Θεωρία του χάους

Η Θεωρία του Χάους είναι ένας τομέας στα μαθηματικά, με διάφορες εφαρμογές σε κλάδους επιστημών όπως η φυσική, η μηχανολογία, τα οικονομικά και η βιολογία.

Χαοτική δυναμική 
Η θεωρία του Χάους μελετά τη συμπεριφορά ορισμένων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, που είναι ιδιαίτερα ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες, ένα αποτέλεσμα το οποίο ευρέως αναφέρεται ως το φαινόμενο της πεταλούδας. Μικρές διαφορές στις αρχικές συνθήκες (όπως αυτές που οφείλονται σε σφάλματα στρογγυλοποίησης σε αριθμητικούς υπολογισμούς) αποδίδουν πολύ διαφορετικά αποτελέσματα για τα δυναμικά συστήματα, καθιστώντας τη μακροπρόθεσμη πρόβλεψη αδύνατη σε γενικές γραμμές. Αυτό συμβαίνει παρ' όλο που αυτά τα συστήματα είναι αιτιοκρατικά ("ντετερμινιστικά"), πράγμα που σημαίνει ότι η μελλοντική συμπεριφορά τους καθορίζεται πλήρως από τις αρχικές συνθήκες τους, χωρίς να εμπλέκονται τυχαίες παράμετροι. Με άλλα λόγια, η ντετερμινιστική φύση αυτών των συστημάτων δεν τα κάνει προβλέψιμα. Αυτή η συμπεριφορά είναι γνωστή ως ντετερμινιστικό χάος, ή απλά χάος. Αυτό συνοψίζεται από τον Έντουαρντ Λόρεντζ ως εξής:
Χάος: Όταν το παρόν καθορίζει το μέλλον, αλλά η προσέγγιση του παρόντος δεν προσδιορίζει κατά προσέγγιση το μέλλον.

Χαοτική συμπεριφορά μπορεί να παρατηρηθεί σε πολλά φυσικά συστήματα, όπως ο καιρός, η ατμόσφαιρα, το ηλιακό σύστημα, οι τεκτονικές πλάκες, τα οικονομικά συστήματα και η εξέλιξη (μεταβολή) των πληθυσμών.

Επεξήγηση μιας τέτοιας συμπεριφοράς μπορεί να επιδιωχθεί μέσω της ανάλυσης ενός χαοτικού μαθηματικού μοντέλου, ή μέσω τεχνικών όπως διαγράμματα επανάληψης (recurrence plots) και τομές Πουανκαρέ (Poincaré maps).

Τα συστήματα που παρουσιάζουν μαθηματικό χάος είναι ντετερμινιστικά και επομένως εύτακτα υπό μια έννοια. Αυτή η τεχνική χρήση του όρου "χάος" διαφωνεί με την καθομιλουμένη, στην οποία το χάος υποδηλώνει την παντελή έλλειψη τάξης. Όταν λέγεται ότι η θεωρία του χάους μελετά ντετερμινιστικά συστήματα, είναι απαραίτητο να αναφέρεται και το συγγενές πεδίο της φυσικής που λέγεται Κβαντική θεωρία του Χάους και μελετά μη αιτιοκρατικά συστήματα σύμφωνα με τους νόμους της Κβαντομηχανικής.

Στην γενική χρήση, "χάος" σημαίνει "μια κατάσταση διαταραχής". Ωστόσο, στην θεωρία του χάους, ο όρος αυτός ορίζεται με μεγαλύτερη ακρίβεια. Αν και δεν υπάρχει καθολικά αποδεκτός μαθηματικός ορισμός του χάους, ένας κοινά αποδεκτός ορισμός (Devaney) λέει ότι, για να χαρακτηριστεί η συμπεριφορά ένος σύστηματος ως χαοτική, πρέπει να έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

 πρέπει να παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες
 πρέπει να είναι τοπολογικά μεταβατικό
 πρέπει να εμφανίζει ένα πυκνό σύνολο (dense set) που αποτελείται από όλες τις περιοδικές τροχιές του συστήματος

Η απαίτηση για ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες συνεπάγεται ότι υπάρχει μια σειρά από αρχικές συνθήκες με θετικό μέτρο που δεν συγκλίνουν σε μία περίοδο οποιουδήποτε μήκους.

Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες 
Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες σημαίνει ότι το κάθε σημείο σε ένα τέτοιο σύστημα είναι αυθαίρετα στενά προσεγγίσιμο από άλλα σημεία με σημαντικά διαφορετικές μελλοντικές τροχιές. Έτσι, μια αυθαίρετα μικρή διαταραχή της τρέχουσας τροχιάς μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά διαφορετική μελλοντική συμπεριφορά. Ωστόσο, έχει αποδειχθεί ότι οι δύο τελευταίες ιδιότητες στην παραπάνω λίστα συνεπάγονται πράγματι ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες και εάν η προσοχή περιοριστεί στα χρονικά διαστήματα τότε η δεύτερη ιδιότητα υποδηλώνει τις άλλες δύο (ένας εναλλακτικός, και γενικά ασθενέστερος, ορισμός του χάους χρησιμοποιεί μόνο τις πρώτες δύο ιδιότητες της παραπάνω λίστας). Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι η πρακτικά πιο σημαντική προϋπόθεση, αυτή της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες, είναι στην ουσία περιττή στον ορισμό, αφού υπονοείται από δύο (ή για τα χρονικά διαστήματα, μία) καθαρά τοπογραφικές συνθήκες, οι οποίες είναι ως εκ τούτου μεγαλύτερου ενδιαφέροντος για τους μαθηματικούς.

Η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες είναι γνωστή ως το "φαινόμενο της πεταλούδας", που ονομάζεται έτσι εξαιτίας της εργασίας που παρέδωσε ο Έντουαρντ Λόρεντζ το 1972 στην Αμερικανική Ένωση για την Πρόοδο της Επιστήμης (American Association for the Advancement of Science) στην Ουάσιγκτον, Π.Κ., με τίτλο "Προβλεψιμότητα: Μήπως το χτύπημα των φτερών μιας πεταλούδας στη Βραζιλία, μπορεί να προκαλέσει έναν τυφώνα στο Τέξας;". Το χτύπημα των φτερών αντιπροσωπεύει μια μικρή αλλαγή στην αρχική κατάσταση του συστήματος, η οποία προκαλεί μια αλυσίδα γεγονότων που οδηγούν σε μεγάλης κλίμακας φαινόμενα. Αν δεν είχε χτυπήσει τα φτερά της η πεταλούδα, η τροχιά του συστήματος θα μπορούσε να ήταν πολύ διαφορετική.

Μια συνέπεια της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες είναι ότι αν αρχίσουμε με μόνο μια πεπερασμένη ποσότητα πληροφοριών σχετικά με το σύστημα (όπως γίνεται συνήθως στην πράξη), τότε, πέρα από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, το σύστημα δεν θα είναι πια προβλέψιμο. Αυτό είναι πλέον οικείο στην πρόβλεψη του καιρού, η οποία είναι γενικώς δυνατή μόνο περίπου μια εβδομάδα πριν.

Ο εκθέτης Lyapunov χαρακτηρίζει την έκταση της ευαισθησίας στις αρχικές συνθήκες. Ποσοτικώς, δύο τροχιές εντός του χώρου φάσης με αρχικό διαχωρισμό  αποκλίνουν 

όπου λ είναι ο εκθέτης Lyapunov. Ο ρυθμός διαχωρισμού μπορεί να είναι διαφορετικός για διαφορετικούς προσανατολισμούς του αρχικού φορέα διαχωρισμού. Έτσι, υπάρχει ένα ολόκληρο φάσμα από εκθέτες Lyapunov - ο αριθμός των οποίων είναι ίσος με τον αριθμό των διαστάσεων του χώρου φάσης. Είναι σύνηθες να αναφέρεται μόνο ο μεγαλύτερος, δηλαδή ο μέγιστος εκθέτης Lyapunov (ΜΕΛ), διότι αυτός καθορίζει τη συνολική προβλεψιμότητα του συστήματος. Ένας θετικός μέγιστος εκθέτης Lyapunov συνήθως λαμβάνεται ως ένδειξη ότι το σύστημα είναι χαοτικό.

Τοπολογική Μεταβατικότητα 
Τοπολογική μεταβατικότητα (ή τοπολογική ανάμειξη), σημαίνει ότι το σύστημα θα εξελιχθεί με την πάροδο του χρόνου, έτσι ώστε κάθε συγκεκριμένη περιοχή ή ανοιχτό σύνολο του χώρου φάσης τελικά θα συμπίπτει με οποιαδήποτε άλλη περιοχή. Αυτή η μαθηματική έννοια της "ανάμειξης" αντιστοιχεί στην κοινή διαίσθηση, και η ανάμειξη των έγχρωμων βαφών ή υγρών είναι ένα παράδειγμα ενός χαοτικού συστήματος.

Η τοπολογική ανάμειξη συχνά παραλείπεται από διαδεδομένες περιγραφές του χάους, που εξισώνουν το χάος με την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Ωστόσο, η ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες δεν δίνει από μόνη της το χάος. Για παράδειγμα, σκεφτείτε το απλό σύστημα δυναμικών που παράγεται διπλασιάζοντας επανειλημμένα την αρχική τιμή. Αυτό το σύστημα έχει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες παντού, δεδομένου ότι κάθε ζεύγος κοντινών σημείων τελικά θα διαχωριστεί διεξοδικά. Ωστόσο, αυτό το παράδειγμα δεν έχει τοπολογική ανάμειξη, και ως εκ τούτου δεν έχει κανένα χάος. Πράγματι, έχει εξαιρετικά απλή συμπεριφορά: όλα τα σημεία, εκτός από το 0 θα τείνουν προς το θετικό ή αρνητικό άπειρο.

Πυκνότητα των περιοδικών τροχιών 
Η πυκνότητα των περιοδικών τροχιών σημαίνει ότι κάθε σημείο στο χώρο προσεγγίζεται αυθαίρετα στενά από περιοδικές τροχιές. Η μονοδιάστατη λογιστική απεικόνιση που ορίζεται από x → 4 x (1 – x) είναι ένα από τα απλούστερα συστήματα με πυκνότητα των περιοδικών τροχιών. Για παράδειγμα,  →  →  (ή περίπου 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) είναι μία (ασταθής) τροχιά περιόδου 2, και παρόμοιες τροχιές υπάρχουν για περιόδους 4, 8, 16, κλπ. (μάλιστα, για όλες τις περιόδους που καθορίζονται από το θεώρημα του Sharkovskii).

Το θεώρημα Sharkovskii είναι η βάση της απόδειξης των Li και Yorke (1975) ότι κάθε μονοδιάστατο σύστημα το οποίο παρουσιάζει τακτικό κύκλο της περιόδου 3, θα εμφανίσει επίσης τακτικoύς κύκλους για κάθε άλλο μήκος περιόδου, καθώς επίσης και εντελώς χαοτικές τροχιές.

Ελκυστές 
Ένας τρόπος να παρουσιάσουμε οπτικά την χαοτική κίνηση ή οποιαδήποτε άλλη κίνηση, είναι η κατασκευή ενός διαγράμματος φάσης της κίνησης. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα υπεισέρχεται σιωπηρά ο χρόνος και σε κάθε άξονα αναπαρίσταται μια μεταβλητή της κατάστασης. Για παράδειγμα, θα μπορούσε κάποιος να αναπαραστήσει την θέση ενός εκκρεμούς σε σχέση με την ταχύτητά του. Ένα εκκρεμές σε ακινησία θα σχεδιαστεί ως ένα σημείο και ένα σε περιοδική κίνηση θα σχεδιαστεί ως απλή κλειστή καμπύλη. Όταν ένα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστή καμπύλη, η καμπύλη λέγεται τροχιά. Το εκκρεμές μπορεί να παρουσιάσει άπειρες τέτοιες τροχιές.
Συχνά τα διαγράμματα φάσης αποκαλύπτουν ότι στην πλειοψηφία τους οι τροχιές καταλήγουν να πλησιάζουν ένα κοινό όριο. Το σύστημα τελικά εκτελεί την ίδια κίνηση για όλες τις αρχικές καταστάσεις σε μια περιοχή γύρω από την κίνηση, σχεδόν σαν να έλκεται το σύστημα σε αυτή την κίνηση. Μια τέτοια ελκυστική κίνηση καλείται ελκυστής του συστήματος.

