Εικασία Γεωμετρικοποίησης του Θέρστον

Στα μαθηματικά, η εικασία της γεωμετρικοποίησης του Θέρστον δηλώνει ότι κάθε ένας από ορισμένους τρισδιάστατους τοπολογικούς χώρους έχει μια μοναδική γεωμετρική δομή που μπορεί να συσχετιστεί με αυτόν. Πρόκειται για ένα ανάλογο του θεωρήματος ομογενοποίησης για δισδιάστατες επιφάνειες, το οποίο δηλώνει ότι σε κάθε απλά συνδεδεμένη επιφάνεια Ρίμαν μπορεί να αποδοθεί μία από τις τρεις γεωμετρίες (ευκλείδεια, σφαιρική ή υπερβολική). Στις τρεις διαστάσεις, δεν είναι πάντα δυνατό να αποδοθεί μια μοναδική γεωμετρία σε έναν ολόκληρο τοπολογικό χώρο. Η εικασία της γεωμετρικοποίησης δηλώνει ότι κάθε κλειστό 3-μεσοδιάστημα μπορεί να αναλυθεί κανονικά σε κομμάτια που το καθένα έχει έναν από τους οκτώ τύπους γεωμετρικής δομής. Η εικασία αυτή προτάθηκε από τον Γουίλιαμ Θέρστον (1982) και περιλαμβάνει διάφορες άλλες εικασίες, όπως η εικασία του Πουανκαρέ και η εικασία της ελλειψοποίησης του Θέρστον.

Το θεώρημα υπερβολισμού του Θέρστον συνεπάγεται ότι οι πολλαπλές Χάκεν ικανοποιούν την εικασία της γεωμετρικοποίησης. Ο Θέρστον ανακοίνωσε μια απόδειξη στη δεκαετία του 1980 και, έκτοτε, έχουν δημοσιευθεί αρκετές πλήρεις αποδείξεις.

Ο Γκρίγκορι Πέρελμαν ανακοίνωσε μια απόδειξη της πλήρους εικασίας γεωμετρικοποίησης το 2003 χρησιμοποιώντας τη ροή Ricci με χειρουργική μέθοδο σε δύο έγγραφα που δημοσιεύτηκαν στον διακομιστή προδημοσίευσης arxiv.org. Τα έγγραφα του  Περελμάν έχουν μελετηθεί από διάφορες ανεξάρτητες ομάδες που έχουν δημιουργήσει βιβλία και διαδικτυακά χειρόγραφα που περιγράφουν λεπτομερώς όλα τα επιχειρήματά του. Η επαλήθευση είχε σχεδόν ολοκληρωθεί εγκαίρως ώστε ο Περελμάν να λάβει το μετάλλιο Φιλντς του 2006 για το έργο του και, το 2010, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay του απένειμε το βραβείο του ύψους 1 εκατομμυρίου δολαρίων για την επίλυση της εικασίας Πουανκαρέ, αν και ο Περελμάν  αρνήθηκε να δεχτεί οποιοδήποτε από τα δύο βραβεία.

Η εικασία Πουανκαρέ και η εικασία της σφαιρικής μορφής του χώρου είναι επακόλουθα της εικασίας της γεωμετρίας, αν και υπάρχουν συντομότερες αποδείξεις της πρώτης που δεν οδηγούν στην εικασία της γεωμετρίας.

Η εικασία
Μια 3-πολλαπλότητα λέγεται κλειστή αν είναι συμπαγής και δεν έχει όρια.

Κάθε κλειστή 3-πολλαπλότητα έχει μια πρωταρχική αποσύνθεση: αυτό σημαίνει ότι είναι το συνδεδεμένο άθροισμα πρωταρχικών 3-πολλαπλότητας (αυτή η αποσύνθεση είναι ουσιαστικά μοναδική, εκτός από ένα μικρό πρόβλημα στην περίπτωση των μη προσανατολισμένων πολλαπλών). Με τον τρόπο αυτό, ένα μεγάλο μέρος της μελέτης των 3-πολλαπλότητων περιορίζεται στην περίπτωση των πρώτων 3-πολλαπλότητων: εκείνων που δεν μπορούν να γραφούν με τη μορφή ενός μη τετριμμένου συνδεδεμένου αθροίσματος.

