Άλγεβρα

Η άλγεβρα (από το αραβικό "al-jabr" που σημαίνει "επανένωση των σπασμένων μερών") είναι ένα από τα μεγάλα τμήματα των μαθηματικών, μαζί με τη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία και την ανάλυση. Στην πιο γενική της μορφή, η άλγεβρα είναι η μελέτη των μαθηματικών συμβόλων και των κανόνων για το χειρισμό αυτών των συμβόλων. Διασυνδέει σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών. Ως εκ τούτου, περιλαμβάνει τα πάντα, από την επίλυση της στοιχειώδους εξίσωσης μέχρι και τη μελέτη των αφηρημένων εννοιών όπως ομάδες, δακτυλίους, και πεδία. Τα πιο βασικά μέρη της άλγεβρας ονομάζονται στοιχειώδης άλγεβρα, τα πιο αφηρημένα μέρη καλούνται αφηρημένη άλγεβρα ή σύγχρονη άλγεβρα. Η στοιχειώδης άλγεβρα θεωρείται γενικά ότι είναι απαραίτητη για τη μελέτη των μαθηματικών, της φυσικής, ή της μηχανικής, καθώς και εφαρμογών όπως η ιατρική και η οικονομία. Η αφηρημένη άλγεβρα είναι μια μεγάλη περιοχή στα προχωρημένα μαθηματικά, έχει μελετηθεί κυρίως από επαγγελματίες μαθηματικούς. Πολύ πρώιμο έργο στην άλγεβρα, όπως η αραβική προέλευση της που υποδηλώνει το όνομά της, έγινε στη Μέση Ανατολή, από μαθηματικούς όπως al-Khwārizmī (780 – 850) και Ομάρ Καγιάμ (1048-1131). Η στοιχειώδης άλγεβρα διαφέρει από την αριθμητική στη χρήση αφηρημένων εννοιών, όπως η χρήση γραμμάτων που αντιπροσωπεύουν αριθμούς που είναι είτε άγνωστοι ή επιτρέπεται να πάρουν πολλές τιμές. Για παράδειγμα, στην  το γράμμα  είναι άγνωστο, αλλά ο νόμος των αντίστροφων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ανακαλύψουμε την τιμή του: . Στην E = mc2, τα γράμματα  και  είναι μεταβλητές, και το γράμμα  είναι μια σταθερά, η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η άλγεβρα δίνει μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων και εκφράζει τύπους που είναι πολύ πιο εύχρηστοι από την παλαιότερη μέθοδο γραφής των πάντων με λέξεις.

Η λέξη άλγεβρα χρησιμοποιείται επίσης με ορισμένους εξειδικευμένους τρόπους. Ένα ιδιαίτερο είδος μαθηματικού αντικειμένου στην αφηρημένη άλγεβρα ονομάζεται "άλγεβρα", και η λέξη χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στις φράσεις γραμμική άλγεβρα και αλγεβρική τοπολογία.

Ο μαθηματικός που κάνει έρευνα στην άλγεβρα ονομάζεται αλγεβριστής.

Ετυμολογία 
Η λέξη άλγεβρα προέρχεται από την αραβική الجبر (al-jabr "αποκατάσταση") από τον τίτλο του βιβλίου Ilm al-jabr wa αδυναμία l-muḳābala από τον al-Khwarizmi. Η λέξη εισήλθε στην αγγλική γλώσσα κατά τη διάρκεια του δέκατου πέμπτου αιώνα, είτε από τα ισπανικά, τα ιταλικά, ή τη μεσαιωνική λατινική. Αρχικά αναφέρεται στη χειρουργική διαδικασία της ρύθμισης των σπασμένων ή εξαρθρωμένων οστών. Η μαθηματική έννοια καταγράφηκε για πρώτη φορά τον δέκατο έκτο αιώνα.

