Ντάβιντ Χίλμπερτ

Ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert, Καίνιξμπεργκ, Πρωσία, 23 Ιανουαρίου 1862 – Γκέτινγκεν, Γερμανία, 14 Φεβρουαρίου 1943) ήταν Γερμανός μαθηματικός. Ο Χίλμπερτ επινόησε και ανέπτυξε ένα ευρύ φάσμα από νέες ιδέες, στο οποίο συμπεριέλαβε την αμετάβλητη θεωρία και τα Αξιώματα Χίλμπερτ. Επίσης διατύπωσε τη θεωρία του Χώρου του Χίλμπερτ, η οποία είναι ένα από τα θεμέλια της συναρτησιακής  ανάλυσης.

Ο Χίλμπερτ υιοθέτησε και υπερασπίστηκε  θερμά τη θεωρία του Γκέοργκ Κάντορ και των υπερπερασμένων αριθμών. Ένα διάσημο παράδειγμα της ηγεσίας του στα μαθηματικά είναι η παρουσίασή του το 1900 των προβλημάτων του Χίλμπερτ, η οποία έθεσε την αρχή για περισσότερη μαθηματική  έρευνα του 20ού αιώνα.

Ο Χίλμπερτ και οι μαθητές του συνεισέφεραν σημαντικά στην ίδρυση αυστηρών και στην ανάπτυξη σημαντικών εργαλείων, τα οποία χρησιμοποιούνται στη μοντέρνα μαθηματική φυσική. Ο Χίλμπερτ είναι γνωστός ως ένας από τους ιδρυτές της αποδεικτικής  θεωρίας και της Μαθηματικής λογικής, καθώς επίσης ήταν και από τους πρώτους διακεκριμένους μαθηματικούς και μεταμαθηματικούς.

Ζωή
Ο Χίλμπερτ, ο οποίος ήταν το πρώτο από τα δυο παιδιά του Ότο και της Maria Therese (Erdtmann) Χίλμπερτ, γεννήθηκε στην Πρωσία - είτε στο Καίνιξμπεργκ (σύμφωνα με δήλωση του Χίλμπερτ) ή στο Βέλαου (Wehlau, γνωστό από το 1946 ως Znamensk) κοντά  στο Καίνιξμπεργκ, όπου ο πατέρας  του δούλευε την περίοδο της γέννησης του. Το φθινόπωρο του 1872 πήγε στο  Friedrichskolleg Γυμνάσιο του Friedrichskolleg (Collegium fridericianum, το ίδιο σχολείο το  οποίο παρακολούθησε και ο Ιμμάνουελ Καντ 140 χρόνια αργότερα) αλλά  ύστερα από μια δυστυχή περίοδο μεταφέρθηκε (φθινόπωρο του 1879) και αποφοίτησε (άνοιξη 1880) από το Wilhelm Gymnasium το οποίο προσανατολιζόταν στις επιστήμες. Μετά την αποφοίτηση εγγράφηκε (φθινόπωρο του 1880) στο Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ. Την άνοιξη του 1882 ο Χέρμαν Μινκόβσκι (ο οποίος ήταν δύο χρόνια νεότερος από τον Χίλμπερτ και καταγόταν και ο ίδιος από το Καίνιξμπεργκ αλλά ήταν τόσο ταλαντούχος που αποφοίτησε νωρίτερα από το γυμνάσιο και πήγε στο Βερολίνο για τρία εξάμηνα)  επέστρεψε στο Καίνιξμπεργκ και μπήκε στο πανεπιστήμιο. «Ο Χίλμπερτ ήξερε την τύχη του από τη στιγμή που τον είδε. Παρά την αποδοκιμασία του πατέρα του, έγινε σύντομα φίλος με τον ντροπαλό, προικισμένο Μινκόβσκι.» Τo 1884, ο Adolf Hurwitz έφτασε από το Γκέτινγκεν σαν αναπληρωτής καθηγητής. Μια έντονη και προσοδοφόρα επιστημονική ανταλλαγή μεταξύ των τριών, και κυρίως μεταξύ των Μινκόβσκι  και Χίλμπερτ, οι οποίοι ασκούσαν μια αμοιβαία επιρροή ο ένας στον άλλο σε διάφορες περιόδους στην επιστημονική τους σταδιοδρομία. Ο Χίλμπερτ απέκτησε το διδακτορικό του το 1885, με διατριβή, γραμμένη από τον Ferdinand von Lindemann, υπό τον τίτλο "Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen" («οι αμετάβλητες ιδιότητες των ειδικών δυαδικών μορφών, κυρίως των σφαιρικών αρμονικών συναρτήσεων»).

Ο Χίλμπερτ παρέμεινε στο  Πανεπιστήμιο του Καίνιξμπεργκ σαν Privatdozent (λέκτορας) από το 1886 ως το 1895. Ο Χίλμπερτ νυμφεύτηκε την Käthe Jerosch (1864–1945), κόρη ενός εμπόρου από το Καίνιξμπεργκ, μια ειλικρινή, νέα κοπέλα με ανεξαρτησία μυαλού, το οποίο ταίριαζε στο δικό του.. Στο Καίνιξμπεργκ απέκτησαν το παιδί τους, Φραντς Χίλμπερτ (1893–1969). Το 1895, ως αποτέλεσμα της παρέμβασης  του Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein), διατήρησε τη θέση του καθηγητή των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, που εκείνη την περίοδο ήταν το καλύτερο κέντρο έρευνας μαθηματικών στον κόσμο. Παρέμεινε εκεί για το υπόλοιπο της ζωής του.

