Υπολογιστική ρευστοδυναμική

Η Υπολογιστική ρευστοδυναμική η οποία αναφέρεται συχνότερα με τον αγγλικό όρο computational fluid dynamics (CFD) συνίσταται στη μελέτη των κινήσεων ενός ρευστού, ή των επιπτώσεών τους, με την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων που διέπουν το ρευστό. Ανάλογα με τις προσεγγίσεις που επιλέγονται, οι οποίες είναι γενικά το αποτέλεσμα ενός συμβιβασμού όσον αφορά τις απαιτήσεις φυσικής αναπαράστασης σε σύγκριση με τους διαθέσιμους υπολογιστικούς ή μοντελοποιητικούς πόρους, οι εξισώσεις που επιλύονται μπορεί να είναι οι εξισώσεις Όιλερ, οι εξισώσεις Ναβιέρ-Στόκεζ κ.λπ.

Η (CFD)  εξελίχθηκε από μια μαθηματική περιέργεια σε ένα απαραίτητο εργαλείο σε σχεδόν κάθε κλάδο της ρευστοδυναμικής, από την αεροδιαστημική πρόωση μέχρι την πρόβλεψη του καιρού και το σχεδιασμό του κύτους των πλοίων. Στον τομέα της έρευνας, η προσέγγιση αυτή βρίσκεται στο επίκεντρο μιας μεγάλης προσπάθειας, καθώς παρέχει πρόσβαση σε όλες τις στιγμιαίες πληροφορίες (ταχύτητα, πίεση, συγκέντρωση) για κάθε σημείο του υπολογιστικού πεδίου, με συνολικό κόστος που είναι γενικά μέτριο σε σύγκριση με τα αντίστοιχα πειράματα.

Μοντελοποίηση
Ένα συνηθισμένο σύστημα εξισώσεων περιλαμβάνει τις εξισώσεις Ναβιέρ-Στόκες, μια εξίσωση συνέχειας και μια καταστατική εξίσωση που υποδεικνύει τη σχέση μεταξύ πίεσης και πυκνότητας. Σε αυτό προστίθενται οι οριακές συνθήκες της υπολογιζόμενης γεωμετρίας και η αρχική συνθήκη για την έναρξη του υπολογισμού.

Το σύστημα εξισώσεων μπορεί να προσαρμοστεί σε κάθε πρόβλημα με πλήθος περιορισμών ή επεκτάσεων. Παραδείγματος χάριν, 

η χρονική παράγωγος καταστέλλεται για τη στάσιμη ροή.
ο όρος της συναγωγής μπορεί να αμεληθεί για χαμηλούς αριθμούς Ρέινολντς.
οι εξισώσεις Ναβιέρ-Στόκες μπορούν να απλουστευθούν σε εξισώσεις Όιλερ, εάν η τεντωσιμότητα μπορεί να αμεληθεί.
η πυκνότητα μπορεί να καθοριστεί σε σταθερό επίπεδο όταν ο αριθμός Μαχ είναι μικρός.

Ο μη γραμμικός όρος συναγωγής είναι απαραίτητος για την περιγραφή τυρβωδών ροών, ο υπολογισμός των οποίων απαιτεί μεγάλη υπολογιστική ισχύ. Για να περιοριστεί η υπολογιστική ισχύς, χρησιμοποιούνται μοντέλα τύρβης ή προσομοίωση μεγάλων στροβίλων.

Οι επεκτάσεις του συστήματος εξισώσεων είναι απαραίτητες, για παράδειγμα, όταν υπολογίζονται πολυφασικές ροές, λαμβάνουν χώρα χημικές αντιδράσεις ή δρουν άλλες δυνάμεις στη ροή. Η επίδραση μεταξύ μιας ροής και μιας ελαστικής δομής περιγράφεται από την αλληλεπίδραση ρευστού-δομής.

