Κλίση συνάρτησης

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι . Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι

για δύο οποιαδήποτε σημεία  , όταν  διάφορο  .Αν   Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής)
συνάρτησης  σε κάποιο σημείο  είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο  με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο   κοντά στο  η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία
 και  έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο  στο σημείο , τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου  στο σημείο  και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως

Η τιμή  ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης  στο σημείο . Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το  τείνει στο . Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση  ονομάζεται διαφορίσιμη, αν δεν υπάρχει το όριο , μη διαφορίσιμη. 

Στοιχειώδη μαθηματικά
Αναλυτική γεωμετρία