Αλγεβρική γεωμετρία

Η Αλγεβρική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών, κλασική μελέτη των ριζών των πολυωνυμικών εξισώσεων. Η σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία βασίζεται σε πιο αφηρημένες τεχνικές της άλγεβρας, ιδιαίτερα στην Αντιμεταθετική άλγεβρα, με τη γλώσσα και τα προβλήματα της γεωμετρίας.

Τα βασικά αντικείμενα της μελέτης στην αλγεβρική γεωμετρία είναι οι αλγεβρικές πολλαπλότητες, οι οποίες είναι γεωμετρικά αποδείξεις των λύσεων των συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων. Παραδείγματα από τις πιο μελετημένες κατηγορίες αλγεβρικών πολλαπλότητων είναι: αλγεβρικές επίπεδες καμπύλες, το οποίο περιλαμβάνει τις γραμμές, κύκλους, παραβολές, ελλείψεις, υπερβολές, κυβικές καμπύλες όπως ελλειπτικές καμπύλες και  καμπύλες τετάρτου βαθμού, όπως λημνίσκοι, και ωοειδείς του Cassini.  Ένα σημείο του επιπέδου ανήκει σε μια αλγεβρική καμπύλη, αν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν μια συγκεκριμένη πολυωνυμική εξίσωση. Βασικά ερωτήματα αφορούν τη μελέτη των σημείων ειδικού ενδιαφέροντος όπως τα ιδιάζοντα σημεία, τα σημεία καμπής και τα σημεία στο άπειρο. Πιο προχωρημένα ερωτήματα αφορούν την τοπολογία της καμπύλης και των σχέσεων μεταξύ των καμπυλών που δίδονται από διαφορετικές εξισώσεις.

Η αλγεβρική γεωμετρία κατέχει κεντρική θέση στα σύγχρονα μαθηματικά και έχει πολλαπλές εννοιολογικές συνδέσεις με ποικίλα πεδία όπως την σύνθετη ανάλυση, την τοπολογία και τη θεωρία αριθμών. Αρχικά η μελέτη των συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων σε διάφορες μεταβλητές, το θέμα της Αλγεβρικής γεωμετρίας ξεκινά όταν εξίσωση επίλυση αφήνει ανοικτά, και γίνεται ακόμη πιο σημαντικό το να κατανοήσουν τις εγγενείς ιδιότητες του συνόλου των λύσεων του συστήματος των εξισώσεων, από το να βρουν μια συγκεκριμένη λύση· αυτό οδηγεί σε μερικές από τις βαθύτερες περιοχές σε όλα τα μαθηματικά, τόσο σε θεωρητικό όσο και από την άποψη της τεχνικής.

Κατά τον 20ό αιώνα, η αλγεβρική γεωμετρία έχει χωριστεί σε διάφορες υποπεριοχές:
 Το κύριο ρεύμα της Αλγεβρικής γεωμετρίας είναι αφιερωμένο στη μελέτη των πολύπλοκων σημείων των αλγεβρικό πολλαπλοτήτων και, γενικότερα, στα σημεία με συντεταγμένες σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα.
 Η μελέτη των σημείων των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων με συντεταγμένες στον τομέα των ρητών αριθμών ή σε ένα σώμα αριθμού έγινε αριθμητική γεωμετρία  (ή πιο κλασικά διοφαντική γεωμετρία), ένα υποπεδίο της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών.
 Η μελέτη των πραγματικών σημείων μιας αλγεβρικής πολλαπλότητας είναι το αντικείμενο της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας.
 Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας της ιδιομορφίας είναι αφιερωμένο στις ιδιομορφίες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων.
 Με την άνοδο των υπολογιστών,ένας υπολογιστικός αλγεβρικός γεωμετρικός τομέας έχει προκύψει, ο οποίος βρίσκεται στη διασταύρωση της αλγεβρικής γεωμετρίας και της άλγεβρας υπολογιστών. Αποτελείται ουσιαστικά από την ανάπτυξη αλγορίθμων και λογισμικού για τη μελέτη και την εύρεση των ιδιοτήτων των ρητά δοσμένων αλγεβρικών ποικιλιών.

Μεγάλο μέρος της ανάπτυξης του κύριου ρεύματος της Αλγεβρικής γεωμετρίας του 20ού αιώνα σημειώθηκε μέσα σε ένα αφηρημένο αλγεβρικό πλαίσιο, με την αυξανόμενη έμφαση στις «εγγενείς» ιδιότητες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων που δεν εξαρτώνται από κάποιο συγκεκριμένο τρόπο ενσωμάτωσης της πολλαπλότητας σε ένα ατμοσφαιρικό χώρο συντεταγμένων, αυτό έχει παράλληλες εξελίξεις στην τοπολογία, τη διαφορική και τη μιγαδική γεωμετρία. Ένα σημαντικό επίτευγμα αυτής της αφηρημένης αλγεβρικής γεωμετρίας είναι η  θεωρία των συστημάτων του Γκρότεντικ (Grothendieck), η οποία επιτρέπει σε κάποιον να χρησιμοποιήσει θεωρία δεσμών για τη μελέτη αλγεβρικών πολλαπλοτήτων με έναν τρόπο που είναι αρκετά όμοιος με τη χρήση του στη μελέτη των διαφορικών και αναλυτικών συλλεκτών. Αυτό επιτυγχάνεται με την επέκταση της έννοιας του σημείου: Στην κλασσική αλγεβρική γεωμετρία, ένα σημείο μιας βελτιωμένης πολλαπλότητας μπορεί να προσδιοριστεί, μέσω του θεωρήματος του μηδενικού τόπου του Χίλμπερτ, με ένα μέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων, ενώ τα σημεία του αντίστοιχου αφινικού συστήματος είναι όλα τα κύρια ιδεώδη αυτού του δακτυλίου. Αυτό σημαίνει ότι ένα σημείο ενός τέτοιου συστήματος μπορεί να είναι είτε ένα σύνηθες σημείο ή μια υποπολλαπλότητα. Η προσέγγιση αυτή επιτρέπει επίσης την ενοποίηση της γλώσσας και τα εργαλεία της κλασικής αλγεβρικής γεωμετρίας, κυρίως ασχολούνται με τα μιγαδικά σημεία,και την αλγεβρική θεωρία αριθμών. Η απόδειξη του Γουάιλς της μακρόχρονης εικασίας που ονομάζεται τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι ένα παράδειγμα της ισχύος αυτής της προσέγγισης.

Βασικές έννοιες
Περισσότερες πληροφορίες: Αλγεβρική πολλαπλότητα

Μηδενικά ταυτόχρονα πολυώνυμα

Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, τα κύρια αντικείμενα ενδιαφέροντος είναι τα σύνολα των πολυωνύμων που τείνουν προς το μηδέν, δηλαδή το σύνολο όλων των σημείων που ικανοποιούν ταυτόχρονα μία ή περισσότερες πολυωνυμικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, η δισδιάστατη σφαίρα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R3 θα μπορούσε να οριστεί ως το σύνολο όλων των σημείων (x, y, z) με 

Ένας λοξός κύκλος στον R3 μπορεί να οριστεί ως το σύνολο όλων των σημείων (x, y, z) οι οποίες πληρούν τις δύο πολυωνυμικές εξισώσεις

Αφινικές πολλαπλότητες

Πρώτα ξεκινάμε με ένα k τομέα. Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, αυτό το πεδίο ήταν πάντα το συγκρότημα C αριθμών, αλλά πολλά από τα ίδια τα αποτελέσματα είναι σωστά αν υποθέσουμε μόνο ότι k είναι αλγεβρικά κλειστό. Θεωρούμε τον αφινικό χώρο διάστασης n πάνω από το k, συμβολίζεται An(k) (ή πιο απλά An, όταν το k είναι σαφές από τα συμφραζόμενα). Όταν κάποιος καθορίζει ένα σύστημα συντεταγμένων, μπορεί κανείς να εντοπίσει μια An(k) με τα kn. Ο σκοπός του ότι δεν λειτουργεί με kn  είναι να τονίσει ότι "ξεχνάει" τη δομή χώρου με φορέα kn.

