Σέκι Τακακάζου

Ο Σέκι Τακακάζου (関 孝和, περίπου Μάρτιος 1642 - 5 Δεκεμβρίου 1708),  επίσης γνωστός ως Σέκι Κόουα (関 孝和),ήταν Ιάπωνας μαθηματικός και συγγραφέας της περιόδου Έντο.

Ο Σέκι έθεσε τις βάσεις για τη μετέπειτα ανάπτυξη των ιαπωνικών μαθηματικών, τα οποία είναι γνωστά ως wasan. Χαρακτηρίστηκε ως "ο Νεύτωνας της Ιαπωνίας".

Δημιούργησε ένα νέο σύστημα αλγεβρικής σημειογραφίας και, παρακινούμενος από αστρονομικούς υπολογισμούς, ασχολήθηκε με τον απειροστικό λογισμό και τις διοφαντικές εξισώσεις. Αν και ήταν σύγχρονος του Γερμανού πολυμαθούς μαθηματικού και φιλοσόφου Γκότφριντ Λάιμπνιτς και του Βρετανού πολυμαθούς φυσικού και μαθηματικού Ισαάκ Νεύτωνα, το έργο του Σέκι ήταν ανεξάρτητο. Οι διάδοχοί του ανέπτυξαν μια σχολή που κυριάρχησε στα ιαπωνικά μαθηματικά μέχρι το τέλος της περιόδου Έντο.

Παρόλο που δεν είναι σαφές σε ποιο βαθμό τα επιτεύγματα wasan είναι του Σέκι, καθώς πολλά από αυτά εμφανίζονται μόνο στα γραπτά των μαθητών του, ορισμένα αποτελέσματα είναι παράλληλα ή προβλέπουν εκείνα που ανακαλύφθηκαν στην Ευρώπη. Για παράδειγμα, του αποδίδεται η ανακάλυψη των αριθμών του Μπερνούλι. Του αποδίδονται η προκύπτουσα και ο προσδιοριστής (ο πρώτος το 1683, η πλήρης εκδοχή το αργότερο το 1710).

Βιογραφία
Λίγα είναι γνωστά για την ιδιωτική ζωή του Σέκι. Ο τόπος γέννησής του αναφέρεται είτε ως Fujioka στο νομό Gunma είτε ως Εντό. Η ημερομηνία γέννησής του είναι μεταξύ 1635 και 1643.

Γεννήθηκε στη φατρία Ουτσιγιάμα, υπήκοος του Κο-σου Χαν, και υιοθετήθηκε από την οικογένεια Σέκι, υπήκοο του σογκούν. Ενώ βρισκόταν στο Ko-shu han, συμμετείχε σε ένα τοπογραφικό έργο για την παραγωγή ενός αξιόπιστου χάρτη των εδαφών του εργοδότη του. Πέρασε πολλά χρόνια μελετώντας κινεζικά ημερολόγια του 13ου αιώνα για να αντικαταστήσει το λιγότερο ακριβές που χρησιμοποιούσαν στην Ιαπωνία εκείνη την εποχή.

Σταδιοδρομία

Κινεζικές μαθηματικές ρίζες

Τα μαθηματικά του (και το wasan στο σύνολό του) βασίστηκαν σε μαθηματικές γνώσεις που συσσωρεύτηκαν μεταξύ του 13ου και του 15ου αιώνα. Το έργο αυτό επικεντρώθηκε στην άλγεβρα με αριθμητικές μεθόδους, στην πολυωνυμική παρεμβολή και τις εφαρμογές της, καθώς και στις εξισώσεις με απροσδιόριστους ακέραιους αριθμούς. Το έργο του Σέκι βασίζεται λίγο-πολύ σε αυτές τις γνωστές μεθόδους και σχετίζεται με αυτές.

