Valetaja paradoks

Valetaja paradoks on paradoks, mis tekib, kui mingi propositsiooni kohta jõutakse järeldusele, et ta on tõene parajasti siis, kui ta ei ole tõene.

Üldarusaadav näide
Kui ma ütlen: "Praegu ma ei räägi tõtt," pidades silmas hetke, mil ma seda ütlen, siis võib küsida, kas ma seda öeldes räägin tõtt. Uurime seda arutledes. Oletame, et ma räägin tõtt. Siis peab olema tõsi, et ma ei räägi tõtt, seega ma ei räägi tõtt. Kui aga oletada, et ma ei räägi tõtt, siis pole tõsi, et ma ei räägi tõtt, seega ma räägin tõtt. Niisiis tuleb välja, et kui ma räägin tõtt, siis ma ei räägi tõtt, ja kui ma ei räägi tõtt, siis ma räägin tõtt. See on paradoks.

Variandid

Käesolev lause on väär 
Valetaja paradoksi kõige lihtsamad kujud on

(1) Käesolev lause on väär

ja

(2) Praegu ma valetan.

Vaatleme lauset (1). Kui propositsioon, mida lause väljendab, on tõene, siis ütleb see lause, et ta on väär, ehk teiste sõnadega, väljendab väära propositsiooni. Väär propositsioon ei ole tõene. Kui aga propositsioon, mida lause (1) väljendab, ei ole tõene, siis ütleb see lause, et ta ei ole väär, ehk teiste sõnadega, ei väljenda väära propositsiooni. Siis on propositsioon, mida see lause väljendab, tõene. Seega on propositsioon, mida lause (1) väljendab, tõene parajasti siis, kui ta ei ole tõene. 

Kui lauset (2) mõista nii, et selle lausuja väidab, et propositsioon, mida ta oma lausungiga väljendab, on väär, siis ilmneb analoogiliselt lausega (1), et see propositsioon on tõene parajasti siis, kui ta ei ole tõene.

Kui lähtuda sellest, et iga propositsioon on kas tõene või väär, siis järeldub sellest, et propositsioon on tõene parajasti siis, kui ta ei ole tõene, et propositsioon on ühtaegu tõene ja väär, mis on vastuolu.

Käesolev lause ei ole tõene

Paradoks tekib ka siis, kui vääruse mõistet mitte kasutada ning loobuda eeldusest, et iga propositsioon on kas tõene või väär.     

Vaatleme lauset 

 (3) Käesolev lause ei ole tõene. 

Kui (3) on tõene, siis ta ei ole tõene. Ja kui ta ei ole tõene, siis ta on tõene. Iga lause kas on tõene või ei ole tõene, järelikult (3) on tõene ja ei ole tõene.

Selleks et näidata, et paradoksi lahendamiseks ei ole piisav kuulutada lause (1) ei tõeseks ega vääraks, antakse lausele (2) mõnikord niisugune kuju: 

 (3a) Käesolev lause kas on väär või ei ole ei tõene ega väär.

Valetaja tsükkel

Eelmistes variantides osutas lause iseendale. Ühes valetaja variandis osutavad kaks lauset teineteisele. Puudub enesele osutamine, kuid esineb tsirkulaarsus osutamisel. 

Näide. Paberi ühele poolele on kirjutatud: 

 (4) "See, mis on kirjutatud vastaspoolele, on tõene." 

Teisele poolele on kirjutatud: 

 (5) "See, mis on kirjutatud vastaspoolele, ei ole tõene." 

(4) on tõene parajasti siis, kui (5) on tõene. Ent (5) on tõene parajasti siis, kui (4) ei ole tõene. Järelikult (4)  on tõene parajasti siis, kui see ei ole tõene. Järelikult (4) on tõene ja ei ole tõene.

Disjunktiivne valetaja

Vaatleme lauset

 (6) Käesolev lause ei ole tõene või 1=0. 

