Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος  είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο.

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ,  και  που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του  είναι το σημείο τομής της διχοτόμου του  και των εξωτερικών διχοτόμων των  και , και ονομάζεται παράκεντρο.

Εγγεγραμμένος κύκλος 

Οι εσωτερικές διχοτόμοι  ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου.

Αποδείξεις

Με ιδιότητες διχοτόμων 
Έστω  και  οι διχοτόμοι των γωνιών  και  και  το σημείο τομής τους. Από την κύρια ιδιότητα των διχοτόμων, κάθε σημείο της  ισαπέχει από τις πλευρές  και . Αντίστοιχα, για την . 

Επομένως, το  ισαπέχει από τις τρεις πλευρές του τριγώνου και άρα ανήκει και στην διχοτόμου της . Καταλήγουμε ότι  είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου.

Με θεώρημα Τσέβα 
Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους ,  και  ότι 
 και 
Επομένως, έχουμε ότι 
,
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Ιδιότητες 
 Το έγκεντρο  είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
 Η γωνία των διχοτόμων των  και  είναι ίση με .

Αφού  η διχοτόμος της  και  η διχοτόμος της , έχουμε ότι  και . Επομένως, αφού οι γωνίες του τριγώνου  αθροίζουν στις 
.

 Αν  οι προβολές του  στις πλευρές του τριγώνου, τότε 
 και .

Τα τρίγωνα  και  είναι ίσα, καθώς  κοινή,  και . Επομένως, . Αντίστοιχα,  και . 

Επίσης, έχουμε ότι

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι 
 και ,
όπου .

 Το τρίγωνο  ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne.
 (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα  διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 Οι ευθείες  είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του .
 Το εμβαδόν του τριγώνου  δίνεται από τον τύπο 
,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
 Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
.

Το εμβαδόν του τριγώνου  δίνεται από  τύπο
.
Από τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι
 και .
Επομένως, 
.
Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ο πρώτος τύπος για το εμβαδόν.

 Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις
,
και από 
.
 (Θεώρημα Όιλερ) Αν  είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε 
.
 (Θεώρημα Καρνό) Αν  είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου  και  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε 
.
 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι .
 Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι .
 Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι 
.

Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι 

Κάθε τρίγωνο  έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ,  και . Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος  έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας  και της  και της εσωτερικής διχοτόμου της . Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος  με τις πλευρές  συμβολίζονται με  αντίστοιχα.

Απόδειξη 
Έστω  το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των  και . Τότε, από την ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τα σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα  και . Επομένως,  και έτσι το  είναι σημείο της διχοτόμου του .

Ιδιότητες 
 Τα παράκεντρα  είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
 Τα σημεία  είναι συνευθειακά, καθώς και τα  και .
 Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των  και  είναι ίση με .

Αφού  και  είναι εξωτερικές διχοτόμοι, έχουμε ότι 
 και .
Από το τρίγωνο  έχουμε ότι 

 Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της  και της εξωτερικής διχοτόμου της  είναι .

Από το τρίγωνο  έχουμε ότι 
.

 (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα  διέρχονται από το ίδιο σημείο.
 Ισχύει ότι ,  και , όπου  η ημιπερίμετρος.

Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι  ως τα ευθύγραμμα τμήματα του  εφαπτόμενα σε κύκλο. Για τον ίδιο λόγο έχουμε ότι  και . Επομένως, παίρνουμε το σύστημα 

Το σύστημα έχει λύση
 και .
Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα τμήματα. 

 Αν  το σημείο τομής της προέκτασης της  με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε
.
 (Θεώρημα Όιλερ) Αν  είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε 
 και .
 Το εμβαδόν του τριγώνου  δίνεται από τους τύπους:

και 
.
 Από τον τύπο του Ήρωνα, η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο
  και .

Από το σχήμα έχουμε ότι 
.
Αφού τα τρίγωνα  και  είναι ίσα, έχουμε ότι 
.
Αντίστοιχα, 
.
Συνδυάζοντας τα παραπάνω και αφού  έχουμε ότι 
.

 Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις
,  και , 
και επίσης
,  και .
 (Σημείο Νάγκελ) Αν  τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα  με τις πλευρές  του τριγώνου, τότε τα  συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
 Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου  είναι ύψη του τριγώνου .
 Αν  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι .
 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι ,  και  αντίστοιχα.

Δείτε επίσης 
 Διχοτόμος γωνίας
 Περιγεγραμμένος κύκλος
 Βαρύκεντρο τριγώνου
 Ορθόκεντρο τριγώνου

Παραπομπές  

Τρίγωνα
Θεωρήματα στη Γεωμετρία