Αρχή της ισοδυναμίας

Η αρχή της ισοδυναμίας (ΑΙ) πρεσβεύει ότι η κίνηση ενός σώματος, όπως παρατηρείται από ένα μη αδρανειακό (επιταχυνόμενο) σύστημα αναφοράς, είναι η ίδια όπως και η κίνησή του σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, παρουσία όμως ενός (κατάλληλου) βαρυτικού πεδίου. Με άλλα λόγια, ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ισοδύναμο με ένα βαρυτικό πεδίο ορισμένης μορφής.

Η αρχή απορρέει από μια χαρακτηριστική ιδιότητα του βαρυτικού πεδίου, ότι δηλαδή όλα τα σώματα κινούνται μέσα σ' αυτό κατά τον ίδιο τρόπο, ανεξαρτήτως της μάζας τους, εφόσον βέβαια ξεκίνησαν από τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Για παράδειγμα, όλα τα σώματα, ελαφριά ή βαριά, πέφτουν με τον ίδιο ρυθμό μέσα σε βαρυτικό πεδίο, γεγονός που επισήμανε πρώτος ο Γαλιλαίος. Αντίθετα, στο ηλεκτρομαγνητικό π.χ. πεδίο, η κίνηση των σωμάτων διαφοροποιείται ανάλογα με τον λόγο του φορτίου προς τη μάζα τους, έτσι ώστε, ξεκινώντας από τις ίδιες συνθήκες, βαθμιαία αποχωρίζονται.

Η αρχή της ισοδυναμίας ισχύει πλήρως μόνο για ένα ομογενές βαρυτικό πεδίο, δηλ. ένα πεδίο που έχει την ίδια ένταση και κατεύθυνση σε όλο το χώρο. Διαφορετικά, ισχύει μόνον τοπικά, δηλ. σε περιοχές αρκετά μικρές και για χρονικά διαστήματα «πτώσης» αρκετά σύντομα ώστε το πεδίο να μπορεί να θεωρηθεί κατά προσέγγιση ομογενές . Για να γίνει κατανοητό αυτό, ας φανταστούμε μια άπειρη «επίπεδη Γη». Σε μια τέτοια Γη, δεν θα μπορούσαμε να πούμε αν τα σώματα επιταχύνονται προς τα κάτω λόγω του βάρους τους ή αν, αντίθετα, τα σώματα κινούνται ελεύθερα και η ίδια η Γη επιταχύνεται προς τα πάνω με ίση και αντίθετη (σταθερή) επιτάχυνση. Στην πραγματική, σφαιρική Γη, αν παρατηρούμε μία αρκετά μεγάλη περιοχή, βλέπουμε τα σώματα που πέφτουν να πλησιάζουν μεταξύ τους (αφού συγκλίνουν προς το κέντρο) λόγω παλοιρροϊκών δυνάμεων. Επομένως, η αρχή της ισοδυναμίας ισχύει μόνο τοπικά στο χωροχρόνο.

Διαφορετικές εκδοχές της ΑΙ
Η ΑΙ, όπως αυτή διατυπώθηκε από τον Αϊνστάιν στη Γενική θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ), είναι γνωστή ως Ισχυρή Αρχή της Ισοδυναμίας (ΙΑΙ) και εμφανίζεται συνήθως με την παρακάτω μορφή:

Οι νόμοι της Φυσικής σε ένα σύστημα αναφοράς που πέφτει ελεύθερα μέσα σε ένα πεδίο βαρύτητας είναι ισοδύναμοι με εκείνους σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς χωρίς βαρύτητα.

Ένας άλλος, ισοδύναμος τρόπος να εκφραστεί η ΙΑΙ είναι ο ακόλουθος:

Οι νόμοι της Φυσικής σε ένα μη επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς που βρίσκεται εντός πεδίου βαρύτητας g είναι ισοδύναμοι με εκείνους σε ένα σύστημα αναφοράς χωρίς βαρύτητα το οποίο επιταχύνεται με επιτάχυνση a=-g.

Συνεπώς, επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς μπορούν κατ' αρχήν να θεωρηθούν ισοδύναμα με συστήματα αναφοράς που εκτελούν ελεύθερη πτώση σε πεδίο βαρύτητας, πράγμα που ιστορικά αποτέλεσε το έναυσμα για τον Αϊνστάιν κατά την διατύπωσή του της ΓΘΣ — συγκεκριμένα, ότι το ερώτημα δεν είναι πώς θα συμπεριληφθεί η βαρύτητα στην Ειδική Σχετικότητα (ΕΘΣ), αλλά το πώς θα χρησιμοποιηθεί η βαρύτητα ως μέσον γενίκευσης της αρχής της σχετικότητας από αδρανειακά συστήματα αναφοράς σε συστήματα αναφοράς που μπορεί να επιταχύνονται.

