Ανισότητα Γιανγκ για το γινόμενο

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γιανγκ (αναφέρεται και ως ανισότητα Young) λέει ότι για οποιουσδήποτε δύο μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς  και κάθε  τέτοιους ώστε , ισχύει ότι

Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη για την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ. Στην εργασία του Γιανγκ το 1912, εμφανίστηκε με την μορφή 

για οποιοδήποτε , ως γενίκευση της κλασσικής ανισότητας 

την οποία λαμβάνουμε για .

Αποδείξεις

Με την ανισότητα Γένσεν

Αφού η λογαριθμική συνάρτηση  είναι κυρτή για , για ,  και , έχουμε από την ανισότητα Γένσεν ότι

ή ισοδύναμα, καθώς 

Καθώς η  είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ότι

Με ανισότητα ΑΜ-ΓΜ (για p, q ρητούς)

Έστω ότι  ρητοί τότε για κάποιος θετικούς ακεραίους  έχουμε ότι  και . Τότε, 

καθώς . Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για συνολικά  πραγματικούς αριθμούς:  αριθμούς  και  αριθμούς :

Συνδυάζοντας τα παραπάνω δύο βήματα, λαμβάνουμε την ανισότητα Γιανγκ.

Με ανισότητα Μπερνούλλι

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής επέκταση της ανισότητας Μπερνούλλι: Για κάθε πραγματικό αριθμό  και , ισχύει ότι

Για να αποδείξουμε την ανισότητα Γιανγκ, θεωρούμε  και , επομένως

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι

και αναπτύσσοντας και τα δύο μέλη 

Χρησιμοποιώντας ότι , λαμβάνουμε την ανισότητα Γιανγκ.

Με ολοκληρώματα

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής ανισότητα για ολοκληρώματα: Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση  και οποιαδήποτε  έχουμε ότι

Έστω ότι  (που είναι γνησίως αύξουσα για ). Τότε,  και επειδή

έχουμε ότι . Επομένως,

Από την (), λαμβάνουμε ότι την ανισότητα Γιανγκ.

Γενικεύσεις

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση  και οποιαδήποτε  έχουμε ότι

Ανισότητα Χέλντερ

Η ανισότητα Χέλντερ δίνει ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς ,  και  τέτοιος ώστε , ισχύει ότι

Δείτε επίσης
 Ανισότητα Χέλντερ

Παραπομπές

Ανισότητες