Θεώρημα Μπεζού (πολυώνυμα)

Στην άλγεβρα, το θεώρημα Μπεζού για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο 
Έστω το πολυώνυμο  και . Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του  με το  είναι .

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι 

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με .

Παράδειγμα 2ο 
Έστω το πολυώνυμο  και . Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του  με το  είναι .

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι 

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με .

Παράδειγμα 3ο 

Έστω το πολυώνυμο . Τότε, από τις ιδιότητες της παραγοντοποίησης έχουμε ότι

και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το  είναι μηδέν (που είναι ίσο με ).

Αποδείξεις

Με Θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων 
Το θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα  και  υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα  και  με , τέτοια ώστε

Επομένως, όταν το , τότε έχουμε ότι

Για , λαμβάνουμε ότι .

Με ταυτότητα διαφοράς δυνάμεων 

Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε  και , 
.
και θα γράψουμε . Επομένως, 

Επομένως, 

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι .

Συνέπειες 
Το παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι  ανν το  είναι ρίζα.

Δείτε επίσης 
 Πολυώνυμο
 Θεώρημα διαίρεσης για πολυώνυμα

Παραπομπές 

Μπεζου θεωρημα