Συνθετική γεωμετρία

Η συνθετική γεωμετρία (μερικές φορές αναφέρεται ως αξιωματική γεωμετρία ή ακόμη και ως καθαρή γεωμετρία) είναι γεωμετρία χωρίς τη χρήση συντεταγμένων. Βασίζεται στην αξιωματική μέθοδο για την απόδειξη όλων των αποτελεσμάτων από μερικές βασικές ιδιότητες που αρχικά ονομάζονταν υποθέσεις και σήμερα αξιώματα .

Ο όρος "συνθετική γεωμετρία" επινοήθηκε μόνο μετά τον 17ο αιώνα και την εισαγωγή από τον Ρενέ Ντεκάρτ της μεθόδου των συντεταγμένων, η οποία ονομαζόταν αναλυτική γεωμετρία. Έτσι, ο όρος "συνθετική γεωμετρία" εισήχθη για να αναφερθεί στις παλαιότερες μεθόδους που ήταν, πριν από τον Ντεκάρτ, οι μόνες γνωστές.

Σύμφωνα με τον Φέλιξ Κλάιν

Συνθετική γεωμετρία είναι εκείνη που μελετά τα σχήματα ως έχουν, χωρίς να καταφεύγει σε τύπους, ενώ η αναλυτική γεωμετρία χρησιμοποιεί σταθερά τέτοιους τύπους που μπορούν να καταγραφούν μετά την υιοθέτηση ενός κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων.

Η πρώτη συστηματική προσέγγιση της συνθετικής γεωμετρίας είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Ωστόσο, στα τέλη του 19ου αιώνα φάνηκε ότι τα αξιώματα του Ευκλείδη δεν ήταν επαρκή για τον χαρακτηρισμό της γεωμετρίας. Το πρώτο πλήρες σύστημα αξιωμάτων για τη γεωμετρία δόθηκε μόλις στα τέλη του 19ου αιώνα από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Παράλληλα, φάνηκε ότι τόσο οι συνθετικές όσο και οι αναλυτικές μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την οικοδόμηση της γεωμετρίας. Το γεγονός ότι οι δύο προσεγγίσεις είναι ισοδύναμες αποδείχθηκε από τον Εμίλ Άρτιν στο βιβλίο του Γεωμετρική Άλγεβρα.

Εξαιτίας αυτής της ισοδυναμίας, η διάκριση μεταξύ συνθετικής και αναλυτικής γεωμετρίας δεν χρησιμοποιείται πλέον, παρά μόνο σε στοιχειώδες επίπεδο ή για γεωμετρίες που δεν σχετίζονται με κανενός είδους αριθμούς, όπως ορισμένες πεπερασμένες γεωμετρίες και η γεωμετρία που δεν είναι Ντεσαργκουέζικη.

Λογική σύνθεση

Η διαδικασία της λογικής σύνθεσης αρχίζει με ένα αυθαίρετο αλλά καθορισμένο σημείο εκκίνησης. Αυτό το σημείο εκκίνησης είναι η εισαγωγή αρχικών ή πρωταρχικών -εννοιών και αξιωμάτων σχετικά με αυτά τα πρωταρχικά:

Οι πρωταρχικές έννοιες είναι οι πιο στοιχειώδεις ιδέες. Σε γενικές γραμμές, περιλαμβάνουν τόσο αντικείμενα όσο και σχέσεις. Στη γεωμετρία, τα αντικείμενα είναι πράγματα όπως τα σημεία, οι γραμμές και τα επίπεδα, ενώ μια θεμελιώδης σχέση είναι αυτή της πρόσπτωσης - της συνάντησης ή της ένωσης ενός αντικειμένου με ένα άλλο. Οι ίδιοι οι όροι δεν ορίζονται. Ο Χίλμπερτ παρατήρησε κάποτε ότι αντί να μιλάμε για σημεία, γραμμές και επίπεδα, θα μπορούσαμε κάλλιστα να μιλάμε για τραπέζια, καρέκλες και κούπες μπύρας  , με την ιδέα ότι οι πρωταρχικοί όροι είναι απλώς κενοί χώροι και δεν έχουν εγγενείς ιδιότητες.
Τα αξιώματα είναι δηλώσεις σχετικά με αυτούς τους πρωταρχικούς όρους- για παράδειγμα, οποιαδήποτε δύο σημεία συναντώνται σε μία μόνο ευθεία (δηλαδή για οποιαδήποτε δύο σημεία, υπάρχει μόνο μία ευθεία που περνάει και από τα δύο). Τα αξιώματα θεωρούνται αληθή και δεν αποδεικνύονται. Αποτελούν τα βασικά στοιχεία των γεωμετρικών εννοιών, αφού προσδιορίζουν τις ιδιότητες των πρωταρχικών στοιχείων.