Ο γιος του, Φραντς, υπέφερε κατά τη διάρκεια της ζωής του από μη διαγνώσιμη ψυχική ασθένεια, η κατώτερη του νοημοσύνη ήταν απογοήτευση για τον πατέρα του και αυτή η ατυχία ήταν ένα θέμα θλίψης στους μαθηματικούς και στους μαθητές του Γκέτινγκεν. Ο Μινκόβσκι, ο καλύτερος και πιο αληθινός φίλος του Χίλμπερτ, πέθανε πρόωρα από ρήξη εντέρου το 1909.

Η Σχολή του Γκέτινγκεν
Ανάμεσα στους φοιτητές του Χίλμπερτ ήταν ο Χέρμαν Βέιλ, ο πρωταθλητής του σκακιού Εμάνουελ Λάσκερ, ο Ερνέστος Ζερμέλο και ο Καρλ-Γκούσταβ Χέμπελ. Ο Τζον φον Νόιμαν ήταν βοηθός του. Στο πανεπιστήμιο Γκέτινγκεν ο Χίλμπερτ ήταν περιστοιχισμένος από κοινωνικό κύκλο μερικών από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, όπως η Έμμυ Ναίτερ και ο Αλόνσο Τσέρτς.

Ανάμεσα στους 69 Ph.D. μαθητές του στο Γκέτινγκεν ήταν πολλοί οι οποίοι αργότερα έγιναν διάσημοι μαθηματικοί, περιλαμβανομένων (με ημερομηνία διατριβής) των: Όττο Μπλούμενταλ (1898), Φέλιξ Μπέρνσταιν (1901), Χέρμαν Βέιλ (1908), Ρίχαρντ Κούραντ (1910), Έριχ Χέκε (1910), Χούγκο Στάινχαους (1911) και Βίλχελμ Άκερμαν (1925). Μεταξύ 1902 και 1939 ο Χίλμπερτ ήταν εκδότης του Mathematische Annalen, του κορυφαίου μαθηματικού περιοδικού της εποχής.

«Ωραία, δεν είχε αρκετή φαντασία ώστε να γίνει μαθηματικός».
Η απάντηση του Χίλμπερτ αφού άκουσε ότι κάποιος από τους μαθητές του τα παράτησε για να σπουδάσει ποίηση.

Ύστερα χρόνια
Ο Χίλμπερτ έζησε για να δει την αποχώρηση συνεργατών του λόγω του γερμανικού Εθνικοσοσιαλισμού, οι οποίοι ήταν εξέχοντα μέλη του Πανεπιστημίου του Καίνιξμπεργκ το 1933. Ανάμεσα σε αυτούς που αποχώρησαν ήταν οι Χέρμαν Βέιλ (ο οποίος πήρε τη θέση του Χίλμπερτ όταν αυτός αποσύρθηκε το 1930), η Έμμυ Ναίτερ και και ο Έντμουντ Λάνταου (Edmund Landau). Ο Paul Bernays, ο οποίος αναγκάστηκε να φύγει από τη Γερμανία, είχε συνεργαστεί με τον Χίλμπερτ στη μαθηματική λογική και συνέγραψαν μαζί το πολύ σημαντικό βιβλίο Grundlagen der Mathematik (το οποίο τελικά εκδόθηκε σε δύο τόμους το 1934 και το 1939). Αυτό ήταν η συνέχεια του βιβλίου του Χίλμπερτ και του Άκερμαν το οποίο λεγόταν Αρχές της Μαθηματικής Λογικής του 1928. Το 1933 ο Χίλμπερτ παρευρέθηκε σε ένα συμπόσιο και κάθισε δίπλα στον νέο Υπουργό Παιδείας, Μπέρνχαρντ Ρουστ. Ο Ρουστ τον ρώτησε «Πώς είναι τα μαθηματικά στο Γκέτινγκεν τώρα που ελευθερώθηκαν από την εβραϊκή επιρροή;» Ο Χίλμπερτ απάντησε «Μαθηματικά στο Γκέτινγκεν; Δεν υπάρχουν πια.»

Ως τη στιγμή που ο Χίλμπερτ πέθανε, το 1943, οι Ναζιστές είχαν σχεδόν αλλάξει ολόκληρο το προσωπικό του πανεπιστημίου, καθώς το μεγαλύτερο τμήμα του είτε ήταν Εβραίοι είτε ήταν παντρεμένοι με Εβραίους. Στην κηδεία του Χίλμπερτ παρευρέθηκαν περισσότεροι από μια ντουζίνα άνθρωποι, μόνο δύο από τους οποίους ήταν ακαδημαϊκοί συνάδελφοι, ένας από τους οποίους ήταν ο Άρνολντ Ζόμμερφελντ, ένας θεωρητικός φυσικός από το Καίνιξμπεργκ. Τα νέα για τον θάνατο του έγιναν ευρέως γνωστά μόλις έξι μήνες αργότερα.

Στις θρησκευτικές του πεποιθήσεις ήταν αγνωστικιστής. Επίσης υποστήριζε ότι η μαθηματική αλήθεια είναι ανεξάρτητη από την ύπαρξη του Θεού ή άλλες εκ των προτέρων υποθέσεις.

