Περιγεγραμμένος κύκλος

Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου  είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές  και . Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Απόδειξη ύπαρξης 

Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

(Απόδειξη) Έστω  η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών  και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ότι ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι 
 και .
Άρα το  ισαπέχει και από το σημείο . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των ,  και  συντρέχουν στο . Αφού το  ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου, ο κύκλος  διέρχεται από ολες τις κορυφές.

Μετρικές σχέσεις 

 (Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών  και ακτίνα  περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι 

 Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν , έχουμε ότι 
,
και από τον τύπο του Ήρωνα
.
όπου  η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

 Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από

 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από 
.
 Αν   η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και  η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε
.

Ανισοτικές σχέσεις 

 Αν , τότε .
 Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, τότε το περίκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου.
 Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε το περίκεντρο είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου.
 Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το περίκεντρο είναι το μέσο της υποτείνουσας.

Σχετικά θεωρήματα 

 (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο , το ορθόκεντρο  και το περίκεντρο  είναι συγγραμμικά και .
 (Θεώρημα του Όιλερ) Αν  είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και  οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε 
   και 
 Αν  το ορθόκεντρο και  το περίκεντρο, τότε 
.
 (Θεώρημα Καρνό) Αν  η ακτίνα του εγεγγραμμένου και  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και ,  και  οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε
.
 (Θεώρημα Νάγκελ) Αν  είναι τα ύψη του τριγώνου και  το περίκεντρο, τότε
  και .
 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
 (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο  του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του  στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη 

Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:
 Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα ,  και  και ακτίνα το μέγιστο από τα  και .
 Βρίσκουμε τα σημεία τομής  και  των κύκλων με κέντρο το  και το .
 Βρίσκουμε τα σημεία τομής  και  των κύκλων με κέντρο το  και το .
 Χαράζουμε την ευθεία που ενώνει τα  και , και τα  και .
 Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο.

Δείτε επίσης 
 Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
 Βαρύκεντρο τριγώνου
 Ορθόκεντρο τριγώνου
 Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
 Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Παραπομπές 

Τρίγωνα
Θεωρήματα στη Γεωμετρία