Στοιχεία

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (Στοιχεῖα) είναι μια μαθηματική πραγματεία που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.Χ. Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων που ορίζουν τη μαθηματική επιστήμη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης τετραγωνικών ριζών.

Ετυμολογία
Το όνομα «Στοιχεία» είναι ο πληθυντικός του «στοιχείον». Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο όρος «στοιχείον» σημαίνει ένα θεώρημα που υπεισέρχεται σε άλλα προβλήματα του κλάδου του και βοηθά να αποδειχθούν πολλά άλλα θεωρήματα. Επειδή η λέξη «στοιχείον» στην αρχαία ελληνική γλώσσα σημαίνει και «γράμμα», υποδηλώνεται ότι τα θεωρήματα των Στοιχείων θα πρέπει να τα αντιλαμβανόμαστε ως έχοντα την ίδια σχέση με τη γεωμετρία όπως τα γράμματα με τη γλώσσα. Οι μεταγενέστεροι σχολιαστές αποδίνουν μια ελαφρώς διαφορετική σημασία στον όρο, τονίζοντας το πώς οι προτάσεις προχωρούν με μικρά βήματα και «χτίζουν» επάνω σε προηγούμενες προτάσεις με μια καλώς καθορισμένη σειρά.

Τα Στοιχεία θεωρούνται η παλαιότερη σωζόμενη επιστημονική πραγματεία
και είναι το πρώτο έργο γραμμένο κατά την παραγωγική-αποδεικτική μέθοδο. Αποδείχθηκε βασική για τη δημιουργία και την εξέλιξη της λογικής και της σύγχρονης επιστήμης.

Ιστορικά στοιχεία
Το έργο αυτό του Ευκλείδη γράφτηκε στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.Χ και πολύ γρήγορα έγινε καθολικά αποδεκτό και έθεσε στο περιθώριο και συνακόλουθα στη λήθη προηγούμενα έργα γεωμετρίας. Πρώτη έκδοση των Στοιχείων στη Δυτική Ευρώπη έγινε το 1482 στη Βενετία και ακολούθησαν έκτοτε πολλές εκδόσεις σε διάφορες χώρες και γλώσσες. Υπολείπονται σε αριθμό εκδόσεων μόνο από τη Βίβλο.  

Ο Πρόκλος στο έργο του Σχόλια στο 1ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη αναφέρει:

Στα Στοιχεία συναντώνται όλες οι μέχρι σήμερα γνωστές αποδεικτικές μέθοδοι. 
Η Συνθετική, η Εις άτοπον απαγωγή, η Αναλυτική και τέλος η Μαθηματική ή Τέλεια Επαγωγή.

Η δομή του έργου
Στα 13 βιβλία των Στοιχείων υπάρχουν 121 ορισμοί, 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιες και 465 προτάσεις.

Τα βιβλία Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, IV αποτελούν την επιπεδομετρία χωρίς τις αναλογίες. Τα Ι και ΙΙ αναφέρονται στα ευθύγραμμα σχήματα, ενώ, τα ΙΙΙ και ΙV στον κύκλο.
Τα βιβλία V και VΙ αναφέρονται στις αναλογίες και στην ομοιότητα.
Τα βιβλία VΙΙ, VΙΙΙ και ΙΧ αποτελούν την αριθμητική (θεωρία αριθμών).
Το βιβλίο Χ αναφέρεται στα ασύμμετρα μεγέθη και στην αρρητότητα και τέλος
Τα βιβλία ΧΙ, ΧΙΙ, και ΧΙΙΙ αποτελούν τη στερεομετρία.

Βιβλίο Ι

Περιέχει 23 ορισμούς, 5 αιτήματα, 9 κοινές έννοιες και 48 προτάσεις. Οι προτάσεις 1-26 είναι χωρίς το 5ο αίτημα, αποτελούν τη λεγόμενη απόλυτη ή ουδέτερη γεωμετρία και αποδίδονται στον Θαλή. Οι προτάσεις 27-48 χρησιμοποιούν το 5ο αίτημα, αποτελούν τη λεγόμενη γεωμετρία των παραλλήλων και αποδίδονται στους Πυθαγορείους. Η πρόταση 47 είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα και η 48 το αντίστροφό του. Η οργάνωση του βιβλίου είναι τέτοια ώστε να αποδειχθούν όλα εκείνα τα θεωρήματα που είναι αναγκαία για την απόδειξη του πυθαγορείου θεωρήματος.

Βιβλίο ΙΙ

Περιέχει 2 ορισμούς και 14 προτάσεις. Αποτελούν τη Γεωμετρική Άλγεβρα και αποδίδεται στους Πυθαγορείους. Η πρόταση 11 είναι η διαίρεση ενός ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή είναι η κατασκευή της Χρυσής Τομής. Οι προτάσεις 12-13 είναι το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα αμβλείας και οξείας γωνίας αντίστοιχα και η 14 είναι ο τετραγωνισμός ευθύγραμμου σχήματος.

Βιβλίο ΙΙΙ

Περιέχει 11 ορισμούς και 37 προτάσεις. Αναφέρεται στον κύκλο, σε σχέσεις τόξων και χορδών, σε σχετικές θέσεις κύκλων, σε εγγεγραμμένες και επίκεντρες γωνίες, καθώς και σε μετρικές σχέσεις σε κύκλο. Αποδίδεται στους Πυθαγορείους

Βιβλίο ΙV

Περιέχει 7 ορισμούς και 16 προτάσεις. Αναφέρεται στην εγγραφή και περιγραφή στον κύκλο ευθυγράμμων σχημάτων, καθώς και στην κατασκευή των κανονικών πολυγώνων με πλήθος πλευρών 3,4,5,6 και 15. Αποδίδεται στους Πυθαγορείους.

