Θεωρία μέτρου

Η θεωρία μέτρου στα μαθηματικά περιλαμβάνει την αυστηρή αξιωματική θεμελίωση και επίσης τη γενίκευση των εννοιών του μήκους, του εμβαδού και του όγκου. Οι εφαρμογές επεκτείνονται και σε άλλες, πέρα από τις γεωμετρικές, έννοιες του μέτρου. Σε απλουστευμένη αλλά αδόκιμη ορολογία, για δεδομένο σύνολο S ονομάζουμε "μέτρο" οποιαδήποτε διαδικασία ή κανόνα αποδίδει ένα "μέγεθος" σε κάθε ένα υποσύνολο του S κατά συνεπή (δηλ. χωρίς αντιφάσεις) τρόπο.

Ο ακριβής μαθηματικός ορισμός του όρου "μέτρο" μοιάζει δυσνόητος (προϋποθέτοντας έννοιες όπως δ-δακτύλιος και σ-άλγεβρα) αλλά είναι εξαιρετικά σημαντικός για τη θεμελίωση, μεταξύ άλλων, βασικών εννοιών της ανάλυσης και του απειροστικού λογισμού. Σημαντικά παραδείγματα είναι το μέτρο Jordan, το μέτρο Lebesgue, το μέτρο πιθανότητας και άλλα.

Ο χώρος μέτρου (measure space) δεν θα πρέπει να συγχέεται με το μετρικό χώρο (metric space). Οι δύο έννοιες είναι διαφορετικές. Για παράδειγμα στον ευκλείδειο χώρο τριών διαστάσεων το μέτρο Lebesgue ορίζει το χώρο μέτρου κατά τον οποίο αποδίδεται όγκος στα υποσύνολα του , ενώ η ευκλείδεια μετρική ορίζει το μετρικό χώρο που μετράει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του .

Ιστορικά στοιχεία

Οι μαθηματικοί του 19ου γνώριζαν ότι, στο πεδίο του απειροστικού λογισμού, μπορούν να οριστούν συναρτήσεις που συμπεριφέρονται «περίεργα». Για παράδειγμα συνεχείς αλλά μη-διαφορίσιμες συναρτήσεις, σειρές συνεχών συναρτήσεων των οποίων το άθροισμα είναι ασυνεχής συνάρτηση, συναρτήσεις με φραγμένες παραγώγους που δεν είναι ολοκληρώσιμες κατά Riemann, και μη-ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που είναι το όριο ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.

Τα «περίεργα» αυτά παραδείγματα αφορούσαν υποτίθεται αυθαίρετα/αφηρημένα κατασκευασμένες συναρτήσεις, και δεν υπήρχε λόγος ανησυχίας. Οι συναρτήσεις με χρήση στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τις εφαρμοσμένες επιστήμες αναμένονταν να είναι συνεχείς, παραγωγίσιμες και ολοκληρώσιμες.

Ήδη όμως προβλήματα ανεπαρκώς θεμελιωμένης θεωρίας ανέκυπταν σχετικά με συναρτήσεις μεγάλης σπουδαιότητας και με σημαντικές εφαρμογές, όπως στη θεωρία των σειρών Fourier που αναπτύχθηκε από τους Dirichlet, Riemann, Cantor, Jordan και άλλους μαθηματικούς του 19ου αιώνα.

Υπό αυτές τις συνθήκες ανέκυψε αναγκαιότητα εξαντλητικής έρευνας και αυστηρής θεμελίωσης των «προβληματικών» σημείων. Η συνεισφορά που έγινε από τους Peano, Borel, Jordan και τελικά με τη γενίκευση της έννοιας του μέτρου και του ολοκληρώματος από τον Henri Lebesgue έκανε ακριβώς αυτό, και θεωρείται άμεση συνέχιση του έργου των Riemann, Darboux, Cantor πάνω στη θεωρία συναρτήσεων.

Παραπομπές

Πηγές

Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (vol. 3), chapt.44

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Μετρήσιμα σύνολα (τμήμα πτυχιακής εργασίας)
Εισαγωγή στη Θεωρία Μέτρου (περιγραφή εξαμηνιαίου μαθήματος και βιβλιογραφία)