مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس  هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.

البرهان 
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة  التي تحقق المعادلة:
 
بحيث يكون كلا العددان  و مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ ، في حين سنستعمل الترميز التالي  كاختصار للتكامل:
 .
سنصل إلى المعادلة:
 
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
 
حيث
 
 
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن : هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد  ليس كذلك.

والسبب في أن  عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
 
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:
  من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن  هو جداء الدوال  و. وباستعمال المحد العلوي لـ  و على المجال  وبما أن:
  لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

مراجع 

أعداد متسامية
باي
مبرهنات في نظرية الأعداد
مقالات تحوي براهين
ه (رياضيات)