Ανισότητα Μπερνούλι

Η ανισότητα Μπερνούλι (αναφέρεται και ως ανισότητα Bernoulli) είναι η ανισότητα:

για κάθε φυσικό αριθμό  και πραγματικό αριθμό .

Απόδειξη

Με μαθηματική επαγωγή 

Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για το . 

Βασικό βήμα: Για , η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς .

Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για , δηλαδή , τότε για , έχουμε

χρησιμοποιώντας ότι  καθώς  και .

Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για , άρα και για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Με το διωνυμικό θεώρημα (για α >= 0) 

Για , η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς . 

Για , από διωνυμικό θεώρημα έχουμε ότι

όπου  είναι οι διωνιμικοί συντελεστές. Αφού  και , δηλαδή κάθε όρος του αθροίσματος είναι μη-αρνητικός, έχουμε ότι:

Ενώνοντας τις σχέσεις () και (), έχουμε ότι

Επεκτάσεις 

Η πρώτη γενίκευση είναι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό , όταν η δύναμη  είναι ζυγός φυσικός αριθμός (δείτε το διάγραμμα για τις περιπτώσεις ).

Θεώρημα: Για κάθε ζυγό φυσικό αριθμό  και , έχουμε

Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για τα ζυγά . 

Βασικό βήμα: Για , η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς .

Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για , δηλαδή , τότε για , διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
 Αν , τότε το δεξί μέλος της ανισότητας είναι αρνητικό, ενώ το αριστερό είναι θετικό (ως πραγματικός αριθμός σε ζυγή δύναμη). Επομένως, η ανισότητα ισχύει.
 Διαφορετικά, έχουμε 

χρησιμοποιώντας ότι  και ότι .

Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για , άρα και για όλους τους ζυγούς φυσικούς αριθμούς.

Η παρακάτω γενίκευση είναι για εκθέτες που δεν είναι κατά ανάγκη φυσικοί αριθμοί.

Θεώρημα: Έστω  και . Τότε, έχουμε ότι
 , για  ή , και
 , για .

Θεωρούμε την συνάρτηση

η οποία έχει παράγωγο 

Για την πρώτη ανισότητα, θεωρούμε τις εξής περιπτώσεις:
 Αν , τότε  (καθώς ) και άρα . Συνεπώς, η  είναι αύξουσα στο διάστημα  και άρα .
 Αν , τότε . Συνεπώς, η  είναι φθίνουσα στο διάστημα  και άρα .
Επομένως, και στις δύο περιπτώσεις , που συνεπάγεται ότι . Αντίστοιχα, για .

Για τη δεύτερη ανισότητα, παρατηρήστε ότι για  η ανισότητα ισχύει ως ισότητα και για  ισχύει καθώς . Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις:
 Αν , τότε  (καθώς  και ) και άρα . Συνεπώς, η  είναι φθίνουσα στο διάστημα  και άρα .
 Av , τότε  και άρα . Συνεπώς, η  είναι αύξουσα στο διάστημα  και άρα .
Επομένως, και στις δύο περιπτώσεις , που συνεπάγεται ότι .

Η παρακάτω επέκταση είναι για όταν οι  όροι μπορεί να είναι διαφορετικοί. Η ανισότητα αυτή σχετίζεται με την ανισότητα Weierstrass. 

Θεώρημα: Έστω ,  και . Τότε,
 , όταν  και  για κάθε ,
 , όταν  ή  για κάθε  και  ή  για κάθε .

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Παραπομπές 

Ανισότητες