Το επιτάφιο μνημείο του στο Γκέτινγκεν διακοσμείται από το περίφημο κείμενο που εκφώνησε στον επίλογο της συνταξιοδότησής του απευθυνόμενος στην Κοινωνία των Γερμανών Επιστημόνων και Φυσικών το φθινόπωρο του 1930. Τα λόγια δόθηκαν σε απόκριση του λατινικού αποφθέγματος: «Ignoramus et ignorabimus» ή «Δεν ξέρουμε, δεν θα γνωρίζουμε»:

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Στα Ελληνικά:
Εμείς πρέπει να γνωρίζουμε.
Εμείς θα γνωρίζουμε.

Τη μέρα πριν ο Χίλμπερτ προφέρει αυτές τις φράσεις στην ετήσια συνάντηση του Συλλόγου των Γερμανών Επιστημόνων και Φυσικών, ο Κουρτ Γκέντελ - σε μια επιτραπέζια συζήτηση κατά τη διάρκεια  της διάσκεψης για την Επιστημολογία και τις συναντήσεις του Συλλόγου - διστακτικά ανακοίνωσε την πρώτη έκφραση του ανολοκλήρωτου θεωρήματός του.

Ο Χίλμπερτ λύνει το πρόβλημα του Γκόρνταν
Η πρώτη εργασία του Χίλμπερτ για τις αμετάβλητες λειτουργίες τον οδήγησε στην επίδειξη το 1888 του δημοφιλούς του finiteness θεωρήματος. Είκοσι χρόνια νωρίτερα, ο Πολ Γκόρνταν είχε επιδείξει το θεώρημα of the finiteness of generators για δυαδικές μορφές χρησιμοποιώντας μια πολύπλοκη υπολογιστική προσέγγιση. Προσπάθειες να γενικεύσει τη μέθοδό του σε λειτουργίες με περισσότερες από δύο μεταβλητές απέτυχαν λόγω της τεράστιας δυσκολίας των υπολογισμών που περιπλέκονταν. Προκειμένου να λύσει αυτό που είχε γίνει γνωστό σε μερικούς κύκλους ως το Πρόβλημα του Γκόρνταν, ο Χίλμπερτ συνειδητοποίησε ότι ήταν απαραίτητο να πάρει ένα εντελώς διαφορετικό μονοπάτι. Συνεπώς, επέδειξε το Βασικό Θεώρημα του Χίλμπερτ, αποδεικνύοντας την ύπαρξη μιας άπειρης σειράς γεννητριών, για τις αναλλοίωτες των quantics σε οποιοδήποτε πλήθος μεταβλητών, αλλά σε μια αφηρημένη μορφή. Δηλαδή, ενώ επιδείκνυε την ύπαρξη μιας τέτοιας ομάδας, δεν ήταν μία εποικοδομητική απόδειξη -δεν παρουσίαζε ένα «αντικείμενο»- αλλά μάλλον, ήταν μια απόδειξη ύπαρξης και βασιζόταν στη χρήση της Αρχής του αποκλειόμενου μέσου μέσα σε μια άπειρη επέκταση.

Ο Χίλμπερτ έστειλε τα συμπεράσματά του στο Mathematische Annalen. Ο Γκόρνταν, ο εμπειρογνώμονας στη θεωρία των αναλλοιωτών για το Mathematische Annalen, δεν μπόρεσε να εκτιμήσει την επαναστατική φύση του θεωρήματος του Χίλμπερτ και απέρριψε το άρθρο, κριτικάροντας την έκθεση επειδή ήταν ανεπαρκώς περιεκτική. Το σχόλιό του ήταν:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

(Δεν είναι Μαθηματικά. Είναι Θεολογία.)

Ο Κλάιν, από την άλλη πλευρά, αναγνώρισε τη σημαντικότητα της εργασίας, και εγγυήθηκε ότι επρόκειτο να δημοσιευτεί χωρίς καμία αλλαγή. Ενθαρρυμένος από τον Κλέιν, ο Χίλμπερτ σε ένα δεύτερο άρθρο επέκτεινε τη μέθοδό του, παρέχοντας εκτιμήσεις για το μέγιστο βαθμό της ελάχιστης σειράς γεννητριών, και το έστειλε πάλι στο Annalen. Αφού είχε διαβάσει το χειρόγραφο, ο Κλάιν του έγραψε, λέγοντας:

Χωρίς αμφιβολία αυτή είναι η πιο σημαντική εργασία πάνω στη γενική άλγεβρα που έχει δημοσιεύσει ποτέ το Annalen.

Αργότερα, αφού η χρησιμότητα της μεθόδου του Χίλμπερτ ήταν παγκοσμίως αναγνωρισμένη, ο Γκόρνταν ο ίδιος είπε:

Έχω πείσει τον εαυτό μου ότι ακόμη και η θεολογία έχει τα προτερήματά της.

