Θεώρημα διχοτόμου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο  η διχοτόμος  ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά  σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών. Δηλαδή, 

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος  ενός τριγώνου  με  ικανοποιεί

Αποδείξεις

Με θεώρημα Θαλή 

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή  στην , που τέμνει την προέκταση της  στο σημείο .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι  (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και  (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

και άρα το τρίγωνο  είναι ισοσκελές με .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες  και , έχουμε ότι:
.

Με τύπο για τα εμβαδά 

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα  και  έχουν κοινό ύψος το . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από 

και 

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

Εφαρμογές

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν 

Έστω ,  και  οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ 
Έστω ,  και , τότε 
 και .

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι 

και επίσης ισχύει ότι . Επομένως, 

Αντίστοιχα και για την .

Συντεταγμένες για το έγκεντρο 

Έστω  τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των  και , το σημείο  της διχοτόμου δίνεται από 
.
Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου  δίνεται από 
,
για . Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το 
.
Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

Απολλώνιος κύκλος 

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων  των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία  και , έχουν σταθερό λόγο . Δηλαδή, 

Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Απόδειξη 

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή  στην , που τέμνει την προέκταση της  στο σημείο .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι  (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και  (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

και άρα το τρίγωνο  είναι ισοσκελές με .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες  και , έχουμε ότι:
.

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ' 

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι , προκύπτει ότι 
 και .

Δείτε επίσης 
 Διχοτόμος γωνίας
 Έγκεντρο τριγώνου
 Απολλώνιος κύκλος

Παραπομπές 

Ευκλείδεια Γεωμετρία
Θεωρήματα στη Γεωμετρία