Ρίχαρντ Ντέντεκιντ

Ο Γιούλιους Βίλχελμ Ρίχαρντ Ντέντεκιντ (6 Οκτωβρίου 1831 - 12 Φεβρουαρίου 1916) ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε σημαντικά στη θεωρία των αριθμών, στην αφηρημένη άλγεβρα (ιδίως στη θεωρία δακτυλίων) και στις αξιωματικές βάσεις της αριθμητικής. Η πιο γνωστή συνεισφορά του είναι ο ορισμός των πραγματικών αριθμών μέσω της έννοιας της τομής Ντέντεκιντ. Θεωρείται επίσης πρωτοπόρος στην ανάπτυξη της σύγχρονης θεωρίας συνόλων και της φιλοσοφίας των μαθηματικών που είναι γνωστή ως λογικισμός.

Βιογραφία
Ο πατέρας του Ντέντεκιντ ήταν ο Γιούλιους Λέβιν Ούλριχ Ντέντεκιντ, διαχειριστής του Κολλεγίου Carolinum στο Μπράουνσβαϊγκ. Η μητέρα του ήταν η Καρολίν Χενριέτ Ντέντεκιντ ("γεννημένη Emperius"), κόρη ενός καθηγητή του Κολλεγίου. Ο Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ είχε τρία μεγαλύτερα αδέλφια. Ως ενήλικας, δεν χρησιμοποίησε ποτέ το όνομα Γιούλιους Βίλχελμ. Γεννήθηκε στο Μπράουνσβαϊγκ, όπου έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του και πέθανε.

Παρακολούθησε για πρώτη φορά το Κολλέγιο Carolinum το 1848, προτού εισαχθεί στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1850. Εκεί ο καθηγητής Μόριτς Στερν του δίδαξε τη θεωρία των αριθμών. Ο Γκάους εξακολουθούσε να διδάσκει, αλλά κυρίως σε στοιχειώδες επίπεδο, και ο Ντέντεκιντ ήταν ο τελευταίος του μαθητής. Ο Ντέντεκιντ έλαβε το διδακτορικό του το 1852, για μια διατριβή με τίτλο Über die Theorie der Eulerschen Integrale ("Για τη θεωρία των ολοκληρωμάτων του Όιλερ"). Η διατριβή αυτή δεν ήταν ενδεικτική του ταλέντου που θα έδειχνε ο Ντέντεκιντ στις μετέπειτα δημοσιεύσεις του.

Εκείνη την εποχή, το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, και όχι το Γκέτινγκεν, ήταν το κύριο κέντρο της μαθηματικής έρευνας στη Γερμανία. Επομένως, ο Ντέντεκιντ πήγε στο Βερολίνο για διετείς σπουδές, όπου ήταν σύγχρονοι με τον Μπέρνχαρντ Ρίμαν- και οι δύο έλαβαν το δίπλωμά τους το 1854. Ο Ντέντεκιντ επέστρεψε στο Γκέτινγκεν για να διδάξει ως Privatdozent, δίνοντας διαλέξεις για τις πιθανότητες και τη γεωμετρία. Σπούδασε για ένα διάστημα με τον Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντιριχλέ, με τον οποίο έγινε φίλος. Λόγω επίμονων αδυναμιών στις μαθηματικές του γνώσεις, μελέτησε ελλειπτικές και αβελιανές συναρτήσεις. Ήταν όμως και ο πρώτος στο Γκέτινγκεν που έδωσε διαλέξεις για τη θεωρία Γκαλουά. Παράλληλα, ήταν από τους πρώτους που κατανόησαν τη σημασία της έννοιας της ομάδας για την άλγεβρα και την αριθμητική.

Το 1858 άρχισε να διδάσκει στο Πολυτεχνείο της Ζυρίχης (σήμερα ETH Ζυρίχης). Όταν το Κολλέγιο Carolinum αναβαθμίστηκε σε Τεχνικό Ινστιτούτο ("Τεχνική Ανώτατη Σχολή") το 1862, ο Ντέντεκιντ επέστρεψε στη γενέτειρά του, το Μπράουνσβαϊγκ, όπου πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του, διδάσκοντας στο Ινστιτούτο. Συνταξιοδοτήθηκε το 1894, αλλά δίδασκε περιστασιακά και συνέχισε να δημοσιεύει. Δεν παντρεύτηκε ποτέ, αλλά ζούσε με την αδελφή του Τζούλια.

