Συνάρτηση του Βολτέρρα

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Βολτέρρα, η οποία πήρε το όνομά της από τον Βίτο Βολτέρρα, είναι μια πραγματική συνάρτηση V που ορίζεται στο  με τον ακόλουθο περίεργο συνδυασμό ιδιοτήτων:

Η V είναι διαφορίσιμη παντού ,
η παράγωγος V είναι παντού περιορισμένη,
η παράγωγος δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Ορισμός και κατασκευή
Η συνάρτηση ορίζεται από το Σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ, το οποίο θα σημειωθεί εδώ ως S, και "αντίγραφα" της συνάρτησης  που ορίζεται από τη σχέση  για  ≠ 0 και , με στόχο την κατασκευή μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής σε ένα σύνολο μη μηδενικών μέτρο. Μια τέτοια παράγωγος δεν μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Το σύνολο S είναι ένα κλειστό τμήμα του [0,1], με μη μηδενικό μέτρο, κενό εσωτερικό και χωρίς απομονωμένα σημεία. Το συμπλήρωμά του στο [0,1] είναι μια μετρήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων. Η συνάρτηση Βολτέρρα ορίζεται ως εξής. Είναι μηδέν στο S. Σε κάθε ανοικτό διάστημα  του συμπληρωματικού του S, είναι ίση με μια διαφορίσιμη συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο, που επεκτείνεται στο a και στο b σε μια συνεχή και διαφορίσιμη συνάρτηση, με , αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η παράγωγος να είναι ασυνεχής στο a και στο b. Για να το κάνουμε αυτό, προσαρμόζουμε στο διάστημα  την παρακάτω κατασκευή, που πραγματοποιήθηκε, για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, για την περίπτωση του διαστήματος ]0,1[ :
 Έστω  για , με c ένα πραγματικό στοιχείο του  και τέτοιο ώστε .
 Έστω  πάνω στο .
Έστω  στο *

Ιδιότητες 
Αφού ολοκληρώσουμε μια ανάλογη κατασκευή σε κάθε διάστημα του συμπληρώματος του S, λαμβάνουμε μια συνάρτηση V παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του , και της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής στο S και συνεχής στο συμπλήρωμά του .

Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με μηδενική παράγωγο. Αλλά για μη μηδενικό x, έχουμε , το οποίο σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του μηδενός, υπάρχουν σημεία όπου η  παίρνει τις τιμές 1 και -1. Έτσι, υπάρχουν σημεία όπου το  παίρνει τις τιμές 1 και -1 σε κάθε γειτονιά κάθε ορίου των διαστημάτων που αφαιρούνται κατά την κατασκευή του συνόλου S του Σμιθ, Βόλτερρα και Κάντορ. Έτσι, σε οποιοδήποτε σημείο του S, το V είναι παραγωγίσιμο, με μηδενική παράγωγο, αλλά το  εκεί είναι ασυνεχές. Ωστόσο, η  είναι συνεχής σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, οπότε το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της  είναι ακριβώς ίσο με το S.

Δεδομένου ότι το σύνολο S έχει αυστηρά θετικό μέτρο Λεμπεσγκ, αυτό σημαίνει ότι το  είναι ασυνεχές σε ένα σύνολο μη μηδενικού μέτρου, και επομένως δεν είναι ολοκληρώσιμο κατά Ρίμαν..

Σημειώστε ότι αν είχαμε πραγματοποιήσει την ίδια κατασκευή στο σύνολο Cantor C, θα είχαμε λάβει μια συνάρτηση με παρόμοιες ιδιότητες, αλλά η παράγωγος θα ήταν ασυνεχής στο C, το οποίο έχει μέτρο μηδέν, και η συνάρτηση που θα λαμβάναμε θα είχε τότε μια ολοκληρώσιμη παράγωγο Ρίμαν.

Δημοσιεύσεις  
  Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function, talk by David Marius Bressoud
 Volterra's example of a derivative that is not integrable (PPT), talk by David Marius Bressoud

Δείτε επίσης 
Βίτο Βολτέρρα
Σύνολο Μάντελμπροτ 
Σύνολο Julia
Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

 
 
 
Φράκταλ
Μαθηματική λογική
Φιλοσοφία των μαθηματικών
Ιστορία των Μαθηματικών