Ανάλυση Φουριέ

Η ανάλυση Φουριέ είναι ένα πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών το οποίο προέκυψε από την προσπάθεια αναπαράστασης μίας συνάρτησης ως αθροίσματος απλούστερων περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επομένως κεντρική ιδέα στην ανάλυση Φουριέ είναι η προσπάθεια για κατανόηση των ιδιοτήτων μίας συνάρτησης (η οποία μπορεί να αναπαριστά π.χ. ένα σήμα) μέσω διάσπασής της σε γνωστά, στοιχειώδη μέρη (αποσύνθεση). Η ανάστροφη διαδικασία, η κατασκευή μίας συνάρτησης από γνωστές, βασικές συναρτήσεις, ονομάζεται σύνθεση. Με τον όρο ανάλυση Φουριέ αναφερόμαστε και στις δύο διεργασίες. Η μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Ζοζέφ Φουριέ στην προσπάθειά του να ερευνήσει τη διάδοση της θερμότητας.

Εισαγωγικά
Ο όρος Μετασχηματισμός Φουριέ (MΦ) αναφέρεται σε μία αυστηρώς ορισμένη μαθηματική διεργασία η οποία αποσυνθέτει μία συνάρτηση σε άθροισμα απείρων περιοδικών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι μία νέα συνάρτηση με διαφορετικό πεδίο ορισμού, επίσης γνωστή ως Μετασχηματισμός Φουριέ ή ως φάσμα, η οποία περιγράφει το κατά πόσο συμμετέχει κάθε στοιχειώδες ημίτονο στον σχηματισμό της αρχικής συνάρτησης (έστω f). Ο ΜΦ αποτελεί οριακή περίπτωση (για συνάρτηση f με άπειρη περίοδο, δηλαδή ουσιαστικά απεριοδική) της σειράς Φουριέ.

Η σειρά Φουριέ εφαρμόζεται για περιοδική f και δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση με διακριτό πεδίο τιμών αντί για συνεχές (δηλαδή πεδίο τιμών σε μία σειρά Φουριέ είναι οι φυσικοί αριθμοί αντί για τους πραγματικούς).

Για συναρτήσεις διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής, όπου οι φυσικοί αριθμοί είναι το πεδίο ορισμού της f, υπάρχουν οι διακριτές παραλλαγές του MΦ: ο Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (MΦΔΧ), με συνεχές πεδίο τιμών και κατάλληλος για απεριοδικές συναρτήσεις, και ο Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ (ΔΜΦ ή DFT), με διακριτό πεδίο τιμών και κατάλληλος για περιοδικές συναρτήσεις.

Για καθεμία από αυτές τις διεργασίες υπάρχει και ο αντίστροφος μετασχηματισμός, ο οποίος δέχεται ως είσοδο το φάσμα και δίνει ως έξοδο την αρχική συνάρτηση f. Όλοι οι τύποι μετασχηματισμών της ανάλυσης Φουριέ ανάγονται στον παρόμοιου σκοπού Μετασχηματισμό Λαπλάς και αποτελούν περιπτώσεις ολοκληρωτικού μετασχηματισμού.

Εφαρμογές
Η ανάλυση Φουριέ έχει πολλές επιστημονικές εφαρμογές όπως στη φυσική, στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, στη θεωρία αριθμών, στη συνδυαστική ανάλυση, στην επεξεργασία σήματος, στην επεξεργασία εικόνας, στη στατιστική, στην κρυπτογραφία, στην αριθμητική ανάλυση, στην ακουστική, στην ωκεανογραφία, στην οπτική και σε πολλούς άλλους τομείς.

