مبرهنة ليوفيل (تحليل مركب)

في التحليل العقدي، مبرهنة ليوفيل  تنص على كل دالة كاملة محاطة هي بالضرورة الدالة الثابتة. سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف ليوفيل.

البرهان 

ليكن b, a أية نقطتين في المستوي Z ولتكن C دائرة مركزها a ونصف قطرها r بحيث باستعمال صيغة كوشي التكاملية الأولى ينتج:-

ولما كانت f (Z) محددة في المستوي Z فإنه يوجد عدد حقيقي موجب M بحيث | f (Z)|< M لكل Z داخل وعلى محيط الدائرة، ولما كان محيط الدائرة 2 ? r فإنه ينتج:

بموجب المتباينة الموجودة في مبرهنة سابقة.

والآن إذا جعلنا r ? ? نجد أن أي ان ولما كانت b, a أية نقطتين في المستوي Z

? تكون الدالة f ثابتة. وبهذا ينتهي البرهان.

مراجع 

دوال تحليلية
مبرهنات في التحليل المركب
مقالات تحوي براهين