Τζον φον Νόιμαν

Ο Τζον φον Νόιμαν (János Lajos Neumann, 28 Δεκεμβρίου 1903 – 8 Φεβρουαρίου 1957) είναι ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, γεννημένος στην Ουγγαρία ως Γιάνος Λάγιος Νόιμαν, (τον γερμανικό τίτλο φον τον αγόρασε ο πατέρας του το 1913), ο οποίος προσέφερε σε πάμπολλους κλάδους, όπως μαθηματικά, φυσική, οικονομικά, πληροφορική. Από μικρό παιδί έδειξε τα μεγάλα του χαρίσματα, όταν σε ηλικία 6 ετών μπορούσε να διαιρέσει οκταψήφιους αριθμούς από μνήμης, και να απαγγέλλει από μνήμης αρχαίους κλασσικούς. Σε ηλικία 8 ετών ήξερε ήδη μαθηματική ανάλυση. Σε ηλικία 23 ετών δίδασκε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου και ήταν ο νεότερος καθηγητής που υπήρξε ποτέ. Στην ίδια ηλικία απέκτησε το διδακτορικό του στα μαθηματικά από το Πανεπιστήμιο της Βουδαπέστης.

Το 1930 όταν ο Χίτλερ ανέβηκε στην εξουσία, η οικογένεια του και αυτός μετακόμισαν στις Η.Π.Α.. Παρόλο που οι επιστήμονες της εποχής δεν φημίζονταν για την επιμέλεια στο ντύσιμό τους, ο Τζον φον Νόιμαν ήταν ντυμένος πάντα άψογα και του άρεσε το ποτό και το φαγητό. Μέχρι τα 25 του είχε δημοσιοποιήσει 10 σημαντικές εργασίες και, μέχρι τα 30 του, γύρω στις 36. Το 1933 του προτάθηκε από το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον μια θέση καθηγητή στο Ινστιτούτου Προηγμένων Ερευνών (Institute for Advanced Study) την οποία δέχτηκε και βρέθηκε μαζί με γνωστούς επιστήμονες της εποχής όπως ο Άλμπερτ Αινστάιν, ο Κουρτ Γκέντελ κ.α. Ακολούθως το 1937 απέκτησε την αμερικανική υπηκοότητα ενώ το 1938 του απονεμήθηκε το Βραβείο Bôcher.

Παντρεύτηκε δύο φορές. Η πρώτη του σύζυγος ήταν η Μαριέτ Κιοβέσι με την οποία παντρεύτηκαν το 1930 και απέκτησαν ένα παιδί, τη Μαρίνα φον Νόιμαν, η οποία είναι διακεκριμένη καθηγήτρια στο Πανεπιστήμιο Μίσιγκαν, ενώ χώρισαν το 1937. Ένα χρόνο μετά το διαζύγιο του (το 1938) παντρεύτηκε την Κλάρα Νταν. 

Ο φον Νόιμαν διαγνώστηκε με καρκίνο στα οστά ή στο πάγκρεας το 1957, πιθανότατα από την υπερβολική του έκθεση σε ραδιενέργεια, όταν παρατηρούσε τις δοκιμές της ατομικής βόμβας στον Ειρηνικό, ή κατά τη μετέπειτα εργασία του με πυρηνικά όπλα στο Λος Άλαμος. Πέθανε λίγους μήνες μετά τη διάγνωση του από υπερβολικούς πόνους. Έγραψε 150 δημοσιοποιημένα άρθρα σε όλη του τη ζωή: 60 σε καθαρά μαθηματικά, 20 στη φυσική και 60 σε εφαρμοσμένα μαθηματικά.

Ξεκίνημα
Μεταξύ 1926 και 1930 δίδαξε ως λέκτορας στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου και έγινε ο νεότερος λέκτορας στην ιστορία του Πανεπιστημίου. Στα τέλη του 1927 ο Φον Νόιμαν είχε δημοσιεύσει δώδεκα σημαντικά θέματα στα μαθηματικά και στα τέλη του 1929 τριάντα δύο θέματα, σε ρυθμό περίπου ενός θέματος τον μήνα. Η εξουσία των εικασιών του Νόιμαν του επέτρεψαν να διηγείται όγκους πληροφοριών, ακόμα και ολόκληρους καταλόγους με μεγάλη ευκολία.

Το 1930, ο Νόιμαν προσκλήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον. Μέσα στο 1933 του προσφέρθηκε μια θέση στη σχολή του Ινστιτούτου για Προηγμένες Γνώσεις, όταν το πλάνο του Ινστιτούτου ήταν να διορίσει τον Χέρμαν Γουέιλ. Ο Νόιμαν παρέμεινε καθηγητής εκεί μέχρι τον θάνατό του. Η μητέρα του και τα αδέρφια του τον ακολούθησαν στις Η.Π.Α. Ο πατέρας του, Μαξ, είχε πεθάνει το 1929. Μετέτρεψε το πρώτο του όνομα σε Γιάνος, διατηρώντας το Γερμανικό αριστοκρατικό επώνυμο Φον Νόιμαν. Μέσα στο 1937 ο Νόιμαν έγινε πολιτογραφημένος πολίτης των Η.Π.Α. Το 1938 βραβεύτηκε με το Bôcher Memorial Prize για τη εργασία και την ανάλυσή του.

Προσωπική ζωή και Σπουδές
Ο Φον Νόιμαν γεννήθηκε με το όνομα Νόιμαν Γιάνος Λάγιος (στα Ουγγρικά το όνομα μπαίνει πρώτο) στη Βουδαπέστη την περίοδο της Αυστρο-Ουγγρικής Αυτοκρατορίας, σε εύπορη εβραϊκή οικογένεια. Ήταν ο μεγαλύτερος από τους τρεις αδερφούς. Ο πατέρας του, Νόιμαν Μιξά (Μαξ Νόιμαν) ήταν τραπεζικός με διδακτορικό στη νομική. Μετακόμισε στη Βουδαπέστη από το Πεξ στα τέλη του 1880.Ο πατέρας του Μιξά (1839) και ο παππούς του (Μάρτον) γεννήθηκαν στο Οντ (τώρα πια περιοχή της πόλης Τσέρενς), στη Ζεπλέν, στη βόρεια Ουγγαρία. Η μητέρα του Νόιμαν λεγόταν Καν Μαργκίτ (Μάργκαρετ Καν).

Οι γονείς της ήταν ο Τζακάμπ Καν II ((Πέστη, τώρα πια Βουδαπέστη) 1845–1928) και η Κάταλιν Μισέλς (Munkács, Kárpátalja 1854–1914). Το 1913, στον πατέρα του απονεμήθηκε τίτλος ευγενείας για την προσφορά του στην Αυστρο-Ουγγρική Αυτοκρατορία από τον Αυτοκράτορα Φραντς Γιόζεφ. Έτσι η οικογένεια Νόιμαν απέκτησε τον τίτλο μαργκιτάι και ο Γιάνος Νόιμαν μετονομάστηκε σε μαργκιτάι Γιάνος Νόιμαν (Γιάνος Νόιμαν των Μαργκιτάι), ο οποίος αργότερα άλλαξε το όνομά του στο γερμανικό Γιόχαν Φον Νόιμαν.

Ήταν παιδί θαύμα στους τομείς της γλώσσας της απομνημόνευσης της μνήμης και των μαθηματικών. Σε ηλικία 6 ετών μπορούσε να διαιρέσει με το μυαλό του δύο οκταψήφιους αριθμούς. Από τα 8 του ήταν εξοικειωμένος με τον διαφορικό και τον ολοκληρωτικό λογισμό.

Ο Φον Νόιμαν ήταν μέρος μιας γενιάς της Βουδαπέστης που φημιζόταν για την πνευματικότητα: γεννήθηκε στη Βουδαπέστη περίπου την ίδια περίοδο με τον Θέοντορ φον Καρμάν (Theodore von Kármán, 1881), τον Τζορτζ ντε Χεβεσί (1885), τον Λέο Ζίλαρντ (γ. 1898),τον Γιουτζίν Βίγκνερ (1902), τον Έντουαρτ Κέλλερ (1908) και τον Πολ Έρντος (1913).

Ο Γιάνος μπήκε στο γερμανόφωνο Λουθηρανικό γυμνάσιο (Fasori Evangelikus Gimnázium) στη Βουδαπέστη το 1911. Παρ' όλο που ο πατέρας του επέμενε πως φοιτά σε ένα σχολείο υψηλότερου επιπέδου από αυτό της ηλικίας του, συμφώνησε να προσλάβει ιδιωτικούς εκπαιδευτικούς για να του προσφέρουν προηγμένες γνώσεις στους τομείς που εμφάνιζε ικανότητα. Στην ηλικία των 15 ξεκίνησε να διαβάζει προηγμένο λογισμό στο πλαίσιο του φημισμένου αναλυτή Γκαμπόρ Ζεγκιό. Στην πρώτη τους συνάντηση ο Ζεγκιό έμεινε έκπληκτος με το μαθηματικό ταλέντο του αγοριού, σε βαθμό που δάκρυσε.

Ο Ζεγκιό έπειτα επισκεπτόταν το σπίτι του Φον Νόιμαν δύο φορές την εβδομάδα για να κάνει μάθημα με το παιδί-θαύμα. Κάποιες από τις άμεσες λύσεις του Νόιμαν στα προβλήματα λογισμού που έθετε ο Ζεγκιό, γράφτηκαν σε χαρτιά του πατέρα του, και εξακολουθούν να βρίσκονται ακόμα στο αρχείο του Φον Νόιμαν στη Βουδαπέστη. Από την ηλικία των 19, ο Φον Νόιμαν δημοσίευσε δύο μείζονα μαθηματικά θέματα, στο δεύτερο από τα οποία έδωσε τον σύγχρονο ορισμό της διάταξης των αριθμών, και αντικατέστησε τον ορισμό του Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor).

Τελείωσε το διδακτορικό του στα μαθηματικά από το Pázmány Péter University στη Βουδαπέστη σε ηλικία 22 ετών. Ταυτόχρονα πήρε ένα δίπλωμα στη μηχανική χημεία από το ETH Zurich στην Ελβετία μετά από αίτημα του πατέρα του, που ήθελε ο γιος του να τον ακολουθήσει στη βιομηχανία και ως εκ τούτου, να επενδύσει το χρόνο του σε μια πιο οικονομικά χρήσιμη προσπάθεια από τα μαθηματικά. Το «Life Magazine» δήλωσε ότι έλαβε τόσο τις προπτυχιακές σπουδές του όσο και το διδακτορικό του στο 21ο έτος της ηλικίας του.

Θεωρία Συνόλων
Το πρόβλημα μιας επαρκούς μορφοποίησης της θεωρίας συνόλων είχε επιλυθεί περίπου είκοσι χρόνια νωρίτερα (από τον Ερνστ Ζέρμελο και τον Αμπραχάμ Φράνκελ). Οι Ζέρμελο και Φράνκελ δημιούργησαν τη Θεωρία συνόλων Ζέρμελο-Φράνκελ, μια σειρά από αρχές που επιτρέπονταν για την κατασκευή των σειρών που χρησιμοποιούνταν στην καθημερινή πρακτική των μαθηματικών. Αλλά δεν απέκλεισαν ρητά τη δυνατότητα της ύπαρξης ενός συνόλου που ανήκει στον εαυτό του. Στη διδακτορική διατριβή του το 1925, ο Φον Νόιμαν απέδειξε δύο τεχνικές για να εξαιρεθούν αυτά τα σύνολα: τo axiom of foundation και με την έννοια της κλάσης.

