Θεώρημα Βιβιάνι

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βιβιάνι (αναφέρεται και ως θεώρημα Viviani) λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο  και για  ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι 
,
όπου  οι αποστάσεις του  από τις πλευρές του τριγώνου και  το ύψος του τριγώνου.

Απόδειξη 

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου:

Χωρίζοντας το αρχικό τρίγωνο στα τρίγωνα , έχουμε ότι 

Επομένως, αν  είναι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε

Απλοποιώντας το , καταλήγουμε στην ζητούμενη έκφραση 
.

Επεκτάσεις

Για ισοσκελές τρίγωνο 

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο  με  και ένα τυχόν σημείο  της . Αν  και  είναι οι αποστάσεις του  από τις  και , και  το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή , τότε
.

Απόδειξη: Χωρίζοντας το τρίγωνο  στα τρίγωνα  και , έχουμε ότι 
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι 
.
Απλοποιώντας το , λαμβάνουμε ότι 
.

Για εξωτερικό σημείο 

Το θεώρημα Βιβιάνι αφορά τα σημεία  που είναι εσωτερικά του τριγώνου . Όταν το  είναι εξωτερικό σημείο προς την πλευρά , τότε ο τύπος αλλάζει σε  

Απόδειξη: Θεωρούμε τα τρίγωνα  και . Τότε, 
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου, έχουμε ότι 
.
Απλοποιώντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.

Για κανονικά πολύγωνα  

Έστω ένα κανονικό πολύγωνο  και ένα εσωτερικό του σημείο . Αν  η απόσταση του περίκεντρου από τις πλευρές και  οι αποστάσεις του  από τις πλευρές , τότε ισχύει ότι 

(Απόδειξη): Θεωρούμε τα τρίγωνα . Το εμβαδό του πολυγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδόν των τριγώνων, άρα

Αντίστοιχα, για το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου, οι αποστάσεις προς κάθε μία από τις πλευρές είναι . Επομένως, το εμβαδόν του πολυγώνου δίνεται από τον τύπο 

Εξισώνοντας του τύπους για το εμβαδόν έχουμε ότι 

ολοκληρώνοντας την απόδειξη.

Περαιτέρω ανάγνωση

Δείτε επίσης 
 Ισόπλευρο τρίγωνο
 Κανονικό πολύγωνο

Παραπομπές 

Γεωμετρία
Τρίγωνα