Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος

Θεώρημα: Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

Απόδειξη: Έστω  ένα ευθύγραμμο τμήμα και  ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα  και  είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι .

Αντίστροφα, έστω  το ευθύγραμμο τμήμα και  ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε . Αν  είναι το ίχνος του  στο , τα τρίγωνα  και  είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε , δηλαδή το  θα είναι το μέσο του  και η κάθετη  θα είναι η μεσοκάθετη.

Αναλυτική γεωμετρία 

Έστω  και  δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο
,
χρησιμοποιώντας ότι η ευθεία διέρχεται από το το μέσο  του  και έχει κλίση 

ως κάθετη στο .

Γεωμετρική κατασκευή 

 Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα  και  και ακτίνα .
 Βρίσκουμε τα σημεία τομής  και  των δύο κύκλων.
 Η ευθεία που ενώνει τα  και  είναι η μεσοκάθετος του .

Μεσοκάθετοι τριγώνου 

Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.

(Απόδειξη) Έστω  η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών  και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι 
 και .
Άρα το  ισαπέχει και από το σημείο . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των ,  και  συντρέχουν στο .

Δείτε επίσης 
 Ισοσκελές τρίγωνο
 Διάμεσος (γεωμετρία)
 Περιγεγραμμένος κύκλος

Παραπομπές 

Ευκλείδεια Γεωμετρία