Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων

Στο πλαίσιο του καθορισμού του κόστους κεφαλαίου για τη χρήση ιδίων κεφαλαίων μιας εταιρείας μέσω παρακρατημένων ή αδιανέμητων κερδών χρησιμοποιείται μεταξύ άλλων το Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων (Capital Asset Pricing Model, CAPM), το οποίο δείχνει τον τρόπο με τον οποίο η αγορά αποτιμά τα διάφορα περιουσιακά στοιχεία. Η σημαντικότερη συνέπεια του υποδείγματος είναι ότι συνδέει την αναμενόμενη απόδοση ενός περιουσιακού στοιχείου με ένα μέγεθος κινδύνου του περιουσιακού στοιχείου, γνωστού ως συντελεστή βήτα (beta coefficient), ο οποίος εκφράζει τον κίνδυνο της συνδιακύμανσης ενός χρεογράφου με το χαρτοφυλάκιο της αγοράς. Η αξία του Υποδείγματος Αποτίμησης Περιουσιακών στοιχείων έγκειται στο ότι είναι ένα, απλό στη χρήση του, εργαλείο που προσφέρει ισχυρές και διαισθητικές προβλέψεις για τον τρόπο μέτρησης του κινδύνου και τη σχέση του με την αναμενόμενη απόδοση.

Ιστορική αναδρομή 
Το Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων αναπτύχθηκε από τον William F. Sharpe το 1964, για το οποίο του απενεμήθη το βραβείο Nobel το 1990. Ακολούθως, στη διαμόρφωση του τελικού Υποδείγματος συνεισέφεραν και οι εργασίες των John Lintner, (1965) και Jan Mossin (1966). Αποτελεί μία προέκταση του υποδείγματος Μέσου – Διακύμανσης (Mean – Variance) του Harry Markowitz (1952 & 1959). Στο υπόδειγμα Μέσου - Διακύμανσης καθορίζεται ένα σύνολο αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων, στα οποία συνδέεται η αναμενόμενη απόδοση με τον αναλαμβανόμενο κίνδυνο. Στο υπόδειγμα CAPM ενσωματώνεται επιπλέον η δυνατότητα του επενδυτή να προσαρμόσει τη στρατηγική του σύμφωνα με τις προβλέψεις του για την αγορά.

Βασικές υποθέσεις του CAPM 
Οι βασικές υποθέσεις κάτω από τις οποίες ισχύει το Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων είναι οι ακόλουθες:
 Οι επενδυτές επιχειρούν να μεγιστοποιήσουν τη χρησιμότητα τους (ορθολογικοί) και θα επιλέξουν μεταξύ χαρτοφυλακίων, με κριτήρια τον κίνδυνο και την αναμενόμενη απόδοση. 
  Όλοι οι επενδυτές μπορούν να δανείζουν και να δανείζονται χωρίς περιορισμούς κεφάλαια στο επιτόκιο χωρίς κίνδυνο της αγοράς (rfr).
 Όλοι οι επενδυτές έχουν τις ίδιες εκτιμήσεις για τις αναμενόμενες αποδόσεις, διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις μεταξύ των αποδόσεων των μετοχών. Άρα υπάρχει ομοιογένεια στις προσδοκίες τους. 
 Δεν υπάρχει κόστος συναλλαγών, τα χρεόγραφα είναι πλήρως και άμεσα ρευστοποιήσιμα και τα περιουσιακά στοιχεία είναι πλήρως διαιρετά. 
 Δεν υπάρχει φορολογία. 
 Οι τιμές δίνονται εξωγενώς σε όλους και κανείς ατομικά ή σε ομάδες δεν μπορεί να τις επηρεάσει. 
 Οι ποσότητες των περιουσιακών στοιχείων είναι προσδιορισμένες.
 Ο πληθωρισμός θεωρείται μηδενικός, τα επιτόκια και οι κεφαλαιαγορές βρίσκονται σε ισορροπία.
 