Για όλες τις επιτυχίες του, η φύση της απόδειξής του ξεσήκωσε περισσότερα προβλήματα από ό,τι ο Χίλμπερτ θα μπορούσε να έχει φανταστεί τότε. Παρ' όλο που ο Κρόνεκερ το είχε παραδεχθεί, ο Χίλμπερτ απάντησε αργότερα στις όμοιες κριτικές των άλλων πως «πολλές διαφορετικές κατασκευές εντάσσονται σε μία θεμελιώδη ιδέα», με άλλα λόγια (to quote Reid): «Μέσω μιας απόδειξης ύπαρξης, ο Χίλμπερτ ήταν ικανός να βρει μια κατασκευή», η απόδειξη (i.e. the symbols on the page) ήταν «το αντικείμενο». Δεν ήταν όλοι πεπεισμένοι. Ενώ ο Κρόνεκερ θα πέθαινε αμέσως μετά, η κονστρουκτιβιστική φιλοσοφία του θα συνέχιζε με το νέο Μπράουερ και την αναπτυσσόμενη διαισθητική «σχολή» του, πριν το βάσανο του Χίλμπερτ στα επόμενα χρόνια του. Πράγματι ο Χίλμπερτ έχασε τον «προικισμένο μαθητή» του Γουέιλ στον ιντουιτιονισμό -«Ο Χίλμπερτ ενοχλήθηκε με τη γοητεία του πρώην μαθητή του από τις ιδέες του Μπράουερ, οι οποίες προκάλεσαν στο Χίλμπερτ τη μνήμη του Κρόνεκερ». Ο Μπράουερ ο ιντουιτιονιστής ειδικότερα ήταν αντίθετος με τη χρήση της Αρχής του Αποκλειόμενου Μέσου πάνω από άπειρες σειρές (όπως ο Χίλμπερτ την είχε χρησιμοποιήσει). Ο Χίλμπερτ απάντησε:
Το να πάρεις την Αρχή του Αποκλειόμενου Μέσου από τον μαθηματικό...είναι σαν να...απαγορεύεις στον πυγμάχο τη χρήση της γροθιάς του.

Αξιώματα του Χίλμπερτ 

Η εργασία Grundlagen der Geometrie (μετάφ.: «Επί των θεμελίων της Γεωμετρίας») που δημοσιεύθηκε από τον Χίλμπερτ το 1899 προτείνει ένα επίσημο σύνολο, τα Αξιώματα Χίλμπερτ, υποκαθιστώντας τα παραδοσιακά Στοιχεία. Αυτά αποφεύγουν αδυναμίες που αναγνωρίζονται σε εκείνα του Ευκλείδη, του οποίου οι εργασίες εκείνη την εποχή χρησιμοποιούνταν ακόμη σαν βιβλίο μόδας. Ανεξάρτητα και ταυτόχρονα, ένας 19χρονος Αμερικανός φοιτητής ονόματι Ρόμπερτ Λι Μουρ δημοσίευσε μία ισάξια σειρά αξιωμάτων. Μερικά από τα αξιώματα συμπίπτουν, ενώ κάποια από τα αξιώματα στο σύστημα του Μουρ είναι θεωρήματα σε αυτό του Χίλμπερτ και αντίστροφα.

Η προσέγγιση του Χίλμπερτ σηματοδότησε την αλλαγή στο σύγχρονο αξιωματικό σύστημα. Σε αυτό ο Χίλμπερτ ήταν αναμενόμενος από την εργασία του Τζουζέπε Πεάνο από το 1889. Τα Αξιώματα δεν δίνονται σαν αυτονόητες αλήθειες. Η Γεωμετρία ίσως εκμεταλλεύεται πράγματα, για τα οποία εμείς έχουμε ισχυρές διαισθήσεις, αλλά δεν είναι απαραίτητο να εκχωρείται κάθε σαφές νόημα στις απροσδιόριστες έννοιες. Τα στοιχεία, όπως το σημείο, η γραμμή, το επίπεδο, και άλλα, θα μπορούσαν να υποκατασταθούν, όπως λέει ο Χίλμπερτ, από τραπέζια, καρέκλες, μπουκάλια μπύρας και άλλα τέτοια αντικείμενα. Είναι οι ορισμένες σχέσεις τους που συζητιούνται.

Ο Χίλμπερτ πρώτα απαριθμεί τις απροσδιόριστες έννοιες: σημείο, γραμμή, επίπεδο, βασιζόμενος (σε μία σχέση ανάμεσα στα σημεία και τα επίπεδα), στην αναμεσότητα, τη συμβατότητα των ζευγών σημείων, και τη μαθηματική αναλογία των γωνιών. Τα αξιώματα ενοποιούν και την Ευκλείδεια γεωμετρία και την Στερεομετρία του Ευκλείδη σε ένα μοναδικό σύστημα.

