Θεσιακό σύστημα

Θεσιακό σύστημα αρίθμησης είναι  μια μέθοδος αναπαράστασης ή κωδικοποίησης αριθμών. Το θεσιακό σύστημα διακρίνεται από άλλα συστήματα (όπως το Ρωμαϊκό σύστημα αναπαράστασης αριθμών) λόγω
της χρήσης του ίδιου συμβόλου για τις διαφορετικές τάξεις μεγέθους (για παράδειγμα, “θέση των μονάδων”,”θέση των
δεκάδων”, “θέση των εκατοντάδων”). Η απλότητά του ως αριθμητική οδήγησε
στη ραγδαία εξάπλωσή του παγκοσμίως.

Χρησιμοποιώντας ένα σύμβολο διαχωρισμού του ακεραίου από το
κλασματικό μέρος ενός αριθμού (για παράδειγμα, η υποδιαστολή σε σύστημα με βάση
10), το σύστημα μπορεί να επεκταθεί ώστε να περιλαμβάνει κλάσματα και αριθμητικές επεκτάσεις πραγματικών αριθμών. Το βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης, με βάση 60,
ήταν το πρώτο θεσιακό σύστημα που αναπτύχθηκε και χρησιμοποιείται ακόμα και
σήμερα για τη μέτρηση χρόνου και γωνιών. Το ινδο - αραβικό  σύστημα αρίθμησης με βάση 10, είναι σήμερα το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο σύστημα για υπολογισμούς.

Ιστορία 
Σήμερα, το βάση-10 (δεκαδικό) σύστημα, το οποίο πιθανόν υποκινείται από την καταμέτρηση των δέκα δακτύλων, υπάρχει παντού. Άλλες βάσεις έχουν χρησιμοποιηθεί στο παρελθόν, ωστόσο, κάποιες συνεχίζουν να χρησιμοποιούνται σήμερα. Για παράδειγμα, το Βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης, που χαρακτηρίζεται ως το πρώτο θεσιακό αριθμητικό σύστημα, ήταν βάσης-60. Οι ράβδοι καταμέτρησης και τα περισσότερα αριθμητήρια έχουν χρησιμοποιηθεί για αναπαράσταση των αριθμών σε ένα σύστημα αρίθμησης θέσης, αλλά δεν διέθεταν την πραγματική αξία μηδέν. Το μηδέν υποδεικνύεται από ένα διάστημα μεταξύ εξηκονταδικών αριθμών. Από το 300 π.Χ., ένα σύμβολο στίξης (δύο λοξές γραμμές) ήταν συν-επιλογή ως σύμβολο κράτησης θέσης στο ίδιο Βαβυλωνιακό σύστημα. Σε ένα δισκίο που ανακαλύφθηκε σε Kish (χρονολογείται περίπου από το 700 π.Χ.), ο γραμματέας Bêl-bân-aplu έγραψε τα μηδενικά του, με τρία άγκιστρα, αντί για δύο λοξές γραμμές. [1]  Η Βαβυλωνιακή κράτηση θέσης δεν ήταν ένα πραγματικό μηδενικό, διότι δε χρησιμοποιήθηκε μόνο του. Ούτε χρησιμοποιούταν στο τέλος ενός αριθμού. Έτσι οι αριθμοί, όπως 2 και 120 (2 × 60), 3 και 180 (3 × 60), 4 και 240 (4 × 60), φαινόντουσαν ίδιοι γιατί από τους μεγαλύτερους αριθμούς έλειπε ένα τελικό εξηκονταδικό σύμβολο κράτησης θέσης. Μόνο το πλαίσιο θα μπορούσε να τους διακρίνει.

Πριν το θεσιακό σύστημα γίνει πρότυπο, απλά προσθετικά συστήματα (σύστημα αναφοράς-τιμών) όπως οι Ρωμαϊκοί Αριθμοί, χρησιμοποιήθηκαν, και λογιστές στην αρχαία Ρώμη και κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα χρησιμοποιούσαν τον άβακα ή πέτρινους μετρητές για να κάνουν αριθμητικές πράξεις.[2]

Με την καταμέτρηση σε ράβδους ή άβακα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, η γραφή των αρχικών, ενδιάμεσων και τελικών τιμών του υπολογισμού θα μπορούσε εύκολα να γίνει με ένα απλό προσθετικό σύστημα σε κάθε θέση ή στήλη. Αυτή η προσέγγιση δεν απαιτούσε την απομνημόνευση των πινάκων (όπως στο θεσιακό σύστημα) και θα μπορούσε να παράγει πρακτικά αποτελέσματα γρήγορα. Για τέσσερις αιώνες (από τον 13ο έως τον 16ο) υπήρξε έντονη διαφωνία μεταξύ εκείνων που πίστευαν στην υιοθέτηση του θεσιακού συστήματος στη γραφή των αριθμών και όσους ήθελαν να μείνουν με το προσθετικό- σύστημα-συν-άβακα. Αν και οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έχουν αντικαταστήσει σε μεγάλο βαθμό τον άβακα, ο τελευταίος εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην Ιαπωνία και άλλες Ασιατικές χώρες.

Ο Georges Ifrah καταλήγει στην Παγκόσμια Ιστορία Αριθμών:Έτσι, φαίνεται πολύ πιθανό κάτω από τις συνθήκες αυτές  ότι η ανακάλυψη του μηδενός και το σύστημα θέσης-τιμής ήταν εφευρέσεις μοναδικές στον Ινδικό πολιτισμό. Δεδομένου ότι το σύστημα Brahmi των πρώτων εννέα ακέραιων αριθμών (αναμφισβήτητα η γραφική προέλευση των σημερινών αριθμών και όλων των δεκαδικών αριθμητικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην Ινδία, τη Νοτιοανατολική και την Κεντρική Ασία και την Εγγύς Ανατολή) ήταν αυτόχθων και χωρίς καμία εξωτερική επιρροή, δεν μπορεί να υπάρξει καμία αμφιβολία ότι το δεκαδικό μας σύστημα γεννήθηκε στην Ινδία και ήταν προϊόν του Ινδικού πολιτισμού και μόνο.[3]Ο Aryabhata δήλωσε "sthānam sthānam daśa guṇam" που σημαίνει "Από τόπο σε τόπο, δέκα φορές σε αξία."[citation needed] Ινδοί μαθηματικοί και αστρονόμοι, επίσης ανέπτυξαν Σανσκριτικές θεσιακές αριθμητικές λέξεις για να περιγράψουν αστρονομικά γεγονότα ή αλγόριθμους που χρησιμοποιούν ποιητικό σούτρα. Ένα βασικό επιχείρημα ενάντια στο θεσιακό σύστημα ήταν η ευαισθησία του σε εύκολη απάτη απλά βάζοντας ένα νούμερο στην αρχή ή στο τέλος μιας ποσότητας, αλλάζοντας έτσι (π.χ.) το 100 στο 5100, ή το 100 στο 1000. Οι σύγχρονες επιταγές απαιτούν ορθογραφία σε φυσική γλώσσα ενός ποσού, καθώς και το ίδιο το δεκαδικό ποσό με # στις άκρες του, για την πρόληψη της απάτης. Για τον ίδιο λόγο, οι Κινέζοι χρησιμοποιούν επίσης φυσικά αριθμούς γλώσσα, για παράδειγμα, το 100 γράφεται ως 壹佰 το οποίο ποτέ δε μπορεί να παραποιηθεί σε  壹仟(1000) ή 伍仟壹佰(5100).

