Ευκλείδεια γεωμετρία

Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα μαθηματικό σύστημα, το οποίο αποδίδεται στον αλεξανδρινό Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη και περιγράφεται στο βιβλίο του γεωμετρίας με όνομα: τα Στοιχεία. Η μέθοδος του Ευκλείδη βασίζεται στην υπόθεση ενός μικρού συνόλου αξιωμάτων και στην εξαγωγή πολλών προτάσεων (θεωρημάτων) από αυτά. Αν και πολλά από τα αποτελέσματα της δουλείας του Ευκλείδη έχουν αναφερθεί νωρίτερα από άλλους μαθηματικούς, ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που έδειξε πως αυτές οι προτάσεις μπορούν να εισαχθούν σε ένα περιεκτικό επαγωγικό και λογικό σύστημα. Τα Στοιχεία αρχίζουν με επιπεδομετρία που διδάσκεται στο σχολείο ως το πρώτο αξιωματικό σύστημα αλλά και τα πρώτα παραδείγματα επίσημης απόδειξης και στη συνέχεια ασχολούνται με στερεομετρία τριών διαστάσεων. Το μεγαλύτερο μέρος των Στοιχείων αποτελούν κομμάτια της σημερινής άλγεβρας και θεωρίας αριθμών, γραμμένα σε γλώσσα γεωμετρίας.

Για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια το επίθετο "Ευκλείδεια" γεωμετρία δεν ήταν απαραίτητο γιατί κανένα άλλο είδος γεωμετρίας δεν είχε δημιουργηθεί. Τα αξιώματα του Ευκλείδη διαισθητικά φαίνονταν τόσο προφανή (με πιθανή εξαίρεση το αξίωμα παραλληλίας) που κάθε θεώρημα που αποδεικνυόταν με αυτά κρινόταν σωστό με απόλυτη βεβαιότητα. Σήμερα παρ' όλα αυτά υπάρχουν πολλές ακόμα γεωμετρίες μη Ευκλείδειες που ανακαλύφθηκαν κατά τις αρχές του 19ου αιώνα. Ο μεγάλος φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν μάλιστα είπε με την ανακάλυψη της θεωρίας της σχετικότητας ότι ο πραγματικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος, αλλά ο Ευκλείδειος χώρος είναι μια καλή προσέγγιση για περιοχές που το βαρυτικό πεδίο είναι αδύναμο.

Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα παράδειγμα γεωμετρίας που δουλεύει χωρίς τη χρήση συντεταγμένων. Αντίθετα αν θέλουμε να δουλέψουμε με συντεταγμένες καταφεύγουμε στην αναλυτική γεωμετρία.

Αντικείμενο 
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση), τις γραμμές (με μία διάσταση) και τις επιφάνειες (με δύο διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για «γραμμές της ασφάλτου» ή «σιδηροδρομικές γραμμές», ή «ακτοπλοϊκές γραμμές» λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις».

Λέγεται ότι, όταν ζητήθηκε στον Ευκλείδη από τον Πτολεμαίο να του μάθει γεωμετρία, ο Πτολεμαίος του ζήτησε να μάθει μια «βασική» Γεωμετρία. Η απάντηση του Ευκλείδη ήταν «δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για τη Γεωμετρία».

Έννοιες - προτάσεις 
 Πρωταρχικές έννοιες (ή αλλιώς, θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία γραμμή, η γραμμή, το επίπεδο και η επιφάνεια.
 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθινές: τα αξιώματα. Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα αξιώματα) την θεωρούμε ως αληθή μόνο εάν έχουμε καταλήξει σε αυτή αποδεικνύοντας την με βάση τα αξιώματα (κατά συνέπεια κάθε αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης πρότασης).

Κάθε πρόταση περιέχει την υπόθεση και το συμπέρασμα, στο οποίο καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.
 Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης . Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται:
αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος
αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
 Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα.
 Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη.
 Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στη Στερεομετρία.

Βασικά στοιχεία της ευκλείδειας γεωμετρίας 
Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από τις πρωταρχικές έννοιες των αξιωμάτων, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω απόδειξη. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λπ. Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία. Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα Αξιώματα Χίλμπερτ.
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη.

Τα Στοιχεία 
κύρια πηγή: Στοιχεία

Τα Στοιχεία είναι ουσιαστικά μια συστηματοποίηση της τότε υπάρχουσας γνώσης γεωμετρίας. Τα παλαιότερα παρόμοια εγχειρήματα ήταν σαφώς κατώτερα και για το λόγο αυτό τα περισσότερα έχουν εξαφανιστεί. Η βελτίωση που παρείχαν τα Στοιχεία αναγνωρίστηκε αμέσως.

Υπάρχουν 13 συνολικά βιβλία στα Στοιχεία:

Τα βιβλία I-IV και VI ασχολούνται με γεωμετρία επιπέδου. Έχουν αποδειχτεί πολλά αποτελέσματα για το επίπεδο, όπως ότι "Για κάθε τρίγωνο αν πάρουμε δύο γωνίες μαζί με οποιονδήποτε τρόπο, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα μικρότερο από δύο ορθές γωνίες" (Βιβλίο I Πρόταση 17), ή το Πυθαγόρειο θεώρημα "Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών" (Βιβλίο I Πρόταση 47).

Τα βιβλία V και VII-X έχουν να κάνουν με θεωρία αριθμών, με αριθμούς που αντιμετωπίζονται γεωμετρικά μέσω της αναπαράστασης τους ως ευθύγραμμα τμήματα με διάφορα μήκη. Εισάγονται και έννοιες όπως πρώτοι αριθμοί, ρητοί και άρρητοι αριθμοί. Επίσης αποδεικνύεται και η απειρία των πρώτων αριθμών.

Τέλος τα βιβλία XI-XIII μιλούν για στερεομετρία. Ένα γνωστό αποτέλεσμα είναι η εύρεση του λόγου του όγκου ενός κώνου και ενός κυλίνδρου με ίδιο ύψος και βάση που είναι ίσος με 1:3.

