Αναμενόμενη τιμή

Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής  συμβολίζεται συνήθως με  ή .

Ορισμός 

Η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Lebesque ως προς το μέτρο πιθανότητας. Έστω ο χώρος πιθανότητας  και ο μετρήσιμος χώρος , όπου   και  η Borel σ-άλγεβρα. Αν η  είναι  ολοκληρώσιμη, τότε η αναμενόμενη τιμή ορίζεται ως 
.

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές
Έστω  μία διακριτή ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή που παίρνει τις τιμές  με αντίστοιχες πιθανότητες . Η αναμενόμενη τιμή της μεταβλητής είναι:

Η ολοκληρωσιμότητα σε αυτήν την περίπτωση ελέγχεται ως εξής:

Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Έστω  μία τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας  η αναμενόμενη της τιμή είναι:
.

Ιδιότητες
Έστω  μία ολοκληρώσιμη τυχαία μεταβλητή και :
.
Έστω  ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:
.
Έστω  δύο ανεξάρτητες ολοκληρώσιμες τυχαίες μεταβλητές:
.

Δείτε επίσης
Διακύμανση

Τυχερά παιχνίδια
Θεωρία πιθανοτήτων