Μετά τη Γαλλική Επανάσταση (1789-1799) η νέα γαλλική κυβέρνηση προώθησε την επέκταση του δεκαδικού συστήματος.[4] Ορισμένες από αυτές τις υπέρ του δεκαδικού προσπάθειες (όπως ο δεκαδικός χρόνος και το δεκαδικό ημερολόγιο) ήταν ανεπιτυχείς. Άλλες γαλλικές προσπάθειες υπέρ του δεκαδικού συστήματος (νόμισμα δεκαδικού συστήματος και δεκαδικά μέτρα και σταθμά) διαδόθηκαν ευρέως από τη Γαλλία σε σχεδόν ολόκληρο τον κόσμο. Πολλά από τα πλεονεκτήματα που προβάλλονται προς υποστήριξη του μετρικού συστήματος υποστηρίζεται ότι θα ισχύουν σε κάθε συνεπές θεσιακό σύστημα. Οι Υποστηρικτές του δωδεκαδικού συστήματος λένε ότι το δωδεκαδικό έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σχέση με το δεκαδικό, αν και το κόστος αλλαγής φαίνεται να είναι υψηλό.

Μαθηματικά

Βάση αριθμητικού συστήματος 

Στα αριθμητικά συστήματα 
η βάση είναι συνήθως ο αριθμός των μοναδικών ψηφίων, συμπεριλαμβανομένου
του μηδενός, που χρησιμοποιεί το σύστημα για την αναπαράσταση αριθμών. Για
παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα η βάση είναι 10 γιατί σ’ αυτό χρησιμοποιούνται
τα ψηφία 0 έως 9. Όταν ένας αριθμός ‘’φτάσει’’ το 9, ο επόμενος από αυτόν
αριθμός δεν αναπαρίσταται  μ’ ένα
διαφορετικό σύμβολο αλλά με τον αριθμό ‘’1 ‘’ακολουθούμενο από τον αριθμό ’’ 0’’.
Αντίστοιχα, στο δυαδικό σύστημα, η βάση είναι 2, διότι όταν ένας αριθμός φτάσει
στο ‘’1’’, ο επόμενος δεν είναι το ‘’2’’ ή κάποιο άλλο σύμβολο, αλλά το ‘’10’’,
έπειτα από το οποίο ακολουθούν το ‘’11’’ και το ‘’100’’.

Το μεγαλύτερο σύμβολο ενός θεσιακού συστήματος έχει συνήθως
αξία κατά 1 μικρότερη από την αξία της βάσης. Τα συνήθη θεσιακά συστήματα
διαφέρουν μόνο ως προς την βάση την οποία χρησιμοποιούν.

Η βάση είναι ένας ακέραιος μεγαλύτερος του 1 (ή μικρότερος
του -1).Πράγματι, αν η βάση ενός συστήματος ήταν μηδέν αυτό δεν θα περιελάμβανε
καθόλου ψηφία ενώ αν ήταν 1 το μόνο ψηφίο που θα μπορούσε να
χρησιμοποιηθεί  είναι το 0. Οι αρνητικές
βάσεις σπάνια χρησιμοποιούνται. Σε ένα σύστημα με αρνητική βάση, οι αριθμοί
μπορούν να έχουν πολλές δυνατές αναπαραστάσεις.

(Σε συγκεκριμένα μη συνήθη θεσιακά συστήματα,
συμπεριλαμβανομένης της αμφιμονοσήμαντης αρίθμησης, ο ορισμός της βάσης ή τα
επιτρεπόμενα ψηφία μπορεί να παρεκκλίνουν από τα παραπάνω.)

Στο δεκαδικό σύστημα υπάρχουν 10 δεκαδικά ψηφία και ο αριθμός 2506 αναπαρίσταται ως εξής:

2506=2×103+5×102+0×101+6×100

Στο δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης υπάρχουν δεκάξι ψηφία (0-9 και A-F) και ο αριθμός 171B γράφεται:

171B=1×163+7×162+1×161+B×160    (όπου το B παριστάνει τον αριθμό 11)

Γενικά,για βάση b, το σύστημα περιλαμβάνει b ψηφία και ο αριθμός α3α2α1α0 γράφεται:

α3α2α1α0= α3×b3+α2×b2+α1×b1+α0×b0   (το α3α2α1α0 αντιστοιχεί σε μια σειρά ψηφίων και όχι σ' έναν πολλαπλασιασμό.)

Σημειογραφία 

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η βάση γράφεται ως δείκτης αμέσως μετά τον αριθμό που αναπαρίσταται στο αντίστοιχο σύστημα. Για παράδειγμα,το 238 υποδεικνύει ότι ο αριθμός 23 εκφράζεται στο σύστημα με βάση 8 (και συνεπώς είναι ισοδύναμος σε αξία με τον αριθμό 19 στο δεκαδικό σύστημα). Στο συγκεκριμένο άρθρο θα χρησιμοποιείται αυτός ο συμβολισμός.

Όταν μια βάση περιγράφεται με μαθηματική σημειογραφία, το γράμμα b είναι αυτό που χρησιμοποιείται γενικά ως σύμβολο της βάσης, και επομένως στο δυαδικό σύστημα, το b είναι ίσο με 2. Ένας άλλος συνήθης τρόπος αναπαράστασης της βάσης είναι η αναγραφή της ως δεκαδικός δείκτης μετά τον αριθμό που αναπαρίσταται. To 11110112 υποδηλώνει ότι ο αριθμός 1111011 είναι αριθμός βάσης 2, και άρα ισοδύναμα 12310 (στο δεκαδικό σύστημα),1738(Οκταδικό σύστημα αρίθμησης) και 7B16 (δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης). Σε βιβλία και άρθρα,όταν χρησιμοποιούνται συντομογραφίες αριθμών σε κάποια βάση, συχνά η βάση παραλείπεται ως δείκτης. Για παράδειγμα, ο δυαδικός 1111011 είναι ισοδύναμος με τον 11110112.