Από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, η σύνθεση προχωρά ως ένα προσεκτικά κατασκευασμένο λογικό επιχείρημα. Όταν ένα σημαντικό αποτέλεσμα αποδεικνύεται αυστηρά, μετατρέπεται σε θεώρημα.

Ιδιότητες των συνόλων στη συνθετική γεωμετρία 
Δεν υπάρχει σταθερό σύνολο αξιωμάτων για τη γεωμετρία, καθώς μπορούν να επιλεγούν διάφορα συνεπή σύνολα. Καθένα από αυτά τα σύνολα μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετική γεωμετρία, ενώ υπάρχουν επίσης παραδείγματα διαφορετικών συνόλων που δίνουν την ίδια γεωμετρία. Με αυτή την πληθώρα δυνατοτήτων, δεν είναι πλέον σκόπιμο να μιλάμε για "γεωμετρία" στον ενικό.

Ιστορικά, το παράλληλο αξίωμα του Ευκλείδη έχει αποδειχθεί ότι είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα. Η απλή αγνόησή του μας δίνει απόλυτη γεωμετρία, ενώ η άρνησή του μας δίνει υπερβολική γεωμετρία. Άλλα σύνολα συνεπών αξιωμάτων μπορούν να οδηγήσουν σε άλλες γεωμετρίες, όπως η προβολική, η ελλειπτική, η σφαιρική ή η συγγενής γεωμετρία.

Τα αξιώματα της συνέχειας και της αλληλεξάρτησης είναι επίσης προαιρετικά. Για παράδειγμα, μπορούν να δημιουργηθούν διακριτές γεωμετρίες με την εξάλειψη ή την τροποποίησή τους.

Σύμφωνα με το πρόγραμμα Ερλάνγκεν του Κλάιν, η φύση μιας δεδομένης γεωμετρίας μπορεί να θεωρηθεί ως ο σύνδεσμος μεταξύ της συμμετρίας και του περιεχομένου των προτάσεων, παρά ως το στυλ ανάπτυξης.

Ιστορία
Η αρχική αντιμετώπιση του Ευκλείδη παρέμεινε αδιαμφισβήτητη για πάνω από δύο χιλιάδες έτη, έως ότου οι ταυτόχρονες ανακαλύψεις των μη ευκλείδειων γεωμετριών από τους Γκάους, Μπολιάι, Λομπατσέφσκι και Ρίμαν τον 19ο αιώνα οδήγησαν τους μαθηματικούς να αμφισβητήσουν τις βασικές παραδοχές του Ευκλείδη.

Ένας από τους πρώτους Γάλλους αναλυτές συνόψισε τη συνθετική γεωμετρία ως εξής:

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αντιμετωπίζονται με τη συνθετική μέθοδο. Ο συγγραφέας αυτός, αφού έθεσε τα αξιώματα και διαμόρφωσε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις, καθιέρωσε τις προτάσεις που αποδεικνύει διαδοχικά στηριζόμενος στα προηγούμενα, προχωρώντας πάντα από το απλό στο σύνθετο, που είναι ο ουσιαστικός χαρακτήρας της σύνθεσης.