Τα 23 προβλήματα

Ο Χίλμπερτ άρχισε μια πιο ισχυρή λίστα από 23 άλυτα προβλήματα στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900. Αυτό εκτιμάται εύρεως ως η πιο επιτυχημένη και η πιο βαθιά συλλογή από ανοικτά προβλήματα που παράχθηκαν ποτέ από έναν μόνο μαθηματικό.
Ξαναδουλεύοντας τα θεμέλια της κλασσικής γεωμετρίας, ο Χίλμπερτ θα μπορούσε να έχει επεκτείνει και τα υπόλοιπα μαθηματικά. Η προσέγγισή του διέφερε, ωστόσο, από τον προηγούμενο «θεμελιωτή» Ράσελ-Γουάιτχεντ ή τον «εγκυκλοπαιδικό» Νικολά Μπουρμπακί και από τον σύγχρονό του Τζουζέπε Πεάνο. Ολόκληρη η μαθηματική κοινότητα μπορούσε να κατατάξει τα προβλήματα, τα οποία είχε αναγνωρίσει ως ζωτικής σημασίας πτυχές των περιοχών των μαθηματικών, στα οποία αυτός αποτελούσε σημαντικό κομμάτι.
Το πρόβλημα του συνόλου ξεκίνησε ως ομιλία «Το Πρόβλημα των Μαθηματικών», που παρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια του μαθήματος του Β΄ Διεθνούς Συνέδριου των Μαθηματικων που πραγματοποιήθηκε στο Παρίσι. Εδώ είναι η εισαγωγή της παρουσίασης που έκανε ο Χίλμπερτ:
Ποιος ανάμεσα σε εμάς δεν θα ήταν ευτυχισμένος να άρει το πέπλο πίσω από το οποίο είναι κρυμμένο το μέλλον; να κοιτάξει στις επερχόμενες εξελίξεις της επιστήμης μας και στα μυστικά της ανάπτυξης της στους αιώνες που έρχονται; Ποια θα είναι τα άκρα προς τα οποία οι μελλοντικές γενιές των μαθηματικών θα τείνουν; Ποιες μέθοδοι, ποια νέα στοιχεία θα αποκαλύψει ο νέος αιώνας στο τεράστιο και πλούσιο πεδίο της μαθηματικής σκέψης;
Παρουσίασε περισσότερα από τα μισά προβλήματα στο Συνέδριο, τα οποία δημοσιεύθηκαν στα πρακτικά του Συνεδρίου. Σε μια μεταγενέστερη δημοσίευση, επέκτεινε το πανόραμα, και έφτασε στη διατύπωση των πλέον 23 Προβλημάτων του Χίλμπερτ. Ολόκληρο το κείμενο είναι σημαντικό, δεδομένου ότι η εξήγηση των ερωτήσεων ακόμα μπορεί να είναι ένα θέμα  αναπόφευκτης διαμάχης, όποτε ερωτάται πόσα έχουν λυθεί.
Μερικά από αυτά λύθηκαν σε σύντομο χρονικό διάστημα. Άλλα έχουν συζητηθεί κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα, με λίγα πλέον να θεωρούνται απρεπώς ανοιχτού τύπου. Μερικά συνεχίζουν να παραμένουν μια πρόκληση για τους μαθηματικούς.

Φορμαλισμός
Σε ένα απολογισμό που είχε γίνει πρότυπο μέχρι τα μέσα του αιώνα,όπου το σύνολο των προβλημάτων του Χίλμπερτ ήταν επίσης ένα είδος μανιφέστου, άνοιξε το δρόμο για την ανάπτυξη του φορμαλιστικού σχολείου, ένα από τα τρία πιο σημαντικά σχολεία των μαθηματικών του 20ού αιώνα. Σύμφωνα με τον φορμαλιστή, τα μαθηματικά είναι η χειραγώγηση των συμβόλων σύμφωνα με συμφωνημένους τυπικούς κανόνες. Συνεπώς, είναι μια αυτόνομη δραστηριότητα της σκέψης. Ωστόσο, υπάρχει χώρος για αμφιβολίες κατά πόσο οι απόψεις του Χίλμπερτ ήταν απλά φορμαλιστικές στην ουσία.

Το Πρόγραμμα του Χίλμπερτ

Το 1920 πρότεινε ρητά ένα ερευνητικο πρόγραμμα (στα μεταμαθηματικά, όπως χαρακτηρίστικαν τότε) το οποίο έγινε γνωστό σαν Το Πρόγραμμα του Χίλμπερτ. Ήθελε τα Μαθηματικά να διαμορφωθούν σε σταθερές και ολοκληρωμένες λογικές βάσεις. Κατ 'αρχήν, πίστευε ότι αυτό μπορούσε να γίνει, αποδεικνύοντας ότι:
όλα τα μαθηματικά προκύπτουν από ένα σωστά επιλεγμένο πεπερασμένο σύστημα από αξιώματα και 
ένα τέτοιο αξιωματικό σύστημα είναι αποδεδειγμένα συνεπές με κάποιο τρόπο όπως ο υπολογισμός του έψιλον.
Φαίνεται ότι είχε και τεχνικές και φιλοσοφικές αιτίες για τη διατύπωση της πρότασης. Επιβεβαίωσε την απέχθειά του για το τι είχε γίνει γνωστό ως ignorabimus, το οποίο παρέμενε ένα ενεργό θέμα στην εποχή του στη Γερμανική σκέψη και ανάχθηκε στη διατύπωση του Εμίλ Ντε Μπουά-Ρεϋμοντ.
Αυτό το πρόγραμμα εξακολουθεί να είναι αναγνωρίσιμο στην πιο διάσημη φιλοσοφία των μαθηματικών, όπου συνήθως ονομάζεται φορμαλισμός. Για παράδειγμα η ομάδα των Μπουρμπακί υιοθέτησε μια αποδυναμωμένη και επιλεκτική έκδοση ως απαιτούμενη για τις απαιτήσεις των δίδυμων σχεδίων τους που αποτελούνταν από (α) τη γραπτώς θεμελιώδη δουλειά και από (β)την υποστηρικτική αξιωματική μεθόδου σαν ένα ερευνητικό εργαλείο. Η προσέγγιση αυτή υπήρξε επιτυχής και με επιρροή σε σχέση με το έργο του Χίλμπερτ στην άλγεβρα και στη συναρτησιακή ανάλυση, αλλά δεν κατάφερε να επηρεάσει με τον ίδιο τρόπο το ενδιαφέρον του στη φυσική και τη λογική.

