Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.

Ορολογία 
Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).

Ορισμοί και ιδιότητες

Πραγματικοί αριθμοί 
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:
  

Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:

{|
|-
| style="width: 250px" | 
| 
|}

Επίσης ισχύει:
{|
|-
| style="width: 250px" | 
| 
|}
{|
|-
| style="width: 250px" | 
| 
|}

Απόσταση δύο σημείων 

Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους   η απόσταση μεταξύ τους είναι . Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους   είναι το σημείο το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία  : και τότε  αν . Το σημείο στην μέση ορίζεται ως  και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος . Ο αριθμός  λέγεται ακτίνα του διαστήματος .

Με βάση αυτά έχω:  που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων  δηλαδή  άρα .

Μιγαδικοί αριθμοί 
Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.

Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού

ως:

Παραπομπές 

Πραγματικοί αριθμοί