Ταυτότητα του Όιλερ

Στη μαθηματική ανάλυση, η ταυτότητα του Όιλερ , είναι η εξίσωση

όπου
 είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,
 είναι ο φανταστικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα, και 
 ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη 

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία
 
για κάθε πραγματικό αριθμό x και όπου οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια. Συγκεκριμένα, αν
 
τότε
 
Αφού
 και,
συνεπώς,
 
που δίνει την ταυτότητα

Ονομασία 
Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.

Δείτε επίσης
 Τύπος του Όιλερ
 e (μαθηματική σταθερά)

Παραπομπές 

Θεωρήματα της μιγαδικής ανάλυσης
Μαθηματικές σταθερές
Μαθηματικές ταυτότητες