Διαφορά τετραγώνων

Στα μαθηματικά, η διαφορά τετραγώνων είναι η αφαίρεση ενός τετραγώνου ενός αριθμού από ένα άλλο τετράγωνο αριθμού. Η διαφορά των τετραγώνων  και  μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως 
.

Απόδειξη

Αλγεβρική απόδειξη 
Η απόδειξη είναι σχετικά απλή και προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Η απόδειξη ισχύει πιο γενικά σε κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο.

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε ότι
.
Χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα έχουμε ότι
.
Από τον ορισμό του αντίθετου αριθμού λαμβάνουμε ότι
,
και από τον ορισμό του ουδέτερου στοιχείου, καταλήγουμε ότι
.

Γεωμετρική απόδειξη 

Παρακάτω δίνεται μία γεωμετρική απόδειξη με χρήση εμβαδών για την περίπτωση που  και  είναι πραγματικοί αριθμοί και .

Εφαρμογές

Ρητοποίηση παρονομαστή 

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται για να κάνει τον παρονομαστή ενός κλάσματος ρητό αριθμό. Για παράδειγμα, αν έχουμε το κλάσμα 
, 
τότε πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και παρονομαστή με , λαμβάνουμε

το οποίο κλάσμα έχει ρητό παρονομαστή.

Διαίρεση μιγαδικών αριθμών 
Γενικεύοντας το παραπάνω, μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών  και . Πιο συγκεκριμένα,

Παραγοντοποίηση Φερμά 

Η ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων χρησιμοποιείται στον αλγόριθμο παραγοντοποίησης Φερμά.

Δείτε επίσης 
 Παραγοντοποίηση
 Διαφορά κύβων
 Ταυτότητα Σοφί Ζερμαίν

Παραπομπές 

Μαθηματικές ταυτότητες