Χρωματισμός γραφήματος

Αν G είναι ένα γράφημα και C ένα σύνολο χρωμάτων, λέμε ότι η απεικόνιση  είναι χρωματισμός του G όταν

δηλαδή όταν αντιστοιχεί χρώματα στους κόμβους του G έτσι ώστε κάθε δύο συνδεμένοι κόμβοι να έχουν διαφορετικό χρώμα. Αν το C έχει n διακεκριμένα στοιχεία και ο χρωματισμός f είναι επί, τότε ονομάζεται n-χρωματισμός. Κάθε χρωματισμός διαμερίζει το V(G) σε κλάσεις κόμβων οι οποίοι έχουν κοινό χρώμα. Οι κλάσεις αυτές ονομάζονται χρωματικές κλάσεις.

Χρωματικός αριθμός

Για δοσμένο γράφημα G και δοσμένα χρώματα C δεν υπάρχει πάντα απεικόνιση f που να είναι χρωματισμός του G. Συγκεκριμένα η ύπαρξη χρωματισμού εξαρτάται από τον πληθάριθμο του C. Αν για παράδειγμα έχουμε το γράφημα G του σχήματος 1, όπου έχουμε V(G) = {u,v} και E(G)={(u,v)}, και έχουμε μόνον ένα διαθέσιμο χρώμα, C = {μαύρο}, τότε δεν μπορούμε να χρωματίσουμε τους δύο κόμβους διαφορετικά, παρά χρειαζόμαστε τουλάχιστον ένα ακόμη χρώμα.

Ο ελάχιστος πληθάριθμος του C, n, για τον οποίο υπάρχει n-χρωματισμός του G ονομάζεται χρωματικός αριθμός του G και συμβολίζεται με Χ(G).

Ιδιότητες
Μερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιεί ο χρωματικός αριθμός είναι οι παρακάτω:

1. Αν p είναι στο πλήθος οι κόμβοι του G τότε , αφού για ένα γράφημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πολύ τόσα διαφορετικά χρώματα, όσοι είναι και οι κόμβοι του. Η ισότητα ισχύει όταν το γράφημα είναι πλήρες, όπου κάθε κόμβος χρειάζεται το δικό του χρώμα, καθώς συνδέεται με κάθε άλλον.

2. Αν  είναι το πλήρες γράφημα p κόμβων και x είναι ένας δεσμός του, τότε .

3. Αν  είναι ένα οποιοδήποτε διγράφημα, τότε .

4. Για τους άρτιους κύκλους είναι , αφού εναλλάξ μπορούμε να αλλάζουμε χρώμα από κόμβο σε κόμβο, ενώ για τους περιττούς κύκλους ισχύει ανάλογα .

5. Αν Τ είναι ένα δέντρο, τότε .

6. Εύκολα φαίνεται ότι , ότι αρκεί δηλαδή ένα χρώμα για να χρωματίσουμε ένα γράφημα μόνον όταν αυτό είναι πλήρως ασυνδετικό.

7. Θεώρημα του Κένιχ: Ένα γράφημα έχει έναν 2-χρωματισμό αν και μόνον αν δεν περιέχει περιττούς κύκλους

8. Αν Δ(G) είναι ο μεγαλύτερος βαθμός που αντιστοιχεί σε κάποιον από τους κόμβους του G, δηλαδή

τότε ισχύει η εξής ανισότητα:

9. Θεώρημα των πέντε χρωμάτων (Heawood, 1890): Αν G είναι επίπεδο γράφημα, τότε αρκούν το πολύ πέντε χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή .

Απόδειξη: Ας πούμε ότι το G έχει p στο πλήθος κόμβους. Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της (ισχυρής) μαθηματικής επαγωγής.

Αν , τότε το θεώρημα ισχύει με βάση την ιδιότητα 1. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το θεώρημα ισχύει για p κόμβους.

Αν το G έχει p+1 κόμβους, με , αποδεικνύεται ότι θα περιέχει έναν οπωσδήποτε κόμβο v με βαθμό . Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε επίσης , μια και το γράφημα G - v έχει p κόμβους.