Το αξίωμα της θεμελίωσης καθόρισε ότι κάθε σύνολο μπορεί να κατασκευαστεί από τα κάτω προς τα πάνω με ένα διατεταγμένο τρόπο διαδοχικών βημάτων σύμφωνα με τις αρχές του Ζέρμελο και του Φράνκελ, με τέτοιο τρόπο ώστε αν κάποιο σύνολο ανήκει σε άλλο σύνολο, τότε το πρώτο πρέπει υποχρεωτικά να έρχεται πριν από το δεύτερο στη διαδοχή (με εξαίρεση τη δυνατότητα ενός συνόλου να ανήκει στον εαυτό του). Για να αποδείξει ότι η προσθήκη του νέου αυτού αξιώματος δεν δέχεται αντιφάσεις, ο Φον Νόιμαν εισήγαγε τη μέθοδο της επίδειξης (που ονομάζεται μέθοδος των εσωτερικών μοντέλων), που αργότερα έγινε ένα σημαντικό εργαλείο της θεωρίας. Η δεύτερη προσέγγιση στο πρόβλημα έλαβε ως βάση την έννοια της κατηγορίας, και ορίζει ένα σύνολο ως μια κλάση που ανήκει σε άλλες κλάσεις, ενώ η ορθή κλάση ορίζεται ως μια κατηγορία που δεν ανήκουν σε άλλες κλάσεις. Στο πλαίσιο της Ζέρμελο-Φράνκελ προσέγγισης, τα αξιώματα εμπόδισαν την κατασκευή ενός συνόλου όλων των υπόλοιπων που δεν ανήκαν στον εαυτό τους. Αντίθετα, στο πλαίσιο της προσέγγισης του Φον Νόιμαν, η κλάση όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους μπορεί να κατασκευαστεί, αλλά ονομάζεται «κατάλληλη» κλάση και όχι σύνολο.

Με αυτή τη συμβολή του Φον Νόιμαν, το αναμφισβήτητο σύστημα της θεωρίας των συνόλων έγινε πλήρως ικανοποιητικό, και το επόμενο ερώτημα είναι κατά πόσο ή όχι ήταν οριστικό και δεν δεχόταν βελτίωση. Μία έντονα αρνητική απάντηση έφθασε τον Σεπτέμβριο του 1930 στο ιστορικό μαθηματικό συνέδριο του Κιόνιγκσμπεργκ, στο οποίο ο Κουρτ Γκέντελ ανακοίνωσε την πρώτη έλλειψη της θεωρίας: συνήθως τα αναμφισβήτητα συστήματα είναι ελλιπή, με την έννοια ότι δεν μπορεί να αποκαλυφθεί το πραγματικό λόγω της έκφρασης της εκάστοτε γλώσσας. Αυτό ήταν αρκετά πρωτοποριακό για να μπερδευτεί η πλειονότητα των μαθηματικών της εποχής.

Αλλά Νόιμαν, ο οποίος είχε συμμετάσχει στο Κογκρέσο, επιβεβαίωσε τη φήμη ως ένα στιγμιαίο στοχασμό, και σε λιγότερο από ένα μήνα ήταν σε θέση να επικοινωνήσει με τον Gödel για μια ενδιαφέρουσα απόρροια του προγράμματος theorem: ότι δηλαδή τα συνήθη αξιώματα δεν είναι σε θέση να αποδείξουν τη δική τους συνοχή. Ωστόσο ο Γκέντελ είχε ήδη ανακαλύψει αυτό το αποτέλεσμα (γνωστή ως η δεύτερη ημιτελής του θεωρία) και έστειλε στον Νόιμαν σε preprint τα ελλιπή θεωρήματα. Ο Νόιμαν αναγνώρισε αυτή την κίνηση στο επόμενο γραμμα.

Γεωμετρία
Ο Φον Νόιμαν ίδρυσε τον τομέα της Συνεχούς Γεωμετρίας. Αυτό ακολούθησε την καινοτόμα εργασία του στους τελεστές δακτυλίων. Στα μαθηματικά, η συνεχής γεωμετρία είναι ανάλογη τις μιγαδικής προβολικής γεωμετρίας, όπου αντί η διάσταση ενός υποχώρου να είναι σε ένα διακριτό σύνολο 0,1,...,n μπορεί να είναι στοιχείο του συνόλου [0,1]. Ο Φον Νόιμαν βρήκε κίνητρο από την ανακάλυψη του, την Άλγεβρα Φον Νόιμαν με μια συνάρτηση διάστασης να παίρνει τιμές από ένα συνεχές φάσμα διαστάσεων, και το πρώτο παράδειγμα μιας συνεχούς γεωμετρίας ήταν οι προβολές του υπεράπειρου παράγοντα τύπου 2.

Θεωρία Μέτρου
Σε μια σειρά διάσημων δημοσιεύσεων ο Φον Νόιμαν συνείσφερε πολλά στη Θεωρία μέτρου. Η διατριβή του Μπανάχ είχε δείξει ότι το πρόβλημα του μέτρου έχει θετική λύση αν n=1 ή n=2 και αρνητική λύση σε όλες τις άλλες περιπτώσεις. Η διατριβή του Φον Νόιμαν διαφώνησε με το γεγονός ότι ο χαρακτήρας του προβλήματος είναι απαραίτητα θεωρίας ομάδων και ότι για τη δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος του μέτρου, οι κοινές αλγεβρικές αντιλήψεις της δυνατότητας επίλυσης ομάδων είναι σχετικές. Έτσι, σύμφωνα με τον Φον Νόιμαν, είναι η αλλαγή της ομάδας που κάνει τη διαφορά, όχι η αλλαγή του χώρου. Σε έναν αριθμό δημοσιεύσεων του Φον Νόιμαν, οι μέθοδοι που διαφωνούσε ήταν πιο αξιόλογες από τα αποτελέσματα. Εν αναμονή της μετέπειτα διατριβής του στη θεωρία διαστάσεων αλγεβρικών τελεστών, χρησιμοποίησε τα αποτελέσματα σχετικά με την ισοδυναμία της πεπερασμένης αποσύνθεσης και επαναδιατύπωσε το πρόβλημα του μέτρου όσον αφορά τις συναρτήσεις (αναμένοντας τη μετέπειτα εργασία του στη Μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής σε μερικώς περιοδικές συναρτήσεις).

Στη δημοσίευση του το 1936, σχετικά με την αναλυτική θεωρία μέτρου, χρησιμοποίησε το θεώρημα Χάαρ για την επίλυση του πέμπτου προβλήματος Χίλμπερτ της περίπτωσης των συμπαγών ομάδων.

Οικονομικά
Μέχρι τη δεκαετία του 1930 η οικονομολογία αποτελούσε ένα ασαφές και ανώριμο γνωστικό πεδίο· με τις υπάρχουσες μεθόδους δεν μπορούσε να προσεγγιστεί κάποιο ουσιαστικό συμπέρασμα βάσει επιστημονικών αποτελεσμάτων. Θα μπορούσε να πει κάποιος ότι τα οικονομικά εκείνη την περίοδο ήταν όπως η φυσική τον 17ο αιώνα: περίμεναν τη «γλώσσα» που θα τους επέτρεπε να εκφράσουν και να λύσουν περίπλοκα προβλήματα. Τότε ο φον Νόιμαν διατύπωσε το θεώρημα ελαχίστου-μεγίστου το οποίο αποτέλεσε τη βάση για τη θεωρία παιγνίων. Τις ιδέες του τελειοποίησε και κατέθεσε στο ευρύ κοινό το 1944 μέσω του βιβλίου Θεωρία παιγνίων και οικονομική συμπεριφορά, το οποίο συνέγραψε με τον Όσκαρ Μόργκενστερν.

Υπολογιστές
Στην πληροφορική ο φον Νόιμαν θεωρείται πατέρας των σύγχρονων μηχανών και η αρχιτεκτονική φον Νόιμαν (σύμφωνα με την οποία μία υπολογιστική μηχανή αποτελείται από μονάδες εισόδου, κεντρική μονάδα επεξεργασίας, κεντρική μνήμη και μονάδες εξόδου), χρησιμοποιείται σχεδόν σε όλους τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Σημαντική επίσης κρίνεται και η θεωρητική του ανάλυση για τα χαρακτηριστικά των αυτοαναπαραγόμενων μηχανών, η οποία κατέληξε στη διατύπωση του μαθηματικού φορμαλισμού των κυτταρικών αυτομάτων. Σήμερα τα κυτταρικά αυτόματα θεωρούνται η βάση του επιστημονικού πεδίου της τεχνητής ζωής.

Πυρηνική φυσική και πυρηνικά όπλα
Μαζί με τον Έντουαρντ Τέλλερ (Edward Teller) και τον Στάνισλαβ Ούλαμ (Stanislaw Marcin Ulam), ο φον Νόιμαν ανέπτυξε θεωρίες της πυρηνικής φυσικής σχετικά με τις θερμοπυρηνικές αντιδράσεις οι οποίες εφαρμόστηκαν στην κατασκευή της βόμβας υδρογόνου.

Εργοδική Θεωρία
Ο Φον Νόιμαν έκανε θεμελιώδεις συνεισφορές στην εργοδική θεωρία, σε μία σειρά των άρθρων που δημοσιεύθηκαν το 1932. Από τα έγγραφα του 1932 για την εργοδική θεωρία, ο Paul Halmos γράφει ότι ακόμη και «εάν ο Φον Νόιμαν δεν είχε κάνει ποτέ τίποτ' άλλο, θα ήταν επαρκής για να εγγυηθεί τη μαθηματική αθανασία». Έως τότε ο Φον Νόιμαν είχε γράψει ήδη τα διάσημα άρθρα του σχετικά με τη θεωρία χειριστών, και η εφαρμογή αυτής της εργασίας συνέβαλε στη σημαντικότητα του νόηματος της εργοδικής θεωρίας γι' αυτόν.

Θεωρία Τελεστών

Ο Φον Νόιμαν εισήγαγε τη μελέτη των δακτυλίων των τελεστών, μέσω της Άλγεβρας φον Νόιμαν. Η Άλγεβρας φον Νόιμαν είναι μια *-άλγεβρα των φραγμένων τελεστών σε έναν κλειστό χώρο Χίλμπερτ στην αδύνατη τοπολογία τελεστών και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή.

Το θεώρημα του Νόιμαν δείχνει ότι ο αναλυτικός καθορισμός είναι ισοδύναμος με έναν καθαρά αλγεβρικό καθορισμό, ως άλγεβρα των συμμετριών.

Το άμεσο ολοκλήρωμα εισήχθη το 1949 από τον Φον Νόιμαν. Μία ανάλυση του Νόιμαν έγινε για να μειωθεί η κατάταξη της Νόιμαν-άλγεβρας σε διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ.

Θεωρία Δικτυωτών Πλεγμάτων
Ο Φον Νόιμαν δούλεψε πάνω στη Θεωρία Δικτυωτών Πλεγμάτων μεταξύ 1937 και 1939. Ο Φον Νόιμαν παρείχε μια αφηρημένη εξερεύνηση της διάστασης στα ολοκληρωμένα συμπληρωμένα μορφωματικά τοπολογικά δικτυωτά πλέγματα: "Η διάσταση καθορίζεται, μέχρι έναν θετικό γραμμικό μετασχηματισμό, από τις ακόλουθες δύο ιδιότητες. Συντηρείται από τις χαρτογραφήσεις προοπτικής («perspectivities») και διατάζεται από το συνυπολογισμό. Το βαθύτερο μέρος της απόδειξης αφορά την ισοδυναμία του perspectivity με «το projectivity από την αποσύνθεση»—από το οποίο ένα πόρισμα είναι η μεταβατικότητα του perspectivity.» Ο Γκάρετ Μπίρκοφ γράφει: «Το μυαλό τού Φον Νόιμαν καίγεται πάνω στη θεωρία του δικτυωτού πλέγματος όπως ένας μετεωρίτης».

