حجة كانتور القطرية

حجة كانتور القُطْرية هي برهان رياضي في نظرية المجموعات نشره جورج كانتور عام 1891 لبرهنة وجود مجموعات غير منتهية لا يمكن مقابلة عناصرها مع عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية الغير منتهية. تُعرف هذه المجموعات الآن بالمجموعات غير العدودة، وتساعدنا نظرية كانتور للأعداد الأصلية في التعامل مع حجم هذه المجموعات الغير منتهية.

لم تكن الحجة القُطرية هي أول برهان لكانتور على استحالة حصر الأعداد الحقيقية، بل سبقتها مقالة نشرها عام 1874. ولكنه في هذا البرهان أسس لتقنية عامة أُستخدِمَت فيما بعد في مجموعة كبيرة من البراهين، بما في ذلك أول مبرهنات عدم الاكتمال لجودل وحل تورينج لمسألة القرار. أحيانا تكون الحجج القطرية مصدرًا للتناقضات مثل مفارقة راسل ومفارقة ريتشارد.

مجموعة غير عدودة 
اعتبر كانتور المجموعة T التي ترمز لجميع المتتاليات اللانهائية للأرقام الثنائية (أي أن كل رقم إما صفر أو واحد). ثم يبدأ بـ  على الليمة التالية:

 إذا كانت المتواليات s1 ، s2، ... ،sn، ... هي أي تعداد لعناصر المجموعة T، فيمكن إنشاء متوالية s في T لا تقابل أي مجموعة sn في هذا التعداد.

يبدأ البرهان بتعداد عناصر T، كمثال

{|
|-
| s1 = || (0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || ...)
|-
| s2 = || (1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || ...)
|-
| s3 = || (0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || ...)
|-
| s4 = || (1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || ...)
|-
| s5 = || (1, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 1, || ...)
|-
| s6 = || (0, || 0, || 1, || 1, || 0, || 1, || 1, || ...)
|-
| s7 = || (1, || 0, || 0, || 0, || 1, || 0, || 0, || ...)
|-
| ...
|}
بعد ذلك، ننشئ متوالية s بجعل أول رقم مكمل لأول رقم في s1 (بتحويل كل الأصفار لآحاد وبالعكس)، وثاني رقم مكمل لثاني رقم في s2 ، وثالث رقم مكمل لثالث رقم في s3، وبالمثل لأي n، الرقم n مكمل للرقم n في sn. وبتطبيق هذا على المثال أعلاه، نحصل على

{|
|-
| s1 || = || (0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || 0, || ...)
|-
| s2 || = || (1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || 1, || ...)
|-
| s3 || = || (0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || ...)
|-
| s4 || = || (1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || ...)
|-
| s5 || = || (1, || 1, || 0, || 1, || 0, || 1, || 1, || ...)
|-
| s6 || = || (0, || 0, || 1, || 1, || 0, || 1, || 1, || ...)
|-
| s7 || = || (1, || 0, || 0, || 0, || 1, || 0, || 0, || ...)
|-
| ...
|-
|
|-
| s || = || (1, || 0, || 1, || 1, || 1, || 0, || 1, || ...)
|}

عن طريق هذا الإنشاء، نجد أن s تنتمي لـ T وتختلف عن كل المتواليات sn، لأن الأرقام في الموضع n في كل مجموعة مختلف (كما مُوضح بالأعلى). لذا، يستحيل وجود s في التعداد.

وبناءً على هذه الليمة، يستخدم كانتور بعد ذلك برهان بالتناقض ليصل إلى أن:

 المجموعة T غير عدودة.

بدأ الإثبات بفرض قابلية T للعد. يمكن تعداد عناصرها هكذا s1 ، s2 ، ...، sn ،. . . .

تطبيق الليمة السابقة على هذا التعداد أنتج متوالية s تنتمي لـ T، ولكنها غير موجودة في التعداد السابق. ومع ذلك، لم قمنا بتعداد T، سنحصل على كل عضو في T، بما فيهم المتوالية الجديدة s. هذا التناقض يستلزم خطأ الافتراض السابق. لذا فإن T غير عدودة.

مراجع

روابط خارجية 
 برهان كانتور القُطري من موقع MathPages

أعداد أصلية
براهين
جورج كانتور
حجج
لانهاية
نظرية المجموعات