Η βάση b μπορεί επίσης να υποδηλώνεται και με την φράση, "βάση-b". Συνεπώς, οι δυαδικοί αριθμοί είναι "βάση-2",οι οκταδικοί "βάση-8",οι δεκαδικοί "βάση 10",κτλ.

Οι αριθμοί μιας δοθείσας βάσης b έχουν ψηφία {0,1,....,b-2,b-1}. Επομένως, οι δυαδικοί αριθμοί έχουν ψηφία {0,1}, οι δεκαδικοί {0,1...8,9} κτλ. Άρα, οι ακόλουθοι συμβολισμοί είναι λανθασμένοι: 522, 22, 1A9 (σε κάθε περίπτωση ένα ή περισσότερα ψηφία δεν ανήκουν στο σύνολο των επιτρεπόμενων ψηφίων που ορίζεται από την αντίστοιχη βάση.)

Ύψωση σε δύναμη 

Τα θεσιακά συστήματα λειτουργούν χρησιμοποιώντας την διαδικασία ύψωσης σε δύναμη της βάσης. Η αξία ενός ψηφίου είναι το ψηφίο πολλαπλασιασμένο με την αντίστοιχη αξία της θέσης του. Η αξία της κάθε θέσης είναι ο αριθμός της βάσης υψωμένος στη n-οστή δύναμη, όπου n είναι ο αριθμός των ψηφίων που παρεμβάλλονται μεταξύ της θέσης που μας ενδιαφέρει και του συμβόλου που διαχωρίζει το ακέραιο από το κλασματικό μέρος του αριθμού. Αν ένα ψηφίο βρίσκεται στα αριστερά αυτού του συμβόλου (δηλαδή η αξία του είναι ακέραιος αριθμός), τότε το n είναι θετικό ή μηδέν. Αν το ψηφίο βρίσκεται στα δεξιά του συμβόλου (δηλαδή η αξία του είναι κλασματική), τότε το n είναι αρνητικός.

Ως παράδειγμα για την παραπάνω διαδικασία, παίρνουμε τον αριθμό 465 στην αντίστοιχη βάση του b(η οποία πρέπει να είναι τουλάχιστον 7 διότι το μεγαλύτερο σε αξία ψηφίο του αριθμού είναι το 6) και τότε αυτός γράφεται:

4×b2+6×b1+5×b0

Αν ο αριθμός 465 βρισκόταν στο δεκαδικό σύστημα, τότε θα ήταν ισοδύναμος με:

4×102+6×101+5×100=4×100+6×10+5×1=465

(46510=46510)

Αν ωστόσο ο αριθμός βρισκόταν σε σύστημα με βάση 7, τότε θα γραφόταν:

4×72+6×71+5×70=4×49+6×7+5×1=243

(4657=24310)

10b=b για κάθε βάση b, αφού 10b=1×b1+0×b0. Για παράδειγμα, 102=2,103=3,1016=1610. Να σημειωθεί ότι το τελευταίο "16" βρίσκεται σε βάση 10. Η βάση δεν διαφέρει για μονοψήφιους αριθμούς.

Αριθμοί που δεν είναι ακέραιοι χρησιμοποιούν και θέσεις που βρίσκονται μετά το σύμβολο που διαχωρίζει το ακέραιο από το κλασματικό μέρος. Για κάθε θέση μετά από αυτό το σύμβολο,η δύναμη n μειώνεται κατά 1. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2.35 γράφεται:

2×100+3×10−1+5×10−2

Αυτή η ιδέα μπορεί να αποτυπωθεί και με τη χρήση ενός διαγράμματος. Ένα αντικείμενο αντιπροσωπεύει μια μονάδα. Όταν ο αριθμός των αντικειμένων είναι ίσος ή μεγαλύτερος από τη βάση b, τότε μια ομάδα αντικειμένων δημιουργείται από b αντικείμενα. Όταν ο αριθμός αυτών των ομάδων υπερβεί το b, τότε το σύνολο των ομάδων αυτών των αντικειμένων αποτελείται από b ομάδες με b αντικείμενα η καθεμία κτλ. Έτσι, ο ίδιος αριθμός σε διαφορετικές βάσεις θα έχει διαφορετική αξία.

241 σε βάση 5:
   2 σε ομάδες των 52 (25)      4 σε ομάδες των 5          1 σε ομάδα του 1
   ooooo    ooooo
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo         +                         +         o
   ooooo    ooooo                ooooo   ooooo
   ooooo    ooooo

241 σε βάση 8:
   2 ομάδες των 82 (64)     4 ομάδες των 8          1 ομάδα του 1
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo    +                            +        o
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo         oooooooo   oooooooo
 oooooooo  oooooooo
 oooooooo  oooooooo

Το σύστημα μπορεί να επαυξηθεί επιτρέποντας τη χρήση ενός αρνητικού συμβόλου. Αυτό επιτρέπει την αναπαράσταση αρνητικών αριθμών. Για μια δοθείσα βάση, κάθε αναπαράσταση αντιστοιχεί σ' έναν ακριβώς πραγματικό αριθμό και κάθε πραγματικός αριθμός έχει τουλάχιστον μια αναπαράσταση. Οι αναπαραστάσεις των ρητών αριθμών είναι πεπερασμένες, περιοδικές, ή καταλήγουν σ' έναν άπειρο επαναλαμβανόμενο κύκλο ψηφίων.

Ψηφία και Αριθμοί 

Το ψηφίο είναι αυτό που χρησιμοποιείται ως θέση σε ένα σύστημα θέσης-τιμής, και ο αριθμός είναι ένα ή περισσότερα ψηφία. Τα συνηθέστερα ψηφία του σήμερα είναι τα δεκαδικά ψηφία "0", "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8", και "9". Η διάκριση μεταξύ ενός ψηφίου και ενός αριθμού είναι εντονότερη στο πλαίσιο μίας αριθμητικής βάσης.

Ένας μη μηδενικός αριθμός με περισσότερες από μία θέσεις ψηφίου θα σημαίνει ένα διαφορετικό αριθμό σε μία διαφορετική αριθμητική βάση, αλλά σε γενικές γραμμές, τα ψηφία θα σημαίνουν το ίδιο.[5] Ο οκταδικής βάσης αριθμός 238 που περιέχει δύο ψηφία, τα "2" και "3" και έναν αριθμό βάσης (δείκτης) «8», σημαίνει 19. Στο σύστημα μας εδώ, ο δείκτης "8" του ο αριθμού 238 είναι μέρος του αριθμού, αλλά αυτό μπορεί να μην ισχύει πάντα. Φανταστείτε τον αριθμό "23" να έχει μια διφορούμενη αριθμητική βάση. Στη συνέχεια, το "23" θα μπορούσε πιθανότατα να είναι οποιασδήποτε βάσης, από βάσης-4  έως και βάσης-60. Στη βάση-4 το "23" σημαίνει 11, και στη βάση-60 σημαίνει τον αριθμό 123. Ο αριθμός «23», στην περίπτωση αυτή, αντιστοιχεί στο σύνολο των αριθμών {11, 13, 15, 17, 19, 21 , 23, ..., 121, 123} ενώ τα ψηφία του "2" και "3" διατηρούν πάντα την αρχική τους έννοια: το "2" σημαίνει "δύο", και το "3" σημαίνει "τρία".