Επιπλέον, «γενικά, ο Νόιμαν απέδειξε το ακόλουθο βασικό αντιπροσωπευτικό θεώρημα. Οποιοδήποτε συμπληρωμένο μορφωματικό δικτυωτό πλέγμα Λ που έχει μια «βάση» των στοιχείων προοπτικής n≥4 είναι ισομορφικό με το δικτυωτό πλέγμα ℛ (Ρ) όλων των principal right-ideals ενός κατάλληλου κανονικού δαχτυλιδιού Ρ. Αυτό το συμπέρασμα είναι το αποκορύφωμα 140 σελίδων της λαμπρής και δηκτικής άλγεβρας που περιλαμβάνει εξ ολοκλήρου τα νέα αξιώματα. Όποιος θέλει να έχει μια αξέχαστη εντύπωση του μυαλού-ξυράφι του Νόιμαν, πρέπει να ακολουθήσει την ίδια αλυσίδα του συλλογισμού του.—συνειδητοποιώντας ότι κάθε πέντε σελίδες από αυτό τις έγραφε πριν το πρόγευμα, καθισμένος σε ένα γραφείο του σαλονιού φορώντας ένα μπουρνούζι».

Μαθηματική διατύπωση Κβαντικής Μηχανικής
Ο Φον Νόιμαν ήταν ο πρώτος που αυστηρά ίδρυσε το μαθηματικό πλαίσιο για την κβαντική μηχανική, γνωστό και ως αξιώματα Ντίρατς-Φον Νόιμαν, με την εργασία του το 1932 Μαθηματικές βάσεις στην κβαντομηχανική. Αφού ολοκλήρωσε τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων, ο Φον Νόιμαν άρχισε να ασχολείται με τα αξιώματα της κβαντομηχανικής. Διαπίστωσε αμέσως, το 1926, ότι το κβαντικό σύστημα θα μπορούσε να θεωρηθεί και ένα μέρος των Χώρων Χίλμπερτ, ανάλογο με την 6Ν διάσταση (όπου Ν είναι ο αριθμός των σωματιδίων, τρεις γενικές συντεταγμένες και τρεις κανονικές ορμές για το καθένα) φάση χώρου της κλασσικής μηχανικής αλλά με απείρως πολλών διαστάσεων( αντιστοιχίζοντας τους άπειρους χώρους στο σύστημα) αντί: των φυσικών ποσοτήτων (όπως, θέση και ορμή) ως εκ τούτου θα μπορούσε να αντιπροσωπεύεται από ειδικούς γραμμικούς φορείς λειτουργίας στον χώρο. Η φυσική της κβαντομηχανικής εκ τούτου έχει μειωθεί σε μαθηματικούς γραμμικούς Ερμιτιανούς φορείς στους χώρους Χίλμπερτ. Για παράδειγμα, η αρχή της αβεβαιότητας, σύμφωνα με την οποία ο προσδιορισμός της θέσης ενός σωματιδίου εμποδίζει τον προσδιορισμό της ορμής του και αντιστρόφως, μεταφράζεται σε μη αντιμεταθετικότητα των δύο αντίστοιχων φορέων. Αυτή η νέα μαθηματική διατύπωση που περιλαμβάνονται ως ειδικές περιπτώσεις τα σκευάσματα από Χἀιζενμπερκ και Σχοντρινγκερ. Αφηρημένη θεραπεία του Φον Νόιμαν του επέτρεψε να αντιμετωπίσουμε το θεμελιώδες ζήτημα του ντετερμινισμού έναντι μη, και στο βιβλίο παρουσίασε μια απόδειξη ότι τα στατιστικά αποτελέσματα της κβαντομηχανικής δεν θα μπορούσαν ενδεχομένως να είναι οι μέσοι όροι ενός υποκείμενου συνόλου «κρυφές μεταβλητές», όπως στην κλασική στατιστική μηχανική. Το 1966, ο Τζων Σ. Μπελ δημοσίευσε ένα έγγραφο υποστηρίζοντας ότι η απόδειξη περιείχε ένα εννοιολογικό λάθος και ως εκ τούτου ήταν άκυρη (βλ. το άρθρο για τον Τζων Στιούαρτ Μπελ για περισσότερες πληροφορίες). Ωστόσο, το 2010, ο Τζέφρι Μπαμπ υποστήριξε ότι ο Μπελ παρερμήνευσε την απόδειξη του Φον Νόιμαν, και επεσήμανε ότι η απόδειξη, αν και δεν ισχύει για όλες τις κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες, δεν αποκλείει μια καλά καθορισμένη και σημαντική υποσυνόλου. Ο Μπαμπ έδειξε επίσης ότι Φον Νόιμαν είχε επίγνωση αυτού του περιορισμού, και ότι δεν ισχυρίστηκε ότι η απόδειξη του έχει αποκλειστεί εντελώς από τις κρυμμένες μεταβλητές θεωρίες. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη εγκαινίασε την αρχή της έρευνας που οδήγησε τελικά, μέσα από το έργο του Μπελ το 1964 σχετικά με το θεώρημα του Μπελ, και τα πειράματα του Άλλεν Άσπεκτ το 1982, με την επίδειξη ότι η κβαντική φυσική, είτε απαιτεί μια αντίληψη της πραγματικότητας είτε διαφέρει ουσιαστικά από εκείνη της κλασικής φυσικής, ή πρέπει να περιλαμβάνει τη μη-τοπική σε προφανή παραβίαση της ειδικής σχετικότητας. Σε ένα κεφάλαιο της μαθηματικής θεμελίωσης της Κβαντομηχανικής, Φον Νόιμαν ανέλυσε σε βάθος το λεγόμενο πρόβλημα της μέτρησης. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το σύνολο της φυσικής θα μπορούσε να εξαρτάται από τη λειτουργία του καθολικού κύματος. Δεδομένου ότι κάτι "έξω από τον υπολογισμό του" ήταν απαραίτητη για να καταρρεύσει η κυματοσυνάρτηση, Φον Νόιμαν κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η κατάρρευση προκλήθηκε από τη συνείδηση του πειραματιστή (αν και αυτή η άποψη αυτή έγινε δεκτή από τον Eugene Wigner, και ποτέ δε γνώρισε μεγάλη αποδοχή από την πλειονότητα των φυσικών). Αν και οι θεωρίες της κβαντικής μηχανικής συνεχίζουν να εξελίσσονται μέχρι σήμερα, υπάρχει ένα βασικό πλαίσιο για τον μαθηματικό φορμαλισμό των προβλημάτων στην κβαντική μηχανική που κρύβεται πίσω από την πλειοψηφία των προσεγγίσεων και μπορούν να αναχθούν στους μαθηματικούς φορμαλισμούς και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για πρώτη φορά από τον Φον Νόιμαν. Με άλλα λόγια, οι συζητήσεις σχετικά με την ερμηνεία της θεωρίας, και επεκτάσεων σε αυτό, τώρα ως επί το πλείστον πραγματοποιούνται οι επί της βάσης κοινών υποθέσεων για τις μαθηματικές βάσεις.

Κβαντική Λογική 
Σε μια φημισμένη εργασία του 1936, στο πρώτο έργο του εισήγαγε την κβαντική λογική, ο Φον Νόιμαν απέδειξε, πρώτον, ότι η κβαντομηχανική απαιτεί τον προτασιακό λογισμό που είναι ουσιαστικά διαφορετικός από όλες τις κλασικές λογικές και να απομονωθεί αυστηρά με μια νέα αλγεβρική δομή για την κβαντική λογική. Η ιδέα της δημιουργίας ενός προτασιακού λογισμού για την κβαντική λογική ήταν η πρώτη που περιγράφεται σε ένα μικρό τμήμα το 1932 το έργο του φον Νόιμαν. Αλλά το 1936, η ανάγκη για το νέο προτασιακό λογισμό αποδείχθηκε μέσω διάφορων αποδείξεων. Για παράδειγμα, τα φωτόνια δεν μπορούν να περάσουν μέσα από δύο διαδοχικά φίλτρα που είναι πολωμένα κάθετα (π.χ., η μία οριζόντια και η άλλη κάθετα), και ως εκ τούτου, κατά μείζονα λόγο, δεν μπορεί να περάσει αν ένα τρίτο φίλτρο πολωμένο διαγώνια προστίθεται με τα άλλα δύο, είτε πριν είτε μετά από αυτούς στην κληρονομική διαδοχή. Αλλά αν το τρίτο φίλτρο προστίθεται στο μεταξύ των άλλων δύο, τα φωτόνια θα περάσουν πράγματι από μέσα. Και αυτό το πειραματικό γεγονός είναι να μεταφραστούν σε λογική όπως και η μη αντιμεταθετικότητα του κοινού . Αποδείχθηκε επίσης ότι οι κανόνες κατανομής της κλασικής λογικής,  και
, δεν ισχύουν για την κβαντική θεωρία. Ο λόγος είναι ότι μια κβαντική διάζευξη, σε αντίθεση με την περίπτωση για την κλασική διάζευξη, μπορεί να είναι αλήθεια, ακόμη και όταν αμφότερα είναι ψευδή, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι συχνά η περίπτωση, στην κβαντική μηχανική, είναι ότι το ζευγάρι των εναλλακτικών λύσεων είναι σημασιολογικά καθορισμένη, ενώ κάθε ένα από τα μέλη της είναι κατ 'ανάγκην απροσδιόριστη. Αυτή η τελευταία ιδιότητα μπορεί να απεικονίζεται με ένα απλό παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να κάνουμε με σωματίδια (όπως τα ηλεκτρόνια) το ημι-αναπόσπαστο σπιν (στροφορμή) για τις οποίες υπάρχουν μόνο δύο πιθανές τιμές: θετική ή αρνητική. Στη συνέχεια, η αρχή της απροσδιοριστίας ορίζει ότι η περιστροφή, σε σχέση με δύο διαφορετικές κατευθύνσεις (π.χ., x και y) καταλήγει σε ένα ζεύγος ασύμβατες ποσότητες. Ας υποθέσουμε ότι η κατάσταση ɸ ενός ορισμένου ηλεκτρονίου επαληθεύει την πρόταση "το σπιν του ηλεκτρονίου στην κατεύθυνση x είναι θετικό." Με την αρχή της απροσδιοριστίας, η αξία του σπιν προς την κατεύθυνση y θα είναι εντελώς αόριστη για ɸ. Ως εκ τούτου, το ɸ δεν μπορεί να επαληθεύσει ούτε την πρόταση "η περιστροφή προς την κατεύθυνση του y είναι θετικό» ούτε την πρόταση "η περιστροφή προς την κατεύθυνση του y είναι αρνητική." Παρ 'όλα αυτά, ο διαχωρισμός των προτάσεων "η στροφορμή κατά τη διεύθυνση του y είναι θετικό ή η περιστροφή προς την κατεύθυνση του y είναι αρνητικό" πρέπει να ισχύει για ɸ. Στην περίπτωση της διανομής, ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να έχουμε μια κατάσταση στην οποία , ενώ .

Ο Φον Νόιμαν προτείνει την αντικατάσταση των κλασικών λογικών, με μια λογική που κατασκευάστηκε το ορθομοναδιαίο πλέγμα, (ο ισομορφισμός στο πλέγμα των υποχώρων του χώρου Χίλμπερτ ενός δεδομένου φυσικού συστήματος).

