Χάινριχ Τίτζε

Ο Χάινριχ Φραντς Φρίντριχ Τίτζε (Heinrich Franz Friedrich Tietze, 31 Αυγούστου 1880 στο Σλάιντς κοντά στο Νόινκιρχεν (Κάτω Αυστρία) - 17 Φεβρουαρίου 1964 στο Μόναχο) ήταν Αυστριακός μαθηματικός, γνωστός για τη συμβολή του στην τοπολογία.

Βιογραφία
Ο Χάινριχ Τίτζε ήταν γιος του Εμίλ Τίτζε (1845-1931), διευθυντή του Γεωλογικού Ινστιτούτου του Πανεπιστημίου της Βιέννης, και της Ρόζα φον Χάουερ, κόρης του γεωλόγου Φραντς φον Χάουερ.

Ο Τίτζε σπούδασε στο Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης από το 1898 έως το 1902. Εκεί έγινε φίλος με τους Πολ Έρενφεστ, Χανς Χαν και Γκούσταβ Χέργκλοτζ και ονομάστηκαν οι "Τέσσερις Αχώριστοι".

Ο Χέργκλοτζ συμβούλεψε τον Τίτζε να περάσει ένα χρόνο στη Γερμανία, στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου, για να ολοκληρώσει τις σπουδές του. Ο Τίτζε διέμεινε εκεί το 1902 και στη συνέχεια επέστρεψε στη Βιέννη για την εκπόνηση της διδακτορικής του διατριβής (1902-1904) υπό την καθοδήγηση του Γκούσταβ φον Έσεριχ (1849-1935). Το 1905 παρακολούθησε τις διαλέξεις του Βίλχελμ Βίρτινγκερ για τις αλγεβρικές συναρτήσεις και τα αβελιανά ολοκληρώματα, οι οποίες τον ενέπνευσαν να κάνει την τοπολογία το αγαπημένο του ερευνητικό πεδίο.

Υπερασπίστηκε τη διατριβή για υφηγεσία  με θέμα  τις τοπολογικές αναλλοίωτες το 1908 στη Βιέννη και το 1910 έλαβε θέση βοηθού καθηγητή στο Brünn (σημερινό Μπρνο της Τσεχικής Δημοκρατίας). Προήχθη σε τακτικό καθηγητή το 1913, αλλά το ξέσπασμα του Πρώτου Παγκοσμίου Πολέμου το επόμενο έτος σταμάτησε προσωρινά την επιστημονική του παραγωγή.

Κλήθηκε για στρατιωτική θητεία και πολέμησε ως οπλίτης στον αυστριακό στρατό μέχρι την ανακωχή του 1918, οπότε και συνέχισε τη διδασκαλία του στο Μπρνο. Το 1919 του προσφέρθηκε μια θέση καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Ερλάνγκεν και έξι χρόνια αργότερα προσκλήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου, όπου δίδαξε μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1950.

Εκλέχθηκε τακτικό μέλος του Τμήματος Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών της Βαυαρικής Ακαδημίας Επιστημών το 1929 και συνέχισε να εργάζεται ως ερευνητής μέχρι το θάνατό του το 1964.

Μαθηματική εργασία
Ενώ το μεγαλύτερο μέρος του έργου του Τίτζε είναι επικεντρωμένο στην τοπολογία, ασχολήθηκε επίσης με προβλήματα κατασκευασιμότητας στη στοιχειώδη γεωμετρία (κατασκευή με χάρακα και πυξίδα) και με γενικευμένες εξελίξεις συνεχιζόμενων κλασμάτων (βλ. Θεώρημα σύγκλισης του Τίτζε).

Αλλά πάνω απ' όλα, ο Τίτζε έπαιξε πρωταγωνιστικό ρόλο στην έλευση της τοπολογίας.

Ξεκινώντας από το πρόβλημα των χρωματικών χαρτών, καθιέρωσε ένα πρώτο αποτέλεσμα για τα γειτονικά πεδία μιας προσανατολισμένης επιφάνειας. Παρήγαγε επίσης μια στοιχειώδη απόδειξη (που βρίσκεται σε πολλά βιβλία μαθηματικών γρίφων) ότι το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων δεν έχει ισοδύναμο σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 2.

Γενίκευσε επίσης το θεώρημα του Ιορντάν δείχνοντας ότι κάθε συνεχής συνάρτηση που περιορίζεται σε ένα κλειστό σύνολο ενός πεπερασμένης διάστασης χώρου μπορεί να επεκταθεί σε μια συνεχή συνάρτηση που ορίζεται σε ολόκληρο τον χώρο (θεώρημα επέκτασης του Τίτζε). Ο Τίτζε ανέπτυξε επίσης τη θεωρία των κόμβων με βάση τις μεθόδους της συνδυαστικής θεωρίας ομάδων.

