Lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarvõrrandisüsteem on lineaaralgebras lineaarvõrrandite komplekt, näiteks 

 3x1 + 2x2 − x3 = 1
 2x1 − 2x2 + 4x3 = −2
 −x1 + ½x2 − x3 = 0.

Selle võrrandisüsteemi lahendamine seisneb muutujate x1, x2 ja x3 väärtuste selliste komplektide leidmises, mis rahuldavad kõiki kolme võrrandit korraga. 

Lineaarseks nimetatakse võrrandisüsteemi siis, kui tundmatud x_1, x_2...x_n on esimeses astmes.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine on üks vanemaid probleeme matemaatikas. Sellel on palju rakendusi. Lineaarvõrrandite süsteemide efektiivsed meetodid on Gaussi meetod ja Cholesky lahutus.

Üldjuhul võib n muutujaga m lineaarvõrrandi süsteemi esitada kujul  
 a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
     :
     :
 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm,

kus x1, ... ,xn on tundmatud ja arvud (üldisemalt skalaarid) aij on süsteemi koefitsiendid. Koefitsiendid esitame maatriksina: 

Võrrandisüsteemi võib esitada ka kujul
 Ax = b, 
kus A on ülaltoodud m×n-maatriks,  x on n liikmega veeruvektor ja b on m liikmega veeruvektor. Gaussi meetod on rakendatav kõikide sellise kujuga süsteemide puhul, ka siis, kui koefitsiendid kuuluvad suvalisse korpusesse.

Kui korpus, millesse koefitsiendid kuuluvad, on lõpmatu (näiteks reaalarvude korpus või kompleksarvude korpus), siis iga antud lineaarvõrrandite süsteemi korral on võimalikud kolm juhtu: 
 süsteemil puuduvad lahendid 
 süsteemil on üksainus lahend
 süsteemil on lõpmatu palju lahendeid.

Süsteemi kujuga
 Ax = 0
nimetatakse homogeenseks lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeense süsteemi kõikide lahendite hulk on alati vektorruumi F n lineaarne alamruum, kus F on koefitsientide korpus.

Eriti ülalnimetatud rakenduste jaoks on erijuhtude puhuks välja töötatud Gaussi meetodist efektiivsemaid meetodeid. Paljudel neist on keerukus O(n²). Mainime tuntumaid: 
 Kui ülesandel on kuju Ax = b, kus A on sümmeetriline Toeplitzi maatriks, siis saab kasutada Levinson rekursiooni või mõnda selle tuletistest. Üks Levinsoni-laadne tuletis on Schuri rekursioon, mida kasutatakse sageli digitaalses signaalitöötluses.
 Kui ülesandel on kuju Ax = b, kus A on singulaarne maatriks või peaaegu singulaarne maatriks, siis lahutatakse  maatriks A kolme maatriksi korrutiseks, kasutades singulaarväärtuslahutust.

Liitmisvõte
Liitmisvõtte idee seisneb ühe muutuja elimineeris võrrandite liitmise kaudu, mille tagajärjel saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus avaldada. Teise muutuja väärtuse saame kätte, asendades leitud muutuja väärtus ühte esialgsetest võrranditest.

Lahendame näiteks võrrandisüsteemi

Proovime elimineeride muutujat y. Selleks korrutame kõigepealt esimese võrrandi poolt 2-ga ja seejärel liidame võrrandid.
   +
Muutuja y väärtused koonduvad ja saame
, kus 

Nüüd asendame leitud x väärtuste ükskõik kumba (mõistagi lihtsamasse) võrrandisse ning leiame y väärtuse:

Vastuseks saame lahendipaari

Asendusvõte
Asendusvõtte idee seisneb ühest võrrandist muutuja avaldamises ja selle asendamises teise võrrandisse.

Näiteks lahendame asendusvõttega võrrandisüsteemi

Kõigepealt avaldame teisest võrrandist x=y+1 ning asendame saadud avaldise esimesse võrrandisse: y+1+y=6  2y=5. Leiame, et y=2,5.

Vastava x väärtuse saame võrrandist x+2,5=6 .

Seega saime lahendiks, et 
 .

Välislingid
 Lineaarvõrrandite süsteemide lahendaja veebis (inglise keeles)

Lineaaralgebra
Võrrandid