Θεωρία Παιγνίων 
Ο φον Νόιμαν θεώρησε τον τομέα της θεωρίας παιγνίων, ως έναν χώρο στον οποίο επικρατεί μαθηματική πειθαρχία. Ο φον Νόιμαν απέδειξε το 1928 το θεώρημα ελαχιστοποίησης μεγίστου. Το θεώρημα αυτό ορίζει ότι σε ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος με τέλεια πληροφόρηση (δηλαδή, ο κάθε παίκτης γνωρίζει την κάθε στιγμή όλες τις κινήσεις που έχουν πραγματοποιηθεί μέχρι στιγμής), υπάρχει ένα ζεύγος στρατηγικών και για τους δύο παίκτες η οποία επιτρέπει στον καθένα να ελαχιστοποιεί τις μέγιστες απώλειες του (ως εκ τούτου και το όνομα ελαχιστοποίησης μεγίστου). Όταν εξετάζει την κάθε δυνατή στρατηγική, ο παίκτης πρέπει να υπολογίζει όλες τις δυνατές κινήσεις του αντιπάλου του. Τότε ο παίκτης παίζει με τη στρατηγική η οποία θα έχει ως αποτέλεσμα την ελαχιστοποίηση των μέγιστων απωλειών του.

Τέτοιου είδους στρατηγικές, που ελαχιστοποιούν τις μέγιστες απώλειες για κάθε παίκτη ονομάζονται βέλτιστες. Ο φον Νόιμαν έδειξε ότι οι ελαχιστοποιήσεις μεγίστου είναι ίσες (κατά απόλυτη τιμή) και αντίθετες (στο πρόσημο). Ο φον Νόιμαν βελτίωσε και επέκτεινε το θεώρημα ελαχιστοποίησης-μεγίστου να περιλαμβάνει παιχνίδια που σχετίζονται με ατελή πληροφόρηση και με περισσότερους από δύο παίκτες, δημοσιεύοντας αυτό το αποτέλεσμα του, το 1944: Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά (γράφτηκε μαζί με τον Όσκαρ Μόργκενστερν). Το ενδιαφέρον που προκάλεσε δημόσια αυτό το έργο, αντικατοπτρίζεται στο ότι οι New York Times το δημοσίευσαν ως πρωτοσέλιδο. Σε αυτό το βιβλίο ο φον Νόιμαν δηλώνει ότι στην οικονομική θεωρία είναι αναγκαίο να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι της συναρτησιακής ανάλυσης, ειδικότερα τα κυρτά σύνολα και το θεώρημα του σταθερού σημείου από την τοπολογία, αντί του παραδοσιακού διαφορικού λογισμού, επειδή η μεγιστοποίηση τελεστών δεν εξασφαλίζει διαφορίσιμες συναρτήσεις.

Ανεξάρτητα από αυτό, ο Leonid Kantorovich ο οποίος εργάσθηκε με βάση τη συναρτησιακή ανάλυση πάνω στα μαθηματικά οικονομικά επίσης επικέντρωσε την προσοχή του πάνω στη θεωρία βελτιστοποίησης,μη διαφορισιμότητα, και διανύσματα σε δικτυωτά πλέγματα. Οι τεχνικές της συναρτησιακής ανάλυσης του φον Νόιμαν -η χρήση της δυϊκότητας ζευγών σε πραγματικούς διανυσματικούς χώρους που αντιπροσωπεύουν τις τιμές και τις ποσότητες, η χρήση της στήριξης και της διαχωρισιμότητας υπερεπιπέδων και κυρτών συνόλων, και το θεώρημα του σταθερού σημείου -υπήρξαν πρωτεύοντα εργαλεία των μαθηματικών οικονομικών από τότε και στο εξής. Ο φον Νόιμαν ήταν επίσης ο εφευρέτης της μεθόδου της απόδειξης, που χρησιμοποιείται στη θεωρία παιγνίων, γνωστό και ως προς τα πίσω επαγωγή (την οποία δημοσίευσε για πρώτη φορά το 1944 στο βιβλίο που συνέγραψε με τον Morgenstern, Θεωρία των Παιγνίων και Οικονομικής Συμπεριφοράς. Ο Morgenstern έγραψε ένα βιβλίο σχετικά με τη θεωρία παιγνίων και σκέφτηκε ότι θα έπρεπε να το δείξει στον φον Νόιμαν, λόγω του ενδιαφέροντός του για το θέμα. Το διάβασε και είπε στον Morgenstern ότι πρέπει να γράψει περισσότερο σε αυτό. Αυτό επαναλήφθηκε αρκετές φορές, και στη συνέχεια ο φον Νόιμαν έγινε ο συγγραφέας και η δημοσίευση έγινε 100 σελίδες. Στη συνέχεια, έγινε βιβλίο.

Μαθηματική οικονομία 
Ο φον Νόιμαν έθεσε το πνευματικό και μαθηματικό επίπεδο της οικονομίας σε πολλές εκπληκτικές δημοσιεύσεις. Για το μοντέλο του για μια αναπτυσσόμενη οικονομία, ο φον Νόιμαν απέδειξε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα μιας ισορροπίας χρησιμοποιώντας τη γενίκευση του θεωρήματος σταθερού σημείου του Μπρούερ. Το μοντέλο του φον Νόιμαν για μια αναπτυσσόμενη οικονομία θεωρείται το μολύβι μήτρας A - λΒ με μη αρνητικούς πίνακες Α και Β: ο φον Νόιμαν ζήτησε φορείς πιθανότητας p και q και ένα θετικό αριθμό λ που θα λύσει την εξίσωση της συμπληρωματικότητας 

   pT (Α - λ Β) q = 0, 

μαζί με δύο συστήματα ανισότητα που εκφράζουν την οικονομική αποτελεσματικότητα. Σε αυτό το μοντέλο, ο (μεταφερόμενος) φορέας πιθανότητα p αντιπροσωπεύει τις τιμές των εμπορευμάτων, ενώ το διάνυσμα πιθανότητας q αντιπροσωπεύει την «ένταση» με την οποία η παραγωγική διαδικασία θα τρέξει. Η μοναδική λύση λ αντιπροσωπεύει τον αυξητικό παράγοντα που είναι 1 συν τον ρυθμό ανάπτυξης της οικονομίας: ο ρυθμός ανάπτυξης ισούται με το επιτόκιο. Αποδεικνύοντας την ύπαρξη ενός θετικού ρυθμού ανάπτυξης και αποδεικνύοντας ότι ο ρυθμός ανάπτυξης ισούται με το επιτόκιο ήταν αξιοσημείωτα επιτεύγματα, ακόμη και για τον φον Νόιμαν.

Τα αποτελέσματα του φον Νόιμαν έχουν θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση του γραμμικού προγραμματισμού, όπου το μοντέλο του φον Νόιμαν χρησιμοποιεί μόνο μη αρνητικούς πίνακες. Η μελέτη του μοντέλου του φον Νόιμαν για μια αναπτυσσόμενη οικονομία συνεχίζει να ενδιαφέρουν μαθηματικούς οικονομολόγους με συμφέροντα στην υπολογιστική οικονομία. Αυτό το έγγραφο έχει ονομαστεί το μεγαλύτερο χαρτί με μαθηματική οικονομία από διάφορους συγγραφείς, οι οποίοι αναγνώρισαν την εισαγωγή των θεωρημάτων σταθερού σημείου, γραμμικών ανισοτήτων, συμπληρωματικής χαλαρότητας και σημείο δυαδικότητας. Στις εργασίες του συνεδρίου με το μοντέλο ανάπτυξης του φον Νόιμαν, ο Πολ Σάμουελσον είπε ότι πολλοί μαθηματικοί είχαν αναπτύξει μεθόδους χρήσιμες για οικονομολόγους, αλλά ότι ο φον Νόιμαν ήταν μοναδικός έχοντας κάνει σημαντικές συνεισφορές στην ίδια την οικονομική θεωρία.

Η διαρκής σημασία των εργασιών για τη γενική ισορροπία και τη μεθοδολογία του σταθερού σημείου θεωρήματα υπογραμμίζεται από την απονομή των βραβείων Νόμπελ το 1972 για τον Κένεθ Άρροου, το 1983 για τον Ζεράρ Ντεμπριού, και το 1994 για τον John Nash που χρησιμοποίησαν τα θεωρήματα σταθερού σημείου για τη δημιουργία ισορροπίας για μη-συνεργασία παιχνιδιών και για τα προβλήματα διαπραγμάτευσης στη διδακτορική του διατριβή. Οι Άρροου και Ντεμπριού χρησιμοποίησαν επίσης γραμμικό προγραμματισμό, όπως έκανε και νομπελίστες όπως Τιάλινγκ Κόοπμανς, Λέονιντ Καντορόβιτς, Βασίλι Λεοντίεφ, Πολ Σάμιουελσον, Ρόμπερτ Ντόρφμαν, Ρόμπερτ Σόλοφ και Λεόνιτ Χούρβιτς.

Γραμμικός προγραμματισμός 
Με βάση τα αποτελέσματα του σχετικά με τα παιχνίδια της μήτρας και με το μοντέλο του για μια αναπτυσσόμενη οικονομία, ο φον Νόιμαν εφηύρε τη θεωρία της δυαδικότητας στο γραμμικό προγραμματισμό, αφού ο Γεώργιος Β. Ντάντζιγκ περιέγραψε το έργο του μέσα σε λίγα λεπτά, όταν ένας ανυπόμονος φον Νόιμαν του ζήτησε να φτάσει στο σημείο. Στη συνέχεια, ο Ντάντζιγκ άκουγε εμβρόντητος, ενώ ο φον Νόιμαν παρείχε μια ώρα διάλεξη για τα κυρτά σύνολα, τη θεωρία σταθερού σημείου, και τη δυαδικότητα, πιθανολογώντας την ισοδυναμία μεταξύ των παιχνιδιών της μήτρας και του γραμμικού προγραμματισμού.

Αργότερα, ο φον Νόιμαν πρότεινε μια νέα μέθοδο γραμμικού προγραμματισμού, χρησιμοποιώντας το ομογενές γραμμικό σύστημα Γκόρνταν (1873), το οποίο αργότερα διαδόθηκε από τον αλγόριθμο του Κάρμαρκαρ. Η μέθοδος του φον Νόιμαν χρησιμοποίησε έναν αλγόριθμο περιστροφής μεταξύ απλοποιήσεων, με την απόφαση της περιστροφής καθορισμένη από ένα μη αρνητικό υποπρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων με περιορισμό κυρτότητας (προβάλλοντας το μηδενικό διάνυσμα πάνω στο κυρτό του κύτους του ενεργού απλού). Ο Αλγόριθμος του φον Νόιμαν ήταν η πρώτη μέθοδος εσωτερικού σημείου του γραμμικού προγραμματισμού.

Μαθηματική στατιστική 
Ο φον Νόιμαν είχε θεμελιώδεις συμβολές στη μαθηματική στατιστική. Το 1941, από τον ίδιο προέρχεται η ακριβής κατανομή του λόγου της μέσης τιμής του τετραγώνου των διαδοχικών διαφορών στη διακύμανση του δείγματος των ανεξάρτητων και πανομοιότυπα κανονικών κατανεμημένων μεταβλητών. Η αναλογία αυτή εφαρμόστηκε στα κατάλοιπα από τα μοντέλα παλινδρόμησης και είναι κοινώς γνωστή ως στατιστική Ντούρμπιν-Γουότσον για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης ότι τα λάθη είναι σειριακά ανεξάρτητα έναντι της εναλλακτικής ότι ακολουθούν μία σταθερή πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση.

Στη συνέχεια, οι Τζον Ντένις Σάργκαν και Άλοκ Μπαργκάβα επέκτειναν τα αποτελέσματα των δοκιμών, εάν τα σφάλματα σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης ακολουθούν Γκάσιαν τυχαίο περίπατο (δηλαδή έχουν μοναδιαία ρίζα) έναντι της εναλλακτικής ότι είναι μία σταθερή πρώτης τάξης αυτοπαλινδρόμηση.