Ακολουθεί μια δήλωση της εικασίας του Θέρστον:

Οποιαδήποτε κλειστή προσανατολισμένη πρωτεύουσα 3-πολλαπλότητα μπορεί να κοπεί κατά μήκος τοροειδών, έτσι ώστε το εσωτερικό καθεμιάς από τις προκύπτουσες πολλαπλότητες να έχει μια γεωμετρική δομή με πεπερασμένο όγκο.

Υπάρχουν 8 πιθανές γεωμετρικές δομές σε 3 διαστάσεις, οι οποίες περιγράφονται στην επόμενη ενότητα. Υπάρχει ένας μοναδικός και ελάχιστος τρόπος να τεμαχίσουμε μια μη αναγώγιμη προσανατολισμένη 3-πολλαπλότητα κατά μήκος του τόρου σε κομμάτια που είναι Seifert ή ατοροειδείς πολλαπλότητες, που ονομάζεται JSJ αποσύνθεση, η οποία δεν είναι ακριβώς ίδια με την αποσύνθεση της εικασίας της γεωμετρίας, επειδή μερικά από τα κομμάτια της JSJ αποσύνθεσης μπορεί να μην έχουν γεωμετρικές δομές πεπερασμένου όγκου. (Παραδείγματος χάριν, ο τόρος απεικόνισης ενός χάρτη Ανόσοφ ενός τόρου έχει μια επιλύσιμη δομή πεπερασμένου όγκου, αλλά η JSJ αποσύνθεσή του τον κόβει κατά μήκος ενός τόρου για να παράγει ένα γινόμενο ενός τόρου και ενός μοναδιαίου διαστήματος, και το εσωτερικό αυτού δεν έχει γεωμετρική δομή πεπερασμένου όγκου).

Για μη προσανατολισμένες πολλαπλότητες, ο απλούστερος τρόπος να διατυπώσουμε μια εικασία γεωμετρίας είναι να πάρουμε πρώτα το προσανατολισμένο διπλό κάλυμμα. Είναι επίσης δυνατό να εργαστούμε απευθείας με μη προσανατολισμένες πολλαπλότητες, αλλά αυτό συνεπάγεται πρόσθετες επιπλοκές: μπορεί να χρειαστεί να κόψουμε κατά μήκος προβολικών επιπέδων και φιαλών Klein καθώς και σφαιρών και τοροειδών, και οι πολλαπλότητες των οποίων η συνοριακή συνιστώσα είναι ένα προβολικό επίπεδο δεν έχουν γενικά καμία γεωμετρική δομή.

Στις 2 διαστάσεις, η ανάλογη δήλωση λέει ότι οποιαδήποτε (μη οριοθετημένη) επιφάνεια έχει γεωμετρική δομή που αποτελείται από μια μετρική σταθερής καμπυλότητας- δεν χρειάζεται να κόψουμε πρώτα την πολλαπλότητα.

Οι οκτώ γεωμετρίες Θέρστον
Μια πρότυπη γεωμετρία είναι μια απλά συνδεδεμένη ομαλή πολλαπλότητα X και μια μεταβατική δράση μιας ομάδας Lie G στη X με συμπαγείς σταθεροποιητές.

Μια πρότυπη γεωμετρία λέγεται μέγιστη αν η G είναι μέγιστη μεταξύ των ομάδων που δρουν ομαλά και μεταβατικά στη X με συμπαγείς σταθεροποιητές. Αυτή η συνθήκη περιλαμβάνεται μερικές φορές στον ορισμό μιας πρότυπης γεωμετρίας.

Μια γεωμετρική δομή σε μια πολλαπλότητα M είναι ένας διαφορμορφισμός από την M στην X/Γ για μια πρότυπη γεωμετρία X, όπου Γ είναι μια διακριτή υποομάδα της G που δρα ομαλά στην X- είναι μια ειδική περίπτωση μιας πλήρους δομής (G,X). Αν μια δεδομένη πολλαπλότητα δέχεται μια γεωμετρική δομή, τότε δέχεται μια δομή της οποίας το μοντέλο είναι μέγιστο.