Οι Κινέζοι αλγεβριστές ανακάλυψαν την αριθμητική αξιολόγηση (μέθοδος Χόρνερ, η οποία επανιδρύθηκε από τον Γουίλιαμ Τζορτζ Χόρνερ τον 19ο αιώνα) αλγεβρικών εξισώσεων αυθαίρετου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, υποβάθμισαν συστηματικά τα γεωμετρικά προβλήματα της άλγεβρας. Ωστόσο, ο αριθμός των αγνώστων σε μια εξίσωση ήταν αρκετά περιορισμένος. Χρησιμοποίησαν τη σημειογραφία ενός πίνακα αριθμών για να αναπαραστήσουν έναν τύπο- για παράδειγμα,  for .

Αργότερα, ανέπτυξαν μια μέθοδο που χρησιμοποιούσε δισδιάστατους πίνακες, αναπαριστώντας το πολύ τέσσερις μεταβλητές, αλλά το πεδίο εφαρμογής αυτής της μεθόδου ήταν περιορισμένο. Κατά συνέπεια, ο Σέκι και οι Ιάπωνες σύγχρονοί του στόχευσαν στην ανάπτυξη γενικών αλγεβρικών εξισώσεων με πολλές μεταβλητές και στη θεωρία της απαλοιφής.

Στην κινεζική προσέγγιση της πολυωνυμικής παρεμβολής, το κίνητρο ήταν η πρόβλεψη της κίνησης των ουράνιων σωμάτων από τα παρατηρούμενα δεδομένα. Η μέθοδος εφαρμόστηκε επίσης για την εύρεση διαφόρων μαθηματικών τύπων. Ο Σέκι πιθανώς έμαθε αυτή την τεχνική εξετάζοντας προσεκτικά τα κινεζικά ημερολόγια.

Ανταγωνισμός από τους συγχρόνους

Το 1671, ο Σαγουαγκούτσι Καζουγιούκι (沢口 一之), μαθητής του Χασιμότο Μασακάζου (橋本 正数) στην Οσάκα, δημοσίευσε το Kokon Sanpō Ki (古今算法記), στο οποίο έδωσε την πρώτη πλήρη έκθεση της κινεζικής άλγεβρας στην Ιαπωνία. Την εφάρμοσε με επιτυχία σε προβλήματα που πρότειναν οι σύγχρονοί του. Πριν από αυτόν, τα προβλήματα αυτά είχαν επιλυθεί με αριθμητικές μεθόδους. Στο τέλος του βιβλίου, προκαλεί άλλους μαθηματικούς με 15 νέα προβλήματα που απαιτούν αλγεβρικές εξισώσεις με πολλές μεταβλητές.

Το 1674, ο Σέκι δημοσίευσε το Hatsubi Sanpō (発微算法), δίνοντας λύσεις και στα 15 προβλήματα. Η μέθοδος που χρησιμοποίησε ονομάζεται bōsho-hō. Εισήγαγε τη χρήση των kanji για την αναπαράσταση των αγνώστων και των μεταβλητών στις εξισώσεις. Αν και ήταν δυνατή η αναπαράσταση εξισώσεων αυθαίρετου βαθμού (κάποτε ασχολήθηκε με τον 1458ο βαθμό) με αρνητικούς συντελεστές, δεν υπήρχαν σύμβολα που να αντιστοιχούν σε παρενθέσεις, ισότητα ή διαίρεση. Για παράδειγμα,   θα μπορούσε επίσης να σημαίνει .  Αργότερα, το σύστημα βελτιώθηκε από άλλους μαθηματικούς και τελικά έγινε τόσο εκφραστικό όσο και εκείνα που αναπτύχθηκαν στην Ευρώπη.
Μια σελίδα από το Katsuyō Sanpō του Σέκι (1712), που εισάγει τους διωνυμικούς συντελεστές και τους αριθμούς Μπερνούλι.