Μία συνάρτηση  f : An → A1 λέγεται πολυωνυμική (ή ομαλή) εάν μπορεί να γραφτεί ως ένα πολυώνυμο, δηλαδή, εάν υπάρχει ένα πολυώνυμο p στον k[x1,...,xn] τέτοιο ώστε f(M) = p(t1,...,tn) για κάθε σημείο M με συντεταγμένες (t1,...,tn) σε ένα αρχείο. Η ιδιότητα μιας συνάρτησης να είναι πολυωνυμική (ή ομαλή) δεν εξαρτάται από την επιλογή ενός συστήματος συντεταγμένων σε ένα An.

Επομένως ομαλές συναρτήσεις του αφινικού n-χώρου είναι  ακριβώς το ίδιο με πολυώνυμο πάνω από k σε n πολλαπλότητες. Θα αναφερθούμε στο σύνολο όλων των ομαλών ιδιοτήτων σε μια Αnως An as k[An].

Λέμε ότι ένα πολυώνυμο μηδενίζεται σε ένα σημείο, αν υπολογίζοντας το  σε εκείνο το σημείο  μας δωσει μηδέν. Έστω S ένα σύνολο πολυωνύμων στον k[An].Το σύνολο μηδενισμού S ( ή τόπος μηδενισμού) είναι το σύνολο V(S) από όλα τα σημεία του An όπου κάθε πολυώνυμο S εξαφανίζεται. Με άλλα λόγια,

Ένα υποσύνολο An το οποίο είναι V(S), για κάποιοS , ονομάζεται αλγεβρικό σύνολο. Το V  σημαίνει πολλαπλότητα (ένα συγκεκριμένο είδος αλγεβρικού συνόλου που ορίζεται παρακάτω).

Διαλέγοντας ένα υποσύνολο U του An, μπορεί κανείς να ανακτήσει το σύνολο των πολυωνύμων που παράγουν. Αν U είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του An,ορίζουμε το I(U) να είναι το σύνολο όλων των πολυωνύμων των οποίων το σύνολο μηδενισμού περιέχει U. Το I συμβολίζει ιδεώδη: αν δύο πολυώνυμα f και g μηδενίζονται από το U, τότε η f+g μηδενίζεται στο U  , και αν η hf  είναι οποιοδήποτε πολυώνυμο, τότε hf μηδενίζεται στο U, γι 'αυτό  to I(U) είναι πάντα ένα ιδεώδες του k[An].

Δύο φυσικές ερωτήσεις είναι:
 Παίρνοντας ένα υποσύνολο U του An,πότε θα ισχύει U = V(I(U));
 Παίρνοντας ένα σύνολο S από πολυώνυμα,πότε θα ισχύει S = I(V(S));

Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα προκύπτει με την εισαγωγή της Zariski τοπολογίας, η τοπολογία του An του οποίου τα κλειστά σύνολα είναι  αλγεβρικά σύνολα, και απεικονίζουν άμεσα την αλγεβρική δομή του k[An]. Στη συνέχεια, U = V(I(U)) αν και μόνο αν U είναι ένα αλγεβρικό σύνολο ή ισοδύναμα α-Zariski κλειστό σύνολο. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα δίνεται από το χώρο μηδενισμού του Hilbert. Σε μία από τις μορφές της, λέει ότι I(V(S))  είναι η ρίζα του ιδεώδους που παράγεται από S. Σε πιο αφηρημένη γλώσσα, υπάρχει μια σύνδεση Galois, η οποία οδήγησε σε δύο τελεστές περιβλήματος. Μπορούν να προσδιοριστούν, και φυσικά, παίζουν βασικό ρόλο στη θεωρία, το παράδειγμα έχει καταρτιστεί στη σύνδεση Γκαλουά.

Για διάφορους λόγους μπορεί να μη θέλουμε πάντα να εργαστούμε με το σύνολο ιδεωδών που αντιστοιχεί σε ένα αλγεβρικό σύνολο U. Ο Χίλμπερτ υπονοεί ότι ιδεώδη στο k[An] δημιουργούνται πεπερασμένα.

Ένα αλγεβρικό σύνολο καλείται ανάγωγο εάν δεν μπορεί να γραφτεί ως  ένωση  δύο μικρότερων αλγεβρικών συνόλων. Κάθε αλγεβρικό σύνολο είναι μια πεπερασμένη ένωση ανάγωγων αλγεβρικών συνόλων και αυτή η σύνθεση είναι μοναδική. Έτσι, τα στοιχεία του καλούνται ανάγωγα στοιχεία του αλγεβρικού συνόλου. Ένα μη ανάγωγο αλγεβρικό σύνολο ονομάζεται επίσης πολλαπλότητα. Αποδεικνύεται ότι ένα αλγεβρικό σύνολο είναι μια πολλαπλότητα, αν και μόνο αν μπορεί να οριστεί ως σύνολο μηδενισμού πρωταρχικών ιδεωδών του πολυωνυμικού δακτυλίου.

Μερικοί συγγραφείς δεν κάνουν σαφή διάκριση μεταξύ των αλγεβρικών συνόλων και των πολλαπλοτήτων και τη χρήση αμείωτη πολλαπλότητα για να κάνει τη διάκριση όταν χρειάζεται.

Ομαλές ιδιότητες
Ακριβώς όπως οι συνεχείς συναρτήσεις είναι οι φυσικές απεικονίσεις για τοπολογικούς χώρους, oι ομαλές λειτουργίες είναι οι φυσικές απεικονίσεις για τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες, υπάρχει μια φυσική τάξη των ιδιοτήτων σε ένα αλγεβρικό σύνολο, που ονομάζονται ομαλές ιδιότητες ή πολυωνυμικές ιδιότητες. Μια ομαλή ιδιότητα σε ένα αλγεβρικό V  που περιέχεται σε ένα Αn είναι ο περιορισμός στο V από μία ομαλή ιδιότητα πάνω στο Αn. Για ένα αλγεβρικό σύνολο που ορίζεται στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών, οι ομαλές ιδιότητες είναι ομαλές και ακόμα και αναλυτικές.

Μπορεί να φαίνεται αφύσικα περιοριστική η τακτική που επιβάλει την λειτουργία που πρέπει πάντα να επεκταθεί και στον περιβάλλοντα χώρο, αλλά είναι πολύ παρόμοια με την κατάσταση σε ένα κανονικό τοπολογικό χώρο, όπου εφαρμόζεται το θεώρημα επέκτασης Tietze που εγγυάται ότι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό υποσύνολο εκτείνεται πάντα στον περιβάλλοντα τοπολογικό χώρο.

Ακριβώς όπως με τις κανονικές λειτουργίες του αφινικού χώρου, οι ομαλές λειτουργίες του V σχηματίζουν ένα δακτύλιο, τον οποίο συμβολίζουμε με k[V]. Αυτός ο δακτύλιος ονομάζεται συντεταγμένος δακτύλιος του V.

Αφού οι ομαλές λειτουργίες του V προέρχονται από τις ομαλές λειτουργίες σε ένα An , υπάρχει μια σχέση μεταξύ των δακτυλίων συντεταγμένων. Συγκεκριμένα, εάν μια κανονική λειτουργία στο V είναι ο περιορισμός των δύο συναρτήσεων f και g  στο k[An] , τότε f − g  είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση η οποία είναι μηδενική στο  V και ως εκ τούτου ανήκει στην I(V). Ετσι το k[V] μπορεί να ταυτοποιηθεί με το k[An]/I(V).