Μια τρισδιάστατη πρότυπη γεωμετρία X είναι σχετική με την εικασία της γεωμετρίας αν είναι μέγιστη και αν υπάρχει τουλάχιστον μία συμπαγής πολλαπλότητα με γεωμετρική δομή που έχει ως πρότυπο την X. Ο Thurston ταξινόμησε τις 8 πρότυπες γεωμετρίες που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες- παρατίθενται παρακάτω και μερικές φορές ονομάζονται γεωμετρίες Θέρστον (υπάρχουν επίσης αμέτρητες πρότυπες γεωμετρίες χωρίς συμπαγή τεταγμένα).

Υπάρχει σύνδεση με τις ομάδες Μπιάνκι: τρισδιάστατες ομάδες Lie. Οι περισσότερες γεωμετρίες Thurston μπορούν να υλοποιηθούν ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική σε μια ομάδα Μπιάνκι. Ωστόσο, η S2 × R δεν μπορεί να είναι, ο ευκλείδειος χώρος αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικές ομάδες Μπιάνκι, και υπάρχουν αμέτρητες διαλυτές μη μοναδιαίες ομάδες Μπιάνκι, οι περισσότερες από τις οποίες δίνουν πρότυπες γεωμετρίες χωρίς συμπαγείς αντιπροσώπους.

Σφαιρική γεωμετρία S3
Ο σταθεροποιητής σημείων είναι  O(3, R) και η ομάδα G είναι η 6διάστατη ομάδα Lie O(4, R), με 2 συνιστώσες. Οι αντίστοιχες πολλαπλότητες είναι ακριβώς κλειστές 3-πολλαπλότητες με πεπερασμένη θεμελιώδη ομάδα. Παραδείγματα περιλαμβάνουν την 3-σφαίρα, τη σφαίρα ομολογίας Πουανκαρέ και τους χώρους Lens. Αυτή η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην ομάδα Μπιάνκι τύπου IX. Οι πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία είναι όλες συμπαγείς, προσανατολίσιμες και έχουν τη δομή ενός ινώδους χώρου του Σέιφερτ (συχνά με διάφορους τρόπους). Ο πλήρης κατάλογος αυτών των ποικιλιών δίνεται στο άρθρο για τα σφαιρικά 3-πολλαπλότητα. Υπό την επίδραση της ροής Ricci, οι ποικιλίες με αυτή τη γεωμετρία καταρρέουν σε ένα σημείο σε πεπερασμένο χρόνο.

Ευκλείδεια γεωμετρία E3
Ο σταθεροποιητής σημείων είναι O(3, R) και η ομάδα G είναι η 6διάστατη ομάδα Lie R3 × O(3, R), με 2 συνιστώσες. Παραδείγματα είναι ο 3-τόρος, και γενικότερα ο τόρος αντιστοιχίας ενός αυτομορφισμού πεπερασμένης τάξης του 2-τόρου- βλέπε δέσμη τόρου. Υπάρχουν ακριβώς 10 πεπερασμένες κλειστές 3-πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία, 6 προσανατολισμένες και 4 μη προσανατολισμένες. Αυτή η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική σε ομάδες Μπιάνκι τύπου I ή VII0. Οι πολλαπλότητες πεπερασμένου όγκου με αυτή τη γεωμετρία είναι όλες συμπαγείς και έχουν τη δομή ενός ινώδους χώρου του Σέιφερτ (μερικές φορές με δύο τρόπους). Ο πλήρης κατάλογος αυτών των πολλαπλοτήτων  παρατίθεται στο άρθρο για τους χώρους του Σέιφερτ. Υπό τη ροή Ricci, οι πολλαπλότητες με Ευκλείδεια γεωμετρία παραμένουν αναλλοίωτες.

