Εξίσωση Πουασόν

Στα μαθηματικά, η εξίσωση Πουασόν (Poisson) είναι μια μερική διαφορική εξίσωση με ευρεία εφαρμογή στην ηλεκτροστατική, τη μηχανολογία και τη θεωρητική φυσική. Έχει πάρει το όνομά της από το Γάλλο μαθηματικό, γεωμέτρη και φυσικό  Συμεών Πουασόν (Siméon Denis Poisson).

Εξίσωση ορισμού στον ηλεκτρομαγνητισμό

Οι βασικές εξισώσεις του Ηλεκτρομαγνητισμού είναι:

Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η εξίσωση Πουασόν:

 

όπου:

 είναι η συνάρτηση κατανομής του φορτίου μέσα στον όγκο της πηγής
 ≈ 8.854187817×10−12 F/m είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού

Χρήση

Η εξίσωση αποτελεί από μαθηματική άποψη την θεμελιώδη εξίσωση του ηλεκτροστατικού πεδίου. Από αυτήν την εξίσωση, όταν είναι γνωστή η κατανομή των φορτίων, μπορεί να υπολογιστεί το βαθμωτό δυναμικό φ και επομένως η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου.

Η εξίσωση Πουασόν έχει εφαρμογή και στα βαρυτικά δυναμικά. Οι βαρυτικές δυνάμεις μοιάζουν με τις ηλεκτρικές διότι και οι δυο είναι κεντρικές και ακολουθούν το νόμο των αντιστρόφων τετραγώνων, είναι δηλαδή αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης.

Η εξίσωση Πουασόν για την βαρύτητα είναι

      

όπου πλέον το βαρυτικό δυναμικό εξαρτάται από την πυκνότητα μάζας, ρm. Για ρm=0 η εξίσωση ανάγεται στην εξίσωση Λαπλάς:

 

Ο Αϊνστάιν στην Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ) γενίκευσε την εξίσωση του Πουασόν στις
εξισώσεις πεδίου της ΓΘΣ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Norbert Dragon, Σημειώσεις και επεξηγήσεις για το πανεπιστημιακό μάθημα των μεθόδων υπολογισμού φυσικής 

Ηλεκτροστατική
Διαφορικές εξισώσεις