Φρακτάλ της λέξης Fibonacci

Το φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι μια φρακταλική καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο της λέξης Fibonacci.

Ορισμός 

Αυτή η καμπύλη κατασκευάζεται επαναληπτικά εφαρμόζοντας τον κανόνα σχεδίασης μονών-ζυγών στη λέξη Fibonacci 0100101001001...:

Για κάθε ψηφίο στη θέση k:
 Σχεδιάστε ένα τμήμα προς τα εμπρός
 Εάν το ψηφίο είναι 0:
 Στρίψτε 90° προς τα αριστερά αν το k είναι ζυγός
 Στρίψτε κατά 90° προς τα δεξιά αν το k είναι απόκλιση
Σε μια λέξη Fibonacci μήκους  (ο nth αριθμός Fibonacci συνδέεται μια καμπύλη  που αποτελείται από τμήματα . Η καμπύλη εμφανίζει τρεις διαφορετικές όψεις αν ο n είναι της μορφής 3k, 3k + 1, ή 3k + 2.

 Ιδιότητες 

Μερικές από τις ιδιότητες του φράκταλ της λέξης Fibonacci περιλαμβάνουν:
 Η καμπύλη  περιέχει  τμήματα,  ορθές γωνίες και  επίπεδες γωνίες.
 Η καμπύλη δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της και δεν περιέχει διπλά σημεία. Στο όριο, περιέχει άπειρα σημεία ασυμπτωτικά κοντά.
 Η καμπύλη παρουσιάζει αυτο-ομοιότητες σε όλες τις κλίμακες. Ο λόγος αναγωγής είναι . Αυτός ο αριθμός, που ονομάζεται επίσης λόγος αργύρου, είναι παρών σε μεγάλο αριθμό ιδιοτήτων που αναφέρονται παρακάτω.
 Ο αριθμός των αυτο-ομοιώσεων στο επίπεδο n είναι ένας αριθμός Fibonacci \ -1. (ακριβέστερα: ).
 Η καμπύλη περικλείει μια απειρία τετραγωνικών δομών φθίνοντος μεγέθους σε αναλογία  (βλ. σχήμα). Ο αριθμός αυτών των τετραγωνικών δομών είναι ένας αριθμός Φιμπονάτσι.
 Η καμπύλη  μπορεί επίσης να κατασκευαστεί με διάφορους τρόπους (βλ. γκαλερί παρακάτω):
 Επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων των 4 και 1 ομοιοθεσιών του λόγου  και 
 Συνδέοντας τις καμπύλες  και 
 Σύστημα Λιντενμάγιερ
 Με μια επαναληπτική κατασκευή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
 Με μια επαναληπτική κατασκευή οκτάγωνοων 
  H διάσταση Χάουσντορφ (Hausdorff) του φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι , με  τη χρυσή τομή.
 Γενικεύοντας σε μια γωνία  μεταξύ 0 και , η διάσταση Hausdorff της είναι , με .
 Η διάσταση Hausdorff του συνόρου του είναι .
 Αν αλλάξουμε τους ρόλους του "0" και του "1" στη λέξη Fibonacci ή στον κανόνα σχεδίασης, προκύπτει μια παρόμοια καμπύλη, αλλά προσανατολισμένη κατά 45°.
 Από τη λέξη Fibonacci, μπορεί κανείς να ορίσει την "πυκνή λέξη Fibonacci", σε ένα αλφάβητο 3 γραμμάτων: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... . Η χρήση, σε αυτή τη λέξη, ενός πιο απλού κανόνα σχεδίασης, ορίζει ένα άπειρο σύνολο παραλλαγών της καμπύλης, μεταξύ των οποίων:
 μια "διαγώνια παραλλαγή".
 μια "παραλλαγή της σβάστικας" ** μια "παραλλαγή της σβάστικας"
 μια "συμπαγής παραλλαγή".
 Εικάζεται ότι το φράκταλ της λέξης Φιμπονάτσι εμφανίζεται για κάθε λέξη Στουρμιού  για την οποία η κλίση, γραμμένη σε συνεχές ανάπτυγμα κλάσματος, καταλήγει σε μια άπειρη ακολουθία από  "1 "s.

 Έκθεση φωτογραφιών 

 Το πλακίδιο Fibonacci 

Η παράθεση τεσσάρων καμπυλών  επιτρέπει την κατασκευή μιας κλειστής καμπύλης που περικλείει μια επιφάνεια της οποίας το εμβαδόν δεν είναι μηδενικό. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται "πλακίδιο Φιμπονάτσι".
 Το πλακίδιο Fibonacci σχεδόν καλύπτει το επίπεδο. Η παράθεση 4 πλακιδίων (βλέπε εικόνα) αφήνει στο κέντρο ένα ελεύθερο τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν τείνει στο μηδέν καθώς το k τείνει στο άπειρο. Στο όριο, το άπειρο κεραμίδι Fibonacci καλύπτει το επίπεδο.
 Αν το πλακίδιο περικλείεται σε ένα τετράγωνο πλευράς 1, τότε το εμβαδόν του τείνει στο .

 Χιονονιφάδα Φιμπονάτσι 

Η χιονονιφάδα Fibonacci''' είναι ένα πλακίδιο Fibonacci που ορίζεται από:
  if 
  otherwise.
with  and ,  "turn left" and  "turn right", and .

Ορισμένες αξιοσημείωτες ιδιότητες:A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendès-France (2011). "Fibonacci snowflakes".
Πρόκειται για το πλακίδιο Fibonacci που σχετίζεται με την "διαγώνια παραλλαγή" που ορίστηκε προηγουμένως.
Επικαλύπτει το επίπεδο σε οποιαδήποτε σειρά.
Καλύπτει το επίπεδο με μετατόπιση με δύο διαφορετικούς τρόπους.
Η περίμετρός του σε τάξη n ισούται με , όπου  είναι n'''ιοστός αριθμός Fibonacci.
το εμβαδόν του στην τάξη n ακολουθεί τους διαδοχικούς δείκτες της μονής σειράς της ακολουθίας Pell (ορίζεται από τη σχέση )

Δείτε επίσης 
Σύνολο Μάντελμπροτ 
Χρυσή τομή
Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

 
 
 

Φράκταλ
Μαθηματική λογική
Φιλοσοφία των μαθηματικών
Ιστορία των Μαθηματικών