Διαφορετικές έννοιες της "άλγεβρας" 
Η λέξη "άλγεβρα" έχει πολλές σχετικές έννοιες στα μαθηματικά, ως μία μόνο λέξη ή με προσδιοριστικά.
 Ως μια λέξη χωρίς το άρθρο, η "άλγεβρα" ονοματίζει ένα ευρύ τμήμα των μαθηματικών.
 Ως μία λέξη με το άρθρο ή στον πληθυντικό, η "άλγεβρα", δηλώνει μια συγκεκριμένη μαθηματική δομή, της οποίας ο ακριβής ορισμός εξαρτάται από τον συγγραφέα. Συνήθως η δομή έχει μια προσθήκη, πολλαπλασιασμό και ένα κλιμακωτό πολλαπλασιασμό (βλ Άλγεβρα πάνω από το πεδίο). Όταν μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο "άλγεβρα", κάνουν ένα υποσύνολο από τις ακόλουθες επιπλέον παραδοχές: προσεταιριστική, αντιμεταθετική, ταυτοτική, και/ή πεπερασμένων διαστάσεων. Στην καθολική άλγεβρα, η λέξη "άλγεβρα" αναφέρεται σε μια γενίκευση της παραπάνω έννοιας, η οποία επιτρέπει τις n-ary πράξεις.
 Με ένα προσδιοριστικό, υπάρχει η ίδια διάκριση:
 Χωρίς το άρθρο, αυτό σημαίνει ότι ένα μέρος της άλγεβρας, όπως η γραμμική άλγεβρα, η στοιχειώδης άλγεβρα (κανόνες που διδάσκονται στα "στοιχειώδη μαθήματα των μαθηματικών" σαν μέρος της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης), ή η αφηρημένη άλγεβρα (η μελέτη των αλγεβρικών δομών για τον εαυτό τους).
 Με ένα άρθρο, αυτό σημαίνει την παρουσία κάποιων αφηρημένων δομών, όπως η άλγεβρα Lie, η προσεταιριστική άλγεβρα, ή η άλγεβρα με διανυσματικό φορέα.
 Μερικές φορές και τα δύο νοήματα υπάρχουν για το ίδιο προσδιοριστικό, όπως στην πρόταση: Η Αντιμεταθετική άλγεβρα είναι η μελέτη των αντιμεταθετικών δακτύλιων, οι οποίοι είναι αντιμεταθετικές άλγεβρες πάνω από τους ακέραιους.

Η άλγεβρα ως κλάδος των μαθηματικών 
Η άλγεβρα ξεκίνησε με υπολογισμούς παρόμοιους με αυτούς της αριθμητικής, με γράμματα αντί για τους αριθμούς. Αυτό επέτρεψε να αποδειχθούν ιδιότητες που είναι αληθείς ανεξάρτητα από τους αριθμούς που εμπλέκονται. Για παράδειγμα, στη δευτεροβάθμια εξίσωση
 
τα  μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί (εκτός από , γιατί τότε η εξίσωση θα ήταν πρωτοβάθμια), και ο τετραγωνικός τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε γρήγορα και εύκολα την τιμή της άγνωστης ποσότητας .

Καθώς αναπτύσσονταν, η άλγεβρα επεκτάθηκε και σε άλλα μη-αριθμητικά αντικείμενα, όπως τα διανύσματα, οι πίνακες, και τα πολυώνυμα. Στη συνέχεια, οι δομικές ιδιότητες αυτών των μη-αριθμητικών αντικειμένων αφαιρέθηκαν για να οριστούν αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες, οι δακτύλιοι και τα πεδία.

Πριν από τον 16ο αιώνα, τα μαθηματικά, χωρίζονταν σε δύο μόνο υποπεδία, την αριθμητική και τη γεωμετρία. Παρόλο που ορισμένες από τις μεθόδους, οι οποίες είχαν αναπτυχθεί πολύ νωρίτερα, μπορούν να θεωρηθούν στις μέρες μας, ως άλγεβρα, η εμφάνιση της άλγεβρας και, αμέσως μετά, του απειροστικού λογισμού, ως υποπεδία των μαθηματικών χρονολογείται από τον 16ο ή τον 17ο αιώνα. Από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, πολλά νέα πεδία των μαθηματικών εμφανίστηκαν, τα περισσότερα από αυτά έκαναν χρήση και της αριθμητικής και της γεωμετρίας, και σχεδόν όλων εκείνων που χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα.

Σήμερα, η άλγεβρα έχει αυξηθεί τόσο ώστε να περιλαμβάνει πολλούς κλάδους των μαθηματικών, όπως μπορεί να δει κανείς στο Μαθηματικό Θέμα Ταξινόμησης όπου κανείς από το πρώτο επίπεδο περιοχών (διψήφιες καταχωρήσεις) δεν ονομάζεται άλγεβρα. Σήμερα η άλγεβρα περιλαμβάνει την ενότητα 08-Γενικά αλγεβρικά συστήματα, 12-θεωρία Πεδίου και πολυώνυμα, 13-Αντιμεταθετική άλγεβρα, 15-Γραμμική και πολυγραμμική άλγεβρα *τη θεωρία πινάκων, 16-Προσαιτεριστικοί δακτύλιοι και άλγεβρες, 17-Μη-προσαιτεριστικοί δακτύλιοι και άλγεβρες, 18-Θεωρία κατηγοριών: ομολογική άλγεβρα, 19-Κ-θεωρία και 20-θεωρία ομάδων. Η άλγεβρα, επίσης, χρησιμοποιείται ευρέως στη 11-θεωρία αριθμών και στην 14-Αλγεβρική γεωμετρία.