Ο Ντέντεκιντ εξελέγη στις Ακαδημίες του Βερολίνου (1880) και της Ρώμης και στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών (1900). Έλαβε τιμητικούς διδακτορικούς τίτλους από τα πανεπιστήμια του Όσλο, της Ζυρίχης και του Μπραουνσβάιγκ.

Εργασίες
Ενώ δίδασκε για πρώτη φορά λογισμό στην Πολυτεχνική Σχολή, ο Ντέντεκιντ ανέπτυξε την έννοια που σήμερα είναι γνωστή ως το κόψιμο Ντέντεκιντ (γερμανικά: Schnitt), το οποίο έχει γίνει ένας τυπικός ορισμός των πραγματικών αριθμών. Η ιδέα της τομής είναι ότι ένας άρρητος αριθμός διαιρεί τους ρητούς αριθμούς σε δύο κατηγορίες (σύνολα), με όλους τους αριθμούς της μιας (ανώτερης) κατηγορίας να είναι αυστηρά μεγαλύτεροι από όλους τους αριθμούς της άλλης (κατώτερης) κατηγορίας. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 2 ορίζει όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι μικρότερα του 2 και τους αρνητικούς αριθμούς στην κατώτερη τάξη, και τους θετικούς αριθμούς των οποίων τα τετράγωνα είναι μεγαλύτερα του 2 στην ανώτερη τάξη. Κάθε θέση στη συνέχεια της αριθμογραμμής περιέχει είτε έναν ορθολογικό είτε έναν ανορθολογικό αριθμό. Επομένως, δεν υπάρχουν κενά, κενά ή ασυνέχειες. Ο Dedekind δημοσίευσε τις σκέψεις του σχετικά με τους άρρητους αριθμούς και τις περικοπές του Dedekind στο φυλλάδιο "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("Συνέχεια και άρρητοι αριθμοί")- στη σύγχρονη ορολογία, Vollständigkeit, πληρότητα.

Ο Ντέντεκιντ όρισε δύο σύνολα ως "όμοια" όταν υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ τους Επικαλέστηκε την ομοιότητα για να δώσει τον πρώτο[παραπομπή απαιτείται] ακριβή ορισμό ενός άπειρου συνόλου: ένα σύνολο είναι άπειρο όταν είναι "όμοιο με ένα κατάλληλο μέρος του εαυτού του", στη σύγχρονη ορολογία, ισοδυναμεί με ένα από τα κατάλληλα υποσύνολά του. Μπορούμε επομένως να δείξουμε ότι το σύνολο N των φυσικών αριθμών είναι παρόμοιο με το υποσύνολο του N του οποίου τα μέλη είναι τα τετράγωνα κάθε μέλους του N2):

 N    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ...
              ↓           
 N2   1  4  9  16 25 36 49 64 81 100 ...

Το έργο του Ντέντεκιντ σε αυτόν τον τομέα προηγήθηκε του έργου του Γκέοργκ Κάντορ, ο οποίος θεωρείται γενικά ο θεμελιωτής της θεωρίας συνόλων. Παρομοίως, η συμβολή του στα θεμέλια των μαθηματικών πρόλαβε το μεταγενέστερο έργο των κύριων υποστηρικτών του λογικισμού, όπως ο Γκότλομπ Φρέγκε και ο Μπέρτραντ Ράσελ.

Ο Ντέντεκιντ επιμελήθηκε τα συγκεντρωτικά έργα των Λεζέν Ντίριχλετ, Γκάους και Ρίμαν. Η μελέτη του έργου του Λεζέν Ντίριχλετ οδήγησε τον Ντέντεκιντ στη μετέπειτα μελέτη των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων και των ιδεωδών. Το 1863 δημοσίευσε τις διαλέξεις του Λεζέν Ντίριχλετ για τη θεωρία των αριθμών υπό τον τίτλο Vorlesungen über Zahlentheorie ("Διαλέξεις για τη θεωρία των αριθμών") :

Παρόλο που το βιβλίο βασίζεται σίγουρα στις διαλέξεις του Ντίριχλετ, και παρόλο που ο ίδιος ο Ντέντεκιντ αναφερόταν στο βιβλίο καθ' όλη τη διάρκεια της ζωής του ως βιβλίο του Ντίριχλετ, το ίδιο το βιβλίο γράφτηκε εξ ολοκλήρου από τον Ντέντεκιντ, σε μεγάλο βαθμό μετά το θάνατο του Ντίριχλετ.
Edwards, 1983

