Ακέραιος αριθμός

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:  Συμβολίζεται με το γράμμα , αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός. 

Το σύνολο  ορίζεται επίσης ως εξής: 

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο  (άλεφ-μηδέν).

Συμβολισμοί 
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα , έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με , οι μη αρνητικοί με και οι θετικοί με . Ο δακτύλιος των ακεραίων μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο , εκτός από το συνήθες .

Αλγεβρικές Ιδιότητες 
Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Διάταξη 
Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή 

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς. 

Θεωρούμε το σύνολο  των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας  ορίζει τους ακέραιους αριθμούς . 
Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους  τη συμβολίζουμε με  ή .
Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός  είναι θετικός, όταν , αρνητικός όταν  και 0 όταν . Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

Πληθάριθμος 
Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο  (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών.
Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης , συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

Δείτε επίσης 

Σύνολο των 
 φυσικών αριθμών 
 ρητών αριθμών 
 πραγματικών αριθμών 
 μιγαδικών αριθμών .

Παραπομπές

 
Στοιχειώδη μαθηματικά