Μορφισμός των αφινικών πολλαπλοτήτων
Χρησιμοποιώντας τις ομαλές πολλαπλότητες από μία βελτιωμένη πολλαπλότητα στο A1, μπορούμε να ορίσουμε ομαλές απεικονίσεις από τη μία αφινική πολλαπλότητα  στην άλλη. Πρώτα θα ορίσουμε μία ομαλή απεικόνιση από μια πολλαπλότητα σε αφινικό χώρο: Έστω ότι το V είναι μια πολλαπλότητα που περιέχεται σε ένα An . Επιλέγουμε m ομαλές ιδιότητες στο V, και τις ονομάζουμε f1, ..., fm. Ορίζουμε μία κανονική απεικόνιση από το V έως Am, αφήνοντας το f = (f1, ..., fm). Με άλλα λόγια, κάθε fi καθορίζει μία συντεταγμένη του φάσματος της f.

Εάν V' είναι μια πολλαπλότητα που περιέχεται σε Am, λέμε ότι η f είναι μια ομαλή απεικόνιση από το V στο V', αν το εύρος της f περιέχεται στο V'.

Ο ορισμός των ομαλών απεικονίσεων ισχύει και για αλγεβρικές σειρές. Οι ομαλές απεικονίσεις επίσης ονομάζονται μορφισμοί, όπως κάνουν με τη συλλογή όλων των αφινικών αλγεβρικών συνόλων σε μια κατηγορία, όπου τα αντικείμενα είναι οι αφινικές αλγεβρικές σειρές και οι πολυμορφισμοί είναι οι ομαλές απεικονίσεις. Οι αφινικές πολλαπλότητες είναι μια υποκατηγορία της κατηγορίας των αλγεβρικών συνόλων.

Λαμβάνοντας υπόψη μια ομαλή απεικόνιση g από το V στο V 'και μια ομαλή συνάρτηση f k [V'], τότε η f ∘ g ∈ k [V]. Ο χάρτης f → f ∘ g είναι ομομορφισμός δαχτυλίδι από k [V '] για k [V]. Αντίθετα, κάθε ομομορφισμός δαχτυλίδι από k [V '] για k [V] ορίζει μια ομαλή απεικόνιση από το V στο V ». Αυτό ορίζει την ισοδυναμία των κατηγοριών αναμεσα στηςν κατηγορία των αλγεβρικών συνόλων και την αντίθετη κατηγορία των  πεπερασμένα παραγομένων ελλαττώμενων αλγεβρών k-. Η ισοδυναμία αυτή είναι ένα από τα σημεία εκκίνησης της θεωρίας του συστήματος.

Ομαλή συνάρτηση και birational ισοδυναμία

Εν αντιθέσει με τις προηγούμενες, η παρούσα ενότητα αφορά μόνο τις πολλαπλότητες και όχι αλγεβρικά σύνολα. Από την άλλη πλευρά, οι ορισμοί που εκτείνονται φυσικά σε προβολικές πολλαπλότητες (επόμενη ενότητα), ως αφινική  πολλαπλότητα και η προβολική ολοκλήρωσή της έχουν το ίδιο πεδίο συναρτήσεων.

Εάν το V είναι μια αφινική πολλαπλότητα, ο δακτύλιος συντεταγμένων της αποτελεί αναπόσπαστο τομέα και έχει έτσι ένα πεδίο των κλασμάτων που συμβολίζεται με k(V) και ονομάζεται  πεδίο των ρητών συναρτήσεων του V ή, σύντομα, το πεδίο συνάρτησης του V. Στοιχεία της είναι οι περιορισμοί στο V των ρητών συναρτήσεων  του αφινικού χώρου που περιέχει τον V. Ο τομέας  μιας ρητής συνάρτησης f δεν είναι V, αλλά το συμπλήρωμα της υποπολλαπλότητας (μια υπερεπιφάνεια), όπου ο παρονομαστής τηςf  μηδενίζεται.

Όπως και για τις ομαλές απεικονίσεις, μπορεί κανείς να καθορίσει μια ρητή απεικόνιση  από μια πολλαπλότητα V σε μια πολλαπλότητα V'. Όπως και για τις ομαλές απεικονίσεις, οι ρητές απεικονίσεις από το V στο V' μπορεί να προσδιοριστούν για το  πεδίο ομομορφισμών από k(V') για k(V).

Δύο αφινικές πολλαπλότητες είναι birational ισοδύναμες αν υπάρχουν δύο ρητές συναρτήσεις μεταξύ τους οι οποίες είναι αντιστρόφως ανάλογες η μια προς την άλλη στις περιοχές όπου οι δύο ορίζονται. Ισοδύναμα, είναι birational ισοδύναμες αν τα πεδία συνάρτησης τους είναι ισόμορφα.

Μια αφινική πολλαπλότητα είναι μια ομαλή πολλαπλότητα και αν είναι birational ισοδύναμη με ένα αφινικό χώρο. Αυτό σημαίνει ότι η πολλαπλότητα επιδέχεται μια ορθολογική παραμετροποίηση. Για παράδειγμα, ο κύκλος της εξίσωσης  x^2 + y^2 − 1 = 0  είναι μια ρητή καμπύλη, καθώς έχει την παραμετροποίηση                                                                                                 

 
η οποία μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια λογική απεικονίση από τη γραμμή στον κύκλο.

Το πρόβλημα της επίλυσης των ανωμαλιών είναι να γνωρίζουμε εάν κάθε αλγεβρική πολλαπλότητα είναι birational ισοδύναμη με μια πολλαπλότητα της οποίας προβολική ολοκλήρωση είναι αντιστρέψιμη (βλ. επίσης ομαλή ολοκλήρωση). Έχει διευθετηθεί θετικά με το χαρακτηριστικό 0 από τον Heisuke Hironaka το 1964 και είναι ακόμα άλυτο σε πεπερασμένο χαρακτηριστικό.

Προβολική πολλαπλότητα

Πολλές ιδιότητες των αφινικών πολλαπλοτήτων εξαρτώνται από τη συμπεριφορά τους "στο άπειρο".

Για παράδειγμα, σκεφτείτε την πολλαπλότητα 'V(y − x2). Αν τη σχηματίσουμε, έχουμε μια Παραβολή (γεωμετρία). Όσο το x  αυξάνεται το x, η κλίση της γραμμής από την αρχή μέχρι το σημείο (x, x2) γίνεται ολοένα και μεγαλύτερη. Όσο  μειώνεται το x, η κλίση της ίδιας γραμμής γίνεται όλο και μικρότερη.

Συγκρίνετε αυτό με την ποικιλία V(y − x3). Αυτή είναι μια κυβική καμπύλη. Όσο το x  αυξάνεται, η κλίση της γραμμής από την αρχή μέχρι το σημείο (x, x3) γίνεται όλο και μεγαλύτερη ακριβώς όπως και πριν. Αλλά σε αντίθεση με πριν, καθώς το x μειώνεται, η κλίση της ίδιας γραμμής γίνεται και πάλι όλο και μεγαλύτερη. Έτσι, η συμπεριφορά "στο άπειρο» των V(y − x3) είναι διαφορετική από τη συμπεριφορά "στο άπειρο» των V(y − x2).

