Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand

Lihtsaks teist järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju y''=f(x) (loetakse "igrek teine tuletis võrdub funktsioon iksist").

Teist järku tuletise avaldamine diferentsiaali kaudu

Et diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja võtta võrrandi mõlemast poolest integraal peab tuletised kuidagi avaldama diferentsiaalide kaudu. 

Funktsiooni y=f(x) diferentsiaal on dy=y'dx, mis kujutab endast argumendi x funktsiooni, seepärast võime leida ka dy diferentsiaali, mida nimetatakse teist järku diferentsiaaliks. sel puhul kirjutatakse d(dy) ehk lühidalt d2y ja loetakse "de kaks igrek".

Avaldame funktsiooni teist järku diferentsiaali funktsiooni tuletise kaudu. Selleks diferentseerime x järgi võrdust dy=y'dx, kusjuures dx loeme konstandiks, kuna dx ei sõltu x-ist:

d2=d(y'dx)=d(y')dx, kuid vastavalt diferentsiaali mõistele saame d(y')=(y')'dx=ydx. Seepärast , kus  tähendab diferentsiaali dx ruutu (loetakse "de iks ruut"). jagades saadud valemit astmega , leiame . Tähendab siis, funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis avaldub selle funktsiooni teist järku diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali ruudu jagatisena.

Seega saame võrrandi y=f(x) esitada kujul: . Kui selles võrrandis asendada  , siis teisendub võrrand muutuja p suhtes esimest järku diferentsiaalvõrrandiks.

Näited

Näide 1

Lahendada võrrand 

Lahendus: Tähistame  , siis . Antud võrrandi võime kirjutada järgmiselt: . Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja p, paremat poolt muutuja x järgi ehk võtame võrrandi mõlemast poolest integraali.

, kuid kuna  siis võime kirjutada . Saime eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi. Järgnevalt eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemat poolt läbi dx-iga.

. Integreerides veelkord saame:

. See on antud võrrandi üldlahend. Et leida erilahendit peame teadma vähemalt kahte punkti mida see funktsiooni graafik läbib.

Vastus: Võrrandi üldlahend on

Näide 2

Lahendada eelnev diferentsiaalvõrrand  eeldades, et funktsiooni graafik läbib punkte (0;6) ja (1; 1/6).

Lahendus: Kõigepealt on vaja leida võrrandi üldlahend. Üldlahendi leidmist siinkohal kordama ei hakka kuna see on esitatud eelmises näites.

Lahendamiseks asendame vastavad x ja y väärtused üldlahendisse, saame C1 ja C2 määramiseks järgmise võrrandisüsteemi:

. Lahendades antud lineaarvõrrandisüsteemi saame lahenditeks  ja .

Antud tingimustele vastav erilahend on seega 

Kontroll: Lahendi õigsuse kontrollimiseks leiame selle funktsiooni teise tuletise:

, järgnevalt võtame tuletise teistkordselt.

, kuna saime lähtevõrrandi võime arvata, et ülesanne on õigesti lahendatud.

Vastus: 

Diferentsiaalvõrrandid