Υπάρχει και η λεγόμενη Ασθενής Αρχή της Ισοδυναμίας (ΑΑΙ), η οποία μπορεί να διατυπωθεί με τον ίδιο τρόπο όπως και η ΙΑΙ μόνο που αναφέρεται στην ισοδυναμία των νόμων της μηχανικής. Η ΙΑΙ αποτελεί μία γενίκευση της ΑΑΙ και οι συνέπειές της είναι αξιοσημείωτες: από την καμπύλωση των τροχιών φωτεινών δεσμών όταν βρίσκονται εντός πεδίου βαρύτητας, μέχρι το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου για παρατηρητές που βρίσκονται εντός πεδίου βαρύτητας.

Συνέπειες της ΑΙ

Ισοδυναμία βαρυτικής-αδρανειακής μάζας
Στη Φυσική υπάρχουν δύο ειδών μάζες — η αδρανειακή, mI, που αναφέρεται στην ιδιότητα ενός σώματος να αντιστέκεται σε μεταβολές της κινητικής του κατάστασης και ορίζεται από τον 2ο νόμο του Νεύτωνα

 

και η βαρυτική, mG, η οποία αντικατοπτρίζει τον τρόπο με τον οποίο αντιδρά ένα σώμα στη δύναμη της βαρύτητας. Αν g η ένταση του πεδίου βαρύτητας μέσα στο οποίο κινείται το σώμα, τότε η βαρυτική μάζα ορίζεται μέσω της σχέσης

 

Σύμφωνα με την ασθενή έκδοση της ΑΙ, οι νόμοι της μηχανικής είναι ταυτόσημοι μεταξύ ενός συστήματος αναφοράς που βρίσκεται εντός πεδίου βαρύτητας έντασης g και ενός άλλου που επιταχύνεται με επιτάχυνση a=-g. Συνεπώς, η ΑΙ απαιτεί οι δύο μάζες (αδρανειακή και βαρυτική) να είναι ίσες μεταξύ τους, ήτοι

 

Πειραματικά, η ισότητα των δύο μαζών έχει επιβεβαιωθεί με ακρίβεια 13ου ψηφίου (δείτε τη σχετική θεματική ενότητα που αφορά τον πειραματικό έλεγχο της ΑΙ).

Καμπύλωση του φωτός μέσα σε πεδίο βαρύτητας

Μία από τις σημαντικότερες συνέπειες της ΑΙ είναι η καμπύλωση του φωτός όταν εκείνο κινείται σε πεδίο βαρύτητας. Ένας από τους τρόπους που μπορεί αυτό να γίνει κατανοητό είναι μέσω ενός νοητού πειράματος που περιλαμβάνει δύο παρατηρητές —Σ και Σ'— ο ένας εκ των οποίων πέφτει ελεύθερα μέσα σε πεδίο βαρύτητας, ενώ ο άλλος είναι αδρανειακός και παρατηρεί την πτώση του πρώτου.

Σύμφωνα με το διπλανό σχήμα, Σ' είναι ο ελεύθερα πίπτων παρατηρητής. Η ένταση του πεδίου βαρύτητας είναι g, ενώ ο Σ' βρίσκεται μέσα σε ασανσέρ το οποίο έχει έναν πομπό (Π) φωτός και έναν δέκτη (Δ) που καταγράφει φωτεινά σήματα. Αν τη χρονική στιγμή t=0 ο πομπός εκπέμψει ένα φωτεινό σήμα, τότε αφού διασχίσει το μήκος του ασανσέρ σε χρονικό διάστημα Δt εκείνο θα καταγραφεί από τον δέκτη. Για μικρό χρονικό διάστημα Δt (δηλαδή αν το μέγεθος του ασανσέρ είναι μικρό), η ένταση του βαρυτικού πεδίου κατά τη διάρκεια της κίνησης του ασανσέρ εντός του πεδίου δεν αλλάζει πολύ και μπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Συνεπώς το ύψος κατά το οποίο μετακινήθηκε το ασανσέρ στο χρονικό διάστημα Δt είναι με ικανοποιητική προσέγγιση ίσο με

 

Η παραπάνω ανάλυση γίνεται με βάση τον αδρανειακό παρατηρητή Σ ο οποίος παρατηρεί την ελεύθερη πτώση του Σ' μέσα στο πεδίο βαρύτητας g. Από την άποψη του παρατηρητή Σ', ο οποίος σύμφωνα με την ΑΙ δεν αισθάνεται καμία επίδραση βαρύτητας, το φωτεινό σήμα που εκπέμπεται από τον πομπό τη χρονική στιγμή t=0 διασχίζει μία ευθύγραμμη τροχιά και καταγράφεται στον δέκτη μετά από χρονικό διάστημα Δt από τον δέκτη.

Αν όμως η τροχιά του φωτεινού σήματος ήταν ευθύγραμμη και για τον παρατηρητή Σ, οι δύο παρατηρητές θα διαφωνούσαν ως προς το που ακριβώς καταγράφηκε πάνω στον δέκτη η φωτεινή δέσμη μετά από χρόνο Δt, δημιουργώντας ένα παράδοξο. Η ΙΑΙ επιλύει αυτό το παράδοξο απαιτώντας οι δύο παρατηρητές να συμφωνήσουν ως προς την ακριβή θέση που καταγράφηκε η φωτεινή δέσμη, με αποτέλεσμα να αναγκάζει τον παρατηρητή Σ να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι το φως πρέπει να καμπυλώνει την τροχιά του παρουσία βαρύτητας.