Σε ορισμένες εφαρμογές, όταν ένας αριθμός με ένα σταθερό αριθμό θέσεων πρέπει να αντιπροσωπεύει ένα μεγαλύτερο αριθμό, χρησιμοποιείται μια υψηλότερη αριθμητική βάση με με περισσότερα ψηφία ανά θέση. Ένας τριψήφιος, δεκαδικός αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύει αριθμούς μόνο έως το 999. Αν όμως η αριθμητική βάση αυξάνεται στο 11, ας πούμε, με την προσθήκη του ψηφίου "Α", στη συνέχεια, τότε οι ίδιες τρεις θέσεις, μεγιστοποιημένες στο "ΑΑΑ", μπορούν να αποτελέσουν έναν αριθμό τόσο μεγάλο όσο το 1330. Θα μπορούσαμε να αυξήσουμε την αριθμητική βάση και πάλι και αντιστοιχίσουμε το "Β" στο 11, και ούτω καθεξής (αλλά υπάρχει επίσης μια πιθανή κρυπτογράφηση μεταξύ του αριθμού και του ψηφίου στον αριθμό-ψήφιο-αριθμός ιεραρχίας). Ένας τριψήφιος αριθμός "ZZZ" στη βάση του 60 θα μπορούσε να σημαίνει 215999. Αν χρησιμοποιήσουμε το σύνολο της συλλογής των αλφαριθμητικών μας θα μπορούσαμε τελικά να εξυπηρετήσουμε ένα σύστημα αρίθμησης βάσης-62, αλλά θα έχουμε αφαιρέσει δύο ψηφία, το κεφαλαίο "Ι" και το κεφαλαίο "O", για να μειωθεί η σύγχυση με τα ψηφία " 1 "και" 0 ".[6]  Έχουμε μείνει με μια βάση-60, ή εξηκονταδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιεί 60 από τα 62 πρότυπα αλφαριθμητικά. (Αλλά βλέπετε εξηκονταδικό σύστημα κατωτέρω.)

Τα κοινά αριθμητικά συστήματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι δυαδικά (Radix 2), οκταδικά (Radix 8), και δεκαεξαδικά (Radix 16). Στα δυαδικά μόνο τα ψηφία "0" και "1" υπάρχουν στα νούμερα. Στους οκταδικούς αριθμούς, υπάρχουν τα οκτώ ψηφία 0-7. Στα δεκαεξαδικά είναι τα 0-9 A-F, όπου οι δέκα αριθμοί διατηρούν τη συνήθη σημασία τους, και οι αλφαβητικοί αντιστοιχούν σε τιμές 10-15, για συνολικά δεκαέξι ψηφία. Ο αριθμός «10» είναι ο δυαδικό αριθμός "2", ο οκταδικός αριθμός "8", ή ο δεκαεξαδικός αριθμό "16".

Μετατροπή Βάσεων 
Οι βάσεις μπορούν να μετατραπούν μεταξύ τους σχεδιάζοντας το διάγραμμα παραπάνω και αναδιατάσσοντας τα αντικείμενα ώστε να συμμορφώνονται με τη νέα βάση, για παράδειγμα:
 241 στη βάση 5:
    2 ομάδες των 52           4 ομάδες των 5          1 ομάδα των 1
    ooooo    ooooo
    ooooo    ooooo           ooooo   ooooo
    ooooo    ooooo     +                        +         o
    ooooo    ooooo           ooooo   ooooo
    ooooo    ooooo
 είναι ίσο με 107 στη βάση 8:
     1 ομάδα των 82           0 ομάδες των 8          7 ομάδες των 1
       oooooooo
       oooooooo                                       
       oooooooo
       oooooooo        +                        +      ooooooo             
       oooooooo
       oooooooo                                       
       oooooooo
       oooooooo
Υπάρχει, ωστόσο, μια συντομότερη μέθοδος η οποία είναι ουσιαστικά η παραπάνω μέθοδος υπολογισμένη μαθηματικά. Επειδή εργαζόμαστε σε βάση-10, κανονικά, είναι ευκολότερο να σκεφτούμε αριθμούς με αυτόν τον τρόπο και ως εκ τούτου ευκολότερο να τους μετατρέψουμε σε βάση-10 πρώτα, αν και είναι δυνατόν (αλλά είναι δύσκολο αν κάποιος δεν είναι συνηθισμένος στην βάση στην οποία γίνεται η μετατροπή) να γίνει μετατροπή απευθείας μεταξύ των μη-δεκαδικών βάσεων χωρίς τη χρήση αυτού του ενδιάμεσου βήματος. (Ωστόσο, η μετατροπή από βάσεις όπως 8, 16 ή 256 σε βάση-2 μπορεί να επιτευχθεί με το να γράφεται κάθε ψηφίο σε δυαδικό σύστημα, και στη συνέχεια, η μετατροπή από τη βάση-2 σε π.χ βάση-16 μπορεί να επιτευχθεί με το γράψιμο κάθε ομάδας τεσσάρων δυαδικών ψηφίων ως ένα δεκαεξαδικό ψηφίο.)

Ένας αριθμός anan−1...a2a1a0 όπου τα a0, a1 ... an είναι όλα ψηφία σε μία βάση b (σημειώστε ότι εδώ, ο δείκτης δεν αναφέρεται στον αριθμό βάσης, αναφέρεται στο πλήθος των διαφορετικών αντικειμένων), ο αριθμός μπορεί να αντιπροσωπεύεται σε οποιαδήποτε άλλη βάση, συμπεριλαμβανομένης και της δεκαδικής, με:

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα:

Για την μετατροπή από δεκαδική σε άλλη βάση, κάποιος πρέπει απλά να ξεκινήσει διαιρώντας με την τιμή της άλλης βάσης, στη συνέχεια, διαιρώντας το αποτέλεσμα του πρώτου τμήματος και βλέποντας το υπόλοιπο, και ούτω καθεξής, μέχρι η βάση να είναι μεγαλύτερη από το αποτέλεσμα (οπότε το αποτέλεσμα της διαίρεση θα είναι μηδέν). Στη συνέχεια, ο αριθμός στην επιθυμητή βάση είναι το υπόλοιπο, η πιο σημαντική τιμή είναι το ένα που αντιστοιχεί στο τελευταίο τμήμα και η λιγότερο σημαντική τιμή είναι το υπόλοιπο του πρώτου τμήματος.