Βάσει των ανωτέρω προϋποθέσεων προκύπτει ότι η αγορά είναι τέλεια και δεν υπάρχουν εμπόδια στις επενδύσεις. Συνεπώς έχουμε ένα ελεγχόμενο περιβάλλον με ένα κεντρικό σημείο ισορροπίας από το οποίο μετράμε τις αποκλίσεις.

Αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια και η γραμμή κεφαλαιαγοράς CML 
Σύμφωνα με την προσέγγιση CAPM η αναμενόμενη απόδοση και ο κίνδυνος των αποδόσεων (τυπική απόκλιση) είναι γραμμικοί συνδυασμοί, συνεπώς μπορούμε να εντοπίσουμε τα σημεία εκείνα στα οποία με δεδομένο τον κίνδυνο μεγιστοποιείται η αναμενόμενη απόδοση ή αντίστροφα με δεδομένη την επιθυμητή απόδοση ελαχιστοποιείται το επίπεδο του κινδύνου. Το σύνολο των πιθανών συνδυασμών κινδύνου και απόδοσης μπορεί να αναπαρασταθεί με μια ευθεία γραμμή που ονομάζεται Γραμμή Κεφαλαιαγοράς CML, (Capital Market Line). Τα χαρτοφυλάκια που βρίσκονται πάνω στην γραμμή αυτή ονομάζονται αποτελεσματικά χαρτοφυλάκια και είναι όπως προαναφέραμε εναλλακτικοί συνδυασμοί κινδύνου – απόδοσης (όπου συνδυάζεται το χαρτοφυλάκιο της αγοράς με την απόδοση χωρίς κίνδυνο).
Όλα τα υπόλοιπα χαρτοφυλάκια βρίσκονται κάτω από τη γραμμή Κεφαλαιαγοράς.

Είδη κινδύνου 
Ο κίνδυνος διαιρείται σε δύο μέρη, τον διαφοροποιήσιμο και μη διαφοροποιήσιμο. 
Ο διαφοροποιήσιμος ή μή συστηματικός κίνδυνος μπορεί να μειωθεί ή ακόμα και να εξουδετερωθεί με τροποποίηση του χαρτοφυλακίου του επενδυτή. Για παράδειγμα οι επενδυτές μπορούν είτε να επενδύσουν σε πολλές διαφορετικές μετοχές είτε να αγοράσουν αμοιβαία κεφάλαια.

Ο μη διαφοροποιήσιμος ή συστηματικός κίνδυνος συνδέεται με το κίνδυνο της αγοράς. Αναφέρεται στις γενικές συνθήκες που επικρατούν στις κεφαλαιαγορές και τους παράγοντες που τις επηρεάζουν. Για παράδειγμα η απειλή κάποιου πολέμου, η έλλειψη πολιτικής σταθερότητας, η οικονομική κρίση, η αύξηση του πληθωρισμού, και γενικότερα πολιτικά, οικονομικά και κοινωνικά γεγονότα, οδηγούν σε πτωτικές τάσεις το χρηματιστήριο. Οι επενδυτές στην περίπτωση αυτή επιδιώκουν κάποιο ασφάλιστρο κινδύνου (risk premium), το οποίο τους καλύπτει απέναντι στον συστηματικό κίνδυνο που απορρέει από τη διατήρηση κάποιου χαρτοφυλακίου.

Η γραμμή χρεογράφων SML 
Βάσει των ανωτέρω, η απαιτούμενη απόδοση οποιασδήποτε επένδυσης μπορεί να εκφραστεί γενικότερα μέσω της σχέσης:

Κάτω από τις υποθέσεις του Υποδείγματος Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων, το χαρτοφυλάκιο της αγοράς M έχει τη μικρότερη απόκλιση. Η αλγεβρική έκφραση της προηγούμενης σχέσης με την χρήση του συντελεστή β ως μέτρο της επικινδυνότητας ενός χρεογράφου γράφεται ως ακολούθως:

 (1) 