Οι μέθοδοι CFD αποτελούν τη βάση της αριθμητικής αεροακουστικής, η οποία ασχολείται με τον υπολογισμό του θορύβου της ροής.

Διαδικασία
Οι πιο κοινές μέθοδοι επίλυσης στην υπολογιστική ρευστοδυναμική είναι οι ακόλουθες

Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (FDM)
Μέθοδος πεπερασμένου όγκου (FVM)
Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM).

Η FEM είναι κατάλληλη για πολλά προβλήματα, ειδικά για ελλειπτικά και παραβολικά στο ασυμπίεστο πεδίο, λιγότερο για υπερβολικά. Χαρακτηρίζεται από στιβαρότητα και στέρεα μαθηματικά θεμέλια. Η FVM είναι κατάλληλη για εξισώσεις διατήρησης, ιδίως για συμπιεζόμενες ροές. Η FDM είναι πολύ απλή και, ως εκ τούτου, παρουσιάζει κυρίως θεωρητικό ενδιαφέρον.

Άλλες συνήθεις μέθοδοι είναι οι εξής

Φασματική μέθοδος
Μέθοδος Lattice Boltzmann (LBM)
Υδροδυναμική εξομαλυμένων σωματιδίων (SPH)
Μέθοδος οριακών στοιχείων (BEM)
Γρήγορη πολυπολική μέθοδος (FMM)
Μέθοδος θεμελιωδών λύσεων (MFS)
Μέθοδος πεπερασμένων σημείων (FPM)
Μέθοδος κινητών σωματιδίων (MPS)
Ταχεία ρευστοδυναμική (FFD)
Μέθοδος σωματιδίων σε κύτταρο (PIC)
Μέθοδος "στρόβιλος σε κύτταρο"(VIC)

Όλες οι μέθοδοι είναι μέθοδοι αριθμητικής προσέγγισης που πρέπει να συγκριθούν με ποσοτικά πειράματα για επικύρωση. Με εξαίρεση τις μεθόδους που βασίζονται σε σωματίδια, το σημείο εκκίνησης των ανωτέρω μεθόδων είναι η διακριτοποίηση του προβλήματος με ένα υπολογιστικό πλέγμα.

Εξισώσεις που εξαρτώνται από το χρόνο
Για τις εξισώσεις που εξαρτώνται από το χρόνο, υπάρχουν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τη λύση, ανάλογα με τη σειρά με την οποία διακριτοποιούνται ο τόπος και ο χρόνος:

Μέθοδος κάθετης γραμμής: στην περίπτωση αυτή, η διακριτοποίηση γίνεται πρώτα στον τόπο, γεγονός που καθιστά δυνατή τη λήψη ενός συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων στο χρόνο.
Μέθοδος οριζόντιας γραμμής (ή μέθοδος Rothe): Γίνεται πρώτα η διακριτοποίηση στο χρόνο και οι εξισώσεις ανάγονται στην επίλυση ενός προβλήματος οριακών τιμών σε κάθε χρονικό βήμα.

Η πρώτη μέθοδος χρησιμοποιείται κυρίως για υπερβολικές εξισώσεις και συμπιεζόμενες ροές, ενώ η δεύτερη για ασυμπίεστες ροές. Επιπλέον, η μέθοδος Rothe είναι πιο ευέλικτη όσον αφορά την εφαρμογή μιας προσαρμοστικής βελτίωσης του υπάρχοντος πλέγματος κατά τη διάρκεια της χρονικής εξέλιξης των εξισώσεων ροής.