Πυρηνικά όπλα 

Ξεκινώντας στα τέλη του 1930, ο von Neumann ανέπτυξε ένα είδος τεχνογνωσίας σε εκρήξεις, φαινόμενο που είναι δύσκολο να περιγραφεί μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ο φον Νόιμαν ήταν ο επικεφαλής των μαθηματικών που ασχολήθηκαν. Αυτό τον οδήγησε σε ένα μεγάλο αριθμό στρατιωτικών συμβούλων, κυρίως για το Πολεμικό Ναυτικό, το οποίο με τη σειρά του τον οδήγησε στη συμμετοχή του στο Σχέδιο Μανχάταν. Η συμμετοχή περιλάμβανε συχνά ταξίδια με το τρένο σε μυστικές Λος Άλαμος,Νέο Μεξικό.
Η κύρια συμβολή του Von Neumann για την ίδια την ατομική βόμβα ήταν στην έννοια και το σχεδιασμό των εκρηκτικών φακών που απαιτούνται για τη συμπίεση του πυρήνα πλουτωνίου της συσκευής δοκιμής Trinity και το "Fat Man" όπλο που έπεσαν αργότερα στο Ναγκασάκι. Ενώ η έννοια «κατάρρευση» δεν προέρχεται από τον φον Νόιμαν, ήταν ένας από τα πιο επίμονους υποστηρικτές της, την ενθαρρύνοντας τη συνεχή ανάπτυξη της εν αντιθέσει με τα ένστικτα πολλών από τους συναδέλφους του, ο οποίος αισθάνθηκε ότι ένα τέτοιο σχέδιο δεν έπρεπε να μείνει έτσι χωρίς να εφαρμοστεί. Επίσης τελικά επανήλθε με την ιδέα της χρησιμοποίησης πιο ισχυρού σχήματος επιβαρύνσεις και λιγότερο σχάσιμου υλικού για να αυξήσει σημαντικά την ταχύτητα του "συγκροτήματος" (συμπίεση).

Όταν αποδείχθηκε ότι δεν θα υπάρχει αρκετό U235 για να κάνουν περισσότερες από μία βόμβα, το σχέδιο "κατάρρευση" με τους φακούς κατάφερε να επεκταθεί σε σημαντικό βαθμό και η ιδέα του von φον Νόιμαν υλοποιήθηκε. Η "κατάρρευση" ήταν η μόνη μέθοδος που μπορούσε να χρησιμοποιηθεί με το πλουτώνιο-239 που ήταν διαθέσιμο από την τοποθεσία Χάνφορντ. Οι υπολογισμοί του έδειξαν ότι η "κατάρρευση" θα μπορούσε να λειτουργήσει αν δεν αποκλίνουν κατά περισσότερο από 5% από τη σφαιρική συμμετρία. Μετά από μια σειρά αποτυχημένων προσπαθειών με τα μοντέλα,το 5% επιτεύχθηκε από τον George Kistiakowsky, και η κατασκευή της βόμβας Trinity ολοκληρώθηκε τον Ιούλιο του 1945.

Σε μια επίσκεψη στο Λος Άλαμος τον Σεπτέμβριο του 1944, ο φον Νόιμαν έδειξε ότι η αύξηση της πίεσης από ανάκλαση του ωστικού κύματος από στερεά αντικείμενα ήταν μεγαλύτερη από ό,τι πίστευαν στο παρελθόν, αν η γωνία πρόσπτωσης του ωστικού κύματος ήταν μεταξύ 90 ° και με κάποιο περιορισμό ως προς τη γωνία. Ως αποτέλεσμα, εκτιμήθηκε ότι η αποτελεσματικότητα μιας ατομικής βόμβας θα ενισχυθεί με εκπυρσοκρότηση μερικά χιλιόμετρα πάνω από το στόχο, παρά στο επίπεδο του εδάφους. 
Αρχίζοντας από την άνοιξη του 1945, μαζί με τέσσερις άλλους επιστήμονες και διάφορο στρατιωτικό προσωπικό, ο φον Νόιμαν είχε συμπεριληφθεί στην αρμόδια επιτροπή επιλογής στόχου για την επιλογή των ιαπωνικών πόλεων της Χιροσίμα και του Ναγκασάκι ως τους πρώτους στόχους της ατομικής βόμβας. Von Neumann επέβλεψε υπολογισμούς σχετικά με το αναμενόμενο μέγεθος των εκρήξεων των βομβών, που το εκτιμούσαν ως διόδια του θανάτου, και την απόσταση από το έδαφος στην οποία θα πρέπει να ενεργοποιηθούν οι βόμβες για διάδοση βέλτιστου ωστικού κύματος και έτσι να έχει το μέγιστο αποτέλεσμα. Η πολιτιστική πρωτεύουσα του Κιότο, το οποίο είχε γλιτώσει από το βομβαρδισμό επικράτησε σε σχέση με στρατιωτικά σημαντικές πόλεις όπως το Τόκιο, στόχο στο Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, και έτσι ήταν η πρώτη επιλογή του φον Νόιμαν, μια επιλογή που ήταν δευτερεύουσα στο" σχέδιο του Μανχάταν" γενικός αρχηγός του οποίου ήταν ο Λέσλι Γκρουβς. Ωστόσο, ο στόχος αυτός απορρίφθηκε από τον γραμματέα πολέμου των Ηνωμένων Πολιτειών, Henry Stimson.

Στις 16 Ιουλίου 1945, μαζί με μεγάλο αριθμό προσωπικού που εργαζόταν στο Λος Άλαμος, ο φον Νόιμαν ήταν αυτόπτης μάρτυρας της πρώτης έκρηξης ατομικής βόμβας, με την κωδική ονομασία Trinity, που διεξάγονταν ως δοκιμή της συσκευής της μεθόδου "κατάρρευση", την White Sands Proving Ground, 35 μίλια (56 χλμ.) νοτιοανατολικά από το Socorro. Με βάση την παρατήρηση του και μόνο, ο φον Νόιμαν εκτίμησε ότι η δοκιμή είχε οδηγήσει σε έκρηξη που ισοδυναμεί με 5 χιλιάδες τόνους ΤΝΤ, αλλά ο Enrico Fermi έκανε μια πιο ακριβή εκτίμηση των 10 κιλοτόνων με τη ρίψη αποκομμάτων από σκισμένο χαρτί, ενώ το ωστικό κύμα περνούσε από τη θέση του και βλέποντας πόσο μακριά διασπείρονταν αυτά. Η πραγματική δύναμη της έκρηξης ήταν μεταξύ 20 και 22 χιλιάδων τόνων.

Μετά τον πόλεμο, ο Ρόμπερτ Οπενχάιμερ παρατήρησε ότι οι φυσικοί που συμμετέχουν στο σχέδιο Μανχάταν είχαν "γνωστή αμαρτία". Η απάντηση του φον Νόιμαν ήταν ότι «μερικές φορές κάποιος ομολογεί μια αμαρτία, προκειμένου να λάβει πίστωση για αυτό."

Ο φον Νόιμαν συνέχισε ατάραχος τη δουλειά του και έγινε, μαζί με τον Έντουαρντ Τέλερ (Edward Teller), ένας από εκείνους που έστησαν το σχέδιο για τη βόμβα υδρογόνου. Στη συνέχεια συνεργάστηκε με τον Klaus Fuchs για την περαιτέρω ανάπτυξη της βόμβας, και το 1946 οι δύο κατέθεσαν ένα μυστικό δίπλωμα ευρεσιτεχνίας για τη «Βελτίωση μεθόδων και μέσων για την Αξιοποίηση της Πυρηνικής Ενέργειας», στο οποίο περιγράφεται ένα σύστημα για τη χρήση μιας βόμβας σχάσης για τη συμπίεση των καυσίμων σύντηξης για την πρόκληση θερμοπυρηνικής αντίδρασης. Το δίπλωμα ευρεσιτεχνίας Fuchs-νοn Neumann χρησιμοποίησε "κατάρρευση" ακτινοβολίας, αλλά όχι με τον ίδιο τρόπο όπως χρησιμοποιείται σε αυτό που έγινε το τελικό σχέδιο βόμβας υδρογόνου, ο σχεδιασμός Teller-Ulam. Το έργο τους, όμως, που ενσωματώθηκε στο "George", ρίψη της "Επιχείρησης Θερμοκήπιο", το οποίο πρόσφερε γνώσεις σε δοκιμές, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην υλοποίηση του τελικού σχεδίου.

Το έργο Fuchs-φον Νόιμαν ψηφίστηκε, στην ΕΣΣΔ,από τον Fuchs, ως μέρος της πυρηνικής κατασκοπίας του, αλλά δεν είχε χρησιμοποιηθεί από τους Σοβιετικούς, ανεξαρτήτως της ανάπτυξης του σχεδιασμού Teller-Ulam. Ο ιστορικός Jeremy Bernstein έχει επισημάνει ότι κατά την ειρωνεία της τύχης, «Οι Τζον φον Νόιμαν και Klaus Fuchs, πραγματοποίησαν μια λαμπρή εφεύρεση το 1946 που θα μπορούσε να αλλάξει ολόκληρη την πορεία της ανάπτυξης της βόμβας υδρογόνου, αλλά δεν ήταν πλήρως κατανοητή μέχρι να κατασκευαστεί η βόμβα με επιτυχία».

Επιτροπή Ατομικής Ενέργειας 
Το 1954 ο φον Νόιμαν είχε προσκληθεί να γίνει μέλος της Επιτροπής Ατομικής Ενέργειας. Σκέφτηκε πολύ και σκληρά για αυτή την προσφορά, γιατί είναι μια μεγάλη δουλειά και κατάλαβε ότι θα πρέπει να παραιτηθεί από το Institute for Advanced Study και το πρόγραμμα του υπολογιστή ΔΛΠ. Δέχτηκε αυτήν την ισχυρή θέση και τη χρησιμοποίησε για να προωθήσει την παραγωγή συμπαγών H-βομβών κατάλληλων για την παράδοση ICBM. Ο ίδιος συμμετέχει προσωπικά στη διόρθωση της σοβαρής έλλειψης τριτίου και λιθίου 6 που απαιτούνται για αυτές τα συμπαγή όπλα, και ο ίδιος διαφώνησε για τη ρύθμιση των πυραύλων μεγάλου βεληνεκούς που ο στρατός ήθελε. Ήταν ανένδοτος ότι η H-βόμβες παραδόθηκαν στην καρδιά του εχθρικού από ICBM εδάφους θα είναι το πιο αποτελεσματικό δυνατό όπλο, και ότι η σχετική ανακρίβεια του πυραύλου δεν θα είναι ένα πρόβλημα με ένα H-Bomb. Είπε ότι οι Ρώσοι θα μπορούσαν πιθανότατα να κατασκευάζουν παρόμοια οπλικό σύστημα, το οποίο αποδείχθηκε ότι ήταν η περίπτωση.

Επιτροπή ICBM 
Το 1955, ο φον Νόιμαν έγινε επίτροπος στο Πρόγραμμα Ατομικής Ενέργειας των Ηνωμένων Πολιτειών. Λίγο πριν το θάνατό του, όταν ήταν ήδη αρκετά άρρωστος, ο φον Νόιμαν ήταν επικεφαλής σε άκρως απόρρητη επιτροπή διηπειρωτικών βαλλιστικών πυραύλων της κυβέρνησης των ΗΠΑ (ICBM), και μερικές φορές είχε συναντήσεις στο σπίτι του. Ο σκοπός του ήταν να αποφασίσει σχετικά με το κατόρθωμα της δημιουργίας της ICBM, αν είναι αρκετά δυνατό ώστε να δημιουργηθεί ένα θερμοπυρηνικό όπλο. Ο φον Νόιμαν είχε από καιρό υποστηρίξει ότι, ενώ τα τεχνικά εμπόδια ήταν αρκετά μεγάλα, θα μπορούσαν να ξεπεραστούν εγκαίρως. Το SM-65 Atlas πέρασε την πρώτη πλήρως λειτουργική δοκιμή του το 1959, δύο χρόνια μετά το θάνατό του. Η σκοπιμότητα μιας ICBM οφείλεται τόσο στη βελτίωση, με μικρότερες κεφαλές όπως έπραξε με τις εξελίξεις στην τεχνολογία των πυραύλων, και η κατανόηση του από τους προηγούμενους έκανε τη συμβουλή του ανεκτίμητη.