Αξιώματα 
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα αξιωματικό σύστημα στο οποίο τα θεωρήματα προέρχονται από ένα μικρό αριθμό αξιωμάτων. Στην αρχή του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων ο Ευκλείδης δίνει 5 αξιώματα για τη γεωμετρία του επιπέδου και σχετίζονται με τη κατασκευή.(Όπως το μετέφρασε ο Thomas Heath):

"Let the following be postulated"(δηλαδή ας πάρουμε τα παρακάτω ως αποδεκτά):

 "Η κατασκευή μιας ευθείας γραμμής από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο"
 "Μια πεπερασμένη ευθεία μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα"
 "Ένας κύκλος ορίζεται από ένα κέντρο και μια απόσταση(ακτίνα)"
 "Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες"
 Το αξίωμα παραλληλίας: "Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες, τότε αυτές οι δύο αν επεκταθούν επ' αόριστον θα τμηθούν απ' την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο κάθετες"
Τα Στοιχεία περιλαμβάνουν επίσης τις επόμενες 5 "κοινές έννοιες":
 Αντικείμενα που είναι ίσα με κάποιο άλλο ίδιο αντικείμενο είναι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα ισότητας)
 Αν ίσα αντικείμενα προστεθούν σε ίσα, τότε τα τελικά παραμένουν ίσα(προσθετική ιδιότητα)
 Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα τελικά είναι επίσης ίσα(αφαιρετική ιδιότητα)
 Αντικείμενα που συμπίπτουν μεταξύ τους είναι ίσα
 Το όλο είναι μεγαλύτερο από ένα κομμάτι του.

Αξίωμα Παραλληλίας 
Το αξίωμα αυτό σε σχέση με τα άλλα έμοιαζε λιγότερο προφανές για τους αρχαίους. Επειδή μάλιστα ενδιαφέρονταν να φτιάξουν ένα αυστηρά θεμελιωμένο σύστημα σκέφτονταν ότι ίσως θα πρέπει το αξίωμα αυτό να αποδειχθεί και να μην θεωρηθεί ως δεδομένο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι μια τέτοια απόδειξη είναι μαθηματικά αδύνατη. Ο Ευκλείδης παρ'όλα αυτά οργάνωσε τα Στοιχεία του έτσι ώστε οι 28 πρώτες προτάσεις να είναι αυτές που δε χρειάζονται το αξίωμα της παραλληλίας για να αποδειχθούν.

Πολλά αξιώματα μπορούν να διατυπωθούν ώστε να έχουν ίδιες λογικές συνέπειες με το αξίωμα της παραλληλίας. Για παράδειγμα το αξίωμα Playfair's που μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη λέει το εξής:

Σε ένα επίπεδο δοθέντων μιας ευθείας και ενός σημείου εκτός αυτής, μπορώ να κατασκευάσω το πολύ μια ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα που θα περνάει απ' το δοθέν σημείο.

Μέθοδοι απόδειξης 

Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι "κατασκευαστική". Τα αξιώματα 1,2,3 και 5 μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων. Δε μένουν όμως μόνο εκεί γιατί μας εξασφαλίζουν και τις μεθόδους που τα κατασκευάζουν. Γι'αυτό λέμε ότι είναι και "κατασκευαστική". Τα εργαλεία που απαιτούνται για την κατασκευή είναι χάρακας και διαβήτης. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι πιο συμπαγής από άλλα μοντέρνα αξιωματικά συστήματα όπως ας πούμε η θεωρία συνόλων, που συχνά εξασφαλίζουν μόνο την ύπαρξη και όχι την μέθοδο κατασκευής ενός αντικειμένου. Υπάρχουν και περιπτώσεις που εξασφαλίζεται η ύπαρξη αλλά η ίδια θεωρία δεν επιτρέπει την κατασκευή. Οι κατασκευαστικές αποδείξεις του Ευκλείδη πολλές φορές αντικαταστάθηκαν από άλλες μη-κατασκευαστικές. Π.χ μερικές αποδείξεις του Πυθαγόρα που περιείχαν άρρητους αριθμούς. Ο Ευκλείδης συχνά χρησιμοποιούσε και την μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Η ευκλείδεια γεωμετρία επίσης επιτρέπει και τη μέθοδο της υπέρθεσης κατά την οποία ένα αντικείμενο μεταφέρεται από ένα σημείο του χώρου σε κάποιο άλλο. Για παράδειγμα ή Πρόταση Ι4: η ισότητα τριγώνων μπορεί να αποδειχθεί μετακινώντας ένα απ΄ τα τρίγωνα έτσι ώστε η μια πλευρά του να συμπέσει στην αντίστοιχη ίση πλευρά του άλλου τριγώνου και στη συνέχεια αποδεικνύοντας ότι και οι άλλες δύο πλευρές των τριγώνων συμπίπτουν. Ως εναλλακτική της υπέρθεσης έχουμε μοντέρνα μαθηματικά που χρησιμοποιούν ένα ακόμα έκτο αξίωμα που έχει να κάνει με την ακαμψία του τριγώνου.

Σύστημα μέτρησης και αριθμητική 
Η ευκλείδεια γεωμετρία έχει δύο θεμελιώδεις τύπους μέτρησης: γωνία και απόσταση. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε την ορθή γωνία ως μια βασική μονάδα για να περιγράψει τις υπόλοιπες γωνίες. Δηλαδή μια γωνία 45 μοιρών είναι ίση με μισή ορθή γωνία. Η απόσταση παρ'όλα αυτά δεν είχε έναν σταθερό γνώμονα όπως η ορθή γωνία. Επιλέγοντας ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα μπορούσε κανείς να μετρήσει όλα τα υπόλοιπα σε συνάρτηση με το πρώτο. Ένα τμήμα με μήκος χ αντιστοιχεί στον αριθμό αυτό. Αν θέλουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς χ και y παίρνουμε τα τμήματα με μήκος χ και y και τοποθετούμε το τέλος του ενός στην αρχή του άλλου. Αυτή είναι και μια γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης. Με ανάλογο τρόπο γίνεται η αφαίρεση.

