Määratud integraal

Olgu reaalmuutuja funktsioon pidev ja tõkestatud lõigus [a, b], siis määratud integraal

 

on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni  graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x = a ja x = b piiratud kujundi märgiga pindalaga, s.o x-teljest ülespoole ja allapoole jääva osa pindalade vahega.

Newtoni-Leibnizi valem 

Olgu funktsioon  lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon . Siis

Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks.

Näide

Riemanni integraalsumma 

Olgu a ja b reaalarvud (a < b), siis lõigu [a,b] saab jaotada osalõikudeks nii, et

Lõigu [a,b] n osalõiguks [xi−1, xi] jaotamisel (i=1,2,...,n) ja fikseerides igas osalõigus suvaliselt mingi punkt ti ∈ [xi−1, xi], avaldub funktsiooni f(x) Riemanni integraalsumma lõigus [a, b] kujul

kus iga liige summas on väikese ristküliku pindala. Ristküliku kõrgus on võrdne funktsiooni väärtusega kohal ti ja laius on sama mis osalõigu [xi−1, xi] pikkus Δi. Olgu Δi = xi−xi−1 osalõigu i pikkus; siis osalõikude maksimaalne pikkus on λ=max1≤i≤n Δi. Seega esindab λ kõiki selliseid jaotusi, sõltumata jaotusviisist, kus osalõikude [xi−1, xi] maksimaalne pikkus on λ. Kui eksisteerib piirväärtus

mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide ti valikust, siis kõneldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigus [a; b] .

Vaata ka 

 Määramata integraal
 Päratu integraal

Matemaatiline analüüs