Μέτρο (μαθηματικά)

Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση  ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα  με τις ακόλουθες ιδιότητες:

Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε αριθμήσιμη συλλογή  ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων

Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο:

Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το  ή το  εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης.

Εξωτερικό μέτρο 

Έστω ένα σύνολο X, και έστω  το δυναμοσύνολο του X. Εξωτερικό μέτρο ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση  με τις ακόλουθες ιδιότητες:

 
 Αν , τότε .
 Αν  είναι μια ακολουθία υποσυνόλων του Χ, τότε .

Σ-περατότητα 
Έστω  ένας μετρήσιμος χώρος, δηλαδή έστω Χ κάποιο σύνολο, Σ μια σ-άλγεβρα και μ ένα μέτρο ορισμένο σε αυτή. Ένα μέτρο είναι σ-περατό αν για κάθε , υπάρχει ακολουθία ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων  με  τέτοια ώστε κάθε στοιχείο της ακολουθίας να έχει περατό μέτρο, δηλαδή .

Στοιχειώδη μαθηματικά