Ο Χίλμπερτ έγραψε το 1919:

Δεν μιλάμε σε καμία περίπτωση για αυθαιρεσία. Τα μαθηματικά δεν είναι όπως ένα παιχνίδι του οποίου τα καθήκοντα καθορίζονται αυθαίρετα από θεσπισμένους κανόνες. Αντίθετα, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα που διαθέτει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και με κανένα τρόπο διαφορετικά.
Ο Χίλμπερτ δημοσίευσε τις απόψεις του πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών σε 2-όγκου εργασίες το Grundlagen der Mathematik.

Η επιρροή του Γκέντελ
Ο Χίλμπερτ και οι μαθηματικοί που συνεργάστηκαν μαζί του στην επιχείρησή του είχαν δεσμευθεί στο έργο αυτό. Η προσπάθεια του να υποστηρίξει αξιωματικά τα μαθηματικά με θεμελιώδεις αρχές, ώστε να επιλύσει θεωρητικές αβεβαιότητες, ήταν όμως καταδικασμένη να καταλήξει σε αποτυχία. Ο Κουρτ Γκέντελ απέδειξε ότι ένα μη αντιφατικό τυπικό σύστημα, αρκετά εκτενές ώστε να περιλαμβάνει τουλάχιστον αριθμητική, δεν μπορεί να επιδείξει την πληρότητά του μέσω μόνο των δικών του αξιωμάτων. Το 1931, τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ κατέδειξαν ότι το μεγάλο σχέδιο του Χίλμπερτ ήταν αδύνατο να επιτευχθεί έτσι όπως είχε οριστεί. Το δεύτερο σημείο δεν μπορεί με κανέναν λογικό τρόπο να συνδυαστεί με το πρώτο, εφόσον το σύστημα αξιωμάτων είναι πραγματικά πεπερασμένο.

Παρόλα αυτά, οι κατοπινές επιτυχίες της θεωρίας αποδείξεων τουλάχιστον αποσαφήνισαν τη συνοχή θεωριών κεντρικών για τα μαθηματικά. Η εργασία του Χίλμπερτ είχε εκκινήσει αυτή την πορεία της αποσαφήνισης· στη συνέχεια η ανάγκη να κατανοηθεί η δουλειά του Γκέντελ οδήγησε στην ανάπτυξη της θεωρίας αναδρομής και της μαθηματικής λογικής ως αυτόνομου γνωστικού πεδίου, κατά τη δεκαετία του 1930. Οι βάσεις για τη μετέπειτα θεωρητική πληροφορική τέθηκαν κατόπιν από τον Αλόνσο Τσερτς και τον Άλαν Τούρινγκ, με υπόβαθρο ακριβώς αυτές τις εξελίξεις.

Συναρτησιακή ανάλυση
Γύρω στο 1909,ο Χίλμπερτ αφοσιώθηκε στη μελέτη των διαφορικών και ενιαίων εξισώσεων· το έργο του είχε άμεσες συνέπειες σε σημαντικά τμήματα της σύγχρονης συναρτησιακής ανάλυσης. Για την εκτέλεση αυτών των μελέτων, ο Χίλμπερτ εισήγαγε την ιδέα ενός άπειρου διαστάσεων ευκλείδειου χώρου, που αργότερα ονομάστηκε Χώρος Χίλμπερτ. Το έργο του σε αυτό το μέρος της ανάλυσης παρείχε τη βάση για σημαντικές συνεισφορές στα μαθηματικά της φυσικής στις επόμενες δύο δεκαετίες, αν και από μια απρόβλεπτη κατεύθυνση. Αργότερα, ο Στέφαν Μπάνα ενίσχυσε την έννοια, καθορίζοντας τον Χώρο Μπάναχ. Οι χώροι του Χίλμπερτ αποτελούν μια σημαντική κατηγορία αντικειμένων της Συναρτησιακής Ανάλυσης, ιδιαίτερα στη φασματική θεωρία των αυτοσυζυγείς γραμμικών φορέων, που αναπτύχθηκε γύρω από αυτό κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα.

Φυσική
Μέχρι το 1912 ο Χίλμπερτ ήταν σχεδόν αποκλειστικά ένας καθαρός μαθηματικός. Όταν σχεδιάζοντας ένα ταξίδι από το Μπον, όπου βυθίστηκε στη μελέτη της φυσικής, οι συνάδελφοι του μαθηματικοί και ο φίλος του Χέρμαν Μινκόβσκι αστειεύθηκαν ότι έπρεπε να περάσει 10 μέρες στην απομόνωση πριν να μπορέσει να επισκεφτεί τον Χίλμπερτ. Στην πραγματικότητα, ο Μινκόβσκι φαίνεται να ήταν υπεύθυνος για τις περισσότερες διερευνήσεις του Χίλμπερτ πριν το 1912, συμπεριλαμβανομένου του κοινού σεμιναρίου τους για το θέμα το 1905.

Το 1912, τρία χρόνια μετά τον θάνατο του φίλου του, έστρεψε την εστίασή του στο αντικείμενο σχεδόν αποκλειστικά. Κανόνισε να έχει ένα «δάσκαλο φυσικής» για τον εαυτό του. Άρχισε να μελετά την Κινητική θεωρία και προχώρησε προς τη στοιχειώδη θεωρία της ακτινοβολίας και τη μοριακή θεωρία της ύλης. Ακόμη και μετά την αρχή του πολέμου το 1914, συνέχισε τα σεμινάρια και τα μαθήματα, όπου παρακολούθησε στενά τη δουλειά του Άλμπερτ Αϊνστάιν και άλλων.