Ιστορία

Πρώιμη ιστορία της άλγεβρας 
Οι ρίζες της άλγεβρας, μπορούν να εντοπιστούν στους αρχαίους Βαβυλώνιους, οι οποίοι ανέπτυξαν ένα προηγμένο αριθμητικό σύστημα με το οποίο ήταν σε θέση να κάνουν υπολογισμούς με ένα αλγοριθμικό τρόπο. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τύπους για να υπολογίζουν τις λύσεις για τα προβλήματα που συνήθως λύνονται σήμερα με τη χρήση γραμμικών εξισώσεων, τετραγωνικών εξισώσεων, και απροσδιόριστων γραμμικών εξισώσεων. Αντίθετα, οι περισσότεροι Αιγύπτιοι της εποχής αυτής, καθώς και Έλληνες και Κινέζοι μαθηματικοί στην 1η χιλιετία Π. χ., συνήθως έλυναν τέτοιες εξισώσεις με γεωμετρικές μεθόδους, όπως αυτές που περιγράφονται στο Rhind Μαθηματικό Πάπυρο, στα στοιχεία του Ευκλείδη, και Τα Εννέα Κεφάλαια σχετικά με τη Μαθηματική Τέχνη. Το γεωμετρικό έργο των Ελλήνων, που χαρακτηρίζεται από Στοιχεία, παρείχε το πλαίσιο για γενίκευση τύπων πέρα από τη λύση των συγκεκριμένων προβλημάτων σε γενικότερα συστήματα διατύπωσης και επίλυσης εξισώσεων, αν και αυτό δεν είχε παρατηρηθεί μέχρι τα μαθηματικά να αναπτυχθούν στο μεσαιωνικό Ισλάμ.

Από την εποχή του Πλάτωνα, οι Έλληνες μαθηματικοί είχαν υποστεί μια δραστική αλλαγή. Οι Έλληνες δημιούργησαν μια γεωμετρική άλγεβρα που οι όροι της εκπροσωπούνταν από τις πλευρές των γεωμετρικών αντικειμένων, συνήθως γραμμές, που είχαν γράμματα που συνδέονταν με αυτούς. Ο Διόφαντος (3ο αιώνα μ. χ.) ήταν ένας Αλεξανδρινός έλληνας μαθηματικός και συγγραφέας μιας σειράς βιβλίων με τον τίτλο Arithmetica. Αυτά τα κείμενα είχαν ως αντικείμενο την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων, και οδήγησαν, από τη θεωρία των αριθμών στη σύγχρονη έννοια της Διοφαντικής εξίσωσης. 

Παλαιότερες παραδόσεις που συζητήθηκαν παραπάνω είχαν άμεση επίδραση στον Πέρση Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (γ. 780-850). Ο ίδιος έγραψε αργότερα, Το Συνοπτικό Βιβλίο για Υπολογισμό με Ολοκλήρωση και Εξισορρόπηση, το οποίο καθιέρωσε την άλγεβρα ως μαθηματική δομή που είναι ανεξάρτητη από τη γεωμετρία και την αριθμητική.

Οι Ελληνιστικοί μαθηματικοί Ήρων της Αλεξάνδρειας και Διόφαντος, καθώς και Ινδοί μαθηματικοί όπως ο Brahmagupta συνέχισαν τις παραδόσεις της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας, αν και η Arithmetica του Διόφαντου και το Brahmasphutasiddhanta του Brahmagupta είναι σε ένα υψηλότερο επίπεδο. Για παράδειγμα, η πρώτη ολοκληρωμένη αριθμητική λύση (συμπεριλαμβανομένης της μηδενικής και των αρνητικών λύσεων) για δευτεροβάθμιες εξισώσεις περιγράφεται από τον Brahmagupta στο βιβλίο του Brahmasphutasiddhanta. Αργότερα, Πέρσοι και Άραβες μαθηματικοί ανέπτυξαν αλγεβρικές μεθόδους σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό πολυπλοκότητας. Αν και ο Διόφαντος και οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ως επί το πλείστον ειδικές ad hoc μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων, η συμβολή του Al-Khwarizmi ήταν καθοριστική. Έλυσε γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, χωρίς αλγεβρικό συμβολισμό, τους αρνητικούς αριθμούς ή το μηδέν, έτσι έπρεπε να διακρίνει διάφορα είδη εξισώσεων.