Παράξενοι Ελκυστές 

Μερικά δυναμικά συστήματα, όπως η μονοδιάστατη λογιστική απεικόνιση που ορίζεται από x → 4 x (1 - x), είναι χαοτικά παντού, αλλά σε πολλές περιπτώσεις η χαοτική συμπεριφορά παρουσιάζεται μόνο σε ένα υποσύνολο του χώρου φάσεων. Οι περιπτώσεις μεγαλύτερου ενδιαφέροντος προκύπτουν όταν η χαοτική συμπεριφορά λαμβάνει χώρα πάνω σε ένα ελκυστή. Σε αυτή την περίπτωση ένα μεγάλο μέρος των αρχικών συνθηκών θα οδηγήσει σε τροχιές που συγκλίνουν σε αυτή την χαοτική περιοχή.

Ένας εύκολος τρόπος για να απεικονιστεί ένας χαοτικός ελκυστής είναι ξεκινώντας με ένα σημείο στη λεκάνη της έλξης του ελκυστή και συνεχίζοντας με τον απλό σχεδιασμό της μετέπειτα τροχιάς του. Λόγω της κατάστασης της τοπολογικής μεταβατικότητας, αυτό είναι πιθανό να παράγει μια εικόνα ολόκληρου του τελικού ελκυστή, και μάλιστα και οι δύο τροχιές που απεικονίζονται στα δεξιά δίνουν μια εικόνα του γενικού σχήματος του ελκυστή Λόρεντζ. Αυτός ο ελκυστής είναι αποτέλεσμα ενός απλού τρισδιάστατου μοντέλου του καιρικού συστήματος του Λόρεντζ. Ο ελκυστής Λόρεντζ είναι ίσως ένα από τα πιο γνωστά χαοτικά διαγράμματα συστήματος, πιθανώς επειδή δεν ήταν απλά ένα από τα πρώτα, αλλά είναι επίσης ένα από τα πιο πολύπλοκα και ως εκ τούτου οδηγεί σε ένα πολύ ενδιαφέρον μοτίβο που μοιάζει με τα φτερά μιας πεταλούδας.

Σε αντίθεση με τους ελκυστές σταθερού σημείου και τους οριακούς κύκλους, οι ελκυστές που προκύπτουν από τα χαοτικά συστήματα, που είναι γνωστοί ως παράξενοι ελκυστές, έχουν μεγάλη λεπτομέρεια και πολυπλοκότητα. Παράξενοι ελκυστές συμβαίνουν και στα συνεχή δυναμικά συστήματα (όπως το σύστημα Λόρεντζ) και σε ορισμένα διακριτά συστήματα (όπως ο χάρτης Hénon). Άλλα διακριτά δυναμικά συστήματα έχουν μία απωθητική δομή που ονομάζεται σύνολο Τζούλια που διαμορφώνεται στο όριο μεταξύ των λεκανών έλξης των σταθερών σημείων - τα σύνολα Τζούλια μπορούν να θεωρηθούν ως παράξενοι ελκυστές. Τόσο οι παράξενοι ελκυστές όσο και τα σύνολα Τζούλια έχουν συνήθως μια φράκταλ δομή, και μία μορφοκλασματική διάσταση μπορεί να υπολογιστεί για αυτούς.

Ελάχιστη πολυπλοκότητα ενός χαοτικού συστήματος 
Διακριτά χαοτικά συστήματα, όπως η λογιστική απεικόνιση, μπορούν να εμφανίζουν περίεργους ελκυστές ανεξαρτήτως του αριθμού των διαστάσεων τους. Αντίθετα, για τα συνεχή δυναμικά συστήματα, το θεώρημα Πουανκαρέ-Μπέντιξον (Poincaré-Bendixson) δείχνει ότι ένας παράξενος ελκυστής μπορει να προκύψει μόνο σε τρεις ή περισσότερες διαστάσεις.  Γραμμικά συστήματα πεπερασμένων διαστάσεων δεν είναι χαοτικά για να εμφανίσει ένα δυναμικό σύστημα χαοτική συμπεριφορά πρέπει να είναι είτε μη γραμμικό είτε απειροδιάστατο.

Το θεώρημα Πουανκαρέ-Μπέντιξον δηλώνει ότι μία δισδιάστατη διαφορική εξίσωση έχει πολύ συνηθισμένη συμπεριφορά. Ο ελκυστής Λόρεντζ που συζητήθηκε ανωτέρω παράγεται από ένα σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων με συνολικά επτά όρους στη δεξιά πλευρά, πέντε από τους οποίους είναι γραμμικοί όροι και δύο από τους οποίους είναι τετραγωνικοί (και συνεπώς μη γραμμικοί). Ένας άλλος πολύ γνωστός χαοτικός ελκυστής παράγεται από τις εξισώσεις Rossler με επτά όρους στη δεξιά πλευρά, μόνο ένας από τους οποίους είναι (τετραγωνικά) μη γραμμικός. Ο Sprott βρήκε ένα τρισδιάστατο σύστημα με μόλις πέντε όρους στη δεξιά πλευρά, και με έναν μόνο τετραγωνικό μη γραμμικό, το οποίο παρουσιάζει το χάος για ορισμένες τιμές των παραμέτρων. Οι Zhang και Heidel έδειξαν ότι, τουλάχιστον για dissipative και συντηρητικά τετραγωνικά συστήματα, τρισδιάστατα τετραγωνικά συστήματα με μόνο τρεις ή τέσσερις όρους στη δεξιά πλευρά δεν μπορούν να εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Αυτό συμβαίνει διότι, με απλά λόγια, οι λύσεις σε τέτοια συστήματα είναι ασυμπτωτικές σε μία δισδιάστατη επιφάνεια και ως εκ τούτου οι λύσεις συμπεριφέρονται καλά.