Η εξέταση της προβολικής ολοκλήρωσης των δύο καμπυλών, η οποία είναι η προέκταση τους "στο άπειρο" στο προβολικό επίπεδο, επιτρέπει την ποσοτικοποίηση αυτής της διαφοράς: το σημείο στο άπειρο της παραβολής είναι ενα ομαλό σημείο, του οποίου η εφαπτομένη είναι η γραμμή στο άπειρο, ενώ το σημείο στο άπειρο της κυβικής καμπύλης είναι ένα σημείο καμπής. Επίσης, οι δύο καμπύλες είναι ρητές, καθώς είναι παραμετροποιήσιμες από το x, και από το θεώρημα  Riemann-Roch συνεπάγεται ότι η κυβική καμπύλη πρέπει να έχει μια ιδιομορφία, η οποία πρέπει να είναι στο άπειρο, όπως όλα τα σημεία της στον αφινικό χώρο είναι ομαλά.

Έτσι, πολλές από τις ιδιότητες των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων, συμπεριλαμβανομένων διλογικών ισοδυναμιών και όλες τις τοπολογικές ιδιότητες εξαρτώνται από τη συμπεριφορά «στο άπειρο» και, ως εκ τούτου συνεπάγεται  για τη μελέτη των πολλαπλοτήτων στον προβολικό χώρο. Επιπλέον, η εισαγωγή των προβολικές τεχνικων έκανε πολλα θεωρήματα στην αλγεβρική γεωμετρία απλούστερα και πιο εντονα: Για παράδειγμα, το θεώρημα Bézout σχετικά με τον αριθμό των σημείων τομής μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων μπορεί να αναφέρεται σε εντονότερη μορφή της μόνο σε προβολικό χώρο. Για τους λόγους αυτούς, ο προβολικός χώρος διαδραματίζει θεμελιώδη ρόλο στην αλγεβρική γεωμετρία.

Σήμερα, ο προβολικός χώρος Ακέραια περιοχή Pn διάστασης n  συνήθως ορίζεται ως το σύνολο των γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο, που θεωρείται ως η προέλευση, στον αφινικό χώρο διάστασης n+1, ή ισοδύναμα με το σύνολο των γραμμών του διανύσματος σε ένα διανυσματικό χώρο διάστασης n+1. Όταν ένα σύστημα συντεταγμένων έχει επιλεγεί στο χώρο της διάστασης n+1, όλα τα σημεία μιας γραμμής έχουν το ίδιο σύνολο συντεταγμένων, μέχρι τον πολλαπλασιασμό από ένα στοιχείο του k. Αυτό καθορίζει τις ομοιογενείς συντεταγμένες ενός σημείου του 
Pn ως μια ακολουθία των στοιχείων n+1 του k πεδίου βάσης, που ορίζεται μέχρι τον πολλαπλασιασμό με μη μηδενικό στοιχείο του k (η ίδια για όλη την αλληλουχία).

Δοθέντος ενός πολυωνύμου σε μεταβλητές n+1 , μηδενίζεται  σε καθε σημείο της γραμμής που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, αν και μόνο αν είναι ομοιογενές. Σε αυτή την περίπτωση, κάποιος μπορει να ισχυριστεί ότι το πολυώνυμο μηδενίζεται στο αντίστοιχο σημείο του Pn. Αυτό σας επιτρέπει να ορίσετε ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο στο  Pn ως το σύνολο V(f1, ..., fk) όπου μηδενίζεται ένα πεπερασμένο σύνολο των ομογενών πολυωνύμων {f1, ..., fk}. Όπως και για τα αφινικά αλγεβρικά σύνολα, υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των προβολικών αλγεβρικών συνόλων και των μειωμένων ομογενων ιδεώδων που τα ορίζουν. Οι προβολικές πολλαπλότητες είναι προβολικά αλγεβρικά σύνολα των οποίων το ιδεώδες ορισμού τους είναι πρωταρχικό. Με άλλα λόγια, μια προβολική πολλαπλότητα είναι ένα προβολικό αλγεβρικό σύνολο, του οποίου ο ομογενής δακτύλιος συντεταγμένων αποτελεί ολοκληρώσιμο πεδίο, ο προβολικός  δακτύλιος συντεταγμένων ορίζεται ως το πηλίκο του διαβαθμισμένου δακτυλίου ή τα πολυώνυμα των μεταβλητών n+1  από το ομογενές (μειωμένο) ιδεώδες που καθορίζει την πολλαπλότητα. Κάθε προβολικό αλγεβρικό σύνολο μπορεί να είναι αναλυθεί μοναδικά σε μια πεπερασμένη ένωση  προβολικών πολλαπλοτήτων.

Οι μόνες ρητές συναρτήσεις που μπορεί να οριστούν σωστά σε μια προβολική πολλαπλότητα είναι οι σταθερές συναρτήσεις. Έτσι, η έννοια αυτή δεν χρησιμοποιείται σε προβολική καταστάσεις. Από την άλλη πλευρά το πεδίο των ρητών συναρτήσεων ή  πεδίο συνάρτησης είναι μια χρήσιμη έννοια, η οποία, όπως στην αφινική περίπτωση, ορίζεται ως το σύνολο των λόγων  δύο ομοιογενών στοιχείων του ίδιου βαθμού στον ομογενή δακτύλιο συντεταγμένων.

Η πραγματική αλγεβρική γεωμετρία

Η πραγματική αλγεβρική γεωμετρία είναι η μελέτη των κύριων σημείων της αλγεβρικής γεωμετρίας. Το γεγονός ότι ο τομέας του πραγματικού αριθμού είναι αυστηρός τομέας μπορεί να μην είναι υπερφυσικός σε μια τέτοια μελέτη. Για παράδειγμα, η εξίσωση  είναι κύκλος εάν , αλλά δεν έχει σημασία εάν . Αυτό που ακολουθεί τη πραγματική αλγεβρική γεωμετρία δεν είναι μόνο η μελέτη των πραγματικών αλγεβρικών ειδών, αλλά έχει γενικευτεί στη μελέτη των  μερικώς-αλγεβρικών ζευγών, τα οποία αποτελούν τις λύσεις των συστημάτων στις πολυωνυμικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, η εξίσωση   δεν είναι αλγεβρικό είδος αλλά μερικώς αλγεβρικό ζεύγος καθορισμένο από  και   
ή από   και .

Μία πρόκληση όσον αφορά την αλγεβρική γεωμετρία είναι το άλυτο πρόβλημα Hilbert το 16 πρόβλημα: Αποφάσισε ποιες σεβαστές θέσεις είναι πιθανές για καμπύλες των 8 βαθμών σε ένα κυκλικό όχι μονό σχέδιο.

Υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία 
Κάποιος μπορεί να ορίσει ως ημερομηνία  προέλευσης των υπολογιστικών αλγεβρική γεωμετρία συνάντηση EUROSAM'79 (Διεθνές Συμπόσιο για την Συμβολική και αλγεβρικούς) που πραγματοποιήθηκε στη Μασσαλία, στη Γαλλία τον Ιούνιο του 1979. Κατά τη συνεδρίαση αυτή,ο
 Ο Dennis S. Arnon έδειξε ότι κυλινδρική αλγεβρική αναλυση του George E. Collins του (CAD) επιτρέπει να υπολογίσουμε την τοπολογία των ημι-αλγεβρικών συνόλων,
 Ο Bruno Buchberger παρουσίασε τις βάσεις Gröbner και τον αλγόριθμο για να τις υπολογίζουν,
 Ο Daniel Lazard παρουσίασε ένα νέο αλγόριθμο για την επίλυση των συστημάτων των ομογενών εξισώσεων πολυωνύμων με μια υπολογιστική πολυπλοκότητα η οποία είναι ουσιαστικά πολυώνυμο στον αναμενόμενο αριθμό των λύσεων και έτσι απλά αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των αγνώστων. Ο αλγόριθμος αυτός είναι στενά συνδεδεμένος με την συνισταμένη πολυμεταβλητή συνισταμένη του Macaulay .

