Γεωμετρική κατανομή

Η γεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής.
Περιγράφει το πλήθος πειραμάτων με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας , μέχρι να έχουμε μια επιτυχία.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή  που εκφράζει το πλήθος των πειραμάτων. 
Η πιθανότητα να χρειαστούμε  πειράματα έως ότου να έχουμε μια επιτυχία με πιθανότητα επιτυχίας  κάθε φορά είναι:
.

Παραδείγματα 

 Το πλήθος των φορών  που πρέπει να ρίξουμε ένα νόμισμα μέχρι να έρθει κορώνα ακολουθεί την κατανομή .
 Το πλήθος των φορών  που πρέπει να πάρει κανείς το λαχείο μέχρι να κερδίσει ακολουθεί την κατανομή , αν υποθέσουμε ότι συμμετέχουν  άτομα κάθε φορά.
 Αν ένας αλγόριθμος έχει πιθανότητα σφάλματος , τότε το πλήθος των φορών που πρέπει να τον τρέξουμε έως ότου δώσει την σωστή απάντηση, ακολουθεί την κατανομή .

Μέση τιμή 

Απόδειξη 1η: Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής φόρμουλα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής:
 
Η πιθανότητα να έρθει η πρώτη επιτυχία μετά το -οστό πείραμα είναι ίση με την πιθανότητα τα πρώτα  πειράματα να είναι αποτυχίες, δηλαδή

επιστρέφοντας στον τύπο της μέσης τιμής, έχουμε ότι:

Απόδειξη 2η: Ένας εναλλακτικός τρόπος για την εύρεση την μέσης τιμής είναι ο εξής:

Διακύμανση 

Ξεκινάμε υπολογίζοντας την τιμή:

Η διακύμανση τότε δίνεται από τον τύπο:

Διάμεσος 

Θέλουμε να βρούμε την μικρότερη τιμή του  ώστε:

Ισοδύναμα,

Δηλαδή,

Εντροπία 

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση 
Από τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης, έχουμε ότι:

χρησιμοποιώντας ότι .

Χαρακτηριστική συνάρτηση 
Από τον ορισμό της χαρακτηριστικής συνάρτησης, έχουμε ότι:

χρησιμοποιώντας ότι .

Ιδιότητες 
 (Έλλειψη μνήμης) Έστω , τότε για κάθε , ισχύει ότι:

 Το ελάχιστο  δύο ανεξάρτητων γεωμετρικών κατανομών  και , ακολουθεί επίσης γεωμετρική κατανομή .

Το γεγονός  συμβαίνει όταν  και . Επομένως, για κάθε , έχουμε ότι

Συνεπώς η  είναι γεωμετρική κατανομή με παράμετρο .

Δείτε επίσης 
 Γεωμετρική πρόοδος
 Αρνητική διωνυμική κατανομή

Παραπομπές 

Θεωρία πιθανοτήτων
Κατανομές
Στατιστική