Ενώ το θεώρημα Πουανκαρέ-Μπέντιξον σημαίνει ότι ένα συνεχές δυναμικό σύστημα στο Ευκλείδειο επίπεδο δεν μπορεί να είναι χαοτικό, συνεχή συστήματα δύο διαστάσεων με μη-Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να εμφανίζουν χαοτική συμπεριφορά. Ίσως απρόσμενα, το χάος μπορεί να προκύψει και σε γραμμικά συστήματα, υπό την προϋπόθεση ότι είναι απειροδιάστατα. Μια θεωρία του γραμμικού χάους αναπτύσσεται σε έναν κλάδο της μαθηματικής ανάλυσης γνωστό ως συναρτησιακή ανάλυση.

Ιστορία 

Ένας από τους πρώτους υπέρμαχους της θεωρίας του χάους ήταν ο Ανρί Πουανκαρέ. Στη δεκαετία του 1880, ενώ μελετούσε το πρόβλημα των τριών σωμάτων, διαπίστωσε ότι μπορεί να υπάρχουν τροχιές που είναι μη περιοδικές, και όμως δεν αυξάνονται συνεχώς ούτε πλησιάζουν ένα σταθερό σημείο.

Το 1898 ο Jacques Hadamard δημοσίευσε μία ισχυρή μελέτη της χαοτικής κίνησης ενός ελεύθερου σωματιδίου που ολισθαίνει χωρίς τριβή σε μια επιφάνεια συνεχούς αρνητικής καμπυλότητας. Στο σύστημα που μελετήθηκε, "το μπιλιάρδο του Hadamard", ο Hadamard ήταν σε θέση να αποδείξει το ότι όλες οι τροχιές είναι ασταθείς, διότι όλες οι τροχιές των σωματιδίων αποκλίνουν εκθετικά η μία από την άλλη, με έναν θετικό εκθέτη Lyapunov.

Μεγάλο μέρος της προηγούμενης θεωρίας αναπτύχθηκε σχεδόν εξ ολοκλήρου από μαθηματικούς, υπό την ονομασία εργοδική θεωρία. Διεξήχθησαν στη συνέχεια μελέτες για το θέμα των μη γραμμικων διαφορικών εξισώσεων, από τους G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov, M.L. Cartwright και J.E. Littlewood, και Stephen Smale. Με εξαίρεση τη μετέλη του Smale, όλες οι υπόλοιπες εμπνεύστηκαν άμεσα από τη φυσική: το πρόβλημα των τριών σωμάτων στη μελέτη του Μπέρκοφ, την τυρβώδη ροή και τα αστρονομικά προβλήματα στη μελέτη του Kolmogorov, και τη ραδιοφωνική μηχανική στη μελέτη των Cartwright και Littlewood. Αν και η χαοτική κίνηση των πλανητών δεν είχε παρατηρηθεί, πειραματιστές είχαν συναντήσει τυρβώδη ροή σε ρευστή κίνηση και μη περιοδικές ταλαντώσεις σε κυκλώματα ραδιόφωνου, χωρίς όμως να έχουν το πλεονέκτημα μιας θεωρίας για να εξηγήσουν αυτό που έβλεπαν.

Παρά τις αρχικές ιδέες κατά το πρώτο μισό του εικοστού αιώνα, η θεωρία του χάους επισημοποιήθηκε μόνο μετά τα μέσα του αιώνα, όταν έγινε για πρώτη φορά εμφανές για μερικούς επιστήμονες ότι η γραμμική θεωρία, η επικρατούσα θεωρία συστήματων εκείνης της εποχής, δεν μπορούσε να εξηγήσει την παρατηρούμενη συμπεριφορά ορισμένων πειραμάτων, όπως αυτό της λογιστικής απεικόνισης. Αυτό που είχε αποκλεισθεί εκ των προτέρων ως ανακρίβεια μετρήσεων, ή ως απλός «θόρυβος», θεωρήθηκε από τις θεωρίες του χάους ως μια πλήρης συνιστώσα των υπό μελέτη συστημάτων.

Ο κύριος καταλύτης για την ανάπτυξη της θεωρίας του χάους ήταν ο ηλεκτρονικός υπολογιστής. Σε μεγάλο βαθμό τα μαθηματικά της θεωρίας του χάους περιλαμβάνουν την συνεχή επανάληψη απλών μαθηματικών τύπων, η οποία θα ήταν ατελέσφορο να γίνει δια χειρός. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές έκαναν δυνατούς αυτούς τους επαναλαμβανόμενους υπολογισμούς, ενώ με τα σχήματα και τις εικόνες κατάφεραν να απεικονίσουν αυτά τα συστήματα.

Ένας από τους αρχικούς πρωτοπόρους της θεωρίας ήταν ο Έντουαρτ Λόρενς του οποίου το ενδιαφέρον ήρθε στο χάος περίπου τυχαία μέσα από τη δουλειά του σχετικά με την πρόγνωση του καιρού το 1961. Ο Λόρενς χρησιμοποιούσε έναν απλό ψηφιακό υπολογιστή, ένα Royal McBee LGP-30, για να τρέξει την καιρική του προσομοίωση. Ήθελε να δει μια σειρά από δεδομένα ξανά και για να εξοικονομήσει χρόνο άρχισε την προσομοίωση στη μέση της διαδρομής της. Ήταν σε θέση να το κάνει αυτό, εισάγοντας μια εκτύπωση δεδομένων που αντιστοιχούσαν σε συνθήκες στη μέση της προσομοίωσης του, τα οποία είχε υπολογίσει την τελευταία φορά.

