Ανισότητα Ποποβίτσιου για τη Διακύμανση

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Ποποβίτσιου (αναφέρεται και ως ανισότητα Popoviciu) αφορά μία οποιαδήποτε πραγματική τυχαία μεταβλητή  η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα , και λέει ότι η διακύμανσή της  φράζεται ως
.

Απόδειξη

Έστω  η αναμενόμενη τιμή της . Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή  η οποία έχει  και .

Επίσης, ισχύει ότι η  είναι φραγμένη ως εξής . Επομένως,  και  και συνεπώς
.
Επεκτείνοντας το δεξί μέλος, από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι 
.
Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για δύο μεταβλητές  δίνει ότι
.
Για  και , λαμβάνουμε ότι
.
Συνδυάζοντας με την (), έχουμε την ζητούμενη ανισότητα
.

Ισότητα
Η ανισότητα ισχύει για ισότητα όταν .

Η διακύμανση δίνεται από τον τύπο

Παραλλαγές
Η ανισότητα αυτή αναφέρεται στην εργασία του Τιβέριου Ποποβίτσιου το 1935. Έκτοτε διάφορες παραλλαγές και γενικεύσεις έχουν παρουσιαστεί.

Η εργασία του Γκραςς δίνει την εξής γενίκευση για δύο τυχαίες μεταβλητές  και ,

όπου  είναι η συνδιακύμανση των  και . Για , λαμβάνουμε την ανισότητα Ποποβίτσιου.

Ο Μπάτια και ο Ντέιβις παρουσίασαν την εξής γενίκευση
,
η οποία προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.

Παραπομπές

Θεωρία πιθανοτήτων
Ανισότητες