Βιβλίο V

Περιέχει 18 ορισμούς και 25 προτάσεις και αποδίδεται στον Εύδοξο. Αναφέρεται στη θεωρία λόγων μεγεθών. Ο ορισμός 4 είναι η γνωστή Αρχή Ευδόξου-Αρχιμήδους.
Ο ορισμός αναλογίας μεγεθών συμπίπτει με τον ορισμό των πραγματικών αριθμών ως τομές Dedekind στους ρητούς.

Βιβλίο VΙ

Περιέχει 5 ορισμούς και 33 προτάσεις. Αναφέρεται στην ομοιότητα ευθύγραμμων σχημάτων και στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Η πρόταση 30 είναι η κατασκευή της Χρυσής Τομής με άλλον τρόπο σε σχέση με την ΙΙ.11.

Βιβλίο VΙΙ

Περιέχει 23 ορισμούς και 39 προτάσεις. Αναφέρεται στην θεωρία αριθμών. Η πρόταση 1 είναι ο ευκλείδειος αλγόριθμος για την εύρεση του ΜΚΔ. Οι υπόλοιπες προτάσεις αναφέρονται σε ιδιότητες αναλογιών, στους πρώτους αριθμούς, στα πολλαπλάσια και στο ΕΚΠ. Επίσης δίνεται ο ορισμός των τέλειων αριθμών.

Βιβλίο VΙΙΙ

Περιέχει 27 προτάσεις και αναφέρεται σε σειρές αριθμών, συνεχείς αναλογίες και στην γεωμετρία των αριθμών. Αρκετές προτάσεις αναφέρονται σε γεωμετρικές προόδους.

Βιβλίο ΙΧ

Περιέχει 36 προτάσεις και αναφέρεται σε ιδιότητες άρτιων και περιττών αριθμών, στην εύρεση τέλειων αριθμών, στο άθροισμα ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου. Στην πρόταση 20 αποδεικνύεται ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος.

Βιβλίο Χ

Περιέχει 4 ορισμούς και 115 προτάσεις. Αναφέρεται στα ασύμμετρα μεγέθη και στην αρρητότητα. Είναι το μεγαλύτερο βιβλίο, αποδίδεται στην Ακαδημία του Πλάτωνα και ειδικότερα στον Θεαίτητο.

Βιβλίο ΧΙ

Περιέχει 28 ορισμούς και 39 προτάσεις. Αναφέρεται σε στοιχεία στερεομετρίας.

Βιβλίο ΧΙΙ

Περιέχει 18 προτάσεις. Αναφέρεται σε σχέσεις στερεών γεωμετρικών σχημάτων (όγκοι-επιφάνειες). Υπάρχει η “μέθοδος της εξάντλησης”, που χρησιμοποιεί αργότερα ο Αρχιμήδης για να θεμελιώσει τον ολοκληρωτικό λογισμό. Αποδίδεται στον Εύδοξο.

Βιβλίο ΧΙΙΙ

Περιέχει 18 προτάσεις. Αναφέρεται στα κανονικά ή πλατωνικά στερεά (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο). Στην τελευταία πρόταση υπολογίζονται οι ακμές των πέντε κανονικών στερεών συναρτήσει της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας και αποδεικνύεται ότι τα κανονικά στερεά είναι μόνο αυτά τα πέντε. Αποδίδεται στην Ακαδημία του Πλάτωνα και ειδικότερα στον Θεαίτητο. 

Οι προτάσεις είναι δύο ειδών, τα θεωρήματα και τα προβλήματα. Τα θεωρήματα είναι προτάσεις που πρέπει να αποδειχθούν, ενώ τα προβλήματα είναι γεωμετρικές κατασκευές και πρέπει να κατασκευαστούν.
Η απόδειξη κάθε θεωρήματος ολοκληρώνεται με τη φράση όπερ έδει δείξαι, ενώ κάθε λύση προβλήματος με τη φράση όπερ έδει ποιήσαι.

Αναπόσπαστο σώμα με τα Στοιχεία είναι και τα σχήματα όπου παραθέτονται σχεδόν σε κάθε πρόταση

Βιβλιογραφία
Σωτήρης Χ. Γκουντουβάς, "Γεωμετρικές Διαδρομές", εκδόσεις Κορφιάτη, Αθήνα 2015

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Το πρωτότυπο κείμενο (PDF)
 Το πρωτότυπο κείμενο (HTML)
 Δίγλωση έκδοση (PDF πρωτότυπο ελληνικό κείμενο και αγγλική μετάφραση)
  σε HTML με διαδραστικά σχήματα σε Java.
 Τα Στοιχεία, στα σύγχρονα και αρχαία ελληνικά (Ν. Ροκοπάνος, Σ. Σακελλάρη, Α. Τσολομύτης).
 Τα Στοιχεία, σε Braille. Το πρωτότυπο σε πολυτονικό Braille καθώς και η απόδοσή του στα Νέα Ελληνικά (Ν. Ροκοπάνος, Σ. Σακελλάρη, Α. Τσολομύτης).

Στοιχεια
Βιβλία μαθηματικών