Η μέτρηση εμβαδού και όγκου προέρχεται από τις αποστάσεις. Για παράδειγμα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος 3 και μήκος 4 έχει εμβαδόν ίσο με το γινόμενο των δύο. Επειδή η γεωμετρική αυτή ερμηνεία του πολλαπλασιασμού περιορίζεται στις τρεις διαστάσεις δεν μπορούσε να αναπαρασταθεί γεωμετρικά το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών. Έτσι ο Ευκλείδης αν και έκανε κάποιους υπαινιγμούς(π.χ. Πρόταση 20 βιβλίο ΙΧ), συνήθως αγνοούσε το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών.

Ο Ευκλείδης αναφέρει ένα ζευγάρι ευθειών, επιπέδων ή στερεών ως "ίσα" αν τα μήκη, εμβαδά ή όγκοι τους είναι αντίστοιχα ίσοι. Όμοια για τις γωνίες. Η ισχυρότερη έννοια "ισότητα" ορίζεται να είναι η ιδιότητα που λέει πως ένα αντικείμενο έχει ίδιο μέγεθος και σχήμα με κάποιο άλλο. Επίσης ένα σχήμα είναι ίσο με ένα άλλο αν μετακινήσουμε το πρώτο πάνω στο δεύτερο και παρατηρήσουμε ότι ταυτίζονται. Π.χ. ένα ορθογώνιο 2*6 με ένα ορθογώνιο 3*4 είναι ισοδύναμα αλλά δεν είναι ίσα. Σχήματα που είναι ίσα χωρίς να έχουν ίδιο μέγεθος αποκαλούνται όμοια. Αντίστοιχες γωνίες σε ένα ζευγάρι όμοιων σχημάτων είναι ίσες και αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες μεταξύ τους.

Σύμβολα και ορολογία

Ονόματα σημείων και αντικειμένων 
Για την ονομασία σημείων χρησιμοποιούνται συνήθως κεφαλαία γράμματα του αλφαβήτου. Άλλα αντικείμενα όπως γραμμές, τρίγωνα ή κύκλοι παίρνουν το όνομα τους από ένα σύνολο επαρκών σημείων τους, που τα ορίζουν. Π.χ. για ένα τρίγωνο αρκούν τρία σημεία(κορυφές) για να οριστεί. Ας πάρουμε το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α,Β και Γ. Το τρίγωνο αυτό θα έχει την ονομασία ΑΒΓ.

Συμπληρωματικές και παραπληρωματικές γωνίες 
Γωνίες με άθροισμα 90°(δηλαδή μια ορθή γωνία) λέγονται συμπληρωματικές γωνίες. Έστω ότι έχουμε δύο ημιευθείες με κοινή κορυφή που σχηματίζουν ορθή γωνία. Αν πάρουμε οποιαδήποτε ημιευθεία που ξεκινάει απ΄την ίδια κορυφή και βρίσκεται ανάμεσα στις δύο αυτές ημιευθείας, τότε σχηματίζουμε δύο συμπληρωματικές γωνίες. Οι ημιευθείες αυτές είναι άπειρες, άρα και τα ζεύγη συμπληρωματικών γωνιών είναι άπειρα.

Γωνίες με άθροισμα 180°(δηλαδή μια ευθεία γωνία) λέγονται παραπληρωματικές γωνίες. Παραπληρωματικές γωνίες έχουμε όταν μια ημιευθεία βρίσκεται ανάμεσα στις δύο ημιευθείες που ορίζουν μια ευθεία γωνία(όλες οι ημιευθείες έχουν κοινό αρχικό σημείο). Οι ημιευθείες αυτές που "κόβουν" την ευθεία γωνία σε δύο παραπληρωματικές γωνίες είναι άπειρες.

Σύγχρονη εκδοχή συμβόλων της Ευκλείδειας γεωμετρίας 
Στη σύγχρονη ορολογία οι γωνίες συνήθως έχουν ως μονάδα μέτρησης τις μοίρες ή τα ακτίνια.Τα σύγχρονα εγχειρίδια ορίζουν τις γραμμές να είναι ευθείες(γραμμές άπειρου μήκους),ημιευθείες(γραμμές με άπειρο μήκος προς μια διεύθυνση) και ευθύγραμμα τμήματα (γραμμές με πεπερασμένο μήκος). Ο Ευκλείδης δε χρησιμοποιούσε τον όρο ημιευθεία ως μια ευθεία που επεκτείνεται άπειρα προς μια διεύθυνση αλλά αντίθετα μιλούσε για "μια γραμμή που επεκτείνεται επαρκώς". Παρ' όλα αυτά έχει αναφερθεί και στον όρο "άπειρη ευθεία". Οι γραμμές ήταν οι ευθείες και οι καμπυλωμένες και όταν ήθελε να αναφερθεί σε ευθείες χρησιμοποιούσε τον όρο "ευθείες γραμμές".

Ιστορική συμβολή 
Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός. Η συμβολή της στην ανακάλυψη αργότερα άλλων κλάδων γεωμετρίας εκτός της Ευκλείδειας αλλά και άλλων κλάδων των μαθηματικών ήταν μεγάλη. Οι εφαρμογές της επίσης αρκετές αφού η Ευκλείδεια Γεωμετρία μπορούμε να πούμε πως είναι η Γεωμετρία που εξηγεί αυτό που βλέπουμε με τα μάτια μας. Οι εφαρμογές της αναφέρονται εκτενέστερα και στη συνέχεια.

Ορισμένα σημαντικά ή πολύ γνωστά αποτελέσματα

Pons Asinorum 
Το Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών (Pons Asinorum) αναφέρει ότι σε ισοσκελή τρίγωνα οι γωνίες της βάσης είναι ίσες μεταξύ τους, και αν οι ίσες ευθείες γραμμές παράγονται περαιτέρω τότε οι γωνίες κάτω από την βάση είναι ίσες. Το όνομά του μπορεί να αποδοθεί στον συχνό ρόλο του ως το πρώτο πραγματικό τεστ στα Στοιχεία της κατανόησης του αναγνώστη και ως γέφυρα στις πιο δύσκολες προτάσεις που ακολουθούν. Επίσης μπορεί και να ονομάστηκε έτσι λόγω της ομοιότητας των γεωμετρικών σχημάτων με μία απότομη γέφυρα που μόνο ένας αλάνθαστος γάιδαρος θα μπορούσε να διασχίσει.

