Τύποι Mollweide

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Mollweide σε ένα τρίγωνο  με πλευρές  και κορυφές , είναι οι εξής σχέσεις
,
και
.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.

Απόδειξη 

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι 

όπου  η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι 

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων 

και 

Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι 

Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες () έχουμε ότι 
.
Έπειτα η () και η () δίνουν ότι
.
Αφού οι  είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι . Χρησιμοποιώντας ότι , καταλήγουμε ότι 
.

Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες () έχουμε ότι 
.
Έπειτα η () και η () δίνουν ότι
.
Αφού οι  είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι . Χρησιμοποιώντας ότι , καταλήγουμε ότι 
.

Απόδειξη χωρίς λόγια 
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu.

Εφαρμογές

Νόμος των εφαπτομένων 

Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων
.

Παραπομπές 

Γωνία
Γεωμετρία του τριγώνου
Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Τριγωνομετρία
Όρος με ελλιπή ελληνική μετάφραση