Cauchy jada

Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse (arvude, üldisemalt meetrilise ruumi punktide) jada vn, mille elemendid indeksi n kasvades üksteisele lõputult lähenevad, st iga etteantud positiivse kauguse korral leidub jada element, millest alates kõik jada elemendid on üksteisest etteantud kaugusest väiksemal kaugusel. 

Cauchy jadad on nime saanud prantsuse matemaatiku Augustin-Louis Cauchy järgi. Neil on matemaatilises analüüsis põhjapanev tähtsus.

Arvude fundamentaaljadad on defineeritud mingi arvuhulga suhtes (kui jutt on reaalarvudest, siis peetakse vaikimisi silmas reaalarvude hulka, aga seda hulka võidakse ka eksplitsiitselt kitsendada). Selles hulgas ei pruugi kõikidel fundamentaaljadadel piirväärtust olla, näiteks kõikidel ratsionaalarvude fundamentaaljadadel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas. Kui ratsionaalarvude fundamentaaljadal ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas, siis reaalarvude hulga suhtes on tal piirväärtus, mis on irratsionaalarv. Iga arvuhulk on meetriline ruum. Meetrilise ruumi punktide kõik fundamentaaljadad koonduvad selles ruumis parajasti siis, kui see ruum on täielik. Reaalarvud moodustavad  täieliku meetrilise ruumi, ratsionaalarvud mitte.  Mittetäieliku meetrilise ruumi saab  täielikustada, lisades uute elementidena nende fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid, mis selles ruumis ei koondu. (Fundamentaaljadad on ekvivalentsed, kui nad tulevad üksteisele kui tahes lähedale). Ratsionaalarvude ruumi täielikustamisel saame reaalarvude ruumi.

Reaalarvude fundamentaaljadad

Definitsioon 

Reaalarvude jada  nimetatakse fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks, kui mis tahes   korral leidub indeks , millest alates kõik jada elemendid on üksteisest väiksemal kaugusel kui  : 

kus  on arvu absoluutväärtus.

Näited 

 Jada  on fundamentaaljada. Tõepoolest, mis tahes etteantud   korral saab valida niisuguse naturaalarvu , et kehtib . Kui nüüd valida suvalised naturaalarvud , siis kehtib

.

 Jada  ei ole fundamentaaljada. Olgu valitud  ja olgu  suvaline naturaalarv. Siis saab valida  ja  ning alati kehtib

.

Koonduv jada on fundamentaaljada 
Teoreem. Iga koonduv reaalarvude jada on fundamentaaljada. 

Tõestus. Olgu  suvaline koonduv jada piirväärtusega . Olgu . Siis leidub   nii, et kõikide   korral, nii et , kehtib  

 

Olgu  nüüd suvalised. Kolmnurga võrratusest järeldub, et 

.

Fundamentaaljada on tõkestatud 
Teoreem. Iga reaalarvude fundamentaaljada on tõkestatud.

Tõestus. Olgu  fundamentaaljada. Niisiis leidub iga   korral niisugune , et kõikide  korral . Olgu . Niisiis leidub  niisugune , et kõikide  korral . Olgu , siis kõikide  korral  Seega asetsevad kõik jada elemendid , mille korral , vahemikus . Seega on kõik jada elemendid alates indeksist  ülalt tõkestatud arvuga  ja alt tõkestatud arvuga :

Enne elementi  asetseb ainult lõplik hulk jada elemente . Need on seetõttu tõkestatud. Seetõttu on nad ülalt tõkestatud arvuga  ja alt tõkestatud arvuga . Saame:

Kogu jada on niisiis ülalt tõkestatud arvuga  ja alt tõkestatud arvuga .

Koonduva osajadaga fundamentaaljada on koonduv
Lemma. Iga reaalarvuline fundamentaaljada , millel on arvuks   koonduv osajada , koondub selle koonduva osajada piirväärtuseks .

Selgitus. Olgu  fundamentaaljada ja  selle fundamentaaljada koonduv osajada piirväärtusega  . Fundamentaaljada  definitsiooni järgi jõuavad ja jäävad selle jada elemendid üksteisele kui tahes lähedale. Koonduva osajada elemendid jõuavad ja jäävad koonduva jada definitsiooni järgi kui tahes lähedale arvule . 

