دالة التكامل اللوغاريتمي

في الرياضيات، دالة التكامل اللوغاريتمي  أو اللوغاريتم التكاملي  هي دالة خاصة. إنها ذات صلة بمشاكل الفيزياء ولها أهمية في نظرية الأعداد. على وجه الخصوص، وفقًا ل، يعتبر هذا تقريبًا جيدًا للدالة المعدة للأعداد الأولية، التي هي معرفة على أنها عدد الأعداد الأولية أقل من أو تساوي قيمة معينة .

التمثيل التكاملي 
التكامل اللوغاريتمي له تمثيل تكاملي المعرفة على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة مع  ≠1 من قبل التكامل المحدد.

 

هنا، يشير  إلى اللوغاريتم الطبيعي . الدالة  لها نقطة تفرد عند  =1 ، والتكامل من أجل   > 1  يجب أن تفسر على أنها قيمة رئيسية لكوشي.

التكامل اللوغاريتمي لأويلر 
يتم تعريف التكامل اللوغاريتمي لأويلر كما يلي:

 

يمكن تمثيله على شكل التكامل:

 

على هذا النحو، فإن تمثيل التكامل له ميزة تجنب التفرد في مجال المكاملة.

القيم الخاصة 
الدالة li(x) لها جذر موجب؛ تنعدم عند

؛ يُعرف هذا العدد باسم ثابت رامانوجان-سولدنر .

تمثل القيمة السابقة: ، حيث  هي ؛ تُعرف هذه القيمة بقيمة كوشي الرئيسية للدالة.

تمثيله على شكل متسلسلة 

حيث γ ≈ 0.57721 56649 01532 هي ثابتة أويلر-ماسكيروني.

أهميتها في نظرية الأعداد 
تعتبر دالة التكامل اللوغاريتمي مهمة في نظرية الأعداد، حيث تظهر في تقديرات عدد الأعداد الأولية أقل من قيمة معينة. على سبيل المثال، تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن دالة التكامل اللوغاريتمي لأويلر تشبه الدالة المعدة للأعداد الأولية، بتعبير رياضي:

حيث تشير  إلى عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو يساوي  وليس لديها أي صلة مع العدد .

انظر أيضًا 

 يورغن بيدرسن غرام
 تكامل أسي

المراجع 

تكاملات