Όμοιοι πίνακες

Στην γραμμική άλγεβρα, δύο πίνακες ,  είναι όμοιοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιμος πίνακας , τέτοιος ώστε
.

Ιδιότητες  

 Η σχέση της ομοιότητας πινάκων είναι μία σχέση ισοδυναμίας.

Θα αποδείξουμε τις τρεις ιδιότητες για μία σχέση ισοδυναμίας:
 Ανακλαστική: Κάθε πίνακας  είναι όμοιος με τον εαυτό του, καθώς για  τον ταυτοτικό πίνακα, λαμβάνουμε
.
 Συμμετρική: Αν ο πίνακας  είναι όμοιος με τον , δηλαδή υπάρχει πίνακας  ώστε , τότε πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη αριστερά με το  και δεξιά με το , έχουμε
,
χρησιμοποιώντας τον ορισμό του αναστρέψιμου πίνακα και την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων. Επομένως ο  είναι όμοιος με τον  χρησιμοποιώντας τον πίνακα , καθώς .
 Μεταβατική: Αν ο πίνακας  είναι όμοιος με τον  και ο  είναι όμοιος με τον , τότε υπάρχουν αναστρέψιμοι πίνακες  και  ώστε
 και .
Επομένως, συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις
,
χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της αναστροφής . Συνεπώς, ο  είναι όμοιος με τον .

 Δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίση ορίζουσα.

Έστω  και  δύο όμοιοι πίνακες, τότε
,
χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των οριζουσών ότι  και ότι  για αντιστρέψιμο πινακα .

 Δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίσο ίχνος.

Έστω  και  δύο όμοιοι πίνακες, τότε
,
χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του ίχνους ότι .

 Δύο όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

Έστω  και  δύο όμοιοι πίνακες και έστω ένα ιδιοδιάνυσμα  του  με ιδιοτιμή . Τότε,
,
και άρα το διάνυσμα  είναι ιδιοδιάνυσμα του  με ιδιοτιμή .

 Δύο όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο.
 Αν δύο πίνακες  και  είναι όμοιοι, τότε οι ανάστροσφοί τους είναι όμοιοι.

.
Επομένως, είναι οι  και  είναι όμοιοι για .

 Αν δύο πίνακες  και  είναι όμοιοι, τότε οι δυνάμεις τους  και  για  είναι όμοιοι.

.
Επομένως, είναι οι  και  είναι όμοιοι πίνακες.

Δείτε επίσης  
 Διαγωνιοποιήσιμος πίνακας

Παραπομπές 

Γραμμική άλγεβρα