Tasand

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum. See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Tasand kolmemõõtmelises ruumis 

Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ℝ3 on tasandi võrrand viidav alati kujule

kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d reaalarvulised kordajad.

Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga:
 kolme mittekollineaarse tasandil asuva punktiga;
 tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil;
 kahe tasandil asuva sirgega;

Tasandi määramine punkti normaalvektori abil 

Tasandi võrrand on normaalvektori  abil esitatav kujul 

kus  on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et  on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti  ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga .

Tasandi määramine kolme mittekollineaarse punktiga 

Olgu ,  ja  mittekollineaarsete punktide kohavektorid.

Meetod 1 

Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga:

mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul

Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi

Meetod 2 

Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit:
 
Defineerides
 
saab kordajad  a, b, c leida Crameri valemite abil:

d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse. 

Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mittekollineaarsuse tõttu. See meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mittekomplanaarsed, mistõttu D = 0.

Meetod 3 

Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena:

Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest ,  või .

Punkti kaugus tasandist 

Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga  ja tasand Π võrrandiga , siis punkti  kaugus tasandist on

 

Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti  abil saab kauguse esitada kujul

 

kus  on tasandi ühiknormaalvektor.

Kahetahuline nurk tasandite vahel 

Olgu antud kaks tasandit  ja . Tasandite vaheline kahetahuline nurk  on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel:

kus  ja  on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid.

Puutujatasand 

Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga , siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis  on

ehk gradiendi abil esitatuna

Hüpertasand 

n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi nimetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on

, või lihtsalt .

Vaata ka

 Pind
 Komplekstasand
 Minimaalpind
 Pooltasand
 Ebatasand

Viited 

Pinnad