Έστω τώρα ότι οι πέντε κόμβοι που συνδέονται με τον v θα χρωματιστούν με τα χρώματα a, b, c, d, e, μέσω χρωματισμού f. Αν κάποια από τα χρώματα αυτά συμπίπτουν ή αν ο βαθμός του v είναι μικρότερος από 5, τότε το θεώρημα ισχύει. Αν αντίθετα τα χρώματα είναι διακεκριμένα και δ(v) = 5, τότε έχουμε την περίπτωση του σχήματος 2. Αρκεί να δείξουμε ότι ο v μπορεί να χρωματιστεί με κάποιο από τα a, b, c, d, e. Θεωρούμε το υπογράφημα , που ορίζεται ως εξής:

που αποτελείται δηλαδή από τους κόμβους που έχουν χρώμα a ή b. Αν οι ,  ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του , τότε αλλάζουμε τα χρώματα στον παράγοντα του  και θέτουμε f(v) = a, χρωματίζουμε δηλαδή τον v με a. (Θα μπορούσαμε αντί για αυτό να αλλάξουμε χρώματα στον παράγοντα που βρίσκεται ο  και να χρωματίζαμε τον v με b.) Αν οι ,  ανήκουν στον ίδιο παράγοντα, τότε θα υπάρχει ένα μονοπάτι στο  από τον έναν στον άλλο, δηλαδή ένα μονοπάτι στο G που είναι χρωματισμένο μόνο με a και c και που δεν περιέχει τις , , . Ο κύκλος που σχηματίζει το μονοπάτι  με το μονοπάτι , θα περικυκλώνει είτε τoν κόμβο  είτε τους κόμβους , , μια και το G είναι επίπεδο γράφημα. Όπως και να έχει, οι ,  θα ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του υπογραφήματος  (ορίζεται όπως το ), οπότε, όμοια με προηγούμενα, αλλάζοντας τα χρώματα είτε στον παράγοντα του  είτε στου  χρωματίζουμε ανάλογα τον v με b ή d. Αποδείξαμε δηλαδή σε κάθε περίπτωση, ότι το θεώρημα ισχύει και για p + 1 κόμβους και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

10. Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων (Appel & Haken, 1976): Αν G είναι επίπεδο γράφημα τότε αρκούν το πολύ τέσσερα χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή .

Αλγόριθμοι χρωματισμού
Οι αλγόριθμοι χρωματισμού αποσκοπούν στο να προσδιορίσουν το χρωματικό αριθμό ενός δοσμένου γραφήματος. Οι επόμενοι δύο αλγόριθμοι βασίζονται στην τεχνική branch & bound, σε απαρίθμηση δηλαδή περιπτώσεων υπό περιορισμούς.

Αλγόριθμος ανεξάρτητων συνόλων κορυφών
Καλούμε ανεξάρτητο σύνολο κόμβων ενός γραφήματος G κάθε υποσύνολο του V(G) που έχει πλήρως ασυνδετικό φέρον γράφημα (spanning graph). Κάθε τέτοιο σύνολο εκπροσωπεί και μία χρωματική κλάση. Αν  είναι ανεξάρτητα σύνολα κόμβων τέτοια ώστε , και υπάρχει ελάχιστος s το πολύ ίσος με τον r, για τον οποίο , τότε X(G) = s.

Συγκεκριμένα, ο αλγόριθμος εκτελείται σε δύο φάσεις:
Εύρεση όλων των ανεξάρτητων συνόλων κόμβων που πληρούν τα παραπάνω.
Εύρεση του μικρότερου μήκους ένωσης που αποδίδει το V(G).

Αλγόριθμος του Χριστοφίδη
Ο αλγόριθμος συνίσταται στα εξής βήματα:
Διατάσουμε τους κόμβους του γραφήματος σε φθίνουσα σειρά βαθμών, .
Θέτουμε 
Ελέγχουμε τον , όταν ήδη έχουν δοθεί κ χρώματα. Αν δεν συνδέεται άμεσα με ήδη ελεγγμένους κόμβους και , με n < m, είναι ο αρχύτερος από αυτούς, τότε θέτουμε . Αλλιώς θέτουμε .

Δείτε επίσης
 Θεωρία γραφημάτων

Διακριτά μαθηματικά
Θεωρία γράφων