Ίχνος πίνακα

Στην γραμμική άλγεβρα, το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν πίνακα  διαστάσεων  το ίχνος του  ορίζεται ως
.

Για παράδειγμα, 
 και .

Ο συμβολισμός  προέρχεται από τα δύο πρώτα γράμματα της αγγλικής λέξης trace, που σημαίνει ίχνος. Στην ελληνική βιβλιογραφία συμβολίζεται και ως ιχν..

Παραδείγματα  
 Για γενικούς τετραγωνικούς πίνακες διαστάσεων  για , ισχύει ότι:
.
 Για τον ταυτοτικό πίνακα , ισχύει ότι . Για παράδειγμα, για :
.
 Για τον μηδενικό πίνακα , ισχύει ότι .
 Για κάθε αντισυμμετρικό πίνακα , , καθώς τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι . Για παράδειγμα:
.

Ιδιότητες 

 Το ίχνος είναι μία γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε πίνακες  και  ίδιων διαστάσεων και κάθε στοιχείο  έχουμε ότι  και .

Έστω  και  δύο πίνακες διαστάσεων . Για το άθροισμα, ισχύει ότι

Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, 
.

 Το ίχνος του γινομένου είναι ανεξάρτητο της σειράς του πολλαπλασιασμού, .

Θεωρούμε τον πίνακα  διαστάσεων  και τον  διαστάσεων . Τότε, έχουμε ότι
,
όπου μεταθέσαμε τα δύο αθροίσματα. Επομένως, .

 Το ίχνος ενός πίνακα ισούται με το ίχνος του ανάστροφου πίνακα,  .

Από τον ορισμό του ίχνους, για έναν πίνακα  διαστάσεων , έχουμε ότι
.

 Για δύο όμοιους πίνακες  και , .

Θεωρούμε δύο όμοιους πίνακες  και , δηλαδή  για κάποιον αντιστρέψιμο πίνακα . Τότε, από την ιδιότητα του γινομένου,
.

 Αν  είναι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα , τότε .

Παραπομπές 

Γραμμική άλγεβρα