Ταυτότητα Λαγκράνζ

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Λαγκράνζ (αναφέρεται και ως ταυτότητα Lagrange) είναι η ταυτότητα που ισχύει για κάθε πραγματικούς αριθμούς  και λέει ότι
.

Πιο γενικά, για οποιαδήποτε για  πραγματικούς  και  ισχύει ότι 

ή πιο σύντομα με την χρήση του συμβολισμού για το άθροισμα
.
Η σχέση αυτή μπορεί επίσης να γραφτεί  με την χρήση διανυσμάτων  ως εξής
.
Από αυτήν την σχέση και το γεγονός ότι  για κάθε πραγματικό αριθμό , προκύπτει η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή
.

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ.

Αποδείξεις

Απόδειξη για n = 2 

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι 

το οποίο είναι το αριστερό μέλος.

Γενική απόδειξη 

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι 

Για το αριστερό μέλος έχουμε ότι 
,
όπου στο τελευταίο βήμα προσθέσαμε τους όρους  στο πρώτο άθροισμα και τους αφαιρέσαμε από το δεύτερο. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι τα δύο μέλη είναι ίσα.

Δείτε επίσης 
 Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

Παραπομπές 

 Μαθηματικές ταυτότητες