Ιδεώδες (μαθηματικά)

Στη θεωρία δακτυλίων, ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.

Ορισμός

Έστω ) δακτύλιος και  ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το  θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες, αγγλικά: Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως  αν ισχύουν τα εξής:

  για κάθε , δηλαδή το  αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου

  και , για κάθε 
 Υπάρχει  στο  
 Υπάρχει  στο  τέτοιο ώστε να ισχύει 

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες  του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου . Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο  αποτελεί ιδεώδες.

Μεγιστικό ιδεώδες 

Έστω ) δακτύλιος και  ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (αγγλικά: maximal ideal) αν για κάθε  με  έπεται ότι  ή .

Πρώτο Ιδεώδες 

Έστω ) δακτύλιος και  ένα ιδεώδες του. Το  θα καλείται πρώτο ιδεώδες (αγγλικά: prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

 Αν  τότε είτε  είτε .

Προκύπτει ότι κάθε μεγιστικό ιδεώδες του  είναι πρώτο.

Παραδείγματα 

 Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο 

 Έστω  ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

 Το σύνολο  είναι ένα ιδεώδες του  που περιέχει το .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο και συμβολίζεται με .

 Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες  του  είναι πρώτο και μέγιστο.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία 

 Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη

Θεωρία δακτυλίων
Αλγεβρικές δομές