قاعدة معيارية (جبر خطي)

في الرياضيات ، القاعدة المعيارية (تسمى أيضًا القاعدة الناظمية ) لفضاء متجهي ذو إحداثيات هي مجموعة المتجهات التي تكون كل إحداثياتها عدا واحدة صفرًا ، وتكون الإحداثية المستثناة تساوي 1. على سبيل المثال ، في حالة المستوى الإقليدي المكون من أزواج  من الأعداد الحقيقية، تتكون القاعدة المعيارية من المتجهات

 

و كذلك، فإن القاعدة المعيارية للفضاء ثلاثي الأبعاد تتكون من المتجهات

 

هنا يشير المتجه ex في اتجاه x ، ويشير المتجه ey في اتجاه y ، ويشير المتجه ez في اتجاه z . هناك العديد من الرموز الشائعة لمتجهات القاعدة المعيارية ، منها {ex, ey, ez} و {e1, e2, e3} و {i, j, k} و {x, y, z}. تتم كتابة هذه المتجهات أحيانًا بقبعة للتذكير بأنها من متجهات الوحدة ( متجهات الوحدة المعيارية ).

هذه المتجهات هي قاعدة بمعنى أنه يمكن التعبير عن أي متجه آخر كتركيبة خطية منها بشكل فريد. على سبيل المثال ، يمكن كتابة كل متجه v في الفضاء ثلاثي الأبعاد بشكل فريد كالنحو التالي:

 

حيث تكون الكميات العددية vx, vy, vz هي المكونات العددية للمتجه v .

في الفضاء الإقليدي ذو  أبعاد  ، تتكون القاعدة المعيارية من  متجهات مختلفة

 

حيث يشير ei إلى المتجه الذي لديه 1 في الإحداثية عدد  و 0 في الإحداثيات الأخرى.

يمكن تعريف القواعد المعيارية لفضاءات متجهية أخرى إذا كان تعريف هذه الفضاءات يتضمن معاملات ، مثل فضاءات متعددات الحدود وفضاءات المصفوفات . في كلتا الحالتين ، تتكون القاعدة المعيارية من عناصر الفضاء التي تكون جميع معاملاتها 0 باستثناء واحد يكون 1. بالنسبة لمتعددات الحدود ، تتكون القاعدة المعيارية من وحيدات الحد وتسمى عادة القاعدة الأحادية الحد . للمصفوفات  ، تتكون القاعدة المعيارية من المصفوفات m × n ذات مكون واحد غير صفري ، والذي يساوي 1. على سبيل المثال ، يتم تشكيل القاعدة المعيارية لمصفوفات 2 × 2 بواسطة المصفوفات الأربع

المراجع 

جبر خطي