Αμοιβαία εξασφαλισμένη καταστροφή 
Ο Τζον φον Νόιμαν πιστώνεται με τη στρατηγική ισορροπία της αμοιβαίως εξασφαλισμένης καταστροφής, δίνοντάς της σκόπιμα το χιουμοριστικό ακρωνύμιο, MAD (καθώς στα αγγλικά είναι Mutually Assured Destruction). (Άλλα χιουμοριστικά ακρωνύμια που επινοήθηκαν από τον φον Νόιμαν περιλαμβάνουν τον υπολογιστή του, η Μαθηματική Ανάλυση (Mathematical Analyzer), Αριθμητική Ολοκλήρωση (Numerical Integrator) και υπολογιστής MANIAC).

Πληροφορική 

Ο Φον Νόιμαν ήταν μία από τις ιδρυτικές φιγούρες στην πληροφορική. Η βόμβα υδρογόνου ήταν δουλειά του Φον Νόιμαν που διαδραματίζεται στο χώρο της πληροφορικής, στον οποίο μαζί με τον Στάνισλαβ Ούλαμ ανέπτυξαν προσομοιώσεις σε ψηφιακούς υπολογιστές για τους υδροδυναμικούς υπολογισμούς. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου συνέβαλε στην ανάπτυξη της μεθόδου Μόντε Κάρλο, η οποία επέτρεψε λύσεις σε περίπλοκα προβλήματα που πρέπει να προσεγγιστούν για τη χρήση τυχαίων αριθμών. Ασχολήθηκε επίσης με το σχεδιασμό του μετέπειτα IAS μηχάνημα.
Επειδή η χρήση των "πραγματικά" τυχαίων αριθμών ήταν εξαιρετικά αργή, ο Φον Νόιμαν ανέπτυξε μια μορφή λήψης ψευδοτυχαίων αριθμών, χρησιμοποιώντας τη μέση τετραγωνική μέθοδο. Αν και η μέθοδος αυτή έχει επικριθεί ως ακάθαρτο, ο Φον Νόιμαν είχε επίγνωση αυτού του γεγονότος: αυτός δικαιολογεί ότι αυτή η μέθοδος είναι η ταχύτερη από οποιαδήποτε άλλη μέθοδο είχε στη διάθεσή του, ενώ σημείωσε επίσης ότι όταν πήγε στραβά αυτό ήταν προφανές, σε αντίθεση με τις μεθόδους που θα μπορούσαν να είναι κραυγαλέα εσφαλμένη.

Η διαβούλευση για τη Σχολή Μουρ των Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Πανεπιστημίου της Πενσυλβάνια για το έργο EDVAC, ο Φον Νόιμαν έγραψε ένα ατελές πρώτο σχέδιο μιας έκθεσης σχετικά με την EDVAC. Το έγγραφο, του οποίου η πρόωρη διανομή ακύρωσε τις αξιώσεις των διπλωμάτων ευρεσιτεχνίας της EDVAC και οι σχεδιαστές J. Presper Eckert και John William Mauchly, περιγράφει μια αρχιτεκτονική του υπολογιστή στον οποίο τα δεδομένα και το πρόγραμμα αμφότερα είναι αποθηκευμένα στη μνήμη του υπολογιστή στον ίδιο χώρο διευθύνσεων.

Ο Τζων Φον Νόιμαν ζήτησε επίσης τη γνώμη για το σχέδιο ENIAC, όταν ο ENIAC είχε τροποποιηθεί για να περιέχει αποθηκευμένα προγράμματα. Ο τροποποιημένος ENIAC ήταν πλήρως λειτουργικός από το 1948 και το EDVAC δεν παραδόθηκε στο Βαλλιστικά Ερευνητικό Εργαστήριο μέχρι το 1949, θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι ο ENIAC ήταν ο πρώτος υπολογιστής που μπορούσε να χρησιμοποιήσει ένα αποθηκευμένο πρόγραμμα σε κύκλους παραγωγής. ο Τζων Φον Νόιμαν σχεδίασε επίσης σετ ή op κωδικούς εντολών για το τροποποιημένο ENIAC, και θα πρέπει να δοθεί πίστωση για αυτό.Τα ηλεκτρονικά του νέου ENIAC έτρεξαν 6 φορές πιο αργά, αλλά αυτό σε καμία περίπτωση δεν οδηγεί σε μειωμένη απόδοση του ENIAC, δεδομένου ότι ήταν ακόμα εντελώς I/Ο δεσμευμένο. Από την άλλη πλευρά, θα μπορούσε να αναπτύξει πολύπλοκα προγράμματα και να τα απασφαλματώσει σε ημέρες και όχι εβδομάδες, η οποία είναι ένα από τα πλεονεκτήματα της αποθήκευσης του προγράμματος στους υπολογιστές ηλεκτρονικά. Το κρίσιμο σημείο είναι το κατά πόσον ή όχι μια νέα χαρτοταινία πρέπει να παραχθεί, χρησιμοποιώντας μια αργή και επιρρεπής σε λάθη μονωτική ταινία κάθε φορά που το πρόγραμμα αλλοιώνεται με κάποιο τρόπο, και στη συνέχεια να διαβαστεί σε μηχανικά. Ένα πρόγραμμα τυπικώς τροποποιημένο πολλές φορές πριν φτάσει την τελική του μορφή.

Αυτή η αρχιτεκτονική είναι σήμερα η βάση του σύγχρονου σχεδιασμού υπολογιστή, σε αντίθεση με τις πρώτους υπολογιστές που είχαν «προγραμματιστεί», μεταβάλλοντας το ηλεκτρονικό κύκλωμα. Παρά το γεγονός ότι η ενιαία μνήμη, αποθήκευε την αρχιτεκτονική του προγράμματος που κοινώς ονομάζεται Φον Νόιμαν αρχιτεκτονική, ως αποτέλεσμα του χαρτιού Φον Νόιμαν, όπου η αρχιτεκτονική του περιγραφή βασίστηκε στο έργο του J. Presper Eckert και John William Mauchly, εφευρέτες της ENIAC στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια. 

Ο επόμενος υπολογιστής του ο Φον Νόιμαν σχεδίασε ήταν η IAS μηχανή στο The Institute for Advanced Study στο Πρίνστον του Νιού Τζέρσεϊ. Κανόνισε τη χρηματοδότησή του, και τα στοιχεία που έχουν σχεδιαστεί και κατασκευαστεί, στο Ερευνητικό Εργαστήριο RCA. Ο Τζων Φον Νόιμαν συνέστησε ότι η IBM 701, με το παρατσούκλι «η άμυνα του υπολογιστή» περιλαμβάνει ένα μαγνητικό τύμπανο. Ήταν μια ταχύτερη έκδοση τΗς ΙΑS μηχανής και αποτέλεσαν τη βάση για την εμπορική επιτυχία της IBM 704. 

Η Στοχαστική Πληροφορική εισήχθη για πρώτη φορά σε ένα πρωτοποριακό χαρτί από τον Φον Νόιμαν το 1953. Ωστόσο, η θεωρία δεν θα μπορούσε να υλοποιηθεί μέχρι εξελίξεων στην πληροφορική στη δεκαετίας του 1960. 

Ο Φον Νόιμαν δημιούργησε επίσης το πεδίο των κυτταρικά αυτομάτων χωρίς τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, κατασκευάζοντας το πρώτο αυτο-αναπαράγοντα αυτόματο με μολύβι και χαρτί. Η έννοια του καθολικού κατασκευαστή είχε προβληθεί στο μεταθανάτιο έργο του «Θεωρία της Αυτοαναπαραγωγής των Αυτομάτων». Ο Φον Νόιμαν απέδειξε ότι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για την εκτέλεση εργασιών εξόρυξης μεγάλης κλίμακας, όπως η εξόρυξη ενός ολόκληρου φεγγαριού ή ζώνη των αστεροειδών θα ήταν με τη χρήση αυτοαναπαραγόμενων μηχανών, εκμεταλλευόμενοι την εκθετική ανάπτυξη τους. 

Η αυστηρή μαθηματική ανάλυση του Φον Νόιμαν σχετικά με τη δομή της αυτο-αναπαραγωγής, παρουσιάστηκε πριν την ανακάλυψη της δομής του DNA. 

Στις αρχές του 1949, ο σχεδιασμός του Φον Νόιμαν για μια αυτο-αναπαραγωγή προγράμματος ηλεκτρονικού υπολογιστή θεωρείται ο πρώτος ιός υπολογιστών στον κόσμο, και θεωρείται ότι είναι ο θεωρητικός πατέρας της ιολογίας υπολογιστών. 

Ο Donald Knuth αναφέρει τον Φον Νόιμαν ως εφευρέτη του αλγορίθμου συγχώνευσης ταξινόμησης το 1945, στον οποίο τα πρώτα και δεύτερα ημίσεια ενός πίνακα είναι έκαστος ταξινομημένα αναδρομικά και έκτοτε συγχωνεύθηκαν. 

Ο αλγόριθμος του για την προσομοίωση μιας δίκαιης νομισματικής με μια μεροληπτική νομισματική η οποία χρησιμοποιείται στη «λεύκανση λογισμικού», στάδιο κάποιων υλικών γεννητριών τυχαίων αριθμών.

Δυναμική των ρευστών 
Ο φον Νόιμαν είχε θεμελιώδη συμβολή στη διερεύνηση των προβλημάτων με αριθμητική υδροδυναμική. Για παράδειγμα, μαζί με τον R.D. Richtmyer ανέπτυξε έναν αλγόριθμο που καθορίζει τεχνητό ιξώδες και βελτιώνει την κατανόηση των κρουστικών κυμάτων. Είναι πιθανό ότι δεν θα καταλαβαίναμε μεγάλο μέρος της αστροφυσικής, και δεν θα είχαμε πολύ ανεπτυγμένους κινητήρες πυραύλων και αεριωθούμενων, χωρίς το έργο του φον Νόιμαν.

Ένα πρόβλημα ήταν ότι όταν οι υπολογιστές έλυναν προβλήματα υδροδυναμικής, ή αεροδυναμικής, προσπάθησαν να βάλουν πάρα πολλά σημεία υπολογιστικού πλέγματος σε περιοχές με απότομη ασυνέχεια (κρουστικά κύματα). Τα μαθηματικά της τεχνητής ιξώδους εξομάλυναν τη μετάβαση χωρίς να θυσιάζεται η βασική φυσική.

Άλλες γνωστές συνεισφορές σε ρευστό δυναμική περιλαμβάνουν τη λύση της κλασικής ροής για ανατίναξη κυμάτων, και τη συν-ανακάλυψη του μοντέλου ZND για την εκπυρσοκρότηση των εκρηκτικών υλών.

Πολιτική και κοινωνικές υποθέσεις 
Ο φον Νόιμαν έλαβε στην ηλικία των 29 μία από τις πρώτες πέντε έδρες στο νέο Ινστιτούτο για προηγμένες σπουδές στο Πρίνσετον, Νιου Τζέρσει (άλλος είχε πάει στον Άλμπερτ Άινστάιν). Ήταν ένας πολύ συχνός σύμβουλος για την Κεντρική Υπηρεσία Πληροφοριών, τον στρατό των ΗΠΑ, την εταιρία ΡΑΝΤ, το πρότυπο του πετρελαίου, τη γενική ηλεκτρική ενέργεια, την ΙBM, και άλλα.

