Θεώρημα Καρνό (κάθετοι)

Στη γεωμετρία, το θεώρημα Καρνό (αναφέρεται και ως θεώρημα Carnot) είναι μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου. 

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο  και τα σημεία  οι τομές των τριών καθέτων με τις πλευρές του τριγώνου. Τότε, οι κάθετε συντρέχουν ανν

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λαζάρ Καρνό και είναι μία γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη

Ευθύ 
Έστω ένα σημείο  και οι προβολές του  επί των πλευρών του τριγώνου . Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα ,  και , έχουμε ότι 

χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα ,  και .

Αντίστροφο 
Για το αντίστροφο, έστω  τρεις κάθετες στα σημεία  των πλευρών ενός τριγώνου που ικανοποιούν 

Επίσης, θεωρούμε  το σημείο τομής των  και . 

Θεωρούμε  την προβολή του  στο . Θα δείξουμε ότι . Από το ευθύ του θεωρήματος, έχουμε ότι ικανοποιεί 

Συνδυάζοντας τις () και (), έχουμε ότι 

Χρησιμοποιώντας ότι  και , λαμβάνουμε ότι

και συνεπώς τα σημεία  και  ταυτίζονται.

Δείτε επίσης 
 Πυθαγόρειο θεώρημα
 Θεώρημα του Μενελάου
 Θεώρημα του Τσέβα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Θεώρημα Καρνό
 Θεώρημα Καρνό: Αποδείξεις και εφαρμογές

Παραπομπές 

Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Τρίγωνα