Αρνητική διωνυμική κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα  τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας  μέχρι να έχουμε  επιτυχίες.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή  που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα  φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία.
Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε  επιτυχίες να έχουμε  αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας  κάθε φορά είναι:
.

Ορισμός

Ως άθροισμα γεωμετρικών κατανομών 
Έστω  ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε  ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή . Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι

Μέση τιμή 
Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα  τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή:

χρησιμοποιώντας ότι .

Διακύμανση 
Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού  είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι:
.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση 

Χρησιμοποιώντας ότι , για  ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

αφού  για  από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Χαρακτηριστική συνάρτηση 

Χρησιμοποιώντας ότι , για  ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

αφού  για  από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Δείτε επίσης 
 Γεωμετρική κατανομή
 Διωνυμική κατανομή

Παραπομπές 

Κατανομές
Θεωρία πιθανοτήτων