Χαμιλτονιανή

Η χαμιλτονιανή είναι ο τελεστής που αντιστοιχεί στη συνολική ενέργεια ενός κβαντομηχανικού συστήματος. Συνήθως συμβολίζεται με Η ή Ȟ ή Ĥ. Οι ιδιοτιμές της χαμιλτονιανής ενός συστήματος (ή πιο γενικά το «φάσμα» της όταν ο τελεστής δρα σε απειροδιάστατο χώρο Χίλμπερτ, δηλαδή όταν έχουμε πρόβλημα πολλών σωμάτων ή πρόβλημα κβαντικού πεδίου) αποτελούν το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων μέτρησης της ενέργειας του συστήματος. Λόγω της στενής σχέσης της με τη χρονική εξέλιξη ενός συστήματος, η χαμιλτονιανή είναι θεμελιώδους σημασίας στους περισσότερους από τους υπάρχοντες μαθηματικούς φορμαλισμούς της κβαντικής θεωρίας.

Εισαγωγή
Σύμφωνα με την κβαντομηχανική, η αρχή αβεβαιότητας είναι θεμελιώδες χαρακτηριστικό των φυσικών σωμάτων και μεγεθών, και όχι π.χ. μια αδυναμία στην ακρίβεια μετρήσεων των μετρητικών συσκευών που σήμερα είναι διαθέσιμες τεχνολογικά. Τούτο είναι εμπεδωμένο στο μαθηματικό φορμαλισμό και αντιστοιχεί στο γεγονός ότι οι μεταβλητές ενός φυσικού συστήματος δεν είναι απλές πραγματικές και συνεχείς συναρτήσεις των «κλασσικών» ανεξάρτητων μεταβλητών θέση, χρόνος, κ.ο.κ.. Αντί αυτού, σε κάθε φυσικό μέγεθος αντιστοιχίζεται ένας τελεστής που δρα επί των κβαντικών καταστάσεων του συστήματος, και οι παρατηρήσιμες/μετρήσιμες ποσότητες είναι οι ιδιοτιμές αυτοσυζυγών γραμμικών τελεστών.

Η χαμιλτονιανή στην εξίσωση του Σρέντιγκερ

Κατά αναλογία με την κλασική μηχανική ο τελεστής Χάμιλτον (χαμιλτονιανή) αντιστοιχεί στο άθροισμα των τελεστών της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας του συστήματος:

όπου

ο τελεστής της δυναμικής ενέργειας με  το διάνυσμα της θέσης και  τον χρόνο,

ο τελεστής της κινητικής ενέργειας, με m την μάζα του σωματιδίου και 

τον τελεστή της ορμής με ∇ τον τελεστή ανάδελτα.

Το εσωτερικό γινόμενο του ∇ με τον εαυτό του είναι η λεγόμενη Λαπλασιανή ∇2 που στις τρεις διαστάσεις στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι 

Οπότε μια πολύ συνηθισμένη μορφή που λαμβάνει η χαμιλτονιανή συνδυάζοντας τα παραπάνω στην εξίσωση του Σρέντιγκερ (αν και δεν αποτελεί τον ακριβή ορισμό της χαμιλτόνιας μηχανικής) είναι η εξής:

που μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη χαμιλτονιανή σε συστήματα που περιγράφονται από την κυματοσυνάρτηση Ψ(r, t).

Πηγές 
 Berkeley Physics Course, Vol IV, 1971

Κβαντική μηχανική
Θεωρία τελεστών
Θεωρητική χημεία
Κβαντική χημεία