Mandelbulb

Το φράκταλ Mandelbulb είναι ένα τρισδιάστατο φράκταλ. Κατασκευάστηκε το 2009 από τους Ντάνιελ Γουάιτ και Πολ Νάιλαντερ. Για να το πετύχουν αυτό, υπέβαλαν ένα συμβατικό σύνολο Μάντελμπροτ σε έναν γεωμετρικό μετασχηματισμό σφαιρικών συντεταγμένων .

Μαθηματικά

Ένα τρισδιάστατο σύνολο Μάντελμπροτ σε κανονική μορφή δεν υπάρχει με αυτόν τον τρόπο, επειδή δεν υπάρχει τρισδιάστατο ανάλογο του μιγαδικού επιπέδου (αλλά μόνο συστήματα αριθμών υψηλότερων διαστάσεων, όπως τα τετραδόνια  (quaternions) ή οι διαστάσεις άλλων υπερσυμπλεγματικών αριθμών).

Ο τύπος των Γουάιτ και Νάιλαντερ για την n-th δύναμη του διανύσματος  σε ένα καρτεσιανό σύστημα αναφορών () είναι

με τη χρήση 

, 
 und  
. 

Το φράκταλ Mandelbulb ορίζεται τότε ως το σύνολο των τιμών   για το οποίο η τροχιά του  είναι περιορισμένη υπό την επανάληψη . Για n > 3 , το αποτέλεσμα είναι μια τρισδιάστατη δομή που μοιάζει με αχλάδι, με λεπτομέρεια επιφάνειας φράκταλ και έναν αριθμό "λοβών" που εξαρτάται από το n. Πολλές απεικονίσεις γραφικών παραστάσεων χρησιμοποιούν την τιμή 8 για το n. Οι εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σε ορθολογικά πολυώνυμα αν το n είναι περιττό. Για την περίπτωση n = 3, το γράφημα   μπορεί να μετατραπεί στην ακόλουθη απλοποιημένη μορφή:
.

Γενικότερα, αντίστοιχα φράκταλ (που εξαρτώνται όχι μόνο από το n αλλά και από τα p και q) μπορούν να υπολογιστούν για το σχήμα

όπου τα p και q δεν χρειάζεται να είναι ίσα με n για να ισχύει η . Ακόμη πιο γενικά φράκταλ μπορούν να δημιουργηθούν με την επανάληψη

μπορούν να βρεθούν.

Ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ

Με ορισμένους μετασχηματισμούς του φράκταλ Mandelbulb, μπορεί να μαντέψει κανείς μια ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ. Αν κόψει κανείς το φράκταλ στη μέση στην περίπτωση n = 2 , αναγνωρίζει το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ.

Το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του συνόλου Μάντελμπροτ αντιστοιχεί σε μια ιδανική κυκλική επιφάνεια. Αντίστοιχα, το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του φράκταλ Mandelbulb είναι μια ιδανική σφαίρα. Επομένως, αυτά τα σύνολα Julia διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τον αριθμό των διαστάσεων.

Πληροφορίες 
Στην ταινία κινουμένων σχεδίων Baymax του 2014, μια σκηνή λαμβάνει χώρα στο κέντρο μιας σκουληκότρυπας που μοιάζει με το στυλιζαρισμένο εσωτερικό ενός φράκταλ Mandelbulb
Ένας εξωγήινος στην ταινία τρόμου επιστημονικής φαντασίας Extinction ως μέρος ενός φράκταλ Mandelbulb.
Το πνευματικό βασίλειο του Κερτ στο διαδικτυακό κόμικ Unsounded απεικονίζεται ως ένα χρυσό Mandelbulb.

Έκθεση  
Η παρακάτω Έκθεση παρουσιάζει διάφορες απόψεις και ειδικά χαρακτηριστικά του φράκταλ Mandelbulb.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 for the first use of the Mandelbulb formula on www.fractal.org website Jules Ruis
 Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website
 Several variants of the Mandelbulb, on Paul Nylander's website
 An opensource fractal renderer that can be used to create images of the Mandelbulb
 Formula for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb by Jules Ruis
 Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb with examples of real 3D objects
 Video : View of the Mandelbulb  
 Video : Exploring Mandelbulb. 3D Fractal Animation 
 The discussion thread in Fractalforums.com that led to the Mandelbulb
 Video fly through of an animated Mandelbulb world

Δείτε επίσης 
Αυτοομοιότητα
Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

 
 
Φράκταλ