kehtib järeldumine vastupidises suunas üldjuhul ei kehti: näiteks funktsioon f(x)=x3 on küll kasvav kogu reaalteljel, kuid tema tuletis punktis 0 on 0.

Vaata ka

Monotoonsusprintsiip
Isotoonne kujutus

Viited

Matemaatiline analüüs