Προς έκπληξή του, ο καιρός που το μηχάνημα άρχισε να προβλέπει ήταν εντελώς διαφορετικός από τις καιρικές συνθήκες που υπολόγισε πριν. Ο Λόρεντζ το παρακολούθησε αυτό μέχρι την εκτύπωση του υπολογιστή. Ο υπολογιστής δούλευε με ακρίβεια έξι ψηφίων, αλλά η εκτύπωση έκανε στρογγυλοποίηση στις μεταβλητές σε έναν τριψήφιο αριθμό, έτσι ώστε μία τιμή όπως η 0,506127 να τυπώνεται ως 0,506. Αυτή η διαφορά είναι πολύ μικρή και η συναίνεση εκείνη την εποχή θα ήταν ότι δεν θα έπρεπε να είχε σχεδόν καμία επίδραση. Ωστόσο ο Λόρεντζ είχε ανακαλύψει ότι οι μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες παράγουν μεγάλες αλλαγές στην μακροχρόνια έκβαση. Η ανακάλυψη του Λόρεντζ, που έδωσε το όνομά του στους ελκυστές Λόρεντζ, έδειξε ότι ακόμα και τα λεπτομερή ατμοσφαιρικά μοντέλα δεν μπορούν σε γενικές γραμμές να κάνουν μακροπρόθεσμες προβλέψεις καιρού. Ο καιρός είναι συνήθως προβλέψιμος μόνο μια περίπου εβδομάδα πριν.

Το 1963, Μπενουά Μάντελμπροτ βρήκε επαναλαμβανόμενα μοτίβα σε κάθε κλίμακα δεδομένων στις τιμές του βάμβακος. Προηγουμένως, είχε μελετήσει τη Θεωρία Πληροφορίας και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο θόρυβος ήταν διαμορφωμένος σαν το Σύνολο του Cantor: σε κάθε κλίμακα το ποσοστό των περιόδων που περιέχουν θόρυβο προς τις αλάνθαστες περιόδους ήταν μια σταθερά - έτσι τα λάθη είναι αναπόφευκτα και πρέπει να σχεδιάζονται ενσωματώνοντας τον πλεονασμό. Ο Μάντελμπροτ περιέγραψε το «φαινόμενο του Νώε» (στο οποίο ξαφνικές ασυνεχείς αλλαγές μπορεί να συμβούν) και το «φαινόμενο του Ιωσήφ» (στο οποίο μια αξία μπορεί να επιμείνει για ένα διάστημα, ωστόσο να αλλάξει ξαφνικά αμέσως μετά). Αυτό αμφισβήτησε την ιδέα ότι οι μεταβολές των τιμών διανέμονται κανονικά. Το 1967, δημοσίευσε το "Πόσο είναι το μήκος των ακτών της Βρετανίας; Στατιστική αυτο-ομοιότητα και μορφοκλασματική διάσταση", που δείχνει ότι το μήκος μιας ακτογραμμής που ποικίλλει ανάλογα με την κλίμακα του οργάνου μετρήσεων, συμπεριφέρεται παρόμοια σε όλες τις κλίμακες. Δηλαδή όσο μικρότερο είναι το βασικό μήκος μέτρησης τόσο μεγαλύτερο προκύπτει το μετρούμενο μήκος, και γίνεται άπειρο για μία απειροελάχιστα μικρή συσκευή μέτρησης. Υποστηρίζοντας ότι μια σφαίρα νήματος φαίνεται να είναι ένα σημείο, όταν παρατηρείται από μακριά (0-διαστάσεων), μια μπάλα, όταν παρατηρείται από αρκετά κοντά (3-διαστάσεων), ή ένα καμπύλο σκέλος (1-διάστασης), έτσι υποστήριξε ότι οι διαστάσεις ενός αντικειμένου σχετίζονται με τον παρατηρητή και μπορεί να είναι κλασματικές. Ένα αντικείμενο του οποίου η ανωμαλία είναι σταθερή σε διαφορετικές κλίμακες ("αυτο-ομοιότητα") είναι ένα φράκταλ (για παράδειγμα, το σφουγγάρι του Menger, το τρίγωνο του Σιερπίνσκι και η καμπύλη του Koch ή "νιφάδα χιονιού", η οποία έχει άπειρο μήκος, ωστόσο περικλείει έναν πεπερασμένο χώρο και έχει μια μορφοκλασματική διάσταση περίπου 1,2619). Το 1975 ο Μάντελμπροτ δημοσίευσε το Η Φράκταλ Γεωμετρία της Φύσης, το οποίο έγινε ένα κλασικό δημοσίευμα της θεωρίας του χάους. Βιολογικά συστήματα, όπως η διακλάδωση του κυκλοφορικού και του βρογχικού συστήματος αποδείχθηκε ότι ταιριάζουν με φράκταλ δομές.

Το χάος παρατηρήθηκε από πολλούς πειραματιστές πριν αναγνωριστεί επισήμως, π.χ., το 1927 από τον van der Pol και το 1958 από τον R.L. Ives. Ωστόσο, ο Yoshisuke Ueda ως μεταπτυχιακός φοιτητής στο Chihiro Hayashi «εργαστήριο στο Πανεπιστήμιο του Κιότο», πειραματιζόταν με αναλογικούς υπολογιστές και παρατήρησε, στις 27 Νοεμβρίου του 1961, αυτό που ονομάζεται "τυχαία μεταβατικά φαινομένα". Ωστόσο, ο σύμβουλος του δεν συμφώνησε με τα συμπεράσματα του εκείνη την εποχή, και δεν του επέτρεπε να αναφέρει τις διαπιστώσεις του μέχρι το 1970.

Τον Δεκέμβριο του 1977, η Ακαδημία Επιστημών της Νέας Υόρκης που διοργάνωσε το πρώτο συνέδριο για το χάος, στο οποίο συμμετείχαν ο David Ruelle, ο Ρόμπερτ Μέι (Robert May), Τζέιμς Γιορκ (James A. Yorke, επινοητής του όρου "χάος", όπως χρησιμοποιείται στα μαθηματικά), Ρόμπερτ Σω (Robert Shaw, φυσικός, μέρος της ομάδας Eudaemons με τους J. Doyne Farmer και Norman Packard ο οποίος προσπάθησε να βρει μια μαθηματική μέθοδο για να νικήσει στη ρουλέτα, και στη συνέχεια να δημιουργήσει μαζί με αυτούς την Συλλογική Δυναμικών Συστημάτων στην Σάντα Κρουζ, και τον μετεωρολόγο Έντουαρντ Λόρεντζ (Edward Lorenz).

