Ανάστροφος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο ανάστροφος πίνακας  ενός πίνακα  δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν  πίνακα  ο ανάστροφός του είναι ο  πίνακας , με  για κάθε  και .

Για παράδειγμα, για τον πίνακα  με διαστάσεις  ο ανάστροφός του είναι ο  με διαστάσεις .

Στην γενική περίπτωση:

Παραδείγματα 
 Παρακάτω δίνονται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα πινάκων, μαζί με τον ανάστροφό τους:

 Ο ανάστροφος του  διανύσματος στήλης  είναι το  διάνυσμα γραμμής:
 και .
 Η αναστροφή του πίνακα γειτνίασης ενός κατευθυνόμενου γράφου αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης του γράφου με ακμές που έχουν αντίθετη φορά.

Ιδιότητες 

 Ο ανάστροφος του ανάστροφου μας δίνει τον αρχικό πίνακα, .

Θεωρώντας το στοιχείο στην -οστή γραμμή και -οστή στήλη έχουμε
.
Επομένως, τα στοιχεία των δύο πινάκων είναι ίσα και έτσι .

 Η αναστροφή ενός πίνακα  είναι γραμμικός μετασχηματισμός στον χώρο των πινάκων με ίδιες διστάσεις. Δηλαδή για κάθε πίνακες ,  διαστάσεων  και κάθε στοιχείο , ισχύει ότι  και .

Θα δείξουμε ότι τα στοιχείο στην -οστή γραμμή και -οστή στήλη των δύο μελών είναι ίσα:
,
και αντίστοιχα
.
Συνεπώς, η αναστροφή ενός πίνακα είναι γραμμικός μετασχηματισμός.

 Για το γινόμενο δύο πινάκων  και , ισχύει ότι .

Έστω ότι ο πίνακας  έχει διαστάσεις  και ο πίνακας  έχει . Θα αποδείξουμε ότι τα στοιχεία των πινάκων των δύο μελών είναι ίσα. Για το στοιχείο στην -οστή γραμμή και -οστή στήλη, ισχύει ότι

Άρα τα δύο στοιχεία είναι ίσα και επομένως .

 Για έναν αντιστρέψιμο πίνακα , ισχύει ότι ο ανάστροφός του είναι αντιστρέψιμος και .

Από τον ορισμό του αντίστροφου πίνακα , έχουμε ότι
,
όπου  είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Αφού  παίρνοντας τον ανάστροφο των δύο μελών, έχουμε ότι
.
Συνεπώς, ο  είναι ο αντίστροφος του , δηλαδή .

 Για έναν τετραγωνικό πίνακα , το ίχνος .

Έστω ότι ο πίνακας  έχει διαστάσεις . Από τον ορισμό του ίχνους,

 Για την ορίζουσα του αναστρέψιμου πίνακα, .

Σχετικές έννοιες 

 Συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας  με .
 Αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας  με .
 Ορθογώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας  με .

Παραπομπές 

Γραμμική άλγεβρα