Από τότε, τα περισσότερα αποτελέσματα σε αυτή την περιοχή  σχετίζεται με ένα ή περισσότερα από αυτά τα στοιχεία είτε με τη χρήση ή τη βελτίωση ενός από αυτούς τους αλγορίθμους, είτε με την εύρεση αλγορίθμων των οποίων η πολυπλοκότητα είναι απλά εκθετική στον αριθμό των μεταβλητών.

Βάση Gröbner

Μια βάση Gröbner είναι ένα σύστημα γεννητόρων ενός πολυωνυμικού ιδεώδους του οποίου ο υπολογισμός επιτρέπει να συμπεράνουμε πολλές ιδιότητες της αφινικής αλγεβρικής πολλαπλότητας που ορίζεται από το ιδεώδες.

Λαμβάνοντας υπόψη ένα Ιδεώδες (μαθηματικά) I για τον καθορισμό ενός αλγεβρικού συνόλου V:
 Το V είναι κενό (πάνω από μια αλγεβρικά κλειστή επέκταση του πεδίου βάσης), αν και μόνο αν η βάση Gröbner για κάθε διατεταγμένο μονώνυμο μειώνεται σε {1}.
 Με μέσο τη σειρά Hilbert μπορεί κανείς να υπολογίσει τη διάσταση και το βαθμό της V από οποιαδήποτε βάση Gröbner Ι για διατεταγμένο μονώνυμο εκλεπτύνοντας τον ολικο βαθμο.
 Αν η διάσταση του V είναι 0, μπορεί κανείς να υπολογίσει τα σημεία (περιορισμένα σε αριθμό) του V από οποιαδήποτε βάση Gröbner I (βλ. συστήματα πολυωνυμικών εξισώσεων.
 Ένας υπολογισμός με βάση Gröbner επιτρέπει να αφαιρέσετε από το V όλα τα ανάγωγα στοιχεία τα οποία περιέχονται σε μιας δοθείσας υπερεπιφάνειας.
 Ένας υπολογισμός με βάση Gröbner επιτρέπει να υπολογίσουμε την κλειστότητα της εικόνας των V Zariski από την προβολή στις συντεταγμένες k πρώτα, και το υποσύνολο της εικόνας όπου η προβολή δεν είναι σωστή.
 Γενικότερα οι υπολογισμοί με βάση Gröbner  επιτρέπει να υπολογίσουμε την κλείστότητα Zariski της εικόνας και τα κρίσιμα σημεία μιας ρητης συνάρτησης της V σε μια άλλη αφινική πολλαπλότητα.

Οι υπολογισμοί με βαση Gröbner   δεν επιτρέπουν να υπολογίσουμε άμεσα την πρωταρχική ανάλυση ενω ούτε τα πρωταρχικά ιδεώδη για τον καθορισμό των ανάγωγων στοιχείων του V, αλλά οι περισσότεροι αλγόριθμοι για το σκοπό αυτό περιλαμβάνουν τη Gröbner βάση υπολογισμού. Οι αλγόριθμοι που δεν βασίζονται σε  Gröbner βάσεις χρησιμοποιούν ομαλές αλυσίδες, αλλά μπορεί να χρειαστεί βάσεις Gröbner σε κάποιες εξαιρετικές περιπτώσεις.
Η βάση Gröbner θεωρείται ότι είναι δύσκολο να υπολογιστεί. Στην πραγματικότητα μπορεί να περιέχει, στη χειρότερη περίπτωση, πολυώνυμα των οποίων  ο βαθμός είναι διπλά εκθετικός στον αριθμό των μεταβλητών και μια σειρά από πολυώνυμα τα οποία να είναι επίσης διπλά εκθετικά. Ωστόσο, αυτό είναι μόνο μια πολυπλοκότητα χειρότερης περίπτωσης, και τα φράγματα πολυπλοκότητας του αλγορίθμου του Lazard του 1979 μπορεί συχνά να ισχύουν. Οι αλγόριθμοι Faugere F4 και F5  υλοποιούν αυτή την πολυπλοκότητα, όπως ο F5 αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί ως βελτίωση του αλγορίθμου του Lazard (1979). Επομένως, οι καλύτερες υλοποιήσεις επιτρέπουν να υπολογίζουν σχεδόν συστηματικά με αλγεβρικές σειρές βαθμό πάνω από 100. Αυτό σημαίνει ότι, επί του παρόντος, η δυσκολία υπολογισμού μιας βάσης Gröbner είναι στενά συνδεδεμένη με την εγγενή δυσκολία του προβλήματος.

Κυλινδρική Αλγεβρική σύνθεση (CAD)
Η CAD είναι ένας αλγόριθμος που εισήχθη το 1973 από τον Γ. Collins  για να εφαρμόσει με αποδεκτή πολυπλοκότητα το θεώρημα του Tarski για την απαλοιφή ποσοδείκτη στους πραγματικούς αριθμούς.

Το θεώρημα αυτό αφορά τους τύπους που έχουν Λογική πρώτου βαθμού των οποίων οι ατομικοί τύποι είναι πολυώνυμικές ισότητες ή ανισότητες μεταξύ των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. Αυτοί οι τύποι είναι και οι τύποι που μπορούν να κατασκευαστούν από τους ατομικούς τύπους από τους λογικούς τελεστές και (∧), ή (∨), όχι (¬), για όλα (∀) και υπάρχει (∃). Το  Θεώρημα του Tarski ισχυρίζεται ότι, από εναν τετοιο τύπο, μπορεί κανείς να υπολογίσει τον ισοδύναμο τύπο χωρίς ποσοδείκτη (∀, ∃).

Η πολυπλοκότητα του CAD είναι διπλά εκθετική στον αριθμό των μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι CAD επιτρέπει, θεωρητικά, να λύσεις καθε πρόβλημα της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας που μπορεί να εκφραστεί με τέτοιο τύπο, που είναι σχεδόν κάθε πρόβλημα που περιλαμβάνει δοσμένες σε λελυμένη μορφή πολλαπλότητες και ημι-αλγεβρικά συνόλα.

Ενώ η Gröbner βάση υπολογισμού έχει διπλή εκθετική πολυπλοκότητα μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις, η CAD έχει σχεδόν πάντα υψηλή πολυπλοκότητα. Αυτό σημαίνει ότι, εκτός αν τα περισσότερα πολυώνυμα που εμφανίζονται στην είσοδο είναι γραμμικά, δεν μπορεί να λύσει τα προβλήματα με περισσότερες από τέσσερις μεταβλητές.

Από το 1973, το μεγαλύτερο μέρος της έρευνας για το θέμα αυτό είναι αφιερωμένο είτε στην βελτίωση του CAD ή στο να βρει εναλλακτικούς  αλγόριθμους για ειδικές περιπτώσεις γενικού ενδιαφέροντος.

Ως παράδειγμα της κατάστασης της τέχνης, υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι που βρίσκουν τουλάχιστον ένα σημείο σε κάθε συναφή συνιστώσα ενός ημι-αλγεβικού συνόλου  και, συνεπώς, για τη δοκιμή εάν ένα ημι-αλγεβρικό σύνολο είναι άδειο. Από την άλλη πλευρά το CAD είναι ακόμα, στην πράξη, ο καλύτερος αλγόριθμος που υπολογίζει τον αριθμό των συναφών συνιστωσών.

