مبرهنة ستوكس

في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، تعرف مبرهنة ستوكس أو مبرهنة ستوكس المعممة  بأنها  هي بيان حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تقول مبرهنة ستوكس أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي

 

تمت صياغة مبرهنة ستوكس في شكلها الحديث من قبل إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل فيتو فولتيرا، وإدوارد غورسا، وهنري بوانكاريه.

هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850. وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان  1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861. ترتبط مبرهنة كلفن-ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي  على سطح (أي، تدفق دوران ) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم «التكامل العروي»)

التفسير الرياضياتي:

ليكن  منحنى مستوي جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن  يقسم  إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل  ونفترض أن  ناعم، مع . إذا كانت  المنحنى الفضائي المعرف بـ  و  حقل متجهي ناعم على ، إذن:

 

حيث يشير  إلى المؤثر التفاضلي «دوران».

هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه.

هوامش

المصادر 

أشكال تفاضلية
حساب المتجهات
طوبولوجيا تفاضلية
مبرهنات في الهندسة التفاضلية
مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل