Universaalalgebra

Universaalalgebra ehk algebraline struktuur ehk algebra on hulk koos algebraliste tehete kogumiga sellel hulgal.

Mitteformaalne definitsioon
n-aarne (algebraline) tehe hulgal A on funktsioon, mis võtab n elementi hulgast A ja annab ühe elemendi hulgast A.  0-aarne tehe ehk nullaarne tehe on lihtsalt hulga  A element ehk konstant, mida sageli tähistatakse tähega (näiteks a).  1-aarne tehe ehk unaarne tehe on lihtsalt funktsioon hulgast A hulka A, mida sageli tähistab sümbol argumendi ees, näiteks ~x. 2-aarset tehet ehk binaarset tehet tähistatakse sageli sümboliga argumentide vahel (näiteks x * y). Suurema või täpsustamata aarsusega tehet tähistatakse tavaliselt funktsioonisümbolitega ning argumendid pannakse sulgudesse ja eraldatakse komadega, näiteks f(x,y,z) või f(x1,...,xn). Kasutatakse ka universaalset tähistusviisi, mille korral tehte sümbol
järgneb argumentide sümbolitele ja argumendid kirjutatakse järjest, ilma tühikute ja eraldavate märkideta.

Formaalne definitsioon
Universaalalgebra on järjestatud nelik (A, Σ, φ, ψ), kus A on hulk (universaalalgebra kandja), Σ on hulk, φ on kujutus hulgast Σ naturaalarvude hulka (Σ ja φ moodustavad universaalalgebra signatuuri) ning ψ on kujutus hulgast Σ kõikide algebraliste tehete hulka hulgal A, mis seab igale hulga Σ elemendile σ vastavusse tehte, mille aarsus on φ(σ).

Alternatiivne definitsioon
Universaalalgebra A on matemaatiline struktuur, mis koosneb suvalisest hulgast A, mida nimetatakse kandjaks ehk universumiks, ning lõplikust arvust hulgal A defineeritud algebralistest tehetest f(1),...,f(n) (sageli vaadeldakse ka lõpmatu paljude tehetega algebraid). Kui tahetakse välja tuua, millisest kandjast ja millistest tehetest algebra A koosneb, siis kirjutatakse A = <A, f(1),...,f(n)>. Seejuures mõeldakse hulgas A defineeritud algebralise tehte all mis tahes funktsiooni, mis kujutab hulga A mingi otseastme hulka A. Iga i=1, ..., n korral kehtib  f(i) : Aa(i)</sup> → A, kus a(i) on kindel täisarv, mida nimetatakse tehte f(i) aarsuseks. Tehet f(i) nimetatakse sel juhul a(i)-aarseks tehteks.  0-aarne tehe on algebra A fikseeritud element (fikseeritud elemente nimetatakse ka konstantideks). Korteeži (a(1), ..., a(n)) nimetatakse selle algebra signatuuriks.

Samasused ja muutkonnad
Kui tehted (signatuur) on kindlaks määratud, saab vaadeldavate universaalalgebrate klassi täiendavalt piirata aksioomide abil, millel universaalalgebrate teoorias peab olema samasuste kuju. Näiteks binaarsete tehete puhul defineeritav assotsiatiivsuse aksioom on esitatav samasusena x * (y * z) = (x * y) * z. Peetakse silmas, et see samasus peab kehtima hulga A mis tahes elementide x, y ja  z korral.

Ühe ja sama signatuuriga universaalalgebrate klasse, mis on määratud ainult samasustega, nimetatakse muutkondadeks.

Universaalalgebrad ja mudelid
Universaalalgebraid võib vaadelda mudelitena, milles seosed puuduvad. Universaalalgebrat võib vaadelda mudeliteooria haruna, milles vaadeldakse ainult tehteid, mitte seoseid, ning milles nende klasse määratletakse ainult samasuste abil.

Näiteid 

Rühmoid: ühe binaarse tehtega hulk
Kvaasirühm: grupoid, milles jagamine on alati võimalik
Luup: kvaasirühm, millel on ühikelement
Poolrühm: assotsiatiivne grupoid
Monoid: poolrühm, millel on ühikelement
Rühm: monoid, milles igal elemendil on pöördelement, ehk assotsiatiivne luup
Abeli rühm: kommutatiivne rühm
Ring: hulk, millel on Abeli rühma teheliitmisena ja monoidi tehe korrutamisena ning milles kehtib distributiivsus
Korpus: ring, milles kõik elemendid peale nullelemendi moodustavad korrutamise suhtes Abeli rühma
Moodul üle antud ringi R: hulk, millel on defineeritud Abeli rühma tehe liitmisena koos aditiivse unaarse operatsiooni (skalaarkorrutise) ringi R iga elemendi jaoks, nii et skalaarkorrutist seob korrutamisega ringis R assotsisatiivsuse tingimus
Vektorruum: moodul üle korpuse
Algebra: moodul või vektorruum koos bilineaarse korrutamistehtega
Assotsiatiivne algebra: algebra, mille korrutamistehe on assotsiatiivne 
Kommutatiivne algebra: assotsiatiivne algebra, mille korrutamistehe on kommutatiivne
Võre: kahe kommutatiivse, assotsiatiivse ja idempotentse tehtega hulk, kus kehtivad neeldumisseadused  
Boole'i algebra: võre, milles on maksimaalne element ja minimaalne element, milles tehted on teineteise suhtes distributiivsed ning milles igal elemendil on täiend
Hulk: kuigi mõned matemaatikud hulka universaalalgebraks ei pea, võib seda vaadelda kõdunud universaalalgebrana, mille signatuur on tühi hulk