Et disjunkt 1=0 on väär, siis saame disjunktiivse süllogismiga järeldada, et (6) ei ole tõene. Esimene disjunkt aga ütlebki seda, järelikult on kogu lause (6) (disjunktsioon) tõene. Seega (6) on tõene parajasti siis, kui ta ei ole tõene, järelikult ta on tõene ja ei ole tõene.   

Lähtudes sellest, et materiaalne implikatsioon A ⊃ B on avaldatav eituse ja disjunktsiooni kaudu kui ¬A ∨ B, siis võib lause (6) esitada ka kujul 

 (7) Kui käesolev lause on tõene, siis 1=0.

See on Curry paradoksi üks variant.

Yablo paradoks

Olgu meil väidete lõpmatu jada A0, A1, A2, ..., kus iga Ai ütleb, et kõik järgnevad väited on mittetõesed. Nüüd, kui A0 on tõene, siis kõik järgnevad väited on ebatõesed, sealhulgas A1. Järelikult on vähemalt üks tõene Ak nii, et k>1. See räägib väitele A0 vastu. Kui aga A0 on ebatõene, siis on vähemalt üks tõene Ak nii, et k>0. Olgu niisugune näiteks Am. Siis Am+1 on ebatõene, järelikult on olemas vähemalt üks tõene Ak nii, et k>m+1. See aga on vastuolus väitega Am. Seega, kui A0 on tõene või ebatõene, siis ta on tõene ja ebatõene. 

Selles paradoksis ei paista esmapilgul olevat enesele osutamist ega tsirkulaarsust.

Formuleering formaalses keeles
Formaalses keeles võib valetaja paradoks ette tulla järgmisel kujul: mingi lause L toob kaasa lause ¬T(⌜L⌝), kus T on tõepredikaat ja ⌜L⌝ on lause L nimi, ning lause ¬T(⌜L⌝) toob kaasa lause L:

    L ⊣⊢ ¬T(⌜L⌝).

Olukorda võib esitada ka nii:

 c = ⌜¬T(c)⌝.

Oletame, et  L ⊣⊢ ¬T(⌜L⌝). Vastuolu saadakse näiteks järgmise tuletuse abil:

 Välistatud kolmanda seaduse põhjal T(⌜L⌝) ∨ ¬T(⌜L⌝).
 Olgu T⌜L⌝). 
Tõepredikaadi omaduse (näiteks T-skeemi) järgi sel juhul L.
Lause L kohta tehtud oletuse järgi toob L kaasa ¬T(⌜L⌝).
 Adjunktsiooni teel saame nüüd ¬T(⌜L⌝) ∧ T(⌜L⌝).
Olgu ¬T(⌜L⌝). 
Lause L kohta tehtud oletuse järgi siis L. 
Tõepredikaadi omaduse (näiteks T-skeemi) järgi sel juhul T(⌜L⌝).
Adjunktsiooni teel saame ¬T(⌜L⌝) ∧ T(⌜L⌝).
Nüüd saame disjunktsiooniprintsiibi alusel tuletada ¬T(⌜L⌝) ∧ T(⌜L⌝).

Arvatavad järelmid
Alfred Tarski (1935, 1944) leidis, et valetaja paradoks näitab, et tavaline tõesuse mõiste on vastuoluline ning seda tuleb täpsustada (Tarski tõeteooria). Tänapäeval leitakse enamasti, et Tarski T-skeem ei ole päris adekvaatne. 

Valetaja paradoks on andnud põhjust kahelda klassikalise loogika adekvaatsuses. Selle asemele on pakutud näiteks paratäielikke loogikaid (näiteks Saul Kripke 1975, Hartry Field 2008). ja parakooskõlalisi loogikaid (näiteks F. G. Asenjo 1966, Graham Priest 1984, 2006).

Patrick Grim (1991) väidab valetaja paradoksi põhjal, et maailm on mittetäielik ning kõiketeadvat olendit ei saa olla.  

Näiteks Vann McGee (1991) järeldab valetaja paradoksist, et tõesuse mõiste on ebamäärane.  

Michael Glanzberg (2001) teeb järeldusi keele kontekstisõltelisuse kohta.

Matti Eklund teeb järeldusi semantikapädevuse kohta.  

