Maatriks

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve (tavaliselt reaalarve või kompleksarve) või mingeid muid etteantud hulka kuuluvaid matemaatilisi objekte, näiteks polünoome, funktsioone, diferentsiaale, vektoreid. Objekte, mida tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks. 

Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada: nad moodustavad korpuse või üldisemalt ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Tehted maatriksitega defineeritakse maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu.

Et osutada sellele, kust maatriksi elemendid võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse maatriksiks üle reaalarvude korpuse).

Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.

Maatrikseid uurib maatriksite teooria.

Maatriksi üldistus on hüpermaatriks, millel võib olla rohkem mõõtmeid kui 2.

Definitsioonid ja tähistused

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve või muid matemaatilisi objekte. Näiteks

on maatriks. Objekte, mida maatriksi kui tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks ehk maatriksi komponentideks.
 
Maatriksi mõõtmed määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n  (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt ''m × n maatriksiks. Positiivsete täisarvude järjestatud paari m × n nimetatakse 'maatriksi järguks ehk mõõtmeteks ehk dimensiooniks ehk suuruseks ning arve m ning n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4 × 3 maatriksit. (Mõnikord vaadeldakse ka lõpmatuid maatrikseid, millel on lõpmata palju ridasid ja veerge, ja tühje maatrikseid, mille ridade arv või veergude arv või mõlemad on 0.)

Maatriksit, mille ridade arv võrdub veergude arvuga, nimetatakse ruutmaatriksiks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.

Maatriksit, mille üks mõõtmetest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt reavektoriteks ja veeruvektoriteks. Näiteks 

on 1 × 3 reavektor.

Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.

Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente tavaliselt väikeste ladina või kreeka tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava alaindeksiga  (näiteks a11 või a1,1, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit

esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: 
või ka , kui . Kasutusel on ka tähistus, mille puhul maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga kui maatriksit ennast, näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij. Maatriksite eristamiseks teistest objektidest kasutatakse ka näiteks rasvast kirja (A) või kahekordset allakriipsutamist ().

Maatriksi A elementi i-ndas reas ja j-ndas veerus nimetatakse mõnikord maatriksi  i,j-elemendiks või (i, j) elemendiks ning tähistatake tavaliselt  ai,j või aij, mõnikord A[i,j] või Ai,j. Näiteks järgneva maatriksi A (1, 3) element (a13, a1,3, A[1,3], A1,3) on 5:
.

Mõnikord antakse maatriksi elemendid valemiga:  ai,j = f(i, j). Näiteks järgneva maatriksi A elemendid on antud valemiga aij = i − j.

Sel juhul antakse maatriks ise mõnikord selle valemiga nurksulgudes või topeltsulgudes, näiteks siinsel juhtumil A = [i−j] või A = ((i−j)). Kui maatriksi mõõtmed on m × n, siis valem f(i, j) kehtib, kui  i = 1, ..., m ja j = 1, ..., n. Seda võib eraldi mainida või anda m × n alakirjas, meie juhtumil A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) või A = [i − j]3×4.

Maatriksi ridu ja veerge tähistatakse mõnikord tärni abil, näiteks ai,∗ on maatriksi A i-s rida ja a∗,j on maatriksi A j-s veerg.

Maatrikseid, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiteks üle ringi R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatriksiteks üle reaalarvude korpuse või üle reaalarvude.

Tehted maatriksitega

Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine

Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.
{| class="wikitable" border="1"
|-
! Tehe
! Definitsioon
! Näide
|-
| Liitmine
| Olgu A ja B m × n maatriksid üle ringi R. Siis A ja 'B summa A+B vahel leitakse elementhaaval:
(A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 ≤ i ≤ m and 1 ≤ j ≤ n. 
|

|-
| Skalaariga korrutamine
| Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c:

| 
|-
| Transponeerimine
| m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade äravahetamisel:

| 
|}

Skalaariga korrutamise omadused ja liitmise omadused (assotsiatiivsus ja kommutatiivsus) ringis kanduvad üle maatriksite liitmisele: näiteks A + B = B + A. 

Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.

Korrutamine

Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on

 
iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.

Näiteks
 
ja sarnaselt

Maatriksite korrutamine on:
 assotsiatiivne: (AB)C = A(BC)
 distributiivne: (A + B)C = AC + BC ja C(A + B) = CA + CB

Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul

AB ≠ BA.

st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.

Pöördmaatriks

Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust
 
kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises.

Rakendused lineaaralgebras
Maatriksid tekivad loomulikul moel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ja lineaarteisenduste vaatlemisel.

 Lineaarvõrrandisüsteemid 

Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi kujul: 
 .
See süsteem koosneb  lineaarvõrrandist  tundmatuga. Selle võib esitada järgmise maatriksvõrrandina: 
 ,
kus
 +
Maatriks  on lineaarvõrrandisüsteemi koefitsientide maatriks, veeruvektor    on tundmatute vektor ja veeruvektor    on mingi etteantud vektor.  

Selleks et süsteemil oleks (vähemalt üks) lahend, on tarvilik ja piisav, et vektor   oleks maatriksi  lineaarkombinatsioon, ja siis vektor  on koefitsientide vektor vektori  lahutuseks maatriksi  veergude järgi.

Maatriksite keeles saab lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvuse tingimuse formuleerida Kroneckeri-Capelli teoreemina: 
 maatriksi  astak võrdub maatriksi  veergudest ja veerust moodustatud  moodustatud maatriksi  astakuna.Tähtis erijuht. Kui võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga ( ehk  on ruutmaatriks), siis ühese lahenduvuse tingimus on ekvivalentne maatriksi  pööratavusega. 

(Märkus. Süsteemi lahenduvusest ei järeldu veel, et maatriks ei ole kõdunud. Näide: 
.)

Kui maatriks  on pöötatav, siis süsteemi lahend on 
 .
Sellest tuleneb Crameri meetod. 

 Lineaarkujutused 

Vaatleme lineaarkujutust  -mõõtmelisest vektorruumist   -mõõtmelisse vektorruumi , millel on järgmine kuju:
 .
Maatrikskujul on see 
 ,
kus maatriks  on lineaarkujutuse koefitsientide maatriks. 

Kui vaadelda lineaarkujutuse  mõju vektoritele kujul 
, 
mis moodustavad vektorruumi  baasi, siis   on maatriksi  -s veerg.

Niisiis kirjeldab maatriks  lineaarkujutust  täielikult, ja sellepärast nimetatakse seda selle lineaarkujutuse maatriksiks'''.

Vaata ka 
 Regulaarne maatriks
 Ühikmaatriks
 Nullmaatriks
 Skalaarmaatriks
 Diagonaalne maatriks
 Jordani kast
 Kolmnurkmaatriks
 Transponeeritud maatriks
 Sümmeetriline maatriks
 Kaldsümmeetriline maatriks
 Ortogonaalne maatriks
 Kaasmaatriks
 Hermiitiline maatriks
 Antihermiitiline maatriks
 Unitaarne maatriks

Viited

Välislingid 
 Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid
 Otsingumootor wolframalpha, mis lahendab mathematica programmeerimiskoodi, sh maatrikseid
 Xiao, Gang Matrix calculator
 Online matrix calculator

Lineaaralgebra