Υπερβολικές συναρτήσεις

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.

Αλγεβρικές εκφράσεις 
 Υπερβολικό ημίτονο

 Υπερβολικό συνημίτονο

 Υπερβολική εφαπτομένη

 Υπερβολική συνεφαπτομένη

 Υπερβολική τέμνουσα

 υπερβολική συντέμνουσα

Όπου  είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως .

Χρήσιμες σχέσεις 

Οπότε:

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.:

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους

Παράγωγοι

Συνήθη ολοκληρώματα 

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ 
Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

 (Σειρά Laurent)

 (Σειρά Laurent)

όπου

 είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
 είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Αναφορές

Δείτε επίσης 
 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
 Υπερβολή (γεωμετρία)

Τριγωνομετρία
Μαθηματικές συναρτήσεις