Anil Gupta ja Nuel Belnap (1993) teevad järeldusi definitsiooni mõiste kohta.

Pakutud lahendused

Mitteklassikalised loogikad
Paljude autorite arvates tuleb säilitada tõepredikaadi põhiomadus (T-skeemile vastavad tuletusreeglid) ning modifitseerida selle asemel klassikalist loogikat. See positsioon tuleneb näiteks deflatsionismist (näiteks Paul Horwich 1990, Hartry Field 1994, 2008, Jc Beall 2005, 2009). On valida paratäielike ja parakooskõlaliste loogikate vahel.

Paratäielikud loogikad

Paratäielikel loogikatel põhinevad loogikad lähtuvad eeldusest, et valetaja paradoks näitab, et välistatud kolmanda seadus ei kehti: mõned laused ei ole ei tõesed ega väärad. Seda vaadet on propageerinud Bas van Fraassen (1968, 1970), hiljem aga on mõjukam olnud Saul Kripke (1975).

Kripke tõeteooria

Paratäielikud on näiteks kolmevalentsed loogikad, kus tõese ja väära kõrval on kolmas tõeväärtus, näiteks tugev Kleene loogika K3, milles välistatud kolmanda seadus ei kehti (⊬K3 A ∨ ¬A) ja milles pole üldse loogilisi tõdesid. 

Kripke alustab täiesti klassikalisest keelest L0, milles tõepredikaat puudub (puuduvad üldse semantikaterminid). Nüüd ta laiendab selle keeleks L0+ tõepredikaadiga, mis rakendub kõigile lausetele. Interpretatsioonis M0+ on tõepredikaat osaline: tal on ekstensioon ja antiekstensioon, mis ei lõiku, kuid ei pruugi koos ammendada M0 piirkonda. Valetaja lause ei kuulu kummassegi. Kripke konstrueerib sammhaaval tõepredikaadi ekstensiooni E  ja antiekstensiooni A. See protsess peatub kuskil. Loogikaks sobivad peale Kleene tugeva loogika ka näiteks Kleene nõrk loogika ja supervaluatsiooniloogikad.

Loogikal K3 ja sarnastel loogikatel on see häda, et seal puudub selline implikatsiooni tehe (muu hulgas omadustega A, A → B ⊢ B (modus ponens) ja ⊢ A → A), mille abil saaks T-skeemile vastavaid omadusi kirjeldada. T(⌜A⌝) on omavahel vastastikku täiesti asendatavad. Et välistatud kolmanda seadus ei kehti, siis ei saa öelda, et iga A korral ¬T(⌜A⌝) ∨ A. Et → on materiaalne implikatsioon, siis ei saa ka öelda, et iga A korral  T(⌜A⌝) → A. Hartry Field (2008) on püüdnud probleemi lahendada.

Parakooskõlalised loogikad

Parakooskõlalised loogikad loobuvad vastuolu välistavast seadusest. Ka parakooskõlalised loogikad lähtuvad näiteks deflatsionismist.

Ajalugu

Antiik
Selle paradoksi vanim variant omistatakse vanakreeka filosoofile Eubulidesele Mileetosest (4. sajand eKr), kes kuulus Megara koolkonda, olles Megara Eukleidese õpilane. Eubulides  olevat öelnud: "Inimene ütleb, et ta parajasti valetab. Kas see, mida ta ütleb, on tõene või väär?" 

Sageli nähakse valetaja paradoksi varianti Epimenidese paradoksis: kreetalane Epimenides olevat öelnud, et kõik kreetalased on alati valetajad.

Keskaeg

Keskajal oli valetaja paradoks üks insolubiilidest.