Το απόγειο της συνθετικής γεωμετρίας μπορεί να θεωρηθεί ότι ήταν ο δέκατος ένατος αιώνας, όταν οι αναλυτικές μέθοδοι που βασίζονται στις συντεταγμένες και στον λογισμό αγνοήθηκαν από ορισμένους γεωμέτρες, όπως ο Γιάκομπ Στάινερ, υπέρ μιας καθαρά συνθετικής ανάπτυξης της προβολικής γεωμετρίας. Για παράδειγμα, η αντιμετώπιση του προβολικού επιπέδου από τα αξιώματα της πρόσπτωσης είναι στην πραγματικότητα μια ευρύτερη θεωρία (με περισσότερα μοντέλα) από αυτή που προκύπτει ξεκινώντας από έναν διανυσματικό χώρο τριών διαστάσεων. Στην πραγματικότητα, η προβολική γεωμετρία έχει την απλούστερη και πιο κομψή συνθετική έκφραση από όλες τις γεωμετρίες.

Στο πρόγραμμα του Ερλάνγκεν, ο Φέλιξ Κλάιν ελαχιστοποίησε την ένταση μεταξύ συνθετικών και αναλυτικών μεθόδων:

Περί της αντιθέσεως μεταξύ της συνθετικής και της αναλυτικής μεθόδου στη σύγχρονη γεωμετρία:
Η διάκριση μεταξύ της σύγχρονης συνθετικής γεωμετρίας και της σύγχρονης αναλυτικής γεωμετρίας δεν πρέπει πλέον να θεωρείται ουσιώδης, εφόσον το αντικείμενο και οι μέθοδοι συλλογισμού έχουν σταδιακά λάβει παρόμοια μορφή και στις δύο. Ως εκ τούτου, επιλέγουμε τον όρο προβολική γεωμετρία ως την κοινή μας ονομασία στο κείμενο. Μολονότι η συνθετική μέθοδος έχει περισσότερο να κάνει με την αντίληψη του χώρου, και έτσι προσδίδει μια σπάνια γοητεία στις πρώιμες, απλές εξελίξεις της, ο τομέας της αντίληψης του χώρου δεν είναι κλειστός για την αναλυτική μέθοδο, και οι τύποι της αναλυτικής γεωμετρίας μπορούν να θεωρηθούν ως μια ακριβής και διορατική δήλωση των γεωμετρικών σχέσεων. Από την άλλη πλευρά, δεν πρέπει να υποτιμούμε το πλεονέκτημα μιας καλά διατυπωμένης ανάλυσης για την πρωτότυπη έρευνα, πλεονέκτημα που οφείλεται στο γεγονός ότι προλαβαίνει, τρόπον τινά, τη σκέψη. Πρέπει όμως πάντα να τονίζεται ότι ένα μαθηματικό θέμα δεν πρέπει να θεωρείται εξαντλημένο μέχρι να γίνει διαισθητικά προφανές και ότι η πρόοδος που επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της ανάλυσης είναι μόνο ένα πρώτο βήμα, αν και πολύ σημαντικό.

Η εις βάθος αξιωματική μελέτη της Ευκλείδειας γεωμετρίας οδήγησε στην κατασκευή του τετραπλεύρου Λαμπέρ και του τετραπλεύρου Σακκέρι. Οι κατασκευές αυτές εισήγαγαν το πεδίο της μη ευκλείδειας γεωμετρίας, όπου το αξίωμα της παραλληλίας του Ευκλείδη απορρίπτεται. Οι Γκάους, Μπολιάι και Λομπατσέφσκι κατασκεύασαν ανεξάρτητα την υπερβολική γεωμετρία, όπου οι παράλληλες γραμμές έχουν γωνία παραλληλίας που εξαρτάται από την απόσταση μεταξύ τους. Η μελέτη αυτή έγινε ευρέως προσιτή χάρη στο μοντέλο δίσκου του Πουανκαρέ, στο οποίο οι κινήσεις δίνονται από μετασχηματισμούς Μέμπιους. Ομοίως, ο Ρίμαν, μαθητής του Γκάους, κατασκεύασε τη γεωμετρία του Ρίμαν, της οποίας η ελλειπτική γεωμετρία αποτελεί ειδική περίπτωση.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η αντίστροφη γεωμετρία που πρότεινε ο Λούντβιχ Ιμάνουελ Μάγκνους, η οποία μπορεί να θεωρηθεί συνθετική στο πνεύμα. Η στενά συνδεδεμένη πράξη της αμοιβαιότητας εκφράζει την ανάλυση του επιπέδου.

