Liitfunktsioon

Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide ehk kujutuste kompositsiooniks nimetatakse matemaatikas funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel.

Definitsioon

Olgu ,  ja  mingid  hulgad. Funktsioonide  ning  liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni , et  iga  korral.  

Funktsiooni  nimetatakse siin välimiseks, funktsiooni  sisemiseks funktsiooniks. Funktsioonide  ja  liitfunktsiooni tähistatakse sageli . Mingite funktsioonide  ja  liitfunktsiooni või nende liitfunktsiooni väärtuste leidmist nimetatakse ka funktsioonide  ja  järjest rakendamiseks.

Miks liitfunktsiooni argument ei ole (üldjuhul) funktsioon

Olgu mingi suurus x (mille muutumispiirkond olgu X) määrab üheselt ära suuruse u (mille väärtused kuulugu hulka U) ning suurus u määrab üheselt ära suuruse y (mis omandab väärtusi hulgast Y). Siis võime suurust y vaadelda funktsioonina suurusest u ning suurust u funktsioonina suurusest x. Et suurus  on funktsioon suurusest , siis omab mõtet avaldis , mis tähistab suuruse  väärtus suuruse  mingi etteantud väärtuse korral. Samas u on funktsioon suurusest x, seega funktsiooni y argument oleks justkui funktsioon.

Eelnev arutluskäik ei ole aga matemaatiliselt korrektne (vähemalt mitte selles mõttes, nagu mõiste "funktsioon" tavaliselt defineeritakse), sest "funktsioonide" all ei mõisteta matemaatikas ranges mõttes mitte mingeid funktsionaalselt seotud suurusi, vaid eeskirja ühe suuruse põhjal teise suuruse leidmiseks (vaata artiklit Funktsioon (matemaatika)).

Eeltoodud arutluses tekitab segadust sõnastus "suurus  on funktsioon suurusest ". Seda väljendit ei ole õige sõna-sõnalt tõlgendada - väide suurus  on funktsioon hulgal  ei ole õige. Tõepoolest, kui hulkadeks  ja  oleks kõigi reaalarvude hulk (füüsikalisi suurusi vaadeldakse ju tavaliselt reaalarvudena - näiteks võime suuruseks  võtta mingi keha asukoha ja suuruseks  kulunud aja), siis saaksime, et suurus  on korraga reaalarv ja funktsioon reaalarvust (ehk teisisõnu, eeskiri, mis seab igale reaalarvule vastavusse mingi reaalarvu) - vastuolu, sest meil ei ole mingit alust samastada reaalarve reaalmuutuja funktsioonidega. Näiteks keha asukoht mingil ajahetkel ei ole ju eeskiri reaalarvule reaalarvu vastavusse seadmiseks, vaid lihtsalt reaalarv.

Õige on väljendit "suurus  on funktsioon suurusest " mõista nii: suuruse  saab esitada funktsioonina suurusest , s. t. leidub mingi funktsioon , nii et alati kehtib seos . Sellisel juhul leiduvad meie näites funktsioonid  ja  nii, et  ja . Suuruse  saab suuruse  kaudu avaldada siis liitfunktsiooni  abil: . Siin aga on funktsiooni  argumendiks on ikkagi reaalarv, mitte funktsioon .

Tähistused ja nimetused algebras ning matemaatilises analüüsis

Algebras ja  matemaatilises analüüsis on liitfunktsiooni jaoks veidi erinevad nimetused ja tähised.

Sõna liitfunktsioon kasutatakse põhiliselt matemaatilises analüüsis (algebras kasutatakse sõna funktsioon asemel tavaliselt sõna kujutus), sõna kompositsioon kasutatakse nii algebras kui analüüsis.

Algebras nimetatakse kujutuste kompositsiooni sageli ka lihtsalt nende kujutuste korrutiseks, kujutuste järjest rakendamist nende kujutuste korrutamiseks ning kujutuste  ja  korrutist tähistatakse sageli lihtsalt nende järjestkirjutisena  (samamoodi nagu nt.  reaalarvuliste muutujate  ja  korrutist tähistatakse ). Niisugust tähistust võib põhjendada sellega, et kujutuste järjest rakendamist vaadeldakse algebras sageli  tehtena mingil kujutuste hulgal; seda tehet tähistatakse tavaliselt korrutustehtena.

Matemaatilises analüüsis seevastu mõeldakse funktsioonide  ja  korrutise all niisugust funktsiooni , et  iga  jaoks funktsiooni   määramispiirkonnast. Seepärast ei saa matemaatilises analüüsis sõna korrutis liitfunktsiooni kohta kasutada.

Näited

 Funktsiooni ,  võime vaadelda liitfunktsioonina , kus ,  ning , .

 Funktsiooni  võime esitada kolme funktsiooni liitfunktsioonina: , kus ,  ning . Õige on ka ; võime ka üldse sulud ära jätta ning kirjutada , sest funktsioonide järjest rakendamise assotsiatiivsuse tõttu võib avaldises  sulge suvaliselt ümber paigutada.

 Funktsiooni  võib esitada samamoodi nelja funktsiooni liitfunktsioonina: , kus , ,  ning .

 Kui mingil kujutusel  leidub pöördkujutus , siis  iga  jaoks ning  iga  jaoks. Seega kujutus  on samasusteisendus hulgal  ning   on samasusteisendus hulgal .

 Kui üks funktsioonidest  ja  on konstantne, siis ka nende funktsioonide liitfunktsioon  on konstantne.

Liitfunktsiooni tuletis

Kui  ja  on reaalmuutuja funktsioonid ning funktsioonil  on lõplik tuletis kohal  ja funktsioonil  on lõplik tuletis kohal , siis funktsioonil  on lõplik tuletis kohal  ning .

Sellest valemist saab järeldada ka valemid rohkema arvu funktsioonide liitfunktsioonide tuletise leidmiseks: näiteks kui leiduvad lõplikud ,  ja , siis  jne.

Samad liitfunktsiooni tuletise valemid kehtivad ka tuletise mõiste üldistuste jaoks, näiteks  kompleksmuutuja funktsioonide liitfunktsiooni tuletise jaoks.

Funktsioonid