Υπερβολική γεωμετρία H3
Ο σταθεροποιητής σημείων είναι O(3, R) και η ομάδα G είναι η 6διάστατη ομάδα Lie O+(1, 3, R), με 2 συνιστώσες. Υπάρχει ένας πολύ μεγάλος αριθμός παραδειγμάτων αυτού του τύπου και η ταξινόμησή τους δεν είναι πλήρως κατανοητή. Το παράδειγμα με τον μικρότερο όγκο είναι η πολλαπλότητα του Γουίκς. Άλλα παραδείγματα δίνουν ο χώρος Σέιφερτ-Βέμπερ, ή οι "επαρκώς περίπλοκες" χειρουργικές επεμβάσεις Ντεν σε συνδέσμους, ή οι περισσότερες πολλαπλότητες Χάκεν. Η εικασία της γεωμετρίας υπονοεί ότι ένα κλειστό 3-μεσοδιάστημα είναι υπερβολικό αν και μόνο αν είναι μη αναγώγιμο, ατοροειδές και έχει άπειρη θεμελιώδη ομάδα. Αυτή η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην ομάδα Μπιάνκι τύπου V ή VIIh≠0. Υπό την επίδραση της ροής Ricci, οι πολλαπλότητες με υπερβολική γεωμετρία διαστέλλονται.

Η γεωμετρία του S2 × R
Ο σταθεροποιητής σημείου είναι O(2, R) × Z/2Z και η ομάδα G είναι O(3, R) × R × Z/2Z, με 4 συνιστώσες. Οι τέσσερις πολλαπλές πεπερασμένου όγκου με αυτή τη γεωμετρία είναι : S2 × S1, ο τόρος απεικόνισης του αντιποδικού χάρτη της S2, το συνδεδεμένο άθροισμα δύο αντιγράφων του τρισδιάστατου προβολικού χώρου και το γινόμενο της S1 με τον δισδιάστατο προβολικό χώρο. Οι δύο πρώτοι είναι τοροειδείς απεικόνισης του χάρτη ταυτότητας και του αντιποδικού χάρτη της σφαίρας 2, και είναι τα μόνα παραδείγματα 3-πολλαπλοτήτων που είναι πρωταρχικά αλλά όχι αναγωγικά. Το τρίτο είναι το μοναδικό παράδειγμα μη τετριμμένου συνδεδεμένου αθροίσματος με γεωμετρική δομή. Είναι το μόνο μοντέλο γεωμετρίας που δεν μπορεί να υλοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική σε μια τρισδιάστατη ομάδα Lie. Οι πολλαπλότητες πεπερασμένου όγκου με αυτή τη γεωμετρία είναι όλες συμπαγείς και έχουν τη δομή ενός χώρου ινών Σέιφερτ (συχνά με διάφορους τρόπους). Στην περίπτωση μιας κανονικοποιημένης ροής Ricci, οι πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία συγκλίνουν σε μια μονοδιάστατη πολλαπλότητα.

Η γεωμετρία του H2 × R
Ο σταθεροποιητής σημείου είναι O(2, R) × Z/2Z και η ομάδα G είναι O+(1, 2, R) × R × Z/2Z, με 4 συνιστώσες. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το γινόμενο μιας υπερβολικής επιφάνειας με έναν κύκλο, ή γενικότερα τον τόρο αντιστοιχίας μιας ισομετρίας μιας υπερβολικής επιφάνειας. Οι πολλαπλότητες πεπερασμένου όγκου με αυτή τη γεωμετρία έχουν τη δομή ενός ινοποιημένου χώρου του Σέιφερτ, αν είναι προσανατολισμένες. (Αν δεν είναι προσανατολίσιμες, η φυσική ινοποίηση με κύκλους δεν είναι κατ' ανάγκη ινοποίηση Seifert: το πρόβλημα είναι ότι ορισμένες ίνες μπορούν να "αντιστρέψουν τον προσανατολισμό", με άλλα λόγια, οι γειτονιές τους μοιάζουν με φιάλες Κλάιν με στερεές ίνες και όχι με στερεούς τόρους). Η ταξινόμηση τέτοιων (προσανατολισμένων) πολλαπλοτήτων δίνεται στο άρθρο για τους ινοποιημένους χώρους Σέιφερτ. Αυτή η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην ομάδα Μπιάνκι τύπου ΙΙΙ. Υπό την κανονικοποιημένη ροή Ricci, οι πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία συγκλίνουν σε 2-διάστατη πολλαπλότητα..

