Ορθογώνιο τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές και η απέναντί της λέγεται υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου.

Ιδιότητες 
Ξεκινάμε με κάποιες βασικές ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων:
 Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
 Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή

 Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Απόδειξη ευθέος: Έστω  ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την  ορθή, και  το μέσο της υποτείνουσας. Αν  είναι το συμμετρικό του  ως προς το , τότε το  θα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ως τετράπλευρο με διχοτομούμενες διαγωνίους και μία ορθή γωνία. Άρα έχουμε , άρα , άρα .

Απόδειξη αντίστροφου: Ας είναι  ένα τρίγωνο με διάμεσο  τέτοια ώστε . Αν  είναι το συμμετρικό του  ως προς το , τότε το  είναι ορθογώνιο αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες.

 Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, που έχει ακίνα .

 Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή .
 Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα  και έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες  στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το  και άξονες παράλληλους στις πλευρές  και .

Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου δίνεται ως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ,  και . Επομένως

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε ότι

Τέλος για την πρώτη ισότητα, παρατηρήστε ότι

χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων και το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Μετρικές σχέσεις 

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο  με ορθή την  και το ύψος  που αντιστοιχεί σε αυτή.

Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:
  και . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον  και .

Τα τρίγωνα  και  είναι όμοια καθότι έχουν δύο γωνίες ίσες (την γωνία  και μία ορθή). Επομένως, 

Αντίστοιχα, τα τρίγωνα  και  είναι όμοια. Επομένως, 

 (Πυθαγόρειο Θεώρημα)  (ή αντίστοιχα ). Ισχύει και το αντίστροφο.

Από τις προηγούμενες δύο σχέσεις έχουμε ότι 

 . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον  και .

Τα τρίγωνα  και  είναι όμοια, καθώς έχουν μία ορθή γωνία και δύο συμπληρωματικές. Επομένως,

 . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον  και .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο 

Επομένως, 

 . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον  και .

Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

 Κριτήριο πλευράς-πλευράς: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

 Έχουν δύο κάθετες πλευρές ίσες. Στην περίπτωση αυτή θα είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, με δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία ίση ως ορθή.

 Έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και την υποτείνουσα. Αρκεί να δείξουμε ότι οι αντίστοιχες περιεχόμενες (οξείες) γωνίες θα είναι ίσες και τότε από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Έστω λοιπόν δύο ορθογώνια τρίγωνα  και , τέτοια ώστε ,  και  (η ορθή γωνία σε κάθε τρίγωνο δεν μπορεί να είναι περιεχόμενη της κάθετης και της υποτείνουσας). Αρκεί να δείξουμε ότι  (ισότητα γωνιών). Στις προεκτάσεις των  και  προς τα  και , παίρνουμε σημεία  και  τέτοια ώστε  και  αντίστοιχα. Από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς έχουμε τις ισότητες του  με το  και του  με το . Συνεπώς έχουμε . Από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς τότε τα τρίγωνα  και  είναι ίσα, από όπου έχουμε  (ισότητα γωνιών).

 Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσα τότε είναι ίσα.

Διακρίνουμε πάλι δύο περιπτώσεις:
 Έχουν μία κάθετη πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσα. Θα είναι ίσα από το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας, με δύο γωνίες ίσες μία προς μία (η οξεία και η ορθή) και την περιεχόμενη κάθετη πλευρά ίση.
 Έχουν μία οξεία γωνία ίση και την υποτείνουσα. Έστω δύο τρίγωνα  και  με ,  και  (ισότητα γωνιών). Αρκεί να δείξουμε ότι . Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι . Θα υπάρχει τότε στην  σημείο  για το οποίο . Τότε από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς τα τρίγωνα  και  πρέπει να είναι ίσα και να είναι . Αυτό είναι άτοπο αφού από σημείο ευθείας περνά μόνο μία κάθετη στην ευθεία.

Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα

Με γωνίες 30° και 60° 

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:
 Η κάθετη πλευρά που αντιστοιχεί στην γωνία 60° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
 Το τρίγωνο  ειναι ισόπλευρο.
 Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα ,  και .

Ορθογώνιο και ισοσκελές 

Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:
 Οι προσκείμενες γωνίες είναι 45°.
 Η υποτείνουσα έχει μήκος  αν  το μήκος των δύο κάθετων πλευρών.
 Το εμβαδόν του είναι .
 Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το  στο σχήμα).

Τρίγωνο Κέπλερ 

Το Τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα ,  και , όπου  είναι ο χρυσός λόγος.

Περαιτέρω θέματα

Τριγωνομετρία 

Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας . Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία , ισχύει ότι 
 και .

Σπείρα Θεόδωρου 

Η σπείρα του Θεόδορου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους  (και υποτείνουσας μήκους ). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους . Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους . Στην γενική περίπτωση, το -οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους . Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι
.

Πλακοστρώσεις 

Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο.

Πυθαγόρειες τριάδες 

Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών  τέτοιες ώστε 
.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
 Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση ορθογωνίου τριγώνου
 Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Δείτε επίσης 
 Τρίγωνο
 Τριγωνομετρία
 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
 Πυθαγόρεια τριάδα
 Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο

Παραπομπές 

Ορθογωνιο