Καθ' όλη τη ζωή του ο φον Νόιμαν είχε σεβασμό και θαυμασμό για τις επιχειρήσεις και κυβερνητικούς ηγέτες: κάτι το οποίο ήταν συχνά σε αντίθεση με τις κλίσεις των επιστημονικών του συναδέλφων. Ο φον Νόιμαν εισήλθε στην κυβερνητική υπηρεσία (Σχέδιο Μανχάταν), κυρίως επειδή ένιωθε ότι, αν η ελευθερία και ο πολιτισμός ήταν να επιβιώσουν, θα πρέπει να είναι, διότι οι ΗΠΑ θα θριαμβεύσουν πάνω στον ολοκληρωτισμό από το δικαίωμα (του ναζισμού και του φασισμού) και τον ολοκληρωτισμό από τα αριστερά (Σοβιετικός κομμουνισμός).

Ως πρόεδρος της Επιτροπής του φον Νόιμαν για Πυραύλους, και αργότερα ως μέλος των Ηνωμένων Πολιτειών Επιτροπής Ατομικής Ενέργειας, από το 1953 μέχρι το θάνατό του το 1957, είχε επιρροή στον καθορισμό της επιστημονικής και στρατιωτικής πολιτικής των ΗΠΑ. Μέσω της επιτροπής του, ανέπτυξε διάφορα σενάρια διάδοσης των πυρηνικών όπλων, την ανάπτυξη των διηπειρωτικών και υποθαλάσσιων πυραύλους με ατομικές κεφαλές, και την αμφιλεγόμενη στρατηγική ισορροπία που ονομάζεται αμοιβαία σίγουρη καταστροφή. Κατά τη διάρκεια μιας ακρόασης της επιτροπής της Γερουσίας περιέγραψε την πολιτική ιδεολογία του ως «βίαια αντι-κομμουνιστική, και πολύ πιο μιλιταριστική από τον κανόνα». Αναφέρθηκε στο 1950 παρατηρώντας, «Αν πω γιατί όχι βόμβα [στους Σοβιετικούς] αύριο, λέω, γιατί όχι σήμερα. Αν πω σήμερα στις πέντε, λέω γιατί όχι στις μία;»

Καιρικά συστήματα 
Η ομάδα του φον Νόιμαν παρουσίασε την πρώτη αριθμητική πρόγνωση του καιρού στον κόσμο στον υπολογιστή ΕΝΙΑΚ: ο φον Νόιμαν δημοσίευσε το χαρτί Αριθμητική Ολοκλήρωση της Βαροτροπικής Στροβιλικής εξίσωση το 1950. Το ενδιαφέρον του φον Νόιμαν στα καιρικά συστήματα και στη μετεωρολογική πρόβλεψη τον οδήγησαν να προτείνει το χειρισμό του περιβάλλοντος με τη διάδοση χρωστικών ουσιών για τα πολικά καλύμματα πάγου για να ενισχύσουν την απορρόφηση της ηλιακής ακτινοβολίας (με τη μείωση της λευκαύγειας), προκαλώντας έτσι την υπερθέρμανση του πλανήτη.

Γνωστικές ικανότητες
Η ικανότητα του Νόιμαν να εκτελεί ακαριαία πολύπλοκες εργασίες στο κεφάλι άφηνε άφωνους άλλους μαθηματικούς. Ο Γιουτζίν Γουίγκνερ έγραψε ότι βλέποντας τη σκέψη του Νόιμαν στη δουλειά, «Είχε κανείς την εντύπωση ότι ένα τέλειο μέσο των οποίων οι ταχύτητες ήταν κατεργασμένη στο πλέγμα με ακρίβεια ενός χιλιοστού της ίντσας.» Ο Πωλ Χάλμος επισημαίνει ότι «Η ταχύτητες του Νόιμαν ήταν καταπληκτικές.» Ο Ίσραελ Χάλπεριν είπε: «Τον να τον ακολουθήσει κανείς ήταν ... αδύνατο. Ήταν σαν να είσαι σε ένα τρίκυκλο σε αγώνες αυτοκινήτου.» Ο Έντουαρντ Τέλλερ έγραψε ότι μπορούσε κανείς εύκολα να έρθει σε επαφή με τον Νόιμαν, και είπε «Δεν μπόρεσα ποτέ να συμβαδίσω μαζί του». Ο Τέλλερ επίσης είπε «Ο Νόιμαν μπορούσε να προβεί σε συζήτηση με τον τρίχρονο γιο του, και οι δύο θα μιλήσουν ως ίσοι, και κάποιες φορές αναρωτιέμαι αν χρησιμοποιούσε τις ίδιες μεθόδους όταν μιλούσε και σε μας τους υπόλοιπους. Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν σκέφτονται αν μπορούν,κάποιοι είναι εθισμένοι στη σκέψη αλλά ο Νόιμαν διασκέδαζε να σκέφτεται ίσως περισσότερο από οτιδήποτε άλλο.»

Ο Λόθαρ Βόλφγκανγκ Νόρντχαϊμ αναφέρει τον Νόιμαν ως το «πιο γρήγορο μυαλό που συνάντησα ποτέ», και ο Τζέικομπο Μπρονόφσκι έγραψε «Ήταν το πιο έξυπνο μυαλό που γνώρισα ποτέ χωρίς αμφιβολία. Ήταν μια ιδιοφυία.» Ο Τζωρτζ Πόλυα, του οποίου τα θέματα στο ETH Zurich που ο Νόιμαν φοίτησε ως μαθητής, είπε «Ο Γιάννος ήταν ο μόνος μαθητής που φοβόμουν. Αν κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος έδινα ένα άλυτο πρόβλημα,το πιο πιθανό ήταν να έρθει στο τέλος του μαθήματος με την πλήρη λύση σε μία κόλλα χαρτί». Ο Halmos αναφέρει μια ιστορία του Νίκολας Μετρόπολις,όπου φαίνεται η ταχύτητα των υπολογισμών του Νόιμαν, όταν του ζητήθηκε να λύσε το πετούν παζλ:

Ο Νόιμαν είχε μία πολύ δυνατή μνήμη γνωστή ως 'φωτογραφική μνήμη'. Ο Herman Goldstine γράφει: «Μία από τις αξιοσημείωτες ικανότητες του ήταν να διαβάζει ένα βιβλίο και να μπορεί να το πει αυτολεξεί, θα μπορούσε να το κάνει για χρόνια χωρίς να μπερδευτεί. Θα μπορούσε επίσης να μεταφράσει με την ίδια ταχύτητα από την αρχική γλώσσα στα αγγλικά. Σε μία περίσταση, δοκιμάστηκε η ικανότητά του ζητώντας του να μου πει πώς η ιστορία των δύο πόλεων ξεκίνησε. Οπότε, χωρίς διακοπή, εκείνος άρχισε αμέσως το πρώτο κεφάλαιο και συνεχίζονται έως ότου ζήτησε να σταματήσει μετά από περίπου δέκα ή δεκαπέντε λεπτά.»

Είχε ειπωθεί ότι η εξυπνάδα του Νόιμαν ήταν απλώς ασύγκριτη. «Πολλές φορές αναρωτήθηκα αν το μυαλό του ανήκε σε κάτι ανώτερο από άνθρωπο», είπε ο Nobel Laureate Hans A. Bethe από το Cornell University. «Είναι δίκαιο να πούμε πως ήταν ένας από τους ισχυρότερους μαθηματικούς που έζησαν ποτέ, αφού η επιρροή του ήταν πέραν της επιστήμης.», είπε ο Miklós Rédei στα «Selected Letters». Ο Glimm γράφει «Έχει θεωρηθεί ως ένας από τους γίγαντες των σύγχρονων μαθηματικών». Ο μαθηματικός Jean Dieudonné αποκάλεσε τον Νόιμαν ως «Τον τελευταίο από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς», ενώ ο Peter Lax τον περιγράφει ως «την ποιο λαμπρή διάνυα αυτού του αιώνα».

Μάστερ στα Μαθηματικά
Ο Σταν Ούλαμ ο οποίος γνώριζε τον Τζον Φον Νόιμαν είπε για το μάστερ του στα μαθηματικά: «Οι περισσότεροι μαθηματικοί γνωρίζουν μόνο μία μέθοδο. Για παράδειγμα, ο Norbert Wiener είχε κάνει μεταπτυχιακό στους μετασχηματισμούς Fourier. Μερικοί μαθηματικοί έχουν κάνει μάστερ πάνω σε δύο μεθόδους και θα μπορούσαν να εντυπωσιάσουν κάποιον που γνωρίζει μόνο έναν από αυτούς». Εξήγησε ότι οι τρεις μέθοδοι ήταν • η ευχέρεια με τη συμβολική χειραγώγηση των γραμμικών τελεστών • μια έξυπνη αίσθηση για τη λογική δομή για κάθε νέα μαθηματική θεωρία • μια έξυπνη αίσθηση για τις συνδυαστικές υπερκατασκευές των νέων θεωριών.

Προσωπική Ζωή
Ο Νόιμαν παντρεύτηκε δύο φορές. Παντρεύτηκε τη Μαριέτ Κιοβέσι το 1930, λίγο πριν μεταναστεύσουν στις Ηνωμένες Πολιτείες. Πριν τον γάμο του είχε επίσης βαπτιστεί καθολικός το 1930. Είχαν μία κόρη (το μοναδικό παιδί του Νόιμαν), Marina, η οποία είναι τώρα διακεκριμένη καθηγήτρια του διεθνούς εμπορίου και της δημόσιας πολιτικής του Πανεπιστημίου του Μίσιγκαν. Το ζευγάρι χώρισε το 1937. Το 1938, ο Νόιμαν παντρεύτηκε την Κλάρα Νταν (Klara Dan), την οποία είχε γνωρίσει κατά τη διάρκεια των τελευταίων του ταξιδιών πίσω στη Βουδαπέστη πριν το ξέσπασμα του Δευτέρου Παγκοσμίου Πολέμου. Οι Φον Νόιμαν ήταν κοινωνικά πολύ ενεργοί μέσα στην ακαδημαϊκή κοινότητα του Πρίνστον. 

Ο Φον Νόιμαν είχε ένα μεγάλο εύρος ενδιαφερόντων κουλτούρας. Μέχρι την ηλικία των έξι, ο Φον Νόιμαν μιλούσε άψογα Λατινικά και Αρχαία Ελληνικά και έδειξε μεγάλο ενδιαφέρον και πάθος για την αρχαία ιστορία, και έγινε γνωστός για τις ιστορικές του γνώσεις. Ένας καθηγητής Βυζαντινής ιστορίας είπε πως ο Νόιμαν είχε καλύτερες γνώσεις στην Ιστορία του Βυζαντίου από αυτόν.

Ο Φον Νόιμαν πρόσεχε πολύ το ντύσιμό του, και θα μπορούσε να φοράει πάντα επίσημα κοστούμια,μιας και διέσχιζε την όχθη του Γκραντ Κάνιον πάνω σε ένα μουλάρι.

Ήταν κοινωνικός και του άρεσε να διοργανώνει μεγάλα πάρτυ στο σπίτι του, ενίοτε και δύο φορές την εβδομάδα. Το άσπρο του clapboard σπίτι στην οδό Γουεστκοτ 26 ήταν ένα από τα μεγαλύτερα στο Πρίνστον.

Παρά το γεγονός ότι ήταν εμφανώς κακός οδηγός, απολάμβανε την οδήγηση (συχνά κατά την ανάγνωση ενός βιβλίου)— προκάλεσε πολυάριθμες συλλήψεις καθώς και ατυχήματα. Όταν ο Cuthbert Hurd τον προσέλαβε σαν σύμβουλο της IBM,πλήρωνε κρυφά τα εισιτήρια του για μεταφορά. Πίστευε ότι μέρος της μαθηματικής του σκέψης παρουσιαζόταν διαισθητικά, ενώ συχνά πήγαινε για ύπνο με ένα πρόβλημα ημιτελές και γνώριζε την απάντηση-λύση του μόλις ξυπνούσε.