Αυτή η ευρεία εφαρμογή της πηγάζει από πολλές χρήσιμες ιδιότητες, όπως αυτές των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών:
 Οι μετασχηματισμοί είναι γραμμικοί τελεστές και με την κατάλληλη κανονικοποίηση είναι επίσης μοναδιαίοι (μία ιδιότητα γνωστή ως το θεώρημα του Parseval ή πιο γενικά, ως το θεώρημα Plancherel και ακόμα πιο γενικά μέσω της δυαδικότητας Pontryagin).
 Οι μετασχηματισμοί είναι συνήθως αντιστρέψιμοι.
 Οι εκθετικές συναρτήσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις της παραγώγισης, το οποίο σημαίνει ότι αυτή η αναπαράσταση μετασχηματίζει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές σε κανονικές αλγεβρικές. Ως εκ τούτου, η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος μπορεί να αναλυθεί σε κάθε συχνότητα ανεξάρτητα.
 Από το θεώρημα της συνέλιξης, οι μετασχηματισμοί Φουριέ μετατρέπουν την πολύπλοκη διαδικασία της συνέλιξης σε απλό πολλαπλασιασμό, το οποίο σημαίνει ότι παρέχουν έναν αποτελεσματικό τρόπο για να υπολογιστούν διαδικασίες που βασίζονται στη συνέλιξη, όπως πολλαπλασιασμός πολυωνύμων και πολλαπλασιασμός μεγάλων αριθμών.
 Η διακριτή εκδοχή του μετασχηματισμού Φουριέ (δες παρακάτω) μπορεί να εκτιμηθεί γρήγορα με τους υπολογιστές χρησιμοποιώντας αλγορίθμους γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ (Fast Fourier Transform, FFT).

Ο μετασχηματισμός Φουριέ είναι επίσης χρήσιμος και ως μια συμπαγής αναπαράσταση ενός σήματος. Για παράδειγμα η συμπίεση JPEG που χρησιμοποιεί μια παραλλαγή του μετασχηματισμού Φουριέ (διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου) από μικρά τετράγωνα κομμάτια μιας ψηφιακής εικόνας. Οι συντελεστές Φουριέ του κάθε τετραγώνου στρογγυλοποιούνται στην μικρότερη αριθμητική ακρίβεια, και «αδύναμοι» συντελεστές απαλείφονται, έτσι ώστε οι εναπομείναντες συντελεστές να μπορούν να αποθηκευτούν πολύ συμπαγώς. Στην ανακατασκευή της εικόνας, κάθε τετράγωνό της ανακατασκευάζεται κατά προσέγγιση από τους μετασχηματισμένους συντελεστές Φουριέ που διατηρήθηκαν, οι οποίοι τότε μετασχηματίζονται αντίστροφα για να παραχθεί μία προσέγγιση της αρχικής εικόνας.

Εφαρμογές στην επεξεργασία σήματος 
Όταν επεξεργαζόμαστε σήματα, όπως ήχο, ραδιοκύματα, κύματα φωτός, σεισμικά κύματα, ακόμα και εικόνες, η ανάλυση Φουριέ μπορεί να απομονώσει μεμονωμένους συντελεστές από μια σύνθετη κυματομορφή, συγκεντρώνοντάς τους για ευκολότερη ανίχνευση και/ή αφαίρεση. Μία μεγάλη οικογένεια τεχνικών επεξεργασίας σήματος αποτελείται από μετασχηματισμό Φουριέ ενός σήματος, χειρισμό μετασχηματισμένων με  Φουριέ δεδομένων με απλό τρόπο και αντιστροφή του μετασχηματισμού.

Μερικά παραδείγματα είναι τα παρακάτω:
 Τηλεφωνική κλήση: το τονικό σήμα για κάθε πλήκτρο τηλεφώνου, όταν πιέζεται, είναι το καθένα ένα σύνολο από δύο ξεχωριστούς τόνους (συχνότητες). Η ανάλυση Φουριέ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διαχωριστεί (ή αναλυθεί) το σήμα του τηλεφώνου, για να αποκαλύψει τους δύο τόνους από τους οποίους αποτελείται και συνεπώς ποιο κουμπί πατήθηκε.
 Περίφραξη θορύβου από ηχογραφήσεις για να αφαιρεθεί ο «ήσυχος» θόρυβος του παρασκηνίου με την εξάλειψη των συντελεστών Φουριέ που δεν υπερβαίνουν ένα καθορισμένο εύρος,
 Εξίσωση των ηχητικών ηχογραφήσεων με μία σειρά από ζωνοπερατά φίλτρα,
 Ψηφιακή ραδιοφωνική λήψη χωρίς υπερετερώδυνο κύκλωμα, όπως σε ένα σύγχρονο κινητό τηλέφωνο,
 Κρυσταλλογραφία ακτίνων Χ για την ανακατασκευή μιας κρυσταλλικής δομής από το πρότυπο της περίθλασής της,
 Μετασχηματισμός Φουριέ κυκλοτρονικών ιόντων για συντονισμό φασματογραφία μάζας για τον προσδιορισμό της μάζας  των ιόντων από τη συχνότητα της κίνησης του κυκλοτρονίου σε ένα μαγνητικό πεδίο.
 Πολλές άλλες μορφές φασματοσκοπίας επίσης βασίζονται στους μετασχηματισμούς Φουριέ για να αποφασίσουν την τρισδιάστατη δομή και/ή οντότητα του δείγματος που αναλύεται, συμπεριλαμβανομένων των Συντονισμός Υπέρυθρων και φασματοσκοπιών πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού.
Δημιουργία του ηχητικού φασματογραφήματος που χρησιμοποιείται για την ανάλυση ήχων.