Παράδειγμα #1 δεκαδικό σε επταδικό:

Παράδειγμα #2 δεκαδικό σε οκταδικό:

Το πιο κοινό παράδειγμα είναι αυτό της μετατροπής από δεκαδικό σε δυαδικό.

Άπειρες αναπαραστάσεις

Οι αναπαραστάσεις των μη-ακέραιων αριθμών μπορούν να επεκταθούν ώστε να επιτρέπουν μια μη πεπερασμένη σειρά ψηφίων μετά το σύμβολο που χωρίζει το δεκαδικό από το κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, ο 1.12112111211112... με βάση 3 αντιπροσωπεύει το άθροισμα τις άπειρης σειράς:

1×30+

1×3−1+2×3−2+

1×3−3+1×3−4+2×3−5+

1×3−6+1×3−7+1×3−8+2×3−9+

1×3−10+1×3−11+1×3−12+1×3−13+2×3−14+....

Καθώς μια άπειρη σειρά ψηφίων δεν μπορεί να γραφεί ολόκληρη λεπτομερώς, οι τελείες (...) υποδηλώνουν τα ψηφία που παραλείπονται, τα οποία μπορεί ή όχι να ακολουθούν μια συγκεκριμένη διάταξη. Μια τέτοια συνήθης διάταξη είναι όταν μια πεπερασμένη σειρά ψηφίων επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Αυτό συμβολίζεται με μια μπάρα πάνω από το επαναλαμβανόμενο τμήμα του αριθμού:

 5=2.42314314314314314...5

Στο δεκαδικό σύστημα αυτού του είδους οι αριθμοί ονομάζονται περιοδικοί ή επαναλαμβανόμενοι δεκαδικοί.
Ένας άρρητος αριθμός έχει μια άπειρη μη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταση σε οποιαδήποτε ακέραια βάση.Το αν ένας ρητός αριθμός έχει πεπερασμένη αναπαράσταση ή απαιτεί μια άπειρη επαναλαμβανόμενη αναπαράσταη εξαρτάται από την βάση. Για παράδειγμα, το ένα τρίτο μπορεί να γραφεί με τους εξής τρόπους:

0.13

10=0.33333....10

ή με την βάση να εννοείτε ως:

=0.33333....

2=0.010101...2

0.26

Για ακεραίους p και q με ΜΚΔ(p,q)=1, το κλάσμα p/q έχει μια πεπερασμένη αναπαράσταση σε βάση b, αν και μόνο αν οι πρώτοι παράγοντες του q είναι επίσης πρώτοι παράγοντες του b.

Για δοθείσα βάση, κάθε αριθμός που αναπαρίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό ψηφίων(χωρίς να χρησιμοποιείται το σύμβολο της μπάρας), έχει πολλές δυνατές αναπαραστάσεις, ανάμεσα στις οποίες υπάρχουν μια ή δυο πεπερασμένες:

1.Ένας πεπερασμένος ή ένας άπειρος αριθμός που τα τελευταία του ψηφία είναι μηδενικά μπορεί να γραφτεί:
3.467=3.4607=3.4600007=

2.Τo τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο μπορεί να μειωθεί κατά ένα και έπειτα τοποθετούνται άπειρα ψηφία, το καθένα μικρότερο κατά ένα σε αξία από την βάση(ή αντικαθιστούν τα μηδενικά ψηφία που ακολουθούν):

3.467=7

110=10

2205=5

Εφαρμογές

Δεκαδικό σύστημα

Στο δεκαδικό(βάση 10) ινδο-αραβικό αριθμητικό σύστημα, κάθε θέση ξεκινώντας από τα δεξιά είναι και μια μεγαλύτερη δύναμη του 10. Η πρώτη από τα δεξιά θέση παριστάνει το 100 (1), η δεύτερη το 101 (10), η τρίτη το 102 (10×10 ή 100), η τέταρτη το 103 (10×10×10 ή 1000) κτλ.

Τα ψηφία που βρίσκονται στο κλασματικό μέρος διαχωρίζονται από το ακέραιο με ένα σύμβολο, το οποίο μπορεί να έχει διάφορες μορφές.Συνήθως αυτό το διαχωριστικό σύμβολο είναι μια τελεία ή ένα κόμμα.Τα ψηφία που βρίσκονται στα δεξιά του πολλαπλασιάζονται με το 10 υψωμένο σε αρνητική δύναμη. Η πρώτη θέση δεξιά του συμβόλου υποδηλώνει το 10−1 (0.1), η δεύτερη το 10−2 (0.01) κτλ.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 2674 στο δεκαδικό σύστημα είναι:

(2×103)+(6×102)+(7×101)+(4×100)

ή

(2×1000)+(6×100)+(7×10)+(4×1)

Εξηκονταδικό Σύστημα 
Το σύστημα εξηκονταδικών ή βάσης-60 χρησιμοποιήθηκε για τα ακέραια και τα κλασματικά τμήματα των Βαβυλωνιακών αριθμών και άλλων Μεσοποτάμιων συστημάτων, από ελληνιστικούς αστρονόμους χρησιμοποιώντας ελληνικό σύστημα αρίθμησης μόνο για το κλασματικό μέρος, και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται για το μοντέρνο χρόνο και τις γωνίες, αλλά μόνο για λεπτά και δευτερόλεπτα. Ωστόσο, δεν είναι όλες αυτές οι χρήσεις θεσιακές.

Ο μοντέρνος χρόνος διαχωρίζει κάθε θέση από την άνω και κάτω τελεία ή το σημείο. Για παράδειγμα, ο χρόνος μπορεί να είναι 10:25:59 (10 ώρες και 25 λεπτά και 59 δευτερόλεπτα). Οι γωνίες χρησιμοποιούν παρόμοιο σύστημα. Για παράδειγμα, μία γωνία μπορεί να είναι 10 ° 25'59 "(10 μοίρες 25 λεπτά 59 δευτερόλεπτα). Και στις δύο περιπτώσεις, μόνο τα λεπτά και τα δευτερόλεπτα χρησιμοποιούν εξηκονταδικό σύστημα - οι γωνιακοί βαθμοί μπορεί να είναι μεγαλύτεροι από 59 (μία περιστροφή γύρω από ένα κύκλο είναι 360 ° , δύο περιστροφές είναι 720 °, κλπ), και ο χρόνος και οι γωνίες χρησιμοποιούν δεκαδικά κλάσματα του δευτερολέπτου.  Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται από τους Ελληνιστικούς και της Αναγέννησης αστρονόμους, οι οποίοι χρησιμοποιούν τρίτα, τέταρτα, κλπ για ακριβέστερες προσαυξήσεις. Όπου εμείς θα γράφαμε 10 ° 25'59.392 ", αυτοί θα έγραφταν 10 ° 25'59" 23 '' '31' '' '12' '' '' ή 10 ° 25I59II23III31IV12V.

