Ανισότητα Γένσεν

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γένσεν (αναφέρεται και ως ανισότητα Jensen) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση  και πραγματικούς αριθμούς , ισχύει ότι

Πιο γενικά, για κάθε  με , ισχύει ότι

Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.

Απόδειξη

Μία συνάρτηση  είναι κυρτή αν για κάθε  και , ισχύει ότι

Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για , θέτοντας  και . Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε  με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για  και κάθε  και κάθε  με , δηλαδή

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε  και  με . Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή,

χρησιμοποιώντας ότι .

Από την () για ,  και , έχουμε ότι
.
Από την επαγωγική υπόθεση, για  (καθώς ) έχουμε ότι 
,
που ολοκληρώνει την απόδειξη για  μεταβλητές.

Εφαρμογές

Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων:
 της θεωρίας πληροφορίας (π.χ. η ανισότητα Γκιμπς)
 της θεωρίας πολυπλοκότητας (π.χ. για την ανάλυση πιθανοτικών και προσεγγιστικών αλγορίθμων)
 της θεωρίας πιθανοτήτων (συνήθως με την μορφή  για την αναμενόμενη τιμή )

Αποδείξεις άλλων ανισοτήτων
Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής:
 της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
 της ανισότητας Γιανγκ για το γινόμενο
 της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς
 της ανισότητας Νέσμπιττ

Ιστορία
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906. Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.

Παραπομπές

Ανισότητες