Bradwardine
Thomas Bradwardine lähtub eeldusest, et iga propositsioon on kas tõene või väär, ning peab valetaja lauset vääraks. Ta esitab järgmised definitsioonid ja postulaadid:
Definitsioon 1. Tõene propositsioon on lausung, mis tähistab ainult, kuidas asjad on.
Definitsioon 2. Väär propositsioon on lausung, mis tähistab muud, kui asjad on. 
Postulaat 1. Iga propositsioon on tõene või väär. 
Postulaat 2. Iga propositsioon tähistab või tähendab kontingentselt või paratamatult kõike, mis sellest kontingentselt või paratamatult järeldub.
Postulaat 3. Osa võib suponeerida oma terviku eest või oma vastandi eest või selle eest, mis on nendega ekvivalentne.
Postulaat 4. Kontradiktoorsete osadega konjunktsioonid ja disjunktsioonid räägivad üksteisele vastu.
Postulaat 5. Disjunktsioonist koos selle ühe osa vastandiga saab järeldada teise osa. 

Järgneb Tees 1:
Iga propositsioon, mille terminitel on mitu suposiiti, tähistab või tähendab jaatust või eitust igaühe jaoks neist; ja
kui tal on ainult üks suposiit, siis selle või tolle jaoks.

Tees 2. Kui propositsioon tähistab, et ta ise ei ole tõene või on väär, siis ta tähistab, et ta ise on tõene, ja ta on väär. 

Selle teesi tõestus on järgmine:

"Oletame, et A tähistab, et ta ise ei ole tõene. Siis ta kas tähistab ka midagi muud või mitte. Oletame, et mitte. Järelikult kui me oletame, et A ei ole tõene, siis sellest järeldub, et ei ole täielikult nii, nagu A tähistab (definitsiooni 1 tõttu), ja seetõttu järeldub, et ei pea paika, et A ei ole tõene (sest see, et A ei ole tõene, on hüpoteesi kohaselt kõik, mida A tähistab, ning järelikult saame teesi 1 osa 2 järgi asendada "kuidas asjad on" sellega). Sellepärast A tähistab, et ta ise on tõene, (postulaadi 2 tõttu), sest see, et ta on tõene, järeldub sellest, mida A tähistab, nimelt et ta pole tõene.

Teiselt poolt, kui A tähistab midagi muud lisaks sellele, et ta tähistab, et ta ise pole tõene, näiteks et P, siis kui me oletame, et A ei ole tõene, et ei pea täielikult paika, et nii A ei ole tõene kui ka P (nagu enne, definitsiooni 1 ja teesi 1, seekord osa 1 tõttu) ning seetõttu kas A on tõene või mitte-P (postulaadi 4 tõttu). Seetõttu, jälle postulaadi 2 tõttu, A tähistab, et kas A on tõene või mitte-P.  Aga me oletasime, et A tähistab siinse teise disjunkti vastandit, nimelt, et P. Seetõttu järeldub siit, et A on tõene (postulaadi 5 järgi). Järelikult tähistab A ka selle alternatiivi korral, et ta ise on tõene (veel kord postulaadi 2 järgi). 

See näitab, et kui A tähistab, et ta ise ei ole tõene, siis ta tähistab ka, et ta ise on tõene. See on teesi 2 esimene osa.

Oletame edasi, et A tähistab, et ta ise on väär. Sellest, et ta on väär, järeldub, et ta ei ole tõene. Seetõttu postulaadi 2 järgi A tähistab, et ta ise ei ole tõene, ning järelikult teesi 2 esimese osa järgi, mis on äsja tõestatud, A tähistab, et ta ise on tõene. Nii et kui A tähistab, et ta ise on väär, siis ta ka tähistab, et ta ise on tõene. See on teesi 2 teine osa.

Me näitasime nüüd, et iga propositsioon, mis tähistab kas seda, et ta ise ei ole tõene, või et ta ise on väär, tähistab ka, et ta ise on tõene. Et ta ei saa olla kas mittetõene või väär ning samal ajal tõene, siis ta peab tähistama muud, kui on, ja järelikult ta on väär (definitsiooni 2 järgi).  Veel enam, ta peab olema (mida me tahame näidata) või mitte. Aga kui ta ei oleks väär, oleks ta tõene (postulaadi 1 järgi), ning järelikult tähistaks muud, kui on, ning järelikult oleks väär. Seega mis tahes propositsioon, mis tähistab kas seda, et ta ise ei ole tõene, või et ta on väär, on väär."