Χρησιμοποιώντας ένα ψηφιακό σύνολο ψηφίων με πεζά και κεφαλαία γράμματα επιτρέπεται η σύντομη σημειογραφία για τους εξηκονταδικούς αριθμούς, π.χ. το 10:25:59 γίνεται «Arz» (παραλείποντας τα Ι και Ο, αλλά όχι και τα ο i), το οποίο είναι χρήσιμο για χρήση σε URLs, κ.λπ., αλλά δεν είναι πολύ κατανοητή από τον άνθρωπο.

Στη δεκαετία του 1930, ο Otto Neugebauer εισήγαγε ένα σύγχρονο σύστημα συμβολισμών για τους Βαβυλωνιακούς και τους Ελληνιστικούς αριθμούς που αντικαθιστά τη σύγχρονη δεκαδική μορφή 0-59 σε κάθε θέση, ενώ χρησιμοποιώντας ένα ερωτηματικό (;) για το διαχωρισμό των ακεραίων και κλασματικών τμημάτων του αριθμού και χρησιμοποιώντας ένα κόμμα (,) για το διαχωρισμό των θέσεων σε κάθε τμήμα. Για παράδειγμα, ο μέσος συνοδικός μήνας που χρησιμοποιείται τόσο από τους Βαβυλωνιακούς όσο και τους Ελληνιστικούς αστρονόμους και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στο εβραϊκό ημερολόγιο είναι 29; 31,50,8,20 ημέρες, και η γωνία που χρησιμοποιείται στο παραπάνω παράδειγμα θα μπορούσε να γραφτεί ως 10; 25,59, 23,31,12 βαθμούς.

Πληροφορική 
Στην πληροφορική, το δυαδικό (βάση-2), οκταδικό (base-8) και δεκαεξαδικό (base-16) είναι βάσεις που χρησιμοποιούνται πιο συχνά. Οι υπολογιστές, σε πιο βασικό επίπεδο, ασχολούνται μόνο με ακολουθίες συμβατικών μηδενικών και μονάδων, και κατά συνέπεια είναι πιο εύκολο με την έννοια αυτή, να ασχοληθούν με δυνάμεις του δύο. Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιείται σαν "συντομογραφία" του δυαδικού - κάθε 4 δυαδικά ψηφία (bits) αφορούν ένα και μόνο ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Σε δεκαεξαδικό, τα έξι ψηφία μετά το 9 συμβολίζονται με Α, Β, C, D, Ε, και F (και μερικές φορές με a, b, c, d, e, και f).

Το οκταδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιείται επίσης ως ένας άλλος τρόπος για να αντιπροσωπεύουμε δυαδικούς αριθμούς. Στην περίπτωση αυτή, η βάση είναι 8 και ως εκ τούτου μόνο τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, και 7 χρησιμοποιήθηκαν. Κατά τη μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό κάθε 3 bits αφορούν ένα και μόνο ένα οκταδικό αριθμό.

Άλλες βάσεις

Τα συστήματα με βάση 12(δωδεκαδικά) έχουν γίνει δημοφιλή λόγω της ευκολίας στους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις συγκριτικά με το δεκαδικό σύστημα, ενώ οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις παραμένουν εξίσου εύκολες.Το 12 συνιστά μια χρήσιμη βάση γιατί έχει πολλούς διαιρέτες.Είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των ένα, δύο, τρία, τέσσερα και έξι. Στα αγγλικά υπάρχει ακόμα και ειδική λέξη,η "dozen"(όπως στα ελληνικά,"ντουζίνα") για την περιγραφή του 12, και κατ' αναλογία με τη λέξη που χρησιμοποιείται για το 102, δηλαδή "hundred"("εκατό"),για το 122 χρησιμοποιείται η λέξη "gross". Το κανονικό δωδεκάωρο ρολόι καθώς και η συχνή χρήση του δώδεκα στις αγγλικές μονάδες, τονίζει τη χρησιμότητα της βάσης αυτής. Επιπλέον, πριν τη μετατροπή του στο δεκαδικό, το παλιό Βρετανικό νόμισμα, η Στερλίνα ή αλλιώς λίρα Αγγλίας, χρησιμοποιούσε μερικώς τη βάση 12: υπήρχαν 12 πένες(d) στερλίνας σε ένα σελίνι (s),20 σελίνια σε μια λίρα(£) και άρα 240 πένες σε μια λίρα. Γι' αυτό και η ονομασία LSD ή πιο σωστά £sd.

Ο πολιτισμός των Μάγια και άλλοι προ-Κολομβιανοί Μεσοαμερικανικοί πολιτισμοί χρησιμοποιούσαν το σύστημα με βάση 20(εικοσαδικό), όπως και πολλές φυλές από τη Βόρεια Αμερική(δύο από αυτές στη νότια Καλιφόρνια).Αποδείξεις για την ύπαρξη του αριθμητικού συστήματος με βάση 20 βρέθηκαν επίσης και σε γλώσσες της κεντρικής και δυτικής Αφρικής.

Υπολείμματα ενός Γαλατικού συστήματος με βάση 20 υπάρχουν επίσης στη Γαλλία, όπως φαίνεται σήμερα από τα ονόματα των αριθμών μεταξύ του 60 και του 99. Για παράδειγμα, το εξήντα πέντε είναι "soixante-cinq"(δηλαδή, "εξήντα" και "πέντε"), ενώ το εβδομήντα πέντε είναι "soixante-quinze"("εξήντα" και "δεκαπέντε"). Επιπλέον, για κάθε αριθμό μεταξύ του 80 και του 99, ο αριθμός που βρίσκεται στη θέση των δεκάδων εκφράζεται σαν πολλαπλάσιο του 20(κατά κάποιο τρόπο παρόμοιο με τον αρχαϊκό Αγγλικό τρόπο ομιλίας των "scores"("εικοσάδων"), πιθανότατα προερχόμενο από το υποβόσκον Κελτικό σύστημα).Για παράδειγμα, το οδόντα δύο είναι "quatre-vingt-deux"(δηλαδή, "τέσσερις εικοσάδες" και "δύο"), ενώ το ενενήντα δύο είναι "quatre-vingt-douze"(δηλαδή, "τέσσερις εικοσάδες" και "δώδεκα"). Στην παλιά Γαλλική γλώσσα,το σαράντα εκφραζόταν ως δύο εικοσάδες, το εξήντα τρεις εικοσάδες, το πενήντα τρία ως δύο εικοσάδες και δεκατρία κτλ.

