صيغة جمع أبيل

في الرياضيات ، تُستخدم صيغة جمع أبيل ، التي قدمها نيلز هنريك أبيل ، بشكل متكرر ومٌكثف في نظرية الأعداد ودراسة الدوال الخاصة لحساب المتسلسلات .

الصيغة 
لتكن  متتالية من الأعداد الحقيقية أو المركبة . تُعرف دالة الجمع الجزئي  بواسطة

 

لأي عدد حقيقي . ليكن  ، ولتكن  دالة قابلة للإشتقاق بشكل متصل في  . إذاً:

 

يعتمد برهان الصيغة على تطبيق التكامل بالتجزئة لكل من الدوال  و  .

أشكال مختلفة 

إذا كان المتتالية  مفهرسة من  ، يمكننا أن نعرف  . لتصبح الصيغة السابقة على الشكل الآتي :

 

من الطرق الشائعة لتطبيق صيغة جمع أبيل هي أن تأخذ  . فتصبح الصيغة على الشكل الآتي :

 

هذه المعادلات صحيحة متى ما وُجدت كلتا النهايتين على الجانب الأيمن وكانتا منتهيتين.

أمثلة

الأعداد التوافقية 
إذا كانت  بلكل  و  فإن  وتنتج الصيغة

 

الطرف الأيسر هو العدد التوافقي  .

تمثيل دالة زيتا 

ليكن  عددا عقديا. إذا توفر  حيث  و  إذن  وتصير الصيغة

إذا توفر , إذن النهاية عندما  موجودة فتصير الصيغة

قد تستعمل هذه المسألة من أجل استنتاج مبرهنة ديريكليه والتي تنص على أن  تملك قطبا بسيطا مع باق مساو لواحد عند .

تمثيل مقلوب دالة زيتا 

يمكن أن تستعمل التقنية المستعملة في المثال السابق على متسلسلات دركليه أخرى. إذا كانت  هي دالة موبيوس و , إذن  هي دالة ميرتنز و

الصيغة صحيحة حين يتوفر .

انظر أيضًا 

 الجمع بالتجزئة
 التكامل بالتجزئة

مراجع 

 .

نظرية الأعداد