تفاضل الدوال المثلثية

تفاضل الدوال المثلثية هي العملية الحسابية لإيجاد مشتق دالة مثلثية، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق دالة الجيب على هذا الشكل ، وهذا يعني أن معدل تغير  عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق قاعدة ناتج القسمة المطبقة على الدوال مثل . بمعرفة هذه المشتقات، يتم إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام التفاضل الضمني.

مشتقات الدوال المثلثية ودوالها العكسية

إثبات مشتقات الدوال المثلثية

نهاية  لما θ يؤول إلى 0 

يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار دائرة ذات المركز O ونصف القطر r = 1. لتكن OA و OB اثنين من نصف القطر يصنعان قوس قياسه θ راديان. بما أننا اعتبرنا النهاية لما θ يؤول إلى الصفر، فقد نفترض أن θ هو عدد موجب صغير، نقول  في الربع الأول.

في الرسم البياني، ليكن R1 المثلث OAB و R2 القطاع الدائري OAB و R3 المثلث OAC. مساحة المثلث OAB هي:

مساحة القطاع الدائري OAB هي: ، بينما مساحة المثلث OAC معطاة بواسطة:

بما أن كل منطقة تقع في المنطقة التالية، فإن:

زيادة على ذلك، بما أن  في الربع الأول، فيمكننا القسمة على ، معطيًا:

في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقاليب الحدود الموجبة الثلاثة، وعكسنا المتباينة.

نستنتج أنه من أجل ، يكون مقدار  دائما أقل من 1 ودائمًا أكبر من cos(θ). وهكذا، عندما تقترب θ من 0، فإن  «عُصِرت» بين سقف ارتفاعه 1 وأرضية ارتفاعها ، والتي ترتفع نحو 1؛ لذلك يجب أن تؤول  إلى 1؛ حيث أن θ تؤول إلى 0 من الجهة الموجبة:

بالنسبة للحالة التي تكون فيها θ عددًا سالبًا صغيرًا ، نستخدم حقيقة أن الجيب دالة فردية:

نهاية  لما θ يؤول إلى 0 

يتيح لنا القسم الأخير حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية. يتم ذلك عن طريق استخدام حيلة بسيطة. في هذا الحساب، إشارة θ غير مهمة.

باستخدام هذه المتطابقة ،
حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:

نهاية  لما θ يؤول إلى 0 

باستخدام نهاية دالة الجيب، وحقيقة أن دالة الظل فردية، وحقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، نجد:

مشتق دالة الجيب 
نحسب مشتق دالة الجيب باستخدام تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين ، لدينا:

باستخدام نهايتي كل من دالة الجيب وجيب التمام:

مشتق دالة جيب التمام

من تعريف المشتق 
مرة أخرى نحسب مشتق دالة جيب التمام من تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين ، لدينا:

باستخدام النهايات الأولى:

من قاعدة السلسلة 

لحساب مشتق دالة جيب التمام من قاعدة السلسلة، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:

الأولى والثانية هما متطبقتان مثلثيتان، والثالث تم إثباته أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:

يمكن اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. لتكن  و ، لدينا:

إذن:

.

مشتق دالة الظل

من تعريف المشتقة 
لحساب مشتق دالة الظل ، نستخدم تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام المتطابقة المعروفة:
، لدينا:

باستخدام حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء نهايتين:

باستخدام النهاية الخاصة بدالة الظل، وحقيقة أن  يؤول إلى 0 حيث δ يؤول إلى 0:

نرى على الفور أن:

من قاعدة ناتج القسمة 
يمكن للمرء حساب مشتق دالة الظل باستخدام قاعدة ناتج القسمة.

يمكن تبسيط البسط إلى 1 بواسطة متطابقة فيثاغورس، يعطينا:

إذن:

إثبات مشتقات الدوال المثلثية العكسية 

يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام التفاضل الضمني ثم الحل لـ ، يتم إيجاد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل  مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام مبرهنة فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن  بدلالة x.

اشتقاق دالة الجيب العكسية 
نعتبر الدالة

حيث

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ  وحل لـ :

نعوض بـ :

نعوض بـ :

اشتقاق دالة جيب التمام العكسية 
نعتبر الدالة

حيث

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ  وحل لـ :

نعوض بـ :

نعوض بـ :

اشتقاق دالة الظل العكسية 

نعتبر الدالة

حيث

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ  وحل لـ :

الطرف الأيسر:

 باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

ومنه:

نعوض بـ  ، نحصل على:

اشتقاق دالة ظل التمام العكسية 

نعتبر الدالة

حيث .

بالتعريف

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ  وحل لـ :

الطرف الأيسر:

 باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

ومنه،

نعوض بـ :

اشتقاق دالة القاطع العكسية

باستخدام التفاضل الضمني 
نعتبر الدالة:

بالتعريف

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء القاطع والظل في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة  دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

باستخدام قاعدة السلسلة 
بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

حيث

 و 

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على :

اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية

باستخدام التفاضل الضمني 
لتكن

بالتعريف:

(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء قاطع التمام وظل التمام في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة  دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

باستخدام قاعدة السلسلة 
بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

حيث

 و 

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على :

انظر أيضًا 
 جدول المشتقات
 قائمة تكاملات الدوال المثلثية
 قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

هوامش وملاحظات 

حساب تفاضلي
دوال مثلثية
مطابقات رياضية
معادلات تفاضلية