Η γεωμετρία της καθολικής κάλυψης του SL(2, "R")
Η καθολική κάλυψη της SL(2, R συμβολίζεται με . Είναι ένας ινώδης χώρος πάνω από το H2, και ο χώρος ονομάζεται μερικές φορές (στριμμένος) "Twisted  H2 × R". Η ομάδα G έχει 2 συνιστώσες. Η συνιστώσα της ταυτότητας έχει τη δομή . Ο σταθεροποιητής σημείου είναι O(2,R).

Παραδείγματα αυτών των πολλαπλοτήτων περιλαμβάνουν: την πολλαπλότητα των μοναδιαίων διανυσμάτων της εφαπτόμενης δέσμης μιας υπερβολικής επιφάνειας, και γενικότερα τις σφαίρες ομολογίας Μπρίσκορν (με εξαίρεση την 3-σφαίρα και τον δωδεκαεδρικό χώρο Πουανκαρέ). Αυτή η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην ομάδα Μπιάνκι τύπου VIII ή III. Οι ποικιλίες πεπερασμένου όγκου με αυτή τη γεωμετρία είναι προσανατολίσιμες και έχουν τη δομή ενός ινοποιημένου χώρου του Σέιφερτ. Η ταξινόμηση τέτοιων πολλαπλών μορφών δίνεται στο άρθρο για τους ινώδεις χώρους του Σέιφερτ. Υπό κανονικοποιημένη ροή Ricci οι πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία συγκλίνουν σε μια 2-διάστατη πολλαπλότητα..

Γεωμετρία Nil
Αυτή η γεωμετρία είναι ινώδης στην E2 και, ως εκ τούτου, είναι μερικές φορές γνωστή ως "Twisted E2 × R". Είναι η γεωμετρία της ομάδας Χάιζενμπεργκ. Ο σταθεροποιητής σημείου είναι O(2, R). Η ομάδα G έχει 2 συνιστώσες και είναι ένα ημι-άμεσο γινόμενο της τρισδιάστατης ομάδας Χάιζενμπεργκ και της ομάδας O(2, R) των ισομετριών ενός κύκλου. Οι συμπαγείς πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία περιλαμβάνουν τον τόρο απεικόνισης μιας στρέψης Ντεν ενός 2-τόρου, ή το πηλίκο της ομάδας Χάιζενμπεργκ από την "ολοκληρωτική ομάδα Χάιζενμπεργκ". Αυτή η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική στην ομάδα Μπιάνκι τύπου ΙΙ. Οι πολλαπλότητες πεπερασμένου όγκου με αυτή τη γεωμετρία είναι συμπαγείς και προσανατολίσιμες και έχουν τη δομή ενός ινώδους χώρου Σέιφερτ. Η ταξινόμηση αυτών των πολλαπλοτήτων δίνεται στο άρθρο για τους ινώδεις χώρους του Σέιφερτ. Υπό την κανονικοποιημένη ροή Ricci, οι συμπαγείς πολλαπλότητες με αυτή τη γεωμετρία συγκλίνουν στο R2 με την επίπεδη μετρική.