Στο πλαίσιο που η άλγεβρα ταυτίζεται με τη θεωρία των εξισώσεων, ο έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ήταν ανέκαθεν γνωστός ως ο "πατέρας της άλγεβρας", αλλά τα τελευταία χρόνια υπάρχει μεγάλη συζήτηση για το αν ο al-Khwarizmi, ο οποίος ίδρυσε την πειθαρχία της al-jabr, αξίζει τον τίτλο αυτό. Εκείνοι που υποστηρίζουν τον Διόφαντο επικεντρώνονται στο γεγονός ότι η άλγεβρα που βρέθηκε στην Al-Jabr είναι ελαφρώς πιο στοιχειώδης από την άλγεβρα που βρέθηκε στο Arithmetica και οτι το Arithmetica συνκόπτεται, ενώ η Al-Jabr είναι πλήρως ρητορική. Εκείνοι που υποστηρίζουν τον Al-Khwarizmi επικεντρώνονται στο γεγονός ότι εισήγαγε τις μεθόδους της "μείωσης" και "εξισορρόπησης" (η μεταφορά των αφηρημένων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, που είναι η ακύρωση των όρων like στις αντίθετες πλευρές της εξίσωσης), που ο όρος al-jabr αρχικά αναφέρεται, και ότι έδωσε μια λεπτομερή εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων, που υποστηρίζονται από γεωμετρικές αποδείξεις, ενώ αναδεικνύει την άλγεβρα ως ανεξάρτητη. Η άλγεβρα του, επίσης, δεν αφορά πλέον " μια σειρά από προβλήματα που πρέπει να επιλυθούν, αλλά μια έκθεση η οποία ξεκινά με την πρωτόγονη άποψη στην οποία οι συνδυασμοί πρέπει να δώσουν όλα τα πιθανά πρωτότυπα για τις εξισώσεις, τα οποία στο εξής ρητά αποτελούν το πραγματικό αντικείμενο της μελέτης". Δημιούργησε επίσης μια εξίσωση για τους δικούς του λόγους και "σε ένα γενικό τρόπο, εφόσον δεν προκύψουν κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά είναι συγκεκριμένο να ορίσετε μια άπειρη κλάση των προβλημάτων".

Ένας άλλος Πέρσης μαθηματικός ο Ομάρ Καγιάμ ασχολήθηκε με τον προσδιορισμό των θεμελίων της αλγεβρικής γεωμετρίας και με την εύρεση της γενικής γεωμετρικής λύσης της κυβικής εξίσωσης. Ακόμα ένας Πέρσης μαθηματικός, ο Sharaf al-Dīn al-Tūsī, βρήκε αλγεβρικές και αριθμητικές λύσεις για διάφορες περιπτώσεις των κυβικών εξισώσεων. Επίσης ανέπτυξε την έννοια της συνάρτησης. Οι Ινδοί μαθηματικοί Μαχαβίρα και Bhaskara II, ο Πέρσης μαθηματικός Al-Karaji, και ο Κινέζος μαθηματικός Zhu Shijie, έλυσαν διάφορες περιπτώσεις κυβικών, τεταρτοβάθμιων, πεμπτοβάθμιων και ανώτερης τάξης πολυωνυμικών εξισώσεων με αριθμητικές μεθόδους. Τον 13ο αιώνα, η λύση μιας κυβικής εξίσωσης από τον Fibonacci είναι αντιπροσωπευτική για την αρχή της ανάκαμψης στην Ευρωπαϊκή άλγεβρα. Όπως ο Ισλαμικός κόσμος ήταν σε παρακμή, ο Ευρωπαϊκός κόσμος ήταν σε ακμή. Και εδώ είναι που η άλγεβρα αναπτύχθηκε περαιτέρω.

Ιστορία της άλγεβρας 
Οι εργασίες του François Viète σχετικά με τη νέα άλγεβρα στο τέλος του 16ου αιώνα ήταν ένα σημαντικό βήμα προς τη σύγχρονη άλγεβρα. Το 1637, ο René Descartes δημοσίευσε το La Géométrie, εφηύρε την αναλυτική γεωμετρία και εισήγαγε τη σύγχρονη αλγεβρική σημειογραφία. Ένα άλλο σημαντικό γεγονός για την περαιτέρω ανάπτυξη της άλγεβρας ήταν η γενική αλγεβρική λύση των κυβικών και τεταρτοβάθμιων εξισώσεων, που αναπτύχθηκε στα μέσα του 16ου αιώνα. Η ιδέα μιας Ορίζουσας αναπτύχθηκε από τη Γιαπωνέζα μαθηματικό Seki Kowa τον 17ο αιώνα, που ακολουθήθηκε ανεξάρτητα από τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς δέκα χρόνια αργότερα, με σκοπό την επίλυση συστημάτων ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας μήτρες. Ο Gabriel Cramer επίσης δούλεψε σε πίνακες και ορίζουσες τον 18ο αιώνα. Οι διατάξεις μελετήθηκαν από τον Joseph-Louis Lagrange στο έγγραφο του με τις 1770 σελίδες Réflexions sur la résolution algébrique des équations αφιερωμένο στις λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων, στο οποίο εισήγαγε τη Lagrange resolvents. Ο Paolo Ruffini ήταν το πρώτο πρόσωπο που ανέπτυξε τη θεωρία για τη μετάθεση ομάδων, και όπως και οι προκάτοχοί του, επίσης, στο πλαίσιο της επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων.

Η Αφηρημένη άλγεβρα αναπτύχθηκε τον 19ο αιώνα, απορρέει από το ενδιαφέρον για την επίλυση εξισώσεων, αρχικά εστίαζε σε αυτό που τώρα ονομάζεται Θεωρία Γκαλουά, και σε κατασκευαστικά θέματα. Ο George Peacock ήταν ο ιδρυτής της αξιωματικής σκέψης στην αριθμητική και την άλγεβρα. Ο Augustus De Morgan ανακάλυψε τη σχετική άλγεβρα στο έργο του εξεταστέα Ύλη του Προτεινόμενου Συστήματος της Λογικής. Ο τζοσάια Γουίλαρντ Γκιμπς ανέπτυξε μια άλγεβρα διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο, και ο Arthur Cayley ανέπτυξε μια άλγεβρα πινάκων (αυτή είναι μία μη μεταθετική άλγεβρα).