Olgu . Nüüd tuleb leida niisugune , et kõikide  korral . Alustame võrratusest
. Kui jada element  asetseb osajadas  , ei ole sellega probleemi, sest piisavalt suurte indeksite puhul võrratus kehtib. Vaatleme jada elementi , mis ei ole kõnealuse osajada element. Fundamentaaljada definitsioonist järeldub, et lõpuks peab jada liikme  mis tahes ümbruses olema osajada elemente. Need aga on piirväärtusele kui tahes lähedal. Kolmnurga võrratusest järeldub, et 

Mõlemad absoluutväärtused saab teha kui tahes väikeseks. Kui mõlemad on väiksemad kui , siis on  kindlasti väiksem kui . Alustame avaldisest  . Siin leiame indeksi , mille korral kõikide  korral . Arv   leidub, sest osajada   koondub arvuks .

Vaatame nüüd teist avaldist: leidub niisugune  , et kõikide  korral . Meil on  asemel . Niisiis tuleb tagada, et . Üldiselt on, sest  on naturaalarvude kasvav jada. Seega võime valida , sest siis . Et aga ka  peaks olema suurem kui , siis valime ükskõik millise . 

Muutuja  esines seni ainult avaldises . Seal me nõudsime, et kehtiks. Sellepärast me nõuame indeksilt  ainult seda, et see oleks suurem kui. Sellepärast valime koonduvuse tõestuses .

Tõestus. Olgu  Cauchy jada ja  selle Cauchy jada koonduv osajada piirväärtusega  . Olgu  suvaline. Cauchy jada definitsioonist järeldub, et leidub niisugune , et kõikide  korral .

Täielikkus 
On ratsionaalarvude jadasid, mille liikmed küll kuhjuvad kirjeldatud viisil, kuid millel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude hulgas. Üks näide on ratsionaalrvude jada järgmise eeskirjaga (Heroni iteratsioonivalem)

.

See jada on fundamentaaljada, aga selle piirväärtus on irratsionaalarv , nii et see ratsionaalarvude hulga piires ei koondu. Asjaolu, et  paljude ratsionaalarvuliste fundamentaaljadade piirväärtused ei kuulu ratsionaalarvude hulka , viis ideeni, et reaalarve saab konstrueerida ratsionaalarvude hulga täielikustamise teel.

Fundamentaaljadad meetrilistes ruumides

Definitsioon 
Üldisemalt defineeritakse fundamentaaljada mõiste   meetrilistes ruumides , st hulkades , millel on antud meetrika . Hulga  elementide jada  nimetatakse siis fundamentaaljadaks, kui

 

See tähendab, iga reaalarvu  korral leidub indeks , nii et kõikide naturaalarvude  korral on vastavate jadaliikmete kaugus .

Samaväärne geomeetriline formuleering on järgmine: iga  korral leiduvad punkt  ja indeks , nii et kõik jada elemendid alates elemendist  asetsevad lahtises keras   raadiusega  punkti  ümber. See versioon erineb koonduvuse definitsioonist ainult selle poolest, et siin tohib keskpunkt  sõltuda raadiusest , kuna aga koonduvuse korral peab piirväärtus  olema raadiusest  sõltumatu.

Täielikkus 

Iga koonduv jada meetrilises ruumis on ka fundamentaaljada. Tõepoolest, kui jada  koondub ja selle piirväärtus on , siis leidub iga  korral indeks , nii et kõikide  korral. Koos kolmnurga võrratusega, mis meetrilistes ruumides kehtib, järeldub sellest kõikide  korral, et

ja järelikult on see jada fundamentaaljada. Ümberpöördu ei pruugi siiski tõsi olla, mistõttu on võetud kasutusele täieliku ruumi (täieliku meetrilise ruumi) mõiste. Täielikus ruumis on on definitsiooni kohaselt igal fundamentaaljadal piirväärtus ning koonduva jada mõiste langeb fundamentaaljada mõistega kokku. Ent iga mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, moodustades fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid. Seejuures loetakse kaks hulga  elementide fundamentaaljada   ja  ekvivalentseteks, kui 

ehk
.
Kui ühe jada piirväärtus kuulub hulka , siis kuulub sinna ka teise jada piirväärtus ja need piirväärtused on võrdsed.

Definitsioon 

Olgu M meetriline ruum kaugusega . Jada  nimetatakse fundamentaaljadaks, kui iga positiivse reaalarvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv N, et iga naturaalarvu n, m > N korral kehtib
.

Seda asjaolu märgitakse lühemalt kujul 

 
Kui jada  on fundamentaaljada, siis öeldakse, et ta koondub fundamentaalselt. 

Erinevalt koonduvusest, mis sõltub sellest, millises ruumis jada vaadeldakse, on jada fundamentaalsus tema sisemine omadus.

Vaata ka
Cauchy kriteerium
Cauchy võrk

Märkused

Matemaatiline analüüs