Οι εκδόσεις Vorlesungen του 1879 και του 1894 περιλάμβαναν συμπληρώματα που εισήγαγαν την έννοια του ιδανικού, η οποία είναι θεμελιώδης για τη θεωρία των δακτυλίων (η λέξη "δακτύλιος", που εισήγαγε αργότερα ο Χίλμπερτ, δεν εμφανίζεται στο έργο του Ντέντεκιντ). Ο Ντέντεκιντ ορίζει ένα ιδανικό ως ένα υποσύνολο ενός συνόλου αριθμών, το οποίο αποτελείται από αλγεβρικούς ακέραιους αριθμούς που ικανοποιούν πολυωνυμικές εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές. Η έννοια αναπτύχθηκε από τον Χίλμπερτ και κυρίως από την Έμυ Νέτερ. Τα ιδανικά γενικεύουν τους ιδανικούς αριθμούς του Ερνστ Έντουαρντ Κούμερ, οι οποίοι επινοήθηκαν στο πλαίσιο της προσπάθειας του Κούμερ, το 1843, να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. (Σε μια εργασία του 1882, ο Ντέντεκιντ και ο Χάινριχ Μάρτιν Βέμπερ εφάρμοσαν τα ιδανικά σε επιφάνειες Ρίμαν, δίνοντας μια αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος Ρίμαν-Ροχ.

Το 1888 δημοσίευσε μια σύντομη μονογραφία με τίτλο Was sind und was sollen die Zahlen ("Τι είναι οι αριθμοί και για τι χρησιμεύουν;" Εβαλντ 1996: 790), η οποία περιελάμβανε τον ορισμό του για ένα άπειρο σύνολο. Πρότεινε επίσης μια αξιωματική θεμελίωση για τους φυσικούς αριθμούς, οι πρωταρχικές έννοιες της οποίας ήταν ο αριθμός ένα και η συνάρτηση διαδόχου. Τον επόμενο χρόνο, ο Τζιουζέππε Πεάνο, επικαλούμενος τον Ντέντεκιντ, διατύπωσε ένα σύνολο ισοδύναμων αλλά απλούστερων αξιωμάτων, τα οποία αποτελούν σήμερα τα καθιερωμένα αξιώματα.

Ο Ντέντεκιντ συνεισέφερε και σε άλλα πεδία της άλγεβρας. Για παράδειγμα, γύρω στο 1900 έγραψε τις πρώτες εργασίες για τα σπονδυλωτά πλέγματα. Το 1872, κατά τη διάρκεια των διακοπών του στο Ιντερλάκεν, ο Ντέντεκιντ συνάντησε τον Γκέοργκ Κάντορ. Ο Ντέντεκιντ έγινε ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που θαύμασε το έργο του Κάντορ για τα άπειρα σύνολα και αποδείχθηκε πολύτιμος σύμμαχος στις διαμάχες του Κάντορ με τον Λέοπολντ Κρόνεκερ, ο οποίος ήταν φιλοσοφικά αντίθετος με τους διαπεραστικούς αριθμούς του Κάντορ.

Δημοσιεύσεις 
Bιβλιογραφία στην αγγλική γλώσσα:
1890. "Letter to Keferstein" in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press: 98–103.
 1963 (1901). Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.  Contains English translations of Stetigkeit und irrationale Zahlen and Was sind und was sollen die Zahlen?
 1996. Theory of Algebraic Integers. Stillwell, John, ed. and trans. Cambridge Uni. Press. A translation of Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen.
 Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
1854. "On the introduction of new functions in mathematics," 754–61.
1872. "Continuity and irrational numbers," 765–78. (translation of Stetigkeit...)
1888. What are numbers and what should they be?, 787–832. (translation of Was sind und...)
1872–82, 1899. Correspondence with Cantor, 843–77, 930–40.

Bιβλιογραφία στη γερμανική γλώσσα:
Gesammelte mathematische Werke (Complete mathematical works, Vol. 1–3). Retrieved 5 August 2009.

Παραπομπές

Μαθηματικοί αναλυτές
Γερμανοί μαθηματικοί
Μαθηματικοί του 19ου αιώνα