Τομείς των μαθηματικών με τη λέξη άλγεβρα στο όνομά τους 
Ορισμένοι τομείς των μαθηματικών που εμπίπτουν στην κατηγορία της αφηρημένης άλγεβρας έχουν τη λέξη άλγεβρα στο όνομά τους (η γραμμική άλγεβρα είναι ένα παράδειγμα). Άλλοι όμως όχι, όπως: η θεωρία ομάδων, η θεωρία δακτυλίων, και η θεωρία πεδίων είναι παραδείγματα. Σε αυτή την ενότητα, παραθέτουμε ορισμένα πεδία των μαθηματικών με τη λέξη "άλγεβρα" στο όνομά τους.
 Στοιχειώδης άλγεβρα, άλγεβρα που συνήθως διδάσκεται στα στοιχειώδη μαθήματα των μαθηματικών.
 Αφηρημένη άλγεβρα, στην οποία οι αλγεβρικές δομές όπως οι ομάδες, οι δακτύλιοι και τα πεδία είναι αξιωματικά ορισμένα και διερευνημένα.
 Γραμμική άλγεβρα, στην οποία οι ειδικές ιδιότητες των γραμμικών εξισώσεων, των διανυσματικών χώρων και των πινάκων έχουν μελετηθεί.
 Αντιμεταθετική άλγεβρα, η μελέτη των αντιμεταθετικών δακτυλίων.
 Υπολογιστική άλγεβρα, η εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων, όπως οι αλγόριθμοι και τα προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών.
 Ομολογική άλγεβρα, η μελέτη των αλγεβρικών δομών που έχουν θεμελιώδη σημασία για τη μελέτη τοπολογικών χώρων.
 Καθολική άλγεβρα, στην οποία μελετώνται χαρακτηριστικά που είναι κοινά σε όλες τις αλγεβρικές δομές.
 Αλγεβρική θεωρία αριθμών, στην οποία οι ιδιότητες των αριθμών μελετώνται από αλγεβρική άποψη.
 Αλγεβρική γεωμετρία, ένα πεδίο της γεωμετρίας, στην πρωτόγονη μορφή της προσδιορίζοντας τις καμπύλες και τις επιφάνειες, όπως είναι οι λύσεις των πολυωνυμικών εξισώσεων.
 Συνδυαστική άλγεβρα, στην οποία οι αλγεβρικές μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τη μελέτη συνδυαστικών ερωτήσεων.
Πολλές μαθηματικές δομές ονομάζονται άλγεβρες:
 Άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο ή γενικότερα άλγεβρα πάνω από έναν δακτύλιο. Πολλές κατηγορίες άλγεβρας πάνω από ένα πεδίο ή έναν δακτύλιο έχουν ένα συγκεκριμένο όνομα:
 Αντιμεταθετική άλγεβρα
 Μη-αντιμεταθετική άλγεβρα
 Άλγεβρα Lie
 Άλγεβρα Hopf
 C*-άλγεβρα
 Συμμετρική άλγεβρα
 Εξωτερική άλγεβρα
 Διανυσματική άλγεβρα
 Στη θεωρία μέτρου,
 Sigma-άλγεβρα
 Άλγεβρα πάνω από ένα σύνολο
 Στη θεωρία κατηγοριών
 F-άλγεβρα και F-coalgebra
 T-άλγεβρα
 Στη λογική,
 Σχεσιακή άλγεβρα: ένα σύνολο πεπερασμένων σχέσεων που είναι κλειστό κάτω από ορισμένες πράξεις.
 Άλγεβρα boole, μια δομή αφαιρετικού υπολογισμού με τις λογικές τιμές ψέμα και αλήθεια. Οι δομές επίσης να έχουν το ίδιο όνομα.
 Άλγεβρα Heyting

