متعددة حدود دويرانية

في الرياضيات، المعادلة الدُوَيْرَانِيَّة أو متعددة الحدود الدُوَيْرَانِيَّة أو كثير الحدود الدُوَيْرَانِي من الدرجة n لأي عدد صحيح موجب n، هي متعددة الحدود غير قابل للاختزال الوحيد ذات معاملات صحيحة التي هي قاسمة لـ  وليست قاسمة لـ  لأي  جذوره كلها جذور الوحدة البدائية ، حيث k أعداد صحيحة الموجبة أقل من n، و k وn أوليان فيما بينهما (و i هي الوحدة التخيلية). وبعبارة أخرى فإن متعددة الحدود الدويرانية من الدرجة n تساوي

 

يمكن تعريفها أيضًا على أنها متعددة الحدود واحدية المدخل ذات معاملات صحيحة وهي متعددة الحدود الدنيا على حقل الأعداد المُنْطقة لأي جذر الوحدة من الدرجة n البدائية ( مثال على هذا الجذر).

هناك علاقة مهمة تربط بين كثيرات الحدود الدويرانية وجذور الوحدة البدائية

 

يوضح أن  هو جذر  إذا وفقط إذا كانت عبارة عن جذر الوحدة البدائي من الدرجة d لبعض د الذي يقسم ن.

أمثلة 
إذا كان n عددًا أوليًا، فإن

 

إذا كان n = 2 p حيث p هو عدد أولي فردي، فإن

 

بالنسبة من n حتى 30، تكون كثيرات الحدود الدويرانية:

 

حالة متعددة الحدود الدويرانية من الدرجة 105 مثيرة للاهتمام لأن 105 هي أقل عدد صحيح موجب الذي هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية فردية متمايزة (3 * 5 * 7) وهذه كثيرة الحدود هي الأولى التي لها معامل غير 1 ، 0 ، أو −1:

مراجع 

نظرية الأعداد
جبر
متعددات الحدود