Το επόμενο έτος, ο Μίτσελ Φέιγκενμπαουμ (Mitchell Feigenbaum) δημοσίευσε το διακεκριμένο άρθρο "Ποσοτική Γενικότητα για μια κλάση μη γραμμικών μετασχηματισμών", όπου περιέγραψε λογιστικές απεικονίσεις. Ο Φέιγκενμπάουμ ανακάλυψε ειδικά την γενικότητα στο χάος, επιτρέποντας την εφαρμογή της θεωρίας του χάους σε πολλά διαφορετικά φαινόμενα.

Το 1979, ο Άλμπερτ Λιπτσέιμπερ (Albert J. Libchaber), κατά τη διάρκεια ενός συνεδρίου που οργανώθηκε στο Aspen από τον Πιερ Χόνχενμπεργκ (Pierre Hohenberg), παρουσίασε την πειραματική του παρατήρηση της διακλάδωσης του καταρράκτη που οδηγεί στο χάος και της αναταραχής στα συστήματα με μετάδοση θερμότητας Rayleigh-Bénard. Τιμήθηκε με το Βραβείο Wolf Φυσικής το 1986, μαζί με τον Μίτσελ Φέιγκενμπαουμ "για την εξαιρετική πειραματική επίδειξη του για την μετάβαση σε αναταραχή και το χάος σε δυναμικά συστήματα".

Στη συνέχεια, το 1986, η Ακαδημία Επιστημών της Νέας Υόρκης συνδιοργάνωσε με το Εθνικό Ινστιτούτο Ψυχικής Υγείας και το Γραφείο Ναυτικών Ερευνών το πρώτο σημαντικό συνέδριο για το χάος στη βιολογία και την ιατρική. Εκεί, ο Μπερνάρντο Χάμπερμαν (Bernardo Huberman) παρουσίασε ένα μαθηματικό μοντέλο της παρακολούθησης διαταραχής των ματιών μεταξύ σχιζοφρενών. Αυτό οδήγησε σε μια ανανέωση της φυσιολογίας στη δεκαετία του 1980 με την εφαρμογή της θεωρίας του χάους, για παράδειγμα στη μελέτη των παθολογικών καρδιακών κύκλων.

Το 1987, ο Περ Μπακ (Per Bak), ο Τανγκ Τσάο (Tang Chao) και ο Κερτ Βίζενφελντ (Kurt Wiesenfeld) δημοσίευσαν ένα έγγραφο στο Physical Review Letters, περιγράφοντας για πρώτη φορά την αυτο-οργανωμένη κρισιμότητα (SOC), που θεωρείται ότι είναι ένας από τους μηχανισμούς με τους οποίους η πολυπλοκότητα προκύπτει στη φύση. Παράλληλα προσεγγίσεις βασισμένες σε μεγάλο βαθμό στο εργαστήριο, όπως το μοντέλο Bak-Tang-Wiesenfeld, και πολλές άλλες έρευνες έχουν επικεντρωθεί σε μεγάλης κλίμακας φυσικά ή κοινωνικά συστήματα που είναι γνωστά (ή υποπτεύονται) να παρουσιάζουν αμετάβλητης κλίμακας συμπεριφορά. Αν και αυτές οι προσεγγίσεις δεν ήταν πάντα ευπρόσδεκτες (τουλάχιστον αρχικά) από τους ειδικούς στα εξεταστέα θέματα, η SOC έχει, ωστόσο, καθιερωθεί ως ισχυρή υποψηφιότητα για να εξηγήσουν μια σειρά από φυσικά φαινόμενα, όπως τα εξής: οι σεισμοί (οι οποίοι, πολύ πριν η SOC ανακαλυφθεί, ήταν γνωστοί ως πηγή αμετάβλητης κλίμακας συμπεριφοράς, όπως ο νόμος Gutenberg-Richter περιγράφει τη στατιστική κατανομή των μεγεθών των σεισμών, και ο νόμος Omori περιγράφει τη συχνότητα των μετασεισμών), οι ηλιακές εκλάμψεις, οι διακυμάνσεις των οικονομικών συστημάτων, όπως χρηματοπιστωτικές αγορές (αναφορές σε SOC είναι συνηθείς στην οικονοφυσική), η μορφοποίηση του εδάφους, οι δασικές πυρκαγιές, οι κατολισθήσεις, οι επιδημίες και η βιολογική εξέλιξη (όπου η SOC έχει χρησιμοποιηθεί, για παράδειγμα, όπως ο δυναμικός μηχανισμός πίσω από την θεωρία των "τονισμένων ισορροπιών" που προβάλλουν οι Eldredge Niles και Stephen Jay Gould). Λαμβάνοντας υπόψη τις επιπτώσεις μιας χωρίς κλίμακα διανομής του μεγέθους των γεγονότων, μερικοί ερευνητές έχουν προτείνει ότι ένα άλλο φαινόμενο που θα πρέπει να θεωρείται ένα παράδειγμα της SOC είναι η εμφάνιση των πολέμων. Αυτές οι "εφαρμοσμένες" έρευνες της SOC περιέλαβαν προσπάθειες μοντελοποίησης (είτε την ανάπτυξη νέων μοντέλων ή την προσαρμογή των ήδη υφισταμένων στις ιδιαιτερότητες ενός συγκεκριμένου φυσικού συστήματος), καθώς και εκτενή ανάλυση των δεδομένων για να διαπιστωθεί η ύπαρξη και / ή τα χαρακτηριστικά των φυσικών νόμων κλιμάκωσης.

Το ίδιο έτος 1987, ο Τζέιμς Γκλικ (James Gleick) δημοσίευσε το Χάος: Φτιάχνοντας μια νέα Επιστήμη, το οποίο έγινε εμπορική επιτυχία και παρουσιάζει τις γενικές αρχές της θεωρίας του χάους, καθώς και την ιστορία της στο ευρύ κοινό, (αν και αυτή η ιστορία υποβαθμίζει σημαντικές Σοβιετικές εισφορές). Ενώ αρχικά υπήρξε ο τομέας εργασίας λίγων μεμονωμένων ατόμων, η θεωρία του χάους σταδιακά αναδείχτηκε ως μια διεπιστημονική και θεσμική αρχή, κυρίως κάτω από την ανάλυση των μη γραμμικών συστημάτων. Με αναφορά στην έννοια της παραδειγματικής στροφής του Thomas Kuhn που εκτίθεται στο Η δομή των επιστημονικών επαναστάσεων (1962), πολλοί "χαοντολόγοι" (όπως μερικοί περιέγραψαν τον εαυτό τους), ισχυρίστηκαν ότι αυτή η νέα θεωρία ήταν ένα παράδειγμα μιας τέτοιας στροφής, μια θέση δεκτή από τον Γκλικ.