Ισότητα Τριγώνων 

Τα τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες ή αν έχουν δύο πλευρές και την γωνία ανάμεσα τους ίσες ή αν έχουν δύο γωνίες και την προσκείμενη σε αυτές πλευρά ίση μεταξύ τους.(Βιβλίο I, προτάσεις 4, 8, 26).Τρίγωνα με τρεις ίσες γωνίες είναι όμοια, αλλά όχι αναγκαστικά ίσα. Επίσης τα τρίγωνα με δύο ίσες πλευρές και μία οποιαδήποτε γωνία δεν είναι απαραίτητα όμοια και ίσα.

Άθροισμα γωνίας τριγώνου 
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με μία ευθεία γωνία(180 μοίρες).Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο να έχει τρεις εσωτερικές γωνίες από 60 μοίρες η κάθε γωνία. Επίσης αυτό σημαίνει ότι κάθε τρίγωνο έχει το λιγότερο δύο οξείες γωνίες και μέχρι μία αμβλεία γωνία ή ορθή γωνία.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα 
Το περίφημο Πυθαγόρειο Θεώρημα (Βιβλίο I,πρόταση 47) αναφέρει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας (η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

Το Θεώρημα του Θαλή 
Το  Θεώρημα του Θαλή που ονομάστηκε έτσι λόγω του Θαλή του Μιλήσιου αναφέρει ότι αν Α,Β,Γ είναι σημεία ενός κύκλου όπου η γραμμή ΑΓ είναι η διάμετρος του κύκλου, τότε η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή γωνία. Ο Καντόρ υπέθεσε ότι ο Θαλής απέδειξε το θεώρημα του μέσω του 1ου βιβλίου του Ευκλείδη(πρόταση 32) μετά από τον τρόπο που χρησιμοποιήθηκε στο 3ο Βιβλίο του Ευκλείδη(πρόταση 31).

Κλιμάκωση του εμβαδού και του όγκου 
Στην σύγχρονη ορολογία, το εμβαδόν ενός σχήματος επιπέδου είναι ανάλογο με το τετράγωνο μιας οποιασδήποτε από τις γραμμικές του διαστάσεις. ως προς τον όγκο του στερεού ως προς τον κύβο,  .Ο Ευκλείδης απέδειξε αυτά τα αποτελέσματα σε πολλές διάφορες ειδικές περιπτώσεις όπως αυτή του κύκλου και του όγκου σε παραλληλεπίπεδο στερεό.Ο Ευκλείδης καθόρισε κάποιες, αλλά όχι όλες, από τις σχετικές σταθερές της αναλογικότητας. Για παράδειγμα ήταν ο διάδοχός του, ο Αρχιμήδης εκείνος ο οποίος απέδειξε ότι μια σφαίρα έχει τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου που περικλείει.

Εφαρμογές 
Λόγω της θεμελιώδους θέσης της Ευκλείδειας γεωμετρίας στα μαθηματικά, θα ήταν αδύνατο να δοθεί παραπάνω από ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα των εφαρμογών.

Όπως φαίνεται από την ετυμολογία της λέξης, ένας από τους πρώτους λόγους για το ενδιαφέρον προς την γεωμετρία ήταν η χωρομέτρηση (μέτρηση του χώρου), και ορισμένα πρακτικά αποτελέσματα από την Ευκλείδεια γεωμετρία, όπως η κυριότητα της ορθής γωνίας ενός 3-4-5 τριγώνου, χρησιμοποιούνταν αρκετό καιρό πριν αποδειχθούν και επίσημα.Οι θεμελιώδεις τύποι των μετρήσεων στην Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποστάσεις και γωνίες. Αυτές οι δύο ποσότητες μπορούν να υπολογιστούν κατευθείαν από έναν τοπογράφο. Ιστορικά οι αποστάσεις μετριόταν συνήθως με αλυσίδες όπως για παράδειγμα οι λεγόμενες αλυσίδες Γκάντερ, ενώ για την μέτρηση των γωνιών χρησιμοποιούνταν κύκλοι και αργότερα ο θεοδόλιχος.

Μία εφαρμογή της Ευκλείδειας στερεάς γεωμετρίας είναι ο καθορισμός των ρυθμίσεων συσκευασίας (δηλαδή το πακετάρισμα όλων των αντικειμένων σε ένα κιβώτιο ή σε όσο το δυνατόν λιγότερα κιβώτια γίνεται), όπως η εύρεση του πιο αποτελεσματικού τρόπου συσκευασίας σφαιρών σε n διαστάσεις. Το πρόβλημα αυτό έχει εφαρμογή στην ανίχνευση και διόρθωση σφαλμάτων.

Η Γεωμετρική Οπτική χρησιμοποιεί Ευκλείδεια γεωμετρία στην ανάλυση και εστίαση του φωτός από φακούς και καθρέφτες.

Η Γεωμετρία χρησιμοποιείται εκτενώς και στην αρχιτεκτονική.

Χρησιμοποιείται επίσης και στον σχεδιασμό οριγκάμι. Κάποια κλασσικά προβλήματα γεωμετρίας είναι αδύνατο να λυθούν με την χρήση χάρακα και διαβήτη αλλά μπορούν να λυθούν με την μέθοδο οριγκάμι.

Ως περιγραφή της δομής του χώρου 
Ο Ευκλείδης πίστευε ότι τα αξιώματά του ήταν αυτονόητες καταστάσεις σχετικά με την φυσική πραγματικότητα. Οι αποδείξεις του Ευκλείδη βασίζονταν πάνω σε παραδοχές οι οποίες ίσως να μην ήταν προφανείς στα θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη,  και πιο συγκεκριμένα ότι ορισμένες αριθμητικές κινήσεις δεν αλλάζουν τις γεωμετρικές τους ιδιότητες όπως τα μήκη των πλευρών και οι εσωτερικές γωνίες, οι λεγόμενες Ευκλείδειες κινήσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφορές, ανακλάσεις και περιστροφές στοιχείων. Λαμβάνοντάς τα ως φυσικές περιγραφές του χώρου, το αξίωμα 2(επέκταση γραμμής) ισχυρίζεται ότι ο χώρος δεν έχει οπές ή όρια (με αλλά λόγια, ο χώρος είναι ομοιογενής και απεριόριστος), το αξίωμα 4 (ισότητα ορθών γωνιών) λέει ότι ο χώρος είναι ισοτροπικός  και τα στοιχεία μπορούν να μετακινηθούν σε  οποιαδήποτε τοποθεσία όσο διατηρούν μία μαθηματική αναλογία, και το αξίωμα 5 (παράλληλο αξίωμα) ότι ο χώρος είναι επίπεδος(δεν έχει καθόλου εγγενή καμπυλότητα).