Όπου,

ri : Η απαιτούμενη απόδοση του χρεογράφου i

rfr: Η απόδοση του χρεογράφου i χωρίς κίνδυνο (risk free rate)

rM: Η αναμενόμενη απόδοση όλης της αγοράς

(rM - rfr): Ο ιστορικός μέσος ασφάλιστρου κινδύνου της αγοράς
βi: Ο συντελεστής συστηματικού κινδύνου β του χρεογράφου i, όπου   σi,m= η συνδιακύμανση του χρεογράφου i με το χαρτοφυλάκιο m (cov(ri,rM)), και σ2m = η τυπική απόκλιση του χαροφυλακίου m. Ουσιαστικά ο συντελεστής β μετρά την ευαισθησία της απόδοσης των περιουσιακών στοιχείων στη μεταβολή της απόδοσης όλης της αγοράς.

Η εξίσωση (1) ονομάζεται και γραμμή χρεογράφων SML (Security Market Line) και αποτυπώνει τη σχέση κινδύνου απόδοσης μεμονωμένων περιουσιακών στοιχείων (δηλαδή και των μη αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων). Βάσει της μορφής της ως γραμμική αύξουσα συνάρτηση του συστηματικού κινδύνου συνάγεται ότι χρεόγραφα με υψηλότερα β θα έχουν υψηλότερες αναμενόμενες αποδόσεις και αντιστρόφως.

Η γραφική απεικόνιση της γραμμής χρεογράφων SML τέμνει τον άξονα των αναμενόμενων αποδόσεων στο σημείο που ορίζει η απόδοση της μετοχής (ή του χαρτοφυλακίου) χωρίς κίνδυνο, rfr. Για το σημείο αυτό ο συντελεστής βi είναι μηδέν. Ενώ στο σημείο όπου βi = 1 προκύπτει ότι η αναμενόμενη απόδοση της μετοχής ή του χαρτοφυλακίου ισούται με την αναμενόμενη απόδοση της αγοράς,rM.
Η κλίση της γραμμής χρεογράφων SML ισούται με τον ιστορικό μέσο του ασφαλίστρου κινδύνου της αγοράς (rM - rfr).

Εκτίμηση του συντελεστή βi 
Σύμφωνα με τον William F. Sharpe, ο κίνδυνος αγοράς (risk market) κάθε χρεογράφου μπορεί να υπολογιστεί μέσω της τάσης να συμπεριφέρεται όπως όλη η αγορά. Ο πιο απλός τρόπος εκτίμησης του συντελεστή βi είναι η εύρεση της ιστορικής του τιμής, η οποία προκύπτει από την απλή γραμμική παλινδρόμηση των παρελθουσών αποδόσεων ri της μετοχής i στις παρελθούσες αποδόσεις της αγοράς rM (για την Ελλάδα είναι ο γενικός δείκτης Χ.Α.Α.), όπου:

(2)

εi, είναι τα σφάλματα κάτω από τις υποθέσεις του CAPM που εκφράζουν τον ειδικό κίνδυνο της μετοχής λόγω τυχαίων παραγόντων που αφορούν αποκλειστικά την επιχείρηση. Η ευθεία της παλινδρόμησης, η οποία ονομάζεται και χαρακτηριστική γραμμή εκτιμάται μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Ο συντελεστής βχ ολόκληρου του χαρτοφυλακίου, προκύπτει από τον σταθμικό μέσο όρο των συντελεστών βi:

όπου wi είναι το ποσοστό του χαρτοφυλακίου που είναι επενδυμένο στην i μετοχή και υπολογίζεται μέσω της σχέσης:

ni = το πλήθος των τίτλων του χαρτοφυλακίου και pi = η χρηματιστηριακή τους αξία.

Δεδομένου ότι όπως προαναφέρθηκε ο συντελεστής β του χαρτοφυλακίου ολόκληρης της αγοράς ισούται εξ’ ορισμού με τη μονάδα, τα χρεόγραφα που εμφανίζουν συντελεστή β > 1 χαρακτηρίζονται ως «επιθετικά» ενώ αντίθετα τα χρεόγραφα που εμφανίζουν συντελεστή β < 1 χαρακτηρίζονται ως «αμυντικά».

