Ψηφιδοθέτηση

Ψηφιδοθέτηση ή ψηφίδωση είναι η κάλυψη μιας επιφάνειας του επιπέδου, χρησιμοποιώντας διάφορα γεωμετρικά σχήματα (π.χ πολύγωνα), χωρίς την ύπαρξη κενών. 

Πιο συγκεκριμένα, είναι η διαίρεση του Ευκλείδειου επιπέδου σε στοιχεία ενός πεπερασμένου συνόλου, τα "πλακάκια" (τα οποία δεν είναι εσωτερικά κενά, αλλά συμπαγή). Στη φύση το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα ψηφιδοθέτησης είναι οι κυψέλες των μελισσών, με την εξάγωνη μορφή των κελιών τους.

Η επίστρωση ενός μη ευκλείδειου επιπέδου είναι επίσης δυνατή.

Χρωματισμός 
Μια φαινομενικά απλή ερώτηση αφορά τον αριθμό των χρωμάτων που χρειάζονται για να χρωματίσουν τα διαφορετικά τμήματα του επιπέδου (ή περιοχές), έτσι ώστε δύο διπλανές περιοχές (δηλαδή που έχουν κοινό περίγραμμα) να μη μοιράζονται το ίδιο χρώμα. Στην πράξη, αρκούν τέσσερα χρώματα, σύμφωνα με το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, ώστε να επιτευχθεί αυτό. Αυτή είναι μια εικασία που δηλώθηκε το 1852, η οποία αποδείχθηκε μόλις το 1976.

Περιοδική ψηφιδοθέτηση 
Η αρχιτεκτονική χρησιμοποιεί συχνά την περιοδική ψηφιδοθέτηση του επιπέδου ή του χώρου, γνωστή από την αρχαιότητα. Αυτή η τεχνική αποτελείται από ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο.

Στην κρυσταλλογραφία, αυτά τα πλακίδια διαμορφώνουν τις περιοδικές διατάξεις των ατόμων (κρύσταλλοι). Το 1891, ο Ρώσος κρυσταλλογράφος και μαθηματικός Evgraf Fedorov απέδειξε ότι κάθε περιοδική ψηφιδοθέτηση του επιπέδου παρουσιάζει περιέχει μια από τις 17 τύπους κρυσταλλογραφικών ομάδων (ομάδες ισομετρίας).

Το 1968, ο Heinrich Heesch έδειξε ότι υπήρχαν 28 τύποι πλακιδίων. Ωστόσο, αυτή η ταξινόμηση μπορεί να βελτιωθεί επειδή ορισμένοι από αυτούς είναι ειδικές περιπτώσεις.

Στην πραγματικότητα, κάθε μία από τις κρυσταλλογραφικές ομάδες αντιστοιχεί σε έναν μόνο τύπο ψηφιδοθέτησης. Υπάρχουν δύο εξαιρέσεις. Κάθε μία από αυτές τις εξαιρέσεις σχετίζεται με 2 τύπους πλακιδίων. Συνολικά, λοιπόν, υπάρχουν 19 τύποι πλακιδίων για την περιοδική ψηφιδοθέτηση του επιπέδου.

Οι περισσότεροι τύποι μπορούν να γίνουν με πλακίδια που είναι κανονικά πολύγωνα. Η Αλάμπρα στη Γρανάδα περιέχει ψηφιδωτά με σχεδόν όλους τους τύπους πλακιδίων.

Απεριοδική ψηφιδοθέτηση 

Οι μαθηματικοί πίστευαν για καιρό ότι κάθε σύνολο πλακιδίων μπορεί να καλύψει περιοδικά ένα επίπεδο.

Ο Hao Wang υπέθεσε το 1961 ότι αυτή η θεωρία ίσχυε και συμπέρανε ότι θα μπορούσε κανείς να σχεδιάσει ένα πρόγραμμα υπολογιστή που θα αποφάσιζε εάν ένα δεδομένο σύνολο πλακιδίων επέτρεπε να τοποθετηθεί πλακάκια ή όχι στο επίπεδο. Ωστόσο, το 1966, ο Robert Berger (μαθητής του Wang) βρήκε ένα σετ από 20.426 πλακίδια που δεν μπορούσαν παρά να καλύψουν απεριοδικά το επίπεδο, τα οποία χρησιμοποίησε για να αποδείξει ότι το πρόβλημα είναι μη αλγοριθμικό, όταν ένα πλακίδιο καλύπτει ή όχι το επίπεδο.