Στοιχειώδης άλγεβρα 

Η Στοιχειώδης άλγεβρα είναι η πιο βασική μορφή της άλγεβρας. Διδάσκεται σε μαθητές που θεωρείται ότι δεν έχουν γνώση των μαθηματικών πέρα από τις βασικές αρχές της αριθμητικής. Στην αριθμητική, περιλαμβάνονται μόνο οι αριθμοί και οι αριθμητικές πράξεις (όπως +, −, ×, ÷). Στην άλγεβρα, οι αριθμοί συχνά αντιπροσωπεύονται από τα σύμβολα που ονομάζονται μεταβλητές (όπως a, n, x, y ή z). Αυτό είναι χρήσιμο, επειδή:
 Επιτρέπει τη γενική διατύπωση αριθμητικών νόμων (όπως a + b = b + a για όλα τα a και b) και, επομένως, είναι το πρώτο βήμα για τη συστηματική διερεύνηση των ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών του συστήματος.
 Επιτρέπει την αναφορά σε "άγνωστους" αριθμούς, η διατύπωση των εξισώσεων και η μελέτη των λύσεών τους. (Για παράδειγμα, "Βρείτε x τέτοιο ώστε 3x + 1 = 10" ή πηγαίνοντας λίγο παραπέρα "Βρείτε x τέτοιο ώστε ax + b = c". Αυτό το βήμα μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν είναι η φύση των συγκεκριμένων αριθμών που μας επιτρέπει να το λύσουμε, αλλά οι διεργασίες που εμπλέκονται.)
 Επιτρέπει τη διαμόρφωση των λειτουργικών σχέσεων. (Για παράδειγμα, "Αν πουλάτε x εισιτήρια, τότε το κέρδος σας θα είναι 3x − 10 δολάρια, ή f(x) = 3x − 10, όπου f είναι η συνάρτηση, και x είναι ο αριθμός στον οποίο η συνάρτηση εφαρμόζεται".)

Πολυώνυμα 

Ένα πολυώνυμο είναι μια έκφραση η οποία είναι το άθροισμα των πεπερασμένων μη-μηδενικών όρων, όπου κάθε όρος αποτελείται από ένα σταθερό και πεπερασμένο αριθμό μεταβλητών που είναι υψωμένοι σε ακέραιο αριθμό δυνάμεων. Για παράδειγμα, το x2 + 2x − 3 είναι ένα πολυώνυμο με τη μοναδική μεταβλητή x. Μια πολυωνυμική έκφραση είναι μια έκφραση που μπορεί να ξαναγραφεί ως πολυωνυμική, με τη χρήση της αντιμεταθετικής, της προσεταιριστικής και της επιμεριστικής ιδιότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, το (x − 1)(x + 3) είναι μια πολυωνυμική έκφραση, που, στην κυριολεξία, δεν είναι πολυώνυμο. Μια πολυωνυμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από ένα πολυώνυμο, ή, αντίστοιχα, με μία πολυωνυμική έκφραση. Τα δύο προηγούμενα παραδείγματα καθορίζουν την ίδια πολυωνυμική συνάρτηση.

Δύο σημαντικά και συναφή προβλήματα στην άλγεβρα είναι η παραγοντοποίηση πολυωνύμων, δηλαδή, η έκφραση ενός δεδομένου πολυωνύμου ως προϊόν άλλων πολυωνύμων που δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν περαιτέρω, και ο υπολογισμός του μέγιστου κοινού πολυωνυμικού διαιρέτη. Το παραπάνω πολυωνυμικό παράδειγμα μπορεί να υπολογιστεί ως (x − 1)(x + 3). Μια σχετική κατηγορία των προβλημάτων είναι η εύρεση αλγεβρικών εκφράσεων για τις ρίζες ενός πολυωνύμου σε μια μοναδική μεταβλητή.

Εκπαίδευση 
Έχει προταθεί ότι η στοιχειώδης άλγεβρα θα πρέπει να διδάσκεται σε μαθητές ηλικίας έντεκα ετών, αν και τα τελευταία χρόνια είναι κοινό για τα δημόσια σχολεία των Ηνωμένων Πολιτειών να ξεκινούν στο επίπεδο του γυμνασίου (≈ 13 χρονών ±).

Από το 1997, το Virginia Tech και μερικά άλλα πανεπιστήμια έχουν αρχίσει να χρησιμοποιούν ένα εξατομικευμένο μοντέλο διδασκαλίας της άλγεβρας, που συνδυάζει την άμεση ανατροφοδότηση από εξειδικευμένο λογισμικό ηλεκτρονικών υπολογιστών με one-on-one και μικρές ομάδες διδασκαλίας, η οποία μείωσε το κόστος και αύξησε την επίδοση των μαθητών.

Αφηρημένη άλγεβρα 
Η Αφηρημένη άλγεβρα επεκτείνει τις γνωστές έννοιες που περιλαμβάνονται στη στοιχειώδη άλγεβρα και την αριθμητική των αριθμών σε πιο γενικές έννοιες. Εδώ παρατίθενται οι βασικές έννοιες στην αφηρημένη άλγεβρα.

Σύνολα: Εκτός από την εξέταση των διάφορων ειδών των αριθμών, η αφηρημένη άλγεβρα ασχολείται με τη γενικότερη έννοια του συνόλου: μια συλλογή από αντικείμενα (που ονομάζονται στοιχεία) επιλέγονται για το σύνολο με βάση τις ιδιότητές τους. Όλες οι συλλογές από τα γνωστά είδη των αριθμών είναι σύνολα. Άλλα παραδείγματα συνόλων περιλαμβάνουν το σύνολο των 2x2 πινάκων, το σύνολο όλων των δευτεροβάθμιων πολυωνύμων (ax2 + bx + c), το σύνολο όλων των δισδιάστατων διανυσμάτων στο επίπεδο και τις διάφορες πεπερασμένες ομάδες όπως οι κυκλικές ομάδες, οι οποίες είναι οι ομάδες των ακεραίων modulo n. Η θεωρία συνόλων είναι ένας κλάδος της λογικής και δεν είναι τεχνικά ένας κλάδος της άλγεβρας.