Όπως θα δούμε και παρακάτω, η Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν τροποποιεί σημαντικά αυτή την θεωρία.

Ο διφορούμενος χαρακτήρας των αξιωμάτων όπως διατυπώθηκαν αρχικά από τον Ευκλείδη δημιούργησε αρκετές διαφωνίες και υπαινιγμούς σχετικά με την δομή του χώρου, όπως αν είναι άπειρος ή όχι και ποια είναι η τοπολογία του. Στην σύγχρονη εποχή οι πιο αυστηρές αναδιατυπώσεις του συστήματος έχουν ως στόχο έναν καλύτερο διαχωρισμό αυτών των ζητημάτων. Ερμηνεύοντας τα αξιώματα του Ευκλείδη με μία πιο μοντέρνα και σύγχρονη προσέγγιση, τα αξιώματα 1-4 έχουν μία συνέπεια ως προς τον άπειρο ή πεπερασμένο χώρο(όπως στην ελλειπτική γεωμετρία). Επίσης και τα 5 αξιώματα έχουν μία συνέπεια ως προς την ποικιλία των τοπολογιών (για παράδειγμα ένα επίπεδο, ένας κύλινδρος, ή ένα τόρος για την δισδιάστατη Ευκλείδεια γεωμετρία).

Μεταγενέστερα έργα

Αρχιμήδης και Απολλώνιος 

Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) μία έντονη φιγούρα για τον οποίο έχουν γραφτεί πολλά ιστορικά ανέκδοτα, είναι γνωστός μαζί με τον Ευκλείδη ως ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους μαθηματικούς. Παρόλο που τα θεμέλια του έργου του διορθώθηκαν κατά κάποιο τρόπο από τον Ευκλείδη, η δουλειά του, σε αντίθεση με την δουλειά του Ευκλείδη θεωρείται πως είναι εξ' ολοκλήρου πρωτότυπη.Απέδειξε διάφορες εξισώσεις σχετικά με τους όγκους και τα εμβαδά διαφόρων στοιχείων στον δισδιάστατο και τρισδιάστατο χώρο, και διατύπωσε την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πεπερασμένων αριθμών.

Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (262 π.Χ.-190 π.Χ.) είναι κυρίως γνωστός για την έρευνά του πάνω στις κωνικές τομές.

17ος αιώνας :Ντεκάρτ 
Ο Ρενέ Ντεκάρτ (1596-1650) ανέπτυξε την αναλυτική γεωμετρία, μία εναλλακτική μέθοδο για την επισημοποίηση της γεωμετρίας που επικεντρώθηκε στην μετατροπή της γεωμετρίας σε άλγεβρα.

Σύμφωνα με αυτή την προσέγγιση ένα σημείο στο επίπεδο αναπαρίσταται από τις Καρτεσιανές του (x,y) συντεταγμένες, μία γραμμή αναπαρίσταται από μία εξίσωση κτλ.

Στην αρχική προσέγγιση του Ευκλείδη,το Πυθαγόρειο Θεώρημα ακολουθεί τα αξιώματα του Ευκλείδη. Σύμφωνα με την Καρτεσιανή προσέγγιση τα αξιώματα είναι αλγεβρικά αξιώματα, και η εξίσωση με την οποία περιγράφεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι στην ουσία ο ορισμός ενός από τους όρους των αξιωμάτων του Ευκλείδη, τα οποία τώρα εξετάζονται και μελετούνται ως θεωρήματα.

Η εξίσωση

που ορίζει την απόσταση των σημείων  και  έγινε στην συνέχεια γνώστη ως Ευκλείδεια μετρική, ενώ άλλες μετρικές καθορίζουν την μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

Με όρους αναλυτικής γεωμετρίας ο περιορισμός της κλασσικής γεωμετρίας με βάση την περίμετρο και τις κατασκευές σε επίπεδη επιφάνεια σημαίνει ότι υπάρχει περιορισμός σε πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες εξισώσεις, π.χ.   (μία γραμμή) ή  (ένας κύκλος).

Επίσης τον 17ο αιώνα ο Girard Desargues έχοντας ως κίνητρο την θεωρία της προοπτικής την έννοια των ιδανικών σημείων, γραμμών και επιπέδων στο άπειρο. Το αποτέλεσμα που είχε μπορεί να θεωρηθεί ως ένα είδος γενικευμένης γεωμετρίας, προβολικής γεωμετρίας, αλλά μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ως απόδειξη και στην συνηθισμένη Ευκλείδεια γεωμετρία στην οποία ο αριθμός των ειδικών περιπτώσεων είναι μειωμένος.

18ος αιώνας 
Οι μαθηματικοί που ασχολούνταν με την γεωμετρία τον 18ο αιώνα δυσκολεύονταν αρκετά να καθορίσουν τα όρια του Ευκλείδειου συστήματος. Αρκετοί από αυτούς μάταια προσπαθούσαν να αποδείξουν το 5ο αξίωμα χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα 4 αξιώματα. Μέχρι το 1763 υπήρχαν τουλάχιστον 28 αποδείξεις οι οποίες είχαν δημοσιευτεί, όμως όλες ήταν λάθος.

