Τύπος του Ήρωνα

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών ,  και  έχει εμβαδό 
,
όπου  είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:
.

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Απόδειξη 

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: 

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές , ,  και , ,  οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία  έχουμε ότι:
.

Από την σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι:
.
Χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων  έχουμε ότι:

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα , προκύπτει ότι:

Χρησιμοποιώντας πάλι την διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι 

Το ύψος  του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά  έχει μήκος

και έτσι έχουμε ότι 
,
που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις

Τύπος Βραχμαγκούπτα 

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετρατπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές  και ημιπερίμετρο , το εμβαδόν του είναι ίσο με

Τύπος Bretschneider 

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές  και γωνίες  ως
.

Δείτε επίσης 
 Τρίγωνο του Ήρωνα
 Τύπος Βραχμαγκούπτα
 Τύπος Bretschneider

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Αποδείξεις για τον τύπο του Ήρωνα

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Παραπομπές 

Εμβαδόν
Γεωμετρία του τριγώνου