Ένα προς ένα

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση  μεταξύ δύο συνόλων ,  ονομάζεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονοσήμαντη ή αμφιμονότονη, αν ισχύει ότι: αν  τότε είναι , για κάθε  στο .
Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: Αν  τότε , για κάθε  στο .

Μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα , τότε είναι "1-1" σε αυτό.

Μαθηματικός ορισμός
Συμβολικά, μία συνάρτηση  ονομάζεται ένας-προς-ένα αν ικανοποιεί

το οποίο είναι λογικά ισοδύναμο με

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα συναρτήσεων που είναι ένα-προς-ένα και κάποιων που δεν είναι. Κάποιες ένα-προς-ένα συναρτήσεις, με την ίδια φόρμουλα αλλά ορισμένες σε διαφορετικά πεδία ορισμού μπορεί να μην είναι πλέον ένα-προς-ένα.

Η συνάρτηση  με , είναι ένα-προς-ένα.
Η συνάρτηση  με , είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση  με  δεν είναι, καθώς .
Η συνάρτηση  με , είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση  με  δεν είναι, καθώς .
H συνάρτηση προσήμου  δεν είναι ένα-προς-ένα, αλλά η συνάρτηση  με  είναι.
Η ταυτοτική συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα.
Η γραμμική συνάρτηση  με  (για κάθε  και ) είναι ένα-προς-ένα.

Ιδιότητες

Κάθε γνησίως μονότονη πραγματική συνάρτηση  για  είναι ένα-προς-ένα.

Ας θεωρήσουμε μία γνησίως αύξουσα πραγματική συνάρτηση , δηλαδή μία συνάρτηση για την οποία

Αφού  (αν ένα στοιχείο είναι μικρότερο από ένα άλλο, τότε είναι και διαφορετικό από αυτό), τότε ισχύει ότι

Επομένως, η συνάρτηση  είναι και ένα-προς-ένα.

Η σύνθεση δύο ένα-προς-ένα συναρτήσεων  και , είναι ένα-προς-ένα.

Ας θεωρήσουμε , τέτοια ώστε 
.
Τότε, από την ένα-προς-ένα ιδιότητα της , έχουμε ότι
.
Αντίστοιχα, από την ένα-προς-ένα ιδιότητα της , έχουμε ότι
.
Ενώνοντας τις συνεπαγωγές, λαμβάνουμε ότι
.

Δείτε επίσης
Συνάρτηση
Επί

Παραπομπές

Θεωρία συνόλων
Μαθηματικές συναρτήσεις