Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσεμπισιόφ (αναφέρεται και ως ανισότητα Chebyshev) δίνει ένα φράγμα στην πιθανότητα μία τυχαία μεταβλητή  να αποκλίνει από την αναμενόμενη  τιμή της, συναρτήσει της διακύμανσής της. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε τυχαία μεταβλητή  με πεπερασμένη διακύμανση , ισχύει για κάθε

Απόδειξη
Η τυπική απόδειξη της ανισότητας Τσεμπισιόφ προκύπτει από την εφαρμογή της ανισότητας Μαρκόφ η οποία λέει ότι για οποιαδήποτε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή , ισχύει ότι για κάθε 
.

Υπενθυμίζουμε επίσης ότι η διακύμανση της  ορίζεται ως

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ προκύπτει από την ανισότητα Μαρκόφ, θεωρώντας την τυχαία μεταβλητή

Πιο συγκεκριμένα, για την  (που είναι μη-αρνητική ως το τετράγωνο μίας τυχαίας μεταβλητής), η ανισότητα Μαρκόφ δίνει
.
καθώς . Αφού , καταλήγουμε ότι
.

Δείτε επίσης
 Ανισότητα Μαρκόφ
 Ανισότητα Σάμιουελσον

Παραπομπές

Ανισότητες