Η διαθεσιμότητα φθηνότερων και πιο ισχυρών υπολογιστών διευρύνει την δυνατότητα εφαρμογής της θεωρίας του χάους. Επί του παρόντος, η θεωρία του χάους εξακολουθεί να είναι μια πολύ ενεργή περιοχή έρευνας, που εμπλέκει πολλούς διαφορετικούς κλάδους (μαθηματικά, τοπολογία, φυσική, βιολογία του πληθυσμού, βιολογία, μετεωρολογία, αστροφυσική, θεωρία πληροφοριών, κ.λπ.).

Η διάκριση τυχαίων από χαοτικών δεδομένων 
Μπορεί να είναι δύσκολο να ειπωθεί από τα δεδομένα εάν μία φυσική ή άλλη διαδικασία που παρατηρείται είναι τυχαία ή χαοτική, διότι στην πράξη οι χρονοσειρές δεν αποτελούνται από καθαρό «σήμα». Πάντα θα υπάρχει κάποια μορφή διαβρωτικού θορύβου, ακόμη και αν αυτό είναι αποτέλεσμα στρογγυλοποίησης ή σφάλματος αποκοπής. Έτσι, οποιαδήποτε πραγματική χρονοσειρά, ακόμη και αν είναι ως επί το πλείστον ντετερμινιστική, θα περιέχει κάποια τυχαιότητα.

Όλες οι μέθοδοι για τη διάκριση αιτιοκρατικών και στοχαστικών διαδικασιών βασίζονται στο γεγονός ότι ένα ντετερμινιστικό σύστημα εξελίσσεται πάντα με τον ίδιο τρόπο από ένα δεδομένο σημείο εκκίνησης. Έτσι, για να εξεταστεί αν μία χρονοσειρά είναι αιτιοκρατική, μπορεί κανείς να:
 Να επιλέξει μια κατάσταση δοκιμής
 Να αναζητήσει τις χρονοσειρές για παρόμοιες ή «κοντινές» κατάστασεις και
 Να συγκρίνει τις αντίστoιχες χρονικές τους εξελίξεις.

Ορίστε το σφάλμα ως τη διαφορά μεταξύ της εξέλιξης του χρόνου της «δοκιμαστικής» κατάστασης και της χρονικής εξέλιξης της γειτονικής κατάστασης. Ένα αιτιοκρατικό σύστημα θα έχει ένα σφάλμα που είτε παραμένει μικρό (σταθερή, κανονική λύση) ή αυξάνεται εκθετικά με το χρόνο (το χάος). Ένα στοχαστικό σύστημα θα έχει ένα τυχαίως κατανεμημένο σφάλμα.

Ουσιαστικά όλες οι μετρήσεις του ντετερμινισμού που λαμβάνονται από χρονοσειρές βασίζονται στην εύρεση των πιο κοντινών καταστάσεων σε μια συγκεκριμένη «δοκιμαστική» κατάσταση (π.χ., διάσταση συσχέτισης, εκθέτες Lyapunov, κ.λπ.). Ο προσδιορισμός της κατάστασης ενός συστήματος συνήθως στηρίζεται στις μεθόδους ενσωμάτωσης του χώρου των φάσεων. Συνήθως επιλέγει κανείς μια διάσταση ενσωμάτωσης, και ερευνά τη διάδοση του σφάλματος μεταξύ δύο κοντινών καταστάσεων. Εάν το σφάλμα φαίνεται τυχαίο, τότε αυξάνει την διάσταση. Αν μπορείτε να αυξήσετε τη διάσταση για να αποκτηθεί σφάλμα που μοιάζει ντετερμινιστικό, τότε είστε έτοιμοι. Αν και μπορεί να ακούγεται απλό, δεν είναι. Μία περιπλοκή είναι ότι καθώς η διάσταση αυξάνεται, η αναζήτηση για μία κοντινή κατάσταση απαιτεί πολύ περισσότερο χρόνο υπολογισμού και πολλά στοιχεία (η ποσότητα των δεδομένων που απαιτείται αυξάνεται εκθετικά με την ενσωμάτωση της διάστασης) για να βρείτε μία κατάλληλη κοντινή υποψήφια. Εάν η διάσταση της ενσωμάτωσης (σειρά μέτρων ανά κατάσταση) επιλεγεί πολύ μικρή (μικρότερη από την «πραγματική» αξία) ντετερμινιστικά στοιχεία μπορεί να φαίνονται να είναι τυχαία, αλλά θεωρητικά δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα να επιλεγεί πολύ μεγάλη τη διάσταση — η μέθοδος θα λειτουργήσει.

Όταν ένα μη γραμμικό ντετερμινιστικό σύστημα συνοδεύεται από εξωτερικές διακυμάνσεις, οι τροχιές του παρουσιάζουν σοβαρές και μόνιμες στρεβλώσεις. Επιπλέον, ο θόρυβος ενισχύεται λόγω της εγγενούς μη γραμμικότητας και αποκαλύπτει εντελώς νέες δυναμικές ιδιότητες. Στατιστικά τεστ που προσπαθούν να διαχωρίσουν τον θόρυβο από το ντετερμινιστικό σκελετό ή αντιστρόφως να απομονώσουν το μέρος της αιτιοκρατικής αποτυχίας αποτυγχάνουν. Τα πράγματα είναι χειρότερα όταν το ντετερμινιστική συστατικό είναι ένα μη γραμμικό σύστημα ανάδρασης. Με την παρουσία των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των μη γραμμικών ντετερμινιστικών στοιχείων και του θορύβου, η προκύπτουσα γραμμική σειρά μπορεί να εμφανίσει δυναμικά που οι παραδοσιακοί έλεγχοι για μη γραμμικότητα μερικές φορές αδυνατούν να συλλάβουν.