Εκτίμηση του ιστορικού μέσου ασφαλίστρου κινδύνου της αγοράς 

Για την εκτίμηση του μέσου του ασφαλίστρου κινδύνου της αγοράς, δηλαδή της διαφοράς (rM - rfr) χρησιμοποιούνται και πάλι ιστορικά στοιχεία. Για παράδειγμα, στις ΗΠΑ, οι Ibbotson Associates συνιστούν την χρήση των κρατικών ομολογιών ως αξιογράφου χωρίς κίνδυνο. Για την περίοδο 1926-2001 εκτίμησαν ότι ο αριθμητικός μέσος της ετήσιας ανταμοιβής του κινδύνου των κοινών μετοχών σε σχέση με τις κρατικές ομολογίες μέσης διάρκειας ήταν 7,2%, ενώ ο αντίστοιχος γεωμετρικός μέσος ήταν 5,4%. Στην Ελλάδα, οι περισσότεροι αναλυτές χρησιμοποιούν την απόδοση των τρίμηνων εντόκων γραμματίων του Ελληνικού Δημοσίου, ως μια προσέγγιση της απόδοσης χωρίς κίνδυνο.

Παραβιάσεις του γραμμικού υποδείγματος 

Αυτοσυσχέτιση

Το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης προκύπτει όταν οι διακυμάνσεις των διαταρρακτικών όρων δεν είναι σταθερές και η συνδιακύμανση όλων των διαταρακτικών όρων δεν ισούται με το μηδέν.

Μη κανονικότητα της εξαρτημένης μεταβλητής

Σύμφωνα με το απλό γραμμικό υπόδειγμα για την εκτίμηση του  βi οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ri  ακολουθούν την Κανονική Κατανομή, όπως συμβαίνει και με τους εκτιμητές των συντελεστών της απλής γραμμικής παλινδρόμησης. Όταν δεν ισχύει αυτό, παρουσιάζεται το πρόβλημα της μη κανονικότητας της εξαρτημένης μεταβλητής.

Ετεροσκεδαστικότητα

Μια από τις βασικές υποθέσεις του απλού γραμμικού μοντέλου (εξίσωση 2) είναι ότι τα σφάλματα είναι ομοσκεδαστικά, με σταθερή διακύμανση var(εi)=σ2. Στην πραγματικότητα όμως δεν συμβαίνει αυτό, διότι οι διακυμάνσεις των διαταρρακτικών όρων δεν είναι σταθερές, αλλά μεταβάλλονται μεταξύ διαφορετικών χρονικών περιόδων.

Εξειδίκευση του μοντέλου

Το πρόβλημα της εξειδίκευσης του μοντέλου μπορεί να εμφανιστεί κατά την περιγραφή των ερμηνευτικών μεταβλητών, ή στην διατύπωση του διαταρρακτικού όρου. Ενδεχόμενα να μην έχει υπολογιστεί το σωστό μοντέλο προς ανάλυση.

Επεκτάσεις – βελτιώσεις του CAPM 

Οι υποθέσεις ισχύος του Υποδείγματος Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων περιγράφουν μια τέλεια και αποτελεσματική αγορά. Αυτό όμως δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα, όπως για παράδειγμα σε ότι αφορά στην 2η υπόθεση, ότι δηλαδή όλοι οι επενδυτές μπορούν να δανείζουν και να δανείζονται χωρίς περιορισμούς κεφάλαια στο επιτόκιο χωρίς κίνδυνο της αγοράς. Ο ίδιος ο W. Sharpe αναφέρει ότι η υπόθεση αυτή είναι ιδιαίτερα περιοριστική και αναμφίβολα μη ρεαλιστική, εντούτοις οι συγκεκριμένες υποθέσεις έχουν ως αποτέλεσμα τις συνθήκες ισορροπίας που είναι απαραίτητες για τη διαμόρφωση του Υποδείγματος CAPM. Ως εκ τούτου έχουν προταθεί διάφορες βελτιώσεις.

