Θεώρημα του Τσέβα

Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Τσέβα (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα του Ceva) δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία ευθύγραμμα που ενώνουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τις απέναντι πλευρές τους, να συντρέχουν.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο  τα ευθύγραμμα τμήματα ,  και  (με  σημεία των πλευρών  αντίστοιχα) συντρέχουν ανν

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Τζιοβάνι Τσέβα και είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα του Μενελάου.

Εφαρμογές

Απόδειξη βαρυκέντρου 

Έστω  τα μέσω των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή ,  και . Τότε 

Επομένως, οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (το βαρύκεντρο).

Απόδειξη εγκέντρου 

Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους ,  και  ότι 
 και 
Επομένως, έχουμε ότι 
,
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδο σημείο (το έγκεντρο).

Απόδειξη ορθοκέντρου 

Τα τρίγωνα  και  είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την  ίση. Επομένως,
.
Αντίστοιχα,
 και .
Επομένως, 
,
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν (στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο).

Άλλες εφαρμογές 

Το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ύπαρξη του σημείου Nagel καθώς και την ύπαρξη του σημείου Gergonne.

Επεκτάσεις 
Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος του Τσέβα για τετράπλευρα, πολύγωνα καθώς και για περισσότερες διαστάσεις.

Δείτε επίσης 
 Θεώρημα του Μενελάου

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Θεώρημα του Τσέβα: Αποδείξεις και εφαρμογές
 Θεώρημα του Τσέβα και εφαρμογές
 Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Τσέβα και σχέση με το θεώρημα Μενελάου
 Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Τσέβα

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Παραπομπές 

Τρίγωνα
Θεωρήματα στη Γεωμετρία