Μπέρναρντ Μπολζάνο

Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο (Bernard Bolzano, 5 Οκτωβρίου 1781 - 18 Δεκεμβρίου 1848), το πλήρες όνομά του ήταν Bernhard Placidus Johann Gonzal Nepomuk Bolzano, ήταν μαθηματικός, λογικολόγος, φιλόσοφος και θεολόγος που γεννήθηκε και πέθανε στην Πράγα. Γιος μιας γερμανόφωνης γυναίκας και ενός μετανάστη από την Ιταλία που ζούσε στη Βοημία, που ήταν τότε μέρος της Αυστριακής Αυτοκρατορίας, ο Μπολζάνο έγραψε όλα τα έργα του στα γερμανικά. Η επιρροή των φιλοσοφικών του έργων είναι σημαντική, όπως και οι ανακαλύψεις του στα μαθηματικά. Έδωσε το όνομά του σε δύο θεωρήματα.

Βιογραφία
Οι γονείς του Μπολζάνο ήταν θρήσκοι καθολικοί. Ο πατέρας του, Μπέρναρντ Πομπήιος Μπολζάνο, γεννήθηκε στη βόρεια Ιταλία και εγκαταστάθηκε στην Πράγα, όπου παντρεύτηκε τη Μαρία Σεσίλια Μάουρερ, κόρη ενός γερμανόφωνου εμπόρου της Πράγας. Μόνο δύο από τα δώδεκα παιδιά τους επέζησαν μέχρι την ενηλικίωσή τους.

Ο Μπέρναρντ Μπολζάνο εισήχθη στο Πανεπιστήμιο της Πράγας το 1796 και σπούδασε μαθηματικά, φιλοσοφία και φυσική. Το 1800, παρά τη συμβουλή του πατέρα του, αποφάσισε να γίνει ιερέας. Έγινε ιερέας το 1804. Δίδαξε θρησκευτικά στην Πράγα και αφιέρωσε τον υπόλοιπο χρόνο του στα μαθηματικά. Το έργο του επικεντρώθηκε κυρίως στις συναρτήσεις, τη λογική και τη θεωρία των αριθμών. Θεωρείται ως ένας από τους κύριους συντελεστές της λογικής όπως την ξέρουμε σήμερα. Κατά τη διάρκεια των σπουδών του σημείωσε: "Η ιδιαίτερη προτίμησή μου για τα Μαθηματικά στηρίζεται κατά έναν ιδιαίτερο τρόπο στις κερδοσκοπικές πτυχές τους, με άλλα λόγια, εκτιμώ πολύ εκείνο το μέρος των Μαθηματικών που είναι ταυτόχρονα και Φιλοσοφία". Το φθινόπωρο του 1800, άρχισε να σπουδάζει θεολογία. Αφιέρωσε τα επόμενα τρία χρόνια σε αυτές τις σπουδές, κατά τη διάρκεια των οποίων προετοίμασε επίσης τη διδακτορική του διατριβή στη Γεωμετρία. Έλαβε το διδακτορικό του το 1804, αφού έγραψε μια διατριβή στην οποία εξέφραζε τη γνώμη του για τα μαθηματικά και τα χαρακτηριστικά μιας σωστής μαθηματικής απόδειξης. Στον πρόλογο έγραφε: "Δεν θα μπορούσα να είμαι ικανοποιημένος με μια αυστηρά αυστηρή απόδειξη, αν αυτή δεν προέκυπτε από τις έννοιες που περιέχονται στη θέση που έπρεπε να αποδειχθεί.

Ως δάσκαλος, ο Μπολζάνο προώθησε τις αξίες της ελευθερίας και της ισότητας και τάχθηκε υπέρ του ειρηνισμού. Ωστόσο, το πλαίσιο της εποχής (η Πράγα ανήκε στην Αυστριακή Αυτοκρατορία, όπου ο πρίγκιπας Κλέμενς Βένζελ φον Μέτερνιχ είχε μεγάλη επιρροή) δεν ευνοούσε αυτές τις προοδευτικές ιδέες. Τον Δεκέμβριο του 1819 απολύθηκε από τη θέση του, όπως και πολλοί άλλοι καθηγητές σε πανεπιστήμια σε όλη την αυτοκρατορία3. Οι δημοσιεύσεις του απαγορεύτηκαν σε ολόκληρη την Αυστρία. Καταφεύγει στους φίλους του Γιόχαν και Άννα Χόφμαν. Η εύθραυστη υγεία του (φυματίωση) και άλλες υποχρεώσεις τον εμπόδιζαν να αφιερώσει όσο χρόνο χρειαζόταν στο έργο του. Το 1837 έγραψε το σημαντικότερο έργο του: Wissenschaftslehre ("Θεωρία της επιστήμης"). Πέθανε στις 18 Δεκεμβρίου 1848 εξαιτίας της ασθένειάς του.