Η Ιρλανδική γλώσσα επίσης χρησιμοποιούσε τη βάση 20 στο παρελθόν, με το είκοσι να γράφεται "fichid", το σαράντα "dhá fhichid",το εξήντα " trí fhichid" και το ογδόντα "ceithre fhichid". Ένα υπόλειμμα αυτού του συστήματος φαίνεται σήμερα στην ονομασία του σαράντα "daoichead".

Η Ουαλική γλώσσα συνεχίζει να χρησιμοποιεί το αριθμητικό σύστημα με βάση 20, κυρίως σε ημερομηνίες,ηλικίες και σε κοινές φράσσεις. Ο αριθμός 15 είναι επίσης σημαντικός,με τα 16-19 να γράφονται "ένα στο 15","δύο στο δεκαπέντε" κτλ. Το 18 είναι κανονικά δύο εννιά.Ένα δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιείται επίσης συχνά.

Οι Δανικοί αριθμοί παρουσιάζουν μια δομή παρόμοια με αυτή της βάσης 20.

Η γλώσσα των Μαορί της Νέας Ζηλανδίας περιλαμβάνει επίσης αποδείξεις για ένα υποβόσκον σύστημα βάσης 20, όπως φαίνεται στις φράσεις "Te Hokowhitu a Tu"(οι επτά εικοσάδες του Τu) που αναφέρεται σε μια εκδήλωση πολέμου και "Tama-hokotahi"(ο ένας άντρας είναι ισοδύναμος με 20),που χρησιμοποιείται για να περιγράψει έναν γενναίο πολεμιστή.

Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιούνταν από το Αρχαίο Αιγυπτιακό Βασίλειο, το 3000 π.Χ. μέχρι το 2050 π.Χ.Ήταν ένας τρόπος γραφής με κυρτά, καμπυλωμένα, ενωμένα γράμματα στον οποίο στρογγυλοποιούσαν τους ρητούς μικρότερους του 1 σε 1/2+1/4+1/8+1/16+1/36+1/64, με το 1/64 να παραλείπεται(ονομαζόταν το μάτι του Ρα.)

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούσαν οι Αυστραλοί Ιθαγενείς περιελάμβανε τη χρήση του δυαδικού συστήματος ή συστημάτων παρόμοιων με αυτό.Για παράδειγμα, στη γλώσσα Kalaw Lagaw Ya, οι αριθμοί ένα έως έξι είναι urapon, ukasar, ukasar-urapon, ukasar-ukasar, ukasar-ukasar-urapon, ukasar-ukasar-ukasar.

Οι Ιθαγενείς τις Βόρειας και Κεντρικής Αμερικής χρησιμοποιούσαν την βάση 4 (τετραδικό σύστημα) για την αναπαράσταση των τεσσάρων βασικότερων κατευθύνσεων.Οι Μεσοαμερικανοί συνήθιζαν να προσθέτουν ένα δεύτερο σύστημα με βάση το 5 για να δημιουργήσουν ένα τροποποιημένο σύστημα βάσης 20.

Το πενταδικό σύστημα αρίθμησης έχει χρησιμοποιηθεί από πολλούς πολιτισμούς για μετρήσεις.Είναι βασισμένο απλά στον αριθμό των ψηφίων του ανθρώπινου χεριού.Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως υπο-βάση άλλων βάσεων, όπως η βάση του 10,η βάση του 20 και η βάση του 60.

Το Οκταδικό σύστημα επινοήθηκε από την φυλή "Yuki" της Βόρειας Καλιφόρνια, που χρησιμοποιούσαν τα κενά ανάμεσα στα δάχτυλα για να μετράνε και τα οποία αντιστοιχούσαν στους αριθμούς 1 έως 8. Υπάρχουν επίσης γλωσσικές αποδείξεις ότι την εποχή του χαλκού,οι πρωτο-ινδοευρωπαίοι(από όπου κατάγονται οι περισσότερες Ευρωπαϊκές και Ινδικές γλώσσες) μπορεί να αντικατέστησαν ένα οκταδικό σύστημα( ή ένα σύστημα όπου μπορούσες να μετρήσεις μέχρι το 8) με ένα δεκαδικό σύστημα.Η απόδειξη είναι ότι η λέξη που χρησιμοποιούνταν για τον αριθμό 9,"newm",έχει υποτεθεί ότι προκύπτει από την λέξη "new"("νέος"),newo-, υποδηλώνοντας ότι ο αριθμός 9 είχε ανακαλυφθεί πρόσφατα και γι' αυτό αποκαλούνταν "new number"("νέος αριθμός").

Πολλά αρχαία αριθμητικά συστήματα χρησιμοποιούσαν το πέντε ως πρωτεύουσα βάση, ιδέα που σχεδόν σίγουρα προέρχεται από τον αριθμό των δαχτύλων στο ανθρώπινο χέρι.Συχνά, αυτά τα συστήματα συμπληρώνονταν από μια δευτερεύουσα βάση,μερικές φορές δέκα και άλλες φορές είκοσι.Σε μερικές Αφρικανικές χώρες,η λέξη για το πέντε είναι ίδια με τη λέξη "χέρι" ή "πρώτος"(γλώσσα "Dyola" της Γουινέα-Μπισσάου,γλώσσα "Banda" τηςΚεντρική Αφρική).Η αρίθμηση συνεχίζεται προσθέτοντας 1,2,3 ή 4 σε συνδυασμούς του 5, μέχρι να φτάσεις τη δευτερεύουσα βάση.Στην περίπτωση του είκοσι,η αντίστοιχη λέξη συχνά σημαίνει "ολοκληρωμένος άνθρωπος".Αυτό το σύστημα συχνά αναφέρεται ως "quinquavigesima".Μπορούμε να το βρούμε σε πολλές γλώσσες της περιοχής του Σουδάν.

Η γλώσσα "Telefol",της Παπούα Νέα Γουινέα, είναι αξιοσημείωτη για την χρήση ενός αριθμητικού συστήματος με βάση το 27.

Μη-πρότυπα θεσιακά αριθμητικά συστήματα 
Κύριο άρθρο: Μη-πρότυπα θεσιακά αριθμητικά συστήματα

Ενδιαφέρουσες ιδιότητες υπάρχουν όταν η βάση δεν είναι σταθερή ή θετική και όταν οι ομάδες συμβολισμών ψηφίων δηλώνουν αρνητικές τιμές. Υπάρχουν πολλές περισσότερες παραλλαγές. Τα συστήματα αυτά είναι πρακτικής και θεωρητικής αξία τους επιστήμονες της πληροφορικής.

