Κενό σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, το κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως ,  ή . Σε πολλές από τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων (όπως η θεωρία Zermelo-Fraenkel), η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι αξίωμα. Στη γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού, αυτό εκφράζεται ως
,
δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο για το οποίο κανένα στοιχείο δεν του ανήκει. Ως συνέπεια αυτού προκύπτει ότι το κενό σύνολο είναι μοναδικό. 

Στην θεωρία Zermelo-Fraenkel, το κενό σύνολο χρησιμοποιείται για την κατασκευή των φυσικών αριθμών και κατ'επέκταση των υπόλοιπων αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να οριστούν ως

Ιδιότητες 

 Το κενό σύνολο είναι μοναδικό. 

Δύο σύνολα  και  είναι ίσα ανν 
.
Έστω ότι υπήρχαν δύο κενά σύνολα  και , τότε είναι ίσα καθώς η παραπάνω διπλή συνεπαγωγή ικανοποιείται για κάθε  αφού  και  είναι ψευδή από τον ορισμό των κενών συνόλων.

 Για κάθε σύνολο , ισχύει ότι .

Για κάθε στοιχείο ,

Επομένως, .

 Για κάθε σύνολο , ισχύει ότι .

Για κάθε στοιχείο ,

Επομένως, .

 Το δυναμοσύνολο του κενού συνόλου είναι το σύνολο .
 Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου , δηλαδή .

Για κάθε στοιχείο , έχουμε ότι
.
Επομένως, .

Δείτε επίσης 
 Σύνολο
 Υποσύνολο
 Μονοσύνολο

Παραπομπές 

Θεωρία συνόλων