Ανισότητα Νέσμπιττ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Νέσμπιττ (αναφέρεται και ως ανισότητα Nesbitt) αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς  και λέει ότι

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν .

Αποδείξεις

Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί.

Με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
Θεωρούμε ,  και . Τότε, έχουμε ότι
, , και .
Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:

Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα

η οποία είναι ισοδύναμη με την

Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για  όρους,
.
Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για  όρους
 για οποιοδήποτε .
Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν , που είναι ισοδύναμο με .

Με ανισότητα Γένσεν
Έστω  το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως

Θεωρούμε την συνάρτηση ,

Η  είναι κυρτή στο διάστημα  καθώς 
 και  για κάθε .
Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Γένσεν για την  και τους 

η οποία είναι ισοδύναμη με 

Από την ανισότητα Γένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν .

Με ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς
Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς, 

Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε  και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη

Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε

που είναι επίσης ισοδύναμη με

Θέτοντας , ,  και , ,  στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα.

Με ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου

Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την () χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς ,  και . Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε

Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε

η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ.

Με ανισότητα της αναδιάταξης

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα  μπορούμε να θεωρήσουμε ότι , και επομένως έχουμε ότι  και ότι

Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι 

και 

Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ.

Ιστορία

Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.

Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα  αριθμών

Παραπομπές

Ανισότητες