Βαρύκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:

Σε ένα τρίγωνο , οι τρεις διάμεσοι  διέρχονται από το ίδιο σημείο . Επιπλέον ισχύει ότι 
,  και .

Αποδείξεις

Με θεώρημα τομής του Θαλή 

Έστω  και  οι διάμεσοι του τριγώνου και  το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο  το συμμετρικό του  ως προς το , και  το σημείο τομής του  με το .

Τα ευθύγραμμα τμήματα  και  χωρίζουν τo  και  σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι 
,
και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα  και 
.
Επομένως, το τετράπλευρο  έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα  είναι το μέσο του  και άρα  η διάμεσος της κορυφής . Επίσης,  το μέσο του  και άρα .

Με διανύσματα 

Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς  και το σημείο

Θα δείξουμε ότι η προέκταση της  κατά  είναι διάμεσος. 

που είναι το μέσο του .

Με το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα 

Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα προκύπτει ότι οι τρεις διάμεσοι ,  και  συντρέχουν, καθώς
.

Ιδιότητες 
Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:
 Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο , δηλαδή .
 Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου: 

 (Θεώρημα Πάππου) Έστω  μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το . Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την  είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την .
 (Ευθεία του Όιλερ) Έστω  το περίκεντρο,  το ορθόκεντρο του τριγώνου . Τότε τα  είναι συνευθειακά και .
 (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω  ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,

 Το συμπληρωματικό τρίγωνο  έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο .

Δείτε επίσης 
 Διάμεσος (γεωμετρία)
 Ορθόκεντρο τριγώνου
 Περίκεντρο τριγώνου
 Έγκεντρο τριγώνου

Παραπομπές 

Τρίγωνα
Στοιχειώδης γεωμετρία