Ασυμπτωτική πολυπλοκότητα εναντίον πρακτικής αποτελεσματικότητας
Οι βασικοί γενικοί αλγόριθμοι της υπολογιστικής γεωμετρίας έχουν ένα διπλό εκθετικo στη χειροτερη περίπτωση πολυπλοκότητας. Πιο συγκεκριμένα, εάν το D είναι ο μέγιστος βαθμό των πολυωνύμων εισόδου και n ο αριθμός των μεταβλητών, η πολυπλοκότητά τους είναι το πολύ για κάποια σταθερά c, και, για ορισμένες εισροές, η πολυπλοκότητα είναι τουλάχιστον για μια άλλη  σταθερά c ».

Κατά τα τελευταία 20 χρόνια του 20ου αιώνα, οι διάφοροι αλγόριθμοι έχουν εισαχθεί για να επιλύσουν συγκεκριμένα υποπροβλήματα με μια καλύτερη πολυπλοκότητα. Οι περισσότεροι από αυτούς τους αλγορίθμους έχουν μια πολυπλοκότητα.

Μεταξύ αυτών των αλγορίθμων που επιλύουν ένα επιμέρους πρόβλημα των προβλημάτων που επιλύονται με Gröbner βάσεις, μπορεί κανείς να αναφέρει με δοκιμή πως μια αφινική πολλαπλότητα είναι κενή και η επίλυση μη ομοιογενών πολυωνυμικών συστημάτων που έχουν πεπερασμένο αριθμό λύσεων. Τέτοιοι αλγόριθμοι σπάνια εφαρμόζονται, διότι, στις περισσότερες καταχωρήσεις οι F4 και F5 Faugere αλγόριθμοι έχουν μια καλύτερη πρακτική αποτελεσματικότητα και πιθανώς μια παρόμοια ή καλύτερη πολυπλοκότητα (πιθανώς επειδή η αξιολόγηση της πολυπλοκότητας των αλγορίθμων  Gröbner βάσης σε μια συγκεκριμένη κατηγορία 
καταχωρήσεων είναι ένα δύσκολο έργο που έχει  γίνει μόνο σε μερικές ειδικές περιπτώσεις).

Οι κύριοι αλγόριθμοι της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας που λύνουν ένα πρόβλημα που επιλύεται από CAD  σχετίζονται με την τοπολογία των ημι-αλγεβρικών σύνολων. Κάποιος μπορεί να αναφeρθει  στην αρίθμηση  των συνδεδεμένων συνιστωσών,ελέγχοντας αν δύο σημεία είναι στις ίδιες συνιστώσες  ή υπολογίζοντας τη διαστρωμάτωση Whitney ενος πραγματικού αλγεβρικού συνόλου . Έχουν μια πολυπλοκότητα, αλλά και η συνεχής συμμετοχή ενος  συμβολισμού Ο είναι τόσο υψηλή που η χρήση τους τους για την επίλυση οποιουδήποτε τετριμμένου προβλήματος που έχει λυθεί αποτελεσματικά απο την  CAD, είναι αδύνατον ακόμα και αν μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει όλα τα υφιστάμενη υπολογιστική ισχύ στον κόσμο. Επομένως, αυτοί οι αλγόριθμοι δεν έχουν ποτέ εφαρμοστεί και αυτός είναι ένας ενεργός τομέας της έρευνας για την αναζήτηση αλγορίθμων που έχουν απο κοινού  μια καλή ασυμπτωτική πολυπλοκότητα και μια καλή πρακτική αποτελεσματικότητα.

Περίληψη της σύγχρονης άποψης
Οι σύγχρονες προσεγγίσεις για την αλγεβρική γεωμετρία επαναπροσδιορίζουν και επεκτείνουν αποτελεσματικά   το φάσμα των βασικών αντικειμένων σε διάφορα επίπεδα γενικότητας σε συστήματα, επίσημα συστήματα, ind-συστημάτων, αλγεβρικούς χώρους, αλγεβρικές στοίβες και ούτω καθεξής. Η ανάγκη αυτή προκύπτει ήδη από τις χρήσιμες ιδέες στην θεωρία  πολλαπλοτήτων, π.χ. οι ρητές συναρτήσεις του Zariski μπορούν να φιλοξενηθούν με την εισαγωγή nilpotent στοιχείων στη δομή δακτυλίων? λαμβάνοντας υποψη διαστήματα απο βρόχους και τόξα, η κατασκευή λόγων με τις δράσεις της ομάδας και  αναπτύσσοντας τυπικά χωρία για τη θεωρία φυσικής  τομής και η θεωρία παραμόρφωσης  να οδηγούν σε ορισμένες από τις περαιτέρω επεκτάσεις.

Πιο αξιοσημείωτα, στα τέλη της δεκαετίας του 1950,οι αλγεβρικές πολλαπλότητες εντάχθηκαν στην έννοια Alexander Grothendieck του καθεστώτος. Τοπικά αντικείμενα τους είναι συσχετισμένα συστήματα ή προνομιακά φάσματα τα οποία πλαισιώνονται τοπικά σε χώρους που αποτελούν μια κατηγορία που είναι αντιισοδύναμη στην κατηγορία των αντιμεταθετικών μοναδιαίων δακτυλίων, επεκτείνοντας τη δυαδικότητα ανάμεσα στην κατηγορία των αφινικών αλγεβρικών πολλαπλοτήτων πάνω από ένα k τομέα, καθώς και η κατηγορία των πεπερασμένα παραγομένων μειώνεται σε k-άλγεβρες. Η ενωση είναι με την Zariski τοπολογία? Μπορεί κανείς να συνδέει στην κατηγορία των τοπικά δακτυλιώθηκαν χώρων, αλλά και, με την ενσωμάτωση Yoneda, κατά την πιο αφηρημένη κατηγορία presheaves των συνόλων πάνω από την κατηγορία των affine συστημάτων. Η τοπολογία Zariski στην έννοια της θεωρίας συνόλου  στη συνέχεια αντικαθίσταται από μια τοπολογία Zariski κατά την έννοια της  τοπολογίας Grothendieck.Ο Grothendieck εισήγαγε Grothendieck τοπολογίες που λαμβάνουν υποψη πιο εξωτικά αλλά γεωμετρικά λεπτότερη και πιο ευαίσθητα παραδείγματα από την ακατέργαστη τοπολογία Zariski, δηλαδή η Etale τοπολογία, και οι δύο επίπεδες Grothendieck τοπολογίες: ffpf και fpqc? Σήμερα μερικά άλλα παραδείγματα έγιναν εμφανή συμπεριλαμβανομένων την τοπολογία Nisnevich.Οι τροχαλίες μπορούν επιπλέον να γενικευτούν σε στοίβες κατά την έννοια του Grothendieck, συνήθως με κάποιους επιπλέον όρους παραστάσεως που οδηγούν στις στοίβες Artin, και ακόμα λεπτότερες, Deligne-Mumford στοίβες,που συχνά αποκαλούνται αλγεβρικές στοίβες.

Μερικές φορές άλλες αλγεβρικές απόψεις αντικαθιστούν την κατηγορία των αφινικών συστημάτων. Για παράδειγμα,ο Nikolai Durov εισήγαγε την ατιμεταθετικές αλγεβρικές Μονάδες ως γενίκευση των τοπικών αντικειμένων σε μια γενικευμένη αλγεβρική γεωμετρία. Εκδοχές  τροπικής γεωμετρίας, μιας απόλυτης γεωμετρίας πάνω από ένα πεδίο ενός στοιχείου και ένα αλγεβρικό ανάλογο της γεωμετρίας Arakelov που εγιναν αντιληπτές σε αυτή τη ρύθμιση.

Μια άλλη επίσημη γενίκευση είναι δυνατή στην Οικουμενική αλγεβρική γεωμετρία κατα την  οποία κάθε πολλαπλότητα της άλγεβρας έχει τη δική της αλγεβρική γεωμετρία. Ο όρος πολλαπλότητα της άλγεβρας δεν πρέπει να συγχέεται με την αλγεβρική πολλαπλότητα.