Στο βιβλίο του 1674, ο Σέκι παραθέτει μόνο μονομεταβλητές εξισώσεις που προκύπτουν από την απαλοιφή, αλλά καμία περιγραφή της διαδικασίας, ούτε του νέου του συστήματος αλγεβρικών συμβόλων. Η πρώτη έκδοση περιείχε ορισμένα λάθη. Ένας μαθηματικός της σχολής Χασιμότο επέκρινε το έργο, λέγοντας ότι "μόνο τρεις από τις 15 είναι σωστές". Το 1678, ο Τανάκα Γιοσιζάνε (田中 由真), που ανήκε στη σχολή Χασιμότο και δραστηριοποιούνταν στο Κιότο, ήταν ο συγγραφέας του Sanpō Meiki (算法明記) και έδωσε νέες λύσεις στα 15 προβλήματα του Σαβαγκούτσι, χρησιμοποιώντας τη δική του εκδοχή της πολυμεταβλητής άλγεβρας, παρόμοια με αυτή του Σέκι. Σε απάντηση στην κριτική, ο Takebe Katahiro (建部 賢弘), ένας από τους μαθητές του Σέκι, δημοσίευσε το Hatsubi Sanpō Genkai (発微算法諺解), σημειώσεις για το Χάτσουμπι Σάνπο, το 1685, στο οποίο έδειξε λεπτομερώς τη διαδικασία της απαλοιφής χρησιμοποιώντας αλγεβρικά σύμβολα.

Η επίδραση της εισαγωγής του νέου συμβολισμού δεν περιορίστηκε στην άλγεβρα. Έδωσε τη δυνατότητα στους μαθηματικούς της εποχής να εκφράζουν μαθηματικά αποτελέσματα με πιο γενικό και αφηρημένο τρόπο. Επικεντρώθηκαν στη μελέτη της απαλοιφής των μεταβλητών.

θεωρία της απαλοιφής

Το 1683, ο Σέκι προχώρησε ένα βήμα παραπέρα τη θεωρία της απαλοιφής, βασισμένη στα αποτελέσματα, στο έργο Kaifukudai no Hō (解伏題之法). Για να διατυπώσει το αποτέλεσμα, ανέπτυξε την έννοια του προσδιοριστή. [Ενώ στο χειρόγραφό του ο τύπος για πίνακες 5×5 είναι προφανώς λανθασμένος, καθώς είναι πάντα 0, στη μεταγενέστερη έκδοσή του, Taisei Sankei (大成算経), που γράφτηκε το 1683-1710 με τον Καταχίρο Τακέμπε (建部 賢弘) και τους αδελφούς του, εμφανίζεται ένας σωστός και γενικός τύπος (ο τύπος του Λαπλάς για τον προσδιοριστή).

Ο Τανάκα είχε την ίδια ιδέα ανεξάρτητα. Μια ένδειξη εμφανίστηκε στο βιβλίο του το 1678: ορισμένες εξισώσεις μετά την απαλοιφή ταυτίζονται με την προκύπτουσα. Στο έργο του Sanpō Funkai (算法紛解) (1690;), περιγράφει ρητά την προκύπτουσα και την εφαρμόζει σε διάφορα προβλήματα. Το 1690, ο Izeki Tomotoki (井関 知辰), ένας μαθηματικός που δραστηριοποιούνταν στην Οσάκα αλλά δεν ανήκε στη σχολή Χασιμότο, δημοσίευσε το έργο Sanpō Hakki (算法発揮), στο οποίο δίνει το αποτέλεσμα και τον τύπο του Λαπλάς για τον προσδιοριστή για την περίπτωση n×n. Η σχέση μεταξύ αυτών των έργων δεν είναι σαφής. Ο Σέκι ανέπτυξε τα μαθηματικά του σε ανταγωνισμό με τους μαθηματικούς της Οσάκα και του Κιότο, του πολιτιστικού κέντρου της Ιαπωνίας.

Σε σύγκριση με τα ευρωπαϊκά μαθηματικά, το πρώτο χειρόγραφο του Σέκι ήταν τόσο παλιό όσο και το πρώτο σχόλιο του Λάιμπνιτς για το θέμα, το οποίο ασχολήθηκε μόνο με πίνακες μέχρι την περίπτωση 3x3. Το θέμα αυτό ξεχάστηκε στη Δύση μέχρι που ο Γκαμπριέλ Κράμερ, το 1750, οδηγήθηκε σε αυτό από τα ίδια κίνητρα. Η θεωρία της απαλοιφής που ισοδυναμεί με τη μορφή wasan ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον Ετιέν Μπεζού το 1764. Ο τύπος του Λαπλάς καθιερώθηκε το νωρίτερο το 1750.