Το ζήτημα του πώς να διακριθεί ένα ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα από ένα στοχαστικό σύστημα έχει επίσης συζητηθεί στη φιλοσοφία. Φαίνεται ότι θα μπορούσαν να είναι παρατηρησιακά ισοδύναμα.

Εφαρμογές 

Η θεωρία του Χάους εφαρμόζεται σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους, όπως οι εξής: γεωλογία, μαθηματικά, μικροβιολογία, βιολογία, πληροφορική, οικονομικά, επιστήμες μηχανικών, χρηματοοικονομικά, αλγοριθμικές συναλλαγές, μετεωρολογία, φιλοσοφία, φυσική, πολιτική, πληθυσμιακή δυναμική, ψυχολογία, και ρομποτική (ΒΕΑΜ robotics).

Χαοτική συμπεριφορά έχει παρατηρηθεί στο εργαστήριο σε μία ποικιλία συστημάτων, συμπεριλαμβανομένων των ηλεκρικών συστημάτων, λέιζερ, ταλαντώσεων, χημικών αντιδράσεων, υδροδυναμικής, και οι μηχανικές και μαγνητο-μηχανικές συσκευές, καθώς και τα υπολογιστικά μοντέλα των χαοτικών διαδικασιών. Οι παρατηρήσεις της χαοτικής συμπεριφοράς στη φύση περιλαμβάνουν αλλαγές τις καιρικές συνθήκες, τη δυναμική των δορυφόρων στο ηλιακό σύστημα, τη χρονική εξέλιξη του μαγνητικού πεδίου των ουρανίων σωμάτων, την αύξηση του πληθυσμού στην οικολογία, τη δυναμική των δυναμικών ενέργειας στον νευρώνα και τη μοριακή δόνηση. Υπάρχει κάποια διαμάχη για την ύπαρξη χαοτικής δυναμικής στις τεκτονικές πλάκες.

Στα οικονομικά η ύπαρξη χαοτικής δυναμικής έχει εντοπιστεί σε κάποιες χρονοσειρές συναλλαγματικών ισοτιμιών, σε πραγματικές συναλλαγματικές ισοτιμίες και στις αγορές ενέργειας (φυσικού αερίου).

Η θεωρία του χάους επί του παρόντος εφαρμόζεται σε ιατρικές μελέτες πάνω στην επιληψία, συγκεκριμένα για την πρόβλεψη των φαινομενικά τυχαίων κρίσεων παρατηρώντας τις αρχικές συνθήκες.

Η θεωρία του κβαντομένου χάους μελετά το πώς η αντιστοιχία μεταξύ της κβαντικής μηχανικής και της κλασικής μηχανικής λειτουργεί στο πλαίσιο των χαοτικών συστημάτων. Το σχετικιστικό χάος περιγράφει χαοτικά συστήματα υπό την γενική σχετικότητα.

Η κίνηση ενός συστήματος τριών ή περισσότερων αστέρων που αλληλεπιδρούν βαρυτικά (το βαρυτικό πρόβλημα του N-σώματος) είναι γενικά χαοτική.

Στην ηλεκτρολογική μηχανική, τα χαοτικά συστήματα που χρησιμοποιούνται στις επικοινωνίες, στις γεννήτριες τυχαίων αριθμών και στα κρυπτογραφικά συστήματα.

Στην Αριθμητική ανάλυση, η μέθοδος Νιούτον-Ράφσον προσέγγισης μιας ρίζας της συνάρτησης μπορεί να οδηγήσει σε χαοτικές επαναλήψεις εάν η συνάρτηση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Πολιτιστικές αναφορές 
Η θεωρία του Χάους έχει αναφερθεί σε ταινίες και έργα της λογοτεχνίας, συμπεριλαμβανομένου του μυθιστορήματος του Μάικλ Κρίστον Jurassic Park, καθώς και της μεταφοράς του στην μεγάλη οθόνη, οι ταινίες Χάος και Το Φαινόμενο της Πεταλούδας, η ινδική ταινία Dasavatharam με πρωταγωνιστή τον Kamal Hassan, οι κωμικές σειρές Community (αμερικανική) και Spaced (βρετανικό), το θεατρικό βρετανικό έργο Αρκαδία του Τομ Στόπαρντ (Tom Stoppard) και τα βιντεοπαιχνίδια Tom Clancy's Splinter Cell: Chaos Theory και Assassin's Creed.

Στο βιντεοπαιχνίδι The Secret World η μυστική κοινωνία του Δράκου χρησιμοποιεί τη θεωρία του χάους για την επίτευξη της πολιτικής κυριαρχίας. Το διήγημα A Sound of Thunder (βρετανικό) του Ray Bradbury εξερευνά τη θεωρία του χάους. Η θεωρία του χάους ήταν το αντικείμενο των ντοκιμαντέρ του BBC High Αnxieties - The Mathematics of Chaos σε σκηνοθεσία του David Malone, και The Secret Life of Chaos που παρουσιάστηκε από τον Βρετανό φυσικό Jim Al-Khalili. Οι πολιτιστικές παραλλαγές της θεωρίας του χάους διερευνώνται στο βιβλίο Η ενότητα της Φύσης του Alan Marshall (Imperial College Press, London, 2002).

Παραπομπές

Επιστημονική Λογοτεχνία

Άρθρα
 
 
  Online version (Note: the volume and page citation cited for the online text differ from that cited here. The citation here is from a photocopy, which is consistent with other citations found online, but which don't provide article views. The online content is identical to the hardcopy text. Citation variations will be related to country of publication).

Βιβλία

Ημιτεχνολογικές και δημοφιλείς δουλειές

Ελληνικές μεταφράσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 
 Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
 The Chaos group at the University of Maryland
 The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals
 ChaosBook.org An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
 Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences
 Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC, Florence, Italy
 Interactive live chaotic pendulum experiment, allows users to interact and sample data from a real working damped driven chaotic pendulum
 Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
 Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
 Gleick's Chaos (excerpt) 
 Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford
 A page about the Mackey-Glass equation
 High Anxieties — The Mathematics of Chaos (2008) BBC documentary directed by David Malone
 The chaos theory of evolution - article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
 Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez,  Chaos, A Mathematical Adventure. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.

Θεωρίες
Χάος