Θεώρημα Ουίλσον

Στην θεωρία αριθμών, το θεώρημα Ουίλσον (αναφέρεται και ως θεώρημα Wilson) λέει ότι ένας φυσικός αριθμός  είναι πρώτος ανν ισχύει ότι
, 
όπου  είναι το παραγοντικό του .

Δηλαδή το θεώρημα δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για έναν αριθμό να είναι πρώτος. Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Τζον Ουίλσον.

Παραδείγματα 

 Για , έχουμε ότι  (και το  είναι πρώτος).
 Για , έχουμε ότι  (και το  είναι πρώτος).
 Για , έχουμε ότι  (και το  είναι σύνθετος).
 Για , έχουμε ότι  (και το  είναι πρώτος).
 Για , έχουμε ότι  (και το  είναι σύνθετος).
 Για , έχουμε ότι  (και το  είναι πρώτος).

Απόδειξη

Με πολλαπλασιαστικά αντίστροφα 

() Έστω  ένας πρώτος αριθμός. Θα χρησιμοποιήσουμε ότι για κάθε  υπάρχει ένας πολλαπλασιαστικός αντίστροφος στο , δηλαδή ένας αριθμός  τέτοιος ώστε . Αυτό ισχύει καθώς ο  είναι πρώτος σχετικά με τον . Αν ο  είναι πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του , τότε και ο  είναι πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του , καθώς . Επομένως, οι αντίστροφοι έρχονται σε δυάδες. 

Θα δείξουμε ότι ο μόνοι αριθμοί που είναι αντίστροφοι του εαυτού τους είναι ο  και ο . Έστω ότι ισχύει
.
Τότε έχουμε ισοδύναμα ότι  ή ισοδύναμα ότι  (χρησιμοποιώντας την ταυτότητα για την διαφορά τετραγώνων). Επειδή ο  είναι πρώτος έχουμε ότι  ή  άρα  ή .

Συνεπώς, όλα τα  έχουν πολλαπλασιαστικούς αντιστρόφους που έρχονται σε ζεύγη και έτσι χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού απαλείφονται, άρα
, 
που είναι και το ζητούμενο.

() Έστω  ένας σύνθετος αριθμός. Τότε μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών , δηλαδή . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
 Περίπτωση 1η (): Τότε και το  και το  εμφανίζεται στο γινόμενο , άρα το .
 Περίπτωση 2η (): Σε αυτή την περίπτωση δεν εμφανίζονται και το  και το  στο γινόμενο. Για  είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι η σχέση ισχύει. Για  έχουμε ότι  και άρα το  και το  (για τα οποία ισχύει ότι ) εμφανίζονται στο γινόμενο , και άρα .

Εφαρμογές 
Από πρακτικής απόψεως, η συνθήκη αυτή δεν χρησιμοποιείται για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος, καθώς ο υπολογισμός του  χρειάζεται  πράξεις, ενώ μπορούμε για παράδειγμα να ελέγξουμε απευθείας αν κάποιος από τους αριθμούς  διαιρεί τον  (που χρειάζεται  πράξεις).

Δείτε επίσης 
 Μικρό θεώρημα του Φερμά
 Συνάρτηση Όιλερ
 Πρώτοι αριθμοί Ουίλσον

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Εφαρμογές του θεωρήματος Ουίλσον
 Διάλεξη για το μικρό θεώρημα του Φερμά και το θεώρημα Ουίλσον
 Cut the knot: Θεώρημα Ουίλσον
 Art of Problem Solving: Θεώρημα Ουίλσον

Ξενόγλωσσα άρθρα

Παραπομπές 

Θεωρία αριθμών
Πρώτοι αριθμοί