Valetaja lause ei saa Bradwardine'i järgi olla tõene, sest ta tähistab, et ta on tõene ja väär.

Buridan
Jean Buridan esitab valetaja paradoksi ja selle lahenduse oma "Sofismides" järgmiselt: "Üheteistkümnes sofism, mis esitab jälle sarnase punkti, on: 11.0. See, mida ma ütlen, on väär. Postuleeritud juhtum on, et ma ütlen: "See, mida ma ütlen, on väär," ja mitte midagi muud. Küsimus on siis, kas see, mida ma ütlen, on tõene või väär. 11.1. Kui sa ütled, et see on tõene, siis tõsiasjad ei ole nii, nagu see ütleb neid olevat, järelikult ei ole see ikkagi tõene, vaid väär. 11.2. Kui sa aga ütled, et see on väär, siis tõsiasjad on nii, nagu see ütleb neid olevat, sest see on jaatav propositsioon, mille terminid käivad sellesama kohta; järelikult see on tõene. Järelikult on selge, et kui see on väär, peab see olema tõene. 11.3. Sellest järeldub omakorda, et me peame ütlema, et see on nii tõene kui ka väär. Tõestus on niisugune. Igaüks, kes möönab tõese kui-siis-lause antetsedenti, peaks möönma ka konsekventi. Aga me peame möönma kas seda, et sofism on tõene, või seda, et ta on väär. Aga siis, kui ta on tõene, siis ta on väär, ja kui ta on väär, siis ta on tõene. Järelikult me peame ütlema, et ta on mõlemad. 11.3.1. Aga see tulemus on absurdne. Sest kui sofismiga kontradiktoorne oleks tõene, siis kaks kontradiktoorset oleks korraga tõesed; ja kui temaga kontradiktoorne oleks väär, siis kaks kontradiktoorset oleksid korraga väärad; ja kõik see on võimatu. 11.4. Siis on probleemid, kuidas sofismiga kontradiktoorset moodustada ning kas sofism ise on võimalik või võimatu. 11.5. Lühidalt, ma väidan, et sofism on väär, sest sellest ja juhtumit väljendavast propositsioonist järeldub midagi väära, ja ometi võetakse juhtumit väljendavat propositsiooni tõesena. ("Midagi väära", mis järeldub, on see, et sofism on korraga nii tõene kui ka väär.) Aga iga propositsioon, millest koos millegi tõesena võetuna järeldub midagi väära, on ise väär. 11.6. Argumendid vastupidise vaate kasuks saab ümber lükata samal moel nagu enne. Väideti, et kui propositsioon on väär, siis sellest järeldub, et ta on tõene. Ma lükkan selle järeldamise tagasi. Sa võid püüda seda kaitsta sel alusel, et kui propositsioon on väär, siis tõsiasjad on niisugused, nagu see ütleb neid olevat. Seda ma möönan, niivõrd kui asi puudutab selle formaalset tähendust. Kuid sellest ei piisa, et teha teda tõeseks, sest ta on enesele osutav. Aga tegelikult ta ei ole tõene, sest tõsiasjad ei ole sellised, nagu selles kätkev lõppjäreldus ja juhtum ütleksid neid olevat. Argumenti sellesama kohta käivatest terminitest võib käsitleda samal moel. 11.7. Sa võid siiski ikkagi tahta väita, et selle väärusest järeldub selle tõesus, niimoodi. Kui see on väär, siis sellest järeldub, et see on olemas; aga siis sellest ja tõsiasjast, et see on olemas, järeldub, et see on tõene; nii et kui see on väär, siis sellest järeldub, et see on tõene. Ja sa võid lisada, et igaüks, kes möönab antetsedenti, peab möönma ka konsekventi; järelikult me peaksime möönma, et propositsioon on tõene. 11.7.1. Vastuseks sellele ma väidan ikkagi, et sellest, et ta on väär, ei järeldu, et ta on tõene. Ma olen täiesti nõus, et sellest, et ta on väär, järeldub, et ta on olemas. Ma möönan ka, et propositsioonist endast ja tõsiasjast, et ta on olemas, järeldub, et ta on tõene. Kuid ma ei mööna selle järeldamise eeldust – tegelikult ma eitan teda, sest ta koosnes algsest propositsioonist koos tõsiasjaga, et ta on olemas, ja ma eitan algset propositsiooni. Nii et ma eitan ka lõppjäreldust, nimelt et propositsioon on tõene. 