Φθίνουσα ταλάντωση

Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η μείωση του πλάτους ονομάζεται απόσβεση.

Το φαινόμενο οφείλεται στην απώλεια ενέργειας από το ταλαντευόμενο σύστημα προς το περιβάλλον. Αυτό φαίνεται και από τον τύπο E=(1/2)kA2 που ισχύει σε κάθε ταλάντωση, όπου Ε η ενέργεια του ταλαντευόμενου συστήματος, k μία σταθερά και Α το πλάτος της ταλάντωσης. Έτσι, όταν μειώνεται η ενέργεια μειώνεται και το πλάτος.

Η απώλεια της ενέργειας συνήθως οφείλεται σε δυνάμεις οι οποίες αντιστέκονται στην κίνηση. Αυτές οι δυνάμεις συνήθως είναι τριβές. Όσο μεγαλύτερες κατά μέτρο είναι αυτές οι δυνάμεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση.

Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, στην περίπτωση οριζόντιας ταλάντωσης με τριβές ολίσθησης σταθερού μέτρου, είναι ίδια με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης (χωρίς τριβή ολίσθησης). Αντίθετα, στην περίπτωση που η δύναμη της αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται και η αύξηση αυτή μπορεί να είναι ανεπαίσθητη ή ακόμη να γίνει υπερβολικά μεγάλη, ώστε η κίνηση να μην είναι πλέον ταλάντωση.

Σημαντικό παράδειγμα αποσβεννύμενης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης στο οποίο ενεργεί δύναμη της μορφής F=-bv, όπου b μία σταθερά και v η ταχύτητα. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Βάσει του παραπάνω μοντέλου δύναμης τριβής, η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι,

 

όπου Ε(t) η ενέργεια τη χρονική στιγμή t, Ε0 η αρχική ενέργεια (η ενέργεια τη στιγμή t=0) και τ ο λεγόμενος χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης που εξαρτάται από τη σταθερά b, τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά ελατηρίου k. Αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά χρονικώς μέγιστα που λαμβάνει αυτή η ταλάντωση είναι όροι φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η εξίσωση αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης με το παραπάνω μοντέλο δύναμης τριβής στη περίπτωση όπου ω0>γ (ω02=k/m η φυσική συχνότητα του συστήματος) είναι της γενικής μορφής:

 

όπου ω<ω0 η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης (η οποία εξαρτάται τόσο από τη φυσική συχνότητα όσο και από τη σταθερά απόσβεσης), A0 η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 και φ0 η αρχική φάση.

Η φθίνουσα ταλάντωση εφαρμόζεται στις αναρτήσεις των αυτοκινήτων.

Επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα 

Δεδομένης της μορφής της δύναμης τριβής που δόθηκε παραπάνω, η μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα καταλήγει στην παρακάτω διαφορική εξίσωση:

 

όπου θέσαμε , την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αν δεν υπήρχε απόσβεση, και . Υποθέτωντας εκθετικές λύσεις της μορφής  και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι δυνατές τιμές της σταθεράς  είναι:

 

Μπορεί λοιπόν κανείς να διακρίνει τις παρακάτω βασικές περιπτώσεις:

α) Υποκρίσιμη απόσβεση (γ<ω0)

Στη παραπάνω περίπτωση,

 

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα για την απομάκρυνση θα είναι λοιπόν

 

όπου

 

 

Οι ποσότητες x0 και v0 αντιστοιχούν στην αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος. Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση

Είναι χρήσιμο να εισαγάγουμε τον χαρακτηριστικό χρόνο απόσβεσης, τ, του συστήματος ο οποίος ορίζεται ως 1/γ έτσι ώστε

 

Η φυσική σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου απόσβεσης είναι ο εξής: Σε χρόνο τ, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται στο 1/e του αρχικού πλάτους Α0.

Το σώμα θα εκτελεί λοιπόν μία φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο

 

όπου Τ0 η περίοδος που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε η δύναμη τριβής. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι Τ>Τ0, δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη από την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

β) Κρίσιμη απόσβεση (γ=ω0)

Σε αυτή τη περίπτωση,

 

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα στη περίπτωση αυτή είναι

 

όπου

 

γ) Υπερκρίσιμη απόσβεση (γ>ω0)

Στη περίπτωση αυτή,

 

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα θα είναι λοιπόν:

 

όπου

Παραπομπές

Πηγές
Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Τάξης Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, έκδοση Η΄,Αθήνα 2008, ISBN 960-06-1154-8

Βιβλιογραφία 
 Τραχανάς Σ. (2005), Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Πανεπστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
 Τσίγκανος Κ. (2004), Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.

Δυναμική