Θεώρημα van Schooten

Στην γεωμετρία, το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο  του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου , ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων του από τις άλλες δύο.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Frans van Schooten.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα Πτολεμαίου 

Από το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο  έχουμε ότι 

Αφού το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο έχουμε ότι . Από την προηγούμενη σχέση, καταλήγουμε ότι

Απόδειξη με βασική γεωμετρία 
Θεωρούμε το σημείο  του περιγεγραμμένου κύκλου ώστε . Τότε,  ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.

Αντίστοιχα,  και . Επομένως, το τρίγωνο  είναι ισόπλευρο.

Αφού  και , έχουμε ότι  ως χορδές στις οποίες βαίνουν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες. Άρα και .

Καταλήγουμε ότι

Δείτε επίσης 
 Θεώρημα του Πτολεμαίου
 Θεώρημα Pompeiu
 Ισόπλευρο τρίγωνο
 Περιγεγραμμένος κύκλος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Θεώρημα van Schooten και Pompeiu

Παραπομπές 

Τρίγωνα
Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Όρος με ελλιπή ελληνική μετάφραση