11.8. On siiski veel probleem, kuidas sa saaksid mulle vastu rääkida. Probleem on niisugune. Kui sa lihtsalt lausud negatiivse propositsiooni sõnaliselt identse subjektiga (nimelt kui sa ütled: "See, mida ma praegu ütlen, ei ole väär"), siis sa ei räägi mulle vastu; sest kontradiktoorsete paaris peaks termin ühes käima nendesamade asjade kohta mis vastav termin teises, ja praegusel juhtumil see nii ei ole, sest minu propositsioonis käib termin "ma" minu kohta, aga sinu omas ta käib sinu kohta. Teiselt poolt, kui sa lausud negatiivse propositsiooni, milles termin "mina" on asendatud terminiga "sina" (nimelt kui sa ütled mulle: "See, mida sa praegu ütled, on väär"), siis tundub, et sa ei räägi mulle õigesti vastu; sest kontradiktoorsetel peaksid olema samad subjektid ja predikaadid, ja sellest, et neil on erinevad subjektid, mis käivad sama asja kohta, ei piisa. Pealegi, minu propositsioon ja sinu oma on mõlemad väärad, järelikult nad ei räägi teineteisele vastu. 11.8.1. Minu lahendus on niisugune. Kontradiktoorseid ei pea konstrueerima täpselt sarnastest sõnalistest väljendustest. Esimene punkt on see, et nad peavad erinema selle poolest, kas nad on jaatavad või eitavad. Teine punkt on see, et nad võivad erineda oma määra märkide või oma modaalsuste poolest. Näiteks "Kõik mehed jooksevad" ja "Mõned mehed ei jookse" on kontradiktoorsed, ja samuti "On võimalik, et Sokrates jookseb" ja "On paratamatu, et Sokrates ei jookse". Mõnikord ka, kui kaasatud on suhteterminid, võime muuta ka predikaadi sõnalist kuju. Näiteks kui me ütleme: "Iga mees, kellel on hobune, näeb teda," ja me peame sellele vastu rääkima mingil muul viisil kui kogu propositsioonile eitust ette liites, siis me peame tegema predikaadis muudatuse. Sest "Mõni mees, kellel on hobune, ei näe teda" ei ole sellega kontradiktoorne, sest mõlemad neist oleksid tõesed, kui igal mehel oleks üks hobune, keda ta näeb, ja teine, keda ta ei näe. Kontradiktoorne tunduks olevat hoopis "Mõni mees, kellel on hobune, ei näe ühtki hobust, kes tal on." Aga seda teemat käsitletakse spetsiaalselt mujal. 11.8.2. Pealegi, nagu me ütlesime kaheksandas sofismis, kui me käsitleme sofismi, mis on või võib olla enesele osutav, siis temaga kontradiktoorse moodustamisel me peame lisama eriklausli, et mainida algses propositsioonis kätketud lõppjäreldust. 11.8.3. Praegusel juhtumil on lisapunkt, et kui keegi räägib endast esimeses isikus, siis iga teine, kes tahab talle vastu rääkida, peab rääkima teises isikus, mitte esimeses. Nii et kui Sokrates ütleb "Ma jooksen," siis Platon räägiks talle vastu mitte öeldes "Ma ei jookse," vaid "Sa ei jookse." Me peame pöörama tähelepanu esmaselt inimeste mõtetele, sest me kasutame sõnu ainult mõtete väljendamiseks; nii et kui me ei saa väljendada propositsioonile mõtteliselt kontradiktoorset ilma sõnu muutmata, siis me peame neid muutma. 11.8.4. Sellepärast tundub, et selleks, et mulle vastu rääkida, peaksid sa ütlema: "See, mida sa praegu ütled, ei ole väär," kuid varasemates sofismides mainitud lisandusega. Sest kui sa tahad öelda midagi minu propositsiooniga ekvivalentset, siis (eeldusel, et minu propositsiooni nimi on A) sa peaksid ütlema "See, mida sa praegu ütled, on väär ja A on tõene"; ja siis kontradiktoorne on "Kas see, mida sa praegu ütled, ei ole väär või A ei ole tõene" – ja see disjunktsioon on tõene."

