قانون الاحتمالات الكلية

في نظرية الاحتمالات ، قانون (أو صيغة ) الاحتمال الكلي هو قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية . إنه يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها من خلال عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاء الاسم.

القانون 
قانون الاحتمال الكلي هو  نظرية تنص ، في حالتها المنفصلة(المتقطعة) ، إذا  هو قسم محدود أو لانهائي من مساحة عينة (بمعنى آخر ، مجموعة من الأحداث المنفصلة الزوجية التي يكون اتحادها هو مساحة العينة بأكملها) وكل حدث  قابل للقياس ، إذن لأي حدث  من نفس مجال الاحتمال :

 

أو ، بدلاً من ذلك ، 

 

حيث ، لأي  لأي منهم  تم حذف هذه المصطلحات ببساطة من الجمع ، لأن  محدود.

يمكن تفسير التجميع على أنه متوسط موزون ، وبالتالي الاحتمال الهامشي ،  ، تسمى أحيانًا "الاحتمال المتوسط" ؛  يُستخدم مصطلح "الاحتمال الإجمالي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية. 

يمكن أيضًا تحديد قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:

 

أخذ  على النحو الوارد أعلاه ، وافتراض  هو حدث مستقل عن أي من  :

حالة مستمرة 
يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن المتغيرات العشوائية المستمرة. يترك  يكون مجال احتمالي . افترض  هو متغير عشوائي مع دالة التوزيع  ، و  حدث يوم  . ثم ينص قانون الاحتمال الكلي

إذا  يعترف بدالة الكثافة  ، ثم النتيجة

علاوة على ذلك ، بالنسبة للحالة المحددة حيث  ، حيث  هي مجموعة Borel ، ثم هذا ينتج

مثال 
لنفترض أن هناك مصنعين يزودان السوق بمصابيح كهربائية . تعمل مصابيح Factory X لأكثر من 5000 ساعة في 99٪ من الحالات ، بينما تعمل مصابيح المصنع Y لأكثر من 5000 ساعة في 95٪ من الحالات. من المعروف أن المصنع X يوفر 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة و Y يوفر 40٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي احتمالية أن يعمل المصباح الذي تم شراؤه لمدة تزيد عن 5000 ساعة؟

بتطبيق قانون الاحتمال الكلي ، نحصل على:

 

حيث أن:

  هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؛
  هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؛
  هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة X لأكثر من 5000 ساعة ؛
  هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة Y لأكثر من 5000 ساعة.

وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

أنظر أيضا 

 قانون القيم المتوقعة الكلية

مراجع 

مبرهنات في الاحتمالات