Πίνακας περιστροφής

Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία , ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με
,
όπου  είναι το ημίτονο και  το συνημίτονο της γωνίας .

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών, την ρομποτική, την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

Στις δύο διαστάσεις

Τύπος

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία  αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής

Απόδειξη
Θεωρούμε ένα σημείο  στο επίπεδο. Έστω  η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και  η γωνία μεταξύ του  και του άξονα xx'. Τότε  και .

Έστω  το σημείο  περιεστρεμμένο κατά γωνία  αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του  με τον xx' είναι  και το μήκος του είναι . Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι

και 

Συνεπώς, ισχύει ότι

Παραδείγματα
 Περιστροφή του  κατά γωνία  μας δίνει το σημείο , που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο

 Η περιστροφή κατά  αντιστοιχεί στην

 Η περιστροφή του σημείου  κατά γωνία  δίνεται από τον τύπο
.

Ιδιότητες
 Ο πίνακας  είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον . Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.

Χρησιμοποιώντας ότι  και , έχουμε ότι

Πολλαπλασιάζοντας του δύο πίνακες και χρησιμοποιώντας ότι , έχουμε ότι
.

 Η Ορίζουσα του πίνακα .

Η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο:
.

 Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες  και  είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία , δηλαδή .

Το γινόμενο δίνεται ως εξής:

Χρησιμοποιώντας ότι  και , έχουμε ότι

Επομένως, το ζητούμενο έπεται.

Στις τρεις διαστάσεις

Περιστροφή γύρω από τους άξονες 
Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία  γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:

Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:
 και

Παραπομπές

Πίνακες (μαθηματικά)
Μετασχηματισμός (μαθηματικά)