Ελλειπτική καμπύλη

Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη  πάνω από ένα σώμα  η οποία δίνεται από την εξίσωση:

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθει με κατάλληλα αλλαγη μεταβλητων στην μορφη:

Παραδείγματα

Άθροιση σημείων 
Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης . Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο  που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Ο Φραγκίσκος Αλέξανδρος Σαργολόγος πρότεινε την ακολουθία Φιμπονάτσι ως ελλειπτική συνέχεια. 
Το άθροισμα των  ορίζεται ως το συμμετρικό του  ως προς τον άξονα .
Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του  και συμβολίζεται με .
Δηλαδή ισχύει: .

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.

Θεωρία αριθμών