Η γλώσσα των στοίβων συστημάτων και γενικεύσεις έχουν αποδείξει ότι είναι ο κατάλληλος τρόπος για την αντιμετώπιση των γεωμετρικών εννοιών και έγιναν ακρογωνιαίοι λίθοι της σύγχρονης αλγεβρικής γεωμετρίας.

Οι αλγεβρικές στοίβες μπορούν να γενικευθούν περαιτέρω   και για πολλά πρακτικά ζητήματα όπως η θεωρία της παραμόρφωσης και η θεωρία τομής, αυτή είναι συχνά η πιο φυσική προσέγγιση. Κάποιος μπορεί να επεκτείνει το χώρο Grothendieck των αφινικών συστημάτων σε ένα υψηλότερο κατηγορηματική θέση των παράγωγων αφινικών συστημάτων,αντικαθιστώντας τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους με μια κατηγορία άπειρο του διαφορικού διαβαθμισμένης αντιμεταθετικής άλγεβρας, ή απλοικούς αντιμεταθετικούς δακτυλίους ή μια παρόμοια κατηγορία με την κατάλληλη παραλλαγή μιας Grothendieck τοπολογίας. Κάποιος μπορεί επίσης να αντικαταστήσει presheaves των συνόλων από presheaves των απών συνόλων (ή του απείρου ομαδοειδών). Στη συνέχεια, με την παρουσία ενός κατάλληλου ομοτοπικου μηχανήματος μπορεί κανείς να αναπτύξει μια έννοια  προερχόμενη απο στοίβα καθώς μια τέτοια presheaf στην κατηγορία του απειρου παραγώγων αφινικών συστημάτων, η οποία να ικανοποιεί μια εκδοχή ορισμένων κατηγοριών απείρου ενός αξιώματος δεμάτι (και για να είναι αλγεβρικό, επαγωγικά μια αλληλουχία των συνθηκών παραστάσεως). Quillen κατηγορίες μοντέλο, Segal κατηγορίες και quasicategories είναι μερικά από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα εργαλεία για να επισημοποιήσει αυτή αποδίδοντας την παράγωγη αλγεβρική γεωμετρία, το οποίο εισήχθη από τη σχολή του Carlos Simpson, συμπεριλαμβανομένων των Andre Hirschowitz, Bertrand toen, Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié και άλλων? Και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Jacob Lurie, Bertrand toen και Gabrielle Vezzosi.Μια αλλη (μη αντιμεταθετική) εκδοχή της παραγόμενης αλγεβρικής γεωμετρίας,χρησιμοποιώντας  A-άπειρο κατηγορίες έχει αναπτυχθεί από τις αρχές του 1990-s απο τον Maxim Kontsevich και τους ακολουθους του.

Ιστορία

Προϊστορία: πριν από τον 19ο αιώνα
Μερικές από τις ρίζες της αλγεβρικής γεωμετρίας βρίσκoνται στο έργο των Ελλήνων από τον 5ο π.Χ. αιώνα. Το Δηλιακό πρόβλημα, για παράδειγμα, ήταν να κατασκευάσει ένα μήκος x, έτσι που ο κύβος  x  πλευράς περιείχε τον ίδιο όγκο με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο a2b για δοσμένες πλευρές a και b.Ο Menechmus (γύρω στο 350 π.Χ.) θεώρησε  το πρόβλημα γεωμετρικά τέμνοντας το ζεύγος επίπεδων συντεταγμένων    ay = x2 και xy = ab''. Η πιό πρόσφατη εργασία, τον 3ο αιώνα π.Χ., του Αρχιμήδη και του Απολλώνιου μελέτησε πιο συστηματικά προβλήματα στις κωνικές τομές,, και επίσης τη χρήση των συντεταγμένων. Οι αραβικοί μαθηματικοί ήταν σε θέση να λύσουν από καθαρά αλγεβρικές έννοιες ορισμένες κυβικές εξισώσεις, και στη συνέχεια να ερμηνεύσουν τα αποτελέσματα γεωμετρικά. Αυτό έγινε, για παράδειγμα, από τον Ibn al-Haytham τον 10ο μ.Χ. αιώνα. [3] Στη συνέχεια, ο Πέρσης μαθηματικός Ομάρ Καγιάμ (γεν. 1048 μ.Χ.) ανακάλυψε τη γενική μέθοδο επίλυσης των κυβικών εξισώσεων τέμνοντας μια παραβολή με έναν κύκλο. Κάθε μία από αυτές τις πρόσφατες εξελίξεις στην αλγεβρική γεωμετρία καταπιάστηκαν με ερωτήματα της εύρεσης και περιγραφής των τομών των αλγεβρικών καμπυλων.

Τέτοιες τεχνικές εφαρμογής γεωμετρικών κατασκευών σε αλγεβρικά προβλήματα εγκρίθηκαν επίσης από μια σειρά Μαθηματκούς της Αναγέννησης, όπως ο Τζερόλαμο Καρντάνο και ο Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια στις σπουδές τους για την εξίσωση. Η γεωμετρική προσέγγιση για τα προβλήματα κατασκευής, παρά το αλγεβρικό ένα, ευνοήθηκε περισσότερο απο μαθηματικούς του 16ου και 17ου αιώνα , ιδίως ο Blaise Pascal ο οποίος τάχθηκε κατά της χρήσης των αλγεβρικών και των αναλυτικών μεθόδων στη γεωμετρία. Οι Γαλλοι μαθηματικοί Φρανσίς Βιετά και αργότερα οι Ρενέ Ντεκάρτ και Πιερ ντε Φερμά εφεραν επανσταση  στον συμβατικό τρόπο σκέψης σχετικά με τα προβλήματα των κατασκευών μέσω της εισαγωγής της γεωμετρίας συντεταγμένων. Ενδιαφέρονταν κυρίως για τις ιδιότητες των αλγεβρικών καμπυλών, όπως αυτές ορίζονται από τις Διοφαντικές εξισώσεις (στην περίπτωση του Fermat), και την αλγεβρική αναδιατύπωση των κλασικών ελληνικών έργων σε κωνικές και κυβικές (στην περίπτωση του Descartes).
Κατά την ίδια περίοδο, ο Blaise Pascal και ο Gérard Desargues προσεγγισαν τη γεωμετρία από μια διαφορετική οπτική γωνία, αναπτύσσοντας τις συνθετικές έννοιες της προβολικής γεωμετρίας.Ο Pascal και ο Desargues μελέτησαν επίσης καμπύλες, αλλά από την καθαρά γεωμετρική άποψη: το ανάλογο του ελληνικού, κατασκευή με κανόνα και διαβήτη. Τελικά, η αναλυτική γεωμετρία του Descartes και του Fermat κέρδισε έξω, για να παρέχονται οι μαθηματικοί του 18ου αιώνα, με συγκεκριμένα ποσοτικά εργαλεία που απαιτούνται για τη μελέτη σωματικών προβλημάτων χρησιμοποιώντας το νέο λογισμό του Νεύτωνα και Leibniz. Ωστόσο, από το τέλος του 18ου αιώνα,ο περισσότερος από τον αλγεβρικό χαρακτήρα της γεωμετρίας συντεταγμένων εντάχθηκε από το λογισμό των απειροελάχιστων του Lagrange και Euler.

