مجموعة كثيفة

المجموعة الكثيفة ، هي خاصية طوبولوجية تكون فيها مجموعة  كثيفة داخل مجموعة  إذا كانت  ضمن  وإذا كان كل عنصر من  إما منتميا ل  أو يمثل نقطة حد (Limit point) ل . بمعنى أن  تمكن من حصر (بالمعنى الجبري الطوبولوجي) جميع عناصر .

تعريف

تعريف عام - طوبولوجي 
باعتبار  فضاء طوبولوجيا و  جزءا منه، يكون  كثيفا داخل  ويقال أيضا  كثيف في كل مكان، إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

 كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في  تضم عناصر من .
  هي غالق  .
كل نقطة في  هي ملاصقة ل 
مكملة  داخلها فارغ

تعريف تحليلي 
باعتبار  فضاء متجهيا معياريا و  جزءا منه، يكون  كثيفا داخل  إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

 لكل نقطة  توجد متتالية  معرفة في  تؤول في مالانهاية إلى 
 لكل نقطة  و كل  يوجد  يحقق 
 غالق  () يساوي 

يمكن تعميم التعريف للفضاءات القياسية بتعويض المعيار بالمسافة.

أمثلة 
 مجموعة الأعداد الجذرية  كثيفة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية .
الزمرة العامة الخطية، مجموعة المصفوفات القابلة للعكس،  كثيفة داخل مجموعة المصفوفات . وأيضا  داخل .

خاصيات 

 حسب مبرهنة ستون-فايرستراس، فإن فضاء الحدانيات كثيف داخل فضاء الدوال المتصلة المعرفة في المجال  والتي مستقرها في .

مراجع 

طوبولوجيا عامة