Ψαμμίτης (Αρχιμήδης)

Ο Ψαμμίτης («Ἄμμου Καταμέτρης») είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα έργα του Αρχιμήδη και αποτελεί υπό μια έννοια την πρώτη ακαδημαϊκή εργασία. Στο έργο αυτό, ο Αρχιμήδης αναφέρεται στη θεωρία του Αρίσταρχου του Σάμιου όπου «οι απλανείς αστέρες και ο Ήλιος είναι ακίνητοι, ενώ η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο σε κυκλική τροχιά». Επίσης επιχειρεί να ανατρέψει την τότε κοινή πεποίθηση ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου είναι υπερβολικά μεγάλος για να καταμετρηθεί.

Oνομασία μεγάλων αριθμών
Προκειμένου να το επιτύχει, έπρεπε πρώτα να επινοήσει ένα σύστημα ονομασίας μεγάλων αριθμών, ώστε να ορίσει ένα άνω όριο· ξεκίνησε λοιπόν από τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής, την μυριάδα μυριάδων. Η μυριάς ισούται με 10.000, συνεπώς η μυριάς μυριάδων ισούται με 10.000Χ10.000=100.000.000, εκατό εκατομμύρια ή σε εκθετική μορφή = .

Το σύστημα μέτρησης του Αρχιμήδη φτάνει μέχρι το  το οποίο είναι μία μυριάδα μυριάδων εις την μυριοστή μυριάδα και όλο εις την μυριοστή μυριάδα. Ένας άλλος τρόπος να περιγραφεί αυτός ο αριθμός είναι μια μονάδα ακολουθούμενη από 80 τετρακισεκατομμύρια μηδενικά... Συγκρινόμενο με αυτήν την ποσότητα, το ούτως ή άλλως ασύλληπτα μεγάλο googol (η μονάδα ακολουθούμενη από 100 μηδενικά, ) φαντάζει πολύ πενιχρό. Για να έχει ο αναγνώστης μια αίσθηση του μέτρου των μεγεθών, το σύνολο των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων και ηλεκτρονίων) σε όλο το σύμπαν υπολογίζεται κάπου ανάμεσα στο  και , αρκετές τάξεις μεγέθους κάτω από το googol.

Τα παραπάνω αποτελούν καλές ενδείξεις των εκφραστικών δυσκολιών που αντιμετώπισε ο Αρχιμήδης και μπορεί να υποτεθεί εδώ ότι σταμάτησε σε αυτόν τον αριθμό επειδή δεν επινόησε νέα τακτικά αριθμητικά, ώστε να εκφράσει τα νέα του απόλυτα αριθμητικά (αριθμούς δηλαδή μεγαλύτερους από την μυριάδα μυριάδων).

Ο Αρχιμήδης επίσης ανακάλυψε και απέδειξε την ιδιότητα των εκθετών, , απαραίτητη για τον χειρισμό δυνάμεων του 10.

Κατόπιν επεχείρησε να εκτιμήσει ένα άνω όριο του αριθμού των κόκκων της άμμου και, μη θέλοντας να ξεπεραστεί ποτέ, υπολόγισε όχι μόνο τον αριθμό των κόκκων άμμου μιας παραλίας, αλλά και ολόκληρης της Γης, μιας Γης αποτελούμενης ολόκληρης από άμμο και, τέλος, ενός σύμπαντος από άμμο. Η τελευταία αυτή εκτίμηση βασίστηκε στο μεγαλύτερο μοντέλο σύμπαντος που είχε προταθεί μέχρι τότε, το ηλιοκεντρικό μοντέλο του Αρίσταρχου του Σάμιου. Δυστυχώς, το χαμένο αυτό έργο του Αρίσταρχου μας είναι γνωστό μόνο χάρις σε λίγες αναφορές, ανάμεσα στις οποίες και η παρακάτω. Ο Αρχιμήδης σε αυτό το έργο του αναφέρει τα εξής:
«Αλλά ο Αρίσταρχος έγραψε ένα βιβλίο, που περιέχει ορισμένες προτάσεις, από τις οποίες συµπεραίνεται ότι ο πραγματικός κόσμος είναι πολύ µεγαλύτερος. Πιστεύεται ότι οι απλανείς αστέρες και ο Ήλιος είναι ακίνητοι, ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο σε κυκλική τροχιά, που στο κέντρο της βρίσκεται ο Ήλιος. Ακόμη ότι η σφαίρα των απλανών αστέρων, που βρίσκεται στο ίδιο µε τον Ήλιο κέντρο, είναι τόσο µεγάλη, ώστε ο κύκλος γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Γη απέχει από τους απλανείς αστέρες, όσο απέχει το κέντρο µιας σφαίρας από την επιφάνεια της... Ο Αρίσταρχος δηλαδή εννοεί το εξής: αφού πιστεύουμε ότι η Γη είναι, ας πούµε, το κέντρο του κόσμου, η σχέση της Γης προς εκείνο που ονομάζουμε «κόσμο» είναι ίση προς τη σχέση της σφαίρας, που περιέχει τον κύκλο πάνω στον οποίο διατείνεται ότι περιστρέφεται η Γη, προς τη σφαίρα των απλανών αστέρων.»