19ου και αρχές του 20ου αιώνα
Πήρε όλες τις σύγχρονες εξελίξεις του 19ου αιώνα, έτσι ώστε η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία και τα Αβελιανά ολοκληρώματα, προκειμένου να φέρει τα παλιές αλγεβρικές ιδέες πίσω στο γεωμετρικό πεδίο. Η πρώτη από αυτές τις νέες εξελίξεις εφαρμόστηκε από τους Edmond Laguerre και Arthur Cayley, οι οποίοι επιχείρησαν να εξακριβώσουν τα γενικευμένες ιδιότητες των μετρικών του προβολικού χώρου. Ο Cayley εισήγαγε την ιδέα των ομοιογενών μορφών πολυωνύμου, και πιο συγκεκριμένα τις τετραγωνικές μορφές, σε προβολικό χώρο. Στη συνέχεια, ο Felix Klein μελέτησε την προβολική γεωμετρία (μαζί με άλλα είδη γεωμετρίας) από την άποψη ότι η γεωμετρία σε ένα χώρο κωδικοποιείται σε μια ορισμένη τάξη των μετασχηματισμών στο χώρο. Μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα, οι προβολικοί γεωμέτρες μελετούσαν γενικότερα είδη μετασχηματισμών σε ποσά σε προβολικό χώρο. Μαλλον απο οτι οι προβολικοί γραμμικοί μετασχηματισμοί που συνήθως θεωρείται ότι παρέχουν τη θεμελιώδη Kleinian γεωμετρία σε προβολικό χώρο, ασχολήθηκαν και με το μεγαλύτερο βαθμό birational μετασχηματισμών. Αυτή η ασθενέστερη έννοια της αντιστοιχίας αργότερα θα οδηγήσει τα μέλη της Ιταλικής σχολής της αλγεβρικής γεμετρίας του 20ου αιώνα  να ταξινομήσουν αλγεβρικές επιφάνειες έως birational ισομορφισμούς.

Η δεύτερη ανάπτυξη στις αρχές του 19ου,απο τα Αβελιανά ολοκληρώματα, θα οδηγούσε τον Bernhard Riemann (Μπέρναρντ Ρίμαν) στην ανάπτυξη των επιφανειών Riemann.

Κατά την ίδια περίοδο ξεκίνησε η αλγεβροποίηση της Αλγεβρική γεωμετρία μέσω της αντιμεταθετικής άλγεβρας (Αντιμεταθετική άλγεβρα). Τα εμφανή αποτελέσματα σε αυτή την κατεύθυνση είναι το βασικο θεώρημα David Hilbert (Ντάβιντ Χίλμπερτ) και το θεώρημα μηδενικού χώρου, τα οποία αποτελούν τη βάση του συνδέσμου μεταξύ της αλγεβρικής γεωμετρίας και της αντιμεταθετικής άλγεβρας, και πολυπαραγοντική συνισταμένη του Francis Sowerby Macaulay, η οποία είναι η βάση της θεωρίας της απαλοιφής. Πιθανώς λόγω του μεγέθους του υπολογισμού που υπονοείται από την  πολυπαραγοντική συνισταμένη προκύπτει,η θεωρία της απαλοιφής έχει ξεχαστεί κατά τα μέσα του 20ου αιώνα, πριν να ανανεωθεί από τη θεωρία της μοναδικότητας και την υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία.

20ος αιώνας
Οι BL van der Waerden, Oscar Zariski και André Weil ανέπτύξαν ένα θεμέλιο για την αλγεβρική γεωμετρία βασιζόμενοι στη σύγχρονη Αντιμεταθετική άλγεβρα, συμπεριλαμβανομένης και της θεωρίας αποτίμησης και της θεωρίας των ιδεωδών. Ένας από τους στόχους ήταν να δίνει ένα ισχυρό πλαίσιο για την απόδειξη των αποτελεσμάτων της ιταλικής σχολής  της αλγεβρικής γεωμετρίας. Ειδικότερα, αυτή η σχολή χρησιμοποιεί συστηματικά την έννοια του γενικού σημείο χωρίς κανένα ακριβή ορισμό,ο οποίος δόθηκε για πρώτη φορά από τους συγγραφείς αυτούς κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930.

Στη δεκαετία του 1950 και του 1960, οι Jean-Pierre Serre και ο Αλέξανδρος Grothendieck αναδιατύπωσαν τις βάσεις κάνοντας χρήση της θεωρίας sleaf. Αργότερα, από το 1960 περίπου, και σε μεγάλο βαθμό με αιχμή του δόρατος τον Grothendieck, η ιδέα των συστημάτων εκπονήθηκε, σε συνδυασμό με μια πολύ εκλεπτυσμένη συσκευή ομολογικών τεχνικών. Μετά από μια δεκαετία ταχείας ανάπτυξης ο τομέας σταθεροποιήθηκε στη δεκαετία του 1970,και νέες εφαρμογές έγιναν, τόσο στη θεωρία αριθμώνα  οσο και σε πιο κλασικές γεωμετρικές ερωτήσεις σχετικές με αλγεβρικές πολλαπλότητες, μοναδικότητες και παραμέτρους.
Μια σημαντική κατηγορία των πολλαπλοτήτων, δεν είναι εύκολα κατανοητή άμεσα από τον καθορισμένες εξισώσεις τους, είναι οι αβελιανές  πολλαπλότητες, οι οποίες είναι οι προβολικές πολλαπλότητες των οποίων τα σημεία αποτελούν αβελιανή ομάδα. Τα τυπικά παραδείγματα είναι οι ελλειπτικές καμπύλες, οι οποίες έχουν μια πλούσια θεωρία.Είχαν καθοριστικό ρόλο στην απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά και χρησιμοποιούνται επίσης στην ελλειπτική κρυπτογραφία.

Παράλληλα με την αφηρημένη τάση της Αλγεβρικής γεωμετρίας, η οποία ασχολείται με γενικές δηλώσεις σχετικά με τις πολλαπλότητες,μέθοδοι για αποτελεσματικό υπολογισμό των συμπαγώς δοσμένων πολλαπλοτήτων έχουν επίσης αναπτυχθεί,οι οποίες οδηγούν στο νέο χώρο της υπολογιστικής αλγεβρικής γεωμετρίας.Μια από τις ιδρυτικές μεθόδους αυτής της περιοχής είναι η θεωρία των Gröbner βάσεων, η οποία εισήχθη από τον Bruno Buchberger το 1965. Μια ιδρυτική μέθοδος, πιο ειδικά αφιερωμένη στην πραγματική αλγεβρική γεωμετρία, είναι η κυλινδρική αλγεβρική απαλοιφή, η οποία εισήχθη από τον George E. Collins το 1973.

Εφαρμογές
Η αλγεβρική γεωμετρία βρίσκει εφαρμογές στην αλγεβρική στατιστική,Θεωρία ελέγχου,,ρομποτική,κώδικες διορθωτές λαθών.υπολογιστική φυλογενετική.Υπάρχουν επίσης συνδέσεις με την θεωρία παιγνίων,την θεωρία γραφημάτων και τον ακέραιο προγραμματισμό.

Δείτε επίσης
 αλγεβρική στατιστική
 Διαφορική γεωμετρία
 Γεωμετρική άλγεβρα
 Γλωσσάρι της κλασικής αλγεβρικής γεωμετρίας
 θεωρία τομής
 Κατάλογος σημαντικών δημοσιεύσεων στα μαθηματικά
 Κατάλογος των πολύπλοκων και αλγεβρικών επιφανειών
 Πραγματική αλγεβρική γεωμετρία

Αναφορές
Κλασσικά βιβλία που χρησιμοποιούν την γλώσσα των συστημάτων:

Μοντέρνα βιβλία που δεν χρησιμοποιούν την γλώσσα των συστημάτων:

Βιβλία στην υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία

Βιβλία και πηγές για τα συστήματα:

Στο Ιnternet:

 Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System. In construction; currently of very limited use for self study.
 Algebraic geometry entry on PlanetMath