Μέχρι το 1907 ο Αϊνστάιν είχε διαμορφώσει τις βασικές αρχές της θεωρίας της βαρύτητας, αλλά στη συνέχεια αγωνίστηκε για σχεδόν 8 χρόνια με ένα μπερδεμένο πρόβλημα για να βάλει τη θεωρία στην τελική της μορφή. Από τις αρχές του καλοκαιριού του 1915, το ενδιαφέρον του Χίλμπερτ για τη φυσική είχε εστιάσει στη Γενική θεωρία της Σχετικότητας, και προσκάλεσε τον Αϊνστάιν στο Γκέτινγκεν να παραδώσει διαλέξεις μιας εβδομάδας πάνω στο θέμα. Ο Αϊνστάιν έλαβε μια ενθουσιώδη υποδοχή στο Γκέτινγκεν. Κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού ο Αϊνστάιν έμαθε ότι ο Χίλμπερτ εργαζόταν επίσης στις εξισώσεις πεδίου και διπλασίασε τις δικές του προσπάθειες. Κατά τη διάρκεια του Νοέμβρη του 1915 ο Αϊνστάιν δημοσίευσε πολλές εργασίες με αποκορύφωμα τις εξισώσεις πεδίου της βαρύτητας (βλ. εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν). Σχεδόν ταυτόχρονα ο Ντάβιντ Χίλμπερτ δημοσίευσε Τα Θεμέλια της Φυσικής, μια αξιωματική πηγή των εξισώσεων πεδίου (δες δράση των Αϊνσταιν-Χίλμπερτ). Ο Χίλμπερτ πιστώνει πλήρως τον Αϊνστάιν ως δημιουργό της θεωρίας, και ποτέ δεν προέκυψε δημόσια διαφωνία που να αφορά τις εξισώσεις πεδίου μεταξύ των δύο ανδρών κατά τη διάρκεια της ζωής τους. (Δείτε περισσότερα στο Διαφορά σχετικότητας-προτεραιότητας).

Επιπροσθέτως, η εργασία του Χίλμπερτ πρόλαβε και βοήθησε πολλές αναπτύξεις στη Μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής. Η εργασία του ήταν μια βασική πτυχή της εργασίας του Χέρμαν Γουέιλ και τουΤζον φον Νόιμαν πάνω στη μαθηματική ισοδυναμία της Matrix μηχανικής του Βέρνερ Χάιζενμπεργκ και της Εξίσωσης Σρέντινγκερ του Έρβιν Σρέντινγκερ και ο συνώνυμός του Χώρος Χίλμπερτ έχει σημαντικό ρόλο στη κβαντική θεωρία. Το 1926 ο φον Νόιμαν έδειξε ότι αν οι ατομικές καταστάσεις ήταν κατανοητές σαν φορείς στο Χώρο Χίλμπερτ, τότε θα αντιστοιχούσαν στη θεωρία του Σρέντινγκερ και του Χάιζενμπεργκ.

Κατά τη διάρκεια αυτής της απορρόφησης στη φυσική, ο Χίλμπερτ δούλεψε πάνω στην αυστηρότητα στα μαθηματικά της φυσικής. Ενώ εξαρτώνταν σε μεγάλο βαθμό από τα ανώτερα μαθηματικά, οι φυσικοί ήταν «πρόχειροι» με αυτά. Για έναν «αγνό» μαθηματικό όπως ο Χίλμπερτ, αυτό ήταν άσχημο, αλλά και δύσκολο να το καταλάβει. Καθώς άρχισε να κατανοεί τη φυσική και το πώς οι φυσικοί χρησιμοποιούσαν τα μαθηματικά, ανέπτυξε μια συνεκτική μαθηματική θεωρία για αυτά που βρήκε, σημαντικότερα στο χώρο των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Όταν ο συνάδελφός του Ριχάρδος Κούραντ έγραψε το κλασσικό τώρα Μέθοδοι της Μαθηματικής Φυσικής περιλαμβάνοντας κάποιες από τις ιδέες του Χίλμπερτ, πρόσθεσε το όνομα του Χίλμπερτ σαν συγγραφέα παρόλο που ο Χίλμπερτ δεν είχε συμβάλει ακριβώς στο γράψιμο. Ο Χίλμπερτ είπε "Η φυσική είναι πολύ σκληρή για τους φυσικούς", υποννοώντας ότι τα απαραίτητα μαθηματικά ήταν γενικά πέρα από εκείνους, το βιβλίο Κούραντ-Χίλμπερτ τα έκανε πιο εύκολα για εκείνους.

Θεωρία αριθμών
Ο Χίλμπερτ ενοποίησε το πεδίο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών με την πραγματεία του Zahlbericht το 1987 (κυριολεκτικά "έκθεση σχετικά με τους αριθμούς»). Επίσης επέλυσε ένα μοναδικό στη θεωρία αριθμών πρόβλημα του Warring το 1770. Καθώς με το θεώρημά του, χρησιμοποίησε μια απόδειξη ύπαρξης που δείχνει ότι πρέπει να υπάρχουν λύσεις για το πρόβλημα αντί να παρέχουμε ένα μηχανισμό για να παράγει τις απαντήσεις. Μετά είχε κάτι ακόμη να δημοσιεύσει πάνω στο θέμα, αλλά η εμφάνιση των Hilbert modular forms στη διατριβή ενός φοιτητή σημαίνει ότι το όνομά του είναι περισσότερο προσκολλημένο σε μια αρχική ιδέα.