Rühmad 

Vaatame näiteks, kuidas rühmi saab vaadelda universaalalgebratena. Tavaliselt defineeritakse rühm ühe binaarse tehte * abil hulgas A, mille korral kehtivad järgmised aksioomid: 
 assotsiatiivsus:  x * (y * z)  =  (x * y) * z.
 ühikelemendi olemasolu: on olemas niisugune element e, et e * x  =  x  =  x * e.
 pöördelemendi olemasolu: iga x korral, eksisteerib niisugune element i, et x * i  =  e  =  i * x.
(Mõnikord tuuakse ära ka "kinnisuse aksioom", mis ütleb, et kui x  ja y kuuluvad hulka A, siis ka x * y kuulub hulka A. Ent universaalalgebrate teoorias seda juba eeldatakse, kui räägitakse binaarsest tehtest *.)

Universaalalgebrate teooria seisukohast ei ole niisugune rühma definitsioon päris sobiv. Asi on selles, et ühikelemendi ja pöördelemendi olemasolu nõue ei ole esitatud samasustena, vaid olemasoluväidetena. Et seda vältida, võib binaarsele tehtele * lisada nullaarse tehte e ja unaarse tehte ~ ning esitada aksioomid niisugusel kujul: 
 Assotsiatiivsus:  x * (y * z)  =  (x * y) * z.
 Ühikelemendi olemasolu:  e * x  =  x  =  x * e.
 Pöördelemendi olemasolu:  x * (~x)  =  e  =  (~x) * x.
(Tavaliselt kirjutatakse "~x" asemel muidugi "x−1".)

Edasi on tähtis kontrollida, kas niisugused aksioomid tõesti defineerivad rühma. Asi on selles, et ühikelemente võib põhimõtteliselt olla rohkem kui üks, ja sel juhul pole selge, mis peaks olema nullaarse tehte väärtus  e. Osutub siiski, et niiviisi defineeritud rühmas on ühikelement alati ainus. Analoogiline probleem pöördelementidega laheneb analoogiliselt. Seega osutub rühma definitsioon universaalalgebrana ekvivalentseks rühma tavalise definitsiooniga.

Universaalalgebrate teooria
Universaalalgebrate teooria uurib kõikide universaalalgebrate või nende suurte klasside ühiseid omadusi.

Universaalalgebrate homomorfismid

Kahe ühe ja sama signatuuriga algebra A ja  B vahel on võimalik defineerida homomorfismid. Homomorfism h: A → B on lihtsalt niisugune funktsioon hulgast A hulka B, et iga tehte f korral (mille aarsus olgu  n) h(fA(x1,...,xn)) = fB(h(x1),...,h(xn)). (Alaindeksid f juures näitavad siin, kas on tegemist tehtega f hulgal A või hulgal B. Et seda saab konteksti põhjal öelda, siis jäetakse need alaindeksid tavaliselt ära.) Näiteks kui e on konstant (nullaarne tehe), siis h(eA) = eB. Kui ~ on unaarne tehe, siis h(~x) = ~h(x). Kui * on binaarne tehe, siis h(x * y) = h(x) * h(y). Ja nii edasi.

Algebraliste struktuuride kombinatsioonid teiste struktuuridega 
Algebralisi struktuure saab defineerida ka hulkadel, millel on mittealgebralisi struktuure, näiteks topoloogilistel ruumidel. Näiteks topoloogiline rühm on topoloogiline ruum, millel rühma struktuur on defineeritud nii, et korrutamine ja pöördelemendi võtmise tehe on pidevad funktsioonid. Topoloogilisel rühmal on nii topoloogiline kui ka algebraline struktuur. Teised tuntud näited on topoloogilised vektorruumid ja Lie rühmad.

Universaalalgebrate kategooriad
Igale sama signatuuriga universaalalgebrate klassile vastab oma homomorfismimõiste: homomorfism on antud tehetega ühitatav funktsioon. Nõnda saame kategooriad, milles morfismideks on universaalalgebrate homomorfismid. Näiteks rühmade kategoorias on objektideks kõik rühmad ja morfismideks kõik rühmade homomorfismid. Seda kategooriat, mis on konkreetne kategooria, saab vaadelda hulkade kategooriana, millel on täiendav struktuur kategooriateoreetilises mõttes. Samamoodi võib topoloogiliste rühmade kategooriat (milles morfismideks on pidevad rühmade homomorfismid) vaadelda topoloogiliste ruumide kategooriana, millel on täiendav struktuur.

Kirjandus
Jevgeni Gabovitš. Arvudeta matemaatika: populaarne sissejuhatus tänapäeva matemaatikasse, Tallinn 1968. 
Kalle Kaarli. Hiina Jäägiteoreemi kaudu universaalalgebrasse. – Aastaraamat 1998: Eesti Matemaatika Selts, Tartu 2001,  lk 23–51.

Algebra