Διαμέριση διαστήματος

Στα μαθηματικά, o διαμερισμός ή διαμέριση ενός διαστήματος  στην ευθεία των πραγματικών αριθμών είναι μια πεπερασμένη ακολουθία  πραγματικών αριθμών έτσι ώστε

 .

Με άλλους όρους, μια διαμέριση ενός συμπαγούς διαστήματος  είναι μια αυστηρά αυξανόμενη ακολουθία αριθμών που ανήκει στο ίδιο το διάστημα , ξεκινάει από το αρχικό και φθάνει στο τελικό σημείο του  .

Κάθε διάστημα της μορφής  αποκαλείται υποδιάστημα της διαμέρισης x.

Βελτίωση μιας διαμέρισης 
Μια άλλη διαμέριση  του δεδομένου διαστήματος [a, b] ορίζεται ως βελτίωση της διαμέρισης , εάν η  περιέχει όλα τα σημεία της  και πιθανώς και κάποια άλλα σημεία: η διαμέριση  λέγεται ότι είναι «πιο λεπτή» από την  . Δεδομένων δύο διαμερίσεων,  και , μπορεί κανείς πάντα να σχηματίσει την κοινή τους βελτίωση, που συμβολίζεται με  και αποτελείται από όλα τα σημεία των  και , με αύξουσα σειρά.

Κανόνας της διαμέρισης 
Ο κανόνας (ή πλέγμα ) της διαμέρισης

 

είναι το μήκος του μεγαλύτερου από αυτά τα υποδιαστήματα 

 {{Math|maxxi − xi−1}} : i  1, ... , n.

Εφαρμογές 
Οι διαμερίσεις χρησιμοποιούνται στη θεωρία του ολοκληρώματος Riemann, του ολοκληρώματος Riemann-Stieltjes και του ρυθμιζόμενου ολοκληρώματος. Συγκεκριμένα, καθώς λαμβάνονται υπόψη τα λεπτότερα διαμερίσματα ενός δεδομένου διαστήματος, το πλέγμα τους πλησιάζει το μηδέν και το άθροισμα Riemann που βασίζεται σε μια δεδομένη διαμέριση προσεγγίζει το ολοκλήρωμα Riemann .

Κατατμήσεις με ετικέτα 
Μία διαμέριση με ετικέτα  είναι μια διαμέριση ενός δεδομένου διαστήματος μαζί με μια πεπερασμένη ακολουθία αριθμών  υπό τις συνθήκες ότι για κάθε  ,

 .

Με άλλα λόγια, μια διαμέριση με ετικέτα είναι μια διαμέριση μαζί με ένα ξεχωριστό σημείο από κάθε υποδιάστημα: το πλέγμα της ορίζεται με τον ίδιο τρόπο που ορίζεται για κάθε σύνηθη διαμέριση. Είναι πιθανό να ορίσουμε μερική διάταξη στο σύνολο όλων των διαμερίσεων με ετικέτα λέγοντας ότι μια διαμέριση με ετικέτα είναι μεγαλύτερη από μία άλλη αν η μεγαλύτερη είναι βελτίωση της μικρότερης.

Ας υποθέσουμε ότι το  μαζί με τα  είναι μία διαμέριση με ετικέτα του , και ότι  μαζί με  είναι μία άλλη διαμέριση με ετικέτα του  . Λέμε ότι το  μαζί με  είναι μια βελτίωση μιας διαμέρισης με ετικέτα  μαζί με  αν για κάθε ακέραιο  με , υπάρχει ακέραιος  τέτοιος ώστε  και τέτοιος ώστε  για κάποιο  με  . Είπαμε πιο απλά, μια βελτίωση μιας διαμέρισης με ετικέτα παίρνει την αρχική διαμέριση και προσθέτει περισσότερες ετικέτες, αλλά δεν αφαιρεί καμία.

Παραπομπές 

Μαθηματική ανάλυση