Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λέει ότι ο αριθμητικός μέσος  μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, για τρεις αριθμούς ,
.
Στην γενική περίπτωση για  μη-αρνητικούς αριθμούς , ισχύει ότι

Η ανισότητα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει αρκετές άλλες ανισότητες στα μαθηματικά και βρίσκει εφαρμογές στην ανάλυση αλγορίθμων και στην θεωρία βελτιστοποίησης. Η ανισότητα αναφέρεται ως ανισότητα ΑΜ-ΓΜ από την σύντμηση των αρχικών του αριθμητικού μέσου και του γεωμετρικού μέσου.

Αποδείξεις

Περίπτωση n = 2

Θα αποδείξουμε την την περίπτωση , όπου η ανισότητα έχει την μορφή
.

Αλγεβρική απόδειξη

Με απλές αναδιατάξεις,
,
η οποία ισχύει, καθώς για κάθε πραγματικό αριθμό το τετράγωνό του είναι μη-αρνητικό.

Γεωμετρική απόδειξη

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα  μήκους  και το σημείο  αυτού, ώστε  (και ). Θεωρούμε επίσης το μέσο αυτού  και τον κύκλο με κέντρο αυτό το σημείο.

Επίσης θεωρούμε  ένα από τα σημεία που τέμνει η κάθετη από τo  στο . Τότε το τρίγωνο  είναι ορθογώνιο καθώς βλέπει στην διάμετρο και  (δηλαδή ίσο σε μήκος με τον αριθμητικό μέσο).

Προχωράμε θεωρώντας  το σημείο που τέμνει η κάθετη από το  τον κύκλο στην πλευρά του . Από την ομοιότητα των τριγώνων  και , προκύπτει ότι
,
δηλαδή το  είναι ίσο σε μήκος με τον γεωμετρικό μέσο. Συνεπώς, έπεται η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου από το γεγονός ότι .

Γενική περίπτωση

Με την ανισότητα Γένσεν

Η λογαριθμική συνάρτηση  είναι κοίλη για , καθώς
 και .
Επομένως, από την ανισότητα Γένσεν, έχουμε ότι
.
Από τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης  και , έχουμε ότι
.
Επειδή η συνάρτηση  είναι αυστηρώς μονότονη, έχουμε ότι
,
που είναι και η ζητούμενη ανισότητα. Επίσης, προκύπτει ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν .

Με μεγιστοποίηση συνάρτησης

Θα αποδείξουμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι η ανισότητα ισχύει. 

Βασική Περίπτωση: Για , η ανισότητα είναι προφανής. 

Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι η ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε , δηλαδή
.
Τότε, θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για . Θεωρούμε την συνάρτηση 

Θα δείξουμε ότι για κάθε  η συνάρτηση  και επομένως η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου ισχύει και για  μεταβλητές. Η παράγωγος της  δίνεται από την 

Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης δίνεται από το  με
.
Τότε

χρησιμοποιώντας στην τελευταία ανίσωση την επαγωγική υπόθεση ότι . Από την μαθηματική επαγωγή ισχύει για όλα τα .

Με την ανισότητα της αναδιάταξης

Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα της αναδιάταξης για να αποδείξουμε την ΑΜ-ΓΜ. Η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε  για οποιαδήποτε σταθερά , τότε η μορφή της ανισότητας δεν αλλάζει, δηλαδή, 
 και 
Επομένως, 
 αν και μόνο αν .
Συνεπώς, χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε  με γινόμενο . Θεωρούμε επίσης 

Από την ανισότητα της αναδιάταξης
.
Δηλαδή,

Εφαρμογές

Απόδειξη της ανισότητας γεωμετρικού-αρμονικού μέσου
Θέτοντας  για κάθε  στην ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου λαμβάνουμε ότι
.
Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη λαμβάνουμε ότι

δηλαδή ο αρμονικός μέσος είναι μικρότερος ή ίσος του γεωμετρικού, με ισότητα αν και μόνο αν .

Απόδειξη της ανισότητας Νέσμπιττ
Θα αποδείξουμε την ανισότητα Νέσμπιττ για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς :

Θεωρούμε ,  και . Τότε, έχουμε ότι
, , και .
Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:

Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα

η οποία είναι ισοδύναμη με την

Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για  όρους,
.

Παραπομπές

Ανισότητες