Märkused

Vaata ka

Epimenidese paradoks
Semantilised paradoksid
Tüüpide teooria

Kirjandus
Ralph Strode. Logica, tract. 6 De insolubilibus.
Alfred Tarski. Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen. – Studia Philosophica, 1935, 1, lk 261–405.
Alfred Tarski. The semantic conception of truth. – Philosophy and Phenomenological Research, 1944, 4, lk 341–375. 
Ernest A. Moody. Truth and Consequence in Medieval Logic, Amsterdam 1953.
Arthur Prior. Some problems of self-reference in John Buridan. – Proceedings of the British Academy, 48, 1962, lk 281–296.
John Buridan. Sophisms on Meaning and Truth, tõlkinud T. K. Scott, New York 1966.
F. G. Asenjo. A calculus of antinomies. – Notre Dame Journal of Formal Logic, 1966, 16, lk 103–105. 
Bas C. van Fraassen. Presupposition, implication, and self-reference. – Journal of Philosophy, 1968, 65, lk 136–152. 
J. A. Weisheipl. Repertorium Mertonense. – Medieval Studies, 31, 1969, lk 174–224.  
M.-L. Roure. La problématique des propositions insolubles au XIIe siècle et au début du XIVe, suivie de l'édition des traités de W. Shyreswood, W. Burleigh et Th. Bradwardine. – Archives d'Histoire Doctrinale et Littéraire du Moyen Age, 37, 1970, lk 205–326.
Thomas Bradwardine. Insolubilia.     
Robert L. Martin (toim). The Paradox of the Liar, Atascadero: Ridgeview 1970.
Alan Ross Anderson. St. Paul's epistle to Titus, lk 1–11.
Charles Parsons. The Liar paradox. – Journal of Philosophical Logic, 1974, 3, lk 381–412. Taastrükk: Charles Parsons. Mathematics in Philosophy, Ithaca: Cornell University Press 1983. Google'i raamat 
Paul Vincent Spade. The Medieval Liar: The Catalogue of the "Insolubilia"-Literature, Toronto 1975
Saul Kripke. Outline of a theory of truth. – Journal of Philosophy, 1975, 72, lk 690–716.
Robert L. Martin, Peter W. Woodruff. On representing ‘true-in-L’ in L. – Philosophica, 1975, 5, lk 217–221.   
Paul Vincent Spade. 'Insolubilia' and Bradwardine's theory of signification. – Medioevo, 7, 1981, lk 115–134.
Anil Gupta. Truth and paradox. –  Journal of Philosophical Logic, 1982, 11, 1–60.  
Paul Vincent Spade. Insolubilia. – N. Kretzmann jt. (toim). The Cambridge History of Later Medieval Philosophy, Cambridge 1982/1988, lk 246–253. 
G. E. Hughes. John Buridan on Self-Reference: Chapter Eight of Buridan's Sophismata. An edition and translation with an introduction, and philosophical commentary., Cambridge/London/New York: Cambridge University Press, 1984, lk 58–60. ISBN 0-521-28864-9. Google'i raamat
R. M. Martin (toim). Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, Oxford 1984.
R. M. Martin. Introduction.
Saul Kripke. Outline of a theory of truth.
Anil Gupta. Truth and paradox. 
Robert L. Martin, Peter W. Woodruff. On representing ‘true-in-L’ in L.
Terence Parsons. Assertion, denial, and the Liar paradox. – Journal of Philosophical Logic, 1984, 13, lk 137–152.
Albert Visser. Four valued semantics and the Liar. – Journal of Philosophical Logic, 1984, 13, lk 181–212. 
Graham Priest. Logic of paradox revisited. – Journal of Philosophical Logic, 1984, 13, lk 153–179. 
John P. Burgess. The truth is never simple. – Journal of Symbolic Logic, 1986, 51, lk  663–681.  
