Διαφορική τοπολογία

Στα μαθηματικά, η διαφορική τοπολογία είναι το πεδίο που ασχολείται με διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις σε διαφοροποιήσιμες πολλαπλότητες. Είναι στενά συνδεδεμένη με τη διαφορική γεωμετρία και μαζί συνθέτουν τη γεωμετρική θεωρία των διαφοροποιήσιμων πολλαπλοτήτων.

Περιγραφή 
Η διαφορική τοπολογία ασχολείται με τις ιδιότητες και τις δομές που απαιτούν μόνο την ιδιότητα της ομαλής δομής σε μια πολλαπλότητα. Οι ομαλές πολλαπλότητες είναι πιο «ομαλές» από τις πολλαπλότητες με πρόσθετες γεωμετρικές δομές, οι οποίες μπορούν να λειτουργήσουν ως εμπόδια σε ορισμένους τύπους ισοδυναμιών και παραμορφώσεων που υπάρχουν στη διαφορική τοπολογία. Για παράδειγμα, ο όγκος και η ριμάνια καμπυλότητα είναι αναλλοίωτες που μπορούν να διακρίνουν διαφορετικές γεωμετρικές δομές στην ίδια ομαλή πολλαπλότητα — δηλαδή, μπορεί να "ισιώσει" κανείς ομαλά ορισμένες πολλαπλότητες, αλλά αυτό ίσως απαιτήσει τη στρέβλωση του χώρου προκαλώντας αλλαγή της καμπυλότητας ή του όγκου. 

Από την άλλη πλευρά, οι ομαλές πολλαπλότητες είναι πιο άκαμπτες από τις τοπολογικές πολλαπλότητες. Ο Τζον Μίλνορ ανακάλυψε ότι ορισμένες σφαίρες έχουν περισσότερες από μία ομαλή δομή-δείτε την εξωτική σφαίρα και το θεώρημα του Ντόναλτσον. Ο Κερβέρ παρουσίασε τοπολογικές πολλαπλότητες χωρίς ομαλή δομή. Ορισμένες κατασκευές της θεωρίας ομαλών πολλαπλοτήτων, όπως η ύπαρξη εφαπτόμενων δεσμών, μπορούν να γίνουν στο τοπολογικό πλαίσιο με πολύ περισσότερη δουλειά, ενώ άλλες δεν μπορούν καθόλου. 

Ένα από τα κύρια θέματα της διαφορικής τοπολογίας είναι η μελέτη ειδικών ειδών ομαλών απεικονίσεων μεταξύ των πολλαπλοτήτων, δηλαδή οι εμφυτεύσεις και οι εκβυθίσεις, και οι τομές των υποπολλαπλοτήτων μέσω εγκαρσιότητας. Γενικότερα, κάποιος ενδιαφέρεται για τις ιδιότητες και τις αναλλοίωτες των ομαλών πολλαπλοτήτων που μεταφέρονται μέσω διαφορομορφισμών, ένα άλλο ειδικό είδος ομαλής απεικόνισης. Η θεωρία Μορς είναι ένας άλλος κλάδος της διαφορικής τοπολογίας, στην οποία οι τοπολογικές πληροφορίες για μια πολλαπλότητα προκύπτουν από τις αλλαγές στην τάξη της ορίζουσας Τζακόμπι μιας συνάρτησης.

Παραπομπές