Στα μαθηματικά, είναι περισσότερο γνωστός για το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Αξιών και το Θεώρημα Μπολζάνο-Βάιερστρας, που αποδείχθηκε πιο αυστηρά από τον Καρλ Βάιερστρας.

Στη φιλοσοφία του, ο Μπολζάνο ασκεί κριτική στον ιδεαλισμό του Χέγκελ και του Καντ, υποστηρίζοντας ότι οι αριθμοί, οι ιδέες και οι αλήθειες υπάρχουν ανεξάρτητα από τους ανθρώπους που τις σκέφτονται. Έτσι, η νοητική πράξη διακρίνεται από το νόημα της πράξης.

Ο Μπολζάνο θεωρείται συχνά ως ένας από τους θεμελιωτές της σύγχρονης λογικής. Στη Θεωρία της Επιστήμης του 1837, προσπάθησε να παράσχει λογικά θεμέλια για όλες τις επιστήμες, οι οποίες οικοδομούνται από αφηρημένες έννοιες, αφηρημένα αντικείμενα, ιδιότητες, κατασκευές, αποδείξεις, συνδέσμους κ.ά. Οι περισσότερες από αυτές τις προσπάθειες σχετίζονται με την προηγούμενη εργασία του σχετικά με την αντικειμενική σχέση μεταξύ των λογικών συνεπειών (τα πράγματα όπως συμβαίνουν) και της καθαρά υποκειμενικής μας αντίληψης αυτών των συνεπειών (ο τρόπος που βλέπουμε τα γεγονότα). Εδώ έρχεται κοντά στη φιλοσοφία των μαθηματικών, όπως στα Beiträge του 1810. Για τον Μπολζάνο, δεν έχουμε καμία βεβαιότητα για τις αλήθειες, ή τις υποτιθέμενες αλήθειες, της φύσης ή των μαθηματικών, και είναι ακριβώς ο ρόλος των επιστημών, τόσο των καθαρών όσο και των εφαρμοσμένων, να βρουν μια αιτιολόγηση για τις θεμελιώδεις αλήθειες (ή νόμους) που τις περισσότερες φορές έρχονται σε αντίθεση με τη διαίσθησή μας.

Θεωρία της επιστήμης 
Στο έργο του Διδασκαλία της επιστήμης (Wissenschaftlehre) του 1837, ο Μπολζάνο προσπάθησε να παράσχει λογικές βάσεις για όλες τις επιστήμες, βασιζόμενος σε αφηρημένες έννοιες όπως αφηρημένα αντικείμενα, ιδιότητες, ιδέες και προτάσεις καθεαυτές, ουσίες, υποκειμενικές ιδέες, κρίσεις κ.ά. Το έργο αυτό αποτέλεσε επέκταση των προηγούμενων σκέψεών του για τη φιλοσοφία των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα στα Beiträge του 1810, στα οποία τόνισε τη διάκριση μεταξύ, αφενός, της αντικειμενικής σχέσης μεταξύ των μαθηματικών φαινομένων και, αφετέρου, της αντικειμενικής σχέσης μεταξύ των μαθηματικών φαινομένων. Το έργο αυτό αποτέλεσε επέκταση των προηγούμενων σκέψεών του για τη φιλοσοφία των μαθηματικών, για παράδειγμα στα Beiträge του 1810, στα οποία τόνισε τη διάκριση μεταξύ, αφενός, της αντικειμενικής σχέσης μεταξύ των λογικών συνεπειών και, αφετέρου, της υποκειμενικής μας αναγνώρισης αυτών των σχέσεων. Για τον Μπολζάνο, δεν αρκούσε να έχουμε απλώς την επιβεβαίωση φυσικών ή μαθηματικών αληθειών, αλλά ήταν ο κατάλληλος ρόλος των επιστημών (καθαρών και εφαρμοσμένων) να αναζητούν την αιτιολόγηση με όρους θεμελιωδών αληθειών που μπορεί να είναι ή να μην είναι αυτονόητες για εμάς.