Σειρές Φουριέ
Μια περιοδική συνάρτηση f μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα (σειρά) ημιτόνων και συνημιτόνων.
Η συνάρτηση με περίοδο Τ μετασχηματίζεται σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων με περιόδους ακέραια πολλαπλάσια της Τ. 
Για  η σειρα Φουριέ γράφεται ως

 

με συντελεστές
 ,
  και 
 .

Το διάστημα ολοκλήρωσης [0, Τ] μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε της μορφής [c,Τ+c]. Συχνά χρησιμοποιείται επίσης το [-Τ/2, Τ/2].

Στην πράξη αντί της άπειρης σειράς η συνάρτηση προσεγγίζεται με πεπερασμένο πλήθος προσθετέων.

Με τη χρήση του τύπου του Όιλερ  με  η σειρα Φουριέ μπορεί να γραφεί με μιγαδικούς όρους ως

με
 .

Μετασχηματισμός Φουριέ
Ο Μετασχηματισμός Φουριέ αποτελεί γενίκευση της σειράς Φουριέ με μιγαδικούς όρους.
Αντί των διακριτών όρων  χρησιμοποιεί την συνεχή συνάρτηση :

με

(Συνεχής) Μετασχηματισμός Φουριέ
Πολύ συχνά,  ο ακατάλληλος όρος μετασχηματισμός Φουριέ αναφέρεται στο μετασχηματισμό συναρτήσεων με συνεχή πραγματικά ορίσματα και αυτό παράγει μία συνεχή συνάρτηση συχνότητας, γνωστή ως κατανομή συχνότητας.  Μία συνάρτηση μετασχηματίζεται σε μία άλλη και η διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Όταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εισόδου είναι ο χρόνος (t) και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εξόδου είναι η κανονική συχνότητα, ο μετασχηματισμός της συνάρτησης s(t) στη συχνότητα ƒ δίνεται από τον μιγαδικό αριθμό :

Αποτιμόντας την ποσότητα αυτή για όλες τις τιμές του ƒ παράγεται η  συνάρτηση με πεδίο ορισμού την συχνότητα.  Στη συνέχεια η s(t) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ανασυνδυασμός  μιγαδικών εκθετικών όρων όλων των δυνατών συχνοτήτων :

που είναι ο τύπος του αντίστροφου μετασχηματισμού.  Ο μιγαδικός αριθμός S(ƒ), οδηγεί τόσο στο πλάτος όσο και στη φάση ƒ της συχνότητας.

Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (ΜΦΔΧ)
Ο ΜΦΔΧ είναι  το μαθηματικό δίδυμο των σειρών Φουριέ στο πεδίο του χρόνου.  Έτσι, κάθε περιοδική άθροιση στο πεδίο συχνοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά Φουριέ, της οποίας οι συντελεστές είναι δείγματα μιας σχετικής συνεχούς συνάρτησης χρόνου:

που είναι γνωστή ως ο ΜΦΔΧ.  Ο  ΜΦΔΧ  της ακολουθίας s[n] είναι επίσης ο μετασχηματισμός Φουριέ της διαμορφωμένης κρουστικής συνάρτησης. Μπορούμε επίσης να σημειώσουμε ότι:  

Κατά συνέπεια, μια κοινή πρακτική είναι να μοντελοποιούμε την "δειγματοληψία" ως πολλαπλασιασμό από την κρουστική συνάρτηση, το οποίο φυσικά είναι "πιθανό" μόνο σε μία καθαρά μαθηματική λογική.