Γεωμετρία Sol
Αυτή η γεωμετρία (που καλείται επίσης γεωμετρία του Solv) με ίνες στην ευθεία και το επίπεδο ως ίνα, είναι η γεωμετρία της συνιστώσας ταυτότητας της ομάδας G. Ο σταθεροποιητής σημείου είναι η δίεδρη ομάδα τάξης 8. Η ομάδα G έχει 8 συνιστώσες και είναι η ομάδα των χαρτών από τον δισδιάστατο χώρο Minkowski στον εαυτό του που είτε είναι ισομετρίες είτε πολλαπλασιάζουν τη μετρική με -1. Η συνιστώσα ταυτότητας έχει μια κανονική υποομάδα R2 με πηλίκο R, όπου η R δρα στην R2 με 2 (πραγματικούς) ιδιοχώρους, με πραγματικές ιδιοτιμές διαφορετικές από το γινόμενο 1. Αυτή είναι η ομάδα Μπιάνκι τύπου VI0 και η γεωμετρία μπορεί να μοντελοποιηθεί ως μια αριστερά αναλλοίωτη μετρική σε αυτή την ομάδα. Όλες οι πολλαπλές πεπερασμένου όγκου με γεωμετρία solv είναι συμπαγείς. Οι συμπαγείς πολλαπλότητες  με solvable γεωμετρία είναι είτε ο τόρος απεικόνισης ενός χάρτη Ανόσοφ του 2-τόρου(ένας τέτοιος χάρτης είναι ένας αυτομορφισμός του 2-τόρου που δίνεται από έναν αντιστρέψιμο πίνακα 2 επί 2 του οποίου οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές και διακριτές, όπως
), 
είτε τα πηλίκα τους από ομάδες τάξης το πολύ 8. Οι ιδιοτιμές του αυτομορφισμού του τόρου δημιουργούν μια τάξη ενός πραγματικού τετραγωνικού πεδίου και οι επιλύσιμες ποικιλίες μπορούν να ταξινομηθούν ως προς τις μονάδες και τις ιδανικές κλάσεις αυτής της τάξης. Υπό την κανονικοποιημένη ροή Ricci, οι συμπαγείς πολλαπλότητες  με αυτή τη γεωμετρία συγκλίνουν (μάλλον αργά) στο R1.

Μοναδικότητα

Μια κλειστή 3-πολλαπλότητα έχει μια γεωμετρική δομή το πολύ ενός από τους παραπάνω 8 τύπους, αλλά οι μη συμπαγείς 3-πολλαπλότητες πεπερασμένου όγκου μπορεί περιστασιακά να έχουν περισσότερους από έναν τύπους γεωμετρικής δομής. (Παρ' όλα αυτά, μια πολλαπλότητα μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές γεωμετρικές δομές του ίδιου τύπου- για παράδειγμα, μια επιφάνεια γένους τουλάχιστον 2 έχει ένα συνεχές διαφορετικών υπερβολικών μετρικών.) Πιο συγκεκριμένα, αν η Mείναι μια πολλαπλότητα με γεωμετρική δομή πεπερασμένου όγκου, τότε ο τύπος της γεωμετρικής δομής σχεδόν καθορίζεται ως εξής, ως προς τη θεμελιώδη ομάδα  π1(M):

Αν η π1(M) είναι πεπερασμένη, η γεωμετρική δομή στην M είναι σφαιρική και η M είναι συμπαγής.
Αν η π1(M) είναι πρακτικά κυκλική αλλά όχι πεπερασμένη, τότε η γεωμετρική δομή στο M είναι S2×R και το M είναι συμπαγές.
Αν η π1(M) είναι πρακτικά αβελιανή αλλά όχι πρακτικά κυκλική, τότε η γεωμετρική δομή στο M είναι ευκλείδεια και το M είναι συμπαγές.
Αν η π1(M) είναι πρακτικά μηδενική αλλά όχι πρακτικά αβελιανή, τότε η γεωμετρική δομή στο M είναι μηδενική γεωμετρία και το M είναι συμπαγές.
Αν η π1(M) είναι πρακτικά λυτή αλλά όχι πρακτικά μηδενική, τότε η γεωμετρική δομή στο M είναι λυτή γεωμετρία και το M είναι συμπαγές.
Αν η π1(M) έχει μια άπειρη κανονική κυκλική υποομάδα αλλά δεν είναι πρακτικά λυτή, τότε η γεωμετρική δομή στην M είναι είτε  H2×R είτε το καθολικό κάλυμμα της SL(2, R). Η πολλαπλότητα M μπορεί να είναι συμπαγής ή μη συμπαγής. Αν είναι συμπαγής, οι δύο γεωμετρίες μπορούν να διακριθούν από το αν η  π1(M) έχει ή όχι μια υποομάδα πεπερασμένου δείκτη που διαιρείται σε ένα ημιάμεσο γινόμενο της κανονικής κυκλικής υποομάδας και μιας άλλης υποομάδας. Εάν η πολλαπλότητα είναι μη συμπαγής, η θεμελιώδης ομάδα δεν μπορεί να διακρίνει τις δύο γεωμετρίες, και υπάρχουν παραδείγματα (όπως το συμπλήρωμα ενός σχεδιασμένου κόμβου) όπου μια πολλαπλότητα μπορεί να έχει γεωμετρική δομή πεπερασμένου όγκου οποιουδήποτε τύπου.
Αν η π1(M) δεν έχει άπειρη κανονική κυκλική υποομάδα και δεν είναι πρακτικά επιλύσιμη, τότε η γεωμετρική δομή της M είναι υπερβολική και η M μπορεί να είναι είτε συμπαγής είτε μη συμπαγής.