Δυαδικές πράξεις: Η έννοια της πρόσθεσης (+) χρησιμοποιείται για να δώσει μια δυαδική πράξη, λένε. Η έννοια της δυαδικής λειτουργίας δεν έχει νόημα χωρίς το σύνολο στο οποίο ορίζεται η πράξη. Για δύο στοιχεία a και b σε ένα σύνολο S, το a ∗ b είναι ένα άλλο στοιχείο στο σύνολο, αυτή η κατάσταση ονομάζεται κλειστή. Η πρόσθεση (+), η αφαίρεση (−), ο πολλαπλασιασμός ( × ) και η διαίρεση (÷) μπορούν να είναι δυαδικές πράξεις, όταν ορίζονται σε διαφορετικά σύνολα, όπως είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πινάκων, των διανυσμάτων, και των πολυωνύμων.

Ουδέτερα στοιχεία: Οι αριθμοί μηδέν και ένα έχουν την έννοια των ουδέτερων στοιχείων για μια πράξη. Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα είναι το ουδέτερο στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό. Για μια γενική δυαδική πράξη ∗ το ουδέτερο στοιχείο e πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση a ∗ e = a και e ∗ a = a, και είναι κατ ' ανάγκη μοναδικό, αν υπάρχει. Αυτό ισχύει για την πρόσθεση ως a + 0 = a και 0 + a = a και για τον πολλαπλασιασμό a × 1 = a και 1 × a = a. Δεν έχουν όλα τα σύνολα και οι συνδυασμοί πράξεων ένα ουδέτερο στοιχείο, για παράδειγμα, το σύνολο των θετικών φυσικών αριθμών (1, 2, 3, ...) δεν έχει ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση.

Αντίστροφα στοιχεία: Οι αρνητικοί αριθμοί οδηγούν στην έννοια του αντίστροφου στοιχείου. Για την πρόσθεση, ο αντίστροφος του α γράφεται −α, και για τον πολλαπλασιασμό το αντίστροφο είναι γραμμένο ως α-1. Ένα γενικό δύο όψεων αντίστροφο στοιχείο a-1 ικανοποιεί την ιδιότητα ότι a ∗ a-1 = e και a-1 ∗ a = e, όπου e είναι το στοιχείο ταυτότητας.

Προσεταιριστική ιδιότητα: Η πρόσθεση των ακεραίων έχει μια ιδιότητα που ονομάζεται η προσεταιριστική. Δηλαδή, η ομαδοποίηση των αριθμών που θα προστεθούν δεν επηρεάζει το τελικό άθροισμα. Για παράδειγμα: . Σε γενικές γραμμές, αυτό γίνεται (α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ). Αυτή η ιδιότητα είναι κοινή για τις περισσότερες δυαδικές πράξεις, αλλά όχι για την αφαίρεση ή τη διαίρεση ή τον πολλαπλασιασμό octonion.

Αντιμεταθετική ιδιότητα: Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών είναι και οι δύο αντιμεταθετικές. Δηλαδή, η σειρά των αριθμών δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα: 2 + 3 = 3 + 2. Σε γενικές γραμμές, αυτό γίνεται α ∗ β = β ∗ α. Αυτή η ιδιότητα δεν ισχύει για όλες τις δυαδικές πράξεις. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός πινάκων και ο πολλαπλασιασμός quaternion είναι και οι δύο μη-αντιμεταθετικοί.

Ομάδες 
Συνδυάζοντας τις παραπάνω έννοιες, παίρνουμε μία από τις πιο σημαντικές δομές στα μαθηματικά: μια ομάδα. Μια ομάδα είναι ένας συνδυασμός από ένα σύνολο S και μία μονό δυαδική πράξη ∗, που ορίζεται με οποιοδήποτε τρόπο που θα επιλέξουμε, αλλά με τις ακόλουθες ιδιότητες:
 Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο e, τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο a του S, να ισχύει ότι τα e ∗ a και a ∗ e είναι και τα δύο ισοδύναμα με το ένα.
 Κάθε στοιχείο έχει έναν αντίστροφο: για κάθε στοιχείο a του S, υπάρχει ένα στοιχείο a-1 τέτοιο ώστε τα a ∗ a-1 και a-1 ∗ a να είναι ισοδύναμα με το ουδέτερο στοιχείο.
 Η πράξη είναι προσεταιριστική: αν a, b και c είναι στοιχεία του S, τότε το (a ∗ b) ∗ c είναι ισοδύναμο με a ∗ (b ∗ c).
Αν μια ομάδα είναι επίσης αντιμεταθετική, - δηλαδή για κάθε δύο στοιχεία a και b του S, το a ∗ b είναι ισοδύναμο με το b ∗ a - τότε η ομάδα είναι αβελιανή.

Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων στο πλαίσιο της πράξης της πρόσθεσης είναι μια ομάδα. Σε αυτή την ομάδα, το ουδέτερο στοιχείο είναι το 0 και το αντίστροφο κάθε στοιχείου a είναι το αρνητικό, −a. Η προσεταιριστική ιδιότητα ικανοποιείται, διότι για κάθε ακέραιο a, b και c, ισχύει (a + b) + c = a + (b + c)

Οι μη-μηδενικοί ρητοί αριθμοί αποτελούν μια ομάδα με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Εδώ, το ουδέτερο στοιχείο είναι το 1, τότε θα ισχύει 1 × a = a × 1 = a για κάθε ρητό αριθμό a. Το αντίστροφο του a είναι 1/a, τότε a × 1/a = 1.

Οι ακέραιοι αριθμοί με την πράξη του πολλαπλασιασμού, ωστόσο, δεν αποτελούν ομάδα. Αυτό είναι επειδή, σε γενικές γραμμές, το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ενός ακεραίου αριθμού δεν είναι ακέραιος. Για παράδειγμα, το 4 είναι ακέραιος, αλλά το πολλαπλασιαστικό αντίστροφό του είναι το ¼, το οποίο δεν είναι ακέραιος.

Η θεωρία των ομάδων έχει μελετηθεί στη θεωρία ομάδων. Ένα σημαντικό αποτέλεσμα σε αυτή τη θεωρία είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδωνν, το οποίο δημοσιεύτηκε μεταξύ του 1955 και του 1983, η οποία χωρίζει τις πεπερασμένες απλές ομάδες σε περίπου 30 βασικούς τύπους.

Οι ημιομάδες, τα quasigroups, και τα μονοειδή είναι δομές παρόμοιες με ομάδες, αλλά πιο γενικές. Αποτελούνται από ένα σύνολο και μια κλειστή δυαδική πράξη, αλλά δεν πρέπει απαραίτητα να πληρούν τις υπόλοιπες προϋποθέσεις. Μία ημιομάδα έχει μία συνδυαστική δυαδική πράξη, αλλά μπορεί να μην έχει ουδέτερο στοιχείο. Ένα μονοειδές είναι μία ημιομάδα που έχει ουδέτερο στοιχείο, αλλά μπορεί να μην έχει αντίστροφο για το κάθε στοιχείο. Ένα quasigroup πληροί την απαίτηση ότι κάθε στοιχείο μπορεί να μετατραπεί σε οποιοδήποτε άλλο είτε από ένα μοναδικό αριστερό-πολλαπλασιασμό ή δεξιό-πολλαπλασιασμό, ωστόσο, η δυαδική λειτουργία μπορεί να μην είναι προσεταιριστική.

Όλες οι ομάδες είναι μονοειδή, και όλα τα μονοειδή είναι ημιομάδες.

Δακτύλιοι και πεδία 
Οι ομάδες έχουν μόνο μία δυαδική πράξη. Για να εξηγήσουμε πλήρως τη συμπεριφορά των διάφορων τύπων των αριθμών, πρέπει να μελετηθούν οι δομές με δύο πράξεις. Οι πιο σημαντικές από αυτές είναι οι δακτύλιοι και τα πεδία.

Ένας δακτύλιος έχει δύο δυαδικές πράξεις (+) και (x) με το (x) να είναι επιμεριστικό επάνω στο (+). Με την πρώτη πράξη (+) αποτελεί μία αβελιανή ομάδα. Ενώ, με τη δεύτερη πράξη (x) είναι προσεταιριστικός, αλλά δεν χρειάζεται να έχει ουδέτερο ή αντίστροφο στοιχείο, έτσι η διαίρεση δεν απαιτείται. Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης γράφεται ως 0 και το αντίστροφο στοιχείο της πρόσθεσης γράφεται ως –a.

Η επιμεριστικότητα γενικεύει την επιμεριστική ιδιότητα για τους αριθμούς. Για τους ακέραιους  και  και το (x) είναι επιμεριστικό πάνω στο (+).

Οι ακέραιοι είναι ένα παράδειγμα ενός δακτυλίου. Οι ακέραιοι έχουν πρόσθετες ιδιότητες που τον καθιστούν έναν αναπόσπαστο τομέα.

Ένα πεδίο είναι ένας δακτύλιος με την πρόσθετη ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία εκτός από το 0 σχηματίζουν μια αβελιανή ομάδα με το (x). Το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού γράφεται ως 1 και το αντίστροφο του α γράφεται ως a-1.

Οι ρητοί αριθμοί, οι πραγματικοί αριθμοί και οι μιγαδικοί αριθμοί είναι όλοι παραδείγματα πεδίων.

Σημειώσεις

Παραπομπές