Ο Φον Νόιμαν απολάμβανε το φαγητό και το ποτό. Η σύζυγός του Κλάρα έλεγε πως ο Νόιμαν μπορεί να μετρήσει τα πάντα εκτός από τις θερμίδες. Απολάμβανε το Yiddish και το "off-color" humor (ειδικά τα limericks). Στο Πρίνστον δεχόταν συχνά παράπονα, επειδή συνήθιζε να παίζει στη διαπασών γερμανικά εμβατήρια, με αποτέλεσμα όσοι είχαν γειτονικά γραφεία, μεταξύ των οποίων ο Αϊνστάιν, να μην μπορούν να δουλέψουν. Ο Φον Νόιμαν τελείωσε μερικές από τις καλύτερες δουλειές του σε χώρους με φασαρία, χαοτικές τοποθεσίες, και μετά από παραινέσεις της συζύγου του για την προετοιμασία μιας ήσυχης μελέτης. Δεν το προτίμησε ποτέ, προτιμώντας έτσι το σαλόνι τους με την τηλεόραση να παίζει δυνατά.

Ο κοντινός φίλος του Νόιμαν ήταν ο Πολωνός μαθηματικός Στανισλάβ Ούλαμ. Ένας άλλος φίλος του Ούλαμ, ο Τζιανκάρλο Ρότα γράφει: «Μπορούσαν να περάσουν ώρες κουτσομπολεύοντας και χαζογελώντας, λέγοντας Εβραϊκά αστεία και στο τέλος να παρασυρθούν σε μία μαθηματική.» Όταν ο Φον Νόιμαν πέθαινε στο νοσοκομείο, κάθε φορά που τον επισκεπτόταν ο Ούλαμ μπορούσε να είχε έτοιμα νέα συλλογή από αστεία για να γελάσει με τον φίλο του.

Η ζωή αργότερα

Το 1955,έγινε διάγνωση ότι ο Φον Νόιμαν είχε πρόβλημα στα οστά ή καρκίνο του πάγκρεας. Ένας βιογράφος του Νόιμαν, ο Νόρμαν Μακράι, θεώρησε πως ο καρκίνος οφειλόταν στην παρουσία του Νόιμαν στο σταυροδρόμι με τις πυρηνικές δοκιμές που διεξήχθησαν το 1946 στη Νησίδα Μπικίνι.

Η μητέρα του, Μάργκρετ ανακάλυψε ότι είχε επίσης καρκίνο και πέθανε μετά από δύο εβδομάδες. Πέρασαν δεκαοκτώ μήνες από τη διάγνωση μέχρι τον θάνατο του Νόιμαν. Σε αυτό το διάστημα ο Φον Νόιμαν επέστρεψε στη Ρωμαιοκαθολική πίστη που ήταν σημαντική για τη μητέρα του μετά τη μετατροπή της πίστης της οικογένειας το 1929-1930. Υπάρχουν ιστορικοί που υποστηρίζουν ότι πήρε εντολή από τον ιερέα στο νοσοκομείο κυρίως επειδή ο ιερέας ήταν μορφωμένο άτομο και έτσι ο Νόιμαν θα μπορούσε να μιλήσει για την κλασσική Ρώμη και την Ελλάδα περισσότεροι από ότι στους στρατιώτες. Όμως ο Νόιμαν είχε πει νωρίτερα στη μητέρα του, «Πιθανόν υπάρχει ένας Θεός. Πολλά πράγματα είναι ευκολότερο να εξηγηθούν αν υπάρχει, παρά αν δεν υπάρχει».

Ο Φον Νόιμαν κατείχε τη γνώση των Λατινικών και παρέθεσε σε έναν επισκέπτη στο νοσοκομείο τη δημηγορία «Judex ergo cum sedebit», και τελείωνε «Quid sum miser tun dicturus? Quem patronem rogaturus, cum vixiustus sed sicurus?» (Όταν ο δικαστής έχει πάρει τη θέση Του... Τι θα παρακαλέσω εγώ ο καταρρακωμένος; Που για εμένα θα επέμβει όταν το τίμιο ελάχιστο έχει ελευθερωθεί;)

Ο Φον Νόιμαν πέθανε ενάμιση χρόνο μετά τη διάγνωση του καρκίνου, στο Walter Reed Army Medical Center στο Washington, D.C. υπό στρατιωτική ασφάλεια με το φόβο ότι μπορεί να αποκαλύψει στρατιωτικά μυστικά, ενώ ήταν υπό την επήρεια φαρμάκων. Στο νεκρικό του κρεβάτι ψυχαγωγούσε τον αδερφό του με αφηγήσεις λέξη προς λέξη της πρώτης γραμμής κάθε σελίδας του Goethe's Faust. Θάφτηκε στο Κοιμητήριο του Πρίνσετον, Mercer County, στο New Jersey.

Στο νοσοκομείο, είχε καλέσει έναν Ρωμαιοκαθολικό ιερέα, τον πατέρα Άνσελμ Στριτμάτερ, O.S.B., για διαβούλευση. Φέρεται να είπε ότι ο Pascal είχε ένα σημείο, αναφερόμενος στο στοίχημα του Pascal. Ο πατέρας Άνσελμ έδωσε θεία ευχαριστία σ' αυτόν. Μερικοί από τους φίλους του Νόιμαν (όπως ο Ρόμπερτ Οπενχάιμερ και ο Όσκαρ Μόργκενστερν), γνωρίζοντάς τον πάντα σαν «ολοκληρωτικά αγνωστικιστή», πίστευαν πως το θρησκευτικό συμβούλιο δεν ήταν πραγματικό γιατί δεν αντικατόπτριζε τη στάση του όταν ήταν υγιής. Ακόμα και μετά τη μετατροπή της πίστης του, ο πατέρας Άνσελμ Στριτμάτερ του υπενθύμισε ότι δεν εξέλαβε πολλή ειρήνη και άνεση από αυτό, καθώς έμεινε ακόμα τρομοκρατημένος από τον θάνατο.

Διακρίσεις
 Το John von Neumann Theory Prize από το Institute for Operations Research and the Management Sciences (INFORMS, previously TIMS-ORSA) που βραβεύεται κάθε χρόνο σε ένα άτομο ή ομάδα που έχουν κάνει θεμελιώδη και διαρκή συμβολή στη θεωρία επιχειρησιακή έρευνα.
 Το IEEE John von Neumann Medal που βραβεύεται κάθε χρόνο από το IEEE «για εξαιρετικά επιτεύγματα στον υπολογιστή που σχετίζονται με την επιστήμη και την τεχνολογία.»
 Το John von Neumann βραβείο δίνεται κάθε χρόνο από το Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) από έναν ερευνητή ο οποίος συνέβαλε στην εφαρμοσμένα μαθηματικά, και το επιλεγμένο λέκτορας επίσης απονεμηθεί χρηματικό έπαθλο.
 Ο κρατήρας von Neumann στο Moon πήρε το όνομα από αυτόν.
 Το John von Neumann Center στο Plainsboro Township, New Jersey () ονομάστηκε προς τιμήν του.
 Η επαγγελματική μαθηματική Ουγγρική κοινότητα, John von Neumann Computer Society, πήρε το όνομα της από αυτόν.
 Στις 15 Φεβρουαρίου του 1956, Ο Νόιμαν βραβεύτηκε με το Presidential Medal of Freedom από τον πρόεδρο Dwight Eisenhower.
 Στις 4 Μαΐου του 2005 το United States Postal Service επισήμανε American Scientists αναμνηστικά γραμματόσημο, μια σειρά τεσσάρων 37-σεντ αυτοκόλλητων σφραγίδων σε διάφορες διαμορφώσεις που σχεδιάστηκε από τον καλλιτέχνη Victor Stabin. Οι επιστήμονες που απεικονίζονται ήταν ο John von Neumann, Barbara McClintock, Josiah Willard Gibbs και Richard Feynman.
 Το John von Neumann Award του Rajk László College for Advanced Studies πήρε το όνομα προς τιμή του,και αποδίδεται κάθε χρόνο από το 1995 and has been given every year since 1995 σε επιστήμονες που έχουν κάνει μια εξαιρετική συμβολή στις ακριβείς κοινωνικές επιστήμες και μέσα από τη δουλειά τους, έχουν επηρεάσει σε μεγάλο βαθμό την επαγγελματική ανάπτυξη και τη σκέψη των μελών του σώματος.

Infopark και Neumann János Οδός  
Βρίσκεται στο 11ο διαμέρισμα της Βουδαπέστης, κοντά στην πλευρά της Βούδας της γέφυρας Rákóczi, στη γειτονιά του πανεπιστημίου, κατά μήκος του ποταμού από το Εθνικό Θέατρο και το Παλάτι των Τεχνών. Οι δρόμοι που συνορεύουν το Infopark είναι οι Hevesy György και Boulevard.

Επιλεγμένα έργα 

1923. Με την εισαγωγή στους transfinite αριθμούς (δηλώνουν τον πληθάριθμο των φυσικών αριθμών), 346-54.

1925. Μία αξιωματική θεωρία συνόλων, 393 - 413.

1932. Μαθηματικά Θεμέλια της Κβαντικής Μηχανικής, Beyer, RT, trans., Princeton Univ. Press. Έκδοση 1996: ISBN 0-691-02893-1.

1944. Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά, με Morgenstern, O., Princeton Univ. Press, στην ηλεκτρονική διεύθυνση archive.org. 2007 έκδοση: ISBN 978-0-691-13061-3.

1945. Πρώτο σχέδιο μιας έκθεσης σχετικά με την EDVAC TheFirstDraft.pdf

1963. Άπαντα του John von Neumann, Taub, AH, ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-009566-6 

1966. Θεωρία των Αυτο-αναπαραγωγίσιμων Αυτομάτων, Burks, AW, ed., University of Illinois Press. ISBN 0-598-37798-0
 
title=Continuous geometries with a transition probability| origyear=1937 | url=https://books.google.com/books?id=ZPkVGr8NXugC | mr=634656 | year=1981 | journal=Memoirs of the American Mathematical Society | issn=0065-9266 | volume=34 | issue=252 | isbn=978-0-8218-2252-4 | doi=10.1090/memo/0252}}

Δείτε επίσης 
Άλγεβρα φον Νόιμαν
Αρχιτεκτονική φον Νόιμαν

Διδακτορικοί φοιτητές 

 Donald B. Gillies, Ph.D. student
 Israel Halperin, Ph.D. student

Σημειώσεις

Υποσημειώσεις

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 von Neumann's Scholar Google profile 
 Oral history interview with Alice R. Burks and Arthur W. Burks, Charles Babbage Institute, Πανεπιστήμιο της Μινεσότα, Μινεάπολις 
 Oral history interview with Eugene P. Wigner, Charles Babbage Institute, Πανεπιστήμιο της Μινεσότα, Μινεάπολις. 
 Oral history interview with Nicholas C. Metropolis, Charles Babbage Institute, Πανεπιστήμιο της Μινεσότα, Μινεάπολις 
 Von Neumann vs. Dirac - Εγκυκλοπαίδεια Φιλοσοφίας του Στάνφορντ 
 Von Neumann's Universe, audio talk by George Dyson 
 Annotated bibliography for John von Neumann from the Alsos Digital Library for Nuclear Issues 
 John von Neumann speaking at the dedication of the NORD, December 2, 1954 (audio recording) 
  

Ούγγροι μαθηματικοί
Ούγγροι επιστήμονες υπολογιστών
Αμερικανοί επιστήμονες υπολογιστών
Ιστορία υπολογιστών
Θεωρία παιγνίων
Μαθηματικοί του 20ού αιώνα
Αγνωστικιστές