Οι πολλαπλότητες άπειρου όγκου μπορούν να έχουν πολλούς τύπους γεωμετρικής δομής: για παράδειγμα, η R3 μπορεί να έχει 6 από τις διαφορετικές γεωμετρικές δομές που αναφέρονται παραπάνω, επειδή 6 από τις 8 πρότυπες γεωμετρίες είναι ομοιομορφικές σε αυτήν. Επιπλέον, αν ο όγκος δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένος, υπάρχει άπειρος αριθμός νέων γεωμετρικών δομών χωρίς συμπαγή μοντέλα- για παράδειγμα, η γεωμετρία σχεδόν οποιασδήποτε τρισδιάστατης μη μονοτροπικής ομάδας Lie.

Μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για την αποσύνθεση ενός κλειστού 3-μέσου σε κομμάτια με γεωμετρικές δομές. Για παράδειγμα:
Η λήψη συνδεδεμένων αθροισμάτων με πολλαπλά αντίγραφα του S3 δεν αλλάζει μια πολλαπλότητα.
Το συνδεδεμένο άθροισμα δύο προβολικών 3-χώρων έχει γεωμετρία S2×R, και είναι επίσης το συνδεδεμένο άθροισμα δύο κομματιών με γεωμετρία S3.
Το γινόμενο μιας επιφάνειας αρνητικής καμπυλότητας και ενός κύκλου έχει γεωμετρική δομή, αλλά μπορεί επίσης να κοπεί κατά μήκος του τόρου για να παράγει μικρότερα κομμάτια που έχουν επίσης γεωμετρική δομή. Υπάρχουν πολλά παρόμοια παραδείγματα για τους ινώδεις χώρους Σέιφερτ.

Είναι δυνατόν να επιλέξουμε μια "κανονική" αποσύνθεση σε κομμάτια με γεωμετρική δομή, για παράδειγμα κόβοντας πρώτα την πολλαπλότητα σε πρωταρχικά κομμάτια με ελάχιστο τρόπο και στη συνέχεια κόβοντάς τα χρησιμοποιώντας τον μικρότερο δυνατό αριθμό τοροειδών. Ωστόσο, αυτή η ελάχιστη αποσύνθεση δεν είναι απαραίτητα αυτή που παράγεται από τη ροή Ricci- στην πραγματικότητα, η ροή Ricci μπορεί να κόψει μια πολλαπλότητα σε γεωμετρικά κομμάτια με πολλούς μη ισοδύναμους τρόπους, ανάλογα με την επιλογή της αρχικής μετρικής.

Ιστορία
Ο Θέρστον τιμήθηκε με το μετάλλιο Φιλντς το 1982, εν μέρει για την απόδειξη της εικασίας της γεωμετρίας για τις πολλαπλότητες Χάκεν.

