Κατανομή Μπερνούλλι

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής.
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας .

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή  που παίρνει τιμές  ή , δηλαδή . Για  έχουμε επιτυχία και για  αποτυχία.
Λέμε ότι η  ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι  για  αν:
 και
.

Το κλασσικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με  είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος, όπου  αντιστοιχεί σε κορώνα και  σε γράμματα.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής με .

Αναμενόμενη τιμή 

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

Διακύμανση 

Από τον ορισμό της διακύμανσης, έχουμε ότι

Λοξότητα 

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

χρησιμοποιώντας ότι .

Κύρτωση 

Από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

Ροπές 
Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε :

Εντροπία 

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, δηλαδή όταν .

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση 

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

Χαρακτηριστική συνάρτηση 

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

Δείτε επίσης 
 Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
 Διωνυμική κατανομή

Παραπομπές 

Θεωρία πιθανοτήτων
Κατανομές
Στατιστική