Οι συντελεστές της σειράς Φουριέ ορίζονται :

είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός και μπορεί πράγματι να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές είναι απλώς δείγματα της s(t) σε διακριτά διαστήματα του T:  s[n] = T•s(nT).

Έτσι έχουμε το σημαντικό αποτέλεσμα ότι όταν μία διακριτή ακολουθία δεδομένων s[n] αντιπροσωπεύει δείγματα μιας υποκείμενης συνεχούς συνάρτησης s(t), τότε μπορεί κανείς να συμπεράνει κάτι για το μετασχηματισμό Φουριέ αυτής, S(ƒ).  Ότι είναι ένας ακρογωνιαίος λίθος στην ψηφιακή επεξεργασία σημάτων.  Επιπλέον, υπό ορισμένες εξιδανικευμένες συνθήκες, μπορεί κάποιος να ανακτήσει θεωρητικά ακριβώς τις S(ƒ) και s(t).  Μία ικανή συνθήκη για την τέλεια ανάκτηση είναι ότι το μη μηδενικό ποσοστό της S(ƒ)  να περιορίζεται σε ένα γνωστό διάστημα συχνοτήτων πλάτους 1/T. Όταν αυτό το διάστημα είναι [-0.5/T, 0.5/T] ο τύπος ανακατασκευής είναι ο τύπος παρεμβολής των Whittaker–Shannon.

Ένας άλλος λόγος για να ενδιαφερθούμε για την S1/T(ƒ) είναι ότι συχνά παρέχει μια εικόνα για το μέγεθος της αναδίπλωσης που προκαλείται από τη διαδικασία δειγματοληψίας.

Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ (ΔΜΦ)
Ο ΜΦΔΧ μιας περιοδικής ακολουθίας, sN[n], με περίοδο N, γίνεται άλλη μία κρουστική συνάρτηση, που διαφοροποιείται από τους συντελεστές μιας σειράς Φουριέ. Και ο ολοκληρωτικός τύπος για τους συντελεστές απλοποιείται σε μία άθροιση :

     όπου   είναι το άθροισμα πάνω από κάθε n-ακολουθία μήκους N.

Η Sk ακολουθία είναι γνωστή ως  ΔΜΦ  της sN.  Είναι, επίσης, N-περιοδικό, γι’ αυτό ποτέ δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστούν περισσότεροι από N συντελεστές. Όσον αφορά την Sk, ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από:

     όπου   το άθροισμα πάνω από κάθε k-ακολουθία μήκους N.

Όταν το sN[n] εκφράζεται ως μία περιοδική άθροιση μιας άλλης συνάρτησης, s[n] = T•s(nT):   

οι συντελεστές είναι ισοδύναμοι με δείγματα της S1/T(ƒ) σε διακριτά διαστήματα 1/P = 1/NT:   

Στις περισσότερες περιπτώσεις, το N επιλέγεται ίσο με το μήκος του μη μηδενικού τμήματος του s[n].  Η αύξηση του N οδηγεί σε ακόμα μικρότερα δείγματα του ενός κύκλου του  S1/T(ƒ).  Η μείωση του N οδηγεί σε επικάλυψη στο πεδίο του χρόνου, το οποίο which αντιστοιχεί σε αποδεκατισμό στο πεδίο των συχνοτήτων.    Στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, η ακολουθία s[n] αντιπροσωπεύει μία μακρύτερη ακολουθία η οποία έχει περικοπεί από την εφαρμογή μιας πεπερασμένης συνάρτησης παραθύρου ή ενός FIR φίλτρου.

Ο ΔΜΦ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ, ο οποίος των καθιστά ένα πρακτικό και σημαντικό μετασχηματισμό στους υπολογιστές.

