Keskväärtus

Keskväärtus (ehk matemaatiline ootus või ooteväärtus) on mõõdetavate suuruste ja nende realiseerumise tõenäosuste korrutiste summa. Näiteks pikas katseseerias, kus ühte katset korratakse samadel tingimustel, tulemuste keskmine sarnaneb (seeria pikkuse suurenedes) üha rohkem tulemuste keskväärtusega. Keskväärtus (mingi arv) ei pruugi ise realiseeruda, näiteks täringuvisete silmade arvu keskväärtus on 3,5.

Matemaatiline definitsioon

Olgu  juhuslik suurus tõenäosusruumist , siis juhusliku suuruse  keskväärtus  (või ) on defineeritud Lebesgue'i integraalina:

.

Definitsioonist tuleneb, et mitte kõigil juhuslikel suurustel ei pruugi keskväärtust leiduda (kui vastavat Lebesgue'i integraali ei eksisteeri, nt Cauchy jaotuse korral). 

Kui juhuslikul suurusel  leidub tihedusfunktsioon , siis saab tema keskväärtust arvutada järgnevalt:

.

Kui juhuslik suurus  on diskreetne juhuslik suurus (väärtuste hulk on loenduv) vastavalt väärtustega , , ... ja tõenäosustega , , ... (kusjuures  tähistab väärtuse  realiseerumise tõenäosust ühel katsel ja nende tõenäosuste summa on 1), siis juhusliku suuruse  keskväärtust saab arvutada loenduva summana:

.

Kui suuruse  väärtusi on lõplik arv  (ehk neid väärtusi on  tükki: , , ..., ), siis

.

Omadused

Olgu  ja  keskväärtust omavad juhuslikud suurused.

Monotoonsus  
Kui  kehtib alati (st ), siis ka .

Lineaarsus 
 iga reaalarvulise  ja  korral. Muu hulgas
,
.

Korrutatavus 
Kui  ja  on sõltumatud, siis
.
Üldjuhul ei pruugi see kehtida.

Näited

Täringuvise 
Olgu katseks üks täringuvise ning katse tulemuseks loeme saadud silmade arvu täringul (1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma). Eeldame, et täring on "aus", st kõigi silmade arvu tulemiseks on võrdne võimalus. Siis ühe silma saamise tõenäosus ühel viskel on 1/6 (), kahe silma saamise tõenäosus ühel viskel 1/6 jne. Täringuvisete silmade arvu keskväärtus on siis

,

kus  tähistab silmade arvu, mis on juhuslik suurus,  ja , nagu eelnevalt kirjeldatud. 

Selles näites saadud keskväärtus langeb kokku silmade arvu aritmeetilise keskmisega, sest kõigi silmade saamise tõenäosused on võrdsed. Kui meil oleks olnud tegemist ebaausa täringuga, kus ühe silma saamise tõenäosus on teistest suurem, näitkeks  ja , siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5. (See arv näitab, et pika katseseeria jooksul oleks visketulemuste keskmine olnud ligikaudu 2,5.)

Eksponentjaotus 
Olgu juhuslik suurus  eksponentjaotusest parameetriga , st tema tihedusfunktsioon on , kus . Kasutades ositi integreerimist, saame tema keskväärtuseks  

.

Vaata ka 

 Pinnakese

Statistika
Tõenäosusteooria