(Η παραπάνω συζήτηση είναι βασισμένη σε σχετική παράγραφο του βιβλίου Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction του Ta-Pei Cheng, σελ. 43.)

Βαρυτική φασματική μετατόπιση
Μία άλλη άμεση συνέπεια της ΑΙ είναι το γεγονός ότι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα αλλάζει μήκος κύματος (ή συχνότητα) καθώς κινείται μέσα σε πεδίο βαρύτητας. Συγκεκριμένα, αν Φ είναι το βαρυτικό δυναμικό και Φem, Φrec είναι η τιμή του βαρυτικού δυναμικού του πομπού και δέκτη αντίστοιχα, τότε η σχετική μεταβολή της συχνότητας μεταξύ πομπού και δέκτη σε σχέση με τη συχνότητα με την οποία εκπέμφθηκε το φωτεινό σήμα δίνεται από τη σχέση

 

όπου νrec και νem η συχνότητα με την οποία το φωτεινό σήμα καταγράφεται και εκπέμπεται αντίστοιχα. Ο παραπάνω τύπος ισχύει όταν τόσο ο πομπός όσο και ο δέκτης βρίσκονται σε σταθερές θέσεις εντός του πεδίου βαρύτητας που περιγράφεται από το δυναμικό Φ. Αν ο πομπός βρίσκεται σε χαμηλότερο βαρυτικό δυναμικό (Φem<Φrec) από τον δέκτη τότε η καταγραφόμενη συχνότητα του φωτεινού σήματος μειώνεται (νem>νrec) και μιλάμε για βαρυτική μετατόπιση στο ερυθρό (αγγλικά: gravitational redshift). Στην αντίθετη περίπτωση (Φem>Φrec) η συχνότητα αυξάνεται (νem<νrec) και μιλάμε για βαρυτική μετατόπιση στο κυανό (αγγλικά: gravitational blueshift).

Το φαινόμενο της βαρυτικής φασματικής μετατόπισης επιβεβαιώθηκε για πρώτη φορά από το πείραμα Pound-Rebka-Sneider το 1960 και 1964.

Βαρυτική μετατόπιση φασματικών γραμμών στον Σείριο Β
Το 1971 οι Greenstein, Oke και Shipman παρουσίασαν μία μελέτη του Σείριου Β (ένας λευκός νάνος-συνοδός του αστέρα Σείριου Α) στην οποία κατάφεραν να μετρήσουν τη βαρυτική μετατόπιση στο ερυθρό των φασματικών γραμμών του λευκού νάνου. Συγκεκριμένα, βρήκαν ότι η μέση ερυθρή μετατόπιση που είχαν υποστεί οι γραμμές Μπάλμερ Ηα και Ηβ του υδρογόνου που εμφανίζονται στο φάσμα του νάνου είναι (επεκφρασμένη σε μονάδες ταχύτητας όπως ορίζει το μη-σχετικιστικό φαινόμενο Ντόπλερ) (89 ± 16) km/s, σε εξαιρετική συμφωνία με την προβλεπόμενη τιμή των (83 ± 3) km/s όπως αυτή προκύπτει από τη θεωρία του Αϊνστάιν για τη μάζα και ακτίνα του Σείριου Β όπως αυτά ήταν γνωστά από την εργασία του Van den Bos το 1961-2.

Βαρυτική διαστολή του χρόνου
Δύο παρατηρητές (1) και (2) που βρίσκονται ακίνητοι μέσα σε πεδίο βαρύτητας που περιγράφεται από δυναμικό Φ έχουν διαφορετικούς ιδιοχρόνους. Αν τ1 και τ2 οι ιδιοχρόνοι αυτοί και Φ1, Φ2 οι αντίστοιχες τιμές του βαρυτικού δυναμικού για κάθε παρατηρητή, τότε η σχέση που συνδέει τους ιδιοχρόνους των δύο παρατηρητών είναι

 

Στην περίπτωση των ασθενών βαρυτικών πεδίων (|ΔΦ|/c2<<1), η παραπάνω σχέση λαμβάνει την απλούστερη μορφή

 

Το φαινόμενο της βαρυτικής διαστολής του χρόνου επιβεβαιώθηκε πειραματικά για πρώτη φορά μέσω του πειράματος Hafele-Keating το 1971 με χρήση ατομικών ρολογιών. Το σύγχρονο σύστημα GPS βασίζεται στο φαινόμενο της βαρυτικής διαστολής του χρόνου για τον ακριβή προσδιορισμό συντεταγμένων στην επιφάνεια της Γης.

Πειραματικοί έλεγχοι της ΑΑΙ
Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται χρονολογικά οι πειραματικοί έλεγχοι ισότητας αδρανειακής-βαρυτικής μάζας.

Με τον όρο «ακρίβεια» εννοείται η ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία

Γενική σχετικότητα
Αρχή ω ισοδυναμια
Αρχές
Θεμελιώδεις έννοιες της φυσικής
Επιτάχυνση