Περίληψη
Για περιοδικές συναρτήσεις, τόσο ο μετασχηματισμός Φουριέ όσο και ο Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου περιλαμβάνουν μόνο ένα διακριτό σύνολο από συντελεστές συχνοτήτων (σειρά Φουριέ), και οι μετασχηματισμοί αποκλίνουν σε αυτές τις συχνότητες.  Μία κοινή πρακτική είναι να χειριστούμε αυτή την απόκλιση μέσω της κρουστικής δέλτα και της κρουστικής συνάρτησης.  Αλλά την ίδια φασματική πληροφορία μπορούμε να διακρίνουμε και από ένα μόνο κύκλο της περιοδικής συνάρτησης, δεδομένου ότι όλοι οι άλλοι κύκλοι είναι πανομοιότυποι. Ομοίως, οι συναρτήσεις πεπερασμένης διάρκειας μπορούν να αναπαρασταθούν ως σειρά Φουριέ, χωρίς καμία πραγματική απώλεια πληροφοριών εκτός από το ότι η περιοδικότητα του αντίστροφου μετασχηματισμού είναι απλή. Οι τύποι στις κάτω δεξιά στήλες ισχύουν και στις δυο περιπτώσεις, όπου στη μία περίπτωση   πρόκειται να αναλυθεί η πεπερασμένης διάρκειας συνάρτηση, και στην άλλη περίπτωση η περιοδική της άθροιση,    Είναι η συνάρτηση υπό ανάλυση. Σημειώνουμε παρεμπιπτόντως ότι κανένας από τους τύπους δεν απαιτεί πράγματι η διάρκεια του  να περιορίζεται στην περίοδο P ή N.  Αλλά αυτή είναι η πιο συνηθισμένη κατάσταση.

Ερμηνεία από πλευράς χρόνου και συχνότητας

Στην επεξεργασία σήματος ο μετασχηματισμός Φουριέ συχνά παίρνει μία χρονοσειρά ή μια συνάρτηση συνεχούς χρόνου και την αντιστοιχεί σ’ ένα φάσμα συχνοτήτων. Δηλαδή, μεταφέρει μια συνάρτηση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνοτήτων. Πρόκειται για μία αποσύνθεση της συνάρτησης σε ημιτονοειδείς διαφορετικών συχνοτήτων. Στην περίπτωση μιας σειράςΦουριέ ή ενός διακριτού μετασχηματισμού Φουριέ, οι ημιτονοειδείς είναι αρμονικές της θεμελιώδους συχνότητας της συνάρτησης η οποία αναλύεται.

Όταν η συνάρτηση ƒ είναι μία συνάρτηση χρόνου και αναπαριστά ένα  φυσικό σήμα, ο μετασχηματισμός έχει μία πρότυπη ερμηνεία όπως το φάσμα συχνοτήτων του σήματος. Το μέγεθος της συνάρτησης F  που προκύπτει  στην συχνότητα ω αναπαριστά το πλάτος μιας συνιστώσας της συχνότητας της οποίας η αρχική φάση δίνεται από τη φάση της F.

Οι μετασχηματισμοί Φουριέ δεν περιορίζονται σε συναρτήσεις χρόνου και χρονικές συχνότητες. Μπορούν εξίσου να εφαρμοστούν για την ανάλυση χωρικών συχνοτήτων και μάλιστα για σχεδόν κάθε πεδίο μιας συνάρτησης. Αυτό δικαιολογεί τη χρήση τους σε κλάδους τόσο διαφορετικούς όσο η επεξεργασία εικόνας, η θερμική αγωγιμότητα κα ο αυτόματος έλεγχος.

Δείτε επίσης 
 Επεξεργασία σήματος

Πηγές
 
 
 Howell, Kenneth B. (2001). Principles of Φουριέ Analysis, CRC Press. ISBN 9780849382758
 Kamen, E.W., and B.S. Heck. "Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab". ISBN 0-13-017293-6
 
 Polyanin, A.D., and A.V. Manzhirov (1998). Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton. ISBN 0-8493-2876-4
 
 
  Stein, E.M., and G. Weiss (1971). Introduction to Φουριέ Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press. ISBN 0-691-08078-X

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
An Intuitive Explanation of Φουριέ Theory by Steven Lehar.
Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Φουριέ Transform.  Lectures 7-15 make use of it., by Alan Peters

Ψηφιακή επεξεργασία σήματος
 
Μαθηματική φυσική