Σχέση του Λάιμπνιτς

Στην γεωμετρία, η σχέση του Λάιμπνιτς (αναφέρεται και ως σχέση του Leibniz) αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου  από τις κορυφές ενός τριγώνου  και το βαρύκεντρο  του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα,

Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

Αποδείξεις

Απόδειξη με θεώρημα διαμέσων 
Έστω  το μέσο της . Τότε από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο  έχουμε ότι 
.
Αντίστοιχα από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο , 
.
Από το θεώρημα Stewart και χρησιμοποιώντας ότι  έχουμε ότι 

Τέλος, συνδυάζοντας τις τρεις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε

Απόδειξη με διανύσματα 
Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για να αποδείξουμε την πρώτη σχέση.
Από τις ιδιότητες του βαρυκέντρου έχουμε ότι 
.
Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος έχουμε ότι

Γενικεύσεις 

Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία  και ένα τυχόν σημείο  του επιπέδου ισχύει ότι
,
όπου .

Δείτε επίσης 
 Πρώτο θεώρημα διαμέσων
 Θεώρημα Στιούαρτ

Παραπομπές 

Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Τρίγωνα