Περιοχή κυρίων ιδεωδών

Μια ακεραία περιοχή  καλείται περιοχή κυρίων ιδεωδών (principal ideal domain) αν κάθε ιδεώδες του  είναι κύριο.

Παραδείγματα

Γνωρίζουμε ότι αν  σώμα ,τα μόνα ιδεώδη αυτού είναι το ίδιο το  και το μηδενικό ιδεώδες  και επομένως κάθε σώμα είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.

Ο  είναι ακεραία περιοχή όχι όμως περιοχή κυρίων ιδεωδών.Πράγματι υποθέτοντας ότι για το ιδεώδες  υπάρχει  τέτοιο ώστε  προκύπτει  ότι  ή. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε , άτοπο, ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι  και άρα  ,άτοπο.

Κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει.Ένα παράδειγμα περιοχής κυρίων ιδεωδών που δεν είναι Ευκλείδεια είναι ο δακτύλιος .

Αφηρημένη άλγεβρα
Θεωρία δακτυλίων