Κατά την διάρκεια του 18ου αιώνα οι μαθηματικοί προσπάθησαν επίσης να καθορίσουν τι έργα μπορούσαν να επιτευχθούν στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα το πρόβλημα της τριχοτόμησης μιας γωνίας, το οποίο αναφέρεται στην θεωρία, μιας και τα αξιώματα αναφέρονται σε τέτοιες δραστηριότητες οι οποίες μπορούν να υλοποιηθούν με χάρακα και διαβήτη (μέθοδος της λεγόμενης "Κινηματικής Γεωμετρίας"). Ωστόσο και ύστερα από αιώνες αποτυχημένων προσπαθειών για να βρεθεί μια λύση, το 1837 ο Πιέρ Βανζέλ έφερε στην δημοσιότητα την απόδειξη ότι μία τέτοια κατασκευή ήταν αδύνατο να γίνει. Άλλες επίσης κατασκευές που αποδείχθηκε ότι είναι αδύνατο να υλοποιηθούν είναι ο διπλασιασμός του κύβου, ο τετραγωνισμός του κύκλου. Στην περίπτωση του διπλασιασμού του κύβου αυτό που κάνει αδύνατη την κατασκευή του είναι ότι η μέθοδος της "Κινηματικής Γεωμετρίας" περιλαμβάνει εξισώσεις δεύτερης τάξης, ενώ ο διπλασιασμός του κύβου απαιτεί την επίλυση εξισώσεως τρίτης τάξης.

Ο Όιλερ συζήτησε μία γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας που ονομάζεται αφηρημένη γεωμετρία (αυτό που μένει από την Ευκλείδεια γεωμετρία όταν δεν χρησιμοποιούμε τις μετρικές έννοιες της απόστασης και της γωνίας), η οποία διατηρεί το 5ο αξίωμα μη τροποποιημένο ενώ αποδυναμώνει τα αξιώματα 3 και 4 με έναν τρόπο που καταργεί τις έννοιες της γωνίας (εξ ου και οι ορθές γωνίες χάνουν το νόημά τους) και της ισότητας του μήκους των τμημάτων της γραμμής γενικευμένα (εξ ου και οι κύκλοι χάνουν το νόημά τους), ενώ αντίθετα διατηρεί τις έννοιες του παραλληλισμού σαν σχέση ισοδυναμίας μεταξύ των γραμμών και την ισότητα του μήκους των παράλληλων τμημάτων γραμμής (έτσι ώστε τα τμήματα γραμμής να εξακολουθούν να έχουν μέσο).

19ος αιώνας και μη Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Καρνό και ο Μέμπιους ανέπτυξαν συστηματικά τη χρήση των υπογεγραμμένων γωνιών και των ευθύγραμμων τμημάτων ως έναν τρόπο για την απλοποίηση και ενοποίηση των αποτελεσμάτων.

Η σημαντικότερη εξέλιξη του αιώνα στη γεωμετρία σημειώθηκε όταν, γύρω στο 1830, ο Janos Bolyai και ο Νικολάι Λομπατσέφσκι δημοσίευσαν χωριστά έργο στην μη Ευκλείδεια γεωμετρία, στην οποία το αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι έγκυρο. Δεδομένου ότι η μη Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποδεδειγμένα σχετικά συνδεδεμένη με την Ευκλείδεια γεωμετρία, το αξίωμα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα.

Κατά τον 19ο αιώνα, έγινε επίσης αντιληπτό ότι τα δέκα αξιώματα και κοινές έννοιες του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να αποδείξουν όλα τα θεωρήματα που αναφέρονται στα Στοιχεία. Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης υπέθεσε σιωπηρά ότι κάθε γραμμή περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία, αλλά η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα, και ως εκ τούτου θα πρέπει να αποτελεί από μόνης της ένα αξίωμα. Η πρώτη γεωμετρική απόδειξη στα Στοιχεία, όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω, είναι ότι κάθε τμήμα γραμμής είναι μέρος ενός τριγώνου. Ο Ευκλείδης το κατασκεύασε με τον συνήθη τρόπο, σχεδιάζοντας κύκλους γύρω από τα δύο τελικά σημεία και παίρνοντας την τομή τους ως την τρίτη κορυφή. Τα αξιώματά του, ωστόσο, δεν εγγυώνται ότι οι κύκλοι τέμνονται στην πραγματικότητα, επειδή δεν υποστηρίζουν τη γεωμετρική ιδιότητα της συνέχειας, η οποία από Καρτεσιανή άποψη είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Ξεκινώντας από αυτό του Μόριτς Πας, το 1882, πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για γεωμετρία έχουν προταθεί, τα ποιο γνωστά από τα οποία είναι εκείνα των Χίλμπερτ, George Birkhoff και Τάρσκι.

20ος αιώνας και γενική σχετικότητα 

Η θεωρία της γενικής σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν δείχνει ότι η πραγματική γεωμετρία του χωροχρόνου δεν είναι Ευκλείδεια γεωμετρία. Για παράδειγμα αν ένα τρίγωνο κατασκευαστεί από τρεις ακτίνες φωτός, τότε σε γενικές γραμμές οι εσωτερικές γωνίες δε φτάνουν το άθροισμα των 180 μοιρών λόγω της βαρύτητας. Ένα σχετικά ασθενές βαρυτικό πεδίο, όπως της Γης ή του Ήλιου, αντιπροσωπεύεται από μία μετρική που είναι σχεδόν, αλλά όχι ακριβώς, Ευκλείδεια. Μέχρι τον 20ο αιώνα, δεν υπήρχε τεχνολογία ικανή να ανιχνεύσει τις αποκλίσεις από την Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά ο  Αϊνστάιν προέβλεψε ότι τέτοιες αποκλίσεις θα υπάρξουν. Αργότερα επαληθεύονται από παρατηρήσεις, όπως η ελαφριά κάμψη του αστρικού φωτός από τον Ήλιο κατά τη διάρκεια μιας ηλιακής έκλειψης το 1919, και τέτοιες σκέψεις είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι του λογισμικού που τρέχει το σύστημα GPS. Είναι δυνατόν να αντιταχθεί σε αυτή την ερμηνεία της γενικής σχετικότητας με την αιτιολογία ότι οι ακτίνες του φωτός μπορεί να είναι ακατάλληλα φυσικά μοντέλα των γραμμών του Ευκλείδη, ή ότι η σχετικότητα θα μπορούσε να αναδιατυπωθεί, ώστε να αποφύγει τις γεωμετρικές ερμηνείες. Ωστόσο, μία από τις συνέπειες της θεωρίας του Αϊνστάιν είναι ότι δεν υπάρχει καμία δυνατή φυσική δοκιμή που να μπορεί να διακρίνει ανάμεσα σε μια ακτίνα του φωτός ως ένα μοντέλο γεωμετρικής γραμμής και κάθε άλλο φυσικό φαινόμενο. Έτσι, το μόνο λογικό ενδεχόμενο είναι να αποδεχτούμε την μη Ευκλείδεια γεωμετρία ως φυσική πραγματικότητα, ή να απορρίψουμε ολόκληρη την έννοια των φυσικών δοκιμών των αξιωμάτων της γεωμετρίας, κάτι το οποίο μπορεί τότε να φανταστεί ως ένα επίσημο σύστημα χωρίς κανένα πραγματικό νόημα.