Το 1908 χρησιμοποίησε την έννοια της θεμελιώδους ομάδας και των ομάδων ομολογίας που εισήγαγε ο Ανρί Πουανκαρέ το 1895, για την ταξινόμηση των τοπολογικών χώρων. Ο Τίτζε χρησιμοποίησε τις παρουσιάσεις της θεμελιώδους ομάδας με γεννήτριες και σχέσεις για να αποδείξει (με τη βοήθεια των λεγόμενων "μετασχηματισμών Τίτζε" μεταξύ αυτών των διαφόρων παρουσιάσεων) το τοπολογικό της αναλλοίωτο. Σε αυτό το πλαίσιο διατύπωσε το πρόβλημα του ισομορφισμού για τις ομάδες  (δηλαδή "υπάρχει αλγόριθμος για να αποφασίσουμε αν δύο πεπερασμένες παρουσιάσεις ορίζουν την ίδια ομάδα;"). Ο Πουανκαρέ προσπάθησε να προσδιορίσει τοπολογικές αναλλοίωτες με τη χρήση ομολογικών ομάδων δείχνοντας ότι παραμένουν αναλλοίωτες όταν η τριγωνοποίηση του χώρου τελειοποιείται. Τότε προέκυψε το πρόβλημα ως προς το αν δύο τριγωνοποιήσεις έχουν πάντα μια κοινή εκλέπτυνση, πράγμα που ο Πουανκαρέ είχε εμμέσως παραδεχτεί.

Ο Τίτζε επεσήμανε ότι επρόκειτο για μια καθαρή υπόθεση, η οποία σύντομα έγινε στην ιστορία της τοπολογίας η θεμελιώδης εικασία (Hauptvermutung (en): η λέξη είναι του Χέλμουθ Κνέσερ). Ο Τίμπορ Ράντο την απέδειξε το 1925 για ποικιλίες διάστασης 2 και ο Έντουιν Ε. Μόις το 1950 για ποικιλίες διάστασης 3. Έλαβε τις πρώτες της ανασκευές μόλις τη δεκαετία του 1960 με τις εργασίες των Τζον Μίλνορ (για οποιονδήποτε τοπολογικό χώρο) και στη συνέχεια (για ποικιλίες διάστασης 4 και άνω), των Κάσον και Σάλιβαν, Κίρμπι και Σίμπενμαν, Ντόναλντσον, Φρίντμαν...

Βασιζόμενος στην έννοια του φακοειδούς χώρου που εισήγαγε ο Τίτζε, ο μαθηματικός Τζέιμς Γουάντελ Αλεξάντερ ΙΙ κατάφερε το 1919 να αντικρούσει μια εικασία του Πουανκαρέ, επειδή έδωσαν ένα παράδειγμα μη ομοιομορφικών χώρων που έχουν την ίδια θεμελιώδη ομάδα.

Εκλαΐκευσε την έρευνα της εποχής του σε ένα βιβλίο που δεν δημοσιεύτηκε στα γαλλικά, Problèmes anciens et modernes, résolus et non résolus (Λυμένα και άλυτα προβλήματα από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, Μόναχο, 1949).

Δημοσιεύσεις
Λυμένα και άλυτα προβλήματα μαθηματικών από την αρχαιότητα και τη σύγχρονη εποχή. 14 διαλέξεις για μη ειδικούς και για φίλους των μαθηματικών, 2 τόμοι, DTV 1982, επίσης 7η έκδοση, Beck Verlag, Μόναχο 1980.
Σχετικά με τα τραπέζια τουρνουά σκακιού, Μαθηματικό περιοδικό, Τόμος.67, 1957, σελ.188
Μερικές παρατηρήσεις στο πρόβλημα του χρωματισμού καρτών σε μονόπλευρες επιφάνειες, DMV Annual Report 1910 
Περί συναρτήσεων που είναι συνεχείς σε ένα κλειστό σύνολο, Εφημερίδα Journal für Reine und Angewandte Mathematik, τόμος 145, 1915 
 Σχετικά με λυτά προβλήματα κατασκευών με χάρακα και πυξίδα και λυτά προβλήματα κατασκευών με ορθογώνια σημεία, Μαθηματική Εφημερίδα Bd.46, 1940 
Με τον Λεοπόλντ Βιετόρις Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων κλάδων της τοπολογίας, *Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών Επιστημών 1929
Σχετικά με τον αριθμό των σταθερών στρωμάτων σε ηρεμία ενός κύβου [αρχείο], Στοιχεία των Μαθηματικών τ.3, 1948
Περί τοπολογικών αναλλοίωτων πολυδιάστατων ποικιλιών, Monatshefte für Mathematik und Physik, τόμ. 19, 1908, σελ.1-118
 Σχετικά με τους κόμβους Simony και τις αλυσίδες Simony με μοναδικές πρίμες που προβλέπονται για το σχήμα και το είδωλό του, Μαθηματικό περιοδικό Bd.49, 1943, σ.351  (θεωρία κόμβων)

Παραπομπές

Μαθηματικοί αναλυτές
Αυστριακοί μαθηματικοί
Μαθηματικοί του 20ού αιώνα