Συζυγής πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο συζυγής πίνακας ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα  διαστάσεων , ο συζυγής του είναι ο πίνακας  διαστάσεων  με  για κάθε  και . Δηλαδή,

Για παράδειγμα, ο συζυγής του  είναι ο .

Παραδείγματα 

 Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους:

 Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα  είναι ο ίδιος ο πίνακας , δηλαδή . Για παράδειγμα, για τον μηδενικό πίνακα  και τον ταυτοτικό πίνακα , ισχύει  και .
 Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα  είναι ο αντίθετός του , δηλαδή . Για παράδειγμα,

Ιδιότητες 

 Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων  και  είναι το άθροισμα των συζυγών, .

Έστω δύο μιγαδικοί πίνακες  και  διαστάσεων . Τότε για κάθε  και , ισχύει ότι
.

 Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα  με έναν μιγαδικό αριθμό , .

Έστω ένας μιγαδικός πίνακας  διαστάσεων . Τότε για κάθε  και , ισχύει ότι
.
Επομένως, .

 Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων  και  είναι το γινόμενο των συζυγών, .

Έστω  ένας μιγαδικός πίνακας διαστάσεων  και  διαστάσεων . Τότε για κάθε  και , ισχύει ότι
.

 Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας, .

Έστω ένας μιγαδικός πίνακας  διαστάσεων . Τότε για κάθε  και , ισχύει ότι

 Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή, .

Έστω ένας μιγαδικός πίνακας  διαστάσεων . Τότε για κάθε  και , ισχύει ότι
.
Επομένως, .

 Το ίχνος του συζυγή ενός πίνακα είναι .

Έστω ένας μιγαδικός τετραγωνικός πίνακας . Τότε, από την ιδιότητα των συζυγών μιγαδικών αριθμών , έχουμε ότι
.

 Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή, .

Έστω ένας αντιστρέψιμος μιγαδικός πίνακας  και ο αντίστροφός του , δηλαδή  για τον ταυτοτικό πίνακα . Παίρνοντας τον συζυγή και στα δύο μέλη και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του γινομένου και ότι , έχουμε ότι

Επομένως, εξ'ορισμού ο  είναι ο αντίστροφος του , δηλαδή .

 Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή .

Από τον τύπο του Leibniz,
,
χρησιμοποιώντας ότι ο συζυγής του γινομένου (αθροίσματος) μιγαδικών αριθμών είναι το γινόμενο (άθροισμα) των συζυγών μιγαδικών αριθμών.

Δείτε επίσης 

 Συζυγής μιγαδικός αριθμός
 Συζυγής ανάστροφος πίνακας

Παραπομπές 

Γραμμική άλγεβρα