Μεταχείριση του άπειρου

Αντικείμενα του άπειρου 
Ο Ευκλείδης μερικές φορές έκανε σαφή διάκριση μεταξύ των πεπερασμένων γραμμών (π.χ. αξίωμα 2) και των άπειρων γραμμών (βιβλίο 1, πρόταση 12). Ωστόσο συνήθως δεν έκανε τέτοιες διακρίσεις, εκτός αν ήταν αναγκαίο. Τα αξιώματα δεν αναφέρονται ρητά στις άπειρες γραμμές, αν και για παράδειγμα μερικοί σχολιαστές ερμηνεύουν το αξίωμα 3, για την ύπαρξη κύκλου με οποιαδήποτε ακτίνα, ως υπόνοια ότι ο χώρος είναι άπειρος.

Η έννοια της απειροελάχιστης ποσότητας είχε προηγουμένως συζητηθεί εκτενώς από την σχολή της Ελέας, αλλά κανείς δεν ήταν σε θέση να τους βάλει σε μια σταθερή λογική βάση με τα παράδοξα όπως αυτό του Ζήνωνα να εμφανίζονται χωρίς μια παγκόσμια αποδεκτή λύση. Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης αντί γι'αυτήν της απειροελάχιστης απόστασης.

Αργότερα σχολιαστές όπως ο Πρόκλος (410–485 μ.Χ) αντιμετώπισαν πολλά ερωτήματα σχετικά με το άπειρο όπως θέματα που απαιτούσαν απόδειξη και, π.χ. ο Πρόκλος ισχυρίστηκε ότι μπορεί να αποδείξει την άπειρη διαιρετότητα μιας γραμμής, βασιζόμενος σε μια εις άτοπον απαγωγή στην οποία εξέτασε τις περιπτώσεις να αποτελείται ακόμη και από μονό αριθμό σημείων.

Στις αρχές του 20ού αιώνα οι Ότο Στόλτς, Paul du Bois-Reymond, Τζουζέπε Βερονέζε και άλλοι παρήγαγαν αμφιλεγόμενο έργο σε μη αρχιμήδεια μοντέλα της ευκλείδειας γεωμετρίας, στα οποία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να είναι άπειρη ή απειροελάχιστη, με την έννοια Νεύτων-Λάιμπνιτς. Πενήντα χρόνια αργότερα, ο Άμπραχαμ Ρόμπινσον συνέφερε με μια αυστηρή λογική θεμελίωση για το έργο του Veronese.

Άπειρες διαδικασίες 
Ένας λόγος που οι αρχαίοι αντιμετώπισαν το αξίωμα των παραλλήλων ως λιγότερο βέβαιο σε σχέση με άλλα είναι ότι η φυσική του επαλήθευση θα απαιτούσε από εμάς να θεωρήσουμε δυο γραμμές για να ελέγξουμε ότι δεν τέμνονται ποτέ, ακόμη και σε κάποιο πολύ μακρινό σημείο, και ο έλεγχος αυτός θα μπορούσε ενδεχομένως να πάρει ένα άπειρο χρονικά διάστημα.

Η σύγχρονη διατύπωση της απόδειξης με επαγωγή δεν αναπτύχθηκε μέχρι τον 17ο αιώνα, αλλά κάποιοι μετέπειτα σχολιαστές θεώρησαν ότι βρίσκει εφαρμογή σε κάποιες αποδείξεις του Ευκλείδη, π.χ. η απόδειξη για την απειρία των πρώτων αριθμών.

Υποτίθεται ότι τα παράδοξα που αφορούν άπειρες σειρές, όπως το παράδοξο του Ζήνων, προηγήθηκαν του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης απέφευγε τέτοιες συζητήσεις, όπως για παράδειγμα, την έκφραση για τα τμηματικά αθροίσματα των γεωμετρικών σειρών στο IX.35, χωρίς να σχολιάσει την πιθανότητα να αφήσει τον αριθμό των όρων να γίνει άπειρος.

Λογική βάση

Κλασική λογική 
Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε συχνά τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής και ως εκ τούτου η παραδοσιακή παρουσίαση της Ευκλείδειας γεωμετρίας υποθέτει την κλασική λογική, στην οποία κάθε πρόταση είναι είτε σωστή είτε λάθος, δηλαδή για κάθε πρόταση Π, η πρόταση ''Π η όχι Π'' είναι αυτόματα σωστή.

Σύγχρονα πρότυπα της λιτότητας 
Η τοποθέτηση της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε μια σταθερή αξιωματική βάση ήταν μια ενασχόληση των μαθηματικών για αιώνες. Ο ρόλος των θεμελιωδών εννοιών, ή αλλιώς των απροσδιόριστων εννοιών εξελίχθηκε ξεκάθαρα από τον  Αλεσάντρο Παντοα από την αντιπροσωπεία του Peano στην σύσκεψη του 1900 στο Παρίσι.

Δηλαδή τα μαθηματικά είναι ανεξάρτητη γνώση μέσα σε ένα ιεραρχικό πλαίσιο. Όπως είπε ο  Μπέρτραντ Ράσελ.

