مبرهنة المثلث القائم لفيرما

مبرهنة المثلث القائم لفيرما هي إثبات على عدم الوجود في نظرية الأعداد ، نُشرت عام 1670 بين أعمال بيير دي فيرما ، بعد وفاته بفترة وجيزة. هذا هو الإثبات الكامل والوحيد الذي قدمه فيرما. لدى المبرهة العديد من الصيغ المكافئة ، تم ذكر إحداها (بدون إثبات) عام 1225 بواسطة فيبوناتشي . تنص في أشكالها الهندسية على:

 لا يمكن أن تكون  للمثلث القائم في المستوى الإقليدي الذي تكون أطوال  أضلاعه الثلاثة أعدادًا كسرية مساحة تساوي مربع عدد نسبي (كسري). 
 لا يمكن لمثلث قائم الزاوية ومربع بمساحات متساوية أن تتقايس جميع الأضلاع مع بعضها البعض.
 لا يوجد مثلثين قائمين حيث يكون ضلع أحد المثلثين هو الساق والوتر للمثلث الآخر.

بشكل أكثر تجريدًا ، كنتيجة حول المعادلات الديوفانتية (عدد صحيح أو حلول عدد نسبي للمعادلات متعددة الحدود) ، فإن المبرهنة تكافئ العبارات الآتية:

 إذا كانت ثلاثة أعداد مربعة تشكل متتالية حسابية، فإن الفجوة بين الأعداد المتتالية في المتتالية (تسمى التطابق ) لا يمكن أن تكون مربع بحد ذاتها.
 النقاط الكسرية الوحيدة على المنحنى الإهليلجي  هي ثلاث نقاط بديهية مع  و  .
 المعادلة الرباعية  ليس لها حل في الأعداد الصحيحة غير الصفرية.

الصياغة

المربعات في المتتاليات الحسابية 
في عام 1225 ، تحدى الإمبراطور فريدريك الثاني عالم الرياضيات فيبوناتشي للمشاركة في مسابقة رياضية ضد العديد من علماء الرياضيات الآخرين ، مع ثلاث مشاكل وضعها فيلسوف بلاطه جون باليرمو. طلبت أول هذه المسائل ثلاثة أعداد كسرية بحيث مربعاتها متباعدة بشكل متساوٍ بمقدار خمس وحدات ، وحلها فيبوناتشي بالأرقام الثلاثة  و  ، و  . في كتاب المربعات ، الذي نشره فيبوناتشي في وقت لاحق من نفس العام ، قام بحل المسألة العامة المتمثلة في إيجاد ثلاثة أعداد مربعة متباعدة بشكل متساوٍ عن بعضها البعض ، مشكلاً متتالية حسابية . وصف فيبوناتشي الفجوة بين هذه الأعداد بأنها متطابقة .  تتمثل إحدى طرق وصف حل فيبوناتشي في أن الأعداد المراد تربيعها هي فرق الأضلاع والوتر ومجموع أضلاع مثلث فيثاغورس ، وأن التطابق يساوي أربعة أضعاف مساحة المثلث نفسه.  لاحظ فيبوناتشي أنه من المستحيل أن يكون التطابق عددًا مربعًا بحد ذاته ، لكنه لم يقدم برهاناً مرضيًا على هذه الحقيقة.

مساحات المثلثات القائمة

منحنى إهليلجي

برهان فيرما

ملاحظات

المراجع 

مبرهنات في نظرية الأعداد
مبرهنة فيرما الأخيرة
مربعات في نظرية الأعداد
معادلات ديوفانتية