Με τη θεωρία της απαλοιφής στη διάθεσή μας, ένα μεγάλο μέρος των προβλημάτων που εξετάστηκαν στην εποχή του Σέκι κατέστη κατ' αρχήν επιλύσιμο, δεδομένης της κινεζικής παράδοσης μιας γεωμετρίας που περιορίζεται σχεδόν στην άλγεβρα. Στην πράξη, ωστόσο, η μέθοδος βυθίστηκε κάτω από μια τεράστια πολυπλοκότητα υπολογισμών. Ωστόσο, η θεωρία αυτή είχε σημαντική επίδραση στην κατεύθυνση της ανάπτυξης του wasan. Αφού ολοκληρωθεί η απαλοιφή, το επόμενο βήμα είναι η αριθμητική εύρεση των πραγματικών ριζών μιας εξίσωσης μιας μεταβλητής. Η μέθοδος ου Χόρνερ, αν και ήταν γνωστή στην Κίνα, δεν μεταδόθηκε στην Ιαπωνία στην οριστική της μορφή. Ως εκ τούτου, ο Σέκι έπρεπε να την αναπτύξει ανεξάρτητα. Μερικές φορές του αποδίδεται η Μέθοδος του Χόρνερ, κάτι που δεν είναι ιστορικά ορθό. Πρότεινε επίσης μια βελτίωση της μεθόδου Χόρνερ: την παράλειψη όρων υψηλότερης τάξης μετά από μερικές επαναλήψεις. Αυτό είναι το ίδιο με τη μέθοδο Νεύτων - Ράφσον, αλλά από μια εντελώς διαφορετική οπτική γωνία. Ούτε ο ίδιος ούτε οι μαθητές του είχαν, αυστηρά μιλώντας, την ιδέα των παραγώγων.

Ο Σέκι μελέτησε επίσης τις ιδιότητες των αλγεβρικών εξισώσεων για να διευκολύνει την αριθμητική επίλυσή τους. Οι πιο αξιοσημείωτες από αυτές είναι οι συνθήκες για την ύπαρξη πολλαπλών ριζών με βάση τη διακριτική, η οποία είναι το αποτέλεσμα ενός πολυωνύμου και της "παραγώγου" του: Ο πρακτικός ορισμός του για την "παράγωγο" ήταν ο όρος O(h) στο f(x + h), ο οποίος υπολογιζόταν με το διωνυμικό θεώρημα.

Πέτυχε ορισμένες εκτιμήσεις για τον αριθμό των πραγματικών ριζών μιας πολυωνυμικής εξίσωσης.

Υπολογισμός του π
Μια άλλη συνεισφορά του Σέκι ήταν η διόρθωση του κύκλου, δηλαδή ο υπολογισμός του π. Κατέληξε σε μια σωστή τιμή του π με ακρίβεια δέκατου δεκαδικού ψηφίου, χρησιμοποιώντας αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως μέθοδος του τετραγώνου δέλτα του Άιτκεν, η οποία ανακαλύφθηκε ξανά τον 20ό αιώνα από τον Αλεξάντερ Άιτκεν.

Δημοσιεύσεις
Σε μια στατιστική επισκόπηση που προέρχεται από κείμενα από και για τον Σέκι Τακακάζου, το OCLC WorldCat περιλαμβάνει περίπου 50+ έργα σε 50+ εκδόσεις σε τρεις γλώσσες και 100+ βιβλιοθήκες. 

 1683 – Kenpu no Hō 驗符之法 OCLC 045626660
 1712 – Katsuyō Sanpō 括要算法 OCLC 049703813
 Seki Takakazu Zenshū'' 關孝和全集  OCLC 006343391, συγκεντρωμένα έργα

Παραπομπές

Μαθηματικοί αναλυτές
Ιάπωνες μαθηματικοί
Μαθηματικοί του 17ου αιώνα