Harmooniline võnkumine

Harmoonilises võnkumises või harmoonilises liikumises on klassikalise mehaanika järgi iga süsteem, millele siirdel tasakaalu asendist mõjub taastav jõud F mis on võrdeline antud siirdega x (ja võrdvastupidise suunaga):

 

kus k on positiivne konstant. Süsteeme, kus siire tasakaaluasendist ja samaaegne kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga () nimetatakse harmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k harmonic oscillator) , mõnede autorite poolt ka lineaarseks ostsillaatoriks.

Lihtharmooniline võnkumine 

Kui siirdega võrdeline taastav jõud F on ainuke süsteemile mõjuv jõud, nimetatakse harmoonilist võnkumist lihtharmooniliseks võnkumiseks. Lihtharmoonilise võnkumise näiteks on massi võnkumine vedru otsas, kui sumbuvust ei arvestata ja taastav jõud allub Hooke'i seadusele. Antud juhul kirjeldab võnkuva massi liikumist harilik diferentsiaalvõrrand:

kus  on võnkuva keha mass,  on siire tasakaaluasendist ja  on vedru jäikus. Antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidne funktsioon kujul

 

kus  on võnkumise ringsagedus ja  on võnkumise amplituud (maksimaalne siire tasakaaluasendist) ja  võnkumise algfaas.

Sumbuv harmooniline vabavõnkumine 
Lihtharmoonilise mudeli alusel modelleeritud süsteem, kus mõjub ainult siirdega võrdeline taastav jõud, võngub ilma sumbuvuseta. Tihti on tarvilik modelleerida võnkumisi, mis ilma väliste jõududa mõjuta sumbuvad. Seejuures võivad summutavad jõud olla erinevad. Peamiselt käsitletakse võnkumisi takistavaid jõude, mis on:

 kiirusest sõltumatu suurusega (näiteks juhul, kui keha võngub horisontaaselt vedru otsas tasapinnal on takistavaks jõuks kiirusest sõltumatu hõõre);
 võrdelised kiirusega ();
 võrdelised kiiruse kõrgema astmega ().

Kiirusega võrdelise sumbuvusega harmooniline vabavõnkumine 
Kõige laialdasemalt esineb sumbuvuse näidetes liikumise kiirusest  sõltuvaid summutavaid jõude, . Viimase jõu alaindeks tuleneb ühest sellist sumbuvust tekitavast protsessist ehk viskoossustakistusest ja  on võrdetegur (ühik kg/s) mida nimetatakse ka mehaaniliseks takistuseks. Seega lisades lihtharmoonilisele võnkumisele lisaks sumbuvust tekitava jõu  saab diferentsiaalvõrrand kuju:

jagades viimase läbi massiga  ja tähistades , saab võrrand kuju:

suurust  nimetatakse sumbuvuseta võnkumiste ringsageduseks ja suuruse  asemel kasutatakse mõnikord , kus suurust  nimetatakse sumbuvusastmeks (sumbeaste, sumbedekrement). Sumbuvusaste ja mehaaniline takistus on omavahel seotud valemiga . Eeldades, et diferentsiaalvõrrandi lahend on kujul saame asendades lahendi diferentiaalvõrrandisse

kuna ei võrdu igal ajahetkel nulliga, peab sulgudes olev avaldis võrduma nulliga. Tundmatu  leidmiseks peab lahendama ruutvõrrandi, mille lahendiks on

Viimases võrduses on kasutatud suurust . Lahendi saab, seega kirjutada kujul

millest on näha, et kasutusele võetud suurus  on eksponentsiaalne sumbuvusaeg. Suurus  on sumbuvusega võnkumise ringsagedus, mida saab leida valemiga

Tihti kasutatakse sumbuvate võnkumiste kirjeldamiseks ka dimensioonitut suurust , mida nimetatakse hüveteguriks. Hüvetegur on eelnevate suurustega seotud vastavalt

Sumbuvatel harmoonilistel võnkumistel eristatakse kolme režiimi:

 Juhul, kui  on tulemuseks ajas sumbuva amplituudiga võnkumine ja seda olukorda kutsutakse alasummutatud harmooniliseks võnkumiseks; 
 Juhul, kui  ei toimu süsteemi võnkumist ja toimub amplituudi vähenemine eksponentsiaalse sumbuvusajaga , viimast nimetatakse ülesummutatud harmooniliseks võnkumiseks; 
 Juhul, kui  ei toimu süsteemi võnkumist ja algne häiritus sumbub vähima võimaliku ajaga , antud režiimi nimetatakse seejuures kriitiliselt summutatud harmooniliseks võnkumiseks.

Sumbuvusega harmooniline sundvõnkumine 
Juhul, kui lisaks sumbuvusele mõjub süsteemile ka sundiv väline ajas muutuv jõud  kirjeldab vastavat harmoonilist võnkumist diferentsiaalvõrrand kujul

,

jällegi jagatakse tihti võrrand läbi massiga  ja tähistades , saab võrrand kuju

Samaväärsed süsteemid 
Harmooniliste ostsillaatoritega samaväärselt käituvaid süsteeme leidub lisaks mehaanikale ka teistes füüsika valdkondades. Samaväärsus tähendab süsteeme kirjeldava difierentsiaalvõrrandi samaväärsus. Allolevas tabelis on toodud nelja harmooniliselt võnkuva süsteemi samaväärsed suurused.

Vaata ka 
 Lihtharmooniline võnkumine
 Võnkumine
 Anharmooniline võnkumine

Viited 

Mehaanika
Võnkumine