Νόμος των ημιτόνων

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο , ισχύει ότι
,
όπου , ,  είναι τα μήκη των πλευρών του, , ,  οι γωνίες του, και  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με .

Απόδειξη

Ισότητα λόγων

Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι 

χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του . Έστω  το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή . Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο , από τον ορισμό του ημιτόνου , έχουμε ότι

Αντίστοιχα, στο , έχουμε ότι

Συνδυάζοντας τις () και (), έχουμε ότι
.

Αντίστοιχα για το ύψος , λαμβάνουμε ότι 
,
και έτσι έπεται το ζητούμενο.

Ισότητα με την διάμετρο

Αρκεί να δείξουμε ότι . Θεωρούμε την κάθετη από το  στην  και  το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του .  Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο , έχουμε ότι
.
Αφού η  βαίνει στο ίδιο τόξο με την  έχουμε ότι . Επίσης αφού , ισχύει ότι . Συνεπώς,

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
 Cut the Knot: Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων
 Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων
 Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Δείτε επίσης
 Νόμος των συνημιτόνων
 Νόμος των εφαπτομένων
 Τριγωνομετρία
 Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

Παραπομπές

Γωνία
Γεωμετρία του τριγώνου
Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Τριγωνομετρία