Μεταφυσική
Στην Wissenschaftslehre(Διδασκαλία της επιστήμης) ο Μπολζάνο ασχολείται κυρίως με τρεις τομείς της γνώσης:

 Το πεδίο της γλώσσας, το οποίο αποτελείται από λέξεις και προτάσεις.
Το πεδίο της σκέψης, το οποίο αποτελείται από υποκειμενικές ιδέες και κρίσεις.
Το πεδίο της λογικής, το οποίο αποτελείται από αντικειμενικές ιδέες (ή ιδέες-σε-αυτούς) και προτάσεις-σε-αυτούς.

Ο Μπολζάνο αφιερώνει ένα μεγάλο μέρος της Wissenschaftslehre στην εξήγηση αυτών των τριών πεδίων και των σχέσεών τους.

Δύο διαφορές παίζουν εξέχοντα ρόλο στο σύστημά του. Πρώτον, η διαφορά ανάμεσα στα μέρη και στα σύνολα. Για παράδειγμα, οι λέξεις είναι μέρη των προτάσεων, οι υποκειμενικές ιδέες είναι μέρη των κρίσεων και οι αντικειμενικές ιδέες είναι μέρη των προτάσεων καθαυτών. Δεύτερον, όλα τα αντικείμενα διακρίνονται σε αυτά που υπάρχουν, δηλαδή που συνδέονται αιτιωδώς και βρίσκονται στο χώρο ή/και στο χρόνο, και σε αυτά που δεν υπάρχουν.

Ο αρχικός ισχυρισμός του Μπολζάνο είναι ότι το πεδίο της λογικής κατοικείται από αντικείμενα του τελευταίου είδους.

Ιδέες και αντικείμενα
Ο Μπολζάνο χρησιμοποιεί τη λέξη "αντικείμενο" για να δηλώσει κάτι που αντιπροσωπεύεται από μια ιδέα. Μια ιδέα που έχει ένα αντικείμενο αντιπροσωπεύει αυτό το αντικείμενο. Αλλά μια ιδέα που δεν έχει αντικείμενο δεν αντιπροσωπεύει τίποτα. Η ιδέα ενός "τετραγωνικού κύκλου", για παράδειγμα, δεν έχει αντικείμενο επειδή το αντικείμενο που θέλουμε να αναπαραστήσουμε είναι αντιφατικό. Ο Μπολζάνο παίρνει επίσης ως παράδειγμα την ιδέα του "τίποτα", η οποία εξ ορισμού δεν έχει αντικείμενο. Ωστόσο, η πρόταση "η ιδέα του τετραγωνικού κύκλου είναι σύνθετη" έχει ως υποκείμενο-ιδέα την ιδέα του τετραγωνικού κύκλου. Αυτό το υποκείμενο-ιδέα έχει ένα αντικείμενο, τον τετράγωνο κύκλο. Αλλά η ιδέα ενός τετραγωνικού κύκλου δεν έχει αντικείμενο.

Εκτός από τις ιδέες χωρίς αντικείμενο, υπάρχουν ιδέες που έχουν μόνο ένα αντικείμενο. Για παράδειγμα, η ιδέα του πρώτου ανθρώπου στο φεγγάρι αντιπροσωπεύει ένα μόνο αντικείμενο. Ο Μπολζάνο αποκαλεί αυτές τις ιδέες "μοναδικές ιδέες". Προφανώς, υπάρχουν επίσης ιδέες που έχουν πολλά αντικείμενα, για παράδειγμα "οι πολίτες του Άμστερνταμ", καθώς και άπειρος αριθμός αντικειμένων, για παράδειγμα η ιδέα ενός πρώτου αριθμού (βλέπε De la méthode mathématique §4).

Λογική
Οι προβληματισμοί του Μπολζάνο αφορούσαν αυτό που σήμερα ονομάζεται λογισμός των κατηγορημάτων, ο οποίος αναπτύχθηκε αργότερα, εν μέρει ως αποτέλεσμα της συμβολής του. Οι όροι που χρησιμοποίησε δεν συμπίπτουν απαραίτητα με τη μεταγενέστερη χρήση.

Σύμφωνα με τον Μπολζάνο, όλες οι προτάσεις αποτελούνται από τρία στοιχεία (απλά ή σύνθετα): ένα υποκείμενο, ένα κατηγόρημα και μια συμπύλη.