Ειδικότερα, ο Fischer Black (1972), προτείνει μία βελτίωση του Υποδείγματος χωρίς δανεισμό στο επιτόκιο της αγοράς (rfr), αλλά με τη δυνατότητα μικρών πωλήσεων περιουσιακών στοιχείων υψηλού κινδύνου. Η απαιτούμενη απόδοση οποιασδήποτε επένδυσης μπορεί τότε να εκφραστεί μέσω της σχέσης:

 

Όπου:
rZ είναι η απαιτούμενη απόδοση των περιουσιακών στοιχείων που είναι ασυσχέτιστα με την αγορά. Αν υπάρχουν περιουσιακά στοιχεία χωρίς κίνδυνο καθώς και δανεισμός στο επιτόκιο χωρίς κίνδυνο, τότε το rZ  ισούται με το rfr και καταλήγουμε στην εξίσωση του W. Sharpe.
 
Η χαρακτηριστική γραμμή για το μοντέλο αυτό, το οποίο ονομάζεται και «μοντέλο δύο παραγόντων», σε σχέση με το αρχικό Υπόδειγμα που ονομάζεται και «μοντέλο ενός παράγοντα», δίνεται από την εξίσωση που αναπτύχθηκε από τους F. Black, M. Jensen και M. Scholes (1972):

 

Πέραν τούτου έχουν προταθεί διάφορα μοντέλα βελτίωσης του Υποδείγματος CAPM, τα οποία περιλαμβάνουν ροπές 3ης και 4ης τάξης, ώστε να διορθωθεί ο παράγοντας της μη κανονικότητας των αποδόσεων, κάτι που αποτελεί βασική προϋπόθεση του CAPM.

Ισχύς του Υποδείγματος – Αποτελέσματα Εμπειρικών Ερευνών 

Οι πρώτες εμπειρικές μελέτες για την ισχύ του Υποδείγματος Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων έδειξαν αποτελέσματα που ήταν σύμφωνα με τη θεωρία του. Ακολούθως, μετά την πρώτη δεκαετία ένας σημαντικός αριθμός εμπειρικών μελετών αμφισβητεί τη ρεαλιστικότητα του Υποδείγματος CAPM, διότι όπως προκύπτει υπάρχουν αρκετές αποκλίσεις από τα πραγματικά εμπειρικά δεδομένα. Οι περισσότερες μελέτες καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι τα προβλήματα είναι αποτέλεσμα των προϋποθέσεων ισχύως του, κάτω από τις οποίες δημιουργούνται πολλές απλουστεύσεις.

Μία από τις πρώτες μελέτες «αμφισβήτησης», είναι η εργασία του S. Basu (1977), ο οποίος έλεγξε τους λόγους (P/E), Price/Earnings. Ενώ η υπόθεση της αποτελεσματικής αγοράς δεν αποδέχεται την πιθανότητα κέρδους υπερβαλουσών αποδόσεων, οι λόγοι (P/E), και ειδικότερα για χρεόγραφα για τα οποία οι επενδυτές έχουν υπερβολικές προσδοκίες, μπορεί να είναι δείκτες της μελλοντικής απόδοσης των επενδύσεων.

Οι I. Friend, R. Westerfield και M. Granito (1978), έκαναν αρκετά εμπειρικά τεστ δύο τύπων: α) αντικαθιστώντας τις αναμενόμενες (ex ante) με τις πραγματικές (ex post) μετρήσεις των αποδόσεων για τις περιόδους 1972, 1974, 1976 και 1977 και β) χρησιμοποίησαν δεδομένα δεικτών ομολόγων και ένα αρκετά μεγάλο δείγμα από μεμονωμένες ομολογίες ώστε να βρουν βελτιωμένες μετρήσεις της απόδοσης του χαρτοφυλακίου για περιουσιακά στοιχεία στον κίνδυνο της αγοράς. Τα συμπεράσματά τους είναι ότι υπάρχει χάσμα ανάμεσα στη θεωρία και τις μετρήσεις.