Τυρβώδεις ροές
Στην περίπτωση των τυρβωδών ροών, πολλά ερωτήματα παραμένουν αναπάντητα όσον αφορά την αριθμητική προσομοίωση των ροών: είτε χρησιμοποιούνται πολύ λεπτά πλέγματα, όπως στην περίπτωση της άμεσης αριθμητικής προσομοίωσης, είτε χρησιμοποιούνται περισσότερο ή λιγότερο εμπειρικά μοντέλα τύρβης, στα οποία εμφανίζονται επιπλέον σφάλματα μοντελοποίησης εκτός από τα αριθμητικά σφάλματα. Απλά προβλήματα μπορούν να επιλυθούν σε λίγα λεπτά σε υπολογιστές υψηλών προδιαγραφών, ενώ πολύπλοκα τρισδιάστατα προβλήματα είναι μερικές φορές σχεδόν αδύνατο να επιλυθούν, ακόμη και σε κεντρικούς υπολογιστές.

Εφαρμογές
Μέσω της προσομοίωσης ροής προσδιορίζονται μηχανικά και θερμικά μεγέθη, καθώς και αλληλεπιδράσεις με άλλες σημαντικές τεχνικές παραμέτρους, όπως πιέσεις και θερμοκρασίες. Επιπλέον, μπορεί να καταγραφεί και να αναπαρασταθεί η μεταφορά θερμότητας ή υλικών. Αυτό καθιστά δυνατό τον εντοπισμό "νεκρών ζωνών" εντός της διαδικασίας καθορισμού γεωμετριών. Τυχόν απώλειες πίεσης, ροές μάζας και μεταφορές θερμότητας σε πολύπλοκα συστήματα και εγκαταστάσεις ρευστών και θερμικών μέσων μπορούν να εντοπιστούν σε πρώιμο στάδιο.

Λογισμικά
Στον εμπορικό τομέα, η αγορά κυριαρχείται από τα προϊόντα των εταιρειών Ansys (Fluent, CFX), Solidworks, IANUS Simulation, SimScale και Siemens PLM Software (Simcenter™ STAR-CCM+). Αυτά βασίζονται στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων (FVM). Για τη διακριτοποίηση σε πεπερασμένα στοιχεία (FEM), το COMSOL είναι ευρέως διαδεδομένο. Στον τομέα των λογισμικών open source, το OpenFOAM είναι το πιο διαδεδομένο πακέτο λογισμικού, το οποίο βασίζεται επίσης στη FVM.

Στον τομέα των επιλυτών χωρίς πλέγμα, οι οποίοι επιλύουν απευθείας τις εξισώσεις Navier-Stokes κατ' αναλογία με το FEM ή το FVM, υπάρχουν τα εμπορικά λογισμικά LS-DYNA, MPMSim και Nogrid points. Για την επίλυση της εξίσωσης Boltzmann (μέσω των λεγόμενων μεθόδων σωματιδίων, μέθοδος Lattice-Boltzmann), υπάρχουν άλλοι εμπορικοί και ελεύθερα διαθέσιμοι επιλύτες, όπως το Powerflow, το OpenLB ή το Advanced Simulation Library. Για τη μέθοδο εξομαλυμένης σωματιδιακής υδροδυναμικής (SPH), διατίθεται επίσης ελεύθερα λογισμικό, όπως το pysph ή το sphysics.

Επιπλέον, υπάρχει ένα ευρύ φάσμα λογισμικού προσομοίωσης προσαρμοσμένο σε συγκεκριμένα προβλήματα ροής. Σε πολλά πανεπιστήμια και ερευνητικά ινστιτούτα αναπτύσσονται λύσεις λογισμικού, οι οποίες είναι ιδιαίτερα δημοφιλείς στους ακαδημαϊκούς κύκλους.

Δημοσιεύσεις 
 Eckart Laurien, Herbert Oertel jr.: Numerische Strömungsmechanik: Grundgleichungen und Modelle – Lösungsmethoden – Qualität und Genauigkeit. 6., überarb. und erw. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden [2018], ISBN 978-3-658-21059-5.
 Michael Schäfer: Numerik im Maschinenbau. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-65391-0.

Παραπομπές

Μηχανική ρευστών
Περιοχές των μαθηματικών
Φιλοσοφία των μαθηματικών
Ιστορία των Μαθηματικών