Ύψος τριγώνου

Στην γεωμετρία, το ύψος ενός τριγώνου ως προς μία κορυφή είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει αυτή την κορυφή προς την απέναντι πλευρά και είναι κάθετο σε αυτή. Κάθε τρίγωνο  έχει τρία ύψη  τα οποία συντρέχουν στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο. Τα ύψη συνήθως συμβολίζονται ως  ή  αντίστοιχα.

Ορθόκεντρο τριγώνου 

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο , τα ύψη  συντρέχουν.

Απόδειξη 

Θεωρούμε  την τομή των  και .

Το τετράπλευρο  είναι εγγράψιμο, αφού η  φαίνεται από δύο ίσες (ως ορθές) γωνίες την  και . Άρα,
, ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Το τετράπλευρο  είναι εγγράψιμο, καθώς οι απέναντι πλευρές του είναι παραπληρωματικές. Άρα
.
Τέλος, έχουμε ότι  ως κατακορυφήν γωνίες και . Συνεπώς, η  είναι ορθή και άρα το  είναι ύψος.

Απόδειξη με διανύσματα 

Ξανά θεωρούμε  την τομή των  και . Θεωρούμε τα διανύσματα  των σημείων  αντίστοιχα. Αφού  είναι ύψος έχουμε ότι
.
Αφού  είναι ύψος έχουμε ότι
.
Αφαιρώντας τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε ότι
,
που συνεπάγεται ότι 
,
και άρα το  είναι ύψος και  είναι το ορθόκεντρο.

Απόδειξη με θεώρημα του Τσέβα 

Τα τρίγωνα  και  είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την  ίση. Επομένως,
.
Αντίστοιχα,
 και .
Επομένως, 
,
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν.

Ιδιότητες 
 (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο , το ορθόκεντρο  και το περίκεντρο  είναι συγγραμμικά και .
 (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία , τα μέσα των  και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
 (Θεώρημα Νάγκελ) Αν  είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε 
,  και .
 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
 Το ορθόκεντρο είναι το σημείο  που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:
.
 Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα ανν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Μετρικές σχέσεις 
 Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι 
,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος.
 Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις:
,  και .
 Έστω  το εμβαδό του τριγώνου και , τότε
,
και αν , τότε
.
 Αν  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

 Αν  το ορθόκεντρο,  το βαρύκεντρο,  ο περιγεγραμμένος,  o εγγεγραμμένος και  ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε
,
,
,
.
 Για τα ύψη , ισχύει ότι
,
.
.
 Αν  η διάμεσος τριγώνου  με , τότε 
.
 Αν  η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και  οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε
,
,
.

Ανισοτικές σχέσεις 
Σε κάθε τρίγωνο  με  έχουμε ότι:

Ορθικό τρίγωνο 

Το τρίγωνο  λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό) τρίγωνο του τριγώνου .

Δείτε επίσης 
 Διάμεσος
 Διχοτόμος γωνίας
 Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
 Ορθικό τρίγωνο
 Ορθοκεντρική τετράδα
 Ορθοκεντρικό τετράπλευρο

Παραπομπές 

Τρίγωνα