Οι εμπειρικές έρευνες των E. Fama και K. French (1992), έδωσαν αποτελέσματα βάσει των οποίων ο συντελεστής  β μόνο, δεν εξηγεί τις διαστρωματικές αποδόσεις όλου του χαρτοφυλακίου. Εάν τα περιουσιακά στοιχεία αποτιμώνται ορθολογικά, τα αποτελέσματά τους δείχνουν ότι οι κίνδυνοι του χαρτοφυλακίου είναι πολυδιάστατοι. Μία διάσταση του κινδύνου προσδιορίζεται από το μέγεθος ME (Market Equity. Η τιμή μιας μετοχής * τα μερίδια που κυκλοφορούν). Μία άλλη διάσταση του κινδύνου προσδιορίζεται από τον λόγο BE/ME, τον λόγο της (book value of common Equity to its market value).
Γενικότερα είναι κοινή διαπίστωση ότι οι χρηματιστηριακές αγορές λειτουργούν στην πραγματικότητα με ιδιαίτερα σύνθετο και – κυρίως – μη γραμμικό δυναμικό τρόπο (non-linear dynamics).

Ωστόσο, παρά τις αδυναμίες του, το Υπόδειγμα Αποτίμησης Περιουσιακών Στοιχείων παραμένει δημοφιλές, αφού η εφαρμογή του συνεχίζεται εκτεταμένα σε διάφορους τομείς της χρηματοοικονομικής, καθώς παρέχει ένα απλό και εύχρηστο εργαλείο για μία κατά προσέγγιση τουλάχιστον, εκτίμηση του κινδύνου μίας μετοχής σε σχέση με τη χρηματιστηριακή αγορά μέσω του συντελεστή  και συνεπώς και της αποτίμησης της υποκείμενης μετοχής.

Πηγές 
 https://web.archive.org/web/20190603013013/http://www.siriopoulos.tk/ 
 Κωνσταντίνος Συριόπουλος, "Διεθνείς Κεφαλαιαγορές", εκδόσεις ΑΝΙΚΟΥΛΑ, 1999.
 Δημήτριος Βασιλείου, Νικόλαος Ηρειώτης, "Χρηματοοικονομική Διοίκηση, Θεωρία και πρακτική", εκδόσεις Rosili, 2008. S. Basu, "Investment performance of common stocks in relation to their price-earnings ratios: a test of the efficient market hypothesis", The Journal of Finance, Vol. 32, No. 3. (Jun. 1977), pp. 663–682. Fischer Black, "Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing" Journal of Business, Vol 45 No. 3 (1972), pp. 444–454. Fischer Black, Michael Jensen and Myron Scholes, "The capital asset pricing model: Some empirical tests", in: M.C. Jensen, ed., Studies in the theory of capital markets (Praeger. New York), (1972), pp. 79–121.
 Eugene F. Fama and Kenneth R. French, "The cross-Section of Expected Stock Returns", The Journal of Finance, Vol. 47, No. 2. (Jun. 1992), pp.427-465.
 Eugene F. Fama and Kenneth R. French, "The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence", Journal of Economic Perspectives, Vol.18, No. 3 Summer 2004), pp. 25–46
 Irwin Friend, Randolph Westerfield and Michael Granito, "New evidence on the capital asset pricing model", The Journal of Finance, Vol. 33, No. 3. (Jun. 1978), pp.903-917.
 John Lintner, "The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets", The Review of Economics and Statistics, Vol. 47, No. 1. (Feb., 1965), pp. 13–37.
 Jan Mossin, "Equilibrium in a Capital Asset Market", Econometrica, Vol. 34, No. 4 (Oct., 1966), pp. 768-783.
( William F. Sharpe, "Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk", The Journal of Finance'', Vol. 19, No. 3. (Sep. 1964), pp. 425–442.

Χρηματοοικονομικά