Συνέλιξη

Στα μαθηματικά, συνέλιξη είναι μία πράξη μεταξύ δύο συναρτήσεων που δίνει μία καινούργια συνάρτηση.

Για τις διακριτές συναρτήσεις  με πεδίο ορισμού τους ακεραίους, η συνέλιξη των  και , συμβολίζεται με  και ορίζεται ως
 για κάθε .

Για τις συνεχείς συναρτήσεις  με πεδίο ορισμού τους πραγματικούς, η συνέλιξη των  και , συμβολίζεται με  και ορίζεται ως
 για κάθε .

Ιδιότητες της συνέλιξης

Η συνέλιξη έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον πολλαπλασιασμό:
 Είναι προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε τρεις συναρτήσεις , ισχύει ότι:

 Είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε δύο συναρτήσεις , ισχύει ότι:

 Είναι επιμεριστική ως προς την πρόσθεση, δηλαδή για κάθε τρεις συναρτήσεις , ισχύει ότι:

 Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, την γενικευμένη συνάρτηση  (συνάρτηση του Ντιράκ), η οποία μηδενίζεται για κάθε , εκτός από το σημείο μηδέν όπου τείνει στο θετικό άπειρο:

Εφαρμογές

Κατανομή αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών 

Έστω δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές  και  με διακριτές κατανομές  και . Τότε η κατανομή  του αθροίσματός τους  είναι ίση με .

όπου στην δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον νόμο της ολικής πιθανότητας και στην τρίτη ότι οι τυχαίες μεταβλητές  και  ειναι ανεξάρτητες.

Πηγές

Ανάλυση Φουριέ
Δυαδικές πράξεις
Συναρτησιακή ανάλυση
Επεξεργασία εικόνας