Έκτοτε έχουν ανακαλυφθεί μικρότερες ομάδες πλακιδίων που ψηφιδοθετούνται μόνο απεριοδικά: 

 το 1974, ο Roger Penrose βρήκε ένα σετ 20 πλακιδίων (2 σε περιστροφή) που ονομάστηκαν πλακάκια Penrose.
 Το 1976, ο Raphael Robinson απλοποίησε τις ομάδες των πλακιδίων του Robert Berger σε ένα σετ 6 πλακιδίων (σε περιστροφή και συμμετρία).
 το 1996, ο Karel Culik και ο Jarkko Kari βρήκαν ένα σετ 13 πλακιδίων με μια εντελώς διαφορετική μέθοδο.
 το 2015, ο Emmanuel Jeandel και ο Michael Rao, στο «Ένα απεριοδικό σετ 11 πλακιδίων Wang», παρουσίασαν ένα σετ 11 πλακιδίων Wang σε 4 χρώματα. Αυτό το σύνολο πλακιδίων είναι το ελάχιστο, δηλαδή δεν υπάρχει απεριοδικό σετ πλακιδίων Wang με λιγότερα από 11 πλακίδια και ότι κανένα σετ Wang με λιγότερα από 4 χρώματα δεν είναι απεριοδικό.

Ημιπεριοδική ψηφιδοθέτηση 
Στα απεριοδικά πλακίδια μπορούμε να μετρήσουμε τον βαθμό απεριοδικότητας. Μικρός βαθμός απεριοδικότητας σημαίνει συχνή εμφάνιση ψευτοπεριοδικών στοιχείων, ενώ μεγάλος βαθμός απεριοδικότητας σημαίνει σπάνια εμφάνιση ψευτοπεριοδικών στοιχείων.

Ακολουθώντας αυτή τη λογική μπορούμε να αναφέρουμε, για παράδειγμα, τις έννοιες της «επανάληψη "και της" ομοιόμορφης επανάληψης" (ή "ημιπεριοδικότητας").

Μια ψηφιδοθέτηση λέγεται επαναλαμβανόμενη εάν εμφανίζεται σε οποιαδήποτε αρκετά μεγάλη περιοχή, όταν ένα μοτίβο (πεπερασμένο σύνολο πλακιδίων) εμφανίζεται μία φορά. Επιπλέον, αν μπορεί κανείς να καθορίσει το μέγεθος αυτής της ζώνης σύμφωνα με το μέγεθος του σχεδίου, τότε το πλακάκι λέγεται ότι είναι ομοιόμορφα επαναλαμβανόμενο (ή ημιπεριοδικό).

Έτσι, μια ομοιόμορφα επαναλαμβανόμενη ψηφιδοθέτηση στο επιπέδου είναι τέτοια, ώστε αν θεωρήσουμε ότι οποιοδήποτε σχέδιο εμφανίζεται σε έναν κύκλο ακτίνας ρ που σχεδιάζεται στο πλακίδιο, τότε υπάρχει ένας αριθμός Ρ τέτοιος ώστε να είμαστε σίγουροι ότι αυτό το σχέδιο επανεμφανίζεται σε οποιονδήποτε κύκλο ακτίνας Ρ που σχεδιάζεται στο πλακίδιο.

Ειδικότερα, η περιοδική ψηφιδοθέτηση επαναλαμβάνεται ομοιόμορφα (τις περισσότερες φορές επαναλαμβανόμενα). Αυτό ισχύει και για τα πλακάκια Penrose . Στην πραγματικότητα, μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν ένα σύνολο πλακιδίων καλύπτει το επίπεδο, τότε μπορεί επίσης να το καλύψει ομοιόμορφα αναδρομικά (η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα του Καντόρ).

Σημειώσεις και παραπομπές

Βιβλιογραφία 

 Η τέχνη των πλακιδίων, Εφαπτομένη, 99, Ιούλιος-août 2004Αύγουστος 2004.
 André Deledicq and Raoul Raba, The World of Pavings, ACL-Les éditions du Kangourou, 2002 — Μαθηματική μελέτη, τρόπος κατασκευής πλακιδίων και πλήθος παραδειγμάτων.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Kali , για σχεδίαση πλακιδίων, www.geometrygames.org (πρόσβαση στις 27 Μαΐου 2019).
 Κινούμενα σχέδια Geogebra στα 17 πλακίδια του αεροπλάνου, για να εξασκηθούν οι σημειώσεις του Conway, από τον François Byasson, www.geogebra.org (πρόσβαση στις 27 Μαΐου 2019).
 Κινούμενη εικόνα των  του αεροπλάνου στον ιστότοπο Magical Mathematics, από την Thérèse Eveilleau.
    στον ιστότοπο του Southern Polytechnic State University (σε) από Γεωργία (ΗΠΑ)
    στον ιστότοπο του Πανεπιστημίου του Bielefeld
 Περιγραφή των  πλακόστρωτων του σχεδίου, τοποθεσία του Xavier Hubaut, του Ελεύθερου Πανεπιστημίου των Βρυξελλών, xavier.hubaut.info (ανατρέξτε στο27 mai 201927 Μαΐου 2019 ).
  Σχεδόν 200 εικονιστικές ψηφίδες (άνθρωποι, ζώα και διάφορα) και σκηνοθετήσεις ψηφίδων για τα 35 βασικά πολύγωνα.
Συμμετρία