Χέρμπερτ Φέντερερ

Ο Χέρμπερτ Φέντερερ (23 Ιουλίου 1920 στη Βιέννη,  21 Απριλίου 2010) ήταν Αυστρο-αμερικανός μαθηματικός και ένας από τους πρωτεργάτες της γεωμετρικής θεωρίας μέτρου, στο σημείο συνάντησης της διαφορικής γεωμετρίας και της μαθηματικής ανάλυσης.

Βιογραφία
Ο Φέντερερ γεννήθηκε στις 23 Ιουλίου 1920 στη Βιέννη της Αυστρίας. Αφού μετανάστευσε στις ΗΠΑ το 1938, σπούδασε μαθηματικά και φυσική στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ, όπου έλαβε το διδακτορικό του δίπλωμα ως φοιτητής του Άντονι Μορς το 1944. Στη συνέχεια, πέρασε σχεδόν ολόκληρη την καριέρα του ως μέλος του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Μπράουν, όπου τελικά συνταξιοδοτήθηκε με τον τίτλο του ομότιμου καθηγητή.

Ο Φέντερερ έγραψε περισσότερες από τριάντα ερευνητικές εργασίες πέραν του βιβλίου του "Γεωμετρική θεωρία μέτρου". Το Mathematics Genealogy Project του οφείλει εννέα διδακτορικούς φοιτητές και πάνω από εκατό απογόνους. Μεταξύ των πιο παραγωγικών μαθητών του ήταν ο αείμνηστος Φρέντερικ Τζ. Άλμγκρεν Τζούνιορ (1933-1997), καθηγητής στο Πρίνστον επί 35 χρόνια, και ο τελευταίος φοιτητής του, ο Ρόμπερτ Χαρντ, ο οποίος σήμερα εργάζεται στο Πανεπιστήμιο Ράις.

Ο Φέντερερ ήταν μέλος της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών. Το 1987 κέρδισε μαζί με τον συνάδελφό του στο Μπράουν Γουέντελ Φλέμινγκ το βραβείο Steele της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας "για την πρωτοποριακή εργασία τους στον τομέα των κανονικών και ολοκληρωτικών ρευμάτων"[FF60].

Μαθηματική εργασία
Κατά τις δεκαετίες του 1940 και 1950, ο Φέντερερ συνέβαλε με πολλές μελέτες στη διεπαφή της γεωμετρίας και της θεωρίας του μέτρου. Τα θέματα περιλάμβαναν την επιφάνεια, τη διορθωσιμότητα των συνόλων και τον βαθμό στον οποίο η διορθωσιμότητα θα μπορούσε να αντικατασταθεί από την ομαλότητα στην κλασική ανάλυση επιφανειών. Ένα ιδιαίτερα αξιοσημείωτο πρώτο επίτευγμα (βελτιώνοντας την προηγούμενη εργασία του Αβραάμ Μπεσίκοβιτς) ήταν ο χαρακτηρισμός των αμιγώς ανελαστικών συνόλων ως εκείνων που "εξαφανίζονται" κάτω από σχεδόν όλες τις προβολές Ο Φέντερερ είχε επίσης αξιοσημείωτη συμβολή στη μελέτη του θεωρήματος του Γκριν σε χαμηλή κανονικότητα. Η θεωρία της χωρητικότητας με τροποποιημένους εκθέτες αναπτύχθηκε από τον Φέντερερ και τον Γουίλιαμ Ζίμερ. Στην πρώτη του δημοσιευμένη εργασία, που έγραψε με τον επιβλέποντα καθηγητή του Άντονι Μορς, ο Φέντερερ απέδειξε το θεώρημα Φέντερερ-Μορς, το οποίο δηλώνει ότι οποιαδήποτε συνεχής υπερέκθεση μεταξύ συμπαγών μετρικών χώρων μπορεί να περιοριστεί σε ένα υποσύνολο Μπορέλ ώστε να γίνει έγχυση, χωρίς να αλλάξει η εικόνα.

