تخمين فيرما كاتالان

في نظرية الأعداد تخمين فيرما كاتالان هو تعميم مبرهنة فيرما الأخيرة حدسية كاتالان ومن هنا جاء الاسم. ينص التخمين على أن المعادلةله عدد محدود من الحلول فقط ( a,b,c,m,n,k ) مع ثلاثة توائم متميزة من القيم ( am, bn, ck ) حيث a, b, c هي أعداد صحيحة موجبة من نوع اولية نسبيا و m ، n ، k هي ايجابية مرضيةالمتباينة في m و n و k جزء ضروري من التخمين. بدون المتباينة سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول على سبيل المثال مع k = 1 (لأي a و b و m و n ومع c = a m + b n ) أو مع m و n و k كلها تساوي اثنين ( لثلاثيات فيثاغورس).

اعتبارًا من عام ٢٠١٥ أصبحت الحلول العشرة التالية للمعادلة (1) التي تفي بمعايير المعادلة (2) معروفة: 

  (ل  لإرضاء المعادلة. 2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 

أول معادلة هي (1m + 23 = 32 ) هو الحل الوحيد حيث يكون أحدa, b or c يكون 1. وفقًا للتخمين الكاتالوني ، الذي تم إثباته في عام ٢٠٠٢ بواسطة <b>بريدا ميهيليسكو</b> . بينما تؤدي هذه الحالة إلى عدد لا نهائي من الحلول لـ (1) (حيث يمكن للمرء اختيار m الى m > 6).

نتائج جزئية 
من المعروف من خلال نظرية دارمون-جرانفيل ، التي تستخدم <b>مبرهنة فالتينجز</b> أنه لأي اختيار ثابت للأعداد الصحيحة الموجبة م ، ن و ك مرضي (2).

تشير حدسية abc إلى حدسية فيرمات - الكاتالونية. 

للحصول على قائمة بنتائج مجموعات الأس المستحيلة ، راجع حدس بيل # النتائج الجزئية . يكون تخمين بيل صحيحًا فقط إذا كانت جميع حلول فيرما كاتالان تحتوي على m = 2 أو n = 2 أو k = 2.

مراجع 

معادلات ديوفانتية
حدسيات رياضية