Τέτοιες θεμελιώδεις προσεγγίσεις κυμαίνονται μεταξύ του θεμελιωτισμού και του φορμαλισμού.

Αξιωματικές διατυπώσεις 

 Αξίωμα του Ευκλείδη: Στην διατριβή του στο κολλέγιο Τρίνιτι στο Κέιμπριτζ, ο Μπέρτραντ Ράσελ συνόψισε την αλλαγή του ρόλου της Ευκλείδειας γεωμετρίας στο μυαλό των φιλοσόφων μέχρι εκείνη την στιγμή. Ήταν μια σύγκρουση μεταξύ μιας ορισμένης γνώσης, ανεξάρτητης από πειράματα, και εμπειρισμού που απαιτούσε την είσοδο πειραμάτων. Το θέμα αυτό έγινε σαφές, αφού ανακαλύφθηκε ότι το αξίωμα των παραλλήλων δεν ήταν απαραίτητα έγκυρο και η δυνατότητα εφαρμογής του ήταν ένα εμπειρικό θέμα, να αποφασιστεί αν η εφαρμοστέα γεωμετρία ήταν Ευκλείδεια ή μη Ευκλείδεια.
 Αξίωμα του Χίλμπερτ: Τα αξιώματα του Χίλμπερτ είχαν ως στόχο τον εντοπισμό ενός απλού και πλήρους συνόλου από ανεξάρτητα αξιώματα, από τα οποία θα μπορούσαν να συνταχθούν τα πιο σημαντικά γεωμετρικά θεωρήματα. Οι εκκρεμείς στόχοι ήταν να κάνουν την Ευκλείδεια γεωμετρία αυστηρή (αποφεύγοντας κρυμμένες υποθέσεις) και να καταστήσουν σαφείς τις επιπτώσεις του αξιώματος των παραλλήλων.

 Αξιώματα του Μπίρκοφ: Ο Birkhoff πρότεινε τέσσερα αξιώματα για Ευκλείδεια γεωμετρία που μπορούν να επιβεβαιωθούν πειραματικά με την κλίμακα και το μοιρογνωμόνιο. Αυτό το σύστημα στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.Οι έννοιες της γωνίας και της απόστασης γίνονται θεμελιακές.

 Αξιώματα του Τάρσκι: Ο Άλφρεντ Τάρσκι και οι μαθητές του προσδιόρισαν την στοιχειώδη Ευκλείδεια γεωμετρία ως τη γεωμετρία που μπορεί να εφαρμοστεί σε πρώτης-τάξης λογική και η λογική της βάση δεν εξαρτάται από θεωρία των συνόλων, σε αντίθεση με τα αξιώματα του Hilbert, που περιλαμβάνουν σύνολα σημείων. Ο Tarski απέδειξε ότι η αξιωματική διατύπωση της στοιχειώδους Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι συνεπής και πλήρης κατά μια ορισμένη έννοια: υπάρχει ένας αλγόριθμος ο οποίος, για κάθε πρόταση, μπορεί να αποδειχθεί είτε αληθείς ή ψευδείς. (Αυτό δεν παραβιάζει το Θεώρημα του Gödel, επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν μπορεί να περιγράψει μια επαρκή ποσότητα αριθμητικής για να εφαρμόσει το θεώρημα.)) Αυτό είναι ισοδύναμο με τον όρο decidability των πραγματικών κλειστών πεδίων, των οποίων η στοιχειώδης Ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μοντέλο.

Εποικοδομητικές προσεγγίσεις και παιδαγωγική 
Η διαδικασία των αφηρημένων ορισμών αξιωμάτων όπως αποδεικνύεται και από τα αξιώματα του Χίλμπερτ μειώνει την γεωμετρία σε απλή διαδικασία απόδειξης θεωρημάτων ή επιβεβαίωση της λογικής. Αντίθετα, οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν κατασκευαστικά αξιώματα, και δ\έδιναν έμφαση στην επίλυση προβλημάτων. Για τους Έλληνες τα κατασκευαστικά αξιώματα είναι περισσότερο θεμελιώδη από τις προτάσεις ύπαρξης. Για να περιγραφεί η επίλυση προβλημάτων απαιτείται ένα πιο πλούσιο σύστημα λογικών εννοιών.Η αντίθεση στην προσέγγιση μπορεί να συνοψισθεί:
 Αξιωματικές αποδείξεις: Οι αποδείξεις είναι επαγωγικές παραγωγές προτάσεων από θεμελιακά στοιχεία, τα οποία είναι σωστά από μία έννοια. Ο στόχος είναι να δικαιολογήσουν την πρόταση,

 Αναλυτικές αποδείξεις: Οι αποδείξεις είναι μη επαγωγικές παραγωγές υποθέσεων από τα προβλήματα. Ο στόχος είναι να βρεθούν υποθέσεις ικανές να δώσουν λύση στο πρόβλημα. Μπορεί κανείς να υποστηρίξει ότι τα αξιώματα του Ευκλείδη έφτασαν κατά αυτόν τον τρόπο. Συγκεκριμένα πιστεύεται ότι ο Ευκλείδης ένοιωθε ότι το αξίωμα των παραλλήλων του επιβλήθηκε, όπως υποδεικνύεται από την απροθυμία του να το χρησιμοποιήσει.
Ο Αντρέι Κολμογκόροφ πρότεινε μία βάση για επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας. Το έργο αυτό ήταν ο προάγγελος μιας μοντέρνας διατύπωσης για την θεωρία εποικοδομητικών τύπων. Η εξέλιξη αυτή έχει επιπτώσεις και στην παιδαγωγική.

Δείτε επίσης
Αναλυτική Γεωμετρία
Αξιώματα Μπίρχοφ
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
Αξιώματα Χίλμπερτ
Λίστα διαδραστικών λογισμικών Γεωμετρίας
Μετρικός χώρος
Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
Αξίωμα παραλληλίας
Θεωρία τύπων

Κλασικά θεωρήματα
Θεώρημα διχοτόμου
Θεώρημα πεταλούδας
Θεώρημα του Μενελάου
Κύκλος των εννέα σημείων
Πυθαγόρειο θεώρημα

Σημειώσεις - Παραπομπές

Αναφορές