Άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών

Τα κλασικά άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών παραδοσιακά ήταν τρία:
 H εικασία του Γκόλντμπαχ: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του  μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε , ισχύει ότι , όπου ,  πρώτοι αριθμοί.
 Η υπόθεση του Ρήμαν: Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης μηδενικής ρίζας της συνάρτησης ζ του Ρήμαν είναι .
 To τελευταίο θεώρημα του Φερμά: Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , , και  τέτοιοι ώστε , όπου  θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του .
Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποδείχθηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και Richard Taylor στο πανεπιστήμιο του Πρίνστον.

Άλλα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών είναι:
Υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθμός μεταξύ 2 διαδοχικών τέλειων τετραγώνων;
Η υπόθεση των διδύμων πρώτων αριθμών.
Η απειρία των τέλειων αριθμών.
Υπάρχει περιττός τέλειος αριθμός;
Περιέχει η ακολουθία Φιμπονάτσι άπειρους πρώτους αριθμούς;
Αν  είναι πρώτος ο  δεν θα διαιρείται από το τετράγωνο ενός πρώτου.
Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής ;
Τα Αιγυπτιακά κλάσματα: προσδιορίστε αν κάθε κλάσμα της μορφής  με  μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα τριών θετικών ρητών αριθμών με αριθμητή 1, π.χ. .

Πηγές 
 Eric W. Weisstein, "Unsolved Problems", MathWorld—A Wolfram Web Resource 

Θεωρία αριθμών