Έκανε μια σειρά εικασιών για την κλασσική θεωρία πεδίου. Τα περιεχόμενα ήταν πολύ ισχυρά, και η δική του συνεισφορά βασίζεται στα ονόματα των Χίλμπερτ κλασσικό πεδίο  και σύμβολο Χίλμπερτ της τοπικής κλασσικής θεωρίας πεδίου. Τα αποτελέσματα αποδείχθηκαν περισσότερο από το 1930, μετά την εργασία του Τέιτζι Τακάτζι.

Ο Χίλμπερτ δεν εργάστηκε στις κεντρικές περιοχές της αναλυτικής θεωρίας αριθμών,αλλά το όνομά του είχε γίνει γνωστό για την εικασία Χίλμπερτ-Πόλυα, για λόγους ανεπίσημους.

Διάφορες συνομιλίες, δοκίμια, και εισφορές
 Το παράδοξο του Χίλμπερτ για το Ξενοδοχείο Γκραντ, ένας στοχασμός για παράξενες ιδιότητες του απείρου, χρησιμοποιείται συχνά σε δημοφιλείς λογαριασμούς άπειρων απόλυτων αριθμών.
 Ήταν Αλλοδαπό μέλος της Βασιλικής Εταιρείας.
 Πήρε το δεύτερο Βραβείο Μπόλιει το 1910.
 Οι εργασίες της συλλογής του (Gesammelte Abhandlungen) έχουν δημοσιευτεί αρκετές φορές. Οι αυθεντικές εκδοχές των εργασιών του περιείχαν "πολλά τεχνικά λάθη διαφόρου βαθμού". 'Οταν η συλλογή πρωτοδημοσιεύθηκε, τα λάθη διορθώνονταν και αυτό μπορούσε να γίνει χωρίς ουσιαστικές αλλαγές στις εκθέσεις των θεωρημάτων, με μία εξαίρεση -μια ισχυριζόμενη απόδειξη της Υπόθεσης του Συνεχούς. Τα λάθη ήταν παρ 'όλα αυτά τόσο πολλά και σημαντικά που πήρε στην Όλγα Τόσκι-Τοντ τρία χρόνια για να κάνει τις διορθώσεις.

Αποσπάσματα
Δεν μιλάμε εδώ για αυθαιρεσία σε καμία περίπτωση. Τα μαθηματικά δεν είναι σαν ένα παιχνίδι του οποίου οι εργασίες καθορίζονται από αυθαίρετα θεσπισμένους κανόνες. Αντίθετα, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα που διαθέτει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και με κανένα τρόπο διαφορετικά.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία

Πρωτογενής λογοτεχνία στην αγγλική γλώσσα
Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
1918. "Axiomatic thought," 1115–14.
1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115–33.
1923. "The logical foundations of mathematics," 1134–47.
1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157–65.
1931. "The grounding of elementary number theory," 1148–56.
1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129–38.
1925. "On the infinite," 367–92.
1927. "The foundations of mathematics," with comment by Weyl and Appendix by Bernays, 464–89.
Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard Univ. Press.
  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.

Δευτερεύουσα λογοτεχνία
Bottazzini Umberto, 2003. Il flauto di Hilbert. Storia della matematica. UTET, ISBN 88-7750-852-3
 Corry, L., Renn, J., and Stachel, J., 1997, "Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute," Science 278: nn-nn.
Dawson, John W. Jr 1997. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. Wellesley MA: A. K. Peters. ISBN 1-56881-256-6.
Folsing, Albrecht, 1998. Albert Einstein. Penguin.
Grattan-Guinness, Ivor, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton Univ. Press.
Gray, Jeremy, 2000. The Hilbert Challenge. ISBN 0-19-850651-1

Mehra, Jagdish, 1974. Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation. Reidel.
Piergiorgio Odifreddi, 2003. Divertimento Geometrico - Da Euclide ad Hilbert. Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5714-4. A clear exposition of the "errors" of Euclid and of the solutions presented in the Grundlagen der Geometrie, with reference to non-Euclidean geometry.
Reid, Constance, 1996. Hilbert, Springer, ISBN 0-387-94674-8. The biography in English.

Sauer, Tilman, 1999, "The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics," Arch. Hist. Exact Sci. 53: 529-75.
 Sieg, Wilfried, and Ravaglia, Mark, 2005, "Grundlagen der Mathematik" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 981-99. (in English)
Thorne, Kip, 1995. Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy,  W. W. Norton & Company; Reprint edition. ISBN 0-393-31276-3.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "David Hilbert", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
David Hilbert στο Mathematics Genealogy Project
Hilbert Bernays Project
Hilbert's 23 Problems Address
Hilbert's Program

Hilbert's radio speech recorded in Königsberg 1930 (in German) , with English translation 
'From Hilbert's Problems to the Future' , lecture by Professor Robin Wilson, Gresham College, 27 February 2008 (available in text, audio and video formats).
Wolfram MathWorld – Hilbert'Constant

Γερμανοί μαθηματικοί
Πρώσοι
Μαθηματικοί του 19ου αιώνα
Μαθηματικοί του 20ού αιώνα
Θεωρητικοί της σχετικότητας