Αντί της παραδοσιακής κόπκουλας "είναι", ο Μπολζάνο προτιμά το "έχει, κατέχει". Ο λόγος είναι ότι το "έχει", σε αντίθεση με το " είναι", μπορεί να συνδέσει έναν συγκεκριμένο όρο όπως "Σωκράτης" με έναν αφηρημένο όρο όπως "φαλακρός". Σύμφωνα με τον Μπολζάνο, το "ο Σωκράτης έχει μια φαλάκρα" είναι προτιμότερο από το "ο Σωκράτης είναι φαλακρός". Το "φαλακρός" αποτελείται από μόνο του από τα στοιχεία "κάτι", "ποιος", "έχει" και "φαλακρότητα". Ο Μπολζάνο περιορίζει επίσης τις υπαρξιακές προτάσεις κατ' αυτήν τη μορφή: "Ο Σωκράτης υπάρχει" γίνεται τότε απλώς "Ο Σωκράτης έχει ύπαρξη".

Στη λογική θεωρία του Μπολζάνο, η έννοια της μεταβολής παίζει σημαντικό ρόλο: αρκετές λογικές σχέσεις ορίζονται με βάση τη μεταβολή της τιμής αλήθειας που υφίστανται οι προτάσεις όταν τα μη λογικά τους μέρη αντικαθίστανται από άλλα.

Οι λογικά αναλυτικές προτάσεις, για παράδειγμα, είναι εκείνες στις οποίες όλα τα μη λογικά μέρη μπορούν να αντικατασταθούν χωρίς καμία αλλαγή στην τιμή αλήθειας. Δύο προτάσεις είναι συμβατές (verträglich) σύμφωνα με ένα από τα συστατικά τους μέρη x αν υπάρχει τουλάχιστον ένας όρος που μπορεί να εισαχθεί και να κάνει και τις δύο αληθείς. Μια πρόταση Q μπορεί να συναχθεί (ableitbar) από μια πρόταση P, σε συμφωνία με κάποια από τα μη λογικά μέρη τους, αν οποιαδήποτε αντικατάσταση αυτών των μερών που κάνει την P αληθή κάνει και την Q αληθή. Αν μια πρόταση είναι συναγώγιμη από μια άλλη σε συμφωνία με όλα τα μη λογικά μέρη της, ονομάζεται "λογικά συναγώγιμη". Παράλληλα με τη σχέση συναγωγιμότητας, ο Μπολζάνο θεωρεί ότι υπάρχει και μια αυστηρότερη σχέση "συνεπαγωγιμότητας" (Abfolge). Πρόκειται για μια ασύμμετρη σχέση που προκύπτει μεταξύ αληθινών προτάσεων όταν η μία από τις προτάσεις όχι μόνο μπορεί να συναχθεί από την άλλη, αλλά και να εξηγηθεί από αυτήν.

Αλήθεια
Ο Μπολζάνο διακρίνει πέντε σημασίες των λέξεων " αληθινός " και " αλήθεια " στην κοινή χρήση. Τις κατατάσσει από τις πιο κατάλληλες προς τις λιγότερο κατάλληλες:

Αντικειμενική αφηρημένη έννοια: "αλήθεια" με την έννοια μιας ιδιότητας που μπορεί να εφαρμοστεί σε μια πρόταση, κυρίως σε μια πρόταση καθεαυτήν, δηλαδή της ιδιότητας βάσει της οποίας η πρόταση εκφράζει κάτι που στην πραγματικότητα είναι όπως εκφράζεται.
Αντικειμενική συγκεκριμένη έννοια: (μία) "αλήθεια" με την έννοια μιας πρότασης που έχει το χαρακτηριστικό αλήθεια με την αντικειμενική αφηρημένη έννοια. Αντώνυμο: ψεύδος
Υποκειμενική έννοια: (μία) "αλήθεια" με την έννοια της ορθής κρίσης. Αντώνυμο: (ένα) σφάλμα.
Συλλογική έννοια: "αλήθεια" με την έννοια ενός συνόλου αληθινών προτάσεων ή πολλαπλών κρίσεων (π.χ. βιβλική αλήθεια).
 Ακατάλληλη έννοια: "αλήθεια" με αυτή την έννοια σημαίνει ότι ένα συγκεκριμένο αντικείμενο είναι στην πραγματικότητα αυτό που ένα συγκεκριμένο δόγμα δηλώνει ότι είναι (π.χ. ο αληθινός Θεός). Αντώνυμα: ψευδής, εξωπραγματικός, απατηλός, απατηλός.

