Ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος δίνει ένα κάτω φράγμα στην ένωση γεγονότων. Πιο συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε  γεγονότα  με , ισχύει ότι

Στην εργασία των Τσουνγκ και Έρντος η ανισότητα εμφανίζεται με την ισοδύναμη μορφή,

Απόδειξη
Η απόδειξη στηρίζεται στην εξής ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής, όπου για κάθε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή ,

Θα χρησιμοποιήσουμε τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές  για τα γεγονότα . Από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών έχουμε ότι

και

Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις έχουμε ότι,

Επίσης, η πιθανότητα να γίνει οποιοδήποτε από τα  γεγονότα  είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα το άθροισμα των δεικτών να είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Επομένως,

Επομένως συνδυάζοντας τις () και () η αρχική ανισότητα γράφεται ως εξής

Θέτοντας , η ανισότητα παίρνει την μορφή

η οποία προκύπτει από αναδιάταξη της ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής.

Δείτε επίσης
 Ανισότητα Μπουλ
 Ανισότητες Μπονφερρόνι

Παραπομπές

Τσουνγκ