Μια από τις πιο γνωστές εργασίες του Φέντερερ, το Curvature Measures, δημοσιεύτηκε το 1959, με σκοπό να καθιερώσει θεωρητικές διατυπώσεις της ανάλυσης δεύτερης τάξης στη διαφορική γεωμετρία, ιδίως της καμπυλότητας. Ο τύπος του θεωρήματος του Στάινερ αποτέλεσε θεμελιώδες προηγούμενο για το έργο του Φέντερερ- δηλώνει ότι ο όγκος μιας γειτονιάς ενός κυρτού συνόλου στον Ευκλείδειο χώρο ορίζεται από ένα πολυώνυμο. Εάν το όριο του κυρτού συνόλου είναι ένα λείο υπομέσο, οι συντελεστές του τύπου του Στάινερ ορίζονται από την καμπυλότητά του. Η εργασία του Φέντερερ αποσκοπούσε στην ανάπτυξη μιας γενικής διατύπωσης αυτού του αποτελέσματος. Η κλάση των υποσυνόλων που προσδιόρισε είναι η κλάση των υποσυνόλων θετικού εύρους, η οποία περιλαμβάνει τόσο την κλάση των κυρτών συνόλων όσο και την κλάση των λείων υποδιαστολών. Απέδειξε τον τύπο του Στάινερ για την κλάση αυτή, προσδιορίζοντας ως συντελεστές γενικευμένα ολοκληρώματα κβαντικής μάζας (που ονομάζονται μέτρα καμπυλότητας από τον Φέντερερ). Στην ίδια εργασία, ο Φέντερερ απέδειξε τον τύπο coarea, ο οποίος έχει γίνει ένα τυπικό αποτέλεσμα στα εγχειρίδια της θεωρίας μέτρου.

Η δεύτερη σημαντική εργασία του Φέντερερ, Normal and Integral Currents, γράφτηκε σε συνεργασία με τον Γουέντελ Φλέμινγκ. Στην εργασία τους, έδειξαν ότι το πρόβλημα του Πλατώ για ελάχιστες επιφάνειες μπορεί να επιλυθεί στην κατηγορία των ολοκληρωτικών ρευμάτων, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένες υποπολλαπλότητες. Επιπλέον, προσδιόρισαν νέα αποτελέσματα σχετικά με το ισοπεριμετρικό πρόβλημα και τη σχέση του με το θεώρημα ολοκλήρωσης Σόμπολεφ. Η εργασία τους εγκαινίασε μια νέα περίοδο γόνιμης έρευνας σε μια μεγάλη κατηγορία μεταβλητών γεωμετρικών προβλημάτων, και ειδικότερα στις ελάχιστες επιφάνειες.

Το 1969 ο Φέντερερ δημοσίευσε το βιβλίο του Γεωμετρική Θεωρία Μέτρου, το οποίο συγκαταλέγεται μεταξύ των έργων με τις περισσότερες αναφορές στα μαθηματικά. Πρόκειται για ένα περιεκτικό έργο που ξεκινά με μια λεπτομερή περιγραφή της πολυγραμμικής άλγεβρας και της θεωρίας μέτρου. Το κύριο μέρος του βιβλίου είναι αφιερωμένο στη μελέτη της διορθωσιμότητας και της θεωρίας των ρευμάτων. Το βιβλίο κλείνει με εφαρμογές στον λογισμό των μεταβολών. Το βιβλίο του Φέντερερ θεωρείται ένα έγκυρο σύγγραμμα στον τομέα αυτό και περιλαμβάνει πολλά νέα αποτελέσματα εκτός από πολύ υλικό από παλαιότερες έρευνες του Φέντερερ και άλλων. Μεγάλο μέρος της συζήτησης του βιβλίου του για τα ρεύματα και τις εφαρμογές τους περιορίζεται στους ολοκληρωτικούς συντελεστές. Αργότερα ανέπτυξε τη βασική θεωρία στο πλαίσιο πραγματικών συντελεστών.

Ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα που αναλύεται λεπτομερώς στο βιβλίο του Φέντερερ είναι ότι οι ελάχιστες υπερεπιφάνειες του Ευκλείδειου χώρου που ελαχιστοποιούν το εμβαδόν τους είναι λείες σε χαμηλές διαστάσεις. Περίπου την ίδια εποχή, οι Ενρίκο Μπομπιέρι, Έννιο Ντε Τζιόρτζι και Ενρίκο Τζούστι απέδειξαν ότι μια ελάχιστη υπερεπιφάνεια στον οκταδιάστατο ευκλείδειο χώρο, που εντοπίστηκε για πρώτη φορά από τον Τζέιμς Σάιμονς, είναι ελαχιστοποιούμενη σε εμβαδόν. Ως εκ τούτου, είναι άμεση η κατασκευή ελάχιστων υπερεπιφανειών του Ευκλείδειου χώρου που ελαχιστοποιούν το εμβαδόν τους και έχουν μοναδικά σύνολα κωδικοδιαστάσεων επτά. Το 1970, ο Φέντερερ απέδειξε ότι αυτή η κωδικοδιάσταση είναι βέλτιστη: όλα αυτά τα μοναδικά σύνολα έχουν κωδικοδιάσταση τουλάχιστον επτά. Το επιχείρημά του για τη μείωση της διάστασης για το σκοπό αυτό έχει γίνει ένα τυπικό μέρος της βιβλιογραφίας για τη γεωμετρική θεωρία μέτρου και τη γεωμετρική ανάλυση. Αργότερα, ο Φέντερερ βρήκε επίσης μια νέα απόδειξη του αποτελέσματος των Μπομπιέρι-Ντε Τζιόρτζι-Γκιούστι..

Σημαντικές δημοσιεύσεις 
Ο Φέντερερ ήταν συγγραφέας περίπου τριάντα ερευνητικών εργασιών, καθώς και του διάσημου εγχειριδίου του Γεωμετρική Θεωρία Μέτρου. 	
Federer, Herbert (1959). "Curvature measures". Transactions of the American Mathematical Society. 93 (3): 418–491. doi:10.1090/S0002-9947-1959-0110078-1. MR 0110078. Zbl 0089.38402.
Federer, Herbert; Fleming, Wendell H. (1960). "Normal and integral currents". Annals of Mathematics. Second Series. 72 (3): 458–520. doi:10.2307/1970227. JSTOR 1970227. MR 0123260. Zbl 0187.31301.	
Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. MR 0257325. Zbl 0176.00801.	
Federer, Herbert (1970). "The singular sets of area minimizing rectifiable currents with codimension one and of area minimizing flat chains modulo two with arbitrary codimension". Bulletin of the American Mathematical Society. 76 (4): 767–771. doi:10.1090/S0002-9904-1970-12542-3. MR 0260981. Zbl 0194.35803.	
Federer, Herbert; Ziemer, William P. (1973). "The Lebesgue set of a function whose distribution derivatives are p-th power summable". Indiana University Mathematics Journal. 22 (2): 139–158. doi:10.1512/iumj.1973.22.22013. MR 0435361. Zbl 0238.28015.	
Federer, Herbert (1975). "Real flat chains, cochains and variational problems". Indiana University Mathematics Journal. 24 (4): 351–407. doi:10.1512/iumj.1975.24.24031. MR 0348598. Zbl 0289.49044.

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Federer's page at Brown
Wendell H. Fleming and William P. Ziemer, "Herbert Federer", Biographical Memoirs of the National Academy of Sciences (2014)

Μαθηματικοί αναλυτές
Αυστριακοί μαθηματικοί
Μαθηματικοί του 20ού αιώνα