Το πρώτο μέλημα του Μπολζάνο είναι το αντικειμενικό συγκεκριμένο νόημα: αντικειμενικές συγκεκριμένες αλήθειες ή αλήθειες καθεαυτές. Όλες οι αλήθειες καθ' εαυτές είναι ένα είδος πρότασης καθ' εαυτές. Δεν υπάρχουν, δηλαδή δεν βρίσκονται χωροχρονικά με τον ίδιο τρόπο όπως οι προτάσεις που σκέφτονται και λέγονται. Ωστόσο, ορισμένες προτάσεις έχουν την ιδιότητα να είναι μια αλήθεια καθ' εαυτές. Το να είναι μια σκεπτόμενη πρόταση δεν αποτελεί μέρος της έννοιας της αλήθειας καθ' εαυτήν, παρά το γεγονός ότι, με την παντογνωσία του Θεού, όλες οι αλήθειες καθ' εαυτές είναι επίσης σκεπτόμενες αλήθειες. Οι έννοιες της "αλήθειας καθ' εαυτήν" και της "αλήθειας της σκέψης" είναι εναλλάξιμες με την έννοια ότι εφαρμόζονται στα ίδια αντικείμενα, αλλά δεν είναι ταυτόσημες.

Ο Μπολζάνο προτείνει ως σωστό ορισμό της αφηρημένης αντικειμενικής αλήθειας τον εξής: μια πρόταση είναι αληθής αν εκφράζει κάτι που ισχύει για το συγκεκριμένο αντικείμενο. Ο σωστός ορισμός της συγκεκριμένης αντικειμενικής αλήθειας πρέπει τότε να είναι: μια αλήθεια είναι μια πρόταση που εκφράζει κάτι που ισχύει για το αντικείμενό της. Αυτός ο ορισμός ισχύει για τις αλήθειες καθεαυτές και όχι για τις νοητές ή γνωστές αλήθειες, αφού καμία από τις έννοιες αυτού του ορισμού δεν είναι υποδεέστερη της έννοιας του νοητού ή γνωστού.

Υστεροφηµία
Η επιρροή της φιλοσοφικής του σκέψης θα μπορούσε να παραμείνει αδύναμη, αλλά το έργο του ανακαλύφθηκε τελικά εκ νέου από τον Έντμουντ Χούσερλ και τον Καζιμιέρζ Τβαρντόφσκι, και οι δύο φοιτητές του Φραντς Μπρεντάνο. Μέσω αυτών, ο Μπολζάνο άσκησε σημαντική επιρροή στη φαινομενολογία και την αναλυτική φιλοσοφία. Το μεταθανάτιο έργο του Τα παράδοξα του απείρου θαυμάστηκε από πολλούς επιφανείς λογικούς που ακολούθησαν μετά από αυτόν, όπως ο Σαρλ Σάντερς Πιρς, ο Γκέοργκ Κάντορ και ο Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ. Μεγάλο μέρος του μαθηματικού έργου του Μπολζάνο παρέμεινε άγνωστο μέχρι που ο Ότο Στολτς ανακάλυψε εκ νέου τα χαμένα έγγραφά του και τα επανέκδωσε το 1881.

Δημοσιεύσεις 
 Bolzano: Gesamtausgabe (Bolzano: Collected Works), critical edition edited by Eduard Winter, Friedrich Kambartel, Bob van Rootselaar, Stuttgart: Fromman-Holzboog, 1969ff. (103 Volumes available, 28 Volumes in preparation).
 Wissenschaftslehre, 4 vols., 2nd rev. ed. by W. Schultz, Leipzig I–II 1929, III 1980, IV 1931; Critical Edition edited by Jan Berg: Bolzano's Gesamtausgabe, vols. 11–14 (1985–2000).
 Bernard Bolzano's Grundlegung der Logik. Ausgewählte Paragraphen aus der Wissenschaftslehre, Vols. 1 and 2, with supplementary text summaries, an introduction and indices, edited by F. Kambartel, Hamburg, 1963, 1978².
  (Contributions to a better grounded presentation of mathematics;  and The Mathematical Works of Bernard Bolzano, 2004, pp. 83–137).
  (Purely analytic proof of the theorem that between any two values which give results of opposite sign, there lies at least one real root of the equation; .
 Franz Prihonsky (1850), Der Neue Anti-Kant, Bautzen (an assessment of the Critique of Pure Reason by Bolzano, published posthumously by his friend F. Prihonsky).* (Paradoxes of the Infinite;  (excerpt)). 

Most of Bolzano's work remained in manuscript form, so it had a very small circulation and little influence on the development of the subject.

Παραπομπές

Μαθηματικοί αναλυτές
Τσέχοι μαθηματικοί
Μαθηματικοί του 19ου αιώνα