Το 1982, ο Ρίτσαρντ Σ. Χάμιλτον έδειξε ότι δεδομένης μιας κλειστής 3-πολλαπλότητας μετρικής με θετική καμπυλότητα Ricci, η ροή Ricci θα κατέρρεε την πολλαπλότητα σε ένα σημείο σε πεπερασμένο χρόνο, αποδεικνύοντας την εικασία της γεωμετρικοποίησης για την περίπτωση αυτή, αφού η μετρική γίνεται "σχεδόν στρογγυλή" λίγο πριν την κατάρρευση. Στη συνέχεια ανέπτυξε ένα πρόγραμμα για την απόδειξη της εικασίας της γεωμετρίας με τη ροή Ricci με χειρουργική επέμβαση. Η ιδέα είναι ότι η ροή Ricci παράγει γενικά ιδιομορφίες, αλλά ότι είναι δυνατόν να συνεχιστεί η ροή Ricci πέρα από την ιδιομορφία με τη χρήση χειρουργικής επέμβασης για την τροποποίηση της τοπολογίας της πολλαπλότητας. Σε γενικές γραμμές, η ροή Ricci συστέλλει τις περιοχές με θετική καμπυλότητα και επεκτείνει τις περιοχές με αρνητική καμπυλότητα, οπότε θα πρέπει να σκοτώσει τα κομμάτια της πολλαπλότητας με γεωμετρίες  S3 και S2 × R''' "θετικής καμπυλότητας", ενώ αυτό που θα παραμείνει σε μεγάλο χρονικό διάστημα θα πρέπει να έχει μια παχύ-λεπτή αποσύνθεση σε ένα "παχύ" κομμάτι με υπερβολική γεωμετρία και μια "λεπτή" γραφική πολλαπλότητα.

Το 2003, ο Γκρίγκορι Πέρελμαν ανακοίνωσε την απόδειξη της εικασίας της γεωμετρίας, αποδεικνύοντας ότι η ροή Ricci μπορεί πράγματι να συνεχιστεί πέρα από τις ιδιομορφίες και ότι έχει τη συμπεριφορά που περιγράφεται παραπάνω.

Ένα από τα στοιχεία της απόδειξης του Πέρελμαν είναι ένα νέο θεώρημα κατάρρευσης στη γεωμετρία του Ρίμαν. Ο Πέρελμαν δεν έδωσε λεπτομέρειες για την απόδειξη αυτού του αποτελέσματος (Θεώρημα 7.4 στην προδημοσίευση "Ricci flow with surgery on three-manifolds" (Ροή Ricci με εγχείρηση σε τριπλές πολλαπλότητες)). Ξεκινώντας από τους Σιόγια και Γιαμαγκούτσι, υπάρχουν πλέον αρκετές διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος κατάρρευσης του Πέρελμαν ή παραλλαγών του . Η διατύπωση των Σιόγια και Γιαμαγκούτσι χρησιμοποιήθηκε στις πρώτες πλήρως λεπτομερείς διατυπώσεις του έργου του Πέρελμαν .

Η μέθοδος των Bessières et al, η οποία χρησιμοποιεί το θεώρημα υπερβολισμού του Θέρστον για τις πολλαπλότητες Χάκεν και τη νόρμα του Γκρόμοφ για τις 3-πολλαπλότητες, παρέχει μια δεύτερη διαδρομή προς το τελικό μέρος της απόδειξης της γεωμετρίας του Πέρελμαν. Ένα βιβλίο των ίδιων συγγραφέων που περιέχει τις πλήρεις λεπτομέρειες της δικής τους εκδοχής της απόδειξης έχει εκδοθεί από την Ευρωπαϊκή Μαθηματική Εταιρεία.

Δημοσιεύσεις
L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, volume 13. European Mathematical Society, Zurich, 2010.  
M. Boileau Geometrization of 3-manifolds with symmetries
F. Bonahon Geometric structures on 3-manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.

 Allen Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology 2000
J. Isenberg, M. Jackson, Ricci flow of locally homogeneous geometries on a Riemannian manifold, J. Diff. Geom. 35 (1992) no. 3 723–741.
 
 John W. Morgan. Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds. Bulletin Amer. Math. Soc. 42 (2005) no. 1, 57–78  (expository article explains the eight geometries and geometrization conjecture briefly, and gives an outline of Perelman's proof of the Poincaré conjecture)

 
 
 
 
Scott, Peter The geometries of 3-manifolds. (errata) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), no. 5, 401–487.
 This gives the original statement of the conjecture.
 William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1''. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp.  (in depth explanation of the eight geometries and the proof that there are only eight)
 William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds, 1980 Princeton lecture notes on geometric structures on 3-manifolds.

Παραπομπές

Διαφορική γεωμετρία
Περιοχές των μαθηματικών
Φιλοσοφία των μαθηματικών
Ιστορία των Μαθηματικών