Ο λόγος που επέλεξε ο Αρχιμήδης αυτό το μοντέλο ήταν διότι το ηλιοκεντρικό μοντέλο θα πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερο εάν η αστρική παράλλαξη δεν μπορεί να μετρηθεί επακριβώς. Ο Αρχιμήδης συνέχισε προτείνοντας άνω όρια για την διάμετρο της Γης, την απόσταση Γης-Ηλίου και την διάμετρο του σύμπαντος. Προκειμένου να υπολογίσει αυτό το τελευταίο, υπέθεσε ότι ο λόγος της διαμέτρου του σύμπαντος προς την διάμετρο της τροχιάς της Γης περί τον Ήλιο ισούται με τον λόγο της τελευταίας προς την διάμετρο του Ηλίου.

Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι ότι η αστρική παράλλαξη ισούται με την ηλιακή παράλλαξη και μπορεί να συναχθεί (επειδή στο κείμενο υπάρχει ασάφεια) πως ο Αρχιμήδης έκανε αυτήν την υπόθεση γι' αυτόν τον λόγο. Το εξαγόμενο συμπέρασμα είναι πως η ακτίνα του σύμπαντος είναι περίπου 1 έτος φωτός, που συμπίπτει με τις σύγχρονες εκτιμήσεις για την ακτίνα του ηλιακού συστήματος. Η τελική εκτίμηση του Αρχιμήδη δίνει άνω όριο  κόκκων σε ένα σύμπαν πλήρες άμμου.

Ο Αρχιμήδης κάνει μερικούς ενδιαφέροντες υπολογισμούς και πειράματα στην πορεία. Ένα από τα πειράματα εκτιμά την γωνιακή διάμετρο του Ηλίου, ιδωμένης από τη Γη. Η μέθοδός του αυτή είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα καθώς είναι ίσως το πρώτο γνωστό παράδειγμα πειραματισμού στην Ψυχοφυσική, έναν κλάδο της Ψυχολογίας που ασχολείται με τους μηχανισμούς της ανθρώπινης αντίληψης και της οποίας η εξέλιξη εν γένει αποδίδεται στον Χέρμαν φον Χέλμχολτς (το έργο αυτό του Αρχιμήδη είναι ελάχιστα γνωστό στην Ψυχολογία).

Συγκεκριμένα, ο Αρχιμήδης λαμβάνει υπ' όψιν το μέγεθος και το σχήμα του ανθρώπινου οφθαλμού στο πείραμα μέτρησης της γωνιακής διαμέτρου του Ηλίου. Μια άλλη ενδιαφέρουσα μέτρηση αφορά την ηλιακή παράλλαξη και συγκεκριμένα την διαφορά των μετρήσεων της απόστασης από τον Ήλιο, ανάλογα με τον αν μετράται από τον κέντρο της Γης ή από την επιφάνειά της την στιγμή της ανατολής. Και εδώ, ίσως να είναι η πρώτη γνωστή μέτρηση που σχετίζεται με την ηλιακή παράλλαξη.

Δείτε επίσης
 Ελληνικό σύστημα αρίθμησης
 Παλίμψηστο του Αρχιμήδη

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Το πρωτότυπο κείμενο  
Archimedes, The Sand Reckoner , του Ilan Vardi , περιλαμβάνει αγγλική μετάφραση του πρωτότυπου ελληνικού κειμένου, καθώς και λεπτομέρειες στους ανωτέρω ισχυρισμούς
The Sand Reckoner - https://web.archive.org/web/20120204045847/http://web.fccj.org/~ethall/archmede/sandreck.htm
The Sand Reckoner (σχολιασμένο) - https://web.archive.org/web/20040808005307/http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/Archimedes/SandReckoner/SandReckoner.html
 Ψαμμίτης - Arenarius; italian translation by Heinrich F. Fleck whith greek text (source file for LaTeX), notes and introductory pages on Archimedes' work, Greek numerals and units in the Hellenic area. http://www.heinrichfleck.net/Quaderni/index.html (file Arenarius.pdf)

Αρχιμήδης
Αρχαία ελληνική αστρονομία