Jon Barwise, Jon Etchemendy. The Liar, Oxford: Oxford University Press 1987.
Paul Horwich. Truth, Oxford: Basil Blackwell 1990. 
Patrick Grim. The Incomplete Universe, Cambridge: MIT Press 1991. 
Vann McGee. Truth, Vagueness, and Paradox, Indianapolis: Hackett 1991.  
Fabienne Pironet. John Buridan on the Liar paradox: study of an opinion and chronology of the texts. – K. Jacobi (toim). Argumentationstheorie, Leiden 1993, lk 293–300.
Keith Simmons. Universality and the Liar: An Essay on Truth and the Diagonal Argument, Cambridge: Cambridge University Press 1993. Google'i raamat
Anil Gupta, Nuel Belnap. The Revision Theory of Truth, Cambridge: MIT Press 1993. 
Stephen Yablo. Paradox without self-reference. –  Analysis, 1993b, 53, lk 251–252.
Hartry Field. Deflationist views of meaning and content. – Mind, 1994, 103, lk 249–285. 
Richard Heck. Tarski, truth, and semantics. – Philosophical Review, 1997, 106, lk 533–554.
Scott Soames. Understanding Truth, Oxford: Oxford University Press 1999.   
Jc Beall. Is Yablo's paradox non-circular? –  Analysis, 2001, 61, lk 176–187. 
Michael Glanzberg. The Liar in context. – Philosophical Studies, 2001, 103, lk 217–251.       
Stephen Read. The Liar Paradox from John Buridan back to Thomas Bradwardine. – Vivarium, 40 (2), 2002, lk 189–218.
Matti Eklund. Inconsistent languages. – Philosophy and Phenomenological Research, 2002, 64, lk 251–275. 
Roy Sorensen. A Brief History of Paradox, Oxford: Oxford University Press 2003, lk 83–99.
Noson S. Yanofsky. A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points. – The Bulletin of Symbolic Logic, 2003, kd  9, nr 3, lk 362—386.
Jc Beall, B. Armour-Garb (toim). Deflationism and Paradox, Oxford: Oxford University Press 2005.
Jc Beall. Transparent disquotationalism, lk 7–22.
Stephen Read. Symmetry and paradox. – History and Philosophy of Logic, 2006, 27, lk 307–318. 
Shahid Rahman, Tero Tulenheimo, Emmanuel Genot (toim). Unity, Truth and the Liar: The Modern Relevance of Medieval Solutions to the Liar Paradox, Berlin: Springer Verlag 2008.
Greg Restall. Modal models for Bradwardine's theory of truth. – Review of Symbolic Logic, 2008, 1, lk 225–240.
Jc Beall (toim). Revenge of the Liar, Oxford: Oxford University Press 2008.
Douglas Patterson. Understanding the Liar. 
Hartry Field. Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press 2008. 
Shahid Rahman, Tero Tulenheimo, Emmanuel Genot (toim). Unity, Truth and the Liar: The Modern Relevance of Medieval Solutions to the Liar Paradox, Berlin: Springer Verlag 2008.
Jc Beall. Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press 2009.
Stephen Barber. Semantic paradox and alethic undecidability. – Analysis, 2014, kd 74, nr 2, lk 201–209.
Bradley Armour-Garb (toim). Reflections on the Liar'', Oxford University Press 2017.
Bradley Armour-Garb. Introduction, lk 1–21.

Välislingid
Jc Beall, Michael Glanzberg.  Liar Paradox. Stanfordi filosoofiaentsüklopeedia, 2011.
Bradley Dowden. Liar Paradox. Interneti filosoofiaentsüklopeedia
Paul Vincent Spade, Stephen Read. Insolubles. Stanfordi filosoofiaentsüklopeedia, 2009.

Filosoofia