Ο Καρλ φον Στάουντ έδειξε ότι τα αλγεβρικά αξιώματα, όπως η αντιμεταθετικότητα και η συναρτησιακότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ήταν στην πραγματικότητα συνέπειες της σύμπτωσης των γραμμών σε γεωμετρικά σχήματα. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ έδειξε ότι η διαμόρφωση Ντεσάργκ έπαιζε έναν ιδιαίτερο ρόλο. Άλλες εργασίες πραγματοποιήθηκαν από τη Ρουθ Μουφάνγκ και τους μαθητές της. Αυτές οι έννοιες αποτέλεσαν ένα από τα κίνητρα πίσω από τη γεωμετρία της πρόσπτωσης.

Αν και απρόθυμα, οι γεωμέτρες πρέπει να παραδεχτούν ότι η ομορφιά της συνθετικής γεωμετρίας έχει χάσει την ελκυστικότητά της στη νέα γενιά. Οι λόγοι είναι σαφείς: σχετικά πρόσφατα, η συνθετική γεωμετρία ήταν ο μόνος τομέας στον οποίο η συλλογιστική προχωρούσε αυστηρά από τα αξιώματα, ενώ αυτή η έλξη - τόσο θεμελιώδης για πολλούς ανθρώπους που ενδιαφέρονται για τα μαθηματικά - ασκείται πλέον από πολλούς άλλους τομείς[5].

Παραδείγματος χάριν, οι πανεπιστημιακές σπουδές περιλαμβάνουν πλέον τη γραμμική άλγεβρα, την τοπολογία και τη θεωρία γραφημάτων, όπου το αντικείμενο αναπτύσσεται από τις πρώτες αρχές και οι προτάσεις συνάγονται με στοιχειώδεις αποδείξεις. Η προσδοκία ότι η συνθετική γεωμετρία θα αντικατασταθεί από την αναλυτική γεωμετρία οδηγεί σε απώλεια του γεωμετρικού περιεχομένου .

Ο σημερινός φοιτητής της γεωμετρίας έχει άλλα αξιώματα από αυτά του Ευκλείδη: βλέπε τα αξιώματα του Hilbert και τα αξιώματα του Τάρσκι.

Ο Ερνστ Κότερ δημοσίευσε μια (γερμανική) έκθεση το 1901 με θέμα "Η ανάπτυξη της συνθετικής γεωμετρίας από τον Monge στον Στάουντ (1847)".

Αποδείξεις με συνθετική γεωμετρία
Οι συνθετικές αποδείξεις γεωμετρικών θεωρημάτων χρησιμοποιούν βοηθητικές κατασκευές (όπως βοηθητικές γραμμές) και έννοιες όπως η ισότητα πλευρών ή γωνιών και η ομοιότητα και η σύγκλιση τριγώνων. Παραδείγματα τέτοιων αποδείξεων υπάρχουν στα άρθρα θεώρημα της πεταλούδας, θεώρημα διχοτόμου, πρώτο θεώρημα διαμέσων, θεώρημα της Βρετανικής σημαίας, θεώρημα του Τσέβα, θεώρημα των ίσων εγγεγραμμένων κύκλων, θεώρημα του γεωμετρικού μέσου, Τύπος του Ήρωνα, θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου, νόμος συνημίτονων και άλλα.

Δημοσιεύσεις 
 Lehmann E.L. (1992) "Introduction to Neyman and Pearson (1933) On the Problem of the Most Efficient Tests of Statistical Hypotheses". In: Breakthroughs in Statistics, Volume 1, (Eds Kotz, S., Johnson, N.L.), Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5 (followed by reprinting of the paper)

Παραπομπές

Περιοχές των μαθηματικών
Αναλογιστική επιστήμη
Φιλοσοφία των μαθηματικών
Ιστορία των Μαθηματικών