Τυχαία μεταβλητή

Στη θεωρία πιθανοτήτων, μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που η τιμή της υπόκειται σε διακυμάνσεις λόγω τύχης. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει ένα σύνολο δυνατών τιμών (παρόμοια με άλλες μαθηματικές μεταβλητές), σε κάθε μία από τις οποίες αντιστοιχεί μια πιθανότητα (για διακριτές τυχαίες μεταβλητές) ή μια πυκνότητα πιθανότητας (για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές). 

Οι δυνατές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να αντιπροσωπεύουν τα πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος που πρόκειται να πραγματοποιηθεί ή που έχει πραγματοποιηθεί αλλά το αποτέλεσμά του είναι αβέβαιο (για παράδειγμα λόγω έλλειψης πληροφορίας ή μη ακριβούς μέτρησης). 

Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να είναι διακριτή, δηλαδή να έχει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος δυνατών τιμών, ή συνεχής, δηλαδή να μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα αριθμών (ή ένωση διαστημάτων). Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνει την πιθανότητα κάθε δυνατής τιμής. Για συνεχείς μεταβλητές, όπου δεν έχει νόημα να μιλάμε για πιθανότητα μιας μεμονωμένης τιμής, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστεί η πιθανότητα η τιμή να βρίσκεται σε κάποιο διάστημα. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί επίσης να είναι ένας συνδυασμός μιας διακριτής και μιας συνεχούς μεταβλητής.  

Ο αυστηρός ορισμός των τυχαίων μεταβλητών γίνεται με όρους της θεωρίας μέτρου και επιτρέπει την ύπαρξη τυχαίων μεταβλητών που δεν έχουν στοιχεία ούτε συνεχούς ούτε διακριτής μεταβλητής.

Κλασικός ορισμός 
Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια πραγματική συνάρτηση που ορίζεται σε ένα δειγματικό χώρο Ω, δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής  ή , όπου Α είναι ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Εκφράζει συνήθως κάποια μέτρηση που γίνεται στο τυχαίο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα αν ο δειγματικός χώρος είναι ένα σύνολο ατόμων, η τυχαία μεταβλητή μπορεί να εκφράζει το ύψος του τυχαία επιλεγμένου ατόμου.

Αν το πεδίο τιμών Α της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα διακριτό σύνολο, για παράδειγμα ένα πεπερασμένο σύνολο ή οι ακέραιοι αριθμοί, τότε η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται διακριτή. Αν το πεδίο τιμών είναι ένα ή περισσότερα διαστήματα πραγματικών αριθμών, τότε η τυχαία μεταβλητή ονομάζεται συνεχής.

Μετροθεωρητικός ορισμός 
Έστω ενας χώρος πιθανότητας  και ένας μετρήσιμος χώρος  (αποτελείται από ένα σύνολο και μία σ-άλγεβρα). Ορίζουμε ως τυχαία μεταβλητή  μια  - μετρήσιμη συνάρτηση, δηλαδή τέτοια ώστε η αντίστροφη απεικόνιση της  για κάθε στοιχείο του  να ανήκει στην σ-άλγεβρα , . 

Όταν , τότε η  είναι μία πραγματική τυχαία μεταβλητή.

Θεωρία πιθανοτήτων
Τυχαιότητα