Το ισορροπημένο τριαδικό χρησιμοποιεί μια βάση του 3, αλλά το σύνολο ψηφίων είναι το {_1,0,1} αντί για το {0,1,2}. Το "_1" έχει ισοδύναμη αξία με το -1. Η άρνηση ενός αριθμού διαμορφώνεται εύκολα με την αλλαγή της _ στο 1s. Αυτό το σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος ισορροπίας, το οποίο απαιτεί την εύρεση ενός ελάχιστου συνόλου γνωστών μετρητών-βάρους για να προσδιοριστεί ένα άγνωστο βάρος. Βάρη από 1, 3, 9, ... 3n  γνωστές μονάδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να καθορίσουν ένα άγνωστο βάρος έως και 1 + 3 + ... + 3n  μονάδες. Ένα βάρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στις δύο πλευρές της ισορροπίας ή και καθόλου. Τα βάρη που χρησιμοποιούνται στο δίσκο του ζυγού έχουν το άγνωστο βάρος να ορίζεται με _1, με 1 αν χρησιμοποιηθεί για τον άδειο δίσκο, και με 0 αν δεν χρησιμοποιείται καθόλου. Αν ένας άγνωστο βάρος W εξισορροπείται με 3 (31) στον ένα δίσκο και με 1 και 27 (30 και 33) στον άλλον, τότε το βάρος του σε δεκαδικό είναι 25 ή 1011 σε ισορροπημένη βάση-3. (10113 = 1 × 33 + 0 × 32 − 1 × 31 + 1 × 30 = 25).

Το παραγοντικό αριθμητικό σύστημα χρησιμοποιεί μία διαφορετική βάση radix, δίνοντας τα παραγοντικά ως τιμές-θέσης που σχετίζονται με το Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων και υπολειμμάτων των συνόλων αριθμητικών συστημάτων. Αυτό το σύστημα απαριθμεί αποτελεσματικά τις μεταθέσεις. Ένα παράγωγο αυτού χρησιμοποιεί τους Πύργους Ανόι διαμόρφωσης παζλ ως ένα σύστημα καταμέτρησης. Η διαμόρφωση των πύργων μπορεί να τεθεί σε 1-προς-1 αντιστοιχία με το δεκαδικό νούμερο του βήματος στο οποίο λαμβάνει χώρα η διαμόρφωση και το αντίστροφο.

Μη-θεσιακές θέσεις 
Κάθε θέση δε χρειάζεται να είναι θεσιακή. Οι Βαβυλωνιακοί εξηκονταδικοί αριθμοί ήταν θεσιακοί, αλλά σε κάθε θέση βρισκόντουσαν ομάδες των δύο ειδών γραμμών που εκπροσωπούσαν μονάδες και δεκάδες (μια στενή κάθετη γραμμή (|) και μια ανοιχτή αριστερή γραμμή κατάδειξης (<)) - μέχρι 14 χαρακτήρες ανά θέση (5 δεκάδες (<<<<<) και 9 μονάδες (|||||||||) ομαδοποιημένες σε ένα ή δύο κοντινά τετράγωνα που περιέχουν μέχρι τρεις σειρές των συμβόλων, ή μια κάτοχο θέσης (\\) για την έλλειψη μιας θέσης. [9] Οι Ελληνιστές αστρονόμοι χρησιμοποίησαν ένα ή δύο αλφαβητικά ελληνικά συστήματα αρίθμησης για κάθε θέση (ένα που επιλέχθηκε από 5 γράμματα και αντιπροσώπευε τους αριθμούς 10-50 ή / και ένα που επιλέχθηκε από 9 γράμματα κ αντιπροσώπευε τους αριθμούς 1-9, ή ένα μηδενικό-σύμβολο).[10]

Βλέπε επίσης 
Παραδείγματα:
 Λίστα αριθμητικών συνόλων 
 Κατηγορία: Θεσιακά αριθμητικά συστήματα
Σχετικά Θέματα:
 Αριθμητικό σύστημα
 Ινδο-Αραβικό αριθμητικό σύστημα
 Μη-πρότυπα θεσιακά αριθμητικά συστήματα
 Mixed radix
 Αλγοριθμητική
 Αφαιρετικά συστήματα

Σημειώσεις 
 Kaplan, Robert. (2000).Το τίποτα που είναι: Μια Φυσική Ιστορία του Μηδέν . Oxford: Oxford University Press.
 ^ Ifrah, σελίδα 187
 ^ Ifrah
 ^ L. F. Menabrea. μετάφραση Ada Augusta, Κόμισσα του Lovelace. "Σκίτσο της Μηχανής Ανάλυσης που εφευρέθηκε από τον Charles Babbage". 1842.
 ^ Το ψηφίο θα διατηρήσει τη σημασία του σε άλλες αριθμητικές βάσεις, σε γενικές γραμμές, επειδή μια υψηλότερη αριθμητική βάση θα έπρεπε κανονικά να είναι μία συμβολική επέκταση της μικρότερης αριθμητικής βάσης σε οποιοδήποτε σύστημα οργάνωσης. Στις μαθηματικές επιστήμες υπάρχει ουσιαστικά μόνο ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης για κάθε βάση κάτω από το 10, και αυτό επεκτείνεται με λίγες, αν και ασήμαντες, παραλλαγές για την επιλογή των αλφαβητικών ψηφίων για αυτές τις βάσεις άνω του 10.
 ^ Συνήθως δεν αφαιρούμε τα ψηφία πεζό "l" και πεζό "o", για τις περισσότερες γραμματοσειρές που διακρίνονται από τα ψηφία "1" και "0".
 ^ Barrow, John D. (1992), π στον ουρανό: μετρώ, σκέφτομαι και υπάρχω (Pi in the sky: counting, thinking, and being), Clarendon Press, σ. 38, ISBN 9780198539568.
 ^ (Mallory & Adams 1997)Εγκυκλοπαίδεια του Ινδο-Ευρωπαϊκού Πολιτισμού (Encyclopedia of Indo-European Culture)
 ^ Ifrah, σελίδες 326, 379
 ^ Ifrah, σελίδες 261-264

Αναφορές 
 O'Connor, John; Robertson, Edmund (December 2000). "Babylonian Numerals". Retrieved 21 August 2010.
 Kadvany, John (December 2007). "Positional Value and Linguistic Recursion". Journal of Indian Philosophy.
 Knuth, Donald (1997). The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. pp. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
 Ifrah, George (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 0-471-37568-3.
 Kroeber, Alfred (1976) [1925]. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. p. 176. ISBN 9780486233680.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

Συστήματα αρίθμησης
Μαθηματικός συμβολισμός