Lineaarne diferentsiaalvõrrand

Lineaarne diferentsiaalvõrrand on diferentsiaalvõrrand, mis on lineaarne otsitava funktsiooni ja selle kõigi tuletiste (või osatuletiste) suhtes. 
Üldiselt saab iga lineaarse diferentsiaalvõrrandi esitada kujul
 ,
kus diferentsiaaloperaator L on lineaarne, y on otsitav funktsioon (või funktsioonidest moodustatud vektor) ja g on y-st sõltumatu funktsioon (või funktsioonidest moodustatud vektor), mida nimetatakse vabaliikmeks. Operaatori L lineaarsus tähendab, et , kus  ja  on arvud ja  ning  funktsioonid. Lineaarsusest järeldub, et otsitav funktsioon (otsitavad funktsioonid) ja kõik selle tuletised (või osatuletised) esinevad võrrandis esimeses astmes.

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid jagunevad omakorda homogeenseteks diferentsiaalvõrranditeks, millel vabaliige puudub (g = 0), ja mittehomogeenseteks dinferentsiaalvõrranditeks, millel on vabaliige olemas (g ≠ 0).

Näide 

Näideteks hariliku ühe otsitava funktsiooniga y n-järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju on
 ,
kus funktsiooni , ,..., ja  on tuntud funktsioonid. Viimasele võrrandile vastav diferentsiaaloperaator on
,
kus  on tuletise võtmise operaator, st ,  jne.

Omadused 

Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite oluliseks omaduseks on, et nende lahendid moodustavad mõne sobiva funktsioonide ruumi afiinse alamruumi. 

Homogeensete lineaarsete võrrandite lahendid moodustavad vektorruumi, st lahendite liitmisel ja nende arvuga korrutamisel saadav funktsioon on samuti lahend. Tõepoolest, olgu  ja  homogeense võrrandi  lahendid. Vastavalt lineaarsuse tingimusele kehtib , st ka  lahendab võrrandi . 

Kui  on mittehomogeense võrrandi  ja  on vastava homogeense võrrandi  mõni vabalt valitud lahend, siis  on samuti mittehomogeense võrrandi lahend, st .

Vaata ka 
 Fourier' teisendus
 Laplace'i teisendus
 mittelineaarne diferentsiaalvõrrand

Viited

Välislingid 

EqWorld, Linear Partial Differential Equations of Mathematical Physics (Lahendusi lineaarsetele osatuletistega diferentsiaalvõrranditele matemaatilises füüsikas, inglise keeles)

Diferentsiaalvõrrandid