Σώμα (άλγεβρα)

Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο  (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο , οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F.
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

 (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
 για κάθε  που ανήκει στο , και
 (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
 Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F

Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το  και το  και το σώμα των μιγαδικών αριθμών .
Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση.
Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.
Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει  τέτοιο ώστε a* =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b* και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος  καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο ώστε  για κάθε 
Για κάθε  υπάρχει στοιχείο του  το οποίο συμβολίζουμε με  τέτοιο ώστε 

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.

Υπόσωμα
Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: 
α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F
β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ

Θεωρία σωμάτων
Αλγεβρικές δομές